Back to top

[f.78r] VTilitas huius scientie musicalis magna est et mirabilis atque uirtuosa ualde. Nam testante Boetio. quod inter .septem. artes liberales musica obtinet principatum: nihil enim sine illa manet. Etenim mundus dicitur quod sub quadam armonia sit constitus Et ipsum celum sub armonie modulatione reuoluitur Nam et astrologi .nouem. dicunt esse sonos qui celestem armoniam faciunt. Septem quidem sunt planetarum. Octauus est firmamentum: et nonus ut quidam dicunt: ille totalis qui ex illis octo sonis est. dicunt et illi terram quia non mouetur nullum sonum in celesti armonia facere: Vel si sonum habent: eo quod: et si per se non moueatur mouetur tamen per tractum et circuitione aliarum sperarum. sonus ille raucus est et sic inter sonos non computatur.

De uirtute huius musice artis et scientie.

INter omnes scientias: scientia musicalis liberalior: curiosior iocundior letior et amabilior esse comprobatur. Nam reddit hominem liberalem curialem iocundum letum et amabilem. Mouet enim affectus hominum et prouocat hominem in diuersum habitum sensuum. In prelijs etiam tubarum concentus pugnantes accedunt: quia quanto uehementior fuerit clangor tanto fit animus ad certamen uelocior. Quid plura? Vere musica animos mortalium hortatur ad labores quoslibet tollerandum et singulorum operum fatigationem modulatio uocis consolatur Excitatosque animos musica sedat: quandoque dolorem capitis et tristiciam tollit. Immundos spiritus et prauos humores et languores depellit. Vnde utilis ad salutem anime et corporis inuenitur eo quod quandoque corpus infirmatur languente anima et impeditur ipsa impedita. Vnde et recreatio corporis sepe fit per recreationem anime et per aptationem uirium suarum temperantia sue substantie sonis conuenientibus: hoc agentibus: sicut legitur de Dauid. qui salutem a spiritu maligno arte modulationis eripuit. Ipsa quoque reptilia acnon aquatilia uer et uolatilia sua dulcedine musica refocillat et consolatur Sed etiam quicquid loquimur in uenarum pulsibus inuenitur et armonie probatur esse uirtutibus musica sociata.

Nota. bene. quod.

Ante inuentionem huius artis homines naturaliter cantibus utebantur Canebatque sic est genus hominum: sicut modo pluresque uiri et mulieres quamuis omnino artis expertes. mira tamen consonabant suauitate pre uocis habilitate et sentimento naturali.

Verte cito et cetera.

[f.78v] [Guido in marg.] ANtiqua autem instrumenta erant incerta: et multitudo canentium ceca: ita quod nullus hominum differentias uocum simphonie discretionem poterat aliqua argumentatione colligere: nec aliquid certum cognoscere: nisi tantum diuina bonitas suo nutu disponeret: qui omnia in numero pondere et mensura disposuit: ita et scientiam istam: in ponderibus et mensuris et in numeris disposuit et sua instrumenta nobis patefecit uidelicet per Pictagoram per Boetium et Guidonem et eorum sequaces: qui istius artis principia inuenerunt.

Moyses autem dicit repertorem huius artis fuisse Tubal: qui fuit de stirpe Chayn ante diluuium. ut patet Genesis quarto. et fuit filius Lamech ex Ada: et habet textus. Ipse Tubal fuit pater canentium cithara et organo Greci autem dicunt Pictagoram philosophum supra nomina tum huius artis primordia ex malleorum sonitu et cordarum extensione percussa inuenisse. Vide textum Antiquus Pictagoras folio.

Post hoc autem Boetius incipiens multam miramque difficilem cum numerorum proportione concordantias demonstrare ut musicam suam intuenti patet.

Deinde uenit quidam Guido monachus ordinis beati benedicti: qui composuit manum musicalem quod monocordum Guidonis appellatur Et uoces in eo contentas Lineis et spacijs adaptauit et mutationes cantuum imposuit: qui etiam quatuor modos tonorum in octo diuisit: sicut hodiernis temporibus adhuc perseuerant.

Prologus

[Boetius libro primo capitulo ultimo sue musice omnis ars et cetera in marg.] SIcut omnis ars et omnis doctrina: honorabiliorem naturaliter tenet rationem: quam artificium: quod manu et opere excercetur: sic multo honorabilius est: scire quod quis faciat quod ipsum illud efficere: quod sciat. Nam et sicut artificium aliquod ei qui illud facit: quasi corporaliter seruiens famulatur: Ratio uero quasi domina imperans principatur Et nisi manus secundum id quod ratio canit operetur frustra fit quod operatur Sic etiam scientia musice: de tanto preclarior et honorabilior est: in cognitione rationis: quam in opere atque actu efficiendi: de tanto quantum supra ipsum corpus: mens dominatur Vnde fit: ut specualtio rationis operandi actu non egeat: manuum uero nulla sunt opera: nisi ratione ducantur Quanta ergo sit gloria mirumque rationis supra artificium: huic intelligi potest: quod ceteri (ut ita dicam) musica instrumentales non ab arte aut scientia musice: sed potius a suis instrumentis cepere uocabula: uidelicet organista ab organo: cytharedus a chitara: tubicen a tuba tybicen a tybia: lyricen a lyra: [f.79r] et sic de singulis. Ratio uero non ab instrumentis: sed a speculatione huius scientie: musicos suos denominare uoluit professores. Et quanto in omni arte et scientia: multo plura sunt que homo suo sensu cognoscit quam ea que a magistro didicit: tanto laudabiliores sunt: qui artem et scientiam imitantur: quam artificium: qui enim unam uineam putare aut unam arbusculam inserere nouit: autem unum unum asinum onerare: sicut in uno facit: ita et in omnibus similiter facere non dubitabit sic et multoplures puto inueniuntur instrumentales qui non sunt musici: quam musici qui non sint intrumentales. Quod si quis tam musicus fuerit: quam instrumentalis: tanto ille inter ceteros commendabilior comprobatur. [B. in marg.] Sed forte dicet mihi aliquis: huius scientie inimicus: eo modo quo dicitur que scientia non habet inimicum nisi ignorantem. Nescio quid musica afferat: utilitatis aut necessitatis. Ad quod ego respondeo: quod de utilitate et necessitate musice. Scribunt philosophi: quod musica est illa que tam in ecclesia triumphanti quam militanti: deo seruit: quamque sancti in suis deuotionibus amplexantur qua peccatores aures altitonantis pulsant et mulcent: ut sibi ueniam impetrent: qua etiam tristes consolantur qua et leti hilariores efficiuntur qua laboribus fatigati subleuantur et recreantur qua spiritu maligno agitati melius habent et liberantur: exemplo Dauid qui regem Saulem ab exagitatione maligni spiritus: dum psallet in cythara liberauit. qua et pugnantes promptiores et expeditiores redduntur in prelium: ita ut quanto tubarum clangor et hominum rumor uehementius percrepuerit: tanto plus ipsi preliantes animo si fuerit ad certamen. Propter quod etiam dominus iussit sacerdotes tubis canere: et populum uociferare: dum preliarentur filij Israhel prelia domini: et corruerunt aduersarij. Et iterum: quod musica sit una de septem artibus liberalibus: que teste Boetio inter ceteras obtinet principatum. nam et ipsa sola nedum fores sancte matris ecclesie: in terra militantis: sed et in celo triumphantis subintrare meruit: ubi sancti cum angelis et archangelis cum thronis et dominationibus cunque omni militia celestis exercitus dominum in excelsis: incessantur: in hymnis et canticis benedicere et callaudare non definunt: dicentes Sanctus. Sanctus. Sanctus dominus deus sabaoth: Pleni sunt celi et terra gloria tua: Osanna in excelsis. Quod et ego loquens attestor: pro parte sacri ordinis nostri Cartusiensis experientia doctus quia dum nos per musicam uelut in cantico nouo: quod sancti patres nostri nos docuerunt. typo uidelicet et exemplo quatuor animalium que stant ante thronum dei et agni: [f.79v] et dant gloriam in conspectu uiginti quatuor seniorum requiem non habentia: pro modulo nostro benedictum deum in donis suis: et sanctum in omnibus operibus suis: omnium equidem uisibilium et inuisibilium conditorem et plasmatorem mirabilem quantum fragilitas humana suppetat: die ac nocte benedicimus: laudamus et glorificamus et diuinum officium per quod ad gloriam sempiternam uocamur et ducimur: decantamus. Et sicut in prelijs: quanto tubarum clangor et uocum rumor uehementius percrepuerit: tanto plus ipsi preliantes animosi fiunt: ad certamen: Sic et nos quanto ualidius omni tamen monastica grauitate seruata: equisonoriusque adinuicem modulamur: tanto et feruentius alterutrum in dei laudem nostris concentibus excitamus: et ad labores ordinis uiriliter supportandos: sompnolentia pessundata animamus: et uices recreamus: immundosque spiritus et eorum fantasias et illusiones abigimus et prauos humores corporis tali excertatione consumimus. Vnde et melius dispositi inuenimur: et finaliter nos et animas nostras quantum possumus in holocaustum offerimus: ei qui potens est: depositum nostrum seruare in extreme retributionis diem. Iustus iudex Ihesus cristus dei filius dominus noster. Qui cum patre et spiritu sancto uiuit et regnat deus. Per infinita secula Amen.

Quod musica sit una ex speciebus artis mathematice Capitulum primum.

[C. in marg.] MVsica est una partium siue specierum artis mathematice: Nam mathematica de hijs est: que sunt de natura quanti. Sed quantitatum alia discreta ut numerus: et alia continua ut magnitudo. ergo mathematica partim est de numero et partim de magnitudine. Si de magnitudine hoc est dupliciter uel quia est de magnitudine absoluta: et sic est geometria: uel quia est de magnitudine non absoluta: sed relata signanter ad motum: et sic est Astronomia: Si uero de numero hoc etiam est dupliciter: uel quia est de numero absoluto: et sic est Arismetrica: uel quia est de numero non absoluto: sed relato signanter ad sonu et sic est musica: de qua hic solum ad propositum. [D. in marg.] Ex quibus potest elici: quod subiectum musice: quoad eius theoricam est ens discretum ad aliud relatum puta numerus relatus ad sonum: propter quod musica dici potest Euphonia siue quadam sonorum melodia ad laudem dei augmentandam ordinata Vnde musica inter ceteras artes liberales: de se sic dicit Inuenire locum per me modulamina [f.80r] uocum.

Qualiter melodia musicalis et discretio sonorum musice inuenta fuerit. Capitulum secundum.

ANtiquus Pictagoras subtilissima numeralium proportionum inuestigatione precellens. [E. in marg.] Nolens quidem aurium indicio. fidem de consonantijs adhibere: tum quia non omnis auris propter complexionis naturalis etatis mutabilisque dispositionis uarietate: eque bene iudicat de auditis: tum et si auris bene disposita: quantum ad ea que contingunt: circa sonum non fallatur: tum de numerorum proportionibus discernere: non est suum: sed opus rationis. Quapropter ipse Pictagoras: studiose perquirens qualiter artem de melodijs: rationabiliter inueniret: quadam uice. iuxta fabrorum officinas ad Ripam cuiusdam fluuij constitutas preteriens: ut dicit Boetius in sua musica: hanc inquisitionem mentaliter intendens: quosdam malleos supra incudem ferientes deprehendit: et statim ipse illuc diuertens: et malleorum sonos attendens dubitans: si forte ex uiribus hominum ferientium huiusmodi melodia proueniret Iussit inter se singulos malleos commutari: quibus alternatis et ad incudem ut prius percussis: redijt eadem armonia que prius: ex quo ipse Pictagoras conclusit: quod non in uiribus hominum ferientium: sed in conditionibus malleorum: huiusmodi melodia immediatius dependeret: Quod et ei postmodum experimento innotuit: tam numeri quam ponderis ratione. [F. in marg.] Numerus autem malleorum erat .5. sed quintus abiectus est: eo quod cuicumque aliorum malleorum sociaretur seu compararetur semper dissonabat. Dedit enim ex sui dissonantia occasionem non modicam discretionem consonantiarum indicandi cum opposita iuxta se posita magis elucescant. Recurrit ergo Pictagoras ad pondera malleorum: et inuenit primum tanquam maiorem .12. secundum maiorem subsequentem .9. tercium 8. et quartum 6 ponderare.

12. 9. .8. .6.

[G. in marg.] Dicitur ergo musica quasi moysica a mois quod est aqua et ycos scientia: quasi scientia super uel iuxta aquas inuenta. [H. in marg.] Alij dicunt: quod Greci inuenerunt musicam in summitate maris: ubi sepe dulcissimum sonum audiebant Vnde dicunt: quod quoddam saxum longe erat in mari: ubi ipsi Syrenes esse putabant ipsi autem tale ingenium inuenerunt et confecerunt: quod ipsi ad illud saxum peruenerunt Saxum autem concauum erat et septem foramina habebat: per que foramina: et mare et uentus transibant et inde mirabilis melodia resonabat. Ex quibus septem foraminibus ipsi septem uoces collegerunt. (hoc est) [f.80v] septem mutationes sonorum Et secundo hoc dicitur musica a moys quod est aqua et sicos quod est uentus: quasi in aqua per uentum inuenta Ego tamen potius credo Boetio quam istis.

Quod quinque sunt genera: tam maioris quam minoris inequalitatis quorum cuiuslibet species sunt infinite iuxta diuersitatem inequalitatis Capitulum tercium

[I. in marg.] Quia hic de proportionibus aliquid dicere oportet: quid sit porportio uideamus Vnde Proportio est duorum numerorum secundum maius et minus ad seinuicem quedam habitudo siue comparatio. Sed omnis numerus ad alterum comparatus uel est ei equalis. Nam hoc competit omni quantitati. Sed equalis tunc unum et idem sunt in quantitate: et non uariantur nec etiam ex sonis equalibus fit consonantia. [K in marg.] Siquidem inequalis tunc uel maior est uel minor Dicitur autem aliquid altero maius uel minus quinque modis secundum quinque genera inequalitatis que sunt multiplex. Superparticulare: superpartiens. Multiplex superparticulare et multiplex superpartiens quorum tria prima scilicet multiplex superparticulare et superpartiens: sunt genera simplicia et reliqua duo sunt genera composita. Nam multiplex superparticulare compositum est: ex primo genere et secundo: et multiplex superpartiens compositum est: ex primo genere et tercio: Appositaque in capite cuiuslibet generis: ista dictio est sub. totidem modis dicitur minus.

[L in marg.] Proportio de genere multipli est: quando maior numerus in se continet minorem numerum totum: pluries quam semel: precise tamen (hoc est sine aliqua fractione: ut si maior numerus bis in se contineat minorem numerum totum precise est proportio dupla: ut 2. ad .1. [dupla in marg.] 4. ad .2. 6. ad .3. et sic [in add. supra lin.] infinitum. Si ter contineat precise est proportio tripla: [Tripla in marg.] ut 3. ad 1. 6. ad .2. 9. ad .3. et sic in infinitum. Si quater: [quadrupla in marg.] est proportio quadrupla: ut 4. ad 1. 8. ad .2. 12. ad .3. et sic in infinitum. Et tot sunt species huius generis multiplicis: maioris inequalitatis: hoc est comparationis maioris numeri ad minorem: quotiens maior numerus in se continere potest: minorem numerum totum precise: sine aliqua fractione. Et secundum illud quotiens sumit ipsa proportio: suam denominationem ut supra uisum est. [M. in marg.] Quod si minor numerus comparetur ad maiorem: sicut supra maior comparatur ad minorem: ueniet tunc proportio minoris inequalitatis eiusdem speciei ut prius. Sed ad denominationem huius proportionis minoris inequalitis preponi debet ista dictio sub: ut [f.81r] si dicatur 1. ad .2. uel 2. ad .4. uel 3. ad .6. proportio est subdupla Si dicatur 1. ad .3. uel .2 ad .6. uel .3. ad .9. proportio est subtripla. Et si dicatur 1. ad .4. uel .2. ad .8. uel .3. ad .12. est proportio subquadrupla: et sic in infinitum.

Proportio de genere superparticulari est: [N in marg.] quando maior numerus semel tantum in se continet minorem numerum totum: et cum hoc aliquam eius partem aliquotam: puta unam medietatem uel unam terciam uel unam quartam ipsius minoris numeri et sic in infinitum.

[O in marg.] Vnde pars aliquota dicitur per quam si diuidatur integrum: surgit precise ipsum integrum: et nil remanet residui: et unitas comparata ad quotientem diuisionis denominat huius modi partem aliquotam: ut si diuidantur 6. ad .2. surgunt 6. et nihil remanet residui: ergo 2 est pars aliquota de .6. Et si scire uolueris: quota pars sit: 2. de 6. attende ad quotientem diuisionis: quia ter diuiditur 6. per .2. ergo 2. est 1/3 de 6. et sic de alijs. Et hic bene aduertendum est: quod proportio de genere multipli: solum dat integrum: et nullas fractiones: et a numero talium integrorum: sumit illa proportio suam denominationem ut supra uisum est.

Proportio uero de genere superparticulari: unicum integrum dat et fractiones Modo sciendum: quod in fractionibus duo sunt numeri scilicet numerator et denominator. Numerator quidem scribitur supra: et denominator scribitur infra cum interpositione cuiusdam uirgule: ut altera pars integri: siue una medietas integri: quod idem est scribitur sic .1/2. una tercia sic .1/3. una quarta sic .1/4. et sic in infinitum. Et sic a denominatione ipsius fractionis sumit ista proportio de genere superparticulari suam denominationem: ut si maior numerus semel in se contineat minorem numerum totum: et cum hoc eius alteram partem. id est eius medietatem: [.1 1/2 in marg.] est proportio sesquialtera: ut .3. ad .2. 6. ad .4. 9. ad .6. quia .9. continet semel .6. et cum hoc .3. que est medietas de 6. Si uero maior numerus semel in se contineat. minorem numerum totum: et cum hoc eius terciam partem: [.1 1/3 in marg.] est proportio sesquitercia: ut .4. ad .3. 8. ad .6. 12. ad .9. et sic in infinitum. quia .12. semel in se continet. 9. et cum hoc .3. que est tercia pars de .9. Et si maior numerus semel in se contineat minorem numerum: et cum hoc eius quartam partem: [.1 1/4 in marg.] est proportio sesquiquarta: ut .5. ad .4. 10. ad .8. 15. ad .12. et sic in infinitum. quia .15. semel in se continet 12. et cum hoc .3. que est quarta pars. de .12. Vel si maior numerus semel in se contineat minorem numerum totum: et cum hoc eius octauam partem est proportio sesquioctaua: [.1 1/8 in marg.] ut [f.81v] .9. ad 8. 18. ad .16. 27. ad .24. et sic in infinitum. Et hee sunt species maioris inequalitatis huius generis superparticularis. Quod si minor numerus comparetur ad maiorem: sicut supra maior comparatur ad minorem: ueniret tunc proportio minoris inequalitatis: eiusdem speciei ut prius: sed ad denominationem huius proportionis minoris inequalitatis: preponi debet ista dictio. sub. Vt si dicatur 2. ad 3. uel .4. ad .6. uel .6 ad .9. proportio est subsesquialtera Vel si dicatur 3. ad .4. uel .6. ad .8. uel .9. ad .12. proportio est subsesquitercia. Vel si dicatur 4. ad .5. uel .8. ad .10. uel .12. ad .15. proportio est subsesquiquarta: Vel si dicatur 8. ad .9. uel .16. ad .18. uel .24. ad .27. proportio est subsesquioctaua et sic de alijs in infinitum.

[P in marg.] PRoportio de genere superpartienti est. quando maior numerus semel tantum in se continet minorem numerum totum: et cum hoc aliquas eius partes non aliquotas. [Q. in marg.] Est autem illa pars non aliquota: per quam si diuidatur integrum: non surgit precise ipsum integrum: sed aliquid remanet residui: quod plus est unitate et minus integro. Vnde et istud genus. proportionis superpartientis unicum solum integrum dat: et fractiones. quarum fractionum numerator maior est unitate. Et in hoc latet differentia istius generis superpartientis ad genus superparticulare: quia numerator fractionis generis superparticularis unitatem non excedit: ut supra patuit. Numerator uero fractionis huius generis superpartientis unitatem excedit. quapropter hic cauendum est: ne de parte non aliquota incidatur in partem aliquotam: quin denominatore fractionis diuiso: per suum numeratorem: semper aliquid remaneat. Vel alias etiam pars aliquota: ut si haberes 2/4. uel 3/6 uel 4/8. et si diuidens denominatorem per numeratorem nihil residui remaneret et in quotiente uenirent .2. et hoc est dicere: quod omnes tales fractiones sunt una medietas: seu altera pars integri uel si haberes 2/6. uel .3/9. uel .4/12. Et si diuideres denominatorem per numeratorem nihil residui remaneret: et in quotiente uenirent 3. et hoc est dicere: quod omnes tales fractiones sunt una tercia integri et sic de alijs Et sumit istud genus proportionis superpatientis: suam denominationem: a numeratore fractionis: pronuntiando illum numeratorem fractionis: aduerbialiter ut si numerator fractionis sit .2. est proportio superbipartiens. Vel si numerator fractionis sit .3. est proportio supertripartiens. Et si numerator fractionis: sit .4. est proportio superquadrupartiens. et sic in infinitum. [f.82r] Et hee sunt species huius generis superpartientis. Et quamuis plures de ista denominatione specierum huius generis sint contenti. Ego tamen saluo saniori de tali denominatione (absque plura non sum contentus. sed dico: quod ipsa denominatio istius generis adhuc extendi debet: ad denominatorem fractionis: ita ut dicatur superbipartiens tercias: [.1. 2/3 in marg.] ut 5. ad .3. uel superbipartiens quintas [.1 2/5 in marg.] ut .7. ad .5. uel superbipartiens septimas [.1. 2/7 in marg.] ut 9. ad .7. et sic de alijs. eo quod .2. equibene sunt: pars non aliquota de .7. et de .5. sicut de tribus: quod nisi sic dicatur non poterit quis scire quid fuerit integrum ipsius fractionis: et hec ad oculum uidebuntur in practica musice: quando de proportionibus exemplariter agetur. Similiter dicendum erit de proportione supertripartiente. [.1. 3/4 in marg.] ut dicatur supertripartiens quartas ut 7. ad 4. uel supertripartiens septimas ut 10. ad .7. [.1. 3/7 in marg.] uel supertripartiens decimas [.1. 3/10 in marg.] ut .13. ad .10. et sic de alijs eo quod tres equebene sunt: pars non aliquota de .10. et de .7. sicut et de .4. Similiter et de proportione superquadrupartiente: ut dicatur superquadrupartiens quintas [.1. 4/5 in marg.] ut .9. ad .5. uel superquadrupartiens septimas [.1. 4/9 in marg.] ut .11. ad .7. Vel superquadrupartiens nonas [.1. 4/7 in marg.] ut 13. ad .9. et sic de alijs. eo quod .4. equebene sunt. pars non aliquota de 9. et de .7. sicut de 5. Et hic cauendum est: sicut supradictum est de proportione superparticulari: ne de partibus non aliquotis: incidant in partes aliquotas: ne dicatur scilicet superbipartiens quartas [.ut 6 ad 4. in marg.] uel supertripartiens sextas [.ut .9. ad .6. in marg.] uel superquadrupartiens octauas [.ut .12. ad .8. in marg.] 2. huiusmodi: quia esset proportio sesquialtera de genere superparticulari Vel ne dicatur supertripartiens nonas [.ut .12. ad .9. in marg.] quia esset proportio sesquitercia. Vel ne dicatur supertripartiens duodecimas quia esset proportio sesquiquarta: ut 16. ad .12. et sic de similibus. Cauendum est etiam de implicationibus scilicet ne dicatur superbipartiens secundas uel supertripartiens tercias uel superquadrupartiens quartas et similia: quia implicat sic dicere: cum fractio iam facta fit integrum: Nam surgit fractio: et sic inciditur in proportionem de genere multiplici: puta in proportionem duplam in proposito uel quamcunque aliam per simile. Iuxta proportionabilitatem fractionum ad sua integra. Et hee supra scripte species: sunt species maioris inequalitatis huius generis superpartientis. Quod si minor numerus comparetur ad maiorem: sicut supra maior comparatur ad minorem. Veniet tunc proportio minoris inequalitatis eiusdem speciei ut prius: Sed ad denominationem proportionis minoris inequalitatis: preponi debet ista dictio. sub. Vt si dicatur 3. ad .5. proportio est subsuperbipartiens tercias. Vel si [f.82v] dicatur 5. ad .7. proportio est superbipartiens quintas et sic de alijs. ut dictum est suo modo. de speciebus maioris inequalitatis.

[R. in marg.] PRoportio de genere multiplicis superparticularis: quod est genus compositum ex multiplici et ex superparticulari: ut patet ex suo uocabulo. Est quando maior numerus pluries quam semel in se continet minorem numerum totum: et cum hoc aliquam eius partem aliquotam: puta alteram partem: uel unam medietatem quod idem est. Vel unam terciam Vel unam quartam ipsius minoris numeri: et sic in infinitum Quid autem sit pars aliquota dictum est supra in proportione superparticulari. Et sicut istud genus proportionis compositum est: ex genere multiplici: et ex genere superparticulari ita etiam istud genus: compositam sibi sumit denominationem: partim uidelicet: ex parte generis multiplicis ut dupla tripla quadrupla et cetera et partim ex parte generis superparticularis: ut sesquialtera sesquitercia sesquiquarta et cetera. Et inde fit progressio specierum huius generis multiplicis superparticularis hoc modo uidelicet. ut dicatur proportio dupla sesquialtera: ut .5. ad 2. uel proportio dupla sesquitercia: ut 7. ad .3. uel proportio dupla sesquiquarta: ut 9. ad .4. et sic in infinitum. ita. quod non uariaretur denominatio: ex parte generis multiplicis: quia ubique dicit dupla: sed solum uarietur denominatio ex parte generis superparticularis quia in uno dicit sesquialtera in alio sesquitercia: et in tercio sesquiquarta: et sic de alijs. Et aliquando solum uariatur ipsa progressio specierum huius generis multiplicis superparticularis: in denominatione ex parte generis multiplicis: et non ex parte generis superparticularis. Vt si dicatur proportio dupla sesquialtera: ut .5. ad 2. Vel proportio tripla sesquialtera: ut 7. ad .2. Vel proportio quadrupla sesquialtera: ut .9. ad .2. Vel proportio dupla sesquitercia: ut .7. ad .3. Vel proportio tripla sesquitercia: ut .10. ad .3. Vel proportio quadrupla sesquitercia: ut .13. ad .3. Et aliquando uariatur huiusmodi progressio specierum: tam ex parte generis multiplicis: quam ex parte generis superparticularis: ut si dicatur proportio dupla sesquialtera ut .5. ad .2. Vel proportio tripla sesquitercia: ut .10. ad .3. uel proportio quadrupla sesquiquarta: ut .17. ad .4. et sic in infinitum. Enimuero quicquid supradictum est de genere multiplici simpliciter hoc poterit hic applicari: pro prima parte huius generis compositi: et quicquid supradictum est: de genere superparticulari: simplici: hoc poterit hic applicari: pro secunda parte eiusdem generis compositi: scilicet multiplicis [f.83r] superparticularis: Et hee species supranumerate sunt species maioris inequalitatis huius generis multiplicis superparticularis. Quod si minor numerus comparetur ad maiorem sicut supra maior comparatur ad minorem: ueniet tunc proportio minoris inequalitatis: eiusdem speciei: ut prius: sed ad denominationem proportionis minoris inequalitatis proponi debet ista dictio sub. Et si dicatur 2. ad .5. proportio est subdupla sesquialtera. Vel si dicatur 3. ad .7. proportio est subdupla sesquitercia. Vel si dicatur 4. ad .9. proportio est subdupla sesquiquarta: et sic de alijs: referendo singula singulis: prout supradictum est. suo modo de speciebus maioris inequalitatis.

[S in marg.] PRoportio de genere multiplicis superpartientis: quod est genus compositum ex multiplici et ex superpartienti: ut patet ex suo uocabulo est quando maior numerus pluries quam semel in se continet minorem totum: et cum hoc aliquas eius partes non aliquotas. Quid autem sit pars non aliquota dictum est supra in proportione superpartienti: Et sicut istud genus proportionis compositum est: ex genere multiplici: et ex genere superpartienti: ita etiam istud genus compositam habet denominationem: partim uidelicet: ex parte generis multiplicis ut dupla tripla quadrupla. et cetera. et partim ex parte grauis superpartientis: ut superbipartiens supertripartiens superquadrupartiens et cetera. Et inde fit progressio specierum huius generis multiplicis superpartientis. hoc modo uidelicet. Vt dicatur proportio dupla superbipartiens tercias ut 8. ad .3. Vel proportio dupla supertripartiens quartas ut .11. ad .4. Vel proportio dupla superquadrupartiens quintas ut .14. ad .5. et sic in infinitum ita quod non uarietur denominatio ex parte generis multiplicis: quia ubique dicit dupla. sed solum uarietur denominatio: ex parte generis superpartientis. quia in uno dicit superbipartiens tercias in alio supertripartiens quartas et in tercio superquadrupartiens quintas et sic de alijs. Et aliquando uariatur ipsa progressio specierum huius generis multiplicis superpartientis: in denominatione ex parte generis multiplicis: et non ex parte generis superpartientis ut si dicatur proportio dupla superbipartiens tercias ut .8. ad 3. uel proportio tripla superbipartiens tercias ut .11. ad .3. Vel proportio quadrupla superbipartiens tercias ut .14. ad .3. Vel proportio dupla supertripartiens quartas ut .11. ad .4. Vel proportio tripla supertripartiens quartas ut .15. ad .4. Vel proportio quadrupla supertripartiens quartas ut 19. ad .4.. Et aliquando uariatur huiusmodi progressio [f.83v] specierum: tam ex parte generis multiplicis: quam ex parte generis superpartientis. Vt si dicatur proportio dupla superbipartiens tercias ut 8. ad .3. Vel porportio tripla supertripartiens quartas ut .15. ad .4. Vel proportio quadrupla superquadrupartiens quintas ut 24. ad 5. et sic in infinitum. Enimuero quicquid supradictum est: de genere multiplici simpliciter hoc poterit hic applicari: pro prima parte huius generis compositi: et quicquid supradictum est: de genere superpartienti simplici: hoc similiter poterit hic applicari. Pro secunda parte eiusdem generis compositi scilicet multiplicis superpartientis. Et hee species supranumerate: sunt species maioris inequalitatis huius generis multiplicis superpartientis. Quod si minor numerus comparetur ad maiorem: sicut supra. maior comparatur ad minorem: ueniet tunc proportio minoris inequalitatis eiusdem speciei ut prius: sed ad denominationem proportionis minoris inequalitatis: preponi debet ista dictio. sub. Vt si dicatur 3. ad .8. proportio est subdupla superbipartiens tercias Vel si dicatur .4. ad .11. proportio est subdupla supertripartiens quartas. Vel si dicatur .5. ad .14. proportio est subdupla superquadrupartiens quintas et sic referendo singula singulis: prout supradictum est suo modo: de speciebus maioris inequalitatis huius generis multiplicis superpartientis. Que autem proportiones communius ponuntur in musica: habebis infra tractatu de proportionibus musicalibus: in capitulo de musica mensurabili folio.

[T. in marg.] QVibuscunque duobus numeris inequalibus datis: ueram eorum proportionem adinuicem inuenire. Diuide primo maiorem numerum per minorem quotiens poteris et scribe numerum quotientem. Quod si ex huiusmodi diuisione: surgat maior numerus: ita quod nihil maneat Residui. Proportio est de genere multiplici simpliciter et illius quidem speciei quam ipse numerus quotiens prouentus denominat: ut si in quotiente habueris .2. et proportio dupla: Si .3. est proportio tripla: si .4. est proportio quadrupla: est sic in infinitum. Ex quo uides: quod in genere multiplici simpliciter solum habes integra: et nullas fractiones. [Primum exemplum in marg.] Verbi gratia Sint numeri dati .12. et .6. 12 est maior numerus: et 6. est minor numerus. Diuide ergo maiorem numerum per minorem: puta .12. per .6. et surgit maior numerus: ita quod nihil manet residui: Et in quotiente diuisionis: habes .2. dico ergo quod 12. ad .6. est proportio dupla. et sic de alijs. Quod si ex supra tacta diuisione maioris numeri per minorem: non surgat [f.84r] maior numerus: sed aliquid residui maneat: quod residuum debet esse minus numero minore: per quem ipsum maiorem numerum diuisisti: et si solum ueniat unitas in quotiente istius diuisionis Vide utrum illud residuum quod remansit: sit pars aliquota ipsius minoris numeri dati: uel non sit pars aliquota eiusdem: quod utique sic scire poteris. Nam per illud residuum: quod post diuisionem maioris numeri per minorem remansit: diuide ipsum minorem numerum datum. Et si ipse minor numerus datus: ex huiusmodi diuisione surgit. Scito quod tale residuum sit pars aliquota ipsius minoris numeri dati. Et bene attende: ad numerum quotientem istius ultime diuisionis: ita quod quotiens fuerit 2. ipsa pars aliquota: erit altera pars siue una secunda uel una medietas quod idem est ipsius minoris numeri dati: a qua medietate uel parte altera: proportio dicitur sesquialtera. Si. quotiens .3. fuerit ipsa pars aliquota: erit una tercia ipsius minoris numeri dati: a qua tercia proportio dicitur sesquitercia. Et si quotiens fuerit 4. ipsa pars aliquota erit una quarta ipsius minoris numeri dati: a qua quarta proportio dicitur sesquiquarta: et sic in infinitum. Quod si ex diuisione maioris numeri dati per minorem: in quotiente solum ueniat unitas: et si residuum huius diuisionis sit pars aliquota ipsius minoris numeri dati: proportio est de genere superparticulari simpliciter: illius quidem speciei: quam denotat numerus quotiens ultime diuisionis: ut supra dictum est. [Secundum exemplum in mar.] Verbi gratia. sint numeri dati .12. et .9. 12. est maior numerus: et .9. est minor numerus Diuide ergo maiorem numerum per minorem: puta .12. per .9. et in quotiente uenit unitas: quem quotientem serua: quia est unum solum integrum: et adhuc supersunt 3. per que .3. ulterius diuide ipsum minorem numerum datum scilicet .9. et in isto quotiente ueniunt .3. a quibus denominatur una tercia: et surgit minor numerus datus Ex quo patet quod tria est pars aliquota. de .9. scilicet una tercia: quia ter .3. faciunt .9. Habes ergo nunc: ex opere tuo. unum integrum et unam terciam eiusdem integri hoc modo .1.1/3 et hec est proportio sesquitercia. Est ergo .12. ad .9. proportio sesquitercia. uerum est. Similiter .8. ad .6. [Tercium exemplum in marg.] Item aliud exemplum. Sint numeri dati .12. ad 8. 12. est maior numerus: et 8. minor numerus. Diuide ergo maiorem numerum per minorem: puta .12. per .8. et in quotiente uenit unitas: quem quotientem serua: quia est unum solum integrum et adhuc supersunt .4. per que .4. ulterius diuide ipsum minorem numerum datum: scilicet .8. et in isto [f.84v] quotiente ueniunt .2. a quibus denominatur altera pars: siue una secunda uel una medietas (quod idem est) et surgit minor numerus datus: ex quo patet: quod 4 est pars aliquota de .8. scilicet pars altera siue una medietas: quia bis .4. faciunt .8. Habes ergo nunc ex opere tuo unum integrum et alteram partem eiusdem integri hoc modo .1.1/2 et hec est proportio sesquialtera. Est ergo 12. ad .8. proportio sesquialtera (uerum est) Similiter .9. ad .6.

[Quartum exemplum in marg.] Item aliud exemplum Sint numeri dati .9. et 8. 9. est maior numerus: et 8. est minor numerus. Diuide ergo maiorem numerum per minorem: puta .9. per .8. et in quotiente uenit unitas: quem quotientem serua: quia est unum solum integrum. et adhuc superest unitas: per quam unitatem ulterius diuide ipsum minorem numerum datum. scilicet .8. et in isto quotiente ueniunt .8. a quibus denominatur una octaua: et surgit ipse minor numeris datus: ex quo patet quod unitas est pars aliquota de 8. scilicet una octaua: quia octies. unum faciunt 8. Habes ergo nunc ex opere tuo unum integrum: et unam octauam partem euisdem integri. hoc modo .1.1/8 et hec [est add. supra lin.] proportio sesquioctaua. Est ergo .9. ad .8. proportio sesquioctaua uerum est et sic de alijs. Ex quo clare uidere potes: quod proportio de genere superparticulari simpliciter unicum solum dat integrum et fractiones: sed numerator fractionum nunquam excedit unitatem Quod si ex diuisione maioris numeri dati per minorem: in quotiente solum ueniat unitas. et si residuum huiusmodi diuisionis non sit pars aliquota ipsius minoris numeri dati quod utique sic scire poteris. Nam per illud residuum: quod post diuisionem maioris numeri dati per minorem remansit. Diuide ipsum minorem numerum datum et si non surgat ipse minor numerus datus. Scito quod tale residuum non sit pars aliquota ipsius minoris numeri dati et est proportio de genere superpartienti simpliciter illius quidem speciei: quam denominat numerator fractionis. Qua propter bene attendendum est: ad numeratorem fractionis ipsius: qui quidem numerator est ipsummet residuum: quod post diuisionem maioris numeri dati per minorem remansit: et minor numerus datus est denominator ita quod si numerator fractionis fuerit .2. erit proportio superbipartiens: quasi dans duas partes ipsius minoris numeri dati. Si uero huiusmodi numerator fractionis fuerit .3. proportio erit supertripartiens. idest dans tres partes ipsius minoris numeri dati. Et si huiusmodi numerator fuerit .4. proportio erit superquadrupartiens. idest. dans quatuor partes ipsius minoris numeri dati: [f.85r] et sic in infinitum. [quintum exemplum in marg.] Verbi gratia Sint numeri dati .5. et .3. 5. est maior numerus: et .3. est minor numerus. Diuide ergo maiorem numerum per minorem. puta .5. per .3. et in quotiente uenit unitas: quem quotientem serua: quia est unum solum integrum. et adhuc supersunt 2. per que .2. ulterius diuide ipsum minorem numerum datum scilicet .3. et non surgit ipse minor numerus datus: quapropter illa .2. a quibus denominatur proportio superbipartiens. Constitue numeratorem fractionis: et ipsum minorem numerum datum. scilicet .3. constitue denominatorem: et habes duas tercias: quibus preponas illud unum integrum: quod iussi seruari: et tunc habes hoc modo 1.2/3 (pro exemplo datur) et hec est proportio superbipartiens tercias. Est ergo .5. ad .3. proportio superbipartiens tercias (uerum est) et sic de alijs. Ex ergo clare uidere potes: quod proportio de genere superpartienti simpliciter: unicum solum dat integrum: et fractiones: sed numerator fractionum: semper unitatem excedit. Si uero ex diuisione maioris numeri dati per minorem: in quotiente plus quam unitas: et cum hoc non surgat maior numerus diuisus: sed aliquid manet residui. Vide utrum illud residuum quod remansit: sit pars aliquota ipsius minoris numeri dati: uel non sit pars aliquota. Quod si sit pars aliquota: proportio est de genere multiplicis superparticularis illius quidem speciei: quam denotat numerus quotiens diuisionis minoris numeri dati per illud quod fuit residuum: sicut supra: de genere superparticulari simpliciter ad longum dictum est. Et si ex diuisione maioris numeri dati per minorem: in quotiente ueniat plus quam unitas: et cum hoc non surgat maior numerus diuisus: sed aliquid manet residui: et si illud residuum non sit pars aliquota ipsius minoris numeri dati: proportio est de genere multiplicis superpartientis: illius quidem speciei quam denotat numerator fractionis: sicut supra de genere superpartienti simpliciter ad longum dictum est. [Sextum exemplum in marg.] Exemplum primi. Sint numeri dati 13. et .4. 13. est maior numerus et .4. est minor numerus. diuide ergo maiorem numerum per minorem puta: 13. per .4. et in quotiente ueniunt .3. quem quotientem serua: quia sunt tria integra: et est proportio tripla: per primam partem huius articuli: et adhuc superest unitas: per quam unitatem ulterius diuide ipsum minorem numerum datum. scilicet 4. et in isto quotiente ueniunt 4. a quibus denominatur proportio sesquiquarta: et surgit ipse minor numerus datus. Habes ergo ex opere tuo .3. integra: que iussi seruari et cum hoc unam quartam [f.85v] partem ipsius minoris numeri dati hoc modo .3.1/4 et hec est proportio tripla sesquiquarta. Tripla quidem ex parte generis multiplicis: et sesquiquarta ex parte generis superparticularis: quia sicut istud genus multiplex superparticulare compositum est ex genere multiplici: et ex genere superparticulari: sic etiam habet istud genus duas partes denominationis. unam quidem ex parte generis multiplicis: et reliquam ex parte generis superparticularis. Est ergo .13. ad .4. tripla sesquiquarta (uerum est) et sic de alijs. Exemplum secundi. [Septimum exemplum in marg.] Sint numeri dati .8. et .3. 8. est maior numerus et .3 et minor numerus. Diuide ergo maiorem numerum per minorem puta 8. per .3. et in quotiente ueniunt .2. quem quotientem serua: quia sunt duo integra et est proportio dupla. per primam partem huius articuli. et adhuc supersunt .2. per que .2. ulterius diuide ipsum minorem numerum datum scilicet 3. et non surgit ipse minor numerus datus. Quapropter illa duo: a quibus denominatur proportio superbipartiens: constitue numeratorem fractionis et ipsum minorem numerum datum scilicet .3. constitue denominatorem: et habes duas. tercias quibus preponas illa duo integra: que iussi seruari: et habes hoc modo .2.2/3 et hec est proportio dupla superbipartiens tercias: Dupla quidem: ex parte generis multiplicis: et superbipartiens ex parte generis superpartientis: quia sicut istud genus multiplex superpartiens compositum est: ex genere multiplici et ex genere superpartienti. Sic etiam habet istud genus duas partes denominationis: unam quidem ex parte generis multiplicis: et reliquam ex parte generis superpartientis. Et ergo .8. ad .3. est proportio dupla superbipartiens tercias (uerum est) et sic de alijs. [V. in marg.] Ex quo clare uidere potes: quod proportiones de genere multiplici superparticulari: et de genere multiplici superpartienti plura dant integra quam unum: et cum hoc fractiones.

[Quaestio in marg.] Per hoc autem: quod ipsa duo genera dant fractiones. differunt a genere multiplici simpliciter quod nullas dat fractiones: et a genere superparticulari et superpartienti simpliciter in hoc quod ipsa genera simplicia: unicum solum dant integrum: Et genera ista composita plura dant integra. Et differt superparticulare: siue simplex siue compositum: a superpartienti siue simplici siue composito. in hoc quod superparticulare in numeratore sue fractionis solam recipit unitate: per quam designatur pars aliquota: et superpartiens in numeratore sue fractionis: plus recipit quam unitatem: in quo designatur pars non aliquota. Et hec de proportionibus quantum hic sufficere debeant.

[f.86r] [Gent, Rijksuniversiteit, 70(71), f.86r; text: Species generis multiplicis simpliciter. Species generis superpartientis: tam simplicis quam compositi. Species generis superparticularis tam simplicis quam compositi. Quintupla. Quadrupla. Tripla. Dupla. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 27, 28, 30, 32, 33, 35, 36, 40, 44, 45, 48, 50, 55, 60, Tripla Superbipartiens tercias, Superquadrupartiens quintas, dupla superbipartiens tercias, Dupla supertripartiens quartas, Superquintupartiens sextas, Supertripartiens quintas, Superquadrupartiens septimas, Supertripartiens quintas, Superbipartiens quintas, Superbipartiens nonas, Superbipartiens tercias, Sesquidecima, Sesquinona, Sesquioctaua, Sesquiseptima, Sesquisexta, Sesquiquinta, Sesquiquarta, Sesquitercia, Sesquialtera, Dupla sesquialtera. dupla sesquitercia. Tripla sesquialtera. dupla sesquiquarta, Quadrupla sesquialtera. 10.4. dupla Sesquialtera. 10. ad 3. tripla sesquitercia. Quintupla Sesquialtera. Sextupla.] [GENTSPE 01GF]

Comparatio ponderum ipsorum .4. malleorum ad seinuicem ut habeantur eorum proportiones. Capitulum quartum.

[f.86v] REdeamus nunc ad pondera que Pictagoras inuenit: in ipsis 4. malleis: que pondera fuerunt.

[Gent, Rijksuniversiteit, 70(71), f.86v,1; text: Quartus, Tercius, Secundus, Primus, 12. 9. 8. 6.] [GENTSPE 02GF]

Et comparemus singula singulis: si forte ex precedentibus: quam proportionem inter se habeant scire possimus. Et primo comparemus illum qui ponderabat 8. ad illum qui ponderabat .6. et uenit proportio sesquitercia Per secundum exemplum articuli precedentis folio septimo quia 8. semel in se continet .6. et cum hoc .2. que sunt 1/3. de .6. Stat ergo secundus ad primum in proportione sesquitercia: primus uero ad secundum in proportione subsesquitercia. Secundo comparemus illum qui ponderabat 9. ad illum qui ponderabat .6. et uenit proportio sesquialtera: Per tercium exemplum articuli precedentis folio septimo quia 9 semel in se continet .6. et cum hoc .3. que sunt 1/2 de 6. Stat ergo tercius malleus ad primum in proportione sesquialtera: Primus uero ad tercium in proportione subsesquialtera. Tercio comparemus illum: qui ponderabat .9. ad illum qui ponderabat 8. et uenit proportio sesquioctaua. Per quartum exemplum articuli precedentis: folio septimo quia .9 semel in se continet 8. et cum hoc .1. quod est 1/8 de .8. Stat ergo tercius malleus ad secundum in proportione sesquioctaua secundus uero ad tercium in proportione subsesquioctaua. Quarto comparemus illum qui ponderabat 12. ad illum qui ponderabat 9. et uenit proportio sesquitercia. Per secundum exemplum articuli precedentis: folio septimo quia .12. semel in se continet .9. et cum hoc 3. que sunt 1/3 de .9. Stat ergo quartus malleus ad tercium in proportione sesquitercia. Tercius uero ad quartum in proportione subsesquitercia. Quinto comparemus illum qui ponderabat .12 ad illum qui ponderabat .8. et uenit proportio sesquialtera Per tercium exemplum articuli precedentis. folio septimo quia .12. semel in se continet 8. et cum hoc 4. que sunt 1/2 de .8. Stat ergo quartus malleus ad .secundum in proportione sesquialtera. secundus uero ad quartum in proportione subsesquialtera. Sexto et ultimo comparemus illum qui ponderabat .12. ad illum qui ponderabat .6. et uenit proportio dupla. Per primum exemplum articuli precedentis. folio sexto quia .12. bis in se continet 6. absque pluri. Stat ergo quartus malleus ad primum: in proportione dupla. Primus uero ad quartum in proportione subdupla: ut patet in subiacente figura.

[Gent, Rijksuniversiteit, 70(71), f.86v,2; text: Dupla. Sesquialtera, sesquitercia. sesquioctaua, 12, 9, 8, 6.] [GENTSPE 02GF]

[f.87r] Qualiter ex proportionibus numerorum quas inuenit Pictagoras in ponderibus malleorum inuenta sit proportio sonorum in musica. Capitulum quintum.

TRes esse consonantias perfectus: experientia supra docuit. an uero plures sint: deus agnouit perfectiores tribis tribus puto nemo audiuit et sunt hee Diapason: cuius proportio est dupla: ut 12. ad 6. Dyapenthe cuius proportio est sesquialtera: ut 12. ad .8. uel .9. ad .6. et Dyatesseron cuius proportio est sesquitercia ut 12. ad .9. uel .8. ad .6. Tonus uero cuius proportio est sesquioctaua ut .9. ad .8. non est consonantia sed pars eius: que omnia probari possunt per diffinitionem consonantie: que talis est: secundum Boetium. [A. in marg.] Consonantia est dissimilium uocum inter se in unum redacta concordia: ista enim diffinitio supradictis tribus consonantijs conuenit: et non tono: in quo auditus fit sibi iudex. ergo ipse tres consonantie supradicte dicuntur perfecte: et non tonus: Si ergo nunc suprascriptas proportiones comparemus suprascriptis consonantijs: uel econtra: uidebimus quod primus malleus ad quem stat quartus in proportione dupla: sonabit dyapason. Primus uero ad secundum: et tercius ad quartum sonabunt Dyatesseron: eo quod quartus ad tercium et secundus ad primum stant in proportione sesquitercia. Et primus ad tercium et secundus ad quartum sonabunt Dyapenthe quia quartus ad secundum et tercius ad primum: stant in proportione sesquialtera. Et secundus ad tercium dabit tonum: eo quod tercius ipsi secundo est sesquioctauus: quapropter primo malleo demus. A acutam secundo malleo .E. grauem: tercio malleo .D. grauem. Et quarto malleo A. grauem: et ueniet subsequens figura.

Nota bene.

[Gent, Rijksuniversiteit, 70(71), f.87r; text: Bisdyapason. dyapason. Dyapenthe. dyatesseron. Tonus. 24. 12, 9, 8, 6, A, D, E, a] [GENTSPE 02GF]

Sed hic nota: quod quanto proportio de genere multiplici simpliciter a maiori numero denominetur [B. in marg.] tanto ipsa est maior ut quadrupla est maior tripla et tripla maior est dupla: et sic de alijs. Nam illud genus numerat integra: et nullas fractiones: modo clarum est: quod 4. integra maiora sunt tribus: et .3. maiora duobus. Quanto uero denominatio proportione de genere superparticulari maioris numeri fuerit: tanto minor erit ipsa pars: a qua talis proportio denominatur et per consequens ipsa proportio. Et econtra: quanto denominatio minoris numera fuerit: [f.87v] tanto maior erit ipsa pars: a qua talis proportio denominatur et per consequens ipsa proportio. Vt si habueris duo poma et unum quidem diuisum in duo equalia: aliud uero in tria: quelibet duarum partium maior erit qualibet trium: et tamen duo minor numerus est quam tria: [C. in marg.] Quapropter dyapason que est de genere multiplici simpliciter maior est dyapenthe que est de genere superparticulari: quia dyapason stat in proportione dupla: Dyapenthe uero in proportione sesquialtera: modo dupla simpliciter numerat duo integra: sesquialtera uero non numerat nisi unum integrum: et cum hoc una alteram eius partem: quod integrum cum una sua altera parte usque ad duo integra peruenire non potest. Et dyapenthe est maior dyatesseron: quia dyapenthe ut immediate supradictum est: stat in proportione sesquialtera: Dyatesseron uero in proportione sesquitercia. Sesquialterum uero numerat unum integrum et unam eius alteram partem. et sesquitercium non numerat nisi unum integrum et unam eius terciam partem: modo unum integrum cum una sua tercia parte: minus est eodem integro cum una sua altera parte. Et sic inter ipsas tres perfectas consonantias: Dyapason est maior: et Dyatesseron minor Dyapenthe uero media. Et dyapason simul in se continet dyatesseron et dyapente: quod sic probatur Nam si ad .9. que est sesquialtera de .6. addatur una tercia de .9. ad quem: 12 est sesquitercius: cui correspondet dyatesseron: que tercia de 9. est 3. habes 12 qui est duplus ad 6. Vel si ad 8. qui est sesquitercius ad 6. cui correspondet dyatesseron: addatur una medietas de 8. ad quem: 12. est sesquialter cui correspondet dyapenthe: que medietas de 8. est 4. habes 12. qui est duplus ad 6. Ergo si dyapenthe que est in proportione sesquialtera addatur ad dyatesseron que est in proportione sesquitercia: ueniet dyapason in proportione dupla. [D in marg.] Vel sic per regulam additionis in proportionibus. Accipe primos numeros: in quibus ipse supradicte proportiones inueniuntur. Et multiplica maiorem numerum unius proportionis per maiorem numerum alterius et productum serua. Similiter multiplica minorem numerum unius proportionis: per minorem numerum alterius et productum serua: quia illa duo producta erunt in tali proportione: quam ille proportiones quas simul addere uolueris inter se componunt. Verbi gratia. Vis probare: quod dyapenthe et dyatesseron si simul addantur faciunt dyapason. Tu scis quia sepe dictum est: quod dyapenthe stat in proportione sesquialtera: cuius proportionis primi termini sunt 3. et 2. quorum .3. est maior numerus: et 2. est minor Similiter tu scis: quod dyatesseron stat in proportione sesquitercia: [f.88r] cuius proportionis primi termini sunt 4. et .3. quorum 4. est maior numerus et .3. est minor: tunc multiplica maiores numeros adinuicem subalterne puta .4. per 3. et habes .12. que scribe supra ipsos maiores numeros: et serua

[Gent, Rijksuniversiteit, 70(71), f.88r,1; text: 12, 6, 4, 3, 2, sesquitercia, sesquialtera, minores numeri, maiores numeri] [GENTSPE 03GF]

Similiter multiplica minores numeros adinuicem subalterne: ut supra: puta 3. per .2. et habes 6. que scribe supra ipsos minores numeres multiplicatos et serua: tunc uide que proportio sit: inter ipsa duo producta: que in proposito sunt .12. et .6. et uides quod sit proportio dupla: Ex quo stat probatum: quod dyapenthe et dyatesseron et simul addantur faciunt dyapason: que stat in proportione dupla. Et ut ad oculum hoc uideas: considera seriem infrascriptorum numerorum .6. 4. 3. Et uides quod 4. ad .3. est proportio sesquitercia: et 6. ad .4. est proportio sesquialtera: et duo extrema scilicet 6. et .3. est proportio dupla. [E. in marg.] Item si dyatesseron quia minor est dyapenthe subtraxeris dyapenthe remanet tonus: in proportione sesquioctaua: Proba per regulam subtractionis in proportionibus.

[Gent, Rijksuniversiteit, 70(71), f.88r,2; text: 9, 8. 4, 3, 2, sesquitercia, sesquialtera] [GENTSPE 03GF]

Nam accipe primos terminos: in quibus ipse proportiones sesquialtera et sesquitercia inueniuntur et multiplica contradictorie maiorem numerum unius proportionis per minorem alterius: et utriusque serua productum: quia illa duo producta dabunt tibi proportionem quam queris: Exemplum huius patet in mergine: ubi pro producto unius: habes .9. et pro producto alterius 8. Modo scis tu ex precedentibus: quod .9. ad .8. stant in propotione sesquioctaua: ergo supratacta substractione facta remanet sesquioctaua et per consequens tonus in musica.

[Gent, Rijksuniversiteit, 70(71), f.88r,3; text: Dyapason. dyapenthe. dyatesseron. tonus, Sesquitercia. Sesquioctaua, Sesquialtera. Dupla.] [GENTSPE 03GF]

De theorica toni et qualiter sumi debeat medium proportionale: tam geometricum: quam arismetricum et quam armonicum. Capitulum sextum.

COnsequenter de theorica toni amplius disserendum est. [F. in marg.] Nam tonus duplex est scilicet perfectus et imperfectus qui imperfectus semitonium apud musicos communiter nominatur: non a semis quod est dimidium quia tonus uere dimidiari non potest Vnde uersus. Inque pares partes non posse tonum mediari: ut dicit Boetius libro primo. capitulo .15o. et libro tercio: capitulo primo et .23o. sue [f.88v] musice: Sed diuiditur tonus in semitonum maius et in semitonum minus. Quod autem tonus in duo equalia diuidi non possit: facile probatur: quia tonus stat in proportione sesquioctaua: que est de genere superparticulari: sed nulla habitudo generis superparticularis. habet medium proportionale: quod de tono inferius exemplificabitur [G. in marg.] Nam si generis medium proportionale geometricum sic debes facere. Sint duo termini uel numeri dati 40. et .10. et queris inter illos medium proportionale geometricum: multiplica .40 per .10. et habes 400. Cuius quere radicem quadratam: et est ipsa radix quadrata huius .20. que 10. constitue in medio ipsorum duorum numerorum qui dati sunt: hoc modo .40. 20. 10. et factum est. Item de eisdem numeris siue terminis [H. in marg.] si queris medium proportionale arismetricum substrahe minorem numerum a maiori: puta .10. a .40 et pro differentia habes .30. que .30. diuide ad medium: et ueniunt .15. que .15. adde ad minorem numerum scilicet ad .10. uel substrahe a maiori numero (hoc est a 40) et habes .25. que .25. constitue in medio ipsorum duorum numerorum qui dati sunt hoc modo .40. 25. 10. et factum est. Et si de eisdem terminis siue numeris datis queris medium proportionale armonicum: [I. in marg.] adde ipsos duos terminos siue numeros datos adinuicem: ut .40. ad .10. et habes .50. Tunc substrahe minorem numerum a maiori numero puta .10. ad .40. et remanent .30. que .30 multiplica cum minori numero puta cum 10 et habes 300. que .300. diuide per .50. que .50. prouenerunt: ex additione duorum numerorum datorum adinuicem: et in proposito ueniunt 6. que 6. adde ad ad minorem numerum hoc est ad .10. et habes 16 que .16. constitue in medio ipsorum duorum numerorum que dati sunt: [K. in marg.] hoc modo .40. 16. 10. et factum est. Sed hic nota quod multum subtile est quod proportionalitas geometrica est: similitudo uel equalitas proportionum: ut eadem est proportio .40. et .20. sicut .20 ad .10. quia utrobique est proportio dupla. Proportionalitas enim arismetrica est. similitudo uel equalitas excessuum terminorum: uel numerorum inter se comparatorum: ut 40. excedit 25. in .15. Similiter 25. excedit 10. et in .15. Sed proportionalitas armonica est: que talis est proportio excessus maioris numeri ad medium respectu excessus medij numeri ad minorem: qualis est proportio excessus ipsorum extremorum numerorum scilicet maioris ad minorem. Verbi gratia in exemplo dato: de medio proportionali armonico ubi sic habes .40. 16. 10. Substrahe medium numerum a maiori: puta .16. ad .40. et remanent .24. Similiter substrahe minorem numerum [f.89r] a medio: puta .10. a .16. et remanent .6. Sed nunc uide que proportio sit .24. ad .6. que sunt duo prouenta: que uenerunt per substractionem: et uides quod sit proportio quadrupla quia quater 6. sunt 24. Similiter uide que proportio sit inter duos extremos numeros datos qui numeri sunt .40. et 10. et uides quod etiam est proportio quadrupla: quia quater .10. sunt 40. et sic proportionalitas est bona et uera. Sed nunc per regulam suprascriptam: quere medium proportionale armonicum inter .9. et .8. quorum proportio est sesquioctaua: sub qua proportione stat tonus. Et adde .9. ad .8. uel econtra et habes .17. que serua. tunc substrahe minorem numerum a maiori puta .8. a .9. et remanet sola unitas: quam unitatem multiplica cum minori numero (hoc est) cum 8. et habes .8. que .8. diuide per .17. que prouenerunt ex additione duorum numerorum propositorum adinuicem sed non potes eo quod diuisor maior est numero diuidendo: quare 8 manent .8. que per .17. diuidi non possunt Patet ergo: quod proportio sesquioctaua medium proportionale armonicum non habet: et per consequens nec tonus qui stat in proportione sesquioctaua.

Qualiter ex quocunque numero dato formetur proportio sesquioctaua: ut ueniat tonus Vel sesquitercia: ut ueniat dyatesseron: Vel sesquialtera ut ueniat dyapenthe. uel dupla ut ueniat dyapason et huiusmodi. Capitulum septimum.

IN sequentibus frequenter habebis: quod ex isto numero uel ex illo tibi formes: uel sesquioctauam ut habeas tonum uel sesquiterciam ut habeas dyatesseron: uel sesquialteram ut habeas dyapenthe: uel duplam ut habeas dyapason: et huiusmodi. Ergo hic te uolo docere qualiter hic facies. [L. in marg.] Et primo de proportione sesquioctaua ut habeas tonum (hoc modo) Nam quocunque numero dato: Diuide illum per .8. et uenit una eius octaua pars: quam adde supra ipsum numerum datum: et ueniet numerus sesquioctauus. Ad primum. Verbi gratia. Sit numerus datus: ex quo debeas formare sesquioctauam 4608. diuide .4608. per .8. et ueniunt .576. que adde supra 4608. et habes .5184. et hic numerus sesquioctauus est: ad .4608. et est tonus: et factum est. Si uero ipsum numerum datum: per .8. precise diuidere non possit: quin aliquid residui maneat: quod per .8. diuidi non possit: quod utique residuum musicus non admittit: quia esset diminutio soni: quamquam diminutio illa de facili non esset sensui perceptibilis: tunc ipsum numerum datum multiplica per 8. et ad id quod prouenerit: adde ipsum numerum datum: et uenit ille numerus ad quem ulterius habes formare sesquioctauam: quam prius [f.89v] formare non potuisti. Verbi gratia. Sit numerus datus ad quem debeas formare sesquioctauam .243. diuide .243. per 8. et ueniunt .30 3/8. Vides ergo. quod iste numerus .243. per 8. precise diuidi non possit. precise hoc est sine fractione sed pro fractione habet 3/8. quas fractiones musicus non admittit. Quapropter ipsum numerum datum scilicet .243. multiplica per .8. et habes .1944. et hic est ille numerus: ad quem si ulterius formare uolueris sesquioctauam Diuide illum scilicet .1944. per 8. et ueniunt 243. qui est eius octaua pars. qua adde supra .1944. et habes .2167. et hic numerus est sesquioctauus ad 1944. Cui correspondet tonus. Et nota quod sicut hic dictum est: de sesquioctaua quando numerus datus diuidi non possit per 8. quod tunc ipse numerus datus multiplicetur per 8. et quod ad id quod prouenerit: addatur ipse numerus datus: et uenit ille numerus: ad quem ulterius formari debet sesquioctaua proportio. Sic etiam intelligendum est: quod fieri debeat: de ceteris ad inueniendum sesquiterciam. Si numerus datus per .3. precise diuidi non possit. Vel ad inueniendum sesquialteram. Si numerus datus per 2. precise diuidi non possit [N. in marg.] Item dato quocunque numero proportionem sesquiterciam: ex eo formare: ut ueniat dyatesseron Diuide illum numerum datum. per .3. et uenit una eius tercia pars: quam adde ad ipsum numerum datum: et uenit numerus sesquitercius ad primum. Verbi gratia. Sit numerus datus ex quo formare debeas sesquiterciam .4608. Diuide .4608. per 3. et ueniunt .1536. que adde supra .4608. et habes .6144. et hic numerus sesquitercius est ad .4608. et est dyatesseron: et factum est. Si uero ipsum numerum datum per .3. precise diuidere non possis quin habeas fractionem. Vide quid de hoc supradictum est: articulo immediate precedenti: de formando scilicet sesquioctauam. [O. in marg.] Item dato quocunque numero: proportionem sesquialteram ex eo formare: ut ueniat dyapenthe diuide illum numerum datum per 2. et uenit una eius altera pars siue una medietas quod idem est quam medietatem adde supra ipsum numerum datum: et uenit numerus sesquialter ad primum. Verbi gratia. Sit numerus datus ex quo formare habeas sesquialteram .4608. diuide .4608. per 2. et ueniunt .2304. que adde supra .4608. et habes .6912. et hic numerus sesquialter est. ad .4608. et est dyapenthe et factum est. Si uero ipsum numerum datum per .2. precise idest sine fractione diuidere non possis: quin fractio ueniat. Vide quid de hoc supradictum est. articulo de formando sesquioctaua. [P. in marg.] Item dato [f.90r] quocunque numero: proportionem duplam ex eo formare: ut ueniat dyapason. dupla illum numerum datum et factum est. Verbi gratia. Sit numerus datus ex quo formare debes dyapason .4608. dupla .4608. et habes .9216. et hic numerus duplus est ad .4608. et est dyapason: et factum est.

Quod dyatesseron constat ex duobus tonis perfectis: et uno imperfecto: quem tonum imperfectum: musici semitonum minus solent appellare: ita tamen quod ipsa dyatesseron tercium tonum perfectum non attingat. Capitulum octauum.

QVia dyatesseron: ut sepe uisum est: stat in proportione sesquitercia: continens in se duas sesquioctauas proportiones perfectas: quibus correspondent duo toni perfecti et unam sesquioctauam imperfectam: cui correspondet unus tonus imperfectus quem musici semitonium minus communiter appellant: clarum est. quod ipsa dyatesseron terciam sesquioctauam perfectam non possit attingere: et per consequens nec tercium tonum perfectum. Quod sic probatur Nam quelibet sesquioctaua proportio semper per unam octauam partem sui augetur. Accipe ergo 8. pro primo octonario: in quo unitas multiplicatur per .8. et ueniunt .8. quem scribe loco primi octonarij. Deinde multiplica 8. per .8. et ueniunt 64. que scribe loco secundi octonarij. Tercio multiplica .64. per .8. et habes .512. que scribe loco tercij octonarij. Quarto multiplica .512. per .8. et habes .4096. que scribe loco quarti octonarij. Quinto multiplica .4096. per .8. et habes 32768. que scribe loco quinti octonarij. Et Sexto multiplica .32768. per .8. et habes .262144. que scribe loco sexti octonarij. Et ex quolibet horum octonariorum forma tibi tot sesquioctauas quot poteris: usque ad .6. saltem que in proposito sufficere possunt: et habebis: prout docet subsequens tabella.

[Gent, Rijksuniversiteit, 70(71), f.90r; text: Sesquioctaue continue proportionales, Octonarij. unus tonus, duo toni, tres toni, quattuor toni, quinque toni, sex toni, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 262144, 294912. 331776, 373248. 419904. 472392. 531441. 32768, 36864. 41472. 46656. 52488. 59049. 00000. 4096, 4608. 5184. 5832. 6561. 0000. 512, 576. 648, 729. 000. 64, 72. 61. 00. 8, 0.] [GENTSPE 04GF]

Et quia in proposito queris tres sesquioctauas perfectas quibus correspondent: tres toni perfecta: ad quos dyatesseron peruenire non potest.

Ideo accipe tercium octonarium scilicet .512. ex quo habes formare tres sesquioctauas continue proportionales et unam sesquiterciam separatim. Primo diuide .512. per .8. et ueniunt .64. que adde supra .512. et habes .576. et hec est una sesquioctaua perfecta siue unus tonus perfectus quem serua. Item iterum diuide 576. [f.90v] per 8. et ueniunt .72. que adde supra .576. et habes .648: et hee sunt due sesquioctaue perfecte siue duo toni perfecti: quos serua. Et tercio diuide .648. per 8. et ueniunt .81. que adde supra 648. et habes .729. et hee sunt tres sesquioctaue perfecte siue tres toni perfecti: ad quos ipsa dyatesseron peruenire non poterit: proba. Nam iterum accipe illum numerum a quo incepisti operari scilicet .512. ut ex eo nunc formes sesquiterciam: in qua proportione stat dyatesseron hoc modo diuide .512. per 3. et ueniunt .170.2/3 que adde supra .512. et habes .682.2/3 et hec est dyatesseron: quam querebas: maior quidem duobus tonis scilicet .648. et minor tribus scilicet .729. Reliquitur ergo. quod dyatesseron: que stat in proportione sesquitercia in se continet duos tonos: nec ad tercium potest peruenire. Quod si effugere uolueris: ut non ueniant fractiones: in isto opere quas esse musicus non admittit: ut supra dictum est. capitulo septimo sicut hic ueniunt. Attende quod in operationem istius capituli formare habes sesquioctauas ex parte tonorum: et sesquiterciam ex parte dyatesseron. Modo scis tu quod denominatio proportionis sesquioctaue est 8. et denominatio proportionis sesquitercie est 3. Quapropter multiplica 8. per .3. uel econtra et habes 24. per que .24 ulterius multiplica ipsum tercium octonarium per quem habes operari: scilicet 512. et habes .12288. ex quo numero gradatim nunc tibi forma tres sesquioctauas. hoc modo. Nam diuide .12288. per 8. et ueniunt .1536. que adde supra .12288. et habes .13824. et hec est una sesquioctaua perfecta: siue unus tonus perfectus quem serua. Item iterum diuide .12288. per .8. et ueniunt .1728. que adde supra 13824. et habes .15552. et hee sunt due sesquioctaue perfecte siue duo toni perfecti: quos serua. Et tercio diuide .15552. per 8. et ueniunt .1944. que adde supra .15552. et habes .17496. et hee sunt tres sesquioctaue perfecte siue tres toni perfecti ad quos ipsa dyatesseron peruenire non poterit. Proba. Nam iterum accipe illum numerum: a quo incepisti operari scilicet .12288. ut ex eo nunc formes sesquiterciam: in qua proportione stat dyatesseron hoc modo. Nam diuide .12288. per .3. et ueniunt .4096. que adde supra .12288. et habes .16384. et hec est dyatesseron: quam querebas: maior quidem duobus tonis perfectis: scilicet .15552. et minor tribus scilicet .17496. Relinquitur ergo quod dyatesseron que stat in proportione sesquitercia in se contineat duos tonos: nec ad tercium potest peruenire: et nullas habes fractiones hec operatio: hoc idem fieret: in istis terminis 1536. et .1728. inter quos est tonus: Et inter .1728. et 1944. [f.91r] inter quos est tonus et inter 1944. et .2187. inter quos est tonus: et inter .1536. et 2048. inter quos est dyatesseron.

Quod dyapenthe constat ex tribus tonis perfectis et uno imperfecto: ita tamen quod quartum tonum perfectum non attingat. Capitulum nonum.

NVnc autem quia supra dictum est: et probatum dyatesseron constare ex duobus tonis et uno semitonio quod est tonus imperfectus: et quod dyapenthe unum plenum tonum addit supra dyatesseron: et sic continet dyapenthe: tres tonos perfectos et unum imperfectum: restat hoc probare. Nam ex eo quod queris quatuor sesquioctauas perfectas: quibus correspondent quatuor toni perfecti ad quos dyapenthe peruenire non potest. Ideo accipe quartum octonarium scilicet .4096. ex quo habes formare quatuor sesquioctauas continue proportionales et unam sesquialteram separatim. Primo diuide .4096. per .8. et ueniunt 512. que adde supra .4096. et habes .4608. et hic est unus tonus. Iterum diuide .4608. per .8. et ueniunt .576. que adde supra 4608. et habes .5184. et hij sunt duo toni. Similiter diuide 5184. per .8. et ueniunt .648. que adde supra .5184. et habes .5832. et hij sunt tres toni perfecti. Et iterum diuide .5832. per .8. et ueniunt .729. que adde supra 5832. et habes .6561. et hij sunt quatuor toni perfecti: ad quos dyapenthe peruenire non poterit: Proba. Nam iterum accipe illum numerum: a quo incepisti operari: qui fundamentum relationis dicitur et fuit quartus octonarius scilicet .4096. ut ex illo nunc formes sesquialteram: in qua proportione stat dyapenthe: et diuide .4096. per .2. et ueniunt .2048. que adde supra .4096. et habes .6144. et hic est dyapenthe quam querebas: maior quidem tribus tonis scilicet .5832. et minor quatuor tonis perfectis scilicet .6561. Relinquitur ergo: quod dyapenthe que stat in proportione sesquialtera: in se continet tres tonos perfectos et quod quartum perfectum non possit attingere quod fuit probandum.

Quod dyapason constat ex quinque tonis perfectis et duobus imperfectis: que omnia simul uincta: ad sextum tonum perfectum non possunt peruenire. Capitulum decimum.

DYapason: ut supra uisum est: in se continet: et dyatesseron et dyapenthe: et sicut dyatesseron: ultra duos tonos perfectos: habet semitonium. idest tonum imperfectum: ita similiter dyapenthe ultra tres tonos perfectos habet semitonium: idest. tonum imperfectum quod quidem semitonium et in dyatesseron et in dyapenthe unum et idem numero est et quantitate: [Q. in marg.] eo quod dyapenthe semitonium non habet: nisi pro eo: quod dyapenthe intra se concludit dyatesseron. Sed quia dyapason supra dyapenthe intra se concludit dyatesseron uel [f.91v] econtra: hoc est dyapenthe supra dyatesseron: nullum dubium quin tibi cadant duo semitonia et numero et quantitate ab inuicem realiter distincta: et in diuersis gradibus unum uidelicet ex parte dyatesseron que concluditur in dyapenthe et aliud ex parte dyatesseron supra dyapenthe numero dico distincta: propter duplicem dyatesseron contentam in ipsa dyapason ut iam tactum est. et non est semitonium nisi in dyatesseron. ergo si due numero distincte sint dyatesseron in dyapason: necessario etiam duo numero distincta in dyapason erunt semitonia. Et quantitate dico: quia quanto sonus plus uergit ad grauitatem. tanto plus ipsum semitonium: sicut et cetere uoces deprunitur et numerus eius denotationis augetur et quanto plus sonus uergit ad acuitatem: tanto plus ipsum semitonium: sicut et cetere uoces eleuantur et numerus eius denotationis minuitur. quod et etiam corda monocordi naturaliter ostendit et attestatur quia quanto breuior sit corda monocordi tanto sonum reddit acutiorem. et quanto sit lorgior tanto sonum reddit grauiorem. Sed quod huiusmodi duo semitonia in dyapason contenta minora sint et non maiora: [R. in marg.] probandum est. Quidam autem uidens: quod circa ista laborarem dixit mihi se aliquando uidisse dicta magistri Johannis de Muris suo tempore musici famosissimi et commendatissimi qui ex sexto octonario: idest ex isto numero .262144. sibi formauit sex sesquioctauas continue proportionales: quarum quinta fuit .472392. et sexta 531441. Deinde duplicauit: ipsum sextum octonarium scilicet 262144. et habuit .524288. et hec fuit dyapason. A qua dyapason substraxit quinque sesquioctauas scilicet .472392. et remanserunt .51896. et hoc dixit esse duo semitonia minora que dyapason in se continet ultra quinque tonos. Item ipsam dyapason ut supra inuentam scilicet .524288. substraxit a sex sesquioctauis. hoc est: a 531441. et remanserunt .7153. et hoc dixit esse coma: Quam deductionem ob reuerentiam ipsius magistri Johannis de Muris hic introsere uolui: (hoc modo). Accipe sextum octonarium scilicet .262144. et sit fundamentum relationis: ex quo tibi formes sex sesquioctauas continue proportionales. et diuide .262144. per .8. et ueniunt .32768. que adde supra 262144. et habes .294912. et hic est una sesquioctaua siue unus tonus. Secundo diuide .294912. per .8. et ueniunt 36864. que adde supra .294912. et habes .331776. et hij. sunt duo toni: siue due sesquioctaue Tercio diuide .331776. per .8. et ueniunt .41472. que adde supra 331776. et habes .373248. et [f.92r] hee sunt tres sesquioctaue siue tres toni perfecti. Quarto diuide .373248. per .8. et ueniunt .46656. que adde supra 373248. et habes .419904. et hee sunt quatuor sesquioctaue siue quatuor toni. Quinto diuide .419904. per .8. et ueniunt .52488. que adde supra .419904. et habes 472392. et hee sunt quinque sesquioctaue: siue quinque toni. Sexto et ultimo diuide .472392. per 8. et ueniunt .59049. que adde supra .472392. et habes .53144: et hee sunt sex sesquioctaue. siue sex toni perfecti: ad quos sex tonos perfectos: dyapason non potest peruenire. Proba. Nam accipe ipsum sextum octonarium. scilicet .262144. et illum dupla et habes 524288. et hec est dyapason. maior quidem quinque tonis scilicet .472392. et minor sex tonis scilicet .531441. Sed nunc substrahe quinque tonos completos. a dyapason. puta .472392. a .524288. et remanent .51896. et hoc dicit Johannes de Muris esse duo semitonia minora: que ipsa dyapason continet: ultra quinque tonos perfectos. Item substrahe dyapason a sex tonis perfectis. hoc est .524288. a 531441. et remanent .7153. et hec de Muris dicit esse coma. quod coma si addideris ad suprascripta .51896. habes .59049. et hec est differentia inter quintum tonum et sextum: secundum quod ipse sextus octonarius usque ad sex sesquioctauas deducitur. Ego uero saluo saniori non uideo hoc processu utendum fore in musica: cuius finis et intentio est armonica: ut scilicet sex toni perfecti sese subsequantur nullo interiecto semitonio: cum non cadat huiusmodi processus: sub aliquo genere melorum: sicut infra uidebitur. nec hoc utique concipere possum: quod .51896. sint duo semitonia minora. que ipsa dyapason in se continet ultra quinque tonos perfectos: eo quod illa duo semitonia hic assignantur in uno et eodem gradu: uidelicet inter quintum et sextum tonos que tamen cadunt in diuersis gradibus ut supra uisum est. Vnum quidem in dyapenthe que intra se concludit dyatesseron: et aliud in dyatesseron supra dyapenthe: et non est semitonium nisi in dyatesseron. Nec cadit duplex dyatesseron inter quintum tonum et sextum: ut ibi ex parte utriusque dyatesseron colligantur ipsa duo semitonia minora: nisi unicuique semitonio suus locus assignetur. Nec possunt huiusmodi duo semitonia minora esse equa propter diuersitatem sonorum: unius uidelicet acutioris: et alterius grauioris: sicut supra ostensum est. Et sic uidere meum isti duo numeri scilicet .51896. et 7153. (sub hijs titulis saltem) sub quibus ponuntur a Johanne de Muris. hic congruum locum habere non possunt.

[f.92v] Quod due sunt partes toni que tonum perfectum seu completum constituunt: et sunt due partes inequales. Vnde quidem minor: et est semitonium minus: quod dyesis appellatur et alia pars maior et est semitonium maius: quod apothome appellatur. Capitulum undecimum.

VSque modo dictum est: aliquem tonum esse imperfectum: qui tonus imperfectus Semitonium minus a musicis appellatur Ergo semitonium est aliqua pars toni. Vel ergo est uera medietas toni uel non est eius uera medietas: per contradictionem. Sed non est eius uera medietas: cum uerum medium non habeat tonus ut supra patuit capitulo sexto. Ergo maius est semitonium uera medietate toni: uel minus. Et cum una sola pars: totum integrum non constituat patet: quod in tono adminus sunt due partes et hee inequales: que semitonia appellantur unum scilicet minus et aliud maius Minus dyesis appellatur et maius apothome. Et sic quando tonus diuidi dicitur in duo semitonia: sequitur necessario: ut in duo inequalia diuidatur.

Qualiter semitonium minus et semitonium maius possunt inueniri Capitulum duodecimum.

SVperius uisum est: quod dyatesseron constat ex duobus tonus perfectis: et uno imperfecto: qui tonus imperfectus. semitonium uel maius uel minus a musicis appellatur Similiter et quod dyapenthe constet ex tribus tonis perfectis et uno imperfecto: sed quod illud semitonium: quod unum et idem est numero et quantitate in dyatesseron et in dyapenthe: sit semitonium minus et non maius: iam uenit probandum. Et primo de dyatesseron Sint numeri dati inter quos sit dyatesseron .256. et .192. eo quod maior ad minorem stat in proportione sesquitercia: Si a maiori duas sesquioctauas substraxeris: quibus correspondent duo toni: et si quod remanet: plenum tonum attingere non possit: clarum est: ipsum minus esse tono: quod sic experiri poteris. Nam accipe minorem numerum scilicet .192. et diuide illum per .3. et ueniunt 64. que adde supra .192. et habes .256. ecce dyatesseron. Tunc iterum diuide .192. per .8. et ueniunt .24. que adde supra 192. et habes .216. ecce una sesquioctaua siue unus tonus quem serua. Et ultra iterum diuide .216. per .8. et ueniunt .27. que adde supra .216. et habes .243. et hee sunt due sesquioctaue: siue duo toni. ad .192. Habes ergo nunc duas sesquioctauas quas querebas: et illas substrahe. a .256. quod est dyatesseron: et remanent 13. que serua: quia semitonium est: hoc est tonus imperfectus. Sed nunc ut habeas terciam sesquioctauam: cui correspondere [f.93r] debent tres toni: diuide .243. per 8. et ueniunt .30 3/8 que adde supra .243. et habes .273.3/8 et hec est tercia sesquioctaua: siue tres toni perfecti. A quibus si substraxeris .256. que est dyatesseron ad .192. remanent .17 1/8. et hoc est aliud semitonium. id est minus tono: sed maius semitonio superius inuento: quod semitonium fuit .13. Sed quia iste numerus .243. octaua partem non habet sine fractione quam fractionem musicus non admittit: ut supra dictum est capitulo septimo. Ideo reincipe opus tuum a principio. hoc modo. Nam multiplica .192. per 8. et habes .1536. et sit hoc fundamentum relationis operis tui: cui addas suam octauam scilicet .192. et habes .1728. et ecce unus tonus. Item diuide 1728. per .8. et ueniunt .216. que adde supra .1728. et habes .1944. ecce duo toni. Et ultra diuide 1944. per .8. et ueniunt 243. que adde supra .1944. et habes 2187. ecce tres perfecti toni. Tunc iterum accipe fundamentum relationis. scilicet .1536. et illud diuide per .3. et ueniunt .512. que adde supra .1536. et habes .2048. ecce dyatesseron ad .1536. Sed nunc minue duos tonos scilicet .1944. a dyatesseron. hoc est. a .2048. et remanent 104. ecce semitonium minus: quod querabas: et hoc idem habuisses. si ipsa .13. superius seruata: per [8 add. supra lin.] multiplicasses. Item minue ipsam dyatesseron: scilicet .2048. a tribus tonis perfectis: hoc est: a 2187. et remanent .129. ecce semitonium maius quod querebas: et hoc idem habuisses si illa .17 1/8 superius habita: per .8. multiplicasses. quod quidem semitonium maius scilicet .139. adde ad ipsum semitonium minus quod est .104. et habes .243. que fuit differentia. inter secundum tonum et tercium. Ex quo iam stat probatum: quod illud semitonium quod continetur in dyatesseron: ultra duos tonos perfectos sit semitonium minus et non maius quod fuit probandum. De dyapenthe uero: quia uno solo tono perfecto differt et distat. a dyatesseron. probatione non indiget quin hoc unum et idem semitonium sit: numero et quantitate in dyapenthe: quod est in dyatesseron. [S. in marg.] Si tamen supra dyapenthe. dyatesseron adderetur nulli dubium quin ibi caderent duo semitonia: et numero et quantitate realiter distincta ut patebit in dyapason. Nam accipe sextum octonarium. scilicet .262144. ex cuius deductione ut supra patuit. capitulo decimo habuisti .6. tonos continue proportionales: et nunc illum numerum .262144. deduc per tonos et semitonia. donec et quousque ad duplum sui peruenias: quod duplum sui erit dyapason .524288. hoc modo quia dyapason in se habet dyapenthe supra dyatesseron uel econtra. dyatesseron supra [f.93v] dyapenthe. Et quia aliquando habebis formare sesquioctauas propter tonos: et aliquando sesquitercias propter dyatesseron: que dat semitonia et tu scis quod denominatio proportionis sesquitercie est .3. denominatio proportionis sesquioctaue. est .8. quapropter multiplica .3. per .8. et habes .24. sed quia oportet te habere bis dyateseron: in dyapason. unam quidem inclusam inter dyapenthe ut supra dictum est: et aliam supra dyapenthe. Ideo ipsa .24. ulterius multiplica. per .3. eo quod dyatesseron stat in proportione sesquitercia: et habes 72. Multiplica ergo primo 262144. per .72 et habes .18874368. et sit hoc deinceps fundamentum relationis: quod fundamentum relationis: diuide per .8. et ueniunt .2359296. que adde supra .18874368. et habes 21233664. ecce unus tonus: quem ulterius diuide. per .8. et ueniunt .2654208. que adde supra .21233664. et habes .23887872. et ecce duo toni: quod si hoc probare uolueris diuide .23887872. per .72. et ueniunt .331776. sic habes capitulo decimo et in tabella octonariorum. Tunc de nouo accipe ipsum fundamentum relationis. scilicet .18874368. et ut ex eo tibi formes dyatesseron. diuide illud per .2. et ueniunt .6291456. que adde supra .18874368. et habes semel dyatesseron sic .251658272 A qua dyatesseron minue ipsos duos tonos scilicet .23887872. et remanent .1277952. et hoc est semitonium minus ipsius prime dyatesseron. Et ad procedendum ulterius usque ad dyapason. Accipe iam dyatesseron inuentam: scilicet 25165824. et illam diuide per .8. et ueniunt 3145728. que adde supra .25165824. et habes .28311552. ecce dyapenthe. Proba. Nam accipe fundamentum relationis. scilicet .18874368. et illud diuide per .2. ut inde formare possis sesquialteram et ueniunt .9437184. que adde supra 18874368. et habes .28311552. ut supra. quam dyapenthe ulterius diuide per 8. et ueniunt .3538944. que adde supra 28311552. et habes .31850496. ecce tonus cum dyapenthe qui sunt .4. toni perfecti cum uno semitonio minori. Et ut iterum habeas dyatesseron. Accipe primam dyatesseron scilicet .25165824. et illam diuide per .3. et ueniunt .8388608. que adde supra .25165824. et habes .33554432. et hec est bis dyatesseron. A qua duplici dyatesseron minue tonum cum dyapenthe scilicet .31850496. et remanent .1703936. et hoc est semitonium minus: et sic dyatesseron. Ad quam dyatesseron secundam: iterum forma sesquioctauam: idest tonum hoc modo. Nam diuide 33554432. per .8. et ueniunt 4794304. que adde supra bis dyatesseron. scilicet .33554432. [f.94r] et habes .37748736. et ecce dyapason quam querebas. Proba Nam dupla ipsum fundamentum relationis scilicet .18874368. et habes .37748736. dyapason. Sed nunc a tribus tonis perfectis. hoc est: a .26873856. minue ipsam primam dyatesseron: scilicet 25165824. et remanent .1708032 et hoc est semitonium maius primo inuentum: ad quod semitonium maius primo iuentum: si addideris semitonium minus primo inuentum. scilicet .1277952. habes 2985984. que fuit differentia inter secundum tonum et tercium sumptum ex octonarijs. Similiter diuide ipsum tonum cum dyapenthe scilicet .31850496. per .8. et ueniunt 3981312. que adde supra .31850496. et habes .35831808. A quibus minue ipsam secundam dyatesseron. scilicet .33554432. et remanent .2277376. et hoc est semitonium maius secundo inuentum. Ad quod semitonium maius secundo inuentum: si addideris semitonium minus secundo inuentum scilicet .1703936. habes .3981314. que fuit differentia inter quartum tonum et quintum huius deductionis Et notant dicitur huius deductionis ad differentiam illius que supra facta est: capitulo decimo: quia hic deductum est: per tonos et semitonia. Ibi autem solum per tonos. Item adhuc diuide ipsam dyapason. scilicet .37748736. per .8. et ueniunt .4718592. que adde supra .37748736. et habes .42467328. et hij sunt sex toni huius deductionis Recollige ergo nunc singula que hic habuisti ex opere tuo et inuenies prout docet sub sequens figura.

[Gent, Rijksuniversiteit, 70(71), f.94r,1; text: Fundamentum relationis. 1 tonus, 2 tonus, primum semitonium, 3 tonus, 4 tonus, secundum semitonium, 5 tonus, 6. quinque toni, Dyapason, duo semitonia minora. A, [sqb], C, D, E, F, G, a, 34766848, 18874368, 21233664, 22887872, 25165824, 28311552, 31850496, 33554432, 37748736, 42467328, 2359296, 2654208, 1277952, 3145728, 3538944, 1703936, 4194304, 4718592, 2981888.] [GENTSPE 05GF]

Vides hic quod in tota ista operatione nullas habes fractiones: quod tamen sic operari non potuisses: nisi ipsum sextum octonarium per que operatus es: per .72. multiplicasses. Quemcunque ergo ex hijs numerijs uolueris. diuide per .72. et uenient numeri in decimo capitulo contenti et concordabis quousque te ad semitonia conuertas.

[Gent, Rijksuniversiteit, 70(71), f.94r,2; text: Tonus. Semitonium. Dyapason. duo semitonia minora. A, [sqb], C, D, E, F, G, a, 482872, 262144, 294912, 331776, 349525, 393216, 442368, 466033, 524288, 548408, 32768, 36864, 17749, 43690, 49152, 23665, 58254, 65536, 41415, 64/72, 24/72, 56/72, 16/72, 8/72 uel 1/9] [GENTSPE 05GF]

[f.94v] Vides nunc ad oculum: quod dyapason constat ex quinque tonis perfectis et duobus semitonijs minoribus: que duo semitonia minora diuersa sunt et in diuersis gradibus sumpta: nec sunt equalia: quia primum minus est secundo et secundum maius primo. primum ad acuitatem uergit: et secundum ad grauitatem. Sed nunc subtrahe. quinque tonos perfectos hic deductos: a dypason puta .482872.64/72. a. 524288. et remanent duo semitonia minora. scilicet. 41415.8/72. que ualent 1/9 Sed non intelligat quisque propterea: quod ego condempnare uelim uel condempnem quoquomodo in hoc passu ipsum Magistrum Iohannem de muris tantum uirum: quantus ipse fuerit tempore suo in musica: sed doleo quod cum eo sapere non ualeo. qualiter iste numerus .51896. sit duo semitonia minora: que dyapason in se continet ultra quinque tonos perfectos continue proportionales: et quod iste numerus .7153. sit coma Deinceps tamen cum eo loquar et uellem ut aliquis me doceret: et mea obiecta quamquam puerilia plane solueret.

Quid sit coma in musica et qualiter inueniatur. Capitulo tercium decimum.

COma ut dicit Boetius est ultimum: auditui subiacens minimaque propertio. Et sicut in numeris resolutio fit ad unitatem tanquam ad ultimum indiuisibile ita in sonis resolutio fit ad coma. tanquam ad ultimum indiuisibile: loquendo secundum considerationem musici: et non secundum naturam cum simpliciter non sit dare minimum sonum in natura. Vnde coma. a musicis appellatur illud: in quo tonus superat duo minora semitonia ut dicit Iohannes de muris .14o. suo theoreumate Et ex premissis coma reperire necesse. Quod quidem coma: sic potest reperiri. Nam isti duo numeri .262144. et 524288 faciunt dyapason ut supra uisum est capitulo decimo. modo dyapason continet quinque tonos perfectos ex deductione sexti octonarij continue proportionales: et duo semitonia minora: ut supra uisum est. capitulo decimo. et isti duo numeri .262144. et .531441. sex tonos perfectos complectuntur iste uero numerus: 472392. quinque tonos perfectos sicut per omnia superius declaratum est. Ergo si nunc substrahantur quinque toni supradicti a dyapason puta .472392. a .524288. remanent 51896. et hec sunt duo semitonia minora que dyapason in se continet ultra quinque tonos perfectos. Et si substrahatur dyapason a sex tonis perfectis modo quo supra deductis puta .524288. a .531441. remanet .7153. ecce coma quod querebas. Nam est illud in quo tonus superat ipsa duo semitonia minora superius inuenta. scilicet 51896. que duo semitonia minora. [f.95r] scilicet .51890. si in duo diuidas habes .25948. et hec est dyesis. idest semitonium minus. Ad quod. semitonium minus si coma addideris scilicet .7153. habes 33101 et hoc est apothome idest semitonium maius. Sed nunc iunge ipsum semitonium minus ad semitonium maius puta 25948. ad .33101. et habes .59049. et hic est tonus perfectus. [T. in marg.] Ex quibus preassumptis inferri possunt subscripta .13. correlaria. [1. in marg.] Primum igitur quod duo semitonia minora tonum perfectum non attingant. patet quia 51896. que sunt duo semitonia minora ad .59049. qui tonus datus est. non perueniunt. [2. in marg.] Secundum est quod duo semitonia maiora tonum perfectum excedunt patet quia si duplaueris .33101 quod est semitonium maius habes 66202. quod excedit tonum perfectum qui est .59049. [3. in marg.] Tercium correlarium est: quod semitonium maius supra semitonium minus comate abundat: patet quia si semitonium minus: scilicet .25948. substraxeris a semitonio maiore quod est 33101. remanent .7153. quod est coma. [4. in marg.] Quartum correlarium est: quod maius semitonium et minus simul iuncta tonum perficiunt: patet quia adde .25948. quod est semitonium minus ad .33101. quod est semitonium maius et habes 59049. qui est tonus perfectus datus. [5. in marg.] Quintum correlarium est quod duo semitonia minora addito sibi comate: tonum perfectum faciunt: patet qua adde 51896. que sunt duo semitonia minora ad .7153. quod est coma. et habes .59049. et hic est tonus perfectus datus. [6. in marg.] Sextum correlarium est uerum semitonium in nulla proportione manere. [7. in marg.] Septimum correlarium est: uerum semitonium in rerum natura non esse. [8. in marg.] Octauum correlarium est: coma in numerorum proportionem regulari non esse. [9. in marg.] Nonum correlarium est: quod coma minus est tercia parte semitonij minoris et maius quarta parte eiusdem prima pars patet: quia si diuidatur .25948. quod est semitonium minus per .3. ueniunt 8649 1/3 et hoc est plus quam .7153. quod est coma. Secunda pars patet quia si diuidatur .25948. per .4. ueniunt 6487. quod est minus quam .7153. quod est coma. [10. in marg.] Decimum correlarium est: quod coma minus est quarta parte semitonij maioris et mauis quinta parte eiusdem: prima pars patet. Nam si diuidatur .33101. quod est semitonium maius per .4. ueniunt .8275 1/4 quod est plus quam .7153. quod est coma Secunda pars patet: quia si diuidatur. 33101. per .5. ueniunt 6620 1/5 quod est minus quam 7153. quod est coma. [11. in marg.]

[1 7153.

2 14306

3 21459

4 28612

5 35765

6 42918

7 50071

8 57224

9 64377. in marg.]

Vndecimum correlarium est quod semitonium minus maius est tribus comatibus et minus quatuor primum patet: quia multiplica .7153. quod est coma per .3. et habes 21459. et hoc est minus quam 25948. quod est semitonium minus. secundum patet: quia multiplica .7153. per .4. et habes .28612. quod est maius quam .25948. quod est semitonium [f.95v] minus. [12. in marg.] Duodecimum correlarium est: quod semitonium maius: maius est comatibus quatuor et minus quinque. Primum patet quia multiplica .7153. quod est coma per .4. et habes .28612. quod est minus quam .33101. quod est semitonium maius. Secundum patet quia multiplica .7153. per .5. et habes .35765. quod est plus quam .33101. quod est semitonium maius. [13. in marg.] Tredecimum correlarium est: quod tonus maior est octo comatibus et minus nouem. Primum patet quia multiplica 7153. quod est coma per .8. et habes 57224. quod est minus quam .59049. qui est tonus datus. Secundum patet: quia multiplica .7153. per .9. et habes .64377. quod est plus quam .59049. qui est tonus datus.

De speciebus tam musicis quam armonicis tam infra dyapason quam supra dyapason contentis ultra ipsas species musicas et armonicas quas inuenit Pictagoras ex ponderibus quatuor malleorum ut supra. Et de formatione monocordi greci Boetij Capitulum quartum decimum.

Laus deo: iam expediuimus illas tres species musicas et armonicas: quas inuenit Pictagoras ex ponderibus quatuor malleorum ut supra uisum est: que species musice et armonice sunt dyatesseron dyapenthe et dyapason. Tonus uero non dicitur. consonantia sed pars eius: que quidem species armonice prime et simplices dici possunt: respectu ceterarum intermediarum specierum: que sunt Semiditonus Ditonus: semitonium cum dyapenthe et semiditonus cum dyapenthe que sunt armonie et species composite. Nam semiditonus componitur ex uno tono perfecto et uno imperfecto: qui tonus imperfectus semitonium dicitur. cui semiditono si tonum addideris: habes dyatesseron: Ergo ab A graui in D. grauem habes dyatesseron: cui dyatesseron: si tonum addideris: habes dyapenthe. Ergo ab .A. graui in .E. grauem: habes dyapenthe: tunc iterum restat dyatesseron et habes dyapason. Ditonus componitur. ex duobus tonis perfectis: cui ditono: si semitonium minus addideris: habes dyatesseron. Ergo ab C. graui in .F. grauem: habes dyatesseron. Semiditonus cum dypenthe componitur. ex dyapenthe et semiditono: sed ipse semiditonus cum dyapenthe: quamquam sit species musicalis tamen non est armonica. [V. in marg.] Nam species musicalis hic accipitur: tam pro dissonantia quam pro consonantia. Sed species armonica hic solum acciptur pro consonantia et non pro dissonantia. Hinc est: quod omnis species armonica est species musicalis et non econtra. Et sic hee species supranumerate sunt species musicales: una cum illis quas inuenit Pictagoras: que omnes cadunt infra dyapason. et omnes supra dyapason possunt reiterari: usque ad duplicem dyapason. Et amplius qui uelit: [f.96r] ita quod primo: semitonium minus habes supra dyapason: quod si tonum formaueris supra dyapason: et ab illo tono semitonium minus substraxeris: remanet semitonium maius supra dyapason. Deinde iterum semitonium minus supra tonum cum dyapason. Deinde dyatesseron supra dyapason: et ex hinc dyapenthe supra dyapason: et sequitur semitonium minus supra dyapenthe cum dyapason. Deinde tonus et tonus et uenit duplex dyapason. [A in marg.] Et secundum hoc Boetius fundauit suum monocordum grecum et diuisit illud in quatuor partes: ita quod quinque primos gradus appellare uoluit gradus principales: et tres sequentes (medios) et quinque sequentes (acutos) et quatuor finales (excellentes) ita quod ultimus gradus principalium: Primus gradus est mediorum et ultimus mediorum primus gradus est acutorum et ultimus acutorum: primus gradus est excellentium. Et sic ipsum monocordum grecum Boetij habet quindecim gradus musicales: facientes duplicem dyapason: Ex quibus quindecim gradibus: ipse Boetius primum posuit sub .A graui: quem gradum uocauit proslambenomenon quod interpretatur grauissimus gradus: et omnium principalis: uel interpretatur. acquisitus quia adiungitur omnibus gradibus et sibi conueniunt omnes soni propter quod dicit menon. Secundum gradum posuit sub .B. graui: quam figurauit sub quadra figura hoc modo [sqb] et facit tonum ad primum gradum et uocauit eum ypatheypaton quod interpretatur honorabilis honorabilium. Tercium gradum posuit sub C. graui: et facit semitonium minus ad secundum gradum: et uocauit eum parypatheypaton quod interpretatur iuxta honorabilem. Quartum gradum posuit sub .D. graui et facit tonum ad tercium gradum et uocauit eum Lycanos ypathon: quod interpretatur. penultimus gradus principalium. Quintum gradum posuit sub .E. graui et facit tonum ad quartum gradum: et uocauit eum. ypatheymeson: quod interpretatur ultimus principalium et primus mediorum: et ideo dicit meson idest principalis mediorum: et ultimus principalium. Sextum gradum posuit sub F. graui: et facit semitonium minus ad quintum gradum: et uocauit eum perypatheymeson idest iuxta principalem graduum mediorum. Septimum gradum posuit sub .G. graui: et facit tonum ad sextum gradum: et uocauit eum. Lycanos meson: quod interpretatur penultimus mediorum graduum. Octauum gradum posuit sub simili littera sub qua posuerat primum gradum: eo quod ad eum facit dyapason: sed sub parua littera tali a et facit tonum ad septimum gradum et uocauit eum Mese quod interpretatur medium uel medietas corde: uel medius gradus quia correspondet tam acquisito quam ultimo excellentium. [f.96v] Et etiam ideo dicitur medius omnium quia ibi finit omnis grauitas: et incipit omnis acuties soni: et sic mese primus gradus acutorum est. Nonum gradum Boetius in duas partes diuisit. Quorum primam partem appellauit tritenemenon: quod interpretatur tercius gradus a fine coniunctarum: et facit semitonium minus ad octauum gradum: et reliquam partem noni gradus appellauit paramese idest iuxta medium gradum: et facit tonum ad octauum gradum. A quo tono si substrahatur prima pars noni gradus ipsius: quod est semitonium minus: remanet alia pars toni scilicet semitonium maius: inter tritenemenon et paramese. Et primam partem huius gradus. posuit Boetius sub .b. rotunda parua et secundam partem sub [sqb] quadrata parua: ut patet in figura monocordi ipsius Boetij: in dorso huius. Decimum gradum posuit Boetius sub .c. parua et facit semitonium minus ad secundam partem noni gradus et uocauit eam trithediezeumenon quod interpretatur tercius gradus acutorum. Vndecimum gradum posuit sub .d. parua et facit tonum ad decimum gradum et uocauit eum paranethediezeumenon. idest iuxta gradum excellentium ascendendo. Vel quia penultimus est acutorum. Duodecimum gradum posuit sub .e. parua. et facit tonum ad undecimum gradum et uocauit eum Nethediezeumenon: quod est ultimus gradus acutorum: et primus excellentium. 13m. gradum posuit sub .f. parua et facit semitonium minus ad duodecimum gradum et uocauit eum Tritheyperboleon idest tercium excellentium. a fine monocordi. 14m. gradum posuit sub g. parua: et facit tonum ad 13m. gradum et uocauit eum paratritheyperboleon quod interpretatur penultimus gradus excellentium. Et .15m. gradum posuit sub a. parua sed duplici hoc modo aa. et est similis littera sub qua posuerat primum gradum sui monocordi: sed eam duplauit eo quod facit duplicem dyapason ad primum gradum idest ad gradum atque situm et facit ipse .15us. gradus tonum ad 14m. et uocauit eum Netheyperboleon idest ultimum excellentium. Et in hoc finitur monocordum Boetij. quod appellatur monocordum grecum cuius figuram habes in dorso huius. ergo uale.

[B. in marg.] Sed hic queri possit in quo genere melorum fundatur illud monocordum grecum. Ad quod potest responderi: quod tria inueniuntur genera melorum scilicet Dyatonicum. Cromaticum et Enermonicum. Dyatonicum genus est: quod procedit per tonum et tonum et semitonium minus et huic comparatur cantus naturalis. Cromaticum genus est: quod procedit per semitonium maius et tria semitonia minora et huic comparatur cantus .bmollaris. Enermonicum uero genus est: quod procedit per dyesim et dyesim: hoc est per semitonium minus et semitonium minus et ditonum et huic comparatur cantus [sqb]duralis. [f.97r] Et sic uidetur. quod in nullo horum trium generum melorum Boetius fundauerit suum monocordum eo quod nullo horum modorum incedat nisi dicatur quod ipse suum monocordum inceperit a summo deorsum ubi ipsum monocordum procedit per tonum et tonum et semitonium minus et sic fundatum est in genere dyatonico et hoc est uerum.

[Gent, Rijksuniversiteit, 70(71), f.97r; text: Duplex Dyapason. Monocordum Boetij:, Dyapason. Dyapenthe. Dyatesseron. Tonus. Netheyperboleon. Paratritheyperboleon, Tritheyperboleon. Nethediezeumenon. Paranethediezeumenon, Tritediezeumenon. Paramese. Enthenemenon. Mese. Licanos meson. Paripatheymeson. Ypatheymeson. Licanos ypathon. Parypatheypathon. Ypatheypathon. Proslambenomenon. aa. g, f, e, d, c, [sqb], b, a, G, F, E, D, C, A, gradus excellentes, gradus acuti, gradus medij, gradus principales, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, tonus, semitonium minus, In hoc monocordo accipiende sunt proportiones graduum a summo deorsum et non econtra.] [GENTSPE 06GF]

[f.97v] Quod duplex dyatesseron ad quinque tonos perfectos non peruenit Capitulum quintum decimum

ENimuero quod duplex dyatesseron: ad quinque tonos perfectos continue proportionales peruenire non possit: facile probatur. Nam accipe quintum octonarium scilicet .32768. et sit fundamentum relationis. ex quo tibi formes quinque sesquioctauas continue proportionales et diuide .32768. per .8. et ueniunt .4096. que adde supra 32768. et habes .36864. et hec una sesquioctaua siue unus tonus: quem iterum diuide per .8. et ueniunt .4608. que adde supra 36864. et habes .41472. et ecce duo toni: quos adhuc diuide per .8. et ueniunt .5184. que adde supra .41472. et habes .46656. et ecce tres toni: quos adhuc diuide per .8. et ueniunt .5832. que adde supra 46656. et habes .52488. et ecce quatuor toni: quos ultimo diuide per .8. et ueniunt 6561. que adde supra .52488. et habes .59049. et ecce quinque toni continue proportionales. Et ultra ad habendum dyatesseron: accipe iterum ipsum fundamentum relationis scilicet 32768. et hoc diuide per .3. et ueniunt .10922.2/3 que adde supra .32768. et habes .43690.2/3 et hec est semel dyatesseron quam dyatesseron ulterius adhuc diuide per .3. et ueniunt 14564. que adde supra .43690.2/3 et habes .58254. et ecce bis dyatesseron: que ad quinque tonos hoc est ad .59049. non peruenit quod fuit probandum. Et sic qui substraheret quatuor tonos perfectos continue proportionales scilicet .52488. a bis dyatesseron hoc est a 58254. remanerent .5766. et hec sunt duo semitonia minora que continet in se duplex dyatesseron supra quatuor tonos perfectos continuo proportionales. Et qui substraheret bis dyatesseron scilicet 58254. a quinque tonis perfectis proportionalibus. scilicet 59049. remanerent .795. et hoc puto fere coma in hac parte. [D in marg.] Sed hic oritur eadem altercatio de semitonijs in bis dyatesseron. ut ostendatur quod sint semitonia minora que supra mota est. de semitonijs in dyapason ut ostendatur quod sint semitonia minora. Nam deduc bis dyatesseron: per tonos et semitonia hoc modo. Sit ipse quintus octonarius ut supra .32768. fundamentum relationis: quod diuide per .3. et ueniunt .10922.2/3 Sed quia musicus huius modi fractiones non admittit ideo ipsa 32768. multiplica per .3. et habes .98304. quibus addas suam terciam partem scilicet 32768. et habes 131072. et hec est dyatesseron: a qua minue duo tonos perfectos superius habitos scilicet .124416. et remanent .6656. et hoc est primum semitonium minus. Tunc ex ipsa dyatesseron scilicet .131072 forma tibi sesquioctauam hoc modo. Diuide .131072 per .8. et ueniunt .10364. que adde supra [f.98r] 131072. et habes 147456. et sunt tres toni cum semitonio: quos tres tonos scilicet .147456. ulterius diuide per .8. et ueniunt 18432. que adde supra .147456. et habes .165888. et sunt quatuor toni: cum uno semitonio: sed diuide primam dyatesseron scilicet .131072. per .3. et ueniunt 43690.2/3 que adde supra .131072 et habes .174762. ecce bis dyatesseron: a qua minue quatuor tonos cum uno semitonio scilicet: 165888. et remanent 8874. et hoc est secundum semitonium minus habes ergo bis dyatesseron per tonos et semitonia deductam. Quod si ipsos quatuor tonos cum uno semitonio minori. scilicet .165888 diuiseris per .8. ueniunt .20736. que adde supra .165888. et habes .186624. et sunt quinque toni perfecti huius deductionis: ad quos ipsa duplex dyatesseron non peruenit ut patet intuenti. Sed nunc adde semitonium primo inuentum: cum semitonio secundo inuento: puta .6656. cum .8874. et habes 15530. et hec sunt duo semitonia minora ultra quatuor tonos perfectos huius deductionis: in duplici dyatesseron contenta. Recollige ergo nunc singula: que hic habuisti ex deductione bis dyatesseron per tonos et semitonia: et inuenies prout docet subsequens tabella siue figura.

Sequitur fundamentum relationis. et cetera.

[Gent, Rijksuniversiteit, 70(71), f.98r,1; text: 1 tonus, 2 tonus, primum semitonium, 3 tonus, 4 tonus, secundum semitonium, quatuor toni, duo semitonia minora, a, G, F, E, D, C, [sqb], 159232, 98304, 117592, 124416, 131072, 147456, 165888, 174762, 12288, 13824, 6656, 16384, 18432, 8874, 15530] [GENTSPE 07GF]

Vides quod in tota ista operatione nullas habes fractiones quod tamen sic operari non potuisses: nisi ipsum quintum octonarium per quem operatus es: per .3. multiplicasses. Quemcunque ergo ex his numeris uolueris diuide per .3. et uenient numeri ex prima deductione continue proportionali: et concordabis quousque te hic ad semitonia conuertas.

[Gent, Rijksuniversiteit, 70(71), f.98r,2; text: Tonus, semitonium, quatuor toni, duo semitonia minora, 53077 1/3, 32768, 36864, 41472, 43690 2/3, 49152, 55296, 58254, 4096, 4608, 2218 2/3, 5461 1/3, 6144, 2958, 5176 2/3, a, G, F, E, D, C, [sqb]] [GENTSPE 07GF]

Vides nunc ad oculum: quod bis dyatesseron constat ex quatuor tonis perfectis et duobus semitonijs minoribus: que duo semitonia minora diuersa sunt et in diuersis gradibus sumpta nec sunt equalia: quia primum minus est secundo: et secundum maius est primo Primum ad acuitatem uergit et [f.98v] secundum ad grauitatem. [E in marg.] Posset etiam hoc aliter probari: quod duplex dyatesseron quinque tonos perfectos non attingit: et hoc per intensionem et per remissionem dyatesseron. Vnde dyatesseron intendere est supra numerum qui est fundamentum relationis addere suam terciam partem: ut si supra .32768. addas suam terciam partem scilicet .10922.2/3 habes 43690 2/3 et hec est dyatesseron intensa. Item dyatesseron remittere est: a numero qui facit quinque tonos perfectos: suam quartam partem substrahere: ut si ab hoc numero. .59049. que facit quinque tonos perfectos suam quartam substraxeris: que sua quarta est .14762 1/4 remanent 44286.3/4. et hec est dyatesseron remissa. A qua dyatesseron remissa si substraxeris dyatesseron intensam scilicet 43690.2/3 a. 44286 3/4. remanent .596.1/12 et hec est differentia dyatesseron remisse ad dyatesseron intensam: et econtra. Quod si duplex dyatesseron equalis esset quinque tonis perfectis continue proportionalibus. tunc ex hijs quinque tonis perfecis dyatesseron intensa et dyatesseron remissa in eodem numero concurrerent et equali: quod ita non est. ut uides. Ergo duplex dyatesseron ad quinque tonos perfectos peruenire non potest. quod fuit probandum.

Qualiter monocordum grecum Boetij per suos posteros et hijs temporibus auctum sic. et extentum Capitulum sextum decimum

VEnerabilis dominus Guido monachus ordinis beati Benedicti latinus ut fertur in suo micrologo loquens de monocordo musicali: quod ipse manum appellat: et moderni scalam musicalem sic ait. Note autem in monocordo hee sunt: In primis ponitur .[Gamma]. grecum. a modernis idest suis temporibus adinuentum siue adiunctum Deinde ponit ipse Guido .A. primas litteras alphabeti latini graues quidem sub hijs figuris sic .A. B. C. D. E. F. G. que eedem septem littere acute repetuntur sub hijs figuris uel formis .a. b[sqb]. c. d. e. f. g. Et tunc dicit idem Guido. Addimus etiam hijs eisdem litteris sed uarijs figuris idest sub litteris duplicatis. tetracordum superacutarum hoc modo aa bb. [sqb][sqb] cc. dd. hee autem a multis superflue dicuntur nos enim maluimus abundare quam deficere. Fiunt itaque simul omnes undeuiginti gradus sic .[Gamma]. A. B. C. D. E. F. G. a. b[sqb]. c. d. e. f. g. aa. b[sqb]b[sqb]. cc. dd.

Posteri uero dicentes huiusmodi monocordum: manum seu scalam musicalem in uno gradu seu claue fore defectuosum siue defectuosam ipsum monocordum manu seu scalam correxerunt: et illi adhuc unum gradum seu clauem superaddiderunt quem gradum siue quam clauem: ipsi extra monocordum manum seu scalam musicalem sub duplici ee locauerunt. Habet ergo nunc ipsum monocordum manus seu scala musicalis nostris temporibus decem [f.99r] gradus musicales sub hijs litteris et figuris sic .[Gamma] A B C D E F G a b [sqb] c d e f g. aa. bb [sqb][sqb] cc dd ee. b. rotunda tamen et [sqb] quadrata simul pro uno gradu sed diuisim computatis Et quia ipse dominus Guido dicit [Gamma]. grecum a modernis idest suis temporibus adiunctum: aliquibus suspicio est: quod ipse illam grecam litteram [Gamma] ipsi monocordo addiderit: sicut et tetracordum superacutarum: eo quod illa [Gamma]. suum nomen representat: sed tamen ipse eam sub caractare greco posuit: ne suspicio de eo haberetur sed magis ad commendationem grecorum per hoc uolens innuere eosdem grecos musice principia inuenisse.

De ordinatione monocordi per tetracorda in genere dyatonico Capitulum septimum decimum

VEne ergo et conuenienter ex precedentibus monocordum in quo sint omnes consonantie musicales tam simplices quam composite [duo add. supra lin.] partes earum puta toni et semitonia tam minora quam maiora usque ad tonum cum dyapenthe supra bis dyapason inclusiue per tetracorda nunc potest aggregari Est enim tetracordum spacium duorum tonorum cum uno semitonio minori continens dyatesseron. Et bene quia bis dyapason ad semel dyapason reducitur. Dyapason uero ad dyapenthe cum dyatesseron. Dyapenthe autem dyatesseron presupponit. dyatesseron nullam consonantiam presupponit: sed partes eius tonum uidelicet et semitonium. Ex quo patet: quod dyatesseron et tetracordum in proposito idem sunt: quia quilibet tonus duas cordas requirit: similiter et semitonium: modo quia in dyatesseron duo toni sunt: et unum semitonium minus. clarum est: quod dyatessero oportet quatuor cordas continere: quarum quelibet trium seruit pro fine unius toni et pro initio alterius et tercia corda seruit pro initio semitonij: et quarta pro fine eiusdem. Et potest huiusmodi tetracordum iterari ut altius ascendat: et acuetur sonus: uelut bassius descendat et deprimatur sonus: et hoc per dyatesseron uel per dyapenthe: sicut iteratur dyatesseron quod quidem fieri potest: uel per tetracordum coniunctum uel per tetracordum disiunctum. Tetracordum coniunctum est: quando ultimum primi tetracordi initium est secundi et sic in huiusmodi duobus tetracordis coniunctis in primo erunt duo toni cum semitonio minori: et totidem in secundo: que in toto faciunt quatuor tonos cum duobus semitonijs minoribus: que faciunt duplicem dyatesseron: ita quod supra finem secundi tetracordi iterum continuari potest: tercium tetracordum et sic deinceps quantum uolueris. Disiunctum uero tetracordum est: quando post ultimam cordam primi tetracordi superadditur corda distans ab ea per spacium unius toni: et [f.99v] supra eam iterum inuenitur tetracordum sicut prius. Ex quo sequitur quod in duobus tetracordis coniunctis solum sunt septem corde. In duobus uero disiunctis octo. Tetracordo utique coniuncto hijs temporibus utimur non disiuncto: et in genere dyatonice: De alijs uero generibus canendi scilicet cromatico et enermonico: quibus ueteres utebantur quia in iocunda sunt auditui: dura scilicet nimis et aspera: uel mollia nimis non curo nec ea deducam sicut deducere intendo dyatonicum.

De diuisione et deductione monocordi prout hijs temporibus est in usu et de deductione geometrica eiusdem capitulum duodeuicensimum

ET hec autem supra dicta sunt planius ad oculum uideantur. Volo ipsum monocordum prout hijs temporibus est in usu (domino donante) tripliciter hoc est triplici modo deducere: ut plurium testimonio concordantium fides detur. Primo uidelicet geometrice Secundo arismetrice et tercio armonice. Et quo ad primum geometrice sic. Extendatur una corda inter duo capitella [Gamma] et H. et prima sui diuisione diuidatur a puncto unius capitelli in punctum alterius in nouem partes equales. Et in secundo puncto huius diuisionis incipiendo a capitello .H. pone aa. superacutas. In tercio puncto .d. acutam. In quarto puncto a acutam. In sexto puncto D. grauem: et in octauo puncto .A. grauem secundo diuidatur corda .A.H. similiter in nouem partes equales: incipiendo a capitello .H. et in secundo puncto huius diuisionis duplex [sqb][sqb] durum. In tercio e acutam. In quarto [sqb] durum acutum. In sexto .E. grauem: et in octauo [sqb] durum graue. Tercio diuidatur tota corda .[Gamma] H. in quatuor partes equales incipiendo a capitello .H. et in primo huius diuisionis. pone .g. acutam. in secundo G. grauem et in tercio C. grauem. Quarto diuidatur corda .C.H. in quatuor partes equales: incipiendo a capitello .H. et in primo puncto huius diuisionis. pone cc superacutas in secundo pone .c. acutam: et in tercio F. grauem. Quinto. diuidatur corda .D.h. in quatuor partes equales incipiendo a capitello .H. et in primo puncto huius diuisionis pone .dd. superacutas: et cadit secundus punctus in g acutam et tercius in .G. grauem. Sexto diuidatur corda .E.h. in quatuor partes equales. incipiendo a capitello .H. et in primo puncto huius diuisionis pone ee superacutas: et cadit secundus punctus in e. acutam: et tercius in a acutam. Septimo diuidatur corda .ff.h. in quatuor partes equales incipiendo a capitello h. et in secundo puncto huius diuisionis: pone f acutam: et in tercio b molle acutum. Octauo et ultimo diuidatur corda b h in duas partes equales et in puncto huius diuisionis: pone bb. superacutas: et in hoc habes monocordum hijs temporibus [f.100r] usitatum geometrice deductum et diuisum usque ad tonum cum dyapenthe supra bis dyapason

De deductione et diuisione monocordi prout hijs temporibus est in usu deductione arismetrica et est uerificatio et approbatio deductionis geometrice capitulum undeuicensimum

LIcet enim suprascripta partitio ipsius monocordi: deductione geometrica: hoc est quantitate continua: perito in arte musices sufficere possit et debeat: Volo tamen ipsam quantitatem continuam quantitate discreta quantum mihi possibile fuerit uerificare saluo tamen semper iudicio saniori cui cum benigna supportatione me committo. Ad quod quidem faciendum attendebam quod ipsum monocordum ascendebat: usque ad tonum cum dyapenthe supra bis dyapason: que duo extrema ad inuicem stant in proportione sextupla supertripartiente quartas cuius proportionis sextuple supertripartientis quartas primi termini sunt .27. ad .4. Quapropter ut scirem totam cordam [Gamma] H. geometrice superius deductam accepi denominationes illorum numerorum: per quos feceram huiusmodi deductionem geometricam qui numeri fuerunt 9. 4. et 2. et multiplicaui illos ad inuicem hoc modo. Primo 9. per .4. et habes .36. que ulterius multiplicaui per .2. et habui 72. que iterum multiplicaui per .9. qui fuit primus numerus et habui .648. que ulterius multiplicaui per .4. qui fuit secundus numerus et habui 2592. que adhuc ulterius multiplicaui per .2. qui fuit tercius numerus. et habui .5184. Sed quia in operando incidi in fractiones: quas musicus non admittit: et uenit in 1/2 cuius fractionis denominatio est 2. ideo necessitate compulsus: habui ipsa .5184. duplare et uenerunt .10368. et hoc dixi esse totam cordam [Gamma].H. geometrice superius deductam quam cordam superius scilicet .10368. tunc diuisi per 27. qui est maior terminus proportionis sextuple supertripartientis quartas et uenerunt .384. que 384. ulterius multiplicaui per quatuor qui est minor terminus eiusdem proportionis supratacte et uenerunt .1536. uides ergo quod 10368. ad .1536. stat in proportione sextupla supertripartiente quartas. Proba. Nam diuide 10368. per .1536. et in quotiente ueniunt .6. ergo sextupla et in fractionibus ueniunt 1152/1536 que 1152. sunt 3/4 de 1536. proba diuide .1536. per .4. et ueniunt 384. que multiplica per .3. et habes .1152. Dixi ergo et bene quod corda ee.h. esset .1536. quam cordam .1536. constitue fundamentum relationis totius deductionis arismetrice. Et diuide .1536. per .8. et ueniunt 192. que adde supra .1536. et habes .1728. et hec est corda .dd.h. A qua si substraxeris cordam ee.h. scilicet .1536. remanent [f.100v] .192. et hec est corda .dd.ee. Et experientia me docuit: et auris indicauit: quod corda .dd.h. ad cordam ee.h. deprimeretur ad sonum unius pleni toni. Item diuide cordam .dd.h. scilicet 1728. per .8. et ueniunt .216. que adde supra .1728. et habes 1944 et hec est corda cc.h. A qua si substraxeris cordam .dd.h. scilicet .1728. remanent .216. et hec est corda .cc.dd. et experientia me docuit et auris indicauit. quod corda .cc.h. ad cordam dd.h. deprimeretur ad sonum unius pleni toni. Item quia operaris ad genus dyatonicum: oportet ut nunc habeas dyatesseron ad cordam .ee.h. Quapropter accipe cordam ee.h. scilicet .1536. et eam diuide per .3. et ueniunt .512. que adde supra .1536. et habes .2048. et hec est corda [sqb][sqb].h. A qua si substraxeris cordam .cc.h. scilicet .1944. remanent .104. et hec est corda [sqb][sqb].cc. Et experientia me docuit: et auris indicauit: quod corda [sqb][sqb].h. ad cordam cc.h. ad sonum unius semitonij minoris deprimeretur et sic est ipsa corda .[sqb][sqb].h. ad cordam .ee.h. dyatesseron. et hoc est primum tetracordum. Sed disiunctum quia prima corda sequentis tetracordi: distat ab eo per spacium unius toni. Et incipit primum tetracordum coniunctum. a corda .dd.h. et finit in corda .aa.h. et ibi incipit secundum tetracordum coniunctum et finit in .e.h. Cui ad hec subnectitur tercium tetracordum coniunctum incipiens in corda e.h. et finiens in corda [sqb].h. Tunc accipe ubi dimisisti cordam .cc.h. scilicet .1944. et illam diuide per .8. et ueniunt .243. que adde supra .1944. et habes 2187. et hec est corda .bb.h. A qua si abstraxeris cordam .[sqb][sqb].h. scilicet .2048. remanent .139. et hec est corda bb.[sqb][sqb]. et est semitonium maius ad cordam [sqb][sqb].H. Item diuide cordam [sqb][sqb].h. scilicet .2048. per .8. et ueniunt 256. que adde supra .2048. et habes .2304. et hec est corda .aa.h. A qua si substraxeris cordam bb.h. scilicet .2187. remanent 117. et hec est corda .aa.bb. et est semitonium minus ad cordam bb.h. Item diuide cordam aa.h. scilicet .2304. per .8. et ueniunt .288. que adde supra .2304. et habes .2592. et hec est corda g.h. a qua si substraxeris cordam .aa.h. scilicet .2304. remanent .288. corda .g.aa. Item diuide cordam .g.h. scilicet 2592. ulterius diuide per .8. et ueniunt 324. que adde supra .2592. et habes .2916. et hec est corda f.h. A qua si substraxeris cordam .g.h. scilicet .2592. remanent 324. corda .f.g. Item quia nunc restat dyatesseron: accipe cordam .aa.h. scilicet .2304. et diuide illam per .3. et ueniunt .768. que adde supra .2304. et habes 3072. et hec est corda .e.h. A qua si subtraxeris cordam f.h. scilicet 2916. remanent .156. corda .c.f. semitonium minus. Item illam cordam .e.h. scilicet .3072. ulterius diuide per .8. et ueniunt [f.101r] .384 que adde supra .3072. et habes .3456. et hec est corda d.h. A qua si substraxeris cordam e.h. scilicet .3072. remanent 384. corda in .e. Item diuide cordam .d.h. scilicet .3456. per .8. et ueniunt .432. que adde supra 3456. et habes .3888. et hec est corda c.h. A qua si subtraxeris cordam .d.h. sciliect 3456. remanent 432. corda c d: et nunc restat dyatesseron: quapropter accipe cordam e h. scilicet 3072. et eam diuide per .3. et ueniunt .1024. que adde supra 3072. et habes .4096. et hec est corda .[sqb].h. A qua si substraxeris cordam .c.h. scilicet .3888. remanent .208. corda [sqb] c. semitonium minus et hic finiunt tria tetracorda coniuncta. Tunc iterum accipe cordam c h scilicet 3888. et illam diuide per .8. et ueniunt 486. que adde supra 3888. et habes .4374. et hec est corda b.h. A qua si substraxeris cordam [sqb].h. scilicet 4096. remanent .278. corda b.[sqb]. et hoc est semitonium maius. Item cordam illam [sqb] h. scilicet 4096. diuide per .8. et ueniunt .512. que adde supra .4096. et habes 4608. et hec est corda .a.h. A qua si substraxeris cordam b.h. scilicet .4374. remanent 234. corda a b semitonium minus et hic iterum incipit tetracordum coniunctum. Item cordam illam .a.h. scilicet 4608. diuide per .8. et ueniunt .576. que adde supra .4608. et habes 5184 et hec est corda .G.h. et est uera medietas totius corde [Gamma].h. A qua corda .G.h. si substraxeris cordam a.h. scilicet 4608. remanent .576. corda. G.a. Item accipe cordam G.h. scilicet 5184. et diuide illam per .8. et habes .648. que adde supra 5184. et habes .5832. et hec est corda .f.h. A qua si substraxeris cordam G.H. scilicet 5184. remanent 648. corda .F.G. Et nunc restat dyatesseron: quapropter accipe cordam .a.h. scilicet .4608. et illam diuide per .3. et ueniunt .1536. que adde supra 4608. et habes .6144. et hec est corda .E.h. A. qua si substraxeris cordam f h. scilicet 5832. remanent 312. semitonium minus et hic finit istud tetracordum coniunctum incipit autem reliquum Item cordam illam .E h. scilicet .6144. diuide per .8. et ueniunt 768. que adde supra .6144. et habes .6912. et hec est corda .D h. A qua si substraxeris cordam E h. scilicet 6144. remanent 768. corda .D E. Item cordam D h scilicet 6912. iterum diuide per 8. et ueniunt 864. que adde supra 6912. et habes .7776. et hec est corda .C.h. a qua si substraxeris cordam in h. scilicet 6912. remanent 864. corda .c.d. Et nunc restat dyatesseron: Quapropter accipe cordam E h. scilicet 6144. et illam diuide per 3. et ueniunt 2048. que adde supra .6144. et habes .8192. et hec est corda [sqb].h.[sqb] duri generis A qua corda si substraxeris cordam C.h. scilicet .7776. remanent .416. corda [sqb] C. semitonium minus et ibi finit reliquum [f.101v] tetracordum coniunctum. Tunc accipe cordam [sqb] h. scilicet 8192. et illam diuide per .8. et ueniunt 1024. que adde supra 8192. et habes .9216. et hec est corda A.h. a qua si substraxeris cordam [sqb] h. scilicet 8192. remanent 1024. corda A.[sqb]. Et finaliter accipe cordam A.h. scilicet 9216. et illam diuide per .8. et ueniunt 1152. que adde supra 9216. et habes .10368. et hec est corda [Gamma] h. A qua si substraxeris cordam A h. scilicet .9216. remanent 1152. corda .[Gamma] A. et hec est deductio arismetrica.

[F. in marg.] Alia proba secundum processum quem seruaui in deductione geometrica. Accipe ex ista tabula deductionis arismetrice totam cordam [Gamma] h. scilicet 10368. et illam diuide per .9. prima sui diuisione et ueniunt 1152. que .1152. extende nonies supra se et uidebis quod incipiendo a capitello H. uacat primus punctus huius diuisionis sed in secundo habes aa. In .tercio .d. In .quarto. a uacat quintus. In sexto d. uacat septimus. In .octauo A. In .nono .[Gamma]. Secundo ex eadem tabula accipe cordam A h. scilicet 9216. et illa diuide per 9. et ueniunt .1024. que 1024. extende nonies supra se: et uidebis. quod incipiendo a capitello H. uacat primus punctus huius diuisionis: sed in secundo habes [sqb][sqb]. In tercio e. In quarto [sqb] in acutis. Quintus uacat. In sexto E. Septimus uacat In octauo [sqb] in grauibus In. nono .A. Tercio accipe ex eadem tabella totam cordam [Gamma] h. scilicet .10368. et illam diuide per 4. et ueniunt .2592. que extende quater supra se et uidebis: quod incipiendo a capitello H. in primo puncto huius diuisionis habes g. in secundo .G. grauem In tercio C grauem et in quarto [Gamma]. Quarto accipe ex eadem tabula cordam C h. scilicet 7776. et illam diuide per .4 et ueniunt 1944. que extende quater supra se et uidebis. quod incipiendo a capitello h. in primo puncto huius diuisionis habes cc. In secundo c. In tercio F. In quarto C grauem. Quinto accipe ex eadem tabella cordam d h. scilicet 6912. et illam diuide per .4. et ueniunt 1728. que extende quater supra se et uidebis quod incipiendo a capitello H. in primo puncto huius diuisionis habes dd. In secundo d. In tercio G et in quarto D. Sexto accipe ex eadem tabella cordam E h. scilicet 6144. et illam diuide per 4. et ueniunt 1536. que extende quater supra se et uidebis. quod incipiendo a capitello H. in primo puncto huius diuisionis habes ee. In secundo e In tercio a. et in quarto E. grauem. Septimo accipe ex eadem tabella cordam F h. scilicet 5832. et illam diuide per .4. et ueniunt 1458. que extende quater supra se: et uidebis quod incipiendo a capitello H. uacat primus punctus huius diuisionis et in secundo habes F. et in tercio habes b molle in acutis et in quarto F grauem. Octauo et ultimo [f.102r] ex eadem tabella accipe cordam b h. scilicet 4374. et eam diuide ad medium et ueniunt 2187. et ibi habes bb. et in hoc satis fecit hec secunda proba.

[Gent, Rijksuniversiteit, 70(71), f.102r; text: primo, secundo, tercio, quinto, septimo, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, quarto, sexto, octauo, 1152, 1024, 2592, 1728, 1458, 2304, 2048, 5184, 3456, 2916, 3456, 3072, 7776, 5184, 4374, 4608, 4096, 10368, 6912, 5832, 5760, 5120, 6144, 1944, 1536, 2187, 8064, 7168, 3888, 3072, 9216, 8192] [GENTSPE 08GF]

[G. in marg.] Et si terciam probam expetis: quia omne trinum perfectum: do tibi eam subtilissimam: hoc supposito quod ipsum monocordum suprascriptum fundatum sit in genere dyatonico: quod genus dyatonicum procedit per tonum et tonum et semitonium. Tonus quidem ut sepe dictum est stat in proportione sesquioctaua. Cuius proportionis primi termini sunt 9 et 8. Semitonium autem in nulla stat fixa proportione potest tamen semitonium minus inueniri per comparationem istius numeri .256. qui facit dyatesseron ad .192. ad 243 que sunt due sesquioctaue ad eundem numerum .192. Nam si diuidatur .256. per 243. ueniunt 1.13/243. ut supra folio XV. capitulo duodecimo. Sed dyatesseron que in se concludit duas sesquioctauas hoc est duos plenos tonos et unum minus semitonium stat in proportione sesquitercia: cuius proportionis primi termini sunt 4 et 3. Elige ergo tibi nunc quemcunque passum uolueris ut probem. Et suppono quod uelis ut ostendam tibi proportionem totius corde [Gamma] h. ad cordam f h. in acutis. Et dico quod ipsa tota corda [Gamma] h. ad cordam f h. stat in proportione tripla superquintupartiente nonas cuius proportionis primi termini sunt 32. et 9. quia ter 9. sunt 27. quibus adde .5. et habes .32. Vel in proposito .10368. ad .2916. proba Nam diuide .10368. qui est maior numerus datus per .32. qui est maior numerus proportionis date et ueniunt 324. Similiter diuide .2916. qui est minor numerus datus per 9. qui est minor terminus proportionis date. et ueniunt 324. ut supra. Ergo si diuiseris. 10368. per .324. ueniunt .32. Et si diuiseris 2916. per 324. ueniunt .9. et sic habes primos terminos proportionis supratacte: et stat proba. Vel sic. [H. in marg.] Diuide 10368. per .2916. et in quotiente ueniunt .3. ergo proportio tripla. et adhuc supersunt 1620/2916. Sed nunc diuide denominationem fractionis scilicet 2916. per numeratorem eiusdem hoc est per .1620. et ueniunt .1.1296/1620 Et quia numerancia siue fractio non est euacuata. Diuide adhuc denominatorem per numeratorem puta .1620. per .1296. et ueniunt 1 324/1296. Et quia fractio adhuc non est euacuata: iterum diuide denominatorem per numeratorem puta .1296. per 324. et ueniunt [f.102v] 4 0/324 Vides ergo quod .324. necessario tuus est diuisor per quem diuide utrumque numerum datum ut supra. et uenit proportio tripla superquintupartiens nonas. [I in marg.] Vel sic quia dicit quod tota corda [Gamma] h. stat in proportione tripla superquintupartiente nonas ad cordam f.h. Diuide 10368. per 2916. que sunt corde date: et in quotiente ueniunt .3 ergo proportio tripla et quia dicit nonas. diuide 2916. per 9 et ueniunt 324. que multiplica per .5. eo quod dicit superquintupartiente. et habes 1620. Vides ergo quod 1620 sunt 5/9 de 2916. et sic habes proportionem triplam superquintupartiente nonas. Et sic facies de quocunque passu uolueris. [K. in marg.] Item si uelis pone unum pedem circini in puncto f. in figura deductionis geometrice: et alium in puncto .h. quam precisius possis: et ipso circino non mutato pone unum pedem in puncto [Gamma] et uerte eum ter uersus h. et signa bene tercium punctum in quo ceciderit pes circini. Tunc diuide de circino cordam f.h in nouem partes equales. ex quibus nouem partibus. accipe quinque et illa erit distantia tercij puncti: ubi cecidit pes circini ad punctum h. dicas ergo: quod tota corda [Gamma] h. continet in se ter: cordam f.h. et cum hoc 5/9 eiusdem corde f h. 3 5/9. et hec est proportio tripla superquintupartiens nonas.

De distinctione specierum musicalium et armonicis. Capitulum uicensimum

LIquide ergo suprapatuit ipsius monocordi deductio tam geometrica quam arismetrica et nunc sequi debet deductio eiusdem musicalis et armonica. Sed antequam ad huiusmodi deductionem ueniatur. Scire bonum est que sint species musicales et que armonice: eo quod supra est dictum. capitulo .14o. quod omnes species armonice sunt musicales et non econtra: Nam et species musicales hic accipiuntur tam pro speciebus dissonantibus quam pro consonantibus. Armonice uero pro consonantibus solum accipiuntur. Pro quo sciendum: quod secundum diuersas applicationes ipsorum grauum monocordi ad inuicem diuersa nascitur uel consonantia uel dissonantia. Vnde partes consonantie sunt hee semitonium minus: semitonium maius et tonus: qui ex hijs duabus partibus componitur. Species consonantes sunt hee. Vnisonus Semiditonus. Ditonus Dyapenthe semitonium cum dyapenthe tonus cum dyapenthe. dyapason. Semiditonus supra dyapason ditonus supra dyapason. dyapenthe supra dyapason. Semitonium cum dyapenthe supra dyapason. Tonus cum dyapente supra dyapason. Duplex dyapason. Semiditonus supra duplicem dyapason Ditonus supra duplicem dyapason. dyapenthe supra duplicem dyapason. Relique uero omnes sunt species dissonantes. Est ergo unisonus prima species [f.103r] [1. in marg.] musicalis et armonica: quia bona consonantia est: nam et uniformis prolationis sonus est siue in spacio siue in linea fuerit: nec inter unisonum aliquod cadit interuallum. [2. in marg.] Semiditonus species musicalis est et armonica: que apud compositores musice tercia imperfecta appellat: non quidem imperfecta quod male sonet: sed imperfecta quia ex uno tono perfecto et reliquo imperfecto componitur quoniam tonus imperfectus semitonium dicitur. [3. in marg.] Dytonus species musicalis est et armonica que apud compositores musice tercia perfecta nuncupatur eo quod duos tonos perfectos in se habeat. [4. in marg.] Dyapenthe species musicalis est. et armonica que apud compositores musice quinta dicitur uel media: quinta quidem quia dyapenthe dicitur a dya quod est de et pentha quod est quinque. quasi ex quinque uocibus constituta: in se habens tres tonos perfectos et unum imperfectum: uel dicitur media eo quod media ponitur inter dypason et dyatesseron. [5. in marg.] Semitonium cum dyapenthe species musicalis est et armonica: que apud compositores musice uocatur sexta imperfecta: non quidem imperfecta: quod male sonet: sed imperfecta: que ex tribus tonis perfectis fit et duobus imperfectis. [6. in marg.] Tonus cum dyapenthe species musicalis est et armonica: que apud compositores musice sexta perfecta dicitur continens in se quatuor tonos perfectos cum uno imperfecto [7. in marg.] Dyapason species musicalis est et armonica que perfectissima consonantia est: et apud compositores musice uocatur octaua quinque tonos perfectos in se continens et duos imperfectos: qui faciunt octo uoces: Et sonat dyapason de qualibet littera monocordi ad aliam sibi similem et dicitur a dya quod est duo et pasis quod est passio: quasi duo in se patiens uel continens: scilicet dyapenthe et dyatesseron: quia ille due species simul iuncte faciunt dyapason. Vel dicitur dyapason a dya quod est de: et pan quod est totum: et seron quod est uox: quasi omnes uoces aliarum specierum in se concludens que alio nomine dicitur pasodia. [8. in marg.] Et sicut de qualibet istarum specierum dictum est prout includitur in dyapason: ita etiam pari modo de qualibet dici potest: cum sit supra dyapason. Nam quod de semitono supra unisonum dictum est: hoc de semitono dici potest supra dyapason. Hoc excepto quod supra unisonum uocatur tercia imperfecta: et supra dyapason: uocatur decima imperfecta. [9. in marg.] Ditonus que supra unisonum uocatur tercia perfecta: supra dyapason uocatur decima perfecta. [10. in marg.] Et dyapenthe supra dyapason dicitur duodecima. [11. in marg.] Item semitonium cum dyapenthe supra dyapason dicitur duplex sexta imperfecta. [12. in marg.] Tonus uero cum dyapenthe supra dyapason: dicitur duplex sexta perfecta [13. in marg.] Deinde duplex dyapason: que duplex octaua dicitur. [14. in marg.] Semiditonus supra duplicem dyapason dicitur duplex decima imperfecta. [15. in marg.] Et ditonus [f.103v] supra duplicem dyapason dicitur duplex decima perfecta. [16. in marg.] dyapenthe uero supra duplicem dyapason dicitur duplex duodecima [17. in marg.] Item semitonium cum dyapenthe supra duplicem dyapson dicitur triplex sexta imperfecta. [18. in marg.] Tonus uero cum dyapenthe supra duplicem dyapason dicitur triplex sexta perfecta. Et in hoc finitur ipsum monocordum superius deductum ut patet intuenti.

In qua proportione stant singule consonantie que sunt infra dyapason. Capitulum uicensimum primum.

[Semitonium minus 1.104/1944 in marg.] VNisonus stat in proportione equalitatis. Semitonium minus in nulla firmari potest proportione: [Dyatesseron 256. duo toni 243 1.12/243 in marg.] potest tamen eadem sub fractione toni: ut patet in comparatione istius numeri .2048. ad .1944. que 2048. est dyatesseron ad .1536. ad quem numerum 1536. ipsa 1944. sunt due sesquioctaue. [semitonium maius 1.139/2048 in marg.] Similiter nec potest semitonium maius in aliqua firmari proportione: potest tamen eadem sub fractione toni: ut patet in comparatione istius numeri 2187. ad 2048 que 2048. est dyatesseron. ad .1536. ad quem numerum 1536. ipsa 2187. sunt tres sesquioctaue: ut si substraxeris ipsas duas sesquioctauas scilicet 1944. a .2048. remanent .104. ecce semitonium minus. Et supra 2048. substraxeris a tribus sesquioctauis scilicet 2187. remanent 139. ecce semitonium maius: quod semitonium maius si addideris ad semitonium minus quod est .104. habes .243. ecce tonus. [tonus .1 1/8 in marg.] Hoc idem haberes si substraheres duas sesquioctauas a tribus sesquioctauis puta .1944. a .2187. Tonus in proportione stat sesquioctaua ut 9. ad 8. [Semiditonus .1 5/27 in marg.] Semiditonus in proportione stat superquintupartiente 27as. ut 32. ad .27. [ditonus .1 17/64 in marg.] Ditonus in proportione stat super17partiente .64as. ut 81 ad 64 [dyatesseron .1 1/3 in marg.] Dyatesseron in proportione stat sesquitercia ut 4. ad .3. [Tritonus .1 217/512 in marg.] Tritonus in proportione stat super217partiente .512as. ut 729. ad .512. [Dyapenthe .1 1/2 in marg.] Dyapenthe in proportione stat sesquialtera ut .3. ad .2. [Semitonium cum dypenthe .1.47/81 in marg.] Semitonium cum dyapenthe in proportione stat super47partiente .81as. ut 128. ad .81. [Tonus cum dyapenthe 1.11/16 in marg.] Tonus cum dyapenthe in proportione stat super11partiente 16as. ut 27. ad .16. [Semiditonus cum dyapenthe .1.7/9 in marg.] Semiditonus cum dyapenthe seu bis dyatesseron in proportione stat super7partiente nonas ut 16. ad .9. [Ditonus cum dyapenthe .1.115/243 in marg.] Ditonus cum dyapenthe in proportione stat super115partiente .128as. ut 243. ad .128. [Dyapason 2.0/1 in marg.] Dyapason autem stat in proportione dupla ut 2 ad .1. [L. in marg.] Restat nunc utique ex istis colligere proportiones ipsius totius corde [Gamma] h. ad singulos gradus ipsius monocordi deducti tam geometrice quam arismetrice: ut ipsum per hoc uerificari possit: uel etiam corrigi si corruptum fuerit in scribendo. Stet enim ipsa corda [Gamma] h. pro unisono in proportione equalitatis. Corda [Gamma] h. ad cordam A h. tonus in proportione sesquioctaua ut 9 ad 8. uel .10368. ad .9216. Corda. [Gamma] h. ad cordam [sqb] h. ditonus in proportione stat super17partiente [f.104r] 64as. ut 81 ad .64. Vel .10368. ad 8192. Corda [Gamma] h. ad cordam .C h. dyatesseron in proportione stat sesquitercia ut 4. ad 3 uel .10368 ad 7776. Corda [Gamma] h. ad cordam D h. dyapenthe in proportione stat sesquialtera: ut 3 ad 2. uel 10368. ad 6912. Corda [Gamma] h. ad cordam E h. tonus cum dyapenthe stat in proportione super11partiente 16as. ut 27. ad 16. uel 10368. ad 6144. Corda [Gamma] h. ad cordam F h. semiditonus cum dyapenthe. uel bis dyatesseron. in proportione stat superseptipartiente nonas ut 16 ad 9. uel 10368. ad 5832. Corda [Gamma] h. ad cordam G h. dyapason stat in proportione dupla ut 2 ad 1. uel .10368. ad 5184. Corda [Gamma] h ad cordam a h. tonus supra dyapason: in proportione stat dupla sesquiquarta. ut .18. ad 8. uel 10368. ad 4608. Corda [Gamma] h. ad cordam b h. semiditonus supra dyapason in proportione stat dupla super10partiente 27as. ut 64 ad 27. uel .10368. ad 4374. Corda [Gamma] h ad cordam [sqb].h. ditonus cum dyapason in proportione sta [stat corr. supra lin.] dupla super34partiente 64as. ut 162. ad .64. uel .10368. ad 4096. Corda [Gamma] h. ad cordam c h. dyatesseron supra dyapason stat in proportione dupla superbipartiente tercias. ut 8 ad .3. uel 10368. ad .3888. Corda [Gamma] h. ad cordam d h. dyapenthe supra dyapason. stat in proportione tripla ut 3. ad .1. uel 10368. ad .3456. Corda [Gamma] h. ad cordam e h. tonus cum dyapenthe supra dyapason stat in proportione tripla. supersextipartiente 16as. ut 27. ad 16. uel .10368 ad 3072. Corda [Gamma] h. ad cordam f h. semiditonus cum dyapente supra dyapason stat in proportione tripla superquintupartiente nonas. ut 32. ad 9. uel 10368. ad .2916. Corda [Gamma] h. ad cordam g h. bis dyapason in proportione stat quadrupla: ut .4. ad .1. uel .10368. ad 2592. Corda [Gamma] h. ad cordam aa h. tonus supra bis dyapason in proportione stat quadrupla sesquialtera ut 36. ad 8. uel .10368. ad 2304. Corda [Gamma] h. ad cordam bb h. semiditonus supra bis dyapason: in proportione quadrupla stat super10partiente 27as. ut 128. ad 27. uel 10368. ad .2187. Corda [Gamma] h. ad cordam [sqb][sqb] h. ditonus supra bis dyapason: in proportione stat quintupla sesquidecimasexta: ut 81. ad .16. uel .10368. ad 2048. Corda [Gamma] h. ad cordam cc h. dyatesseron supra bis dyapason. in proportione stat quintupla sesquitercia. ut 16. ad .3. uel 10368. ad 1944. Corda [Gamma] h. ad cordam dd.h. dyapenthe supra bis dyapason in proportione stat sextupla: ut 6. ad .1. uel 10368. ad .1728. Corda [Gamma] h. ad cordam ee h. tonus cum dyapenthe. supra bis dyapason in proportione sextupla stat supertripartiente quartas ut 27. ad .4. uel 10368. ad .1536. Et in hoc finitur deductio proportionalis. primi et grauissimi gradus ad singulos monocordi gradus et econuerso

quia uelit

[f.104v] Qualiter probari possit hec deductio proportionalis Capitulum uicensimum secundum.

QVeris in qua proportione stet tota corda [Gamma] h. ad cordam [sqb][sqb] h. que corda [Gamma] h. est .10368. et corda [sqb][sqb] h. est .2048. Dico quod stat in proportione quintupla sesquisextadecima: Cuius proportionis termini primi per tercium huius sunt 81 et 16.

[Gent, Rijksuniversiteit, 70(71), f.104v,1; text: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 64, 128, 192, 256, 320, 384, 448, 512, 576, 640, 768, 896, 1024, 1152] [GENTSPE 09GF]

Proba. Diuide 81 per 16. et ueniunt 5. ecce proportio quintupla: et adhuc superest 1/16 ecce proportio sesquisextadecima. Sed nunc diuide 10368 qui est maior numerus datus per 81. qui est maior numerus proportionis date: et ueniunt 128. Similiter diuide 2048. qui est minor numerus datus per 16. qui est minor numerus proportionis date: et ueniunt 128. ut supra Ergo si diuiseris .10368. per .128. ueniunt 81. et si diuiseris 2048. per 128. ueniunt .16. et sic habes primos terminos proportionis date. et stat proba. Sed forte dices mihi proba probat a posteriori: eo quod prima facie mihi dixeris: quod esset proportio quintupla sesquidecimasexta: quero ergo probam .a priori. Et ego do tibi eam sic. Vides enim in monocordo deducto arismetrice folio XXIIo. quod gradus [sqb][sqb]. ad gradum [Gamma]. sit ditonus supra duplicem dyapason. Et in deductione proportionum corde [Gamma] h. ad singulos gradus monocordi uides: quod duplex dyapason stet in proportione quadrupla Cuius proportionis primi termini per tercium huius sunt 4. et .1. Et tu scis ex capitulo 21o. quod ditonus stat in proportione super17partiente 64as.

[Gent, Rijksuniversiteit, 70(71), f.104v,2; text: 324, 64, 4, 1, quadrupla, 81] [GENTSPE 09GF]

Cuius termini sunt 81. et 64. Iunge nunc istas duas proportiones scilicet quadruplam cum proportione super17partiente 64as. per modum quem te docui: in fine capituli quinti: et ueniunt 324. ad .64. Tunc diuide .324. per .64. et ueniunt .5. ecce proportio quintupla: et adhuc supersunt 4/64. Tunc diuide 64. per 4. et ueniunt .16. et hic est denominator abbreuiationis Similiter diuide .4. qui est numerator fractionis per .4. et uenit unitas: quam scribe supra .16. hoc modo 1/16 et ecce proportio quintupla sesquidecimasexta. Si hoc idem probare uolueris geometrice: operare per locum a simili: sicut te docui in fine capituli 19i. Item si uelis pone unum pedem cercini in puncto [sqb][sqb]. in figura deductionis geometrice et alium in puncto h. quam precisius possis. et cetera.

Sequitur deductio armonica que sub tali forma figuratur et musicalis hic inferius posita. et cetera.

[f.105r] [Gent, Rijksuniversiteit, 70(71), f.105r; text: H, g, ee, dd, cc, [sqb][sqb], bb, aa, f, e, d, c, [sqb], b, a, G, F, E, D, C, A, [Gamma], Quadruplex dyapason, Triplex dyapason. Tonus. Semitonium minus. Semitonium maius. Duplex dyapason. Simplex dyapason. Deductio musicalis et Armonica. semiditonus, dyatesseron, dyapenthe, ditonus, dyapason. Tritonus, tonus cum dyapenthe, semiditonus cum dyapente, Semiditonus supra dyapason. Dyapenthe cum dyapason. Dyapenthe supra dyapason. Dyapenthe supra duplicem dyapason. Tonus cum Dyapenthe supra duplicem dyapason. Fundamentum Relationis.] [GENTSPE 10GF]

[f.105v] Proportiones specierum musicalium: que cadunt infra dypason quere supra folio XXVII. Capitulo uicensum primum.

[2 26/243 in marg.] Semitonium supra dyapason in proportione stat dupla super26partiente 243as ut 512. ad 243.

[2 1/4 in marg.] Tonus supra dyapason: stat in proportione dupla sesquiquarta ut 18. ad 8. uel 9 ad 4.

Semiditonus supra dyapason stat in proportione dupla. super10partiente .27as. ut 64 ad .27. [.2.10/27 in marg.]

Ditonus supra dyapason stat in proportione dupla super34partitiente 64as. ut 162. ad 64. [2.34/64 in marg.]

Dyatesseron supra dyapason stat in proportione dupla superbipartiente tercias ut 8. ad 3. [2 2/3 in marg.]

Tritonus supra dyapason stat in proportione dupla super434partiente 512as. sicut 1458 ad .512. [.2.434/512 in marg.]

Dyapenthe supra dyapason stat in proportione tripla sicut. 6. ad .2. uel .3. ad .1. [3.0/1 in marg.]

Semitonium cum dyapenthe supra dyapason stat in proportione tripla super13partiente 81as. ut 256. ad .81. [3.13/81 in marg.]

Tonus cum dyapenthe supra dyapason: stat in proportione tripla supersextipartiente 16as. ut 54. ad 16. [3.6/16 in marg.]

Semiditonus cum dyapenthe supra dyapason stat in proportione tripla superquintum partiente nonas. ut 32. ad 9 [3.5/9 in marg]

Ditonus cum dyapenthe supra dyapason stat in proportione tripla super102partiente: 128as. ut 486. ad .128. [3 102/128 in marg.]

Duplex dyapason in proportione stat quadrupla ut 4. ad .1. [4 0/1 in marg.]

Semitonium supra [duplicem add. supra lin.] dyapason: stat in proportione quadrupla super52partiente 243as. ut 1024. ad .243. [4 52/243]

Tonus supra duplicem dyapason stat in proportione quadrupla sesquialtera ut 36. ad 8. [4 1/2 in marg.]

Semiditonus supra duplicem dyapason stat in proportione quadrupla super20partiente 27as. ut 128. ad .27. [4 20/27 in marg.]

Ditonus supra duplicem dyapason: stat in proportione quintupla sesquisextadecima sicut. 324. ad 64. [5 1/16 in marg.]

Dyatesseron supra duplicem dyapason: stat in proportione quintupla sesquitercia: ut 16. ad .3. [5 1/3 in marg.]

Tritonus supra duplicem dyapason stat in proportionem quintupla super356partiente 512as. ut 2916. ad .512. [5 356/512 in marg.]

Dyapenthe supra duplicem dyapason: stat in proportione sextupla: sicut .12. ad .2. uel 6. ad .1. [6 0/1 in marg.]

Semitonium cum dyapenthe supra duplicem dyapason stat in proportione sextupla sup26partiente 81as. ut 512. ad .81. [6 26/81 in marg.]

Tonus cum dyapenthe supra duplicem dyapason stat in proportione sextupla supertripartiente quartas. ut .108. ad .16. [6 3/4 in marg.]

Semiditonus cum dyapenthe supra duplicem dyapason stat [f.106r] in proportione sextupla sesquinona: ut 64. ad .9. [7 1/9 in marg.]

Ditonus cum dyapenthe supra duplicem dyapason stat in proportione septupla super88partiente 128as. ut 984. ad .128. [7 88/128 in marg.]

Triplex dyapason stat in proportione octupla: ut 8. ad 1. [8 8/1 in marg.]

Semitonium supra triplicem dyapason: stat in proportione octupla super104partiente 243as. ut 2048. ad .243. [8 104/243 in marg.]

Tonus supra triplicem dyapason: stat in proportione nonupla: sicut .72. ad .8. [9 0/1 in marg.]

Semiditonus supra triplicem dyapason stat in proportione nonupla super13partiente 27as. ut 256. ad .27. [9 13/27 in marg.]

Ditonus supra triplicem dyapason: stat in proportione decupla sesquioctaua. ut 648. ad .64. [10 1/8 in marg.]

Dyatesseron supra triplcem dyapason octauam stat in proportione decupla superbipartiente tercias: ut 32. ad .3. [10 2/3 in marg.]

Tritonus supra triplicem dyapason. stat in proportione undecupla super200partiente 512as. ut 5832. ad 512. [11 200/512 in marg.]

Dyapenthe supra triplicem dyapason stat in proportione duodecupla: ut 24. ad .2. uel 12. ad .1. [12 0/1 in marg.]

Semitonium cum dyapenthe supra triplicem dyapason stat in proportione duodecupla super52partiente 81as. ut 1024. ad .81. [12 52/81 in marg.]

Tonus cum dyapenthe supra triplicem dyapason stat in proportione tredecupla sesquialtera ut 216. ad .16. [13 1/2 in marg.]

Semiditonus cum dyapenthe supra triplicem dyapason stat in proportione quatuordecupla superbipartiente nonas. ut 128. ad 9. [14 2/9 in marg.]

Ditonus cum dyapenthe supra triplicem dyapason stat in proportione quindecupla super24partiente .128as. ut 1944. ad .128. [15 24/128 in marg.]

Quadruplex dyapason stat in proportione sedecupla ut .9. ad .1. [16.0/1 in marg.]

Et hec deductio sufficit: ad quodlibet instrumentum musicale.

Sequitur secunda pars huius libri et est practica musice plane. uerte folium.