Back to top

[f.27v] Incipit prologus libri secundi.

SVPERIVS uolumen cuncta digessit. quae nunc diligentius demonstranda esse proposui. Itaque priusquam ad ea ueniam quae propriis rationibus perdocenda sunt. pauca praemittam. quibus elucubratior animus auditoris ad ea quae dicenda sunt accipienda perueniat.

Incipiunt capitula libri secundi.

I. Quid Phytagoras philosophiam esse constituerit II. De differentiis quantitatis. et quae cui sit disciplinae deputata. III. De relatiuae quantitatis diffentiis [differentiis corr. supra lin.]. IIII. Cur multiplicitas caeteris antecellat. V. Quid sint quadrati numeri. deque his speculatio. VI. Omnem aequalitatem ex aequalitate procedere. eiusque demonstratio. VII. Regula quotlibet continuas proportiones. et supparticulares inueniniendi. VIII. De proportione numerorum qui ab aliis metiuntur. IX. Quae ex multiplicibus et superparticularibus multiplicitates fiant. X. Qui superparticulares quos multiplices efficiant. XI. De arithmetica. geometrica. armonica medietate. XII. De continuis medietatibus et disiunctis. XIII. Cur ita appellatae sunt superius digestae medietates. XIIII. Quemadmodum ab aequalitate supradictae processerint medietates. XV. De armonica medietate. deque ea uberior speculatio. XVI. Quemadmodum inter duos terminos supradictae medietates uicissim locentur. XVII. De consonantiarum merito uel modo secundum Nicomachum. XVIII. De ordine consonantiarum sententia Eubolis et Hispasi. XIX. Sententia Nicomachi de quibus consonantiis apponantur. XX. Quid oporteat praemitti. ut diapason in multiplici genere demonstretur. XXI. Demonstratio per impossibile diapason in multiplici genere esse. [f.28r] XXII. Demonstratio diapente. diatessaron et tonum in superparticulari esse. XXIII. Demonstratio diapente. diatessaron in maximis superparticularibus esse. XXIIII. Diapente in sesqualtera. diatessaron in sesquitertia esse. tonum in sesquioctaua. XXV. Diapason ac diapente in tripla proportione esse. in quadrupla bis diapason. XXVI. Diatessaron ac diapason. non esse secundum Pitagoricos consonantias. XXVII. De semitonio. in quibus numeris minimis constet. XXVIII. Demonstrationes non esse CCXLIII ad CCLVI toni medietatem. XXIX. De maiore parte toni in numeris constet. XXX. Quibus proportionibus diapente ac diapason constent. et quoniam diapason VI tonis non constent.

Expliciunt capitula. Incipit liber secundus.

Quid Phitagoras esse philosophiam instituerit.

PRIMUS OMNIUM PHYTAGORAS SAPIENTIAE studium philosophiam nuncupauit. Quam scilicet eius rei notitiam ac disciplinam ponebat. quae proprie uereque esse diceretur. Esse autem illa putabat. que nec intensione crescerent. nec diminutione decrescerent. nec ullis accidentibus mutarentur. Haec autem esse formas. magnitudines. qualitates. habitudines. caeteraque quae per se speculata immutabilia sunt: iuncta uero corporibus permutantur et multimodis uariationibus mutabilis rei cognatione [uel cognationibus supra lin.] uertuntur.

De differentiis quantitatis [f.28v] et quae cui sit disciplinae deputata.

OMNIS uero quantitas secundum Phitagoram. uel continua uel discreta est. Sed quae continua est: magnitudo appellatur. Quae discreta est: multitudo. Quorum haec est diuersa et contraria pene proprietas. Multitudo enim a finita inchoans quantitate. crescens in infinita progreditur. ut nullus crescendi finis occurrat. Estque ad minimum terminata. interminabilis ad maius. eiusque principium unitas est. qua minus nichil est. Crescit uero per numeros atque ad infinita protenditur. nec ullus numerus quominus crescat terminum facit. Sed magnitudo finitam rursus suae mensu- recipit quantitatem. sed in infinita decrescit. Nam si sit pedalis linea uel cuiuslibet alterius modi: potest in duo aequa diuidi. eiusque medietas secari in medietatem. ut nunquam secandi ullus magnitudinem terminus fiat. Ita magnitudo quantum ad maiorem modum: terminata est. Fit uero cum decrescere caeperit infinita. At contra numerus quantum ad minorem modum finitus est. Infinitus autem incipit esse cum crescit. Cum igitur haec ita sint infinita tamen quasi de rebus finitis philosophia pertractat. inquibus rebus infinitis repperit aliquid terminatum. de quo iure posset acumen propriae speculationis adhibere. Nanque magnitudinis immobilia ut terra. ut quadratum. uel triangulum. uel circulus. alia uero mobilia ut spera mundi. uel quicquid in ea rata celeritate conuertitur. Discretae uero quantitatis. alia sunt per se. ut tres uel quattuor. uel ceteri numeri. alia uero ad aliquid. ut duplum. triplum. aliaque quae ex relatione nascuntur. Sed immobilis magnitudinis. geometria speculationem tenet. Mobilis uero scientiam. astronomia persequitur. Per se uero discretae quantitatis. [f.29r] arithmetica auctor est. Ad aliquid relatae musica probatur habere peritiam. Ac de ea quidem quantitate quae per se est: in arithmetica sufficienter diximus.

De relate quantitatis differentiis.

[Cambridge, Trinity College, R.15.22 (944), f.29r,1; text: Triplus, Duplus, Quadruplus. Quincuplus. I. II. III. IIII. V.] [BOEMUS2C 01GF]

Relatae uero quantitatis ad aliquid simplicia quidem genera sunt tria. Vnum quidem multiplex. aliud uero superparticulare. tertium superpartiens. Cum uero multiplex superparticulari superpartientique miscetur: fiunt aliae ex his duae. id est multiplex superparticularis. et multiplex superpartiens. Horum igitur omnium talis est regula. Si unitatem cunctis in naturali numero uolueris comparare: ratus multiplicis ordo texetur. Duo enim ad unum duplus est. tres ad eundem triplus. quattuor quadruplus. Et in ceteris eodem modo ut subiecta descriptio docet.

[Cambridge, Trinity College, R.15.22 (944), f.29r,2; text: I. II. III. IIII. V. VI. VII.] [BOEMUS2C 01GF]

[Cambridge, Trinity College, R.15.22 (944), f.29r,3; text: Sesqualter, Sesquiquartus, Sesquitertius, Sesquiquintus. II, III, IIII, V, VI] [BOEMUS2C 01GF]

[f.29v] Si uero superparticularem proportionem quaeras: naturalem sibi compara numerum. detracta scilicet unitate. ut tres. duobus. Sesqualter est enim. Quattuor tribus. sesquitertius est. Quinarium quaternario. qui sesquiquartus est. Et in ceteris eodem modo quod monstrat subiecta descriptio.

[Cambridge, Trinity College, R.15.22 (944), f.29v,1; text: sesqualter. sesquitertius. sesquiquartus. sesquiquintus. sesquisextus. sesquiseptimus. II, III, IIII, V, VI, VII, VIII] [BOEMUS2C 01GF]

Superpartientes uero. tali modo reperies. Disponas naturalem numerum a ternario scilicet inchoantem. Si unum igitur intermiseris. superpartientem [superbipartientem corr. supra lin.] effici pernotabis. Quod si duo. supertripartientem. Quod si tres. superquadripartientem. Idemque in ceteris.

[Cambridge, Trinity College, R.15.22 (944), f.29v,2; text: superbipartiens, supertripartiens, superquadripartiens, III, IIII, V, VI, VII, VIII, IX] [BOEMUS2C 01GF]

Ad hunc uero ordinem spectans. etiam compositas ex multiplici et superparticulari. uel multiplici et superpartienti. proportiones lector diligens speculabitur. Sed de his tamen omnibus in arithmeticis expeditius dictum est.

Cur multiplicitas ceteris antecellat.

Sed in his illud est considerandum. quod multiplex inaequalitatis genus longe duobus reliquis uidetur antiquius. Naturalis enim numeri dispositio. in multiplicibus unitati quae prima est comparatur. Superparticularis uero non unitatis comparatione [f.30r] perficitur. sed ipsorum qui post unitatem sunt dispositi numerorum. ut ternarii ad binarium. quaternarii ad ternarium. et in caeteris ad hunc modum. Superpartientium uero longe retro formatio est. quae nec continuis numeris comparatur sed intermissis. nec semper aequali intermissione. sed nunc quidem una. nunc uero duabus. nunc uero tribus. nunc quattuor. atque ita in infinita succrescit. Amplius. Multiplicitas ab unitate incipit. superparticularitas a binario. Superpartiens proportio. a ternario initium capit. Sed de his hactenus. Nunc quaedam quae quasi axiomata Graeci uocant praemittere oportebit. quae tunc demum quo spectare uideantur ea intellegemus. cum de uniuscuiusque rei demonstratione tractabimus.

Quid sint quadrati numeri. deque his speculatio.

QVADRATVS numerus est. qui gemina dimensione in duo aequa concreuerit. ut bis duo. ter tres. quater quattuor. sexies sex. quorum haec est descriptio.

[Cambridge, Trinity College, R.15.22 (944), f.30r; text: II, III, IIII, V, VI, VII, VIII, IX, X, XVI, XXV, XXXVI, XLIX, LXIIII, LXXXI, C] [BOEMUS2C 02GF]

Superius igitur dispositus numerus naturalis. latus est quadratorum inferius descriptorum. Continui enim naturaliter sunt quadrati. qui sese in subiecto ordine consecuntur. ut quattuor. octo [VIIII corr. supra lin.]. sedecim et caeteri. Si igitur continuum quadratum minorem. a continuo quadrato maiore sustulero: quod relinquitur tantum erit quantum est quod ab utrorumque quadratorum lateribus iungitur. Vt si quattuor auferam nouenario: quinque sunt reliqui. qui ex duobus et tribus qui sunt utrorumque quadratorum latera coniunguntur. Item si nouenarium auferam de eo qui XVI numeris ascriptus est VII [f.30v] sunt reliqui. qui scilicet ex ternario quaternarioque coniunctus est qui praedictorum quadratorum latera sunt. Idemque est in caeteris. Quod si non sint continui quadrati. sed unus inter eos transmissus sit: fit eius quod relinquitur medietas. id quod ex utriusque lateribus efficitur. Vt si quaternarium de XVI quadrato auferam: duodecim relinquuntur. Quorum XII medietas est is numerus qui ex utrorumque lateribus conuenit. Sunt autem utrorumque latera duo et quattuor. quae senarium iuncta perficiunt: atque in caeteris idem modus est. Sin uero duo intermittantur: tertia pars eius erit quod relinquitur: id quod utrorumque latera coniungunt. Vt si quattuor de .XXV. auferam. intermissis duobus quadratis: reliqui XXI sunt. Eorum uero latera sunt duo et .V. qui efficiunt septem. qui sunt pars tertia numeri .XXI. Atque haec est regula. ut tres intermissi sint. pars quarta sit id quod ex utrorumque lateribus efficitur. eius quod subtracto minore a maiore relinquitur. Sin quattuor transmittantur: quinta. Atque uno plus uacabulo numeri partes uenient. quam sit intermissio numerorum.

Omnem inaequalitatem ex aequalitate procedere eiusque demonstratio.

EST autem quemadmodum unitas pluralitatis numerique principium: ita aequalitas proportionum. Tribus enim praeceptis ut in arithmetica dictum est multiplices proportiones ex aequalitate producimus. Ex conuersis uero multiplicibus. superparticulares habitudines procreamus. Item ex conuersis superparticularibus. superpartientes comparationes efficimus. Ponantur enim tres unitates uel tres binarii. uel tres ternarii. uel quotlibet aequitermini. et sit primus primo aequus. in sequenti scilicet ordine constitutus. Secundus uero primo ac secundo. tertius primo. duobus secundis ac tertio. Ita enim numero progresso: fit duplex multiplicitatis prima proportio. [f.31r] ut haec descriptio monet.

[Cambridge, Trinity College, R.15.22 (944), f.31r,1; text: I, II, IIII, dupla proportio] [BOEMUS2C 02GF]

Nam unitas in secundo ordine constituta: aequa est primae unitati. in superiore loco dispositae. Item binarius aequus est primae unitati ac secundae unitati. Item quaternarius aequus est primae unitati. ac duabus unitatibus secundis. atque unitati tertiae. et est I. II. IIII. dupla proportio. Quod si de his idem feceris tripla comparatio procreabitur. ac de tripla quadrupla. de quadrupla quincupla. ac deinceps talis currit habitudinum procreatio.

Rursus isdem tribus praeceptis superparticulares fiunt. ut uno probamus exemplo. Conuertamus nunc. et priorem maiorem numerum disponamus IIII. II. I. Ponatur igitur primus primo aequus. id est .IIII. Secundus primo scilicet et secundo. id est .VI. Tertius primo et duobus secundis. et tertio. id est .IX. Quibus dispositis. sesqualtera notatur esse proportio.

[Cambridge, Trinity College, R.15.22 (944), f.31r,2; text: I, II, IIII, V, VI, VII, VIII, IX, X, XVI, XXV, XXXVI, XLIX, LXIIII, LXXXI, C, Equalis, Dupli, Tripli, Quadrupli, Quincupli, Sescupli, Septemcupli, Octupli, Nonupli, Decupla, Sesqualtera proportio.] [BOEMUS2C 02GF]

Atque id si de triplis fiat: sesquitertia. Si de quadruplis: sesquiquarta. Consimilibusque in alterutra parte uocabulis proportionalitas ex multiplicitate nascitur. Ex superparticularitate uero conuersa. ducitur superpartiens habitudo. Disponatur enim conuersim sesqualtera [f.31v] proportio IX. VI. IIII. Ponatur igitur primus primo aequus. id est IX. Secundus primo ac secundo. id est XV. Tertius primo. duobus secundis ac tertio. id est XXV. ac disponantur in ordinem hoc modo.

[Cambridge, Trinity College, R.15.22 (944), f.31v,1; text: IIII, VI, IX, XV, XXV.] [BOEMUS2C 02GF]

SVperbipartiens igitur ex conuersis sesqualteris habitudo producta est. Quod si quis ad hanc speculationem diligens scrutator accedat. ex sesquitertiis conuersis supertripartientem producit. ceterisque similibus uocabulis adaequatis. cunctas ex superparticularitate superpartientes species procreari mirabitur.

[Cambridge, Trinity College, R.15.22 (944), f.31v,2; text: Subtripartiens. IX, XII, XVI, XXVIII, XLIX] [BOEMUS2C 02GF]

Ex non conuersis autem superparticularibus. sed ita ut ex multiplici procreati sunt manentibus: necesse est multiplices superparticulares procreari. Ex manentibus uero superpartientibus. ita ut ex superparticularibus prodierunt: non alii nisi multiplices superpartientes procreabuntur. Ac de his quidem hactenus. Diligentius enim in arithmeticis libris de hac comparatione est disputatum.

Regula quotlibet continuas proportiones superparticulares inueniendi.

SEPE autem accidit ut tres uel quattuor uel quotlibet aequas superparticularium proportiones. de musica disputator inquirat. Sed ne id casu atque inscitia facientes error ullus difficultatis impediat: hac regula quotlibet aequas proportiones ex multiplicitate ducemus. Vnusquisque multiplex ab unitate scilicet computatus. tot superparticulares habitudines praecedit. suae scilicet denominationis [f.32r] in contrariam partem: quotus ipse ab unitate discesserit hoc modo. ut duplex habitudines sesqualteras antecedat. triplex sesquitertias. quadruplex sesquiquartas ac deinceps in hunc modum. Sit igitur duplorum terminorum subiecta descriptio.

[Cambridge, Trinity College, R.15.22 (944), f.32r,1; text: I, II, III, IIII, VI, VIII, IX, XII, XVI, XVIII, XXIIII, XXVII, XXXVI, LIIII, LXXXI] [BOEMUS2C 03GF]

IN superiore igitur descriptione binarius primus multiplex unum ad se ternarium habet. qui possit facere sesqualteram proportionem. Ternarius uero non habet qui ei possit esse sesqualter. quoniam medietate deficit. Rursus quaternarius secundus est duplex. Hic quaternarius duos sesqualteros antecedit. senarium et nouenarium qui medietate caret. atque iccirco nullus ei in habitudine sesqualtera comparatur. Et in caeteris idem est. Tripli uero eodem modo sesquitertios creant. Sit enim similis in triplo descriptio.

[Cambridge, Trinity College, R.15.22 (944), f.32r,2; text: I, III, IIII, IX, XII, XVI, XXVII, XXXVI, XLVIII, LXIIII, LXXXI, CVIII, CXLIIII, CXCII, CCLVI] [BOEMUS2C 03GF]

IN superiore igitur descriptione. sesquitertias proportiones ita natas uidemus: ut primus triplex unum sesquitertium antecedat. secundus duos. tres tertius. semperque pars tertia in ultimo numero naturali quodam fine claudatur. Quod si quadruplum statueris: eodem modo sesquiquartos inuenies. si quincuplum: sesquiquintos. ac deinceps: singuli denominatione multiplices. tot superparticulares praecedunt. quoto loco ipsi ab unitate discesserint. Vnam uero tantum quadrupli dispositionem ponemus. [f.32v] ut in ea sicut in caeteris lector diligens acumen mentis exerceat.

[Cambridge, Trinity College, R.15.22 (944), f.32v; text: I, IIII, V, XVI, XX, XXV, LXIIII, LXXX, C, CXXV, CCLVI, CCCXX, CCCC, D, DCXXV] [BOEMUS2C 03GF]

Haec igitur speculatio ad hanc utilitatem uidetur inuenta. ut quotienscunque quattuor uel quinque uel quotlibet sesqualteros uel sesquitertios uel sesquioctauos. uel quotlibet alias proportiones quis inuestigare uoluerit: nullo errore labatur. utque non ei numero primo tales proportiones quaerat aptare. qui quanti sunt propositi. tot praecedere et post se habere non possit. sed disponat potius multiplices. uideatque quantos superparticulares requirit. eumque multiplicem respiciat. qui eo loci ab unitate discesserit. ut in superioribus descriptionibus. si tres sesqualteras fortasse quaesierit: non a quaternario ingrediatur inuestigationem. Hic enim quoniam secundus est duplus. duos tantum praecedit. tertiumque ei aptare non poterit. sed ut ab octonario medietates temptet apponere. Hic enim quoniam tertius est tres quas queret sesqualteras proportiones efficiet. Et in caeteris eodem modo. [Est etiam alia augendi proportiones uia hoc modo. add. in marg.] Radices proportionum dicuntur in eisdem comparationibus. proportiones minimae. Disponatur enim numerus naturalis unitate multatus. II. III. IIII. V. VI. VII.

Minimae igitur proportiones sunt. ut in sesqualtera .III. ad II In sesquitertia IIII ad III In sesquiquarta V ad IIII Et deinceps in infinitum. et quaecunque se proportiones unitate praecesserint. Propositum igitur sit. duas sesqualteras proportiones. continua comparatione producere. Sumo radicem sesqualteram eamque dispono II et III Multiplico [f.33r] igitur binarium per binarium. fiunt IIII Item ternarius per binarium [concrescat corr. supra lin.] crescat. erunt VI Rursus ternarium in semetipsum ducemus. fiunt IX qui disponantur hoc modo.

[Cambridge, Trinity College, R.15.22 (944), f.33r,1; text: II. III. IIII. VI. VIIII.] [BOEMUS2C 03GF]

Inueniemus igitur duas propositas sesqualteras proportiones VI ad IIII et IX ad VI. Sit nunc propositum tres inuenire. Dispono eosdem numeros quos supra in exquirendis duabus sesqualteris habitudinibus proposueram. ipsasque sesqualteras proportiones multiplico. binario quaternarium. et fiunt VIII. Rursus senarium binario. fiunt XII Rursus nouenarium binario. fiunt XVIII Rursus nouenarium ternario. fiunt XXVII Disponantur igitur hoc modo.

[Cambridge, Trinity College, R.15.22 (944), f.33r,2; text: II, III, IIII, VI, IX, VIII, XII, XVIII, XXVII] [BOEMUS2C 03GF]

Atque hic modus erit in ceteris. ut si sesquitertias proportiones ad inuicem uelis extendere: ponas sesquitertiorum radices. quae sunt quaternarius atque ternarius ad se inuicem comparati. atque ad hunc modum multiplices. Quodsi sesquiquartas: sesquiquartorum disponas radices. eademque multiplicatione sesquiquartos quotlibet extendes. Quantum autem nobis hae considerationes prosint: sequens ordo demonstrabit.

De proportione numerorum. quae ab aliis metiuntur.

SI duos numeros eorum differentia integra [uel integre supra lin.] fuerit permensa. in eadem sunt proportione numeri quos sua differentia mensa est. in qua erunt proportione etiam hi numeri secundum quos eos sua mensa est differentia. Sint enim [numeri .L. add. in marg.] .LV. Hi igitur ad se inuicem sesquidecima habitudine comparantur. et est eorum differentia quinarius. qui scilicet est pars decima numeri L. Hic [igitur add. supra lin.] metitur quidem L numerum decies LV uero undecies. Secundum X. igitur atque XI numeros LV [f.33v] et L propria differentia idem quinarius permetitur. Et sunt XI ad X sesquidecima comparatione compositi. In eadem igitur sunt proportione numeri quos propria differentia integra permensa est in qua sunt II secundum quos eos propria differentia permensa est. Quod si qua differentia numerorum ita eos numeros quorum est differentia metiatur. ut eandem mensuram numerorum pluralitas excedat. idemque sit in utrisque excessus. et sit diminutior differentiae mensura. quam est pluritas [pluralitas corr. supra lin.] numerorum. meliorem [uel maiorem supra lin.] obtinebunt proportionem ad se inuicem numeri. si eis illud quod relinquitur post mensionem rectum [retractum corr. supra lin.] sit: quam fuerunt integri. cum eos propria differentia metiebatur. Sint enim numeri duo. LIII et LVIII Hos igitur quinarius qui est eorum differentia metiatur. Metitur igitur LIII numerum quinarius decies. usque ad L Relinquit uero ternarium. Rursus LVIII numerum metitur idem undecies usque ad LV atque in eo iterum ternarium derelinquit. Auferatur igitur ex utrisque ternarius. fiunt L et LV qui disponantur hoc modo.

LIII. LVIII. L. LV.

In hoc igitur manifestum est maiores esse proportiones inter se L et LV quam LIII ad LVIII In minoribus enim numeris maior semper proportio reperitur. quod paulo post demonstrabimus. Sin uero illa differentia permensa numerorum ordinem superuadat. eademque utrosque numeri pluralitate praetereat: minores erunt proportiones numeri superius mensi. cum additione eius summae qua utrosque metiens differentia superuadit quam fuerunt ante cum eos propria differentia metiebatur. Sint enim numeri XLVIII et LIII Horum quinarius differentia est. Metiatur igitur XLVIII numerum quinarius decies. fiunt L. Superuadit igitur L numerus XLVIII numerum binario. Idem LIII undecies [f.34r] metiatur. fiunt LV qui eisdem rursus duobus: LIII numerum superuadit. Addatur utrisque binarius et disponantur hoc modo.

[Cambridge, Trinity College, R.15.22 (944), f.34r; text: XLVIII, L, LIII, LV] [BOEMUS2C 03GF]

Minores igitur sunt proportiones L ad LV comparati. cum additione scilicet binarii quo differentia eos metiens superuadit. quam XLVIII et LIII numeri quos eadem quae tamen in eis supercreuerit quinarii differentia mensa est. Maiores uero et minores proportiones hoc modo intelleguntur. Dimidia pars. maior est quam tertia. Tertia. maior est quam quarta. Quarta pars. maior est quam quinta. ac deinceps eodem modo. Vnde fit. ut sesqualtera proportio maior sit sesquitertia. et sesquitertia sesquiquartam uincat. Atque idem in ceteris. Hinc euenit. ut in numeris minoribus maior semper uideatur proportio superparticularium numerorum. Quod apparet in numero naturali. Disponatur enim numerus naturalis. I. II. III. IIII. V. Binarius igitur ad unitatem duplus est. ternarius ad binarium sesqualter. quaternarius uero ad ternarium sesquitertius. Maiores uero sunt numeri ternarius et quaternarius. Minores ternarius et binarius. et unitas. In maioribus igitur minor. et in minoribus maior proportio continetur. Hinc apparet. quod si aliquibus numeris proportionem continentibus superparticularem aequa pluralitas addatur: maiorem esse proportionem ante aequae pluralitatis augmentum. quam postea quam eis pluralitas sit aequa addita.

Quae ex multiplicibus et superparticularibus multiplices fiant.

ILLVD etiam praetermittendum non uidetur. quod paulo post demonstrabitur. Si multiplex interuallum binario fuerit multiplicatum: id etiam quod ex [illa add. supra lin.] multiplicatione nascetur. multiplex esse. [f.34v] Quod si id quod ex tali multiplicatione procreatum sit non fuerit multiplex: tunc illud non esse multiplex. quod binario fuerit multiplicatum. Item. si superparticularis proportio binario multiplicetur: id quod fit neque superparticulare esse neque multiplex constat. Quod si id quod ex tali multiplicatione nascetur. neque multiplex neque superparticulare est: tunc illud quod binario multiplicatum est uel superparticularis uel alterius generis est non uero multiplicis.

Qui superparticulares quos multiplices efficiant.

HIS illud addendum est duos primos superparticulares primam efficere multiplicem proportionem. ut si sesqualter et sesquitertius coniungantur: duplicem creant. Sint enim numeri II. III. IIII. Ternarius ad binarium sesqualter est quattuor ad tres sesquitertius. IIII ad II duplus. Rursus primus multiplex primo additus superparticulari: secundum multiplicem creat. Sint enim numeri. II. IIII. VI. Quattuor nanque ad duo duplus est primus scilicet multiplex. At VI ad IIII sesqualter est qui est primus superparticularis. Sex ad duo triplus. qui est secundus multiplex. Quod si triplum sesquitertio addas: quadruplus efficitur [efficietur corr. supra lin.]. si quadruplum sesquiquarto: quincuplus. Atque in hunc modum iunctis proportionibus multiplicium ac superparticularium in infinitum multiples [multiplices corr. supra lin.] procreantur.

De arithmetica. geometrica. armonica medietate.

QVONIAM uero de proportionibus quae erant interim tractanda praediximus. nunc de medietatibus est dicendum. Proportio enim duorum terminorum ad se quaedam est comparatio. Terminos autem uoco numerorum summas. Proportionalitas est aequarum proportionum collectio. Proportionalitas uero in tribus terminis minima constat. Cum enim primus [f.35r] ad secundum terminum eandem retinet proportionem quam secundus ad tertium: dicitur haec proportionalitas. estque inter tres terminos medius. qui secundus. Has igitur proportiones medii termini coniungentis: trina partitio est. Aut enim aequa est differentia minoris termini ad medium. et medii ad maximum. sed non aequa proportio ut in his numeris. I. II. III. inter unum quippe ac II et inter II et tres. tantum unitas differentiam tenet. non est autem aequa proportio. II quippe ad I dupli sunt III ad II sesqualtera: aut est aequa in utrisque proportio. non uero aequalibus differentiis constituta. ut in his numeris I II IIII Nam II ad I ita dupli sunt: quemadmodum quaternarius ad binarium. Sed inter quaternarium binariumque binarius. inter binarium atque unitatem. unitas differentiam facit. Est uero tertium medietatis genus. quod neque eisdem proportionibus neque eisdem differentiis constat. sed quemadmodum se maximus terminus ad minimum: ita se habet maiorum terminorum differentia ad minorum terminorum differentiam. ut in his numeris III. IIII. VI. Nanque VI ad III duplus est. Inter VI uero et IIII binarius interest. Inter quaternarium ac ternarium: unitas. Sed binarius comparatus ad unitatem: rursus duplus est. Ergo ut est maximus terminus ad minimum: ita maiorum differentia ad minorum differentiam terminorum. Vocatur igitur illa medietas in qua aequae sunt differentiae: arithmetica. Illa uero in qua sunt aequae proportiones: geometrica. Illa autem quam tertiam descripsimus armonica. Quarum haec subiciamus exempla.

[Cambridge, Trinity College, R.15.22 (944), f.35r; text: Arithmetica medietas, Geometrica medietas, Armonica medietas, I, II, III, IIII, VI] [BOEMUS2C 03GF]

[f.35v] Non uero ignoramus esse alias quoque proportionum medietates. quas quidem in arithmeticis diximus. sed ad praesentem tractatum hae sunt interim necessariae. Sed inter has tres medietates proportionalitas quidem propriae et maxime geometrica nuncupatur. iccirco quoniam aequis proportionibus tota contexitur. Sed tamen eodem utimur promiscue uocabulo. proportionalitates etiam caeteras nuncupantes.

De continuis medietatibus et disiunctis.

SED in his alia continua est proportionalitas. alia disiuncta. Continua quidem ut superius disposuimus: in tribus constat terminis. cum unus idemque numerus medius nunc quidem maiori supponitur. nunc uero minori praeponitur. Quotiens uero duo sunt medii: tunc disiuncta proportionalitas nuncupatur. ut in geometrica hoc modo. I. II. III. VI. Nam ut est binarius ad unitatem: ita senarius ad ternarium. et uocatur haec disiuncta proportionalitas. Vnde intellegi potest continuam quidem proportionalitatem in tribus et minimam terminis inueniri: disiunctam uero in quattuor. Potest autem in quattuor et in pluribus continua esse proportionalitas. si quidem hoc modo sit. I. II. IIII. VIII. XVI. Sed hic non erunt duae proportiones sed plures. semperque una minus quam sunt termini constituti.

Cur ita appellatae sint superius digestae medietates.

ICCIRCO autem una earum medietas arithmetica nuncupatur. quod inter terminos secundum numerum aequa est differentia. Geometrica uero secunda dicitur. quod similis est qualitas proportionis. Armonica autem uocatur. quoniam ita est coaptata ut in differentiis ac terminis aequalitas proportionum consideretur. Ac de his quidem diligentius in arithmeticis disputatum est. Nunc uero ut commemoraremus tantum ista percurrimus.

[f.36r] Quemadmodum ab aequalitate supradictae processerint medietates.

SED paulisper quemadmodum istae proportionalitates ab aequalitate procreentur: dicendum est. Praedictum est enim quod in numero ualet unitas. idem in proportionibus aequalitatem ualere. Et sicut numeri caput est unitas: ita proportionum aequalitatem esse principium. Quocirca [hoc modo add. in marg.] arithmetica medietas ab aequalitate nascetur. Positis enim tribus aequis terminis. hi duo modi sunt. quibus haec proportionalitas producatur. Ponatur enim primus primo aequus. Secundus primo ac secundo. Tertius primo. secundo ac tertio. Quod hoc monstratur exemplo. Sunt unitates tres. Ponatur igitur primus primo aequus. id est unus. secundus primo ac secundo. id est II Tertius primo. secundo ac tertio. id est III eritque dispositio haec.

[Cambridge, Trinity College, R.15.22 (944), f.36r,1; text: I, II, III] [BOEMUS2C 04GF]

Rursus sint tres binarii in equalitate constituti II. II. II. Ponatur primus primo aequus. id est II Secundus primo ac secundo. id est III Tertius primo. secundo et tertio. id est VI eritque dispositio haec.

[Cambridge, Trinity College, R.15.22 (944), f.36r,2; text: II, IIII, VI] [BOEMUS2C 04GF]

Rursus idem de ternario.

[Cambridge, Trinity College, R.15.22 (944), f.36r,3; text: III, VI, IX] [BOEMUS2C 04GF]

Sed in hoc speculandum est quod si unitas fuerit ad aequalitatis principium constituta: unitas etiam erit in differentiis numerorum. Ipsi uero numeri. inter se nullum intermittunt. Sin uero binarius teneat aequalitatem. binarius est differentia. et unus inter terminos semper numerus intermittitur. [Sin uero ternarius: idem differentia est. Inter numeros uero duo naturaliter constituti: intermittuntur. add. in marg.] Ac deinceps in hunc modum.

[Cambridge, Trinity College, R.15.22 (944), f.36r,4; text: III, IIII, VI, VIII] [BOEMUS2C 04GF]

Est etiam alia proportionalitatem arithmeticam procreandi uia. Ponantur enim III aequi termini. constituaturque primus primo. ac secundo aequus. Secundus primo. ac duobus secundis. Tertius primo. et duobus secundis et tertio. ut sint tres unitates. Sit primus primo ac secundo aequus. id est .II Secundus [f.36v] uero primo ac duobus secundis. id est III Tertius autem primo. duobus secundis et tertio. id est IIII.

[Cambridge, Trinity College, R.15.22 (944), f.36v,1; text: I, II, III, IIII] [BOEMUS2C 04GF]

Hic igitur terminorum differentiam unitas tenet. Inter binarium enim et unitatem. atque inter ternarium ac binarium. unitas interest. Nullus uero naturalis numerus intermittitur. Post unitatem enim mox binarius. ac post binarium ternarius naturaliter est constitutus. Idem rursus in binario fiet. sintque III binarii. et sit primus primo ac secundo aequus id est quaternarius. Secundus uero primo et duobus secundis. id est senarius. Tertius autem primo. duobus secundis et tertio. id est octonarius.

[Cambridge, Trinity College, R.15.22 (944), f.36v,2; text: II, IIII, VI, VIII] [BOEMUS2C 04GF]

Hic quoque binarius tenet differentiam terminorum. uno inter eos naturaliter intermisso. Nam inter IIII et VI quinarius est naturaliter. inter VI atque VIII septenarius collocatur. Quod si ternarius aequalitatis principium sit: fiet ternarius differentia. Verbi gratia. Sint tres numeri ad regulas superiorum subtus. In his ergo ternarius est differentia. et duo numeri intermissi. idest uno minus quam sit differentia semper numeris intermissis. Atque idem et in quaternario quinarioque perspicitur. Et quae nos propter breuitatem tacemus. hisdem regulis ex semetipso diligens lector inueniet.

[Cambridge, Trinity College, R.15.22 (944), f.36v,3; text: III, VI, IX, XII] [BOEMUS2C 04GF]

Geometrica uero proportionalitas tunc quemadmodum inueniri ab aequalitate possit ostendimus. quando quemadmodum ab aequalitate omnis inaequalitas profluat monstrabamus. nisi tamen fastidium est nunc quoque breuiter repetendum est. Constitutis enim tribus aequis terminis. ponatur primus primo aequus. Secundus primo ac secundo. Tertius primo duobus secundis et tertio. idemque fiat continue. atque ita ex aequalitate geometrica proportionalitas principium [f.37r] sumat. Sed de harum proportionum proprietatibus quam diligentissime in arithmeticis diximus. Quod si ad haec illis instructus lector accedet: nullo dubitationis errore turbabitur.

ARMONICA uero medietas de qua nunc paulo latius tractandum est: hac ratione procreatur. Constituatur enim si quidem duplices curamus effingere. tribus aequis terminis positis. primus primo. ac duobus secundis aequalis. Secundus duobus primis. et duobus secundis aequalis. Tertius semel primo. bis secundo. et [ter add. supra lin.] tertio. atque hoc modo sint unitates. I. I. I. Constituatur igitur primus primo. ac duobus secundis aequalis. id est ternarius. Secundus uero duobus primis. et duobus secundis. id est quaternarius. Tertius uero primo. duobus secundis. et tribus tertiis id est senarius. Et si in binariis aequalitas constituatur. uel in ternariis: eadem ratio medietatis apparet. duplo a se terminis differentiisque distantibus. ut subiectae descriptiones monent.

[Cambridge, Trinity College, R.15.22 (944), f.37r,1; text: I, II, III, IIII, VI, VIII, IX, XII, XVIII] [BOEMUS2C 04GF]

Quodsi facienda est in extremitatibus tripla proportio tribus aequis terminis constitutis: primus quidem faciendus est ex primo ac secundo. Secundus uero ex primo ac duobus secundis. Tertius autem ex primo. duobus secundis ac tribus tertiis. ut est subiecta descriptio.

[Cambridge, Trinity College, R.15.22 (944), f.37r,2; text: I, II, III, IIII, VI, IX, XII, XVIII] [BOEMUS2C 04GF]

SED ingressi armonicam disputationem. quae de [ea add. sub lin.] dici diligentius possunt: tacite praetereunda esse non arbitror. Collocetur igitur armonica proportionalitas. inque ea descriptione superiori ordine terminorum inter se differentiae disponantur.

[Cambridge, Trinity College, R.15.22 (944), f.37r,3; text: I, II, III, IIII, VI, DIFFERENTIAE. TERMINI] [BOEMUS2C 04GF]

[f.37v] VIDESNE igitur ut IIII ad III diatessaron consonantiam prodant. VI ad IIII diapente concordent. VI uero ad III diapason misceant simphoniam. ipsaeque earum differentiae rursus eandem statuant consonantiam? Binarius enim ad unitatem duplus est in diapason consonantia constitutus. Quodsi se extremitates multiplicent. itemque medius sui multiplicitate succrescat: comparati numeri toni habitudinem concordiamque seruabunt. Ter enim VI efficiunt XVIII. Quater IIII fient XVI Sed XVIII numerus XVI numerum minoris parte octaua transcendit. Rursus minore terminus si se ipse multiplicet: efficiet IX. Quod si maior terminus sui multiplicatione concrescat: efficit XXXVI Qui sibimet comparati: quadruplam id est bis diapason concinentiam seruant. Quod si haec diligentius inspiciamus: haec erit omnis uel differentiarum uel terminorum in se inuicem multiplicatio. Minimus enim terminus medio multiplicetur: fient igitur XII. Item minimus terminus si maximo multiplicetur: fient XVIII Medius uero terminus si maximi numerositate augeantur: [fient add. supra lin.] XXIIII Rursus minimus terminus si se ipse concrescat: fient IX Eodemque modo medius: fient XVI Senarius uero qui est maximus. si se ipsum multiplicet: XXXVI reddet. Haec igitur in ordinem disponantur.

XXXVI. XXIIII. XVIII. XVI. XII. VIIII.

Sunt igitur diatessaron consonantiam resonantes XXIIII ad XVIII et XII ad IX Diapente uero XVIII ad XII. et XXIIII ad XVI et XXXVI ad XXIIII Tripla uero quae est diapason et diapente XXXVI ad XII Quadrupla uero quae est bis diapason XXXVI ad IX. Epogdous uero qui tonus est: a XVIII ad XVI comparatione seruatur.

[f.38r] [Cambridge, Trinity College, R.15.22 (944), f.38r; text: Bis diapason, Diapason kai Diapente, Diapason, Diapente, Diatessaron, Tonus, XXXXVI, XXIIII, XVIII, XVI, XII, VIIII] [BOEMUS2C 05GF]

Quemadmodum inter duos terminos supradictae medietates uicissim collocentur.

SOLENT autem duo termini dari proponique. ut inter eos nunc quidem arithmeticam. nunc uero geometricam. nunc armonicam medietatem proponamus. De quibus in arithmeticis quoque diximus. id tamen ipsum nunc etiam breuiter explicemus. Si arithmetica medietas quaeritur. datorum terminorum uidenda est differentia. eaque diuidenda. ac minori termino adicienda. Sint enim X et XL altrinsecus termini constituti. horumque medietas secundum arithmeticam proportionalitatem quaeratur: differentiam prius utrorumque respicio. quae est XXX Hanc diuido. fiunt XV Hanc minori termino id est denario appono. fiunt XXV. Si igitur hic inter XL ac X medius collocetur: fit arithmetica proportionalitas hoc modo X XXV XL Item. inter eosdem terminos medietatem geometricam collocemus. Extremos propria numerositate multiplico. ut X in XL fiunt CCCC Horum tetragonale latus [f.38v] assumo. fiunt XX. Uicies enim uiginti: efficiunt CCCC Hos igitur XX medios inter X ac XL si collocemus: fit geometrica medietas. subiecta descriptione formata. X XX XL.

Si uero armonicam medietatem quaeramus: sibimetipsis copulamus extremos. ut X et XL fiunt L Eorum differentiam quae est XXX in minorem terminum multiplicemus. scilicet in denarium. ut fiant decies XXX. qui sunt CCC Hos secundum L partimur. fiunt VI Quos cum minori termino addiderimus: redduntur XVI Hunc igitur XVI numerum si inter X ac XL medium collocemus: armonica proportionalitas expedietur. X XVI XL Sed de his hactenus.

De consonantiarum merito uel modo secundum Nicomachum.

NVNC illud addendum uidetur. quemadmodum Phytagorici probant consonantias musicas in praedictis proportionibus inueniri. In qua re scilicet eis Ptholomeus non uidetur assensus. De quo paulo posterius dicemus. Haec enim ponenda est maxime esse prima suauisque consonantia. cuius proprietatem sensus apertior comprehendit. Quale est enim unumquodque per semetipsum: tale etiam depraehenditur sensu. Si igitur cunctis notior est ea consonantia quae in duplicitate consistit: non est dubium. primam esse omnium diapason consonantiam. meritoque excellere. quoniam cognitione praecedat. Reliquae uero hunc necessario secundum Pithagoricos ordinem tenent. quem dederint multiplicitatis augmenta. et superparticularis habitudinis detrimenta. Monstratum quippe est quod multiplex inaequalitas. superparticulares proportiones meriti antiquitate transcendat. Quocirca naturalis numerus ab unitate usque ad quaternarium disponatur. I II III IIII Igitur uni binarius comparatus. proportionem duplicem facit. et reddit diapason [f.39r] consonantiam. eam quae est maxima et simplicitate notissima. Sin uero unitati ternarius comparetur: diapason [ac diapente add. in marg.] concordiam personabit. Quaternarius uero unitati comparatus: quadruplam tenet. bis scilicet diapason efficiens simphoniam. Quod si ternarius binario comparetur: diapente. Si uero quaternarius ternario: diatessaron concinentiam supplet. Isque est horum ordo. cunctis ad se inuicem comparatis. Nanque comparatio restat. Si quaternarium binario comparemus: cadet in duplicem proportionem. quam tenebat ad unitatem binarius comparatus. Itaque maxime distant soni in bis diapason. cum a se quadrupla interualli dimensione discedunt. Minimum uero soni. cum acutior grauiorem tertia grauioris parte transcendit. Ac stat deinceps concinentiarum modus. qui neque ultra quadruplam possit extendi. nec intra partem tertiam coartari. Et secundum Nicomachum quidem hic consonantiarum est ordo. ut sit prima diapason. secunda diapason et diapente. tertia bis diapason. quarta diapente. quinta diatessaron.

De ordine consonantiarum sententia Eubalidis et Hyspasi.

SED Eubalides atque Hispasus alium consonantiarum ordinem ponunt. Aiunt enim multiplicitatis augmenta superparticularitatis diminutioni rato ordine respondere. Itaque non posse esse duplum praeter dimidium. nec triplum praeter tertiam partem. Quoniam igitur sit duplum: ex eo diapason consonantiam reddi. Quoniam uero sit dimidium: ex eo quasi contrariam diuisionem sesqualteram. idest diapente effici proportionem. Quibus mixtis. scilicet diapason ac diapente: triplicem procreari. quae utramque contineat simphoniam. Sed rursus triplici partem tertiam contraria diuisione partiri. ex qua rursus diatessaron [f.39v] simphonia nascetur. Triplicem uero atque sesquitertium iunctos. quadruplam comparationem proportionis efficere. Vnde fit ut ex diapason ac diapente quae est una consonantia: et diatessaron una concinentia coniungatur. quae in quadruplo consistens. bis diapason nomen accepit. Secundum hos quoque hic ordo est diapason. diapente. diapason ac diapente. diatessaron. bis diapason.

Sententia Nichomachi. quae quibus consonantiis apponantur.

SED Nicomachus non eandem esse eis arbitratur contrariam positionem: Sed potius ut unitas in arithmeticis crementi erat diminutionisque principium: ita etiam diapason simphoniam reliquarum esse principium. Illas uero sibi in contraria diuisione posse constitui. Id uero facilius erit cognitu. si prius praeuideatur in numeris. Constituatur igitur unitas. duaeque ab ea partes fluant. una multiplicis. alia diuisionis. Sitque haec formula.

[Cambridge, Trinity College, R.15.22 (944), f.39v; text: I, II, III, IIII, V, VI, VII, VIII, Dimidium. Pars tertia, Pars quarta, Pars quinta, Pars sexta, Pars septima, Pars Octaua, Duplum. Triplum. Quadruplum. Quincuplum. Sescuplum. Septuplum. Octuplum.] [BOEMUS2C 05GF]

[f.40r] Et ad hunc modum ad infinita progressio est. Binarius enim unitatis duplus est. Contraria uero eius pars. eiusdem dimidium unitatis ostendit. Tres .triplus. et contraria pars tertia. Quattuor quadruplus. parsque contraria quarta. Atque ita crescendi et decrescendi. in simplici est unitate principium. Idem igitur nunc ad consonantias conuertamus. Erit igitur diapason quidem quae dupla est: supremi loco principii Quae uero reliquae sunt: in contraria diuisione hoc modo. sesqualter quidem in triplo. sesquitertius uero in quadruplo. quod tali argumentatione probabitur. Idem enim est primus sesqualter qui primus triplus scilicet principalis unitatis. Nam ternarius idem primus triplus est si unitati. idem primus sesqualter si binario comparetur. Rursus idem ternarius eius differentiae quam ad binarium facit. cuius naturaliter positus probatur esse sesqualter: triplus est. Cum igitur iure sesqualter triplici opponatur: diapente consonantia. diapente ac diapason consonantiae. rationabiliter putatur opponi. Rursus quadruplus sesquitertii contrariam diuisionem tenet. Nam qui est primus quadruplus: idem rursus primus sesquitertius inuenitur hoc modo. Quaternarius quippe primus est quadruplus si unitati. primus sesquitertius: si ternario comparetur. Rursus eius differentiae quam inter se ac ternarium tenet. ipse fit quadruplus. Vnde fit. ut sesquitertia proportio quae est diatessaron. quadruplae proportioni quae est bis diapason in contrarium diuidatur. Dupla uero quoniam nullam habet oppositam proportionem nec ullius ipsa sesqualtera est: aut extat numerus cui possit binarius qui primus est duplus superparticulari proportione coniungi. talem formam contrariae proportionis excedit. Atque iccirco secundum Nicomachum diapason consonantiarum principium teneat. [f.40v] hoc modo.

[Cambridge, Trinity College, R.15.22 (944), f.40v; text: Epogdous supradictorum, Dupla, Diapason, Tripla, diapason. diapente, Quadrupla, Bis diapason, Sesqualter, Diapente, Sesquitertia, Diatessaron, I, II, III, IIII] [BOEMUS2C 06GF]

SED quamuis ita sese habeat inquit. [idest Nicomachus add. supra lin.]. melius tamen est omnes multiplices proportiones consonantiarum praecedere. superparticularitates sequi. sicut paulo ante descripsimus. Cum igitur sit consonantia duarum uocum rata permixtio. sonus uero modulatae uocis casus una intentione ductus [productus corr. supra lin.]. sitque idem minima particula modulationis. omnis uero sonus constet in pulsu. pulsus uero omnis ex motu sit. cumque motuum alii sunt aequales alii uero inaequales. inaequalium uero alii sunt multo inaequales. alii uero minus. alii mediocriter inaequales: ex aequalitate quidem nascitur sonorum aequalitas. ex inaequalitate uero eae quae secundum mediocritatem distantiae inaequales sunt. manifestae primaeque ac simpliciores eueniunt proportiones. Quae sunt scilicet multiplices ac superparticulares. dupli. tripli. quadrupli. sesqualteri. atque sesquitertii consonantiae. Ex iis uero quae in reliquis proportionibus uel multimodis uel non ita claris. uel longe omnino a se distantibus inaequalitates fiunt dissonantiae existunt. nulla autem sonorum concordia procreatur.

Quid oporteat praemitti ut diapason multiplici genere demonstretur.

[f.41r] HOC igitur ita distincto: demonstrabitur diapason consonantia quae cunctarum optima est in multiplici inaequalitatis genere. et in duplicitatis habitudine reperiri. Ac primum quidem illud demonstrandum est: quemadmodum in multiplicitatis genere diapason consonantia possit agnosci. Praecurrendum est igitur ad breue quiddam. quo prius cognito. facilior demonstratio fiat. Ab omni superparticulari si continuam ei superparticularem quis auferat proportionem quae est scilicet minor: id quod relinquitur minus est eius medietate quae detracta est proportionis. ut in sesqualtera ac sesquitertia. Quoniam sesqualtera maior est sesquitertia. sesquitertiam de sesqualtera detrahamus. Relinquitur sesquioctaua proportio: quae duplicata non efficit integram sesquitertiam proportionem. sed ea distantia minor est quae in semitonio reperitur. Quodsi duplicata sesquioctaua comparatio non est integra sesquitertia: simplex sesquioctaua non est sesquitertiae proportionis plena medietas. Quodsi sesquiquartum sesquitertio auferas: id quod relinquitur medietatem sesquiquarti non efficit. idemque in caeteris.

[Cambridge, Trinity College, R.15.22 (944), f.41r; text: Sesqualter, Minus quam Sesquitertius, Sesquitertius, Sesquioctauus, Sesquiquartus, Sesquiquintus decimus, VI, VIII, VIIII, LXIIII, LXXII, LXXXI, XII, XV, XVI] [BOEMUS2C 06GF]

[f.41v] [Cambridge, Trinity College, R.15.22 (944), f.41v; text: Minus quam Sesquiquartus, Tonus Superacutus Sexta decima parte [unius supra lin.] minus, Tonus integer cum octaua parte unitatis, Sesquiquintus decimus, [super add. supra lin.] sesquisexta decima, [super add. supra lin.] sesquiseptima decima, CCXXV, CCXL, CCLVI, XVI, XVII, XVIII, XVIIII] [BOEMUS2C 06GF]

Demonstratio per imposibile diapason in multiplici genere esse.

AGE nunc ad diapason consonantiam redeamus. Quod si ea non est in multiplici genere inaequalitatis: cadet in superparticulare inaequalitatis genus. Sit igitur superparticularis proportio diapason consonantia auferatur ab ea continua consonantia. id est diapente. relinquitur diatessaron. Bis igitur diatessaron minus est uno diapente: et ipsum diatessaron non implet diapente consonantiae medietatem. quod est impossibile. Monstrabitur enim bis diatessaron tono ac semitonio consonantiam diapente transcendere. Quocirca nec diapason quidem in superparticulari inaequalitatis genere poni potest.

Demonstratio diapente et diatessaron et tonum in superparticulari genere esse.

RESTAT igitur. ut diapente ac diatessaron et tonum in superparticularitate ponenda esse monstremus. Nam etsi id in prima probatione ea quoque qua diapason in superparticulari genere non esse ponenda monstrauimus. id quoque quodam [f.42r] rationis modo perclaruit: singulatim tamen de eo ac diligentius pertractemus. Nam si in superparticulari quis has habitudines ponendas non esse dixerit: in multiplici genere fatebimur collocandas. Nam in superpartienti uel ceteris mixtis. cur poni non possint: superius ut arbitror explanatum est. Ponantur igitur si fieri potest. in multiplici genere. Et quoniam diatessaron consonantia minor est: diapente maior. diatessaron duplici. diapente uero triplici proportioni multiplicitatis aptetur. Verisimile enim est ut est consonantia diatessaron. consonantiae diapente continua: ita si diatessaron in duplici statuitur. diapente in continua duplicis poni. id est triplici.

[Cambridge, Trinity College, R.15.22 (944), f.42r; text: Tonus, Semitonium, Diatessaron, Diapente, XXXII, XIII, XXVII, XXIIII, CCLXXXVIII, CCLVI, CCXLIII, CCXVI, CXCII, LXIIII, XCVI] [BOEMUS2C 07GF]

TONVS autem quoniam in habitudinibus musicis post diatessaron collocatur: nimirum in ea proportione ponatur quae est minora duplici. Haec autem in multiplicitatis genere non potest inueniri. [f.42v] Restat igitur ut in superparticularitatis habitudinem cadat. Sit igitur prima id est sesqualtera toni proportio. Nam si duplicem auferamus triplici: quod relinquitur sesqualter est. Quodsi diatessaron quidem duplex est diapente uero triplum. sublatoque diatessaron a diapente tonus fit reliquus: nullo modo dubitari potest. quin tonus in sesqualtera debeat proportione constitui. ut IIII ad VI et VIII ad VI Sed duae sesqualterae proportiones duplicem uincunt. quemadmodum ex arithmeticis instructus sibi potest quisque colligere. Duo igitur toni diatessaron superabunt. quod est inconueniens. Diatessaron enim duos tonos semitonii spatio transcendit. Non igitur fieri potest. ut diapente ac diatessaron in superparticulari inaequalitatis genere non collocetur. Quod si quis tonum quoque in multiplici genere esse praescribat. quoniam quidem tonus est minor quam diatessaron. diatessaron uero minus est quam diapente: diapente quidem ponatur in quadrupla. diatessaron in tripla. tonus in duplici. Sed diapente constat ex diatessaron et tono. Quadruplum igitur secundum hanc rationem constabit ex triplo ac duplo. quod fieri nequit. Rursus statuatur diatessaron quidem in triplici. et diapente in quadruplo. Si igitur auferamus triplum a quadruplo: sesquitertius relinquetur. Rursus si diatessaron diapente consonantiae subtrahas: fit reliquus tonus. Tonus igitur secundum hanc rationem in sesquitertia proportione constabit. Sed tres sesquitertii. uno triplici fiunt minores. Tres igitur toni unum diatessaron nulla ratione supplebunt. quod est falsissimum. Duo enim toni et semitonium minus. diatessaron consonantiam supplent. Ex his igitur diatessaron demonstratur. consonantiam non esse multiplicem. Dico autem quoniam nec diapente consonantia in multiplici genere [f.43r] poterit collocari. Nam si in eo genere statuatur. quoniam est ei minor continua idem diatessaron. non locabitur diapente in multiplici minimo id est in duplici. scilicet ut sit locus quo diatessaron consonantia possit aptari. Sed diatessaron consonantia multiplicis generis non est. Quocirca nec diapente in maiore habitudine multiplicis quam est dupla quae minima est: aptari potest. Sit igitur diapente in minima. scilicet dupla. Diatessaron uero quae minor est: in multiplici quidem aptari non potest. Non enim est quicquam minus a duplici. Sit igitur sesqualtera. tonus uero sesquitertia. In continua enim proportione locabitur. Sed duo sesquitertii. ampliores sunt uno sesqualtero. Duo igitur toni unam diatessaron consonantiam uincent. quod nulla ratione continget. Ex his igitur aproprobatur. diapente ac diatessaron in multiplici genere locari non posse. Quocirca in superparticulari inaequalitatis genere iure ponentur.

Demonstratio diapente et diatessaron. in maximis superparticularibus esse.

ILLVD quoque addendum necessario est quoniam si diapente ac diatessaron superparticulares proportiones tenent: in maximis superparticularibus proportionibus collocantur. Sunt autem maximae. sesqualtera et sesquitertia. Hoc uero probatur [approbatur corr. supra lin.] hoc modo. Nam si in minoribus proportionibus quam [in add. supra lin.] sesqualtera uel sesquitertia diapente ac diatessaron consonantiae collocentur. non est dubium quin sicut aliae quaelibet proportiones superparticulares praeter sesqualteram ac sesquitertiam iunctae non efficiunt unum duplum: ita diapente ac diatessaron unum diapason nulla ratione concludent. Quoniam enim diapason in duplici proportione esse monstratum est: duplex uero proportio ex sesqualtero sesquitertioque componitur. diapason uero ex diatessaron ac diapente copulatur: non est [f.43v] dubium quin si totum diapason in duplici statuamus. diapente ac diatessaron in sesqualtera sesquitertiaque proportione sint locandae. Aliter enim non poterunt diapason iunctae perficere. quae consonantia in duplici proportione consistit. nisi in his duabus proportionibus steterint. sesqualtera scilicet ac sesquitertia. Aliae enim proportiones superparticulares. hanc duplicem nulla ratione coniungent.

Diapente in sesqualtera. diatessaron in sesquitertia esse.

DICO autem. quoniam proprie diapente in sesqualtera. diatessaron in sesquitertia proportione consistit. Quoniam enim inter utrasque proportiones sesqualteram scilicet et sesquitertiam. sesqualtera maior est et sesquitertia minor. quoniamque in consonantiis diapente maior. diatessaron minor: apparet maiorem proportionem maiori esse consonantiae aptandam. minoremque minori. Erit igitur diapente quidem in sesqualtera. diatessaron uero in proportione sesquitertia collocanda. Quod si diatessaron a diapente consonantia subtrahamus: relinquitur spatium quod dicitur tonus. Sesquitertium uero si proportionis sesqualterae minuamus: relinquitur sesquioctaua proportio. Quo fit ut tonus in sesquioctaua debeat comparatione constitui.

[Cambridge, Trinity College, R.15.22 (944), f.43v; text: Sesquitertia diatessaron, Sesquioctaua. Tonus. ALBATVM, REMANENS. Sesqualtera Diapente, VI, VIII, VIIII] [BOEMUS2C 07GF]

Diapason ac diapente in tripla proportione esse. in quadrupla bis diapason.

SED quoniam demonstratum est diapason quidem duplam. diapente uero sesqualteram. iunctas uero duplam ac sesqualteram [f.44r] triplicem proportionem procreare: ex his igitur etiam illud apparet. diapente ac diapason in triplici proportione constitui. Sed si quis triplici proportioni sesquitertiam habitudinem iungat: quadruplam facit. Igitur si diapente ac diapason consonantiis diatessaron simphonia iungatur: fit quadruplum spatium uocum. quod bis diapason supra esse monstrauimus.

Diatessaron ac diapason non esse secundum Phitagoricos consonantias.

SED in his illud diligens lector agnoscat. quod consonantiae consonantiis superpositae: alias quasdam consonantias effecerunt. Nam diapente ac diatessaron iunctae diapason ut dictum est creant. Huic uero id est diapason rursus si diapente simphonia iungatur: fit consonantia quae ex utrisque uocabulis nuncupatur. diapason scilicet ac diapente. Cui diatessaron si addatur: fit bis diapason quae quadruplam proportionem tenet.

[Cambridge, Trinity College, R.15.22 (944), f.44r; text: Bis diapason, Diapente diapason, Diapason, Diapente, Diatessaron, IIII, VI, VIII, XII, XVI] [BOEMUS2C 07GF]

Quid igitur si diatessaron ac diapason consonantias iungamus. ullamne secundum Phytagoricos efficiant consonantias? Minime. Mox enim in superpartiens inaequalitatis genus cadit. nec seruat uel multiplicitatis ordinem. uel superparticularitatis simplicitatem. [f.44v] Age enim statuantur numeri. quibus id facilius approbemus. Sit enim ternarius cuius sit senarius duplus. scilicet in diapason consistens proportione. Huic aptetur sesquitertia quam diatessaron esse praediximus: ut octonarius Is enim ad senarium diatessaron proportionem tenet. Qui octonarius ad ternarium comparatus: habet eum bis. Sed ne sit multiplex: habet etiam eius aliquas partes. neque eas simplices. Duabus enim eum superuenit unitatibus. quae sunt duae tertiae partes ternarii. quem primum terminum minimumque locauimus. Sunt igitur termini hi III VI VIII Illud quoque. quod inter duas sibi continuas consonantias cadit. Etenim neque duplum est integrum ut diapason consonantiam reddat. neque triplum. ut diapason ac diapente efficiat simphoniam. Cui si tonus addatur: mox triplum modum proportionis efficiet. Quoniam enim diapason ac diapente sibimet iunctae efficiunt triplum. diatessaron uero et tonus diapente consonantiam iungunt: si diapason consonantiae addatur. diatessaron inconsonum fit. quoniam inter duplicem [ac triplicem add. in marg.] nulla potest naturaliter proportio multiplicitatis intelligi. Quod si ei adicio tonum. fiet diapason diatessaron et tonus. quod nichil distabit utrum diapason ac diapente sit. Diatessaron enim et tonus. diapente constituunt. Sint enim diapason quidem III et VI. Diatessaron VI et VIII Tonus VIII et IX Diapente VI et IX Diapason ac diapente III et VIIII Erit igitur sic tripla proportio. III VI VIII VIIII Sed quamquam de his multa Nicomachus. nos autem qua potuimus breuitate partim ea ipsa quae Pythagorici affirmant promentes. partim ex eisdem quaedam consequentia argumentantes. probauimus si diatessaron consonantiae diapon [diapason corr. supra lin.] addatur: consonantiam ex his coniungi non posse. Quid uero de his Ptholomeus sentiat: posterius [f.45r] apponam. Sed de his hactenus. Nunc de semitoniis considerandum est.

De semitonio in quibus minimis numeris constet.

VIDENTVR enim semitonia nuncupata. non quod uere tonorum sint medietates. sed quod sint non integri toni. Huiusque spatii. quod nunc quidem semitonium nuncupamus. apud antiquiores autem lima. id est minus semitonium uel diesis uocabatur: hic modus est. Cum enim ex sesquitertia proportione quae diatessaron est duae sesquioctauae habitudines que toni sunt auferuntur: relinquitur spatium quod semitonium nuncupatur. Quaeramus igitur duos tonos. continua dispositione descriptos. Sed quoniam hi ut dictum est in sesquioctaua proportione consistunt. duasque sesquioctauas proportiones continuas adhibere non possumus. nisi multiplex ille a quo hae deriuari possint repperiatur: sit unitas prima. eiusque octonarius octuplus primus. Ab hoc igitur unum sesquioctauum potero deriuare. Sed quia duos tonos quaerimus: fient octies VIII atque ex eo LXIIII explicentur. Erit igitur hinc secundus octuplus. a quo possumus duas sesquioctouas [sesquioctauas corr.] proportiones educere. Nanque VIII quae est octaua pars LXIIII unitatum additi eisdem: totam summam LXXII perficiunt. His uero si sua octoua pars similiter apponatur. qui est [IX add. in marg.] LXXXI reddunt. eruntque duo hi toni continui principali dispositione conscripti. LXIIII. LXXII LXXXI

NVNC igitur LXIIII unitatum. sesquitertium conquiramus. Sed quoniam LXIIII probantur tertiam partem non habere. si omnes hi numeri ternario multiplicentur: mox eis pars tertia contingit. et omnes in eadem proportione durabunt in qua fuerunt. ante quam his ternarius multiplicator accederet. Fiant igitur ter LXIIII id est CXCII. Horum tertia LXIIII eisdem addita: CCLVI reddet. [f.45v] Erit igitur haec sesquitertia proportio. diatessaron consonantiam tenens. Nunc igitur duas sesquioctouas proportiones ad CXCII duobus se numeris continentes. rato ordine collocemus. Fiant igitur ter LXXII id est CCXVI Rursus ter LXXXI qui sunt CCXLIII: qui inter duos suprascriptos terminos collocentur hoc modo. CXCII CCXVI CCXLIII CCL

IN hac igitur dispositione proportionum. primus numerus ad postremum diatessaron constituit consonantiam. Idem uero primus ad secundum. et secundus ad tertium. geminos constituunt tonos. Constat igitur spatium quod relinquitur ex CCXLIII ad CCLVI In quibus minimis semitonii forma consistit.

[Cambridge, Trinity College, R.15.22 (944), f.45v; text: TONVS, SEMITONIVM, DIATESSARON, CXCII, CCXVI, CCXLIII, CCLVI] [BOEMUS2C 08GF]

Demonstratio non esse ducentos.XLIII. ad ducentos quinquaginta sex toni medietatem.

Approbo igitur CCXLIII ad CCLVI distantiam non esse integram toni medii dimensionem. Etenim ducentorum XL trium. et CCLVI differentia: XIII tantum unitatibus continetur. Qui XIII minus quidem quam minoris octauam decimam. plus uero quam nonam decimam obtinent partem. Si enim octiesdecies XIII ducas: efficies CCXXXIIII qui CCXLIII nullo modo aequabuntur. Si decies nouies multiplices: superuadent. cum oporteat [f.46r] omne semitonium si tamen integrum toni dimidium tenet. inter sextam decimam partem ac septimam decimam collocari. quod posterius demonstrabitur. Nunc illud liquebit. talem semitonii distantiam sibimet geminatam: unum toni spatium non posse conplere. Age enim ut sese CCXLIII ad CCLVI habent. tales duas sibimet continuas propositiones. secundum superius descriptam regulam disponamus; CC enim LVI in semetipsos multiplicemus. et sit maximus terminus LXV[macron supra lin.]. DXXXVI. Item CCXLIII propria numerositate concrescant. et sit minimus terminus LIX[macron supra lin.]. XLVIIII. Rursus CCLVI ad CCXLIII multitudine concrescant; Erit igitur numerus LXII[macron supra lin.]. CCVIII Hic igitur medius collocetur hoc modo. LXV[macron supra lin.] DXXXVI LXII[macron supra lin.]. CCVIII LIX[macron supra lin.] XLIX In eadem igitur sunt proportione CCLVI et CCXLIII in qua LXV[macron supra lin.]. DXXXVI. ad LXII[macron supra lin.]. CCVIII. Et item LXII[macron supra lin.]. CCVIII ad LIX[macron supra lin.]. XLIX. Sed maximus eorum terminus est qui est LXV[macron supra lin.]. DXXXVI: ad minimum qui est LIX[macron supra lin.] XLIX. unum integrum non efficiet tonum. Quodsi primi ad secundum proportio quae est aequa secundi ad tertium proportioni. integri esse semitonii probaretur: duo dimidia iuncta. unum necessario efficerent tonum. Nunc autem cum non sit extremorum terminorum sesquioctaua proportio: manifestum est haec duo spatia proprie tonorum dimidia non uideri. Quicquid enim cuiuscunque est dimidium. id si duplicetur: illud efficit cuius dicitur esse dimidium. Si uero illud implere non possit. geminata particula minus est parte dimidia. [Si uero superfluat ac superuadat: plus est parte dimidia. add. in marg.] Praeterea probabuntur LXV[macron supra lin.]. DXXXVI non facere sesquioctouam proportionem. si LIX[macron supra lin.]. XLIX unitatibus comparentur. si octaua pars LIX[macron supra lin.]. XLIX eisdem. secundum eas quae in arithmeticis dictae sunt regulas aggregetur. Quae quoniam in integris numeris non consistit. iccirco eandem octouam partem [f.46v] relinquimus lectorum diligentiae computandum. Liquet igitur eam proportionem. quae in CCLVI et CCXLIII est constituta. non esse integrum dimidium toni. Quocirca id quod uere semitonium nuncupatur. pars toni minor est quam dimidia.

[Cambridge, Trinity College, R.15.22 (944), f.46v; text: Differentia, III[macron supra lin.]. CCCXXVIII, III[macron supra lin.]. CLVIIII, LXV[macron supra lin.]. XXXVI, LXII[macron supra lin.]. CCVIII, LVIIII[macron supra lin.]. XLVIIII, VI[macron supra lin.]. CCCC LXXX VII] [BOEMUS2C 08GF]

De maiore parte toni in quibus minimis numeris constet.

RELIQVA igitur pars quae maior est apotome nuncupatur a Graecis. a nobis uero potest uocari decisio. Id enim natura fert. ut quotiens aliquid secatur. ita ut non aequis partibus diuidatur. quanto minor pars dimidio minor est: tanto maior pars eadem quae est auctior dimidium uincat. Quantum igitur semitonium minus integro dimidio toni minus est: tantum apotome toni integrum superat dimidium. et uincit. Et quoniam docuimus semitonium in CCLVI et CCXLIII principaliter stare: nunc ea quae apotome dicitur in quibus possit minimis constare numeris approbemus. Si igitur CCXLIII partem recipere octouam possent. [f.47r] cum ad eum sesquioctauus numerus comparetur: tunc CCLVI habitudo ad sesquioctauam summam minimi numeri comparata apotomen necessaria ratione monstraret. Nunc uero quoniam ei pars octaua deesse monstratur: utrique numeri octies fient [fiant corr. supra lin.]. et ex CCXLIII [quidem add. supra lin.] octies multiplicatis: fit numerus I[macron supra lin.]DCCCCXLIIII Quibus si propria conferatur octaua qui sunt CCXLIII fient II[macron supra lin.]CLXXXVII Rursus CCLVI per octonarium crescant. Fient igitur II[macron supra lin.]XLVIII Atque hic suprascriptorum terminorum ordo in medio collocetur.

I[macron supra lin.]DCCCCXLIIII II[macron supra lin.]XLVIII II[macron supra lin.]CLXXXVII Tertius igitur terminus ad primum. toni retinet proportionem. Secundus uero ad primum semitonii minoris. Apotome uero. tertius ad secundum. Atque in hisdem primis apotomes uidetur constare proportio. cum semitonii in CCLVI et CCXLIII minimis numeris spatium contineatur. Iccirco autem I[macron supra lin.]DCCCCXLIIII et II[macron supra lin.]XLVIII in eadem proportione sunt. qua CCXLIII ad CCLVI: quoniam CCLVI et CCXLIII octonario multiplicati sunt. Si enim unus duos quoslibet numeros multiplicet. qui ex ea multiplicatione nascuntur. in eadem erunt proportione qua fuerunt ii numeri quos prior numerus multiplicauit.

[Cambridge, Trinity College, R.15.22 (944), f.47r; text: Semitonium minus, Semitonium maius, C IIII, C.XXX.VIIII., I[macron supra lin.]DCCCCXLIIII, II[macron supra lin.]XLVIII, II[macron supra lin.]CLXXXVII, CCXLIII, Tonus] [BOEMUS2C 08GF]

[f.47v] Quibus proportionibus diapente ac diatessaro [diatessaron corr. supra lin.] constent. et quoniam diapason sex tonis non constet.

SED. quoniam de diatessaron consonantia latius diximus: breuius et paene puris numeris de diapason ac diapente consonantiis disseramus. Diapente enim constat ex tribus tonis. et semitonio. id est ex diatessaron et tono. Disponantur enim numeri quos superior descriptio conpraehendit. CXCII. CCXVI CCXLIII CCLVI In hac igitur dispositione primus terminus ad secundum. et secundus ad tertium tonorum retinent proportiones. Sed tertius ad IIII semitonii minoris ut supra monstratum est. Si igitur CCLVI octaua eisdem quorum octaua est apponatur: fient CCLXXXVIII Qui CXCII comparati sesqualterum spatium proportionis efficiunt. Quo circa tres toni sunt. si primus ad secundum. secundus ad tertium. quintus conferatur ad quartum. Semitonium uero minus. tertii ad quartum terminum comparatio tenet. Quodsi diatessaron quidem duorum tonorum est ac semitonii minoris. diapente uero trium tonorum ac semitonii minoris. iunctae uero diatessaron ac diapente unum diapason uidentur efficere: erunt quinque toni et duo spatia semitoniorum minora. quae unum tonum non uideantur implere. Non est igitur diapason consonantia constans sex tonis. ut Aristoxenus arbitratur. Quod in numeris quoque dispositum euidenter apparet. Sex enim toni in ordinem disponantur. scilicet in sesquioctauis proportionibus constituti. Sex uero sesquioctauae proportiones a sexto octuplo procreantur. Disponantur igitur sex octupli hoc modo.

LXIIII DXII IIII[macron supra lin.]XCVI XXXII[macron supra lin.]DCCLXVIII CCLXII[macron supra lin.]CXLIIII

AB hoc igitur ultimo numero sex toni in sesquioctaua proportione constituti: locentur hoc modo. Dispositis primum [f.48r] octuplis terminis. ut octauae terminorum partes ipsorum terminorum lateribus adiungantur. Sit autem descriptio talis.

[Cambridge, Trinity College, R.15.22 (944), f.48r; text: I, VIII, LXIIII, DXII, IIII[macron supra lin.].XCVI, XXXII[macron supra lin.].DCCLXVIII, CCLXII[macron supra lin.].CXLIIII, CCXCIII[macron supra lin.].DCCCCXII, XXXVI[macron supra lin.].DCCCLXIIII, IIII[macron supra lin.].DCVIII, DLXXVI, LXXII, VIIII, CCCXXXI[macron supra lin.].DCCLXXVI, XLI[macron supra lin.].CCCCLXXII, V[macron supra lin.].CLXXXIIII, DCXLVIII, LXXXI, CCCLXXIII[macron supra lin.].CCXLVIII, XLVI[macron supra lin.].DCLVI, V[macron supra lin.].DCCCCXXXII, DCCXXIX, CCCCXIX[macron supra lin.].DCCCCIIII, LII[macron supra lin.].CCCCLXXXVIII, VI[macron supra lin.].D.LXI, MILLE, CCCCLXXII[macron supra lin.].CCCXCII, LIX[macron supra lin.].XLVIII, DXXX[macron supra lin.].CCCCXLI, LIMES, OCTVPLI partes octauae sequentium sesquioctaui, Diapason sex toni, DXVIIII[macron supra lin.]CCLXXXVIII.] [BOEMUS2C 08GF]

HVIVS igitur dispositionis ratio haec est. Continuus enim uersus qui limes dicitur. octuplos numeros tenet. A sexto uero octuplo sesquioctauae proportiones ducuntur. Vbi uero octauas partes scripsimus. octauae sunt eorum numerorum quibus adiacent. Quae si eisdem quibus adiacent apponantur: posteriores numeros creant. ut in primo qui est CCLXII[macron supra lin.]. CXLIIII Huius octaua XXXII[macron supra lin.]. DCCLXVIII. His sibimet si coniungantur: posteriorem efficiunt numerum qui est CCXCIIII[macron supra lin.] DCCCCXII idemque in caeteris inuenitur. Si igitur ultimus qui est DXXXI[macron supra lin.] CCCCXLI duplus esset prioris numeri qui est CCLXII[macron supra lin.] CXLIIII: rectis diapason sex tonis constare uideretur. Nunc autem si minimi numeri id est prioris duplicem conquiramus: minor erit eo numero qui est maximus ac supremus. Nam CCLXII[macron supra lin.] CXLIIII numeri duplus est qui ad eum scilicet diapason consonantiam tenet. [DXXIIII[macron supra lin.]. CCLXXXVIII add. in marg.] Hic igitur minor est eo numero qui sextum retinet tonum. eo scilicet qui est DXXXI[macron supra lin.]. CCCCXLI. Minor est igitur diapason consonantia [f.48v] sex tonis. Atque id quod sex toni diapason consonantiam superuadunt: uoco coma. quod constat [in add. supra lin.] minimis numeris. DXXIIII[macron supra lin.]. CCLXXXVIII et DXXXI[macron supra lin.]. CCCCXLI Sed de his quid Aristoxenus sentiat. qui auribus dedit omne iudicium: alias commemorabo. Nunc uoluminis seriem. fastidii uitator astringam.

Explicit liber secundus.