Back to top

[60] INCIPIT SCOLICA ENCHIRIADIS DE MUSICA

Magister: Musica quid est? Discipulus: Bene modulandi scientia. [Mu]: Bene modulari quid est? [Delta]: Melos suavisonum moderari. Sed haec quantum ad artem. Ceterum non bene modulari video, si quis in vanis suavitate artis abutitur, quemadmodum nec ipse, qui, ubi oportet, arte uti non novit, quamvis quilibet devoto tantum corde Domino dulce canit. [Mu]: Recte putas, non nisi bono usu dulcia mela bene fieri, nec rursum sacris melis bene uti, si sine disciplina iniocundius proferantur. Quocirca cum ecclesiasticis canticis haec disciplina vel maxime necessaria sit, ne incuria vel imperitia deturpentur, videamus, quibus rebus opus sit ad bene modulandi facultatem. [Delta]: Video plura esse, quae cantorem[61] observare oporteat, quae si non noverit, peritus esse non possit. Sed tuum est, haec certius exponere. [Mu]: Alia sunt, quae sibi sonorum proprietas postulat, alia, quae numerositatis poscit ratio, alia, quibus extrinsecus occurrentibus disciplina canendi sese apte conformat. [Delta]: Hi soni qui sunt? [Mu]: Sonos hic ptongos dicimus, id est voculas in canore concordes, quae sunt armoniae elementum. Etenim sicut loquela litteris, ita constat ptongis armonia. [Delta]: Quae sunt, quae sibi sonorum proprietas poscit? [Mu]: Ne quid in eis vitiata naturali qualitate absonum fiat. [Delta]: Quomodo fit haec absonia in ptongis? [Mu]: Si aut ignavius pronuntientur aut acutius, quam oportet. Primo namque hoc vitio in humanis vocibus et sonorum qualitas et tota leditur cantilena. Quod fit, ubi, quod canitur, aut segni remissione gravescit aut non rite in sursum cogitur. Quod vitium in quibuslibet musicis instrumentis nequit fieri, eo quod disposito semel ptongorum ordine vox sua sonis singulis manet. Alia fit dissonantia, quando sonus a sono falso metitur, id est alius pro alio. Tertia dissonantia, quando sonus non respondet sono, [62] quoto loco oportet. Et haec duo vitia ex eadem quidem causa nascuntur, sed in hoc differunt, quod illud in eadem fit neuma, hoc vero in praecinendo et respondendo. [Delta]: Haec duo vitia quomodo eveniant, expone. [Mu]: Quattuor sonitibus competenter sibi diversis dum constet armonia, quisque in suo tantum ordine propriam retinet qualitatem, nec in sua sede alteri dat locum, quorum seriem puto iam notam tenes. [Delta]: Tuae potius insinuationi omnia committo, eos sonos te canente audiam. [Mu]: Ecce canam. [descriptio 1 in marg.]

[VMKIII:62; text: Sic se habent in iusum. Sic se habent in sursum.] [SCENCH 01GF]

Indita sunt eis antiquitus nomina. Primo, id est gravissimo, protos vel archoos. Secundo deuteros, qui tono distat a proto. Tertio tritos, qui semitonio distat a deutero. Quarto tetrardus, qui rursus a trito tono disiungitur. Signis quoque huiusmodi notantur. Primo est nota [signum] dasian inclinum S ad caput ita [signum]. Secundo C versum ad caput [63] ita [signum]. Tertio iota simplex et inclinum ita [signum]. Quarto C supinum ad caput ita [signum].

[Delta]: Quomodo his quattuor tantum armonia ac non potius sonorum constat multitudine?

[Mu]: Videlicet innumerabiles sunt cantilenarum soni. Sed quaternis et quaternis eiusdem conditionis in levando et deponendo sese consequentibus sonorum pluralitas adcrescit, id quoque me canente proba. [descriptio 2 in marg.]

[VMKIII:63] [SCENCH 01GF]

Sic ergo in omni concordi sonorum serie per haec veluti tetracorda et in sursum cantilena et in iusum vadit, et quaternae socialiter sibi diversae voculae tamdiu competente sibi successione coherent, donec vel nimium attenuatae deficiant vel gravatione conticescant.

[64] Praeterea singuli soni ex praedictis quattuor suis tetracordis president suis item pentacordis. Tetracordis scilicet, dum per unumquemque eorum quaterni in ordine deponuntur ita [descriptio 3 in marg.]

[VMKIII:64,1] [SCENCH 01GF]

Pentacordis autem, dum uno ad superiorem partem addito idem fit primus, qui et extremus, ita [descriptio 4 in marg.]

[VMKIII:64,2] [SCENCH 01GF]

Quod itaque sono [signum] archoo incipit ac finitur, pentacordum primum vocamus, et constat duobus tonis, semitonio atque tono. Quod sono [signum] deutero, pentacordum secundum, et constat tribus tonis ac semitonio. Quod sono [signum] trito, pentacordum tertium, et constat semitonio atque [65] tribus tonis. Quod sono [signum] tetrardo, pentacordum quartum, et constat tono ac semitonio et duobus tonis. [Delta]: Tonus quid est? [Mu]: Legitimum acuminis vel gravitatis spacium inter sonum ac sonum veluti inter cordam et cordam. [Delta]: Quid vero semitonium? [Mu]: Semitonia vel limmata dicimus non plena sonorum spacia. Quae tamen suo loco posita et suam sonis proprietatem tribuunt et in concordiae suavitate cantilenam continent. Non suo autem loco posita, dissentire faciunt mela. Nam sciendum, in sonorum serie tunc naturalem ordinari qualitatem, dum naturali ad invicem spacio metiuntur. At si falso metiatur sonus a sono, in aliam mox qualitatem migrat coeptumque transvertit ordinem, et haec ex supradictis duobus vitiis prior dissonantia est. [Delta]: Lucida, rogo, exemplificatione aperias, qualiter huiusmodi sese absonia habeat. [Mu]: Temptabo, prout possum, tu adtentus adsis. Sonus [signum] deuterus cum semper intervallo semitonii subiungatur trito [signum], tritus vero a superiore sui parte habeat [signum] tetrardum, [66] [signum] deuterus vero ab inferiore parte sui habeat [signum] protum, ita: [descriptio 5 in marg.]

[VMKIII:66,1; text: tonus, semitonium] [SCENCH 01GF]

Notabis in quolibet tetracordo hos duos ptongos [signum] tetrardum et [signum] protum: Si enim ascendendo in sursum proxime post [signum] protum sonum metiatur [signum] tritus, veluti post [signum] deuterum, haec una erit absonia. Item si descendendo in iusum proxime post [signum] tetrardum sonum metiatur [signum] deuterus, veluti post [signum] tritum, haec altera erit absonia. [Delta]: Qualiter? [Mu]: Dic recensendo in sursum pentacordum a [signum] tetrardo, ut isdem descendas gradibus. [descriptio 6 in marg.]

[VMKIII:66,2] [SCENCH 01GF]

[Delta]: Dixi. [Mu]: Idem et ego dicam, mox subiungens aliud, ubi aliquid a priore ordine transmutetur, videlicet loco tertio quasi post deuterum metiendo tritum ita [67] [descriptiones 7a/b in marg.]

[VMKIII:67] [SCENCH 02GF]

[Mu]: Numquidnam hic sentis haec gemina pentacorda ad invicem non consentire? [Delta]: Sentio plane et deprehendo non redire pentacordum secundum ordine, quo coeptum est. [Mu]: Ita est: a [signum] tetrardo enim incipiens in [signum] archoon devenit, quia in priori latere non pervenit ad mensuram [signum] deuteri, sed breviori intervallo sonus [signum] tritus loco deuteri mensuratur, quod linea, non paginula, interiecta designat.

[68] [Mu]: Dic etiam pentacordum a [signum] proto. [descriptio 8 in marg.]

[VMKIII:68,1] [SCENCH 02GF]

[Delta]: Dixi. [Mu]: Dicam et ego hoc idem, dehinc paululum ab hoc ordine declinans in sequenti latere [signum] deuterum sonum [signum] tetrardo quasi [signum] trito subiungam ita [descriptiones 9a/b in marg.]

[VMKIII:68,2] [SCENCH 02GF]

[Mu]: Sensisti et hic pentacordum ab ordine declinasse nec reverti, ut coepit? [69] [Delta]: Sensi utique. [Mu]: Videsne [signum] proto sono inchoatum [signum] tetrardo finiri? [Delta]: Prorsus video. [Mu]: Adtende etiam, quomodo, si utrumque latus per haec non plena intervalla lesero, rursus ad sonum, a quo coepit, redeat. Sit pentacordum [signum] tetrardi [descriptiones 10a/b in marg.]

[VMKIII:69] [SCENCH 02GF]

[Mu]: Hoccine sensui tuo patuit? [Delta]: Patet prorsus et describendo oculis et sonando auribus in neutro latere ordinem perstitisse. [Mu]: Limmata ergo haec non plena spacia vocari solent et per ea interdum vel modus a modo transfertur vel per eadem restituitur, sicut in cantibus satis [70] observari poterit. [Delta]: Num pro vitiis ea reputabimus? [Mu]: Vitia nimirum sunt, sed sicut barbarismi et soloecismi metris plerumque figuraliter intermiscentur, ita limmata interdum de industria cantibus inseruntur. Sed adhuc alia vitia videamus. Tertia enim fit absonia primae contraria, utpote si in priore latere a [signum] deutero veluti a [signum] proto alius metiatur deuterus abusivo spacio, id est iusto longiore. Sit itaque rursus pentacordum tetrardi, cui haec vitii species subiungatur [descriptiones 11a/b in marg.]

[VMKIII:70] [SCENCH 02GF]

[71] [Delta]: Deprehendo et absoniam istam. [Mu]: Vide et quartam absoniae formam in hoc genere, quae est contraria secundae, id est si in sequenti latere a [signum] trito quasi a [signum] tetrardo tritus alius metiatur. Sit pentacordum a [signum] proto [descriptiones 12a/b in marg.]

[VMKIII:71] [SCENCH 03GF]

[Delta]: Et id dinosco, quia pro eo, quod a [signum] trito sono [signum] deuterus metiretur, abusive tritus a [signum] trito quasi a [signum] tetrardo, longiori quam oportuit metiatur spacio. [Mu]: Quod si etiam tale pentacordum subiungamus, [72] quod his viciis utroque ledatur latere, huiusmodi erit absonia. Sit pentacordum tetrardi [descriptiones 13a/b in marg.]

[VMKIII:72] [SCENCH 03GF]

[Delta]: Absonum certe, nec suave quid resonans. [Mu]: Hoc ergo intellecto, qualiter sonus a sono falso metitur, videamus, quomodo et hoc eveniat, ut, si, quotis locis oportet, soni ad sonos non respondeant, concordantia ad invicem mela non resonent. [Delta]: Et id utique posco. [Mu]: Huc, inquam, ades, ac vide, quomodo in tetracordis vel pentacordis quaternae varietatis ordo disponitur, ut, quotus ab alio quilibet constet sonus, liquido contempleris. Nam sicut in coloribus, si sint quaterni et quaterni locati ex ordine in lineamque dispositi, verbi gratia rubeus, viridis, gilbus, niger, necesse est, ut quisque color tribus [73] aliis interpositis per quintana loca reperiatur, ita et in sonis evenit, ut, dum sese nova semper iteratione consecuntur, cuique in utramque partem quintis locis a suo compare respondeatur. [Delta]: Quomodo inquis compares, qui acumine et gravitate sunt dispares? [Mu]: Acumine quidem sunt et gravitate differentes, quadam tamen sibi sunt naturali socialitate concordes. Deinde sonus quisque quem in hoc aut illo latere secundum habet, in alio latere habet quartum, quem tertium in hoc latere, eundem tertium in alio. Sed haec dixerim iuxta quod in continuatione tetracordorum quaternae varietatis ordo disponitur. [Delta]: Ad dinoscendum autem, quis sonus ille vel ille sit, velim cognoscere in singulis suae proprietatem qualitatis. [Mu]: Iure id poscis. Etenim lucente prius sonorum proprietatis qualitate minus erratur in ceteris. Sed haec posse dinoscere facili exercitacione obtinebitur. Ergo sume aliquid canere, quod in sonum verbi gratia [signum] archoum finiat, aliud mox subiungendum, quod [74] ab eodem sono incipiat vel a suo compare superiore sive inferiore, sive inchoet a sono [signum] tetrardo, aut a sono [signum] trito, aut a sono [signum] deutero. Igitur nisi id, quod subiungendum est et a sono [signum] archoo incipit, aut equale ponas cum finali sono praecedentis meli, eodem dumtaxat [signum] archoo, aut quinto loco superius seu quinto loco inferius, id autem, quod a sono [signum] tetrardo inchoat, aut secundo loco inferius aut quarto loco superius, porro id, quod a sono [signum] trito inchoat, aut tertio loco inferius aut tertio loco superius, at vero illud, quod a sono [signum] deutero incipit, aut secundo loco superius aut quarto loco inferius, ad subiectam sonorum descriptionem, minime id, quod subsequitur, concordare potest cum eo quod praecedit. Et in omnibus sonis idem evenit, ut [75] scilicet in uno concordiae corpore convenire nequeant, quod subinfertur quodque praecinitur, si vel supra vel infra mutuo copulentur, quam finem huius et invicem initium illius mensura propria metitur. [descriptio 14 in marg.]

[VMKIII:75] [SCENCH 03GF]

Quapropter ubi oportet, ut haec concordia observetur, necesse est, finientes et incipientes soni naturali ad invicem ordine metiantur. Ubi vero id neglegitur vel opus non est observari, in semetipsis quidem, quae canuntur, sonis concordibus ire possunt, sibimet vero subiuncta concordabiliter ad invicem uniri non possunt; sed cantoris peritiae esse debet ad sciendum, ubi aliud post aliud concorditer subiungi conveniat, vel ubi necesse non sit. Et de hac quoque discrepantia satis dictum. Sciendum tamen, quod prima concordatio haec [76] est, quae fit praefato modo ad meli ductum. Altera est concordatio paulo minor, dum vel elationis difficultatem mitigare volentes vel submissiorem gravitatem erigere aut in sursum aut in iusum quintana transpositione subiungimus. Est et tertia concordatio, quae fit octava sonorum regione, id est dum in novam vocem vel acutiorem melos mutamus. Atque his collationibus cantionum quaedam unanimitas servari potest. Aliter autem non potest, nisi forte ex integro melum quodlibet in modum alium transponendo mutetur. Si melum quodlibet in eadem sonorum serie unius aut duorum seu trium tonorum spacio acutius aut gravius transposueris, simul etiam tropi modus in aliam speciem migrat. [Delta]: Da exemplum huius migrationis. [Mu]: Quomodo si tetracorda vel pentacorda quina in ordine cecinero [77] hoc modo [descriptio 15 in marg.]

[VMKIII:77,1] [SCENCH 03GF]

Quemadmodum, inquam, ita canendo proti modi pentacordum uno spatio acutius factum in deuteri pentacordum mutatur, a deutero in tritum transit, a trito in tetrardum, a tetrardo rursus redit in protum, ita quicquid uno vel duobus seu tribus tonis ex integro altius graviusve transposueris, simul in modum alium transmutabitur.

Exempli gratia usitata neuma regularis ad primum tonum haec est [descriptio 16 in marg.]

[VMKIII:77,2; text: Noannoeane] [SCENCH 03GF]

Ergo huius neumae regularis si totam constitutionem uno spacio altiorem fecero, mox ex proto tono deuterus fiet. Similiter a deutero transposita in tritum modum deveniet. Rursus a trito tono si uno levetur spacio, tetrardus succedit. Adhuc unius spacii acumen dum acceperit, protus denuo nascitur. Quid, si descriptiunculis quoque haec eadem exemplificarentur, nonne apertiora quaeque fierent veluti posita sub aspectum? [78] [Delta]: Ita nimirum est. [Mu]: Quinas ergo descriptiunculas linealiter disponamus, quae gradatim sibi coherentes huiusmodi tonorum transitiones exprimant hoc modo [descriptio 17 in marg.]

[VMKIII:78; text: tonus, semitonium, Noannoeane] [SCENCH 03GF]

[79] Prima descriptiuncula proti modi, secunda deuteri, tertia triti, quarta tetrardi, quinta rursus eiusdem quae prima. Atque ad hunc modum, ut dictum est, quodcumque melum transposueris, in aliam modi speciem mox vertetur. Et si maioris sit tropi ante transmutationem, maior quoque tropus erit, in quemcumque fuerit transmutatum. Tropi autem vel modi sunt, quos abusive tonos dicunt, quorum singulorum differentias numerumque iam puto didiceris. [Delta]: Atqui didici. [Mu]: Dic mela quaelibet ad primum modum, ad secundum quoque et reliquos. [Mu]: Ecce modus primus, ecce secundus, en tertius, en etiam quartus. [Mu]: Dic nunc, quoniam quadam diversitate ab invicem differre auribus iudicatur, quae sit causa diversitatis. [Delta]: Diversi quidem ab invicem discernibili quadam suae proprietatis specie sentiuntur, sed qua ex causa eveniat, miror. [Mu]: Ut hoc aliquantulum patere incipiat, da tetracordum vel certe pentacordum primum.

[80] [descriptiones 18-21 in marg.]

[VMKIII:80,1] [SCENCH 04GF]

[Delta]: En cecini. [Mu]: Huc adhibe proti quos volueris modos, et videbis omnia, quae ad protum modum canuntur, sono [signum] proto finiri. [Delta]: Sic equidem video. [Mu]: Da nunc aliud pentacordum, quod sit uno spacio altius, incipiens a sono [signum] deutero et in eo consistens. [Delta]: Et hoc ita canitur.

[VMKIII:80,2] [SCENCH 04GF]

[Mu]: Cane et mela modi deuteri et confer cum sono [signum] deutero, si in ipso forte finiantur.

[Delta]: Utique faciunt.

[Mu]: Da nunc tertium pentacordum bino altius spacio, quod scilicet a sono [signum] trito incipiat, et in ipsum deponatur. [Delta]: Et hoc huiusmodi est.

[VMKIII:80,3] [SCENCH 04GF]

[Mu]: Huc adhibe tritos modos et [signum] trito sono terminari invenies. [Delta]: Ita certe.

[Mu]: Da nunc altius spaciis tribus, id est a sono [signum] tetrardo pentacordum quartum. [Delta]: Id hoc modo fit.

[VMKIII:80,4] [SCENCH 04GF]

[Mu]: Vide nunc tetrardos modos, an eos sentias in sono [signum] tetrardo consistere. [Delta]: Sentio verissime. [Mu]: Da nunc pentacordum quintum, et rursus novo tetracordo idem sonorum ordo modorumque revertitur. [Delta]: Et hoc certe mirandum. [descriptio 22 in marg.]

[VMKIII:80,5] [SCENCH 04GF]

[81] [Mu]: Virtus ergo sonorum quattuor quaeque mela modificat. Quapropter nota nunc tibi in quattuor illis ptongis vim varietatis mirabilem et suam cuiusque faciem, qua singuli ab invicem diversitate differant et secundum se modorum faciant differentias. [Delta]: Haec quidem utcumque videre me videor. Miror autem, cum octo computari soleant, tu his sonis non magis quam modos quattuor procreari dixeris. [Mu]: Octo constat modos nos solere computare. Ita tamen, ut bini modi, id est maior cum minore, a singulis in tetracordo sonitibus moderentur, et ob hoc uni deputantur modo, qui eodem reguntur sono. Scilicet [signum] archoo vel proto autentus protus et plagis, [signum] deutero deuterus autentus et plagis, [signum] trito autentus tritus et plagis, [signum] tetrardo tetrardus autentus [82] et plagis. Sane autentum dicimus auctoralem, plagin subiugalem seu lateralem. Sic igitur singuli et suae proprietatis qualitate sunt dinoscibiles, et suis quique tetracordis et pentacordis praesident, et, ut dictum est, tonos modosve discernunt. [Delta]: Ergone solius soni finalis virtus quemlibet modum efficit, ut ob id tropus vel modus illius aut illius soni dicendus sit, quod in eo finis meli constiterit? [Mu]: Praecipue quidem videtur vis cuiuslibet tropi ob id in quolibet finali sono consistere, quod in eo tropus finiendo constiterit. Additur hoc tamen, quod sonus idem finalis et sociales sui frequentiores in commatum vel colarum fine versantur. Sociales autem suos quisque sonus non solum quintis habet regionibus, sed et quartis locis alios sibi quaerit compares, qui tertiae simphoniae locus est. Itaque in particulis, quae membra sunt cantionis, pene semper cola vel commata has in levando aut in ponendo sonorum socialitates petunt, et in eas vel arsis quaerit attingere vel thesis. Exemplorum satis legitima mela afferunt, quae ne longius quaeramus, aspice, quam in manibus tenemus, neumam regularem vel particulam, quam duo commata perficiunt [descriptio 23 in marg.]

[VMKIII:82; text: Noannoeane] [SCENCH 04GF]

[83] Ac vide, quomodo in quartos sonos utriusque commatis positio vergat et particula, a quo sono initium levat, in eundem in fine deponatur. Cola autem dicimus maiores particulas, duo seu tria vel plura commata continentes, quae et oportunas quasdam sui distinctiones prebent. Porro commata sibi in levationibus ac positionibus coherentia colon peragunt. Tamen est interdum, ubi indifferenter colon sive comma dici potest. [Delta]: Quid inter se maiores minoresve toni differunt, eodem quidem sono finiti eodem gubernati? [Mu]: Quae super his dicenda sunt, commodius conferemus, si prius proprias sonorum notulas describamus: Decem et octo namque sonis notas ponimus, id est tetracordis quattuor et dimidio tetracordo. Primum quod est humilius, grave tetracordum nuncupantes. Secundum finale. Tertium superius. Quartum excellens.

[VMKIII:83; text: Sane illas voculas quas finales vocamus, eis notulis designamus, quas supra descripsimus ita, Graves autem eisdem fere sed retro spectantibus figuris ita, Superiores giratis in iusum finalibus ita, Excellentes giratis in iusum gravibus ita] [SCENCH 04GF]

[84] Tritus sonus excipitur, qui in gravibus habet N inclinum [signum], in superioribus N versum et inclinum [signum], in excellentibus iota transfixum [signum]. Residuas binas voces iacentibus notis exprimimus [signa], qui in ordine disponantur ita [descriptio 24 in marg.]

[VMKIII:84] [SCENCH 04GF]

[Delta]: Unde possum dinoscere, qui sint finales, qui superiores, vel illius aut illius ordinis? [Mu]: Omne musicum ad aliquid esse constat. Nam nec sonus musicus esse potest sine adiunctione alterius soni, ad quem naturali spacio musicum sonat. Sicut ergo ad aliquid per se non intellegitur, ita cum aliquot soni absolute numerantur, nec superiores iure possunt nec finales dici seu alius cuiusque ordinis. Sed cum necesse sit, ut quicquid rite canitur altius graviusve, in uno ipsorum quattuor finiatur, in quolibet eorum finiendum est, ipse cum ceteris sui tetracordi sonitibus finalis optinet nomen, et hinc alia tetracorda sumunt ordinem. Ab eodem etiam sono, ut sit maior tonus aut minor mensuram accipit. Cum enim inferiorem quemque tonum quinto loco valeamus altiorem ponere et superiorem quinto loco graviorem, ut supra monstratum est, profecto non secundum id [85] superior dicitur aut inferior, quod altius aut inferius alter canatur ab altero, sed secundum id, quo sese utrique toni ad sonum finalem habent. Habent autem hoc modo: A finali sono aequalis potestas est minori tono in superiora atque inferiora, id est in utroque latere pertingendi usque ad sonos quintos. Non quod semper id eveniat, sed quod haec spacii eius sit potestas. Iam vero si ad superiorem partem quintum sonum sistemate transierit, maiori tono deputari solet. Maior autem sistematis duplum habet spacium in superioribus, id est vel usque in nonum sonum. [Delta]: Sistema quid est? [Mu]: In colis vel commatibus diastemata dicimus, sistemata in particulis perfectioribus seu toto periodo. Nam diastema est spatium quodlibet sonorum, quo particula complectitur, id est quo acuta et gravior vox includitur, sistema totius spatium meli. Item sistemata sunt species tetracordorum, [86] pentacordorum, ogdocordorum, quae modis singulis suas dant species. [Delta]: Quare unum tetracordum sub finalibus sonis constituitur, supra finales duo? [Mu]: Quia sive altiore sive submissiore voce canatur quodlibet simplex ac legitimum melos, non nisi ad quintum sonum a finali sono deponitur, nec nisi in nonum usque ascendit. Et hactenus de discrepantiarum generibus devitandis superius dicta terminata sint, nunc deinde, quae pro exornatione melodiae donante Deo dicenda sunt, prosequemur. Ac inprimis videndum, ut numerose quodlibet melum promatur. [Delta]: Quid est numerose canere? [Mu]: Ut attendatur, ubi productioribus ubi brevioribus morulis utendum sit, quatinus uti, quae sillabae breves quaeque sint longae, attenditur. Ita qui soni producti quique correpti esse debeant, attendatur, ut ea, quae diu, ad ea, quae non diu, legitime concurrant, et veluti metricis pedibus cantilena plaudatur. Age canamus exercitii usu, [87] plaudam pedes ego in praecinendo, tu sequendo imitabere: [descriptio 25 in marg.]

[VMKIII:87; text: Ego sum via veritas et vita alleluia] [SCENCH 04GF]

Solae in tribus membris ultimae longae, reliquae breves sunt. Sic itaque numerose est canere, longis brevibusque sonis ratas morulas metiri, nec per loca protrahere vel contrahere magis quam oportet, sed infra scandendi legem vocem continere, ut possit melum ea finiri mora, qua coepit. Verum si aliquotiens causa variationis mutare moram velis, id est circa initium aut finem protensiorem vel incitatiorem cursum facere, duplo id feceris, id est ut productam moram in duplo correptiore, seu correptam immutes duplo longiore. [Delta]: Puto temptare horum, quaeque expedit, et in usum vertere. [Mu]: Recte putas; ob hoc sumamus quodvis melum canere, nunc correptius, nunc productius, ita ut morulae, quae nunc sunt productae correptis suis, nunc item fiant pro correptis ad eas, quae fuerint productiores se. Canamus [88] modo; prima sit mora correptior, subiungatur producta, tunc correpta iterum: [descriptio 26 in marg.]

[VMKIII:88; text: Ego sum via veritas et vita alleluia] [SCENCH 04GF]

Haec igitur numerositatis ratio doctam semper cantionem decet, et hac maxima sua dignitate ornatur, sive tractim seu cursim canatur, sive ab uno seu a pluribus. Fit quoque, ut dum numerose canendo alius alio nec plus nec minus protrahit aut contrahit, quasi ex uno ore vox multitudinis audiatur. Item in alternando seu respondendo per eandem numerositatem non minus morae concordia servanda est quam sonorum. [Delta]: Quomodo per moras oportet cantiones concordent? [Mu]: Concordabilis cantionum copulatio qualiter per propriam quorumque sonorum sedem eveniat, supra monstratum est. Morarum vero concordia fit, si id quod subiungendum est, aut aequali mora respondeat, [89] sive pro competenti causa duplo mora longiore aut duplo breviore. [Delta]: Constat omnia quae praedicta sunt, peritae cantioni accidere. Prosequere, si qua adhuc bonae modulationi necessaria sint. [Mu]: Observandam quoque dico distinctionum rationem, id est ut scias, quid coherere conveniat, quid disiungi. Videndum etiam, quae mora illi aut illi melo conveniat. Namque hoc quidem melum celerius cantari convenit, illud vero morosius pronuntiatum fit suavius. Quod mox dinosci valet ex ipsa factura meli, utrum sit levibus gravibusve neumis composita. Ergo moram, quae cuique melo conveniat, aptam exhibebis dumtaxat secundum temporis ac loci et causae cuiuslibet extrinsecus occurrentis rationem, ipsam etiam altitudinem ad congruentiam morae cum apertis et suavibus neumis, atque huiusmodi observationibus honestam beneque moratam musicam moderabis. Preterea congrua symphoniarum commixtio maximam suavitatem cantilenis adiciet.

FINIT PARS PRIMA. INCIPIT SECUNDA DE SYMPHONIIS

[90] [Delta]: Symphonia quid est? [Mu]: Dulcis quarundam vocum commixtio; quarum tres sunt simplices, diapason, diapente, diatessaron, tres compositae, disdiapason, diapason et diapente, diapason ac diatessaron. [Delta]: Quae est diapason simphonia? [Mu]: Quae sex sonis interpositis per octava loca canitur. [Delta]: Quae est diapente quaeque diatessaron? [Mu]: Diapente per quinta loca fit, diatessaron per quarta, sicut in pentacordis et tetracordis extrema sibi conveniunt. [Delta]: Unde dicitur diapason? [Mu]: Diapason Grece, Latine interpretatur ex omnibus, eo quod octo solas cordas antiqua cithara continebat. [Delta]: Quare diapente vel diatessaron vocatur? [Mu]: Diapente dicitur ex quinque, eo quod quinas voces continet, diatessaron interpretatur ex quattuor, quia quaternas complectitur voces.

DE DIAPASON AC DISDIAPASON. [Delta]: Quomodo canitur diapason? [Mu]: Ubi ita vel in iusum vel in sursum vox a voce transmutatur, ut altior graviorque non tam consonae quam aequisonae sint, hoc adsensu concordantes diapason concinunt. Tamquam si ab H deponatur in A, vel ab H levetur in P ad subiectam descriptionem:

[91] [descriptio 1 in marg.]

[VMKIII:91; text: P, H, A, Nos qui vivimus benedicimus dominum ex hoc nunc et usque in seculum] [SCENCH 05GF]

[Mu]: Sive enim alia post aliam per octava loca sumatur, sive in unum binis aequisonis vocibus canatur, fit hac ratione cantio diapason simplicis. At vero tres in unum trinis descriptis canamus vocibus, et fit [92] hoc modo cantio diapason duplicis. Si quoque dempta voce media per quindecima loca canatur, nihilominus disdiapason erit. Canamus omnia ad suprascriptum modum.

Haec igitur symphonia quia facilior et apertior est ceteris, maxima et prima symphoniarum appellatur.

DE DIAPENTE. Sequitur symphonia diapente. Ea autem est, ubi per quintanas regiones vel alia post aliam sumitur vel in unum ambae dicuntur ad infrascriptum modum: [descriptio 2 in marg.]

[VMKIII:92; text: PRINCIPALIS, ORGANALIS, Nos qui vivimus benedicimus dominum ex hoc nunc et usque in seculum] [SCENCH 05GF]

Hoc ergo modo est simpliciter diapente pangere. Prima vero compositio fit diapente, si vox organalis ita per diapason geminetur, ut sit media principalis, veluti quinta inter primam et octavam. Principalem [93] enim vocem absolutam cantionem dico, organalem vero, quae huic subiungitur symphoniae ratione. Canamus ad infrascriptum modum: [descriptio 3 in marg.]

[VMKIII:93; text: ORGANALIS, VIII, PRINCIPALIS, V, I, Nos qui vivimus benedicimus dominum ex hoc nunc et usque in seculum] [SCENCH 06GF]

Altera eius est compositio, si vox, quam principalem diximus, ita per diapason geminetur, ut sit media organalis, veluti octava inter quintam ac duodecimam. Canamus ad infrascriptum modum:

[94] [descriptio 4 in marg.]

[VMKIII:94; text: PRINCIPALIS, XII, ORGANALIS, VIII, V, Nos qui vivimus benedicimus dominum ex hoc nunc et usque in seculum] [SCENCH 06GF]

Tertia est diapente compositio, si vox organalis ad inferiora per diapason geminetur, ut sit celsissima principalis, veluti duodecima adversus octavam et primam. Haec quoque consonantia et per duodecima loca dempta voce media concordat.

Item quarta est diapente compositio, si vox principalis ad superiora per diapason geminetur, ut sit gravissima organalis veluti prima contra quintam et duodecimam. Haec similiter et media voce dempta concordiam habet.

[95] Item quinta est diapente compositio, si ambabus vocibus per diapason geminatis quaterna vocum diversitate canatur, ut videlicet ad quintam et duodecimam organum prima et octava respondeant. Canantur omnia ad infrascriptum modum: [descriptio 5 in marg.]

[VMKIII:95; text: PRINCIPALIS, XII, ORGANALIS, VIII, V, I, Nos qui vivimus benedicimus dominum ex hoc nunc et usque in seculum] [SCENCH 07GF]

[96] Sexta est diapente compositio, si sit vox celsissima organalis veluti quindecima ad duodecimam atque quintam, ad infrascriptum modum: [descriptio 6 in marg.]

[VMKIII:96; text: PRINCIPALIS, XV, ORGANALIS, XII, V, Nos qui vivimus benedicimus dominum ex hoc nunc et usque in seculum] [SCENCH 07GF]

Potest etiam vel altera vel utraque voce per disdiapason triplicata multiplici specie eadem symphonia variari.

[97] DE DIATESSARON. Sequitur diatessaron symphonia. Ea est, ubi quartanis locis in unum pangitur. Sed sciendum, quia non ita simpliciter ut in ceteris, quae maiores sunt, sed et alia quadam naturali lege organum exinde derivatur, unde et post dicetur. Verumtamen modesta morositate edita, quod suum est maxime proprium, et concordi diligentia procurata honestissima erit cantionis suavitas. [descriptio 7 in marg.]

[VMKIII:97; text: PRINCIPALIS, ORGANALIS, Nos qui vivimus benedicimus dominum ex hoc nunc et usque in seculum] [SCENCH 08GF]

Componitur quoque diatessaron symphonia isdem modis quibus diapente. Prima enim eius compositio est, si vox organalis ita per diapason [98] geminetur, ut sit media principalis, veluti quarta inter primam et octavam, ad infrascriptum modum: [descriptio 8 in marg.]

[VMKIII:98; text: PRINCIPALIS, VIII, IIII, I, ORGANALIS, Nos qui vivimus benedicimus dominum ex hoc nunc et usque in seculum] [SCENCH 08GF]

Altera eius est compositio, si e contrario vox principalis ita per diapason geminetur, ut sit media organalis, veluti octava inter quartam et undecimam.

[99] [descriptio 9 in marg.]

[VMKIII:99; text: PRINCIPALIS, XI, VIII, IIII, ORGANALIS, Nos qui vivimus benedicimus dominum ex hoc nunc et usque in seculum] [SCENCH 09GF]

Tertia est diatessaron compositio, si vox organalis ad inferiora per diapason geminetur, ut sit celsissima principalis, veluti undecima adversus octavam et primam.

Item quarta est diatessaron compositio, si vox principalis ad superiora per diapason geminetur, ut sit gravissima organalis, veluti prima contra quartam et undecimam.

[100] Item quinta est diatessaron compositio, si ambae voces, et principalis videlicet atque organalis per diapason geminentur, ut ad quartam et undecimam organum prima et octava respondeant. [descriptio 10 in marg.]

[VMKIII:100; text: PRINCIPALIS, XI, VIII, IIII, I, ORGANALIS, Nos qui vivimus benedicimus dominum ex hoc nunc et usque in seculum] [SCENCH 09GF]

[101] Sexta est diatessaron compositio, si sit vox celsissima organalis, veluti quintadecima ad undecimam atque quartam. Canatur quoque ad infrascriptum modum. [descriptio 11 in marg.]

[VMKIII:101; text: PRINCIPALIS, XV, XI, IIII, ORGANALIS, Nos qui vivimus benedicimus dominum ex hoc nunc et usque in seculum] [SCENCH 10GF]

[102] [Mu]: Et notandum, quod sive principali sive organali sive utraque voce per diapason geminata, semper altioris vocis locum vox puerilis supplere potest. [Delta]: Quid differt, rogo, inter primam diapente compositionem et diatessaron secundam, cum hic et ibi aequali interstitio extremae voces a media disiungantur? Similiter, quid inter compositionem diapente secundam et diatessaron primam? [Mu]: Si quaeris, cur in prima diapente compositione sit potius vox media principalis quam organalis, in secunda vero diatessaron compositione sit potius vox media organalis quam principalis, cum hic et ibi isdem intervallis vox media sese habeat ad extremas, et rursus, in secundo diapente composito quare dicatur vox media organalis, in primo autem diatessaron composito vox media principalis, scias hanc quidem esse rationem, quod in diatessaron symphonia non ita simpliciter et absolute sicut in diapente vocem principalem organalis vox comitatur, verum sua quadam naturali lege certis locis subsistit nec ulterius valet consonanter procedere, sicut et descriptionibus supradictis ostenditur, quomodo infra [103] sonum [signum] tetrardum non descendit. Verum sciendum in praedictis compositionibus et alia quadam proprietate diatessaron ac diapente differre: Siquidem dum quintis et octavis locis semper sit troporum vel tonorum reversio, necesse est, ut, dum vox inferior ad superiorem vocem eodem tropi modo diapente respondet, utrique rursus voci ab octava sua eodem tropo respondeatur. Fitque, ut organali voce per diapason geminata et principali voce media vox organalis inferior quintis locis a media separetur et superior quartis, quod est compositum diapente primum, principali autem voce per diapason geminata et organali media vox principalis inferior quartis locis a voce media distinguatur et superior quintis, quod est compositum diapente secundum. E contrario vero in diatessaron, dum vox inferior ad superiorem vocem quartis locis non eodem respondeat tropo, necesse est, ut principali et organali voci non eodem, sed singulis a sua octava suo tropo respondeatur. Fitque, ut organali voce per diapason geminata et voce principali media vox organalis inferior quartis locis distet a media et quintis superior, quod est compositum diatessaron primum, principali autem voce per diapason geminata et voce organali media vox principalis inferior quintis locis a voce media disiungatur et superior quartis, [104] quod est compositum diatessaron secundum. Quae omnia supradictae descriptiones ostendunt. Sed quid adhuc? [Delta]: Quia disserebas, quod diapente quidem symphonia eosdem tropos concinit, diatessaron vero non eosdem, ideoque in praedictis utrarumque symphoniarum compositionibus vox media quamvis simili ad extremas interstitio separata, dum non et hic et ibi eiusdem sit tropi, hic quidem sit principalis, ibi sit organalis, quaero, quid sit inter principalem atque organalem vocem diapente symphoniae, cum tropis non sint dissimiles.

[Mu]: Hoc nunc quoque dictum recole: Namque organali voce in diapente geminata, si voci mediae videlicet principali simile intervallum esset ad extremas, nihil interesse videretur inter principalem vocem atque organalem. Nunc vero, cum vox organalis quinto loco ad vocem principalem extet inferior, sed per vim diapason quarto loco superior, sicut versa vice in diatessaron vox organalis ad vocem principalem quarto loco extat inferior, sed per diapason quinto loco superior, similiter principali voce per diapason geminata non sint eadem ad extremas voces voci mediae intervalla, patenter poteris intellegere, qualiter virtus diapason symphoniae, quae utrasque voces multiplicat, etiam quae principales quaeque sint organales, per certa intervalla disponat.

[105] [Delta]: Quare non potest in diatessaron symphonia vox organalis sic absolute convenire cum voce principali, sicut in symphoniis aliis? [Mu]: Quoniam, ut dictum est, per quartanas regiones non idem tropi reperiuntur diversorumque troporum modi per totum simul ire nequeunt, idcirco in diatessaron symphonia non per totum vox principalis voxque organalis quartana regione consentiunt. [Delta]: Vellem quoque dinoscere, quomodo per quarta loca troporum sit genus dissimile. [Mu]: Facile id senties. Sive enim uno tono altius transponatur seu quarto loco inferius, modus diversi tropi aperto auditu fit discernibilis. Canatur ad infrascriptum modum: [descriptio 12 in marg.]

[VMKIII:105] [SCENCH 10GF]

[Delta]: Discerno plane tonum autentum protum in autentum deuterum hac transpositione transire.

[106] [Delta]: At vero dabis nunc rationem, quare per alias regiones voces ita sint consonae, per alias vero vel discrepantes sint vel non adeo consentientes. [Mu]: Equidem pertemptare licet, quas Dominus concesserit rationes, quo causas dulciter convenientium vocum atque discrepantium, naturam quoque diversorum troporum aliquantulum deprehendamus, et quare in transponendo in alias species migrent vel in suas denuo revertantur. Etenim sicut absolute computando simplex est series numerandi et facilitate sui etiam pueris patens, ut I II III IIII et cetera, aliud vero alii inaequaliter collatum in varias inaequalitatis species cadit, ita ptongi in musica, cuius mater est arithmetica, id est numeralis scientia, facili quidem ordine recensentur, ad aliquid autem prolati non modo suavium dant concinentiarum species, sed et earundem concinentiarum suavissimas rationes. [Delta]: Quomodo ex arithmetica matre gignitur armonia, et an eadem est armonia quae musica? [Mu]: Armonia putatur concordabilis inaequalium vocum commixtio, musica ipsius concordationis ratio. Quae sicut per omnia numerorum [107] rationi coniuncta est, atque ceterae mathesis disciplinae, ita per numeros oportet ut intellegantur. [Delta]: Quae sunt mathesis disciplinae? [Mu]: Arithmetica, Geometrica, Musica, Astronomia. [Delta]: Quid est mathesis? [Mu]: Doctrinalis scientia. [Delta]: Quare doctrinalis scientia? [Mu]: Quia abstractas considerat quantitates. [Delta]: Quae sunt abstractae quantitates? [Mu]: Quae sine materia, id est admixtione corporali, solo intellectu tractantur. In quantitatibus vero multitudines, magnitudines, paucitates, parvitates, formae, aequalitates, habitudines et cetera, "quae", ut Boetii verbis loquar, "ipsa quidem natura incorporea sunt et inmutabilis substantiae ratione vigentia, participatione vero corporis permutantur et tactu variabilis rei in vertibilem inconstantiam transeunt". Porro hae quantitates aliter in arithmetica, aliter in musica, aliter in geometrica, aliter in astronomia considerantur. Hae enim quattuor disciplinae non sunt humanae inventionis artes, sed divinorum operum aliquantae investigationes, et in creatura mundi mirabilissimis rationibus ingenuas mentes ducunt, ita ut sint inexcusabiles, qui per haec cognoscentes Deum et sempiternam eius divinitatem non [108] sicut Deum glorificaverunt et gratias egerunt. [Delta]: Arithmetica quid est? [Mu]: Disciplina quantitatis numerabilis secundum se. [Delta]: Quid est musica? [Mu]: Disciplina rationis consentanearum vocum atque discrepantium iuxta numeros, qui ad aliquid sunt his, qui inveniuntur in sonis. [Delta]: Quid est geometrica? [Mu]: Disciplina magnitudinis inmobilis atque formarum. [Delta]: Astronomia quid est? [Mu]: Disciplina magnitudinis mobilis, quae cursus caelestium siderum, quae figuras contemplatur omnes et habitudines stellarum circa se et circa terram indagabili ratione percurrit. [Delta]: Quomodo per numeralem scientiam tres ceterae constant? [Mu]: Quia omnia, quae per has disciplinas comprehenduntur, numerorum constant ratione formata, nec sine numeris possunt vel intellegi aut pronuntiari. Qui enim insinuari potest, quid sit triangulus vel quadrangulus et cetera, quae geometricae sunt, nisi prius sciatur, quid sint tria vel quattuor? [Delta]: Nullo modo. [Mu]: Quid in astronomica ratione sine numero sciri valet? Unde ortus occasusque, tarditates, [109] velocitates errantium siderum noscimus, unde aetatem lunae et multiplices variationes eius agnoscimus, quotam partem signiferi sol aut luna teneat vel alia quaelibet ex planetis? Nonne sicut omnia certis numeri legibus aguntur, ita sine numero incognita sunt? [Delta]: Etiam. [Mu]: Quae causa in musica facit, ut octavis locis aequisonae sint voces, quintis et quartis consonae? Itemque per quindecimas regiones aequisonanter respondeant, per duodecimas et undecimas consonanter? Quae sunt vero mensurae istae, quae voces vocibus sic apte coniungunt, ut, si paulo acutior aut laxior vox cum voce fuerit, ad invicem concordare non possint? [Delta]: Mirum certe, quae sint huiusmodi commensurabilitates vocum, quibus et symphoniae tam suavisonae sibi adsentiunt et soni reliqui tam competenter sibi in ordine copulantur. Sed tuum est, quae proposuisti, exponere.

[Mu]: Dico, quoniam ideo per octava loca, id est in diapason, aequisonantia est, quia dupla habitudine voces hae conferuntur, ut VI ad XII, ut XII ad XXIIII. Similiter in quindecimis locis aequisonantia est, quod [110] disdiapason dicitur, quia in quadrupla constant proportione, ut VI ad XXIIII. Ideo in quintis regionibus sibi consonant, quod est diapente, quia sunt in ratione sesqualtera. Sesqualterum autem est, ubi minus partes continet duas et maius tres, ut VI adversus VIIII, ut VIII contra XII. Ideo quartanae voces consonae sunt, quod est diatessaron, quia in epitrita sunt ratione. Epitritum vel sesquitertium est autem, ubi minus habet partes tres et maius quattuor, ut sunt VI contra VIII, ut sunt VIIII contra XII. Ideo duodecima collatione concordant, quia ad diapason diapente respondet, id est sesqualterum ad duplum, ut XVIII contra XII et VI, ut VIII contra XII et XXIIII, vel quia per loca duodecima fiunt triplae, ut XVIII contra VI, ut XXIIII contra VIII. Ideo et undecima regione consonabiles sunt, quoniam ad diapason resonat diatessaron, id est epitritum ad duplum, ut XVI contra XII et VI, ut VIIII contra XII et XXIIII. Item voces, quae praefatas symphonias complent, utpote diatessaron quattuor, quinque peragunt diapente, hac habitudine concordant, qua diatessaron et diapente ad invicem [111] conectuntur, videlicet epogdoo id est sesquioctavo. Nam semper differentia sesqualteri et sesquitertii epogdous est. Qua enim proportione sunt VIII ad VIIII, fiunt XVI ad XVIII, fiunt XXXII ad XXXVI, et sic in infinitum.

HORUM DESCRIPTIO QUAE DICUNTUR [descriptio 13 in marg.]

[VMKIII:111; text: sesquioctavum, sesquitertium, sesqualterum, duplum, quadruplum, VI, VIII, VIIII, XII, XVI, XVIII, XXIIII] [SCENCH 11GF]

[112] Praeterea perfectiores sunt symphoniae in diapason ac disdiapason quam in diatessaron et diapente, quia hae sunt multiplicis inaequalitatis, illae superparticularis. Perfectior est autem multiplex inaequalitas superparticulari inaequalitate.

Voces vero praedictarum proportionum, id est duplae, triplae, quadruplae, sesqualterae, sesquiterciae, sesquioctavae, constat idcirco consonas vel aequisonas, quia nimirum hi relativi numeri soli in omnibus disciplinis commensurati sunt et connumerati, et ob hoc symphoniis et reliquis musicis vocibus deputantur, immo voces modulatae his numeris procreantur. Sentis igitur non nisi arithmeticis rationibus posse musicam explicari? [Delta]: Sentio plane arithmeticam musicae cognitioni necessariam. [Mu]: Necessaria prorsus, cum ad numerorum exemplar musica penitus deformata sit. Etenim si nervum a nervo aequae grossitudinis, sive fistulam a fistula duplo feceris longiorem, ut XII ad VI, ut XXIIII ad XII, diapason ad invicem resonant. Si nervum aut fistulam aequae concavitatis tertia minoris parte longiorem metiaris, ut VIII ad VI, ut XVI ad XII, seu quarta parte maioris facias breviorem, ut VIIII ad XII, ut XVIII ad XXIIII, erit quidem diatessaron consonantia [113] VIII ad VI, et XVI ad XII, ac similiter VIIII ad XII, XVIII ad XXIIII. Porro VIIII ad VI, et VIII ad XII, similiterque XVIII ad XII, et XVI ad XXIIII diapente erit. Atque hoc fit modo, ut sicut in duplo sesqualter ac sesquitertius continetur, utpote inter VI et XII continentur VIII et VIIII, inter XII et XXIIII continentur XVI et XVIII, alternatim videlicet, ut qui minori numero sesqualter est, veluti VIIII VI et XVIII XII, fiat subsesquitertius maiori, ut VIIII XII et XVIII XXIIII. Ac rursus qui ad minorem sesquitertius est, ut VIII ad VI, ut XVI ad XII, sit ad maiorem subsesqualter, ut VIII ad XII, ut XVI ad XXIIII. Ita inter duos sonos diapason ad invicem resonantes quarto semper et quinto loco symphonias natura disposuit, ut quae huic lateri quarto loco diatessaron est, sit quinto loco alteri lateri diapente, et quae ad illud quarto loco resonat diatessaron, huic diapente resonet. Porro ut sesquioctava proportione VIIII superant VIII, ut XVIII XVI, ut XXXVI XXXII. Ita si fistula maior aut fidicula parte octava minoris supergreditur, ad invicem resonant tonum.

[Mu]: Igitur quicquid in modulatione suave est, numerus operatur per ratas dimensiones vocum, quicquid rithmi delectabile prestant sive in modulationibus seu in quibuslibet rithmicis motibus, totum numerus [114] efficit. Et voces quidem celeriter transeunt, numeri autem, qui corporea vocum et motuum materia decolorantur, manent. Quapropter, ut ait sanctus Augustinus, ratio, quae in rithmis, qui Latine dicuntur numeri, sive in ipsa modulatione, intellexit regnare numeros totumque perficere, inspexit diligentissime reperiebatque divinos et sempiternos. Deinde ratio eadem caelum terramque conlustrans, sensit nihil aliud quam pulchritudinem sibi placere, et in pulchritudine figuras, in figuris dimensiones, in dimensionibus numeros. Haec quoque distincta et disposita in disciplinam redegit appellavitque geometricam. Motus eam caeli multum movebat, et ad se diligenter considerandum ammonebat, etiam ibi per constantissimas temporum vices, per astrorum ratos diffinitosque cursus, per intervallorum spacia moderata intellexit nihil aliud quam illam dimensionem numerosque dominari. Quae similiter diffiniendo ac secernendo in ordinem nectens, astrologiam genuit. Hoc itaque modo in matheseos disciplinis occurrunt omnia numerosa, et inmortalium numerorum, qui cogitando atque volvendo [115] intuentur, hi qui sentiuntur, umbrae potius et imagines sunt. Quis ergo rationem numerorum mutabilem dixerit, aut artem quamlibet non per hunc constare? [Delta]: Sufficienter nunc videtur insinuatum non musicam solum, sed et alias tres disciplinas magisterio constare numerorum. Sed, quaeso, plenius incipias de numerorum natura tractare repetasque singula, quae praemissa sunt, quo ad intuenda utcumque musicae rationis penetralia numerorum ducatu perveniam.

FINIT PARS SECUNDA. INCIPIT TERTIA

[Delta]: Rogo, inprimis edicas, quid sit quantitas. [Mu]: Quantitatem dicimus et in numeris et in molibus. Nam quantitas numeralis proprie dicitur multitudo, quae unitatibus congregatur. Quantitas spacialis, quae in molibus fit, dicitur magnitudo, quae in unitates dividitur. Nam multitudo infinita pluralitate succrescit, magnitudo infinita partitione minuitur. Hoc est: multitudo ad unum ex pluralitatibus tendens augetur spatio; magnitudo ab uno in pluralitatem tendens unitatum spaciis minuitur, [116] utpote lapis, arbor, quo minore dividitur numero, divisionum spacia maiora fiunt, quo autem in plura partiuntur, eo ipsa minuuntur spacia, ut verbi gratia de viginti quattuor dimidium duodecim, pars tertia octo, pars quarta sex. Item de duodecim medietas sex, pars tertia quattuor, pars quarta tria. Utrarumque ergo quantitatum similitudine arithmetica ex sese musicam fundit, et miro modo per utrarumque contrarias passiones melodas voces suavi concordatione disponit. Quod enim vox ad vocem aut duplo crescit, aut triplo, aut quadruplo, quod sonat diapason, diapason ac diapente, bisque diapason, naturam servat numeralis quantitatis. Quod vero vel dimidio minoris superat, vel parte tercia, vel quarta vel octava, quod sonat diapente, diatessaron et tonum, continuae habet quantitatis imaginem. Cum ergo vocum varietates in quantitate consistant hoc modo, secundum contrarias bifariae quantitatis naturas dulci ad invicem commixtione adsentiunt. [descriptio 1 in marg.]

[VMKIII:116; text: simplum, duplum, triplum, quadruplum, quincuplum, sescuplum, dimidium, pars tercia, pars quarta, pars quinta, pars sexta] [SCENCH 11GF]

[117] [Delta]: Quae si iam liqueant, restantia prosequamur. [Mu]: Liquet quidem, quod hoc genus ideo numerali deputatur quantitati, quia numerorum ordine ipsae auctiones crescunt, hoc autem idcirco continuae quantitati convenit, quia aeque numerorum ordine diminutionibus decrescit. Nam sicut illud duplo superat, ita istud simpli dimidio vincit, sicut illud triplo vel quadruplo maius fit, ita istud e regione tertia vel quarta fit parte propensius. Restat vero, ut, quomodo et quo ordine per has bifarias quantitates sonorum disponatur concordia, prosequaris. [Mu]: Ad haec donante Domino explicanda pauca, ut proposuimus, de numerorum natura praemittamus. Diximus quantitatis duas esse species, multitudinem et magnitudinem. Rursus multitudinis vel magnitudinis alia sunt immobilia, alia mobilia. Alia sunt per se, ut populus, chorus, mons, mille, duo milia, tria milia, alia per se ipsa non constant, sed ad aliud referuntur, ut duplum, triplum, quadruplum. Sed de immobilibus tractat geometrica, mobilem vero quantitatem astronomia speculatur. Illam itaque, quae per se est, speculatur arithmetica, eam vero, [118] quae ad aliquid est, quia per eam divinitus armonica moderatur suavitas, contemplemur. Omnis numerus et quodcumque secundum numerum dicitur, aut per se est, aut cum relatione aliqua dicitur. Per se numerus est, qui sine relatione dicitur, ut I, II, III, IIII, et cetera. Porro quodcumque relative dicitur, aut aequale est, aut inaequale. Et aequale quidem est, quod ad aliquid comparatum neque minore summa infra est neque maiore transgreditur, ut denarius denario, vel ternarius ternario, vel cubitus cubito, vel pes pedi, et his similia. Hanc autem partem relatae ad aliquid quantitatis, id est aequalitatem, constat naturaliter indivisam. Nullus enim dicere potest, quod aequalitatis hoc quidem tale est, illud vero huiusmodi. [Delta]: Certum est; quae ibi enim esse alia species potest, ubi unum tale est, quale et aliud? [Mu]: At inaequalis relationis quae sint divisiones, videto. Primum quidem secatur in maius atque minus, deinde maioris quinque sunt species. Est enim una, quae vocatur multiplex, alia superparticularis, tertia [119] superpartiens, quarta multiplex superparticularis, quinta multiplex superpartiens. His vero quinque partibus maioris inaequalitatis oppositae sunt singillatim aliae quinque partes minoris, ita ut isdem nominibus nuncupentur, sola "sub" praepositione distinctae. Dicitur enim sub-multiplex, sub-superparticularis, sub-superpartiens, multiplex sub-superparticularis, multiplex sub-superpartiens. Has nunc utriusque inaequalitatis species, quae sint singulae, videamus.

DE MULTIPLICI INAEQUALITATE. Multiplex est inaequalitas, ubi maior numerus habet in se minorem bis, aut ter, aut quater, aut multipliciter, ut duo ad unum, dum comparata fuerint, duplex est, tria ad unum triplex, quattuor ad unum quadruplex, et deinceps. Comitatur sub-multiplex, qui scilicet infra multiplicem continetur bis, aut ter, aut quater, aut multipliciter. Verbi gratia unum a duobus continetur bis, et vocatur subduplus, a tribus ter, et vocatur subtriplus, a quattuor quater, et vocatur subquadruplus, et reliqua ad id genus, unde, ut cognoscis, paulo nobis superius sermo fuit. [Delta]: Recognosco equidem hanc inaequalitatem de illo esse quantitatis genere, cuius maiorem partem posse in infinitum crescere supra dictum est.

[120] DE SUPERPARTICULARI. [Mu]: Attende et aliam inaequalitatem de illo quantitatis genere, cuius e contrario maiorem partem constat in infinitum decrescere. Haec est enim, quae superparticularis vocatur, in qua numerus ad numerum comparatus habet in se totum minorem et eius aliquam partem. Qui si minoris habeat medietatem, vocatur sesqualter, si partem tertiam, vocatur sesquitertius, si quartam, vocatur sesquiquartus, et si quintam, vocatur sesquiquintus, atque ita in infinitum superparticularium forma progrediente nomina in infinitum ducentur. Minores vero, qui comitantur, et habentur toti, et eorum aliqua pars, unus subsesqualter dicitur, alter subsesquitertius, alius subsesquiquartus, alius subsesquiquintus, atque idem secundum maiorum normam multitudinemque progreditur. Hocque genus satis nunc a superiore dinoscis. [Delta]: Dinosco utique, quia non sicut in primo genere tota sui quantitate maiorem numerum metitur minor, sed unaqualibet parte, vel dimidia sicut duo tria, sicut VI VIIII, sicut XII XVIII, seu tertia sicut VI VIII, sicut VIIII XII, sicut XII XVI, vel quarta sicut IIII V, sicut VIII X, sicut XII XV. Sed maior est ad minorem suum [121] pars media quam tertia, tertia quam quarta, quarta quam quinta, et sic in infinitum pars a maiore numero denominata ipsa decrescit.

DE SUPERPARTIENTE. [Mu]: Attende et tertiam inaequalitatis formam, quae superpartiens appellatur, quae fit, ubi numerus ad alium comparatus inferiorem numerum totum in se continet et super hoc alteras partes eius duas aut tres aut quattuor aut quinque aut quotlibet alias. Ut verbi gratia III continentur a V cum aliis duobus, et vocatur superbipartiens, IIII continentur a VII cum tribus partibus suis, et vocatur supertripartiens, V continentur a VIIII cum quattuor partibus suis, et vocatur superquadripartiens, et sic deinceps. Minor vero, qui a maiore concluditur, sub-superpartiens appellatur. Et de hac quoque inaequalitatis forma, si videtur, ista sufficiant. [Delta]: Puto sufficere.

DE MULTIPLICI SUPERPARTICULARI. [Mu]: Post tres simplices habitudines secuntur duae, quae ex superioribus componuntur, quarum prior multiplex superparticularis dicitur, quae ex utrisque consistit, ut II ad V, ut III ad VII, ut IIII ad VIIII, ut V ad XI. Quod enim comparatum numerum plus quam semel habet, multiplicis est, quod minorem in habenda parte transcendit, superparticularis. Dicitur autem, qui duplicem habuerit alium numerum et eius mediam partem, duplex sesqualter, [122] qui tertiam, duplex sesquitertius, qui quartam, duplex sesquiquartus, et deinceps. Si ter habuerit et eius mediam partem, vel tertiam, vel quartam, dicitur triplex sesqualter, triplex sesquitertius, triplex sesquiquartus, et deinceps. Et de hac etiam inaequalitate satis sit. [Delta]: Utique satis.

DE MULTIPLICI SUPERPARTIENTE. [Mu]: Quinta est inaequalitas, quae multiplex superpartiens appellatur. Ea fit, quotiens numerus ad numerum comparatus habet in se alium numerum totum plus quam semel et eius vel duas vel tres vel quotlibet plures particulas secundum numeri superpartientis figuram. Vocabunturque hii secundum proprias partes duplex superbipartiens, ut VIII ad III comparati. Continent enim bis ternos cum duabus partibus suis. Similiter XVI ad VI conlati. Item duplex supertripartiens, duplex superquadripartiens. Ac rursus triplex superbipartiens, et triplex supertripartiens, triplex superquadripartiens.

Igitur quicquid in mundo impariter confertur ad aliquid, quaecumque quantitas inaequaliter quantitati comparata secundum unamquamlibet harum inaequalitatum sese habet in invicem. Et multiplicem quidem [123] inaequalitatem constat, ut dictum est, ad numeralem pertinere quantitatem, quantitas vero in spaciis quattuor reliquis imparitatibus deputatur. Item voces musicae, id est concordi suavitate convenientes, mixtim secundum multiplex et superparticulare genus exprimuntur, discrepantes autem voces reliquas imitantur imparitates. Imparitatum vero huiusmodi, dum sit innumerabilis et infinita confusio, discrepantiarum quoque infinitas sequitur inaequalitatem infinite confusam. Solae, inquam, duae, quas inprimis diximus, ad musicam pertinent, tres reliquae secernuntur. [Delta]: Quo ergo modo hae solae musicae adiacent? [Mu]: Quia omnis ptongorum convenientia secundum hos numeros deformatur, qui aut multiplices sunt aut superparticulares, quaeque vero voces inconsonae secundum reliquas inaequalitates fiunt. [Delta]: Qua ratione voces consonae vel inconsonae hos aut illos numeros imitantur? [Mu]: Quoniam eo pacto diversi soni sibi consentiunt, ut secundum eas imparitates differant. [Delta]: In quo fit haec differentia? [Mu]: In acumine [124] et gravitate, in elatione ac summissione. [Delta]: Quomodo secundum praefatos numeros inter se differunt, et differendo consentiunt? [Mu]: Omnes ptongi, id est voculae sibi convenientes, aut duplo ab invicem distant aut triplo aut quadruplo intervallo, quae species sunt multiplicis imparitatis, sive sesqualtero sive sesquitertio sive sesquioctavo, quae species sunt superparticularis imparitatis. Intervallum vero est non silentii inter ptongos, sed spacii, quo alterum alteri praestat. [Delta]: Qui ptongi duplo distant? [Mu]: Quique semper per octavas regiones, quod diapason dicitur. [Delta]: Qui distant triplo? [Mu]: Quique semper per duodecimas regiones, quod dicitur diapason et diapente. [Delta]: Qui distant quadruplo? [Mu]: Quique semper per quindecimas regiones, quod disdiapason dicitur. [Delta]: Qui ptongi sunt sescupli? [Mu]: Quique semper per quintana loca distantes, quod dicitur diapente. [Delta]: Qui sunt sesquitertii? [Mu]: Qui quartana distant regione, quod diatessaron appellatur. [Delta]: Qui ptongi sesquioctavum habent intervallum? [Mu]: Unusquisque in alterutrum ut corda ad cordam, quod dicitur tonus. His quoque distantiis et semitonium additur, quod est non plenum toni [125] intervallum. His ergo distantiarum temperamentis concordabilem sonorum diversitatem divinitas ordinavit, his armonica suavitas moderatur; quicquid ultra vel infra sonat, quam harum porportionum mensurae poscunt, cadit in quaslibet reliquarum inaequalitatum formas fitque dissonum et cantilenae inconveniens.

[Delta]: Unde cognoscuntur ptongi musicorum praedictas habere mensuras nec sub oculis nec sub tactu positi? [Mu]: Primum ex eo cognoscitur, quod hae solae habitudines, id est multiplices et superparticulares, connumeratae ad invicem sunt et commensuratae suaque commensuralitate quodammodo cognatae. Nec aliqua sunt in mundo, in molibus, in potentiis, quae sibi concorditer copulentur, si non ea haec germana proportionum habitudo connectat; hae quoque solae sunt proportiones, quibus per diversos pedes metra concorditer currunt. In tantum enim iugabilis eorum natura valet, ut ipsae contrariae quattuor elementorum potentiae harum proportionum socientur consortio, sicut in Timeo et aliis philosophis revelatur. Hinc et illud est: "Tu numeris elementa ligas, ut frigora flammis, arida conveniant liquidis, . . ." Quapropter [126] nec soni musici in unum modulamen tam dulce coirent, si non eos per congrua et consona intervalla praefata proportionum commensuralitas sociaret. [Delta]: Quid est commensurale vel connumerale? [Mu]: Ubi maioris minorisque communis quaedam mensura est, utpote II ad IIII, II ad VI, II ad VIII. Nonne binarius quaternarium bis metitur, senarium ter, octonarium quater? [Delta]: Etiam. [Mu]: Ad hunc ergo modum in multiplicibus quotienslibet simplum duxeris, totiens idem simplum maiorem summam metitur, ut tria duplicata dant senarium, triplicata novenarium, quadruplicata duodenarium, et deinceps. Quid vero in superparticularibus, ut sunt IIII ad VI, nonne binarius minorem bis metitur, maiorem ter, quod sescuplare est? Item VI ad VIII binarius minorem ter metitur, maiorem quater, quod epitritum est? Item VIII ad X binarius minorem quater metitur, maiorem quinquies, quod sesquiquartum est? Sic itaque in infinitum quota parte maior praecedit numerus, tota parte utrique ad invicem metiuntur, veluti VIII octava sui parte praeitur a VIIII, id est unitate, et eadem unitas, qua ab invicem differunt, utrosque metitur. Iamque intellegis, ut hae inaequalitates communi qualibet dimensione tam augmentationem capiant quam solutionem. [Delta]: Intellego quidem, quare istae commensurales vel connumerales dicantur, sed insinua, qualiter ceteris inaequalitatibus eadem [127] connumeratio vel commensuratio desit. [Mu]: Et hoc, uti postulas, contemplemur. Pone III ad V, quae est superbipartiens comparatio, ac vide, quota parte ternarii quinarius praecedat. [Delta]: Non invenio, quomodo dicam tota vel tota parte praecedere. [Mu]: Non certe invenitur. Non enim in huiusmodi genere vel quantitate minoris maior pars metitur, ut in multiplicibus, aut unaqualibet parte, quae sit utrorumque differentia, ut in superparticularibus. Cum enim in sesqualtera proportione, ut sunt IIII ad VI, binarius, qui eorum est differentia, utrosque metiatur, in sesquitertia quoque proportione, ut sunt VI ad VIII, binarius, qui eorum est differentia, utrosque metiatur, in superpartiente proportione, ut sunt III ad V, binarius, qui differentia est, neutrum metitur. Idem fit et in multiplici superparticulari, ut sunt II ad V, qui est duplex sesqualter, ut sunt II ad VII, qui est triplex sesqualter, ut sunt III ad VII, qui est duplex sesquitertius. Idem fit et in multiplici superpartiente, ut sunt III ad VIII, qui est duplex superbipartiens, ut sunt III ad XI, qui est triplex superbipartiens, ut sunt IIII ad XI, qui est duplex supertripartiens. Vides igitur, ut huiusmodi proportiones nec simpla quantitate nec suis differentiis metiuntur, nec partibus, quibus [128] differunt, augmentantur nec in eas resolvuntur, atque idcirco incommensurati et inconnumerati iure nominentur. Porro autem sicut oculis torta ac recta discernimus et quaelibet visui subiacentia, ita, cum praefatis natura nostra partibus compacta constet, voces commensuralibus intervallis convenientes auditum oblectant, ceterae sunt dissonae. Sed visne ampliora de hac commensuralitate cognoscere? [Delta]: Tuum de hoc iudicare.

[Mu]: Diximus, qualiter multiplices sua ipsorum quantitas, superparticulares qualiter sua metiatur differentia, nunc, ipsi multiplices cum superparticularibus quam habeant cognationem, videamus. Pone ratum multiplicis ordinem, ac simul superparticularis ordo texetur, sive sint principales, quorum est unitas differentia, qui radices sunt multiplicium ac superparticularium numerorum, sive sint maiores ab hac complicatione dirivati. Principales sunt I II III IIII. Quaternarius enim numerus omnes symphonias perfecte absolvit. Duo enim ad unum duplum, quod est diapason. Tria ad unum triplum, quod est diapason ac diapente. Quattuor ad unum quadruplum, quod est disdiapason. Tria ad duo sesqualterum, quod est diapente. Quattuor ad tria sesquitertium, quod est diatessaron. Dirivales sunt VI XII XVIII XXIIII [129] et deinceps. Nam XII ad VI duplum, XVIII triplum, XXIIII quadruplum. Triplum autem ad duplum sesqualterum, quadruplum ad triplum sesquitertium. Similiter quincuplum ad quadruplum sesquiquartum. Sescuplum ad quincuplum sesquiquintum. Septuplum ad sescuplum sesquisextum. Et sic in infinitum superparticulares cum multiplicibus comitantur, ut non inmerito ex utrisque simul musica procreari dicatur. [Delta]: Apparet procul dubio et connumeratio et cognatio huiusmodi numerorum.

[Mu]: Quia ergo patuit, qualiter multiplices in ordine digesti ad se ipsos superparticulares sint, ita etiam tibi pateat, qualiter ex superparticularibus sesqualteris et sesquitertiis multiplices dupli vel quadrupli componentur. Ut enim a senario incipiamus, ad VI numerum adcrescat sesqualter et fit VIIII. Ad novem adcrescat sesquitertius et fit XII. Duodenarius itaque ad senarium duplus sesqualtero et sesquitertio completur. Item XII numero adcrescat sesqualter et fit XVIII. XVIII numero adcrescat sesquitertius et fit XXIIII. At XXIIII numerus ad duodenarium duplus sesqualtero et sesquitertio completur. Et alternatim [130] VI numero accedat sesquitertius, qui est VIII. Sesquitertio accedat sesqualter, qui est XII. Duodecim itaque ad senarium duplus sesquitertio et sesqualtero completur. Similiter XII numero accedat sesquitertius, qui est XVI. Sesquitertio accedat sesqualter, qui est XXIIII. XXIIII itaque ad XII duplus sesquitertio et sesqualtero completur. Et sic deinceps semper unum duplum sesqualtero et sesquitertio incremento perficitur. Porro sesqualter ac sesquitertius ita communi epogdoi mensura conectuntur, ut, si sesqualtero epogdoum auferas, sesquitertius fiat; sesquitertio rursus additus restituit sescuplarem. Constat igitur convenientes sibi sonos ex convenientibus sibi numeris concordiam sumere. [Delta]: Id manifesta panditur ratione. [Mu]: Attende vero, quia convenientes sunt non uni quilibet ad se ipsos, sed sicut verbi gratia XXIIII numerus constat ad XII duplus, ad VIII triplus, ad VI quadruplus, ad XVI sesqualter, ad XVIII epitritus, ad XLVIII subduplus, ad XXXII subepitritus, ad XXXVI subsescuplaris, ita quilibet ptongus ad alium quidem diapason sonat, ad alium diapason et diapente, ad alium disdiapason, ad alium diapente, ad alium diatessaron, ad alium subdiapason, ad alium subdiatessaron, ad alium subdiapente, quod non fieret, nisi ad rationem multiplicis et superparticularis habitudinis sua essent commensuralitate cognati.

[131] UNDE SCIATUR, SECUNDUM QUAM PROPORTIONEM QUAELIBET FORMETUR SYMPHONIA. [Delta]: Cum satis monstratum sit, quod commensuralitatis ratio musicas voces ad invicem adsociet, unde tamen sciri valet, cui proportioni quaeque symphonia deputanda sit? Ex quo enim cognoscitur, diapason duplae habitudini deputanda, diapente sescuplae, diatessaron epitritae, diapente ac diapason triplae, disdiapason quadruplae? [Mu]: Est prima huius rei probatio, quod quemadmodum semper unum duplum sesqualtero et sesquitertio completur, ut modo dictum est, ita unum diapason, quod octo voculas continet, duae minores symphoniae, id est diapente atque diatessaron, complent. [descriptio 2 in marg.]

[VMKIII:131; text: diapente, diatessaron] [SCENCH 11GF]

Sive enim a graviore sive ab acutiore parte vel quartam voculam metiaris, a quarta metiaris quintam, vel quinta metiatur, tum quarta, ita completur semper duabus symphoniis una. Quod non fieret, si essent vel aliae, quae complerent, vel aliae, quae complerentur. De his [132] quoque Boetius: "Inter omnes", inquit, "quas retulimus consonantias habendum iudicium est et in aure et in ratione, quam harum meliorem oporteat arbitrari. Eo namque modo auris adficitur sonis vel oculus aspectu, quo animi iudicium numero vel continua quantitate. Proposito enim numero vel linea, nihil est facilius quam eius duplum oculo vel animo intueri", veluti XII contra VI. "Item post dupli iudicium sequitur dimidii, post dimidium tripli, post triplum partis tertiae. Atque ideo quoniam facilior est dupli descriptio", illi consonantiae merito deputatur, quae facilior est quamque sensus apertior comprehendit. Ea ergo est prima suavisque consonantia, quae octava fit regione et diapason dicitur. Post duplum, inquam, extat, quod vincit medietate subdupli, id est sescuplum veluti VIIII contra VI, et illud quod bina superat quantitate, hoc est triplum veluti XVIII contra VI. Ergo, cum hae duae proportiones proximae post duplum contraria licet divisione sequantur, recte illis eae symphoniae adscribuntur, quas aure sentimus post diapason esse secundas, id est diapente, itemque diapason et diapente. Dum minimum vero consonantes sint soni, qui [133] diatessaron spatium tenent, ei proportioni hanc rite concinentiam damus, ubi maior numerus tertia minoris parte transcendit, quae est epitrita veluti VIII contra VI. Quia maxime vero distant soni, qui disdiapason concinentiam resonant, ei merito proportioni adsignamus, quae quadrupla intervalli dimensione discedit veluti XXIIII contra VI. Ac stat deinceps concinentiarum modus, qui neque ultra quadruplum possit extendi neque infra partem tertiam coartari. Sicque hunc ordinem consonantiae sumpserunt, quem dant in numeris multiplicitatis augmenta et e regione superparticularitatis detrimenta. Datur quoque et aliud idoneae probationis argumentum, quod non auditu modo, sed et visu fidem praedictae adstruat rationi.

Fidiculae sive fistulae, si aequalis grossitudinis fuerint et maior minorem in sua longitudine bis habuerit, diapason, ut supra dictum est, ad invicem consonabunt, si ter habuerit, diapason et diapente respondent, si quater habuerit, disdiapason concordiam facient. Si maior dimidia minoris parte super habuerit, diapente fit consonantia; si tercia minoris parte praecellerit, diatessaron erit. Si octava minoris parte supergreditur, tono concordant.

[134] QUARE NON PLURES MULTIPLICITATIS SPECIES AD MUSICAM PERTINEANT QUAM TRES, NON PLURES SUPERPARTICULARITATIS QUAM TRES. [Delta]: Patet iam uberi adsertione probatum non solum ut ex connumeratis vel commensuratis numeris musica gignatur, sed etiam quibus quaeque simphoniae connumeratorum numerorum speciebus adiaceant. Mirum vero, quid causae sit, quod non nisi tres multiplicitatis nec nisi tres superparticularitatis formae ad musicam admittantur, sed sola dupla, tripla et quadrupla habitudo, sola sesqualtera et sesquitertia cum sesquioctava consonantias modulentur. [Mu]: Ideo ultra bisdiapason, id est ultra quadruplum, non extenditur, quia hunc modum sonis natura tribuit, ut si per singula septenarum in diapason vocum discrimina singulae disdiapason consonantiae disponantur, iam ultra progredi duplae symphoniae non possint. Ideo vero infra partem tertiam, hoc est infra epitritum, intervalla non coartantur, quoniam, cum minor sit pars tercia quam dimidia, quarta quam tertia, quinta quam quarta, sexta quam quinta, et deinceps, cumque sesqualterum, quod medietatis est intervallum, tres tonos capiat cum semitonio, epitritum vero, quod partis tertiae intervallum est, duos tonos cum semitonio [135] capiat, evenit, ut minora deinceps intervalla nec duorum tonorum ac semitonii possint esse capacia nec cum duobus tonis sive uno ac dimidio commensurabilia. Solum sesquioctavum intervallum, quia tonum metitur, admittitur. [Delta]: Quare toni mensura in hanc solam proportionem cadit? [Mu]: Quia haec proportio solius sesqualteri ac sesquitertii comparatione procreatur. [Delta]: Quomodo, ex comparatis sesqualteris ac sesquitertiis nascitur? [Mu]: Nonne facile intellegitur, ut numerus verbi gratia senarius sui medietate in suum concrescit sesqualterum, id est novenarium, sui parte tertia in suum concrescit epitritum, id est octonarium? Sed novenarius sicut sesqualter est senario, ita sesquioctavus est epitrito. Item duodenarius sui medietate suum metitur sesqualterum, qui est XVIII, sui tertia parte suum metitur epitritum, qui est XVI. Sed XVIII numerus sicut ad XII sesqualter est, sic ad epitritum sesquioctavus efficitur. [Delta]: Intellego. [Mu]: Quapropter simul intellege, quod inter sonum et sonum nec minus nec maius toni integri esse poterit intervallum, quam quod semel fuerat sesqualteri ac sesquitertii differentia permensum. Igitur solis sesquioctavis intervallis cum sesqualteris ac sesquitertiis commensuralitas est, [136] quorum scilicet intervalla toni cum semitoniis, ut dictum est, commensuraliter complent. Sola rursus sesqualtera ac sesquitertia intervalla cum duplis et quadruplis commensurata sunt, quibus similiter eorum intervalla complentur. Sesquiquartis vero ac sesquiquintis et reliquis decrescentibus intervallis nec cum duplo, nec cum triplo, nec cum quadruplo, nec cum sescuplo quicquam commensurationis est, et idcirco praeter musicam seponuntur.

[Mu]: Quodsi etiam cordarum et fistularum dimensionibus praefatarum proportionum, quae ad musicam admittuntur, cognatam commensuralitatem comprobare libet, facies cordam ad cordam seu fistulam ad fistulam sescuplo maiorem. Sescuplari adpones epitritam, et sic effecisti duplam. Nam quae ad secundam epitrita est, duplo extat ad primam longior. Rursus conversim cordam ad cordam, fistulam ad fistulam metieris epitritam, epitritae adpones sesqualteram, et dupla effecta est. Has pone in ordine veluti VI VIII VIIII XII, inveniesque inter duas medias epogdoum rite dimensum, id est longiorem cordam aut fistulam octava minoris parte praecellere. Item alio modo: [137] Metieris fistulam ad fistulam duplo longiorem. Ad brevem fistulam metieris epitritam. Ad longam fistulam metieris subepitritam. Ponesque in ordine subduplam, epitritam, subepitritam, duplam. Sicque inter duas medias epogdous naturaliter cadit. Cuius intervallo utraque fit ulteriori suo lateri sescuplaris, utraque proximiori sibi lateri epitrita. Et amplius: Si epitritam et sescuplam duplamque duplices, simul aliud diapason spacium eodem quo prius ordine effecisti. [descriptio 3 in marg.]

[VMKIII:137; text: XII, XVI, XVIII, XXIIII, sesquitertia, sesquioctava, dupla] [SCENCH 12GF]

[Delta]: Quo pacto ceterae superparticulares habitudines [138] cum duplo et quadruplo commensuralitatem non habent? [Mu]: Ut et hoc tibi patefiat, a duodenario, quo minimo numero potest, exemplificare incipiam. Is numerus enim XXIIII numerum sui quantitate metitur, parte sui dimidia XVIII, parte sui tertia XVI, parte sui quarta XV. Sed XVIII numerus, qui est ad XII sesqualter, fit ad XXIIII epitrita ratione commensuralis. Porro XVI numerus, qui est ad XII epitritus, fit ad XXIIII sescupla ratione commensuratus. XV vero numerus, qui est ad XII sesquiquartus, cum XXIIII commensuratus non est, sed supertripartiente forma inconsonus. Item XXIIII numerus sui quantitate XLVIII metitur, parte sui dimidia XXXVI numerum, parte sui tertia XXXII numerum, parte sui quarta XXX numerum. Sed XXXVI numerus, qui est ad XXIIII sescuplaris, fit ad XLVIII epitrita ratione commensuralis. Porro XXXII numerus, qui est ad XXIIII epitritus, fit ad XLVIII sescupla ratione commensuratus. XXX vero numerus, qui est ad XXIIII sesquiquartus, commensurari cum XLVIII non potest. Vides [139] ergo, quia, mox ut intra sesquitertium intervalla coartari incipiunt, connumerationem superparticulares cum duplis non habent et idcirco nec consonam commixtionem.

[Delta]: Qua ratione evenit, ut in sonorum serie per quarta loca voces sint epitritae, per quinta sesqualterae, per octava duplae, et aliae suis locis? [Mu]: Cum constet vel epitrito et sesqualtero vel duobus epitritis medio epogdoo intervallum duplum compleri, epogdois rursus ipsa epitritorum intervalla complentur. Siquidem duae mediae in diapason intervallo voculae, id est quarta et quinta, dum singulae ad aliud latus diatessaron, ad aliud resonent diapente, utraeque ad suum latus epitrito distant, sed utrumque rursus epitritum ea ratione epogdoi stipant, ut in quattuor scindatur voculas, in intervalla tria, ut scilicet singula duo intervalla singulos capiant epogdoos, id est tonos, tertium compleatur limmate, quod est semitonium, sic contingit, ut quartis locis voces sesquitertiae, quintis inveniantur sesqualterae, octavos locos sortiantur duplae, quindecimos bisduplae capiant, duodecimos triplae. [Delta]: Quaeso, qua ratione vel ordine in sonorum serie toni cum semitioniis contexantur. [Mu]: Id apertius contueri poteris, si prius, quae arithmetica medietas, quae geometrica quaeque armonica sit, pandam. [Delta]: Pande rogo. [Mu]: Post proportiones proportionalitates considerantur. Nam proportio est duorum terminorum habitudo, proportionalitas vero non [140] minus quam trium. Ergo proportionalitas aut arithmetica medietate coniungitur aut geometrica aut armonica. Medietatem autem dicimus, ubi duae extremitates duorum vel unius limitis nexu in concordiam vinciuntur. Limites autem seu terminos dicimus numerorum summas. Igitur arithmetica medietas est, ubi aequales erunt distantiae inter terminos, sed non sunt eiusdem proportionis ipsi termini, sicut cernis I II III. [Delta]: Cerno equidem, I ad II duplum, II ad III sesqualterum. [Mu]: Item geometrica medietas est, in qua non aequales differentiae, sed aequales proportiones considerantur, uti vides I II IIII. [Delta]: Video utique, quia sicut ad I II duplum, sic ad II IIII. [Mu]: At armonica medietas est, in qua nec eaedem proportiones quaeruntur nec eaedem differentiae, sed sicut ab invicem sunt extremi limites, ita eorundem limitum differentiae, sicut cernis III IIII VI. [Delta]: Cerno scilicet et extremos limites eorumque differentias duplo distantes. [Mu]: Haec itaque praemitti oportuit ad videndum, secundum quam medietatem sese habeant tonorum mensurae. Dum singulae enim medietates singulis sint propriae, tamen ex omnibus musica videtur intexta. Namque geometrica medietas omnes ad invicem duplorum terminos nectit, ut sicut ad VI sunt XII, sic ad XII sint XXIIII. Et rursus sicut ad XII sunt XXIIII, sic [141] ad XXIIII sint XLVIII. Haec deinde duplorum intervalla duobus dum compleantur terminis, alius ex his arithmetica, alius medietate armonica duas sibi extremitates copulat. Quo enim numero VIIII praecellit VI limitem, eo praecellitur a XII limite. Quoque item numero XVIII limes praecellit XII limitem, eo praecellitur a XXIIII limite, arithmetica dumtaxat medietate. Rursus quota parte VI limitis VIII praecellit, tota parte sui a XII praecellitur. Vides enim, quia tertia parte VI numeri maior est numerus VIII, et tertia parte sui maior est ab VIII numerus XII. Similiter se habet XII ad XVI et XVI rursus ad XXIIII armonica videlicet medietate. [Delta]: Etiam video, quia, dum quota parte VI numeri differt VIII, tota parte sui XII ab VIII differt, evenit, ut in ea proportione differentiae sint, qua ipsi ad invicem extremi sunt termini. Ut enim VI ad XII, ita II ad IIII: Inter VI enim et VIII binarius differentia est, inter VIII vero et XII quaternarius. [Mu]: Recte prorsus intellegis. At nunc attende, qualiter ipsi toni, qui praedictorum terminorum intervalla complent, non arithmetica medietate veluti dies ad dies aequis ad invicem partibus minuuntur et crescunt, nec ad armonicam medietatem dissimilium proportionum sunt, sed geometrica [142] permensi medietate epitrita et sesqualtera intervalla complent. Sicut enim secundus sesquioctavus est ad priorem se, sic extat tertius ad secundum: Sicut ad LXIIII sesquioctavus est numerus LXXII, sic ad LXXII sesquioctavus est numerus LXXXI. [Delta]: Cognosco nunc quidem, qualiter horum numerorum modo toni metiantur a tonis. Sed dic, qua causa hos numeros pro exemplo elegeris. [Mu]: Quoniam id minore numero demonstrari non potuit quam octonario octies ducto; is autem est LXIIII. Hic enim, quia secundus est octuplus, sesquioctavos duos ex se producit. Nam octava LXIIII numeri eidem addita LXXII numerum reddit, porro octava LXXII numeri eidem addita reddit LXXXI et ita fiunt sesquioctavi duo, LXIIII LXXII LXXXI. Verum quoniam propositum fuit plenius explicare, qualiter et in epitrito intervallo duo toni cum semitonio necnon in tota sonorum serie cum tonis semitionia disponantur, deberet quartus limes adponi, qui esset epitritus ad primum, inter quem ac tertium limitem semitonium collocaretur. Sed cum LXIIII numerus non possit in tria aequa partiri, epitritus ei non adiungitur. Ducatur ergo per tria, et mox ei epitritus accedit. Ter itaque LXIIII quem numerum reddunt? [Delta]: CXCII. [Mu]: Etiam. Ab hoc ergo numero principium sumamus ad ea, quae coepimus, explicanda. Dabis itaque mihi eiusdem duplum. [Delta]: Bis CXCII fiunt CCCLXXXIIII. [143] [Mu]: Utique. Habes ecce duos hos numeros in duplici intervallo CXCII CCCLXXXIIII. Hoc nunc duplum intervallum duobus oportet epitritis impleamus. Da ergo CXCII numeri epitritum. [Delta]: CXCII numeri pars tertia, id est LXIIII, eidem addita CCLVI reddit. Qui numerus cum sit ad subduplum terminum epitritus, extat ad duplum sesqualter. [Mu]: Da eiusdem CXCII numeri sescuplarem. [Delta]: CXCII numeri pars dimidia, id est XCVI, eidem addita CCLXXXVIII perficiunt. Qui numerus cum sit ad subduplum terminum sescuplaris, extat epitritus ad duplum. [Mu]: Ita profecto est. Sint nunc in ordine dispositi quattuor hi termini CXCII CCLVI CCLXXXVIII CCCLXXXIIII. Cum sit igitur inter primum ac secundum terminum intervallum epitritum, similiter inter tertium quartumque terminum intervallum epitritum, ipsa nunc epitritorum intervalla tonis ac semitoniis compleamus. Sumam octavam partem CXCII numeri, quae est XXIIII, et fit per hanc toni additionem CCXVI numerus, sonus secundus. Sumam CCXVI numeri partem octavam, quae est XXVII, et fit per hanc toni additionem CCXLIII numerus, sonus tertius. Sumere non possum CCXLIII numeri partem octavam, quia inter hunc et quartum terminum, qui est CCLVI, quique est epitritus ad primum, [144] tredecim tantum unitates inveniuntur, quae distantia est in semitonii ratione. Et finita est diatessaron modulatio duobus tonis ac semitonio supputata.

Rursus quoniam sescuplus est epogdoa ratione maior, tollam de sono quarto, id est CCLVI numero, octavam suam, quae est XXXII, et fit per huius toni adiectionem CCLXXXVIII numerus, sonus quintus. De sono quinto auferam octavam suam, quae est XXXVI, et fit per huius toni adiectionem CCCXXIIII numerus, sonus sextus. De sono sexto auferam octavam suam, quae est XL S fitque per hanc toni adiectionem CCCLXIIII S numerus, sonus septimus. A sono autem septimo adversus CCCLXXXIIII numerum, qui octavus est sonus, restant in semitonii ratione XVIIII S unitates, et finita est modulatio diapente tribus tonis ac semitonio supputata.

[145] HORUM DESCRIPTIO [descriptio 4 in marg.]

[VMKIII:145; text: tonus, semitonium, epogdous, limma, epitritum, sescuplare, duplum, CXCII, CCLVI, CCXLIII, CCXVI, CCLXXXVIII, CCCXXIIII, CCCLXIIII S, CCCLXXXIIII, XXIIII, XXVII, XIII, XXXII, XXXVI, XL S, XVIIII S] [SCENCH 12GF]

Atsi mensionum quoque probationem desideras, facies cordam ad cordam sive fistulam ad fistulam epitrito maiorem, quae quarto loco ponenda sit. Facies et sesqualtero longiorem, quae loco quinto locetur. Facies duplo longiorem, quam octavam ponas. Item primae cordae seu fistulae octavam partem sumens adpones secundae. Octavam secundae[146] sumens adpones tertiae. Octavam tertiae sumere non poteris ad emetiendam quartam, quae iam mensuram accepit a prima, contra quam scilicet facta est epitrita. Similiter non opus est quintam iterato metiri per quartam, quia, dum sit sescuplaris primae, sesquioctava efficitur epitritae. Quintae rursus octavam tollens metieris sextam. Sextae octavam tollens metieris septimam. Per septimam octavam metiri non poteris, quia, dum octava contra quintam facta sit epitrita, septimae et octavae distantia semitonium erit. Atque hoc intervallorum modo voces diversae suavi iunctura conveniunt. [Delta]: Mirum certe non posse aliter voces concordare, nisi nunc intra epitritum, nunc intra sesqualterum spatium semitoniorum intervalla coartentur, ita ut nec ad medietatem praecedentis toni perveniant. [Mu]: Vere mira et deifica hoc evenit ratione.

Sed ut ad liquidum cuncta dinoscas, temptemus et monocordi divisionem per easdem regulas sumere hoc prius cognito, quod productiores cordae seu fistulae sonos graviores edunt et eo acutiores, quo fuerint breviores, ut contrario modo medietas duplum sonet, quarta pars quadruplum. Sit ergo corda intensa, veluti ab A in Z. Tollam huius dimidium spacii, veluti ab H in Z, et pulsa medietas diapason resonat ad [147] totum. Tollam medietatem dimidii, veluti ab H in P, et resonat bisdiapason. Item in utroque diapason spacio minores symphoniae disponantur, id est ab A Z in A H, et rursus ab H Z in H P. Tollam quartam partem A Z spatii et respondet D Z diatessaron. Tollam tertiam partem et respondet E Z diapente. Similiter in H P spatio sublata quarta parte diatessaron sonat, sublata parte tertia diapente erit. Nunc diatessaron et diapente spacia epogdois disponamus. Enimvero dempta nona parte A Z spatii erit B Z tonus, dempta nona parte B Z spatii erit C Z tonus et D Z semitonium. Cum vero diatessaron et diapente differentia sit tonus, erit quoque D Z ad E Z tonus. Dempta nona parte E Z spatii erit F Z tonus. Dempta nona parte F Z spatii erit G Z tonus et H Z semitonium, et finitum est diapason intervallum. Eodem modo in alio diapason, id est ab H Z in H P spatium, per diatessaron et diapente intervalla tonos cum semitioniis ordinabis diatonici modulaminis ratione. [descriptio 5 in marg.]

[VMKIII:147; text: A, B, C, D, E, F, G, H, I, K, L, M, N, O, P, Z, diatessaron, diapente, Tonus, Semitonium] [SCENCH 13GF]

[148] [Delta]: Cum sint quattuor tetracordorum species sibimet succedentes, quomodo possunt singulae eadem tonorum ac semitoniorum positione constare? [Mu]: Minime possunt. Nam cum unum sit tetracordum, quod per duos tonos et semitonium constat, quod proximum et uno tono fit altius, evenit constare tono, semitonio atque tono. Quod hunc tertio loco sequitur et tono altius est, constat necessario semitonio ac duobus tonis. Deinde quod quarta vice succedit et uno semitionio a priore distat, contingit esse tonorum trium. Rursus quod quinto loco fuerit, primo ordine redeunte duorum tonorum erit ac semitonii. [Delta]: Numquidnam hae singulae positiones singulis tetracordorum speciebus [149] sunt propriae? [Mu]: Sunt certe. Idcirco namque per quinta loca eadem redit cantionis qualitas, quia positionis eiusdem ordo circumagitur. [Delta]: Qua ergo ratione? [Mu]: Semitonium inter quos sonos cadit, superiori formam dat triti, inferiori formam deuteri, reliquis vero, prout quis a semitonio totus vel totus abfuerit. Nam a quo sono tonus unus ad superiorem partem usque ad semitonium fuerit, ad inferiorem vero partem toni duo, erit is sonus, quem vocamus archoum vel protum. Qui vero ad superiorem partem tonos duos habuerit, ad inferiorem partem tonum unum, fit ille, quem tetrardum nominamus. Iamque facile inter tetracorda discernis, quia, quod duobus tonis ac semitonio in sursum disponitur, constet his sonis [signum] tetrardo [signum] proto [signum] deutero [signum] trito. Quod disponitur tono, semitonio atque tono, constet sono proto [signum] deutero [signum] trito [signum] tetrardo [signum]. Quod disponitur semitonio ac duobus tonis, constet deutero [signum] trito [signum] tetrardo [signum] proto [signum]. Quod disponitur tribus tonis, constet trito [signum] tetrardo [signum] proto [signum] deutero [signum]. Idque ut manifestius fiat, sit hoc modo singulorum descriptio.

[150] [descriptio 6 in marg.]

[VMKIII:150] [SCENCH 13GF]

In hac igitur quattuor tetracordorum descriptione, cum interiectis paginulis tonorum distantiae designentur, interpositae vero sonis lineae semitoniis eos differre pronuntient, in aperto est proprietas singulorum. [Delta]: Utique in promptu patens; sed unum tetracordum quare fit tonorum trium? [Mu]: Sed et hoc ex praedictis datur intellegi. Cum etenim tetracorda duo unum diapason compleant, singula vero tetracorda binis tonis ac semitonio compleantur, medius vero tonus integer duo dividat tetracorda, evenit, ut quarti tetracordi species, quando iam diatessaron excessit spatium, id est duos tonos cum semitonio, tribus tonis integris compleatur. Quod etiam praesenti descriptione manifeste [151] apparet. [Delta]: Id iam patenter intellego et descriptione et ratione et, ut video, ipsa semitionii transpositio fit troporum mutatio. [Mu]: Haud equidem dubie. Nam hinc sua cuique ptongo discernibilis qualitas et tetracordis vel pentacordis suae sunt species et, ut fatebaris, troporum omnium formae, ipsumque idem semitonium quodammodo cor atque animus efficitur cantilenae. In tantum ergo semitonii vis valet ad ptongorum speciem deformandam, ut, si infra duos eosdem ptongos sesquitertio differentes diversum semitonii ordinem ponas, ipsi simul in diversam transeant formam. Exempli gratia: Feceris cordam ad cordam epitrito longiorem, quae scilicet ad invicem diatessaron resonent. Haec consonantia, cum alios duos intra se sonos contineat, sumatur a graviore parte, id est a longiore corda sive fistula, et inter primam ac secundam tonus ponatur, similiter inter secundam ac tertiam; tertiam vero a quarta semitonio disiungamus, eritque tetracordum his sonis dispositum tetrardo [signum] proto [signum] deutero [signum] trito [signum]. Rursum si ab acutiore[152] parte incipiatur primamque ac secundam tonus discernat, similiter secundam ac tertiam, inter tertiam vero et quartam semitonii mensura sit, alia tunc tetracordi species erit sicut tonorum positione, ita etiam sonorum proprietate, fitque primus, qui est acutior, protus [signum], deinde tetrardus [signum], tum tritus [signum], quarto loco deuterus [signum], ut haec descriptio monet. [descriptio 7 in marg.]

[VMKIII:152] [SCENCH 13GF]

[153] Praeterea sciendum est, quia tritus [signum] tantum sonus et deuterus [signum] discernibilem inter se habent suae proprietatis qualitatem, quibus solis videlicet semitonium differentia est, reliquis vero tono distantibus sonis non adeo per se fit discreta proprietas, sed magis colligitur ex ordine; ex circumstantia quippe facile dinosci valet, quotus ille vel ille sit. Inde est, quod pro artis introductione ipsa Greca ptongorum vocabula modulamur in usque tertios levantes ac deponentes, quo videlicet sonorum proprietas dinoscatur ex ordine ad hunc modum: [descriptio 8a in marg.]

[VMKIII:153; text: archoos, deuteros, tritos, tetrardos] [SCENCH 13GF]

[154] [descriptio 8b in marg.]

[VMKIII:154; text: tetrardos, tritos, deuteros, archoos] [SCENCH 13GF]

[Delta]: Ubertim omnia constant exposita, vel quibus causis vel quot modis positiones tetracordorum varientur, vel quomodo singulis positionum varietatibus modorum sive troporum species generentur. Locus tamen adhuc inquisitioni vacat. Dixisti siquidem idcirco per quintas regiones eundem tropi modum redire, quoniam idem positionis ordo revertitur. [Mu]: Dixi plane et propter sesqualteram habitudinem per quintas regiones consonare symphoniam et eiusdem modi tropum ob eiusdem ordinis positionem reverti; atque idcirco dum in alieno loco quod sumitur, aut tropi qualitatem retinens discrepat ab eo, quod [155] praecedit, dum sui ordinis positionem non invenit, aut alieno cedens ordini tropi qualitatem transpositione convertit. Sed quid inquirere posueris, pande. [Delta]: Quaero equidem, cum non aliud videatur eiusdem tropi modus quam in eodem melo tonorum, cum semitoniis idem ordo cumque eiusdem ordinis positio per octavas non redeat regiones, quare voces octava regione distantes eodem tropo concordent.

[Mu]: Verum quidem est, quod quemadmodum quintae, ita nonae sit regionis potius quam octavae in eadem sonorum constitutione eandem positionem referre, ut, sicut primus ac secundus tono distinguitur, ita tonus sit inter nonum ac decimum sonum, sicut inter secundum ac tertium, ita inter decimum atque undecimum, semitonium autem sicut tertium et quartum, ita undecimum dividat atque duodecimum. Sed sciendum, quod in hac maxima symphonia vox, quae ad vocem superior graviorve octavis locis accesserit, non sequitur sui loci ordinem, sed eius, cui consonanter responderit. Nec enim consonantia perstaret, si vel tonus in semitonium vel semitonium e regione offenderet in tonum. [Delta]: Quomodo toni in semitonia offenderent? [Mu]: Si ptongos [156] octava regione distantes illos semitonium distingueret, hos tonus. Exempli gratia, si, dum sit tonus inter primum ac secundum contra octavum atque nonum sonum, sit tonus inter secundum ac tertium contra nonum atque decimum, sit vero semitonium inter tertium et quartum sonum, tonus e contrario inter decimum atque undecimum, tonus item inter quartum et quintum e contrario semitonium inter undecimum atque duodecimum sonum, sic profecto semitoniis contra tonos dissentientibus nec inter quartum sonum atque undecimum nec inter quintum atque duodecimum vel dupli habitudo esse posset vel consonantia aut tropus idem. Nunc vero, dum sit tonus inter octavum et nonum sonum contra primum et secundum, tonus inter nonum ac decimum contra secundum ac tertium, semitonium vero inter decimum et undecimum quomodo inter tertium et quartum, per huiusmodi tonorum et semitoniorum e regione concordiam dupla proportio et symphoniam servat tropique retinet modum.