Back to top

[12] [fol. 111b]

Incipit pars prima quaestionum in musica.

[1]. Quare non possint esse plura quam septem vocum discrimina.

Natura omnium rerum antiquissima parente immo auctore deo naturae septem dumtaxat discrimina constat esse disposita, ad exemplar fortassis septenarii numeri, qui quodam privilegio potioris sacramenti inter ceteros eminet numeros tum seorsum propria vi et plenitudine tum partium suarum, id est trium et quatuor, multimoda perfectione.

Qui numerus, ut ait Tullius, omnium fere rerum nodus est. Proinde facultas humanae vocis limitem non valet excedere septimi discriminis, quia octavae cordae adiectio primae prorsus est renovatio et repeticio.

Porro maxima simphonia diapason dicitur, quod in ea perfectior ceteris consonantia fiat, ut, sive ab acutiore sive a graviore incipias, [fol. 112a] vox, quam octavo ordine in celsiorem vel humiliorem mutaveris, ad primam vocem unisona habeatur.

[13] Sic etenim in infinitum sonorum consequentia progreditur, ut ab unoquoque sono locis octavis renata ut ita dicam voce novus ordo emergat et dierum more octava sit quae prima, prima quae octava. Unde et Virgilius apud helisium Orpheus

"obloquitur numeris septem discrimina vocum",

quod scilicet sonorum ordo disparibus septem continuetur vocibus at in octavis in novam mutetur.

[2]. Quare una diapason non sit contentum monocordum.

Monocordum una diapason non esse contentum triplex esse causa creditur; una quod simplicioribus curtum esse videretur, qui inreflexibili voce ad organalem ignorant reverti gravitatem, sicut equus indocilis rigidaeque cervicis non potest in arto circinari clipeo; secunda quod vox acutior mulcet aures gratiosius, sicut etiam corpus gracile blanditur oculis iocundius; tercia quod ipsa naturalis cordae et vocis possibilitas ulteriores spontanea petit metas, sicut nonnunquam in amena loca voluntate procedimus, non necessitate.

[14] Ad hoc singulae species diatessaron, diapente, diapason difficilius a tardioribus intellectu comprehenderentur, difficilius memoriae commendarentur, nisi oculis subiectae fidelibus in ipso instrumento dispositae notarentur.

[3]. Quare non liceat monocordum tribus protendi diapason.

Tribus diapason protensum esse monocordum non patitur altissimae fidis sonus gracillimus nulli subteriorum consonus. Sicut enim pueri tenellae vocis inmoderato acumine cantilenas edunt adeo inconsonas, ut easdem vir sciens non intelligat (illas), ita et aequo fidis acutior non intelligitur more canens parrae recinentis aut cicadae.

"Est modus in rebus, sunt certi denique fines,

Ultra quos citraque nequit procedere verum"

[4]. Quare magis dividatur monocordum per tetracorda quam [fol. 112b] per dicorda vel tricorda vel pentacorda.

Divisum esse monocordum in tetracorda potius quam in dicorda vel tricorda vel pentacorda hec est ratio, quod nulla post diapason in nullo tanta est ut in tetracordis similitudo. [15] Si enim in dicorda facta fuisset divisio, primum occurreret dissimilitudo, quia post tonum, qui est ab A in B, sequitur semitonium. Si autem in tricorda, itidem diversitas semitonia obsideret; nam post semiditonum, qui est ab A in C, sequeretur ditonus, qui est [a] C in E. At si divisio fuisset per pentacorda, eadem dissimilitudinis obviaret importunitas, quoniam quidem ab A in E est diapente, et ibi est semitonium faciens dissimilitudinem.

[5]. Quare non penitus coniunctum vel penitus disiunctum sit monocordum.

(Capitulum VI). Monocordum non esse divisum vel in penitus coniuncta vel in penitus disiuncta tetracorda hec est ratio, quod predicta tunc cessaret similitudo. Si enim inciperet tetracordum superiorum in G, ubi desinit finalium, similitudo deficeret, quia tetracordum superiorum intenderetur ditono et semitonio, cum priora tono et semitonio et tono. Item diversitas occurreret, si penitus disiuncta fuissent tetracorda. Quae omnia, quia satis sunt manifesta, non est opus dicere plenius.

[6]. Quomodo conveniant tetracorda Guidonis cum tetracordis Boetii.

[16] (Capitulum VI). Tetracordum gravium secundum Guidonem constat A B C D, quod idem est iuxta Boetium Proslambanomenos, Hipate hipaton, Peripate ypaton, Lycanos ypaton. Tetracordum finalium Guidonice D E F G, hoc ipsum in Boetio Licanos ypaton, Hipate meson, Perhipate meson, Licanos meson. Tetracordum superiorum iuxta modernos est a [sqb] c d, idem est Boetii Mese, Paramese, Trite diezeugmenon, Paranete diezeugmenon. Tetracordum excellentium est d e f g, identidem iuxta Boetium Paranete diezeugmenon, Nete diezeugmenon, Trite hyperboleon, Paranete hyperboleon.

[7]. Qua sibi concordia respondeant tetracorda vel si, qua parte sint disparia.

Bis septem vocum discrimina quatuor ex se reddunt tetracorda, quae omnia secundum simplicem vocum positionem videntur equalia, secundum specierum vero diatessaron et diapente [constitutionem] aliquantulum disparia ita, ut primum tercio, secundum aequale videatur esse quarto. Ex qua re colligitur, quia superiores octavae sunt gravium, excellentes vero eodem ordine finalium, quatuor diapason species inceptas a gravibus terminari in superioribus et easdem repetitas a finalibus finiri in excellentibus.

[17] Adhuc et illud in tetracordorum speculatione considerandum est, quod cum in multis communia, in hoc privata possident officia, quod primum et quartum [sibi in extremitatibus opposita, alterum necessario gravissimum melodiae descensum, alterum altissimum ascensum, duorum vero mediorum alterum] cantilenae exitum, alterum initia omnium excepta una "in seculorum amen" continet differentiarum.

[8]. Quomodo, cum non sint nisi quatuor tetracorda, unusquisque modus tam plagalis quam autentus tria possideat.

Cuius inquisitionis facilis patet responsio, si et monocordi dispositio et ipsorum processionis consideretur ratio. Nam cum omnis autentus a proprio finali incipiens et propria diapason specie per superiores in suam excellentem transiens, omnis quoque subiugalis a sua gravi per finales in suam superiorem ascendens, necesse est, ut semel duo numerentur extrema, bis vero duo media, quia dupliciter sunt pervia. Qua ex re quoque colligitur, quod graves et superiores includunt subiugales, finales et excellentes complectuntur autenticos, suntque subiugalium extremitates graves et superiores, mediae vero finales; autenticorum extremitates finales et excellentes, mediae vero habentur superiores.

[18] [9]. Quare additum sit synemmenon et [rob] molle et de eius positione et figura.

Causa est vetustior quam effectus, ut ignis conbustionem [fol. 113b] precedit. Cum hiatus diezeusis id est disiunctionis tetracordorum patribus nostris plurima canendi praetendisset offendicula, quia tritus finalis F supra quarta, tritus excellens f infra caruit quinta, interposuerunt sinemmenon ad emendandum iubilationis defectum. Ibi est causa diezeusis, interpositio sinemmenon effectus, ergo posterior. Quae posterior in inventione est, sit etiam posterior in sessione, sicut advena in domo aliena suscepta quidem, sicut iambus

"Spondeos stabiles in iura paterna recepit,

Commodus et patiens, non ut de sede secunda

Cederet aut quarta socialiter."

Ergo sinemenon infra collocetur, non supra, hoc modo:

[Quaestiones in musica, 18; text: a, [rob], [sqb], c] [RUDQUA 01GF]

Porro ex statione utriusque et figura utriusque dignitas consideretur et potentia. Quod enim aliud rotundum [rob], aliud formatur quadratum [sqb], satis per hoc ostenditur, quod sicut rotunda res volubilis est et minus stabilis, sic [19] ipsum [rob] minus sit stabile nec sit fixum naturaliter in arte. Aliud vero [sqb] sicut res quadrata stabilis est [et] fixa, sic fixum et immobili iure manet in musica. Quod autem istud [rob] deorsum extra ordinem aliarum vocum substituitur, per hoc etiam innuitur extera eius quasi adiectio, immo ab aliis vocibus quaedam quasi excommunicatio, cum quibus nullum unquam cantum vel cantus distinctionem legaliter aut incipit aut finit, nec ullus octo modorum excepto trito, cuius causa est additum suae melodiae, eum regulariter admittit, licet ipsum sibi prothus usurpaverit. Aliud vero [sqb] suo loco sursum cum aliis et naturaliter ordine stabilitur, utpote cuius cum aliis vocibus per omnia equa vis esse cognoscitur.

Hinc libet perpendere, [rob] utile, [sqb] vero multo utilius esse ideoque admodum commodiorem esse coniunctione disiunctionem.

Sinemmenon autem octavae vocis discrimen non facit, quia nunquam [rob] molle atque quadratum in unam conveniunt neumam. Cum omne vocis [fol. 114a] discrimen fiat aut tono vel semitonio seu ex his compositis consonantiis et inter [rob] et [sqb] nulla sit consonantia, patet profecto, quod illae duae litterae pro uno sint discrimine, illarum litterarum nunquam in unum neume conveniunt, sicut libra et aries pariter non videntur,

[20] "Sed surgens aries libram, libra vellera mergit."

[10]. Quare sub tetracordo finalium quinta vox sit addita cum figura Graeca [Gamma].

Certa profecta expostulabat ratio, ut vox quinta sub tetracordo finalium a modernis sit addita, quia, cum illa deesset, plagalis prothi legalem per diapente descensionem non habebat et ita regulari descensione carebat. Quam cum non haberent antiqui, siquando tamen requirebat eam cantus prothi ipsi, pro ea sursum assumebant G per diapason. Sed consideratum est a musicis iunioribus, quantum ad meli convenientiam commodius quintam cordam inferius addendam. Invenitur autem melodia secundi toni non modo ad eam descendere, sed etiam principium habere, ut responsorium

[Quaestiones in musica, 20,1; text: "Educ de carcere"] [RUDQUA 01GF]

et versus offertorii "Super flumen" ita

[Quaestiones in musica, 20,2; text: "Memento."] [RUDQUA 01GF]

Verum tamen et hoc diatonico conveniebat generi, ut statim in initio ipsius monocordi semitonium duo praecederent toni.

[21] At vero cum de nomine, de figura, de primatu Grecae litterae diversi diversas et multiplices fingant coniecturas et fortassis ad rem non valde necessarias sufficere ad hoc credimus, si de pluribus duas potiores causas apponimus. Quia ergo eadem vox quinta aequivocae suae, hoc est superiori G, per diapason erat responsura musicus Grecam figuram [Gamma], sed tamen eiusdem nominis ac potestatis praescripsit; tum quid post duas litteras latinas iam superius positas, id est G et g, alia, quae poneretur, ab his diversa latinitatis usus non habuit, tum ut ostenderet per Grecam figuram in principio positam, a Grecis habuisse principium huius artis disciplinam.

[11]. Quare Guidonicum illud tetracordum [fol. 114b] superacutarum sit additum.

Cum autentus tetrardus, qui est omnium modorum summus, legitimum suae dispositionis ascensum a G in g habeat per diapason et unam, quae residua est, concessivam aa, videntur reliquae [sqb][sqb] cc dd, quae huic non cooperantur, superfluae. Tamen eas manifesta ratio docet non penitus esse superfluas. Sunt quaedam melodiae ut kyrieleyson et sequentiae, quae, cum illis legibus artis sint liberae, quibus constringuntur offertoria, responsoria et antiphonae, ut nec versus nec psalmi nec seculorum amen [22] soleant illis sicut istis apponi, liberiori lascivientes licentia et arbitrio non nunquam transcendunt geminam diapason in monocordo tum deficientibus nervis omnino defecturae, nisi supradictas voces Guidonicas constaret eis subvenire. Inde est

[Rudolf, Quaestiones in musica, 22,1; text: Ad celebres] [RUDQUA 01GF]

Sancti Michaelis, inde

[Rudolf, Quaestiones in musica, 22,2; text: Fulget praeclara] [RUDQUA 01GF]

Pascalis. Dices mihi: Et quid antiqui faciebant? Quomodo hec aut his similia sine illis vocibus cantabant? Ex unius sententia et lectione promptum erit aliorum sententias cognoscere. Qui cum omnibus modis tam plagalibus quam autentis transpositionem a propriis finalibus adtribueret in acutis, oportet, [ut] ait, et illud considerare, ut, cum tres autentici, tercius videlicet quintus et septimus, in locum sibi regulariter ordinatum deficientibus nervis minus proveniant, doctus cantor, quoties id ratio exposcit, inferius redeat, ut per [23] octava loca voces resumat, quas in superioribus non invenerat. Ecce audisti, quid faciebant antiqui. Sed visum est modernis melius et rationabilius his vocibus additis in superioribus melodias habere sui tenorem acuminis, quam indecentius inclinatas reflecti inferius octavis locis. Adhoc praeterea superadditur alia causa. Fit enim, ut cantus plagalis prothi, qui non potest aliquando cantari in D propria finali neque in a sociali, quando scilicet sub ea voce, in qua finiendus est, duo illa semitonia vicine [fol. 115a] sibi apposita, quae faciunt [rob] [sqb], requirit, translatus in acutam d et ibi distinctionem sui cantus per diapason habens ad superacutam dd possit sine defectu cantari. Quod patenter ostenditur in illa antiphona "Collegerunt". Ibi in versu "Unus autem" in illo loco

[Quaestiones in musica,23; text: "anni illius"] [RUDQUA 01GF]

habet semitonium per [rob] molle, cum alias tam in antiphona quam in versu quadratum [sqb] versetur ubique. Nam quod a quibusdam ad supplendum in gravibus iubilationis huius defectum additur sinemenon, sed a peritioribus [24] omnino exploditur tanquam superfluum.

[12]. Quomodo per species diapason disponantur et an septem secundum septem discrimina vocum an plures paucioresve sint.

Licet sint octo species diapason, quintam tamen et sextam, septimam et octavam dici naturae veritas non patitur. Cum enim omnis tonus in toto suo, id est in tota diapason, nominetur veraciter et in suis partibus, diatessaron scilicet ac diapente, considerare debemus, species diatessaron ac diapente non plures quam quatuor scimus esse. Sed cum species diapason constituantur ex speciebus diatessaron et diapente, non possunt fieri plures quam partium species. Sed quoniam quatuor species diapason ita constituuntur, ut diatessaron praecedat, diapente sequatur, quae sunt plagales, quatuor autem ita, ut diapente praevia diatessaron sit asseda, quae sunt autenticae: Patet profecto octo species esse, sed nullam earum quintam vere dici posse, cum neque diatessaron nec diapente quinta species inveniatur esse.

Et tamen octo sunt species, quia octonarius veraciter habetur ac conputatur [25] ubi quaternarius duplicatur.

Sed de subtiliori speculatione omnium specierum diatessaron ac diapente, de constitutione specierum diapason, de dispositione omnium modorum uberius et manifestius alias disseruimus, quod in fine huius libelli apponendum censuimus. Addidimus ad hoc celerem, facillimam et brevem monocordi divisionem.

[13]. Qua ratione ex prima specie diapason a D in d [fol. 115b] moderni constituant octavum modum, cum secundum Boetium et antiquos musicos nec quatuor species habeant diatessaron et idem modus ab antiquis ita sit abdicatus, ut nec nomen eius sit inditum.

Quia eundem modum prius maiores nostri prothum, id est autenticam speciem, idest tonum primum fecerunt, recusaverunt illum in tetrardo vel habere vel appellare plagam, non providentes, quod D d biformes litterae potentes sint naturaliter tam plagalem quam autenticam constituere speciem. Unde ille biformis modus, qui est inter D d, propter antiquorum inconsiderationem non adquisivit suae subiugali naturae debitum nomen, ut diceretur yppomixolidius, id est mixolidii septimi videlicet toni subiectus.

Cum autem idem modus plagalem habeat materiam, plagalem ex hac componamus formam, aut negemus, si naturaliter possumus, D non esse quartam gravium, d non esse quartam superiorum, aut esse concedamus. [26] Si negabimus, ab adversario subsequente constringimur argumentatione: Omnis corda, quae duorum sinnemesis id est coniunctio est tetracordorum, alterius est finis, alterius principium. Sed D sinemesis est tetracordorum gravium et finalium. Si finis est tetracordi, est quarta gravium; sed finis, ergo quarta, quia omnis tetrachordi finalis quarta est. Argumentum a genere; maxima propositio: Quod in omnibus valet, valet et in uno. Ab argumento praecedenti possumus colligere, quia, si in tetracordis finis est quarta corda, principium est in eis prima corda. Sed hoc est ergo D secundum hanc rationem, et quarta est gravium et prima finalium. Hac ipsa argumentatione sit probatum, quod d sit quarta superiorum, prima excellentium.

Videamus, si D d tam tetrardi quam prothi proprietates possit habere. Tetracordorum est proprietas, ut prothorum intensio sit eorum remissio. Sed D ita remittitur per tonum, semitonium, tonum sicut [fol. 116a] A prothus tono, semitonio, tono intenditur.

Omnis homo risibilis est et omne risibile est homo. Omnis tetrardus per tonum, semitonium, tonum remissibilis est, et omnis remissio toni, semitonii, toni tetrardus est. Sed D d [27] remittitur tono, semitonio, tono; ergo tetrardus est. Si tetrardus, aut autentus vel plagalis. Sed necesse est, ut sit plagalis, quia nullus autentus gravibus et superioribus constat. Inrefragalibus transactis argumentationibus et prolixo naturae suae finito scrutinio baptizemus eundem modum nominantes eum ypomixolidium, ut sic sit binomius sicut eum biformem novimus.

[14]. Quae virtus quaeve perfectio quaternarii sit numeri, ut eius dispositione tota fere armonia videatur constitui, cum et principaliter quatuor tantum sint tetracorda, quatuor species diatessaron, quatuor diapente, quatuor diapason et ad summam quatuor tantum sint modi secundum naturam et constitutionem antiquorum.

Igitur de quaternarii numeri perfectione, de armonica virtute pauca dicenda sunt de pluribus, et ab hinc incipiamus.

Primus ergo omnium numerorum est ternarius, cui inter duo summa medium, quo vinciretur, accidit. Quaternarius vero, qui duas medietates obtinuit et quia tunc artius extima vinciuntur, quando medietas geminatur, merito artifex natura iussu creatoris hunc sibi numerum ascivit, quo insolubili colligationis vinculo elementa sibi repugnantia devinxisset triaque illa musicae genera [28] id est mundanae, humanae et eius, quae est in instrumentis, rata modulationis lege conformasset. Merito, inquam, hic numerus musicae armoniae est attributus, qui inferiora superioribus conciliat, animae corporisque statum iugabili proportionum conpetentia federat, bestiales hominum modus conprimit, mores componit, iras daemonum mitigat vel potius fugat, etiam ipsam terram sonorum [fol. 116b] suorum concentibus caelo quodammodo associat.

Si ipsum quaternarium praecedentibus se naturaliter numeris id est I II III (IIII) adiunxeris hoc modo, denarii summam conficies, ut etiam eius perfectione in decacordo psalterio adsuescamus psallere, quatinus deo nostro sit iocunda decoraque laudatio.

[Quaestiones in musica, 28; text: I, II, III, IV, VI, X, iunctis uno et duobus, iunctis uno, duobus et tribus, iunctis uno, duobus, tribus et quatuor] [RUDQUA 01GF]

Adde etiam, quod idem quaternarius a binario generatur, a quo et octonarius, qui est primus cubus, procreatur. Nam bis bini, qui sunt quatuor, [29] superficiem faciunt, bis bini bis solidum corpus, quod est octo. Sub huius numeri misterio consonus Evangelistarum sonus in omnem terram exivit, et in fines orbis terrae dulcissima praedicationis eorum vox processit. Huiusmodi armoniae concentum deo esse gratissimum psalmista noverat, cum ad psallendum deo quarto mentes hominum invitabat dicens: "Psallite deo nostro, psallite, psallite regi nostro, psallite sapienter!"

Ergo sive ex istis, quae pauca protulimus, sive ex aliis, quae in praesenti minus memoriae occurrunt vel omnino abdita latent, satis claret non sine magno divini muneris nutu hanc vim quaternario esse ingenitam, ut totius armoniae concentus ab eo oriatur et in eundem velut ad principii sui originem revertatur, quemadmodum illi octo toni semper bini et bini ad unam ex quatuor finalium cordis quadam dictante iusticia velut ad parentem redeunt. Unde pulchre eundem octonarium antiqui iusticiam vocaverunt, non solum ob supradictam armonicae rationis causam, verum etiam quia primus omnium ita solvitur in numeros [fol. 117a] pariter pares, id est in quatuor et quatuor, ut nichilominus in numeros aeque pariter pares, id est in duo et duo ipsa divisio solvatur.

[30] Quaternarius etiam numerus omnes simphonias perfecte absolvit; duo enim ad unum duplum, [quod est] diapason; tria ad unum triplum, quod est diapason et diapente; quatuor ad unum quadruplum, quod est disdiapason; tria ad duo sesqualterum, quod est diapente; quatuor ad tria sesquitercium, quod est diatessaron. Sed harum proportionum rationem haec figura reddet tibi lucidiorem:

[Quaestiones in musica, 30; text: I, II, III, IV, dupla, tripla, quadrupla, sesqualtera, sesquitercia, diapason, diapente, diatessaron, diapason et diapente, bisdiapason] [RUDQUA 02GF]

Inter species igitur consonantiarum diatessaron ponitur prima, quae habetur et minima, diapente secunda diatessaron una superans corda, quae tonus extat proportione sesquioctava. Ex his duabus composita diapason constituitur tercia, diapason et diapente quarta, bis diapason ponitur quinta. His quinque speciebus, si [31] diapason et diatessaron adicias, habebis sex consonantias. Quam Phitagoras quidem praetermisit, sed Ptolomeus rationabili iudicio apposuit.

Quod si quis hanc neget esse speciem, cum generis sui subiaceat diffinitioni, facillime poterit convinci ratione. Si enim homo est substantia animata, sensibilis, rationalis, procul dubio speciebus intererit animalis. Si autem diapason ac diatessaron est diversarum vocum concentus suaviter et uniformiter accidens auribus, iure interponetur consonantiae speciebus. Sed hoc eam esse nemo est, qui possit inficere, si rei veritatem studeat perpendere. Igitur speciebus immo ipsis intererit consonantiis.

Quoniam ad cognoscendas [fol. 117b] species diapason, diapente et diatessaron, quae dicta sunt, videntur sufficere, restat, ut de toni qualitate studeamus perspicere. Ad quem substituendum, quoniam ipsius auxilio, ut possint subsistere, omnes egent consonantiae species, suas, ut substituantur, dent singulae partes. Igitur diapason duplum, diapente sesqualterum, diatessaron dabit sesquitercium, quae collectae in unum sesquioctava proportione constituunt tonum. Quod si diligentius his numerorum partibus velimus intendere, numeros ex his, quos Phitagoras in quatuor malleis repperit, poterimus producere.

[32] [Quaestiones in musica, 32; text: VI, VIII, IX, XII, Duplum, Diapason, Sesquitercium, Diatessaron, Tonus, Sesquioctavum, Sesquialterum, Diapente] [RUDQUA 03GF]

Cuius productionis, ut praecedat ratio, ipsorum numerorum accedat multiplicatio id est, ut binarius ternarium multiplicet et quaternarium, ternarius se ipsum simul et quaternarium. Dicatur ergo: Bis tres sunt sex, bis quatuor sunt octo; ecce sesqualtera proportio, id est diapente. Ter terni sunt novem; ecce sesquioctava proportio ad octonarium, id est tonus. Ter quatuor sunt XII; ergo sesqualtera proportio ad octonarium, sesquitercia ad novem, duplaris collatio ad VI. Quod, ut clarius pateat, figura quadrangulata ponatur, quae hoc idem contineat.

Quod si rursus numerorum istorum altius velimus perscrutari habitudines, sicut ex prioribus simplices, ita ex istis compositas simul et simplices consonantiae producemus species. [33] Quod sine dubio tunc convenienter perficietur, si non ad se invicem sicut priores, sed per binarium unusquisque ipsorum multiplicetur. Ponatur itaque prius ipsius multiplicationis ratio; dehinc [fol. 118a] etiam figura talis constituatur, quae positorum videatur esse demonstratio. In cuius ponatur senarius medietate, cunctis numerorum proportionibus excellentior dignitate, ad quem solum recurrat caetera multitudo proportionum.

[Quaestiones in musica, 33; text: VI, VIII, IX, XII, XVI, XVIII, XXIV, Sesquitercia, Sesquioctava, Sesqualtera, Dupla, Diapason, Tripla, Quadrupla, Dupla cum sesquitercia] [RUDQUA 04GF]

Cum enim omnes proportiones numerorum aut toto superabundent partibus aut partibus toto, hic solus nec toto superabundat partibus nec partibus toto, sed partes in toto et partibus includitur totum.

Iam de multiplicandi ratione, ut proposuimus, prosequamur. Bis sex sunt XII; ecce diapason in dupla poportione. Bis octo sunt XVI; ecce [34] diapason cum diatessaron in dupla et sesquitercia proportione. Bis novem sunt XVIII; ecce tripla, sive magis placet, dupla cum sesqualtera, id est diapason cum diapente. Bis XII sunt viginti quatuor; ecce bis diapason in quadrupla proportione. Hec si videntur in aliquo obscura, hec praesens clarificet figura.

Sufficiant igitur inpraesentiarum ista ex aliorum musicorum tractatibus collecta de omnimoda quaternarii plenitudine et multimoda totius armoniae dispositione.

[15]. Unde potius distingui et cognosci debeat cantus, de principio an de fine suo.

Tonus vel modus est regula, quae de omni cantu in fine iudicat.

Omne ergo principium secundum sex consonantias id est tonum, semitonium, semiditonum, ditonum, diatessaron, diapente suo fini concordare debet.

Et quecumque [fol. 118b] voces per easdem consonantias possunt convenire fini, in eisdem quoque vocibus poterit incipi cantus illius finis excepto, quod, cum cantus finitur in voce quinta, quae est prima semitonii, [35] id est E, in tercio modo, invenitur sepe incipi in voce decima, id est c, quae ab eadem quinta uno diapente unoque semitonio elongatur. Distinctiones quoque, id est loci, in quibus repausamus in cantu et in quibus cantum dividimus, in eisdem debere finiri in unoquoque modo, in quibus possunt incipi cantus eiusdem modi, manifestum est. Et ubi melius et sepius incipit unusquisque modus, ibi decentius suas distinctiones incipere vel finire consuevit. Plures autem distinctiones in ea voce, quae modum terminat, debere finiri magistri docent. Nam si in alia voce plures distinctiones fiant quam in ipsa, in eadem quoque et cantum finiri expetunt et in eo modo, in quo finierant, mutari compellunt. Ad eum denique modum cantus pertinet, ad quem suae distinctiones amplius currunt. Nam et principia sepius et decentius in eadem voce, quae cantum terminat, inveniuntur.

[16]. Cum plures et diversae voces in unoquoque cantu habeantur, quae tamen inter alias maxime principatum sortiantur.

Principales cordae dicuntur, quae in troporum dispositionibus principatum [36] sortiuntur, sicut in autento protho principales sunt istae: Prima finalium, prima superiorum, prima excellentium. Finalis est merito principalis inprimis, quia, si secundum convenientiam, quam ipsa praedocet, cantum incipimus et usque ad finem perducere non possumus, ostendit illum aut esse vitiosum aut iuxta alium modum gubernandum.

Est quoque principalis ob hoc dicenda, quod initium cantus maxime procedit ab illa ut

[Quaestiones in musica, 36; text: "Ecce nomen Domini", "Ecce veniet"] [RUDQUA 05GF]

et alia [fol. 119a] innumerabilia, quae ad repperiendum sunt planissima. Est principalis, quia distinctionum interdum principia, interdum conversantur fines in illa aut aliqua musica proportione distant ab illa, id est aut tono, aut semitonio seu semiditono, seu ditono an diatessaron diapenteve. Principalis est merito, cum omnis cantilenae finis et requies sit in eius hospitio.

Superiores cordae ideo principalitatis dignantur nomine, quia principales autentorum partes, diapente videlicet ac diatessaron, medietatis vinculo copulant et quod ad eas nonnunquam pertingant neumae principales, principia dico distinctionum et [37] fines ac tonorum differentiae. Excellentes iure sunt principales, quia ita dominantur autentis, ut in ipsis sit ascensionis eorum finis.

In plagalibus quoque eadem ratione dicuntur principales graves, finales, superiores, qua in autentis finales, superiores, excellentes. Quapropter non est difficile inde huc similitudinem transferre.

[17]. Cum omnis autentus licenter a finali suo in nonum ascendat necnon in sibi vicinum descendat, subiugalis vero infra supraque quintum locum adtendat et ex hac lege facilis sit discretio utriusque, quid de his melius est sentiendum, qui nec inferius a finali tonum nec superius mediam et sibi communem diapente transcendunt speciem.

[38] Talis ordo super his nobis est servandus. Si quis cantus a finali suo ad diapente non pertingit nec diatessaron inferius habet, pro sui brevitate vel imperfectione solemus eum subiugali designare. Exempli causa inter protum et eius subiugalem:

[Quaestiones in musica, 38; text; "Benedicat nos deus, deus noster", "Beata mater". "Celi coelorum", "In omnem terram". "Iuste et pie", "Iuste iudicate".] [RUDQUA 05GF]

[fol. 119b] Inter deuterum et eius plagin antiphona: "[B]enedicat terra domino." Licet quantum ad iudicium aurium convenientius sonet ad tertium quam ad quartum, non solum praesens regula repugnat, verum etiam si iuxta hanc sonoritatem ipsam velis inchoare, nullo modo ad finalem recto poteris tramite canendo pervenire. At si hanc ad differentiam quarti toni ita finias: "[S]eculorum amen" ac semitonio altius, id est a parypate meson, incipias, absque lesione ad finalem poteris pervenire.

[39] Si vero ad diapente quidem pervenit et nec supra nec infra diatessaron habet, quia diapente amborum commune est, cantus quoque communis sit, ita tamen, ut eorum alteri tribuatur, cuius et frequentior usus habetur. Ecce has antiphonas vel his similes, id est:

[Quaestiones in musica, 39,1; text: "[B]iduo vivens", "[L]ux orta est"] [RUDQUA 05GF]

ad prothum canimus. Has vero, quae simili modo incipiunt, ad eundem locum ascendunt ac descendunt, id est:

[Quaestiones in musica, 39,1; text: "[O] domine, salvum me fac." "[O]blatus est."] [RUDQUA 05GF]

ad subiugalem eius canimus. Tales vero solent quidam medios tonos vocare; et quia inter singulos quatuor autenticos et subiugales huiusmodi repperiri possunt, hos quatuor illis octo adiciunt et duodecim tonos enumerare contendunt.

[18]. Si cuiuscumque tropi melum, quantumlibet a finali elevetur seu circa finalem contrahatur, per has semper species diatessaron et diapente distinguatur.

[40] Nunc presens offert causa de dignitate harum consonantiarum libare vel pauca. Hae igitur tres species, diatessaron videlicet diapente ac diapason tantum in armonia inter reliquas consonantias optinent principatum, ut quodam quasi speciali iure appellentur simphoniae, id est suaves vocum copulationes, pro eo, quod omnium ptongorum singulariter probentur efficere similitudines [fol. 120a]. Denique non solum dulcissimam sua dulci collatione modulantur melodiam, sed etiam ipsius melodiae moderantur diaphoniam. Ad hoc tanta auctoritate in troporum dominantur dispositione, ut constitutiones differentiarum, tenores psalmorum, principia cantionum itemque principia finesque omnium distinctionum infra suum cohibeant principatum, nec unquam audeant a finali transcendere alias quartam vocem in diatessaron alias quintam in diapente. Postremo omnem suum cuiusque cantionis discursum, de quo queritur, legitime moderari et distinguere comprobantur.

Aiunt enim regulariter posse constare melum aut octo cordis aut novem aut multum decem. Octo propter maiorem divisionem id est diapason, sive quia apud antiquos citharae octo cordis fiebant. Novem propter bisdiapente, quod novem vocibus terminatur, sive quia theologi novem musas [id est] octo sperarum musicos cantus [41] et unam maximam concinentiam, quae confit ex omnibus, esse voluerunt. Decem propter Davitici psalterii auctoritatem, vel quia in decem vocibus ter diatessaron invenitur.

Possunt et pauciores voces esse in cantu, id est quatuor vel quinque, sed ita quidem, ut et quatuor diatessaron et quinque diapente reddant.

[19]. Cum in tota musicae artis peritia troporum praemineat utilitas et notitia, de eorum dispositione, de differentiis et principiis, de tota plenius disserendum [est] habitudine.

Primum itaque disseremus communiter de omnibus ostendendo scilicet, quomodo vel quare in plerisque melis a communibus exorbitent regulis, deinde commodius de singulorum natura et proprietate tractabimus.

Sunt enim modi autentici, sunt plagales, sunt communes; [fol. 120b] sunt perfecti, sunt imperfecti; sunt transpositi, sunt transformati; sunt autenticae [42] elevationis et plagalis depositionis. Qui sint autentici, qui plagales, satis notum est. De communibus modulis superius iam tractavimus, quos etiam a quibusdam medios tonos vocari diximus. Perfecti vero sunt, qui et perfecte ascensum et descensum sibi regulariter concessum expediunt et secundum legitimam sui moduli qualitatem et in principio et in medio et in fine recte incedunt. Imperfecti vero maxime dicuntur plagales neque superius diapente attingentes neque inferius diatessaron admittentes. De transpositis sive transformatis explicare proximae erit questionis. Autenticae elevationis et plagalis depositionis sunt moduli, qui et supra finalem diapason et sub finali habent diatessaron, ut responsorium

[Quaestiones in musica, 42,1; text: "Quomodo fiet ist[e]",] [RUDQUA 06GF]

et antiphona,

[Quaestiones in musica, 42,2; text: "Fidelis sermo."] [RUDQUA 06GF]

Quae si iam sunt manifesta, videamus sequentia.

Inprimis diligenter adtendendum est et imis, ut aiunt, recondendum sensibus, qui modorum cantus quibus quotve cordarum inchoentur sedibus. Neque enim omni melo unius eiusdenique modi licet aeque et uniformiter per omnes cordas ad inchoandum sibi concessas inchoari. In quibusdam namque vocibus incipiunt liberius [43] responsoria et offertoria et huiusmodi cantiones, quae carent psalmorum et differentiorum appositionibus, quas [voces] omnino refugiunt principia introitus et antiphonae, quia nulla eis conpetenter suarum aptari possit differentiarum. Sed nec ubique inchoando pariter conveniunt introitus et antiphonae, quia ita sint; eis aliquando necesse est diversa principia [habere], sicut sunt diversae differentiae [fol. 121a]. Preterea notandum, quod propter eadem initia nonnumquam inregulariter cantui apposita et eis secundum euphoniam aptatis differentiis et autentus in suum plagam et plaga in suum transit autentum contra regulam. Quae cum in formulis tonorum considerari possint manifestius, tum nos in praesens quaedam eorum exempla proponamus.

Plagis prothi cantatur ad differentiam autenti sui ut introitus

[Quaestiones in musica, 43,1; text: "De ventre"] [RUDQUA 06GF]

et antiphona

[Quaestiones in musica, 43,2; text: "Ecce tu pulchra es";] [RUDQUA 06GF]

autentus secundum plagam ut antiphona:

[Quaestiones in musica, 43,3; text: "Assumpsit Iesus"] [RUDQUA 06GF]

et

[44] [Quaestiones in musica, 44,1; text: "O summe artifex."] [RUDQUA 06GF]

Autentus deuterus in modulum transit discipuli sui ut antiphona

[Quaestiones in musica, 44,2; text: "Iste cognovit" et "Exequiae Martini".] [RUDQUA 06GF]

Nam quod plagae deuteri et triti transeant in autentos suos, non occurrunt exempla. Autentus tritus in ius lateralis sui concedit:

[Quaestiones in musica, 44,3; text: "O Christi pietas."] [RUDQUA 06GF]

Discipulus tetrardi differentiae subicitur magistri ut:

[Quaestiones in musica, 44,4; text: "Iuravit dominus" et "Custodi me".] [RUDQUA 06GF]

Magister discipuli ut:

[Quaestiones in musica, 44,5; text: "In medio ec[clesiae]", et "Egregius Christi martir Vincentius".] [RUDQUA 06GF]

Sed iam de singulorum proprietate tempestivum est, specialiter, ut promisimus, dicere.

[45] Autenticus modulus prothi id est primi toni C D E F G a [rob] [sqb] c d habet igitur enneacordum per duo diapente distinctum. Nam a C in G est unum, a G in d est alterum, licet quidam adiciant e, ut fiat decacordum; sed supradicta divisionis regula contradicit, quia in his decem cordis non habetur ter diatessaron. Tamen ita praevaluit abusio, ut non solum e sed etiam f admittatur in nonnullis cantibus, quod lex autentica non recipit omnino. Principia eius usitata in quatuor consistunt fidibus C D F a. Antiphona

[Quaestiones in musica, 45,1; text: "Canite tuba", "Ave Maria"] [RUDQUA 07GF]

et similes aliqui in G [fol. 121b] solent incipere, sed ratiocinantur alii in F potius debere incipi ad exemplar introitus

[Quaestiones in musica, 45,2; text: "Exclamaverunt",] [RUDQUA 07GF]

quem iuxta suum "seculorum amen" in F liquet inchoari. Tamen in G incipit responsorium

[Quaestiones in musica, 45,3; text: "Vidi iherusalem",] [RUDQUA 07GF]

sicut in E:

[Quaestiones in musica, 45,4; text: "Filiae iherusalem",] [RUDQUA 07GF]

[46] in qua littera nulla huiusmodi initiatur antiphona. Porro troporum differentiae, quia passim pro regionum et ecclesiarum et etiam animorum variantur varietate, loqui de eis supersedimus concedentes in hac parte cantores ubi vis gentium suis uti formolis et consuetudinibus.

Modulus lateralis prothi, id est secundi toni [Gamma] A B C D E F G a b, habetque decacordum, in quo ter repperitur diatessaron, a [Gamma] in C est primum, a C in F est secundum, ab F in [rob] tertium. Cuius incipientiae regulares in his quatuor vocibus fiunt: A C D F. Harum tres omnes inchoant antiphonas; A vero, etsi frequenter et legitime caeteras incipit cantilenas, nullas antiphonarum, quae differentiis subiacent, admittit incipientias. B nullum invenitur incipere cantum, [Gamma] et E rarissimum; [Gamma]:

[Quaestiones in musica, 46,1; text: "Educ de carcere"] [RUDQUA 07GF]

E:

[Quaestiones in musica, 46,2; text: "Cum ambularent".] [RUDQUA 07GF]

Autenticus modulus deuteri, id est tertii toni D E F G a [sqb] c d e, qui secundam nonam [sqb] ideo admisit, quia ad eius finem diapente fit, maxime autem ideo, quia ad eius acutissimam e diatessaron reddit. Quia autem [47] prope finem tres tonos habet in ascensione vel descensione, potius saliendo vadit quam gradiendo. Habet itaque enneacordum per duo diapente a D in a, ab a in e distinctum. Cuius aliquando cantus inlegitime aggreditur C inferius, ascendendo f superius. Usitata eius principia maxime in tribus cordarum inveniuntur sedibus: E G c. Sed et F plerasque inchoare [fol. 122a] cantiones praeter dumtaxat antiphonas repperies. Usurpat quoque C responsoria incipere, ut:

[Quaestiones in musica, 47,1; text: "Edificavit Noe"] [RUDQUA 07GF]

et D ut:

[Quaestiones in musica, 47,2; text: "O pastor apostolice".] [RUDQUA 07GF]

Sed tam in his quam in a et [sqb] quandocumque principium meli reppereris, ex ipsa raritate abusivum esse noveris. Extendit autem contra omnium autentorum legem inceptiones suas et tenorem in sextam a finali vocem. Quod ideo factum esse creditur, quia, cum amfractis saltibus delectetur, ad lascivum eius incessum non conveniebat [sqb] quadratum.

Modulus plagis deuteri id est quarti toni A B C D E F G a b [sqb] c, ubi decem considerantur cordae, in quibus est diatessaron ab A in D, a D in G, a G in C. Cui communis usus ideo magis [rob] molle adtribuit, cum [sqb] quadratum [48] ad finem eius diapente reddat, quia, cum sit modestus et suavis eius incessus, huic modestiae et suavitati tritonus minime consonabat. Omnis eius communiter cantus sex inchoatur fidibus C D E F G a, nunquam vero in A B inferioribus.

Autenticus modulus triti, id est quinti toni F G a [rob] [sqb] c d e f scilicet octicordum secundum maiorem divisionem, id est diapason. Aliquando autem supersilit ad g et adhuc ad aa, sed abusive. Qui, quia post se tonum non habuit, nec in principio nec in incessu post se respexit. In quinto igitur et sexto modo plurimum [rob] molle probatur valere, quia et eius fini F iungitur per diatessaron et excellenti f per diapente. Cuius usitatae inceptiones in tribus cordis consistunt F a c, et rarissime in G ut communio

[Quaestiones in musica, 48; text: "Non vos relinquam."] [RUDQUA 07GF]

Modulus discipuli triti, id est sexti toni C D E F G a [rob] [sqb] c d, fitque enneacordum per duo diapente distinctum a C in G, a G in d. Qui proinde pauperior videtur aliis, quia quintae voci inferius per diapente non potest iungi eius finalis, sed nec per diatessaron tritono [fol. 122b] differente concurrebat quartae superiori, nisi quod [rob] rotundum interveniens succurrit ei. Principia sui cantus usualia et maxime [49] antiphonarum in duabus fiunt vocibus F et D. Sunt cantus, qui in C incipiunt, ut responsorium

[Quaestiones in musica, 49,1; text: "Decantabat populus"] [RUDQUA 07GF]

et in a ut

[Quaestiones in musica, 49,2: text: "Modo veniet."] [RUDQUA 07GF]

In G et E vix exempla repperies.

Autenticus modulus tetrardi id est septimi toni, in quo novem cordae notantur, quae per duo diapente distinguntur hoc modo: F G a [sqb] c d e f g ab F in c, a c in g. Occupat nonnunquam aa superacutum per licentiam et inferius E, sed abusive. Inceptiones eius in quatuor vocibus [fiunt] G [sqb] c d, et in a raro, sed in F rarius omnino. Modulus plagalis tetrardi, id est octavi toni C D E F G a [sqb] c d, fitque enneacordum, ut prothi dispositione iam est monstratum, quia habet proprium per easdem voces discursum. Additur a quibusdam e, sed, ut dictum est etiam in protho, constat huiusmodi decacordum ter diatessaron non habere ideoque non recipitur utraque, id est acutissima e et gravissima C, ut quibusdam placet, in una eademque cantione.

[50] Huius principia in sex cordis sunt usitata: C D F G a c, in E raro, ut:

[Quaestiones in musica, 50; text: "Ornaverunt faciem templi",] [RUDQUA 07GF]

in [sqb] nunquam. Et notandum, quod, si istis duobus modis prima nona [rob] concederetur, uterque mox transformaretur, quia secundum positionem tonorum et semitoniorum tam in ascensione quam in descensione et septimus fieret primus et octavus secundus, quod per se animadvertere potest quivis etiam mediocriter his imbutus.

Haec interim habui de modorum proprietate, quae ex aliorum scriptis decerpta succincte scriberem, quibus diligens et assiduus lector insistens uberiorem ex paucis elicere sibi poterit [fol. 123a] rationem, ut plenius scientia veritatis instructus valeat rationabiliter modulari, sapienter psallere, suaviter delectari, et hoc in laudem et honorem et gloriam Dei.

[20.] Qui sint transformati modi, qui sint transpositi, vel quare qualiterve dicantur transformari ac de propriis sedibus transponi.

Transformatus modus dicitur, qui trans formam propriae qualitatis in formam convertitur alterius proprietatis, ita ut melodia plerumque magis videatur eius esse modi, cuius non est, quam eius, cuius est. Quae vitiosa transformatio maxime fit per [rob] molle et frequentius in septimo et [51] octavo tono, quando scilicet cantilena per sinemmenon decurrit tetracordum, ut G sonet prothum, a deuterum, b tritum, c tetrardum.

G sonat prothum ut antiphona:

[Quaestiones in musica, 51,1; text: "Urbs fortitudinis nostrae syon salvator ponetur in ea murus",] [RUDQUA 08GF]

et

[Quaestiones in musica, 51,2; text: "Magnus sanctus Paulus",] [RUDQUA 08GF]

cuius non solum distinctio, sed etiam finis formam prothi habet. Nam superior [antiphona] distinctionem tantum in G mentitur prothi, cum sit tetrardi.

a sonat deuterum, ut patet in alleluia: "Nonne cor nostrum" et

[Quaestiones in musica, 51,3; text: "Christus resurgens",] [RUDQUA 08GF]

ubi finis melodiarum formam usurpat deuteri per semitonium a

[Quaestiones in musica, 51,4] [RUDQUA 08GF]

[rob] vero, quod alios tropos confundit et transformat, etsi ad similitudinem sexti toni in depositione semitonium et duos tonos habeat, tamen neque illius neque alterius societatem vel inchoando seu distinguendo sive finiendo cantum habere meruit, quippe [52] quod neque per diapason cum aliis a posterioribus fieri potuit, tum quia inconcinnus eum tritonus sequitur, tum quia nulla sequentium vocum per diatessaron, quae principalis est consonantia, ei karitate iungitur.

c sonat tetrardum, quia et sub se tonum habet per [rob] molle et super se duos tonos et semitonium [fol. 123b] sicut G. Unde quidam antiphonam

[Quaestiones in musica, 52,1; text: "Si cognovissetis me"] [RUDQUA 08GF]

quia in eo loco:

[Quaestiones in musica, 52,2; text: "et patrem meum"] [RUDQUA 08GF]

semitonium sub g finalis suae octava non invenit, quod requirit, et:

[Quaestiones in musica, 52,3; text: "Salvator mundi"] [RUDQUA 08GF]

ibi:

[Quaestiones in musica, 52,4; text: "qui per crucem"] [RUDQUA 08GF]

et huiusmodi in c transformare contendunt, ut eis inferius succurrat sinemmenon et cc superacutum loco g praedictum eis conferat semitonium. Sed repugnant alii et causantur, in G propria finali rationabilius debere cantari eandemque cordam, cum ad g ventum fuerit, pro semitonio bis terve repercutiendam, [53] quia absurdum sit et inconcinnum, septimum tonum in sextum transformare et adulterari. Tu quid eligas e duobus, tuo arbitrio relinquimus. Idem quoque observabis in quibusdam quarti modi antiphonis, quas propter semitonii vel toni defectum in sinemmenon transferunt.

Transpositus modus dicitur, qui a propria sede in socialem cordam cantandus transponitur. Differt autem a transformato, quod ille fit vitio, iste regulariter et necessario. Fit autem omnis cantus transpositio tum ex parte tum ex toto. Sed sive ex parte fiat sive ex toto, triplex ipsius causae perpenditur divisio, quia fit aut voluntate aut necessitate aut voluntate simul et necessitate. Totum sequitur aliquando voluntas, nonnunquam necessitas; partem comitatur voluntas simul et necessitas. Totum autem dico, cum tota cantio transfertur ad affinem vocem ac secundum eius regitur dispositionem et in principio et in decursu et in fine suo; ex parte vero ita fit, cum cantus quidem secundum regimen propriae finalis incipit et aliquandiu circa eandem finalem versatus postea voluntate musici in acutis lasciviendo exaltatus et diutius, quam debuerat, immoratus, cum iam eum ad propriam sedem reduci sit inconcinnum, necessitate, quasi lassus et [fol. 124a] anhelus in proximum sotialis suae divertit hospitium.

Sunt autem alii toni ut primus, secundus, quartus, sextus, qui, ut [54] transferri possint, ipsa vocum affinitas causam facit et copiam. Sunt alii ut tertius, quintus, septimus, octavus, quibus adhoc naturalis ptongorum positio plenariam usquequaque non dedit concordiam. Itaque modi isti voluntate transponuntur ad affines voces, et hoc propter vitandum [rob] molle, ut dicit Guido: Si vis eam non habere, pro D E F adsume a [sqb] c, quae eiusdem sunt modi. Quod quidem ut fiat, soli conceditur voluntati.

At vero necessitate transponitur primus tonus et ex toto, ut:

[Quaestiones in musica, 54,1; text: "Haec dies"] [RUDQUA 08GF]

a D in a compare sua, sub hac habentes duos tonos, quibus caret finalis ipsa. Ex parte transfertur ut responsorium

[Quaestiones in musica, 54,2; text: "Factum est".] [RUDQUA 08GF]

Tonus secundus eadem causa ex toto ut:

[Quaestiones in musica, 54,3; text: "Te unum"] [RUDQUA 08GF]

ibi:

[Quaestiones in musica, 54,4; text: "trinitatem".] [RUDQUA 08GF]

Ex parte ut:

[Quaestiones in musica, 54,5; text: "Terribilis".] [RUDQUA 08GF]

[55] Quartus ex toto transponitur ab E finali in [sqb] sotiali propter tres tonos, quos ista habet, illa non habet, ut offertorium:

[Quaestiones in musica, 55,1; text: "Domine fac mecum"] [RUDQUA 08GF]

Nam antiphonas prohibent [ex toto] transferri "seculorum amen" et psalmi, qui eis sunt aptandi, quia, si antiphonae transferantur, ipsae subiunctiones defectum in superioribus patiuntur.

Ex parte autem transponitur ut antiphona:

[Quaestiones in musica, 55,2; text: "Scindite corda".] [RUDQUA 08GF]

Sextus ex toto cantatur in c per [rob] molle, quia eo tono caret F sub se, ut:

[Quaestiones in musica, 55,3; text: "Honor virtus".] [RUDQUA 08GF]

Ex parte vero nichil prohibet eum transponi, licet exempla vel desint vel non occurrant in praesenti. Et notandum, quod secundus modus in sua transpositione diapason autenti deuteri possidet ab E in e, sed sub alia mediatrice quam ille id est a. Sextus autem diapason usurpat septimi a G in g, sed alia mediatrix illi, alia isti, id est c. Quartus vero neque ad subquartam suam neque ad superquintam habere [fol. 124b] potest concordiam et ideo fortassis rarius invenitur transpositus.

[56] [21]. Qua similitudine conveniat grammaticae vel metricae arti musica, vel si qua in ipsis consonantia sit advertenda.

Sicut vocis articulatae elementariae atque individuae partes sunt litterae, ex quibus compositae sillabae rursus componunt verba et nomina eaque perfectae orationis textum, sic canorae vocis ptongi, qui latine dicuntur soni, origines sunt, et totius musicae concinentia in eorum ultimam resolutionem desinit. Ex sonorum copulatione diastemata, porro ex diastematibus concrescunt sistemata. Soni vero prima sunt fundamenta cantus. Ptongi autem non quicunque dicuntur soni, sed qui legitimis ab invicem spatiis melo sunt apti.

Iunge ergo duos ptongos quasi duas litteras, et fit vel tonus vel semitonium. Tonus pro longa, semitonium sit pro brevi sillaba. Item iunctis tribus voculis quasi tribus litteris alias erit ditonus, alias semiditonus. Ditonus uniformis est ex duobus tonis, semiditonus biformis: alius trocheicus constans ex tono et semitonio quasi ex longa et brevi, alius [iambicus] ex semitonio et tono, hoc est ex brevi et longa. Quorum dispositionem per septem discrimina evidenter tibi praesens declarat formula:

[Quaestiones in musica, 56; text: Semiditoni, Syllabae, Consonantiae, Trocheicus, Iambicus, Longa, Brevis, Tonus, Semitonium, A, B, C, D, E, F, G] [RUDQUA 09GF]

[57] Compone item quatuor cordas et producis per quatuor modos quatuor species diatessaronicas. Species prima diatessaron constat ut amphimacrus ex longa et brevi et [fol. 125a] longa, id est tono, semitonio et tono. Secunda species intensa ut bachius ex brevi et duabus longis, remissa ut antibachius ex duabus longis et brevi. Tertia species diatessaron constat secundum intensionem sicut secunda iuxta remissionem ut antibachius, secundum remissionem vero ut secunda iuxta intensionem sicut bachius. Quarta rursus ut "insulae".

Quas tibi subpingere curavimus, ita ut et tetracorda designentur, ex quibus per ordinem generantur.

[Quaestiones in musica, 57; text: Amphimacratica species, Prima ex longa, brevi et longa, Secunda ex duabus longis et brevi, Tertia ex brevi et duabus longis, Quarta ex longa, brevi et longa, Quarta ex duobus tonis, semitonio et tono, Tertia ex tribus tonis et semitonio, Secunda ex semitonio et tribus tonis, Prima ex tono, semitonio et duobus tonis, Bachius, Antibachius, Insulae, A, B, C, D, E, F, G] [RUDQUA 09GF]

[58] Iam nunc adiunge voces quinque et apparebunt per quaternas varietates quatuor modi diapente.

[Quaestiones in musica, 58; text: Epitritus secundus, Epitritus tertius, Epitritus quartus, Epitritus tercius, Tetracordum superiorum, Tetracordum finalium, Prima ex duabus longis, brevi et longa, Secunda ex tribus longis et brevi, Tercia ex brevi et tribus longis, Quarta ex longa, brevi et duabus longis, Quarta ex duobus tonis, semitonio et tono, Tertia ex tribus tonis et semitonio, Secunda ex semitonio et tribus tonis, Prima ex tono, semitonio et duobus tonis, a, [rob], [sqb], c, d, D, E, F, G] [RUDQUA 10GF]

Diapente prima species constat ex trocheo [et] spondeo suspensa, ut "liberabant" [signa supra lin.], deposita ex spondeo et iambo, ut "convenerant" [signa supra lin.]. Secunda intensa ex epitrito [fol. 125b] primo, ut "sacerdotes" [signa supra lin.], remissa ex spondeo et trocheo, ut "sacramenta" [signa supra lin.]. Tertia ascendens ut secunda descendens ex spondeo et trocheo, descendens ut illa ascendens ex epitrito primo. Quarta ascendens ex spondeo et iambo, ut [59] prima descendit, descendens ut illa ascendens ex trocheo et spondeo. Has quoque ut superiores diatessaron species figuris declarare non erit inutile.

At nunc in hac tetracordorum et pentacordorum dispositione vim semitonii libeat considerare.

Ecce enim patenter intelligis et descriptione et ratione, quod ipsa semitonii transpositio sit troporum et specierum mutatio.

Nam hinc sua cuique ptongo discernibilis qualitas et tetracordis et pentacordis suae sunt species et troporum omnium formae; ipsumque idem semitonium quodammodo cor atque animus efficitur cantilenae.

[22]. Quomodo metrice vel numerose neumas cantionum moneamur distinguere.

Sicut in metro certa pedum dimensione contexitur versus, ita apta et concordabili brevium longorumque sonorum copulatione componitur cantus. Et velut in exametro versu, si legitime currit, ipso sono animus delectatur, at si verso ordine in penultimo spondeum, in ultimo dactilum admittit vel si quis in secundae coniugationis verbo acuto accentu in antepenultima pronuntiat ita: docete [signum supra lin.], vel in tertia coniugatione in penultima circumflexo: legite [signum supra lin.], omnino ipsa auditus novitate tabescit: sic in cantilena ex veterum auctoritate apta et modesta [60] modulationum coaptatione coniuncta tota animae corporisque compago delectatur, sicut econtrario ab audiendi voluptate se suspendit, si quid in ea depravatum sentit.

Numerose igitur canere est, ut adtendatur, ubi productioribus, ubi [fol. 126a] brevioribus morulis utendum sit. Quatinus uti, quae sillabae breves, quaeque sint longae, adtenditur, ita, qui soni producti quique correpti esse debent, adtendatur, ut ea, quae diu, ad ea, quae non diu, legitime concurrant ac veluti metricis pedibus cantilena plaudatur. Age canamus exercitii usu. Plaudam pedes ego in praecinendo, tu sequendo imitabere. Solae in tribus membris ultimae longae "Ego [[G G supra lin.] sum [G supra lin.] via [a G supra lin.], veritas [F G F a supra lin.] et [a supra lin.] vita [c d d supra lin.], alleluia [d c c [sqb] G a [sqb] supra lin.], alleluia [[sqb] a G G] supra lin.]".

reliquae breves sunt. Sic itaque numerose est canere, longis brevibusque sonis morulas ratas metiri nec per loca contrahere vel protrahere magis quam oportet, sed infra scandendi legem vocem continere, ut possit melum finiri mora, qua caepit. Vel si aliquociens moram mutare velis, id est circa initium et finem protensiorem vel incitatiorem cursum facere, duplo id feceris, id est ut productam moram duplo correptiore seu correptam immutes duplo longiore. Sumamus quodvis canere melum [61] nunc correptius nunc productius, ita ut morulae, quae nunc sunt productae correptis suis, nunc item fiant pro correptis ad eas, quae fuerint productiores se. Canamus modo:

"Ego sum via, veritas et vita, alleluia, alleluia",

"Ego sum via, veritas et vita, alleluia, alleluia",

[fol. 126b] "Ego sum via, veritas et vita, alleluia, alleluia".

Prima sit mora correptior, subiungatur producta, tunc correpta iterum. Haec igitur numerositatis ratio doctam semper cantionem docet et hac maxima sua dignitate ornatur seu ab uno, seu a pluribus, seu tractim seu cursim canatur. Fitque, ut, dum numerose canendo alius alio nec plus nec minus protrahit aut contrahit, quasi ex uno ore vox multitudinis audiatur. Item in alternando seu praecinendo et respondendo per eandem numerositatem non minus morae concordia servanda est quam sonorum.

Morarum ergo concordia fit, si id, quod subiungendum est, aut aequali mora repondeat sive pro conpetenti causa duplo longiore aut duplo breviore.

[62] Observanda quoque est ratio sillabarum partium distinctionum, id est ut scias, quid coherere conveniat, quid disiungi.

Observandus est tenor, id est ultimae vocis mora, qui quantuluscunque est in sillaba, amplior in parte, diutissimus in distinctione.

Sed et distributio neumarum proportionaliter sibi respondeat

aut in numero vocum

aut in ratione tenorum.

Multum ad hunc modum super his poterant scribi; sed si temptemus singula exequi, cum nimia longitudo tractatus tum fastidium generetur lectoribus.

[63] [23.] Quid sibi vult, quod in plerisque antiquioribus antiphonariis litteras invenimus asscriptas neumis ut m, c, t.

Antiquitus fuit magna circumspectio non solum cantus inventoribus, sed etiam ipsis cantoribus, ut quidlibet proportionaliter et invenirent et canerent.

Unde non solum suprascriptas, sed etiam omnes fere alfabeti [fol. 127a] litteras invenimus a quibusdam musicis ordinatim ad hoc digestas cum significationibus suis hoc modo:

a, ut altius elevetur ammonet; b, ut bene gravetur sive teneatur; c, ut cito dicatur; d, ut deprimatur; e, ut aequaliter sonetur; f, ut cum fragore feriatur; g, ut in gutture garruletur gradatim; h, ut, sicut ipsa in scriptura aspirat, ita et in nota id ipsum faciat, vel humiliter inclinare notam designat; i inferius insinuat; k, licet apud Latinos parum aut nichil valeat, apud Alemannos tamen "klenke", id est clange significat; l levare neumam; m mediocriter moderari melodiam; n notare significat; o figuram sui in ore cantantis ordinat; p pressionem vel perfectionem insinuat;

r rectitudinem vel crispationem significat; s sursum scandere; t trahere; q et reliquae litterae in significationibus notarum probantur nichil valere. Sed et ex suprascriptis omnibus has tantum in nostris antiphonariis frequentari repperimus: a c e h i m s t.

[64] Haec, ut praediximus, in canendo fuit antiquis cantoribus consideratio, quae iamdudum obiit, immo sepulta est.

[24.] Quomodo secundum Boetium per tria genera cantuum, id est diatonicum, chromaticum, enarmonicum dividatur monocordum.

Ex his tribus cantuum generibus enarmonicum propter nimiam dulcedinem suam penitus abiectum est. Cromaticum econtrario propter nimiam severitatem suam paene ab omnibus negligitur. Diatonicum autem solum in usu est, eo quod nec nimiae dulcedinis sit ut enarmonicum, nec nimiae severitatis ut cromaticum. Sed quamvis haec duo a norantibus negligantur, tamen ex auctoritate Boetii subscriptum hic invenies, quomodo trium istorum monocorda metiri debeas.

Itaque duc inprimis quatuor lineas pares tam longitudine quam latitudine. Sed ex his quatuor lineis [fol. 127b] oportet tria interstitia fieri, quae tribus generibus cantuum distinguantur, supremum interstitium enarmonico, medium cromatico, infimum diatonico. Quod ideo infimum ponitur, eoquid sit quasi quoddam fundamentum superiorum et illa accipiant modum de isto et regulam suae mensurae. Unde hoc interstitium semper est in primis metiendum, ut secundum eius lineas post modum facilius mensuram caeterorum invenias.

Duc ergo, ut iam dictum est, per transversum quatuor [fol. 128a] lineas,

[65] [Quaestiones in musica, 65; text: Enarmonicum, Chromaticum, Diatonicum, A, B, C, D, E, F, G, H, I, K, L, M, N, O, P, S, Tetracordum ypaton, Tetracordum meson, Tetracordum netarum, Tetracordum yperboleon, Per duos tonos et semitonium dividitur, Per trihemitonium et duo semitonia exaratur, Per duos tonos confusos et duas dieses distinguitur] [RUDQUA 11GF]

[66] quae totum monocordum in quatuor aequa dividant spatia. In prima linea scribe primam litteram A, in secunda D, quae est quarta, in tertia H, quae est media, in quarta P, quae est ultima. Ab hac littera de quatuor quas mensurasti partes remanet quarta usque in finem vacua. Itaque ipsa pars a summo usque ad P in octo dividatur et nona superadiecta O scribatur. Rursus eadem pars usque ad O in octo dividatur nonaque collecta N signetur littera. Semitonium, quod sequitur, hoc modo repperitur: Dividatur a principio eadem pars usque ad P in tres passus, et quarta vice verso circino post eam ponatur M. Ecce primi Boetiani tetracordi constitutio constans duobus tonis et semitonio.

Rursus etsi eodem modo sequentis tetracordi possit mensurari positio, tamen propter mensurandi adbreviationem aliam huiusmodi consideremus dimensionem. Constituat circinus in supradicto spatio usque ad P duos passus et superaddito tertio L scribatur. Similiter ad O duplicato spatio post eam K pones in tercio. Posthaec circinus ducatur ad M per tres passus, post quam quartus J apponet appositus, in qua fit semitonium, et secundum concluditur tetracordum.

Ab hac usque H, quae est media, fit tonus, quae iam a principio est posita. Sed inter H et J sinemmenon tali dimensione debet innecti: Divisa corda a summo in duas partes usque N adiecta tertia notetur S littera. Ecce diapason consonantia excellentes [67] continens et superiores, cui addatur aliud finales per se concludens et graves.

Quas etiam faciliori compendio per duos passus dupla colligat proportio. Fac itaque unum passum a summo usque ad O, positurus G in passu secundo. Eadem mensura invenies F et E sequentes litteras per N et M in dupla proportione medias. Ecce tetracordum tercium.

Sequentis [fol. 128b] item tetracordi duas cordas dupla constituet mensura, nam duae iam sunt positae a principio, id est D et A. Fige ergo primum passum in K scripturus C vice secunda. Post haec J locabit B divisione duplici. In hoc tetracordo secunda diapason finitur et totius monocordi secundum Boetium mensura perficitur.

Deinde si vis metiri monocordum in cromatico genere, sciendum est tibi, totum monocordum constare semitoniis et semper tria habere confusa, id est per nullam mediam lineam disiuncta, duo vero disiuncta. Sumatur igitur minimus in unoquoque tetracordo diatonici generis tonus, hicque, duas aequas in partes divisus, in sequentem tonum vertatur circinus sicque tribus semitoniis simul complexis reliqua duo singulis distinguantur lineis. Idipsum facies per totum cromaticum. Ad mensurandum ergo genus enarmonicum duo continui diatonici generis complectuntur toni, sequens autem semitonium in duo aequalia dividitur spatia. Habet enim enarmonicum semper duos tonos confusos [68] et duo dimidia semitonia, quae vocant dieses. Idem facies per reliquum.

[25]. Item aliter secundum sequaces Boetii.

[D]iatonicum genus, quo nos utimur, ideo dicitur, quod dimensionem tonorum et compositionem exequitur.

Ergo hoc genus fortius et durius comprobatur, ed idcirco, ne mentes audientium vel canentium dulcedine cantus emolliantur, ecclesiastico usui aptatur. Novimus enim scripta sapientium adtestari animos hominum musica suavitate detentos ab intentione sua commutari. Cromaticum dicitur quasi coloratum, eoquod a diatonico natum alterius sit coloris quam diatonicum.

Hoc genus mollissimum conprobatur, et idcirco propter supradictam causam ecclesiastico usui non aptatur. Enarmonicum [fol. 129a] vero dicitur optime coaptatum, eoquod ex utrisque modeste compactum sit et temperatum; nomenque accepisse dicitur ab armonia, id est diversarum vocum concordabilis convenientia.

[26]. Post monocordi divisionem restat dari cimbalorum et fistularum mensuram et rationem.

[A]rbitror idcirco eodem modo se habere mensuram monocordi cimbalorumque, quod pulsatio sonum excitat utrinque, tinnitus cordae et cimbali ferit aerem liberum nullis circumstantiis clausum. Sed distat [69] ab illis mensura fistularum fortassis propter aerem in ipsis coartatum, qui, dum se dilatandi libertatem fistulae circumstantiis prohibitus non habeat, quaerit non solum longitudinis, sed etiam grossitudinis adiectionem. Unde in repperiendo tono non solum prioris fistulae longitudinis, sed etiam grossitudinis, id est diametri octavam partem assumimus, ut patebit in sequentibus.

Sed ad cimbala redeamus. Propter toni tarditatem sesquitercia sesqualteraque proportione mensuram statui intendere et remittere. Octo cimbala sunt, sunt hac ratione dimetienda. De reponderatione cerae primi cimbali, id est C, abicias quartam partem, de tribus residuis quartum cimbalum formabis, id est F. De eadem reponderatione primi cimbali tertiam partem auferas, de duabus quintum cimbalum efficias, idest G. Cuius quinti cimbali cerae tertiam sui partem adicias et secundum cimbalum confingas, id est D. Eiusdem secundi cimbali cerae tertiam sui partem adimas, de duabus autem partibus, quae restant, formam sexti proponas cimbali, id est a. Cuius sexti cimbali cerae tertiam supperaddas, ut tertium habeas cimbalum, id est E. Cuius tercii cimbali cerae terciam partem amoveas et de duabus restantibus novissimum conformes cimbalum, id est [sqb]. Sinemmenon [70] autem fit, id est [rob], si quarti cimbali [fol. 129b] cerae quartam deponas partem, et de tribus, quae supersunt, cimbalum statuas.

Omnino caveat artifex, qui cimbala formare et fundare debet, uti de supradicta caera, quae tunc caute ponderata est et divisa, nichil mittat ad iuga et spiramina, sed de altera faciat illa omnia. In magna providentia habeat, ut, priusquam aliquod cimbalum fundat, stagnum commisceatur, ut rectum sonum habeant. Quod si aliter feceris, non veniunt ad tonos. Quinta pars aut sexta stagnum debent esse, ut clare sonent. Antequam stagnum misceatur ad cuprum, ambo debent purificari a plumbo. Si autem fusa cimbala aliquid minus recte per negligentiam sonuerint, hoc emendare procura cum cote et lima.

[27]. De organicis fistulis.

[P]rimam fistulam tantae longitudinis ac latitudinis delibera, quantum mediocritas cum arbitrio doceat. Longitudo autem fistulae a plectro sursum habetur, et latitudo est ipsius concavitatis capacitas, qua se in summitate in modum circuli aperit, qui nimirum circulus non secundum ambitum suum, sed per medium duobus hemisperiis divisus diametrum dicitur.

[71] Huius diametri longitudinem deprehensam circino statim post primae fistulae informationem in summitate eiusdem primae fistulae duabus lineis aequalibus depinge, et unam earum in octo et alteram in duas et in tres et in quatuor equas partes divide, et post hec tota mensura tibi erit facillima.

Nos autem in utrunque progredientes, modo hanc intendendo et abiciendo, modo illam remittendo et adiciendo sequentes faciliorem mensurandi regulam tenere decrevimus, quia tonum per octo novemve particulas repperire nolumus non sine ratione quidem. Quanto enim mensura celerior, tanto est verior. Alicuius [fol. 130a] spatii tertiam, quartam dimidiamve octava nonaque parte quaeri cercius et celerius pene patet omnibus. Unde sesqualtera sesquitertiaque sursum tendere iusumque disposuimus proportione.

Primae fistulae tertia pars cum tertia diametri sibimet addita format quartam. Item primae medietas cum diametri medietate sibimet iuncta generat quintam. Quinta quarta sui parte cum tercia diametri deposita secundae staturam proponit. Secunda sua diametrique medietate praesumpta [72] terciaque diametri reiecta terciam constituit. Terciae medietas cum diametri medietate sibimet superposita mater est septimae. Cuius quarta cum diametri tercia detruncata, quod restat, fistulae sinemenon recinentis longitudinem prestat.

Vela sollicitudinis deponamus, quia iam securitatis portum occupamus. Prima duplex cum integro diametro reddit octavam, secunda [nonam], tercia decimam, quarta undecimam, sinemenon aliud sinemenon, quinta duodecimam, sexta terciam decimam, septima quartam decimam, octava quintam decimam, nona sextam decimam, decima [septimam decimam]. Totidem etenim organicis fistulis uti placuit experientiae domini Guilelmi, qui duobus ordinibus XIIII fistulis tres adiecit, ut tetracorda praestrueret, ut competens acumen in minimis et oportuna gravitas [responderet] in maximis.

[S]icut fistulae eiusdem grossitudinis, ita lamminae, de quibus fiant, eiusdem sint latitudinis.

Sed grossitudinis circulus, de qua latitudine possit provenire, caute debemus perpendere. Dicit Macrobius de Somnio Scipionis: "Omne diametrum cuiusque orbis triplicatum cum adiectione septimae partis suae [73] mensuram facit circuli." Haec sunt verba Macrobii. Unde eius auctoritatem sequentes praescripti circuli diametrum triplicemus septimamque diametri simul [fol. 130b] adiungamus, et secundum quantitatem lineae, quae inde procedat, omnium laminarum fistulis materialium latitudo fiat. Hae lamminae in lateralibus extremitatibus attenuantur; praecipue, quae extremitates, cum fabrili manu eas incurvante conveniant, non superponantur sibimet, sed osculo tantum collidantur coniunctissimo. Ad cuius osculi commissuram tegendam preparentur lamminellae festucae tenuitatem et latitudinem habentes, quae sibi tenacissimo conglutinentur stagno seu alio, quod lentius diuturniusque perseveret, letario. Postquam autem in lammina adhuc patula cuiusque fistulae longitudo determinetur punctis utrinque in lateribus fixis, linea per transversum de puncto tendatur in punctum. Illa linea terminales sit ori fistulae. Quod os super ipsam ita extendatur lineam, ut ad medietatem latitudinis fistulae aperiatur. In ipsa quoque linea plectrum artissime conglutinetur, a quo plectro subterius oris labrum mediocris festucae distet latitudine.

Explicit pars prima questionum in musica.

[74] Incipit pars secunda.

[1]. Quomodo mater sit arhitmetica armoniae vel musicae et ceterarum artium matheseos disciplinae.

[P]ertemtare libet, quas dominus concesserit rationes, quo causas dulciter convenientium vocum atque discrepantium, naturam quoque diversorum troporum aliquantulum deprehendamus et quare in transponendo in alias species migrent vel in suas denuo revertantur. Etenim [fol. 131a] sicut absolute computando simplex est series numerandi et facilitate sui etiam pueris patens, ut I II III IIII et caetera, aliud vero alii inaequaliter collatum in varias inaequalitatis species cadit, ita ptongi in musica, cuius mater est arithmetica, id est numeralis scientia, facili quidem ordine recensentur, ad aliquid autem prolati non modo suavium dant concinentiarum species, sed et earundem concinentiarum suavissimas rationes.

Armonia autem putatur concordabilis inaequalium vocum commixtio, musica ipsius concordationis ratio, quae, sicut per omnia numerorum rationi coniuncta est atque ceterae mathesis disciplinae, ita per numeros oportet ut intelligatur. Mathesis autem disciplinae sunt arithmetica, geometria, musica, astronomia. Porro mathesis dicitur doctrinalis scientia; at doctrinalis scientia est, quae abstractas quantitates considerat. Abstractae vero quantitates sunt, quae sine materia, id est admixtione corporali, solo intellectu tractantur. Hae ergo quatuor disciplinae non sunt humanae inventionis artes, sed divinorum operum aliquantae investigationes, et in creatura mundi [intelligenda] mirabilissimis rationibus ingenuas mentes ducunt ita, ut sint inexcusabiles, qui per haec cognoscentes Deum et sempiternam eius divinitatem non sicut deum glorificaverunt aut gratias egerunt.

[2]. Quomodo secundum rationes numerorum ratio consistat modulationum.

[I]gitur quicquid in modulatione suave est, numerus operatur per ratas dimensiones vocum. Quicquid rithmi delectabile praestant sive in modulationibus [75] seu in quibuslibet rithmicis motibus, totum numerus efficit. Et voces quidem celeriter transeunt; [fol. 131b] numeri autem, qui corporea vocum et motuum materia decolorantur, manent. Quapropter, ut ait Sanctus Augustinus, ratio, quae in rithmis, qui dicuntur latine numeri, sive in ipsa modulatione intellexit regnare numeros reperiebatque divinos et sempiternos. Deinde eadem ratio caelum terramque collustrans sensit nihil aliud quam pulchritudinem sibi placere et in pulchritudine figuras et in figuris dimensiones in dimensionibus numeros. Hec quoque disposita et distincta in disciplinam redegit appellavitque geometriam. Motus eam caeli multum movebat et ad se diligenter considerandam ammovebat; etiam ibi per constantissimas temporum vices, per astrorum ratos diffinitosque cursus, per intervallorum spacia moderata nihil aliud intellexit, quam per ipsam dimensionem numeros dominari. Quae similiter diffiniendo ac secernendo in ordinem nectens astrologiam genuit. Hoc itaque modo in matheseos disciplinis occurrunt omnia numerosa et inmortalium numerorum, qui cogitando atque volvendo intuentur. Hi, qui sentiuntur umbrae, potius et imagines sunt.

[3]. Quae sit contraria bifariae quantitatis natura et quomodo ex utraque vocum procreetur concordia.

[O]mnis quantitas secundum Pithagoram vel continua vel discreta est. Sed quae continua est, magnitudo appellatur; quae discreta est, multitudo. Quantitatem autem dicimus et in numeris et in molibus. Nam quantitas numeralis proprie dicitur multitudo, quae unitatibus congregatur. Quantitas specialis, quae in molibus fit, dicitur magnitudo, quae in unitates dividitur. Nam multitudo infinita pluralitate succrescit, magnitudo infinita particione minuitur. Hoc est: [fol. 132a] multitudo ad unum ex compluralitatibus tendens augetur spacio; magnitudo ab uno in pluralitatem tendens unitatum spaciis minuitur; utpote lapis, arbor. Quo minore dividitur numero, divisionum spacia maiora sunt; quo autem in plura partiuntur, eo ipsa minuuntur spacia, ut verbi gratia de viginti quatuor dimidium duodecim, pars tercia octo, pars quarta sex; item de duodecim medietas sex, pars tercia quatuor, pars quarta tres.

Utrarum ergo quantitatum similitudine arithmetica ex sese musicam gignit vel fundit et miro modo per utrarumque contrarias passiones melodas voces suavi concordatione disponit. Quod enim vox ad vocem aut duplo crescit aut triplo aut quadruplo, quod sonat diapason, diapason ac [76] diapente, disque diapason, naturam servat numeralis quantitatis. Quod vero minoris dimidio superat vel parte tercia vel quarta vel octava, quod sonat diapente, diatessaron et tonum, continuae habet quantitatis imaginem. Cum ergo vocum varietates in quantitate consistant, hoc modo secundum contrarias bifariae quantitatis naturas dulci ad invicem commixtione consentiunt.

[4]. Item de differentiis quantitatis et quae quibus sint deputatae disciplinis.

[D]iximus quantitatis duas esse species: multitudinem et magnitudinem. Rursus multitudinis et magnitudinis alia sunt immobilia, alia mobilia; alia sunt per se ut populus, chorus, mille, duo milia, tria milia; alia non per se ipsa constant, sed ad aliud referuntur ut duplum, triplum, quadruplum. Sed de immobilibus tractat geometria. Mobilem vero quantitatem astronomia speculatur. Illam itaque, quae per se est, speculatur arithmetica. Eam vero, quae ad aliquid est, quia per eam divinitus armonica moderatur suavitas, contemplemur.

[5]. De differentiis relativae quantitatis et quinque [fol. 132b] generibus inaequalitatis.

Omnis numerus et quodcunque secundum numerum dicitur, aut per se est aut cum relatione aliqua dicitur. Per se numerus est, qui sine relatione dicitur ut I II III IIII et caetera. Porro quodcunque relative dicitur, aut aequale est aut inaequale. Et aequale quidem est, quod ad aliquid comparatum neque minore summa infra est neque maiore transgreditur, ut denarius denario, ternarius ternario, vel cubitus cubito, pes pedi et his similia. Hanc autem partem relatae ad aliquid quantitatis, id est equalitatem constat naturaliter [esse] indivisam. Nullus enim dicere potest, quod aequalitatis hoc quidem tale est, illud vero huiusmodi. At inaequalis relationis divisiones quae sunt, videamus. Primum quidem secatur in maius atque minus. Deinde maioris quinque sunt species. Est enim una, quae vocatur multiplex, alia superparticularis, tertia superpartiens, quarta multiplex superparticularis, quinta multiplex superpartiens.

[6]. Quae sit multiplex inaequalitas.

Multiplex est inaequalitas, ubi maior numerus habet minorem in se bis aut ter aut quater aut multipliciter, ut duo ad unum, dum comparata fuerint, duplex est, tria ad unum triplex, quatuor ad unum quadruplex et [77] deinceps. Et hanc quidem inaequalitatem de illo constat esse quantitatis genere, cuius maiorem partem posse in infinitum crescere supradictum est.

[7]. Quae superparticularis.

Superparticularis vocatur inaequalitas, in qua numerus ad numerum comparatus habet in se totum minorem et eius aliquam partem. Qui, si minoris habeat medietatem, vocatur sesqualter, ut tres ad duos, ut VIIII ad sex. Si partem terciam, vocatur sesquitercius, sicut octo ad VI, sic XII ad VIIII. [fol. 133a]. Si quartam, vocatur sesquiquartus. Si quintam, sesquiquintus. Sed maior est ad minorem suum pars media quam tertia, tercia quam quarta, quarta quam quinta. Et sic in infinitum pars a maiore numero denominata ipsa decrescit. Unde adtende hanc inaequalitatem de illo quantitatis esse genere, cuius maiorem partem constat in infinitum decrescere.

[8]. Quare superpartiens.

Superpartiens inaequalitas appellatur, ubi numerus ad alium comparatus inferiorem numerum totum continet in se et super hoc aliquas partes eius, aut duas, aut III, aut IIII, aut V, aut quotlibet alias, ut verbi gratia tria continentur a quinque cum aliis duobus et vocatur superbipartiens. Quatuor continentur a VII cum tribus partibus suis et vocatur supertripartiens, et sic deinceps.

[9]. Quae multiplex superparticulares.

Post tres simplices habitudines sequuntur duae, quae ex superioribus componuntur, quarum prior multiplex superparticularis dicitur, quod ex utrisque consistit, ut duo ad V, tres ad VII, ut IIII ad VIIII. Quod enim comparatum numerum plus quam semel habuerit, multiplicis est; quod minorem in habenda parte transcendit, superparticularis. Dicitur autem, qui duplicem habuerit alium numerum et eius medieam partem, duplex sesqualter, qui terciam, duplex sesquitertius. Si ter habuerit minorem et eius mediam partem vel terciam vel quartam, dicitur triplex sesqualter, triplex sesquitercius, triplex sesquiquartus et deinceps.

[10]. Quae multiplex superpartiens.

Quinta est inaequalitas, quae multiplex superpartiens appellatur. Ea fit, cum numerus ad numerum comparatus habet in se alium numerum totum plus quam semel et eius duas vel tres vel quotlibet plures particulas secundum numeri superpartientis [fol. 133b] figuram. Vocabunturque hi [78] secundum proprias partes: duplex superbipartiens ut octo ad tres comparati, continent enim bis ternos cum duabus partibus suis. Similiter ad sex collati XVI. Item duplex supertripartiens, duplex superquadripartiens; ac rursus triplex superbipartiens, triplex supertripartiens, triplex superquadripartiens.

[11]. Si quicquid in mundo confertur, secundum quamlibet harum inaequalitatum se habeat et secundum quas musicae voces constent.

Igitur quicquid in mundo impariter confertur ad aliquid, quaecunque quantitas inaequaliter quantitati comparata secundum unam quamlibet harum inaequalitatum sese habet ad invicem. Item voces musicae, id est concordi suavitate convenientes, mixtim secundum multiplex et superparticulare genus exprimuntur. Discrepantes autem voces reliquas imitantur imparitates. Inparitatum vero huiusmodi dum sit innumerabilis et infinita confusio, discrepantiarum quoque infinitas sequitur inaequalitatem infinite confusam. Solae inquam duae, quas primas diximus, ad musicam pertinent, tres reliquae secernuntur.

[12]. Quomodo secundum praefatos numeros voces differunt et differendo consentiunt.

Omnes ptongi id est voculae sibi convenientes aut duplo ab invicem distant, quod est diapason, aut triplo, quod dicitur diapason ac diapente, aut quadruplo intervallo, quod est bisdiapason; quae species sunt multiplicis imparitatis. Sive sesqualtero, quod vocatur diapente, sive sesquitertio, quod est diatessaron, sive sesquioctavo, quod est tonus; quae species sunt superparticularis imparitatis. Intervallum vero est non silentii inter ptongos, sed spatii, quo alterum alteri prestat. His quoque distantiis semitonium additur, quod est non plenum toni intervallum. [fol. 134a]. His ergo distantiarum temperamentis concordabilem sonorum diversitatem divinitas ordinavit. His armonica suavitas moderetur. Quicquid vero extra vel infra sonat, quam harum proportionum mensurae poscunt, cadit in quaslibet reliquarum inaequalitatum formas fitque dissonum et cantilenae inconveniens.

Adhec tamen diapason ac diatessaron, quanquam Phitagorici negant esse consonantiam iccirco, quoniam nec in multiplici nec in superparticulari consistit quantitate, quod proprium monstratur esse consonantiarum artis musicae, sed in multiplici superpartiente--est enim talis [79] proportio ut octo ad tres, quae proportio dicta est superius dupla superbipartiens; habet enim ternarium octonarius bis in se duasque eius partes, id est duas unitates--: Tamen eximio doctore Boetio Ptolomaei sententiam super hoc approbante necessario fatemur eam consonantiam esse. Maxime quoniam diapason talis est simphonia, ut, quamcunque aliam suscipiat consonantiam, servet nec inmutet nec ex consona dissonam reddat. Sicut, inquit, denario numero, qui fuerit additus, intra eum positus integer inviolatusque servatur, cum in ceteris id ita minime eveniat, ita etiam in hac consonantia. Nam si duos tribus adicias, quinque continuo reddis et numeri species immutata est. Si vero eosdem denario addas, XII facis et binarius iunctus denario conservatus est.

[13]. Unde cognoscuntur ptongi musicorum praedictas habere mensuras nec sub oculis nec sub tactu positi.

Primum ex eo cognoscitur, quod hae solae habitudines, id est multiplices et superparticulares, connumeratae ad invicem sunt et conmensuratae suaque conmensurabilitate quodammodo cognatae. Nec aliqua sunt in mundo in mobilibus, in potentiis, quae sibi concorditer copulenter, si non haec [fol. 134b] germana proportionum habitudo connectat [ea]. Conmensurale autem et connumerale est, ubi maioris minorisque communis quaedam mensura est utpote II ad IIII, duo ad VI, duo ad VIII. Nonne binarius quaternarium bis metitur, senarium ter, octonarium quater? Ad hunc ergo modum in multiplicibus quocienslibet duplum duxeris, tociens idem simplum maiorem summam metitur, ut tria duplicata dant sex, triplicata VIIII, quadruplicata XII et deinceps. Quid vero in superparticularibus, ut sunt quatuor ad VI, nonne binarius minorem bis metitur, maiorem ter, quod sescuplare est? Item VI ad VIII: binarius minorem ter metitur, maiorem quater, quod epitritum est. Sic itaque in infinitum quota parte maior praecedit numerus, tota parte utrique ad invicem metientur, veluti octo octava sui parte preitur a novenario, id est unitate. Et eadem unitas, qua ab invicem differunt, utrosque metitur. Jamque intelligis, ut hae inaequalitates communi qualibet dimensione tam aumentationem capiant quam solutionem.

[80] [14]. Qualiter caeteris inaequalitatibus eadem connumeratio vel conmensuratio desit.

Pone tres ad V, quae est superbipartiens comparatio, ac vide, quota parte ternarii quinarius praecedat. Non certe invenitur. Non enim in huiusmodi genere vel quantitate minoris maior pars metitur ut in multiplicibus, aut unaqualibet parte, quae sit utrorunque differentia ut in superparticularibus, cum enim in sesqualtera proportione, ut sunt IIII ad VI, binarius, qui eorum differentia est, utrosque metiatur, at in superpartiente proportione, ut sunt III ad V, binarius, qui differentia est, neutrum metitur. Idem que fit et in multiplici superparticulari, ut sunt duo ad V, qui est [fol. 135a] duplus sesqualter, ut sunt duo ad VII, qui est triplus sesqualter. Idem fit et in multiplici superpartiente, ut sunt III ad VIII, qui est duplex superbipartiens, ut sunt III ad XI, qui est triplex superbipartiens. Vides igitur, ut huiusmodi proportiones nec simpla quantitate nec suis differentiis metiuntur nec partibus, quibus differunt, augmentantur nec in eas resolvuntur atque idcirco inconmensurati et inconnumerati iure nominantur. Porro autem, sicut oculis torta ac recta discernimus et quaelibet visui subiacentia, ita, cum praefatis natura nostra partibus compacta constet, voces conmensurabilibus intervallis convenientes auditum oblectant. Caeterae sunt dissonae.

[15]. Quam habeant cognationem multiplices cum superparticularibus.

Pone ratum multiplicis ordinem ac simul etiam superparticularis ordo texatur, sive sint principales, quorum est unitas differentia, qui radices sunt multiplicium ac superparticularium numerorum, sive sint maiores ab hac complicatione derivati. Principales sunt I II III IIII. Quaternarius enim numerus omnes simphonias perfecte absolvit. De quo in primo libro satis tractatum est. Dirivales sunt VI XII XVIII XXIIII et deinceps, nam XII ad VI duplum, XVIII triplum, XXIIII quadruplum. Triplum autem ad duplum sesqualterum est, quadruplum ad triplum sesquitertium. Similiter quincuplum ad quadruplum sesquiquartum, sescuplum ad quincuplum sesquiquintum. Et sic in infinitum superparticulares cum multiplicibus comitantur, ut non inmerito ex utrisque simul musica procreari dicatur. Apparet igitur et connumeratio et conmensuratio et cognatio huiusmodi numerorum.

[81] [16]. Qualiter ex superparticularibus sesqualteris et sesquitertiis multiplices [fol. 135b] dupli et quadrupli conponantur.

[U]t a senario incipiamus, ad senarium adcrescat sesqualter et fit novenarius, ad VIIII adcrescat sesquitertius et fit XII. Duodenarius itaque ad senarium duplus sesqualtero et sesquitertio completur. Item duodenario adcrescat sesqualter et fit XVIII, XVIII adcrescat sesquitertius et fit XXIIII. At XXIIII numerus ad duodecim duplus sesqualtero et sesquitertio completur. Et alternatim senario accedat sesquitercius, qui est octavus, sesquitercio accedat sesqualter, qui est XII. Duodenarius itaque ad senarium duplus sesquitercio et sesqualtero completur. Similiter duodenario accedat numero sesquitercius et fit XVI, sesquitercio accedat sesqualter [et] fit XXIIII. Itaque viginti quatuor ad XII duplus sesquitercio et sesqualtero completur. Et sic deinceps semper unum duplum sesqualteri et sesquitercii incremento perficitur. Porro sesqualter ac sesquitercius ita communi epogdoi mensura connectuntur, ut, si sesqualtero epogdoum auferas, sesquitercius fiat. Sesquitercio rursus additur, restituitur sescuplare. Constat igitur convenientes sibi sonos ex convenientibus sibi numeris concordiam sumere.

[17]. Unde sciri valeat, cui proportioni quaeque simphonia deputanda sit.

[E]st prima huius rei probatio, quod, quemadmodum semper unum duplum sesqualtero et sesquitercio completur, ut modo dictum est, ita unum diapason, quod octo voculas continet, duae minores simphoniae complent, id est diapente et diatessaron. Sive enim a graviore sive ab acutiore parte quartam voculam metiaris vel a quarta metiaris quintam vel quinta metiatur cum quarta, ita completur semper duabus simphoniis una, quod non fieret, nisi essent vel aliae, quae complerent, vel aliae, quae complerentur.

[fol. 136a] De his quoque Boetius: Inter omnes, inquit, quas retulimus consonantias, habendum iudicium est et in aure et in ratione, quam harum meliorem oporteat arbitrari. Eo nanque modo auris afficitur sonis vel oculus aspectu, quo animi iudicium vel numero vel quantitate continua. Proposito enim numero vel linea nichil est facilius, quam eius duplum oculo vel animo intueri veluti XII ad VI. Item post iudicium dupli sequitur dimidium, post dimidium tripli iudicium, post triplum partis tertiae. Atque ideo, quia facilior est, dupli descriptio illi consonantiae merito deputatur, quae facilior est quamque sensus apertior deprehendit. Ea prima suavisque consonantia est, quae fit octava regione et diapason dicitur. Post duplum, inquam, extat, quod vincit medietatem subdupli, [82] id est sescuplum, veluti VIIII contra VI, et illud, quod bina superat quantitate, hoc est triplum ut XVIII contra VI. Ergo cum hae duae proportiones proximae post duplum contraria licet divisione sequantur, recte illis hae simphoniae ascribuntur, quas aure sentimus post diapason esse secundas, idest diapente itemque diapason et diapente. Dum vero nimium consonantes sint soni, qui diatessaron spatium tenent, ei proportioni hanc rite concinentiam damus, ubi maior numerus tertia minorem parte transcendit, quae est epitrita veluti VIII contra VI. Quia vero maxime distant soni, qui bis diapason concinentiam resonant, ei merito proportioni assignamus [eos], quae quadrupla intervalli dimensione discedit, veluti XXIIII contra VI. Ac stat deinceps concinentiarum modus, qui neque ultra quadruplum possit extendi neque infra partem terciam coartari. Sicque hunc ordinem acceperunt consonantiae [fol. 136b] quae dant in numeris multiplicitatis augmenta et e regione superparticularitatis detrimenta.

[18]. Quare non plures multiplicitatis species quam tres, non plures superparticularitatis quam tres ad musicam pertinet.

[P]atet iam uberiori assercione probatum non solum, ut ex connumeratis vel ex conmensuratis numeris musica gignatur, sed etiam quibus queque simphoniae connumeratorum numerorum speciebus adiaceant. Ideo autem ultra bis diapason, id est ultra quadruplum, non extenditur, quia hunc modum sonis natura tribuit, ut, si per singula septenarum in diapason vocum discrimina singulae disdiapason consonantiae disponantur, iam ultra progredi duplae simphoniae non possint.

Ideo vero infra partem tertiam hoc est infra epitritum intervalla coarctantur, quoniam, cum minor sit pars tertia quam dimidia, quarta quam tertia, quinta quam quarta, sexta quam quinta ac deinceps, cunque sesqualterum, quod est medietatis intervallum, tres tonos capiat cum semitonio, epitritum vero, quod partis tertiae intervallum est, duos tonos cum semitonio capiat. Evenit, ut minora deinceps intervalla nec duorum tonorum ac semitonii possint esse capacia nec cum duobus tonis sive uno tono et dimidio commensurabilia. Solum sesquioctavum intervallum, quia tonum metitur, admittitur. Haec enim proportio solius sesqualteri ac sesquitercii comparatione procreatur.

Igitur solis sesquioctavis intervallis cum sesqualteris ac sesquitertiis commensurabilitas est, quorum scilicet intervalla toni cum semitoniis, ut dictum est, conmensurabiliter complent. Sola rursus sesqualtera et sesquitercia intervalla cum duplis et quadruplis conmensurata sunt, quibus [83] similiter eorum intervalla complentur. Sesquiquartis vero ac sesquiquintis ac reliquis decrescentibus intervallis nec cum duplo nec cum triplo nec cum quadruplo [fol. 137a] nec cum sescuplo quicquam conmensurationis est; iccirco praeter musicam seponuntur.

[19]. Quo pacto ceterae superparticularitates cum duplo [et] quadruplo commensuralitatem non habeant.

[U]t et hoc pateat, a duodecim, quo minimo numero explicari potest, incipiam. Is numerus enim viginti quatuor numerum sui quantitate bis metitur, parte sui dimidia XVIII, parte sui tercia XVI, parte sui quarta XV. Sed decem octo numerus, qui est ad duodecim sesqualter, fit ad viginti quatuor epitriti ratione conmensuralis. Porro XVI numerus, qui est ad XII epitritus, fit ad XXIIII sescupla ratione conmensuratus. XV vero numerus, qui est ad XII sesquiquartus, cum XXIIII conmensuratus non est, sed supertripartiente forma inconsonus. Vides igitur, quia mox, ut intra sesquitercium coartari intervalla incipiunt, connumerationem superparticulares cum duplis non habent et iccirco nec consonam commixtionem.

[20]. Qua ratione in sonorum serie toni cum semitoniis contexantur.

[I]d apertius intueri poterimus, si prius, quae arithmetica medietas, quae geometrica, quaeque armonica sit, videamus. Post proportiones proportionalitates considerantur. Nam proportio est duorum terminorum habitudo, proportionalitas vero non minus quam trium. Ergo proportionalitas

[Quaestiones in musica, 83; text: Dupla, Subdupla, Sescuplare, Epitrita, Subepitrita, Epogdous, XII, XVI, XVIII, XXIV] [RUDQUA 10GF]

aut arithmetica medietate coniungitur aut geometrica [fol. 137b] aut armonica. Medietatem autem dicimus, ubi duae extremitates duorum vel [84] unius limitus nexu in concordiam vinciuntur. Limites autem seu terminos dicimus numerorum summas.

Igitur arithmetica medietas est, ubi aequales differentiae inter terminos, sed non sunt eiusdem proporionis ipsi termini. Cernis I ad II duplum, II ad III sesqualterum.

[Quaestiones in musica, 84,1; text: Differentia, Duplum, Sesqualterum, I, II, III] [RUDQUA 12GF]

Item geometrica medietas est, in qua non aequales differentiae, sed aequales proportiones considerantur, ut vides; itaque quia sicut II ad I duplum, sic ad II quatuor.

[Quaestiones in musica, 84,2; text: Differentia, Duplum, I, II, IV] [RUDQUA 12GF]

Armonica medietas est, in qua nec eaedem proportiones quaeruntur nec eadem differentia; sed sicut ad invicem sunt extremi limites, ita et eorundem limitum differentiae, ut in hac figura cernis scilicet extremos limites eorumque differentias duplo distantes.

Haec itaque oportuit praemitti ad videndum, secundum quam medietatem sese habeant tonorum mensurae. Dum singulae enim medietates singulis sint propriae, tamen ex omnibus [fol. 138a] musica videtur intexta. Nanque geometrica medietas omnes ad invicem duplorum terminos nectit, ut, sicut ad VI sunt XII, sic ad XII XXIIII; et rursus sicut ad XII sunt XXIIII, sic ad XXIIII XLVIII. Haec deinde duplorum intervalla duobus dum compleantur terminis, alius ex his arithmetica, alius medietate armonica duas sibi extremitates copulat. Quo enim numero novenarius senarium praecellit limitem, eo praecellitur a duodenario limite. Quoque item numero octodenarius limes praecellit duodenarii limitem, eo praecellitur a XXIIII limite arithmetica videlicet medietate. Rursus quota

[85] [Quaestiones in musica, 85; text: Differentia duplae, dupli, extremi limites, I, II, III, IV, VI] [RUDQUA 12GF]

parte senarium limitem VIII praecellit, tota parte sui a duodenario praecellitur. Vides enim, quia tercia parte senarii numeri maior est numerus octonarius et tercia sui parte maior est numerus duodenarius ab octonario. Similiter se habet XII ad XVI et XVI ad XXIIII armonica videlicet medietate. Vides, inquam, quia, dum, quota parte senarii numeri differt octonarius, tota parte sui XII ab octonario differt, evenit, ut in ea proportione differentiae sint, qua ipsi ad invicem extremi sunt termini, ut enim sunt VI ad XII, ita II ad IIII. Inter VI enim et VIII binarius differentia est, inter octo et XII quaternarius.

At nunc adtende, qualiter ipsi toni, qui praedictorum terminorum intervalla complent, non arithmetica medietate veluti dies ad dies aequis spaciis ad invicem minuuntur et crescunt, nec ad armonicam medietatem dissimilium proportionum sunt, sed geometrica medietate permensi epitrita et sesqualtera intervalla complent. Sicut enim sesquioctavus est secundus ad priorem se, sic extat tercius ad secundum. Sicut ad sexaginta quatuor sesquioctavus est numerus LXXII, sic ad LXXII sesquioctavus est LXXXI. Hac vero causa hos numeros pro exemplo elegi, quoniam id minore numero non potuit demonstrari quam octonario [fol. 138b] octies ducto. Is enim est LXIIII. Hic enim, quia secundus est octoplus, sesquioctavos duos ex se producit. Nam octava LXIIII numeri eidem addita LXXII numerum reddit, porro octava LXXII numeri eidem addita reddit LXXXI, et sic fiunt sesquioctavi duo LXIIII LXXII LXXXI.

Verum quoniam propositum fuit plenius explicare, qualiter et in epitrito intervallo duo toni cum semitonio necnon in tota sonorum serie cum tonis semitonia disponantur, deberet quartus limes apponi, qui esset [86] epitritus ad primum, inter quem ac tercium limitem semitonium colocaretur. Sed cum LXIIII numerus non possit in tria aequa partiri, epitritus ei non adiungitur. Ducatur ergo per tria, et mox ei epitritus accedit. Ter itaque LXIIII reddunt CXCII. Ab hoc ergo numero principium sumamus ad ea, quae caepimus, explicanda. Videamus eiusdem numeri duplum. Bis CXCII fiunt CCCLXXXIIII. Ecce habes duos numeros, hos in duplici intervallo CXCII CCCLXXXIIII. Hoc nunc duplum intervallum duobus oportet epitritis impleamus. Videamus ergo CXCII numeri epitritum: CXCII pars tertia idest LXIIII eidem addita CCLVI reddit. Qui numerus, cum sit ad subduplum terminum epitritus, extat ad duplum sesqualter. Videamus eiusdem CXCII sescuplarem: CXCII numeri pars dimidia, idest XCVI eidem addita CCLXXXVIII perficit. Qui numerus, cum sit ad subduplum terminum sescuplaris, extat epitritus ad duplum.

Sint nunc in ordine dispositi quatuor hi termini CXCII CCLVI CCLXXXVIII CCCLXXXIIII. Cum sit ergo inter secundum ac primum terminum intervallum epitritum, similiter inter tercium quartumque terminum intervallum epitritum, ipsa nunc epitritorum intervalla tonis ac semitoniis compleamus. Sumam octavam partem

[CXCII numeri, quae est XXIIII, et fit per hanc toni additionem CCXVI numerus, [id est] secundus tonus. Sumam CCXVI numeri partem octavam, quae est XXVII, et fit per hanc toni additionem CCXLIII numerus, [id est] tonus tertius. Sumere non possum CCXLIII numeri partem octavam, quia inter hunc et quartum terminum, qui est CCLVI, quique est epitritus ad primum, tredecim tantum unitates inveniuntur, quae distantia est in semitonii ratione. Et finita est diatessaron modulatio duobus tonis ac semitonio supputata. Rursus quoniam sescuplus est epogdoa ratione maior, tollam de sono quarto, id est CCLVI numero, octavam suam, quae est XXXII, et fit per huius toni adiectionem CCLXXXVIII numerus, [id est] sonus quintus. De sono quinto auferam octavam suam, quae est XXXVI, et fit per huiusmodi adiectionem CCCXXIIII numerus, [id est] sonus sextus. De sono sexto auferam octavam suam, quae est XL [semis], fitque per hanc toni adiectionem CCCLXIIII numerus, [id est] sonus septimus. A sono autem septimo adversus CCCLXXXIIII numerum, qui octavus est sonus, restant in semitonii ratione XVIIII unitates, et finita est modulatio diapente tribus tonis ac semitonio supputata.

[87] [Quaestiones in musica, 87; text: Diatessaron, Diapente, Hemitonus, Tonus, I, II, III, IIII, VI, VIII, IX, VIIII, XII, XVI, XVIII, XXIIII, XXVII, XXXII, XXXVI, XLVIII, LIIII, LXXXI, CVIII, CLXII, CXCII VIII pars XX quatuor, CCXVI VIII pars XXVII, CCXLIII VIII pars XXX et triens, non tota autem a subsequenti habetur, sed pars eius XIII, quod est hemitonium minus, sesquitercius est ad supremum CCLVI, Sic epitritum spacium, quod est diatessaron, CXCII et CCLVI completur epogdois partibus, id est duobus tonis et lymmate, CCLVI pars octava XXXII, CCLXXXVIII octava pars XXXVI, CCCXXIIII pars octava XL s, CCCLXIIII s pars octava XLV s. non habetur tota a subsequenti, sed pars eius XVIIII scilicet quod est hemitonium minus. Sic sescuplum spacium, quod est dyapente, CCLVI et CCCLXXXIIII complentur epogdois partibus, id est tribus tonis et lymmate, Quod deest duobus tonis ad (comp-)lendum sesquitercium, est minus semitonium. Quod sic probari potest, ponamus CCLVI ad CCXLIII quasi sesquioctavum et videmus: Si teneret superior inferiorem totum et eius octavam partem, esset tonus. Si autem teneret totum dimidium octavae partis, esset dimidius tonus. Si esset super dimidium, esset maius semitonium. Sed nullus istorum est, quia infra dimidium est. Restat ergo, ut sit minus semitonium, quia id numerus CCLVI comperatur ad CCXLIII continet eum et XIII insuper, qui inferior est dimidio octavae partis suae. Octava vero eius pars sunt XXXII, dimidia XVI. Itaque XIII minor est dimidia parte, subduplum, diapason, duplum, sesqualtera, sesquitertia, sesquioctava, CXCII, CCLXXVI, CCLXXXVIII, CCCLXXXIIII] [RUDQUA 13GF]

21. Cum ceterae consonantiae per tonos dividantur et semitonia, si quomodo ipsi toni vel semitonia possint dividi.

[88] (Rursus) tonus in aequa dividi non potest, (cur autem, posterius liquebit; nunc hoc tantum nosse sufficiat, quod nunquam tonus in gemina aequa dividitur). Atque ut id facillime conprobetur, sit sesquioctava proportio VIII et VIIII. Horum nullus naturaliter medius numerus incidet. Hos igitur binario multiplicemus, fiuntque bis VIII XVI, bis VIIII XVIII. Inter XVI autem ac XVIII unus numerus naturaliter incidit, qui est scilicet XVII. Qui disponantur in ordinem XVI, XVII, XVIII. Igitur XVI ac XVIII collati sesquioctavam retinent proportionem atque idcirco tonum. Sed hanc proportionem XVII numerus medius non in aequalia partitur. Comparatus enim ad XVI habet in se totum XVI et eius sextam decimam partem, scilicet unitatem. Si vero ad eum, id est ad XVII, tertius XVIII numerus comparetur, habet eum totum et eius septimam decimam partem; non igitur isdem partibus et minorem superat et a maiore superatur. Et est minor pars septima decima, maior sexta decima. Sed utraque semitonia nuncupantur, non quod omnino semitonia ex aequo sint media, sed quod semum dici solet, quod ad integritatem usque non pervenit. Sed inter haec unum maius semitonium nuncupatur, aliud minus.

22. De divisione toni sententia Philolai.

Philolaus vero Pythagoricus alio modo tonum dividere temptavit, statuens scilicet primordium toni ab eo numero, qui primus cybum a primo impari, quod maxime apud Pythagoricos honorabile fuit, efficeret. Nam cum ternarius numerus primus sit impar, tres tertio atque id ter si duxeris XXVII necessario exsurgent, qui ad XXIIII numerum tono distat, eandem ternarii differentiam servans. Ternarius enim XXIIII summae octava pars est, quae eisdem addita primum a ternario cybum XX ac VII reddit. Ex hoc igitur duas Philolaus efficit partes, unam quae dimidio sit maior, eamque apotomen vocat, reliquam, quae dimidio sit minor, eamque rursus diesin dicit, quam posteri semitonium minus appellavere; harum vero differentiam comma. Ac primum diesin in XIII unitatibus constare arbitratur eo, quod haec inter CCLVI et CCXLIII pervisa sit differentia, quodque idem numerus, id est] [89] [fol. 139a] XIII ex novenario, ternario atque unitate consistat, quae unitas puncti obtineat locum, ternarius vero primae [inparis] lineae, novenarius primi imparis quadrati. Ex his igitur causis cum XIII diesin ponat, quod semitonium nuncupatur, reliquam XXVII numeri partem, quae XIIII unitatibus continetur, apotomen esse constituit. Sed quoniam inter XIII et XIIII unitas differentiam facit, unitatem loco commatis censet esse ponendam. Totum vero tonum in XXVII unitatibus locat, eoquod inter CCXVI et CCXLIII, qui inter se distant tono, XXVII sit differentia.

[23.] De divisione semitonii.

[I]tem Philolaus minima semitonii spatia talibus diffinitionibus includit: Diesis, inquit, [est spatium, quo maior est sesquitertia proportio duobus tonis. Comma vero] est spatium, quo maior est sesquioctava proportio duabus diesibus, id est duobus semitoniis minoribus. Scisma est dimidium commatis, diascisma vero dimidium dieseos, id est semitonii minoris. Ex quibus illud colligitur, quoniam tonus quidem dividitur principaliter in semitonium minus atque apotomen, dividitur etiam in duo semitonia et comma. Quo fit, ut dividatur in quatuor diascismata et comma. Integrum vero dimidium toni, quod est semitonium, constat ex duobus diascismatibus, quod est unum semitonium minus, et scismate, quod est dimidium commatis. Quoniam enim totus tonus ex duobus semitoniis minoribus et commate coniunctus est, si quis id integre dividere velit, faciet unum semitonium minus commatisque dimidium. Sed unum semitonium minus dividitur in duo diacismata, dimidium vero commatis unum scisma. Recte igitur dictum est, integre dimidium tonum in duo diascismata atque unum scisma posse partiri. Quo fit, ut integrum semitonium minore semitonio uno scismate differe videatur. Apotome autem a minore semitonio duobus scismatibus differt. Differt enim commate, sed duo scismata unum perficiunt comma.

(Explicit pars secunda questionum in musica).

[fol. 139b]

[24.] Hoc argumentum monocordi dat documentum,

Quod geminis pedibus consistat atque tribus.

[90] [P]rimo memineris per medium rectissimam ducere lineam a capitello usque ad capitellum, super quam corda tenditur, per quam circinus ducitur, in quam litterae designantur. [Gamma] itaque inprimis affixa secundum discretionem animi tui et qualitatem monocordi, ab ea usque ad finem duobus passibus per medium partire in medio positurus G. Item ab eadem G duobus ductis passibus scribes aliam g eisdemque passibus reversus ad G tertio passu post eam notabis C. Eadem divisione per C invenies acutam c. A qua similiter duobus transmissis passibus scribes superacutam cc, quos retornabis ad c post eam positurus F tertia vice. Eadem divisione per F invenies aliam f, inter utrumque F f [rob] molle medium pones. Quod cum dupla divisione suum eqivocum id est superacutum inveniet [rob][rob]. Quod restat, facile tripes excurret diapente. A G tribus passibus ad finem primus in d, secundus in dd, tertius finit. Quibus vestigiis reversus ad G quarto passu post eam scribes D. A D tribus passibus primus in a, secundus in aa tercius finit. Cum tribus reverteris ad D, post eam positurus A quarta vice. Ab A tres passus facies, primus in E, secundus in e, tercius finit. Ab E similiter tres, primus in [sqb], secundus in [sqb][sqb], tercius finit. Quos retornabis ad E quarto sub ea scripturus B.

Hic modus, hic ordo disponitur in monocordo,

Qui fieri levius non queat aut citius.

[Item de aliis instrumentis]. [N]ec solummodo monocordum disponitur hac mensura, sed et hidrauliae et cimbala et organicae fistulae et omnia musicorum vascula, hoc [fol. 140a] tantum interveniente discrimine, quod cimbalorum mensuram in pondere, fistularum considerabis in longitudine. Nec te lateat, quod, cum aliae divisiones novenariis incedant passibus, aliae quaternariis, aliae ternariis, quaedam binariis, illas esse veriores et faciliores, quae passus habent pauciores. Ut autem de divisione monocordi in paucis multa perstringam:

Ter tonus it ternis et bis diatessera binis,

It diapente tripes et diapasa bipes.

[91] [25.] Ratio subscriptae figurae.

[Quaestiones in musica, 91; text: In hoc latere designantur prima et secunda species diatessaron naturalis et teritae formalis, In hoc latere disponitur prima et secunda species diapente naturalis et quarta formalis, In hoc latere constituitur tertia et quarta species diatessaron naturalis et secundae formalis, In hoc latere describitur tertia et quarta species diapente naturalis et primae formalis, Species diapente, Species diatessaron, naturalis, formalis, similis(si)ma, mediae, a, [sqb], c, d, e, C, D, E, F, G, Diap(a)son, Diapason] [RUDQUA 14GF]

[92] [I]n ista figura notantur omnes species diatessaron ac diapente tam naturales quam formales et quae per eas construuntur omnes vocum affinitates, ita ut evidentissime liqueat, quae voces utraque et quae altera tantum parte sunt affines. Ad hoc patenter designatur, quae sibi diapente species, quae sibi diatessaron et quomodo simili tonorum et semitoniorum [fol. 140b] positione conveniant, et quod, prout similes sunt, similes neumas faciant.

Item de eadem figura.

[H]uius igitur theorematis nova textura ad exemplar figurae, quam ex eadem vocum similitudine decenter et honestissime domnus Guido composuit, est conformata et quasi filia matri simillima; non tamen per omnia. Nam ista ut illa easdem litteras tam graves quam acutas C D E c d e et eodem modo dispositas susum et iusum habet in diapason et easdeam laterales, sed non sub eadem dispositione consistentes.

De eadem.

[C]onstitutio Guidonica easdem quaternas voces F G a [sqb] iterat et disponit in utroque latere, ut scilicet omnes diapenticas species ex una parte, omnes diatessaronicas ordinet ex altera tam in descensione quam in ascensione. At ista constitutio tres istinc F G a, tres illinc disponit G a [sqb] ea causa, ut hinc inde species diapente, hinc inde diatessaron dividat et disponat per latera, quatinus ipsarum specierum, quam supra memoravi, similitudo melius sub hac positione designetur et clarescat ex opposito. Quod autem G et a bis notantur in hac figura, ostenduntur per duas affines duplici constare concordia. Quod semel ponuntur F et [sqb], altera in hac, altera in illa parte, scies ex hoc unam tantum affinem singulas habere. Lineae, quae transmittuntur obliquae per quatuor figurae latera, indicant evidenter, quae species inter quas voces similes habeantur et quod pro sua similitudine similes neumas modulentur. Et nota, quod cum habeantur ibi sex diapente simphoniae, quarum tres hinc, tres inde disponitur, itidemque sex diatessaron, quae simili positione distinguuntur, tamen non haberi nisi duas lineas inter species diapenticas, cum tres dirigantur inter diatessaronicas. Quod ex eo constat evenire, quia diatessaron species tres tribus collata consonant similitudine, diapente non nisi duae duabus comparantur reliquis omnino nec sibi nec aliis concordantibus, quae scilicet extremae describuntur.

[93] [fol. 141a]

[Quaestiones in musica, 93; text: formula secundi toni, ypodorius, formula primi toni, dorius, (Dispositio autenti proti et lateralis sui ab A gravi ad d excellentem XI cordas habens), Secundus tonus, quia est primus plagalis, constat prima gravium, mediatur prima finalium, terminatur naturaliter prima superiorum, Tonus primus, quia primus est autentus, initiatur prima finalium mediatur prima superiorum, ascendit legitime ad primam excellentium, Est proprium plagis tribus his descendere ptongis, yppodorii (mediatrix), dorii prima, mediatrix dorii, terminalis (hypo)-dorii, Tres cordas retinet proprias autentus acutas, prima species diatessaron, species prima diapason, (Quinque fides mediae sub iure sonant utriusque), A, B, C, D, E, F, G, a, b, [sqb], c, d] [RUDQUA 15GF]

[26.] Descriptio antiquorum troporum.

Quatuor ecce tropi natura matre creati,

Quatuor ut reges intra sua regna sedentes.

Hinc prothus, hac deuterus, tritus tropicusque tetrardus

[94] Motum cunctorum promuntque reguntque melorum.

Quos tam prudenter distinxit musica mater,

Tam statuit certas vocum discrimine metas,

Alter ut alterius non usurpet sibi cantus,

Vindice natura vel cedat in altera iura.

Et nunc quisque modus duplici modulamine caesus

Autentum plagam sedem componit in unam,

Ut dux autentus, comes ut sit plaga vocatus.

Alter enim minor est, praecellit dignior alter.

[fol. 141b].

[Quaestiones in musica, 94; text: formula quarti toni, ypofrigius, formula tertii toni, frigius, Dispositio autenti deuteri et lateralis sui a B gravi ad e excellentem XI cordas habens, Tonus quartus quidem, secundus plagalis, constat secunda gravium, mediatur secunda finalium, ascensus eius legitimus ad secundam acutarum. Tertius tonus, quia secundus est autentus, constat secunda finalium, mediatur secundam superiorum, ascendit legitime ad secundam excellentium, Tres propie voces retinet comes inferiores, mediatrix yppofrigii, prima frigii, frigii mediatrix, yppofrigii terminalis, Dux fidibus ternis gaudet superare supernis, secunda species diatessaron, secunda species diapente, species secunda diatessaron, Quinque fides mediae sub iure sonant utriusque, B, C, D, E, F, G, a, [sqb], c, d, e] [RUDQUA 16GF]

[95] Quod cum natura dictavit philosophia,

Vocibus ut voces liquidis aptae graviores

Et gravibus liquidae resonent infra supraque,

Quae quasi confusae concordabant minus ante,

[A gravitate quidem nimium distabat acumen

Et gravitas neumis non conveniebat acutis:

Sic ex consilio divisis quatuor octo.]

Ergo suum comitem dux sede recepit eadem,

Commodus et paciens et amica federa iungens,

Conditione tamen, qua se sciat inferiorem.

Seu, quas sortitur metas, comes egrediatur,

Et, quas non liceat voces attingere querat

Finalias, captum dux fortior auferet illum

[fol. 142a]

Et totus cantus sub nomine transiet huius.

Omnibus hospitium finale dedit tetrachordum.

Primaque D primos habet, Eque secunda secundos,

Optinet equivoces F tercia, quarta G quartos.

Hos tonus et semis sequitur; semis, tonus istos;

Ditonus et semis superantes prepedit illos:

Sic cum semitonis series discreta tonorum

Discernit nobis finem quorunque troporum.

Quaerere nunc ratio rationis et exigit ordo,

Quid teneant proprium, quae sint communia, quae non,

Quomodo quemque tropum sua constituat diapason,

Quantum concordent, ubi discordando repugnent,

Alter ab alterius defendens iure suum ius.

[96] [Quaestiones in musica, 96; text: formula sexti toni, yppolidius, formula quinti toni, lidius, Sextus tonus, quia plagalis est tertius, constat tertia gravium, mediatur tertia finalium, ascendit legitime ad terciam superiorum, Tonus quintus quia est tertius autenticus, constat tercia finalium, mediatur tercia superiorum, terminatur naturaliter tercia excellentium, Constitutio autentici (t)riti et subiugalis sui a C gravi a f excellentem XI extensa cordis, autento, plage commune subest diapente, Tres cordas proprie plagalem constat habere, yppolidii media, lidii prima, mediatrix lidii, terminalis yppolidii, Fit tribus in cordis autenti ius speralis, tercia species diatessaron, species tercia diapente, C, D, E, F, G, a, b, [sqb], c, d, e, f] [RUDQUA 17GF]

[fol. 142b].

Primus ab A plagalis in a firmat sua castra,

Alterius B [sqb] cursum distinguit utrunque,

Extendit de C tentoria tertius in c,

Nam Dd quartum certo sub limite claudunt.

[Hos D cingit et E mediis ius legis et F G],

Quae diapente supra reddunt diatessaron infra.

Autentus primus intra D d spatiatur,

Et sua tendit in e tentoria tercius ex [E],

F f autenti disponit itinera triti,

[97] [Quaestiones in musica, 97; text: formula octavi toni, yppomixolidius, formula septimi toni, mixolidius, Octavus tonus, quia quartus est plagalis, constat quarta gravium, mediatur quarta finalium, terminatur quarta superiorum, Tonus septimus quia autentus est quartus, constat quarta finalium, mediatur quarta acutarum, ascendit legitime ad quartam excellentium, Dispositio authenti tetrardi et lateralis sui a D gravi ad g excellentem undecim cordas habens, Quinque fides mediae sub iure sonant utriusque, Tres infra cordae comitis sunt sub ditione, media yppomixolidii, prima mixolidii, mixolidii mediatrix, (terminalis mixolidii), Tres sub iure ducis cordae resonant in acutis, quarta species diatessaron, species quarta diapente, D, E, F, G, a, [sqb], c, d, e, f, g] [RUDQUA 18GF]

Ex G g summi componitur aula tetrardi.

His a [sqb] c d mediatrices liquet esse,

His diapente subest, gressus diatessaron effert.

Sed quoniam, veluti promit sententia Flacci,

Segnius irritant animos dimissa per aurem,

[fol. 143a].

Quam quae sunt oculis subiecta fidelibus, ecce

Ordine dispositis subpingo castra figuris,

Quae tam mirifice natura struxit et arte,

Disposuitque tropis se musica matre creatis,

Huc ades, expunga, quisquis potes, haec mea castra.

[98] Quae si tu superes, capias ut victor et intres.

Invenies in eis thesauros totius artis.

[27. Item ut musice tantum una linea per te possis cantare.]

[Q]ui ad evitandum fastidium et laborem ferrearum quatuor linearum secundum dispositionem unius dumtaxat lineae stagno blumbove tractae musice nolet notare et cantare, hoc relegat argumentum succincta descriptione compositum. Igitur omnes plagales in ipsa finiuntur linea, omnes autenti sub ea in voce tertia. Unde constat ita voces variari in ea ut in plagalibus quatuor finales D E F G praeferat, in autentis autem in protho quidem F, in deutero G, in trito a, in tetrardo [sqb] contineat. At licet quidam ita in usu habeant, ut suis notulis ad hoc aptioribus quodcunque melum facile absque littera et colore et notent per eam et concinant, tamen, si eadem linea et litteram praescriptam et colorem superductum habuerit, procul dubio et venustior et diuturnior et utilior fuerit.

Dispone ergo quatuor colores varios per quatuor diversos antiquorum tropos. Im protho tam plagali quam autento rubeum habeat colorem, in deutero viridem, in trito croceum, in tetrardo purpureum. Itaque quodcunque melum secundum hanc artem vel ipse notaveris vel ab alio notatum videris, color ipse, ad quem quatuor modorum pertineat, mox aperte designabit. Porro littera et finis meli, sit idem modus plagalis an autentus, liquido perdocebit. Hoc quoque memineris observandum, ut s litteram scribas ad designandum semitonium, nisi cum ipsi lineae fuerit proximum.

[fol. 143b].

[Quaestiones in musica, 98; text: [P]rimum querite regnum Dei, [S]ecundum autem simile est huic. [T]ertia dies est, quo haec facta sunt.] [RUDQUA 19GF]

[99] [Quaestiones in musica, 99; text: [Q]uarta vigilia venit ad eos. [Q]uinque prudentes intraverunt ad nuptias. [S]exta hora sedit super puteum. [S]eptem sunt spiritus ante tronum Dei. [O]cto sunt beatitudines.] [RUDQUA 19GF]