TFM - TRAITÉS FRANÇAIS SUR LA MUSIQUE
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Fn and Ft: SAUTAB TEXT
Author: Sauveur, Joseph
Title: Table générale des sistemes temperés de musique
Source: Histoire de l'Academie Royale des Sciences. Année M.DCCXI. Avec les Mémoires de Mathématique et de Pyhsique pour la même Année. Tirés des Registres de cette Académie. (Paris: L'Imprimerie Royale, 1730; reprint ed. in Joseph Sauveur, Collected Writings on Musical Acoustics (Paris 1700-1713) ed. Rudolph Rasch, Utrecht: Diapason Press, 1984), 307-315.
Graphics: SAUTAB 01GF
[-307-] TABLE GÉNÉRALE des SISTEMES TEMPERÉS DE MUSIQUE.
Par Monsieur Sauveur.
[1 in marg.] LE consentement unanime que les Géometres et les Astronomes ont donné à la division du cercle en 360 degrés, et de chaque degré en 60 minutes, de même qu'aux divisions du sinus total en 10000000. parties, nous marque la necessité qu'il y a de convenir dans l'Acoustique d'une division des intervalles des sons qui soit reçûë par tous les Mathématiciens, afin que l'on puisse parler un langage qui soit uniforme: ce qui est ici absolument necessaire pour l'avancement de cette science.
[2 in marg.] Dans les Mémoires de l'Académie en 1701. j'ai établi la division de l'octave en 43 merides, celle des merides en 7 eptamérides, et celle des eptamérides en 10 décamérides: j'ai même donné des noms à tous ces intervalles; ensuite j'en ai fait l'application à tous les systemes et à tous les instrumens de Musique. J'ai fait voir depuis dans les Mémoires de 1707 que le systeme de 43, devoit être préféré à ceux de 55 de 31, et de 12, qui sont les plus connus. [-308-] Voici un nouveau systeme de 50, qui vient de paroître dans une Lettre écrite à Anspach le 17 Avril 1708; et insérée dans le premier Memoire de l'Academie de Berlin, intitulé Miscellanea Berolinensia anno 1710. à la section XXVIII, laquelle est divisée en 45 paragraphes. [paragraphe]
Monsieur Henfling, Auteur de ce systeme, tâche de l'établir par des principes appuyés de démonstrations algébriques, d'un grand fonds d'érudition et d'une grande pratique qu'il nous marque avoir dans les instrumens de Musique. J'ai suivi pied à pied les principes de ce sçavant homme, et j'ai trouvé qu'ils se réduisoient à ceux-ci.
[3 in marg.] 1. Par des additions et soustractions reciproques de l'octave, de la quinte et de la tierce majeure, il forme tous les intervalles diatoniques, mais la plûpart plus grands ou bien plus petits d'un comma que les intervalles justes; [Miscell. Berolin. an. 1710. sect. XXVIII. [paragraphe] 3. 5. 6. in marg.] et il décide qu'un systeme legitime de Musique doit avoir son intervalle temperé entre l'intervalle juste et celui qu'il a trouvé différent d'un comma.
[4 in marg.] Je trouve dans ce principe deux défauts: le premier est qu'il met un terme trop grand pour un intervalle temperé d'être entre l'intervalle juste et celui qui en différe d'un comma; puisqu'un systeme seroit très défectueux, si un de ses intervalles temperés s'éloignoit du juste, même d'un demicomma. Ce qui est aisé de connoître par la Table générale que je donne ci-après.
[5 in marg.] Le second défaut est qu'ayant reglé, par exemple, la seconde mineure juste et un autre excédente d'un comma, il veut que la temperée soit entre la juste et l'excédente; pourquoi ne pourra-t-elle pas être au-dessous de la juste dans les mêmes bornes d'un comma, puisqu'un intervalle temperé peut autant s'approcher du juste d'un côté que de l'autre?
[6 in marg.] 2. Monsieur Henfling établit ensuite son systeme de 50 par cette méthode [[paragraphe] 21. in marg.], du ton mineur que j'exprimerai par t, et qui contient 458 décamerides: il ôte le semi-ton majeur qu'on appelle diatonum, que j'exprimerai par s. et qui contient 280 décamerides, le reste sera t - s, 178, qui est le semi-ton [-309-] mineur, qu'on appelle Chroma; du semiton majeur ôtant le semi-ton mineur, il restera 2 s - t, 102. appellé harmonie; du Chroma ôtant l'harmonie, il restera 2 t - 3 s 76. qu'il appelle hyperoche; de l'harmonie ôtant l'hyperoche, il restera son eschatum 5 s - 3 t, 26. ôtant l'eschatum de l'hyperoche, il restera enfin 5 t - 8 s, 50. [[paragraphe] 25. 26. 27. 29. in marg.] Ensuite il suppose 5 t = 8 s ou t.s::8. 5. desorte que supposant le ton t de 8 parties, le semi-ton majeur s sera de 5, et l'octave 5 t. + 2 s sera de 50. parties qu'il prend pour son systeme. En se servant des soustractions précédentes par l'eschatum 3 s - 2 t, il conclud de même le systeme de 31, et par l'hyperocha 2 t - 3 s il conclud le systeme de 19; et enfin par l'harmonie 2s - t il conclud le systeme de 12; et comme le systeme de 43 ne se rencontre point dans la suite de ses opérations, il ne le croit pas legitime.
[7 in marg.] J'ai aussi deux choses à répondre à sa maniére de former des systemes de Musique: la premiere est qu'il auroit été plus raisonnable d'ôter le diatonum s, 280. du ton majeur T, 511. que du ton mineur t, 458, puisque dans l'octave il y a 3 tons majeurs, et qu'il n'y a que deux tons mineurs, et alors il auroit conclud les systemes de 12, 19, 31, 43, 55 et 67, mais il n'auroit pas rencontré celui de 50: La seconde est qu'il ne faut suivre ni l'une ni l'autre de ces deux méthodes, mais une qui soit moyenne entre les deux, puisque le ton tempéré doit être moyen entre le mineur et le majeur.
[8 in marg.] Pour n'être pas obligé de répondre plus au long à Monsieur Henfling * [* [paragraphe] 32. in marg.] ni en particulier à chacun de ceux qui pouroient proposer de nouveaux systemes, je donne la Table suivante qui renferme tous les systemes temperés de Musique; je marque les intervalles temperés de chacun de ces systemes et leurs différences aux intervalles justes, afin qu'on puisse les comparer les uns aux autres, et sentir plus nettement les raisons que j'ai eû de choisir le systeme de 43.
[9 in marg.] Cette Table contient XV colomnes. On a marqué par les titres les intervalles diatoniques de chaque colomne, et [-310-] on a exprimé par lettres ces mêmes intervalles, afin de montrer les opérations qu'il faut faire pour former les intervalles temperés de chaque systeme.
La colomne V contient dans le titre le demi-ton majeur s, et la colomne VI le ton moyen t, la colomne IV contient le demi-ton mineur t - s, la III leur différence 2 s - t. Dans la I et la II sont les mêmes itervalles que dans la III et IV.
[10 in marg.] Dans la VII colomne est l'octave 5 t + 2 s. Dans la VIII est une des parties dans lesquelles est divisée l'octave exprimée par le logarithme 3010, 300. Les lettres des IX, X, XI, colomnes sont les mêmes que celles des II, V VI. Les lettres des XII, XIII, XIV, XV col. sont prises dans la II colomne de la Table qui est dans les Mémoires de 1707 en mettant t au lieu de T. Les intervalles justes en décamérides, qui sont à côté de ces lettres, sont pris dans la III colomne de la même Table, en retranchant les trois derniers chiffres des logarithmes. A l'égard de la seconde majeure ou du ton moyen t, 490. nous avons pris 3 T + 2 t ou 1435 + 915 = 2450. qui sont renfermés dans l'octave: en divisant leur somme 2450 par 5, nous avons eû le ton moyen 490, qui doit être pris pour le ton juste, aussi-bien que t - s, 210. dans la IX colomne pour le semi-ton mineur juste.
[11 in marg.] Dans la I colomne nous avons fait 2 s - t de 60 parties, et dans la II colomne nous avons mis les multiples de 60 de 30 et de 15, qui sont compris entre 105 et 285 qui font à peu près avec 60 les rapports de 1 à 1 31/43 et de 1 à 4 5/7 que nous avons marqués dans les Mémoires de 1707. Mais nous avons ajoûté au de-là de ces bornes 90 et 60 vers le haut, et 300 avec l'infini vers le bas; et ensuite dans les deux colomnes I et II - 60, 291, et - 60, 120, afin d'avoir les systemes 19, 50, 67, 12, 53, 17, qui ont leurs partisans.
[12 in marg.] Les nombres de la III et IV colomne sont les mêmes que ceux de la I et II divisés par 60, ou par 30, ou par [-311-] 15. et ces nombres seront les valeurs de 2 s - t et de t - s dont nous nous servirons dans chaque systeme temperé.
En ajoûtant ensemble les nombres de la III et IV colomne, l'on aura les nombres s de la V en ajoûtant de même ceux de la IV et V l'on aura t de la VI colomne.
[13 in marg.] Prenant dans les deux colomnes V et VI les valeurs 5 t + 2 s, l'on aura les nombres de la VII. colomne qui marquent le nombre de parties dans lesquelles les octaves de chaque systeme sont divisées: et c'est par ces nombres de la VII. colomne que nous désignerons les systemes tempérés, ainsi 31 marquera le systeme de 31 que Monsieur Hughens a adopté, et dans la ligne de ce nombre 31 on trouvera tous les intervalles et toutes les propriétés de ce systeme.
[14 in marg.] Dans la VIII colomne, si l'on divise le logarithme 3010. 300 de l'octave par les nombres de la VII. colomne, l'on aura la valeur d'une partie de chaque systeme en décamérides et en milliémes parties de décaméride, ainsi divisant 3010, 300 par 31, l'on aura 97 106/1000 décamérides, pour une des 31 parties du systeme de Monsieur Hughens.
[15 in marg.] Les colomnes suivantes qui marquent les petits intervalles du systeme diatonique, sont subdivisées chacune en trois petites colomnes. Dans la premiére sont les valeurs des lettres qui sont marquées au titre, et qui sont prises dans les colomnes V et VI; ainsi dans la IX colomne l'on a t - s, dont les valeurs pour le systeme de 31. sont dans les colomnes VI et V, 5 - 3 = 2 qu'il faut placer dans la IX colomne. Pour avoir les nombres de la moyenne petite colomne, multipliés ceux de la VIII par ceux que vous venés de mettre dans la premiére petite colomne, et retranchés les milliémes: ainsi dans le systeme de 31 multipliant 97, 106 par 2, l'on aura 194, 212, ou simplement 194 décamérides. Enfin, ôtant 210 (qui est au titre de la IX colomne) de chaque nombre de la moyenne petite colomne, l'on aura les différences qui sont dans la III petite colomne: ainsi dans le systeme de 31, l'on aura 194 - 210 = - 16 qui marque que le semi-ton mineur de ce systeme est plus petit [-312-] de 16 décamérides que le semi-ton mineur juste 210.
Ce que nous venons de faire pour le systeme de 31, se doit pratiquer pour les autres systemes; et ce que nous avons fait pour la IX colomne, se doit entendre pour les colomnes suivantes.
[16 in marg.] Dans cette Table l'on n'a point mis les grands intervalles qui sont la fausse quinte, la quinte, les sixtes et les septiémes, parce qu'étant les complémens des petits intervalles à l'octave, en ôtant de l'octave un petit intervalle; par exemple, la tierce mineure temperée, l'on aura son complément qui est la sixte majeure temperée, et sa différence à la sixte majeure juste est la même que celle de la rierce mineure temperée à la tierce mineure juste avec un signe de + ou de - contraire.
[17 in marg.] Dans la même Table l'on auroit pû ajoûter à la colomne II. les multiples de 12, de 10, de 6, de 5, de 4, de 3 et de 2, et d'une infinité d'autres en fraction: mais Premier. ces multiples auroient donnés des nombres dans la VII. colomne qui auroient été trop grands pour servir de systême, aussi-bien que ceux de cette Table qui ont été formés par les multiples de 20 et de 15 qui seront exclus du nombre des systemes par cette même raison. Deuxiéme. Les nouveaux systemes se trouvant placés parmi les systemes de la Table, leurs différences des troisiémes petites colomnes auroient suivi le même ordre de diminution que ceux qui sont dans la Table, dont ils n'auroient pas été éloignés ordinairement d'une décaméride, ou au plus de 2 ou 3, ce qui est absolument insensible, d'où il suit que ces nouveaux systemes auroient été embarassans et inutiles.
[18 in marg.] Enfin je n'ai point mis les intervalles diminués et minimes, ni les superflus et maximes; parce que dans l'usage de ces intervalles alterés qui est rare, l'intention des compositeurs étant de rendre leur Musique plus piquante, ou plus triste, le goût des différentes Nations et même de nos plus habiles compositeurs n'est pas regié sur le plus et le moins de ces sortes d'intervalles.
[19 in marg.] Nous avons exprimé les intervalles diatoniques par les décamérides, c'est-à-dire, par les logarithmes ordinaires, dont on retranche les trois derniers chiffres, parce que 1/2 décaméride [-313-] ou la 108e d'un comma est absolument insensible à l'ouïe, ainsi les 10 chiffres des logarithmes dont Messieurs Hughens et Henfling se servent sont inutiles, sept chiffres suffisent pour les calculs, et quatre pour exprimer les intervalles diatoniques.
[20 in marg.] En jettant la vûë sur les différences des intervalles temperés aux intervalles justes qui sont marqués dans les troisiémes petites colomnes des IX, X, XI, XII, XIII, XIV et XV colomnes, on remarquera Premier que les différences sont 0 dans le semiton mineur, dans la seconde mineure, et dans la majeure du systeme de 43, dans la tierce mineure du systeme 19, dans la tierce majeure du systeme 112 ou environ, dans la quarte du systeme 17, et enfin dans le triton du systeme 189, de sorte qu'il n'y a aucun systeme temperé qui ait tous ses intervalles égaux à ceux du systeme diatonique juste.
[21 in marg.] Deuxiéme. On remarquera aussi qu'au dessus et au dessous de 0 les différences augmentent à mesure qu'elles s'en éloignent, et qu'elles sont positives d'un côté et négatives de l'autre; c'est-à-dire, que les intervalles tempérés sont plus grands d'un côté que l'intervalle juste et plus petits de l'autre. De sorte que les intervalles tempérés ont leurs différences d'autant plus grandes, qu'elles sont plus éloignées de la différence 0 ou 1.
[22 in marg.] Après ces remarques, l'on conçoit que le systeme tempéré le plus parfait est celui qui ayant son octave divisée en peu de parties, a ses différences les moindres et les moins inégales.
[23 in marg.] Pour faire choix du systeme tempéré le plus parfait, on doit exclure d'un côté les systemes 19 et 50, et de l'autre les systemes 67, 12, 17 et 53; car outre qu'ils sont hors des bornes que nous avons prescrites * [Article 11. in marg.], les différences de leurs intervalles sont trop inégales, quelques-unes étant plus grandes qu'un demi-comma, et le systeme de 67 dont les différences sont les moindres, est exprimé par un trop grand nombre.
[24 in marg.] Les systemes qui sont formés par les nombres de la quatriéme colomne plus grands que 4 doivent être exclus, parce que leurs octaves sont exprimées dans la septiéme colomne par des nombres trop grands, de sorte qu'il ne reste plus qu'à prendre son parti sur les systemes 31, 43 et 55.
[-314-] [25 in marg.] Le systeme de 55 qui est celui des Musiciens ordinaires doit être exclus, parce qu'il est exprimé par un grand nombre, et que ses tierces ont des différences fort grandes.
[26 in marg.] Il est vrai que le systeme de 31 est exprimé par le plus petit nombre: mais je préfére le systeme de 43, parce que Premier il garde la seconde mineure s des intervalles justes du systeme diatonique.
[27 in marg.] Deuxiéme. Il garde aussi la seconde majeure et le semi-ton mineur dans les milieux arithmétiques entre les justes majeurs et mineurs, comme nous avons expliqué dans l'Article 10.
[28 in marg.] Troisiéme. Les différences des autres intervalles sont égales, excepté celle de la tierce mineure qui est double: cette égalité de différence entre les intervalles tempérés et les justes, choquent moins les oreilles que les différences inégales.
[29 in marg.] Quatriéme. En divisant une partie du systeme 43 en 7 eptamérides, les différences se trouvent de 1 ou 2 eptamérides à 1 ou 2 decamérides près, ce qui est essentiel dans un systeme, et une division semblable ne se rencontre point dans le systeme 31.
[30 in marg.] Cinquiéme. Dans le systeme de 43 la quarte qui est la consonance la plus parfaite, a sa différence plus petite que dans le systeme de 31; et à l'égard des tierces dont les rapports 5/4 et 6/5 sont exprimés par des nombres plus grands que ceux de la quarte 4/3, les différences y sont moins sensibles à l'oreille que dans la quarte et dans la quinte.
[31 in marg.] Sixiéme. Le systeme de 43 est un systeme moyen entre les systemes extrémes légitimes, il est semblable au ton tempéré qui est moyen arithmétique entre les 2 mineurs et les 3 majeurs * [* Article 10. in marg.] qui sont renfermés dans l'octave.
[32 in marg.] Septiéme. La somme des différences des intervalles du systeme 43 prises toutes positivement, est la moindre de toutes les sommes des différences des autres systemes.
[33 in marg.] Huitiéme. Les eptamérides et les decamérides du systeme 43, sont les logarithmes ordinaires des rapports des sons que forment chaque intervalle, ce qui ne se rencontre point dans les autres systemes.
[34 in marg.] Neuviéme. Les facteurs de Clavecins du Roy et de Paris, qui ont [-315-] monté l'octave de leurs Clavecins sur mon Monochorde, dont l'octave est divisée en 43 mérides, ont trouvé leur tempéramment fort juste; et j'ai divisé l'octave d'un Monochorde en 31, 45, 50 et 55 parties, mettant la corde du Monochorde à l'unisson avec un C sol ut d'un Clavecin qu'on avoit accordé très-exactement; on a ensuite placé le chevalet sous la corde, en la mettant à l'unisson avec chaque touche du Clavecin; on a trouvé que le chevalet se rencontroit toûjours sur les divisions du systeme de 43 ou à très peu près, et s'éloignoit des divisions des autres systemes, lorsqu'elles étoient fort différentes de celles du systeme 43. Je sçai qu'il y a des Facteurs qui montent leurs Clavecins avec des accords plus picquans, et par conséquent peut-être plus approchans des autres divisions. Cette variété confirme l'établissement du systeme de 43, parce que chaque partie se subdivisant en 7 eptamérides ou en 70 decamérides, et les tempérammens ou différences du systeme 43 étant égales, en ajoûtant ou ôtant quelques eptamérides ou decamérides d'un intervalle tempéré de ce systeme, l'on exprimera la quantité dont il faudra hausser ou baisser un intervalle de ce systeme pour convenir avec celui d'un Facteur, qui ne se rapporte souvent exactement avec aucun systeme tempéré.
[35 in marg.] Ces raisons me paroissent suffisantes pour déterminer les Mathématiciens à choisir les systemes de 43 mérides, dont chacune est divisée en 7 eptamérides et celles-ci en 10 decamérides. Nous avons donné des noms à tous les 3010. sons qui séparent les 3010. decamérides qui composent l'octave moyenne, et nous avons distingué les noms des autres octaves de ceux-ci, et même nous avons formé des Notes littérales, comme nous l'avons expliqué amplement dans les Mémoires de l'Académie de 1701. Tout ceci ne se peut pas faire avec la même simplicité et exactitude dans le systeme de 31 ni dans les autres.
[-316-] [Sauveur, Table Générale, 316; text: TABLE GENERALE DES SYSTÉMES TEMPERÉS DE MUSIQUE COMPARÉS AVEC LE SYSTÉME DIATONIQUE JUSTE. I. II. III. IV. V. VI. VII. VIII. IX. X. XI. XII. XIII. XIV. XV. Diff. Demi-ton mineur, majeur, Ton, Octave, I. Partie de l'Octave 3010.300. Seconde mineure. majeure. Tierce, Quarte. Triton. s, t, Decameride, infini, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 57, 58, 59, 60, 62, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 84, 87, 90, 93, 97, 98, 102, 105, 107, 112, 113, 114, 117, 120, 126, 135, 136, 140, 141, 144, 150, 153, 160, 165, 177, 180, 181, 184, 188, 189, 194, 195, 199, 200, 201, 203, 206, 207, 208, 210, 213, 215, 216, 217, 219, 220, 221, 222, 223, 225, 227, 232, 240, 251, 255, 256, 260, 270, 271, 272, 274, 275, 276, 278, 280, 282, 283, 284, 285, 287, 288, 291, 296, 300, 301, 317, 354, 475, 511, 531, 708, 738, 753, 764, 765, 766, 767, 768, 769, 770, 771, 772, 773, 774, 775, 776, 777, 780, 784, 792, 951, 963, 968, 969, 971, 974, 975, 976, 978, 980, 982, 983, 984, 985, 986, 987, 988, 1003, 1022, 1062, 1249, 1250, 1254, 1258, 1259, 1260, 1261, 1262, 1263, 1264, 1267, 1426, 1445, 1451, 1457, 1461, 1462, 1464, 1467, 1468, 1470, 1472, 1473, 1474, 1476, 1478, 1479, 1480, 1481, 1482, 1483, 1505, 1534, 1594, 11.759, 12.975, 14.473, 15.928, 16.360, 17.007, 18.814, 19.675, 21.350, 22.135, 24.675, 25.730, 26.876, 28.669, 30.717, 40.680, 44.930, 54.733, 56.798, 60.206, 70.007, 97.106, 158.437, 177.076, 250.858] [SAUTAB 01GF]
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