Back to top

[343] Anonymi III. Fragmentum musices.

Ab omni superparticulari si continuam ei superparticularem quis auferat proportionem et cetera. Ac si dixisset: Si minor proportio de maiore detrahatur proportione, id, quod relinquitur, geminatum non efficit integritatem minoris proportionis, quae aufertur. Verbi gratia: Tolle diatessaron, de diapente, id est, duos tonos et semitonium de tribus tonis et semitonio, et remanet tonus: qui geminatus non efficit integrum diatessaron, remanet enim semitonium. Iterum sesquiquarta auferatur de sesquitertia, remanet semitonium: nam sesquiquarta duobus tonis constat. Ipso semitonio triplicato sesquitertia non pervenit ad integritatem sesquiquartae. Idque in caeteris, hoc est, sesquiquinta tollatur de sesquiquarta, remanet diesis, id est, quarta pars toni: nam sesquiquinta constat ex tono, et semitonio et diesi. Diesis autem quadruplata, quia sesquiquarta est, tonum integrum efficit, et remanet semitonium et diesis, vel ulterius. Sed tamen si hoc feceris in arithmeticis proportionibus, usque ad infinitum progreditur. Nam si sesquitertium de sesquialtero tollas, quod remanserit, si duplicaveris, ad sesquitertiam usque proportionem pervenire nequibit, quoniam sesquioctava proportio, quae remanet, duplicata integritatem sesquitertiae implere non poterit. Quod probari potest etiam in sequiquarta et sesquiquinta.

Ab omni superparticulari si continuam ei superparticularem quis auferat proportionem. Quod dicit, his exemplis probari potest. Sit propositus terminus unus et idem, ad quem aptetur sesquialtera et sesquitertia proportio. Hic fit VI. ad quem VIIII. sesquialter est, VIII. vero sesquitertius: qui disponantur hoc modo. VI. VIII. VIIII. Et quoniam hae duae proportiones continuae superparticulares sunt, in tribus terminis constitutae VI. VIII. VIIII. auferamus primum terminum, ad quem VIII. est sequitertius, VIIII. sesquialter, remanet VIII. et VIIII. qui sesquioctavi sunt. Sed sesquioctava proportio non est medietas minoris proportionis, id est, sesquitertiae; quoniam duplicata non efficit eam, sed minor est. Duplicemus igitur sesquioctavam proportionem et sint tres numeri ita dispositi, qui a proportione VIII. et VIIII. non recedant, fiantque octies VIII. et octies VIIII. et novies VIIII. id est, LXIIII. LXXII. LXXXI. vel duo, quoniam primus ad secundum et secundus ad tertium sesquioctavam constituunt habitudinem; sed tertius ad primum minus est quam sesquitertius. Non est ergo sesquioctavus medietas sesquitertii. Et in omnibus superparticularibus continuis hoc speculandum est, quoniam si minor a maiore subtrahitur, id quod relinquitur, minus est medietate subtractae proportionis, quoniam duplicatum non ei coaequatur, [344] quod monstrat subiecta descriptio. Huius descriptionis haec ratio est X. et VII. et X. et VIII. sesquiseptimam decimam proportionem inter se habent, quae sola sesquiseptima decima in sola unitate intelligitur. Si iterum alteram sesquiseptimam decimam proportionem addidero, erunt II. et si II. addam super X. et VII. id est, bis sesquiseptimam decimam, erunt X. et VIIII. qui X. et VIIII. non statuunt sesquioctavam proportionem ad X. et VII. nam deest octava pars unitatis, et ex hoc intelligitur, quia non faciunt duae sesquiseptimae decimae tonum integrum. De X. et VII. II. et octava pars unius sunt octava pars, qui duo et octava pars uni si addantur et X. et VII. fiunt X. et VIIII. et octava pars unitatis ad X. et VII. sesquioctavus. Est autem haec ratio necessaria primo capitulo sequentis libri.

Si superparticularis proportio binario multiplicatur, id quod fit, neque superparticulare est neque multiplex etcetera Binario dicitur multiplicari proportio, quando ea duplicatur, et qualis sit prima, talis est et secunda: id est, quemadmodum habet se primus terminus ad secundum, sic secundus se habet ad tertium. Sit superparticularis proportio, ut IIII. ad VI. haec quoniam una est, binario multiplicetur: bis enim unum II. fiunt. Oportet ergo, ut sunt IIII. ad VI. sic esse VI. ad alium quemlibet numerum, hic sunt VIIII. duo, quoniam novem ad IIII. nec multiplex est nec superparticulare. Quod si id, quod ex tali multiplicatione nascetur, neque multiplex est neque superparticulare: tamen illud, quod multiplicatum est, vel superparticularis vel alterius generis, non vero multiplicis (erit). Quod ex priori multiplicatione natum est, duplex sesquiquartus est, ut sunt VIIII. ad IIII. id neque multiplex neque superparticulare est, sed multiplex superparticularis. Et quod binario multiplicatum est, multiplicis generis non est, sed vel superparticularis vel alterius generis. At hic neque multiplicis neque alterius, sed diffinitae superparticularis est multiplicata sesquialtera proportio. Est vero haec ratio necessaria decimo capitulo huius libri.