Back to top

[72] [1] Musica speculatiua per magistrum Erasmum Heritium lecta. 1498.

Libellus Theorematum musicae diuiditur primum in Mundanam, Vocalem, et instrumentalem. Mundana quidem diuiditur in Caelestem, et Elementalem. Caelestis consistit in armonia proportionum, quae est inter corpora caelestia. Cum ipsa motu continuo in suis determinatis proportionibus Sphaerarum, iuxta Platonis sententiam sonum mirificum afficiunt. Quam pulcherrime Plato suo libro Musicae conscripsit. Hoc idem et Enchiriades Musicorum [1v] princeps describit, partim quoque Architas demonstrat. Elementalis uero quae in sola elementorum proportione stabilitur. Quae quidem omnium est grauissima, eo quod nulla uia Gaeometrica quantitates elementorum metiri possumus. Vocalis uero Armonia, quae et sonorosa dici potest. Quia sonum a uoce pronuntiat, hec est in qua uera proportio uocis grauis ad uocem leuem consyderatur, et hec est, de qua erit intentio nostra, ut scilicet reddamus causam omni consonantiae, et Dissonantiae, Que scilicet sit Consonantia, que Dissonantia. Instrumentalis consistit [73] in uera proportione, ut scilicet instrumenta neruorun, [2] uidelicet Cythara, Psalterium, Chaelis, item in proportione ponderum, sicut plures campanae, uel nolae ad inuicem proportionatae, item in concauitatibus, sicut in fistulis, ubi concauitas Dyametri perpenditur, et longitudo concauitatis. Quarum proportione cognita, cognoscitur consonantia fistularum, et de his duabus ultimis, scilicet uocali, et instrumentali pythagorici, et Graeci multos libellos condiderunt.

De proportione, et eius generibus.

Priusquam ipsa pars Quadruuialis, Musicae scilicet initium capiat exnecessitate proportionum genera praeponentur, cum ipsa tota in proportione sit fundata. Nam eius subiectum [2v] est numerus ad sonum contractus. Nunquam uero consonantia haberi potest, nisi ad minus duobus sonis propositis, necesse ergo erit, cognoscere proportionem soni ad sonum, Quare necessario proportionum distinctiones secundum sua genera proponentur. Sunt ergo quinque genera proportionum, scilicet, Multiplex, Superparticulare, Superpartiens, et hec tria sunt simplicia, genera. Dehinc multiplex superparticulare, et multiplex superpartiens, et haec duo sunt composita. Est enim proportio iuxia Eucliden diffinitione tertia Quinti, duarum, quantaecunque sint eiusdam generis, quantitatum certa alterius ad alteram habitudo, ut numeri ad numerum, lineae ad [3] lineam, superficiei ad superficiem. Multiplex est quando maior numerus continet minorem numerum multotiens praecise. ut binarius continet unitatem bis. quare proportio dupla. Quaternarius vnitatem quater, quare Quadrupla, et Ternarius ter, et cetera. Superparticulare uero est quando maior numerus continet minorem semel, et aliquam eius partem. Cuius species sunt, sesquialtera, sesquitertia, sesquiquarta, sesquiquinta, et cetera. Sesquialtera est, quando maior numerus continet minorem semel, et alteram eius partem, scilicet medietatem, ut tria ad duo. Sesquitertia uero, quando maior numerus continet minorem semel, et eius tertiam partem, vt quatuor ad tria. Superpartiens est quando maior numerus [3v] continet minorem semel, et aliquas eius partes, cuius species sunt superbipartiens, supertripartiens. Superbipartiens species est, quando maior numerus continet minorem semel, et duas eius partes, ut quinque ad tria. Quoniam Quinarius continet ternarium semel cum duabus tertijs. Supertripartiens est, quando maior numerus continet minorem semel cum tribus eius partibus, sicut septem ad quatuor, nam septem continet in se quaternarium semel cum tribus quartis. Multiplex superparticulare est quando maior numerus continet minorem multotiens, cum aliqua parte, Cuius species sunt dupla sesquialtera, dupla sesquitertia, Tripla sesquialtera, Tripla sesquitertia. Dupla [4] sesquialtera est, quando maior numerus continet minorem bis, et alteram eius partem, sicut quinque ad duo, quia quinarius continet Binarium bis cum una medietate. Multiplex superpartiens est, quando maior numerus continet minorem multotiens cum aliquibus partibus. Cuius species sunt, dupla superbipartiens, Dupla supertripartiens, et cetera. uel tripla superbipartiens, tripla supertripartiens. Dupla superbipartiens est quando maior numerus comprehendit minorem bis, cum duabus partibus, ut octo, ad tria. Quia octo comprehendit tria bis cum duabus tertijs, et sic de singulis speciebus fiat operatio. Et cognoscitur proportio hoc modo. Nam si propositi sunt quot libet numeri, si fuerint adinuicem [4v] aequales, erit proportio aequalitatis, [74] ut dicendo, duo, et duo, tria, et tria. Si uero fuerin inaequales, Diuidatur maior per minorem, et Quotiens est denominatio proportionis, ut si diuiserimus .8. per .3. erit quotiens .2. cum duabus tertijs. Quare erit proportio dupla superbipartiens. Item si diuisero .6. per .2. proueniunt tria in Quotiente. ergo proportio tripla. et sic fiat operatio in omni specie cuiuslibet generis.

Diuisio libri.

Diuiditur hic totus Liber Musicae in tres libellos. Primus erit de demonstrationibus modorum, tam perfectorum, quam imperfectorum. Secundus erit de continuatione Characterum, siue clauium, tam in scala latina, quam graeca, cum certa divisione. Tetrachordorum [5]. Tertius uero Liber erit de proiectione generis Dyatonici in planum.

Propositio Prima.

Nouem modos musicos esse, primum oportet ostendere. Modus in proposito nihil aliud est, nisi mensura, per quam cognoscuntur Distantiae uocum. Et sunt nouem distincti modi, secundum quos simplices consonantiae mensurantur, et duo, per quos ex necessitate mensurantur non Consonantiae, et sunt hi modi. Semitonium. Tonus, Semiditonus. Ditonus. Dyathesseron, Dyapenthe, semitonium cum Dyapenthe, Tonus cum dyapenthe, et Dyapason, et omnium horum modorum est unum principium [5v] scilicet Vnisonus, qui modus non est. eo quod nihil mensurat, sed est principium modorum, sicut Vnitas principium numeri est, et sicut punctum est principium quantitatis. Est ergo Vnisonus unius, et eiusdem uocis in una linea, uel in uno spatio repetitio, ut dicendo, ut, ut, re, re, et cetera. Semitonium est ascensus, uel descensus per secundam mollis, aut imperfectus, et contingit ascendendo per uocem grauem, et descendendo per uocem laeuem. Vnde sciendum quod triplices sunt uoces. Quae dam sunt graues, sicut sunt ut, et fa, et sunt quae grauiter, et imperfecte ascendunt, sed descendunt uiriliter, et perfecte. Aliae sunt uoces Naturales, siue mediae, quae perfecte ascendunt, et descendunt [6] sicut sunt, sol, et re. Tertiae sunt Leues, quae perfecte ascendunt, et imperfecte descendunt, sicut sunt mi et la. Quare constat, quod semitonium minus solum modo ascendendo fit per uocem grauem, et descendendo per uocem leuem, nunquam per n(atur)alem. Tonus est uirilis ascensus, uel descensus per secundam, et fit per uoces naturales, et ascendendo per uoces leues, Descendendo uero per uoces graues, ut dicendo, ut, re, re, mi, fa, sol. sol, la. et e contra descendendo, et his duobus modis habitis mensurabimus omnes alios modos per eosdem. Semi Ditonus constituitur ex Tono, et semitonio, ut dicendo, re fa. mi sol. et e contra descendendo. Ditonus constituitur ex duobus Tonis, ut dicendo, ut mi, fa sol. [6v] Dyathesseron constituitur ex duobus Tonis, et semitonio, ut dicendo, ut fa. re sol, mi la. Et dicitur a dya, quod est de, et thessera, uel thesseron figura quadrata, eo quod quatuor uocibus complectitur. Dyapenthe constituitur ex tribus tonis, et semitonio, ut dicendo, ut, sol; re, la. et dicitur a dya. quod est de, et penthe, quod est quinque, quia ex quinque uocibus constituitur. Semitonium cum Dyapenthe constituitur ex tribus Tonis, et duobus semitoniis, et non ex quatuor Tonis, eo quod duo semitonia Tonum perficere non possunt, ut dicendo, de re, ad fa. per sextam, ut de A re, ad F fa ut. Et dicitur semitonium cum Dyapenthe, quia ultra Dyapenthe tantum semitonium additur. Tonus cum [75] Dyapenthe constituitur [7] ex quatuor tonis, et semitonio, ut ascendendo de. ut. ad. La. per sextam. Dyapason constituitur ex quinque tonis, et duobus semitonijs, Constituitur enim ex Dyapenthe et Dyathesseron. Nec eciam constituitur ex sex Tonis, Cum duo semitonia tonum perficere non possunt, et dicitur a dya, quod est duo, et pason sonum. Quia duarum uocum quasi unus sonus, uel consonantia una. Et hec consonantia Dyapason, et duplex Dyapason dicitur aequisona, Dyapenthe uero, et Dyathesseron consona, reliquae uero intermediae dicuntur Emeles.

[Heritius, Musica speculativa, 75; text: Figura, Consonantiae perfectae, Consonantiae imperfectae, sol, Fa, la, mi, re, ut, Dyapason, Dyapenthe, Dyathesseron, Tonus cum Dyapenthe, Semitonium cum Dyapenthe, Ditonus, Semiditonus, Tonus, Semitonium] [HERPSE 01GF]

[7v] Propositio Secunda.

Proportionem rationalium, additionem, pariter et substractionem subiungere. Rationalis proportio dicitur, quae in numeris integris reperitur, et nunquam condescendit ad fracta, sicut sunt omnia quinque genera proportionum in numeris, ut proportio dupla, tripla, quadrupla. Irrationalis proportio est quae aliqua fractione numeri denominatur, et illa communis est in lineis, et alijs quantitatibus continuis.

De Additione proportionum.

Additio proportionum est talis. Ducatur numerus maior vnius in numerum maiorem alterius, et productus erit numerus maior prouenientis. [8] Similiter ducatur minor unius in minorem alterrius, et proueniet minor prouenientis. Vt in exemplo, addatur proportio sesquialtera proportioni sesquitertiae, quia sesquialtera in minimis terminis est inter 3. et .2. Sesquitertia uero inter .1 et 3. Ducatur ergo ternarius in quaternarium, et prouenient .12. et binarius in ternarium, proueniet senarius, numerus minor, erit ergo .12. ad .6 proportio Dupla. Aliud exemplum. Addatur tripla duplae, scilicet ducatur ternarius in binarium, proueniet senarius, et unitas in unitatem proueniet vnitas, erit ergo sextupla. Et hic illud obseruetur. quod semper reducatur proportio ad terminos minimos, scilicet [8v] mediando vtrunque numerum, quoad fieri possit, ut .12. ad .6. mediabo .12. et proueniet .6. et similiter et .6. constituunt Duplam.

[76] De subtractione proportionum.

Subtractio proportionum fiat hoc modo. Duc maiorem proportionis, a qua debet jieri subtractio, in minorem subtrahendae, et proueniet maior, Dehinc ducatur minor proportionis, a qua debet fieri subtractio in maiorem subtrahendae, et proueniet minor quaesitae. Vt in exemplo. Volo subtrahere ses uitertiam a sesquialtera, et duco ternarium. scilicet maiorem proportionis a qua debet fieri subtractio in minorem [9], scilicet ternarium subtrahendae, proueniet maior quaesitae, scilicet Nonarius. Dehinc duco minorem primae, in maiorem secundae, scilicet binarium in quaternarium, prouenient .8. minor numerus quaesitae, relinquitur ergo proportio sesquioctaua. Aliud exemplum. Subtrahendo duplam a tripla relinquitur sesquialtera, et sic de singulis fiat.

Propositio tertia.

Quamlibet proportionem, cuiuscunque generis sit, in suis terminis minimis reperire. Scribatur proportio directe, sicuti exprimitur cum integro, et parte, uel partibus, prout expressis postulat. Dehinc ducatur denominator fractionis in integrum, uel integra, et addatur numerator, et hoc totum pro numeratore, denominatore [9v] primo inuariato, patebit proportio quaesita. Numerator, qui numerat partes, et ponitur semper in superiori loco. Denominator uero, qui denominat quantitatem partis, et semper ponitur in inferiori loco, ut in exemplo. Volo inuenire sesquialteram in minimis, scribo eam, scilicet integrum, et unam medietatem, Dehinc ducam denominatorem scilicet binarium in integrum; scilicet unitatem, et addo unitatem numeratoris.

Propositio Quarta.

In omni proportione superparticulari, si proxima minor aproxima maiori subtrahitur, illud quod relinquitur, semper est minus medietate illius, que subtrahitur. [10] Hec propositio ostenditur in maximis superparticularibus. Nam si a sesquialtera subtrahitur sesquitertia, uel aliquid relinquitur, uel nihil, in residuo. Si nihil relinquitur, patebit propositum, scilicet quod duae medietates integrum directe constituunt, et hoc est impossibile in superparticulari genere. Si uero aliquid relinquitur, patebit propositum propositionis, scilicet, quod illud, quod relinquitur est minus eius medietate, et hoc deducitur tali exemplo. Si sesquitertia subtrahitur a sesquialtera, scilicet quatuor tertiae, a tribus secundis relinquitur sesquioctaua. scilicet nouem octauae, quae si duplatur, quae fit per additionem, addendo sesquioctauam, sesquioctauae per secundam huius, proueniunt, octoginta unae sexagesimae. [10v] quartae, et illud minus est proportione sesquitertia, cuius differentia residua est ducenta quinquaginta sex ducentesimae quadragesimae tertiae, et hec proportio est in qua Diesis reperitur, cuius medietas est differentia, qua minor superparticularis scilicet detracta superat residuum post subtractionem. Si uero illud quod relinquitur maius fuerit medietate illius, sequitur per secundam huius, quod denominator residui maior erit numeratore, quare fractio est non proportio, quod est impossibile, patet ergo utranque partem esse probatam.

[Heritius, Musica speculativa, 76; text: Subtractio: 2, 3, 4, Duplatio: 9, 8, 81, 64, Residuum: 256, 243] [HERPSE 01GF]

[11] Propositio quinta.

Medietatum leges breuiter enumerare. Tres sunt principales medietates, scilicet. Arithmetica, Geometrica, et Armonica. Arithmetica medietas est quando in tribus numeris eadem est [77] differentia primi ad secundum, quae est secundi ad tertium, ut in exemplo .1.2.3. quia inter .1. et 2. est differentia vnitas, similiter inter .2. et 3. differentia unitas. Gaeometrica medietas est ubi in tribus numeris eadem est proportio primi ad secundum, quae est secundi ad tertium, vt in exemplo .2.4.8. ut 2. ad 4. dupla. et 8. ad .4. dupla. Armonica medietas est ubi in tribus numeris eadem est proportio primi ad tertium, quae est differentia primi et secundi, ad differentiam secundi et tertij, vt in exemplo .3 4 6 [11v] vbi .3. ad 6. est proportio Dupla, et differentia primi ad secundum scilicet vnitas, ad differentiam secundi, et Tertii, scilicet binarium, eciam est proportio Dupla. In Arithmetica medietate tales inuestigationes habentur, sit pro faciliori intellectu. Vtamur litteris more Gaeometricorum. Sit ergo in omni medietate minimus terminus .A. medius .B. et maximus .C. Cum ergo in medietate Arithmetica A. et .B. noti fuerint .C. ita inquiritur. Addatur differentia A. et B. ad .B. et proueniet .C. Si uero .B. et .C. noti fuerint .A. ita inquiritur. Differentia B. et .C. subtrahatur a .B. residuum erit .A. Si vero .A. et C. noti fuerint, ut .1. et .3.B. ita inquiritur. Addatur .A. cum .C. scilicet unum cum tribus prouenient .4. cuius medietas erit .B. scilicet .2. In medietate uero Gaeometrica [12] tales habentur inuestigationes. Sit ut prius .A. minor terminus, B. medius .C. maximus, ut 2. 4. 8. Si primo. A. et .B. noti fuerint. Diuidatur quadratum .B. quod est .16. per .A. proueniet .C. scilicet .8. Si uero .B. et .C. noti fuerint .A. ita inquiritur. Dividatur quadratum .B. per .C. scilicet .16. per 8. proueniet .A. scilicet .2. Si uero .A. et .C. noti fuerint .B. ita inquiritur. Ducatur .A. in .C. scilicet .2. in 3. et, proueniunt .16. cuius Radix erit .B. scilicet .4. Armonica medietas taliter inuestigatur, Si ergo .A. et .B. noti fuerint, scilicet .3. et .4. C. ita inquiritur. Accipiatur differentia inter A. et .B. quae est unitas, qua subtracta a numero .A. remanebunt .2. et per eundem binarium diuidatur productum ex .A. in [12v] .B. scilicet .12. proueniet .C. scilicet .6. Si uero .B. et .C. noti fuerint .A. ita inquiritur. Accipiatur differentia inter .B. et .C. scilicet .2. et hec addatur ad numerum .C. proueniunt .8. et per hunc diuidatur productum ex .B. in .C. scilicet .24. et proueniet .A. scilicet .3. Si uero .A. et .C. noti fuerint .B. ita inquiritur. Addatur numerus .A. ad numerum .C. scilicet .3. ad .6. proueniunt .9. et per idem aggregatum diuidatur Duplatum producti ex .A. et .C. scilicet .36. et proueniet .B. scilicet .4.

[Heritius, Musica speculativa, 77; text: Arithmetica, Gaeometrica, Armonica, productum ex Additione, 4, Differentia 1. productum .16. Diuidendus .36. 12, 24. Diuisor .2, 8. .9. A.1, B.2, C.3. A.2. B.4. .C.8.] [HERPSE 01GF]

[13] Propositio Sexta.

Nullam superparticularem proportionem in aequa dividi posse. [78] Haec propositio sic ostenditur. Sit maxima superparticularis, scilicet sesquialtera, quae inter .3. et .2. continetur in minimis terminis, in quibus non est numerus integer medius, augebimus ergo eos per aliquem numerum, scilicet binarium, et proueniunt .4. et .6. in eadem proportione sesquialtera. Inter hos numeros quinarius est medius, et proportio .4. ad .5. est sesquiquarta .5. ad .6. sesquiquinta, quare proportiones inaequales, et hoc similiter in duplis eorum ostenditur, scilicet inter .8. et .12. inter quos tres numeri medij reperiuntur. scilicet .9.10.11. Quicunque enim medius comparatus ad extrema, aliam, et aliam proportionem [13v] causat. Nam ad minorem est proportio maior, ad maiorem uero minor. Vt in exemplo. sit .10. medius inter .8. et .12. in quibus Arithmeticalis medietas reperitur. Gaeometrica uero non. Quia .10. ad 8. est proportio sesquiquarta .12. uero ad .10. sesquiquinta. Quare inaequales, et sic in omnibus intermedijs alia, et alia proportio habebitur. Hoc idem aliter Demonstratur ex medietate Gaeometrica. Sit proportio sesquialtera. AB. inter .2. et .3. quae continuatur ad tres minimas sesquialteras hoc modo. Ducantur .2. in se, et proueniunt .4. scilicet .C. Dehinc .2. ducantur in 3. scilicet .A. in .B. et proueniunt .6. scilicet .D. Tertio ducatur .B. in se, scilicet .3. proueniunt .9. et erunt tres numeri [14] C.D.E. continue proportionales in proportione sesquialtera. Sumantur ergo duo ex his maiores scilicet .D. et .E. et ducatur .D. in .E. et proueniunt .F.54. erit ergo radix de 54. surda, et in integris numeris impossibilis, Quare cuncti intermedij in ordinem ad extrema diuersas habebunt proportiones, et hoc in omni superparticulari simili uia ducitur. Quare nulla superparticularis aequa diuidi potest.

[Heritius, Musica speculativa, 78; text: Radix surda, 1 1/2, 1 1/3, productum, ex multiplicatione, .A.2, .B.3, .C.4, .D.6, .E.9, F59] [HERPSE 02GF]

[14v] Propositio Septima.

Dyapason in genere multiplici collocari constat. Ex prima huius, quod Dyapason constituitur ex Dyapenthe, et Dyathesseron, scilicet ex quinque tonis, et duobus semitonijs. Sit ergo per impossibile Dyapason in alio genere, quam in multiplici, et ponatur in superparticulari, scilicet Dyapason in sesquialtera, erit Dyapenthe in sesquitertia, quia proxima minor, si ergo sesquitertia subtrahitur a sesquialtera, illud quod relinquitur erit minus medietate sesquitertiae in quarta huius. Quare Dyathesseron minus erit medietate Dyapenthe, quod est impossibile. Nam Dyathesseron duplicata ex prima huius constituit tonos quatuor, et duo semitonia, Dyapenthe uero tres tantum, et semitonium, et [15] simili uia hoc ostenditur in alijs generibus sequentibus. Quare constat Dyapason tantum in genere multiplici collocari.

Propositio octava.

Dyapenthe, Dyathesseron, et Tonum in superparticulari genere esse. Haec propositio ostenditur ex [79] septima huius Ostensum est Dyapason, esse in genere multiplici. Vel ergo erit in prima eius specie, scilicet in Dupla, uel in sequentibus, et quodcunque horum sit semper si proxima minor a proxima maiori demitur, relinquitur aliqua species superparticularis, cum ex diffinitione multiplicationis semper numeri propositi in multiplici directe constituent proportionem residuam, eo quod inter quatuor numeros duo numeri sunt vnitates, ut in exemplo. Si Dupla subtrahitur [15v] a tripla, proueniet sesquialtera, ex secunda huius. Item si tripla subtrahitur a quadrupla, relinquitur sesquitertia per eandem. Rursus si fuerit Dyapason in prima specie Multiplicis, tunc ex necessitate Dyapenthe erit in prima specie superparticularis, scilicet sesquialtera, quare ex secunda huius Dyathesseron et Tonus cadent ad secundum genus, scilicet superparticulare. Quare Dyapason, Dyapenthe, Dyathesseron, et Tonus erunt in multiplici, uel superparticulari. Et hoc amplius, demonstrabitur, quod Dyapenthe, Dyathesseron, et Tonus sunt in superparticulari, et non multiplici. ponat aduersarius eas esse in genere multiplici, ut ponatur Dyapenthe in tripla, et Dyathesseron in dupla, sequitur ex secunda huius. si dupla subtrahitur a tripla, relinquitur sesquialtera, quare tonus ex [16] prima huius erit in proportione sesquialtera, et cum per eandem secundam huius sesquialtera duplatur, quod fit uia additionis, proueniet proportio maior Dupla, Quare duo toni Dyathesseron superabunt. Vel ponatur Dyapenthe in quadrupla, et Dyathesseron in tripla. Si tripla a quadrupla subtrahitur, residuum erit per secundam huius, sesquitertia. Tunc per eandem tripletur, addendo tres sesquitertias, et proueniet ex tribus sesquitertijs proportio minor tripla. Quare sequitur, quod tres Toni Dyathesseron non complebunt, cuius contrarium ostensum est, in prima huius: sequitur ergo impossibile ad vtranque eius partem. Quare concluditur Dyapenthe, Dyathesseron, et Tonum, non esse in genere multiplici ergo in genere superparticulari ex prima parte huius. [16v] Sit ex exempli gratia Dyapenthe in tripla, et Dyathesseron in dupla, stabunt ergo numeri. Sic 3/1 2/1, et subtrahatur dupla a tripla, et proueniunt in residuo 3/2 tria ad duo. Dehinc duplabo sesquialteram 3/2 per additionem, ducendo ternarium in se, proueniunt .9. et binarium in se, proueniunt .4. erit proportio .9. ad .4. dupla sesquiquarta. quae maior est dupla. Quare duo Toni plus facient, quam Dyathesseron quod est impossibile. Exemplum secundi. Sit Dyapenthe in quadrupla, et Diathesseron in tripla, stabunt numeri sic 3 1 4 1, subtraho triplam a quadrupla, remanebit sesquitertia, in qua erit Tonus, Dupla igitur sesquitertiam ut prius proueniunt .16. ad .9. et amplius addo vnam sesquitertiam, proueniunt .64. ad .27. Si ergo diuido .64. per .27. proueniunt [17] duo integra, scilicet dupla cum undecim uigesimis septimis, quae minor est proportione tripla, Quare tres Toni Dyathesseron non complebunt.

Propositio Nona.

Dyapason in Dupla proportione collocari. Haec propositio ostenditur. Nam demonstratum est in septima huius, quod Dyapason sit in genere multiplici, ut in octaua huius, quod Dyapenthe, et Dyathesseron in superparticulari, Cum autem ex prima huius Dyapason ex Dyapenthe, et Dyathesseron constituatur, necesse erit inuenire unam multiplicem, quae dumtaxat ex duobus superparticularibus constituatur, Quod [80] faciliter inquiritur. Nam minima multiplex, scilicet Dupla constituitur ex duobus maximis superparticularibus [17v], scilicet sesquialtera, et sesquitertia. Quoniam Dupla constituitur ex duabus proportionibus primi termini ad secundum, et secundi ad tertium, Vt in exemplo, quod in medietate Armonica deductum est, sit primus terminus .A.3. medius .B.4. et tertius .C.6. vbi de primo ad tertium dupla est, quae componitur ex duobus intermedijs, scilicet ex proportione. A. ad B. et B. ad C.. Nam .A. ad .B. est sesquitertia, ut in secunda huius probatur, uel sola diuisione et de .B. ad .C. sesquialtera, quod eciam ostenditur per secundam huius, uia additionis, nam si sesquialtera addatur sesquitertiae, proueniet Dupla.

[Heritius, Musica speculativa, 80; text: proportio Dupla, sesquitertia, sesquialtera, A.3, .B.4. .C.6.] [HERPSE 02GF]

[18] Ad impossibile uero sic arguitur. Sit Dyapason in tripla, erit per primam huius Dyapenthe in Dupla, si dupla a tripla subtrahitur, relinquitur sesquialtera, quare per probata in praemissa scilicet octaua huius deducitur, quod duo toni Dyathesseron superabunt, quod est impossibile, et simili modo altera pars praemissae deducitur, et sic omnes multiplices.

Propositio Decima.

Dyapenthe in sesquialtera, Dyathesseron in sesquitertia, et Tonum in sesquioctaua oportet collocari. Hec propositio patet tantum modo uia subtractionis, per secundam huius. Est enim demonstratum in praemissa, quod Dyapason in dupla proportione ponitur, et in octaua huius Dyapenthe, et Dyathesseron ponuntur in genere superparticulari [18v]. Similiter quoque in praemissa ostensum est quod maximae duae superparticulares, scilicet sesquialtera, et sesquitertia constituunt Duplam. Quare ex eisdem patet propositio proposita, scilicet Dyapenthe poni in sesquialtera, et Dyathesseron in sesquitertia, tertia uero pars propositionis, scilicet tonum in sesquioctaua poni patet sola subtractione. Nam ex prima huius, si quarta a quinta subtrahitur, remanebit secunda, hoc est si Dyathesseron a Dyapenthe, subtrahitur, relinquitur tonus in residuo. Quare si sesquitertiam a sesquialtera subtraxerimus, relinquitur sesquioctaua, quare concluditur tonum in sesquioctaua poni.

Propositio Vndecima.

Duplex Dyapason in quadrupla, ac duplex Dyapenthe in tripla collocabitur. [19] Corollarium hinc est. Quod omnis consonantia maior Dyapason ponitur in genere multiplici, minor uero Dyapason in superparticulari, et sic decrescendo usque ad quintum genus proportionum. Haec propositio patet ex praemissis. Nam duplex Dyapason constituitur ex dupla duplata quadruplam constituit, per secundam huius. Altera uera pars, scilicet duplex Dyapenthe in tripla ita ostenditur. Nam addatur Dyapenthe, quae est in sesquialtera ex decima huius, ad Dyapason, quae est in dupla ex Nona huius, proueniet tripla per secundam. Corollarium uero patet. Nam omnes consonantiae perfectae maior Dyapason, semper ascendit in numero duplo, uel triplo uel quadruplo, sicut in propositione ostensum est. Cum omnis dupla, aut [81] [19v] tripla sit in eadem proportione, in qua simpla, quoniam multiplicium, et submultiplicium est una proportio. Minores uero Dyapason patent. Quia in genere superparticulari, quarum ulteriores partitiones usque ad quintum genus condescendunt.

Propositio Duodecima.

Semitonium minus iuxta suam proportionem in minimis terminis reperire. Patet ex decima huius, quod Tonus in sesquioctaua proportione ponitur, et ex prima huius, Dyathesseron ex duobus tonis, et semitonio constituitur. Si ergo a Dyathesseron duo toni subtracti fuerunt, relinquitur semitonium minus, et huius proportio inquiritur. Ponantur duae sesquioctauae [20] in minimis terminis hoc modo, sit minor terminus. A.8. et secundus. B.9. qui sesquioctauam primam constituunt. Dehinc ducatur .A. in se, proueniet .C.64. Dehinc ducatur .A. in B. proueniet .D.72. Tertio ducatur .B. in se, proueniet .E.81. erit proportio. C. ad .D. et .D. ad E. sicut. A. ad. B. Quare duae continuae, sesquioctauae, accipiam deinde sesquitertiam ad .C. Sed quia tertiam partem non habet, augebo omnes tres numeros ternario, et sit ternarius .F. Ducam ergo .F. in C. proueniet .G.192. dehinc ducam .F. in .D. proueniet .H.216. Tertio duco .F. in .E. et proueniet. K.243. Dico quod erit proportio .G. ad .H. sicut. C. ad .D. et .H. ad .K. sicut .D. ad .E. Quare utrobique sesquioctauae, dehinc addo ad .G. eius tertiam partem, quae est [20v] .64. et prouenient .256. et sit L. erit proportio .G. ad .L. sesquitertia. Quare Dyathesseron ex decima huius, et si a tota iam composita ex tribus interuallis subtrahuntur duae sesquioctauae, quae est .G. ad .K. relinquitur proportio Diesis, uel semotonii minoris, quae est .K. ad .L. scilicet .256. ad .243. quod espropositum, et differentia horum numerorum est .13. numerus primus.

[Heritius, Musica speculativa, 81; text: Dyathesseron, Ditonus, Tonus, Diesis, .G.192, .H.216, .K.243, .L.256] [HERPSE 02GF]

[21] Propositio Tredecima.

Tonum in aequa diuidi non posse. Haec propositio patet ex sexta huius. Cum Tonus ex Decima huius sit in proportione sesquioctaua, quae sst una species superparticularis, quia nulla superparticularis in aequa diuidi potest. Potest etiam sic ad impossibile ostendi. accipiatur prima sesquioctaua, quae est inter .9. et .8. ubi nullus numerus integer mediat, quare quare augebimus vtrumque numerum per binarium, proueniunt .16. et 18. Sit ergo .16. A. et .18. B. erit numerus integer medius [82] scilicet .C.17. erit .A. ad .B. sesquioctaua. Dico .A. ad .C. et .C. ad .B. proportiones esse inaequales. Quia .A. et .B. sunt inaequales numeri, et comparantur ad .C. ad vnum numerum, erit proportio maior .B. ad .C. quia .A. ad .C. item .C. ad .A. erit proportio [21v] maior, quam .C. ad .B. probatur eciam, quod proportio .C. ad .A. sit maior, quam .B. ad .C. Si enim .C. diuiditur per .A. proueniet proportio sesquidecima sexta. Item si .B. diuiditur per .C. proueniet proportio sesquidecima sexta. Item si .B. diuiditur per .C. proueniet proportio sesquidecima septima. Sit ergo, ut ponit aduersarius, proportio sesquidecima sexta, quae est. C. ad .A. Toni medietas. Sequitur duas sesquidecimas sextas, sesquioctauam superare, in una ducentesima octogesima octaua, et haec inuestigatio faciliter habetur per secundam huius, scilicet addendo duas sesquidecimas septimas, proueniet minus .324. ad .289. Si rursus haec haec proportio a sesquioctaua subtrahitur, relinquitur, sesquiducentesima octogesima octaua. Item si duae sesquidecimae sextae [22] addantur, prouenient numeri .289. ad .256. quae proportio maior est sesquioctaua. Quia si sesquioctaua subtrahitur ab ea, relinquitur proportio sesquiducentesima octogesima octaua. Patet ergo, quod maximi termini ad medium est proportio minor, et medij ad minorem proportio maior, quare nunquam per aequalia diuiditur. Item hoc idem potest deduci per quintam huius, scilicet ex Gaeometrica medietate. Nam si .A. ducitur in .B. proueniunt, .288. cuius radix est surda, et in numero impossibilis. Nam radix medij numeri, scilicet .C. constituit quadratum, .289. Quare sequitur medium numerum non esse medio loco proportionalem. Patet ergo propositio in omnibus suis partibus.

[22v] Propositio Decimaquarta.

Apothomatis proportionem postremo elaborare. Corollarium. Vnde palam est cum proportio Diesis, et Apothomatis data sit, et Comatis differentia data erit. Demonstrata est nobis proportio Diesis in Duodecima huius, et in octaua proportio toni, quibus habitis faciliter proportio semitonij maioris inquiritur. Disponatur proportio Diesis [23] in minimis terminis, quae est .A. ad .B. scilicet .243. ad 256. dehinc accipiatur sesquioctaua .A. quae cum impossibilis sit, eo quod octauam partem non habeat, quare augebimus utrosque numeros .A. et .B. per C. scilicet .8. et proueniunt .D. et .E. scilicet .1944. et .2048. erit proportio .D. ad .E. sicut .A. ad .B. Dehinc ad .D. addatur .A. quae est eius octaua pars, et aggregatum sit .F.2187. erit proportio. D. ad .F. sesquioctaua, et composita ex duabus proportionibus. DA. DE. et .EA. DF. Dempta ergo proportione .D. ad .E. a totali proportione .D. ad .F. remanebit proportio .E. ad .F. quaesita, scilicet semotonij maioris. Corollarium patet per secundam huius uia subtractionis, et pariter per hanc Decimamquartam. Nam proportio. D. [23v] ad .E. est proportio Semitonij minoris, et .E. ad .F. Semitonij maioris. Detracta ergo proportione .D. ad .E. a proportione .E. ad .F. relinquitur differentia, qua semitonium maius superat semitonium minus, cum in aequa tonus diuidi non posset, per tredecimam huius. Erit ergo residua pars, scilicet proportio Comatis inter duos numeros scilicet .4251528. et .4194304. stabit ergo proportio in suis minimis terminis sesquinouem milia trecentae, et sex mille millesimae quadraginta millesimae, et octo mille quingentae septuagesimae sextae, quia tota proportio est composita scilicet .D. ad [83] .F. ex omnibus proportionibus, scilicet ex proportione Diesis, et ex proportione Apothomatis, et ex proportione differentiae, quae dicitur [24] Coma, quare patet propositum. Corollarium ex illa infertur. Quod Tonus constituitur ex duobus semitonijs minoribus et Comate, cum semitonium maius superat semitonium minus in Comate. Quare Dyathesseron constituitur ex tribus tonis minus Apothomate, et Dyapenthe ex quatuor minus Apothomate, vel Dyathesseron ex duobus Tonis, et Apothomate minus Comate, vel ex uno Tono, et tribus Diesibus cum Comate, Et Dyapenthe ex duobus Tonis, tribus Diesibus, et Comate, et haec omnia faciliter ex Corollario Propositionis habentur.

[Heritius, Musica speculativa, 83; text: Tonus, Diesis, Apothome, .D.1944, .E.2048, .F.2187] [HERPSE 03GF]

[24v] Libellus secundus, propositio Prima.

Latinarum clauium annotationem proponere. Constat enim totam musicam apud latinos esse fundatam in sex vocibus, quibus perfecte duplex Dyapason constituere non possumus, nisi quadam reiteratione uocum in certis locis, et hec loca sapienter ab antiquis latinis in certis clauibus, uel litteris latinis fundata sunt, secundum ueram permixtionem Tetrachordorum. Nam illud quod graeci suis graecis characteribus designabant, id etiam latini litteris latinis designant, et plus Tetrachorda extendunt, ut patebit in scala graeca. Latinam [25] namque ita formabimus, incipiendo a prima littera latina scilicet .A. ascendendo per septem litteras ordine Alphabethi, et dehinc eas duplando in locis ubi differentia uocum non habetur, ordine tamen contrario ad scalam graecam, quae a minimo numero crescit ad maximum, quare ab acuto ad graue descendunt. Nos uero a uoce graui ad leuem, uel acutam uocem ascendimus. Quia semper tanta est proportio grauitatis descendendo, quanta uocis leuis ascendendo, ut dupla descendendo, ad duplam ascendendo. Vt sit proportio .A. 2. ad .B. 4. erit ergo .B. numerus duplus grauior ad .A. [25v] numerum, et e conuerso quoque uox. A. in altum erit dupla ad uocem .B. quoniam Dyapason ex Nona primi huius, et hac ratione latini directe ordine conuerso a voce graui ad uocem leuem, uel acutam ascenderunt, et sicut graeci ad Tetrachorda reperta addiderunt neruium imum Proslambanomenos, ita eciam latini in grauioribus clauibus addiderunt unam, scilicet. [Gamma] ut, et ita compleuerunt scalam, sub illa forma, quae sequitur.

[26] Propositio Secunda.

Tetrachordorum genera enumerare. Tetrachordum enim dicitur, quasi quatuor chordarum coniunctio, et hoc in prima primi huius, Dyathesseron dicitur, et diuiduntur Tetrachorda in tria genera, scilicet Diatonicum, Chromaticum, et Enarmonicum. De duobus, scilicet Chromatico, et Enarmonico uidebitur in sequentibus, cum de ipsa (!) nulla Demonstratio Mathematica apud Latinos reperta sit. Dyatonicum uero genus, quod in primo libro multis probationibus deductum est, in omnibus suis partibus probatas demonstrationes assumpsit, in quo eciam genere omnis cantus Ecclesiasticus compositus est. Quare in eo genere omnia quinque Tetrachorda [26v] secundum uerum ordinem describemus. [84] Quae sint, si a graui nota ad supremam ascendere uolumus, Hypaton, hoc est principale Tetrachordum, quod omnium est grauissimum. Secundum est meson, id est tetrachordum medium, Tertium et Quartum indifferenter secundum sequuntur. Nam ut in sequentibus patebit. In omnibus tonis, preter (!), quinto, et sexto, Diezeugmenon, sequitur meson per tetrachorda disiuncta. In alijs uero duobus Tonis, quinto, et sexto, post meson sequitur sinemenon, per Tetrachorda coniuncta, Vt et clare in continuationibus uidebitur secundum duas scalas. Est enim sinemenon tetrachordum, quasi coniunctum, cum Synaphe tantum ualeat, quantum [27] coniunctio. Diezeugmenon uero Tetrachordum, disiunctum, nam diezeusis (!) disiunctio est, et haec duo tetrachorda acuta dicuntur. Vltimum tetrachordum est Hyperboleon, et hoc est excellens, concludens quadrupla in ordine ad primam, et omnibus istis quinque Tetrachordis, quatuor nerui pro uno assumuntur. Ergo si duo Tetrachorda coniuncta fuerint, constituent septem neruos, et ab hypate hypaton ad hypate meson est primum Tetrachordum, et ab hypate meson ad mese, secundum Tetrachordum, erunt ergo ab hypate hypaton ad mese septem nerui, hoc est de .[sqb] mi ad e lami, prima, ita ab E la mi ad A la mi re secunda. Sunt ergo de [sqb] mi ad a la mi re septem claues, id est duo tetrachorda coniuncta. [27v] Quia E la mi est Finis primi, et initium secundi. Disiuncta uero Tetrachorda octo neruos suscipiunt, ut a proslambanomenos ad Lichanos hypaton est primum Tetrachordum, et ab hypate meson ad mese, secundum Tetrachordum, erit ergo a proslambanomenos ad mese octo nerui, et hec omnia patebunt in propositionibus sequentibus.

[Heritius, Musica speculativa, 84; text: [zu 25v], ut, re, mi, fa, sol, la, [Gamma], A, B, C, D, E, F, G, a, [rob], c, d, e, f, g, aa, [sqb][rob], cc, dd] [HERPSE 03GF]

[85] Propositio Tertia.

Latinarum clauium ad graecas claues debita coordinatio. Patet ex prima huius origo omnium Tonorum secundum duplices scalas omnem cantum Dyatonici generis complectitur, hoc et in graecis litteris demonstrabimus, qui suas claues simplici, ac duplici littera transponendo, uel non transponendo [28] adduxere. Est et ordo scalae grecae (!) talis. Prima chorda grauissima est proslambanomenos, quae acquisita dicitur, propter complectionem Dyapason, et Dyapenthe, et continet Tau iacens, et Zita imperfectum. Hypate hypaton principalis principalium et scribitur duplici Gamma, uera et conuersa. Tertia parhypathe hypathon iuxta principalem, uel sub principali in ordine ad mediam, et continet Gamma iacens, et Beta imperfectum. Quarta dicitur Lichanos hypaton, digitalis, tertio digito, uel tritahypathon, et continet phi, et Digamma. Quinta hypathe meson, hoc est principalis mediorum, et continet Sigma duplex. Sexta est parhypate, id est iuxta hypathe meson, et continet .Ro. et Sigma supinum. [28v] septima Lichanos meson, quae et Trite meson appellatur, et hec continet .Mi et Ni. et est tertia ab hypate meson. octaua est mese, quae est omnium media. Dehinc in Tetrachordis disiunctis. Sequitur Tetrachordum Diezeugmenon, hoc est disiunctum a mese. Nona chorda paramese, quae est iuxta mese locata, et habet zita, et Pi. iacens. Decima chorda Trite diezeugmenon, que et Lichanos dicitur, quasi tertia disiunctarum, et habet Ipsilon acutum, et .pi. sublime. Vndecima paranete Diezeugmenon, quae est subprincipalis disiunctarum et continet Ipsilon acutum, et Zita sublime. Duodecima Nete diezeugmenon, quae est principalis disiunctarum, uel extenta in disiunctis, et continet. phi. iacens. et Ni. Tredecima [29] Trite hyperboleon, que est tertia excellentium, et continet. Gamma sublime, et Alpha medium. Quartadecima paranete hyperboleon, quae continet Mi. et. Pi. Quintadecima, et vltima Nete hyperboleon, que est ultima excellentium, uel extentarum, et continet Lambda et Jota cum titello. Et hec scala est ad primum ascensum in latina scala, quae est ad omnes Tonos, preter quintum, et sextum, et in ea scala quatuor Tetrachorda sic ordinantur, ut hypathon ad meson sint coniuncta, in ea quae est hypate meson, et meson, et Diezeugmenon disiuncta in mese, et paramese. Diezeugmenon ueroque hyperboleon coniuncta in ea quae est Nete diezeugmenon. Secunda scala differt a prima uno tantum Tetrachordo, quod est Synemenon, scilicet ut mese sequitur, Tritesinemenon, quae [29v] est tertia coniunctarum, et continet Lamda (!) sublime, Thita. Post hanc sequitur Paranete sinemenon, quae continet Gamma, et Ni. Vltima est Nete sinemenon et continet Omega et Zita. Postquam sequitur Nete Diezeugmenon, aliae omnes chordae inuariatae manebunt, et in hoc hyperboleon, et Sinemenon sunt disiuncta. Sinemenon uero, et mese coniuncta, mese et hypathon coniuncta, quae correspondet secundae scalae, Latinorum, ut in sequenti figura ostenditur.

[86] [30] [Heritius, Musica speculativa, 86,1; text: la, sol, fa, mi, re, 1152, 1296, 1458, 1536, 1728, 1944, 2048, 2304, 2592, 2916, 3072, 3456, 3888, 4096, 4608, Nete hyperboleon, Paranete hyperboleon, Trite hyperboleon, Nete diezeugmenon, Paranete diezeugmenon, Trite diezeugmenon, Paramese, Mese, Lichanos meson, parhypate meson, hypate meson, Lichanos hypaton, Parhipate (!) hypaton, hypate hypathon, proslambanomenos, a, gg, ff, ee, d, c, [rob], a, g, f, e, d, [sqb], A, 2187, Nete sinemenon, paranete sinemenon, Trite sinemenon, [omega], [zeta], [gamma], [nu], [lambda], [theta]] [HERPSE 04GF]

[30v] Propositio Quarta.

Genera cantilenarum breuiter distinguere. Est enim tota speculatiua musica in Tetrachordis fundata, omnia quoque Tetrachorda in proportione sesquitertia locantur, ex Decima primi huius. Quare omnis distinctio cantilenarum erit in diuisione Tetrachordorum. In omni enim actiuitate actio procedit ad proportionem maioris inaequalitatis, ideo omnis melodia in unoquoque Tetrachordo suam eminentiam suscipit a duobus interuallis. Quia omne Tetrachordum ex tribus interuallis constituitur, et quatuor neruis, erunt ergo omnia Tetrachorda ad maiorem inaequalitatem, Vel ex duobus Tonis, uel ex tribus semitonijs, et semitonio, vel ex Ditono, et semitonio, Quia omne Tetrachordum, ut [31] patet per Primam primi huius, constituitur ex quinque semitonijs inaequalibus, scilicet tribus minoribus, et duobus maioribus. Si ergo hec tria interualla diuiserimus, erit primum interuallum Tonus, et secundum Tonus, tertium Semitonium, et sic erit primum genus cantilenarum, quod Diatonicum dicitur, scilicet ex duobus Tonis constitutum. Vel ergo ex tribus semitonijs inaequalibus, et semitonio duo interualla erit ex necessitate tertium interuallum semitonium, et illud est secundum genus,

[Heritius, Musica speculativa, 86,2; text: D, C, B, A, Diatonicum, Ditonus, Tonus, Semitonium, Diesis, Enarmonicum, Chromaticum] [HERPSE 04GF]

[87] quod Chromaticum dicitur, scilicet genus declinans ab asperitate. Vel ergo primum interuallum erit ex Ditono et semitonio, de semitonio Diatonici generis non medietas, sed in ea proportione minor pars ad maiorem, in [31v] qua Diesis ad Apothome. Quare illa duo genera, quae nondum apud Latinos demonstratiue descripta sunt, et nostrae religioni contraria, hic in proposito abijeciemus, et tantum de genere Diatonico secundum omnes Tonos Latinos ueras proportiones continuabimus.

Propositio Quinta.

Minimas proportiones in genere Diatonico extrahere. Constat enim ex Nona primi huius Dyapason in dupla proportione esse, et ex Decima eiusdem Dyapenthe in sesquialtera, Dyathesseron in sesquitertia, [32] et Tonum in sesquioctaua. Et similiter ex vndecima eiusdem duplex Dyapason in quadrupla, et duplex diapenthe in tripla, ex quibus etiam faciliter elicitur, quod duplex Dyathesseron in dupla superbipartienti collocatur, quare patet propositio, scilicet proportiones omnium consonantiarum in genere Dyatonico, quod est propositum.

Propositio Sexta.

Omnia Tetrachorda in genere Dyatonico artificialiter suis proportionibus continuare. Patet enim ex Decima primi huius Tonum in sesquioctaua proportione constitui, que proportio in minimis suis terminis est inter .8. et. 9. continuentur ergo tres numeri minimi in sesquioctaua proportione, iuxta doctrinam [32v] Duodecime primi huius, et erunt minimi .A.B.8. et .9. et tres minimi C.D.E. erit .C. ad .E. Ditonus, dehinc accipiatur sesquitertia ad .C. quae cum tertiam partem non habeat, augebimus omnes tres numeros .C.D.E. per ternarium .F. et proueniunt .G.H.K. scilicet .192.216.243. in eadem proportione, in qua sunt .C. et .E. tunc addatur .C. ad .G. quae est eius tertia pars, et proueniet .L. scilicet 256. erunt .G. et .L. Dyathesseron, et primum Tetrachordum hyperboleon, a Netehyperboleon ad nete diezeugmenon. Dehinc ab eodem numero Netediezeugmenon, scilicet .256. continuetur sesquitertia, que cum tertiam partem non habeat, iterum augentur omnes numeri .G.H.K.L. ternario, qui sit in .M. et proueniunt .N.O.P.Qu. [33] scilicet 576. 648 .729. et 768. Qui erunt in eadem proportione, in qua .G.H.K.L. tunc ad .Qu. addatur eius tertia pars, quae est .L. et proueniet .R, .scilicet. 1024. Dico quod Q. et .N. continent secundum Tetrachordum, scilicet Diezeugmenon, a Netediezeugmenon ad paramese, Et dehinc Tetrachordum Mesen. et hypaton simili uia continentur, scilicet semper addatur octaua pars ad minorem numerum, scilicet primum in aliquo Tetrachordo, et proueniet secunda chorda, et ad secundam octaua eius pars, proueniet tertia, ad tertiam uero octaua pars non additur, cum sit semitonium minus, ergo addatur ad primam eius tertia pars, et proueniet quarta, et sic facilis erit continuatio per quatuor Tetrachorda, scilicet Hyperboleon, Diezeugmenon [33v], meson, et hypathon, et non erit opus amplius augere numerum. In Tetrachordo uero Sinemenon hic numerus non stat, Ouoniam Tritehyperboleon ad Tritesinemenon sesquialteram constituit, sed Tritehyperboleon scilicet .729. alteram partem non habet, ergo augebimus totam scalam in primis quatuor Tetrachordis habitam, uel augebimus tantum primum, scilicet Nete hyperboleon binario,

[88] [34] [Heritius, Musica speculativa, 88; text: Tetrachordum hyperboleon, Dyathesseron, Sesquitertia proportio, Tonus, Semitonium minus, .G.192. .H.216. K.243. L.256. Tetrachordum Diezeugmenon, .N.576, .O.648. .P.729. .Qu.768, 768, 1024, Sinemenon, R.1152. .S.1296. .T.1458. .X.1536.] [HERPSE 05GF]

[89] et proueniunt, .1152. et ad hunc numerum continuabimus quatuor Tetrachorda, scilicet hyperboleon, Sinemenon, Mese et hypathon, et similia alia quatuor, scilicet hyperboleon, Diezeugmenon, Meson, et hypathon, et non erit opus in aliquo numero amplius augere, hoc et compendiose in subscripta figura anneximus.

[34v] Tertius Libellus.

Tertius Libellus est de proiectione Consonantiarum in planum, et omnium modorum, et hic Libellus duabus dumtaxat propositionibus continetur. Primaque docet proijcere omnia Tetrachorda Dyatonici generis ad planum, scilicet ad lineas. Secunda compendiosiorem modum ex tabulis ostendit.

[Heritius, Musica speculativa, 89; text: 1, 2, 3, 4, 8, 9, Dyapason, Dyapenthe, Sesquitertia, Sesquialtera, Dupla, Sesquioctaua, Dyathesseron, Tonus, A, B, C, D, E, .C. .A. .D. .B.] [HERPSE 06GF]

Propositio Prima.

Diatonici generis singula Tetrachorda in plano figurare. Ista demonstratio accipiatur in lineis. Nam si fuerit linea .AB. diuisa per duo aequalia in puncto .C. erit proportio totius .AB. ad .CB. duplicata, ergo si fuerit .AB. proslambanomenos, erit .CB. mese. ex demonstratis in prima secundi huius. Si uero .AB. in tres [35] aequales diuidatur in punctis. C. et .D. erit proportio composita. A. ad. B. ex tribus, scilicet sesquialtera, quae est totius ad maiorem partem, et totius ad minorem, scilicet. AB. ad DB. et maioris ad minorem, scilicet, CB. ad. DB. scilicet Dyapenthe dupla, et dupla Dyapenthe. Si uero. AB. diuiditur in quatuor partes aequales, in punctis aequalibus. C.D.E, componitur etiam tota. AB. omnibus intermedijs. Si uero toto. AB. diuiditur in nouem partes aequales, componitur iterum tota. AB. ex omnibus intermedijs. Si ergo ad totam. AB. comparatur maior partium numerus, scilicet octonarius, ut. C.B. erit .AB. ad .CB. sesquioctava, scilicet Tonus.

[35v] Istis ergo propositis primo accipiamus lineam, quae sit .Y.H. et si diuiditur tota inea .Y.H. in .9. partes, erit finis primae partis post .Y. ad .H. ad totam lineam sesquioctaua, ergo .A. re secunda, [Gamma] ut prima. Rursus diuidatur tota linea .A.H. in nouem partes, et abscissa una octaua, [90] scilicet .A.[sqb]. quadratum, erit .AH. ad .[sqb]H. Tonus sesquioctaua. Quibus habitis diuitadur tota .YH. in tres partes aequales, secunda. De sol re. scilicet .3. ad .2. que facit Dyapenthe, et tertia D la sol re eius octaua, scilicet .2. ad .1. Si ulterius diuidimus .AH. in tres partes aequales, sed cum .AH. sit .A. re erit secunda pars .E. la mi eius quinta, et tertia .Ee. la mi eius octaua. Si ergo alia diuisione tota linea .YH. diuiditur in quatuor partes aequales, erit secunda .C. fa ut quia quatuor ad tria, et tertia .G. sol re ut, quia tria ad duo, et quarta g sol re ut, eius octaua, quia duo ad unum. [36] Item si .AH. diuiditur in quatuor partes equales, erit secunda .D sol re, Dyathesseron scilicet: 4. ad .3. et tertia .A. lamire, quia .3. ad .2. vltima aa la mi re. Et hoc modo possunt continuari omnes modi, quia per primam partem scilicet diuisionem nonarij omnes Toni continuantur per secundam scilicet ternariam, quintae, et octauae, et per tertiam quartae. Quintae, et octauae, ex quibus faciliter patet differentia Ditoni ad Diathesseron, scilicet a [Gamma] ut ad [sqb] mi, et a [Gamma] ut ad .C. fa ut, quae facit semitonium minus.

[Heritius, Musica speculativa, 90; text: Tonus, Dyapenthe, Dsolre, Dlasolre, Dyathesseron, Dyapason, 1, 2, 3, 4, 8, 9, Y, A, [sqb], H, .c faut. G solreut, .gg solreut] [HERPSE 06GF]

[36v] Propositio Secunda.

Dyatonici generis tabellam huic negotio aptam conscribere. Haec tabula continet duas partes, superiorem et inferiorem. Superior est ad diuisionem ternariam, et inferior ad quaternariam, Et area tabulae continet latinas claues cadentes in omni sectione cum extremis in inferiori, et superiori partibus, denominationibus annexas, ita quod semper prima est vnitas, secunda in superiori est quinta, in inferiori quarta. Tertia in superiori octaua, et in inferiori quinta. Quarta est tantum in inferiori, scilicet octaua, et si voluerimus continuare secundum hanc tabulam, Diuidamus totam lineam. .YH. in nouem partes, et extrahemus [91] per primam partem primae tertij huius Tonum, scilicet .A. re et similiter Tonum. [sqb] mi. per eandem, Dehinc sola tabula continuabimus omnes alios diuidendo quodcunque spatium uoluerimus, [37] per .3. et intrabimus superiorem partem tabulae. cum littera, quae diuiditur, et area ostendet nobis claues diuisionis, vt in exemplo .YH. per .3. aequalia, et intrabo superiorem tabulam ad .Y. litteram, reperio in primo loco, .Y. litteram, in secundo .D. sol re, in tertio .D. la sol re. Item si diuido .AH. in tria aequalia, intrabo tabulam superiorem ad .A. et reperio, in secundo loco .E. la mi in tertio ee la mi, et sic simili modo potest continuari tota scala in genere Diatonico. (Exempel fehlt.) [37v] Exemplum pro tabulis sit .C.H. et diuido in tres partes aequales, tunc intrabo tabuam superiorem ad litteram .C. et inuenio in area tabulae .H. in secundo loco .D. sol re, et in tertio .G. sol re ut, Aliud. Diuido .AH. in quatuor partes aequales, tunc intrabo tabulam inferiorem ad litteram .H. et inuenio in secundo loco .D. sol re, in tertio a la mi re, in quarto aa la mi re. Et sic in omnibus tabulis simili modo queritur.

Tabulatura instrumentalis.

In omni tabulatura instrumentali ponuntur litterae simplices secundum schalam Solmisationis Latinorum, ut. [Gamma].G. uel .G. cum punctis ante, Dehinc .A. grossum, uel .a. paruum cum puncto ante. Dehinc simplices .c.d.e.f.g.b.a. et dehinc c cum titello .d.e.h.g.b. usque ad .cc. Dehinc .dd. et .ee. Tamen in b fa [sqb] mi si mi canitur, ponitur h et h, scala ponitur in area tabulae. Sequitur Tabulatura.

[38] [Heritius, Musica speculativa, 91; text: Tabulatura instrumentalis, ee, dd#, dd, cc#, cc, h, a, g#, g, f#, f, e, d#, d, c#, c, [sqb], A, G, [rob]] [HERPSE 07GF]

.Finis.