Back to top

[125] Alia musica.

De harmonica consideratione Boetius ita disseruit: quia neque solum in terminis speculationem proportionis habet, neque solum in differentiis; sed in utrisque communiter. Quaerit enim, ut quemadmodum sunt ad se extremi termini, sic maioris ad medium differentia contineat differentiam medietatis ad ultimum. Ipsarum quoque musicarum consonantiarum, quas symphonias nominant, proportiones in hac pene sola medietate frequenter invenies. Namque symphonia diatessaron, quae princeps est, et quodammodo vim obtinet elementi, in eiusmodi harmonicis medietatibus invenitur. Ut sunt VI. ad VIII. sint ergo huiusmodi medietatis termini, quorum extremi sint dupli, et alii, quorum extremi tripli sint ita

VI.| VIII.| XII.|| IIII.| VI.| XII.

Duodenarius igitur ad senarium duplus est; et in alia dispositione XII. ad IIII. triplus est. Horum si differentias colligamus, et ad se invicem comparemus, epitrita proportio, id est, diatessaron symphonia colligitur. Inter VI. enim et XII. senarius est, et inter IIII. et XII. octonarius: quia scilicet octonarius ad senarium sesquitertiam efficit proportionem. In eadem quoque medietate et diapente symphonia componitur. In duplici videlicet [126] XII. ad VIII. et in triplici VI. ad IIII. sesquialtera est. Post hunc autem diapason consonantia est, ut VI. ad XII. In triplici quoque dispositione simul diapente et diapason symphonia componitur: ut sunt VI. VIIII. XVIII. Et quoniam triplus duas continet consonantias, diapente scilicet ac diapason, in differentiis eiusdem triplicis eumdem triplum reperiemus. Nam inter VI. et VIIII. ternarius differentia est, et inter VIIII. et XVIII. novenarius, qui ad ternarium triplus est. In dupla vero dispositione maior terminus ad medii termini contra se differentiam triplus est. Et rursus minor terminus ad differentiam sui et medii termini triplus est. Nam inter VIII. et XII. quaternarius est, qui ad eundem duodenarium triplus est, et inter VI. et VIII. binarius, qui rursus ad eundem senarium triplus est. Illa autem maxima symphonia, quae vocatur bisdiapason, velut bis duplum, ex duplici proportione colligitur. Quoniam medius terminus ad minoris suique differentiam quadruplus invenitur, ut inter VI. et VIII. binarius, qui ad eundem octonarium quadruplus invenitur. In triplicibus quoque extremitatibus maior differentia ad minorem differentia quadrupla est. Siquidem inter VI. et XVIII. duodenarius est, extremorum scilicet differentia; et inter IIII. et VI. ternarius, qui ad duodenarium est quadruplus. In duplici etiam dispositione, qua medius terminus ad minorem resonat diatessaron, ad maiorem vero diapente, si extremitates in unum redigantur, et a medietate multiplicentur, duplus erit ab eo numero, quem solae extremitates multiplicatae perfecerint, ut VI. VIII. XII. Hinc iunctae extremitates VI. et XII. conficiunt X. VIII. qui per octonarium multiplicati in CXLIIII. excrescunt, cuius summae medietas est LXXII. qui conficiuntur ex multiplicatis in se VI. et XII.

Hanc quoque habet naturam talis dispositio, ut medius alia sua parte minorem praecedat, et alia sua parte ad maiorem praecedatur; eadem autem parte minoris minorem superet, qua parte maioris a maiore superatur. Si vero dupli dispositio talis sit, ut medius ad minorem resonet diapente, ad maiorem diatessaron, ut sunt VI. VIIII. XII. quoniam differentiae eaedem sunt, proportiones vero non eaedem, arithmetica potius medietas dicenda est, quam harmonica. Illa est enim vere harmonica medietas, quae cubi determinatione colligitur. Omnis enim cubus habet latera XII. angulos VIII. superficies VI. qui disponantur ita

VI.| VIII.| XII.

His praemissis ad VIII. troporum, quos Latini modos nuncupant, dispositionem veniamus. Primoque sciendum, quod tropus de graeco in latinum conversio dicitur idcirco, quod excepta sua proprietate alter in alterum convertitur. Toni vero ideo dicuntur, quod exceptis semitoniis ipsi omnium troporum communis mensura sint. Modi etiam dicti sunt, eoquod unusquisque troporum proprium modum teneat, nec mensuram excedat. Siquidem facta una constitutione, quae intexatur duplis, triplis, quadruplis, sesquialteris ac sesquitertiis cum XV. nervorum [127] vocibus interiectis, hos VIII. tropos vel modos designari necesse est.

Erit ergo primus modus omnium gravissimus hypodorius ex prima specie diapason, et terminatur eo, qui meses dicitur, medio nervo. Secundum modum hypophrygium secunda species diapason efficit, quae in paramesen finit. Tertium modum hypolydium tertia species diapason determinat in eum, quem vocant triten diezeugmenon nervum. Quartum modum Dorium quarta species diapason reddit, quae finit in paranete diezeugmenon. Quintus modus Phrygius quinta specie diapason finitur, cui nete diezeugmenon nervus est ultimus. Sextum nihilominus modum Lydium sexta species diapason exerit, cui trite hyperbolaeon est finis. Septimum quoque modum mixolydium septima species diapason informat; eum paranete hyperbolaeon determinat. Verum, quia unus duplus, hoc est, una diapason octo vocibus pollens, plures species non recipit; quandoquidem omnis symphonia unam vocem pluresque species admittit: octavum modum hypermixolydium Ptolomaeus adiecit, quem secundi ac tertii modi proprietatibus informavit. Est enim diatessaron IIII. chordarum, et trium specierum. Diapente quoque V. chordarum et IIII. specierum. Quapropter et diapason VIII. chordarum et VII. specierum. Denique prima species diatessaron tertio loco habet semitonium; secunda species secundo; tertia species primo, semperque sive per disiunctum, sive per coniunctum tetrachordum quartis locis eadem species redit quintis locis: non tamen semper diapente sibi invicem succedit. Unde constat, quod tres species diatessaron tres primas species diapente uno tono adiecto constituunt. Quarta vero species semitonio terminatur, et prima a nete diezeugmenon sumit initium.

Restat, ut proprietates specierum diapason investigemus. Prima itaque species tertio et sexto loco utitur semitonio: secunda quarto et septimo: tertia primo et quinto: quarta secundo et sexto: quinta tertio et septimo: sexta primo et quarto: septima secundo et quinto: octava sicut et prima tertio et sexto.

Caeterum ut ad ipsas species diapason redeamus, quoniam lichanos hypaton hypodorii est, proslambanomenos dorii, meses dorii, quae est paranete diezeugmenon hypodorii, integra consonantia diatessaron acutior est a mese eiusdem hypodorii. Similiter differentia est inter Phrygium et hypophrygium, Lydium quoque et hypolydium. Nam mixolydius ab hypermixolydio tantum distat tono.

Nunc de cubicis numeris, qui harmonicam considerationem suggerunt, qualiter praedictas octo modorum species differre faciant, paullulum est differendum. Praelibato tamen, quod diatessaron per VII. id est per III. et IIII. diapente vero per V. id est, per II. et III. in harmonica regula mensuratur. Nam et ex minoribus numeris maiores, et ex maioribus minores in eadem proportione numeros cognoscimus. Atque hoc est, quod ait Boetius in libro 2. cap. 9. si duos numeros eorum differentia integre fuerit permensa, in eadem sunt proportione numeri, [128] quos sua differentia mensa est, in qua erunt proportione et numeri, secundum quos eos sua mensa est differentia: ut inter VI. et VIII. binarius est, qui senarium ter, octonarium quater metitur. Similiter inter VIIII. et XII. est ternarius, qui novenarium ter, duodenarium quater metitur. Sicque fit, ut in quantiscumque numeris, licet magnis, proportio sesquitertia incurrat, eam ternarius, et quaternarius non relinquant, qui primi et quasi radices sunt sesquitertiae proportionis. Eodem modo in sesquialtera proportione inter VI. et VIIII. est ternarius, qui senarium bis, novenarium ter metitur. Quae omnia in harmonica regula fiunt circino notiora; siquidem eo instrumento omnis duplus in aequa parte partitur: et propositis ad duplum faciendum quibuslibet numeris, semper medius invenitur, qui aequis differentiis ab utrisque extremis segregetur: ut inter II. et IIII. ternarius, qui ab utroque extremo singulis differt unitatibus. Inter IIII. et VIII. senarius eodem modo est medius: Inter VI. et XII. novenarius; et inter XII. ac XXIIII. sunt XVIII. et utrique dupli distant a medio, ille quidem ternario, hic vero senario. Sunt enim praedicti numeri aliqualiter sibi incommensurabiles, quia binarium, quo mensurantur VI. VIII. XII. novenarius respuit, et contra ternarium, quo mensurantur VI. VIIII. XII. octonarius non recipit. Quaternarius octonarii et duodenarii, est mensura communis: et ob id iuxta quosdam triplus hypodorii a quaternario incipit, et in duodenarium desinit.

Itaque melodia primi tropi, quae est NONANOEANE. VIII. et XII. videntur claudere: sed eidem clausulae, quae constat diapente, quidam addunt tonum, ut prius in eadem melodia resonet prima species diatessaron; deinde secunda, ut postmodum intendatur tertia: ad extremum ex ordine remittatur ab VIII. ad XII. prima species diapente.

Hic incipit melodia secundi tropi, quae est NOEAGIS, et non ad VIII. sed ad VIIII. pertingit, sicut omnes cantilenae eiusdem tropi. Clauduntur enim duabus diatessaron consonantiis. De reliquo senarius, qui simplex est in Dorio, triplicatus in hypodorio et Phrygio, quadruplicatur in Phrygio et Lydio. In quibus vero senarius ad Dorium triplicatur, octonarius ad eundem dupliciter habetur. Et rursus in quibus ille quadruplicatur, iste triplicatione repetitur. Tandem novenarius, qui in Dorio est simpliciter, in reliquis est dupliciter, excepto Lydio, qui eius quadruplicatione et duodenarii triplicitate gaudet. Hypophrygius duodenarii repetitione laetatur, sicut et hypolydius. Contra quam repetitionem hypolydii senarius sexies, octonarius ter, novenarius quater respondet. Mixolydius duodenarium et novenarium semel uno tenore repetit, senarium et octonarium triplicare contendit. Altero autem tenore duodenarium et octonarium triplicat, senarium et novenarium quadruplicat, sua vero propria consonantia duodenarium quater exhibet, senarium octies, octonarium sexies. Ad extremum hypermixolydius una serie duodenarium et novenarium semel repetit, [129] senarium et octonarium triplicatos exponit. Altera vero serie duodenarium et octonarium triplicat; senarium quoque et novenarium quadruplicat. Denique sciendum, quod post symphonias ex arbitrio musici propositas, id est, diapason, diapente ac diatessaron, aliquando unus tonus ad gravem vel acutam partem additur, qui emmeles, ([emmeles]) id est, aptus melo vocatur. Sane in illa constitutione, ubi XV. nervos dicimus, serie proportionaliter dispositos, diapason, id est, bis sex, vel bis VIII. vel bis XII.

Tandem in cuiusdam expositionem, de praefatis tropis vel modis veniamus, ut eidem expositioni, Deo iuvante, aliquid lucis infundamus. Omnis, inquit, primus tonus, quem Dorium dicimus, aut ter sex habebit in dupla proportione, id est, diapason: ut est: Rorate coeli desuper: aut quater V. quod est XX. id est, II. de VIII. et III. de XII. In sesquialtera proportione faciens diapente; ut est, Et nubes pluant iustum: aperiatur: aut ter VII. quod est XXI. id est, III. de VIIII. ad IIII. de XII. qui in sesquitertio faciunt diatessaron: ut est: terra, et germinet Salvatorem. Quam gradalem antiphonam per singulas incisiones singulis symphoniis subditam, hoc modo pandimus. Inter VI. et XII. qui faciunt XVIII. senarius est differentia, quia melodia primae incisionis ascendendo totam percurrit, a lichanos hypaton videlicet in paraneten diezeugmenon, praemisso ad gravem partem tono, qui emmeles dicitur, id est, melo aptus. Denique eandem differentiam ternarius in aequa partitur, et ita a senario in novenarium diapente terminatur. Quae symphonia quoniam constat diatessaron et tono, secundam incisionem antiphonae excurrit omnino, ita ut ibi sint II. de VIII. et III. de XII. quia octonarius senarium binario excedit, ut sesquitertia proportio esse possit. Novenarius vero senarium ternario praeterit, qui medietas est eiusdem senarii, et ob id quarta pars duodenarii. Tres ergo de VIIII. aequales sunt ad IIII. de XII. dum illius pars tertia sit huius quarta, et sic fiat inter eos diatessaron consonantia, quae a novenario in duodenarium concludat, tertiae antiphonae incisiunculam sequetur. Illae antiphonae gradales eodem modo currunt: Gaudete in Domino. et inclina Domine. et iustus es Domine. Similiter autem antiphonae nocturnales: Posuerunt super caput. Iesus autem cum ieiunasset. Traditor autem. Et hoc videndum, quod saepe evenit, ut bis aut ter, aut totum etiam in antiphonis, aut in quocumque cantu primi toni sit; aut per VI. et XII. quod est diapason; aut per V. et X. quod est diapente: aut per VI. et VIII. totum, quod est diatessaron, decurrit. Quod, ait, bis diapente respicit. Dum enim duorum quorumlibet numerorum ad se invicem sesquialtera ratione comparatorum alter, id est, minor numquam medietate careat; certum est, quod minor in duo aequalia dividitur, cuius medietate a maiore [130] superatur. Unde fit, ut sicut ille binario, ita semper iste partiatur ternario. Et hoc est, quod ait, diapente fieri per quinque et X. quia II. et III. reddunt quinarium, et duplicati denarium. Nam IIII. et VI. perficiunt X. Per VII. quoque, qui constant ex III. et IIII. partiri omnem sesquitertiam proportionem iubet, quoniam duorum quorumlibet numerorum eiusdem proportionis alter, id est, minor in III. aequis partibus, alter, id est, maior in IIII. distribuitur. Quo fit, ut quia hypophrygius consonantia diatessaron totus explicari perhibetur, per septenarium dimensus esse credatur. In hypodorio vero vel Lydio contingit denaria demensio. porro Dorius decurrit, Alleluia, quod est Fulgebunt iusti, a XII. in VI. per diapason. Alleluia idem sicut et fulgebunt iusti, et tanquam scintillae, per diapente a XII. in VIII. in arundineto discurrent in aeternum. ab VIII. vel potius a VIIII. in VI. Nec abest ab hoc tropo responsorium gradale, quod est: posuisti Domine.

Item cuiusdam de eadem re nova expositio.

A prima quoque specie diapason, quae est mese, id est O. inchoatur primus tropus: finiturque in diapente remissum, quod est E. et haec est forma NOANOEANE. habet enim V. differentias et VIIII. loca in nocturnis. Est namque prima differentia in O. quae habet duo, primum in se: Veniet Dominus. secundum in I. enarmonico remisso: apertis thesauris suis. Secunda vero differentia in M. lichanos meson, quae habet tria loca in se: canite tuba. Diatessaron remissum in E. ecce nomen Domini. diapente remissum in C. Intempesta nocte. Tertia differentia in I. quae habet unum locum in se, diatessaron scilicet remissum in C. O beatum pontificem. Quarta differentia est in H. quae habet unum locum in se: inclinans se Iesus. Quinta differentia est in C. quae habet duo loca in se: euge serve bone. sesquioctavum remissum in E. Sint lumbi vestri. Concluditurque huius tropi forma intra integrum diapente: et singulae chordae singulas differentias, et prima differentia duo habet loca, secunda tria, tertia unum, quarta unum, quinta duo: unde constat, ut hic tropus quinque habeat differentias, et novem loca in nocturnis. In diurnis autem hic tropus tres habet differentias: primam in I. quae habet unum locum in C. ut: inclina. Secunda H. quae habet locum in P. Statuit. Tertia in C. quae habet locum in se: Gaudete. Unde apparet, ut singulae in diurnis differentiae singula habeant loca. Propter admirabilem igitur huius tropi differentiarum naturam a quibusdam in symphonia eius C. non additur; quia ea nulla differentia insignitur. Huius enim in nocturnis sic currit versus. Gloria Patri et caetera. In diurnis sic currit versus: Gloria et caetera.

De secundo tono.

Sequitur in eadem expositione troporum modus secundus, ter VI. id est XVIII. [131] ad XII. qui faciunt simul XXX. per sesquialteram proportionem reddunt diapente. Ad VI. autem de primo tono isti ter VI. de secundo tripla proportio est, quia triplicatus eum superat. Item bis VIII. ad XII. sunt XXVIII. id est, quater VII. et faciunt per sesquitertiam proportionem diatessaron. Ipsa ergo proportio numeri, id est, bis VIII. ad VIII. de primo tono, duplum est, et ideo in diapason cadit XXIIII. id est, quater sex, et bis XII. Item bis VIIII. qui sunt XVIII. ad XII faciunt diapente, ut supra. Omnis enim melodiae secundi toni, aut per diapente denarium numerabis totum, ut est Antiphona Ecce advenit. in quo sunt V. vel X. aut per diatessaron totum, id est, per VII. ut est Antiphona Veni et ostende. Item antiphona diapentica: Omnipotens sermo tuus. et diatessaron, ut est: Dominus Deus auxiliator meus. Si autem in diapason venerit proportio secundi toni, id est, XII. ad VI. et bis VIIII. ad VIIII. et bis VIII. ad VIII. primum tonum efficit: quoniam singuli modi suam propriam habent constitutionem: semper se gemini e latere respiciunt, ut aliquando fraterna concordia alter in alterum segregatus reclinet, alter in alterum ascendendo se exaltet. Nam hypodorius in Dorium transit, si suam diapason excesserit. Et hoc est, quod ait, si XII. ad VI. pervenerint: quandoquidem hypodorius ad illum comparatus triplo gravior existit. Si enim in hac plaga nete hyperbolaeon ascribantur VI. meses habebit XII. lichanos hypaton XVIII. proslambanomenon XXIIII. et erit XII. differentia inter XII. et XXIIII. Hanc igitur differentiam vix excedit huius plagae melodia ad acutam partem in antiphonis, sed inferius, sive diatessaron per VII. sive diapente per X. numerabis. Est autem integra diatessaron consonantia inter utrumque modum: dum lichanos hypaton hypodorii sit, proslambanomenos dorii. Siquidem ex duplo et triplo hanc consonantiam procreari Boetius ita dicit. Sint huiusmodi medietatis termini, quorum extremi sint dupli, et alii, quorum extremi sint tripli ita

VI.| VIII.| XII.|| IIII.| VI.| XII.

Duodenarius igitur ad senarium duplus est, et in alia dispositione XII. ad IIII. triplus est. Horum si differentias colligamus, et ad se invicem comparemus, epitrita proportio, id est, diatessaron symphonia colligitur, et reliqua. Cum haec ita sint, certum est, quod paranete diezeugmenon hypodorii, cui adscribuntur sex, sit meses dorii. Ad quam mesen dorii si pervenerit cantus secundi tropi, iam potius dicetur dorii, quam hypodorii, ut est in responsorio gradali: universi, qui te expectant. Quod responsorium per differentiam, quae est XII. passim excurrit inter bis XII. et XII cuius versus habens in primodio intensum diapente, a XVIII. videlicet in XII. percurrit VIIII. qui sunt in differentia a bis VIIII. in VIIII. Responsorium quoque nocturnale, quod est Circumdederunt me, cum suo versu unum tonum ultra differentiam, quam diximus constare inter XXIIII. et XII. acuendo peragit.

[132] Item de secundo tono nova cuiusdam expositio.

A quarta specie diapason, quae est in C. ubi finitur primus tropus, inchoatur et secundus; ibique finitur, ubi et inchoatur. Concluditur autem eius forma intra diapente, quod est ab M. ad C. Huius enim haec et forma NOEAGIS. Habet hic tropus differentiam unam in e. quae habet tria loca: Diatessaron remissum in A. ut laetentur coeli; sesquioctavum remissum in C. ut iuste et pie. Unde constat, ut hic tropus unam habeat differentiam in nocturnis, et tria loca. In diurnis hic tropus ipsam habet differentiam et ipsa loca: diatessaron remissum in A. ut: ecce advenit. Tonum remissum in C. sitientes. Servite. de necessitatibus. Huius tropi in nocturnis sic currit versus Gloria Patri et caetera. In diurnis autem sic currit versus: Gloria Patri et caetera.

De tertio tono.

Tertius tonus duo A. habet, unum propter mensuram autenti deuteri, alterum propter plagam eius, in cuius diapason suum semitonium explicat, et alterum semitonium in diapason secundi tropi, propter triplam, ut dictum est, et quadruplam, propter quater VI. ad unam III. de primo. Quater enim VI. ad quater III. de XII. quater IX. sunt, qui sunt XXXVI. diapason, id est sexies sex. et III. XII. similiter ter VIII. ad XII. quia duplae proportiones sunt. Bis VIIII. ad XII. sesquialtera proportio est, id est, diapente in XXX. Unde iste tertius tonus aut diapason erit, aut diapente: ut sunt gradales antiphonae: Confessio et pulchritudo. Dispersit dedit. et Cognovi Domine. Nocturnales antiphonae: qui de terra est. Quando natus es. Malos male perdet.

Tonus, inquit, tertius duo O habet, id est bis XII. O enim pro XII. accipitur. Unum, inquit, propter mensuram autenti deuteri, id est, phrygii, et alterum propter plagam eius, id est, hypophrygium. Nam meses phrygii, id est XII. est nete diezeugmenon hypodorii, ubi quinta species diapason incipit, et idcirco huius hypate meson est illius proslambanomenos. Porro hypate meson phrygii est meses hypophrygii: atque ob hoc ait: in cuius diapason suum semitonium explicat; quia meses uniuscuiusque constitutionis diapason perficit, et ab eodem hypate meson hic vel illic semper incipit melodia quarti tropi. Siquidem huius initium est melodiae tertii extremum, quandoquidem mollitiem chromatici generis imitatur, in quo frequentius per totam diapason diapente recipitur. Nam paramese incipiens quarto loco suam diapason, suumque semitonium explicat. Sed euphoniae causa eidem diapason tonum adiicit, sicut in melodia primi tropi, ut a mese diatessaron remissa, cum tono, quod est diapente, esse [133] possit. Quod vero ait: suum semitonium; certum est, quod unaquaeque species diapason secundo suis semitoniis insignitur, quae si loco mota fuerint, totam qualitatem tropi transmutant, suo loco servata conservant. Ad id quoque multum soni prosunt, quos dicunt protum et deuterum, et reliqua. Propter triplum et quadruplum, quod ait: sciendum est, quod secundus tropus ter VI. in lichanos hypaton consumat; tertius vero quater VI. in proslambanomenon determinat, qui superiori nervo una sesquioctava brevior constat. Subiungit, quod quater VI. ad quater III. de XII. diapason sit, quia primus duodenarius, id est, bis sex, ad suam mesen pervenit, cuius quartam partem, id est III. frequentius percurrunt mela eiusdem tropi, descenduntque per quartam partem de bis XII. ut ita diapason compleri possint. Hoc quoque senties canendo AIANEOANE. Siquidem a paramese, peracta quarta specie diapente, ad lichanos hypaton descendit, et ad lichanos meson per singulas chordas ascendendo diapente intendit: rursusque ad trite diezeugmenon gravando remittit: ad extremum in sua finali, hoc est, hypatemeson desinit. Quam finalem primam tangit gradalis antiphona, quae est: Confessio et pulchritudo, et sic usque ad III. de XII. ascendit: ac deinde ad finalem suam redit. Quo etiam incipit semitonio intenso antiphona Cognovi Domine. et Dum clamarem ad Dominum. Nocturnales quoque antiphonae vel responsoria eodem modo currunt malos male perdet. et peccavi super numerum. Alleluia. et Spiritus Domini. et Offertorium: Deus tu convertens. Sic in eodem tropo non tantum per diapason XXXVI. vel diapente infra XXX. sed etiam per diatessaron, frequentius intensam vel remissam canitur.

De quarto tono.

Aristoxenus musicus non voces ipsas, ut Pythagoras, dimetiens, sed inter voces differentiarum mensuras colligens, singula tetrachorda tribus numeris distinxit, qui nec LX. excederent, nec infra subsisterent. Nam in quatuor tetrachordis inter primam et secundam chordam, secundamque ac tertiam eundem numerum posuit: inter tertiam vero et quartam, quod residuum erat de LX. superadiecit ita:

VI. VI. XLVIII.| VIII. VIII. XLIIII.| VIIII. VIIII. XLII.| XII. XII. XXXVI.

Restant duo tetrachorda, quorum alterum habet XII. XVIII. XXX. alterum XII. XXIV. et XXIV. Est autem eorumdem numerorum haec ratio: quod XXIV. pro tono posuit, XII. pro semitonio, VIII. pro tertia parte toni, VI. pro quarta, quod est diesis; IX. vero ex quarta parte toni, quod est VI. et octava, quod est III. constituit. Et primum quidem tetrachordum dixit enarmonii, secundum chromatici mollis, tertium [134] chromatici emolii, quartum chromatici tonici, quintum diatonici mollis, sextum diatonici incitati. Maior autem in omnibus tetrachordis extremus numerus est, quam duo reliqui, nisi in duobus ultimis, quae sunt diatonici generis. Igitur secundum maiorem extremitatem tetrachordorum est commensuratio symphoniarum, quoniam XLVIII. sunt bis XXIIII. id est, bis diapason, quod est quidem quater VI. et ter VIII. et octies VI. Similiter bis XII. hoc est bis diapason, sunt XXIIII. quod est quater VI. et ter VIII. Bis autem VIIII. ad quater VI. quod est diatessaron, XLII sunt, et bis VI. ad bis IX. quod diapente, XXX. sunt. Ad ultimum bis VI. ad quater VI. quod est diapason, sunt XXXVI.

Quapropter praemissus expositor adiecit. Tonus quartus, quem nos hypophrygium dicimus, habet bis XII. ad bis VIIII. et ter VIII. ad ter VI. in una consonantia numerorum; est enim bis diatessaron. In diapason vero VI. ad XII. id est XVIII. conveniunt. Idcirco ter VI. non ad bis XII. comparatur, quoniam per ter non dividitur, sed ut dictum est, ter VIII. ad ter VI; et bis XII. ad bis VIIII. ad sesquitertiam proportionem, qui sunt XLII. Nam totus iste tonus erit per diatessaron semper. Consonantiam autem diapason, id est, VI. ad XII. faciunt ter VI. et bis VIIII. et ter VIII. et bis XII. quorum proportio, id est, comparatio maioris ad minorem et minoris ad maiorem, diatessaron habens, semper septenario mensurabitur, ut in gradalibus antiphonis: Resurrexi. Misericordiae Domini. et In voluntate tua Domine. In nocturnalibus quoque: Rubum quem viderat. Turba multa. Tria sunt munera.

In hac expositione hoc tantum quaerendum videtur, quod ait: ter VI. non ad bis XII. comparari, quoniam per ter non dividitur: ac si bis XII. id est, XXIIII. per tertiam partem metiri impossibile sit. Dum autem XXIIII. et per binarium et per ternarium metiri possit, certum est, quod binarium binario, ternarium ternario in eadem consonantia respondere voluit, ubi ternarium binario respondere contradixit. Quod vero adiecit, VI. ad XII. diapason fieri, cum iam posuisset bis XII. recolendum est, quod non solum in vocibus, sed etiam inter voces differentiarum mensura colligenda sit. Nam quia bis XII. dixit VI. ad bis XII. quadruplum constituit, atque idcirco inter VI. et XII. senarius differentiam facit. Rursus inter XII. ac bis XII. duodenarii differentia existit. Quas tandem differentias ad se invicem comparatas, diapason reddere, nullus ignorat. Et hoc est, quod ait, consonantiam diapason, id est, VI. ad XII. faciunt ter sex, et reliqua. Differentia ista, quae est XII. utramque consonantiam, id est, bis diatessaron retinet, nec eam in minoribus antiphonis excedit. Quod si fecerit, iam vim phrygii obtinebit. Caeterum eius melodia, [135] quae est NOEAGIS ab hypate meson, hoc est, a semitonio intenso incipit, et in eadem, finale transcurso, diapente desinit. Quomodo autem omnis diatessaron septenario mensuretur per IIII. et III. supra relatum est. Hic vero in bis XII. et ter VIII. sunt quater VI. et in bis IX. sunt ter VI. Sequuntur gradales antiphonae, quarum prima est Resurrexi. Cuius est initium lichanos hypaton, medium et finis hypate meson, acuminis summitas mese. Gradale quoque responsorium Haec dies. nocturnale Rex noster, quod acuendo paramesen praeterit. Alleluia etiam Pascha nostrum in hoc tropo consistit, quod pene ad suum diapason pervenit.

De tertio et quarto tono nova cuiusdam expositio.

A prima specie diapason et primus, propter quamdam naturam, inchoatur, et tertius tropus, finiturque in diatessaron: in hoc scilicet concluditur eius forma intra diapente O ad e et diatessaron O. ad cc. Huius enim tropi talis est forma NOEOEANE. Habet enim hic tropus in nocturnis differentias tres, unam in M. quae habet unum locum, scilicet qui odit animam. Alteram in O. quae habet unum locum, diatessaron remissum in hoc: qui de terra est. Tertiam in X. quae habet enarmonicum remissum in M. Et respicientes. In diurnis enim hic tropus easdem habet differentias, et eadem loca M. ut Ego autem. cum O. differentia, et hunc locum: Dum santificatus. Huius autem tropi in nocturnis sic currit versus: Gloria Patri et caetera. In diurnis enim sic currit versus: Gloria Patri et caetera.

De quarto.

A quinta specie diapason, ubi finitur tertius tropus, inchoatur et quartus, ab H. scilicet, et finitur in eadem H. Concluditur haec eius forma intra diapente, quod est ab O. ad e. addito sesquioctavo remisso c. ad e. Huius enim tropi haec est forma NOEAGIS. Habet enim hic tropus in nocturnis differentias II. Primam in h, quae habet quatuor loca in c. O quam clarus est, id est, Ierusalem; sesquioctavum remissum in C. Rubum quem viderat. Secunda differentia est in c. quae habet unum locum in C. Betleem non es minima. Unde constat, ut hic tropus duas habet differentias et dedicata loca in nocturnis. In diurnis enim hic tropus unam habet differentiam in M. ut Resurrexi. Huius enim in nocturnis sic currit versus: Gloria Patri et caetera. In diurnis sic: Gloria Patri et caetera.

Item de quinto.

Tonus quintus, quem nobis Lydium dicimus, totus per denarium, semper est diapenticus: quia ter VIII. ad c. XII. et quater VI. ad quater VIIII. per sesquialteram proportionem in diapente cadunt, quorum consonantia diapason est in XII. Nam quater VIIII. et ter XII. ad quater VI. et ter VIII. faciunt LX. In quibus [136] sunt gradales antiphonae Domine refugium. et antiphonae Circumdederunt me. Et Domine in tua misericordia. Et nocturnales. antiphonae Solvite templum hoc. Et Salve crux. Et exultet Spiritus meus. Hic nihil aliud quaerendum video, nisi quod ait, numeri ad bis diapente faciendum propositi, faciunt consonantiam diapason ad XII. Duo enim tantum, id est, quater VI. et ter VIII. ad eundem numerum diapason faciunt. Nam quis intelligat, quod quater VIIII. et ter XII. in praedicta proportione sint? Unde intelligendum est, quod ex duodenario oriatur diapason ad numerum bis XII. qui ad XLVIII. alteram diapason perficit, in quorum medio hic tropus suam proprietatem requirit, quandoquidem illa consonantia, quae est ter XII. ad ter VIII. hinc XII. illinc ad XLVIII. respicit, et ad ter VIII. uterque numerus diapason facit. Porro ter XII. ad partem gravem observat metas eiusdem tropi, quoniam a trite diezeugmenon, sub tertia specie diatessaron, inchoans, tertiam speciem diapente deorsum in sua melodia, quae est NOEOEANE. peragit usque in parypate meson, quae est sua finalis. Gradalis enim antiphona Domine refugium ad eamdem chordam bis redit, et sicut Circumdederunt incipit, ita et offertorium: Immittit angelus. Nocturnale quoque responsorium obsecro Domine. a mese enarmonico remisso inchoat, ut statim chromaticum intensum se ingerat. Secunda species enim diapason, quae a paramese incipit, in eo est singularis, quod tres tonos deorsum absque semitonio una serie directim digerit, nec in eadem diapason inter VI. et XII. octonarius incurrit, atque idcirco ibidem adiuvat plurimum synemmenon tetrachordum. Alleluia etiam Beatus Vir a finali chorda eiusdem tropi, ad octavam sursum versus, totam quintam speciem diapason percurrit. In praedictis vero numeris consonantia diapente sub mensura quinaria cadit: quoniam ter VIII. et quater VI. ad bis XII. rediguntur. Quater vero VIIII. ad ter XII. ut binarius et ternarius, qui faciunt V. conservent suum diapente.

De quinto tono nova cuiusdam expositio.

A tertia specie diapason, quae (est) Y. inchoatur quintus tropus, finiturque in diapente, quod est i. concluditur enim eius forma diapente, quod est I. ad DD. Huius enim tropi haec est forma NOEOEANE. Habet enim hic tropus duas differentias in nocturnis, unam in O. quae habet duo loca, scilicet antiphona Obsecro Domine. enarmonicum remissum in I. Vox clamantis. Alteram differentiam in Y. quae habet unum locum, scilicet Hodie nobis. In diurnis enim hic tropus quatuor habet differentias et tria loca, scilicet Exaudi Deus. Alteram in M. quae habet unum locum in I. Circumdederunt me. Tertiam in Y. Iustus Dominus. Huius tropi in nocturnis sic currit versus: Gloria Patri et caetera. In diurnis sic currit versus: Gloria Patri et caetera.

[137] Item de sexto tono.

Tonus sextus est species sexies VI. ad sexies IIII. de bis. XII. et quater VIIII. ad quater VI. de bis XII. quia sesquialtera proportio in diapente cadit, et sexies IIII. de ter VIII. sicut sexies IIII. de bis XII. in consonantia diapason, id est ad XII. perveniunt per bis XII. et ter VIII. qui sunt XLVIII. sicut sexies VI. et quater VIIII. sunt LXXII. Totus enim iste tonus aut per diapason consonantiam, id est, VI. ad XII. aut per diapente, denario scilicet, mensurabitur, ut in gradalibus antiphonae Os iusti. Omnes gentes. Quasi modo geniti. In nocturnalibus quoque antiphonae O admirabile. Vade satana. Virgo hodie fidelis. O quam gloriosum est. Quia sunt octo tropi, quorum quatuor dicuntur autentici vel principales; reliqui plagii vel subiugales. Sciendum est, quod a se invicem, hoc est, principalis a suo subiugali non discrepet, aut ratione numerorum, aut natura symphoniarum. Quapropter huiusmodi mensurae et numeri magis lydio principali competunt, quam subiugali: quoniam ille sextam partem de bis XII. quod est IIII. et quartam, quod est VI. frequentius percurrit: iste vero in quibusdam antiphonis more subiugalium vix ad bis XII. pertingit. Denique quod bis XII. id est XXIIII. sexta parte vel quarta metiri peaecepit: hoc est, quod postmodum ait eiusdem tropi consonantiam, quod est diapente, denario mensurari: quandoquidem VI. et IIII. denarii mensurae competit. Quod vero sexies VI. ad sexies IIII. quod est LX. comparari voluit, idem valet, ac si diceret, XXXVI. ad XXIIII. per diapente consonantiam comparari. Deinde ter VIII. et bis XII. in consonantia dixit diapason fieri per VI. ad XII. quod nihil est aliud, nisi quia ter VIII. et bis XII. idem valent ad XII. quod praedicta diapason in minoribus numeris, hoc est VI. ad XII. Nam a sua finali, quae est parypate meson, diapente superius et diatessaron inferius currit. Ex quibus utrisque consonantiis semper diapason existit, sicut animadvertere potes in antiphona quae est: Omnes gentes. Quandoquidem et ad parypate hypaton descendit, et ad trite diezeugmenon, ut dictum est, diapason existit. Eodem modo ascendit et descendit offertorium: Stetit angelus. nocturnale quoque responsorium cum suo versu, quod est Aspiciebam. et Esto nobis: ad nete hyperbolaeon videntur ascendere. Alleluia. etiam Omnes gentes. eiusdem tropi melodia, quae est AANNES. iutonando retinet. Siquidem ipsa melodia ascendendo mesen tangit, ac postea tertiam speciem diatessaron descendendo remittit.

Item de sexto tono nova cuiusdam expositio.

A sexta specie diapason, ubi finitur quintus tropus, inchoatur sextus, ab I. videlicet. Concluditur tamen eius forma diapente, quod est O. ad E. addita sesquioctava proportione ad gravem partem, scilicet E ad C. huius enim tropi haec est forma NOEAGIS. Habet enim [138] hic tropus in nocturnis differentiam unam, quae habet tria loca, scilicet Aspiciebam. Enarmonicum intensum in O. Modo veniet. Diatessaron remissum in C. Per memetipsum. Itaque hic tropus una differentia cum tribus insignitur locis. In diurnis enim ipsa differentia duo habet loca, scilicet Os iusti. Diatessaron remissum in C. Qui manducat. Huius tropi in nocturnis sic currit versus: Gloria Patri et caetera. In diurnis sic: Gloria Patri et caetera.

De septimo tono.

Tonus septimus, quem nos mixolydion dicimus, in proportione quarti toni habet totum diatessaron; in proportione quinti toni totum diapente, et in proportione propria habet quater XII. quod est diapason. Quod ait, ex quarti et quinti toni proportionibus mixolydium fieri, qui idcirco dictus est, eo quod ex Lydio mixtus sit, scire oportet, quod in quarto tono bis VIIII. ad bis XII. et ter VI. ad ter VIII. per XLII. diatessaron consistit. In quinto vero sexies VI. ad sexies IIII. de bis XII. et quater VIIII. ad quater VI. de bis XII. per LX. diapente producit. In proportione autem propria habet diapason, quod est quater VI. ad quater XII. et sexies quatuor de bis XII. ad sexies VIII. qui numeri simul iuncti faciunt XLVIII. siquidem a paranete diezeugmenon melodia huius tropi inchoans, in lichanos meson, quae est sua finalis, desinit per diatessaron et tonum, faciens primitus diapente remissum: tum deinde tertiam speciem ipsius diapente infra eam consonantiam videatur consistere: et quia sursum versus a sua finali hic septimus tropus septimam speciem diapason exsequitur, sicut quartus diatessaron septenario, et sicut quintus diapente denario mensurabitur. Huius enim speciei paranete hyperbolaeon est ad acutam partem finis. Ubi autem melodia huius tropi, quae est NOEOEANE desinit, melodia octavi tropi, quae est NOEAGIS, per diatessaron intensum incipit: quod statim remittit, nec a suo principali propter hanc differentiam discrepat, quod suo nomine hypermixolydius designat; hypermixolydius sane dicitur, quod mixolydium transcendit, qui iuxta Ptolomaeum octavam speciem diapason, omnibus reliquis acutiorem, percurrit, constans quarti et quinti toni proprietatibus, sicut mixolydius. Cantatur autem mixolydius in gradalibus antiphonis Puer natus est nobis. et Audivit Dominus. Et nocturnalia responsoria eodem modo incipiunt Responsoria Iste est frater vester. et Dixit Iudas fratribus suis. Caeterum prima antiphona Puer natus est diapente ad paranete diezeugmenon intendit, ubi melodia huius tropi tale habet initium, quale et responsorium: Ecce dies veniunt. Responsorium Nascetur nobis. de hoc tropo eodem modo incipit. Porro cantilenae octavi tropi more subiugalium infra quartam speciem diapason decurrunt: sunt enim a mese superius quatuor chordae, quae synemmenae sunt proximae, et e latere intimae, quae dant ab excellentiori parte exordium quatuor primis speciebus diapason, [139] atque melodiis quatuor troporum. Quorum videlicet troporum, sive etiam sonorum, primus graeca lingua dicitur Protus; secundus Deuterus; tertius Tritus; quartus Tetrardus: qui singuli a suis finalibus deorsum pentachordo, quod est diapente, differunt. Superius vero tetrachordum, quod est diatessaron, requirunt, ut unusquisque suam speciem diapason teneat, per quam evagando, sursum ac deorsum libere currat. Cui scilicet diapason plerumque exterius additur, qui emmelis, id est, aptus melo vocatur.

Sciendum quoque, quod Dorius maxime proto regitur, similiter Phrygius deutero, Lydius trito, mixolydius tetrardo. Quos sonos in quibusdam cantilenis suae plagae quodammodo tangendo libant, ut plaga proti tangat protum, deuteri deuterum, triti tritum, tetrardi tetrardum. Et id fas est experiri in gradalibus antiphonis. In responsoriis namque nocturnis vel diurnis, seu quibuslibet ecclesiasticis cantilenis, ipsae plagae eorum sonorum limites ad placidum transcendunt, ac species diapason, quas a graviore parte inchoaverant, prout libuerit, percurrunt: quippe singulae chordae finales singulas adoriuntur species. Quarum videlicet specierum metas principalium troporum superius et inferius observantium prima Dorii est, secunda Phrygii, tertia Lydii, quarta mixolydii; siquidem omnes species diapason et superius et inferius inchoari possunt, verbi gratia prima ab O in A vel ab A. in O. Secunda ab x. in b. vel a b. in x. Tertia ab y in c. vel a c in y. Quarta a cc in e. vel ab e in cc. Quinta a dd in h. vel ab h in dd. Sexta ab ff in i. vel ab i in ff. Septima ab nn in m. vel ab m in nn. Sunt igitur quatuor superiores, id est, O. X. y. cc. et tres inferiores H. i. M. Et superiores quidem excellentiori parte fiunt: hypodorium, hypophrygium, hypolydium, hypermixolydium. Inferiores vero fiunt ex graviore parte, Dorium, Phrygium, Lydium, mixolydium, unde et finales dictae sunt. Quapropter modulatio cantilenae infra speciem hypodorii decurrens, sua est, superius ascendens, Dorii est. Eodem modo infra speciem hypophrygii, sua est, superius ascendens Phrygii est. Infra quoque speciem hypolydii, sua est, superius ascendens, Lydii est. Et de hypermixolydio similiter intelligendum est. Ergo modulationem cantilenae Dorii ad excellentiorem partem finit CC. modulationem phrygii finit dd. modulationem Lydii finit ff. modulationem mixolydii finit nn. unde fit, ut dorius ab o. aut descendat in e. aut ascendat in cc. Similiter Phrygius ab X. aut descendat in h. aut ascendat in dd. Eodem modo Lydius ab y aut descendit in I. aut ascendit in ff. Mixolydius nihilominus ab cc. aut descendit in M. aut ascendit in nn. et semper unusquisque principalis tropus inferius habet diapente a media chorda, superius diatessaron; ac si VIII. sint inter VI. et XII. subiugalis vero unusquisque tropus a finali [140] chorda superius habet diapente, inferius vero diatessaron: ac si VIIII. sint inter VI. et XII. Quod si superius vel inferius alicui tropo extra speciem dupli tonus accesserit, non erit absurdum, emmelim ponere, ut fit a praedictis medietatibus, ubicunque tetigerit hinc vel inde, diapente et tonus, vel diatessaron et tonus.

Restat dicere de tribus directaneis tonis, quorum tenorem synemmenon tetrachordum recidit, dum inter O. et X. trite synemmenon, id est, q. intervenit; vix tamen unquam ratio post paramesen sonare permittit: sed aut post O. aut post T. invenitur: post O. sicut in tertio sono huius antiphonae: Iustus es Domine. Tandem octavus tropus tenet eandem speciem diapason, quam et primus, tamen eo differt, quod ille habet m. mediam chordam suae qualitatis custodem: hic vero O. sub proti nomine. Quam differentiam qui nescit, nunc in istum, nunc in illum vitiosus incurrit. Ut est in antiphona Urbs fortitudinis. quae a primo tono incipit, et in octavum desinit propter semitonium, quod chordae, quae est m. imprudens non suo loco subiunxit eo, ubi Aperite portas intulit. Caeterum in gradalibus antiphonis habet octavus tropus Ad te levavi. et Domine ne longe. In nocturnis antiphonis Repleti sunt omnes. et Lux de luce. Nocturnalia responsoria Montes Gelboe. et Dixit Ruben. Diurna responsoria Dilexisti. et Qui sedes. Offertorium Si ambulavero.

Item de septimo et octavo tono nova cuiusdam expositio.

A quarta specie diapason, quae est supra mese, inchoatur septimus tropus, id est, cc. et finitur in diapente m. concluditur eius forma intra diapente, quod est cc ad m. addita sesquioctava proportione, quod est ab m. ad i. Huius tropi haec est forma NOEOEAGIS. habet enim in nocturnis differentias tres, unam in cc. quae habet unum locum, diapente remissum in m. ut Summae Trinitati. Alteram in y. quae habet duo loca in se. ut Dixit Iudas. tonum intensum in cc. ut Aspiciens. Tertia differentia est in O. quae habet duo loca in se. Attende Domine ad me. tonum remissum in m. ut Missus est Gabriel. Et de hac differentia sunt omnes antiphonae, quas vitio finis in quarto ponimus: ut Benedicta tu. In diurnis huic tropo una differentia in m. quae habet unum locum in se, scilicet Puer natus est. Sic enim in nocturnis currit versus: Gloria Patri et caetera. In diurnis: Gloria Patri et caetera.

De octavo tono.

A septima specie diapason, quae est M. ubi finitur septimus, inchoatur octavus: ibi finitur, ubi inchoatur. Concluditur eius forma intra diapente intensum m. ad cc. addita sesquioctava proportione, remissum m. ad i. Huius tropi talis est forma NOEAGIS. Habet hic tropus in nocturnis differentiam unam, quae habet quinque loca in se. Ecce dies veniunt. Sesquioctavum remissum in I. ut Doceam iniquos. Sesquioctavum intensum in O. ut Quodcunque. Diatessaron remissum in y. Ecce ancilla Domini. Unde apparet, quod hic tropus in nocturnis differentia cum quinque locis insignitur. In diurnis enim hic tropus [141] unam habet differentiam, quae habet duo loca in se, ut In virtute tua. diatessaron remissum, ut Domine ne longe. Huius tropi in nocturnis sic currit versus: Gloria Patri et caetera. In diurnis autem taliter currit versus: Gloria Patri et caetera.

Sequitur praemissus Expositor.

Ut Vitruvius dixit in libro de Architectura, secundum physicos non plus sunt, quam octo venti: principales quatuor, et subiecti quatuor. Quatuor vero, qui adduntur ut sint duodecim, sic sunt ut quatuor semitonia ad octo tonos. Nam in undis maris et fluminum semper magis sonat prima unda, quam septem sequentes. Nona vero octavae similis est. Similiter in tonitruis octo discrimina, a quibus Pythagoras philosophus has octo tonorum consonantias praefatas ad harmoniam coeli in Atlante monte, qui est proximus coelo, adinvenit, cuius proportiones instar quinque Zonarum coeli perfecit, quarum temperie mundus iste moderatur. Omnis enim musicae consonantia aut ad unum II. habet in duplici, aut III. in triplici, aut IIII. in quadruplici, aut V. in sesquialtera, aut VII. in sesquitertia. Denique, ut supra dictum est, ex V. tonis et duobus semitoniis octavum perficitur diapason, qui est primus tonus: ut VI. XII. ad quem omnis musicae consonantia refertur. Quicumque enim numerus ad XII. partiri potest, ita ut ad ipsum duodenarium sive per ter et quater, sive quater et ter dividatur, musicus est, constans in supradictis proportionibus. Nam Pythagoras aptavit duplam in VI. sesquialteram in VIII. sesquitertiam in VIIII. ad XII. Unde ex quinque tonorum simplicium, id est, diapente, diatessaron, diapason; compositorum, ut diapason simul et diapente, ut tertius tonus et sextus; et diapason ac diatessaron in eodem quinto, et dupla diapason in octavo tono, unacum duplo et triplo. Quod tonos ventis comparavit, congrua ratione factum est: quippe ad sonum eliciendum, aut plectrum aut flatum necessarium esse constat. Quod quatuor semitonia eisdem tonis inesse proposuit, scire convenit, quia excepto illo, quod a mesen coniunctum est, quatuor sunt tantum directa tetrachorda, quae singulis semitoniis finetenus ad graviorem partem sunt insignita. De undis maris et fluminum, quomodo redeant, physicorum peritia pertractat. Siquidem et Hyginus de concordia annorum, dierum et mensium, aliquando post VII. annos, octavo videlicet recurrentium, aliquando post VII. dies, in Astrologia disputat propter excellentiam octonarii numeri, quo partitur sphaera coelestis, superius et inferius in circulo aequinoctiali. De eadem etiam sphaera tunc temporis quatuor partes superius patent, quatuor inferius latent. Porro quod adiecit, nona unda octavae similis est, nihil mirum, cum et nona chorda octavae adeo similis sit, ut aequisona reddatur, si altera pro altera tangitur. Verbi gratia, in singulis speciebus diapason prima et octava [142] chorda eodem sono, non loco, nec longitudinis aut brevitatis spatio; quippe in heptachordo absque ullo confusionis errore respondet prima pro octava, secunda pro nona, tertia pro decima; atque idcirco in octochordo erit prima pro nona, ut sit octava eidem similis, nec non aequisona, et ab hoc nisi propter acumen superflua.

De tonitruis sicut et de undis humanae philosophiae unam disputationem ponere supersedi. De quinque symphoniis et de quinque zonis non spernenda est comparatio, quoniam illic in relatione est speculatio totius musicae, hic vero evolutio coelestis sphaerae. Ponamus itaque senarium pro unitate, ad quem duo senarii habebuntur pro duplo infra XVIII. et VIII. Ad eundem tres senarii pro triplo infra XXIIII. Ad eundem quatuor senarii faciunt proportionem quadruplam infra XXX. Ad duos senarios tres senarii comparati erunt infra XXX. sesquialterae proportionis. Similiter tres senarii ad Quatuor proportionaliter constituti infra XLII. respondent epitritae rationi. Quapropter primus tropus erit in dupla, secundus in tripla, tertius in quadrupla, quartus in epitrita, quintus in sesquialtera, sextus sicut tertius in diapason simul ac diapente: diapason quoque ac diatessaron in septimo: dupla diapason in octavo, unacum duplo triplo. Horum omnium rationem superius per unumquemque topum singillatim complexus sum.

Nunc duodenarii potentiam praeterire non debeo, ad quem omnis numerus, qui per ter et quater dividitur, musicis consonantiis aptatur. Nam duodenarii membra sive partes sunt sex, quarum prima est unitas, secunda senarius, tertia quaternarius, quarta ternarius, sexta binarius. Habet quoque hoc proprium, ut quia a primo impari surgit, eius, id est, senarius, medietas constat tribus membris, et est primus perfectus in numeris. Si ergo XII. duplicentur, qui ad VI. procul dubio pro duplo accipiuntur, id hac duplicatione colligitur, quod qui duplicantur per impares numeros se sequentes, sua membra, hoc est, suas partes sortiuntur. Verbi causa, a ternario duplicantur hi VI. XII. XXIIII. XLVIII. et horum primus tribus membris insignitur, secundus quinque, tertius septem, quartus novem. Si vero a quaternario duodenarius sumat initium, qui duplicantur, quaternario excrescunt. Nam in XXIIII. sunt VIII. qui producti sunt ex duplicato quaternario, et in XLVIII. adduntur ad eosdem VIII. sic quater XII. in XLVIII. Et hoc est, quod ait: musicos esse numeros, qui per ter et quater dividuntur, comparati eidem duodenario. Nam VIII. qui per quater, et VIIII. qui per ter dividuntur, ad eundem sub epitrita vel hemiolia proportione comparantur. Tandem quia dixit tonorum alios esse compositos, alios simplices, sciendum est, quod eorum compositio talis sit, qualis est apud grammaticos ex duabus partibus integris, ut [143] est magister equitum. Dum enim primus tonus diapason consonantia nobilis sit, quintus autem diapente fiat singularis: secundus ex utraque consonantia componitur, cum tripla proportione dilatatur. Siquidem, ut dictum est, gradale Responsorium Universi, qui te exspectabant, totam speciem diapason hypodorii, et insuper diapente percurrit, quatenus quintus per triplum perficere possit; est enim triplus, quando comparatur maior numerus ad minorem; subtriplus vero, quando minor ad maiorem. Quapropter XXIIII. ad VIII. et XVIII. ad VI. triplus esse necesse est, quorum alterum perficit cum suo versu cantilena praefati responsorii. Simplices vero tropi sunt, qui una symphonia contenti sunt, quales sunt quartus et quintus: quartus quidem cum per VII. hoc est per III. et IIII. quod est diatessaron, decurrit. Quintus quoque per X. hoc est per IIII. et VI. quod est diapente, de quo Boetius, hic, inquit, est simplicior ac princeps, quem Lydium nuncupamus. Unde Plato praecepit, minime oportere pueros ad omnes modos erudiri, sed potius ad valentes et simplices.

Codex Sanctus Emeram.

[GSI:143; text: Dorius. Tonus Primus. XII. a, Diapason. VI. c, Diapente. VIII. B, Diatessaron. VIIII. d, Hypodorius. Tonus Secundus. Phrygius. Tonus Tertius. Hypophrygius. Tonus Quartus. Lydius. Tonus Quintus.] [ALIMUS 01GF]

[144] [GSI:144; text: Hypolydius. Tonus Sextus. XII. a, Diapente. VI. c, VIII. B, VIIII. d, Mixolydius. Tonus Septimus. Diatessaron. Item de eodem. Item propria et consonantia Diapason. Hypermixolydius. Tonus Octavus. Item ex eodem.] [ALIMUS 02GF]

Hic continentur proportiones octo tonorum, qui efficiuntur ex V. tonis, et duobus semitoniis, et sex symphoniae speciebus, et quinque proportionibus XII [a supra lin.]. VI [c supra lin.]. VIII [B supra lin.]. VIIII [d supra lin.]. Primus tonus est in XVIII. diapason, VI. ad XII. et XX. diapente, VIII. ad XII. et in XXI. diatessaron, VIIII. ad XII. Secundus tonus est XII [a supra lin.]. VI [c supra lin.]. VI [c supra lin.]. VI [c supra lin.]. VIII [b supra lin.]. VIII [b supra lin.]. VIIII [d supra lin.]. VIIII [d supra lin.]. et in XXX. per ter VI. ad XII. et per bis VIIII. ad XII. in quibus est diapente. et in XXVIII. diatessaron per bis VIII. ad XII.

Tertius tonus est XII [a supra lin.]. VI [c supra lin.]. VI [c supra lin.]. VI [c supra lin.]. VI [c supra lin.]. VIII [b supra lin.]. VIII [b supra lin.]. VIII [b supra lin.]. VIIII [d supra lin.]. VIIII [d supra lin.]. In XXXVI. [145] diapason, per quater VI. ad XII. aut in XXX. diapente per bis VIIII. ad XII. Quartus tonus est XII [a supra lin.]. XII [a supra lin.]. VI [c supra lin.]. VI [c supra lin.]. VI [c supra lin.]. VIII [b supra lin.]. VIII [b supra lin.]. VIII [b supra lin.]. VIIII [d supra lin.]. VIIII [d supra lin.]. Diatessaron per ter VI. ad ter VIII. et per bis VIIII. ad bis XII. qui sunt XLII. Quintus tonus est XII [a supra lin.]. XII [a supra lin.]. XII [a supra lin.]. VI [c supra lin.]. VI [c supra lin.]. VI [c supra lin.]. VIII [b supra lin.]. VIII [b supra lin.]. VIII [b supra lin.]. VIIII [d supra lin.]. VIIII [d supra lin.]. et est diapenticus per ter VIII. ad ter XII. qui sunt XXXVI. et quater VI. ad quater VIIII. qui sunt LX. Sextus tonus est XII [a supra lin.]. XII [a supra lin.]. VI [c supra lin.]. VI [c supra lin.]. VI [c supra lin.]. VI [c supra lin.]. VI [c supra lin.]. VI [c supra lin.]. VIII [b supra lin.]. VIII [b supra lin.]. VIII [b supra lin.]. VIIII [d supra lin.]. VIIII [d supra lin.]. VIIII [d supra lin.]. et est diapason per sexies VI. ad bis XII. qui sunt LX. et per ter VIII. ad bis XII. qui sunt XLVIII. aut diapente per quater VIIII. ad bis XII. qui sunt LX.

Septimus tonus est XII [a supra lin.]. XII [a supra lin.]. VI [c supra lin.]. VI [c supra lin.]. VI [c supra lin.]. VIII [b supra lin.]. VIII [b supra lin.]. VIII [b supra lin.]. VIIII [d supra lin.]. VIIII [d supra lin.]. Item XII [a supra lin.]. XII [a supra lin.]. XII [a supra lin.]. VI [c supra lin.]. VI [c supra lin.]. VI [c supra lin.]. VI [c supra lin.]. VIII [b supra lin.]. VIII [b supra lin.]. VIII [b supra lin.]. VIIII [d supra lin.]. VIIII [d supra lin.]. VIIII [d supra lin.]. VIIII [d supra lin.]. Item propria XII [a supra lin.]. XII [a supra lin.]. XII [a supra lin.]. XII [a supra lin.]. VI [c supra lin.]. VI [c supra lin.]. VI [c supra lin.]. VI [c supra lin.]. VI [c supra lin.]. VI [c supra lin.]. VI [c supra lin.]. VI [c supra lin.]. VIII [b supra lin.]. VIII [b supra lin.]. VIII [b supra lin.]. VIII [b supra lin.]. VIII [b supra lin.]. VIII [b supra lin.]. et constat ex quarti toni et quinti, et sua proportione. Diatessaron per XLII. sicut quartus, aut diapente per LX. sicut quintus aut in propria diapason, ut duodecies XII. qui sunt CXLIIII. quod est octies VI. et sexies VIII. ad quater XII.

Octavus tonus est, qui constat ex supradictis quarti et quinti toni diatessaron et diapente XII [a supra lin.]. XII [a supra lin.]. VI [c supra lin.]. VI [c supra lin.]. VI [c supra lin.]. VIII [b supra lin.]. VIII [b supra lin.]. VIII [b supra lin.]. VIIII. VIIII. qui faciunt VI. ad ter VIII. et bis VIIII. ad bis XII. in septenario diatessaron. Item XII [a supra lin.]. XII [a supra lin.]. XII [a supra lin.]. VI [c supra lin.]. VI [c supra lin.]. VI [c supra lin.]. VI [c supra lin.]. VIII [b supra lin.]. VIII [b supra lin.]. VIII [b supra lin.]. VIIII [d supra lin.]. VIIII [d supra lin.]. VIIII [d supra lin.]. VIIII [d supra lin.]. qui faciunt quater VIIII. ad quater VI. et ter VIII. ad ter XII. in sesquitertia proportione denarii numeri. Octavus tonus aut sicut quartus per XLII. diatessaron constat: aut sicut quintus per LX. et LX. habens CXX. in numero. Tonus primus VI. ad XII. id est XVIII. qui sunt ter VI. quae proportio diapason dicitur.

Expositio eorundem tonorum.

Item VIII. ad XII. sunt XX. quae proportio sesquialtera dicitur ad XII. ideo, quia XII. habet in se VIII. et alteram eius partem, id est, IIII. et facit diapente. Item VIIII. ad XII. XXI. sunt, quae proportio sesquitertia dicitur, quia XII. habet VIIII. et eius tertiam partem, id est, III. et fit diatessaron, id est ter septem, qui sunt XXI. Omnis igitur primus tonus aut ter VI. habebit in dupla proportione, id est, diapason; ut est Rorate coeli desuper, aut quater V. id est, ter de VIII. et III. de XII. in sesquialtera proportione faciunt [146] diapente, quod est XX. ut est: Et nubes pluant iustum. aperiatur. Aut ter VII. id est, III. de VIIII. et ad IIII. de XII. in sesquitertia, qui faciunt diatessaron, ut est: Terra, et germinet Salvatorem. Item introitum: Gaudete in Domino et caetera et Inclina Domine. et Iustus es Domine. Antiphonae Urbs fortitudinis. Iesus autem. Traditor autem. Et hoc videndum, quod saepe evenit, ut bis aut ter, aut totum etiam in antiphonis, aut in quocumque cantu primi toni sit, aut per VI. et XII. quod est diapason, aut per V. et X. quod est diapente, aut per VII. totum, quod est diatessaron, decurrit: ut urbs fortitudinis. et Ioannes autem.

Tonus secundus per ter VI. id est XVIII. ad XII. per sesquialteram proportionem fiunt XXX. reddunt diapente. Ad VI. de primo tono ad ter VI. de secundo tripla proportio est, quia triplicatus eum superat. Item bis VIII. ad XII. per sesquitertiam proportionem XXVIII. fiunt, id est, quater VII. quod est diatessaron. Sit ergo ipsa proportio numeri, id est, bis VIII. ad VIII. de primo tono duplum est, et ideo in diapason cadit XXIIII. quod est quater VI. et bis XII. Item bis IX. qui sunt ter VI. id est, XVIII. per sesquialteram proportionem fiunt XXX. ut supra diapente. Omnis enim melodia secundi toni aut per diapente denarium numberabit totum, ut est Antiphona Ecce advenit. in qua sunt LXV. aut diatessaron totum, vel ter VII. ut est: Veni et ostende. Item antiphona diapentica Omnipotens sermo tuus Domine. et diatessaron: ut Dominus Deus auxiliator meus. Si autem in diapason venerit proportio secundi toni, vel VI. ad XII. ad primum est, ut ter VI. ad VI. primi, et bis VIII. ad VIII. primi toni efficit.

Tonus tertius est, qui duo A. habet propter primam mensuram autenti deuteri, et secundum A. propter plagam autenti deuteri, in cuius diapason suum semitonium explicat, et secundi toni, qui ambo sunt semitonia, propter triplam, ut dictum est, et quadruplam, propter quater VI. ad unum VI. de primo. Quater enim VI. ad quater III. de XII. quater octo sunt, qui sunt XXXVI. diapason, id est, sexies VI. et ter XII. Similiter VI. ad XII. quia duplae proportiones sunt: bis VIIII. ad XII. quia sesquialtera proportio est XXX. diapente fiunt. Unde iste tertius tonus aut diapason erit per VI. ad XII. aut diapente, id est XXX. ut in Introitibus: Confessio et pulchritudo. et Dispersit dedit. Et Cognovi Domine. et Antiphonae Qui de terra est. et Quando natus es. et Malos male perdet. et Homo quidam fecit.

Tonus quartus bis XII. ad ter VIII. et ad ter VI. bis VIII. una consonantia numerorum in diapason VI. ad XII. id est XXIIII. conveniunt. Idcirco ter VI. non ad bis XII. comparatur, quoniam per ter non dividitur, sed ter VIII. ad ter VI. comparatur; et bis VIIII. ad bis XII. per [147] sesquitertiam proportionem. Totus iste tonus erit diatessaron semper, consonantia autem diapason, id est, sex VI. ad XII. ter VI. et bis VIIII. et ter VIII. et bis XII. faciunt. Quorum proportio, id est, comparatio maioris ad minorem, et minoris ad maiorem semper diatessaron, id est, septenario mensurabitur: ut introitus: Resurrexi. et Misericordia Domini. et In voluntate tua. et Antiphonae Rubum quem viderat. et Turba multa. Tria sunt munera.

Tonus quintus totus semper diapenticus per denarium est, quia ter VIII. ad ter XII. et quater VI. ad quater VIIII. id est, per sesquialteram proportionem in diapente cadunt, quorum consonantia diapason est, id est, in duodenarium quater VIIII. et ter XII. et quater VI. et ter VIII. ut Introitus: Domine refugium. Circumdederunt me. et Domine in tua misericordia. Et antiphonae Solvite templum hoc. Salve Crux. Exultet spiritus meus. et similia.

Tonus sextus est sexies VI. ad sexies IIII. de bis XII. et quater VIIII. ad quater VI. de bis XII. quia sesquialtera proportio in diapente cadit, et sexies IIII. de ter VIII. et sexies IIII. de bis XII. in consonantia diapason, id est, VI. et XII. veniunt per VIII. qui sunt XLVIII. sicut sexies VI. et quater VIIII. in LXXII. Totus enim iste tonus aut per diapason consonantiam, id est, VI. et XII. aut per diapente, id est, denarium mensurabitur. Ut introitus: Os iusti. Omnes gentes. et Quasi modo geniti. et Antiphonae O admirabile. et Virgo hodie fidelis.

Tonus septimus ut in proportione quarti toni habet totum diatessaron, et in proportione quinti toni habet totum diapente, et in proportione propria habet duodecies XII. diapason, qui sunt CXLIIII. Tonum octavum require ut supra.

De mensuris Organicarum Fistularum.

Prima habeat octies suum diametrum. Secunda habeat primam et eius octavam, et diametri octavam. Tertia secundam et eius octavam et diametri octavam. Quarta primam et eius tertiam et diametri tertiam. Quinta primam et eius mediam, et diametri mediam; vel quartam et eius octavam, et diametri octavam. Sexta habeat quintam in se, et eius octavam, et diametri octavam. Octava primam habeat duplam in se.

Item unde supra aliter.

Prima per octavam metiatur E T. Secunda sesquioctava sit primae D. T. Tertia sesquioctava secundae. C. S. Quarta sesquitertia primae. B. T. Quinta vel sesquialtera primae, vel sesquitertia secundae, vel sesquioctava quartae A. T. Sexta sesquioctava quintae, vel sesquitertia [148] tertiae, vel sesquialtera secundae G. S. Septima sesquioctava sextae, vel sesquitertia quartae, vel sesquialtera tertiae F. Octava sesquioctava septimae, vel sesquitertia quintae, vel sesquialtera quartae, vel dupla primae E. Nona sesquioctava octavae, vel sesquitertiae sextae, vel sesquialtera quintae, vel dupla secundae.

Item.

Prima quantaecumque quantitatis. Secunda sesquioctava primae. Tertia sesquioctava secundae. Quarta sesquioctava tertiae. Quinta sesquitertia secundae. Sexta sesquioctava quintae. Septima sesquioctava sextae. His itaque dispositis in secundo loco una inserenda est, quae sub sesquitertia sit illi, quae prius quarta fuit.

Item inde.

Data igitur primae vel minori fistulae qualibet longitudine; sed melius videtur, si latitudo foraminis diametri fuerit longitudini octies data: ubicumque deinceps tonus faciendus, maior habeat minorem totam et diametrum, et diametri eius octavam. In diatessaron maior minorem, et eius tertiam, et insuper diametri tertiam. In diapente maior minorem et eius mediam, insuper et diametri mediam. In diapason maior minorem duplo, et totum insuper diametrum. Caeterae vero facile per numeros occurrent. Est autem diametrum, vel quae est in foramine ea amplior parte medietas, vel foraminis transversitas ex diductiori parte, qua inspiratur fistula, et cui subiacet foraminis uia.

Aliter.

Si tonum quaeris, maior fistula minorem habeat, et eius octavam, et ipsius octavae octavam. Si diatessaron, maior minorem, et eius tertiam et tertiae undecimam, et undecimae sextam. Si diapente, maior minorem et eius mediam, et medietatis octavam, et octavae octavam. Si diapason, maior minorem duplo, et insuper eius unam octavam, et octavae octavam. Si diapason et diapente, maior minorem triplo, et eius duas octavas, id est, quartam. Si bis diapason, maior minorem quadruplo, et insuper eius tres octavas.

Item.

Si fistulae aequalis grossitudinis fuerint, et maior minorem in sua longitudine bis habuerit, et insuper concavitatis eius diametrum: diapason consonantiam invicem resonabunt.

Si fistula maior fistulae minoris longitudinem quater in se habuerit, et insuper diametri, quod in cavo est, ter mensuram contineat: bis diapason consonantiam resonabunt.

Si fistula maior minorem in se totam habeat, et insuper eius tertiam partem, nec non et diametri, quod in cavo est, diatessaron consonantiam resonabunt.

Si fistula maior minorem in se habuerit, et insuper eius longitudinis medietatem, simul cum medietate diametri, quod in cavo est, diapente consonantiam resonabunt.

Si fistula maior fistulam minorem in se totam habuerit, et insuper longitudinis partem XVI. cum diametri sextadecima: haec consonantia semitonium erit. Sed melius per diatessaron sumitur semitonium.

[149] De cymbalorum ponderibus.

Primum quanticumque ponderis. Secundum sesquioctavum primi. Tertium sesquioctavum secundi. Quartum sesquitertium primi. Quintum sesquioctavum quarti. Sextum sesquioctavum quinti. Septimum sesquitertium quarti.

De Modis.

Autentus auctoralis, et auctoritate plenus. Protus, id est, primus: deuterus secundus: tritus tertius: tetrardus quartus. Quibus ordinatim supponuntur quatuor laterales, quos vocant plagis proti, plagis deuteri, plagis triti, plagis tetrardi. Item in graeco ANNANEANE. NANANEAGIES. AGIANNEAGIES. NENOTEANES. NOEAGIS. Item parapteres NENNOTENEAGIS. Antiphona mea nox. Antiphona o mors. Antiphona miserere mei Deus. ANAIETANENAGIS AIANNEAGIES. Antiphona nos qui vivimus. Item parapteres, qui supra scripti sunt, necesse est, ut teneamus, qui in antiphonis minutis comprobantur, maxime de psalmis, qui non finiuntur ita ut inchoant. Parapteres dicti, eoquod iter praeparant versibus descendendi in antiphonis. NENOTENARSIS Parapter primus contingit tonum secundum, et intrat in versum, ut tonus secundus, et finit sicut tonus primus, ut est illud: miserere mei Deus. et A delicto. et aliae plures. ANOS Parapter secundus contingit tonum quartum, et ibi finit. Hae sunt antiphonae Quia mirabilia. Sede a dextris. Speret Israel. Omnis terra. et aliae plures ANAGETANENAGIS Parapter tertius contingit tonum septimum, et finit in tono quarto. Sunt vero multae antiphonae, quae ibi descendunt, quas nobis dinumerare longum est. Sed in aliquantulum dicamus. Antiphonae Benedicta. Rorate. Erit etiam AIANNEAGIES. Parapter vero quartus contingit tonum octavum, sed non ascendit in alteram vocem, et mediocris in ipsam finitur, et parumper inveniuntur, nisi quatuor aut quinque antiphonae: Nos qui vivimus. In ecclesiis. Martyres Domini. Angeli Domini. Virgines Domini.

De quinque symphoniis, Tribus simplicibus, et tribus compositis.

[GSI:149; text: Diapason symphonia est, quae fit duplo, ut est hoc, II., Diapente vero est quae his numeris constat. Diapente, III. Sesquialtera. Diatessaron vero est, quae in hac proportione consistit. Diatessaron, IIII. Sesquitertia. Tonus vero sesquioctava proportione concluditur VIII. Tonus, VIIII. Sesquioctava, Diapason et diapente tripla comparatione colligitur hoc modo. Diapason ac Diapente. Tripla.] [ALIMUS 03GF]

[150] [GSI:150; text: Bis diapason quadrupla collatione perficitur. Quadrupla Bis Diapason. II. IIII. VIII. Diapason, Diatessaron ac diapente unum perficiunt diapason hoc modo. III. Sesquialtera, Sesquitertius. Dupla.] [ALIMUS 03GF]

De Consonantiis tribus.

Symphonia [h g f e supra lin.] dicta [h f supra lin.] aeolice [e f g h supra lin.] diatessaron [h g h g f supra lin.] tono [f e supra lin.] constat [f g supra lin.] tonoque [g g g supra lin.] cum [h supra lin.] copula [h h h supra lin.] semitonii [h g h g f supra lin.] taliter [f f f supra lin.] aptam [f e supra lin.] ratam [f g supra lin.] dulcemque [g g g supra lin.] melodiam [g f h e supra lin.] resonans [e e e supra lin.]

Haec [g supra lin.] secunda [f c d supra lin.] forma [d e supra lin.] modulatur [f g g d supra lin.] tono [e d supra lin.] ac [d supra lin.] hemitonio [f e f e d supra lin.] tonoque [g f e supra lin.] pulchre [f g supra lin.] sonans [g d supra lin.]. Tertia [f e d supra lin.] quae [c supra lin.] symphonia [e c d e supra lin.] huius [d f supra lin.] semitonii [e d c d d supra lin.] tono [f f supra lin.] tono [f f supra lin.] species [d f f supra lin.] constat [f e supra lin.].

Consonantia [h g f e d supra lin.] dicta [h d supra lin.] sesquialtera [e f e h supra lin.] diapente [h d e d supra lin.] prima [h g supra lin.] species [h g f supra lin.] tono [f e supra lin.] constat [f g supra lin.] tonoque [g g g supra lin.] cum [h supra lin.] copula [h h h supra lin.] semitonii [h g h g f supra lin.]. addito [f f f supra lin.] quoque [f e supra lin.] tono [f g supra lin.] amplius [g g g supra lin.] tota [g f supra lin.] diatessaron [h e f d d supra lin.] pulchre [f e supra lin.] distinguens [h g f d supra lin.] carmina [h f d supra lin.].

Diapente [h gh h d h g f e dd e f g hh supra lin.] et [d supra lin.] diatessaron [d d e supra lin.] symphoniae [de dc dd supra lin.] et [c supra lin.] intense [d e f supra lin.] et [g supra lin.] remisse [f e d supra lin.] pariter [c d d supra lin.] consonantiam [d e f gh supra lin.] diapason [hg h h g f e dc ba cd ed supra lin.] modulatione [e f g hh d supra lin.] consona [g f ed supra lin.] reddunt [ed d supra lin.].

Si eiusdem, inquit, proportionis, id est, sesquiseptimae decimae, alium numerum, quae sesquiseptima decima intelligitur in XVIII. numeri decimaseptima parte, quae est unitas; et decima septima pars unitatis, decimiseptimi numeri octava pars duo, et octava pars unitatis, qui duo, et octava pars unius si addatur ad XVII. XVIII. fient XVIII. et octava pars unius, qui numerus est sesquioctavus ad XVII. id est, tonus. Nam XVII. et XVIII. sesquiseptimam decimam proportionem inter se habent, quia sesquiseptima decima in sola unitate intelligitur.

Si iterum alteram sesquiseptimam decimam proportionem I. addidero, erunt duo, et si duo addam super vicesimam secundam, id est, bis sesquiseptimam decimam, erunt XVIIII. quae XVIIII. non faciunt sesquioctavam proportionem ad XVII. Nam deest octava pars unitatis, et ex hoc intelligitur, quia faciunt duae sesquiseptimae decimae tonum integrum.

Si vis scire decimamsextam partem in XVII. collige numerum, qui perveniat ad XVII. de quibus unum subtrahe, et remanebunt XVI. unitates. Ex quibus XVI. unitatibus recipe decimamsextam unitatem, et divide in XVI. partes. Ex quibus XVI. partibus [151] decimasexta pars est unitatis, diviso septimi numeri, quem prius tulisti de XVI. antequam illum divideres in sedecim partes.

Beatus Augustinus perhibet, quia poenaliter peccat, quem in divinis canticis altitudo vocis magis quam sensus (verborum) delectat; quia ideo non voce, sed corde canendum est. Ad hoc enim usus psallendi constitutus est; ut sicut David in citharizando nequam spiritum in Saule compescebat: ita cantores modulando vel iubilando, quaelibet diabolica desideria de cordibus audientium expellant, et coelestibus harmoniis interesse persuadeant. Quapropter satagendum est, ne usum canendi deseramus, et per vocis exaltationem ne delinquamus. Hinc David: Beatus populus, qui scit iubilationem.

Cognitum esse debet omni musicam scientiam habere cupienti, quod omnes musicae consonantiae aut in duplici: ut II. ad IIII. aut triplici: ut II. ad VI. aut in quadrupla: ut sunt II. ad VIII. aut in sesquialtera: ut III. ad II. aut in sesquitertia: ut IIII. ad III. proportione consistunt. Quae enim in arithmetica dicitur sesquitertia, diatessaron vocatur in musica; quae in numeris sesquialtera, diapente appellatur in melodia. Quae vero dupla est in proportionibus, diapason in consonantiis. Tripla vero diapente ac diapason; quadrupla vero bis diapason. Consonantia, quae omnem musicae modulationem regit, propter sonum fieri nequit. Sonus vero propter quemdam pulsum percussionemque non redditur; pulsus vero atque percussio nequaquam esse potest, nisi praecesserit motus; et haec species climax dicitur.

Simplicem legimus principio fuisse musicam, adeo, ut quatuor nervis tota constaret, et hoc usque ad Orpheum permansit, ut primus quidem nervus et quartus diapason consonantiam resonarent, medii ad se invicem atque ad extremos diapente ac diatessaron, ut nihil in his esset inconsonum ad mutationem mundanae scilicet musicae, quae ex IIII. constat elementis; cuius quadrichordi Mercurius dicitur inventor.

Fertur a quibusdam, tempore quodam Nilum multipliciter redundasse, ita ut terrae circa eius litus operirentur, post cuius recessum pisces innumerabiles absque aqua per campos relictos periisse, acciditque eo tempore Mercurium (cochleam) invenisse, quam cochleam Mercurius accipiens nihil praeter nervos quatuor eius piscis, qui in ea fuerat, invenisse dicitur: quos singillatim tangens hoc tetrachordum primus reperisse narratur.

Sed omnis huius artis summa, sicut nobis videtur, in regularis monochordi divisione patescit. In qua divisione maius spatium chordae, et maior multitudo numeri sonos graviores efficiet. At si fuerit nervi longitudo contractior, vel paucioribus signata numeris, tanto gravior sonus, vel acutior invenitur, ubi chordarum spatia sonosque metimur; naturam rerum insequi necesse est, maiorique chordarum longitudini ex istis ampliores, minori vero, ex qua vocis acumen nascitur, dare breviores. Proslambanomenos [152] ad G. B. quae est hypatemeson, diapente consonantiam facit. Rursus A. B. proslambanomenos ad C. B. lichanos hypaton diatonicam habet consonantiam diatessaron. Sicque in numeris chordarum rationabiliter digestarum peritus musicae lector tonos legitimos invenire gaudebit. Tam difficillimum opus nequit explicari, quod vel nunquam in longo tractatu minus peritis aperte patescit. Hinc liquet, quosdam non inconvenienter contendisse: musicam cum Boetio coelum veraciter ascendisse.

Explicit Musica Ubaldi.