Back to top

[f.fir] Tertius tractatus eiusdem Nicolai Burtij in quo cantus figurati radices atque proportionum enigmata enodantur.

Bene res se habet: iacta sunt fundamenta vt inquit eximius orator. Uerum nos non tantum fundamenta iecimus que firma et idonea essent ad opus perficiendum: sed satis robustis molibus et validissimis edificium totum pene vsque ad summam perduximus. Restat modo post nonnullas antiquorum circa cantum figuratum regulas: que omni breuitate et exemplorum facilitate enodabuntur: id quod est speculatiuo excellentius enarrare. sine quo omnia premissa et inutilia et ingrata viderentur. Igitur cum duplex sit quantitas discreta videlicet et continua. De his tamen duobus post cantus figurati ostensionem erit sermo noster. In prima siquidem quid numerus et ad numerorum summas conuenientia demonstratur. Deinde quid proportio: et de quinque generibus proportionum inequalium: ac proportionalitas ostendetur. Postremo quid sit quantitas continua: ac eius radices ad vnguem nonnulla interserendo aperiam. Nemo dicat queso quid habeant numeri cum cantibus: quoniam adeo subiecti probantur numeris: vt nullum omnino verum de motibus musicis proferri valeat iudicium si non fuerit per descriptas ibi proportiones: [f.fiv] tam multiplici quam in superparticulari diligenter discussum. His igitur cognitis habebitis musicam subalternari aritmetrice cum accipiat principia sua ab aritmetrica et subiectum eius addat differentiam accidentalem ad subiectum aritmetrice: quia addit sonum ipsi numero. Ad primum igitur condescendo.

Capitulum primum quid sit cantus figuratus.

Sciendum amantissimi quod cantus figuratus siue mensuratus est quaedam vocum fractio: vel leuitas ex contrapuncti grauitate edita. Primo enim non sic antiquitus vt modo: sed simplici quadam contrapuncti fractione tam in organis et ceteris instrumentis quam humana voce cantabatur. Tunc nondum eleuata ingenia euomerant quicquid sub velamine cecitatis ignorantie tegebatur quemadmodum nunc plana elucescit et patens est veritas. Bene his vt opinor tam consonantie perfectem quam dissonantie compassibiles et incompassibiles erant note: similiter et proportionum radices: atque quicquid ad numeri pertineret rationem. Postquam igitur doctrina aretini in italia pullulauerit: viderintque homines ingenio perspicacissimi facilem ex eius disciplina canendi modum: videlicet reiectis caracteribus illis et cifris antiquitatis quibus nullo modo poterant antea quemadmodum in presentiarum tales cantus proferuntur enunciare neque exprimere illico notularum Guidonis assumpta forma: quinque principaliter ad huiusmodi instructionem figuras fabricarunt: inueneruntque. Prima namque maxima tanquam principalis nuncupata. secunda vero longa. tercia autem breuis. quarta et semibreuis. quinta et vltima minima: quia infima olim omnium erat predictarum. postmodum moderniores semiminimam et curseam addidere. Semiminima enim in modum minime formata [f.fijr] est: nisi quod nigredinem complectitur. Cursea vero simile assumit corpus et formam ac nigredinem: nisi quod eius in summitate paululum retorta est. De quibus omnibus infra luculentum patebit exemplum. Maxima igitur sic nuncupata ut dictum est: quia omnium domina et principalis. Longa vero quia maior est ipsa breui et medietatem ipsius maxime contineat. Breuis vero respectum longe sic nuncupata. Semibreuis autem a semi quod est medium et breuis: quia medietas breuis est. Similiter et semiminimam appellant a semi et minima. Cursea vero a cursu nuncupata: eo quod ceteris velociorem cursum habet. His itaque declaratis antequam ad diminutiora transeamus quaedam scitu digna annotanda sunt. Ad rem deuenio. Tria enim apud cantorum multitudinem circa cantus figurati rationem considerantur: quibus figure superius annotate valeant proferri et enunciari. Modus videlicet tempus et prolatio. Modus enim vt aliqui autumant a mouendo vel a modulando dicitur: sed melius a temporum modificatione vel computatione dictum existimo. Uel modus est coniunctio soni temporisque longis mensurati. hoc est coniunctio proportionis quae notis longis consurgit: et breuibus viam mensure mensurando scilicet tempus ipsum. Tempus vero est duratio successiua. vel est numerus motus. hic enim capitur tempus respectum breuium in habitudine ad semibreues. Cantus namque inquantum fuerit maioris prolationis: tunc nota semibreuis perfectam est: equiualens tribus minimis: duabus vero quando minoris est. Prolatio enim a proferendo dicitur: quia cum tempus diuiditur in partes melius profertur. Attenditur namque prolatio respectum semibreuium penes eorum habitudinem ad minimas. Ex quibus omnibus colligitur triplicem esse perfectionem et imperfeccionem modi. scilicet temporis et prolationis. [f.fijv] Cum igitur modos coniungimus inuicem modum maiorem appellamus et econtra: cum prolatio secatur maior prolatio nuncupatur. Modus namque minor habebit longam: maior vero maximam quae duplex longa a nonnullis vocitatur. Prolatio autem minor semibreuem habebit. sed maior minimam. et hec vobis menti inhereant.

Capitulum .ii. qualiter ab inuicem hec tempora discernantur.

Superius annotauimus duplicem esse modum et tempus et prolationem: modo videndum est qualiter ab inuicem valeant discerni atque cognosci. Uariis quondam coloribus subscriptionibusue seu canonibus et pausis ac signis agnoscebatur: et nunc comprehenditur perfectum ab imperfectio. Signis quidem: quia olim quadrangulus cum tribus tractulis solebat poni pro modo perfecto: duabus vero pro imperfectio: vt hic. Item circulus pro tempore perfectio et semicirculus pro imperfectio. Si ambo punctuati ut hic. [Od,Cd] tunc sunt maioris prolationis. si vero non: vt hic .o. c. tunc sunt minoris. Item tria puncta solent poni pro maiori duo autem pro minori prolatione. Similiter cifre numeri binarii et ternarii solent describi vna super aliam differente: ita quod inferior designat tempus: et superior prolationem. Si ambe sunt numeri ternarii vt hic 3 notificat tempus perfectum maioris prolationis. Si vero 3 inferior ternarii et superior binarii vt hic .2. tempus perfectum representat. Sed si inferior est binarii 3 superior vero ternarii vt hic 3. imperfectum tempus designat maioris prolationis. Si 2. vero ambe sunt binarii vt hic .2. designat tempus imperfectum minoris prolationis. Pausis 2 etiam demonstratur quando inuenitur pausa trium temporum. Nam modus tunc minor perfectus sic designatur. Idem erit si post pausam vnius temporis punctus [f.fiijr] ponatur. et si post pausam semibreuis punctus describatur tunc erit tempus perfectum: et si post pausam minime prolationem maiorem ostendit. Subscriptionibus agnoscitur secundum quosdam: quia qualitercunque habetur in canone seu subscriptione: ita cantandum est etiam si fuerit contra artem. Nam communiter ut aiunt canones vel subscriptiones habentur: quando aliter secundum artem non potest in cantu procedi. Ultimo coloribus potest discerni: quando alicubi: siue in principio: siue in medio ponuntur longe nigre: et rubee vel vacue: et hoc secundum antiqua tempora. Si nigre sint tunc modi imperfecti: imperfecti et alie. Simile erit iudicium et econuerso de maximis et breuibus. et similibus. et hec truncatis superfluis sufficiant.

Capitulum tercium Quid sit ligatura.

Dictum est supra figuratum cantum septem illis tantum notis figurari posse. videlicet. maxima: longa: breui: et semibreui: ac minima: cum semiminima atque cursea: et hoc simpliciter: sed composite sub ligatura. nam ligatura est duarum pluriumue simul tenentium notarum adunatio. Et est duplex: ascendens et descendens. Ascendens igitur ligatura est cum nota secunda altior prima situata est. descendens vero per contrarium. Ex quibus omnibus strictissime nonnullas formabo regulas: ut ex inde ad subtiliora transcendamus. Ligatura igitur descedente: prima si tractum habuerit a parte sinistra descedentem: siue ipsa in quadrato siue in obliquo totaliter fuerit figurata cum proprietate dicitur: et est prima breuis. Quod si prima nullum tractum habuerit: sine proprietate dicitur: et est prima longa.

Secunda ligatura ascendente prima si tractum habuerit descendentem [f.fiijv] a parte dextra sine proprietate dicitur: et est longa cum vero non habuerit cum proprietate dicitur: et est breuis. Omnes medie notule in omni ligatura sunt breues nisi prima fuerit cum opposita proprietate. quia tunc sequens illam immediate est etiam semibreuis. Omnis vltima cuiuscumque fuerit ligature directe super penultimam: vel a latere situata habens tractum a parte dextra descendentem cum perfectione dicitur et est longa. Omnis autem vltima cuiuscumque fuerit ligature siue quadrata siue obliqua stans a latere supra penultimam et sine tractu: sine perfectione dicitur: et est breuis. Fallit nisi precedens cum opposita proprietate et semibreuis esset quia tunc semibreuis valorem retient. Item in omni ligatura prima habens tractum a parte sinistra ascendentem cum opposita proprietate dicitur et est semibreuis. Proprietas enim in ligaturis proprie consideratur ex caudis earundem in sursum vel deorsum extensis. Item in omni ligatura: vltima descendens in quadro posita sub penultima cum perfectione dicitur.

Ultimo animaduertendum quod omnis nota cum opposita proprietate pro vna breui computatur: et quod non est necesse omnes notas insimul ligatas computare: cum ipse ligate per punctum possint diuidi et aliter ab inuicem separari. et in presentiarum hec de ligaturis sufficiant.

Capitulum .iiij. de perfectione et imperfectione notularum.

<S>ciendum est quod nota perfecta potest imperfici: imperfecta vero perfici. Perfecta etenim imperfici potest per abstrahitionem tercie partis sui valoris. Quandoque etiam perficitur per additionem puncti postpositi. de quo infra diffusius Igitur circa imperfectionem notularum sciendum est regulariter quod nota in totum et in partes perfectam potest imperfici multipliciter: quo ad totum scilicet et quo ad partes eius. Quo [f.fiiijr] ad totum dupliciter. a parte ante et a parte post. A parte ante quando pars propinqua precedit. A parte post vero quando eam sequitur siue sola fuerit siue supermanserit perfectione computata: et hec menti adhereant. Pars autem propinqua maxime est longa: vel valor longe. similiter de longa est breuis. pars vero propinqua breuis est semibreuis. de semibreui minima. et sic de alijs intelligendum. Maxima ergo imperficitur a longa precedente: vel valore eius siue sola fuerit. Et hoc sepissime in motetis antiquis apparet si quis inuestigare velit. Item imperficitur perfectione computata si de pluribus precedentibus partibus sola remanserit. Maxima etiam vt dictum est a parte post imperficitur a longa sequente vel eius valore: siue sola fuerit siue etiam de pluribus propinquis partibus sola remanserit perfectione computata. simile etiam erit iudicium de longis breuibus ac semibreuibus perfectis. Nota preterea que perfectam est potest imperfici quo ad partem propinquam: a parte remota: et tam a parte ante quam a parte post. Uel quo ad partem remotam a parte remotiori: vel quo ad partem remotiorem a parte scilicet remotissimam. Nam partes remote sunt partes propinque partium propinquarum. Remotiores sunt partes propinque partium remotarum. Remotissime vero sunt partes propinque partium remotiarum. Unde minima respectum semibreuis est pars propinqua. respectum vero breuis est pars remota: et respectu longe remotior: sed respectum maxime remotissimam. Ut supradictam magis nota sint quedam notatu digna reserabo. Primo enim quod imperfectibilis nota precedens similem sibi semper est perfecta. Nam note dicuntur similes non colore sed figura. Item nota imperficienda ante maiorem vel se minorem tunc vel pausa note maioris vel etiam minoris ponenda est. [f.fiiijv] Item similis ante similem vel ante pausam note similis nunquam potest imperfici: quamquam contra hec sic posset argui. Maxima ante maximam potest imperfici ab vna breui precedente etiam semibreui et a minima. longa etiam similiter a semibreui: et breuis a minima vt supra notatum est: ergo male. Ad quod tamen eum distinctione respondendum: videlicet quod nota potest imperfici dupliciter quo ad totum eius corpus. vel quo ad partes corporis sicut superius dictum est. Primo modo similis ante similem non potest imperfici: et sic semper perfecta. Secundo potest imperfici similis ante similem quod non est contra. cum imperficere in hoc proprie sit terciam partem abstrahere. Maxima ergo ad partem imperfectam proprie imperfecta non est:duabus vel tribus: quinque vel octo minoribus inter maiores imperfectibiles ab eis existentibus maiores ambe perfecte sunt. Fallit nisi minor maiorem precederet a quo posset imperfici. Fallit secundo nisi secundam etiam minor sequiretur quam omnino imperficeret. Tamen si punctus ponatur inter primam maiorem et aliam: vel sequentes alias inter ipsas maiores imperfectibiles: tunc prima potest imperfici. Et notandum est quod note imperfectibiles dicuntur que de se perfecte sunt: sed per accidens imperfici possunt a parte sui. parte scilicet precedente vel subsequente: vt dictum est. Ultimo sciendum est quod nota stans sola debet reduci ad proprium locum quem potest habere. Due similiter pause minores et similes inter pausas maiores simul inuente non separantur sed simul computari debent: quamquam per punctum aut aliquod aliud signum possent ab inuicem separari. Et hec sufficiant.

Capitulum .v. quid sit punctus in cantu mensurato.

Licet enim punctus quid minimum sit in quantitate: tamen quid maximum est in potestate. Nam in cantu mensurato [f.fvr] siue figurato nullo modo notam postquam immediate ponitur permittit imperfici. Et est duplex. perfectionis videlicet et diuisionis. Punctus enim perfectionis omnem notam de sui natura imperfectiam perficit. addendo sibi medietatem sui valoris. Punctus vero diuisionis econuerso notam de sui natura quandoque imperfici facit: aufferendo ab eadem terciam sui valoris partem. Quandoque etiam diuidit et separat notas vt supra dictum est a locis suis debitis faciendo per eas scilicet alias notas imperfici. vel quandoque illas faciendo ad alia loca reduci. Quare possumus interpretari triplicem esse diuisionem. modi scilicet perfectionis et prolationis. Item scire oportet punctum vnum notas perficere: alium quandoque diuidere: et sic ab inuicem cognoscentur. Punctus quandoque etiam per minimam positus et post pausam quamquam mensurabilem diuisionis est. si ponatur etiam inter duas longas existentes inter duas maximas modum diuidit maiorem. Fallit nisi forte longe ille de sui natura essent imperfectem: et ante illas vel post sola inueniretur breuis: que ad ipsam punctatam longam reduceretur. Quemadmodum igitur de longis inter maximas modi maioris perfecti: et de breuibus inter longas minoris modi perfecti etiam de semibreuibus inter breues perfecti temporis: sic intelligendum de minimis inter semibreues maioris prolationis. et hec de puncto sufficiant mentique adhereant.

Capitulum .vi. quid sit pausa et quid operetur in cantu figurato.

Pausa nihil aliud est quam vocum amissio. Uel est aspiratio vt debent mensurata pro temporibus quot fuerit spacijs figurata. Unde sciendum est quod pausa valet tot tempora quot occupat spacia. Si igitur vnum occupauerit: vnum valebit. si vero duo: similiter duo retinebit. si tria [f.fvv] etiam tria habebit. Itaque pausa trium temporum maior non est ponenda: nisi pro communi et incommensurabili. Semibreuis pausa in linea incipere debet et vsque ad medietatem spacij descendere. sed econuerso pausa minime Unum extremum addiciam videlicet quod pausa nunquam imperfici: vel perfici neque alterari potest.

Capitulum .vij. quid sit alteratio in cantu figurato.

<A>lteratio proprie sumpta est mutatio de qualitate in qualitatem. Uel alteratio hic celebrata est proprij valoris secundum vocem forme idest note duplicatio. Quo circa hec annotanda sunt. Primo enim notandum quod nulla nota alteratur ante sibi similem vel minorem se. Item omnis nota alterabilis debet alterari ante proximam maiorem se: sic minima ante semibreuem. vel semibreuis ante breuem. Item notandum quod licet punctus in medio positus impediat alterationem: pausa tamen semibreuis ad tale signum habet huiusmodi potestatem. Demum sciendum pro antiquorum cantibus quod nota nigra ante rubeam alterari potest: et econuerso: seruatis tamen alijs condictionibus supradictis.

Capitulum .viij. de diminutione.

Diminutio nihil aliud est quam fractio quedam notularum. qua hodiernis temporibus nostri moderni summopere vtuntur. Aliqui enim dicunt per medium. aliqui vero per semi esse cantandum quod idem est. In diminutione igitur pro maxima longa: pro longa breuis. pro breui semibreuis. pro semibreui minima canendo ponitur. Idem de pausis intelligendum. Hoc est si cantus fuerit de modo imperfecto: vel cuiuscunque temporis: tunc diminutio est fienda recte per medium notarum [f.fvir] et pausarum. Similiter si cantus de modo perfecto et tempore imperfecto habuerit diminutionem: tunc illa fit directe per medium vt pro longa que tres breues valeat ponatur breuis tres semibreues valens. et hec satis circa diminutionem.

Capitulum .ix. quid sit sincopa in cantu figurato.

Vltimo circa cantum mensuratum truncatis superfluis quid sit sincopa enucleabo. Sincopa igitur est diuisio valoris alicuius note per partes separatas que numerando ad inuicem reducuntur. Uel sic. Sincopa est aliquarum notarum ad inuicem per intermedia diuisarum insimul reductio. Hec etenim diffinitio nedum perfectis tempore et prolatione sicut prima conuenit. sed etiam imperfectis. Quando enim sincopa erit prolatione maiori tunc necessum est reperire tres minimas separatas ad duas ab vna parte simul: et vnam ab alia parte: vel valorem earundem pro semibreui perfectam numerando: que perfectiones insimul per intermedia reducuntur. In prolatione vero imperfectam oportet duas reperire minimas: vel semibreuem puncto perfectionis punctuatam: ad quam similiter minima aliqua per intermedia separata reducitur. Similiter de perfectis modo ac tempore: et imperfectis hoc idem iudicium. Poteram siquidem multa et alia interserere antiquorum neothericorum: que nobis inutilia indigesteque prolata visa sunt. Tu itaque iocundissime lector hec prono animo perlustrabis: que subsequenti formula annotantur. Non enim perfecte que dicta sunt invenies: sed ex his scitu digna connumerabis. Impossibile enim fuisset tam breui formula que sunt multiplici oratione comprehensa omnia exarasse.

[f.fviv] [Burtius, f.fviv; text: de ligaturis. Color perfectionis. Color imperfectionis. Color alterationis. Color sincope. punctus perfectionis et diuisionis.] [BURMUS3 01GF]

[f.fvijr]<P>ost figurati cantus ostensionem: quia sepenumero in tali cantu sexquialtera proportio occurrit volui sub breuitate describere qualiter in qualibet prolatione hec proferri numerarique valeat. Omittam tamen quid sit proportio cum infra dum de proportionibus loquimur diffusius dicatur. Igitur proportio sexquialtera: quando fuerit super tempus perfectum minoris prolationis: tunc minime tres pro duabus numerantur: ac si esset tempus imperfectum maioris prolationis. et sic alterantur minime ante semibreues sicut in tempore perfecto minoris prolationis semibreues ante breues. Dicitur nanque sexquialtera a sexqui quod est totum et altera quasi continens totum: et eius alteram partem. idest. medietatem scilicet vnitatem. que medietas est numeri binarij. Et notandum quod quandocunque sexquialtera notulis nigris assignatur et sine signo aliquo: tunc enim tales perdunt tertiam valoris partem. Item si dicta proportio venerit in prolatione minori temporis imperfecti: tenenda est illa regula quam tenes in perfecto minori. In qnacunque enim prolatione talis proportio venerit semper semibreues numerantur numero ternario scilicet terne et terne Breues vero nigre numero binario scilicet bine et bine habendo tamen sunt numerum in sex. Postremo sciendum quod quandocunque in aliqua prolatione ponantur nigre vel rubee prout antiquitus obseruabatur amittunt tertiam vt dixi sui valoris partem tam in notis quam in pausis quousque durant nigre vel rubee et non ulterius. Tales etiam nigre sepissime ac rubee alterantur videlicet semibreues ante breues: et minime ante semibreues quamquam hoc affirmare absurdum videatur. Non enim tales solent alterari nec esse perfecte. tamen de consuetudine multis in locis reperitur. Et hec circa proportionem [f.fvijv] sexquialteram sufficiant.

Capitulum .xj. quid sit numerus: et nonnulla ad numerum pertinentia.

Musicas proportiones quoniam ex numeris prodire clarum est. idcirco sub breuitate quid sit numerus et nonnulla ad numerorum summas pertinentia: que omnia radices proportionum sunt premittam. vt postmodum in quibus proportionibus consistant consonantie deueniam. Numerus igitur apud Hisidorum est multitudo ex vnitatibus constituta. et dicitur numerus a nummo: et a sui frequentatione vocabulum sumpsit. Ad cuius euidentiam sciendum est quod triplex est numerus scilicet numerus numerans: numerus numeratus: et numerus quo numeramus. Numerus numerans est ipsa anima numerans res ipsas. Numerus numeratus sunt res numerate. Numerus vero quo numeramus est ipsa qnantitas discreta: que multitudo appellatur: et ab vnitate incipit. Continua vero quantitas est cuius partes copulantur ad aliquem communem terminum: vt linea et caetera. Quatuor etiam apud arismetricos sunt genera numerorum. Primum enim ab vnitate incipiens et durat vsque ad decem. et vocatur monadicorum a monas quod est vnum: quia vt dictum est ab vnitate inchoat. secundum dicitur decadicorum a decade quod est decum: et durat vsque ad centum. dicti enim sunt decem a desmos grece quod est ligare vel coniungere: eo quod ligent et coniungant interiectos minores numeros. Tercium genus dicitur centedicorum: et incipit a centum et durat vsque ad mille. Centum a cantu quod est circulum dicti vt quidam autumant. Quartum dicitur miledicorum a mille incipiens duransque in infinitum. Mille enim a multitudine. vnum militia quasi multitia. Inde et milia: quae greci mutata littera miriades vocant. Sciendum vlterius quod numerus mathematicus diuiditur in numerum parem et imparem. Numerus [f.fviijr] par est ille qui in duo equalia partiri potest vt duo quattuor octodecem. impar vero qui in duabus equis partibus diuidi nequit vno medio deficiente vel superante. vt tres quinque septem et nouem. Rursus parium numerorum alij sunt perfecti alii superflui: et alij diminuti. perfectus igitur numerus ille dicitur qui omnibus partibus suis aliquotis aggregatis est equalis. Et dicitur pars aliquotta quae aliquotiens sumpta reddit suum totum integrnm vt in senario apparet: qui primus est perfectorum et solus inter monaticos perfectus. Nam sex vicibus vnum sex sunt: ter duo sex sunt. bis tria sex sunt. Abinde non sunt partes aliquotte: quia quattuor aliquotiens sumptum faceret septem vel plus ergo omnes partes aliquotte sunt hec vnum duo tria: sed vnum duo tria faciunt sex. ergo senarius numerus perfectus resultat precise ex omnibus partibus suis aliquottis simul aggregatis Est enim intra denarium numerum perfectus senarius: intra centenarium. vigesimus octauus. infra vero millenarium quadringentesimus. Partes aliquotte .xxviii. sunt .xiiij.vii.iiij.ij. et .i. Nam ex his aliquottis aggregatis simul resultat precise totum. et sic de aliis perfectis. Alio modo numerus perfectus dicitur qui constat ex omnibus partibus suis aliquottis simul sumptis. et sic ternarius est perfectior: et in hoc perfectionem senarii excedit. Tercio modo dicitur numerus perfectus in quo est status numerorum: et sic denarius est perfectus: et primus terminus ad quem stat numerorum resolutio vt supra dictum est. Superflui numeri sunt quorum partes aliquotte simul ducte totam summam excedunt vt .xii. numerus. cuius partes aliquotte sunt vnitas binarius quaternarius senarius: qui omnes in summam reducti excedunt duodenarium. nam vnus: duo: et tres: quatuor: et sex simul ducti excedentes .xii. xvi. producunt numerum. Diminuti autem numeri sunt quorum partes aliquotte in summam ducte non perficiunt [f.fviijv] ipsum totum: sed deficiunt a summa vt octonarius atque nouenarius. Nam partes octonarij sunt vnitas: binarius et quaternarius: quae partes si coniungantur non perficiunt totam summam cum septenarium tantum copulent numerum. Item nouenarij partes aliquotte in summam ducte longe sunt a tota summa. Est enim vnitas eius nona pars: et ternarius eius tertia: que simul ducte quatternarium constituunt numerum. Senarius autem nouenarij numeri pars non dicitur aliquotta: quia quotta sit dici non potest. Similiter potest poni exemplum in quatternario: cuius due sunt partes aliqnotte scilicet duo et vnum. quia bis duo quattuor sunt. et quater vnum quatuor. sed duo et vnum faciunt tria: ergo est quaternarius numerus imperfectus diminutus. et sic de singulis intelligendum. Imparium autem numerorum de quo supra quidam sunt simplices: alij compositi: alii mediocres. Simplices numeri sunt qui nullam aliam partem aliquottam habent nisi solam vnitatem. vt ternarius solam terciam: et quinarius solam quintam: et septenarius solam septiam. his enim vnica pars aliquotta est. Compositi sunt qui non metiuntur sola vnitate: sed et alijs numeris: vt nouem qui vnitatem habet et ternarium quibus diuiditur et quindecim habet eaudem vnitatem et ternarium et quinarium. Uingenti vnum tenet et ipse vnitatem et ternarium et septenarium.

Mediocres numeri sunt qui quodammodo simplices et incompositi esse videntur. et alio modo compositi hoc modo. Dum comparatus fuerit nouenarius ad .xxv. prius est binarius incompositus: quia non habet communem numerum nisi solum monadicum idest vnitatem. Si vero idem nouenarius ad .xv. comparatus binarius compositus quoniam inest illis communis [f.gir] numerus vltra vnitatem scilicet ternarius: qui si ter fuerit sumptus nouenarium precise constituit. quinquies vero sumptus ipsum .xv. perficit. Notandum vlterius quod numerus par siue impar diuiditur in linearem: superficialem et solidum. Linearis numerus est qui consyderatur tantum penes processum in habendo respectum ad ductionem numeri in numerum: sicut linea habet tantum vnam dimensionem scilicet longitudinem sine latitudine. vnde eius descriptio est in longum sicut binarius qui aliter describi non potest. immo omnis numerus linearis dicitur dum sic in rectitudine ductus describatur. Numerus vero superficialis est qui prouenit ex ductu numeri in numerum. vnde superficialis dicitur quoniam habet duos nnmerus mensurantes ipsum: sicut superficies habet longitudinem et latitudinem. Duci autem numerum in se vel in alium idem est quod per se vel per alium multiplicari. Numerus enim in se ductus dicitur: qui totiens multiplicat quotiens vnitas est in se ducta. Ductus vero in alterum: est qui totiens multiplicatur quotiens in altero est vnitas: vt binarius dicitur duci in ternarium: quando totiens multiplicatur quotiens est vnitas in ternario. Unde ex ductu binarij in ternarium consurgit numerus senarius. Ulterius sciendum est quod dupliciter potest numerus duci in numerum. aut scilicet semel aut bis. Si semel: hoc erit aut in se aut in alium. si in se fit quadratus numerus: vt bis duo. quia diuisum scilicet quadratum per vnitates habebit quattuor latera equalia. Si autem ducatur in alium fit superficialis: et non quadratus: vt binarius ductus in ternarium constituit senarium primum numerum superficialem et non quadratum. Unde constat quod quadratus omnis superficialis est et non econuerso. Radix autem [f.giv] quadrati numeri est ille numerus qui ita ducitur in se ut bis duo quattuor. Primus ergo quadratus est quaternarius: et eius radix binarius. Secundus vero quadratus est nouenarius: et eius radix ternarius. Si autem numerus bis ducatur in numerum constituit numerum solidum. Numerus enim solidus est qui ex duplici ductu numeri in numerum prouenit. Et dicitur solidus quemadmodum corpus habet tres dimensionis scilicet longitudinem latitudinem et profunditatem: sic ille numerus habet tres numeros producentes se. Et si numerus bis ducatur in seipsum vel semel in suum qnadratum quod idem valet fit numerus cubicus: qui etiam dicitur solidus quadratus. et ab hoc nomine cubitus dicitur. Cubus igitur est corpus habens superficies sex: octo angulos: ac latera decem. Si vero aliquis numerus bis in alium ducatur fit numerus solidus vt bis tria bis constituunt .xij. Unde constat quod omnis numerus cubicus est solidus et non econtra. et omnis est superficialis et non econuerso. Patet etiam quod idem numerus est radix quadrati et cubici. Diuiditur etiam numerus multifariam. videlicet in digitum articulum et compositum. Digitus est omnis numerus minor denario. Articulus est omuis numerus diuisibilis in decem partes equales ita quod nihil residui remaneat. Compositus siue mixtus est qui ex digito et articulo constat. Quid sit numeratio sequitur. Numeratio est cuius libet numeri per figuras competentes artificialis presentatio. Sunt autem nouem figure nouem digitos representantes: vt hic .ix. viii. vij. vj. v. iiij. iij. ij. i. Decimavero figura cifra vel figura nihil nuncupatur. quia nihil significat: sed facit alias [f.gijr] significare. Ulterius notandum quod quilibet digitus vna sola figura sibi appropriata debet scribi. Nam omnis numerus a decem inclusiue vsque ad centum duabus figuris debet scribi. Si autem articulus fit per cifram positam et figuram scriptam versus sinistram que significet digitum a quo denominatur ille articulns nihili: si sit numerus compositus prescribatur digitus: qui ut est dictum pars numeri compositi: et sinistretur vt prius. Omnis etiam nunumerus qui est a centum inclusiue vsque ad mille inclusiue per tres figuras debet scribi. Omnis preterea numerus a mille inclusiue vsque ad decem milia exclusiue per quatuor tantum describitur. Ultimo notandum est quod quelibet figura primo loco posita significat suum digitum. Posita vero secundo loco decies suum digitum. tertio centies. quarto millies: quinto decies millies. et sic vsque in infinitum. Quelibet namque figura secundo loco posita decies tantum significat quantum precedens. vnus enim vnum dat scilicet prima. secunda decem. tercia centum. quarta mille dabit. quinta decem millia. sexta centum millia. septima mille millia. Et hec vobis circa varias numerorum summas sufficiant. Horum quidem numerorum ratio mininime contemnenda: cum in multis sacrarum litterarum locis quam magni estimanda sit: nec frustra in laudem dei dictum: omnia in numero et pondere et mensura disposuisti. Tolle nanque numerum in rebus omnibus: et omnia pereunt. Adime secundo computum: et cuncta complectitur ignorantia: nec vlla differentia a ceteris animalibus que ratione carent essemus differentes.

[f.gijv] Non immerito datum est nobis aliqua ex parte sub numerorum consistere disciplina. quando per eam momenta temporum discimus et mensium curriculis disputamus. quando et spacium anni redeuntis agnoscimus Per numerum igitur ne confundamur instruimur.

Capitulum .xii. quid sit proportio et quottuplex sit.

Superius de numeris ex quibus proportiones fiunt satisabunde examinatum: nunc vero quid sit proportio descutiendum est. Proportio igitur est duorum terminorum ad se quedam comparatio. terminos autem voco numerorum summas. Uel sic quod idem est. Proportio est habitudo seu comparatio vnius quantitatis ad aliam. Et hec est duplex scilicet equalitatis et inequalitatis. Equalitatis est cum scilicet numerus equalis comparatur numero equali: vt duo ad duo. Inequalitatis vero est duorum inequalium terminorum inuicem habitudo: vt quatuor ad tres. et duorum ad vnum et econuerso. Et hoc dupliciter: quia vel secundum equalitatem maiorem vel minorem. Maioris inequalitatis proportio est maioris termini ad minorem inuicem comparatio: vt duorum ad vnnm. et quattuor ad tres. Minoris vero est termini minoris ad maiorem inuicem habitudo. vt duorum ad tres: et trium ad quattuor cum similibus. In his enim maioris inequalitatis vel minoris proportionibus est quedam differentia siue excessus. et est ille numerus quo maior excedit minorem. vt si comparemus sex ad quattuor: binarius numerus erit differentia. Nam senarius excedit quaternarium ex binario. Musices itaque disciplina has inequalitatis proportiones [f.giijr] comprehendit: non vero equalitatis. quoniam consonantie ex dissimilibus: et inequalibus enucleantur proportionibus. De hoc latius apud Boetium secundo tractatu sue musices. Item proportionum alia rationalis: et alia irrationalis. Rationalis proportio est quantitatum commensurabilium ad inuicem comparatio. Nam quantitates commensurabiles dicuntur quarum est aliqua mensurationis quamlibet illarum reddens precise: vt sex ad quattuor. Binarius qui eorum est differentia vtrunque metitur. nam bis sumptus quaternarium constituit. ter vero copulatus senarium perficit. Quantitates vero in commensurabiles dicuntur quarum non est aliqua mensura communis quamlibet illarum reddens precise: vt quinque ad tres: nam eorum differentia est binarius qui neutrum metitur. quippe si bis sumatur excedit ternarium ter vero sumptus quinarium transcendit: qui quidem binarius bis tantum connexus quinarium ipsum non perficit. Irrationalis proportio est quantitatum incommensurabilium inuicem habitudo. Uel sic. Proportio irrationalis est que non potest immediate ab aliquo numero denominari. sed immediate denominatur ab aliqua proportione que immediate denominatur ab aliquo numero Sat igitur circa proportionum diffinitionem ac distinctionem dictum est. Unum tamen nota dignum restat: quod sicut vnitas non est numerus sed origo numeri: ita et equalitas proportionum inequalium primordia prebet: de quo infra aperiemus.

Capitulum .xiii. de quinque generibus proportionum inequalium.

[f.giijv] Quinque etenim maioris inequalitatis sunt genera: quorum tria simplicia et duo composita. Simplicia sunt videlicet: multiplex: superparticulare: et superpartiens. Composita vero sunt multiplex superparticulare et multiplex superpartiens. In his enim consistunt omnes maioris inequalitatis proportiones: atque his totidem minoris inequalitatis alie sunt opposite: sola sub prepositione ad iecta ab illis differentes. Una siquidem submultiplex altera subsuperparticularis. tercia subsuperpartiens. quarta multiplexsubsaperparticularis. quinta subsuperpartiens. Multiplex proportio est quando maior numerus comparatus minori continet ipsum minorem in se pluries totum. vt bis ter vel quater ita quod nihil de sit: nihilque supersit prout hic apparet. Radices omnium multiplicium proportionum .i. ii. iii. iiii. v. vi. vii. viii. ix. x. Huius quidem multiplicis generis infinite sunt species. Prima proportio dupla nuncupatur. vt duo ad vnum: et quattuor ad duos: sex ad tres octo ad quattuor et huiusmodi. Nam duo continet in se bis vnitatem. similiter et quaternarius binarium: senarius ternarium: octonarius quaternarium. igitur nihil sibi deest: nihilque superhabundat. Secunda vero species huius multiplicis generis est proportio tripla. videlicet cum maior numerus comparatus minori continet ipsum ter intra se. vt tres ad vnum: sex ad duos: nouem ad tres: duodecim ad quattuor Male igitur interpretantur cantores nostri temporis sexqui alteram que in cantu figurato cantatur pro tripla [f.giiijr] habentes. Nam non est tripla cum tres ad duos sexquialteram generet: sed errore illius cifre quae tres significat inconsiderate locuntur. Et bene cum ceci sint in foueam cadunt. Ad propositum igitur. Tercia eiusdem multiplicis species est proportio quadrupla: videlicet cum maior terminus siue numerus comparatus minori continet ipsnm intra se quater: vt quattuor ad vnum: octo ad duos: duodecim ad tres cum similibus. nam relique a numeris suis denominationem acquirunt. Et notandum quod multiplex ab eo quod est multiplicare dicitur eo quod numeros ab vnitate varijs modis: tam per binarium quam per ternarium aut quaternarium: sicque de reliquis multiplicat. Hoc genus excellentissimum est: et primum omnium vetustissimum. Nam ab indiuisa quidem vnitate totum procedit: nunquam eius integritatem cursu naturali progrediens relinquit. Non immerito diapasson cum suis compositis: que sunt diapassondiapente et bisdiapasson tam suauiter consonant. quia de natura huiusmodi multiplicis generis non recedunt. Nam diapasson in proportione dupla veraciter consistit: cum ex octo sonis sit confecta: et comparatis octo ad quattuor insurgit dupla. diapente vero in sexquialtera: iuncta ergo cum dupla tripla erit. Similiter bisdiapasson in quadrupla proportione eiusdem generis multiplicis probatur consistere. Nam uihil aliud est bisdiapasson quam duplicata diapason.

Sequitur capitulum decimumquartum.

[f.giiijv] Capitulum .xiiii. de genere superparticulari.

Genus superparticulare ob id nuncupatum est eo quod vnam super particulam desuper habeat. Non enim vt multiplex: quamquam ab eo procreatum partes suas seruare valet integras: neque velut superpartiens. sed a binario sicut multiplex ab vnitate incipit. ac postmodum gradatim a maioribus minores numeros vna parte sui differre cogens. Est ergo superparticulare genus cum maior terminus comparatus minori continet ipsum intra se semel tantum et non pluries. et insuper vnam aliquottam partem ipsius minoris: vt tres ad duos. nam ternarius habet in se totum binarium semel: et insuper mediam eius partem scilicet vnitatem. Item quaternarius ad ternarium habet in se totum minorem: et eius terciam partem scilicet vnitatem. Prout in his numeris multipliciter ostenditur .ii. iii. iiii. v. vi. vii. viii. ix. x.. Huius enim multe sunt species. Prima namque dicitur sexquialtera: videlicet tres ad duos. Secunda sexqui tercia scilicet quattuor ad tres. Tercia sexquiquarta: vt sunt quinque ad quattuor. Quarta autem sexquiquinta: vt sex ad quinque. Qninta vero sexquisexta nuncupatur vt sunt septem ad sex. Sexta est sexquiseptima: vt sunt octo ad septem. Septima vero species sexquioctaua appellatur: vt sunt nouem ad octo. et in hac proportione cadit tonus. Nam cum corda sit nouem equissimorum passuum dimensa: et eadem octo tantum passus contineat: habet in se totum minoris: et insuper eius octauam partem ex quo resultat sexquioctaua vt liquido in diuisione monocordi constat. Circa igitur alias huiusmodi generis species in infinitum eodem ordine esset processus. Et [f.gvr] notandum quod sexquialtera dicta a sexqui quod est semis et altera que est media: quia media pars alterius numeri equalis additur integro numero vt tres ad duos: et sex ad quattuor prout supra notatum est. Sexquitertia vero dicta a sexqui quod est totum et tercia: eo quod maior numerus comprehendit totum minorem: et insuper ipsius minoris terciam partem: vt quattuor ad tres et octo ad sex. Quis igitur ambigat diapente sexqui alteram et diatesseron sexquiterciam occupare proportionem. Uerum enim vero quemadmodum ex sexquialtera proportione: et sexquitercia surgere duplam clarum est: ita diapason ex diapente constat et diatesseron.

Capitulum .xv. de genere superpartiendi.

Genus autem superpartiens illud dicitur quando maior numerus in se totum minorem continet semel: et insuper eius minoris aliquam partem non aliquottam: sed ex duabus vel pluribus aliquottis partibus ipsius minoris compositam: vt quinque ad tres. Nam quandoque in se tantum tres semel: et insuper binarium: qui non dicitur pars aliquotta trrnarij: sed ex duabus ipsius ternarij partibus aliquottis compositis scilicet ex duabus vnitatibus. quarum vnaqueque dicitur pars tertie ternarii. Huius quoque generis infinite sunt species. Prima igitur superbipartiens proportio nuncupatur. secnnda vero supertripartiens. quando scilicet pars illa tres aliquottas ipsius minoris partis continuerit. vt octo ad quinque. Tercia autem superquatripartiens vocabitur vt nouem ad quinque. et hoc adhibita ordine [f.gvv] prius diligenti speculatione ad infinita proceditur.

Ulterius ad habendum harum proportionum nomen magis speciale intelligendum est quomodo sese habent iste partes aliquotte respectu minoris termini: vtrum sint minoris tertie: quarte: vel quinte. si fuerit tertie dicetur proportio superpartiens tertias. si quarte dicetur proportio superpartiens quartas. et sic in infinitum. Ut clarior uobis aditus innotescat sic dicamus. Cum maior numerus contineat totum minorem: et insuper eius partem non aliquottam duas in se partes aliquottas minoris habentem: quarum quelibet sit tertia pars ipsius minoris: talium proportio dicitur superbipartiens: vt quinque ad tres Si vero numerus maior contineat minorem semel: et insuper partem non aliquottam minoris tres in se aliquottas dicti minoris continentem: quarum quidem aliquottarum partium vnaqueque sit quinta pars ipsius numeri minoris: proportio talinm dicitur superbipartiensquintas: vt sunt octo ad quinque. et sic proportionaliter videndum est in alijs. vt si decem senario comparauerimus dicatur superquatripartiens sextas: et sic de singulis. Hec enim sunt radices ac omnium superparticularium prime proportiones. iii. iiii. v. vi. vii. viii. ix. Istud igitur genus non enim ab vnitate neque a binario capit exordium: sed a ternario vt vides inchoat. Cui scilicet ternario cum maior numerus fuerit comparatus: vno scilicet naturaliter medio termino intermisso. et fit illico ex quinario ad ternarium [f.gvir] prima species. Secunda vero fit ex sequenti minore. scilicet quaternario comparato maiori cum intermissione duorum naturalium numerorum qui sunt quinque ad sex. Erit ergo maior numerus septenarius ad perficiendum huiusmodi secundam speciem. que proportio supertripartiens nuneupatur. Tercia vero species formatur ex sequente minori termino scilicet quinario comparato maiori scilicet nouenario: cum intermissione duorum naturalium numerorum qui sunt sex septem et octo. Dicetur ergo nouenarii ad quinarium collatio superquatripartiens proportio. Similiter si eodem ordine processeris: intermissis quattuor naturalibus numeris: fiet proportio super quincupartiens. vt .xi. ad .vi. atque ad eundem modum in infinitum posset procedi. De quibus annotatur presens figura .v. vii. ix. xi. xiii. Colligitur namque ex his: longe duobus reliquis simplicibus multiplex inequalitatis generis: nobilius et excellentius in quo vt supra dictum est diapasson et diapasson diapente: simul et bisdiapasson collocantur. In superparticulari vero diapente et diatesseron coniunctio terminatur. Ex hoc vero tercio superpartienti diapasson diatesseron resultat copulatio. que ob maximam in se discordiam nedum ab Aristotile et Pitagoricis. sed etiam ab omni musicorum cetu reiecta est Constat igitur hoc genus tertium cum sit ab equalitate multiplicium: ac integritate plusquam superparticulare remotum: idcirco minns ad musicalia modulamina coaptum: [f.gviv] et omnino fuisse separatum. Sat de hoc dictum sit modo ad duo composita genera commigrandum.

Capitulum .xvl. de duobus aliis generibus compositis.

Quartum genus multiplex superparticulare dicitur quod nil vtile musico probatur: neque necessarium. Siquidem tam a multiplici quam a superparticulari: non ab re traxit istud vocabulum. In eo enim quod ad instar multiplicis minorem duplicat numerum triplicat: aut quadruplicat videtur eiusdem primi generis immitari naturam. et quia maiorem desuper habet aliquam semper particulam putatur etiam habere superparticularis proprietatem. Est igitur multiplex superparticulare quando maior numerus continet in se totum minorem pluries. et insuper ipsius minoris vnam aliquottam partem: vt quinque ad duos. Nam vbi maior numerus continet bis minorem: et insuper eius aliquottam partem que est ipsius minoris dimidia tunc hec dicitur proportio dupla sexquialtera: vt etiam decem ad quattuor. Si autem maior contineat bis minorem et vltra eius terciam partem dicetur dupla sexqui tercia: vt septem ad tres. vt hac numeri naturalis patebit descriptione .ii. iii. iiii. v. vi. vii. viii. ix. x. Istud genus vt vides a binario numero sumit exordium: veluti superparticulare a quo partim est denominatum. Si igitur relinqueris de medio ternarium et quaternarium habens illico duplam sexquialteram: primam proportionem a quinario scilicet ad binarium. et si quattuor quinque et sex non numerentur dupla sexquitercia erit videlicet septem ad tres. si autem tres vacent: quattuor quinque et sex septem et cum nouem octo intermittantur erit triplasexquitertia .x. ad tres. et sic per infinitas species hoc genus potest multiplicari. [f.gvijr] Quintum autem et vltimum genus dicitur multiplex superpartiens a multiplici genere: et a superpartienti nomen trahens. Namque ex illis duobus compactum est. Fit enim cum maior terminus continet in se totum minorem pluries: et insuper ipsius minoris partem non aliquottam comprehendentem aliquas partes aliquottas dicti minoris. sicut octo ad tres. vt hac naturalis numeri descriptione patebit .iii. iiii. v. vi. vii. viii. ix. x. xi. Iuchoatur igitur genus istud a ternario sicut superpartiens: a quo ex parte vna nascitur. Et si de medio iacent quattuor: quinque sex septem: mox primam duplam superbipartientem habes videlicet octo ad tres comparatis. Quod si iterum octo nouem atque decem cum quattuor antescriptis non numeres: ac vndecim ternario compares tripla superpartiens proportio dicetur. et sic in infinitum. Collectio itaque omnium predictorum generum breui sic summa comprehendi possunt. Omnis maior terminus minori comparatus vel continet ipsum minorem pluries et nihil vltra: et tunc est multiplex proportio vel semel et aliquid vltra: et hoc dupliciter. Si enim id quod vltra minorem continet maior fuerit ipsius minoris pars aliquotta dicitur proportio superparticularis. Si vero id quod supra minorem continuerit maior fuerit pars non aliquotta minoris continens aliquas aliquottas partes dicti minoris dicitur proportio superpartiens.

Item vel maior terminus continet minorem pluries et aliquid vltra. Et hoc dupliciter. Nam vel illud quod ultra est pars aliquotta minoris: et tunc est proportio [f.gvijv] multiplex superparticularis. Uel est pars non aliquotta minoris continens tamen aliquottas partes ipsius minoris saltem duas. et sic erit proportio multiplex superpartiens: quorum exempla iam superius demonstrata sunt. nunc vero de proportionalitate est dicendum.

Capitulum .xvij. Quid sit proportionalitas: et quomodo proportiones inequalitatis ab equalitate nascantur.

Quoniam superius de proportionibus predictum est: modo de medietatibus earundem que proportionalitates nuncupantur est dicendum. Proportionalitas igitur est equarum proportionum collectio. Et nota quod tripliciter consideratur. scilicet arismetrice: geometrice: et armonice. Cum enim constitutis tribus tantum terminis: primus terminus ad secundum eandem retinet proportionem quam secundus ad tertium: tunc dicitur proportionalitas. et est inter tres numeros. secundus numerus qui medius dicitur. Medij igitur termini has proportiones coniungentis trina partitio est. Aut enim est equa differentia minoris termini ad medium et medii ad maximum: sed non equa proportio: vt in his numeris .i. ii. iii. Inter vnum quippe et duo: et inter duo et tria vnitas duntaxat differentiam tenet. non est ergo equa proportio: sed duo ad vnum est proportio dupla: tres vero ad duos sexqui altera. Aut est equa proportio in vtrisque: non vero equalibus differentiis constituta. vt his numeris patet .i. ii. iiii. Nam duo ad vnum [f.gviijr] ita proportionem constituunt duplam quemadmodum quatuor ad duos.. Sed inter quaternarium binariumque binarius differentiam facit inter binarium: et vnitatem vnitas. Erit vero tertium proportionalitatis genus quod neque eisdem proportionibus neque eisdem differentiis constabit. sed sicut se habet maximus ad minimum siue extremus ad extremum: ita se habebit maiorum differentia terminorum ad minorum differentiam terminorum. vt in his numeris .iii. iiii. vi. Nam sex ad tres duplam faciunt. Inter sex vero et quattuor binarius differentiam facit. sed inter quattuor et ternarium vnitas differt. At si binarius vnitati comparetur dupla erit proportio: sicut etiam fit ex senario ad ternarium. Uocatur autem illa iuxta Boetium proportionalitas arithmetrica: in qua eque sunt differentie. Illa vero in qua sunt eque proportiones geometrica. Illa autem quam tertiam descripsimus Armonica vt his subiectis exemplis. Arithmetrica proportionalitas: vnum duo tria. Geometrica .i. ii. iiii. Armonica .iii: iiii. vi. Itaque inter has tres medietates: proportionalitas quidem proprie et maxime geometrica nuncupatur. Idcirco quoniam equis proportionibus tota contexitur. sed tamen eodem vtimur vocabulo proportionalitates etiam ceteras nuncupantes. earum alia continua: alia disiuncta. Continua igitur proportionalitas est cum vnus tantum medius terminus constituitur: qui tunc quidem in comparatione post ponitur: nunc vero maiori preponitur: vt prescriptis rationibus et exemplis ostensum est. Disiuncta vero est cum duo medij termini constituuntur. vt geometrica hoc modo vnum duo tria sex.

[f.gviijv] Nam vt est binarius ad vnitatem ita senarius ad ternarium. et hec vocatur disiuncta. Et sic habes continuam proportionalitatem in tribus terminis inueniri. disiunctam vero in quattuor vel in pluribus.

Capitulum .xviii. repilogatio proportionum ex quibus consonantie et membra earundem conficiuntur.

Clare siquidem vt reor percepistis dum quinque inequalitatis genera exarauimus: tres tantum multiplici in genere consonantias consistere: videlicet diapasson: diapassondiapente et bisdiapasson. Nam prima in proportione dupla: secunda vero in tripla. tercia que est bisdiapasson in proportione quadrupla. vt his numeris patet .i. ii. iii. iiii. Nam binarius vnitati comparatus duplam reddit proportionem. ternarius vero ad vnitatem similiter triplam. quaternarius vero vnitati quadruplam. Ulterius tres quarum vna est consonantia scilicet diapente: relique consonantiarum membra in superparticulari: videlicet diatesseron et tonus consistunt. Diapente igitur et diatesseron simul iuncte: diapasson omnium consonantiarum perfectissimam conficiunt. Similiter tonus diatesseron iunctus diapente consonantiam reddit. et hec cum ex quinque phtongis siue sonis corporetur: sexquialteram reddit proportionem. Diatesseron vero in sexquitertia: et tonus in sexquioctaua cadit proportione: de quo in diuisione monocordi latius patet. Additiam vlterius nonnulla numerorum vocabula: que quamuis idem de quo supra ad constituendas consonantias significent: tam in multiplici quam in superparticulari. veruntamen vt quedam scitu digna apud Boetium [f.hir] Macrobiumque intelligatis annotabo. Sunt enim hi multiplices numeri scilicet duplaris: triplaris: et quadruplus. Superparticulares vero sunt emiolius vel sexquialter. Epitritus vel sexquitertius. epogdous vel sexquioctauus. Duplaris numerus est ille qui dum comparatus fuerit minori continet bis totum ipsum minorem et dicitur proportio dupla. vt duo ad vnum vel quatuor ad duos: sex ad tres: et octo ad quattuor. vel .xii. ad sex cum similibus. Triplaris vero est ille qui minori comparatus ter in seipsum minorem continet: vt tres ad vnum. sex ad duos. nouem ad tres cum similibus. et vocatur proportio tripla. Quadruplus autem dicitur ille qui dum comparatus minori continet eum in se quater vt quattuor ad vnum: octoque ad duos et caetera. et dicitur proportio quadrupla vel bisdupla. Emiolius numerus est ille qui minori comparatus continet ipsum in se totum semel: et insuper dimidiam ipsius minoris partem vt tres ad duos. Dicitur enim emiolius ab emi quod est dimidium et olon totum: quasi continens totum minorem: et etiam mediam ipsius partem. et hec proprie dicitur proportio sexquialtera a sexqui quod est semis et altera: quia media pars alterius numeri equalis additur integro numero. Epitritus vero numerus est ille qui dum comparatus fuerit minori continet ipsum in se totum: et insuper eius terciam partem vt quattuor ad tres dicitur epitritus ab epi quod est supra et tritos tercius quasi continens totum minorem insuper eius terciam partem. et dicitur hec proportio sexquitercia a sexqui quod est totum et tercia: quasi totum in se continens minoris: et eius terciam partem. Epogdous [f.hiv] numerus est ille qui dum comparatus fuerit minori continet ipsum totum: et insuper eius octauam partem: vt nouem ad octo. et dicitur proportio sexquioctaua. Dicitur autem ab epi quod est supra et ogdo octo. quasi in se continens minorem et insuper octauam eius partem. Sunt namque emiolius: epitritus et epogdous maiorum numerorum nomina in proportionibus prenominatis: non autem proprie ipsarum proportionum: sed quia proportiones a maioribus terminis nominationem capiunt. aliquando eadem vocabula attribuuntur ipsis proportionibus: quae et maioribus ipsarum terminis inscripta sunt. Unde emioliam proportionem sexquialteram vt dictum est vocamus: epitritam sexquitertiam et epogdoam sexquioctauam.

Capitulum .xix. de quantitate continua.

Sat igitur de quantitate discreta superius annotatum credo: cum de numeris ac proportionibus loqueremur. nunc vero quaedam notatu digna apud nonnullos et maxime apud Euclidem examinata vobis strictissime explicabo. Nam cum quantitatum alia sit discreta alia continua: ea que discreta est non quidem finita est sed ad infinitum per maiora procedit. Namque in ea vnitas minima est: atque finita est. in infinitum vero pluralitas augetur. vt numerus qui cum a finita vnitate incipiat: crescendi non habet finem. Quamobrem sicut discrete quantitati subiecti sunt numeri ob sui infinitatem: similiter ipsi quoque soni: qui ex numerorum ipsorum habitudinibus generantur eidem subitiuntur vt satis ostensum est. Quippe quoniam et discreti sunt siue inter se differentes: et ideo infiniti. Continua vero quantitas tota quidem finita est: per infinita quoque diminuitur. Nam linea quae continua est semper in infinita partitione minuitur cum sit eius summa vel pedalis: vel quaeuis alia diffinita mensura. [f.hijr] Ad cuius euidentiam sciendum est quod communiter duplex geometria describitur scilicet theoricalis et practicabilis. Prima enim circa passiones magnitudinum inuestigat ratione et silogismo videlicet quod triangulus habet tres et caetera. Secunda vero circa mensuras magnitudinum arte et instrumento inquirit. Unde triplex eius diuisio scilicet in altimetricam: et planimetricam et solmetricam quarum prima de mensuratione altitudinum est. idcirco ab altitudine et metron mensura nuncupata. secunda est de consideratione planorum vnde nomen sumpsit. tercia vero de consideratione solidorum. Instrumenta namque huiusmodi mensurationibus deseruientia sunt quadrans astrolobium et sic de alijs. Igitur antequam ad inferiora transcendam principaliter de theorica inquirendum. videlicet a descriptione principiorum quid sit punctus Punctus namque est principium et finis magnitudinis. vel principium et finis linee. Unde in linea sunt duo puncta in actu scilicet principium et finis: multavero in potentia: quia tunc fiunt in actu quando linea in actu diuiditur. Magnitudinum autem quaedam habent vnam dimensionem: vt linea: quaedam vero duas: vt superficies: quedam autem tres vt corpus quod longitudinem latitudinem habet et profunditatem. Figura est magnitudo terminata linealiter vel superficialiter. vnde omnis figura aut est plana: aut solida. et planas quidem terminant linee: solidas vero figuras superficies. Figurarum namque planarum alia est circularis seu angularis. Angularis alia rectilinea et poligonia: siue multorum angulorum constituta. Circularis vero est figura plana vna linea contenta: que circumferentia nominatur: in cuius medio est punctus a quo omnes linee ducte ad circumferentiam sunt equales. et hic punctus dicitur centrum circuli. [f.hijv] Rectilinearum figurarum alia est triangularis et proprie triangulus nuncupatur. Alia vero est quatuor angulorum: et vocatur quadrangulus. Alia vero quinque: et vocatur penthagonus: et sic in infinitum. Et notandum est quod in qualibet specie illarum sunt figure que regulares et irregulares nuncupantur. Regulares sunt que habent vniformitatem in angulis et lateribus. Irregulares vero per contrarium. Linea recta est cuius medium non exit extrema. Linea vero circularis est cuius medium exit extrema. Linea vero perpendiculariter cadens est illa que cadit ad modum perpendiculi siue linea vt ita loquar: per quam artifices muri rectitudinem examinant. Angulus rectilineus est spacium causatum ex contactu linearum rectarum. Item angulorum alius rectus alius obtusus: alius vero acutus. Angulus rectus est quem linea recta cadens perpendiculariter super lineam rectam conficit. Linea enim recta perpendiculariter cadens super aliam constituit cum ea super quam cadit duos angulos. vnde eam ortogonaliter secare dicitur cum ad angulos rectos diuidit. vt sic angulus maior recto obtusus dicitur: angulus vero minor recto acutus. Primus namque obtusus est: secundus vero est acutus. Triangulus est figura plana tribus lineis contenta. Et nota quod triangulorum alius est omnium trium laterum equalium: qui vocatur hysopleurus quasi figura equilatera constitutus. Alius duorum laterum tantum equalium et vocatus isoscheles. alius vero trium laterum inequalium: et vocatur scaleon vel gradatns. Ex parte autem triangulorum diuiditur triangulus in ortogonum qui habet vnum angulum rectum: nam ortos rectum significant. Item in [f.hiijr] antigonum qui habet vnum angulum obtusum et in oxigonum qui habet omnes angulos acutos. Quadrangulus est figura plana quattuor lineis contenta. Quadrangulorum alius paralellogramus idest equidistantium laterum. alius disparalellogramus idest non equidistantium laterum. Paralellogramorum vero alius est habens omnia latera equalia et vocatur quadratum: vt in tessera apparet. alius oppositorum laterum tantum equalium: et vocatur altera parte longior: quia secundum vnam dimensionem longior est quam secundum aliam. Sphera est solidum quoddam vna superficie contentum: in cuius medio punctus est: a quo omnes linee ducte ad circumferentiam sunt equales. Et nota quod differentia est inter circulum et speram qui licet sit vtrumque figura rotunda: tamen circulus est figura plana vna dumtaxat linea contenta. Circulus namque cum forma sit vniformissima non diuiditur in plures species: sed solum specie quantitatiua in portiones diuiditur. Omnis autem portio circuli vel est semicirculus: vel portio maior semicirculo: vel eo minor: Semicirculus est figura plana dyametri et medietatis circumferentie contentiua. Dyameter est linea diuidens circulum in duas partes equales. et dicitur a dyo quod est duo et metron mensura. Semidyameter vero est linea plana recta exiens a centro circuli ad circumferentiam eiusdem. Portio vero circuli vt distinguitur contra semicirculum est figura plana rectilinea extra centrum cadente: ex parte circumferentie contenta. Linea autem recta corda dicitur: pars vero cicumferentie arcus vocatur. Cum igitur circulus sic diuisus fuerit per cordam et portiones suas: portio in qua est centrum est maior semicirculo: portio vero in qua non est centrum est minor. portio enim superior est minor: portio vero inferior est maior. [f.hiijv] Angulus semicirculi dicitur dyameter quem circumferentia constituit. Angulus vero portionis dicitur ille quem corda cum circumferentia constituit. Circulum autem dicimus lineam contingere que circulum tangens in vtramque partem rectam non secat circulum. Circuli enim se confingere dicuntur qui sese tangentes seinuicem non secant. Concentrici circuli dicuntur qui super idem centrum describuntur. Ecentrici vero quorum centra distant: cum fit circulus in circulum. Omnium siquidem figurarum et si varie sint: circulus tamen prima est perfectissima: pulcherrima: capacissima: et ad motum aptissima: cum sit figura vnica linea contenta. Triangulus similiter inter figuras rectilineas obtinet principatum: maxime enim cum due linee figuram rectilineam claudere vel terminare non possint nisi in figura rectilinea ad minus sint tres linee. et sic huiusmodi figurarum triangulus est prima. Piramis est figura cuius extremum latum dicitur bassis piramidalis. extremum autem acutum dicitur conus. Item piramides erant erecti mire magnitudinis in acutum tendentes: dicti ab ipsa figura que flammam imitatur igneam. Nam pyr grece ignis latine. Unde illud Mar Barbara piramidum sileat miracula memphis. De his etiam apud Diodorum multis in locis abunde dictum. Hec vobis sufficiant quantum ad huiusmodi figurarum ac magnitudinum descriptionem. Nunc vero circa mensuras que ad practicam huius discipline attinent meme sub breuitate extendam: additiendo tamen nonnulla ponderum vocabula: que cum ad materiam congrua mihi notatu digna visa fuere. Ad rem condescendo. Mensura [f.hiiijr] igitur ea proprie est: que a membris hominum denominata: et appellatione eiusdem comprehenditur quicquid pondere: capacitate: longitudine: latitudine: et animo continetur. Mensurarum autem quamquam varia sint nomina et appellationes: nihilominus hec precipue scitu digna videntur que secuntur. digitus: vncia: palma: sexta: pescubitum: passus: decempeda: clima: actus: iugerum: stadium: miliare: et centuria. Digitus namque mensurarum minima: habetque et diminutiores partes in se: videlicet dimidiam tertiam quartamue digiti partem. Et nota quod digitorum: alius quadratus: alius et rotundus: sed cum simpliciter digitum appellamus rotundum intelligimus. qui quidem est sextadecima pedis pars: tribus quartisdecimis suis quadrato minor. Uncia vero digitum integrum et eius partem terciam continet. Nam vncijs .xii. pes integer diffinitur. Palma nanque duplex est: extensa videlicet et compressa. Extensa est quantum aperta manus a pollice ad minimum se extendit. Compressa vero quantum quattuor digiti simul iuncti excepto pollice se expandunt. eam tamen simpliciter nominando de compressa intelligitur. Sexta autem duodecim continet digitos. et eandem mensuram quam palma extensa complectitur. Pes vero est digitorum sedecim. Ex pede autem et semis cubitum resultat. Passus enim ex pedibus quinque quamquam et spacium illud quod interambulandum est inter pedes passus etiam nuncupatur. Dictus vt quibusdam placet. quod gressibus mutuis pedes patescunt. [f.hiiijv] Decempeda autem ex pedibus decem constat: propterea a decem nomen sumpsit. Clima vero sexdecem pedes constituunt quod quoquomodo versus pedum est sixaginta. Actus dicitur quod in eo boues agerentur cum vno impetu iusto araretur: qui erat viginti pedum. Actuum autem alius minimus alius quadratus et alius duplicatus. Minimus enim quattuor pedes patet quod spacium in agris erat inter vicinos. et proprie apud leges seruitus nuncupatur videlicet quod quis non solum possit deambulare per se: sed etiam iumentum et quadrigam ducere. vt Pandecte de servitutibus rusticorum prediorum libro in verbo actus et Institutionum eodem titulo in verbo actus. Quadratus vndique centum viginti pedibus prefinitur. Quadratus duplicatus iugerum prestat et iugerum sic nuncupatum est eo quod ex duobus quadratis actibus sit iniunctum. vel quod id spacium vno iugo boum in die arari possit. et extenditur iugerum in longum pedes ducentos et quadraginta: in latum vero centum .xx. Stadium passibus .cxxv. describitur. Miliarium vero stadia octo: hoc est passus mille complectitur. De quo Plinius .ii. naturalis historie. Ultimo centuria ex centum iugeribus constituebatur: vnde nomen accepit inde ex ducentis iugeribus seruato nomine expleuerunt. Item centuria apud romanos olim caterua erat centum militum numero constituta. Unde Centurio teste Uarone qui illis preerat appellabatur. Secuntur varia ponderum vocabula. Omnium siquidem ponderum minimum est siliqua: quam nostri fabam grecam nuncupant. sex autem silique scrupulum faciunt. qui et obolus dicitur: quem nos pensum denarium appellamus. Est autem vncie quarta et vigesima pars. Dragma vero supra obolum ponitur que ex scrupulis tribus constat. sextula autem ex quattuor sic dicta [f.hvr] quod sexta sit pars vncie. Quondam nanque tempore hanc antiqui denarium appellarunt. Denarius enim tunc argenteus minimus erat ponderis siliquarum quattuor et viginti quamquam denarius proprie de decem assignum pondo constet. et hec pars supra sextulam et semiunciam eris signati erat minima dimidium vncie continentem. Uncia enim ab vno denominatur videlicet quod ex .xii. ea est pars assis vnica. Nam as ex .xii. constat vnciis vt infra patebit. Sextans vero sunt due vncie quasi sexta pars assis. Quadrans est quarta pars. nam quattuor tria .xii. faciunt: ergo tres vncie: alias triuncium dicebatur. Triens namque est tercia pars assis: nam ter quattuor .xii. constituunt ergo tercia pars. Quincuns sunt vncie quinque. Semis est dimidium assis dictus a semi quod est medium et assis. Septunx septem vncie sunt. Bes vero vncie octo quasi due partes assis ex tribus partibus dempto triente. Dodrans nouem vncie sunt dempto quadrante: quem et nouuncium dicimus. Dextans decem vncie dictus: quia assi deest sextans Deunx .xi. vncie quasi vna vncia ex asse dempta. In as sequitur qui ex vnciis .xii. constat. et proprie libra a nostris nuncupatur: cuius diminutiuum est libella a qua et deliberare. De asse habetur Mattheus .x. Nonne duo passeres asse veneunt. Inter assem vero et mnam nulla est differentia. Mna a grecis mina a latinis interpositione litterae apdellatur. De hoc habetur Luce .xix. Domine mna tua decem mnas acquisiuit et caetera. Est etiam hemina. Unde illud Persii. Fregerit heminas arreti edilis iniquas. Dicta enim ab hemis quod est semis. dimidium enim sextarii continet: teste Aulo Gelio libro tercio. Si enim inquit ex sextario hemina fusa est: sed dimidium. Supra assem est [f.hvv] dupondus libris duabus constans. Unde et vnum pondus assipodium est appellatum. De dupondio habetur Luce .xij. Nonne quinque passeres veneunt dispondio. Et possumus dicere dupondium et dispondium. Ultra hoc est sextertius ex duabus libris constans: qui alio nomine semis dictus quasi semistertius: hoc est post duos sequens tercio loco semis: quia fiebat ex duobus assibus. Item et tercio semisse sextercium veteres nominarunt: vt auctor est Uarro. Supra sextercium est tressis a tribus assibus dictus. Unde illud Persii. Tressis agaso et caetera. Item octussis ac nonussis decussis quoque reperitur: idest octo nouem et decem asses. A duobus autem decussibus bicessis est nominatus: qui .xx. assibus constat. a tribus tricessis triginta asses constituens. Item centussis centum asses terminans: qui erant breues ex ere nummi. Unde Persius. Et centum grecos curto centusse licetur. Supra centussem maius eris vocabulum non habetur. Infra vero est talentum: cuius varie sunt species cum pondere: tum et materia. Nam secundum varias gentes diuersi ponderis inuenitur. et est duplex: maius et minus. Maius enim tribus et octoginta et triente describitur. licet aliqui octoginta tantum assium voluerint. Quod Plinius Uaronis sententia .xvi. sextertiis taxari scribit. Cui si credendum est erit librarum .xl. Et intellige de actico quod est maius. Minus vero assibus .lx. constat. Appellatione tamen talenti nedum vt quibusdam placet aurum et argentum intelligitur: sed etiam es ferrum et alumen comprehenditur. Unde Curtius ait. ferri talenta centum. et Herodotus alumis mille talenta scribit. Hec satis ad propositum cumulata monad monocordi dimensionem [f.hvir] condescendo.

Capitulum .xx. De dimensione monocordi.

Visis et examinatis superius philosophorum cordis ac quantitate tam continua quam discreta ad rem discussa: que omnia ni premissa fuissent tamquam ceci et inutiles ad huiusmodi instructionem videremur. Hic namque non cantorum protrita et vulgatissima versatur practica: sed omnium musicorum philosophorumque diligentissima speculatio. dignum ergo et congruum nobis visum est: vt iactis fundamentis modo ad dimensionem monocordi me extenderem. Et quoniam hec omnia a Boetio musicorum principe diffusissime subtiliterque examinata a Guidone Aretino: ceterisque omnibus ad vnguem via facili ac etiam exemplis castigata meme secundum omne breuiore ne huius rei expars videar explicabo. monocordum igitur quoniam vna sola corda partiri potest monocordum est nuncupatum: quasi solicordium. hac enim in monocordo extensa proslambanomenos primo loco figenda est: quae quidem vnisonus erit a quo ceteri soni sicut ab unitate numeri nascuntur omnes: Ab hac igitur voce prima: cordam deinde in .ix. passus equissimos partiri necessum est. vbi vero prius passus fuerit terminatus secunda scilicet hypatheipaton collocanda: quae a prima distat tono: quia corda ix. passuum eam quae octo tantum passus continet habet in se: et insuper eius octauam partem in sexquioctaua proportione: ex qua ut supra monstratum est totius resultat. proslambanomenos namque grauior est quia cordam longiorem habet scilicet .ix. passuum. quis dubitat omne quod continet esse maius eo quod contineri videtur? His enim duabus constitutis vocibus quartam ante terciam collocari oportet: quoniam post primum tonum succedit statim minus semitonium. et quia musicus motus non est integer: et nullam cordam certa metitur dimensione: idcirco totam cordam incipiens in prima grauiori voce quattuor equissimis passibus partire. vbi namque primus quieuerit [f.hviv] passus ibi quarta scilicet licanoshypaton est figenda: que ad primam diatesseron consonantiam respondebit sexquitercia proportione. Nam corda quattuor passuum illam quae trium est in se continet: et insuper eius terciam partem. Deinde in quarta quam nuper creasti voce compassum pones: et totam cordam octo equissimis passibus diuidamus. Rursusque compassus fixus in ipsa quarta voce ad grauiorem partem retorquatur: et vbi ille nonus quieuerit passus: tercia vox scilicet parhypatheypaton collocetur a quarta distans tono.

De primo semitonio minori creando.

Ex illo autem spacio quod inter secundam et hanc terciam nuper creatam: resultat minus semitonium atque fixum. Nam que diuiso tono fiunt ad tempus: vel ad euitandam tritoni asperitatem vt supra dictum est mobilia semitonia nuncupantur cetera vero fixa. Omne namque semitonium quoquo nomine appelletur: quia nullatenus ut dictum est cordam equipartirivalet: ideo per quosdam integrorum motuum musicorum circuitus necesse est generari. Rursus in prima voce ponatur compassus totamque cordam in tribus equissimis passibus diuidens: tunc vbi primus passus terminum duxerit ibi quinta vox scilicet hipatemeson configenda est: quae diapentes faciens consonantiam ad primam in proportione sexquialtera. Ponatur deinde compassus in voce tercia totam metiens cordam in quattuor equissimis passibus. vbi enim primus finem fecerit passus sexta vox scilicet parhypatemeson collocetur quae ad ipsam terciam reddit diatesseron: et ad quintam sibi proximam minus semitonium quod aliter non poterat haberi nisi per hunc similem modum. Quod si rursus in quarta voce compassus fuerit constitutus: residuum corde quaterno passu equissime totum diuidens vbi primus passus finem habuerit ibi septima scilicet licanosmeson figenda est: [f.hvijr] que ad vocem quartam diatesseron erit in sexquitercia proportione. ad sextam vero proximam in sexquioctaua tonus. Post hec igitur statim ad principalem omnium quae procreate sunt vocum reuertendum est. a qua postquam duobus equissimis passibus tota corda fuerit dimensa. vbi enim primus passus terminum statuerit: octaua ibi constituenda est vox. scilicet mese: quae media dicitur: veram equisonans diapasson consonantiam cum ipsa prima in dupla proportione. In mentem reducere debes lector quod diuisa tota corda per medium primam tibi creauerit diapason. nunc vero si secundam vis fabricare et vocem nonam habere: ponas compassum in secunda voce: que dicitur hypatehypaton: totam cordam iterum in duobus equissimis passibus diuidentem: vbi primus terminauerit passus nonam ibi scilicet parmesen affige cordam: quae veram diapason ad secundam reddet et tonum ad octauam. Iterum in tercia voce fixus compassus cordamque duobus equissimis partiens vbi primus terminauerit passus vocem decimam scilicet tritediezeugmenon habebis. que semitonium minus ad nonam. ad ipsam vero terciam diapasson equisonabit. Item a voce quarta similiter corda diuidenda est per medium et vndecimam scilicet parnetediezeugmenon in primo completo passu habebis. et ad ipsam quartam diapason producentem: et ad decimam tonum. In quinta vero voce fixo compassu: ac diuisa similiter corda per medium duodecimam vocem scilicet netediezeugmenon in terminatione primi passus ad quintam ipsam diapasson resonabit: ad vndecimam vero tonum. Rursus si in sexta voce compassum posueris: dimensa tamen corda per medium vbi primus finem fecerit passus terdecimam scilicet tritehyperboleon habebis. quae a duodecima vno minori semitonio erit distans. a sexta vero diapason [f.hvijv] equisonas. Post hec si corda a septima voce duobus equissimis passibus fuerit dimensa: et passu primo quartamdecimam vocem scilicet parnetehyperboleon fixeris: a terciadecima tono erit distans: et a septima diapason resonabit. Postremo ab octaua voce si cordam duobus equissimis passibus dimensus fueris. et vbi primus terminauerit passus ibi quintamdecimam vocem scilicet netehyperboleon fixeris habebis quintamdecimam et vltimam philosophorum vocem diapason ad octauam et ad quartamdecimam tonum reddentem. Semper nanque hoc modo diuidere cordam poterimus equissime de sonis in sonis per medium. Et his quindecim vocibus quotquot voluerimus voces superaddere semper eodem processu diapason replicando vsque in infinitum. Non mireris sane lector has quindecim philosophorum cordis tali ordine disposueri quoniam earum nomina non necessario posita sunt: sed vt potius honor inuentoribus tribuatur actum est quam alio modo ordinatum. Possumus etenim alia signa ac litteras cuiuscumque caracteris sint ad beneplacitum describere et apponere dummodo talis dimensionis ordo ad vnguem obseruetur. Nam non litteras non signa dum instrumenta pulsantur sentimus: sed voces cuiuscumque litterae seu cifre ad inuicem interuallis distantes excipimus. Ergo signa et caracteres huiusmodi non consonum quicquam nobis dabunt: sed auditus tacto instrumento: medianteque ratione consonantias reddet luculeutissimas. Modo de diuisione tonorum per propria semitonia examinandum est.

Capitulum .xxi. Omnes monocordi tonos per minus ac maius diuidere necessarium.

[f.hviijr] Quoniam superius dimensionem tonorum: ac naturalium fixorumue semitoniorum et consonantiarum in vnica eorda proportionibus arithmetricis expediuimus: nunc monstrandum est quo ordine vnusquisque tonus in dicta corde dimensione constitutus possit in duo inequalia semitonia diuidi. Primo siquidem tractatu nostro dum de tono locuti sumus: tonum in duo inequalia partiri necessarium ostendimus scilicet in semitonium minus et maius quod est apothome: que simul iuncta tonum perficiunt. Uerum quia alie quaedam in monocordo inueniuntur clauicule quas alij fictas: alij vulgo .b.mollia nominant alij coniunctas. nonnulli et melius semitonia mobilia. ideo de his explicandum. Hec etenim in organis vel monocordis infecto ligno seu nigro constituta nil aliud agunt nisi quod tonos singulos in duas partes inequales diuidunt quas si dimensus fueris: et vnam alteram maiorem aut ediuerso minorem non inueneris scito quod istud monocordum non iuste sit compartitum. Nam ex tali dimensione minus semper precedit semitonium et non aliter. Igitur sic rei ordinem pandam. Ponatur compassus in tercia voce superius deposita totam equissimis partiens cordam quo facto mox ad eandem in quam cepisti reuertendum est: ibique rursus fixus compassus retorquendus est versus sinistram: in quo nono passu si clauiculam fixeris habebis tonum inter primam vocem et secundam diuisam in duabus partibus ex quibus vna maior erit et alia minor. in maiori enim apothome valde discors resonabit: in minori vero minus semitonium musice decus et suauissimum. Et scias notanter quod cum hec vocula auferatur ad placitum et ad placitum reponatur: quia naturaliter non conuenit in consonantiarnm dispositione: nullam sortitur nomen congruum. [f.hviijv] Ipsa siquidem clauicula nominatur. qua similiter omnes tali nomine funguntur. et hec in prolatione armonica minime necessaria preterquam in temperamento tritoni. His igitur ita premissis volens et ceteros monocordi tonos per minus ac maius semitonium diuidere prout superius diuisus est tonus ponat compassum in ipsa uocula mobili: que primas duas voces primumque tonum diuidit totam cordam in quattuor equissimis passibus metientem. vbi enim primus terminauerit passus inter quartam vocem et quintam per diatesseron in sexquioctaua proportione: ibi constituatur clauicula que tonum illum tercium vt optabas diuidit. Tercio sic per diatesseron diuiso: si compassum in ea uocula que scindit illum defixeris ac iterum totam cordam per quattuor passus diuiseris. vbi primus ille quieuerit passus ibi constitues clauiculam que ab ipsa in qua cepisti diatesseron resonabit. et tonum quintum inter septimam et octauam vocem per minus maiusque semitonium incidet. Ab hac vero vocula que hunc quintum tonum diuidit si binis iterum passibus equissimis tota corda dimensa fuerit: ac postmodum compassum retorqueas: ex ipsa in qua ceperit voce versus grauiorem partem: et vbi tercius ille terminum fecerit passus: ibi clauiculam apponas diuidentem: tonum secundum inter terciam et quartam vocem idemptidem per diapente diuidis. Rursus ab hoc secundo diuiso tono totam in quattuor partire cordam: et vbi primus passus finierit inter sextam scilicet et septimam vocem: ibi clauiculam affige. quartum tonum per minus semitonium et maius diuidentem: que ab ea in qua compassus ceperit per diatesseron distabit. His itaque peractis [f.iir] iterum si compassum in ea posueris clauicula que primum diuidit tonum: equissimis duobus passibus totam metiendo cordam. vbi enim primus terminauerit passus scilicet inter octauam et nonam vocem constitues clauiculam: diapasson generabitur. sextum quoque tonum illum in minus ac maius incidet semitonium. Demum potes si vis hoc ritu semper procedere: et quotquot tonos inueneris per minus semitonium ac maius diuidere: cordam tamen duobus equissimis passibus frequenter partiendo: veramque diapasson de tono bipartito in tonum bipartitum procreando: que omnia cum in monocordo instrumento luculentissime pateant prouidis lectoribus examinandum relinquimus.

Capitulum .xxij. de astrologia micrologus.

Non me preterit amantissimi quia huius libelli primordio quicquam de astrologia dicturum spoponderim. Hoc enim non obliuione incuriaque pretermissum aliqua maxime cum hanc astrorum peritiam totis precordijs ingenioque in me desiderem studiosissime. Sola enim nos futurorum prescios immortali deo simillimos efficit. Per hanc enim cognito rerum fine possumus que ventura sunt complecti: periculum vero aut damnum minantia subterfugere et euitare. Sed quia his tribus superioribus valde semota est: hoc in loco tractandum censui. Igitur de hac re dicere incipiamus. Quamquam ars mathematica quattuor in partes sit diuisa. arithmetricam videlicet que numeros. geometriam que dimensiones. musicam que sonos. astrologiam que celum et stellas complectitur: nihilominus [f.iiv] hanc non pure mathematicam nonnulli conscripsere: sed inter mathematicam et naturalem mediam esse. quoniam hec vt dicunt principia mathematicalia applicat ad res naturales. de qua vide tractatum de spera quamplurimum egregium: et apud philosophum in libro de celo et mundo. Mundus enim quem greci cosmom: nos lucentem mundum nominamus: solem lunam et stellas: terramque continet. Deus enim omnipotens hanc illi rotundam et capacissimam formam constituit vt merito quicquid in eo esset complecteretur ac ambiret. Dedit etiamduo genera motus: vnum quod semper esset in eodem eque et idem in omnibus: atque vno modo celaret alterum quod ante mouit in quam partem a conuersione eiusdem: et similis pelleretur. Quinque preterea reliquis motibus orbem eum esse voluit ex parte immobilem et stantem. Ex quo genere: ea sunt sydera: que infixa celo non mouentur loco: quae sunt animantia: eaque diuina: ob eamque causam suis sedibus inherent et perpetuo manent. Nomina autem horum duodecim his versibus continentur. Sunt aries thaurus gemini cancer leo virgo. Libraque scorpius architenens caper amphora pisces. de quibus abunde apud Iginium perlustrabis. Quodlibet autem signum secundum astrologos in .xxx. gradus partitur. Unde ex toto zodiaci circulo .cccvj. connumerantur In longitudine enim .xxx. sunt: in latitudine vero .xii. Planetarum autem omnium sol in medio tanquam preter collocatus. Ex hoc enim tot vicissitudines dierum atque noctium commutationesque temporum quadripartitas ad maturitatem frugum: et ad temperationem corporum produci conspicimus. Hoc namque quando luna lustro suo cursu consecuta est mensem fieri non est ambigendum. Quinque etenim alia [f.iiir] disparibus inter se motibus cursum suum et peculiare obseruant: quo paucissimi eorum errores cognoscunt. Unde Cicero in libro quem de vniuersitate nuncupatat. Ceterorum autem syderum ambitus ignorantes homines preter admodum paucos: neque nomen appellant: neque inter se numero complectuntur. Itaque nesciunt hos syderum errores idipsum esse quod rite tempus dicitur: multitudine infinita: varietate admirabili preditos. et post paululum qualiter cognoscatur insinuat. Attamen illud prospici et intelligi potest absoluto perfectoque numero temporis: absolutum perfectumque annum compleri: Denique cum se octo ambitus confectis suis cursibus ad idem caput retulerunt. Planetarum siquidem naturas et signorum variaque pronostica: et pulchrum intelligere et iocundum est. Saturnus igitur in superiori parte collocatus indigestam non nunquam homini vitam et grauem contribuit. Unde Persius Saturnumque grauem nostro ioue frangimus vna. et illud Propertij. Et graue saturni sydus in omne caput. Ex complexione hominem melancoliam et augmentum eius atque distillationem et ponderositatem indicat. Saturninus enim quandoque male suspitionis et mouens homines in susurrationibus. Item hominem ex toto nigrum et croceum habet. Iupiter enim est planeta sapie et intellectus et vsus: cui si complectitur mars sciam medicine ex toto demonstrat. Si vero venus significat dispositionem sonorum. et si mercurius complectitur significat arithmetricam: astronomiam philosophiam quoque et geometriam. Ex colore enim hominem habet album habentem ruborem in facie pulchre stature boni animi in omnibus bonis et moribus. [f.iiiv] Mars vero operatur calorem et siccitatem. Per se ei iniurias miserorum et effusionem sanguinis significat: et oppressiones per vim. Significat preterea hominem rubeum: habentem quoque capillos ruffos: et faciem rotundam: oculosque croceos. Sol per aspectum fortunatus est et malus per coniunctionem in vno signo. Ex figuris hominum hominem coloris crocei: fuscique cum rubore aliquo significat. item breuis stature: crispum caluum: ac pulchri corporis: Ueneris preterea astrum ex natiuitate diurna frigus operatur et humiditatem temperatam: ex etate habet iuuentutem: ex magisteriis autem varia instrumenta ludorum: multitudinem coitus et vniuersa genera luxurie. vestimenta etiam et ornamenta complectitur. omnium preterea sonorum magisterium habet. Ex figuris enim hominem album trahentem ad nigredinem pulchri coloris et capillorum. faciem rotundam et oculos venustos. Mercurius enim si ei nullus planeta complectitur ostendit res terreas: augmentationemque rerum. item negociatores vel negociationes: philosophiam et versificandi scientiam. Significat etiam hominem non multum album: medium inter vtrunque tenentem. frontem eleuatam et longam: faciei longitudinem: nasum oblongum: raram barbam: oculos non ex toto nigros. longosque digitos habentem. Luna fortuna femina operatur frigiditatem et humiditatem. Ex operibus habet legationes et mandata: et exercitium aquarum. Ex figuris vero hominem album: ruboreque conspersum iunctis superciliis significat. Item faciem rotundam pulchramque stature conformitatem. Quilibet [f.iiijr] preterea planeta domos proprias habet ex signis supra nominatis. Nam aries et scorpius domus martis sunt. Thaurus et Gemini domus veneris. Gemini iterum et virgo domus mercurii. Cancer domus lune. Leo domus solis. Sagittarius et pisces domus iouis. Capricornus aquarius domus saturni. Et nota quod planete dicuntur gratulari dum intrant hec signa: et maxime saturnus dum intrat aquarium. Pulchrum est etiam scire quid sit exaltatio: terminus: triplicitas: et facies. quid etiam domus: quid anguli: quid preterea potestates planetarum quas habent ex signis per excellentiam et huiusmodi. de quibus omnibus apud Alchabicium satisabunde examinatum.

Huius igitur doctrine speculatio nos ab his tenebris in superiorem illum domicilium tot luminaribus distinctum atque limpidissimum euocat. Nonne pulchrum et iocundum est fixarum stellarum imagines discernere: ac erraticas suis locis nominibusque denotare: earumque coniunctiones: et item solis et lune defectus longe ante preuidere atque predicare? Consona etenim hec doctrina humano generi atque conformis: per quam naturalium rerum animatarum inanimatarumue principia comprehendimus atque passiones.

Habetis igitur charissimi hoc nostro florum libello vt pollicitus fueram: quicquid sub velamine ambiguitatis tegebatur: ac liuore quodam retentum patefactis anfractibus modo discussum atque omni solertia ad vnguem vt dicitur castigatum. Itaque animaduertendum est: vt quod virtutis amore [f.iiijv] quae semper eterna est: vestraque erga me beniuolentia maximo cum labore cumulauerim ne manibus nostris effugiat atque discedat: sed veluti Enchiridion semper inhereat verseturque. Hic certe multa egregia: luculenteque discussa atque digna notatu adeo examinantur vt legentes existimem ex tot rerum ex cellentium notitia: labori nostro gratiam habituros perpetuo Fretus namque preterea doctissitiorum hominum iudicio non inuidorum: quorum mens semper peruersa: vt meme si quid forsan rationi contrarium dixerim: castigatione annotabunt diligentissima. Malui nonnullos de studiis meis male sentire: quam huic exercitio: laborique parcere. Si vero non ita terse et dilucide vt forsan ex me semperabatur opus absoluerim: veniam impetrandam censebo. Ego sane cuius inter omnes tenuis est et doctrina: et dicendi facultas: profiteor me id sponte et necessario egisse vt omnibus maxime satisfacerem. Rari namque musici: sed multitudo cantorum copiosa: qui maiori ex parte imperiti rudesque sunt: Idcirco necessum fuerat vt nonnulla dicta inconcina: et barbaris contexta vocabulis insererem annotaremque. Breuitati tamen me contuli atque aliqua omisi que facietatem orationi peperissent potius quam venustatem. Si quis ampliora petat ingrati hominis munere fungetur: non contentus his quae modica impensa vltra liberali manu porriguntur. Hec enim ad laudem omnipotentis dei sunt edita: qui viuit et regnat per infinita seculorum secula.

Carmen Nicolai Burtii Parmensis. ad lectorem

Dulcia qui temptas vocum modulamina scire.

Hunc eme: qui facili sub breuitate docet:

Nil homini melius sacro: turbeque potentum:

Dulcisonos cantus noscere: crede mihi.

[f.iiiijr] His poteris summum semper placare tonantem.

Et precibus castis in tua vota deam.

Mortales animos permulcet musica amaros.

Carmine multiplici tristia corda leuans.

Consimili modulo pariter formosus apollo

Floruit: ac cithara carmina laeta dedit.

Caelicolae pariter: summis qui presidet astris

Jupiter: inque venus: mercuriusque simul.

Quid valeat numeris et barbiton ipsa canoris

Orpheus est testis: testis aryon erit.

Philosophi simili septem discrimina vocum

Carmine concelebrant: vnde poeta canit.

Uatibus vt multis quondam celebrata per orbem:

Sic Cicero varios aedidit arte modos.

Hec igitur complexa simul quodque aethere fulget:

Quicquid perpetua mobilitate rotat.

Quicquid et ex numero comprehendit turba sophorum.

<H>ec docet: et numero singula dicta probans.

Quid moror? inque simul pariter picteque volucres:

Et genus equoreum: carmina laeta canunt.

En age summe libens: tam gratum fonte liquorem.

Qui et faciet pulso corda serena metu.

Hunc legat assiduo senior: iuuenisque libellum.

Non qui mordaci rumpitur inuidia.

Uiperum semper teneat sub pectore virus.

Hoc volo: sic nobis musica nostra placet.

Impensis Benedicti librarij bononiensis. ac suma industria Ugonis de Rugerijs: qui propatissimus huius artis exactor impressus Bononie. Anno domini .M.CCCC.LXXXVIJ. die vltima aprilis.