Back to top

[3] Incipit tractatus de musica compilatus a fratre Jeronimo Moravo Ordinis Fratrum Praedicatorum.

Quoniam, ut dicit Boetius in prohemio super musicam, sicut in visu non sufficit eruditis colores formasque conspicere, nisi etiam, quae sit horum proprietas, investigaverint, sic non sufficit cantilenis musicis delectari, nisi etiam quali inter se conjunctae sint vocum proportione, discatur. Unde in fine primi libri musicae proportiones musicas ratione investigantem idem Boetius musicum signanter nominat, sic deducens (et ibidem): Illud, inquit, intuendum est, quod omnis ars omnisque etiam disciplina honorabiliorem naturaliter habeat rationem quam artificium, quod manu atque opere artificis exercetur. Multo enim est majus atque acutius scire, quod quisque faciat, quam ipsum illud efficere quod sciat. Etenim artificium corporale quasi serviens famulatur, ratio vero quasi domina imperat. Et nisi manus secundum id quod ratio sancit, efficiat, frustra fit. Quanto igitur praeclarior est scientia musicae in cognitione rationis quam in opere efficiendi atque actu, tantum [1b] scilicet, quantum corpus mente superatur, quod scilicet rationis expers servitio degit, illa vero imperat atque ad rectum deducit. Quod nisi ejus pareatur imperio, expers opus rationis titubabit. Unde fit, ut speculatio rationis operandi actu non egeat, manuum vero opera nulla sint, nisi ratione ducantur. Jam vero quanta sit gloria meritumque rationis hinc intelligi potest, quod ceteri, ut ita dicam, corporales artifices, non ex disciplina, sed ex ipsis potius instrumentis cepere vocabula. Nam citharedus ex cithara, auledus vel tibicen ex tibia ceterique suorum instrumentorum vocabulis nuncupantur. Is vero est musicus, qui ratione [4] perpensa canendi scientiam non servitio operis, sed imperio speculationis assumit.

Qui autem ratione non perpensa canendi scientiam servitio operis et non imperio speculationis assumit, hic non musicus, sed cantor nominari debet. Unde Johannes in musica sua dicit: Musicus et cantor non parum a se discrepant. Nam cum musicus semper per artem recte incedat, cantor aliquotiens rectam viam solummodo per usum tenet. Et subdit: Cui ergo cantorem melius comparabo quam ebrio, qui domum quidem repetit, sed quo [2a] calle revertatur penitus ignorat. Sed et molaris rota discretum aliquando reddit stridorem ipsa quid agat nesciens, quia res est inanimata. Unde etiam Guido in Micrologo suo sic ait:

Musicorum et cantorum magna est distantia:

Illi dicunt, isti sciunt, quid componit musica.

Nam qui facit quod non sapit definitur bestia.

Ceterum tonantis vocis si laudent acumina

Superavit philomenam vel vocalis asina.

Quare ejus esse suum tollit dialectica.

Hac de causa rusticorum multitudo plurima

Donec frustra vivit mira laborat insania,

Dum sine magistro nulla discitur antiphona.

Notis ergo illis spretis quibus vulgus utitur.

Qui sine magistro, inquam, ut caecus progreditur.

Igitur scire cantores quid componit musica et eos in melodiis semper per artem recte incedere cupientes ad honorem Domini nostri Jesu Christi et gloriosissimae Virginis Mariae, matris ejus et beati Dominici praesentem summulam ex diversis majorum nostrorum dictis diligenti studio compilavimus, ut si quando fratres ordinis nostri vel alii circa [5] qualitatem cantus, an sit urbanus an vulgaris, verus an falsus, judicare voluerint, et falsum corrigere et novum componere [2b] per ipsius exercitium valeant quod cupiunt regulariter exercere. Non est ergo parva laus, non modica utilitas, non vilipendendus labor musicae scientiae, quae praeter infra dicendos effectus, sui cognitorem compositi cantus efficit judicem, falsi emendatorem, novi inventorem.

Sed consideravimus hujus scientiae novitios in his, quae a diversis conscripta sunt, plurimum impediri partim propter Graecorum vocabulorum inutilium et figurarum multiplicationem, partim etiam quia ea, quae sunt necessaria talibus ad sciendum, non traduntur evidenter, sed potius obscure et difficulter, partim quidem quia eorum frequens repetitio et fastidium et confusionem generabat in animis auditorum. Haec igitur et alia hujusmodi evitare studentes tentabimus cum confidentia divini auxilii ea musicae artis, quae praecipue ad officium cantantium pertinent, breviter ac lucide prosequi cuncta brevi volumine complicantes, ut non sit necesse quaerenti numerositatem librorum evolvere. Cui brevitas collecta offert quid quaeritur sine labore.

Ut autem intentio nostra sub aliquibus certis limitibus comprehendatur, dicto

[6] Primo, quid sit musica.

Secundo, unde dicatur [3a]

Tertio, a quibus sit inventa.

Quarto, quot sint partes ipsius secundum scilicet Isidorum Etymologiarum

Quinto, de divisione musicae secundum Alphorabium

Sexto, de divisione ejusdem secundum Boetium.

Septimo, de subdivisionibus musicae secundum Ricardum.

Octavo, de effectibus sive de excellentia musicae

Nono, de subjecto ejusdem

Decimo dicendum erit de harmonicis clavibus simul et vocibus.

Undecimo, de locis dictarum clavium et vocum et de earundem geminationibus.

Duodecimo, de ipsarum vocum mutationibus.

Tertio decimo, de tribus vocum divisionibus

Quarto decimo, de sonorum qualitatibus et de eorundem proportionibus.

Quinto decimo, de ipsis modorum consonantiis sive consonis modulationibus.

Sexto decimo, de quibusdam arithmeticis musicis necessariis subtilitatibus.

Decimo septimo, de ipsorum sonorum ad arithmeticam reductionibus.

Decimo octavo, de campanarum in horologiis musicum sonum debite exprimentium formationibus.

Decimo nono, de monochordi dimensionibus et de ejusdem utilitatibus.

Vicesimo, de sedibus tonorum duplicibus.

Vicesimo primo, de eorundem tonorum tam parium quam imparium [3b] regularibus intensionibus et remissionibus.

Vicesimo secundo, de tonis ecclesiasticis in speciali et de eorundem differentiis, antiphonarum inchoationibus et psalmorum intonationibus.

[7] Vicesimo tertio, de duorum cantuum [sqb] durali scilicet et b molli mutuis commutationibus.

Vicesimo quarto, de modo faciendi novos ecclesiasticos et omnes alios firmos sive planos cantus.

Vicesimo quinto, de modo cantandi et formandi notas et pausas ecclesiastici cantus.

Vicesimo sexto, de modo diverso secundum diversos faciendi novos regulariter simul et cantandi omnes species ipsius discantus.

Vicesimo septimo, De quibusdam Graecorum vocabulorum litterarumque ad musicam pertinentium interpretationibus et per tria genera et quinque tetrachorda secundum Boetium de regularibus monochordi dimensionibus.

Vicesimo octavo et ultimo, in tetrachordis et pentachordis musicis instrumentis, puta in viellis et similibus per consonantias chordis distantibus mediis vocum inventionibus.

1. Quid sit musica.

Musica est motus vocum congrua proportione inter se consonantium. Secundum autem Boetium in quinto musicae musica facultas harmonica est differentias acutorum [4a] et gravium sonorum sensu ac ratione perpendens. Cujus quidem definitionis rationem assignat ibidem dicens: Sensus enim ac ratio quaedam facultatis harmonicae instrumenta sunt. Sensus namque confusum quiddam ac proxime tale quale est illud quod sentit advertit, ratio vero dijudicat integritatem atque imas (id est simplas) persequitur differentias. Itaque [8] invenit sensus quod confusa ac proxima varietati, accipit vero a ratione integritatem. Ratio vero ipsa quidem invenit integritatem, accipit vero (sensus) confusam ac proximam veri similitudinem. Namque sensus nihil concipit integritatis, sed usque ad proximum venit, ratio vero dijudicat. Veluti si quis manu circulum scribat, fortasse eum vero oculus circulum esse arbitratur, ratio vero nullo modo esse id quod simulatur intelligit. Hoc vero idcirco est, quoniam sensus circa materiam vertitur speciesque in ea comprehendit, quae ita sunt fluidae atque imperfectae, nec determinatae nec ad unguem expolitae, sicut est ipsa materia. Quare sensum confusio sequitur, mentem vero atque rationem, quoniam [4b] in materia non moratur, species quas praevidet, praeter subjecti communionem intuetur, atque ideo eam integritas comitatur ac veritas potius, quia quod in sensu aut peccatur aut minus est, aut emendat aut complet. Fortasse autem id quod sensus non integre sed confuse atque a veritate minus quasi quidam incallidus aestimator agnoscit in singulis minus habet errati, collecta vero multiplicantur in summam atque idcirco magnam faciunt differentiam. Nam si duas voculas tono sensus distare abitretur neque distent, rursusque ab una earum tonum distare putet tertiam, neque sit integra ac vera toni distantia, item tertiae et quartae toni sensus differentiam putet atque in eadem quoque erret neque sit differentia toni, ab hac etiam quarta quintam distare semitonium putet neque vere atque integre aestimet, in singulis fortasse minus videatur erratum, quod vero in primo tono sensus reliquit atque id quod in secundo ac tertio atque in quarto semitonio [5a] peccatum est, in unum congregatum atque collectum efficiet, ut prima vox ad quintam vocem diapente non contineat consonantiam, quod oportebat fieri, si tres tonos ac semitonium sensus integre judicasset. [9] Quod igitur in singulis tonis minus pervidebatur, id collectum in consonantiam evidenter apparuit, atque ut provideatur sensum quidem confusa colligere, nullo modo autem ad integritatem rationis ascendere sic consideremus. Datae enim lineae majorem minoremve aliam reperire nihil est difficile sensui. Proposita vero mensura, ut tanto majorem tantove minorem reperiat, id non faciet sensus prima conceptio, sed sollers rationis inventio.

Itaque in tanta rerum numerositate nihil efficit sensus, cujus omne judicium subitum atque in superficie positum integritatem perfectionemque non explicat. Idcirco non est aurium sensui dandum omne judicium, sed exhibenda est etiam ratio, quae errantem sensum regat ac temperetur, qua labans sensus deficiensque veluti baculo innitetur. Nam ut singulae artes habent instrumenta quaedam, quibus partim confuse aliquid informent, ut asciculum, partim vero quod est integrum deprehendant, ut circinum, ita etiam harmonica vis habet duas judicii partes, unam quidem hujusmodi, per quam sensu comprehendit subjectarum differentias vocum, aliam vero, per quam ipsarum differentiarum integrum modum mensuramque considerat. Hujusmodi igitur instrumentum, in quo rationis [5b] adhibito modo sonorum differentiae perquiruntur, vocatur harmonica regula. Haec Boetius.

Item secundum Alphorabium: Musica est quae comprehendit cognitionem specierum harmoniae et illud, ex quo componitur et quibus modis.

Secundum vero Ricardum: Musica est plurium dissimilium vocum in unum redactorum concordia.

Secundum autem Isidorum tertio libro Etymologiarum: Musica est peritia modulationis sono cantuque consistens.

[10] Item secundum Hugonem de Sancto Victore: Musica est sonorum divisio et vocum modulata varietas.

Secundum vero Guidonem: Musica est bene modulandi scientia.

Secundum autem Johannem: Musica est congrua vocum modulatio.

Est et alius Johannes dictus de Garlangia, qui musicae definitionem sic venatur dicens: Scientia est cognitio rei sicuti est. Scientia autem dividitur in theoricam et practicam. Theorica dicitur speculativa, practica dicitur operativa. Theorica dividitur in theologicam, id est scientiam divinam, in naturalem, scilicet cognitionem rerum naturalium, et in doctrinalem. Doctrinalis scientia aliquotiens dicitur proprie, aliquotiens communiter. Communis dicitur, quando per aliquas regulas certas et communes procedit scientia. Propria dicitur scientia [6a] mathematica, et est scientia quantitavia de numeris etc. Duplex autem est quantitas, una est continua, alia discreta. Continua est de lineis, superficiebus et corporibus. Et est duplex, quoniam alia est mobilis, alia immobilis. De quantitate continua et immobili est geometria, sed de ipsa mobili est astronomia. Quantitas discreta est duplex, alia est absoluta, alia relata. De quantitate enim discreta et absoluta est arithmetica, in qua determinatur de numeris absolutis, de quantitate autem discreta et relata est ipsa musica, in qua determinatur de numeris relatis ad sonos. Unde musica sic definitur: Musica est scientia de numero relato ad sonos. Aliter practice: Musica est scientia de multitudine sonorum, aliter: Musica est veraciter canendi scientia et facilis ad canendi perfectionem via.

Haec Johannes Gallicus. Rationem autem diversitatis omnium definitionum, quae potest colligi ex sequentibus, non ponimus prolixitatem operis evitantes.

[11] 2. Unde dicatur musica.

Dicitur autem musica, ut ait Johannes, a musa, quod est instrumentum musicum quoddam decenter, satis et jucunde clangens omniaque musicae superexcellens [6b] instrumenta, quae omnium vim atque modum in se continet. Nam secundum Isidorum libro tertio Etymologiarum ad omnem sonum, qui materies cantilenarum est, triformem constat esse naturam. Prima est harmonica, quae ex vocum cantibus constat, secunda organica, quae ex flatu consistit, tertia rhythmica, quae ex pulsu digitorum numeros recipit. Nam aut voce editur sonus, sicut per fauces, aut flatu, sicut per tubam aut tibiam, aut pulsu, sicut per citharam, aut per quodlibet aliud, quod percutiendo canorum est.

Musa igitur omnium vim atque modum in se continet, humano siquidem inflatur spiritu ut tibia, manu temperatur ut viella, folle concitatur ut organa. Unde a Graeco nomine, quod est serta mesa, id est media musa dicitur, eo quod sicut in aliquo medio diversa conveniunt extrema, ita et in musa diversa conveniunt instrumenta multimoda. Non ergo incongrue tamquam a principali sua parte musica nomen sortita est.

Vel secundum Isidorum libro tertio Etymologiarum musica dicitur per derivationem a Musis. Musae autem appellatae a notoy noycon, id est a quaerendo, eo quod per eas, sicut antiqui [7a] voluerunt, vis carminum et vocis modulatio quaereretur. Quarum sonus, quia res est sensibilis, [12] praeterfluit in praeteritum tempus imprimiturque memoriae, inde a poetis Jovis et Memoriae filias Musas esse confictum est. Nisi enim memoria ab homine teneantur, soni pereunt, quia scribi non possunt.

Alii musicam quasi moduficam, id est a modulatione, alii musicam quasi moysicam a moys, quod est aqua, quia olim primo inventa fuit in hydraulis, id est in aquaticis instrumentis. Hydraula enim sonus est organi vel quoddam genus musicorum. Dicitur autem ab hydor, quod est aqua, et aule Graece, quod est cannula vel tibia. Unde hydraulae dicuntur fistulae organorum. Vel ideo dicitur a moys, quia tractat de vocibus et de proportionibus vocum, et sine humoris beneficio nulla cantilenae vel vocis subsistit delectatio.

Alii musicam quasi mundicam a mundi, id est caeli cantu dictam putant.

3. A quibus sit inventa musica.

Refert autem Moyses hujus artis Tubal fuisse repertorem ante diluvium, qui fuit de stirpe Cain. Alii Linum fuisse Thebaeum et Zetum, alii Amphionem artem hanc reperisse arbitrantur.

Boetius [7b] autem dicit philosophum quendam Pythagoram nomine hujus artis inventorem exstitisse, et quam rationabiliter, ostendit in primo libro musicae dicens: Non omne judicium, inquit, sensibus demus, quamquam a sensu aurium hujus artis sumatur omne judicium. Nam si nullus esset auditus, nulla omnino disputatio de vocibus exstitisset, sed quodammodo principium et quasi admonitionis vicem tenet auditus.

[13] Postrema vero perfectio agnitionisque vis in ratione consistit, quae certis regulis sese tenens nullo unquam errore prolabitur. Nam quid diutius dicendum est de errore sensuum, quando nec omnibus eadem vis nec eidem homini semper aequalis est. Frustra autem vario judicio quisquam committeret, quod veraciter affectat inquirere. Idcirco Pythagorici medio quodam feruntur itinere. Nam nec omne judicium dederunt auribus, et quaedam tamen non nisi auribus ab eis explorantur. Ipsas etenim consonantias aure metiuntur, quibus vero inter se distantiis consonantiae differant, id jam non auribus, quarum sunt obtusa judicia, sed regulis rationique permittunt, ut quasi obediens quidam famulusque sit sensus, judex vero [8a] atque imperans ratio. Nam licet omnium paene artium atque ipsius vitae varietas et momenta sensuum occasione producta sint, nullum tamen in his judicium certum, nulla veri est comprehensio, si arbitrium rationis abscedat. Ipse enim sensus aeque maximis minimisque corrumpitur. Nam neque minima sentire propter sensibilium parvitatem potest, et a majoribus saepe confunditur ut in vocibus, quae si minimae sint, difficilius captat auditus, si vero sint maximae, ipsius sonitus intensione surdescit.

Haec igitur maxime causa fuit, cur relicto aurium judicio Pythagoras ad regularum momenta migraverit, qui nullis humanis auribus credens, quae partim natura, partim etiam extrinsecus accidentibus permutantur, partim ipsis variantur aetatibus, nullis etiam deditus instrumentis, penes quae saepe multa varietas atque inconstantia nasceretur, dum nunc quidem, si nervos velis aspicere, vel aer humidior pulsus obtunderet, vel siccior excitaret, vel magnitudo chordae graviorem redderet sonum, vel acumen subtiliorem [14] tenuaret vel alium quodammodo statum prioris constantiae permutaret. Et cum idem esset in ceteris instrumentis, [8b] omnia haec inconsulta minimeque aestimans fidei diuque aestuans inquirebat, quanam ratione firmiter et constanter consonantiarum momenta perdisceret.

Cum interea divino quodam nutu praeteriens fabrorum officinas pulsos malleos exaudit ex diversis sonis unam quodammodo concinentiam personare, ita igitur ad id, quod diu inquirebat, attonitus accessit ad opus. Diuque considerans arbitratus est diversitatem sonorum ferientium vires efficere, atque ut id apertius colliqueret, mutare inter se malleos imperavit. Sed sonorum proprietas non in hominum lacertis haerebat, sed mutatos malleos comitabatur. Ubi id igitur animadvertit, malleorum pondus examinat, et cum quinque essent forte malleoli, duo dupli reperti sunt pondere, qui sibi secundum diapason consonantiam respondebant. Eundem etiam, qui duplus esset alii sesquitertium alterius comprehendit, ad quem scilicet diatesseron sonabat. Ad alium vero quendam, qui eidem diapente consonantia jungebatur, eundem superioris duplum reperit esse sesqualterum. Duo vero hi, ad quos superior duplex, sesquitertius et sesqualter esse probatus est, ad se invicem sesquioctavam [9a] proportionem perpensi sunt custodire. Quintus vero est rejectus, qui cunctis erat inconsonans.

Cum igitur ante Pythagoram consonantiae musicae partim diapason, partim diapente, partim diatesseron, quae est consonantia minima, vocarentur, primus Pythagoras hoc modo repperit, qua proportione sibimet haec sonorum concordia jungeretur. Et ut clarius sit, quod dictum est, sint verbi gratia malleorum quatuor pondera, quae subter scriptis numeris continentur, XII, IX, VIII, VI. Hi igitur mallei, qui XII et VI ponderibus vergebant, diapason in duplo concinentiam personabant. Malleus vero XII ponderum ad malleum IX et malleus VIII ponderum ad malleum VI ponderum secundum epitritam proportionem diatesseron consonantiam [15] jungebant. XII ponderum ad VIII et IX ad VI diapente consonantiam permiscebant. IX vero ad VIII in sesquioctava proportione resonabant tonum. Quod etiam patet in figura sequenti.

[Cserba, 15; text: XII, Sesquitertius: Diatesseron, IX, Sesquioctavus: Tonus, VIII, Sesquitertius: Diatesseron, VI, Dupla: Diapason, Sesqualter: Diapente] [IERTDM1 01GF]

[9b] Hinc igitur domum reversus varia examinatione perpendit, an in his proportionibus ratio symphoniarum tota consisteret. Nunc quidem aequa pondera nervis aptans eorumque consonantias aure dijudicans, nunc vero in longitudine calamorum duplicitatem medietatemque restituens ceterasque proportiones aptans integerrimam fidem diversa experientia capiebat. Saepe etiam pro mensurarum modo ciatos aequorum ponderum acetabulis immittens saepe ipsa quoque acetabula diversis formata ponderibus virga aerea ferreaque percutiens nihil sese diversum invenisse laetatus est. Hinc etiam ductus longitudinem, grossitudinem crassitudinemque [16] chordarum ut examinaret, aggressus est. Itaque invenit de qua dictum est regulam, quae ex re vocabulum sumpsit, non quod regula sit lignea, per quam magnitudines chordarum sonumque metimur, sed quod regula sit quaedam hujusmodi inspectio fixa firmaque, ut nullum inquirentem dubio fallat judicio.

Haec Boetius de musicae artis inventione.

4. De tribus partibus musicae secundum Isidorum Etymologiarum.

Tres autem sunt musicae partes, et hoc primo secundum Isidorum, libro tertio Etymologiarum, id est harmonica, [10a] rhythmica, metrica. Harmonica est, quae decernit in sonis acutum et gravem, rhythmica est, quae requirit incursionem verborum, utrum sonus bene aut male cohaereat, metrica est, quae mensuram diversorum metrorum probabili ratione cognoscit, ut verbi gratia heroicum, jambicum, elegiacum et cetera.

Prima divisio musicae, quae harmonica dicitur, id est modulatio vocis, pertinet ad comedos, tragedos vel choros et ad omnes, qui voce propria canunt. Haec ex animo et corpore motum facit, ex motu sonum, ex quo colligitur musica, quae in homine vox appellatur. Unde vox est aer spiritu verberatus, unde et verba sunt nuncupata. Proprie autem vox est hominum seu rationabilium animalium. Nam in aliis abusive, non proprie sonitum vocem vocari, ut:

[17] Vox tubae infremuit fractasque ad litora voces.

Nam proprium est, ut litorei sonent scopuli. Et:

A tuba terribilem sonitum protulere canoro.

Harmonica est modulatio vocis et concordantia plurimorum sonorum vel coaptatio.

Symphonia est modulationis temperamentum ex gravi et acuto concordantibus sonis sive in voce [10b] sive in flatu, sive in pulsu. Per hanc quippe voces acutae gravioresque concordant, ita ut quisquis ab ea dissonus erit, sensum auditus offendat. Cui contraria est diaphonia, id est voces discrepantes vel dissonae.

Euphonia autem est suavitas vocis. Haec et melos a suavitate et melle dicta.

Diastema est vocis spatium ex duobus vel pluribus sonis aptatum.

Diesis est spatia quaedam, et deductiones modulandi atque vergendi de uno in altero sono.

Tonus est acuta enumeratio vocis. Est enim harmoniae differentia et quantitas, quae in vocis accentu vel tenore consistit. Cujus genera in XV partibus musici diviserunt, ex quibus hyperlydius novissimus et acutissimus, hypodorius omnium gravissimus.

Cantus est inflexio vocis. Nam sonus directus est, praecedit autem sonus cantum.

Arsis est vocis elevatio, hoc est initium, thesis vocis positio, hoc est finis.

Suaves voces sunt subtiles et spissae; clarae atque acutae praecipue voces sunt, quae longius protrahuntur, ita ut omnem continuo impleant locum, sicut clangor tubarum.

Subtiles voces sunt, quibus non est spiritus, qualis est infantium [11a] et aegrotantium, vel mulierum, sicut in nervis. [18] Quae enim subtilissimae chordae sunt, subtiles ac tenues sonos emittunt.

Pingues sunt voces, quando spiritus multus egreditur, sicut virorum. Acuta vox est tenuis, alta, sicut in chordis videmus.

Dura vox est, quae violenter emittit sonum, sicut tonitruum, sicut in cudinis sonus, quotiens in durum malleus percutit ferrum.

Aspera vox est rauca et quae dispergitur per minutos et in dissimiles pulsus.

Caeca vox est, quae cum mox emissa fuerit, conticescit atque suffocata nequaquam longius producitur, sicut in fluctibus.

Vinnolenta vox est vox lenis, vox mollis atque flexibilis. Et vinnolenta dicta a vinno, hoc est cincinno molliter flexo.

Perfecta autem vox est alta, suavis et clara; alta, ut in sublime sufficiat, suavis, ut animos audientium blandiatur et clara, ut aures adimpleat. Si ex his aliquid defuerit, vox perfecta non erit.

Secunda divisio est organica in his, quae spiritu reflatae completa in sonum vocis animantur, ut sunt tubae, calami, fistulae, organa, pandoria et his similia instrumenta.

Organum vocabulum est generale [11b] vasorum omnium musicorum. Hoc autem, cui folles adhibentur, Graeci alio nomine appellant. Ut autem organum dicatur, magis ea vulgaris est Graecorum consuetudo.

Tuba primum a Tyrrhenis inventa. De quibus Vergilius:

Tyrrhenisque tubae mugire per aethera clangor.

Adhibebatur autem non solum in proeliis, sed in omnibus festis diebus propter laudes vel gaudii claritatem. [19] Unde et in psalterio dicitur: Canite in initio mensis tuba in die insigni solemnitatis vestrae. Praeceptum enim fuerat Judaeis, ut in initio novae lunae tuba clangerent, quod etiam huc usque faciunt.

Tibias excogitatas in Phrygia ferunt. Has diu quidem funeribus tantum adhibitas, mox et sacris gentilium. Tibias autem appellatas putant, quod primum de cervinis tibiis cruribusque hinnulorum fierent. Deinde per abusionem coeptas vocari etiam quae non de cruribus ossibusque essent; hinc et tibicines qui sunt tibia canentes.

Calamus nomen est proprium arboris a calendo, id est fundendo voces vocatus.

Fistulam quidam putant a Mercurio inventam, alii a Fauno, quem Graeci vocant Pan, nonnulli eam ab uno pastore Agrigentino ex Sicilia. [12a] Fistula autem dicta, quod vocem emittat. Nam Graece phos vox stolia Graece missa appellatur.

Sambuca in musicis species est symphoniarum. Est enim genus ligni fragilis, unde tibiae componuntur.

Pandorius ab inventione vocatus. De quo Vergilius:

Pan primus calamos cera conjungere plures.

Instituit, Pan curat oves oviumque magistros.

Fuit enim apud gentiles deus pastoralis, qui primum dispares calamos ad cantum aptavit et studiosa arte composuit.

Tertia divisio est rhythmica pertinens ad nervos et pulsus, cui dantur species cithararum diversarum, tympanum quoque, cymbalum, sistrum, acetabula aenea vel argentea vel alia, quae metallico rigore repercussa reddunt cum suavitate tinnitum et alia hujuscemodi.

[20] Citharae ac psalterii repertor Tubal, ut praedictum est, perhibetur. Juxta opinionem autem Graecorum citharae usus repertus esse creditur ab Apolline. Forma citharae in initio similis fuisse traditur pectori humano, eo quod ut vox a pectore, ita ex ipsa cantus ederetur appellatamque eadem de causa. Nam pectus Dorida lingua citharam vocari dicunt. Paulatim autem [12b] plures ejus species exstiterunt, ut psalteria, lyrae, barbitae, ferenices et pectices et quae dicuntur indicae et feriuntur a duobus simul, item aliae atque aliae et quadrata forma vel trigonali. Chordarum etiam numerus multiplicatus est et nec commutatum genus. Veteres autem citharam fidiculam vel fidicem nominaverunt, quia tam concinnunt inter se chordae ejus, quam bene conveniant, inter quos fides sit.

Antiqua autem cithara VII chordis erat. Unde Vergilius: "Septem discrimina vocum". Discrimina autem ideo, quia nulla chorda vicinae chordae similem sonum reddat. Sed ideo VII chordae, vel quia totam vocem implent, vel quia VII motibus sonat caelum. Chordas autem dictas a corde, quia uti pulsus est cordis in pectore, ita pulsus chordae in cithara. Hanc primus Mercurius excogitavit idemque prior in nervos sonum strinxit.

Psalterium, quod vulgo canticum dicitur, a psallendo nominatum, quod ad ejus vocem chorus consonando respondeat. Est autem similitudo citharae barbaricae in modum deltae litterae. Sed psalterii et citharae haec differentia est, quod psalterium lignum illud concavum, [13a] unde sonus redditur, superius habet et deorsum feriuntur chordae et desuper sonant, cithara vero concavitatem ligni inferius habet. Psalterio autem Hebraei decachordo usi sunt propter numerum decalogum legis.

[21] Lyra dicta a notoaye in, id est varietate vocum, quod diversos sonos efficiat. Lyram primum a Mercurio inventam fuisse dicunt hoc modo: Cum regrediens Nilus in suos meatus varia in campis reliquisset animalia, relicta est etiam testudo. Quae cum putrefacta esset et nervi ejus remansissent, extenti intra corium percussa a Mercurio sonitum reddidit. Ad cujus speciem Mercurius lyram fecit et Orpheo tradidit, qui hujus rei maxime studiosus erat. Unde existimatur eadem arte non feras tantum, sed et saxa atque silvas cantus modulatione aplicuisse. Hunc musici propter studii amorem et carminis laudem etiam inter sidera suarum fabularum commentis collocatum esse finxerunt.

Tympanum est pellis vel corium ligno ex una parte extentum. Est enim pars media symphoniae in similitudinem cribri. Tympanum autem dictum quod medium est. Unde et margaritum medium tympanum dicitur et ipsum ut [13b] symphonia ad virgulam percutitur.

Cymbala acitabula quaedam sunt, quae percussa invicem se tangunt et faciunt sonum. Dicta autem cymbala, quia cum balemacia simul percutiuntur. Inde enim Graeci dicunt cymbala balemaciae.

Sistrum ab inventrice vocatum. Isis enim, regina Aegyptiorum, id genus invenisse probatur. Juvenalis:

Isis et irato feriat mea lumina sistro.

Inde etiam hoc mulieres percutiunt, quia inventrix hujus generis mulier exstitit. Unde et apud amazonas Sistro ad bellum feminarum exercitus vocabatur.

Tintinabulum de sono vocis nomen habet sicut plausus manuum, stridor valvarum.

[22] Symphonia vulgo appellatur lignum cavum ex utraque parte pelle extenta, quam hinc et inde musici feriunt. Fitque in ea ex concordia gravis et acuti suavissimus sonus.

Haec Etymologiarum Isidorus.

5. De divisione musicae secundum Alphorabium.

Alphorabius autem dividit musicam in activam primo et speculativam. Activae secundum ipsum proprietas est invenire harmonias sensitivas ex instrumentis, quae praeparata sunt eis vel natura vel arte. Instrumenta [14a] naturalia sunt ut epiglotes et uvula et quae in eis sunt, deinde vero nasus. Artificialia sunt ut fistulae, chordae, verba et alia hujusmodi. Opifex itaque hujus artis non format pneumata et harmonias et alia eorum accidentia, nisi secundum quod sunt in instrumentis, quorum acceptio consueta est in eis.

Speculativa vero dat omnium eorum scientiam et rationes et causas ejus omnes, ex quo componuntur harmoniae non secundum quod sunt in materia, sed absolute secundum quod remota sunt ab omni instrumento et materia et accipit ea secundum quod audita sunt ex instrumento vel ex quocumque tempore accidunt.

Haec autem, id est speculativa, dividitur in quinque partes magnas:

Prima pars est de principiis, quorum proprietas est, ut administrentur in acceptione ejus, quod est in hac scientia et qualiter sit mundus in acceptione principiorum illorum, et quare inventa sit haec ars, et ex quibus rebus et ex quot componatur.

[23] Secunda vero doctrinalis est de dispositionibus hujus artis, scilicet inveniendi neumata, cognoscendi numeros ac species eorum et declarandi proportiones eorum ad invicem. Docet etiam species ordinum ac sectionum eorum, quibus praeparantur, ut acceptor accipiat ex eis quod [14b] vult et componat ex eis harmonias.

Tertia de convenientia principiorum in sermonibus et demonstrationibus super species instrumentorum artificialium, quae praeparantur eis, et de acceptione omnium eorum ac situ eorum in ea secundum mensurationem et ordinem, quae in principiis assignantur.

Quarta est de speciebus casuum naturalium, quae sunt pondera neumatum.

Quinta vero est de compositione harmoniarum integrarum, scilicet illarum, quae positae sunt in sermonibus metricis secundum ordinationem et qualitatem artis, eorum compositis et docet, quando penetrabiliores fiunt et magis ultimae scilicet interlimitate intentionis, ad quam factae sunt.

Haec Alphorabius.

6. Divisio musicae secundum Boetium.

Boetius vero in prohemio sic dividit musicam dicens:

Principio igitur de musica disserenti illud interim dicendum videtur, quot musicae genera ab ejus studiosis comprehensa esse noverimus. Sunt autem tria. Et prima quidem mundana est, secunda vero humana, tertia, quae in quibusdam instrumentis constituta est, ut in cithara vel tibiis ceterisque, quae cantilenae famulantur.

[24] Et primum ea, quae est mundana, in his maxime [15a] perspicienda est, quae in ipso caelo vel compage elementorum vel temporum varietate visuntur. Quomodo enim fieri potest, ut tam velox caeli machina tacito silentique cursu moveatur. Et si ad nostras aures sonus ille non pervenit, quod multis de causis necesse est fieri, non poterit tamen motus tam velocissimus ita magnorum corporum nullos omnino sonos ciere, cum praesertim tanta sint stellarum cursus coaptatione conjuncti, ut nihil aeque compaginatum, nihil ita commixtum possit intelligi. Namque alii planetarum excelsiores, alii inferiores feruntur atque ita omnes aequali incitatione volvuntur, ut per dispares inaequalitates ratus cursuum ordo ducatur. Unde non potest ab hac caelesti vertigine ratus ordo modulationis absistere. Jam vero quatuor elementorum diversitates contrariasque potentias nisi quaedam harmonia conjungeret, quomodo fieri posset, ut in unum corpus ac machinam convenirentur. Sed haec etiam omnis elementorum diversitas ita et temporum varietatem parit et fructuum, ut tamen unum anni corpus efficiat. Unde si quid horum, quae tantam varietatem rebus ministrant animo et cogitatione decerpas, cuncta [15b] pereant, nec, ut ita dicam, quidquam consonum servent. Et sicut per simile in gravibus chordis is vocis est modus, ut non ad taciturnitatem gravitas usque descendat, atque in acutis ille custoditur acuminis modus, ne nervi nimium tensi vocis tenuitate rumpantur, sed totum sibi sit consentaneum atque conveniens, ita etiam in mundi musica pervidemus nihil ita posse esse nimium, ut alterum propria nimietate dissolvat. Verum quidquid illud est, aut suos affert fructus, aut aliis auxiliatur ut afferant. Nam quod constringit hiems, ver laxat, torret aestas, maturat autumnus temporaque vicissim vel ipsa suos afferunt fructus vel aliis ut afferant subministrant.

[25] Humanam vero musicam quisquis in seipsum descenderit intelligit. Quid est enim, quod illam incorpoream rationis vivacitatem, id est animam corpori misceat, nisi quaedam coaptatio et velut gravium leviumque vocum quasi unam consonantiam efficiens temperatio. Quid est aliud, quod ipsius inter se partes animae conjungat, quae, ut Aristoteli placet, ex irrationabili [16a] rationabilique conjuncta est. Quid vero, quod corporis elementa permisceat, aut parte sibimet rata coaptatione contineat.

Tertia est musica, quae in quibusdam consistere dicitur instrumentis. Haec vero ministratur aut intensione, ut nervis, aut spiritu, ut tibiis vel his, quae aqua moventur aut percussione quadam, ut in his, quae in concava quadam aerea virga feriuntur atque inde diversi efficiuntur soni.

Haec Boetius.

7. Subdivisiones musicae secundum Ricardum.

Subdivisiones musicae sunt Ricardi quae sequuntur:

Musica, inquit Ricardus, alia mundana, alia humana, alia instrumentalis. Mundana alia in elementis, alia pondere, alia in numero, alia in mensura; in planetis alia in situ, alia in motu, alia in natura; in temporibus, alia in annis, scilicet mutatione veris, aestatis, autumni et hiemis, alia in mensibus, scilicet incrementis et decrementis lunaribus, alia in diebus, scilicet vicissitudine lucis et noctis.

[26] Musica humana alia in corpore, alia in anima, alia in connexu utriusque. In corpore alia in cogitationibus, alia in humoribus, alia in [16b] operationibus. Prima convenit omnibus nascentibus, secunda sensibilibus, tertia rationabilibus. Musica in anima alia in potentiis, ut ira, ratio, alia in virtutibus, ut justitia, fortitudo. Musica in connexu utriusque est illa naturalis amicitia, qua anima corpori non corporeis vinculis alligata tenetur.

Musica instrumentalis alia in pulsu, ut in tympanis et chordis, alia in voce, ut in carminibus et cantilenis.

Haec Ricardus.

Hoc est igitur, quod dicit Isidorus libro tertio Etymologiarum: Sine musica, inquit, nulla disciplina potest esse perfecta, nihil enim sine illa. Nam et ipse mundus quadam harmonia sonorum fertur esse compositus, et caelum ipsum sub harmoniae modulatione revolvi. Quod philosophus in secundo libro de caelo et mundo more suo reprobat. Nam postquam determinavit de motu stellarum, consequenter determinat de sono earum, qui est effectus motus localis, ut dicitur in secundo De anima. Et circa hoc duo facit: Primo excludit opinionem aliorum, secundo determinat veritatem. Circa primum tria facit: Primo proponit quod intendit, secundo inducit rationem aliter sentientium, tertio ostendit, quomodo dubitationi satisfacere nituntur.

Dicit ergo primo manifestum esse ex [17a] his, quae prius ibidem dixerat, scilicet quod stellae per se non moventur, quod si quis dicat, quod ex motu earum accidit quaedam harmonia, id est sonus harmonizatus, tamquam soni stellarum sibi invicem consonent, leviter loquitur, id est sine [27] ratione sufficienti et superflue. Etiam hoc dicit, quasi nulla utilitate ex hujusmodi sono sequente, sed magis maximo nocumento, ut patebit. Et etiam non ita habet se veritas secundum quod ex praemissis demonstrationibus apparet.

Deinde inducit rationem Pythagorae et sibi consentientium, quorum erat praedicta sententia. Et primo ostendit, quomodo probabant, quod corpora caelestia suo motu faciunt magnum sonum. Tria enim sunt, propter quae corpora, quae apud nos moventur, magnum sonum facere videntur, scilicet propter magnitudinem corporum quae moventur, et propter velocitatem motus ipsorum et propter multitudinem eorum. Corpora autem, quae apud nos juncta in terra faciunt sonum, nec habent tantam magnitudinis molem, nec tam velocem motum sicut sol et luna et aliae stellae, quod patet partim ex his, quae sensu apparent; nam sol et luna quolibet die totum mundum circueunt, partim ex his quae in astrologia monstrantur de magnitudinibus eorum et de velocitate [17b] motus. Adhuc autem ad hoc facit multitudo stellarum. Multo igitur magis videtur, quod sol et luna et aliae stellae suis motibus faciant maximos sonos.

Secundo ostendit, quomodo probabant, quod sonus eorum esse harmonicus. Manifestum est enim ex his, quae in musica traduntur, quod velocitas motus facit sonum suavem et acutum, tarditas motus facit sonum gravem. Determinata autem proportio secundum certos numeros acuti et gravis est causa harmoniae in sonis, sicut proportio duorum ad unum facit diapason, proportio trium ad duo, quae dicitur sesqualtera, facit diapente et sic de aliis. Ostensum est autem ex praemissis, quod quanto stella movetur in majori circulo, tanto velocius movetur. Tanto autem est major circulus, in quo movetur stella, quanto in sphaera stellarum fixarum magis distat a polo, in planetis autem, quanto magis distant a centro, et ideo secundum proportionem elongationum stellarum ab invicem, sive etiam a centro vel a polis, [28] comprehendebat fieri diversitatem velocitatum in motibus stellarum et per consequens et gravitatis in sonis earum. Inveniebant autem elongationem sive distantias esse secundum proportiones numerales, quae faciunt musicales [18a] consonantias, et ideo dicebant, quod sonus astrorum, quae moventur in circuitum, est harmonicus, quem vocabant vocem propter hoc, quod ponebant corpora caelestia esse animata.

Deinde ostendit, quomodo obviabant cuidam dubitationi. Et primo ponit dubitationem. Cum enim nos habeamus auditum perceptivum vocis, quo parvos sonos percipimus, videtur non esse rationabile, quod non audiremus tam magnam vocem, si ex motu astrorum perveniret.

Secundo ostendit, quomodo huic dubitationi obviabant. Dicebant enim hanc esse causam, quare hanc vocem non audimus, quia statim cum nascimur, coexistit nobis iste sonus, et ideo non potest nobis manifestari propter suum oppositum, quod est silentium. Haec enim duo, scilicet vox et silentium, se invicem dijudicantur et discernuntur. Unde accidit hoc omnibus de sono caelestium corporum sicut accidit de malleatoribus aeris, qui propter consuetudinem quasi non sentiunt differentiam soni et silentii, eo quod aures eorum sunt impletae nimis hujusmodi sono.

Tertio improbat dictam responsionem dicens quod, sicut etiam prius diximus, haec dicuntur ab eis illicienter, id est secundum quandam probabilem rationem quae allicit [18b] aures hominum et musicae, id est secundum musicas rationes, sed non secundum veritatem. Impossibile est enim, quod haec hoc modo se habeant, quia si corpora caelestia facerent tam magnos sonos, non solum est inconveniens, [29] quia nihil eorum auditur, quod ipsi solvere nituntur, sed etiam inconveniens est, quod corpora inferiora nihil patiantur ab illis sonis, etiamsi eos non sentiant. Videmus enim, quod soni excellentes destruunt non solum auditum animalium, sed etiam quaedam corpora inanimata, sicut sonus tonitrus frangit lapides et etiam alia corpora durabilia, sicut ferrum et aedificia et alia hujusmodi. Quod quidem contingit non ita, quod corpora inanimata patiantur a sono inquantum est quoddam sensibile per auditum, sed inquantum simul cum sono fit vehemens percussio aeris et motus ipsius, sicut philosophus determinat in libro De anima. Cum ergo corpora caelestia, quae moventur, sint tam maximae quantitatis, et sonus eorum, si sit, oportet quod pertranseat secundum excessum sonum tonitrui et quemlibet alium sonum secundum proportionem magnitudinis corporum caelestium, multo magis necessarium est, quod sonus caelestium corporum usque nunc pertingeret, quod esset intolerabilis fortitudo [19a] violentiae illius, quam inferret in inferioribus corporibus.

Patet etiam alio modo, quod eorum solutio non est sufficiens, quia consuetudo audiendi magnos sonos non solum aufert discretionem illorum sonorum, sed etiam alienum, sicut malleatores aeris non possunt percipere alios sonos minimos. Unde si propter consuetudinem non possumus audire sonos caelestium corporum, pari ratione nec alios sonos audire possemus.

Videtur autem, ut Simplicius dicit in commento, intentio sustineri posse Pythagorae. Et ideo contra ea, quae hic ponit Aristoteles inquit, quia potest dici, quod sonus caelestium corporum non sunt corruptivi, sed magis conservativi et vivificativi sicut et motus caeli est ut vita quaedam omnibus existentibus, ut dicitur in octavo physicorum.

[30] Similiter etiam quod nos non audimus sonos caelestium corporum, hoc non convenit propter consuetudinem, sicut hic dicitur, quia Pythagorici dicunt Pythagoram talem harmoniam quandoque audisse, qui tamen consuetus fuit eam audire sicut et alii, sed hoc dicunt accidere, quia non omnia sensibilia sunt proportionata omnibus sensibus, ut ab eis percipi possint, sicut multos odores percipiunt canes, quos homines percipere non possunt. Et similiter potest dici, quod soni illi non sunt perceptibiles humano auditui, [19b] nisi aliquis habeat sensum elevatum et depuratum, sicut habuit Pythagoras. Quamvis dici possit, quod Pythagoras audivit hujusmodi sonum per species auditus, scilicet cognoscendo proportiones, ex quibus illa harmonia constituitur.

Sed hoc non videtur veritatem habere: Primo quidem, quia videmus, quod, licet corpora caelestia sint causa vitae, et praecipue sol, tamen fulgor ejus corrumpit visum nostrum propter hoc, quod ejus proportionem excedit. Et eadem ratione sonus, qui ex motu illorum corporum proveniret, propter sui excessum nostrum auditum corrumperet. -- Secundo, quia sicut intellectus noster est perceptivus omnium intelligibilium, ita sensus est perceptivus omnium sensibilium, visus scilicet omnium visibilium, et auditus omnium audibilium. Unde dicitur tertio libro de anima, quod anima quodammodo est omnia secundum sensum et secundum intellectum. Unde si esset aliquis auditus, et non esset perceptivus cujuslibet soni, aut oporteret illum solum aequivoce dici, aut etiam talem auditum. Quod quidem potest contingere, quod aliquod animal delectatur in aliqua specie sensibilium secundum aliquem sensum, secundum quem non delectatur aliud animal, sicut homo delectatur secundum olfactum in odoribus rosarum et liliorum, non autem alia animalia, quia hujusmodi odores sunt convenientes [31] hominibus [20a] secundum seipsos, aliis autem animalibus non conveniunt odores, nec ut delectent ea, nisi causa alimenti, sicut nec colores. Potest etiam contingere, quod aliquod animal non cognoscat secundum aliquem sensum differentiam alicujus sensibilis propter sensus debilitatem et sensibilis parvitatem, sicut homo, qui est debilis olfactus, non potest cognoscere differentiam aliquorum odorum, puta animalium transeuntium, quos cognoscunt canes. Si tamen odores fuerint vehementes, et homines eos discernunt. Similiter etiam quaedam animalia secundum visum solis claritatem inspiciunt, quam oculi noctuarum ferre non possunt propter excellentiam ejus, sed vitant eam sicut visus corruptivam. Unde impossibile est ex motibus caelestium corporum provenire sonos tam vehementes, nisi percipiantur ab hominibus vel corrumperent eorum auditum, nisi forte dicatur, quod soni illi aequivoce dicerentur.

Quod videtur consonare positioni Simplicii, qui videtur arguere Alexandrum dicentem quod colores, si qui existunt, caelestibus corporibus tamquam accidentia et extrinsecus advenientia eis insunt. Contra quod ipse dicit, quod accidentia et extrinsecus assequentia in corporibus caelestibus dicere inconvenientissimum [20b] existimat, cum habeant substantialem et specificam virtutem. Videbatur enim ei, quod quia corpora caelestia sint causa formarum substantialium in his inferioribus, nullum accidens est eis nec esse possit. Et secundum hoc, cum sensus non sit cognitivus nisi accidentium, sequeretur, quod nihil illorum corporum sentire possimus. Unde ipse dicit, quod nec astra ipsa videmus, nec magnitudines ipsorum aut figuras, nec excellentes pulchritudines, sed neque motum, propter quem sonus, sed velut illustrationem quandam ipsorum videmus talem, velut etiam solis circa terram lumen, non ipse sol videtur.

Sed hoc est expressissime solutum. Primo quidem, quia [32] Aristoteles dicit in primo De anima, quod non secundum quod aqua, nec secundum quod aer diaphanum est, sed quoniam omnium est natura eadem in his utrisque et in natura superius corpore. Et eadem ratione lumen, quod est actus diaphani, est ejusdem naturae in inferioribus corporibus et in caelesti corpore. Si ergo hujusmodi in inferioribus corporibus sunt accidentia sensu perceptibilia, adhuc figura et magnitudo sunt mathematica, quorum rationes sunt indifferentes in quocumque existant. Sicut ergo figura et magnitudo [21a] inferiorum corporum sunt accidentia sensibilia, ita etiam in caelestibus corporibus. Item si hoc esset, periret omnis certitudo astrologiae scientiae, quae procedit ex apparentibus secundum sensum circa corpora caelestia.

Quomodo etiam esset possibile, quod motus caelestium corporum esset eorum substantia, cum sit quid imperfectissimum? Sequeretur etiam, quod idem esset in sole figura, lumen et motus, cum unius rei non sit nisi una substantia. Unde patet omnino impossibile esse quod dicit. Nihil autem prohibet corpora caelestia specificam virtutem habere et tamen quaedam accidentia in eis esse. Nam et in inferioribus corporibus sunt quaedam accidentia, licet in eis sit virtus ad generandum sibi simile in specie.

Deinde determinat veritatem. Et primo proponit quod intendit, secundo manifestat propositum. Dicit ergo primo quod rationabile est, quod non audimus sonos caelestium coroporum neque ab eis violentiam patimur et testimonium accipiemus secundum veritatem primorum sermonum, scilicet [33] quod stellae non moventur per seipsas. Illud enim, quod erat dubium circa sermones Pythagoricorum dicentium fieri harmoniam, id est consonantiam musicalem, ex motu caelestium corporum erit nobis argumentum, quod stellae non per se moventur.

Deinde manifestat [21b] propositum: Et primo ex ratione sumpta ex causa effectiva soni, secundo ex causa finali. Dicit ergo primo, quod quaecumque corpora in his inferioribus secundum seipsa localiter moventur, faciunt sonum inquantum faciunt plagam, id est aeris percussuram. Sed quandoque corpora non moventur secundum seipsa, sed sunt infixa aut qualitercumque existunt in corpore, quod localiter fertur. Talia non est possibile sonare, sicut homines, qui sedent in navi, non sonant navi mota, neque etiam partes navis, quae sunt navi fortiter infixae, sonant ad motum navis, nisi forte propter debilitatem conjunctionis, ut cum navis conquassatur. Neque etiam videmus, quod navis sonum faciat, si feratur in fluvio currenti, ita tamen, quod motus navis non sit per seipsam, sed solum per motum aquae. Si vero sit velocior motus navis quam motus aquae, tunc inquantum dividet aquam, sonabit. Et tamen secundum easdem rationes, quibus Pythagorici assignabant caelestia corpora sonum facere, poterit aliquis dicere inconveniens esse, si malus, id est arbor navis, et puppis ejus, cum habeant tantam magnitudinem, non faciant sonum, vel etiam ipsa navis, cum ducitur in fluvio moto. Intelligendum tamen est [22a] quod hic excluditur sonus, qui convenit ex divisione aquae, non autem sonus, si quis sit, ex divisione aeris quantum ad partem navis, quae aquae supereminet. Quod praecipue apparet, quando aer contra resistit per impulsum venti. Sed illud quod movetur localiter per seipsum non in aliquo corpore quod fertur ita quod non faciat aliquam percussuram, impossibile est sonare.

Dicendum est ergo, quod si corpora stellarum per se [34] moverentur, sive in aeris multitudine, sive intelligamus aerem per totum mundum diffusum, sive etiam in multitudine ignis, sicut omnes dicunt assignantes supremum locum inter corpora igni, necesse est, quod faciant stellae suo motu sonum super omnem magnitudinem naturalis soni. Quod quidem si fieret sequeretur, quod sonus ille usque huc pertingeret et non solum audiretur a nobis, sed etiam corrumperet corpora, quae sunt hic. Sed quia hoc non videmus contingere, consequens est, quod nulla stellarum moveatur per seipsam, videlicet motu violento, neque motu, qui sit ab anima. Non enim possent moveri stellae per seipsas, nisi facerent divisionem vel ipsarum sphaerarum caelestium vel aliquorum corporum intermediorum. [22b] Ipsae autem sphaerae moventur per seipsas, nec tamen aliquod corpus dividunt. Unde etiam ex eorum motu nullus provenit sonus. Patet etiam, quod per hoc, quod philosophus dicit, excludit imaginationem quorundam existimantium, quod stellae non moverentur in sphaeris, sed in quibusdam corporibus mediis, puta aere vel igne aut aliqua hujusmodi.

Deinde ostendit ex causa finali. Ideo enim natura non dedit stellis motum per se, et per consequens sonum, ac si providisset, quod nisi ita se haberet motus stellarum, quod non moverentur per se, sed solum per motum sphaerarum, sequeretur hoc inconveniens, quod nihil in his inferioribus esset super se habens quasi per aliquot tempus a suo esse conservatum.

Ultimo epilogando concludit dictum esse quod stellae sunt sphaericae figurae et quod non moventur per seipsas.

[35] Hic est igitur modus et sententia Aristotelis dictam opinionem reprobantis. Sed quae tantorum virorum sit verior opinio, id non temerarie definimus, sed nostris majoribus determinanda relinquimus.

8. De variis effectibus simul et de excellentia musicae.

Post haec de variis effectibus sive de excellentia ipsius musicae est dicendum, illud maxime, quod Boetius [23a] in prohemio super musicam narrans ait: Omnium quidem perceptio sensuum ita sponte ac naturaliter quibusdam viventibus adest, ut sine his animal non possit intelligi. Sed non aeque eorundem cognitio ac firma perceptio animi investigatione colligitur. Illaboratum est enim, quod sensum percipiendis sensibilibus rebus adhibemus, quae vero sit ipsorum sensuum, secundum quos agimus, natura et quae sensibilium rerum proprietas, id non obvium neque cuilibet explicabile esse potest, nisi quem conveniens investigatio veritatis contemplatione direxerit. Adest enim cunctis mortalibus visus, qui utrum venientibus ad visum figuris, an ad sensibilia radiis emissis efficiantur, inter doctos quidem dubitabile est, vulgus vero ipsa dubitatio praeterit. Rursus cum quis triangulum respicit vel quadratum, facile id quod oculis intuetur agnoscit, sed quaenam quadrati vel trianguli sit natura, a mathematico necesse est ut petat. Idem quoque de ceteris vel de sensibilibus sensibus dici potest, maximeque de arbitrio aurium, quarum vis ita sonos captat, ut non modo de his judicium capiat, differentiasque cognocat, verum [23b] etiam delectur saepius, si dulces coaptatique modi sint, angantur vero, si dissipati atque incohaerentes feriant sensum. Unde fit, ut cum sint quatuor matheseos [36] disciplinae, ceterae quidem investigatione veritatis laborent, musica vero non modo speculationi, verum etiam moralitati conjuncta sit. Nihil est enim tam proprium humanitati quam remitti dulcibus modis, astringi contrariis, idque non modo in singulis in studiis vel aetatibus tenet, verum per cuncta diffunditur studia et infantes ac juvenes necnon et senes ita naturaliter affectu quodam spontaneo modis musicis adjunguntur, ut nulla omnino sit aetas, quae a cantilenae dulcis delectatione sejuncta sit. Hinc etiam internosci potest, quod non frustra a Platone dictum sit mundi animam musica convenientia fuisse conjunctam. Cum enim ex eo, quod in nobis est junctum convenienterque coaptatum illud excipimus, quod in sonis musicis apte convenienterque conjunctum est eoque delectamur, nos quoque ipsos eadem similitudine coaptatos (sive compositos vel compactos) esse cognoscimus. Amica est enim similitudo, dissimilitudo odiosa atque contraria. [24a]

Hinc etiam morum quoque maximae permutationes fiunt. Lascivus quippe animus vel ipse lascivioribus delectatur modis, vel saepe eosdem audiens emollitur ac frangitur. Rursus asperior mens vel incitatioribus gaudet vel incitatioribus asperatur. Hinc est, quod modi etiam musici gentium vocabulo designati sunt, ut Lydius modus et Phrygius. Quo enim quasi unaquaeque gens gaudet, eodem modus ipse vocabulo nuncupatur.

Gaudet vero gens modis morum similitudine, neque enim fieri potest, ut mollia duris, dura mollioribus annectantur aut gaudeant, sed amorem delectationemque, ut dictum est, similitudo conciliat. Unde Plato etiam maxime cavendum existimat, ne de bene morata musica aliquid permutetur. Negat enim esse ullam tantam morum in republica labem, quam paulatim de pudenti ac modesta musica invertere. Statim enim idem quoque audientium animos pati [37] paulatimque discedere nullumque honesti ac recti retinere vestigium si vel per lasciviores modos inverecundi aliquid vel per asperiores ferox atque immane mentibus illabatur. Nulla enim magis [24b] ad animum disciplinis via quam auribus patet.

Cum ergo per eas rhythmi modique ad animum usque descenderint, dubitari non potest, quin aequo modo mentem, ut ipsa sunt, afficiant atque conforment. Id vero etiam intelligi in gentibus potest. Nam quae asperiores sunt Getarum, durioribus delectantur modis, quae vero mensuetae, mediocribus, quamquam id hoc tempore paene nullum est. Quod vero lascivum ac molle est genus humanum, ad totum scenicis ac theatralibus modis tenetur.

Fuit vero pudens ac modesta musica, dum simplicioribus organis (sive instrumentis) ageretur, ubi vero varie permixteque tractata est, amisit gravitatis atque virtutis modum et paene in turpitudinem prolapsa minimum antiquam speciem servat. Unde Plato praecipit minime oportere pueros ad omnes modos erudiri, sed potius ad valentes ac simplices. Atque hic maxime retinendum est illud, quod si quando per parvissimas mutationes hic aliquid permutaretur, recens quidem minime sentiri posset, post vero magnam facere differentiam et per aures ad animum usque delabi. Idcirco magnam esse custodiam reipublicae Plato [25a] arbitratur musicam optime moratam, pudenter conjunctam, ita ut sit modesta ac simplex et mascula nec effeminata, nec fera nec varia. Quod Lacedaemonii (vel Spartiatae) maxima ope servavere, dum apud eos Thaletas Cretensis Gortynius magno pretio ascitus pueros disciplina musicae artis imbueret. Fuit enim id antiquis in morem diuque permansit. Quoniam vero eis Timotheus Milesius super eas decem chordas, quas ante repererat, unum addidit nervum ac multipliciorem sic musicam fecit, exegere (id est [38] expulerunt) de Laconia consultumque de eo factum est. Quod consultum id scilicet continet: Idcirco Timotheo Milesio Spartiatas succensuisse (id est redarguisse), quod multiplicem musicam reddens puerorum animos, quos acceperat erudiendos, officeret et a virtutis modestia praepediret, et quod harmoniam, quam modestam susceperat, in genus chromaticum, quod mollius est, invertisset.

Tanta igitur apud eos fuit musicae diligentia, ut per eam animos quoque obtinere arbitrarentur. Vulgatum quippe est, quam saepe iracundias cantilena represserit, quam multa vel in corporibus vel in animorum affectionibus miranda perfecerit. Cui enim est illud ignotum, [25b] quod Pythagoras ebrium adolescentem Taurominitanum sub phrygii modi sono incitatum spondeo succinente reddiderit mitiorem et sui compotem? Nam cum scortum in rivalis domo esset clausum atque ille furens domum vellet amburere, cumque Pythagoras stellarum cursus, ut ei mos nocturnus, inspiceret, ubi intellexit sono phrygii modi incitatum multis amicorum monitionibus a facinore noluisse desistere, mutari modum praecepit atque ita furentis animum adolescentis ad statum mentis pacatissimae temperavit. Quod scilicet Marcus Tullius commemorat in eo libro, quem de suis consiliis composuit, aliter quidem, sed hoc modo. Sed ut aliqua similitudine adductus maximis minima conferam, ut cum vinolenti adolescentes tibiarum etiam cantu, ut fit instincti, mulieris pudicae fores frangerent, admonuisse tibicinam, ut spondeum caneret Pythagoras dicitur. Quod cum illa fecisset, tarditate modorum et gravitate canentis illorum furentem petulentiam Pythagoras dicitur consedasse.

Sed ut similia breviter exempla conquiram, Terpander atque Arion Metymneus Lesbios atque Jones gravissimis morbis cantus eripuere praesidio. [26a] Ismenias vero Thebanus Boeociorum pluribus, quos sciatici doloris tormenta [39] vexabant, modis fertur cunctas abstersisse molestias. Sed et Empedocles, cum ejus hospitem quidam furibundus gladio invaderet, quod ejus ipse patrem accusatione damnasset, inflexisse modum dicitur atque adolescentis iracundiam temperasse. In tantum vero priscae philosophiae studiis vis musicae artis innotuit, ut Pythagorici cum diurnas in somno resolverent curas, quibusdam cantilenis uterentur, ut eis lenis et quietus sopor irreperet. Itaque experrecti aliis quibusdam modis stuporem, somnum confusionemque purgabant, id nimirum scientes, quod tota nostrae animae corporisque compago musicae coaptatione conjuncta sit. Nam ut sese corporis affectus habet, ita etiam pulsus mentis modus cordis motibusque incitantur, quod scilicet Democritus Hypocrati medico tradidisse fertur cum eum quasi insanum cunctis Democriti civibus id opinantibus in custodia medendi causa viseret. Sed quorum sunt ista? Quia non potest dubitari, quin nostrae animae et corporis status eisdem quodammodo proportionibus videatur esse compositus, quibus harmonicas modulationes posterior [26b] disputatio conjungi copularique monstrabit.

Inde est enim, quod infantes quoque cantilena dulcis oblectat, aliquid vero asperum atque immite ab audiendi voluptate suspendit. Nimirum id etiam omnis aetas patitur omnisque sexus. Quae (scilicet aetas et sexus) licet suis actibus distributa sint, una tamen musica delectatione conjuncta sunt. Quid enim fit, cum in fletibus luctus ipsos modulantur homines dolentes, quod maxime muliebre est, ut cum cantico quodam lugubri dulcior fiat causa deflendi. Id etiam antiquis fuit in morem, ut cantus tibiae luctibus praeiret. Testis enim est Papinius Statius hoc versu:

[40] Cornu grave mugit ab unco

Tibia cui teneros suetum producere manes.

Et qui suaviter canere non potest, sibi tamen aliquid canit, non quod eum aliqua voluptate afficiat id quod canit, sed quod quandam insitam dulcedinem ex animo proferentes quoquo modo proferant, delectantur. Nonne illud etiam manifestum est in bello pugnantium animos tubarum carmine accendi? Quod si verissime est ab animi pacato statu quemquam ad furorem atque iracundiam posse proferri, non est (a contrario) dubium, quod conturbatae mentis iracundiam vel nimiam [27a] cupiditatem modestus modus possit astringere.

Quid dicamus, quod cum aliquis cantilenam libentibus auribus atque animo capit, ad illud etiam non sponte, sed ignoranter convertitur, ita ut motum quoque aliquem similem auditae cantilenae corpus effingat, et quod omnino aliquod melos auditum sibi memor animus ipse decerpat, ut ex his omnibus perspicue nec dubitanter appareat ita nobis musicam naturaliter esse conjunctam, ut ea, nec si velimus quidem, carere possimus. Quocirca intendenda vis mentis est, ut id, quod naturae est insitum, scientia quoque possit comprehensum teneri. Sicut enim in visu quoque non sufficit eruditis colores formasque conspicere, nisi etiam quae sit horum propietas investigaverint, sic non sufficit cantilenis musicis delectari, nisi etiam quali inter se conjunctae sint vocum proportione discatur.

Haec Boetius de effectibus sive de excellentia musicae. Quae quidem omnia velut epilogando Isidorus libro tertio Etymologiarum enucleat dicens:

Musica, inquit, movet affectus, provocat in diversum habitum sensus. In proeliis quoque tubae concentus pugnantes accendit. At quanto vehmentior fuerit clangor, tanto [41] fid ad certamen animus fortior. Siquidem [27b] et remiges cantus hortatur ad tolerandos quoque labores. Musica animum mulcet et singulorum operum fatigationem modulatio vocis solatur, excitatosque animos musica sedat, sicut de David legitur, qui a spiritu immundo Saulem arte modulationis eripuit. Ipsas quoque bestias necnon et serpentes, volucres atque delphinos ad auditum suae modulationis musica provocat. Sed quidquid loquimur vel intrinsecus venarum pulsibus commovemur per musicos rhythmos harmoniae virtutibus probatur esse sociatum.

Haec Isidorus.

9. De subjecto musicae.

Subjectum autem musicae est ipse sonus, sed discretus. Nam secundum Johannem duo sunt omnium instrumenta sonorum, naturale scilicet et artificiale. Naturale aliud humanum, aliud mundanum. Et mundanum quidem est caelestis volubilitatis concors consonantia, quae proprie harmonia nominatur. Naturale autem instrumentum humanum dicimus illas gutturis cavitates, quas arterias vocamus, ipsae etenim naturaliter aptae sunt recipere aerem et reddere, unde sonus naturaliter procreatur.

Artificiale vero instrumentum est, quod non per naturam, sed per artificium ad reddendum sonum adaptatur. Naturalis [28a] autem sonus alius discretus, alius indiscretus. Discretus est, qui aliquas in se habet consonantias, indiscretus est, in quo nulla potest discerni consonantia, ut in risu vel gemitu hominum, latratu canum aut rugitu leonum. Simili modo discretum et indiscretum sonum in artificiali [42] instrumento perpendere possumus. Fistula namque illa, qua decipiuntur aviculae et etiam olla pergameno superducta, unde pueri ludere solent, indiscretum reddunt sonum. At vero in sambuca et citharis et cymbalis aut in organis consonantiarum bene et distincte discernitur diversitas. Illum ergo sonum, quem indiscretum esse dicimus, musica nequaquam recipit. Solus dumtaxat discretus, qui etiam proprie phtongus vocatur, ad musicam pertinet. Est enim musica congrua vocum moderatio.

Haec Johannes.

Subjectum igitur fore musicae sonum discretum signanter dicimus. Cujus quidem ratio est: Sic enim se habet subjectum ad scientiam, sicut objectum ad potentiam vel habitum. Proprie autem assignatur objectum alicujus potentiae vel habitus illud, sub cujus ratione omnia referuntur ad potentiam vel habitum. Sicut verbi gratia homo et lapis referuntur ad visum inquantum sunt colorata. Unde proprie coloratum est proprie objectum visus. [28b]

Omnia autem, quae tractantur in musica, traduntur sub ratione soni, vel quia sunt ipse sonus, vel quia habent ordinem [43] ad sonum ut ad principium et finem. Unde sequitur, quod discretus sonus vere sit subjectum hujus scientiae. Quod etiam manifestum fit ex principiis hujus scientiae, qui sunt quidam soni. Idem autem est subjectum principiorum et totius scientiae, cum tota scientia virtute contineatur in principiis. Quidam autem attendentes ea, quae traduntur in ista scientia et non ad rationem, secundum quam considerantur, assignaverunt aliter materiam hujus scientiae vel pondus vel mensuram contracta ad sonum et cetera. De omnibus autem istis tractatur in ista scientia secundum ordinem ad sonum, ut patebit inferius.

Deinde cum tria sint genera, quae versantur circa musicam, scilicet instrumentale, poeticum et musicum, quod istorum musico sit assumendum, docet Boetius in fine primi libri musicae dicens: Tria sunt, inquit, genera, quae circa artem musicam versantur. Unum genus est, quod instrumentis agitur, aliud, quod fingit carmina, tertium, quod instrumentorum opus carmenque dijudicat. Sed illud quidem, quod instrumentis positum est, ibique totam operam consumit, ut sunt citharedi [29a] quique organo ceterisque musicae instrumentis artificium probant, a musicae scientiae intellectu sejuncti sunt, quoniam famulantur, ut dictum est, nec quidquam afferunt rationis, sed sunt totius speculationis expertes.

Secundum vero musicam agentium genus est poetarum, quod non potius speculatione ac ratione, quam naturali quodam instinctu fertur ad carmen atque idcirco hoc quoque genus a musica segregandum est.

Tertium est, quod judicandi peritiam sumit, ut rhythmos cantilenasque totumque carmen possit perpendere. Quod scilicet, quoniam totum in ratione ac speculatione positum est, hoc proprie musicae deputabitur. Et subdit: Isque est musicus, cui adest facultas secundum speculationem [44] rationemque propositam ac musicae convenientiam de modis ac rhythmis deque generibus cantilenarum ac de permixtionibus ac de omnibus, de quibus posterius explicandum est, ac de poetarum carminibus judicandi.

Haec Boetius.

His igitur expeditis dicendum est de generibus melorum. Sunt autem tria in primo secundum Boetium, genera melorum musicae, scilicet diatonum, chroma et enharmonium. Et diatonum quidem aliquanto durius et naturalius est, chroma [29b] vero jam quasi ab illa naturali intensione discedens et in mollius decidens, enharmonium vero optime atque apte conjunctum.

Cum sint igitur V tetrachorda, ut infra patebit, scilicet hypaton, meson, synemmenon, diezeugmenon, hyperboleon, in his omnibus secundum diatonum cantilenae procedit vox per semitonium, tonum et tonum in uno tetrachordo, rursus in alio per semitonium, tonum ac tonum, ac deinceps. Ideoque vocatur diatonum, quasi quod per tonum ac tonum progrediatur.

Chroma autem, quod dicitur color, quasi jam ab hujusmodi intensione prima mutatio cantatur per semitonium, semitonium et tria semitonia. Tota enim diatesseron est consonantia duorum tonorum ac semitonii, sed non pleni. Tractum est autem hoc vocabulum, ut diceretur chroma, a superficiebus, quae cum permutantur, in alium transeunt colorem.

Enharmonium vero, quod est magis coaptatum, est quod cantatur in omnibus tetrachordis per diesim et diesim et ditonum (vel diatonum), id est per duos tonos. Diesis autem est semitonii dimidium. Ut sit trium generum melorum descriptio per omnia tetrachorda discurrens hoc modo: [30a]

[45] [Cserba, 45; text: Semitonium. tonus. Diatonicum diatesseron, tria semitonia, Chromaticum diatesseron, Diesis, ditonus, Enharmonicum diatesseron] [IERTDM1 01GF]

Haec Boetius. Sed quia usus praecipue christianitatis ceteris abjectis genus diatonicum retinuit, ideo de ipso eodemque genere prima et praecipua speculatio fiet, non quidem secundum elementa Graeca a Boetio tradita, de quibus secundum tria genera infra dicetur, sed potius secundum elementa sumpta communiter. Quae quidem elementa nunc voces clavesque vocantur.

10. De harmonicis clavibus simul et vocibus.

His itaque praelibatis nunc de harmonicis clavibus simul et vocibus tractare incipiamus. Primum autem hoc illi, qui se ad musicae disciplinam aptare desiderat, est necessarium, ut suadet Johannes, ut litteras monochordi cum syllabis infrascriptis formare studeat, nec antequam eas memoriter teneat, ab hoc opere desistat.

Sunt autem VII litterae, quas ad opus musicae assumimus sumptae de alphabeto, scilicet: a, b, c, d, e, f, g, quas quidem litteras geminatas vetustissimi XV in monochordo posuerunt, ab A videlicet inchoantes et in a desinentes. [46] Nondum enim haec littera [Gamma], quam Graeci vocant gamma, additum fuit, nec b, quod nos molle vel rotundum dicimus, a quibusdam Graeco nomine synemmenon, id est adjunctum, appellatur. Moderni autem omnia subtilius atque sagacius intuentes [30b] viderunt notas illas ad melodiam quamlibet exprimendam non sufficere, ideoque gamma in principio posuerunt. Praeterea b rotundum, quod aliquando in cantu videbatur necessarium, addidere eique nomen hoc, ut scilicet b molle vocaretur, propter molliciem soni et dulcedinem indidere. Sic his duabus litteris adjunctis XVII sunt numero.

Guido autem, quem post Boetium plurimum in hac arte valuisse fatemur, XXI in musica sua posuit litteras propter duplex b molle. Moderni vero adhuc unam, quam vocant ee la, addiderunt clavem, ne videlicet jam ullus in cantu posset subrepere defectus. Sicque his omnibus litteris adjunctis XXII sunt numero.

Sunt etiam VI syllabae, quas ad opus musicae assumunt, hae videlicet: ut, re, mi, fa, sol et la, quas de illo hymno assumptas, dicit Johannes, cujus principium incipit: Ut queant laxis. Quod [31a] hic facile consideratur:

Ut quant laxis, ecce ut

Resonare fibris, ecce re

Mira gestorum, ecce mi

Famuli tuorum, illic fa

Solve polluti, ecce sol

Labii reatum, ecce la.

Per has itaque syllabas hi, qui de musica scire affectant, cantiones aliquot cantare discant, quousque ascensiones [47] et descensiones multimodas quoque earum varietates plene ac lucide pernoscant.

In articulis etiam manus modulos assuescant, ut postmodum, quotiens voluerint, pro monochordo utantur et in eis cantum probent, corrigant atque componant. Haec ubi aliquamdiu frequentaverint, et altae memoriae commendaverint, facilius procul dubio ad musicam iter habebunt.

Haec Johannes.

Dictae autem syllabae cum litteris suprascriptis certae certis conjunguntur, sic videlicet: [Gamma] ut, A re, B mi, C fa ut, D sol re, E la mi, F fa ut, G sol re ut, a la mi re, b fa, [sqb] mi, c sol fa ut, d la sol re, e la mi, f fa ut, g sol re ut, aa la mi re, bb fa, [sqb][sqb] mi, cc sol fa, dd la sol, ee la.

Singulae vero conjunctiones in singulis et in determinatis digitorum articulis in manu diversimode a diversis collocantur. Hic autem modus collocandi [31b] ipsas qui descriptus est in sequenti figura, melior esse videtur, ut postea ostendetur.

[Cserba, post46; text: [Gamma] ut, A re, [sqb] mi, e la mi, f fa ut, g sol re ut, C fa ut, d la sol re, ee la, dd la sol, aa la mi re, D sol re, c sol fa ut, cc sol fa, [sqb][sqb] mi, [rob][rob] fa, E la mi, [sqb] mi, b fa, a la mi re, G sol re ut, F fa ut] [IERTDM1 02GF]

11. De locis dictarum clavium et vocum et de eorundem geminationibus.

Supradictae autem litterarum combinationes a quibusdam claves dicuntur ad similitudinem clavium, quibus ostia ingressum prohibentia clauduntur et aperiuntur eisdem, ut ingressus pateat ingredientibus. His [32a] enim similiter illis via canendi clauditur, qui sine ipsis properant ad musicae [48] disciplinam. Oppositam autem viam tenentibus cantandi harmonia cum eisdem aperitur. Propter quod etiam in instrumentis organicis quasdam tabulas principalibus litteris harmonicarum clavium descriptas, ex quarum inflexione meatus quidam edentes sonum harmonicum aperiuntur. Non inflexae autem claudunt eosdem dictum sonum ... entes claves similiter nominant, quae clausae claudunt, apertae aperiunt dulcedinem organicae melodiae. Quae etiam clavis sic a quibusdam describitur: Clavis est unisona congeries primorum elementorum musicae viam reserans modulandi. Omnes autem claves harmonicae solum in linea et in spatio collocantur. Unde et XI claves sunt in linea et similiter XI sunt in spatio.

Prima igitur clavis, scilicet [Gamma] ut est in linea, secunda, scilicet A re est in spatio, tertia in linea, quarta in spatio, es sic omnes sunt successive una in linea et alia in spatio usque ad ee la inclusive, quae secundum successionis ordinem in spatio terminatur. Excipiuntur quatuor claves, scilicet b fa et [sqb] mi acutae et bb fa [sqb][sqb] mi superacutae, quae licet sint ubique duae claves, in acutis videlicet et in superacutis, ut infra patebit, tamen ambae acutae in spatio quidem, sed in diversis locis spatii et ambae superacutae in linea, sed in diversis locis lineae a musicis collocantur. [32b]

Et geminantur, ut diximus, tam VII litterae, quae tribus vicibus in manu repetuntur, sed vice tertia non complentur, eo scilicet, quod f et g tertio non repetitur, quod patuit in praecedenti figura. G tamen ter in manu reperitur, si hoc nomen litterae, gamma scilicet, ut quibusdam placet, nostris litteris describatur, quam etiam VI syllabae seu voces secundum quosdam, quae quidem ut litterae, sed septies completae in manu repetuntur. Et inde est, quod unaquaeque littera ex praedictis ter in manu reperitur excepta littera b, quae quinquies propter appositionem b mollis tam in acutis quam etiam in superacutis et alia littera f, tertio non geminata, quae solum bis invenitur in manu. Unaquaeque autem [49] syllaba septies reperitur in manu, sed quotiens in linea et quotiens in spatio, potest colligi ex jam dictis.

12. De ipsarum vocum mutationibus.

Postquam autem dictum est de locis clavium et vocum et de earundem geminationibus, nunc dicendum est de ipsarum vocum mutationibus. Circa quod primo videndum est, quid sit mutatio prout hic sumitur et unde dicatur quisque modus mutationis.

Mutatio est sub una clavi et eadem unisona transitio vocis in vocem. Et [33a] dicitur mutatio a mutando eo quod una vox unius cantus mutatur, immo commutatur in aliam alterius cantus. Cujus quidem modus talis datur a musicis, ut scilicet per has VI voces ut, re, mi, fa, sol et la diversimode fiant mutationes, per inferiores has scilicet, ut re et mi ascendendo, et per superiores, has videlicet fa, sol et la descendendo, id est, si aliqua de notis inferioribus obtineat vim in mutatione, fiet mutatio ascendendo et e converso. Dicitur autem vox illa vim suam obtinere in mutatione, quae sumit melodiam suae praecedentis. Ex his igitur patet, quod voces diversarum clavium non transmutantur ad invicem, ut scilicet fa, quod est in b fa acuto, non potest mutari in mi, quod est in [sqb] mi acuto, nec e converso (in his et in omnibus aliis clavibus) tam in acutis quam in superacutis.

Dicendum est igitur, quod [Gamma] ut habet unam vocem, ut per [sqb] durum ad usum [Gamma] ut et sui et nullam mutationem.

A re habet unam vocem, re per [sqb] durum ad usum [Gamma] ut et nullam mutationem.

[sqb] mi habet unam vocem, mi per [sqb] durum ad usum [Gamma] ut et nullam mutationem.

[50] Ad evidentiam autem hujus, quod dicitur ad usum [33b] sui, sciendum, quod tres sunt cantus in manu, [sqb] duralis scilicet, naturalis et b mollis, qui constant ex VI vocibus, scilicet ex ut re mi fa sol et la et habent incipere in ut et terminari in la. Ut vero per se et absque aliis notis nullius cantus harmoniam perfecte constituit, et ideo notarum sequentium usum requirit. Propter quod omnes aliae voces ad usum ipsius ut tamquam ad principium, a quo habent originem, esse dicuntur.

Item sciendum, quod [sqb] duralis cantus habet locum principalem incipiendi in gamma in linea et in G, id est in g sol re ut bis positum in spatio et in linea, naturalis vero in c bis positum id est in C fa ut gravi in spatio et in c sol fa ut acuto in linea et non in cc sol fa excellenti, quod caret voce principali, scilicet ut, et etiam finali la, B mollis autem in f similiter bis posito, in F fa ut videlicet gravi in linea et in f fa ut acuto in spatio. Cur autem unus cantus dicatur be duralis sive be durus, alter naturalis, tertius vero b mollis, a quibusdam talis ratio assignatur: Dicunt enim, quod inter VI voces, ex quibus scilicet constat quilibet cantus, duae in sono sunt signanter sibi oppositae, una videlicet, quae dura et aspera in sui pronuntiatione [34a] est, scilicet mi, alia vero, quae molliter pronuntiatur, scilicet fa. Haec ita se habent in manu, quod semper in cantu locum principalem habente incipiendi in G mi cadit in B, a quo et cantus dicitur be duralis sive b durus, in cantu vero locum principalem habente etiam incipiendi in F, fa in B incidit, unde et cantus dicitur be mollis. Cantus vero naturalis dicitur, eo quod principales tonorum sedes complectitur, ad quos naturaliter omnis melodia et omnis cantus reducitur.

Item C fa ut habet duas voces, fa et ut, fa per b durum, ad usum gamma ut, ut per naturam ad usum sui; et duas mutationes: fa ut, ut fa, fa ut ascendendo per naturam ad usum sui, ut fa descendendo per [sqb] durum ad usum gamma ut.

D sol re habet duas voces, sol et re, sol per [sqb] durum [51] ad usum gamma ut, re per naturam ad usum C fa ut; et duas mutationes: sol re, re sol, sol re ascendendo per naturam ad usum C fa ut, re sol descendendo per [sqb] durum ad usum gamma ut.

E la mi habet duas voces, la et mi, la per [sqb] durum, ad usum gamma ut, mi per naturam, ad usum [34b] C fa ut, et duas mutationes: la mi, mi la, la mi ascendendo per naturam ad usum C fa ut, mi la descendendo per [sqb] durum ad usum [Gamma] ut.

F fa ut habet duas voces, fa et ut, fa per naturam ad usum C fa ut, ut per b molle ad usum sui, et duas mutationes: fa ut, ut fa, fa ut ascendendo per b molle ad usum sui, ut fa descendendo per naturam ad usum C fa ut.

G sol re ut habet tres voces, sol, re et ut, sol per naturam ad usum C fa ut, re per b molle ad usum F fa ut, ut per [sqb] durum ad usum sui, et VI mutationes: sol ut, ut sol, sol re, re sol, re ut, ut re, sol ut ascendendo per [sqb] durum ad usum sui, ut sol descendendo per naturam ad usum C fa ut, sol re ascendendo per b molle ad usum F fa ut, re sol descendendo per naturam ad usum C fa ut, re ut ascendendo per [sqb] durum ad usum sui, ut re similiter ascendendo per b molle ad usum F fa ut.

Et hic ordo transmutationis vocum in omnibus clavibus tres voces habentibus, quod videlicet prima vox in ultimam et e converso, prima in mediam et e converso [35a] media mutetur in ultimam et e converso, rationabilis esse videtur. Nam sicut in g sol re ut gravi tres voces continente secundum consequentiam trium cantuum ideo primo ponitur sol et postea re et postmodum ut, quia cantus naturalis, qui habet suam vocem, id est sol in G sol re ut, praecedit in gravibus cantum b molle ipsum immediate subsequentem, propter quod dictus cantus b mollis habet suam vocem, scilicet re vocem cantus naturalis immediate sequentem, cantus quoque [sqb] duralis eadem ratione habet suam vocem ut, vocem cantus b mollis sequentem, ita etiam ordo servandus est in mutationibus dictarum vocum secundum ordinem scilicet consequentiae trium cantuum, qui quidem observatur dicto ordine mutationum servato.

[52] Praeterea mutatio vocum fit, ut cognoscatur quantitas harmoniae in vocibus, ex cujus proportione omnis harmonia constituitur, ut postea ostendetur. Manifestum est autem, quod proportio mediae quantitatis, quae cognoscitur sive constituit in mutatione primae in mediam et mediae in ultimam, cognosci non potest, nisi cognita proportione extremi ad extremum, quod denotat mutatio primae vocis in [35b] ultimam, primae in mediam, mediae in ultimam et e converso. Item videmus hoc esse in singulis rerum generibus, quod scilicet magis communia continent in se minus communia virtualiter, sicut animal continet hominem et animal continetur in substantia animata. Et similiter proportiones harmonicae minus communes, cujusmodi est proportio primi ad medium et medii ad extremum, continetur in proportionibus magis communibus, scilicet in proportionibus extremorum ad invicem. Et ideo si primo non traderetur doctrina de magis communibus proportionibus, oporteret postea ad singulas conclusiones repetere ipsa magis communia, in quibus illa virtualiter continentur. Ex quo sequeretur error et confusio in scientia. Oportet ergo non solum propter cognoscendi modum, sed etiam propter errorem vitandum primo agere de mutatione primae vocis in ultimam et e converso.

Item a la mi re habet tres voces, la, mi, et re, la per naturam ad usum C fa ut, mi per b molle ad usum F fa ut, re per [sqb] durum ad usum G sol re ut; et VI mutationes: la re, re la, la mi, mi la, mi re, re mi, la re ascendendo per [sqb] durum ad usum G sol re ut, re la descendendo per naturam ad usum C fa ut, la mi ascendendo [36a] per b molle ad usum F fa ut, mi la descendendo per naturam ad usum C fa ut, mi re ascendendo per [sqb] durum ad usum G sol re ut, re mi similiter ascendendo per b molle ad usum F fa ut.

Item b fa est una clavis per se et habet unam vocem fa per b molle ad usum F fa ut et nullam mutationem. Quae quidem clavis dupliciter nominatur, aliquando enim b rotundum [53] et aliquando dicitur b molle. Cujus ratio est, nam cum dictum sit b fa de novo fuisse appositum ad temperandum asperitatem toni, quam facit sequens immediate clavis, scilicet [sqb] mi, noluerunt appositores plures litteras ad opus musicae quam septem assumere, sed potius ipsum b. quod prius existebat, geminum, divisum tamen posuerunt, unum jungentes huic voci fa et aliud huic voci mi ponentes nihilominus differentiam figurarum in litteris, unam scilicet rotundam facientes, sic videlicet b, propter quam et b rotundum clavis dicitur, et aliam quadratam, sic videlicet [sqb] a qua et [sqb] quadrum clavis dicitur, describentes.

Dicitur et b molle ratione harmonici effectus hujus vocis fa sibi conjunctae, quae quidem cum sua antecedenti, scilicet cum mi, quod est in a acuto, mollem in harmonia reddit [36b] sonum, [sqb] durum vero, quod et [sqb] quadrum, ratione similiter harmonici effectus hujus vocis mi sibi conjunctae, quae quidem cum re, quod est in a acuto, durum sive asperum reddit sonum.

Dicta etiam clavis, scilicet [sqb] mi, est una per se et habet unam vocem, mi per [sqb] durum ad usum G sol re ut et nullam mutationem.

Non est igitur una clavis b fa, b mi, sed duae, una scilicet b fa et alia est [sqb] mi, nam diversarum clavium sunt litterae diversarum figurarum et diversae dimensiones in monochordo. Sed, ut patuit, litterae dictarum clavium sunt diversarum figurarum, dimensiones nihilominus earundum, ut patebit, sunt omnino differentes in monochordo. Ergo claves sunt diversae. Ex quo manifeste ipsas non habere mutationes apparet. Nam contrarium contra definitionem mutationis fieret, cum ex eadem duo colligantur, unum scilicet, quod voces transmutabiles sint unius et ejusdem clavis, et aliud, quod sint unius et ejusdem harmonicae sonoritatis. Sed ostensum est voces esse duarum clavium. Probatur etiam in monochordo et in omnibus organicis instrumentis ipsas non esse unius et ejusdem harmonicae sonoritatis. [54] Nullam igitur habent mutationem [37a] nec habere possunt.

Item c sol fa ut habet tres voces, sol, fa et ut, sol per b molle ad usum F fa ut, fa per [sqb] durum ad usum G sol re ut, ut per naturam ad usum sui; et VI mutationes: sol ut, ut sol, sol fa, fa sol, fa ut, ut fa, sol ut ascendendo per naturam ad usum sui, ut sol descendendo per b molle ad usum F fa ut, sol fa descendendo per [sqb] durum ad usum G sol re ut, fa sol similiter descendendo per b molle ad usum F fa ut, fa ut ascendendo per naturam ad usum sui, ut fa descendendo per [sqb] durum ad usum G sol re ut.

Item d la sol re habet tres voces, la sol et re, la per b molle ad usum F fa ut, sol per [sqb] durum ad usum G sol re ut, re per naturam ad usum c sol fa ut; et VI mutationes: la re, re la, la sol, sol la, sol re, re sol, la re ascendendo per naturam ad usum c sol fa ut, re la descendendo per b molle ad usum F fa ut, la sol descendendo per [sqb] durum ad usum G sol re ut, sol la similiter descendendo per b molle ad usum F fa ut, sol re ascendendo per naturam ad usum c sol fa ut, re sol descendendo per [sqb] durum ad usum G sol re ut.

Item e la mi habet duas voces, la et mi, la per [sqb] durum ad usum G sol re ut, mi per naturam ad usum c sol fa ut; et duas mutationes: [37b] la mi, mi la, la mi ascendendo per naturam ad usum c sol fa ut, mi la descendendo per [sqb] durum ad usum G sol re ut.

Item f fa ut habet duas voces, fa et ut, fa per naturam ad usum c sol fa ut, ut per b molle ad usum sui; et duas mutationes: fa ut, ut fa, fa ut ascendendo per b molle ad usum sui, ut fa descendendo per naturam ad usum c sol fa ut.

Item g sol re ut habet tres voces, sol re et ut, sol per naturam ad usum c sol fa ut, re per b molle ad usum f fa ut, ut per [sqb] durum ad usum sui; et VI mutationes: sol ut, [55] ut sol, sol re, re sol, re ut, ut re, sol ut ascendendo per [sqb] durum ad usum sui, ut sol descendendo per naturam ad usum c sol fa ut, sol re ascendendo per b molle ad usum f fa ut, re sol descendendo per naturam ad usum c sol fa ut, re ut ascendendo per [sqb] durum ad usum sui, ut re similiter ascendendo per b molle ad usum f fa ut.

aa la mi re habet tres voces, la, mi et re, la per naturam ad usum c sol fa ut, mi per b molle ad usum f fa ut, re per [sqb] durum ad usum g sol re ut; et VI mutationes: la re, re la, la mi, mi la, mi re, re mi, la re [38a] ascendendo per [sqb] durum ad usum g sol re ut, re la descendendo per naturam ad usum c sol fa ut, la mi ascendendo per b molle ad usum f fa ut, mi la descendendo per naturam ad usum c sol fa ut, mi re ascendendo per [sqb] durum ad usum g sol re ut, re mi similiter ascendendo per b molle ad usum f fa ut.

bb fa est una clavis per se et habet unam vocem fa per b molle ad usum f fa ut et nullam mutationem.

[sqb][sqb] mi similiter est una clavis per se et habet unam vocem mi per [sqb] durum ad usum g sol re ut et nullam mutationem ratione qua prius.

cc sol fa habet duas voces, sol et fa, sol per b molle ad usum f fa ut, fa per [sqb] durum ad usum g sol re ut; et duas mutationes: sol fa, fa sol, sol fa descendendo per [sqb] durum ad usum g sol re ut, fa sol similiter descendendo per b molle ad usum f fa ut.

dd la sol habet duas voces, la et sol, la per b molle ad usum f fa ut, sol per [sqb] durum ad usum g sol re ut; et duas mutationes: la sol, sol la, la sol descendendo per [sqb] durum ad usum g sol re ut, sol la similiter descendendo per b molle ad usum f fa ut.

Item [38b] ee la a modernis appositum habet unam vocem, la per [sqb] durum ad usum g sol re ut et nullam mutationem.

[56] 13. De tribus vocum divisionibus.

Post haec dicendum est de divisione manus secundum diversos. Quidam enim dividunt manum in tres partes: a [Gamma] gravium in G acutarum, a G acutarum in g superacutarum, a g superacutarum usque in finem. Et ob hoc variant figuras litterarum. Nam omnes litterae monochordi a [Gamma] gravi usque in G acutum inclusive capitales, ab a acuto usque in g superacutum inclusive minutas, ab aa vero superacuto similiter minutas sed duplicatas describunt easdem. Omnes scilicet litteras capitales et voces earundem graves propter soni gravitatem, minutas autem et voces earum acutas propter acutum quem reddunt sonum, duplicatas vero cum suis vocibus eo scilicet, quod acutas voces acumine superant, superacutas nominant easdem.

Alii vero secundarii dividunt manum in V partes, scilicet in tetrachordum gravium, in tetrachordum finalium communium, in tetrachordum acutarum et in tetrachordum superacutarum et inclusa clavi ee la excellentium, vel in trichordum ipsa exclusa. Proprie autem tetrachordum est quoddam musicum instrumentum [39a] habens solum quatuor chordas, ad quod transsumitur cantus quatuor vocum. Et hoc modo hic accipitur et definitur sic: Tetrachordum est harmonia sonorum quatuor discretorum. Et dicitur tetrachordum a tetra Graece, quod est quatuor, et chordum latine. Inde tetrachordum quasi cantus constans ex quatuor chordis vocum.

Primum tetrachordum constituunt istae quatuor claves, scilicet [Gamma] A B C, quae quidem propter soni gravitatem dicuntur graves, a quibus et tetrachordum gravium dicitur.

Secundum tetrachordum istae: D E F G, in quibus eo, quod omnium tonorum cantus primo et principaliter et communiter finiuntur, ut infra dicetur, communes finales appellantur, [57] a quibus et tetrachordum finalium communiter dicitur.

Tertium istae constituunt: a b c d exclusa clavi b fa, quae propter acutum quem reddunt sonum, acutae vocantur, a quibus et tetrachordum acutarum dicitur. Alii b fa includentes pentachordum nominant acutarum.

Quartum istae claves constituunt: e f g aa, quae quidem, quia etiam acutas acumine superant, vocantur superacutae, a quibus et tetrachordum superacutarum dicitur.

Quintum trichordum secundum illos, qui bb fa excludunt, tres claves constituunt, scilicet [sqb][sqb] mi cc dd, quae [39b] dicuntur excellentes eo, quod superacutas soni acuitate excellant, a quibus et trichordum dicitur excellentium. Alii vero bb fa includentes et ee la addentes pentachordum nominant excellentium.

Item sunt et alii, qui morem sectantes antiquorum nullamque dictarum clavium excludentes in VI tetrachorda totam manum diviserunt, primum statuentes a [Gamma] gravium in C gravium, secundum a D finalium communium in G similiter finalium communium sive acutarum ratione qua prius, tertium ab F gravi in b fa acutum. Quod quidem tetrachordum eo quod sedes tonorum communium similiter et specialium participat, tetrachordum participantium dicitur ab eisdem. Tertium ergo tetrachordum, quod est ab a acuto in d acutum, similiter finalium specialium nominant. Quartum acutum a c acuto in f similiter acutum, quintum superacutum ab f acuto in bb fa superacutum, sextum vero et ultimum, quod est a [sqb][sqb] mi excellenti in ee similiter excellens, tetrachordum excellentium dicitur, quod quidem, sicut et alia tetrachorda, propriis nuncupantur vocibus ratione qua prius.

Est et alia divisio manus in VIII scilicet tetrachorda, [58] quae est perfectissima et realior omnibus aliis, de qua dicetur inferius.

Sed unde dicatur monochordum et ad quid sit utile, non videtur [40a] praetereundum. Monochordum propter unam quam habet chordam nomen accepit. Monos quidem Graece unus vel solus dicitur. Sicut igitur trichordum a tribus chordis, tetrachordum a quatuor, pentachordum a quinque, hexachordum a sex, heptichordum a septem, octichordum ab octo, nonachordum a novem, decachordum a decem, ita et monochordum ab una sola chorda est appellatum.

Ad hoc autem, ut ait Johannes, illud instrumentum perutile est, ut cantus, de quo dubitatur, si verus sit an falsus, in eo probetur. Pueris quoque et adolescentibus ad musicam aspirantibus adhibetur, ut ad id, quod discere volunt, ipso dulci sono delectati facilius pertingant.

Haec Johannes.

Item valet tangere musica instrumenta volentibus, ut in monochordo manus ducere assuescant agiliter. Ex cujus insuper dimensione colligitur, qualiter proportionandae sunt campanulae in horologiis ponendae secundum genus diatonicum sonum debitum exprimentes. Hae et aliae monochordi utilitates post declarantur in speciali.

14. De sonorum qualitatibus et de eorundem proportionibus.

Inter cetera hoc quoque scire convenit, quod X sunt modi, ex quibus omnis melodia contexitur, videlicet unisonus, semitonium, tonus, semiditonus, ditonus, diatesseron, [40b] [59] diapente, semitonium cum diapente, tonus cum diapente, duplex diatesseron, diapason.

Unisonus est plurium notarum in spatio vel in linea in eodem sono geminatio. Et dicitur unisonus quasi unus sonus eo, secundum Johannem, quod cum sit una vox, continue repercutitur. Qui quidem unisonus non dicitur esse modus sicut et unitas numerus non censetur.

Semitonium secundum Guidonem est non plenum toni intervallum, quod interdum lima vel diesis dicitur. Et dicitur semitonium a semis, quod est imperfectum, et tonus, quasi imperfectus tonus.

Tonus secundum eundem est spatii legitima magnitudo a sono in sonum, et dicitur tonus secundum Johannem a tonando. Est autem tonare potenter sonare. Tonus enim fortem habet sonum respectu semitonii.

Semiditonus secundum Guidonem est cum inter aliquas duas voces est unus tonus et unum semitonium, sicut inter re et fa, mi et sol. Et dicitur semiditonus a semis, quod est imperfectum, et tonus, quasi tonus perfectus et imperfectus. Constat enim ex tono et semitonio.

Ditonus secundum Guidonem est, cum inter duas voces duo sunt toni, ut inter ut et mi, fa et la. Et dicitur ditonus a dia, quod est duo, et tonus, quasi duo toni. Inde ditonus quasi proportio canstans ex duobus tonis.

Diatesseron est, [41a] cum inter aliquam vocem et quartam a se duo sunt toni et unum semitonium, ut inter ut et fa, re et sol, mi et la. Et dicitur diatesseron a dia, quod est de, et tesseron, quod est quatuor. Inde diatesseron quasi cantus de quatuor notis, scilicet ab una enim voce incipiens ad quartam transilit constans tono et semiditono.

[60] Diapente est, cum inter aliquam vocem et quintam a se tres sunt toni et unum semitonium, ut ab ut in sol et a re in la. Et dicitur diapente a dia, quod est de, et penta, quod est quinque. Inde diapente quasi cantus de quinque notis, scilicet ab una enim voce incipiens ad quintam transit, constans ex ditono et semiditono.

Semitonium cum diapente est, cum inter aliquam vocem, et sextam a se est unum diapente et unum semitonium, ut inter A et F, B et G, D et b rotundum acutum, E gravi et c acuto, a acuto et f similiter acuto, [sqb] quadro sed acuto et g superacuto, e acuto et cc excellenti.

Tonus cum diapente est, cum inter aliquam vocem et sextam a se est unum diapente et unus tonus, ut inter ut et la. Hi autem duo modi, scilicet semitonium cum diapente et tonus cum diapente intervalla a Johanne vocantur eo, ut videtur, quia dictorum [41b] modorum extremae voces plus praefatis modis a se invicem et a consonantia recedunt et distant. Intervallum autem secundum Boetium est soni acuti gravisque distantia.

Diapason autem est, cum inter aliquam vocem et octavam a se quinque sunt toni et duo semitonia, ut a [Gamma] in G, ab A in a, et sic usque in finem successive numerando de simili in similem. Ubi si quis diligenter attendat, videbit quodlibet diapason alios modos comprehendere. Unde et diapason dicitur a dia, quod est de, et pan, quod est totum. Inde diapason quasi cantus de toto. Ab una enim voce incipiens transit ad octavam constans ex diatesseron et ex diapente concludens modos quos diximus.

Hi sunt igitur modi, quibus omnis cantilena contexitur. Nam omnis cantus aut variat sonum aut non. Si non, facit quidem unisonum, sed cantus non est eo quod cantus est inflexio vocis. Oportet igitur, quod inflectat vocem et sonum variet, ex quo cantus est. Et tunc necessario aut de secunda in secundam, et hoc dupliciter, vel faciendo semitonium majus vel minus, qui est modus primus, vel tonum, qui est modus secundus; aut de tertia in tertiam, [42a] et hoc iterum dupliciter, vel faciendo semiditonum, qui est modus tertius, vel etiam ditonum, modum quartum; aut de [61] quarta in quartam, et hoc dupliciter, vel faciendo diatesseron vel tritonum constituendo; aut de quinta in quintam, et hoc dupliciter, aut faciendo diapente constans ex tribus tonis et semitonio, qui est modus sextus, vel aliud, quod minus diapente dicitur eo quod majoris etymologia sibi competat ex duobus tonis necnon ex duobus semitoniis constans; aut de sexta in sextam, et hoc iterum dupliciter, vel faciendo semitonium cum diapente, qui est modus septimus, vel tonum cum diapente, qui est modus octavus; aut de septima in septimam, et hoc dupliciter, aut faciendo duplex diatesseron, vel diatesseron cum tritono, qui quidem tritonus eo quod minoris etymologia sibi competat, a quibusdam majus diatesseron vocatur; aut de octava in octavam, et hoc iterum dupliciter, aut faciendo diapason constans ex diatesseron et ex diapente majori, qui est modus nonus, aut quod dicitur minus diapason, eo quod majoris etymologia sibi competat constans ex diatesseron minore et ex diapente minore similiter.

Ex his autem, qui dicti [42b] sunt modis, quidam eo, quod inusitati sunt, irregulares a quibusdam dicuntur his verbis: Quatuor sunt, inquiunt, irregulares saltus infra diapason, videlicet de octava in octavam cum minus diapason, de septima in septimam cum duplex diatesseron, de quinta in quintam cum minus diapente, et de quarta in quartam, cum tritonus reperitur. Alii vero hoc negantes his alios superaddunt modos, ut infra patebit.

Finaliter autem est notandum, quod modi dicti aliquotiens inveniuntur in manu, unisonus videlicet XX et duabus vicibus, semitonium VII vicibus, tonus XVI vicibus, semiditonus XII, ditonus IX, diatesseron minus XVII, majus, sive tritonus quatuor vicibus, diapente majus XIIII vicibus, semitonium cum diapente VI, tonus cum diapente IX, duplex diatesseron XIIII et diapason XIIII similiter vicibus reperiuntur [62] in manu. Quae quidem studiosis invenienda relinquimus in speciali. In figura tamen, quae sequitur, cuncta connectimus. Dicti etiam modi usualiter sciri possunt scito cantu, qui ipsam antecedit figuram.

[Cserba, 62; text: Ter terni sunt modi, quibus [43a] omnis cantilena contexitur, scilicet unisonus, semitonium, tonus, semiditonus, ditonus, diatesseron, diapente, semitonium cum diapente, tonus cum diapente. Ad haec: sonus diapason si quem delectat, ejus hunc modum esse agnoscat, cumque tam paucis clausulis tota harmonia formetur, utilissimum est eas altae memoriae commendare. G, F, D, a, c, d, e, [sqb], E, f, g] [IERTDM1 03GF] [43b]

[63] 15. De ipsis modorum consonantiis sive consonis modulationibus.

Ex his autem qui dicti sunt modis, cum quidam sunt consonantiae, ideo specialiter de ipsis consonantiis dicere intendentes primo more Pythagorico sensui ipsas offerimus post rationi judicium relinquentes. Quid autem sit consonantia et quid dissonantia, Boetius primo libro ostendit dicens: Consonantia, inquit, est acuti soni gravisque mixtura suaviter uniformiterque auribus accidens. Dissonantia vero est duorum sonorum sibimet permixtorum ad aurem veniens aspera atque injucunda percussio. Et subdit: Nam dum sibimet misceri volunt (vel nolunt) et quodammodo integer uterque nititur pervenire (scilicet per se sive consonantia facta ex eis) cumque alter alteri officit, ad sensum (aurium) insuaviter uterque pervenit (sive transmittitur).

Plato autem, ut in eodem refert Boetius, hoc modo fieri in aure consonantiam dicit. Necesse est, inquit, velociorem quidem esse acutiorem sonum. Hic igitur, cum gravem praecesserit, in aurem celer ingreditur offensaque extrema ejusdem corporis parte, quasi pulsus iterato motu revertitur, sed jam segnior, nec ita celeri [44a] ut primo impetu emissus currit, quocirca gravior quoque. Cum igitur jam gravior rediens nunc primum gravi sono venienti similis occurrit, miscetur ei unamque, ut ait, consonantiam miscent.

Sed id Nicomachus non arbitratur veraciter dictum. Neque enim similium esse consonantiam, sed dissimilium potius in unam eandemque concordiam venientium. Gravi vero gravis si misceatur, nullam facere consonantiam, quoniam hanc canendi concordiam similitudo non efficit, sed [64] dissimilitudo, quae cum distet in singulis vocibus, copulatur in mixtis. Sed hinc potius Niomachus fieri consonantiam putat. Non, inquit, unus tantum pulsus est, qui simplicem modum vocis emittat, sed semel percussus nervus saepius aerem pellens multas efficit voces. Sed quia ea velocitas est percussionis, ut sonus sonum quodammodo comprehendat, distantia non sentitur et quasi una vox auribus venit. Si igitur percussiones gravium sonorum commensurabiles sint percussionibus acutorum sonorum, ut in his proportionibus, de quibus dicetur, non est dubium, quin ipsa commensuratio sibimet misceatur unamque vocum [44b] efficiet consonantiam.

Sed inter omnes dicendas consonantias habendum judicium est, ut in aure, ita quoque in ratione, quam harum meliorem oporteat arbitrari. Eodem namque modo auris afficitur sonis vel oculus aspectu, quo animi judicium numeris vel continua quantitate. Proposito enim numero vel linea nihil est facilius quam ejus duplum oculo vel animo contueri. Item post dupli judicium sequitur dimidii (judicium), post dimidium tripli, post tripli partis tertiae. Ideoque quoniam facilior est dupli descriptio, optimam Nicomachus putat diapason consonantiam, post hanc diapente, quae medium tenet, hinc diapente ac diapason, quae triplum ceteraque secundum eundem modum formamque dijudicat.

Modorum igitur consonantium quidam sunt per se consonantes, quae etiam dicuntur primariae consonantiae, quidam vero per accidens, quae et consonantiae dicuntur secundariae. Hos autem per se dicimus consonantes, qui quidem absque adjunctione alterius modi consonantis consonant, cum adjunctione autem plus consonant, ut est unisonus adjuncta quacumque consonantia, scilicet aut duplici diapason, diapason cum diapente, diapason simpliciter, diapente [65] aut diatesseron, [45a] vel etiam duplex diapason cum diapente.

Per accidens vero consonantes dicimus, qui absque adjunctione alterius modi, sive consonantis sive etiam non consonantis, minus bene consonant, cum adjunctione autem consonant multum bene, ut est semiditonus adjuncto ditono et e converso, tritonus semitonio adjuncto et minus diapente cum apotome et non e converso, et hi omnes adjuncta quacumque consonantia praedicta.

Tonus autem et semitonium nec per se nec per accidens possunt esse consonantiae, nisi valde improprie esse dicantur, inquantum videlicet tonus et semitonium sunt partes integrales alicujus consonantiae, puta semiditoni, ut sicut dicimus domum esse fundamentum, parietem et tectum, sic etiam abusive dicamus consonantiam, scilicet semiditonum esse semitonium et tonum. Abusive dico eo quod usus illicitus abusus vel abusio nominari debet.

Similiter nec tonus cum diapente est consonantia. Semitonium autem cum diapente est per accidens, retorto scilicet immediate semitonio, ut in diapente transeat, vel tono intenso, ut in duplex diatesseron, quae similiter per accidens est consonantia, vel etiam ditono, ut transeat in diapason.

Probat [45b] autem Ptolemeus ex diapason ac diatesseron quandam fieri consonantiam hoc modo: Quoniam diapason consonantia talem vocis efficiet conjunctionem, ut unus atque idem nervus esse videatur, idque Pythagorici quoque consentiunt, quocirca, si qua ei consonantia fuerit addita, integra inviolataque servatur. Ita enim consonantiae diapason additur diatesseron tamquam uni nervo.

Et eodem modo probatur semitonium cum diapente ac diapason, minus diapente ac diapason, tritonum ac diapason, semiditonum cum diapason et ditonum cum diapason esse per accidens consonantias, eo quod secundum definitionem [66] accidentis, quod adest et abest praeter subjecti corruptionem, adjunctae consonantiae, scilicet diapason, adesse et abesse possunt praeter consonantiae, cui adjunguntur, vel a quo removentur, destructionem.

Hoc est igitur, quod Ptolemeus voces distinguit dicens: Voces, inquit, inter se vel unisonae sunt vel non unisonae. Non unisonarum vero vocum aliae quidem sunt aequisonae, aliae consonae, aliae emmeles, aliae dissonae, aliae ekmeles.

Et unisonae quidem sunt, quae unum atque eundem singillatim pulsae reddunt sonum, ut unisonus, [46a] aequisonae vero, quae simul pulsae unum ex duobus atque simplicem quodammodo efficiunt sonum, ut est diapason eaque duplicata, quae est bis diapason.

Consonae autem sunt, quae compositum permixtumque suavemque tamen efficiunt sonum, ut diapente ac diatesseron.

Emmeles autem sunt, quaecumque quidem non sunt consonae, possunt aptari tamen ad melos, ut sunt hae, quae consonantias jungunt.

Dissonae vero sunt, quae non permiscent sonos atque insuaviter feriunt sensum.

Ekmeles vero, quae non reperiuntur in consonantiarum conjunctione, de quibus paulo posterius in tetrachordarum divisione dicemus. Quoniam igitur univocis comparationibus quidem proximae sunt aequivocae, necesse est, ut aequis numeris ea numerorum inaequalitas adjungatur, quae proxima est aequis. Est autem juxta aequalitatem numerorum ea, quae est dupla. Nam et prima multiplicitatis species est, et major numerus cum minorem supervenit, aequo eum ipsi minori transcendit, ut duo unum uno transgrediuntur, qui eidem unitati aequalis est.

Jure igitur duplex proportio aequisonis aptatur, id est diapason, bis diapason vero bis duplici, id est quadruplici. [67] Quae [46b] autem proportiones dividunt duplicem proportionem primae ac maximae, his aptandae sunt consonantiis, quae dividunt diapason consonantiam. Unde fit, ut diapente quidem sesqualterae, diatesseron vero sesquitertiae proportioni copuletur.

Junctae vero consonae cum aequisonis alias vel altas efficiunt consonantias, ut diapente ac diapason in triplo, diatesseron ac diapason in ea proportione, quae est VIII ad III.

Ekmeles autem sunt, quae diapente ac diatesseron dividunt, ut tonus ceteraeque proportiones simplices, scilicet earum partes.

Haec Ptolemeus.

Simplices autem consonantiarum sive aliarum quarumcumque proportionum partes in genere sunt proportiones quaedam minimae, in quas majores et maximae resolvuntur et ex quarum aggregatione consurgunt species earundem sicut et ex collectione unitatum consurgunt species numerorum.

Tales autem proportiones in diatonico genere sunt duae, scilicet tonus et minus semitonium, in chromatico tres, scilicet trihemitonium, apotome et minus semitonium, in enharmonico vero sunt duae tantum, scilicet ditonus et diesis sive dimidium semitonii minoris, quae quidem, licet largo modo a Ptolemeo [47a] simplices esse dicantur, tamen esse compositas a Boetio et a Philolao probatur hoc modo:

Nunquam enim secundum Boetium in primo musicae tonus in gemina aequa dividitur. Atque ut id facillime comprobetur, sit sesquioctava proportio VIII et IX. Horum naturaliter nullus medius numerus incidet. Hos igitur, si binario multiplicemus, fientque bis octo XVI, bis novem XVIII. Inter XVI autem et XVIII unus numerus naturaliter [68] incidit, qui est scilicet XVII. Qui disponatur in ordinem: XVI, XVII, XVIII. Igitur XVI ad XVIII collati sesquioctavam retinent proportionem, atque idcirco tonum. Sed hanc proportionem XVII numerus medius non in aequalia partitur. Comparatus enim ad XVI habet in se totum XVI et ejus sextam decimam partem, scilicet unitatem. Si vero ad eum, id est ad XVII, tertius, id est XVIII numerus comparetur, habet eum totum et ejus septimam decimam partem. Non igitur eisdem partibus et minorem superat et a majore superatur. Et est minor pars, quae dicitur lima, septima decima, major, quae dicitur apotome, sexta decima. Sed utraque semitonia nuncupantur, non quod semitonia ex aequo sint media, [47b] sed quod semum dici solet, quod ad integritatem usque non pervenit. Sed inter haec unum majus semitonium nuncupatur, et aliud minus.

Haec Boetius.

Tonus igitur ex semitoniis est compositus. Similiter et ipsa semitonia Philolaus Pythagoricus probat esse composita alio modo tonum dividere tentans, statuens scilicet primordium toni id est primum tonum, ab eo numero, qui primus cubum a primo impari, quod maxime apud Pythagoricos honorabile fuit, efficit. Nam cum ternarius numerus primus sit impar, tres tertio atque idem ter si duxeris, XXVII necessario exsurgent, qui ad XXIIII numerum tono distat eandem (vel ejusdem) ternarii differentiam servans. Ternarius enim XXIIII summae octava pars est. Quae eisdem addita primum a ternario cubum XX ac VII reddit. Ex hoc igitur Philolaus duas efficit partes, unam, quae dimidio sit major, eamque apotomen vocat, reliquam, quae dimidio sit minor, eamque diesim dicit, quam posteri semitonium [69] minus appellaverunt, horum vero differentiam comma, ac primam diesim in XIII unitatibus constare arbitratur eo, quod hoc inter [48a] CCLVI et CCXLIII pervisa sit differentia, quodque idem numerus, id est XIII, ex novenario, ternario atque unitate consistat, quae unitas puncti obtineat locum, ternarius vero primae imparis lineae, id est imparium numerorum, novenarius autem primi imparis quadrati. Ex his igitur causis, cum XIII diesim ponat, quod semitonium nuncupatur, reliquam XXVII numeri partem, quae XIIII unitatibus continetur, apotomen esse constituit. Sed quoniam inter XIII ac XIIII unitas differentiam facit, unitatem loco commatis censet esse ponendam. Totum vero tonum in XXVII unitatibus locat eo quod inter CCXVI et CCXLIII, qui inter se distant tono, XXVII sit differentia.

Ex quibus facile apparet tonum duobus semitoniis minoribus et commate constare. Nam si totus tonus ex apotome constat ac semitonio, semitonium vero ab apotome differt commate, nihil aliud est apotome nisi semitonium minus et comma. Si igitur duo semitonia minora de tono quis auferat, comma fit reliquum.

Idem vero hoc quoque probabitur modo: Nam si diapason V tonis ac duobus minoribus semitoniis [48b] continetur, superantque VI toni diapason consonantiam uno commate, non est dubium, quin tonis quinis ab utroque spatio sublatis (id est a diapason et a VI tonis) fiant reliqua ex diapason quidem duo semitonia minora, de VI vero tonis tonus. Atque hic idem tonus haec duo semitonia minora, quae relinquuntur, vincit commate. Quodsi eisdem duobus semitoniis comma reponatur, aequabunt tonum. Constat igitur unum tonum duobus semitoniis minoribus et commate, quod in VII[macron supra lin.].CLIII primis unitatibus invenitur, aequari.

Philolaus igitur haec semitonia atque his minora spatia talibus definitionibus includit: Diesis, inquit, spatium est, [70] quo major est sesquitertia proportio duobus tonis. Comma vero est spatium, quo major est proportio sesquioctava duabus diesibus, id est duobus semitoniis minoribus. Schisma est dimidium commatis, diaschisma vero dimidium dieseos, id est semitonii minoris.

Ex quibus illud colligitur, quoniam tonus quidem dividitur principaliter in semitonium minus atque apotomen, dividitur etiam in duo semitonia et commam, quo fit, ut dividatur in quatuor diaschismata et commam. [49a] Integrum vero dimidium toni, quod est semitonium, constat ex duobus diaschismatibus, quod est unum semitonium minus, et schismate, quod est dimidium commatis. Quoniam enim totus tonus ex duobus semitoniis minoribus et commate conjunctus est, si quis id integre dividere velit, faciet unum semitonium minus commatisque dimidium. Sed unum semitonium minus dividitur in duo diaschismata, dimidium vero commatis unum schisma est.

Recte igitur dictum est integre dimidium tonum in duo diaschismata atque unum schisma posse partiri, quo fit, ut integrum semitonium minore semitonio uno schismate differre videatur. Apotome autem a minore semitonio duobus schismatibus differt. Differt enim commate, sed duo schismata unum comma perficiunt.

Ex quibus liquet omnibus solum schisma et diaschisma partes esse simplices proportionum, ceteras autem fore compositas. Sed ut libro tertio musicae ait Boetius, quod oportet has omnes consonantias rite esse animo atque auribus notas. Frustra enim ratione et scientia colliguntur, nisi fuerint usu atque exercitatione notissima.

Quod igitur duplex diapason cum diatesseron et duplex diapason cum diapente [49b] sint consonantiae patet sensui [71] ex notis quae sequuntur: [Gamma]g [Gamma]cc [Gamma]dd. Item quod diapason cum diatesseron et cum diapente sint consonantiae, voces quae sequuntur ostendunt: [Gamma]G [Gamma]c [Gamma]d. Item quod diapente majus et diatesseron minus consonent, his notis ostenditur: [Gamma]C CG. Item quod semitonium cum diapente sit consonantia, hic sensus attendat: Fc Ec. Item quod tritonus tesseron sive majus diatesseron sit consonantia, probatur his notis: Cc F[sqb]. Item quod minus diapente sit consonantia, sic ostenditur: CF BF.

Quod etiam ratione modo declaratur hoc: Dictum est enim diatesseron, quod constat ex duobus tonis et uno semitonio, et etiam diapente, quod constat ex tribus tonis et uno semitonio, esse consonantias. Inter has autem tritonus et minus diapente mediae incidunt, cum tritonus superat diatesseron apotome diesique superatur a diapente, et similiter minus diapente diesi superat diatesseron et apotome superatur a diapente. Medium autem sapit naturam extremorum. Sic igitur et tritonus cum minori diapente naturam sapiunt extremarum jam dictarum [50a] consonantiarum, inter quas mediae incidunt, secundum tamen magis et minus. Nam sicut inter duo extrema, puta inter album et nigrum, medii colores quidam plus albi quam nigri, non tamen omnino albi vel nigri existunt, eo quod plus participant cum albedine quam nigredine et e converso, quidam plus participantes cum nigredine magis sunt nigri quam albi, sic et tritonus plus accedens ad diapente, quae melior est consonantia, meliorem consonantiam facit quam diapente minus, quod ad minorem consonantiam accedit, scilicet ad diatesseron, quod quidem et de ceteris consonantiis potest intelligi. Quare et ipse Ptolemeus Pythagoricos reprehendit, quod in reliquis [72] superparticularibus, de quibus infra dicetur, cum ejusdem sint generis, nullas omnino applicent consonantias.

Item quod ditonus simul et semiditonus sint consonantiae, sensui patet ex notis quae sequuntur: FF EG Da | EE DF CG | FF gE aD | EE FD GC.

Item quod ditonus sit consonantia, notae quae sequuntur ostendunt: GG Fa G[sqb] Fc.

Item quod duplex diatesseron sit consonantia, [50b] his notis ostenditur: [Gamma]F [Gamma]G.

Item quod minus diatesseron cum minori diapente sit consonantia, probatur his notis: Bb B[sqb].

Finaliter autem, quod quaelibet per accidens consonantia cum simplici sive etiam duplici diapason sint consonantiae, ex praedicta Ptolemei demonstratione colligitur.

Notandum est igitur, quod primariae consonantiae sunt VII, scilicet unisonus, diatesseron, diapente, diapason, diapason cum diapente, duplex diapason et duplex diapason cum diapente.

Secundariae vero consonantiae sunt XXX, scilicet: semiditonus, ditonus, minus diapente, tritonus, semitonium cum diapente, duplex diatesseron, minus diapente cum diatesseron, diapason cum diatesseron, diapason cum duplici diatesseron et duplex diapason cum diatesseron.

Item secundum quod potest colligi ex praedicta demonstratione Ptolemei, semiditonus cum diapason, ditonus cum diapason, minus diapente cum diapason, tritonus cum diapason, semitonium cum diapente et cum diapason, duplex diatesseron cum diapason, minus diapente cum diatesseron et cum diapason, diapason cum diatesseron et cum diapason, diapason cum duplici diatesseron et cum diapason et duplex diapason cum diatesseron [51a] et cum diapason.

Item secundum eandem demonstrationem semiditonus cum duplici diapason, ditonus cum duplici diapason, minus [73] diapente cum duplici diapason, tritonus cum duplici diapason, semitonium cum diapente cum duplici diapason, duplex diatesseron cum duplici diapason, minus diapente et cum diatesseron sed cum duplici diapason, diapason cum diatesseron sed cum duplici diapason, diapason cum duplici diatesseron et cum duplici diapason et duplex diapason cum diatesseron sed cum duplici diapason. Sic igitur in universo consonantiae sunt XXXVII, eo quod primariae consonantiae sint VII, secundariae vero XXX.

Ad haec autem aure probanda ipse modus audiendi necessarius est omnino. De quo Boetius in primo musicae ait: Tale quiddam fieri consuevit in vocibus, quale cum paludibus vel quietis aquis, jactum eminus mergitur saxum. Prius enim in parvissimum orbem undam colligit, deinde majoribus orbibus undarum globos spargit, atque eo usque, dum defatigatus motus ab eliciendis fluctibus aquae conquiescat, semperque posterior et major undula pulsu debiliore diffunditur. Quod si quid sit, quod crescentes [51b] undas possit offendere, statim motus ille revertitur et quasi ad centrum, unde profectus fuerat veniens, eisdem undulis rotundatur. Ita igitur cum aer pulsus fecerit sonum, pellit alium proximum et quodammodo rotundum fluctum aeris ciet, id est commovet. Itaque diffunditur et omnium circumstantium simul ferit auditum, atque illi est obscurior vox, qui longius steterit, quoniam ad eum debilior pulsi aeris unda pervenit.

Item idem in eodem: Consonantia, inquit, quae omnem musicae modulationem (vel delectationem) regit, praeter sonum fieri non potest. Sonus vero praeter quendam pulsum percussionemque non redditur, pulsus vero atque percussio nullo modo esse potest, nisi praecesserit motus. Si enim cuncta sint immobilia, non poterit alterum alteri concurrere, ut alterum impellatur ab altero. Sed cunctis stantibus motuque carentibus nullum fieri necesse est sonum.

[74] Idcirco (musicus sonus sic) definitur: sonus est percussio aeris indissoluta, id est usque ad auditum. Motuum vero alii sunt velociores, alii tardiores, eorundemque motuum alii sunt rariores, alii spissiores. Nam si quis in continuum motum respiciat, ibi aut velocitatem [52a] aut tarditatem necesse est ut comprehendat. Si vero quis moveat manum, aut frequenti eam motu movebit aut raro. Et si tardus quidem fuerit ac rarior motus, graves necesse est sonos effici et ipsa tarditate et raritate pellendi. Sin vero sint motus celeres ac spissi, acutos necesse est reddi sonos. Idcirco enim idem nervus si intendatur amplius, acutum sonat, si remittatur, grave. Quanto enim tensior est, velociorem pulsum reddit celeriusque revertitur et frequentius ac spissius aerem ferit. Qui vero laxior est, solutos ac tardos pulsus effert rarosque ipsa imbecillitate feriendi nec diutius (vel saepius) tremit. Neque enim, quotiens chorda pellitur, unus edi putandus est tantum sonus, aut unam in his esse percussionem, sed totiens aer feritur, quotiens eum chorda tremebunda percusserit. Sed quoniam junctae sunt velocitates sonorum, nulla intercapedo sentitur auribus et unus sonus sensum pellit vel gravis vel acutus, quamvis uterque ex pluribus constet, gravis quidem ex tardioribus et rarioribus, acutus vero ex celerioribus ac spissis, velut si conum, quem turbonem vocant, quis diligenter extornet [52b] eique unam virgulam coloris rubri vel alterius ducat, et eum qua potest celeritate convertat, tunc totus conus rubro colore videtur infectus, non quod totus ita sit, sed quod partes puras rubrae virgae velocitas comprehendat et apparere non sinat.

Igitur quoniam acutae voces spissioribus et velocioribus motibus incitantur, graves vero tardioribus et raris, liquet additione quadam motuum ex gravitate acumen intendi, detractione vero motuum laxari ex acumine gravitatem. Ex pluribus enim motibus acumen quam gravitas constat. In quibus autem pluralitas differentiam facit, eam necesse [75] est in quadam numerositate consistere. Omnis vero paucitas ad pluralitatem ita se habet, ut numerus ad numerum comparatur. Eorum vero, quae secundum numerum conferuntur, partim sibi sunt aequalia, partim inaequalia. Quocirca soni quoque musici partim sunt aequales, partim vero sunt inaequalitate distantes. Sed in his vocibus, quae nulla sunt inaequalitate distantes, (id est in his vocibus, quae nulla inaequalitate discordant,) nulla omnino consonantia est. Est etenim consonantia dissimilium inter se vocum in unum redacta concordia.

Quae vero sunt inaequalia, V inter se modis inaequalitatis momenta [53a] custodiunt, ut subsequenter ostenditur.

16. De quibusdam arithmeticis musicis necessariis subtilitatibus.

Ad hoc autem notandum, quod dicit Boetius in principio secundi libri musicae: Primus omnium Pythagoras sapientiae studium philosophiam nuncupavit, quam scilicet ejus rei notitiam ac disciplinam ponebat, quae proprie vereque esse diceretur. Esse autem illa putabat, quae nec intensione crescerent, nec diminutione decrescerent, nec ullis accidentibus mutarentur. Haec autem esse formas, magnitudines, qualitates, relationes, habitudines ceteraque, quae per se speculata immutabilia sunt, juncta vero corporibus permutantur et multimodis variationibus mutabilis rei cognatione vertuntur.

[76] Omnis vero quantitas secundum Pythagoram vel continua vel discreta est. Sed quae continua est, magnitudo appellatur, quae discreta est, multitudo. Quarum haec est diversa et contraria paene proprietas. Multitudo enim a finita inchoans quantitate crescens in infinita progreditur, ut nullus crescendi finis occurrat; estque ad minimum terminata, interminabilis ad majus, ejusque principium unitas est, qua minus nihil est. Crescit vero per numeros atque ad infinita protenditur nec ullus numerus, quominus crescat, terminum [53b] facit.

Sed magnitudo finitam rursus suae mensurae recipit quantitatem, sed in infinita decrescit. Nam si sit bipedalis linea vel cujuslibet alterius modi, potest in duo aequa dividi ejusque medietas in medietatem secari, ejusque rursus medietas in aliam medietatem, ut nunquam ullus secandi magnitudinem terminus fiat. Ita magnitudo quantum ad majorem modum terminata est, fit vero cum decrescere coeperit, infinita. At contra numerus quantum ad minorem modum finitus est, infinitus autem incipit esse cum crescit. Cum igitur haec ita sint infinita, tamen quasi de rebus finitis philosophia pertractat, in quibus rebus infinitis reperit aliquid terminatum, de quo jure possit acumen propriae speculationis adhibere. Namque magnitudinis alia sunt immobilia, ut terra, ut quadratum vel triangulum vel circulus, alia vero mobilia, ut sphaera mundi et quidquid in ea rata celeritate convertitur. Discretae vero quantitatis alia sunt per se, ut tres vel quatuor vel ceteri numeri, alia vero ad aliquid, ut duplum, triplum aliaque, quae ex comparatione nascuntur. Sed immobilis magnitudinis geometria speculationem [54a] tenet, mobilis vero scientiam astronomia persequitur, per se vero discretae quantitatis arithmetica auctor est, ad aliquid vero relatae musica probatur obtinere peritiam.

Ac de ea quidem quantitate discreta, quae per se est, [77] quae etiam musicis est plurimum necessaria, quoniam in arithmetica sufficienter prolixeque pertractatur, nunc de eadem sub quodam compendio dicere intendentes, quid ipsa sit, unde dicatur, quid subjectum illius quique finis ipsius, principaliter est dicendum.

Arithmetica est scientia speculativa humani affectus perfectiva. Dicitur autem arithmetica ab aris, quod est virtus, et rhythmus, quod est numerus, quasi virtus numeralis. Hujus autem subjectum est numerus simplex et in se acceptus et omnio abstractus. Finis autem est numeri sic considerati cognitio in se et in suis partibus ac proprietatibus.

Numerus vero est unitatum collectio, vel numerus est multitudo ex unitatibus aggregata. Numerorum autem alius par, alius impar. Par quidem est, qui potest dividi in duo aequalia, quorum primus est quaternarius, dividitur enim in duos aequales binarios. Binarius autem primus numerus existens [54b] non componitur ex numeris. Idem autem par numerus quandoque dividitur in partes aequales et pares, ut octonarius in duos quaternarios, et quilibet numerus pariter par quandoque in partes pares, sed inaequales, et hoc tam quantum ad pariter pares et ad pariter impares, quam etiam ad impariter pares, ut octonarius in senarium et binarium et duodenarius in octonarium et quaternarium et senarius in quaternarium et binarium, quandoque in partes aequales sed impares, et hoc solum quantum ad pariter impares, ut senarius in duos ternarios. In divisione enim tam pariter paris, quam pariter imparis, quam etiam impariter paris, sive proportiones sint aequales sive inaequales, semper si unus est par et reliquus etsi alter est impar et reliquus, impar numerus est, qui in portiones aequales et pares dividi non potest. Quandoque tamen in par et quandoque in impar dividitur, ut quinarius in binarium et ternarium et e converso.

Omnis etiam impar numerus a pari superatur unitate [78] et parem superat in eadem. Species numeri paris sunt VI, scilicet pariter par, pariter impar, impariter par, superfluus, et diminutus et perfectus.

Pariter par numerus est, qui recipit [55a] plures sectiones proportionales aequales et pares, donec ad indivisibile veniatur, scilicet ad unitatem, ut octonarius in duos quaternarios, quaternarius in duos binarios, binarius in duas unitates, unitas autem non recipit sectionem. Ideo vero iste numerus species paris ponitur, quia omnes ejus partes pariter pares inveniuntur. Istius etiam numeri generatio sic habet fieri: Ab unitate enim quotienscumque numerus in duplici proportione sumitur, pariter pares procreantur, ut si fiat progressio ab unitate ad binarium et a binario ad quaternarium, a quaternario ad octonarium et sic usque in infinitum pariter pares procreantur.

Numerus autem pariter impar est, qui solum recipit duas sectiones aequales, non autem pares, ut denarius, qui se habet ad quinarium in dupla proportione. Si secetur per partes subduplas, erunt aequales sed impares. Procreatio autem pariter imparis numeri est, ut posita unitate numerus, qui se habet in dupla proportione ad ipsam addatur et numero resultanti idem numerus, et sic ex tali ductione pariter impar procreatur. In eo ergo, quod ex duplici ductione subduplicis conficitur, sapit naturam paris, in eo vero, quod per subduplices secatur [55b] aequales sed impares, naturam imparitatis sortitur.

Impariter par vero numerus est, qui quidem plures recipit sectiones, nunquam tamen pervenit ad unitatem, ut si accipiatur numerus, qui nec sit pariter par nec pariter impar, et subdupletur, et iterum ille subduplex subdupletur. Erit descensio usque ad primum numerum incompositum, qui omnino insecabilis est. Semper tamen secatur per subduplices aequales et pares usque ad ultimam sectionem, quae quidem habet subduplices aequales sed impares. Puta si duodenarius subdupletur, habet subduplices aequales et [79] pares duos senarios, senarius autem subduplatus partes aequales sed impares, silicet duos ternarios, qui cum sint primi et incompositi, insecabiles sunt. Quare in sectione impariter paris impossibile est ad unitatem devenire. In eo enim, quod ex ductione aliquota primi numeri et incompositi consurgit, naturam sapit imparis, in eo vero, quod plures recipit sectiones, paris naturam retinet, quod commune est et aliis speciebus recipere scilicet sectiones. Differunt autem pariter par et pariter impar in hoc, quod pariter par ex duplatione paris efficitur, pariter autem impar ex imparis duplatione, item in hoc, quod pariter par ex ductione numeri in dupla proportione se [56a] habentis procreatur, pariter vero impar ex ductione binarii super unitatem et ex duplatione numeri resultantis conficitur, item quod pariter par semper habet subduplas partes et aequales usque ad indivisibile, pariter autem impar solum habet aequales sed non pares. Item differunt in hoc, quod subduplices pariter paris sectibiles sunt impares et aequales, pariter autem imparis, cum primi sint et incompositi, vel secundi et compositi, sunt insectibiles. Commune est autem pariter pari et impariter pari per plures secari subduplices et pariter pari et impariter pari ex duplicibus paribus et aequalibus procreari. Et etiam commune est omnibus, scilicet pariter pari et impariter pari, et pariter impari dividi in sectiones pares sed non aequales. Differunt autem pariter par et impariter par in hoc, quod pariter par sectionem recipit usque ad minorem terminum, impariter autem par non secatur usque ad indivisibilitatem, in hoc etiam, quod pariter par sectiones habet aequales et pares, impariter vero par ultimas habet sectiones aequales sed non pares, insuper quod pariter par procreatur ex additione numeri paris in dupla proportione se habentis, impariter autem par per aliquotam ductionem primi numeri et incompositi, vel secundi compositi per numerum pariter parem. Item commune est pariter impari et impariter pari in plures [56b] sectiones secari, et etiam commune est pariter impari et impariter secari in portiones pares sed non aequales. Differunt autem in hoc, quod pariter impar sectibilis est per [80] duos subduplices, impariter autem par ad minus per quatuor, item in hoc, quod pariter imparis solus major terminus sectionem recipit, impariter autem imparis terminus paenultimus, item quod pariter impar ex ductione pariter paris primi per numerum primum et incompositum vel secundum et compositum conficitur, impariter autem par ex aliquota ductione primi et incompositi vel secundi et compositi constat, item in hoc, quod pariter impar subduplas habet impares sed aequales, impariter autem per saltem propinquiores habet pares et aequales.

Numerus superfluus est ille, cujus partes ad invicem aggregatae majorem efficiunt quantitatem corporis principalis, ut est duodenarius. Est enim senarius subduplus, quaternarius subtriplus, ternarius subquadruplus, binarius subsextuplus, unitas autem pars per duodecim. Si ergo fiat additio subtripli ad subduplum, denarius consurgit, si denario fiat additio subquadrupli, resultat denarius et ternarius, si ad denarium et ternarium fiat additio subsextupli, denarius et quinarius procreatur, si autem ad denarium et quinarium fiat unitatis additio, tunc [57a] denarius et senarius procreatur, quod est quantitas major corporis principalis. Et hic est numerus superfluus. Omnis enim numerus, qui suis partibus corporis principalis quantitatem excedit, superfluus appellatur.

Numerus autem diminutus est ille, cujus partes ad invicem aggregatae minorem quantitatem efficiunt corporis principalis, ut est octonarius. Est enim quaternarius ejus subduplus, binarius ejus subquadruplus, unitas pars pro octava. Si igitur subquadruplus addatur ad subduplum, senarius resultabit, si senario unitas, efficiuntur septenarius, qui est minor quantitas corporis principalis.

Numerus perfectus est ille, cujus partes ad invicem aggregatae non majorem nec minorem, sed aequalem quantitatem efficiunt corporis principalis, ut est senarius. Habet enim pro subduplo ternarium, pro subtriplo binarium et [81] pro sexta unitatem. Si igitur fiat additio subtripli ad subduplum, quinarius efficitur, si autem quinario unitas addatur, tunc idem senarius, qui nec intenditur nec remittitur, procreatur.

Species imparis numeri sunt tres, scilicet primus et incompositus, secundus et compositus, tertius, qui quidem per se est secundus et compositus, ad alium vero relatus est primus et incompositus.

Primus numerus et incompositus est ille, qui non procreatur [57b] ex alicujus numeri aliquota ductione, sed et nullam aliam partem habens praeter unitatem, ut est ternarius et quinarius et quilibet alius numerus ex aliquota numeri ductione non confectus. Non enim reperitur aliquis numerus aliquotiens ductus, qui ternarium conficiat vel quinarium, nisi sola unitas, quae est principium omnium numerorum. Dicitur autem primus et incompositus eo, quod aliquo numero metiri non possit. Binarius enim ternarium non metitur, eo quod in unitate deficiat, qui si dupletur, semper superat unitate. Numerus autem metiens non debet excedere nec deficere a metito. Quare si impariter par et pariter impar pariter parem metirentur, necessario aut pariter par esset impariter par, aut pariter impar et e converso.

Secundus autem numerus et compositus est, qui licet semper sit impar, metitur tamen aliquota alicujus primi numeri et incompositi ductione, ut est novenarius. Conficitur enim ex aliquota alicujus numeri primi ductione, ut cum dicimus ter tria, quae faciunt IX. Ratione igitur ductionis triplicatae secundus dicitur. In eo autem, quod triplicatus per triplicantem resolvitur, compositus appellatur. Nihil enim, quod dissolvi potest, est incompositum, sed omnium rerum necessitate compositum.

Numerus vero, qui per se est secundus et compositus, [58a] ad alium vero relatus primus et incompositus est ille, qui ex aliquota sui ductione alium numerum secundum et [82] compositum non conficit, ut novenarius, qui cum sit secundus et compositus, ad vicenarium et quinarium comparatus, cum ex ductione ipsius non conficiatur, primus et incompositus appellatur. Non enim est aliquis numerus, qui utrumque constituat. Sic igitur quia ex ductione numeri constat, secundus et compositus est, in eo vero, quod ex aliqua ductione alius non conficitur, primus et incompositus appellatur.

Numeri ad aliquid relati haec est prima divisio. Nam aut refertur ad aliquid secundum aequalitatem aut secundum inaequalitatem. Secundum aequalitatem refertur numerus ad numerum, ut cum ad alium comparatus non in plus nec in minus transgreditur, et hoc tam quantum ad impares quam etiam ad pares, ut ternarius ternario et binarius binario.

Item numerus relatus secundum aequalitatem aut est par aut impar. Si est par aut deficit aut excedit pari vel impari. Si ergo numerus par refertur ad parem sive ad deficientem sive ad excedentem, sunt inaequales. Nullus numerus enim deficiens vel excedens est aequalis numero relato ad ipsum. Si autem est impar, aut refertur [59b] ad parem aut ad imparem, et aut ad efficientem aut ad superaddentem, et semper utrobique inaequalitas reperitur. Numeri relati secundum inaequalitatem majorem secundum Boetium in secundo musicae simplicia quidem genera sunt tria, unum quidem multiplex, aliud vero superparticulare, tertium superpartiens. Cum vero multiplex superparticulari superpartientique miscetur, fiunt aliae duae ex his, id est multiplex superparticularis et multiplex superpartiens.

Unde secundum eundem in primo musicae quae sunt inaequalia, V inter se modis inaequalitatis momenta custodiunt: Aut enim alterum ab altero multiplicitate transcenditur aut singulis partibus aut pluribus aut multiplicitate et parte aut multiplicitate et partibus.

[83] Et primum quidem inaequalitatis genus multiplex appellatur. Est vero multiplex, ubi major numerus minorem numerum habet in se totum vel bis vel ter vel quater ac deinceps nihilque deest nihilque exuberat. Appellatur autem vel duplum vel triplum vel quadruplum atque in hunc ordinem in infinita progreditur.

Secundum vero inaequalitatis genus est, quod appellatur superparticulare, id est cum major numerus minorem numerum habet in se totum et unam ejus aliquam partem, eamque vel dimidiam, [59a] ut tres duorum, et vocatur sesqualtera proportio, vel tertiam, ut IIII ad III, et vocatur sesquitertia, atque ad hunc modum etiam in posterioribus numeris pars aliqua a majoribus super minores numeros continetur.

Tertium vero genus inaequalitatis est, quotiens major numerus totum intra se minorem continet et ejus aliquantas insuper partes. Et si duas quidem supra continet, vocabitur superbipartiens proportio, ut sunt V ad III, sin vero tres insuper continet, vocabitur supertripartiens, ut sunt VII ad IIII. Et in ceteris quidem eadem similitudo esse potest.

Quartum vero est inaequalitatis genus, quod ex multiplici et superparticulari conjungitur, cum scilicet major numerus habet in se minorem numerum vel bis vel ter vel quotienslibet atque ejus unam aliquam partem. Et si eum bis habet et ejus dimidiam partem, vocabitur duplex sesqualtera, ut sunt V ad II, si vero bis minor continebitur et ejus tertia pars, vocabitur duplex sesquitertius, ut sunt VII ad III, sin vero tertio continebitur et ejus dimidia pars, vocabitur triplex sesqualter, ut sunt VII ad II. Atque ad eundem modum in ceteris et multiplicitatis et superparticularitatis vocabula variantur. [59b]

Quintum genus est inaequalitatis, quod appellatur multiplex superpartiens, quando major numerus minorem numerum [84] habet in se totum plus quam semel et ejus plus quam unam aliquam partem. Et si bis major numerus minorem numerum continebit duasque insuper partes, vocabitur duplex superbipartiens, ut sunt VIII ad III, et rursus triplex superbipartiens, ut sunt IX ad III.

Horum igitur omnium secundum Boetium in secundo musicae talis est regula: Si unitatem cunctis in naturali numero voluerimus comparare, ratus multiplicis ordo texetur. Duo enim ad unum duplus est, III ad eundem triplus, quatuor quadruplus et in ceteris eodem modo, ut subjecta descriptio docet:

I    I     I   I   I   I
II  III  IIII  V  VI  VII

Sin vero superparticularem proportionem quaeras, naturalem sibi compara numerum detracta scilicet unitate, ut tres duobus sesqualter est, IIII tribus sesquitertius est, quinarius quaternario sesquiquartus est, et in ceteris eodem modo, quod monstrat subjecta descriptio:

II   III   IIII  V   VI   VII   VIII
III  IIII   V    VI  VII  VIII   IX

Superpartientes autem tali modo reperies: Disponas naturalem numerum a ternario [60a] scilicet inchoantem. Si unum igitur intermiseris, superbipartientem effici pernotabis, quodsi duos, tripartientem, quodsi tres, superquadripartientem, idemque in ceteris III, IIII, V, VI, VII, VIII, IX, X, XI. Ad hunc vero ordinem spectans et compositas ex multiplici et superparticulari, vel multiplici et superpartienti proportiones lector diligens speculabitur. Sed de his tamen omnibus in arithmeticis expeditius dictum est.

Sed in his illud est considerandum, quod multiplex inaequalitatis genus longe duobus reliquis videtur antiquius. [85] Naturalis enim numeri dispositio in multiplicibus unitati, quae prima est, comparatur, superparticularis vero non unitatis comparatione perficitur, sed ipsorum, qui post unitatem sunt dispositi numerorum, ut ternarii ad binarium, quaternarii ad ternarium, et in ceteris ad hunc modum II:III, III:IIII. Superpartientium vero longe retro formatio est, quae non continuis numeris comparatur, sed intermissis, nec semper aequali intermissione, sed nunc quidem una, nunc vero duabus, nunc vero tribus, nunc IIII, atque ita in infinita concrescit. Amplius multiplicitas ab unitate incipit, superparticularitas a binario initium capit. Sed de his hactenus.

Nunc quaedam, quae quasi axiomata Graece vocant, praemittere [60b] oportebit, quae tunc demum, quo spectare videantur, intelligemus, cum de uniuscujusque rei demonstratione tractabimus.

Quadratus numerus est, qui gemina dimensione in aequa concreverit, ut bis duo, ter III, quater IIII, quinquies V, sexies VI, quorum est ista descriptio:

II     III   IIII   V    VI      VII
IIII   IX    XVI   XXV   XXXVI   XLIX

Superius igitur dispositus numerus naturalis latus est quadratorum inferius descriptorum. Continui enim naturaliter sunt quadrati, qui sese in subjecto ordine consequuntur, ut IIII, IX, XVI et ceteri. Si igitur continuum quadratum minorem a continuo quadrato majore sustulero, quod relinquitur tantum erit, quantum est, quod ab utroque quadratorum lateribus jungitur. Ut si quatuor auferam novenario, V sunt reliqui, qui ex duobus et tribus, qui sunt utrorumque quadratorum latera, conjunguntur. Item novenarium si aufero de eo, qui XVI numerus ascriptus est, VII sunt reliqui, qui scilicet ex ternario quaternarioque conjunctus est, [86] qui praedictorum quadratorum latera sunt. Idemque est in ceteris.

Quodsi non sint continui quadrati, sed unus inter eos transmissus sit, fit ejus, quod relinquitur, medietas id quod ex utriusque lateribus efficitur, ut si [61a] IIII de XVI quadrato auferam, XII relinquuntur, quorum XII medietas est is numerus, qui ex utrorumque lateribus convenit. Sunt autem utrorumque latera II et IIII, quae senarium juncta perficiunt. Atque in ceteris idem modus est. Sin vero duo intermittantur, tertia pars erit ejus quod relinquitur id, quod utrorumque latera conjungunt, ut si IIII de XXV auferam intermissis duobus quadratis, reliqui XXI sunt. Quorum vero latera sunt II et V, qui efficiunt VII, qui sunt pars tertia numeri XXI. Atque hoc est regula, ut si III intermissi sint, pars quarta sit id quod ex utrorumque lateribus efficitur ejus quod subtracto minore a majore relinquitur, sin IIII transmittantur, quinta, atque uno plus vocabulo numeri partes venient, quam fit intermissio numerorum.

Est autem, quemadmodum unitas pluralitatis numerique principium, ita aequalitas proportionum. Tribus enim praeceptis, ut in arithmetica dictum est, multiplices proportiones ex aequalitate producimus, ex conversis vero multiplicibus superparticulares habitudines procreamus. Item ex conversis superparticularibus superpartientes comparationes efficimus. [61b] Ponantur enim tres unitates vel tres binarii vel tres ternarii, vel quotlibet aequi termini, sed tamen non nisi tres, et sit primus primo aequus in sequenti scilicet ordine constitutus, secundus vero primo ac secundo, tertius primo, duobus secundis ac tertio. Ita enim numero progresso fit duplex multiplicitatis prima proportio, ut haec descriptio monet:

I   I    I
I   II  IIII

[87] Nam unitas in secundo ordine constituta aequa est primae unitati in superiore loco dispositae, item binarius aequus est primae unitati ac secundae, item quaternarius aequus est primae unitati ac duabus unitatibus secundis atque unitati tertiae, et est I, II, IIII dupla proportio.

Quodsi de his idem feceris, tripla comparatio procreabitur, ac de triplo quadrupla, de quadrupla quintupla, ac deinceps talis currit habitudinum procreatio. Rursus hisdem tribus praeceptis superparticulares fient, ut uno probamus exemplo. Convertamus nunc et priorem majorem numerum, disponamus IIII, II, I. Ponatur igitur primus primo aequus, id est IIII, secundus primo scilicet et secundo, id est VI, tertius primo, duobus secundis et tertio, id est IX. Quibus dispositis sesqualtera notatur esse proportio ut hic:

IIII  II  I
IIII  VI  IX
IIII  VI  IX

Atque id si de triplis fiat, [62a] sesquitertia, si de quadruplis, sesquiquarta consimilibusque in alterutra parte vocabulis proportionalitas ex multiplicitate nascetur. Ex superparticularitate vero conversa ducitur superpartiens habitudo. Disponantur enim numeri in sesqualtera comparatione IX, VI, IIII. Ponatur igitur primus primo aequus, id est IX, secundus primo et secundo, id est XV, tertius primo, duobus secundis ac tertio, id est XXV, ac disponantur in ordinem hoc modo:

IX  VI  IIII
IX  XV  XXV

Superbipartiens igitur ex conversis sesqualteris habitudo producta est. Quodsi quis ad hanc speculationem diligens scrutator accedat, ex sesquitertiis conversis supertripartientem producit ceterisque similibus vocabulis adaequatis cunctas ex superparticularitate superpartientes species [88] procreari mirabitur. Ex non conversis autem superparticularibus, sed ita, ut ex multiplici procreati sunt, manentibus necesse est multiplices superparticulares creari. Ex manentibus vero superpartientibus ita, ut ex superparticularibus prodierunt, non alii nisi multiplices superpartientes procreabuntur: Ac de his quidem hactenus. Diligentius enim in arithmeticis libris de hac comparatione est disputatum.

Saepe autem accidit, ut III vel IIII vel quotlibet aequas superparticularium [62b] proportiones de musica disputator inquirat. Sed ne id casu atque inscientia facientes error ullus difficultatis impediat, hac regula quotlibet aequas proportiones ex multiplicitate ducemus. Unusquisque multiplex, ab unitate scilicet computatus, tot superparticulares habitudines praecedit suae scilicet in contrariam partem denominationis, quotus ipse ab unitate discesserit, hoc modo, ut duplex sesqualteras antecedat, triplex sesquitertias, quadruplex sesquiquartas, ac deinceps in hunc modum. Sit igitur duplorum terminorum subjecta descriptio:

I       II       III
I  II  IIII  VI  IX
Dupli cum sesqualteris:
I   II   IIII  VIII   XVI
    III   VI   XII    XXIIII
          IX   XVIII  XXXVI
               XXVII  LIIII
                      LXXXI

In superiore igitur descriptione binarius primus multiplex unum ante se ternarium habet, qui possit facere sesqualteram [89] proportionem. Ternarius vero non habet, qui ei possit esse sesqualter, quoniam medietate deficit. Rursus quaternarius secundus est duplex. Hic duos sesqualteros antecedit VI et IX, qui medietate caret atque idcirco nullus ei in habitudine sesqualtera comparatur. Et in ceteris idem est. Tripli vero eodem modo sesquitertios [63a] creant. Sit enim similis in triplo descriptio:

[Cserba, 89,1; text: I, III, IIII, III, XI, XII, XVI, IX, XXVII, XXXVI, XLVIII, LXIII, I, III, IX, XXVII, LXXXI, IIII, XII, XXXVI, CVIII, XVI, XLVIII, CXLIIII, LXIII, CXCII, CCLVI] [IERTDM1 03GF]

In superiore igitur descriptione sesquitertias proportiones ita natas videmus, ut primus triplex unum sesquitertium antecedat, secundus duos, tres tertius semperque pars tertia in ultimo numero naturali quodam fine claudatur. Quodsi quadruplum statueris, eodem modo sesquiquartos invenies, si quintuplum, sesquintos, ac deinceps singuli denominatione multiplices tot superparticulares praecedunt, quoto loco ipsi ab unitate decesserint. Unam vero tantum quadrupli dispositionem ponamus, ut in ea, sicut in ceteris, lector diligens acumen mentis exerceat:

[Cserba, 89,2; text: I, IIII, V, IIII, XVI, XX, XXV, I, IIII, XVI, LXIIII, CCLVI, V, XX, LXXX, CCCXX, XXV, C, CCCC, CXXV, D, DCXXV] [IERTDM1 03GF]

Haec igitur speculatio ad hanc utilitatem videtur inventa, ut quotienscumque IIII vel V [63b] vel quotlibet [90] sesqualteros vel sesquitertios vel sesquioctavos vel quotlibet alias proportiones quis investigare voluerit, nullo errore labatur, utque non ei numero primo tales proportiones quaerat aptare, qui quanti sint propositi, tot praecedere et post se habere non possit, sed disponat potius multiplices videatque, quantos superparticulares requirit eumque multiplicem respiciat, qui eo loco ab unitate recesserit, ut in superioribus descriptionibus, si tres sesqualteros fortasse quaesierit, ut non a quaternario ingrediatur investigationem. Hic enim quoniam secundus est duplus, duos tantum praecedit tertiumque ei aptare non poterit, sed ut ab octonario medietates tentet apponere. Hic enim, quoniam tertius est, tres, quas quaerit sesqualteras proportiones efficiet. Et in ceteris eodem modo.

Est etiam alia augendi proportiones via hoc modo: Radices proportionum dicuntur in eisdem comparationibus minimae proportiones. Disponatur enim numerus naturalis unitate multatus: II, III, IIII, V, VI, VII, VIII, IX, X. Minimae igitur proportiones sunt, ut in sesqualtera III ad II, in sesquitertia IIII ad III, in sesquiquarta V ad IIII et deinceps in infinitum et quaecumque se [64a] proportiones unitate processerint. Propositum igitur sit duas sesqualteras proportiones continua comparatione producere. Sumo radicem sesqualteram eamque dispono II et III. Multiplico igitur binarium per binarium, fiunt IIII. Item ternarius per binarium crescat, erunt VI, rursus ternarium in semetipsum ducemus, fiunt IX, qui disponatur hoc modo:

II       III
IIII   .VI.IX.

Invenimus igitur duas propinquas sesqualteras proportiones VI ad IIII et IX ad VI. Sit nunc propositum, tres invenire. Dispono eosdem numeros, quos supra in exquirendis [91] duabus sesqualteris habitudinibus proposueram, ipsasque sesqualteras proportiones. Multiplico binario IIII, fiunt VIII, rursus VI binario, fiunt XII, rursus IX binario, fiunt XVIII, rursus novenario III, fiunt XXVII. Disponatur igitur hoc modo:

II                        III
IIII      VI              IX
VIII      XII    XVIII    XXVII

Atque hic modus erit in ceteris, ut si sesquitertias proportiones velis extendere, ponas sesquitertiorum radices, quae sunt IIII atque III ad se invicem comparati, atque in hunc modum multiplices:

III     IIII
IX      XII     XVI
XXVII   XXXVI   XLVIII   LXIIII

Quodsi sesquiquartas, sesquiquartorum [64b] dispones radices eademque multiplicatione sesquiquartas quotlibet extendes. Quantum autem nobis hae considerationes prosint, sequens ordo monstrabit.

De proportione numerorum, qui ab aliis mensurentur.

Si duos numeros eorum differentia integre fuerit permensa, in eadem proportione sunt numeri, quos sua differentia mensa est, in qua erunt proportione etiam hi numeri, secundum quos eos sua mensa est differentia. Sint duo numeri L, LV. Hi igitur ad se invicem sesquidecima habitudine comparantur, et est eorum differentia quinarius, qui scilicet est pars decima numeri L. Hic igitur metietur quidem L numerum decies, LV vero undecies. Secundum X igitur atque XI numeros LV et L propria differentia, id [92] est V, permetitur, et sunt XI ad X sesquidecima comparatione dispositi. In eadem igitur sunt proportione numeri, quos propria differentia integre permensa est, in qua sunt hi, secundum quos eos propria differentia permensa est.

Quodsi qua differentia numerorum ita eos numeros, quorum est differentia, metiatur, ut eandem mensuram numerorum pluralitas excedat, idemque in [65a] utrisque sit excessus, et sit diminutior differentiae mensura quam est pluralitas numerorum, majorem obtinebunt proportionem ad se invicem numeri, si eis illud quod relinquitur post mensionem, retractum sit, quam fuerunt integri, cum eos propria differentia metiebatur. Sint enim numeri duo LIII et LVIII. Hos igitur quinarius, qui est eorum differentia, metiatur. Metiatur igitur LIII numerum quinarius decies usque ad L, relinquit vero ternarium. Rursus LVIII numerum metiatur idem undecies usque ad LV, atque in eo iterum ternarium derelinquit. Auferatur igitur ex utrisque ternarius, fiunt L et LV, qui disponantur hoc modo: LIII, LVIII, L, LV. In hoc igitur manifestum est majores esse proportiones inter L et LV, quam inter LIII et LVIII. In minoribus enim numeris major semper proportio reperitur, quod paulo posterius demonstrabimus. Sin vero illa differentiae permensio numerorum multitudinem supervadat et aequali eademque utrosque numeri pluralitate praetereat, minores erunt proportiones numeri superius mensi cum additione ejus summae, qua utrasque metiens supervadit, quam fuerant ante, cum eos propria differentia metiebatur.

Sint enim numeri XLVIII [65b] et LIII. Horum quinarius est differentia. Metiatur igitur XLVIII numerum quinarius decies, fiunt L. Supervadit igitur L numerus XLVIII binario. Idem LIII undecies metiatur, fiunt LV, qui eisdem rursus duobus LIII numerum supervadit. Addatur utrisque binarius et disponantur hoc modo: XLVIII, LIII, L, LV. Minores igitur sunt proportiones L ad LV comparati [93] cum additione scilicet binarii, quo differentia eos metiens supervadit, quam XLVIII et LIII numeri, quos eadem quae tamen in eis excrevit, quinarii differentiam mensa est. Majores vero et minores proportiones hoc modo intelliguntur. Dimidia pars major est quam tertia, tertia pars major est quam quarta, quarta pars major est quinta, ac deinceps eodem modo. Unde fit, ut sesqualtera proportio major sit quam sesquitertia et sesquitertia sesquiquartam vincat. Atque idem in ceteris. Hinc evenit, ut in numeris minoribus semper major videatur proportio superparticularium numerorum, quod apparet in numero naturali. Disponatur enim numerus naturalis I, II, III IV, V. Binarius igitur ad unitatem duplus est, ternarius ad binarium sesqualter est, quaternarius vero ad ternarium sesquitertius. Majores vero sunt numeri ternarius et quaternarius, [66a] minores ternarius et binarius et unitas. In majoribus igitur minor et in minoribus major proportio invenitur. Hinc apparet, quod si aliquibus numeris proportionem continentibus superparticularem aequa pluralitas addatur, majorem esse proportionem ante aequae pluralitatis augmentum quam posteaquam eis pluralitas aequa sit addita.

Quod ex multiplicibus et superparticularibus multiplicitas fiat.

Illud etiam non videtur praetereundum, quod paulo post demonstrabitur, si multiplex intervallum binario fuerit multiplicatum, id etiam, quod ex illa multiplicatione nascetur, multiplex esse. Quodsi id, quod ex tali multiplicatione procreatum sit, non fuerit multiplex, tunc illud non esse multiplex constat, quod binario fuerit multiplicatum, item si [94] superparticularis proportio binario multiplicetur, id quod fit neque superparticulare esse neque multiplex, quodsi id, quod ex tali multiplicatione nascetur, neque multiplex est neque superparticulare, tunc illud, quod binario multiplicatum est, vel superparticularis vel alterius generis, non vero multiplicis.

Qui superparticulares quos multiplices efficiant.

His illud addendum duos primos superparticulares primam [66b] efficere multiplicem proportionem, ut si sesqualter et sesquitertius conjungantur, duplicem creant. Sint enim numeri II, III, IIII. Ternarius ad binarium sesqualter, quaternarius ad ternarium sesquitertius, quaternarius ad binarium duplus. Rursus primus multiplex primo additus superparticulari secundum multiplicem creat. Sint enim numeri II, IIII, VI. Quatuor namque ad duo duplex est, primus scilicet multiplex, ac VI ad IIII sesqualter, qui est primus superparticularis, VI ad II triplus, qui secundus est multiplex. Quodsi triplum sesquitertio addas, quadruplus efficitur, si quadruplum sesquiquarto, quintuplus. Atque in hunc modum junctis proportionibus multiplicium ac superparticularium in infinitum multiplices procreantur.

Haec Boetius.

Notandum insuper, quod species numeri in figura geometrica considerati sunt tres. Prima est, quae disponit numerum secundum longitudinem, quae dicitur linealis, secunda, quae disponit numerum secundum latitudinem, et dicitur superficialis, tertia, quae disponit numerum secundum profunditatem, et dicitur solidus.

Numerus linealis est, qui tantum consideratur penes progressum non habito respectu ad ductionem numeri in [95] numerum. Quae progressio continua dicitur, ut II, III, IIII<,> et sic ulterius procedendo.

Numerus superficialis uno modo constat ex duobus numeris, [67a] quod patet ex sua generatione. Generatur enim ex reflexione unius numeri linealis super alium. Unde si binarii fiat reflexio ad unitatem, proveniet ternarius, qui est primus numerus superficialis, sicut superficies triangularis est prima superficierum geometricarum. Nam sicut ex ductu lineae in latum fit superficies, sic ex reflexione numeri super numerum superficialis fit numerus. Sicut et alio modo numerus superficialis est tetragonus constans scilicet ex reflexione III ad I, fit tetragonus eo, quod habet IIII angulos aequales. Unde et omnis numerus pariter per tetragonus est et e converso. Et iterum ex reflexione IIII super I fit pentagonus habens angulos impares sed aequales. Unde ad ipsum reducuntur omnes numeri pariter impares et omnes numeri secundi et compositi ex quinario generati. Item ex reflexione V super I fit hexagonus habens angulos aequales et pares, ad quem reducuntur omnes numeri impariter pares. Non tamen est proportio anguli ad angulum sicut numeri quadrati ad numerum quadratum. Sunt etiam et aliae superficialis numeri species, quae dicto modo reperiuntur, ultra scilicet procedendo. Semper tamen inveniantur anguli proportionales secundum numerum illius speciei. Numerus etiam immediate inferior reflectendus [67b] est super unitatem et omnes numeri ab illo generati ad eundem reduci possunt.

Numerus solidus est constans ex ductione numeri super duos numeros sibi aequales, ut ter tria ter. Sicut enim se habet linea ad superficiem, ita superficies ad profunditatem. Cum enim dico I, I, I, quaternarium facio, quia si unitas dupletur, [96] facit binarium, cum autem tertio additur I, designatur quaternarius, quia ter unum tantum valet, quantum bis duo. Longitudini igitur impar semper attribuitur par superficiei, soliditati vero vel pariter par, vel impariter par. Species numeri solidi sunt VI, scilicet pyramis, cubus, cuneus, paralellipipedalis, laterculus, aser et sphaericus.

Pyramis est numerus solidus a trigona, tetragona, pentagona et sic de aliis basi ad unius cacuminis verticem sublevatus, ita quod pyramis surgens a trigona basi nascitur ex complexione triangulorum, eo quod primus triangulus potestate est unitas, actu autem ternarius. Quodsi fiat copulatio ternarii et unitatis, fit pyramis quaternaria. Si vero unitas, quae est primus potestate quadratus, et quaternarius, qui est primus actu, copuletur, fit pyramis surgens a basi pentagona. Et sic de aliis [68a] secundum generationem specierum numeri solidi ultra procedendo.

Item cubus est numerus solidus proveniens ex ductu alicujus numeri in seipsum, ut bis duo bis. Et habet aequales dimensiones. Ex ductione enim cubi numeri pariter par generatur, ut cum dico bis duo bis, vel tantummodo bis duo.

Item cuneus est numerus solidus, qui omnibus tribus dimensionibus inaequaliter distenditur, ut bis tria quater, quae sunt XXIIII habens in latitudine duas unitates, in longitudine tres, in altitudine quatuor, et debet fieri dispositio per senarium secundum quatuor ordines.

Numerus paralellipipedalis est numerus solidus, qui nec omnibus suis partibus est aequalis, nec omnibus est inaequalis, ita quod si una dimensio convenit cum altera, differt a reliqua, ut bis duo ter, bis ter bis, bis ter ter. Principium autem hujus numeri est numerus altera parte longior, qui quidem provenit ex duobus numeris uno se transgredientibus, ut ter quater. Si autem fiat replicatio istorum duorum laterum sic videlicet, ter quater ter, vel [97] ter quater quater, resultat paralellipipedalis, quia ex primo ternarius, tricenarius et senarius, ex secundo XL et VIII. Qui si per tria fuerint divisi, resultat numerus solidus facta proportionali [68b] divisione.

Numerus laterculus est solidus, qui fit ex aequalibus aequaliter in minus, ut ter tria bis. Fit autem in isto numeri dispositio per duo latera in duobus ordinibus continens in longitudine et in latitudine tria, in altitudine duo. Unde cum ter tria bis faciant XVIII, fiet dispositio per IX et IX in duobus ordinibus.

Item aser est numerus solidus, qui ex aequalibus aequaliter fit in magis, ut quater IIII novies. In isto enim numero fit dispositio secundum tot ordines, quot sunt unitates in majori, ut ter tria quater, ex quorum aggregatione resultat tricenarius et senarius. Fit igitur dispositio per ordines numeri quaternarii.

Numerus sphaericus est, cujus dimensiones secundum eundem numerum terminantur, ut quinquies quinque quinquies. Sicut enim in circulari demonstratione finis unitur principio, sic et in numero sphaerico dimensiones secundum quem numerum incipiunt, terminantur. Dicitur ergo sphaericus eo, quod redit in idem.

Item numerus proportionalis est numerus duplus vel subduplus, ut quaternarius subduplus est ad VIII, duplus vero ad II. Unde proportio solum in duobus terminis consideratur.

Numerus autem proportionalitatis est numerus subduplus et subquadruplus, ut II est subduplus ad IIII, subquadruplus vero ad VIII. Numerus igitur proportionalitatis [69a] principaliter in tribus terminis consistit, et tunc appellatur proportionalitas conjuncta, si vero in IIII vel in pluribus, disjuncta. Quia igitur impossibile est proportionalitatem minus quam in tribus terminis contineri, ideo proportionalitas dicitur medietas.

De speciebus autem ipsius medietatis sic in secundo libro musicae dicit Boetius.

[98] De arithmetica, geometrica et harmonica medietate.

Proportio est duorum terminorum ad se quaedam comparatio. Terminos autem voco numerorum summas. Proportionalitas est aequalium proportionum collectio. Proportionalitas vero in tribus terminis constat ad minus. Cum enim primus ad secundum terminum eandem retinet proportionem quam secundus ad tertium, dicitur haec proportionalitas, estque inter tres terminos medius, qui secundus. Has igitur proportiones medii termini conjungentis trina partitio est: aut enim aequa est differentia minoris termini ad medium et medii ad maximum, sed non aequa proportio ut in his numeris I, II, III. Inter I quippe ac duo et inter II et tria tantum unitas differentiam tenet. Non est autem aequa proportio, II quippe ad I dupli sunt, III ad II sesqualter; aut est aequa proportio in utrisque non vero aequalibus differentiis constituta, ut in his numeris I, II, IIII. [69b] Nam II ad I ita sunt dupli quemadmodum IIII ad II. Sed inter quaternarium binariumque binarius, inter binarium atque unitatem unitas differentiam facit.

Est vero tertium medietatis genus, quod neque eisdem proportionibus, neque eisdem differentiis constat, sed quemadmodum se habet maximus terminus ad minimum, ita se habet majorum terminorum differentia ad minorum differentiam terminorum, ut in his numeris III, IIII, VI. Nam VI ad III duplus est, inter VI vero et IIII binarius interest, inter quaternarium vero ac ternarium unitas. Sed binarius comparatus ad unitatem rursus duplus est. Ergo est maximus terminus ad minimum ita ut majorum differentia ad minorum differentiam terminorum.

Vocatur igitur illa medietas, in qua aequa sunt differentiae, arithmetica, illa vero, in qua aequae proportiones, geometrica, illa autem, quam tertiam descripsimus, harmonica. Quarum subjiciamus exempla: [99]

arithmetica    geometrica     harmonica 
I  II  III     I  II  IIII    III IIII VI

Non vero ignoramus esse alias proportionum quoque medietates, quas quidem in arithmeticis diximus, sed ad praesentem tractatum hae sunt interim necessariae. Sed inter has tres medietates proportionalitas quidem proprie et maxime geometrica nuncupatur, idcirco quoniam aequis proportionibus [70a] tota contexitur. Sed tamen eodem utemur promiscue vocabulo proportionalitates etiam ceteras nuncupantes.

De continuis medietatibus et disjunctis.

Sed in his alia continua est proportionalitas, alia disjuncta. Continua quidem, ut superius disponimus, in tribus constat terminis. Unus enim idemque numerus medius nunc quidem majori supponitur, nunc vero minori praeponitur. Quotiens vero sunt II medii, tunc disjuncta proportionalitas nuncupatur, ut in geometrica hoc modo: I, II, III, VI. Nam ut est II ad I, ita VI ad III. Et vocatur hoc disjuncta proportionalitas. Unde intelligi potest continuam quidem proportionalitatem et minimam in tribus terminis inveniri, disjunctam vero in IIII.

Potest autem in IIII et in pluribus continua esse proportionalitas, si quidem hoc modo sit: I, II, IIII, VIII, XVI. Sed hic non erunt II proportiones sed plures semperque una proportio minus quam sunt termini constituti.

Cur ita appellatae sint dictae superius medietates.

Idcirco autem una earum medietas arithmetica nuncupatur, quod inter terminos secundum numerum aequa est differentia. Geometrica vero secunda dicitur, quod similis [100] est qualitas proportionis. Harmonica autem vocatur, [70b] quoniam ita est coaptata, ut in differentiis ac terminis aequalitas proportionis inveniatur. Ac de his quidem diligentius in arithmeticis disputatum est, nunc vero ut commemores tui ista percurrimus.

Sed paulisper quemadmodum istae proportionalitates ab aequalitate procreentur dicendum est. Praedictum est enim, quod in numero valet unitas, idem in proportionibus aequalitatem valere et sicut numeri caput est unitas, ita proportionum aequalitatem esse principium. Quocirca hoc modo arithmetica medietas ab aequalitate nascetur: Positis enim tribus aequis terminis hi duo modi sunt, quibus haec proportionalitas producatur.

Ponatur enim primus primo aequus, secundus primo ac secundo, tertius primo, secundo ac tertio, quod hoc monstratur exemplo: Sint III unitates. Ponatur igitur primus primo aequus, id est unitati, secundus primo ac secundo, id est duobus, tertius primo, secundo ac tertio, id est tribus, eritque dispositio haec:

I   I   I
I   II  III

Rursus sint tres binarii in aequalitate constituti, II, II, II. Ponatur primus primo aequus, id est duobus, secundus primo et secundo, id est IIII, tertius primo, secundo et tertio, id est VI, et erit haec dispositio:

II   II     II
II   IIII   VI

Rursus idem de ternario:

III   III   III
III   VI    IX

Sed in his hoc speculandum est, quod si [71a] unitas fuerit ad aequalitatis principium constituta, unitas etiam erit in differentiis numerorum, ipsi vero numeri inter se [101] nullum intermittunt. Sin vero binarius teneat aequalitatem, binarius est differentia, et unus inter terminos semper numerus intermittitur, sin vero ternarius, idem ternarius est differentia, inter terminos vero duo naturaliter constituti intermittuntur ac deinceps ad hunc modum.

Est etiam alia proportionalitatem arithmeticam procreandi via. Ponantur enim tres aequi termini constituaturque primus primo ac secundo aequus, secundus primo ac duobus secundis, tertius primo, duobus secundis et tertio, ut si sint tres unitates sit primus primo ac secundo aequus, id est duobus, secundus vero primo ac duobus secundis, id est tribus, tertius autem primo, duobus secundis et tertio, id est IIII eritque dispositio haec:

I   I    I
II  III  IIII

Hic igitur terminorum differentiam unitas tenet. Inter binarium enim et unitatem atque inter ternarium ac binarium unitas interest. Nullus vero naturalis numerus intermittitur. Post unitatem enim mox binarius est ac post binarium ternarius naturaliter constitutus. Idem rursus fiat in binario, sintque III binarii, et sit primus primo ac secundo aequus, id est quaternarius, secundus [71b] vero primo ac duobus secundis, id est senarius, tertius autem primo, duobus secundis et tertio, id est VIII, ut hic:

II     II   II
IIII   IV   VIII

Hic quoque binarius tenet differentiam terminorum uno inter eos naturaliter intermisso. Nam inter IIII ac VI quinarius naturaliter intermittitur, inter VI ac VIII septenarius collocatur. Quodsi quaternarius aequalitatis principium sit, fiet ternarius differentia, verbi gratia sint tres numeri ad regulas superiorum subtus:

III  III  III
VI   IX   XII

[102] In his ergo ternarius est differentia et duo numeri intermissi, id est uno minus quam sit differentia semper numeris intermissis. Atque idem et in quaternario quinarioque perspicitur, et quae nos propter brevitatem tacemus, hisdem regulis ex semetipso diligens lector inveniet.

Geometrica vero proportionalitas tunc quemadmodum inveniri ab aequalitate possit ostendimus, quando quemadmodum ab aequalitate inaequalitas omnis profluat, monstrabamus. Nisi tamen fastidium est, nunc quoque breviter repetendum est. Constitutis enim tribus aequis terminis ponatur primo primus aequus, secundus primo ac secundo, tertius primo, duobus secundis ac tertio. Idemque fiat continue, atque ita ex aequalitate geometrica proportionalitas principium sumet. [72a] Sed de harum proportionum proprietatibus quam diligentissime in arithmeticis diximus. Quodsi ad haec diligens lector illis instructus accedat, nullo dubitationis errore turbabitur.

Harmonica vero medietas, de qua nunc paulo latius tractandum est, hac ratione procreatur. Constituatur enim, siquidem duplices curamus effingere tribus aequis terminis positis primus primo ac duobus secundis aequalis, secundus duobus primis et duobus secundis, tertius semel primo, bis secundo et tertio. Atque hoc modo sint unitates: I I I

Constituatur igitur primus primo ac duobus secundis aequalis, id est ternarius, secundus vero duobus primis et duobus secundis, id est IIII, tertius vero primo, duobus secundis et tribus tertiis, id est VI. Et si in binariis vel in ternariis aequalitas constituatur, eadem ratio medietatis apparet duplo a se terminis differentiisque distantibus, ut subjectae descriptiones monent: [103]

I    I     I    II    II    II
III  IIII  VI   VI    VIII  XII
III  III   III
IX   XII   XVIII

Quodsi facienda est in extremitatibus tripla proportio, tribus aequis terminis constitutis primus quidem faciendus est ex primo ac secundo, secundus vero ex primo ac duobus secundis, tertius autem ex primo, duobus secundis ac tribus tertiis, ut est subjecta descriptio: [72b]

I    I    I       II    II    II       III   III    III
II  III   VI     IIII   VI    XII      VI    IX    XVIII

Haec Boetius.

17. De ipsorum sonorum ad arithmeticam reductionibus.

Sed secundum eundem Boetium in eodem secundo libro musicae, ingressi harmonicam disputationem, quae de ea diligentius dici possunt, tacite praetereunda esse non arbitror. Collocetur igitur harmonica proportionalitas inque ea descriptione superiore ordine terminorum inter se differentiae disponantur:

Differentia
I        II
III IIII VI
  termini

Videsne igitur, ut IIII ad III diatesseron consonantiam prodant, VI ad IIII diapente concordent, VI vero ad III diapason misceant symphoniam ipsaeque eorum differentiae rursus eandem statuant consonantiam. Binarius enim ad I duplus est in diapason consonantia constitutus.

[104] Quodsi extremitates se multiplicent itemque medius sui multiplicitate succrescat, comparati numeri toni habitudinem concordiamque servabunt. Ter enim VI efficiunt XVIII, quater IIII fient XVI. Sed XVIII numerus XVI minoris parte octava transcendit. Rursus minimus terminus si seipse multiplicet, efficiet IX.

Quodsi major terminus sui multiplicatione concrescat, efficiet [73a] XXXVI, qui sibimet comparati quadrupla, id est bis diapason continentiam servant. Quodsi haec diligentius inspiciamus, haec erit omnis vel differentiarum vel terminorum in se invicem multiplicatio. Minimus enim terminus si medio multiplicetur, fient XII, item minimus terminus si maximo multiplicetur, XVIII. Medius vero terminus maximi numerositate si augeatur, fient XXIIII. Rursus minimus terminus si seipso concrescat, fient IX, eodem modo medius, fient XVI. Senarius vero, qui est maximus, si ipse se multiplicet, XXXVI reddent.

Haec igitur in ordinem disponantur: XXXVI, XXIIII, XVIII, XVI, XII, IX. Sunt igitur diatesseron consonantiam resonantes XXIIII ad XVIII et XII ad IX, diapente vero XVIII ad XII et XXIIII ad XVI et XXXVI ad XXIIII, dupla vero, quae est diapason, XXIIII ad XII et XXXVI ad XVIII, tripla vero, quae est diapason et diapente XXXVI ad XII, quadrupla vero, quae est bis biapason, XXXVI ad IX, epogdous vero, qui est tonus, XVIII ad XVI comparatione servatur.

Solent autem duo termini dari proponique, ut inter eos nunc quidem arithmeticam, nunc vero geometricam, nunc harmonicam medietatem ponamus. De quibus in arithmeticis [105] quoque diximus. Id tamen ipsum nunc etiam breviter explicemus.

Si arithmetica medietas quaeritur, datorum [73b] terminorum videnda est differentia eaque dividenda ac minori termino adjicienda. Sint enim X et XL altrinsecus termini constituti. Horumque medietates secundum arithmeticam proportionalitatem quaerantur. Differentiam prius utrorumque respicio, quae est XXX. Hanc divido, fiunt XV. Hanc minori termino, id est X, appono, fiunt XXV. Si igitur hic inter XL et X medius collocetur, fit arithmetica proportionalitas hoc modo: X, XXV, XL. Item inter eosdem terminos medietatem geometricam collocemus. Extremos propria numerositate multiplico, ut X in LX, fiunt CCCC. Horum tetragonale latus assumo, fiunt XX, vigies enim XX faciunt CCCC. Hos igitur XX medios inter X ac XL si collocem, fit geometrica medietas subjecta descriptione formata: X, XX, XL.

Si vero harmonicam medietatem quaeramus, sibimetipsis copulamus extremos, ut X et XL, fient L. Eorum differentiam, quae est XXX, in minorem terminum multiplicamus, scilicet in X, ut fiant decies XXX, qui sunt CCC. Hos secundum L partimur, fiunt VI. Quos cum minori termino addiderimus, fiunt XVI. Hunc igitur numerum si inter X ac XL medium collocemus, harmonica proportionalitas expeditur: X, XVI, XL. Sed de his hactenus.

De consonantiarum [74a] numero vel modo secundum Nicomachum.

Nunc illud addendum videtur, quemadmodum Pythagorici probent consonantias musicas in praedictis proportionibus [106] inveniri, in qua re scilicet eis Ptolemeus non videtur assensus, de quo paulo posterius dicemus. Haec enim ponenda est esse prima suavisque consonantia, cujus proprietatem sensus apertior comprehendit. Quale est enim unumquodque per semetipsum, tale etiam comprehenditur sensu.

Si igitur cunctis notior est ea consonantia, quae in duplicitate consistit, non est dubium primam esse omnium diapason consonantiam meritoque excellere, quoniam cognitione praecedat. Reliquae vero hunc necessario secundum Pythagoricos ordinem tenent, quem dederint multiplicitatis augmenta et superparticularis habitudinis detrimenta. Monstratum quippe est, quod multiplex inaequalitas superparticulares proportiones meriti antiquitate transcendat.

Quocirca naturalis numerus ab unitate usque ad IIII disponatur, I, II, III, IIII. Igitur unus binario comparatus proportionem duplicem facit et reddit diapason consonantiam eam, quae est maxima et simplicitate notissima, quia extremae voces eaedem judicantur. Si vero unitati ternarius comparetur, diapason ac diapente concordiam personabit. [74b] Quaternarius vero unitati comparatus quadruplam tenet, bis scilicet diapason efficiens symphoniam. Quodsi ternarius binario compararetur, diapente, si vero quaternarius ternario, diatesseron consonantiam supplet, isque est eorum ordo cunctis ad se ivicem comparatis. Nam comparatio, quae restat, si quaternarium binario comparemus, cadet in duplicem proportionem, quam tenebat ad unitatem binarius comparatus. Itaque maxime distant soni in bis diapason, cum a se quadrupla intervalli dimensione discedunt, minimum vero, cum acutior graviorem tertia gravioris [107] parte transcendit. Ac stat deinceps concinentiarum modus, qui neque ultra quadruplam possit extendi, neque ultra partem tertiam coarctari. Et secundum Nicomachum (referentem non consentientem) quidem hic consonantiarum ordo est, ut sit prima diapason, secunda diapason et diapente, tertia bis diapason, quarta diapente, quinta diatesseron.

Sed Eubolides atque Hippasus alium consonantiarum ordinem ponunt. Aiunt enim multiplicitatis augmenta superparticularitatis diminutioni rato ordine respondere. Itaque non posse esse duplum, nisi sit dimidium, nec triplum praeter tertiam partem. Quoniam igitur sit duplum, ex eo diapason consonantiam reddi, quoniam vero sit dimidium, ex eo quasi contraria divisione sesqualteram, id est diapente [75a] effici proportionem. Quibus mixtis, scilicet diapason ac diapente, triplicem procreari, quae utramque contineat symphoniam, sed rursus triplicis partem tertiam contraria divisione partiri, ex qua rursus diatesseron symphonia nascetur, triplicem vero atque sesquitertium junctos quadruplam comparationem proportionis efficere. Unde fit, ut ex diapason ac diapente, quae est una consonantia, et diatesseron, una concinentia conjungatur, quae in quadrupla consistens bis diapason nomen accepit. Secundum hos quoque hic ordo est: diapason, diapente, diapason ac diapente, diatesseron, bis diapason.

Sed Nicomachus non eandem esse eis arbitratur contrariam positionem, sed potius ut unitas in arithmeticis crementi erat diminutionisque principium, ita etiam diapason symphoniam reliquarum est principium, illas vero sibi contraria divisione posse constitui. Id vero facilius erit cognitum, si prius pervideatur in numeris. Constituatur igitur [108] unitas duaeque ab ea partes fluant, una multiplicis, alia divisionis. Sitque formula:

[Cserba, 108; text: I, II, III, IIII, V, dimidium, pars tertia, pars quarta, pars quinta] [IERTDM1 04GF]

Et ad hunc modum ad infinita progressio est. Binarius enim unitatis duplex est, contraria vero ejus pars ejusdem dimidium unitatem ostendit, [75b] tres triplus et contraria pars tertia, quatuor quadruplex parsque contraria quarta. Atque ita crescendi in simplici est unitate principium.

Idem igitur nunc ad consonantias convertamus. Erit igitur diapason quidem, quae dupla est, supremi loco principii, quae vero reliquae sunt, in contraria divisione hoc modo: Sesqualter quidem triplo, sesquitertius vero quadruplo, quod tali argumentatione probabitur: Idem enim primus est sesqualter, qui primus est triplus, scilicet principalis unitatis. Nam ternarius idem primus triplus est, si unitati, idem primus sesqualter, si binario comparetur. Rursus idem ternarius ejus differentiae, quam ad binarium facit, cujus naturaliter positus probatur esse sesqualter, triplus est. Cum igitur jure sesqualter triplici opponatur diapente consonantia diapente ac diapason consonantiae rationabiliter putatur opponi. Rursus quadruplus sesquitertii contrariam divisionem habet. Nam qui est primus quadruplus, idem rursus primus sesquitertius invenitur hoc modo: [109] Quaternarius enim primus est quadruplus si unitati, primus sesquitertius, si ternario comparetur. Rursus ejus differentiae, quam inter se ac ternarium tenet, ipse fit quadruplus. Unde fit, ut sesquitertia proportio, quae est diatesseron, quadruplae proportioni, quae est bis diapason, in contrarium dividatur.

Dupla vero, quoniam nullam habet oppositam proportionem, nec ullius ipsa sesqualtera est, aut exstat numerus, cui possit binarius [76a] qui primus est duplus, in superparticulari proportione conjungi, talem formam contrariae proportionis vel positionis extendit. Atque idcirco secundum Nicomachum diapason consonantiarum principium teneat hoc modo:

[Cserba, 109; text: Diapason, diapente diapason, diapente, bis diapason, diatesseron] [IERTDM1 04GF]

Sed quamvis ita se habeat, inquit, melius est tamen omnes multiplices proportiones praecedere, consonantiarum superparticulares sequi, sicut paulo ante descripsimus.

Cum igitur sit consonantia duarum vocum rata permixtio, sonus vero modulatae vocis casus una intensione productus, sitque idem minima particula modulationis, omnis vero sonus constat in pulsu, pulsus vero omnis ex motu fiat, cumque motuum alii sint aequales, alii inaequales, [110] inaequalium vero alii sint multo inaequales, alii vero minus, alii vero mediocriter inaequales, ex aequalitate quidem nascitur sonorum aequalitas, ex inaequalitate vero ea, qua secundum mediocritatem distantiae inaequales sunt, manifestae primaeque ac simpliciores eveniunt proportiones, quae sunt scilicet multiplices ac superparticulares dupli, tripli, quadrupli, sesqualteri atque sesquitertii consonantiae. Ex his vero, quae in reliquis proportionibus vel multimodis vel non ita claris vel longe omnino a se distantibus inaequalitates fiunt, dissonantiae fiunt, nulla autem sonora concordia procreatur.

Hoc igitur [76b] distincto demonstrabitur diapason consonantia, quae cunctarum optima est, in multiplici inaequalitatis genere. Et ut in duplicitatis genere diapason consonantia possit agnosci, praecurrendum est igitur ad breve quiddam, quo prius cognito facilior demonstratio fiat. Ab omni superparticulari si continuam ei superparticularem (in tribus terminis collocatam) quis auferat proportionem, quae est scilicet minor, id quod relinquitur minus est ejus medietate quae detracta est proportionis, ut in sesqualtera et sesquitertia quoniam sesqualter major est, sesquitertiam de sesqualtera detrahamus (id est minimum detrahamus de terminis tribus facientibus has proportiones) relinquitur sesquioctava proportio, quae duplicata non efficit integram sesquitertiam proportionem, sed ea distantia vel differentia minor est, quae in semitonio reperitur. Quodsi duplicata sesquioctava comparatio non est integra sesquitertia, simplex sesquioctava non est sesquitertiae proportionis plena medietas. Quodsi sesquiquartum sesquitertio [111] auferas, id quod relinquitur medietatem sesquiquarti non efficit, idemque in ceteris.

Ac nunc ad diapason consonantiam redeamus. Quodsi ea non est in multiplici genere inaequalitatis, cadet in superparticulare inaequalitatis genus. Sit igitur superparticularis proportio diapason consonantia. Auferatur ab ea continua [77a] consonantia, id est diapente, relinquitur diatesseron. Bis igitur diatesseron minus est uno diapente et ipsum diatesseron non implet diapente consonantiae medietatem, quod est impossibile. Monstrabitur enim (in subsequenti) bis diatesseron tono ac semitonio consonantiam diapente transcendere. Quocirca ne diapason quidem in superparticulari inaequalitatis genere poni potest.

Restat igitur, ut diapente ac diatesseron et tonum in superparticulari ponenda esse monstremus. Nam etsi in prima quoque probatione, qua diapason in superparticulari genere non esse ponendam monstravimus, id quoque quodam rationis modo perclaruit, singillatim tamen de eo ac diligenter pertractemus.

Nam si in superparticulari quis has habitudines ponendas esse non dixerit, multiplici genere fatebitur collocandas. Nam in superpartienti vel ceteris mixtis cur poni non possint, superius, ut arbitror, explanatum est. Ponantur igitur, si fieri potest, in multiplici duplici genere. Et quoniam diatesseron consonantia minor est, diapente major, diatesseron duplici, diapente vero triplici proportioni multiplicitatis aptetur. Verisimile enim est, ut est consonantia diatesseron consonantiae diapente continua, ita si diatesseron in duplici statuitur, diapente in continua duplicis poni, id est [112] triplici. [77b] Tonus autem quoniam in habitudinibus musicis post diatesseron locatur, (etsi non statim) nimirum in ea proportione ponatur, quae minor est duplici. Hoc autem in multiplicitatis genere non potest inveniri, restat igitur, quia diatesseron non potest constitui in majori quam in duplici, ut in superparticularitatis habitudinem cadat tonus.

Sit igitur prima, id est sesqualtera toni proportio. Nam si duplicem auferamus triplici, id quod relinquitur sesqualter est. Quodsi diatesseron quidem duplex est, diapente vero triplum, sublatumque diatesseron a diapente tonus fit reliquus, nullo modo dubitari potest, quin tonus in sesqualtera debeat proportione constitui. Sed duae sesqualterae proportiones duplicem vincunt, quemadmodum ex arithmeticis instructus sibi potest colligere quisque. Duo igitur toni diatesseron superabunt, quod est inconveniens. Diatesseron enim duos tonos semitonii spatio transcendit, ut infra dicetur. Non igitur fieri potest, ut non diapente ac diatesseron in superparticulari inaequalitatis genere collocetur.

Alia demonstratio per impossibile.

Quodsi quis tonum quoque in multiplici genere esse praescribat, quoniam quidem tonus minor quam diatesseron, diatesseron vero minor est quam diapente, diapente quidem ponatur in quadrupla, diatesseron in tripla, tonus in duplici. Sed diapente constat ex diatesseron et tono. [78a] Quadruplum igitur secundum hanc rationem constabit ex triplo ac duplo, quod fieri nequit. Rursus statuatur diatesseron quidem in triplici et diapente in quadruplo. Si igitur auferas [113] triplum a quadruplo, sesquitertius relinquetur. Rursus si diatesseron diapente consonantiae subtrahas, fit reliquus tonus. Tonus igitur secundum hanc rationem in sesquitertia proportione constabit. Sed tres sesquitertii, ut IX, XII, XVI, uno triplici fiunt minores, tres igitur toni unam diatesseron nulla ratione supplebunt, quod est falsissimum. Duo enim toni ac semitonium minus diatesseron consonantiam supplent.

Ex his igitur demonstratur diatesseron consonantiam non esse multiplicem. Dico autem quoniam nec diapente consonantia multiplici genere poterit collocari. Nam si in eo genere statuatur, (id est multiplici) quoniam est ei (id est diapente) minor continua diatesseron, non locabitur diapente in minimo multiplici, id est in duplici, scilicet ut sit locus, quo diatesseron consonantia possit aptari. Sed diatesseron consonantia multiplicis generis non est. Quocirca nec diapente in majore habitudine multiplicis quam est dupla, quae minima est, aptari potest. Sit igitur diapente in minima, scilicet dupla, diatesseron vero, quae minor est, in multiplici quidem aptari non potest. Non est enim quidquam minus a dupla. Sit [78b] igitur sesqualtera, tonus vero sesquitertia (quia sesqualtera cum sesquitertia duplam reddunt) in continua enim proportione locabitur. Sed duo sesquitertii ampliores sunt uno sesqualtero. Duo igitur toni unam diatesseron consonantiam vincent, quod nulla ratione continget. Ex his igitur approbatur diapente ac diatesseron in multiplici genere collocari non posse. Quocirca in superparticulari inaequalitatis genere jure ponentur.

Illud quoque addendum necessario est, quoniam si diapente ac diatesseron superparticulares proportiones tenent, in maximis superparticularibus proportionibus collocantur. Sunt autem maximae sesqualtera et sesquitertia. Hoc vero [114] approbatur hoc modo: Nam si in minoribus proportionibus quam sesqualtera vel sesquitertia diapente ac diatesseron consonantiae collocentur, non est dubium, quin, sicut aliae quaelibet proportiones superparticulares praeter sesqualteram ac sesquitertiam junctae non efficiunt unum duplum, ita diapente ac diatesseron unum diapason nulla ratione concludent. Quoniam enim diapason in duplici proportione esse monstratum est, duplex vero proportio ex sesqualtero sesquitertioque componitur, diapason ex diatesseron ac diapente copulatur, non est dubium, quin, si totum diapason in duplici statuatur, diapente et diatesseron in sesqualtera sesquitertiaque proportione sunt locandae. Aliter enim non poterunt diapason junctae perficere, quae consonantia in duplici proportione consistit, nisi in [79a] his duabus proportionibus steterint sesqualtera ac sesquitertia. Aliae enim proportiones superparticulares duplicem nulla ratione conjungent.

Dico autem, quoniam proprie diapente in sesqualtera, diatesseron in sesquitertia proportione consistit. Quoniam enim inter utrasque proportiones, sesqualteram scilicet ac sesquitertiam, sesqualtera major est et sesquitertia minor est, quoniamque in consonantiis diapente major est, diatesseron minor, apparet majorem proportionem majori et minorem minori esse consonantiae aptandam. Erit igitur diapente quidem in sesqualtera, diatesseron vero in sesquitertia proportione collocanda. Quodsi diatesseron a diapente consonantia subtrahamus, relinquitur spatium, quod est tonus. Sesquitertium vero si proportioni sesqualterae minuamus, relinquitur sesquioctava proportio. Quo fit, ut tonus in sesquioctava debeat proportione constitui.

[115] Sed quoniam demonstratum est diapason quidem duplam, diapente vero sesqualteram, junctas vero duplam ac sesqualteram triplicem proportionem creare, ex his etiam illud apparet diapente ac diapason in triplici proportione constitui. Sed si quis triplici proportioni sesquitertiam habitudinem jungat, quadrupla facit. Igitur si diapente ac diapason consonantiis diatesseron symphonia jungatur, fit quadruplum spatium vocum, quod bis diapason supra esse monstravimus.

Sed in his illud diligens lector agnoscat, quod consonantiae [79b] consonantiis superpositae alias quasdam consonantias effecerunt. Nam diapente ac diatesseron junctae diapason, ut dictum est, creant. Huic vero, id est diapason, rursus si diapente symphonia jungatur, fit consonantia, quae ex utrisque vocabulis nuncupatur, diapason scilicet ac diapente. Cui si diatesseron addatur, fit bis diapason, quae quadrupla proportionem tenet. Quid igitur, si diatesseron ac diapason consonantias jungamus, ullamne secundum Pythagoricos efficient consonantiam? Minime. Mox enim in superpartiens inaequalitatis genus cadit, nec servat vel multiplicitatis ordinem vel superparticularitatis simplicitatem.

Age enim, statuantur numeri, quibus id facilius approbemus. Sit enim ternarius, cujus senarius sit duplus in diapason scilicet consistens proportione. Huic aptetur sesquitertia, quam diatesseron esse praediximus, ut octonarius. Is enim ad VI diatesseron proportionem tenet, qui octonarius ad ternarium comparatus habet eum bis. Sed ne sit multiplex, habet etiam aliquas ejus partes, neque eas simplices. Duabus enim eum supervenit unitatibus, quae sunt duae tertiae partes ternarii, quem primum terminum minimumque locavimus. Sint igitur termini hi: III, VI, VIII.

Illud quoque, quod inter duas sibi continuas consonantias [116] cadit, neque duplum est integrum, ut diapason consonantiam [80a] prodat, neque triplum, ut diapason ac diapente efficiat symphoniam. Cui si tonus addatur, mox triplum modum proportionis efficiet. Quoniam enim diapason ac diapente simul junctae efficient triplum, diatesseron vero et tonus diapente consonantiam jungunt, si diapason consonantiae addatur diatesseron, inconsonum fit, quoniam inter duplicem ac triplicem nulla potest naturaliter proportio multiplicitatis intelligi. Quodsi ei addidero tonum, fiet diapason diatesseron et tonus, quod nihil distabit, utrum inter diapason ac diapente sit. Sit enim diapason III et VI, diatesseron VI et VIII, tonus VIII et IX, diapente VI et IX, diapason ac diapente III et IX. Erit igitur sic tripla proportio: III, VI, VIII, IX. Sed quamquam multa de his Nicomachus, nos tamen qua potuimus brevitate partim ea ipsa, quae Pythagorici affirmant, promentes, partim ex eisdem quaedam consequentia argumentantes probamus, si diatesseron consonantiae diapason addatur, consonantiam ex his conjungi non posse. Quid vero de his sentiat Ptolemeus, posterius apponam. Sed de his hactenus.

Nunc de semitoniis considerandum est. Videntur enim semitonia nuncupata, non quod vere tonorum sint medietates, sed quod sint toni non integri, hujusque spatii, quod nunc semitonium [80b] quidem nuncupamus, apud antiquiores autem lima vel diesis vocabatur, hic modus est. Cum enim ex sesquitertia proportione, quae diatesseron est, duae sesquioctavae habitudines, quae toni sunt, auferuntur, relinquitur spatium, quod semitonium nuncupatur.

Quaeramus igitur duos tonos continua dispositione descriptos. Sed quoniam hi, ut dictum est, in sesquioctava proportione consistunt duasque sesquioctavas proportiones continuas adhibere non possumus, nisi multiplex ille, a quo hae (duae) derivari possunt reperiatur, sit unitas prima [117] ejusque octonarius octuplus primus. Ab hoc igitur unum sesquioctavum poteris derivare. Sed quia duos quaerimus, fiant octies VIII atque ex eo LXIIII explicentur. Erit igitur hoc secundus octuplus, a quo possumus duas sesquioctavas proportiones educere. Namque VIII, quae est octava pars LXIIII unitatum, eisdemque additi totam summam LXXII perficiunt. His vero, si sua octava similiter apponatur, qui est IX, LXXXI reddunt. Eruntque duo hi toni continui principali dispositione descripti: LXIIII, LXXII, LXXXI.

Nunc igitur LXIIII unitatum sesquitertium conquiramus. Sed quoniam LXIIII probantur tertiam partem non habere, si omnes hi numeri ternario multiplicentur, (ut inveniatur pars tertia) mox eis pars tertia adjungitur et omnes [81a] in eadem proportione durabunt, in qua fuerunt, antequam his ternarius multiplicator accederet. Fiant igitur ter LXIIII, id est CXCII. Horum tertia pars LXIIII eisque addita CCLVI reddet. Erit igitur haec sesquitertia proportio diatesseron consonantiam tenens. Nunc igitur duas sesquioctavas proportiones ad CXCII duobus se numeris continentes rato ordine collocemus. Fiant igitur ter LXXII, id est CCXVI, rursus ter LXXXI, qui sunt CCXLIII, qui inter duos suprascriptos terminos collocentur hoc modo: CXCII, CCXVI, CCXLIII, CCLVI.

In hac igitur dispositione proportionum primus numerus ad postremum diatesseron constituit consonantiam, idem vero primus ad secundum et secundus ad tertium geminos constituunt tonos. Constat igitur spatium, quod relinquitur ex CCXLIII ad CCLVI, in quibus minimis semitonii forma consistit, non esse toni medietatem.

Approbo igitur CCXLIII ad CCLVI distantiam non esse integram toni medii dimensionem. Etenim CCXLIII et [118] CCLVI differentia XIII tantum unitatibus continetur. Qui XIII minus quam minoris octavam decimam, plus vero quam nonam decimam obtinent partem. [81b] Si enim octies decies XIII ducas, efficies CCXXXIIII, qui CCXLIII nullo modo aequabunt. Sed si decies novies multiplices, supervadunt, (quia fiunt CCXLVII) cum oporteat omne semitonium, si tamen integrum toni dimidium tenet, (id est recta sit medietas toni) inter sextam decimam partem ac septimam decimam collocari (scilicet minor quam sexta decima pars, major quam septima decima) quod posterius demonstrabitur.

Nunc illud liquebit talem semitonii (minoris scilicet) distantiam sibimet geminatam unum toni spatium non posse complere. Age enim, ut sese CCLVI ad CCXLIII habent, tales duas sibimet continuas proportiones secundum superius descriptam regulam disponamus. CC enim et LVI in semetipsos multiplicemus et sit maximus terminus LXV[macron supra lin.].DXXXVI. Item CCXLIII propria numerositate concrescant, et sit minimus terminus LIX[macron supra lin.].XLIX. Rursus igitur CCLVI ad CCXLIII multitudine concrescant. Erit igitur numerus LXII[macron supra lin.].CCVIII. Hic igitur medius collocetur hoc modo: LXV[macron supra lin.].DXXXVI, LXII[macron supra lin.].CCVIII, LIX[macron supra lin.].XLIX. Eadem igitur sunt proportione CCLVI et CCXLIII, in qua LXV[macron supra lin.].DXXXVI ad LXXII[macron supra lin.].CCVIII, et item LXII[macron supra lin.].CCVIII ad LIX[macron supra lin.].XLIX. Sed maximus eorum terminus, qui est LXV[macron supra lin.].DXXXVI, ad minimum, qui est LIX[macron supra lin.].XLIX, unum integrum non efficiet tonum.

[119] Quodsi primi [82a] ad secundum proportio, quae est aequa secundi ad tertium proportioni integri esse semitonii probaretur, duo dimidia juncta unum necessario efficerent tonum. Nunc autem cum non sit extremorum terminorum sesquioctava proportio, manifestum est haec duo spatia (quia sunt minora semitonia) proprie tonorum dimidia non videri. Quidquid enim cujuscumque est dimidium, si duplicetur, illud efficit, cujus dicitur esse dimidium. Si vero illud implere non possit (minus semitonium) geminata particula, quia minor pars est, minus est parte dimidia. Si vero superfluat ac supervadat, (ut majus semitonium bis multiplicatum supervadit tonum) plus est parte dimidia. Praeterea probabuntur autem LXV[macron supra lin.].DXXXVI non facere sesquioctavam proportionem, si LIX[macron supra lin.].XLIX unitatibus comparentur, si octava pars LIX[macron supra lin.].XLIX eisdem secundum eas quae in arithmeticis dictae sunt regulas aggregetur. Quae quoniam in integris numeris non consistit, idcirco eandem octavam partem relinquimus (id est VII[macron supra lin.].CCCLXXXI et octavam partem unitatis, id est unciam et semis) lectorum diligentiae computandam. Liquet igitur eam proportionem, quae in CCLVI et CCXLIII est constituta, non esse integrum dimidium toni. Quocirca id, quod vere semitonium nuncupatur, [82b] (tamen de minore semitonio dicit) pars toni minor est quam dimidia.

Reliqua igitur pars, quae major est, apotome nuncupatur a Graecis, a nobis vero potest vocari decisio. Id enim natura fert, ut quotiens aliquid secatur, ita ut non aequis partibus dividatur, quanto minor pars dimidio minor est, tanto major pars eadem, quae auctior est, dimidium vincat. Quantum igitur semitonium minus integro dimidio tono minor est, tantum apotome toni integrum superat dimidium ac vincit.

[120] Et quoniam docuimus semitonium (minus) in CCLVI et CCXLIII principaliter (primis numeris) stare, nunc ea, quae apotome dicitur, in quibus possit minimis constare numeris approbemus. Si igitur CCXLIII partem octavam recipere possent, (quod non possunt) cum ad eum sesquioctavus numerus comparetur, tunc CCLVI habitudo ad sesquioctavam summam minimi numeri comparata apotomen necessaria ratione monstraret. Nunc vero, quoniam ei pars octava deesse monstratur, utrique numeri octies fiant. Et ex CCXLIII quidem multiplicatis octies fit numerus MDCCCCXLIIII. Quibus si propria conferatur octava, qui sunt CCXLIII, fiunt II[macron supra lin.].CLXXXVII. Rursus CCLVI per octonarium crescant, fient igitur II[macron supra lin.].XLVIII atque hic suprascriptorum terminorum in medio collocetur MDCCCCXLIIII, [83a] II[macron supra lin.].XLVIII, II[macron supra lin.].CLXXXVII.

Tertius igitur terminus ad primum toni retinet proportionem, secundus vero ad primum semitonii minoris, apotomes vero tertius ad secundum, atque in hisdem primis apotomes videtur constare proportio, cum semitonii in CCLVI et CCXLIII minimis numeris spatium continetur. Idcirco autem MDCCCCXLIIII et II[macron supra lin.].XLVIII in eadem proportione sunt, qua CCXLIII ad CCLVI, quoniam CCXLIII et CCLVI octonario multiplicati sunt. Si enim unus numerus duos quoslibet numeros multiplicet, qui ex ea multiplicatione nascuntur, in eadem erunt proportione, qua fuerint hi numeri, quos prior numerus multiplicavit.

Sed quoniam de diatesseron consonantia latius diximus, brevius (et bene ad intelligendum) puris numeris de diapason ac diapente dicamus. Diapente enim constat ex tribus tonis ac semitonio, id est ex diatesseron et tono. Disponantur [121] enim numeri, quos superior descriptio comprehendit: CXCII, CCXLI, CCXLIII, CCLVI. In hac igitur dispositione primus terminus ad secundum et secundus ad tertium tonorum retinent proportionem, sed tertius ad quartum semitonii minoris, ut supra monstratum est. Si igitur CCLVI octava eisdem, quorum octava est, apponatur, fient CCLXXXVIII. Quibus CXCII comparati [83b] sesqualterum spatium proportionis efficiunt.

Quocirca tres quidem toni sunt, si primus ad secundum, secundus ad tertium, quintus conferatur ad quartum. Semitonium vero minus tertii ad quartum terminum comparatio tenet. Quodsi diatesseron quidem duorum tonorum est ac semitonii minoris, junctae vero diatesseron ac diapente unum diapason videntur efficere, erunt V toni et duo spatia semitoniorum minora, quae unum tonum non videntur implere.

Non est igitur diapason consonantia constans VI tonis, ut Aristoxenus arbitratur, quod in numeris quoque evidenter apparet. Sex enim toni in ordinem disponantur, scilicet in sesquioctavis proportionibus constituti. Sex vero sesquioctavae proportiones a sexto octuplo (id est post sextum octuplum) procreantur. Disponantur igitur sex octupli hoc modo:

I           VIII            LXIIII        DXII   IIII[macron supra lin.].XCVI
XXXII[macron supra lin.].DCCLXVIII        CCLXII[macron supra lin.].CXLIIII

Ab hoc igitur ultimo numero VI toni in sesquioctava proportione constituti locentur hoc modo dispositis primum octuplis terminis, ut octavae partes terminorum ipsorum terminorum (sesquioctavorum) lateribus adjungantur. Sit [122] autem descriptio talis: I, VIII, LXIIII, DXII, IIII[macron supra lin.].XCVI, XXXII[macron supra lin.].DCCLXVIII, CCLXII[macron supra lin.].CXLIIII.

Sesquioctavae

CCLXII[macron supra lin.].CXLIIII

CCXCIIII[macron supra lin.].DCCCCXII

CCCXXXI[macron supra lin.].DCCLXXVI

CCCLXXIII[macron supra lin.].CCXLVIII

CCCCXIX[macron supra lin.].DCCCCIIII

CCCCLXXII[macron supra lin.].CCCXCII

DXXXI[macron supra lin.].CCCCXLI

Partes octavae

XXXII[macron supra lin.].DCCLXVIII

XXXVI[macron supra lin.].DCCCLXIIII

XLI[macron supra lin.].CCCCLXXII [84a]

XLVI[macron supra lin.].DCLVI

LII[macron supra lin.].CCCCLXXXVIII

LVIIII[macron supra lin.].XLVIIII

(Semitonium minus, quod lima dicitur, est in minimis numeris CCXLIII et CCLVI. Semitonium majus, quod dicitur apotome, invenitur in minimis numeris II[macron supra lin.].XLVIII et II[macron supra lin.].CLXXXVII. Semitonii minoris majorisque distantia, quae comma dicitur, in primis numeris DXXIIII[macron supra lin.].CCLXXXVIII et DXXXI[macron supra lin.].CCCCXLI constat.)

Hujus igitur dispositionis haec ratio est. Continuus enim versus, qui limes dicitur, octuplos numeros tenet. A sexto enim octuplo sesquioctavae proportiones ducuntur. Ubi vero octavas partes scripsimus, octavae sunt eorum sesquioctavorum numerorum partes, quibus adjacent. Quae si eisdem, quibus adjacent, adjungantur, posteriores numeros creant, ut in primo, qui est CCLXII[macron supra lin.].CXLIIII. Hujus octava XXXII[macron supra lin.].DCCLXVIII. Hi sibimet si conjungantur, posteriorem efficiunt numerum, qui est CCXCIIII[macron supra lin.].DCCCCXII. Idemque in ceteris invenitur.

Si igitur ultimus numerus, qui est DXXXI[macron supra lin.].CCCCXLI duplus esset prioris numeri, qui ist CCLXII[macron supra lin.].CXLIIII, recte sex tonis diapason constare videretur. Nunc autem si minimi termini, id est prioris duplicem, conquiramus, minor [84b] erit eo numero qui est maximus ac postremus. Nam [123] CCLXII[macron supra lin.].CXLIIII numeri duplus est qui ad eum diapason consonantiam tenet: DXXIIII[macron supra lin.].CCLXXXVIII. Hic igitur minor est eo numero, qui sextum retinet tonum eo numero scilicet, qui est DXXXI[macron supra lin.].CCCCXLI. Minor est igitur diapason consonantia sex tonis. Atque id quo sex toni diapason consonantiam supervadunt, voco comma, quod quoque constat in minimis numeris DXXIIII[macron supra lin.].CCLXXXVIII et DXXXII[macron supra lin.].CCCCXLI.

Sed de his quid Aristoxenus sentiat, qui auribus dedit omne judicium, alias commemorabo. Nunc voluminis seriem fastidii vitator astringam.

Haec Boetius.

Idem in tertio libro musicae: In superiori volumine demonstratum est diatesseron consonantiam ex duobus tonis ac semitonio copulari, diapente ex tribus ac semitonio constare, sed ea semitonia dimidium toni integrum non posse perficere, se singillatim considerata tractentur, atque ideo diapason ad VI tonos nullo modo pervenire.

Sed quoniam Aristoxenus musicus judicio aurium cuncta permittens haec semitonia non arbitratur esse secundum Pythagoricos contractiora dimidio, sed sicut semitonia dicuntur, ita esse dimidietates tonorum, de eisdem rursus paulisper est disputandum demonstrandumque est prius nullam superparticularem habitudinem [85a] noto numero posse dividi in integram medietatem. Inter duos enim numeros superparticulares proportiones continentes sive illi sint principales, quorum est unitas differentia (vel distantia) sive posteriores, nullus ita poterit medius numerus collocari, ut quam minimus proportionem tenet ad medium, eam medius [124] teneat ad extremum, scilicet ut in geometrica proportione, sed aut differentias aequas facere potest, ut sit aequalitas secundum arithmeticam medietatem, aut harmonicam inter eosdem terminos medius numerus collocatus faciet medietatem, aut quamlibet aliam, quarum in arithmeticis mentionem fecimus.

Quodsi id demonstrabitur, ne illud quidem constare poterit sesquioctavam proportionem, quae tonus est, in dimidia posse discerni, quandoquidem sesquioctava omnis in superparticulari inaequalitatis genere consistit. Jd vero melius inductione monstrabitur. Nam si per singulas proportiones consideratione deducta, scilicet superparticulares, nulla prorsus occurit, quae interposito medio termino aequis proportionibus dividatur, non est dubium, quod superparticularis comparatio non possit in aequa partiri.

Quodsi videtur auribus consonum aliquid canere, cum cuilibet voci duobus tonis ac semitonio (majore) integro [85b] distans vocula comparetur, id non esse consonum natura monstratur, sed quoniam sensus omnis quae et minima sunt, comprehendere nequeat, idcirco hanc differentiam, quae ultra consonum procedit, sensum aurium non posse distinguere, fore autem, ut deprehendatur si frequentissime talis particula per eosdem crescat errores. Nam quod in minimo haud sane cernitur, compositum conjunctumque cum jam magnum esse coeperit, pervidetur. A qua igitur proportione est ordiendum? An compendium dabimus quaestioni, si ab eo, de quo quaeritur, ordiamur? Id vero est scilicet, quo tonus in duo possit aequa partiri necne.

Nunc igitur de tono est pertractandum, et quemadmodum non possit in duo aequa dividi demonstrandum est. Quam demonstrationem si quis ad reliquas superparticulares comparationes transferat, similiter demonstrabitur superparticularem in aequa noto atque integro numero separari [125] non posse. Primi igitur tonum continentes numeri sunt VIII atque IX. Sed quoniam se isti ita naturaliter consequuntur, ut medius inter eos numerus non sit, eosdem binario, quo scilicet minimo possum, multiplico. Fiunt igitur XVI ac XVIII. Inter hos vero naturaliter numerus cadit, qui est XVII. Igitur XVIII ad XVI tonus est, sed XVIII ad XVII comparatus habet eum totum et ejus [86a] decimam septimam partem. Decima septima vero pars minor est decima sexta naturaliter. Major est igitur proportio, quae sub XVI ac XVII numeris continetur, quam ea quae sub XVII ac XVIII. Quae disponantur hoc modo et sit XVI A, XVII C, XVIII B. Medietas igitur integra toni inter C ac B nullo modo cadet. Minor est enim C B proportio C A proportione. Ad majorem igitur partem medietas rata ponenda est. Sit vero medietas A D. Quoniam igitur A D quidem proportio, quod est integrum dimidium toni, major est C B proportione, quae est minor pars toni, A C autem proportio, quae est major pars toni, A D proportione major est, quae est dimidium toni, est autem A C proportio sesquisextadecima, C B autem sesquiseptimadecima, non est dubium, quin integra medietas inter sesquisextamdecimam ac sesquiseptimamdecimam cadat. Sed hoc in integro numero nullo modo poterit inveniri.

Quoniam vero ad XVI numerum XVII numerus comparatus sesquisextamdecimam obtinet proportionem, si ejusdem XVII numeri sextamdecimam partem requiramus, erit unitas atque unitatis sextadecima pars. Hanc si eidem XVII numero conjungamus, fient XVIII et pars (unitatis) sexta decima. Si igitur XVIII et pars sextadecima XVI numero comparentur, recte toni mensuram videntur excedere, cum ad eum scilicet XVI [86b] solus XVIII numerus sesquioctavam proportionem custodiat. Unde fit, ut quoniam sesquisextadecima proportio tonum bis aucta transcendat, non sit [126] integrum, sed majus toni dimidium. Quidquid enim bis ductum transcendit aliquid, id ultra dimidium esse videbitur illius, quod transcendit. Quocirca sesquisextadecima non erit dimidium toni. Ac per hoc nec ulla alia major sesquisextadecima proportione toni poterit esse dimidium, cum ipsa sesquisextadecima integro toni dimidio sit major. Sed quoniam sesquisextamdecimam proportionem continua sequitur sesquiseptimadecima, videamus, an ea tonum bis multiplicata non impleat. XVII igitur numeri sesquiseptimamdecimam partem tenet terminus XVIII. In eadem igitur proportione (scilicet in sesquiseptimadecima) si ad XVIII numerum alium comparemus, erit XIX et septimadecima unitatis pars. Quodsi ad XVII terminum in sesquioctava proportione positum comparemus numerum, fient XIX et pars octava. Major vero est pars octava parte septimadecima, major igitur est proportio numerorum XVII et XIX et parte octava quam ea quae inter XVII et XIX et parte septimadecima continetur, quae sunt scilicet bis sesquiseptimaedecimae proportiones. Duae igitur sesquiseptimaedecimae unum tonum non videntur implere. Non est igitur sesquiseptimadecima toni dimidium, quoniam [87a] quae duplicata non implent integrum, non tenent dimidium. Semper enim dimidium duplicatum ei, cujus est dimidium, coaequatur.

Jam vero si eos numeros disponamus, qui de sesquitertia proportione duobus tonis retractis relinquuntur, in his considerare possumus, utrum ea proportio, quae post duos relinquitur tonos, integri loco semitonii censeatur. Quodsi ita repertum sit, illud quoque est comprobatum, diatesseron consonantiam duobus tonis atque integro semitonio copulari.

Erat igitur superius primus terminus CXCII. Ad hunc sesquitertiam proportionem tenebant CCLVI. Sed ad primum [127] terminum CCXVI faciunt tonum. Ad CCXVI rursus CCXLIII toni obtinent locum. Est igitur quod relinquitur ex tota diatesseron proportione ea scilicet habitudo, quae in CCXLIII et CCLVI unitatibus constat. Haec igitur si probatur integri toni esse dimidium, dubitari non potest diatesseron ex duobus tonis semitonioque consistere.

Quoniam igitur demonstratum est toni dimidium inter sesquisextamdecimam et sesquiseptimamdecimam proportione locari, ab hac comparatione etiam haec proportio, scilicet in qua est lima, metienda est. Nunc enim longius progrediamur. Sumo ex CCXLIII octavam decimam partem, ea fit XIII et semis. Hanc si eisdem apposuero, [87b] fiunt CCLVI et semis. Apparet igitur minorem esse proportionem CCLVI ad CCXLIII sesquidecimaoctava habitudine (quia deest semis). Quodsi dimidius tonus major quidem est in sesquisextadecima, minor vero in sesquiseptimadecima proportione, sesquioctavadecima vero minor est sesquiseptimadecima habitudine, ducentorum vero LVI ad CCXLIII comparatio, quae relinquitur scilicet ex diatesseron duobus retractis tonis, minor est sesquioctavadecima, non est dubium, quin haec duorum numerorum proportio semitonio longissime diminutior sit.

Post hoc incidenter est notandum, quod partes librae vel assis sunt XII, et prima quidem vocatur uncia, secunda sextans vel sextas, tertia quadrans vel quadras, quarta triens vel treas, quinta quincuncx vel cingus, sexta semis, septima septuncx vel septus, octava bisse sive bes, nona dodrans vel doras, decima decuncx vel dexteras, undecima decuncx vel jabus, duodecima as vel assis.

Quodsi, ut ait Aristoxenus, diatesseron consonantia ex duobus tonis semitonioque (integro) conjungitur, duae diatesseron [128] consonantiae necessario V tonos efficerent et diapente ac diatesseron junctae, sicut unum diapason jungunt, ita VI tonis continua proportione coaequantur. Et quoniam paulo ante VI disposuimus tonos, [88a] quorum erat minimus numerus CCLXII[macron supra lin.].CXLIIII, ad hunc vero ultimus in sexto collocabatur tono numerus DXXXI[macron supra lin.].CCCCXLI, quintum vero retinebant tonum CCCCLXXII et CCCXCII, disponantur hoc modo:

Tonus CCLXII[macron supra lin.].CXLIIII

Tonus CCXCIIII[macron supra lin.].DCCCCXII

Tonus CCCCXXXI[macron supra lin.].DCCLXXVI

Tonus CCCLXXIII[macron supra lin.].CCXLVIII

Tonus CCCCXIX[macron supra lin.].DCCCCIIII

Tonus CCCCLXXII[macron supra lin.].CCCXCII

Tonus DXXXI[macron supra lin.].CCCXLI

Tonus CCLXII[macron supra lin.].CXLIIII

Tonus CCXCIIII[macron supra lin.].DCCCCXII

Tonus CCCXXXI[macron supra lin.].DCCLXXVI

Tonus CCCLXXIII[macron supra lin.].CCXLVIII

Tonus CCCCXIX[macron supra lin.].DCCCCIIII

Tonus CCCCLXXII[macron supra lin.].CCCXCII.

Nunc igitur de minoribus numeris, id est V tonis, loquamur. Si ergo diatesseron duobus tonis ac semitonio integro, bis vero diatesseron V consisteret tonis, cum ex CCLXII[macron supra lin.].CXLIIII diatesseron intenderem, cumque de CCCCLXXII[macron supra lin.].CCCXCII aliud diatesseron remitterem, idem (unus solus) inter utramque intensionem remissionemve numerus inveniretur. Id autem fit hoc modo: A numero, qui est CCLXII[macron supra lin.].CXLIII [129] diatesseron intendo, id est sesquitertium, qui fit in CCCXLIX[macron supra lin.].DXXV et triens. Rursus de CCCCLXXII[macron supra lin.].CCCXCII numeris remitto sesquitertiam proportionem, et fit in CCCLIIII[macron supra lin.].CCXCIIII. Has igitur proportiones disponamus hoc modo, et sit primus quidem numerus A, secundus vero B, tertius C, quartus D. Quoniam igitur A terminus a D termino quinto remotus est tonis quinque, diatesseron in duobus tonis ac semitonio (integro) jungitur, ut Aristoxenus arbitratur, [88b] unumque diatesseron inter A atque B, aliud vero inter C atque D positum est. B et C terminos non oportet esse diversos, sed unos atque eosdem, ut integre V toni ex duabus diatesseron consonantiis constare viderentur. Nunc vero, quoniam est differentia IIII[macron supra lin.].DCCLXVIIIss (id est bisse) arguitur diatesseron minime tonis duobus ac semitonio (integro) conjungi.

[Cserba, 129; text: Quinque toni, Diatesseron intensa, Differentia B C, Intensio fit a minore numero ad majorem cum additione alicujus partis uniuscujusque numeri, A, CCLXII[macron supra lin.].CXLIIII, CCCXLIX[macron supra lin.].DXXV et triens, Diatesseron remissa, IIII[macron supra lin.].DCCLXXVIII Remissio fit a majore ad minorem et cum detractione partis alicujus uniuscujusque numeri, B C CCCLIIII[macron supra lin.].CCXCIIII, CCCCLXXII[macron supra lin.].CCCXCII] [IERTDM1 05GF]

Sed hanc si quaerimus in integris numeris differentiam collocare, quoniam in ea parte, quae est ss. (id est bisse), pars tertia, quae est triens, si addatur, plenam efficit unitatem, quae pars tertia unitatis ejusdem ss. (id est bisse) dimidium est, si dimidium totius differentiae eidem adjecero, quod est II[macron supra lin.].CCCLXXXIIII et triens, fit omnis summa VII[macron supra lin.].CLIII, quae dudum commatis proportionem tenebat. [130] Comma enim est, quo VI toni superant diapason consonantiam, quod in primis VII[macron supra lin.].CLIII unitatibus continetur. Ut igitur differentiae dimidium proprium adjecimus, ut in VII[macron supra lin.].CLIII excresceret, ita etiam cunctis A B C D terminis medietates proprias adjungamus, et eadem erit in omnibus quae supra proportio, fietque eadem inter V tonos ac bis diatesseron differentia (scilicet comma) quae est inter VI tonos ac diapason consonantiam differentia, scilicet VII[macron supra lin.].CLIII unitates. Unde colligitur V [89a] tonos bis diatesseron et VI tonos unum diapason tantum commate superare, quod in primis VII[macron supra lin.].CLIII unitatibus invenitur. Id autem patefaciet haec subjecta descriptio:

[131] [Cserba, 131; text: Quinque toni, Diatesseron intensa, Diatesseron remissa, numerus A cum sua medietate, numerus B cum sua medietate, differentia B C cum sua medietate, numerus C cum sua medietate, numerus D cum sua medietate, CCCXCIII[macron supra lin.].CCXVI, DXXIIII[macron supra lin.].CCLXXXVIII, VII[macron supra lin.].CLIII, DXXXI[macron supra lin.].CCCCXLI, DCCVIII[macron supra lin.].DLXXXVIII, CCLXII[macron supra lin.].CXLIIII, CCCXLIX[macron supra lin.].DXXV et triens B, IIII[macron supra lin.].DCCLXVIIII SS. C. CCCLIIII[macron supra lin.].CCXCIIII, CCCCLXXII[macron supra lin.].CCCXCII, CXXXI[macron supra lin.].LXXII, CLXXIIII[macron supra lin.].DCCLXII S et S, II[macron supra lin.].CCCLXXXIIII et triens, CLXXVII[macron supra lin.].CXLVII, CCXXVI[macron supra lin.].CXCVI, medietas A, medietas B semis et sextans complent bisse et bisse cum triente conjunctas reintegrant unitatem, medietas differentiae B C, medietas C, medietas D, A, D] [IERTDM1 05GF]

[130] Sed quoniam paululum de commatis ratione praediximus, non defugiendum est etiam, in quali proportione ipsum comma contineatur, ostendere. Est enim comma, quod ultimum comprehendere possit auditus dicendumque semitonium minus ac semitonium majus quantis singillatim commatibus constare videantur, ipse quoque tonus quantis rursus commatibus conjungitur. Ac primum hinc conveniens sumatur initium.

Superparticularis proportio scindi in aequa medio proportionaliter interposito numero non potest. Id vero posterius firmiter demonstrabitur. Quam enim demonstrationem ponit Archytas, nimium fluxa est. Haec vero est hujusmodi: Sit, inquit, superparticularis proportio A B. Sumo in eadem proportione numeros C E, et sunt superparticulares. E numerus C numerum parte una, scilicet tertia sua ejusque una altera transcendit. Sit autem haec D (scilicet illa pars, qua transcendit ternarius binarium). Dico, quoniam D non est numerus, sed unitas. Si enim est numerus [132] D, [89b] et pars ejus (scilicet ternarii) est, qui est E, metitur D numerus seipsum numerum. Quocirca et E numerus metietur, quo fit, ut C quoque metiatur. Utrumque igitur, C et E numeros, metietur D numerus, quod est impossibile (quia non est numerus). Qui enim sunt minimi in eadem proportione quibuslibet aliis numeris, hi primi ad se invicem, id est proportionaliter sunt et solam differentiam retinent unitatem. Unitas igitur est D. Igitur E numerus C numerum unitate transcendit. Quocirca nullus incidit medius numerus (quia sola unitas est differentia in minimis terminis ejus proportionis), qui eam proportionem aequaliter scindat. Quo fit, ut nec inter eos, qui eandem his proportionibus tenent, medius possit numerus collocari, qui eandem proportionem aequaliter scindat. Et secundum Archytae quidem rationem [90a] idcirco in superparticulari nullus medius numerus cadit, qui aequaliter dividat proportionem, quoniam numeri in eadem proportione sola differunt unitate. Quasi non etiam in multiplici proportione minimi eandem unitatis differentiam sortiantur, cum plures videamus esse multiplices praeter eos, qui in radicibus collocati sunt, inter quos medius terminus scindens aequaliter proportionem eandem possit aptari. Sed hic, qui arithmeticos nostros diligenter inspexerit, facilius intelligit (ac si diceret: haec ratio valet in superparticulari, fallit autem in multiplici). Addendum vero est id ita evenire, ut Archytas putat in sola superparticulari proportione, non autem universaliter est dicendum. Nunc ad sequentia convertamur.

Primum ergo dico, quoniam hi numeri, qui comma continent, majorem inter se retinent proportionem quam LXXV ad LXXIIII, minorem quam LXXIIII ad LXXIII. Id vero ita [133] demonstrabitur. Ac primum quidem illud reminiscendum est, quod VI toni diapason commate transcendunt. Sit igitur A quidem CCLXII[macron supra lin.].CXLIIII, B autem diapason ad eum continens consonantiam in duplici scilicet constituta DXXIIII[macron supra lin.].CCLXXXVIII. C vero VI tonis ab A numero discedat et sit DXXXI[macron supra lin.].CCCCXLI. Quae omnia ex [90b] secundi voluminis tonorum dispositione sunt colligenda. Inter B igitur atque C commatis proportio continetur. Aufero igitur B numerum de numero C, et relinquitur D in VII milibus CLIII unitatibus collocatus. Qui numerus quidem minor est quam sit septuagesima tertia pars B numeri, major vero quam sit ejusdem septuagesima quarta. Nam si eundem D numerum, qui est in VII[macron supra lin.].CLIII septuagies ter multiplices, fit mihi E numerus in DXXII[macron supra lin.] unitatibus constitutus. Si eum (VII[macron supra lin.].CLIII) septuagies quater multiplices, fit F numerus DXXIX[macron supra lin.].CCCXXII. Quorum quidem E, qui per septuaginta tres auctus est, minor est B numero, F autem, qui per LXXIIII, major est B numero. Recte igitur dictum est D ejus, quod est B, minorem quidem esse quam septuagesimam tertiam partem, majorem vero quam septuagesimam quartam. Quocirca et C numerus B numerum minore quidem parte ejus quod est B, eundem B superat, quam septuagesima tertia, majore vero quam LXXIIII. Ejus igitur quod est C proportio ad id quod est B, major quidem est quam LXXV ad LXXIIII, minor vero quam LXXIIII ad LXXIII. Nam in priore unitas est septuagesima quarta pars minoris, in posteriore vero unitas eadem [91a] septuagesima tertia.

Idem aliter explicandum. Illo prius praesumpto, quod si cui proportioni propria numerorum differentia aequaliter augeatur, minor est inter eos, qui post adjectionem fiunt, proportio continebitur, quam inter priores, qui ante additionem illam quadam proportione distabant. Ut VI et IIII [134] si utrisque differentia sua, id est binarius, adjungatur, fient VIII et VI. Sed inter VI et IIII sesqualtera proportio continetur, inter VIII et VI sesquitertia. Minor vero est proportio sesquitertia sesqualtera proportione. Hoc igitur ita praedicto disponantur superiores numeri, qui proportionem commatis continebant, id est DXXXI[macron supra lin.].CCCCXLI, et sit A. Sit etiam B DXXIIII[macron supra lin.].CCLXXXVIII. Horum differentia sit C, id est VII[macron supra lin.].CLIII. C igitur numerus majorem numerum, qui est A, septuagies quinquies metiatur. Si igitur C numerum septuagies quinquies multiplicem, fiet mihi D numerus, qui est DXXXVI[macron supra lin.].CCCCLXXV. Igitur D numerus eum, qui est A, numero eo, qui est E, transcendit, id est V[macron supra lin.].XXXIIII. Rursus C numerus eum qui est B metiatur septuagies quater multipliceturque, fiet igitur numerus F, DXXIX[macron supra lin.].CCCXXII. Qui F eo qui est B major est eodem E numero, qui est V[macron supra lin.].XXXIIII. Ergo D numerus eum qui est A [91b] transcendit E numero, B autem numerus ab eo, quod est F, vincitur eodem E numero. Si igitur A numero eundem E apponamus, fiet D, si vero B numero eundem E apponamus, fiet F. Sed D numerus septuagies quinquies auctus est, per C scilicet multiplicatum. F autem septuagies quater multiplicatio per C crevit. Obtinent igitur inter se proportionem D atque F quam habent LXXV ad LXXIIII. Sed D atque F sunt A atque B uno eis addito E. Majorem igitur necesse est proportionem contineri inter A atque B quam inter D atque F. Namque A atque B numeris uno E addito effecti sunt D atque F. Minor igitur proportio est inter D atque F quam inter A atque B. Sed inter D atque F eadem proportio est quae inter LXXV et LXXIIII. At A atque B comma continent. [135] Major igitur est proportio commatis quam LXXV ad LXXIIII.

Quoniam igitur demonstratum est commatis proportionem majorem esse quam eam, quam LXXV continent ad LXXIIII comparati, nunc ostendendum est, quemadmodum minorem inter se proportionem contineant numeri spatium commatis continentes, quam LXXIIII ad LXXIII comparati. Id vero monstrabitur hoc modo: Reminiscendum prius est, quid in secundo volumine dixerimus, cum de mensura differentiae loquebamur. Si enim ex qualibet proportione [92a] differentiam eorum numerorum qui eam continent auferamus, hi, qui relinquuntur, majorem obtinebunt proportionem his numeris qui erant ante differentiae diminutionem. Sint enim VIII atque VI. Ab his propriam aufero differentiam, id est II, fiunt VI atque IIII. Sed in superioribus sesquitertiam in hac sesqualtera proportio continetur. Major vero est sesqualtera proportio sesquitertia proportione. Sint igitur idem A atque B, qui sunt superius descripti, quorum differentia est C. Multiplico differentiam C numeri septuagies quater, fit mihi numerus F, scilicet DXXIX[macron supra lin.].CCCXXII. Qui A numero comparatus vincitur numero G, scilicet II[macron supra lin.].CXIX. Rursus idem C multiplicetur septuagies ter, efficiet numerum K, id est DXXII[macron supra lin.].CLXIX. Qui comparatus B numero vincitur eodem G, id est eisdem II[macron supra lin.].CXIX. Sublato igitur G de numeris A atque B effecti sunt F atque K. Minorem igitur proportionem retinebunt A atque B quam F atque K. Sed F atque K eam retinent proportionem, quam LXXIIII ad LXXIII. Hi enim multiplicato C effecti [136] sunt. Minor est igitur proportio A atque B numerorum comma retinentium quam LXXIIII ad LXXIII. Sed paulo ante monstratum est eandem commatis proportionem majorem esse quam LXXV ad LXXIIII. Monstrati sunt igitur qui comma continent numeri majorem quidem inter se habere proportionem quam LXXV ad [92b] LXXIIII, minorem vero quam LXXIIII ad LXXIII, quod oportebat ostendere.

[Cserba, 136; text: A DXXXI[macron supra lin.].CCCCXLI, LXXIII[macron supra lin.]. ad LXXIIII, B DXXIIII[macron supra lin.].CCLXXXVIII, II[macron supra lin.].CXIX G differentia, VII[macron supra lin.].CLIII. c, II[macron supra lin.].CXIX G differentia, LXX quater, LXX ter, DXXIX[macron supra lin.].CCCXXII F, proportio LXXIIII ad LXXIII, DXXII[macron supra lin.].CLXIX] [IERTDM1 06GF]

Quodsi ad semitonium minus talis speculatio convertatur, ejus quoque proportionem facillime reperiemus. Quae constat inter CCLVI et CCXLIII. Sit igitur CCLVI A et CCXLIII B. Horum igitur differentia XIII sit C. Dico quoniam A ad B minorem retinet proportionem quam XIX et semis ad XVIII et semis. Metiatur enim per C decies novies et semis id quod est A, fiunt CCLIII et semis, quod sit D. Qui scilicet comparatus ad A ab eodem A duobus semisque transcenditur. Sitque haec differentia F, scilicet duo et semis. Rursus eadem C differentia B numerum metiatur, multiplicetur decies octies et semis, fient CCXL et semis, quod sit E. Igitur E comparatus ad B, eodem F transcenditur vel transgreditur, id est duobus et semis. D igitur ab eo quod est A et rursus E ab eo quod est B eadem F differentia sunt minores. Subtracto igitur F ab eo quod est A atque B, facti sunt D atque E. Minorem igitur proportionem [137] tenent inter se D atque E quam A atque B. Sed D atque E eandem retinent inter se proportionem quam XIX et semis ad XVIII et semis, A igitur ad B [93a] minorem retinent proportionem quam XIX et semis ad XVIII et semis, quod oportebat ostendere.

[Cserba, 137; text: Proportio minor quam XIX et semis ad XVIII et semis, .A. CCLVI, XIII .C. differentia, .B. CCXLIII, II et semis differentia F, decies novies et semis, decies octies et semis major, II et semis differentia, CCLIII et semis D, proportio XIX et semis ad XVIII et semis, E CCXL et semis] [IERTDM1 06GF]

Videtur tamen eadem proportio CCLVI ad CCXLIII major esse ab ea quam continent XX et XIX. Sint enim A B C idem, qui superius descripti sunt. Metiatur igitur C differentia (id est multiplicet) A terminum vigies, fient CCLX, qui sint D. Qui comparati ad id quod est A, eundem quod est A quaternario transcendunt. Hic sit F. Rursus idem C metiatur B decies novies, fient CCXLVII. Hic sit E. Qui comparati ad B eodem F transcendunt. D igitur numerus A numerum et E numerus numerum B eodem F transcendit. Adjecto igitur F his qui sunt A atque B, facti sunt D atque E. Major igitur est eorum proportio, qui sunt A atque B, quam eorum, qui sunt D atque E. Sed D atque E vigies ac decies novies multiplicatus C numerus efficitur. Major igitur est proportio eorum, qui sunt A atque B, qui scilicet semitonium continent, quam ea quae est XX ad XIX. Demonstratum est igitur semitonium minus majorem quidem habere proportionem quam XX ad XIX, minorem vero quam XIX et semis ad XVIII et semis. Nunc idem minus semitonium commati comparemus, quod est ultimum auditui subjacens ultimaque [93b] proportio.

Igitur demonstrandum proponimus semitonium minus [138] majus quidem esse commatibus tribus, minus vero IIII, quod hinc facillime potes agnoscere.

Sint tres numeri ita dispositi, ut inter se proportionem contineant diapason et eam, quae dicitur VI tonorum. Sit enim A CCLXII[macron supra lin.].CXLIIII. Intendantur igitur ad B quidem V toni continui, et sit B CCCCLXXII[macron supra lin.].CCCXCII. Ad C autem diapason consonantia referatur, et sit C DXXIIII[macron supra lin.].CCLXXXVIII. Ad D autem intendantur VI toni sitque D DXXXI[macron supra lin.].CCCCXLI. His ita positis et constitutis manifestum est inter C atque D comma constitui eorumque differentiam esse VII[macron supra lin.].CLIII. Id autem sit K. Remittantur igitur duo toni ab eo quod est B ad id, quod est E, et sit E CCCLXXIII[macron supra lin.].CCXLVIII. Rursus ab eo quod est E intendo diatesseron ad id [94a] quod est F CCCCXCVII[macron supra lin.].DCLXIIII. Quoniam igitur inter E atque B duo sunt toni, inter E atque F diatesseron, inter B igitur atque F minus semitonium reperitur. Sublatis autem a diatesseron duobus tonis fit reliquum semitonium minus, quod in primis numeris constare praedixi CCLVI et CCXLIII. Quos eosdem numeros si millies nongenties quadragies quaterque multiplices, B atque F numeros explicabis (continentes scilicet semitonium). Quos necesse est eandem proportionem (id est semitonium) superius dictis numeris continere, qui uno atque eodem numero, id est M[macron supra lin.].DCCCCXLIIII pariter multiplicati creverunt. Item ab eo [139] quod est F intendo diatesseron, scilicet ad G, et sit G DCLXIII[macron supra lin.].DLII. Rursus ab eodem G remitto ad P duos tonos, et sit P DXXIIII[macron supra lin.].CCLXXXVIII. Quod P necesse est, ut eundem sonum, quem C numerus, exhibeat. Ad aequalitatem namque ejus tali ratione progressus est. Etenim ea, quae est A C diapason consonantia, quae constat V tonis ac duobus semitoniis minoribus, ab VI tonis commate superatur. Ab eodem igitur A termino numerus P V tonis ac semitoniis duobus recessit hoc modo. Ab eo quod est A usque ad id quod est B, V nimirum colliguntur toni, ab eo quod est B usque ad id quod est F, minus esse semitonium [94b] pernotatur. F vero atque P idem rursus semitonium minus includunt. Ab A igitur usque ad P V tonos ac duo semitonia minora produxit. Jure igitur P atque C eisdem numeris conscribuntur. Sed quoniam inter F atque C semitonium minus est, videamus haec quae sit eorum differentia, ut eam commati comparemus. Est autem eorum differentia XXVI[macron supra lin.].DCXXIIII, et sit hoc M. Igitur K commatis differentia est, M autem semitonii minoris. Si igitur K numerum tertio auxerimus, fiet numerus XXI[macron supra lin.].CCCCLIX. Et sit hoc L. Si vero quater eundem numerum K multiplicare volueris, fient XXVIII[macron supra lin.].DCXII. Et sit hoc N. Igitur M major quidem ab L, idem autem M minor est ab N. Sed N quater ducto commate succrevit, L autem tertio, M vero semitonii minoris obtinet differentiam. Jure igitur dictum est minus semitonium minus quidem esse quam IIII commata, majus vero quam tria (eo scilicet, quia differentia commatis triplicata facit minus quam sit differentia semitonii, sed quadruplicata facit majus. Idcirco nec tria commata minus semitonium complent, sed IIII excedunt.)

Eadem hac ratione et semitonium majus, quod apotome dici supra retulimus, quot commatum sit, possum invenire hoc [140] modo: Sit A CCLXII[macron supra lin.].CXLIIII. Quinque vero ab eo distans [95a] tonis sit B CCCCLXXII[macron supra lin.].CCCXCII. Sex vero distans tonis ab eo quod est A, sit D scilicet DXXXI[macron supra lin.].CCCCXLI. Inter B igitur atque D tonus est. B vero ab eo quod est C distet semitonium minus et sit C CCCCXCVII[macron supra lin.].DCLXIIII. Relinquitur ergo inter C atque D apotome proportio. Nam cum sit tonus B D, si ex eo auferas B C semitonium minus, C D relinquitur majus, quod apotomen esse supra retulimus. Inter D igitur atque C, quae est apotome, est differentia XXXIII[macron supra lin.].DCCLXXVII. Hic autem sit E. Sed erat commatis differentia VII[macron supra lin.].CLIII. Hic sit F. Si igitur F id quod est comma, quinquies multiplicem, fient mihi XXXV[macron supra lin.].DCCLXXV. Et sit hoc G. Si vero idem F quater multiplicem, fit K numerus, qui est XXVIII[macron supra lin.].DCXII. G igitur ab eo quod est E, majus est, K minus. Sed G quinquies auctum est comma, K vero quater. Est autem apotomes differentia E. Jure igitur dictum est apotomen minorem quidem esse quam V commata, majorem vero quam IIII.

Ex hoc igitur comprobatur tonum majorem quidem esse quam sunt VIII commata, minorem vero quam IX. Nam si minus semitonium majus quidem est quam tria commata, minus vero quam IIII, apotome autem major quidem est quam IIII commata, minor vero quam V, junctum [95b] semitonium minus semitonio majori, quod est apotome, erit omne majus quidem VIII commatibus, minus vero quam IX. Sed apotome atque semitonium minus unum efficiunt tonum. Major igitur tonus quidem est VIII commatibus, minor vero IX.

Sed quamquam per hanc ratiocinationem demonstratum sit, quemadmodum tonus commatibus comparetur, non est tamen quasi segnibus delassandum, quominus per se hanc contra commata comparationem retinere tonus ipse monstretur.

[141] Sit igitur A quidem CCLXII[macron supra lin.].CXLIIII, B autem quinque ab eo distans tonis CCCCLXXII[macron supra lin.].CCCXCII, C vero diapason ad id, quod est A continens symphoniam, scilicet in numeris DXXIIII[macron supra lin.].CCLXXXVIII, D autem ab eo quod est A VI totos differens tonos DXXXI[macron supra lin.].CCCCXLI. D igitur ab eo quod est C distat commate, VI toni ab diapason scilicet consonantia. Id autem sit E VII[macron supra lin.].CLIII. D autem ab eo quod est B tono integerrimo distat, VI scilicet toni V tonis. Id autem sit F LIX[macron supra lin.].XLIX. Si igitur E novies auxero, fiet mihi H LXIIII[macron supra lin.].CCCLXXVII, sin vero octies, fient LVII[macron supra lin.].CCXXIIII. Id sit G. Sed H quidem F numero comparatus superat, G vero superatur, et est F toni differentia, H autem novies multiplicatum comma, G vero octies. Demonstratus est [96a] tonus minor quidem IX esse commatibus, eisdem vero VIII commatibus major.

His praemissis licet majus semitonium minore semitonio commate distare monstratum sit, tamen id quoque per se et per subjectos numeros tali ratione monstrabitur. Sit A numerus CCCCXCVII[macron supra lin.].DCLXIIII. Ab eo vero semitonium minus distans sit B numerus, qui jam quoque supra descriptus est DXXIIII[macron supra lin.].CCLXXXVIII. Apotomen vero distet ab eo quod est A is numeris qui colliguntur unitatibus DXXXI[macron supra lin.].CCCCXLI. Et sit hoc C. Quoniam igitur A B minus semitonium, A C majus, id est apotome, differentia ejus quod est B ab eo, quod est C perquirenda est, ea est VII milia CLIII. Id sit D. Sed hic numerus dudum comma monstrabat. Inter majus igitur semitonium et minus comma differentiam facit.

Rursus demonstratum propono tonum duobus semitoniis minoribus commate esse solo majorem. Sit A numerus [142] CCCCLXXII[macron supra lin.].CCCXCII. Ab hoc intendatur tonus DXXXI[macron supra lin.].CCCCXLI, et sit hoc D. Ab eo vero quod est A, indendatur semitonium minus, quod est B, ac sit B CCCCXCV[macron supra lin.].DCLXIIII. Item ab eo, quod est B, semitonium aliud intendas minus quod est C, et sit C DXXIIII[macron supra lin.].CCLXXXVIII. Quoniam igitur A D tonus est, A C vero duo continent minora semitonia, videamus, haec quae sit differentia inter C atque D numeros constituta. [96b] Est autem E, scilicet unitatum VII[macron supra lin.].CLIII. Demonstratum est igitur tonum duobus minoribus semitoniis commate esse majorem.

Boetius libro quarto musicae.

Sed quoniam jam omnia, quae probanda promisimus, propria ratione monstrata sunt, nunc quod superest musicae institutioni, regularis monochordi facienda est partitio. Quam rem quoniam longior tractatus extendit, in posterioris commentarii disputationem censemus transferendam.

Haec Boetius.

Sed etsi omnia, quae demonstranda erant, superioris libri tractatione digessimus, ut libro quarto musicae dicit Boetius, non paenitet tamen rursus eadem breviter memoriae recolligenda praestare, cum quadam diversitate tractatus, ut his rursus ad memoriam redeuntibus ad regulae divisionem, quo tota tendit intentio, veniamus.

Si foret rerum omnium quies, nullum auditum sonus feriret. Id autem fieret, quoniam cessantibus cunctis motibus nullae inter se res pulsum cierent. Ut igitur sit vox, pulsu est opus. Sed ut sit pulsus, motus necesse est antecedat. Ut ergo sit vox, motum esse necesse est. Sed omnis motus habet in se tum velocitatem tum etiam tarditatem. Si igitur sit tardus in pellendo motus, gravior redditur sonus. Nam ut tarditas proxima stationi est, ita gravitas contigua taciturnitati. Velox vero motus acutam voculam [97a] praestat.

[143] Praeterea quae gravis est, intensione crescit ad medium, quae vero acuta, remissione decrescit ad medium. Unde fit, ut omnis sonus quasi ex quibusdam partibus constet videatur compositus. Omnis autem partium conjunctio quadam proportione committitur vel conjungitur.

Sonorum igitur conjunctio proportionibus conjuncta est. Proportiones autem principaliter in numeris considerantur. Proportio vero simplex numerorum vel in multiplicibus vel in superparticularibus vel in superpartientibus invenitur. Secundum multiplices vero proportiones vel superparticulares consonae vel dissonae voces exaudiuntur. Consonae quidem sunt, quae simul pulsae suavem permixtumque inter se conjungunt sonum, dissonae vero, quae simul pulsae non reddunt suavem nec permixtum sonum. His igitur ita praedictis de proportionibus pauca dicamus.

Si intervallum multiplex binario multiplicetur, id quod fit ex hac multiplicatione, intervallum multiplex erit. Sit multiplex intervallum B C et B multiplex ejus quod est C, et fiat ut C est ad B, ita B ad D. Quoniam igitur B multiplex est ejus quod est C, metitur C terminus (id est unitas per binarium, ut semel duo) id quod est B vel bis vel tertio vel deinceps, et est ut C ad B ita B ad D. Metitur igitur B terminus id quod est D. Quocirca quia C terminus id quod est B metitur, metitur [97b] etiam D (id est quaternarius, ut semel quatuor). Multiplex igitur est D ejus, quod est C, et est D C intervallum effectum ex composito bis copulatoque sibimet et per binarium multiplicato B C intervallo. In numeris quoque idem probatur.

Sit enim B ad C duplum, ut binarius ad unitatem, et fiat ut C ad B ita B ad D. Erit igitur D quaternarius. [144] Multiplex est autem B ad C, id est binarius ad unitatem. Multiplex est autem D ad C, id est quaternarius ad binarium. Multiplex igitur D quaternarius ad C unitatem. Est enim quadruplus quaternarius ad unitatem et binario multiplicata medietas, quod est intervallum B C.

Si intervallum binario multiplicatum multiplex effecerit intervallum, ipsum quoque multiplex erit. Sit intervallum B C et fiat ut C ad B ita B ad D et D sit ad C multiplex. Dico quia B ejus quod est C multiplex est. Quoniam enim D ejus quod est C, multiplex est, metietur. C id quod est D, metietur et B. Ostensum est enim, quoniam si sint termini proportionaliter constituti, cum primus fuerit ultimo comparatus, si fuerit ultimum mensus, metietur et medium. C igitur metietur id quod est B. Multiplex igitur B ejus, quod est C. Idem rursus ex numeris.

Sit C unitas, D vero ex dupla proportione. B C sit quaternarius [98a] et est multiplex ejus quod est C. Est enim quadruplus. Quoniam igitur quadruplus hic ex duplicata B C proportione generatur, B C proportio dimidium ejus erit, igitur B C proportio dupla est. Sed duplum multiplex est. Erit igitur B C proportio multiplex.

Superparticularis intervalli medius terminus nec unus nec plures proportionaliter, id est eadem proportione intervenient. Sit enim B C proportio superparticularis et in eadem proportione minimi sint D F et G. Quoniam D F et G minimi sunt in eadem proportione, sunt ejusdem proportionis primi. Quocirca sola eos unitas metietur. Auferatur [145] igitur G ab D F et relinquatur D. Hic D est igitur utrorumque mensura communis. Haec igitur erit unitas. Quocirca nullus inter F D atque G incidet numerus, qui sit ab F D quidem minor, major vero ab G. Sola enim interest unitas. Quanti vero in superparticularibus proportionibus proportionaliter inter ejusdem proportionis minimos intercident, tot etiam inter ceteros ejusdem proportionis incident. Sed nullus inter F D atque G minimos ejusdem proportionis intervenire potest. Nullus igitur inter B atque C proportionaliter cadet. Sed et in numeris.

Sit quaelibet proportio superparticularis, ut sesqualtera. Hi vero sint X et XV, in eadem vero proportione minimi II et III. Aufero de tribus binarium, fit reliqua unitas [98b] eademque utrumque metitur. Nullus erit igitur inter binarium ternariumque numerus, qui sit binario major, minor vero ternario. Alioquin unitas divideretur, quod est inconveniens. Quare ne inter X quidem atque XV quisquam invenitur numerus, qui talem ad X obtineat proportionem, qualem ad eum tenent XV.

Si intervallum non multiplex binario multiplicetur, nec multiplex est nec superparticulare. Sit enim intervallum non multiplex B C et fiat ut C ad B ita B ad D. Dico quoniam D ejus quod est C nec multiplex erit nec superparticularis. Sit, si fieri potest, primum D ejus quod est C multiplex, et quoniam cognitum est, si intervallum binario multiplicatum est multiplex, hoc intervallum esse multiplex. Erit igitur B C multiplex; sed non est positum esse multiplex. Non erit igitur D ejus quod est C multiplex, nec vero superparticulare. Nam superparticularis proportionis [146] medius proportionaliter terminus nullus intervenit. Inter D vero et C est proportionaliter terminus constitutus, id est B. Nam ut C est ad B, ita B ad D. Impossibile igitur erit D ejus quod est C vel multiplicem esse vel superparticularem, quod oportebat ostendere. Et in numeris.

Sit non multiplex intervallum VI ad IIII, fiatque ut sunt IIII ad VI ita VI ad alium quemlibet numerum. Erit igitur novenarius, qui quaternarii nec [99a] multiplex est nec superparticularis. Si intervallum binario multiplicetur, atque id quod ex ea multiplicatione creabitur, multiplex non sit, ipsum quoque multiplex non erit. Sit enim intervallum B C fiatque ut C ad B ita B ad D et non sit D ejus quod est C multiplex. Dico, quoniam nec B ejus quod est C erit multiplex. Si enim est, et D ejus quod est C, multiplex est. Attamen non est, non erit igitur B ejus quod est C multiplex.

Diapason consonantia ex diapente et diatesseron nascitur. XII cum sit sesqualter ad VIII, et VIII sesquitertius ad VI, XII cum sit duplus ad VI, facit ad ipsum diapason.

Duplex igitur intervallum ex duobus maximis superparticularibus conjungitur, sesqualtero et sesquitertio. Sit enim A quidem ejus quod est B sesqualter, B vero ejus quod est C sesquitertius. Dico quoniam A ejus quod est C est duplex. Quoniam igitur A sesqualter est ejus quod est B, igitur A habet in se totum B ejusque dimidium. Duo igitur A aequi sunt tribus B. Rursus quoniam B ejus quod est C sesquitertius est, B igitur habet in se totum C et ejus tertiam partem. Tres igitur B aequi sunt ad IIII C, unus igitur A. Tres autem B aequi erant duobus A. Duo igitur A aequi sunt ad IIII C, unus igitur A aequus duobus C. Duplex erit igitur A ejus quod est C. Et in numeris.

[147] Sit enim sesqualter XII ad VIII, sesquitertius vero VIII ad VI. Ergo XII ad [99b] VI duplices sunt. Ex duplici intervallo atque sesqualtero triplex intervallum nascitur. Sit enim A ejus quod est B duplex, B autem ejus quod est C sesqualter. Dico autem quoniam A ejus quod est C triplex est. Nam quoniam A ejus quod est B duplex est, A igitur duobus B aequus est. Rursus quoniam B ejus quod est C sesqualter est, B igitur habet in se totum C et ejus dimidiam partem. Duo igitur B aequi sunt tribus C. Sed duo B hic aequi erant uni A, unus igitur A aequus est tribus C. Igitur A uni C triplex est. Et in numeris.

Sit duplex quidem VI ternario, sesqualter vero ternarius binario. Senarius igitur triplex est binario.

Si sesqualtero intervallo sesquitertium demptum fuerit intervallum, erit quod relinquitur sesquioctavum. Sit enim A quidem ejus quod est B sesqualter, at vero C ejus quod est B sesquitertius. Dico quoniam A ejus quod est C sesquioctavus est. Quoniam enim A ejus quod est B sesqualter est, igitur A habet B et ejus dimidiam partem. Octo igitur A aequi sunt ad XII B. Rursus quoniam C ejus quod est B sesquitertius est, C igitur habet in se B et ejus tertiam partem. Novem igitur C aequi sunt ad VIII B. XII autem B aequi erant ad VIII A, et VIII A aequi sunt ad IX C. Igitur A aequus est ei quod est C et ejus octavae parti. A igitur ejus quod est C sesquioctavus est. Et in numeris. [100a]

Sesqualterum quidem intervallum sit novenarius ad senarium, sesquitertium vero octonarius ad senarium. IX igitur ad VIII sesquioctava proportio est.

Sex proportiones sesquioctavae majores sunt uno duplici intervallo. Sit enim quidam numerus A, hujus sit sesquioctavus B, hujus sesquioctavus K. Id autem fiat secundum [148] descriptum in arithmetica modum, et sint numeri A B C D F G K, et sit A CCLXII[macron supra lin.].CXLIIII. Hujus autem sesquioctavus, qui est B, CCXCIIII[macron supra lin.].DCCCXII. Hujus sesquioctavus, qui est C, CCCCXXXI[macron supra lin.].DCCLXXVI, hujus autem sesquioctavus, qui est D, CCCLXXIII[macron supra lin.].CCXLVIII, hujus sesquioctavus, qui est F, CCCCXIX[macron supra lin.].DCCCCIII, hujus sesquioctavus, qui est G, CCCCLXXII[macron supra lin.].CCCXCII, hujus autem sesquioctavus, qui est K, DXXXI[macron supra lin.].CCCXLI. Quod est K plus quam duplex est ad CCLXII[macron supra lin.].CXLIIII, quod est A. Sex igitur sesquioctavae proportiones ampliores sunt uno duplici intervallo.

Haec Boetius libro quarto.

Post hoc signanter de XIII speciebus diatonicis est dicendum, qui scilicet sunt unisonus, diapason, diapente, diatesseron, tonus, semitonium, ditonus, semiditonus, tonus cum diapente, semitonium cum diapente, ditonus cum diapente, semiditonus cum diapente, tritonus.

Unisonus in sonis est aequalitas in numeris, ut unitas ad unitatem et binarius [100b] ad binarium. Diapason in sonis est dupla in numeris, ut II ad I et IIII ad II. Diapente in sonis est sesqualtera in numeris, ut III ad II et VI ad IIII. Diatesseron in sonis est sesquitertia in numeris, ut IIII ad III. Tonus in sonis est sesquioctavus in numeris, ut IX ad VIII. Ditonus in sonis est super decem et VII partiens sexagenas quartas in numeris, ut LXXXI ad LXIIII. Semiditonus in sonis est super quinque partiens vicesimas septimas in numeris, ut XXXII ad XXVII. Semitonium in sonis est super XIII partiens ducentesimas quadragenas tertias in numeris, ut CCLVI ad CCXLIII. Semitonium cum diapente in sonis est super ducenta octoginta duo partiens [149] quadringentas octuagenas sextas in numeris, ut septingenti LXVIII ad CCCCLXXXVI. Tonus cum diapente in sonis est super XXII partiens tricesimas secundas in numeris ut LIIII ad XXXII. Ditonus cum diapente in sonis est super CCXXX partiens ducentesimas quinquagesimas sextas in numeris, ut CCCCLXXXVI ad CCLVI. Semiditonus cum diapente in sonis est super VII partiens nonas in numeris, ut XVI ad IX. Tritonus in sonis est super CCXVII partiens quingentenas duodecimas in numeris, ut septingenta XXIX ad quingenta XII.

18. De campanarum in horologiis musicum sonum debite exprimentium formationibus.

Ex hac autem reductione, qua scilicet [101a] reduximus proportiones harmonicas ad numerorum proportiones, necnon et ex prius habita simul et sequenti dimensione monochordi potest haberi modus et ars formandi companulas sonos musicos exprimentes in horologiis ponendas in hunc modum:

Nam si quis voluerit duas campanas fundere sonum toni facientes, quemadmodum istae duae faciunt claves [Gamma] scilicet et A re in gravibus, voluntati fundentis relinquitur, ut quantumcumque sibi placet de metallo recipiat, sive scilicet multum, sive etiam parum dictumque metallum in VIII partes dividat aequales, sumptoque alio metallo divisoque in IX partes dictis VIII partibus aequipollentes factisque campanis campana partium IX, puta IX librarum, faciet sonum clavis [Gamma] ut, campana vero VIII partium, puta VIII librarum, sonum faciet clavis A re.

Item ad faciendam campanam, quae faciat sonum clavis B mi in gravibus, dividatur metallum campanae A re in IX [150] partes aequales sumptoque alio metallo divisoque in VIII partes dictis IX partibus aequipollentes campana VIII partium faciet sonum clavis B mi in gravibus.

Ad faciendam vero campanam, quae faciat sonum clavis C fa ut, quae quidem cum jam dicta campana, scilicet B mi, facit semitonium, dividatur metallum campanae B mi in [101b] XVIII partes aequales sumptoque alio metallo divisoque in XVII partes dictis XVIII partibus aequipollentes campana XVII partium faciet sonum quem faciet C fa ut in gravibus.

Si quis autem facere vellet aliud semitonium inter B et C in gravibus, et ubicumque incidit semitonium per sesquisextam decimam proportionem, facere debet praecedentem scilicet campanam, puta B mi in gravibus, in XVII partes aequales dividendo. Sequentem vero campanam C fa ut in partes XVI prioribus aequipollentes vel secundum formam dictae dimensionis monochordi a [Gamma] ut in C fa ut, fiat proportio sesquitertia, ita scilicet, ut [Gamma] ut in aequales partes quatuor dividatur. Sumptoque alio metallo divisoque in tres partes aequales dictis scilicet partibus quatuor aequipollentes campana trium partium sonum faciet clavis C fa ut.

Eodem modo fiat in omnibus VIII tetrachordis et ultra usque in infinitum arte musica non artante. Sed restrinxit superfluum vendicans residuum suo proposito fore necessarium ars finitum infinitatis compendium. Eodem autem modo debent fieri proportiones cannarum sive fistularum plumbearum etiam argentearum in organis sicut diximus de proportionibus in campanis, modo scilicet primo vel etiam modo secundo. Qui quidem modi in subsequenti figura patebunt. [102a]

[151] 19. De monochordi dimensionibus et de ejusdem utilitatibus.

Quia autem ratio discretionis omnium harmonicarum clavium patere potest similiter ex dimensione monochordi, ideo consequenter est dicendum, qualiter mensurandum sit monochordum.

Sunt autem dimensiones monochordi diversae, quas omnes enarrare taedium potius quam profectum generaret. Quapropter compendiositatem sectantes ex multis faciliorem ac leviorem regulis nostris duximus inserendam. Primo igitur [Gamma] in sinistra parte monochordi est ponendum, a qua usque ad finem IX passus mensurentur aequales. Et tunc primus passus terminatur in A, secundus vacat, eo quod in nulla clavi dictarum clavium terminatur, tertius in D, quartus vacat, quintus in a acuto, sextus in d acuto, septimus in aa superacuto, reliqui vacant.

Item ab A gravi novenis passibus aequaliter dimensis ut prius primus passus terminatur in B gravi, secundus vacat, tertius in C gravi, quartus vacat, quintus in [sqb] quadro, sed acuto, sextus in e acuto, septimus in [sqb][sqb] quadro duplicato, reliqui vacant.

[152] Item a [Gamma] quatuor passibus aequaliter [102b] divisis primus terminatur in C gravi, secundus in G similiter gravi, tertius in g superacuto, quartus finem facit. Et secundum hanc quidem dimensionem quatuor scilicet passuum, totum monochordum rectissime mensurare poterit qui diligentiam voluerit adhibere. A quacumque enim clavi usque ad finem quatuor passus fiunt, diatesseron, diapente et diapason continent, ut patuit tres passus ex illis.

20. De sedibus tonorum duplicibus.

Deinde quidquid de harmonia diximus, ad tonorum metas volentes reducere sciendum est, quod VIII sunt modi, quos Guido abusive tonos dicit appellari ad formam scilicet VIII partium orationis, ut sicut ex VIII partibus orationis continetur omne quod dicitur, sic VIII modis moderetur omne quod canitur. Apud antiquos autem solum IIII tonos sive modos vel etiam tropos fuisse narrat Johannes. Qui quidem toni [103a] dicuntur modi a moderando sive a modulando, quia videlicet per eos cantus moderatur sive regulatur vel modulatur sive componitur. Quicumque enim [153] musicae artis habens notitiam cantum regularem componere curat, prius in corde suo destinat, ad quem tonum ipsum reducat. Nam qualitercumque cantus variatur in medio, semper tamen ad finalem per tropos, id est tonos, decenter convertitur. Quos autem nos tropos vel modos nominamus, Graeci phthongos vocant, quos moderni tonos appellant. Antiqui vero quandam in musica consonantiam tonum appellabant, quidam autem grammatici distinctiones et accentus orationis usurpato nomine. Rursus latini cantatores non parvam esse similitudinem prosaicae locutionis ad modum psallendi considerantes nomen ad hoc sanxerunt utrisque fore commune. Sicut enim toni grammatice sumpti in tres dividuntur species, gravem scilicet, circumflexum et acutum, ita et in cantu tres distinguuntur varietates. Nam cantus nunc in gravibus vagatur, nunc circa finales quasi quadam circumflexione versatur, nunc etiam in acutis movetur. Vel certe toni dicuntur ad similitudinem tonorum, quos Donatus distinctiones vocat. Sicut enim in prosa tres considerantur distinctiones, quae [103b] et pausationes appellari possunt, scilicet colon, id est membrum, comma, id est incisio, periodus, id est clausura sive circuitus, eo quod quando in prosa suspensive legitur, sicut verbi gratia "Anno quinto decimo imperii Tiberii Caesaris", in omnibus talibus punctis colon est. Quando autem punctus elevatur, sicut cum subjungitur: "sub principibus sacerdotum Anna et Caipha", comma est. Quando vero versus finitur, sicut post concluditur: "Zachariae filium in deserto", periodus est.

Ita et in cantu. Cantus enim in quarta vel in quinta a sua finali pausat aliquando, et tunc colon est, cum autem in medio ad finalem reducitur, comma est, cum vero pervenit ad finalem, periodus est. Satis ergo congrue toni distinctionum seu accentuum nomen sortiuntur, quorum varietates imitantur. Quod autem grammatici colon, comma et periodum dicunt, hoc in cantu quidam diastema, systema et teleusim nominant, per diastema distinctum ornatum cantus [154] significantes, qui fit, quando cantus non in finali, sed in alia decenter pausat, per systema vero conjunctum ornatum indicantes, quotiens scilicet in finali decens fit pausatio, per teleusim autem finem cantus denotantes.

Diastema autem proprie est vocis spatium [104a] vel duobus vel tribus vel pluribus sonis mutuatum intervallum, vel diastema certi tractatus pronuntiationis. Systemata vero proprie sunt principales partes musicorum. Sistere est interdum resistere vel prohiberi, id est aliquam rem in aliquo loco stare facit assistere, in medio adesse, consistere, habitare vel stare. Celeuma est clamor nautarum sive carmen super mortuos, ita dicit Papias.

Ne autem laboremus in aequivoco, sciendum, quod triplex est tonus, scilicet tonus artificialis, id est sesquioctava proportio, de qua diximus, tonus vulgaris et tonus differentialis. De tono igitur vulgari simul et differentiali hic intendimus.

Est autem vulgaris tonus totum modulationis corpus unius cujusque cantus. Unde et vulgariter, cum novus verus cantus, cujus toni sit quaeritur. Qui etiam tropus dicitur. Tropus autem secundum Johannem de Garlandia est regula, quae de omni cantu in fine dijudicat. Aliter tropus est species uniuscujusque diapason. Aliter adhuc tropus est, per quem cognoscimus principium, medium et finem cujuslibet meli. Tonus vero differentialis est in fine Gloria patri finalis inflexio vocis, secundum quam psalmodia antiphonae decenter conjungitur.

Quid autem Boetius quarto libro [104b] musicae de tonis senserit, obmissis vocabulis Graecis simul et litteris principaliter est dicendum. Ex diapason, inquit, consonantiae speciebus existunt qui appellantur modi, quos eosdem tropos vel tonos nominant. Species autem est quaedam positio propriam habens formulam secundum unumquodque genus [155] in uniuscujusque proportionis consonantiam facientis terminis constituta. Sunt autem tropi constitutiones in totis vocum ordinibus vel gravitate vel acumine differentes. Constitutio vero est plenum veluti corpus modulationis ex consonantiarum conjunctione consistens, quale est diapason et diapason et diatesseron vel bis diapason. Has igitur constitutiones si quis totas faciat acutiores vel graves totas remittat, secundum supradictas diapason consonantiae species efficiet modos VII, quorum nomina sunt haec: hypodorius, hypophrygius, hypolydius, dorius, phrygius, lydius, mixolydius. Horum vero sic ordo procedit:

Cur autem octavus modus, qui est hypermixolydius, adjectus est, hinc patet. Sit autem bis diapason consonantia haec: a, b, c, d, e, f, g, h, i, k, l, m, n, o, p. Diapason igitur consonantiam facit a ad id quod est [105a] h. VIII enim vocibus continetur. Primam igitur diximus esse speciem diapasiocam, quae est a--h, atque hic hypodorius modus, secundam vero b--i, et hic hypophrygius, tertiam c--k, et hic hypolydius, quartam d--l, id est dorius, quintam e--m, scilicet phrygius, sextam f--n, atque hic lydius, septimam g--o, et hic mixolydius. Relinquitur extra h--p, quae ut totus ordo impleatur, adjecta est. Atque hic octavus modus, quem Ptolemeus sic annexuit.

Haec Boetius hinc inde collectus.

Item quidam autem modernorum haec in nota ponentes aliter ordinare videntur. Dicunt enim notandum, quod secundum antiquos Graecos philosophos dicti toni VIII Graecis dictionibus nominantur, quia primus authentus dicitur dorius, secundus phrygius, tertius lydius, quartus mixolydius. [156] Plaga primi authenti dicitur hypodorius ab hypos, quod est sub, et dorius, quasi subdorio. Plaga vero secundi authenti hypophrygius dicitur ab hypos, et phrygius quasi subphrygio. Item plaga tertii authenti hypolydius dicitur ab hypos et lydius quasi sublydio. Plaga quarti authenti hypomixolydius dicitur ab hypos, quod est sub, et mixolydius, quasi submixolydio.

Cui modernorum positio concordare videtur, prima scilicet de tonis communibus, sed non secunda de tonis videlicet [105b] mixtis, dicentium hoc modo: Tonus, inquiunt, prout hic sumitur, est regula, quae de omni cantu dijudicat secundum principium, medium et finem. Tonorum autem alii principales sive authenti, scilicet impares, protus, deuterus, tritus, tetardus, id est primus, tertius, quintus et septimus, alii secundarii, sive plagales, scilicet pares: plaga proti, plaga deuteri, plaga triti, plaga tetardi, id est secundus, quartus, sextus et octavus. Protus autem Graece idem est quod primus, deuteros idem est quod secundus, tritos quod tertius, tetardos idem est quod quartus. Authentus vero auctorabilis Graece sonat, plagalis autem quasi partialis vel collateralis, ut exponit Johannes.

Modernorum autem expositio est ista: Impares, inquiunt, dicuntur authenti eo, quod sint sicut auctorabiles super pares. Nam authenticum Graece auctoritas dicitur Latine. Pares vero dicuntur plagales a plaga, quod est regio. Nam pares de regione sunt, de qua sunt impares, id est eundem finem participant, qui quidem finis regio appellatur. Vel possunt dici plagales, quasi subjugales a plaga, quod est infirmitas. Unde plagales dicuntur quasi infirmi respectu authentorum. Nam authenti ad octavam vel nonam [106a] leviter saliunt, plagales vero velut infirmi vix quintam notam vel sextam ascendere possunt etc. Item toni impares sunt illi, quos impar numerus tangit, toni vero pares, quos [157] numerus par tangit. Tonorum autem tam parium quam imparium haec est in sedibus convenientia scilicet in utrisque: Nam primus et secundus tonus terminantur in D gravi, tertius et quartus in E, quintus et sextus in F, septimus quoque et octavus in G gravi terminantur.

Et haec est prima tonorum sedes, scilicet tetrachordum finalium communium, in quo toni pares et impares finiuntur communiter. Secunda sedes est tetrachordum scilicet acutarum, in quo sicut et in primo dicti toni terminantur. Nam primus et secundus tonus terminantur in a cum re, tertius autem et quartus ibidem, sed in mi, item tertius et quartus in [sqb] quadro et acuto, quintus et sextus in c acuto, septimus et octavus in d acuto similiter.

21. De tonorum tam parium quam imparium regularibus intensionibus et remissionibus.

Licet autem toni conveniant in finalitatibus, differunt tamen in intensionibus et remissionibus. Nam omnes toni impares supra suam finalem VIII notis et licentialiter IX possunt ascendere, sub sua vero finali non plus quam unam descendere possunt. Pares autem toni supra suam finalem V notis et [106b] licentialiter VI possunt ascendere, sub sua vero finali IIII descendere possunt, quod patet inducendo per singula.

Primus enim tonus, qui est impar, in D gravi terminatus habet ascendere de D in d, et habet supra se unam licentialiter e et sub se unam C, et in D finalium communium finire.

Secundus autem tonus, qui est par, terminatus ibidem, habet ascendere de D in a et descendere de a in A, et habet super se unam licentialiter b fa et in D finalium communium finire.

[158] Item tertius tonus habet ascendere de E in e, et habet super se unam licentialiter f et sub se unam D et in E finalium communium finire.

Quartus autem tonus habet ascendere de E in [sqb] quadrum et acutum et descendere de [sqb] in B, et habet super se unam licentialiter c et in E finalium communium finire.

Similiter et quintus tonus habet ascendere de F in f et habet super se unam licentialiter g et sub se unam E et in F finalium communium finire.

Sextus vero tonus habet ascendere de F in c et descendere de c in C et habet super se unam licentialiter d et in F finalium communium finire.

Item septimus tonus habet ascendere de G in g et habet super se unam licentialiter [107a] aa et sub se unam F et in G finalium communium finire.

Octavus autem tonus habet ascendere de G in d et descendere de d in D, et habet super se unam licentialiter e et in G finalium communium finire.

Eodem autem modo omnes toni, scilicet tam pares quam impares, intenduntur et remittuntur, cum in secunda sua sede, scilicet in tetrachordo acutarum, finiuntur. Nam primus tonus habet ascendere de a in aa et habet super se unam licentialiter bb fa et sub se unam G et in a acuto finire cum re, similiter et tertius, sed cum mi terminatus ibidem. Secundus autem tonus habet ascendere de a in e et descendere de e in E, et habet super se unam licentialiter f et in a acuto finire cum re, similiter et quartus, sed cum mi terminatus ibidem. Item tertius tonus in [sqb] quadro sed acuto terminatus habet ascendere de [sqb] in [sqb][sqb] et habet super se unam licentialiter cc et sub se unam a et in [sqb] acuto finire. Quartus vero tonus habet ascendere de [sqb] in f et descendere de f in F, et habet super se unam licentialiter g et in [sqb] acuto finire. Item quintus tonus habet ascendere de c in cc et habet super se unam licentialiter dd et sub se unam [sqb] et in c acuto finire. Sextus vero tonus [107b] habet ascendere de c in g et descendere de g in G et habet super se unam licentialiter aa et in c acuto finire. Item septimus tonus habet [159] ascendere de d in dd et habet super se unam licentialiter ee et sub se unam c et in d acuto finire. Octavus vero tonus habet ascendere de d in aa et descendere de aa in a et habet super se unam licentialiter bb et in d acuto finire.

Hic notandum, quod dictae positionis sectatores in b acuto, ne parum utile videatur, tonum quintum et sextum finiunt, et iterum ut gamma ut talibus regulis astringatur ad tonos, primum tonum et secundum terminant in C gravi pares et impares intendentes et remittentes suo modo. Quod quidem inconveniens non videtur. Cum enim secundum Boetium species diapasonicae tonos constituant, tot toni fieri possunt, quot diapason inveniuntur in manu. Pulchriores autem et meliores tam ecclesiasticos quam alios cantus his vidimus regulis regulatos. Quidam tamen cantum ecclesiasticum a communi separantes de ipsis tonis ecclesiastici cantus dederunt regulas speciales tonorum scilicet permixtorum. Qui toni dicuntur mixti, eo quod tam pares quam impares ex authenta intensione remissioneque plagali miscentur. Ideo de ipsis secundum ipsos [108a] dicemus in speciali.

Omnis igitur cantus ecclesiasticus in mediis clavibus terminatur, hoc est in D E F G gravibus et in a [sqb] et c acutis. Et hoc est, quia nullus cantus ecclesiasticus supra suam finalem plus quam VIII notis potest ascendere vel sub sua finali descendere plus quam IIII notis. Praeter praedictas vero claves nullam supra vel subtus invenies, cui non desit plenitudo depositionis, IIII scilicet notarum, vel elevationis perfectio, hoc est VIII notarum. Igitur primus et secundus tonus terminantur in D gravi vel in a acuto cum re. Tertius et quartus tonus terminantur in E gravi vel in a acuto cum mi, vel in [sqb] quadro. De quibus talis datur regula: Quando cantus in praedictis clavibus terminatus ascendit ad sextam notam supra suam finalem vel ultra, tunc est authenti toni sive imparis, hoc est primi vel tertii, et hoc sive sub sua finali descendat III vel IIII notis sive non. Si vero sub sua [160] finali III vel IIII notis descendat et nusquam ad sextam notam vel ultra ascendat, tunc est toni paris seu plagalis, id est secundi vel quarti. Quodsi nec ad sextam notam supra suam finalem ascendat nec ad quartam vel ad [108b] tertiam sub sua finali descendat, tunc si melodia et virtus cantus in superioribus notis plus se tenuerit quam in inferioribus, erit ille cantus toni authenti sive imparis, si vero plus in inferioribus, erit toni plagalis sive paris.

Quintus et sextus tonus terminantur in F gravi vel in c acuto, septimus et octavus solum in G gravi terminantur. Et de his talis datur regula: Quando cantus in praedictis clavibus terminatus ad diapason seu duplam suae finalis ascendit, semper est authenti toni sive imparis, id est quinti vel septimi, sive sub sua finali descendat III vel IIII notis sive non. Si vero sub sua finali III vel IIII notis descendit et nusquam duplam suae finalis apprehendit, tunc est toni plagalis seu paris, id est sexti vel octavi. Quodsi nec praedicto modo ascenderit vel descenderit, tunc si melodia vel virtus cantus plus in superioribus se tenuerit, quam in inferioribus, erit cantus ille toni imparis, si vero plus in inferioribus, erit cantus ille toni paris.

22. De tonis ecclesiasticis in speciali et de eorundem differentiis, antiphonarum inchoationibus et psalmorum intonationibus.

Sequiter de intonationibus psalmorum et canticorum necnon et versuum introituum sive de tono differentiali, quod idem est.

Et primo de primo tono.

[Cserba, 160-61; text: Primus tonus [109a] sic incipit et sic flectitur et sic [161] mediatur, et sic finitur, F, G, a, b, E, D] [IERTDM1 07GF]

Solum tres differentias finalitatum primi toni ponimus, quia ad ipsas omnes aliae reducuntur. Sciendum autem, quod quandocumque primi toni antiphona incipit in C gravi, sicut illa:

[Cserba, 161,1; text: Haec est Regina virginum, C,D,E,F,G] [IERTDM1 07GF]

vel:

[Cserba, 161,2; text: In plateis, C, D, a, b] [IERTDM1 07GF]

et consimiles, semper primam differentiam habet. Quando autem incipit in D gravi, sicut illa:

[Cserba, 161,3; text: majorem caritatem, D, C, F, E] [IERTDM1 07GF]

vel:

[Cserba, 161,4; text: Vos amici, D, a, b, G] [IERTDM1 07GF]

et consimiles, secundam habet differentiam. Quando vero incipit in a acuto, sicut hae:

[Cserba, 161,5; text: Salve Regina, a, G, D, F, E] [IERTDM1 07GF]

vel:

[Cserba, 161,6; text: Erunt primi novissimi, a, G, F] [IERTDM1 07GF]

et consimiles, tertiam habet differentiam. Item quando incipit in F gravi, si mi re sequatur post fa, sicut hic:

[Cserba, 161,7; text: Volo Pater, Estote, F, E, D, a, G] [IERTDM1 07GF]

vel

[Cserba, 161,8; text: Apertis, F, a, G] [IERTDM1 07GF]

vel de fa per sol ascendat in la, sicut haec:

[Cserba, 161,9; text: Dominus, F, G, a] [IERTDM1 07GF]

et consimiles, tertiam habet differentiam. Quando autem [109b] incipit quidem in F gravi, sed descendit in ut et inde per re ascendit in la, sicut illa:

[Cserba, 161,10; text: Ave Maria, F, C, D, a, b] [IERTDM1 07GF]

vel

[Cserba, 161,11; text: Isti sunt Sancti qui, F, C, D, a, b] [IERTDM1 07GF]

et consimiles, secundam habet differentiam. Quando vero antiphona incipit quidem in F gravi, sed in notis inferioribus facit melodiam non statim ascendendo ad la, sicut ista:

[Cserba, 161,12; text: Pater, F, D, E, C] [IERTDM1 07GF]

et [162] ista:

[Cserba, 162,1; text: Ipsi soli, F, G, D, E] [IERTDM1 08GF]

et consimiles, primam habet differentiam.

Ad Magnificat autem et ad Benedictus sic solum juxta principium et in medio variatur:

[Cserba, 162,2; text: Gloria Patri et Filio et Spiritui Sancto, E u o u a e, F, G, a, b, E, D] [IERTDM1 08GF]

Ad introitum vero primi toni communiter sic:

[Cserba, 162,3; text: Gloria Patri et Filio et Spiritui Sancto. Sicut erat in principio et nunc et semper, et in saecula saeculorum amen, F, G, a, c, b, E, D] [IERTDM1 08GF]

Invitatoria tale habent Venite:

[Cserba, 162,4; text: Venite exultemus Domino [110a], C, D, a, b, G] [IERTDM1 08GF]

Responsoria talem solent habere cantum in versu:

[Cserba, 162,5; text: Gloria Patri et Filio et Spiritui Sancto, a, G, F, b, E] [IERTDM1 08GF]

Hic notandum, quod communes versus omnium tonorum, tam parium quam imparium, videntur esse alterius toni quam eorum responsum, quod esset inconveniens, si sic esset. Sed dicendum, quod debent judicari cum resumptionibus suorum responsoriorum, ut scilicet ibi terminetur cantus, ubi resumptio responsorii terminatur et unus sit cantus versus cum sua resumptione. Simile habetur frequenter in Graduali, quod responsorium est toni pars et versus est toni imparis. Sed unus est cantus responsorii cum suo versu et Alleluja cum suo versu.

[163] Secundo tono damus unam differentiam, ad quam aliae reducuntur. Igitur:

[Cserba, 163,1; text: Secundus tonus sic incipit, et sic flectitur et sic mediatur, et sic finitur, C, D, F, G] [IERTDM1 09GF]

Ad Magnificat autem et ad Benedictus sic variatur:

[Cserba, 163,2; text: Gloria Patri et Filio, et Spiritui Sancto, C, D, F, E, G] [IERTDM1 09GF]

Ad introitum vero [110b] secundi toni sic communiter:

[Cserba, 163,3; text: Gloria Patri et Filio et Spiritui Sancto. Sicut erat in principio et nunc et semper et in saecula saeculorum amen, C, D, F, E, G] [IERTDM1 09GF]

Invitatoria tale habent Venite:

[Cserba, 163,4; text: Venite exultemus Domino, D, C, F, G] [IERTDM1 09GF]

Responsoria talem solent habere cantum communiter in versu:

[Cserba, 163,5; text: Gloria Patri et Filio et Spiritui Sancto, C, D, F, G, E] [IERTDM1 09GF]

Tertio tono damus duas differentias, ad quas aliae reducuntur. Igitur dicendum quod:

[Cserba, 163,6; text: Tertius tonus sic incipit et sic flecitur, et sic mediatur, et sic finitur, G, a, c, d, [sqb]] [IERTDM1 09GF]

Quando antiphona tertii toni incipit in E gravi, sicut haec: "Dum complerentur" et consimiles, primam habet differentiam, ad omnes alias datur sequens differentia.

[164] Ad Magnificat autem et ad Benedictus sic communiter: [111a]

[Cserba, 164,1; text: Gloria Patri et Filio et Spiritui Sancto, G, a, c, d, [sqb]] [IERTDM1 10GF]

Ad introitum vero sic variatur:

[Cserba, 164,2; text: Gloria Patri et Filio et Spiritui Sancto. Sicut erat in principio et nunc et semper et in saecula saeculorum amen, G, a, c, d, [sqb]] [IERTDM1 10GF]

Invitatoria tale habent Venite:

[Cserba, 164,3; text: Venite exultemus Domino, c, [sqb], a, G] [IERTDM1 10GF]

Responsoria talem solent habere cantum communiter in versu:

[Cserba, 164,4; text: Gloria Patri et Filio et Spiritui Sancto, [sqb], d, c, a, G] [IERTDM1 10GF]

Quarto tono damus duas differentias, ad quas aliae reducuntur. Igitur:

[Cserba, 164,5; text: Quartus tonus sic incipit et sic flectitur et sic mediatur, et sic finitur, a, G, [sqb], F, E, c, d] [IERTDM1 10GF]

Quando quarti toni antiphona finitur in E gravi, primam habet differentiam, secundam vero habet, cum in a acuto finitur.

Ad Magnificat et ad Benedictus sic variatur:

[Cserba, 164,6; text: Gloria Patri et Filio [111b] et Spiritui Sancto, a, G, [sqb], F, E] [IERTDM1 10GF]

[165] Ad introitum vero sic:

[Cserba, 165,1; text: Gloria Patri et Filio et Spiritui Sancto, sicut erat in principio et nunc et semper, et in saecula saeculorum amen, a, G, [sqb], F, E] [IERTDM1 11GF]

Invitatoria tale habent Venite:

[Cserba, 165,2; text: Venite exultemus Domino, E, G, a, [sqb], c] [IERTDM1 11GF]

Responsoria talem solent habere cantum communiter in versu:

[Cserba, 165,3; text: Gloria Patri et Filio et Spiritui Sancto, a, G, F, E, D] [IERTDM1 11GF]

Quinto tono damus unam differentiam, ad quam aliae reducuntur. Igitur:

[Cserba, 165,4; text: Quintus tonus sic incipit et sic flectitur, et sic mediatur, et sic finitur, F, a, c, d, [sqb]] [IERTDM1 11GF]

Ad Magnificat quoque et ad Benedictus similiter.

Ad introitum autem sic in fine variatur:

[Cserba, 165,5; text: Gloria Patri et Filio et Spiritui [112a] Sancto, sicut erat in principio et nunc et semper et in saecula saeculorum amen, F, a, c, d, [sqb], G, F] [IERTDM1 11GF]

Invitatoria tale habent Venite:

[Cserba, 165,6; text: Venite exultemus Domino, c, d, a, [sqb]] [IERTDM1 11GF]

Responsoria talem solent habere cantum communiter in versu:

[Cserba, 165,7; text: Gloria Patri et Filio et Spiritui Sancto, c, d, a, [sqb], b] [IERTDM1 11GF]

[166] Sexto tono unam similiter damus differentiam, ad quam aliae reducuntur.

[Cserba, 166,1; text: Sextus igitur tonus sic incipit et sic flectitur et sic mediatur et sic finitur, F, G, a, b] [IERTDM1 12GF]

Ad Magnificat quoque et ad Benedictus sic variatur:

[Cserba, 166,2; text: Gloria Patri et Filio et Spiritui Sancto, F, G, a, b] [IERTDM1 12GF]

Ad introitum vero sic variatur:

[Cserba, 166,3; text: Gloria Patri et Filio et Spiritui Sancto, sicut erat [112b] in principio et nunc et semper et in saecula saeculorum amen, F, G, a, b, c, D] [IERTDM1 12GF]

Invitatoria tale habent Venite:

[Cserba, 166,4; text: Venite exultemus Domino, G, b, a, F, c] [IERTDM1 12GF]

Responsoria talem solent habere cantum communiter in versu:

[Cserba, 166,5; text: Gloria Patri et Filio et Spiritui Sancto, F, G, b, a, E] [IERTDM1 12GF]

Septimo tono damus duas differentias, ad quas aliae reducuntur. Igitur:

[Cserba, 166,6; text: Septimus tonus sic incipit et sic flectitur et sic mediatur, et sic finitur, c, d, f, e, [sqb], a] [IERTDM1 12GF]

Ad antiphonas septimi toni, quae incipiunt in G gravi, sicut haec:

[Cserba, 166,7; text: Transit pater, G, c, [sqb], d, e] [IERTDM1 12GF]

et consimiles, prima, ad omnes autem alias, sequens datur differentia.

[167] Ad Magnificat autem et ad Benedictus sic variatur:

[Cserba, 167,1; text: Gloria Patri et Filio et Spiritui Sancto, c, d, e, [sqb], a] [IERTDM1 13GF]

Ad introitum vero variatur sic:

[Cserba, 167,2; text: Gloria Patri et Filio et Spiritui [113a] Sancto, sicut erat in principio et nunc et semper, et in saecula saeculorum amen, G, c, [sqb], d, f, e, a] [IERTDM1 13GF]

Invitatoria tale habent Venite:

[Cserba, 167,3; text: Venite exultemus Domino, d, e, g, c, [sqb]] [IERTDM1 13GF]

Responsoria talem solent habere cantum communiter in versu:

[Cserba, 167,4; text: Gloria Patri et Filio et Spiritui Sancto, d, e, f, c, [sqb]] [IERTDM1 13GF]

Octavo tono damus duas differentias, ad quas aliae reducuntur. Igitur:

[Cserba, 167,5; text: Octavus tonus sic incipit et sic flectitur et sic mediatur, et sic finitur, G, a, c, d, [sqb]] [IERTDM1 13GF]

Prima differentia ad omnes octavi toni antiphonas, praeterquam ad antiphonam "Nos qui vivimus" communiter assignatur. Excipiuntur antiphonae, quae incipiuntur in c acuto, sicut istae: "Lumen ad revelationem" et "Ecce ancilla" et consimiles, ad quas sequens differentia assignatur. Ad antiphonam vero "Nos qui vivimus", communiter talis differentia [113b] datur:

[Cserba, 167,6; text: In exitu Israel de Aegypto, domus Jacob de populo barbaro. Manus habent et non palpabunt, pedes habent et non ambulabunt, non clamabunt in gutture suo, a, b, G, F, D, E] [IERTDM1 13GF]

[168] Ad Magnificat autem et ad Benedictus flexae et mediationes octavi toni sicut de tono secundo.

Ad introitum autem sic variatur:

[Cserba, 168,1; text: Gloria Patri et Filio et Spiritui Sancto, sicut erat in principio et nunc et semper, et in saecula saeculorum amen, G, a, c, [sqb], d] [IERTDM1 14GF]

Invitatoria tale habent Venite: Venite exultemus Domino.

Responsoria talem solent habere cantum communiter in versu:

[Cserba, 168,2; text: Gloria Patri et Filio et Spiritui Sancto, G, c, [sqb], d, a, F] [IERTDM1 14GF] [114a]

23. De dictorum cantuum [sqb] durali scilicet et b molli mutuis commutationibus.

Quando autem assignari debeat in cantu cujuslibet toni, tam paris quam etiam imparis, b rotundum et [sqb] quadrum, et quando non, et hoc tam in acutis quam in gravibus, non videtur praetereundum. Ad cujus quidem evidentiam primo et principaliter est notandum, quod nullus saepe dictorum trium cantuum est sufficiens ad complendam melodiam totius corporis uniuscujusque toni. Cujus ratio est, quia quilibet cantus dictorum trium cantuum, naturalis scilicet, [sqb] duralis et etiam b mollis, ut saepe diximus, solum constat ex VI notis. Harmonia vero tonorum imparium secundum communes regulas de ipsis tonis prius datas extendit se ad X notas, secundum autem regulas mixtas ad XII notas ut plurimum se extendit.

[169] Similiter et harmonia tonorum parium secundum regulas quidem communes extendit se ad IX notas, secundum autem mixtas regulas similiter ad notas IX ut plurimum se extendit. Non igitur solum unus cantus, sed duo, ut demonstrabitur, totam melodiam uniuscujusque toni naturaliter constituunt.

De tertio igitur cantu sic in tonis reiciendo sive vacante talis potest ratio assignari: [114b] Quod per pauciora fieri potest, per plura fieri non debet. Sed, ut jam diximus, vulgaris toni proportio per duos cantus perficitur. Ergo tertius superflue assumitur. Quod minus studiosis in speciali declarandum esse videtur, et primo de singulis tonis in sedibus gravibus terminatis.

Primi igitur toni in D gravi terminati melodiam, quae inclusis licentialibus extendit se a C in e acutum, duo cantus naturaliter perficiunt, scilicet naturalis primus et [sqb] duralis secundus, b mollis autem, quando in hoc tono et in aliis assumitur, sequens ratio declarabit.

Item secundi toni ibidem terminati melodiam, quae inclusa licentiali extendit se ab A in b rotundum sed acutum, duo cantus naturaliter efficiunt, cantus videlicet [sqb] duralis primus et cantus naturalis similiter primus. Cantus vero b mollis per accidens sumitur, scilicet solum propter notam licentialem.

Item tertii toni in E gravi terminati melodiam, quae inclusis licentialibus extendit se a D gravi in f acutum, duo cantus naturaliter efficiunt, scilicet cantus naturalis primus et cantus [sqb] duralis secundus.

Item quarti toni ibidem terminati melodiam, quae inclusa licentiali extendit se a B gravi in c acutum, [115a] duo cantus naturaliter efficiunt, videlicet cantus [sqb] duralis primus et secundus et cantus naturalis primus.

Item quinti toni in F gravi terminati melodiam, quae inclusis licentialibus extendit se ab E gravi in g superacutum, duo cantus naturaliter efficiunt, cantus scilicet naturalis primus et secundus et cantus b mollis primus.

Sexti vero toni ibidem terminati melodiam, quae inclusa licentiali extendit se a C gravi in d acutum, duo cantus [170] naturaliter efficiunt, scilicet cantus naturalis primus et b mollis similiter primus.

Item septimi toni in G gravi terminati melodiam, quae inclusis licentialibus extendit se ab F gravi in aa duplicatum, duo cantus naturaliter efficiunt, scilicet cantus naturalis primus et secundus et cantus [sqb] duralis secundus.

Octavi toni melodiam vero ibidem terminati, quae inclusa licentiali extendit se a D gravi in e acutum, duo cantus naturaliter efficiunt, scilicet cantus naturalis primus et cantus [sqb] duralis secundus.

Hoc idem potest ostendi de singulis tonis in tetrachordo acutarum finitis. Ut dicatur: Primi toni in a acuto terminati melodiam efficit [sqb] duralis secundus, naturalis secundus et secundus b mollis licentialem, idemque cantus et tertii toni ibidem terminati melodiam efficiunt, [115b] secundi autem toni primus et secundus naturalis et secundus [sqb] duralis, quarti vero toni primus b mollis et ceteri, qui et tonum secundum. Item tertii toni in [sqb] quadro terminati melodiam efficiunt secundus et tertius [sqb] duralis et secundus naturalis, quarti vero primus et secundus naturalis et secundus [sqb] duralis. Item quinti toni in c acuto terminati melodiam efficit cantus [sqb] duralis secundus et tertius et cantus naturalis secundus, sexti vero secundus [sqb] duralis et secundus naturalis. Item septimi toni in d acuto terminati melodiam efficit cantus [sqb] duralis secundus et tertius et cantus naturalis secundus, octavi vero [sqb] duralis secundus et naturalis secundus, licentialem quoque b mollis secundus. Hi igitur cantus, qui melodias tonorum naturaliter efficiunt, sumendi sunt in cantibus rejectis ceteris ratione qua diximus.

Praeterea tria melorum genera scilicet diatonicum, chromaticum et enharmonicum superius esse diximus. Horum autem primum, scilicet genus diatonicum, quod procedit in quolibet sui generis tetrachordo, ex duobus tonis [171] et minore semitonio, a quo et diatonicum dicitur, usus retinuit. Quare modernorum quidam virtute dicti generis in octo tetrachorda totam manum diviserunt. Sub his autem quatuor terminis sumptis virtualiter ut prius, scilicet ut re mi fa, cujuslibet tetrachordi, excepto ultimo, scilicet octavo, qui fit per mi fa sol la, tria intervalla constituuntur. Horum autem primum tetrachordum est [116a] a [Gamma] ut in C fa ut, secundum a C fa ut in F fa ut, quae etiam gravia dicuntur, tertium ab F fa ut in b fa acutum, quartum a G sol re ut in c sol fa ut, quae dicuntur acuta, quintum a c sol fa ut in f fa ut superacutum, sextum ab f fa ut in bb fa duplicatum, quae superacuta dicuntur, septimum autem a g sol re ut minutum in cc sol fa duplicatum, octavum vero a [sqb][sqb] mi in ee la, quae dicuntur excellentia.

Hic igitur notandum, quod si dicta tetrachorda, praecipue immediate sibi contigua, puta duo acuta, et etiam sextum et septimum non distincte, sed confuse in cantibus sumerentur, ordo utique diatonici generis tolleretur, quo utimur, ex quo cantus maximis dissonantiis subjaceret a sua natura discedens et in aliud genus incidens, quod quidem reprehensibile est et vitandum omnibus sensum habentibus. Valde igitur error illorum reprehensibilis est, qui primi toni communem versum saepe dicti generis sic lacerant abusive. Cum enim ditonum facere debeant ab a in F, ab a in G minus semitonium faciunt, ut eis trihemitonium chromatici generis dicendum remaneat. Corrumpentes alios quamplures errores illorum causa brevitatis relinquimus.

Ad propositum autem redeuntes dicimus, quod quandocumque [172] cantus, cujuscumque sit toni, sive in ipsa inchoatione, [116b] sive in medio cantus post quamcumque pausam intra terminos cujuscumque tetrachordi sumitur, ipsum usque ad finem totaliter est prosequendum ratione, quae potest colligi ex habitis, signaque ejusdem tetrachordi magis propter cantores quam propter musicos in libris musicis sunt signanda secundum regulas quae sequuntur speciales.

Igitur quando cantus in tetrachordo finalium communium terminatus, cujuscumque sit toni, in e acutum ascendit, signum quarti tetrachordi, per quod distinguitur a tertio, scilicet [sqb] quadrum ad differentiam b rotundi signari debet, eo quod in tali cantu viget secundus [sqb] duralis, et eodem modo, quando cantus in tetrachordo acutarum finitus in ee la excellentissimum ascendit, quod virtute primae rationis ostenditur.

Item quando cantus in tetrachordo finalium communium terminatus, cujuscumque sit toni, post pausam quamcumque in F gravi resumitur, sive in principio cantus sive in medio, sive etiam in fine, et ultra quam ad VI notas antequam pauset progreditur, signum tertii tetrachordi, per quod distinguitur a quarto, scilicet b rotundum ad differentiam [sqb] quadrati signari debet, eo quod in tali cantu viget b mollis primus, et e converso, si in G gravi resumitur et ultra quam ad VI notas progreditur, et [117a] eodem modo, quando cantus in f vel in g acuto resumitur, quod virtute secundae rationis ostenditur. Nam et tetrachorda synemmena genus diatonicum observant, de quibus nunc dicimus incidenter.

Synemmenon est additio abundantiae sive diminutio proportionum diatonici per modum harmoniae sumptum. Ipsius quatuor sunt species, secundum antiquos scilicet protosynemmenon, deuterosynemmenon, tritosynemmenon, [173] tetrasynemmenon. Tamen secundum optimos practicos plura alia inveniuntur in sectione chordae monochordi, cujus extrahendi modus talis est processus. Sumantur voces sive elementa musicae IIII virtute qua prius, haec scilicet mi fa sol la, et ponatur primum tetrachordum synemmenon in unum a [Gamma] in C, ita tamen, quod in primo tetrachordo et in aliis omnibus, semitonium duos tonos antecedat. Secundum tetrachordum est ab A in D, tertium a C in F, quartum a D in G, quae dicuntur gravia, quintum ab F in b fa, sextum a G in c, septimum a c in f, octavum a d in g, quae nominantur acuta, nonum ab f in bb fa, decimum et ultimum a g in cc, quae superacutae dicuntur. Dicitur autem synemmenon a syn, quod est con, et mene, defectus, quasi cum defectu. Deficiunt enim ab ordine primae positionis primorum tetrachordorum.

Licet autem in discantibus synemmena sint utilia, [117b] tamen cantus ecclesiasticus ipsa non recipit ullo modo. Qualiter autem ex dimensione procreentur ipsius monochordi, ex praedictis fit manifestum.

24. De modo faciendi novos ecclesiasticos et omnes alios firmos sive planos cantus.

Jam vero per multa exempla, quomodo scilicet tropi variantur, demonstravimus. Nunc quoque de ipsorum qualitate subvertendum videtur, quia scilicet diversi diversis delectantur modis. Sicut enim non omnium ora eosdem cibos, sed ille quidem acrioribus, iste vero lenioribus escis [174] juvatur, ita profecto non omnium aures unius et ejusdem modi sono delectantur, sed alios morosa et curialis soni vagatio delectat, alios rauca gravitas capit, alios severa et quasi indignans harmoniae prosultatio juvat, alios adulatorius sonus attrahit, alii etiam modesta ac subitanea notarum ad finalem regressione moventur, alii lacrimosa voce mulcentur, alii inimicos saltus in cantu libenter audiunt, alii vero decentem et quasi matronalem canorem diligunt. Quapropter in componendis cantibus hoc primum musicus facere debet, ut talem cantum faciat, in quo quidem convicit delectari hos, quibus cantum placere desiderat.

Quoniam autem musicus cantus, ut diximus, commovet animos auditorum, eo quod aures mulcet, mentem erigit, proeliatores ad [118a] bella concitat, latrones exarmat, iracundos mitigat, tristes laetificat, discordes pacificat, varias cogitationes eliminat, freneticorum rabiem temperat, horum autem quaedam efficit ordo prosaicus. Ideo secundario necessarium est cantum componenti, quod scilicet ita proprie cantum componat, ut quod verba sonant, cantus videatur exprimere et ibi cantus pausationem recipiat, ubi finalis sensus verborum facit pausationem.

[175] Tertio necessarium est musico, ut ipsum quem facit cantum, ad aliquem dictorum tonorum reducat, maturum tamen et tristem ad aliquem tonorum parium, lascivum vero et laetum ad aliquem tonorum imparium sive principalium.

Quarto necessarium est, ut unicuique syllabae dictionis naturaliter et principaliter et per se una tantum nota respondeat, per accidens vero fiat earundem notarum additio, scilicet secundum differentias litterarum. Nam litterae alphabeti primo differunt per has V vocales, scilicet A E I O U, et alias omnes consonantes. Ipsae vero consonantes similiter differunt. Sunt enim aliae semivocales, aliae mutae. Inter semivocales vero quaedam liquidae dicuntur. Vocales autem sunt, quae directo hiatu faucium sine ulla collisione varie emittuntur. [118b] Sic dictae eo, quod per se vocem impleant et per se syllabam faciant nulla consonante adhaerente. Consonantes sunt, quae diverso motu linguae vel impressione labiorum sonum efficiunt. Sic vocatae, quia per se non sonant, sed junctae vocalibus consonant. Semivocales autem dicuntur eo, quod aliquid de vocalibus habeant. Ab e quippe vocali incipiunt et in naturalem sonum desinunt, sicut istae VI F, L, M, N, R, S. Mutae vero sic dictae, quia subjectis sibi vocalibus nunquam erumpunt. Si enim eis extremum extraxeris, sonum inclusum murmur sonabit, et sunt istae VI: b, c, d, g, p, t.

Quando igitur syllaba terminatur in aliquam vocalium et praecipue dictio monosyllaba, plures notae sibi naturaliter debent addi, quam cum terminantur in has duas vocales, id est s et v, cum in metro vim obtinent consonantium, [176] et minus his in semivocales terminatis, et adhuc his pauciores, id est sola plica longa vel brevis, terminatis in liquidas, et iterum pauciores terminatis in mutas, et non plus quam unam notam in h, quae non dicitur littera, sed aspirationis nota, similiter in y et x syllabis terminatis, quae quidem litterae superfluae a grammaticis [119a] judicantur, x tamen propter vim duplicis consonantis secundum aliquos notarum recipit additionem.

Finaliter igitur est notandum, quod omnes syllabae, praecipue dictiones monosyllabae, sive sint longae sive breves, sive etiam indifferentes, ut diximus, terminate additiones notarum recipiunt secundum differentias litterarum, et hoc in unoquoque modo et numero ad placitum componentis, secundum videlicet quod exigit harmonica pulchritudo. Ad haec autem tonorum gradus maxime valent. Nam duo sunt principales tonorum gradus sibi invicem contrarie oppositi, pulcher scilicet et turpis, qui etiam sicut pulchrum et turpe gradus comparationis recipiunt, intensive scilicet et remissive. Nam pulchrorum graduum alius pulcher, alius pulchrior, alius pulcherrimus, turpium autem alius turpis, alius turpior, alius turpissimus. Licet autem talibus differentiis a se invicem distinguantur, tamen nullus eorum reici debet, cum secundum materiae exigentiam unusquisque competens esse monstretur. Nam poetarum mos est, ut aliquando de turpi, tristi vel horribili, aliquando vero de turpiori, tristiori et horribiliori, aliquando autem de turpissima, tristissima et horribilissima materia decantent carmina. Quibus autem turpis, turpior et turpissimus tonorum [119b] gradus competant, nulli est ambiguum.

Nunc de eorundem graduum proprietatibus est dicendum. Est igitur pulcher tonorum gradus uniuscujusque toni sive mixti, sive communis, qui solum ex his contexitur modis, scilicet ex unisono non plus quam ad notas quatuor, vel ex semitonio, tono, semiditono et ditono indifferenter, ex diatesseron raro remissive rarius intensive, sed indifferenter [177] post unamquamque pausam resumitur. Similiter et ex diapente raro intensive, rarius remissive, sed aliquando paecipue in tonis tonorum imparium post unamquamque pausam sumitur, sed indifferenter, ut in sequentiis versus post versum sumitur. -- Hic tamen gradus a sequenti deficit. Non enim in sua finali incipit, vel si in finali incipit, clamose ut in diapente vel in diatesseron salit, et iterum, si in uno et eodem cantu dictos modos frequenter ingeminat, sicut, verbi gratia, quantum ad inceptionem in evangelio "Liber generationis", quantum vero ad alia in Alleluja "Virga Jesse floruit". Item si in principio sui cantus mediocriter ascendit et descendit, reliquum vero totum clamose determinet, sicut in Alleluja "In die resurrectionis meae", et, quod deterius est, et magis defectuosus est si terminos tonorum suorum non implet. [120a]

Hoc gradu alius pulchrior est, qui quidem ex eisdem modis sicut et primus complectitur, sed non eodem modo utitur eisdem. Nam unisonum non plus quam ad tres notas recipit, ex semitonio vero, tono, semiditono et ditono indifferenter sicut et primus contexitur, ex diatesseron indifferenter post unamquamque pausam resumitur et ex diapente modo quo de gradu primo jam diximus. -- Hic iterum gradus a tertio deficit. Siquidem primi gradus imitatur defectus. Si enim in sua finali incipit, cujuscumque sit toni, tamen imparis, si in principio non procedit a tertia, puta a semiditono vel ditono, quod imparibus est proprium, tamen imparium metas complectitur. Unde etiam tales notae dicuntur authenticae; et similiter si in sua finali incipit, cujuscumque sit toni, tamen paris, si in principio non procedit a secunda, puta a semitonio et tono, quod paribus proprium est. Unde etiam tales notae plagales dicuntur.

Hic est dictum, quod sint plagales notae in paribus, verbi gratia sicut Alleluja "Pie pater" et antiphona "O lumen ecclesiae", quae etiam tonorum parium [178] propter notas plagales a cantatoribus intitulantur eronee. Et e converso, si scilicet authenticae notae tonis jungantur plagalibus, et iterum, si terminos tonorum suorum etiam quantum ad ipsas notas licentiales non implent, secundus gradus deficit a tertio. [120b]

Quapropter tertius gradus, qui nulli jam dictorum defectuum subjacet, est pulcherrimus. Hic enim gradus, sicut et duo primi, ex praefatis quidem modis complectitur, sed non hisdem modis utitur eisdem. Nam unisonum raro et non plus quam ad duas notas recipit. Ex semitonio vero, tono, semiditono et ditono toni impares in medio et in fine, toni vero pares in toto conficiuntur, ex diatesseron, qui non alias quam indifferenter post unamquamque pausam resumitur, ex diapente vero, in quo rarissime, nisi in imparibus solum tonis post pausam resumitur et in eisdem semel tantum remittitur, insuper et omnium tonorum suorum terminos, etiam quantum ad notas licentiales complectitur, sicut responsorium beati Petri Martyris illud "Dum Samsonis". Et hoc exemplum quantum ad pares, et Alleluja ejusdem, scilicet "Felix ex fluctu triplici", et hoc quantum ad impares.

Ex his tribus autem gradibus duo alii sunt, unus qui ex aliquibus, alter, qui conficitur ex omnibus, qui etiam mixti dicuntur.

Hic igitur est quinto notandum, quod si musicus pulcherrimam historiam de sancto vel de sanctis facere cupit, hunc in faciendo ordinem debet habere, ut scilicet antiphonam vel antiphonas in primis vesperis super psalmos statuat in duobus mixtis gradibus, et similiter omnes antiphonas [121a] in laudibus in matutinis. Antiphonas vero scilicet ad Magnificat in primis vesperis et in secundis, et etiam ad Benedictus, in missa sequentiam faciat de gradu pulcherrimo, sive de tertio, primum autem nocturnum cum antiphonis, responsoriis et versibus de primo gradu, secundum de secundo, tertium vero de tertio gradu constituat.

[179] Item turpis gradus est, cum cantus tonorum excedens limina ex omnibus modis, ex quibus et omnis cantilena, indifferenter contexitur, velut hic cantus: Ter terni sunt modi etc. Secundus gradus turpior est, cum cantus tonorum non implens vel transgrediens limina ex asperioribus modis, puta ex unisono usque etiam ad XX notas pluries ingeminato, similiter et ex ditono, ex diatesseron et ex diapente, ex semitonio cum diapente et ex tono cum diapente, ex duplici diatesseron et ex diapason conficitur. Sed turpissimus et tertius gradus est, qui praedictorum graduum defectibus omnibus innititur constans ex tritono, etiam ex tetrachordis synemmenis sumpto, similiter et ex minore diapente, semitonio cum diapente, tono cum diapente et ex duplici diatesseron.

Ex his autem et alii duo gradus consurgunt, qui etiam mixti dicuntur, unus scilicet, qui ex aliquibus, alter vero, qui conficitur ex omnibus. Ad quos etiam cantus poetarum [121b] reducitur, ut diximus. In cantu vero ecclesiastico sunt vitandi, nisi quandoque in cantu feriali vel etiam flebili, puta passionis Dominicae cum praefatis tamen gradibus temperati sumantur.

Plures his regulas, cum ad istas reduci possint, causa brevitatis dimittimus.