Back to top

[46] <BREVIS SUMMULA PROPORTIONUM QUANTUM

AD MUSICAM PERTINET

PROSDOCIMI DE BELDEMANDIS DE PADUA>

Adsit principio Virgo Maria meo.

1. Tibi, dilecte frater, tuus Prosdocimus de Beldemandis patavus de nocte laboravit ob tui intentum plenissime adimplere brevem summulam proportionum musice applicabilium ex dictis antiquorum doctorum extrahendo; pridem itaque distinctionem de proportione premittit quam et alii premittere consueverunt, que talis est.

2. In duplici manerie proportio reperitur: quedam namque est proportio comuniter dicta, que sic describi potest: proportio comuniter dicta est aliquorum comparatorum in aliquo univoco adinvicem habitudo, et dicitur in aliquo univoco propter maiorem expressionem, quoniam in [48] equivocis nulla reperitur comparatio, ut asserit Aristotiles primo Thopicorum, capitulo de inventione secundi instrumenti quo in sillogismis dyalenas habundamus, ex qua descriptione habere possumus proportionem comuniter dictam in omnibus que equalitatem et inequalitatem, similitudinem et dissimilitudinem, magis et minus suscipiunt, reperiri; quedam vero est proportio proprie dicta, que etiam sic describi potest: proportio proprie dicta est plurium quantitatum eiusdem generis propinqui adinvicem habitudo; et dicitur eiusdem generis propinqui quoniam una quantitas continua cum una quantitate discreta proprie proportionari non potest, cum non sint eiusdem generis propinqui, sed bene remoti, ut notum est, ex qua descriptione comprehendere possumus proportionem proprie dictam solum in hiis que equalitatem et inequalitatem suscipiunt, hoc est in quantitatibus, reperiri.

3. Ista distinctione sic posita eiusque membris declaratis, primum dimittendo quia nichil ad propositum, secundum agredior, quod proposito [50] nostro pertinet, et ipsum taliter subdivido, et dico quod duplex est proportio proprie dicta, scilicet rationalis et irrationalis, que ambe sic describi possunt: proportio rationalis est plurium quantitatum commensurabilium adinvicem habitudo; proportio irrationalis est plurium quantitatum incommensurabilium adinvicem habitudo; pro quarum duarum descriptionum declaratione est sciendum quod ille quantitates commensurabiles dicuntur quibus reperitur una comunis mensura quamlibet illarum quantitatum commensurare potens; ille vero dicuntur quantitates incommensurabiles quibus nulla talis comunis mensura reperitur.

[52] 4. Ulterius vero procedendo subdivido primum membrum istius subdivisionis, quia secundum nichil facit ad propositum, unde dico quod duplex est proportio rationalis: quedam namque est proportio equalitatis, et est illa que est plurium quantitatum equalium adinvicem habitudo; quedam vero est proportio inequalitatis, et est illa que est plurium quantitatum inequalium adinvicem habitudo, que etiam in duo membra subdividitur, quia quedam est proportio maioris inequalitatis, et est maioris quantitatis ad minorem habitudo; quedam vero est minoris inequalitatis, et est minoris quantitatis ad maiorem habitudo; et quia in talibus proportionibus inequalitatis reperitur excessus et differentia, est sciendum quod excessus et differentia sunt termini sinonimi; et est excessus sive differentia illud quo maior quantitas minorem excedit.

5. Proportio vero maioris inequalitatis in quinque subdividitur species, quarum tres prime sunt simplices, scilicet proportio multiplex, proportio superparticularis, et proportio superpartiens; relique vero due sunt composite, scilicet proportio multiplex superparticularis et proportio multiplex superpartiens. Proportio multiplex dicitur quando maior quantitas continet minorem pluries et nichil ultra. Proportio vero superparticularis dicitur quando maior quantitas continet minorem semel et non pluries et cum hoc aliquid ultra quod est pars aliquota quantitatis minoris; pro cuius descriptionis atque aliarum sequentium declaratione est sciendum quod partium alicuius quantitatis quedam dicitur pars aliquota, et est illa que aliquotiens sumpta reddit precise suum totum; quedam vero dicitur pars non [54] aliquota, et est illa que quotienscunque sumatur nunquam reddit precise suum totum, sed aut plus aut minus. Proportio vero superpartiens est quando maior quantitas continet minorem semel et non pluries et cum hoc aliquid ultra quod non est pars aliquota quantitatis minoris. Proportio vero multiplex superparticularis est quando maior quantitas continet minorem pluries et cum hoc aliquid ultra quod est pars aliquota quantitatis minoris. Proportio autem multiplex superpartiens est quando maior quantitas continet minorem pluries et cum hoc aliquid ultra quod non est pars aliquota quantitatis minoris. Et habet quelibet istarum quinque specierum infinitas species sub se.

6. Prima namque species proportionis multiplicis est proportio dupla, et est quando maior quantitas continet minorem precise bis; secunda vero species est proportio tripla, et est quando maior quantitas continet minorem precise ter; tercia vero species est proportio quadrupla, et est quando maior quantitas continet minorem precise quater; quarta vero species est proportio quintupla, et est quando maior quantitas continet minorem precise quinquies; et sic in infinitum augmentando, secundum quod numerus in infinitum est augmentabilis.

7. Prima vero species proportionis superparticularis est proportio sexquialtera, et est quando pars aliquota quantitatis minoris que est excessus sive differentia maioris quantitatis ad minorem est ipsius quantitatis minoris medietas; secunda vero species est sexquitercia, et est quando pars aliquota [56] quantitatis minoris, et cetera, est ipsius quantitatis minoris tercia pars; tercia vero species est proportio sexquiquarta, et est quando pars aliquota quantitatis minoris, et cetera, est ipsius quantitatis minoris quarta pars; quarta vero species est sexquiquinta, et est quando pars aliquota quantitatis minoris, et cetera, est ipsius quantitatis minoris quinta pars; et sic in infinitum augmentando, secundum augmentationem indeterminatam numerorum.

8. Prima vero species proportionis superpartientis est proportio superbipartiens, et est quando pars non aliquota quantitatis minoris que est excessus sive differentia maioris quantitatis ad minorem continet in se duas partes aliquotas quantitatis minoris, sive duas unitates si numeri sint; secunda vero species est proportio supertripartiens, et est quando pars non aliquota quantitatis minoris, et cetera, continet in se tres partes aliquotas quantitatis minoris, sive tres unitates si numeri sint; tercia vero species est proportio superquadripartiens, et est quando pars non aliquota quantitatis minoris, et cetera, continet in se quatuor partes aliquotas quantitatis minoris, sive quatuor unitates si numeri sint; quarta vero species est proportio superquinquepartiens, et est quando pars non aliquota quantitatis minoris, et cetera, continet in se quinque partes aliquotas quantitatis minoris, sive quinque unitates si numeri sint; et sic in infinitum secundum quod sine statu procedimus in augmentando numeros.

9. Et iterum circa istam terciam speciem considerare debemus quomodo se habeat quelibet partium aliquotarum sive unitatum illius partis [58] non aliquote que est excessus sive differentia maioris quantitatis ad minorem respectu quantitatis minoris, scilicet an sit tercia vel quarta vel quinta vel sexta pars, et sic ultra, respectu illius quantitatis minoris, quoniam secundum talem variationem dividetur adhuc ista tercia species in species infinitas et similiter ipsius speciei species enumerate, et hoc secundum innumerabilem processum numerorum, nam si sit tercia pars, habebimus unam speciem, et primam, que superpartiens tercias nuncupatur; si vero sit quarta pars, secundam speciem habebimus, que superpartiens quartas dicitur; si vero sit quinta pars, terciam speciem habebimus, que superpartiens quintas vocatur; et sic ultra sine fine; et si istas species cum aliis speciebus istius tercie speciei adiungamus, nomina magis specifica componemus, ut superbipartiens tercias, superbipartiens quintas, superbipartiens septimas, et sic ultra; item supertripartiens quartas, supertripartiens quintas, supertripartiens septimas, et sic sine statu procedendo; et sic de aliis speciebus.

10. Species vero quarte et quinte speciei principalis composite, scilicet multiplicis superparticularis et multiplicis superpartientis, variantur et multiplicantur secundum multiplicationem et variationem specierum trium specierum simplicium superius nominatarum si adinvicem iungantur; unde sicut hic coniunguntur adinvicem due species principales simplices in compositione istarum duarum compositarum, scilicet multiplicis superparticularis et multiplicis superpartientis, ita coniungi debent ipsarum species adinvicem si species istarum compositarum invenire volumus, ut dupla sexquialtera, que est quando maior quantitas continet minorem bis et cum [60] hoc aliquid ultra quod est medietas quantitatis minoris; et dupla sexquitercia, que est quando maior quantitas continet minorem bis et cum hoc aliquid ultra quod est tercia pars quantitatis minoris; et sic ultra; item tripla sexquialtera, que est quando maior quantitas continet minorem ter et cum hoc aliquid ultra quod est medietas quantitatis minoris; et tripla sexquitercia, que est quando maior quantitas continet minorem ter et cum hoc aliquid ultra quod est tercia pars quantitatis minoris; et sic ultra; item dupla superbipartiens, que est quando maior quantitas continet minorem bis et cum hoc aliquid ultra quod continet in se duas partes aliquotas quantitatis minoris; et dupla supertripartiens, que est quando maior quantitas continet minorem bis et cum hoc aliquid ultra quod continet in se tres partes aliquotas quantitatis minoris; et sic ultra; item tripla superbipartiens, que est quando maior quantitas continet minorem ter et cum hoc aliquid ultra quod continet in se duas partes aliquotas quantitatis minoris; et tripla supertripartiens, que est quando maior quantitas continet minorem ter et cum hoc aliquid ultra quod continet in se tres partes aliquotas quantitatis minoris; et sic ultra.

11. Unde quantum ad multiplicitatem respicere debemus quotiens maior quantitas minorem continet; quantum vero ad superparticularitatem vel superpartialitatem debemus respicere ad partem aliquotam vel non aliquotam remanentem et ad partes aliquotas, sive unitates, ipsarum partium non aliquotarum; si species compositas bene habere volumus et taliter alias species habere poterimus, ut dupla superbipartiens tercias, que est quando maior quantitas continet minorem bis et cum hoc aliquid ultra quod continet in se duas partes aliquotas quantitatis minoris quarum quelibet est tercia pars [62] ipsius quantitatis minoris; et tripla supertripartiens quartas, que est quando maior quantitas continet minorem ter et cum hoc aliquid ultra quod continet in se tres partes aliquotas quantitatis minoris quarum quelibet est quarta pars ipsius quantitatis minoris; et sic sine fine.

12. Proportio vero minoris inequalitatis quinque etiam habet species, tres scilicet simplices, que sunt submultiplex, subsuperparticularis, et sub-superpartiens, et duas compositas, scilicet submultiplex superparticularis et submultiplex superpartiens; et habet unaqueque istarum quinque specierum ita infinitas species secundum infinitam multitudinem numerorum, sicut habet unaqueque quinque specierum proportionis maioris inequalitatis, et sumuntur et variantur eodem modo sicut ille, nec differunt ab illis nisi per additionem istius termini sub ante quamlibet speciem istius proportionis minoris inequalitatis, qui terminus denotat comparationem minoris quantitatis ad maiorem.

13. Hec ergo sunt que breviloquus sumavi tibi de proportionibus musice applicabilibus, multa que istis sinonima sunt propter brevitatem dimittendo; sume ergo ea et ipsa corrige prout opportunum tibi videtur. Amen.

14. Explicit brevis summula proportionum quantum ad musicam pertinet per Prosdocimum de Beldemandis patavum taliter ordinata. Amen.