Back to top

[f.*1r] FRANCISCI SALINAE BVRGENSIS ABBATIS SANCTI PANCRATII de Rocca Scalegna in regno Neapolitano, et in Academia Salmanticensi Musicae Professoris, de Musica libri Septem, in quibus eius doctrinae veritas tam quae ad Harmoniam, quam quae ad Rhythmum pertinet, iuxta sensus ac rationis iudicium ostenditur, et demonstratur.

CVM duplici Indice Capitum et Rerum.

Haec Odorice tuis cognomen Castra dederunt:

Vel defensa diu, vel cito capta manu.

[Salinas, De musica, *1r] [SALMUS1 01GF]

SALMANTICAE

Excudebat Mathias Gastius.

M. D. LXXVII.

*     *     *     *     *     *     *     *     *     *     *

[f.*2v] GASPARI STOQVERI

Germani tetrastichon.

Harmoniae et Rhythmi qui vis cognoscere vires,

Musica quas partes continet vna duas:

Hos tibi, quos doctus dat nunc SALINA libellos,

Perlege, perlectis tu quoque doctus eris.

AD MAGISTRUM FRANCISCUM SALINAM VIRUM CLARISSIMUM

Non mi oculis captus, sed lynceus esse videris,

Cui, quae alios fugiunt, cernere posse datur.

Praecipiunt multi haec eadem caligine multa,

Quae medio tradis lucidiora die.

Illi igitur talpae, vigili es tu oculatior Argo;

Maxima Apollinei cura, SALINA, chori.

Iudice me, tantum quos anteis, lumina quantum

Anteeunt animi corporeos oculos.

I. D. FLORENTIVS ROM.

AD EVNDEM.

Litera Pythagorae cum sola reperta fuisset,

Fertur ob id Superis instituisse sacrum.

Quid tibi, qui geminas peperisti mente sorores,

(Gignit enim merito, qui bene iungit opus)

Num statuenda breui peritura sacraria censes?

Harmonica atque soror Rhythmica iure vetant.

Si quis enim ingenio famam sibi quaesijt olim,

Tu certe id facies, docte Salina, tuo.

G. GRONINGVS

[f.*3r] ILLVSTRISSIMO AC REVERENDISSIMO DOMINO suo, Domino Roderico de Castro, Episcopo Zamorensi, ac Regi Catholico a consilijs, Franciscus Salinas Burgensis Salutem Plurimam Dicit

CVM septem libros de Harmonijs ac Rhythmis iam tandem ad finem perduxissem, atque eos in lucem emittere destinarem: tu mihi statim vnus occurristi, Praesul amplissime, cui meos hos labores dicare per esse censerem; tum ob eximias animi virtutes cum multarum rerum cognitione coniunctas, quas omnes in te mirantur ac diligunt; tum ob regiam tui generis nobilitatem, quam blandam hominum conciliatriculam Cicero vocat; tum etiam ob meam in te perpetuam obseruantiam, et tuam in me beneuolentiam singularem: quae res non patiuntur vt alio mentem animumque conuertam: quibus etiam adiungi potest, quod illorum de Musica sermo est, quam, nemo nescit, quanto in pretio semper habueris, atque eius professores, quam humaniter amanterque suscipere, ac fouere dignatus sis. Accedit huc, quod non defuturos esse certo scio, qui nostram hanc industriam improbare tentabunt; alij, quia vel optima quaeque carpere non verentur, nec quicquam dignum laude iudicant, nisi quod ipsi faciunt, quibus, vt Comicus ait, nihil est iniustius: alij verborum ac rerum nouitate se vehementer offendi causabuntur. Sed ij dum suam infantiam hac imperitia non agnoscunt, quidquid ipsi aut nunquam audierunt, aut triuiale non est, id statim, non quia malum, sed quia nouum esse putant, calumniantur. Qui solum hoc sibi responso satisfactum existiment, nihil esse tam antiquum, quod aliquando nouum non fuerit, nec quicquam inueniri simul, ac perfici potuisse, et plurima quae nondum inuenta fuerant, indies excogitari. De me certe omnes sibi persuasos velim, antiquorum, ac recentiorum magni nominis musicorum assertiones extirpare noluisse, sed veritatis [f.*3v] inueniendae gratia potius, quam tantorum virorum aestimationis minuendae; aut ostentandi ingenioli mei cupiditate solum eas examinare voluisse, vt illis, dum per veritatem liceret, assentirer. Vtrum autem musicae disciplinae veritatem inuenerim, ostenderim ac demonstrarim, ipsius veritatis amatores ex totius operis lectione facile poterunt iudicare. Quod si fuerint qui nec validissimis rationibus nec demonstrationibus manifestissimis conuincantur, ij cum intelligent hos libros tuo nomini consecratos, et tua protectione munitos esse, autoritatis tuae magnitudine vel allecti, vel compulsi veritatem amplexabuntur. Suscipies ergo munus hoc qualecunque est ea, qua ipsum autorem humanitate suscipere solitus es: neque paruum illud esse iudicabis, si ad offerentis animum respicies; quandoquidem illo maius nihil habeo, tibi quod offerre possim, maiora certe daturus, si parem animi voluntati facultatem ingenij diuino munere consequi potuissem. Vale Salmanticae. Anno a Christo nato. 1577.

[f.*4r] FRANCISCI SALINAE BVRGENSIS IN libros de Musica Praefatio.

INter omnium animantium voces merito vox humana principem locum obtinere censetur: quoniam ea sola loquendi et canendi facultate praedita est. Vnus enim homo vere ac proprie dicitur canere et loqui: caetera vero animalia per analogiam quandam et similitudinem, vt prata atque aquae ridere dicuntur. Quae duo munera vt exactius ac perfectius exercere posset, obseruatio cum ratione coniuncta Grammaticam et Musicam artium antiquissimas inuenit: quarum alteram antiqui recte loquendi, alteram bene modulandi scientiam esse dixerunt. Sunt autem ab ipsis primordijs adeo similes, vt non sorores modo, sed pene gemellae fuisse censeantur. Nam quemadmodum Grammatica initium sumit a literis, a quibus nomen accepit: deinde per syllabas, quae ex literarum permixtionibus fiunt; ac per dictiones, quae ex syllabarum coniunctione conflantur, ad orationem perficiendam peruenire contendit: sic etiam Musica a Musis, quibus omnimodam canendi peritiam tribuebat antiquitas, nuncupata, ex sonis ac interuallis ex sonorum permixtione factis, et ex consonantijs, quae fiunt ex interuallorum coniunctione, melos siue cantum conficit atque componit. Et sicut loquutio subsistere non potest, nisi ratio in ea, et in dictionibus accentum, et in syllabis quantitatis habeatur, vt per alterum sublatio vocis ac depressio, per alterum exacta syllabarum breuitas et longitudo seruetur: ita etiam et multo (vt ita dicam) naturalius ac verius id in musica custoditur: ex quibus illud ad harmoniam, hoc ad rhythmum duas musicae partes, quae totam ipsius vim intra se continent, spectare dignoscitur. Differunt tamen nihilominus Grammatica et Musica, quod illius disciplina ex veterum, qui bene loquuti sunt, vsu collecta, sola nititur autoritate dicentis: huius vero doctrina ex ipso rationis aeternae fonte procedens, veritatem suarum assertionum ineluctabilibus argumentis, et mathematica semper ratione demonstrat. Inter praecipuas autem disciplinas, quibus antiqui sapientes philosophantium animos excultos esse debere censuerunt, honoratissimum semper musicae doctrina locum obtinuit: cuius euidentissimo est argumento, quod ex Philosophis, quorum vitae literarum monumentis mandatae sunt, nullus fere est, qui non in musica praeceptorem habuisse dicatur. Cuius scientiam atque vsum non minus viro ciuili, quam philosopho necessarium esse multis de causis Aristoteles toto fere libro Polyticorum octauo determinat. Primum, vt pulcherrimis valeat gaudere melodijs ac rhythmis, non communi quodam sensu, qui omnibus innatus est musicae, vt pueri ac serui faciunt: sed vt arte ac ratione de ijs, quae sunt artis, iudicium ferre, et praua possit a rectis dignoscere. Deinde, cum in duo tempora vita diuisa sit, alterum negotij, alterum otij, ad negotia quidem cum dignitate obeunda, alias disciplinas necessarias magis atque vtiles autumat. Ad vitam vero liberaliter in otio degendam, non ludum aptum esse contendit, vt plerique propter similitudinem, quam vita voluptuosa cum felici videtur habere, putant. Sed Musicam necessariam esse decernit propter honestatem, quam habet cum voluptate coniunctam. Non enim solum, inquit, in negotio nos recte gerere oportet, sed danda etiam opera est, vt in otio bene beateque viuamus. Beata vero vita non in honestate solum, neque in voluptate, sed in honesta voluptate consistit. Musicam autem esse de numero iucundissimarum rerum omnes asserit consentire. Quod etiam Musaei vatis antiquissimi testimonio confirmat, qui [f.*4v] [brotois hediston aidein] Hoc est Iucundissimum, ait, cantum mortalibus esse.

Sed praeter hanc voluptatem, quam suapte natura omnibus praebet, ob quam omni hominum aetati, et conditioni, et moribus sensus eius est iucundus, honoratiorem eam locum habere dicit: plurimum enim posse ad virtutes in anima ingenerandas. Per eam nanque quadam animi qualitate, quae ad mores pertinet, afficimur. Quoniam, vt Boetius etiam Seuerinus ait, praeter hoc, quod quemadmodum caeterae mathematicae, circa inuestigationem veritatis laborat, moralitati etiam coniuncta est: talis enim efficitur vnusquisque, quales harmonias ac rhythmos audire consueuit. Proponendam autem imprimis eam pueris esse censet: vt per illam ab ipsa inde pueritia rebus optimis laetari assuescant, et ab illiberalibus inhonestisque iocis arceantur. Nec e musica viro ciuili tam vtile quam delectabile petendum esse, ait. Non enim, inquit, ingenuum virum decet, omnibus in rebus semper vtilitatem quaerere; sed potior apud eum illa debet esse delectatio, quae voluptate non poenitenda, qualis ex musica percipitur, ipsius animum afficiat. Quanquam ego nescio, quae maior esse possit vtilitas, quam ea, quae prouenit ex musica: siquidem efficimur ab ipsa humaniores, religiosiores, et doctiores. Humaniores quidem; quoniam, vt Plato ait, quemadmodum gymnastica corpus optime reddit affectum; ita musica plus aequo efferatum animum mansuefacit, atque mollit: quod in iuuene quodam Taurominitano Pythagoram expertum esse Diuus Augustinus et Boetius Ciceronem in consiliorum suorum expositione scripsisse tradunt. Qui, cum ad pudicae mulieris aedes expugnandas vino calidus et amore percitus, tibiarum etiam et cytharae cantibus incitatus ire contenderet, neque vllis verbis a tanto facinore posset auerti, cytharistae Pythagoras imperauit, vti rhythmum mutaret, ac spondeum caneret, quo ille facto, mansuetior effectus, re infecta domum redijt. Nec vtique ob aliud poetas Orpheum et Amphionem finxisse credendum est, illum

Arte materna rapidos morantem

Fluminum lapsus, celeresque ventos,

Blandum et auritas fidibus canoris

Ducere quercus.

Hunc Thebanae conditorem arcis

Saxa mouere sono testudinis, et prece blanda

Ducere quo vellet.

Nisi quod homines vagos ac dispersos, quo nihil est ab humanitate alienius, cantus suauitate delinitos ad societate humanam, vitamque ciuilem reduxerunt. Religiosiores autem a musica nos reddi manifestum est: valde enim erigimur ad rerum caelestium contemplationem modulationibus et canticis, quae in templis audiuntur; quod in sacris solennibus experimur, in quibus maiori cum artificio et suauitate cantatur. Nec alia de causa choros monachorum, aut canonicorum in terris institutos fuisse credibile est, nisi, vt, quemadmodum caelestibus in choris angeli Deo semper assistunt, pulcherrimis eius laudes melodijs ac rhythmis celebrantes, vbi, vt sancta canit Ecclesia,

Nouas semper harmonias vox meloda concrepat.

Sic etiam terrenis in his choris viri religiosi semper Hymnis ac Psalmis canendis inuigilarent, et quo meliore possent modo Deum Optimum Maximumque laudarent. Id quod mali etiam demones, cum sicuti dij colerentur, appetiuerunt. Nulla enim tam barbara gens vnquam inuenta est, quae deos, quos coleret, non metris ac canticis veneraretur. Quod maximae curae fuisse Graecis et Romanis, eorum narrant historici: sed multo magis id populum Hebraeum, qui verum eum agnouit et coluit, curasse compertum est. Nam Salomonis in templo non pauciores, quam ducentos et triginta octo cantores, inter quos nouem [f.*5r] erant archipsaltae, et genus omne musicorum instrumentorum sacrae paginae fuisse testantur. Christianus autem populus non dubium, quin Hebraeum Ecclesiasticorum cantuum grauitate ac dulcedine superarit: de quo Cythara psallendi peritissimus Dauid prophetico sermone dixisse videtur in Psalmis, Beatus populus, qui scit iubilationem. Quae verba Diuus Hilarius enarrans, Necessaria ergo, inquit, est homini Christiano musica, quandoquidem eius beatitudinem in ipsius scientia consistere propheta decantat. Diuus etiam Augustinus qui sex de Musica libros omnigena refertos eruditione matura iam aetate conscripsit, se mirum in modum antequam ad orthodoxam Christi fidem conuerteretur, musica delectatum esse dicit: sed post conuersionem vehementer eius auditione compungi, et valde Hymnis Ecclesiae suaue resonantis acquiescere. Et Diuo Hieronymo scribens musicam, ostendit ad rei magnae admonitionem hominibus Dei largitate fuisse concessam. Atque eius ignorationem in libris de doctrina Christiana multarum intellectum scripturarum asserit impedire. Et duo Ecclesiae lumina Gregorius, et Ambrosius quantum musicam ad religionis augmentum prodesse iudicauerint, plurimis canticis Hymnorum a se compositis testati sunt, quae adhuc alterius Mediolani, et alterius Romae canuntur. Doctiores musicae disciplina nos effici nemo ambigit, qui vel minus, quam mediocriter in mathematicis exercitatus sit: siquidem vna ex quatuor mathematicis semper est habita, quae inter disciplinas primum, vt dicunt, gradum certitudinis obtinent. Cuius veritas a nobis septem his libris, quos ea de re multis annis, et maximis laboribus tandem ad finem perduximus, patefacienda est. Quod opus vt aggrederer, non paucis, nec parui momenti rationibus adductus sum. Primum enim venit in mentem illius veteris sententiae, qua monemur, vt in ea, quam nouimus, arte tempus conteramus. Ego vero ab ipsa prope infantia per totum vitae meae curriculum rebus musicis operam impendi. Nam cum a nutricis vberibus caecitatem infecto cum lacte suxissem, nec adhibitis vndique remedijs vlla visus recuperandi spes affulgeret, non alia parentibus ars vel honestior, vel vtilior visa est, in qua me potissimum institui vellent, quam ea, quae per auditum, alterum animae ratione pollentis optimum ministrum, aptissime posset addisci. Nec solum in cantu, qui humana voce conficitur, sed multo magis in ea musicae parte, quae manuum vsu in practicis nstrumentis, quae per antonomasiam organa vocant, exercetur, omne fere tempus insumpsi; in quo quantum profecerim, aliorum esto iudicium. Hoc tamen affirmare ausim, eum, qui Aristoxeni, Ptolemaei, Boetij, atque aliorum maximi nominis musicorum intelligere doctrinam exacte volet, hac in parte musicae multum diuque exercitatum esse debere: quandoquidem omnes hi de priori musicae parte, quae Harmonica nuncupatur, et ad instrumentalis harmoniae compositionem pertinet, scripserunt. De qua, qui versatus fuerit in musicis, quibus vtimur instrumentis, multo facilius ac perfectius poterit iudicare. Caeterum ne de aliorum etiam meorum studiorum ratione nihi omninovidear attigisse: forte, dum adhuc puer essem, venit in patriam faemina quaedam honestis orta natalibus, quae linguae Latinae cognitione pollebat, et vt virgo sacra fieret, artem organa pulsandi mirum in modum addiscere cupiebat: cuius addiscendae gratia, cum domi nostrae mansisset, et illa musicam a me, et ego vicissim ab ipsa Grammaticam didici, quam ab alio fortasse nunquam didicissem. Quia vel nunquam id patri venisset in mentem, vel quia vulgus practicorum ei, nocituras musicae literas persuasisset. Huius ego disciplinae degustatione discendi cupidior effectus persuasi parentibus vti me Salmanticam mitterent, vbi linguae Graecae et artium ac philosophiae studijs per aliquot annos operam dedi. Sed inde rei familiaris inopia proficisci coactus in regiam curiam me contuli, et a Petro Sarmento Archiepiscopo Compostellano peramanter exceptus, cum eo paulo post in numerum Cardinalium assumpto, discendi potius, quam ditescendi gratia Romam veni; vbi dum inter eruditos viros versarer, quorum illic magna copia semper fuit, pudere me coepit eius artis, quam profiterer, ignarum esse, nec eorum, quae tractarem, afferre posse rationem. Et tandem intellexi non minus in musica, quam in [f.*5v] architectura verissimum esse illud Vitruuij, quod ij, qui sine literis contenderunt, vt manibus essent exercitati, non potuerunt efficere, vt haberent pro laboribus autoritatum. Qui autem ratiocinationibus et literis solis confisi fuerunt, vmbram, non rem persequuti videntur. At qui vtrumque perdidicerunt, vti omnibus armis ornati, citius cum autoritate, quod fuit propositum, sunt assequuti. Quare cum ex Aristotele cognouissem, numerorum rationes, consonantiarum et interuallorum harmonicorum exemplares esse causas, nec omnes consonantias aut interualla minora in suis legitimis constituta rationibus inuenirem, veritatem ipsam ad sensus et rationis iudicium inuestigare conatus sum. Qua in re me plurimum adiuuerunt, praeter Boetium, quem omnes in ore musici habent, Graecorum antiquorum libri manu scripti, nec adhuc Latinitate donati; quorum etiam illic magnam inueni copiam, sed ante alios Claudij Ptolemaei, cui nescio plus Astronomia debeat, an musica, harmonicorum libri tres ex Bibliotheca Vaticana, et Porphirij in eos commentarij maximis diuitijs ex antiquorum lectione collectis instructissimi: quorum mihi copiam fecit Cardinalis Carpensis: et Aristoxeni de Harmonicis elementis libri duo, et Nicomachi, quem Boetius sequutus est, etiam libri duo, Bachaei vnus, Aristidis libri tres, itidem Briennij tres, quos Cardinalis Burgensis Venetijs ex Diui Marci Bibliotheca sibi transcribendos curauerat. Quorum ijs, quae bene dixerunt, doctior, et quae secus, cautior effectus, ad huius disciplinae cognitionem exactam potui peruenire. In cuius inquisitione et examinatione plures viginti tribus annis consumpsi; et tandem multis calamitatibus, praesertim duorum Cardinalium et Proregis Neapolitani, qui me magis amarunt, quam ditarunt, mortibus oppressus, et tribus fratribus bello amissis, maximo natu tribuno militum, et altero eius signifero sub vrbe Metensi, tertio ad conducendum militem ab Albano duce misso in itinere interfecto, paucis contentus, quae tenuem admodum victum suppeditare possent, ad Hispanias redire decreui. Statueram autem id, quod mihi vitae tempus superesset, intra meos me continere parietes, et otiosam vitam in honesta paupertate degentem, mihi tantum et musis canere:

Nam nec diuitibus contingunt gaudia solis,

Nec vixit male, qui natus moriensque fefellit.

Sed aliter Deo Optimo Maximo visum esse arbitror, qui me ex Italia, postquam in ea viginti fere annos non prorsus ignotus impenderam, ad Hispanias reuocauit: et ex alijs Hispaniarum vrbibus, in quibus artem musicam praemijs satis amplis exercere poteram, ad Academiam Salmanticensem post triginta fere annos, ex quo ab ea profectus fueram, tandem redire concessit. In qua vna, praemia satis honesta proposita sunt musicae doctrinam, tam quae speculatur, quam quae operatur, profitenti. Intellexit enim Alphonsus Castellae Rex huius nominis Decimus cognomento Sapiens, qui vel primus eam instituit, vel in meliorem formam redegit, non minus musicae disciplinam, quam caeterarum mathematicarum, in quibus ille maxime excelluit, disci oportere: nec solum illius vsum, sed speculationem etiam esse necessariam ei, qui musici nomine dignus merito iudicandus esset. Quam ob rem inter primas et antiquissimas cathedram illius erexit, quae cum Doctore vacaret, quaereretur que, qui musices vtranque partem in ea rite docere posset, ego Salmanticam veni, vt huius disciplinae peritos sui periculum in ea facientes, audirem. Vbi cum aliquod meorum in musica studiorum specimen dedissem, iudicatus sum ad id munus obeundum idoneus: et cathedram ipsam duplicato fere adauctam praemio, ipsa etiam regia maiestate probante, sum consequutus. Et de me quidem haec, fortasse plura, quam opus erat, dicere volui, solum ob hoc, ne prorsus omni destitutus auxilio rem tantam aggressus esse viderer. Nunc ad reliquas instituti nostri rationes prosequendas reuertar. Et possem equidem ostendere, si vellem, nullam esse earum artium, quae circulum doctrinae constituunt, quae ab eo fastigio, in quo veterum beneficio fuerat collocata, lapsu miserabili non deciderit. Sed non [f.*6r] libet mala nostra querelis nihil proficientibus augere: longe enim praestat gaudere, quod dudum non Romani modo, et Itali, sed Hispani, Germani, Galli, et Britani illi toto orbe diuisi hanc tantam bonarum artium ruinam certatim fulcire contendunt. Ac eo rem paulatim iam perduxerunt, vt non modo ad eloquentiam, sed ad omnium prorsus bonarum artium scientiam latior ac minus impedita via patere videatur. Quod vna in musica factum adhuc non esse, vehementer conqueror: nulla namque disciplina ab altiori gradu deiecta, et minus in nitorem antiquum restituta quam musica reperitur, quotus enim quisque est eorum, qui professores illius haberi volunt, qui eius disciplinae vestigium vnquam animaduerterint. Nec quemadmodum, qui caeteras artes profitentur earum scientiam ex causis ac principijs adipisci conantur, sic etiam musici huius temporis musicae disciplinae causas vsque ad elementa scire concupiscunt; sed tantum ipsius operationi dediti quod ad scientiam attinet, omnino contemnunt. Nam si quaeras ab eis, quid sit tonus: illum diapente ad diatessaron excessum esse respondebunt: sed quanam in proportione sit constitutus, ignorare non erubescent. Sexcentaque sunt id genus alia, quae non tam gloriosum erat eis scire, quam turpe nescire. Fatemur autem apud Italos et Gallos non solum, qui caeterarum bonarum artium, sed huius etiam disciplinae ruinam fulcire contendant, aliquos reperiri. Inter nostrates etiam quosdam nouimus, id esse conatos; sed potius optasse, quam re praestitisse. Quod ego cum non sine iusta animi indignatione saepe mecum agitarem, mei nescio quo pacto me paenitere coepit. Dolebam enim, quod totam prope modum aetatem ita consumpsissem, vt nihil de posteritate cogitans, in solo eorum profectu, qui a me discere voluissent, mei periculum fecissem. Nec vnquam si quid in me ingenij et eruditionis esset, aliter, quam alios docendo probare tentassem. Praesertim cum propter exiguum quaestum, qui ex huius disciplinae scientia prouenire solet

Pauci, quos aequus amauit Iuppiter.

eam addiscere ac audire velint: et ex his, quorum eius doctrinam maximi scire intererat, vix vnus aut alter, qui gymnasium ei praecipiendae dicatum adeat, inueniatur. Itaque mutato in melius, nisi me spes fallit, proposito, coepi velle absentibus etiam et posteris prodesse, si possem. Quod effecturum me putaui, si ex his, quae scripseram, didascalicon aliquid, atque id non inutile publicassem: statimque animum conuerti ad libros, quos hac de re multis abhinc annis inchoatos, postea propemodum abieceram, non inutiles quidem illos ratus, sed veritus ne male feriati homines prius negligerent, quam intellexissent; et consilium meum statim reprehenderent, et clamarent me post tot Graecos et Latinos autores, et illos quidem grauissimos, in re toties agitata, toties scripta, nihil aliud posse, quam quod veteri prouerbio vetamur, actum agere. Hac ego re, atque alijs, quas obijci mihi posse intelligebam, nihil deterritus, sed magis magisque incitatus, quoscunque vel antiquorum, vel recentiorum tractatus ea de re inuenire potui, diligenter euolui. Et vt quosdam ex eis musicae peritissimos fuisse negare non ausim, ita illud, nihil reluctante conscientia, affirmauerim, neminem eorum, quos huius disciplinae scriptores habere contigit, in eius doctrina praecipienda omnes, quod aiunt, vere numeros expleuisse. Cuius euidentissimo est argumento, quod, cum vnam atque eandem musicam semper fuisse, semperque futuram esse necesse sit, eaedemque consonantiae tam apud Graecos, quam apud Persas sensus ac rationis iudicio deprehendantur, non aliter quam in arithmetica bis duo christianis et barbaris sunt quatuor, non idem in hac scientia videtur accidere. Nam aliter Pythagoras et Nicomachu atque alij Pythagorei, aliter Ptolemaeus, et qui eum sequuti sunt, et multo secus Aristoxenus atque eius sequaces circa consonantias et dissonantias, et circa diatessaron diuisionem, in cuius exacta partitione huius scientiae cardo consistit, opinati sunt. Vt cum eorum atque aliorum maximi nominis musicorum assertiones inueniendae potius veritatis, quam tantorum virorum aestimationis minuendae causa diligenter examinabimus, apparebit. Iuniores [f.*6v] vero et nostri seculi homines tantum absunt a culpa, vt non modo digni venia, sed etiam laude sint. Nam eorum plerique nullos ex antiquis Graecis huius disciplinae scriptoribus habere potuetunt, quia nondum aut in Latinum sermonem versi, aut sub praelo fuerunt, vt in manus hominum facilius venire possent. Et si quis eorum aliquos legit, legisse potius, quam intellexisse videtur. Quidam autem quanquam ingenio valuerunt, et suo marte plurimis in rebus veritatem inuenerunt, non tamen omnia propter abstrusam huius rei scientiam et multiplicem difficultatem assequi potuerunt. Veruntamen hi multa in suos commentarios contulerunt, quibus nonnihil hic labor noster adiuuatur, et in eo quoque nos eorum doctrina delectat, quod huius disciplinae cognitionem sciendi cupidis non honestam modo, sed vtilem esse consentiunt. Quae ratio nos mouit, vt cum alij pro se quisque rem literariam, qua parte possent, iuuare tentarent: idque multis ac magnis in rebus iam praestitissent: nos quoque, quoniam maiora non possumus, experiremur, an hac in parte ab alijs neglecta, ab alijs quasi percipi nullo pacto queat, deposita ac desperata, a multis desiderata, a paucis intellecta, aliquid opis afferre possimus. Atque id maiori fiducia aggressi sumus, quod nunquam in magnis ita fuimus occupati, vt minora negligeremus: nec vnquam sumus ita speciosa sectati, vt non vtilia praeferremus. Ad haec nullus me successus aut fauor vnquam ita potuit inflare, vt

Artem puderet proloqui, quam factitem.

Quamobrem nihil inuidiosum mihi sumo, si multa, quae quamuis vtilia ac prope necessaria, caeteri contemnunt, collegisse me dico; et ea in communem eorum, qui nesciunt, vsum proferre non erubesco. Nec me adeo tenet scribendi cacoethes, vt hunc laborem assumere voluissem, nisi valde necessarium ac vtilem esse certo certius intellixissem, aut si ab alijs ea, quae ad disciplinae huius integram perfectamque cognitionem requiri cognoueram, excogitata, vel literis pro rei dignitate mandata reperissem. Nec mirum id cuiquam videri debebit: nam praeter hoc, quod acutissimam et speculationibus aptissimam ingenij perspicacitatem haec doctrina desiderat, oportet etiam, qui notitiam ipsius exactam habere volet, eum in omni prope disciplinarum genere versatum esse. Necessaria enim est ei musicae practicae cognitio; vt non in cantu modo, sed in arte factis instrumentis, vt supra diximus, exercitatus sit. Habere etiam debet artem numerandi, tam speculatricem, quam operatricem maxime perspectam. Principia enim huius disciplinae ab arithmetica sumuntur, et in ea vt ipsius conclusiones probantur, et facilitas in numerando mirum in modum prodest speculationem rerum musicalium intelligere aut facere volenti: contravero tarditas, dici non potest, quantum huiusmodi cogitationibus officiat. Nec geometricae volumus eum ignarum esse: omnis nanque matheseos disciplina, vt Boetius ait, amat alterna probatione constitui, quae multum ei prodesse poterit in participatione, vt vocant, musicorum, quibus vtimur, instrumentorum facienda ad ditonum in duo, et tritonum in tria spatia aeque proportionalia diuidenda. Opus est etiam ei linguae Graecae cognitione: quoniam omnia vocabula huius artis Graeca sunt. Et praeterea euoluendi sunt ei scriptores huius artis, qui fere omnes Graeci fuerunt, praeter Boetium et Diuum Augustinum quorum ille harmonicam, hic rhythmicam a Graecis ortas parentibus Latino sermone loqui docuerunt. Nam caeteri Latini antiqui quam paucissima, recentiores vero plura quidem, sed parum dilucide tradiderunt. Et imprimis ad eam musicae partem, quae ad rhythmum pertinet, intelligendam, eum in poetica non parum exercitatum esse conuenit, vt de metrorum ac versuum multiplici varietate ex varijs poetarum exemplis facilius ac perfectius valeat iudicare.

Quidquid igitur ad huius scientiae perfectam cognitionem pertinere sumus arbitrati, quanta potuimus cura vndique conquisiuimus, et quae non solum apud musicos, philosophos, rhetores ac grammaticos inuenimus, sed a doctis hominibus audiuimus, vel ipsi excogitauimus, id totum in septem libros contulimus, ac eos in duas classes, alteram quatuor, [f.*7r] alteram trium primo diuisimus, ita vt quatuor priores prioris etiam partis musicae, quae ad harmoniam spectat, integram exactamque, ni fallor, doctrinam contineant. Tres autem posteriores partis quoque posterioris, quae ad rhythmum attinet, omnia, quae necessario musicum scire visa sunt, habere deprehendantur. Et quatuor quidem priores ita digessimus, vt in primo a musicae vniuerse acceptae diuisione et partis ipsius, qua de agimus, definitione orsi, omnia, quae de numeris tam per se constantibus, quam ad alios relatis, ab arithmetica petere musicum oportere cognouimus, eodem congessimus; vt numerorum et proportionum, quae ex illorum collationibus oriuntur, scientia, quantum satis est ad demonstrationes harmonicae musicae faciendas, instructus accedat. In altero de sonis se orsum acceptis, et de eisdem inter se collatis, vnde interualla harmonica consonantiaeque procreantur, eodem ordine, quo de numeris in primo et eorum collationibus, ea, quae harmonicum scire debere, rati sumus, posita sunt. In tertio, quonam ordine iuxta veram harmonicae rationis exigentiam, disponi, locarique soni debeant, in tribus melodiarum generibus exacte perfecteque, ita vt nihil addi, detrahiue possit, ostendimus. Quorum omnium typos oculis subiecimus, vt veritatis optima constitutio sensu etiam ac ratione perpendi queat. Atque ibidem de vero situ commatis in vno quoque trium generum iuxta mirabile harmonicae rationis artificium non minus ingeniosam, quamveram ratiocinationem apposuimus. Et de diuersa artificialium instrumentorum a perfecto deriuata imperfectione, altera organorum ac cymbalorum, altera testudinum aut lyrarum multa scitu digna et vtilia factu, quae nemo adhuc scripsit, nec, vt arbitror, cogitauit, addidimus. In quarto vero de speciebus consonantiarum multo aliter, quam adhuc considerata sunt: de systematis et de sex antiquorum harmonijs ac tropis, a quibus duodecim recentiorum modi fluxerunt: et de tonis quot numero sint, et quo pacto a modis differant, ex Graecorum doctrina, quando Latinorum ante hac id animaduertit nemo, Ptolemaei testimonijs adductis, tractationem instituimus. Et in huius libri fine Graecorum et Latinorum, tam antiquorum quam recentiorum, qui de musica benemeriti sunt, assertiones, qua maiori fide ac diligentia potuimus, recitauimus, ac examinauimus: vt quaenam earum vera esset, aut proxime veritatem accederet, exquireremus; et in quibus bene aut secus opinati sunt, sensu nuncio, et iudice ratione deprehenderemus. In quinto, qui primus de altera musicae parte, quae rhythmica nominatur, institutus est, initio quoque a rhythmi definitione sumpto numerum oratorium et poeticum a musici rhythmi puritate seiunximus: et de temporibus, ex quibus pedes constant: et de pedibus seorsum acceptis, et inter se legitime copulatis: et de rhythmis, qui ex eorum singulis conficiuntur, plurima scitu digna tractauimus. In cuius fine fuerit ne apud antiquos cantus plurium vocum consideratur, et Aristotelis testimonio, ac efficacibus argumentis apud eos in vsu fuisse, confirmatur. In sexto de metris per eorum genera, et singulorum generum species, late diffuseque tractauimus: et a metricis scriptoribus, quae ad musicam institutionem necessaria videbantur, desumpsimus. In septimo tandem de versuum constitutione ac perfectione, ex Diuo Augustino et Terentiano, et Mario Victorino, et Hephestione Graeco, atque alijs nobilibus scriptoribus, quidquid cognitione dignum inuenimus, ad huius operis consummationem afferre curauimus: examinatione tamen adhibita, vt, dum per veritatem liceret, illis assentiremur. Scribendi vero stylus non potuit esse non varius, vtpote qui fuerit ex nimis varia Graecorum ac Latinorum lectione conflatus. Ex quibus praecipui, qui nos hoc in labore iuuerunt, plerique sunt Afri, atque eius aetatis cum iam a natiuo candore lingua Romana valde declinauerat. Et eo maxime diuersum esse necesse fuit, quod ipsorum autorum non sententias modo, sed eadem verba multis in locis, praesertim in libro septimo, ponere voluimus: cum vt operi nostro maior autoritas accederet, tum etiam vt inspectis illorum positionibus, ex eorum verbis syncera fide transcriptis, si quid in eis inesset mendi, vel librariorum negligentia, vel iniuria temporis, aut ex alijs autoribus, aut ex ipsa disciplinae ratione corrigeremus. Vel si quid ab illis parum animaduersum ob scientiae subtilitatem, aut minus exacte [f.*7v] consideratum humanae naturae parum cautae incuria fuisset, ex nostrorum cum illis collatione doctrinae veritas dilucidior appareret. Accedit ad hoc, quod aliqua nunc sunt in vsu instrumenta, quae vel antiqui non habebant, vel, quod verius esse reor, quibus ea nominibus appellarent, nescimus: vt illud, quod ab haleutica forma, quam habet, Lautum vocatum esse creditur; et Viola, cuius chordae tam pectine, quam manu pulsantur. Quod nomen apud neminem Beda Sacerdote antiquiorem inueni: et multa nunc a practicis aliter, quam ab antiquis docentur. Quorum cum ad hunc modum non fuerit antiqua descriptio, fieri non potuit, vt sermonem e medio vulgi fugeremus; aut enim confictis nouis nominibus, cum vetera non haberemus, arrogantiae crimen subeundum fuit, aut aliquid tot iam annorum vsui concedendum erat. Subiunximus etiam metra vulgaria Hispanica, Gallica, et Itala Graecis ac Latinis, vt ostenderemus versus ac metra ad omnes pertinere linguas, vel potius nullius idiomatis esse propria, quandoquidem in modulationibus absque verbis inueniuntur: et modos quibus vulgo canuntur, apposuimus, notis et figuris a practicis recentioribus inuentis delineatos, cum vt ab omnibus in arte canendi vel mediocriter exercitatis intelligi possemus; tum vt vulgarium linguarum syllabae, in quibus quantitatem fixam non habent, sed omnes communes sunt, ex ipso cantu longae ne an breues essent, dignoscerentur. Quod in Graecis ac Latinis fieri necesse non fuisset, nisi propter eos, qui cum canere sciant, syllabarum tamen quantitatem ignorant. Quocirca quemadmodum in harmonica per numeros, ac eorum proportiones veritatem opus fuit demonstrare, sic etiam in rhythmica per notas cantuum et figuras eam ostendere, coacti sumus: qui cantus etiam numeri per metaphoram accepti dicuntur, vt apud Maronem Orpheus

Obloquitur numeris septem discrimina vocum.

Quae omnia ex totius operis lectione manifesta cuiuis esse poterunt: interim satis erit haec praemisisse. Et ne praefatio prologi modum excedat, ac in libri magnitudinem excrescat, hic praefandi finem faciemus: si prius, quam ad operis initium accedamus, auxilium Omnipotentis Dei poposcerimus, qui laudes suas harmonijs ac rhythmis variis ornatas in terris pariter ac in caelis semper ab orbe condito voluit decantari.

[f.*8r] IOANNIS SCRIBONII IN ACADEmia Salmanticensi Graecae linguae

Professoris Dodecatechon Graecum.

[Puthagoras to palai dikaion epiteuxat' epainon.

kosmesas mousen exocha melpomenen.

Eita d' aristoxeinos homoiion erato kudos

Mousikies eneken tes perikleinotatou.

Kai megas ho ptolemaios aeidion eilachephemen,

Eukleides th' hama to, sun deth' ho timotheos.

Kouintilianos et' arristeides geineto kleinos.

Bouthios en rhome t' aspeton heileto kleos.

Tous d' huperekontize meg' amphoteros' ho Salinas

kai praxin perion, technika te krateon.

Rhuthmous th' harmozon poluglossous chresimos houtos

epleto poietais, pasi t' aeidomenois.]

EIVSDEM LATINVM.

Tiresiae quondam caeco pensauerat auctor

Naturae damnum munere fatidico.

Luminis amissi iacturam caecus Homerus

Pignore diuini sustinet ingenij.

Democritus visu cernens languescere mentis

Vires, tunc oculos eruit ipse sibi.

His ita dum doctae mentis constaret acumen,

Corporis aequanimi damna tulere sui.

Vnus at hic magnus pro multis ecce SALINAS,

Orbatus visu praestat vtrunque simul.

Cernit in hoc opere id, quod lynceus ille nequiret,

Ingenio quantum nullus in orbe videt.

*     *     *     *     *     *     *     *     *     *     *

[f.*8v] LVDOVICI CHAZARETAE in laudem autoris

EPIGRAMMA.

Dum te virgineos, o nostri gloria secli

Aoniae fidicen, docte Salina, lyrae,

Vrget inaccessi nemoris penetrare recessus

Audacem tantae laudis anhelus amor:

Exuperas montis secreta biuerticis antra,

Antra, nec humano limina pulsa pede;

Limina qua riguas obliquis flexibus vmbras,

Vmbrosumque rigat Castalis vnda nemus.

Hic tum forte Jacros adytis penetralibus artus

Rorabant nudae vitreo in amne Deae.

Huc inopina vago flectens vestigia gressu

Deprendis nudas vitreo in amne Deas.

Vertere nec dum aciem licuit, cum numine Diuum

Iam subita sentis lumina nocte premi.

O sed quae, o raptae succedunt praemia luci,

Quam sic o vetito Sole carere iuuat.

Ductrix accedit coetu comitata sororum,

Et regina sui Calliopea chori:

Ipsa chelyn tradens, facundaque plectra, fidesque,

Et meritam incingens virgine fronde comam,

His, antistes, ait, nostris dignande choreis,

Dulcia iacturae damna repende tuae

Hae tibi erunt artes, vulgare arcana per orbem

Nostra, et Bistoniae fila nouare lyrae.

*     *     *     *     *     *     *     *     *     *     *

[1] DE MVSICA LIBER I.

DE MVSICAE UNIVERSALIS DVPLICI DIVISIONE, ALTERA IVXTA POSItiones antiquorum, altera nuper excogitata.

CAPVT PRIMVM.

DE Musica dicere nobis instituentibus, quoniam ipsius vis adeo late per vniuersa diffunditur, vt nihil sine illa constare credatur, necesse erit, eam in partes diuidere, vt quaenam ipsius pars fit, de qua disputare velimus, facilius intelligatur. Musicam ergo antiqui fere omnes triplicem esse dixerunt: Mundanam, Humanam, et Instrumentalem. Mundanam quidem eam appellauerunt, quae in dissimilium motuum caelestium mira coaptatione, et concordi temporum varietate, ac elementorum proportionabili permixtione, et denique in harmonica totius mundi constructione consistit. Humanam autem eam esse dixerunt, quae in hominis opificio, praesertim in animae, et corporis coniunctione, et in ipsius animae partium dispositione versatur; et in artium omnium, ac scientiarum ordine; et regnorum, ac rerumpublicarum constitutionibus; et tandem in his omnibus, quae proprie ad hominem pertinent, inuenitur. Instrumentalem vero illam vocauerunt, quae in vocibus, aut in Musicis instrumentis, vt in Cithara, et tibijs constituta est. Nos autem vt hanc Musicae diuisionem non aspernamur, quippe quae magnos habeat autores, sic etiam alteram, ex ipsius rei natura depromptam, et ad praesentem institutionem accommodatiorem afferri posse censemus. Quae etiam erit trimembris, vt alia Musica sit, quae sensum tantum mouet, alia quae intellectum tantum, alia quae sensum, et intellectum simul. Quae sensum tantum mouet, solo auditu percipitur, neque ab intellectu consideratur, cuiusmodi sunt cantus auium, qui audiuntur quidem cum voluptate, sed quoniam a nullo mentis sensu proficiscuntur,non harmonica ratione constant, per quam ab intellectu valeant considerari. Vnde nullas consonantias, aut dissonantias efficiunt, verum innata quadam vocum suauitate delectant. Quod si in eis aliquando harmonica interualla deprehenduntur, id casu potius, aut ex aptitudine, ad imitandum sibi naturaliter insita, prouenire censendum est, per quam assuefactae discunt cantus hominum imitari; vt Psittaci, qui ex nimia audiendi frequentia loquelam imitantur humanam. Veruntamen haec Musica irrationalis est, vt sensus ipse, quoniam solum ab irrationalibus animantibus conficitur, nec proprie Musica dici potest. non enim aliter aues canere, quam aquae, et prata ridere dicuntur: et Musica in genere rationalium constituitur, ut suo loco dicetur. Sed eam inter Musicae genera placuit adnumerare, propter vsitatissimum loquendi modum, iuxta quem semper apud omnes nationes Musicae nomen obtinuit. Quae intellectum tantum mouet, intelligi quidem potest, audiri vero non potest: sub qua duae antiquorum Mundana, et Humana comprehenduntur, cuius harmonia non aurium voluptate, sed intellectus consideratione percipitur. Siquidem [2] non in permixtionibus sonorum, sed in rationibus deprehenditur numerorum. Quanquam enim non inficiamur in maxima disparium motuum caelestium concordia ratum modulationis ordinem inueniri, vt, exempli gratia, in signiferi constitutione, consonantiarum, et toni rationes: id tamen propter harmonicam numeri duodenarij naturam, in quo signiferum ipsum constitutum est, dicimus euenire. Ob quam Brienius autor Graecus eum numerum ab Aristotele [Mousikotaton], hoc est, valde musicum asserit appellari. Neque motus caelestes vllos omnino ciere sonos opinamur, vel subiecto, vel efficiente causa, vt Physicis placet. Nam praeter Aristotelicas rationes, quas nos huc transferre noluimus, ne potius Physicam, quam Musicam docere velle videremur, illa certe probabilis esse videtur, mundanae fabricae conditorem, vt in necessarijs non defecisse, ita nihil superuacaneum fecisse. Cuiusmodi futurus erat sonus ille caelestis, qui a nemine posset audiri. Non ab hominibus, quoniam multis de causis fieri necesse aiunt, vt ad nostras aures sonus ille non perueniat. Non ab intelligentijs, quae caelos mouent, quandoquidem neque aures habent, neque auribus egent. Quamobrem idem iudicium de Musica caelesti, et de elementari faciendum esse arbitror. Siquidem quae in compage elementorum, et in temporum varietate perspicitur, non aurium sensu, sed rationis iudicio perpenditur, qualis est ea, quae in partibus animae inuenitur: in quibus omnes consonantiarum proportiones inesse dicuntur. Ita vt facultas rationalis ad irascibilem sesquialteram habeat rationem, in qua Diapente consonantia constituta demonstratur. Et irascibilis ad concupiscibilem sesquitertiam, in qua Diatessaron consonantia reperitur: ex quibus in anima Diapason perfecta consistit. Et quemadmodum in Musica vocali, siue instrumentali diapente continet diatessaron, et ab ea non continetur, et diapason habet in se vtramque, neque ab illis habetur: sic facultas sentiendi continet vegetatricem, neque ab ea continetur, et facultas rationalis vnica existens habet in se reliquas duas, neque ab illis habetur: sed in ea tanquam trigonus in tetragono inesse dicuntur. Praeterea virtutes consonantiae, et vitia dissonantiae, multis ac iustis de causis ab omnibus communiter appellantur: quarum rerum cognitio sub auditus sensum cadere non potest. Non tamen omnino contemnenda sunt, quae memoriae consecrauit antiquitas, quae, quoquo posset modo, semper ad caelestium rerum amorem, hominum mentes erigere conata est: quae videndi ac audiendi maxime delectatione ducuntur. Quae sensum simul, et intellectum mouet, est inter has media: quia sensu aurium percipitur, et ab intellectu etiam consideratur. Et haec est, quam antiqui instrumentalem esse dixerunt, quae non solum naturali vocum, aut sonorum suauitate auribus est iucunda: sed etiam harmonica deprehenditur constare ratione. Et quia solus homo inter animantes rationis est particeps, solus etiam omnium harmoniam intelligit. Quam inter naturalia, et diuina in genere rationalium reponendam asserit Ptolemaeus. Et sola ea Musica, qua homines vtuntur, harmonica constat ratione. Ea igitur, quae intellectu tantum consideratur, philosophis, et astronomis; et, quae solo aurium sensu percipitur, vtpote irrationali, irrationalibus animantibus relicta: hac de Musica, quae sensus et rationis iudicium admittit, et non solum propter naturalem vocum, aut sonorum suauitatem, sed propter consonantias, et reliqua interualla, quae iuxta numerorum harmonicorum rationes disposita sunt, delectat, ac docet, scribere instituimus, et ostendere nostri seculi hominibus, vnde tot, ac tam variae sectae inter eos, qui de Musica scripserunt, ortae sint; vt aliquando tandem eos, qui eius vsu duntaxat gaudent, cum his, qui ipsius speculationi dediti sunt, conciliare possimus. Cuius definitionem, ratio atque ordo doctrinae postulat, vt ante omnia in medium afferre tentemus.

De Musicae instrumentalis definitione, et diuisione.

CAPVT II.

HAEc ergo Musica, quae sensus, et rationis iudicio perficitur (vt eam definit Aristides, inter Graecos autor non ignobilis, in principio suae Musicae) est modulandi, et [3] eorum, quae ad modulandum pertinent, scientia. Quae definitio non multum discrepat ab ea, quam tradit Diuus Augustinus libro primo de Musica, vbi illam esse ait, bene modulandi scientiam. Scientia autem (vt idem asserit Aristides) est, cuius cognitio firma est, et ab omni errore prorsus aliena: qualia sunt principia Musicae, quae a Mathematicis (vt ipse ait) apotelesmata dicuntur, neque alterationem aut mutationem vllam recipiunt. Dicta autem Musica fuisse videtur a Musis, quibus omnipotentiam canendi tribuebat antiquitas. Haec igitur Musica instrumentalis prima sui diuisione diuiditur in Theoreticen, et Practicen. Theoretica est, quae circa rerum musicalium contemplationem versatur, sola earum cognitione contenta. Practica vero, quae iuxta artis praecepta artificiose, et cum delectatione modulatur. Theoretica rursus diuiditur, in Harmonicam, et Rhythmicam. Harmonica est (vt definitur a Ptolemaeo primo harmonicorum libro) facultas, differentias sonorum secundum acutum, et graue perpendens. Quae tota circa instrumentalis harmoniae compositionem versatur, et sonos ad harmoniam aptos, reiectis ineptis, considerat. Et interualla harmonica, quae ex eorum permixtionibus fiunt, vt tonos, et semitonia; et consonantias vt Diapason, et Diapente; et reliqua, quae sunt ad eam necessaria; et quibus numerorum proportionibus respondeant, exacto iudicio rationis inquirit. Quorum vsum docet in praxi Musica, quam vocant planam, siue vniformem, in qua puer vocem ad harmoniam aptam formare, et eam per harmonica mouere interualla docetur, nihil curans multumne an parum temporis in sonorum prolatione consumat; sed quantum eam attollere, aut ponere debeat. Rhythmica est, quae metitur diuersas pronunciandi moras, temporum ordine in celeritate, et tarditate seruato. Quae non quantum vox poni, aut tolli debeat in harmonicis interuallis considerat: sed quantum, in cuiusque soni, aut vocis enunciatione, morae faciendum sit, maxima cum ratione perpendit. In quo primum tempora considerat; et vnius moram, quae minima est, breui syllabae, aut notae, duorum vero longae tribuit. Deinde pedes, qui ex syllabis, aut notis tam breuibus, quam longis fiunt, ad Rhythmum aptos, explosis ineptis, examinat. Postremo Rhythmos ipsos inquirit, qui constant ex pedibus rite copulatis, et in celerum, ac tardorum motuum ordine constituti reperiuntur. Quae omnia in cantu, quem figuratum, aut mensuralem Itali vocant, et in modulationibus, quae in Musicis fiunt instrumentis, ex figurarum diuersitate auribus percipiuntur. His autem duabus Antiqui Metricam adiunxerunt, ea vero est teste Cassiodoro, quae mensuras diuersorum metrorum probabili ratione cognoscit, vt de heroico, iambico. neque enim, vt Rhythmica, Rhythmum solum considerat, qui ex pedibus rite copulatis (vt dictum est) sine certo fine quantumlibet in longum protrahitur, vt fit in modulationibus, in quibus nullus est certus finiendi modus: sed metrum etiam, quod certo fine clauditur, ad quem cum peruenit, ad caput redit; vt accidit in vulgaribus cantilenis, et hymnorum ac psalmorum canticis: et diuersorum metrorum diuersos esse modulandi modos ostendit Ex qua omnium metrorum genera ortum habuere, quae omnibus linguis, et nationibus, si recte considerentur, sunt eadem, vt luce clarius manifestum erit, cum de hac parte tractationem instituemus. Et has tres Musicae partes (si credimus Aristidi) qui perfectionem in cantu assequi volet, obseruare debebit: Harmonicam, vt sciat vocem a loco ad locum mouere, neque eam aut grauiorem, aut acutiorem faciat, quam ratio postulat interualli: Rhythmicam, vt Rhythmos, et eorum plausum intelligat, et canere ad numerum, quem aerem recentiores vocant, apposite norit: Metricam, vt modulationem conuenientem metris coniungat, neque trochaicis iambicorum modos adaptet; sed verba notis, et notae verbis per omnia conueniant. Vtrum autem haec diuisio in tres partes, an potius in duas ab antiquis fieri debuerit, sexto libro, cum de metris agemus, conuenientius examinabimus. Interim de harmonica quoniam harmonia prior est Rhythmo, prius quam de Rhythmica nobis habendus est sermo, et qui sint in ea iudices, quanto breuius poterimus, explicandum.

[4] Quod non solum sensus, sed rationis etiam iudicium in Harmonica sit necessarium.

CAPVT III.

SVnt autem in Harmonica iudices sensus, et ratio; sed non eodem modo. Quia, vt Ptolemaeus ait, sensus iudicat iuxta materiam, et affectionem, ratio vero iuxta formam, et causam. Ex quibus verbis elici potest, quod, sicut materia a forma, sic iudicium sensuale perficitur a rationali Est autem sensus proprium, per se quod vero proximum est inuenire, et a ratione integritatem accipere: rationis autem contra, a sensu quod vero proximum est accipere, et per se ipsam integritatem inuenire. Nam quod ille confuse in ipsa materia fluida instabilique cognoscit, haec a materia denudatum integre, vt vere est, exacteque dijudicat. Quare non solum aurium, sed rationis etiam iudicium in harmonica necessarium est, neque vnum sine altero potest esse perfectum. Aurium namque iudicium necessarium est; quia prius est tempore; ac nisi illud praecedat, ratio munere suo fungi non potest: imperfectum vero, quia, nisi a ratione adiuuetur, mancum omnino, et debile reperitur. Rationis autem contra, videtur enim quodam modo esse imperfectum, quia ratio pars est intellectus, neque hic cognoscere, neque illa iudicare quicquam potest: nisi quod per sensus tanquam per fenestras introierit. sed valde necessarium, quia ad minutissimas vsque differentias pertingit, quas sensus nequaquam valet dijudicare. Sensus tamen et ratio sic se habent in harmonica, vt, quicquid ille probat in sonis, haec ita se habere ostendat in numeris: ne quicquam auribus, rationique possit esse contrarium. Cum ergo auditus circa sonos versetur, ratio vero maxime vim suam ostendat in numeris: prius, quam sonos numeris comparemus, ostendamusque, et numeris sonos, et numerorum proportionibus consonantias, ac reliqua interualla respondere, aliqua de numeris, ac de eorum inter se comparationibus necessario praemittenda sunt. Quandoquidem (vt Boetius Seuerinus ait primo de Arithmetica libro) omnia quaecunque a primaeua rerum natura constructa sunt, numerorum videntur ratione formata. Et, vt asserit Aristoteles secundo physicorum libro, ipsae proportiones sunt formae, aut causae formales interuallorum, et consonantiarum. Nam, vt illic ait, illius concentus, qui omnes sonos complectitur, hoc est, Diapason causa formalis, est ratio duorum ad vnum. Haec autem omnia late prosequemur, si prius breuiter, quod sit ipsius Musicae subiectum, cuius cognitio valde necessaria videtur, ostenderimus.

Quod sit Musicae facultatis subiectum, et vtrum media an Mathematica dicenda sit, et eam Arithmeticae subalternari.

CAPVT IIII.

EX his quae dicta sunt, facile perspicitur, Musicae subiectum esse non posse numerum tantum per se sumptum; cuius iudicium ad rationem, et non ad sensum spectare videtur: neque sonum seorsum consideratum, qui sensus, et non intellectus obiectum est: sed quoddam tertium ex vtroque conflatum, quod numerus sonorus appellatur. Est autem numerus sonorus, numerus partium corporis sonori, quod rationem discreti accipiens, et per numeros in partes diuisum, ducit nos in cognitionem quantitatis tam soni ab eo producti, quam diuersorum sonorum ex partibus ipsius cum eo, et inter se comparatis prouenientium. Vocamus autem corpus sonorum, siue spatium in Musica chordam, aut neruum, aut cannam, aut aes tinnulum, et quicquid reperitur, ex quo sonus harmonicus elici potest. Variatur autem sonus ex variatione numeri, qui chordam, aut cannam metitur. alius namque sonus est cannae trium palmorum, et alius sex. Et si chorda ita tensa sit, vt sonum harmonicum efficiat, et in quinque partes diuidatur aequales, eiusque portio, quae est vt tria, et ea, quae est vt duo, per ponticulum distinctae simul percutiantur: sonus [5] partis, quae est vt duo, erit acutior sono partis, quae est vt tria, in Diapente consonantia. Et si in duas diuidatur medietates, et primum tota percutiatur; deinde posito in medio digito, vel ponticulo, altera pulsetur medietas; experiemur ad sensum, sonum prouenientem ex totius percussione grauiorem esse sono, quem reddet medietas, et alterum ab altero per diapason consonantiam distare. Vnde, cognita per numerum secundum longitudinem quantitate chordae, quae sit vniformis, ac regularis, statim possunt a nobis soni, iuxta certas ac determinatas grauis, et acuti differentias, inuicem comparari. quibus eo modo, quo dictum est, inuestigatis, et a nobis sic primo cognitis, varias postea de illis demonstramus affectiones. Et quia haec omnia, et quaecunque alia a Musicis considerantur, ad perfectam potissimum numeri sonori cognitionem diriguntur: manifeste apparet, eum esse verum Musicae facultatis subiectum. Iuxta quam positionem Aristoteles secundo physicorum, et omnes, qui eum secuti sunt, asserunt, Musicam nec Mathematicam tantum, neque Physicam esse; sed mediam inter vtramque dici oportere. Nam quatenus sonum considerat, ad physicam spectare videtur: quandoquidem sonus nisi in materia, et sine motu nec esse, nec definiri potest. vnde ipsius considerationem necesse est, ad Physicum pertinere. Numerus autem et abstractus a materia, et sine motu definiri potest, et considerari, quod mathematicarum est proprium. Nihilominus tamen mathematica videtur esse dicenda; tum quia Musicus non considerat sonum, quatenus est res naturalis, sed quatenus est principium cantus, et vt soni sunt elementa, ex quibus harmonia constat: neque eorum naturas, vt Physicus, sed differentias, quae inter eos in acumine, et grauitate consistunt, examinat; quod potius est harmonici, quam Physici. tum etiam quia soni habent se in Musica vt materia, et in ratione mensurati; et numeri vt forma, et in ratione mensurantis. Quare a nobiliori, hoc est, a forma nomen accepit; atque vna ex mathematicis semper est habita. Et cum ex eis quaedam dicantur subalternantes, vt Arithmetica, et Geometria; quaedam subalternatae, vt Musica, et Astronomia: Musica dicitur Arithmeticae subalternari. Quoniam Arithmetica considerat numerum absolute, et numerus sic acceptus est eius subiectum: Musica vero considerat eum contractum, vt est in materia sensibili, hoc est, in corpore sonoro accepto sub ratione discreti. Et dicitur Arithmeticae subalternari, non solum quia subiecti sui partem accipit ab ea, sed quia etiam ab ea sumit omnia principia, et media suarum demonstrationum. Quae quidem principia non existimare debemus esse omnes conclusiones, quae in Arithmetica demonstrantur, neque omnes quae in numeris inueniuntur proportiones: sed eas tantum conclusiones, per quas omnes de numero sonoro passiones possunt demonstrari. Et ex proportionibus numerorum solum eas assumit, quae ad generationem consonantiarum, et musicalium interuallorum sunt aptae: quae sunt paucissimae. Quanquam ineptas nonnunquam considerat, vt reijciat, quod suis locis demonstrabimus. Sed prius de priori subiecti parte, quae numerus est, quam de posteriori videtur agendum. Et de numero tam simplici, quam relato breuiter ea, quae ad praesentem attinent institutionem dicenda, sine quibus Musicae doctrina claudicaret omnino.

De numeri acceptione, et definitione.

CAPVT V.

ET quoniam tum naturae ratio certa demonstrat, tum doctissimorum virorum praecepta nos monent, vt, de quo disputare instituimus, prius diligenter exquiramus, quid sit; quam id, quale sit, explicare tentemus: de numero harmonico scripturi, ordinem et vi rationis ostensum, et autoritatum grauitate praescriptum sequemur. Verum ne in primo statim limine lector offendat, eum admonendum putauimus, numeri nomen apud Latinos ambiguum esse. nunc enim quicquid ad numerandi rationem pertinet, significat; vt cum centum, aut decem viros dicimus: nunc vero per Methaphoram acceptum ad [6] modulandi peritiam, et pedes, et metra conficienda pertinet: vt cum numerum Iambicum, aut Trochaicum appellamus. In qua significatione accepit eum Maro, cum dixit: numeros memini, si verba tenerem. Et alibi: Multa vi brachia tollunt in numerum. Et vox quidem vnica est, notiones vero duae, quas Latini sola definitione secernere possunt; Graeci vero diuersa etiam appellatione distinguunt: nam priorem illum Arithmon, posteriorem hunc Rhythmon, appellare consueuerunt. Et quandoquidem vtriusque consideratio Musico necessaria est, de priori illo, qui vniuersalior est, prius erit considerandum; qui sic a Boetio definitur: Numerus est vnitatum collectio. Ex qua definitione ostenditur manifeste, vnitatem non esse numerum, sed numerandi principium, et ex pluribus vnitatibus numerum constare. Quae si erunt duae, constituent binarium, qui nil est aliud, quam duarum vnitatum nexus, et ternarius trium; ita vt ab vnitate omnis numerus habeat, quod sit vnus, qua sublata nullus erit numerus: sublato tamen numero, non desinit esse vnitas. Diuiditur autem numerus prima sui diuisione in Parem, et Imparem. Numerus par est, qui potest in duo aequalia, et duo inaequalia partiri; vt 10. qui potest diuidi, in 5. et 5. et in 4. et 6. Impar autem est, qui non potest in duo aequalia partiri: quod accidit propter vnitatis interuentum, quae naturaliter indiuisa est: et semper in duo inaequalia partitur, vt 7. in 4. et 3. et 5. et 2. Habent autem hae duae species valde diuersas proprietates inter se. Nam paris proprium est, vt quocunque modo, siue in duo aequalia, siue in duo inaequalia fiat diuisio, si altera pars sit par, altera necessario erit etiam par; et si impar, etiam necessario erit impar; ita vt nec parilitas imparilitati, neque imparilitas parilitati misceatur. vt 8. diuiditur in 4. et 4: et 5. et 3: et in 6. et 2: et 7. et 1. In quibus diuisionibus aut vterque numerus est par, aut vterque impar. contra vero imparis proprium est, vt, quocunque modo diuidatur, necessario pars altera sit par, et altera impar: vt 7. diuiditur in 4. et 3. in 5. et 2. et in 6. et 1. in quibus diuisionibus neque vtraque pars est impar, sed altera par, altera impar inuenitur.

De numeri Paris speciebus. CAPVT VI.

RVrsus numeri Paris tres inueniuntur species: quidam enim est pariter par, quidam pariter impar, et quidam impariter par . Sunt autem pariter par, et pariter impar veluti oppositi, et impariter par inter eos medius. Numerus ergo pariter par est, qui pluries in duo aequalia diuidi potest, donec ad vnitatem naturaliter indiuisam diuisio perueniat, vt 16. in 8. et 8: 8. in 4. et 4: 4. in 2. et 2: et 2. in 1. et 1. Et hi numeri sunt, qui ab vnitate ortum habentes per duplam progressionem vsque in infinitum procedunt, vt 1. 2. 4. 8. 16. 32. 64. Pariter impar est ille, qui semel in duo aequa diuidi potest, vt 6. in 3. et 3. qui amplius in duo aequa diuidi non possunt. Et hi numeri sunt, qui proueniunt ex duplatione omnium imparium sine vllo statu in infinitum progredientes. Quod facile perspicietur, si disponantur per ordinem ex vna parte omnes impares, et ex altera omnes pariter impares, vt in hoc typo videre licebit.

Impares.      1  3   5   7   9   11   13   15
Horum dupli.  2  6  10  14  18   22   26   30

Et sciendum est, quod, quemadmodum pariter pares ortum habent ab vnitate, quae est omnium numerorum principium; sic pariter impares oriuntur a binario, qui est omnium parium origo. Et hi omnes semper inter se vnus post alium quaternario distabunt, vt 2. 6. 10. 14. In quo etiam est animaduertendum, quod sicut vnitas omnes in se continet virtute numerorum species, et figuras, et diuersis rationibus potest par, et impar, et quodammodo omnia dici: ita etiam binarius, qui est illi proximus propter respectus, diuersos poterit dici pariter par, et pariter impar: nam quia eius diuisio vsque ad vnitatem peruenit, et per duplam progressionem ab vnitate procedit, merito pariter par appellatur: et quatenus vnitatis imparis duplus est, et semel in duo aequa diuidi potest, inter pariter impares reponi [7] debet. Primus autem pariter impar sine mistione impariter paris, aut pariter paris inuenitur esse senarius. Quanquam si proprie loquamur, vnitas neque par est, neque impar: quandoquidem non est numerus, sed omnium numerorum principium, tam parium quam imparium. Binarius etiam quoniam est parium origo, improprie dicetur par. vnde neque erit proprie pariter par, aut pariter impar: quia neutrius illi conuenit definitio; sed erit vtriusque principium, et vtrique poterit adaptari. Vocatur autem vnitas a Diuo Augustino, principium a quo, et binarius principium per quod, primo suae Musicae libro. Quibus addit, ternarium primum, proprie numerum dici debere, et perfectum esse: quoniam principio et medio et fine constat; in quo valde conuenit cum Aristotele qui primo libro de caelo, Magnitudinum, ait, ea quae in vnum diuidi potest, linea; quae in duo, extremitas aut planum; quae in tria, corpus dicitur. Nec vero praeter has alia est magnitudo: propterea quod tribus omnia continentur, et ter omni ex parte dicitur. Vniuersum enim, et omnia, tribus, quemadmodum Pythagoraei tradunt, determinata sunt; quandoquidem finis, medium ac principium vniuersi ac totius numerum complectuntur, quae eadem illum ternionis continent. Itaque quod a natura quasi leges illius accepimus in Deorum etiam sacrificijs hoc numero vtimur. Quin etiam appellandi rationes eodem modo attribuimus; nam duo ambo, duosque ambos, vel vtrumque dicimus, omnes non dicimus, sed hoc nomen ad tres primum accommodamus. Impariter par est ille, qui pluries in duo aequa diuidi potest: sed non toties vt vsque ad vnitatem perueniat eius diuisio, vt 12. qui potest diuidi in 6. et 6: et iterum 6. in 3. et 3: sed 3. in duo aequa amplius diuidi non potest. Est autem hic numerus medius inter pariter parem, et pariter imparem: quia cum vtroque communicat, et ab vtroque discrepat: communicat quidem cum pariter pari, quatenus pluries in duo aequa, sicut ille diuiditur: discrepat autem ab eo, quia eius in duo aequa diuisio non ad vnitatem vsque perducitur. cum pariter impari communicat quidem in hoc, quod non potest vsque ad vnitatem in duo aequa partiri: sed discrepat in eo, quod pluries, et non semel vt ille in duo aequa diuidi potest. Sunt autem impariter paris numeri multiplices species: nam quidam bis tantum diuidi possunt, vt 12. in 6. et 6: et 6 in 3. et 3. Et hi sunt omnes dupli omnium pariter imparium. Quod manifestum erit, si disponantur duae lineae, in quarum altera sint omnes pariter impares, et in altera omnes primi impariter pares, qui erunt eorum dupli incipiendo a senario, qui, vt dictum est, est primus pariter impar, vt hic typus ostendit.

Pariter impares.        6  10  14  18  22  26  30
Primi imparit. pares.  12  20  28  36  44  52  60

Et aduertendum est, omnes hos octonario inter se numero distare, sicut pariter impares quaternario. Secundi autem ter diuiduntur, et sunt primorum dupli: vt 24. 40. 80. et sic sine statu;et ex his quae dicta sunt, liquido constabit, ex pariter paribus primum esse quaternarium, et in infinitum per duplam progressionem protendi; ex pariter imparibus primum esse senarium, et per additionem quaternarij ad infinitum vsque procedere: Et ex impariter paribus primum esse duodenarium, et per additionem octonarij sine statu posse reperiri. Et, vt paucis vniuersa complectamur, quoties quisque; vel pariter imparium, vel impariter parium diuidi potest, totus a ternario duplus, erit eius ordinis primus, et per toti a ternario dupli additionem procreatur. Et hoc de Paris numeri speciebus dixisse sufficiat.

De Imparis numeri speciebus. CAPVT VII.

SVnt etiam Imparium numerorum tres species: nam quidam eorum sunt primi et incompositi, quidam secundi et compositi, alij vero inter hos medij, qui per se quidem accepti sunt secundi et compositi, et cum altero comparati sunt primi et incompositi, et vocantur contra se primi. Primus ergo et incompositus numerus est ille, quem sola [8] metitur vnitas, vt ternarius, et quinarius, quorum sola vnitas est pars numeratiua, aut multiplicatiua, vel, vt recentiores dicunt, aliquota. Et ea pars dicitur esse numeratiua, vel aliquota, quae aliquoties sumpta, ipsum totum restituit: vt binarius est pars numeratiua senarij: quia ter sumptus senarium restituit: et non est pars ternarij, aut quinarij, quia bis sumptus ternarium superat, et a quinario deficit; constituit enim quaternarium, qui ternario maior, et quinario minor est: ter autem sumptus senarium reddit, qui maior est quinario. Vnitas vero omnium numerorum est mensura communis; quia in quemcunque numerum ducatur, ipsum reddit, vt in decem ducta decem, in centum centum. Et sciendum est, idem esse metiri, quod numerare. Sunt autem primi et incompositi omnes impares, praeter binarium, qui primus est parium; ideoque sola ab vnitate numerari potest. Secundus et compositus est ille, quem praeter vnitatem alius etiam numerus metitur; vt 9. et 15. quorum priorem praeter vnitatem metitur etiam ternarius; ter enim sumptus facit nouem, et posteriorem metiuntur idem ternarius, et quinarius: ille quinquies, et hic ter acceptus. Qui autem scire volet, quonam pacto hi numeri secundi quasi diuino quodam artificio generentur a primis, et quam mirabili ab illis ordine procedant; legat Boetium priori suae Arithmeticae libro, et Iordanum, cui plurimum Arithmeticam omnes debere fatentur. Nos enim Musicam, et non Arithmeticam profitemur, et ad eius institutionem properamus. Numeri contra se primi sunt illi, qui (vt dictum est) per se considerati inueniuntur esse secundi et compositi: et ad alterutrum collati primi et incompositi naturam participant. cuiusmodi sunt 9. et 25. quorum priorem metitur ternarius, et posteriorem quinarius; sed neuter eorum metitur vtrumque. Nam 5. metitur 25. non tamen 9: et 3. metitur 9. et non 25. Quod non ita euenit in nouenario, et quindenario: nam vtrumque ternarius metitur, vt superius ostensum est: 9. et 25. sola vnitas metiri potest, que, vt dictum est, omnes metitur numeros. Artem autem, qua hoc demonstrari poterit, trademus inferius: cum modum docebimus, per quem proportiones ad minimos numeros, in quibus inueniri possunt, valeant reduci.

De alia diuisione numeri Paris digna consideratione, et valde scitu necessaria. CAPVT VIII.

Est etiam alia numeri Paris diuisio, quae non minima consideratione digna videtur. nam parium numerorum quidam inueniuntur esse superflui, quidam diminuti, quidam autem omnino perfecti. Numerus superfluus est ille, cuius partes numeratiuae simul sumptae ipsius summam superare deprehenduntur; vt duodenarius, cuius partes numeratiuae sunt 1. 2. 3. 4. 6. quae omnes in summam redactae producunt 16: qui numerus duodenarium quaternario superat. Diminutus autem est ille, cuius partes in vnum collectae, a totius summa deficiunt, vt denarius, cuius partes numeratiuae sunt 1. 2. 5. quae simul sumptae constitunnt octonarium, qui denario minor est. Perfectus vero est ille, cuius partes numeratiuae simul acceptae ipsum restituunt, vt senarius, cuius partes sunt 1. 2. et 3: quae simul sumptae faciunt 6. Et infra decem vnus senarius reperitur esse perfectus: et infra centum alter, qui est 28. et infra mille solus 496. et infra decem millia item vnus 8128: et nullus alius inuenitur vsque ad 130816. In quibus numeris animaduertendum est, eos ita consequenter dispositos esse, vt primus in 6. secundus in 8. desinere reperiantur: et sic vnus post alium in his duobus numeris sunt constituti. Est etiam admirabilis horum numerorum generatio, atque progressio: nam dispositis ab vnitate, pariter paribus, qui coniuncti primum fecerint, si in illum extremus ducatur, perfectum creabunt; vt ex vnitate et binario quia fit ternarius, binario in illum ducto senarius creatur, ijsdem addito quaternario fit septenarius, in quem ducto quaternario, producitur 28. et quoniam adiuncto octonario fit 15. qui primus non est, procedendum est ad 16. et fiet 31. in [9] quem ducto 16. creabitur 496, et sic deinceps, vno semper intermedio composito relicto, vt in sequenti figura apparet.

[Salinas, De musica, 9; text: Pariter pares, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, Eorundem summa, 3, 7, 15. compositus. 31, 63. 127, 255. 511, Perfecti ex vltimo in summam ducto, 6, 28, 496, 8128, 130816] [SALMUS1 02GF]

Vnum hoc non inutile adiungemus, quod Boetius Seuerinus etiam animaduertit, in his numeris similitudinem inueniri vitij et virtutis: vitium enim aut prouenit ex excessu, aut ex defectu; in virtute autem neutrum reperitur, sed inter vtrumque medium tenet. Et numeri quidem superflui repraesentant excessum; diminuti vero defectum; et perfecti virtutem ipsam referunt, quia sunt inter vtrumque medij. Et quia multi peccant per excessum, et plurimi etiam per defectum, et quam paucissimi medium virtutis amplectuntur; id circo etiam in numeris superflui, et diminuti quam plurimi reperiuntur, et perfecti quam paucissimi, vt visum est. Nam, vt Satyricus inquit,

Rari quippe boni, vix sunt numero totidem, quot

Thebarum portae, vel diuitis ostia Nili.

Sunt autem hi numeri perfecti aut pariter impares, vt 6, aut impariter pares, vt reliqui omnes, et nullus pariter par: omnes enim pariter pares sunt diminuti. Ex imparibus vero nullus reperitur perfectus; sed omnes maxima ex parte sunt diminuti: neque vllus in his reperitur superfluus vsque ad numerum 45045, vt optime adnotauit Iordanus. Et hoc ingeniosis, et subtilia sectantibus obiter dictum sit: nos autem ad ea quae reliqua sunt, vt doctrina ipsa postulat, transeamus.

De quibusdam figuris Geometricis, quae in numeris inueniuntur, quas Musicus ex accidenti considerat. CAPVT IX.

Inueniuntur etiam in numeris omnes figurae Geometricae, ex quibus nonnullas Musicus considerare debebit, quae prodesse illi poterunt ad ea, quae paulo post de relata ad aliquid quantitate dicenda sunt. Amat enim (vt Boetius ait) omnis matheseos speculatio alterna probationum ratione constitui. Quamobrem, antequam de proportionibus, et proportionalitatibus tractationem instituamus, explicanda sunt nobis quaedam numerorum, ad figuras pertinentium, nomina; ne, cum ea lector audierit nominari, aliqua nouitate teneatur. Sciendum est igitur, aliquos numeros dici quadratos, alios altera parte longiores, alios vero cubicos. Numerus quadratus est ille, qui prouenit ex alicuius numeri in seipsum ducti multiplicatione: vt quaternarius est quadratus; quia nascitur ex binario in seipsum ducto; bis enim 2. sunt 4. et nouenarius est quadratus; quia nascitur ex multiplicatione ternarij in seipsum ducti; ter enim 3. faciunt 9. Et scire oportet, primum quadratum esse eum, qui prouenit ex vnitate in seipsam ducta, qui erit ipsam et vnitas; semel enim vnum est vnum, quod in nullo numero potest contingere: omnis enim numerus in seipsum multiplicatus alium quendam efficit maiorem, quam ipse est. Et, vt saepe diximus, et saepe dicendum est, omnes numerorum perfectiones eminenti quodam modo in vnitate consistunt. Est igitur primus quadratus ex vnitate constitutus, qui vnam habet vnitatem in latere vt, hic: 1

Secundus vero quaternarius, qui duas, vt hic:

1   1
1   1

[10] Tertius autem nouenarius, qui tres, vt hic.

1  1  1
1  1  1
1  1  1

Et sic consequenter per omnes numeros. Et sciendum etiam est, numeros productos appellari quadratos, illos vero, ex quorum multiplicatione producuntur, appellari radices. Nam quaternarius est quadratus, et binarius radix ipsius, et 16. quadratus, et 4. radix ipsius. Et quamuis non omnis numerus possit esse quadratus, tamen omnes numeri possunt esse radices: quod manifeste videri poterit, si disponantur omnes radices, siue numeri naturali serie in vna linea, et omnes quadrati in altera, hoc pacto:

1  2  3   4   5   6   7   8   9   10
1  4  9  16  25  36  49  64  81  100

Et hoc mirabile videtur inter alia plurima in his numeris, quod omnes quadrati nascuntur ex coniunctione numerorum imparium. nam ex vnitate, et ternario primo impari nascitur quaternarius primus actu quadratus: et ex vnitate, et ternario, et quinario secundo impari, simul sumptis, prouenit nouenarius secundus: et sic per additionem vnius imparis inuenientur omnes quadrati, vt in hoc typo apparet:

1  3  5   7   9  11  13  15  17   19
1  4  9  16  25  36  49  64  81  100

Et haec de quadratis pro praesenti institutione dicta sufficiant. Sunt etiam alij numeri, qui Graece dicuntur [heteromikeis], et a Boetio Latine altera parte longiores, seu longilateri nominantur, qui sunt etiam quadrati, sed differunt valde a superioribus: in illis namque omnia sunt aequalia, anguli, et latera, et longitudo etiam est, aequalis latitudini; in his vero aequales sunt anguli, sed latera inaequalia, et longitudo maior latitudine. Quamobrem quadrati longi vocantur. Differunt etiam, quia illi incipiunt ab vnitate, et ex imparium coniunctione, vt diximus, procreantur, partimque pares sunt, partim impares; hi vero incipiunt a binario, qui est principium alteritatis, vt ita loquamur, vnde merito altera parte longiores vocantur, et ex parium coniunctione proueniunt, et omnes sunt pares. Nascuntur autem ex duobus numeris sola vnitate distantibus, altero in alterum ductis; vt ex vnitate, et binario fit binarius, nam bis vnum sunt duo: et ex binario, et ternario fit senarius, nam bis tria sunt sex: et ex ternario, et quaternario duodenarius, ter enim quatuor faciunt duodecim: et sic in infinitum procedi potest. Diximus autem eos ex parium coniunctione procreari; quia primus est binarius, qui est primus par: secundus qui est senarius, fit ex secundo pari cum primo, hoc est, ex binario, et quaternario: tertius, qui est duodenarius, ex primo, et secundo, et tertio: nam 2. 4. et 6. faciunt 12. Et quartus qui est 20. fit ex quatuor primis paribus. 2. 4. 6. 8. vt in hoc typo ostenditur.

2  4   6   8  10  12  14  16  18   20
2  6  12  20  30  42  56  72  90  110

Et haec de multis, quae dici poterant, de altera parte longioribus dixisse sit satis. Cubus autem siue cubicus numerus est ille, qui fit ex quadrato per suam radicem multiplicato, aut ex radice bis in seipsam ducta: nam ex quaternario in binarium ducto fit octonarius; et bis duo bis, faciunt octo: et nouem in tria ducta, faciunt 27; et ter tria ter, sunt 27. Et sciendum est, in hoc numero, aut in figura cubica, illi respondenti, omnes dimensiones inueniri, longitudinem, latitudinem, et altitudinem, ex quibus corpus constituitur: quod ex ipsa numerorum multiplicatione manifestum est; nam cum dicimus, bis duo bis, duo dicit longitudinem, [11] quia binarius, et quilibet numerus, primo et per se consideratus, est linearis: Bis duo addit longitudini latitudinem aequalem, et fit superficies: bis autem, quod postremo ponitur, addit longitudini, et latitudini altitudinem, siue crassitiem aequalem; et sic fit corpus. Vnde binarius est numerus linearis, quaternarius superficialis, octonarius solidus. Et in hoc numero Cubico inuenitur Geometria, siue proportionalitas harmonica, vt suo loco demonstrabimus. Et sunt in eo omnia aequalia, anguli, et latera, et facies. Habet autem duodecim latera, octo angulos, et sex facies: quod in talis siue thessaris conspicari licet. Et primus quidem cubus potestate est vnitas, secundus vero, aut primus actu 8, tertius 27, quartus 64. Atque ita in cubis proceditur ab vno ad alterum, vt, si alter sit impar, alter sit par. Et sic per media progreditur, vt, si primus numerus sit indiuisibilis, secundus semel diuidatur, tertius bis, quartus ter: vt in his numeris experiri licet 1. 2. 4. 8. contra vero si primus erit par, et diuidetur ter; secundus erit impariter par, et diuidetur bis; et tertius pariter impar, ac patietur vnam diuisionem; quartus impar, qui in duo aequa diuidi non poterit: vt ostendunt hi numeri 8. 12. 18. 27. Et eodem modo, quo progrediemur ab impari ad parem, regrediemur a pari ad imparem. Et scire oportet, inter figuras planas rectilineas, quadratam esse otpimam, propter omnimodam aequalitatem laterum, et angulorum. Atque etiam inter corpora solida rectilinea cubicum esse optimum, propter aequalitatem laterum, et facierum, et angulorum, quae in nullo alio solido reperitur. Et haec sunt, quae necessario consideranda duximus de numero simplici, et per se constanti quantitate. Iam tandem opus est, vt de numero relato, atque eius affectionibus, quae ad harmonicam institutionem sunt necessaria, dicamus.

Quid sit Proportio, et quot modis consideretur.

CAPVT X.

AD aliquid quantitas est, quae in comparatione ad aliam consideratur: vt ternarius ad binarium collatus fortitur nomen respectiuum, et dicitur sesquialter: quae comparatio duarum inter se quantitatum, vocatur proportio. EST autem PROPORTIO (vt ab Euclidis interpretibus quinto de Geometricis elementis libro definitur) DVARVM, QVANTAECVNQVE SINT, EIVSDEM GENERIS QVANTITATVM CERTA ALTERIVS AD ALTERAM HABITVDO. Nam apud ipsum Euclidem Graece sic habet: [logos esti duo megethon homogenon he kata pelikoteta pros allela poia schesis.] quod est Latine: Proportio est duarum magnitudinum eiusdem generis mutua quaedam secundum quantitatem habitudo. Et dicitur HABITVDO, quasi quaedam inter duas quantitates conuenientia, sicut inter homines cognatio, quae potest esse maior et minor. Nam quemadmodum in hominibus diuersae sunt cognationes, aliae maiores, et aliae minores, (magis enim cognati sunt germani fratres, quam consobrini) et alij sunt, qui nullam inter se cognationem habent, sed sola in humanitate communicant, per cuius participationem plures homines sunt vnus homo: sic etiam in quantitatibus potest reperiri maior, et minor conuenientia. Nam magis inter se conueniunt aequales, quam inaequales. Et inter inaequales multae sunt differentiae: aliter enim se habet quaternarius ad binarium, qui continet eum bis; aliter senarius ad quaternarium, qui continet eum semel, et eius dimidium; et aliter quinarius ad ternarium, qui nec continet eum pluries, nec semel, et aliquam eius partem, sed habent se solum vt numerus ad numerum, vel, vt Diuus Augnstinus eos vocat, vt tot ad tot. Et sicut duo homines, qui nullam habent cognationem, in sola humanitate; sic huiusmodi numeri in vnitate sola communicant. Dicitur etiam CERTA, hoc est, determinata. Et DVARVM QVANTITATVM, quia proportio non reperitur, nisi in duabus quantitatibus, oportet enim esse quantitatem, quae comparetur, et cui comparetur: et HABITVDO, quae ex ea comparatione prouenit, [12] vocatur proportio. Dicitur autem QVANTITATVM, quia non solum in numeris, sed in continuis quoque reperitur. Et QVANTAECVNQVE sint, hoc est, finitarum; quia inter infinitas nulla fit comparatio. EIVSDEM autem GENERIS ideo recte ponitur, quia inter quantitates diuersorum generum non potest fieri comparatio; vt inter lineam, et superficiem, aut inter locum, et tempus: non enim dicitur linea maior, aut minor superficie: neque spatium, aut locus tempore. Diuiditur autem proportio prima sui diuisione ab Euclidis interpretibus, et ennaratoribus Latinis in rationalem, et irrationalem. Quamuis ego proportionem irrationalem improprie dici existimem, eo quod omnis proportio ratio est, atque in ratione consistit. melius Graeci, qui proportionem [logon], hoc est, rationem appellant, et non rationalem et irrationalem, sed [rheton kai arreton], quod est dicibilem et indicibilem, esse dicunt. Sed dicetur irrationalis, cuius ratio confusa est, qualis est ea, quae non reperitur in numeris, in quibus ratio maxime vim suam ostendit. Rationalis ergo est, quae reperitur inter duas quantitates aliqua in parte communicantes, quae sit vtriusque mensura communis: vt quae reperitur inter duos numeros, quos saltem in vnitate communicare necesse est. Irrationalis autem est, quae reperitur inter duas quantitates, nulla in parte, quae vtramque metiatur, communicantes: vnde a Graecis [asummetros] vocatur, cuiusmodi est Diametri ad latus in quadrato, et multae aliae, quae a Geometris considerantur. Differunt autem, quoniam irrationalis non consideratur in Arithmetica: ipsa enim est de vnitate, et numero, et huiusmodi proportio non potest ab aliquo numero, neque ab vnitate denominari. In Geometria autem vtraque consideratur, quae tractat de magnitudinibus, ex quibus aliquae sunt commensurabiles, aliquae non. Constat enim Geometriam considerare latera quadrati commensurabilia, et Diametrum incommensurabilem lateri, quae ad Musicae considerationem non pertinent: quoniam Musica, vt diximus, Arithmeticae subalternatur; et eas solum proportiones assumit, quae in illa considerantur. Et inde forsitan irrationales, surdae a Mathematicis dictae sunt, et ignotae. Ex quibus manifestum est, irrationales in quantitate continua solum reperiri, et ad Geometram earum considerationem pertinere: rationales autem in continua, et discreta demonstrari, et ab omnibus Mathematicis considerari debere, sed praecipue ab Arithmetico, et Musico. Quare relicta Geometris irrationali, de rationali tantum nobis habendus est sermo.

De proportionis rationalis prima, et secunda diuisione.

CAPVT XI.

PRoportio rationalis primum diuiditur in proportionem aequalitatis, et proportionem inaequalitatis: nam quaelibet quantitas, quae alterius ratione metitur, aut illi aequalis est, aut inaequalis. AEqualitatis autem proportio est, quae inter duas aequales quantitates inuenitur, et in vtroque extremo summam denotat aequalitatem: vt in numeris, inter binarium, et binarium; et quaternarium, et quaternarium; et in magnitudinibus, cum palmus palmo, aut pes pedi comparatur. Cuius duae sunt proprietates: altera, quod natura sua est indiuisa, et (vt Boetius ait) eandem seruat in propria moderatione mensuram: altera, quod duo extrema eodem nomine nuncupantur. Et quia indiuisibilis est, nullas habet sub se species, sed [monoeides] a Graecis appellatur. Ipsa autem species est Relationis, quam Dialectici vocant AEquiparantiae; cuius species sunt Vicinitas, Similitudo, Amicitia, AEqualitas. nam sicut vicinus est vicino vicinus, et amicus amico amicus: sic aequale aequali aequale. Est itaque proprium quantitatis (vt vult Aristoteles) aequale, vel inaequale dici: quemadmodum qualitatis simile, vel dissimile. Fit autem aequalitas ex multiplicatione ab vnitate denominata: vt ex binario in vnitatem ducto fit binarius: quandoquidem vnitas in quemcunque numerum ducatur, ipsum restituit: multiplicatio autem a numero denominata efficit multiplicitatem; a binario quidem duplicitatem, a ternario triplicitatem, atque ita [13] deinceps: vnde nascitur proportio inaequalitatis. quae duplex est; maioris inaequalitatis, et minoris inaequalitatis. Proportio maioris inaequalitatis est, in qua maius comparatur minori: vt 4. ad 2, bicubitum cubito. Et est species relationis, quam logici superpositionis appellant. Quae est illa, in qua relatum habet dignitatem quandam super illud, ad quod refertur; vt paternitas in patre super filium, dominium in domino super seruum. Vnde Relatiua superpositionis dicunt respectum excedentis ad excessum, id est, maioris ad minus; cuius species sunt duplum ad subduplum, triplum ad subtriplum, et sic ascendendo in numeris; et vt dominus ad seruum, pater ad filium. Proportio minoris inaequalitatis est, in qua minus comparatur maiori: vt 2, ad 4; et 3. ad 6; cubitum bicubito. Haec species est tertij generis subalterni eorum, quae ad aliquid sunt, et dicitur suppositionis. Quae est illa, in qua relatum esse videtur indignius illo, ad quod refertur, vt filiatio in filio erga patrem, et seruitus in seruo erga dominum. Species autem suppositionis sumuntur e conuerso, vt subduplum ad duplum, subtriplum ad triplum, seruus ad dominum. Et quemadmodum superpositio, et suppositio non sumuntur, vt sub, et supra in linea praedicamentali, ita, vt vnum praedicetur de altero; sed opponuntur relatiue. sic etiam proportio maioris inaequalitatis, et proportio minoris sunt diuersorum generum; sicut proportio aequalitatis, et proportio inaequalitatis. Est autem proprium horum duorum generum inaequalitatis, quod naturaliter diuidi possunt, et sub se plures habent species; quod est contrarium generi aequalitatis: atque etiam, quod diuersa nuncupatione funguntur, vt cum 10. comparantur ad 5. Sed differunt inter se, quia in proportione maioris aequalitatis fit comparatio secundum excessum, et continentis ad contentum: et in proportione minoris inaequalitatis secundum defectum, et contenti ad continens. Habent se igitur quodammodo vt actionis et passionis praedicamenta. Et differunt etiam in hoc quod proportionis maioris inaequalitatis omnes sunt aequa proportione maiores, minoris vero minores, vt in sequenti figura apparet, in qua, ternarius in medio positus, numeris superioribus collatus constituit primo aequam proportionem, deinde aequa paulo maiorem superparticularem, mox superpartientem, tam aequa quam superparticulari maiorem, et sic deinceps in singulis generibus; inferioribus autem numeris collatus primo aequam, deinde hac minorem subsuperparticularem, mox vtrauis harum minorem subsuperpartientem, reliquasque aliam alia minorem.

[Salinas, De musica, 13; text: Minoris inaequalitatis. Maioris inaequalitatis. 3, 4, 5, 6, 7, 8, Multiplex superpartiens. Multiplex superparticularis. Multiplex. Superpartiens. Superparticularis. AEqua proportio.] [SALMUS1 02GF]

Et, vt in summam ea, quae dicta sunt, redigamus, quicquid alteri comparatur, aut illi aequale est, aut inaequale. Comparatio autem inter aequalia semper vno eodemque fit modo: inter in aequalia vero fit duobus modis; nam aut maius comparatur minori, aut minus maiori. Quae duae comparationes quamuis materia sint eaedem, differunt tamen forma, et [14] diuersa ex illis oriuntur genera proportionum. Sicut enim ex comparatione patris ad filium oritur paternitas, et ex filij ad patrem filiatio (quae diuersae sunt relationes) sic ex comparatione maioris ad minus oriuntur aliae proportiones, quam ex comparatione minoris ad maius. Quarum species, iam tandem opus est, vt explicare tentemus.

De speciebus proportionum tam maioris, quam minoris inaequalitatis, et de genere multiplici, et submultiplici.

CAPVT XII.

PRoportio maioris inaequalitatis habet sub se quinque species, et totidem habet proportio minoris inaequalitatis. Sunt autem maioris inaequalitatis species (quae etiam genera subalterna, respectu suorum inferiorum, nominari possunt) Multiplex, Superparticularis, Superpartiens, Multiplex superparticularis, et Multiplex superpartiens. Atque eadem erunt nomina specierum proportionum minoris inaequalitatis, praeposita, sub, praepositione; vt Submultiplex, Subsuperparticularis, Subsuperpartiens, et sic de reliquis. Atque eadem, quae dicentur de proportionibus maioris inaequalitatis, intelligi poterunt dicta esse e conuerso de proportionibus minoris. Ex his autem quinque generibus tria sunt simplicia, Multiplex, Superparticulare, Superpartiens; et duo composita, Multiplex superparticulare, et Multiplex superpartiens. Multiplex genus est, in quo numerus maior, minori comparatus, continet eum pluries adaequate, ita vt nihil deficiat, aut superet: vt 4. continet 2. bis, 9. continet 3. ter, 20. quater 5, et sic de reliquis. Habet autem sub se species plurimas: nam, si maior numerus continet minorem bis, dicitur dupla, qualis est 8. ad 4, 12. ad 6; si ter, vocatur tripla, vt 12. ad 4, 6. ad 2; si quater, quadrupla; et sic sine statu. Idem intelligi debet de submultiplici; (vt dictum est) quod est, cum numerus minor, maiori comparatus, continetur ab eo pluries adaequate. Et si bis continetur, est proportio subdupla, vt 3. ad 6; si ter, subtripla, vt 5. ad 15; et sic etiam sine statu: atque ita in hoc genere semper numerus minor est pars numeratiua maioris; quod in nullo alio potest euenire. Est etiam huius generis proprium, quod in eo reperitur minima proportio, et non maxima. Est autem minima, dupla: quia in ea numerus maior continet minorem bis; neque minus continere potest, si pluries continere debet. Et sic inuenitur in primo numero ad vnitatem collato, qui est binarius: et est prima proportionum inaequalitatis; quia proxime omnium ad aequalitatem accedit. Et sciendum est, ad vnitatem omnes numeros collatos esse multiplices: nam binarius est duplus, ternarius triplus, quaternarius quadruplus; et sic in infinitum potest procedi. Atque haec ita nota sunt, vt non multum in eis immorari debeamus: quoniam de his plurimi scripserunt, et nos ad ea, quae sunt Musicae propria, properamus, quae sunt in Arithmetica exactiora, ipsius professoribus relinquentes.

De genere superparticulari, et subsuperparticulari.

CAPVT XIII.

POst genus Multiplex, quod omnium primum est inaequalitatis, quia inter primos numeros inaequales (vt diximus) inuenitur, statim sequitur genus superparticulare, nam sicut prima multiplicium reperitur inter duo, et vnum: sic prima superparticularis inuenitur inter 3. et 2. Atque ita ab aequalitate ad inaequalitatem ordinatim proceditur: quoniam aequa proportio, quae est omnium mater et origo, inuenitur inter duas vnitates, quibus nihil potest minus comparari; et Multiplex, quod est primum inaequalitatis inter duo, et vnum; et Superparticulare in ternario ad binarium collato, neque in minoribus numeris inueniri potest. Quamquam si quantitatis ordinem spectes, genus aequalitatis non multiplex, sed superparticulare et superpartiens sequuntur, quorum proportiones [15] inter aequam et duplam inueniuntur, vt in numeris ordine cum ternario collatis in typo capitis vndecimi videre licet. Est autem genus Superparticulare, cum maior numerus minori collatus continet eum semel, et aliquam partem minoris numeratiuam; quae si erit secunda, vel dimidia, efficiet proportionem sesquialteram; vt 3. ad 2, 6. ad 4; nam ternarius continet binarium, et vnitatem, quae est illius dimidium; et sex 4, atque insuper binarium, qui est ipsius dimidium: et si erit tertia pars, constituetur proportio sesquitertia; quae in minimis eius numeris inuenitur inter 4. et 3: et si quarta pars, sesquiquarta, vt 5. ad 4: et sic habet species plurimas, per quas sine statu potest procedi, addita semper vnitate, vt 6. ad 5, 7. ad 6. Et denominabuntur a minori numero praeposita hac particula, sesqui, vt sesquiquinta sesquisexta: aut ab ea parte minoris, in qua maior eum superabit: vt ea, quae est a 9. ad 8, dicitur sesquioctaua; quia vnitas, qua maior minorem superat, est octaua pars illius. Habet autem hoc genus proprietatem omnino contrariam ei, quam diximus multiplex habere: quoniam in illo inuenitur minima proportio, quae est dupla, et non maxima; in hoc vero datur maxima, et non minima. nam sesquialtera, quae est ipsius prima species, est omnium maxima; et sesquitertia proxima; et sic minuendo in infinitum, nec minima poterit inueniri. Maior autem proportio est ea, quae denominatur a minori numero, et a maiori parte: vt sesquialtera, quae etiam dicitur sesquisecunda, et denominatur a minimo numero, qui est binarius, et a maxima parte, quae est dimidium: et sesquitertia a ternario, qui est maior quam binarius, et a tertia parte, quae est minor quam dimidium. Quare maior (vt diximus) proportio denominabitur in hoc genere a minori numero, et a maiori parte: et minor a maiori numero, et a minori parte. Nec potuit hoc genus inueniri inter duo, et vnum: quia (vt diximus) omnes numeri ad vnitatem sunt multiplices, quae, quoniam indiuisibilis est, nullas habet partes, in quarum aliqua possit ab vllo numero superari. Et quia breues esse studemus, haec de genere Superparticulari dicta sufficiant: si tamen hoc solum admonuerimus, genus subsuperparticulare ab hoc sumi e conuerso; et esse illud, in quo minor numerus continetur a maiori semel, et aliqua pars ipsius numeratiua, vt binarius ad ternarium; et tot, et easdem species habere cum superparticulari, sed nominari praemissa, sub, praepositione, vt subsesquialtera, subsesquitertia, et sic per omnes, quotquot voluerimus inuenire.

De quibusdam consideratione dignis circa tria genera simplicia; Multiplex, et Superparticulare, et Superpartiens: quae etiam pertinent ad duo composita.

CAPVT XIIII.

HAEc duo genera, de quibus locuti sumus, vnice, et tanquam sacrosancta (vt Porphyrius ait super Harmonica Ptolemaei) venerabatur antiquitas: alterum propter ordinem, et alterum propter simplicitatem. In priori namque idem, qui et in numeris, custoditur ordo: vt enim illi ab vnitate per binarium, et ternarium, et qui sequuntur naturali procedunt ordine: sic etiam multiplices a dupla per triplam, et quadruplam eodem ordine progrediuntur; ita vt in eis semper comes sit pars numeratiua ducis. Vocantur autem duces numeri maiores, et comites minores; vt in proportione 6. ad 3, senarius est dux, et ternarius comes. In superparticulari vero summa reperitnr simplicitas: quandoquidem omnes eius generis proportiones in suis radicibus inter numeros sola vnitate distantes inueniuntur; quae simplices nuncupantur, quia sint aliarum commercio nascuntur; vt in sesquialtera, quae a ternario ad binarium inuenitur, nullus est numerus, qui intercidat. Quod aliter accidit in omnibus multiplicibus, praeterquam in dupla; in tripla enim, quae inter 3. et vnum inuenitur, binarius intercidit, qui ad vnitatem est duplus, et ad [16] ternarium subsesquialter: quare in sua radice ex commercio duplae, et sesquialterae nasci reperitur. Sola dupla (vt diximus) habet hoc commune cum superparticularibus, quod inter numeros sola vnitate distantes inuenitur, et sine alterius proportionis commercio procreatur; nam inter binarium, et vnitatem potest inueniri, qui proxime ad duas vnitates, in quibus aequa consistit, accedunt, neque ab vllo numero possunt intercipi. Et si autem numeri duplae sint inaequales, hoc tamen habent maxime aequalitatis, quod excessus est aequalis ei, quod exceditur: quandoquidem binarius vnitatem excedit vnitate, quae est vnitati aequalis; quod nulli alij potest contingere. Inueniuntur praeterea in his duobus generibus duae quantitatis species expressae, quoniam multiplex seruat quantitatis discretae proprietatem, superparticulare autem continuae. quemadmodum enim in continui diuisione, ita in hoc numeri semper augescunt: multiplices vero proportiones numerorum ordinem custodiunt, quod est proprium quantitatis discretae. Et sicut partes decrescunt, quod est proprium continuae: sic etiam semper superparticulares minuuntur; ita vt sesquialtera sit earum maxima, et a maxima denominetur parte, quae est dimidium; et sesquitertia sit illa minor, quia tertia pars minor est dimidio; et sesquiquarta minor sesquitertia, et sic quae deinceps sequuntur: quia minores erunt partes, a quibus denominabuntur. Et vt partes decrescunt, ita numeri succrescunt; sicut in sesquidecima, pars decima minor est, quam nona, numerus vero denarius maior, quam nouenarius. Hoc etiam animaduertendum est, duplam (quae minima est multiplicium) maiorem esse sesquialtera superparticularium maxima: quin potius duas superparticularium maximas, quae sunt sesquialtera, et sesquitertia, duplam aequare; neque alias duas id efficere posse, vt in his numeris percipi potest. 2. 3. 4; a 4. ad 2. dupla, a 3. ad 2. sesquialtera, a 4. ad 3. sesquitertia. Tertij vero generis, et reliquorum parua, aut nulla mentio fit apud Graecos: sed omnes quae in eis proportiones consistunt, vocant vt numeri ad numerum. volentes significare, nullam inter eos numeros praeter numeralem cognationem inueniri, vt 5. ad 3, et 7. ad 2. Et Diuus Augustinus vocat huiusmodi proportiones vt tot ad tot: et ex his quinque generibus duo tantum facit, alterum, quod appellat connumeratorum, alterum dinumeratorum. Et connumeratos quidem dicit eos esse, in quibus aut maior aliqua sui parte coaequatur minori, aut eum exuperat, vt in his numeris, 4. ad 2, et 8. ad 6: in quorum prioribus maior dimidia sui parte minori coaequatur; et in posterioribus maior quarta sui parte minorem exuperat. Dinumeratos autem eos esse dicit, in quibus neutrum horum inueniri potest, vt in his numeris, 10. ad 3, et 4. ad 11: in quibus neque ternarius est pars denarij, nec quaternarius vndenarij; neque in his, 9. et 5, quinarius nouenarij. quibus exemplis ostendit, superpartiens, et duo composita sub dinumeratis contineri: neque de his magnam esse curam habendam, vt quae multum recedant a simplicitate, et ordine connumeratorum. Rursus connumeratos diuidit in complicatos, et sesquatos: vt complicati sint, quos Boetius, atque alij Multiplices vocant: sesquati vero, qui superparticulares appellantur, vt sesquialter, sesquitertius, in quibus (vt ostensum est) haec particula, sesqui, semper inuenitur. Sunt et alij recentiores, qui duo tantum genera faciunt, Multiplex, et Partiens. Et Multiplex esse dicunt, in quo maior numerus ita pluries minorem continet, vt nil deficiat; aut superet: Partiens autem, in quo maior numerus semel, aut pluries minorem contineat, et semper aliquid superet; nihil curantes sitne id, quod superat, pars, an partes: atque ita ex quatuor generibus vnum tantum constituunt. Sed nos antiquorum, et doctissimorum vestigijs insistentes, communi incedemus via: quia facilior, et ad praesens institutum accommodatior est.

De genere superpartiente, et subsuperpartiente.

CAPVT XV.

[17] SVperpartiens igitur genus est tertium in ordine, et superparticulare sequitur: quia sicut Multiplex incipit ab vnitate, et superparticulare ortum habet a binario; ita superpartiens initium sumit a ternario, qui binarium sequitur. Est ergo genus superpartiens, cum maior numerus minori collatus continet eum semel, et aliquas eius partes, duas, aut tres, aut plures, ex quibus non possit vna conflari, quae minorem metiatur: vt in hac proportione, a 5. ad 3, in qua quinarius continet ternarium semel, et duas eius partes, ex quibus non potest fieri vna pars, quae ternarium metiatur: quia, si fieri posset, reduceretur ad multiplex, vel ad superparticulare: vt in hac proportione, 6. ad 4, senarius continet quaternarium, et duas eius quartas: sed quia duae quartae constituunt dimidium, quae est vna, et maxima pars quaternarij; non superpartiens, sed superparticularis, et sesquialtera dicenda est. Est autem hoc genus amplissimum, et latissimum, et habet sub se plura genera, quae plurimas habent species: et haec genera denominantur a numero partium, quibus dux comitem superat, quae si erunt duae, dicetur superbipartiens; si tres, supertripartiens; si quatuor, superquadripartiens; et sic deinceps, ita tamen vt partes non adaequent minoris summam; vt a 99. ad 50. quia maior superat minorem quadragintanouem partibus, dicetur superquadragintanonipartiens quinquagesimas: quod si maior fuisset centum, esset dupla proportio: vnde sequitur, quod omnis superpartiens semper erit minor dupla, quantumcunque ad eam proxime accedat. Et sciendum est, quod superbipartiens incipit a ternario, quia in nullo minori numero possunt duae partes inueniri; et supertripartiens a quaternario, quia is primum potest habere tres sui partes, et sic deinceps consequenter, dispositis ex vna parte naturali serie numeris a ternario incipientibus, et ex altera numeris imparibus a quinario, partium excessum habentibus, vt in hoc typo perspici poterit.

[Salinas, De musica, 17; text: Numeri natiuae seriei a 3. Impares a 5. 3 5, 4 7, 5 9, 6 11, 7 13, 8 15, 9 17, 10 19, 11 21, 12 23, 13 25, 14 27, 15 29, 16 31, 17 33, 18 35, 19 37, Super18, Super17, Super16, Super15, Super14, Super13, Super12, Super11, Super10, Super9, Super8, Super7, Supersextipartientes. Superquintipartientes. Superquadripartientes. Supertripartientes. Superbipartientes.] [SALMUS1 02GF]

In his primum est superbipartiens, secundum supertripartiens, et sic deinceps omnia nomen sortiuntur a numero partium, quibus numeri minores a maioribus superantur. Sed horum generum vnumquodque habet infinitas sub se species, denominatas quidem illas a nominibus diuersarum partium, vt a tertijs, quartis, quintis, atque ita deinceps. Nam superbipartiens, si duae partes, quibus maior superat minorem sunt tertiae, dicitur superbipartiens tertias; vt in hac proportione 5. ad 3, in qua duae partes, quibus quinarius superat ternarium, sunt duae tertiae ternarij: si autem erunt quintae, dicetur superbipartiens quintas, vt 7. ad 5. Et aduertendum est, in hoc genere semper oportere numeratorem partium esse minorem, quam denominatorem, vt in his; superbipartiens tertias, supertripartiens quartas; in quibus minor est numerator duarum, aut trium partium, quam denominator tertiarum, aut quartarum. Atque etiam sciendum est, quod si alter, siue numerator, siue denominator, sit par, necessario alter erit impar, vt superbipartiens tertias, et supertripartiens quartas; impossibile autem est vtrumque esse parem; nec enim recte dicas superbipartiens quartas: possibile vero est, vtrumque esse imparem; et dato vno impari reliquum esse parem; nisi numerum aliquem, praeter vnitatem, communem mensuram admittant; itaque recte dicitur supertripartiens quintas, et supertripartiens septimas, non autem supertripartiens [18] sextas, aut supertripartiens nonas; quod in his communis mensura est ternarius, illi autem numerum, praeter vnitatem, communem mensuram nullum admittunt, sed sunt contra se primi. Sed, quia, si credimus Senecae, praeceptorum iter longum est, ac difficile, exemplorum autem breue, et efficax; duos, aut tres apponemus typos, in quibus haec omnia, oculis subiecta, planius ac manifestius intelligentur: et in primo erunt superbipartientis species, quarum radices inuenientur in omnibus imparibus numeris, secundo ad primum, et tertio ad secundum, et sic deinceps comparatis; in secundo et tertio typo supertripartientis; in quarto et quinto superquadripartientis species continentur.

[Salinas, De musica, 18; text: Numeri binario se excedentes, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, SVPERBIPARTIENTES. Superbitertij, superbiquinti, superbiseptimi, superbinoni, superbiundecimi, superbidecimitertij, A 4. excedentes se ternario, 4, 10, 16, 19, SVPERTRIPARTIENTES. Supertriquarti. supertriseptimi, supertridecimi, supertridecimitertij, supertridecimisexti, A 5. excedentes se ternario, 8, 14, 17, 20, SVPERTRIPARTIENTES. Supertriquinti, supertrioctaui, supertriundecimi, supertridecimiquarti, supertridecimisepti, A 5. excedentes se quaternario, SVPERQVADRIPARTIENTES. Superquadriquinti, superquadrinoni, superquadridecimitertij, A 7. excedentes se quaternario, SVPERQVADRIPARTIENTES. Superquadriseptimi, superquadriundecimi, superquadridecimiquinti] [SALMUS1 03GF]

His typis inspectis facile erit cuique superquintipartientis, ac reliquorum, quotquot libuerit generum species effingere, easque in infinitum producere, obseruato cuiusque seriei tum principio, tum numerorum inter se excessu. Excessus ex generis cuiusque nomine cognoscitur; nam quadripartiens dicitur, cuius numeri quaternario se excedunt; quintipartiens cuius numeri se excedunt quinario, et sic de reliquis: principium autem numerorum sumitur ab omnibus numeris excessu maioribus, et duplo eiusdem minoribus, nisi si qui cum excessu numerum alium praeter vnitatem communem habeant mensuram, ideo superquadripartientes incipiunt ab his numeris, qui sunt inter 4. et 8, veluti a 5. et 7, non autem a 6, quia 4. et 6. ambo pares sunt, pariumque omnium praeter vnitatem etiam binarius est communis mensura.

De genere Multiplici superparticulari, et eius speciebus.

CAPVT XVI.

TRia genera simplicia sequuntur duo composita: nam Multiplex componitur cum reliquis duobus, quorum alterum dicitur Multiplex superparticulare, alterum Multiplex superpartiens. Multiplex superparticulare est, cum numerus maior minori collatus continet eum pluries, et aliquam eius partem. Et quatenus eum habet pluries, merito vocatur Multiplex: et quia continet insuper vnam ipsius partem, dicitur etiam superparticulare: vt 5. ad 2, in qua proportione quinarius continet binarium bis, vnde est Multiplex genus, et dupla proportio; et vnitatem, quae est dimidium binarij, quare est superparticularis [19] generis, et proportio sesquialtera: et simul dicitur esse dupla sesquialtera. Sic etiam in hac proportione 7. ad 3. septem continet tria bis, et tertiam eius partem, quare erit dupla sesquitertia. Atque ita in eo inueniuntur omnes species Multiplicis cum singulis superparticularibus, et omnes superparticulares cum singulis Multiplicibus. exemplum prioris, dupla sesquialtera 5. ad 2: tripla sesquialtera 7. ad 2: quadrupla sesquialtera 9. ad 2. exemplum posterioris, dupla sesquitertia 7. ad 3: dupla sesquiquarta 9. ad 4: dupla sesquiquinta 11. ad 5. Atque ita variae possunt fieri vtriusque generis coniugationes, vt per hunc typum manifestum esse poterit.

[Salinas, De musica, 19; text: Latitudo, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, Comites. 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, Dupli. 16, 22, 28, 31, 34, 37, Tripli. 29, 33, 41, 45, 49, Quadrupli. 26, 36, 46, 51, 56, 61, Quintupli. 43, 55, 67, 73, Sescupli. ad Comites. Longitudo, Sesquialteri. Sesquitertij. Sesquiquarti. Sesquiquinti. Sesquisexti. Sesquiseptimi. Sesquioctaui. Sesquinoni. Sesquidecimi. Sesquivndecimi. Sesquiduodecimi.] [SALMUS1 03GF]

Idem determinatum sit circa genus Submultiplex subsuperparticulare; quandoquidem solum ratione differunt, vt superius demonstratum est. Id forte non inutiliter additur, posse praecedentem typum tam secundum longitudinem; quam secundum latitudinem in infinitum extendi, solo numerorum excessu obseruato, quem ipsa proportionum nomina reuelant. nam secundum longitudinem dupli sese binario excedunt, tripli ternario, quadrupli quaternario; secundum latitudinem similiter sesquialteri binario, sesquitertij ternario, sesquiquarti quaternario: ergo dupli sesquialteri vtrimque binario se excedunt; at dupli sesquitertij secundum longitudinem binario, secundum latitudinem ternario, et sic de reliquis, longitudine multiplicibus, latitudine autem superparticularibus attributa.

De genere Multiplici superpartienti, et de eius speciebus.

CAPVT XVII.

IDem etiam dici potest de multiplici superpartienti, in quo numerus maior continet minorem pluries, et aliquas eius partes: quatenus enim continet eum pluries, dicitur Multiplex: et quatenus continet insuper aliquas eius partes, quae non faciunt vnam, est superpartiens, atque ita simul dicitur Multiplex superpartiens, vt in hac proportione 8. ad 3, in qua numerus maior continet minorem bis, et duas eius tertias partes, vnde merito dicetur haec proportio Dupla superbipartiens tertias. Et hoc genus, sicut Multiplex superparticulare, habet omnes species Multiplicis cum singulis generibus, ac speciebus Superpartientis, et contra. reperiuntur enim in eo dupla superbipartiens, et tripla superbipartiens, et quadrupla superbipartiens: et cum his omnes species superpartientis, tertias, quartas, et quintas; vt in hoc diagrammate, quod hic apponendum curauimus, omnia miro poterunt ordine inuestigari: in quo limes secundus ad primum ostendit superpartientes prius positos; tertius limes eos continet, qui ex vna comitum ad superpartientes adiectione [20] restituti sunt; quartus autem eos, qui vna et altera adiectione; quintus eos, qui trina.

[Salinas, De musica, 20,1; text: Longitudo, Latitudo, Comites excessum ducum secundum latitudinem, aperiunt. Ad Comites, Comites, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, Vnitate. Superpartientes, 13, 15, 17, 19, 21, 23, Binario. Dupli, 14, 20, 26, 29, 32, 35, Ternario. Tripli, 27, 31, 39, 43, 47, Quaternario. Quadrupli, 24, 34, 44, 49, 54, 59, Quinario. Excedentes se, Superbipartientes. Supertripartientes. Superquadripartientes. Superquintipartientes. Supersextipartientes. Superseptipartientes. Superoctipartientes. Supernonipartientes. Superdecimipartientes. Supervndecimipartientes.] [SALMUS1 04GF]

Vides tertium ordinem ad primum duplos amplecti superpartientes; quartum item ad primum triplos itidem superpartientes; denique quintum quadruplos superpartientes. quod si eadem lege sextum, septimum, et alios feceris, surgent quintupli, sextupli, septupli superpartientes.

De Pythagoraeorum diagrammate celeberrimo, quod Pythagorae mensam appellant, et de ipsius vtilitatibus. CAPVT XVIII.

PRaeter ea quae posita sunt, aliud etiam diagramma duximus apponendum, quod Pythagorae mensam appellant, maxima consideratione dignum, quod est huiusmodi:

[Salinas, De musica, 20,2; text: Longitudo. Latitudo. Sesquinoni, Sesquioctaui, Sesquiseptimi, Sesquisexti, Sesquiquinti, Sesquiquarti, Sesquitertij, Sesquialteri, 1. 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, Primus limes, 4. 12, 14, 16, 18, 20, Dupli, 9. 15, 21, 24, 27, 30, Tripli, 16. 28, 32, 36, 40, Quadrupli, 25. 35, 45, 50, Quincupli,36. 42, 48, 54, 60, Sescupli, 49. 56, 63, 70, Septupli, 64. 72, 80, Octupli, 81. 90, Noncupli, 100. Decupli, Ad primum limitem, Excedunt se Numeri primi limitis vnitate, Dupli binario, Tripli ternario, Quadrupli quaternario et sic deinceps.] [SALMUS1 04GF]

[21] In hoc diagrammate (quod Pythagorae Mensam ab omnibus diximus appellari) omnium generum naturali ordine dispositae proportiones inueniuntur, ita vt primum occurrant multiplices, deinde superparticulares, postea superpartientes, deinceps multiplices superparticulares, postremo multiplices superpartientes. Ad duos enim primos ordines longitudinis, et latitudinis, qui faciunt angulum in vnitate, omnes alij sunt MVLtiplices, si numeros numeris sibi respondentibus conferas: nam duo secundi ordines, qui, in quaternario concurrentes, angulum constituunt, sunt ad primos dupli; tertij, qui in nouenario, tripli; atque ita qui sequuntur ad decimos vsque, qui faciunt angulum in centenario, et sunt ad primos decupli. Et quoniam ad vnitatem nullus inuenitur SVPERparticularis, ideo nullus ordo, ad primum comparatus, est illi superparticularis; sed duo tertij ordines, ad duos secundos collati, efficiunt primam superparticularium sepciem, et sunt ad eos sesquialteri; quarti ad tertios sesquitertij; quinti ad quartos sesquiquarti; et sic vsque ad decimos, qui ad nonos sunt sesquinoni. Invueniuntur etiam SVPerpartientium genera, et species complures: nam quinti, comparati ad tertios, sunt superbipartientes tertias; septimi ad quintos, superbipartientes quintas; septimi item ad quartos, supertripartientes quartas; octaui ad quintas, supertriquinti; noni item ad quintos, superquadriquinti; decimi ad septimos, supertripartientes septimas. MVLtiplex etiam SVPERparticulare inuenietur: nam si comparemus quintos, et septimos, et nonos ad secundos, emergent dupli sesquialteri, tripli sesquialteri, quadrupli sesquialteri; et, si comparentur septimi, et decimi ad tertios, consurgent dupli sesquitertij, et tripli sesquitertij. Postremo inuenitur MVLtiplex SVPerpartiens: nam, si comparentur octaui ordines ad tertios, reperietur inter eos dupla superbipartiens tertias. Sunt etiam plurima in hoc typo consideratione dignissima, et (vt Boetius ait) ad subtilitatem tenuissima, ad scientiam vtilissima, et ad exercitationem mentis iucundissima; quorum aliqua perstringemus, quae fastidium, quod in proportionibus inquirendis conceptum fuit, leuare possint. Primumque esto, quod linea diametralis, si ab angulo, quem facit vnitas, protendatur per numeros angulares, transibit vsque ad angulum, quem facit centenarius: dicuntur autem numeri angulares, qui fiunt ex concursu ordinum longitudinis, et latitudinis, vt quaternarius ex concursu secundorum ordinum, et nouenarius ex tertiorum; et hi omnes sunt quadrati, et puncto, vt prae coeteris dignoscantur, notati. Secundum, quod omnes quadrati sunt circumclusi a numeris longilateris, (quorum natura superius explicata est capitulo nono) vt quaternarius a binario, et senario, ita vt alter praecedat, et alter sequatur. Quod si duobus longilateris aggregatis quadratus duplicatus coniungatur, emerget quadratus: nam ex binario, et senario aggregatis fiunt octo, et ex quaternario duplicato item octo, quibus coniunctis emergunt 16, qui est quadratus quaternarij. Tertium, quod, si aggregentur duo quadrati immediati, et duplicetur longilaterus, eos geometrice diuidens, qui inde prouenient numeri, in summam collecti, quadratum etiam efficient: vt si quadrati 4. et 9. aggregentur, proueniunt 13; longilaterus vero 6. bis sumptus facit 12; denique producti 13. et 12. in vnum collecti, constituunt 25, qui est quadratus quinarij. est tamen nonnulla inter hos quadratos differentia: nam illi, qui surgunt ex longilateris duobus, et quadrato, erunt numeri pares; et qui surgunt ex duobus quadratis, et longilatero, erunt impares, quorum melior et fortior est natura. Quartum, quod in tota tetragoni figura, et in quadratis minoribus, qui ex partibus eius fiunt, si numeri, qui ex angulis oppositis se respiciunt, alter in alterum ducantur, eandem inter se summam conficiunt; vt si vnitas per centum multiplicetur, prouenient centum, et tantundem efficient denarij, qui in reliquis duobus lateribus sunt oppositi, si alter in alterum ducatur. atque idem eueniet in quadratis minoribus, veluti sunt 1. 9. 81. 9. 8. 10. 30. 24. aliaque infinita: tantundem enim producitur ex 1. in 80. quantum ex 8. in 10, itemque ex 4. in 24, quantum ex 8. in 12. Et haec de multis dicta sint, quae circa hoc diagramma dici poterant, omnibus quidem notissimum, vtpote quod pueris, praxim Arithmetices exercentibus, [22] primum ediscendum proponitur, sed a paucissimis, vt par est, examinatum; nos autem de illo, ac de proportionum generibus haec tantum, breuitatis causa, dicenda, qua maiori potuimus claritate curauimus.

De modo coniungendi, et duplandi Proportiones.

CAPVT XIX.

ET quoniam saepe cogitur harmonicus ex duabus, aut tribus proportionibus vnam componere, saepe etiam vnam in duas, aut tres diuidere, antequam de proportionalitatibus dicere ordiamur, in quibus diuidendi proportiones modus inuestigatur, necesse erit, vt modum, eas coniungendi, et in summam colligendi, doceamus. Quae si fuerint inaequales, facile poterunt coniungi, duarum proportionum numeris maioribus altero in alterum ductis, atque item minoribus; et in numeris, qui ex ea multiplicatione proueniunt, reperietur vna ex duabus facta proportio. Vt si velimus, ex coniunctione sesquitertiae cum sesquialtera, scire, quaenam emergat proportio, accipiemus maiorem sesquitertiae, qui est 4, et ducemus in maiorem sesquialterae, qui est 3, et prouenient 12; et minorem sesquitertiae, qui est 3, per minorem sesquialterae, qui est 2, et prouenient 6: et a 12. ad 6. erit dupla, composita ex sesquialtera, et sesquitertia. Cuius erit probatio certissima, si multiplicemus minorem vnius per maiorem alterius, 2. per 4, et prouenient 8, qui numerus diuidet duplam in sesquitertiam, et sesquialteram, vt in his numeris, 6. 8. 12. Et si velimus adiungere sesquitertiae sesquiquintam, ducemus 6. maiorem sesquiquintae, in 4. maiorem sesquitertiae, et prouenient 24, et 5. in 3. vtriusque minores, et fient 15: et a 24. ad 15. erit proportio supertripartiens quintas facta ex duabus. quod facile apparebit, si ducantur aut 6, in 3, aut 5. in 4: quia ex priori multiplicatione prouenient 18, et ex posteriore 20, vt in his numeris, 24. 18. 15, vel, 24. 20. 15. Quod si volemus his tertiam adiungere, capiemus maiorem illius numerum, et ducemus in huius maiorem; et minorem item in minorem: vt si erit sesquialtera, ducetur 24. in 3, et fient 72; et 15. in 2. prouenient 30: in quibus numeris inuenietur proportio dupla superbipartiens quintas, facta ex sesquialtera, et sesquitertia, et sesquiquinta, vt apparet in his numeris.

[Salinas, De musica, 22,1; text: 72, 48, 36, 30, Sesquialtera, Sesquitertia, Sesquiquinta, Dupla superbiquinta.] [SALMUS1 05GF]

Et ad hunc modum poterunt, quotquot voluerimus, coniungi. Quod si proportiones erunt aequales, earum coniunctio dicitur duplatio, aut triplatio. Et duarum coniunctio (quae duplatio vocatur) facilime fieri poterit, numeris, in quibus proportiones aequales inueniuntur, ductis in seipsos: et in numeris, qui ex hac multiplicatione prouenient, inuenietur ex duabus aequalibus facta vna: vt si velimus duplare sesquialteram, ducemus maiorem numerum, 3, in seipsum; similiter et minorem, 2, et prouenient 9. et 4, quae erit dupla sesquiquarta, facta ex duabus sesquialteris: quod erit manifestum, si ducatur 3. in 2, nam fient 6, qui numerus diuidit proportionem, 9. ad 4, in duas aequales, vt ostendunt hi numeri:

[Salinas, De musica, 22,2; text: 9, 6, 4, Sesquialtera, Dupla sesquiquarta.] [SALMUS1 05GF]

Idem fiet, si duas sesquioctauas velimus coniungere, ductis in seipsos 9. et 8, ex qua multiplicatione consurgent 64. et 81, quae erit superseptendecimpartiens sexagesimas quartas, [23] ex duabus sesquioctauis composita: nam, ductis 8. in 9, prouenient 72, qui erit ad 64. sesquioctauus, et eandem proportionem faciet ad eum 81. Quod si proportionem triplare velimus, numeri, qui ex duplatione prouenerint, ducendi sunt in minimos ipsius numeros, maior in maiorem, et minor in minorem, et in ijs, qui ex ea multiplicatione nascentur, triplata reperietur. vt, si velimus triplare sesquialteram 3. ad 2, numeri 9. et 4, ex eius duplatione producti, ducendi sunt in eosdem 3. et 2, maior 9. in maiorem 3, et minor 4. in minorem 2, et consurgent 27. et 8, quae erit tripla supertripartiens octauas, composita ex tribus sesquialteris, vt apparet in his numeris:

[Salinas, De musica, 23; text: 8, 12, 18, 27, Sesquialtera, Tripla supertripartiens octauas.] [SALMUS1 05GF]

Et si sesquioctauae duplatae numeri, 81. et 64, ducantur in minimos sesquioctauae numeros, 9. et 8, prouenient 729. et 512, in quibus numeris inuenietur vna ex tribus sesquioctauis facta proportio, quas ostendunt hi numeri, 512. 576. 648. 729. Atque idem faciendum est, si quadruplare velimus, in numeris, qui ex triplatione prouenerunt; et, si quincuplare, in his, qui ex quadruplatione; semper eos ducendo in minimos illius proportionis, quam multiplicare propositum sit. Quae duplandae, et triplandae proportionis regula erit non minus vtilis, quam facilis rerum musicalium speculationem facere volenti, vt suis locis manifestum esse poterit.

De modo subtrahendarum vnius ab altera proportionum, et quo pacto ad minimos numeros reducantur.

CAPVT XX.

OPortet etiam Harmonicum examinare solerter excessuum quantitates, quibus vna proportio superatur ab altera, vt possit exactas earum inter se differentias cognoscere: quam cognitionem perfectam habere nequaquam poterit, nisi prius vnam ab altera discat subtrahere. Fit autem subtractio per multiplicationem numerorum antecedentium per consequentes, ita vt antecedens proportionis vnius ducatur in consequentem alterius. vt, si velimus subtrahere sesquitertiam a sesquialtera, multiplicabimus quaternarium, antecedentem sesquitertiae, per binarium, consequentem sesquialterae, et emerget 8; et ternarium, antecedentem sesquialterae, per ternarium, consequentem sesquitertiae, et prouenient 9, et proportio, quae est a 9. ad 8, erit reliqua ex subtractione sesquitertiae a sesquialtera. Quod probari potest, si denuo eo modo, quo in praecedenti capite dictum est, coniungantur sesquitertia, et sesquioctaua; redibit enim sesquialtera, ex vtraque conflata; nam 8. in 3. ducta, faciunt 24, et 9. in 4, 36. Et vt Subtractionem per Additionem, ita contra et Additionem per Subtractionem probare licebit. Potest et alio modo fieri subtractio, si, assumptis minoribus numeris duarum proportionum, quarum maioris ad minorem excessum scire velimus, alterum in alterum ducamus: in eo enim numero, qui ex ea multiplicatione proueniet, vtraque poterit inueniri, ex quo facile vnius ad alteram excessus deprehendetur. vt si scire propositum sit excessum sesquialterae sesquitertiam, ternarium, minorem sesquitertiae, ducemus in binarium, minorem sesquialterae, et proueniet senarius, qui, quoniam habet dimidiam, et tertiam partem, habebit numeros sesquialterum, et sesquitertium: nam, si ternarium illi superaddamus, qui est eius dimidium, emerget nouenarius ad eum sesquialter; et, si binarium adiungamus, proueniet octonarius, qui erit ad eum sesquitertius. quo facto, facile apparebit, sesquialteram esse maiorem sesquitertia [24] ea proportione, quae est a 9. ad 8, vt ostendit hic typus.

[Salinas, De musica, 24; text: Sesquialtera, Sesquioctaua. Sesquitertia. 9, 8, 6] [SALMUS1 06GF]

Et eodem modo in quibuslibet alijs et vna ab altera subtrahi, et vnius ad alteram excessus poterit inueniri. Et quoniam saepe necesse est, radices alicuius proportionis inuestigare, et minimos, in quibus reperiri potest, numeros inuenire, id hac via commodissime fieri poterit; Si minorem numerum toties a maiore subtrahamus, donec ad numerum minimum, qui vtrumque metiatur, perueniamus, qui si erit vnitas, nequaquam vlterius erit progrediendum, vt si velimus proportionem, quae est a 24. ad 15, ad suas radices reducere, primum inuestigandus est numerus, qui sit vtriusque communis mensura. subtrahatur igitur 15. a 24, et relinquetur 9, quo subtracto a 15, restabit 6, quem si a 9. auferas, relinquetur 3, quo a 6. subtracto, restabit etiam 3; et quia 3. a seipso subtrahi non potest, is erit numerus, qui vtrumque metietur. quare proportio 24. ad 15. erit per 3. diuidenda, et ad tertias partes reducenda, quae erunt 5. et 8. Et si velimus examinare, sintne hi numeri ipsius minimi, an ad minores possint reduci, eadem via erit inuestigandum, subtrahendo videlicet quinarium ab octonario, et restabit ternarius, quo subtracto a quinario relinquetur binarius, quo sublato a ternario restabit vnitas, quae sola erit communis quinarij, et octonarij mensura: quamobrem vlterius procedi non poterit, et hi erunt minimi numeri huius proportionis. Et hac etiam regula poterunt cognosci numeri contra se primi, de quorum natura, et proprietatibus superius abunde dictum est: vt si scire velimus, vtrum hi duo numeri, 9. et 25, (quorum vterque compositus est, alter ex ternarij, alter ex quinarij multiplicatione) sint contra se primi, eadem via procedendum erit. nam subtractis 9. a 25. restabunt 16, eisdem a 16. sublatis, relinquentur 7, quibus a 9. subtractis, restabunt 2, et his a 7. subtractis, reliqui erunt 5, et a 5. 3, et a 3. 1, quo sublato a 2 relinquetur ipsamet vnitas, quae sola metietur vtrumque. Quod non ita euenit in his numeris, 9. et 21: nam si fiat idem, ternarius vtriusque reperietur esse mensura. quare non erunt contra se primi; et proportio, quae in huiusmodi numeris reperietur, ad minores numeros reduci poterit, quod non contingit in numeris contra se primis, sed, siue vterque sit impar, vt 9. et 25, siue fit alter par, et alter impar, vt 64. et 81; proportio, quae in eis inuenietur, ad minores numeros reduci non poterit. Nunc autem ad reliqua, quae praesenti sunt instituto necessaria, pergamus.

De Arithmetica Proportionalitate.

CAPVT XXI.

IAm tandem de Proportionalitatibus agendum est, quas Analogias Graeci vocant, in quibus porportio ipsa medio aliquo inuenitur diuisa, et ex vna in duas dissoluta. Sciendum vero est, quosdam politioris literaturae viros vocem Graecorum [logon] vertere rationem, et [analogian] proportionem: nos contra [logon] proportionem, et [analogian] proportionalitatem vocamus, tum vt Boetium, et alios grauissimos autores sequamur, tum quod, vt [analogian apo tou logou], ita et proportionalitas a proportione deriuatur. Est autem proportionalitas proportionum inter se habitudo, sicut proportio numerorum. Et quemadmodum proportio in paucioribus, quam duobus numeris, reperiri non potest; sic etiam proportionalitas ex duabus saltem proportionibus constare debet, et tribus numeris, quorum medius eas conuenienter diuidat. Et quamquam tempore Boetij decem diuidendarum proportionum modi fuerant inuenti, quibus vndecimum Iordanus, cui plurimum [25] Arithmetica debet, adiecit; nos tamen tribus his, quas Pythagoram Boetius afferit inuenisse, erimus in praesentia contenti; de quibus tantum ab Aristotele et Platone factam esse mentionem compertum est, et quae solae, ad faciendas rerum Musicalium speculationes, sunt necessariae; quae sunt Arithmetica, Geometrica, et Harmonica. Prima autem est Arithmetica, quae mediatio numeralis Latine dici potest, quandoquidem numerus natura prior est mensura, et harmonia; quamobrem de medio Arithmetico prius, quam de alijs, agemus, et de eo, atque alijs, ea tantum afferemus, quae huic instituto videbuntur esse necessaria, quam plurimis, scitu dignissimis, his, qui exactam Arithmeticae cognitionem profitentur, relictis. Medium ergo Arithmeticum dicimus esse illud, quod ab vtroque extremo per aequales differentias, et inaequales proportiones disiunctum est. Vocamus autem differentias excessuum quantitates, quae inter ipsos inuicem numeros inueniuntur: vt in ea proportione, quae est ab 8. ad 4, dicimus 6. medium Arithmeticum esse: quia distat ab vtroque per aequalem differentiam, quae est binarius; sed per inaequales proportiones, quia 6. ad 4. facit sesquialteram, 8. vero ad 6. sesquitertiam: vt liquido constat in his numeris, 4. 6. 8, in quibus eadem est differentia a 6. ad 4, quae a 6. ad 8, nam vtraque est binarius; sed non eadem, vt diximus, proportio. Sed in hac proportionalitate potissimum a Musico videtur esse considerandum, quod in ea maiores proportiones in minoribus numeris, et minores in maioribus collocatae reperiuntur; vt in hac dupla 4. ad 2. per hoc medium Arithmeticum 3. diuisa in sesquialteram, et sesquitertiam, sesquialtera, quae maior est, a 3. ad 2, qui numeri sunt minores, inuenitur; et a 4. ad 3, qui maiores, sesquitertia; vt ostendunt hi numeri, 2. 3. 4. Modus autem medij Arithmetici inueniendi commodissimus erit, si duo extrema coniungantur, et dimidium eius summae capiatur, quod erit medium quaesitum; vt in hac eadem dupla, 4. et 2. aggregati faciunt 6, cuius summae dimidium est 3, qui medium in ea est Arithmeticum. Est tamen aduertendum, quod, si numerus, ex duorum extremorum aggregatione proueniens, fuerit impar, (quod contingit cum extremorum alter est par, alter impar) quia medietatem non habebit, duplicandi erunt extremi, et tunc, qui proueniet, erit par, atque eius dimidium poterit assumi: vt, si velimus inuenire medium huius proportionis 3. ad 2, quia ex eorum collectione conficitur quinarius, qui est impar, non poterit inter eos medium inueniri, atque etiam, quia sola distant vnitate, quae indiuisibilis est; quare duplicandi sunt, vt proueniant 4. et 6, qui simul sumpti faciunt 10, cuius dimidium erit 5, qui medium erit inter eos. Et haec de Arithmetica proportionalitate dixisse sit satis.

De Proportionalitate Geometrica.

CAPVT XXII.

PRoportionalitas Geometrica est ea, in qua medium distat ab vtroque extremo per aequales proportiones, et inaequales differentias: vt, in proportione 4. ad 1. medium Geometricum erit 2, qui est duplus ad vnitatem, quemadmodum quaternarius ad eum etiam est duplus. Et differentiae sunt inaequales, quia binarius ab vnitate distat per vnitatem, et a quaternario per binarium, quod demonstrant hi numeri.

[Salinas, De musica, 25; text: Excessus, 4 2 1, Geometrica Quadruplae diuisio. Dupla, Quadrupla.] [SALMUS1 06GF]

Huiusmodi mediatio in multo paucioribus proportionibus inuenitur, quam aliarum quaelibet: quoniam in his tantum inueniri potest, quae ex aggregatione duarum aequalium [26] reperiuntur esse compositae, in quas etiam diuidi poterunt: vt in quadrupla, quae componitur ex duabus duplis, vt in praemisso typo ostendimus; et in noncupla, quae constat ex duabus triplis, vt 1. 3. 9; et in ea, quae est a 9. ad 4, quae ex duabus sesquialteris componitur, vt apparet in his numeris, 4. 6. 9; et in ea, quae est a 25. ad 9, quae componitur ex duabus superbipartientibus tertias, vt ostendunt hi numeri, 9. 15. 25. Atque ita passim occurrent exempla in omnibus generibus proportionum; praeterquam in superparticulari, cuius nulla proportio, in duo aequa certo constitutoque numero diuisa, poterit inueniri. Habet etiam haec proportionalitas hoc sibi peculiare, quod numerus, qui vocatur in ea diuisor Geometricus, in seipsum ductus, facit eandem summam, quam duo extrema, altero in alterum ducto: vt in hac proportione 9. ad 4. medium Geometricum est 6, quoniam eandem proportionem facit ad 4, quam 9. ad ipsum, vtraque enim est sesquialtera; et differentiae, sunt inaequales, quoniam a quaternario distat binario, et a nouenario ternario; ductus autem in seipsum facit 36, et 9. in 4. ductus, in eandem excrescit summam. Quamobrem nullus est accommodatior modus inueniendi medij Geometrici, quam duos numeros eius proportionis, quam Geometrice diuidere proponemus, vnum in alterum ducere, ac deinde inter eos quaerere aliquem, qui ductus in seipsum eandem summam, quam illi fecerint, constituat, vt si velimus diuidere Geometrice eam proportionem, quae est a 16. ad 9, inueniemus ex altero in alterum ducto prouenire 144. Neque vllus est inter eos numerus, qui, ductus in seipsum, eandem summam faciat, nisi duodenarius; quare is erit Geometricus eius diuisor, quoniam eandem proportionem facit ad 9, quam 16. ad ipsum, vtraque enim est sesquitertia. Atque haec visa sunt nobis, quae Musicum in hac proportionalitate considerare oporteret. Solum hoc illum admonendum putauimus, in numeris vniuscuiusque proportionis, Geometrice diuidendae, duos numeros, qui sint eius radices, semper esse quadratos. nam si diuidenda est in duas aequales, (vt Geometrica postulat diuisio) oportet eam ex duabus etiam aequalibus esse compositam; quam compositionem superius duplationem diximus appellari, duplationem autem cuiuscunque proportionis fieri, per duorum numerorum, in quibus inuenitur simpla, quadrationem. Quare necesse erit, illos, in quibus inuenitur duplata, quadratos esse. Etiam hoc animaduersione dignum est, inter duos quadratos medium Geometricum semper esse longilaterum, et inter duos longilateros quadratum esse medium Arithmeticum: prioris exemplum, 1. 2. 4; posterioris, 2. 4. 6. Et haec de Geometrica proportionalitate dicta sufficiant.

De Proportionalitate Harmonica.

CAPVT XXIII.

REliquum est, vt de proportionalitate Harmonica dicamus, quae sic dicta fuisse videtur, quod maxime ad harmoniam apta sit: consonantiae enim harmonice diuisae Harmoniae vocantur a Musicis, quae proportionibus, harmonica mediatione disiunctis, respondere, suo loco demonstrabuntur. Est autem Harmonica proportionalitas, in qua medium ad extrema nec seruat aequalitatem differentiarum, vt Arithmeticum, nec proportionum, vt Geometricum; sed ita collocatum est inter ea, vt, quae proportio est alterius ad alterum extremorum, eadem sit differentiae maximi, et medij ad differentiam medij, et minimi. vt in hac proportione, 6. ad 3, in qua medium harmonicum erit 4: quia differentiae 6. ad 4, quae est binarius, ad differentiam 4. ad 3, quae est vnitas, eadem est proportio cum ea, quae est a 6. ad 3, vtraque enim esse dupla reperitur, vt apparet in his numeris.

[27] [Salinas, De musica, 27,1; text: DVPLA, 2, 1, Differentiae Medij et extremorum. 6, 4, 3, Harmonica Duplae diuisio. Sesquialtera, Sesquitertia.] [SALMUS1 07GF]

Hoc multo breuius et concinnius in Timaeo Plato videtur expressisse, vbi medium harmonicum eisdem ipsorum extremorum partibus alterum superare, et ab altero ait superari; vt 8. inter sex et duodecim, quoniam superat senarium tertia senarij parte, et superatur a duodenario tertia etiam parte duodenarij. Sciendum est autem harmonicam proportionalitatem nihil aliud esse, quam Arithmeticam inuersam. in easdem enim proportiones inuenitur diuisa: nisi quod maiores proportiones, in illa minoribus comprehensae numeris, in hac ad maiores transferuntur; et minores (vt par est) in minoribus numeris collocantur, et, si fieri potest, in ijsdem, in quibus ante fuerant, remanent collocatae. vt in hac dupla Arithmetice diuisa, 2. 3. 4, quam si harmonice mediatam habere velimus, sesquialtera proportio, quae est a 3. ad 2, transferenda est ad maiores numeros, et, vt sesquitertia, in quibus erat, collocata remaneat, examinandum est, vtrum 4. habeat supra se sesquialterum, quem necessario, cum par sit, habebit, si ipsi dimidium eius, quod est 2, aggregetur, vnde proueniet 6, a quo ad 4. erit sesquialtera, et a 4. ad 3. sesquitertia, vt erat ante, relinquetur. atque ita maior proportio in maioribus numeris, et minor in minoribus (quod harmonicae proportionalitatis proprium est) inuenitur. Quod ostendunt hi numeri:

[Salinas, De musica, 27,2; text: Harmonica proportionalitas, Arithmetica proportionalitas, 2, 3, 4, 6, Sesquialtera, Sesquitertia, Sesquialtera, DVPLA] [SALMUS1 07GF]

Restat nunc, vt modum harmonici medij inueniendi diligenter exquiramus, qui facilis erit inuentu, habito prius Arithmetico. quoniam vbi non poterit inueniri Arithmeticum, neutiquam inuenietur harmonicum: quandoquidem harmonica proportionalitas Arithmeticae, vt diximus, est inuersa. Inuento igitur ad modum, quem superius ostendimus, Arithmetico, primum inquirendum est, vtrum habeat supra se numerum, qui ad eum faciat eandem proportionem cum ea, cuius est medius, quem si habuerit, illo assumpto, proportio harmonice reperietur diuisa: in qua ipse, qui erat medium in proportionalitate Arithmetica, erit minus extremum in Harmonica; et qui erat maius extremum in Arithmetica, erit medium harmonicum; et numerus assumptus maius erit extremum. Vt, si velimus harmonice diuidere hanc triplam, quae est a 3. ad 1, accipiemus medium eius Arithmeticum, quod est 2, et inquiremus numerum eius triplum, qui erit 6. Atque ita proportio, quae erat a 3. ad 1. Arithmetice diuisa, inuenietur harmonice mediata a 6. ad 2: et 3. maius extremum in proportionalitate Arithmetica, erit medium in harmonica; et 2. medium Arithmeticae, minus extremum; et 6. numerus assumptus, erit maius. vt percipi potest in his numeris:

[28] [Salinas, De musica, 28,1; text: TRIPLA Arithmetice diuisa. Minus extremum, MEDIVM Arithmeticum. Maius extremum, 1, 2, 3, 6, Minus extremum, MEDIVM Harmonicum, Maius extremum, TRIPLA Harmonice diuisa.] [SALMUS1 08GF]

Quod si nullus in maioribus numeris inuenietur, qui ad Arithmeticum diuisorem eandem faciat proportionem cum ea, quam ipse diuisit; duplicandi, aut triplicandi erunt numeri, donec inueniatur. neque id temere faciendum est, sed regula quadam adhibita. Quoniam in multiplicibus ferme omnibus inuenietur, ut in dupla, et tripla paulo superius ostensum est, et in quadrupla, ac quintupla ostendent hi numeri:

[Salinas, De Musica, 28,2; text: 1 4, QVADRVPLA diuidenda. 2 5 8, Quadrupla diuisa Arithmetice, 5 8 20, Quadrupla diuisa Harmonice, QVINTVPLA Arithmetice diuisa, 1. 3. 5. 15. Harmonice diuisa, QVINTVPLA] [SALMUS1 08GF]

Et sic in omnibus fere multiplicibus passim occurrent exempla. Sed in superparticularibus multo certiori, et constantiori ordine procedendum est. Nam, vt in omnibus, ad inueniendum medium Arithmeticum, necessario duplicandi sunt numeri; ita ad inueniendum harmonicum, inuento Arithmetico, in sesquialtera sunt duplicandi, in sesquitertia triplicandi, in sesquiquarta quadruplandi: et hoc ordine seruato, in omnibus superparticularibus medium harmonicum facilime poterit inueniri, vt his tribus exemplis satis erit omnibus manifestum:

EXEMPLVM PRIMVM.

 2.        3.        SESQVIALTERA diuidenda.
 4.   5.   6.        Sesquialtera diuisa Arithmetice.
 8.  10.  12.        Numeri Arithmeticae proportionalitatis duplicati.
     10.  12.  15.   Sesquialtera diuisa Harmonice.

EXEMPLVM SECVNDVM.

 3.        4.        SESQVITERTIA diuidenda.
 6.   7.   8.        Arithmetice diuisa.
18.  21.  24.        Triplicati numeri.
     21.  24.  28.   Harmonice diuisa.

EXEMPLVM TERTIVM.

 4.        5.        SESQVIQVARTA diuidenda.
 8.   9.  10.        Arithmetice diuisa.
32.  36.  40.        Quadruplati numeri.
     36.  40.  45.   Harmonice diuisa.

[29] Atque hic modus inueniendi medij harmonici mihi videtur esse multo facilior, et commodior, quam is qui traditus est ab antiquis, et adhuc in omnibus docetur scholis.

De alio modo medij Harmonici simul et Arithmetici inueniendi, qui multo videtur esse facilior: et de quibusdam, quae in harmonica proportionalitate, praeter ea quae dicta sunt, oportet considerare. CAPVT XXIIII.

ET quoniam haec proportionalitas omnium maxime ad Harmonici considerationem pertinet, nulli mirum videri debebit, si in ipsius explicatione diutius, quam in aliarum enarratione, immorabimur. Quamobrem cum valde Musico conducat, medium Harmonicum inuenire, et modus eius inueniendi ab antiquis traditus sit difficilimus: quamuis ille, quem supra attulimus, facilis satis esse videatur, alterum nunc afferemus multo faciliorem, quo eam simul harmonice et arithmetice poterimus habere diuisam, is talis est: Accipiendi sunt numeri, in quibus arithmetice diuisa reperitur, et minimus, et maximus per medium arithmeticum multiplicandi, et in numeris, qui ex ea multiplicatione prouenient, reperietur arithmetice simul, et harmonice diuisa: harmonice quidem si minimus in maximum ducatur, arithmetice vero, medio in seipsum ducto. Vt, exempli gratia, accepta sesquialtera arithmetice diuisa in his numeris, 4. 5. 6, ductis 4. et 6. in 5, prouenient 20. et 30, qui continebunt sesquialteram tam Harmonice, quam Arithmetice diuidendam; nam ducto 4. in 6, emergent 24, qui numerus erit medium harmonicum; et 5. in seipsum ducto, surgent 25, qui numerus erit medium arithmeticum, vt in sequenti numerorum dispositione apparet:

 2.        3.   SESQVIALTERA diuidenda.
 4.   5.   6.   Arithmetice diuisa.
20.       30.   Numeri producti ex medio 5. in exttema 4. et 6. ducto.
     24.        Medium Harmonicum ex multiplicatione extremorum 4. et 6.
     25.        Medium Arithmeticum ex medio 5. in seipsum ducto.
20.  24.  30.   Proportionalitas Harmonica.
20.  25.  30.   Proportionalitas Arithmetica.

Hic medij Harmonici inueniendi modus in omnibus omnium generum proportionibus certissimus inuenitur. Atque haec de proportionalitate quidem harmonica ad praesentem institutionem dicta sufficiunt. Vnum vero hoc de tribus medijs praetermittendum minime videtur, quod, si aliquando proportio aliqua per haec tria media reperietur diuisa, medium Arithmeticum erit maiori extremo proximum, Harmonicum minori: Geometricum vero medium tenebit locum, nec solum geometrice diuidet duo extrema, sed et media harmonicum, et arithmeticum; et proportio, quae reperietur inter ea, geometrice erit diuisa: vt in his numeris perspici poterit, 10. 16. 20. 25. 40, in quibus proportio diuidenda est a 40. ad 10: Medium Arithmeticum 25, quia per aequales numeros distat ab vtroque: Medium Geometricum 20, quia eandem proportionem facit ad 10, quam ad ipsum 40: Harmonicum vero 16, quia differentia eius ad 40, quae est 24, ad differentiam ipsius ad 10, quae est 6, quadruplam habet proportionem, vt 40. ad 10: et in ea proportione, quae est a 25. ad 16, etiam est 20. medium Geometricum, quoniam vtraque proportio, in quas inuenitur diuisa, est sesquiquarta; et 20, ductus in seipsum, facit 400, quam eandem summam faciunt 40. per 10, et 25. per 16. multiplicati. Quod si per duo solum media, arithmeticum, et harmonicum, inuenietur diuisa, altero in alterum ducto, vicem obtinebunt medij Geometrici. nam eandem summam facient, quam duo extrema, altero in alterum ducto. Vt in ea proportione, quae est a 12. ad 6, medium arithmeticum 9. si ducatur in 8. medium harmonicum, consurgent 72: et eadem summa proueniet ex 12. per senarium [30] multiplicato. Postremo illud non minore consideratione dignum puto, quod, si tria media quadrentur, duo vero extrema, et binae differentiae, alterae arithmeticae proportionalitatis, alterae harmonicae, inter se multiplicentur; productum extremorum, quadratorum aliud aequabit, aliud superabit, et ab alio superabitur; aequabit geometricum, superabit harmonicum producto differentiarum eius, et superabitur ab arithmetico similiter producto differentiarum eius, vt sequens declarat figura:

[Salinas, De musica, 30,1; text: EXTREMVM minus, 10, MEDIVM Harmonicum, 16, MEDIVM Geometricum, 20, MEDIVM Arithmeticum, 25, EXTREMVM maius, 40, Differentiae, 6, 24, 15, Media quadrata 256, 400, 625, producta ex differentijs, 144, 225, SVMMA, RESIDVVM] [SALMUS1 09GF]

De noua ratione inueniendi tria Media (Arithmeticum, Geometricum, et Harmonicum) ex eorum et Extremorum differentijs.

CAPVT XXV.

QVae hactenus de trium Mediorum inuentione attulimus, ea pleraque nobis cum alijs, qui de hac re scripserunt, conueniunt. Id vero nemo est, qui ex ijs, quorum ad me scripta publice edita peruenerunt, considerauerit, quod, cognitis Extremis, et quales eorundem ac Mediorum oporteat esse Differentias, eo ipso statim et Media patere possunt. Quae eorum inuestigandorum ratio cum superioribus et facilior sit, et ipsis Medijs magis propria, (quid enim eis magis sit proprium, quam id, per quod constituta, inter se et differunt, et definiuntur?) facere non possum, quin eam praemissis praeceptis, iam vsu receptis, adiungam. Verum, cum tota haec ratio ex Differentiarum pendeat natura ac proprietate, de ea quaedam praemittenda videntur. Sciendum igitur imprimis est, Differentias esse vel aequales, vel inaequales. aequales sunt in proportionalitate Arithmetica, in caeteris inaequales. Cumque Arithmeticae differentiae proportionem constituant aequam simpliciter et per se; reliquae non per se, sed alteri proportioni aequam constituunt, Harmonicae quidem proportioni diuisae, Geometricae vero diuidentibus. Quod in quadruplae diuisione videre licet, quae sit 40. ad 10: in ea differentiarum Arithmeticarum 15. ad 15. proportio aequa est: Harmonicarum vero 24. ad 6. proportio aequa est quadruplae diuisae, sicut Geometricarum 20. ad 10. duplis eam diuidentibus, quae sunt 20. ad 10, et 40. ad 20. Quae, et plura quae sequuntur, in hac formula intueri licebit:

[Salinas, De musica, 30,2; text: Exemplum Quadruplae tripliciter diuisae. Minus extremum. Medium Harmonicum. Medium Geometricum. Medium Arithmeticum. Maius extremum. Quadrupla diuidenda, 1. 4, Quadrupla diuisa, 10. 16. 20. 25. 40, Mediorum et extremorum differentiae. 6. 24, 15. 15, Differentiarum proportiones. Quadrupla aequa diuisae, Dupla aequa diuidentibus, AEqua, Proportio Geometrica diuidenda, Dupla] [SALMUS1 09GF]

[31] Cumque proportionum Geometrice diuidentium vtralibet (nam aequales sunt) duplo a diuisa superetur, simul proportio differentiarum Geometricarum ab Harmonicarum proportione duplo vincatur necesse est, vt in eodem exemplo patet. diuisa enim quadrupla Geometrice, vtralibet proportionum diuidentium, 20. ad 10, et 40. ad 20, duplo a quadrupla diuisa superatur: cumque et differentiae Geometricae, 20. ad 10, duplam constituant, et Harmonicae, 24. ad 6, quadruplum; manifestum est ab his illas eadem proportione superari. Itaque si quis velit tres differentiarum proportiones ad vnum aliquem terminum communem constituere, eum terminum Arithmeticus quidem aequabit, Arithmeticum vero superabit Geometricus, et Geometricum item Harmonicus, ita vt, quoties Arithmeticum Geometricus, toties Geometricum contineat Harmonicus, solumque superetur Arithmeticus, superetque Harmonicus, Geometricus vero tam superet, quam superetur; et tantum superet, quantum superetur: superat enim Arithmeticum eadem parte, qua ab Harmonico superatur. Nam si, eadem quadrupla tripliciter diuisa, triplices oriantur differentiae, vt in praemissa figura, harumque omnium vnum terminum communem constituamus 2, erit reliquus terminus Arithmeticus quidem 2, Geometricus vero 4, et Harmonicus 8: nam communi termino 2. aequus est 2, quem 4. vt duplo superat, ita et ab 8. duplo superatur. Cuius contrarium contingit in tribus Medijs inter eadem extrema collocatis. nam Geometricum superat non Arithmeticum, sed Harmonicum; ab Arithmetico vero superatur eadem parte, qua ab ipso superatur Harmonicum: nam, cum sint tria Media quadruplae, 16. 20. 25, superatur 16. quarta sui parte a 20, itemque 20. quarta sui parte superatur a 25. Plura de Differentiarum natura ac proprietate afferri possent; sed nos, ne longius ab instituto diuagari videamur, nunc ea, quae praesenti negocio maxime conducere videntur, memoriae mandanda recensebimus. In Arithmetica igitur proportionalitate notandum est differentias esse aequales, proportiones vero inaequales, ita vt maior proportio minoribus numeris, minor maioribus contineatur. In Geometrica contra inaequales sunt differentiae, proportiones vero aequales. Praeterea differentia minor ad minus extremum, maiorque ad maius sunt numeri secundi et compositi, hoc est, qui communi mensura coniunguntur; idque ita vt, quoties minor mensura metitur differentiam minorem, toties maior metiatur maiorem; quod de maxima communi mensura accipiendum est, quae non potest omnibus esse eadem, sed minor est, quae metitur differentiam et extremum minora, maior autem, quae maiora. Medium quoque Geometricum ad vtrumque extremum est compositum; non tamen vni tantum, sed duplici subijcitur mensurae, quippe ijsdem, quibus et differentiae; quarum alteram habet communem cum minori extremitate, alteram cum maiori. estque his mensuris illud proprium, quod eadem a se inuicem distant proportione, qua Medium ab extremis: quare minor mensura tot partibus superatur a maiori, quot minus extremum a Medio, Mediumque ab extremo maiori. Suntque quatuor haec in eadem proportione, minus extremum cum Medio, Medium cum extremo maiori, duae differentiae, et duae communes mensurae. Mensurarum vero altera metitur Medium, differentiamque et extremum minora, altera Medium, et differentiam atque extremum maiora. In Harmonica tandem proportionalitate tam differentiae quam proportiones inaequales sunt. nam sicut proportio in numeris minoribus reperitur in proportionalitate Arithmetica maior, et in Geometrica aequa, ita in Harmonica minor, contraque in numeris maioribus maior. Differentiae vero constituunt proportionem eandem cum proportione diuisa. His recte intellectis, facilime percipientur ea, quae nunc de Mediorum ex Differentijs inuentione in medium allaturi sumus. In qua illud ambigi a nemine potest, praedictas ternas differentias potentia contineri in Extremorum differentia confusa, quare si communis illa ac confusa differentia distinguatur in duas partes, quales requirit quarumlibet differentiarum natura ac proprietas; deinde pars minor (vel vtralibet, si sint aequae, vt in Arithmetica proportionalitate) extremo addatur minori, [32] vel maior subtrahatur a maiori; prodeunt quaesitae differentiae. Itaque si quadruplae quaeratur medium Arithmeticum, extremorum quadruplae, 1. et 4, Differentia confusa est 3, qua in duas partes aequales diuisa, si pars altera 1 1/2 addatur extremo minori, vel subtrahatur a maiori, prodit medium Arithmeticum 2 1/2, vel 5, si, duplatis singulis, Medium integris numeris constituatur, vt in hac figura apparet:

Exemplum Quadruplae Arithmetice diuisae.

1.                 4.   Proportio diuidenda.
         3.             Differentia confusa.
  1 1/2     1 1/2       Eiusdem duae partes aequales.
       2 1/2            Medium Arithmeticum ex altera parte et minori extremo.
1.     2 1/2       4.   Proportionalitas Arithmetica Medio fracto.
2.       5.        8.   Eadem in numeris integris.

Iam cum Medium Geometricum proportiones efficiat aequales, aequa illa maioris proportionis differentia (quam diximus esse eam, quae minoribus numeris continetur) tamdiu minuenda est, donec minori extremo coniuncta, vel reliqua a maiori subtracta, eandem ad vtrumque extremum proportionem constituat, quod duobus modis experiri licet. Primum, si minor Differentia adeo sit imminuta, vt et ipsa ad minus extremum, et maior ad maius sint numeri secundi et compositi, quorum maximae communes mensurae eandem seruent proportionem, quam differentiae: quod fit, cum toties minor mensnra metitur differentiam minorem, quoties maior maiorem. Secundo, si medium Arithmeticum (quod ex aequa differentia et minori extremo componi diximus) tamdiu imminuatur, donec eandem cum vtroque extremo proportionem constituat, quod accidit, cum ad vtrumque videtur esse secundum et compositum, ita vt vtriusque communis mensurae eadem sit proportio, quae Medij ad extrema. Et hic modus superiore duabus de causis facilior esse videtur: primum, quod ratio illic habetur numeri tam aucti, quam imminuti, hic imminuti tantum: deinde quod hic Medium statim post imminutionem prodit, illic vero adhuc vel minorum coniunctione, vel maioris a maiori subtractione opus est. Quamquam interim prioris modi facilitatem id commendat, quod et minoribus numeris (quales sunt differentiae separatae) operatur, et minoris tantum Differentiae ratione habita, ea tamdiu minui potest, donec ad minus extremum numerum compositum efficiat, qui si a Differentia confusa subtrahatur, statim prodit Differentia maior, quae si item ad maius extremum numerum compositum, quali requirimus mensura, constituat, nil amplius quaerendum est, sin minus, denuo eodem modo procedendum est. Vtriusque modi exemplum proponemus in proportione 9. ad 25, cuius differentia confusa est 16; eius dimidium 8, subtracta vnitate, fit 7, qui numerus ad 9, minus extremum, non est compositus; altera autem vnitate subtracta, prodit 6, ad 9. compositus: quo sublato ex differentia confusa, relinquitur maior Differentia 10, qui cum similiter ad 25. maius extremum sit compositus, totiesque contineat communem mensuram suam, quae est 5, quoties 6. minorem mensuram, quae est 3; patet has veras esse Geometricae proportionalitatis differentias. addita igitur minore minori extremo, vel maiore sublata ex maiori, oritur medium Geometricum 15. Cuius operationis haec potest esse descriptio:

[33] MEDII GEOMETRICI INVESTIGATIO.

9.           25.   Proportio Geometrice diuidenda.
      16.          Differentia confusa.
   8.      8.      Partes aequales Differentiae confusae.
   7.              Primus ad 9, sublata Vnitate ex 8.
   6.              Compositus ad 9, sublata altera Vnitate.
          10.      Altera differentia, sublato 6. ex 16.
   3.      5.      Communes mensurae in eadem proportione cum 6. et 10.
      15.          Medium Geometricum, compositum ex 6. et 9.

Altero modo idem euenit, si, Differentiae confusae medietate minori extremo addita, vel ex maiori subtracta, constituatur Medium Arithmeticum 17, idque toties vnitate minuatur, donec ad vtrumque extremum reperiatur compositum: occurrit autem primum 16, qui numerus ad neutrum extremum compositus inuenitur: sed, qui hunc sequitur, 15, ad vtrumque compositus est, quia cum minori 9. ternarium, cum maiori 25. quinarium communem habet mensuram, qui 3. et 5. cum proportione comparentur eadem, qua 15. cum alterutro extremorum; (toties enim ternarius metitur vtriusque proportionis numerum minorem, quoties maior quinarius maiorem) patet 15. vere esse Medium Geometricum inter 9. et 25. Eius quoque operationis descriptionem subiungemus.

Altera medij Geometrici inuestigandi ratio.

9.         25. Proportio Geometrice diuidenda.
    16.        Differentia confusa.
  8.    8.     Differentiae aequales, confusa bifariam diuisa.
 17.           Medium Arithmeticum compositum ex 8. et 9.
 16.           Idem vnitate imminutum ad 9. incompositum.
 15.           Medium Geometricum tam ad 9. quam ad 25. compositum.
3.   5.        Communes mensurae in eadem proportione, in qua Medium ad
                   extremum

Medium Harmonicum ex eadem Differentia confusa eruitur, si ea diuidatur in duas partes inaequales, quae sint eiusmodi, vt proportionem constituant eandem cum proportione diuidenda, id hoc modo contingit: Diuidatur Differentia confusa per minimos proportionis diuidendae numeros similiter confusos, productum toties addatur minori extremo, quot vnitatibus constat minor proportionis numerus: vel toties subtrahatur a maiori extremo, quot vnitatibus constat numerus proportionis maior. Exempli gratia, si proportio diuidenda sit 6. ad 12; eius Differentia confusa est 6: minimi proportionis diuidendae numeri sunt 1. 2; quibus confusis componitur ternarius, per quem si diuidatur 6, prouenit binarius, qui si semel addatur minori extremo 6, vel bis subtrahatur a maiori 12, (sicut monent minimi proportionis numeri 1. et 2.) nascitur medium Harmonicum 8, cuius et extremorum Differentiae, 2. et 4, proportionem constituunt eandem cum 6. et 12, vt sequens ostendit formula:

[34] Medij Harmonici inuestigatio.

6.          12.     Proportio Harmonice diuidenda.
      6.            Differentia confusa.
1.           2.     Minimi proportionis diuidendae numeri.
      3.            Iidem confusi, diuidentes Differentiam confusam.
      2.            Productum diuisionis.
      8.            Medium Harmonicum compositum ex 2. et 6.
   2.     4.        Eiusdem differentiae in eadem proportione cum diuisa.

Et hoc modo retentis ijsdem terminis quam citissime in cognitionem Medij Harmonici peruenire possumus; cum alij nos eodem vel longioribus ambagibus deducant, vel etiam terminos datae proportionis immutent. Quod siquis obijciat, interim saepe, et quidem in omnium proportionum minimis numeris, occurrere fractiones; is sciat non minus idem in Boetij methodo euenire. Possunt autem facile vel fracti numeri reduci ad integros, vel etiam, ne eos frangi necesse sit, praecaueri. Fracti ad integros reducuntur, cum omnes integri per denominatorem multiplicantur, et numerator illius producto, cui adhaerebat, aggregatur. Vt, si sit Harmonice diuidenda sesquialtera. eius numeri sunt 3. 2, differentia confusa 1, diuisor, numeris proportionis confusis, est 5, per quem diuisa differentia confusa, prouenit 1/5, qui numerus si bis addatur extremo minori, vel ter subtrahatur a maiori, prodit medium Harmonicum 2 2/5, vt sit proportionalitas Harmonica 3. 2 2/5 2. quod si omnes integri numeri per denominatorem 5. multiplicentur, Mediique producto numerator 2. addatur, redit eadem proportionalitas numeris integris 15. 12. 10. Eodem reductionis modo supra medium Arithmeticum reddidimus integrum. Potest et a principio statim, ne fracti incidant, procurari; nam si (cum differentia confusa diuisor aut maior est, aut non omnem diuidendo absumit) minimi datae proportionis numeri per eosdem confusos multiplicentur, termini efficiuntur eiusmodi, in quibus minimis Medium Harmonicum integrum constitui queat. Vt in eodem sesquialterae exemplo, si numeri proportionis diuidendae sint 3. 2, vel 18. 12; quoniam in prioribus differentia confusa, 1, minor est diuisore; in alteris differentia 6. a diuisore 5. non consumitur, sed relinquitur 1/5; ideo, ne incidant fracti, multiplicandi sunt minimi numeri 3. 2. per diuisorem 5, quo facto, prodeunt 15, et 10, qui sunt minimi numeri, in quibus integris sesquialtera Harmonice diuidi potest, in quibus quia differentia confusa diuisori semper est aequalis, omissa diuisione, statim numero proportionis minore minori extremo addito, vel maiore ex maiori subtracto, prodit medium Harmonicum. nam addito 2. minori 10, vel subtracto 3. ex 15, relinquitur 12, cuius ad extrema differentiae sunt 3. 2; quae cum proportionem diuisam referant, certum est 12. esse medium Harmonicum.

Quo pacto demonstretur omnem Inaequalitatem ab AEqualitate procedere.

CAPVT XXVI.

ET quoniam dubitari non potest, vt a puncto lineam, et ab vnitate numerum, sic omnem inaequalitatem ab aequalitate procedere, superest vt, priusquam huic operis parti finis imponatur, id quonam pacto fieri contingat, ostendamus; quandoquidem, non temere, aut casu, sed certo constantique ordine id euenire, compertum est. Nam aequalitatem priorem esse inaequalitate, atque illa praestantiorem, nemini dubium esse potest, et multis in locis id asserit Diuus Augustinus, vnde aequalitatis proportio prior erit inaequalitatis [35] proportionibus; eo tamen ordine, vt ab aequis creentur Multiplices, a Multiplicibus conuersis Superparticulares, et a Superparticularibus conuersis Superpartientes, a rectis autem Multiplices superpartientes, denique a Superpartientibus rectis Multiplices superpartientes. Quod si cui experiri lubet, disponat primum duos terminos aequales, siue sint vnitates, siue binarij, siue quilibet alij, qui proportionem aequam contineant, deinde subijciat illis alteros duos, primum primo aequalium parem, secundum ex vtroque aggregatum: et comperiet ex aequa nasci duplam, ex dupla triplam, ex tripla quadruplam; et rursus ex dupla, sed conuersa, sesquialteram, ex tripla sesquitertiam; mox ex conuersa sesquialtera superbipartientem tertias, ex sesquitertia supertriquartam; at ex recta sesquialtera duplam sesquialteram, ex sesquitertia duplam sesquitertiam, denique ex recta superbitertia duplam superbitertiam, ex supertriquarta duplam supertriquartam, vt subiecta figura demonstrat:

[Salinas, De musica, 35,1; text: EX AEQVIS oriuntur Multiplices. EX MVLTIplicibus conuersis superparticulares. EX SVPERparticularibus conuersis superpartientes. EX SVPERparticularibus rectis Multiplices superparticulares. EX SVPERpartientibus rectis Multiplices superpartientes. AEqua, 1 1, Dupla conuersa, 2 1, Sesquialtera conuersa, 3 2, Sesquialtera recta, 2 3, Superbitertia recta, 3 5, Dupla, 1 2, Sesquialtera, Superbitertia, Dupla sesquialtera, 2 5, Dupla superbitertia, 3 8, Tripla, 1 3, Tripla conuersa, 3 1, Sesquitertia conuersa, 4 3, Sesquitertia recta, 3 4, Supertriquarta recta, 4 7, Quadrupla, 1 4, Sesquitertia, Supertriquarta, Dupla sesquitertia, 3 7, Dupla supertriquarta, 4 11] [SALMUS1 10GF]

Nos hic in duobus tantum numeris exempla proposuimus, quod plurium numerorum consideratio ad Musicum non pertineat, vt in fine sequentis libri patebit. Sed nequis interim nobis vitio verteret, quod a Boetij, viri grauissimi, autoritate recesserimus, qui tam in Musica, quam in Arithmetica trium numerorum exempla proposuit; ipsius quoque Boetij nunc statim exempla breui collecta typo subiungimus.

[Salinas, De musica, 35,2; text: EX AEQVIS oriuntur Multiplices. EX MVLTIplicibus conuersis superparticulares, EX SVPERPARticularibus conuersis superpartientes. EX SVPERparticularibus rectis Multiplices superparticulares. EX SVPERpartientibus rectis Multiplices superpartientes. AEquae, 1 1 1, duplae conuersae, 4 2 1, sesquialterae conuersae, 9 6 4, sesquialterae rectae, 4 6 9, superbitertiae rectae, 9 15 25, Duplae, 1 2 4, sesquialterae, superbitertiae, duplae sesquitertiae, 4 10 25, duplae superbitertiae, 9 24 64, Triplae, 1 3 9, triplae conuersae, 9 3 1, sesquitertiae conuersae, 16 12 9, sesquitertiae rectae, 9 12 16, supertriquartae rectae, 16 28 49, Quadruplae, 1 4 16, sesquitertiae, supertriquartae, duplae sesquitertiae, 9 21 49, duplae supertriquartae, 16 44 121] [SALMUS1 10GF]

Hactenus Boetij exempla, in quibus sciendum est, tertij numeri procreandi regulam a prioribus differre. Nam certam numerus quisque in sui procreatione regulam sequitur: oritur enim primus quidem ex primo, secundus ex secundo, tertius ex tertio, et sic deinceps, verum ita, vt numero procreanti semper antecedentes coniungantur, quidam semel, quidam saepius, vt numeri cuiusque procreandi regula docet. Regulae igitur trium numerorum hae sunt:

Primi numeri procreandi regula.

Ponatur primus semel.

Regula secundi.

Ponatur primus semel, et secundus semel.

[36] Regula tertij.

Ponatur primus semel, secundus bis, tertius semel.

Quod si quis plures velit procreare numeros, pluribus indigebit et regulis; quae quamuis infinitae sint, sicut et numeri, in quibus contingit procreatio; est tamen omnium conficiendarum certus quidam ac determinatus modus, quo siquis vnam atque alteram conficere sciat, statim omnes calleat necesse est. is, cum a nemine hactenus descriptus inueniatur, nobisque diuino obtigerit beneficio, benigne omnibus hoc loco videtur esse communicandus.

Quod non a tribus tantum, sed a quotlibet terminis aequalibus omnis inaequalitas producatur. CAPVT XXVII.

BOetius hunc inaequalitatis ab aequalitate processum, disciplinam profundissimam vocat, quae ad omnem naturae vim, rerumque integritatem maxima ratione pertineat, magnumque in hac scientia fructum esse affirmat. Quod cum ita sit, non video cur ea imperfecta fuerit relinquenda. nec enim ille eam amplius quam in tribus numeris ostendit: vnde et commentator eius Girardus Ruffus concludit, inaequalitatem quidem progigni ab aequalitate, non tamen a quantacunque, sed a trina tantum: idemque sentit Iacobus Faber Stapulensis in septuagesima noni Iordani, cur autem eam non in pluribus terminis aequalibus quam in tribus ostenderint, omnes sese excusant; Boetius quidem, ni infinita sectaretur, et circa res obscurissimas ingredientium animos detinens ab vtilioribus remoraretur; Girardus Ruffus autem, quod id pluribus in terminis fieri nequeat, eoque rerum omnium principium vnitrinum (vt ipse vocat) significetur, quandoquidem creationis initium sit Pater, medium Filius, terminus Spiritus sanctus; denique Faber hanc eandem ob causam Pythagoricos, inquit, et Magos, et Priscos sacerdotes, omnesque qui de rebus agant diuinis, admirari aequalitatem, pariter et trinitatem in suis arcanis in imagine numerorum venerari tacitos. Nos trinitatis mysterijs nihil derogamus, verum hoc loco non a trina tantum aequalitate, sed a quotlibet terminis aequalibus inaequalitatem produci ostendemus: nec hanc rem adeo obscuram esse, et, vt Boetius opinatur, circa infinita versari, sed certis terminis, limitibus, ac regulis comprehensam, perspicue omnes doceri posse probabimus; idque duplici via. primum enim simpliciter, qua via, quibusque regulis id fiat, ostendemus: deinde, ne causa ignoretur, quamobrem his regulis id efficiatur, perspicua demonstratione omnem haesitantibus scrupulum mouebimus. Iamque, quod ad ostensionem attinet, tria imprimis agemus. primum, qui numeri a quibus oriantur, docebimus; secundo modos, seu regulas aliquot, secundum quas haec contingit procreatio, trademus: tertio triplicem harum regularum conficiendarum rationem aperiemus. Numeri oriuntur ex aequis multiplices; ex his conuersis superparticulares; ex superparticularibus autem rectis quidem positis multiplices superparticulares, ex conuersis autem superpartientes; denique ex superpartientibus rectis multiplices superpartientes. quod autem diximus, ex aequis oriri multiplices, id certo quodam ordine fieri intelligendum est, ita vt primum atque immediate ex aequis nascantur duplices, ex his tripli, ex triplis quadrupli, et ad eundem ordinem consequentes: quod ipsum quoque ita accipiendum est in reliquis proportionum generibus; vt cum dico, ex multiplicibus oriri superparticulares, significo, ex prima multiplicium specie primam superparticularium oriri, ex secunda secundam, ex tertia tertiam, et ita deinceps. Contingit autem haec procreatio certis quibusdam regulis, quae tot sunt, quot et numeri procreandi: quare cum Boetius non nisi vsque ad tres numeros procederet, tres tantum secutus est regulas: quibus nos, breuitati studentes, tres tantum adiungemus, et in sex terminis, inaequalitatis ab aequalitate processum ostendemus; et tandem harum regularum confectionem, seu originem aperiemus, quaquis cognita, [37] infinitas eiusmodi regulas constituere possit, quibus adiutus simili modo non tantum in tribus, aut sex, sed quotquot libuerit terminis procedat.

Regula prima, de procreatione primi cuiusque ordinis numeri.

Ponatur primus semel.

Regula secunda, de procreatione secundi.

Ponatur primus semel, et secundus semel.

Regula tertia, de procreatione tertij.

Ponatur primus semel, secundus bis, tertius semel.

Regula quarta, de procreatione quarti.

Ponatur primus semel, secundus ter, tertius ter, quartus semel.

Regula quinta, de procreatione quinti.

Ponatur primus semel, secundus quater, tertius sexies, quartus quater, quintus semel.

Regula sexta, de procreatione sexti.

Ponatur primus semel, secundus quinquies, tertius decies, quartus decies, quintus quinquies, sextus semel.

Hae regulae breuiter sequenti figurae includuntur.

[Salinas, De musica, 37; text: 1, Regula prima. Regula secunda. 2, Regula tertia. 3, Regula quarta. 4, 6, Regula quinta. 1, 10, 5, Regula sexta. Primus, Secundus, Tertius, Quartus, Quintus, Sextus] [SALMUS1 11GF]

Secundum has regulas procreantur ex aequis duplices, et ex his tripli, vt sequens demonstrat figura:

AEqui    1    1    1    1    1    1
Dupli    1    2    4    8   16   32
Tripli   1    3    9   27   81  243

In hac figura primus ordo sex terminos aequales continet, secundus totidem duplos, tertius triplos; et inuenitur primus duplorum procreatus ex primo aequalium semel posito; secundus ex primo et secundo, semel positis; tertius primo semel, secundo bis, tertio semel positis; et sic caeteri secundum praemissas regulas: eodemque modo positis duplicibus, oriuntur tripli: et duplis conuersis positis, prodeunt sesquialterae, vt in hac patet figura:

Dupli conuersi   32  16   8    4   2   1
Sesquialterae    32  48  72  108 162 243

Idem et in caeteris generibus experiri licet. Nos ne longiores simus, nunc statim modum docebimus, quo tum praemissae regulae sunt confectae, tum quotlibet aliae, quibus ab infinitis terminis aequalibus ad inaequalium procreationem procedatur, confici queunt. [38] circa quod notandum est, has regulas ex certis numeris componi, qui aduerbialiter proseruntur, vt semel, bis, ter, quater; quos Positionum numeros appellare licebit, quod doceant, quoties quemque ex illis numeris, ex quibus alios procreare volumus, poni oporteat, continetque prima regula numerum positionum vnum, secunda duos, tertia tres: et prima regula respondet primo numero procreando, secunda secundo, tertia tertio, et sic deinceps. itaque si ex duplis velimus procreare numerum triplorum tertium continet tertia regula tres positionum numeros, qui sunt, 1. 2. 1, quorum primus tribuendus est duplorum primo, secundus secundo, tertius tertio: docetque primus primum duplorum ponendum esse semel, secundus secundum bis, tertius tertium semel, quibus coniunctis oritur 9, qui est tertius triplorum; vt in hac ostenditur figura.

[Salinas, De musica, 38,1; text: 1. Primus duplorum semel positus. 2. Secundus duplorum bis positus. 4. Tertius duplorum semel positus. 9. Tertius triplorum ex duplorum collectione procreatus.] [SALMUS1 11GF]

In quo exemplo illud simul obseruatu dignum est, quod sicut in qualibet actione tria concurrunt, quae sunt agens, patiens, et modus agendi: ita et in hac numerorum procreatione, triplices concurrunt numeri, procreans, procreandus, et is, qui docet procreandi modum: vt in praedicto exemplo numerus procreandus est 9. tertius triplorum; procreantes sunt tres dupli 1. 2. 4; quique modum procreandi docent, sunt tres positionum numeri 1. 2. 1, quorum primus docet, primum duplorum ponendum esse semel, secundus secundum bis, tertius tertium semel. Quare cum regulae ex numeris positionum componantur, hi quomodo nascantur, ostendendum est. utque appareat, nos non infinita (vt Boetius autumat) sectari; rem omnem non vno tantum limite complectemur, sed tres modos, quibus hae regulae confici possunt, proponemus. primum enim numerorum positionum alterius ab altero ex continua ab vnitate serie originem aperiemus: deinde singulorum ex binis coniunctis compositionem explicabimus: denique eorundem ex ordine, quo in qualibet regula ponuntur, ortum enodabimus. Circa primum modum sciendum est, ex numeris positionum alium esse primum, alium secundum, alium tertium, et sic deinceps, vt in praemissa Regularum figura apparuit. oriuntur igitur ex primis positionum numeris secundi, ex secundis tertij, ex tertijs quarti, et sic caeteri, hoc modo: Primi positionum numeri omnes sunt vnitates, quarum prima dat primum secundorum; prima, et secunda collectae secundum; prima, secunda, et tertia tertium; prima, secunda, tertia, et quarta quartum: eodemque modo collectis ordine ab vnitate secundis, oriuntur tertij, et ex tertijs quarti, vt sequens declarat figura:

[Salinas, De musica, 38,2; text: Longitudo, 1, Primi, 2, 3, 4, 5, 6, Secundi, 10, 15, 21, Tertij, 20, 35, 56, Quarti, 70, 126, Quinti, 252, Sexti, Latitudo. Numeri Positionum.] [SALMUS1 11GF]

Altero modo coniunctis binis proximis cuiusque regulae numeris, oritur numerus sequentis regulae, vltimo coniunctorum in ordine respondens. Verbi gratia, ex primo, et secundo oritur secundus; ex secundo, et tertio tertius; ex tertio, et quarto quartus: vt in superiori [39] regularium figura, coniunctis quintae regulae numero tertio, et quarto, oritur quartus sextae regulae. qua ratione Regularum illa figura nullo labore in infinitum extendi potest; Sicut et proxima figura: nam et in ea numerus quisque ex duobus, qui eum, alter secundum longitudinem, alter secundum latitudinem, antecedunt, compositus esse videtur.

Sed his duobus modis tertius, quem nunc afferemus, longe praestat. Nam primo modo numeri Positionum ita alij ex alijs colliguntur, vt secundum eum sexti procreari nequeant, nisi praesciantur quinti; nec quinti, nisi extent quarti; nec quarti, nisi ex tertijs. Secundo modo similiter sextae regulae numeri constitui nequeunt, nisi ex quinta, et haec ex quarta, quarta ex tertia, tertia ex secunda, secunda ex prima. quare si quis, verbi gratia, regulam vigesimam nosse velit, omnes ordine regulas vsque ad vigesimam componat necesse est. Tertio autem modo numeri alij quidem oriuntur ex alijs, verum ita, vt omnes sint eiusdem regulae atque ordinis, nec alterius ordinis numeri praeexigantur. idque hac obseruatione. Quae proportio est numeri inuentorum ad inueniendos, eadem est proportio inter vltimo inuentum, et primum inueniendorum. vt siquis numeros Quintae regulae, qui quinque sunt, inuestigare velit, primus erit vnitas: (idque generaliter in omnibus regulis) inuento vno, restant inueniendi quatuor; quae igitur proportio est inter vnum et quatuor, eadem est inter inuentum, qui erat 1, et inueniendum, qui ob id erit 4: inuentis duobus, restant inueniendi tres; quae igitur est proportio inter inuentos duos, et inueniendos tres, hoc est, inter 2. et 3, eadem erit inter vltimo inuentum, qui erat 4, et primum inueniendorum, qui idcirco erit 6: inuentis tribus numeris, restant inueniendi duo; quae igitur est proportio inter 3. et 2, eadem erit inter vltimo inuentum, hoc est, 6, et primum inueniendorum, is igitur erit 4: iam quatuor inuentis, vnus inueniendus restat; sed et vltimus inuentorum fuit 4, ergo 1. tribuetur inueniendo. Nunc ante, quam demonstrationem exordiamur, pauca quaedam, scitu non iniucunda, quae circa mirum horum numerorum ordinem ac connexionem obseruauimus, exponemus. Quorum primum est, quod numeri a medio, vel a medijs aequidistantes sunt aequales; maximusque medius existit, minimi vero primus, et vltimus; a quibus tanquam gradibus aequalibus ad medium ascenditur: vel potius a primo vsque ad medium ascenditur, moxque ijsdem gradibus ad vltimum descenditur; sicut Sol a parte Horizontis orientali vsque ad circulum Meridianum ascendit, deinde totidem gradibus ad Occidentem denuo delabitur. exemplum huius obseruationis esto regula decima, et vndecima: decimae regulae numeri sunt, 1. 9. 36. 84. 126. 126. 84. 36. 9. 1; vndecimae, 1. 10. 45. 120. 210. 252. 210. 120. 45. 10. 1. est autem Medius numerus nunc vnus, nunc duo: vnus quidem in regula tertia, quinta, septima, caeterisque imparibus; duo vero in regula quarta, sexta, octaua, ac reliquis paribus. Alterum est, quod in regulis imparibus primus Medius ad duos vicinos, inter quos immediate ponitur, constituit proportionem duplam, secundus sesquialteram, tertius sesquitertiam, quartus sesquiquartam, et sic caeteras proportiones superparticulares, vt in his numeris ostenditur:

[Salinas, De musica, 39; text: Numeri Positionum. Dupla, 1 2 1, Ex regula tertia. Sesquialtera, 4 6 4, Ex regula quinta. Sesquitertia, 15 20 15, Ex regula septima. Sesquiquarta, 56 70 56, Ex regula nona. Sesquiquinta, 210 252 210, Ex regula vndecima. Medium antecedens, Medius, Medium sequens numerus] [SALMUS1 12GF]

[40] Tertium, quod in regulis paribus, duo medij aequales ad circumuicinos proportionem efficiunt primi triplam, secundi duplam, tertij superbipartientem tertias, quarti sesquialteram, quinti superbipartientem quintas; et sic alternatim, per superparticulares, et superpartientes omnes, procedunt, vt in his numeris apparet:

[Salinas, De musica, 40; text: Numeri Positionum. Tripla, 1 3 3 1, Ex regula quarta, Dupla, 5 10 10 5, Ex regula sexta, Superbipartiens tertias, 21 35 35 21, Ex regula octaua, Sesquialtera, 84 126 126 84, Ex regula decima, Superbipartiens quintas, 330 442 442 330, Ex regula duodecima, Medios antecedens, Primus Medius, Secundus Medius, Medios sequens] [SALMUS1 12GF]

Quartum et vltimum est, quod numeri positionum cuiusque regulae collecti, constituunt ordinem duplorum. nam prima regula continet vnitatem, secunda duas, tertia quatuor, quarta 8, quinta 16; vt in praemissa Regularum figura, numeris vniuscuiusque regulae collectis, videre licet.

Inaequalitatis ab aequalitate processus Demonstratio.

CAPVT XXVIII.

NVnc de afferenda Demonstratione datam fidem liberamus. Ad eam vero quibusdam tum Definitionibus, tum Sententijs communibus indigemus, quas statim praemittimus.

Definitio prima.

Numerus Simplex est, qui alterum, ad quem simplex dicitur, semel continet: Multiplex, qui saepius; Duplex, qui bis: Superparticularis, qui semel, et partem; Sesquialter, qui semel, et partem dimidiam: Superpartiens, qui semel, et duas partes; superbipartiens tertias, qui semel, et duas tertias: Multiplex superparticularis, qui saepius, et partem; Duplus sesquialter, qui bis, et partem dimidiam: Multiplex superpartiens, qui saepius, et partes; Duplus superbipartiens, qui bis, et duas partes; Duplus superbipartiens tertias, qui bis, et duas tertias.

Definitio secunda.

Originales numeri dicuntur, quibus positis alij procreantur.

Definitio tertia.

Numeri Positionum sunt, qui indicant, quoties quemque Originalium numerorum, vt ex eis alius procreetur, poni oporteat.

Prima communis Sententia.

Vnusquisque numerus, semel positus, sibi similem procreat.

Secunda.

Ordo numerorum continuus vsque ad senarium in quolibet proportionum genere talis est:

[41] [Salinas, De musica, 41; text: AEquales. 1. AEQVALES. Dupli. 2. 4. 8. 16. 32. MVLTIPLICES. Dupli conuersi. MVLTIPLICES CONVERSI. Sesquialteri. 48. 72. 108. 162. 243. SVPERPARTICVLARES, Dupli sesquialteri. 80. 200. 500. 1250. 3125. MVLTIPLICES SVPERPARTICVLARES. Sesquialteri conuersi. SVPERPARTICULARES CONVERSI. Superbipartientes. 405. 675. 1125. 1875. 3125. SVPERPARTIENTES. Dupli superbipartientes, 648. 1728. 4608. 12288. 32768. MVLTIPLICES SVPERPARTIENTES.] [SALMUS1 13GF]

Tertia.

Dupli numeri oriuntur, cum numero proxime antecedenti, vel eius originalibus additur simplum; Tripli, cum duplum; Quadrupli, cum triplum: Sesquialteri, cum pars altera; Sesquitertij, cum tertia: Superbipartientes tertias, cum duae tertiae; Supertriquarti, cum tres quartae: Dupli sesquialteri, cum simplum, et pars altera: Dupli superbitertij, cum simplum, et duae tertiae; et sic deinceps.

Quarta.

Simplum, Duplum, Triplum alicuius numeri, dicitur sequens eiusdem ordinis numerus. similiter et Subduplum, Subtriplum, sequens numerus dicitur, sed ordine conuerso. Idem dicendum est in coeteris proportionum generibus, vt in singulis ordinibus secundae Communis Sententiae videre est.

Argumentum sequentium propositionum.

Prioribus quinque propositionibus ostenditur, ac demonstratur, qui numeri quorum sint Originales: numeri autem Positionum sex deinde sequentibus propositionibus demonstrantur.

Propositio prima.

Ex AEqualibus Dupli, ex Duplis Tripli, reliquique ex ordine Multiplices oriuntur.

Sit numerus Duplus 2, erit igitur duplus ad 1; (per primam definitionem) cui si addatur simplum, oritur 2: (per tertiam communem sententiam) Simplum vero eius est sequens numerus: (per quartam communem sententiam) quaeratur igitur Ordo numerorum, in quo numerum quemlibet datum sequatur simplum; nec inuenietur nisi Ordo AEqualium. (per primam definitionem, et per secundam communem sententiam) Quod ipsum similiter in Triplorum a Duplis origine, coeterisque ad eundem modum consequentibus Multiplicibus demonstrari potest: quare patet, ex AEqualibus Duplos, ex Duplis Triplos, reliquosque deinceps Multiplices oriri.

Propositio secunda.

Ex Multiplicibus Conuersis oriuntur Superparticulares.

Sit 3. Sesquialter, eritque sesquialter ad 2; (per primam definitionem) cui si addatur dimidium, oritur 3: (per tertiam communem sententiam) dimidium vero eius dicitur sequens numerus: (per quartam communem sententiam) quaeratur igitur Ordo numerorum, in quo binarium sequatur dimidium; nec inuenietur, nisi ordo Duplorum. (per primam definitionem, et secundam communem sententiam) Similiter et Sesquitertios ex Triplis, Sesquiquartos ex Quadruplis, coeterosque Superparticulares ex coeteris Multiplicibus Conuersis oriri ostendi potest: constat igitur, ex Multiplicibus Conuersis oriri Superparticulares.

Propositio tertia.

Ex Superparticularibus oriuntur Multiplices superparticulares.

Sit 5. Duplex sesquialter, eritque talis ad 2; (per secundam communem sententiam) cui [42] si addatur simplum et dimidium, efficitur 5: (per tertiam communem sententiam) sed simplum et dimidium refertur ad numerum proxime sequentem; (per quartam communem sententiam) neque in vllo numerorum Ordine binarium, vel quemcunque alium numerum simplum et dimidium sequi reperitur, praeterquam in Sesquialteris: (per secundam communem sententiam) ergo ex Sesquialteris oriuntur Dupli sesquialteri, et ex illis Tripli sesquialteri, et coeteri Multiplices. Simili modo ostendi potest, ex Sesquitertijs oriri Duplos sesquitertios, et ex Sesquiquartis Duplos sesquiquartos, et ita deinceps: quare patet ex Superparticularibus oriri Multiplices superparticulares.

Propositio quarta.

Ex Superparticularibus conuersis oriuntur Superpartientes.

Sit 5. Superbipartiens tertias, eritque talis ad 3; (per primam definitionem) cui si addantur duae tertiae, oritur 5: (per tertiam communem sententiam) sed duae tertiae Ternarij dicitur numerus ternarium in eodem ordine proxime sequens; (per quartam communem sententiam) nec nisi in Sesquialteris conuersis talis reperitur: (per secundam communem sententiam) ergo ex Sesquialteris conuersis oriuntur Superbipartientes. Similiter ex Sesquitertijs Supertripartientes, coeterosque deinceps superpartientes oriri demonstrari potest: ergo ex Superparticularibus Conuersis oriuntur Superpartientes.

Propositio quinta.

Ex Superpartientibus oriuntur Multiplices superpartientes.

Sit 8. Duplus superbipartiens tertias, eritque 3. eius subduplus superbitertius; (per primam definitionem) cui si addatur simplum, et duae tertiae, hoc est, proxime sequens numerus (per quartam communem sententiam) orietur 8: (per tertiam communem sententiam) Sed in nullo numerorum Ordine reperitur ternarium sequi simplum et duae tertiae, nisi in Superbipartientibus: (per secundam communem sententiam) ergo ex Superbipartientibus oriuntur Dupli superbipartientes, et ex ijs Tripli superbipartientes, aliique deinceps Multiplices. Similiter et ex Supertripartientibus Duplos supertripartientes, ex Superquadripartientibus Duplos superquadripartientes, et ita deinceps oriri ostendi potest: ergo liquet, ex Superpartientibus oriri Multiplices superpartientes.

Colligitur ex his quinque propositionibus, numeris quibuslibet rectis quidem positis, oriri Multiplices tam puros, quam mixtos, seu compositos; illos ex AEquis, hos ex Superparticularibus et Superpartientibus: ita vt ex Simplicibus Duplices, ex Duplicibus Triplices, et sic deinceps nascantur; e Conuersis vero Multiplicibus Superparticulares et ex his Superpartientes.

Propositio sexta.

Primus semel positus procreat primum.

Primus Duplorum est Vnitas; (per secundam communem sententiam) quam nequis falso existimet ideo in omnium Multiplicium Ordinum principio poni, quod non numerus, sed principium sit numerorum, dico eam hoc loco pro numero poni: non enim ab Vnitatibus, sed ab AEqualibus numeris, qualescunque illi sint, Inaequales, primumque Duplos oriri contendimus. quapropter, cum pro numero ponatur, alia opus est demonstratione; quod ipsum et reliqui omnes, qui Multiplices sequuntur, Ordines confirmant, in quibus locum Vnitas ne quidem sortitur vllum, nedum primum. Dico igitur primum numerum a primo, semel posito, procreari; quia numerus quisque semel positus parem sibi procreat: (per primam communem sententiam) primus autem in omnibus ordinibus, praeterquam in aequalibus, soli primo par reperitur: (per secundam communem sententiam) ergo primus semel positus primum procreat. In AEqualibus quoque a primo [43] semel posito primum Duplorum procreari probari potest. Sit enim primus Duplorum Vnitas; is cum ab AEqualibus generetur, (per primam propositionem) AEqualium quoque ordinem ex Vnitatibus componi necesse est. Oritur autem a Prima vnitate. nam si ab alia oriatur, ea primam aut antecedet, aut sequetur: non antecedit; (per secundam communem sententiam) nec sequentium vlla est prima: (per eandem) ergo, cum haec prima sit Duplorum, id a prima habeat necesse est. (per primam communem sententiam) Huc accedit, quod a primis secundi, non a secundis primi oriuntur: (per tertiam communem sententiam) qui nihilominus Secundi, non Primi, dicendi sunt, quod non a solis primis, sed, dum illis accedunt, oriuntur.

Propositio septima.

Primus et secundus, semel positi, procreant secundum.

Secundus Duplorum est 2, (per secundam communem sententiam) quem antecedit vnitas; (per eandem) cui, vel Originali eius si accedat simplum, procreatur 2: (per tertiam communem sententiam) Originalis vero eius est primus AEqualium semel positus; (per praecedentem propositionem) cuius simplum est proxime sequens numerus, (per quartam communem sententiam) idque si semel ponatur, alioqui non esset simplum seu simile: (per primam communem sententiam) quare primus et secundus AEqualium, semel positi, secundum Duplorum procreant. Similiter a primo et secundo Duplorum semel positis, secundum Triplorum procreari, idemque eodem modo in coeteris proportionum generibus ac speciebus ita sese habere ostendi potest: ergo in vniuersum primus et secundus, semel positi, procreant tertium. Eodem modo in sequentibus propositionibus, quod nos, breuitatis causa, de sola Duplorum specie dicimus, de omnibus proportionum generibus, ac speciebus, dictum, ac conclusum intelligi debet.

Propositio octaua.

Primus semel, secundus bis, tertius semel, positi procreant tertium.

Tertius Duplorum numerus est 4, (per secundam communem sententiam) quem antecedit 2; (per eandem) cui, vel originalibus eius numeris simplo addito, procreatur 4: (per tertiam communem sententiam) sed originales binarij sunt AEqualium primus et secundus numerus, semel positi; (per praecedentem) quorum simplum sunt proxime sequentes numeri: (per quartam communem sententiam) ergo primo et secundo semel positis, semel quoque ponendi restant proxime sequentes numeri, hoc est, secundus et tertius. quibus positionibus coniunctis, sequitur ponendum esse primum semel, secundum bis, tertium semel, vt sequens declarat figura:

Ordo numerorum ponendorum    primus    secundus    tertius
Primae positiones            semel     semel
Secundae positiones                    semel       semel
Summa positionum             semel     bis         semel

Propositio nona.

Primus semel, secundus ter, tertius ter, quartus semel, positi procreant quartum.

Quartus Duplorum est 8, (per secundam communem sententiam) quem antecedit 4; (per eandem) cui, vel Originalibus eius si adijciatur simplum, procreatur 8: (per tertiam communem sententiam) sed Originales quaternarij sunt primus semel, secundus bis, tertius semel, positi; (per praecedentem) et horum simplum sunt (per quartam communem sententiam) proxime sequentes numeri, qui sunt secundus semel, tertius bis, quartus semel: his igitur positionibus omnibus coniunctis, patet primo semel, secundo et tertio ter, [44] quarto semel, positis, procreari quartum; quod in sequenti typo clarius perspicitur.

Ordo numerorum       primus      secundus     tertius     quartus
Primae positiones    semel       bis          semel
Secundae positiones              semel        bis         semel
Summa positionum     semel       ter          ter         semel

Propositio decima.

Primus semel, secundus quater, tertius sexies, quartus quater, quintus semel, positi, procreant quintum.

In Duplis quintus est 16, (per secundam communem sententiam) quem antecedit 8; (per eandem) cui, vel originalibus eius adiecto simplo, generantur 16: (per tertiam communem sententiam) sed originales octonarij sunt primus AEqualium semel, secundus et tertius ter, quartus semel, positi; (per praecedentem) simplum autem horum sunt numeri proxime sequentes: (per quartam communem sententiam) coniungatur igitur Originalibus simplum (quod est secundus semel, tertius et quartus ter, quintus semel, positi) et patebit manifeste, quintum numerum procreari, dum ponitur primus semel, secundus quater, tertius sexies, quartus quater, quintus semel, vt sequens ostendit figura:

Ordo numerorum         primus   secundus  tertius  quartus quintus
Primae positiones      semel    ter       ter      semel
Secundae positiones             semel     ter      ter     semel
Summa positionum       semel    quater    sexies   quater  semel

Propositio vndecima.

Primus semel, secundus quinquies, tertius et quartus decies, quintus quinquies, sextus semel, positi constituunt sextum.

Sextus Duplorum numerus est 32, (per secundam communem sententiam) quem antecedit 16; (per eandem cui, vel originalibus eius si accedat simplum, procreatur 32: (per tertiam communem sententiam) originales vero 16. sunt primus AEqualium semel, secundus quater, tertius sexies, quartus quater, quintus semel, positi, (per praecedentem) et horum simplum sunt proxime sequentes numeri: (per quartam communem sententiam) positis igitur et proxime sequentibus numeris secundo semel, tertio quater, quarto sexies, quinto quater, sexto semel, patet his cum superioribus, quorum sunt simplum, coniunctis, ad sexti numeri procreationem primum ponendum esse semel, secundum quinquies, tertium et quartum decies, quintum quinquies, sextum semel; quod ex sequenti typo liquidius colligere licet.

Ordo numerorum       primus secundus   tertius  quartus  quintus      sextus
Primae positiones    semel  quater     sexies   quater   semel
Secundae positiones         semel      quater   sexies   quater       semel
Summa positionum     semel  quinquies  decies   decies   quinquies    semel

Hae sex vltimae propositiones sex regulis supra traditis respondent, quibus pauciores tradere noluimus; ne, si nulla exemplorum appareret varietas, obscuri esse videremur. sed nec pluribus exemplis opus est, quando innumerae aliae regulae eodem modo, quo sex praedictae, et confici, et demonstrari possunt. Quod si quis hic nobis obijciat, non nisi [45] duorum numerorum considerationem ad Musicum pertinere, ideoque nos ne quidem ad tres, nedum ad sex vsque procedere oportuisse: Respondemus eandem esse scientiam paucorum et plurium; nec posse quenquam, quod in pluribus quomodo se habeat ignorat, eius certam in vno atque altero assignare rationem. Nos igitur, qui scientiae tradendae munus suscepimus, non immerito pluribus vsi sumus exemplis; quando sine illis nec duarum illarum regularum, quae ad nos pertinent, scientia perfecte haberi potest. Si quis has sex propositiones breui figurae inclusas intueri cupiat, is sciat huic loco plane eam conuenire, quam in capite praecedenti de sex regulis proposuimus. Multa quidem alia, scitu dignissima, de numeris ac eorum inter se comparationibus afferri potuissent, sed haec potissimum visa sunt nobis, quae de priori subiecti Musicae parte, quae ad numerum pertinet, Harmonicus considerare deberet. nunc ad posteriorem, quae ad sonos spectat, diuini numinis auxilio copiosius explicandam pergemus.

PRIMI DE MVSICA LIBRI FINIS.