Back to top

[1223] Liber tertius.

Caput primum.

Adversus Aristoxenum demonstratio superparticularem proportionem dividi in aequa non posse, atque ideo nec tonum.

Superiore volumine demonstratum est diatessaron consonantiam ex duobus tonis copulari ac semitonio, diapentes vero ex tribus tonis ac semitonio constare. Sed ea semitonia dimidium toni integrum non posse perficere, si sigillatim considerata tractentur, atque ideo diapason ad sex tonos nullo modo pervenire. Sed quoniam Aristoxenus musicus, judicio aurium cuncta permittens, haec semitonia non arbitratur esse secundum Pythagoricos contractiora dimidio, sed sicut semitonia dicuntur, ita esse dimidietates tonorum, de eisdem rursus paulisper est disputandum, demonstrandumque prius nullam superparticularem habitudinem noto numero posse dividi in integram medietatem. Inter duos enim numeros superparticularem proportionem continentes, sive illi sint principales, quorum est unitas differentia, sive posteriores, nullus ita poterit medius numerus collocari, ut quam minimus proportionem tenet ad medium, eam medius teneat ad extremum, scilicet ut in geometrica proportione, sed aut differentias aequas facere potest, ut sit aequalitas secundum arithmeticam medietatem, aut harmonicam inter eosdem terminos medius numerus collocatus faciet medietatem, aut quamlibet aliam, quarum in arithmeticis fecimus mentionem. Quod si id demonstrabitur, nec illud quidem constare poterit, sesquioctavam proportionem, quae tonus est in dimidia posse discerni, quandoquidem sesquioctava omnis insuperparticulari inaequalitatis genere consistit. Id vero melius inductione monstrabitur. Nam si per singulas proportiones consideratione deducta, scilicet superparticulares, nulla prorsus occurrit quae, interposito medio termino, aequis proportionibus dividatur, non est dubium quod superparticularis comparatio non possit in aequa partiri. Quod si videtur consonum auribus aliquid canere, cum cuilibet [1224] voci duobus tonis ac semitonio integro distans vocula comparetur, id non esse consonum natura monstratur. Sed quoniam sensus omnis quae minima sunt comprehendere nequeat, idcirco hanc differentiam, quae ultra consonum procedit, sensum aurium non posse distinguere, fore autem ut deprehendatur, si frequentissime talis particula per eosdem crescat errores. Nam quod in minimo haud sane cernitur, compositum conjunctumque cum jam magnum esse coeperit pervidetur. A qua igitur proportione est ordiendum an compendium dabimus quaestioni, si ab eo de quo quaeritur ordiamur. Id vero est tonus, in duo aequa possit partiri necne. Nunc igitur de tono est pertractandum, et quemadmodum non possit in duo aequa dividi demonstrandum est. Quam demonstrationem si quis ad reliquas superparticulares comparationes transferat, similiter demonstrabitur superparticularem in aequa noto atque integro numero separari non posse. Primi igitur tonum continentes numeri sunt 8 atque 9. Sed quoniam se isti ita naturaliter consequuntur, ut medius inier eos numerus non sit, eosdem binario, quo scilicet minimo possum, mulplico. Fiunt igitur 16 ac 18, inter hos vero naturaliter numerus cadit qui est 17; igitur 18 ad 16 tonus est. Sed 10 et 8 ad 10 et 7, comparatus habet eum tonum, et ejus septimam decimam partem. Septima decima vero pars minor est sexta decima naturaliter. Major est igitur proportio quae sub 16 ac 17 numeris continetur, quam ea quae sub 17 ac 18. Qui disponantur hoc modo, et sit A 16, C 17, B 18. Medietas igitur integra toni inter C ac B nullo modo cadet. Minor est enim C B proportio C A proportione. Ad majorem igitur partem medietas rata ponenda est. Sit vero medietas D. Quoniam igitur D B quidem proportio, quod est integrum dimidium toni, major est C B proportione, quae est minor pars toni, A C autem proportio quae est major pars toni A D proportione major est, quod est dimidium toni, est autem A C proportio sesquisextadecima, C B autem sesquiseptimadecima, non est dubium quin integra medietas inter sesquisextamdecimam [1225] ac sesquiseptimamdeciam cadat. Sed hoc integro numero nullo modo poterit inveniri.

[PLLXIII:1225; text: Integra toni medietas. Integra toni medietas si dari queat. 16, 17, 18, A, D, C, B, Diesis homiionium minus, Comma, Sesquiseprima decima pportio Diesis hemitoniuminus minor toni pars, Apotome 16 pportirotio, Acotomo mair touv pars, Tonus sesquioctava proportio. Totum hoc spatium.] [BOEDIM3 01GF]

Quoniam vero ad 16 numerum 17 numerus comparatus, supersesquisextamdecimam obtinet proportionem, si ejusdem 17 numeri sextam decimam requiramus, erit unitas, atque unitatis pars 16, hanc si eidem 17 numero conjungamus, fiunt 18 et pars sexta decima. Si igitur 18 et pars sexta decima 16 numero comparetur, recte toni mensuram videtur excedere, cum ad eum solus 18 numerus sesquioctavam custodiat proportionem. Unde fit ut quoniam supersesquisextadecima proportio tonum bis aucta transcendit, non sit integrum toni dimidium. Quidquid enim bis ductum transcendit aliquid, id ultra dimidium illius esse videbitur quod transcendit. Quocirca super sesquisextadecima, non erit toni dimidium. Ac per hoc, nec alia ulla major sesquisextadecima proportione toni poterit esse dimidium, cum ipsa sesquisextadecima integro toni dimidio sit major. Sed quoniam, sesquisextamdecimam proportionem continua sequitur sesquiseptimadecima, videamus an ea tonum bis multiplicata non impleat, 17 igitur numeri sesquiseptimamdecimam partem tenet terminus 18. In eadem igitur proportione si ad 18 numerum alium comparemus, erit 19 et septimadecima pars. Quod si ad 17 terminum in sesquioctava proportione positum numerum comparemus, fient 19, et pars octava. Major vero est pars octava parte septima decima. Major igitur est proportio numerorum 17 ac 19 et octava quam ea quae in 17 ac 19 et parte septima decima continetur, quae sunt scilicet bis sesquiseptimaedecimae proportiones. Duae igitur sesquiseptimaedecimae unum tonum non videntur implere. Non est igitur sesquiseptimadecima toni dimidium, quoniam quae duplicata non implet integrum non continet dimidium. Semper enim dimidium duplicatum e cujus dimidium est coaequatur.

[1226] [PLLXIII:1226; text: Supersesquisextadecima proportio, Apotome maior Toni pars. 16, 17, 8 1/16, Vera sesquioctava proportio. Tonus, Tonus proportio una commate maior sesquioctaua proportione Tonus superauctus, Totum hujns toni spatium ex duobus apotomis. Proportio sesquiseptimadecima. Diesin, id est, hemitonium minus continens, Proportio itide sesquiseptimadecima Diesin, id est hemitonium minus faciens et continens; 17, 18, 19 1/17, Proportio minor sesquioctaeua commate. Tonus non integer ex duabus diesibus deficiens a tono integro commate. Proportio sesquioctava tonum integrum ex diesi et apotome hahens. Tonus non integer, Tonus ex duabus Diesibus. qui incommate deficit a uero tono, 17, 18, 19 1/17, 19 1/8, Diesis, id est. bemitonium minus, Super sesquisePtima proportio Diesis bemitonium minus, Hemitonium maius, Supersesquisextadecima proportio. Proportio sesquioctava et 1/8 non sesquiseptimadecima.] [BOEDIM3 02GF]

[1227] Caput II.

Ex sesquitertia proportione sublatis duobus tonis, toni dimidium non relinqui.

Jam vero si eos numeros disponamus qui de sesquitertia proportione duobus tonis retractis relinquuntur, in his considerare possumus utrum ea proportio quae post duos tonos relinquitur, integri loco semitonii censeatur; quod si ita repertum, sit, illud quoque est comprobatum diatessaron consonantiam duobus tonis atque integro semitonio copulari. Erat igitur superius terminus primus 192. Ad hunc sesquitertiam proportionem tenebant 256. Sed ad primum terminum 216 faciunt tonum. Ad 216 rursus 243 toni obtinet locum. Est igitur quod relinquitur ex diatessaron tota proportione, ea scilicet habitudo quae in 242 et 256 unitatibus constat. Haec igitur si probatur integri toni esse dimidium, dubitari non potest diatessaron ex duobus tonis semitonioque constare. Quoniam igitur demonstratum est toni dimidium inter sesquisextamdecimam et sesquiseptimamdecimam proportionem locari, ab hac comparatione etiam haec proportio metienda est. Ne enim longius progrediamur, sumo ex 243 octam decimam partem, ea fit 13 et semis. Hanc si eisdem apposuero, fiunt 256 et semis. Apparet igitnr minorem proportionem esse 256 ad 243 sesquioctavadecima habitudine. Quod si dimidius tonus major quidem est in sesquisextadecima, minor vero in sesquiseptima decima proportione, sesquioctavadecima vero minor est sesquiseptimadecima habitudine, ducentorum vero 56 ad ducentos 43 comparatio, quae scilicet relinquitur ex diatessaron duobus retractis tonis, minor est sesquioctavadecima: non est dubium quin haec duorum numerorum proportio semitonio longissime diminutior sit.

Caput III.

Adversum Aristoxenum demonstrationes diatessaron consonantiam ex duobus tonis et semitonio non constare, nec diapason sex tonis.

Quod si (ut ait Aristoxenus) diatessaron consonantia ex duobus tonis semitonioque conjungitur, duae diatessaron consonantiae necessario quinque tonos efficient, et diapente ac diatessaron junctae, sicut unum diapason jungunt, ita sex tonis continua proportione coaequantur. Et quoniam paulo ante sex disposuimus tonos, quorum minimus erat numerus 262144, ad hunc vero ultimus in sexto collocabatur tono numerus 531441, quintum vero retinebant tounm 472392, disponantur hoc modo:

[1228] [PLLXIII:1228,1; text: Tonus primus, Tonus secundus, Tonus tertius, Tonus quartus, Tonus quintus, Tonus sextus, 262144, 294912, 331776, 373248, 419904, 472392, 531441, Sex toni, Quinque toni, 531411] [BOEDIM3 03GF]

Nunc igitur de minoribus numeris, id est quinque tonis, loquamur. Si ergo diatessaron duobus tonis ac semitonio, bis vero diatessaron quinque consisteret tonis, cum ex 262144 diatessaron intenderem, cumque de 472392 aliud diatessaron remitterem, idem inter utramque intentionem remissionemve numerus inveniretur. Id autem fit hoc modo: a numero qui est 262144 besse diatessaron intendo, id est sesquitertium, qui fit in 349525 et triente. Rursus de 472392 numeris remitto sesquitertiam proportionem, quae sit in 354294, has igitur proportiones disponamus hoc modo, et sit primus quidem numerus A, secundus vero B, tertius C, quartus D.

[PLLXIII:1228,2; text: Quinque toni, Diatessaron intensum, Diatessaron remissum, A, 262144, B, besse, 349525 1/3, C, 354294, D, 472392, 4768 2/3, Besse] [BOEDIM3 03GF]

Quoniam igitur A terminus ab D termino quinque remotus est toni, quoniamque diatessaron in duobus tonis ac semitonio jungitur, ut Aristoxenus arbitratur, unumque diatessaron, inter A atque B, aliud vero inter C atque B positum est, B et C terminos non oportet esse diversos, sed unos atque eosdem, [1229] ut integre quinque toni ex duabus diatessaron consonantiis constare videantur. Nunc vero quoniam est differentia 4768 et besse, arguitur diatessaron minime tonis duobus ac semitonio conjungi.

Caput IV.

Diapason consonantiam a 6 tonis commate excedi, et qui sit minimus numerus commatis.

Sed hanc si quaerimus in integris numeris differentiam collocare, quoniam in ea parte quae est besse pars tertia si addatur, plenam efficit unitatem, quae pars tertia ejusdem besse dimidium est, si totius differentiae dimidium eidem adjecero, quod est 2384 et riens sit omnis summa 7153. Quae dudum commatis [1230] proportionem tenebat. Comma enim est quo sex toni superant diapason consonantiam, quod in primis 7153 unitatibus continetur. Ut igitur differentiae dimidium proprium adjecimus, ut in 7153 excresceret, ita etiam cunctis A B C D terminis medietates proprias adjungamus, eadem erit in omnibus, quae supra proportio, fietque eadem inter quinque tonos ac bis diatessaron differentia quae est inter sex tonos ac diapason consonantiam differentia, scilicet 7153 unitates. Unde colligitur quinque tonos bis diatessaron, et sex tonos unum diapason tamen commate superare. Quod in primis 7153 unitatibus invenitur. Id autem patefaciet haec subjecta descriptio:

[PLLXIII:1229-30; text: Quinque toni, diatessaron intensa, numerus cum sua medietate, 393216, A, 2621444, 131072, medietas A. 524288, B 349525 1/3, 174762 11/26, mediatas B, semis et sextans complent bessem et besse cum triente conjunctus reintegrat unitatem. differentia BC cum sua medietate, comma quo sex toni superant diapason aut quod quinque toni superant disdiante ut hic. 7153, C, 4768 2/3, 2384 1/3, medietas differentiae B. C. hic triens et sextans rediti etiam integrum unum faciunt. diatessaron remissa, 531441, 354294, 177147, medietas C. 708588, 472392 D, 236196, medietas D. Sex toni.--Excedent ergo sex toni diapason commate. Diapente ex Diatessaron et Tono, Numerus A cum sua medietate, Medietas, Numerus B cum sua medietate, 324288, 349525, 7476, 2384 1/3, Medietas differentiae, Numerus C cum sua medietate, Numerus D cum sua medietate, 47239, Sextussesquiocrauus cum sua medietate, 797161 1/2, 265720 1/2, Medietas sextus sesquioctauus] [BOEDIM3 04GF]

[1229] Caput V.

Quemadmodum Philolaus tonum dividat.

Philolaus vero Pythagoricus alio modo tonum dividere tentavit; statuens scilicet primordium toni ab [1230] eo numero qui primus cubum a primo impari (quod maxime apud Pythagoricos honorabile fuit) efficeret. Nam cum ternarius numerus primus sit impar, tres tertio 9, atque id ter si duxeris, 27 necessario exsurgent, [1231] qui ad 24 numerum tono distat, eamdem ternarii differentiam servans. Ternarius enim 24 summae octava pars est. Quae eisdem addita primum a ternario cubum 20 ac 7 reddit. Ex hoc igitur Philolaus duas efficit partes: unam quae dimidio sit major, eamque apotomen vocat; reliquam quae dimidio sit minor, eamque rursus diesim dicit, quam posteri semitonium minus appellavere Herum vero differentiam comma ac primum diesim in 13 unitatibus constare arbitratur, eo quod hoc inter 256 et 243 pervisa sit differentia. Quodque idem numerus, id est 13, ex novenario ternario atque unitate consistat, quae unitas puncti obtineat locum. Ternarius vero primae imparis lineae. Novenarius primi imparis quadrati. Ex his igitur causis cum 13 diesim ponat, quod semitonium nuncupatur, reliquam 27 numeri partem quae ex 14 unitatibus continetur, apotome esse constituit. Sed quoniam inter 13 et 14 unitas differentiam facit, unitatem loco commatis censet esse ponendam, totum vero tonum in 27 unitatibus locat, eo quod inter 216 ac 243 qui inter se distant tono 27 sit differentia.

[PLLXIII:1231; text: Toni divisio secundum Philolaum. 1, 13, 14, 27, Diesis, Apotome] [BOEDIM3 05GF]

Caput VI.

Tonum ex duobus semitoniis ac commate constare.

Ex quibus facile apparet tonum duobus semitoniis minoribus et commate constare. Nam si totus tonus ex apotome constat ac semitonio, semitonium vero ab apotome differt commate; nihil est aliud apotome nisi semitonium minus et comma. Si igitur duo semitonia minora de tono quis auferat, comma fit reliquum.

Caput VII.

Demonstratio, tonum duobus semitoniis commate distare.

Idem vero hoc quoque probabitur modo. Nam si diapason [1232] quinque tonis ac duobus minoribus semitoniis continetur, superantque sex toni diapason consonantiam uno commate, non est dubium quin tonis quinis ab utroque spatio sublatis fiant reliqua ex diapason quidem duo semitonia minora, de sex vero tonis tonus. Atque hic tonus haec duo semitonia quae relinquuntur vincit commate. Quod si duobus eisdem semitoniis comma reponatur, aequabunt tonum; constat igitur unum tonum duobus semitoniis minoribus et commati, quod in 7153 primis unitatibus invenitur, aequari.

Caput VIII.

De minoribus semitonii intervallis.

Philolaus igitur haec atque his minora spatia talibus diffinitionibus includit. Diesis, inquit, est spatium quo major est sesquitertia proportio duobus tonis. Comma vero est spatium quo major est sesquioctava proportio duabus diesibus, id est duobus semitoniis minoribus. Schisma est dimidium commatis. Diaschisma vero dimidium dieseos, id est semitonii minoris. Ex quibus illud colligitur, quoniam tonus quidem dividitur principaliter in semitonium minus atque apotomen. Dividitur etiam in duo semitonia et comma, quo fit ut dividatur in quatuor diaschismata et comma. Integrum vero dimidium toni quod est semitonium, constat ex duobus diaschismatibus, quod est unum semitonium minus, et schismate, quod est dimidium commatis. Quoniam cum totus tonus ex duobus semitoniis minoribus et commate conjunctus est, si quis id integre dividere velit, faciet unum semitonium minus commatisque dimidium. Sed unum semitonium minus dividitur iu duo diachismata. Dimidium vero commatis unum schisma est. Recte igitur dictum est integre dimidium tonum in duo diaschismata atque unum schisma posse partiri. Quo fit ut integrum semitonium a minore semitonio uno schismate differre videatur, apotome autem a minore semitonio duobus schismatibus differt, differt enim commate; sed duo schismata unum perficiunt comma.

[PLLXIII:1231-32; text: Media toni pars, ex diesi et schismate, diaschisma medium dieseos, schisma, hemitonium minus diesis, comma, hemitonium majus apotome major toni pars, hemitonium minus apotome major toni pars, toni spatium] [BOEDIM3 05GF]

[1233] Caput IX.

De toni partibus per consonantias sumendis.

Sed de his quidem hactenus. Nunc vero illud videtur esse dicendum, quemadmodum per consonantias musicas imperata possimus spatia nunc extendere, nunc vero remittere. Id autem linealiter fiat, lineaeque quas describimus vocis accipiuntur loco. Sed sese jam ratio ipsa demonstret. Sit propositum toni spatium per consonantiam sumere, in acutum scilicet atque gravem. Sit sonus B, ab hoc intendo alium sonum qui diapente spatio ab eo quod est B distet ad eum qui est C. Ad hoc remitto diatessaron consonantiam ad id quod est D, et quoniam inter diapente ac diatessaron tonus differentiam facit, D B spatium tonus repertus est.

[PLLXIII:1233,1; text: Diapente intensa, Tonus in acuto, Diatessaron remissa, B, D, C] [BOEDIM3 06GF]

Ad graviorem vero partem ita modulabimur tonum. Ab eo quod est B diatessaron intendo ad F, et ab F diapente remitto ad K. Erit K B tonus. Animadvertet igitur diligens lector ad D B quidem ad acutam partem effectum tonum, ad K B autem ad gravem.

[PLLXIII:1233,2; text: K, B, F, Tonus in gravium, Diatessaron intensa, Diapente remissa] [BOEDIM3 06GF]

Sit propositum minorem toni partem per consonantiam sumere in acutam partem atque gravem. Minor vero toni pars est spatium quo duos tonos diatessaron consonantia transcendit. Sit enim sonus A, intendo ab A diatessaron ad B. Rursus intendo ab B diatessaron ad C, ab C remitto diapente ad D. Tonus est igitur B D. Rursus ab D intendo diatessaron ad E. Remitto iterum ad E diapente ad F. Tonus est igitur D F. Duo igitu unt toni B D, DF. Et erat B A integrum diatessaron. Erit igitur F A minor toni pars, quod semitonium nuncupatur.

[1234] [PLLXIII:1234,1; text: Diatessaron intensa. Tonus, A, B, C, D, E, F, Semitonium in acuso, Diapente, Diapente remissa] [BOEDIM3 07GF]

Ad graviorem vero partem hoc modo: sit sonus A, intendo duos tonos per consonantiam ad C, diatessaron vero ad G remitto ad K; erit igitur K A minor semitonii pars, quod oportebat efficere.

[PLLXIII:1234,2; text: semitonium, duo toni intensi, K, A, G, diatessaron intensa] [BOEDIM3 07GF]

Si ergo a tribus tonis diatessaron auferamus, apotome fit reliqua. Sint enim tres toni A B, B C, C D; ab his auferatur A E diatessaron. Erit igitur E C semitonium minus; apotome igitur est E D.

[PLLXIII:1234,3; text: Diatessaron, Semitonium minus, Apotome, A, B, C, E, D, Tonus] [BOEDIM3 07GF]

Hanc igitur apotomen si sit commodum sic sumemus. Ac primum quidem ad acutum intendo tres tonos, ab A eos qui sunt ad B, et ab eo quod est B ad C diatessaron consonantiam remitto, fit C A apotome reliqua.

[PLLXIII:1234,4; text: Tres toni intensi, Apotome acuta, A, C, B, Diatessaron remissa.] [BOEDIM3 07GF]

Quod si idem spatium ad gravem sonum velimus efficere fit hoc modo: sit sonus A, intende semitonium [1235] minus, id quod est A D, remitto ad D tonum qui est D E. Erit igitur E A ea quam requirimus apotome.

[PLLXIII:1235,1; text: apotome gravis, semitonium minus intensum, B, A, D, tonus remissus] [BOEDIM3 08GF]

Sit propositum in acutam partem comma sumere, fit sonus A; intendo apotomen A B, remitto semitonium minus B C, et quoniam semitonium apotome minus est commate, comma erit C A.

[PLLXIII:1235,2; text: Apotome intensa, Comma, A, C, B, Semitonium minus remissum] [BOEDIM3 08GF]

Rursus ad gravem partem hoc modo intendo: ab A sono semitonium minus, id quod est A D, ad D vero remitto apotomen, id quod est D E. Erit igitur comma C A.

[PLLXIII:1235,3; text: comma gravis, semitonium minus intensa, B, A, D, apotome remissa] [BOEDIM3 08GF]

Caput X.

Regula sumendi semitonii.

Oportet vero has omnes consonantias rite esse animo atque auribus notas; frustra enim haec ratione et scientia colliguntur; nisi fuerint usu atque exercitatione notissima. Ut vero id quod institutione musicae adorsi sumus non mox auribus, quod jam provectorum in musica est, sed ratione interim censeatur, unum dabimus exemplum inveniendi spatii, quod videtur esse paulo difficilius, scilicet semitonii minoris, ut in utramque partem, acutam scilicet atque gravem, rato possit ordine reperiri. Sit diatessaron A B: oportet igitur circa A B consonam minus semitonium ad graviorem partem acutioremque deducere. Intendo igitur B C diatessaron. Remitto rursus diapente C D. Erit igitur tonus B D; diatessaron enim consonantia a diapente consonantia tono superatur, et C B spatium ab C D spatio B D spatio transcenditur. Rursus intendo diatessaron D E, remitto autem diapente E F. Tonus est igitur D F. Sed D B tonus erat. Semitonium igitur minus est A F, quod, substractis duobus touis F D, B D ab A B diatessaron [1236] spatio relinquitur. Rursus remitto diatessaron A G, intendo diapente G H. Erit igitur A H tonus. Sed erat A F semitonium. Erit igitur F H apotome. Rursus remitto diatessaron A K, intendo diapente K L: tonus igitur est H L. Erat autem tonus H A. Semitonium igitur minus est L B. Sed erat tonus B D. Erit igitur I D apotome. Rursus intendo diatessaron F M. Semitonium igitur est B M. Remitto diatessaron L N; semitonium igitur est N A. Per consonantiam igitur sumpta sunt circa A B diatessaron, dua semitonia, B M quidem ad acutum; N A vero ad gravem partem; totumque M N minus est quam diapente. Constat enim ex quinque semitoniis, et apotome geminata ex duobus igitur tonis et tribus semitoniis minoribus; et quoniam duo semitonia unum tonum implere nequeunt, sed relinquitur comma, totum M N spatium minus est spatio diapente consonantiae uno commate. Quod facillime diligens lector intelliget.

[PLLXIII:1236; text: Diatessaron remissa, Diatessaron intensa, Diapente remissa, Semitonium minus, Tonus, Apotome, Semitonium, Coma, G, K, N, A, F, H, D, L, B, M, E, C, Diapente intensa] [BOEDIM3 09GF]

Sed quoniam paululum de commatis ratione praediximus, non est diffugiendum et in quali proportione idem ipsum comma contineatur ostendere. Est enim comma quod ultimum comprehendere possit auditus, dicendumque est semitonium minus ac semitonium majus, quantis silligatim commatibus constare videantur. Ipse quoque tonus quantis rursus commatibus conjungitur. Ac primum hinc conveniens sumatur initium.

Caput XI.

Demonstratio, Archytae superparticularem in aequa dividi non posse, ejusque reprehensio.

Superparticularis proportio scindi in aequa medio proportionaliter interposito numero non potest. Id vero posterius firmiter demonstrabitur. Quam enim demonstrationem ponit Archytas, nimium fluxa est. Haec vero est hujusmodi: Sit, inquit, superparticularis proportio A B. Sumo in eadem proportione minimos C E. Quoniam igitur sunt minimi in eadem [1237] proportione C E, et sunt superparticulares, E numerus C numerum parte una sua ejusque transcendit. Sit autem haec D. Dico quoniam D non erit numerus, sed unitas. Si enim est numerus D et pars ejus est qui est E, metietur D numerus E numerum. Quocirca et E numerum metietur. Quo fit ut C quoque metiatur, utrumque igitur C et E numeros metietur D numerus, quod est impossibile. Qui enim sunt minimi in eadem proportione quibuslibet aliis numeris, hi primi ad se invicem sunt, et solam differentiam retinent unitatem; unitas igitur est D: igitur E numerus C numerum unitate transcendit. Quocirca nullus incidet medius numerus, qui eam proportionem aequaliter scindat. Quo fit ut nec inter eos qui eamdem his proportionem tenent, medius possit numerus collocari, qui eamdem proportionem aequaliter scindat.

[PLLXIII:1237; text: Superparticularis proportio 6 ad 4, Minimiciusde proportio 3 ad 2, minima duser, A, C, D, E, B, 4, 2, 1, 3, 6] [BOEDIM3 09GF]

Et secundum Archytae quidem rationem idcirco in superparticulari nullus medius terminus cadit, qui aequaliter dividat proportionem, quoniam minimi in eadem proportione sola differunt unitate. Quasi vero non etiam in multiplici proportione minimi eamdem unitatis differentiam sortiantur. Cum plures videamus esse multiplices praeter eos qui in radicibus collocati sunt, inter quos medius terminus scindens aequaliter eamdem proportionem possit aptari. Sed haec qui arithmeticos nostros diligenter inspexerit, facilius intelliget. Addendum vero est id ita evenire, ut Archytas putat, in sola superparticulari proportione. Non autem universaliter est dicendum. Nunc autem ad sequentia convertamur.

Caput XII.

In qua numerorum proportione sit comma, et quoniam in ea quae major sit quam 75 ad 74, minor quam 74 ad 73.

Primum igitur dico quoniam hi numeri qui comma continent majorem inter se retinent proportionem quam 75 ad 74, minorem quam 74 ad 73. Id vero ita demonstrabitur: ac primo quidem illud reminiscendum est, quod sex toni diapason commate transcendunt. Sit igitur A quidem 262144, B autem diapason ad eum contineat consonantiam in duplici scilicet constituta 524288, C vero sex tonis ab A numero discedat et sit 531441. Quae omnia ex secundi voluminis tonorum dispositione sunt colligenda. Inter B igitur [1238] atque C commatis proportio continetur. Aufero igitur numerum de numero C, et relinquit D in 7153 unitatibus collocatus. Quid numerus minor D est quam sit septuagesima tertia pars B numeri, major vero est quam septuagesima quarta sit. Nam si eumdem D numerum, qui est in 7153, septuagies ter multiplicem fiet mihi E numerus in 522169 unitatibus constitutus. Si eum septuagies quater multiplicem, fit numerns F 529322. Quorum quidem E, qui per septuaginta tres auctus est, minor est B numero; F autem qui per 74, major est B numero. Recte igitur dictum est D, ejus quod est B, minorem quidem esse quam septuagesimam tertiam partem, majorem vero quam septuagesimam quartam. Quodcirca et C numerus B numerum minore quidem parte ejus quod est B eumdem B superat, quam septuagesima tertia, majore vero quam septuagesima quarta. Ejus igitur quod est C proportio ad id quod est B major quidem est quam 75 ad 74, minor vero quam 74 ad 73. Nam in priore unitas septuagesima quarta est minoris, in posteriore vero eadem unitas septuagesima tertia.

[PLLXIII:1238; text: Sextoni, Diapason, septuagies ter, septuagies quater, e minor b, s minor [rob], A, B, C, 262144, 524288, 531441, E, 522169, F, 529322, 7153, Differentia D] [BOEDIM3 09GF]

Idem aliter explicandum, illo prius praesumpto, quod si cui proportioni propria numerorum differentia aequaliter augeatur, minor inter eos qui post additionem fiunt proportio continebitur quam inter priores qui ante additionem illam quadam proportione distabant. Ut sex et quatuor si utrisque binarius, quae est differentia sua apponatur, fient 8 et 6, sed inter 6 et 4 sesquialtera, inter 8 et 6 sesquitertia proportio continetur, minor vero est proportio sesquitertia sesquialtera proportione; hoc igitur ita praedicto, disponantur superiores numeri qui proportionem commatis continebant, id est 531441, et sit A. Sit etiam B 524288; horum differentia sit C 7153; C igitur numerus majorem numerum eo qui est A septuagies quinquies metiatur. Si igitur C numerum A septuagies quinquies multiplices, fiet mihi D qui est 536475. Igitur D numerus eum qui est A, numero eo qui est E antecedit, id est 5034. Rursus C numerus eum qui est B metiatur septuagies quater multipliceturque, fiet igitur numerus F 529322. Qui F eo qui est B [1239] major est eodem E numero qui est 5034. Ergo D numerus eum qui est A transcendit E numero, B autem numerus ab eo qui est F vincitur eodem E numero. Si igitur A numero eumdem E apponamus, fiet D. Si vero B numero eumdem E apponamus, fiet F. Sed D numerus septuagies quinquies auctus est, per C scilicet multiplicatum. F autem septuagies quater multiplicato C crevit; obtinent igitur inter se proportionem D atque F quam habent 75 ad 74. Sed D atque F sunt A atque B uno eis addito E, majorem igitur necessarie est proportionem contineri inter A atque B quam inter D atque F. Namque A atque B numerus, uno E addito, effecti sunt D atque F. Minor igitur proportio est inter D atque F quam inter A atque B. Sed inter D atque F eadem proportio est quae inter 75 et 74. Inter A igitur atque B major proportio est quam inter 75 et 74. Ac A atque B comma continent. Major igitur proportio est commatis quam 75 atque 74.

[PLLXIII:1239; text: A numerus maior, B numerus minor, major quam 75 ad 74, 531226, Proportio commatis, 524288, Differentia, C, 7153, E, Septuagesies 5, Septuagesies 4, eadem proportio quae inter genie, 536475, 52972, F] [BOEDIM3 10GF]

Quoniam igitur ostendimus commatis proportionem majorem esse quam eam quam 75 continent ad 74 comparati; nunc ostendendum est quemadmodum minorem inter se proportionem contineant numeri spatium commatis continentes, quam 74 ad 73 comparati. Id vero monstrabitur hoc modo: reminiscendum prius est quod secundo volumine dixerimus, cum de mensura differentiae loquebamur. Si enim ex qualibet proportione differentiam eorum numerorum, qui eam continent, auferamus, hi qui relinquuntur majorem obtinebunt proportionem his numeris qui erant ante differentiae diminutionem. Sint euim 8 et 6. Ab his propriam aufero differentiam, id est 2, fiunt 6 et 4, Sed in superioribus sesquitertia, in hac sesquialtera proportio continetur. Major vero est sesquialtera proportio sesquitertia proportione. Sint igitur iidem A atque B. Qui sunt superius descripti, quorum est differentia C. Multiplico differentiam C numeri septuagies quater, sit mihi numerus, F, scilicet 529322. Qui A numero comparatus vincitur mumero G, scilicet 2119. Rursus idem [1240] C multiplicetur septuagies ter, efficiet numerum K, id est 522169. Qui comparatus B numero vincitur eodem G, scilicet 2119. Sublato igitur G de numeris A atque B, effecti sunt F atque K. Minorem igitur proportionem retinebit A atque B quam F atque K. Sed F atque K eam retinent proportionem quam 74 ad 73, hi enim multiplicato C effecti sunt. Minor est igitur proportio A atque B numerorum comma continentium quam 74 ad 73. Sed paulo ante monstratum est eamdem commatis proportionem majorem esse quam 75 ad 74. Monstrati sunt igitur numeri qui comma continent, majorem quidem inter se habere proportionem quam 75 ad 74, minorem vero quam 74 ad 75, quod oportebat ostendere.

[PLLXIII:1240; text: A numerus maior, proportio minor quam 74, B numerus minor, 531441, 5242883, C, 52119, 7153, G, 2119, septuagies, F, proportio 74 ad 74, E, septuagies ter, Differentia, 529322, 522169 Differentia C] [BOEDIM3 10GF]

Caput XIII.

Quod semitonium minus majus quidem sit quam 20 ad 19, minus quam 19 1/2 ad 18 1/2.

Quod si ad semitonium minus talis speculatio convertatur, ejus quoque proportionem facillime reperiemus. Quae constat inter 256 et 243. Sit igitur 256 A, 243 B, horum differentia 13 C. Dico quoniam A ad B minorem retinet proportionem quam 19 1/2 ad 18 1/2; metiatur enim C 19 semis, id quod est A fiunt 253 1/2 quod sit D, qui scilicet comparatus ad A, eodem A duobus semisque transcenditur. Sitque haec differentia F, scilicet et 1/2, rursus eadem C differentia B numerum metiatur octies decies semis, fient 249 quod sit E. Igitur E comparatus ad B eodem F transcenditur, id est duobus et semis. D igitur ab eo quod est A, et rursus E ab eo quod est B, eadem F differentia sunt minores. Subtracto igitur F ab eo quod est A atque B, facti sunt D atque E. Majorem igitur proportionem tenent inter se D atque E, quam A atque B. Sed D atque E eamdem retinent proportionem inter se quam 19 1/2 ad 18 1/2. A igitur ad B minorem retinet proportionem quam 19 1/2 ad 18 1/2, quod oportebat ostendere.

[1241] [PLLXIII:1241,1; text: A numerus major, proportio maior quam 19 1/2 ad 18 1/2, ab minor,B numerus minor, 256, Doties novies 1/2, Deties octies 1/2, Proportio semitonij minoris, 243, F, 2 1/2, Differentia, C, D, E, 253 1/2, Proportio 19 1/2 ad 18 1/2, 240 1/2] [BOEDIM3 11GF]

Videtur tamen eadem proportio 256 ad 243 major esse ab ea quam continent 20 et 19. Sint enim A B C idem qui superius descripti sunt. Metiatur igitur C differentia A terminum vigies, fient 260, qui sunt D, qui comparati ad id quod est A eumdem quaternario transcendunt, hic sit F. Rursus idem C metiatur B decies novies, fient 247, hic sit E, qui comparati ad B eodem F transcendunt. D igitur numerus, A numerum, et E numerus numerum B, eodem F transcendunt. Adjecto igitur F his qui sunt A atque B, facti sunt D atque E. Major igitur est proportio eorum qui sunt A atque B, quam eorum qui sunt D atque E. Sed D atque E vigies atque decies novies multiplicatus, C numerum efficit. Major igitur est proportio eorum qui sunt A atque B, qui scilicet semitonium continent, quam ea quae est 20 ad 19. Demonstratum igitur est semitonium minus majorem quidem habere proportionem quam 20 ad 16, minorem vero quam 19 1/2 ad 18 1/2. Nunc idem minus semitonium commati comparemus quod est ultimum, auditui subjacens ultimaque proportio.

[PLLXIII:1241,2; text: A, Proportio major quam 20 ad 19, B, 256, 243, F, 4, Differentia, Differentia 13, C, Vigies, decies novies, 260, proportio 20 ad 19, 247] [BOEDIM3 11GF]

Caput XIV.

Semitonium minus majus quidem esse tribus commatibus, minus vero quatuor.

Igitur demonstrandum proponimus semitonium [1242] minus, majus quidem esse commatibus tribus, minus vero quatuor, quod hinc facillime possis agnoscere. Sint tres numeri ita dispositi, ut inter se proportionem contineant diapason, et eam quae dicitur sex tonorum. Sint enim A 262144. Intendantur igitur ab B quidem quinque toni continui, et sit B. 472392; ad C autem diapason consonantia referatur, et sit C 524288. Ad D autem sex toni intendantur, sitque D 531441. His ita dispositis et constitutis, manifestum est inter C atque D comma constitui, eorumque differentiam esse 7153; id autem sit K, remittantur igitur duo toni ab eo quod est B, ad id quod est E, et sit E 373248. Rursus ab eo quod est E intendo diatessaron ad id quo est F 497664. Quoniam igitur inter E atque B duo sunt toni, inter E atque F diatessaron, inter B igitur atque F minus semitonium reperitur. Sublatis enim a diatessaron consonantia duobus tonis, fit reliquum semitonium minus, quod in primis numeris constare praedixi 256 et 243. Quos eosdem numeros si millies noningenties quadragies quaterque multiplices B atque F, numeros explicabis. Quos necessarie est eamdem proportionem superius dictis numeris continere, qui uno atque eodem numero, id est 1944 pariter multiplicati crevere. Item ab eo quod est F. intendo diatessaron, scilicet ad G, et sit G 663552. Rursus ab eodem G remitto ad P duos tonos, et fit P 524288. Quod P necessarie est, ut eumdem sonum quem C numerus exhibeat. Ad aequalitatem namque ejus tali ratione progressus est. Etenim ea quae est A C diapason consonantia, quae constat quinque tonis ac duobus semitoniis minoribus, ab 6 tonis commate superatur. Ab eodem igitur A termino numerus P, quinque tonis ac semitoniis duobus recessit hoc modo. Ab eo quod est A usque ad id quod est B quinque nimirum colliguntur toni; ab eo autem quod est B usque ad id quod est F minus esse semitonium pernotatur, F vero atque P, idem rursus semitonium minus includunt. A igitur usque ad P quinque tonos ac duo semitonia minora produxit. Jure igitur P atque C eisdem numeris conscribuntur. Sed quoniam inter F atque C semitonium minus est, videamus haec quae sit eorum differentia, ut eam commati comparemus. Est autem eorum differentia 26624, et sit haec M. Igitur K commatis differentia est, M. autem semitonii minoris. Si igitur K numerum tertio auxerimus, fiet numerus 21459. Et sit hic L. Si vero quater eumdem numerum K multiplicare voluerimus, fient 28612, et sit hoc N. Igitur M major quidem est ab L; idem autem M minor est ab N. Sed N quater aucto commate succrevit; L autem tertio, M vero semitonii minoris obtinet differentiam. Jure igitur dictum est minus semitonium minus quidem esse quam quatuor commata, majus vero quam tria.

[1243] [PLLXIII:1243-44; text: Quinque toni, Diatessaron intensa, Duo toni remissae, semitonium minus, A, 262144, E, 373248, B, 472392, F, 497664, C, P, 524283, D, 531441, G, 663352, Differentia M, Differentia t, 7153, Tertoni intensa, Ter auctum, Quater auctum, 21459, L, 28612, N] [BOEDIM3 12GF]

[1243] Caput XV.

Apotome majorem esse quam 4 commata, minoem quam 5. Tonum majorem quam 8, minorem quam 9.

Eadem hac ratione et semitonium majus quod apotomen dici supra retulimus, quot commatum sit possumus invenire hoc modo: Sit A 262144. Quinque vero ab eo distans tonis sit B 472392. Sex vero distans tonis ab eo quod est A, sit D, scilicet 531441, inter B igitur atque D tonus est; B vero ab eo quod est C distat per semitonium minus, et sit C. 497664. Relinquitur ergo inter C atque D apotome proportio. Nam cum sit tonus B D, ex eo si auferas B C semitonium minus, C D relinquitur majus, quod apotomen esse supra retulimus, inter D igitur atque C est differentia 33777; haec autem sit E, sed erat commatis differentia 7153, haec sit F. Si igitur F, id quod est comma, quinquies multiplicem, fient mihi 35765, et sit hoc G. Si vero idem F quater multiplicem, fit K numerus qui est 28612. G igitur ab eo quod est E majus est, K minus. Sed G quinquies auctum est comma. K vero quater, F autem apotomes differentia est. Jure igitur dictum est apotomen minorem quidem esse quam quinque commata, majorem vero quam quatuor; ex hoc igitur comprobatur tonum majorem quidem esse quam sunt octo commata, minorem vero quam novem. Nam si minus semitonium, majus quidem est quam tria commata, minus vero quam quatuor, apotome autem major quidem est quam quatuor commata, minor vero quam quinque junctum semitonium minus semitonio majori, quod est apotome, erit omne majus quidem 8 commatibus, minus vero quam 9; sed apotome atque semitonium minus unum efficiunt tonum. Tonus igitur major quidem est 8 commatibus, minor vero 9.

[PLLXIII:1243; text: Quinque toni, Tonus, Apotome, 33777, B, Differentis, majus, minor, A, 262144, B, 472392, C, 497664, D, 531441, G, 335765, K, 28612, Sex toni, Semitonium, 7153 Coma] [BOEDIM3 13GF]

[1244] Caput XVI.

Superius dictorum per numeros demonstratio.

Sed quanquam per hanc rationem demonstratum est quemadmodum tonus commatibus comparetur, non est tamen quasi segnibus delassandum, quo minus per se hanc contra commata comparationem retinere tonus ipse monstretur. Sit igitur A quidem 262144, B autem quinque ab eo distans tonis 472392. C vero diapason ad id quod est A continens symphoniam, scilicet in numeris 524288; D autem ab eo quod est A, sex totos differens tonos 531451. D igitur ab eo quod est C distat commate, sex toni scilicet ab diapason consonantia. Id autem sit E 7153. D autem ab eo quod est B tono integerrimo distat, 6 toni scilicet quinque tonis, id autem sit F 590049. Si igitur E novies auxero, fiet mihi H 64377. Sin vero octies, fient 57224, id sit G. Sed H quidem F numero comparatus superat, G vero superatur, et est F toni differentia. H autem novies multiplicatum comma, G vero octies. Demonstratus est igitur tonus minor quidem 900 esse commatibus, eisdem vero octo commatibus major.

[PLLXIII:1244; text: Sex toni, Quinque toni, E, 5449, Tonus, A, 262144, B, 472392, C, 524288, D, 531441, H, 64377, 57224, Diapason, 7153, Novies auctum, Octies auctum] [BOEDIM3 13GF]

Ita his prmissis licet majus semitonium minore semitonio commate distare monstratum sit, tamen idem quoque per se et per subjectos numeros tali ratione probabitur. Sit A numerus 497664, ab eo vero semitonium minus distans sit B numerus, qui jam [1245] supra quoque descriptus est 524288. Apotome vero distat ab eo quod est A. Is numerus, qui colligitur unitatibus 531441, et sit hoc C. Quoniam igitur A B minus semitonium, A C majus, differentia ejus quod est B ab eo quod est C perquirenda est. Ea est 70153, id sit D. Sed hic numerus dudum comma monstrabat; inter majus igitur semitonium ac minus comma differentiam facit.

[PLLXIII:1245; text: semitonium minus. comma, D, 7153, A, 497664, B, 524288, C, 531441, apotome] [BOEDIM3 13GF]

Rursus demonstrandum propono tonum duobus semitoniis minoribus solo commate esse majorem. Sit A numerus 472392. Ab hoc intendatur tonus 531441, et sit hoc D ab eo vero quod est A intendatur semitonium minus, quod est B, ac sit B 497664. Item ab eo quod est B semitonium aliud intendatur minus, quod est C, et sit C 524288. Quoniam igitur A D tonus est, A C vero duo continent minora semitonia: videamus [1246] quae sit differentia inter C atque D numeros constituta. Est autem E, scilicet unitatem 7153. Demonstratum est igitur tonum duobus semitoniis minoribus commate esse majorem,

[PLLXIII:1246; text: Semitonium minus, Coma, E, 7153, A, 472392, B, 497664, C, 52488, D, 531441, Tonus intensus] [BOEDIM3 13GF]

Sed quoniam omnia jam quae probanda promisimus propria ratione monstrata sunt, nunc quod superest musicae institutioni, regularis monochordi facienda est partitio. Quam rem quoniam longior tractatus extendit, in posterioris commentarii disputationem censuimus transferendam.