Back to top

[26] I.

Frutolfi

Breviarium de musica.

[3v], (1) Compendiosum de musica, 'breviarium' collecturi et quasi quamdam introductionem facturi, primum quid sit musica dicamus, ut per ejus definitionem promptiorem ad eam adducamus auditorem. 'Musica est bene modulandi scientia' per diutinam meditationem frequenti percepta experientia. Bene autem modulari est rata tonorum et intervallorum dispositione per legitimos excursus apta modulatione suaves cantus formare eosque post debitos ascensus et descensus congruo et legitimo fini aptare.

'Musicam vero naturaliter homini inesse' philosophorum testatur auctoritas qui dicunt omnes animae nostrae corporisque compagines musica coaptatione esse conjunctas et harmonicae [27] modulationis proportionibus quodammodo compositas. Hoc autem cum rationibus multis evidenter probare conentur, ex hoc vel maxime id verum opinantur quod, ut Boetius ait, nihil tam proprium esse humanitati quam dulcibus modis remitti, contrariis adstringi; et omnis sexus et aetas, infantes ac juvenes [4] nec non etiam senes ita naturaliter affectu quodam spontaneo modis musicis adjunguntur, ut nulla omnino sit aetas quae dulcibus cantilenis non delectetur in tantum ut, audita quis dulci cantilena motum quoque aliquem auditae melodiae similem corpore confingat, hincque perspicue appareat, ita nobis musicam naturaliter esse conjunctam, ut ea nec si velimus quidem carere possimus. Huic opinioni et illud opitulari videtur quod etiam saeculares cantilenae absque omni artificialis musicae scientia legitimo tonorum et intervallorum cursu dulciter proferuntur, et cum earum confictores modorum diversas proprietates et differentiarum ac intervallorum varietates, consonantiarum quoque proportiones nesciant, sola natura dictante, sic congrue eas modulantur, ut legitime currentibus nihil (1v) horum deesse videatur.

Quae cum se ita [(ita se)] habeant, satis congruum dignumque videtur, divinae laudis modulatores studiis musicae artis sedulo inhaerere magisque inhonestum judicatur et turpe, ejus rei, qua in divinis laudibus carere nequeunt, notitiam non habere; ut, quod saeculares sine arte sola natura trahente dantes ut ita dicam sine mente sonum ignoranter rite modulantur, isti per experientiam disciplinae scienter prudenterque sapiant et meditentur.

In hujusmodi vero artis disciplina monochordi notitia est valde necessaria, in cujus frequenti exercitio consonantiarum et modorum ceterorumque ad hanc artem pertinentium plene percipi potest cognitio.

Capitulum I. De inventione et ordine chordarum.

Simplicem principio fuisse musicam Boetius auctore Nicomacho refert, adeo ut quatuor nervis tota constaret, ita ut [28] primus quidem nervus et quartus diapason consonantiam resonarent, medii vero ad se invicem atque ad extremos diapente ac diatessaron; nihil vero in eis esset inconsonum ad imitationem scilicet musicae mundanae, quae dicitur ex quatuor elementis constare. Ejus quadrichordi Mercurius dicitur inventor fuisse, idque usque ad Orpheum duravisse. Quatuor vero his quintum postea nervum Choreb, Lydorum rex adjecit. Sextam Hyagnis [4v] Phryx apposuit. Septimum Perpander Lesbius adjunxit sicque ad similitudinem septem planetarum ex tetrachordo heptachordum reddidit. Qui vero in his nervis erat gravissimus, hypate, id est principalis quasi major et honorabilior est dictus, secundus parhypate quasi juxta hypaten positus, tertius lichanos ab indice digito quem Graeci a lingendo appellant, et quoniam, eum caneretur his fidibus, index digitus tertiam chordam tangebat, ipsa quoque lichanos nomen retinebat. Quartus nervus mese id est medius est vocatus, quoniam inter septem medius est locatus. Quintus paramese id est juxta mesen [(iuxta medium)]. Sextus paranete id est juxta neten qui septimus erat locatus. Qui septimus nete quasi neate id est inferior vocatur eo quod ceteris inferior erat ordine quo diximus habeatur. Paramese vero (2) quoniam tertia chorda est a nete, utpote inter paraneten et mesen locata, trite quoque est appellata. Cujus heptachordi descriptio talis est:

[Frutolf, Breviarium, 28; text: tetrachordum, Nete, Paranete, Paramese vel trite, Mese, Lichanos, Parhypate, Hypate] [FRUBRE 01GF]

In hoc autem heptachordo duo tetrachorda erant synemmena id est conjuncta per mesen quae utrimque connumeratur, [29] et est unum tetrachordum hypate, parhypate, lichanos, mese; alterum vero mese, paramese quae etiam trite, paranete, nete.

His octavum Samius Licaon nervum adjecit et octochordum adimplevit eumque inter paramesen et paraneten ponens triten vocavit, quoniam tertium locum [[sqb]] a nete [a] (tertium a nete locum) possedit sicque paramese nomen trites amisit.

In hoc itaque octochordo item sunt duo tetrachorda quae dicuntur diezeugmena, id est disjuncta interpositione toni inter mesen et paramesen, quorum unum est: hypate, parhypate, lichanos, mese; aliud disjunctum: paramese, trite, paranete, nete. In his vero mese tantum nomen obtinuit, non positionem; in octo sunt due media et ut dictum est distantia meses et parameses tonus est, et est ibi disjunctio quae vocatur diezeuxis, [(sicut)] superiorum conjunctio dicitur synaphe. Hujus octochordi positio talis est:

[Frutolf, Breviarium, 29; text: tetrachordum, Nete, Paranete, Trite, Paramese, Mese, Lichanos, Parhypate, Hypate] [FRUBRE 01GF]

[5] Prophrastus autem Periotes ad graviorem partem novum addidit nervum ut faceret nonichordum. Qui quoniam super hypaten est additus, hyperhypaten est vocatus, sed postea additis aliis lichanos hypaton propter causam superius dictam ab indice digito est nuncupatus. Estigeus vero Colophonius et Timotheus Milesius decimam et undecimam chordam item ad graviorem partem addiderunt et enneachordum effecerunt. Quae quoniam super graviores sunt hypate hypaton id est maximae magnarum vel gravissimae gravium sive principales principalium sunt vocatae, et inter undecim prima dicta est hypate hypaton, secunda (2v) parhypate hypaton, tertia quae in nonichordo hyperhypate vocabatur, mutato nomine [30] lichanos hypaton nuncupabatur, quarta hypate antiquum nomen obtinuit sicque ceteris sequentibus vocabulum prius permansit. Sunt igitur in hac dispositione tria tetrachorda: duo conjuncta, tertium disjunctum, et primum est: hypate hypaton, parhypate hypaton, lichanos hypaton, hypate; secundum: hypate, parhypate, lichanos et mese; tertium disjunctum tono: paramese, trite, paranete, nete. Quorum descriptio est hujusmodi:

[Frutolf, Breviarium, 30; text: tetrachordum, Nete, Paranete, Trite, Paramese, Mese, Lichanos, Parhypate, Hypate, Lichanos hypaton, Parhypate hypaton, Hypate hypaton] [FRUBRE 01GF]

Sed quoniam in his tribus tetrachordis illud, quod est hypate, parhypate, lichanos, mese, positione medium erat locatum, totum hoc tetrachordum meson id est mediarum cum adjectione tali est vocatum: hypate meson, parhypate meson, lichanos meson, mese. Illud vero tertium, quod a paramese inchoat, quoniam tono a mese disjungitur, diezeugmenon id est disjunctum cum adjectione tali appellatur: paramese diezeugmenon, trite diezeugmenon, paranete diezeugmenon, nete diezeugmenon. Quod, si paramese auferatur et post mesen trite computetur, tetrachordum synemmenon id est conjunctum habebitur et cum additamento sic vocabitur: [5v] mese synemmenon, trite synemmenon, paranete synemmenon, nete synemmenon. Sed permanente paramese totoque hoc tetrachordo diezeugmenon aliud tetrachordum synemmenon ita locatur, ut a mese usque ad paraneten diezeugmenon linea in medio ducatur sicque posita adhuc chorda superius juxta mesen intervallo semitonii, a trite diezeugmenon vero spatio toni mese cum hac et cum trite diezeugmenon et paranete diezeugmenon in superiori spatio tetrachordum synemmenon efficiat, in [(inferiori)] vero spatio tetrachordum diezeugmenon a paramese ad neten permaneat et ita eadem chorda, quae inferius paranete [31] diezeugmenon vocatur, superius nete synemmenon appellatur, et quae inferius est trite diezeugmenon, superius est (3) paranete synemmenon, illam vero, [quam] superius interpositam diximus, triten synemmenon vocamus, sicque mesen huic tetrachordo quartam annectimus. Quorum duorum tetrachordorum positio talis est:

[Frutolf, Breviarium, 31; text: tetrachordum synemmenon, tetrachardum diezeugmenon, Nete diezeugmenon, Mese, Trite synemmenon, Paranete synemmenon, Nete synemmenon, Paramese, Paranete diezeugmenon, Triste diezeugmenon] [FRUBRE 01GF]

Quia vero in superioribus dispositionibus tetrachordorum mese, quae propter mediam positionem prius ita dicta est, locum suum non obtinebat, sed proprius netis quam hypatis, unum adhuc tetrachordum supra netas additum est; et quoniam eas acumine supervadebat, hyperbolaeon id est superexcellentium nomen accipiebat ita: nete hyperbolaeon, paranete hyperbolaeon, trite hyperbolaeon, conjuncta sibi nete diezeugmenon. Sed quoniam rursus hac adjectiene medius locus mese interceptus est -- nam longius a netis quam ab hypatis discedebat -- unus adhuc nervus super hypatas additus est super gravioribus (additus est gravioribus), qui proslambanomenos id est acquisitus, vel prosmelodos id est ad cantilenam [sive melo aptus est dictus] aptus sive adjectus est dictus, ut, mese locata in medio, totius monochordi compleretur dispositio. Et ipsa quidem [6] proslambanomenos a mese est octava, diapason symphoniam resonans cum ea, ad lichanon hypaton [(vero quartam a se resonat diatessaron, quae lichanos hypaton)] quinta a mese resonat cum ea diapente; itemque mese ad neten diezeugmenon resonat diapente, quae nete diezeugmenon ad neten hyperbolaeon resonat diatessaron, [32] sicque proslambanomenos ad neten hyperbolaeon reddit consonantiam bisdiapason; absque chorda quam propter tetrachordum synemmenon in superiori parte monochordi adjectam diximus inter mesen et triten diezeugmenon, et absque tono a modernis infra proslambanomenon adjecto. Positio igitur bisdiapason talis est: (3v)

[Frutolf, Breviarium, 32; text: BISDIAPASON IN QUADRUPLO, DIAPASON, DIATESSARON, DIAPENTE, Proslambanomenos, Hypate hypaton, Parhypate hypaton, Lychanos hypaton, Hypate meson, Parhypate meson, Lychanos meson, Mese, Paramese, Trite diezeugmenon, Paranete diezeugmenon, Nete diezeugmenon, Trite hyperbolaeon, Paranete hyperbolaeon, Nete hyperbolaeon, TONUS, SEMITONIUM, A, B, C, D, E, F, G, a, [sqb], c, d, e, f, g] [FRUBRE 02GF]

Capitulum II. De speculatione monochordi.

Hoc itaque ordine quo dictum est chordis inventis atque locatis ex his omnibus monochordum conficitur, dum, extenta desuper in ligno chorda una et divisione chordarum inferius exarata, sono diversarum per unam cantus aptatur. In consideranda vero monochordi positione ea prima speculatio occurrit, quod ejus omnis integritas quadruplo idem bisdiapason comprehenditur, quorum utrumque sesqualteri ac sesquitertii id est diapente et diatessaron collatione perficitur. Quare autem non ultra quadruplum extendatur vel infra sesquitertium coarctetur, haec est ratio: quod cum diapente et diatessaron unum diapason perficiant, diapason [(autem)] quinque tonis et duobus constet semitoniis, diapente vero tribus tonis et semitonio, diatessaron duobus videlicet tonis et semitonio, diapason [6v] autem duplicetur, non erunt deinceps consonantiae quae extensiores sint quadruplo aut contractiores sesquitertio. Solus, qui has conjungat, tonus sesqualteri ac sesquitertii differentia restat. Ergo in utroque diapason septem sunt voces omnino inter se diversae, nam nulla earum perfecte concordat cum alia nisi cum sua octava. Igitur diapason superius, quoniam [33] gravibus modulatur vocibus, apte literis insignitur majoribus; posterius vero eisdem quidem literis, sed causa acuminis acutis notatur formulis. Ubi intuendum est, non alias atque alias denuo nasci, sed semel natas more septem septimanae dierum iterum repeti sive renovari [(innovari)].

Quare autem non amplius quam septem diversae sint voces, non debet mirum videri; usque adeo enim in definiendis rebus diversitas quousque diversae desinant videri perquiritur. Ut enim ex multis pauca dicamus, sicut grammatica ad octo, ysagoge ad quinque, categoriae ad decem varietates rediguntur, itemque (4) aliae atque aliae in aliis; ita in monochordo elementaria quadrupla comprehensio rata proportionum dimensione septem diversarum vocum capax octavo semper in loco eumdem modum, sicut eadem soni virtute, ita etiam eodem reddit caractere. Licet autem et in aliis locis tropi redeant, tamen ut voce ita literarum dissimiles sunt positione.

Inter haec etiam non otiosa erit speculatio, quare musicae integritati quadrupla magis quam alia conveniat proportio. Ubi primum (primo) omnium diligentius intuenti occurrit, quod ipsius quadrupli genitura statim inter primas omnium numerorum radices id est unum et duo mirabiliter emergit. Unum enim ad duo comparatum duplum atque ideo diapason reddit; binarius vero duplicatus generat quatuor, cui quaternario unum collatum quadruplum, quod est bisdiapason, restituit. His ergo terminis id est uno et quatuor naturaliter includuntur duo et tres, qui numeri superparticularibus proportionibus diapente et diatessaron constituunt. Duo enim ad tres diapente, tres ad quatuor diatessaron efficiunt. Unum quoque tribus comparatum diapason cum diapente [7] compositum tripla proportione constituit.

Cum ergo diapente ac diatessaron differentia [(sit tonus)] tonus sit ipseque a consonantiis exclusus consonantias tamen jungat, videamus an ipsius quoque proportio in his primis seminibus lateat. Ubi primum nobis quaedam speculatio de [34] qualitate toni occurrit. Ipse enim consonantiis non indiget, consonantiae vero ipso destitutae videntur spatiorum raritate quasi quadam deserti vastitate squalere. Ut ergo eum ad suum hiatum complendum valeant corrogare omnes suas mensurabiles partes, ut eum efficiant, properent comportare. Ergo diapason duas, diapente tres, diatessaron partes exhibeat quatuor. Itaque duo, tres, quatuor in unum collectae novem reddunt atque ideo tonum faciunt. Quod ut etiam visui manifestius pateat, subscripta figura exhibeat.

[Frutolf, Breviarium, 34; text: BISDIAPASON, DIAPASON, DIAPENTE, DIATESSARON, DUPLA PROPORTIO, TRIPLA PROPORTIO, QUADRUPLA PROPORTIO, SESQUITERTIA PROPORTIO, SESQUALTERA PROPORTIO, I, II, III, IV, TONUS] [FRUBRE 02GF]

(4v) Igitur breviter ac manifeste patet, quod id sibi merito musica dignitas vindicavit, quod primordialis numerorum natura excellentissimis proportionibus creavit. Id inquam est illud quod, a principali unitatis incipiens positura, ne vacillare posset, in quaternarii finivit quadratura, qui primus omnium duabus nitens medietatibus elementorum foederat compugnantiam temporumque contemperat diversitatem. Qui etiam musicae necessarius est quam maxime, quatenus homini ex ea sicut ex quatuor elementis existenti in nullo contraria vel inconsonans possit haberi.

'Potest etiam adhuc mirum videri, quod, sicut in quolibet semine totus simul futuri corporis effectus latet, ita in eo quod praediximus originali consonantiarum semine primum etiam illi qui in pythagoricorum ponderibus malleorum reperti sunt numeri occultantur, quos hoc modo quasi ex silice ignem excudemus, si primus multiplicator id est binarius [7v] ternarium, [35] ternarius quaternarium rursusque binarius quaternarium, ternarius vero seipsum multiplicet. Quo facto VI VIII IX XII inveniuntur. Qui videlicet numeri, instar teneri germinis emergentes, miro modo suo quidem semine quantitate numerosiores, sed proportionibus sunt contractiores. In semine quippe utpote in toto omnes simul musicae proportiones inveniuntur, id est dupla, tripla, quadrupla, sesqualtera, sesquitertia et quodam modo sesquioctava; senario quoque perfecto numero admirabiles quas isti non nisi binario multiplicati aequiperabunt. Idem (quod) qui facere voluerit hos numeros VI VIII IX XII XVI XVIII XXIV, integram videlicet consonantiarum complexionem habebit.' Senarius enim ad octo collatus sesquitertiam proportionem reddit, ad IX sesqualteram, ad XII duplam, ad XVI duplam superbipartientem, ad XVIII triplam, ad XXIV quadruplam. Octonarius vero novenario comparatus tonum id est epogdoam proportionem exhibet, ad XII sesqualteram, ad XVI duplam, ad XXIV triplam; item IX (5) ad XII facit sesquitertiam, ad XVIII [(duplam, duodenarius numerus autem ad XVI sesquitertiam, ad XVII)] sesqualteram, ad XXIV duplam.

Capitulum III. De proportionibus.

Quia igitur veritatis indagatori animo investigandis rerum naturis, quid unumquodque (sit) nosse non sufficit, sed ultra rationis passibus (sic!) procedens, cur ita quoque sit, addiscere quaerit, ut, quae dicta vel dicenda sunt, faciliorem aditum praestent et origine cognita magis magisque in aperto sint omnia de proportionum ac [et] (vel) consonantiarum vi et natura, in quibus principaliter mensurarum constat ratio; quaedam breviter dicere necessarium esse duximus, quibus firmiter commendatis memoriae proculdubio videntur sequentia quasi sponte patere.

'Proportio est duorum numerorum ad se invicem quaedam habitudo, et quasi quodam modo continentia.' Pone enim [36] duos numeros ut duodenarium et senarium, quorum prior ad sequentem duplus est; duodenarius enim senarium bis continet. Duplicitas ergo illa et ad invicem habitudo vocatur [8] proportio. De cujus generibus et speciebus, cum in arithmetica et musica Boetius copiose tractet et multipliciter, nos ex omnibus quatuor assumentes perstringamus simpliciter, quarum fideliter percepta cognitio plenariam 'ni fallor' mensurandi monochordi notitiam infundet studioso. Sunt igitur hae quatuor: dupla, sesqualtera, sesquitertia, sesquioctava, quae dicitur etiam epogdoa quasi epioctoa id est superoctava. Et dupla quidem proportio est, quam supra posuimus, quotiens major numerus minori comparatus bis illum in se totum continet nihilque supra remanet ut duodenarius ad senarium vel duo ad unum. Sesqualtera vero est, quotiens major numerus minorem semel in se totum continet et insuper ejus alteram partem, id est medietatem, ut idem duodenarius octonarium vel novenarius senarium. Habet enim duodenarius octonarium totum in se et insuper ejus medietatem, id est quatuor; et novenarius senarium totum et ejus medietatem, hoc est tres. Sesquitertia autem proportio est, cum major numerus minorem totum continet (5v) et insuper ejus tertiam partem, ut idem duodenarius novenarium vel octonarius senarium. Nam et duodenarius habet novenarium totum et ejus tertiam partem, id est ternarium, et octonarius habet senarium totum et ejus tertiam [partem] scilicet binarium. Sesquioctava vero est, cum numerus numerum semel continet totum et ejus octavam, ut novenarius octonarium; nam totum illum habet et insuper unitatem quae est ejus octava.

Easdem igitur proportiones et habitudines in vocibus vel in sonis chordarum spectare licebit et omnia, quae in numeris diximus, voces quoque vel sonos musicos recipere sciamus; nam et vox voci et sonus sono vel in acumine vel in gravitate duplus invenitur et item sesqualter et sesquitertius ac sesquioctavus. Et vox quidem voci vel sonus sono duplus est, quotiens gravi voci vel sono [(acuta vox vel sonus)] eadem sonoritate aequisonat vel econtra voci acutae vel sono gravis [37] vox vel sonus eadem sonoritate aequisonat, veluti si 'senex' gravi voce aliquid praecinat, puerulus autem idipsum acuta et aequali voce seni concinat, vel si puer praecinat acuta voce, senex autem idipsum puero concinat graviore. De sesqualtera vero et sesquitertia vel sesquioctava proportione in vocibus [8v] paulo est obscurius exemplificare, in monochordo autem vel aliis musicis instrumentis perfacile est considerare.

Et prima quidem soni proportio, quam duplam diximus, in musica diapason nominatur; secunda autem, quam sesqualteram diximus [(posuimus)], diapente vocatur; tertia, quam sesquitertiam notavimus, diatessaron dicitur; quarta vero, quam sesquioctavam notavimus [nominavimus], tonus appellatur. Et hae quidem sunt tres principales in musica consonantiae: diapason, diatessaron, diapente; tonus autem non est consonantia, sed pars consonantiae et quasi consonantiarum quaedam differentia.

Capitulum IV. De inventione consonantiarum et quid sit consonantia.

Consonantiarum musicarum originem consensu praecipuorum Pythagoras (6) primus invenisse dicitur, qui 'aurium judicio' in musicis instrumentis per omnia non credens, sed, quanam ratione firmiter et constanter consonantiarum vim perdisceret, diu anxie quaerens, divino quodam nutu fabrorum officinas interea praeterivit, ubi ictus malleorum ex diversis sonis concordi tinnitu unam quodam modo convenientiam [(concinentiam)] personare audivit. Attonitus ergo ad id quod diu quaerebat, fabricam intrabat diuque considerans et ferientium vires diversitatem sonorum efficere arbitrans, mutare [38] inter se malleos imperavit; sed sonorum proprietas non in hominum lacertis, sed in mutatis malleis permansit. Ubi igitur advertit, malleorum pondus examinavit; et cum forte quinque mallei essent, ad quorundam numerorum modum, de quibus supra dictum est, reperti sunt dupli qui sibi secundum diapason consonantiam responderent, eumdem etiam qui ad alium duplus erat, sesquitertium altius deprehendebat, ad quem scilicet diatessaron sonabat; ad alium vero quemdam eumdem superioris duplum reperit esse sesqualterum, qui sibi jungebantur per diapente concentum. Duo vero hi ad quos superior duplex, sesquitertius ac sesqualter probatus est, esse ad se invicem sesquioctavam proportionem perpensi sunt custodire. Quintus vero malleus rejiciebatur qui cunctis dissonans probabatur.

Igitur cum ante Pythagoram consonantiae musicae partim diapason, partim diapente, partim diatessaron vocarentur, nec tamen ab aliquo sciretur qua proportione sibimet haec sonorum concordia jungeretur; primus Pythagoras ponderum examinatione [9] et multiplicium experientiarum certitudine illam malleorum dissonam concinentiam perscrutando investigavit eamque nervis extensis eadem sonorum modulatione concordibus aptavit. Sed is neque nomina neque positionem nervis illis indidisse legitur, distantiam tantummodo gravitatis et acuminis (6v) discrevisse numerisque prodidisse asseritur.

Postea vero succrescentibus nobilium disciplinarum ingeniis et numerus chordarum modo suprascripto auctus est, usque [(dum)] ad hanc pluralitatem quae nunc est pervenerit, et nomina sunt indita ipsam suae adjectionis inventionem testantia.

Est autem 'consonantia diversarum vocum concentus' sive 'acuti et gravis soni permixtura suaviter et uniformiter ex quadam commensuratione accidens auribus', ut si in lyra vel alio aliquo musico instrumento diligenter intensis et remissis nervis primum et quartum seu primum et quintum vel primum et octavum simul ferias; quae et magis proprie consonantia [39] est, ubi vox acutior graviori per diapason respondet. 'Simul quippe pulsati nervi' permixto quodam suavi sono ad aurem feriuntur, sicque fit illa quae consonantia vocatur.

Consonantiam vero licet aurium quoque sensus dijudicet, tamen ratio perpendit. Sunt autem sex consonantiae: tres simplices et tres compositae. Simplices sunt quae et principales exsistunt: diatessaron, diapente, diapason; compositae vero: diapason cum diatessaron, diapason cum diapente, bisdiapason. Sed nos de principalibus id est simplicibus primum loquentes, compositas differamus.

Diatessaron itaque quae consonantiarum minima est, constat ex duobus tonis et semitonio; diapente ex tribus tonis et semitonio, totam diatessaron possidens et insuper tonum; diapason vero quae maxima est, utrasque illas id est diapente et diatessaron in sui perfectionem admittit, constans ex quinque tonis et duobus semitoniis. Sicut enim semper in numerorum proportionibus ex sesqualtera et sesquitertia dupla proportio nascitur, ita in consonantiis ex diapente et diatessaron consonantia diapason nascitur [(generatur)]. Quod numerorum exemplo facile probari potest.

[9v] Ponantur enim (7) tres numeri ita ut primus ad secundum sesqualter sit, secundus ad tertium sesquitertius. Si ergo monstraverimus, ex sesqualtero et sesquitertio duplam proportionem oriri. Est autem in sesqualtero semper diapente, in sesquitertio diatessaron et in duplo semper diapason; dubium non erit, si diatessaron et diapente coëant, diapason consonantiam inde procreari. Sint igitur hi tres numeri positi XII, VII, VI. Primus ad secundum sesqualter est, secundus ad tertium sesquitertius; nam et duodenarius octonarium totum continet et alteram ejus partem id est medietatem quae est IV. [40] Itemque octonarius senarium totum recipit et insuper ejus tertiam partem id est II. Ex sesqualtero igitur et sesquitertio duplus nascitur, duodenarius enim ad senarium duplus invenitur. Sed diapente sesqualtera est proportio, diatessaron sesquitertia, diapason vero dupla. Manifestum est igitur, diapente et diatessaron convenientiam diapason efficere consonantiam.

Ut autem quae diximus non ratione modo clareant, sed visui quoque perspicua pateant, descriptiunculam apposuimus, in qua omnia quae superius comprehensa sunt, de numerorum proportione et consonantiarum ad eos similitudine illud etiam, quomodo diapente et diatessaron junctae diapason reddant, summa (7v) copia sit intueri. Disposuimus enim in ordines quatuor numeros quatuor praefatis proportionibus congruos, ut maximus primo loco, minor secundo illo [(illo secundo)], eodemque rursus minor in tertio, minimus vero poneretur in ultimo. Quam vero proportionem vel quam consonantiam singuli ad singulos servent, ne iterum quae diximus repetenda forent, ductis altrinsecus semicirculis proportionum superius, consonantiarum vero vocabulis inferius aptissime hoc modo notavimus:

[Frutolf, Breviarium, 40; text: DIAPASON SYMPHONIA, DIAPENTE SYMPHONIA, DIATESSARON SYMPHONIA, DUPLA PROPORTIO, SESQUITERTIA PROPORTIO, SESQUALTERA PROPORTIO, 11, 9, 8, 6] [FRUBRE 02GF]

[41] [10] Ubi considerandum, quod eamdem proportionem habet diatessaron in monochordo, quam duodenarius cum novenario vel octonarius cum senario; et diapente illam in monochordo quam duodenarius cum octonario vel novenarius cum senario; diapason vero illam quam duodenarius cum senario; tonus autem illam quam novenarius ad octonarium, scilicet epogdoam id est superoctavam.

His vero digestis de consonantiis simplicibus maxime ad mensuram monochordi et ad cantum pertinentibus, jam nunc de compositis videamus easque ceteris licet non adeo necessarias adjungamus.

Consonantiae compositae tres sunt sicut et simplices, non quidem habiles ad cantum, cum et in remissione et intensione synemmenon superent vocis hiatum; sed in habitudine inveniuntur proportionum. Quarum minima est diapason kai diatessaron, habens septem tonos et tria semitonia; secunda diapason kai diapente constans in proportione triplari, continens tonos octo et semitonia tria; tertia bisdiapason in proportione quadrupla, totam monochordi mensuram possidens, decem videlicet tonos et quatuor semitonia absque synemmenon complectens. Est autem bisdiapason ut IV ad I vel VIII ad II aut XVI ad IV sive XXIV ad VI. Diapason kai diapente est ut VI ad II aut IX ad III aut XII ad IV sive XVIII ad VI. Diapason vero cum diatessaron consonantiam esse, 'Pythagorici non aestimant', quoniam [(non)] in superparticulari vel multiplici cadit proportione sicut ceterae, sed in multiplici superpartiente. Est enim haec proportio (8) vocum ut VIII ad III sive XVI ad VI. Si quis enim inter octo et tres quatuor posuerit, hos terminos efficit: VIII, IV, III. Quorum octonarius ad quaternarium diapason efficit consonantiam, quaternarius ad ternarium diatessaron; octo vero ad tres in multiplici superbipartiente constituuntur. Idem de XVI ad VI fit, si quis eis VIII interposuerit; sed quamvis diapason cum diatessaron conjunctum in superpartiens genus, ut dictum est, cadat, quod musicis proportionibus non satis concordat. [10v] Secundum Ptolomaei tamen rationabile judicium consonantia esse probatur, quia, cum et nomen et definitionem sui generis recipiat, cur excludatur, [42] ratio non apportat. Nam, ut simile quid argumentum, si equus est substantia animata sensibilis, pro certo speciebus intererit animalis. Est autem equus substantia animata sensibilis; igitur intererit speciebus animalis. Sic et diapason cum diatessaron; si est diversarum vocum concentus 'suaviter et uniformiter accidens auribus', jure interponetur consonantiae speciebus. Sed eam hoc esse, nemo poterit negare, igitur consonantiis intererit. Nam et hoc ei opitulatur, quia diapason talem vocis efficit conjunctionem, ut unus atque idem nervus esse videatur; ideoque si qua consonantia sibi fuerit addita, integra servatur et inviolata. Est autem diapason cum diatessaron consonantia quae dicitur dupla superbipartiens.

Ponamus igitur descriptionem quae omnes simul sex consonantias et simplices scilicet et compositas contineat, ut, quae illarum habitudo sit ad invicem, evidentius pateat. Prima itaque consonantia quae et minima diatessaron, ut saepe dictum est, in sesquitertia proportione consistit, ut si ternario conferatur quaternarius; diapente vero in sesqualtera, ut si quaternario conferatur senarius; diapason in dupla, ut si praedicto ternario comparetur idem senarius. Diapason cum diatessaron in dupla superbipartiente, (8v) ut si eidem senario conferantur sedecim; diapason cum diapente in tripla, ut si ad saepe dictum senarium comparentur 18; bisdiapason in quadrupla, ut ad senarium 24. Sed nos earum alium non quaerimus ordinem nisi secundum monochordi exarationem et simplicium numerorum exempli causa collationem. Cujus rei talis sit subscriptio:

[Frutolf, Breviarium, 42; text: BISDIASPASON, DIAPASON, DIAPENTE, DIATESSARON, DIAPASON CUM DIAPENTE, DIAPASON CUM DIATESSARON, QUADRUPLA PROPORTIO, DUPLA PROPORTIO, SESQUITERTIA PROPORTIO, SESQUALTERA PROPORTIO, DUPLA SUPERBIPARTIENTES, TRIPLA PROPORTIO, VI, IV, III, XVI, XVIII, XXIV] [FRUBRE 03GF]

[43] [11] 'Nemo autem existimet, idem esse diatessaron quod sequitertium, vel diapente quod sesqualterum, sive diapason quod duplum; sed, quod arithmetici sesquitertium dicunt, musici diatessaron vocant, quod sonat de quatuor, quia sub quaternis voculis talis proportio continetur', et quod illi dicunt sesqualterum, isti diapente quod sonat de quinque, quia sub totidem chordis constituitur. Quod vero illi duplum, isti vocant 'diapason, quod dicitur de omnibus, sive quod harum duarum consonantiarum, id est diatessaron et diapente, voces omnes contineat; sive, quod melius puto, omnium vocum discrimina in se concludat. Nam septem dumtaxat sunt vocum distantiae, videlicet' proslambanomenos, hypate hypaton, parhypate hypaton, lichanos hypaton, hypate meson, parhypate meson, lichanos meson, quae notantur literis his: A B C D E F G vel secundum quorumdam annotationem F G A B C D E (8a). 'Quod si octavam tetigeris' quae est mese et a quibusdam notatur a, ab aliis autem f, eamdem invenies quae est et prima. 'Unde nullius scientiae ignarus ait Virgilius: "Abloquitur numeris septem discrimina vocum."

Aliarum autem nomina haec scienti poterunt esse manifesta'; nam in superiori diapason septem ibidem voces habentur, quae eisdem quidem literis, ut superius dictum est, sed 'minoribus' notantur; nomina vero chordarum variantur. Unde quemlibet simplicem potest movere, cur, cum bis septem quatuordecim reddant, quindecim potius habeantur voces et chordae. Sed sciendum est hoc quidem numero tantum, non varietate fieri, quia, sive sursum, sive deorsum bis septem numeres, relinquitur quintadecima quae, quia ad mese octava est, aequalis ei est et characteris et soni convenientia. Haec de consonantiis sex interim sufficiant.

Tonum vero dicunt non esse consonantiam, sed consonantiarum quasi quamdam differentiam earumque necessariam et institutivam convenientiam.

'Sonum vero tono minorem veteres quidem semitonium vocare voluerunt, sed non ita accipiendum est, ut dimidius [44] tonus putetur, quia nec semivocalis in literis pro medietate vocalis accipitur'; sed semum dicebant antiqui quod ad integritatem non pervenit, quasi imperfectum. Est autem tonus ut 8 ad 9 vel 16 ad 18 vel 192 ad 216; semitonium vero ut 243 ad 256. Quod ita probatur si hi numeri conferantur in quibus diatessaron inveniatur. Disponantur igitur ex ordine quatuor [11v] termini, scilicet 192 et 216 ac 243 et 256. Comparatae enim sibi extremitates horum reddunt diatessaron, quia 216 ad 192 comparati efficiunt tonum; et 243 ad 216 collati rursus alterum tonum; et 243 ad 256 (8b) comparati reddunt semitonium. Est autem semitonium dictum secundum superficiem soni, non secundum dimidium toni. Tonus enim in duo aequa dividi non potest, quod ex differentia horum duorum numerorum, scilicet 243 et 256 probatur quae est 13, quia hic numerus id est 13 octies ductus dimidium 243 non videtur implere. Quod ut etiam facilius probetur, octo et novem conferantur. Hos cum nullus numerus medius intercidat nec novenarius in duo aequa dividi valeat, per binarium eos multiplica et bis octo fiunt 16, bis novem 18. Inter 16 autem 18 unus naturalis numerus 17; igitur 16 et 18 collati tonum reddunt, quorum proportionem medius numerus 17 non in aequa partitur; est enim major ad 16, minor ad 18, est tamen minor pars 17 quam 16. Sed tamen utraque semitonia nuncupantur, ex quibus unum majus, aliud minus semitonium appellatur. Et majus quidem semitonium a Graecis apotome vocatur quod a nobis 'decisio' dicitur; minus vero diesis appellatur. Duo igitur semitonia minora, si conjungantur, tonum non aequiperant, duo vero majora conjuncta tonum superant. Illud itaque spatium quo sesquitertia proportio major est duobus tonis, vocatur diesis; illud vero quo sesquioctava proportio major est duabus diesibus, id est duobus semitoniis minoribus comma dicitur. Dimidium commatis cisma, dimidium dieseos, id est semitonii minoris, diacisma vocatur. 'Apotome autem [45] nihil aliud est nisi semitonium minus et comma. Si enim duo semitonia minora de tono auferas, quod remanet comma est.' Ex hoc apparet, tonum duobus semitoniis minoribus et commate constare. Dividitur autem tonus, sicut ex his colligi potest, in semitonium minus et apotomen; dividitur etiam in duo semitonia minora et comma. Quo fit ut dividatur in quatuor diacisma et comma, hoc est in duas dieses et comma. Dimidium vero toni (9) quod est integrum semitonium, constat ex duobus diacismatibus quod est semitonium minus id est diesis, et ex cismate quod est dimidium commatis. De quorum [12] omnium proportionibus et secundum numeros convenientia in Musica Boetii satis elucubrata invenitur sententia. Semitonium vero apud antiquiores limma vel diesis nuncupabatur. His non inutiliter, ut credo, insertis de tono et partibus ejus, ad ostendendas species consonantiarum redeamus.

Capitulum V. De speciebus consonantiarum.

Diatessaron quae minima est consonantiarum, tres tantum habet diversas species, una minus quam voces. [I] Quarum prima constat tono, semitonio, tono, quae est A B C D id est proslambanomenos, hypate hypaton, parhypate hypaton, lichanos hypaton. [II] Secunda forma est B C D E hypate hypaton, parhypate hypaton, lichanos hypaton, hypate meson, constans semitonio et ditono. [III] Tertia species est C D E F, quod est parhypate hypaton, lichanos hypaton, hypate meson, parhypate meson, constans ditono et semitonio. Quodsi propter numerum troporum qui naturaliter quatuor sunt, quartam speciem adjicere velis, sub forma primae inter D et G illam tibi occurrere videbis ut sic: D E F G, quod est lichanos hypaton, hypate meson, parhypate meson, lichanos meson. Et sic per quaternas chordas per omnem seriem computando has alternatim formas te scias inventurum, exceptis duobus locis, scilicet inter parhypaten meson et paramesen et inter triten synemmenon et neten diezeugmenon, hoc est inter F et [sqb] quadratam et inter [rob] rotundam et e. In utrisque enim locis tritonus habetur.

[46] Diapente vero quae unam plus vocem, unam plus habet et speciem, quarum [I] prima est D E F G a, id est lichanos hypaton, hypate meson, parhypate meson, lichanos meson, mese; constans tono, semitonio, ditono. [II] Secunda species est E F G a [sqb] (9v) quadratum, id est hypate meson, parhypate meson, lichanos meson, mese, paramese; constans semitonio et tritono. [III] Tertia est F G a [sqb] c, quod est parhypate meson, lichanos meson, mese, paramese, trite diezeugmenon, constans tritono et semitonio. [IV] Quarta forma diapente est G a [sqb] c d, id est lichanos meson, mese, paramese, trite diezeugmenon, paranete diezeugmenon; constans ditono, semitonio et tono. Has si diligenter inspicias, [12v] tonorum et semitoniorum positionem, invenies diversas et per seriem vocum alternatim dispositas, exceptis tribus locis, videlicet inter B et F, inter E et [rob] rotundum et inter [sqb] quadratum et f, quod est inter hypaten hypaton et parhypaten meson, et inter hypaten meson et triten synemmenon, et inter paramesen et triten hyperbolaeon. In his enim locis semitonium et ditonus ac semitonium habetur.

'Diapason autem quoniam his duabus consonantiis completur, tot diversas habet formas quot sub his continentur. Septem igitur diversas habet species: pro diapente quatuor, pro diatessaron tres. [I] Quarum prima est inter A et a, id est inter proslambanomenon et mesen continetur. [II] Secunda a B usque [sqb], id est ab hypate hypaton usque paramesen porrigitur. [III] Tertia de C in c, id est a parhypate hypaton in triten diezeugmenon protenditur. [IV] Quarta a D in d, id est a lichanos hypaton in paraneten diezeugmenon terminatur. [V] Quinta inter E et e, id est inter hypaten meson et neten diezeugmenon limitatur. [VI] Sexta ab F ad f, hoc est a parhypate meson ad triten hyperbolaeon intenditur. [VII] Septima de g ad G, id est a paranete hyperbolaeon ad lichanon [47] meson remittitur. Quas omnes, si tonorum et semitoniorum situm inspexeris, a se invicem distantes videbis. Quod si octavam ab a per [sqb] et c ad (aa), id est a mese per parameson et triten diezeugmenon ad neten hyperbolaeon adjeceris, a prima non dissentire videbis. (10) Si vero ab a per b rotundum et per c ad aa id est a mese per triten synemmenon et paraneten synemmenon ad neten hyperbolaeon ascenderis, eamdem quintae notabis. Sic igitur diapason septem habet species, una minus quam voces.'

Capitulum VI. De tetrachordis.

His itaque de consonantiis earumque speciebus ita digestis, de tetrachordorum, per quae tota monochordi mensura discurrit, numero et nominibus, et quomodo distribuantur, discamus. Quinque tetrachorda in monochordi dimensione inveniuntur, quae pari modo duobus tonis et semitonio complentur. Si enim a superiore, id est ab acutiore parte computare inceperis, quinque tetrachorda usque hypaten hypaton, quibus totum texatur monochordum, cum adjectione synemmenon reperies, ultima chorda, quae proslambanomenos dicitur, a computatione sejuncta.

Sed si juxta modernos synemmenon [13] in gravibus, sicut in acutis, apposueris, cum adjunctione proslambanomenos sextum itidem duobus tonis et semitonio complebis. Est autem tetrachordum quatuor chordarum spatium, quae ita in singulis tribus monochordi generibus: diatonico, chromatico et enharmonico distributa sunt rato ordine, ut non amplius quam diatessaron complectantur consonantiam, id est duos tonos et semitonium, sed alio atque alio modo pro generum qualitate dispertitam quod paulo post explicabimus.

Semitonium autem, ut saepe dictum est, non vere dimidium toni, sed imperfectum dicimus tonum; semum enim antiqui dicebant imperfectum. Tonus quippe non in duo aequa, sed in majus et minus dividitur duo semitonia. Tonum vero [48] dicimus proportionem sesquioctavam, quam quidam (10v) vocant etiam epogdoam. Nam si a magda dextera usque aa, id est neten hyperbolaeon ubi quidam ponunt f, in octo partiaris et nonam partem adjeceris, tonum inter neten hyperbolaeon et paraneten hyperbolaeon, id est sequentem chordam te invenisse videbis et sic spatium quod est inter paraneten hyperbolaeon et magdam, totum illum continet quod est inter neten hyperbolaeon et magdam, et insuper ejus octavam partem, ac si novenarium octonario conferas qui eum totum et ejus octavam continet partem id est unitatem.

Tetrachorda igitur duobus tonis et semitonio complentur, et inde vocabulum trahunt quia sub quatuor chordis vel voculis continentur. Quae si, ut diximus, juxta ordinem mensurandi ab acutioribus computaveris, primum a nete hyperbolaeon usque neten diezeugmenon, id est ab aa in e habebis, quod hyperbolaeon, id est excellentium dicitur, quia cetera soni acumine supergreditur. Secundum a nete diezeugmenon ad paramesen id est ab eadem e, in qua primum finitur, istud incipiens in [sqb] quadratum protenditur, quod diezeugmenon, id est disjunctum vocatur, quia tono interjecto a mese, quae est monochordi media, disparatur, et ibi fit diezeuxis id est disjunctio secundum mensuram, sicut superius synaphe id est conjunctio, in nete diezeugmenon quae est e, in qua est finis primi tetrachordi et initium secundi.

Primum enim continet neten hyperbolaeon, paraneten hyperbolaeon, triten hyperbolaeon, neten diezeugmenon, quae sunt aa g f e; secundum vero [13v] item neten diezeugmenon, paraneten diezeugmenon, triten diezeugmenon, paramesen, quae sunt e d c [sqb]. Tertium tetrachordum synemmenon, id est conjunctum dicitur, quod sub nete synemmenon paranete synemmenon, trite synemmenon et mese continetur, quae sunt d c [sqb] a, quod ideo sic vocatur, quia sequenti, quod meson id est medium dicitur, conjungitur, ad distinctionem prioris id est secundi quod a mese tono disjungitur. Quartum (11) tetrachordum sub mese, lichanos meson, parhypate meson, hypate meson, quae sunt a G F E, continetur, quod meson id est medium [49] dicitur ob eam scilicet causam, quod apud antiquos hujusce instrumenti inventores, cum nondum tantus esset chordarum numerus, quantus nunc est, medium locum hae chordae tenebant; adaucto autem chordarum numero, licet medio cesserint loco, in primitivo tamen perstiterunt vocabulo. Sed et propter hoc medium dicitur quia hinc praecedenti, quod est synemmenon, conjungitur, hinc sequenti, quod est hypaton, connectitur. Ibi etiam, sicut superius, synaphe secundum mensuram et secundum hujusmodi dispositionem tetrachordorum habetur. Quintum enim tetrachordum ab eadem chorda et litera incipiens, in qua praecedens quartum finitur, sub hypate meson, lichanos hypaton, parhypate hypaton, hypate hypaton, quae sunt E D C B continetur, ibique denuo ut supra tono inter hypaten hypaton et proslambanomenon interjecto diezeuxis secundum mensuram habetur. Ultimus enim nervus qui superest, scilicet proslambanomenos sicut ordine postremus ita est inventione novissimus. Et haec quinque tetrachorda pari modo duobus tonis et semitonio complentur. Si autem, ut supra dictum est, synemmenon deorsum apposueris, sextum tetrachordum ejusdem formae, id est duobus tonis et semitonio constans a D in A, id est a lichano hypaton, quae tunc erit et nete synemmenon, usque proslambanomenon, habere poteris, quod est D C S A.

Haec itaque distributio tetrachordorum secundum ordinem mensurandi ab acutis in graves computatur; secundum constructionem vero et dispositionem troporum alia quatuor tetrachorda ordine alio formaque diversa et connexione ac disjunctione dissimili [14] computantur, quae etiam nominibus aliis vocantur, scilicet tetrachordum gravium, finalium, superiorum, excellentium. Quorum primum, quod et principale, sub proslambanomenos, hypate hypaton, parhypate hypaton, lichanos hypaton, (11v) quae sunt A B C D, concluditur; et quia illius chordae graviorem ceteris sonum reddunt, tetrachordum gravium dicitur. Secundum tetrachordum ab eadem chorda et litera incipiens, qua primum finitur, synaphen secundum [50] tropos in D operatur et sub lichanos hypaton, hypate meson, parhypate meson, lichanos meson, quae sunt D E F G, continetur et vocatur tetrachordum finalium, quia chordae illius finales sunt omnium cantionum. Hinc ergo usque ad mesen tonus supererit, qui suo interjectu diezeuxin secundum tropos ibi efficit. Tertium tetrachordum a mese incipiens sub mese, paramese, trite diezeugmenon, paranete diezeugmenon, quae sunt a [sqb] c d, continetur; et quia praecedentibus duobus altius locatur, tetrachordum superiorum vocatur. Quartum ab eadem chorda et litera iterum exordiens, qua tertium finitur, synaphen secundum tropos iterum in d operatur, et sub paranete diezeugmenon, nete diezeugmenon, trite hyperbolaeon, paranete hyperbolaeon, quae sunt d e f g, continetur; et quia cetera omnia et loco et acumine soni supergreditur, tetrachordum excellentium dicitur. Adhuc remanet tonus inter paraneten hyperbolaeon et neten hyperbolaeon, id est inter g et aa, qui sua interpositione rursus diezeuxin secundum tropos constituit.

Ecce quam diverse ista et priora tetrachorda constituuntur: illa quippe secundum progressionem mensurandi superius ab acutis incipientia semitonium habent in ultimo, ista vero secundum constructionem troporum a gravibus progredientia semitonium habent in medio; illa bina et bina in utroque diapason conjuncta e et E, id est neten diezeugmenon et hypaten meson synaphen, tonum vero supra mesen proximum diezeugmenon habent et supra proslambanomenon; ista simili modo si copulentur D et d, id est lichanos hypaton et paranete diezeugmenon synaphen et tonum infra mesen et infra neten hyperbolaeon proximum diezeuxin designant. In illorum duali [14v] conjunctione de utraque diapason tonus remanet inferius, in istorum superius, quia primum ex illis descendit ab aa (12) in e, secundum ab e in [sqb] et ibi remanente seu disjungente tono tertium demittitur ab a in E, quartum ab E in B itemque [51] tonus supererit. Econtra vero primum ex istis ascendit ab A in D, secundum a D in G, ubi tono restante seu disjungente tertium scandit ab a in d, quartum a d in g tono iterum remanente. Hae sunt specificae tetrachordorum differentiae. Musica enim species est habitudo quaedam diversae positionis tonorum et semitoniorum.

Synemmenon vero in priorum dispositione semitonium habent in fine, in horum autem progressu in principio. Cum ergo tria sint cantilenae genera: diatonicum, chromaticum, enharmonicum, in diatonico quidem genere per singula tetrachorda ita dimensio peragitur, ut in tonum et tonum et semitonium dividatur. In chromatico per singula item tetrachorda ita mensurandi ratio habetur, ut in quinque semitonia distribuatur, sed ut tria sibi invicem connectantur, duo vero lineis interpositis ab invicem disparentur. Enharmonici vero generis mensuratio haec tenetur, ut singula tetrachorda in ditonum et diesin ac diesin resecentur. Est autem ditonus integrum et sibi cohaerens duorum tonorum spatium, diesis vero semitonii dimidium vel minus semitonium. Cum igitur ita diversa et dissimilis trium generum mensura ponatur, illud tamen, ut praediximus, in singulis cujusque generis tetrachordis observatur, ut non amplius quam diatessaron consonantia in aliquo comprehendatur. Nam et diatonici generis tonus et tonus ac semitonium diatessaron complent; et chromatici quinque semitonia diatessaron jungunt; et enharmonici ditonus et diesis ac diesis aeque in diatessaron perfectione conveniunt. In his ergo tetrachordorum dispositionibus quae a gravibus incipientia tendunt superius et in praedictarum progressu consonantiarum ratis proportionibus sibi cohaerentium octo modorum, quos abusive tonos dicimus, 'diversa sit positio, quod sequens expediet oratio'.

Capitulum VII. De modis vel tropis sive tonis.

Septem modos tantum secundum diapason (12v) species primum fuisse, sed Ptolomaeum octavum superaddidisse Boetium [52] in musicis novimus tradidisse, quorum nomina et diversitatem, quoniam brevitatem [15] et simplicitatem promisimus, secundum ecclesiasticum usum expediamus.

Octo cantionum modis, quos graece tropos et 'abusive tonos vocamus', ecclesiasticus ordo utitur, quorum quatuor excellentiores sic vocantur: Authentus protus, id est primus magister; authentus deuterus, id est secundus magister; authentus tritus, id est tritus magister; authentus tetrardus, id est quartus magister. Authentos enim graeci magistros vocant quasi auctoratos, id est auctoritate praeditos, videlicet quorum auctoritas praecellit. Unde et a comparatione altioris gradus hos modos ita vocari obtinuit usus. Alii vero quatuor inferiora possidentes loca haec habent vocabula: Plagis proti, id est lateralis primi subauditur authenti, quasi sub latere ejus contineatur et inferior sit; simili ratione plagis deuteri, plagis triti, plagis tetrardi. Sed nos eorum regulas dantes, latinis utamur nominibus et excelsiores magistros, inferiores vero discipulos appellemus.

Ad horum ergo numerum et institutionem troporum in authentos et subjugales distinctorum diapason species octo esse, natura patet demonstrante. Quae tamen pro dispositione troporum numeri naturalis ordine ita computandae non sunt, ut dicas: prima, secunda tertia quarta quinta sexta septima octava, quod antiqui fecerunt, ut praescriptum est; sed secundum dispositionem subjugalium et authentorum post quatuor enumeratas ab A per B et C ad D pertingentes; aliae quatuor non a quinta, sed a prima denuo incipientes numerandae sunt et constituendae. Igitur si tetrachorda duo, scilicet principale id est grave et superius sibi e regione compares et conjugas, finali medietatam ac vinculorum [53] vice interposito, quatuor species diapason exinde, quali desideras, naturalis ordinis et ortus decore procedent.

Prima quippe species diapason, ut superius dictum est, a prima gravium A et a prima superiorum a continetur et a prima finalium D mediante distinguitur. Secunda vero ab utriusque tetrachordi secundis, quae sunt (13) B et [sqb], comprehenditur et a secunda finalium, quae est E, connectitur. Tertia a tertiis, quae sunt C et c, implicatur et a tertia finalium F conjungitur. Quarta item a quartis, quae sunt D et d, [15v] includitur et quarta finalium G propria et quasi hereditaria nativaque sede vinculatur.

Hae autem duae, scilicet D et d, 'biformes' et duplices sunt tum in connexione tetrachordorum, tum in progressione specierum; in graviori quippe finis tetrachordi gravium et initium tetrachordi finalium. Et haec in ea sibi connectuntur: finis primae et initium quartae speciei diatessaron habetur; ubi prima species diapente initiatur, ibi quarta species diapason exoritur. Secundum subjugales ibi itidem prima ejusdem consonantiae species exorditur secundum authentorum dispositiones; in altera vero, quae est superior, tetrachordum superiorum per finem et tetrachordum excellentium per initium connectuntur. Ibi denuo primae formae diatessaron finis et quartae principium secundum authentos conjunguntur, ut merito biformes et duplices dicantur. His ita interpositis, ad formas diapason redeamus.

Item si tetrachordum finale et excellens conferas e diverso mediante illa superiori tetrachordo, aliae quatuor species diapason simili naturae ornatu apparebunt. Prima autem harum specierum a prima finalium D et a prima excellentium d, quoniam numero duplae sunt, sicut et quarta continetur, sed alio medietatis vinculo, scilicet prima superiorum quae est a mediante compaginatur. Item secunda ab utriusque tetrachordi secundis, quae sunt E et e, cohibetur et a secunda superiorum B coadunatur. Tertia a tertiis, quae sunt F et f, constringitur, sed a superiorum tertia c mediatur. Quarta vero a quartis G [54] et g comprehenditur et a quarta superiorum d connectitur. Itaque octo speciebus naturaliter constitutis, illorum, quos abusive tonos vocamus, octo troporum naturalis oritur dispositio, ita ut quatuor priores in quatuor subjugales et quatuor sequentes in quatuor authentos transeant. Si enim tropi, (13v) qui quatuor sunt in natura, pro discernenda cantus varietate in octo distribuantur, illa quae priorum specierum diapason prima est in subjugalem proti convertitur, secunda in subjugalem deuteri, necnon reliquae duae in alios duos. Similiter illa, quae in sequentibus quatuor speciebus prima est, quae inter D et d continetur, in authentum protum transfertur, secunda in authentum deuterum et item ceterae [16] duae in remanentes duos. Si vero ita disponantur, ut quisque authentus juncto sibi subjugali suo unus indifferenter tropus habeatur, et ex octo quatuor naturaliter fiant, species quoque diapason, quas authentus et subjugalis ejus sibi vindicant singulariter et unde constant, jungi necesse est et coadunari. Verbi gratia in protum indifferenter statuendum quatuor priorum et quatuor sequentium specierum duae primae concurrunt una, quae est ab A in a, id est a proslambanomeno in mesen; altera, quae est a D in d, id est a lichano hypaton in paraneten diezeugmenon. In deuterum indiscrete componendum utrarumque quatuor specierum secundae conveniunt: una, quae est a B in [sqb], id est ab hypate hypaton in paramesen; altera quae est ab E in e, id est ab hypate meson in neten diezeugmenon. In tritum conjunctim informandum utriusque ordinis tertiae conveniunt: una quae est de C in c, id est a parhypate hypaton in triten diezeugmenon; altera quae est ab F in f, id est a parhypate meson in triten hyperbolaeon. In tetrartum simili modo continuandum quartae utrobique se conferunt: una quae est a D in d, id est a lichano hypaton in paraneten diezeugmenon; altera quae est a G in g, id est a lichano meson in paraneten hyperbolaeon.

Sic ergo octo troporum singuli unam tantummodo mediam distinctionem habent, juncti vero et naturaliter quatuor positi duas; quatuor namque species diapason, quae subjugales totidem statuunt, medias hujusmodi distinctiones quaerunt, ut [55] ipsae medietates diapente habeant supra et diatessaron infra; illae autem quatuor species, quae in authentos (14) transeunt, ita mediandae sunt, ut in diatessaron superius et in diapente sistant inferius. Quae duae distinctiones unicuique troporum attribuuntur, si ipsi octo continuati in quatuor naturales transferuntur. [16v]

[Frutolf, Breviarium, 55; text: Biformes, Prima species Diapason in subjugali Proti, A, a, Secunda species Diapason in subjugali Deuteri, B, [sqb], Tertia species Diapason in subjugali Triti, C, c, Quarta species Diapason in subjugali Tetrardi, D, d, Prima species Diapason in authento Proto, Secunda species Diapason in authento Deutero, E, e, Tertia species Diapason in authento Trito, F, f, Quarta species Diapason in authento Tetrardo, G, g, Prima species Diapason in proto indifferente, Secunda species Diapason in Deutero indifferente, Tertia species Diapason in Trito indifferente, Quarta species Diapason in Tetrardo indifferente, Diatessaron, Diapente, hic continentur quatuor species diapente] [FRUBRE 03GF]

His recapitulatis et ita dispositis de diapason speciebus ad insinuandos ascensus et descensus troporum veniamus. 'Sed antequam eorum intensiones et remissiones dicere incipiamus, finales omnium nervos ostendamus.

Quatuor sunt voces vel chordae, quae vocantur finales, quod in una qualibet earum regulares finiantur cantiones D E F G, quae sunt lichanos hypaton, hypate meson, parhypate [56] meson, lichanos meson. Quae idcirco ex omnibus electae sunt finales, quod inter septem vocum discrimina inveniantur sonoriores et quod (14v) cantus quisque discursus sui spatia supra vel infra illas habeat sufficientia, extra quas si vel vetus vel nova cantio terminetur, irregularis sine dubio judicetur.

Cantus igitur primi magistri ejusque discipuli in lichanos hypaton, id est in D finitur; secundi magistri ejusque discipuli in hypate meson, id est in E; tertii ejusque discipuli in parhypate meson, id est in F; quarti ejusque discipuli in lichanos meson, id est in G terminatur.

Et primum quidem magistrum primum appellamus modum, quem abusive dicimus tonum, ejusque discipulum secundum modum; secundum magistrum tertium [17] dicimus modum ejusque discipulum modum quartum; tertium magistrum modum quintum ejusque discipulum sextum; quartum magistrum dicimus modum septimum ejusque discipulum modum octavum.'

Differentiae autem, id est saeculorum amen primi et quarti et sexti toni inchoandae sunt in mese quae est a; secundi in parhypate meson quae est F; tertii et quinti et octavi in trite diezeugmenon, quae est c; septimi in paranete diezeugmenon quae est d.

Sed quoniam nomina et finales eorum et inceptiones differentiarum diximus intensiones et remissiones, eorum limites primum secundum veteres, dein secundum modernos aperiamus.

'Primus igitur magister secundum antiquos ascendit ad neten diezeugmenon quae notatur e litera et descendit ad proslambanomenon quae est A. Ejus vero discipulus intenditur ad mesen vel paramesen, id est ad a vel [sqb], et remittitur ad eamdem, ad quam et magister ejus. Secundus magister qui est tonus tertius intenditur ad triten hyperbolaeon quae est f, et remittitur ad hypaten hypaton quae est B. Ejus vero discipulus [57] intenditur ad triten diezeugmenon quae est c, et remittitur ad eamdem hypaten hypaton, ad quam et magister ejus. Tertius magister qui est modus quintus, ascendit ad paraneten hyperbolaeon quae est g, et (15) descendit ad parhypaten hypaton quae est C. Discipulus autem ejus intenditur ad paraneten diezeugmenon quae est d, et remittitur ad eamdem parhypaten hypaton, ad quam et magister ejus. Quartus magister qui est modus septimus, ascendit ad neten hyperbolaeon quae est aa, et descendit ad lichanon hypaton quae est D. Cujus discipulus intenditur ad neten diezeugmenon quae est e, et remittitur item ad lichanon hypaton, ad quam et magister ejus.

Haec est antiqua intensionis eorum regula et remissionis, quod probari potest in multis cantilenis. Si autem hos limites excedant, nemo contendat quod emendari non debeant. Sed "juniores subtilius et acutius haec dijudicantes et certius legaliusque discriminantes, non ex toto consentiunt nec ex toto dissentiunt. Ajunt enim oportere certas inter modos esse differentias, ut cujusque sint, possimus cognoscere cantilenas. Sed si primus modus a nete diezeugmenon remittatur ad proslambanomenon id est [17v] ab e ad A; secundus vero qui est discipulus ejus a paramese, id est [sqb] ad eamdem proslambanomenon, ad quam magister ejus, si inter mesen et proslambanomenon, id est inter A et a cantus non excedens componatur et in lichanos hypaton, id est in D utriusque finali regulariter finiatur, incertum est, cui potius deputetur". Similiter si tertius modus a trite hyperbolaeon ad hypaten hypaton id est ab f ad B deponatur, quartus vero qui est discipulus ejus, a trite diezeugmenon ad eamdem hypaten hypaton, id [58] est a c ad B remittatur, cantus qui inter paramesen et hypaten hypaton, id est inter [sqb] et B compositus in hypate meson, id est in E utriusque finali terminatur, cuius duorum potius sit, incertum habetur. Idem contingit in ceteris. "Ad quam incertitudinem propulsandam, juniorum comprobamus regulam. Cujus tractatus, quoniam est (15v) probabilior, fiat etiam diligentior. Finales, ut praediximus, serventur; intensiones et remissiones aliquantulum varientur."

Capitulum VIII. Quid moderni sentiant de ascensu troporum.

'Omnis authentus a finali suo regulariter ascendit in octavum sonum quod est diapason, licenter in nonum, raro autem, sed tamen aliquando in decimum, praeter septimum qui non invenit decimum locum; descendit autem quisque in secundum vel tertium, nunquam vero proprie in quartum, nisi sit cantus indifferens inter ipsum et plagin suum. Invenitur tamen in antiquis cantibus descensus alicujus authenti in sonum quartum, sed hoc non est in usum vel rationem [(imitationem)] trahendum. Omnis autem fere plagis ascendens in quintum sonum proprie vel sextum concessive, descendit in quartum vel aliquando quintum.'

Primus igitur modus secundum modernos intenditur ad paraneten diezeugmenon, id est ad d; raro autem ad neten diezeugmenon, id ad e; rarissime vero, sed tamen aliquando ad triten hyperbolaeon quae est f; et descendit ad parhypaten hypaton, id est C, interdum vero ad hypaten hypaton quae est B, inferius nunquam nisi cantus indifferens sit inter ipsum et discipulum suum, hoc est si ipsi conjuncti unum effecerunt [59] modum. Continet autem secundum veteres quartam, secundum institutionem vero troporum primam diapason formam inter D et d, id est inter lichanon hypaton et paraneten diezeugmenon, supra vero et infra tonum et aliquando utrimque semiditonum. [18]

Secundus modus qui est subjugalis primi, ascendit ad mesen, id est ad a, raro autem ad paramesen id est [sqb] quadratam; remittitur autem ad proslambanomenon quae est A et interdum ad gammam, scilicet [Gamma], assumens tonum a modernis necessario pro facilitate (16) canendi mensurae monochordi additum, possidens inter A et a primam diapason formam, supra vero raro semitonium vel tonum, inferius tonum additum.

Et hi sunt magister primus ejusque discipulus. Magistri autem cantus incipit sex nervis: parhypate hypaton, lichanos hypaton, hypate meson, parhypate meson, lichanos meson, mese, quae sunt C D E F G a. Habet etiam cola et commata, id est membra et incisiones, quas distinctiones cantus appellamus in eisdem. Cantus vero discipuli habet principia legalia quatuor: proslambanomenon, hypaten hypaton, parhypaten hypaton, lichanon hypaton, quae sunt A B C D; a multis vero usitata sunt sex, additis prioribus E et F sive etiam inferioribus gamma: [Gamma] A C D E F, in quibus etiam habet cola et commata. Sed meo judicio quatuor tantum principia discipulo dantur, licet in antiquo cantu praedictae inveniantur. Quodsi primi modi cantus in C vel D sive E vel F inceperis, non minus quam ad c superiorem intendas, ut, cujus modi sit, ascendendo discernas. Si vero secundi in eisdem incoeperis, non minus quam ad B deponas, ut, cujus sit, demittendo ostendas.

Tertius modus intenditur ad neten diezeugmenon quae est e, raro autem ad triten hyperbolaeon quae est f, rarissime [60] vero ad g; et remittitur ad lichanon hypaton quae est D, raro autem ad C; possidens juxta computationem veterum quintam diapason speciem, juxta constructionem vero troporum secundam inter E et e; assumens supra semitonium, raro semiditonum, infra vero tonum et aliquando ditonum; habens principia cantus et distinctiones sex D E F G a [sqb] et aliquando C et c.

Quartus modus ascendit ad paramesen quae est [sqb] quadrata, raro autem ad c; descendit vero ad hypaten hypaton quae est B, raro ad A; continens inter B et b secundam diapason (16v) formam, supra [18v] vero et infra assumens aliquando chordam. Cujus cantus legaliter incipitur quatuor chordis B C D E, secundum multos sex additis scilicet eisdem quatuor F et G. Et hi sunt secundus magister ejusque discipulus. Quodsi magistri cantum in D vel E inceperis, non minor quam ad d superiorem sit modus intensionis. Si vero discipuli non minor quam ad C inferiorem erit modus descensionis, ut, cui modo tribuatur, intendendo vel remittendo discernatur.

'Quintus modus intenditur ad triten hyperbolaeon quae est f, raro ad g, remittitur vero ad parhypaten meson quae est F, aliquando ad E; continens inter F et f sextam vel potius juxta tropicam constructionem tertiam diapason speciem, supra et infra assumens vocem. Cujus cantus inceptiones et distinctiones sunt E F G a [sqb] c.' Assumit etiam in quibusdam aliquando D.

'Sextus modus intenditur ad triten diezeugmenon quae est c, raro ad d; remittitur autem ad parhypaten hypaton, id est ad C, aliquando etiam ad B; possidens inter C et c tertiam diapason formam, supra vero et infra chordam. Cujus cantus legalia principia sunt quatuor: C D E F, usitata sex, additis ejusdem quatuor G et a, in quibus etiam distinctiones habet. Et hi sunt magister tertius ejusque discipulus. Si magistri cantum in E vel F inceperis, ad e superiorem sit minimus modus intensionis, discipuli vero ad D inferiorem remissionis, ut, cui deputari debeat, tali differentia pateat.'

Septimus modus ascendit ad paraneten hyperbolaeon, id est g, raro ad aa; descendit vero ad lichanon meson (17) quae est G, interdum ad F, raro ad E; continens inter G et g septimam diapason speciem juxta veterum computationem, quartam [61] vero juxta troporum constitutionem; assumens superius tonum, inferius vero aliquando semiditonum. Hujus cantus principia et distinctiones sunt sex F G a [sqb] c d; inveniuntur tamen quidam cantus ejus incipientes in D.

Octavus modus ascendit ad paraneten diezeugmenon, id est d, raro ad e; descendit vero ad lichanon hypaton quae est D, aliquando etiam in C; possidens inter D et d quartam vel cum primo magistro primam diapason formam; supra et infra assumens chordam. Hunc enim Ptolomeus annexuit, et quia diapason octava specierum diversitate caret, eamdem cum primo magistro sive quartam, sive primam obtinuit, quantum ad se quartam, quantum ad illum primam. Qui duo quamvis eamdem videantur habere speciem, in hoc tamen differunt, quia diversam habent finalem, diversam et mediam distinctionem, diversam quoque diatessaron et diapente positionem. Primus quippe finalem habet D sed in a distinguitur; iste finalem habet G, in eaque ipse mediatur. Ille diatessaron superius et diapente inferius, iste vero diatessaron inferius et diapente habet superius. Ipsa quoque cantus eorum qualitas in progressu gravitatis et acuminis diversas suae cognitionis exhibet formas. Hujus cantus initia, ut aliorum discipulorum, quatuor sunt legalia D E F G, usitata vero sex sicut et distinctiones, additis ad priores a et [sqb]. Invenitur tamen cantus ejus incipere et superius in c et inferius in C. Et hi sunt magister quartus ejusque discipulus. Si magistri cantum in F vel G (17) inferioribus inchoaveris, ad f superiorem sit minimus modus intensionis; discipuli vero causa supradictae differentiae ad E inferiorem minimus modus remissionis.

'Haec est sententia juniorum de intensione et remissione octo modorum', non quod eatenus observata sit, sed quod observari oportuerit nec ipsa tamen ea lege constricta quam debuit. Nam quod authentis ascensus in decimam a finali sua chordam et descensus in tertiam, subjugalibus vero in septimam aliquando tribuitur intensio, magis per hoc, quod in Gregorianis quibusdam cantibus hujusmodi inveniuntur exempla, conceditur quadam licentia quam ex veri judicii sententia, ne, [62] si huic progressioni a nobis contradicatur et a lectore post in antiquis reperiatur, quasi pro diversitatis errore moneatur. Si quis autem cantus hos limites supervadit, hoc est in authento ultra decimam, in plagi ultra septimam ascenderit, infra tertiam vero in authento vel infra quintam in plagi descenderit, irregularis erit, nec sit aliquis qui contendat quod emendari non debeat, maxime si ad finalem suum legitimo cursu non redeat, excepto si sit cantus indifferens inter magistrum et discipulum, qui licenter descendit etiam ad sonum quintum. In quo tamen illud est observandum, ut, si in tantum descenderit inferius, totum diapason ascendat a finali superius, quatenus ex utraque parte diapente id est supra [19v] et infra illam diatessaron contineat, vel ex utraque parte diatessaron diapente possideat, ut per hoc, quia communis sit, pateat. Invenitur tamen in (18) cantibus antiquis authenti cantus per diatessaron a finali descendens, quod non est adeo mirandum, nec tamen imitandum vel in usum trahendum. Sed rocolat musicus cantum suum intra praescriptos limites esse cohibendum, noveritque illud, quod praedictum est, proinde accidisse, quia constat, ut supra diximus, magistrum et discipulum apud veteres communem descensum in quartam vel quintam chordam habuisse. Quod ita esse cum non solum scriptis, verum etiam multis Gregoriani cantus exemplis (possit approbari, ex subscriptis quoque versibus antiquitus compositis:) satis valet annotari.

Qui cupias priscum modulandi noscere nisum,

Huc venias, nam certa tibi hic patet analogia.

Octo tonis totum constat perpendere cantum,

Nomine majorum distinctis atque minorum,

Quatuor hos nervi discernunt lege canendi,

Singulus ut varios teneat simul ordine binos:

Primum majorum lichanos hypatonque minorum,

Post simul amborum hypate meseque secundum

Ordo hinc, quam poscat meson parhypate, noscat

Quartum, et eorumdem lichanos meson probet idem

[63] Quod loquor est tale, sit ut haec concordia fine,

Quatuor est nonus majorum ascensio nervus

Et quintus totidem, sextus quoque raro minorum;

Omnibus immixtus simul est descensio quintus.

Ista probat mente circans species diapente

Gnarus quas cordi figit tactor monochordi.

Hinc colligi potest, quanto studio quantaque (18v) diligentia veteres hoc pro regula et quasi pro lege tenuerunt, quod pro majoris memoriae commendatione metro etiam tradiderunt, ut hoc quod cantus authenti alicujus invenitur aliquando in quintam chordam descendere, jam non sit mirandum, sed magis sustinendum et valde [(ultra)] cavendum, non prolixior sit cantus, qui, ut praedictum est, et authenticam elevationem et plagalem continens depositionem, inter utrosque possideat communionem.

Capitulum IX. De vocibus musicis.

Vocum aliae sunt consonae, aliae dissonae, aliae aequisonae, aliae unisonae, aliae emmeles, aliae ekmeles. 'Consonae sunt quae compositum quidem permixtumque, suavem tamen efficiunt sonum ut [20] diapente et diatessaron. Dissonae sunt quae non permiscent sonos atque insuaviter feriunt audientium sensum [(sensum audientium)]. Aequisonae sunt quae simul pulsatae unum ex duobus atque simplicem sonum ex acuto et gravi efficiunt, ut est diapason eaque duplicata quae est bisdiapason. Unisonae sunt quae simul pulsatae unum atque eumdem sonum reddunt. Emmeles sunt quaecumque consonae quidem non sunt, recte tamen ad melos aptari possunt ut tonus ceteraeque intervallorum species. Ekmeles autem dicuntur [64] quae in coniunctione, ut melos efficere possint, non recipiuntur' ut B et F et [sqb].

Capitulum X. De musicis intervallis.

'De intervallis vero vocum quibus omnis cantus contexitur et digeritur', musici diversi sentiunt diversa, quidam sex tantum, quidam vero novem ponentes intervalla. De quibus tamen illa sunt eligenda quae probabilioris convenientiae majorisque auctoritatis judicantur habenda. 'Domnus quippe Guido sex (19) tantum esse testatur, scilicet semitonium, tonum, semiditonum, ditonum, diatessaron, diapente; a principio quidem unisonantiam, a fine autem diapente cum semitonio et diapente cum tono abscidens, dicensque eas non debere cum ceteris annotari, quasi nusquam in cantu regulari valeant approbari.

Nos vero non solum haec novem intervalla, sed et diapente cum semiditono, id est bisdiatessaron; interdum etiam ipsam diapason in Gregoriano cantu reperimus. Ideoque si quod de his intervallum debeamus repudiare nescimus. Unisonantia quippe est, ubi vox non variatur, sed multae neumae

crebris iterationibus in uno sono continuantur', ut fit in 'distrophis ['' supra lin.] et tristrophis [''' supra lin.] et in subscriptarum antiphonarum exordiis:

[Frutolf, Breviarium, 64; text: A Ecce veniet desideratus.' A Factus est repente de coelo.] [FRUBRE 03GF]

[65] 'Diapente cum semiditono est ubi vox quatuor tonis et duobus semitoniis, quod est bis diatessaron, intenditur vel remittitur, ut in illo versu Offertorii "Da mihi intellectum" quis probare poterit, qui illum post finem prioris versus per istud intervallum recta incepit.' Prioris enim finis est in gravi D quae est lichanos hypaton, istius vero inceptio in acuta c quae est trite diezeugmenon, inter quas habentur quatuor toni et semitonia duo. 'In illo autem versu qui est "Domine deus tu cognovisti justitiam tuam [meam] non abscondi" ab illius syllabae depositione quae est "am" in elevationem sequentis quae est "non" intervallum est diapason.' [20v] Prior enim finitur in parhypate hypaton, id est in gravi C, sequens vero incipit in trite diezeugmenon, id est in acuta c. Domnus (19v) vero Bern abbas Augiensis novem intervalla scripsit, sed Hucbaldum musicum secutus et ipse quidem unisonantiam abscidit, sed tritonum in sexto intervallorum loco posuit, sicque novem intervalla, id est semitonium, tonum, semiditonum, ditonum, tritonum, diatessaron, diapente, diapente cum semitonio, diapente cum tono eisdem fere exemplis, quibus et ille quem secutus est, elucidavit. Sed domnus Guido negat, tritonum in intervallis fieri, cum dicit, quartas voces sibi non nisi per diatessaron jungi; ait enim sic:

'Omnis vox secunda sibi jungitur et tertiae;

Quartae vero et quintae non jungitur aliter,

Nisi diatessaron ibi sit vel diapente.'

Item: 'Cum vox aliqua movetur ad secundam, aut fit tono aut semitonio; cum vero ad tertiam, semiditono fit aut ditono; ad quartam et quintam non fit nisi per diatessaron aut diapente.'

Multi tamen auctoritatem illorum in eisdem intervallis sequebantur, quod etiam versus sequentes de hisdem per quemdam compositi testantur:

[66] [(19v) in marg.] Ut [g supra lin.] cantor [f d supra lin.] junctis [ g g supra lin.] derives [g d' cc supra lin.] singula [ee cc d' supra lin.] punctis [d' g supra lin.]

Intervalla [a f g d supra lin.] novem [g g supra lin.] dabit [g d' cc[sqb] supra lin.] haec [cc supra lin.] lex [[sqb] supra lin.] agnitionem [ag fe f g g supra lin.]

Primus [g f supra lin.] habet [d c supra lin.] limma [e f supra lin.] quo [g supra lin.] non [ag supra lin.] vox [g supra lin.] strictior [f e d supra lin.] ulla [g g supra lin.]

Assonat [cc [sqb] a supra lin.] huic [d' supra lin.] phthongus [ccd' d supra lin.] subjectum [cc d' cc supra lin.] limma [[sqb] cc supra lin.] secundus [a fg g supra lin.]

Emicat [g d c supra lin.] inde [d e supra lin.] tonus [d c supra lin.] connexo [c e c supra lin.] limmate [f e d supra lin.] ternos [cd d supra lin.]

Quatuor [f e c supra lin.] atque [c e supra lin.] modum [c f supra lin.] quartum [e c supra lin.] dat [d supra lin.] vis [fe supra lin.] athomorum [f g g g supra lin.]

[(20) in marg.] Hinc [g supra lin.] quintum [[sqb] cc supra lin.] captas [d' d' supra lin.] si [d' supra lin.] sic [gg supra lin.] diatessaron [gg d' ff ee cc supra lin.] aptas [d' d' supra lin.]

Hinc [d' supra lin.] sextum [d' d'cc supra lin.] recinis [[sqb] cc d' supra lin.] si [d'gg supra lin.] binam [ggff ee supra lin.] diesin ee d' cc supra lin.] addis [d' d' supra lin.]

[[21] in marg.] Mox [d' supra lin.] diapentinam [g a f g d supra lin.] sonat [g a supra lin.] emmele [cc [sqb] a supra lin.] septima [cc fe f supra lin.] formam [g g supra lin.]

Juncto [f g supra lin.] dichotomo [a cc a cc supra lin.] sonat [d f supra lin.] hinc [ed supra lin.] vox [d supra lin.] ogdoa [d f e supra lin.] formam [g g supra lin.]

Procinis [d f g supra lin.] inde [a g supra lin.] sonum [f g supra lin.] connexo [a cc [sqb] supra lin.] limmate [cc a g supra lin.] nonum [e g supra lin.]

Iste [d' cc supra lin.] suo [d' ff supra lin.] cunctos [gg d' supra lin.] concludit [gd' d' g supra lin.] syrmate [gd'cc[sqb]cc ge fg supra lin.] phthongos. [g g supra lin.]

[68] Illustris autem vir domnus Herimannus cuius acuminato ingenio multum in talibus aspirat favor modernus, quasi medius inter hos regiam viam cedens et neutris ex parte consentiens, neutrisque omnino dissentiens et ipse quidem novem intervalla describit in versibus quos de his composuit. Et unisonum vel aequisonum in ordine primo adjungit, tritonum vero funditus excludit, diapente cum semiditono et diapason quasi pluriora intervalla et ideo minus usitata, licet in auctoritatis cantibus inveniantur, non adnumerat. Novem vero, quae sequuntur, veluti faciliora et usitatiora declarat; videlicet unisonum vel aequisonum, semitonium, tonum, semiditonum, ditonum, diatessaron, diapente, diapente cum semitonio, diapente cum tono. Multum autem adeo miror, cur unisonantiam praetermiserint alii, nisi forte quia nec sursum nec deorsum movetur sicut ceteri modi, non intendentes quia, licet non habeat intervallum intensionis et remissionis, habet tamen spatium distinctionis, et dum saepius repetita superius vel inferius in suo statu continetur, aliis intervallis principium motionis dare videtur, ideoque (20v) vocabulo illo non jure privatur, quo ceteris quodammodo principatur, sicut et in grammatica nominativus dicitur casus non quia ipse cadat, sed quia cadendi formam ceteris praebeat.

[69] Versus atque Notas Herimannus protulit istas. [Frutolf, Breviarium, 69; text: Ter tria iunctorum sunt intervalla sonorum, Nam nunc unisonos exequat vocula ptongos, [21v], Nunc prope consimilem discernit limma canorem, Nunc tonus affini tribuit discrimina voci, Nec non assidue conjunctim limma tonusque. Et duo saepe toni pariter sibi continuati, G, [Tau], s[Tau], d, [Delta], e, s, ss[Tau], s[Tau][Tau], [Tau][Tau]] [FRUBRE 04GF]

[70] [Frutolf, Breviarium, 70; text: Saepeque dulcissonas moderans diatesseron odas, Et crebro grate mulcens aures diapente, Interdumque toni bino cum limmate terni, Ac quandoque tonis connexum limma quaternis, Haec si voce notisque simul discernere noris, Quemvis distinctum potes his mox pangere cantum, Discernendo thesin sine praecentore vel arsin. d, e, ed, [Tau], s[Tau], [Delta], s[Delta], [Tau][Delta], d[Tau], [Tau][Tau]] [FRUBRE 05GF]

[72] Item cantilena cuiusdam de eisdem consonantiis.

Ter terni sunt modi quibus omnis cantilena contexitur, scilicet unisonus, semitonium, tonus, semiditonus, ditonus, (21) diatessaron, diapente, semitonium cum diapente, tonus cum diapente. Ad haec sonus diapason si quem delectat, eius hunc modum esse agnoscat. Cumque tam paucis [22] clausulis tota harmonia formetur, utilissimum est, eas altae memoriae commendare nec prius ab huiusmodi studio quiescere, donec vocum intervallis agnitis harmoniae totius facillime queat comprehendere notitiam.

De quatuor modis vocum.

Quatuor modi sunt quibus omnis cantilena dignoscitur, quos istis notulis praenotamus. Primus modus talis habetur qui diapente intenditur, tono deinde demittitur. Secundus diatessaron elevatur, ditono remittendo demittitur. Tertius ditono [73] exaltatur, diatessaron deponitur. Quartus huic proximus tono sustollitur, diapente reflectitur. Si quis hos modos memoriae commendaverit, facile omnem tropum agnoscere valebit. Necnon et (21v) hactenus inauditam cantilenam corrigere quibit depravatam.

[75] Frutolfus naeniis ceu stultus luserat istis,

Dans tamen octonis congrua multa modis.

[Lichanos hypaton in marg.] Quid teneat proprium varius sonus octo modorum

Scilicet antiphonis noscendis atque regendis,

[(22) in marg.] Ac distant in quo, subscriptus continet ordo.

De primo tono et differentiis ejus.

Principii limmam primus tenet hanc; Medicinam,

[(Differentia I) in marg.] Differt sed primum sic; Primum quaerite regnum.

[[23] in marg.] Huic etiam tales junguntur; Quae. Mulieres

[(Differentia II) in marg.] Ergo secunda canit distantia; Christus. Amavit.

[(Differentia II) in marg.] Tertia sumit; Ave. placet Unus. Lux. Ego. quartae.

[(Differentia V) in marg.] Diffusa est quintae concordat. Dicite sextae.

[(Differentia VII) in marg.] Septima Redde mihi sonat. Exi. Quam. Scio. Vidi.

Subnixum solio dominum residere superno. [fe d d supra lin.]

[76] De modo secundo et differentia ejus D

[De modo II in marg.] Haec est ergo modi specialis forma secundi

Assumpsit Jesus. Calicem. Consurge. Regressus.

[(Differentia I) in marg.] Differt his: Ecce. Genuit. Virgo paribusque.

De tono tertio.

Triti principium. Favus. O crux. Gloria. Verbum.

[(Differentia I) in marg.] Discrimen primum. Claudus. (Differentia II.) O vera secundum.

[(Differentia III) in marg.] Tertia Cognovit discretio. (Differentia IV.) Quarta Reliquit.

[(f. 22v) in marg.] Talibus explentur hujus quae lege tenentur.

De modo quarto.

Principium quarti poterit sic rite notari.

Ascendit. Rorate. Super. Dignare. Magister.

[(Differentia I) in marg.] Ad te. Ex Aeqypto pariterque Fidelia primo.

Discernunt (Differentia II) Benedicta dein (Differentia III) Gregorius. exin.

[(Differentia IV) in marg.] Solve jubente Deo quartam notat et Tulit ergo [23v].

[(Differentia V) in marg.] Exivi a patre quintam regit ac Habitare.

[(Differentia VI) in marg.] Notitiam sextae tribuunt O mors ero. Vade.

De modo quinto.

Principium cantus quinti monstrat Nazareus

[(Differentia ejus)] Qualiter hic distent, demonstrant Solvite. Ponent

Et tales multae satis ex usu manifestae.

[77] De modo sexto.

Dant sexto formam Non turbetur. Puer. O quam.

Quae. Veniat. Hodie Christus. Pax. Si ego. Quinque.

[(Differentia ejus) in marg.] Hic etenim differt Miserere. Malos male perdet.

[78] (23) De modo septimo.

Septimus exemplis exorditur modis istis:

Assumpta est Maria. Vidit Jacob. In Galilaea.

[79] [(Differentia I) in marg.] Facta est. Ingenua, cujus discretio prima.

Has simul assumit: Scio. Scimus et Ipse praeibit.

[(Differentia II) in marg.] Dives. Stella. Vide. Lauda sunt forma secundae.

[80] [(Differentia III) in marg.] Tertia sic aderit: Semen vel Mirificavit

[(Differentia IV) in marg.] Quarta: Quis es. Salve. Mecum. Non sis mihi. Surge.

[81] De modo VIII ejusdemque differentiis.

[[24] in marg.] Principium octavo dant: Vox, Benedictio, Christo.

Ascendente, Alias, Cum palma, Serve. Tu es vas.

[(Differentia I) in marg.] Distandi forma sit prima: Tu es vel Adorna.

Mitte, Magi, Scriptum, Vitam, Verbum caro factum.

[(Differentia II) in marg.] Ardens est, Hodie, Dominus subjunge secundae.

[(Differentia III) in marg.] Justorum, Dixit, Sapientia tertia sumit.

[(Differentia IV) in marg.] Quarta: Priusquam te, Sic, Lumen, In Israel, Ecce.

[82] [(Differentia V) in marg.] Quinta: Deus meus es, Omnis plebs, Ponit, Euntes.

[(Differentia VI) in marg.] Nos et In ecclesiis sexta est, sit barbara quamvis.

[(23v) in marg.] Tot vicibus variis cantus discernitur omnis

Quid significent et operentur hae notae.

E voces unisonas aequat. S semitonii distantiam signat. T toni differentiam tonat. S cum T semiditonum statuit. TT duplicata ditonum titulat. D diatessaron symphoniam denotat. [Delta] Delta diapente consonantiam discriminat. [Delta]s Delta cum S bina cum tritono limmata docet. [Delta]t Delta cum T quaternos cum limmate tonos, maximum videlicet in cantilenis nostris phthongorum intervallum determinat. Sed hae notae cum [83] punctis remissas, sine punctis intensas vocum differentias discernunt praetaxatas.

[85] (23v) Capitulum XI. De mensurando monochordo.

Expeditis igitur omnibus quae ad praemittendum pro monochordi speculatione et musicae artis cognitione maxime necessaria putavimus, ad ipsius monochordi mensuras veniamus. Ad mensurandum monochordum 'duo hemisphaeria, quae [86] magdas vocant, concavo instrumento hinc et inde superponantur, inter quas in porrecta epiphania' id est superficie ejusdem instrumenti 'lineae quasi chordae supertensae divisiones exarentur. Quodsi tria monochordorum genera mensurare disposueris, superficiem a magda usque ad magdam lineis protensis in tria dividas et in subteriori spatio diatonicum, in medio chromaticum, in superiori enharmonicum juxta subscriptam regulam componas. Sed priusquam eorum dimensionem incipiamus, rationes vocabulorum paucis absolvamus.

[24v] Diatonicum genus melorum quo nos utimur, ideo dicitur, quod tonorum dimensionem et compositionem exsequitur;' in eo enim saepius duo toni conveniunt, quod reliqua non recipiunt, dum unum horum per semitonia, aliud per dieses exaratur, ut in sequentibus declaratur. Diatonicum ergo 'genus meli fortius et durius comprobatur; ideo, ne animi audientium vel (24v) canentium dulcedine cantus emolliantur, ecclesiastico usui aptatur. Musica enim suavitate vel morositate animos commutari et quilibet in se ipso potest experiri, et sapientium scripta novimus attestari. Chromaticum vero genus quasi coloratum dicitur, quod, a diatonico primum discedens, alterius quasi sit coloris. Chroma enim dicitur color. Hoc itaque genus mollissimum comprobatur, quocirca ecclesiastico usui non aptatur. Enharmonicum autem dicitur optime coaptatum, quod ex utrisque his modeste compactum sit et contemperatum nomenque accepit ex harmonia, quae est diversarum vocum concordabilis convenientia. Hoc genus quasi medietatis locum possidet, ut nec durum valde vel molle sit, sed ex utrisque compositum dulcescit.' Ecclesiasticus tamen usus illud non recipit. 'Unde diatonici mensuram nunc ordiamur.'

Secundum authenticam Boetii institutionem totam inter magdas longitudinem monochordi in quatuor aequa spatia debes partiri sicque per haec ceteras dimensiones exsequi. Sed quia sunt cantus quidam qui non possunt in hac dimensione aliter cantari, nisi magdam discurrentem seu quodcumque est quo cantus formatur, contingat saepius ad altiora et acutiora reponi, [87] 'moderni diligentiores' 'subtilius haec discriminantes', statuerunt tonum adhuc veteri mensurae in gravibus adjici et tetrachordum synemmenon, sicut et superius in acutis, ita et inferius gravibus propter quosdam cantus interseri. Quod qualiter fieri possit, subsequens regula docebit.

Divide longitudinem lineae diatonici generis in tres aequas partes et primo puncto a dextra magda d literam appone, secundo item D, tertio, qui est in sinistra magda, gammam adscribe [Gamma], ut prima pars a (24v) dextra magda in d, secunda item in D, tertia in gammam magdae sinistrae. Hanc itaque tertiam partem ultimam a D in [Gamma] divide in tres partes et secundam ejus partem, quae est et octava totius longitudinis, primum [25] scilicet punctum a gamma sinistrae magdae notato A litera, quae erit et proslambanomenos, ultima scilicet chorda totius boetianae mensurae. Illud vero spatium quod jacet ab A usque [Gamma], nona pars est totius interstitii magdarum, et hic est tonus quem a modernis diximus antiquae mensurae fuisse adjectum.

Nec hoc quemquam moveat, cum ipse Boetius totam musicam antiquitus in quatuor tantum chordis constitisse doceat, sicque postea a diversis auctoribus numerum chordarum paulatim additum testetur, donec ipso eas colligente ad bisdiapason perveniret. In quibus cum omnis harmonia decenter contineatur, nihil boetianae authenticae mensurae hic tonus adjectus vel synemmenon gravibus innexum adversatur; sed salva et integra omni mensurae illius auctoritate pro sola haec addita sunt canendi facilitate. Nunc coepta sequamur.

Totam longitudinem quae est a dextra magda usque proslambanomenon quae est A, longitudinem scilicet totius boetianae regulae juxta authenticam ipsius mensuram in quatuor aequas partes divide hasque literis adnotato A D a aa, ut prima pars sit a proslambanomeno quae est A, usque lichanon hypaton quae est D, secunda a lichano hypaton usque ad mesen quae est a, tertia a mese usque neten hyperbolaeon quae est aa, quarta usque ad finem [2304].

[88] Deinde incipiens a dextra magda, spatium quod ab ipsa est usque neten hyperbolaeon quae est aa, divide in octo partes et octavam eidem adjice et ibi g literam pone, habebisque tonum sesquioctava proportione consistentem, et haec est paranete hyperbolaeon [2592].

Rursus ab eadem magda usque g per octo divide octavamque adjiciens f ibi pone, habebisque item tonum secundum sesquioctava proportione consistentem (25) [(constantem)], et haec est trite hyperbolaeon [2916]. Ecce duos tonos habes continuos. Habent autem hi et omnes sequentes cum semitoniis easdem proportiones inter se, quas numeri extrinsecus positi in margine.

Item neten hyperbolaeon, id est ab ipsa magda usque aa per tres partes divide ad tertiam eidem addens ibi e constitue, et habebis semitonium, id est neten diezeugmenon sesquitertia vel epitrita constans proportione [3072]. En habes tetrachordum hyperbolaeon constans [25v] tono, tono et semitonio quae est diatessaron consonantia.

In spatio vero illo quod est ab e usque d, quam primum in tripartita dimensione posuisti, habebis tonum quasi jam sesquioctava proportione dimensum, et haec est paranete diezeugmenon [3456]. Quem tonum si superiori tetrachordo adjeceris, diapente symphoniam habebis, constantem tono, tono, semitonio, tono.

Post hinc paranete diezeugmenon, id est a magda usque d, in octo partes divide octavamque adjiciens c literam pone et habebis iterum tonum, id est triten diezeugmenon, sesquioctava proportione constantem ad paraneten diezeugmenon [3888].

Rursus divide neten diezeugmenon, id est a magda usque e in tres partes tertiamque superadjiciens [sqb] quadratam constitue, et habebis semitonium quod est paramese, sesquitertia proportione constans ad neten diezeugmenon, et est diatessaron symphonia ad eamdem neten diezeugmenon [4096], constans ditono et semitonio. Ecce secundum habes tetrachordum diezeugmenon, id est disjunctum a mese, constans tono, tono et [89] semitonio. Sicque tonum usque a, id est mesen invenies remanere, quae mese media est totius boetianae mensurae. Quem tonum si tetrachordo diezeugmenon (25v) adjunxeris, diapente symphoniam ditono et semitonio itemque tono constantem habebis.

Hoc quoque in loco tetrachordum synemmenon, id est conjunctum, debes innectere, quod ducta a mese usque paraneten diezeugmenon linea, id est ab a ad d oportet te ab inferioribus dividere. Cujus acutissima chorda nete synemmenon eadem est quae et paranete diezeugmenon, hasque sic conjunctas una chorda per utraque linearum spatia a summo deorsum ducta notato et superius nete synemmenon habebis inferius paraneten diezeugmenon ambas una litera d designatas. Secunda ejusdem tetrachordi chorda paranete synemmenon eadem est quae trite diezeugmenon, quas, simili modo connectens, superius paranete synemmenon habebis, inferius trite diezeugmenon, ambas c litera notatas.

Tertiam vero chordam quae est trite synemmenon tonoque distat a trite diezeugmenon, a mese vero semitonio, metiaris hoc modo: Divide triten diezeugmenon, id est a magda usque c in octo et superaddens octavam habebis tonum sesquioctava proportione [26] constantem sicut semper [4374]. Vel divide triten hyperbolaeon, id est a magda usque f in duas partes medietatemque adjiciens habebis iterum triten synemmenon, tono similiter a trite diezeugmenon distantem, sed hemiolia, id est sesqualtera proportione ad triten hyperbolaeon constantem hancque ducta per superius tantum linearum spatium chorda b litera rotunda notato, paramesen vero ducta per inferius tantum spatium chorda [sqb] quadrata, ut supra dictum est, signato.

Quo facto et hoc tetrachordum, tertium scilicet synemmenon in superiori linea a paranete diezeugmenon ad mesen, id est a d usque a tono et tono ac semitonio constare perspicies. Cum enim triten synemmenon mensura, qua dictum est, inveneris, inter ipsam et mesen semitonium remanere videbis [4608]. Ecce ab aa usque a, id est a nete hyperbolaeon usque mesen, diapason consonantiam in dupla proportione consistentem [90] tenes et tria tetrachorda, scilicet hyperbolaeon, diezeugmenon, synemmenon.

Huic aliud diapason ab a usque A, id est a mese usque (26) proslambanomenon, quae chorda est ultima eodem tonorum semitoniorumque ordine, debes subjungere, sive magis velis eadem mensurandi ratione seu diversa. Sive enim a magda dextera usque a, id est usque mesen, in octo dividas nonamque adjicias quae propria est mensura inveniendi toni, lichanos meson invenietur haecque litera G notabitur [5184]; sive ab g quae est paranete hyperbaleon usque ad magdam circinum extendas et remittas quae item propria mensura est, eamdem lichanon meson invenies; sive a magda usque d, quae est paranete diezeugmenon, duplices superadjecta tertia identidem habebis; sive a magda iterum usque c, quae est trite diezeugmenon, tripartiaris superaddita quarta idem invenies eritque ad mesen epogdoa, id est sesquioctava proportio quae est tonus ad triten diezeugmenon sesquitertia, ad paraneten diezeugmenon sesqualtera, ad paraneten hyperbolaeon dupla.

Simili modo parhypaten meson, quae a lichano meson tono distat et F notabitur, [5832] invenies, sive per octavam a magda ad G addita nona, sive per duplicationem f, quae est trite hyperbolaeon, id est per extensionem circini ab ea ad magdam iterumque remissionem, seu per tertiam b rotundae, quae est trite synemmenon, addita quarta; vel per dimidiam c, quae est trite diezeugmenon, ad magdam addita tertia eritque ad lichanon meson sesquioctava, ad [26v] triten synemmenon sesquitertia, ad triten diezeugmenon sesqualtera, ad triten hyperbolaeon dupla.

Deinde hypate meson, quae a parhypate meson semitonio distat et E notabitur [6144], ita invenitur: sive ab a, quae est mese, usque ad magdam in tria partiaris et quartam adjicias; sive [sqb] quadratam, quae est paramese, dimidiaveris addita tertia; vel e, quae est nete diezeugmenon, duplicaveris, eritque ad mesen diatessaron symphonia in sesquitertia proportione, ad paramesen diapente in sesqualtera, ad neten diezeugmenon diapason in dupla; sicque et hoc tetrachordum meson, quod est quartum ab a usque E tonum, tonum et semitonium constat habere.

[91] (26v) Postea lichanos hypaton [6912], quae tono distat ab E et notatur litera D, in quarta parte totius boetianae mensurae occurrit, quamvis et ipsa multis modis aliter inveniri possit. Habet enim ad hypaten meson, quae est E, epogdoam proportionem, quae est toni propria; ad lichanon meson, quae est G, epitritam; ad mesen, quae est a, hemioliam; ad paraneten diezeugmenon, quae est d, duplam; et ad mesen resonat diapente symphoniam in sesqualtera.

Item parhypate hypaton [7776], quae tono distat a lichano hypaton et C notatur, sive per octavam partem D a magda addita nona, vel per tertiam F adjecta ad eam quarta, seu per dimidiam G tertia adaucta; sive per duplicationem c, quae est trite diezeugmenon, quod facillimum est, invenitur: habens sesquioctavam proportionem ad D, sesquitertiam ad F, sesqualteram ad G, duplam ad c.

Exin hypate hypaton [9216], quae semitonio a parhypate distat et B notatur, vel per tertiam E, que est hypate meson, quarta superaucta; sive per duplicationem [sqb] quadratae, quae est paramese, invenitur; habens ad E proportionem sesquitertiam, ad [sqb] duplam; et est diatessaron symphonia ad hypaten meson, quae est E. Et hoc tetrachordum hypaton, quod est quintum, ab hypate meson ad hypaten hypaton, id est ab E ad B, ditono et semitonio, sicut et priora, consummabitur.

Adhuc restat tonus, sicut et in superioris diapason mensura, a B usque A quae est proslambanomenos vel prosmelodos, in qua secundum diapason finitur et totius boetianae monochordi mensura in diatonico melorum genere perficitur. Qui tonus, si praecedenti tetrachordo adjicitur, diapente consonantia perficitur. Haec autem chorda sesquioctavam proportionem habet ad B, diatessaron rejiciens, habebis eamdem; vel extende circinum a magda in triten synemmenon superiorem que est b rotunda, eumdemque remittens habebis hanc eamdem in gravibus epogdoa proportione constantem ad C, hemiolia ad F, dupla ad b rotundam; hancque, ducta per superius tantum spatium mediae lineae chorda, notabis litera S. Quo facto et hoc tetrachordum, sicut in acutis, tono et tono ac semitonio [92] velut et cetera constare perspicies; sicque bis diapason ab A usque aa, id est a proslambanomeno usque neten hyperbolaeon in quadruplo te descripsisse cognosces [8216].

Adhuc quoque restat tonus unus super mensuram boetianam [10368] quae est bisdiapason, qui, a modernis, ut supra dictum est, rationabiliter et necessario additus, nona pars monochordi totius habetur, sicque generalis mensura diatonici generis plenissime completur.

De chromatico et enharmonico genere.

(27v) Quodsi chromaticum et enharmonicum genus etiam mensurare volueris, in uno tetrachordo diatonico generaliter doceri poteris. Ad metiendum quippe chromaticum sume in sesquitertia resonat ad D, diapente [27] in sesqualtera ad E, diapason in dupla ad a, id est ad mesen; diapason et (27) diatessaron in dupla superbipartiente ad d, id est paraneten diezeugmenon; diapason et diapente in tripla ad e, id est neten diezeugmenon; bis diapason in quadrupla ad aa, id est neten hyperbolaeon.

Juxta praedictam vero rationem synemmenon sicut hic [hic sicut] et in superioribus necessario a modernis innectitur, licet a veteribus quasi non necessarium negligeretur. Quod itidem ducta ab A ad D, id est a proslambanomeno ad lichanon hypaton linea ab inferioribus dividatur ejusque acutissima chorda nete synemmenon cum lichano hypaton conjungatur. Secunda paranete synemmenon cum parhypate hypaton, quae est C, adunetur. Tertia vero trite synemmenon, quae a parhypate hypaton distat tono et a proslambanomeno semitonio, mensuretur hoc modo: Divide spatium, quod est a dextera magda usque ad parhypaten hypaton quae est C, in octo partes, adjiciens octavam, habebis tonum [8848] triten synemmenon; vel divide parhypaten meson, id est a magda usque F, in duas partes, alteramque minimum et acutissimum in quolibet [93] tetrachordo diatonici generis tonum et eum in duo divide; sic que [27v] circinum in sequentem tonum majorem vertens, tria semitonia facto signo simul complectere et duo reliqua semitonia ex tetrachordo lineis distingue; sicque per singula tetrachorda pari dimensione descende.

[94] 'Ad metiendum vero enharmonicum duos continuos diatonici generis tonos complectere et sequens tantum semitonium in duo aequa facta linea distingue; et sic in omnibus tetrachordis diatonici generis duo haec genera metire.' Sic ergo diatonicum genus per tonos et tonos et semitonia, chromaticum per trisemitonium compositum et semitonium ac semitonium, enharmonicum vero per ditonum compositum et diesin ac diesin exaratur. Dimidium enim semitonium diesis dicitur.

Horum autem duorum monochordorum synemmenon tetrachordum sic facies: Duc itaque lineam in medio interstitio utriusque monochordi a mese usque ad eum locum qui deorsum e regione respicit neten synemmenon diatonici generis, easque superioribus tantum lineis transversim conjunge, ut inferius videantur quasi pendulae et ibi habetur nete synemmenon in utroque genere. Quae licet omnium horum trium monochordorum communis habeatur propter mensurae (sic!), tamen in aequalitate deorsum per omnia sicut aliae quaedam non exaratur. Quibus lineis factis in chromatico quidem genere ab eadem nete synemmenon tonum et dimidium diatonici generis metire, quod est in diatonico a d usque quadratam [sqb], ductaque superius linea paranete synemmenon notabis, versoque circino cum semitonii mensura triten synemmenon habebis; indeque semitonium aliud usque mesen restare videbis, (28) sicque hoc tetrachordum sicut et praecedens trisemitonio et duobus semitoniis divisis te pinxisse gaudebis. Similiter inferius in eodem genere a nete diezeugmenon per trisemitonium conjunctum et duo semitonia divisa facto tetrachordo, tonus qui est paramese usque mesen remanebit.

In enharmonico vero genere a supradicta nete synemmenon duos continuos diatonici generis tonos complectere qui sunt a d in rotundam b, ductaque sursum linea remanens usque mesen semitonium in duo aequa divide unamque diesin paranete synemmenon, alteram trite [28] synemmenon tribue, sicque hoc tetrachordum per ditonum conjunctum et duas dieses completur. Similiter et inferius a nete diezeugmenon faciens itemque tetrachordum per ditonum conjunctum et duas dieses constituens [95] tonum paramesen, item usque mesen restare videbis sicque diapason trium generum per omnia te complesse probabis. Ad citius exemplum si inferius diapason duplicata in unoquoque genere omni mensura tonorum et semitoniorum feceris, omnem boetianae mensurae plenitudinem absque impedimento consummabis.

Capitulum XII. Recapitulatio brevis mensurae praescriptae in diatonico genere.

Si cui vero haec mensurandi monochordi descriptio aliquantum difficilis vel minus apta videtur aut obscura, quia propter saepius factam repetitionem chordarum ceterarumque necessario intimandarum aestimatur profusa; eam in diatonico tantum genere compendiosius et brevius recapitulemus, ut viam faciliorem omni mensori praeparemus. Monochordum itaque mensurare desiderans totum interstitium magdarum in quatuor aequa secundum Boetium mensurandum est, secundum modernos vero, ut tonus in quibusdam cantilenis necessarius inferius addatur, in novem partes aequaliter mensuretur. Ea vero pars, (28) quae est octava, A litera notetur; dehinc omnis boetianae mensurae summa hoc modo dividatur: Totam itaque longitudinem quae est a dextera magda usque ad A literam, in quatuor aequas partes divide, hasque his literis memento notare: aa D; quarta jam notata est A. Deinde spatium quod est a magda dextera usque ad primam aa, in octo divide nonamque rejecto circino adjiciens g pone, sicque tonum habebis. Similiter iterum a magda octo partes usque g mensurabis nonamque adjiciens tonum habebis quem litera f notabis. Tunc circinum item ad summitatem ponens, spatium illud quod est usque ad primam aa, divide in tria, rejectoque circino quartam adjiciens, semitonium habebis, quod e litera [96] signans, tetrachordum habebis quod est diatessaron in sesquitertia proportione, constans tono, tono et semitonio.

Iterum a summo usque ad e in octo sive, [28v] quod facilius est, a summo usque ad praedictam aa divide in duo, remissoque circino d pone, et habebis tonum ab e in d. Similiter a summo usque d in octo, sive a summo usque g diviso in duo, circinoque remisso, tonum habebis quem c litera notabis. Deinde a summo usque e in tres partes divide, quartamque adjiciens, semitonium habebis quod [sqb] quadrata notabis. Ex hac ergo [sqb] usque ad sequentem a quae est mese, tonum habebis, quo addito praecedenti tetrachordo quod secundum habetur, diapente consonantia completur constans ditono, semitonio, tono, quae cum diatessaron juncta diapason reddit. Hic ergo synemmenon tetrachordum sic adjunge: Duc lineam ab a proxima quae est mese, usque d sicque synemmenon ab inferioribus divide, eritque prima ejus chorda eadem quae est d notata, secunda eadem quae c; tertiam vero sic invenies: Divide a summo usque c in octo, sive a summo usque f in duo, circinumque rejiciens tonum a c habebis quem b rotunda notabis, et hic erit tertia chorda synemmenon, ex qua semitonium remanebit usque mesen quae est a et haec superius, sicque a d usque a tetrachordum (29) synemmenon tono et tono ac semitonio constans est insertum. Ab aa vero superiori usque ad mediam a diapason est consonantia.

Ut autem bisdiapason secundum Boetium perficias, eumdem numerum chordarum eodem ordine literarum, sed majorum a media a usque ad extremam A describas, tonorumque ac semitoniorum dispositionem inferius sicut superius simili modo eadem mensura percurras, scilicet a summo, id est a dextra magda usque ad mediam a in octo partiendo nonamque adjiciendo G ponas, sicque in consequentibus eodem modo eademque mensura, ut in superioribus factum est, facias; sive, quod facilius est, uniuscujusque chordae vel literae superioris spatium ad comparem suam in inferioribus duplices, et omnia sibi [97] convenientia invenies. Extende igitur circinum ab aa superiori ad magdam dextram eumdemque, cum ad a mediam remiseris, invenies eam duplicem superioris. Simili modo extendens circinum ab eadem magda ad g superiorem, eumdemque remittens invenies locum ubi ponas G inferiorem, et ita duplicans singulas superiores, omnes [29] compares invenies inferiores. Hoc autem omnino non obliviscaris, ut synemmenon inferius sicut et superius metiaris, cujus semitonium superioris duplum S litera notabis.

(30v) Capitulum XIII. De nominibus chordarum adbreviatio.

Sed quia mensurandi regulam dedimus, nomina quoque chordarum breviter in unum colligere et apponere supervacuum non judicemus. Prima ergo chorda, ut a gravibus abcendamus, quae A litera titulatur, proslambanomenos vel prosmelodos vocatur, proslambanomenos vero acquisita, prosmelodos autem ad cantum interpretatur eo quod melo apta videatur. Secunda hypate hypaton B notatur quae principalis principalium interpretatur, hoc nomen obtinens ex eo, quia vetustissimi musici post collectionem chordarum hanc habuerunt in monochordi principio; sed Ptolomeus rex Aegypti proslambanomenon postea adjecit eamque primam in gravibus existere fecit. Tertia parhypate hypaton C signata (31) proprie principalium principem est interpretata. Quarta lychanos hypaton, id est index vel digitalis principalium appellatur et D litera intitulatur. Quinta hypate meson, id est princeps mediarum dicitur et E insignitur. Sexta F signatur, quae parhypate [98] meson, id est prope principem mediarum vocatur. Septima lychanos meson, id est index vel digitalis mediarum appellatur et per G literam denotatur. Octava mese vocatur, quae et media est et media interpretatur et eadem litera qua et prima, sed minori a titulatur. Nona est paramese, quae prope mediam dicitur et [sqb] quadrata notatur ad distinctionem scilicet trites synemmenon quae inter eam et mesen in superiori tantum linea, ut supra dictum est, locatur et b rotunda signaturae tertia conjunctarum interpretatur.

Ceterae quae sequuntur eisdem literis quibus et praecedentes, sed minoribus signantur. Trite diezeugmenon quippe quae post paramesen locatur et in eo ordine decima computatur, c inscribitur et tertia disjunctarum dicitur. Ipsa quoque in superiori linea paranete synemmenon appellatur et prope ultimam conjunctarum interpretatur. Undecima paranete diezeugmenon, id est prope ultimam disjunctarum vocatur et d annotatur. Eadem vero superius nete synemmenon dicitur et ultima conjunctarum interpretatur. Duodecima nete deizeugmenon, id est ultima disjunctarum dicitur [29v] et e litera inscribitur. Tertia decima f designatur, quae trite hyperbolaeon, id est tertia excellentium vocatur. Quartadecima g figuratur, quae paranete hyperbolaeon, id est prope ultimam excellentium nominatur. Quintadecima aa informatur et nete hyperbolaeon, id est ultima excellentium appellatur.

En habes nomina chordarum breviter collecta, quarum inventionis ordinem et vocabulorum rationem Boetius in musica sua plenissime exsequitur; sed et (31v) superius aliquid de his breviter dictum invenitur. Ubi vero in musica de his pro dispositione monochordi aliquid agitur, si primum nervum proslambanomenon dixeris, tantum valet, quantum si eum A vel sicut in antiquis habetur F nominaveris, et ita in ceteris.

[99] Principio normae monochordum quadriformae

Lignum quadratum mensura quadruplicatum.

Sedenas monstrat chordas, quis cantio constat

Per grave finitum superans altum tetracordum.

Protus dum scandit finali, nona reclangit.

Dumque cadens refluit sibi cordula trita remugit

Sex scandens plagis boat et post tergula quadris.

Hoc primi cuncti sunt undique firmate cincti.

Ne decimam capite tangant quartam neque calce.

Subjectis reliquis contendis lege prioris.

[Frutolf, Breviarium, 99; text: A, B, C, D, E, F, G, a, b, c, d, e, f, g, aa, bb, cc, dd, ee] [FRUBRE 06GF]

[100] [Frutolf, Breviarium, 100, text: Primi toni melodiam psalles in directum. Primus, Secundum autem in fine et in medio sic variabis. Secundus, Tertium suspende in medio et in fine praecipita. Tertius, Quartus inprimis gradatim ascendit, sed tandem de alto cadit. Quartus, Quinti medietas secundo similis, sed finis dissimilis. Quintus, Sextus item ut primus imponitur, sed aliter deponitur. Sextus, Septimus quartum in medio respicit, sed ad finem despicit. Septimus, Octavus quinto in medio respondens tali tenore concluditur. Octavus] [FRUBRE 07GF]

[101] (31v) Capitulum XIV. Nomina.

I. De nominibus neumarum.

Punctum, bipunctum, tripunctum trisubpuncte, tripunctum subbipuncte. Apostropha, distropha, tristropha. Virga, bivirgis, [102] virga praebipunctis, virga subtripunctis; virga conbipunctis, virga contripunctis; virga praediatessaris, virga subdiatessaris, virga condiatessaris; virga praediapentis, virga subdiapentis, virga condiapentis. Gutturalis, gutturalis subbipunctis, gutturalis conpunctis; et si ex pluribus constiterit punctis, nomina instar priorum formabis. Sic et in sequentibus. Flexa, flexa strophica, flexa resupina, flexa sinuosa. Pes, pes subbipunctis, pes subtripunctis, pes subdiatessaris, subdiapentis; pes quassus, pes quassus subbipunctis, et cetera; pes flexus resupinus, pes flexus strophicus, pes subbipunctis, pes sinuosus, pes quassus flexus, pes semivocalis vel conexus. (32) Semivocalis vel conexa. Item semivocalis, semivocalis praepunctis, praebipunctis et cetera. Quilisma, quilisma praepuncte, quilisma praebipuncte, praetripuncte, praediatessare, praediapenticum; quilisma praepuncte et bisbipuncte, conbipuncte, contripuncte, ceteraque formabis ex punctis; quilisma flexum, resupinum, semivocale sinuosum.

Eptaphonus, Strophicus, punctum, porrectus, Oriscus, Virgula, Cephalicus, Clinis, Quilisma, Podatus, Scandicus et salicus, Climacus, Torculus, Ancus. Et pressus minor et major, non pluribus utor neumarum signis; erras qui plura refingis.

II. Abbreviatio nominum et vocabulorum.

a ut altius elevetur, admonet. b secundum literas quibus adjungitur, ut bene vel blande extollatur vel gravetur vel teneatur baligat (balonat). c ut cito vel celeriter dicatur testificat. [103] d ut deprimatur demonstrat. e ut aequaliter sonet eloquitur. f ut cum fragore vel frendore feriat flagitat. g ut in gravitate garruletur gradatim, gradulatur. h ut scriptura [104] aspirat, ita et in nota idipsum habitat. i jusum inferius insinuat gravedinemque pro g interdum indicat. k sicut apud latinos nihil valeat, apud nos tamen alemannos pro [chi] (id est c) graeca posita klende vel klange clamitat. l levare laetatur. m mediocriter melodiam moderari mendicando memorat. n notare id est nosatare notis. o figuram sui in ore cantantis ordinat. p pressionem vel prensionem praedicat. q in significationibus notarum cur quaerat, cum etiam in verbis ad nihil aliud scribatur nisi ut sequens v vim suam amittere quaeratur. r rectitudinem vel rasuram (32v) non abolitionis sed crispationis rogitat. s sursum vel susum scandere sibilat. t trahere vel tenere testatur. v valde licet amissa vi sua valde veluti vau graeca vel hebraea velificat. x quamvis latina per se verba inchoet, tamen exspectare expetit. y apud Latinos nihil hymnizat. z vero licet graeca et ob id non necessaria Romanis, tamen [Gamma] literae occupationem ad alia requirere in sua lingua.

Ubicumque autem duae vel tres vel plures literae ponuntur in uno loco, ex superiori interpretatione maximeque quae de b dixi, quid sibi velit, facile poterit adverti.

III. Nomina modorum octo et differentiarum.

Protus, plagis ejus; Deuterus, lateralis ejus; Tritus, subjugalis ejus; Tetardus, discipulus ejus.

Primus ut 'Exsurge', 'Rorate'. Secundus ut 'Ecce'. Tertius ut 'Vocem', 'Tibi'. Quartus 'Nunc scio' vel 'Nos'. Quintus ut 'Ecce deus, Domine in tua'. Sextus ut 'Esto'. Septimus his: 'Aqua, Ne, Laetabitur'. Ultimus 'Ad te'.

None dicitur a graeco [nous] quod est mens vel sensus -- Noe, flatus. Ane, sursum. Unde None noeane dicitur: sensus ad superiora ductus. Aies vel ayes interjectiones apud nos interpretari possunt 'eia'.

[105] [30v] Authentus protus dicitur nobilis eo, quod ad omnes affectus aptus sit; plagis ejus vocatur flebilis, quia modulatio ejus convenientior videtur tristibus rebus et miseris. Authentus deuterus incitabilis, plagis ejus modestus et gravis. Authentus tritus jucundus, plagis ejus voluptuosus. Authentus tetrardus laetus et hilaris, plagis ejus suavis et dulcis.

(35v) Capitulum XV. Mensura fistularum organicarum.

I. Primam fistulam, quae et longissima est, quantae longitudinis et latitudinis placuerit facito, ita tamen ut omnia mediocriter fiant et latitudo longitudini, longitudo vero conveniat latitudini ac utrisque competens aptetur crassitudo. Latitudo autem in omnibus eadem fiat.

Longissima igitur, id est prima, ad arbitrium tuum formata, metire secundam ad hunc modum: Vide quanta latitudine pateat prima fistula, quae latitudo diametrum dicitur. II. Hujus diametri octavam partem summitati primae fistulae appone, id est: a summitate ejus in ipsa deorsum longitudinem octavae partis diametri ejus metire et inde, ubi illa octava pars finierit, id quod reliquum est usque ad plectrum, id est usque ad transversum foramen, subterius in novem aequissimas partes divide, quarum novem partium octo longitudini secundae fistulae a plectro sursum tribue; et hic est tonus. III. Dehinc secundae fistulae summitas duas octavas partes diametri praeoccupet et inde usque ad plectrum in novem partes dimensio fiat, a quibus novem partibus octo tollantur et longitudini tertiae fistulae tribuantur. Longitudinem autem fistulae sursum a plectro nomino. Habebis ergo iterum tonum. IV. Post tertiam metire hoc modo quartam: Primae fistulae tertiam partem diametri sui praepone, id est a summo ejus deorsum metire in ipsa, et quod inde reliquum sit usque ad plectrum, in quatuor partes [106] divide et tres ex illis quatuor partibus longitudini fistulae quartae concede; et est semitonium ad tertiam, diatessaron ad primam, constans tonis duobus et semitonio. V. Quintam quoque metiaris a prima sic: Praemitte primae fistulae dimidium propriae latitudinis, quod est diametri sui medietas, et inde usque ad plectrum id, quod restat, (36) in tres partes divide, earumque tertia rejecta duas ad longitudinem quintae relinque; et erit tonus ad quartam, diapente ad primam, constans ditono, semitonio et tono. VI. Deinde pars proprii diametri quintae praeponatur, id est a summo ejus deorsum in ipsa mensuretur, et reliquum exinde usque [31] ad plectrum in novem partes dividatur, abjectaque nona parte reliquae octo praesignant longitudinem sextae; eritque tonus ad quintam. VII. Post haec septimae mensuram a quarta sic collige: Praemitte quartae tertiam diametri sui partem, et id, quod restat ad plectrum, in quatuor metire, rejectaque quarta tres longitudini septimae adscribe; et erit semitonium ad sextam, diatessaron ad quartam. Et haec sunt septem discrimina vocum. Synemmenon. Inter hanc et octavam synemmenon interponatur, cujus mensura per sextam sic disponatur: Octavam partem diametri sui sextae appone, cujus reliquum in novem divide, nonaque subtracta, quae residuae sunt octo, longitudo erunt synemmenon; eritque inter illam et sextam tonus, inter ipsam vero et sequentem octavam erit semitonium. VIII. Octava autem a prima sic capiat dimensionem: Primae quippe totum diametrum suum praepone, reliquum exinde ad plectrum in duas partes aequas divide, quarum una rejecta fistulae octavae longitudo erit altera. Ad hanc erit diatessaron ab illa quae superius numeratur quinta, diapente vero ab ea quae est quarta, diapason autem a prima.

Eadem mensura per totum in sequentibus septem servetur, id est: unaquaeque prioris duplicitate mensuretur. Sicut enim mensurasti primam ad inveniendam octavam, sic sua quantitate mensurabis secundam, et erit nona; sic tertiam et erit decima, sic quartam et erit undecima, sic quintam et erit duodecima, (36v) sic sextam et erit tertiadecima, sic septimam et erit quartadecima. Iterum adde primae fistulae tria diametra plena, [107] et exinde quod reliquum erit divide aequaliter in quatuor partes, et abjectis tribus quarta erit longitudo quintaedecimae; et ita fit ut prima contineat duplum longitudinis octavae, et insuper diametrum totum, similiter octava duplum quintaedecimae cum tribus diametris quod est bis diapason. Quodsi voluerit organicus extendere mensuram ultra quindecim vel sedecim fistulas, per tria alphabeta metiendum est instar priorum duorum sicuti mensurae ad similitudinem primi. Volunt autem quidam, fistulam primam et longissimam hanc longitudinem habere, ut lineam hic exterius in margine positam novies in se possit [31v] continere,

[Frutolf, Breviarium, 107,1] [FRUBRE 08GF]

circulum vero subpositum latitudinem ejus omniumque ceterarum implere.

[Frutolf, Breviarium, 107,2] [FRUBRE 08GF]

[32] Capitulum XVI. Mensura cymbalorum.

Quicumque velis facere cymbala ad cantandum recte sonantia, ad unumquodque debes ceram dividere cum pondere, et a superioribus incipias, ut descendendo ad graviora pervenias. Unamquamque vero cerae partem cum propria litera notes, ut illam in divisione cognoscas. [32v] Inprimis igitur facias duas partes cerae coaequales cum libra notesque unam a litera, alteram G. Deinde cerae a literae facias adhuc unam partem aequatam pondere et dividas eam in octo partes aequales et octavam partem addas cerae G literae; ut haec illam, quae est a, contineat totam et insuper ejus octavam partem; sicque ex cera illa, quae est a, fiat cymbalum primum (I); ex ea vero, quae est G, secundum (II) estque tonus inter illa.

Similiter facias duas partes cerae coaequales pondere illi cerae quae est G, et unam notes F litera, alteram in octo [108] dividas et octavam partem ei cerae quae est F adjiciens facias ex ea tertium cymbalum, iterum tono differens a priore (III). Inter hoc et quartum debet (34v) semitonium esse, quod sic poteris invenire: Pensa duas partes cerae eadem quantitate in qua est cera literae a, unamque notabis E litera; alteram vero divide in tria, tertiamque adjiciens ei cerae quae est E, facias ex ea cymbalum quartum (IV), quod est intervallo semitonii ad F, diatessaron vero sonans ad cymbalum primum. Deinde da tantum cerae literae D, quantum est in summa a literae et insuper ejus medietatem, et ex ea fac cymbalum quintum (V), quod sonat tonum ad E, diapente vero ad a. Item tantum cerae da literae C, quantum habet G, et insuper ejus medietatem, ex qua faciens cymbalum sextum (VI), habebis iterum duos tonos continuos post semitonium. Tunc dabis B literae tantum cerae, quantum est in tota summa a literae, et insuper ejus tertiam partem, ex qua faciens cymbalum septimum (VII) habebis iterum semitonium atque septem symphonias diversas ab a litera usque B dispositas. Diapason vero necdum habes sine cymbalo octavo. Duplices igitur totam ceram literae a et sic eam tribuas iterum A, ex qua facto cymbalo octavo (VIII), nihil deerit diatessaron, diapente, diapason. Synemmenon autem ita invenies: Tolle summam cerae F et da eam S literae et insuper medietatem ejus, faciensque ex ea cymbalum, constituas illud inter A et B quod sonat ad A semitonium, ad C tonum, ad D vero ditonum, quod est diatessaron a D ad A. Omnino autem caveas in formandis aut fundendis cymbalis, ut desuper dicta cera, quae tam caute ponderata est et divisa, nihil mittas ad juga et spiramina, sed de alia cera facias illa omnia.

[33] In magna quoque providentia habeas, ut priusquam aliquod cymbalum fundatur, stagnum cupro misceatur, ut rectum [109] sonitum habeat unumquodque. Quodsi aliter feceris, nullum veniet ad tonos. Quinta vero aut sexta pars debet esse stagnum, utrumque etiam debet purificari, priusquam permisceantur, ut cymbala bene sonent. Si autem fusa cymbala minus recte sonuerint, hoc emendetur et corrigatur lima vel lapide.

Versus cujusdam de eadem re.

Si tibi surgat amor quod formes cymbala fusor,

Ne renuas nostrum sumere consilium;

Cum ceram formes, sit adhuc tibi tanta cera superstes

Et cautus recolas semper, ut id facias:

In tres aequilibres primam ceram tu divide partes

Quia secunda vice formatur C

Sintque duae partes quintae forma secunda nolae. G

Tertia forma nolae sic est generanda secundae

Tertia vice formatur. D

Augeat ut quintam tertia pars positam G

Ipsa secunda tribus resecabitur atque duabus. D

Conflatur sextae formula quarta nolae. Quarta vice formatur A

Tertia per sextam sie debet sumere formam: A E

Juncta sit ut sextae tertia pars sibimet A

Tertia formatur tribus unaque projiciatur E

Septima finalis fiat ut ex reliquis [sqb]

Partes bis binas tunc primam ceram scinde per aequas C

Cum tribus hinc quartam constituendo nolam. Quarta a C F

Hinc quartam demens sibi dodrantemque relinquens F

Partibus ex tribus hic synemmenon facias.

Capitulum XVII. De proportionibus semitonii speculatio subtilior.

(37v) Amico suo T. V. haec operari interius, quod habitus profitetur exterius. Regulam et certitudinem de habitudine [110] semitonii, in qua videlicet cadat proportione, breviter me vobis colligere rogastis. Ad quod suscipiendum non tam rei facilitas vel ingenii confidentia me invitavit, quam suspicio inde oritura, si munus junctum recusarem coegit, scilicet ne vos excusationem ignorationis callidam scientiae simulationem suspicaremini. Praetermissis igitur ceterarum consonantiarum, de quibus constat proportionibus, de habitudine semitonii quae sit in numero, breviter dilucideque perstringamus.

Tonus dividitur (38) in duo semitonia, majus scilicet et minus. Et minus quidem vocatur illud spatium quod duobus tonis de sesquitertia proportione, quae est diatessaron, retractis reliquitur. Quod spatium in primis minimisque his numeris 243 continetur. Duo toni continua dispositione descripti in duabus sesquioctavis proportionibus consistunt, quas non possumus adhibere, nisi multiplex ille, a quo derivari possint, reperiatur. Omnis enim multiplicatio tot superparticulares ab eodem numero denominatos, a quo et simplices denominantur, post se continuat, quoto loco ipse distat ab unitate. Quare secundus biduplus qui secundo loco distat ab unitate, duas sesquioctavas proportiones ab eodem octonario denominatas post se continuat. Est primus octuplus 8 ad unitatem, secundus 64 ad 8. Ideoque ab eo possumus duas sesquioctavas proportiones educere. Octo enim quae est octava pars 64 unitatum, eisdem additi 72 perficiunt. His vero si sua octava pars apponatur, quae sunt 8, 81 reddunt. Ecce habemus duos continuos tonos; nam 64 ad 72 et 72 ad 81 sesquioctavam proportionem, quae est tonus, perficiunt. Quoniam igitur 64 duos tonos post se continuat, sesquitertium eius requiramus. Sed quoniam 64 probatur tertiam partem non habere, omnes hos numeros id est 64 et 72 et 81 ternario multiplicemus, et mox tertia pars eis contingit omnesque in eadem proportione durabunt, in qua prius fuerunt. Fiant igitur ter 64 id est 192, horum tertia pars scilicet 64 eisdem addita 256 reddit.

[111] Qui numerus, id est 256 ad 192 sesquitertiam proportionem, quae est diatessaron, reddit. Nunc duas sesquioctavas proportiones ad 192 collocemus. Fiat igitur ter 72, id est 216, et ter 81, id est 243, qui inter supradictos numeros collocentur hoc modo 192. 216. 243. 256. In hac igitur dispositione primus ad ultimum reddit diatessaron; idem primus ad secundum (38v) et secundus ad tertium geminos constituunt tonos; tertius ad quartum non complet integrum tonum, sed constituit formam minoris semitonii. Apparet igitur tale semitonii spatium quod reliquitur post duos tonos de sesquitertia proportione in his primis minimisque numeris 1. 243 et 256 constare.

Ostenso igitur semitonio, quid sit et in quibus numeris consistat, jam nunc dicendum est, in qua proportione hi ipsi numeri, inter quos semitonii spatium constat, conveniant. Ducenta enim 56, teste Boetio, ad 243 majorem quidem reddunt proportionem quam 20 ad 19, minorem vero quam 19. Quantum autem super nonamdecimam habeant, cum summo labore inventum in commune proferam. Quaecumque duae chordae reddunt semitonium, maior earum retinet minorem totam et ejus nonamdecimam partem et nonaedecimae partis octogesimam primam partem et octogesimae primae partis tertiam partem. In quibus autem minimis integris talis proportio possit inveniri vestrae relinquo diligentiae.

[Frutolf, Breviarium, 111; text: Triplaris proportio, Epogdoa proportio, 64, 72, 81, 192, 216, 243, 256] [FRUBRE 08GF]

[113] 283 decies novies ducti faciunt 4617. His adde suam decimam nonam partem, et erit 4860. His adde nonaedecimae partis octogesimam primam partem, et erit 4863. His adde octogesimae primae partis tertiam partem, et erit 4864; qui numerus (scilicet 4864) 4617 numerum habet in se totum et insuper ejus nonamdecimam, quae est (39) 243, et nonaedecimae partis octogesimam primam partem quae est 3, et octogesimae primae partis tertiam partem quae est 1 et cetera.