Back to top

[89] COMPENDIUM MUSICAE

(I)

Huius obiectum est sonus.

Finis, vt delectet, variosque in nobis moveat affectus. Fieri autem possunt cantilenae simul tristes et delectabiles, nec mirum tam diversae: ita enim elegeiographi et tragoedi eo magis placent, quo maiorem in nobis luctum excitant.

Media ad finem, vel soni affectiones duae sunt praecipuae: nempe huius differentiae, in ratione durationis vel temporis, et in ratione intensionis circa acutum aut grave. Nam de ipsius soni qualitate, ex quo corpore et quo pacto gratior exeat, agant Physici.

[90] Id tantùm videtur vocem humanam nobis gratissimam reddere, quia omnium maxime conformis est nostris spiritibus. Ita forte etiam amicissimi gratior est, quàm inimici, ex sympathiâ et dispathiâ affectuum: eâdem ratione quâ aiunt ovis pellem tensam in tympano obmutescere, si feriatur, lupinâ in alio tympano resonante.

[91] [II]

Praenotanda.

Primo. Sensus omnes alicuius delectationis sunt capaces.

Secundo. Ad hanc delectationem requiritur proportio quaedam obiecti cum ipso sensu. Vnde fit vt, verbi gratiâ, strepitus scloporum vel tonitruum non videatur aptus ad Musicam: quia scilicet aures laederet, ut oculos solis adversi nimius splendor.

Tertio. Tale obiectum esse debet, vt non nimis difficulter et confuse cadat in sensum. Vnde fit vt, verbi gratiâ, valde implicata aliqua figura, licet regularis fit, qualis est mater in Astrolabio, non adeo placeat aspectui, quam alia, quae magis aequalibus lineis constaret, quale in eodem rete esse solet. Cuius ratio est, quia plenius in hoc sensus sibi satisfacit, quàm in altero, vbi multa sunt quae satis distincte non percipit.

Quarto. Illud obiectum facilius sensu percipitur, in quo minor est differentia partium.

Quinto. Partes totius obiecti minus inter se differentes esse dicimus, inter quas est maior proportio.

Sexto. Illa proportio Arithmetica esse debet, non Geometrica. Cuius ratio est, quia non tam multa in eâ sunt advertenda, cùm aequales sint vbique differentiae, ideoque non tantopere sensus fatigetur, vt omnia quae in eâ sunt distincte percipiat.

[Descartes, Compendium, 91; text: 2, 3, 4] [DESCOM 01GF]

Exemplum: proportio linearum [92] facilius oculis distinguitur, quàm harum, quia, in primâ, oportet tantùm advertere vnitatem pro differentiâ cuiusque lineae;

[Descartes, Compendium, 92; text: 2, sqrt8, 4, a b, c] [DESCOM 01GF]

in secundâ verò, partes a b et b c, quae sunt incommensurabiles, ideoque,vt arbitror, nullo pacto simul possunt à sensu perfecte cognosci, sed tantùm in ordine ad arithmeticam proportionem: ita scilicet, vt advertat in parte a b, verbi gratiâ, duas partes, quarum 3 in b c existant. Vbi patet sensum perpetuo decipi.

Septimo. Inter obiecta sensûs, illud non animo gratissimum est, quod facillime sensu percipitur, neque etiam quod difficillime; sed quod non tam facile, vt naturale desiderium, quo sensus feruntur in obiecta, plane non impleat, neque etiam tam difficulter, vt sensum fatiget.

Octavo. Denique notandum est varietatem omnibus in rebus esse gratissimam. Quibus positis,agamus de primâ Soni affectione, nempe:

[III]

De numero vel tempore in sonis observando.

Tempus in sonis debet constare aequalibus partibus, quia illae sunt quae omnium facillime sensu percipiuntur, ex quarto praenotato; vel partibus quae sint in proportione [93] duplâ vel triplâ, nec vlterius fit progressio; quia hae omnium facillime auditu distinguuntur, ex quinto et sexto praenotatis.

Si verò magis inaequales essent mensurae, auditus illarum differentias sine labore agnoscere non posset, vt patet experientiâ. Si enim contra vnam notam quinque, verbi gratiâ, aequales vellem ponere, tunc sine maximâ difficultate cantari non posset.

Sed, dices, possum quatuor notas contra vnam ponere, vel octo; ergo vlterius etiam ad hos numeros debemus progredi. Sed respondeo hos numeros non esse primos inter se; ideoque novas proportiones non generare, sed tantùm multiplicare duplicem. Quod patet ex eo quòd poni non possint nisi combinatae; neque enim possum tales notas solas ponere

[Descartes, Compendium, 93,1] [DESCOM 01GF]

vbi secunda est quarta pars primae; sed sic

[Descartes, Compendium, 93,2] [DESCOM 01GF]

vbi secundae vltimae sunt media pars primae; sicque est tantùm proportio dupla multiplicata.

Ex his duobus proportionum generibus in tempore, orta sunt duo genera mensurarum in Musicâ: nempe, per divisionem in tria tempora, vel in duo. Haec autem divisio notatur percussione, vel battutâ, [94] vt vocant, quod fit ad juvandam imaginationem nostram; quâ possimus facilius omnia cantilenae membra percipere, et proportione quae in illis esse debet delectari. Haec autem proportio talis servatur saepissime in membris cantilenae, vt possit apprehensionem nostram ita juvare, vt dum vltimum audimus, adhuc temporis, quod in primo fuit et quod in reliquâ cantilenâ, recordemur; quod fit, si tota cantilena vel 8, vel 16, vel 32, vel 64, et caetera, membris constet, vt scilicet omnes divisiones a proportione duplâ procedant. Tunc enim, dum duo prima membra audimus, illa instar vnius concipimus; dum tertium membrum, adhuc illud cum primis coniungimus, ita vt sit proportio tripla; postea, dum audimus quartum, illud cum tertio iungimus, ita vt instar vnius concipiamus; deinde duo prima cum duobus vltimis iterum coniungimus, ita vt instar vnius illa quatuor concipiamus simul. Et sic ad finem vsque nostra imaginatio procedit, vbi tandem omnem cantilenam vt vnum quid ex multis aequalibus membris conflatum concipit.

Pauci autem advertunt, quo pacto haec mensura sive battuta, in musicâ valde diminutâ et multarum vocum, auribus exhibeatur. Quod dico fieri tantùm quâdam spiritûs intensione in vocali musicâ, vel tactûs in instrumentis, ita vt initio cuiusque battutae distinctiùs sonus emittatur. Quod naturaliter observant cantores, et qui ludunt instrumentis, praecipue in cantilenis ad quarum numeros solemus saltare et tripudiare: haec enim regula ibi servatur, vt singulis corporis motibus singulas Musicae battutas distinguamus. Ad quod agendum etiam naturaliter impellimur à [95] Musicâ: certum enim est sonum omnia corpora circumquaque concutere, vt advertitur in campanis et tonitru, cuius rationem Physicis relinquo. Sed cùm hoc in confesso sit, et vt diximus, initio cuiusque mensurae fortiùs et distinctiùs sonus emittatur: dicendum est etiam illum fortiùs spiritus nostros concutere, à quibus ad motum excitamur. Vnde sequitur etiam feras posse saltare ad numerum, si doceantur et assuescant, quia ad id naturali tantùm impetu opus est.

Quod autem attinet ad varios affectus, quos variâ mensurâ Musica potest excitare, generaliter dico, tardiorem lentiores etiam in nobis motus excitare, quales sunt languor, tristitia, metus, superbia, et caetera; celeriorem verò, etiam celeriores affectus, qualis est laetitia, et caetera. Eodem etiam pacto dicendum de duplici genere battutae: nempe quadratam, sive quae in aequalia perpetuo resolvitur, tardiorem esse quàm tertiata, sive quae tribus constat partibus aequalibus. Cuius ratio est, quia haec magis occupat sensum, cùm in eâ plura sint advertenda, nempe tria membra, vbi in aliâ tantùm duo. Sed huius rei magis exacta disquisitio pendet ab exquisitâ cognitione motuum animi, de quibus nihil plura.

Non omittam tamen tantam esse vim temporis in Musicâ, vt hoc solum quandam delectationem per se possit afferre: vt patet in tympano, instrumento bellico, in quo nihil aliud spectatur quàm mensura. Quae ideo, opinor, ibi esse potest, non solùm duabus vel tribus partibus constans, sed etiam forte quinque aut septem alijsque. Cùm enim, in tali instrumento, sensus nihil aliud habeat advertendum quam tempus, idcirco [96] in tempore potest esse major diversitas, vt magis sensum occupet.

[IV]

De sonorum diversitate circa acutum et grave.

Haec tribus maxime modis potest spectari: vel scilicet in sonis qui simul emittuntur à diversis corporibus, vel in illis qui successive ab eâdem voce, vel denique in illis qui successive à diversis vocibus vel corporibus sonoris. Ex primo modo consonantiae oriuntur; ex secundo, gradus; ex tertio, dissonantiae, quae magis ad consonantias accedunt. Vbi patet in consonantijs minorem esse debere sonorum diversitatem, quàm in gradibus: quia scilicet illa magis auditum fatigaret, in sonis qui simul emittuntur, quàm in illis qui successive. Idem etiam proportione dicendum de differentiâ graduum ab illis dissonantijs quae in relatione tolerantur.

[V]

De consonantijs.

Advertendum est, primo, vnisonum non esse consonantiam, quia in illo nulla est differentia sonorum in acuto et gravi; sed illum se habere ad consonantias, vt vnitas ad numeros.

Secundo, ex duobus terminis, qui in consonantiâ [97] requiruntur, illum qui gravior est, longe esse potentiorem, atque alium quodammodo in se continere. Vt patet in nervis testudinis, ex quibus dum aliquis pulsatur, qui illo octavâ vel quintâ acutiores sunt, sponte tremunt et resonant; graviores autem non ita, saltem apparenter. Cuius ratio sic demonstratur; sonus se habet ad sonum, vt nervus ad nervum; atqui in quolibet nervo omnes illo minores continentur, non autem longiores; ergo etiam in quolibet sono omnes acutiores continentur, non autem contrà graviores in acuto. Vnde patet acutiorem terminum esse inveniendum per divisionem gravioris; quam divisionem debere esse arithmeticam, hoc est in aequalia, sequitur ex praenotatis.

[Descartes, Compendium, 97; text: A, B, C, D, E] [DESCOM 01GF]

Sit igitur A B gravior terminus; in quo si velim acutiorem terminum primae consonantiarum omnium invenire, illum dividam per primum numerorum omnium, nempe per binarium, vt factum est in C: et tunc A C, A B, primâ consonantiarum omnium distant ab invicem, quae octava et diapasson appellatur. Quod si rursum alias consonantias habere velim, quae immediate sequuntur primam, dividam A B in tres partes aequales: tuncque non habebo duntaxat vnum acuturn terminum, sed duos, nempe A D et A E; ex quibus nascentur duae consonantiae huiusdem generis, nempe duodecima et quinta. Rursus possum dividere lineam [98] AB in quatuor partes, vel in quinque, vel in sex; nec vlterius fit divisio, quia scilicet aurium imbecilitas sine labore majores sonorum differentias non posset distinguere.

Vbi notandum est, ex primâ divisione oriri tantùm vnam consonantiam; ex secundâ, duas; ex tertiâ, tres, et caetera, vt sequens Tabula demonstrat:

[Descartes, Compendium, 98; text: Prima Figura. Octava. Duodecima, Decima quinta, Decima septima, Decima nona, quinta. Decima majora, duodecima, quarta. Sexta majora, Ditonus. Tertia minora, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 2/3, 2/4, 2/5, 2/6, 3/4, 3/5, 3/6, 4/5, 4/6, 5/6] [DESCOM 01GF]

Hic nondum omnes consonantiae sunt; sed vt reliquas inveniamus, agendum est prius

[VI]

De octava.

Hanc primam esse consonantiarum omnium, et quae facillime post vnisonum auditu percipiatur, patet ex [99] dictis. Atque etiam in fistulis experimento comprobatur: quae si validiori flatu inspirentur quàm solent, statim vnâ octavâ acutiorem edent sonum. Neque ratio est, quare immediate ad octavam deveniat potius quàm ad quintam vel alias, nisi quia octava omnium prima est, et quae omnium minime differt ab vnisono. Vnde praeterea sequi existimo, nullum sonum audiri, quin huius octava acutior auribus quodammodo videatur resonare. Vnde factum est etiam in testudine, vt crassioribus nervis, qui graviores edunt sonos, alij minores adiungerentur, vnâ octavâ acutiores, qui semper unà tanguntur, et efficiunt vt graviores distinctiùs audiantur. Ex quibus patet nullum sonum, qui cum vno octavae termino consonabit, posse cum alio eiusdem octavae dissonare.

Alterum est in octavâ notandum: nempe illam consonantiarum omnium maximam esse, id est, omnes alias in illâ contineri, vel ex illâ componi et alijs quae in eâ continentur. Quod demonstrari potest ex eo, quòd consonantiae omnes constent partibus aequalibus; vnde fit vt, si illarum termini amplius quàm vnâ octavâ distent ab invicem, possim absque vllâ divisione vlteriori gravioris termini vnam octavam acutiori addere, ex quâ vnâ cum residuo illam componi apparebit. Exemplum sit A B, divisus in tres aequales partes,

[Descartes, Compendium, 99; text: A, B, C, D] [DESCOM 02GF]

ex quibus AC, AB, distent vnâ duodecimâ: dico illam duodecimam componi ex octavâ et ejus residuo, nempe quintâ. Componitur enim ex A C, A D, quod [100] est octava, et ex A D, A B, quod est quinta; et ita accidit in caeteris.

Vnde fit vt octava non ita multiplicet numeros proportionum, si alias componat, quàm caeterae omnes; ideoque sola sit, quae possit geminari. Si enim illa geminetur, 4 tantùm efficit; vel 8, si iterum geminet(ur). Si autem, verbi gratiâ, quinta, quae post illam prima est, geminetur, 9 efficiet; nam à 4 ad 6 est quinta; item à 6 ad 9, qui numerus longe major est quàm 4, et excedit seriem primorum sex numerorum, in quibus omnes supra consonantias inclusimus.

Ex quibus sequitur cuiuscunque generis consonantiarum tres esse species: nempe vna est simplex, alia composita à simplici et octavâ, tertia composita à simplici et duabus octavis. Nec vlterius alia species additur, quae componatur à tribus octavis et aliâ consonantiâ simplici, quia hi sunt limites, nec vltra tres octavas fit progressio: quia scilicet tunc nimis multiplicarentur numeri proportionum. Vnde deducitur omnium omnino consonantiarum catalogus generalis, quem in sequenti Tabulâ expressi:

[101] [Descartes, Compendium, 101; text: Secunda figura. Octavae. Quintae. Ditoni. Quartae. Sextae majores, Tertiae minores, Sextae minores, Consonantiae simplices, Compositae primae, Compositae secundae, 1/2, 2/3, 4/5, 3/4, 3/5, 5/6, 5/8, 1/4, 1/3, 2/5, 3/8, 3/10, 5/12, 5/16, 1/8, 1/6, 1/5, 3/16, 3/20, 5/24, 5/32] [DESCOM 02GF]

Hîc sextam minorem addidimus, quam tamen nondum inveneramus in superioribus. Sed illa potest educi ex dictis de octavà: à quâ si ditonus abscindatur, residuum erit sexta minor. Sed mox clarius.

Nunc verò, cùm iam iam dixerim omnes consonantias in octavâ contineri, videndum est quomodo id fiat, et quomodo ex illius divisione procedant, vt illarum natura distinctius agnoscatur.

Primum autem, ex praenotatis, certum est id fieri [102] debere per divisionem Arithmeticam, siue in aequalia. Quid autem sit quod dividi debeat,

[Descartes, Compendium, 102; text: A, B, C, D, E, F] [DESCOM 02GF]

patet in nervo A B, quod distat ab A C, parte C B; sonus autem A B distat à sono A C vnâ octavâ; ergo spatium octavae erit pars soni C B. Illa est igitur quae dividi debet in duo aequalia, vt tota octava dividatur: quod factum est in D. Ex quâ divisione vt sciamus quae consonantia proprie et per se generetur, considerandum est AB, qui gravior est terminus, dividi in D: non in ordine ad se ipsum, tunc enim divideretur in C, vt ante factum est; neque enim jam dividitur vnisonus, sed octava, quae duobus constat terminis, ideoque, dum gravior terminus dividitur, id fit in ordine ad alium acutiorem, non ad se ipsum. Vnde fit vt consonantia, quae ex illâ divisione proprie generatur, sit inter terminos A C, A D, quae est quinta, non inter A D, A B, quae quarta est: quia pars D B est tantùm residuum, et per accidens consonantiam generat, ex eo quòd ille sonus, qui cum vno octavae termino consonantiam efficit, etiam cum alio debeat consonare.

Rursum verò, diviso spatio C B in D, potero eâdem ratione dividere C D in E: vnde directe generabitur ditonus, et per accidens reliquae omnes consonantiae. Nec vlterius idcirco C E opus est dividere. Quod si tamen fieret, verbi gratiâ, in F, inde oriretur tonus maior, et per accidens minor, et semitonia, de quibus postea. In voce enim successivâ admittuntur, non in consonantijs.

Neque quis putet imaginarium illud quod dicimus, [103] proprie tantum ex divisione octavae quintam generari et ditonum, caeteras per accidens. Id enim etiam experientiâ compertum habeo, in nervis testudinis vel alterius cuiuslibet instrumenti: quorum vnus si pulsetur, vis ipsius soni concutiet omnes nervos qui aliquo genere quintae vel ditoni erunt acutiores; in ijs autem qui quartâ vel aliâ consonantiâ distabunt, id non fiet. Quae certe vis consonantiarum non nisi ex illarum perfectione potest oriri vel imperfectione, quae scilicet primae per se consonantiae sint, aliae autem per accidens, quia ex alijs necessario fluunt.

Videndum autem est, vtrum id verum sit quod supra dixi, omnes consonantias simplices in octavâ contineri. Quod optime fiet, si C B mediam partem soni A B, quae octavam continet, volvam in circulum, ita vt punctum B cum puncto C iungatur; deinde ille circulus dividatur in D et E, vt divisum est C B. Ratio autem quare ita omnes consonantiae debent inveniri, est quia nihil consonat cum vno octavae termino, quin etiam cum alio consonet, vt supra probavimus. Vnde fit vt, si in sequenti figurâ vna pars circuli consonantiam efficiat, residuum etiam debeat aliquam consonantiam continere.

Ex hac figurâ apparet, quàm recte octava diapasson appelletur: quia scilicet omnia consonantiarum aliarum intervalla in se complectitur. Hîc autem consonantias simplices tantùm adhibuimus, vbi si compositas etiam velimus invenire, oportet duntaxat cuilibet ex superioribus intervallis integrum vnum circulum [104] vel duos integros adiungere; vbi apparebit octavam omnes consonantias componere.

[Descartes, Compendium, 104; text: CB, D, E, Tertia minor, Hexachordon maius, Ditonus, Hexachordon minus, Diatessaron. Diapenti, Diapasson] [DESCOM 03GF]

Ex iam dictis elicimus omnes consonantias ad tria genera posse referri: vel enim oriuntur ex primâ divisione vnisoni, illae quae octavae appellantur, et hoc est primum genus; vel secundo, oriuntur ex ipsius octavae divisione in aequalia, quae sunt quintae et quartae, quas idcirco consonantias secundae divisionis vocare possumus; vel denique, ex ipsius quintae divisione, quae consonantiae sunt tertiae et ultimae divisionis.

[105] Rursum divisimus in illas quae per se ex illis divisionibus oriuntur, et in illas quae per accidens; tresque duntaxat per se consonantias esse diximus: quod etiam potest confirmari ex primâ figurâ, in quâ consonantias ex numeris ipsis elicuimus. In illâ enim advertendum est, tres esse duntaxat numeros sonoros, 2,

3 et 5; numerus enim 4 et numerus 6 ex illis componuntur, atque ideo tantum per accidens numeri sunt sonori: vt ibi etiam patet, vbi in recto ordine et rectâ lineâ non generant novas consonantias, sed duntaxat illas quae ex prioribus componuntur. Verbi gratiâ, 4 generat decimam quintam, 6 autem decimam nonam; per accidens autem et in lineâ transversâ, 4 generat quartam, et 6 tertiam minorem. Vbi obiter notandum in numero quattuor quartam immediate ab octavâ generari, et esse veluti quoddam monstrum octavae deficiens et imperfectum.

[VII]

De quinta.

Haec est consonantiarum omnium gratissima atque auribus acceptissima, ideoque illa in cantilenis omnibus quodammodo praesidere et primarium locum occupare consuevit. Vnde modi oriuntur; sequitur autem illud ex septimo praenotato: cum enim, vt ex iam dictis patet, sive ex divisione, sive ex numeris ipsis, consonantiarum perfectionem eliciamus, tres tantùm proprie consonantiae reperiantur, inter quas mediam [106] sedem obtinet, certe erit illa quae neque tam acriter vt ditonus, neque tam languide vt diapasson, sed omnium iucundissime auribus resonabit.

Rursum ex secunda figurâ patet, esse tria genera quintae, vbi duodecima medium locum occupat; quam ideo perfectissimam quintam esse inquiemus. Vnde sequeretur hac sola in Musicâ nobis vtendum fore, nisi, vt diximus in vltimo praenotato, varietas necessaria esset ad delectationem.

Sed obijcies octavam aliquando solam sine varietate poni in Musicâ, cùm verbi gratiâ duo eandem cantilenam vnius vocis, sed vnus alio octavâ acutiùs, simul canunt; in quintâ autem idem non accidit. Vnde sequi videtur, octavam omnium consonantiarum dicendam esse gratissimam, potius quam quinta.

Respondeo tamen inde potius confirmari quod diximus, quàm infirmari: ratio enim quare ita octava possit poni, est quia vnisonum in se complectitur, tuncque duae voces instar vnius audiuntur. Quod idem in quintâ non accidit: huius enim termini magis inter se differunt, ideoque plenius auditum occupant. Vnde illico fastidium oriretur, si sine varietate in cantilenis sola adhiberetur. Quod exemplo confirmo: ita enim in gustu citiùs nos taederet, si perpetuo saccharo et eiusmodi delicatissimis edulijs vesceremur, quàm si solo pane, quem tamen non adeo, vt illa sunt, palato gratum esse nullus negat.

[107] [VIII]

De quarta.

Haec infelicissima est consonantiarum omnium, nec vnquam in cantilenis adhibetur, nisi per accidens et cum aliarum adiumento. Non quidem quòd magis imperfecta sit, quàm tertia minor aut sexta; sed quia tam vicina est quintae, vt coram huius suavitate tota illius gratia evanescat.

Ad quod intelligendum, advertendum est nunquam in Musicâ quintam audiri, quin etiam quarta acutior quodammodo advertatur. Quod sequitur ex eo quod diximus, in vnisono octavâ acutiorem sonum quodammodo resonare. Sit enim, verbi gratiâ, AC distans a DB

[Descartes, Compendium, 107; text: A, B, C, D, E, F] [DESCOM 03GF]

vnâ quintâ, et huius resonantia, octavâ acutior, fit E F; illa certe distabit à D B vnâ quartâ: vnde fit vt illa [108] quasi vmbra quintae, quod illam perpetuo comitetur, possit appellari.

Atque inde iam patet, quare illa in cantilenis primo et per se, hoc est inter bassum et aliam partem, non possit reponi. Cum enim dixerimus caeteras consonantias duntaxat ad variandam quintam esse vtiles in Musicâ, certe evidens est illam fore inutilem, cùm quintam non variet. Quod patet, quia si illa poneretur in graviori parte, quinta acutior semper resonaret: vbi facillime auditus adverteret, illam à sede propriâ ad inferiorem esse deturbatam; ideoque maxime quarta illi displiceret, quasi tantùm vmbra pro corpore, vel imago pro ipsâ re, foret obiecta.

[IX]

De ditono, tertia minore, et sextis.

Ditonum quartâ multis nominibus perfectiorem esse, patet ex dictis; quibus hoc addam, vnius consonantiae perfectionem, non ex illâ praecise consideratâ, dum est simplex, esse desumendam, sed simul ab omnibus huius compositis. Cuius ratio est, quia nunquam tam jejune sola audiri potest, quin huius compositae resonantia audiatur, cùm in vnisono etiam octavae acutioris resonantiam contineri supra dictum sit. Sic autem consideratum ditonum patet, ex secundâ figurâ, minoribus numeris constare, quàm quarta, ideoque esse perfectiorem. Quapropter etiam ibi illum ante quartam posuimus, quia in illâ figurâ omnes consonantias [109] iuxta ordinem perfectionis voluimus collocare.

Hîc autem explicandum est, quare tertium genus ditoni sit perfectissimum, atque in nervis testudinis tremulationem efficiat visu perceptibilem, potiùs quàm primum aut secundum. Quod oriri existimo, imò assero, ex eo quòd in multiplici proportione consistat, alia in superparticulari, vel multiplici et superparticulari simul.

Quare autem ex multiplici proportione perfectissimae consonantiae generentur, quas idcirco in primâ figurâ primo ordine collocavimus, sic demonstro:

[Descartes, Compendium, 109; text: A, B, C, D, E, F, G, H] [DESCOM 03GF]

Distet linea A B a C D tertio genere ditoni. Quocunque pacto imaginemur sonum ab auditu percipi, certum est facilius distingui posse, qualis sit proportio inter A B et C D, quàm verbi gratiâ inter C F et C D. Quia primum agnoscetur directe per applicationem soni A B ad partes soni CD, nempe CE, EF, FG, et caetera: nec quicquam in fine erit residui. Quod idem in proportione soni C F ad C D non accidit: si enim applicetur C F ad FH, residuum erit HD; per cujus reflexionem oportet [110] agnoscere, quae sit proportio inter C F et C D: quod longius est.

Eodem pacto illud concipietur, si quis dixerit sonum aures ferire multis ictibus, idque eo celerius quo sonus acutior est. Tunc enim, vt sonus A B perveniat ad vniformitatem cum sono C D, debet tantùm aures ferire quinque ictibus, dum C D semel feriet. Sonus autem C F non tam cito redibit ad vnisonantiam; non enim id fiet, nisi post secundum ictum soni C D, vt patet ex demonstratione superiori. Idemque explicabitur, quocumque modo sonum audiri concipietur.

Tertia minor ex ditono, vt quarta à quintâ; ideoque quartâ imperfectior est, vt ditonus quintâ. Nec ideo prohibenda est in Musicâ; illa enim ad variandam quintam non est inutilis, immò necessaria. Cùm enim octava vbique audiatur in vnisono, haec varietatem afferre non potest, cùm semper ponatur, nec solus ditonus sufficit ad varietatem: nulla enim esse potest, nisi ad minimum inter duo; quapropter ei tertia minor adiuncta est, vt illae cantilenae, vbi frequentiores sunt ditoni, differant ab ijs in quibus saepius tertia minor iteratur.

Sexta major procedit à ditono, eâdemque fere ratione participat hujus naturam, atque decima major et decima septima. Ad quod intelligendum, aspicienda est prima figura, vbi in numero quatuor, decima quinta, octava et quarta reperiuntur. Qui numerus primus est compositus, et qui per binarium, qui octavam repraesentat, ad vnitatem vsque resolvitur. Vnde [111] fit vt consonantiae omnes, quae ex illo generantur, ad compositionem aptae sint; inter quas cùm quarta reperiatur, quam supra idcirco monstrum octavae sive defectivam octavam esse diximus, inde sequitur illam etiam non esse inutilem in compositione, vbi non recurrunt eaedem rationes, quae impediunt quominus ponatur sola: tunc enim ab adiunctâ perficitur, neque amplius est quintae subdita.

Sexta minor eodem modo fit à tertiâ minore, vt major à ditono; et ita tertiae minoris naturam et affectiones mutuatur, neque ratio est quare id non esset.

Nunc sequeretur, vt de varijs consonantiarum virtutibus ad movendos affectus loqueremur; sed huius rei disquisitio exactior potest elici à iam dictis, et compendij limites excedit. Illae enim tam variae sunt, et tam levibus circumstantijs fultae, vt integrum volumen ad id perficiendum non sufficeret.

Id igitur tantùm dicam, hac de re, praecipuam varietatem ab his quatuor vltimis oriri, quarum ditonus et sexta major gratiores laetioresque sunt, quàm tertia et sexta minores; vt etiam à Practicis fuit observatum, et facilè deduci potest ex dictis, vbi tertiam minorem per accidens à ditono generari probavimus, sextam autem majorem per se, quia nihil aliud est quam ditonus compositus.

[112] [X]

De gradibus sive tonis musicis.

Duabus maxime de caussis requiruntur Gradus in Musicâ: nempe vt illorum adjumento ab vna consonantiâ ad aliam fiat transitus, quod tam commode per ipsas consonantias, cum varietate quae in Musicâ jucundissima est, fieri non possit; deinde, vt in certa quaedam intervalla omne spatium quod sonus decurrit ita dividatur, vt per illa semper et commodius, quàm per consonantias, cantus incedat.

Si primo modo spectentur, quatuor duntaxat, nec plurium, specierum gradus esse posse apparebit. Tunc enim ex inaequalitate, quae inter consonantias reperitur, debent desumi. Atqui consonantiae omnes distant tantùm ab invicem 1/8 parte, vel 1/10, vel 1/16, vel denique 1/25, praeter intervalla, quae alias consonantias efficiunt. Ergo gradus omnes consistunt in illis numeris, quorum duo primi toni appellantur, major et minor, duo vltimi dicuntur semitonia, majus item et minus.

Est autem probandum gradus sic spectatos ex inaequalitate consonantiarum generari. Quod sic ago. Quotiescunque fit transitus ab vnâ consonantiâ ad aliam, vel vnus terminus tantùm movetur, vel vterque simul; sed neutro modo potest fieri talis transitus, nisi per intervalla, quae inaequalitatem, quae est inter consonantias, designent. Ergo...

[113] Minoris prior pars sic demonstratur. Si, verbi gratiâ, ab A ad B sit quinta, et velim ab A ad C esse sextam minorem,

[Descartes, Compendium, 113; text: A, B, C, D, E, F, G] [DESCOM 04GF]

necessariò à B ad C erit differentia, quae est inter quintam et sextam minorem, nempe 1/16, vt patet.

Posterior autem pars minoris vt probetur, notandum, non solùm spectandam esse in sonis proportionem, dum simul emittuntur, sed etiam dum successive: adeo vt, quantum fieri potest, sonus vnius vocis cum proxime praecedenti alterius vocis debeat consonare; quod nunquam accidet, nisi gradus ex inaequalitate consonantiarum oriantur. Verbi gratiâ, DE sit quinta, et moveatur vterque terminus motibus contravijs, vt fiat tertia minor: si DF sit intervallum, quod non oriatur ex inaequalitate quartae à quintâ, non poterit F cum E per relationem consonare; si verò inde oriatur, potest. Et ita in caeteris, vt facile est experiri. Vbi notandum est, quod ad illam relationem attinet, nos dixisse illam debere consonare, quantum fieri potest; non enim semper potest, vt apparebit in sequentibus.

Sed si secundo modo spectentur illi gradus, nempe quomodo illi ordinandi sunt in toto sonorum intervallo, vt per illos vna vox solitaria possit immediate [114] elevari vel deprimi: tunc ex tonis iam inventis, illi duntaxat habebuntur gradus legitimi, in quos consonantiae immediate dividentur. Quod vt pateat, notandum est omne sonorum intervallum dividi in octavas, quarum vna ab alia nullo pacto potest differre, ideoque sufficere, si vnius octavae spatium sit divisum vt omnes gradus habeantur. Praeterea illam octavam iam divisam esse in ditonum, tertiam minorem et quartam. Quae sequuntur evidenter ex dictis circa vltimam figuram superioris tractatûs.

Atque ex his patet gradus non posse totam octavam dividere, nisi dividant ditonum, tertiam minorem et quartam. Quod ita fit: ditonus dividitur in tonum maiorem et tonum minorem; tertia minor, in tonum maiorem et semitonium maius; quarta, in tertiam minorem et tonum etiam minorem; quae rursum tertia dividitur in tonum maiorem et semitonium maius; et ita integra octava constat tribus tonis maioribus,duobus minoribus, et duobus semitonijs maioribus, vt patet discurrenti.

Hîcque habemus tria duntaxat graduum genera; semitonium minus enim excluditur ex eo quòd non immediate dividat consonantias, sed tonum minorem duntaxat: vt, verbi gratiâ, si dicatur ditonum constare ex tono maiore et vtroque semitonio, vtrumque enim semitonium componit tonum minorem.

Sed quare, inquies, non etiam admittitur ille gradus, qui oritur ex alterius divisione, et tantùm mediate dividit consonantias, non immediate? Respondeo, primò, vocem incedere non posse per tam varias [115] divisiones et simul cum aliâ voce differenti consonare, nisi admodum difficulter, vt facile est experiri. Praeterea semitonium minus iungeretur tono maiori, cum quo valde ingratam dissonantiam generaret; consisteret enim inter hos numeros 64 et 75; ideoque vox per tale intervallum moveri non posset.

Verùm, ut meliùs solvatur haec obiectio, notandum est acutum sonum validiori, vel spiritu in voce, vel tactu sive pulsu in nervis, indigere vt emittatur, quàm gravem: quod experitur in nervis, qui quo magis tenduntur, eo acutiorem edunt sonum; atque etiam potest probari, ex eo quòd maiori vi dividitur aer in minores partes, ex quibus exit sonus acutior. Sequitur autem etiam ex his sonum, quo acutior est, eo validiùs etiam aures ferire.

Ex quâ animadversione, vera, opinor, et primaria ratio dari potest, quare gradus sint inventi: nimirum, id factum esse existimo, ne, si per solos consonantiarum terminos vox incederet, nimia inter illos foret disproportio in ratione intensionis; quae et auditores et cantores fatigaret.

Verbi gratiâ, si velim ab A ad B ascendere, quia longe fortius

[Descartes, Compendium, 115; text: A, B, C] [DESCOM 04GF]

sonus B aures feriet, quàm sonus A, ne ista disproportio sit incommoda, ponitur in medio terminus C, [116] per quem, vt vere per gradum, facilius et absque tam inaequali spiritûs contentione ad B ascendamus.

Vnde patet, gradus nihil aliud esse, quam medium quid inter consonantiarum terminos ad illorum inaequalitatem moderandam, et per se non habere satis suavitatis vt auribus possint satisfacere, sed tantùm spectari in ordine ad consonantias. Adeo vt, dum per vnum gradum vox incedit, nondum auribus satisfiat, donec ad secundum pervenerit, qui idcirco cum priori consonantiam debet generare. Ex quibus facile diluitur obiectio superior.

Praeterea, haec vera ratio est, quare potius in voce successivâ gradus admittantur, quàm nonae aut septimae, quae ex gradibus oriuntur, et aliquae harum minoribus numeris constant quam gradus: quia scilicet huiusmodi intervalla minimas consonantias non dividunt, neque ideo possunt inaequalitatem quae est inter illarum terminos moderari.

Neque plura de graduum inventione; quos quidem ex divisione ditoni bifariam, vt ditonus ex divisione quintae, oriri possem probare; atque inde multa, quae ad illorum perfectiones varias attinent, deducere. Sed longum foret, atque ex dictis de consonantijs potest intelligi.

Iam verò de ordine, quo gradus illi in toto octavae spatio constituendi sint, est agendum. Quem dico necessariò esse debere talem, vt semper semitonium maius habeat vtrinque iuxta se tonum maiorem, item et tonus minor: cum quo scilicet hic ditonum componat, semitonium vero tertiam minorem, iuxta illa quae [117] jam annotavimus. Cùm verò octava contineat duo semitonia et duos tonos minores, vt id sine fractione fieri posset, deberet etiam 4 tonos

maiores continere. Sed quia continet tantum tres, ideo necessarium est, vt aliquo in loco vtamur fractione quâdam, quae differentia sit inter tonum maiorem et minorem, quam schisma nominamus, vel etiam inter tonum maiorem et semitonium maius, quae continet semitonium minus cum schismate: vt scilicet, harum fractionum auxilio, idem tonus maior quodammodo mobilis fiat, et duorum munere fungi possit. Quod facile videtur in figuris paginâ versâ appositis hîc, vbi totius octavae spatium in circulum volvimus, eodem modo quo in vltimâ figurâ superioris tractatûs.

Et quidem in vtrâque ex his figuris, singula intervalla vnum gradum designant, praeter duo: nempe schisma in primâ, semitonium minus cum schismate in secundâ: quae duo quodammodo mobilia sunt, ita vt ad vtrumque gradum sibi vicinum successive referantur.

Vnde fit vt non possimus, primo, in figurâ priori, per gradus à 288 ad 405 ascendere, nisi medium terminum quodammodo tremulum emittamus: ita vt, si 288 respiciat, videatur esse 480; si verò 405, tunc videatur esse 486; vt scilicet cum vtroque tertiam minorem efficiat. Atque tam exigua est differentia inter 480 et 486, vt illius termini, qui ab vtroque constituitur, mobilitas non perceptibili dissonantiâ auditum feriat.

[118] [Descartes, Compendium, 118; text: Tonus minor. Tonus maior. Semitonium majus. schisma, Semitonium minus eum Schismate. 288, 324, 360, 405, 432, 480, 486, 540, E. 288, D. 324, C. 360, [sqb]. 384, B. 405 [rob]. 432 A. 480 G. 540 F.] [DESCOM 05GF]

[119] Deinde, in secundâ figurâ, eodem pacto non possumus à termino 480 ad 324 per gradus ascendere, nisi etiam medium terminum ita efferamus, vt, si respiciat 480, sit 384; si 324, sit 405; vt cum vtroque ditonum efficiat. Sed quia inter 384 et 405 tanta differentia est, vt nulla vox ex illis ita possit temperari, quin si consonet cum vno ex extremis, maxime cum alio illam appareat dissonare: idcirco alia via quaerenda est, quâ omnium optime, si non omnino, tale incommodum tollere, saltem minuere possimus. Quae non alia est, quam illa quae in superiori figura reperitur, nimirum per vsum schismatis: hoc pacto, si velimus incedere per terminum 405, removebimus terminum G vno schismate, vt sit 486 non amplius 480; si verò incedamus per 384, mutabimus terminum D, et erit 320 loco 324; atque ita distabit tertiâ minore a 384.

Ex quibus patet, omnia spatia per quae commodissime vna vox solitaria potest moveri, in primâ figurâ contineri. Cùm enim incommodum secundae figurae correctum est, tunc illa à primâ figurâ non differt, vt facile est agnoscere.

Patet, secundo, ex dictis, illum tonorum ordinem quem Practici manum vocant, omnes modos quibus gradus ordinari possunt continere; illos enim in duabus figuris praecedentibus contineri, supra probatum est. Atqui illa manus Practicorum omnes terminos vtriusque figurae suuperioris continet, vt facile videre est in sequenti figurâ: in quâ manum illam Practicorum volvimus in circulum, vt ad figuras superiores meliùs posset referri. Ad huius tamen intelligentiam notandum est, illam incipere à termino F; vbi idcirco [120] numerum maximum adhibuimus, vt pateret illum terminum omnium esse gravissimum. Probatur autem ita esse debere, ex eo quòd à duobus tantùm locis totius octavae divisiones possimus inchoare: ita scilicet vt in illâ, vel primo loco duo toni ponantur, et post

[Descartes, Compendium, 120; text: E 288, D 320 324, C 360, [sqb] 384, B, [rob] 405, A 432, 486 480 G, F 540, Vox [rob] Mollis, Vox naturalis, Vox [sqb], ut, re, mi, fa, sol, la] [DESCOM 04GF]

vnum semitonium tres toni consequentes vltimo loco; vel contrà, vt tres toni primo loco ponantur, et duo tantùm vltimo. Atqui terminus F illa duo loca simul repraesentat: si enim ab illo per [rob] incedamus, duo tantùm sunt toni primo loco; si verò per [sqb], erunt tres. Ergo...

Iam igitur patet, primò, ex hâc figurâ et ex secundâ [121] superiori, quinque tantummodo spatia in totâ octavâ contineri, per quae vox naturaliter procedat, hoc est sine vllâ fractione et mobili termino; qui arte inveniendus fuit, vt vlterius progrederetur. Vnde factum est, vt illa quinque intervalla naturali voci tribuerentur, et sex tantùm voces inventae sint ad illa explicanda: nempe, vt, re, mi, fa, sol, la.

Patet secundo, ab vt ad re semper esse tonum minorem, à re ad mi semper tonum maiorem, à mi ad fa semper semitonium maius, à fa ad sol semper tonum maiorem, ac denique à sol ad la <semper> tonum minorem.

Patet tertio, duo tantùm esse posse genera vocis artificialis, nempe [rob] et [sqb], quia scilicet spatium inter A et C, quod à voce naturali non dividitur, potest tantùm dividi duobus modis: ita scilicet, vt semitonium ponatur primo loco, vel secundo.

Patet quarto, quare in illis vocibus artificialibus iterum notae, vt, re, mi, fa, sol, la, repetantur. Cùm enim, verbi gratiâ, ab A ad B ascendimus, cùm non aliae sunt notae quae semitonium maius significent, quàm mi et fa, inde sequitur in A ponendum esse mi, in B autem fa; et ita in alijs locis ordine est dicendum. Neque dixeris alias potiùs notas fuisse inveniendas; illae enim fuissent superfluae, cùm eadem intervalla designassent, quae ab illis notis designantur in voce naturali; praeterea incommodae, quia tanta notarum multitudo valde turbasset Musicos, tam in musicâ describendâ, quàm in canendâ.

Patet denique, quomodo fiant mutationes ab vnâ voce ad alteram: nempe per terminos duabus vocibus communes. Praeterea, has voces distare quintâ ab [122] invicem, atque vocem b mollis omnium esse gravissimam, quia incipit à termino F, quam primum esse supra probavimus. Atque ideo vocatur b mollis, quia scilicet, quo tonus est gravior, eo mollior et remissior est; minori enim opus est spiritu ad illum emittendum, vt supra notavimus. Vox autem naturalis media est, et esse debet; neque enim naturalis recte diceretur, si ad illam exprimendam vltra modum vocem oporteret elevare vel deprimere. Denique vox [sqb], [sqb] quadrati appelatur, quia acutissima est et b molli opposita; praeterea etiam, quia dividit octavam in tritonum et falsam quintam, ideoque minus suavis est quàm b molle.

Sed obijciet forte aliquis, hanc manum non sufficere, vt omnes graduum mutationes in se contineat. Sicut enim in illâ ostenditur, quomodo nobis liberum sit à voce naturali vel ad b molle vel ad [sqb] deflectere: ita deberent etiam in eâ alij vtrinque ordines adhiberi, quales in sequenti figurâ positi sunt, vt nobis eodem modo liberum foret à b molli vel ad vocem naturalem vel ad alteram partem deflectere, et ita à [sqb]. Quod confirmatur ex eo quòd practici saepe vtuntur talibus intervallis, quae explicant vel per diaesim vel per b molle, quod ideo removent à sede propriâ.

Sed respondeo, hoc pacto fore progressum in infinitum; in illâ autem manu debuisse tantùm vnius cantilenae mutationes exprimi. Atqui illas intra tres ordines contineri, demonstratur, ex eo quod in vnoquoque ordine sex tantùm termini contineantur; quorum duo mutantur, dum fit mutatio ad sequentem [123] ordinem, et ita in illo remanent tantùm quatuor termini ex ijs qui erant in priori. Quod si rursum ad tertium ordinem fiat transitus, duo iterum gradus ex quatuor praecedentibus mutabuntur; et ita remanebunt tantùm duo ex ijs qui erant in priori ordine;

[Descartes, Compendium, 123; text: Vox Naturalis. [rob], [sqb], ut, re, mi, fa, sol, la, et caetera] [DESCOM 06GF]

qui denique tollerentur in quarto ordine, si ad illum vsque fieret progressio, vt patet in appositâ figurâ. Vnde evidentissimum est, non fore tunc eandem cantilenam quae fuisset initio, cùm nullus in eâ terminus idem remaneat.

Quod autem additur de vsu diese[Omega]n, dico illas non constituere integros ordines, vt b molle vel [sqb], sed in vno solo termino consistere, quem elevant vno, opinor, semitonio minore, reliquis omnibus cantilenae [124] terminis inmutatis. Quod quomodo et quare fiat, iam satis non memini, vt possim explicare; neque item quare, dum vna duntaxat nota suprà la elevatur, illi b molle solet affigi. Quae ex praxi facile deduci posse existimo, si graduum, in quibus illa adhibentur, et vocum quae cum illis consonantias efficiunt, numeri subducantur; resque est, opinor, digna meditatione.

Denique hic posset obijci, sex voces, vt, re, mi, fa, sol, la, esse superfluas, et quatuor sufficere, cùm tria duntaxat sint diversa intervalla. Quo pacto certe Musicam cantari posse non nego. Sed quia magna differentia est inter terminos, acutum et gravem, gravisque sit longe praecipuus, vt supra notatum est, idcirco melius et commodius est, diversis notis vti, quàm ijsdem versus acutam partem et versus gravem.

Hic autem locus exigit, vt horum graduum praxim explicemus: quomodo ex illis partes Musicae sint constitutae, et quâ ratione Musica ordinaria, à practicis composita, ad iam dicta reducatur, et consonantiae omnes aliaque ejus intervalla calculo subduci possint.

Quod vt fiat, sciendum est, practicos Musicam describere intra quinque lineas, quibus etiam aliae adduntur, si cantilenae toni latius extendantur. Has autem lineas duobus gradibus ab invicem distare, ideoque inter duas ex illis semper vnam aliam subaudiri, quae brevitatis et commoditatis caussâ omittitur. Cùm autem omnes illae lineae aequaliter distent ab invicem, spatia autem inaequalia significent, idcirco duo signa inventa sunt [rob] et [sqb], quorum vnum in eâ chordâ apponitur, quae terminum [rob] fa, [sqb] mi repraesentat. Praeterea, quia vna cantilena saepe multis partibus constat, [125] quae partes separatim describuntur, nondum ex illis signis [rob] et [sqb] agnoscitur, quaenam harum partium sit superior vel inferior; idcirco alia tria signa inventa sunt: [ClefF], [ClefC], ClefG], quorum ordinem iam supra probavimus.

Quae omnia vt magis pateant, sequentem figuram

[Descartes, Compendium, 125; text: [rob] molle. [sqb] quadratum. A, B, C, D, E, F, G, ut, re, mi, fa, sol, la, et caetera, [ClefG], [ClefF], [ClefC], 72, 80 vel 81, 90, 96, 108, 120, 135, 144, 160 vel 162, 180, 192, 216, 240, 270, 288, 320 vel 324, 360, 384, 405, 432, 480 vel 486, 540] [DESCOM 06GF]

subijcio, in quâ omnes chordas expressimus, et illas minus vel magis ab invicem removimus, prout minora [126] vel maiora spatia designant, vt etiam ad oculum pateat consonantiarum proportio.

Praeterea, duplicem hanc figuram fecimus, vt pateat differentia inter [rob] et [sqb]; neque enim possunt cantilenae, quae per vnum cani debent, per aliud etiam scribi, nisi horum omnes toni quartâ vel quintâ à propriâ sede removeantur: ita scilicet vt, vbi erat terminus F, vt, fa, ibi ponatur C, sol, vt, fa.

[Descartes, Compendium, 126; text: Superius, Tenor, Contra Tenor, Bassus, A, B, C, D, E, F, G, [ClefG], [ClefF], [ClefC], 72, 80 vel 81, 90, 96, 108, 120, 135, 144, 160 vel 162, 180, 192, 216, 240, 270, 288, 320 vel 324, 360, 384, 432, 480, 540] [DESCOM 07GF]

Vlterius non progredimur. Hi enim videntur esse debere termini, cùm tres octavas dividant, intra quas omnes consonantias contineri supra diximus. Mihique [127] suffragatur vsus Practicorum: vix unquam enim hoc spatium excedunt.

Horum autem numerorum vsus est, ad exacte sciendum qualem inter se proportionem habeant singulae notae, quae in omnibus vnius cantilenae partibus continentur. Se habent enim ad invicem soni harum notarum, vt numeri qui in ijsdem chordis sunt adhibiti: adeo vt, si divisus sit nervus in 540 partes aequales, atque hujus sonus gravissimum terminum F repraesentet, eiusdem nervi partes 480 edent sonum termini G, et sic consequenter.

Atque hîc quatuor partium gradus ordinavimus, vt pateat quantum distare debeant ab invicem. Non quòd saepe alijs in locis claves [ClefF], [ClefC], et [ClefG] non apponantur, quod fit iuxta varietatem graduum quae decurruntur ab vnâquâque parte; sed quia hic modus videtur esse maxime naturalis, et est frequentissimus.

Hîc autem numeros tantùm adhibuimus in chordis naturalibus, et quandiu à sede propriâ non removentur. Si autem dieses in quibusdam notis inveniantur, vel [rob] aut [sqb], quae illas à sede propriâ removeant, tum illae alijs numeris sunt explicandae, quorum quantitas ab alijs notis aliarum partium, cum quibus ejusmodi dieses consonantiam efficiunt, est desumenda.

[XI]

De dissonantijs.

Quaelibet intervalla, praeter illa de quibus iam loquuti sumus, dissonantiae appellantur. Sed de his tantum [128] agere volumus, quae necessario in iam explicato tonorum ordine inveniuntur, adeo vt illae in cantilenis non possint non adhiberi.

Harum tria sunt genera: quaedam enim ex solis gradibus generantur et octavâ; aliae ex differentiâ quae est inter tonum maiorem et minorem, quam schisma vocavimus; aliae denique ex differentiâ quae est inter tonum maiorem et semitonium maius.

In primo genere continentur septimae, et nonae, vel decimae sextae; quae sunt tantùm nonae compositae, vt ipsae nonae nihil aliud sunt quàm gradus compositi ex octavâ; septimae autem residuum octavae, à quâ vnus aliquis gradus est ablatus. Vnde patet tres esse diversas nonas, et tres septimas, quia tria sunt graduum genera; hae autem omnes inter hos numeros consistunt:

[Descartes, Compendium, 128; text: Nona maxima, 4/9, Nona major, 9/20, Nona minor, 15/32, Septima major, 8/15, Septima minor, 5/9, Septima minima, 9/16] [DESCOM 07GF]

Ex nonis duae sunt maiores, quae oriuntur ex duobus tonis, prima ex maiori, secunda ex minori; ad quorum distinctionem vnam maximam nominavimus. Septimae contrà duae sunt minores ob eandem rationem, ideoque vnam minimam vocavimus.

Has autem in sonis successive emissis vitari non posse inter diversas partes, est clarissimum. Sed quaeret etiam forte aliquis, quare non aeque in voce successivâ eiusdem partis debeant admitti, quemadmodum gradus, cùm quasdam ex illis minoribus etiam numeris [129] explicari appareat, quàm ipsi gradus: vnde videntur auditui fore gratiores.

Cuius dubij solutio pendet ex eo quod supra notavimus: vocem, quo acutior est, eo majori indigere spiritu vt emittatur, atque ideo gradus inventos esse, vt medij sint inter terminos consonantiarum, atque per illos faciliùs à gravi vnius consonantiae termino ad acutum ascendamus, vel contrà. Quod idem praestari non posse à septimis vel nonis, patet ex eo quod harum termini magis inter se distent, quàm termini consonantiarum; ideoque cum maiori inaequalitate contentionis deberent emitti.

In secundo genere dissonantiarum consistunt tertia minor et quinta, vno schismate deficientes; item quarta et sexta maior, vno schismate auctae. Cùm enim necessariò sit vnus terminus mobilis per intervallum schismatis, in totâ graduum serie vitari non potest, quin ex eo tales dissonantiae in relatione, id est in voce successive emissa a diversis vocibus, existant.

Plures autem inde non oriri, quam iam dictae, inductione potest probari; hae autem in his numeris consistunt:

[Descartes, Compendium, 129; text: Tertia minor defectiva, 27/32, Quinta vno schismate defectiva, 27/40, Quarta vno schismate aucta, 60/81, 20/27, Sexta major schismate aucta, 48/81, 16/27] [DESCOM 07GF]

[130] Vel sic:

[Descartes, Compendium, 130,1; text: Tertia minor schismate defectiva, G ad B, 480, 405, [sqb] ad D, 384, 324, Quinta vno schismate defectiva, G ad D, Quarta vno schismate aucta, D ad G, 240, Sexta major schismate aucta, B ad G, 405, D ad [sqb], 192] [DESCOM 08GF]

Atque hi numeri tam magni sunt, vt per se talia intervalla tolerari posse non videantur. Sed quia, vt ante notavimus, tam exiguum est schismatis intervallum, vt vix auribus possit discerni: ideo illae ex consonantijs, quarum sunt proximae, suavitatem mutuantur. Neque enim consonantiarum termini ita consistunt in indivisibili, vt si vnus ex illis aliquantulum immutetur, statim omnis consonantiae suavitas pereat. Atque haec ratio tantùm potest, vt huius generis dissonantiae etiam in eiusdem partis voce successiva admittantur, loco consonantiarum è quibus exeunt.

Tertium genus dissonantiarum constituunt tritonus et falsa quinta: in hac enim pro tono maiore habetur semitonium maius, in tritono contrà. Atque his numeris explicantur: Tritonus 32/45 Falsa quinta 45/64 Vel sic:

[Descartes, Compendium, 130,2; text: Tritonus, F ad [sqb], 540, 384. B ad E, 405, 288. Falsa quinta, [sqb] ad F, 270. E ad B, 202 1/2, vel 576, 405.] [DESCOM 08GF]

[131] Qui etiam numeri nimis magni sunt ad aliquod non ingratum auribus intervallum explicandum; neque habent valde vicinas consonantias, vt praecedentes, ex quibus suavitatem mutuentur. Vnde fit vt hae vltimae in relatione debeant vitari, saltem quando fit lenta musica et non diminuta; in valde diminutâ enim, et quae celeriter canitur, non satis auditus habet otij, vt harum dissonantiarum defectum advertat: qui defectus longe evidentior est, ex eo quòd quintae sint vicinae, cum quâ idcirco auditus illas comparat, atque ex praecipuâ huius suavitate illarum imperfectionem clariùs agnoscit.

Atque iam omnium soni affectionum explicationem finiemus; vbi solummodo advertendum, ad confirmandum quod supra diximus, omnem sonorum varietatem, circa acutum et grave, oriri in Musicâ ex his tantùm numeris, 2, 3 et 5; omnes omnino numeros quibus tam gradus quam dissonantiae explicantur, ex illis tribus componi, et divisione factâ per illos tandem ad vnitatem vsque resolvi.

[XII]

De ratione componendi et modis.

Sequitur ex dictis, posse nos absque gravi errore vel solaecismo musicam componere, si haec tria observemus:

Primo Vt omnes soni, qui simul emittentur, aliquâ consonantiâ [132] distent ab invicem, praeter quartam, quae infima audiri non debet, hoc est contrà bassum.

Secundo Vt eadem vox successive moveatur tantùm per gradus vel consonantias.

Tertio Denique, vt nequidem in relatione tritonum aut falsam quintam admittamus.

Sed ad majorem elegantiam et concinnitatem haec sequentia observanda sunt:

Primo. Vt ab aliquâ ex perfectissimis consonantijs ordiamur: ita enim magis excitatur attentio, quàm si aliqua frigida consonantia initio audiretur. Vel etiam à pausâ sive silentio vnius vocis, optime: cùm enim, postquam vox quae incepit audita est, alia vox non expectata primùm aures ferit, huius novitas nos maxime ad attendendum provocat. De pausâ autem supra non egimus, quia illa per se nihil est; sed tantùm aliquam novitatem et varietatem inducit, dum vox, quae tacuit, denuò incipit cantare.

Secundo. Vt nunquam duae octavae vel duae quintae se invicem consequantur immediate. Ratio autem quare id magis expresse prohibeatur in his consonantijs quàm in alijs, est quia hae sunt perfectissimae; ideoque, dum vna ex illis audita est, tunc plane auditui satisfactum est. Et nisi illico aliâ consonantiâ ejus attentio renovetur, in eo tantùm occupatur, vt advertat parum varietatem et quodammodo frigidam cantilenae symphoniam. Quod idem in tertijs alijsque non accidit: immò, dum illae iterantur, sustentatur attentio, augeturque desiderium, quo perfectiorem consonantiam expectamus.

Tertio. Vt, quantum fieri potest, motibus contrarijs [133] partes incedant. Quod fit ad majorem varietatem: tunc enim perpetuò et motus cuiusque vocis ab adversâ, et consonantiae à vicinis consonantijs sunt diversae. Item, vt per gradus saepius, quam per saltus, singulae voces moveantur.

Quarto. Vt, dum ab aliquâ consonantiâ minùs perfectâ ad perfectiorem volumus devenire, semper ad magis vicinam deflectamus potius quam ad remotiorem: verbi gratiâ, à sextâ maiore ad octavam, à minore ad quintam, et caetera; atque idem de vnisono atque de perfectissimis consonantijs est intelligendum. Ratio autem, quare id potius servetur in motu à consonantijs imperfectis ad perfectas, quàm in motu perfectarum ad imperfectas, est quia, dum audimus imperfectam, aures perfectiorem expectant, in quâ magis quiescant, atque ad id feruntur impetu naturali; vnde fit, vt magis vicina debeat poni, cùm scilicet illa sit quam desiderant. Contra verò, dum auditur perfecta, imperfectiorem nullam expectamus; ideoque non refert vtra sit quae ponatur. Verùm iam dicta regula variat frequenter; neque iam possum meminisse, ad quas consonantias à quibuslibet et quibus motibus deceat pervenire: haec omnia pendent ab experientiâ et vsu practicorum, quo cognito facile rationes omnium et subtiles à iam dictis deduci posse existimo. Et olim deduxi multas; sed iam inter peregrinandum evanuerunt.

Quinto. Vt in fine cantilenae ita auribus satisfiat, vt nihil amplius expectent, et perfectam esse cantionem animadvertant. Quod fiet optime per quosdam tonorum ordines, semper in perfectissimam consonantiam desinentes, quos practici cadentias vocant. Harum [134] autem cadentiarum omnes species fuse Zarlinus enumerat; idem etiam habet tabulas generales, in quibus explicat, quae consonantiae post quamlibet aliam in totâ cantilenâ possint poni. Quorum omnium rationes nonnullas affert; sed plures, opinor, et magis plausibiles ex nostris fundamentis possunt deduci.

Sexto. Denique, vt tota simul cantilena, et vnaquaeque vox separatim, intra certos limites contineatur, quos Modos vocant, de quibus paulo post.

Atque haec omnia exacte quidem observanda sunt in contrapuncto duarum tantum vel etiam plurium vocum, sed non diminuto nec vllo modo variato. In [135] cantilenis autem valde diminutis et figuratis, vt ajunt, multa ex praecedentibus remittuntur. Quae vt breviter explicem, prius agam de quatuor partibus vel vocibus, quae in cantilenis solent adhiberi; licet enim in quibusdam plures vel pauciores saepe reperiantur, illa tamen videtur esse perfectissima et maxime vsitata symphonia, quae conflatur ex quatuor vocibus.

Prima et gravissima omnium harum vocum, illa est quam Bassum nominant. Haec praecipua est, et maxime aures implere debet, quia omnes aliae voces illam praecipue respiciunt; cujus rationem supra diximus. Haec autem saepe, non per gradus, sed etiam per saltus, solet incedere; cuius ratio est, quia gradus inventi sunt ad levandam molestiam quae oriretur ex inaequalitate terminorum vnius consonantiae, si immediate vnus post alium efferretur, cùm acutior longe fortius aures feriat quàm gravis. Haec enim molestia minor est in basso quam in alijs partibus: quia scilicet illa gravissima est, ideoque minus valido indiget spiritu vt emittatur, quàm caeterae. Praeterea, cùm hanc vt praecipuam aliae voces respiciant, debet magis aures ferire, vt distinctius audiatur; quod fit dum incedit per saltus, hos est per terminos minorum consonantiarum immediate, potius quàm cùm per gradus.

Secundam, quae Basso proxima est, Tenorem vocant. Haec etiam in suo genere praecipua est: continet enim subiectum totius modulationis, et est veluti nervus in medio totius cantilenae corpore, qui reliqua ejus membra sustinet et coniungit. Ideoque, quantum fieri potest, per gradus solet incedere, vt eius partes sint [136] magis vnitae, et facilius illius notae à notis aliarum vocum distinguantur.

Contratenor Tenori opponitur; nec aliâ de caussâ in Musicâ adhibetur, quàm vt contrarijs motibus incedendo varietate delectet. Solet, vt Bassus, per saltus incedere, sed non ob easdem rationes: hoc enim fit tantùm ad commoditatem et varietatem, quia inter duas voces consistit, quae incedunt per gradus. Practici ita aliquando componunt suas cantilenas, vt infra Tenorem descendat; sed hoc parvi est momenti, nec vnquam, nisi in imitatione, consequentiâ, et similibus contrapunctis artificiosis, videtur vllam novitatem afferre.

Superius est acutissima vox, et Basso opponitur: adeo vt saepe contrarijs motibus sibi invicem occurrant. Haec vox maxime per gradus debet incedere, quia, cùm acutissima sit, differentia terminorum in illâ maiorem molestiam facesseret, si nimis distarent ab invicem illi termini, quos successive efferret. Celerrime autem omnium moveri solet in Musicâ diminutâ, vt contrà Bassus tardissime. Cuius rationes patent ex superioribus: sonus enim remissior lentius aures ferit; ideoque tam celerem in eo mutationem auditus ferre non posset, quia illi non daretur otium singulos tonos distincte audiendi et caetera.

His explicatis, non omittendum est, in his cantilenis, frequenter dissonantias loco consonantiarum adhiberi; quod fit duobus modis, nempe diminutione vel syncopâ.

Diminutio est, cùm contra vnam notam vnius partis [137] duae vel quatuor vel plures in aliâ parte ponuntur. In quibus hic ordo servari debet, vt prima consonet cum notâ alterius partis; secunda verò, si gradu tantùm distet à priori, potest dissonare, atque etiam tritono vel falsâ quintâ distare ab aliâ parte: quia tunc videtur tantùm posita per accidens, atque vt via quâ à primâ notâ ad tertiam deveniamus, cum quâ debet consonare illa prima nota, atque etiam nota partis oppositae. Si verò illa secunda nota per saltus incedat, hoc est, distet à primâ intervallo vnius consonantiae, tunc etiam cum parte oppositâ debet consonare; cessat enim praecedens ratio. Sed tunc tertia nota poterit dissonare, si per gradus moveatur; cujus exemplum esto:

[Descartes, Compendium, 137; text: Superius, Syncopae, Bassus, Exemplum, 3, A, B, C, D, E, F, et caetera] [DESCOM 08GF]

Syncopa fit, cùm finis notae in vnâ voce auditur eodem tempore cum principio vnius notae adversae partis. Vt videre est in exemplo posito, vbi vltimum tempus notae B dissonat cum initio notae C; quod ideo fertur, quia manet adhuc in auribus recordatio notae A, cum quâ consonabat; et ita se habet tantùm B ad C instar vocis relativae, in quâ dissonantiae perferuntur. Immo etiam harum varietas efficit, vt consonantiae, [138] inter quas sunt sitae, melius audiantur, atque etiam attentionem excitent: cùm enim auditur dissonantia BC, augetur expectatio, et iudicium de suavitate symphoniae quodammodo suspenditur, donec ad notam D sit perventum, in quâ magis auditui satisfit, et adhuc perfectius in notâ E, cum quâ, postquam finis notae D attentionem sustinuit, nota F illico superveniens optime consonat: est enim octava. Et quidem hae syncopae idcirco in cadentijs solent adhiberi, quia magis placet, quod diutius expectatum tandem accedit; ideoque sonus post auditam dissonantiam in perfectissimâ consonantiâ vel vnisono melius quiescit. Hîc autem gradus etiam inter dissonantias sunt reponendi; quicquid enim consonantia non est, debet dici dissonantia.

Praeterea advertendum, auditui magis satisfieri in fine per octavam, quàm per quintam, et omnium optime per vnisonum. Non quia quinta illi non sit gratissima in ratione consonandi; sed quia in fine spectare debemus ad quietem, quae major reperitur in illis sonis inter quos est minor differentia, vel nulla omnino vt in vnisono. Non solùm autem haec quies sive cadentia juvat in fine; sed etiam in medio cantilenae, huius cadentiae fuga non parvam affert delectationem, cùm scilicet vna pars velle videtur quiescere, alia autem vlterius procedit. Atque hoc est genus figurae in Musicâ, quales sunt figurae Rhetoricae in oratione; cujus generis etiam sunt consequentia, imitatio, et similia, quae fiunt cùm vel duae partes successive, hoc est diversis temporibus, plane idem canunt, vel plane contrarium. Quod vltimum etiam simul facere possunt, [139] et quidem id in certis cantilenae partibus aliquando multum iuvat. Quod autem attinet ad contrapuncta illa artificiosa, vt vocant, in quibus tale artificium ab initio ad finem perpetuò servatur, illa non magis arbitror ad Musicam pertinere, quàm Acrostica aut retrograda carmina ad Poeticam, quae ad motus animi etiam excitandos est inventa, vt nostra Musica.

[XIII]

De modis.

Celebris est horum tractatus apud Practicos, et qui sint omnes norunt: idcirco foret supervacaneum explicare. Hi autem oriuntur ex eo quòd octava in aequales gradus non sit divisa: modò enim in illâ tonus, modò semitonium reperitur. Praeterea ex quintâ, quia illa omnium auribus acceptissima est, et omnis cantilena hujus tantùm gratiâ facta esse videtur. Septem enim duntaxat diversis modis octava in gradus potest dividi, quorum vnusquisque duobus iterum modis à quintâ dividi potest, praeter duo, quorum in vnoquoque semel reperitur falsa quinta loco quintae. Vnde orti sunt tantum duodecim modi, ex quibus etiam quatuor sunt minùs elegantes, ex eo quòd in horum quintis tritonus reperiatur: ita vt non possint à quintâ principali, et cujus gratiâ tota cantilena videtur componi, per gradus ascendere vel descendere, quin necessariò occurrat falsa relatio tritoni aut falsae quintae.

[140] Tres in quolibet modo sunt termini principales, à quibus incipiendum et maxime finiendum, vt omnes norunt. Vocantur autem Modi, tum ex eo quòd cantilenam cohibent, ne vltra modum hujus partes divagentur, tum etiam praecipue quia illi apti sunt ad continendum varias cantilenas, quae diversimode nos afficiant pro modorum varietate, de quibus multa Practici, verùm solâ experientiâ docti. Quorum rationes multae deduci possunt ex supra dictis. Certum enim est, in quibusdam plures ditonos et tertias minores, et in magis vel minus principalibus locis inveniri, ex quibus pene omnem Musicae varietatem oriri supra ostendimus.

Praeterea etiam idem dici posset de gradibus ipsis; tonus enim major primus est, et qui maxime ad consonantias accedit; et per se generatur ditoni divisione, alij per accidens. Ex quibus et similibus varia de horum naturâ possent deduci, sed longum foret. Et iam quidem sequeretur, vt de singulis animi motibus, qui à Musicâ possunt excitari, separatim agerem, ostenderemque per quos gradus, consonantias, tempora, et similia, debeant illi excitari; sed excederem compendij institutum.

Iamque terram video, festino ad littus; multaque brevitatis studio, multa oblivione, sed plura certe ignorantiâ hîc omitto. Patior tamen hunc ingenij mei partum, ita informem, et quasi vrsae foetum nuper editum, [141] ad te exire, vt sit familiaritatis nostrae mnemosynon, et certissimum mei in te amoris monimentum: hac tamen, si placet, conditione, vt perpetuo in scriniorum vel Musaei tui vmbraculis delitescens, aliorum iudicia non perferat. Qui, sicut te facturum mihi polliceor, ab hujus truncis partibus benevolos oculos non diverterent ad illas, in quibus nonnulla certe ingenij mei lineamenta ad vivum expressa non inficior; nec scirent hîc inter ignorantiam militarem ab homine desidioso et libero, penitusque diversa cogitante et agente, tumultuose tuî solius gratiâ esse compositum.

Bredae Brabantinorum, pridie Calendas Ianuarias. Anno MDCXVIII completo.