Back to top

[267] Incipiunt capitula libri tertii.

I. Adversum Aristoxenum demonstratio superparticularem proportionem dividi in aequa non posse atque ideo nec tonum.

II. Ex sesquitertia proportione sublatis duobus tonis toni dimidium non relinqui.

III. Adversum Aristoxenum demonstrationes diatessaron consonantiam ex duobus tonis et semitonio non constare integro nec diapason tonis sex.

IIII. Diapason consonantiam a sex tonis commate excedi et qui sit minimus commatis numerus.

V. Quemadmodum Philolaos tonum dividat.

VI. Tonum ex duobus semitoniis et commate constare.

VII. Demonstratio tonum duobus semitoniis commate distare.

VIII. De minoribus semitonio intervallis.

VIIII. De toni partibus per consonantias sumendis.

X. Regula semitonii sumendi.

XI. Demonstratio Archytae superparticularem in aequa dividi non posse eiusque reprehensio.

[268] XII. In qua numerorum proportione sit comma et quoniam in ea, quae maior sit quam .LXXV. ad .LXXIIII. minor quam .LXXIIII. ad .LXXIII..

XIII. Quod semitonium minus maius quidem sit quam .XX. ad .XVIIII., minus vero quam .XVIIII S. ad .XVIII S.

XIIII. Semitonium minus maius quidem esse tribus commatibus, minus vero quattuor.

XV. Apotomen maiorem esse quam quattuor commata, minorem quam quinque, tonum maiorem quam octo, minorem quam novem.

XVI. Superius dictorum per numeros demonstratio.

Expliciunt capitula. Incipit liber tertius.

Adversum Aristoxenum demonstratio superparticularem proportionem dividi in aequa non posse atque ideo nec tonum.

I. Superiore volumine demonstratum est diatessaron consonantiam ex duobus tonis ac semitonio, diapente vero ex tribus ac semitonio copulari, sed ea semitonia dimidium toni integrum non posse perficere, si singillatim considerata tractentur, atque ideo diapason ad sex tonos nullo modo pervenire. Sed quoniam Aristoxenus musicus, iudicio aurium cuncta permittens, haec semitonia non arbitratur esse secundum Pythagoricos contractiora dimidio, sed, sicut semitonia dicuntur, ita esse dimidietates tonorum, de eisdem rursus paulisper est disputandum demonstrandumque prius nullam superparticularem habitudinem noto numero posse dividi integra medietate. Inter duos [269] enim numeros superparticularem proportionem continentes, sive illi sint principales, quorum est unitas differentia, sive posteriores, nullus ita poterit medius numerus collocari, ut, quam minimus proportionem tenet ad medium, eam medius teneat ad extremum, scilicet ut in geometrica proportione. Sed aut differentias aequas facere potest, ut sit aequalitas secundum arithmeticam medietatem, aut armonicam inter eosdem terminos medius numerus collocatus faciet medietatem aut quamlibet aliam, quarum in arithmeticis fecimus mentionem. Quod si id demonstrabitur, ne illud quidem constare poterit, sesquioctavam proportionem, quae tonus est, in dimidia posse discerni, quandoquidem sesquioctava omnis in superparticulari inaequalitatis genere consistit. Id vero melius inductione monstrabitur. Nam si per singulas proportiones consideratione deducta, scilicet superparticulares, nulla prorsus occurrit, quae interposito medio termino aequis proportionibus dividatur, non est dubium, quod superparticularis comparatio non possit in aequa partiri. Quodsi videtur auribus consonum aliquid canere, cum cuilibet voci duos tonos ac semitonium integrum distans vocula comparetur, id non esse consonum natura monstratur; sed quoniam sensus omnis, quae minima sunt, conprehendere nequeat, idcirco hanc differentiam, quae ultra consonum procedit, sensum aurium non posse distinguere, fore autem ut deprehendatur, si frequentissime talis particula per eosdem crescat errores. Nam quod in minimo haud sane cernitur compositum coniunctumque, cum iam magnum esse coeperit, pervidetur. A qua igitur proportione est ordiendum? An compendium dabimus quaestioni, si ab eo, de quo quaeritur, ordiamur? Id vero est, tonus in duo possit aequa partiri necne. Nunc igitur de tono est pertractandum et quemadmodum non possit in duo aequa dividi demonstrandum [270] est. Quam demonstrationem si quis ad reliquas superparticulares comparationes transferat, similiter demonstrabitur superparticularem in aequa noto atque integro numero separari non posse. Primi igitur tonum continentes numeri sunt .VIII. atque .VIIII. Sed quoniam se isti ita naturaliter consequuntur, ut medius inter eos numerus non sit, eosdem binario, quo scilicet minimo possum, multiplico. Fiunt igitur .XVI. atque .XVIII. Inter hos vero naturalis numerus cadit, qui est .XVII. Igitur .XVIII. ad .XVI. tonus est, sed .XVIII. ad .XVII. comparatus, habet eum totum et eius septimam decimam partem. Septima decima vero pars minor est sexta decima naturaliter, maior est igitur proportio, quae sub .XVI. ac .XVII. numeris continetur, quam ea, quae sub .XVII. ac .XVIII. Qui disponantur hoc modo, et sit

.XVI. A .XVII. C. XVIII. B.

Medietas igitur integra toni inter .C. ac .B. nullo modo cadet. Minor est enim .CB[macron supra lin.]. proportio .CA[macron supra lin.]. proportione. Ad maiorem igitur partem medietas rata ponenda est. Sit vero medietas D. Quoniam igitur .DB. quidem proportio, quod est dimidium toni, maior est .CB. proportione, quae est minor pars toni, .AC. autem proportio, quae est maior pars toni, .AD. proportione maior est, quod est dimidium toni, est autem .AC. proportio sesquisextadecima, .CB. autem sesquiseptimadecima: non est dubium, quin integra medietas inter sesquisextamdecimam ac sesquiseptimamdecimam cadat. Sed hoc integro numero nullo modo poterit inveniri.

[271] [Friedlein, 271; text: Supersesquisextadecima, Supersesquiseptimadecima, XVI, XVII, XVIII, A, D, C, B, Semitonium, tonus] [BOEMUS3 01GF]

Quoniam vero ad .XVI. numerum .XVII. numerus comparatus supersesquisextamdecimam obtinet proportionem, si eiusdem .XVII. numeri sextamdecimam requiramus, erit unitas atque unitatis pars sextadecima. Hanc si eidem .XVII. numero coniungamus, fient .XVIII. et pars sextadecima. Si igitur .XVIII. et pars sextadecima .XVI. numero comparetur, recte toni mensuram videatur excedere, cum ad eum solus .XVIII. numerus sesquioctavam custodiat proportionem. Unde fit, ut, quoniam supersesquisextadecima proportio tonum bis aucta transcendit, non sit integrum toni dimidium. Quicquid enim bis ductum transcendit aliquid, id ultra dimidium illius esse videbitur, quod transcendit. Quocirca supersesquisextadecima non erit toni dimidium. Ac per hoc nec ulla alia maior sesquisextadecima proportione toni poterit esse dimidium, cum ipsa sesquisextadecima integro toni dimidio sit maior. Sed quoniam sesquisextamdecimam proportionem continua sequitur sesquiseptimadecima, videamus, an ea tonum bis multiplicata non inpleat. .XVII. igitur numeri sesquiseptimamdecimam partem tenet terminus .XVIII. In eadem igitur proportione si ad .XVIII. numerum alium comparemus, erit .XVIIII. et septimadecima pars. Quod si ad .XVII. terminum in sesquioctava proportione positum numerum comparemus, fient .XVIIII. et pars octava. Maior vero est [272] pars octava parte septimadecima, maior igitur est proportio numerorum .XVII. ac .XVIIII. et octava quam ea, quae in .XVII. ac .XVIIII. et parte septimadecima continetur, quae sunt scilicet bis sesquiseptimaedecimae proportiones. Duae igitur sesquiseptimae decimae unum tonum non videntur inplere. Non est igitur sesquiseptimadecima toni dimidium, quoniam quae duplicata non inplent integrum, non tenent dimidium. Semper enim dimidium duplicatum ei, cuius est dimidium, coaequatur.

Ex sesquitertia proportione sublatis duobus tonis toni dimidium non relinqui.

II. Iam vero si eos numeros disponamus, qui de sesquitertia proportione duobus tonis retractis relinquuntur, in his considerare possumus, utrum ea proportio, quae post duos tonos relinquitur, integri loco semitonii censeatur. Quod si ita repertum sit, illud quoque est conprobatum, diatessaron consonantiam duobus tonis atque integro semitonio copulari. Erat igitur superius primus terminus .CXCII.; ad hunc sesquitertiam proportionem tenebant .CCLVI. Sed ad primum terminum .CCXVI. faciunt tonum, ad .CCXVI. rursus .CCXLIII. toni obtinent locum. Est igitur quod relinquitur ex tota diatessaron proportione ea scilicet habitudo, quae in .CCXLIII. et .CCLVI. unitatibus constat. Haec igitur si probatur integri toni esse dimidium, dubitari non potest, diatessaron ex duobus tonis semitonioque consistere. Quoniam igitur demonstratum est, toni dimidium inter sesquisextamdecimam et [273] sesquiseptimamdecimam proportionem locari, ab hac comparatione etiam haec proportio metienda est. Ne enim longius progrediamur, sumo ex .CCXLIII. octavamdecimam partem. Ea fit .XIIIS. Hanc si eisdem apposuero, fiunt .CCLVIS. Apparet igitur minorem esse proportionem .CCLVI. ad .CCXLIII. sesquioctavadecima habitudine. Quod si dimidius tonus minor quidem est sesquisextadecima, maior vero sesquiseptimadecima proportione, sesquioctavadecima vero minor est sesquiseptimadecima habitudine, ducentorum vero .LVI. ad .CCXLIII. comparatio, quae scilicet relinquitur ex diatessaron duobus retractis tonis, minor est sesquioctavadecima: non est dubium, quin haec duorum numerorum proportio semitonio longissime deminutior sit.

Adversum Aristoxenum demonstrationes diatessaron consonantiam ex duobus tonis et semitonio non constare integro nec diapason tonis sex.

III. Quodsi, ut ait Aristoxenus diatessaron consonantia ex duobus tonis semitonioque coniungitur, duae diatessaron consonantiae necessario .V. tonos efficient et diapente ac diatessaron iunctae, sicut unum diapason iungunt, ita sex tonis continua proportione coaequantur. Et quoniam paulo ante sex disposuimus tonos, quorum minimus erat numerus CCLXII[macron supra lin.].CXLIIII., ad hunc vero ultimus in sexto collocabatur tono numerus .DXXXI[macron supra lin.].CCCCXLI., quintum [274] vero retinebant tonum .CCCCLXXII[macron supra lin.]. et .CCCXCII.: disponantur hoc modo:

[Friedlein, 274; text: .CCLXII[macron supra lin.].CXLIIII. toni sex, DXXXI[macron supra lin.].CCCCXLI. .CCLXII[macron supra lin.].CXLIIII. toni .V. CCCCLXXII[macron supra lin.].CCC.XCII.] [BOEMUS3 01GF]

Nunc igitur de minoribus numeris, id est quinque tonis loquamur. Si ergo diatessaron duobus tonis ac semitonio, bis vero diatessaron quinque consisteret tonis, cum ex .CCLXII[macron supra lin.].CXLIIII. diatessaron intenderem cumque de .CCCCLXXII[macron supra lin.].CCCXCII. aliud diatessaron remitterem, idem inter utramque intentionem remissionemve numerus inveniretur. Id autem fit hoc modo. A numero, qui est .CCLXII[macron supra lin.].CXLIIII. diatessaron intendo, id est sesquitertium, qui fit in .CCCXLVIIII[macron supra lin.].DXXVSS. Rursus de .CCCCLXXII[macron supra lin.].CCCXCII. numeris remitto sesquitertiam proportionem, quae fit in .CCCLIIII[macron supra lin.].CCXCIIII. Has igitur proportiones disponamus hoc modo, et sit primus quidem numerus .A. secundus vero .B. tertius .C. quartus .D.

           A.                                          B.
CCLXII[macron supra lin.].CXLIIII.      CCCXLVIIII[macron supra lin.].DXXVSS.
           C.                                          D.
CCCLIIII[macron supra lin.].CCXCIIII.   CCCCLXII[macron supra lin.].CCCXCII. 

Quoniam igitur .A. terminus ad .D. terminum .V. remotus est tonis, quoniamque diatessaron in duobus tonis ac semitonio iungitur, ut Aristoxenus arbitratur, unumque diatessaron inter .A. atque .B., aliud vero inter .C. atque .D. [275] positum est, .B. et .C. terminos non oportet esse diversos, sed unos atque eosdem, ut integre .V. toni ex duabus diatessaron consonantiis constare viderentur. Nunc vero, quoniam est differentia .IIII[macron supra lin.].DCCLXVIII SS; arguitur diatessaron minime tonis duobus ac semitonio coniungi.

Diapason consonantiam a sex tonis commate excedi et qui sit minimus commatis numerus.

IIII. Sed hanc si quaerimus in integris numeris differentiam collocare, quoniam in ea parte, quae est SS, pars tertia si addatur plenam efficit unitatem--quae pars tertia eiusdem SS dimidium est--si totius differentiae dimidium eidem adiecero, quod est .II[macron supra lin.].CCCLXXXIIII. SS, fit omnis summa .VII[macron supra lin.].CLIII, quae dudum commatis proportionem tenebat. Comma enim est, quo sex toni superant diapason consonantiam, quae in primis .VII[macron supra lin.].CLIII. unitatibus continetur. Ut igitur differentiae dimidium proprium adiecimus, ut in .VII[macron supra lin.].CLIII. excresceret, ita etiam cunctis A. B. C. D. terminis medietates proprias adiungamus et eadem erit in omnibus quae supra proportio. Fietque eadem inter .V. tonos ac bis diatessaron differentia, quae est inter sex tonos ac diapason consonantiam differentia, scilicet .VII[macron supra lin.].CLIII. unitates, unde colligitur, .V. tonos bis diatessaron et .VI. tonos unum diapason tantum commate superare, quod in primis .VII[macron supra lin.].CLIII. unitatibus invenitur. Id autem patefaciet subiecta descriptio.

[276] [Friedlein, 276; text: A. B. C. D. Quinque toni. Bis diatessaron. CCLXII[macron supra lin.].CXLIIII. CCCXLVIIII[macron supra lin.].DXXVSS. CCLIIII[macron supra lin.].CCXCIIII. CCCCLXXII[macron supra lin.].CCCXCII. superiorum numerorum dimidia. CXXXI[macron supra lin.].LXXII. CLXXIIII[macron supra lin.].DCCLXIISS. CLXXVII[macron supra lin.].CXLVII. CCXXXVI[macron supra lin.].CXCVI. Priores numeri cum dimidiis suis. CCCXCIII[macron supra lin.].CCXVI. DXXIIII[macron supra lin.].CCLXXXVIII. DXXXI[macron supra lin.].CCCCXLI. DCCVIII[macron supra lin.].DLXXXVIII. Differentia mediorum. VII[macron supra lin.].CLIII. Toni sex. DXXXI[macron supra lin.].CCCCXLI. CCLXII[macron supra lin.].CXLIIII. Duplum. DXXIIII[macron supra lin.].CCLXXXVIII. Differentia extremorum. VII[macron supra lin.].CLIII.] [BOEMUS3 01GF]

Quemadmodum Philolaus tonum dividat.

V. Philolaus vero Pythagoricus alio modo tonum dividere temptavit, statuens scilicet primordium toni ab eo numero, qui primus cybum a primo inpari, quod maxime apud Pythagoricos honorabile fuit, efficeret. Nam cum ternarius numerus primus sit inpar, tres tertio atque id ter si duxeris .XXVII. necessario exsurgent, qui ad .XXIIII. numerum tono distat, eandem ternarii differentiam servans. Ternarius enim .XXIIII. summae octava pars est, quae eisdem addita primum a ternario cybum .XX. ac .VII. [277] reddit. Ex hoc igitur duas Philolaus efficit partes, unam quae dimidio sit maior, eamque apotomen vocat, reliquam, quae dimidio sit minor, eamque rursus diesin dicit, quam posteri semitonium minus appellavere; harum vero differentiam comma. Ac primum diesin in .XIII. unitatibus constare arbitratur eo, quod haec inter .CCLVI. et .CCXLIII. pervisa sit differentia, quodque idem numerus, id est .XIII. ex novenario, ternario atque unitate consistat, quae unitas puncti obtineat locum, ternarius vero primae inparis lineae, novenarius primi inparis quadrati. Ex his igitur causis cum .XIII. diesin ponat, quod semitonium nuncupatur, reliquam .XXVII. numeri partem, quae .XIIII. unitatibus continetur, apotomen esse constituit. Sed quoniam inter .XIII. et .XIIII. unitas differentiam facit, unitatem loco commatis censet esse ponendam. Totum vero tonum in .XXVII. unitatibus locat eo, quod inter .CCXVI. ab .CCXLIII., qui inter se distant tono, .XXVII. sit differentia.

Tonum ex duobus semitoniis et commate constare.

VI. Ex quibus facile apparet, tonum duobus semitoniis minoribus et commate constare. Nam si totus tonus ex apotome constat ac semitonio, semitonium vero ab apotome differt commate, nihil est aliud apotome nisi semitonium minus et comma. Si igitur duo semitonia minora de tono quis auferat, comma fit reliquum.

Demonstratio tonum duobus semitoniis commate distare.

VII. Idem vero hoc quoque probabitur modo. Nam si diapason .V. tonis ac duobus minoribus semitoniis continetur, [278] superantque .VI. toni diapason consonantiam uno commate, non est dubium, quin tonis quinis ab utroque spatio sublatis fiant reliqua ex diapason quidem duo semitonia minora, de sex vero tonis tonus. Atque hic tonus haec duo semitonia, quae relinquuntur, vincet commate. Quod si duobus eisdem semitoniis comma reponatur, aequabunt tonum. Constat igitur unum tonum duobus semitoniis minoribus et commate, quod in .VII[macron supra lin.].CLIII. primis unitatibus invenitur aequari.

De minoribus semitonio intervallis.

VIII. Philolaus igitur haec atque his minora spatia talibus definitionibus includit. Diesis, inquit, est spatium, quo maior est sesquitertia proportio duobus tonis. Comma vero est spatium, quo maior est sesquioctava proportio duabus diesibus, id est duobus semitoniis minoribus. Schisma est dimidium commatis, diaschisma vero dimidium dieseos, id est semitonii minoris. Ex quibus illud colligitur: quoniam tonus quidem dividitur principaliter in semitonium minus atque apotomen, dividitur etiam in duo semitonia et comma; quo fit, ut dividatur in quattuor diaschismata et comma. Integrum vero dimidium toni, quod est semitonium, constat ex duobus diaschismatibus, quod est unum semitonium minus, et schismate, quod est dimidium commatis. Quoniam enim totus tonus ex duobus semitoniis minoribus et commate coniunctus est, si quis id integre dividere velit, faciet unum semitonium minus commatisque dimidium. Sed unum semitonium minus dividitur in duo diaschismata, dimidium vero commatis unum schisma. Recte igitur dictum est, integre dimidium tonum in duo diaschismata atque unum schisma posse partiri, quo fit, ut integrum semitonium minore semitonio uno schismate differre videatur. Apotome autem a minore semitonio duobus [279] schismatibus differt; differt enim commate. Sed duo schismata unum perficiunt comma.

De toni partibus per consonantias sumendis.

VIIII. Sed de his quidem hactenus. Nunc vero illud videtur esse dicendum, quemadmodum per consonantias musicas imperata possimus spatia nunc extendere nunc vero remittere. Id autem lineariter fiat, lineaeque, quas describimus, vocis accipiantur loco. Sed iam sese ratio ipsa demonstret. Sit propositum toni spatium per consonantiam sumere in acutum scilicet atque gravem. Sit sonus .B.; ab hoc intendo alium sonum, qui diapente spatio ab eo, quod est .B., distet ad eum, qui est .C. Ab hoc remitto diatessaron consonantiam ad id, quod est .D. et quoniam inter diapente ac diatessaron tonus differentiam facit .DB. spatium tonus repertus est.

[Friedlein, 279; text: diapente, diatessaron, tonus, C, D, B] [BOEMUS3 02GF]

Ad gravem vero partem ita modulabimur tonum. Ab eo, quod est .B., diatessaron intendo ad .F. et ab .F. diapente remitto ad .K. Erit igitur .KB. tonus. Animadvertet igitur diligens lector ad .DB. quidem ad acutam partem effectum tonum, ad .KB. autem ad gravem.

[280] [Friedlein, 280,1; text: K, tonus, B, diatessaron, F, diapente] [BOEMUS3 02GF]

Sit propositum minorem toni partem per consonantiam sumere in acutam partem atque gravem. Minor vero toni pars est spatium, quo duos tonos diatessaron consonantia transcendit. Sit enim sonus .A. Intendo ab .A. diatessaron ad .B. Rursus intendo a .B. diatessaron ad .C. Et ab .C. remitto diapente ad .D. Tonus est igitur .BD. Rursus a .D. intendo diatessaron ad .E. Remitto iterum ab .E. diapente ad .F. Tonus est igitur .DF. Duo igitur sunt toni .BD. .DF. Et erat .BA. integrum diatessaron; erit igitur .FA. minor toni pars, quod semitonium nuncupatur.

[Friedlein, 280,2; text: diatessaron, C, E, B, D, F, A, diapente] [BOEMUS3 02GF]

[281] Ad graviorem vero partem hoc modo. Sit sonus .A. Intendo duos tonos per consonantiam ad .G., diatessaron vero ab .G. remitto ad .K. Erit igitur .KA. minor semitonii pars, quod oportebat efficere.

[Friedlein, 281,1; text: K, A, tonus, G, diatessaron] [BOEMUS3 03GF]

Si tribus tonis diatessaron auferamus, apotome fit reliqua. Sint enim tres toni .AB. .BC. .CD. Ab his auferatur .AE. diatessaron. Erit igitur .EC. semitonium minus, apotome igitur est .ED.

[Friedlein, 281,2; text: A, tonus, B, C, E, D, diatessaron, Semitonium, Apotome] [BOEMUS3 03GF]

Hanc igitur apotomen, si sit commodum, sic sumemus. Ac primum quidem ad acutum. Intendo tres tonos ab .A. eos, qui sunt .AB. et ab eo, quod est .B. ad .C. diatessaron consonantiam remitto et fit .CA. apotome reliqua.

[282] [Friedlein, 282,1; text: B, tres toni, C, A, diatessaron, apotome] [BOEMUS3 03GF]

Quod si idem spatium ad gravem sonum velimus efficere, fit hoc modo: Sit sonus .A. Intendo semitonium minus, id quod est .AD., remitto ab .D. tonum eum, qui est .DE. Erit igitur .AE. ea, quam requirimus, apotome.

[Friedlein, 282,2; text: Apotome, Semitonium, E, A, D, tonus] [BOEMUS3 03GF]

Sit propositum ad acutam partem comma sumere. Sit sonus .A. Intendo apotomen .AB., remitto semitonium minus .BC. Et quoniam semitonium minus apotome minus es commate, comma erit .CA.

[Friedlein, 282,3; text: Apotome, B, C, A, Semitonium, Comma] [BOEMUS3 03GF]

[283] Rursus ad gravem partem hoc modo. Intendo ab .A. sono semitonium minus, id quod est .AD., ab .D. vero remitto apotomen, id quod est .DE. Erit igitur comma .EA.

[Friedlein, 283; text: Comma, Semitonium, Apotome, E, A, D] [BOEMUS3 03GF]

Regula semitonii sumendi.

X. Oportet vero has omnes consonantias rite esse animo atque auribus notas. Frustra enim haec ratione et scientia colliguntur, nisi fuerint usu atque exercitatione notissima. Ut vero id, quod institutione musicae adorsi sumus, non mox auribus, quod iam provectorum in musica est, sed ratione interim censeatur, unum dabimus exemplum inveniendi spatii, quod videtur esse paulo difficilius, scilicet semitonii minoris, ut in utramque partem, acutam scilicet atque gravem rato possit ordine repperiri. Sit diatessaron .AB. Oportet igitur circa .AB. consonantiam minus semitonium ad graviorem partem acutioremque deducere. Intendo igitur .BC. diatessaron. Remitto rursus diapente .CD. Erit igitur tonus .BD. Diatessaron enim consonantia a diapente consonantia tono superatur, et .CB. spatium .DC. spatio .BD. spatio transcenditur. Rursus intendo diatessaron .DE., remitto autem diapente .EF. Tonus est igitur .DF. Sed et .BD. tonus erat. Semitonium igitur minus est .AF., quod subtractis duobus tonis .FD. .BD. ab .AB. diatessaron spatio relinquitur. Rursus remitto diatessaron [284] .AG., intendo diapente .GH. Erit igitur .AH. tonus. Sed erat .AF. semitonium, erit igitur .FH. apotome. Rursus remitto diatessaron .HK., intendo diapente .KL. Tonus igitur est .HL. Erat autem tonus .HA., semitonium igitur minus est .LB. Sed erat tonus .DB., erit igitur .LD. apotome. Rursus intendo diatessaron .FM., semitonium igitur est .BM. Remitto diatessaron .LN., semitonium igitur est .NA. Per consonantiam igitur sumpta sunt circa .AB. diatessaron duo semitonia, .BM. quidem ad acutum, .NA. vero ad gravem partem, totumque .MN. minus est quam diapente; constat enim ex .V. semitoniis et apotome geminata, ex duobus igitur tonis et tribus semitoniis minoribus. Et quoniam duo semitonia unum tonum inplere nequeunt, sed relinquitur comma, totum .MN. spatium minus est spatio diapente consonantiae uno commate, quod facillime diligens lector intelleget.

[Friedlein, 284; text: diatessaron, G, K, N, A, F, H, D, L, B, M, E, C, Semitonium, diapente.] [BOEMUS3 04GF]

Sed quoniam paululum de commatis ratione praediximus, non est defugiendum et in quali proportione idem ipsum [285] comma contineatur ostendere--est enim comma, quod ultimum conprehendere possit auditus--dicendumque est semitonium minus ac semitonium maius quantis singillatim commatibus constare videantur, ipse quoque tonus quantis rursus commatibus coniungatur. Ac primum hinc conveniens sumatur initium.

Demonstratio Archytae superparticularem in aequa dividi non posse, eiusque reprehensio.

XI. Superparticularis proportio scindi in aequa medio proportionaliter interposito numero non potest. Id vero posterius firmiter demonstrabitur. Quam enim demonstrationem ponit Archytas, nimium fluxa est. Haec vero est huiusmodi. Sit, inquit, superparticularis proportio .A.B., sumo in eadem proportione minimos C.DE. Quoniam igitur sunt minimi in eadem proportione .C.DE. et sunt superparticulares, .DE. numerus .C. numerum parte una sua eiusque transcendit. Sit haec .D. Dico, quoniam .D. non erit numerus, sed unitas. Si enim est numerus .D. et pars est eius, qui est .DE. metitur .D. numerus .DE. numerum; quocirca et .E. numerum metietur, quo fit, ut .C. quoque metiatur. Utrumque igitur .C. et .DE. numeros metietur .D. numerus, quod est inpossibile. Qui enim sunt minimi in eadem proportione quibuslibet aliis numeris, hi primi ad se invicem sunt, et solam differentiam retinent unitatem. Unitas igitur est .D. Igitur .DE. numerus .C. numerum unitate transcendit. Quocirca nullus incidit medius numerus, qui [286] eam proportionem aequaliter scindat. Quo fit, ut nec inter eos, qui eandem his proportionem tenent, medius possit numerus collocari, qui eandem proportionem aequaliter scindat.

[Friedlein, 286; text: C. D. E.] [BOEMUS3 04GF]

Et secundum Archytae quidem rationem idcirco in superparticulari nullus medius terminus cadit, qui aequaliter dividat proportionem, quoniam minimi in eadem proportione sola differunt unitate, quasi vero non etiam in multiplici proportione minimi eandem unitatis differentiam sortiantur, cum plures videamus esse multiplices praeter eos, qui in radicibus collocati sunt, inter quos medius terminus scindens aequaliter eandem proportionem possit aptari. Sed haec, qui arithmeticos numeros diligenter inspexerit, facilius intellegit. Addendum vero est, id ita evenire, ut Archytas putat, in sola superparticulari proportione; non autem universaliter est dicendum. Nunc ad sequentia convertamur.

In qua numerorum proportione sit comma et quoniam in ea, quae maior sit quam .LXXV. ad .LXXIIII. minor quam .LXXIIII. ad .LXXIII.

XII. Primum igitur dico, quoniam hi numeri, qui comma continent, maiorem inter se retinent proportionem, quam .LXXV. ad .LXXIIII. minorem quam [287] .LXXIIII. ad .LXXIII. Id vero ita demonstrabitur. Ac primo quidem illud reminiscendum est, quod .VI. toni diapason commate transcendunt. Sit igitur .A. quidem .CCLXII[macron supra lin.].CXLIIII. .B. autem diapason ad eum continens consonantiam, in duplici scilicet constitutam, .DXXIIII[macron supra lin.].CCLXXXVIII. .C. vero sex tonis ab .A. numero discedat, et sit .DXXXI[macron supra lin.].CCCCXLI., quae omnia ex secundi voluminis tonorum dispositione sunt colligenda. Inter .B. igitur atque .C. commatis proportio continetur. Aufero igitur .B. numerum de numero .C., relinquitur .D. in .VII[macron supra lin.].CLIII. unitatibus collocatus, qui .D. numerus minor quidem est, quam ut sit septuagesima tertia pars .B. numeri, maior vero quam ut eiusdem septuagesima quarta sit. Nam si eundem .D. numerum, qui est .VII[macron supra lin.].CLIII. septuagies ter multiplicem, fit mihi .E. numerus in .DXXII[macron supra lin.].CLXVIIII. unitatibus constitutus; si eum septuagies quater multiplicem, fit .F. numerus .DXXVIIII.CCCXXII. quorum quidem .E., qui per .LXXIII. auctus est, minor est .B. numero, .F. autem, qui per .LXXIIII., maior est .B. numero. Recte igitur dictum est, .D. eius, quod est .B. minorem quidem esse, quam septuagesimam tertiam partem, maiorem vero quam septuagesimam quartam. Quocirca et .C. numerus .B. numerum minore quidem parte eius, quod est .B. eundem .B. superat quam septuagesima tertia, maiore vero quam septuagesima quarta. Eius igitur, quod est .C., proportio ad id, quod est .B., maior quidem est quam .LXXV. ad .LXXIIII. minor vero quam .LXXIIII. ad .LXXIII. Nam in priore unitas septuagesima [288] quarta est minoris, in posteriore vero eadem unitas septuagesima tertia.

[Friedlein, 288; text: A. CCLXII[macron supra lin.].CXLIIII. B. DXXIIII[macron supra lin.].CCLXXXVIII. C. DXXXI[macron supra lin.].CCCCXLI. D. VII[macron supra lin.].CLIII. E. DXXII[macron supra lin.].CLXVIIII. F. DXXVIIII[macron supra lin.].CCCXXII.] [BOEMUS3 04GF]

Idem aliter explicandum, illo prius praesumpto, quod, si cui proportioni propria numerorum differentia aequaliter augeatur, minor inter eos, qui post additionem fiunt, proportio continebitur, quam inter priores, qui ante additionem ullam quadam proportione distabant, ut sex et quattuor, si utrisque differentia sua, id est binarius, apponatur, fient .VIII. et .VI., sed inter .VI. et .IIII. sesqualtera, inter .VIII. et .VI. sesquitertia proportio continetur; minor vero est proportio sesquitertia sesqualtera proportione. Hoc igitur ita praedicto disponantur superiores numeri, qui proportionem commatis continebant, id est .DXXXI[macron supra lin.].CCCCXLI. et sit .A. Sit etiam .B. DXXIIII[macron supra lin.].CCLXXXVIII. Horum differentia sit .C. VII[macron supra lin.].CLIII. .C. igitur numerus maiorem numerum, qui est .A. septuagies quinquies metiatur. Si ergo .C. numerum septuagies quinquies multiplicem, fiet mihi .D. numerus, qui est .DXXXVI[macron supra lin.].CCCCLXXV. Igitur .D. numerus eum, qui est .A., numero eo, qui est .E., antecedit, id est .V[macron supra lin.].XXXIIII. Rursus .C. numerus eum, qui est .B., metiatur septuagies quater, [289] multipliceturque. Fiet igitur numerus .F. DXXVIIII[macron supra lin.].CCCXXII, qui .F. eo, qui est .B., maior est eodem .E. numero, qui est .V[macron supra lin.].XXXIIII. Ergo .D. numerus eum, qui est .A., transcendit .E. numero, .B. autem numerus ab eo, qui est .F., vincitur eodem .E. numero. Si igitur .E. numerum .A. numero apponamus, fiet .D., si vero .B. numero eundem .E. apponamus, fiet .F. Sed .D. numerus septuagies quinquies auctus est, per .C. scilicet multiplicatum, .F. autem septuagies quater multiplicato .C. crevit. Obtinent igitur inter se proportionem .D. atque .F., quam habent .LXXV. ad .LXXIIII. Sed .D. atque .F. sunt .A. atque .B. uno eis addito .E. Maiorem igitur necesse est proportionem contineri inter .A. atque .B. quam inter .D. atque .F. Namque .A. atque .B. numeris uno .E. addito effecti sunt .D. atque .F. Minor igitur proportio est inter .D. atque .F. quam inter .A. atque .B. Sed inter .D. atque .F. eadem proportio est, quae inter .LXXV. et .LXXIIII. Inter .A. igitur atque .B. maior proportio est quam inter .LXXV. et .LXXIIII. At .A. atque .B. comma continent; maior igitur proportio est commatis quam .LXXV. ad .LXXIIII.

[Friedlein, 289; text: A. .DXXXI[macron supra lin.]..CCCCXLI. B. .DXXIIII[macron supra lin.]..CCLXXXVIII. C. .VII[macron supra lin.]..CLIII. D. .DXXXVI[macron supra lin.]..CCCCLXXV. E. V[macron supra lin.]..XXXIIII. F. .DXXVIIII[macron supra lin.]..CCCXXII] [BOEMUS3 04GF]

[290] Quoniam igitur ostendimus commatis proportionem maiorem esse quam eam, quam .LXXV. continent ad .LXXIIII. comparati, nunc ostendendum est, quemadmodum minorem inter se proportionem contineant numeri spatium commatis continentes quam .LXXIIII. ad .LXXIII. comparati. Id vero monstrabitur hoc modo. Reminiscendum prius est, quid secundo volumine dixerimus, cum de mensura differentiae loquebamur. Si enim ex qualibet proportione differentiam eorum numerorum, qui eam continent, auferamus, hi, qui relinquuntur, maiorem obtinebunt proportionem his numeris, qui erant ante differentiae deminutionem. Sint enim .VIII. et .VI. Ab his propriam aufero differentiam, id est .II., fiunt .VI. et .IIII. Sed in superioribus sesquitertia, in hac sesqualtera proportio continetur. Maior vero est sesqualtera proportio sesquitertia proportione. Sint igitur eidem .A. atque .B., qui sunt superius descripti, quorumque differentia .C. Multiplico differentiam .C. numeri septuagies quater, fit mihi numerus .F. scilicet .DXXVIIII[macron supra lin.].CCCXXII., qui .A. numero comparatus vincitur numero .G., scilicet .II[macron supra lin.].CXVIIII. Rursus idem .C. multiplicetur septuagies ter; efficient numerum .K. id est .DXXII[macron supra lin.].CLXVIIII., qui comparatus .B. numero vincitur eodem .G. eisdem .II[macron supra lin.].CXVIIII. Sublato igitur .G. de numeris .A. atque .B. effecti sunt .F. atque .K. Minorem igitur proportionem retinebunt .A. atque .B. quam .F. atque .K. Sed .F. atque .K. eam retinent proportionem, quam .LXXIIII. ad .LXXIII. His enim multiplicato .C. effecti sunt. Minor est igitur proportio .A. atque .B. numerorum comma continentium, quam .LXXIIII. ad .LXXIII. Sed paulo ante [291] monstratum est, eandem commatis proportionem maiorem esse quam .LXXV. ad .LXXIIII. Monstrati sunt igitur numeri, qui comma continent, maiorem quidem inter se habere proportionem quam .LXXV. ad .LXXIIII., minorem vero quam .LXXIIII. ad .LXXIII., quod oportebat ostendere.

[Friedlein, 291; text: A. .DXXXI[macron supra lin.]..CCCCXLI. B. DXXIIII[macron supra lin.]..CCLXXXVIII. C. .VII[macron supra lin.]..CLIII. F. .DXXVIIII[macron supra lin.]..CCCXXII. K. .DXXII[macron supra lin.]..CLXVIIII. G. .II[macron supra lin.]..CXVIIII.] [BOEMUS3 04GF]

Quod semitonium minus maius quidem sit quam .XX. ad .XVIIII. minus vero quam .XVIIII S. ad .XVIII S.

XIII. Quod si ad semitonium minus talis speculatio convertatur, eius quoque proportionem facillime repperiemus, quae constat inter .CCLVI. et .CCXLIII. Sit igitur .CCLVI. A., .CCXLIII. B. Horum differentia .XIII. C. Dico, quoniam .A. ad .B. minorem retinet proportionem, quam .XVIIII S. ad .XVIII S. Metiatur enim .C. id, quod est .A., decies novies semis, id est multiplicetur C decies novies semis, fiunt .CCLIII S., quod sit .D., qui scilicet comparatus ad .A. eodem .A. duobus semisque transcenditur; sitque haec differentia .F. scilicet .II S. [292] Rursus eadem .C. differentia .B. numerum metiatur octies decies semis id est multiplicetur octies decies semis, fient .CCXL S., quod sit .E. Igitur .E. comparatus ad .B. eodem .F. transcenditur, id est duobus semis. .D. igitur ab eo, quod est .A., et rursus .E. ab eo, quod est .B., eadem .F. differentia sunt minores. Subtracto igitur .F. ab eo, quod est .A. atque .B., facti sunt .D. atque .E.; maiorem igitur tenent proportionem inter se .D. atque .E. quam .A. atque .B. Sed .D. atque .E. eandem proportionem inter se retinent, quam .XVIIII S. ad .XVIII S. .A. igitur ad .B. minorem retinet proportionem quam .XVIIII S. ad .XVIII S. quod oportebat ostendere.

CCLVI.    CCXLIII.    XIII.    CCLIIIS.    CCLXS.    IIS.
  A.         B.         C.        D.         E.       F.

Videtur tamen eadem proportio .CCLVI. ad .CCXLIII. maior esse ab ea, quam continent .XX. et .XVIIII. Sint enim A. B. C. idem, qui superius descripti sunt. Metiatur igitur .C. differentia .A. terminum vicies, fient .CCLX., qui sint .D. Qui comparati ad id, quod est .A., eundem quaternario transcendunt. Hic sit .F. Rursus idem .C. metiatur .B. decies novies, fient .CCXLVII. Hic sit .E. Qui comparati ad .B. eodem .F. transcendunt. D. igitur numerus .A. numerum et .E. numerus numerum .B. eodem .F. transcendunt. Adiecto igitur .F. his, qui sunt .A. atque .B., facti sunt .D. atque .E. Maior igitur est proportio eorum, qui sunt .A. atque .B. quam eorum, qui sunt .D. atque .E. Sed .D. atque .E. vicies ac decies novies multiplicatus C numerus efficit. Maior igitur est [293] proportio eorum, qui sunt .A. atque .B., qui scilicet semitonium continent, quam ea, quae est .XX. ad .XVIIII.

CCLVI.   CCXLIII.   XIII.   CCLX.   CCXLVII.   IIII.
  A.        B.        C.      D.       E.        F.

Demonstratum igitur est semitonium minus maiorem quidem habere proportionem quam .XX. ad .XVIIII. minorem vero quam .XVIIII S. ad .XVIII S. Nunc idem minus semitonium commati comparemus, quod est ultimum auditui subiacens ultimaque proportio.

Semitonium minus maius quidem esse tribus commatibus minus vero quattuor.

XIIII. Igitur demonstrandum proponimus semitonium minus maius quidem esse commatibus tribus, minus vero quattuor, quod hinc facillime possis agnoscere: Sint tres numeri ita dispositi, ut inter se proportionem contineant diapason et eam, quae dicitur sex tonorum. Sit enim .A. CCLXII[macron supra lin.].CXLIIII. Intendantur igitur ad .B. quidem quinque toni continui et sit .B. CCCCLXXII[macron supra lin.].CCCXCII.; ad .C. autem diapason consonantia referatur, et sit .C. DXXIIII[macron supra lin.].CCLXXXVIII.; ad .D. autem sex toni intendantur, sitque .D. DXXXI[macron supra lin.].CCCCXLI. His ita positis et constitutis manifestum est inter .C. atque .D. comma constitui, eorumque differentiam esse VII[macron supra lin.].CLIII. Id autem sit .K. Remittantur igitur duo toni ab eo, quod est .B., ad id, quod est .E., et sit .E. CCCLXXIII[macron supra lin.].CCXLVIII. Rursus ab eo, quod est .E., intendo diatessaron, quod est .F. CCCCXCVII[macron supra lin.].DCLXIIII. Quoniam igitur inter .E. atque .B. duo sunt toni, inter .E. atque .F. diatessaron, inter .B. igitur atque .F. minus semitonium [294] repperitur. Sublatis enim de diatessaron consonantia duobus tonis fit reliquum semitonium minus, quod in primis numeris constare praedixi .CCLVI. et .CCXLIII. Quos eosdem numeros, si millies nongenties quadragies quaterque multiplices, .B. atque .F. numeros explicabis. Quos necesse est eandem proportionem superius dictis numeris continere, qui uno atque eodem numero, id est M[macron supra lin.].DCCCCXLIIII. pariter multiplicati creverunt. Item ab eo, quod est .F., intendo diatessaron, scilicet ad .G. et sit .G. DCLXIII[macron supra lin.].DLII. Rursus ab eodem .G. remitto ad .P. duos tonos et sit .P. DXXIIII[macron supra lin.].CCLXXXVIII. Quod .P. necesse est ut eundem sonum quem .C. numerus exhibeat; ad aequalitatem namque eius tali ratione progressus est. Etenim ea, quae est .AC. diapason consonantia, quae constat tonis ac duobus semitoniis minoribus, ab .VI. tonis commate superatur. Ab eodem igitur .A. termino numerus .P. .V. tonis ac semitoniis duobus recessit hoc modo. Ab eo, quod est .A., usque ad id, quod est .B., .V. nimirum colliguntur toni. Ab eo autem, quod est .B., usque ad id, quod est .F., minus esse semitonium pernotatur. .F. vero atque .P. idem rursus semitonium minus includunt. .A. igitur usque ad .P. .V. tonos ac duo semitonia minora produxit. Iure igitur .P. atque .C. eisdem numeris conscribuntur. Sed quoniam inter .F. atque .C. semitonium minus est, videamus ecqua sit eorum differentia, ut eam commati comparemus. Est autem eorum differentia XXVI[macron supra lin.].DCXXIIII. et sit hoc .M. Igitur .K. commatis differentia est, .M. autem semitonii minoris. Si igitur .K. numerum tertio auxerimus, fiet numerus XXI[macron supra lin.].CCCCLVIIII. et sit hoc .L. Si vero quater eundem numerum .K. multiplicare [295] volueris, fient XXVIII[macron supra lin.].DCXII. et sit hic .N. Igitur .M. maior quidem est ab .L., idem autem .M. minor est ab .N. Sed .N. quater aucto commate succrevit, .L. autem tertio, .M. vero semitonii minoris obtinet differentiam. Iure igitur dictum est, minus semitonium minus quidem esse, quam .IIII. commata, maius vero quam tria.

[Friedlein, 295; text: VI. toni, diapason, V. toni, A. CCLXII[macron supra lin.].CXLIIII. B. CCCCLXXII[macron supra lin.].CCCXCII. C. DXXIIII[macron supra lin.].CCLXXXVIII. D. DXXXI[macron supra lin.].CCCCXLI. E. CCCLXXIII[macron supra lin.].CCXLVIII. F. CCCCXCVII[macron supra lin.].DCLXIIII. P. DXXIIII[macron supra lin.].CCLXXXVIII. G. DCLXIII[macron supra lin.].DLII. diatessaron, K. VII[macron supra lin.].CLIII. L. XXI[macron supra lin.].CCCCLVIIII. M. XXVI[macron supra lin.].DCXXIIII. N. XXVIII[macron supra lin.].DCXII.] [BOEMUS3 05GF]

Apotomen maiorem esse quam quattuor commata minorem quam quinque, tonum maiorem quam .VIII. minorem quam .VIIII.

XV. Eadem hac ratione et semitonium maius, quod apotomen dici supra retulimus, quot commatum sit, possumus [296] invenire hoc modo: Sit .A. CCLXII[macron supra lin.].CXLIIII., quinque vero ab eo distans tonis sit .B. CCCCLXXII[macron supra lin.].CCCXCII., sex vero distans tonis ab eo, quod est .A., sit .D. scilicet .DXXXI[macron supra lin.].CCCCXLI. Inter .B. igitur atque .D. tonus est, .B. vero ab eo, quod est .C., distet semitonium minus et sit .C. CCCCXCVII[macron supra lin.].DCLXIIII. Relinquitur ergo inter .C. atque .D. apotome proportio. Nam cum sit tonus .BD., ex eo si auferas .BC. semitonium minus, .CD. relinquitur maius, quod apotomen esse supra retulimus. Inter .D. igitur atque .C. est differentia XXXIII[macron supra lin.].DCCLXXVII. Hic autem sit .E. Sed erat commatis differentia .VII[macron supra lin.].CLIII. Hic sit .F. Si igitur .F., id quod est comma, quinquies multiplicem, fient mihi XXXV[macron supra lin.].DCCLXV. et sit hoc .G. Si vero idem .F. quater multiplicem, fit .K. numerus, qui est XXVIII[macron supra lin.].DCXII. .G. igitur ab eo, quod est .E., maius est, .K. minus. Sed .G. quinquies auctum est comma, .K. vero quater. Est autem apotomes differentia .E. Iure igitur dictum est apotomen minorem quidem esse quam quinque commata, maiorem vero quam quattuor. Ex hoc igitur conprobatur tonum maiorem quidem esse, quam sunt .VIII. commata, minorem vero quam .VIIII. Nam si minus semitonium maius quidem est quam tria commata, minus vero quam .IIII., apotome autem maior quidem est quam .IIII. commata, minor vero quam .V., iunctum semitonium minus semitonio maiori, quod est apotome, erit omne maius quidem .VIII. commatibus, minus vero .VIIII. Sed apotome atque semitonium minus unum efficiunt tonum. Tonus igitur maior quidem est .VIII. commatibus, minor vero .VIIII.

[297] [Friedlein, 297; text: VI. toni, V. toni, semitonium minus, A. CCLXII[macron supra lin.].CXLIIII. B. CCCCLXXII[macron supra lin.].CCCXCII. C. CCCCXCVII.[macron supra lin.].DCLXIIII. D. DXXXI[macron supra lin.].CCCCXLI. K. XXVIII[macron supra lin.].DCXII. E. XXXIII[macron supra lin.].DCCLXXVII. G. XXXV[macron supra lin.].DCCLXV. F. VII[macron supra lin.].CLIII.] [BOEMUS3 05GF]

Superius dictorum per numeros demonstratio.

XVI. Sed quamquam per hanc ratiocinationem demonstratum sit, quemadmodum tonus commatibus comparetur, non est tamen quasi segnibus delassandum, quominus per se hanc contra commata comparationem retinere tonus ipse monstretur. Sit igitur .A. quidem CCLXII[macron supra lin.].CXLIIII., .B. autem .V. ab eo distans tonis CCCCLXXII[macron supra lin.].CCCXCII., .C. vero diapason ad id, quod est .A., continens symphoniam scilicet in numeris DXXIIII[macron supra lin.].CCLXXXVIII., .D. autem ab eo, quod est .A. .VI. totos differens tonos DXXXI[macron supra lin.].CCCCXLI. .D. igitur ab eo, quod est C, distat commate sexti toni ab diapason scilicet consonantia. Id autem sit .E. VII[macron supra lin.].CLIII. .D. autem ab eo, quod est .B. tono integerrimo distat, .VI. scilicet toni quinque tonis. Id autem sit .F. LVIIII[macron supra lin.].XLVIIII. Si igitur .E. novies auxero, fiet mihi .H. LXIIII[macron supra lin.].CCCLXXVII; sin vero octies, [298] fient LVII[macron supra lin.].CCXXIIII. Id sit .G. Sed .H. quidem .F. numero comparatus superat, .G. vero superatur, et est .F. toni differentia, .H. autem novies multiplicatum comma, .G. vero octies. Demonstratus igitur est tonus minor quidem .VIIII. esse commatibus, eisdem vero .VIII. commatibus maior.

[Friedlein, 298; text: VI toni, diapason, V. toni, A. CCLXII[macron supra lin.].CXLIIII. B. CCCCLXXII[macron supra lin.].CCCXCII. C. DXXIIII[macron supra lin.].CCLXXXVIII. D. DXXXI[macron supra lin.].CCCCXLI. E. VII[macron supra lin.].CLIII. G. LVII[macron supra lin.].CCXXIIII. F. LVIIII[macron supra lin.].XLVIIII. H. LXIIII[macron supra lin.].CCCLXXVII.] [BOEMUS3 06GF]

Ita his praemissis licet maius semitonium minore semitonio commate distare monstratum sit, tamen idem quoque per se et per subiectos numeros tali ratione probabitur. Sit .A. numerus CCCCXCVII[macron supra lin.].DCLXIIII., ab eo vero minus semitonium distans sit .B. numerus, qui iam supra quoque descriptus est DXXIIII[macron supra lin.].CCLXXXVIII. Apotomen vero distet ab eo, quod est .A., is numerus, qui colligitur unitatibus DXXXI[macron supra lin.].CCCCXLI. Et sit hic .C. Quoniam igitur .AB. minus semitonium .AC. maius, differentia eius, quod est .B., ab eo, quod est .C., perquirenda est. Ea est VII[macron supra lin.].CLIII. [299] Id sit .D. Sed hic numerus dudum comma monstrabat. Inter maius igitur semitonium ac minus comma differentiam facit.

[Friedlein, 299,1; text: semitonium, apotome, A. CCCCXCVII[macron supra lin.].DCLXIIII. B. DXXIIII[macron supra lin.].CCLXXXVIII. C. DXXXI[macron supra lin.].CCCCXLI. D. VII[macron supra lin.].CLIII.] [BOEMUS3 06GF]

Rursus demonstrandum propono tonum duobus semitoniis minoribus solo commate esse maiorem. Sit .A. numerus CCCCLXXII[macron supra lin.].CCCXCII. ab hoc intendatur tonus DXXXI[macron supra lin.].CCCCXLI. et sit hoc .D. Ab eo vero, quod est .A., intendatur semitonium minus, quod est .B., ac sit .B. CCCCXCVII[macron supra lin.].DCLXIIII. Item ab eo, quod est .B. semitonium aliud intendatur minus, quod est .C., et sit .C. DXXIIII[macron supra lin.],CCLXXXVIII. Quoniam igitur .AD. tonus est, .AC. vero duo continet minora semitonia, videamus ecqua sit differentia inter .C. atque .D. numeros constituta. Est autem, .E. scilicet, unitatum VII[macron supra lin.].CLIII. Demonstratum est igitur, tonum duobus semitoniis minoribus commate esse maiorem.

[Friedlein, 299,2; text: tonus, semitonium, A. CCCCLXXII[macron supra lin.].CCCXCII. B. CCCCXCVII[macron supra lin.].DCLXIIII. C. DXXIIII[macron supra lin.].CCLXXXVIII. D. DXXXI[macron supra lin.].CCCCXLI. E. VII[macron supra lin.]CLIII.] [BOEMUS3 06GF]

[300] Sed quoniam iam omnia, quae probanda promisimus propria ratione monstrata sunt, nunc quod superest musicae institutioni regularis monochordi est facienda partitio. Quam rem quoniam longior tractatus extendit, in posterioris commentarii disputationem censuimus transferendam.