Back to top

[3] DOMINO SUO PATRICIO SYMMACHO BOETIUS.

In dandis accipiendisque muneribus ita recte officia inter eos praecipue, qui sese magni faciunt, aestimantur, si liquido constabit, nec ab hoc aliud, quod liberalius afferret, inventum, nec ab illo unquam, quod iucundius benevolentia conplecteretur, acceptum. Haec ipse considerans attuli non ignava opum pondera, quibus ad facinus nihil instructius, cum habendi sitis incanduit, ad meritum nihil vilius, cum ea sibi victor animus calcata subiecit, sed ea, quae ex Graecarum opulentia litterarum in Romanae orationis thesaurum sumpta conveximus. Ita enim mei quoque mihi operis ratio constabit, si, quae ex sapientiae doctrinis elicui, sapientissimi iudicio conprobentur. Vides igitur, ut tam magni laboris effectus tuum tantum spectet examen, nec in aures prodire publicas, nisi doctae sententiae adstipulatione nitatur. In quo nihil mirum videri debet, cum id opus, quod sapientiae inventa persequitur, non auctoris sed alieno incumbit arbitrio; suis quippe instrumentis res rationis expenditur, cum iudicium cogitur subire prudentis. Sed huic munusculo non eadem quae ceteris inminent artibus munimenta constituo, neque enim [4] fere ulla sic cunctis absoluta partibus nullius indiga suis tantum est scientia nixa praesidiis, ut non ceterarum quoque artium adiumenta desideret. Nam in effigiandis marmore statuis alius excidendae molis labor est, alia formandae imaginis ratio, nec eiusdem artificis manus politi operis nitor exspectat. At picturae manibus tabula commissa fabrorum: cerae rustica observatione decerptae, colorum fuci mercatorum sollertia perquisiti, lintea operosis elaborata textrinis multiplicem materiam praestant. Nonne idem quoque in bellorum visitur instrumentis? Hic spicula sagittis exacuit, illi validus torax nigra gemit incude, ast alius crudi umbonis tegmina proprii laboris orbi infigenda mercatur. Tam multis artibus ars una perficitur. At nostri laboris absolutio longe ad faciliorem currit eventum. Tu enim solus manum supremo operi inpones, in quo nihil de decernentium necesse est laborare consensu. Quamlibet enim hoc iudicium multis artibus probetur excultum, uno tamen cumulatur examine.

Experiare igitur licet, quantum nobis in hoc studio longis tractus otiis labor adiecerit, an rerum subtilium fugas exercitatae mentis velocitas conprehendat, utrum ieiunae macies orationis ad ea, quae sunt caligantibus inpedita sententiis expedienda sufficiat. Qua in re mihi alieni quoque iudicii lucra quaeruntur, cum tu utrarumque peritissimus litterarum possis Graiae orationis expertibus quantum de nobis iudicare audeant, sola tantum pronuntiatione praescribere. At non alterius obnoxius institutis artissima memet ipse translationis lege constringo, sed paululum liberius evagatus alieno itineri, non vestigiis, insisto. Nam et ea, quae de numeris a Nicomacho diffusius disputata sunt, moderata [5] brevitate collegi et quae transcursa velocius angustiorem intellegentiae praestabant aditum mediocri adiectione reseravi, ut aliquando ad evidentiam rerum nostris etiam formulis ac descriptionibus uteremur. Quod nobis quantis vigiliis ac sudore constiterit, facile sobrius lector agnoscet. Cum igitur quattuor matheseos disciplinarum de arithmetica, quae est prima, perscriberem, tu tantum dignus eo munere videbare, eoque magis inerrato opus esse intellegebam. Nam etsi apud te facilis veniae locus esset, aliquando tamen ipsam formidabat facilitatem suspecta securitas. Arbitrabar enim nihil tantae reverentiae oblatum iri oportere, quod non elaboratum ingenio, perfectum studio, dignum postremo tanto otio videretur. Non igitur ambigo, quin pro tua in me benevolentia supervacua reseces, hiantia suppleas, errata reprehendas, commode dicta mira animi alacritate suscipias. Quae res inpulit pigram consilii moram. Nimios enim mihi fructus placitura restituent. Novi quippe, quanto studiosius nostra quam ceterorum bona diligamus. Recte ergo, quasi aureos Cereri culmos et maturos Baccho palmites, sic ad te novi operis rudimenta transmisi. Tu tantum paterna gratia nostrum provehas munus. Ita et laboris mei primitias doctissimo iudicio consecrabis et non maiore censebitur auctor merito quam probator.

Incipiunt capitula libri primi.

I. Proemium, in quo divisio mathematicae.

II. De substantia numeri.

[6] III. Definitio et divisio numeri et definitio paris et inparis.

IIII. Definitio numeri paris et inparis secundum Pythagoram.

V. Alia secundum antiquiorem modum divisio paris et inparis.

VI. Definitio paris et inparis per alterutrum.

VII. De principalitate unitatis.

VIII. Divisio paris numeri.

VIIII. De numero pariter pari eiusque proprietatibus.

X. De numero pariter inpari eiusque proprietatibus.

XI. De numero inpariter pari eiusque proprietatibus deque eius ad pariter parem et pariter inparem cognatione.

XII. Descriptionis ad inpariter paris naturam pertinentis expositio.

XIII. De numero inpari eiusque divisione.

XIIII. De primo et incomposito.

XV. De secundo et composito.

XVI. De eo, qui per se secundus et compositus est, ad alium primus et incompositus.

XVII. De primi et incompositi et secundi et compositi et ad se quidem secundi et compositi ad alterum vero primi et incompositi procreatione.

XVIII. De inventione eorum numerorum, qui ad se secundi et compositi sunt, ad alios vero relati primi et incompositi.

XVIIII. Alia partitio paris secundum perfectos inperfectos et ultra quam perfectos.

XX. De generatione numeri perfecti.

XXI. De relata ad aliquid quantitate.

[7] XXII. De speciebus maioris quantitatis et minoris.

XXIII. De multiplici eiusque speciebus earumque generationibus.

XXIIII. De superparticulari eiusque speciebus earumque generationibus.

XXV. De quodam utili ad cognitionem superparticularibus accidente.

XXVI. Descriptio, per quam docetur, ceteris inaequalitatis speciebus antiquiorem esse multiplicitatem.

XXVII. Ratio atque expositio digestae formulae.

XXVIII. De tertia inaequalitatis specie, quae dicitur superpartiens deque eius speciebus earumque generationibus.

XXVIIII. De multiplici superparticulari.

XXX. De eorum exemplis in superiori formula inveniendis.

XXXI. De multiplici superpartiente.

XXXII. Demonstratio, quemadmodum omnis inaequalitas ab aequalitate processerit.

Expliciunt capitula libri primi.

Incipit liber primus.

Proemium, in quo divisio mathematicae.

I. Inter omnes priscae auctoritatis viros, qui Pythagora duce puriore mentis ratione viguerunt, constare manifestum est, haud quemquam in philosophiae disciplinis ad cumulum perfectionis evadere, nisi cui talis prudentiae nobilitas quodam quasi quadruvio vestigatur, quod recte intuentis sollertiam non latebit. Est enim sapientia rerum, quae sunt suique inmutabilem substantiam sortiuntur, [8] conprehensio veritatis. Esse autem illa dicimus, quae nec intentione crescunt nec retractione minuuntur nec variationibus permutantur, sed in propria semper vi suae se naturae subsidiis nixa custodiunt. Haec autem sunt qualitates, quantitates, formae, magnitudines, parvitates, aequalitates, habitudines, actus, dispositiones, loca, tempora et quicquid adunatum quodammodo corporibus invenitur, quae ipsa quidem natura incorporea sunt et inmutabili substantiae ratione vigentia, participatione vero corporis permutantur et tactu variabilis rei in vertibilem inconstantiam transeunt. Haec igitur quoniam, ut dictum est, natura inmutabilem substantiam vimque sortita sunt, vere proprieque esse dicuntur. Horum igitur, id est, quae sunt proprie quaeque suo nomine essentiae nominantur, scientiam sapientia profitetur. Essentiae autem geminae partes sunt, una continua et suis partibus iuncta nec ullis finibus distributa, ut est arbor lapis et omnia mundi huius corpora, quae proprie magnitudines appellantur. Alia vero disiuncta a se et determinata partibus et quasi acervatim in unum redacta concilium, ut grex populus chorus acervus et quicquid, quorum partes propriis extremitatibus terminantur et ab alterius fine discretae sunt. His proprium nomen est multitudo. Rursus multitudinis alia sunt per se, ut tres vel quattuor vel tetragonus vel quilibet numerus, qui ut sit nullo indiget. Alia vero per se ipsa non constant, sed ad quiddam aliud referuntur, ut duplum, ut dimidium, ut sesqualterum vel sesquitertium et quicquid tale est, quod, nisi relatum sit ad aliud, ipsum esse non possit. Magnitudinis vero alia sunt manentia motuque carentia, alia vero, quae mobili semper rotatione vertuntur nec ullis temporibus adquiescunt. [9] Horum ergo illam multitudinem, quae per se est, arithmetica speculatur integritas, illam vero, quae ad aliquid, musici modulaminis temperamenta pernoscunt, inmobilis vero magnitudinis geometria notitiam pollicetur, mobilis vero scientiam astronomicae disciplinae peritia vendicat. Quibus quattuor partibus si careat inquisitor, verum invenire non possit, ac sine hac quidem speculatione veritatis nulli recte sapiendum est. Est enim sapientia earum rerum, quae vere sunt, cognitio et integra comprehensio. Quod haec qui spernit id est has semitas sapientiae ei denuntio non recte esse philosophandum, siquidem philosophia est amor sapientiae, quam in his spernendis ante contempserit. Illud quoque addendum arbitror, quod cuncta vis multitudinis ab uno progressa termino ad infinita progressionis augmenta concrescit. Magnitudo vero a finita inchoans quantitate modum in divisione non recipit; infinitissimas enim sui corporis suscipit sectiones. Hanc igitur naturae infinitatem indeterminatamque potentiam philosophia sponte repudiat. Nihil enim, quod infinitum est, vel scientia potest colligi vel mente comprehendi, sed hinc sumpsit sibi ipsa ratio, in quibus possit indagatricem veritatis exercere sollertiam. Delegit enim de infinitae multitudinis pluralitate finitae terminum quantitatis et interminabilis magnitudinis sectione reiecta definita sibi ad cognitionem spatia depoposcit. Constat igitur, quisquis haec praetermiserit, omnem philosophiae perdidisse doctrinam. Hoc igitur illud quadruvium est, quo his viandum sit, quibus excellentior animus a nobiscum procreatis sensibus [10] ad intellegentiae certiora perducitur. Sunt enim quidam gradus certaeque progressionum dimensiones, quibus ascendi progredique possit, ut animi illum oculum, qui, ut ait Plato, multis oculis corporalibus salvari constituique sit dignior, quod eo solo lumine vestigari vel inspici veritas queat, hunc inquam oculum demersum orbatumque corporeis sensibus hae disciplinae rursus inluminent. Quae igitur ex hisce prima discenda est nisi ea, quae principium matrisque quodammodo ad ceteras obtinet portionem? Haec est autem arithmetica. Haec enim cunctis prior est, non modo quod hanc ille huius mundanae molis conditor deus primam suae habuit ratiocinationis exemplar et ad hanc cuncta constituit, quaecunque fabricante ratione per numeros adsignati ordinis invenere concordiam, sed hoc quoque prior arithmetica declaratur, quod, quaecunque natura priora sunt, his sublatis simul posteriora tolluntur; quod si posteriora pereant, nihil de statu prioris substantiae permutatur, ut animal prius est homine. Nam si tollas animal, statim quoque hominis natura deleta sit, si hominem sustuleris, animal non peribit. Et e contrario ea semper posteriora sunt, quae secum aliud quodlibet inferunt, ea priora, quae cum dicta sunt, nihil secum de posterioribus trahunt, ut in eodem quoque homine. Nam si hominem dixeris, simul quoque animal nominabis, idem est enim homo, quod animal; si animal dixeris, non speciem simul hominis intulisti, non est enim idem animal, quod homo. Hoc idem in geometria vel arithmetica videtur incurrere. Si enim numeros tollas, unde triangulum vel quadratum vel quicquid in geometria versatur, quae omnia numerorum denominativa [11] sunt? At vero si quadratum triangulumque sustuleris omnisque geometria consumpta sit, tres et quattuor aliorumque numerorum vocabula non peribunt. Rursus cum aliquam geometricam formam dixero, est illi simul numerorum nomen inplicitum; cum numeros dixero, nondum ullam formam geometricam nominavi. Musica vero quam prior sit numerorum vis, hinc maxime probari potest, quod non modo illa natura priora sunt, quae per se constant, quam illa, quae ad aliquid referuntur. Sed etiam ea ipsa musica modulatio numerorum nominibus adnotatur, et idem in hac evenire potest, quod in geometria praedictum est. Diatessaron enim et diapente et diapason ab antecedentis numeri nominibus nuncupantur. Ipsorum quoque sonorum adversus se proportio solis neque aliis numeris invenitur. Qui enim sonus in diapason symphonia est, idem duplicis numeri proportione colligitur; quae diatessaron est modulatio, epitrita conlatione componitur; quam diapente symphoniam vocant, hemiolia medietate coniungitur; qui in numeris epogdous est, idem tonus in musica, et ne singula persequi laborem, huius operis sequentia, quanto prior sit arithmetica sine ulla dubitatione monstrabit. Sphericam vero atque astronomiam tanto praecedit, quanto duae reliquae disciplinae hanc tertiam natura praecedunt. In astronomia enim circuli, sphera, centrum, parallelique circuli mediusque axis est, quae omnia geometricae disciplinae curae sunt. Quare est etiam ex hoc ostendere seniorem geometriae vim, quod omnis motus est post quietem et natura semper statio prior est, mobilium vero [12] astronomia, inmobilium geometria doctrina est; vel quod armonicis modulationibus motus ipse celebratur astrorum. Quare constat quoque musicae vim astrorum cursus antiquitate praecedere, quam superare natura arithmeticam dubium non est, cum prioribus, quam illa est, videatur antiquior. Proprie tamen ipsa numerorum natura omnis astrorum cursus omnisque astronomica ratio constituta est. Sic enim ortus occasusque colligimus, sic tarditates velocitatesque errantium siderum custodimus, sic defectus et multiplices lunae variationes agnoscimus. Quare, quoniam prior, ut claruit, arithmeticae vis est, hinc disputationis sumamus exordium.

De substantia numeri.

II. Omnia quaecunque a primaeva rerum natura constructa sunt, numerorum videntur ratione formata. Hoc enim fuit principale in animo conditoris exemplar. Hinc enim quattuor elementorum multitudo mutuata est, hinc temporum vices, hinc motus astrorum caelique conversio. Quae cum ita sint, cumque omnium status numerorum colligatione fungatur, eum quoque numerum necesse est in propria semper sese habentem aequaliter substantia permanere, eumque compositum non ex diversis -- quid enim numeri substantiam coniungeret, cum ipsius exemplum cuncta iunxisset? -- sed ex se ipso videtur esse compositus. Porro autem nihil ex similibus componi videtur, nec ex his, quae nulla rationis proportione iunguntur et a se omni substantia naturaque discreta sunt. Constat ergo, quoniam coniunctus est numerus, neque ex similibus esse coniunctum neque ex his, quae ad se invicem nulla ratione proportionis [13] haerent. Erunt ergo, numeros prima quae iungant, ad substantiam quidem quae constent semperque permaneant. Neque enim ex non subsistentibus effici quicquam potest et sunt ipsa dissimilia et potentia conponendi. Haec autem sunt, quibus numerus constat, par atque inpar quae divina quadam potentia, cum disparia sint contrariaque, ex una tamen genitura profluunt, et in unam compositionem modulationemque iunguntur.

Definitio et divisio numeri et definitio paris et inparis.

III. Et primum quid sit numerus definiendum est. Numerus est unitatum collectio, vel quantitatis acervus ex unitatibus profusus. Huius igitur prima divisio est in inparem atque parem. Et par quidem est, qui potest in aequalia duo dividi, uno medio non intercedente, inpar vero, quem nullus in aequalia dividit eo, quod in medio praedictus unus intercedat. Et haec quidem huiusmodi definitio vulgaris et nota est.

Definitio numeri paris et inparis secundum Pythagoram.

IIII. Illa autem secundum pythagoricam disciplinam talis est: par numerus est, qui sub eadem divisione potest in maxima parvissimaque dividi, maxima spatio, parvissima quantitate secundum duorum istorum generum contrarias passiones. Inpar vero numerus est, cui hoc quidem accidere non potest, sed cuius in duas inaequales [14] summas naturalis est sectio. Hoc est autem exemplar: ut si quilibet datus par numerus dividatur, maior quidem quantum ad divisionis spatia non invenietur, quam disgregata medietas, quantitate vero nulla minor est, quam in gemina facta partitio; ut, si par numerus, qui est .VIII., dividatur in .IIII. atque alios .IIII., nulla erit alia divisio, quae maiores partes efficiat; porro autem nulla erit alia divisio, quae totum numerum minore dividat quantitate. In duas enim partes divisione nihil minus est. Cum enim totum quis fuerit trina divisione partitus, spatii quidem summa minuitur, sed numerus divisionis augetur. Quod autem dictum est: secundum duorum generum contrarias passiones, huiusmodi est: praedocuimus enim quantitatem in infinitas pluralitates adcrescere, spatia vero, id est magnitudines in infinitissimas minui parvitates atque ideo hic contra evenit. Haec namque paris divisio spatio est maxima, parvissima quantitate.

Alia secundum antiquiorem modum divisio paris et inparis.

V. Secundum antiquiorem vero modum alia est paris numeri definitio. Par numerus est, qui in duo aequalia et in duo inaequalia partitionem recipit, sed ut in neutra divisione vel inparitati paritas vel paritati inparitas misceatur, praeter solum paritatis principem, binarium numerum, qui in aequalem non recipit sectionem, propterea quod ex duabus unitatibus constat et ex prima duorum quodammodo paritate. Quod autem dico, tale est: si enim ponatur par numerus, potest in duo aequalia dividi, ut denarius dividitur in quinos, porro autem et per inaequalia, ut idem denarius in .III. et .VII., sed hoc modo, ut cum [15] una pars fuerit divisionis par, alia quoque par inveniatur, et si una inpar, reliqua ab eius inparitate non discrepet, ut in eodem numero, qui est denarius. Cum enim divisus est in quinos, vel cum in tres septem, utraeque in utraque portione partes inpares extiterunt. Si autem ipse, vel alius numerus par, dividatur in aequales, ut octonarius in .IIII. et .IIII., et item per inaequales, ut idem octonarius in .V. et .III., in illa quidem divisione utraeque partes pares factae sunt, in hac utraeque inpares extiterunt; neque unquam fieri potest, ut, cum una pars divisionis par fuerit, alia inpar inveniri queat, aut, cum una inpar sit, alia par possit intellegi. Inpar vero numerus est, qui ad quamlibet illam divisionem per inaequalia semper dividitur, ut utrasque species numeri semper ostendat, nec unquam altera sine altera sit, sed una pars paritati, inparitati alia deputetur, ut, .VII. si dividas in .III. atque .IIII., altera portio par altera inpar est. Et hoc idem in cunctis inparibus numeris invenitur, neque unquam in inparis divisione praeter se esse possunt. Hae geminae species, quae naturaliter vim numeri substantiamque componunt.

Definitio paris et inparis per alterutrum.

VI. Quod si haec etiam per alterutras species definienda sunt, dicetur inparem numerum esse, qui unitate differt a pari vel cremento vel deminutione. Par item numerus est, qui unitate differt ab inpari vel cremento vel deminutione. Si enim pari unum dempseris, vel unum adieceris, inpar efficitur, vel si inpari idem feceris, par continuo procreatur.

[16] De principalitate unitatis.

VII. Omnis quoque numerus circum se positorum et naturali sibimet dispositione iunctorum medietas est; et qui super duos illos sunt, qui medio iunguntur, si conponantur, etiam ipsorum supradictus numerus media portio est; et rursus illorum, qui sunt super secundo loco iunctos, cum ipsi quoque sint compositi, prior his numerus medietatis loco est, et hoc erit, usquedum occurrens unitas terminum ponat, ut si ponat quis quinarium numerum, altrinsecus circa ipsum sunt super .IIII. inferius .VI. Hi ergo si iuncti sint, faciunt .X., quorum .V. numerus medietas est. Qui autem circa ipsos id est circa .VI. et .IIII. sunt, .III. scilicet et .VII., idem si iuncti sint, eorum quinarius numerus medietas est; rursus istorum, qui altrinsecus positi sunt, si iungantur, etiam hi quinarii numeri dupli sunt; nam super .III. sunt .II., super .VII. sunt .VIII.; hi ergo si iuncti sint, faciunt .X., quorum quinarius rursus medietas est. Hoc idem in omnibus numeris evenit, usquedum ad unitatis terminum perveniri queat; sola enim unitas circum se duos terminos non habet, atque ideo eius, qui est prope se, solius est medietas. Nam iuxta .I. solus est binarius naturaliter constitutus, cuius unitas media pars est. Quare constat primam esse unitatem cunctorum, qui sunt in naturali dispositione, numerorum et eam rite totius quamvis prolixae genitricem pluralitatis agnosci.

[17] Divisio paris numeri.

VIII. Paris autem numeri species sunt tres. Est enim una, quae dicitur pariter par, alia vero pariter inpar, tertia inpariter par. Et contraria quidem locumque obtinentia summitatum videntur esse pariter par et pariter inpar. Medietas autem quaedam, quae utrorumque participat, est numerus, qui vocatur inpariter par.

De numero pariter pari eiusque proprietatibus.

VIIII. Pariter par numerus est, qui potest in duo paria dividi, eiusque pars in alia duo paria partisque pars in alia duo paria, ut hoc totiens fiat, usquedum divisio partium ad indivisibilem naturaliter perveniat unitatem. Ut .LXIIII. numerus habet medietatem .XXXII., hic autem medietatem .XVI., hic vero .VIII. Hunc quoque quaternarius in aequa partitur, qui binarii duplus est; sed binarius unitatis medietate dividitur, quae unitas naturaliter singularis non recipit sectionem. Huic numero videtur accidere, ut quaecunque eius fuerit pars, cum nomine ipso vocabuloque pariter par inveniatur; tum etiam quantitate. Sed ideo mihi videtur hic numerus pariter par vocatus, [18] quod eius omnes partes et nomine et quantitate pares pariter inveniantur. Quomodo autem et nomine et quantitate pares habeat partes hic numerus, post dicemus. Horum autem generatio talis est: ab uno enim quoscunque in duplici proportione notaveris, semper pares pariter procreantur. Praeter hanc autem generationem ut nascantur aliter inpossibile est. Huius autem rei tale detur per ordinem descriptionis exemplum sintque cuncti duplices ab uno I. II. IIII. VIII. XVI. XXXII. LXIIII, CXXVIII. CCLVI. DXII. atque hinc si fiat infinita progressio, tales cunctos invenies, factique sunt ab uno in duplici proportione, et omnes sunt pariter pares. Illud autem non minima consideratione dignum est, quod eius omnis pars ab una parte quacunque, quae intra ipsum numerum est, denominatur tantamque summam quantitatis includit, quota pars est alter numerus pariter paris illius, qui eum continet, quantitatis. Itaque fit, ut sibi partes ipsae respondeant, ut quota pars una est, tantam habeat altera quantitatem, et quota pars ista est, tantum in priore summa necesse sit multitudinis inveniri. Et primum fit, si pares fuerint dispositiones, ut duae mediae partes sibi respondeant, post vero quae super ipsas sunt, sibi invicem convertantur, atque hoc idem fiat, donec uterque terminus extremitatis incurrat. Ponatur enim pariter paris ordo ab uno usque .CXXVIII. hoc modo: I. II. IIII. VIII. XVI. XXXII. LXIIII. CXXVIII. et ea sit summa maxima. [19] In hoc igitur, quoniam pares dispositiones sunt, una medietas non potest inveniri. Sunt igitur duae, id est .VIII. et .XVI. quae considerandae sunt, quemadmodum ipsae sibi respondeant. Totius enim summae, id est .CXXVIII. octava pars est .XVI., sextadecima .VIII. Rursus super has partes quae sunt, ipsae sibi invicem respondebunt, id est .XXXII. et .IIII. Nam .XXXII. quarta pars est totius summae, .IIII. vero tricesima secunda. Rursus super has partes .LXIIII. secunda pars est, .II. vero sexagesima quarta; donec extremitates limitem faciant, quas dubium non est eadem responsione gaudere. Est enim omnis summa semel .CXXVIII., unus vero centesimus vicesimus octavus.

Si autem inpares terminos ponamus, id est summas -- idem enim terminos quod summas nomino -- secundum inparis naturam potest una medietas inveniri atque ipsa una sibi est responsura. Si enim ponatur hic ordo I. II. IIII. VIII. XVI. XXXII. LXIIII. una erit sola medietas, id est VIII., qui VIII. summae totius pars est octava, et sibi ipsi ad denominationem quantitatemque convertitur. Eodemque modo sicut superius circa ipsum qui sunt termini donant sibi mutua nomina secundum proprias quantitates vocabulumque permutant. Nam .IIII. sextadecima pars est totius summae, .XVI. vero quarta. Et rursus super terminos hos .XXXII. secunda pars est totius summae, .II. vero tricesima secunda; et semel tota summa .LXIIII. sunt, sexagesima quarta vero unitas invenitur. Hoc igitur est, quod dictum est, omnes eius partes et nomine et quantitate pariter pares inveniri.

[20] Hoc quoque multa consideratione multaque constantia divinitatis perfectum est, ut ordinatim dispositae minores summae in hoc numero et super se ipsas coacervatae sequenti minus uno semper aequentur. Si enim unum iungas his, qui sequuntur, duobus, fiunt .III., id est, qui uno minus quaternario cadant, et si superioribus addas .IIII., sunt .VII., qui ab octonario sequente sola unitate vincuntur. Sed si eosdem .VIII. supradictis adiunxeris, .XV. fient, qui par .XVI. numeri existeret quantitati, nisi minor unitas inpediret. Hoc autem prima etiam numeri progenies servat atque custodit. Namque unitas, quae prima est, duobus subsequentibus sola est unitate contractior; unde nihil mirum est, totum summae crementum proprio consentire principio. Haec autem nobis consideratio maxime proderit in his numeris cognoscendis, quos superfluos vel inminutos perfectosque monstrabimus. Illic enim coacervata quantitas partium numeri totius termino comparatur.

Illud quoque nulla possumus oblivione transmittere, quod in hoc numero respondentibus sibi invicem partibus multiplicatis maior extremitas eiusdem numeri summaque conficitur. Et primum si pares fuerint dispositiones medii multiplicantur atque deinde qui super ipsos sunt et usque ad supradictas extremitates. Si enim fuerint pares dispositiones secundum naturam paris duos in medio terminos continebunt, ut in ea dispositione numerorum, in qua extremus terminus .CXXVIII. finitur. In hoc enim numero medietates sunt .VIII. scilicet et .XVI., quae in se multiplicatae maioris summam crescente pluralitate conficient. Octies enim .XVI. vel sedecies .VIII., si multiplices, [21] .CXXVIII. summa concrescet, atque hi numeri, qui super eosdem sunt, si multiplicentur, idem faciunt. Nam .IIII. et .XXXII., in se si multiplices supra dictam facient extremitatem. .IIII. enim tricies et bis, vel quater .XXXII. ducti .CXXVIII. inmutabili necessitate conplebunt, atque hoc usque ad extremos terminos cadit, id est .I. et .CXXVIII. Semel enim extremus terminus .CXXVIII. est; centies vicies atque octies unitate multiplicata nihil de priore quantitate mutabitur.

Si autem inpares fuerint dispositiones, unus medius terminus invenitur, atque ipse sibi propria multiplicatione respondet. In eo namque ordine numerorum, ubi extremus terminus .LXIIII. pluralitate concluditur, sola invenitur una medietas, id est .VIII., quam si octies id est in semet ipsum multiplices .LXIIII. explicabit, atque idem reddent illi, qui super hanc medietatem sunt, ut dudum hi, qui super duas positi, faciebant. Nam quater .XVI. .LXIIII. sunt et sedecies .IIII. idem conplent. Rursus bis .XXXII. facti a .LXIIII. non discedunt, et tricies bis .II. eosdem cumulant, et semel .LXIIII. vel unitas sexagies quater multiplicata eundem numerum sine ulla varietate restituent.

De numero pariter inpari eiusque proprietatibus.

X. Pariter autem inpar numerus est, qui et ipse quidem paritatis naturam substantiamque sortitus est, sed in contraria divisione naturae numeri pariter paris obponitur. [22] Docebitur namque, quam longe hic dissimili ratione dividatur. Nam quoniam par est, in partes aequales recipit sectionem, partes vero eius mox indivisibiles atque insecabiles permanebunt, ut sunt .VI. X. XIIII. XVIII. XXII. et his similes. Mox enim hos numeros si in gemina fueris divisione partitus, incurris in inparem, quem secare non possis. Accidit autem his quod omnes partes contrarie denominatas habent, quam sunt quantitates ipsarum partium, quae denominantur. Neque unquam fieri potest, ut quaelibet pars huius numeri eiusdem generis denominationem quantitatemque suscipiat. Semper enim si denominatio fuerit par, quantitas partis erit inpar, si denominatio inpar, quantitas par: ut in .XVIII. secunda eius pars, id est media, quod paritatis nomen est, .VIIII., quae inpar est quantitas; tertia vero, quae inpar est denominatio, .VI., cui par pluralitas est. Rursus si convertas, sexta pars, quae par est denominatio, .III. sunt, sed ternarius inpar est; et nona pars, quod inpar est vocabulum, .II., qui par numerus est; atque idem in aliis cunctis, qui sunt pariter inpares, invenitur. Neque unquam fieri potest, ut, cuiuslibet partis eiusdem sit generis nomen et numerus.

Fit autem horum procreatio numerorum, si ab uno disponantur, quicunque duobus differunt, id est omnibus inparibus naturali sequentia atque ordine constitutis. Namque hi si per binarium numerum multiplicentur, omnes pariter inpares rite pluralitas demensa sufficiet. Ponatur enim prima unitas .I. et post hunc, qui ab hoc duobus differt, id est .III. et post hunc, qui rursus a superiore [23] duobus, id est .V., et hoc in infinitum et sit huius modi dispositio

I. III. V. VII. VIIII. XI. XIII. XV. XVII. XVIIII.

Hi ergo naturaliter se sequentes inpares sunt, quos nullus in medio par numerus distinguit. Hos si per binarium numerum multiplices, efficies hoc modo: bis .I. id est .II., qui dividitur quidem, sed eius partes indivisibiles repperiuntur propter insecabilis unitatis naturam; bis .III., bis .V., bis .VII., bis .VIIII., bis .XI. et deinceps, ex quibus nascuntur hi: II. VI. X. XIIII. XVIII. XXII., quos si dividas, unam recipient sectionem ceteram repudiantes, quod secunda divisio ab inparis medietate partis excluditur.

His autem numeris a se invicem quaternarii sola distantia est; namque inter .II. et .VI. numeros .IIII. sunt, rursus inter .VI. et .X. et inter .X. et .XIIII., inter .XIIII. et .XVIII. idem quaternarius differentiam facit. Hi namque omnes quaternaria sese numerositate transcendunt, quod idcirco contingit, quoniam primi qui positi sunt, id est eorum fundamenta, binario se numero praecedebant, quos quoniam per binarium multiplicavimus, in quaternarium numerum crevit illa progressio; .II. enim per .II. multiplicati quaternariam faciunt summam. Igitur in naturalis numeri dispositione pariter inpares numeri quinto loco a se distant, solis .IIII. se praecedunt, .III. in medio transeuntes, per binarium numerum multiplicatis inparibus procreati. Contrariae vero esse dicuntur hae species numerorum, id est pariter par et pariter inpar, quod in [24] numero pariter inpari sola divisionem recipit maior extremitas, in illo vero solus minor terminus sectione solutus est, et quod in forma pariter paris numeri ab extremitatibus incipienti et usque ad media progredienti, quod continetur sub extremis terminis, idem est illi, quod continetur sub intra se positis summulis atque hoc idem usquedum ad duas medietates fuerit ventum in dispositionibus scilicet paribus; si autem fuerint inpares dispositiones, quod ab una medietate conficitur, hoc idem sub altrinsecus positis partibus procreatur, atque hoc usquedum ad extremitates progressio fiat. In ea enim dispositione, quae est par ut II. IIII. VIII. XVI,, idem reddunt .II. per .XVI. multiplicati, quod .IIII. per octonarium ducti, utroque enim modo .XXXII. fient. Quod si inpar sit ordo, ut est II. IIII. VIII., idem facient extremi, quod medietas; bis enim .VIII. sunt .XVI., qui numerus a quaternario in se ducto perficitur. In numero vero pariter inpari, si fuerit unus in medio terminus, circum se positorum terminorum, si in unum redigantur, medietas est, et idem eorum quoque, qui super hos sunt terminos, medietas est, atque hoc usque ad extremos omnium terminorum, ut in eo ordine, qui est pariter inparium numerorum, II. VI. X., iunctus binarius cum denario .XII. explet, cuius senarius medietas invenitur. Si vero fuerint duae medietates iunctae, ipsae utraeque aequales erunt super se terminis constitutis, ut est in hoc ordine II. VI. X. XIIII. Iuncti enim .II. et .XIIII. in .XVI. crescunt, quos senarius cum denario copulatus efficiet. Atque [25] hoc in numerosioribus terminis initio sumpto a mediis evenit usquedum ad extrema veniatur.

De numero inpariter pari eiusque proprietatibus deque eius ad pariter parem et pariter inparem cognatione.

XI. Inpariter par numerus est ex utrisque confectus et medietatis loco gemina extremitate concluditur, ut, quo ab utroque discrepet, eadem ad alterutrum cognatione iungatur. Hic autem talis est, qui dividitur in aequas partes, cuiusque pars in alias aequas dividi potest, etiam aliquando partes partium dividuntur, sed non usque ad unitatem progreditur aequalis illa disiunctio, ut sunt .XXIIII. et .XXVIII. Hi enim possunt in medietates dividi et eorum rursus partes in alias medietates sine aliqua dubitatione solvuntur. Sunt etiam quidam alii numeri, quorum partes alias recipiunt divisiones, sed ipsa divisio ad unitatem usque non pervenit. Igitur in eo, quod plus quam unam suscipit sectionem, habet similitudinem pariter paris, sed a pariter inpari segregatur; in eo vero, quod usque ad unum sectio illa non ducitur, pariter inparem non refutat, sed a pariter pari disiungitur. Contingit autem huic numero et utraque habere, quae superiores non habent, et utraque, quae illi recipiunt, obtinere. Et habet quidem, quod utrique non habent, quod, cum in uno solus maior terminus divideretur, in alio vero solus minor terminus non divideretur, in hoc neque solus maior terminus divisionem recipit, neque minor solus terminus a divisione seiungitur. Nam et partes solvuntur et usque ad unitatem sectio illa non pervenit, sed ante unitatem invenitur terminus, quem secare non possis. Obtinet [26] autem, quae illi quoque recipiunt, quod quaedam partes eius respondent denominanturque secundum genus suum ad propriam quantitatem, ad similitudinem scilicet pariter paris numeri, aliae vero partes contrariam denominationem sumunt propriae quantitatis, ad pariter inparis scilicet formam. In .XXIIII. enim numero par est quantitas partis a pari numero denominata. Nam quarta .VI. secunda .XII. sexta vero .IIII. duodecima .II., quae vocabula partium a quantitatis paritate non discrepant. Contrarie vero denominantur, ut tertia pars .VIII., octava vero .III. Vicesima autem quarta .I. quae denominationes cum pares sint, inveniuntur inpares quantitates, et cum sint pares summae, sunt inpares denominationes.

Nascuntur autem tales numeri ita, ut substantiam naturamque suam in ipsa etiam propria generatione designent ex pariter paribus et pariter inparibus procreari. Pariter enim inpares cuncti dudum ordinatim positis inparibus nascebantur, pariter vero pares ex duplici progressione. Disponantur igitur omnes in ordinem naturaliter inpares a tribus et sub his a quattuor inchoantes omnes duplices et sint hoc modo:

III.  V.    VII. VIIII. XI.     XIII.
IIII. VIII. XVI. XXXII. LXIIII. CXXVIII.

[27] His igitur ita positis si primus primi multiplicatione concrescat, id est si quaternarii ternarius, vel si idem primus secundi, id est octonarii ternarius, vel si idem primus tertii, id est ternarius sedecimi, et idem usque ad ultimum, vel si secundus primi, vel si secundus secundi, vel si secundus tertii et eadem usque ad extremum multiplicatio proferatur, vel si tertius a primo inchoans usque in extremum transeat atque ita quartus et omnes in ordinem superiores multiplicent eos, qui sub ipsis in dispositione sunt, omnes inpariter pares procreabuntur. Huius autem rei tale sumamus exemplum. Si .III. quater multiplices .XII. fient, vel si .V. quattuor multiplicent .XX. numerus excrescet, vel si item .VII. multiplicent .IIII. .XXVIII. succrescet, atque hoc usque in finem. Rursus si .VIII. multiplicent .III. nascentur .XXIIII.; si .VIII. in .V. fiunt .XL., si .VIII. in .VII. colligentur .LVI. atque ad hunc modum si omnes inferiores duplices a superioribus multiplicentur, vel si superiores eosdem inferiores multiplicent, cunctos, qui nati fuerint, inpariter pares invenies.

Atque haec est admirabilis huius numeri forma, quod cum fuerit ipsa dispositio descriptioque perspecta numerorum, ad latitudinem pariter inparium, ad longitudinem pariter parium numerorum proprietas invenitur. Sunt enim duabus in latitudine medietatibus aequales duae extremitates [28] vel una medietate duae duplices extremitates. In longitudine vero pariter paris numeri rem proprietatemque designat. Quod enim sub duabus medietatibus continetur, aequale est ei, quod sub extremis conficitur, vel quod ab una medietate nascitur, aequale est illi, quod sub utrisque extremitatibus continetur. Descriptio autem, quae subposita est, hoc modo facta est: quantoscunque in ordine pariter parium numerorum ternarius numerus multiplicavit, quicunque ex eo procreati sunt, primo sunt versu dispositi; rursus qui eosdem multiplicante quinario nati sunt, secundo loco sunt constituti, post vero, quos septenarius ceteros multiplicando procreavit, eosdem tertio conscripsimus loco, atque idem in reliqua descriptionis parte perfecimus.

III.  V.    VII. VIIII.
IIII. VIII. XVI. XXXII.

(Vide descriptionem in tabula seorsum addita.)

[Boethius, Arithmetica, inter 28-29; text: Longitudo. Latitudo. medius. I.CLII. DLXXVI. II.CCCIIII. III.CC. I.DC. VI.CCCC. LXXX. XII. XXIIII. XLVIII. XCVI. CLX. XL. XX. CXCII. CCCXX. CCCLXXXIIII. LVI. XXVIII. CXII. CCXXIIII. CCCCXLVIII. XXXVI. LXXII. CXLIIII. CCLXXXVIII. III.CXXXVI. XII.DXLIIII, VI.CCLXXII. V.CLXXXIIII. XX.DCCXXXVI, X.CCCLXVII.] [BOEARI1 01GF]

Descriptionis ad inpariter paris naturam pertinentis expositio.

XII. Superius igitur digestae descriptionis haec ratio est: Si ad latitudinem respicias, ubi est duorum terminorum una medietas, ipsosque terminos iungas, duplos eos medietate propria repperies, ut .XXXVI. et .XX. faciunt .LVI., quorum medietas est .XXVIII., qui medius est inter eos terminus constitutus. Et rursus .XXVIII. et .XII. si iungas, faciunt .XL., quorum .XX. medietas medius eorum [29] terminus invenitur. At vero ubi duas medietates habent, utraeque extremitates iunctae utrisque medietatibus aequales fiunt, ut .XII. et .XXXVI., cum iunxeris, fiunt .XLVIII. Horum si medietates sibimet applicaveris, id est .XX. et .XXVIII., idem erit. Atque in alia parte latitudinis eodem ordine qui fiunt numeri notati sunt, neque ulla in re ratio utriusque latitudinis discrepabit; idemque in eodem ordine in ceteris numeris pernotabis; et hoc secundum formam pariter inparis numeri fit, in quo hanc proprietatem esse supra iam dictum est.

Rursus si ad longitudinem respicias, ubi duo termini unam medietatem habent, quod fit ex multiplicatis extremitatibus, hoc fit, si medius terminus suae capiat pluralitatis augmenta. Nam duodecies .XLVIII. faciunt .DLXXVI.; medius vero eorum terminus, id est .XXIIII. si multiplicetur, eosdem rursus .DLXXVI. procreabit. Et rursus si .XXIIII. in .XCVI. multiplicentur, faciunt II. CCC. IIII., quorum medius terminus, id est .XLVIII. si in semet ipsum ducatur, idem. II. CCC. IIII. procreantur. Ubi autem termini duo duas medietates includunt, quod fit multiplicatis extremitatibus, hoc idem redditur in alterutram summam medietatibus ductis. Duodecies enim .XCVI. multiplicatis I. CLII. procreantur. Duae vero eorum medietates, id est .XXIIII. et .XLVIII. si in semet ipsas multiplicentur, eosdem I. CLII. restituent. Atque hoc est ad imitationem cognationemque numeri pariter paris, a quo participatione tracta haec ei recognoscitur ingenerata proprietas. Et in alio vero latere longitudinis [30] eadem ratio descriptioque notata est. Quare manifestum est, hunc numerum ex prioribus duobus esse procreatum, quoniam eorum retinet proprietates.

De numero inpari eiusque divisione.

XIII. Inpar quoque numerus, qui a paris numeri natura substantiaque disiunctus est, -- si quidem ille in gemina aequa dividi potest, hic ne secari queat, unitatis inpedit interventus, -- tres habet similiter subdivisiones, quarum una eius pars est is numerus, qui vocatur primus et incompositus, secunda vero, qui est secundus et compositus, et tertia is, qui quadam horum medietate coniunctus est et ab utriusque cognatione aliquid naturaliter trahit, qui est per se quidem secundus et compositus, sed ad alios comparatus primus et incompositus invenitur.

De primo et incomposito.

XIIII. Et primus quidem et incompositus est, qui nullam aliam partem habet nisi eam, quae a tota numeri quantitate denominata sit, ut ipsa pars non sit nisi unitas, ut sunt III. V. VII. XI. XIII. XVII. XVIIII. XXIII. XXVIIII. XXXI. In his ergo singulis nulla unquam alia pars invenietur, nisi quae ab ipsis denominata est, et ipsa tantum unitas, ut supra iam dictum est. In tribus enim una pars sola est, id est tertia, quae a tribus scilicet denominata est, et ipsa tertia pars unitas; eodemque modo quinarii sola quinta pars est et haec unitas, atque idem in singulis consequens repperietur. Dicitur autem primus et incompositus, quod nullus eum alter numerus metiatur praeter solam, quae cunctis mater est, unitatem. Namque ternarium [31] .II. non numerant, idcirco, quoniam si solos duos contra .III. compares, pauciores sunt, sin vero binarium bis facias, amplior est tribus, cum crescit in .IIII. Metitur autem numerus numerum, quotiens vel semel vel bis vel tertio vel quotienslibet numerus ad numerum comparatus neque deminuta summa neque aucta ad comparati numeri terminum usque pervenerit, ut .II. si ad .VI. compares, binarius numerus senarium tertio metietur. Primos ergo et incompositos nullus numerus metietur praeter unitatem solam, quoniam ex nullis aliis numeris compositi sunt, sed tantum ex unitatibus in semet ipsis auctis multiplicatisque procreantur. Ter enim unus .III. et quinquies unus .V. et septies unus .VII. fecerunt, et alii quidem, quos supra descripsimus, eodem modo nascuntur. Hi autem in semet ipsos multiplicati faciunt alios numeros velut primi, eosque primam rerum substantiam vimque sortitos cunctorum a se procreatorum velut quaedam elementa repperies, quia scilicet incompositi sunt et simplici generatione formati atque in eos omnes, quicunque ex his prolati sunt numeri, resolvuntur, ipsi vero neque ex aliis producuntur neque in alios reducuntur.

De secundo et composito.

XV. Secundus vero et compositus et ipse quidem inpar est, propterea quod eadem inparis proprietate formatus est, sed nullam in se retinet substantiam principalem compositusque est ex aliis numeris habetque partes et a se ipso et ab alieno vocabulo denominatas; sed a se ipso denominatam partem solam semper in his repperies unitatem, ab alieno vero vocabulo vel unam vel quotlibet [32] alias, quanti fuerint scilicet numeri quibus ille compositis procreatur, ut sunt hi: VIIII. XV. XXI. XXV. XXVII. XXXIII. XXXVIIII. Horum ergo singuli habent quidem a se denominatas partes proprias, scilicet unitates, ut .VIIII. nonam, id est unum, .XV. quintam decimam eandem rursus unitatem et in ceteris, quos supra descripsimus, idem convenit.

Habent etiam ab alieno vocabulo partem, ut .VIIII. tertiam, id est ternarium, et .XV. tertiam, id est quinque, et quintam, id est tres; .XXI. vero tertiam .VII., septimam .III.; et in omnibus aliis eadem consequentia est.

Secundus autem vocatur hic numerus, quoniam non sola unitate metitur sed etiam alio numero, a quo scilicet coniunctus est, neque habet quicquam in se principalis intellegentiae. Nam ex aliis numeris procreatur. .VIIII. quidem ex tribus, .XV. vero ex tribus et .V., at .XXI. ex tribus et .VII. et ceteri eodem modo. Compositus autem dicitur eo, quod resolvi potest in eosdem ipsos, a quibus dicitur esse compositus, in eos scilicet, qui compositum numerum metiuntur. Nihil autem, quod dissolvi potest, incompositum est, sed omni rerum necessitate compositum.

De eo, qui per se secundus et compositus est, ad alium primus et incompositus.

XVI. His vero contra se positis, id est primo et incomposito et secundo et composito, et naturali diversitate disiunctis alius in medio consideratur, qui ipse quidem [33] compositus sit et secundus et alterius recipiens mensionem atque ideo et partis alieni vocabuli capax, sed cum fuerit ad alium eiusdem generis numerum comparatus, nulla cum eo communi mensura coniungitur; nec habebunt partes aequivocas; ut sunt .VIIII. ad .XXV. Nulla hos communis numerorum mensura metitur, nisi forte unitas, quae omnium numerorum mensura communis est. Et hi quidem non habent aequivocas partes. Nam quae in .VIIII. tertia est, in .XXV. non est, et quae in .XXV. quinta est, in novenario non est. Ergo hi per naturam utrique secundi et compositi sunt, comparati vero ad se invicem primi incompositique redduntur, quod utrosque nulla alia mensura metitur, nisi unitas, quae ab utrisque denominata est; nam in novenario nona est, in .XXV. vicesima quinta.

De primi et incompositi et secundi et compositi et ad se quidem secundi et compositi, ad alterum vero primi et incompositi procreatione.

XVII. Generatio autem ipsorum atque ortus huiusmodi investigatione colligitur, quam scilicet Eratosthenes cribrum nominabat, quod cunctis inparibus in medio conlocatis per eam quam tradituri sumus artem, qui primi quive secundi quique tertii generis videantur esse distinguitur. Disponantur enim a ternario numero cuncti in ordinem inpares in quamlibet longissimam porrectionem. III. V. VII. VIIII. XI. XIII. XV. XVII. XVIIII. XXI. XXIII. XXV. XXVII. XXVIIII. XXXI. XXXIII. [34] XXXV. XXXVII. XXXVIIII. XLI. XLIII. XLV. XLVII. His igitur ita dispositis considerandum, primus numerus quem eorum, qui sunt in ordine positi, primum metiri possit. Sed duobus praeteritis illum, qui post eos est positus, mox metitur, et, si post eundem ipsum, quem mensus est, alii duo transmissi sint, illum qui post duos est, rursus metitur, et eodem modo, si duos quis reliquerit, post eos qui est, a primo numero metiendus est; eodemque modo relictis semper duobus omnes a primo in infinitum pergentes metientur.

Sed id non vulgo neque confuse. Nam primus numerus illum, qui est post duos secundum se locatos, per suam quantitatem metitur. Ternarius enim intermissis duobus id est .V. et .VII. novenarium metitur, et hoc per suam quantitatem id est per ternarium. Ternarius enim numerus tertio .VIIII. metitur. Si autem post novenarium duos reliquero, qui mihi post illos incurrerit, a primo metiendus est per secundi inparis quantitatem, id est per quinarium. Nam si post .VIIII. duos relinquam, id est .XI. et .XIII. ternarius numerus .XV. metietur per secundi numeri quantitatem, id est per quinarii, quoniam ternarius .XV. quinquies metitur. Rursus si a quindenario inchoans duos intermisero, qui posterior positus est, eius primus numerus mensura est per tertii inparis pluralitatem. Nam si post .XV. intermisero .XVII. et .XVIIII., incurrit .XXI., quem ternarius numerus secundum septenarium metitur .XXI. enim numeri ternarius septima pars est, atque ideo hoc in infinitum faciens repperio primum numerum, si binos intermiserit, omnes sequentes posse metiri secundum quantitatem positorum ordine inparium numerorum.

[35] Sin vero quinarius numerus, qui in secundo loco est constitutus, velit quis, cuius prima ac deinceps mensura sit, invenire, transmissis .IIII. inparibus quintus ei, quem metiri possit, occurrit. Intermittantur enim .IIII. inpares, id est .VII. et .VIIII. et .XI. et .XIII. Post hos est .XV., quem quinarius metitur secundum primi scilicet quantitatem id est ternarii. .V. enim .XV. tertio metitur. Ac deinceps si quattuor intermittat, eum, qui post illos locatus est secundus, id est quinarius, sui quantitate metitur. Nam post .XV. intermissis .XVII. et .XVIIII. et .XXI. et .XXIII. post eos .XXV. repperio, quos quinarius scilicet numerus sua pluralitate metitur. Quinquies enim quinario multiplicato .XXV. succrescunt. Si vero post hunc quilibet .IIII. intermittat, eadem ordinis servata constantia, qui eos sequitur, secundum tertii, id est septenarii numeri, summam a quinario metietur; atque haec est infinita progressio.

Si vero tertius numerus quem metiri possit, exquiritur, sex in medio relinquentur, et quem septimum ordo monstraverit, hic per primi numeri, id est ternarii, quantitatem metiendus est; et post illum sex aliis interpositis, quem post eos numerum series dabit, per quinarium, id est per secundum, tertii eum mensura percurret. Sin vero alios rursus sex in medio quis relinquat, ille, qui sequitur, per septenarium numerum ab eodem septenario metiendus est id est per tertii quantitatem; atque hic usque in extremum ratus ordo progreditur.

Suscipiant ergo metiendi vicissitudinem quemadmodum sunt in ordinem naturaliter inpares constituti. Metientur autem, si per pares numeros a binario inchoantes [36] positos inter se inpares rata intermissione transsiliant, ut primus duo, secundus .IIII., tertius .VI. quartus .VIII. quintus .X., vel si locos suos conduplicent et secundum duplicationem terminos intermittant, ut ternarius qui primus est numerus et unus -- omnis enim primus unus est -- bis locum suum multiplicet faciatque bis unum; qui cum .II. sint, primus .II. medios transeat. Rursus secundus, id est quinarius, si locum suum duplicet, .IIII. explicabit, hic quoque uti .IIII. intermittat. Item si septenarius, qui tertius est, locum suum duplicet, sex creabit. Bis enim .III. senarium iungunt. Hic ergo in ordinem .VI. relinquat. Quartus quoque si locum suum duplicet, .VIII. succrescent. Ille quoque octo transsiliat. Atque hoc quidem in ceteris perspiciendum.

Modum autem mensionis secundum ordinem conlocatorum ipsa series dabit. Nam primus primum quem numerat, secundum primum numerat, id est secundum se; et secundum primus quem numerat, per secundum numerat, et tertium per tertium et quartum item per quartum. Cum autem secundus mensionem susceperit, primum quem numerat, secundum primum metitur, secundum vero quem numerat, per se, id est per secundum, et tertium per tertium, et in ceteris eadem similitudine mensura constabit. Alios ergo si respicias vel qui alios mensi sunt, vel qui ipsi ab aliis metiuntur, invenies omnium simul communem mensuram esse non posse, neque ut omnes quemquam alium simul numerent; quosdam autem ex his ab alio posse metiri, ita ut ab uno tantum numerentur; alios vero, ut etiam a pluribus; [37] quosdam autem, ut praeter unitatem eorum nulla mensura sit. Qui ergo nullam mensuram praeter unitatem recipiunt, hos primos et incompositos iudicamus, qui vero aliquam mensuram praeter unitatem vel alienigenae partis vocabulum sortiuntur, eos pronuntiemus secundos atque compositos. Tertium vero illud genus per se secundi et compositi, primi vero et incompositi ad alterutrum comparati, hac inquisitor ratione, repperiet. Si enim quoslibet illos numeros secundum suam in semet ipsos multiplices quantitatem, qui procreantur, ad alterutrum comparati nulla mensurae communione iunguntur. .III. enim et .V. si multiplices, .III. tertio .VIIII. facient, et quinquies .V. reddent .XXV. His igitur nulla est communis mensurae cognatio. Rursus .V. et .VII. quos procreant, si compares, hi quoque incommensurabiles erunt. Quinquies enim .V., ut dictum est, .XXV., septies .VII. faciunt .XLVIIII., quorum mensura nulla communis est; nisi forte omnium horum procreatrix et mater unitas.

De inventione eorum numerorum, qui ad se secundi et compositi sunt, ad alios vero relati primi et incompositi.

XVIII. Qua vero ratione tales numeros invenire possimus, si quis nobis eosdem proponat et imperet agnoscere, utrum aliqua mensura commensurabiles sint, an certe sola unitas utrosque metiatur, repperiendi ars talis est. Datis enim duobus numeris inaequalibus, auferre de maiore minorem oportebit, et qui relictus fuerit, si maior est, auferre ex eo rursus minorem, si vero minor fuerit, eum ex reliquo maiore detrahere atque hoc eo [38] usque faciendum, quoad unitas ultima vicem retractionis inpediat, aut aliquis numerus, inpar necessario, si utrique numeri inpares proponantur; sed eum, qui relinquitur, numerum sibi ipsi videbis aequalem. Ergo si in unum incurrat vicissim ista subtractio, primi contra se necessario numeri dicentur et nulla alia mensura nisi sola unitate coniuncti. Si vero ad aliquem numerum, ut superius dictum est, finis deminutionis incurrerit, erit numerus, qui metiatur utrasque summas, atque eundem ipsum, qui remanserit, dicemus utrorumque communem esse mensuram.

Age enim duos numeros propositos habeamus, quos iubeamur agnoscere, an eos aliqua communis mensura metiatur; atque hi sint .VIIII. scilicet et .XXVIIII. Hoc igitur modo faciemus reciprocam deminutionem. Auferamus de maiore minorem, hoc est de .XXVIIII. novenarium, relinquentur .XX. Ex his ergo .XX. rursus minorem detrahamus, id est .VIIII. et relinquentur .XI. Ex his rursus detraho .VIIII., relicti sunt .II. Quos si detraho novenario, reliqui sunt .VII.; quos si duo rursus septenario dempserim, supersunt .V., atque ex his alios duos, .III. rursus exuberant, quos alio binario deminutos sola unitas superstes egreditur. Rursus si ex duobus unum auferam in uno terminus detractionis haerebit, quem duorum illorum numerorum, id est .VIIII. et [39] .XXVIIII. solam neque aliam constat esse mensuram. Hos ergo contra se primos vocabimus.

Sed sint alii numeri nobis eadem condicione propositi, id est .XXI. et .VIIII., ut quales hi sint investigentur, cum sibimet fuerint invicem comparati. Rursus aufero de maiore minoris numeri quantitatem, id est .VIIII. de .XXI., relinquuntur .XII. Ex his rursus demo .VIIII., supersunt .III. Qui si ex novenario detrahantur, senarius relinquetur. Quibus item si quis ternarium demat, .III. relinquentur, de quibus .III. detrahi nequeunt, atque hic est sibi ipsi aequalis. Nam .III., qui detrahebantur, usque ad ternarium numerum pervenerunt, a quo quoniam aequales sunt, detrahi minuique non poterunt. Hos igitur commensurabiles pronuntiabimus et est eorum, qui est reliquus, ternarius mensura communis.

Alia partitio paris secundum perfectos, inperfectos et ultra quam perfectos.

XVIIII. Ac de inparibus numeris quantum introductionis permittebat brevitas expeditum est. Rursus numerorum parium sic fit secunda divisio. Alii enim eorum sunt superflui, alii deminuti secundum utrasque habitudines inaequalitatis. Omnis quippe inaequalitas aut in maioribus aut in minoribus consideratur. Illi enim inmoderata quodammodo plenitudine proprii corporis modum partium suarum numerositate praecedunt; illos autem velut paupertate inopes oppressosque quadam naturae suae inopia minor, quam ipsi sunt, partium summa componit. Atque illi quidem, quorum partes ultra quam satis est sese porrexerint, [40] superflui nominantur, ut sunt .XII. vel .XXIIII. Hi enim suis partibus comparati maiorem partium summam toto corpore sortiuntur. Est enim duodenarii medietas .VI. pars tertia .IIII. pars quarta .III. pars sexta .II. pars duodecima .I. omnisque hic cumulus redundat in .XVI. et totius corporis sui multitudinem vincunt. Rursus .XXIIII. numeri medietas est .XII., tertia .VIII., quarta .VI., sexta .IIII., octava .III.. duodecima .II., vicesima quarta .I., qui omnes .XXX. et .VI. rependunt. In qua re manifestum est, quod summa partium maior est et supra proprium corpus exundat. Atque hic quidem, cuius compositae partes totius summam numeri vincunt, superfluus appellatur, deminutus vero ille, cuius eodem modo compositae partes totius termini multitudine superantur, ut .VIII. vel .XIIII. Habet enim octonarius partem mediam, id est .IIII., habet et quartam, id est .II., et octavam, id est .I. quae cunctae in unum redactae .VII. colligunt, minorem scilicet summam toto corpore concludentes. Rursus .XIIII. habent medietatem, id est septenarium, habent septimam, id est .II., habent quartam decimam, id est .I. quae in unum si collectae sint, denarii numeri summa succrescit, toto scilicet termino minor.

Atque hi quidem hoc modo sunt, ut prior ille, quem suae partes superant, talis videatur, tamquam si quis multis super naturam manibus natus, ut centimanus gigas vel triplici coniunctus corpore, ut Geryo tergeminus, vel quicquid unquam monstruosum naturae in partium multiplicatione [41] subripuit; ille vero, ut si naturaliter quadam necessaria parte detracta aut minus oculo nasceretur, ut Cyclopeae frontis dedecus fuit, vel quo alio curtatus membro naturale totius suae plenitudinis dispendium sortiretur.

Inter hos autem velut inter inaequales intemperantias medii temperamentum limitis sortitus est ille numerus, qui perfectus dicitur, virtutis scilicet aemulator, qui nec supervacua progressione porrigitur, nec contracta rursus deminutione remittitur, sed medietatis obtinens terminum suis aequus partibus nec crassatur abundantia, nec eget inopia, ut .VI. vel .XXVIII. Namque senarius habet partem mediam, id est .III., et tertiam, id est .II. et sextam, id est .I. quae in unam summam si redactae sint par totum numeri corpus suis partibus invenitur .XXVIII. vero habet medietatem .XIIII. et septimam .IIII. nec caret quarta, id est .VII., possidet quartam decimam .II. et repperies in eo vicesimam octavam .I., quae in unum redactae totum partibus corpus aequabunt. .XXVIII. enim iunctae partes efficient.

De generatione numeri perfecti.

XX. Est autem in his quoque magna similitudo virtutis et vitii. Perfectos enim numeros rarenter invenies, eosque facile numerabiles, quippe qui pauci sint et nimis constanti ordine procreati. At vero superfluos ac deminutos [42] longe multos infinitosque repperies, nec ullis ordinibus passim inordinateque dispositos et a nullo certo fine generatos. Sunt autem perfecti numeri intra denarium numerum .VI. intra centenarium .XXVIII. intra millenarium .CCCCXCVI. intra decem milia .VIII. CXXVIII. Et semper hi numeri duobus paribus terminantur, .VI. et .VIII., et semper alternatim in hos numeros summarum fine provenient. Nam et primum .Vl., inde .XXVIII. post hos .CCCC. XCVI. idem senarius, qui primus, post quem .VIII. CXXVIII. idem octonarius, qui secundus.

Generatio autem procreatioque eorum est fixa firmaque, ne quo alio modo fieri possint, nec ut si hoc modo fiant, aliud quiddam ullo modo valeat procreari. Dispositos enim ab uno omnes pariter pares numeros in ordinem quousque volueris, primo secundum adgregabis, et si primus numerus et incompositus ex illa coacervatione factus sit, totam summam in illum multiplicabis, quem posterius adgregaveras. Si vero coacervatione facta primus inventus non fuerit, sed compositus et secundus, hunc transgredere, atque alium, qui sequitur, adgregabis. Si vero nec dum fuerit primus et incompositus, alium rursus adiunge et vide, quid fiat. Quod si primum incompositumque repperies, tunc in ultimae multitudinem summae coacervationem multiplicabis. Disponantur enim omnes pariter pares numeri hoc modo:

I. II. IIII. VIII. XVI. XXXII. LXIIII. CXXVIII.

Facies ergo ita. Pones .I. eique adgregabis .II. Tunc respicias ex hac adgregatione qui numerus factus sit. [43] Inde .III. qui scilicet primus et incompositus est; et post unitatem ultimum binarium numerum adgregaveras. Si igitur ternarium, id est qui ex coacervatione collectus est, per binarium multiplices, qui est ultimus adgregatus, perfectus sine ulla dubitatione nascetur. Bis enim .III. .VI. faciunt, qui habet unam quidem a se denominatam partem, id est sextam, .III. vero medietatem secundum dualitatem, at vero .II. secundum coacervationem, id est secundum ternarium, quoniam coacervati .III. multiplicati sunt. .XXVIII. autem eodem modo nascuntur. Si enim super .I. et .II., qui sunt .III. addas sequentem pariter parem, id est .IIII., septenariam facies summam. Sed ultimum numerum quaternarium consequenter adiunxeras. Per hunc igitur si illam coacervationem multiplicaveris, perfectus numerus procreatur. Septies enim .IIII. .XXVIII. sunt, qui est suis partibus par, habens .I. a se denominatum, id est vicesimum octavum, medietatem vero secundum binarium .XIIII., secundum quaternarium .VII., septimum vero secundum septenarium .IIII., secundum omnium collectionem quartum decimum .II., qui vocabulo medietatis obponitur. Ergo cum hi reperti sint, si alios invenire secteris, eadem oportet ratione ut [44] vestiges. Ponas enim .I. licebit, et post hunc .II. et .IIII., qui in septenarium cumulantur. Sed de hoc dudum exstitit .XXVIII. perfectus numerus. Huic igitur qui sequitur pariter par id est .VIII., continens iungatur accessio, qui prioribus superveniens .XV. restituet. Sed hic primus et incompositus non est, habet enim generis alterius partem super illam, quae est a se ipsa denominata, quintam decimam scilicet unitatem. Hunc igitur, quoniam secundus est et compositus, praeterito et adiunge superioribus continentem pariter parem numerum, id est .XVI., qui cum .XV. iunctus, unum ac triginta conficiet. Sed hic primus rursus et incompositus est. Hunc igitur cum extremi adgregati summa multiplica, ut fiant sedecies .XXXI., qui .CCCC. XCVI. explicant. Haec autem est intra millenarium numerum perfecta et suis partibus aequa numerositas. Igitur prima unitas virtute atque potentia non etiam actu vel opere et ipsa perfecta est. Nam si primam ipsam sumpsero de proposito ordine numerorum, video primam atque incompositam, quam si per se ipsam [45] multiplico, eadem mihi unitas procreatur. Semel enim .I. solam efficit unitatem, quae partibus suis aequalis est potentia solum, ceteris etiam actu atque opere perfectis. Recte igitur unitas propria virtute perfecta est, quod et prima est et incomposita et per se ipsam multiplicata sese ipsam conservat.

Sed quoniam de ea quantitate, quae per se fit, dictum est, operis sequentiam ad illam, quae refertur ad aliquid, transferamus.

De relata ad aliquid quantitate.

XXI. Ad aliquid [relatae] vero quantitatis duplex est prima divisio. Omne enim aut aequale est aut inaequale, quicquid alterius comparatione metimur. Et aequale quidem est, quod ad aliquid comparatum neque minore summa infra est, neque maiore transgreditur, ut denarius denario vel ternarius ternario vel cubitum cubito vel pes pedi et his similia. Haec autem pars relatae ad aliquid quantitatis, id est aequalitas, naturaliter indivisa est. Nullus enim potest dicere, quod aequalitatis hoc quidem tale est, illud vero huiusmodi. Omnis enim aequalitas unam servat in propria moderatione mensuram. Illud etiam, quod, quae ei quantitas comparatur, non alio vocabulo atque ipsa, cui comparatur, edicitur. Nam quemadmodum amicus amico amicus est, vicinusque vicino [vicinus], ita dicitur aequalis aequali [aequalis].

Inaequalis vero quantitatis gemina divisio est. Secatur enim quod inaequale est in maius atque minus, quae contraria sibimet denominatione funguntur. Namque maius minore maius est et minus maiore minus est, et utraque non eisdem vocabulis, quemadmodum secundum aequalitatem [46] dictum est, sed diversis distantibusque signata sunt, ad modum discentis scilicet vel docentis vel caedentis vel vapulantis vel quaecunque ad aliquid relata aliter denominatis contrariis comparantur.

De speciebus maioris quantitatis et minoris.

XXII. Maioris vero inaequalitatis .V. sunt partes. Est enim una, quae vocatur multiplex, alia superparticularis, tertia superpartiens, quarta multiplex superparticularis, quinta multiplex superpartiens. His igitur quinque maioris partibus obpositae sunt aliae quinque partes minoris, quemadmodum ipsum maius minori semper obponitur, quae minoris species ita singillatim speciebus quinque maioris his, quae supra dictae sunt, obponuntur, ut eisdem nominibus nuncupentur, sola tantum sub praepositione distantes. Dicitur enim submultiplex, subsuperparticularis, subsuperpartiens, submultiplex superparticularis et submultiplex superpartiens.

De multiplici eiusque speciebus earumque generationibus.

XXIII. Rursus multiplex est prima pars maioris inaequalitatis cunctis aliis antiquior naturaque praestantior, ut paulo post demonstrabitur. Hic autem huius modi est, ut comparatus cum altero illum, contra quem comparatus est, habeat plus quam semel; quod primum in naturalis [47] numeri dispositione conveniet. Namque ad unum cuncti, qui sequuntur, omnium ordine multiplicium sequentias varietatesque custodiunt. Ad primum enim, id est unitatem, .II. duplus, .III. triplus, .IIII. quadruplus atque ita in ordinem progredientes omnes texuntur multiplices quantitates. Quod autem dictum est plus quam semel, id a binario numero principium capit et in infinitum per ternarium, quaternariumque et ceterorum ordinem sequentiamque progreditur. Contra hunc vero discriminatus est ille, qui vocatur submultiplex; et haec quoque prima minoris quantitatis species est. Hic autem numerus huiusmodi est, qui in alterius comparatione productus plus quam semel maioris numerat summam, sua scilicet quantitate cum eo aequaliter inchoans aequaliterque determinans. Idem autem dico numerat, quod metitur. Si igitur bis solum maiorem numerum minor numerus metiatur, subduplus vocabitur, si vero ter, subtriplus, si quater, subquadruplus et fit per haec in infinitum progressio, additaque eos semper sub praepositione nominabis, ut unus duorum subduplus, trium subtriplus, .IIII. subquadruplus appelletur et consequenter.

Cum autem naturaliter multiplicitas et submultiplicitas infinita sit, eorum quoque species per proprias generationes in infinita consideratione versantur. Si enim positis in naturali constitutione numeris singulos per suas sequentias pares eligas, omnium ab uno parium atque inparium sese sequentium duplices erunt et huius speculationis terminus deficit. Ponatur enim naturalis numerus hoc modo: I. II. III. IIII. V. VI. VII. VIII. VIIII. X. XI. XII. XIII. XIIII. XV. XVI. XVII. XVIII. XVIIII. XX. Horum ergo si primum sumas parem, id est .II., primi duplus erit, id est unitatis; si vero sequentem parem, id est .IIII., secundi duplus est, id est duorum; si vero tertium [48] parem sumas, id est .VI., tertii numeri in naturali constitutione duplus est, id est ternarii; si vero quartum parem inspicias, id est. VIII. quarti numeri, id est quaternarii, duplus est. Idemque in ceteris in infinitum sumentibus sine aliquo inpedimento procedit. Triplices autem nascuntur, si in eadem dispositione naturali duo semper intermittantur, et qui post duos sunt, ad naturalem numerum comparentur, excepto ternario, qui, ut unitatis triplus sit, solum binarium praetermittit. Post unum enim et duo tres sunt, qui triplus unius est; rursus post .IIII. et .V. sunt .VI., qui secundi numeri, id est duorum, triplus est; rursus post .VI. sunt .VII. et .VIII. et post hos .VIIII., qui tertii numeri, id est ternarii triplus est; atque hoc idem in infinitum si quis faciat, sine ulla offensione procedit. Quadruplorum vero generatio incipit, si quis tres numeros intermittat. Post unum quippe et duo et .III. sunt .IIII., qui primi, id est unius, quadruplus est; rursus si intermisero quinarium, senarium et septenarium, octonarius mihi quartus occurrit, tribus scilicet intermissis, qui binarii, id est secundi numeri quadruplus est; at vero si post .VIII. tres terminos intermisero, id est .VIIII. vel .X. vel .XI. duodenarius, qui sequitur, ternarii numeri quadruplus est; atque hoc idem in infinitum progressis necesse est evenire, semperque una terminorum intermissione si crescat adiectio, ordinatas te multiplicis numeri vices invenire miraberis. Si enim .IIII. intermittas, quincuplus invenitur, si .V. sescuplus, si .VI. septuplus, semperque ipsius multiplicationis nomine uno minus intermissionis vocabulo procreantur. Nam duplus [49] unum intermittit, triplus .II. quadruplus .III. quincuplus .IIII. et deinceps ad eundem ordinem sequentia est. Et omnes quidem dupli secundum proprias sequentias parium numerorum pares sunt; tripli vero unus semper par terminus, inpar alius invenitur; quadrupli vero rursus semper parem custodiunt quantitatem constituunturque a quarto numero uno ex prioribus per ordinem positis paribus intermisso, primo pari binario, post hunc .VIII. intermisso senario, post hunc .XII. transmisso denario, atque hoc idem in ceteris. Quincupli vero propositio secundum triplicis similitudinem alternatim paribus atque inparibus positis ordinatur.

De superparticulari eiusque speciebus earumque generationibus.

XXIIII. Superparticularis vero est numerus ad alterum comparatus, quotiens habet in se totum minorem et eius aliquam partem; qui si minoris habeat medietatem, vocatur sesqualter, si vero tertiam partem, vocatur sesquitertius, si vero quartam, sesquiquartus, et si quintam, vocatur sesquiquintus; atque his nominibus in infinitum ductis in infinitum quoque superparticularium forma progreditur. Et maiores quidem numeri hoc modo vocantur, minores vero, qui habentur toti et eorum aliqua pars, unus subsesqualter, alter subsesquitertius, alius subsesquiquartus, alius vero subsesquiquintus, atque idem secundum maiorum normam multitudinemque protenditur. Voco autem maiores numeros duces, minores comites. [50] Superparticularium quoque infinita est multitudo ob eam rem, quod eiusdem species interminabili progressione funguntur. Namque sesqualter habebit quidem duces omnes post ternarium numerum naturaliter triplices, comites vero omnes post binarium numerum naturaliter pares, hoc modo ut primus primo, secundus secundo, tertius tertio comparetur et deinceps. Describantur enim longissimi versus triplicium naturalis numeri atque duplicium et sit hoc modo:

I.   II.   III.   IIII. V.  VI.    VII.   VIII.   VIIII. X.
III. VI.   VIIII. XII.  XV. XVIII. XXI.   XXIIII. XXVII. XXX.
II.  IIII. VI.    VIII. X.  XII.   XIIII. XVI.    VIIII. XX.

Primus igitur versus continet numerum naturalem, secundus eius triplicem, tertius vero duplicem. Atque in eo si ternarius binario, vel si senarius quaternario, vel novenarius senario comparetur, vel omnes triplices superiores si duplicibus numeris consequentibus opponantur, hemiolia id est sesqualtera proportio nascetur. .III. enim habent intra se .II. et eorum mediam partem, id est unum. Sex quoque continent intra se .IIII. et eorum medietatem, id est .II. Et .VIIII. intra se senarium claudunt et eius mediam partem, id est .III.; eodemque modo in ceteris.

Dicendum vero est, si quis secundam speciem superparticularis numeri considerare desideret, id est sesquitertiam, quali ratione repperiet. Ac definitio quidem huius comparationis talis est. Sesquitertius est, qui minori comparatus habet eum semel et eius tertiam partem. [51] Sed hi inveniuntur, si omnibus a quaternario numero continuatim quadruplis constitutis a ternario numero triplices comparentur, eruntque duces quadrupli, comites tripli. Sit enim in ordine hoc modo numerus naturalis, ut sub eo quadrupli et tripli subponantur, sub primo quadruplo primus triplus, sub secundo secundus, sub tertio tertius, et eodem modo cuncti eiusdem primi versus tripli in ordinem digerantur.

I.    II.   III.  IIII. V.  VI.     VII.    VIII.   VIIII.  X.
IIII. VIII. XII.  XVI.  XX. XXIIII. XXVIII. XXXII.  XXXVI.  XL.
III.  VI.   VIII. XII.  XV. XVIII.  XXI.    XXIIII. XXVII.  XXX.

Igitur primum primo si compares, sesquitertia ratio continebitur. Nam si .IIII. tribus compares habebunt in se .IIII. totum ternarium et eius tertiam partem, id est .I. Et si secundum secundo id est octonarium senario compares, idem invenies. Habebit enim octonarius senarium totum et eius tertiam partem, id est .II. Et per eandem sequentiam usque in infinitum progrediendum est. Notandum quoque est, quod .III. comites sunt, duces .IIII., rursus .VI. comites, duces .VIII., et in eodem ordine ceteri simili modo vocantur duces sesquitertii comites subsesquitertii. Et in cunctis secundum hunc modum posita convenit servare vocabula.

[52] De quodam utili ad cognitionem superparticularibus accidente.

XXV. Hoc autem admirabile profundissimumque in istorum ordinibus invenitur, quod primus dux primusque comes ad se invicem nulla numeri intermissione copulantur. Nam primi se nullo in medio posito transeunt, secundi interponunt unum, tertii duos, quarti tres et deinceps uno semper minore, quam ipsi sunt, intermissione succrescunt, atque hoc vel in sesqualteris vel in sesquitertiis vel in aliis superparticularis partibus necesse est inveniri. Namque ut quaternarius contra ternarium comparetur, nullum intermisimus; post .III. enim mox .IIII. sunt; ut vero .VI. contra .VIII., in secundo scilicet sesquitertio, una facta est intermissio. Inter .VI. enim et .VIII. solus est septenarius, qui transmissus est numerus. Rursus ut .VIIII. contra .XII. comparemus, qui sunt in dispositione tertii duorum mediorum est facta transmissio. Inter .VIIII. enim et .XII. sunt .X. et .XI. Secundum hunc modum quarta dispositio .III., quinta .IIII. intermittit.

Descriptio, per quam docetur ceteris inaequalitatis speciebus antiquiorem esse multiplicitatem.

XXVI. Quoniam autem naturaliter et secundum propriam ordinis consequentiam multiplicem inaequalitatis speciem cunctis praeposuimus primamque speciem esse monstravimus, licet hoc nobis posterioris operis ordine clarescat, hic quoque perstringentes id, quod proposuimus, [53] planissime breviterque doceamus. Sit enim talis descriptio, in qua ponatur in ordinem usque ad denarium numerum continui numeri ordo naturalis et secundo versu duplus ordo texatur, tertio triplus, quarto quadruplus et hoc usque ad decuplum. Sic enim cognoscemus, quemadmodum superparticulari et superpartienti et cunctis aliis princeps erit species multiplicis et quaedam alia simul inspiciemus et ad subtilitatem tenuissima et ad scientiam utilissima et ad exercitationem iucundissima.

[Boethius, Arithmetica, 53; text: Longitudo. Latitudo. I. II. III. IIII. V. VI. VII. VIII. VIIII. X. XII. XIIII. XVI. XVIII. XX. XV. XXI. XXIV. XXVII. XXX. XXIIII. XXVIII. XXXII. XXXVI. XL. XXV. XXXV. XLV. L. XLII. XLVIII. LIIII. LX. XLVIIII. LVI. LXIII. LXX. LXIIII. LXXII. LXXX. LXXXI. XC. C.] [BOEARI1 02GF]

Ratio atque expositio digestae formulae.

XXVII. Si igitur duo prima latera propositae formulae, quae faciunt angulum ab uno ad .X. et .X. procedentia, respiciantur et his subteriores ordines comparentur, qui scilicet a .IIII. angulum incipientes in vicenos terminum ponunt, duplex, id est prima species multiplicitatis ostenditur ita, ut primus primum sola superet unitate, ut [54] duo unum, secundus secundum binario supervadat, ut quaternarius binarium, tertius tertium tribus, ut senarius ternarium, quartus quartum quaternarii numerositate transcendat, ut .VIII. quaternarium, et per eandem cuncti sequentiam sese minoris pluralitate praetereant. Si vero tertius angulus aspiciatur, qui ab .VIIII. inchoans longitudinem latitudinemque tricenis altrinsecus numeris extendit, et hic cum prima latitudine et longitudine comparetur, triplex species multiplicitatis occurrit ita, ut ista comparatio per .X. litteram fiat, hique se numeri superabunt secundum paritatis factam naturaliter connexionem. Primus enim primum duobus superat, ut unum tres, secundus secundum quaternario, ut binarium senarius, tertius tertium sex, ut ternarium novenarius, et ad eundem ceteri modum progressionis augescunt. Quam rem nobis scilicet et ipsa naturalis obiecit integritas, nihil nobis extra machinantibus, ut in ipso modulo descriptionis apparet. Si quis autem quarti anguli terminum, qui .XVI. numeri quantitate notatus est et longitudinem latitudinemque in quadragenos determinat, velit superioribus comparare, per .X. litterae formam proportione conlata, quadrupli multitudinem pernotabit, hisque est ordinabilis super se [55] progressio, ut primus primum tribus superet, ut .IIII. unitatem, secundus secundum senario vincat, ut .VIII. binarium, tertius tertium novenario transeat, ut duodenarius ternarium, et sequentes summulae trium se semper adiecta quantitate transsiliant. Et si quis subteriores aspiciat angulos, idem per omnes multiplicitatis species usque ad decuplum dispositissima ordinatione perveniet. Si quis vero in hac descriptione superparticularis species requirat, tali modo repperiet. Si enim secundum angulum notet, cuius est initium quaternarius, eique superiacet binarius, atque ad hunc sequentem quis accommodet ordinem, sesqualtera proportio declarabitur. Nam tertius secundi versus sesqualter est, ut .III. ad .II., vel .VI. ad .IIII., vel .VIIII. ad .VI. vel .XII. ad .VIII. itemque in ceteris, qui sunt in eadem serie numeri, si talis coniugatio misceatur, nulla varietatis dissimilitudo subripiet. Eadem tamen summarum supergressio est in hoc quoque, quae in duplicibus fuit. Primus enim primum, id est ternarius binarium, uno superat, secundus vero secundum duobus, tertius tertium tribus et deinceps. Si vero quartus ordo tertio comparetur, ut .IIII. ad .III. et eodem ceteros ordine consecteris, sesquitertia comparatio colligetur, ut .IIII. ad .III. vel .VIII. ad .VI. et .XII. ad .VIIII. Videsne ut in omnibus his sesquitertia comparatio conservetur? Praeterea eos, qui sub ipsis sunt, si idem faciens sequentes versus alterutris comparaveris, omnes sine ullo inpedimento species superparticularis agnosces.

Hoc autem in hac est dispositione divinum, quod [56] omnes angulares numeri tetragoni sunt. Tetragonus autem dicitur, ut brevissime dicam, quod post latius explicabitur, quem duo aequales numeri multiplicant, ut in hac quoque descriptione est. Unus enim semel unus est, et est potestate tetragonus. Item bis duo .IIII. sunt, ter tres .VIIII., quos in semet ipsos multiplicationes primi ordinis perfecerunt. Circum ipsos vero qui sunt, id est circum angulares, longilateri numeri sunt. Longilateros autem voco, quos uno se supergredientes numeri multiplicant. Circum .IIII. enim .II. sunt et .VI. Sed duo nascuntur ex uno et duobus, cum unum bis multiplicaveris; sed unitas a binario unitate praeceditur; .VI. vero ex duobus et tribus; bis enim tres senarium reddunt. Novenarium vero .VI. et .XII. claudunt qui .XII. ex tribus nascuntur et .IIII. ter enim .IIII. fiunt .XII., senarius vero ex duobus et tribus, bis enim tres faciunt .VI. qui omnes uno maioribus lateribus procreati sunt. Nam cum .VI. ex binario ternarioque nascantur, tres binarium numerum uno superant, cunctique alii eiusdem modi sunt, ut primo et secundo ordine ad alterutrum multiplicatis terminis procreentur, ita ut quod nascitur ex duobus longilateris altrinsecus positis et bis medio tetragono tetragonus sit; et rursus, quod ex duobus altrinsecus tetragonis et uno medio longilatero bis facto nascitur, ipse quoque tetragonus sit; et ut angulorum totius descriptionis ad angulares tetragonos positorum unius anguli sit prima unitas, alterius vero, qui contra est, tertia, bini vero altrinsecus anguli secundas habeant unitates; et duo angularium tetragonorum anguli aequum faciunt, quod sub ipsis continetur, illi, quod fit ab uno illorum, qui est altrinsecus, [57] angulorum. Multa etiam sunt alia quae in hac descriptione utilia possint admirabiliaque perpendi, quae interim propter castigatam introducendi brevitatem ignota esse permittimus. Nunc vero ad sequentia propositum convertamus.

De tertia inaequalitatis specie, quae dicitur superpartiens deque eius speciebus earumque generationibus.

XXVIII. Igitur post duas primas habitudines multiplices et superparticulares et eas, quae sub ipsis sunt, submultiplices et subsuperparticulares tertia inaequalitatis species invenitur, quae a nobis superius superpartiens dicta est. Haec autem est, quae fit, cum numerus ad alium comparatus habet eum totum intra se et eius insuper aliquas partes, vel duas vel tres vel .IIII. vel quotquot ipsa tulerit comparatio; quae habitudo incipit a duabus partibus tertiis; nam si duas medietates habuerit, qui illum intra se totum coercet, duplus pro superpartiente componitur. [58] Habebit autem vel duas quintas vel duas septimas vel duas nonas et ita progredientibus, si duas solas partes minoris numeri superhabuerit per easdem partes inparibus numeris minorem maior summa transcendit. Nam si eum habeat totum et duas eius quartas, superparticularis necessario repperitur, nam duae quartae medietas est et fit sesqualtera comparatio; sin vero duas sextas, rursus est superparticularis, duae enim sextae pars tertia est, quodsi in comparatione ponatur, sesquitertiae habitudinis efficiet formam.

Post hos nascuntur comites, qui subsuperpartientes vocantur. Hi autem sunt, qui habentur ab alio numero, et eorum vel duae vel tres vel .IIII. vel quotlibet aliae partes. Si ergo numerus alium intra se numerum habens eius duas partes habuerit, superbipartiens nominatur, sin vero tres, supertripartiens, quodsi .IIII., superquadripartiens, atque ita progredientibus in infinitum fingere nomina licet. Ordo autem eorum naturalis est, quotiens disponuntur a tribus omnes pares atque inpares numeri naturaliter constituti et sub his aptantur alii, qui sunt a quinario numero incipientes omnes inpares. His igitur ita dispositis si primus primo, secundus secundo, tertius tertio et ceteri ceteris comparentur, superpartiens habitudo procreatur. Sit enim dispositio hoc modo:

III. IIII. V.     VI. VII.  VIII. VIIII. X.
V.   VII.  VIIII. XI. XIII. XV.   XVII.  XVIIII.

[59] Si igitur quinarii numeri ad ternarium comparatio consideretur, erit superpartiens ille, qui vocatur superbipartiens; habet enim quinarius totos in se tres et eorum duas partes id est duo. Si vero ad secundum ordinem speculatio referatur, supertripartiens proportio cognoscetur atque ita in sequentibus per omnes dispositos numeros omnes in infinitum species huius numeri convenientes ordinatasque respicies.

At vero quemadmodum singuli procreentur si in infinitum quis curet agnoscere, hic modus est. Habitudo enim superbipartientis, si utrisque terminis duplicetur, semper superbipartiens proportio procreatur. Si enim quis duplicet .V., faciet .X., si .III., faciet .VI., qui .X. contra senarium comparati superbipartientem faciunt habitudinem. Et hos ipsos rursus si duplicaveris, idem ordo proportionis adcrescit, idemque si infinitum facias, statum prioris habitudinis non mutabit. Si vero supertripartientes invenire contendas, primos supertripartientes, id est .VII. et .IIII. triplicabis et huiusmodi nascentur. Si vero, qui ex his nati fuerint, ternarii multiplicatione produxeris, idem rursus efficient. Quodsi superquadripartientes quemadmodum in infinitum progrediantur, appetas addiscere, primas eorum radices in quadruplum multiplices licet, id est .VIIII. et .V. et eos, qui illa multiplicatione proferentur, rursus in quadruplum, et eandem fieri proportionem inoffensa nimirum ratione repperies; et ceterae species una semper plus multiplicatione crescentibus [60] radicibus oriuntur. Radices autem proportionum voco numeros in superiore dispositione descriptos, quasi quibus omnis summa supradictae comparationis innititur.

Hoc quoque videndum est, quoniam, cum duae partes ex minore plus in maioribus sunt, tertii semper vocabulum subauditur, ut superbipartiens qui dicitur, quoniam duas minoris numeri tertias partes habet, dicatur superbipartiens tertias; et cum dico supertripartiens, subaudiri necesse sit supertripartiens quartas, quoniam tribus super quartis exuberat; et superquadripartienti subauditur superquadripartiens quintas, et ad eundem modum in ceteris uno semper adiecto super habitas partes subauditio facienda est, ut eorum germana convenientiaque his nomina haec sint: qui dicitur superbipartiens, idem dicatur superbitertius; qui dicitur supertripartiens, is sit supertriquartus, et qui dicitur superquadripartiens, idem dicatur superquadriquintus, eademque similitudine usque in infinitum nomina producantur.

De multiplici superparticulari.

XXVIIII. Igitur relatae ad aliquid quantitatis simplices et primae species hae sunt. Duae vero aliae ex his velut ex aliquibus principiis componuntur, ut multiplices superparticulares et multiplices superpartientes, horumque comites submultiplices superparticulares et submultiplices superpartientes. Namque in his ut in praedictis proportionibus minores numeri omnes addita sub praepositione dicuntur, [61] quorum definitio talis reddi potest. Multiplex superparticularis est, quotiens numerus ad numerum comparatus habet eum plus quam semel et eius unam partem, hoc est habet eum aut duplum aut triplum aut quadruplum aut quotienslibet et eius quamlibet aliquam partem vel mediam vel tertiam vel quartam vel, quaecunque alia partium exuberatione contigerit. Hic ergo ex multiplici et superparticulari consistit. Quod enim comparatum numerum plus quam semel habet, multiplicis est, hoc vero, quod minorem in habenda parte transcendit, superparticularis. Itaque ex utroque nomine ficto vocabulo est speciesque eius ad illarum scilicet fiunt imaginem proportionum, ex quibus ipse numerus originem trahit. Nam prima pars huius vocabuli, quae multiplicis nomine possessa est, multiplicis numeri specierum vocabulo nominanda est, quae vero superparticularis est, eodem vocabulo nuncupabitur, quo superparticularis numeri species vocabantur. Dicetur enim, qui duplicem habuerit alium numerum et eius mediam partem, duplex sesqualter, qui vero tertiam, duplex sesquitertius, qui quartam, duplex sesquiquartus et deinceps. Si vero ter eum totum contineat et eius mediam partem vel tertiam vel quartam, dicetur triplex sesqualter, triplex sesquitertius, triplex sesquiquartus et eodem modo in ceteris; diceturque quadruplus sesqualter, quadruplus sesquitertius, quadruplus sesquiquartus; et quotiens totum numerum in semet ipso continuerit per multiplicis numeri species appellabitur, quam vero partem comparati numeri clauserit, secundum superparticularem comparationem habitudinemque vocabitur.

Horum autem exempla huiusmodi sunt. Duplex sesqualter [62] est, ut .V. ad duo. Habent enim .V. binarium numerum bis et eius mediam partem, id est .I. Duplex vero sesquitertius est septenarius ad ternarium comparatus. At vero novenarius ad quaternarium duplex sesquiquartus; si vero .XI. ad .V., duplex sesquiquintus; et hi semper nascentur dispositis in ordinem a binario numero omnibus naturaliter paribus inparibusque terminis, si contra eas omnes a quinario numero inpares comparentur, ut primum primo, secundum secundo, tertium tertio caute et diligenter adponas, ut sit dispositio talis:

II. III. IIII.  V.  VI.   VII. VIII. VIIII.  X.   XI.
V.  VII. VIIII. XI. XIII. XV.  XVII. XVIIII. XXI. XXIII.

Si vero a duobus paribus omnibus dispositis terminis illi, qui a quinario numero inchoantes quinario numero rursus sese transsiliunt, comparentur, omnes duplices sesqualteros creant, ut est subiecta descriptio,

II. IIII. VI. VIII. X.   XII.
V.  X.    XV. XX.   XXV. XXX.

Si vero a tribus inchoent dispositiones et tribus sese transsiliant, et ad eos aptentur, qui a septenario inchoantes septenario sese numero transgrediuntur, omnes duplices sesquitertii habita diligenter comparatione nascuntur, ut subiecta descriptio monet.

[63]

III. VI.    VIIII. XII.    XV.   XVIII. XXI.
VII. XIIII. XXI.   XXVIII. XXXV. XLII.  XLVIIII.

Sin vero omnes in ordinem quadrupli disponantur, hi qui naturalis numeri quadrupli sunt, ut unitatis quadruplus, et duorum triumque et quattuor atque quinarii et ceterorum sese sequentium, et ad eos aptentur a novenario numero inchoantes semper sese novenario praecedentes, tunc duplicis sesquiquartae proportionis forma texetur.

IIII.  VIII.  XII.   XVI.   XX.  XXIIII.
VIIII. XVIII. XXVII. XXXVI. XLV. LIIII.

Ea vero species huius numeri, quae est triplex sesqualtera, hoc modo procreatur, si disponantur a binario numero omnes in ordinem pares et ad eos a septenario numero inchoantes septenario sese supergredientes solito ad alterutrum comparationis modo aptentur.

II.  IIII.  VI.  VIII.
VII. XIIII. XXI. XXVIII.

Si autem a ternario numero ingressi cunctos naturalis numeri triplices disponamus et eis a denario numero denario sese supergredientes ordine comparemus, omnes triplices sesquitertii in ea terminorum continuatione provenient.

[64]

III. VI. VIIII.
X.   XX. XXX.

De eorum exemplis in superiori formula inveniendis.

XXX. Horum autem eorumque qui sequuntur exempla integre planeque possumus pernotare, si in priorem descriptionem, quam fecimus, cum de superparticulari et multiplici loqueremur, ubi ab uno usque in denariam multiplicationem summa concrevit, diligens velimus acumen intendere. Ad primum enim versum omnes, qui sequuntur, conlati ordinatas convenientesque multiplicis species reddent. Sin vero ad secundum cunctos, qui tertii sunt ordinis, aptaveris, ordinatas species superparticularis agnosces. Quod si tertio ordini, quicunque sunt in quinto versu, compares superpartientis numeri species positas convenienter aspicies. Multiplex vero superparticularis ostenditur, cum ad secundum versum omnes, qui sunt quinti versus serie comparantur, vel qui sunt in septimo, vel qui sunt in nono, atque ita si in infinitum sit ista descriptio, in infinitum huius proportionis species procreabuntur. Manifestum autem hoc etiam est, quod horum comites semper cum sub praepositione dicentur, ut est subduplex sesqualter, subduplex sesquitertius, subduplex sesquiquartus et ceteri quidem ad hunc modum.

[65] De multiplici superpartiente.

XXXI. Multiplex vero superpartiens est, quotiens numerus ad numerum comparatus habet in se alium numerum totum plus quam semel et eius vel duas vel tres vel quotlibet plures particulas secundum numeri superpartientis figuram. In hoc quoque propter causam superius dictam non erunt duae medietates neque duae quartae neque duae sextae, sed duae tertiae vel duae quintae vel duae septimae ad priorum similem consequentiam. Non est autem difficile secundum priorum exempla positorum hos quoque et praeter nostra exempla numeros invenire. Vocabunturque hi secundum proprias partes duplex superbipartiens, vel duplex supertripartiens, vel duplex superquadripartiens, et rursus triplex superbipartiens et triplex supertripartiens et triplex superquadripartiens et similiter, ut, .VIII. ad .III. comparati faciunt duplicem superbipartientem, et .XVI. ad .VI. et omnes, quicunque ab .VIII. incipientes octonario sese numero transgrediuntur, comparati ad eos, qui a tribus inchoantes ternaria sese quantitate praetereunt. Nec erit difficile alias eius partes secundum praedictum modum diligentibus repperire. Hic quoque illud meminisse debemus, quod minores et comites non sine sub praepositione nominantur, [66] ut sit subduplex superbipartiens, subduplex supertripartiens.

Demonstratio quemadmodum omnis inaequalitas ab aequalitate processerit.

XXXII. Restat autem nobis profundissimam quandam tradere disciplinam, quae ad omnem naturae vim rerumque integritatem maxima ratione pertineat. Magnus quippe in hac scientia fructus est, si quis non nesciat, quod bonitas definita et sub scientiam cadens animoque semper imitabilis et perceptibilis prima natura est et suae substantiae decore perpetua, infinitum vero malitiae dedecus est, nullis propriis principiis nixum, sed natura semper errans a boni definitione principii tamquam aliquo signo optimae figurae inpressa componitur et ex illo erroris fluctu retinetur. Nam nimiam cupiditatem iraeque immodicam effrenationem quasi quidam rector animus pura intellegentia roboratus adstringit, et has quodammodo inaequalitatis formas temperata bonitate constituit. Hoc autem erit perspicuum, si intellegamus, omnes inaequalitatis species ab aequalitatis crevisse primordiis, ut ipsa quodammodo aequalitas matris et radicis obtinens vim ipsa omnes inaequalitatis species ordinesque profundat. Sint enim nobis tres aequales termini, id est tres unitates, vel ter bini vel ter terni vel ter quaterni vel quantos ultra libet ponere. Quod enim in unis tribus terminus [67] evenit, idem contingit in ceteris. Ex his igitur secundum praecepti nostri ordinem videas primum nasci multiplices et in his duplices prius, dehinc triplos, inde quadruplos et ad eundem ordinem consequentes. Rursus multiplices si convertantur, ex his superparticulares orientur, et ex duplicibus quidem sesqualteri ex triplis sesquitertii, ex quadruplis sesquiquarti et ceteri in hunc modum. Ex superparticularibus vero conversis superpartientes nasci necesse est, ita ut ex sesqualtero nascatur superbipartiens, supertripartientem sesquitertius gignat et ex sesquiquarto superquadripartiens procreetur. Rectis autem positis neque conversis prioribus superparticularibus multiplices superparticulares oriuntur; rectis vero superpartientibus multiplices superpartientes efficiuntur. Praecepta autem tria haec sunt, ut primum numerum primo facias parem, secundum vero primo et secundo, tertium primo, secundis duobus et tertio. Hoc igitur cum in terminis aequalibus feceris, ex his qui nascentur, duplices erunt, de quibus duplicibus si idem feceris, triplices procreantur et de his quadruplices atque in infinitum omnes formas numeri multiplicis explicabit. Iaceant igitur tres termini aequales.

I. I. I.

Ponatur itaque primo primus aequalis, id est unus, secundus vero primo et secundo, id est .II., tertius vero primo, duobus secundis et tertio par sit, id est uni et duobus unis et uni, quod sunt .IIII. ut est descriptio.

[68]

I. I.  I.
I. II. IIII.

Videsne ut duplici proportione sequens ordo texatur? Fac rursus idem de duplicibus, ut sit primus primo aequalis, id est uni, secundus primo et secundo, id est uni et duobus, qui sunt tres, tertius primo, id est uni, duobus secundis, id est .IIII., et tertio, id est .IIII., qui simul .VIIII. fiunt, et venit haec formula.

I. I.   I.
I. II.  IIII.
I. III. VIIII.

Rursus si triplicibus idem feceris, continuus quadruplus procreabitur. Sit enim primus primo aequus, id est unus, sit secundus primo et secundo aequalis, id est .IIII., sit tertius primo, duobus secundis et tertio aequalis, id est .XVI.

I. I.    I.
I. II.   IIII.
I. III.  VIIII.
I. IIII. XVI.

Et in ceteris quidem ad hanc formam tribus his praeceptis utemur. Si vero qui ex aequalibus nati sunt multiplices, eos disponamus et secundum haec praecepta vertamus, ita ut converso sint ordine, sesqualter ex duplici procreabitur, [69] sesquitertius ex triplici, sesquiquartus ex quadruplo. Sint enim .III. duplices termini, qui ex aequalibus creati sunt, et qui ultimus est, primus ponatur hoc modo:

IIII. II. I.

Et constituatur primo in hoc ordine primus par, id est .IIII., secundus vero primo et secundo par, id est .VI., tertius vero primo, duobus secundis et tertio, id est .VIIII.

IIII. II. I.
IIII. VI. VIIII.

Ecce tibi illa sesqualtera quantitas ex termino duplicitatis exoritur. Videamus nunc ad eundem modum, ex triplici qui nascatur. Disponantur enim triplices superiores

VIIII. III. I.

Converso scilicet ordine, sicut duplex, hic est quoque ordo dispositus. Ponatur ergo primus primo aequus, id est .VIIII., secundus primo et secundo, id est .XII., tertius primo, duobus secundis et tertio aequus, id est .XVI.

VIIII. III. I.
VIIII. XII. XVI.

Rursus secunda species superparticularis numeri, id est sesquitertius procreatus est. Quod si idem de quadruplo quis facere velit, sesquiquartus continuo nascetur, ut subiecta monstrat descriptio.

XVI. IIII. I.
XVI. XX.   XXV.

[70] Ac si quis idem de cunctis in infinitum partibus multiplicitatis faciat, convenienter ordinem superparticularitatis inveniet. Quod si conversos superparticulares aliquis secundum haec praecepta convertat, continuo videat superpartientes adcrescere et ex sesqualtero quidem superbipartiens, ex sesquitertio supertripartiens procreatur et ceteri secundum communes denominationis species sine ulla ordinis interpolatione nascentur. Disponantur igitur sic:

VIIII. VI. IIII.

Superioris igitur descriptionis primo primus aequus numerus adscribatur, id est .VIIII. secundus vero primo et secundo, id est .XV., tertius vero primo, duobus secundis et tertio, id est .XXV.

VIIII. VI. IIII.
VIIII. XV. XXV.

Si vero sesquitertium eodem modo vertamus, ordo supertripartiens invenitur. Sit enim prima positio sesquitertii

XVI. XII. VIIII.

Ponatur secundum priorem modum primo primus par, id est .XVI., secundus primo et secundo, id est .XXVIII., tertius primo, duobus secundis et tertio, id est .XLVIIII. Omnis ergo summa disposita supertripartientes efficiet.

XVI. XII.    VIIII.
XVI. XXVIII. XLVIIII.

Rursus si sesquiquartum eodem modo verteris, superquadripartiens [71] statim quantitas procreabitur, ut est ea forma, quam subpositam vides.

XXV. XX.  XVI.
XXV. XLV. LXXXI.

Restat, quemadmodum ex superparticularibus et superpartientibus multiplices superparticulares vel multiplices superpartientes nascantur ostendere, quorum binas tantum faciam descriptiones. Namque si rectum et non conversum sesqualterum ponimus, duplex superparticularis excrescit. Sit enim hoc modo:

IIII. VI. VIIII.

Ponatur secundum superiorem modum primo primus aequalis, id est .IIII., secundus primo et secundo, id est .X., tertius primo, duobus secundis et tertio aequalis, id est XXV.

IIII. VI. VIIII.
IIII. X.  XXV.

Atque haec quidem duplex sesqualtera summa producta est; si vero sesquitertium non conversum ponamus duplex sesquitertius invenitur, ut subiecta descriptio docet:

VIIII. XII. XVI.
VIIII. XXI. XLVIIII.

At vero si ad superpartientes animum convertamus eosque ordinatim secundum superiora praecepta disponamus, multiplices superpartientes ordinatim progenitos repperiemus. Disponatur enim superpartientis haec formula:

VIIII. XV. XXV.

[72] Adscribatur ergo primus primo aequus, id est .VIIII., secundus primo et secundo, id est .XXIIII., tertius primo, duobus secundis et tertio, id est LXIIII.

VIIII. XV.     XXV.
VIIII. XXIIII. LXIIII.

Videsne, ut ex superbipartiente duplus superbipartiens exortus sit? At vero si supertripartientem ponam, duplex sine dubio supertripartiens invenitur, ut in subiecta descriptione perspicuum est.

XVI. XXVIII. XLVIIII.
XVI. XLIIII. CXXI.

Sic ergo de superparticularibus vel de superpartientibus multiplices superparticulares vel multiplices superpartientes oriuntur. Quare constat, omnium inaequalitatum aequalitatem esse principium. Ex eadem enim inaequalia cuncta nascuntur. Ac de his quidem hactenus disserendum esse credidimus, ne vel infinita sectemur, vel circa res obscurissimas ingredientium animos detinentes ab utilioribus moraremur.

Liber primus explicit.