Back to top

[227] Tractatus monochordi

Capitulum I

Musicae disciplinae quinque partium pratice et speculative declaratione peracta, ad monochordi declarationem in quo consonantiarum perfectiones earum proportiones ostenduntur ad sensum oportet nos accedere. Et si antiqui modernique musici modum et ordinem dividendi tradiderint, tamen quoniam bonum ex boni additione fit melius eorum positionibus adhaerentes eis quae addenda novimus, quibus ratio fiet notior cognitioque perfectior comprehendimus non negligere. Valde enim perutilis est demonstratio, in qua intellectum cuius est veritas sensus concomitatur apprehensio. In monochordi namque compositione duplex intervenit operatio, sensus, scilicet, quo figuraliter comprehendimus spatia, et intellectus qua ipsorum proportiones ratione monstrantur. Mensura spatia nempe metimur et ipsorum resonantiam spatiorum proportionabili ratione iudicamus. Quidnam ex horum multiplici divisione consonum proveniret, si absque proportione partitio fiat, consonantia quidem omnis ex sua determinata proportione producitur. Stante igitur proportione exstat et consonus sonus sublata autem perditur. Hanc igitur antiqui musici rationem intelligentes per tetrachorda, quorum ratio est superius tradita, sui monochordi spatia diviserunt. Cuius quidem monochordi quantitas eo in tempore ex quindecim bisdiapason continentibus quos ipsa graeca manus amplectitur perfecte videbatur consistere sonis, quae namque manus hic cum suis tetrachordis ostenditur. Tetrachorda autem cum suis contentis vocibus demonstrantur et ipsarum vocum proportiones in tonis, semitoniis aliisque vocum coniunctionibus ex suis numeris ostenduntur.

[228] [CSM7/3:228; text: Bisdiapason, Diapason, Tetrachordum diezeumenon, Tetrachordum hyperboleon, Tetrachordum meson, Tetrachordum sinemenon, Tetrachordum hypaton, Netehyperboleon, Paranetehyperboleon, Tritehyperboleon, Netediezeumenon, Paranetediezeumenon, Tritediezeumenon, Paramese, Mese, Lycanosmeson, Parhypatemeson, Hypatemeson, Lycanoshypaton, Parhypatehypaton, Hypatehypaton, Proslambanosmenos, Tonus, Semitonium, 2304, 2592, 2916, 3072, 3456, 3888, 4096, 4608, 5184, 5832, 6144, 6912, 7776, 8192, 9216, Proportio sexquioctava sive toni, Proportio minoris semitonii, Proportio toni seu sexquioctava] [UGOTRAM 01GF]

[229] In his igitur quindecim vocibus graecae manus bisdiapason continentibus quinque tetrachorda dicuntur includi, quorum primum et gravissimum est hypaton, cuius est princeps hypatehypaton, ultima hypatemeson. Secundum vero meson, cuius est princeps hypatemeson, extrema vero mese. Tertium sinemenon, cuius est princeps mese, finalis vero paranetediezeumenon sive netesinemenon. Quartum diezeumenon, cuius prima est paramese, extrema vero netediezeumenon. Quintum vero est hyperboleon, cuius quidem princeps est netedieuzeumenon. Ad nete vero hyperboleon terminatur extrema prima. Namque duo tetrachorda ab hypatehypaton ad mese hypatemeson mediante coniuncta sunt. Tertium vero a mese ad paranetediezeumenon disiunctum est. Sed alia duo a paramese ad netehyperboleon netediezeumenon mediante connexa sunt, et quoniam tetrachordum ex duobus tonis unoque minore semitonio erat compositum ab antiquis quae vocum compositio diatesseron appellata est, tot ergo erunt diatesseron quot ibi tetrachorda signantur.

Diapason bis in his vocibus reperitur, primum a proslambanosmenos ad mese, secundum vero a mese ad netehyperboleon, haec enim mese mediante coniuncta sunt. Est enim mese finis diapason primi sed secundi principium, sic enim omnis duorum nexus alterius est terminus alteriusque initium. Haec autem coniunctionum connexio fieri permittitur, ut ipsarum iteratio fiat ac duplicari vel triplicari, ut lubet vel libet.

In diapason duo sunt tetrachorda coniuncta quorum cordae septem sunt et tonus ab extra, sed disiuncta duo quorum octo sunt cordae.

Toni et semitonia haec in manu comprehensi et si ex se pateant intelligenti, tamen ex suis numeris clarissime demonstrantur. Nam ipsi numeri positi sunt ad cordas seu voces ut earum ad invicem proportiones significent, sumptique sunt secundum divisionem et additionem partium divisionis. Sicut enim duae immediatae voces semitonium minus vel tonum efficiunt, sic duo immediati numeri earum vocum quarum sunt numeri proportiones ostendunt, et quoniam inter immediatas voces vel est tonus vel semitonium, ideo inter immediatos numeros vel est toni vel semitonii minoris proportio. Patet hoc in primarum numeris vocum, scilicet, 9216 et 8192, qui quoniam in sexquioctava proportione se habent, quae est proportio toni. Ideo inter proslambanosmenos et hypatehypaton dicitur esse tonus, et quod hi numeri sint in proportione sexquioctava patet, [230] nam eorum differentia est 1024, qui numerus octies ductus eorum minorem producit, scilicet, 8192, continet enim maior minorem semel totum et eius octavam partem. Sunt igitur praedicti numeri in sexquioctava proportione, ut dictum est. Inter secundum autem et tertium numerum, scilicet, 8192 et 7776, minoris semitonii dicitur esse proportio. Similiter inter secundam vocem et tertiam, scilicet, hypatehypaton et parhypatehypaton, dicitur esse semitonium minus, et quod inter eos numeros sit semitonii minoris proportio patet. Nam eorum differentia est numerus 416 qui octies ductus productus numerum 3328, qui ad integram medietatem numeri 7776 penitus non ascendit. Eius namque integra medietas est numerus 3388, cui ipse numerus 3328 non videtur aequari. Est ergo inter eos numeros semitonii minoris proportio et per consequens inter ipsas voces semitonium minus, ut dictum est.

Eoque modo de aliis duobus immediatis numeris dicere seu concludere possumus, quia si inter eos est sexquioctava proportio, inter voces erit tonus, si vero inter numeros sit semitonii minoris proportio, inter voces erit semitonium minus. Numerorum autem proportiones vocumque coniunctiones perito calculatori dimittimus examinandas, qui numeri eas habent inter se proportiones quas in figuris suis significare videntur hos autem numeros, quorum primus, id est, 9216, ad proslambanosmenos ponitur et ultimus, id est, 2304, netehyperboleon applicatur, ut dicit Boetius. Invenerunt antiqui, ut in quolibet genere diatonico, enharmonico et chromatico omnium tetrachordorum facerent divisionem. Inter ipsos enim extremos numeros inveniuntur medii secundum proportionem cordarum vel vocum generi diatonico convenientes. Nam in his mediis reperiuntur proportiones sexquioctavae, sexquitertiae, sexquialterae, duplae, triplae, semitonii minoris, triemitonii et quaecumque proportiones eidem generi inter voces seu cordas necessariae sunt. Trium autem generum quibus utebantur antiqui, uno duntaxat, diatonico, scilicet, utuntur moderni. Reliqua a nostris moribus penitus aliena sunt, sicut superius dictum est. Cui diatonico generi praedicti numeri secundum tetrachordorum ordinem conveniunt, aliis autem si coaptentur eorum secundum vocum seu cordarum proportionem erit facienda partitio.

Capitulum II

De monochordi divisione

Duplex est monochordi divisio, altera qua secundum rectam musicam per tonos, semitonia minora, diatessaron, diapente et diapason monochordum [231] dividitur, altera qua omnes toni secundum rectam musicam dispositi in maiora atque minora semitonia dividuntur, quorum tonorum partitio non recta sed ficta musica nuncupatur ratione superius assignata, ubi de ficta musica locuti sumus.

In rectae igitur musicae divisione quaedam praenotanda cognoscimus, primum quidem illud est quod antiqui in sua vocum seu cordarum compositione fecerunt, scilicet, tetrachordorum ordinatio, quae est unius vel plurium diatesseron in suis speciebus ordinata dispositio. Tres enim diatesseron species secundum sui semitonii variationem variantur, differt enim mi la ab ut fa, et ab utroque re sol. Sola quippe semitonii mobilitas in his differentiam facit cum tamen utrobique tetrachordi seu diatesseron vocum ordinatio fiat, tum enim praeponitur, tum interponitur, tum postponitur semitonium minus quo ut praefertur tetrachordi seu diatesseron species variantur, quae ex duobus tonis ac semitonio componuntur, et ex hoc quidem diatesseron cum tono diapente conficitur, et ex his ipsa mater consonantiarum diapason.

Secundum praenotandum hoc est quod monochordi divisio cum per tonos, semitonia, diatesseron, diapente ac diapason fiat, solum per eorum proportiones, scilicet, sexquioctavam, semitonii minoris, sexquitertiam, sexquialteram ac duplam, huiusmodi habeat fieri partitio. Harum enim proportionum virtute eae consonantiae consonum sonum habent, et reliquae talem quas Pythagoras philosophus italicus longa experientia primitus adinvenit.

Tertium praenotandum est quod cum tonorum diatesseron, diapente ac diapason semitonia minora sint, sicut superius in hoc quinto plenius probatum est, omnia semitonia in rectae musicae divisione disposita minora sunt, unumquodque enim in compositione alteri ipsorum deservit.

Capitulum III

Divisio monochordi per duplam proportionem

Quoniam diapason consonantia ceteris maior est et eas continet, ideo ab ea monochordi est initianda partitio. Cum autem omnis consonantia ex sua proportione procedat, igitur si diapason vel octavam perfectam in monochordo quaerimus invenire, per eius duplam proportionem ipsa partitio fiat. Cordae quantitas, id est, longitudo, quindecim, ut ponit Boetius, sit vocibus constituta. Quae quantitas si dupla proportione ab extremo ad extremum fuerit divisa, in puncto divisionis medio cum primo extremo diapason resonabit. Sit igitur exempli gratia primi extremi [232] punctus in parte graviori C primum, ultimi vero punctus extremi in parte acutiori sit S scabelli. Si igitur a C primo ad S scabelli totum spatium interceptum in duas dividas partes aequales, erit partium prima in puncto C secundi ad primum C ex dupla proportione diapason seu octavam perfectam resonans consonantiam. Et si a dicto secundo C ad S scabelli spatium interceptum in duas dividas aequales ipsarum partes, prima erit in puncto tertii C, ex ipsa proportione dupla diapason consonantiam faciens ad secundum C. Similiter si plures quaeris octavas habere, sive ab ipsius C tertii puncto sive ab alio qui sit D, E, F vel G et cetera, inter eundem punctum et S scabelli spatium interceptum in duas divide aequales partes, quarum punctus medius ad punctum primum in quo spatii dimensio incipit, semper diapason resonabit. Haec enim ratio et in gravibus et in acutis pro omni specie invenienda diapason est omnino verissima. Mirabilis est ergo proportionis vis, qua eadem corda uniformiter tensa inferius gravem et superius reddit acutum sonum quibus consonantiae procreantur. Dupla quidem est haec proportio qua diapason consonantia provenit, quoniam spatium a puncto primo a quo spatii intercepti partitio fit ad S signum scabelli bis continet spatium per ipsum diapason occupatum, ex dupla igitur proportione in monochordo diapason repertum est, quod ex alia proportione non reperitur.

Capitulum IV

Divisio monochordi per sexquialteram proportionem

Diapente consonantia quae est quinta maior sive perfecta, cuius proportio est sexquialtera, per ipsam sexquialteram proportionem in monochordo dicitur inveniri. Monochordum igitur, id est, totum spatium interceptum a puncto C ad ipsum S scabelli, in tres divide partes aequales, et in puncto partis primae qui erit G erit terminus diapente sive quintae perfectae ex sexquialtera proportione productae, sonant enim C-G quintam maiorem. Similiter si ab ipso G vel D, E, F vel A vis aliam quintam habere, ab eo a quo incipis puncto ad S scabelli interceptum spatium in tres divide partes aequales et in tertiarum prima ad punctum inceptum diapente seu quintam efficies, quae in gravibus et acutis ex hac sexquialtera proportione et non ex alia potest continuo reperiri. Sexquialtera est enim proportio haec qua diapente producitur, quoniam spatium a C ad S scabelli totum id semel continet et eius medietatem quod per diapente [233] dicitur occupari. Ex sexquialtera igitur proportione in monochordo diapente consonantia sive ipsa quinta in suis omnibus speciebus dicitur procreari, quae ex nulla alia proportione dicitur reperiri.

Capitulum V

Divisio monochordi per sexquitertiam proportionem

Diatesseron consonantia seu quarta minor per suam sexquitertiam proportionem in monochordo reperitur, nam si eam quartam quaeris habere, totum spatium a puncto C ad S scabelli interceptum in quatuor divide partes aequales et in earum prima quae erit in primi F puncto erit ipsius diatesseron sive quartae minoris terminus ex sexquitertia proportione productus. Si autem ab ipsa quarta aliam vis habere minorem, ab eo puncto primi F spatium totum ad S scabelli etiam in quatuor divide partes aequales, et in ipsarum prima quae est B mollis punctus erit secundi diatesseron sive secundae quartae minoris terminus, et eo modo in ceteris quartis reperiendis fiat spatii intercepti partitio. Huiusmodi autem diatesseron adinventio per sexquitertiam proportionem fit, quoniam spatium interceptum a primo puncto ad punctum S scabelli spatium per ipsum diatesseron occupatum totum semel continet et eius tertiam partem, quod fieri non possit per aliam proportionem. Ex sola igitur sexquitertia proportione diatesseron sive quarta minor per suas omnes species in monochordo valet reperiri.

Capitulum VI

Divisio monochordi per sexquioctavam proportionem

Tonus cuius est sexquioctava proportio in monochordo per eam sexquioctavam proportionem dicitur inveniri. Nam si spatiam a puncto C ad S scabelli totum interceptum in novem dividas aequales partes in ipsarum prima quae erit in puncto D facies tonum ad C, ex sexquioctava proportione productum. Similiter si a D ad S spatium dividas in novem [234] partes aequales in primae partis puncto qui erit in E facies tonum ad D ex ipsa sexquioctava proportione creatum, eoque modo si a puncto toni vis alium tonum efficere extremorum spatium per novem partes divide et tonum efficies si penes quem cepisti punctum pars nona ponatur.

Sexquioctava est enim huiusmodi proportio, quoniam extremorum spatium totum per tonum occupatum spatium semel continet et eius octavam partem. Ex hac igitur proportione sexquioctava et non ex alia toni in monochordo valent reperiri.

Alio etiam modo toni in monochordo sunt inventi, nam si a puncto C intendatur diapente ad G et spatium interceptum inter ipsum G et S scabelli in tres dividas partes aequales quarum unam remittas a G erit ipsa remissa in puncto D, distans tono a C. Similiter si ab ipso D intendas diapente ad secundum A et spatium interceptum inter ipsum A et S scabelli in tres dividas partes aequales, quarum unam remittas ab A, erit remissa in puncto E tono distans a D sicque in ceteris monochordi vocibus diligens theoricus tonum poterit reperire.

Aliis quam pluribus modis posset fieri monochordi divisio, quos ad hos quatuor novimus reducendos.

Capitulum VII

De ordinata monochordi divisione secundam rectam musicam

Post monochordi divisiones ex proportionibus suis productas non ambigimus fore perutile si illud recto ordine dividamus. Antiqui namque in [Gamma] suo monochordo initium dabant, moderni vero quos in monochordi ordine omnino sequimur in C primo incipiunt et illud ut volunt finiunt quamvis ante C, [sqb] et A, ut plurimum anteponant. Eorum igitur modernorum in monochordi compositione quod quindecim dicitur vocibus ordinari ordinem prosequentes, id tali duximus declaratione ostendere. In monochordo namque, scabelli locus super quo omnes cordae seu voces tamquam in fundamento recipiant firmitatem est primo considerandus cuius scabelli signum in parte acutiori et dextra sit signum, in opposita vero parte graviori et sinistra ubi sit sonus plenus atque perfectus ut inde toni initium habeatur C littera prima ponatur, cuius punctus sit monochordi [235] principium. Sunt igitur extrema monochordi punctus C atque punctus S, inter quae sit ex longitudine tensa corda ut monochordi possit fieri divisio hoc modo, scilicet, divide totum spatium interceptum inter C et S in novem partes aequales, quarum prima erit in puncto D faciens tonum primum ad C.

Item a puncto D si spatium interceptum ad S in novem dividas partes aequales erit prima intensa in puncto E secundum producens tonum ad D.

Item a puncto dicti C ad S scabelli si in quatuor aequales partes dividas spatium interceptum erit prima in F primi puncto intensa faciens diatesseron ad primum C. Item si ab ipso F ad S scabelli spatium dividas in quatuor partes ipsarum prima erit in puncto B mollis primi ad ipsum F diatesseron resonans consonantiam. Item si a puncto C primi ad S scabelli spatium interceptum in tres dividas aequales partes, erit pars prima intensa in puncto G faciens ad ipsum C consonantiam diapente. Item si a puncto D ad S scabelli spatium interceptum in tres dividas partes aequales, earum prima intensa erit in puncto secundi A ad ipsum D secundam diapente resonans consonantiam.

Item si a puncto E ad S scabelli spatium interceptum etiam in tres dividas partes aequales erit pars prima intensa in puncto [sqb] quadri secundi, habens ad ipsum E aliam diapente consonantiam.

Item si a puncto C primi ad S scabelli spatium interceptum in duas dividas aequales partes in puncto medio aequedistante ab extremis erit secundum C faciens diapason consonantiam cum primo C. Potest huiusmodi consonantia aliter haberi, quoniam si spatium inter F primum et C secundum metieris et tantundem ab ipso F remittas, erit remissum spatium in C primo faciens cum ipso F diatesseron et cum C secundo diapason.

Item si secundi [sqb] quadri diapason vis habere remissum quantum est spatium interceptum inter ipsum [sqb] quadrum et S scabelli metire et tantundem ab ipso [sqb] spatium remitte quod erit in puncto [sqb] quadri primi faciens cum eo diapason consonantiam et cum C primo semitonium minus. Potest hoc diapason aliter inveniri, nam si spatium inter E primum et [sqb] quadrum secundum metieris et tantundem ab ipso E remittas, erit remissum in puncto [sqb] quadri primi, habens cum ipso E diatesseron et cum [sqb] secundo diapason.

[236] Item si A secundi diapason vis habere remissum spatium inter ipsum A et S scabelli metire, et tantundem ab ipso A secundo remitte et erit remissum spatium in A primo faciens diapason cum A secundo. Etiam hoc diapason sic potest haberi, quantum est spatium inter D primum et A secundum mensura, et tantundem ab ipso D remitte et erit remissum in A primo faciens cum D diatesseron et cum A secundo diapason.

Item si D primi vis intensum diapason invenire spatium interceptum inter ipsum D et S scabelli in duas divide partes aequales et in primae partis puncto erit secundum D faciens diapason consonantiam cum primo D.

Item si inter E primum et S scabelli spatium interceptum dividas in duas partes punctus medius erit E secundum faciens cum primo diapason, et eo modo aliarum litterarum octavas invenies si inter eas et S scabelli spatium interceptum in duas dividas partes aequales quarum punctus medius ad praecedentem litteram diapason consonantiam resonat et similem litteram tenet.

[237] [CSM7/3:237; text: Bisdiapason, Diapason, Diatesseron, Diapente, Tonus, Semitonium, A, [sqb], C, D, E, F, G, B] [UGOTRAM 02GF]

[238] Capitulum VIII

De divisione monochordi secundum fictam musicam

Ficta musica, sicut dictum est in secundo, est alicuius vocis in loco ubi per se non est necessaria positio, necessaria est ergo ficta musica, cuius necessitatis causa duplex est, scilicet, imperfectarum consonantiarum et dissonantiarum perfectio et dulcioris resonantia harmoniae. Imperfecta igitur ex ficta musica perficiuntur et ex ea dulcior redditur harmonia coniungendarumque connexionum proprior fit distantia. His itaque fictae musicae necessitatibus cognitis antiqui in monochordo eam in tonis quos diviserunt penitus invenerunt, sunt enim omnes toni in eo in impares partes divisi, quae sunt semitonia, scilicet, maius et minus, quibus imperfecta perficimus et coloramus. Inaequaliter enim divisa sunt, quoniam tonus in duo aequalia nullo modo dividitur, sicut superius clare demonstratum est. Si autem aequaliter sit divisibilis tonus et aequalia sint semitonia, et in dissonantiarum atque consonantiarum perfectione ac in earum coloratione decipimur ut theoricus musicus bene novit et inferius demonstrabitur, et ideo circa haec plures sunt considerationes habendae.

Prima igitur huius fictae musicae consideratio est omnium tonorum inaequalis partitio. Dividuntur enim omnes in musica ficta toni in partes inaequales, quae sunt duo semitonia, scilicet, maius et minus, quorum differentia est ipsum coma, quod nec ipsius toni nec ipsorum semitoniorum pars aliquota dicitur esse, ut omnes volunt musicae auctores. Si enim coma toni vel semitoniorum pars esset aliquota tunc tonus in plures partes divideretur aequales, cum pars aliquota sit quae aliquotiens sumpta reddit suum totum, et inter tonum et coma vel inter semitonium et coma aliqua esset rationalis proportio, quod omnino reprobant omnes musicae auctores.

Secunda consideratio est quod toni sic inaequaliter divisi quidam maiorem partem quae maius est semitonium ponunt in parte dextra, et minorem partem quae minus est semitonium in parte sinistra, quidam vero e contra faciunt, pars maior toni illa dicitur esse quae spatii inter duas litteras intercepti tonum repraesentantes occupat maiorem partem et illa minor quae tenet minorem.

Tertia huius musicae consideratio est semitoniorum ordinata positio, [239] habent enim semitonia proportionum ordinem inter se quibus consonantiae ortum habent ex ipsis.

Semitoniorum fictorum igitur ordinem prosequentes dicimus quod ubi in monochordo rectae musicae semitonium reperitur, ibi fictae musicae secundum modernos semitonia non ponuntur. Sed ubi spatium inter duas litteras tonum rectae musicae resonantes videtur existere, ibi fictae musicae semitonia collocantur quot ergo in monochordo rectae musicae sunt toni, tot inter ipsorum spatia fictae musicae erunt in duplo semitonia collocata, omnis enim rectus tonus in maius et minus dividitur semitonia.

Istorum autem fictorum semitoniorum duplex est divisio, una qua minora praecedunt maiora semitonia, altera qua maiora antecedunt minora.

In divisione qua minora praecedunt semitonia, in ipsis reperiendis talis ordo servandus est, nam eorum semitoniorum principium et fundamentum est F primum a quo divisionem incipias. Spatium igitur interceptum inter ipsum F et S scabelli totum divide in quatuor aequales partes, quarum prima erit in puncto B mollis iam dicti et sit gratia exempli H et habebis semitonium fictum primum existens inter secundum A et secundum [sqb] quadrum faciens cum puncto F diatesseron sive quartam minorem.

Item a puncto H ad punctum S spatium divide in duas partes, quarum unam remitte ab H quae sit I existens inter primum D et primum E, et habebit secundum fictum semitonium faciens diapente remissum cum H.

Item a puncto I ad punctum S spatium divide in duas partes, quarum prima erit in puncto K existens inter secundum D et secundum E et habebis tertium fictum semitonium faciens diapason cum I.

Item a puncto K ad punctum S spatium divide in duas partes, quarum unam remitte ab ipso K quae sit L existens inter primum G et secundum A, et habebis quartum fictum semitonium faciens diapente remissum cum K.

Item a puncto L ad punctum S spatium divide in duas partes, et unam remitte ab L quae sit M existens inter primum C et primum D et habebis quintum fictum semitonium respondens cum L diapente remissum.

Item a puncto M ad punctum S spatium divide in duas partes, [240] quarum prima erit in puncto N quae erit inter secundum C et secundum D, et habebis sextum fictum semitonium et faciet diapason cum M.

Item a puncto N ad punctum S spatium divide in duas partes, quarum unam remitte ab ipso N et erit inter F primum et G primum in puncto O et habebis septimum semitonium fictum faciens cum N diapente remissum.

Item a puncto O ad S scabelli spatium divide in duas partes et inter F secundum et G secundum in puncto P habebis octavum semitonium fictum respondens ad ipsum O diapason consonantiam.

Item si a puncto L ad punctum S spatium dividas in duas partes erit prima inter G secundum et A secundum in puncto Q et habebis nonum fictum semitonium respondens cum L diapason consonantiam.

Item si a puncto H primi B mollis ad punctum S spatium dividas in duas partes erit pars prima inter tertium A et tertium [sqb] quadrum in puncto R et habebis decimum fictum semitonium in secundo B molli respondens cum primo diapason consonantiam.

Item si a primo B molli vel eius puncto ad punctum S totum spatium mensures et tantundem ab ipso B molli remittas erit remissum spatium inter primum A et primum [sqb] quadrum in puncto S et habebis aliud semitonium fictum respondens ad primum B molle remissum diapason, et sic apparet omnes rectae musicae tonos per ficta semitonia esse divisos, et secundum hanc divisionem omnia minora semitonia maiora praecedere, quorum demonstratio haec est.

[241] [CSM7/3:241; text: Diapason, Diatesseron, Diapente perfectum, Diapente remissum, Diapente remissum imperfectum, Diapente [remissum] imperfectum, Diapente [remissum] perfectum, S, M, I, O, L, H, N, K, P, Q, R, A, B, [sqb], C, D, E, F, G, [11], 5, 2, 7, 4, 1, 6, 3, 8, 9, 10] [UGOTRAM 03GF]

[242] Capitulum IX

De huius fictae musicae effectibus

Musica ficta, sicut superius dictum est, et perfectionis consonantiarum atque dissonantiarum ac ipsarum ornatus et colorationis causa est inventa, causa perfectionis quoniam omnis consonantia et dissonantia debet esse perfecta. Imperfecta autem consonantia vel dissonantia a perfecta distat per semitonium maius et ideo ubi consonantia vel dissonantia in recta musica invenitur, imperfecta per fictam musicam maiori semitonio mediante perficitur.

Cum autem in monochordo quam plures sint consonantiae et dissonantiae imperfectae et minores, quarum ratio licet ratione constet ex se quarundam tamen demonstratio fiet ut his omnium ratio apprehensa clarescat.

Tertia imperfecta sive minor quae per semitonium maius perficitur hoc modo secundum hanc divisionem sumit perfectionem. Nam tertia minor sive imperfecta quae est a D primo ad F primum, id est, re fa, debet esse maior si post eam fit quinta perfecta, quae fiet maior si ei fiat semitonii maioris additio quod semitonium est in fictae musicae puncto O, qui punctus dividit tonum F-G, ex talis enim semitonii additione ea tertia minor secundum hanc divisionem efficitur maior. Similiter fit in tertia alia minori, id est, mi sol, quae debet esse maior si post eam sequitur quinta maior, sicut in tertia minori inter E primum et G primum quae si debet perfici additur ei semitonium quod est in musicae fictae puncto L, qui dividit tonum G-A. Eoque modo fit in aliis minoribus tertiis acutis et acutioribus ex semitonii additione perfectio, decimae etiam minores cum ex tertiis originaliter deriventur ex suo ficto semitonio maioritatem accipiunt.

Sexta autem minor hoc maxime perfectionis indiget augmento quo sine auditui non redditur amicabilis, ut si sit sexta minor ab A secundo ad F secundum suo diapason coniungenda, ipsa etenim cum duo minora contineat semitonia, minor est atque imperfecta. Cui si debeat perfici secundum hanc divisionem fictae musicae semitonium inter F secundum et G secundum in puncto P necessario est addendum. Similiter fiat in aliis minoribus sextis suis coniungendis octavis, et ita suo modo aliae possunt dissonantiae perfici quae imperfectae sunt.

[243] Quinta etiam imperfecta quae est a [sqb] quadro secundo ad F secundum, quae duo includit minora semitonia per fictae musicae semitonium, quod est inter ipsum F et G in puncto P perficitur. Hoc enim semitonii additamento secundum hanc divisionem consonantiae minores perficiuntur, omnis enim consonantiae vel dissonantiae imperfectio, ut dictum est, in semitonii maioris defectione consistit. Ipsius autem maioris semitonii signum secundum antiquos est [sqb] quadrum, secundum modernos est [signum]. Praedictorum perfectionum exempla seu demonstrationes sunt haec.

[CSM7/3:243,1] [UGOTRAM 04GF]

Ipsa autem vox fa in F secundo posita suam quintam remissam habet in [sqb] quadro secundo, quae cum sit imperfecta si ei semitonii maioris inter ipsum [sqb] et A secundum in puncto H additio fiat, vere erit ipsa quinta ipso semitonio mediante perfecta, est enim ipsum semitonium maius et non minus, ut clare intelligenti patet, quod ad consonantias requiritur perficiendas, ut hic eius exemplum sive demonstratio patet.

[CSM7/3:243,2] [UGOTRAM 04GF]

Perficitur etiam per hanc fictam musicam quinta minor quae est a [sqb] primo quadro ad F primum per semitonium quod est in puncto O inter F primum et G primum quamquam ad eius integram perfectionem illud semitonium cum sit minus non videatur sufficere, ut hic eius demonstratio patet.

[CSM7/3:243,3] [UGOTRAM 04GF]

Et per has semitoniorum additiones secundum hanc divisionem omnes minores seu imperfectae in monochordo consonantiae vel dissonantiae perficiuntur et maiores fiunt.

Sed si ingenii subtilitate comprehendimus nec cosonantiae nec dissonantiae praedictae huiusmodi semitoniorum additionibus perfectae [244] sunt. Nam omnis vocum imperfecta coniunctio semitonii maioris et non minoris additionem perficitur. Semitonia autem haec quibus praedictas vocum coniunctiones diximus esse perfectas non maiora sunt sed minora, et quod sint minora faciliter patet bene consideranti, quoniam semitonium minus et non maius ad huiusmodi coniunctionum perfectionem concurrit. Non sunt ergo perfectae dictae consonantiae vel dissonantiae ex horum semitoniorum additamentis, deficit enim ad earum integram perfectionem id quod coma vocatur, quod semitoniorum est differentia, excepto fa in F secundo cuius quinta minor remissa in [sqb] quadro secundo posita per semitonium maius perficitur inter secundum A et ipsum [sqb] in puncto H.

His igitur sic intellectis dicimus hanc monochordi divisionem, qua consonantiae vel dissonantiae integram perfectionem non habent, omnino imperfectam esse. Causam autem huiusmodi imperfectionis esse dicimus, quoniam minora semitonia quae in hac divisione praecedunt maiora ad consonantias vel dissonantias perficiendas concurrunt, quae, ut dictum est, integram perfectionem non faciunt. Sed ad dissonantias colorandas in qua semitoniorum minoritas est necessaria haec monochordi divisio perfecta est, ut bene patet intelligenti, ad omnem enim dissonantiae colorationem minora semitonia videntur occurrere.

Capitulum X

De secunda ficta monochordi divisione

Divisio ficta monochordi praedicta ex hoc redditur imperfecta quoniam ficta semitonia ex quo minora praecedunt maiora consonantias vel dissonantias quamvis ornatu colorent, eas tamen ex comatis defectu non valent perficere, perficerent autem si maiora antecedant minora. Antecedunt autem maiora si hoc modo monochordi divisio fiat, nam huiusmodi divisionis principium qua maiora semitonia praecedunt minora est ipsum [sqb] quadrum secundum. Ab ipso ergo [sqb] ad S scabelli spatium interceptum divide in tres partes aequales et unam tertiarum remitte, quae erit inter F [245] primum et G primum in puncto S et habebis primum fictum semitonium ab ipso [sqb] faciens cum ipso S diatesseron remissum.

Item a puncto S ad S scabelli spatium divide in partes tres, quarum unam remitte quae erit inter C primum et D primum in puncto T et habebis secundum fictum semitonium ab S faciens remissum diatesseron cum T.

Et si ab eo T puncto ad S scabelli spatium dividas in tres partes aequales, erit pars prima inter G primum et A secundum in puncto V, et habebis tertium fictum semitonium a T faciens diapente cum V.

Item si ab eodem puncto T ad S scabelli spatium dividas in duas aequales partes, erit pars prima inter C secundum et D secundum in puncto X, et habebis quartum fictum semitonium a puncto T faciens diapason cum puncto X.

Item si a puncto V ad S scabelli spatium in tres dividas partes aequales unamque remittas erit remissa inter D primum et E primum in puncto Y et habebis quintum semitonium fictum a puncto V faciens diatesseron remissum cum puncto Y.

Item si a puncto Y ad S scabelli spatium dividas in duas partes erit pars prima inter secundum D et secundum E in puncto Z, et habebis sextum semitonium fictum a puncto Y faciens diapason ad Z.

Item si a puncto S ad S scabelli spatium dividas in duas partes, erit pars prima inter F secundum et G secundum in puncto 7 et habebis septimum fictum semitonium, a puncto S faciens diapason ad punctum 7.

Similiter si a puncto V ad S scabelli spatium dividas in duas partes, erit pars una inter G secundum et A tertium in puncto 9, et habebis octavum fictum semitonium a puncto V faciens diapason ad 9. Quae autem proportiones inter huiusmodi semitonia sint, ex superioribus divisionibus poteris bene colligere. Habes ex dupla spatii divisione diapason, ex sexquialtera diapente, ex sexquitertia diatesseron et ex sexquioctava tonum. Huius autem fictae secundae divisionis demonstratio est haec.

[246] [CSM7/3:246; text: Diapason, Diapente, [Principium], Diatesseron remissa, A, B, [sqb], C, D, E, F, G, 2, 5, 3, 4, 6, 7, 8] [UGOTRAM 05GF]

[247] Haec namque secunda fictae musicae divisio in qua maiora semitonia praecedunt minora ad consonantias vel dissonantias perficiendas perfecta est, quoniam ipsae consonantiae vel dissonantiae quae imperfectae sunt huiusmodi maioribus semitoniis hac divisione productis perficiuntur.

Coma enim quod ex alia divisione in perficiendo deficit hac divisione suppletur, ut bene theorico patet intelligenti. Sed ad musicae colorationem atque ornatum eius haec semitoniorum fictorum partitio est imperfecta, quoniam in huiusmodi colorationis ornatu semper intervenit semitoniorum minoritas, quae ad integram dissonantiarum minoritatem non videtur sufficere, et pro dictorum intelligentia acquirenda tria sunt principaliter praenotanda.

Primum est quod sicut ad imperfectarum consonantiarum vel dissonantiarum perfectionem complendam semitonii maioris eis additio est necessaria, sic ad earum imperfectionem efficiendam, qua dulciori colorantur ornatu eiusdem semitonii maioris ab eisdem est remotio facienda. Secundum est id quod contrapuncti habetur ex regulis, quod si post tertiam sequatur unisonus illa debet esse tertia minor et non maior. Minor enim tertia ex tono constat semitonioque minore.

Tertium est quod cum dissonantia naturam sapiat imperfecti et perfecti consonantia et quanto minus distat dissonantia a sua consonantia, tanto minus distat a sua perfectione. Hinc est quod dissonantia maior aliquando fit minor, ut ex sua minoritate sit suae perfectioni propinquior.

His itaque taliter praenotatis praedictam monochordi divisionem dicimus esse penitus imperfectam, et quod sit imperfecta probatur primo in tertia maiori quae est inter primum C et primum E, scilicet, ut mi, quae debet fieri minor si post ipsam sequatur unisonus in primo D, fit autem minor ipsa tertia maior per semitonii ficti positionem inter D et E. Sed ipsum semitonium inter D et E secundum hanc divisionem non est maius sed minus. Igitur ipsa tertia non est effecta minor per illius semitonii positionem et quod illud sit semitonium minus probatur, quia in illius toni divisione D-E semitonium maius praecedit, et in tertiae minoritate non cadit, quod cadere deberet, et minus sequitur quod de tertia minori exciditur et ad ipsam minoritatem occurrit, et eam tertiam in totum minoratam non reddit. Ergo ex illius semitonii positionem cum minus sit non est illa tertia minorata ut debet, igitur divisio imperfecta, quod erat probandum.

Similiter de tertia maiori dicimus quae est inter F primum et A primum, scilicet, fa la, inter C secundum et E secundum et similibus, quae [248] per huiusmodi semitonia minorantur. Non enim ex his totalem minorationem accipiunt, quia remanet coma quod removeri deberet, et sic dictae tertiae maiores per fictorum remotionem semitoniorum cum sint minora non efficiuntur minores, quod primo et secundo notabili videtur obiicere. Eodemque modo dicimus, si post tertiam C-E fiat quinta remissa ad primum G, quae tertia non debet esse maior sed minor, quae fieri non potest ratione iam dicta.

Similiter de decima perfecta quam sequitur octava dicimus quoniam illa decima debet esse minor et non maior, quae secundum hanc divisionem esse non potest cum maius semitonium praecedat minus, quod ad talem colorationem concurrit, ut si inter C primum et E secundum sit decima quam sequitur octava inter D primum et D secundum decima C-E minoratur per fictum semitonium inter D-E, sed illa minoratio non est completa, quia cum maius semitonium praecedat minus, non concurrit ad minorationem decimae semitonium maius quod debent concurrere sed minus. Remanet enim cum dicta decima sic minorata coma quo integra minoratio superatur, quod removeri deberet.

De sexta autem quam ex utriusque descensu sequitur octava quae sexta ornatus causa quaerit minorari, dicimus quod secundum hanc divisionem in totum minorari non potest, ut si ab E secundo cui tenor in sexta inferius respondet in G descendatur ad secundum D, cui tenor in octava respondet in primo D, dicta sexta in E per semitonium debet colorari, ut eo mediante fiat sexta minor. Sed per ipsum appositum semitonium non fit sexta minor probatur, quia sexta minor tres habet tonos et duo minora semitonia. Sed ipsa sexta sic minorata ab E ad G continet quatuor tonos, ut patet intelligenti, habet enim primum semitonium rectum quod minus est et fictum quod maius est, exceditur enim huius sextae integra minoritas comate, igitur haec divisio est imperfecta. Causa autem huius imperfectionis est, quia ex quo semitonia maiora praecedunt non minoratur sexta maior a semitonio maiori ut deberet, sed a minori, quod ad integram minoritatem non sufficit. Praedictorum exempla sive demonstrationes sunt istae.

[CSM7/3:248] [UGOTRAM 04GF]

[249] Imperfecta est igitur haec monochordi divisio, qua semitonia maiora praecedunt minora, quoniam dissonantiae perfectae quae ad colorationem concurrunt integre minorari non possunt. Ad consonantiarum autem vel dissonantiarum imperfectarum perfectionem, quoniam maiora semitonia antecedentia ad eam perfectionem concurrunt perfecta est.

Prima igitur monochordi ficta divisio ad perfectionem est imperfecta et ad colorationem perfecta. Haec autem secunda ad perfectionem perfecta, sed ad colorationem redditur imperfecta.

Sed quoniam omnis res in tantum est perfecta in quantum habet perfectum esse, frustra enim est quod imperfectum est, idcirco monochordi quod non frustra est invenienda est perfecta divisio, qua consonantiae et dissonantiae imperfectae reddantur perfecta et ornati colores in ipsis dissonantiis integra minoratione locentur.

Perfecta equidem erit monochordi partitio, si prima eius divisio qua minora maioribus erit unita secundae, qua maiora minoribus semitonia praeponuntur. Hac enim divisionum unitate utrumque et maius et minus inter rectos tonos A et [sqb] duntaxat exceptis rotundum B inter se continentibus fictum semitonium collocatur. Praepositis quidem semitoniis perfectae dissonantiae colorantur, postpositis vero imperfectae consonantiae et dissonantiae perficiuntur. Omnis ergo duarum rectarum vocum distantia fictis semitoniis mediatur praeter B rotundum et [sqb] quadrum, quorum interceptum spatium nullis semitoniis occupatur. Tametsi inter ea B [sqb] vis semitonium collocare, a puncto Y huius secundae divisionis ad S scabelli spatium interceptum divide in tres partes, quarum unam ab ipso puncto Y remitte et erit pars remissa inter A primum et [sqb] quadrum primum ante primum B fictum rotundum in puncto [CSM7/3:249] [UGOTRAM 04GF], et si ab eo puncto [CSM7/3:249] [UGOTRAM 04GF] ad punctum S scabelli spatium dividas in duas partes erit pars prima inter A secundum et [sqb] quadrum secundum prope secundum B fictum rotundum secundum in puncto [CBd] faciens diapason cum puncto [CSM7/3:249] [UGOTRAM 04GF], et si ab ipso puncto [CBd] ad S scabelli spatium dividas in duas partes, erit pars prima inter tertium A et tertium [sqb] quadrum prope tertium B fictum rotundum in puncto [CTd] faciens diapason cum puncto [CBd]. Hac autem sic ficte producta inter semitonia consonantia, licet rarissime cantores utantur in cantibus, possumus tamen ea uti in monochordo vel organis et erit antiquo more producta. Antiqui enim in suo chromatico genere per diesim et diesim quae est semitonii [250] minoris medium procedebant, quo modo dulcissima offerebatur auribus harmonia. Sic igitur inter duas litteras tonum resonantes in toto monochordo duo habemus inventa semitonia quibus ad perficiendum et colorandum monochordum redditur vere perfectum. Fiat ergo figura primam et secundam monochordi continens divisiones, cui primae divisionis ficta semitonia plena sint, secundae autem vacua vel rubea. Hac enim divisionum unitate distincta erunt maiora et minora semitonia ficta, quibus ad consonantiarum et dissonantiarum perfectionem earumque integram colorationem poterimus uti.

[251] [CSM7/3:251; text: T, Y, S, V, X, Z, 7, 9, coma, A, B, [sqb], C, D, E, F, G, M, I, O, L, H, N, K, P, Q, R, Semitonium maius, Semitonium minus] [UGOTRAM 06GF]

[252] Ex his igitur duabus monochordi divisionibus sic unitis, quoniam et maiora sunt ibi semitonia atque minora quibus et imperfecta perficiuntur et perfecta colorantur, ipsum monochordum vere dicitur esse perfectum. Nam potest intelligens organista maiore uti semitonio atque minore, altero quidem ad perfectionem, altero vero ad colorationem. Omni igitur ex parte haec unita divisio perfecta est.

Quidam autem ultra praedictam divisionum unitatem recta semitonia etiam dividunt in duas partes, nam primum rectum semitonium a primo C ad S scabelli quod est inter E primum et F primum sive eius spatium dividunt in duas partes aequales, facientes de eo spatio inter ipsa E et F duplicem diesim quae, ut dictum est, ipsius minoris semitonii integra medietas est, quarum diesum medius punctus sit gratia exempli circulus cum tribus punctis talis [O3d]. A quo puncto a S scabelli si spatium dividas in tres partes erit pars prima inter [sqb] quadrum secundum et C secundum in puncto tali [O2d] faciens cum puncto [O3d] diapente.

Et si a puncto [O3d] dividas spatium ad S ut est divisum in tres partes et unam remittas, erit remissa inter [sqb] quadrum primum et C primum in puncto [Od] resonans ad punctum [O3d] diatesseron remissum. Qui punctus [Od] ad punctum [O2d] diapason facit consonantiam.

Item si ab ipso puncto [O3d] ad S scabelli dividas spatium in duas partes, erit pars prima inter E secundum et F secundum in puncto [CSM7/3:252] [UGOTRAM 04GF], faciens cum puncto [O3d] diapason consonantiam.

Et si ab ipso puncto [O2d] ad S scabelli spatium dividas in duas partes, erit pars prima inter tertium [sqb] quadrum et tertium C in puncto semicirculi cum puncto [Cd], faciens cum puncto [O2d] diapason etiam consonantiam. Et ab ipso puncto [O2d] ad punctum [Cd] erit diatesseron, sed a puncto [CSM7/3:252] [UGOTRAM 04GF] ad punctum [Cd] erit diatesseron, sed a puncto [CSM7/3:252] [UGOTRAM 04GF] ad punctum [Cd] erit diapente. Similis potest fieri divisio omnium rectorum semitoniorum in toto monochordo. Sed hac ficta rectorum semitoniorum divisione in cantibus non utuntur moderni. Utebantur autem antiqui qui ut dictum est semitonium minus in duas dieses dividebant. Huius autem divisionis demonstratio est haec.

[253] [CSM7/3:253; text: Diapason, Diatesseron, Diapente, T, Y, S, V, X, Z, 7, [9], coma, [sqb], C, D, E, F, G, A, B, duae dieses, M, I, O, L, H, N, K, P, Q, R] [UGOTRAM 06GF]