TFM - TRAITÉS FRANÇAIS SUR LA MUSIQUE

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Author: Sauveur, Joseph
Title: Methode Générale Pour former les Systêmes temperés de Musique, et du choix de celui qu'on doit suivre
Source: Histoire de l'Academie Royale des Sciences. Année MDCCVII. Avec les Memoires de Mathematique et de Physique, pour la même Année. Tirés des Registres de cette Academie. (Paris: Gabriel Martin. Jean-Baptiste Coignard fils. H. Louis Guerin, 1730; reprint ed. in Joseph Sauveur, Collected Writings on Musical Acoustics (Paris 1700-1713) ed. Rudolph Rasch, Utrecht: Diapason Press, 1984), 203-222.
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[-203-] METHODE GENERALE

Pour former les Systêmes temperés de Musique, et du choix de celui qu'on doit suivre.

Par Monsieur Sauveur.

I.

Des inconveniens du Systême Diatonique juste.

[1707, 25. Juin. in marg.] DAns un Systême de Musique l'on a en vûë de partager tellement l'octave en plusieurs intervalles, et de distinguer les sons qui font ces partages, que les distances réciproques de ces sons fassent des accords agreables à l'oreille, et qui conviennent au chant qui est en usage.

Le Systême que nous suivons en Europe, et que nous regardons comme le plus naturel, est le Diatonique, qui partage l'octave par des semitons majeurs, par des tons mineurs et majeurs. Ce partage de l'octave se fait par des sons ausquels on a donné les noms de ut. re. mi, fa. sol. la. si, ut, et que nous croyons devoir être changez en ceux-cy, pa. ra. ga, so. bo. lo. do, pa, pour les raisons que nous avons marquées dans les Memoires de l'Academie de l'année [-204-] 1701. page 335. Les accords qu'on a en vûë sont les consonances parfaites, l'octave, la quinte et la qaurte: les imparfaites, les tierces et les sixtes majeures et mineures: les dissonances diatoniques, les secondes et septiémes majeures et mineures, le triton et la fausse quinte. Ces mêmes accords qu'on appelle aussi intervalles, étant considerez selon l'ordre qu'ils tiennent dans l'octave, sont les secondes, les tierces, les quartes, les quintes, les sixtes, et les septiémes, dont les mineures sont désignées par les chiffres 2, 3, 4, 5, 6, 7, et les majeures par ceux-cy II, III, IV, V, VI, VII, et l'octave par VIII. Les plus petits intervalles dont les sommes forment les intervalles précedens, et que nous appellons leurs élemens, sont le semiton majeur, le ton mineur et le ton majeur, que nous désignons par les lettres S, t, T. L'on peut voir tout ce que nous marquons icy dans les premieres colomnes de la Table des Systêmes qui est cy-aprés, ou dans la premiere Planche de nôtre Systême general qui est dans les Memoires de l'Academie des Sciences de l'année 1701.

Enfin nous representerons dans la Table suivante les noms des sons de deux octaves de suite, avec les raports de ces sons, c'est à dire les raports des nombres qui marquent les vibrations que font ces sons. Nous y ajoûterons les élemens ou les petits intervalles qui sont entre ces sons.

24. 27. 30, 32. 36.  40. 45, 48. 54. 60, 64. 72.  80. 90, 96
VT. RE. MI, FA. SOL. LA. SI, ut. re. mi, fa. sol. la. si, ut
  T   t   S   T    t   T   S   T   t   S   T    t   T   S

Au lieu des nombres cy-dessus 24. 27. 30, et cetera on auroit pû mettre ceux-cy 72. 80. 90, 96 et cetera et alors entre VT. RE. MI, ut. re. mi, on auroit mis t T au lieu de T t. Mais comme cela est indifferent, nous nous en tiendrons aux premiers nombres, parcequ'ils sont les plus simples.

La Table précedente represente le Systême Diatonique juste, dans laquelle si nous examinons en particulier les intervalles reciproques, nous y remarquerons les choses suivantes.

[-205-] 1. Toutes les octaves sont égales entr'elles, comme VT, ut: RE, re, et cetera.

2 Les secondes mineures S sont égales, comme MI, FA: SI, VT, mais les majeures t, T sont inégales; car T est plus grand que t d'un comma, que nous désignerons par c, de sorte que T est égal à t c.

3. Les tierces mineures T S sont justes entre MI, SOL, LA, ut: SI, re; mais trop foibles d'un comma entre RE, FA étant t S. Les tierces majeures T t sont toutes égales VT, MI: FA, LA: SOL, SI.

4. La quarte mineure qu'on appelle simplement quarte T t S est juste entre VT, FA: RE, SOL: MI, LA: SOL, ut: SI, mi; mais elle est trop forte d'un comma entre LA, re étant T T S. La quarte majeure qu'on appelle triton est T t T entre FA, SI.

5. Les grands intervalles qui sont les quintes, les sixtes et les septiémes, tant majeures que mineures, sont les complémens des petits intervalles précédens; ainsi ils sont entre les sons de même nom dans un ordre renverse. C'est pourquoy la quarte étant VT, FA, la quinte qui est son complément sera FA, ut. D'où l'on peut tirer les consequences suivantes. Premiére. Que pour avoir les élemens d'un grand intervalle de l'octave 3T 2t 2S, il faut ôter les élemens du petit intervalle qui en est le complément; ainsi ôtant la quarte T t S, il restera 2T t S pour la quinte. Deuxiéme. Que les mêmes varietés qui sont dans les petits intervalles se rencontrent dans les grands qui sont leurs complémens; ainsi les secondes mineures et les tierces majeures étant toutes justes, les septiémes majeures et les sixtes mineures le seront aussi, et les autres petits intervalles étant alterés d'un comma entre certains sons, les grands intervalles qui sont leurs complémens seront alterés entre les mêmes sons renversés; ainsi la quarte LA, re étant trop forte d'un comma, la quinte RE, LA sera trop foible d'un comma. C'est-pourquoy il suffit d'examiner dans un Systême les petits intervalles, c'est à dire les secondes, les tierces et les quartes tant majeures que mineures.

[-206-] Ce que nous venons de dire regarde le Systême Diatonique juste; un chant ou un air composé selon ce Systême ne peut être executé que par des Voix ou des Instrumens que je réduits à trois classes. Dans la premiere je renferme les Voix, les Violons et les Instrumens dont la justesse dépend de l'oreille seule. Dans la seconde les Trompettes, les Flutes, les Hautbois, la Basse de Viole, le Theorbe, la Guitarre, et generalement ceux dont le son est reglé par des ressauts, par des trous, ou par des touches, mais qui peut être corrigé par une oreille fine. Dans la troisiéme l'Orgue, le Clavecin et les machines dont les sons dépendent seulement des touches d'un clavier, sans pouvoir être corrigés par celui qui jouë.

On ne peut appliquer le Systême Diatonique juste à aucune de ces trois classes. Car, Premier. Si les Instrumens ou machines de la troisiéme classe ont leurs sons reglés selon les raports des nombres marqués dans la Table précedente; et si aprés un son on doit faire un intervalle qui se trouve alteré d'un comma, par exemple, si aprés LA on doit monter d'une quarte en re, on ne le pourra pas, car la quarte LA, re est trop forte d'un comma.

Deuxiéme. Dans les Instrumens de la premiere et seconde classe on doit penser la même chose par rapport à ceux qui commencent; car dans la premiere classe ils s'accoûtument à fixer les noms ut, re, mi, fa, et cetera à des sons déterminés, et dans la seconde classe aux sons qui sont reglés par les ressauts, par les trous, ou par les touches des Instrumens; et alors ils tombent dans l'inconvenient que nous venons de marquer à l'égard des Instrumens de la troisiéme classe, lequel ne peut être au plus corrigé que par les plus habiles.

Troisiéme. Les plus habiles même ne peuvent pas suivre le Systême Diatonique juste dans les Voix et les Instrumens de la premiere et seconde classe. Car ils commencent et finissent ordinairement un chant ou un air par la même note, ayant été de la premiere à la derniere par differens intervalles, en montant et en descendant; or si aprés [-207-] avoir ôté les mêmes intervalles qui se trouvent en montant et en descendant, il reste d'un côté des tons majeurs, des tierces ou des sixtes mineures, ou enfin des quintes, et de l'autre côté des tons mineurs, des tierces ou des sixtes majeures, ou enfin des quartes; et si on chante tous ces intervalles avec justesse, la derniere note sera plus haute ou plus basse d'un ou plusieurs comma que la premiere. Prenons pour exemple une élevation d'une Litanie qu'un Religieux envoye au Révérend Père Buffier, dont les notes principales sont les suivantes.

[Sauveur, Methode, 207; text: V, 2, 3, 4, Intervalles montans. descendans.] [SAUMET 01GF]

Dans ces intervalles la quinte V est commune, les autres intervalles montans sont 2, 4, 4, 2, dont les élemens sont 2T 2t 4S. Les descendans sont 3, 3, 3, 3, dont les élemens sont 4T 4S: ôtant de ces élemens ce qui est de commun, il restera aux intervalles montans 2T égaux à 2t 2c, et aux descendans 2t; de sorte qu'en chantant les intervalles justes, le dernier ut sera plus haut que le premier de 2 comma. Si l'ut de l'élevation suivante est à l'unisson du dernier ut de l'élevation précedente, et si la Litanie a 55 élevations, l'ut final de la 55e élevation sera plus élevé que le premier ut de 110 comma, ou de deux octaves; ce qui paroît si absurde à ce Religieux, qui d'ailleurs est persuadé que les Chantres chantent juste, qu'il aime mieux croire que les raports des sons qui forment ces intervalles sont autres que ceux qu'on a coûtume de leur donner, par exemple, que la quinte ne consiste pas dans le raport de 2 à 3, mais dans un autre raport qui est tel qu'il aide à sauver l'inconvenient précedent. Mais on peut lui répondre que la justesse de la voix des Chantres n'est pas telle qu'ils ne puissent s'éloigner de la précision [-208-] d'un intervalle, de quelque partie d'un comma sans qu'on s'en apperçoive, comme j'ay remarqué avec un Monochorde auquel j'avois appliqué mes Eptamerides, et que j'ay décrit à la page 316 des Memoires de l'Academie de l'année 1701.

Il vaut mieux dire avec Monsieur Hugens * [* Cosmoth oros page 77. in marg.] que l'oreille du Musicien conservant l'idée du son du premier ut, il y retombe naturellement par un changement imperceptible de ces intervalles qu'on rend par-là un peu alterés, ce qui marque la necessité d'un Systême temperé.

II.

De la maniere de former les Systêmes temperés.

Le Systême Diatonique, dont le Chromatique et l'Enharmonique des Musiciens dépendent, a pour élemens de son octave 3T 2t 2S;. mais pour rendre temperé ce Systême au lieu des tons majeurs et mineurs T t, il faut prendre un ton moyen; alors l'octave sera composé de 5 tons et de 2 semitons: Et pour trouver les raports entre ces tons, ces demi-tons et l'octave, il faut diviser l'octave en parties égales, dont les tons en contiendront un certain nombre, et les demi-tons un autre.

L'octave est l'accord de deux sons, dont le raport des vibrations est de 1 à 2; de sorte que pour diviser l'octave, par exemple, en 43 parties égales, il faut trouver 42 moyennes proportionnelles entre 1 et 2.

Pour trouver des moyennes proportionelles entre deux nombres, il faut avoir recours aux extractions des racines, lesquelles étant inconnuës à la plûpart de ceux qui aiment la Musique, et étant tres-penibles aux autres, elles sont cause que cette theorie est demeurée tres-imparfaite, mais l'usage des logarithmes ôte cette difficulté. C'est-pourquoy nous nous en sommes servi pour exprimer les intervalles des sons et pour les partager, ce que nous avons fait d'une maniere differente de Monsieur Hugens dans son Cycle harmonique * [* Hist des Ouvrag. des Sçav. Octob. 1691. in marg.].

[-209-] Nous avons marqué dans nôtre Systême * [* Mem. de l'Ac. 1701, pages 306. et 309. in marg.] le raport des sons et la maniere de trouver le logarithme qui marque l'intervalle de ces sons, en nous servant des petites Tables de Vlacq qui sont fort communes. L'on trouve avec ces Tables que l'intervalle de l'octave est exprimé par le logarithme 301.0300 en negligeant la figurative, celui du semi-ton majeur S par 28.0287, du ton mineur t par 45.7575, et du ton majeur T par 51.1525: la difference de T à t est le comma 5.3950. Nous avons mis un point devant les quatre derniers chiffres, parceque les premiers chiffres qui marquent nos Eptamerides suffisent pour l'usage ordinaire.

Maintenant pour former un Systême temperé, il faut avoir en vûë le semi-ton majeur et le ton moyen: si du ton l'on ôte le semi-ton majeur, il restera le semi-ton mineur: derechef si du semi-ton majeur l'on ôte le mineur, il restera leur difference. Soit donc s le semi-ton mineur, la difference du semi-ton mineur au majeur laquelle répond au comma; alors s + c sera le semi-ton majeur, et 2s + c sera le ton moyen, et 12s + 7c sera l'octave qui est composée de 5 tons moyens et de 2 semi-tons majeurs.

Mais pour trouver les raports de c à s, j'ôte le semi-ton majeur s + c = 28.0287 du ton 2s + c qui est 45.7575 et 51.1525, le reste s sera 17.7288 et 23.1238; ensuite ôtant s de s + c = 28.0287, il restera c égal à 10.2999 et à 4.9049.

Comme s et c ont deux valeurs, pour avoir leur plus petit et leur plus grand raport, je divise le plus petit s = 17.7288 par le plus grand c = 10.2999, et ensuite le plus grand s = 23.1238 par le plus petit c = 4.9049; l'on trouvera que c est à s au moins comme 1 à 1 31/43 ou à 1 5/7, et au plus comme 1 à 4 5/7. De sorte que si c est égal à 1, s sera entre 1 5/7 et 4 5/7, l'octave 12s + 7c sera entre 27 4/7 et 63 4/7. Si l'on veut avoir le raport de c à s par l'octave, il faut diviser 301.0300 par 10.2999 et par 4.9049; alors supposant c égal à 1, l'octave 12s + 7 sera au moins 29 8/35, et au plus 61 6/35, et s sera entre 1 6/7 et 4 1/2: Mais pour une plus [-210-] grande simplicité, nous supposerons le raport de c à s au moins de 1 à 1 2/3, et au plus de 1 à 4 2/3, et le raport de c à l'octave au moins de 1 à 27, et au plus de 1 à 63.

La simplicité d'un Systême demande que les valeurs de c et de s soient exprimées en nombres entiers. C'est-pourquoy si c est égal à 1, s sera 2, 3 ou 4, et l'octave sera 31, 43 ou 55. Si c est égal à 2, s sera 4, 5, 6, 7, 8 ou 9, et l'octave 62, 74, 86, 98, 110 ou 122. Si c est égal à 3, s sera 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 ou 14, et l'octave 81, 93 105, 117, 129, 141, 153, 165, 177 ou 189, et ainsi de suite; où il faut remarquer que lorsque s est multiple de c, le Systême retombe dans l'un des premiers qui suppose c égal à 1. Si l'on supposoit c égal à zero et s égal à 1, l'octave seroit 12, c'est à dire qu'elle seroit divisée en 12 semi-tons moyens.

III.

Table des Systêmes temperés comparés au Systême Diatonique juste.

Les Systêmes temperés se réduisent à ceux qui supposent c = 1, s = 2, 3, 4, et l'octave divisée en 31, 43 et 55 parties; parceque les nombres qui marquent les parties de l'octave deviendroient trop grands si l'on supposoit c = 2, 3, 4, 5, et cetera ce qui est opposé à la simplicité qui doit être dans un Systême. Nous y ajoûterons neantmoins le Systême qui suppose c = 0, et qui divise l'octave en 12 semi-tons égaux, parce qu'étant fort simple il a eu ses partisans.

Nous appellerons ces Systêmes, Systêmes des semi-tons moyens, des 31 parties, des 43 merides, et des 55 comma; et afin de faire le choix du plus parfait, nous commencerons par comparer les intervalles temperés de chacun de ces Systêmes à ceux du Systême Diatonique juste, ce que nous ferons par le moyen de la Table suivante.

* [* Voyez la Table suivante. in marg.] Cette Table contient plusieurs colomnes. Dons la I. sont les noms des Intervalles Diatoniques, dont les consonances sont en capitales, et les dissonances en romaines [-211-] Nous y avons ajoûté les caracteres qui les désignent, sçavoir les chiffres Arabes 2, 3, 4, 5, 6, 7, qui marquent les intervalles mineurs, et les chiffres Romains II, III, IV, V, VI, VII, qui marquent les intervalles majeurs: de plus nous appellons les secondes, les tierces et les quartes petits intervalles, et les quintes, les sixtes et les septiémes grands intervalles. Nous mettons le triton au rang de la quarte majeure, et la fausse quinte au rang de la quinte mineure, à cause de l'analogie qu'elles ont avec les intervalles majeurs et mineurs.

La II. colomne contient les élemens des intervalles du Systême Diatonique juste, dans lesquels S signifie le semiton majeure, t le ton mineur, et T le ton majeur: les autres intervalles sont composez de l'assemblage de ces 3 élemens.

La III. colomne contient les intervalles du Systême Diatonique juste exprimés en logarithmes, dans lesquels connoissant les logarithmes de S, t, T, on connoîtra les logarithmes des autres intervalles, en prenant les sommes de ces logarithmes en la place des élemens marqués dans la II. colomne.

La IV. contient les élemens des Systêmes temperés qu'on trouve aisément par ceux de la colomne II, en mettant s c en la place de S, et 25 c en la place de T et de t.

La V. colomne contient le Systême temperé des 12 semi-tons moyens, qui suppose c = 0 et s = 1, et par consequent l'octave 12s divisée en 12 parties égales qu'on appelle semi-tons moyens.

Cette colomne, aussi-bien que les 3 suivantes, est subdivisée en 3 autres colomnes, dont la premiere marque les parties qui composent chaque intervalle de ce Systême, en supposant s = 1 et c = 0 de la colomne IV. La seconde contient l'octave 301.0300, et 1 douzieme partie 25.0858 de l'octave multipliée par les nombres de la premiere colomne. La troisiéme contient les differences des intervalles de ce Systême temperé avec ceux du Systême juste de la III. colomne. Dans ces differences le signe -

[-212-] [Sauveur, Methode, 212; text: Table pour comparer les Systêmes temperés, I. II. III. IV. V. VI. VII. VIII. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, T, t, S, s, Petits intervalles. Grands, OCTAVE, Seconde mineure, majeure ou Ton, TIERCE, QUARTE, Triton, Fausse quinte, SIXTE, septiéme, Elemens du Systême juste. comma, Systême Diatonique juste en logarithmes. Systême temperé des 12 semi tons moyens. c = 0. s = 1. Differences. 301.0300, 5.3950, 28.0287, 45.7575, 51.1525, 79.1812, 96,9100, 124.9387, 148.0625, 152.9675, 176.0913, 204.1200, 221.8488, 249.8775, 255.2725, 273.0013, 301.0300, 0.0000, 25.0858, -2.9425, 4.4142, 50.1717, -0.9808, 75.2575, -3.9237, 100.3433, 3,4333, 125.4292, 0.4905, 150.5150, 2.4525, 175.6008, -0.4905, 200.6867, 3.4333, 225.7725, 3.9237, 250.8583, 0.9808, -4.4142, 275.9442, 2.9429] [SAUMET 01GF]

[-213-] [Sauveur, Methode, 213; text: avec le Systême juste. VI. VII. VIII. Systême temperé des 31 parties. des 43 metides, ou des 301 eptamerides. des 55 comma. c = 1. s = 2, Differences. Merides. 1, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 16, 18, 21, 22, 23, 25, 26, 27, 28, 31, 32, 36, 37, 39, 41, 43, 46, 50, 55, 301.0300, 0.0000, 9.7106, 4.3156, 29.1319, 1.1032, 48.5532, 2.7957, -2.5993, 77.6852, 1.4960, 97.1064, 0.1964, 126.2382, 1.2997, 145.6597, 2.4028, 155.3703, 2.4028, 174.7916, -2.2997, 203.9236, -0.1964, 223.3448, 1.4960, 2.5993, 252.4768, -2.7957, 271.8981 -1.1032, 301.0000, 0.0300, 7.0000, 1.6050, 28.0000, -0.0287, 49.0000, 3.2425, -21525, 77.0000, -2.1812, 98.0000, 1.0900, 126.0000, 1.0613, 147.0000, -10625, 154.0000, 1.0325, 175.0000, 1.0913, 203.0000, -1.1200, 224.0000, 2.1512, 252.0000, 2.1225, -3.2725, 273.0000, -0.0013, 5.4733, 0.0783, 27.3664, 0.6623, 49.2595, 3.5020, 1.8931, 76.6258, 2.5554, 98.5188, 1.6088, 125.8855, 0.9466, 147.7784, -0.2841, 153.2516, 0.2841, 175.1447, 0.9466, 202.5112, 1.6088, 224.4042, 2.5554, 1.8930, 251.7705, 3.5020, 273.6636, 0.6623] [SAUMET 02GF]

[-214-] marque que les intervalles de ce Systême sont plus petits que ceux du Systême juste.

Ce Systême a son usage chés les Joüeurs d'Instrumens les moins habiles, à cause de sa simplicité et de sa facilité, pouvant transposer les notes ut, re, mi, fa, sol, la, si, sur telle touche qu'ils veulent, sans aucun changement dans les intervalles: mais les differences des intervalles de ce Systême avec ceux du Systême Diatonique juste étant trop grandes, les habiles Joüeurs d'Instrumens l'ont rejetté.

La VI. colomne marque le Systême temperé des 31 parties en supposant c = 1 et s = 2: elle est subdivisée en 3 colomnes comme la précedente.

Monsieur Hugens apres avoir trouvé exactement les intervalles de ce Systême dans son Cycle harmonique * [* Hist des Ouvrag. des Sçavans. Oct. 1691. art. X. in marg.], en montre l'excellence contre l'injuste arrest prononcé par le Père Mersenne, et auparavant par Salinas qui ne connoissoit point l'Auteur de ce Systême. Il fait remarquer la simplicité que ce Systême apporte à la theorie des tons, et le peu de difference qu'il a avec le Systême temperé, dont tous se servent, et qui est rapporté par Zarlin, qui suppose la tierce majeure et la sixte mineure justes, mais les autres intervalles augmentés ou diminués d'un quart de comma. Nous avons crû qu'il étoit plus à propos de comparer immediatement les intervalles des Systêmes temperés à ceux du Systême juste qu'à un autre temperé, puisque le juste est la regle des autres.

La VII. colomne marque nôtre Systême temperé des 43 merides ou des 301 Eptamerides, qui suppose l'octave 12s + 7c = 301.0000, c = 1 et s = 3, ou bien c = 7 et s = 21.

Quoique ce Systême se déduise de la formule précedente en diminuant le logarithme de l'octave de 300, il doit neanmoins son origine à un autre principe. Jay trouvé que le semi-ton majeur diminué de 287 se réduisoit à 28.0000, et que 301.0000 et 28.0000 étoient divisibles par 7: ôtant de l'octave les 2 semitons majeurs 56.0000, il restoit 245.0000 pour la valeur des 5 tons, dont chacun étoit par consequent 49.0000 qui est encore divisible par [-215-] 7. Divisant donc ces nombres par 7, et retranchant les 4. zeros, l'octave s'est trouvé divisée en 43 parties égales, que j'ay appellé Merides, dont chacune est subdivisée naturellement eu 7. parties, que j'ay appellé Eptamerides, qui suffisent pour la pratique: mais en faveur de ceux qui aiment la theorie, j'ay encore subdivisé ces Eptamerides en 10 Decamerides.

La VIII. colomne contient le Systême temperé de 55 comma, qui est celui dont les Musiciens ordinaires se servent. Dans ce Systême c est égal à 1 et s égal à 4. On appelle comma les parties 5.4733 dans lesquelles l'octave est divisée, parcequ'elles ne different du veritable comma 5.3950 que de 783 qui n'en est que 1/69.

Je n'ay point mis les Systêmes temperés de 19 ni de 67 parties, parceque tous deux faisant c égal à 1, le premier suppose s égal à 1 qui est au dessous de 1 2/3, et le second suppose s égal à 5 qui est au-dessus de 4 2/3. Nous avons montré cy-dessus que les valeurs de s ne devoient point passer ces deux termes.

Je ne parle point aussi du Systême temperé raporté par Zarlin qui est aussi décrit dans la Lettre de Monsieur Hugens, parcequ'il ne suppose point l'octave divisée en parties égales pour en donner un certain nombre à chaque intervalle, et marquer par-là les raports de ces intervalles entre eux et à l'octave.

Pour déterminer ce que l'on doit penser de la justesse de chaque Systême temperé, il faut jetter les yeux sur les differences marquées dans les troisiémes colomnes de chaque Systême temperé, dans lesquelles le signe - marque les differences défaillantes, ce q i arrive lorsque l'intervalle temperé est plus petit que le juste de la colomne III, et les differences qui n'ont point de signes sont excedantes, ce qui arrive lorsque l'intervalle temperé est plus grand que le juste.

L'on sçait que les logarithmes dont nous nous servons ne sont pas absolument justes, parcequ'ils sont presque tous incommensurables; mais que plus le nombre des [-216-] chiffres est grand moins l'erreur est grande, et que cet erreur ne monte pas à la moitié de l'unité du dernier chiffre, parceque si les chiffres qu'on retranche sont plus petits que la moitié de cette unité, on les neglige, et que s'ils sont plus grands, on augmente le derniet chiffre de 1.

Pour juger des erreurs qui viennent de la part des logarithmes, ou des differences marquées dans les troisiémes colomnes de chaque Systême, il faut les comparer à quelque chose de connu par les Musiciens, sçavoir Premier. A nos Eptamerides, parcequ'elles commencent à être connuës dans les monochordes que l'on fait. Ces Eptamerides sont presque la cinquiéme partie du comma. Deuxiéme. Au comma 5.3950 qui est la difference du ton mineur au ton majeur. Troisiéme. A l'octave 301.0300 qui est l'intervalle le plus connu. Quatriéme. Aux vibrations que font les sons dont nous examinons l'intervalle.

I. Si l'on se sert, comme nous avons fait, de tous les 7 chiffres marquez dans les logarithmes des petites Tables de Viacq, l'erreur qui n'est au plus que de 1/2 de l'unité du dernier chiffre, est moindre que 1/20000 de nos Eptamerides, que 1/207900 d'un comma, que 1/6020600 d'une octave, ou enfin qu'une vibration sur 8685800, ce qui n'est absolument d'aucune consequence.

Si l'on retranche les 3 derniers chiffres de ces logarithmes, l'erreur dans les autres qui forment nos Décamerides n'est au plus que 1/20 d'une Eptameride, 1/108 d'un comma, 1/6024 de l'octave, et 1 vibration sur 8685.

Enfin si l'on retranche les 4 derniers chiffres comme nous avons fait pour en former nos Eptamerides, l'erreur ne sera au plus que 1/2 Eptameride, ou 1/11 d'un comma, ou 1/602 d'une octave, ou 1 sur 870 vibrations: ce degré de précision suffit pour la pratique.

II. Il est aisé de juger de la difference des intervalles temperés aux intervalles justes par les Eptamerides, parceque nous les avons marquées dans les troisiémes colomnes de chaque Systême par le chffre qui est devant le point: ceux qui sont aprés le point marquent une partie [-217-] d'une Eptameride divisée en 10000. C'est ainsi que nous voyons que la quinte du Systême de 31 est trop foible d'une Eptameride et 997/10000 ou 3/10 de plus, cette comparaison des differences aux Eptamerides est la plus simple.

Si l'on veut sçavoir quelle partie du comma est une difference, il faut diviser le comma 5.3950 par cette difference; ainsi l'on voit que la précedente difference 1.2997. est 4 fois dans le comma où est 1/4 du comma.

De même si l'on divise l'octave 301.0300 par cette difference 1.2997, l'on trouvera que cette difference sera 1/232 de l'octave.

Enfin si l'on divise 4343000 vibrations par la même difference 1.2997, l'on trouvera que la difference sera de 1 vibration sur 334 vibrations que doit faire l'un des sons qui forment l'intervalle.

III. Si l'on compare les grands intervalles de tous les Systêmes aux petits, l'on trouvera, Premier. Que la somme des 2 intervalles également éloignes des extrêmes fait l'octave 301.0300, (ou 301.0000 dans la VII colomne), parcequ'ils sont complémens l'un de l'autre à l'octave.

Deuxiéme. Qu'un intervalle et son complément ont la même difference, excepté que dans l'un elle est excedante, et dans l'autre elle est défaillante: néanmoins celles de la VII colomne ne sont pas tout à fait les mêmes, leur somme ou leur difference étant 300, qu'on peut negliger parceque 300 n'est que 1/33 d'une Eptameride.

Troisiéme. La seconde majeure étant double dans la III colomne, sa difference à celle des autres colomnes sera double, et la somme de ces differences sera le comma 5.3950. La même chose arrivera à la septiéme mineure qui est son complément.

On voit par-là que pour trouver le Systême temperé le plus exact, il suffit d'examiner les petits intervalles, puisque les grands ont les mêmes differences.

IV. Si l'on compare le même intervalle dans tous les Systêmes temperés, pourvû que l'on en ôte le Systême de 12 de la colomne V, l'on fera les remarques suivantes [-218-] sur les autres Systêmes de 31, de 43 et de 55.

Premier. Que l'intervale est le plus petit dans l'un des Systêmes extrêmes, et le plus grand dans l'autre, et que le Systême 43 tient le milieu; ainsi la quarte est la plus petite dans le Systême 55, et la plus grande dans le Systême 31.

Deuxiéme. Cette analogie se trouvera de même dans tous les Systêmes temperés possibles. Supposons, par exemple, c égal à 3. Premier. Si s est égal à 6, 9, 12 multiples de 3, ces systêmes seront, comme nous avons dit, les mêmes que les trois Systêmes précedens de 31, de 43 et de 55, qui supposent c égal à 1 et s égal à 2, 3, 4, et par consequent les differences seront aussi les mêmes. Deuxiéme. Si s est 25, 26 ou tout autre nombre entre 24 et 36, ou entre 36 et 48, les differences de ces nouveaux Systêmes iront en augmentant ou en diminuant par ordre entre les differences qui sont dans les Systêmes de 31, de 43 et de 55. Troisiéme. Enfin si s est 5 qui est au-dessous de 6, ou 13, 14 qui sont au-dessus de 12, les differences suivront la même analogie, c'est-à-dire, elles continuëront d'augmenter ou de diminuer à proportion de ce que s s'éloignera des extrêmes 6 et 12.

Troisiéme. Les differences sont défaillantes dans le triton et la tierce mineure, et excedantes dans la quarte et la tierce majeure. A l'égard de la seconde mineure elle est défaillante dans les Systêmes de 55 et de 43, et excedante dans le Systême de 31. La seconde majeure a une difference excedante, et l'autre défaillante. Le contraire arrive dans les differences des grands intervalles.

Quatriéme. Les differences les plus petites sont aux quartes et aux quintes dans le Systême de 55, aux tierces et aux sixtes dans le Systême de 31, et à la seconde mineure et septiéme majeure dans le Systême de 43.

IV.

Du choix du Systême tempere.

I. Nous avons trouvé que les termes de la valeur de s [-219-] étoient entre 1 2/3 et 4, 2/3 ainsi nous rejettons les Systêmes temperés dont le raport de c à s est au-dessous de 1 à 1 2/3, et au-dessus de 1 à 4, 2/3 et nous n'admettons que ceux dont le raport est de 3 à quelque nombre entre 5 et 14.

L'on voit par-là que le Systême des 12 semi-tons moyens doit être rejetté, d'autant plus que les differences des tierces et des sixtes sont environ les 2/3 d'un comma.

II. Un Systême temperé doit être simple, et pour cela il doit diviser l'octave dans un petit nombre de parties, en rendant les differences des intervalles temperés à ceux qui sont justes, les moindres qu'il est possible. C'est pourquoy il faut prendre l'un des Systêmes qui supposent c égal à 1, et s égal à 2, 3, 4, c'est-à-dire l'un des Systêmes de 31, de 43 et de 55, et rejetter ceux qui supposent c égal à 2, 3, 4, 5, et cetera.

III. L'usage montre dans la Musique que des consonances temperées ou également alterées ne choquent pas tant l'oreille que des consonances plus alterées mêlées avec d'autres plus justes, et c'est en cela que le Systême juste devient insupportable par les consonances alterées d'un comma mêlées avec les autres qui sont justes. C'est-pourquoy le Systême de 43 qui tient un milieu entre les deux autres de 31 et de 55 leur est préferable; car dans ce Systême de 43 la tierce majeure, les quartes, les quintes et la sixte mineure ont pour difference 1 Eptameride assez précise, n'ayant pas 1/2 d'Eptameride de plus.

La tierce mineure et la sixte majeure ont à la verité 2 1/6 d'Eptameride de difference: mais l'experience montre qu'une grande difference est plus supportable dans les consonances, dont le rapport est exprimé par de grands nombres, comme dans la tierce mineure qui est de 5 à 6, que dans les intervalles dont les rapports sont exprimés par de petits nombres, comme dans la quinte qui est de 2 à 3.

IV. Pour confirmer le choix que nous faisons du Systême des 43 merides, nous apporterons les raisons suivantes.

[-220-] 1. En ôtant 300 de l'octave 301.0300, on réduit notre Systême à des nombres si simples qu'on en peut retrancher les 4 derniers zeros, et le reste donne justement nos Eptamerides.

Ces 300 que nous retranchons de l'octave sont de nulle consequence; car ils ne sont que 1/33. d'une Eptameride, ou 1/<..>0 d'un comma qui n'est nullement sensible.

2. Ces Eptamerides qui se trouvent divisibles par 7, nous donnent nos Merides; de sorte que cet avantage nous donne des parties qui se divisent. naturellement en d'autres parties, ce qui ne se rencontre point dans les autres Systêmes.

3. Nos Merides multipliées par 7 forment nos Eptamerides, qui sont des logarithmes avec lesquels on trouve tout d'un coup dans les Tables ordinaires le nombre des vibrations du son le plus aigu des deux qui forment l'intervalle marqué par ces Eptamerides, en supposant que le plus grave en fasse 10000, et que les logarithmes ayent 4 pour figurative; ainsi la quinte étant de 25 Merides ou de l75 Eptamerides, on trouvera dans les grandes Tables de Vlacq, ou par les petites Tables, que 4.l750000 est le logarithme du nombre des 14963 vibrations du son aigu, et par consequent que le raport de deux sons qui font une quinte temperée ont leurs vibrations dans le raport de 10000 à 14963.

Le même avantage arrive lorsqu'on joint les Décamerides aux Eptamerides.

Dans les autres Systêmes il faut faire plusieurs operations pour trouver ce raport, par exemple, dans le Systême de 31, la quinte étant de 18 parties, il faut faire cette analogie comme 31 est à 18; ainsi 3010300 est à 1747916 et 4.1747916 est le logarithme de 14955, ce qui demande une multiplication et une division.

4. Nos Eptamerides sont telles qu'en ajoûtant 1 ou 2 à nos Merides, on restituë l'intervalle juste avec une précision telle que l'erreur n'est pas de 1/6 d'Eptameride, ou de 1/30 d'un comma, ou d'une vibration sur 2590; ainsi ajoûtant une Eptameride à la quinte qui est de 25 Merides, [-221-] elle devient juste. Cette précision sera dix fois plus grande si on y ajoûte nos décamerides.

Monsieur Hugens n'a point eu en vûë de donner cet avantage au Systême des 31 parties, et il ne s'y trouve pas si naturellement, non plus qu'au Systême des 55 comma.

5. Le temperament de notre Systême paroît plus naturel que celui des deux autres, en ce que l'octave et le semi-ton majeur ne causant point l'inconvenient qui se trouve dans le Systême juste, mais seulement les tons majeurs et mineurs, nous n'alterons point sensiblement l'octave et le semi-ton, et nous prenons un milieu arithmetique entre les 3 tons majeurs et les 2 mineurs.

Nous concluons donc que le Systême des 43 Merides est le plus parfait et le seul qu'on doit retenir pour profiter de tous les avantages qu'on peut tirer des Systêmes temperés dans la Musique et même dans toute l'Acoustique; ce que nous avons amplement expliqué dans les Mémoires de l'Academie des Sciences des années 1701 et 1702.

Nous croïons devoir ajoûter que le jugement de l'Auteur du Supplément du Journal des Sçavans du dernier Mars 1707 est porté trop legerement, lorsqu'il dit: Que le Systême de Monsieur Sauveur pour la division du Monochorde, n'est proprement qu'une extension de celui de Monsieur Hugens, qu'il a intitulé Cycle Harmonique. Pourquoy l'appelle-t-il Systême de Monsieur Hugens? qui le reconnoît être d'un autre; et en tout cas pourquoy le Systême de 43 est-il une extension ou une imitation de celui de 31 plutôt que l'un et l'autre de celui de 55? Il devroit plutôt dire que ces trois Systêmes sont des extensions où des conclusions de la formule 12s + 7c à laquelle Monsieur Hugens n'a peut-être pas pensé, et je puis dire comme lui, qu'on pourra me croire, qu'en imaginant mon Systême je ne pensois point à celui qu'on attribuë à Monsieur Hugens. L'Auteur du Journal ajoûte, qu'à la verité Monsieur Hugens n'a divisé l'octave qu'en 31 intervalles égaux .... et Monsieur Sauveur l'a divisé en 40, [il faut écrire 43] parties qu'il appelle Merides, mais cette difference est infiniment legere. On peut dire avec même raison que la [-222-] difference du Systême de Monsieur Hugens à celui des 55 comma est aussi infiniment legere, et cet Auteur sembleroit insinuer par là que la naissance du Systême de 43 n'est l'effet que du caprice ou d'un esprit qui veut se singulariser, et qu'on peut se servir indifferemment de tous ces Systêmes: L'on voit par les raisons que j'ai apportées ce que l'on doit penser là-dessus. On ne sçauroit trop souhaiter que ceux qui font profession de parler des Ouvrages d'autrui gardent la plus exacte moderation dans le jugement qu'ils en portent, pour ne pas priver le public de tous les avantages qu'il peut tirer des découvertes qui se font dans les Sciences.

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