Back to top

[409] Tacita nunc inchoatur stupendaque numerorum musica.

Jam vero quisquis inquirere cupit a primis numeris varias consonantiarum proportiones eorumque numerorum, quos in sua musica Boetius inserit, scire naturam, quosque nos etiam in eo, quem nuper edidimus de vetustissimo ritu canendi libro magis ad laudem ejus, qui tantam natura contulit inserimus, quam ad necessitatem praescriptas in primis algorismi calculationes optime discat, deinde ritum haec indagando, quem ostendo brevem atque verum diligenter attendat, siquidem, prout in musica tonus est omnium communis mensura consonantiarum, nec ulla prorsus ibi resonat, quae non sit de tonis ac semitoniis armonia, sic et in numeris proportio sexquioctava, quae tonum continet, gignit sexquetertiam, ex qua dyatessaron, ita consonat parique forma sexqualteram, quae dyapente nutrit et fovet. Cumque dupla proportio tam ex sexquitertia quam ex sexqualtera constare probatur, non aliter, quam ex dyatessaron et dyapente vera dyapason consonantia consequens est, ut quemadmodum tonus consonantias, ita sexquioctava quidem has tres metiatur consonantiarum proportiones.

Componunt namque duo toni dyatessaron in musica de quatuor sonis cum uno minori semitonio, [410] componunt et duae sexquioctavae proportiones sexquitertiam de quatuor numeris cum una quadam numerum portiuncula. Componit iterum in musicis additus tonus dyatessaron perfectam dyapente consonantiam de quinque vocibus trium tonorum ac unius semitonii minoris, componit et addita sexquitertiae sola sexquioctava sexqualteram de quinque numeris infra patet, ac de tribus cum quadam numerorum portioncula sexquioctavis. Componunt demum junctae simul dyatessaron ac dyapente perfectissimam dyapason consonantiam ex octo vocibus, quinque tonis ac duobus semitoniis minoribus. Componunt et sexquitertia cum sexqualtera dupla proportionem ex octo numeris quinque sexquioctavis cum duabus numerorum videlicet portiunculis. Quae cum demonstrari nequeant in simplicibus numeris, ob sui scilicet parvitatem, necesse est, ut qui talem habent naturam parvi non sint numeri, sed a suis radicibus deducantur et efficiantur magni. Radix ergo proportionum omnium sexquioctavam est, ut ad rem veniam quotiens ad octo comparentur novem ut hic, quoniam major numerus in se totum habet minorem ac insuper ejus octavam partem.

8  9

Verum, quia de paucis istis numeris nullas habere possumus continuas sexquioctavas, eo quod octavam novenarius ille partem non habeat aliquotam, octo prius in se multiplicentur octo vicibus, ut fiant nobis sexaginta quatuor, ut hic:

64

Cui numero, si partem ejus octavam aggregaveris, utique septuaginta duo facis, quae totum habet in se minorem sexaginta quatuor numerum, ac ejus insuper octavam partem. Sicque de duobus numeris unam procreasti sexquioctavam, cujus octo differentia sunt, ac si de duobus sonis in uno facias intervallo tonum. Quod si rursum de septuaginta duobus octavam partem subtractam eidem aggreges aliam efficis, illico sequioctavam consequentem ac continuam, cujus novem octava pars est et differentia. Non aliter, quam si tono tonum adjicis quod saepe fieri solet in musica:

64  72  81

Cum autem numerus sexaginta quatuor tertiam non habet partem aliquotam, nec habere possit per consequens proportionem cum sequenti numero sexquitertiam, tres illos numeros necesse est multiplicari per ternarium, quum aliquotae partes sunt, quae suum aliquotiens sumptae reddunt precise totum nec plus nec minus. Tunc numerus sexaginta quatuor aliquota tertia pars erit ejus numeri, quem triplicatus ipse genuit, hoc est centum et nonaginta duorum, qui primus est, de subscriptis quinque numeris, eo quod ter in se ductus, totum praedictum numerum capiat, velut octo capiunt ipsum si multiplicetur octies. Aliquota namque pars octava de sexaginta quatuor primus octonarius est, non hic tantum ergo quinque subscripti numeri partes aliquotas habent alii medias alii tertias, quaedam autem octavas et quaedam similes et medias et tertias et octavas, sed etiam omnes hujusmodi sonis musicis adaptati, quantumlibet numerosiores et magni, nam ut in algorismi calculationibus tactum est, nullus in hac re musica minutias aut unitatum recepit scissuras:

192  216  243  256  288

Nil esse tonos in musicis ac minora semitonia, quam sexquioctavae seu minores sexquioctavam partes in arithmetica.

Cernis quod superius duos tantummodo de tribus illis numeris habere potuisti sexquioctavas tanquam duos de tribus vocibus in musica tonos, quibus [411] tamen per ternarium multiplicatis horum quinque primus secundus ac tertius surrexere majores, quorum videlicet illi tertiae sunt et aliquotae partes. Ter namque sexagintaquatuor, ut ante monstratum est, centum et nonaginta duo faciunt, sicut ter septuaginta duo ducenta cum sexdecim et ter octaginta unum ducenta cum quadraginta tribus colligunt. Cui primo numero tertiam sui partem sexaginta quatuor aggregavimus et quartum illum ducenta quinquaginta sex utique confecimus, ut sint quatuor ex tribus jam compacti numeri de duabus sicut ante sexquioctavis cum una tresdecim unitatum portiuncula sexquitertiam efficientes, ac si de quatuor sonis dyatessaron facias et de duobus cum uno minori semitonio tonis. Quartus enim ille numerus primum in se totum continet et insuper ejus tertiam partem quae est sexaginta quatuor, tertium autem numerum solis, ut dixi tresdecim excidit unitatibus, quae sunt una sexquioctavae proportionis portiuncula, quemadmodum in musicis minus semitonium probatur esse toni particula. Porro subtracta rursum de primo numero parte media sibique statim aggregata, surget quintus ille numerus ducentis et octoginta octo, sexqualteram ad primum, et ad quartum sexquioctavam procreantibus, quemadmodum uno dyatessaron addito tono diapente nascitur e quinque vocibus, ac de tribus cum uno minori semitonio tonis. Age lector itaque volens horum et similium partes medias invenire numerorum eos ut, ut supra docui, per solam partire figuram binariam, si vero tertias habere vis iterum partire sed per ternariam, sin autem octavas per octonariam figuram, et sic de singulis hujusmodi partibus usque ad nonam. Quod si distantias majorum et minorum, ubi tota pendet hujus rei scientia, non nescire desideres, intervalla seu differentias, non jam per solas, sed ad minus per duas oportet tunc partiri figuras. Subscriptoque prius majori minore transfixis etiam (ostensum est) quae transfigi debent atque delectis, id erit differentia, quod restabit integrum. Id tamen, meo judicio, facilius erit ad investigandum et expeditius, si non solum in his quinque numeriis, sed in hujusmodi caeteris omnibus, subtracto de majori minore simpliciter, quod restat, differentia sit. Subtracto namque illo primo numero de secundo viginti quatuor differentia restabat, secundi tamen et tertii viginti septem, sicuti tertii et quarti tresdecim, quarti nec non et quinti triginta duarum unitatum. Quae differentia quidem in quantitate discreta numerorum ea representant intervalla, quae fiunt de sonis in sonis in corda divisa seu quantitate continua sonorum. Ideoque sicut voces intendi solent suis intervallis ac remitti, sic et hae differentiae, sint parvae, sint grandes, sint aliquotae vel non precise suos numeros metientes subtractae nihilominus a suis majoribus numeris, illos ad minorum quantitates redire cogunt, sed si minoribus aggregentur ipsos pares majoribus et aequales reddunt, nam etsi praedictam illam tresdecim unitatum differentiam aggreges illi tertio numero mox ad quartum ac, si vocem canendo graves descendis, qua rursum ab ipso quarto subtracta, more soni sursum elevati statim ad tertium redis. Quis enim non videat, omnem sonum acutiorem in proximum sibi graviorem descendere non aliter, quam numeri minores crescunt in se multo majores magisque remotos ab unitate. Nam et corda longior graviorem emittet sonum, ut numerus magis ab uno remotus majorem efficit summam unitatum et e contra brevior acutiorem, quia minor est omnis numerorum summa, quanto plus fuerit unitati propinqua. Tenet adeo locum omnis acutissimi soni siquidem unitas, aut quaequa major inter numeros unitatis propinquitas, ut quem admodum omnis numerus in ea resolutus nihil significat, ita corda nimis partiendo minuta non resonat, et sicut nulla tam grandis ab unitate procedit numerorum summa, quin et major procreari valeat, sic et nullum tam vastum erit corpus musicum, ut non possit [412] fieri majus alterum. Hinc est, quod omnis pars aliquota, si medii minoris numeri fuerit, aut secunda, necesse est, ut sit tertia majoris ut nonaginta sex inter primum illum numerum et quintam, alioquin major in se totum minorem non haberet ac ejus insuper alteram partem sive mediam, quod solum est atque proprium omnis sexqualterae proportionis. Nam et sexaginta quatuor numerus, prout ostensum est, ejusdem numeri pars tertia, quarti quoque comprobatur et quarta quamvis viginti quatuor et sui partem habeat isdem primus numerus octavam, sed secundus nonam per eandem rationem. At vigintiseptem pars est octava prescripti secundi numeri nonaque tertii, verumtamen triginta duo pars octava sunt non ejusdem tertii sed succedentis quarti, nona vero quinti, qui sequitur ac ultimi. Tertiam etenim sexquioctavam cernis ab ipsa sexquitertia primi quartique numeri praecisam, quae cadebat inter tertium et quartum, ubi solae tresdecim unitates erunt, ut dixi differentia, sicut proprie nunquam tres esse simul permittet tonos, concors diatessaron in musica. Nec illud hic ad laudem dei multum commendare vereor. Quodsi qua tertius ille numerus octavam partem non habeat, quam musica recipiat aliquotam, omnem illam octies ducere velis numerorum seriem ad hoc, ut tres successive sexquioctavas congreges, quartus cum primo nec in satis integro superparticulari genere cadit, nec integerrimo multiplici, sed in aliis longe distractis inaequalitatum generibus, nec si tam pessimam trium tonorum et quatuor vocum accumules in musica discordiem. Ex quo sane colligitur non aliud esse tonos in musicis, quam sexquioctavas in arithmeticis, nec aliud minussemitonium, quod semper cadit inter duos tonos procreata de quatuor sonis diatessaron consonantia, quam partes illas minorum non aliquotas, quae continuo cadunt inter duas sexquioctavas genita de quatuor numerorum summis proportione sexquitertia.

Quicquid agant toni partes in corda divisa, totum esse de sexquioctavarum nature.

Verum quid amplius dicam de stupenda numerorum atque sonorum natura. Dividit tonum evidenter una vox cadens inter duos sonos musicos, in corda divisa partitur et in duo sexquioctavam proportionem unus numerus cadens inter duas numerorum summas in arithmetica. Sunt prorsus inaequales toni partes, quas majora vocant musici minorave, semitonia sunt et inaequales omnium divisarum sexquioctavarum partes, quas arithmetici differentias appellant, neque possunt ullatenus dividi per aequalia. Certam per se toni partes non habent in monocordi dimensionem, certam et in numeris sexquioctavae partes per se non habent ullius armoniae proportionem. Constat majus semitonium ex minori, quod corda probat, et ex una, quam phylosophi coma nominare solent dictae cordae particula, constat et major pars divisae sexquioctavae non aliter ex parte minore sua cum quadam, quae superest numerorum portioncula. Duplicatum majus semitonium in monocordo toni transcendit intervallum sive spatium una comate, duplicata necnon majori divisae sexquioctavae particula, suam excedit differentiam illa praescripta numerorum portione. Nihil est enim, ut ante dixi, sexquioctavae differentia, quam spatium illud toni, quod est in divisa corda. Duplicatum econtra minus semitonium alligati toni non implet spatium illo deficiente comate, duplicata quoque minori de duabus sexquioctavae particula, totam ejus complere neque differentiam pro parva, quae deest numerorum proportione. Non potest discerni majus atque minus semitonium integro tono suaque natura cognosci, non potest etiam ex integris sexquioctavis partium veritas deprehendi nec illarum naturam penitus intelligi. Itaque nihil aliud est et major pars divisae sexquioctavae, nisi minor cum illa parva numerorum portione. Tolle coma de majori semitonio restat minus integrum, tolle [413] de majori parte divisarum sexquioctavarum illas, quibus semper superat minorem numerorum portiunculas et nihil est, quam minor pars illarum. Demum junctae simul toni partes reddunt toni spatium in dimensa corda. Junctae simul etiam omnis sexquioctavae divisiones ad illarum redeunt differentias in arithmetica. Audis ergo, quod sicut musicus non solas voces attendit ac numerat, sed etiam intervalla sonorum per tonos et semitonia metitur atque dijudicat, sic et arithmeticus non solum illas numerorum summas considerat ad sonos redactas, quod parum est, quin potius earum differentias toto nisu perscrutatur et investigat, quod summum est. Hoc totum illa parva probaret tresdecim unitatum differentia, si tertius ille numerus octavam partem haberet aliquotam, qua secum aggregata de se produci sexquioctava posset. At vero cum id fieri nequat, multiplicare per octo necesse est tertium illum numerum ac de ducentis quadraginta tribus mille nonagenta quadraginta quatuor creari:

1944

Quo facto mox et quartus ille per octo multiplicetur numerus, ut fiat:

2048

summa multiplicationis, et sint invicem isti duo majores numerii, sicut prus fuerant ducenta quinquaginta sex cum ducentis quadraginta tribus:

1048

His visis quis ambigat illas tresdecim unitates, quae priorum duorum numerorum extiterant distantia, jam octies in se ductas et centum et quatuor effectas esse duorum istorum differentiam:

104

Utque scias, tres istos numeros, etsi mutaverint summam, non tamen mutasse naturum, sicut tresdecim ac quartum illum numerum quonammodo relaxati declinabant, ac more cantantis ad tertium pariter contrahi poterant, sic et differentia praesto cadit in illam majorem summam, minori mox aggregata, quae tamen e majori subtracta concitus ad minorem se quasi curtata corda retrahit. Aggrega nunc illi primo translato numero suam octavam partem, hoc est, ducenta quadraginta tria, quibus ipse totus est compactus, et habebis duobus millibus centum et octoginta septem ad mille nonagenta quadraginta quatuor compartis sexquioctavam proportionem, quam secundus ille traductus numerus scindet in duas partes non tamen aequales. Nam praescriptus centum et quatuor numerus minor erit inter primum et secundum differentia, centum vero cum trigintanovem differe facient secundum ac tertium majori distantia. Porro totam hujus diversae sexquioctavae partium gignunt inaequalitatem triginta quinque unitates, id scilicet quod superest subtracta minori de majori differentia prout in hac liquet descriptione clara:

[CSIV:413; text: Sesquioctavae differentia. 243, Differentia. 1944, 104, 2048, 139, 2187, 35, Differentiarum. Proportio sesquioctava.] [GALLIB 01GF]

Dimensam quantitatem continuam indicari debere per discretam in arithmetica.

Attende nunc, queso, lector, et ad laudem ejus, qui cuncta condidit, hoc naturae magnum admirare secretum. Hanc namque divisam in primis numeris exquisivi sexquioctavam, quae quicquid ante dixerim [414] probet ad exemplum, sitque nobis pro suis paribus singulare monimentum. Habes ibi tres numeros nigro colore distinctos, querum primus constat ex ducentis quadraginta tribus octies in se ductis, tertius autem ex eadem summa concrevit, quam habet in se novem vicibus. Haec est illa proportio sequioctava tam stupenda, tamque mirabilis, ut ipsa cum suis partibus summas quasque numerorum et alias proportiones ad sonos relatas metiatur regat et disponat in quantitate discreta, voces nihilominus atque sonos distinguens musicos, totasque vocum aggregationes simul resonare seu consonare cogens in quantitate continua. Cum enim quamlibet cordam tensam in novem passus aequales partimur, quid aliud agimus, nisi quod sicut extremi illi duo numeri subtiliter calculando generati major novem partes habens et minor octo totos aequales, unam sexquioctavam efficiunt, sic et etiam metiendo totum aequaliter duos in primo passu sonos creamus, quorum gravior totam cordam novem passuum obtinens, acutior autem octo duntaxat pari modo tonum unum resonare compellunt. Age nunc obsecro proba, si verum superiori capitulo. Cadit inter primum ac tertium illum numerum secundus ille niger etiam, eadem in duo secans proportionem sexquioctavam, non aliter, quam tu vides in monocordo, quemlibet tonum una infra se vocula cadente, duas in partes divisum. Non tamen aequales, cum sit una minus et altera major semitonium, quia si primum illum nigrum numerum de secundo nigro subtraxeris, minorem illam centum et quatuor habebis differentiam, et si de tertio nigro secundum evellas, majorem eorum invenis distantiam centum ac triginta novem. Metire toni partes, quamlibet per se majorem aut minorem, nunquam certum attingis in monocordo terminum, quia nullam invenis ibi musicorum proportionem, et si centum et quatuor aut centum ac triginta novem multiplices ad libitum, probas ibi diferre majus et minus semitonium uno comate, quam hic, ut vides, differentia centum et quatuor et centum et triginta novem sunt triginta quinque. Duplex ibi majus semitonium excedit toni spatia solo comate, nam hic si duplices, centum ac triginta novem invenis ultra praescriptam sexquioctavae differentiam illud triginta quinque duplex, econtra minus ibi semitonium toni spatia non implet illa comatis absente particula, nam et hic non implet duplicata centum et quatuor illam totius sexquioctavae differentiam absente praetacta triginta quinque numerorum portiuncula. Nescitur etiam ibi majus semitonium, nisi cadat infra tonum una vocula, quam si non interesset hic secundus ille numerus nesciretur illa centum ac triginta novem differentia. Vult natura semper ibi post duos tonos unum minus semitonium vel ante vel in medio, namque et supra si recordaris creata post duos sexquioctava una sexquitertia parvus est differens tresdecim vitatum numerus, ex quo proveniunt hic centum et quatuor octies multiplicato. Nil est ibi majus semitonium nisi minus cum comate, nam hic habes ilico centum ac triginta novem si centum et quatuor aggreges triginta quinque. At contra nil est ibi minus semitonium, nisi majus amoto comate, quam restant centum et quatuor, si de centum ac triginta novem hic auferas triginta quinque. Quid amplius dicam. Ad nullos usus per se tonum est ibi discors apothome, quod est majus semitonium, cum minus sit ubique suavissimum ac decus omnium melodiarum, eo quod si multiplices per octo primum illum numerum de quinque suprascriptis et secundum sicut hic multiplicasti tertium de tibi istis numeris duas, ut illuc sexquioctavas efficis:

1536  1728  1944

Cui tertio si centum et quatuor aggreges, ubi totam esse minoris semitonii vides naturam, secundum [415] de tribus, qui sexquioctavam dividit habes hujusmodi numerum:

2048

primum ut puta de tribus istis in se semel habens ac ejus tertiam partem. Quod si centum ac triginta novem, quae nobis econtra majus representant semitonium, idem aggregare numero velis, nec ipsum, quem prius genuere centum et quatuor generabunt numerum, nec ipsam proportionem sexquitertiam, in qua cadit musicalis consonantia dyatessaron imo magis adducent genus tertium inaequalitatis, in quo nihil unquam cecidit musicale consonum. Jungitur nihilominus frequenter majus et minus semitonium in monocordo, quae simil faciunt tonum, quasi jungas hic centum et quatuor atque centum ac triginta novem habes ilico suprascriptam illam totius divisae sexquioctavae differentiam. Hoc autem idcirco scripserim invenire volens, totam in numeris consistere musicam, nec prius homines cecinisse, quam dinumerasse, qua quidem ratione numeri probantur invicem magis proportionati discretam quantitatem calculando, eadem et soni plus et minus concordari simul judicantur quantitatem continuam partiendo.

Cur phylosophi magis elegerunt e novenario numeros regulatis vocibus appropriatis quam ex octonario.

En paucos superius non parvos neque magnos quamquam ab octonario primogenitos ex industria praemisi numeros, ut quia faciles sunt ad investigandum, per illos discamus eos inquirere, qui nascuntur etiam e primono venario majores. Adeo namque probatur totas hic habere musicam rationes suas in numeris, ut licet juxta paucos regulatos sonos antiqui phylosophi paucos etiam exquisierint illis appropriatos numeros, ut pote sexdecim quando plus varios, nihilominus hoc ritu, quem docebo quotquot voces sursum aut deorsum addere quis potuerit, tot novos creandi numeros copiam habes, et sicuti novas ad libitum creare voces possumus ad nimiam usque nervi distentionem nimiamve relaxationem, aut etiam cordae divisae nimiam diminutionem et humanae vocis extremam educationem aut dispositionem, sic et novos hujusmodi quotquot libet congerere valemus numeros, usque dum vel ad unitatem quae individua est redeamus, aut tam magnas summas, quae nec scribi nec comprehendi valeant conflemus. Id profecto philosophi graeci non ignorantes et certi, quod sexquioctava sit inter duplas sexquialteras et sexquitertias proportiones tanquam tonus inter voces atque vocum aggregationes, fore suis sequacibus judicarunt necessarium, eligere de tot infinitis numeris unum hoc dote naturali dotatum, ut partem habens mediam tertiam et octavam aliquotam, tot sexquioctavas, tot sexquitertias, sexquialteras atque duplas de se proferret, quot tonos diatessaron, diapente, diapason regulatae solent habere voces, et nihilominus alios infinitos ejusdem naturae numeros, quanquam semper majores gignere posset. Qua de causa primam attentare dispositi sexquioctava omniumve sexquioctavarum radicem, a primo quidem octonario de dupla discurrentes in duplam paucos illos exquirere, nisi sunt, quos supra depiximus numeros, ac si quis ab acutissima voce regulatarum descendat in graves de diapason in diapason, aut de curtissima corda sive nervo brevissimo se transferat ad longiores de octava in octavam. Nihil sunt etenim acciti soni, sicut dictum, est quam numeri minores ac unitati propinquiores, nihil quoque graves, quam magni magisque per contrarium ab unitate remotae. Nec alia de causa nervus intensus cordaque divisa quanto breviores tanto sonos emittunt acutiores hi, quia multum de continuo possident et illi, quia parum jam de toto continent, nisi quod numeri quanto plus ab unitate distracti majores, quanto vero plus illi propinqunt minores sunt, magisque quodammodo contracti. Principium enim unitas [416] est in arithmetica, punctum autem in geometria, sicut et unisonusin musica. Quidnam ergo nervus longus aut longa corda nisi quaedam continua quantitas a suo principio velut numeri magni sonique graves plus et minus remotae? Quidve corda brevis ac divisa nervusque curtatus, nisi quantitas eadem versus suam originem, ut parvi numeri sonique subtiles reducta? Nulli mirum itaque, si corda dividi tot in partibus queat, ut in ea non paucae diatessaron, diapente seu diapason consonantiae resonent, quae tonos infra se nullatenus exprimire possint ob extrema cordae diminutione, quam et primi numeri, cum sint unitati magis propinqui multas duplas procreabunt, multas sexquialteras et sexquitertias, in quibus nulla sexquioctava cadit ob eorum parvitatem. Nec est ambigendum (ut arbitror) de certis diapason speciebus in musica, diatessaron aut diapente, cum extrema consonent aut aliquotiens utrumque falsum inter se continentibus, nam id ipsum etiam evenire solet aliquibus duplis in arithmetica, certos ut infra liquet, numeros intra se defectuosos habentibus. Hoc est invieem aliquando non sexqualtera, aliquando non sexquitertia et aliquando nec unam nec alteram concludere valentes. Nam sicut ex una toni vocula plures elevare seu remittere possumus diapason totus de medio tonis intermissis cum diatessaron ac diapente consonantiis, ita quidem ex quovis cujuslibet sexquioctavae numero, non paucas prosequimur, si velimus, duplas tam praecedendo de minori in majorem, quam remeando versus unitatem. Sed esto, quod exprimere valeant in medio sui sexquitertiam atque sexqualteram, non poterunt tamen suas omnes distinguere sexquioctavas, pro sua scilicet parvitate vel pro partium, etiamsi grandes sint, aliquotarum defectione. Propter hoc phylosophi nullas partes tertias aliquotas in duplis numeris ab octonario tamquam diapason ab acutiore toni vocula prodeuntibus invenientes, ad proximum sibi novenarium velut ad graviorem e contra toni vocem conversi sunt, ibique repertum est totum, quod requirebant ad libitum. Novem namque si duplices decem et octo facis, primam videlicet ab ipso novenario duplam, quae quamvis a duodecim in novem sexquitertiam explicare valeat et a decem et octo sexqualteram in duodecim, non poterit tamen illa sin se distinguere sesquioctavas, tum, quia parva nimis est et adhuc in gremio matris (ut ita loquar) unitatis residens, tum qui nullam hi numeri partem aliquotam habeant octavam. Ac si proprie corda multis in partibus divisa brevis in tantum efficiatur, ut quamquam diapason in ea consonet diatessaron ac diapente simul tonus tamen ibi locum habere nequit, ob ejus brevitatem. Crescendo quippe numerus novus efficitur corda vero decrescens semper innovatur. Et ut omnis numerus de novo creatus propriam per se summam habet, ea semper, ex qua concrevit majorem, sic et in monocordo quaelibet vox propria per se cordam obtinet ea per contrarium, cui succedit semper minorem. Crescunt igitur hic non solum summae sed et differentiae numerorum et in corda divisa decrescunt semper toni spatia de cordis in cordis ac intervalla consonantiarum. Quantitas et enim discreta, quae numerorum est, quanto plus dividitur tanto major efficitur, quantitas autem continua quam solidorum corporum e contra minuitur. Nam si decem et octo duplices iterum, summa crescit ac differentia simul, adeo quod septimam duplam efficiet numerus mille centum cum quinquaginta duobus, qui major caeteris atque prestantior, ita quoque sexquioctavas de se profert ac duas earum partes parvulas, octavamque duplam in duobus millibus tricentis et quatuor complet, ut hic patebit:

[417] [CSIV:417; text: 9, 18, 36, 72, 144, 288, 576, 1152, Dupla. Sesquioctava. Pars ejus non media. Sesquioctava. 1296, 1458, 1536, 1728, 1944, 2048, 2304, Sesquitercia. Sesquialtera.] [GALLIB 01GF]

De sexdecim numeris quam pulcheriter sexdecim sonis regularibus appropriatis.

Hujus autem octavae duplae partes quisque suas infra se distinguentis et ut vides a primo novenario de dupla in duplam procedentis octavum elegere philosophi inumerum esse principium a natura si quidem hac dote mirabili dotatum, ut perfectissimam octavam illam duplam non solum ipse compleat, sed et infinitos, cum his, qui sequuntur, alios sue naturae numeros generare valeat, ut scilicet, cum videris cursu naturali cadere sexquioctavas, ubicunque tonus resonat, ac ubi semitonium majus aut minus jam satis demonstratas illarum particulas, ubi vero diatessaron sexquitertias, ubi diapente sexquialteras, et ubi diapason duplas, de his quaecunque diximus hesitare non possis. Sit igitur A nostrum superacutum aut graece neteyperboleon ille mirabilis numerus, juxta quod dictum est, minores summas numerorum in majores concrescere, non aliter quam in suis gravibus descendunt acutae voces:

A  2304

Ab hoc si partem octavam subtraxeris illamque sibi statim aggregaveris, numerum, qui sequitur, duorum millium cum quinquagentis nonaginta duobus habes ab eo, de quo natus est una sexquiocta distant valet, sicut G distat acutum ab A superacuto per tonum:

G  2592

Huic quoque sic faciens sequentem gignis numerum duo millia nonagenta cum sexdecim, ab illo scilicet, a quo procedit, iterum una sexquioctava differentem, ut est uno tono distans a praedicto G sequens F acutum:

F  2916

At quia sicuti tres toni contigui discordant in musica, sic et tres sexquioctavae nec in multiplici [418] nec in superparticulari genere cadunt, oportet hic detracta prius ex primo numero a parte tertia sibique statim aggregata creare sequentem numerum tria millia cum septuaginta duobus, ab eo de quo tractus est, una sexquitertia remotum, sicut fit diatessaron ab E acuto in A superacutum:

E 3072

Illa vero particula numerorum, qui cadit ab F in E vel e converso, semitonium illud minus est, quod habetur ab F in E acuto. Sed si rursum ab eodem primo numero mediam partem subtractam illi mox aggregaveris, numerum utique tria millia quadringenta quinquaginta sex creabis ad ipsum A signatum sexquialteram, et ad E sibi proximum sexquioctavam proprie, sicut D acutum diapente reddit ad A superacutum, ad E vero tonum:

D  3456

Sic C creabis numerum tria millia octingenta et octoginta octo per sexquialteram ad G super signatum aut per sexquitertiam ad F, per sexquioctavam ad D sibi proximum:

C  3888

Sic et [sqb] quadro signatum habes numerum per sexquitertiam ad E perscriptum quatuor millia et nonaginta sex scilicet, amborum autem [sqb] et C numerorum differentia minus est semitonium in musica. Nec mirum, quod non perficiat iste numerus sexquialteram proportionem ad prescriptum F numerum, eo quod etiam in regulatis vocibus nunquam inter [sqb] quadrum et F est diapente perfectum:

[sqb]  4096

Sic quoque numerus b rotondo signatus habebitur per sexquialteram ad F supra notatum, aut per sexquioctavam ad C signatum quatuor millia videlicet ac tricenta septuaginta quatuor et amborum [sqb] b numerorum differentia nil est quam majus semitonium in musica:

[rob]  4374

A denique replicatur secundam per duplam A primum duplicando numerumque quatuor millia sexcenta et octo simul componendo, non aliter, quam si quis per diapason ab A superacuto declinet in acutum. A quo quidem A secundo sexquioctava resultat in numerum [sqb] quadro notatum, quam dividit b rotondo signatus numerus, nec est A et b rotondi differentia, nisi semitonium minus. De quibus differentiis et sexquioctavarium partibus non arbitror ultra disputandum, eo quod de similibus tractatum est affluenter superius, et quid sit in duo partire sexquioctavam, sicut hic ostensum. Distat quoque nonus iste numerus a suprascripto E numero per sexquialteram, et ab ipso D notato per sexquitertiam, per diapente enim ab A conscendimus in E, sed in D per diatessaron consonantiam:

A  4608

Porro G numerus primus G numerum secundum pari modo per duplum efficit, quinque millia scilicet centum et octoginta quatuor, ad D numerum sexquialteram, et ad C sexquitertiam, ad A vero secundum sexquioctavam.

G  5184

Sic et numerus F primus F secundum generat per duplam, quinque millia octoginta et triginta duobus ad C suprascriptum sexquialteram habentem, [419] ad b quoque rotondo signatum sexquitertiam et sexquioctavam ad G sibi proximum:

F  5832

E quoque numerus primus E numerum secundum in dupla producit, sex millia centum et quadraginta quatuor, ad [sqb] quadro signatum sexquialterum, ad A vero secundum sexquitertiam, et ad F sibi proximum parvam tricentarum ac duodecim unitatum differentiam habentem:

E  6144

D necnon primus numerus D secundum duplicatus extruit, sex millia videlicet ac nonaginta cum duodecim, ad A primum utique triplam, et ad A numerum secundum sexquialteram efficientem, ad G vero signatum ibi sexquitertiam, et ad E sibi proximum in sexquioctavam resultantem:

D  6912

Sic et C numerus primus C numerum secundum per duplam surgere cogit, septem millia septingenta septuaginta sex, ad G primum triplam et ad G secundum sexquialteram et ad F sexquitertiam, ad D vero sibi proximum sexquioctavam habentem:

C  7776

Primus etiam [sqb] quadro signatus numerus secundam in duplam [sqb] quadro notatum procreat numerum, octo millia si quidem centum cum nonaginta duobus, ad F utique numerum prope sexquialteram, sicut nec in musica diapente perfectum explere non capacem, sed E signatum, qui sequitur, in sexquitertia comprehendentem, atque parvam quadringentarum et sexdecim unitatum inter se relinquentem et C sibi proximum differentiam:

[sqb]  8192

A denique secundus numerus A tertium gignit duplicatus numerum, qui quadruplam implet ad A primum proportionem, in novem millia scilicet cum ducentis ac sexdecim, ad E vero, qui sequitur, triplam, ad A secundum ut dictum est duplam, ad E sequens sexquialteram, ad D sexquitertiam et ad [sqb] quadro signatum et sibi proximum sexquioctavam, sicque de similibus usque infinitum:

A  9216

En sub sexdecim litteris vocum regulatarum demonstravi sexdecim numeros multum illis appropriatos, ita quod si bene perpendis ubi tonus exprimitur in litteris aut semitonium, ubi sexquioctavae cadunt cum suis differentiis earumque non aequalibus particularis et ubi diatessaron, ibi sexquitertiam, ubi vero diapente, ibi sexquialteram, ubi quoque diapason duplam et ubi diapason diapente triplam, ubi demum bisdiapason ibi proportionem quadruplam habes, idque mirari non desino, quod ut in vocibus imperfecta est omnis earum alia conjunctio. Sic et extra genus multiplex ac superparticulare cadit omnis horum numerorum alia comparatio. Quos profecto numeros et litteras omnes quo facilius comprehendi ac discuti valeant, in hac figura cum suis differentiis colligam.

[420] [CSIV:420; text: * Haec numerorum musica, Nihil dicens ac tacita, Quae quicquid precanimus flatu pulsove resonat, Totum ipsa dijudicat, Totum probat ac reprobat, Curque soni sic consonent, Aut cur dissonent indicat. Corda namque mensurata Motus musicos discutit Veros tamen ac integros, Quos connectit et numerus. Qvadrvpla, Dvpla, Sesquioctava, Sesquialtera, Sesquitertia, Minor ejus particula, Major ejus particula, A 2304, G 2592, F 2916, E 3072, D 3456, C 3888, [sqb] 4096, [rob] 4734, A 4608, G 5184, F 5832, E 6144, D 6912, C 7776, [sqb] 8192, A 9216, 288, 324, 156, 384, 432, 208, 278, 234, 576, 648, 312, 768, 864, 416, 1024] [GALLIB 02GF]

Silere numeros sub quantitate discreta, voces autem resonare simul et consonare sub quantitate continua.

Hi sunt, o lector, sexdecim cum eo qui sexquioctavam dividit quam admirabiles numeri, quibus totam naturae conditor subjecit sonorum naturam, ut quicquid moduletur dulcis cantilena musicorum, hic prius distinctum sit variis proportionibus numerorum. Tantum siquidem intueor sonorum et vocum ad numeros correlationem, ut quia minor unitatum aggeris minorem efficit summam numerorum et major e converso majorem parvam quoque percussionem aeris parvum, opinor, emittere sonum et magnam magnum. Nonne, quaeso, fistula grossa, nervus longus aut corda prolixa, latum tintanabulum et larga tuba, magnos et his similia sonora corpora semper emittunt sonos, sed si parva sint e contra parvos, eo ritu proprie quo cernis, hos numeros quanto plures exceperint unitates, tanto summas efficere majores, sed hoc ac sonis duntaxat et numeris per se nec ad invicem comparatis. Integri motus musici, qui fiunt a sono in sonum ut est tonus, diatessaron, diapente, diapason, ac infiniti similes, tam ab humana voce prolati, quam in tybia, fistulis, lyris et chytaris, tubis ac tintinabulis et humusmodi vasis musicis editi, nulla prorsus fixa ratione praeterquam in corda divisa poterant discuti seu cur sic resonent et consonent examinari. Cordam autem dimensam ac omnino quantitati continuae subjectam, quae res discutit vel dijudicat exceptis quindecim his numeris quantitati [421] discretae subditis. Revera sexdecim sunt illae summae numero, sed tantum quindecim ordine proprio. Quemadmodum enim in musica sese correspondent in diapason, quindecim regulares soni semper necessarii, nec sit ob aliud corda tryte synemenon, quae dicitur inventa, nisi ut diviso tono, dum opus fuerit, avertat tritoni duritiam, sic et octavus ille numerus ab A primo numero et b rotondo signatus, erit quidem omnino superfluus, nisi trium sesquioctavarum amoveat incongruentiam. Est autem dimensa corda, de qua loquor, musicale quoddum instrumentum, ab antiquis utique phylosophis valde subtiliter excogitatum, ac pro veritate discernenda cordam habens unam variis in partibus divisam, a qua sola corda videlicet, monocordum est appellatum. Nusquam enim in rebus humanis apparet ratio veridica sola, si non ibi sit numerus, aut pondus, aut mensura. Nam et ibi corda tot ad minus voces diversas habet, quot hic esse litteras ac numeros aspicis, illic quidem mensuratos in quantitate continua, discretos autem istic et judicatos a quantitate discreta. Quas profecto voces sive sonos alia de causa Boetius non vocitat in sua musica cordas atque nervos, quam etsi quidam eorum longiorem et quidam e converso breviorem, novam nihilominus quisque sortit in eadem corda propriamve possidet et aliam cordam. Nec mirum gravissimus etenim illic sonus totam cordam obtinet, ex quo sequitur ut quilibet id in gradu suo praevaleat, nam et istic maxima summa non solum alias in se recepit omnis numerorum summas, sed et omnis sequens etiam sequentes. Haec dixerim tractandi finem faciens, quo nullam, lector, inter sonos ac numeros esse probes dissimilitudinem, excepto quod hi silent, nec aure nec mente captantur, illi vero sonant et consonant multumque pruitum humanis auribus praebere solent.

Explicit liber notabilis musicae venerandi viri Domini Johannis Gallici, multi inter musicos nominis: cujus ego Nicolaus Burtius, primum discipulus, tunc in ea delectans, totum hunc propria manu ex eo quem ediderat, transcripsi ac notavi.

Obiit autem vir iste anno Domini MCCCCLXXIIJ. Cujus animam paradisus possidet, corpus vero Parma terra nobilis.