Back to top

[249] Experimento multiplici colligi potest, quod musica promoveat affectiones animae, timentes enim aliquando cantant prae timore, ut ex cantu audaciam apprehendant. Item aliquis in statu displicibili revocans ad memoriam cantilenam, quam in rebus prosperis cantavit cum delectatione vel cantare audivit, ingemiscat et statum consimilibus motibus mensuretur, cum fuit, cum illam actu caneret. Item perturbati incipiunt cantare, conantes se per cantum avertere a tristitia. Item tractores navium et aliorum ponderum gravium sociabili cum cantu se impetuosius ad trahendum incitant. Item columbae visae sunt citharizantibus advolare. Item aves in caveis, alias tacentes, auditis melodiis incipiunt cantare. Item cunabulares et pueri adhuc nihil intelligentes, quasdam voces sibi formant frequenter in eis delectando.

Prima petitio: Omnem doctrinam et omnem disciplinam ex praeexistente cognitione fieri.

Secunda petitio: Ante cognitionem sensitivam non aliam inveniri.

Tertia petitio: Experientia multiplici ut in termino status adquiescere.

Quarta petitio: Experientiam circa res sensibiles artem facere.

Pythagoram artem nobis tradidisse sonorum.

Hic Pythagoras antiquus princeps numerorum et proportionum magister, cui a toto tempore vitae numerus obedivit, sic ut vi numerorum scientiae singula intueretur; in anxietate diu manens, quomodo ad artem de melodiis rationem inveniret, quadam vice divino nutu fabrorum officinas praeteriens hanc cogitationem mentaliter circumvolvens, quosdam malleos super incudem cedentes mirabilem harmoniam emittentes audivit. Ad quos conversus fervens veritatis inquisitor iussit inter se malleos silens permutari, dubitans ne ex viribus hominum tanta proveniret melodia. Quibus alternatis rediit eadem symphonia sicut prius. Unde conclusit, non in lacertis virorum, sed in natura malleorum tales concordantias contineri, tam numeri, quam mensurae, quam ponderis ratione. Quintus tamen eiiciebatur, quoniam inutils cuilibet aliorum comparatus dissonabat, consideratisque ponderibus aliorum in dupla, sesquialtera et sesquitertia reperta sunt proportionibus. Et in quibuscumque aliis rebus, tympanis, tintinnabulis et caeteris has proportiones continentibus easdem reperit harmonias: unde in hac experientia requievit per causam. Ex quibus experimentis rationis musicae detecta fuerunt principia per quartam.

Propter symphoniam subiungere vim numerorum.

Pythagoras sonorum consonantias per [250] proportiones ponderum reperit. Et eaedem proportiones in numeris his reperiuntur: 12. 9. 8. 6.

Iam tres harmonias esse perfecte sonantes.

Quod non sint pauciores tribus, experimur: sed si sint plures quam natura voluit revelare, Deus novit. Perfectiores tamen usque ad nos his tribus nemo umquam (invenisse) repertus est; et sunt hae: Diapason, qui est 12. ad 6. diapente 12. ad 8. vel 9. ad 6. diatessaron, ut 12. ad 9. aut 8. ad 6. Tonus vero, qui est ut 9. ad 8. non est consonantia sed pars eius.

Has tres melodias numeros dare tonantes.

Diapason duplum, diapente sesquialteram, diatessaron sesquitertiam, tonus autem sesquioctavam retinet proportionem.

Quae diapente sonat diapason habet superare.

Nam dupla maior est sesquialtera in sesquitertia, et tantum excedit diapason diapente.

Et diapente plus quam diatessara stare.

Nam sesquialtera maior est sesquitertia in sesquioctava. Est igitur diapente maior quam diatessaron in proportione sesquioctava.

Ac diatessara tunc veluti minimam resonare.

Cum enim in natura non sint plures notae his tribus, tunc ex praedictis patet, diapason esse maximam, et diatessaron minimam.

At diapasa potest per tessara iuncta creare.

Nam sesquialtera iuncta sesquitertiae duplam creat.

Ac diatessaron a diapente tono superari.

Patet, quod diapente superat diatessaron in sesquioctava: sed in hac consistit tonus; igitur.

Inque pares partes non possunt mediari.

Quia inter extrema proportionis sesquioctavae quaecumque (alia) non est medium proportionale in numeris; igitur non potest mediari. Nam tonus consistit in his numeris 18. et 16. Inter quos numerus integer cadit, scilicet 17. Sed maior est proportio 17. et 16. quam 18. et 17. Unde neque 17. ad 16. neque 18. ad 17. verum semitonium existit. Patet ex hoc, quod musica non considerat proportiones irrationales ideo, quia subalternatur arti metricae, quae est de numeris, inter quos non reperitur irrationalis proportio.

Est semis et duplex tonus in diatessara vere.

Non semis quidem hic est dimidium, sed semis hic sonat imperfectionem. Patet, cum a sesquitertia proportione aufertur duplex sesquioctava, manet proportio 256. ad 243. quae est minor quam sesquioctava, neque ipsa est medietas sesquioctavae, eoquod ea rationalis est, haec autem irrationalis. Continentur igitur in diatessaron duo toni et unus imperfectus. Hic autem imperfectus diesis appellatur. Hic introducitur quaedam utilitas artis metricalis. Si quis velit invenire quorumcumque numeros continuos in aliqua proportione superpartienti, accipiat tonum multiplicem secundum denominationem sperpartientem a primo multiplici, quorum ipsorum voluerit habere; ut: volo quatuor numeros [251] in sesquialtera proportione continuos, recipio quartum duplum ab unitate, qui est 16. nam 2. primus est, 4. secundus, 8. tertius, 16. quartus, et perveniet numerus hoc modo: 16. 20. 30. 45. Ecce quatuor continuos in sesquialtera, et alios 256. 243. 216. 192.

De diapente tonos tres et semis aio tenere.

Nam diapente constat ex diatessaron et tono, scilicet diatessaron ex duobus tonis et semis, id est tono imperfecto: igitur.

Illa semitonia cum quinque tonis parodiare.

Nam diapason ex diapente cum diatessaron constat. Sed diapente ex tribus tonis et uno semitonio, hoc est, imperfecto tono. Et diatessaron ex duobus tonis et uno semitonio, hoc est, etiam imperfecto tono. Igitur nec ex hoc diapason ex sex tonis: nam ista duo semitonia unum tonum non perficiunt. Quod tamen plures et antiquos et modernos decepit.

Quaero toni quales partessunt inaequales.

Hoc est, quod semitonia, quae tonum constituunt, sunt inaequalia. Aliquam partem toni tonum imperfectum est ponere, id est, semitonium. Sed demonstratum est, quod non datur media pars toni. Igitur aut erit maior medietate toni, aut minor. Et cum una sola talis tonum non constituat, erunt duae partes tonum integrantes, quorum una est maior, altera minor.

Ergo semitonium minus in numeris reperire.

Postquam a diatessaron demuntur duo toni, manet semitonium minus, et consistit in hac proportione, scilicet 256. ad 243. quorum sit minor quam medietatis toni pars. Nam 273. et 3/8 ad 243. est tonus. Sed maior est proportio 273. et 3/8 ad 256. quam 256. ad 243. Igitur. Semitonium minus vocatur diesis. Item limma semitonii minoris vocatur diaschisma.

Inde semitonium maius contendo venire.

Ablato enim semitonio minori nunc invento a tono, manet semitonium maius, et ipsum consistit in proportione 2187. ad 2048. Semitonium maius vocatur Apotome.

Sex cantando tonos diapason non dare plenos.

Patet etiam ex praedictis: nam sesquioctavae proportiones sibi additae duplum excedunt. Igitur.

Non ex quinque tonis duplex diatessaron esse.

Quoniam diatessaron unum constat ex duobus tonis, et uno semitonio minori: igitur duplex diatessaron percurret quatuor tonos et duo semitonia minora, quae unum non perficiunt.

Est ex praemissis comma reperire necesse.

Comma a musicis vocatur id, quo tonus superat duo semitonia minora. Si igitur a sex tonis subtrahitur diapason, manet comma, et consistit in hac proportione 531442. ad 524288. Patet idem subtrahendo duo semitonia minora a tono. Et in quo tonus excedit duo semitonia minora, in eodem superat semitonium maius semitonium minus.

[252] Corollaria quaedam. Primum: duo minora semitonia tonum integrum non complere. 2. Duo maiora iuncta tonum integrum superare. 3. Maius semitonium super minus commate abundare. 4. Maius semitonium et minus tonum perficere. 5. Duo semitonia minora cum commate tonum complere. 6. Unum semitonium in nulla numerorum proportione manere. 7. Verum semitonium in rerum natura non existere. 8. Semitonium minus maius esse quam 20. ad 19. et minus quam 19. ad 18. 9. Semitonium maius maius esse quam 16. ad 15. minus vero quam 15. ad 14. Comma maius esse quam 75. ad 74. minus vero quam 74. ad 73. 10. Semitonium minus maius esse tribus commatibus, minus vero quatuor. 11. Semitonium maius (esse) maius quatuor commatibus, minus vero quinque. 12. Tonum maiorem esse octo commatibus, minorem quam novem.

Componitur quadrupla proportione bis diapason. Nam bis dupla quadruplam efficit.

Et manet in tripla diapason cum diapente.

Quoniam dupla cum sesquialtera triplam componit.

Nulla fit harmonia diatessaron et diapason.

Quoniam cum iungitur diapason cum diatessaron, erit proportio 8. ad 3. distat autem perfecta consonantia, scilicet diapason cum diapente solo tono. Hoc dixerunt Pythagorici: unde voluerunt,quod diatessaron intensa, super quam intenditur diapente, ut 3. 4. 6. non sit consonantia: sed tamen diapente intensa, super quam diatessaron intendatur, ut 4. 6. 8. licet utrobique sit diapason in extremis. Ptolomaeus autem dicit, diapason cum diatessaron consonantiam esse bonam. Nam omnis consonantia semiperfecta infra diapason continetur. Igitur cum diatessaron potest intendi infra diapason; igitur etiam et supra: concluditur ergo, quod diatessaron supra diapason non sit consonantia. Nam diatessaron ante diapente non est consonantia, ut 3. 4. 6. Igitur nec supra diapason, cum ibi scilicet ipsum diatessaron ante diapente ponatur.

De divisione monochordi.

Primas harmonias in plano scribere vere.

Harmoniae primae et perfectae simplices sunt diapason, diapente, et diatessaron. A. b. lineam datam per aequalem divide in c. et resonabit A. c. diapason, sicut a. b. Item dividatur a. b. tota in tres aequales: a. d. d. e. et e. b. tunc a. c. super a. b. sonabit diapente. Deinde a. b. in quatuor partes, quae sunt a. f. f. c. c. g. et g. b. dividatur aequaliter. Tunc a. g. ad a. b. diatessaron adimplebit, eritque a. c. ad a. g. tonus.

In gravitate tonum vel acuta parte docere.

Primo in parte acuta sic. Sit tonus b. a. quo intendo diapente usque in c. et a c. remitto diatessaron in d. erit d. b. in acuta parte tonus. In parte autem gravi sic: super b. tonum intendo diatessaron usque in f. A quo ad k. remitto diapente, erit k. b. tonus in parte gravi. Patet idem, si diatessaron et diapente ab eodem intendantur, habebitur primum. Si ab eodem remittantur, habebitur secundum exemplum, primi 6. 8. 9. secundi 12. 9. 8.

[253] Atque semitonium primum sive maius habere.

Primo ad acutam partem. Noto in proposito, consonantiam intendere, est de sono gravi acutiorem facere, remittere autem, de acutiori graviorem. Sit a. tonus, a quo ad b. intendatur diatessaron ad e. A quo ad f. fiat diapente remissa. Erit itaque d. f. tonus. Unde cum a. b. sit diatessaron, et b. f. duo toni, erit f. a. semitonium minus. Ad partem autem graviorem ita fiat. Sit tonus a. a quo intendantur duo toni continui a. d. et d. g. et a g. remittatur diatessaron usque ad bb erit a. bb minus semitonium. Maius autem semitonium sic: primo ad partem acutam. Ab a. tono tres tonos acutos continue intendo, qui sunt a. b. b. c. et c. d. deinde super a. acutum formo diatessaron, quod sit a. f. erit c. semitonium minus, et f. d. semitonium maius. In parte gravi ita: ab a. intendo semitonium minus ad d. et a d. remittatur tonus ad e. erit a. e. maius semitonium in gravi parte receptum.

Hic propono gravem vel acutum comma docere.

In acuto ab A. ad B. maius semitonium intendatur, a quo in C. minus semitonium remittatur, et erit A. comma. In gravi ab A. ad D. minus semitonium intendatur, a quo ad C. maius remittatur, et dat E. comma grave. Id Boetius sic vult condere. Sit a. d. tonus, a. b. semitonium minus, b. c. etiam minus, erit c. d. comma, differentia c. d. sit l. differentia c. d. (sit) m. quia l. multiplicatum per tria minus facit quam m. sed multiplicatum per quatuor plus facit quam m. Similiter accidit comparando comma ad apotome et tonum. Sed haec dein ratio non valet, quia similiter oportet quintuplam maiorem esse quam sexduplam sesquialteram, et minorem quam septuplam quod manifeste falsum est.

His expeditis monochordum scire velitis.

Aliqua praeambula divisioni monochordi utilia. 1. Omnis divisio monochordi vadit per tetrachorda. Omne autem tetrachordum vocant musici spatium duorum tonorum cum semitonio minori, et hoc est diatessaron, et ipsum in quatuor chordis integratur. 2. Cum id tetrachordum possit reiterari, ut altius ascendat per diapente ad diapason, sicut reiteratur diatessaron, hoc tamen potest contingere per tetrachordum coniunctum vel divisum. Et sic in duobus tetrachordis coniunctis erunt quatuor toni cum duobus semitoniis minoribus. Et iterum super finem secundi tetrachordi potest formari tertium, et ultra quantum libet. Disiunctum est tetrachordum, cum post ultimam chordam primi tetrachordi ponitur chorda distans ab spatio toni, et super eam reperitur tetrachordum, et sic quousque libet. In duobus tetrachordis coniunctis sunt septem chordae, in disiunctis autem octo. Patet ex hoc, quod in diapason sunt duo tetrachorda coniuncta et unus tonus. In eo etiam sunt duo tetrachorda disiuncta praecise. 3. In divisione tetrachordi, hoc est diatessaron, veteres tripliciter locuti sunt. Primo enim diviserunt ipsum per tonum et tonum cum semitonio, ut dictum est, huic quatuor chordas apponentes, quarum [254] ultima ad primam diatessaron sonabat: et hoc genus canendi appellaverunt diatonicum. Et sunt hi numeri 2308. 2592. 2916. 3072. nam secundi ad primum toni est proportio, tertii ad secundum etiam toni, et quarti ad tertium semitonii minoris. Alii diviserunt ipsum diatessaron et suum tetrachordum in tonum cum semitonio maiori, et duo semitonia minora, quatuor chordas apponentes, quarum prima ad ultimam diatessaron sonabat. Et hunc modum dixerunt chromaticum genus: et sunt hi numeri 2304. 2736. 2916. 3072. Tertii diviserunt tetrachordum in duos tonos et duas semitonii medietates, quas dieses appellant, cum quatuor chordis sicut primi. Et hoc vocaverunt genus enarmonicum, et consistit ex diesi et diesi et duobus tonis: et sunt hi numeri 2304. 2916. 2994. 3072. Ultima duo genera numquam venerunt in usum, sed in diatonico est nunc omnis cantus noster. Scio etiam, quod vix aut numquam vox humana concordaret cum his duobus generibus. Posset etiam diatessaron dividi in quinque semitonia per maiora, minora per commata; sed hoc esset excedere tetrachordum.

Nunc ego concordo cum Boetii monochordo.

[GSIII:254; text: a, b, c, d, e, f, g, 2304. 2592. 2916. 3072. 3456. 3888. 4096. 4608. 5189. 5832. 6144. 6912. 7776. 8192. 9216. tonus. semitonium.] [MURMUS 01GF]

Haec est divisio monochordi secundum Boetium. Figura, in qua non est nisi bis diapason quantum ad proportionem minorem; licet non repugnet ei esse ter vel quater in genere diatonico. Nunc autem quoniam subtilior est musica per exercitium modernorum, et maneries Boetii actualiter variata est, ideo divisio iam est talis. Sit a. b. chorda recta super planum per aequalia divisa in puncto i. erit a. i. ad a. b. diapason. Item a. i. per aequa dividetur in q. erit a. q. ad a. b. bis diapason. Sique a. q. iterum per aequalia divideretur, surgeret ter diapason, et sic ulterius quoslibet. Sic meliores consonantiae verae fiunt, et quidem in primo gradu certitudinis. Aliae autem consequuntur eas. Sic dividatur a. b. in tres aequales, quarum trium una sit a. f. tunc e. f. duas alias continebit; tunc a. f. ad a. b. diapente sonabit; quae consonantia differt a perfectissima, scilicet a diapason in diatessaron, et ipsa diatessaron in chordis a. i. a. f. Sed sic invenies hanc in a. b. divisa a. b. per [255] quatuor aequalia, una earum sit b. e. tunc a. e. tres continebit, et a. e. ad a. b. sonabit diatessaron.

In consonantiis igitur signatis restat tonos et semitonia reperire, per quae fit ascensus et descensus ad consonantias praedictas. A. b. chordae sit nona pars b. c. tunc a. c. ad a. b. per unicum tonum elevabitur. a. c. chordae sit adhuc nona pars c. d. erit a. d. ad a. b. ditonus manifestus, quocum a. c. ad a. d. semitonium minus canet: et ita ditonus cum semitonio, qui diatessaron appellatur, notus est primo. Tritonus cum semitonio iam divisus est, scilicet a. f. ad a. b. quod sonabit diapente. Praeterea chordae a. f. sit nona f. g. erit a. g. ad a. b. tonus cum diapente, aut ditonus cum diatessaron, et per consequens a. h. ad a. b. bis diatessaron. Igitur a. h. ad a. g. minus semitonium est inventum. Et ita ad a. b. sonat diapason, et divisa est per omnes tonos et semitonia: in cuius divisione sunt quinque toni et duo minora semitonia. Cum igitur semel diapason ad sui instrumenta divisa sit, eodem modo per reiterationem bis diapason dividere necesse est, videlicet in figura praecedenti. Continet autem instrumentum 19. chordas, scilicet bis diapason cum diapente, licet sit possibile ulterius augmentari.

Eadem Musica Theorica Ioannis de Muris Auctior.

Etsi bestialium voluptatum, per quas gustus et tactus obiecta suis irrefrenatis impetibus intellectum determinent, non immerito vituperentur excessus, iuxta illud Aristotelis primo Ethicorum: multi quidem igitur bestiales vitam pecudum eligentes, non propter hoc visus et auditus, qui purioris et amplioris ministerii commoditates intellectui subserviunt, ordinata et moderata damnantur oblectamenta, dicente Aristotele IV. ethicorum de homine temperato: quisque aut ad sanitatem, aut bonam habitudinem experientiam poscit moderate, et ut oportet, visu etiam in nonnullo super auditum laudato, eo quod maxime cognoscere non scit, et multas rerum differentias nobis ostendat. Nihilominus, experientia teste, voces et omnes soni humanae subtilitatis artificialiter compositae auditus adminiculo dulcissimas intellectui iocunditates addunt, et post seriosorum operum labores, quos non potest continue humana tolerare natura, honestis quiete beneficium tribuit intendenti. Quod et forsitan voluit poetica figura Ulysses, secundum recitationem Aristotelis octo politicorum, qui dixit, optimam esse deductionem, quando gaudentibus hominibus congregati super cuncta audiunt philosophiam.

[256] Quantam insuper efficaciam super humanos appetitus ad diversa morum genera transmutanda soni harmoniaci contineant, eleganter docuit Boetius in prologo suae musicae. Ad cuius inspectionem, cui curae fuerit, se convertat, ibidem etiam videre poterit, quanta debet esse cura viris politicis de bene moderata musica conservanda. Unde quia istis diebus libri antiquorum philosophorum nedum de musica, sed et de caeteris mathematicis partibus non leguntur, et ob hoc accidit, eos tamquam inintelligibiles aut nimis difficiles abhorreri: visum est mihi bonum, ut ex musica Boetii, quam secundum vires mihi a Deo datas per studium curamque favente Deo aliqualiter intellexi, tractatum brevem elicere, in quo conclusiones pulcriores et essentialiores ad ipsam artem musicae pertinentes cum sermonis claritate et evidentia sincere manifestare curabo: Omnem doctrinam et omnem disciplinam intelligendam ex praeexistente cognitione fieri. Ante cognitionem sensitivam non aliam inveniri. Experientia multiplici ut in termino quiescere. Experientiam circa res sensibiles artem facere manifestum.

Ioannis de Muris Musica Speculativa a Conrado Norico Artium liberalium academiae Lipsiensis Magistro ordinata atque correcta, Quae multis temporibus fuit obnubilata, summo labore et diligentia.

[Quoniam musica est de sono relato ad numeros, et contra, ideo necessarium est musico, duo, scilicet numerum et sonum, considerare. Antequam enim (aliquid) numeramus, oportet ipsum esse: ideo sonum prius generari quam numerari necesse est. Ad generationem autem soni tria requiruntur, scilicet percutiens, percussum et medium percutiendi. Primum frangens aerem celeriter, secundum corpus sonabile naturaliter, tertium aer fractus violenter. Ictus non fit sine motu, ideo neque sonus absque motu est. Est ergo sonus fractio aeris ex impulsu percutientis ad percussum. Nam impossibile est, cum ex his unum solum sit, fieri sonum.

Sonorum alius gravis, alius acutus: gravis est, qui ex tardioribus et rarioribus motibus generatur; acutus vero, qui ex velocioribus et spissioribus generatur, licet in utroque plures sint motus discreti, plures sonos facientes numero, ut patet in chordis numerose impulsis, tamen sine interruptione sensibili auditis, eoquod [257] unus sonus (continuus) propter velocitatem motuum annexorum vel gravis vel acutus percipitur; velut color aliquis rubens existens in superficie (summitatis) trochi moti videtur esse linea circularis, cum tamen non fuerit nisi punctum. Acutus vero sonus fit ex gravi per additionem motuum: ex acuto quoque gravis per subtractionem motuum. In acutis sonis plures sunt motus, in gravibus pauciores. Omnis autem paucitas ad pluralitatem sub quodam numero refertur. Ergo sonum gravem ad acutum comparando necessarium est referri, sicut numerus motuum unius ad numerum motuum alterius proportionative comparatur.

Cum ostensum sit, musicam constare ex sonis, qui proportionales sunt ad invicem quodammodo secundum numerum motuum in eis repertorum, non est inutile, proportiones generales numerorum percurrere. Omnis autem numerus ad alterum comparatus, aut est sibi aequalis, aut inaequalis: nam haec cuilibet competunt quantitati. Si aequalis, idem sunt in quantitate; quare ibi nulla erit variatio, ex sonantibus enim aequaliter nulla fit consonantia: est enim consonantia dissimilium inter se vocum in unum redacta concordia. Si autem inaequalis, aut maior aut minor. Dicitur autem alterum altero maius quinque modis, ut multiplex, superparticularis, superpartiens, multiplex superparticularis, multiplex superpartiens: appositaque hac dictione "sub" dicitur totidem modis minus.

Multiplex numerus est, quando maior in se habet minorem bis vel ter vel quater: secundum hoc species eius sunt dupla, tripla, quadrupla proportio in infinitum. Superparticularis numerus est, quando maior numerus continet totum minorem et aliquot eius partes, vel duas, vel tres, aut quatuor: cuius species sunt sesquialtera, sesquitertia, sesquiquarta in infinitum. Superpartiens numerus est, quando maior numerus continet totum minorem, et aliquas eius partes aliquotas, et hoc vel eius duas, quae similiter non faciunt partem aliquotam, vel eius tres et caetera; cuius species sunt superbipartiens, supertripartiens, vel superquadripartiens in infinitum.

Multiplex superparticularis est, quando maior numerus continet minorem bis vel ter et caetera et aliquas eius partes; cuius species sunt duplex sesquialtera, triplex sesquialtera proportio in infinitum. Multiplex superpartiens est numerus maior continens minorem plusquam semel, et alteram eius partem, aut tertiam partem et caetera; cuius species sunt duplex superbipartiens, duplex supertripartiens in infinitum, addendo quamlibet speciem multiplicis ad quamlibet speciem superpartientis. Cuius exempla sunt in subiecta formula.

[258] [GSIII:258; text: Multiplex, Superparticularis. Superpartiens. Multiplex superparticularis. Multiplex superpartiens. Tripla. Dupla. Sesquitertia. Sesquialtera. Supertripartiens. Superbipartiens. Dupla sesquialtera. Tripla sesquitertia. Dupla superbipartiens. Tripla supertripartiens. Fundamentum relationis. 36. 24. 16. 18. 21. 20. 30. 40. 32. 45. 12. 72. 48. 42. 60. 80. 64. 90. 108. 54. 63. 120. 96. 135. 144. 84. 160. 128. 180.] [MURMUS 02GF]

Theoremata.

Omnem doctrinam et omnem disciplinam ex praeexistenti cognitione fieri.

Ante cognitionem sensitivam non aliam inveniri.

Experientia multiplici ut in terminis adquiescere.

Experientiam circa res sensibiles artem facere manifestum.

Pythagoram nobis artem monstrasse sonorum.

Pythagoras excellentissimus subtilissima numeralium proportionum investigatione praecellens, nolens aurium iudicio fidem de consonantiis adhibere: tum quia non omnis auris propter complexionis naturalis, aetatis mutabilis dispositionisque varietatem aeque bene iudicat de auditis: tum quia et si auris bene disposita quantum ad ea, quae contingunt sonum, non fallatur, tamen de numerorum proportionibus discernere non est suum, sed rationis opus: nullis etiam deditus instrumentis, eoquod omnia in consonantia et inconsulta modicaeque fidei propter causas multiplices aestimabat, ut propter humorem aeris et spiritus irregularitatem: neque tamen penitus privare volens auditum consonantiarum iudicio, eoquod si non fuisset auditus, nulla omnino de [259] vocibus ratio constitisset; primoque viam quamdam mediam tenens, tamquam de consonantiis vel harmoniarum officio famulus sit auditus, iudex autem intellectus sicut censuit auditus partite et diminute id, de quo scientiam universalem et completam ordinat intellectus per primam auditus cognitionem in nullam aliam ulterius resolvendo.

Ipse inquam Pythagoras studiose perquirens, quomodo artem de melodiis rationabiliter inveniret, quadam vice iuxta fabrorum officinas praeteriens, hanc inquisitionem mentaliter intendens, quosdam malleos super incudem ferientes mirabilem producentes harmoniam deprehendit. Et statim conversus ad malleos, dubitans ne ex viribus hominum proveniret melodia, iussit inter se permixtim singulos malleos permutari: quibus alternatis et ad invicem super incudem percussis rediit consimilis consonantia praecedenti. Ex quo conclusit, non in viribus hominum, qui malleis utebantur, sed in conditionibus malleorum, huiusmodi melodiam immediatius contineri.

Hoc autem ei innotuit tam numeri, tam mensurae quam ponderis ratione, Numerus quidem malleorum erat quinque, sed quintus eiectus fuit, eoquod erat inutilis, quia comparatus cuilibet dissonabat. Dedit tamen ecce res grandis occasionem per si dissonantiam consonantias iudicandi. Nam appositis iuxta se contrariis maiora et minora, peiora et meliora videntur hominibus. Consideratis autem ponderibus reliquorum, in dupla, sesquialtera, sesquitertia, sesquiquarta proportione reperta sunt. Quibus proportionibus iu instrumentis nervorum, ventorum, foraminum, flaminum, aquarum, vasorum, in nolis, acetabulis, tympanis, tintinnabulis, antiquam instantiam percipiens repertus est, et tunc animo sedatus, mente gavisus in hac requievit per tertiam. Ex quibus experimento deductis diversis numeris in variis temporibus totiens, quod se in natura rei quoque experientiam latuisse, experientiam claruisse, intellectis ad memoriam concurrentibus, unum trahit universale, quod initium (fuit) artis et scientiae musicalis per quartam. Hoc est primae proportionis propositum declaratum.

Propter symphonias subiungere vim numerorum.

Quoniam ergo Pythagoras consonantias sonorum per proportiones ponderum expertus est, haec proportio in numeris ostendatur, quibus proportio primo debetur. Sint ergo 12. 9. 8. 6. pondera malleorum, [in quibus prior, qui ponderabat ad primum 9. proportionem sesquitertiam sonabat, et qui 8. ad 6. similiter. Sed qui 12. ad 8. sesquialteram proportionem appendebat, qui etiam 9. ad 6. similiter refertur. Qui vero 8. ad [260] 9. sesquioctavam proportionem tenebat. Haec sunt principia huius artis.]

Iam tres harmonias perfectas esse sonantes.

Harmonias non esse pauciores tribus, docuit experientia. Auctor naturae consonantias fecit in rebus, et non homo; praeerant enim consonantiae, antequam hominibus apparerent: cui autem se primo evolvere voluerunt, Pythagoras fuit primus. Quod autem non sint pauciores tribus, experientia docuit. Sed an plures sint, quam natura voluit revelare, non claret, Deus novit: perfectiores autem his tribus usque ad nos nemo videtur expertus fuisse; et sunt istae. Diapason, cuius est proportio dupla, ut 12. ad 6. Diapente, cuius est proportio sesquialtera, ut 12. ad 8. et 9. ad 6. Diatessaron, cuius est proportio sesquitertia, ut 12. ad 9. et 8. ad 6. Tonus vero qui est in proportione sesquioctava, ut 9. ad 8. non est consonantia, sed pars eius. Haec omnia confirmari possunt per rationem consonantiae, quam assignat Boetius: Consonantia est dissimilium inter se vocum redacta concordia; vel sic: Consonantia est acuti soni gravisque mixtura suaviter uniformiterque auribus accedens. Hae autem definitiones tribus praedictis consonantiis, et non tono competunt, in quo sit auditus cuiuslibet sibi iudex. Igitur tres praedictae harmoniae dicuntur perfectae consonantiae, et non tonus. Subiecta quidem figura declarat, quae dicta sunt ante.

[Ad investigandum tamen mentes aliquorum, qui multum in interpretatione gaudent dictionum, potest in eorum faciem proiici, quod diapason dicitur a dya; quod est duo, et pason, quod est sonus, quasi habens duplum sonum; vel a dia quod est de, et pan, quod est totum, quasi continens totum cantum. Omnis enim cantus ipsum amplectitur; quidquid est ulterius, reiteratio potest dici. Similiter diapente dicitur concordantia de quinque vocibus, diatessaron vero de quatuor, ut in sequentibus clarius apparebit. Tonus autem dicitur a tonando, id est, sonando, nisi enim sonaret, nullatenus audiretur; hoc patet in figura sequenti]

[GSIII:260; text: Figura circulorum. Diapason proportio dupla, Diapente sesquialtera, Diatessaron sesquitertia, Tonus. Diatessaron sesquitertia. 12. 9. 8. 6.] [MURMUS 02GF]

[261] Hasque melodias numeros dare clarificantes.

Hac figura consonantiarum in musica perfectarum omnia principia et omnes conclusiones musicae quodammodo continentur in virtute [quoniam si esset exterius enodata tota musica, exterius nota foret. Sed haec musica quasi unum chaos, in quo latitant plures formae, potest rationabiliter appellari, a qua secundum plus et minus conclusiones nobilissimas considerantis segregat intellectus, unus enim ab ea haurire poterit, quod alter numquam videt. Quomodo autem de consonantiis sunt in fine circulis figuratae, debet concedi pro principiis huius artis; nam experiuntur ex natura rei eas hominibus revelantis. Oportet enim concedere eum, qui addiscit; quod si non concedat, ad experientiam recurrat, et cantus erit omni ambiguitate remota. His itaque sic se habentibus iam tempus est, huius figurae mysteria et inclusa mirabilia exhibere sigillatim]. Volumus itaque, quod praesens figura claudit, exhibere sigillatim favente domino Deo Iesu Christo.

Theorema I.

Quae diapente sonat, diapason habet superare.

Omnis proportio superparticularis minor est proportione multiplici, quoniam multiplex numerus continet numerum minorem aliquotiens integre, videlicet bis aut ter, vel quater, vel pluries. Sed superparticularis numerus numquam continet bis minorem numerum, sed semel quoad aliquam eius partem, ut mediam, tertiam, quartam, et sic de caeteris semper augendo partes et minuendo totum.

Modo consonantia diapente notatur in superparticulari proportione, diapason in multiplici per figuram circulorum. Ergo diapente superatur a diapason. Quomodo autem species multiplices augentur numerorum ordine naturali, species autem superparticularis ordine contrario numerantur, ac si modum et naturam quantitatis observarent continuae et discretae, prout in figura sequenti.

[GSIII:261; text: I. Multiplices. Superparticulares. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14] [MURMUS 03GF]

[In hac linea sunt eaedem figurae, quae in sequente, sed alia ratione dicitur multiplicium, quia secunda ad primam dupla est, ut 2. ad unum, et tertia tripla ad idem, et quarta quadrupla, et sic est de omnibus sequentibus.

Sed in hac secunda incipitur a duo ad 3. sequentia sunt in superparticulari proportione, quia continet 2. et eius medium, et sic omnes sequentes non referuntur ad primum numerum, ut in praecedenti, sed quilibet comparatur ad immediate ipsum praecedentem. Unde suffecisset unus ordo.]

[262] In huius figurae summitate unitas tamquam principium augmentationis et diminutionis usque in inferiore numero situatur. Nam multiplices secundum additionem naturalem sine termino crescunt, superparticulares vero naturaliter minuuntur.

Et si primam speciem multiplicis, scilicet duplam, quae per 2. numeratur, primae speciei superparticularis, scilicet sesquialterae, quae similiter per 2. figuratur, addideris, secundam speciem multiplicis seu triplam generabis; sique secundae secundam, tertiam generabis; et sic semper procedendo. Et haec est mirabilis ordinatio vel generatio numerorum. Continet insuper figura supraposita excessum cuiuslibet speciei multiplicis super quamlibet superparticularem, et differentias utrarumque.

II. Ac in plus diapente, quam diatessara stare.

Quanto denominatio alicuius partis maior est, tanto pars est minor, et e contra: ut una tertia denominatur a tribus, una secunda a duobus; et maior est denominatio trium, quam duorum: quare una secunda est potior pars quam tertia. Nunc autem tam diatessaron quam diapente sunt in speciebus superparticularis, scilicet in sesquialtera et sesquitertia per figuram circulorum, et denominatio proportionis sesquitertiae, in qua est diatessaron, maior est denominatione proportionis sesquialterae, in qua est diapente; maior est ergo diapente quam diatessaron; quod quaerebatur.

III. Et Diatessara tunc veluti minimam resonare.

Cum non sint nobis notae plures hisce tribus consonantiis, quae sunt diapente, quae minor est diapason per primam, et maior diatessaron quam praecedentes; ergo diatessaron minor est inter omnes. Nam quidquid est minus minore, et minus est maiore: et quidquid maius maiore, similiter et minore. Ex quo concludimus, diapason esse maiorem, diatessaron minorem.

IV. Et diapason habet diapente creare.

Omnis proportio dupla ex sesquialtera et sesquitertia procreatur; nam si unius numeri, qui sesquialter est ad alterum, sumatur tertia pars, et eidem addatur, ut 3. ad 9. exibit numerus ad ipsum duplus; ut est 9. qui est sesquialter ad 6. addatur sua tertia pars, scilicet tria, provenient 12. qui duplus est ad 6. Sed nunc est ita, quod diapente est in sesquialtera, diatessaron vero in sesquitertia: ergo iunctae faciunt diapason, quae in dupla proportione formatur.

V. Et diatessaron a diapente tono superare.

Diatessaron fit in proportione sesquitertia, diapente vero in proportione sesquialtera. Sed sesquitertia demta a sesquialtera, quoniam potest, non econtra, eo quod sesquialtera maior est, ut una secunda una tertia, remanet proportio sesquioctava. Probatio: inter 8. et 12. est proportio sesquialtera, et inter [263] 9. et 12. sesquitertia, qua ablata a sesquialtera remanet proportio inter 8. et 9. seu sesquioctava, quae facit tonum per figuram circulorum. Ergo propositum, et ut clarius appareat de additione et subtractione harum proportionum ad invicem tam in genere multiplici quam in superparticulari, in quibus solum istae consonantiae formantur, unam satis notabilem de huiusmodi speciebus subiungo figuram:

[GSIII:263; text: Octupla. Septupla. Sextupla. Quintupla. Quadrupla. Tripla. Dupla. Sesquialtera. Sesquitertia. Sesquiquarta. Sesquiquinta. Sesquisexta. Sesquiseptima. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 10. 12. 14. 16.] [MURMUS 03GF]

In hac figura patet evidenter, diatessaron, id est, proportionem sesquitertiam, superari tono, id est, proportione sesquioctava, a diapente, id est, sesquialtera, ut patet in numeris 12. 16. 18. vel 6. 8. 9.

VI. Inque pares partes non posse tonum mediari.

Tonus est in proportione sesquioctava per figuram circulorum: quare primo reperitur tonus in his numeris 8. et 9. Sed cum inter eos non sit medius numerus integer, ergo augeantur. Primum autem augmentum cuiuslibet (numeri) a binario sumit ortum, ut patet in figura prima. Exibunt ergo per multiplices 16. et 18. inter quos similiter est tonus. Nam ratio arithmetica generalis est, quodsi duo numeri in aliqua proportione se habentes per numerum eumdem augeantur, procreati ex eis in eadem proportione manebunt. Cum autem inter 16. et 18. qui tonum faciunt, cadat numerus integer, videlicet 17. videamus, utrum iste extremus faciat vere semitonium. Comparatus quidem 17. ad 16. proportionem habet sesquisextidecimam; comparatus vero ad 18. non habet eamdem proportionem, sed sesquidecimam septimam. Sed si esset vere semitonium, [264] reddere deberet proportionem eamdem. Item quod in proportione sesquidecima sexta, nec in sesquidecima septima non possit esse vere semitonium, sic ostendo. Si per te 17. ad 16. facit toni medium, seu in proportione sesquidecimasexta, numerus, qui continet 17. in eadem proportione similiter medium toni reddet, et iste est 18. cum una 16. Si igitur a 16. in 17. sit tantum medietas una, et a 17. in 18. similiter cum una 16. ergo tonus erit, quod est falsum et contra figuram circulorum; nam solum 18. ad 16. facit tonum; fit ergo proportio sesquidecimasexta semitonio vero maior.

Sed quod proportio sesquidecimaseptima non sit vera toni medietas, sic apparet. Si per 17. ad 18. reddat vere semitonium, inter quos est proportio sesquidecimaseptima, numerus continens eadem proportione 18 verum semitonium dabit: et ille est 19. cum una 17. ergo de primo ad tertium, seu de 17. ad 19. cum una decimaseptima erit tonus, quod est impossibile sicut prius. Nam 17. comparatus ad 19. cum una octava facit tonum. Cum ergo maior sit una octava, quam una decimaseptima, sequitur, quod proportio sesquidecimaseptima uno tono medio minor sit: non ergo est toni medietas nec 16. nec 17. sed inter has.

Amplius multa habitudo superparticularis potest dividi per modum proportionaliter, sicut in proportione geometrica, quod patet in singulis inducendo. Nam inter 12. et 18. est proportio superparticularis sesquialtera, quae prima est omnium illius generis. Sed inter hos non est aliquod medium; nam si sumatur 10. sesquiquartus est ad 8. sed ad 10. non est sesquiquartus 12. imo sesquiquintus, ut vides in figura quinta: quare 10. non est medium inter ipsos.

Et patet aliter: nam omne medium proportionale est radix extremorum in se ductorum; sed modo nulla habitudo superparticularis habet radicem; ergo nulla habitudo superparticularis habet medium. Tonus est habitudo superparticularis sesquioctavae. Item qui quaerit tonum per aequalia mediari, quaerit diametrum costae mensurari. Quod hoc sit simile, declaratur; nam ut diameter est maior costa, et minor duabus, nulla tamen proportione mensuratur, quia non posset excessum mensurare. Sic proportio toni maior est proportione sesquidecimasexta, et minor duabus; et si minor est duabus sesquidecimisseptimis, una octava minor est duabus sesquidecimisseptimis; nulla proportione tamen mensurante eius excessum, quod patet per numeros inducendo. In figura sequenti omnia declarantur:

[265] [GSIII:265; text: A primo ad ultimum tonus cum 1/16. Proportio sesquidecima. Proportio sesquidecimaseptima cum 1/16. 16. 17. 18 1/16. 256. 272. 289. 2048. 2176. 3212. A primo ad ultimum tonus cum 1/17. 18. 19 1/17. 306. 324. 2312. 2248. 2592. Proportio sesquidecimaseptima. Proportio sesquidecimaoctava cum 1/17.] [MURMUS 04GF]

VII. Est semis et duplex tonus in diatessara vere.

In omni proportione sesquitertia duae sesquioctavae proportiones integrae continentur. Sed et tertia, quae non est perfecta, ut ostendetur modo, diatessaron est in proportione sesquitertia, per figuram circulorum: ergo in ea, seu in diatessaron, sunt duae proportiones sesquioctavae perfectae, et tertia non completa: igitur et duo toni cum uno imperfecto, qui a musicis semitonium unanimiter appellatur, non est a semis, quod est dimidium, sed a semis, quod est imperfectum. Quod autem in proportione sesquitertia, quam sibi vendicat diatessaron, sint duae sesquioctavae proportiones completae, et tertia incompleta, sic ostendo. Sint in proportione sesquitertia isti duo numeri ut extrema 192. 256. dico, quod inter eos sint duae sesquioctavae proportiones cum (una) imperfecta; nam si super 192. sua pars octava addatur, exibit 216. complete, et tertia pars incompleta faciens primam proportionem sesquioctavam. Cui iterum si pars octava illius iungatur, exibit 243. secunda proportio sesquioctava. Sed si super 243. eius octava pars tertio copularetur, non exibit 256. sed plus, scilicet 273. et una octava. Quare relinquitur pro iam noto,quod inter 243. et 256. non fit proportio integra sesquioctava. Quare concludo ex his, in diatessaron duos tonos integros et unum imperfectum, scilicet semitonium, contineri. Isti praedicti numeri sunt primi numeri, in quibus haec possint ostendi. Et est ars inveniendi talis: Quot tonos continuos aut quot proportiones continuas sesquioctavas vis habere, [266] tot octavas distantes a primo octuplo, qui est 8. (ab eo) loco spatii, quo distant ab unitate continuae proportiones sesquioctavae, quas requiris; ut si duos continuos requiris, a secundo octuplo, qui est 64. si tres, a tertio incipias. Sint igitur duo toni continui, primus 64, 8, 72, 9. Si ergo super 64. sua tertia pars addatur, exibit diatessaron; sed tertiam non habet: ergo si multiplicetur per 3. proveniunt 192. tertiam partem habens; post quod sunt similiter duo toni continui tales sicut prius. Haec patent in figura sequenti.

[GSIII:266; text: Diatessaron. Tonus cum semitonio, Ditonus, Tonus. Semitonium. 192. 216. 243. 256.] [MURMUS 04GF]

VIII. Sed diapente sonos tres et semis aio tenere.

Iam notum est per praecedentem, diatessaron ex duobus tonis et semis pariter integrari. Sed diapente eam continet atque tonum per quintam. Ergo diapente consonantia ex tribus tonis et semitonio completa est, quod est propositum.

IX. Bina semitonia cum quinque tonis diapason.

Diatessaron constat ex duobus tonis et semitonio, per septimam; diapente vero ex tribus tonis cum uno similiter semitonio, per praecedentem. Sed diapason ex diapente et diatessaron componitur, per quartam; igitur diapason ex quinque tonis et duobus semitoniis integratur. Nec ex hoc infertur: ergo ex sex tonis per aequipollentiam; in quo tamen plures antiqui et moderni falluntur, quoniam tonus non potest dividi in duo semitonia aequalia, ut visum est per sextam.

X. Quare toni tales sunt partes par in aequales.

Tonum esse aliquem imperfectum, scilicet semitonium, visum est per septimam: ergo semitonium est aliqua pars toni. Aut ergo est vera pars media, aut non vera pars per contradictionem? Sed non est vera pars media per sextam; ergo non est media. Aut ergo maior pars toni aut minor, et tunc una sola pars altera tonum integralem totum non constituat integraliter. Ergo in tono sunt duae partes, quarum altera maior, altera minor necessario concluditur: ergo tonus cum dividitur in duo semitonia, secundum maius semitonium et minus, divisum est; quod est propositum.

[267] XI. Ergo semitonium minus in numeris reperire.

A diatessaron demtis tonis duobus, quod remanet, semitonium notatur, per septimam. Sed quod illud sit minor pars toni, probatur, ut visum fuit in septima. Primi numeri, inter quos apparet semitonium in diatessaron (quare notum erit, ipsam minorem esse parte vera media toni) sunt 243. 256. quorum differentia est 13. Si ergo 13. faciens semitonium duplicetur, non attingit tonum quam minorem vera media parte toni. Sed sic est, quod eius duplum, scilicet 13. est 26. qui additus super 243. facit 269. qui ad 243. comparatus tonum non implet. Quando pars addita octava parte 243. sibi ipsi existit numerus 273. et tres octavae, qui maior est primo faciens plene tonum: quare ex his minor pars semitonii reperta est. Amplius et per sextam visum est, quod semitonium est inter decimam sextam et decimam septimam partem; sic quod est minor pars decima sexta, maior decima septima pars. Sed 13. comparatus ad 243. minor pars eius est quam 16. et quam 17. quoniam 13. ductum in se sexties decies aut septies decies, non reddit 243. imo numerus etiam ductus in se octies decies, minus est 243. Quidquid autem est minus minore; est minus maiore; cum igitur 13. ad 243. comparatus sit minor pars eius, quam 16. et ipsa 17a. non facit tonum medium, sed minus; ergo multo minus 13. ad 243. comparatus facit minus medietate toni; quare semitonium minus inventum est.

XII. Inde semitonium maius demonstro venire.

Ostensum est per immediatam et per septimam, quod primi numeri sunt 243. et 256. inter quos semitonium per integrum fit notum, quare numquam in musica minutiae receptae sunt. Sicut enim in geometrica linea quantitatibus uti contingit, sic in musica numeris quantislibet licet uti. Modo si super 243. sui octava pars adiungatur, numerus tonum reddens exibit cuius differentia ad 256. pars semitonii maior erit, cum iam sit ostensum a 256. in 243. semitonii partem fore minorem. Sed quoniam 243. octavam non habet, igitur per regulas arithmeticae per octo extendatur, et numerus exibit partem habens octavam, et erit 1944. Augeatur 256. per octo, et 2048. producitur, inter quos, scilicet 1944. et 2048. erit semitonium minus sicut prius. Tunc ergo super 1944. sui octava pars iungatur, veniet 2187. faciens verum tonum, cuius differentia ad 1944. [268] est 139. quae maior semitonii pars est: nam alia pars est differentia inter 2048. et 1944. Ergo maius semitonium amplius non est ignotum. Quae autem nunc dicta sunt praesens figura declarat.

[GSIII:268,1; text: Tonus. Semitonium minus. Semitonium maius. 1944. 2048. 2187. Differentia 104. Differentia 139. Differentiarum differentia. 35. Octava. 243.] [MURMUS 05GF]

XIII. Sex ostendo tonos diapason non dare plenos.

Sunt sex toni continue proportionabiliter inventi secundum regulam datam in septima, incipiendo a sexto octuplo, sicut in subscripta figura videbitur: super quam si octava pars sui addatur, exibit secundus octuplus. Cui iterum sua pars octava iungatur, et producetur tertius octuplus: et ita de aliis usque ad sextum, et erunt sex toni continui successive. Modo si super primum addatur sui medietas, exibit numerus faciens diapason, per figuram circulorum, et est iste, scilicet 524288. qui minor est eo numero, qui sextum faciebat tonum, scilicet 531441. quorum differentia est ista 7153. in quo sex toni maiores sunt diapason; quod quaerebatur. Et ex hoc infertur, quod cum diapason constet ex quinque tonis et duobus semitoniis per nonam, illa duo semitonia fore minora; quoniam si essent maiora, transirent diapason sex tonos; si unum minus, alterum maius, sex complete redderet tonos, cuius contrarium nunc visum; ergo sunt minora. Ac ulterius cum diapason diapente et diatessaron amplectatur, quod illa semitonia, quae sunt in his duobus, de minoribus esse probantur:

[GSIII:268,2; text: Diapason, Differentia. 32768. 36864. 41472. 46656. 52488. 59049. 7153. Tonus. 262144. 294912. 331776. 373248. 419904. 472392. 531441. 524288.] [MURMUS 05GF]

XIV. Non ex quinque tonis duplex diatessaron esse.

Per septimam probatum est, quod diatessaron includit duos tonos cum semitonio; quodque illud sit minus semitonium, et sic non reddat verum tonum, si duplicetur, quod est propositum, sic probo. Diapason ex nona continet in se diapente [269] et diatessaron: sed diapente non continet aliud semitonium, quam diatessaron, quoniam non differt ab eo nisi tono, per quintam: modo diapason amplectitur quinque tonos et duo semitonia, per nonam, quae sunt minora, quoniam diapason non complet sex tonos, per immediatam (scilicet praecedentem:) ergo illa duo semitonia, quae sunt in diatessaron et diapente, sunt minora; et illud quod est in diapente, est illud quod est in diatessaron, ut dictum est in quinta: ergo illud semitonium, quod est in diatessaron, minus est semitonium, et minor pars toni merito nuncupatur: ergo semitonium duplicatum tonum non reddit integrum. Sed aliter non potest poni bis, id est, duo diatessaron, quinque tonos habere; ergo non habet quinque tonos, sed quatuor tonos cum duobus semitoniis minoribus. Per numeros, qui neminem fallunt, hoc idem declaratur. Sint quinque toni continui, sicut dicitur in praecedenti, tunc super numerum, qui est fundamentum relationis, sui tertia pars addatur, exibit semel diatessaron, per figuram circulorum; super quem iterum productum sui tertia pars addatur ad eum, similiter alia diatessaron producetur: quare de primo ad ultimum erit bis diatessaron. Comparetur ergo iste ultimus numerus faciens primum alium quintum bis diatessaron ad ultimum numerum facientem sextum tonum, et erit minor numerus, qui bis diatessaron complet, quam numerus faciens quintum tonum. Ergo bis diatessaron non contiuet quinque tonos: propter hoc sequentem vide figuram.

[GSIII:269; text: Differentia. 4096. 4608. 5184. 5832. 6561. 7381 1/8. Tonus. 32768. 36864. 41472. 46656. 52488. 59049. 66430 1/8. 43690 2/3. 58254 2/9. 10922 2/3. 14563 5/9. 794 7/9. 8197 8/9. A primo ad ultimum bis Diatessaron.] [MURMUS 05GF]

[270] Amplius hoc potest aliter declarari intendendo diatessaron et remittendo. Sumtis enim quinque tonis continuis super primum numerum iungatur sui tertia pars, diatessaron est intensa: et si ab ultimo numerorum quintum tonum perficiente sui quarta pars rescindatur, diatessaron exibit remissa. Si ergo duplex diatessaron sit aequalis quinque tonis, ex his quinque tonis diatessaron intensa et remissa concurrent in eodem numero et aequali, nulla differentia mediante. Sed non erit ita, imo manifesta patebit differentia, ut videri potest in hac figura.

[GSIII:270; text: Tonus. 32768. 36864. 41472. 46656. 52488. 59049. 43690 2/3. 596 1/12. 44286 3/4. Diatessaron intensa. Diatessaron remissa.] [MURMUS 06GF]

XV. Est ex praemissis comma reperire necesse.

Comma a musicis dicitur illud, quo tonus superat duo semitonia sui. Illud autem taliter invenitur: a sex tonis continuis secundum modum decimae tertiae diapason subtrahatur, reliquum est comma. Nam tanta est differentia inter tonos quinque et duo semitonia minora, quae sunt in diapason, per immediatas, et inter sex tonos: quod provenit ex eo, quod ista duo semitonia tonum perficere nequierant ubique: ut hi duo numeri 262144. et 541441. sex tonos continuos amplectuntur; sed hi duo 262144. et 524288. reddunt diapason, quod patet, si primus numerus duplicetur. Modo differentia inter numerum sex tonorum, et numerum diapason adimplentem est differentia 7153. et haec differentia est duorum minorum semitoniorum ad tonum. Nam si fuissent integra semitonia, differentia nulla fuisset; et haec differentia inter duo semitonia minora et tonum perfectum comma facit evidenter.

Ex praemissis demonstrationibus inferri possunt corollaria, quae sequuntur, quaeque manifesta sunt ex assertis, ne de his sit necessarium nova theoremata formare. Primum est: duo minora semitonia tonum integrum non complere; duo maiora semitonia iuncta tonum integrum superare; maius semitonium super minus commate abundare; maius semitonium et minus iuncta tonum perficere; duo semitonia minora cum commate iuncta tonum perficere: verum semitonium in nulla proportione manere: verum semitonium in natura non consistere; comma in numero nullo esse, sed maius 75. minus vero 74. Hoc potest inveniri per dicta immediate et in decima tertia. Semitonium minus est maius quam 20. ad 19. minus quam 19 1/2. ad 18 1/2. semitonium minus maius est tribus commatibus, minus vero quatuor. Semitonium maius quatuor commatibus, [271] minus vero quinque. Tonum maiorem esse octo commatibus, minorem vero novem. Sequuntur ad supradicta.

XVI. Componit quadrupla proportio bis diapason.

Consonantia diapason fit ex proportione dupla, per figuram circulorum; ergo bis diapason in bis dupla proportione fiet; sed haec est quadrupla: quare patet propositum. Patet idem in numeris: 1. et 2. causant diapason, quae duplicata faciunt 4. facientes bis diapason. Sed quatuor sunt quadruplum unius; quare bis diapason fit in quadrupla proportione. Quis enim dubitat, si b. sit duplum ad a. et c. duplum ad b. quin c. sit quadruplum ad a? Et sicut formatur bis diapason, ita ter diapason et quater, quantum est ex natura proportionum, quae sibi terminum nullum ponunt: sed auditus ad iudicandum de sonis intensis et remissis terminos sibi constituit, extra quos terminos nihil audiret, sicut in aliis sensibus contingit suo modo, ut manifeste patet intuenti:

[GSIII:271; text: De primo ad ultimum bis diapason, quae quadrupla proportio. Diapason. Dupla. 1. 2. 4.] [MURMUS 06GF]

XVII. Sed manet in tripla diapason cum diapente.

In quibus proportionibus consonantiae simplices ponantur iam multoties est ostensum. Nam diapason in dupla, diapente in sesquialtera formatur proportione; diatessaron in sesquitertia conformatur. Dupla et sesquialtera iunctae formant triplam proportionem, per quintam: ut patet in numeris 1. et 2. duplam reddunt proportionem, scilicet diapason; 2. et 3. sesquialteram, scilicet diapente; sed 3. ad 1. triplam: quare diapason cum diapente iuncta triplam facit proportionem. Ex hoc leviter invenitur bis diapason cum diapente; nam breviter omnis consonantia super diapason non est nisi repetitio eorum, quae infra diapason contenta sunt; et formantur ibi toni cum semitoniis similiter sicuti prius, ut videbitur, cum omnes consonantias tam simplices quam compositas, ac earum partes et partium partes in monochordo posterius ordinabo, Deo donante.

XVIII. Nulla fit harmonia diatessaron et diapason.

Pythagorici noluerunt diapason et diatessaron sonare bonam harmoniam, eo quod nec dulciter nec suaviter veniret ad auditum. Causam inquirentes invenerunt, ipsam esse extra genus multiplicis et superparticularis: cum tamen omnis perfecta consonantia in his generibus [272] inventa sit, ut per figuram circulorum patet. Quod autem ipsa sit extra genus multiplicis et superparticularis, patet ex terminis. Nam proportione dupla, in qua diapason consistit, iuncta cum proportione sesquitertia, quae diatessaron format, producitur proportio superpartiens, scilicet dupla superbipartiens, ut patet in figura numerorum quinta, verbi gratia 3. et 6. dant diapason, 6. et 8. diatessaron; iungantur extrema 3. et 8. in quibus est diapason et diatessaron, exit proportio dupla superbipartiens, uno solum tono distans a consonantia perfecta, scilicet a diapason cum diapente.

[GSIII:272; text: Diapason et diatessaron proportio dupla superbipartiens. Diapason. Diatessaron. Proportio dupla. Sesquitertia. 3. 6. 8.] [MURMUS 06GF]

In hoc autem tamquam inconvenienti quieverunt Pythagorici. Ex quo videtur fuisse intentio eorum, quod diatessaron intensa, super quam intendatur diapente, non sit consonantia, sicut cum diapente est intensa similiter diatessaron intendatur, licet utrobique sit diapason in extremis.

Ptolomaeus autem non assentit, sed eos reprehendit, asserens diapason cum diatessaron consonantiam esse bonam, dicens, quod secundum eos et secundum veritatem omnis perfecta consonantia simplex infra diapason concluditur, sicque quidquid est supra diapason, est reiteratio repetitioque eorum, quae in diapason continentur, imo quasi unus numerus sonans vere, licet sit in duobus: ergo cum diatessaron possit intendi infra diapason, igitur et supra, nec est inconveniens, quod fiat in genere superparticulari secundum Ptolomaeum, in prima eius specie, sicut in dupla superbipartiente, ut in numeris prius dictis. Nec Boetius in sua musica, nec alii musici, quos viderim, hanc quaestionem determinant, scio tamen, quod est similis illi quaestioni, utrum diatessaron sub diapente, id est ante diapente sit consonantia, quia non est dubium, quin supra diapente optima sit et dulcis. Ego autem dico, si conceditur diapente priorem esse diatessaron, sicut proportio sesquialtera ante sesquitertiam; concessum erit, diatessaron sub diapente, id est, ante diapente non consonantiam esse, quare neque sub vel supra diapason, cum ibi similiter diatessaron sub diapente ponatur. Item numerus consonantiarum, ex quo fiunt, cum modo numerorum et proportionum est, magis fit per intensionem, quam remissionem: quare magis consonat diatessaron post diapente, quam ante.

[273] Item prior est comparatio diapason ad diapente, quam ad diatessaron, ut prius composita 12. ad 8. quam ad 9. quoniam 8. est ante 9. Quare diatessaron posterius diapente venit; unde si non esset diapente, non esset diatessaron. Item si obiicitur, quare dictum est in quinta, diapente sequi diatessaron in uno tono? verum est, in quantum est diatessaron sonantia, non in quantum consonantia. Item tonus praecedit, et tamen non est consonantia, sed pars eius; sic dico, diatessaron ante diapente non esse consonantiam, ut Pythagorici voluerunt, sed partem eius; post autem diapente consonantia debet dici, et sicut diapason non ex se est, sed ex duabus consonantiis ortum, diatessaron scilicet et diapente, quibus duobus positis impossibile est eam non poni: imo forte non nisi secundum quid differt ab ambabus propter praedicta.

[GSIII:273; text: Bis Diapason. Diapason. Diapason cum Diapente. Diapente. Dapason cum diatessaron. Tonus. Diatessaron. 3. 6. 8. 9. 12.] [MURMUS 07GF]

In hac figura sunt consonantiae simplices et compositae, appositis apponendis dum apponuntur, et abstractis abstrahendis; quod patet titulos intuenti. In hoc autem finita sit prima pars huius operis, quae de consonantiarum speculatione animam considerantis informat et disponit faciliter ad maiora, ut ego ex solemnis doctoris Boetii doctrina potui congregare, divina gratia largiente.

Explicit prima pars musicae.

Incipit secunda pars, in qua agitur de divisione monochordi.

Ad secundam vero partem, quae de divisione monochordi, nunc accedendum, in quo omnes consonantiae, et earum partes et partes partium denominantur; ac inde per consequens de compositione variorum instrumentorum ac eorum cognitione factorum, vel ignotorum, inventioneque novorum maximam praestat fidem.

[274] Primas harmonias in plano scribere vere.

Harmoniae primae et perfectae et simplices dicuntur diatessaron, diapente et diapason. Modo restat eas super datam lineam et super datum spatium figurare. Sit a. b. data linea tamquam proportionis fundamentum, quae sic secta per medium in puncto c. diapason dulcissime resonabit; nam a. b. dupla est ad a.c. Scindatur iterum a. b. in tres partes, quae sint a. d; | d. e; | e. b; | a. e. vero super a. b. dulcem diapente sonabit, quoniam a. b. ad d. b. (et c. b. ad e. b.) sesquialteram faciet proportionem. Sique a. b. in quatuor partes dividatur, in punctis a. f; | f. c; | c. g; | g. b; | a. g. comparatum ad a. b. diatessaron adimplebit, idemque faciet b. f. ad b. a. sive e. g. ad c. a. tuncque inventus e. g. tonus.

Sed quoniam eadem chorda nunc ad sui partes relata est, fiant plures secundum divisionem dictam, et erunt quatuor chordae sic dispositae, sicut sunt hic, et debent percuti, ut sonent nunc duae, nunc tres, nunc quatuor.

Si tu velis, ut aures habeant consonantias iudicare, quas prius ignorabas, et informatione intellectus et sensus, mirabiles tunc sonorum consonantias apprehendes, et instrumentum Mercurii tetrachordum. Hoc idem instrumentum primum fuit antiquitus hominibus notum, et fit instrumentum incurvum, et duravit usque ad tempus Orphei, tetrachordum nominatum.

De situatione chordarum secundum prius et posterius non est ad praesens, nam prius et posterius non sunt differentiae consonantiarum. Debitus situs numerorum videbitur in monochordo, et chordarum pluralitas, quomodo est.

[GSIII:274; text: Instrumentum Mercurii tetrachordum. Diapason. Diapente. Diatessaron, Tonus, a. f. d. c. e. g. b.] [MURMUS 07GF]

[275] In gravitate tonum vel acuta parte docere.

Primo volo tonum formare in parte acuta. Sit sonus b. Ab hoc remitto alium tonum, qui sit diapente in c. a quo intendo diatessaron in d. Cum igitur inter diapente et diatessaron sit differentia, tonus repertus est in acuta parte b. d. ac in parte gravi sit super b. diatessaron, intendo ad f. a quo diapente remitto ad e. erit e. b. tonus utrobique in figura. Consonantiam intendere est de sono gravi acutiorem facere, et remittere est de acuto facere graviorem; modo utrobique potest inveniri tonus, ut est dictum, et patet in quinta. Breviter, si diapente et diatessaron seorsum intendantur, ut 68. 69. inventus est tonus in acuta parte. Sique ambo ab eodem termino remittantur, inventus est in gravi, ut 128. 129. Et hoc est intelligendum quantum ad quantitatem discontinuam, non continuam. Et sic iste modus contrarius est praecedenti; sed in idem redit: nam cum chorda plus habet de quantitate continua, gravior est, cum vero minus, acutior; cum autem plus habet de quantitate discreta, id est, plures motus, acutior est; cum pauciores, gravior; et sic eadem manet proportio, quocumque modo dicatur.

[GSIII:275; text: Diapente et diatessaron differentia. Diapente remissa. Diatessaron intensa. Tonus in parte acuta. Tonus in parte gravi. c. d. b. f. e] [MURMUS 08GF]

[Nota, quod hic nominatur et in tota musica grave et acutum, hoc apud practicos musicos dicitur bassum et altum, ut in diapente ut, sol, ut est gravis et inferior, sol acuta et superior; et similiter in re, la; qua ratione dicitur, gravis ascendit acuendo gradatim ut, re, mi, fa, sol, la, et per eosdem gradus descendit.]

Atque semitonium parvum vel maius habere.

Primo in acuta parte potest sic semitonium inveniri minus: sit a. sonus, a quo ad b. diatessaron intenditur: a b. rursus ad c. diatessaron sit intensa, et a c. usque d. remittatur diapente; est ergo tonus b. d. Iterum a d. intendatur diatessaron [276] usque ad e. a quo in b. et ad f. diapente remissa sit; tonus ergo erit d. f. Cum igitur a. b. sit integrum diatessaron, et b. d. et d. f. sint duo toni, sequitur, quod f. a. sit residuum, et illud semitonium minus dicitur. Ad partem vero gravem sic fiat. Sit tonus datus a. a quo intendantur duo toni continui ad g. et a g. diatessaron remittatur ad k. erit k.a. minus semitonium propositum: haec duo in eadem figura inveniuntur.

[GSIII:276; text: Diapente remissa. Diatessaron intensa. Semitonium minus. Tonus intensus. c. e. b. d. f. k. a. d. g.] [MURMUS 08GF]

Invento minori semitonio in parte gravi et acuta, restat nunc utrobique maius semitonium invenire ad partem acutam sic. Tres tonos acutos continuos intendo, qui sint a. b; b. c; c. d. prius super a. acutam formo diatessaron; et sit a. f. Sequitur per ea, quae dicta sunt in prima parte, quod c. f. est minus semitonium, quare f. d. maius semitonium; hoc est propositum. Ad gravem partem sic: sit semitonium intensum minus a. d. et a d. in e. remittatur tonus d. e. et erit a. e. maius semitonium in gravi parte inventum, cuius utriusque modi sunt illae figurae.

[277] [GSIII:277,1; text: Diatessaron. Tonus intensus. Semitonium minus. Semitonium maius in parte acuta. Semitonium maius in parte gravi. Semitonium minus intensum. Tonus remissus. a. b. c. f. d. e. a.] [MURMUS 09GF]

Et propono grave vel acutum comma tenere.

In acuta parte comma sic habetur: ab a. sono maius semitonium remittatur, per praecedentem, ad b. a quo minus semitonium intendatur in c. erit c. a. comma, per decimam quintam. Sed ad gravem sic: ab a. sono minus semitonium sit intensum, quod sit a. d. a quo maius semitonium sit remissum in c. erit a. c. comma gravi parte repertum, ut patet in figuris sequentibus.

[GSIII:277,2; text: Maius semitonium remissum. Minus semitonium intensum. Comma in parte acuta. Comma in parte gravi. Minus semitonium intensum. Maius semitonium remissum. a. b. c. d.] [MURMUS 09GF]

[278] Divisio monochordi.

His expeditis monochordum scire velitis.

Quoniam in praecedentibus expeditum est de speculatione consonantiarum, et de his, quae accidunt circa eas, [in prima parte huius opusculi, et de earum reductione ad sensibiles figuras, quod multum placet mathematicis, quoniam veritas, quae est in intellectu, per eas ad iudicium visus et auditus conformiter reducta est]: cumque omnis consonantia composita sit ex tonis, vel semitoniis maioribus et minoribus, aut eorum partibus, ut visum est: iam conveniens est, ut ad monochordi divisionem accedamus, in quo sunt omnes consonantiae perfectae, simplices et compositae, toni, semitonia, et reliqua. Ante cuius divisionem aliqua praeambula praemittantur. Et primum est; omnis divisio monochordi, quod in se continet implicite et virtute omnia genera instrumentorum, vadit per tetrachorda. Omne autem tetrachordum vocant musici spatium duorum tonorum cum semitonio minori; et hoc est diatessaron, et rationabiliter moventur. Nam ut in praecedentibus est ostensum, bis diapason ad semel diapason reducitur, et diapason ad diapente et diatessaron; diapente autem diatessaron praesupponit. Et haec omnia sunt prius manifestata. Diatessaron autem nullam consonantiam aliam praesupponit, sed tonum et semitonium. Hinc est, quod unanimiter omnes musici, tam antiqui quam novi, primum tetrachordum esse diatessaron consenserunt, quoniam quilibet tonus duas chordas requirit, et similiter semitonium. Modo cum in diatessaron sint toni duo cum semitonio, manifestum est, quatuor chordas diatessaron continere; quaelibet enim chorda servit pro fine unius, et pro initio alterius praeter primam et ultimam.

Secundum praeambulum est, quod ad secundum tetrachordum possit reiterari, ut altius ascendat per diapente et diapason, sicut iteratur diatessaron. Hoc potest contingere per tetrachordum coniunctum vel disiunctum. Coniunctum est, quando ultima primi tetrachordi inchoatio est secundi. Et sic in his duobus tetrachordis erunt, in primo scilicet duo toni cum semitonio, et in secundo totidem; in summa ergo quatuor toni cum duobus semitoniis, et sunt minora, ut visum est prius. Et iterum super finem secundi tetrachordi posset iterari tertium, et sic semper. Disiunctum tetrachordum est, cum post ultimam chordam primi tetrachordi additur chorda a primo distans tono, et iterum aliud, sicut prius. Itaque duo tetrachorda iuncta septem habeant chordas, disiuncta octo. Item notandum,quod in diapason quidem iunguntur duo tetrachorda cum uno tono, sed duo tantum disiuncta: ista possunt augmentari duplicando, triplicando, quotiens placuerit tibi.

[279] [GSIII:279; text: Tetrachorda coniuncta. Tetrachorda disiuncta. Tonus. Semitonium.] [MURMUS 10GF]

Tertium praeambulum est de divisione tetrachordi, quod est diatonicum. Antiqui locuti sunt tripliciter; diviserunt enim quidam per duos tonos cum semitonio, ut dictum est; nunc quatuor chordas apponentes, ita quod prima cum ultima diatessaron sonabat et appellaverant hoc genus canendi genus diatonicum. Alii aliter diviserunt ipsum diatessaron, et fuit tetrachordum in semitonio minori primo, et semitonio secundo, et tribus semitoniis, quatuor chordas similiter apponentes, quarum prima ad ultimas diatessaron resonabat, et hunc modum dixerunt genus chromaticum. Alii diatessaron diviserunt in medietatem unius semitonii, et aliam in duos tonos ut prius cum quatuor chordis, quod est genus enarmonicum, et medium semitonii dixerunt diesim; et sic illud genus erat in diesi et diesi et duobus tonis. Exempla huius triplicis generis melodiarum triplici figura firmabo.

[280] [GSIII:280; text: Tetrachordum. Genus Diatonicum. Genus Chromaticum. Genus Enarmonicum. Semitonium. Tonus. Semitonium minus. Semitonium maius. Tria Semitonia. Diesis. Ditonus. 3072. 2916. 2592. 2304. 2916. 2736. 2994. 2916. Enarmonicum tetrachordum. Chromaticum tetrachordum. Diatonicum tetrachordum.] [MURMUS 11GF]

[281] Sed miror non parum super hoc, quod apud nos Christianos numquam in usum venerint illa duo genera, scilicet chromaticum et enarmonicum, sed in diatonico genere omnis cantus ecclesiasticus omnisque cantus per tempora mensuratus certa, ut in quadratis modulis, organis, canticis, caeterisque modis, nec non et omnis sonus cunctorum numerorum, instrumentorum, et laicorum virorum ac mulierum, iuvenum et senum, incidere conspiciuntur. Ubi ergo in mundo latent duo genera praedicta, nihil plus opinor, nisi quod quasi contra naturalem inclinationem vocum humanarum ad cantus divisa finiuntur. Scio enim, quod numquam aut vix vox humana in his duobus generibus concordaret, nec umquam de seipsa certa esset; sed in instrumento possibile est. Multum tamen, non dubito, dura, aspera, non concordans esset hominibus imbutis in tertio genere, ut nos sumus. Hoc insuper non ignoro, quin diatessaron possit dividi in quinque semitonia, et per maiora et per minora, per commata. Sed hoc esset excedere tetrachordum in figuris utrobique de praedictis.

Sic ego concordo cum Boetii monochordo.

Cum igitur haec tria genera in diatessaron semper concurrant, sed in modis varientur, nulli debet esse dubium, quin diviso monochordo secundum diatonicum genus, secundum etiam alia genera divisum sit: quare de divisione monochordi in diatonico genere agendum est; in eius autem tota divisione non ponitur, nisi aut tonus aut semitonium minus. Divisiones autem lineae monochordi per litteras signabo, et in eius descriptione in plano nomina chordarum, quae priores imposuerunt, et numeros, ad quos proportio consonantiarum refertur. Et quoniam vult Boetius, quod longior chorda plures partes et maius spatium habet breviore, ergo sibi maiorem tribuit sonum gravem, minori minorem numerum et acutum. Hoc fieri posset aeque bene e contrario longiori, eo quod pauciores motus continet breviore, (si) sibi minorem numerum daret, breviori vero plures numeros, eo quod plures motus habet, ut ipse innuit; quocumque modo fiat, numquam proportio variatur.

Sed primo ponam divisionem monochordi diatonici secundum Boetium, in quo non est nisi bis diapason. Et quoniam ex praemissis habetur, quomodo diapason bis et semel, et caeterae consonantiae sunt inventae, patet, quod non restat, nisi figuram describere super planum, et statim in ea videbitur clarissime monochordum.

[282] [GSIII:282; text: Bis Diapason. Diapason. Diatessaron. Nete hyperboleon. Paranete hyperboleon. Trite hyperboleon. Nete diezeugmenon. Paranete diezeugmenon. Trite diezeugmenon. Paranete. Mese. Lychanos meson. Parhypate meson. Hypate meson. Lychanos hypaton. Parhypate hypaton. Hypate hypaton. Proslambanomenos.] [MURMUS 12GF]

Sed monochordalem plane volo scribere talem.

Iuxta istam divisionem, quam dat Boetius de monochordi sui divisione, volo similiter dividere monochordum, solum situm mutando chordarum et numerum earumdem, quoniam prima maneries canendi, quae suo viguit tempore, super numeros tempore nostro sic est solum accidentaliter variata, quod multum placentior est, quam antiquis. Subtilis itaque multum est musica: per exercitium enim modernorum non solum litteratorum hominum in hac parte studentium auxilio et inventione, sed etiam vulgus commune, specialiter iuvenes ac mulieres ad hoc moventur, nescio qua sorte, nisi industria naturali.

Hoc meum monochordum divido tali modo: sit a. b. chorda posita super planum, secta per medium in puncto i. igitur ab i. ad b. a. diapason consonantia melior est inventa. Item a. i. per aequa divisa in q. a q. ad b. | a. bis diapason de eodem genere meliore sonabit. Item si rursum a. i. per aequa dividatur, surget tibi diapason de eodem genere multiplici. Et sic ultima, quamdiu libuerit, dividetur, et et auris consonantiam poterit iudicare. In hoc virtus intellectiva superat sensitivam. Sic ergo meliores consonantiae notae fuerint, et sint in primo gradu certitudinis. Aliae autem assequuntur eas sic: dividatur a. b. chorda iterum in tres, quarum una sit a. f. aliae duae partes continentes, quae ad [283] b. f. meliorem extra genus multiplicis resolvitur diapente; ergo iam necessario diatessaron inventa est, quae a diapason non differt, nisi per medium diatessaron per quartam, primae et secundae etiam chordis e. i. a. f. sed sic invenies hanc in a. b. Abscissa sit iterato a. b. in quatuor aequales, una sit b. e. alia continente a. e. ad a. b. diatessaron resonabit.

Consonantiis igitur repertis et firmatis, restat tonos et semitonia reperire, per quae fit ascensus et descensus ad consonantias supradictas. a. b. chordae, sit eius pars c. d. e. eritque a. d. ad a. b. ditonus manifestus. Iamque vere in chordis a. e. semitonium minus notum venit, et per consequens a. e. ad a. b. ditonus cum semitonio minori, quod unico nomine diatessaron dicitur. Consequenter iam tu habes tritonum cum semitono in a. f. a. b. videlicet diatonice.

Praeterea pars chordae a. f. | a. b. sit compars f. g. erit a. g. ad a. b. tonus, et semitonium inventum est. Itemque a. h. h. i. sit compars, reddit a. i. ad a. h. diapason notam prius, in cuius divisione sunt quinque toni cum duobus semitoniis minoribus, ut visum est. Cum ergo semel diapason, quantum ad sui intrinseca divisa (sit), sic eodem modo per reiterationem bis diapason dividere necesse est. Continet autem hoc instrumentum 19. chordas, seu bis diapason cum diapente, licet sit possibile ulterius augmentare: et est in figura trianguli orthogoni quantum ad duo sui latera. Sed tertium non sub una linea eadem cadere potest, sed magis accedit ad circumferentiam super tria puncta descripta: potest tamen in aliis figuris describi tam quadratis quam oblongis circularibus, concavis sive planis. Et sicut in virtute hoc instrumentum omnia continet in se instrumenta, tamen figuras, ad quas potest hoc instrumentum transferri, exempli causa describere tibi volo: quorum figurae sunt in hoc ordine conscriptae.

Hoc instrumentum divisum figuris quadratis, quadrangulis, triangulis, circulis figuratum denotat omnia musicae instrumenta.

Explicit musica speculativa secundum Boetium, per magistrum Iohannem de Muris abbreviata Parisiis in Sorbona. Anno Domini 1323.