Back to top

[169] [fo 86r, 1] Prologus in Rithmimachiam.

Quoniam quidem huius artis scientia ab ignorantibus contempnitur et magis leuitati quam utilitati asscribitur, eo quod instar aleae formari uideantur et camporum distinctio et diuersa tabellularum protractio: gratum non nullis arbitror ostendere, quam procul a leuitate distet et quantum utilitatis conferat eius integra cognitio. Est quidem in hac arte quod dupliciter admireris, scilicet et iocunda utilitas et utilis iocunditas, quae non modo tedium non inferant, sed potius adimant, et inutiliter exoccupatum utiliter occupent et rursum inutiliter occupatum utiliter exoccupent, dum plerumque talis occupatio, quia utilis et iocunda, curis grauatam alleuiare possit mentem post decisa negotia, et rancori submissam huius pulchri theorematis maiestas erigere possit. Laudabilior quippe est in omni arte eiusmodi exercitatio, quae animum et instruit et oblectat, iuxta illud Flacci: omne tulit punctum qui miscuit utile dulci. Dicant ergo qui eiusmodi scientiam uanitati deputant et irreligiositati, quidnam uanitatis habeat uel quid religioni deroget ea inuestigare, quae ratio natura duce propalauit. Siquidem numerum natura dedit, quo et ipse naturae conditor deus in rerum creatione usus est; de quo dicitur quia omnia in mensura et numero et pondere constituisti. Hoc enim, ut ait Boetius, principale in animo conditoris exemplar fuit. Hinc enim quatuor elementorum multitudo mutuata est, hinc temporum uices, hinc motus astrorum caelique conuersio. Qui ergo naturalium rerum scientiam nugas appellant, ipsarum conditori iniuriam faciunt non attendentes, quod ipsi magis sunt nugigeruli, qui uel ocio torpent, uel iocis aliisue mundi uanitatibus occupantur, quibus magis offenditur deus. Sed quia nichil est ab omni parte beatum, relinquamus eos sibi, qui ea maxime reprehendunt, quae nesciunt, quia ad hoc eos impellit [2] inuidia qua torquentur; inuidia enim Siculi non inuenere tyrrani maius tormentum, uocesque Sirenarum surda pertranseamus aure. Hanc autem nostram rusticam operam nobis nostrique similibus permittant; nam nullas uerborum pompas hic promittimus, sed simpliciter quod in hac arte potuerimus [170] indagare, parati sumus beniuolentiae gratia beniuolis communicare. Sciendum praeterea, quod haec ars ab arithmetico fonte quasi quidam riuulus profluxit ideoque arithmeticae disciplinae expertibus facillimam celeremque ad se uiam praebet, inexpertibus uero tardiorem et non absque labore concedit ingressum.

Capitula libri I.

I Quae sit operis insequentis inscriptio.

II Quae sit materia. III Quae sit intentio. IIII Quae sit utilitas. V Cui parti philosophiae supponatur. VI Qualiter paranda sit tabula. VII De dispositione numerorum. VIII Qualiter uel unde ipsi numeri procreentur. IX Que sint tria praecepta, per quae ipse numerus disponitur. X Qualiter ipsi numeri in tabula locentur. XI De tabellulis et earum formis et coloribus. XII De cribro componendo. XIII Qualiter tractus tabellarum fiant. XIIII De regula capiendorum numerorum. XV Quotis campis numeri a numeris capiantur. XVI Qui sint piramides et unde dicantur uel unde nascantur. XVII Qualiter et per quos numeros ipsae piramides capiantur.

Quae sit operis insequentis inscriptio. Sectio I.

Primo igitur dicendum, quod sit huius operis [EPUGRAPHE N] id est inscriptio quia, ut ait Priscianus, nisi nomen scieris, cognitio rerum perit. Ex duabus grecis dictionibus composito nomine artem istam Rithmimachiae titulo inscribi placuit. Rithmos enim grece, latine numerus; Machia pugna dicitur. Inde rithmimachia id est numerorum pugna. Hic namque considerare licet numerorum ante et retro, dextrorsum, sinistrorsum et angulariter sibi oppositorum seque inuicem regulariter deicientium, ueluti militum in campo palantium, iocundum quoddam spectaculum, postremo alterutrae partis tam subtilem uictoriae stationem, ut ipsam [f. 86u] in laudem uictoriae non componendum, sed quasi iam compositum per musicas consonantias repraesentare uideas cantum. De qua, quia suo loco latiorem postulat rationem, hic dicere supersedemus.

Quae sit materia. Sectio II.

Tria autem in hac arte consideranda sunt, scilicet materia, intentio, utilitas. Materia huiusce artis numerus est, qui neque passim in incertum [171] diffunditur, neque naturali tantum ordine contexitur, sed sicut ex materia lignorum siue lapidum parietes, laquearia, trabes, tecta ceteraque huiusmodi necessaria diuersitate disposita unam constituunt domum, ita hic ex materia numerorum species multiplicis, superparticularis, superpartientis rationabili uarietate distinctae unam perficiunt artem.

Que sit intencio. Sectio III.

Intentio huius artis componendae ut reor haec fuit, ut quia omnes latitudinem arithmetici campi percurrere non possunt, huius se artis breuitate exerceant et exercendo oblectent et, quod ibi longa lectionis serie assecuti sunt, hic quasi compendiose depingendo recolligant, ita rationabiliter ipsa arte disposita, ut et instruat et tamen tedium non inferat.

Quae sit utilitas. Sectio IIII.

Utilitas huiuscae scientiae non parua, quia honesta et necessaria. Nam confert scientiam multiplicandi et habitudines ipsorum numerorum cognoscendi. Progressiones quoque piramidum et differentias trium medietatum multaque alia spectabilia hic exarare poterit quilibet cautus et curiosus inspector, ut ea quasi oculis breuiter depingat, de quibus Boetius in arithmetica latissime disputat.

Cui parti phylosophie subponatur. Sectio V.

Supponitur autem haec ars physicae id est naturali scientiae. Substantia enim numeri naturalis est et ab ipso mundi exordio naturaliter existens, omnisque eius uarietas naturali ratione distinguitur. Si quidem arithmeticae disciplinae scientia, [2] ex cuius fonte haec, quam prae manibus habemus, diriuata est, cunctis artibus, ut ait Boetius, prior est, non modo quod hanc ille huius mundanae molis conditor deus primum suae habuit ratiocinationis exemplar et ad hanc cuncta constituit, quecumque fabricante ratione per numeros assignati ordinis inuenere concordiam; sed hoc quoque prior arithmetica declaratur, quod, quaecumque natura priora sunt, his sublatis simul posteriora tolluntur; si uero posteriora pereant, nichil de statu prioris substantiae permutatur. Quem admodum si arithmeticam auferas, ceterae quoque artes, ut sunt Geometria, Musica, Astronomia, quae numerorum ratione constant, auferentur; his autem sublatis non simul numerorum auferetur substantia. Si enim numeros tollas, iam non [172] erit triangulum uel quadratum uel quicquid in geometria uersatur, quae omnia numerorum denominatiua sunt. At si quadratum triangulumque sustuleris omnisque Geometria consumpta sit, tres et quator aliorumque numerorum non peribunt uocabula. Similiter in musica diatessaron, diapente, diapason, quae a numeris denominantur, sublatis numerorum tamen substantia permanebit. Idem et de reliquis artibus quae numeris constant sentiendum.

Qualiter paranda sit tabula. Sectio VI.

Ad opus igitur huiuscae scientiae construenda est tabula quadrata, eminentem in circuitu habens umbonem ita exaratum, ut pendens ex altera parte tenuior tabula equabiliter ei imponi possit in modum arculae intrinsecus adeo capabilis, ut tabellulas numeris inscriptas includere possit. Haec in longitudine et latitudine distinctos habeat campos: in longitudine quidem deorsum campus XVI, in latitudine octo. Quorum unum per alterum multiplicans inuenies per totum campos centum viginti octo. Octies enim sedecim, uel sedecies octo, centum viginti octo sunt. Ipsam uero tabulam per medium in latitudine [fo 87r] una linearis intersecet paginula, altrinsecus se octonus aequali dimensione distantes habens campos in longitudine et latitudine. Hanc autem paginulam diremptoriam uocitare placuit, uel quod campos ita dirimat, ut utrique parti aequale spacium attribuat, uel quod circa eam numerus numerum oppositus oppositum capiendo dirimat.

De dispositione numerorum. Sectio VII.

Composita eo modo quo diximus tabula, disponantur super eam alterutra parte in ultimis locis omnes species Multiplicis, Superparticularis, Superpartientis usque ad decuplam proportionem, ita ut in una parte ex pari habeant denominationes, in altera uero parte ex impari. Ex pari quidem generis multiplicis sint species: Dupli, Quadrupli, Sescupli, Octupli; ex impari uero eiusdem generis: Tripli, Quincupli, Septupli, Nonupli. Item ex pari generis superparticularis species sint: Sesqualteri, Sesquiquarti, Sesquisexti, Sesquioctaui, et ex impari e contra eiusdem generis: Sesquitertii, Sesquiquinti, Sesquiseptimi, Sesquinoni. Item ex parte parium generis superpartientis species ponantur id est Superbipartientes, Superquadripartientes, Supersexipartientes, Superoctipartientes, et e contra ex parte imparium: Supertripartientes, Superquinquepartientes, Superseptipartientes, Supernonipartientes.

[173] Qualiter uel unde ipsi numeri procreentur. Sectio VIII.

Quodam loco in arithmetica Boetius, ubi de aequalitate et inaequalitute disputans dicit omnem inaequalitatem ex aequalitate nasci, similitudinem ponit bonitatis et maliciae ad aequalitatem et inaequalitatem, dicens magnum fructum esse, si quis non nesciat, quod bonitas diffinita est et sub scientiam cadens animoque semper imitabilis et perceptibilis prima natura est et suae substantiae decore perpetua. Infinitum uero maliciae dedecus est, nullis propriis principiis nixum, sed natura semper errans a boni diffinitione principii tamquam aliquo [2] signo optimae figurae impressa componitur et ex illo erroris fluctu retinetur. Nam nimiam cupiditatem iraeque immodicam effrenationem quasi quidam rector animus pura intelligentia roboratus astringit, et has quodammodo inaequalitatis formas temperata bonitate constituit. Ad hanc ergo similitudinem omnis inaequalitas quasi instabilis et fluctuans ab aequalitate componitur, et ipsa quodammodo aequalitas matris et radicis optinens uim omnis inaequalitatis species ordinesque profundit. Si enim tres terminos aequalis posueris et in his tria praecepta Boetii, que paulo post demonstrabimus, obseruaueris, uidebis, quomodo tibi ex eis multiplices, ex multiplicibus superparticulares, ex superparticularibus superpartientes procreentur. Et prima quidem species multiplicis id est dupla generabit tibi primam speciem superparticularis id est sesqualteram, et haec primam speciem superpartientis id est superbipartientem. Secunda uero species multiplicis id est tripla secundam speciem superparticularis id est sesquiterciam; haec quoque secundam speciem superpartientis id est supertripartientem, eodemque modo caeteras per ordinem uidebis alteram ab altera procreari. Dupli namque recto ordine positi generabunt triplos; Tripli quadruplos, Quadrupli quincuplos, Quincupli sescuplos, Sescupli septuplos, Septupli octuplos, Octupli nonuplos. Dupli uero conuerso ordine positi procreabunt sesqualteros, Tripli sesquitercios, Quadrupli sesquiquartos, Quincupli sesquiquintos, Sescupli sesquisextos, Septupli sesquiseptimos, Octupli sesquioctauos, Nonupli sesquinonos. Sesqualteri uero conuersi generabunt superbipartientes, Sesquitercii supertripartientes, Sesquiquarti superquadripartientes, Sesquiquinti superquinquepartientes, Sesquiseptimi superseptipartientes, Sesquioctaui superoctipartientes, Sesquinoni supernonipartientes.

[174] Quae sint tria praecepta, per quae ipse numerus disponitur. Sectio VIIII.

Tria igitur praecepta quae memoriauimus haec sunt. Tribus terminis aequalibus positis hoc modo ita facies: Pone [f. 87u] primum primo parem id est unitatem unitati; secundum primo et secundo id est duabus unitatibus; tercium primo, duobus secundis et tercio id est unitati, duabus unitatibus et unitati, continuoque uidebis duplam speciem hoc modo:

I  I    I
I  II  IIII

Rursus dupli recto ordine positi procreabunt triplos hoc modo: Pone primum primo parem, secundum primo et secundo, tercium primo, duobus secundis et tercio, et haec tibi formula apparebit:

I  II   IIII
I  III  VIIII

Eodem modo fac de reliquis speciebus multiplicis, et unaqueque tibi alteram repraesentabit. quarum omnium formulas annotauimus hoc modo:

[Frutolfus, Rhythmimachia, 174; text: Dupli, Tripli, Quadrupli, Quincupli, Sescupli, Septupli, Octupli, Nonupli, I, II, III, IIII, V, VI, VII, VIII, VIIII, XVI, XXV, XXXVI, XLVIIII, LXIIII, LXXXI] [FRURIT 01GF]

[175] Superparticulares autem inuenturus hoc modo facies: Pone duplos conuerso ordine et fac secundum tria praecepta superius data, statimque uidebis primam speciem superparticularis id est sesqualteram hoc modo:

IIII   II   I
IIII   VI   VIIII
VIIII  III  I
VIIII  XII  XVI

Item de triplis conuersis fac eodem modo et inuenies secundam speciem id est sesquiterciam. Rursum quadruplis eodem modo conuersis nascentur sesquiquarti ita:

XVI   IIII   I
XVI    XX   XXV

Eodem etiam modo per sequentes multiplicis species omnes alias superparticularis species equiuoce denominatas habebis. Horum quoque omnium descriptionem subiecimus. [87u, 2]

[Frutolfus, Rhythmimachia, 175; text: Sesqualteri, Sesquitercii, Sesquiquarti, Sesquiquinti, Sesquisexti, Sesquiseptimi, Sesquioctavi, Sesquinoni, I, II, III, IIII, V, VI, VII, VIII, VIIII, XII, XVI, XX, XXV, XXX, XXXVI, XLII, XLVIIII, LVI, LXIIII, LXXII, LXXXI, XC, C] [FRURIT 01GF]

Superpartientes uero inuenies, si eodem modo quo supra superparticulares conuerso ordine secundum tria praecepta posueris. Nam prima species superparticularis id est sesqualtera generabit primam speciem superpartientis id est superbipartientem, secunda species superparticularis id est sesquitercia secundum speciem superpartientis id est supertripartientem, similiterque per reliquas ordinatim species superparticularis conuerso ordine positas omnes superpartientis species nasci uidebis, ut subiecta descriptio docet:

[176] [Frutolfus, Rhythmimachia, 176; text: Superbipartiens, Supertripartiens, Superquadripartiens, Superquinquepartiens, Supersexipartiens, Superseptipartiens, Superoctipartiens, Supernonipartiens, IIII, VI, VIIII, XII, XV, XVI, XX, XXV, XXVIII, XXX, XXXVI, XLII, XLV, XLVIIII, LVI, LXIIII, LXVI, LXXII, LXXXI, XC, XCI, C, CXX, CXXI, CLIII, CLXVIIII, CXC, CCXXV, CCLXXXVIIII, CCCLXI] [FRURIT 02GF]

Qualiter ipsi numeri in tabula locentur. Sectio X.

Horum autem numerorum in tabula ultimis in locis alterutra parte locandorum haec est demonstratio. Nota in primis diligenter omnes species multiplicis, et in his excipe omnes pares id est duplos, quadruplos, [f. 88r] sescuplos, octuplos, et ab his quae per primum praeceptum posita sunt, reiectis quae per secundum et tercium posita sunt, tantum assume primamque speciem id est duplam in una parte tabulae pone, ita ut binarius sit in quarto campo longitudinis et tercio latitudinis, quaternarius uero retro eum in sequenti campo, eodemque modo ceteros pares iuxta illos per ordinem uersus sinistram tuam locabis. Tum uersa tabula in altera parte pari loco et ordine paribus impares e regione oppones id est Duplis triplos, Quadruplis quincuplos, Sescuplis septuplos, Octuplis nonuplos. Alias autem species ex genere superparticulari primi tantum praecepti numero reiecto ita alterutra parte dispones, ut Sesqualteri iuncti sint duplis, Sequitercii triplis, Sesquiquarti quadruplis, Sesquiquinti quincuplis, Sesquisexti sescuplis, Sesquiseptimi septuplis, Sesquioctaui octuplis, Sesquinoni nonuplis. Item ex genere superpartienti Superbipartientes iuncti sint sesqualteris, Supertripartientes sesquiterciis, Superquadripartientes sesquiquartis, Superquinquepartientes sesquiquintis, Supersexipartientes sesquisextis, Superseptipartientes sesquiseptimis, Superoctipartientes sesquioctauis, Supernonipartientes sesquinonis.

[177] De tabellulis et earum formis et coloribus. Sectio XI.

Inuentis et dispositis hoc modo numeris parandae sunt siue ex ligno siue, si accuratius uolueris, ex osse tabellulae admodum spissae, quaedam rotundae, quaedam quadratae in modum tesserae. Sed rotundae sedecim tantum numero, in quibus duae solummodo, quae piramides ostendant, parumper eminentes in modum turbonis erunt. Caeterae uero quadratae numero XXXII, ex quibus sedecim aequaliter maiores, sedecim aequaliter minores erunt. Hae omnes tabellulae tricolores erunt, albe, nigrae, rubeae; quae inscribende erunt omnibus supradictorum generum speciebus et super campos eisdem numeris inscriptos ponende. Octo minores albi habeant omnes species multiplicis pares id est Duplos, Quadruplos, [2] Sescuplos, Octuplos. Quibus e regione in altera parte opponantur octo minores nigrae, habentes impares eiusdem generis id est Triplos, Quincuplos, Septuplos, Nonuplos. At octo maiores rubeae inscriptas habeant species superparticularis pares id est Sesqualteros, Sesquiquartos, Sesquisextos, Sesquioctauos. Quibus opponantur in altera parte octo maiores albae habentes impares id est Sequitercios, Sesquiquintos, Sesquiseptimos, Sesquinonos. Octo uero rotundae nigrae habeant species superpartientis ex paribus id est Superbipartientes, Superquadripartientes, Supersexipartientes, Superoctipartientes. Hisque opponantur VIII rubeae rotundae eiusdem generis id est Supertripartientes, Superquinquepartientes, Superseptipartientes, Supernonipartientes.

De cribro componendo. Sectio XII.

Ad inueniendas autem numerorum multiplicationes alternas huic arti necessarias perutile est nosse paginam illam, quam cribrum nominant; quam hoc modo compones. In tabula huius quam descripsimus tabulae appendice fac figuram quatuor lineis quadratam. Deinde infra ipsam figuram duc nouem lineas in longitudine et latitudine, et habebis per totam figuram .C. intersticia, in quibus calculos hoc modo locabis. Pone naturalem numeri ordinem usque ad X in prima linea longitudinis et eundem in prima linea latitudinis, multiplicabisque per ordinem unius uersus ordinem alterius, ut puta per binarium unius alterius binarium ternarium quaternarium et deinceps usque ad X, et ex his habebis in secundo uersu omnes duplos. Idem per sequentem ternarium, et habebis in tercio uersu triplos, per quaternarium in quarto quadruplos, per quinarium in quinto quincuplos, per senarium in sexto sescuplos, per [178] septenarium in septimo septuplos, per octonarium in octauo octuplos, per nouenarium in nono nonuplos, per denarium in decimo decuplos. In hac quoque descriptione superparticularis species tali modo inuenies.

[Frutolfus, Rhythmimachia, 178; text: DIREMPTORIA, II, III, IIII, V, VI, VII, VIII, VIIII, XII, XV, XVI, XVII, XX, XXV, XXVIII, XXX, XXXVI, XLII, XLVIIII, LVI, LX, LXIIII, LXV, LXVI, LXXII, LXXXI, XC, XCI, C, CXX, CXXI, CLIII, CLXVIII, CXC, CCXXV, CCLXXXVIIII, CCCLXI] [FRURIT 02GF]

Nota secundum angulum, cuius inicium est quaternarius, et ad ipsum quaternarium compara senarium [f. 89v] qui est in tercio uersu, et habebis sesqualteram proportionem, totusque ille uersus tercius secundi sesqualter est, quartus uero tercii sesquitercius, quintus quarti sesquiquartus, eodemque modo reliquas superparticularis species inuenies. In hac etiam inuenies numeros tetragonos et longilateros et alia quaedam inspicies, ut Boetius dicit, ad subtilitatem tenuissima et ad scientiam utilissima et ad exercitationem [179] iocundissima. Figuram autem tabulae, quam supra descripsimus, et colorum in tabellulis ponendorum differentias oculis subiecimus, cribrumque apposuimus, ut, quod discernit uisu, facilius quilibet lector capiat intellectu.

[Frutolfus, Rhythmimachia, 179; text: I, II, III, IIII, V, VI, VII, VIII, VIIII, X, XII, XIIII, XV, XVI, XVIII, XX, XXI, XXIIII, XXV, XXVII, XXVIII, XXX, XXXII, XXXV, XXXVI, XL, XLII, XLV, XLVIII, XLVIIII, L, LIIII, LVI, LX, LXIII, LXIIII, LXX, LXXII, LXXX, LXXXI, XC, C] [FRURIT 03GF]

[2] Qualiter tractus tabellularum fiant. Sectio XIII.

Duobus igitur huic tabulae assidentibus legitimi ex alterutra parte alternatim fiant tractus, ita ut multiplices trahantur in secundum campum, in ante, retro, dextrorsum, sinistrorsum, angulariter; superparticulares eodem modo in tercium, superpartientes in quartum.

[180] De regula capiendorum numerorum. Sectio XIIII.

Duobus ut diximus ad tabulam sedentibus duplici intentione uigilandum est, uidelicet ut uterque et suae parti cautam et bene consideratam adhibeat custodiam et contrariae parti callide insidietur ut capiat. Quicumque ergo numerus contrariae partis numerum suo legitimo tractu offenderit, auferat eum, ut uerbi gratia si nouenarius rubeus, qui in tercium currit campum, nouenarium nigrum, qui in secundum currit campum, in tercio a se campo offenderit ante uel retro siue dextrorsum siue sinistrorsum uel angulariter, aufert eum; et e conuerso niger rubeum, si in secundo a se campo offenderit eum. Et in hac captura tali regula uteris: Numerus numerum par parem in suo legitimo cursu inueniens aufert eum. Obseruandum tamen in hac regula par parem non dici secundum substantiam numeri, sed secundum quantitatem eandem et idem uocabulum, vt VIIII VIIII XVI XVI quadraginta octo quadraginta octo sexaginta quatuor sexaginta quatuor. Si numerus altrinsecus circumponatur contrariae partis numeris, qui multiplicati aut iuncti medium afficiant, auferatur. Quia diuersum est quod diximus multiplicati aut iuncti, de duobus diuersis duas diuersas dabimus regulas. De multiplicandis hanc dices regulam: Numeri altrinsecus positi multiplicati medium efficientes auferunt eum. De iungendis hoc modo: Numeri altrinsecus positi iucti medium efficientes auferunt eum. Exemplum utriusque [f. 89r] regulae: Si ex parte parium II et VI XII de parte imparium altrinsecus interceperint, dices: bis sex XII, et auferes XII. Eodem modo si ex parte imparium III et V de parte parium XV altrinsecus offenderint, dices: ter V quindecim, et auferes quindecim. Item si ex parte parium VIII et quatuor XII altrinsecus offenderint, auferunt eum; VIII enim et quatuor iuncti XII faciunt. Simili modo ex parte imparium V et III, si VIII altrinsecus interceperint, auferunt eum; V enim et III octo faciunt. Sic et de aliis sicubi inueneris facies. Quicumque autem numerus contrariae partis numerum sic offenderit, ut quantitas interiacentium camporum in se multiplicata contrarii numeri reddat summam, auferatur. Cuius praecepti haec est regula: Numerus numerum oppositus oppositum interiacentes campos multiplicando efficiens aufert eum. Exempli causa: Si binarius in sexto campo a XII distat per oppositum dices: bis VI XII. Si autem in octo a XVI dices: bis VIII XVI. Hoc modo facies in [181] omnibus numeris, qui per hanc regulam capiuntur, illud solummodo non segniter obseruans, ut omnis oppositio fiat in ante, retro, dextrorsum, sinistrorsum, angulariter.

Quotis campis numeri a numeris capiantur. Sectio XV.

Quoniam quidem hoc opusculum non doctis, quibus uno exemplo dixisse sufficit, sed indoctis et simplicibus cudimus, ad captandam eorum erga nos beniuolentiam aliquantulum latius de hoc modo capiendi dicere suscepimus, ut demonstremus, qui numeri et a quibus et quoto campo singuli a singulis capiantur. Ac primo a parte parium qualiter impares capiantur. XII auferuntur per binarium in sexto ab eo campo, per quaternarium in tercio, per senarium in secundo. Sexies enim duo uel bis sex uel ter quatuor XII faciunt. Sedecim capiuntur per binarium in octauo campo, per quaternarium in quarto, per octonarium in secundo. Bis enim octo uel octies duo uel quater quatuor sedecim sunt. Viginti octo auferuntur per binarium in quartodecimo campo et per quaternarium in septimo. Nam bis XIIII uel quater VII viginti octo faciunt. Sexaginta sex capiuntur a senario in undecimo campo, quia [2] sexies undecim sexaginta sex complent. Triginta sex per senarium tolluntur in sexto campo, triginta per eundem in quinto campo. Nam sexies VI triginta sex et quinquies VI triginta conficiunt. L VI per octonarium cadunt in septimo campo, sexaginta quatuor per eundem in octauo campo, quia octies VII LVI et octies octo sexaginta quatuor componunt. XC per VIIII auferuntur in decimo campo. Nouies enim decem XC comportant. C per XX in quinto campo rapiuntur; nam quinquies XX C conficiunt. Haec de parte parium. A parte uero imparium pares hoc modo capiuntur. Sex per ternarium in secundo campo submouentur, VIIII per eundem in tercio. Bis enim tres sunt VI et ter tria VIIII. XXV auferuntur per quinarium in quinto campo, XX per eundem in quarto. Quinquis enim V XXV et quater V sunt XX. Triginta sex per ternarium in duodecimo campo cedunt loco, quadraginta duo per septenarium in sexto campo et XLVIIII per eundem in septimo campo submouentur. Septuaginta duo per nouenarium in octauo campo cadunt et octoginta unus per eundem in VIIII. Nouies enim octo septuaginta duo et nouies VIIII octoginta unus sunt. XV capiuntur per quinarium in tercio campo uel per ternarium in quinto. Nam ter V uel quinquies [182] ter XV sunt. quadraginta quinque auferuntur per quinarium in nono campo uel per nouenarium in quinto per ternarium in quintodecimo campo. Quinquies enim VIIII uel nouies V uel ter XV sexaginta quinque sunt. Tali praedae subiaceant omnes pariter pares uel pariter impares, impariter pares, secundi et compositi. Soli primi et incompositi uagentur tuti, nisi ita sunt aduersariis septi, ut per legitimos tractus euadere non possint. Hanc foueam arithmeticam incidentes auferantur. Qui autem sint uel quare dicantur pariter pares uel pariter impares uel impariter pares siue primi et incompositi, secundi et compositi, si quis nosse desiderat, quia nimis longum esset hic persequi, mittimus eum ad arithmeticam Boetii, qui de his copiosissime disputat.

Que sint piramides et unde dicantur uel unde nascantur. Sectio XVI.

Iam nunc rationem piramidum ostendere intendimus, quam idcirco singulari distinximus capitulo, quia in huius artis scientia singulari habundat materia. Dicendum itaque in primis, quid sit piramis. [f. 89u] Quae ex diffinitione secundum Boetium sic colligitur. Piramis est alias a triangula basi in altitudinem sese erigens, alias a tetragona, alias a pentagona, et secundum sequentium multitudines angulorum ad unum cacuminis uerticem subleuata. Dicitur autem piramis a greco pIR quod latine ignem sonat, eo quod in modum exurgentis flammae inferius dilatata superius in acumen porrigatur. Omnis enim piramis a latitudine basis proficiens per laterales lineas in unum uerticem dirigitur, ita tamen ut haec linearis porrectio a basi triangula uel tetragona uel pentagona ceteraque multiangula ducatur. Et haec quidem speculatio circa geometricas uersatur figuras, sed eam quoque numerorum rationi applicandam docet auctoritas. Nam sicut in geometricis figuris de puncto, quod est principium lineae et interualli id est longitudinis, linea producitur, quae est principium superficiei id est duplicis interualli, longitudinis scilicet et latitudinis, ipsamque superficiem efficit; ex superficie uero, quae est inicium solidi corporis triplex interuallum continentis, id est longitudinem, latitudinem, altitudinem, ipsa soliditas procreatur: ita et in numeris. Siquidem unitas puncti optinens uicem et numeri in longitudinem distenti principium existens linearem numerum longitudinis capacem et latitudinis caput creat, qui a binario inchoans unitatis semper adiectione in unum eundemque quantitatis ductum explicatur; linearis uero numerus superficiem longitudinis latitudinisque [183] capacem et altitudinis principium generat, qui a tribus inchoans addita descriptionis latitudine in sequentium se naturalium numerorum multiangulos dilatatur, ut primus sit triangulus, secundus quadratus, tercius pentagonus numerus et deinceps secundum naturalem numerum a greco denominatis angulis procedens, superficies autem duo interualla id est longitudinem et latitudinem continens soliditatem trina interualli dimensione hoc [2] est longitudine, latitudine et altitudine distantem procreat, cuius soliditatis principium est is numerus, qui uocatur piramis, alias a triangula basi, alias a tetragona, alias a pentagona et secundum sequentium multitudines angulorum exurgens, quemadmodum superficiei primus est triangulus, secundus tetragonus, tercius pentagonus numerus. In quorum consideratione quia non huius loci est diutius immorari, cum in Boetii commento de his habundanter possit quilibet instrui, de his piramidibus que uocantur perfecta et curta, quia ad praesens opus spectat, aliquid dicere causa postulat. Et primi quidem diffinitio talis est: Perfecta piramis est, quae a qualibet basi profecta usque ad primam ui et potestate piramidem peruenit unitatem. Sequentis diffinitio: Curta piramis est, quae a qualibet basi profecta usque ad unitatem altitudine sua non peruenit. Quod si ad primum opere et actu multiangulum eius generis, cuius fuerit basis, non peruenerit, biscurta uocabitur; si uero nec ad secundum opere et actu multiangulum peruenerit, uocabitur tercurta; ac deinceps quot multianguli defuerunt, tociens curta pronunciabitur. Ex his duae solummodo in hac arte constitutae sunt, perfecta scilicet ex parte parium et tercurta ex parte imparium. Perfecta piramis summam numeri habet XCI, tercurta CXC. Et hae utreque a tetragono eadem tetragonorum super se compositione nascuntur. Denique pone tetragonos per ordinem usque ad XXXVI hoc modo id est IIII VIIII XVI XXV XXXVI, et considera quomodo inferius crescendo dilatantur, superius decrescendo usque ad unitatem acuuntur. Ultimus uero in his numerus, qui et maximus, basis appellatur, quod super eum ceteri quasi super basim construendo collocati sursum porrigantur. Hos ergo numeros unum alteri superaddendo collige, et uidebis inde perfectam piramidem XCI procedere. Sed de his tetragonis tribus, id est I IIII VIIII, praecisis, habebis [f. 90r] tercurtam piramidem, cuius basis est LXIIII, hoc modo: XVI XXV XXXVI XLVIIII LXIIII. Hi etiam in unam summam redacti tercurtam piramidem CXC producunt. At si forsitan ignoras, qui sint tetragoni, eosque inuenire desideras, primum noueris, quod omnes tetragoni latera sua secundum ordinem naturalis numeri [184] habent descripta, utpote primus ui et potestate tetragonus est unitas, qui unum solum gerit in latere; secundus II, tercius III, quartus IIII, quintus V, et ad eandem sequentiam cuncti procedunt, sicuti uidere potes in his formulis quas exempli gratia posuimus:

I    II     III    IIII       V        VI
I   IIII   VIIII   XVI       XXV      XXXVI
I   IIII     V      VI       VII      VIII
I   XVI     XXV    XXXVI   XLVIIII   LXIIII

Si ergo cuiusque tetragoni latera in se ipsa multiplicaueris, eundem tetragonum cuius sunt latera habebis hoc modo: Semel unus unus, bis II IIII, ter tria VIIII, quater IIII XVI, et ita in infinitum progredi potes.

Qualiter et per quos numeros ipse piramides capiantur. Sectio XVII.

Superius digestis capiendorum numerorum modis de piramidibus tantum intermiseramus propter ostendendam prius de earum qualitate necessariam rationem. Iam uero nunc expediendum, qualiter et ipse insidiantibus sibi aduersariis loci sui dignitate deponantur. Nam maior eis cautela utrobique seruatur et custodia, quia et maiori auiditate utrimque appetuntur. Et non sine causa; ubi enim maius lucrum, ibi et maior cupido. In casu namque piramidis maius sequitur dampnum, quia unius casus multorum est ruina. Cadente enim piramide cadunt simul omnes numeri illi, quorum compositione piramis efficitur. Capitur autem utraque hoc modo: Si perfectam piramidem id est XCI sua basis id est XXXVI legitimo tractu ab opposito offenderit, aufert eum. Ubi regulam superius scriptam dices: Numerus numerum. Quare autem hoc fiat, aduertere debes. Utraque piramis per summam suae basis capitur, quia omnis ille numerus, quo conficitur piramis, [2] ita ordinatim locatur, ut ab ultima maiorique summa quasi a basi sustentetur, ideoque necesse est, ut cadente piramide, que continet ceteros, cadant etiam hij, qui ab ea continentur, et hoc est tota piramis. Hoc tamen obseruare debes, quod si sola basis ab opposito sibi numero capitur, non ideo piramis cadit; sed tunc tantummodo, cum his numerus, per quem basis capitur, opponitur ei a contraria parte. Per nouenarium quoque in quarto campo et per ternarium in duodecimo campo eadem piramis deicitur. [185] Quater enim VIIII et ter XII sunt XXXVI. At tercurta piramis id est CXC praedicto modo capitur id est si eam sua basis LXIIII a contraria parte legitimo tractu offenderit. Deponitur etiam per octonarium in octauo campo uel per XVI in quarto campo. Octies enim octo uel quater XVI LXIIII sunt. Hanc autem cautelam semper memoriae admittere debes in custodienda piramide tua, ut semper loca illa, in quibus ab aduersariis superari potest, tuis quandiu potes protuicione praeoccupes, uel talem ei locum in quarto campo siue ante siue retro siue dextrorsum siue sinitrorsum siue angulariter praepares, ut si in tali articulo fuerit, ut non nisi fuga se liberare possit, tute et sine timore consistat. Caeteri quoque cum capiendi sunt, fugae se praesidio liberare habebunt. At si locus fugiendi defuerit, in muscipulam cadere habebunt.

Prologus secundi libri.

De uictoria Rithmimachiae.

Non nullos offendere uidentur hi, qui alieno operi iam publicato et quasi in auctoritatem recepto audent aliquid adicere, quod etiam suo elaborauerint studio, quasi hoc nulla ueritatis assertione stipuletur, quod iuuante ratione probare possunt. Nempe bonus artifex uel pictor seu cuiuslibet artis doctus inspector quod ratio offert uel ornatus operis exigit, non ideo neglegit, quia hoc a magistro non didicit, sed potius gaudens amplectitur, quod se ratione magistra inuenisse miratur. Nam hoc non est artem destruere, sed prouehere et gratiorem reddere et ad maioris exercitium speculationis animum [f. 90u] inducere. Denique Pithagoras musicam ex quatuor malleolis commentatus est, de qua postea alii latissime disputantes plures impleuerunt libros, multique alii diuersa phylosophorum commenta subtiliter uestigata et inuenta suis etiam subtilioribus uel auxerunt uel dilucidauerunt scriptis. Igitur non ero ut reor culpandus, si aliqua de ratione rithmicae uictoriae in hoc nostro, quod fraterna karitas extorsit, opusculo non ante perspecta posuero, cum hec non ex meo ingenio, sed ex maiorum potius magna ex parte collegerim scripto. Quod quidem non iactenciae uitio, sed communis utilitatis et huiusmodi artis exornandae gratia facio et ut studiosis eo gratior in ea fiat exercitacio, quo fuerit iocundior occupatio. Denique positis terminis tribus aut quatuor pulcherrime uictoriae practica perficitur, quando et arithmeticis et geometricis armonicisque proprietatibus perspectis theoricae rationis subtilitate nobilitatur.

[186] Capitula secundi libri.

I. De duobus modis uictoriae.

II. De diffinitionibus trium medietatum.

III. Quomodo per tria praecepta ipse medietates inueniantur.

IIII. Quomodo etiam alio modo inueniantur.

V. De differentiis et proprietatibus earum.

VI. Geometricalis speculatio uictorie per has medietates dispositae.

VII. Alia speculatio.

VIII. Item alia.

IX. Item alia.

X. Qualiter uictoria fieri debeat.

XI. Qui numeri sint armonici.

XII. De geometrica armonia.

XIII. De maxima et perfecta armonia.

De duobus modis uictoriae. Sectio I.

Descripto numeralis palestrae praeludio expedienda iam est spectabilis huiusce concursus uictoria, que est operosae maxima pars materiae. Sed ad huius speculationem uictoriae duos constituimus modos, ad quos perfecte cognoscendos perutile est nosse trium medietatum hoc est arithmeticae, geometricae, armonicae proprietates atque differentias. Primus quippe modus est, cum tribus tantum terminis, maximo, medio, minimo, positis per singulas medietates, hoc est uel arithmeticam uel geometricam siue armonicam, uictoria perficitur. Alter uero modus est, cum quatuor modis dispositis per tres insimul medietates, arithmeticam, geometricam et armonicam, maximam et perfectam armoniam symphonizans uictoria concelebrat. Et iste quidem modus maxime querendus et tenendus est propter sui perfectionem et integram musicae proportionis cognitionem. Qui si haberi non potuerit, sufficiat superior modus et ipse musicarum haut expers symphoniarum.

De diffinitionibus trium medietatum. Sectio II.

Opere precium est supra dictarum trium medietatum proprietates breuiter hic, quantum ad praesens negocium attinet, subscribere. De quibus si quis amplius et perfectius scire desiderat, Boecii de arithmetica commento sedulus scrutator adhereat. Harum autem proprietatum differentias demonstrant subiectae huiuscemodi diffinitiones. Arithmetica medietas est, [187] ubi inter tres uel quotlibet terminos equalis atque eadem differentia, sed non equalis proportio inuenitur. Geometrica medietas est, ubi equa proportio et in terminis et in differentiis inuenitur. Armonica medietas est, quae neque eisdem differentiis nec equis proportionibus constituitur, sed quemadmodum maximus terminus ad paruissimum, sic differentia maximi et medii ad differentiam medii atque paruissimi comparatur.

Quomodo per tria praecepta ipse medietates inueniantur. Sectio III.

Est autem quaedam disciplina, per quam has medietates reperire poteris, si trium praeceptorum regulas, quas daturi sumus, obseruaueris. Ipsis uero tribus praeceptis non uno modo in omnibus medietatibus inueniendis uteris, sed singulae medietates suum quendam singularem modum trium praeceptorum habebunt.

Primo igitur tres terminos equales pones, hoc est uel tres binarios uel tres ternarios uel tres quaternarios uel alios quoscumque uolueris. His ita positis si [f. 91r] arithmeticam medietatem inuenire uolueris, haec tria praecepta obseruabis: Pone primum primo equum, secundum primo et secundo, tercium primo, secundo ac tercio, et arithmeticam medietatem habebis hoc modo: [A]

A

II    II    II
II   IIII   VI
III  III    III
III   VI   VIIII

Est etiam alia arithmeticam medietatem procreandi uia huiuscemodi: Pone primum equalem primo et secundo, secundum primo et duobus secundis, tercium primo et duobus secundis ac tercio, et erit huiusmodi figura: [B]

B

 II    II    II
IIII   VI   VIII
III    III   III
 VI   VIIII  XII

Geometricam autem medietatem hoc modo inuenies: Pone primum primo equalem, secundum primo et secundo, tercium primo duobus secundis et tercio, et erit hac forma: [C]

C

IIII   IIII   IIII
IIII   VIII   XVI
 V      V      V
 V      X      XX

Armonicam quoque medietatem inueniendi hec uia est: Pone primum primo ac duobus secundis parem, secundum duobus primis et duobus secundis, tercium primo, duobus secundis et tribus terciis, et hanc figuram armonicam habebis: [D]

D

 II    II    II
 VI   VIII   XII
 III   III   III
VIII   XII  XVIII

Possunt et per alios numeros he medietates secundum [188] hec praecepta inueniri, sed hos tantum maluimus ponere, ex quibus illi procreantur termini, qui in rithmimachiae tabula uidentur dispositi.

Quomodo etiam alio modo inueniantur. Sectio IIII.

Est etiam alius modus praedictas medietates inueniendi, sed in hoc quoque modo his numeris utemur, qui in huius disciplinae instrumento reperiuntur. Ponantur duo termini et inter eos unus terminus per regulam quam dabimus collocetur, eo uidelicet modo, ut duobus terminis altrinsecus positis immutabiliter permanentibus medius, qui per regulam dandam ponendus est, ita mutetur, ut nunc arithmeticam, nunc geometricam, nunc armonicam medietatem componat. Sint ergo duo termini tales V XLV. Hos itaque terminos coniunge [2] et habebis L, quem diuides eiusque medietatem id est XXV inter utrasque extremitates locabis, et arithmeticam medietatem habebis. Vel si illum numerum, quo maior minorem superat, diuidas eiusque medietatem minori termino adicias et qui inde concrescit medium ponas, arithmetica medietas formatur. Nam XLV quinarium quadragenario superat. Quem si diuidas, XX fiunt. Hunc si quinario supposueris, XXV nascentur, quem medium constituens arithmeticam medietatem efficies hos modo: V XXV XLV. Si autem geometricam medietatem facere uis, praescriptos terminos propria numerositate multiplica sic: Quinquies quadraginta V uel quadragies quinquies V sunt CCXXV. Horum tetragonale latus assume id est XV. Quindecies enim quindecim faciunt CCXXV. Hos igitur XV medios inter V et XLV si posueris, geometricam medietatem formabis hoc modo: V XV XLV, uel si terciam partem maioris termini accipias et illam mediam ponas, idem erit. Ter enim XV XLV sunt. Armonicam uero medietatem tali modo reperies. Prefatos terminos sibi met ipsis copula id est V et XLV, et fient L. Deinde differentiam eorum id est XL per minorem id est V multiplica, et erunt CC; hos per numerum, quem ex duobus iunctis confeceras, diuide id est per L, et inuenies latitudinem eorum quatuor esse. Quinquagies enim quatuor faciunt CC. Hanc ergo latitudinem id est quatuor appone minori termino id est V: erunt VIIII; hos cum inter V et XLV posueris, armonicam medietatem explebis.

De differentiis et proprietatibus earum. Sectio V.

Vigilanter quoque notandae et memoriae commendandae sunt ipsarum trium medietatum proprietates et differentiae, quarum consideratione possis singulas indubitanter discernere. Est autem proprium arithmeticae medietatis [189] equalem differentiam inter dispositos habere terminos et, quod extremitates copulatae efficiunt, duplum esse medii, maioremque proportionem esse minorum terminorum quam maiorum, minoremque numerum esse, qui fit ex multiplicatis extremitatibus, eo, qui fit ex multiplicata medietate, tantum quantum eorum differentiae multiplicatae restituunt. [f. 91u] Itaque ubicunque inter dispositos terminos tales IIII proprietates inueneris, arithmeticam medietatem procul dubio pronuntiabis. Quod ut magis luceat, exemplificandum est in ea quam supra posuimus dispositione V XXV XLV. Nempe in hac dispositione equales sunt differentiae; eadem enim est inter V et XXV, que inter XXV et XLV id est XX. Quinque autem et XLV simul iuncti faciunt L, cuius medietas est XXV, maior que proportio est inter V et XXV, quam inter XXV et XLV. Nam XXV ad V quincuplus est, XLV et XXV superquadripartiens quintas est, quae minor est quincuplo. Si uero extremos alterum per alterum multiplices et dicas: quinquies XLV uel quadragies quinquies V fiunt CCXXV, que summa maior est ea que ex medio id est XXV in se multiplicato conficitur, quia uigies quinquies XXV sexcentos XXV faciunt, que summa priorem superat CCCC, qui fiunt ex differentiis in se ductis; differentiae autem terminorum sunt XX. Vigies ergo XX sunt CCCC. Porro geometricae medietatis proprium est differentias eiusdem proportionis esse, cuius sunt termini, et quemadmodum est maior terminus ad medium, sic medium esse ad extremum, et quod ab extremitatibus inuicem se multiplicantibus conficitur equum esse ei, quod a medio in se ducto completur, ut in V XV XLV. Inter quinque enim et XV denarius est differentia, et inter XV et XLV XXX, qui triplus est denarii, sicut XLV triplus est XV et XV triplus quinarii. Et quinquies XLV uel e conuerso faciunt idem quod quindecies XV id est CCXXV. Armonicae uero medietatis talis est proprietas, ut eadem proportione differentiae ad se inuicem comparentur, qua maximus terminus ad paruissimum comparatur, et quibus partibus maioris a maiore medius uincitur, eisdem partibus minoris minorem superet, maiorque proportio sit in maioribus quam in minoribus; et si extremitates iungantur et per medium multiplicentur, duplum sint ad eam summam, que ex inuicem multiplicatis extremitatibus colligitur; ut V VIIII XLV: differentia inter XLV et VIIII XXXVI sunt, qui numerus ad differentiam, que est inter VIIII et V, nonuplus est, sicut maximus terminus [2] id est XLV ad minimum id est V nonuplus est et quatuor partibus maioris id est XXXVI, que sunt quatuor nouenarii, quater enim VIIII XXXVI sunt, medius a maiore uincitur, qui eisdem partibus minoris id est quatuor minorem [190] superat. maiorque proportio est inter XLV et VIIII, que est quincupla, quam inter VIIII et V, que est superquadriparciensquintas. et si XLV et V copulentur, qui faciunt quinquaginta, et per medium id est nouenarium multiplicentur, sic nouies quinquaginta faciunt quadringenti quinquaginta, duplum uidelicet illius quod extremitates inuicem se multiplicantes comportant id est CCXXV.

Geometricalis speculatio uictoriae per has medietates dispositae. Sectio VI.

Si cui uero placet recipere, non arbitror rationi obsistere, si per has medietates nouam uictoriae speciem disponimus, in qua dispositione omnis harum medietatum proprietates insimul possis oculo mentis inspicere, insuper aliquas geometricales figuras et nonnullas musicas consonantias. Quo enim utilior, tanto delectabilior erit in aliqua dispositione uictoriae occupatio. Si ergo ex parte parium talis uictoria componenda est, V de parte imparium per praedam acquirendi sunt, ceteri quatuor id est VIIII XV XXV quadraginta quinque in dispositione parium inueniuntur, si tamen a contraria parte ablati non fuerint. quorum V ut dixi et etiam XXV de parte imparium per praedam adquiruntur. Porro si a parte imparium uictoria statuenda est, XV et XLV per praedam adquirendi sunt; nam caeteri imparium reperiuntur, si tamen et ipsi a contraria parte ablati non fuerint. Cum igitur omnes hos terminos quacumque parte sedens habueris, uictoriam facturus pone primo V, deinde in sequenti campo XV, post hunc quadraginta quinque siue in ante siue retro siue dextrorsum siue sinistrorsum, altrinsecus uero XXV et VIIII, ut instrar uictoriosae crucis hec figura exeat.

[Frutolfus, Rhythmimachia, 190; text: V, VIIII, XV, XXV, XLV] [FRURIT 03GF]

Iam nunc adibito mentis oculo si curiose intendas, uidebis trigonum ortogonium quadrifidum exurgere, cuius basi et catheto equali proportione extante hypotenusa consequenter superbipartiens [f. 92r] quintas ad basim uel cathetum erit. Duorum igitur superiorum trigonorum hypotenusa arithmeticam medietatem comprehendit, basis uero quadrifidi trigoni geometricam medietatem subportat, inferiorum uero trigonorum hypotenusa armonicam medietatem demonstrat, numeros uero, qui sui mutacione tres istas medietates efficiunt, cathetus ipsius quadrifidi trigoni equaliter assurgens representat hoc modo: [A]

Alia speculatio. Sectio VII.

Alia quoque in huiusmodi dispositone speculatio suboritur. Dispositis enim terminis eodem modo quo supra, XV pro centro uel puncto estimabis.

[191] In quo quasi circino posito numeros circumpositos circumferentia excipiat, quam si in duas equas partes a sinistra ad dextram per diametrum diuidas, superius hemisperium arithmeticam tibi medietatem consignat, diametrum geometricam, inferius hemisperium armonicam hoc modo: [B]

[Frutolfus, Rhythmimachia, 191,1; text: A, B, V, VIIII, XV, XXV, XLV, Arithmetica, Geometrica, Armonica medietas.] [FRURIT 03GF]

Item alia. Sectio VIII.

At si aliud diametrum a XXV per XV ad VIIII recta linea feceris, totum circulum in quatuor quadrantes diuides, in quibus singulis triangulum ortogonium estimare potes, ita ut duo triangula medietatem diametri sursum et duo deorsum pro catheto habeant et alterius medietatem diametri duo dextrorsum et duo sinistrorsum pro basi accipiant, ypotenusa uero rectam lineam a fine basis, ubi circumferentiam tangit, usque ad summitatem catheti, ubi etiam circumferentiam tangit, per singulos quadrantes deductam ipsius quadrantis sexta parte minorem. Superior ergo pars circumferentiae duos triangulos complectens arithmeticam pandit medietatem, cui altera pars inferior et ipsa duos continens triangulos [2] ab opposito armonica medietate respondet, mediana uero linea ipsorum quatuor triangulorum basim denotans geometricam medietatem insinuat; numeros uero, in quibus ipsarum medietatum constat effectus, altera linea mediana, que pro cathetis quatuor trigonorum estimatur, assignat hoc modo: [C]

[Frutolfus, Rhythmimachia, 191,2; text: C, V, VIIII, XV, XXV, XLV, Arithmetica, Geometrica, Armonica medietas.] [FRURIT 03GF]

Item alia. Sectio VIIII.

Quod si praefati termini ita fuerint dispositi, ut quasi duae lineae secundum rationem diametri deductae in quamlibet partem ad se inclinatae fuerint, duos sibimet exaduerso oxigonios id est acutos angulos et duos ampligonios id est hebetes angulos formabunt; unusque oxigonius et ampligonius arithmeticam capient medietatem, alter uero oxigonius et ampligonius ab opposito armonicam comprehendent medietatem, medio autem inter utrosque loco geometrica apparebit medietas sic: [D]

[192] [Rythmimachia, 192; text: D, E, V, VIIII, XV, XXV, XLV, Arithmetica, Geometrica, Armonica medietas] [FRURIT 04GF]

Si autem ipsos terminos trium medietatum angulariter constituas, uidebis quod quasi duae diagonales lineae medio se intersecant, ita ut duos triangulos altrinsecus ad unam basim constituant, quorum cathetos equales esse necesse erit hoc modo: [E]

Hec non ante inspecta in rithmimachiae uictoria ponere praesumpsi, non pertinaciter ea astruendo, sed beniuole beniuolis offerendo. Que si placent recipiant, sin autem, mihi soli relinquant. Nam quod ipsa natura offert, ratio non repellit, cum et hoc accedat, quo maxime animus capitur, scilicet quia instruit et oblectat, cui parum aut nichil confert huius disciplinae practica, [f. 92u] si nulla in ea exerceatur theorica.

Qualiter uictoria fieri debeat. Sectio Capitulum X.

Igitur facturus uictoriam in campis aduersarii eam statuere debes, primumque numerum quem ponis ex nomine aduersario iudicabis, hoc summopere praecauens, ut ipsum primum quem ponis et adhuc ponendos nullus aduersariorum interrumpere possit. Nam si semel interrupti fuerint, uictoria cassa erit et iterum cautius eam te reparare oportebit. In statuenda uero uictoria hanc obseruabis regulam, ut si tres ponere uis terminos, tum duos, si quatuor, tum tres de tuis statuas, tercio uel quarto de parte aduersarii per praedam acquisito.

Qui numeri sint armonici. Sectio XI.

In ea parte ubi perfecta piramis est, scilicet XCI, XV, et XX armonici sunt, triginta per praedam acquirendus est. Statutis ergo XV XX XXX, si recte consideres, uidebis secundum regulam superius dictam hanc esse armonicam medietatem. Eadem enim proportione differentiae ad se inuicem comparantur, qua maximus terminus ad paruissimum comparatur. Si quidem inter triginta et XX differentia est X, inter XX autem et XV V. Eadem ergo proportio est inter X et V, quae inter triginta et XV id est dupla. Consonantias uero musicas in his terminis perspicies, si eorum proportiones consideres. Nam triginta ad XX hemiolia id est sesqualtera proportione iungitur, [193] quae est in musica diapente consonantia. Habet enim minorem totum et eius alteram partem. Ad XV uero dupla, que est diapason. Porro XX ad XV sesquitercia proportio est, quae est diatesseron. Habet enim minorem totum et eius terciam partem. Item IIII et VI armonici sunt, XII per praedam adquirendus est. XII ad VI dupla proportio est diapason, ad IIII tripla id est diapason diapente, VI ad IIII sesqualtera id est diapente. Item II et VI armonici sunt, III per praedam acquirendus est, VI ad III duplus id est diapason, ad II triplus id est diapason diapente, III ad II sesqualtera id est diapente. Item XXV et XLV armonici sunt, CCXXV per praedam acquirendus est. In his tamen terminis consonantiae non inueniuntur, nisi tantum proprietas [2] armonice medietatis. In ea uero parte, ubi tercurta piramis est CXC, armonici sunt III et V, XV per praedam adquirendus est. Item V et VIIII armonici sunt, XLV per praedam adquirendus est. Item XXVIII et VII armonici sunt, IIII per praedam adquirendus est. In quorum omnium dispositione eadem ratio armonice proprietatis, quae superius praelibata est, diligenter consideranti aperitur, preter quod musice consonantie non adeo ibi inueniuntur, quia maxime in superpartienti proportione constituti sunt, quae sicut dicit Boetius ab armoniae continentia separatur; a Ptolomeo tamen recipitur, cuius de hac sentenciam qui nosse desiderat Boetii de musica tractatum perlegat. Predictos quoque utriusque partis terminos sic uariare potes, ut per arithmeticam seu geometricam proprietatem dispositi musicis quoque proportionibus uictoriam perficiant. Exempli gratia: Statue VII, VIII, VIIII siue VI, VIIII, XII uel VIIII, XII, XV et habebis arithmeticam medietatem et non nullas musicas consonantias. Ad geometricam uero medietatem disponendam pone IIII, VIII, XVI siue V, XV, XLV uel IIII, XVI, LXIIII, et in his musicam quoque non deesse perspicies. Hac tantummodo ratione utramque medietatem discernes, ut in arithmetica equales sint differentiae, in geometrica uero equali inter se termini proportione iungantur.

De geometrica armonia. Sectio XII.

Est alia quedam pulcherrima uictoriae dispositio, quae in his tribus constituitur terminis, uidelicet VI, VIII, XII, quam Boetius geometricam armoniam appellat et nos cubicam uictoriam dicere possumus. Tribus namque interuallis continetur id est longitudine, latitudine, altitudine. Omnis enim cubus XII latera habet, VIII angulos, VI superficies. Omnis autem armonica proprietas omnesque musicae consonantiae, si differentiae cum terminis considerentur, in hac dispositione inueniuntur. XII namque ad VI [194] dupli sunt et diapason ostendunt, XII ad VIII sesqualtera proportione diapente reddunt, VIII ad VI diatessaron in sesquitercia proportione. Porro differentia [f. 93r] inter XII et VIII quaternarius est, inter VIII et VI binarius. Duodenarius igitur ad IIII et VI ad binarium triplam proportionem habentes diapason diapente symphoniam pandunt, VIII uero ad binarium quadruplus bis diapason resonat, ut haec descriptio docet:

[Frutolfus, Rhythmimachia, 194; text: DIAPASON, DVPLA, DIFFERENTIAE, SESQVITERTIA. SESQVALTERA. diatesseron, diapente, II, IIII, VI, VIII, XII] [FRURIT 04GF]

De maxima et perfecta armonia. Sectio XIII.

Restat nunc dicere de maxima et perfecta armonia, quae quatuor terminis disposita nobilissimam et principalem uictoriae format stacionem tres praescriptas in se continens medietates et omnium musicarum symphoniarum proportiones. Cuius dispositio talis est: VI VIII VIIII XII. Hii ergo numeri solidi sunt, quia tribus interuallis distenti creuerunt id est longitudine, latitudine, altitudine, sed non equaliter productis, quia alius ipsorum terminorum ab equali per equale equaliter, alius ab inequali per inequale inequaliter, alius ab inequali per equale equaliter, alius ab equale per equale inequaliter producitur. Siquidem semel bis tres VI creant ab inequali per inequale inequaliter procedentes. Minus est enim semel quam bis et bis minus quam tres. Bis duo bis VIII generant ab equali per equale equaliter gradientes. Equaliter namque sunt bis et duo et bis. Semel ter tres VIIII faciunt ab inequali per equale equaliter exeuntes. Minus est enim semel, equalia ter et tres. Bis duo ter XII pariunt ab equale per equale inequaliter prodeuntes. Equalia quippe sunt bis et duo, sed ter maius. Et ille quidem solidae quantitatis numerus, qui ab equali per equale equaliter procedit, cubus appellatur. Qui uero ab inequali per inequale inequaliter, scalenon grece, latine gradatus dicitur, eo quod de minore ad maius quasi per gradus exurgat idemque [2] speniscus id est cuneolus appellatur, quod nulla ibi equalitas seruetur latitudinis uel altitudinis, sicut in cuneo, qui ad modum constringendae rei uel minuitur uel augetur. Inter hos medius est ille, qui neque cunctis partibus equalis est nec omnibus inequalis, sicut qui uel ab inequali per equale equaliter, uel ab equali per equale inequaliter procedit. Qui grece parallelipipedus uocatur, sed latina glossa non uniformiter exprimi potest, nisi quod tantum exponitur is esse, qui alternatim positis latitudinibus continetur. Igitur in horum dispositione [195] terminorum arithmetica proportionalitas inuenitur, si XII ad VIIII uel VIIII ad VI comparemus. XII autem ad VIIII sesquitercia proportione, VIIII ad VI sesqualtera. In utrisque autem ternarius differentia est et iunctae extremitates medietate duplae sunt. Si enim iunxeris VI et XII, XVIII facies, cuius medietas est nouenarius. Geometrica uero proportio est, si XII ad VIII uel VIIII ad VI comparemus. Utraque enim comparatio sesqualtera proportio est et, quod continetur sub extremitatibus, equum est ei quod fit ex mediis. Nam duodecies VI idem est quod nouies octo id est LXXII. Armonica quoque medietas hic inuenitur, si XII ad VIII et rursus VIII ad VI comparemus. Qua enim parte senarii octonarius senarium superat, eadem octonarius a duodenario superatur id est tercia parte. Quatuor enim quibus octonarius a duodenario superatur, duodenarii pars tercia est, et duo, quibus octonarius senarium superat, senarii pars tercia est. Et si extremitates iungas VI scilicet et XII easque per octonarium medium multiplices, CXLIIII fiunt. Quod si se extremitates multiplicent, VI scilicet et XII, LXXII faciunt, cuius duplus est CXLIIII. Omnes ergo proprietates trium medietatum superius descriptas in hac dispositione, si rite perpendas, inuenire licebit. Inueniemus hic quoque omnes musicas consonantias. Denique VIII ad VI et XII ad VIIII comparati sesquiterciam proportionem reddunt et diatessaron consonantiam; habet enim maior numerus minorem totum et eius terciam partem. Item VI ad VIIII uel VIII ad XII comparati sequalteram proportionem faciunt et [f. 93u] diapente simphoniam; habet enim maior numerus minorem totum et eius alteram partem. XII uero ad VI comparati duplam proportionem efficiunt et diapason symphoniam, VIIII uero ad VIII considerati epogdoum faciunt, qui est tonus in musica. Habet enim maior numerus minorem totum et eius octauam partem. Huius descriptionis figuram subiecimus hoc modo:

[Frutolfus, Rhythmimachia, 195; text: SESQVALTERA. diapente, diatesseron. tonus. sesquitercia, epogdous, sesqualtera, diapason, dupla, VI, VIII, VIIII, XII] [FRURIT 04GF]

[196] Quia uero in facienda uictoria aliqui disponuntur termini ex genere superpartienti, in quibus musicae proportiones non possunt inueniri, sicut supra praelibauimus, non inutile arbitror ostendere, quomodo et in ipsis utcumque terminis musica quoque speculatio deesse non possit. Dicit domnus Wido in micrologo suo talem distributionem neumarum in componendo cantu obseruandam, ut cum neumae tum eiusdem soni repercussione, tum duorum aut plurium connexione fiant, semper tamen aut in numero uocum aut in ratione tonorum ipse neumae alterutrum conferantur atque respondeant, nunc aequae aequis, nunc duplae uel triplae simplicibus, atque alias collatione sesqualtera uel sesquitercia. Cum per has quidem proportiones diuisio disponatur monocordi, hic tamen intendit ostendere, quod sicut in monocordo istis mensuris praedictae consonantiae colliguntur, ita in armonia neumae, quae non nisi ipsis consonantiis fiunt, etiam ipsis praecipue proportionibus consonent [2] et conferantur. Sicut ergo ille proportiones per diuersos numeros diuerse sibi conferuntur, sic in cantibus secundum diuersos numeros sonorum non consonantiarum diuersitatem uidere possumus proportionum. Vnde et numeros sonorum, seu consonantia sit seu non sit, ita considerare possumus, ut cum habeant duplam, sesqualteram uel sesquiterciam proportionem, etiam inuenire possimus triplam, quadruplam et quincuplam ac deinceps, superbipartientem quoque et supertripartientem seu superquadripartientem ac deinceps, sicque fiat, ut ex genere superpartienti constituta uictoria musica quoque ibi non desit per proportiones tantum sonorum, non consonantiarum. Quod ut exemplo manifestius fiat, quasdam symphonias secundum has sonorum proportiones compositas subiecimus.

[fo 94r.] In hac autem proportione sonorum quod decentius est, magis obseruare debes, uidelicet inter duas dictiones uel tres uel quatuor, ut uerbi gratia una dictio talem numerum sonorum habeat, ad quem alterius dictionis numerus conferatur uel sesqualtera uel sesquitercia uel sesquiquarta siue dupla siue tripla siue quadrupla aut superbipartienti aut supertripartienti seu alia qualibet proportione. Vel etiam ad unius dictionis numerum duarum uel trium dictionum numerus conferatur supradictis proportionibus, sicut in hac antiphona uidere potes, quam exempli gratia apposuimus.

[197] Vides ergo quomodo hec antiphona proportionaliter incedit. In osculetur enim VI sunt uoces siue soni, in me octo. Octo autem totum senarium in se habet et eius terciam partem id est duo. Serquitercia ergo proportio est. In osculo quatuor soni, in oris sui VI. Sex autem totum quaternarium in se habet et eius alteram partem id est duo. Est igitur sesqualtera proportio. In quia sunt duo soni, in meliora quatuor, et hec est dupla proportio. Sunt habet tres sonos, ubera tua uino VIIII, et est tripla proportio. Fraglantia quinque sonos habet, unguentis optimis XX, eque quadrupla proportio. Oleum VI habet uoces, effusum X et est superbipartiens, quia habet in se totum senarium et eius duas partes id est quatuor. Nomen V uoces, tuum VII habet. Septenarius habet in se totum quinarium et eius duas quintas, que proportio uocatur superbipartiens quintas. Ideo habet quatuor sonos, adolescentule XI. Vndecim habet quatuor in se plus quam semel et insuper eius tres quartas, que proportio dicitur triplex supertripartiens. Dilexerunt octo uoces, te nimis V; supertripartiens quintas est.

[Sequitur tabula]

FINIT. OPVS. FORTOLFI. AMEN.

[228] [Frutolfus, Rhythmimachia, 228; text: F, C, b, e, Fert eu angelium quadro diatessaron orbi. Educit diapente choros per quinqe sorores. Et diapason habet duplicati dona talenti. Diapason diapente triplex funiculus artat. Octo beatudines nouem ordines angelorum toni mensuram dant et resonant. Bisdiapason Zacheus reddit quadruplo. Superpartientem cum sua specie multimoda non admittit musica. nisi per sonorum ut cumque discrimina. Superbipartiens totum continet in se minorem et duas partes eius. Super tripartiens totum minorem et tres partes eius ceterae que species super partientis musicam constituunt uictoriam. Osculetur me osculo oris sui quia meliora sunt ubera tua uino fraglantia unguentis optimis. oleum effusum nomen tuum. ideo adulescentule dilexerunt te nimis. FINIT. OPVS. FORTOLFI. Amen.] [FRURIT 05GF]