Back to top

[156] <TRACTATUS MUSICE SPECULATIVE QUEM PROSDOCIMUS DE BELDEMANDO PADUANUS CONTRA MARCHETUM DE PADUA COMPILAVIT>

<Prefatio>

<1.> Dum quidam michi carus ac uti frater intimus Lucas, nomine, de castro Lendenarie, policinii rodigiensis oriundus sacerdosque honorandus, et ego fraternalem caritatem a puerili etate insimul duxissemus, et multa variaque volumina musicalia transcurrissemus, unum invenimus valde erroneum atque veritati dissonum, Lucidarium nominatum, quem quidam Marchetus, nomine, michi concivis paduanus, compilaverat. Et, ut rei veritas bene detegatur et falsitas cognoscatur, libellus iste Ars pratice cantus plani ab auctoremet intitulatur, cuius tamen anteriora quedam musice theoricalia sive [158] speculativa false pertractant; sed in posterum ad simplicem praticam cantus plani se convertens, vere et solempniter scripsit atque egregie, adeo quod hucusque de his que in hac materia legerim nichil solempnius viderim. Fuit enim vir iste in scientia musice simplex praticus sed a theorica sive speculativa omnino vacuus, quam tamen perfectissime intelligere deceptus se putavit, et ideo agredi presumpsit que totaliter ignoravit. Concernens igitur michi frater supradictus errores huius Marcheti per totam Ytaliam, et adhuc extra, fore divulgatos, et verissimos a cantoribus, non tamen musicis, reputatos, me rogavit ut sui amore contra hos errores opusculum componerem ut mala atque falsa et in musica erronea que per unum patavum producta et seminata fuerant, per alium patavum removerentur, et inde Ytalia a talibus erroribus purgeretur. Et ego his rogationibus disentire non valens eis aquievi. Sed quoniam, ut supra habitum est, tales errores solum circa partem theoricalem sive speculativam huius artis versantur, ideo in hoc meo tractatulo solum theoricalia sive speculativa agrediar musicalia, et etiam quia alias circa partem quamlibet musice praticam opera compilavi; nec intendo in hoc meo tractatulo omnia tangere que ab aliis in hac materia speculativa tacta sunt, sed solum aliqua tangam que ad declarationem errorum supradicti Marcheti neccessaria michi videbuntur, cum hoc tamen modum addendo quo quilibet doctus in proportionibus et pratica arismetrice possit cuiuslibet sonorum combinationis proportionem invenire atque cognoscere.

[160] <1>

<1.> Musica ergo de qua hic est sermo est de sono ad sonum relato; et quia talis relatio haberi non potest absque noticia proportionum et numerorum, ideo qui hanc cupit scientiam hec prius requirat neccessaria que tamen hic dilatare propter operis brevitatem dimisi, et etiam quia circa has duas materias proprios tractatulos, unum scilicet de proportionibus et alium de pratica arismetrice, sive de pratica numerorum, compilavi. Sed quoniam ad ea que infra tractanda sunt neccessaria est noticia quorundam terminorum in pratica musice usitatorum, ideo prius premittattur talium terminorum declaratio. Et ergo dato quod multe sint sonorum combinationes in manu musicali reperte, hic tamen solum 16 enumerabo principaliores, que tales sunt, scilicet unisonus, tonus, semitonium, diptonus, semidiptonus, tritonus, semitritonus, dyateseron cum tono, dyateseron cum semitonio, dyapente cum tono, dyapente cum semitonio, dyapente cum diptono, dyapente cum semidiptono, dyapente cum tritono, dyapente cum dyateseron, et bisdyateseron cum semitonio. Sonorum enim combinatio est quorumcumque duorum sonorum insimul comparatorum adinvicem acceptio; et dixi sonorum et non vocum quoniam generalior est sonus quam vox.

<2.> Unisonus est duorum sonorum equalium acceptio; et dicitur unisonus quasi unus sonus, quoniam tales duo soni, ex quo sunt equales, videntur esse unus sonus et non duo, propter sui equalitatem.

<3.> Tonus est duorum sonorum inequalium in duabus diversis et immediatis manus musicalis partibus existentium plene, perfecte, et complete tonantium acceptio; et dicitur tonus a tonando quoniam, ut habitum est, tales duo soni immediati videntur perfecte, plene, et complete tonare, eo quod unus ipsorum alterius respectu perfecte, plene, et complete ascendit vel [162] descendit in comparatione ad alios duos sonos immediatos quandam sonorum combinationem semitonium nominatam producentes, de quo semitonio statim erit sermo. Et huiusmodi tonus alio nomine secunda maior nominatur; et dicitur secunda quoniam unus horum duorum sonorum huiusmodi tonum producentium in secundo loco manus musicalis respectu alterius soni colocatur, ut est a primo G ad primum A; sed quare maior appeletur hic non declaro, sed inferius immediate post declarationem omnium 16 combinationum sonorum superius nominatarum sub brevitate declarabitur quare unaqueque combinatio sonorum maior, minor, vel etiam media nominetur, et hoc feci ut opus brevius redderetur.

<4.> Semitonium est duorum sonorum inequalium in duabus diversis immediatis manus musicalis partibus existentium non plene sed imperfecte et incomplete tonantium acceptio; et dicitur semitonium non a semi grece quod est medium latine, sic quod semitonium dicatur quia medietas toni, quoniam tonus musicus per medium dividi non potest, ut infra patebit; sed dicitur semitonium a semi quod est imperfectum sive semum sive incompletum, ita quod semitonium tantum sonat quantum imperfectus sive semus sive incompletus tonus, et hoc respectu toni musici de quo paulo ante habitus est sermo. Et vocatur etiam huiusmodi semitonium alio nomine secunda minor; et nominatur secunda propter causam de tono immediate antedictam, ut est a primo B ad primum C; sed quare minor appeletur suo loco predicto declarabitur.

<5.> Diptonus est duorum sonorum inequalium in duabus diversis et mediatis manus musicalis partibus existentium tonosque duos amplectantium acceptio; et dicitur diptonus quasi duorum tonorum, quoniam talis diptonus in se duos continet tonos. Et alio nomine tercia maior nuncupatur; tercia enim dicitur eo quod unus duorum sonorum talem diptonum producentium in tercio loco manus musicalis ab altero reperitur, ut est a primo G ad primum B; sed quare dicatur maior suo loco patebit.

<6.> Semidiptonus est duorum sonorum inequalium in duabus diversis et mediatis manus musicalis partibus existentium tonum et semitoniumque amplectantium acceptio; et dicitur semidiptonus quasi semus sive imperfectus sive incompletus diptonus, quoniam ubi diptonus duos continet tonos, ut habitum est, semidiptonus non continet nisi tonum cum semitonio, et sic [164] semus, imperfectus, et incompletus est. Et alio nomine tercia minor appelatur; tercia enim dicitur propter causam de diptono immediate antedictam; sed quare minor dicatur suo loco patebit, et huius exemplum est a primo A ad primum C.

<7.> Tritonus est duorum sonorum inequalium in duabus diversis et mediatis manus musicalis partibus existentium tresque tonos amplectantium acceptio; et dicitur tritonus quasi trium tonorum, quoniam talis tritonus in se tres continet tonos. Et alio nomine quarta maior nominatur; quarta enim dicitur quoniam unus duorum sonorum talem tritonum producentium in quarto loco manus musicalis ab altero reperitur, ut est ab ut primi F ad mi secundi B; sed quare maior dicatur suo loco patebit.

<8.> Semitritonus est duorum sonorum inequalium in duabus diversis et mediatis manus musicalis partibus existentium tonos duos et semitoniumque amplectantium acceptio; et dicitur semitritonus quasi semus sive imperfectus sive incompletus tritonus, quoniam ubi tritonus tres continet tonos, ut supra habitum est, semitritonus solum duos continet cum uno semitonio, et sic semus, imperfectus, et incomplectus est. Et vocatur etiam alio nomine quarta minor; quarta enim dicitur propter causam de tritono paulo ante dictam; sed quare minor dicatur suo loco patebit; et exemplum huius est a primo G ad primum C.

Antiqui tamen hanc sonorum combinationem dyateseron appelarunt, et inter consonantes combinationes collocarunt; unde dyateseron dicitur a dya, quod est de latine, et teseron, quatuor, sic quod tantum sonat dyateseron quantum de quatuor, quoniam ex quatuor sonis talis combinatio contexitur, sive quia unus sonorum talem combinationem constituentium in quarto loco manus musicalis ab altero reperitur; et licet tritonus, de quo paulo ante fuit sermo, etiam dyateseron propter causam dictam appelari possit, antiqui tamen propter sui dissonantiam ipsum dimittentes solum semitritonum acceperunt, et ipsum hoc nomine dyateseron nominaverunt, quapropter antiquos nostros in sequendo quandocunque in sequentibus fiet mentio de dyateseron intelligendum est de semitritono et non de tritono.

[166] Multo enim magis dissonat tritonus quam semitritonus, ymo semitritonus quodammodo medium tenet inter veram consonantiam et veram dissonantiam in tantum quod multotiens in musica non multum experti nec multum pratici in cantando semitritonum aure iudicant esse quintam maiorem, que consonans est, et de qua statim post sermo fiet; et ideo ni mirum si antiqui ipsum semitritonum pro consonante acceptarunt.

<9.> Dyateseron cum tono est duorum sonorum inequalium in duabus diversis et mediatis manus musicalis partibus existentium tres tonos et unum semitoniumque amplectantium acceptio; et dicitur dyateseron cum tono quoniam talis combinatio ex dyateseron et tono contexitur. Et vocatur etiam alio nomine quinta maior: dicitur enim quinta eo quod unus sonorum talem combinationem producentium in quinto loco manus musicalis ab altero reperitur, ut est a primo G ad primum D; sed quare maior nuncupatur inferius suo loco declaribitur.

Et apud antiquos etiam hoc nomine dyapente nominabatur; unde dyapente dicitur a dya, quod est de, et pente, quinque, sic quod tantum sonat dyapente quantum de quinque, eo quod talis combinatio ex quinque sonis contexitur, sive quia unus sonorum talem combinationem constituentium in quinto loco manus musicalis ab altero reperitur.

<10.> Dyateseron cum semitonio est duorum sonorum inequalium in duabus diversis et mediatis manus musicalis partibus existentium duos tonos et duo semitoniaque amplectantium acceptio: et dicitur dyateseron cum semitonio quoniam talis combinatio ex dyateseron et semitonio contexitur. Et alio nomine quinta minor appelatur; dicitur enim quinta propter causam paulo ante de dyateseron cum tono dictam; sed quare minor dicatur inferius suo loco patebit; et exemplum huius est a primo B ad primum F.

Et potest etiam appelari dyapente, uti dyateseron cum tono, propter causam de dyateseron cum tono dictam. Sed propter sui dissonantiam de ipsa ab antiquis auctoribus nulla mentio facta est, sed solum dyateseron cum tono dyapente appelarunt, et ergo intentionem antiquorum in sequendo [168] quandocunque fiet mentio de dyapente intelligendum est de dyateseron cum tono et non de dyateseron cum semitonio.

<11.> Dyapente cum tono est duorum sonorum inequalium in duabus diversis et mediatis manus musicalis partibus existentium quatuor tonos et unum semitoniumque amplectantium acceptio; et dicitur dyapente cum tono quoniam talis combinatio ex dyapente et tono componitur. Et alio nomine sexta maior appelatur; dicitur enim sexta eo quod unus duorum sonorum talem combinationem producentium in sexto loco manus musicalis ab altero reperitur, ut est a primo G ad primum E; sed quare maior dicatur suo loco patebit.

<12.> Dyapente cum semitonio est duorum sonorum inequalium in duabus diversis et mediatis manus musicalis partibus existentium tres tonos et duo semitoniaque amplectantium acceptio; et dicitur dyapente cum semitonio quoniam talis combinatio ex dyapente et semitonio componitur. Et alio nomine sexta minor nuncupatur; dicitur enim sexta propter causam de dyapente cum tono dictam; sed quare dicatur minor inferius suo loco declarabitur; et exemplum huius est a primo B ad secundum G.

<13.> Dyapente cum diptono est duorum sonorum inequalium in duabus diversis et mediatis manus musicalis partibus existentium quinque tonos et unum semitoniumque amplectantium acceptio; et dicitur dyapente cum diptono quoniam talis combinatio ex dyapente et diptono componitur. Et alio nomine septima maior nominatur; dicitur enim septima quoniam unus duorum sonorum talem combinationem producentium in septimo loco manus musicalis ab altero reperitur, ut est a primo C ad mi secundi B; sed quare maior nominetur suo loco patebit.

<14.> Dyapente cum semidiptono est duorum sonorum inequalium in duabus diversis et mediatis manus musicalis partibus existentium quatuor tonos et duo semitoniaque amplectantium acceptio; et dicitur dyapente cum semidiptono quoniam talis combinatio ex dyapente et semidiptono componitur. Et alio nomine septima minor nominatur; septima enim dicitur propter causam de dyapente cum diptono paulo ante dictam; sed quare minor dicatur suo loco patebit; et exemplum huius est a primo B ad secundum A.

<15.> Dyapente cum tritono est duorum sonorum inequalium in duabus diversis et mediatis manus musicalis partibus existentium sex tonos et unum semitoniumque amplectantium acceptio; et dicitur dyapente cum tritono quoniam talis combinatio ex dyapente et tritono componitur. Et denominatur [170] etiam octava maior; octava enim nominatur quoniam unus duorum sonorum talem combinationem producentium in octavo loco manus musicalis ab altero reperitur, ut est a fa secundi B ad mi tercii B; sed quare maior dicatur suo loco patebit.

<16.> Dyapente cum dyateseron est duorum sonorum inequalium in duabus diversis et mediatis manus musicalis partibus existentium quinque tonos et duo semitoniaque amplectantium acceptio; et dicitur dyapente cum dyateseron quoniam talis combinatio ex dyapente et dyateseron componitur. Et appelatur etiam octava media; octava enim dicitur propter causam de dyapente cum tritono paulo ante dictam; sed quare dicatur media suo loco patebit; et exemplum huius est a primo G ad secundum G.

Et ab antiquis hec combinatio appelabatur dyapason, unde dyapason dicitur a dya, quod est de, et pason, totum, ita quod dyapason tantum sonat quantum de toto; et merito hec combinatio vocatur de toto, quoniam in se continet omnes sonorum combinationes quarum proportiones primitus invente fuerunt, que combinationes sunt hee quatuor, scilicet tonus, dyateseron, dyapente, et ipsamet dyapason.

<17.> Bisdyateseron cum semitonio est duorum sonorum inequalium in duabus diversis et mediatis manus musicalis partibus existentium quatuor tonos et tria semitoniaque amplectantium acceptio; et dicitur bisdyateseron cum semitonio quoniam talis combinatio ex duabus dyateseron et uno semitonio contexitur. Et alio nomine vocatur octava minor; octava enim dicitur propter causam de dyapente cum tritono dictam; sed quare minor dicatur statim post patebit; et exemplum huius est a primo B ad fa secundi B.

Et licet antiqui solum octavam mediam vocaverint hoc nomine dyapason, tamen octava maior potest etiam dyapason denominari, quoniam octava maior ita in se continet omnes sonorum combinationes quarum proportiones primitus invente fuerunt, sicut octava media ymo, et octava minor etiam [172] omnes dictas combinationes continet una excepta, scilicet octava media, quare etiam a maiori parte denominando posset etiam ipsa dyapason denominari. Sed antiqui octavam maiorem et minorem propter earum dissonantias dimittentes solum octavam mediam dyapason nominarunt, quare ipsos antiquos in sequendo ubicunque de dyapason aliqua fiet mentio semper intelligendum est de octava media et non de maiori neque de minori.

<18.> Et quia in declaratione supradictarum sexdecim sonorum combinationum multotiens facta est mentio de maioritate et minoritate earum, est sciendum quod illa combinatio maior denominatur cuius soni ipsam constituentes magis a se invicem distant respectu alterius eiusdem nominis, et illa vocatur minor cuius soni ipsam constituentes minus a se invicem distant respectu alterius eiusdem nominis; ut verbi gratia quia duo soni constituentes tonum magis a se invicem distant quam duo soni constituentes semitonium, et tam tonus quam semitonium secunda denominatur, ut habitum est supra, ideo tonus secunda maior et semitonium secunda minor denominantur; item quia duo soni constituentes diptonum magis a se invicem distant quam duo soni constituentes semidiptonum, et ipsorum uterque tercia denominatur, ideo diptonus tercia maior et semidiptonus tercia minor appelantur; et sic de aliis. Dyapason autem octava media denominatur, quoniam medium tenet inter octavam maiorem et octavam minorem. Duo nanque soni constituentes dyapason minus a se invicem distant quam duo soni constituentes octavam maiorem et magis a se invicem distant quam duo soni constituentes octavam minorem, et ergo dyapason bene medium tenet inter octavam maiorem et octavam minorem, quare merito octava media nuncupata est.

Plures preterea non declarantur hic sonorum combinationes, eo quod ex sexdecim habitis faciliter haberi potest noticia omnium aliarum sequentium quantum ad earum compositionem et ad numerum tonorum et semitoniorum in eis existentium et etiam quantum ad proportiones earum, ut inferius patebit. Unde scito numero tonorum et semitoniorum in dyapason et aliis combinationibus supradictis existentium, scitur etiam numerus tonorum et semitoniorum in dyapason cum tono existentium, vel in dyapason [174] cum semitonio, vel in dyapason cum diptono, vel in dyapason cum semidiptono, vel in dyapason cum tritono, vel in dyapason cum dyateseron, vel in dyapason cum dyapente, vel in dyapason cum dyapente et tono, vel in dyapason cum dyapente et semitonio, vel in dyapason cum dyapente et diptono, vel in dyapason cum dyapente et semidiptono, vel in bisdyapason, et sic de aliis infinitis sonorum combinationibus sequentibus. Et similiter habitis proportionibus harum sexdecim sonorum combinationum et modis inveniendi ipsas proportiones, habebuntur etiam faciliter proportiones et modi inveniendi ipsas proportiones omnium aliarum sonorum combinationum sequentium.

Multas etiam sonorum combinationes inter unisonum et octavam reperibiles pretermisi, eo quod licet fingendo reperibiles sint, in manu tamen musicali nullo modo reperiri possunt, et etiam quia habita plena noticia sexdecim sonorum combinationum principalium, de quibus habitus est sermo, quantum scilicet ad earum compositiones et proportiones, faciliter etiam haberi poterit plena noticia harum combinationum sonorum in manu musicali non repertarum, quantum scilicet ad earum compositiones et proportiones. Et hee sonorum combinationes in manu musicali non reperibiles sunt sicut tercia duorum semitoniorum, quarta trium semitoniorum, quinta quatuor semitoniorum, et sic de multis aliis.

[176] <2>

<1.> His sexdecim sonorum combinationibus principalibus quantum ad earum compositiones sic declaratis, consequenter procedendum est ad suarum proportionum declarationem; et prius preponantur principia et fundamenta cognitionis harum proportionum, que neque demonstrative nec persuasive sed solum experientia per Pitagoram ytalicum inventa sunt, ut vult Boetius primo sue Musice et Macrobius in De sompnio Scipionis et Johanes de Muris normandus in parte prima sue Musice speculative et multi alii. Ostendunt enim omnes hii in locis preallegatis quomodo Pitagoras ytalicus principia et fundamenta cognitionis proportionum sonorum combinationum casu adinvenit et experientia, quem modum hic non recito ne opus prolungetur in vanum. Hec ergo principia et fundamenta sunt quatuor species proportionum quatuor sonorum combinationum, scilicet proportio toni, que est sexquioctava; proportio dyateseron, que est sexquitercia; proportio dyapente, que est sexquialtera; et proportio dyapason, que est dupla. Et hec, ut supra habitum est, non demonstrative nec persuasive sed solum casu et experientia per Pitagoram ytalicum inventa sunt.

[178] Et ex his principiis et fundamentis sequitur quod omnes toni inter se sunt equales, et similiter omnes dyateseron, et omnes dyapente, et omnes dyapason; nam omnes proportiones sexquioctave inter se sunt equales, et similiter omnes proportiones sexquitercie, et omnes proportiones sexquialtere, et omnes proportiones duple. Sed omnis tonus consistit in proportione sexquioctava, et omnis dyateseron in proportione sexquitercia, et omnis dyapente in proportione sexquialtera, et omnis dyapason in proportione dupla, per principia et fundamenta supra habita; ergo omnes toni inter se sunt equales, et similiter omnes dyateseron, et omnes dyapente, et omnes dyapason. Una enim sonorum combinatio non dicitur alteri equalis vel inequalis nisi secundum quod earum proportiones sibi invicem equales vel inequales reperiuntur. Et hoc posito, sequitur ultra quod omnia semitonia de quibus mentio facta est in sonorum combinationibus supradictis etiam inter se sunt equalia, nam ubi non equarentur (cum omne semitonium de supradictis si iungatur cum duobus tonis, dyateseron producit; et cum tribus, dyapente; et cum quinque et uno semitonio de supradictis, dyapason, ut supra habitum est), sequeretur quod non omnes dyateseron essent equales inter se, nec similiter omnes dyapente, nec omnes dyapason, quod est contra iam supra demonstratum. Et sequitur demum ulterius quod omnes combinationes sonorum eiusdem nominis ultimati inter se sunt equales, quod si non equarentur, sequeretur quod aut toni non equarentur inter se aut semitonia, quod est contra iam demonstratum.

<2.> Istis principiis et tribus ex ipsis sequentibus sic declaratis, sequitur modo declarare proportiones reliquarum duodecim sonorum combinationum principalium remanentium, et primo ab unisono principium faciamus, unde unisonus in proportione equalitatis consistit, nam ex quo unisonus est acceptio duorum sonorum equalium, ut supra habitum est, et inter quelibet duo equalia proportio equalitatis reperitur, sequitur unisonum in proportione equalitatis consistere, quod erat declarandum.

[180] <3.> Semitonium, de quo pluries habitus est sermo in sonorum combinationibus supra habitis, in proportione super13partiente 243as consistit; nam ex quo dyateseron constat ex duobus tonis et uno semitonio, ut habitum est supra, si a dyateseron removeantur duo toni remanebit semitonium supradictum; sed cum dyateseron consistat in proportione sexquitercia et tonus in proportione sexquioctava, ex fundamento supra habito, que sexquioctava minor est sexquitercia, cum species proportionis superparticularis semper tendant diminuendo per oppositum specierum proportionis multiplicis, que semper tendunt augmentando, sequitur pariformiter quod si a sexquitercia subtrahantur due sexquioctave remanebit proportio semitonii supradicti; et ut hanc subtractionem facere scias, hanc nota regulam: si proportionem aliquam ab alia proportione a qua possit subtrahi subtrahere intendis, ipsas proportiones accipias in suis minimis numeris, et multiplica maiorem numerum uniuscuiusque ipsarum proportionum per minorem alterius et proportio productorum ex his duabus multiplicationibus erit proportio remanens, tali subtractione facta. Capio ergo proportionem sexquiterciam in suis minimis numeris, qui sunt 4 et 3, et capio etiam proportionem sexquioctavam in suis minimis numeris, qui sunt 9 et 8, et multiplico primo maiorem [182] numerum proportionis sexquitercie, scilicet 4, per minorem numerum proportionis sexquioctave, scilicet per 8, et productum erit 32; secundo vero multiplico maiorem numerum proportionis sexquioctave, scilicet 9, per minorem numerum proportionis sexquitercie, scilicet per 3, et productum erit 27; et ergo subtrahendo unam proportionem sexquioctavam ab una sexquitercia, remanet proportio que est inter 32 et 27, quorum differentia est 5, et ista est proportio super5partiens 27as, qua subtrahatur alia sexquioctava proportio, et ex quo stet in suis minimis numeris, multiplicabo primo maiorem numerum huius proportionis, scilicet 32, per minorem proportionis sexquioctave, scilicet per 8, et productum erit 256; secundo vero multiplicabo maiorem numerum proportionis sexquioctave, scilicet 9, per minorem numerum predicte proportionis, scilicet per 27, et productum erit 243; et ergo subtractis istis duabus sexquioctavis ab una sexquitercia ultimate, remanet proportio que est inter 256 et 243, quorum differentia est 13; et ista est proportio super13partiens 243as, que erit proportio semitonii supradicti, quod erat declarandum.

Item alio modo declaratur hoc idem sic: iungantur enim insimul due sexquioctave et agregatum ex his subtrahatur ab una sexquitercia, et remanebit proportio semitonii supradicti; et ut modum addendi proportiones adinvicem habeas, hanc nota regulam: si proportionem aliquam alteri proportioni addere intendis, ambas illas proportiones in suis minimis numeris capias, et multiplica maiorem numerum unius ipsarum per maiorem alterius et minorem per minorem, et proportio productorum ex his duabus multiplicationibus erit proportio agregati ex predictis duabus proportionibus. Quia ergo in sexquioctava maior suorum minorum numerorum est 9 et minor est 8, multiplicetur primo 9 per 9 et productum erit 81; deinde multiplicetur 8 per 8 et productum erit 64. Proportio ergo 81 ad 64, quorum differentia est 17, que est proportio super17partiens 64as, erit proportio agregati ex duabus sexquioctavis, et per consequens ex duobus tonis; et cum sit in suis minimis numeris si subtrahatur ab una sexquitercia per modum supradictum remanebit proportio semitonii supradicti, scilicet proportio super13partiens 243as.

[184] Item aliter declaratur hoc idem sic: inveniatur unus numerus super quem absque fractionibus intendi possint duo toni continui sive due sexquioctave continue, qui numerus per hanc talem regulam inveniri potest: quot proportiones sexquioctavas continuas absque fractionibus habere intendis, tot proportiones octuplas continuas ab unitate accipias et numerus ultimus octuplarum erit numerus quesitus. Quia ergo invenire intendimus unum numerum supra quem absque fractionibus possint intendi precise due sexquioctave continue, inveniam duas octuplas continuas ab unitate sic, nam primo supra unitatem invenio unum numerum octuplum, scilicet 8, deinde supra 8 alium invenio numerum octuplum, scilicet 64. Hic ergo numerus ultimus, scilicet 64, est numerus quesitus, nam supra ipsum absque fractionibus possunt precise intendi due sexquioctave: ut si supra 64 addas suam octavam partem, scilicet 8, habebis 72, cui si addas suam octavam partem, scilicet 9, habebis 81, cuius non est integris octava pars. Ordinentur ergo sic isti tres numeri, scilicet 64, 72, 81, qui erunt adinvicem proportionati proportionalitate continua sexquioctava duas sexquioctavas continuas et per consequens duos tonos continuos producentes. Hoc facto supra 64 intendatur dyateseron sive una proportio sexquitercia, et quoniam hoc fieri non potest absque fractionibus, eo quod 64 dividi non potest equaliter per 3, pro tanto ne per fractiones procedamus, quemlibet trium numerorum paulo ante in una linea ordinatorum multiplicemus per 3, et producta dividi poterunt per tria, et remanebunt in eadem proportione in qua prius fuerunt multiplicata scilicet sexquioctava et producent duas sexquioctavas continuas, ut prius per regulam talem: si aliqui numeri per unum et eundem numerum multiplicentur, producta eandem proportionem servabunt que reperiebatur inter numeros multiplicatos. Multiplica ergo 64 per 3 et habebis 192; deinde multiplica 72 per 3 et habebis 216; deinde multiplica 81 per 3 et habebis 243; qui tres numeri sic producti taliter in una linea ordinentur, 192, 216, 243; quo facto supra 192 addatur sua tercia pars, scilicet 64, et habebis 256. Postea vero taliter ordinentur hii quatuor numeri, scilicet 192, 216, 243, 256, in quo ordine apparet quomodo proportio primi numeri, scilicet 192, ad ultimum, scilicet ad 256, est proportio dyateseron, que componitur ex duobus [186] tonis et uno semitonio propter prehabita; et ista est proportio sexquitercia; et apparet etiam quomodo proportio primi numeri ad secundum est proportio toni, scilicet sexquioctava, et quomodo proportio secundi numeri ad tercium est etiam proportio toni, quare sequitur quod proportio tercii numeri ad quartum erit proportio semitonii, de quo pluries sermo, et cum hec sit proportio super13partiens 243as, sequitur quod semitonium de quo pluries sermo consistit in proportione super13partiente 243as, quod fuit declarandum.

<4.> Diptonus in proportione super17partiente 64as consistit; nam si due sexquioctave, que sunt due proportiones duorum tonorum in uno diptono contentorum, insimul agregentur per regulam datam proveniet proportio que est inter 81 et 64, quorum differentia est 17; et ista est proportio diptoni supradicta.

Item probatur hoc idem aliter sic: supra 64, qui est terminus secunde octuple, intendantur due sexquioctave continue, quarum prima erit ad 72 et secunda ad 81, et taliter ordinentur isti tres numeri, scilicet 64, 72, 81, et patet quod numeri extremi, scilicet 64 et 81, continent diptonum et eius proportionem iam dictam.

<5.> Semidiptonus in proportione super5partiente 27as consistit; nam si proportio toni a proportione dyateseron subtrahatur per regulam datam, remanebit proportio que est inter 32 et 27, quorum differentia est 5; et ista est proportio semidiptoni supradicta.

<6.> Tritonus in proportione super217partiente 512as consistit; nam si tres sexquioctave, que sunt proportiones trium tonorum in uno tritono contentorum, insimul agregentur per regulam datam taliter quod primo agregentur due sexquioctave adinvicem, deinde huic agregato agregetur tercia sexquioctava, proveniet proportio que est inter 729 et 512, quorum differentia est 217; et ista est proportio tritoni supradicta.

[188] Item probatur hoc idem aliter sic: supra 512, qui est terminus tercie octuple, intendantur tres sexquioctave continue, quarum prima erit ad 576 et secunda ad 648 et tercia ad 729, et sic ordinentur isti quatuor numeri, scilicet 512, 576, 648, 729; et patet quod numeri extremi huius ordinis, scilicet 512 et 729, continent tritonum et eius proportionem iam dictam.

<7.> Dyateseron cum semitonio in proportione super295partiente 729as consistit; nam si proportio semitonii supra habita cum proportione dyateseron adiungatur per regulam datam, proveniet proportio que est inter 1024 et 729, quorum differentia est 295; et ista est proportio dyateseron cum semitonio supradicta.

<8.> Dyapente cum tono in proportione super11partiente 16as consistit; nam si proportio dyapente cum proportione toni per regulam datam adiungatur, proveniet proportio que est inter 27 et 16, quorum differentia est 11; et ista est proportio dyapente cum tono supradicta.

<9.> Dyapente cum semitonio in proportione super47partiente 81as consistit; nam si proportio dyateseron et proportio semidiptoni, que simul iuncta faciunt dyapente cum semitonio, insimul iungantur, producent proportionem que est inter 128 et 81, quorum differentia est 47; et ista est proportio dyapente cum semitonio supradicta.

<10.> Dyapente cum diptono in proportione super115partiente 128as consistit; nam si proportio dyapente et proportio diptoni insimul iungantur, producent proportionem que est inter 243 et 128, quorum differentia est 115; et ista est proportio dyapente cum diptono supradicta.

[190] Item probatur hoc idem aliter sic: supra 64, terminum secunde octuple, intendantur due sexquioctave continue ad 72 et ad 81; et quoniam supra 81 non potest in integris intendi dyapente, cum sit indivisibilis in duas medietates, augeantur isti tres numeri ad duplum, scilicet 64, 72, 81 et provenient 128, 144, 162, qui tres numeri poterunt per duo equalia dividi et in eadem proportione se habebunt in qua tres priores sic duplati per regulam supra habitam, modo supra ultimum terminum trium numerorum ex duplatione productorum, scilicet supra 162, addatur sua medietas, scilicet 81, et proveniet 243; et tunc sic ordinentur isti quatuor numeri, scilicet 128, 144, 162, 243; et patet quod numeri extremi continent diptonum cum dyapente sive dyapente cum diptono, quod idem est, et eius proportionem iam dictam.

<11.> Dyapente cum semidiptono in proportione super7partiente 9as consistit; nam si due proportiones duarum dyateseron, scilicet due sexquitercie, que due dyateseron simul iuncte faciunt dyapente cum semidiptono, insimul iungantur, producent proportionem que est inter 16 et 9, quorum differentia est 7; et ista est proportio dyapente cum semidiptono supradicta.

<12.> Dyapente cum tritono in proportione dupla super139partiente 1024as consistit; nam si proportio tritoni et proportio dyapente insimul iungantur, producent proportionem que est inter 2187 et 1024, quorum differentia est 1163; et ista est proportio dyapente cum tritono supradicta.

[192] Item probatur aliter hoc idem sic, nam captis duobus minimis numeris in quibus consistit proportio tritoni, scilicet 512 et 729, si supra maiorem intendatur dyapente, producetur inter primum et tercium proportio dyapente cum tritono predicta; sed quoniam maior dictorum duorum numerorum, scilicet 729, dividi non potest per medium, propter quod haberi non potest in his numeris proportio dyapente cum tritono absque fractionibus; ne per fractiones, sed per integra, procedamus, duplentur ambo numeri, et remanebit eadem proportio in productis que erat in multiplicatis per regulam supra habitam; duplato ergo 512 producetur 1024 et duplato 729 producetur 1458, cui si addatur eius medietas, scilicet 729, producetur 2187, et tunc sic ordinentur isti tres numeri, scilicet 1024, 1458, 2187, et patet quod numeri extremi continent dyapente cum tritono et eius proportionem iam dictam.

<13.> Bisdyateseron cum semitonio in proportione super1909partiente 2187as consistit; nam si due proportiones duarum dyateseron et proportio semitonii insimul iungantur, producent proportionem que est inter 4096 et 2187, quorum differentia est 1909; et ista est proportio bisdyateseron cum semitonio supradicta.

<14.> Nec mireris si ad declarationem proportionum quarundam sonorum combinationum plures adduxerim probationes et ad aliquas solum unam, nam licet ille que unica demonstratione declarate sunt pluribus etiam demonstrationibus declarari possent, hoc tamen fieri non posset in minimis terminis illius proportionis, et ideo alias demonstrationes dimisi intelligentibus. Omnes enim proportiones supradictarum sonorum combinationum in suis minimis numeris declarate sunt, ne intellectus in his magis confundetur, licet pluribus et pluribus demonstrationibus etiam declarari potuissent, sed non in earum minimis numeris; propter hoc ergo alie demonstrationes ingeniosis relinquantur, qui intellectis regulis supra habitis de se faciliter multas alias demonstrationes inveniri poterunt.

[194] <15.> Tonus, de quo prius sermo, nullo modo divisibilis est in partes equales, quoniam nec in duas medietates, nec in tres tercias, nec in quatuor quartas, nec in quinque quintas, nec in sex sextas, et sic ultra; nam nulla proportio superparticularis divisibilis est in partes equales, quare nec proportio sexquioctava, et per consequens nec tonus, qui consistit in ipsa proportione sexquioctava, per supra habita. Et quod nulla proportio superparticularis divisibilis sit in partes equales multipliciter declaratur, et primo sic, nam si aliqua proportio superparticularis divisibilis sit in partes equales, cum non sit maior ratio de una quam de alia, sit ergo ista proportio taliter divisa proportio sexquioctava circa quam magis insistimus, et arguitur sic, proportio sexquioctava divisa est in partes equales, ergo per medium vel per media continue proportionabilia duas vel plures proportiones similes producentia, cum proportio non dividatur nisi in proportiones, et si in partes equales, in proportiones equales, ex quinto Elementorum Euclidis propositionibus decima et undecima. De illis que preponuntur coniunctionibus tunc ultra arguitur sic, Proportio sexquioctava divisa est in partes equales per medium vel per media continue proportionabilia, sed cum si inter quoscunque duos terminos certam proportionem producentes unum vel plura media continue proportionabilia reperiantur inter quoscunque duos alios similis proportionis tot etiam media continue proportionabilia reperiri debent ex octava, octavi Elementorum Euclidis; sequitur quod si proportio sexquioctava divisa sit in partes equales, per medium vel per media continue proportionabilia, quod tunc inter quoslibet duos terminos inter quos similis proportio reperietur, tot media continue proportionabilia etiam reperientur. Hoc autem est falsissimum, quoniam in omni specie proportionis superparticularis reperibiles sunt termini inter quos nullum medium reperitur, ut patet discurrendo per singulas species proportionis superparticularis, ut verbi gratia inter 3 et 2, inter 4 et 3, inter 5 et 4, inter 6 et 5, inter 7 et 6, inter 8 et 7, inter 9 et 8, et sic ultra, inter quos cadunt iste proportiones specie distincte, scilicet sexquialtera, sexquitercia, sexquiquarta, sexquiquinta, sexquisexta, sexquiseptima, et sexquioctava, [196] que est proportio toni, ut supra habitum est; et tamen, ut patet, inter nullos duos predictorum terminorum aliquam supradictarum proportionum producentium est aliquod medium, cum sint immediati, et sic patet propositum, scilicet quod nulla proportio superparticularis divisibilis sit in partes equales.

Et quoniam pluries supra facta est mentio de numeris adinvicem proportionabilibus, et adhuc in sequentibus fiet mentio, est sciendum quod quando sic invenies, semper intelliges de proportionabilibus adinvicem proportionatis proportionalitate geometrica et non arismetrica nec armonica.

Item et secundo probatur aliter quod nulla proportio superparticularis sit divisibilis in partes equales; nam discurrendo per singulas species proportionis superparticularis nunquam reperietur medium nec media continue proportionabilia inter duos terminos proportionem aliquam superparticularem producentes, modo ad hoc, ut aliqua proportio in partes equales dividatur, requiritur quod inter duos terminos suos medium vel media continue proportionabilia reperiantur, ut vult Euclides quinto suorum Elementorum; ergo sequitur quod nulla proportio superparticularis est divisibilis in partes equales.

Item et tercio probatur aliter quod nulla proportio superparticularis divisibilis sit in partes equales; nam cum hoc fieri non possit absque medio vel mediis interpositis, si hoc medium vel media ponantur inter duos terminos proportionem aliquam superparticularem reddentes, proportiones medii vel mediorum et extremorum nomine variebuntur, et per consequens etiam re, cum in proportionibus ad variationem nominis sequatur etiam variatio proportionis, ergo ille proportiones intermedie non erunt equales, quare sequitur quod proportio extremorum, que est superparticularis, non dividetur in partes equales, quare et cetera.

[198] Item et quarto arguitur aliter quod nulla proportio superparticularis sit divisibilis in partes equales; nam ubi sic esset divisibilis, cum proportio non dividatur nisi in proportiones, tunc proportio superparticularis esset divisibilis in proportiones equales que simul sumpte constituerent illam proportionem superparticularem sic divisam, quod falsissimum est, quoniam capta una proportione superparticulari, quecunque sit illa, cum sit maior ratio de una quam de alia, ut sit gratia exempli una sexquioctava circa quam magis insistimus que per adversarium dividatur in partes equales per unicum medium interpositum, ut in his tribus numeris, 16, 17, 18, inter quorum extremos cadit proportio sexquioctava, cum unico medio, ut patet, manifeste apparebit quod due proportiones ab illis tribus numeris producte non sunt adinvicem equales, eo quod nomine, et per consequens re, variantur, et pariformiter si in plures partes per plura media dividentur, ut in his quatuor numeris, 24, 25, 26, 27, quorum quatuor numerorum extremi sunt in sexquioctava proportione et similiter in multis aliis exemplis, quare et cetera.

Et sic patet his quatuor rationibus quomodo nulla proportio superparticularis, et per consequens nulla sexquioctava, est divisibilis in partes equales, quare nec tonus, qui in proportione sexquioctava consistit, quod erat declarandum.

Secundo vero principaliter probatur quod tonus nullo modo sit divisibilis in partes equales sic; nam ubi sic divisibilis esset, etiam sua proportio, scilicet sexquioctava, sic divisibilis esset, et quoniam talis divisio fieri non potest absque medio vel mediis, et inter 9 et 8, qui sunt primi et minimi termini proportionis sexquioctave, nullum reperitur medium, quare in ipsis fieri non potest talis divisio, multiplicentur dicti numeri, scilicet 9 et 8, per unum et eundum numerum, et producetur in productis eadem proportio que est inter 9 et 8 per regulam supra habitam. Multiplicentur ergo primo 9 et 8 per 2 et producentur 18 et 16, inter quos cadit unicum medium, scilicet 17; sed 17 non est medium continue proportionale inter 18 et 16, quod tamen requireretur si proportio extremorum per ipsum dividi deberet per equalia, ut patet; ergo illud medium non dividit proportionem extremorum, que est sexquioctava, in partes equales. Item multiplicentur 9 et 8 per 3 et producentur 27 et 24, inter quos sunt duo media, scilicet 25 et 26, sed non inter se et cum extremis continue proportionabilia, ut notum est; ergo non dividunt proportionem extremorum in partes equales. Item multiplicentur 9 et 8 per 4 et producentur 36 et 32, inter quos sunt tria media, scilicet 33, 34, et 35, sed non continue proportionabilia, ut de se notum est; ergo non dividunt proportionem [200] extremorum in partes equales. Item multiplicentur 9 et 8 per 5 et producentur 45 et 40, inter quos sunt quatuor media, scilicet 41, 42, 43, et 44, sed non continue proportionabilia, ut clare patet; ergo non dividunt proportionem extremorum in partes equales; et sic ultra in infinitum procedendo. Ergo nullo modo dicendum est proportionem sexquioctavam fore divisibilem in partes equales, et per consequens nec tonum, cuius proportio est ipsa sexquioctava, ut habitum est supra, quod erat principaliter declarandum, ex quo sequitur quod si tonus in duas dividatur partes, ille neccessario erunt inequales, et quia universaliter tonus apud musicos in duas dividitur partes, neccessario ille erunt inequales, propter quod dixerunt antiqui, et bene, maiorem harum duarum partium semitonium maius appelari et minorem minus semitonium nuncupari, non tamen a semi quod est medium, cum hoc inveniri sit impossibile, ut est demonstratum, sed a semi quod est imperfectum, semum, vel incompletum, ut supra habitum est. Et scias quod differentia que inter maius et minus semitonium reperitur apud musicos coma nominatur.

<16.> Semitonium de quo supra in de sonorum combinationibus pluries sermo habitus est semitonium minus existit, nam si dupletur huiusmodi semitonium, sive ad se ipsum addatur, quod idem est, id est eius proportio, non perficit tonum sive eius proportionem; ergo est minor pars vera medietate toni, sive semitonium minus. Si enim perficeret tonum sive eius proportionem vera toni medietas existeret, quam inveniri est impossibile per prius habita. Et si tonum transcenderet plus toni vera medietate et semitonium maius existeret. Et quod ex duplatione semitonii supradicti, sive eius proportionis, producatur proportio minor sexquioctava, que est proportio toni, sic declaratur; nam per regulam supra habitam addantur insimul duo huiusmodi semitonia, sive eorum proportiones, et producetur proportio que est [202] inter 65536 et 59049, quorum differentia est 6487; et ista est proportio super6487partiens 59049as, que est minor una sexquioctava, quare et cetera.

Et quod talis proportio duorum semitoniorum insimul iunctorum sit minor una sexquioctava sic declaratur, et primo notetur hec regula: si sint due proportiones specie distincte, et velis scire que ipsarum sit maior, capias ipsas in suis minimis terminis et multiplica maiorem unius per minorem alterius, ut facis in subtractione unius proportionis ab alia, et illa duarum proportionum ex cuius maioris termini multiplicatione cum minore alterius producitur maior numerus dicitur maior proportio. Verbi gratia, captis minimis terminis unius sexquialtere et unius sexquitercie, qui sunt 3 2 et 4 3, ex quo multiplicando 3, qui est maior duorum minorum terminorum unius sexquialtere, per 3, qui est minor duorum terminorum minorum unius sexquitercie producitur 9, maior numerus quam sit numerus productus ex multiplicatione 4, qui est maior terminus duorum minimorum terminorum unius sexquitercie, per 2, qui est minor terminus duorum minorum terminorum unius sexquialtere, scilicet 8, hinc est quod dicimus sexquialteram proportionem maiorem esse sexquitercia. Et quoniam multotiens proposita aliqua proportione in terminis dubium est an illi termini sint minimi illius proportionis, ut hoc cognosci possit, notanda est hec regula: si proponatur tibi aliqua proportio in terminis et scire velis an illi sint termini minimi illius proportionis dividas maiorem illorum duorum terminorum per minorem, et si aliquid restat post divisionem per illud dividas divisorem, et si adhuc aliquid restat ex tali divisione per illud dividas secundum divisorem, et sic ultra de tercio et quarto et aliis divisoribus, si provenerint, quousque tibi remaneat aut unitas ante nichil aut nichil ante unitatem. Si unitas ante nichil, dicendum est illos terminos fuisse minimos illius proportionis et si nichil ante unitatem dicendum est illos terminos non fuisse minimos illius proportionis. Queras ergo suos minimos terminos verbi gratia de proportione que est inter 9 et 5, volo videre si tales sint minimi termini huius proportionis, et divido primo 9 per 5 et restat 4; deinde divido 5, qui fuit divisor, per 4, residuum, et restat unitas antequam nichil, quare dico supradictam proportionem fuisse in suis minimis terminis. Item de proportione que est inter 15 et 9 volo scire si hii sunt eius minimi termini, et divido primo 15 per 9 et restat 6; deinde divido 9, divisorem, per 6, residuum, et restat 3; deinde divido 6, secundum [204] divisorem, per 3, secundum residuum, et restat nichil priusquam unitas, quare dico supradictam proportionem non fuisse in suis minimis terminis.

Sed minimi termini per hanc regulam inveniuntur; nam facta ultima divisione ex qua tibi nichil remansit, capias divisorem huius ultime divisionis et per ipsum dividas quemlibet terminorum producentium proportionem quam invenisti non esse in suis minimis terminis, et quotientia erunt minimi termini illius proportionis, verbi gratia quia visum est proportionem que est inter 15 et 9 non esse in suis minimis terminis, et factis divisionibus 3, <qui> fuit divisor ultime divisionis, per ipsum 3 dividam 15 et quotiens erit 5; postea per ipsum 3 dividam 9 et quotiens erit 3; et tunc dicam quod 5 et 3 sunt minimi termini proportionis que erat inter 15 et 9.

Istis regulis sic positis sumatur proportio duorum supradictorum semitoniorum insimul iunctorum in suis minimis terminis, qui sunt 65536 et 59049; sumaturque etiam proportio toni in suis minimis terminis, qui sunt 9 et 8, et multiplicetur maior terminus unius proportionis per minorem alterius, ut dictum est, et reperietur quod productum ex multiplicatione maioris termini proportionis toni, scilicet sexquioctave, per minorem terminum proportionis duorum supradictorum semitoniorum insimul iunctorum est maius quam productum ex multiplicatione maioris termini proportionis duorum supradictorum semitoniorum simul iunctorum per minorem terminum proportionis toni, scilicet sexquioctave, quare concluditur ex regula prehabita quod proportio toni, scilicet sexquioctava, maior est quam proportio duorum semitoniorum supradictorum insimul iunctorum, et per consequens proportio duorum supradictorum semitoniorum insimul iunctorum est minor una sexquioctava, quod erat declarandum.

<17.> Semitonium maius, quod cum minori tonum constituit, in proportione super139partiente 2048as consistit, nam si a proportione toni proportio semitonii minoris subtrahatur remanebit proportio que est inter 2187 et 2048, quarum differentia est 139, et ista est proportio semitonii maioris supradicta.

[206] Item probatur hoc idem aliter sic: a proportione tritoni subtrahatur dyatesaron et remanebit proportio dicta, cum enim tritonus consistat ex tribus tonis et dyateseron ex duobus cum uno semitonio minori, ut constat ex precedentibus, superabit tritonus dyateseron per unum semitonium maius.

<18.> Coma in proportione super7153partiente 524288as consistit, nam si a proportione semitonii maioris proportio semitonii minoris subtrahatur restabit proportio que est inter 531441 et 524288, quorum differentia est 7153; et ista est proportio comatis predicta.

<19.> Omnia semitonia maiora inter se sunt equalia, nam ex quo omnia semitonia minora inter se sunt equalia, et per simile omnes toni, ut supra declaratum est, et tonus non differt a semitonio minori nisi per semitonium maius, ut patet ex supradictis, neccessario erunt omnia semitonia maiora inter se equalia.

Item probatur hoc idem aliter sic: nam ubi non equarentur, sequeretur quod non omnes sonorum combinationes eiusdem ultimate denominationis essent adinvicem equales, ut patet, quod est contra superius demonstratum.

<20.> Omnia comata inter se sunt equalia; nam ex quo omnia minora semitonia inter se sunt equalia, et per simile omnia maiora semitonia, et maius non differt a minori nisi per unum coma, ut habitum est, neccessario erunt omnia comata inter se equalia.

Item probatur aliter hoc idem sic: nam ubi non equarentur, sequeretur quod non omnes sonorum combinationes eiusdem denominationis ultimate essent adinvicem equales, ut patet, quod est contra unum supra demonstratum.

[208] <21.> Duo semitonia minora cum uno comate tonum comprehendunt; nam ex quo semitonium minus cum semitonio maiori tonum constituit et semitonium minus exceditur a maiori per unum coma, sequitur quod ista tria, scilicet duo minora semitonia et unum coma, quod additum ad semitonium minus semitonium maius constituit, tonum facit completum, quod erat ostendendum.

<22.> Omnis sonorum combinatio minor a semetipsa maiori solum per unum semitonium maius exceditur, octava excepta et qualibet sibi equivalenti, uti duplex octava, triplex octava, et sic ultra, que maior minorem excedit per duo semitonia maiora, sed maior mediam et media minorem solum per unum semitonium maius excedit; nam quelibet sonorum combinatio maior, octava excepta et qualibet sibi simili vel equivalenti, differt a se ipsa minori solum in numero tonorum, ut si maior duos continet tonos, minor unum solum continet et loco alterius ponitur unum semitonium minus; et si maior tres continet tonos minor solum duos continet et loco alterius minus ponitur semitonium; et sic ultra; quare manifeste apparet quod minor combinatio, octava et qualibet sibi equivalenti excepta, minuit a se ipsa maiori solum semitonium maius, cum tonus in duo solum semitonia, maius scilicet et minus, dividatur, et non in plura, ut habitum est supra; et per simile etiam octava maior et quelibet sibi equivalens differt a se ipsa media, et media a se ipsa minori, solum in numero tonorum, sic quod loco unius toni ponitur unum semitonium minus, ut in aliis sonorum combinationibus, quare etiam sequitur quod octava media et quelibet sibi equivalens minuit a se ipsa maiori, et minor a se ipsa media, solum semitonium maius; et finaliter sequitur quod octava minor et quelibet sibi equivalens minuit a se ipsa maiori duo semitonia maiora, quare patet propositum. Et ex his sequitur quod habita aliqua combinatione minori que non sit octava nec sibi equivalens, si reduci debeat ad maioritatem, hoc fieri habet per additionem semitonii maioris ad ipsam, et si habita aliqua combinatione maiori que non sit octava nec sibi equivalens, si reduci debeat ad minoritatem, hoc fieri habet per subtractionem semitonii maioris ab ipsa; et si habita octava maiori vel sibi equivalenti quam reducere velles ad mediam, vel habita media quam [210] reducere velles ad minorem, hoc per simile fieri habet per subtractionem semitonii maioris ab ipsa; et si habita octava minori vel sibi equivalenti quam reducere velles ad mediam, vel habita media quam reducere velles ad maioritatem, hoc per simile fieri habet per additionem semitonii maioris ad ipsam; et si habita octava maiori vel sibi equivalenti quam reducere velles ad minoritatem, hoc fieri habet per subtractionem duorum semitoniorum maiorum ab ipsa, et si habita octava minori vel sibi equivalenti quam reducere velles ad maioritatem, hoc fieri habet per additionem duorum semitoniorum maiorum ad ipsam, ex quo cum precedentibus sequitur quod semitonio minori solum utimur in cantando quando scilicet fit ascensus a mi ad fa vel e contra descensus a fa ad mi, et semitonio maiori solum utimur in addendo vel diminuendo in variatione combinationum, scilicet quando facimus de maiori combinatione minorem vel de minori maiorem, vel de maiori mediam, vel de media minorem, vel de minori mediam, vel de media maiorem.

Et ex hoc manifeste apparet veritas antiquorum a modernis cantoribus non intellecta, qui antiqui in coloratione consonantiarum per veram vel fictam musicam solum duo posuerunt signa, scilicet duo B distincta, unum scilicet cum corpore quadro, ut hic, [sqb], et aliud cum corpore rotundo, ut hic, b, volentes quod ubicunque reperiebatur corpus [sqb] quadri, sive hoc esset in linea sive in spatio, proferre deberemus hanc vocem mi, et ubicunque reperiebatur corpus b rotundi, sive hoc esset in linea sive in spatio, proferre deberemus hanc vocem fa, que omnia cum ratione posuerunt quam hic narrare propter brevitatem dimitto, et etiam quia hec pertinent ad praticam et declarata sunt partim in quodam tractatu de cantu plano et partim in quodam tractatu de contrapuncto per me compilatis, ita quod illuc recurre si horum rationes desideras. Ista ergo duo signa supraposita sufficiunt ad reducendum combinationem maiorem ad minorem vel minorem ad maiorem, vel maiorem ad mediam, vel mediam ad minorem, vel minorem ad mediam, vel mediam ad maiorem, secundum quod oportet. Et ut hoc melius intelligas [212] dabo tibi duo exempla que tibi sufficient, et primum exemplum sit hoc: sit enim tenor descendens a mi E gravis ad re D gravis et cantus superior sit ascendens a fa C acuti ad sol D acuti, et manifestum est quod a mi E gravis ad fa C acuti est una sexta minor que in hoc loco maior esse deberet, ut videri habet in materia de contrapuncto. Antiqui ergo in volendo reducere hanc sextam minorem ad sui maioritatem ponebant ante dictum fa unum [sqb] quadrum, cuius corpus erat in linea ipsius fa, volentes quod in loco de fa proferre ficte deberemus mi, ut paulo ante dictum est, et bene, quoniam per talem mutationem nominis et vocis perducitur talis sexta minor ad suam maioritatem, quod sic declaratur, nam ascendendo a fa ad sol in cantu superiori ascendimus tonum, sed si loco de fa fingamus mi, ut nobis ostenditur per signum antepositum, tunc ordinate ascendendo loco de sol fingemus fa voce non mutata, et sic ascendemus semitonium minus, cum a mi ad fa semper sit semitonium minus, ut habitum est supra, quare elevabimus vocem supra verum fa per unum semitonium maius quod est a vero fa ad fictum mi, quoniam si a vero fa ad sol sit tonus et a ficto mi ad fictum fa sit semitonium minus, neccessario a vero fa ad fictum mi erit semitonium maius, et sic addetur illud semitonium maius ad illam sextam minorem, quare per hanc additionem maior efficietur, ut esse debet cum maior minorem non excedat nisi per semitonium maius, ut habitum est supra. Moderni tamen factum non intelligentes, sed ad libitum et absque ratione agentes, loco [sqb] quadri ponunt talem crucem [signum], et aliqui moderniores tale signum, [signum], etiam ad libitum et absque ratione operantes, et horum plurimi et maxime ytalici, falsam doctrinam Marcheti paduani insequentes.

[214] Et alii nominant hec duo signa hoc nomine, dyesis, ignorantes quid apud musicos hoc nomen dyesis importet, nam dyesis apud musicos est medietas semitonii minoris, teste Boetio primo sue Musice in fine capituli de additione cordarum et earum nominibus, et teste etiam Johane de Muris normando conclusione quinta secunde partis sue Theorice musice. Dicit tamen Boetius libro secundo sue Musice capitulo de semitoniis in quibus minimis numeris constent, ad principium capituli, quod antiqui qui fuerunt multum ante ipsum quodlibet semitonium dyesim sive lima appelarunt. Dicitque ulterius maior pars horum modernorum, et maxime ytalicorum, ex falsa doctrina sui Marcheti paduani, quod pro tanto ista signa vocantur hoc nomine dyesis, quoniam per illa signa in ascensu fit additio unius dyesis, que dyesis apud suum Marchetum et suos sequaces, est quinta pars toni, et in descensu fit subtractio ipsius dyesis, et hoc pro mutatione alicuius combinationis de sui maioritate ad sui minoritatem vel de sui minoritate ad sui maioritatem, que omnia falsa sunt, eo quod tonus nullo modo divisibilis est in quinque quintas, sive in quinque partes equales, ut supra demonstratum est; et ubi adhuc per possibile tonus foret divisibilis in quinque partes equales, per talem tamen additionem vel subtractionem talis quinte partis, que apud ipsos modernos dyesis appelatur, ad aliquam combinationem vel ab aliqua combinatione non reduceretur talis combinatio de maioritate ad minoritatem vel e contra, cum sibi non adderetur vel ab ipsa subtraheretur debitum, scilicet unum semitonium maius quod apud ipsos modernos ex tribus vel quatuor de istis suis dyesibus copulatur. Aliqui etiam alii moderni duo supradicta signa [216] falsam sive fictam musicam nominant, et minus male primis, quoniam ubi primi in totum male, hii secundi non in totum bene nec in totum male, eo quod talia signa non semper denotant fictionem aliquam musice, sed quandoque sic et quandoque non, ut clare patere potest cuilibet bene consideranti.

Secundum exemplum sit hoc: ascendat enim tenor ab ut secundi G gravis ad re A acuti et cantus superior descendat a mi B acuti ad re A acuti, et manifestum est quod ut et mi predicta faciunt unam terciam maiorem, que in hoc loco minor esse deberet, ut ex contrapuncto videri habet; unde antiqui, et etiam moderni, in volendo reducere hanc maioritatem ad minoritatem quandoque apponunt ante predictum mi unum B rotundum, cuius corpus in spatio de mi collocatur, volentes innuere quod per tale b rotundum mutetur nomen de mi in fa per regulam contrapuncti supra habitam, ut postea in A acuto dicatur mi, ex cuius nominis mutatione mutatur postea talis tercia maior in minorem, sic quod fit ab ipsa tercia maiori per illud b rotundum subtractio unius semitonii maioris, prout oportet, nam si a re A acuti ad mi B acuti sit tonus et a mi A acuti ad fa B acuti sit semitonium minus, neccessario a fa B acuti ad mi eiusdem B acuti erit semitonium maius, quod subtrahitur ab illa tercia maiori ut minor efficiatur.

Discrepant tamen antiqui a modernis circa b rotundum in hoc, quoniam antiqui volunt quod illud quod addit vel diminuit b rotundum sit unum semitonium maius, quod verum est et superius declaratum; sed moderni, et [218] maxime Marchetum supradictum insequentes, volunt quod illud quod addit vel diminuit b rotundum sit una de suis dyesibus, sive una de quinque partibus equalibus toni, quod falsissimum est, cum talis quinta pars non sit dabilis, ut supra demonstratum est; item quia data tali quinta parte per possibile, adhuc non perficeretur intentum per additionem vel subtractionem ipsius quinte partis ad aliquam combinationem vel ab aliqua combinatione, ut supra declaratum est. Dimittamus ergo istos modernos cum suo Marcheto, qui talia impossibilia et in musica erronea seminaverunt, et adheremus antiquis nostris, qui veram musice scientiam habuerunt, et sic ipsam veram musice scientiam acquirere poterimus.

[220] <3>

<1.> Restat nunc narrare ea falsa et erronea que Marchetus paduanus supradictus in suo Lucidario collegit.

<2.> Dicit enim primo supradictus Marchetus in suo Lucidario, tractatu primo et capitulo primo, auctoritate Macrobii in De sompnio Scipionis, quod Pitagoras ytalicus fuit primus inventor musice, quod falsum est, quoniam musica inventa fuit ante diluvium per Iubalchaim, qui fuit de stirpe Chaim filii Adde, et Pitagoras ytalicus fuit post diluvium per magnum tempus; nec etiam verum est quod Macrobius loco preallegato hoc asserat, sed ibi scribit quomodo Pitagoras ytalicus pervenit in noticiam proportionum combinationum sonorum, sic quod Pitagoras ytalicus non fuit primus inventor musice, licet bene fuerit primus inventor proportionum combinationum sonorum, ut dictum est. Ymo antequam Pitagoras ytalicus <hanc> invenisset musicam, habebat praticam, non tamen speculativam, et hoc etiam asserit ipsemet Marchetus in fine predicti capituli, auctoritate Tulii in Questionibus tusculanis.

<3.> Item capitulo cuius rubrica talis est, De genere generalissimo et specie specialissima in musica, dicit in fine capituli quod ista tria nomina, scilicet enarmonicum, dyatonicum, et cromaticum, sunt nomina trium semitoniorum [222] specie distinctorum, quod falsum est, quoniam ista tria nomina non sunt nomina semitoniorum sed sunt nomina trium diversorum tetracordorum, teste Boetio, libro primo sui Musice, capitulo cuius rubrica talis est, De generibus cantilene, et etiam teste Johane de Muris normando, conclusione quinta secunde partis sue Musice speculative; et ista fuit una de principalioribus falsitatibus quas dictus Marchetus per totam Ytaliam seminavit. Et est in presenti hec falsitas apud cantores in tanto valore, quod qui eam habet solempnissimus inter cantores reputatur. Et ut melius que dicta sunt de tribus nominibus habitis intelligantur, sciendum est quod antiqui ymaginabantur dyateseron in quatuor cordis tripliciter variari posse, nam capiebant quatuor cordas, quarum prima ad ultimam semper dyateseron sonabat, et primo hanc dyateseron in his quatuor cordis taliter ordinabant quod prima corda ad secundam semitonium minus sonabat, et secunda ad terciam tonum, et per simile tercia ad quartam, et talis modus dividendi dyateseron apud ipsos dyatonicus vocabatur, sic quod talis dyateseron, sive tale tetracordum, dicebatur dyatonicum, quasi sub modo dyatonico divisum. Et idem fuisset si illud minus semitonium ita positum fuisset in medio cordarum vel in fine sicut positum est in principio. Tetracordum enim dicitur a tetra, quod est quatuor, et corda; unde tetracordum quasi instrumentum quatuor cordarum. Secundo vero dictam dyateseron in quatuor cordis taliter ordinabant, ut prima corda ad secundam semitonium minus sonaret, et per simile secunda ad terciam, sed tercia ad quartam tonum cum semitonio maiori resonabat; et talis modus apud ipsos cromaticus nominabatur, sic quod tale tetracordum dicebatur cromaticum, quasi sub modo cromatico divisum. Et idem fuisset si ille tonus cum semitonio maiori ita positus fuisset in principio vel in medio sicut positus est in fine. Tercio autem dictam dyateseron in quatuor cordis taliter ordinabant, ut prima corda ad secundam dyesim sonaret, que dyesis est medietas semitonii minoris, et per simile secunda ad terciam, sed tercia ad quartam diptonum sonabat; et talis modus apud ipsos enarmonicus appelabatur, sic quod tale tetracordum enarmonicum dicebatur, quasi sub modo enarmonico divisum. Et idem fuisset si diptonus ita positus fuisset in principio vel in medio sicut positus est in fine. De istis tamen [224] modis dividendi tetracordum duo ultimi, scilicet cromaticus et enarmonicus, tanquam extranei dimissi sunt, primo retento, scilicet modo dyatonico. Patet ergo ex his que dicta sunt quomodo illa tria nomina non sunt nomina trium semitoniorum sed trium tetracordorum, quare sequitur Marchetum nostrum supradictum auctores huius artis in tali passu non intellexisse, ymo nunquam visum est musicos dividisse tonum nisi in duo semitonia, nec unquam appelasse hec duo semitonia aliquo trium nominum supradictorum, sed bene maius et minus, vel lima vel dyesis apud valde antiquos.

<4.> Item capitulo cuius rubrica talis est, In quibus numeris constituatur tonus, dicit se velle demonstrare quare tonus consistat in proportione numeri novenarii ad octenarium, quod ne dum demonstrari sed nec persuadi potest, et ubi adhuc hoc demonstrari vel persuadi posset errat hoc velle facere in quantum musicus, cum hoc sit in musica principium, ut supra habitum est. Modo artifex sua principia probare non debet, sed presupponere, ut vult Aristotiles Posteriorum primo.

<5.> Dicitque ulterius eodem capitulo quod ad demonstrandum quare tonus consistat in proportione numeri novenarii ad octenarium tria facere intendit, et primo intendit ostendere quare tonus consistat in numero novenario et non in maiori nec in minori, quod impossibile est ostendere, cum tonus consistat in proportione et non in numero, licet bene in numeris adinvicem relatis.

<6.> Dicitque ulterius quod secundo intendit ostendere quomodo tonus se habeat ad octenarium numerum, quod etiam fieri est impossibile, quoniam ex quo tonus consistit in proportione vellet ostendere quomodo se haberet una [226] proportio ad unum numerum, que nullo modo sunt adinvicem comparabilia, cum sint diversorum generum propinquorum.

<7.> Dicitque adhuc ulterius quod tercio intendit concludere quod natura toni consistit in proportione numeri novenarii ad octenarium et non in proportionibus aliorum numerorum, sic quod duo videtur asserere, primum quod natura toni consistit in proportione numeri novenarii ad octenarium, quod verum est; secundum quod natura toni non consistit in aliis numeris quam in istis duobus, et hoc falsum est, quoniam natura toni consistit in omnibus duobus numeris inter quos cadit proportio sexquioctava, et isti sunt infiniti, ut bene consideranti manifestum est, nisi vellet intelligere quod natura toni non consistit in proportionibus aliorum numerorum, id est in proportionibus numerorum sexquioctavam proportionem non producentium, et tunc verum diceret.

<8.> Et ut bene intelligatur modus quo intendit suum primum probare intentum, sciendum est quod divisionum alicuius continui quedam est reducibilis et quedam non reducibilis; et illa vocatur reducibilis cuius denominator ex numeris agregatur, ut verbi gratia quia denominator divisionis continui quaternarie, id est in quatuor partes, est numerus quaternarius, qui componitur ex duobus binariis, pro tanto dicimus talem divisionem quaternariam esse reducibilem, quia reduci potest ad binariam; item etiam quia denominator divisionis quinarie, scilicet numerus quinarius, componitur ex tribus et duobus, pro tanto dicimus ipsam divisionem quinariam esse reducibilem, quia ad binariam et ternariam; et sic de multis aliis. Illa vero divisio continui dicitur non reducibilis cuius denominator ex numeris non agregatur, [228] et iste sunt solum due, scilicet divisio binaria et divisio ternaria; et divisio ternaria maior est divisione binaria, eo quod in plures partes totum dividit, nam licet binarius numerus, qui est denominator divisionis binarie, ex duabus unitatibus agregetur, non tamen agregatur ex numeris, quoniam unitas non est numerus sed principium numeri; item licet ternarius numerus, qui est denominator divisionis ternarie, agregetur ex binario et unitate, non tamen agregatur ex numeris sed ex numero et principio numeri, ut notum est.

Hoc premisso, capit Marchetus noster supradictus unum continuum, quod primo dividit in tres partes, demum quamlibet harum trium partium dividit in tres partes, sic quod totum remanet postea divisum in novem partes; quamlibet autem harum novem partium dividit adhuc in tres partes, et tunc fit totum divisum in 27 partes, et sic ultra ad libitum. Hoc ymaginato dicit consequenter Marchetus supradictus quod cum per hanc divisionem maiorem non reducibilem pervenerimus ad divisionem novenariam continui, non est ulterius procedendum nec infra ipsam standum, eo quod nulla divisio infra novenariam nec supra est perfecta, sed ipsa sola perfecta dicitur. Sed certe hoc dictum est valde extraneum, quoniam videre nescio quare non sit procedendum ultra divisionem novenariam continui et quare etiam non sit standum infra ipsam, et quare sola divisio novenaria continui sit perfecta et alie imperfecte; nunquam enim visum est aliquem auctorem posuisse perfectionem et imperfectionem in divisione continui, quare concludo michi hoc dictum fore mere voluntarium et sine ratione positum, sed tamen suum videamus intellectum. Primo enim dividit totum in tres partes et quamlibet partium in tres partes, que postea novem numero efficiuntur; deinde capit quamlibet trium partium principalium totius pro uno toto diviso in tres partes, et tunc iterum dividendo quamlibet suarum trium partium in tres partes habebimus adhuc novem partes, et si iterum quelibet novem partium principalium totius pro uno toto acciperetur, et quelibet suarum trium partium in tres partes divideretur, iterum haberemus novem partes, et sic in infinitum procedendo, et partes pro toto accipiendo; et sic semper procederemus [230] de una divisione novenaria ad aliam divisionem novenariam ad suum intellectum, sed tamen propter hoc non sequeretur quod divisio novenaria sit perfecta divisio, quoniam etiam sic in infinitum procedere possemus per divisionem ternariam, et per alias infinitas divisiones maiores novenaria.

Ulterius vero capit unam diffinitionem, quam ponit Hencheridion Ubaldi de tono, que talis est: Tonus est legiptimum spatium de sono in sonum, et per hanc diffinitionem cum quodam alio falso fundamento vult probare quod natura toni consistit in numero novenario et non in maiori nec in minori, quod erat primum declarandum, et arguit sic: Tonus est legiptimum spatium de sono in sonum, sed hic transitus, sive spatium, de sono in sonum fit transeundo de novenario in novenarium, ergo in novenario numero et non in plus nec in minus consistit natura toni. Huius autem rationis maior est diffinitio toni iam paulo antedata et minor, que ut fundamentum sue probationis existit, veritatem non continet, quoniam talis transitus de sono in sonum, qui tonus appelatur, non fit solum transeundo de novenario in novenarium, sed fit transeundo de quocunque numero, quicunque sit ille, in alium sibi sexquioctavum vel subsexquioctavum. Et si diceres Marchetum intelligere fieri transitum de novenario in novenarium, id est de uno sono invento per unam divisionem novenariam continui in alium sonum inventum per aliam divisionem novenariam continui, hoc etiam non semper verum est, ut quando fit transitus a fa ad sol, qui est tonus, quoniam fa sonus non est inventus per divisionem novenariam continui in ascensu, ut notum est, et etiam quando fit transitus a mi ad re, qui tonus est, quoniam mi sonus etiam non est inventus per divisionem novenariam continui in descensu, ut etiam notum est; et ergo ratio Marcheti nichil concludit per quam volebat probare naturam toni consistere in numero novenario et non in plus nec in minus. Si [232] tamen per naturam toni consistere in numero novenario intelligere vellet tonum reperiri in continuo per divisionem novenariam continui, conclusio sua haberet veritatem. Sed quando bene lego eius textum, quandoque videtur hunc habere intellectum et quandoque ab hoc vero intellectu variare et ad falsum tendere, sic quod intricat semetipsum, et non propter aliud nisi quod ea que scripsit non intellexit. Et adhuc supposito illo vero intellectu non tamen propter hoc demonstraret nec persuaderet suam conclusionem, ut si ad intellectum verum datum sic argueret: tonus est legiptimum spatium de sono in sonum, sed illud legiptimum spatium in continuo reperitur per divisionem novenariam continui, ergo tonus invenitur in continuo per divisionem novenariam continui, ratio bona esset. Sed minor huius rationis demonstrari vel persuadi deberet si conclusio sua deberet esse demonstrata vel persuasa. Dico tamen quod maior, minor, et conclusio huius argumentationis habent veritatem per experientiam habitam et non per aliquam demonstrationem nec persuasionem, sicut credidit Marchetus, qui putavit totum demonstrasse et nichil demonstravit nec persuasit. False etiam loquutus est Marchetus dum dixit tonum reperiri non posse in continuo per divisionem continui maiorem novenaria, quoniam etiam reperiri potest per quamlibet divisionem continui maiorem novenaria reducibilem tamen ad novenariam, ut per 18, per 27, et per 36, et sic ultra; sed facilius per novenariam.

<9.> Pro declaratione vero secundi et tercii insimul capit unum continuum, quod primo dividit divisione prima et minori non reducibili, scilicet in duas partes; postea quamlibet harum duarum partium dividit etiam in duas partes, et iterum quamlibet harum ultimarum partium dividit in duas partes, et sic ultra sine fine; et tunc patet quod, ad suum intellectum, talis divisio semper fit de quaternario in quaternarium, quamlibet partem pro uno toto semper accipiendo et ipsam bina divisione dividendo, prout divisum fuit totum. Hoc posito, subdit quod ex quo talis divisio fit de quaternario in quaternarium, ad suum intellectum, hinc est quod per quaternarium debemus [234] reducere omnes proportiones musicales que duplicari possunt; sed hic dupliciter errat Marchetus. Primo enim errat quia ratio eius nichil concludit, nam non valet hec argumentatio: Divisio continui que fit per minorem divisionem non reducibilem semper fit de quaternario in quaternarium, ad suum intellectum, ergo omnes proportiones musicales que duplicari possunt debent reduci per quaternarium. Secundo errat quia videtur velle aliquas proportiones musicales duplicari posse et aliquas non, quod falsissimum est, cum omnis proportio duplicabilis sit. Sed videamus, amore Dei, quomodo iste bonus homo reducit proportiones musicales ad quaternarium, nam capit unam proportionem duplam in suis minimis terminis, scilicet 2, 1, que proportio dupla facit consonantiam dyapason, unde quia sicut est dyapason, 2 ad 1, ita est etiam dyapason 1 ad 2, et quoniam etiam in tali conversione sunt quatuor termini, scilicet due unitates et duo binarii, hinc est quod dicitur hanc proportionem duplam reductam esse ad quaternarium, secundum eius intellectum, et si iterum reduceretur aliqua alia proportio musicalis modo simili ad quatuor terminos, haberemus in istis duabus proportionibus quaternarium numerum duplicatum, scilicet octenarium. Hoc declarato videamus quomodo suum arguit intentum. Arguit ergo sic: Tonus consistit in numero novenario, quod sub falso intellectu credidit demonstrasse, et novenarius numerus continet octenarium numerum et unitatem, qui octenarius continet proportiones duplicatas, id est duas proportiones que ad suum intellectum continent 8 terminos; ergo tonus continet proportiones duplicatas et unitatem, et per consequens habetur quomodo se habeat tonus ad octenarium numerum, quia scilicet continet ipsum et unitatem, vel proportiones duplicatas et unitatem, quod fuit suum secundum declarandum. Et ex istis duobus suo modo sic declaratis infert postea tercium, ut sic per ipsum arguatur: Tonus consistit in numero novenario, quod fuit suum primum, quod credidit demonstrasse; et tonus habet respectum ad octenarium, quod fuit suum secundum, quod etiam credidit demonstrasse, et tamen nec demonstravit nec persuasit; ergo natura toni consistit in proportione numeri novenarii ad octenarium, quod fuit tercium suum concludendum. Sed ratio hec non plus valet quam valeat ista: Homo est asinus et capra est leo, ergo Deus est; cuius consequens est neccessarium, quod materialiter ad quodlibet sequi potest, et utraque premissarum impossibilis, uti in eius ratione, quare sequitur quod nec demonstrat nec persuadet quod demonstrare intendebat; sed videas, amore Dei, quales falsitates et trufulas adducit iste bonus homo cum suis divisionibus novenariis et cum suis quaternariis duplicatis et cum suo fundamento [236] falsissimo de consistentia toni in numero novenario ad demonstrandum suum intentum; item videas falsam loquutionem dum dicit tonum continere proportiones duplicatas et unitatem, quoniam ubi sic esset, tonus tunc componeretur ex proportionibus duplicatis et unitate, quod falsissimum est, eo quod tonus, cum sit quedam proportio sive consistat in quadam proportione, non componitur ex numeris nec ex principiis numeri sed ex proportionibus, et per consequens non ex unitate sibi addita. Preterea si notabis modos suarum deductionum improprie et false loquitur et nichil veri concludit. Melius enim fuisset huic viro ab ignorantibus commendato non scripsisse quam talia falsa et erronea seminasse. Doleo enim de sua prosumptuositate, quia michi concivis.

<10.> Item in capitulo cuius rubrica talis est, Demonstratio partium toni, multas scribit falsitates, et prima earum est quia dicit tonum habere quinque partes et non plures neque pauciores, nam eius proportio habet quinque partes et pauciores et plures ymo infinitas, cum hoc simile habeat quelibet proportio, ut notum est; ergo tonus etiam habebit quinque partes et pauciores et plures ymo infinitas. Secunda falsitas est quia dicit tonum consistere in proportione novenarii numeri, ut credidit probasse, que tamen proportio nunquam audita nec reperta est in rerum natura. Tercia falsitas est quia dicit novenarium numerum non posse dividi in partes equales, quod falsissimum est, cum in novem unitates dividi possit. Quarta falsitas est quia dicit [238] numerum novenarium solum dividi posse in quinque partes, quod falsissimum est, cum possit dividi in 2, in 3, in 4, in 5, in 6, in 7, in 8, et in 9 partes ad plus, ut notum est. Et ex istis tribus ultimis falsitatibus concludit primam, scilicet quod tonus non habeat plures neque pauciores quinque partibus, ut sic per ipsum arguatur: Numerus novenarius non habet plures neque pauciores quinque partibus, sed in numero novenario consistit natura et ratio toni, ut credit probasse; ergo tonus non habet plures neque pauciores quinque partibus. Sed istius rationis maior et minor false sunt, et ideo non est mirandum si sua conclusio etiam habeat falsitatem.

<11.> Item consequenter in predicto capitulo subdit adhuc alias quamplures falsitates, quarum prima est hec, quia dicit tonum esse divisibilem in quinque partes equales, quod est impossibile, ut supra demonstratum est, et hec etiam est una de principalibus falsitatibus ab ipso per totam Ytaliam seminatis. Secunda falsitas est quia dicit quamlibet illarum quinque partium equalium nominari debere hoc nomine dyesis, ignorans quid apud auctores musice hoc nomen dyesis importet, cum sit semitonium vel medietas semitonii minoris, ut habitum est supra; modo semitonium vel medietas semitonii minoris non est quinta pars toni, quoniam si esset quinta pars toni, tunc tonus fuisset divisibilis in quinque partes equales, cuius oppositum demonstratum est supra, et ista secunda falsitas est etiam una de principalibus falsitatibus per Ytaliam ab ipso seminatis. Tercia vero falsitas etiam de principalibus per Ytaliam ab ipso seminatis est quia dicit quod si quinque dyeses de suis insimul iungantur tonum producunt completum, et si pauciores quinque insimul agregentur tonum completum non producunt sed semitonium, et quoniam de istis suis dyesibus possunt insimul agregari due, tres, et quatuor, facient, secundum ipsum, tria semitonia distinctarum specierum, quorum unum in se duas continebit de istis suis dyesibus et aliud tres et aliud quatuor; et subdit quod semitonium continens duas dyeses enarmonicum appelatur et illud quod continet tres dyatonicum nominatur et illud [240] quod continet quatuor cromaticum nuncupatur, sic quod apud ipsum tria erunt semitonia specie distincta, scilicet enarmonicum, dyatonicum, et cromaticum, et hec omnia falsissima sunt, cum hec tria nomina sint nomina trium specierum tetracordi et non semitoniorum, ut supra declaratum est. Semitonia enim apud musice auctores solum duo inventa sunt et non tria, maius scilicet et minus nuncupata, et non aliter.

<12.> Preterea in capitulo De dyesi nominato dicit quod quando, gratia exempli, ascendimus ab una tercia ad unam quintam per unam vocem, ut a fa ad sol supra re ut, et illa tercia reperiatur minor, que maior esse deberet, ut ex Contrapuncto haberi potest, si ad fa anteponatur tale signum, [signum], quod apud Marchetum et suos sequaces dyesis nominatur, tunc per tale signum fit divisio toni qui est a fa ad sol, et subdit quod prima pars talis divisionis est illud de suis semitoniis quod cromaticum appelabat et secunda pars est quinta pars toni sive una de suis dyesibus; sed in hoc suo dicto multipliciter errat, et primo errat quia ponit signum non neccessarium, quoniam ibidem poni deberet [sqb] quadrum ad reducendum illam terciam minorem ad suam maioritatem, ut aliquantulum supra declaratum est, et illud [sqb] quadrum bene dividit tonum qui est a fa ad sol. Secundo errat quia dicit illud signum nominari debere hoc nomine dyesis, quod falsum est, eo quod nulla sonorum combinatio est per aliquod signum signabilis, et per consequens nec dyesis, que etiam est quedam sonorum combinatio, licet in manu musicali non reperibilis. Tercio errat quia dicit quod prima pars divisionis toni qui est a fa ad sol in casu posito est suum semitonium cromaticum et secunda pars est quinta pars toni sive una sua dyesis, que ambo falsa sunt per supra habita, nam ex quo divisio toni in quinque partes equales est impossibilis, ut supra [242] demonstratum est, positio suorum semitoniorum et suarum dyesium etiam impossibilis erit, quare non erit verum quod divisio toni per illud suum signum sit in suum semitonium cromaticum et suam dyesim iam quod ista in rerum natura non sunt reperibilia, sed divisio toni per [sqb] quadrum antepositum ad fa est in semitonium maius et semitonium minus, ut esse debet. Breviter, ergo, ubicunque invenies Marchetum vel aliquem suum sequacem aliquid loqui de istis suis semitoniis et de istis suis dyesibus, non auscultes ipsum, quoniam isti tantum de hoc sciverunt quantum boves. Putavit enim Marchetus quod in collocando semitonia in monacordo tonus dividi deberet in quinque partes equales et quod ad secundam vel terciam partem poni deberet semitonium, sed confidens de se graviter erravit. Penitus enim ignoravit modum collocandi semitonia in monacordo, quem modum hic dilatare dimitto propter operis brevitatem, et etiam quia de divisione monacordi proprium tractatum compilavi, in quo reprobantur duo modi comuniter usitati tanquam imperfecti et ultimo additur tercius modus qui omnem continet perfectionem possibilem. Erravit etiam Marchetus quia ex suo modo collocandi semitonia in monacordo supradicto expresse sequitur quod divisio toni que fit per suum tale signum, [signum], suprapositum, quod apud ipsum dyesis nominatur, est in semitonium maius et minus vel in minus et maius, que apud ipsum enarmonicum et dyatonicum appelantur, et non in suum cromaticum et suam dyesim, quod est contra eius opinionem superius recitatam; et hoc evidenter apparere potest cuilibet subtiliter advertenti.

[244] <13.> Dicitque in capitulo De numeris musicalibus et de consonantiis in generali alias multas et varias falsitates, quarum prima est hec, quod species consonantiarum sunt tantum sex, quod falsum est, cum sint numero infinite, ut supra habitum est. Secunda falsitas est quia dicit quod quaternarius numerus vocatur epitritus, eo quod est supra ternarium, nam epitritus dicitur ab epi, quod est supra, et tritos, tres, quasi numerus supra ternarium, et ille est quaternarius; et falsitas huius secundi dicti est quia epitritum est nomen proportionis et non numeri. Proportio nanque epitrita est proportio sexquitercia, et bene verum est quod epitritum dicitur ab epi, quod est supra, et tritos, tres, quoniam in omni proportione sexquitercia maior quantitas minorem excedit per terciam partem minoris, et non quia numerus supra ternarium, ut dicit Marchetus, quoniam tunc non solum quaternarius sed quilibet maior epitritus vocaretur, cum quilibet numerus maior quaternario sit supra ternarium. Tercia falsitas est quia dicit quod numerus ternarius dicitur emiolius, quod falsum est, cum emiolium sit nomen proportionis et non numeri. [246] Proportio enim emiolia est proportio sexquialtera, et dicitur emiolium ab emi, quod est dimidium, et olon, totum, eo quod in omni proportione sexquialtera maior quantitas minorem continet totam et ipsius minoris medietatem. Et, breviter, in omnibus suarum sex consonantiarum proportionibus, que sex sue consonantie sunt dyapente, dyateseron, dyapason, dyapason cum dyateseron, dyapason cum dyapente, et bisdyapason, nomina proportionum attribuit numeris, unde proportionem sexquiterciam appelat numerum epitritum, et proportionem sexquialteram appelat numerum emiolium, et proportionem duplam appelat numerum duplum, et proportionem duplam superbipartientem appelat numerum duplum superbipartientem, et proportionem triplam appelat numerum triplum, et proportionem quadruplum appelat numerum quadruplum, et etiam proportionem sexquioctavam appelat numerum sexquioctavum; et describit omnia ista ac si describeret proportiones, sic quod cepit numeros pro proportionibus, et male, eo quod numerus et proportio specie abinvicem distinguntur. Dico tamen quod proprie loquendo unus numerus bene dici potest epitritus ad alium, et emiolius ad alium, et duplus ad alium, et duplus superbipartiens ad alium, et triplus ad alium, et quadruplus ad alium, et sexquioctavus ad alium, sed non in se, ut cepit Marchetus, quare improprie et false loquutus est. Quarta falsitas est quia dicit proportiones in quibus consonantie consistunt fore solummodo sex, quod falsum est, eo quod sunt numero infinite, uti consonantie.

[248] <14.> Item dicit ibidem quod proportiones membrorum consonantiarum sunt tantum tres, quod falsum est, cum sunt numero infinite, ut clare patet bene advertenti, nam ex quo consonantie sunt infinite, ut supra habitum est, erunt etiam eorum membra infinita, et per consequens proportiones consonantiarum et suorum membrorum erunt etiam numero infinite.

<15.> Preterea extraneo modo probat numerum ternarium esse numerum perfectum, qui tamen perfectus non est, sed numerus senarius est primus numerorum perfectorum. Arguit nanque sic: Si tria et bis tria insimul comperentur, producunt proportionem duplam; et si bis tria et ter tria insimul comperentur, producunt proportionem sexquialteram, et si tria et ter tria insimul comperentur, producunt proportionem triplam; et si ter tria et quater [250] tria insimul comperentur, producunt proportionem sexquiterciam; ergo numerus ternarius est numerus perfectus; nam hec ratio non plus valet quam valeat hec: Deus est, et homo est animal; ergo capra est leo. Ignoravit enim iste bonus homo quid esset numerus perfectus, qui numerus perfectus ab Euclide in principio noni suorum Elementorum sic describitur: Numerus perfectus est qui omnibus suis partibus quibus numeratur est equalis.

<16.> Item in capitulo in quo intendit probare quod dyapason cum dyateseron non sit consonantia dicit quod inter duplam et triplam non reperitur aliqua proportio, quod falsum est, nam inter ipsas reperitur proportio dupla sexquialtera, dupla sexquitercia, dupla sexquiquarta, et sic ultra in infinitum; item dupla superbipartiens, dupla supertripartiens, dupla superquadripartiens, et sic ultra in infinitum; quarum quelibet maior est dupla et minor tripla.

[252] <17.> Item in capitulo De coniunctionibus vocum dicit quod diptonus et semidiptonus non consistunt in proportione aliqua, quod falsum est, eo quod omnis sonorum combinatio in aliqua proportione consistit, ut clare patet ex supradictis. Multasque etiam alias falsitates scripsit supradictus Marchetus quas scribere dimisi propter brevitatem et etiam quia intellectis que supra habita sunt, poterit quilibet omnes eius cognoscere falsitates.

<18.> Et sic sit finis huius tractatus per Prosdocimum de Beldemando patavum anno domini nostri Yesu Xristi 1425 Padue compilati ad laudem, gloriam, et honorem omnipotentis Dei. Amen.

<19.> Explicit tractatus Musice speculative quem Prosdocimus de Beldemando paduanus contra Marchetum de Padua compilavit. Deo gratias. Amen.