Back to top

[f.diiiv] LIBER TERTIVS.

De Discreta et continua quantitate. Capitulum Primum.

QVantitatem duplicem esse Mathematici asserunt Continuam scilicet et discretam Eam enim que continua est quantitatem omnibus suis partibus coniunctam: nec aliquibus finibus distributam dixerunt: ut linea lapis circulus: et uniuersa corpora quae proprie magnitudini ascribuntur. Magnitudo nanque apellatur hec continua quantitas: quae a terminata incipiens quantitate: indeterminatam proportionabiliter recipit sectionem: mensurae suae quantitatem ammittens crescendo: atque multiplicando decrescens: nanque linea quae continua est: ipsa partitione in infinita semper minuitur. ut si fuerit longitudinis decem cubitorum diuidetur recto dimidio: rursus illud dimidium in alterum dimidium seccabitur: atque hoc item dimidium altera medietatae partiemur: sicque ad infinita multiplicatus processus semper diminutior repperitur: cuius proprietatem et naturam superparticularis proportio seruare uidetur: cum in infinitum minorem minuat numerum in maiore cum eius uel dimidia uel tertia uel quarta parte depraehensum. pars enim a maiore numero denominata minoris numeri parte diminutior repperitur: nam cum tertia a tribus prodeat quarta a quattuor: cumque quaternarius maior sit ternario quartam partem ipsa tertia diminutiorem esse necessum est. Discreta uero siue disiuncta quantitas est quae suis partibus determinata in [f.divr] unum quasi aceruatim reducitur concilium ut Boetius posuit in prohemio arythmeticae: [Boetius in marg.] hec enim dicta est multitudo cum plurimae partes in extremis seiuncte componuntur in unum. Ab unitate quidem qua nihil minus est incipiens ad infinita progreditur incrementa multiplicans: nullusque unquam crescendi finis obuiam uenit. Quo fit ut cum numerorum naturae sit ad infinita progredi atque concrescere: mnltiplicitas quia crescendi non habet finem numeri maxime uideatur seruare naturam. Superpartiens uero a simplicitate quodammodo discedens duas uel tres uel quattuor retinens partes et ad quandam ipsarum partium pluralitatem exuberans nec seruat integrum nec ad singulas adimit partes: quare ipsum genus musicis concinentiis minime conuenire Pythagorici consentiunt. [Pythagorici in marg.] Omnis uero multiplicitas in integritate custoditur: nam duplum bis habet totum minorem: triplum ter: quadruplum quater et in eundem modum reliqui. Superparticularitas uero haud quicquam integrum seruat: sed uel dimidio superat uel tertia parte uel quarta et deinceps: diuisionem tamen singulis ac simplicibus partibus affert. Contrariae itaque sunt harum quantitatum proprietates: Altera enim multiplicata in quantitate decrescit: altera augumentum monstratur percipere quantitatis: Sed huius multitudinis que discreta dicitur quantitas: quaedam per se constare uidentur ut unum: duo: tria: quattuor: et reliqua: et quaedam ad alia referri dicuntur ut duplum triplum quadruplum et huiusmodi: Omnis enim numerus qui nullo alio indiget ut ipse sit: dicitur simplex et per se esse ut: 2 3 4 5 6. Et is numerus qui per se non constat sed altero indiget ut ipse sit: ad alterum dictus est referri ut duplus: triplus: sesqualter: sesquitertius: et huiusmodi qui alterutra relatione denominationem sortiuntur. Eam nanque multitudinem quae per se est idest discretos numeros simplices arythmetica speculatur integritas: [Arithmetica, Musica, Geometria in marg.] sed eam que ad aliquid refertur musici modulaminis temperamenta pernoscunt. Magnitudinis uero que continua dicitur quantitas: Alia manentia motuque carentia sunt: huiusque geometria noticiam pollicetur: Alia mobili semper rotatione uoluuntur nullis temporibus quiescendo: [Astronomia in marg.] cuiusquidem scientiam astronomicae disciplinae peritia uendicauit. Atqueidcirco ad aliquid relatam quantitatem discretam musicae insistentem considerationi presenti speculatione cogimur adoriri.

[f.divv] De diffinitione et distinctione proportionum. Capitulum. Secundum.

PRoportionum quae alterutra numerorum relatione ducuntur Alia comuniter dicta est: Alia proprie. Proportio comuniter dicta est duorum comparatorum in aliquo uniuoco inuicem habitudo et notanter dicitur uniuoco: quia in aequiuocis nulla potest secundum Aristotelem primo topicorum comparatio repperiri. [Aristotiles in marg.] Equiuoca dicuntur quorum nomen comune est: sed ratio substantiae est diuersa. Vniuoca uero dicuntur quorum nomen comune est: atque ratio substantiae est eadem ideo uox et stillus in acutiae non comparantur: quia licet uox sit acuta et stillus acutus tamen acuties non dicitur uniuoce de utroque: sed aequiuoce praedicatur. non enim est eadem ratio utriusque: sed diuersa: quo fit ut inter quaecunque aequalia et quecunque inaequalia: inter similia et dissimilia haec comuniter dicta proportio repperiri possit quia comunis appellata est proportio. Proportio autem proprie dicta est duarum quantitatum eiusdem generis propinqui inuicem habitudo hinc continuam et discretam quantitatem quanquam sub eodem quantitatis genere continentur non comparamus ad inuicem: cum non sint propinqua sed remota: ut in earum diffinitione monstratum est. Ex hac quidem descriptione facile colligi potest: proportionem proprie dictam fieri in his quantitatibus quae aequalitatem suscipiunt. Harum autem proportionum. Alia rationalis Alia irrationalis. Proportio rationalis est duarum quantitatum comensurabilium inuicem habitudo. Proportio autem irrationalis est duarum incommensurabilium quantitatum inuicem habitudo. Quantitates comensurabiles dicuntur quarum est una mensura comunis quamlibet illarum precise conducens ut bipedale et tripedale nam pedale aliquoties sumptum utrunque illorum reddit precise: est quae eis comunis mensura. similiter in numeris: ut quattuor et sex: binarius nanque est eorum mensura comunis. aque etiam in notulis figurabilibus id euenit: nam si longam et breuem duxerimus: semibreuis ambas connumerat quae est ipsarum mensura comunis. Quantitates incomensurabiles dicuntur quibus nulla est mensura comunis quamlibet illarum reddens precise: ut dyameter quadrati et costa eiusdem: nam data aliqua quantitate que aliquoties sumpta ducat precise dyametrum: illa eadem uel sibi aequalis aliquoties sumpta nunquam reddet costam precise: sed plus uel minus: et e conuerso de quantitate reducente costam. in numeris autem superpartientes proportiones idem faciunt ut quinque ad tres et octo ad quinque et reliquae in quibus nulla terminorum est mensura comunis. Rursus proportionum alia dicitur aequalitatis: alia inaequalitatis. Proportio aequalitatis est duarum aequalium quantitantum [f.dvr] inuicem habitudo sicut duorum ad duo et trium ad tria: unius ad unum Et quidem aequale est quod ad aliquid comparatum: neque maiore summa illud excedit: neque minore ab ipso superatur: hec enim aequalitas naturaliter indiuisa est. nemo quidem dicet aequalitatis hoc tale esse: illud uero huiusmodi: quoniam omnis aequalitas unam seruat in propria moderatione mensuram: quo fit ut id quod comparatur et id cui comparatur eodem semper uocabulo nuncupentur: ut si binarius binario relatus sit uterque binarius dicitur. Proportio inaequalitatis est duarum inaequalium quantitatum inuicem habitudo ut duorum ad unum et unius ad duo. Inaequale enim est quod ad aliquid relatum uel maiore summa illud supergreditur uel minore ab ipso uincitur: secatur uero inaequale in maius atque minus: quae contraria sibi denominatione iunguntur: maius enim minore maius est: atque minus minus est maiore utrunque tamen non eisdem uocabulis quemadmodum secundum aequalitatem dictum est: sed diuersis distantibusque signatur. Hanc enim solam inaequalitatis proportionem musica disciplina considerat: cum consonantiae ex inaequalibus sonis ducantur et dissimilibus: quos inaequalibus terminis et proportionibus procreari necessum est. terminos enim in huiusmodi relationis consideratione numeros uocamus. Scitu proinde dignum puto inaequalitatis primordia ex aequalitate pari ratione produci qua et ab unitate qui non est numerus sed principium numeri numeros omnes concretos et congenitos ferunt Arythmetici. [Arithmetici, Boetius in marg.] quod lucidius Boetius noster in Arythmetica atque musica: nos quoque in posterum demonstramus. Proportionum igitnr inaequalium Alia maioris inaequalitatis dicitur: alia minoris. Proportio maioris inaequalitatis est maioris quantitatis ad minorem inuicem habitudo ut duorum ad unnum et quattuor ad duo et quinque ad tria et similia. Proportio uero minoris inaequalitatis est minoris quantitatis ad maiorem inuicem relatio: ut unius ad duo: et duorum ad quattuor: et trium ad quinque. Euenit enim in his maioris minorisque inaequalitatis proportionibus quidam excessus seu differentia: est quippe ea quantitas qua uel maior numerus minorem superuadit uel minor uincitur a maiore. ut quom quaternario senarium comparamus binarius est excessus siue differentia: similiter si senario quaternarium proportionabiliter copulemus.

[f.dvv] De quinque generibus proportionum maioris et minoris inaequalitatis Capitulum. Tertium

OMnis maioris inaequalitatis proportio est quom maior numerus ad minorem relatus ipsum minorem in se compraehendit uel pluries precise: uel semel tantum et unam eius aliquotam partem: uel semel tantum et plures insuper aliquotas partes: uel pluries et partem aliquotam: uel pluries et plures aliquotas partes. Quo fit ut huiusmodi proportionum quinque sint genera Primum nanque dicitur Multiplex: Secundum Superparticulare: Tertium Superpartiens: atque hec tria simplicia sunt: Quartum Multiplex superparticulare. Quintum Multiplex superpartiens: His enim quinque generibus Alia quinque minoris inaequalitatis genera noscuntur opponi iisdem uocabulis sola prepositione sub nuncupata. sunt quidem Submultiplex: Subsuperparticulare: Subsuperpartiens. Submultiplexsuperparticulare: et Submultiplexsuperpartiens: Multiplex igitur genus quod praestantius est et dignius atque longe antiquius coeteris: fit quom maior numerus comparatus minori totum ipsum minorem in se continet pluries precise ut bis: uel ter uel quater ita ut nichil desit nichilque supersit: Huius enim generis infinitae sunt species: prima nanque est proportio dupla: quae fit quom maior terminus comparatus minori continet ipsum minorem in se bis ut duo ad unum: quattuor ad duos sex ad tres: octo ad quattuor et similia: nanque duo compraehendunt in se unitatem bis: et quaternarius similiter bis binarium possidet: atque senarius ternarium: et octonarius quaternarium: nihil ipsis deest nihilque exuberat. Tripla uero proportio multiplicis generis secunda species est: fitque quoties maior numerus ad minorem habitus ter precise ipsum minorem intercipit ut sunt tres ad unum: sex ad duos: nouem ad tres: duodecim ad quattuor: nam tres habent in se ter unitatem: similiter sex binarium: et nouem ternarium atque duodecim quaternarium ter precise compraehendunt. Quadrupla proportio quae multiplicis generis est tertia speties: fit quom maior numerus comparatus minori concludit in se ipsum minorem totum quater precise. ut quattuor ad unum: octo ad duos: duodecim ad tres: et eiusmodi: reliquae autem huius generis species a multiplici minoris numeri compraehensione denominationem acquirentes ad infinita procedunt. Superparticulare genus dicitur quom maior terminus ad minorem relatus continet in se ipsum minorem semel tantum et in super unam eius aliquotam partem: Sed si illa pars aliquota qua minor ipse numerus a maiore uincitur fuerit dimidia dicetur proportio [f.dvir] sesqualtera ut tria ad duo: et sex ad quattuor: nouem ad sex et similia: Si autem illa pars fuerit ipsius, minoris tertia. dicetur proportio sesquitertia ut quattuor ad tria et octo ad sex: et duodecim ad nouem et huiusmodi. sunt enim huius generis speties infinitae. Prima est sesqualtera. secunda sesquitertia. tertia sesquiquarta: quarta sesquiquinta et deinceps. Trahit enim omnis superparticularis proportio uocabulum a sesqui: et aliquota parte minoris a maiore compraehensi. ut si sesqualteram formauero uidelicet tres ad duos unus binarius aequus est alteri binario sed alteri eorum superposita unitas quae utriusque binarii dimidium est: sesqualterum numerum generat et consequenter maiorem colatione computata: [Cola Montanus in marg.] Inde Colam montanum sesqualteram ipsam interpretatum fuisse existimo a sesqui quod est semis et altera quae est media: quia media pars alterius numeri aequalis additur integro numero. alterum enim de duobus dimidium praedicatur: Alii autem sesqualteram dictam putant a sesqui quod est totum et altera scilicet media: quia maior in ea numerus continet in se totum minorem et eius insuper dimidiam partem: quos ab effectu potiusquam ab ipsius significatione uocabuli procedere conspicio. [Plinius iunior in marg.] Plinius autem iunior sesqui meditatur totum cum dimidio: quom sesquihoram posuerit pro hora una cum dimidia. [Martialis, Varro, Oratius in marg.] Idem que Martialis hoc carmine Mentula cui nondum sesquipedalis erat: Atque Varro in libris de agricultura sesquimodium idest modium unum cum dimidio Oratius quoque in arte poetica iis hoc carmine uidetur assensus Proicit ampulas et sesquipedalia uerba. Mihi tamen minime superparticularibus huiusmodi colationibus congruere uisum est: nam si sesqui totum semper sonat cum dimidio: sesquitertia et sesquiquarta ac reliquae superparticulares habitudines: in quibus maior numerus minorem cum aliquota parte non media semper compraehendit propriis uocabulis discerni non possent: atque idcirco aliis expeterent nominibus nuncupari. [Augustinus in marg.] At diuus Augustinus in primo suae musicae his uerbis sesqui ipsum quoad potest nititur elucidare: Sesqui enim appellantur ubi duo numeri ad se ea ratione affecti sunt ut tot partes habeat ad minorem maior quota parte sua eum precedit: nam si ternarius ad binarium sit tertia parte sui precedit maior minorem: si quaternarius ad ternarium quarta: si quinarius ad quaternarium quinta: atque ita deinceps eadem ratio est et in sex ad quattuor et octo ad sex: et decem ad octo. hanc deinde rationem in consequentibus et maioribus numeris aduertere atque explorare facile est. Huius autem nominis originem non facile dixerim nisi forte sesque quasi se absque: siue absque se: ut quinque ad quattuor quasi absque se quinta parte sua maior: neque absurda est origo huius nominis sesque apud Augustinum etiam si forte non ea sit quam sequutus est qui hoc nomen instituit. [Augustinus, Boetius in marg.] Boetius autem in primo Arythmeticae hos sesquatos numeros [f.dviv] seu superparticulares dicit haberi. quom quis numerus maior ad minorem relatus compraehendit eum in se totum et ipsius minoris aliquam partem ut quattuor ad tres: hanc enim uocat sesquitertiam nam quattuor habent in se tres semel et unam tertiam partem: Formantur enim superparticulares habitudines quoties duo aequi numeri se se inuicem obseruantes fuerint dispositi: quorum alteri superiuncta pars aliquota propriae numerositatis ipsum maiorem efficit: qui ad alterum immutatum comparatus sesquatam proportionem efficiet: eam scilicet quae a superaddita parte denominationem acquiret: ut si duos duxerimus quaternarios alterique eorum quartam sui partem scilicet unitatem addiderimus: quinarius illico resultabit: atque idcirco quae quarta pars in quaternario fuerat nunc quinta fit ipsius quinarii: hunc si ad primum quaternarium duxerimus comparandum: sesquiquartam habitudinem producemus: eo quod ipsius immutati quaternarii atque alterius qui adauctus est: unitas illa superhabita pars est quarta: quinarius igitur dictus est sesquiquartus quom quaternarium respicit similiter et reliqui. Maiores quoque hos sesquatos numeros Boetius duces uocat: [Boetius in marg.] minores uero comites: Omnis itaque huiusmodi proportio a maiore numero denominata est minorem custodiente. Superpartiens genus est si maior numerus ad minorem comparatus compraehendit eum in se semel tantum et insuper unam ipsius minoris partem non aliquotam: factam ex duabus uel pluribus partibus aliquotis: ut quinque ad tres: quinque enim in se continent tres semel tantum: et insuper binarium: qui non dicitur pars aliquota ternarii sed ex duabus ipsius ternarii partibus aliquotis compositus uidelicet ex duabus unitatibus. quae singulae ipsius ternarii partes tertiae sunt. Huius quoque generis infinitae sunt species. Si enim illa pars aliquanta non aliquota minoris qua maior terminus ipsum minorem superat continuerit duas aliquotas ipsius minoris partes: dicetur proportio superbipartiens ut quinque ad tres et decem ad sex et quindecim ad nouem. Si uero pars illa tres aliquotas ipsius minoris partes continuerit: dicetur supertripartiens ut septem ad quattuor et octo ad quinque. Et si quattuor habuerit partes superquatripartiens uocabitur ut nouem ad quinque et undecim ad septem. Est igitur huius generis prima species proportio superbipartiens. secunda supertripartiens. tertia superquatripartiens et hoc ordine matura et deligente inuestigatione ad infinita proceditur. Quo autem harum proportionum nomina magis specialia habeantur: perscrutari necessum est quo modo sese habent istae partes aliquotae respectu minoris termini utrum sint eius partes tertiae uel quartae uel quintae. si fuerint tertiae dicetur proportio superpartiens tertias: si quartae superpartiens quartas et deinceps. Procedamus ergo sic: Quom maior numerus continuerit totum minorem semel et insuper eius partem non aliquotam duas in se ipsius minoris aliquotas partes habentem quarum singulae sint tertiae ipsius minoris partes talis proportio dicetur [f.eir] superbipartiens tertias ut quinque ad tres: Si uero maior terminus contineat semel minorem et eius partem aliquantam tres aliquotas dicti minoris partes compraehendentem: quarum trium aliquotarum partium unaquaeque sit quarta pars: dicetur supertripartiens quartas ut septem ad quattuor et quattuordecim ad octo. Quod si ille tres partes aliquotae fuerint ipsius minoris quintae partes dicetur proportio supertripartiens quintas ut octo ad quinque et sexdecim ad decem. Similisque erit in coeteris processus recta consideratione disposita: ut si undecim ad sex comparentur: dicetur proportio superquincupartiens sextas: et tredecim ad septem supersexcupartiens septimas: atque quattuordecim ad nouem superquincupartiens nonas: et deinceps. Multiplex superparticulare genus est quom maior numerus ad minorem relatus compraehendit eum minorem in se pluries et insuper unam eius aliquotam partem: ut quinque ad duos quo circa si maior numerus contineat bis minorem et insuper eius dimidiam partem dicetur proportio dupla sesqualtera ut quinque ad duos: decem ad quattuor: et quindecim ad sex. Si autem maior numerus continuerit bis minorem et insuper ipsius minoris tertiam partem dicetur proportio dupla sesquitertia ut septem ad tres et quattuordecim ad sex. Verum quom maior numerus continuerit in se bis minorem et insuper eius quartam partem: dicetur proportio dupla sesquiquarta ut nouem ad quattuor et decemocto ad octo. At quom maior numerus minorem ter inse habuerit et eius dimidiam partem erit proportio tripla sesqualtera ut septem ad duos: et quattuordecim ad quattuor. si autem ter inse comprehendat maior minorem et eius tertiam partem erit tripla sesquitertia ut decem ad tres et uiginti ad sex. et si ter continuerit et eius quartam partem. erit tripla sesquiquarta proportio ut tredecim ad quattuor. Sed si maior quater minorem in se habuerit et eius dimidiam partem dicetur proportio quadrupla sesqualtera ut nouem ad duos et decemocto ad quattuor: reliquas autem huius generis species latius inpractica nostra: ubi mensurabiles cantabilesque proportiones disposuimus diligens lector facile percipiet. Multiplex superpartiens genus est quom maior numerus ad minorem relatus continet eum in se pluries et insuper unam eius partem non aliquotam: ducentem plures aliquotas eius minoris partes: sicut sunt octo ad tres: quod si maior terminus habuerit in se totum minorem bis et insuper partem non aliquotam habentem duas ipsius minoris partes aliquotas erit proportio dupla superbipartiens et si una qnaeque pars illarum aliquotarum fuerit dicti minoris tertia pars dicetur dupla superbipartiens tertias ut sunt octo ad tres. Si autem maior numerus continuerit bis minorem et insuper unam eius partem aliquantam habentem inse tres quartas partes dicetur proportio dupla supertripattiens quartas: ut undecim ad quattuor. Et si ter continuerit ipsum minorem et insuper tres quartas partes: erit tripla supertripartiens quartas ut quindecim ad quattuor. Quod si quater maior minorem [f.eiv] habuerit et unam insuper aliquantam partem factam ex tribus quintis partibns ipsius minoris erit proportio quadrupla supertripartiens quintas ut uiginti tres ad quinque et quadraginta sex ad decem. sicque consequenter reliquas huius generis species multimodas repperiet diligens exquisitor coniungendo multiplices et superpartientes propriis aggregationibus et productionibus: sua semper seruata natura: ut latius apertum est in practica nostra de proportionibus mensurabilibus: Hoc item necessum est scire quod Quinque minoris inaequalitatis genera quae predictis opposita sunt: similem progressum et normam seruant atque naturam. In hoc tantum differe noscuntur quod in minoris inaequalitatis generibus minores numeri continentur et praecedunt maiores. In maiori uero inaequalitate maiores numeri continent et praecedunt numeros minores: sunt quae contrariae operationes: oppositique in figuris cantabilibus effectus: ut in practica facile percipitur. Sit igitur praedictorum quinque generum strictior eductio hoc modo. Omnis maior terminus comparatus minori uel continet ipsum minorem pluries et nihil ultra et tunc est multiplex proportio: uel semel et aliquid ultra: sed hoc dupliciter: nam si id quod ultra minorem continuerit maior ipsius minoris fuerit pars aliquota dicetur proportio superparticularis. Si autem illa pars quam ultra minorem maior habuerit fuerit non aliquota: sed aliquanta compraehendens plures partes aliquotas ipsius minoris erit proportio superpartiens. Rursus uel maior numerus continet minorem pluries et aliquid ultra: hocque dupliciter: nam uel illud quod est ultra est pars aliquota minoris et tunc est proportio multiplex superparticularis: uel est pars non aliquota minoris: sed aliquanta continens in se plures partes aliquotas ipsius minoris et sic dicetur proportio multiplex superpartiens: quorum omnium exempla cautus inquisitor ex hac subiecta figura enucleare facile potest. [f.eiir]

1   2   3   4   5   6   7   8   9  10
2   4   6   8  10  12  14  16  18  20
3   6   9  12  15  18  21  24  27  30
4   8  12  16  20  24  28  32  36  40
5  10  15  20  25  30  35  40  45  50
6  12  18  24  30  36  42  48  54  60
7  14  21  28  35  42  49  56  63  70
8  16  24  32  40  48  56  64  72  80
9  18  27  36  45  54  63  72  81  90
10 20  30  40  50  60  70  80  90 100

De Formatione Specierum cuiuscunque generis. Capitulum Quartum.

QVoniam unum quodque inaequalitatis genus infinitas dicitur species obtinere: earum discursionem in numerorum naturalium dispositione considerare opere praecium est. Quo circa dispositis cunctis naturaliter numeris quom singulos ipsos numeros unitati comparamus omnes multiplicis generis species producemus: ut si binarius ad unitatem relatus sit: prima fiet multiplicis generis species scilicet proportio dupla: quod si eidem unitati ternarius referatur secunda species producetur scilicet tripla si uero quaternarius eidem unitati deductus fuerit: erit tertia species uidelicet quadrupla: quinarius autem ad ipsam unitatem quartam generat speciem scilicet quintuplam: sicque infinitus est processus: ut haec disponit descriptio [f.eiiv]

2  3  4  5  6  7  8  9  10
1  1  1  1  1  1  1  1  1

Quom autem ex numero naturaliter disposito temptauerimus omnes superparticulares generis species enumerare: siunusquisque numerus excepta unitate adminorem sibi propinquiorem conferatur ad infinita species ipsas recto ordine conducemus: ut si binario ternarius comparetur prima resultabit species scilicet proportio sesqualtera: quaternarius ad ternarium relatu secundam speciem uidelicet sesquitertiam ducit. ex quinario ad quaternarium tertia species surgit scilicet sesquiquarta sed senarius ad quinarium quartam uidelicet sesquiquintam format atque hoc ordine omnes ipsae superparticularis generis species procedere noscuntur ut hec aperit dispositio

3  4  5  6  7  8  9  10
2  3  4  5  6  7  8  9

At quom superpartientis generis omnes uoluerimus species perquirere: disponemus naturalem numerum non ab unitate neque a binario: sed a ternario numero exordium appraehendentes: huic enim ternario numero si maior numerus comparatur atque inter ambos unus naturaliter interiaceat prima species superpartientis generis producetur ut quinarius ad ternarium inter quos solus quaternarius dispositus est: fitque exquinario ad ternarium prima species scilicet superbipartiens. Secunda species producitur ex consequente naturaliter minore termino scilicet quaternario ad quem maior superuenerit cum interiectione duorum naturalium numerorum qui sunt quinque et sex: atque idcirco septenarius ad quaternarium secundam ducit speciem scilicet supertripartiente. Tertia species confici probatur ex subsequente minore numero scilicet quinario et maiore ad eum relato: interiectis tribus naturaliter numeris: ut nouenarius ad quinarium: ex quibus fit tertia species uidelicet superquadrupartiens: nanque inter nouenarium et quinarium interpositi naturaliter sunt senarius et septenarius atque octonarius. Qui si eo ordine a minore numero subsequente processum fuerit interpositis quattuor naturaliter numeris: maior tunc sumptus ad ipsum minorem quartam huius superpartientis generis speciem conducet scilicet superquincupartientem ut undecim ad sex: inter quos naturaliter resident septem: octo: nouem: et decem: atque in eundem modum reliquae species enucleantur: Multiplicatione semper interiectorum numerorum naturaliter obseruata: quod his lucidae monstratur numeris

5   7   9   11  13  15  17  19
3   4   5   6   7   8   9   10

Eodem quoque ordine et processu omnes multiplicis superparticularis atque multiplicis superpartientis generis species diligens speculator enucleabit adiungens semper multiplicitati superparticularitatem: atque superpartientem ut opus fuerit habitudinem. Constat profecto ex premissis multiplex inaequalitatis genus longe duobus reliquis simplicibus antiquius atque dignius esse et auctius quia in naturalis numeri dispositione unitatis quae prima est comparatione producitur. Superparticulare uero non unitatem sed ipsos qui post unitatem immediate sunt numeros complectitur: sunt enim tres ad duos Superpartiens autem longe retro processum acquirere uidetur: cum neque continuis [f.eiiir] numeris copuletur sed intermissis: nec semper aequali intermissione: sed nunc quidem una: nunc uero duabus: nunc quoque tribus: atque etiam quattuor: atque ita ad infinita succrescit. Multiplicitas igitur ab unitate. Superparticularitas a binario: Superpartiens a ternario: initium naturali numerorum dispositione conquirunt. Obtinet nanque maiorem ad musicas consonantias uim ac potestatem multiplex proportio: consequenterque superparticularis. Superpartiens uero ab harmoniae concinentia separatur ut Aristotili et Pythagoricis uisum est: [Aristotiles, Pythagorici, Phtolomeus in marg.] quanquam Ptholomeus unicam ex hoc genere: quae scilicet ex diapason et diatessaron componitur consonantiam probabili quadam ratione deducit. Abiciemus itaque hoc tertium genus ac reliqua duo composita a consonantiarum consideratione: cum duo prima simplicia Multiplex scilicet et superparticulare: quorum omnis erit in successu consideratio: totius modulaminis rationem producant atque conseruent.

De productione superparticularium ex multiplicibus et superpartientium ex superparticularibus: Capitulum Quintum.

[Boetius in marg.] SI genus ex genere atque speciem ex specie ut Boetius in arytmetica et musica docuit deducere uolumus: quadratum interim numerum aggredi necessum est. Quadratus enim numerus dicitur is qui gemina dimensione in aequa concrescit ut bis duo: ter tres: quater quattuor: quinquies quinque et huiusmodi. Numerus enim naturalis ipsius quadrati latus dicitur: quum simplex permanet ut ante geminationem quadratam fuerat. quo circa quadratos numeros continuos naturaliter disponamus: eisque numeros naturales abiecta unitate qui quadratorum ipsorum latera sunt substituamus hoc ordine

4   9   16  25  36  49  64  81  100
2   3   4   5   6   7   8   9   10

notanter enim dixi numeros quadratos naturaliter continuos quia inter eos nullus alius numerus quadratus repperitur. Sunt itaque in hac figura superiores numeri quadrati uel quadratores: inferiores uero ipsorum sunt latera quadratorum: quo circa si unum quemque quadratum suo lateri comparamus: multiplices conducentur habitudines: nam primus quadratus scilicet quaternarius suo lateri relatus primam multiplicem efficit scilicet duplam. Secundus autem quadratus uidelicet nouenarius ad latus suum habitus secundam efficit multiplicem scilicet triplam: quod si tertium quadratum scilicet decimum sextum suo lateri comparaueris tertia species multiplicis generis eueniet scilicet quadrupla: atque hoc ordine multiplicium specierum facta est productio. At ipsorum quadratorum speculatiuam quandam considerationem aperiamus. Si enim continuum quadratum minorem a continuo quadrato maiore detraxerimus: ea pars quae relinquetur scilicet quadrati maioris: tantum erit quantum ipsorum latera cuniuncta monstrabunt: ut si quattuor a nouenario auferam quinque sunt reliqui: quo fit [f.eiiiv] ut duo et tres qui utrorumque quadratorum sunt latera simul iuncti quinque similiter faciant. item si nouenarium a sexdecim abstrahamus septem relinquentur qui ex ternario et quaternario coniuncti sunt: scilicet ex utrorumque lateribus quadratorum idem quoque euenit in ceteris. Si autem quadrati non fuerint continui sed inter eos unus naturaliter fuerit intermissus tunc ipsorum latera simul iuncta dimidium tantum relictae partis quadrati maioris implebunt: ut si quattuor detraxerimus a sexdecim: duodecim relinquentur: quorum medietas est senarius qui ex utrorumque lateribus quadratorum copulatur: ipsa enim latera sunt binarius et quaternarius: atque in ceteris idem modus est: dum unus semper quadratus numerus naturaliter fuerit interiectus: Quod si duo quadrati numeri fuerint naturaliter intermissi: tunc id quod relinquitur ex maiore quadrato ultra retractionem minoris quadrati tantum erit quod ter sumptum ipsorum latera quadratorum conficiet: seu coniuncta ipsa latera tertiam partem conducent eius quod relinquitur: ut si quattuor de uigintiquinque abstulerimus uiginti et unum sunt reliqui: eorum uero latera sunt duo et quinque qui simul iuncti septem explent: at septenarius uigessimi primi tertia pars est Atque hec regula est: ut si tres fuerint numeri quadrati naturaliter intermissi: ipsorum latera quadratorum quartam partem coniungent eius quod relinquetur de maiore quadrato ablato minore quadrato ab ipso maiore. Sin quattuor interponantur naturaliter quadrati numeri: quintam partem eius quod relinquitur ipsorum latera producent: sicque uno plus uocabulo minuuntur partes quam sint intermissi numeri quadrati. Cum igitur quadrati numeri naturaliter continui suorum laterum colationem custodientes multiplices monstrati sint habitudines producere: restat apertius elucidandum ita inaequalitatem ab aequalitate deduci: quemadmodum omnes a sola numeros unitate congenitos uolunt Arythmetici: [Arythmetici, Boetius in marg.] atque idcirco secundum doctrinam Boetii superparticularitatem a multiplicitate: et superpartientem a superparticularitate ceterasque eodem modo euenire constat. Ex conuersis enim multiplicibus superparticulares proportiones educuuntur: atque ex conuersis superparticularibus superpartientes habitudines procreantur. Dispositis enim in ordine tribus unitatibus: quibus substituti sint tres numeri hoc modo primus numerus primae sit unitati aequus: secundus primae et secundae: tertius primae et duabus secundis et tertiae: fiet bis multiplicis generis prima species uidelicet dupla proportio: ut hic

1 . 1 . 1
1 . 2 . 4.

Si autem binarium uel ternarium in superiori ordine constituerimus isque subditos numeros eadem coequatione ponamus: duplas pariter proportiones conduci minime dubitamus Statutis uero in superiori ordine duabus ipsis nuper creatis duplis eisque subpositis numeris pari aequabilitate conductis: triplae mox consurgent habitudines: hoc modo

1   2 . 4 .
1 . 3 . 9.

Quod si in superiori ordine disponamus has triplas: ex coequatis eodem processu numeris quadruplas conducemus ut hic

1 . 3 . 9
1 . 4 . 16

ac deinceps eadem progressione multiplices habitudines conducentur. [f.eivr] sic igitur ex duplis triplae prodeunt: atque ex triplis quadruplae: et ex quadruplis quintuplae: ceteraeque eodem modo generari solent. Nunc item ex ipsis duplis sesqualteras proportiones educemus hoc modo. conuersis enim numeris duplarum ita ut maiores primi sint indispositione: substituantur numeri scilicet primus primo aequus: secundus primo et secundo: tertius primo: duobus secundis: et tertio: ut etiam in multiplicium formatione processum est: de quibus hec sit figura

4 . 2 . 1 .
4 . 6 . 9 .

Fientque eodem processu sesquitertiae proportiones quom de triplis conuersis recta fuerit dispositio ut hic:

9 .  3 .  1
9 . 12 . 16

Quod si de quadruplis conuersis dispositum fuerit: sesquiquarte habitudines omni penitus errore semoto producentur ut hic

16 .  4 .  1 .
16 . 20 . 25 .

sicque de qnintuplis conuersis sesquiquintae: atque in eundem modum consimilibus in alterutra parte uocabulis superparticularitas in infinitum ex multiplicitate procreatur. Ex superparticularibus uero conuersis eademque dispositione procedentibus superpartientes proportiones euenient. disponantur enim sesqualtere hoc ordine. 9. 6. 4. substituatur primus primo aequus scilicet .9. secundus primo et secundo scilicet .15. tertius primo duobus secundis et tertio scilicet .25: qui omnes hac demonstratione eluceant

9 .  6 .  4 .
9 . 15.  25

Superpartiens igitur ex conuersis superparticularibus hoc modo producta est: fiuntque superbipartientes ex conuersis sesqualteris. Quod si ad hanc diligenter accesseris considerationem ex sesquitertiis conuersis supertripartientes proportiones effici pernotabis ut hic

16 . 12 .  9 .
16 . 28 . 49 .

Atque ex conuersis sesquiquartis superquadrupartientes: ceterasque ex conuersis superparticularibus consimilibus uocabulis cautus inustigator hauriet: Ex non conuersis autem superparticularibus: sed ita ut ex multiplici productae sunt manentibus eodem ordine seruato multiplices superparticulares generantur habitudines ut hic constat

4 .  6 .  9 .
4 . 10 . 25 .

hic nanque ex sesqualteris productae sunt duplae sesqualtere. Atque idcirco ex sesquitertiis duplae sesquitertiae prodeunt ut hic

9   12 . 16 .
9 . 21 . 49 .

Et eodem modo ex sesquiquartis duplae sesquiquartae reliquae que deinceps. Ex manentibus uero superpartientibus sicuti ex superparticularibus prodierunt: multiplices superpartientes proportiones eodem ordine conducentur ut hic

9 . 15 . 25 .
9 . 24 . 64 .

sunt enim hic productae duplae superbipartientes ex superbipartientibus. Quod si supertripartientes protense fuerint proportiones eodem modo unam duplam supertripartientem et alteram eiusdem generis sed non eiusdem speciei formabunt ut ex hac figura probatur.

4 . 7 . 10 .
4 . 1 . 28

Vndecim nanque ad quattuor est dupla supertripartiens: sed .28. ad undecim est dupla supersexcupartiens: nam continet eum bis et insuper sex eius partes uidelicet sex unitates. Atque alias supertripartientes item disponamus hoc ordine

5 .  8 . 11 .
5 . 13 . 32 .

namque .13. ad .15. duplam supertripartientem reddunt proportionem sed .32. ad 13 duplam supersexcupartientem efficiunt. Ex superpartientibus itaque multiplices superpartientes [f.eivv] conducuntur quaecunquae sint illae: quod patet diligentius intuenti. Constat itaque ex aequalitate omnem inaequalitatis habitudinem natura duce productam: et quidem primo ex dispositis tribus aequis terminis duplices oriuntur proportiones: de hinc triplae: inde quadruplae: eodemque ordine consequentes. Rursus ex conuersis multiplicibus dispositis superparticulares conductae sunt: et ex duplis quidem sesqualterae: ex triplis sesquitertia et ex quadruplis sesquiquartae: similiter et reliquae. At ex superparticularibus conuersis superpartientes productas esse uidemus: ita ut sesqualtera superbipartientem formet: supertripartientem sesquitertia et sesquiquarta superquadrupartientem: atque in hunc modum reliquae. Rectis uero positis et non conuersis prioribus superparticularibus multiplices superparticulares deductae sunt. Atque ex rectis superpartientibus multiplices superpartientes. Tria igitur haec praecepta sunt a Boetio ultimo primi libri Arythmeticae descripta pro inaequalitate ab ipsa aequalitate ducenda: primo ut primum numerum primo parem ponamus: secundo ut secundus par sit primo et secundo: tertio ut tertium numerum primo duobus secundis et tertio aequum faciamus: quod si in terminis perfecerimus aequalibus producentur proportiones duplae: de quibus itidem factum triplae oriuntur: ac de triplis quadruplae et de quadruplis quintuple ut hic

1 . 1 . 1
1 . 2 . 4
1 . 3 . 9
1 . 4 . 16
1 . 5 . 25

Restat insuper scitu dignum quamdam naturae secretam ex Boetii nostri demonstratione notissimam primo secundi Arythmeticae ut quemadmodum exaequalitatis margine cunctas inaequalitatis species proficisci didicimus: ita omnem rursus inaequalitatem ad aequalitatem uelut ad quoddam proprii generis elementum resolui: Hocque item trina imperatione colligi potest nam constitutis quibuslibet tribus terminis: inaequalibus quidem: sed proportionaliter constitutis: idest ut eandem medius ad primum uim proportionis obtineat quam extremus ad medium in quauis inaequalitatis ratione: uel in multiplicibus uel in superparticularibus uel in superpartientibus siue etiam in his quae ex eis componuntur: eadem atque una ratio indubitanter ostendetur. Propositis enim tribus ut dictum est terminis aequis proportionibus ordinatis ultimum semper medio detrahamus et ipsum quidem ultimum primum terminum collocemus: quod de medio relinquitur secundum: de tertia uero propositorum numerorum summa auferemus unum primum atque duos secundos eos qui de medietate relicti sunt: et id quod ex tertia summa relinquitur tertium terminum cunstituemus: hoc enim acto in minorem modum summae reuertuntur: et ad principaliorem habitudinem proportiones reducuntur: ut si fiat quadrupla proportio primo ad triplam: inde ad duplam atque inde ad aequalitatem usque remeabit Si autem fuerit superparticularis ut sesquiquarta primo ad sesquitertiam: inde ad sesqualteram postremo ad tres aequos reducetur terminos: utque de ceteris ducatur exemplum in multiplici tantum proportione id euenire monstremus. quo solertem in aliis quoque inaequalitatis spetiebus id experientem eadem preceptorum [f.evr] ratio certificet. Constituamus enim tres quadrulpos terminos hoc modo .8. 32 128. Quom igitur ex medio minorem abstulero idest ex triginta duobus octonarium: relinquentur .24. et primnum octonarium numerum ponam: secundum uero quod reliquum fuerit ex medio idest .24. sintque hi duo termini .8. et .24. de tertio uero idest 128. auferam unum primum scilicet .8. et duos secundos qui reliqui sunt idest bis .24. relinquentur .72 dispositis uero his terminis: ex quadruplis tripla proportio aequitatati propinquior redacta est. sunt enim hi numeri .8. 24. 72.. Quod si ex his ipsis idem fecerimus: ad duplam comparatio remeabit: ponatur enim primus minori aequus scilicet .8. auferaturque ex secundo primus: relinquentur .16. ex tertio autem scilicet .72. auferamus primum idest .8. et duos secundos scilicet bis .1 . reliqua pars erit .32. quibus positis habitudo duplarum deducitur proportionum ut hic .8. 16. 32. Si autem ex his idem fecerimus: omnes hos terminos ad aequalitatis summas reduci comspiciemus: disponamus enim primum minori aequum scilicet .8. et auferamus ex .16. octonarium: remanebunt .8. quibus dispositis: si ex tertio uidelicet .32. auferamus primum scilicet .8. et duos secundos scilicet octonarios: octo sunt reliqui: quos sic dispositos prima conducit aequalitas hoc ordine .8 .8 .8. Si quis igitur ad alias inaequalitatis species animum intendat: eandem intitubanter conuenientiam inueniet. quare dubitandum minime est aequalitatem ita ad aliquid relatae quantitatis matrem esse: ut unitas per se constantis quantitatis principium dicta est atque elementum: Inaequalitas quoque ab aequalitate procreata est: rursusque in eam postrema fit solutio.

De Exquisitione plurium consimilium superparticularium proportionum Capitulum. Sextum

EX multiplicitate multas et quotlibet consequenter proportiones superparticulares omni prorsus errore semoto hac regula deduci monstrat Boetius. [Boetius in marg.] Vnusquisque enim multiplex unitati scilicet computatus tot superparticulares suae in contrariam partem denominationis proportiones precedit quotus ab unitate ipse recesserit hoc modo: dupla sesqualteras antecedit: tripla sesquitertias quadrupla sesquiquartas. ac deinceps in hunc modum. Disponamus igitur plures duplas habitudines ab unitate cum suis sesqualteris succedentibus hoc ordine

1  2  4  8   16
   3  6  12  24
      9  18  36
         27  54
             81

In hac duplorum numerorum constitutione binarius multiplex quoniam primus ab unitate discedit unum tantum habet numerum uidelicet ternarium cui sesqualteratur Ipse autem ternarius cum duabus aequis partibus minime diuidatur: nullum recipit numerum qui ad eum habitudinem possit custodire sesqualteram. Quaternarius uero qui secundus est duplus ab unitate semotus: duas praeuenire monstratur sesqualteras ex senario ad se ipsum et nouenario ad senarium [f.evv] conductas. nouenarius enim a nullo sesqualtero numero respicit quippe qui recto dimidio inseccabilis est: in ceteris quoque idem est ordo Triplos quoque numeros eadem progressione sesquitertios creare manifestum est ut hec monstrat descriptio

1  3  9   27  81
   4  12  36  108
      16  48  144
          64  192
              256

Hec enim triplorum numerorum dispositio ternarium qui ab unitate primus triplex est: unum tantum sesquitertium antecedere demonstrat scilicet quaternarium: qui cum tertia careat parte: nullum habet numerum qui eum sesquitertia colatione custodiat. Nouenarius autem quoniam ab unitate secundus est triplus disiunctus duos sesquitertios numeros antecedit scilicet .12. et .16. at cum .16. numerus tertiam non possideat partem nullus ei numerus sesquitertia habitudine comparari potest: Item cum .27. numerus tertius sit triplex ab unitate tres tantum sesquitertios antecedat necessum est: sicque semper pars tertia quodam fine in ultimo sesquitertio clauditur ut nullum possit amplius habere sesquitertium. Si autem quadruplarum aggregationem disposuero proportionum: sesquiquartas eadem regula producemus si quintuplas sesquiquintas: ac deinceps Singuli denominationis multiplicis tot superparticulares precedent quoto loco ipsi ab unitate discesserint. Est itaque hec inuenta speculatio ut quoties plures sesqualteras uel sesquitertias uel alias superparticulares habitudines quis conducere temptauerit nullo unquam errore labatur. Nunc quoque restat consideratione ducendum quod radices proportionum dicuntur in quibuscunque generibus illi numeri qui primum naturaliter efficiunt ipsas proportiones: quo fit ut omnis in naturali numero prima proportio cum terminis suis radices sint omnium consimilium proportionum ut binarius ad unitatem quoniam prima dupla est: dicitur radix omnium duplarum: et ternarius ad binarium prima sesqualtera in numero naturali radices efficiuntur ipsi numeri atque proportio omnium sesqualterarum: similiter sesquitertiam ex quaternario ad ternarium ductam reliquarum sesquitertiarum radicem dicimus: reliquaeque eodem modo. Nunc item duas alio processu exquiramus continuas sesqualteras sumpta enim radice sesqualtera scilicet .2. et .3. multiplicatusque binario binarius fient .4. ternarius uero per binarium crescat fient .6. rursus ternarius per semet ipsum efficiet .9. qui hoc ordine disponantur

2  3  3
4  9  9

Duae igitur hac distributione productae sunt sesqualtere uidelicet 6. ad .4. et .9. ad .6. Quod si tres perquirere temptauerimus disponamus eosdem numeros in exquirendis duabus dispositos: atque ipsas duas exquisitas sesqualteras: multiplicemusque binario quaternarium fient octo: rursus senarium binario duodecim: item nouenarium binario et erunt decemocto atque item ipsum nouenarium ternario fient uigintiseptem hac dispositione

2  3  4  6   9   9
      8  12  18  27

Eritque in ceteris idem processus ut si sesquitertias exquirere temptauerimus sesquitertiarum radices disponamus quaternarium scilicet et ternarium: parique multiplicatione conducemus. Quod si sesquiquartas queramus sesquiquartarum radices disponemus atque eadem multiplicatione sesquiquartum quodlibet extendetur: similiter et reliquas [f.evir] eodem ordine facile conducemus. Id insuper considerare licet: si duorum numerorum differentia eos integre permensa fuerit in eadem erunt proportione numeri quos sua differentia mensa est: inqua etiam erunt hi numeri secundum quos sua est eos mensa differentia ut exempli gratia summamus hos numeros .50. et .55. hi enim ad se inuicem sesquidecima colatione dispositi sunt. Eorum nanque differentia est quinarius qui de .50. numero pars decima est: nam decies sumptus metitur .50. de .55. uero pars est undecima quippe qui undecies receptus numerum .55. metiendo discurrit. Propria igitur differentia scilicet quinarius secundum decem et undecim numeros .50. et .55. permetitur: et quidem undecim ad decem sesquidecima sunt proportione relati. constat itaque numeros quos propria differentia integre permensa est in ea esse proportione: in qua sunt hi secundum quos propria eos permensa est differentia. Si autem aliqua numerorum differentia ita eos numeros quorum est differentia metiatur ut eandem numerorum mensuram pluralitas excedat: idemque in utrisque sit excessus: et sit diminutior differentiae mensura quam sit pluralitas numerorum: maiorem obtinebunt proportionem ad se inuicem numeri si eis illud quod relinquitur post messionem retractum sit quam fuerint integri cum eos propria differentia metiebatur. sint enim uerbi gratia hi duo numeri .53. et .58. Hos igitur quinarius qui eorum differentia est metiatur. metitur enim quinarius numerum .53. decies usque ad .50. relinquiturque ternarius. rursus idem quinarius numerum .58. metitur undecies usque ad .55. atque in eo iterum relictus est ternarius: auferatur igitur ex utrisque ternarius fient .50. et .55. In hoc enim patet maiorem esse proportiorem inter se. .50. et .55. quam .53. et .58. quia in minoribus numeris maior semper proportio reperitur et in maioribus minor. Sin uero illa differentiae permensio numerorum multitudinem superuadat: eademque utrosque numeri pluralitate pretereat minores erunt proportiones numeri superius mensi cum additione eius summae qua utrosque metiens differentia superuadit quam fuerunt ante quom eos propria differentia metiebatur. sint enim numeri .48. et .53. horum quinarius differentia est. metiatur itaque quinarius .48. numerum qui decies sumptus efficit .50 Igitur numerus .50. superuadit numerum .48. de binario. Idem preterea quinarius undecies metiatur fient .55. qui eisdem rursus duobus numerum .53. excedit: Addatur utrisque binarius et disponantur hoc ordine .48.53.50.55. minor quidem proportio est .50. ad .55. comparati cum additione scilicet binarii numeri quo differentia eos metiens superuadit que .48. et .53. numeri: quos eadem quae tantum in eis superexcreuit quinarii differentia permensa est: Maiores enim proportiones atque minores hoc modo intelliguntur dimidia pars maior est quam tertia. Tertia pars maior est quam quarta: et quarta maior est quam quinta ac deinceps: quo fit ut sesqualtera proportio maior sitquam sesquitertia et [f.eviv] sesquitertia sesquiquartam uincat: atque sesquiquintam excedat sesquiquarta: similiter et reliquae. hinc euenit ut in minoribus numeris maior semper sit superparticularium habitudinum proportio: quod hac naturalis numeri dispositione probatur .1 2.3.4.5.. Ternarius nanque ad binarium sesqualter est: quaternarius uero adternarium sesquitertius: atque quinarius ad quaternarium sesquiquartus: maiores enim numeri sunt quaternarius et quinarius: minores uero ternarius et binarius maior quidem est proportio ternarii ad binarium quam quaternarii ad ternarium. hec item maior est ea quae fit exquinario ad quaternarium: Inde quoque monstratum est quod si aliquibus numeris superparticularem proportionem conducentibus aequa fuerit superaddita pluralitas: maior semper erit proportio ante aeque pluralitatis augumentum: quam post adiunctionem ipsius pluralitatis.

De triplici proportionalitate. Capitulum Septimum.

QVotiens tres uel plures termini continui disponuntur qui duas aut plures proportiones continuas conducant tunc dicitur proportionalitas: Hanc quam Mathematici duarum uel plurium proportionum coniunctionem dicunt: tripliciterque distinguere solent. uidelicet Arythmetice: Geometrice et Harmonice: Quom enim constitutis tribus tantum terminis primus terminus ad secundum eamdem retinet proportionem quam secundus ad tertium tunc dicitur proportionalitas: secundus enim terminus medius est trium. Extremorum quidem et medii terminorum proportiones trina participatione sese gerunt. Aut enim aequa est differentia minoris termini ad medium et medii admaximum: sed non aequa proportio ut in his numeris 1. 2. 3. unitas tantum differentiam facit: nec tamen aequa est proportio: nam duo ad unum duplam constituunt proportionem: tria uero ad duo sesqualteram. Aut est aequa in utrisque proportio sed non aequalibus differentiis constituta ut in his numeris .1.2.4. nam ita duo ad unum duplam ducunt proportionem quemadmodum quattuor ad duo: sed inter quaternarium et binarium binarius inter unitatem uero et binarium unitas differentiam facit. Aut neque eisdem proportionibus neque eisdem differentiis constat: sed sicut se habet maximus ad minimum seu extremus ad extremum ita sese iungit maiorum differentia minorum differentiae terminorum ut in his numeris .3.4.6. senarius nanque ad ternarium duplam efficit proportionem. Inter senarium et quaternarium binarius differentia est: sed inter quaternarium et ternarium unitas: fitque ex binario ad unitatem ita dupla proportio quemadmodum ex extremis ad inuicem scilicet senario et ternario. [Boetius, Albertus Matematici in marg.] Boetius igitur atque Albertus Coeterique mathematici eam uocant Arythmeticam proportionalitatem in qua aequae sunt differentiae sed inaequae [f.fir] proportiones. Eam uero in qua aequae sunt proportiones et inaeque differentiae Geometricam. sed illam inqua proportiones extremorum terminorum aeque sunt proportionibus differentiarum Harmonicam. quas his formulis disponamus

[Gafurius, Theorica, f.fir; text: Proportionalitas arythmetica. Proportionalitas geometrica. Proportionalitas armonica. eque differentiae, proportio dupla, ineque differentiae, differentiae, 1, 2, 3, 4, 6, proportio sesqualtera, inequales proportiones, proportiones eque proportionum disiunctarum, proportio equa proportionum disiunctarum] [GAFTM3 01GF]

Cum igitur harum trium medietatum proportionalitas quidem proprie et maxime geometrica nuncupetur idcirco quoniam aequis proportionibus tota contexta est: eodem tamen utimur promiscue uocabulo proportionalitates etiam ceteras nuncupantes. Earum enim alia continua proportionalitas alia disiuncta Continua quidem proportionalitas est quom unus tantum numerus medius constituitur: qui tunc quidem minori in comparatione postponitur nunc maiori preponitur ut in prescriptis eminet figuris. Disiuncta uero proportionalitas est quum duo medii constituuntur termini ut geometrica hoc modo .1.2.3.6. nanque ut est binarius ad unitatem ita senarius ad ternarium et uocatur hec disiuncta proportionalitas. Hinc datur intelligi continuam proportionalitatem in tribus terminis constare: disiunctam in quattuor uel in pluribus. Arythmeticam autem proportionalitatem Boetius ei reipublice quae a paucis regitur in secundo Arythmeticae conformari asserit idcirco quod in minoribus eius terminis maior proportio sit. [Boetius in marg.] Geometricam uero popularem quodammodo aequalitatem ciuitatis esse quia uel in maioribus uel in minoribus aequali omnium proportionalitate componitur. et inter omnes paritas quaedam est medietatis ius aequum in proportionibus conseruantis. Harmonicam quidem medietatem optimatum rem publicam refert ideo quod in maioribus terminis maior proportionalitas inuenitur. At decem ipsas proportionalitates quas Boetius in Arythmeticis conduxit cum parum numero conferant proposito disponere non curaui. [Boetius in marg.] Cum autem latius monstratum sit eodem modo inaequalitatem ab aequalitate deduci quo ab unitate numeri omnes congregari consueuerunt: minime pretereundum tacite arbitror tres ipsas superius dispositas proportionalitates ex ipsa item aequalitate naturam certis regulis [f.fiv] producere ut nullum inquirentem dubia suspensione relinquat. duobus enim modis dispositis tribus aequis terminis Arythmetica medietas conducitur: ponatur autem primus terminus primo aequus: secundus primo et secundo: tertius primo secundo et tertio ut hic

.1.1.1.
.1.2.3.

prima igitur dispositio unitatum est: quo fit ut primae unitati unitas substituatur: que eidem aequalis est: secundae unitati subiunctus binarius primae et secundae aequus est: sed tertiae unitati ternarius qui tribus ipsis unitatibus uidelicet primae et secundae ac tertiae aequa distributione disponitur. Idem quoque iudicium erit in dispositione trium binariorum uel ternariorum cum aequorum terminorum substitutione eodem ordine. Quo circa constituta unitatum aequalitate unitas ipsa erit differentia terminorum nanque ipsi termini nullum alium terminum intermittunt. Si autem binariorum fuerit aequalitas disposita binarius erit differentia: atque unus semper terminus numeris ipsis intermittetur. Quod si ternarius aequalitatem distribuerit ipse differentiam faciet: atque inter numeros duo naturaliter interuenient: ac deinceps. Terminos enim intelligimus hac consideratione numeros coequatione aggregatos et substitutos. Secundo modo producitur Arythmetica proportionalitas hac progressione: Constitutis tribus aequis numeris substituantur termini quorum primus sit primo et secundo aequus. secundus primo et duobus secundis. tertius primo duobus secundis et tertio ut hic

.1.1.1.
.2.3 4.

Ibi enim terminorum differentiam unitas facit: nam inter quaternarium et ternarium unitas ipsa: atque inter ternarium et binarium eadem est: nullusque naturalis numerus interuenit: post binarium enim mox ternarius atque post ternarium quaternarius naturali dispositione succedunt: Idemque processus erit si tres binarios disposuero: tuncque terminorum differentia erit binarius: uno inter terminos naturaliter intercepto ut hic

.2.2.2.
.4.6.8.

Quom autem ternariorum dispositio fuerit aequalitatis principium eadem imitatione seruata ternarius ipse terminorum differentiam ducet: duoque numeri naturaliter inter terminos cadent ut hic expresse percipitur

.3.3.3.
.6.9.12.

At si quaternarius uel quinarius disponatur idem fiet: et numeri intermissi uno semper minus erunt quam fuerit ipsorum differentia terminorum: atque de reliquis eodem modo. Geometrica autem proportionalitas ab aequalitate procedit hoc modo. Constitutis tribus aequis terminis primus substituatur primo aequus: secundus primo et secundo: tertius primo duobus secundis et tertio: ut si tres deduxerimus unitates hoc modo

.1.1.1.
.1.2.4.

Idem quoque fiet si de binario uel ternario ac de reliquis facta fuerit dispositio nam hoc ordine Geometrica proportionalitas ex aequalitate principium summit. Armonica uero medietas quam latius in sequentibus amplectemur: hoc modo ab [f.fiir] aequalitate nascitur. Constitutis tribus aequis numeris substituatur primus numerus primo et duobus secundis aequalis: ut si fuerint tres unitates dispositae primus terminus primae et duabus secundis unitatibus aequus sit: secundus numerus duabus primis et duabus secundis unitatibus coequetur. Sed tertius sit semel primae: bis secundae: et ter tertiae aequalis ut hic

.1.1.1.
.3.4.6.

Et si in binario uel ternario aequalitas fuerit disposita: eadem ratio medietatis eueniet terminis ac differentiis duplo ante se distantibus. Si autem ex extremis terminis pariterque ex differentiis triplae quaerantur proportiones: sit primus terminus primo et secundo aeqnus: secundus primo et duobns secundis: tertius uero primo et duobus secundis ac tribus tertiis ut hic

.1.1.1
.2.3.6.

Idem quoque de binario et ternario et coeteris iudicium fiet.

De Proportionibus Conducentibus Musicas Consonantias. Capitulum Octauum.

EArum quae consonantias generant proportionum naturam aggredi opereprecium est. Tres quidem sunt in Multiplici genere scilicet Dupla Tripla: et Quadrupla. Tresque in Superparticulari uidelicet Sesqualtera Sesquitertia et Sesquioctaua. Est enim iuxta aequalitatem ea proportio quae dupla est: et prima multiplicis generis species: naturaliter quidem in duo aequa indiuisibilis: fit nanque ex duabus primis superparticularibus scilicet sesqualtera et sesquitertia quae inaequales sunt: ipsam nanque duplam primae diuidunt: quanquam simpliciter fit duplarum radix proportionum: prima scilicet dupla ex numero naturali prouenies quam binarius efficit ad unitatem simpliciter et per se: non autem ex comistione sesqualtere sesquitertiaeque proportionis. At duplam ipsam sesqualtera et sesquitertia formant hoc ordine .2.3:4: nanque ternarius ab binarium sesqualtera colatione refertur: quaternarius uero ad ternarium sesquitertia: rursus quaternarius binarium dupla proportione custodit. Intercipit quandoque et alias superparticulares habitudines dupla ipsa proportio ultra sesqualteram et sesquitertiam ut his constat numeris. 4.5.6.7.8. Senarius enim ad quaternarium relatus sesqualteram monstratur implere proportionem octonarius uero ad senarium sesquitertiam: itaque sesqualtera et sesquitertia duplam ex octonario ad quaternarium perficiunt proportionem. rursus naturalis huiusmodi duple proportionis progressio alias superparticulares atque superpartientes intercipit habitudines: nam quinarius ad quaternarium sesquiquartam: senarius ad quinarium sesquiquintam: septenarius ad senarium sesquisextam: octonarius ad septenarium sesquiseptimam: rursus spetenarius ad quaternarium supertripartientem [f.fiiv] quartas: et ad quinarium superbipartientem quintas: item octonarius ad quinarium supertripartientemquintas concludere apertissime pernoscuntur. Hoc tamen scire necessum est quod duae ipsae primae superparticulares habitudines ipsam semper duplam tanquam partes maiores et elementariae diuidunt proportionem: nanque et primam duplam in numeris naturalibus preter duplarum radicem nullo alio numero naturaliter interposito diuidere monstratae sunt atque conducere. Verum cum sesqualtera maior sit quam sesquitertia rectum duplae proportionis dimidium superuadit: quo fit ut sesquitertia integrum ipsius duplae dimidium non impleat. Id quidem natura fert ut quoties aliquid secatur ita ut non aequalibus partibus diuidatur: quanto minor pars dimidio minor est: tanto pars maior eadem quae auctior est dimidium excedat: quanto igitur sesqualtera maior est recto duplae proportionis dimidio: tanto sesquitertia minor euenit ipsius duplae dimidio. Quo circa si duas continuas sesqualteras disposuerimus proportiones: id quod ex terminis resultabit extremis non duplam tantum reddet proportionem: sed amplius excedet: ut hac constat dispositione .4.6.9. senarius nanque ad quaternarium sesqualtera est: nouenarius item ad senarium sesqualteram ducit: rursus nouenarius ad quaternarium non recte duplam efficit: sed superuadit: interiectus est enim octonarius qui ad ipsum quaternarium dupla ipsa proportione refertur: quod si octonario nouenarium comparamus sesquioctaua proportio producitur: duae itaque sesqualterae habitudines duplam proportionem de una sesquioctaua excedere demonstrantur. At cum sesquitertia proportio recto duplae proportionis dimidio sit minor: duae idcirco sesquitertiae duplam minime poterunt implere perfectionem: ut his apparet numeris .9.12.16. duodecim nanque ad nouem sesquitertia proportio est: atque sexdecim ad duodecim sesquitertiam item proportionem ducunt: quod si sexdecim ad nouem conferamus duplam non perficient proportionem: superaddito uero binario qui de sexdecim pars est octaua dupla ipsa rectae proportio producetur ut hic constat. 9.12.16.18. uides enim .18. ad 16. sesquioctauam ducere proportione: rursusque .18. ad .9. duplam habitudinem custodire. Duae itaque sesqualterae proportiones duplam excedunt proportionem de una sesquioctaua. Duae uero sesquitertiae minores sunt a dupla habitudine de una pariter sesquioctaua. Quo fit ut sesquitertiam sesqualtera uincat de ipsa sesquioctaua quod patet his terminis .6.8.9. octo nanque ad sex sesquitertiam faciunt: nouem uero ad octo sesquioctauam: rursus nouem ad sex sesqualteram iungunt: minor igitur est sesquitertia quam sesqualtera de una sesquioctaua. Sesquioctaua quidem proportio naturaliter indiuisibilis est in duo aequa: ad quod demonstrandum disponendi sunt termini ipsam conducentes (praetermissa sesquioctauarum radice) quae ex nouenario et octonario [f.fiiir] conducitur quoniam nullus naturaliter inter ipsos numerus intercidit: sintque hi numeri .16.17.18. nanque .18. ad 16. sesquioctauam efficiunt colationem: At cum medius terminus ad minorem scilicet .17. ad .16. sesquidecimamsextam perficiat proportionem: maior autem ad medium scilicet .18. ad .17. sesquidecimamseptimam habitudinem iungat: euenit ipsam sesquioctauam nullo pacto duabus aequis partibns disiungi copulariue posse: nanque ex terminis extremis et medio inaequae conducuntur habitudines: maior enim est sesquidecimasexta proportio quam sesquidecimaseptima Si autem duplae proportioni sesqualtera superposita fuerit secunda multiplicis generis species producetur scilicet tripla ut hic .3.6.9. senarius nanque ad ternarium duplam creat proportionem: nouenarius uero ad senarinm sesqualteram: rursus nouenarius ternarium tripla proportione custodit: Quo fit ut quoniam sesqualtera sesquitertiam de una sesquioctaua deuincit: si sesquitertiam duplae conduxerimus habitudini triplam ipsam perficere non possit ut his probatur numeris .3.6.8. Senarius nanque ad ternarium duplam facit: octonarius uero ad senarium sesquitertiam rursus octonarius ad ternarium triplam attingere nequaquam potest: quod si superaddita fuerit sesquioctaua: tripla mox ad ternarium proportio respondebit ut hic constat .3.6.8.9. nam nouenarius ad octonarium sesquioctauam superduxit: idemque nouenarius ad ternarium triplam concludit. Verum si ante superpositionem nouenarii sesquioctauam conducentis superexcreuisset sesqualtera: mox tertia species multiplicis uidelicet quadrupla euenisset. quod hi indicant numeri .3.6.8.12. uides enim duodenarium octonario sesqualteram respondere proportionem: idemque duodenarius ad senarium duplam: rursusque duodenarius ad ternarium quadrupla proportione conducitur Quod si triplae proportioni antea ex dupla et sesqualtera productae sesquitertiam superposuero habitudinem: quadruplam item confici pernotabis: ut his probatur numeris .3.6.9.12. duodenarius nanque ad nouenarium sesquitertiam probat isque duodenarius ternarium quadrupla proportione conseruat: quae quidem omnia hac dispositione clarius percipiuntur.

[f.fiiiv] [Gafurius, Theorica, f.fiiiv; text: Proportio quadrupla, Proportio tripla, Proportio dupla, dupla, tripla, sesqualtera, sesquitertia, sesquiocta, radix duplarum, radix sesqualterarum, radix sesquitertiarum, radix sesquioctaua, 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12] [GAFTM3 01GF]

Illud item scitu dignum existimo: quod si multiplex proportio fuerit bis multiplicata: tunc quod ex illa producetur multiplicatione multiplicem proportionem efficiet: si autem id quod ex ipsa multiplicatione euenerit non fuerit multiplex tunc id quod multiplicatum fuit non erat multiplex antequam multiplicaretur. Item si superparticularis proportio binario multiplicetur id quod ex ipsa multiplicatione perueniet neque multiplex erit neque superparticulare: Quo fit ut si id quod ex tali multiplicatione productum est non fuerit multiplex neque superparticulare: tunc quod multiplicatum fuerat: ante multiplicationem uel superparticulare erat uel alterius generis: non autem multiplicis: Patet igitur ex praedictis superius duas primas superparticulares habitudines sesqualteram scilicet et sesquitertiam primam conficere multiplicem scilicet duplam: Item primam superparticularem cum prima multiplici secundam educere multiplicem uidelicet triplam: secundam uero multiplicem scilicet triplam et secundam superparticularem scilicet sesquitertiam tertiam formare multiplicem uidelicet quadruplam: atque alterutra huiusmodi commistione multiplicium scilicet et superparticularium sibi inuicem naturali ordine correspondentium multiplices habitudines naturaliter succedentes enucleantur: ut si sesqualteram duplae apposuero: triplam mox resultare conspiciam. si triplae sesquitertiam tunc quadrupla conducetur: si quadruplae sesquiquartam fiet quintupla: ac si quintuplae [f.fivr] sesquiquintam addidero sextuplam perfici nulli dubium est: atque reliquae multiplices eodem processu requirentur: idem quoque euenit econuerso cum scilicet multiplices ipsas suis coordinatis superparticularibus conferamus Est interim aduertendum quod quae in numeris dicta est proportio dupla fit in souis diapason consonantia. Quae uero est sesqualtera seu hemiolia dicitur in sonis diapentes consonantia: At ea est in sonis diatessaron consonantia quam in numeris sesquitertiam seu epitritam uocamus. Sesquioctaua in numeris dicitur tonus in sonis. Ea autem quae est in numeris proportio tripla dicitur in sonis diapasondiapentes consonantia. At quadrupla in numeris bisdiapason mensuratur atque nominatur in sonis. Sed de singulis sequenti uolumine latius pertractatur.