Back to top

[f.f1r] Jacobi Fabri Stapulensis Elementa Musicalia ad clarissimum virum Nicolaum de Haqueuille inquisitorium Presidentem.

DEcreueram clarissime vir nulli meas elementorum musicalium qualescunque sunt prius dicare vigilias: quam probatas cognouissem. quamuis id me minime lateret, demonstrationes: in quibus vel solis vis scientie consistit: non probari non potuisse. Uerum si presentium iudicia parui ducis, reputasque: hi tibi ex antiquis summopere musicos commendare labores iure valebunt.

Mercurius               Tamyras                    Ptolomeus
Orpheus                 Hysmenias Thebanus         Eubolides
Pythagoras Samius       Terpander Lesbius          Hippasus
Amphion Thebanus        Lycaon Samius              Aristoxenus
Linus                   Prophrastus Periotes       Philolaus Pythagoricus.
Arion Lesbius           Estiacus Colophonius.      Archytas Tarentinus
Mydas Phrygius          Tymotheus Milesius         Albinus
Corebus Lydius          Nicomachus                 Diuus Seuerinus Boecius.
Hyagnis Phryx           Plato
Marsias                 Aristoteles.

Et similium quamplurimi quos omnes eterna memoria disciplinarum eblanditissima Musica reddidit insignes inter quos: duos preceptores meos Jacobum Labinium et Jacobum Turbelinum annumero: tanquam ea arte posteritati victuros. Commendant et eam mirifici eius effectus. Pythagorici enim animorum ferociam tibiis, fidibusque emolliebant. Esclepiades frementis vulgi seditiones crebro cantu compescuit. Idemque tuba surdis medebatur.

Damon Pythagoricus ebrios et proinde petulantes adolescentes: grauioribus modulis ad temperantiam reduxit. Febrem et vulnera: musica modulatione curauit antiquitas

Eadem quoque suauitate schias, coxendicunque dolores emendauit: quod Hismenias Thebanus tentasse memoratur. Theophrastus ad animi perturbationes moderandas musicos adhibuisse memoratur modulos. Nec iniuria quidem. est enim musica vt quedam moderationis lex atque regula. Quamobrem bono iure eos ridebat Diogenes musicos: qui cum citharam ad harmonicos consensus haberent temperatam: animum gererent incompositum et prorsus harmonia vite destitutum. Xenocrates organicis modulis lymphaticos liberauit.

Tales Cretensis suauitate cithare: morbos, pestilentiamque fugauit. Terpander et Arion Aones et lesbios cantu a grauissimis morbis leuasse: diuus Seuerinus autor est.

Herophilus medicus egrorum venas musicis pensiculabat numeris.

Tymotheus autem musicus dum voluit efferatum reddidit Alexandrum ad armaque furentem atque aliter cum libuit ab armis ad conuiuia retraxit emollitum. Thracius Orpheus ferarum sensus fidibus, cantuque inflexit. hoc est ferinos hominum mores leges ad citharam canendo ad moderatam humanitatem reduxit. Cerui fistulis capiuntur studioque modulationum detinentur. Cygni hyperborei cithare cantibus alliciuntur. Elephantes indi organica dulcedine permulcentur. Auicule fistulis irretiuntur. Teneros adhuc infantium sensus permouent cantus, crepitaculaque vagientum sedant. Delphinos suis sibi fidibus conciliauit Arion Serpentes cantibus rumpuntur. Sepultorum manes cantibus excitantur. In actiaco littore mare citharam personare memorantur. Megaris citharam personat saxum: et ad cuiuslibet pulsantis ictum fidicinat. Et possem pleraque talia vir clarissime ad musicam commendationem adducere. at tot, tantisque et recentium et priscorum commendatam autoritatibus tibi nunc ab me atque bonarum litterarum studiis dicatam disciplinam: equo suscipias animo tuis auspiciis lucem habituram. Et me vnum inter tuos clientulos tuarum virtutum, tuique nominis obseruatorem esse cognoscito. Uale.

[f.f1v] Iacobus Stapulensis Iacobo Labinio et Iacobo Turbelino Musicis: suis charissimis preceptoribus.

QUod inter oratorem atque rhetora: id inter cantorem et musicum interesse volunt: neque oratorem quemquam dici mereri qui idem rhetor non sit. ita vestrum semper iudicium fuit: vt ne cantor quidem dici mereatur vnquam: qui idem musicus non fuerit: pulchre mimos, et hystriones a cantorum honesto cetu sequestrantes tanquam Epicureos a sobria mensa, castoque philosophorum dogmate. nec iniuria nam Homerus diuinus Poeta vbique doctum et seria modulatum introducit cantorem vt apud Odysseam vbi Penelopem Phemium Fidicinem ad neruos verba mouentem his verbis allocutam effingit.

Preterea illachrimans diuum est affata canentem

Phemi multa tenes hominum mulcentia pectus

Facta hominum atque deum: et que laudem autoribus addunt.

Ex iis pange aliquid.

Et quales Homerus probat: vos minime tales esse dubito vt qui dudum a vobis prima musices rudimenta perceperim. Quapropter ad vos nostros labores examinandos committo. quos eo libentius me suscepisse fateor: quo musicalem scientiam neque apud grecos neque latinos quidem vnquam clementis traditam esse legerim: at introductiones quamplurimas inter quas ea omnium nobilissima est quam diuus Seuerinus Boecius sui monumentum reliquit. quem vnum in hac re presertim delegi meorum studiorum ducem. Si ergo probaueritis satis michi est. In re enim nostra malumus aliorum iudicia sequi: quam propria probare. Ualete.

[Stapulensis, f.f1v; text: Antiqui qui de musica scripserunt, Insignes ex recentioribus qui de eadem scripsere. Democritus, Plato, <A>lbinus, Heraclides Ponticus, Aristoteles, Diuus Seuerinus, Thimotheus Milesius, Theophrastus, Basilius, Philolaus Pythagoricus, Nichomacus, Hylarius, Architas Tarentinus, Aristoxenus, Augustinus, Duo Theodori, Ptolomeus, Ambrosius, Xanthus Atheniensis, Gelasius.] [STAPMUS 01GF]

Argumentum quattuor librorum musices.

Primus liber interualla musicis modulationibus acommoda discutit. multiplex: duplare, triplare, quadruplare. superparticulare: sesqualterum, sesquitertium, sesquioctauum bis sesquioctauum, ter sesquioctauum, quater sesquioctauum, quinquies et sexies sesquioctauum

Secundus de tono, integro toni dimidio, semitonio minore, semitonio maiore, commate, schismate, atque diaschismate.

Tertius de sesquitono, ditono diatessarum, diapente, diapente et tono, diapason, diapason et trisemitonio, diapason et ditono, diapason et diatessaron, diapason et diapente, diapason diapente et tono, disdiapason, ac integro toni et consonantiarum omnium dimidio. Et de maximarum Harmoniarum consonantiis: et quarundam medietatum.

Quartus de monochordo, tetrachordo, pentachordo, heptachordo, octochordo, pentadecachordo, diatonicis, chromaticis, enarmonicis melodiis. Et de melodiarum modis. et hec sub breuitate contracta: argumentum libri sunto.

[f.f2r] Iacobi Fabri Stapulensis Elementorum musicalium ad clarissimum virum Nicolaum de Haqueuille presidentem parisiensem liber primus.

INteruallum est soni grauis, acutique spaciorum habitudo.

Spacium vocamus neruum, chordam, expiratum aerem, et quidquid simile est: a quo sonum elicimus.

Multiplex interuallum est quoties maius spacium continet minus pluries. vt bis: et duplex interuallum dicitur. vt tertio: et dicitur triplex. vt quarto et quadruplex nuncupatur. et hoc pacto deinceps

Interuallum superparticulare est cum maius continet minus: et partem eius aliquam.

Pars est que metitur totum: ipsum aliquoties sumpta restituens.

Si maius continet minus et eiusdem dimidium: sesqualterum nominatur interuallum.

Si maius continet minus et minoris partem tertiam: dicitur sesquitertium.

Si vero continet minus et eiusdem minoris partem octauam: epogdoum, sesquioctauumque nominatur. Et ita reliqua superparticularia interualla: perfacile est diffinire: sed parum musico conducunt proposito.

Superpartiens autem diceretur interuallum: si maius contineret minus et minoris partes aliquot: que partem vnam non efficiunt.

Numeri sunt adinuicem primi: quos sola metitur vnitas.

Dignitates.

[1 in marg.] QUidquid metitur alterum: metitur et omne mensuratum ab illo.

[2 in marg.] Compositum in ea resoluitur simplicia: ex quibus componitur.

[3 in marg.] Cuiuslibet numeri pars est vnitas: ab eo denominata.

[4 in marg.] Unitas in quemcunque numerum ducta: ipsum producit.

[5 in marg.] Quidquid metitur detractum et residuum: metitur et totum.

[6 in marg.] Quecunque vni et eidem equa sunt: et ea inter se sunt equa.

[7 in marg.] Et que inter se sunt equa: eiusdem sunt eque multiplicia aut submultiplicia.

[8 in marg.] Eorum quorum tota sunt equa: et dimidia sunt equa.

[9 in marg.] Quidquid bis auctum aliquid transcendit: id vltra illius dimidium esse necesse est.

[10 in marg.] Et quod duplicatum non implet integrum: id profecto non continet dimidium.

[11 in marg.] Omne totum est maius sua parte.

Petitiones.

[1 in marg.] Data equali chorda: que spacij ad spacium proportio est: eam esse et soni ad sonum.

[2 in marg.] Inter numeros sola vnitate distantes: nullum intercipi posse medium.

[3 in marg.] Spacium quodlibet in quotlibet equas partes diuidere.

[4 in marg.] Totum ad suam partem, et laxius ad se tensum: grauiorem sonum edere.

[5 in marg.] Omnem proportionem esse tanquam numeri ad numerum.

[6 in marg.] Si numerus numerum datum multiplicet: idemque productum diuidat: numerum datum redire

[7 in marg.] Si numerum datum numerus diuidat: et quod prouenit rursus multiplicet: numerum datum redire.

[8 in marg.] Extremorum proportionem ex mediorum proportionibus vt suis partibus esse compositam.

Extremi ordinatarum proportionum: maximus, minimusque terminus intelliguntur.

Scientia subalternata qualis ad Arithmeticam Musica est: principiis et demonstratis scientie prioris subalternantisque vtitur. at studuimus vt quam fieri potest rarissime id in hac disciplina fiat. verum plerumque vbi oportunum videbitur alio quam in arithmeticis factum est vtemur demonstrandi modo: quo singula magis ex propriis facta videantur quamuis arithmetico suffragio atque iis que in arithmeticis monstrata sunt eadem promptius faciliusque fierent: attamen quando id fiet et quando non sequentibus demonstrationibus cuilibet per quam perspicuum euadere poterit.

[f.f2v] [1 in marg.] Si interuallum multiplex binario multiplicetur: id quod fit ex hac multiplicatione interuallum multiplex est.

 d            e            c
16            8            4           Multiplex ex duplatione. 
 4            2                        Multiplex interuallum.
 A            B

Interuallum binario multiplicare: est interualli habitudinem duplare que quo pacto duplanda sit dudum tertia propositione quinti Arithmetices notum esse potest. vt si a b sit interuallum quodcunque quod binario multiplicare iubeamur: ipsum per tertiam quinti multiplicabimus si ducimus a in se et b in se proueniantque d c eritque productorum d et c duplex interuallum interuallo producentium a b.

Que si rursum ducimns a in b proueniatque productum c erit per sextam quarti que proportio d ad e eadem e ad c et interuallum d c in duo equa partitum. Sed esto nunc vt interuallum a b sit multiplex quemadmodum proponit propositio quod modo paulo ante dicto: binario multiplicetur: sitque duplum d c et ea proportio d ad e et e ad c: dico interuallum d ad c esse multiplex. Nam cum a ad c multiplex sit interuallum cum geminatur manifestum est multiplex addi multiplici quare per vicesimamsecundam noni Arithmetices statim notum est interuallum compositum multiplex esse. et propositum. Sed idem aliter hic demonstratur. Quoniam enim que proportio a ad b ea est d ad e et e ad c. nam vtraque proportionis duplate a ad b medietas. Proportio autem a ad b posita est multiplex: igitur et proportio d ad e multiplex est. metitur igitur per diffinitionem multiplicis: e ipsum d vel bis vel ter vel deinceps. Et eodem quoque iure c toties metitur ipsum e quare et c per primum communem conceptum etiam metitur ipsum a. Quicquid enim alterum metitur: metitur et omne quod mensuratum est ab illo. est itaque per diffinitionem interuallum a c multiplex. quod erat ostendendum.

[2 in marg.] Si fuerint termini proportionaliter constituti: cum primus fuerit vltimo comparatus si primus vltimum fuerit mensus: metietur et secundum.

[Stapulensis, f.f2v,1; text: 2, 4, 8, 1, a, b, c, d, e, f, A b c tres termini proportionales quorum a numerat b.] [STAPMUS 02GF]

Tametsi hanc decimatertia quarti demonstret sufficienter: eam tamen amplius hoc in loco volumus manifestare. Sint enim a b c termini proportionabiliter constituti et a numeret c: dico idem a numerare b. capio enim d e f terminos in ea proportione minimos. Quoniam enim d ad e vt a ad b: et e ad f vt b ad c. igitur per equam proportionalitatem quam vicesimaprima secundi Arithmetices monstrat d ad f vt a ad c. sed a per hypothesim metitur c: igitur et d metietur f. At quia d e f positi sunt in sua proportione minimi. ergo per quintam quarti d et f sunt adinuicem primi. Et cum d seipsum metiatur pariter et f per diffinitionem d est vnitas. At vero cum vnitas sit omnis numeri pars: d ergo metietur e Et cum a ad b vt d ad e: metietur igitur a ipsum b secundum terminum: quod erat cognoscendum atque propositum.

[3 in marg.] Si interuallum binario multiplicatum: multiplex effecerit interuallum: ipsum quoque multiplex erit.

[Stapulensis, f.f2v,2; text: 2, 4, 8, a, b, c, A b interuallum binario multiplicatum multiplex efficiens.] [STAPMUS 02GF]

Hec est conuersa prime: cuius hec est ratio. Nam cum interuallum compositum multiplex sit et per secundam communem scientiam resoluatur in id interuallum ex cuius multiplicatione creuit siquidem compositum omne: in ea simplicia dissoluitur ex quibus coalitum concretum, compositumque esse cognoscitur per sexagesimam noni interuallum simplex multiplex erit. At id idem aliter ostenditur. Nam si a b c geminatum interuallum sit multiplex sic vt c multiplex sit ad a et ea proportio a ad b et b ad c: quoniam c ad a erit multiplex: a per diffinitionem metietur ipsum c. quare et per precedentem a metietur ipsum b. est igitur interuallum simplex b ad a per diffinitionem multiplex. et propositum.

[f.f3r] [4 in marg.] Si terminorum interualli primus ad secundum comparatus sese vt tertius ad quartum habuerit: quot proportionaliter medij primo et secundo: totidem tertio et quarto interuenire necesse est.

__________________________________________________________________

E medium proportionale inter d et f tertium et quartum vt b inter primum et secundum.

[Stapulensis, f.f3r,1; text: 27, 18, 12, 8, 9, 6, 4, 2, A, b, c, d, e, f, g, h, k, l] [STAPMUS 02GF]

Hanc duodecima quarti monstrat cuius adhuc hic vt ad sequentia momentum habens: cognitio promptior habeatur: repetitur demonstratio.

Sit a cuiuscunque interualli primus terminus ad c secundum vt d tertius ab f quartum: et sit b medius proportionaliter constitutus inter a et c. dico etiam inter d et f interuenire vnum proportionaliter medium Capio enim per sextam quarti g h k tres minimos secundum proportionem a ad b et argumentor ex vicesimaprima secundi per equam proportionalitatem g ad h vt a ad b et h ad k vt b ad c. igitur g ad k vt a ad c. quare et vt d ad f. at si d et f sunt iidem termini cum g k manifestum iam est inter d et f interuenire vnum proportionaliter medium. Sin minus: ergo per vicesimam tertij Arithmetices g et k metientur d et f equaliter: sitque id secundum l. duco ergo l m g h et k et proueniant d e f per septimam secundi d ad e vt g ad h et e ad f vt h ad k. quare e interuenit proportionaliter medius terminis d et f: quod erat monstrandum.

[5 in marg.] Superparticularis interualli medius numerus: neque vnus neque plures proportionaliter interuenient.

_________________________________________________________________

Que proportio superparticularis: in duo equa diuidi non possit.

[Stapulensis, f.f3r,2; text: 27, 18, A, b, c, d, e, g, f, A c spacium superparticulare. D e f tres minimi proportionis a ad b.] [STAPMUS 02GF]

Hanc intelligimus: nullum superparticulare interuallum in duas aut plures interuallorum habitudines proportionesque secabile esse. quod demonstratione proxime subiuncta perquam facile liquebit.

Sit a c interuallum superparticulare quod diuidatur in duo equalium habitudinum spacia a b et b c certis constitutisque numeris si possibile est. sitque iccirco vt a ad b ita b ad c. capio per sextam quarti arithmetices d e f tres minimos continue proportionales in proportione a ad b. et quia d ad e vt a ad b et e ad f vt b ad c: ergo per equam proportionalitatem d ad f vt a ad c. atqui a ad c positum est superparticulare interuallum: igitur et d ad f est superparticulare. Atvero quoniam d e f sunt tres illius habitudinis minimi termini: igitur d et f primus et vltimus per primam quarti sunt adinuicem primi. At cum d monstratus sit superparticularis ad f: per diffinitionem d continet f et eius partem que ideo per diffinitionem metitur f. Et si ea pars sit numerus cum ea etiam per communem conceptum metiatur d: metietur enim se partem detractam et residuum quod equum est f. non erunt ergo d et f adinuicem primi cuius oppositum iam monstratum est et impossibile. erit ergo ea pars vnitas. Tunc addo vnitatem ipsi f et fiat g: vt g et f solius vnitatis discrimine distent mox argumentor d ad f vt g ad f. sed inter d et f positus est vnus interuenire medius igitur per precedentem et inter g et f numeros sola vnitate distantes interuenit intercipiturque aliquis numerus medius quod per secundam petitionem est impossibile. non igitur superparticularis interualli vnus medius interuenit numerus. neque quoque eodem argumento interuenient plures. Et hanc etiam demonstrat sexagesimaprima noni. Et ex hac quoque cognoscitur reprehensionem demonstrationis Archite: quod nulla superparticularis in duo equa diuidi possit quam tertio institutionis musice capite vndecimo videtur diuus Seuerinus adducere non tam esse diui Seuerini quam Nichomachi aut aliorum quos interpretatur elegantissime qui et simile in plerisque tum Arithmetice tum Musice institutionis locis fecisse comperitur. Et non verentur quidam (pace omnium dixerim) eius libros perlustrare non vt sciant sed vt exsurculent et canino more si quid hians, subsultansque appareat: altius dentem infigant, mordeant et reprehendant et sanctum et venerabile Philosophie nomen et suorum conuiciis lacerent: et quod aliorum vicium est si quod est: diui Seuerini exclament errorem faciantque aliorum crimine reum. et cum nichil norint volunt litterarios duces insectando, carpendo, laniando omnia scire videri: atque supra Philosophicos vertices sese gloriabundos extollere, faciuntque quod est apud Comicum ne intelligendo vt nichil intelligant quos idem statim vt maledicere desinant ammonet malefacta ne cognoscant sua. Sed hec preter presentis negocij officium. de Philosophis enim qui recte fuerint natura instituti vel absque monitione semper recte cogitabunt qui enim secus faciunt ab eorum se segregant consortio et vt Philosophi quales se videri volunt non amplius esse cognoscantur necesse est.

[f.f3v] [6 in marg.] Si interuallum non multiplex binario multiplicetur: id quod sit ex hac multiplicatione neque multiplex est, neque superparticulare.

[Stapulensis, f.f3v; text: 9, 6, 4, A, b, c, A c interuallum neque multiplex neque superparticulare. A c duplatum interuallum a b quod quidem est non multiplex.] [STAPMUS 02GF]

Sit interuallum non multiplex a b: et duplum sit a c. ita vt ea sit proportio a ad b et b ad c. dico interuallum a c neque multiplex esse neque superparticulare. quoniam si a c primo ponatur multiplex: ergo per tertiam presentis et a b interuallum erit multiplex at positum est non multiplex. Et si secundo dixeris a c esse interuallum superparticulare cum sit a ad b vt b ad c erit interualli superparticularis medius proportionalis terminus quod per precedentem est impossibile. est itaque notum si interuallum non multiplex binario multiplicetur compositum interuallum minime aut multiplex aut superparticulare esse. et propositum.

[7 in marg.] Si interuallum binario multiplicetur: atque id quod ex ea multiplicatione creabitur multiplex non sit: ipsum quoque non erit multiplex.

Hec est conuersa precedentis. Sit ergo superioris propositionis figura in qua interuallum a c proueniat ex duplatione habitudinis interualli a b et non sit a c interuallum multiplex. dico itidem interuallum a b non esse multiplex. Nam si a b interuallum multiplex est: cum a c per hypothesim ex interuallo a b binario multiplicato surgat: ergo per primam presentis interuallum a c multiplex erit. at positum est non multiplex: ergo si interuallum non multiplex ex alicuius interualli binario multiplicatione nascatur neque ipsum quoque ex cuius multiplicatione ortum est multiplex erit: quod erat monstrandum.

[8 in marg.] A numero partium superparticularis interualli que in vnum adacte totum restituunt et numero vno maiore: quot interualli maiores termini simul: minoribus simul acceptis respondeant: cognoscuntur.

A     3     4     5     6     7     8     9
B     2     3     4     5     6     7     8
C     2     3     4     5     6     7     8
D     3     4     5     6     7     8     9

Sit a ad b interuallum superparticulare manifestum est per diffinitionem superparticularis a continere b et vnam partium b. ea igitur pars secundum numerum c: constituat suum totum b: et sit d numerus vno maior c: dico a sumpta secundum numerum c equa esse b sumptis secundum d. Nam a secundum c sumpta continent b secundum c sumpta et insuper partes b sumptas secundum c. Atqui positum est eas secundum c constituere vnum b. igitur a secundum c sumpta continent b sumpta secundum numerum vno maiorem c. At vero d positus est numerus vno maiore c. ergo a sumpta secundum c: continent b sumpta secundum d. quod erat monstrandum.

Et si exemplarem requiris declarationem: si a ad b interuallum est sesqualterum: quoniam a sesqualterum est ad b. ergo a continet b et eius dimidium: et duo dimidia per commune proloquium suum totum reddunt. dico ergo duo a tantum esse quantum tria b: quoniam enim duo a continent duo b. et insuper duo dimidia b que vnum b restituunt: ergo duo a continent tria b, tribusque euadunt equalia. Et si a ad b est sesquitertium a continet totum b et tertiam partem b. at tres tertie b eque sunt vni b. ergo superiore argumento tria a continent quattuor b, quattuorque euadunt equalia. immo data quacunque superparticulari maiores termini secundum proportionis minorem numerum: equantur minoribus terminis secundum proportionis maiorem numerum sumptis. vt si a ad b sit sesquiquinta: quoniam minimi sesquiquinte sunt 6 et 5. idcirco quinque a equi sunt sex b. et in non minimis quoniam 12 et 10 sunt termini sesquiquinte 10 a equantur 12 b. Et si a ad b sit sesquioctaua: quoniam minimi sesquioctaue sunt 9 et 8. idcirco 8 a tantum sunt quantum nouem b. Et quia rursum 18 ad 16 sesquioctaua: ideo sexdecim a equi sunt 18 b. et ita in ceteris Sed si id non modo particulariter sed et vniuersaliter contemplari cupis id vniuersaliter verum erit.

[9 in marg.] Data quacunque proportione: maiores termini secundum numerum minorum sumpti: equi sunt minoribus secundum numerum maiorum sumptis.

[f.f4r] [Stapulensis, f.f4r; text: A B Superparticulares, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, Multiplices. 1, Superpartientes. 11] [STAPMUS 02GF]

Ut sit a ad b quecunque proportio et a maior terminus: b vero minor. dico a sumptos secundum b numerum minorem equos esse b sumptis secundum a numerum maiorem. Nam per octauam primi Arithmetices quod sit ex a in b: equum est ei quod sit ex b in a. Atvero quod fit ex a in b: sunt a sumpti secundum b. et quod sit ex b in a sunt b sumpti secundum a. igitur a sumpti secundum b equantur b sumptis secundum a et in quibuslibet aliis eadem est demonstratio et propositum.

[10 im marg.] Cum aliquot maiores termini aliquot minoribus equi sunt: ea vnius maiorum ad vnum minorum reperitur proportio: que et numeri minorum collectorum ad maiorum collectorum numerum.

Hec est conuersa precedentis. Quoniam per precedentem minores collecti secundum numerum maiorum equi sunt maioribus secundum numerum minorum collectis. Sed numerus maiorum est vnus terminus maior et numerus minorum vnus terminus minor. ergo eadem est proportio vnius maiorum ad vnum minorum: que numeri minorum collectorum ad numerum maiorum collectorum.

Et quanquam he due vltime conclusiones faciles sunt: vsus tamen earum paulo latentior est. Per primam enim earum que nona est: habemus si numerus maior ad minorem sesqualter est vt trium ad duo: duo maiores equi sunt tribus minoribus. Et si maior ad minorem sesquitertius vt 4 ad 3: tres maiores equi sunt quattuor minoribus. Et si maior sesquiquartus vt 5 ad 4: quattuor maiores equi sunt quinque minoribus. Si vero maior sesquioctauus: octo maiores equi sunt nouem minoribus. et ita in consimilibus. In multiplicibus autem si maior duplus est vt duorum ad vnum: vnus maior equus est duobus minoribus. Si triplus: vnus maior equus est tribus. Si quadruplus: vnus equus est quattuor. Si octuplus: vnus equatur ad octo. In superpartientibus vero consimile est: vt si maior est superbitertius vt 5 ad 3: tres maiores equi sunt quinque minoribus. Si supertriquartus vt 7 ad 4: quattuor maiores equi sunt septem minoribus. Si vero superoctupartiens vt 17 ad 9: nouem maiores equi sunt decem et septem minoribus. et hoc pacto in reliquis.

Ex vltima autem hanc in superparticularibus vtendi regulam elicimus. Si duo maiores equi sunt tribus minoribus quattuor ad sex, sex ad nouem, octo ad duodecim: vnus maior ad vnum minorem sesqualter est. Et si tres equi sunt ad quattuor: sex ad octo maior ad minorem est sesquitertius. Si quattuor maiores equi sunt quinque minoribus: aut octo ad decem: vnus maior vnius minoris est sesquiquartus. Si vero octo maiores nouem minoribus sunt equi: vnus maiorum ad vnum minorum cognoscitur sesquioctauus. In multiplicibus. si vnus duobus: duo ad quattuor, tres ad sex equi sunt: maior minoris est duplus. Si vnus tribus, duo ad sex: vnus maior minoris est triplus. Si vnus ad quattuor: et duo ad octo: vnus maiorum ad vnum minorum est quadruplus. Si vero vnus ad octo, duo ad sedecim: maior minoris est octuplus. In superpartientibus. si tres maiores equi sunt quinque minoribus: aut sex ad decem: vnus maior ad minorem est superbitertius. Si quattuor maiores septem minoribus: maior minoris est supertriquartus. Si vero nouem equi sunt ad decem et septem: maior minoris est superoctupartiens. Et in compositis numeris simile est. vt si duo a equi sunt quattuor b et dimidium vnius: quemadmodum in duobus coniunctis sesqualteris. quoniam 4 et vnius dimidium ad 2 duplum sunt et sesquiquartum: iccirco vnus a ad vnum b duplus est atque sesquiquartus. Si tres a equi sunt ad quattuor b et tertiam vnius: vt in duobus sesquitertiis quoniam quinque et tertia vnius continent tres semel, duas tertias et vnam nonam: proinde vnus a continebit b vnum, duas eius tertias et vnam eius nonam. Si quattuor equi sunt ad sex et quartam vnius: vt in duobus iunctis sesquiquartis: quoniam sex et quarta vnius continent, quattuor dimidium, et decimam sextam ex quattuor: ideo vnus maior continet minorem semel, eius dimidium, et eius vnam decimamsextam. Si vero octo valent decem et octauam vnius vt in duobus sesquioctauis: quoniam decem continent octo: et quartam: et octaua vnius ad octonos vna est sexagesimaquarta: ideo vnus maiorum continet minorem semel, eius quartam partem, et eius sexagesimamquartam. Et si compositionis series protensior euadit: vt si duo a equi sunt sex b, medietati vnius et quarte vt in coniunctione trium sesqualterorum: quoniam sex continent duos ter et dimidium vnius est quarta pars duorum: et quarta pars vnius est octaua pars duorum Iccirco vnus a triplex est b vnius insuper quartam atque octauam partem b continens. Et si tres equi sunt ad septem et nonam vnius quod in tribus sesquitertiis coniunctis euenit: quoniam septem: bis continent tres: et trium tertiam partem: et nona vnius ad tres est vicesimaseptima. ideo vnus maiorum continet minorem bis, eius tertiam, et eius vicesimamseptimam. Et si quattuor equi sunt septem dodranti vnius hoc est tribus quartis et insuper decimesexte vnius: vt in coniunctione trium sesquiquartorum: quoniam septem continent semel quattuor et tres quaternarij partes: et tres quarte vnius ad quattuor sunt tres decimesexte: et decimasexta vnius est ad quattuor vna sexagesimaquarta. iccirco vnus maior continet vnum minorem semel, et dodrantem, et tres decimassextas atque vnam sexagesimamquartam. Si vero octo equi sunt ad vndecim, tres octauas vnius et vnam sexagesimamquartam: vt in tribus sesquioctauis coniunctis: quoniam vndecim continent semel octonarium et octonarij tres partes: et tres octaue vnius sunt ad octo tres sexagesimequarte. et vna sexagesimaquarta ad octo est vna quingentesima duodecima. hinc fit vt vnus maiorum contineat minorem semel, tres eius octauas, tres sexagesimas quartas et vnam quingentesimam duodecimam. Et hec adiecimus quo vsus harum duarum vltimarum in sequentibus patentior manifestiorque habeatur.

[f.f4v] [11 in marg.] Duplex interuallum ex duobus maximis superparticularibus: sesqualtero atque sesquitertio coniungitur.

6          4          3          A c duplex interuallum.
a          b          c          A b sesqualter. b c sesquitertius.

Sint a b c interuallum: a quidem sesqualter ad b: b vero sesquitertius ad c: dico a duplum esse ad c. Quoniam enim a sesqualter est ad b: ergo per octauam huius duo a equi sunt ad tres b. et rursus quia b sesquitertius ad c: igitur per eandem tres b equi sunt quattuor c: et tres b positi sunt equi duobus a. duo igitur a equi sunt ad quattuor c. cum quecumque vni eidemque equalia sunt inter se sint et equalia. et quattuor numerus minorum collectorum duplex est duorum numeri scilicet collectorum maiorum. igitur per precedentem vnus a duplex erit ad vnum c. quod erat demonstrandum potest et hoc vltimum etiam demonstrari. Quoniam enim duo a equi sunt quattuor c: vnus a per octauum proloquium equus est duobus c. quorum enim tota equa sunt et eorum quoque dimidia sunt equa. At duo c dupli sunt vnius. igitur et vnus a duobus c equus: duplex erit c vnus quod fuisset monstrandum.

[12 in marg.] Ex duplici interuallo atque sesqualtero: triplex nascitur interuallum.

6          3          2          A c triplex interuallum.
a          b          c          A b duplex interuallum. b et c sesqualterum.

Sint a b c interuallum: et a quidem ad b duplex et b ad c sesqualter. dico a eius quod est c triplicem esse quoniam enim a ad b duplex est: ergo a per diffinitionem continet bis b. igitur a equatur duobus b. et quia b sesqualter est ad c: igitur b continet c et eius partem dimidiam. ergo per octauam huius duo b equi sunt tribus c: et duo b equi erant vni a. igitur et tres c equi erunt vni a. tres autem triplex sunt vnius. igitur per decimam vnus a triplex est vnius c: quod erat demonstrandum.

[13 in marg.] Duo duplicia interualla: quadruplex coniungunt interuallum.

4          2          1          A c duplex interuallum.
a          b          c          A c geminatum duplex interuallum

Sit a duplex ad b: et b duplex ad c. dico quoniam a quadruplex est ad c. Nam quia a duplex est ad b: igitur duo b equi sunt vni a. et rursus quia b duplex est ad c: igitur duo c equi sunt vni b et si duo c equi sunt vni b: quattuor c equi erunt duobus b at duo b positi sunt equi vni a: igitur et quattuor c equabuntur vni a. at quattuor quadruplum sunt vnius. igitur per decimam vnus a quadruplex est vnius c: quod erat ostendendum.

[14 in marg.] Terminum reperire: ad quem quotcunque volumus: liceat superparticulares assignare.

9           8           6           A ad c sesqualter. 
a           b           c           B ad c sesquitertius

Sit propositum terminum reperire ad quem sesqualterum et sesquitertium valeamus assignare. Capio duo et tria numeros denominantes partes sesqualteri atque sesquitertij: duo sicu de sesqualterum et tria sesquitertium denominant. et duco duo in tria: proueniatque ductu illo c. manifestum est c habere partem dimidiam pariter et tertiam. iungo ad c partem eius dimidiam: et compositus sit a et iterum ad c iungo partem eius tertiam: et sit compositus b. quoniam enim a continet c et eius partem dimidiam. ergo per diffinitionem a ad c sesqualter est. et quoniam b continet c et eius partem tertiam: b itidem ad c sesquitertius. c igitur repertus est terminus ad quem petiti superparticulares rite sunt assignati. et hac lege de quibuslibet esset operandum: vt si essent assignandi sesquioctauus et sesquinonus duc octo in nouem et surget terminus octauam, nonamque partem possidens: ad quem et sesquioctauum et sesquinonum rite assignaueris. et eodem quoque pacto modo tres: modo quattuor aut quotquot libuerit ad eundem terminum assignabis.

640          600          576          540          480
 a            b            c            d

vt si ad eundem terminum peterentur assignari sesquitertius, sesquiquartus, sesquiquintus et sesquioctauus ducantur tria, quattuor, quinque et octo in se inuicem et proueniat e qui ircirco habet in se tertiam, quartam quintam et octauam. adiungo e suam tertiam compositusque sit a. et suam quartam et compositus sit b. suam quintam compositus sit c. suam denique octauam et compositus sit d. dico demonstratione superiore: quoniam ad e constituti sunt a b c d sesquitertius, sesquiquartus, sesquiquintus, et sesquioctauus: quemadmodum prefixa monstrat formula.

[f.f5r] [15 im marg.] Si sesqualtero interuallo sesquitertium demptum fuerit interuallum: erit quod relinquitur sesquioctauum.

9         8         6         A c sesqualter. B c sesquitertius.
a         b         c         A ad b sesquioctauus.

Sit c terminus ad quem per precedentem assignati sint a sesqualter: et b sesquitertius. Ab a c sesqualtero subduco interuallum sesquitertium b c: relicto interuallo a ad b: quod dico esse sesquioctauum. quoniam enim a eius quod est c est sesqualter: a semel habet c et eius dimidiam partem. quare per octauam huius duo a equi sunt tribus c. et quattuor a sex c. et octo a ad duodecim c. Rursus quoniam b huius quod est c sesquitertius est. b igitur habet in se c et eius tertiam partem. quo fit vt per eandem octauam tres b equi sint quattuor c. et sex b octo c et nouem b ad duodecim c. at octo a quidem equi erant ad duodecim c: igitur octo a equi sunt ad nouem b. per decimam igitur a continet b et eius octauam partem. estque a sesquioctauus ad b et propositum.

[16 in marg.] Interualli quarta et duodecima: vnam eius tertiarum restituunt.

Nam quattuor interualli quarte: totum complent interuallum. et duodecim eiusdem interualli duodecime: totum itidem complent interuallum. quare quattuor quarte et duodecim duodecime adinuicem equantur. due igitur quarte sex duodecimis, et vna quarta tribus duodecimis sunt eque. quorum enim tota equa sunt: et eorum dimidia. At quattuor duodecime: duodecim duodecimarum sunt vna tertia: quare et vna totius tertia cui quidem duodecim ille duodecime cognoscuntur esse idem atque eque. vna igitur totius quarta que tribus duodecimis equa esse monstrata est et vna duodecima illi adiuncta: totius tertiam partem restituunt. Equantur enim vna tertia et vna duodecima quattuor duodecimis. quod erat demonstrandum. Et quamuis hec demonstratio sequentis gratia particulariter facta sit: possis tamen modo consimili monstrare omnem minorem cuiuscunque totius interualli partem: proxime maiorem partem efficere: illi adiecta vna partium a numero qui ex ductu denominationum vtriusque partium enascitur: denominata. vt totius tertia pars minor est: et secunda proxime maior: et si duo in tria duxeris sunt sex: iccirco vna tertia atque vna sexta vnam restituunt secundam. Similiter quoque quarta et quinta partes sunt proxime maior atque minor: et si ducis quinque in quattuor surgunt viginti: proinde vna quinta et vna vicesima: vnam quartam restituunt. et hoc pacto in sequentibus vt subiecta monstrat formula.

Tertia et sexta                  vnam secundam efficiunt.
Quinta et vicesima               vnam quartam.
Sexta et tricesima               vnam quintam.
Septima et quadragesimasecunda   vnam sextam.
Octaua et quinquagesimasexta     vnam septimam.
Nona et septuagesimasecunda      vnam octauam.

[17 in marg.] Due proportiones sesquioctaue: minores sunt sesquitertio interuallo.

81       72       64              A c duo sesquioctaui coniuncti.
 a        b        c       d      A d sesquitertium interuallum.

Continua per sextam quarti Arithmetices duas sesquioctauas inter a et c: ita vt a sesquioctauus sit ad b, et b sesquioctauus ad c. et sit a ad d sesquitertium interuallum. dico a ad c minus esse interuallum: quam a ad d. Quoniam enim a sesquioctauus est ad b: ergo per octauam huius octo a equi sunt ad nouem b. sed et quia b triam sesquioctauus est ad c: per eandem octo b tantum sunt atque nouem c. Et cum vnus b equus sit vni c et octaue eius: ergo nouem b equi sunt decem c et octaue vnius c. Atqui nouem b monstrati sunt equi esse octo a: igitur octo a equi sunt decem c et octaue vnius. at decem et octaua vnius continet octo semel, eius quartam et eius vnam sexagesimamquartam. ergo per decimam huius vnus a continet vnum c, vnam eius quartam, et vnam sexagesimamquartam: et vna quarta et vna sexagesimaquarta per precedentem minus sunt vna tertia: complent enim quarta et duodecima vnam tertiam. duo igitur sesquioctaui minus sunt vno sesquitertio interuallo. quod erat demonstrandum.

[18 in marg.] Tres sesquioctaui: amplius sunt sesquitertio: minus autem sesqualtero interuallo.

729                     512      A d tres sesquioctaui coniuncti
  a       b       c       d

Sint a b c d tres coniuncti sesquioctaui: vt a ad b primus sit sesquioctauus, b ad c secundus, et c ad d tertius: dico primo a ad c amplius esse sesquitertio. Quoniam enim a ad b et b ad c duo sunt sesquioctaui: ergo per octauam huius octo a equi sunt decem c et octaue vnius. Sed et cum c iterum ad d positus sit sesquioctauus: ergo per eandem octo c equi sunt nouem d, et nouem c equi decem d et octaue vnius et decem c equi vndecim d et duabus octauis. et cum octo octaue c contineant nouem d: ergo per decimam huius vna octaua c continet octauam d et eius octauam partem: hoc est vnam sexagesimamquartam. decem ergo c et vna octaua vnius equantur vndecim d, tribus octauis, et vni sexagesimequarte. et per decimam vt vndecim res octaue et vna sexagesimaquarta ad octo: ita a ad d. sed vndecim continent octonos semel tres eorum [f.f5v] partes, tres octauas, et vnam sexagesimamquartam vnius. ac tres octonorum partes amplius sunt tertia eorum parte. Superant enim tres octonarij partes: tertiam eiusdem partem triente vnius: hoc est tertia vnius parte. a fortiori igitur tres octonorum partes, et tres octaue vnius et vna sexagesimaquarta ita amplius sunt tertia octonorum parte. continent ergo vndecim, tres octaue vnius, et vna sexagesimaquarta: octo semel et amplius eorum parte tertia. quare et a continet d et amplius tertia eius parte. est itaque a ad d amplius sesquitertio interuallo. Secundo dico a ad d minorem esse sesqualtero interuallo. Nam vndecim continent octo et tres octauas: deest ergo vna octaua ad complendas quattuor octauas, que sunt octonorum dimidium. Atvero que superant: tres octaue vnius, et vna sexagesimaquarta minus efficiunt dimidio vnius octaue. quare et multo minus efficient vna octaua. vndecim ergo, et tres octaue, et vna sexgesimaquarta vnius: continent octo semel et minus octonorum dimidio. ergo per decimam huius et a continet d semel et minus eius dimidio. est itaque interuallum a ad b minus sesqualtero interuallo.

[19 in marg.] Quattuor sesquioctaui coniuncti: sesqualterum seperant interuallum.

[Stapulensis, f.f5v,1; text: 6561, 4096, a, b, c, d, e, A e quattuor sesquioctaui coniuncti.] [STAPMUS 02GF]

Sint a b c d e quattuor coniuncti sesquioctaui: a ad b primus, b ad c secundus, c ad d tertius, et d ad e quartus: dico quoniam interuallum a e amplius est sesqualtero interuallo. Nam vt in precedenti visum est octo a equi sunt vndecim d, tribus octauis, et vni sexagesimequarte vnius. et vndecim d, tres octaue vnius et vna sexagesimaquarta: equantur duodecim e, sex octauis, quattuor sexagesimisquartis, et vni quingentesime duodecime. ergo octo a equi sunt duodecim e, sex octauis, quattuor sexagesimisquartis, et vni quingentesime duodecime. Atvero duodecim, sex octaue, quattuor sexagesimequarte, et vna quingentesima duodecima continent octo semel et amplius quam octonorum dimidium: quoniam continent octo semel et dimidium: et insuper sex octauas, quattuor sexagesimasquartas, et vnam quingentesimam duodecimam vnius. igitur per decimam huius a continet e semel et amplius quam eius dimidium. superat itaque a e interuallum quattuor sesquioctauis coniunctum: sesqualterum interuallum. quod erat monstrandum.

[20 in marg.] Quinque coniuncti sesquioctaui: minus duplici interuallo coniungunt.

Nam per vndecimam huius duplex interuallum ex duobus maximis superparticularibus: sesqualtero scilicet et sesquitertio coniungitur. at constitutis quinque sesquioctauis tres primi sesquioctaui: per decimamoctauam huius minus sunt sesqualtero interuallo. et duo sequentes sesquioctaui qui vna cum tribus prioribus quinque complent: per decimamseptimam huius minus sunt sesquitertio. coniungunt igitur quinque sesquioctaui minus duplici interuallo.

[21 in marg.] Sex proportiones sesquioctaue: maiores sunt vno duplici interuallo.

[Stapulensis, f.f5v,2; text: 531441, 262144, a, b, c, d, e, f, g, A g sex sesquioctaui coniuncti.] [STAPMUS 02GF]

Sit a g interuallum sex coniunctorum sesquioctauorum: ita vt a ad b sit primus sesquioctauus, b ad c secundus, c ad d tertius, d ad e quartus, e ad f quintus: f autem ad g sextus. dico quoniam a ad g amplius est duplici interuallo. Quoniam enim a ad b sesquioctauus est: ergo per octauam huius octo a equi sunt nouem b. et nouem b per eandem equi sunt decem c, et octaue vnius. et decem c et octaua vnius: equa sunt vndecim d, tribus octauis, et vni sexagesimequarte vnius. et vndecim d, tres octaue, et vna sexagesimaquarta vnius: equantur duodecim e, sex octauis, quattuor sexagesimisquartis, et vni quingentesime duodecime. duodecim autem e, sex octaue, quattuor sexagesimequarte, et vna quingentesima duodecima: equantur tridecim f, decem octauis, decem sexagesimisquartis, quinque quinquagesimis duodecimis, et vni quarte millesime nonagesimesexte. Atvero decem octaue vnum continent integrum et insuper duas octauas. quo fit iterum vt duodecim e, sex octaue, quattuor sexagesimequarte, et vna quingentesima duodecima: equentur quattuordecim f, duabus octauis, decem sexagesimisquartis, quinque quingentesimis duodecimis, et vni quarte millesime nonagesimesexte. Atvero quattuordecim f, due octaue, decem sexagesimequarte, quinque quingentesime duodecime, et vna quarta millesima nonagesimasexta: equa sunt quindecim g et octo octauis eius (hoc est equa sunt sedecim g) duodecim sexagesimisquartis quindecim quingentesimis duodecimis sex quartis millesimis nonagesimissextis, et vni tricesimesecunde millesime septimgentesime sexagesime octaue. At sedecim et duodecim sexagesimequarte, et relique sequentes particule: continent octo bis et amplius. igitur per decimam huius a ad g maius est duplici interuallo. sex igitur sesquioctaui maiores sunt vno duplici interuallo: vt interdit propositio.

Et si hec propositio quo ad suam demonstrationem nonnullis subdifficilior videatur: hoc iccirco proueniet quod illis promptitudo, vtendique habilitas octaue, none, et decime huius deerit. iccirco par, consentaneumque erit eos qui in musicis modulationibus et earum contemplationibus se exercitare volent: multos sesqualteros, deinde sesquitertios, et alios sequentes superparticulares colligere: quousque vsus colligendarum proportionum ipsis iam sit factus peruius, patensque et quasi iam ipsis domesticus.

Primi Elementorum Musicalium finis.

[f.f6r] COnsonantia est soni grauis, acutique mixtura: suauiter, vniformiterque auribus incidens: ex multiplici aut superparticulari ratione perfecta [[<...>]].

Dissonantia est duorum sonorum non se natura suauiter miscentium: ad aurem perueniens aspera, iniocundaque percussio.

Tonus est consonantie principium: ex soni ad sonum sesquioctaua proportione perueniens.

Semitonium minus quod et diesis dicitur: est toni pars: qua sesquitertia proportio duobus tonis maior est.

Semitonium maius quam et vocant Apothomen: est toni reliqua pars: et qua ipse semitonium minus superat.

Comma est quo sesquioctaua proportio: duobus semitoniis minoribus maior est: quod et idem est quo Apothome semitonium minus vincit ac superat.

Schisma est commatis dimidium.

Diaschisma est dimidium semitonij minoris.

Hemispherium: musicum est instrumentum per quod aut neruo aut chorde vt decet suppositum: semitonia, tonos, consonantiasque, et consonantiarum particulas: ad sensum peruestigamus.

Sonus emmelis is est quo apte vtimur in melo.

Ecmelis vero is dicitur: quem melos, concentusque non admittit.

Equales soni atque similes dicuntur: qui ex eadem interualli proportione nascuntur.

Numerorum atque interuallorum pars ea maior est: que a minore numero denominatur. et minor que denominatur a maiore.

Multiplex proportio maior est: quam maior denominat numerus. et minor: que denominatur a minore.

Superparticularis proportio maior est: que a maiore denominatur parte. minor autem: que denominatur a minore.

[1 in marg.] Tonum super datam chordam collocare.

[Stapulensis, f.f6r,1; text: A, c, b] [STAPMUS 03GF]

Sit a b c chorda quecunque supra quam iubeamur tonum collocare: diuido per tertiam petitionem chordam a b in nouem equas portiones: ita vt c b illarum nouenarum octo teneat et a c vnam. dico quoniam a b et c b tonum continent, constitumque supra datam chordam esse tonum. Nam totum chorde spacium a b continet spacium c b et insuper octauam eius partem: quod a c vni illarum octauarum equa sit. igitur per diffinitionem spacium a b epogdoum: sesquioctauumque est spacio c b. quare per primam petitionem ea erit soni totius chorde a b ad sonum c b proportio. Est itaque tonus in chorda a b qui in epogdoa, sesquioctauaque ratione consistit: collocatus.

[2 in marg.] Tonum tono et quotquot libuerit: in data chorda subiungere.

[Stapulensis, f.f6r,2; text: A, c, d, e, b] [STAPMUS 03GF]

Sit data chorda a b in qua propositum sit tres consequentes tonos subiungere partior per tertiam petitionem vt in precedenti factum est spacium totius chorde a b in nouem equas portiones. et in nota octaue portionis pono c: ita vt b c octauas illarum nouem partium teneat. manifestum est per precedentem a b et c b esse tonum et per eandem petitionem partior spacium c b in nouem equas portiones. et in termino octaue particule pono d: ita vt d b contineat octo earum partium quarum c b nouem continet. per precedentem c b ad d b sonat tonum, estque iam vni tono: tonus vnus subiunctus. Rursum spacium d b consimili modo in nouem equas portiones diduco: et notam octaue sectionis littera e designo: ita vt e b octo earum partium contineat: quarum d b continet nouem per precedentem d b ad e b resonat tonum. sunt igitur in data chorda a b tres continue subiuncti toni: scilicet a b, c b.c b, d b.d b, e b. quod erat propositum. et hoc pacto quotquot lubet subiungere quam facillimum est. Et si id sensu experiri, deprehendereque cupias post pulsum totius chorde a b suppone hemispherium chorde a b in signo c: ita vt sola perstrepat resonetque particula c b et sensus iudicio deprehendes soni totius a b ad sonum c b esse toni interuallum. quod si hemispherium transfers ad notam d: ex pulsu c b et d b iterum tonum deprehendas. sed ex totius a b sono ad sonum particule d b duos tonos, duorumque tonorum interuallum perpendet auditus. et hoc pacto sensuum iudicijs quotquot voles tonos deprehendendos committeres: et eorum mixturas tum suaues, tum inconcinnas (quas auditus tanquam offensus horret refugitque) decernendas.

[3 in marg.] Tonorum continuatorum: minimos numeros assignare.

[Stapulensis, f.f6r,3; text: 59049, 52488, 46656, 41472, 36864, 32768, 6561, 5832, 5184, 4608, 4096, 729, 648, 576, 512, 81, 72, 64, a, b, c, d, e, f, g, h, i, k, l, m, n, o, p, q, r, s, Quinque tonorum adinuicem continuatorum minimi numeri. Quattuor, Trium, Duorum.] [STAPMUS 03GF]

Si duo, tres, quattuor, quinque aut quotlibet toni sint continue in neruo constituti: sic eorum minimos numeros reperiemus. Quoniam enim nouem et octo minimi sunt numeri toni duco nouem in se et perueniat a: et nouem in [f.f6v] octo et proueniat b: et octo in se et proueniat c. per vicesimamtertiam tertij Arithmetices inter a b et b c sunt duo sesquioctaui in minimis numeris coniuncti, et proinde duo toni in minimis numeris continuati. Et si nouem duco in a b c et octo in c et surgant d e f g. per eandem inter d e f g tres sunt in minimis numeris sesquioctaui constituti: quare d e f g sunt trium continuatorum tonorum minimi numeri. Et si ducis nouem in d e f g et octo in g et surgant h i k l m per idem quod prius h i k l m quattuor continuorum sesquioctauorum minimi sunt numeri: quare et quattuor continuorum tonorum. Et si rursum hoc pacto ducis nouem in h i k l m et octo in m et surgant n o p q r s: ipsi erunt quinque continuorum tonorum minimi numeri. et hoc modo quotquot tonorum voles minimos numeros reperias. Attamen in modis musicis tot continue subiungere opus non est: sed tonis semitonia subiunguntur: de quibus posterior proprius, accommodusque expectandus est sermo.

[4 in marg.] Spacio quolibet per quotlibet equa spacia diuiso: totius ad totam proxime sectionis partem minor est proportio: quam eiusdem partis ad totam reliquam proxime sectionis partem. Quo fit vt quanto tonus tono subiungitur acutior: tanto ipsum contractiora contineat spacia.

A      c      d      e      f      g      h      i      k      b

Chordam, neruum, tibiam, eflatum aera, es tinnulum et quidquid sonum edit in harmonicis modis (vt iam quoque dictum est) spacium nuncupamus: in quibus analogie ratio vim, naturamque seruat eandem. Sit ergo a b totum spacium per a c, c d, d c, e f: et reliquas nouem equas partes vt fit in interuallo toni habendo diuisum: quotquot enim alias posueris idem valuerit. dico minorem esse proportionem a b ad c b quam c b ad d b. Nam cum a b positum sit in nouem equas partes per medias notas c d e f et reliquas diuisum: c b continet solum earum partium octo: quarum a b continet nouem. ergo a b continet spacium c b et eius octauam partem. sed et cum c b octo partes parti c d equas contineat: ergo d b continet partium totarum solum septem. ergo c b continet spacium d b et insuper eius septimam partem. at octaua pars per diffinitionem minor est parte septima: igitur iterum per diffinitionem a b ad c b proportio superparticularis minor est quam c b ad d b vtpote que a minore parte denominetur. est enim hec a septima parte sesquiseptima proportio: illa vero ab octaua sesquioctaua. Et hanc non modo in superparticularibus: verum et quibuslibet medietatibus demonstrat prima decimi Arithmetices vbi scilicet ratio medietasque arithmetica comperiatur. quod et in dicta spacij diuisione et sumpta (vt propositum est) proportione: inuentum conspiciebatur.

Correlarium vero hinc cognoscatur quod totum per quartam petitionem ad suam partem grauius sonat: pars autem ad suum totum acutius. Itaque si tono a b et c b tonum subiunxeris: subiunctus erit acutior. Et quoniam spacium c b in nouem equas partes partiretur: quarum quelibet minor erit spacio c d quod eius octaua est: nam quelibet earum est nona et a maiore numero denominata. erit igitur et quelibet earum nouem partium minor spacio a c. equa sunt enim a c et c d. et hoc pacto de quibuslibet subiunctis acutioribus tonis esset dicendum. manifestum est igitur vt quanto tonus tono subiungitur acutior: tanto ipsum contractiora contineant spacia.

[5 in marg.] Medio extremitatum toni spacio in duo equa diuiso: tonus minime in duo secatur equalia.

A     c     d     e     f     g     h     i     k     b
   l     m     n     o     p     q     r     s     t

Hec et sequentia intelliguntur vt tonus minime in duo equa ratione geometrica dirimatur: non autem arithmetica. nam et hic tonus tonique interuallum in duo equa ratione arithmetica diremptum est. diuido ergo spacium a b vt prius in nouem equa spacia: per notas a, c, d, e, f, g, h, i, k, b manifestum est a b et c b esse toni extremitates, tonumque continere. dico ergo quoniam a c medio harum extremitatum interstitio in duo equa per signum l dirempto: tonus minime in duo equa partiatur, quodque sonus a b et l b equalis non sit l b et c b. diuido enim singula reliquorum octo equalium spaciorum consimili modo per equalia per notas m, n, o, p, q, r, s, t: manifestum est totum spacium a b diuisum esse in 18 equalia spacia que sunt a, l, c, m, d, n, e, o et reliqua. ergo per precedentem minor est proportio a b et l b quam l b et c b. est enim hec sesquisextadecima: illa vero sesquiseptimadecima. non est ergo tonus hoc pacto in duo equa diuisus. et soni a b l b, et l b c b per diffinitionem adinuicem inequales: quiquidem soni ecmeles sunt, musicoque melo perparum apti.

[6 in marg.] Toni spacio hoc modo diuiso: totius medie sectionis sonus: maioris extremi toni sonum acumine: minoris vero grauitate superat.

A     c     d     e     f     g     h     i     k     b
   l

Sit a b vt in precedenti iam dictum est diuisum: ita vt a b ad c b recrepet tonum. dico quoniam sonus l b acumine superat sonum a b, quoque idem sonus l b grauitate vincit c b. Nam a b totum est et l b eius pars: ergo per quartam petitionem a b grauiorem sonum edit et l b graciliorem. et per eandem quoniam l b totum est ad c b: sonus l b grauior est sono c b. superat ergo l b maius toni extremum acumine: et minus grauitate. quod propositum erat demonstrandum.

[7 in marg.] Tonum in duo equa: certo, constitutoque numero diuidi impossibile est.

Nam per quintam primi huius nullum superparticulare interuallum in plura equalis dirimitur: et que proportio spaciorum interualli inter se ea quoque est et soni ad sonum. Atqui tonus ex superparticulari nascitur interuallo. nascitur enim ex epogdoa, sesquioctauaque ratione. igitur tonus minime in duo equalia dirimitur, diuiditurque. immo vero neque in plura duobus equa:vt in tria aut quattuor.

Ex quo facile cognoscitur Aristoxenus musicus aurium iudicio cuncta committens perparum esse probandus. qui semitonia secus quam Pythagorici non arbitratur esse dimidio tono contractiora: sed quemadmodum semitonia dicuntur: ita quoque et esse integra tonorum dimidia. Hec minus Martianus felix simili lapsus errore deprehenditur: qui nonmodo [f.f7r] tonum in duo equalia: sed et in tria, et quattuor dirimit atque secat. Secat enim in primis tonum in duo equalia que iccirco hemitonia vocat. Secundo in tria et earum tertiarum quamlibet diesim tritemeriam nuncupat. Tertio in quattuor et hanc toni partem quartam: vocat diesim tetrartemeriam: quod he dieses nunc tertie nunc quarte toni sunt partes. Est enim tritos tertius, tetrartos quartus, et meros pars. Ponit et tertiam dieseos acceptionem vt ea ipsa toni tertia et tertie dimidia pars dicatur. Et rursum primi modi primeque acceptionis dieses: chromaticas vocat, secundas vocat enermonicas tertias vero enarmonice diuisionis hemiolias: partim Aristoxeno similiter: partim autem dissimiliter. Similiter quidem quod Aristoxenus toni dimidium semitonium ponat et toni tertiam diesim chromaticam vocet sed chromatis molis: et toni quartam diesim enarmonicam. at dissimiliter quod toni quartam cum propria quarte medietate vocet diesim chromatis hemiolij. Et certe vel Martianus in tertia dieseos acceptione nouo errore lapsus putandus est: vel eundem putasse hemitonium et diesim enarmonici hemiolij idem esse. nam cum omne totum tribus suis tertijs integretur: vnam ergo tertiarum et tertie medietatem totius dimidium implere necesse est. Sed cum hec se satis falsa esse prodant, et nulla sui parte cohereant: non est cur in his diutius sermo sit protrahendus. Sic enim qui stolidum sensus iudicium sequentes intellectum relinquunt: facile ex disciplinarum aditis se explosos sentiunt.

[8 in marg.] Quicunque numerus in terminos toni ducatur: interuallum toni relinquet.

Nam cum tonus et toni interuallum in proportione sesquioctaua consistat: sui termini erunt nouem ac octo aut quicunque alij qui simili sibi proportione respondeant. At cum per septimam secundi Arithmetices: si vnus idemque numerus duos multiplicet productorum et multiplicatorum eadem sit proportio: ergo quicunque numerus ducetur in terminos sesquioctaue: sesquioctauam producet, relinquetque tonum atque toni interuallum. quod est propositum. Et non modo de sesquioctauo et toni interuallo id sentiendum est: sed et de quolibet altero interuallo.

[9 in marg.] Omnis numerus: extremorum toni differentia constitui potest.

Si enim tonus in minimis constituatur vt sunt nouem atque octo monas differentia est: cum nouenarius atque octonarius sola vnitate dissentiant. Et si ducatur binarius in nouenarium et octonarium et producantur a et b per precedentem a et b erunt toni extrema. At vero per nonam primi Arithmetices quod fit ex binario in nouenarium tantum est quantum quod fit ex binario in octonarium et vnitatem. sed binarius in vnitatem per commune proloquium seipsum producit: igitur extremorum toni a et b binarius differentia constituitur. Et si ducatur ternarius in nouem et octo: eodem quoque argumento ternarius extremorum toni differentia constituetur. Et ita quicunque alter numerus in eosdem minimos toni terminos ducetur: idem extremorum toni differentia constituetur. Manifestum itaque est omnem numerum extremorum toni differentiam constitui posse. Et quamquam ita est placuit tamen Philolao Pythagorico primordium toni, primordialemque eius differentiam ternarium constituere: qui primus cubum a primo impari numero procreat, ac gignit. quod is numerus apud Pythagoricos maxime honorabilis fuerit. Nam cum ternarium primum quidem imparem numerum tertio duxeris: nouem consurgunt. que ter ducta septem supra viginti: scilicet cubum a primo impari reddunt. at 27 ad 24 tono distant, tonique claudunt interuallum: et horum differentia ternarius constituitur. est enim ternarius summe 24 pars octaua: que eidem adiecta summe: primum a ternario cubum rursus instaurat atque perficit. Et idem Philolaus summam septem et viginti in duas partes secuit 13 et 14 quarum hec maior, illa vero minor habetur, et hanc primordium Apotomes facit: que est toni portio maior: illam autem facit principium dieseos: que est toni decisio minor atque portio: et quam posterius semitonium minus nuncupabimus. et illarum duarum partium differentiam que est vnitas facit commatis principium. Sed de his satis.

[10 in marg.] Numeri dati partem quotamcunque reperire. Quo fit vt cuiuslibet numeri pars ab ipso sit numerata: et a denominante eiusdem partis sit denominata.

[Stapulensis, f.f7r; text: 272, 17, 306, 18, 136, 16, c, d, g, h, m, n, 8, A, b, e, f, k, l] [STAPMUS 03GF]

Quamuis enim numerorum numerantium qui exemplares in anima sunt: vnitas insecabilis existat: numerorum tamen numeratorum quales in physicis sunt motuum numeri, in geometricis linearum et planorum, in astrologicis temporum, in musicis autem tonorum atque interuallorum vnitas aut verius vnum sectionem recipit. Sit ergo a quicunque numerus cuius vna partium denominata ab b quesita sit: resoluo a in omnes suas partes denominatas ad b: ducendo scilicet denominantem numeri a in denominantem partis b: ita vt proueniat c. manifestum est partes c simul denominatas ab b equari toti numero a. diuido igitur c per b et proueniat d: dico d esse partem petitam, et numeratam ab a. hoc est a numero denominante a. Que enim sit pars a denominata ab b que petita erat: patet quia a in d per septimam petitionem reproducit c: quare d est pars c denominata ab b. at c equatur a. igitur et d pars est a denominata ab b. Sed et quod d numeretur ab a: patet. quia a in b producit c: ergo per sextam petitionem c diuiso per b redibit a. sed et eodem c diuiso per b prius veniebat d. numerat igitur a semel d. et sic propositio atque tuum correlarium nota sunt.

Et quamuis hec vt monstretur perfacilis sit: vsus tamen eius aliquanto latentior: quem exemplaris deductio facile cuique reddet illustriorem. vt quesita sit verbi causa summe decem et septem pars sextadecima duco vtriusque denominantes in seinuicem. hoc est 17 et 16 et surgent 272 sextedecime. tot enim sextasdecimas continet numerus 17 resolutus. diuido ergo 272 per 16 et prouenient 17 sextedecime: que erunt totius summe partium 272 pars sextadecima. quare et numeri 17 pars itidem sextadecima. at 17 sextedecime vnitatem continent et vnam sextamdecimam. est itaque vnitas et vna sextadecima: dati numeri 17 pars sextadecima. Et si numeri decem et octo quereretur pars septimadecima duco decem et octo in decem [f.f7v] et septem et productum diuido per 17 et venient 18 septimedecime: que vnum complent integrum, vnam septimamdecimam. Est ergo vnitas et vna vnitatis septimadecima date summe decem et octo pars vna septimadecima. Si vero summe decem et septem volo partem octauam reperire: duco 17 in octo et quod productum fuerit diuido per octo et prouenient 17 octaue que duas vnitates et vnam octauam efficiunt. erunt ergo duo et octaua vnius totius summe decem et septem pars octaua. quod querebatur. Et ita in quibuslibet se quiuis valeat exercitare: habent tamen que particulari, exemplarique demonstratione sunt ostensa: ad sequentia pondus ac momentum.

[11 in marg.] Si duo inequales numeri ad eundem minorem comparentur: maioris ad ipsum maior est proportio, et minoris minor.

9                        8                        7
A                        b                        c

Ut sint a b duo inequales numeri quorum a sit maior, et b minor: qui comparentur ad eundem minorem c. dico a ad c maiorem esse proportionem quam b ad c. Nam cum per octauam petitionem extremorum a ad c proportio composita sit ex proportionibus a ad b et b ad c vt suis partibus: ergo proportio b ad c pars est proportionis a ad c et proportio a ad c totum. et cum per vltimum commune proloquium. Omne totum maius sit sua parte: igitur proportio a ad c maior est proportione b ad c. et ita de quibuslibet alijs simili argumento est agendum.

[12 in marg.] Sesquisextadecima proportio: integrum toni dimidium superat.

A     c     d     e     f     g     h     i     k     b
   l     m     n     o     p     q     r     s     t

Quinta huius monstrauit medio extremorum toni spacio in duo equa diuiso: tonum minime in duo equa geometrice partiri: et sectionem hinc et inde altrinsecus sesquiseptimamdecimam, et sesquisextamdecimam retinere proportionem. Hec vero ostendit sesquisextamdecimam proportionem que illic ex parte intensionis acuminisque relinquitur: hemitonio, integroque toni dimidio esse maiorem. et sequens monstrabit sesquiseptimamdecimam ex grauiori parte sumptam: eodem toni dimidio esse minorem. Sit ergo vt in quinta huius spacium a b in decem et octo equas partes per a c d e f et reliquas notas diuisum. ita vt a b earum partium contineat decem et octo, et c b sedecim, et l b decem et septem. manifeumst est a b et c b vt prius visum est esse tonum: et l b 17 ad c b 15 esse sexquisextamdecimam quam habitudinem dico esse integro semitonio maiorem. quoniam enim per decimam huius vnitas et sextadecima vnius: est summe decem et septem pars sextadecima. que si eidem summe adijciatur fient decem et octo, et sextadecima vnius. at octodecim et sextadecima vnius ad decem et septem per diffinitionem est sesquisextadecima. Sunt ergo decem et octo et sextadecima vnius ad decem et septem et decem et septem ad sexdecim due coniuncte sesquisextedecime. sed decem et octo et sextadecima vnius: per precedentem maior est sesquioctaua ad sedecim. Nam decem et octo ad sedecim vt prius visum est: sesquioctaua est. igitur sesquisextadecima bis aucta tonum, tonique interuallum transcendit. quare per nonum proloquium sesquisextadecima proportio integrum toni dimidium superat. quidquid enim bis auctum transcendit aliquid: id vltra eius dimidium esse necesse est. Ex quo valentiore iure cognoscitur sesquiquintamdecimam et omnem proportionem sesquisextadecima maiorem: integrum toni dimidium superare.

[13 in marg.] Sesquiseptimadecima: minor est integro toni dimidio.

[Stapulensis, f.f7v; text: 1, 19, 18, 17, a, b, c, d, A ad b sesquidecimamseptimam proportionem continet: que integro toni dimidio contractior est.] [STAPMUS 03GF]

Sint a decem et octo interualli partes et b decem et septem, c decem et nouem et vna septimadecima, d vero decem et nouem et vna octaua. per decimam huius a ad b est sesquiseptimadecima. et c ad a similiter sesquiseptimadecima. sunt ergo c ad b due sesquiseptimedecime adinuicem coniuncte. sed et per eandem d ad b sesquioctaua est atque tonus. d enim continet b et eius partem octauam. at d ad b proportio maior est proportione c ad b. nam vnius pars octaua maior est vna septimadecima. ergo sesquiseptimadecima proportio per decimum proloquium minor est integro semitonio. quod enim duplatum non implet integrum: neque id quoque continet dimidium. Est ergo notum sesquiseptimamdecimam proportionem integro toni dimidio esse minorem.

[14 in marg.] Integram toni medietatem: inter sesquisextamdecimam et sesquiseptimamdecimam proportionem cadere necesse est.

Nam per duodecimam sesquisextadecima maior est toni dimidio: et per decimamtertiam minor est eodem toni dimidio. at per communem scientiam inter maius atque minus dimidio: ipsum dimidium consistere necesse est. ergo integrum toni dimidium inter sesquisextamdecimam et sesquiseptimamdecimam cadere necesse est. Sed id in noto, integroque numero nullo pacto vt septima huius monstrauit fieri continget: vt neque in geometricis diameter quadrati: eius coste certo, constitutoque numero commensurari potest. Sed hoc vltimum ex altero loco requirendum est.

[15 in marg.] Semitonium minus: duobus tonis in chorda subiungere.

[f.f8r] [Stapulensis, f.f8r,1; text: A, c, d, e, b] [STAPMUS 03GF]

Intelligitur semitonium subiungi quando ex acutiori parte duobus quidem tonis ad grauiorem partem relictis ipsum semitonium collocatur. preiungi vero quando ipsum ex parte remissiori duobus tonis adhibetur. Continuo ergo per secundam huius duos tonos in chorda a b per notas a c d b. sitque a b c b: primus. et secundus sit c b d b qui quia per diffinitionem in sesquioctaua proportione consistunt: et per decimamseptimam primi huius due sesquioctaue minores sunt sesquitertia proportione. erit ergo a b et d b minus sesquitertio. diuido ergo a b in quattuor partes equas: et initium tertie sectionis facio notam e. ita vt e b tres earum quartarum contineat: per diffinitionem igitur a b ad e b sesquitertia proportio est. sed sesquitertia proportio a b et e b superat duos tonos a b et d b in proportione d b et e b. est igitur d b et e b per descriptionem semitonium minus duobus tonis: vt propositum erat subiunctum.

[16 in marg.] Semitonium minus: duobus tonis preponere.

[Stapulensis, f.f8r,2; text: A, e, d, c, b] [STAPMUS 03GF]

Facio a b ad c b sesquitertium interuallum et diuido c b in octo equas partes et supra c versus a: facio d c vni earum octo partium equam: ita vt d b earum partium nouem contineat. et per diffinitionem d b et c b vnum constituunt tonum. Similiter diuido d b in octo equas partes: et vnam earum adiungo supra d per notam e. quare iterum e b et d b erit tonus. suntque duo toni e b et c b. sed a b et c b sesquitertia proportio: maior est duobus illis tonis in proportione a b et e b. est igitur per diffinitionem a b et e b semitonium minus. quod cum sit duobus tonis prepositum: quoniam ex parte remissa illis adiunctum. factum est propositum.

[17 in marg.] Duobus tonis: diesim, semitoniumque minus interponere.

[Stapulensis, f.f8r,3; text: A, d, e, c, b] [STAPMUS 03GF]

Idem diesim atque semitonium minus hic (vt iam quoque dictum est) intelligimus. Sit ergo a b et c b vt in precedenti sesquitertia proportio in tota chorda a b. ad a: c versus: intendo tonum per notam d. et ab c versus a remitto tonum vt in precedenti factum est per notam e: ita vt a b et d b sit tonus, et similiter e b et c b tonus. manifestum a b et c b sesquitertiam proportionem superare duos illos tonos in media proportione d b et e b. est igitur per diffinitionem d b et e b semitonium minus duobus tonis interceptum et propositum.

[18 in marg.] Semitonij minoris minimos numeros reperire: et quomodolibet semitonium minus in chorda vna aut pluribus collocare.

324            288            256            243
  f              g              h              k
 81             72             64
  c              d              e
  9              8
  a              b
  4              3
  l              m

Sit a nouenarius et b octonarius minimi numeri toni. duco a in se, et a in b, et b in se et consurgant numeri c d e. inter quos per sextam quarti Arithmetices erunt duo sesquioctaui, duoque toni in minimis continuati. Sit preterea l quaternarius et m ternarius. duco l in c d e et prodeant f g h: inter quos per septimam secundi Arithmetices similiter coniuncti sunt duo sesquioctaui, et proinde duo toni. duco preterea itidem m in c et proueniat k per octauam secundi Arithmetices f ad k est proportio sesquitertia que per 17 primi huius maior est f h et differentia est h k. dico ergo h k esse minimos numeros semitonij minoris. quod enim sint numeri semitonij minoris per diffinitionem notum est. sed quod minimi: id iam declarandum est. Nam quia c e sunt in sua proportione minimi: per decimamoctauam tertij Arithmetices sunt contra se primi. et quia etiam l et a quaternarius et nouenarius sunt contra se primi. ergo per vndecimam tertij Arithmetices l est primus ad c. et per decimam eiusdem h qui nascitur ex l et e primis eidem numero c: erit primus ad c. Rursus m et b ternarius atque octonarius sunt adinuicem primi. ergo per vndecimam tertij et m primus est ad e sed et cum l, m quaternarius et ternarius sint etiam primi: ergo per decimam eiusdem m etiam primus est ad h. Cum ergo c et m monstrati sunt primi ad h ergo per eandem decimam tertij numerus k ex c et m productus: primus est ad h. sunt itaque h et k semitonij minoris numeri adinuicem primi: quare per vicesimam tertij Arithmetices in sua proportione minimi. quod est propositum quo ad hoc. Et data quacunque chorda si eam diuides secundum numerum h et earum partium accipias secundum numerum k numeros scilicet semitonij minoris vbilibet in eadem chorda constitutum erit semitonij minoris interuallum. In diuersis autem facillime idem feceris: si eas chordas equales equaliter tensas vnisonasque posueris, et partiaris earum quamcunque voles secundum h quarum partium alterius acceperis secundum k erit tum in pluribus chordis semitonij minoris constitutum interuallum. quod est totum propositum.

[19 in marg.] Semitonium minus in minore quam sesquiseptimadecima sit: proportione consistit. Quo fit vt regula semitonij sumendi: non sit differentiam extremorum toni in duo equa partiendo.

[f.f8v] [Stapulensis, f.f8v,1; text: 324, 288, 257, 5, 256, 243, f, g, l, 17, h, k] [STAPMUS 04GF]

Sint vt in precedenti h k minimi numeri semitonij minoris vt ducenta quinquaginta sex et ducenta quadraginta tria. capio per decimam huius: septimamdecimam partem numeri k ducentorum scilicet quadrginta trium, eritque quattuordecim et quinque septimedecime. addo itaque quattuordecim et 5 septimasdecimas ad k et fiat l numerus 257 et 5 septimedecime. erit ergo numerus l ad k sesquiseptimusdecimus. at l ducenta quinquaginta 7 et 5 septimedecime transcendit h qui solum est ducentorum quinquaginta sex. consistet itaque semitonium minus per vndecimam huius in minore proportione quam sit proportio sesquiseptimadecima. quare et a fortiore in minore consistit proportione quam sit sesquisextadecima. Correlarium hinc notum est. Nam hoc pacto partiendo extremorum toni spacium: ex quinta huius cognoscuntur sesquisextadecima atque sesquiseptimadecima altrinsecus constitui: quarum vtraque presens monstrauit semitonij minoris habitudinem esse minorem.

[20 in marg.] Sesquioctauadecima proportio: semitonio minore rursus maior euadit.

[Stapulensis, f.f8v,2; text: 256, 1, 2, 243, c, b, a] [STAPMUS 04GF]

Sint a b minimi numeri semitonij minoris per decimamoctauam huius reperti scilicet ducenta quinquaginta sex, et ducenta quadraginta tria. capio per decimam huius octauam decimam partem numeri b: quam reperio esse tridecim et semis: quam quidem addo numero b, fiatque aggregatus c. tunc c ad b sesquioctauadecima proportio est. at c maior numerus est a. nam a duntaxat continet ducenta quinquaginta sex: c vero equalium partium totidem et insuper semissem vnius. est igitur sesquioctauadecima proportio semitonio minore maior.

[21 in marg.] Sesquinonadecima: est semitonio minore minor. Quo fit vt semitonium minus inter sesquioctauamdecimam, et sesquinonamdecimam consistat collocatum.

[Stapulensis, f.f8v,3; text: 256, 255, 15, 243, 19, A, c, b] [STAPMUS 04GF]

Sint vt prius minimi termini semitonij minoris a et b: dico sesquinonamdecimam proportionem minorem esse proportione a ad b. capio enim per decimam huius: nonamdecimam partem numeri b: quam inuenio esse duodecim et quindecim nonasdecimas. quam partem adijcio numero b fiat c. proportio c ad b est sesquinonadecima. sed a maius est quam c. igitur per vndecimam huius maius est semitonium minus sesquinonadecima proportione, atque sesquinonadecima proportio semitonio minore minor. Correlarium vero vt decima quarta huius notum esse potest.

[22 in marg.] Semitonium maius: in data chorda constituere.

[Stapulensis, f.f8v,4; text: D, a, c, b] [STAPMUS 04GF]

Sit a b et c b semitonij minoris interuallum. diuido c b in octo partes equas: quibus equam facio partem c d. ita vt d b nouem contineat. ergo d b et c b erit tonus. demo igitur a tono d b et c b semitonium minus scilicet a b et c b, relinqueturque d b et a b toni reliqua pars et qua ipse semitonium minus superat. igitur per diffinitionem d b et a b semitonium maius est in data chorda (vt propositum erat) constitutum. et quemadmodum semitonium maius collocasti ad partem grauiorem ita quoque ad partem acuminis collocare facillimum esset.

[23 in marg.] Semitonij maioris: minimos numeros reperire.

[Stapulensis, f.f8v,5; text: 2187, 2048, 1944, 256, 243, 8, e, d, c, b, a, f] [STAPMUS 04GF]

Sint a b minimi numeri semitonij minoris ex decimaoctaua huius reperti et f octonarius. quoniam ex demonstratione decimeoctaue huius f octonarius primus est ad b. ergo f non numerat b. non habet igitur b octauam partem. duco igitur f in b et a et consurgant c d: per septimam secundi elementorum Arithmetices d ad c vt a ad b. est igitur inter d c semitonium minus, semitonijque minoris interuallum. et quia c habet partem octauam vt b: addo eidem numero c partem octauam eius b: et coaceruatus fiat e. continet igitur e numerum c, et partem eius octauam. quare e c tonus. et quia tonus e c superat semitonium minus d c [f.g1r] interuallo e d : ergo e d sunt numeri semitonij maioris. [2187, 2048, 139, 102, 37, 28, 9, 1 in marg.] Que autem iidem sint minimi facile ex decimaquinta tertij arithmetices cognoscas distrahendo d ab e et quod reliquum fuerit iterum quoties potes distrahendo ab d. et hoc pacto deinceps et videbis ad vltimum relictam vnitatem, eritque modo qui ad latus apparet distractio. quare per eandem decimamquintam d et e sunt adinuicem primi. sunt igitur per vicesimam eiusdem in sua proportione minimi: quod est propositum.

[24 in marg.] Semitonij maioris habitudo: sesquiquintamdecimam superat proportionem.

[Stapulensis, f.g1r,1; text: 2187, 2184, 2048, 136, 8, A, c, 15, b, d] [STAPMUS 04GF]

Sint a b minimi termini habitudinis semitonij maioris per precedentem reperti: dico habitudinem a ad b maiorem esse sesquiquintadecima. sumo enim vt in precedentibus iam sepe factum est per decimam huius quintamdecimam partem numeri b et hec inuenitur, centum trigintasex et octo quintedecime vnius que sit d adiicio ergo d ad b et fiat c: certum est c ad b esse sesquiquintamdecimam. at c minor numerus est quam a. est enim a numerus duum milium centum ocuagintaseptem. c autem solum duum milium centum octuagintaquattuor et fere semis paulo amplius. Est igitur per vndecimam huius semitonij maioris habitudo sesquiquinta decima proportione maior, eamque superans: quod est propositum.

[25 in marg.] Apotomes interuallum: minus est sesquiquartodecimo interuallo. Unde manifestum est semitonij maioris proportionem inter sesquiquintamdecimam et sesquiquartamdecimam reperiri collocatam.

[Stapulensis, f.g1r,2; text: 2194, 4, 2187, 2048, 146, c, 14, A, b, d] [STAPMUS 04GF]

Apotomen et semitonium maius: idem esse iam diximus. Sint ergo a b minimi numeri semitonij maioris vt duo milia centum et octuagintaseptem et duo milia quadragintaocto. sumo per decimam huius quartamdecimam partem b scilicet duum milium et quadragintaocto quam inuenio esse centum quadragintasex et quattuor quartedecime que sit d. addo eam quartamdecimam ad b: et fiat numerus aggregatus c. tunc numeri c ad b sesquiquartadecima proportio est. at c maior numerus est a siquidem duo milia quadraginta octo et centum quadragintasex et quattuor quartedecime summam simul attollant c: duum milium, centum nonagintaquattuor, et fere quartam vnius. et a solum summa sit duum milium centum octuagintaseptem. constat ergo sesquiquartamdecimam proportionem maiorem esse semitonio maiore: atque propositum. Correlarium vt precedentium notum est.

[26 in marg.] Semitonium minus atque semitonium maius in superparticulari proportione non cadunt: sed ea in superpartiente ratione consistere necesse est.

Nam semitonium minus per correlarium vicesimeprime huius cadit inter sesquioctauam decimam et sesquinonamdecimam. atqui inter sesquioctauamdecimam et sesquinonamdecimam nulla cadere valet intercepta, mediaque superparticularis habitudo. sunt enim ille superparticulares proxime maior atque minor igitur semitonium minus in superparticulari ratione non consistit. neque per idem semitonium maius. Nam per correlarium precedentis cadit in aliqua proportione media inter sesquiquintamdecimam et sesquiquartamdecimam duas proximas superparticulares: que superparticularem mediam nullam admittunt non igitur semitonium maius cadit in superparticulari ratione. sed et cum rationes semitonij minoris atque maioris multis superparticularibus vt iam visum est sint minores: erunt etiam minores ratione duplari que multiplicium minima est: vt que a minimo numero denominetur. nullus enim numerus binario minor. non est ergo semitonij minoris habitudo multiplex, similiter neque semitonij maioris. relinquitur igitur a sufficienti diuisione cum ille sint inter maiorem terminum, et minorem: eas esse in superpartienti genere. quod est propositum.

Id tamen propter sophistas aduertere licet quod tonus et sue partes consonantie, et consonantiarum partes intense: semper in superparticulari, superpartienti aut multiplici habitudine cadunt: remisse vero in subsuperparticulari, subsuperpartienti aut submultiplici. Atvero et si ita sit: soleums tamen eas omnes dicere esse in superparticulari habitudine, superpartienti, aut multiplici idem superparticulare et subsuperparticulare reputantes et pro vno computantes. similiter superpartiens et subsuperpartiens, et multiplex et submultiplex.

[27 in marg.] Musicum comma in chorda reperire.

[Stapulensis, f.g1r,3; text: A, f, g, c, b, d, e, 256, 243] [STAPMUS 04GF]

Sit a b chorda supra quam sit propositum reperire musicum comma: in qua a b et c b sit sesquioctaua proportio atque tonus. sint preterea d e minimi termini semitonij minoris. diuido spacium a b in partes equales secundum d: ex quarum numero ab ipso b versus a: capio secundum numerum e, et in termino earum pono notam f. tunc que proportio d ad e: ea erit a b ad f b. quare a b ad f b semitonium minus. Rursum c b spacium seco in equas partes secundum numerum e et earum partium ab ipso b versus a metiendo: sumo secundum numerum d: et in earum termino pono notam g. manifestum etiam est g b et c b esse semitonium [f.g1v] minus. sed et cum a b et f b probatum sit etiam semitonium minus. ergo interuallum f b et g b est quo sesquioctaua proportio a b et c b: maior est duobus semitoniis minoribus. est igitur per diffinitionem f b et g b inuentum musicum comma: quod erat monstrandum.

[28 in marg.] Comma: in minimis numeris constituere.

[Stapulensis, f.g1v,1; text: 531441, 524288, 497664, 472392, k, g, h, i, 65536, 62208, 39049, c, d, e, 256, 243, A, b, 8, f] [STAPMUS 05GF]

[531441, 524288, 7153, 2119, 796, 527, 269, 258, 11, 5, 1 in marg.] Sint a b minimi numeri semitonij minoris. duco a in se et in b, et b in se et exurgant c d e: eruntque c d et d e duo semitonia minora coniuncta. sit preterea f octonarius qui ex decimaoctaua huius est primus ad b. quare per vndecimam tertij arithmetices et primus ad e. non habet igitur e octauam. duco ergo f octonarium in c d e: et proueniant g h i: vt i scilicet oriatur ex f in e. certum est etiam inter g h et h i esse duo semitonia minora. et quia e est octaua pars i addo e et i simul, sitque eorum aggregatus k. dubium nullum est k ad i esse sesquioctauam: et k g esse proportionem qua sesquioctaua maior est g h et h i duobus semitoniis minoribus. sunt igitur k g numeri commatis. sed quod sint minimi ex decimaquinta tertij arithmetices notum est. Nam substracto vt ea ipsa docet g ab k, et eo quod relictum est substracto quo ad potest ab g. et sic deinceps tandem vt ad latus adiectum apparet: relinquitur vnitas. Et quemadmodum comma duabus diesibus est prepositum: ita quoque quam facillimum est comma duabus diesibus subiungere, aut duabus interserere.

[29 in marg.] Sesquiseptuagesimaquarta: commatis proportione transcenditur.

[Stapulensis, f.g1v,2; text: 531441, 531372, 72, 524288, 7084, 74, A, d, b, c] [STAPMUS 05GF]

Sint enim a b minimi numeri commatis per precedentem reperti. elicio per decimam huius septuagesimamquartam b que sit c. adiicio itaque b et c simul, et coalescat aggregeturque numerus d. qui si ad b conferatur comperitur sesquiseptuagesimusquartus. atqui idem d minor a esse deprehenditur. superat ergo per vndecimam huius ratio commatis septuagesimamquartam proportionem

[30 in marg.] Commatis ratio: sesquiseptuagesimatertia proportione minor est. vnde fit vt commatis ratio inter septuagesimamquartam et septuagesimamtertiam constituta reperiatur habitudinem.

[Stapulensis, f.g1v,3; text: 531470, 531441, 524288, 7182, 2, 73, d, A, b, c] [STAPMUS 05GF]

Sint a b vt prius minimi numeri commatis. capio septuagesimamtertiam partem b que sit c. iungo b et c simul et aggregetur d. eritque d ad b sesquiseptuagesimustertius. et d maior a esse conspicitur. ergo commatis ratio sesquiseptuagesimatertia proportione minor est: quod erat monstrandum.

Correlarium vt alia notum est.

[31 in marg.] Commatis ratio: in superpartiente ratione consistit.

Non enim in superparticulari consistet quandoquidem due superparticulares proxime sesquiseptuagesimaquarta et sesquiseptuagesimatertia: omnem prorsus mediam excludant superparticularem. et tanto minus in genere multiplici consistere valebit. vt que septuaginta duas superparticulares habeat se maiores. relinquitur ergo vt ea in superpartiente genere consistere possit. est enim ea maioris et minoris habitudo.

[32 in marg.] Rationes schismatis atque diaschismatis sunt ignote, atque irrationales. quo fit vt quarum minimi numeri tetragonicum latus non habeant: medietatum rationes ignote irrationalesque sint omnes

  256            243
   A              b            c            d            e
531441         524288

Eas rationes ignotas atque irrationales dicimus que nullo certo, constitutoque numero designari valent vnquam: vt neque in geometricis diametri et coste quadrati proportio: quales schismatum, diaschismatumque [f.g2r] proportiones esse dicimus. Sint ergo primo a b minimi numeri semitonij minoris: per decimamoctauam huius inuenti: b enim vt illic quoque monstratum est nascitur ex nouenario in se et ternario in productum nouenarij in se at numerus qui ex ductu nouenarij in se exurgebat: erat quadratus et ternarius non est quadratus: ergo per decimamquartam sexti arithmetices b minus semitonij minoris extremum ex ductu quidem non quadrati in quadratum proueniens: non est numerus quadratus. si possibile est ergo vt diaschismatos proportio in numeris sit nota: sint ergo per sextam quarti arithmetices duo diaschismata in minimis c d e coniuncta. manifestum enim est cum diaschisma sit semitonij minoris dimidium c d et d e simul esse semitonium minus. et c ad e esse semitonij minoris interuallum. sed et cum proportiones c d et d e sint continuate in minimis ergo per quintam quarti arithmetices c e sunt in sua proportione minimi. sunt ergo minimi in proportione semitonij minoris. sed et tales positi sunt a et b: igitur c et e iidem erunt numeri cum a et b scilicet c idem a et e idem b Preterea quia que proportio c ad d ea est d ad e: ergo per primam sexti arithmetices c numerus est quadratus et e numerus quadratus: quare et b idem numero e etiam quadratus. at b demonstratus est non quadratus. erit itaque idem numerus quadratus et non quadratus: quod est impossibile. non igitur diaschisma note proportionis habebitur. et idem de proportione schismatos monstrabitur. sint enim a b subter designati minimi numeri commatis: quia per vicesimamoctauam huius b minor proportionis commatis terminus fit ex ductu octonarij in quadratum lateris ducentorum quinquagintasex. et octonarius non est quadratus: ergo per decimamquartam sexti arithmetices b minor terminus commatis non est quadratus. non igitur simili vt prioris partis demonstratione a b certis designatisque numeris potest equis proportionibus diduci. est igitur schismatos eius scilicet medietatis ratio ignota, atque irrationalis. Correlarium ex modo demonstrationis notum est.

[33 in marg.] Tonus: duobus semitoniis minoribus, et commate constat.

Nam ratio sesquioctaua duobus semitoniis minoribus atque vno commate constat. superat enim duas dieses duoque semitonia minora vno commate: ac tonus in eadem ratione consistit. constat igitur tonus ex duobus semitoniis minoribus et commate.

[34 in marg.] Tonus a duobus semitoniis minoribus: vno commate distat.

Nam substracto a sesquioctaua proportione vno commate relinquuntur duo semitonia minora: igitur et eodem commate a tono diducto due dieses et duo semitonia minora relinquuntur. distat ergo tonus a duobus semitoniis minoribus vno commate.

[35 in marg.] Semitonium minus tribus commatibus maius est: minus vero quattuor. vnde manifestum est apotomen plura quattuor et pauciora quinque continere commata.

r     277531995223258301621530747994112
q     328128389443693511257285776231761
p     263600061952401802360312389697536
o             2178396179632950626746368
n             2153693963075557766310747
m             2067895430987964852731904
l                     17098604835172352
k                     16677181699666569
h                     16231265527136256
g                             134217728
f                             129140163
e                             127401984
d                                524288
c                                531441
b                                   243
A                                   256

Non est greca curiositas calculi labore deterrita quo minus quot commata in diesi quot in apotome quot denique in tono sint: peruestigaret. quod nisi a prioribus tentatum cognouissem cum id quoque plus laboris quam (vt michi visum est) in musicis modulationibus vsus, vtilitatisque afferat: missum fecissem. qui tamen id cognoscere desiderauerint hoc pacto deprehendent. Sint a b minimi numeri semitonij minoris et c d minimi commatis: per decimamseptimam et decimamoctauam huius reperti: duco b in c et d et proueniant e f et a in c et veniat g: per septimam secundi arithmetices f ad e est commatis habitudo, et per octauam eiusdem g ad e habitudo dieseos, semitonijque minoris. Deinde duco e in e et f in f et e in g et nascantur h k l: per sextam quarti arithmetices perquam facile cognosci potest k h continere duo commata. et per [f.g2v] septimam secundi eiusdem l ad h esse semitonium minus. Deinde duco d in h, et c in k, et d in l: et eo ordine veniant m n o: per eandem sextam quarti cognitu facillimum est n m continere tria commata. et per septimam secundi: o m continere semitonium minus. at n numerus cognoscitur esse minor o. ergo o ad m semitonium minus tria vincit, exsuperatque commata. Deinde duco h in h et k in k et h in l. et suo ordine exsurgant, orianturque p q r. manifestum est per idem quod prius q p continere quattuor commata et r p continere semitonium minus. at numerus r minor est numero q. igitur quattuor commata amplius sunt semitonio minore. Correlarium autem hinc notum est quod semitonium maius solo commate superat semitonium minus. atqui semitonium minus plura tribus et pauciora quattuor vt modo visum est continet commata. igitur vnico superadiecto commate semitonium maius quod vocant apotomen: plura quattuor et pauciora quinque continere est necesse.

[36 in marg.] Tonum: plura septem continere commata necesse est.

Nam tonus ex semitonio minore et apotome coalescit atque constituitur. at semitonium minus per penultimam tria continet commata et amplius: et per precedentem apotome quattuor et amplius tria autem et quattuor et amplius: septem sunt et amplius. igitur tonus plura quam septem continet commata.

Secundi Elementorum Musicalium finis.

Esquitonus: est qui tonum ac semitonium minus continet. quem et trihemitonium, trisemitoniumque: inferius dicemus.

Ditonus est qui duos complectitur tonos.

Tritonus vero qui tres.

Consonantie simplices sunt: diatessaron, diapente et diapason.

Composite vero: diapason diapente, bis diapason.

Diatessaron est consonantia: que ex interualli sesquitertia ratione nascitur.

Diapente: que nascitur ex sesqualtera.

Diapason vero: que ex dupla.

Diapason diapente: est quam adinuicem iuncte constituunt diapason ac diapente consonantie

Bis diapason: est quam coniungunt due diapason consonantie.

Nec altius ascendunt Pythagorici quod altius ascendentibus voces quoque pacto illis stridule vise sint et quod vnicuique ferme sue vocis modum, limitesque ad consonantiam bis diapason natura fecerit quodque habita contemplatione musica adusque consonantiam bis diapason: reliquam vt habeatur quam facillimam putauerunt vt qui ad ter atque quater diapason musicos modules aptare voluerint. et hac quoque de causa musici ferme omnes in definienda, determinandaque atque tradenda disciplina musica limites Pythagore non transcendunt: putantes eius limitibus contenti: et priscam, veteremque autoritatem secuti sufficienter determinasse. quod et nos in hoc opere tentabimus imitari.

[1 in marg.] Sesquitonus inter sesquiquintam atque sesquisextam collocatus est. vnde fit vt etsi sesquitonus iocunde, suauiterque auditum feriat: nondum tamen consonantia ponendus sit.

[Stapulensis, f.g2v; text: 291, 3, 288, 283, 256, 243, 48, 40, 5, 6, d, A, e, b, c, f, g] [STAPMUS 05GF]

Sit ergo a ducenta octuagintaocto: b vero ducenta quinquagintasex: et c decenta quadragintatria. per decimamoctauam secundi huius manifestum est a ad b esse tonum, et b ad c esse semitonium minus. quare a ad c per diffinitionem erit sesquitonus. quem dico in proportione minore consistere quam sit sesquiquinta, et maiore sesquisexta. Nam capio per decimam secundi huius quintam partem c et veniet numerus 48 et tres quinte qui sit f. addo igitur f ad c et aggregatus fiat d: qui maior inuenitur quam a. igitur per vndecimam secundi huius d ad c proportio maior est quam a ad c. At vero d ad c sesquiquinta est. est itaque sesquitonus in proportione minore constitutus quam sit sesquiquinta proportio. Capio denique per eandem decimam secundi sextam partem c et veniet michi numerus 40 et semis qui sit g. aggregatus igitur g ad numerum c restituat numerum e. certum est numerum e minorem esse quam a. quare vt prius a ad c sesquitonus maior est quam e ad c: qui in sexquisexta proportione constituitur. quod est propositum. Correlarium enim cognoscitur. et primum quod sesquitonus suauiter feriat auditum: cuiuslibet musicis modulationibus intenti fidem facit sensus. quod vero nondum consonantia sit: iccirco euenit qua sesquitonus in superparticulari ratione non consistit: quandoquidem inter sesquiquintam et sesquisextam proximas superparticulares nulla cadit interstes, mediaque superparticularis habitudo. neque quidem est in multiplici genere: quoniam per vndecimam primi huius dupla proportio que multiplicium minima est: ex sesqualtera, et sesquitertia proportione maximis quidem superparticularibus: exurgit atque nascitur. consonantia autem omnis per diffinitionem in superparticulari aut multiplici ratione consistit. est ergo totum propositum notum.

[f.g3r] [2 in marg.] Itidem ditonus inter sesquitertiam atque sesquiquartam medius: minime musicam complet atque perficit harmoniam.

[Stapulensis, f.g3r,1; text: 85, 1, 81, 80, 72, 64, 21, 16, D, 3, A, E, B, C, F, G] [STAPMUS 05GF]

Harmoniam et consonantiam idem dicimus et huius vt precedentis procedit demonstratio. Sint ergo a b c duo toni in minimis constituti. vt 81, 72, 64. dico ditonum a ad c consistere in proportione minore sesquitertia: et maiore sesquiquarta et musicam consonantiam haud quaquam perficere. Capio enim tertiam partem c per decimam secundi huius vt sepe factum est. et venit vnum et viginti cum triente vnius: qui numerus sit f. addo itaque f 21 et trientem ad numerum c 64 et aggregatus est 85 cum tertia parte vnius: qui idem sit d. manifestum est d ad c esse sesquitertium. at d maior est a: continet enim a dumtaxat vnum et octuaginta: d vero octuaginta quinque et amplius. est ergo sesquitertia proportio ditono maior. Et rursum capio quartam partem c que sit g: quam addo ad c et surgat e: qui erit ad c sesquiquartus. at a maior est e. igitur per vndecimam secundi huius: ditonus sesquiquartum trascendit. et cum inter sesquitertium et sesquiquartum nullus cadat superparticularis medius, neque multiplex: erit ergo ditonus in proportione superpartienti collocatus. quare musicam consonantiam (etsi in musicis modulationibus sit euphonus suauiterque auditum feriens) nondum tamen perficit.

[3 in marg.] Ditoni interuallum: sola sesquitonum superat apotome.

Nam sesquitonus vnum tonum continet integrum et secundi toni continet semitonium minus. sed cum tonus ex semitonio minore et apotome constet euadatque coalitus. ergo sesquitono ad secundi toni completionem sola deest apotome. at ditonus solos duos incolumes, integrosque possidet tonos. ergo ditoni interuallum sola apotome, soloque semitonio maiore: sesquitoni superat interuallum. quod est propositum.

[4 in marg.] Diatessaron consonantiam in data chorda collocare.

4            3
A            c            d            e            b

Cum enim epitrita, sesquitertiaque proportio: consonantiam diatessaron creet: iccirco data quacumque chorda vt a b eam in quattuor equas portiones diuido. vt a c: c d: d e: et e b. et dico a b ad c b consonare diatessaron. Nam a b continet c b et insuper a c que tertie parti c b equatur. est ergo interuallum a b sesquitertium ad c b. ergo a b ad c b per diffinitionem consonat diatessaron: et consonantia diatessaron in chorda a b data: collocata. quod est propositum.

[5 in marg.] Tritonus: consonantiam diatessaron transcendit.

Nam per decimamoctauam primi tres sesquioctaue proportiones amplius sunt sesquitertio interuallo. atqui in tribus sesquioctauis: per diffinitionem tres consistunt toni. igitur in tribus sesquioctauis consistit tritonus. et in epitrito, sesquitertioque interuallo consistit consonantia diatessaron. igitur consonantiam diatessaron transcendit vt proponebatur: tritonus.

[6 in marg.] Consonantiam diatessaron: duobus tonis atque semitonio minore constare necesse est Unde facile comparatum est sesquitonum tono, et ditonum semitonio minore citra diatessaron concentum deficere. Compertum item est consonantiam diatessaron quinque dieses et duo commata continere.

[Stapulensis, f.g3r,2; text: Diatessarum consonantia, A, c, b] [STAPMUS 05GF]

Sit a b et c b consonantia diatessaron. dico eam duobus tonis et semitonio minore constare. Nam cum a b et c b sit diatessaron: erit a b et c b per conuersionem diffinitionis sesquitertius. at cum semitonium minus per diffinitionem sit id quo sesquitertia duobus tonis maior est. continet ergo a b et c b semitonium minus et duos tonos. igitur consonantia diatessaron duobus tonis, semitonioque minore constat. Et primum correlarium hinc facile cognoscitur. Cum enim sesquitonus solum tonum et semitonium minus contineat: deest igitur ipsi ad consonantiam diatessaron complendam per presentem vnus tonus. et cum ditonus solum duos complectatur tonos: deerit ipsi ad eandem complendam semitonium minus. Secundum vero hinc haud difficile perspicitur cognitum. Nam cum tonus per tricesimamtertiam secundi duas dieses et vnum comma contineat: duo toni quattuor dieses et duo continebunt commata. at per presentem diatessaron consonantia duobus tonis vnam diesim superaddit. continet igitur consonantia diatessaron quinque dieses atque duo commata. quod est totum propositum.

[f.g3v] [7 in marg.] Quinque toni: duas diatessaron consonantias vno commate vincunt, euaduntque maiores.

Putauit Aristroxenus musicus diatessaron consonantiam duobus tonis et integro semitonio constare. et proinde duas diatessaron consonantias: quinque tonos implere. cuius error ex tertio musices diui Seuerini Boecij et ex hac et precedente facile conuincitur. Nam per precedentem consonantia diatessaron non ex duobus tonis et semitonio integro constat: verum ex duobus tonis et semitonio minore. quod ex vicesimaprima secundi inter sesquioctauam decimam et sesquinonam decimam proportionem collocatur. integrum autem semitonium per decimamquartam eiusdem: inter sesquisextam decimam et sesquiseptimam decimam collocaretur. diminutius est ergo semitonium minus integro semitonio. Quia ergo vt per precedentem dictum est: consonantia diatessaron duos tonos et semitonium minus continet: due igitur diatessaron consonantie continebunt tonos quattuor, et duo semitonia minora. et quia per tricesimamtertiam secundi tonus continet duo semitonia minora et vnum comma. ergo due diatessaron consonantie quinque tonos vno commate minus: continent. quinque igitur toni: duas diatessaron consonantias vno commate vincunt atque euadunt maiores. quod intendebatur.

[8 in marg.] Consonantiam diapente: in assignato neruo constituere.

3            2                         Consonantia diapente
A            c            d            b

Sit assignatus numerus a b supra quem iussum sit consonantiam diapente collocari: diuido a b in tres adinuicem equas partes per notas a c d b: ita vt a b tres contineat et c b earum contineat duas. erit per diffinitionem a b ad c b hemiolium, sesqualterumque interuallum. sed cum consonantia diapente: per diffinitionem ex ea interualli ratione nascatur. ergo a b ad c b consonabit diapente. eritque a b ad c b in data chorda assignatoue neruo consonantia diapente collocata.

[9 in marg.] Tres toni: consonantia diapente minus sunt. et quattuor eandem consonantiam transcendunt.

Etsi ex quinta huius satis cognoscatur tritonum non posse efficere diapente consonantiam: hec etiam ostendit tritonum diapente consonantia esse minorem. Nam per decimamoctauam primi huius tres sesquioctaui minus sunt sesqualtero interuallo. et per decimamnonam eiusdem quattuor sesquioctaui sesqualterum superant interuallum. consonantia autem diapente in sesqualtero sit a est. ergo tres toni in tribus sesquioctauis constituti: minus sunt consonantia diapente. et quattuor toni in quattuor consistentes sesquioctauis eandem consonantiam magnitudine transcendunt: quod est totum propositum.

[10 in marg.] Consonantia diapente: tribus tonis, semitonioque minore constat. Quo fit vt a diapente subducto tono: diatessaron consonantia relinquatur. subducta autem diatessaron consonantia: relinquatur et tonus.

Nam per decimamquintam primi si a sesqualtero interuallo sesquitertium demptum fuerit: relinquetur sesquioctauum. sed vt in demonstratione sexte huius visum est: sesquitertium continet duos tonos cum semitonio minore. ergo consonantia diapente sesquioctauum hoc est tonum vltra duos tonos cum semitonio minore continens: tribus tonis et semitonio minore constabit queadmodum propositum est. Correlarium cognoscitur. Nam diapente per presentem continet tres tonos cum semitonio minore. at subtstracto tono residui sunt duo toni: atque semitonium minus. et per sextam huius duo toni cum semitonio minore constituunt consonantiam diatessaron. substracto igitur tono a consonantia diapente: relinquitur diatessaron. sed et cum diapente constet ex tribus tonis cum semitonio minore: substracta ergo diatessaron consonantia que duobus tonis et semitonio minore completur: relinqnetur quemadmodum secunda pars correlarij proponit: tonus. quod est totum correlarium.

[11 in marg.] Diapente consonantia: minus octo semitoniis minoribus continet.

Nam cum tonus vnus duo semitonia minora et vnum comma contineat: tres toni et vnum semitonium minus septem semitonia minora et tria commata continebunt. ac tria commata per tricesimamquintam secundi huius semitonio minore sunt contractiora. ergo diapente que per precedentem tribus tonis et semitonio minore constat: minus octo semitoniis minoribus continebit. sed quemadmodum facile monstratum est diapente consonantiam nondum octauum attingere semitonium minus, octauamque diesim: ita quoque facile monstratu esset: eandem consonantiam nondum septimam attingere apotomen.

[12 in marg.] Diapente consonantia: ditono, sesquitonoque coniungitur.

Nam diapente per penultimam tribus tonis et semitonio minore constat. et ditonus et sesquitonus simul tres tonos et semitonium minus efficiunt. igitur ditonus atque sesquitonus pariter copulati consonantiam diapente iungunt: quod intenditur.

[13 in marg.] Consonantiarum diapente et diatessaron: tonus differentia est. quo sit vt diatessaron consonantia adiuncto tono: consonantiam diapente restituat.

[f.g4r] Differentia hic vocatur ea proportio qua maior superat minorem. Nam per correlarium decime huius sub ducto tono a consonantia diapente relinquitur consonantia diatessaron. solo igitur tono consonantia diapente consonantia diatessaron est maior. est igitur per diffinitionem: harum consonantiarum tonus differentia. et correlarium statim ex propositione notum est.

[14 in marg.] Bis diatessaron: sesquitono consonantiam diapente transcendit.

Diatessaron enim per sextam huius duos tonos atque semitonium minus continet. ergo bis diatessaron quattuor tonos et duo semitonia minora continebit. atqui a quattuor tonis et duobus semitoniis minoribus dempto sesquitono: relinquuntur tres toni et semitonium minus. Atuero per decimam huius consonantia diapente totidem tonos cum semitonio minore complectitur. ergo bis diatessaron: sesquitono consonantiam diapente transgreditur transcenditque quemadmodum proponitur.

[15 in marg.] Consonantie diatessaron, ac diapente: in maximis superparticularibus sunt collocate

Nam ex diffinitione consonantia diatessaron in epitrita sesquitertiaque proportione collocatur. et diapente in hemiolia atque sesquitertia. at nulle superparticulares sesqualtera et sesquitertia sunt maiores nam a secunda et tertia parte que maxime sunt sese consequentes partes: denominantur. igitur he consonantie ex maximarum superparticularium originibus ducte: in maximis superparticularibus sunt collocat quod est propositum.

[16 in marg.] Bis diatessaron, aut bis diapente: nullam consonantiam componere potest.

Hec proponit duas diatessaron consonantias aut duas diapente consonantias: nullam conflare posse consonantiam. Nam et diatessaron et diapente non in multiplicibus sed superparticularibus sunt constitute et per primam petitionem que interualli ad interuallum proportio est: ea quoque est et soni ad sonum. at per sextam primi duo similia interualla non multiplicia: neque multiplex neque superparticulare creant interuallum. quare neque illorum soni in multiplici: neque in superparticulari genere existunt. omnis autem consonantia aut in superparticulari aut in multiplici ratione collocanda est. sic enim consonantie nomine hoc in loco Pythagoricam sequentes autoritatem: suscepimus vtendum ergo due consonantie diatessaron aut due diapente: nullam efficient consonantiam. et non modo id verum sit: sed et quotquot consonantie diatessaron in immensum copulentur et quotquot diapente: nullam vnquam consonantiam ex quinta primi huius efficere valebunt.

[17 in marg.] Adiuncto ad consonantiam diapente tono: nulla parabitur consonantia. item neque ad diatessaron trisemitonio.

[Stapulensis, f.g4r; text: A, B, C, D, E, F, G, H, K, L, M, N, O, P, Q, R, S, T, 11, 27, 9, 3, 16, 8, 2, 3384, 9216, 2304, 4, 256, 5832, 1944, 243, Numerorum differentia, Sexta maior, Tonus, Diapente, Numerorum R S differentia, Sexta minor, Sesquitonus, Diatessaron, Semitomium minus, Tonus] [STAPMUS 06GF]

Et si hic sonorum congressus nondum consonantia sit: euphonum tamen musici reputant melo, modulaminibusque aptum: sextamque quod sex impleatur vocibus nostri nunc nuncupant. et quattuor tonis atque vna diesi hoc est semitonio minore constat. qui quod nondum consonantia sit patet. Accipio enim a et b ternarium et binarium: minimos scilicet numeros consonantie diapente. et c d nouenarium atque octonarium minimos numeros toni. et duco c in a et veniat d septem supra viginti. et d in b et veniat e decem et sex. per tertiam quinti Arithmetices d ad e continet sesqualterum et sesquioctauum: quare d ad e continet diapente atque adiunctum tonum. at manifestum est d ad e 27 scilicet ad 16 non esse multiplex. nam septem et viginti non continent bis aut tertio aut deinceps sedecim. neque d superparticularis est ad e. nam differentia numeri d ad e est vndecim qui numerus summe 16 pars nulla est. transcendit enim vndenarius sedenarij dimidium. igitur adiunctus ad consonantiam diapente tonus: nullam parit consonantiam. et simili argumento adiecto ad consonantiam diatessaron sesquitono: nulla fit consonantia vt ex secunda figuratione perfacile patere potest. fit tamen euphona vocum congressio: quam item sextam nuncupant: sed que a prima contractior tota distet apotome. est ergo hec minor, illa vero maior. constat enim prima vt dictum iam est: quattuor tonis et vna diesi, secunda vero tribus tonis et duabus diesibus. Primam sonat Parhypate hypaton ad mesen: secundam vero que contractior est: sonat hypate hypaton ad Lichanon meson. que autem hypate, que parhypate: qui lichani, et que mese dicantur: sequens liber declarabit.

[18 in marg.] Quo pacto diapason consonantia: in chorda sit adiungenda.

A            C            B            Consonantia diapason

Hec consonantiarum vt in libro probleumatum testatus est Aristoteles: elegantissima, pulcherrimaque est Chordam ergo a b seco per medium per notam c. et quia a b ad c b est dupla interualli habitudo. ergo per diffinitionem a b ad c b consonat diapason.

[f.g4v] [19 in marg.] Consonantia diapason: in sex tonis minime consistit. sed quinque amplior: sex vero tonis: consonat contractior.

Nam per vicesimam primi quinque coniuncti sesquioctaui: minus duplici interuallo coniungunt. et per vicesimamprimam eiusdem sex coniuncti maiores vno duplici interuallo euadunt. ergo quinque toni minores sunt diapason consonantia, et sex eadem sunt ampliores. consonat ergo diapason quinque tonis amplior: sed et sex eadem modulabitur inferior.

[20 in marg.] Diapason: ex diatessaron et diapente consonantiis coniungitur.

Nam per decimamquartam huius diatessaron et diapente in maximis superparticularibus sunt collocate. at per vndecimam primi duplex interuallum ex duobus maximis superparticularibus coniungitur. et duplex interuallum: consonantie diapason interuallum existit. igitur consonantiam diapason: diatessaron et diapente consonantie simul coniungunt. quod est propositum.

[21 in marg.] Consonantia diapason: quinque tonis et duobus semitoniis minoribus que tonum minime complent: perficitur. Unde quoque manifestum esse potest: consonantiam diapason solo a sex tonis commate distare.

Per precedentem enim diatessaron et diapente consonantiam diapason iungunt. diatessaron autem per sextam huius duobus tonis et semitonio minore constare monstrata est: et diapente per nonam tribus tonis semitonioque minore. at duo toni et semitonium minus et tres toni et itidem semitonium minus simul conflati: quinque efficiuntur toni atque duo semitonia minora. atqui duo semitonia minora tonum non perficiunt: verum ab eo deficiunt commate. igitur consonantia diapason quinque tonis et duobus semitoniis minoribus: que tonum minime implent quemadmodum iam propositum est perficitur.

Correlarium ex demonstrationis calce notum esse potest. Ex quo liquet perfacile esse in neruo musicum comma peruestigare Nam in eo a principio constitutis, continuatisque sex tonis et ab eodem nerui initio ad mediam chorde notam intensa diapason consonantia quod inter mediam nerui notam et vltimum sex tonorum signum continetur: ex precedentis correlario erit commatis interstitium.

[22 in marg.] Dempta ex diapason consonantia diapente: relinquitur diatessaron. et ex eadem dempta consonantia diatessaron: relinquitur diapente. demptis autem ex ea diapente et tono relinquitur sesquitonus.

Prima pars et secunda statim per penultimam cognite sunt. Item et per precedentem. Nam per precedentem diapason quinque tonis et duobus semitoniis minoribus constat: a quibus si tres tonos et vnum semitonium minus tollas que per decimam huius diapente consonantiam continet: relinquuntur duo toni et semitonium minus: que per sextam huius diatessaron consonantiam efficiunt. dempta igitur ex diapason consonantia diapente: relinquitur diatessaron: quod est primum. Secundum eadem facilitate declaratur. Nam ex quinque tonis et duobus semitoniis minoribus si duos tonos et semitonium minus tollas: relinquuntur tres toni et semitonium minus. Tertium consimiliter. demptis enim a consonantia diapason hoc est a quinque tonis et duobus semitoniis minoribus demptis inquam quattuor tonis et semitonio minore reliquus est tonus vnus et semitonium minus. Et quot dieses quot apotomas quot denique commata contineat diapason: deprehensionis sunt facillime: in nulla tamen equaliter: tota ipsa diuidua est quandoquidem diapason in multiplici ratione consistit que omnino in quotlibet equas proportiones que multiplices non sint per sexagesimam noni arithmetices diuidi non potest.

[23 in marg.] Nulla simplex consonantia: in duo equalia: certo, constitutoque numero diuisibilis est.

Simplices consonantias vocamus diatessaron, diapente, diapason. de diatessaron autem et diapente constat que ex superparticularibus interuallis surgunt: que per quintam primi nullo, pacto hunc in modum dirimi possunt. de diapason vero consonantia idem subit iudicium. Nam quoniam minimi eius numeri sunt duo et vnum: et duo quadratus non est: igitur per correlarium tricesimesecunde secundi huius consonantia diapason que consistit in proportione duorum ad vnum minime in duo equalia partietur. et eodem quoque iure neque eadem consonantia in plura duobus dimetietur, dirimeturque equalia. Et profecto velle hoc pacto consonantiam diapason in plura equa diducere. est in geometricis diametrum coste quadrati velle commensurare. sed id vltimum musicum non est

[24 in marg.] Diapason ac diatessaron: consonantiam non esse.

[Stapulensis, f.g4v; text: E, A, b, c, d, f, g, 1, 2, 3, 4, et] [STAPMUS 06GF]

Etsi in diapason ac diatessaron sit duarum vocum dulcis, amenaque congressio vt quemadmodum cum pulsatur sesquitonus: non iccirco tamen euenit diapason ac diatessaron consonantiam dici mereri. Tametsi Ptholomeo secus quam Pithagoricis hac in re visum sit: quod monstratu facillimum est. Sint enim a et b binarius et vnitas: minimi scilicet numeri consonantie diapason et c d quattuor et tria minimi identidem consonantie diatessaron duco c in a et veniet octonarius qui sit e: et d in b et veniet ternarius: qui sit f. per tertiam quinti Arithmetices e ad f continet duplam et sesquitertiam: quare diapason ac diatessaron. [f.g5r] sed e octonarins non est multiplex ad f ternarium, neque superparticularis quod eum bis contineat et insuper binarium qui ternarij non pars vlla est sed partes. est enim octonarius ad ternarium duplex subperipartiens. Non est igitur diapason ac diatessaron consonantia. omnis enim consonantia aut in superparticulari, aut in multiplici genere ex diffinitione consistit. Et in hoc facile cognosci potest ex nouo probleumatum libro quam Pythagoricis consensit Aristoteles: cum inquirit cur non bis diapente, aut bis diatessaron reddi consonantia potest: vt bis diapason coaptari solet. Hoc inquit ideo est quod diapente consonantia posita in proportione sesqualtera est diatessaron vero in sesquitertia. quod si duo sesqualteri aut sesquitertij numeri ordine disponantur: extremi nullam inuicem proportionem habebunt. neque enim superparticulares neque multiplices esse poterunt. at diapason concinentia quoniam in duplari proportione consistit: hac geminata: quadruplam inuicem extremi tenebunt, habebuntque proportionem. Uides ergo quo pacto Aristoteles consonantiarum proportiones solas superparticulares aut multiplices efficit: superpartientes quasi prorsus nulle sint repudians. Et re vera Ptholomei cum Pythagoricis magis in nomine quam in reipsa dissentio putanda est. sed de his hactenus.

[25 in marg.] Diapason ac diapente: in triplici consistit ratione. estque diapason ac diapente consonantia vna.

Que enim diapason ac diapente in tripla ratione consistat: hoc ideo est quod ex duodecima primi ex duplici atque sesqualtero interuallo triplex nascitur interuallum. duplex autem et sesqualterum sunt consonantiarum diapason et diapente interualla. igitur iuncte consonantie diapason ac diapente in tripla ratione consistunt. sed cum sensu iam satis sit exploratum hunc concentum modulate, suauiterque ad auditum peruenire: ergo per diffinitionem is concentus consonantia est. quod est totum propositum.

[26 in marg.] Diapason diapente ac tonus: melos citra consonantiam eliciunt.

27                                      8
 e                                      f
 3            1            9            g
 a            b            c            d

Melos hic vocamus suauem auribus acceptam voculationem, amenumque plurium vocum congressum. sed quod diapason diapente et tonus simul iuncta melos constituunt: statim notum est. Nam hec sonorum voculatio suauiter vt experientia discitur auribus accidit. sed quod consonantiam nullam paret: ostenditur. quoniam enim per precedentem diapason ac diapente in tripla proportione consistit. sint ergo a b tria et vnum minimi consonantie diapason ac diapente numeri, et c d nouem et octo minimi numeri toni. duco c in a et d in b et veniant e f et 7 scilicet et 8 inter que est diapason diapente atque tonus. sed e ad f neque superparticularis neque multiplex: quinimmo e continet f ter et tres eius octauas: estque e ad f triplus supertriparties octauas. non concinit igitur e f aliqua consonantia. quod totum est propositum.

[27 in marg.] Bis diapason consonantia: in quadruplari constituta reperitur habitudine.

Que enim bis diapason in quadruplari consistat: statim est manifestum. Nam per decimamtertiam primi duo duplicia interualla quadruplex iungunt interuallum. diapason autem in duplari consistit. igitur bis diapason quadruplarem iungit habitudinem: que est multiplex. et cum bis diapason ad auditum suauis, emodulataque perueniat vt id quoque sensu satis perceptum est. ergo per diffinitionem erit consonantia. quod erat monstrandum.

Pythagorici et priores musici omnes: concentuum modum in terminis quadruple atque in finibus consonantie bis diapason perstrinxerunt: non temere longius progressi aut quod inter illos terminos vnicuique factus a natura reperitur sue vocis modus, aut quod striduius ille canor illis vt iam quoque dictum est visus est quodve seriam iam relinquunt mediocritatem, aut quod hactenus contemplatio satis ipsis esse visa est ad musicam institutionem. posteritas autem ad ter diapason vel et amplius adauxit ad terminos vsque octuple longius euagata: de quibus necessaria speculatio non incumbere videtur: sed pauca paucis strinxisse satis erit. Nam qui modulationem supra bis diapason cognoscere desiderabunt: facili demonstrat: omne vt precedentia percipient. bis enim diapason ac diatessaron in proportione quincupla sesquitertia consistit. et proinde plane consonantia putanda non est. bis diapason ac diapente in proportione sescupla et ideo consonantijs annumerata. ter vero diapason in proportione octupla.

[28 in marg.] Omnes consonantias: in data chorda suo ordine subiungere: et eas sensu perceptibiliter experiri.

A            c    d       e        f    g              b

Sit a b data chorda in qua propositum sit consonantias diatessaron, diapente, diapason, diapason ac diapente, et bis diapason situare. colloco in signo a brachium circini immobile et ad totius chorde quartam partem extendo circini brachium mobile: et in termino eius pono notam c. deinde extendo idem brachium ad eiusdem chorde partem tertiam: et in termino pono d. mox ad totius chorde parte mediam quam designo nota e. deinde eodem brachio capio totius chorde bissen: hoc est duas tertias: et in termino bisses pono f. mox extendo circinum ad chorde dodrantem: hoc est ad tres eius completas quartas: in cuius fine affigo notam g. tunc sic a b et c b per quartam huius consonat diatessaron. a b et d b per octauam diapente a b et e b per decimamoctauam diapason a b et f b per vicesimamquintam diapason ac diapente. postremo vero a b et g b per precedentem bis diapason. Suppone igitur musicale hemispherium sensim singulis chorde notis et sonos ad totius chorde sonum diligenter attende. et suo ordine propositas concinentias annotabis. quod promptius experiri valebis: si chorde a b chordam equisonam, vnisonamque etiam collocaueris: cuius sonum cum singulis sectionum a b percussionibus non segniter attenderis.

[f.g5v] [29 in marg.] Consonantiarum hoc pacto digestarum: finis consonantie diatessaron: ad finem diapente sonat tonum, ad finem diapason: consonat diapente. ad finem diapason ac diapente: inconsonus. ad finem vero bis diapason: consonat diapente ac diapason.

A            c    d       e        f    g              b

Sint a, c, d, e, f, g, b modo qui dictus est digeste consonantie: dico c b finem consonantie diatessaron ad d b sonare tonum, ad e b esse diapente, ad f b inconsonum esse, ad g b vero consonare diapente ac diapason. Nam per precedentem a b et c b est diatessaron et a b et d b diapente. dempta ergo a b et c b diatessaron consonantia ab c b et d b diapente: per correlarium decime huius relinquitur tonus. quod autem relinquitur est c b et d b: igitur c b ad d b sonat tonum. et quoniam per precedentem a b et e b concinit, modulaturque diapason substracta: igitur a b et c b diatessaron ab a b et e b per vicesimamsecundam huius quod relinquitur est diapente. atqui quod relinquitur est c b et e b: igitur c b ad e b consonat diapente. et quia per precedentem a b et f b consonat diapason ac diapente: subducta igitur a b et e b consonantia diapason: quod relinquitur est diapente. quod autem relinquitur est e b et f b. igitur e b et f b consonantia est diapente. sed per modo monstratum c b et e b etiam diapente est: igitur c b et f b est bis diapente. at per decimamquartam huius bis diapente consonantia componi non potest: igitur c b ad f b inconsonus est. postremo quoniam vt ex precedenti notum est a b et g b consonat bis diapason. dempta igitur a b et e b diapason consonantia relinquitur e b et g b esse diapason. atqui c b et e b per secundam partem huius monstrata est esse diapente. igitur adiuncta c b et e b consonantia diapente ad e b et g b constituitur diapente ac diapason. consonat ergo c b et g b diapente ac diapason. quod est totum propositum.

[30 in marg.] Sic positis consonatijs: finis diapente ad finem diapason modulatur diatessaron, et ad finem diapason ac diapente: modulatur diapason. ad finem vero bis diapason euphonus est: sed qui nondum consonantia est.

A            c    d       e        f    g              b

Esto precedentium hypothesis: dico d b finem diapente ad e b consonare diatessaron. ad f b diapason. et ad g b sonare diatessaron ac diapason. Nam per penultimam a b et e b consonantia est diapason. et a b et d b diapente. substracta igitur a b et d b diapente: ab a b et e b consonantia diapason: per vicesimamsecundam huius relinquitur diatessaron. quod autem relinquitur est d b et e b: igitur d b ad e b consonat diatessaron. et quia in precedenti monstratum est e b et f b esse diapente: et nunc d b et e b esse diatessaron: ergo per vicesimam huius d b et f b ex illis duabus conflata, coalitaque consonantia modulabitur diapason. Rursum cum e b et g b in precedenti monstrata sit diapason: et e b et f b diapente: ergo per vicesimamsecundam huius f b et g b est diatessaron. et d b et f b nunc monstrata est diapason. igitur d b et g b est diapason ac diatessaron: que cum modulatio sit euphona et eam monstrauerit vicesimaquarta huius non esse consonantia totum liquet monstratum propositum. et ex hac quoque pariter cognitum est finem diapason: ad finem diapason ac diapente modulari diapente vt e b ad f b et ad finem bis diapason consonare diapason.

[31 in marg.] Consonantiarum sic collocatarum: totius chorde atque cuiusque sectionis numeros designare.

24       18       16       12       8       6
 a        c        d        e       f       g       b 

Duco duo, tria, et quattuor in seinuicem: et numerum inde surgentem atque productum qui habebit secundam tertiam et quartam: pono totius linee numerum quem iccirco voco numerum a b ab quo demo quartam partem et reliquus sit c b: et erit primus numerus ad ipsum sesquitertius. quare diatessaron. et ab eodem numero demo partem tertiam et residuus sit d b: eritque a b ad d b sesqualter: quare consonantia diapente. et iterum ab a b diduco partem mediam et residuus sit e b: eritque a b ad e b duplus. quocirca diapason consonantia inter eos exurget. et numeri a b sumo solam tertiam que sit f b: erit ergo a b ad f b habitudo tripla. continebunt igitur a b et f b diapason ac diapente. Rursum numeri a b sola quarta sit g b: erit a b ad g b quadruplus. quare a b et g b sunt numeri bis diapason. sunt itaque totius chorde a b et cuiusque sectionis eius secundum assignatas consonantias designati numeri. quod erat demonstrandum.

[32 in marg.] Quotcunque harmonicas medietates assignare: inter quarum terminos eorumque differentias omnes musice reperiantur consonantie.

[Stapulensis, f.g5v; text: Harmonice, Medietates, Differentie, 12, 8, 6, 4, 3, 2, 1, a, b, c, d, e, Epitritus, Hemiolus, Duplaris, Triplaris, Quadruplaris, Diatessaron, Diapente, Diapason, Diapason diapente, Bis diapason.] [STAPMUS 06GF]

Harmonica medietas in Arithmeticis diffinita est quando trium terminorum vt maximus ad minimum: ita differentia maiorum ad differentiam minorum. Sit ergo c quicunque numerus partem tertiam habens que sit e: duplo c. sitque duplatus a. manifestum est a ad c esse duplum. et quia c continet tria e: ipsum a continet sex e. addo e ad c et fiat b [f.g6r] et erit notum b ad c esse sesquitertium: et b continere quattuor e atque e esse differentiam b ad c. Itidem quia b continet quattuor e et a continet sex e: a erit sesqualter ad b. et quia b equatur quattuor e, et a sex: ergo differentia a ad b equatur duobus e que sit d. quia enim d equatur duobus e: ergo d duplus est ad e. dico ergo a b c datam esse harmonicam medietatem: inter cuius terminos a b c et eorum differentias d e omnes musice consonantie reperiantur. nam a ad b maximi ad minimum monstrata est proportio esse dupla et similiter habitudo d ad e differentie scilicet maiorum ad differentiam minorum etiam ostensa dupla. sunt igitur per diffinitionem a b c termini in harmonica medietate constituti. At si b ad c compares monstratus est sesquitertius: quare consonantie diatessaron interuallum. et si a ad b: monstratus est sesqualter atque hemiolus et diapente interuallum. et si a ad c: duplum habes et consonantiam diapason. si vero c ad e contuleris: habes triplum: et per vicesimamquintam tertij consonantiam compositam diapason ac diapente. et si b ad e: quadruplum, et per vicesimamseptimam tertij bis diapason. at cum cetera monstrata sint non esse consonantias: constat diatessaron, diapente, diapason, diapason ac diapente, et bis diapason omnes consonantias quibus in disciplinis se exercere solent musici: inter terminos harmonice medietatis et eorum differentias: fuisse repertas. et si duxeris binarium in a b c et in illos qui inde prouenerint et quoties volueris in prouenientes: ex septima secundi Arithmetices cognoscere promptum est toties constitui harmonicam medietatem consimiles inter suos terminos et suorum terminorum differentias: consonantias musicas seruantem. et idem fuerit si quemcunque alterum numerum in illos terminos duxeris. placuit tamen diuo Seuerino quadragesimo octauo capite secundi sue Arithmetices ad omnes consonantias musicas complectendas: duas ordinare medietates harmonicas: vnam in duplari, et alteram in triplari. sed et idem etiam fieri posse vna sola constituta iam satis monstratum arbitramur.

[33 in marg.] Quotlibet maximas harmonias quarum quelibet primordium consonantiarum, consonantiasque contineat omnes: constituere.

[Stapulensis, f.g6r; text: Maxima harmonia, Differentie, 24, 18, 16, 12, 9, 8, 6, 4, 3, 2, a, b, c, d, e, f, g, h, Epogdous, Tonus, Epitritus, Diatessaron, Hemiolus, Diapente, Duplaris, Diapason, Triplaris, Diapason diapente, Quadruplus, Bis diapason.] [STAPMUS 06GF]

Maximam harmoniam vocant quando quattuor solidorum terminorum in geometrica medietate constitutorum: inter maximum, vnum mediorum et minimum medietas Arithmetica continetur: et rursum inter maximum terminorum, alterum mediorum, et minimum continetur harmonica. Medietas geometrica est quando terminorum est proportionum similitudo. Arithmetica vero quando terminorum est differentiarum equalitas. quid Harmonica iam dictum est. Solidi termini dicuntur qui ex trium in se laterum ductu producuntur. sed hec omnia ex Arithmeticis quamnotissima sunt. Primordium consonantiarum appellamus tonum.

Capio ergo d numerum quemcunque qui secundam et tertiam habeat: sitque eius secunda f et tertia h. duplo d et sit duplatus a: quiquidem a duplus erit ad d. addo b ad d sitque compositus c. eritque sesquitertius ad d. sed et cum a monstratus sit duplus ad d: ergo per vndecimam primi huius a ad c est sesqualter. Preterea f secundam partem d addo ipsi d et compositus sit b: certum est b ad d esse sesqualterum. quare per eandem vndecimam primi a ad b est sesquitertius. Ab a c igitur qui monstratus est sesqualter: ablato a b sesquitertio per quintamdecimam primi relinquitur b ad c sesquioctauus. Sit preterea g differentia a ad c quia d continet tria h: c continebit quattuor et a sex. ergo g differentia a ad c continet duo h. est itaque g ad h duplus. et quia f est medietas d, et b est sesqualterum ad d: ergo b continet tria f. est itaque f tertia pars b. sed et a sesquitertius ad b addit super eum tertiam partem ipsius b: ergo differentia a ad b que sit e equatur f. dico ergo a, b, c, d maximam constituere harmoniam: que tonum consonantiarum elementum, et omnem complectitur consonantiam. Nam a ad b monstratus sesquitertius et similiter c ad d sesquitertius. continent igitur a ad b et c ad d per diffinitionem: geometricam medietatem. et differentia a ad b maximi ad vnum mediorum est e, et b ad d eiusdem medij ad minimum est f, et e et f monstrate sunt equari. igitur per diffinitionem a ad b et b ad c constituuntur in Arithmetica medietate. sed et a ad d maximus ad minimum monstratus est duplus: et similiter g differentia a ad c maximi ad reliquum mediorum demonstrata dupla ad h differentiam c ad d eiusdem medij ad minimum. igitur per diffinitionem a c d consistunt in harmonica medietate. Constat igitur per diffinitionem a, b, c, d si solidi sint constituere maximam harmoniam. quod si solidi non sint: duc quecunque numerum in quemlibet ipsorum et prouenient solidi in eisdem habitudinibus quorum cuiuslibet latera erunt vnitas, numerus in illos ductus et singuli eorum ad singulos: sicque constabit maximam constitutam esse harmoniam. sed iam ostensus est b ad c sesquioctauus: igitur per diffinitionem b ad c continet tonum consonantiarum primordium. et a ad b est sesquitertius. igitur a ad b continet diatessaron. et a ad c monstratus est sesqualter: igitur a ad c continet diapente. et a ad d duplus: igitur a ad d diapason. et d ad h triplus: igitur d ad h diapason ac diapente. et c ad h monstratus quadruplus: igitur c ad h continet bis diapason. et quoties duxeris quemcunque numerum in a, b, c, d aut in productos ex illis adiuuante septima secundi Arithmetices et diffinitionibus: toties constitues maximam harmoniam: tonum et omnes consonantias continentem. est igitur effectum quod proponebatur. Et ex hac intelligere potes esse demonstratum que diuus Seuerinus affert de harmonia cubi quadragesimonono, et de maxima harmonia quinquagesimoquarto capite secundi sue Arithmetices.

[34 in marg.] Omnis numerus ternaria progressione ad se adiectus: omnem consonantiam in Arithmetica medietate complet.

[f.g6v] [Stapulensis, f.g6v,1; text: Consonantie in Arithmetica medietate, A prima vnitate, secunda, tertia, 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 10, 20, 30, 40, 100, 200, 300, 400, duplus diapason, sesquitertius diatessaron, duplaris, epitritus, diatessaron, sesqualter diapente, hemiolis, Triplus. diapason diapente. Triplaris, Quadruplus. bis diapason, Quadruplaris] [STAPMUS 07GF]

Intelligitur ternaria progressione ad se addi numerus quoniam additur primo ad se semel, deinde bis, deinde ter. dico ergo quemcunque numerum ad se hoc pacto additum: omnem constituere consonantiam musicam. Nam semel sibi adiectus: duplex ad se efficit, et diapason consonantiam. et bis sibi additus: ad primam additionem sesqualterum constituit et diapente: et ad se triplum atque diapason ac diapente. nam in prima additione bis, et in secunda ter continetur. ter vero sibi additus ad secundam additionem facit sesquitertium et diatessaron: nam primus numerus hic quater, illic vero ter continetur. et ad se quadruplum facit et bis diapason. in hac igitur progressione omnis continetur consonantia musica. et quia continue numerorum ex eius additione surgentium ipse numerus additus est differentia: ergo reperte consonantie in Arithmetica medietate continentur. et ex hac cognoscitur cur in omnium vnitatum quaternaria progressione que vbique denarij Pythagorici plenitudinem implet: omnes consonantie musice et in Arithmetica quidem medietate reperiantur.

[35 in marg.] Tonum et omnem consonantiam simplicem: in duo equa partiri, veraque medietatum puncta in chorda: geometrice monstrare.

Precedentes septima secundi, et vicesimatertia tertij pretendunt tonum, diatessaron, diapente ac diapason: in duo equa diuidi non posse. hec vero monstrat quo pacto ea omnia possint in duo equa partiri. nec hoc quidem repugnat. Nam precedentes contendunt id effici non posse Arithmetice certo, constitutoque numero, atque rationali habitudine: hec vero id effici posse geometrice sine numeri certa, constantique ratione.

[Stapulensis, f.g6v,2; text: A, b, c, d, e, f, g, h, i, k] [STAPMUS 07GF]

Sit ergo data chorda a b superior in qua iubeamur integrum semitonium, et consonantiarum diatessaron, diapente, ac diapason vera media reperire. facio a b et c b tonum. a b et d b diatessaron. a b et e b diapente. a b et f b diapason eo qui in prededentibus monstratus est modo. deinde in inferiori linea a c indefinite quantitatis capio a b equalem linee superiori a b et b c continue equalem linee b c superiori. et a puncto b versus c: capio lineam b d equalem chorde b d et b e equalem chorde b e et b f chorde b f. et intelligo quattuor dimidios circulos a c, a d, a e, a f. et a puncto b educo perpendicularem linee a c ad circumferentias semicirculorum a c, a d, a e, a f. et puncta vbi eos contingit linea sint g, h, i, k: ad que puncta educo a g, c g, a h, d h, a i, e i, a k, f k. at per nonam sexti geometrie a b ad b g vt b g ad b c. facio igitur in chorda superiore a b lineam b g equalem inferiori linee b g et cum proportio a b ad g b vt g b ad c b vt preostensum est: sequitur tonum a b et c b esse in duo equa diuisum: et punctum g esse medium veri semitonij signum. et per eandem que proportio a b ad b h ea sit b h ad b d. esto igitur h b in chorda a b equalis linee b h per idem vt prius: ea erit proportio a b ad h b que h b ad d b. quare a b et d b diatessaron in duo equa partita est. et eodem pacto facta chorda i b superiori equali linee b i. et chorda k b equali linee b k: monstrabis consonantias [f.g7r] diapente et diapason in duo equa esse partitas. et re vera hoc pacto vera schismata atque diaschismata, et dieses tetrartemerias reperias assignatis commatis, dieseos, atque completi semitonij interuallis et sumptis vt in precedentibus factum est medijs proportionalibus chordis. sed hec statim aliquantulum in geometricis exercitatis nota esse possunt. Hec autem posteaquam repereris disce (si libet) per chordam in voce tonum mediare, et semitonium: et quamcunque voles in arte musica consonantiam.

Tertij elementorum Musices finis.

HArmonica regula instrumentum est: quo cum (rationis adhibito iudicio) consonantie, consonantiarumque partes: in chorda perquiruntur. Melorum tria sunt genera: Diatonicum, Chromaticum, Enarmonicum. Diatonicum genus: melos est cuius partitio per semitonium minus et duos tonos continue procedit. Chromaticum: quod per duo inequalia semitonia et trihemitonium conscendit. Enarmonicum vero: quod per duas dieses conscendit et ditonum. Diesis hoc in loco semitonij minoris medietas est: ex differentie extremorum habitudinis eius: partitione proueniens: que et tetrartemeria dicta est. sed vt earum semper maior que acutior, et minor que grauior: reperiatur necesse est. Uoces, nerui, chorde, spacia: hoc ordine a graui in acumen nitentia in vnoquoque melorum genere sunt nuncupata.

Grece nuncupationes           Nuncupationes latine.
Proslambanomenos              Acquisitus
Hypate hypaton                Principalis principalium
Parhypate hypaton             Subprincipalis principalium
Lichanos hypaton              Index principalium
Hypate meson                  Principalis mediarum
Parhypate meson               Subprincipalis mediarum
Lichanos meson                Index mediarum
Mese                          Media
Trite synezeugmenon           Tertia coniunctarum
Paranete synezeugmenon        Penultima coniunctarum
Nete synezeugmenon            Ultima coniunctarum
Paramese diezeugmenon         Submedia disiunctarum
Trite diezeugmenon            Tertia disiunctarum
Paranete diezeugmenon         Penultima disiunctarum
Nete diezeugmenon             Ultima disiunctarum
Trite hyperboleon             Tertia excellentium
Paranete hyperboleon          Penultima excellentium
Nete hyperboleon              Ultima excellentium

Monochordum: est quod vnica chorda continet modulationem. Tetrachordum: quod chordis quattuor. Polichordum vero: quod pluribus chordis id continet quam quattuor. vt pentachordum: quod quinque. hexachordum: quod sex. et ita de heptachordo, octochordo, ennachordo, decachordo, endecachordo, dodecachordo, tridecachordo, tessaradecachordo, et pentadecachordo est intelligendum: quod vltimum omnino quindecim constat chordis.

Proslambanomenos: est in vnoquoque genere: primo tetrachordorum grauissimus neruus adiunctus: a proximo primi tetrachordi neruo: toni interuallo distans. Tetrachordum coniunctum: est cuius principium est precedentis tetrachordi finis. Disiunctum vero: cuius primordialis neruus in vnoquoque melorum genere: a proximo precedentis tetrachordi finali neruo: vno tono disiungitur.

[f.g7v] Tetrachorda sunt quinque: Tetrachordum hypaton, Tetrachordum meson, Synezeugmenon, Diezeugmenon, Hyperboleon.

Tetrachordum hypaton est:           Tetrachordum synezeugmenon.
Hypate hypaton                      Mese
Parhypate hypaton                   Trite synezeugmenon
Lichanos hypaton                    Paranete synezeugmenon
Hypate meson                        Nete synezeugmenon
Tetrachordum meson est:             Tetrachordon diezeugmenon.
Hypate meson                        Paramese diezeugmenon
Parhypate meson                     Trite diezeugmenon
Lichanos meson                      Paranete diezeugmenon
Mese                                Nete diezeugmenon
                      Tetrachordum hyperboleon
                      Nete diezeugmenon
                      Trite hyperboleon
                      Paranete hyperboleon
                      Nete hyperboleon

Modum hic vocamus remissionem aut intensionem omnium tetrachordorum gradatim in aliquo genere melorum: sui generis progressionem seruans.

Modi sunt septem.

Primus Hypodorius                      1
Secundus Hypophrygius                  2
Tertius Hypolydius                     3
Quartus Dorius                         4
Quintus Phrygius                       5
Sextus Lydius                          6
Septimus Mixolydius                    7

[1 in marg.] Monochordi regularis partitionem: in diatonico genere demonstrare.

Quamuis instrumenta musices quam plurima reperiantur vt Cithare, Tibie, Tube, Litui, Multiforatiles sistule: Dextre, Leue, Simplices, Duplices: in quibus vno spiritu animandis vt inquit Apuleius. fertur Hiaguis Lydorum rex Marsieque pater primus in canendo manus discapedinasse: preterea vt Pelte, Chordaciste, Sambuci, Hydraule, Nabilie, Psalteria, Magades, Barbiti, Naula, Pentades, Cornua, Heptagona, Mele, Testudo, Barbati, Plectra, Monochorda, Tetrachorda, Polychorda: et cetera id genus musica instrumenta. placnit tamen Philosophis in Monochordis, Tetrachordis, atque Polychordis monstrandis: ceterorum nos intelligere rationem, atque compositionem. quocirca vt de Monochordorum et Tetrachordorum compositione intelligemus: ita de reliquis est intelligendum. nunc ergo ad Monochordi regularis nos ostensionem conuertamus.

[Stapulensis, f.g7v; text: Monochordum diatonicum, A, b, c, d, e, f, g, h, i, k, l, m, n, o, p, q, r, S, T, Tonus, Semitonium minus] [STAPMUS 07GF]

Monochordum igitur regulare iccirco dicitur quod in vnico neruo musice consonantie harmonica regula peruestigentur. Sit ergo a b chorda in qua volumus in diatonico genere consonantias regulariter collocare. [f.g8r] Accipio c planissimam regulam, nullaque ex parte subsultantem: equalem linee a b. et per primam et decimam octanam secundi huius ab c in d intendo tonum. et ab d in e semitonium minus. et ab e in f et f in g intendo duos tonos. et ab g in h semitonium minus. ab h in i et i in k duos tonos. Rursus ab k in l tonum. et ab l in m semitonium minus. ab m in n et n in o duos tonos. ab o in p semitonium. ab p in q et q in r duos tonos. ita quod continue semitonio minori subiuncti sint duo toni: demptis c d qui pro proslambanomeno primo semitonio prepositus est tonus: et k l tono qui tetrachordi diezeugmeni hoc est disiuncti principium est. Rursum applico totam regulam harmonicam c r toti chorde a b. ita vt c sit cum a, et r cum b. et in chorda a b vbi applicantur d, e, f, g, et relique sectionum regule note: signo d, e, f, g, h, i, k, l, m, n, o, p, q et dico monochordum a b esse in genere diatonico regulariter diuisum. Quoniam enim sua interualla interuallis regule c r respondent, euaduntque equalia a b et d b sonat tonum et d b et e b semitonium: et iterum e b et f b tonum continet. igitur a b et f b duos tonos et semitonium minus continens: per sextam tertij consonat diatessaron. Et quia f b et g b vt in regula continet tonum. et g b et h b semitonium minus. et h b: i b. et i b et k b duos tonos. ergo per decimam tertij f b et k b tres tonos semitoniumque minus continens: concinit diapente. Sed et monstratum est a b et f b modulari diatessaron: ergo per vicesimam tertij a b et k b quod ex consonantijs diatessaron et diapente consurgit coalitum: consonat diapason. Rursus k b et l b sonat tonum, l b et m b semitonium minus m b n b et o b duos tonos: quare k b et o b tres tonos et semitonium minus continens: per decimam tertij consonat diapente. Sed a b et k b monstrata est diapason consonantia: ergo a b et o b consonat diapason ac diapente. Preterea quia o b et p b semitonium est et p b q b et b duo toni: ergo o b et b concinit diatessaron. k b igitur et b ex diapente, diatessaronque constans: per vicesimam tertij consonat diapason. At vero a b et k b itidem monstratum est concinere diapason. ergo a b et b concinunt bis diapason. Et quia hec monochordi partitio per semitonium et duos tonos facta processit: et esse que modo monstrate sunt consonantie harmonice regule suffragio peruestigate: ergo monochordi regularis partitio in genere diatonico per diffinitionem monstrata est. quod est propositum.

[2 in marg.] Monochordi regularis constitutionem: in genere Chromatico declarare.

[Stapulensis, f.g8r; text: Bisdiapason, Diapason, Diapason diapente, Diapente, Diatessaron, Monochordum Chromaticum. A, b, c, d, e, f, g, h, i, k, l, m, n, o, p, q, r, T, S, TR, Tonus. Semitonium maius. Trihemitonium.] [STAPMUS 08GF]

In omni Monochordo, atque Polyphordo hec obseruatur proprietas vt octaua modo nota, modo chorda prime: et decimaquinta octaue: in consonantia diapason recrepet. et vbique pro proslambanomeno preiungitur tonus, interseriturque vbique inter mesen atque paramesen pro concentu disiuncto tonus. hoc est in monochordis a prima nota in secundam et ab octaua in nonam collocatur tonus. Sit ergo a b vt prius chorda in qua volumus consonantias in genere chromatico regulariter reperire. capio c r regulam planissimam et illi assignate corde equam. factoque per primam secundi huius c d tonum: et per decimamoctauam eiusdem d e semitonium minus: et iterum per primam d f toni interuallum. erit ergo e f semitonium maius: et d e et e f duo semitonia: sed et ab f ad g metior tonum et semitonium minus: que equa erunt trihemitonio: et g h et h i facio duo semitonia: minus scilicet atque maius et i k extendo ad tonum et semitonium minus. Simili quoque pacto k l fiat tonus: et l, m, n duo semitonio: et n o trihemitonium. et iterum o, p, q duo semitonia: q r vero trihemitonium. Et regulam hoc pacto diuisam applico ex equo linee a b: et in linea ab signo consimiles et consimilibus distantijs notas: scilicet a, d, e, f, g, h, i, k, l, m, n, o, p, q, b. quo peracto dico lineam a b esse regulariter in melodia chromatica diuisam. Nam c d tonus et d f tonus et f g tonus et semitonium minus. quare a et g continent tres tonos et semitonium minus. ergo per decimam tertij a ad g consonat diapente. et quia g h i continent tonum: et i k trihemitonium: igitur g ad k duos tonos et semitonium minus continens per sextam tertij modulatur diatessaron. sed et a g probata est diapente: ergo a k constans ex a g et g k diapente et diatessaron per vicesimam tertij concinit diapason. Et penitus eadem ratione probaueris k o consonare diapente, et k b diapason. quare a o diapason ac diapente et a b recrepabit bis diapason: quam consonantiam nos transcendere Pythagoricorum vetat autoritas. qui tamen volet vlterius conscendere ex his que iam demonstrata sunt et que [f.g8v] postea demonstranda suscipientur: facile conscendet. Et cum iam monstrata partitio per semitonium et semitonium et trihemitonium processerit: nisi vbi integer adiectus est tonus vt tum diapason, tum concentus disiuncti seruetur proprietas: Patet ergo ex diffinitione factum esse quod in chromatico genere proponebatur faciendum atque propositum.

[3 in marg.] Idem: in enarmonico genere regulariter ostendere.

[Stapulensis, f.g8v,1; text: Monochordum Enarmonicum. A, b, T, D, TT, c, d, e, f, g, h, i, k, l, m, n, o, p, q, r, Diesis tetrartemeria. Ditonus.] [STAPMUS 08GF]

Sit vt prius chorda a b et c r regula eidem vt in ceteris equa: ab puncto c ad d extendo tonum: et ab d ad f semitonium minus: et spacium d f partior in equalia per notam e. eruntque d e f due dieses. et f g facio duos tonos: qui ditonum implent. g h i vt prius duas dieses. i k ditonum. k l tonum. l m n duas dieses. n o ditonum. o p q duas dieses. et q r ditonum. quam regulam hoc pacto partitam equaliter applico linee a b: et similes notas, equaliaque interualla in linea a b designo per medias inter a et b litteras d, e, f, g, h, i k l, m, n, o, p, q b. et quia a d tonus: et d e f due dieses semitonium minus implentes: et f g ditonus: ergo a g tres toni et semitonium minus per decimam tertij sonant diapente. sed et g h i due dieses et i k ditonus duos tonos et semitonium minus continentes: per sextam tertij sunt diatessaron. igitur vt prius per vicesimam tertij a k continet diapason. et hoc pacto monstretur k o continere diapente et k b diapason: quare a o consonare diapason ac diapente, et a ad b consonare bis diapason. et quia hec modulationis progressio per duas dieses et ditonum procedit: constat per diffinitionem monochordum enarmonium regulariter esse partitum: in eoque musicas situatas esse consonantias et propositum.

[4 in marg.] Tetrachordum hypaton: in diatonico melo diuidere.

[Stapulensis, f.g8v,2; text: Proslambanomenos, Hypate Hypaton, Parhypate Hypaton, Lichanos Hypaton, Hypate Meson, A, B, C, D, E, T, S, b, c, d, e] [STAPMUS 08GF]

Superiores: Monochorda docuerunt ordinare. Inferiores autem: Tetrachorda, Pentachorda, Hexachorda et alia queque Polychorda ad Penthadecachordum vsque: quibus cognitis cetera que amplius desiderarentur cognoscentur facillime. Constituo ergo b c d e tetrachordum hypaton: ita vt b sit hypate hypaton, c parhypate hypaton, d Lichanos hypaton, e Hypate meson: cui preiungo ad grauitate partem a Proslambanomenon chordam quidem que in tetrachordis non computatur: sed primo adiecta tetrachordo creat penthachordum. facio ergo interuallum chorde a sesquioctauum ad chordam b, et sesquitertium ad chordam d, et sesqualterum ad e. Item facio c ad d sesquioctauum. dico ergo tetrachordum hypaton in genere diatonico (vt dictum est) esse diuisum. Nam per diffinitionem a ad b proslambanomenos ad hypaten hypaton: erit tonus. et quia a ad d sesquitertium est: itidem per diffinitionem proslambanomenos ad lichanon hypaton concinit diatessaron. sed et cum a ad e proslambanomenos ad hypaten meson sit sesqualterum: per idem a ad e consonat diapente. per decimamtertiam igitur tertij d ab e lichanos hypaton ab hypate meson tono disiungitur. Rursum quia c ad d sesquioctauum est: ergo c ad d sonat tonum. at vero quia a ad d diatessaron est: et a b tonus est, et c d tonus: igitur per sextam tertij b ad c relinquitur semitonium minus. Est itaque hypate hypaton ad parhypaten hypaton semitonium minus. et parhypate hypaton ad lichanon hypaton tonus: lichanos hypaton ad hypaten meson tonus. constitutum est ergo b, c, d, e tetrachordum hypaton: per semitonium minus et duos subiunctos tonos procedens: per diffinitionem in genere diatonico pariter et penthachordum a, b, c, d, e. Sed incidit dubitatio forsan: cur nostra tempestate musici duos tonos ad tetrachordorum partem seriam, grauemque prelocant: nos autem solum tonum qui est proslambanomeni atque hypates hypaton: responsio peruia, in promptuque est musicos nostra tempestate proslambanomeno alteram chordam tono distantem prefixisse et id primum memorant Gregorium factitasse.

[5 in marg.] In eodem diatonico melo: tetrachordum meson subiungere. et in octochordo: a proslambanomeno in mesen: diapason contineri.

[Stapulensis, f.g8v,3; text: Proslambanomenos, Hypate Hypaton, Parhypate Hypaton, Lichanos Hypaton, Hypate Meson, Parhypate Meson, Lichanos Meson, Mese, A, B, C, D, E, F, G, H, b, c, d, e, f, g, h, T, S] [STAPMUS 08GF]

Sit e, f, g, h tetrachordum meson. facio e sesquitertium ad h, et g sesquioctauum ad h, et f sesquioctauum ad g: erit ergo per diffinitionem e ad h hypate meson ad mesen diatessaron. et quia g ad h tonus et similiter [f.h1r] f ad g tonus. nam vtrumque ex sesquioctaua proportione nascitur. ergo per sextam tertij e ad f erit semitonium minus. est itaque e, f, g, h tetrachordum meson per semitonium minus et duos tonos procedens in genere diatonico diuisum. et quia a e proslambanomenos et hypate meson in precedenti monstrata sunt consonare diapente: et in presenti e h hypate meson et mese diatessaron. ergo per vicesimam tertij: porslambanomenos ad mesen consonat diapason. continet igitur octochordum a, b, c, d, e, f, g, h consonantiam diapason. quod est totum propositum.

[6 in marg.] Preposito octochordo: in eodem genere tetrachordum disiunctarum submittere. et dodecachordum diapason ac diapente continere.

[Stapulensis, f.h1r,1; text: Proslambanomenos, Hypate hypaton, Parhypate hypaton, Lichanos hypaton, Hypate meson, Parhypate meson, Lichanos meson, Mese, Paramese diezeugmenon, Trite diezeugmenon, Paranete diezeugmenon, Nete diezeugmenon, A, b, c, d, e, f, g, h, k, l, m, n, Trite coniunctarum, Paranete coniunctarum, Nete coniunctarum] [STAPMUS 09GF]

Sit k l m n tetrachordum diezeugmenon quot et disiunctarum dicitur. facio h ad k mesen ad paramesen disiunctarum sesquioctauam. et ad m paraneten disiunctarum sesquitertiam. ad n vero neten disiunctarum sesqualteram. deinde l ad m triten ad paraneten facio sesquioctauam: sic ergo mese ad paraneten disiunctarum concinit diatessaron et ad neten diapente. est ergo per decimamtertiam tertij m ad n paranetes ad neten toni interuallum. et l ad m trites diezeugmenon ad paraneten similiter tonus est. sed et cum mese ad paraneten consonet diatessaron et l ad m sit tonus et similiter h ad k tonus ergo per sextam tertij k ad l erit semitonium minus. erit itaque paramese ad triten diezeugmenon semitonium minus: trite ad paraneten tonus: et paranete ad neten diezeugmenon consimiliter tonus. quare tetrachordum disiunctarum superiori octochordo in diatonico genere subiunctum est. Et cum precedens monstrauerit a h esse diapason et presens h n esse diapente: igitur a n proslambanomenos et nete diezeugmenon in dodecachordo a b c n continent diapason ac diapente. Que si in moliori canendi modo: tetrachordum a chorda mese coniunctum partiri, constituereque volemus: sit id tetrachordum h k l m: que sunt mese trite synezeugmenon paranete synezeugmenon nete synezeugmenon: facioque mesen ad neten synezeugmenon sesquitertiam. quare et concinentem diatessarou et l ad m paraneten synezeugmenon ad neten tono distantem pariter et k ad l tono. erit ergo per sextam tertij h ad k meses ad triten synezeugmenon semitonij minoris interuallum et k l et l m duo toni et tetrachordum synezeugmenon hoc est disiunctarum in genere diatonico diuisum.

[7 in marg.] Tetrachordum hyperboleon in eodem diatonico genere predictis copulare: et in pentadecachordo: bis diapason consonantiam compleri.

[Stapulensis, f.h1r,2; text: Are, Proslambanomenos, bmi, Hypate hypaton, cfaut, Parhypate hypaton, dsolre, Lichanos hypaton, elami, Hypate meson, Ffaut, Parhypate meson, Gsolreut, Lichanos meson, alamire, Mese, Paramese diezeugmenon, Csolfaut, Trite diezeugmenon, dlasolre, Paranete diezeugmenon, Nete, ffaut, Trite hyperboleon, Gsolreut, Paranete hyperboleon, Nete hyperboleon, A, b, c, d, e, f, g, h, k, l, m, n, o, p, q, bfa, Trite synezeugmenon, csolfaut, Paranete synezeugmenon, Nete synezeugmenon] [STAPMUS 09GF]

[f.h1v] [Stapulensis, f.h1v,1; text: Tetrachordum hypaton, Tetrachordum diezeugmenon, Tonus, Semitonium, Tetrachordum meson, Tetrachordum hyperboleon, A, b, c, d, e, f, g, h, k, l, m, n, o, p, q] [STAPMUS 10GF]

Sit n o p q tetrachordum hyperboleon facio vt in prioribus n neten diezeugmenon ad q neten hypeboleon sesquitertiam: et iccirco ad eam concinentem diatessaron. et p ad q facio toni interuallum. et o ad p itidem toni interuallum. per sextam tertij n ad o erit semitonium minus. est ergo tetrachordum hyperboleon n o p q ex semitonio minore duobus subiunctis tonis in genere diatonico dimensum. sed et per precedentem h mese ad n neten diezeugmenon consonat diapente: ergo h ad q mese ad neten hyperboleon ex consonantia diapente et diatessaron constans: consonat diapason. ergo a ad q proslambanomenos ad neten hyperboleon consonabit bis diapason. ex cum totum polychordum a q omnino quindecim perficiatur chordis: in pentadecachordo et in genere diatonico constitutum est bis diapason. quod est totum propositum.

[8 in marg.] Pentadecachordi in diatonica melodia constituti: numeros reperire.

[Stapulensis, f.h1v,2; text: Proslambanomenos, Hypate hypaton, Parhypate hypaton, Lichanos hypaton, Hypate meson, Parhypate meson, Lichanos meson, Mese, Paramese diezeugmenon, Trite diezeugmenon, Paranete diezeugmenon, Nete diezeugmenon, Trite hyperboleon, Paranete hyperboleon, Nete hyperboleon, A, b, c, d, e, f, g, h, k, l, m, n, o, p, q, 9, 8, 216, 1728, 13824, 192, 1536, 12288, 1458, 11664, 162, 1296, 10368, 144, 1152, 9216, 8748, 972, 7776, 108, 864, 6912, 768, 6144, 729, 5832, 81, 648, 5184, 72, 576, 4608, 4374, 485, 3888, 54, 432, 3456, Tonus, Semitonium minus, primus, secundus, tertius, quartus locus] [STAPMUS 10GF]

Numeri qui in musica disciplina precipue desiderantur: sunt duplares, triplares, quadruplares, hemiolij, epitriti epogdoi: hoc est dupli, tripli, quadrupli, sesqualteri, sesquitertij, et sesquioctaui. quo circa si desideras cognoscere ad quem numerum numerus maior est duplus: ipsum partire per duo. Ad quem triplus partire per tria. Ad quem quadruplus partire per quattuor. Ad quem sesqualter partire per tria et tertiam auge per duo. Ad quem sesquitertius partire per quattuor et quartam auge per tria. Ad quem sesquioctauus partire per nouem et nonam auge per octo. Et numeri: per octauam secundi Arithmetices vbique surgent petiti: si maior duplus, triplus, quadruplus, sesqualter, sesquitertius, aut sesquioctauus est.

Et si rursum cognoscere desideras quem numerus minor duplum habet: ipsum auge per duo. Quem triplum: auge per tria. Quem quadruplum: auge per quattuor. Quem sesqualterum: partire per duo et illi medietatem adde. Quem sesquitertium: partire per tria, et tertiam adde. Quem sesquioctauum: partire per octo, et octauam adde. Et statim per eandem octauam et diffinitiones cognosces petitum.

Sed nunc ad monstrandum propositum nos conuertamus. Sit pentadecachordum in diatonico genere modo repertum: cuius numeri queruntur: a b c d e f g h i k l m n o p q. duco in seinuicem duo, tria, quattuor, et minimos toni: hoc est vigintiquattuor in 9 et 8 minimos terminos toni et veniant in secundo loco a b que per septimam secundi arithmetices sunt in proportione sesquioctaua, et continentia tonum. capio sesquitertium numeri a: sitque d, et sesqualterum qui sit e et subduplum qui sit h Rursum sumo sesquitertium numeri h qui sit m et sesqualterum qui sit n et eius subduplum qui sit q. quia a ad d est diatessaron et a ad e diapente: ergo per decimamtertiam tertij d ad e tonus est et eadem quoque ratione m ad n tonus. Et si d octauam partem haberet ea eidem adiecta facerem c sesquioctauum ad d: et c d continentia tonum. modo autem quia d comperitur octaua parte carere: augeo a b d e h m n q per octo: surgantque tertio loco a b d e h m n q: qui numeri per eandem septimam adinuicem eandem seruabunt proportionem: quam et numeri secundo loco positi. quia ergo d tertio loco positus habet octauam: ea igitur adiecta ad d fiat c: eritque c ad d sesquioctauus atque cum eo tonum continens. itidem adiecta octaua parte h ad h fiat g. et octaua parte m ad m fiat l. et octaua q. [f.h2r] ad q fiat p. eruntque identidem g ad h l ad m et p ad q sesquioctaui et numeri tonorum. et h comperitur habere nonam partem: illam augeo per octo et veniat k: eritque h ad k per octauam secundi arithmetices sesquioctauus. Et si g octauam partem haberet facerem f sesquioctauum ad g. At vero quoniam ea caret: augeo omnes numeros tertio loco repertos per octo et exurgant in quarto loco a b c d e g h k l m n p q: qui per eandem septimam erunt in eisdem adinuicem habitudinibus vt et numeri tertij loci. adiecta igitur octaua eius parte ad g facio f. et octaua parte ad p facio o. dico ergo numeros quarto loco constitutos esse numeros pentadecachordi. Nam a ad d est diatessaron, et a ad b tonus: et c ad d tonus. ergo per sextam tertij b ad c semitonium minus. et quia a h est diapason et a e diapente: ergo per vicesimam tertij e h est diatessaron et g h et f g monstrati sunt sesquioctaui atque toni. ergo per sextam tertij e f est semitonium minus. et eodem pacto ostendas k l et n o esse semitonia minora: et ceteri adinuicem sunt cogniti toni. igitur pentadecachordi diatonici numeri sunt reperti. Est enim numerus proslambanomeni ad numerum hypates hypaton tonus: et hypates hypaton ad parhypaten hypaton semitonium minus. parhypates hypaton ad lichanon hypaton: et lichani ad hypaten meson duo toni. hypates meson ad parhypaten meson semitonium minus. parhypates meson ad lichanon meson: et lichani ad mesen: et meses ad paramesen disiunctarum: tres toni. parameses ad triten semitonium minus. trites ad paraneten, et paranetes ad neten: duo toni. Netes ad triten hyperboleon semitonium minus. trites ad paraneten et paranetes ad neten duo toni. est igitur notum propositum.

[9 in marg.] Tres diatonice diatessaron consonantie species a proslambanomeno ad parhypaten meson concinunt. et quattuor diapente species a proslambanomeno ad triten diezeugmenon. septem vero diapason species inter proslambanomenon et paraneten hyperboleon.

[Stapulensis, f.h2r; text: Species diatessaron, Species diapente, Species diapason, Proslambanomenos, Hypate hypaton, Parhypate hypaton, Lichanos hypaton, Hypate meson, Parhypate meson, Lichanos meson, Mese, Paramese diezeugmenon, Trite diezeugmenon, Paranete diezeugmenon, Nete diezeugmenon, Trite hyperboleon, Paranete hyperboleon, Nete hyperboleon, A, b, c, d, e, f, g, h, k, l, m, n, o, p, q, prima, secunda, tertia, quarta, quinta, sexta, septima, Tonus, Semitonium] [STAPMUS 10GF]

Prima species diatessaron tono, semitonio minore atque tono constat. Secunda semitonio et duobus tonis. Tertia duobus tonis et sequente semitonio.

Prima species diapente est que constat ex tono semitonio minore et duobus tonis. Secunda duobus tonis, semitonio, atque tono. Tertia semitonio et tribus tonis. Quarta tribus tonis et semitonio.

Prima species diapason est que constat ex tono, semitonio minore, duobus tonis, semitonio minore, atque duobus tonis. Secunda semitonio, duobus tonis, semitonio et tribus tonis. Tertia duobus tonis, semitonio, tribus tonis, atque semitonio. Quarta tono, semitonio, tribus tonis, semitonio, atque tono. Quinta semitonio, tribus tonis, semitonio, duobus tonis. Sexta tribus tonis, semitonio, duobus tonis, semitonio. Septima duobus tonis, semitonio, duobus tonis, semitonio, atque tono.

Erit itaque per diffinitionem prima diatessaron species a proslambanomeno in lichanon hypaton. Nam proslambanomenos ad hypaten hypaton tonus est: et hypate hypaton ad parhypaten hypaton semitonium minus est: parhypate vero hypaton ad lichanon hypaton tonus. et itidem per diffinitionem secunda diatessaron species ab hypate hypaton in hypaten meson reperietur. et tertia a parhypate hypaton in parhypaten meson.

Species vero diapente hoc pacto per diffinitiones sumentur. Prima a proslambanomeno in hypaten meson. Secunda a parhypate hypaten in lichanon meson. Tertia ab hypate meson in paramesen diezeugmenon. Et quarta a parhypate meson in triten diezeugmenon.

Et septem species diapason consimiliter per diffinitiones querentur. Prima a proslambanomeno in mesen. Secunda a parhypate hypaton in paramesen diezeugmenon. Tertia a parhypate hypaton in triten diezeugmenon. Quarta a lichano hypaton in paranten diezeugmenon. Quinta ab hypate meson in neten diezeugmenon. Sexta a parhypate meson in triten hyperboleon. Septima vero a lichano meson in paraneten hyperboleon. sed hec cognitu facilia sunt: inspecta diligenter superiore figura.

[f.h2v] [10 in marg.] Chromaticum principalium tetrachordum: constituere.

[Stapulensis, f.h2v,1; text: Proslambanomenos, Hypate hypaton, Parhypate hypaton, Lichanos hypaton, Hypate meson, A, b, c, d, e, Tonus, Semitonium minus, Apotome, Trisemitonium.] [STAPMUS 11GF]

Chromata apud Lachedemonios induxit olim Timotheus Milesius moliorem cantum superiore diatonico: in quo canendi modo hic tetrachordum hypaton querimus. Sit ergo b c d e tetrachorum ad hypatas in chromatico melo constituendas assignatum. prepono chordam a: que sit proslambanomenos: quam facio sesquioctauam ad b hypaten hypaton primam tetrachordi constituendi chordam: deinde facio a sesqualteram ad e hypaten meson: eritque vt in omnibus a ad b tonus, et a ad e diapente. deinde facio b ad c semitonium minus et b ad d tonum. erit ergo c ad d apotome. et quia per decimam tertij dempto a b tono ab a e consonantia diapente: relinquitur diatessaron. ergo b e modulabitur diatessaron. Sed cum per sextam tertij diatessaron ex duobus tonis et semitonio minore constet et b c et c d simul sint tonus: ergo d e continet tonum et semitonium minus. est igitur d e trisemitonium. Cum ergo b c hypate hypaton et parhypate hypaton sit semitonium minus. et c d parhypate hypaton et lichanos hypaton sit semitonium maius et d e lichanos hypaton et hypate meson trisemitonium vt monstratum est. constat ergo per diffinitionem tetrachordum b c d e in genere chromatico esse constitutum. idem enim trisemitonium et trihemitonium dicimus.

[11 in marg.] Chromaticum tetrachordum meson: subiungere.

[Stapulensis, f.h2v,2; text: Proslambanomenos, Hypate hypaton, Parhypate hypaton, Lichanos hypaton, Hypate meson, Parhypate meson, Lichanos meson, Mese, A, b, c, d, e, f, g, h, Tonus, Semitonium minus, Apotome, Trisemitonium] [STAPMUS 11GF]

Sint pro tetrachordo meson in genere chromatico constituendo e f g h: facio a ad h duplam et concinentem diapason. et e ad f semitonium minus et idem e ad g facio tonum. erit ergo f ad g apotome. sed cum a ad e monstrata sit consonantia diapente. ea igitur substracta ab a h consonantia diapason: per vicesimamsecundam tertij relinquitur diatessaron. Est ergo e ad h hypate meson ad mesen diatessaron. et cum diatessaron duos tonos et semitonium minus impleat: et e g sit tonus ergo g h continet tonum et semitonium minus. erit ergo g h trisemitonium. erit igitur e f g h ex duobus semitoniis e f et f g: et trisemitonio g h constitutum in genere chromatico tetrachordum. quod erat monstrandum.

[12 in marg.] Reliqua duo tetrachorda: in eodem genere predictis adiicere. et in pentadecachordo consonantiam bis diapason collocare.

[Stapulensis, f.h2v,3; text: Proslambanomenos, Hypate hypaton, Parhypate hypaton, Lichanos hypaton, Hypate meson, Parhypate meson, Lichanos meson, Mese, Paramese diezeugmenon, Trite diezeugmenon, Paranete diezeugmenon, Nete diezeugmenon, Trite hyperboleon, Paranete hyperboleon, Nete hyperboleon, A, b, c, d, e, f, g, h, k, l, m, n, o, p, q, Tonus, Semitonium minus, Apotome, Trisemitonium, Trite synezeugmenon, Paranete synezeugmenon, Nete synezeugmenon] [STAPMUS 11GF]

[f.h3r] Sint pro reliquis tetrachordis complendis k l m n o p q: quia tetrachordum meson disiunctum est a tetrachordo netarum diezeugmenon: iccirco facio meses ad paramesen diezeugmenon distantiam esse tonum. et mesen ad neten diezeugmenon facio consonare diapente. et ad neten hyperboleon diapason et tetrachordum k l m n partior vt tetrachordum hypaton. tetrachordum vero n o p q partior vt in precedenti tetrachordum meson eritque vtrumque in genere chromatico diuisum. et quia a ad h cognita est esse diapason: et h ad q itidem diapason. ergo a ad q consonat bis diapason. Que cum quindecim vocibus atque chordis contentum sit: constat effectum esse id quod erat propositum: Sed si k l m facis tetrachordum synezeugmenon ipsum partiaris vt tetrachordum chromaticum meson. et facile factum intuebere propositum.

[13 in marg.] Chromatici pentadecachordi numeros assignare.

[Stapulensis, f.h3r; text: Proslambanomenos, Hypate hypaton, Parhypate hypaton, Lichanos hypaton, Hypate meson, Parhypate meson, Lichanos meson, Mese, Paramese diezeugmenon, Trite diezeugmenon, Paranete diezeugmenon, Nete diezeugmenon, Trite hyperboleon, Paranete hyperboleon, Nete hyperboleon, A, b, c, d, e, f, g, h, k, l, m, n, o, p, q, 2592, 5971968, 256, 2304, 5308416, 243, 2187, 5038848, 2048, 4718592, 1728, 3981312, 3779136, 3538944, 1296, 2985984, 1152, 2654208, 2519424, 2359296, 964, 2221056, 2108268, 1974272, 648, 1492992, Tonus, Semitonium minus, Semitonium maius, Trisemitonium] [STAPMUS 12GF]

Sint b et c minimi numeri semitonij minoris per decimamoctauam secundi huius reperti. quia b nona parte caret: augeo b et c per nouem et veniant b et c in secundo loco. quoniam igitur in secundo loco b nonam partem habet: eam augeo per octo et fiat d. tunc b ad d per septimam secundi arithmetices erit sesquioctauus. quare b d continentia tonum. et b et c per eandem est semitonium minus. ergo c d est apotome. Rursum quia b habet octauam adiicio eidem suam octauam et fiat a: eritque a ad b sesquioctauus atque tonus et quoniam a habet tertiam facio a ad e sesqualterum. et quia habet secundam facio itidem a duplum ad h. Reperio item h habere nonam tertiam et secundam. facio igitur h sesquioctauum ad k: sesqualterum ad n et duplum ad q. quo facto duco b secundi loci in a b c d e h k n q et veniant in tertio loco a b c d e h k n q. Deinde duco c d secundi loci in e secundi et veniant f g et in k et veniant l m et in n et veniant o p in tertio loco. eruntque per septimam et octauam secundi arithmetices numeri pentadecachordi chromatici in tertio loco assignati. Nam a b erit tonus et b c semitonium minus et c d apotome. et quia a ad e est sesqualter: a et e sunt numeri diapente. et a b numeri toni. dempto igitur a b tono relinquitur b e diatessaron et b c et c d simul sunt tonus. igitur per sextam tertij d e sunt trisemitonium. Et a h est diapason et a e diapente. igitur e h est diatessaron. et per octauam secundi arithmetices e f et f g sunt semitonium minus et apotome. igitur g h est trisemitonium et consimiliter monstrabis h k esse tonum k l et l m duo semitonia et m n trisemitonium n o p duo semitonia et p q trisemitonium. clarum igitur euadit propositum.

[14 in marg.] Modorum diatonici et chromatis parhypate parhypatis: paramese paramesis, atque trite tritis correspondent.

Nam in vtrisque generibus hypate ad parhypatas semitonij minoris obseruant interuallum. et mese ad paramesas tonum. et trite ad tritas minus semitonium. est igitur notum illas voculas in vtroque canendi modo sibiinuicem respondere. et non modo id verum sit: sed et hypate hypatis et mese mesis et nete netis correspondent. Nam vtrobique proslambamenoni ad hypatas hypaton concinunt tonum. et ad hypatas meson diapente. ad mesas diapason. ad netas disiunctarum diapason ac diapente. et ad netas hyperboleon bis diapason. est ergo quod proponebatur et amplius: facile cognitum.

[f.h3v] [15 in marg.] Pentadecachordum enarnonium constituere.

[Stapulensis, f.h3v,1; text: Proslambanomenos, Hypate hypaton, Parhypate hypaton, Lichanos hypaton, Hypate meson, Parhypate meson, Lichanos meson, Mese, Paramese diezeugmenon, Trite diezeugmenon, Paranete diezeugmenon, Nete diezeugmenon, Trite hyperboleon, Paranete hyperboleon, Nete hyperboleon, A, b, c, d, e, f, g, h, k, l, m, n, o, p, q, Tonus, diesis, ditonus, Trite synezeugmenon, Paranete synezeugmenon, Nete synezeugmenon] [STAPMUS 12GF]

Huius compositio perfacilis est. facio enim vt in ceteris precedentibus a ad b interuallum toni. et a ad e diapente. et b ad d facio semitonium minus. et diuido chordam c in medio differentie b ad d erit ergo b ad c diesis tetrartemeria atque quadripartialis pariter et c ad d diesis. sed per quartam secundi huius hec latior illa vero contractior neque per tricesimamsecundam eiusdem semitonium minus in duo equa certo, constitutoque numero diuidi potest. et a ad e diapente. substracto igitur a b tono relinquitur b ad e esse diatessaron. et cum diatessaron semitonium minus et duos tonos complectatur: et b ad d sit semitonium minus: relinquitur igitur d ad e esse ditonus. erit igitur b c d e hypates hypaton parhypates hypaton lichanique hypaton et hypates meson tetrachordum: per b c: c d: et d c diesim et diesim et ditonum procedens per diffinitionem in enarmonico genere diuisum. Similiter constituas e f g h tetrachordum meson faciendo a ad h diapason. et e ad g semitonium minus. et partiendo mediam differentiam per f ita vt e f et f g sint due dieses Nam ab a h consonantia diapason subducta a e consonantia diapente: relinquitur e h esse diatessaron. et cum e g sit semitonium minus: igitur g h erit ditonus. et cum e f et f g sint due dieses et g h ditonus. ergo hec tetrachordi partitio in genere enarmonico facta conspicitur. Et facta h mese ad neten disiunctarum diapente: et ad neten hyperboleon diapason: et chorda mese a paramese tetrachordi disiunctarum tono disclusa: perinde ac proslambanomeno ab hypate hypaton: partieris tetrachordum disiunctarum k l m n vt b c d e tetrachordum hypaton. et tetrachordum n o p q hyperboleon excellentiumque: vt e f g h tetrachordum meson. tetrachordum autem coniunctarum h k l m partieris vt tetrachordum meson et id quoque facile est.

[16 in marg.] Pentadecachordi enarmonici: numeros colligere.

[Stapulensis, f.h3v,2; text: Proslambanomenos, Hypate hypaton, Parhypate hypaton, Lichanos hypaton, Hypate meson, Parhypate meson, Lichanos meson, Mese, Paramese diezeugmenon, Trite diezeugmenon, Paranete diezeugmenon, Nete dizeugmenon, Trite hyperboleon, Paranete hyperboleon, Nete hyperboleon, A, b, c, d, e f, g, h, k, l, m, n, o, p, q, 13824, 12288, 11664, 10368, 9216, 8748, 7776, 6912, 6144, 5832, 5184, 4608, 4374, 3888, 3456, Tonus, Semitonium minus, 11976, 8982, 5988, 4491, diesis, ditonus] [STAPMUS 12GF]

[f.h4r] Sint numeri a b c d e f g h k l m n o p q in primo loco constituti numeri pentadecachordi diatonici per octauam huius reperti. pono iterum a b e h k n q in secundo loco et in respondentibus locis rursum c in secundo loco transmuto ad d et f ad g et l ad m et o ad p. quibus ita in secundo loco dispositis: ex ipsis quidem in secundo loco capio differentiam b d et eius medietatem adiicio ad d et fiat c. similiter differentiam e g et medietatem addo ad g et fiat f. et differentiam k m et medietate differentie adiecta ad m fiat l. et differentiam n p et medietate adiecta ad p fiat o. dico a b c d e f g h k l m n o p q numeros secundo loco positos esse numeros pentadecachordi enarmonici. Nam a b erit tonus. b c, et c d due dieses constituentes semitonium minus b d. quod enim est b c in diatonico factum est b d in enarmonico et d e est ditonus. Nam quod est in diatonico c e est hic in enarmonico d e. at diatonice modulationis c e ditonus est. Nam continens c d tonum et d e tonum. et hoc pacto reperientur e f g due dieses et g h ditonus. h k tonus: k l m due dieses: m n ditonus. n o p due dieses: p q ditonus Sunt itaque collecti numeri pentadecachordi enarmonici quemadmodum propositum fuerat. quod est propositum.

[17 in marg.] Modi diatonici parhypate hypaton: in enarmonica modulatione transit in lichanon: et parhypate meson in lichanon meson atque trite in paranetas.

Id prospici statim promptum est. Nam in diatonico pentadecachordo a proslambanomeno ad hypaten hypaton incidit tonus. et ab hypate ad parhypaten hypaton semitonium minus. in enarmonico vero a proslambanomeno ad hypaten hypaton similiter incidit tonus. et ab hypate ad lichanon hypaton semitonium minus. diatonica igitur parhypate: in enarmonica modulatione permutatur: transitque in lichanon. et hoc pacto de reliquis ostendatur. quod et facile sensu deprehendetur: si in vtroque emodulandi genere et diatonico et enarmonico proslambanomeni ponantur equisoni. tunc enim manifestum erit huius lichanos: illius parhypatis esse equisonos: vnisonosque: pariter et huius paranetas: illius tritis esse equisonas.

[18 in marg.] Consentiunt in tribus modulationum generibus: proslambanomeni, hypate principales, hypate medie, mese, paramese, nete, cum disiuncte, tum coniuncte, atque excellentibus netis excellentes.

Nam in tribus generibus per quartam, quintam, sextam, septimam, decimam, vndecimam, duodecimam et quintamdecimam huius proslambanomeni ad hypatas hypaton sonant tonum. et iidem ad hypatas meson sonant diapente. ad mesas diapason. ad netas disiunctas sonant diapason ac diapente. ad netas autem coniunctas dempto tono sonarent diapason ac diatessaron. et ad netas excellentes: consonant vbi libet proslambanomeni bis diapason. consentiunt igitur in tribus generibus que adducte sunt vocule. quod est propositum

[19 in marg.] Que chorde mobiles queue immobiles in pentadecachordis existant: inuestigare.

[Stapulensis, f.h4r; text: Proslambanomeni, Hypate hypaton, Parhypate hypaton, Lichani hypaton, Hypate meson, Parhypate meson, Lichani meson, Mese, Paramese diezeugmenon, Trite diezeugmenon, Paranete diezeugmenon, Nete diezeugmenon, Trite hyperboleon, Paranete hyperboleon, Nete hyperboleon, A, b, c, d, e, f, g, h, k, l, m, n, o, p, q, Stabiles, Instabiles, Trite synezeugmenon. Paranete synezeugmenon. Nete synezeugmenon.] [STAPMUS 13GF]

Chordas stabiles immobilesque vocamus: que in omni pentadecachordorum diuisione: eadem seruant interualla: eandemque ad proslambanomenon habitudinem. Instabiles vero atque mobiles: que id non seruant. sic ergo stabiles ac instabiles reperiemus. cum enim per precedentem in tribus generibus consentiant proslambanomeni: principales hypate: medie hypate: mese: paramese: nete tum synezeugmene tum diezeugmene ac hyperboles: et eadem vt ex demonstratis iam patet seruent interualla. erunt ergo proslambanomenos hypate hypaton: hypate meson: mese: paramese nete synezeugmenon: nete diezeugmenon: et nete hyperboleon: simpliciter immobiles atque firme. Sed cum decimaseptima huius monstrauerit parhypatas diatonice modulationis: in enarmonico melo transire [f.h4v] permutarique in lichanas, et tritas in paranetas: constat ergo reliquas a predictis esse mobiles: vt par hypaten hypaton, lichanon hypaton, parhypaten meson, lichanon meson, triten synezeugmenon, paraneten synezeugmenon, triten diezeugmenon, paraneten diezeugmenon, triten hyperboleon, paraneten hyperboleon. Id tamen animaduerti dignum est quod cum per decimamquartam huius parhypate, et trite in diatonicis et chromaticis respondeant, similiaque possideant interualla: eas non vsque adeo (vt cetere sunt) esse instabiles. Et proinde partim mobiles, partimque immobiles bono iure dici posse videntur.

[20 in marg.] In tetrachordis diatonicis ab hypate hypaton primo limite consonantiarum: ad quartum vsque limitem ter diatessaron continetur sed semel dumtaxat in stabilibus, immobilibusque. Et ad quintum limitem identidem ter diapente: semel in mobilibus, semel partim variabilis, et semel penitus inuariabilis atque firma. ad octauum vero septies consonabit diapason: ter in immobilibus, et quater in mobilibus.

[Stapulensis, f.h4v; text: Hypate hypaton, et consequentes suis locis. Stabiles, Instabiles, Semitonium, Tonus, b, c, d, e, f, g, h, i, k, l, m, n, o, p] [STAPMUS 13GF]

Cum dicitur a primo limite ad quartum vsque limitem, quintum, ac octauum: primus limes non excluditur sed quartum, quintum, ac octauum excludi intelligimus. Sint ergo b c d e f vsque ad p quattuor tetrachorda et b hypate hypaton, cetere vero consequentes. Dico primo ab b vsque e ter contineri diatessaron: sed semel solum in immobilibus. Nam per quartam huius b ad c continet semitonium minus et c ad d tonum et d ad e tonum. ergo b ad e consonat diatessaron: eritque b ad e prima diatessaron consonantia reperta. Et cum ostensum sit c ad d et d ad e esse duos tonos et per quintam huius e ad f sit semitonium minus: ergo c ad f consonat diatessaron. eritque c ad f secunda diatessaron. Item monstratus est d ad e esse tonus et e ad f semitonium minus: et per quintam huius f ad g est tonus. ergo d ad g est diatessaron, eritque d ad g tertia diatessaron. Sed cum prima harum trium que est b ad e sit ab hypate hypaton ad hypaten meson: quas monstrauit precedens stabiles immobilesque: et secunda ab c in f prahypate hypaton in parhypaten meson: et tertia ab d in g lichano hypaton in lichanon meson. et parhipate et lichane monstrate sunt mobiles. constat ergo ab b ad e ter diatessaron sed semel duntaxat in stabilibus, immobilibusque contineri.

Secundo dico ab b hypate hypaton ad f vsque parhypaten meson: solum ter contineri diapente. Nam per decimam tertij diapente tribus tonis semitonioque minore constat. sed per quartam et quintam huius b ad f solum duos tonos et duo semitonia minora continet: quae duo semitonia minora per 34 secundi minus vno tono: commate restituunt. ergo vt b ad f diapente consonantiam compleat: plena deest apotome. non constituit ergo b ad f diapente. Item c ad g per quartam et quintam huius continet tres tonos qui sunt c ad d: d ad e: et f ad g: et vnum semitonium minus quod est e ad f. igitur per decimam tertij e ad f consonat diapente. eritque c ad g prima diapente et per easdem d ad h continet tres tonos: qui sunt d ad e: f ad g: et g ad h: et semitonium minus e ad f. ergo d ad h consonat diapente: eritque d ad h secunda diapente. et ab e ad i per quartam et sextam consimiliter continentur tres toni et semitonium minus. erit ergo e ad i tertia diapente. ter igitur ab b vsque ad f continetur diapente. sed cum prima sit ab c parhypate hypaton in g lichanon meson. et parhypatas et lichanas monstrauerit decimanona huius esse mobiles. erit ergo c ad g prima diapente in mobilibus constituta. et cum secunda sit ab d lichano principalium in h mesen: lichanos autem mobilis sit, et mese immobilis: secunda igitur diapente partim variabilis existit. Et cum tertia sit ab e hypate meson ad i paramesen que per eandem decimamnonam stabiles monstrate sunt. erit igitur tertia diapente omnino stabilis atque firma

Tertio dico ab b hypate hypaton vsque ad i paramesen septies contineri diapason: sed solum ter in immobilibus, quater autem in mobilibus. Nam b ad i per quatram, quintam et sextam huius continet quinque tonos et duo semitonia minora. ergo per vicesimamprimam tertij b ad i consonat diapason, eritque b ad i prima diapason. Et per idem c ad k: d ad l et e ad m: singule intercipiunt quinque tonos et duo semitonia minora erit ergo c ad k secunda diapason. et d ad l tertia. et e ad m quarta. sed per quartam, quintam, sextam atque septimam simul f ad n similiter continebit quinque tonos et duo semitonia minora. similiter et g ad o et h ad p. erit ergo quinta diapason f ad n. sexta g ad o. et septima h ad p. igitur ab b ad i vsque: continetur septies diapason. atqui primam prebent hypate hypaton et paramese diezeugmenon. et quartam hypate meson et nete diezeugmenon. et septimam mese et nete hyperboleon. hypatas autem mesas paramesas et netas monstrauit decimaoctaua immobiles atque stabiles. igitur inter illas septem diapason consonantias: diapason ter in immobilibus reperitur. Sed secundam prebent parhypate hypaton et trite diezeugmenon Tertiam lichanos hypaton et paranete diezeugmenon. Quintam parhypate meson et trite hyperboleon Sextam licanos meson et paranete hyperboleon sed decimanona parhypatas, tritas, lichanas et paranetas: monstrauit esse mobiles. igitur inter illas septem consonantie diapason vices: quater in mobilibus mutabilibusque facta reperitur: quod est totum propositum.

Que autem diuus Seuerinus sapientum latinorum disciplinas sectantium primus: quem et in hoc opere quantum valemus imitamur suis disciplinis non parum adiuti decimotertio capite quarti sue musices species diapente numerando eas quattuor faciat: id introductorie factum putetur: vbi precisam non curauit veritatem. sed communem secutus illic est extunationem. quod facile ex eius superiori determinatione cognoscitur. hic autem non introductionis sed exacte determinationis locus est.

[f.h5r] [21 in marg.] Tessaradecachordi chromatici inter assignatos limites ter itidem diatessaron: solum semel immobiliter. bis diapente: semel immobiliter, semelque partim mobiliter. septies autem diapason: ter vt in diatonico genere immobiliter, quaterque mobiliter continetur.

[Stapulensis, f.h5r,1; text: Semitonium, Apotome, Trisemitonium, Tonus, b, c, d, e, f, g, h, i, k, l, m, n, o, p] [STAPMUS 13GF]

Tessaradecachordum ex quattuor tetrachordis constituitur: iccirco sic nuncupatnm: quod quattuordecim chordis, neruis, voculisue contineatur. dico enim primo quattuordecim chordarum in genere chromatico continue per litteras b, c, d, e, f, g, h, i, k, l, m, n, o, p, ab hypate hypaton dispositarum a primo ad quartum vsque limitem: ter contineri diatessaron solum semel immobiliter. Nam per decimam b ad e concinit diatessaron. eritque b ad e prima diatessaron. sed et quia per decimam c ad d est apotome et d ad e trisemitonium: ergo c ad e continet duos tonos. et per vndecimam e ad f est semitonium. ergo per sextam tertij c ad f duos tonos et semitonium continens: erit diatessaron. erit igitur c ad f secunda diatessaron. et quia rursus per vndecimam e ad f est semitonium minus et f ad g apotome: ergo e ad g tonus. sed d ad e monstratum est trisemitonium. ergo d ad g continet duos tonos et semitonium: estque d ad g tertia diatessaron. Et cum prima b ad e sit ab hypate hypaton in hypaten meson per decimamoctauam fit immobiliter. secunda vero c f, et tertia d g: sunt a parhypate et lichano principalium: que decimanona patefecit esse mobiles. constat ergo primum.

Secundo dico solum bis intra quintum limitem contineri diapente. quia enim b ad e per immediate monstratum est diatessaron. et e ad f, et f ad g simul tonus. ergo per decimamtertiam tertij b ad g concinit diapente. eritque b ad g prima diapente. ea tamen sex vocibus et non quinque explebitur: proprietatem diapente non seruans. at c ad g non explebit diapente. Nam per modo monstratum ad diapente complementum deerit b ad c semitonium minus. neque c ad h. Nam per vndecimam huius g ad h continet trisemitonium. at c g ad diapente complementum solum deerat semitonium minus: superat igitur c h consonantiam diapente completo tono. neque d h continet diapente. Nam cum c h superet consonantiam diapente integro, completoque tono: dempta ergo c d apotome relinquetur d h superans diapente consonantiam semitonio minore. sed e ad i consonat diapente: est enim h ad i per duodecimam tonus. sed d ad h per immediate monstratum superat consonantiam diapente semitonio minore. dempto ergo d e trisemitonio minore: relinquitur e h deficiens tono a diapente: addito igitur h i tono fiet diapente. est itaque e ad i secunda diapente. Ab b igitur ad f quintum limitem solum bis sumitur diapente. Et cum prima diapente b g sit ab hypate hypaton immobili ad lichanon meson partim mobilem: fit ergo primo partim mobiliter. At vero cum secunda e i sit ab hypate meson ad paramesen que monstrate sunt immobiles: fit ergo secundo modo immobiliter seruaturque secundo modo diapente proprietas vt de quinto loco in quintum fiat locum.

Tertio dico septies fieri diapason ter immobiliter, quater vero mobiliter. Nam cum b ad e per primam partem huius monstrata fit diatessaron: et per secundam e ad i diapente. ergo per vicesimam tertij b ad i consonat diapason. erit itaque b ad i prima diapason. Preterea quia c ad f fuit inuenta secunda diatessaron: et f g est apotome g h trisemitonium: ergo f h duo sunt toni et h i tonus et i k semitonium. ergo f k diapente: et c f vt iam dictum est diatessaron. concinit igitur c ad k diapason: eritque c k secunda diapason. et eodem iure d l tertia diapason adiuuant e duodecima huius. et e m quarta. f n quinta. g o sexta. et h p septima. Sed ter fieri immobiliter et quater mobiliter eodem modo vt in vicesima monstratur.

[22 in marg.] In tetradecachordo enarmonico: inter assignatos limites ter diatessaron et septies diapason vt in precedentibus continetur. at semel duntaxat diapente atque immobiliter.

[Stapulensis, f.h5r,2; text: Diesis, Ditonus, Tonus, b, c, d, e, f, g, h, i, k, l, m, n, o, p] [STAPMUS 13GF]

Tetradecachordum et tessaradecachordum idem dicimus. sit igitur b, c, d, e, f, g, h, i, k, l, m, n, o, p tessaradecachordum enarmonicum. dico primo inter b e ter contineri diatessaron. Nam quia per decimamquintam huius b c d sunt due dieses tetrartemerie: erit b d semitonium minus. et d e est ditonus. erit igitur b e prima diatessaron. et eodem iure c f secunda. et d g tertia. et quia b e sunt hypate hypaton et hypate meson: fit igitur prima immobiliter. et c d sunt parhypate hypaton et lichanos hypaton mobiles: fit igitur et duobus modis mobiliter.

Secundo dico solum semel a primo ad quintum limitem fieri diapente: et id quidem immobiliter. nam non fiet diapente b f quia solam superaddit consonantie diatessaron b e diesim tetrartemeriam. neque b g quia solum superaddit consonantie diatessaron duas dieses que sunt semitonium minus. neque fiet b h quia consonantie diatessaron superaddit semitonium minus et duos tonos. neque per idem fiet diapente c g aut c h. nam hic abundabit tonus et diesis: illic autem deerit tonus minus vna diesi. neque d g. nam deerit tonus. neque d h. nam tonus abundabit. at vero cum e h sit diatessaron: nam e f g due dieses, et g h ditonus, et cum h i sit tonus: erit igitur e i diapente. et cum e sit hypate meson et i paramese que monstrate sunt immobiles. fit igitur inter assignatos limites solum semel diapente atque immobiliter. Tertio septies fieri diapason vt in diatonicis ex decimaquinta declaratur quemadmodum vicesima huius monstrata est.

[23 in marg.] Diatonice modulationis: septem modos ordine collocare.

[f.h5v] [Stapulensis, f.h5v,1; text: R, S, T, U, X, Y, Z, Hypodorius, Hypophrygius, Hypolydius, Dorius, Phrygius, Lydius, Myxolydius, Tonus, Semitonium, A, b, c, d, e, f, g, h, i, k, l, m, n, o, p, septem diatonici modi] [STAPMUS 14GF]

Sit a b c d vsque ad p pentadecachordum diatonicum. sit r pro hypodorio pentadecachordum diatonicum a b c d e f g h i k l m n o p grauissimum: quod vt aliorum basis atque fundamentum statuatur: extendo vno tono in acumen proslambanomenon pentadecachordi s ampliusquam sit proslambanomenos r ad quem ceteras voces suo ordine per quartam, quintam et sextam huius in diatonico modulandi genere subiungo. eritque pentadecachordum s per diffinitionem hypophrygij modi. similiter extendo proslambanomenon pentadecachordi t semitonio amplius quam tensus sit proslambanomenos pentadecachordi s cui tetrachorda per quartam, quintam, et sextam huius vt prius coapto. eritque per diffinitionem t pentadecachordum hypolydij modi. et proslambanomenon v vno tono extendo amplius quam hypolydij: cui ceteras voces suo ordine sequentes in diatonico genere coapto. eritque concentus pentadecachordi v per diffinitionem dorius. et si amplius extendo x vno tono: erit pentadecachordi x cantus phrygius. et si y semitonio minore: erit eius concentus lydius. At z amplius extenso vno tono: fiet concentus myxolydius. sicque factum per diffinitiones patebit propositum.

[24 in marg.] Que diuersorum modorum in aliquo genere fuerit prime vocis ad primam habitudo: ea erit secunde ad secundam et tertie ad tertiam et cuiuslibet totius ad totam similis, eademque habitudo.

[Stapulensis, f.h5v,2; text: R, S, Hypodorius, Hypophrygius, A, b, c, d, e, f, g, h, i, k, l, m, n, o, p, q, r, s, t, v, x] [STAPMUS 14GF]

Sit a, b, c, d ad p vsque pentadecachordum hypodorium in aliquo genere vt diatonico: et q, r, s et sequentes pentadecachordum hypophrygium. distabitque iccirco q proslambanomenos hypophrygij ab a proslambanomeno hypodorij modi acutior vno tono. dico ergo singulas hypophrygij: singulis hypodorij vt hypatas hypatis, parhypatas parhypatis, lichanas lichanis et ita consequentes: similiter tono, tonique proportione distare. Nam cum pentadecachordum a p et pentadecachordum q g sint vtraque a proslambanomeno in neten hyperboleon diatonice extensa: ergo que proportio a ad b ea est per quartam huius q ad r: ergo per tertiam secundi Arithmetices permutatim vt a ad q ita b ad r. at a ad q monstratus est esse tonus: igitur et b ad r tonus. et consimiliter de sequentibus ostendatur.

[25 in marg.] Totus ordo diatonicus pentadecachordi hypophrygij modi: totum hypodorium vnius acumine toni superat: et totus hypolydius eundem trisemitonio. singule quoque dorius singulas hypodorij diatessaron consonantia. totus vero phrygius consonantia diapente. lydius autem diapente atque semitonio. et myxolydius diapente atque sesquitono.

[Stapulensis, f.h5v,3; text: R, S, T, U, X, Y, Z, Hypodorius, Hypophrygius, Hypolydius, Dorius, Phrygius, Lydius, Mixolydius, Tonus, Semitonium, A, b, c, d, e, f, g, h, i, k, l, m, n, o, p, septem diatonici modi] [STAPMUS 14GF]

Nam proslambanomenos hypophrygij tono superat acumine proslambanomenon hypodorij. ergo per precedentem totus hypophrygius ordo totum hypodorium ordinem: toni superat acumine. et quia proslambanomenos hypolydij superat acumine semitonij minoris hypophrygium: ergo idem superat acumine proslambanomenon hypodorium trisemitonio. igitur per precedentem totus hypolydius ordo totum hypodorium ordinem trisemitonio supereuadit acutior. sed et quia dorius toni acutie vincit hypolydium: ergo dorius duobus tonis et semitonio acutior est hypodorio. ergo per sextam tertij eo acutior est consonantia [f.h6r] diatessaron. quare per precedentem singule dorij singulis hypodorij diatessaron consonantia sonant acutiores. et phrygius addit tonum in acumine dorio: igitur totus phrygius toto hypodorio diapente consonantia modulatur acutior. et lydius phrygio addit semitonium minus et myxolydius lydio tonum. igitur lydius hypodorio diapente et semitonio et myxolydius diapente et sesquitono sonabit acutior. quod totum est propositum.

[26 in marg.] Hypolydius diatonicus hypophrygium diatonicum semitonio, et dorius trisemitonio, phrygius diatessaron, lydius diatessaron et semitonio, myxolydius diatessaron consonantia, atque sesquitono supereuadit acutior: et dorius hypolydio tono, phrygius ditono, lydius diatessaron et myxolydius diapente: phrygius autem ad dorium sonat tonum lydius trisemitonium et myxolydius diatessaron, lydius phrygio semitonium et myxolydius sesquitonum: myxolydius autem lydio tonum.

Hec vt precedens vel quam facillime monstrabitur.

[27 in marg.] Septem modos chromatice modulationis constituere.

[Stapulensis, f.h6r,1; text: R, S, T, U, X, Y, Z, Hypodorius, Hypophrygius, Hypolydius, Dorius, Phrygius, Lydius, Myxolydius, Tonus, Semitonium, Apotome, Trisemitonium, A, b, c, d, e, f, g, h, i, k, l, m, n, o, p, septem Chromatici modi] [STAPMUS 14GF]

Facio r pentadecachordum chromaticum per decimam, vndecimam, et duodecimam huius et similiter sex alia scilicet s, t, v, x, y, z: facioque pentadecachordum s tono acutius r. et t pentadecachordum semitonio acutius s. v vero apotomes interuallo acutius t. et x trisemitonio amplius quam v. y semitonio amplius quam x. et z apotome transcendere y: dico ergo septem modos chromatice modulationis esse ordinatos. nam r erit hypodorius s per diffinitionem hypophrygius chromaticus. t hypolydius. v dorius. x phrygius. y lydius. z myxolydius.

[28 in marg.] Quo pacto singuli cuilibet inter se chromatici modi respondeant: ostendere.

Distat per precedentem hypophrygius ab hypodorio chromatico tono. et hypolydius ab hypophrygio semitonio. distat igitur hypolydius ab hypodorio acutior trisemitonio. et dorius ab hypolydio distat apotome. igitur dorius ab hypodorio remotus est ditono. phrygius autem ab dorio trisemitonio. igitur phrygius ab hypodorio remouetur tribus tonis et semitonio: hoc est totius consonantie diapente interuallo. et lydius a phrygio semitonio. igitur lydius ab hypodorio diapente atque semitonio. myxolydius ab lydio distat apotome. igitur myxolydius ab hypodorio diapente consonantia distat acutior, atque tono. Et hoc pacto de reliquis ex precedente perfacilis est ostensio. vt hypolydius ab hypophrygio distat semitonio. dorius tono. phrygius diatessaron. lydius diatessaron et semitonio myxolydius diapente. dorius a phrygio distat apotome. phrygius ditono. lydius diatessaron. myxolydius tritono. Phrygius a dorio trisemitonio. lydius tono et duobus semitonij minoribus. myxolydius vero diatessaron. Lydius a phrygio semitonio et myxolydius tono. distat autem myxolydius vt iam quoque dictum est a lydio maiore semitonio. sicque constructum est propositum.

[29 in marg.] Septem itidem enarmonicos modos ordinare.

[Stapulensis, f.h6r,2; text: R, S, T, U, X, Y, Z, Hypodorius, Hypophrygius, Hypolydius, Dorius, Phrygius, Lydius, Myxolydius, Tonus, Diesis, Ditonus, A, b, c, d, e, f, g, h, i, k, l, m, n, o, p, septem Enarmonici modi.] [STAPMUS 14GF]

Sint r, s, t, v, x, y, z septem pentadecachorda: et sit per decimamquintam huius r pentadecachordum enarmonicum: intendo proslambanomenon pentadecachordi s vno tono amplius pentadecachordo r. et t diesi amplius quam s. et v diesi amplius quam t. et x ditono amplius quam v. et y amplius diesi x. et z amplius itidem diesi quam y. erunt ergo secundum acumen intensa sex post primum pentadecachorda: primo tono. deinde duabus diesibus et ditono. demum duabus diesibus: qui quidem intendendi modus enarmonice modulationi [f.h6v] peculiaris propriusque habetur. sunt igitur septem pentadecachorda r, s, t, v, x, y, z: septem enarmonice modulationis modos continentia. quod demonstrari propositum erat.

[30 in marg.] Singulorum enarmonicorum modorum: ad quemlibet habitudines demonstrare.

Huius ex precedenti demonstratio clara esse potest Primo hypophrygij ab hypodorio distantiam esse tonum. hypolydij tonum et diesim. dorij sesquitonum. phrygij diapente. lydij diapente ac diesi. myxolydij diapente et semitonio. Secundo hypolydium distare ab hypophrygio diesi dorium semitonio. phrygium diatessaron. lydium diatessaron et diesi. myxolydium diatessaron et semitonio. Tertio dorium ab hypolydio diesi. phrygium ditono et diesi. lydium diatessaron. myxolydium diatessaron et diesi. Quarto phrygyum a dorio ditono. lydium ditono et diesi. myxolydium diatessaron. Quinto lydium a phrygio diesi. et myxolydium semitonio. Sexto myxolydium distare diesi a lydio.

Septem enim modos et non plures adiecit priscorum autoritas pythagoricorum. vt enim numerus a monade ad denarium vsque varius crescens progreditur: mox vero sequens denarius vnitatis vicem obtinet primamque explicat vnitatem eiusdem indiuidue monadis consors, et eniulus: qui ad centenarium vsque rursus nouenaria progressione se extendit: relapsus tandem in tertiam vnitatem. Ita quoque vocum dissimilitudo ac varietas ex quibus instar celestis harmonie concentus humani, modique formantur ad octonarium vsque surgit. suntque septem continue voces inter se varie quibus succedens octonaria vocis plenitudo (Primus enim numeralis cubus primaque tessera octonarius) ad primam rursus sonat vt eadem: et ad eam sese habens perinde ac denarius ad vnitatem. Et hec octonaria feries in omni modulationis genere sic rata procedit: vt continue octauo quoque loco octauum per similem sibi et pene eundem sonus offendat sonum. ita vt ex duobus natiua quadam, concordique affinitate iam vnum sonum et non multos parere videantur: vsque adeo enim se miscent, et mutua se iungunt, copulantque amicitia. Et harum septem vocum que grauissima tardissimaque est: Saturno debetur. proxima Ioui: tertia Marti, quarta Phebo. quinta Ueneri. sexta Mercurio. septima vero earum acutissima, concitatissimaque Lune octaua autem rursum reuoluitur ad Saturnum, nona ad Iouem, decima ad Martem. et hoc pacto consequentes: vt sapiens voluit antiquitas. Et re vera totius vniuersi harmonia septenario completa est. et hec septem in celo celestem: in his autem inferioribus corpoream, sensibilemque temperant harmoniam. sed hec magi plenius discutiant. hinc licet cognoscere cur hypermyxolydius: septem pythagoricis modis haud multum veniat accomodandus. Nam si in diatonico genere myxolydium pentadecachordum pro hypermyxolydio vno tono amplius acuatur: totus is vbique modus ad hypodorium consonaret diapason, octauusque natus esset sonus: qui ad primum idem, congeneusque naturali affinitate redditur. quare non ab hypodorio primo modo omnifariam varius putandus est. et eque si myxolydius intenderetur trisemitonio in chromate et ditono in enarmonio: sed de his forte amplius quam presenti negocio par sit dictum est. Et modi quos adiecere recentiores vt diuus Gregorius ab hac modorum antiquitate recedunt. et pleraque alia que posteriores musici inculcauerunt et que ab illis facile requiras. et nostra quoque tempestate musicum modulamen, atque omnem concinentiam ad celeritatem quandam precipitemque leuitatem reducere conantur: modestam grauem feriamque ac decoram concentuum moderationem perparum attendentes. a moderatione enim dicti sunt modi. parum item attendentes priscum musices honestatis, grauitatisque decus: qua amentes arreptitiosque soluebant, sanitates inducebant feros hominum mores vt olim Thracius Orpheus, ad mansuetos et virtutis callem reuocabant. et ex sensibilium harmonia ad celestis harmonie desiderium captiuas animas tanquam sui iam memores exilij vbertim fluentibus oculis euocabant. hoc enim modorum accommoda mediocritate Pythagore discipuli faciebant. non enim is inter homines modestior: cuius omnis incessus cursus videtur. neque is cuius preceps nimium loquela presentium ludit intelligentiam. Ita quoque neque ij modestiores modi: qui nimia sui festinantia quasi in venerea chorea lasciuientes preffugiunt auditum. Hac enim de causa Pythagorea schola molles chromatis modos repudiauit et Spartiate solemni decreto Thimotheum Millesium increpuerunt vehementer diatonicos concentus potius approbantes. qui si apte moderentur virtutis pre se ferunt modestiam. vt enim nimia tarditate ceu torpore quodam fastidimur inani. ita nimia celeritas molliciem quandam pre se fert inhonestam. medium enim neque celeritate preceps nec ignaua tarditate pigrum: laudabile virtutisque emulum. quam omnis etas probauit probaturaque est: et ad quam musici modi tanquam moderationis animi quedam certe regule nos perducere debent: et ad diuina mentes nostras iugiter rapere. et felices ij erunt qui hoc fine et musicen et omnem mundanam philosophiam quesierint. neque talibus deesse solet celestis fauor atque presidium. qui autem secus faciunt miseri: quales nullos ad quos nostra hec modulationum elementa peruenerint futuros desideramus: quin eis omnis harmonie vite decus: feliciter optamus, nostrique victuros memores.

Quarti elementorum Musices Iacobi Stapulensis finis.