Back to top

[909] Notandum est quod omnis ars in ratione continetur. Musica quoque in ratione numerorum consistit atque versatur. Illud autem quod fit ex tonorum instrumentis mutatorium est. Quinque sunt sensus: ipsorum sensuum duo sunt qui juxta corpus sumuntur, visus et auditus; et duo sunt qui intra, gustus et tactus, imo vere olfactus. Dubium est utrum intus an foris sentiat? Est autem sensus vinculum corporis et animae. Quaedam sunt incorporalia et invisibilia, ut anima; et quaedam corporalia et visibilia, ut sunt corpora; quaedam invisibilia et corporalia, ut sensus corporei. Corporalia sunt, quia corpori administrantur; et invisibilia, quia illud ut inanimis vel visus, non potest videri. Unde fit, ut cum quinque corporei sensus alia exteriora sentiant, seipsos non sentiant. Visus enim seipsum non videt, gustus seipsum non gustat; quod si faceret, nunquam jejunus esset; sic de caeteris. Considerandum ergo quia cum sensus corporis sine labore adhibeamus sensibilibus rebus quae percipiendae sunt, ab illis non facile potest explicari et definiri quae natura ipsorum quinque sensuum vel corporis sit, vel quae proprietas sensibilium rerum percipiuntur. Natura si quid requiritur sensuum, et definitur quod sint corporei et invisibiles, ut est auditus corporeus et invisibilis. Res vero sensibilis, quia percipitur ab auditu, id est, vox proprietates habet, ut aer esse commodum et percussum quodam ictu, quae ipsa quoque corporea est et invisibilis. Nam proximiora facilius visum penetrant, quam ea quae sunt remotiora. Si neque clausis oculis aliquid pervidemus corporeum. Augustinus, in libro XI de sancta Trinitate, dicit: "Gignitur ergo ex re visibili visio, sed non ex sola, nisi adsit et videatur." Quocirca ex visibili et vidente gignitur visio, ita sane, ut ex vidente sit sensus oculorum, et aspicientis atque intuentis intensio. Illa tamen informatio sensus, quae visio dicitur, a solo informatur corpore quod videtur, id est, a re aliqua visibili; qua detracta, nulla remanet forma quae inerat sensui, dum adesset illud quod videbatur. Sensus tamen ipse remanet, qui erat et priusquam aliquid sentiretur, velut in aqua vestigium tandiu est donec ipsum corpus quo imprimitur inest. Quo ablato, nullum erit, cum remaneat aqua, quae erat. antequam formam corporis caperet. Ideoque non possumus quidem dicere, quod sensum gignat res visibilis: gignit tamen formam nedum similitudinem suam, quae sit in sensu, cum aliquid videndo sentimus. Si formam corporis quam videmus, et formam quae ab illa in sensu videntis fit, per eumdem sensum non discernitur, quoniam tanta conjunctio est, ut non pateat discernendi locus, sed ratione colligimus nequaquam [910] nos potuisse sentire, nisi in sensu nostro aliqua similitudo conspectui corporis. Neque enim cum annulus cerae imprimitur, ideo nulla imago facta est, quia non discernitur, nisi cum fuerit separata; sed quoniam post ceram separatam manet quod factum est, ut videri possit. Propterea facile persuadetur, quod inerat jam cerae forma impressa ex annulo, et antequam ab illa separetur. Si autem a liquido humori adjungeretur annulus, eo detracto, nihil magis appareret. Nec ideo tamen discernere ratio non deberet fuisse in illo humore, antequam detraheretur, annuli formam factam ex annulo, quae distinguenda est ab ea forma quae in annulo est, unde ista facta est, quae detracto annulo non erit, quamvis illa in annulo maneat, unde ista facta est. Sic sensus oculorum non ideo non habet imaginem corporis, quod videtur, quandiu videtur, quia eo detracto non remanet, ac per hoc tardioribus ingeniis difficillime persuaderi potest formari in nostro sensu imaginem rei visibilis, cum eam videmus et eamdem formam esse visionum. Si qui forte animadverterint quod commemorabo, non ita in hac inquisitione laborabunt, plerumque cum diuscule attenderimus quaeque luminaria, et deinde clauserimus oculos, quasi versantur in conspectu quidam lucidi colores varie sese communicantes, et minus minusque fulgentes, donec omnino desistant, quasi intelligendum est reliquas esse formae illius, quae facta erat in sensu cum corpus lucidum videretur, paulatimque et quodammodo gradatim deficiendo variari. Nam et insertarum fenestrarum cancelli, si eos forte intuebamur, saepe in illis apparuere coloribus, ut manifestum sit hanc affectionem sensui nostro ex ea re quae videbatur impressa. Erat ergo etiam cum videremus, et illa erat clarior et expressior, si multum conjuncta cum specie rei ejus quae cernebatur, ut discerni omnino non posset, et ipsa erat visio. Quin etiam cum lucernae flammula modo quodam divaricatis radiis oculorum, quasi geminatur, duae visiones fiunt, cum sit res una quae videtur. Sigillatim quippe efficiuntur idem radii de suo quisque oculo emicantes, dum non finiuntur, in illud corpus intuendum pariter, conjuncteque concurrere, ut unus fiat ex utroque contuitu; et ideo si unum oculum clauserimus, non geminum ignem, sed, sicuti est, unum videmus. Sinistro igitur clauso, illa species videri desinit, quae ad dextrum erat; vicissimque dextro clauso, illa intermoritur, quae ad sinistrum erat.

Adverbialiter. Nam sicut quando augetur dies vel minuitur, non statim praesentatur, nisi per multos dies; sic etiam musica quando augetur et minuitur [911] per hemitonia, vel dies in non continuo percipitur, donec illae partes supercrescant. Isciatici, id est, coxarum injuriaticus dolor, ut est frigiditas aquae, humiditas aeris, caliditas ignis, siccitas terrae. Nam duo ex his agunt, ignis et aer; duo patiuntur, aqua et terra. Quatuor autem sunt tempora, [cheimon] hiems, [ear] ver, [theros] aestas, [phthinoporon] autumnus. Hiems comparatur aquae, autumnus terrae.

Plinius Secundus, in libro secundo Naturalis historiae, an sit immensus mundus, et ideo sensum aurium extendens tantae molis rotatae vertigine assidua fit motus, non quidem facile dixerim, non magis quam circumactorum simul tinnitus siderum, suosque volventium orbes. An dulcis quidam, et incredibili suavitate conceptus nobis, qui intus agimus juxta diebus noctibusque tacitus labitur.

Dum musica coelestis ex subtilioribus conficitur, sine ulla inconvenientia sonorissima comprehenditur; nam latenter ex superioribus ad inferiora usque auditus nostros effunditur quamvis eam propter consuetudinem non consentimus, sicut sunt illi qui circa [katabathmon] habitant, id est, descensum Nili. Si autem aliquis in altero mundo nasceretur (si possibile esset) ut sanctus Augustinus affirmat, ut in hunc mundum postea venisset, eam sine ullo impedimento audiret, eique ultra vires placeret. Musica autem quamvis terrestris, nobis placuerit, tamem quia corpulentioribus elementis efficitur, vix sine aliqua incongruentia invenitur. Et hoc notandum, quod sicut multa anima agit, illa ipsa nesciente, ut capilli ungulaeque crescunt, sic etiam multa in auditu ipsius aguntur, quae eam propter consuetudinem latent, ut sonitus planetarum.

Haec vivacitas rationis est ipsa vis rationis animae, quae sub silentio in animo latet. Tunc autem miscetur corpori, quando mirabiliter per sonos foras egreditur.

Contemplatio regularum ex mente, quae Graece [theorema] dicitur.

Multiplex igitur ideo majorem potestatem ad consonantias retinet, quia disertae quantitati in augmento crescente similatur. Et cur propterea? Quia arithmetica quae per se est, et musica, quae consonantiarum demonstratrix est, ad discretam quantitatem pertinent.

Geometria vero et astrologia continuae quantitatis sunt, cui quia superparticularis in decrescentibus partibus similis est, non eamdem quam multiplex ad consonantias vim retinet, si tamen propter singularitatem partium secundo loco admittitur. Superparticularis etiam consonantias tantum, multiplex vero non tam consonantias quam aequisonantias efficit.

Secundum Pythagoricos et Ptolemaeum, natura secundum Aristoxenum est in qualitate. Nam quamvis in numeris particularitas dicatur, abusive dicitur; cum proprie quidquid per partes partitur, continua quantitas intelligatur, quae longitudine, latitudine. altitudineque comprehenditur: et ideo superparticularitas [912] continue scribitur, quia per partes partitur.

Omnis symphonia multiplex discretae quantitatis proprietatem sequitur, non tamen ut infinitam, sed per tres tantum gradus, duplum, scilicet, triplum et quadruplum. Omnis autem superparticularis symphonia, quantitatis continuae naturam servat, non quidem in infinitum, sed tantum per tres gradus, sesquialterum, sesquitertium sesquioctavum.

Duplicat namque superparticularis suam proportionem, quaecunque sit, et per dualem numerum denominat, atque a duali inchoat, et in eum redigitur, neque pervenit ad unitatem; ideoque servat continuae quantitatis proportionem.

Transgreditur namque musicae consonantiam, ideoque quod plures partes excedit, et a simplici discedit.

In nono quinti libri capitulo, octavo, quarto et tertio, ipse quoque Pythagoricus Ptolemaeus Philadelphus philosophus.

In omnibus his latet epogdoos, id est, sesquioctava proportio; ideoque specialiter inter symphonias non connumerabitur. Ex eo namque caeterae componuntur. Est enim communis omnium mensura.

Est in vocibus similiter, ut tres ad unum tripla, quae continet in se duas consonantias, ut 3 ad 2, diapente, 2 ad 1, diapason.

Ille nimis acutus est, non reflectitur ad gravem, ut ei conveniat, et ille, qui minus est gravis, non vult aliquid erigi. Quia cognovit differentias consonantiarum.

Auditui, et non rationi. Multa enim varietas est inter sensum et rationem.

Medio itinere feruntur, quia nec ex toto tribuunt discretionem auribus, nec ex toto rationi, sed partim auditui, partim rationi, sonum, videlicet, acutum vel gravem auditui, differentias autem consonantiarum rationi.

Producta sunt momenta vel motus artium et vitae, ea quae discernenda sunt. Primum, sensibus accidunt, ac per sensum sentiuntur, ac postremo ratione discernuntur.

Pythagoras indigens interrogatione vel interrogationis cumulo. Pythos enim interrogatio, agoras cumulus; inde agora, Ecclesia, vel Synagoga, vocatur.

Quales sonos reddebant primum, tales quoque postquam mutatae sunt, quia non erat in vi ferentium sonus, sed in magnitudine malleorum.

[Echo] namque habeo, inde [sunecho], continuo; [diastema], intervallum, vel spatium; inde [diastemapke], spatia, vel intervalla.

Hic nota [aitheterion], id est, custodiam omnium sensuum, quae primo in corde communiter continetur, inde specialiter ad omnes sensus corporis producitur, ut est luminosum in oculis quiddam, quod igneam habet naturam, quoddam mobile aerium et [913] serenum in auribus, quod recipit formas colorabiles, quaecunque fiunt ex superiori elemento igneo, aere tenuissimo quodam, olfactum in naribus, quod ex inferiori et crassiori aere conficitur; gustus ex aqua, tactus ad terram pertinet, quia nullum genus musicae invenitur ante illam disciplinam tetrachordarum, id est, quemadmodum pervenerit nervorum numerus ad pluralitatem, in qua non est.

Quid sit tonus.

Tonus est quando vocula voculam tota sui quantitate superaverit, et insuper ipsius superatae voculae octava parte, vel in intensione acuminis, vel in remissione gravitatis. Semitonium est, quando tonus in duas non aequas, sed inaequales partes secatur. Alterum semitonium majus, alterum semitonium minus dici maluerunt. Diesis est semitonium minus, in duas partes divisum, id est, minus semitonium diesin dixerunt musici. Melodia dicitur, quae et antiquior, quamvis subasperior, quando consonantia ex duobus tonis et semitonio, vel hemitonio et duobus tonis, completur. Chromatica est quae et posterior, et ad delectationem aurium sua varietate permulcet animos, et nimiis minutiis tinnule fertur, constatque ex tono et tribus semitoniis, vel tribus semitoniis et tono. Enharmonium totam possidet harmoniam, et sui dignitate alias praecellit; et constat ex duobus diesis, et duobus tonis, vel duobus tonis et duobus diesis. Consonantia diatessaron est, quando vocula intensione sui acuminis voculam in remissione gravitatis totam possidet, insuper et tertiam partem superatae voculae. Diapente consonantia est, quando vocula voculam tota sui quantitate superat, videlicet, et superatae vocis, insuper et ejus medietate vel in intensione acuminis, vel in remissione gravitatis. Diapason non consonantia, sed aequisonantia est, quoties vocula voculam sui acumine si fuerit in intensione, aut sui gravitate, si fuerit in remissione, tota sui quantitate superatae vocis quantitatem bis occupat. Et ut aperte advertas quid sit intensio, quid remissio, quae in omnibus consonantiis videnda est, ita noveris quando primam vocem ex ore, vel corde, vel aliqua materia organi emiseris: fige metam, et quidquid per illam primam vocem in altum sui gerit, aut tonum, aut diapason, aut diatessaron, noveris illas omnes consonantias in intensione acuminis esse factas. Quidquid vero per illam primam vocem ubi terminum diximus figendum esse, deorsum remittendum fluxerit, sive tonus, sive diatessaron, sive caetera, scito omnes illas consonantias in remissione gravitatis fieri. Si autem toni sonum vel diatessaron ac reliquarum consonantium nosse cupis, talem cape conjecturam. Accipe regulam ligneam manibus magistri formatam, et praeparatis tribus articulis, vel arculis, ex omni parte aeque libratis et cavatis, extende nervum super regulam in duobus capitibus suppositis articulis, et non incidendo, sed in metiendae totam chordam in tres partes aequales divide, [914] et ubi tertia pars fuerit, pone arculum, et tange tertiam partem ipsius chordae, tange et alteram partem, et videbis consonantiam diapason. Tertia enim pars bis acutior duarum partium, et duae partes bis graviores in sono. Ad consonantiam vero diapente, deinde totum nervum in quinque aequales partes, id est, ubi tres fuerunt finitae partes, pone articulum, et tange utrasque partes, et erit altera pars tota quantitate minoris gravior insuper et ejus medietatis, altera vero pars acutior tota quantitate, majoris insuper et ejus medietatis. Consonantia diatessaron erit, si dividas totam chordam in septem partes, pone arculum, et tange utrasque partes. Item divide ipsam chordam in septem, id est, decem partes, ubi nona pars fuerit pone arculum, et tange utrasque partes, et invenies minorem partem acutiorem uno tono, majorem vero graviorem uno tono in tota. Quaeritur quare prius posuit diapason, diapente, diatessaron, et nunc aliter incipit in ordine ipsarum consonantiarum vertere. Quod sic solvitur, quia in quantum ad proportionalitatem arithmeticae pertinet, antecedit dupla sesquialteram, antecedit sesquialtera sesquitertiam, quae postremo ponitur. E contrario vero musicae consonantia retro speculatur. Nam prima consonantia est musicae artis sesquitertia, hoc est, diatessaron; inde pervenitur ad sesquialteram, hoc est, diapente; inde ad duplam, quae est diapason. Nicos victor, machia pugna, orea Graece pulchra, phone vox, inde orpheus pulchra vox dicitur. Similitudo nominum in omnibus, differentia vero in lichanos hypaten chromatice, enharmonos diatonicos. Similiter in lichanos meson, et paranete sinemenon, et paranete hyperboleon. Nam cum sint decem et octo nervi, et in diatonico, et in chromatico, et in enharmonio; reliqui similiter sunt, exceptis quinque. Dissimiles ergo de chromatico quinque, et de enharmonio quinque, sumpta ad decem et octo, si adjiciuntur, qui sunt in diatonico, fiunt 10 et 8. Ambrosius, in expositione psalmi CXVIII, capitulo secundo, ita dicit: "Puto Pythagoram, philosophum imitatorem prophetarum, instituisse sectam, ut discipuli sui quinquennio non loquentes, tanto silentio loqui discerent." Axiomata, id est, admiratione digna, quae et proloquia dicuntur, id est, obnoxia veritati vel falsitati. A duplo namque sesquialter, a triplo sesquitertius denominatur; et reliqui secundum suum ordinem. Si illa denominatio quantum ad sensum in contrariam partem sit, quia cum in primitivis sit in augmentum, in derivativis in diminutione est. In multiplicibus quippe quanto major est numerus, tanto major fit proportio. Insuper particularibus vero crescente numero, decrescunt proportiones. Quaeritur quomodo minor proportio est in quinquaginta tribus, et quinquaginta octo, quam in quinquaginta et quinquaginta quinque; et quomodo iterum major proportio est in qradraginta octo, et quinquaginta tribus, quam quinquaginta et quinquaginta quinque? Sic respondendum est: Quod si philologus iste Boetius iterum adderet super quinquaginta tres duos, [915] essent 55, et ipsum numerum mensuraret quinarius undecies; et si adderet super 58 alia duo, essent sexaginta, et mensuraret idem numerus illum duodecies, et esset sesquiundecima proportio, id est, quinquaginta quinque, et sexaginta, quae est minor ex sesquidecima. Sed quamvis ad illam proportionem non pervenit in 53 et 58, tamen apparet ex hoc quod minor proportio est in majoribus numeris, major in minoribus. Item, si demeret tres ex quadraginta octo, essent 45, et mensuraret illum quinarius novies. Esset similiter, si tres tolleret de quinquaginta tribus, jure remanerent quinquaginta, et mensuraret quinarius illum decies, esset sesquinona proportio, quae major est sesquidecima; et est iste numerus 48 et 53, medius inter majorem et minorem. Et hic iterum quaeritur, tres quantitati utriusque numeri addit, ut majores efficiat numeros, et quare duos minuit ex eadem quantitate, ut minores faceret. Sic solvendum est, quod quantitate quinarii, quae est differentia praedictorum numerorum, divisit in duas partes, hoc est, in tria et duo, et majorem partem addit quantitati praedictae, ut essent majores numeri, et minor proportio; et minorem dempsit ex eadem quantitate, ut essent minores numeri et major proportio. Duodecimus numerus ad 8 sesquialter est, ad 9 vero sesquitertius. Sed si duodenarium, qui est ad 9 sesquitertius, subtraxeris, remanet 9, ad 8 in sesquioctava proportione, quae exinde non esse media subtracti sesquitertii colligitur, quia si duas continuas sesquioctavas perquisieris, ut in his numeris 192, 216, 243, tertius terminus, id est, 243, non poterit sesquitertius ad primum, sed 256, major videlicet sesquioctavo secundo. Quid si simplex sesquioctavus medietas esset sesquitertii, geminatus utique redderet integrum. Vigesimus numerus ad 15 sesquitertius est, ad 13 vero sesquiquartus. Sed si eumdem 20 numerum, qui est ad 16 sesquiquartus, dempseris, remanent 16, ad 15 in sesquiquintadecima proportione quae non esse medietas ablati sesquiquarti ex hoc deprehenditur, quasi duas continuas sesquiquintasdecimas habitudines adinveneris, ut in his numeris: 909, 900, 60, 10, 23, tertius terminus, id est, vigesimus quartus, non poterit esse sesquiquartus ad primum. Nam si 900 quartam partem sumpseris, quae est 225, et ejusdem apposueris, erit numerus 1125, major, scilicet, 1024 secundo sesquiquintodecimo. Quod si simplex sesquiquinta decima medietas esset sesquiquarti, duplicata sine dubio ad integra esset. Hoc in omnibus deinceps superparticularibus evenit, et si continua minor proportio dematur, quod relinquitur non possit subtractae constare medietas. Duodenarius ad 8 sesquialteram, ad 6 vero duplam retinet proportionem. Sed si minorem continuam, vel sesquialteram subtraxeris, remanent 8, ad 6 in sesquitertia habitudine; quae plusquam medietas dempti sesquialteri ex hoc esse colligitur, quia si duas sesquitertias adinvenies, ut in his numeris: 18, 24, 32, majores sunt 27 numero, qui est ad 18 sesquialter. Ubi dictum est multiplices [916] tantum et superparticulares notam communem mensuram habere posse. Nam quaternarius ad binarium duplus est, 6 vero ad 2 triplus. Subtrahe 2, ad quem 6 triplus est, remanet 6, ad 4 in sesquialtera proportione. Duae sesquialterae proportiones sunt 6 ad 4, 8 ad 6, sed 4 duplus 8, minor, scilicet, 9 secundo sesquialtero. Nam si unitatem detrahas, ad quam videlicet 3 triplus, 4 vero quadruplus est, remanet 4, ad 3 sesquitertius. Tres sesquitertii sunt 27, 36, 48, 54, sed 27 numeri triplus est 81, cui scilicet minores sunt tres sesquitertii. Duo sesquitertii sunt 18, 23, 32, ampliores numero 27, qui est sesquialter ad 18, 12 ad 9 sesquitertius est, 9 ad 6 sesquialter; sed 12 ad sex duplex. Si 12, qui ad 14 sesquitertius, ad 8 sesquialter est, detrahas, remanet 9 ad 8 in sesquioctava habitudine. Differentia quinquaginta novem millium quadraginta novem, ad sexaginta duo millia ducentos octo, et tria millia centum quinquaginta novem, quae ex ducentis quadraginta tribus ter decies multiplicatis excrevit, et minus quam minoris octavam decimam obtinet partem. Similiter differentia, sexaginta duorum miilium ducentorum octo ad sexaginta quinque millia, quingentos triginta sex, et tria millia trecenti viginti octo, quae ex ducentis quinquaginta sex ter decies multiplicatis excrevit, et sexaginta duorum millium, ducentorum octo minus quam octavam decimam, plus vero quam nonam decimam obtinet partem. Quinquaginta novem millium, quadraginta novem octava pars est, septem millia, trecenti octoginta quatuor, et octava pars unitatis, quae eisdem quinquaginta novem millibus quadraginta novem addita efficit sexaginta sex millia, quadringentos triginta et octavam, qui superant sexaginta quinque millia quingentos triginta sex, octingentis nonaginta quatuor unitatibus et octava parte unitatis. Si 243 octava requiritur, erit 30, et trium unitatum octavae partis, quae eisdem addita efficit 273, cum trium unitatum octavis. Sunt ergo in semitonii proportione 256, ad ducentos 44, quorum differentia 13, minus quam minoris octava, decimam plus vero quam nonam decimam partem obtinet. Si enim octies decies 13 dicas, efficies 233, qui sunt minores 243 quaternario. In apotomes vero proportione constant 273, cum trium unitatum octavis ad 256, quorum differentia 17, cum trium octavis minus quam minoris quartam decimam, plus vero quam quintam decimam obtinet partem, quia si quater decies 17 ducas, erunt 238. Et si trium unitatum octavas ducas, quater et decies efficient 5 unitates et quadrantem unitatis: hos 238 sejungas, fient 243, et quadras minores, scilicet, 256 duodecim unitatibus, et tribus quartis partibus unitatis. Si vero quinquies et decies 17 ducas, fient 256, at si trium unitatum octavas per 15 minores, reddent integras quinque unitates et quinque octavas: hos junge 255, facies 260, et quinque octavas, qui superant 256 quatuor unitatibus et quinque octavis. Igitur si numeris integris haec omnia videre desideras tam suprascriptos terminos [917] quam differentias, per octonarium numera, et nihil molestum te reperire gaudebis. Duc ergo 243 octies, fient tibi 1943; octies 256, 2048: octies 273 sunt 2184; octies tres octavae tres integras unitates efficient; quas junge 2183, in sesquioctava se continentes habitudine ad 1944, quorum differentia est 243, quae ex 30 et trium unitatum octavis distantia, scilicet, 243 et 275, unitatum octavis, sic octies aucta concrevit. Octies trium octavae 3 integrae unitates. Inde haec differentia 243 summa est. In semitoni vero minoris habitudine constant 2048 ad 1944, quorum differentia est 104, ex 13 distantia 243 et ducentorum 56 octuplicata. Obtinet minoris minus quam octavam decimam, plus vero quam nonam decimam, quia octies decies 104 sunt 1872, scilicet, ex 234 octuplicatis facti, et sunt minores 1944 septuaginta duabus unitatibus, quae ex novenario, quo 243 234 superabant, 8 aucto, creverunt. Si vero novies decies 104 augeas, habebis 1976, scilicet, ex 248 in octo ductis, qui sunt majores, 1944 his 32 unitatibus, quae ex 4, quo ducenti 43, actis 47, vincebantur, octies aucto, creverunt. At in apotomes proportione consistunt 2187, quorum differentia est 139, ex 17, et trium unitatum octavis; sic aucta: octies 17 sunt 136. Octies octavae trium integrae tres unitates, junctaeque 136, reddunt 139. Obtinet minus quam minoris quartam decimam, plus vero quam quintam decimam, quia sequatur decies 139 ducas, habebis 1946, ex 243, et quadrantem unitatis, si auctos octies 243, 1944. Quadrans quoque octies actus, duas integras unitates junge 1944, erunt tibi 1946, et insunt minores 2049 102 unitatibus, quae ex 12 et tribus quartis unitatum partibus, qui 260, cum quadrante et 256, distabant, sic venerunt. Octies 1296 sunt; octies 3 quartae integrae 6; junge, et tene 102. Quod si quinquies et decies 139 facias, erunt 2085, ex 260 et quinque octavis octuplicatis sic: Octies 260, 2080; octies 5 octavae unitatis partes integras quinque efficiunt; junge superioribus, et habe 2805, qui sunt majores 2048 his 37 monadibus, qui ex quaternario et quinque octavis 260 vincebant, sic pullulabunt. Octies 4, 32; octies 5 octavae integrae 5 sunt; junge et habe 37. Si quis in integris numeris habitudines pervidere voluerit, oportet ut hac ratione consideret. Si 16 in se ipsos multiplicet, fient 256. Si vero per 7 et 9, fient 272. Quod si 7 et 9 per se ipsos ducat, fient 289. Erunt igitur duae sesquisextae decimae proportiones 256, 272, 289, quas haud dubio constat sequioctavum excedere, quia si 200 ex 56 octava perquiratur, quae 32 unitatibus colligitur, eisdemque quorum etiam octava apponatur, fient 288, qui nimirum a 289 unitate superantur. Rursus 10 et 7 in se ipsos multiplicet, fient 289. Si vero eosdem 7 et 10 per 10 et 8 ducat, fient 306. Quod si 10 et 8 per se ipsos colligantur, fiunt 324, quae nimirum duae sesquiseptimae decimae, id est, 289, 306, 324, sesquioctavum non implent, quia si 289 octava perquiratur, quae 36 unitatibus et octava parte unitatis efficitur, ac eisdem quorum est octava [918] copuletur, erunt 325, et octava, qui superant 323 unitate et octava parte unitatis. Quod si haec fortasse octava pars unitatis molesta videbitur, superiores numeri per 8 multiplicentur, et in integerrimis numeris decem habitudines reperiuntur. Multiplicatis ergo 256 per octavum, sunt 2048; 272 vero octies ducti, 2176 complent. Similiter 289 octies facti, 2312 reddunt; et sunt iterum duae sesquisextae decimae, 2048, 2176, 2312, quae constant sesquioctavum superare, quia si duobus millibus quadraginta octo pars eorumdem octava, id est, 246, copulentur, fient 2304, qui certe superantur a 2312 octo unitatibus. Rursus 289 per octavum ducti, faciunt 2362. Trecenti sex quoque octies augmentati faciunt 2648. Eodem modo 324 octuplicati 2522 complent, et erunt iterum duae sesquiseptimae decimae, 2312, 2448, 2592. Quae in hoc pervidentur sesquioctavum non implere, quia si 2312 octava ipsorum, id est, 289, apponatur, fient 2601, qui pro certo superant 2592 octo unitatibus; in prioribus ergo numeris unitas differentiam inter sesquioctavum, et sesquisextas decimas habitudines fecit, quae eodem numero quo et ipsae summae, quarum differentia fuit augmentata in posterioribus numeris, octo unitatum pluralitatem succrevit. Similiter inter sesquioctavum et sesquiseptimas decimas proportiones, unitas et octava pars unitatis distantiam fecit. Unitas ergo per octonarium sicut et illae summae, quarum differentia fuit multiplicata in posterioribus, ad octo unitates excrevit. Octava vero pars unitatis eodem octonario ducta, in integram unitatem profecit. Et ideo in posterioribus terminis intra sesquioctavam et sesquisextas decimas octonarius, inter sesquiseptimas vero et sesquioctavum novenarius differentia est. Ducentorum sexaginta duorum millium 144 tertia pars est 80, 7381, et tertia pars unitatis. Si nonam partem nete diazeugmenon, vel nonam partem paramese, vel nonam utriusque hypate sumpseris rectissimam utriusque paranete chromatice, vel utriusque lichanos chromatice mensuram in monochordo habere poteris, ubi quoque apotomos mensurate nullatenus effugiet. Si commatis quoque mensuram verissimam habere quaesieris inter lichanon hypaton chromaticam hypolumodi, et parhipatemeson chromaticam hypodorum procul dubio reperies. Inter 134 et 247 sesquioctava decima proportio est, quia differentia eorum, quae est 13, in minori est octies et decies, et in majore, novies et decies. Quibus si addideris medietatem differentiae, quae est 13, id est 6 et medium unitatis, fiunt numeri 240 semis, et 233 semis. Inter quos est proportio sesquioctava decima semis. His adde duo et semis, efficies 243, et 256, qui semitonii retinent proportionem, 9 scilicet, unitatibus majores, quam illi qui retinebant sesquioctavam decimam proportionem. Et ideo minoris proportionis sunt quam sesquioctava decima, vel sesquioctava decima semis. His si addideris 4, fient 247, et 260, inter quos sesquinona decima proportio, qua musici semitonii proportio major est. Differentia qua semitonium minus tria [919] comata superat, est 5165, qua vero 4 comatibus superatur, est 1988. Quae simul junctae efficiunt 7154, id est, comatis proportione. Eadem differentia apotome superat 4 comata, qua minus semitonium tria, et eadem superatur a quinque comatibus, qua semitonium minus a quatuor. Differentia qua toni proportio superat octo comata, est 1925, qua vero superatur a novem est 5328, quae junctae reddunt coma, id est, 7153. Scilicet, ut a sexto octuplo incipiantur inquiri sesquioctavae portiones. Si h litteram tritesinemenon assumpseris, erit ea species quam dicit, scilicet, mobilibus terminata, cum inter parhipate meson et paramese plusquam diatessaron sit, et paramese minime mobilis sit. Descriptio incipit a proslambanomenon hypermixolidii, et finitur in nete hyperboleon hypodoru; sed consideratio vocum diatonici generis, quod in diatessaron tono et tono semitonioque pariter a nete hyperboleon hypodoru exoritur, atque in proslambanomenon hypermixolidu completur. Miroque modo qua habitudine diatonica in longitudine descriptionis singulorum modorum a se nervi differunt, eadem habitudine nervi troporum [920] in ordine distinguuntur. Acute hic inspiciendum, quod mesen non ideo dicit consonare ad neten die zeugmenon, quod ad illam tenet intervallum diapente symphoniae, sed quia per diapason consonantiam hypate meson, idem sonat quod nete die zeugmenon. Mese quoque per diapason idem sonat quod nete hyperboleon. Nete hyperboleon autem resonat ad nete die zeugmenon diatessaron symphoniam. Mese quoque, quod per diapason idem sonat quod neque hyperboleon, ad nete die zeugmenon diatessaron consonat; idem argumentandum, ubi dicit ad graviorem partem paramesen consonare ad hypatemeson. Non enim propter diapente hoc dicit, sed quia per diapason paramese idem sonat quod hypateipaton, consonat eadem paramese ad hypatemeson diatessaron sicut hypateipaton. Quoniam hic primus numerus potest in 2, et 3, et 4, dividi, in quae dividit Aristoxenus tonum, 243 septies ducti 1701 numerum efficiunt; 256 vero septies numerati 1792 complent. Similiter 13, quae est differentia 256 et 213, septuplicata, efficit 91, differentiam 1792 et 1702, et caetera.