Back to top

[f.LXXr] Liber tertius

De Continua proportionalitate Arythmetica et eius proprietatibus Caput Primum.

RAtionem extremorum sonorum in harmonia inuicem consonantium harmonica medietas notissime disposuit. Verum cum tres tantum proportionalitates: quas et medietates seu mediocritates uocant: [Pythagoras. Plato. Aristoteles. in marg.] Pythagoras et Plato atque Aristoteles profiterentur: Arythmeticam primum medietatem. Inde Geometricam: post has Harmonicam statuerunt.

[Proportionalitas quid? in marg.] Est enim Proportionalitas duarum uel plurium proportionum inuicem coniunctio.

Proportio autem duorum terminorum inuicem habitudo.

[Proportionalitas continua et disiuncta. Proportionalitas Arythmetica. in marg.] Proportionalitatum autem quaedam continua seu coniuncta dicitur: quae scilicet tribus tantum terminis constat: ut hic .2.3.4. Quaedam discontinua seu disiuncta nominatur: in quattuor aut pluribus terminis constituta ut hic .1.2.3.4.

[Prima proprietas arythmetice medietatis continuae in marg.] Primam igitur posuere Arythmeticam: iccirco quod in naturali numerorum progressione ab ipsa unitate deducitur: Cui (quum continua fit: tribus scilicet tantum terminis disposita) proprium est: medium terminum recto coniunctarum extremitatatum dimidio quantitate coaequari. [Secunda proprietas. Tertia proprietas. in marg.] Rursus quemadmodum omnis ad se ipsum se habet in hac dispositione terminus ita differentia ad differentiam disponitur. Cum autem [f.LXXv] aequales terminorum differentias ducat: inaequales continet proportiones minoribus quidem numeris maiores: ac minores maioribus sustinens: quae quidem hac ipsa dispositione consyderantur .1.2.3. Binarius enim qui medius est: dimidio quaternarii producti ex ternario et unitate qui extremi sunt: coaequatur. Sicuti quoque unsquisque terminus sibi ipsi est aequalis: ita differentia maiorum ad minorum differentiam noscitur coaequalis. nam unitas ternarii et binarii differentia: eidem quae binarii et unitatis efficit differentiam aequa est. Rursus binarius ad unitatem cum minores sint numeri quam ternarius ad binarium maiorem continent proportionem: maior enim est dupla .2. ad .1. quam sesqualtera .3. ad .2.

[Quarta proprietas. in marg.] Medius insuper terminus eadem sui parte et minorem uincat et a maiore superetur necesse est. Alia tamen minoris parte: aliaque maioris: ut hac constat dispositione .2.3.4. Medius namque terminus uidelicet ternarius tertia sui parte scilicet unitate: et binarium excedit et a quaternario superatur. Alia tamen minoris parte ipsum supergreditur minorem scilicet dimidia. Alia maioris parte scilicet quarta exceditur a quaternario. namque sola differunt unitate: quae binarii dimidium est: et quaternarii pars quarta: atque ipsius ternarii pars tertia.

[Quinta proprietas a Nicomacho exquisita. in marg.] Addendum est et aliud Arychmeticae medietatis proprium quod Boetius noster a solo Nicomacho consyderatum putat: quum tres termini ita disponuntur ut inter utrosque unus naturaliter numerus intermittatur hoc modo .4.6.8. quod alterutra extremorum terminorum multiplicatione concrescet: minus erit eo quod ex medio in se ipsum adaucto superuenerit: ea ipsa quantitate quam ipsorum terminorum differentiae in unum collectae producent. Nam quaternarius octies sumptus: seu etiam octonarius quater ductus numerum .32. perficit. Senarius uero in se ipsum ductus numerum .36. implet: sed .36. numerus numerum .32. excedit quaternario: quem collectae differentiae scilicet bis binarius noscuntur implere.

[Sexta proprietas. in marg.] Id quoque duximus lectorem non latere: quod quum fuerint dispositi tres termini arythmeticam medietatem continentes inter quos sint aequaliter intermissi numeri: si solus numerus inter utrosque consyderetur binarius differentias faciet ut hic .2.4.6. solus namque ternarius inter binarium et quaternarium: et inter quaternarium et senarium solus quinarius adiacet: quo fit ut utranque differentiam binarius efficiat.

Si autem duo fuerint inter dispositos terminos intermissi numeri [f.LXXIr] ternarius differentias faciet: hoc modo .2.5.8. nam inter binarium et quinarium ternarius et quaternarius admittuntur. Inter quinarium autem et octonarium senarius et septenarius: iccirco utranque facit ternarius differentiam.

Quod quum tres intermissi fuerint numeri: quternarius utranque efficiet differentiam: ut hac dispositione probatur .2.6.10.

Sicque ad infinitum haec ipsa consyderatio uno semper plus utranque differentiam ducet quam fuerint numeri intermissi. Quod quidem tam in disiuncta quam in continua proportionalitate arythmetica euenire contingit: ut haec monstrat dispositio .2.6.10.14.18.22.

De disiuncta proportionalitate arythmetica et eius proprietatibus Caput Secundum.

EVeniunt item deductae proprietates in disiuncta mediocritate arythmetica: in qua unius proportionis alter numerus sit dux: alter comes. rursus alterius proportionis alter sit comes numerus: dux alter: ut horum percipitur dispositione numerorum .1.2.3.4.

Maior enim numerus ut supradiximus dux uocatur: comes uero minor.

[Disiunctae medietatis Arythmet cae prima proprietas. in marg.] Haec autem disiuncta proportionalitas quae duos tantum medios numeros inter extremos claudit: medios ipsos duobus ipsis extremis noscitur coaequare. nam sicuti quaternarius et unitas quinarium implent: ita binarius et ternarius ipsum quinarium ducunt.

[Secunda proprietas in marg.] Quod si inter extremos interducti fuerint tres termini ut hic .1.2.3.4.5. tunc quod productum fuerit ex duobus extremis simul unitis: id idem producetur ex his qui ipsis fuerint extremis propinquiores. Rursus is terminus qui recte medius est rectum et integrum extremorum dimidium: atque eorum quoque qui extremos continuant perficiet. Quo fit ut quemadmodum quinarius et unitas senarium faciunt: ita quaternarius et binarius ipsum senarium monstrent: et Ternarius qui recte medius est dimidium probet senarii.

[Tertia proprietas. in marg.] Interpositis autem quattuor numeris: tunc qui extremos continuant ipsis extremis coaequantur. ac rursus ii qui recte medii uocitantur: ut hac dispositione notatur .1.2.3.4.5.6. Nam sicuti senarius et unitas qui [f.LXXIv] extremi sunt termini septenarium probant: ita quinarius et binarius: qui extremis ipsis continui sunt septenarium attingunt: atque item quaternarius et ternarius medio loco collocati: ipsum septenarium implent

Quum autem maiorem numerorum summam ipsis extremis interduxeris: eandem semper huius disiunctae mediocritatis arythmeticae proprietatem et conuenientiam inuenies. Vt si secundum parem numerum facta fuerit inter extremos terminos numerorum interiectio: duo altrinsecus medii termini inter extremos scilicet utrinque dispositi: extremis ipsis efficiantur aequales.

Quod si impar fuerit interpositorum numerorum dispositio: duo termini utrinque coniuncti duobus semper extremis erunt aequales. Rursus numerus ille qui recto medio fuerit collocatus: dimidiam extremorum partem continebit. seu medius additus sibi profundit numerum aequalem ei qui ex additione fit extremorum. Idem quoque fit quando termini aequae ab se inuicem distant ut in .3.6.9 tantum enim faciunt extremi hoc est .3. et .9. quantum medius sibi metipsi additus: et eodem modo in .4.8.12. Sic in .5.10.15 atque in aliis similiter.

De Continua proportionalitate Geometrica: et eius proprietatibus Caput Tertium.

GEometricam medietatem continuam in tribus tantum terminis disponunt mathematici: quae cum omni ex parte tam terminorum quam differentiarum aequis proportionibus contexta sit proportionalitas proprie nuncupatur. Euenit quidem quoties duos quadratos numeros disponimus extremos: nam unus semper medius interiacet: qui ad ambos extremos aequas proportiones probat: ut inter .4. et .9. qui primi sunt quadrati: senarius: qui ad .4. sesqualteram facit: et ad senarium ipsum nouenarus similiter sesqualteram implet. Atque inter .9. et .16. duodenarius utrinque sesquitertiam ducit. Rursus inter .16. et .25 numerus .20. sesquiquartam efficit utrinque. Et inter .25. et .36. sesquiquintam utrinque numerus .30. concludit et deinceps. Et nota quod medius terminus producitur ex ductu unius lateris in aliud latus; ut duo per tria uel tria per duo qui sunt latera primorum quadratorum [f.LXXIIr] uidelicet .4. et .9. et resultat senarius superficialis qui inter ipsos quadratos dispositus aequas probat proportiones cum extremis. Est enim proportio unius quadrati ad alterum tanquam proportio sui lateris ad latus alterius duplicata. Si uero quaeramus proportionem triplicatam necesse est multiplicare extrema cubice id est quadratos extremos per propria latera: ac medium proportionabilem ipsis lateribus producere duosque productos medios collocare ut his constat numeris.

[Gafurius, De harmonia musicorum, f.LXXIIr; text: Proportio Lateram triplicata, numerus cubus, sesquitertia, 64, 48, 36, 27, Proportio Laterum duplicata, numerus quadratus, Deductio Lateris in Latus, 16, 12, 9, Superficialis, Latus, 4, Proportio sesquitertia, 3] [GAFHAR3 01GF]

[Irodanus, Iacobus Faber. in marg.] Nam in quarta sexti Iordanus et eius interpres Iacobus fabri stapulensis proportio cubi ad cubum est tanquam proportio lateris ad latus triplicata, unde Certum est inter quoslibet duos quadratos Vnum: atque inter cubos Duo aeque proportionabiliter media consistere. Non igitur aequales numerorum differentias geometica admittit sed aequalitatem in proportionibus consyderat: quo fit ut Arythmeticae medietati in qua aequae sunt differentiae et proportiones inaequales: geometrica proportionalitas [f.LXXIIv] noscatur esse diuersa. [Deductio continuae proportionalitatis Geometricae in marg.] Tres igitur terminos ita disponit Continua proportionalitas geometrica: ut quam proportionem habuerit maximus terminus ad medium: eam medius seruet ad minimum: ac rursus differentia maiorem terminorum eandem proportionem ad minorum differentiam probet: ut si duplae fuerint habitudines hoc modo .1.2.4. Si triplae .1.3.9. Si quadruplae sic .1.4.16.

Sicuti enim se habet binarius ad unitatem: ita quaternarius ad binarium: et differentia maiorum ad minorum differentiam terminorum: sunt equidem omnes proportiones duplae.

Rursus sicuti se habet ternarius ad unitatem: ita nouenarius ad ternarium: et differentia maiorum terminorum ad minorum differentiam utraque enim est proportio tripla.

Item sicut se habet quaternarius ad unitatem: ita se habet .16. ad .4. atque similiter differentia maiorum quae est .12. ad minorum differentiam scilicet 3. fiunt quidem omnes quadruplae proportiones.

In reliquis item multiplicibus coniunctis consimilis procedit consyderatio.

Idem quoque ex conuersis terminis comprobatur: puta quum ex minoribus ad maiores terminos processerit speculatio: nam Geometrica semper proportionalitas inuenitur. Sunt enim ita aequae proportiones 1. ad .2. et .2. ad .4. ueluti .2. ad .1. et .4. ad .2.

[Prima proprietas in marg.] Continuae insuper proportionalitati geometricae Id euenit: quod Medius terminus non eadem sui parte et minorem excedit et a maiore superatur. Neque eadem minoris parte ipsum superat minorem Eademque maioris ab ipso maiore deuincitur: sed qua parte sui uincit minorem: eadem parte maioris exceditur ab ipso maiore: ut hac constat dispositione .4.6.9. Medius enim uidelicet senarius tertia sui parte scilicet binario minorem excedit: ac parte maioris tertia scilicet ternario superatur a maiore. Rursus media minoris parte ipsum excedit minorem: ac media eius parte uincitur ab ipso maiore. Quo fit ut maximus terminus medium: [Secunda proprietas in marg.] ac medius minimum aequalibus partibus suis superuadant.

Contingit insuper huic continuae proportionalitati geometricae: quod extremi termini in se ipsos alternatim ducti: aequales erunt eidem quantitati quae ex medio in se ipsum multiplicato concrescet: ut his compraehenditur numeris .2.4.8. nam octonarius binario ductus sexdecim efficit: rursus quaternarius qui medius est in se ipsum adauctus sexdecim similiter monstrat.

Hinc Geometricam Arythmeticae in qua medius [f.LXXIIIr] terminus in se ipsum ductus: alternam extremorum multiplicationem excedit: oppositam esse constat.

[Proprietas quum ex duplis contexitur in marg.] Deducta autem geometrica proportionalitate ex duplarum proportionum dispositione: maioris et minoris numeri: uniuscuiusque proportionis differentiam minor ipse constituet: ut hic .1.2.4. Nam binarii ad unitatem unitas ipsa differentiam probat. rursus quaternarii ad binarium binarius ipse est differentia. Et in reliquis duplis idem est ordo: nam minor semper numerus erit amborum terminorum differentia.

[Proprietas in triplis deducta. in marg.] Quod si ad Triplarum dispositionem perueneris: maioris atque minoris differentiam minor ipse duplicatus ostendet. ut .1.3.9. nam differentia ternarii ad unitatem est binarius qui ex duplicata unitate productus est. rursus nouenarii ad ternarium differentiam probat senarius: qui ex duplicato ternario procedit. In aliis quoque triplis eundem constat processum non latere.

[Proprietas in quadruplis considerata. in marg.] Deductis autem quadruplis minor terminus ter ductus terminorum monstrabit differentias ut hic .1.4.16. Quaternarii enim ad unitatem differentiam ternarius efficit: qui ex triplicata unitate creatus est. Item inter .16. et .4. duodenarius differentia est: qui ex quaternario ipso ter ducto perficitur. Caeterarum item quadruplarum eadem consyderatio procedit.

[Proprietas in quintuplis probata. in marg.] Quum autem fuerint quintuplae proportiones dispositae quater ductus minor terminus differentiam disponet ut .1.5.25.

[Proprietas in sexcuplis disposita. in marg.] Ducta in sexcuplis consyderatione: minor numerus quinquies ductus differentiam producet. ut hic .1.6.36.

[Tertia proprietas generalis. in marg.] Eritque semper huiusmodi multiplicatio una minus quam maior ipsius proportionis numerus. ut si senarium ad unitatem comparamus: unitas ipsa quinquies ducta efficiat differentiam scilicet quinarium: qui ab ipso maiore uidelicet senario sola unitate superatur.

De Disiuncta proportionalitate Geometrica: eiusque proprietatibus Caput Quartum.

DIsiunctam seu discontinuam proportionalitatem geometricam in quattuor aut in pluribus terminis comperiri necessum est. [Disiunctae proportionalitatis geometricae in quattuor terminis dispositae proprietas. in marg.] In quattuor quidem hoc modo .2.4.8.16

In hac enim dispositione sicuti se habet .4. ad .2. ita se habet .16. ad .8.

Rursus sicuti se habet dux unius proportionis [f.LXXIIIv] ad ducem alterius ut .16. ad .4. ita se habet comes unius ad comitem alterius scilicet .8. ad .2. Atque ita etiam maiorum differentia scilicet 8. ad minorum differentiam quae est .2. Vtrinque enim quadruplae exeunt proportiones.

[In sex terminis dispositae propri in marg.] Constat plerumque et in pluribus terminis disiuncta proportionalitas geometrica: ut si in sex terminis disponatur hoc ordine .2.3.4.6.8.12. In his enim sicuti est ternarius ad binarium: ita se habet senarius ad quaternarium: et duodenarius ad octonarium. Rursus differentia duodenarii ad senarium scilicet 6. ad differentiam octonarii ad quaternarium quae est .4. Item differentia senarii ad ternarium scilicet 3. ad differentiam quaternarii ad binarium quae est .2. Omnes namque sunt sesqualterae.

Verum si sex ipsos terminos in duas continuas medietates distinxeris: hoc modo .2.3.4.X.6.8.12. tres ipsi minores termini non eandem medietatem custodient: quae in maioribus tribus terminis est constituta: quanquam extremi termini in utrisque unam eandemque monstrant ad se inuicem proportionem: uidelicet duplam: ut .4. ad .2. et .12. ad 6. Sed tres minores termini arythmeticam medietatem continuam: tres uero maiores continuam (ut sequenti capite deducitur) probant medietatem harmonicam. [Leo Baptista Albertus. Ioannes Linerius in marg.] Ac de iis quidem complurima acutissime deducit Leo Baptista Albertus libro nono rei aedificatoriae paraphode iis nobis dicendum est: et Ioannes Linerius: atque in Algorismo integrorum ubi de progressione tractatur lucidius explicantur.

De Coniuncta proportionalitate harmonica et eius proprietatibus Caput Quintum.

TErtiam uero medietatem (quod in ipsa pene sola proportiones coniunguntur musicarum consonantiarum quae simphoniae nominantur facile inueniri solent ut quadragesimo octauo secundi Arythmeticae Boetius asserit) harmonicam nuncuparunt; quam Arythmeticae et Geometricae diuersam ponunt; cum neque aequalibus terminorum differentiis: et maiore in minoribus terminis proportione in maioribus minore: deducta sit ut Arythmetica: Neque aequalibus et terminorum et differentiarum proportionibus ut Geometrica: sed ea consyderatione in tribus terminis disponitur: ut maximi [f.LXXIIIIr] ad minimum proportio: [Prima et potisssa proprietas medietatis harmonicae in marg.] aequa sit proportioni differentiarum uidelicet quae fit ex differentia maiorum ad minorum differentiam terminorum et in maioribus numeris maior sit proportio in minoribus minor ut hic .3.4.6. Quemadmodum enim senarius ad ternarium duplam facit: ita differentia maiorum scilicet senarii ad quaternarium quae est binarius: ad minorum differentiam uidelicet quaternarii ad ternarium quae est unitas duplam probat. rursus maior est quae ex maioribus numeris scilicet .6. ad .4. euenit proportio sesqualtera: ac minor sesquitertia quae inter .4. et .3. minores terminos est constituta. Tanto profecto sesqualtera proportio sesquitertiam uincit: quanto pars dimidia tertiam percipitur partem superare.

Quod si triplas duxeris proportiones inter extremos terminos et terminorum differentias ut hic .2.3.6. eandem harmonicae mediocritatis inuenies proprietatem. namque senarius ad binarium tripla est: ac rursus ternarius maiorum terminorum differentia: ad unitatem: quae minorum efficit differentiam: triplam probat. Maior item in maioribus numeris consistit proportio uidelicet in .6. et .3. dupla: et in minoribus scilicet .3. et.2. sesqualtera minor.

Geometrica itaque proportionalitas non inconuenienter mediocritas quaedam uocitata est quippe quae aequis et omnium terminorum et differentiarum proportionibus naturaliter disposita: medio quodammodo fruitur loco: inter eam scilicet quae in minoribus numeris maiorem tenet proportionem et in maioribus minorem: et eam in qua maiores numeri maiorem et minores minorem ducunt proportionem.

[Secunda proprietas. in marg.] Harmonicae item mediocritati id competit: quod Medius terminus non eadem sui parte minorem excedit et uincitur a maiore: sed qua parte minoris ipsum superat minorem: ea parte maioris ab ipso maiore superatur ut hac constat dispositione .2.3.6. ternarius namque medietate minoris excedit ipsum minorem id est unitate: et medietate maioris scilicet ternario: exceditur ab ipso maiore.

[Tertia proprietas in marg.] Rursus Harmonica mediocritas continua: extremos terminos coniunctos medio duplicato maiores expostulat: [Iordanus in marg.] quod decimo suae Arythmeticae Iordanus posuit. nam superioris dispositionis scilicet 2.3.6. senarius et binarius in unum collecti octonarium implent: ternarius uero qui medius est si duplicetur senarium facit: octonarius autem maior est senario.

[Quarta proprietas in marg.] Asserit insuper Iordanus ipse harmonicae mediocritati competere: quod contentum sub mutua extremorum multiplicatione aequum est quadrato medii cum eo quod fit ex differentia in differentiam ut hic constat .3.4.6 senarius enim ternario [f.LXXIIIIv] ductus numerum .18. facit: sed quaternarius qui medius est in se ipsum ductus .16. efficit: At si unitas quae minoris et medii differentia est in binarium ducatur qui maioris et medii probat differentiam solus binarius in consyderatione manebit: hunc quadrato medii superaddo et fiunt .18. hic igitur ad mutuam extremorum multiplicationem aequaliter accedit: quod et his terminis aperte conspicitur .2.3.6. Colligitur quoque haec consyderatio hoc modo: Mutua extremorum terminorum multiplicatio tantum efficit quantum quadratum medii cum sola maiorum terminorum differentia.

[Quinta proprietas in marg.] Est et Aliud harmonicae mediocritatis proprium. quod Illud quod fit ex medio in extremos duplum est eius quod fit ex ductu unius extremi in alternm. Vt si extremos terminos in unum collectos medius terminus multiplicauerit: quod ex illa multiplicatione concrescet: duplum erit eius: quod ex ipsis extremis in se ipsos ductis resultabit. ut horum terminorum disposita consideratione percipitur .2.3.6 Senarius enim et binarius simul iuncti octonarium ducunt: hunc si ternarius qui medius est multiplicet concrescet numerus .24. Quod quum sese extremitates multiplicent scilicet aut binarius senarium aut senarius binarium eueniet duodenarius numerus: quem numerus .24 duplo superuadit. Quod etiam notatur ex dupla extremorum dispositione ut hic .3.4.6. Nanque senarius et ternarius simul iuncti nouenarium implent: qui per quaternarium multiplicatus efficit .36. sed senarius ternario multiplicatus numerum .18. profundit qui .36. numeri dimidium est. Quae igitur huic harmonicae Medietati essentialiter accidentaliterque conuenire numeris ipsis perceperis: ea ipsa chordarum extensionibus in esse comperies. Quae uero terminorum differentiis ascripta sunt Intereapedinibus ipsis applicantur et in sunt. Verum quanquam Collocantur et comperiuntur Musicae proportiones atque Consonantiae etiam in Arythmetica medietate his numeris .1.2.3.4 aut hoc modo .3.6.9.12. ut trigesimaquarta tertii Musices Faber ipsae monstrat [Iacobus Faber. in marg.]: non tamen harmonice mediantur: cum omnia ei non contingant quae medietatis harmonicae deffinitioni conueniunt. At trium ipsarum Medietatum Arythmeticae scilicet Geometricae et harmonicae descriptiones his figuris apertissime discernuntur.

[f.LXXVr] [Gafurius, De harmonia musicorum, f.LXXVr; text: Proportionalitas arythmetica, differentiae Equales, 1, 2, 3, 4, proportio sesqualtera, proportio sesquitertia, Inequales proportiones, proportionalitas geometrica, proportio dupla, differentiae inequales, 8, Equales proportiones, Mediocritas harmonica, differentiae, 6, proportio equaproportionalis differenarum] [GAFHAR3 02GF]

Quod In harmonica medietate omnium symphoniarum proportiones comperiuntur Caput Sextum.

ARmonica igitur medietate continua tribus scilicet terminis constituta hoc modo .3.4.6. quum maximum terminum ad eius atque medii termini differentiam consyderaueris quae est .2. triplam: qua diapason ac diapente deducitur illico demonstrabis. Quod si quaternarium qui medius est: ad eius et paruissimi differentiam scilicet unitatem comparaueris: quadruplam perficies: quo fit ut terminorum ad continuas sibi differentias maiores etiam deducantur proportiones quibus consequenter maiores quam quae ex extremis dispositis terminis euenerit symphonia consonantiae prodeant Maior enim est tripla et quadrupla: quam dupla quae ab extremis scilicet 6. et 3. terminis est producta.

Sed haec ipsa harmonica mediocritas continua quod tribus tantum terminis deducta sit: huiusmodi consyderatione non uidetur esse contenta: cum solum medium inter extremos petierit et in maioribus numeris in hac dedutione maiorem atque consonantiam auctiorem: ac minorem in minoribus: quod secus in hac consyderatione repertum est: quia cum .6. ad .2. maiores sint quam .4. [f.LXXVv] ad .1. minorem ducunt proportionem cum hi quadruplam: Illi triplam concipiant habitudinem. sed quadrupla proportio triplam sesquitertia habitudine uincit.

Attamen harmonicae medietatis continuae uel terminorum uel differentiarum in se inuicem multiplicatio: omnes perfecti disdiapason systematis symphonias (ut secundo quarti theoricae deduximus) facile declarat. Nam quum in superiore trium terminorum dispositione: differentia maioris et medii quae est .2. in medium ipsum scilicet quaternarium ducta fuerit: octonarius eueniet. Minimus uero scilicet ternarius in se ipsum ductus nouenarium implet. rursus si medius minimum uel e conuerso duxerit. fiet .12. Medius iusuper in se ipsum ductus sexdecim ducit. Sed extremi inuicem sese multiplicantes faciunt .18. Quod si medius uidelicet quaternarius in senarium ducatur fient .24. Nouenarius item ternario ductus .27 perficit. Quaternarius autem nouenarium multiplicans .36. numerum attingit. qui ad ipsum nouenarium quadruplam probat proportionem disdiapason continentem. Quorum quidem omnium naturalis descriptio fit hoc ordine .3.4.6.8.9.12.16.18.24.27.36. In his igitur terminis ex harmonica huiusmodi medietate deductis: omnium symphoniarum rata conceptio facile percipitur.

[Tonus, Diatessaron, Diapente, Diapason, Diapason diapente. Bisdiapason in marg.] Namque .9. ad .8. sesquioctaua est et tonus .12. ad .9. sesquitertiam probat ac diatessaron. sed .12. ad .8. sesqualteram ac diapentem. Verum .16. ad .8. duplam efficit: hinc diapason. Rursus .18. ad .16. sesquioctauam monstrat. ac .18. ad .9. duplam. At numerus .24. ad .8. triplam. diapason diapenten. atque .27. ad .9. triplam. sed. 36. ad .9. quadruplam disdiapason perfectum ac plenum systema harmonicum producentem.

Recte itaque dictum est harmonicam mediocritatem ita esse dispositam: ut huiusmodi consyderationibus omnis symphoniae ratio in ipsa facile comperta sit.

De consyderatione Arythmeticae et Geometricae atque harmonicae medietatis incommunibus extremitatibus Caput Septimum.

TRium autem praedictarum mediocritatum constitutio communibus plerumque extremitatibus demonstratur: mutato tantum medio termino. Quod et in musicis euenit instrumentis. nam data tibia: ita erunt immutabilia extrema foramina: [Tibia in marg.] ut modulans tibicen medium tantum foramen permutet: aliud aperiens: aliud digitis occludens: atque ita [f.LXXVIr] uicisim sonorum concipitur diuersitas. [Chordae sonorae in marg.] Rursus extensis duabus sonoris altrinsecus chordis (ut si diapason inuicem consonent) medium sonum musicus uel chordam intendens aut remittens: illico uariabit. Ita quoque dispositis duobus extremis numeris solo medio permutato unaquaeque ipsarum medietatum facile conscribetur.

[Arythmetica medietas in paribus et extremis terminis consyderata in marg.] Sint igitur secundum parem numerum dispositae communes extremitates decem et quadraginta: hoc modo .10.40. Si Arythmeticam querimus medietatem interponetur medius terminus qui ad extremos aequas teneat differentias: sed proportiones inaequales ex maioribus quidem minorem proportionem et ex minoribus maiorem: sit hic numerus uiginti et quinque: qui omnes sic disponantur .10.25.40 In huius enim arythmeticae medietatis dispositione omnes quas supra rettulimus arythmeticae proportionalitatis proprietates consyderantur.

[Geometrica comunibusextremtatibus ac paribusducta in marg.] Quod quum Geometricam proportionalitatem eisdem extremitatibus coaptare tentauerimus medium disponemus terminum: qui ad minorem eandem ducat proportionem quam maximus habuerit ad ipsum: ac rursus eam ipsam maiorum efficiat differentia terminorum ad minorum differentiam: Erit enim bisdenus numerus hoc ordine dispositus .10.20.40. In hac item consyderatione: omnes quas supra duximus Geometricae proportionalitatis proprietates percipiuntur.

[Harmonica paribus et comunibus extremis sita in marg.] Harmonica autem medietas eisdem extremitatibus coaptabitur: quum medium terminum ita introduxeris ut maiorum terminorum differentia ad minorum differentiam: eandem teneat proportionem: quam extremi inuicem termini uidelicet maximus ad paruissimum noscitur obtinere. Et in maioribus terminis maior extiterit proportio: in minoribus minor. fit itaque denarius cum senario medius terminus hoc ordine .10.16.40. Atque iccirco haec ipsa dispositio: predictas omnis harmonicae medietatis continet proprietates.

[Tres ipsae medietates comunibus et imparibus extremitatibus consideratae in marg.] Dispositis autem secundum imparem numerum communibus extremitatibus (sint enim quinque et quadragintaquinque) medius quidem interducatur terminus: qui uariabili consyderatione singulas ipsas mediocritates ualeat indicare.

Vt quum Arythmaticam mediocritatem describere tentauerimus: hoc modo .5.25.45.

Si Geometricam: his numeris .5.15.45.

At his terminis .5.9.45. harmonicam disponemus.

[Nicomachus, Boetius in marg.] Quo autem ordine medii ipsi termini queritentur quoniam Nicomachus et Boetius noster quinquagesimo secundi Arythmeticae atque sextodecimo secundi musicae lucide tradiderunt breuitati consulentes duximus ommittendum.

[f.LXXVIv] Quibus rebus publicis tres ipsae medietates comparantur. Ac de septem aliis medietatibus posterius adinuentis Caput octauum.

[Pythagoras, Plato in marg.] SEd praedictas tres medietates Pythagoras et Plato ita rerum publicarum magistratibus compararunt: [Res publica Arythmeticae mediocritati ascripta. in marg.] ut ei rei publicae quae a paucis regitur Arythmeticam ascriberent mediocritatem: quippe quae maiorem paucioribus numeris auctoritatem tribuit et proportionem.

[Res publica Geometricae proportionalitati applicata in marg.] Eam uero rem publicam quae a cunctis (etiam popularibus) gubernatur: quoniam in maioribus et minoribus paritas quaedam seruatur mediocritatis aequum in proportione distribuentis: quasi quodammodo ex ciuitatis aequalitate deductam: geometrica: quae aequalibus terminorum ac differentiarum proportionibus contexitur: proportionalitate notarunt.

[Res publica harmonieae medietati confornus. in marg.] Medietas autem harmonica quod maioribus numeris maiorem notet proportionem: ei ascribitur rei publicae: quae optimatum quos maiore ciues obseruant auctoritate regitur dispositione.

Sed haec quoque septimo tertii theoricae nostrae: et quadragesimoquinto secundi Arythmeticae Boetii deducta sunt.

Post tres autem predictas antiquiores medietates Posteritas tres alias consyderauit prioribus ipsis diuersas.

[Medietas harmonicae medietati contraria. in marg.] Ac primam quidem harum. his numeris probant .3.5.6. qnam harmonicae medietati continuae diuersam sentiunt: cum in harmonica: quam proportionem facit maximus terminus ad paruissimum: eam ipsam maiorum terminorum differentia ad minorum efficit differentiam terminorum (In hac autem e contrario) namque minorum terminorum differentia ad maiorum differentiam terminorum eam ipsam ducit proportionem quam maximus terminus ad minimum noscitur perficere. Senarius enim ad. ternarium duplam monstrat. rursus differentia minorum terminorum .3. et .5. est binarius: ac maiorum terminorum scilicet .6. et .5. differentiam efficit unitas. sed binarus ad unitatem duplam probat proportionem: quemadmodum senarius ad ternarium. Recte igitur opposita nominatur harmonicae medietati cum proprium uocabulum minime sit sortita. ac duae reliquae sequentes eodem modo.

[Proprietas huius medietatis. in marg.] Conuenit autem huic medietati ut quum maximo termino medium multiplicaueris: quod ex ipsa multiplicatione producetur: duplum sit eius quod concrescet si medius [f.LXXVIIr] minimum numerauerit: Nam quinarius sexies ductus .30. facit: Ternarius uero quinquies numeratus quindecim probat: at .30. ad .15. dupla habitudine comparatur. Hanc tamen esse harmonicam et a recta medietate harmonica non differre arbitratur in quadam Epistola ad nos directa Ioannes Bononiensis cognomento spatiarius. [Ioannes Bononiensis. in marg.] Vir (quanquam illiteratus) in Musicis acutissimus Cui hoc modo duximus respondendum Non enim illa est recta Mediocritas Harmonica cui ea desunt accidentia quae Harmonicae Medietati natura obueniunt Nam et si in hac proportionabili terminorum dispositione .3.5.6. Id solum competit ut quum maximo termino medium multiplicaueris: quod ex ipsa multiplicatione concrescet duplum erit eius quod producetur si medius minimum numerauerit: Quod Rectae ac Merae Harmonicae Medietati (qua scilicet Maximi ad minimum dupla fit) non dissonat: In reliquis tamen ab ipsa discrepat. Nam neque in maioribus numeris maiorem tenet proportionem: et in minoribus minorem: neque ex differentia maiorum terminorum ad differentiam minorum fit proportio aequa proportioni Maximi termini ad minimum.

Neque item Qua parte minoris Medius terminus superat minorem. Ea parte maioris ab ipso Maiore superatur: ut natura conuenit Harmonicae Medietati. Rursus neque Extremi termini in unum collecti Medium duplicatum excedunt. Neque Mutuus extremorum terminorum ductus tantum efficit quantum Quadratum Medii cum sola maiorum terminorum differentia. Item Quod fit ex medio in extremos non erit duplum precise eius quod fit ex ductu unius extremi in alterum. Quae quidem omnia accidentia (ut supradictum est) Harmonica ipsa Medietas naturaliter postulat et requirit: ut hac duplarum consyderatione percipitur .3.4.6. Atque in triplis hoc modo peruidetur .2.3.6. Vnde quatro phisicorum Vnum quodque tunc pulcherrime demonstratur uel deffinitur cum ostenditur quod ipsum sit: [Philosophus in marg.] et cum accidentia sua propria ostenduntur sibi inesse. Nam primo de Anima Accidentia multum conferunt ad cognitionem subiecti. [Aristoteles in marg.] Igitur Quicquid tractatur ut primo de officiis Marcus Tullius proposuit debet a deffinitione proficisci. [Marchus Tullius in marg.] Inde Aduertendum est quod sicut huic Medietati .3.5.6. non conueniunt accidentia Harmonicae sic etiam non conueniunt Ipsa Essentialia. Nam ex deffinitione essentiali ipsius Harmonicae habemus Harmonicam Meditatem esse. [f.LXXVIIv] Quum quae est proportio maximi termini ad paruissimum Ea etiam est differentiae Maximi ad Medium ad differentiam Medii ad minimum. Et propterea cum istud deffiniens non ueniat obseruatum in praescripta positione: Euidenter sequitur quod neque in ea reseruantur illa quae ipsius harmonicae Medietatis sunt essentialia. Hinc patet Illam nullo pacto posse uere dici Harmonicam: sed potius oppositam harmonicae: Imo et contrariam: [Boetius in marg.] quemadmodum quinquagesimo tertio secundi Arythmetices Boetius statuit. Verum si diceretur hoc esse de numero accidentium: Tunc Equum esset afferre aliam deffinitionem de qua euidenter ostenderetur Ipsam esse illam quae essentialis et uera dici debeat. Non sic autem illa quam cum Seuerino ipso adduximus. His itaque deductis lucide constat Medietatem hanc .3.5.6. a mera Harmonica esse diuersam: eique admodum contrariam (quanquam ab ipsa Originem trahit) ut quinquagesimo primo secundi Arythmetices diuus ipse Seuerinus asserit. [Diuus Seuerinus in marg.] Verum quum hanc ipsam Medietatem Concinnitati harmonici seu Musici Systematis applicaueris eam concentus admixtione deducens: Quoniam numeris ipsis Chordae proportionaliter disponuntur Differentiis uero quibus uirtuales consonantiarum quantitates habent mensurari Interualla quaequae chordarum annotantur: Tres ipsas chordas huiusmodi proportionibus dispositas simulque percussas: suauissimam illam Harmonicae Medietatis concinnitatem (quam Harmoniam uocant) non senties inuicem consonare. Namque et si Extremae inuicem Diapason aequisonent dupla integraque ac notissima dimensione productam: Media ipsa chorda quinario numero (qui et medius est) denotata Sextam maiorem: idest Diapenten cum tono Acutiori chordae: quae ternario numero descripta est consonat: spatio superbipartiente tertias interducto: At cum Diapente cum tono maiore ducatur proportione quam superbipartiens tertias proportione sesquioctogesima: Superbipartiens ipsa non integre metitur sextam ipsam maiorem ut trigesimosexto secundi deductum est: [Organistae, Cytaredi in marg.] Quam iccirco Artifices organorum et Cytharedi Communicatam seu participatam uocant usui plurimum commitentes et sensui.

Rursus Tertia ipsa minor scilicet semiditoni spatium implens inter grauissimum sonum et medium (quanquam sensui assueta) excessiua est et superfluens: Nam sesquiquinta proportio semiditonum sesquioctogesima proportione [f.LXXVIIIr] supergreditur ut trigesimoquinto secundi pro ductum est. Media itaque huiusmodi Medietatis chorda quoniam et sextam maiorem praecise non implet et tertiam minorem excedit instabilis dicitur et uagans: Cum potissime maius ac grauius amborum interuallorum in diapason consonantia dupla dimensione Minimum non custodiat: quemadmodum in extremis chordis atque terminis harmonicae medietatis duplo inuicem distantibus inuenitur: ut si Proslambanomenen et Mesen extremas Hypaten mesonque mediam chordam simul percutias (quod undecimo capite sequenti conscriptum est) Sunt enim hae omnes chordae integris ac notis dimensionibus deductae. Secus autem sentitur et compraehenditur (ut iam dictum est) quum Proslambanomene ac Mese in extremitate dispositae Parhypate hypatonque media compulsae fuerint: non enim eadem educetur in concinnitate suauitas quae in recta ac mera harmonica medietate percipitur. [Pythagoras, Plato, Aristoteles in marg.] Inde Pythagoras et Plato atque Aristoteles et eos secuti Mediata huiusmodi harmonica chordarum spatia solis multiplicibus et super particularibus dimensionibus concluserunt: ut in deducto naturali et integro Diagrammate diatonico decimo primi atque trigesimo octauo secundi notissime descripsimus. Ipsarum uero concinnitatum Ditoni scilicet et Semiditoni interualla Superparticularibus huiusmodi applicata maius minuendo: [Ptholomeus in marg.] augendo minus Ptholomeus (quod supradiximus) adaptauit: ut decimo octauo secundi In generibus spissis monstratum est.

At Ditono huiusmodi coniuncta Diatessaron in acutum Sextam ipsam maiorem mediabit et concinnam (non tamen harmonice) cum in maioribus numeris ac longioribus chordis minor proportio deducta sit: Semiditono pariter Sextae minoris mediatam producet concinnitatem quasi affines harmonicae Medietatis a qua trahuntur et participes atque cognatas (quanquam ipsa diminutione diuersas)

Verum quum Diatessaron consonantiae superduxeris in acutum integrum seu diminutum ditonum siue etiam rectum uel adauctum Semiditonum Sexta ipsa discorditer mediata manebit: quia nullam habet huiusmodi Mediocritas cum Harmonica medietate essentialem conuenientiam: Nam in hac: longiores chordae minoribus numeris deducuntur et breuiores maioribus: Inde maior in minoribus numeris euenit proportio In maioribus minor: quod proprium est Arythmeticae medietatis in qua [f.LXXVIIIv] differentiae terminorum aequales eueniunt ut his constat numeris .3456

[Prima medietas geometricae medietati contraria. in marg.] Secunda medietas quae et quinta potest in ordine uocitari Geometricae mediocritati continuae dissimilis est his terminis disposita .2.4.5. In hac enim mediocritate: eam facit proportionem medius terminus ad minimum: quam differentia minorum terminorum ad maiorum differentiam. nam .4. ad .2. duplam ducit. et binarius qui differentia est quaternarii ad binarium ad unitatem quaternarii et quinarii differentiam: duplam quoque tenet proportionem. quo fit ut diuersa sit geometricae mediocritati. In qua: eadem proportione differentia maiorum terminorum minorum differentiam custodit: qua medius terminus ad minimum noscitur comparatus.

[Proprectas huius medietatio in marg.] Huius autem medietatis proprium est: quod ex mutua maximi et medii multiplicatione concrescit (puta quinario quaternarius nel quaternario quinarius scilicet 20) duplum erit eius quod alterutra extremorum terminorum multiplicatione consurget: nam uel binarius quinario ductus uel quinarius binario denarium perficit. sed .20. ad .10. duplam habitudinem format.

[Secunda medietas geometricae medietati contraria in marg.] Tertia huiusmodi mediocritas quam quinquagesimo primo secundi Arythmeticae Boetius sextam posuit Geometricae item mediocritati dissimilis est: quae his terminis describitur .1.4.6. In hac enim mediocritate quemadmodum est maximus terminus ad medium: ita minorum differentia ad maiorum differentiam existit namque sicuti .6. ad .4 sesqualteram facit: [Proprietas huius medietatis in marg.] ita differentia quaternarii ad unitatem scilicet ternarius ad differentiam senarii et quaternarii uidelicet binarium: sesqualteram probat.

Est itaque haec mediocritas geometricae mediocritati diuersa propter proportionem differentiarum a minoribus ad maiores terminos conuersam.

Sed tres has mediocritates suis commentariis addiderunt qui post Pythagoram Platonem: et Aristotilem sunt secuti: ut numeri senarii qui propriis partibus aliquotis perficitur attingerent plenitudinem. quarum descriptiones his figuris notissime percipiuntur.

[Gafurius, De harmonia musicorum, f.LXXVIIIv; text: Proportionalitas contraria harmonice. differentie, 2, 1, 3, 5, 6, Proportionalitas contraria geometrice. 4] [GAFHAR3 02GF]

[f.LXXIXr] Posterior autem aetas quattuor alias adinuenit mediocritates: quas sex praedictis connumerauerunt ad perficiendam denariam quantitatem ipsis Pythagoricis summo opere celebrem.

Primam enim ac septimam in ordine posuerunt eam quae in tribus terminis disposita maximum terminum ad minimum ea ducit proportione in qua maximi et paruissimi termini differentia ad minorum terminorum differentiam comperitur: ut hac dispositione consyderatur .6.8.9. Nam si .9. ad .6. sesqualteram facit: differentia nouenarii et senarii scilicet ternarius: ad minorum scilicet octonarii et senarii differentiam quae binarius est eandem quoque sesqualteram monstrat.

Secunda uero harum quattuor atque octaua in ordine proportionalitas in tribus terminis deducitur: quoties quemadmodum sunt extremi ad se inuicem comparati: ita est in eadem proportione ipsorum extremorum differentia ad maiorum terminorum differentiam. ut hi monstrant numeri .6.7.9. namque nouenarii ad senarium ternarius differentia est: rursus nouenarii ad septenarium binarius. sed .3. ad .2. ita sesqualteram facit sicuti et extremi inuicem monstrant scilicet .9. ad .6.

Tertia harum quattuor quae nona in ordine computatur fit: quando dispositis tribus terminis ea quae inter medium terminum et paruissimum cadit proportio reperitur etiam a differentia extremorum ad minorum differentiam terminorum: ut hac constat dispositione .4.6.7. sicuti enim 6. ad .4. sesqualteram ducit: ita extremorum scilicet septenarii et quaternarii differentia ternarius: ad binarium qui minorum uidelicet senarii et quaternarii differentiam facit sesqualteram probat.

Quarta uero ex quattuor quae decimum implet locum concipitur: quoties ita disponuntur tres termini ut ea proportio quae inter medium et paruissimum euenerit: comperiatur etiam inter extremorum atque maiorum terminorum differentias ut hac consyderatur descriptione .3.5.8. nam sicuti est .5. ad .3. superbipartienstertias proportio: ita quinarius ipse differentia extremorum ad ternarium quo maiores termini scilicet .8. et .5. inuicem distant: superbipartientem tertias noscitur comprobare. Quas quidem quattuor medietates subiectae figurae declarans.

[Gafurius, De harmonia musicorum, f.LXXIXr; text: Septima proportionalitas, differentia, 3, 6, 8, 9, 2, Octaua proportionalitas, 7, Nona proportionalitas, 4, Decima proportionalitas, 5] [GAFHAR3 03GF]

[f.LXXIXv] Quod Tres soni secundum Arythmeticam medietatem dispositi: simul atque inuicem ducti discordant. Caput Nonum.

HAbitam hactenus de medietatibus disputationem nostro existimamus parum conferre proposito: nisi qui extremi soni et qui medii simul atque inuicem pulsi in chordotono dissonent consonentue: secundum priorum trium medietatum consyderationem explicetur.

Quo circa: quum eam tetrachordorum dimensionem quam decimo primi secundum genus diatonicum disposuimus diligenter conspexeris: sonos extremos cum medio inuicem modulatos: consonos esse senties qui secundum harmonicam medietatem sese inuicem custodierint: reliquos autem (ut qui secundum arythmeticam aut geometricam fuerint dispositi) discordes inuicem esse comperies.

Quum igitur secundum Arythmeticam mediocritatem tres sonos ita disposueris: ut medius ad extremos inaequales faciat proportiones minorem quidem in maioribus terminis in minoribus maiorem (aequalitate differentiarum computata) tunc soni ipsi inuicem pulsi concentum ipsum reddent dissonum.

[Diapason consonantia arythmetice mediata dissona est. in marg.] Sint uerbi gratia extremae chordae Proslambanomene et Mese: diapason inuicem consonantes: his numeris descriptae .9216. et .4608. quibus media interponatur Lychanos hypaton numero .6912. notata. Cum autem numerus .9216. Proslambanomenos: ad numerum .6912. Lychanos hypaton: sesquitertiam perficiat proportionem (nam ambarum differentia est numerus .2304. medii termini uidelicet .6912. pars tertia) Et medius hic terminus: ad .4608. Meses: sesqualteram probet: quoniam eorum differentia est idem numerus. 2304. pars ipsius minoris dimidia: si tres ipsas chordas simul atque inuicem pulsaueris (quanquam extremae chordae diapason consonantiam ex diapente et diatessaron conceptam concludunt) quoniam arythmetica dispositio est: dissonam atque discordem probabunt modulationem.

[Sesquitertium interuallum aequum est sesqualtero sibi in acutumconiuncto in marg.] Sunt iccirco longitudine aequalia duo ipsa interualla huiusmodi mediata quippe quae ipsis aequalibus terminorum differentiis describuntur. namque sonorum interualla in chordotoni dimensione idem sunt quod in proportionibus terminorum differentiae

[f.LXXXr] Quod Tres soni secundum Geometricam medietatem simul ducti dissonum efficiunt concentum Caput Decimum

SI autem tres sonos secundum geometricam proportionalitatem disponere tentaueris: medium sonum constituas qui ad ambos extremos aequis proportionibus correspondeat: ac differentias pari inuicem proportione coniungat: tunc simul ducti inuicem discordabunt.

Sint igitur extremae chordae Proslambanomene: et Lychanosmeson. numerus .9216. et .5184. descriptae: quibus intermedietur chorda Lychanos hypaton .6912. numero notata. Hos quum alterutra proportione terminos consyderaueris: aequas et terminorum et differentiarum inuenies proportiones.

Nam numerus .9216. ad numerum .6912. sesquitertiam efficit proportionem ac diatessaron consonantiam inter proslambanomenen et lychanon hypaton: eorum namque differentia est numerus 2304. qui minoris ipsius scilicet .6912. pars est tertia.

Numerus quoque .6912. ad numerum .5184. quorum differentiam facit numerus .1728. pars minoris tertia: sesquitertiam habitudinem seruat diatessaron implentem inter Lychanon hypaton et Lychanon meson. Quod si ipsas differentias inuicem compaueris uidelicet .2304. ad .1728. eandem sesquitertiam proportionem comprobabis: cum eorum differentia sit numerus .576. minoris numeri scilicet 1728. pars tertia. Patet igitur eandem esse a Proslambanomene ad Lychanon hypaton proportionem quam inter se monstrant Lychanos hypaton et Lychanosmeson uidelicet sesquitertiam: Atque item Interuallum Proslambanomenos et Lychanos hypaton diatonici spacium quod Lychano hypaton et Lychanomeson intercidit sesquitertia dimensione deuincit.

[Duo tetrachorda in eptachordo geometrica proportionalitate iunguntur. in marg.] Hoc quoque euenit in eptachordo duobus tetrachordis diatonice disposito: nam grauissima ad mediam (puta Hypate hypaton ad Hypatenmeson) sesquitertia habitudine comparatur: ac Media ad acutissimam scilicet Hypatemeson ad mesen: sesquitertiam probat.

Rursus differentia grauissimae ad mediam: ad differentiam mediae et acutissimae id est interuallum hypates hypaton ad hypaten meson: ad interuallum hypates meson ad mesen: sesquitertiam sustinet dimensionem.

[Duo toni geometrica ratione mediantur in marg.] Atque in reliquis duobus tetrachordis coniunctis eptachordum diatonice monstrantibus eadem geometricae medietatis ratio consyderatur.

Quod si tres terminos [f.LXXXv] quibus tres chordulae denotantur ita diposueris ut grauior ad mediam sesquioctauum ducat interuallum: ac rursus media ad acutiorem sesquioctaua item proportione transferatur. erunt duo toni coniuncti. Differentia autem maioris numeri ad medium ad differentiam medii et paruissimi sesquioctauam tenebit: Idest interuallum grauioris chordae et mediae: ad spacium mediae et acutissimae erit sesquioctauum. ut hac potest facile dispositione compraehendi.

[Gafurius, De harmonia musicorum, f.LXXXv; text: Sesquioctaua. tonus. 81, 72, 64, differentia, 9, 8] [GAFHAR3 03GF]

[Extremi soni geometrice mediati quum omnes inuicem sonant discordiam afferunt. in marg.] Cum igitur in eptachordo atque in dittono: extremas chordas cum media: simul atque inuicem percusseris: quoniam Geometrica ratione iunguntur: soni ipsi harmonicae modulationi dissentient.

Constat ex his quae hactenus deducta sunt In Arythmetica proportionalitate quantitates aequis differentiis esse separatas. In Geometrica autem aequis proportionibus quantitates ipsas esse coniunctas.

Et quidem in his musicalem harmoniam minime comperiri.

[Quid fit harmonia. A consonantia differt harmonia in marg.] Ea enim est extremarum contrariarumque uocum communi medio consonantias complectentium suauis et congrua sonoritas. quam iccirco a consonantia differre constat. Haec namque sola proportione: duabus saltem Illa producitur. Hinc falso sunt arbitrati qui consonantiam et harmoniam idem esse posuerunt. [duobus sonis fit consonantia. Tribus uero harmonia. in marg.] nam quanquam harmonia consonantia est: omnis tamen consonantia non facit harmoniam. Consonantia namque ex acuto et graui generatur sono: Harmoniam uero ex acuto et graui conficiunt atque medio.

Tres soni Harmonica medietate dispositi et simul sonantes dulcissimum concentum atque ipsam harmoniam efficiunt. Caput Vndecimum.

DIspositis uero tribus chordis secundum harmonicam medietatem: ut scilicet qua proportione grauissima chorda acutissimam: siue maior numerus paruissimum custodierit: ea ipsa differentia maximi [f.LXXXIr] ad medium: medii et paruissimi differentiam: seu interuallum grauissimae et mediae chordae interuallum mediae et acutissimae seruet: ea tunc producetur melodia: quam proprie harmoniam uocamus.

Haec enim duabus consonantiis inaequalibus constat: quae et dissimilibus proportionibus maiore quidem maioribus numeris: minore minoribus: conducuntur.

[Proprietas harmonicae medietatis in chordis: in marg.] Sit itaque grauissima chorda Proslambanomenos ac maior numerus .9216. Acutissima Mese et minor numerus .4608. Hae inuicem dupla dimensione diapason consonantiam sonant.

His hypaten meson mediam interpono .6144. numero signatam. Hi enim ita dispositi sunt termini: ut quam extremi inuicem proportionem faciunt scilicet 9216. ad .4608. eam ipsam probet differentia maioris et medii: ad differentiam medii et paruissimi. Numerorum autem .9216. et .6144. differentia est numerus .3072 sed numerorum 6144 et 4608 differentiam facit numerus .1536. Quod quum huiusmodi differentias inuicem comparaueris uidelicet .3072. ad 1536. proportionem duplam ita conspicies: quemadmodum extremi termini scilicet .9216. ad .4608. efficere compraehenduntur.

Quocirca Interuallum Proslambanomenos et hypates meson: spacium illud quod inter hypaten meson et Mesen cadit: dupla dimensione superuadat necesse est. Ac maius et grauissimum spacium in chordotono sesqualterum est. Minus uero et acutissimum sesquitertium. hinc in huiusmodi mediocritate: diapente consonantia grauior est: Acutior diatessaron. Constat igitur diapason consonantiam per diapenten et diatessaron harmonice mediatam non ab re harmoniam uocitari.

[Diapason consonantia tribus sonis diapenten et diatessaron probans dicitur harmonia in marg.] Si autem duas extremas chordas ita deduxeris ut tripla sese inuicem proportione custodiant: tunc mediam interpones: quae maiorum terminorum differentiam ea proportione ad minorum differentiam conducat: qua fuerit maximus terminus ad minimum. Nam cum tripla proportio ex dupla et sesqualtera componatur: sitque dupla maior quam sesqualtera: quoniam maior proportio secundum harmonicam mediocritatem maioribus numeris adaptatur: et minoribus minor: grauissima chorda ad mediam atque maximus terminus ad medium: diapason consonantiam in dupla proportione tenebit. Media uero chorda eiusque numerus ad acutissimam atque paruissimum numerum: diapenten in sesqualtera proportione custodiet.

Sit igitur grauissima chorda Proslambanomenos eiusque [f.LXXXIv] numerus .9216. Mese uero media: numero .4608. descripta. ac Nete diezeugmenon acutissima cuius numerus est .3072. Nanque numerus .9216. ad .4608. duplam facit proportionem: sed .4608. ad. 3072. sesqualteram.

Rursus sicuti maximus ad paruissimuum scilicet 9216. ad .3072. triplam facit. Ita maximi et medii differentia scilicet 4608. ad medii et paruissimi differentiam quae est .1536. triplam ipsam perficit habitudinem. quo fit ut spatium proslambanomenos et Meses: triplum sit eius: quod inter Mesen et Neten diezeugmenon reperitur. Inde tres ipsi soni simul ducti in ipsam concidunt harmoniam: quam diapason diapenten uocant.

[Diapason ac diapente in tribus sonis dicitur harmonia. in marg.] Quod si tres chordulas diapenten et diatessaron formantes acutioris lyrae in systemate pleno: consyderaueris (sunt enim Mese. Nete diezeugmenon: et Netehyperboleon) eandem harmonicae medietatis uim et rationem consyderabis: quae est et in grauiore diapason comprobata. Qua re constat quindecim chordarum systema: harmonica medietate bis ducta esse perfectum.

Verum quum integrum huiusmodi chordotonum quindecim chordarum: tribus chordis (extremis scilicet et media) consideraueris: non utique harmonicam conspicies mediocritatem: cum maiorum terminorum differentia minorum differentiam non eadem custodiat proportione: qua maximus numerus paruissimum. Sint enim tres chordae cum numeris suis Proslambanomenos .9216. Mese .4608. Netehyperboleon .2304. Maximus terminus .9216. ad paruissimum .2304. quadruplam efficit proportionem sed differentia maiorum terminorum est ipse medius uidelicet .4608 Medii uero et paruissimi differentia est ipse paruissimus .2304. qui ad se inuicem comparati non quadruplam: sicuti extremi inuicem termini ducunt: sed duplam seruant habitudinem. Quod si sane consideraueris: aequis proportionibus et terminos ipsos et differentias reperies esse dispositos: nam quemadmodum maximus ad medium duplam tenet proportionem ita medius ad paruissimum: et differentia maiorum terminorum ad minorum differentiam: [Disdiapason dicitur Geometrica harmonia. in marg.] hinc Geometrica mediocritas: disdiapason uocitatur. quam (cum duas ipsas harmonias seu medietates harmonicas contineat) Geometricam harmoniam dicunt. Ad horum autem euidentiam quinque chordulas minoribus terminis signatas: rationabilibusque dimensionibus mensuratas subiecimus hoc modo.

[f.LXXXIIr] [Gafurius, De harmonia musicorum, f.LXXXIIr; text: Proportio dupla. Dupla. Differentia, Diatessaron, Diapente, 1, 2, 4, A re, 3, 6, 8, 12, E la mi, Proslambanomenos, Sesquitertia, Sesqualtera, a la mi re, Hipatemeson, e la mi, Mese, Netediezeugmenon, Netehiperboleon, Proportio dupla Equa proportioni differentiarum, Diapason Harmonia. Mediocritas Harmonica. Diapason harmonice mediata, Disdiapason. Geometrica harmonia. Proportio quadrupla] [GAFHAR3 04GF]

[f.LXXXIIv] [Musica subalternatur Arythmeticae. Et Geometriae quoque connexa est. in marg.] Constat itaque harmonicum instrumentum disdiapason systema: et Arythmeticis et Geometricis medietatibus esse contextum. hinc quod ab Arythmetica numeros: a Geometrica habuerit quantitates (ut quinto primi tactum est) et Ipsi Arythmeticae subalternatam: et Geometricae disciplinae maxima ex parte Musicam ferunt esse cognatam.

De Sonora medietate Sextae et Decimae maioris atque minoris Caput Duodecimum.

ESt quoque alia in sonis mediocritas quae neque eisdem et terminorum et differentiarum proportionibus commixta est ut Geometrica: neque aequalibus differentiis ut Arythmetica: neque aequalibus extremorum terminorum proportionibus ac differentiarum ut harmonica: sed his penitus tribus noscitur aliena quippe quae coniungitur ex communi chorda scilicet concinna et consona. Nam quemadmodum coniunctae consonae scilicet diapente et diatessaron aliam (ut probatum est) ducunt consonantiam uidelicet aequisonantem diapason: atque permixtam sonoritatem et suauem: ita consonae addita concinna: [Concinna et consona sonoritas simul iuncte aliam concinnam communi chorda constituunt mediatam. in marg.] aliam concinnam efficit quae ad melodiam recte coaptatur. Vnde sicut duae tantum sunt simplices consonae diapente et diatessaron. Ita duae quoque simplices sunt concinnae scilicet tertia maior: ac tertia minor.

Quod quum minor consonantia uidelicet diatessaron superposita fuerit tertiae maiori: tunc extremi inuicem termini sextam ipsam maiorem communi chorda mediatam atque concinnitati aptissimam conducent cuius quidem naturam secundo tertii practicae nostrae latius explicauimus sed mediam ipsam chordam: [Duae sunt consonae simplices. et duae sunt concinnae similiter simplices. Ptholomeus in marg.] tertiam ditoniaeam et diatessaron continuantem sesquioctogesima proportione relaxat Ptholomeus ad suauiorem concinnitatis modulationem: quod trigesimoquarto secundi atque octauo tertii deductum est.

Superducta autem tertiae minori (quae semiditoniaea est) diatessaron consonantia: sextam minorem communi chorda mediatam atque concinnam implebit. Mediam autem huiusmodi chordam quae ad grauissimam tonum cum semitonio correspondet: sesquioctogesima proportione [f.LXXXIIIr] participanter intendunt: ut trigesimoseptimo secundi propositum est.

Verum apposita sexta maiore diapentes consonantiae (communi medietate seruata) decimam maiorem: secundum scilicet numerum chordarum in chordotono diatonice dispositarum attinges concinnitati congruam.

Atque eodem modo superducta sexta minore diapentes consonantiae: communi chorda mediante: decima minor concinna concipitur. At rationes sextae maioris atque minoris trigesimosexto atque trigesimoseptimo secundi facile poteris perscrutari.

Franchini Gafurii Laudensis Harmoniae Instrumentalis Liber Tertius finit.