Back to top

[795] Regulae Domni Odonis De rhythmimachia

Sesquialtera proportio est, quando numerus major continet in se totum numerum minorem et ejus alteram partem, ut VI ad VIII. Sesquiquarta proportio est, quando major numerus continet in se totum minorem numerum et ejus quartam partem, ut XX ad XXV. Sesquisexta proportio est, quando major numerus continet in se totum minorem numerum et ejus sextam partem, ut XXX ad XXXV. Sesquioctava proportio est, quando major numerus totum in se continet minorem numerum et ejus octavam partem, ut LXXII ad LXXXI. Sesquitertia proportio est, quando major numerus continet in se totum minorem et ejus tertiam partem, ut XVI ad XII. Sesquiquinta proportio est, quando major numerus continet in ne totum minorem et ejus quintam partem, ut XXXVI ad XXX. Sesquiseptima proportio est quando major numerus continet in se totum minorem et ejus septimam partem, ut LXIV ad LVI. Sesquinona proportio est, quando major numerus continet in se totum minorem et ejus nonam partem, ut C ad XC.

De tabula.

Sit tabula ad latitudinem longitudine distincta campis, super qua ex alterutra parte disponantur in ultimis locis omnes species trium generum, multiplicis, superparticularis et superpartientis, usque ad decuplam proportionem, ita ut hinc appareant quae denominationem habent ex pari, et hinc quae ex impari: octo enim minores albi ex genere proponantur multiplici, dupli, quadrupli, sescupli, octupli. His opponantur octo minores nigri ejusdem generis, tripli, quincupli, septupli, nonupli. Retro minores albos octo existant rubri ex genere superparticulari, ita ut sesquialteri adhaereant duplis, sesquiquarti quadruplis, sesquisexti sescuplis, sesquioctavi octuplis. Item [796] retro minores nigros octo existant majores albi ex genere superparticulari, ut sesquitertii juncti sint triplis, sesquiquinti quincuplis, sesquiseptimi septuplis, sesquinoni nonuplis. Retro rubros octo existant minores nigri ex genere superpartienti, ut superbipartientes juncti sint sesquialteris, superquadripartientes sesquiquartis, supersesquipartientes sesquisextis, superoctipartientes sesquioctavis. Item retro albi minores octo existant ex genere superpartienti, ut supertripartientes adhaereant sesquitertiis, superquinquepartientes sesquiquintis, superseptipartientes sesquiseptimis, supernonipartientes sesquinonis.

His ita dispositis legitimi fiant tractus ex alterutra parte alternatim, ut multiplices trahantur in secundum ante retro, dextrorsum, sinistrorsum, angulariter: superparticulares in tertium, superpartientes in quartum. Quicumque numerus contrariae partis numerum in suo legitimo cursu offendit, illum qui sit ejusdem quantitatis auferat. Si numerus circumponitur contrariae partis, qui multiplicati et compositi efficiant circumpositum, auferatur. Quicunque contrariae partis numerum sic offendit, ut quantitas interjacentium camporum in se multiplicata contrarii numeri reddat summam, et auferat. Tali praedae subjacent omnes pariter partes, aut pariter impares, vel secundi et compositi; sed primi et compositi vagentur tuti, non ita sint adversariis circumsepti, ut per legitimos cursus non possint evadere. Hanc foveam arithmeticam incidentes auferant.

In illa parte, ubi ex pari habent denominatas proportiones, est XCI, pyramis: quam si sua basis XXXVI, quae militat in adversariis castris, per legitimum tractum aut basis latera cum quantitate camporum interjacentium multiplicata basim efficientia offendant, auferant. Ita fiat de CXC, pyramide [797] ter curta, cujus basis LXIV. Non solum his basibus XXXVI et LXIV pyramides auferantur, sed quicunque numeri cum quantitate spatiorum multiplicati easdem bases efficiant, auferant pyramides, et simul omnes tetragonos, quibus constant.

Qui tendit ad victoriam, summopere studeat in capite adversarii maximam et perfectam harmoniam constituere, quae quatuor constans terminis caeteras in se continet tres, geometricam, arithmeticam, harmonicam, et insuper proportiones omnium musicarum symphoniarum. Si haec fieri non possit, terminis ejus per praedam non acquisitis aut per incuriam perditis, sufficiat ad victoriam arithmetica et harmonica, quarum utraque ex tribus constans terminis, maximo, medio, minimo; sive per angulos fiat in directum. Non prius victoria tituletur, dum alienus aliquis terminos earum possit interrumpere. Qui primus ponitur, indicet adversario, illum nec licere postea ex illo loco trahi, nec ab adversario auferri. In utraque termini abundant arithmetici. Harmonicorum per praedam unus acquirendus est: quem primum pones, ex nomine indices adversario, in tali cautione pones, ut illum adhuc nullus ponendorum possit interrepere.

Nemo existimet me inconfuse et inordinate hos calculos posuisse: sed memor praeceptorum trium Boetii, quibus hunc conflictum secundum eadem me posuisse, modo neglecto propter evitandam numerositatem monadum, diabum, tradium, et caeterarum geniturarum. Qui quaerit binariam monadem, si ternariam triplicet, si quaternariam quadruplicet si quinariam quintuplicet, si senariam sescuplicet ab hostibus undique circumventus captivatur unus, quatuor cum pyramide eadunt: aliter quatuor obsideri possunt. Senarius per ternarium in secundo campo cadit: octonarius per adjunctos, videlicet quinque et tres: sextemdecim per novem et septem: triginta sex per novenarium in quarto, sive eadem quantitate: sexaginta quatuor eadem quantitate, sive per sexdecim in quarto: novenarius per ternarium in tertio, sive eadem quantitate: viginti quinque per quinque in quinto: quindecim per quinarium in tertio: quadraginta duo per septenarium in sexto: quadraginta novem in septimo: septuaginta duo per novenarium in octavo: octoginta et unus per novenarium in nono campo: quindecim per tria in quinto, sive per quinarium in tertio: quadraginta quinque per novenarium in quinto: centum sexaginta novem per tricesimum in quarto, et remanent quadraginta novem: centum quinquaginta tres per viginti quinque in sexto, adjuncto ternario: ducenti octoginta novem per quinquaginta sex in quinto, et remanent novem.

Binarius, quinarius, septenarius ab hostibus circumventi, dum evadere nequeunt, captivantur. Novenarius novenarium in suo legitimo cursu, octoginta unus per novenarium in novenario: sexdecim [798] per quatuor in quarto campo, sive per octonarium: duodecim per binarium in sexto, sive per quaternarium in tertio: triginta sex per senarium in sexto: triginta in quinto: quinquaginta sex per octonarium in septimo: sexaginta quatuor in octavo per octonarium, sive eadem quantitate: nonaginta per novenarium in decimo campo, et per vicenarium in quinto: viginti octo per quaternarium in septimo: quadraginta novem in suo legitimo tractu, sive per adjunctos quadraginta quinque et quatuor: sexaginta sex per adjunctos sexaginta quatuor et duos, sive per sexdecin in quarto, remanente binario, centum viginti unus per sexdecim in septimo, adjuncto novenario: centum viginti per viginti in sexto: ducenti viginti quinque per viginti quinque in nono.

Sunt numeri, qui consonantias creant, vel per quos ipsae discernuntur consonantiae, tantummodo sex, id est, epitritus, hemolius, duplaris, triplaris, quadruplaris et epogdous. Est autem epitritus, cum de duobus numeris major habet totum minorem, et insuper ejus tertiam partem, ut sunt quatuor ad tres; nam in quatuor sunt tres, et tertia pars trium, id est, unitas. De hoc nascitur symphonia, quae in musica appellatur diatessaron. Hemiolius est, cum de duobus numeris major habet minorem et insuper ejus medietatem, ut sint tria ad duo; nam in tribus sunt duo, et media pars duorum, unitas. Appellatur hic numerus in arithmetica sesquialtera, sed diapason symphonia vocatur in musica. Duplaris numerus est, cum de duobus numeris minor in majorem bis numeratur, ut sunt quatuor ad duo. Ex hoc duplari nascitur symphonia, cui nomen est diapason. Triplaris autem, cum de duobus numeris minoriter in majorem numeratur, ut sunt tria ad unum. Ex hoc triplari nascitur symphonia, quae dicitur diapason et diapente. Quadruplaris vero numerus est, cum de duobus numeris minor in majorem quater numeratur, ut sunt quatuor ad unum: qui numerus facit symphoniam, quae dicitur bis diapason. Epogdous numerus est, qui intra se habet numerum minorem, et ejus octavam partem, ut sunt novem ad octo; quia in novenario sunt octo, et insuper octava pars, id est, unitas.

Sonum vero tonum minorem, quem veteres semitonium vocant. Sed non ita accipiendum est, ut dimidius tonus computetur, quia nec semivocalem in litteris pro medietate vocalis accipimus. Deinde tonus per naturam sui in duo aequaliter dividi non potest: cum enim ex novenario numero constet, novem enim nunquam aequaliter dividuntur, tonus dividi in duas medietates non (non omittitur) recusat; sed semitonium vocaverunt sonum a tono minorem, quem tam parvo distare comprehensum est, quantum hi numeri inter se distant, id est, ducenti quinquaginta tres et ducenti quinquaginta sex. [799] Hoc similiter Pythagorici quidem veteres diesim nominabant, subsequens sonum se minorem diesi constituit nominandum. Plato semitonium lima vocitavit.

Hae sunt partes, in quibus omnis musica resolvitur. Sunt igitur quinque symphonia, diapason, diatessaron, diapente, diatessaron haec et diapente, bis diapason. Constituunt [consistunt] itaque omnes musicae consonantiae aut in duplici aut in tripla aut in quadrupla, aut in sesquialtera, aut in sesquitertia numerorum proportione. Quae autem vocatur in numeris sesquitertia, diatessaron in melodia: quae autem in numeris sesquialtera, diapente vocatur in vocibus: quae dupla in numeris, diapason in consonantiis: tripla vero diapente ac diapason: quadrupla autem bis diapason. Agnoscat autem diligens lector. quod consonantiae consonantiis superpositae alias quidem consonantias effecerunt: nam diapente et diatessaron junctae diapason creant.

Qui velit definitivam victoriam acquirere, ita ut numeri universitas non possit diutius rebellare. studeat modis omnibus aliquam harmonicam medietatem facere ultra direptoriam lineam, id est, in regno adversarii. Quam in quo loco agere praecogites cautissima loca, in quibus tuos, qui debeant triumphare, ponas, prius ut aliquibus tuis [800] obsideas, aut aliis tibi innoxiis obsessa praevideas ut nullus ex adversariis possit interrumpere: nam debes contrario indicare, illumque primum ad faciendam victoriam ponas, ut cum sit minimus aut medius aut maximus, et illum ex eo loco nusquam trahendi licentiam habeas, sed alios duos quanto citius possis appone.

Quid si medietas, initio dicam. Tres numeros debes coadunare tali proportione, ut eadem differentia sit inter medium et maximum, quae est inter minimum et medium, ut exempli causa est inter 4, 6 et 8. Nam inter 8 et 6 interest 2; similiter inter 6 et 4; inter novem autem et duodecim et quindecim est differentia ternarius. Ubicunque tuorum propriorum non habeas tantum, ut possis aliquam medietatem facere, prius per rapinam aliquem acquire, quem ponas in locum ejus, qui tibi desit, verbi gratia: si velis ex paribus medietatem facere illam, in qua tibi XII sit necessarius, rape eum prius per VI, aut per IV, aut per II, et serva eum, donec indigeas ejus, et cum posueris IX et XV, dimitte isti locum medium, et pone XII, illuc tam potestative, ac si sit tuus. XCI pyramis perfecta. Haec pyramis rapitur per XII super tres campos, aut per IX super quatuor campos, aut per XXXVI super tres campos, id est, in suo legitimo tractu, quia comes est, et ejus basis est.

[PLCXXXIII:799-800,1; text: I, II, III, IIII, V, VI, VIII, XVI, XXV, XXXVI, Latera, Basis] [ODORH 01GF]

[799] De perfecta pyramide.

Pyramis ex parte parium, id est XCI, tollenda est per XII super campos tres; ter enim XII faciunt XXXVI, qui est basis XCI. Aut rapitur per IX super quatuor campos; quater IX faciunt XXXVI. Cum enim traxeris duodecim contra pyramidem [800] XCI; donec in campos ad ipsam habeas, dic, ter duodecim faciunt XXXVI, et aufer imprimis pyramidem XCI, et dein basin ejus XXXVI, et latera basis, id est, omnes numeros, qui infra senarium numerum per semetipsos multiplicantur, id est XXV, XVI, IX, IV, II. Victoria pyramidum ex victoria fit.

[PLCXXXIII:799-800,2; text: De tercurita pyramide. I, II, III, IIII, V, VI, VII, VIII, XVI, XXV, XXXVI, XLIX, LXIII, VItI, Latera, Basis.] [ODORH 01GF]

[799] Basis.

Hanc pyramidem CXC rapit VIII per VIII campos, aut per XVI, super IV campos, vel basis ejus LXIV rapit ipsam pyramidem a proximo campo quia est pes pyramidis tercurtae CXC.

Pyramis ex impari, id est CXC debet auferri cum [800] octo super octo campos; octies enim octo faciunt LXIV, quod est basis ejudem pyramidis: aut rapitur cum XVI super quatuor campos; nam quater XVI faciunt item LXIV, si tibi copia fiat, ita XVI aut VIII contra pyramidem posse trahere. Ut cum illis possis hanc multiplicationem facere in pyramidem, aufer ipsam pyramidem et basim ejus, cujus [801] est ita multiplicatio LXIV, et simul tolle latera basis, id est omnes numeros, qui infra octonarium per se multiplicantur, id est XLIX; XXXVI, XXV, XVI; nam septies septem faciunt XLIX, sexies sex XXXVI, quinquies quinque XXV, quater quatuor faciunt XVI, ideo per se multiplicantur. Pyramis non potest per ullum numerum multiplicari aut circumponi, ideo debet tolli per multiplicationem [802] suae basis. Tres residui numeri, I, III, II, ideo non numerantur in pyramide, quia isti quatuor, id est XLIX, XXXVI, XXV, XVI, basi, id est LXIV, superpositi faciunt ipsam pyramidem CXC. Et quia istis tribus III, II et I, non indiget, dicitur ipsa pyramis ter curta. Juvet scire, qualiter cum minoribus noceas majoribus, non parvipendas has regulas.

[PLCXXXIII:801-2,1; text: Dupli, Quadrupli, Sescupli, Octupli, II, IIII, XVI, VI, XXXVI, VIII, LXIV, Ex part parium sunt hi pedites. Superparticulares isti, id est medii, qui et comites. Sesquialteri, Sesquiquarti, Sesquisexti, Sesquioctavi, XX, XLVIII, XLII, LXXXI, LXII, Superpartientes dicuntur maximi qui et dices. Superbipartiens, Superquatuorpartiens, Supersexpartiens, Superoctopartiens, XXV, XV, XLV, CLXVIII, XCI, CCLXXXIX, CLIII] [ODORH 02GF]

[801] Superbipartiens est XXV ad XV; habet enim XXV, XV in se, et ejus partes duas, id est X. Quae X adde ad XV, et erunt XXV. Superquatuorpartiens est LXXXI ad XLV, qui LXXXI habet XLV in se, et ejus quatuor partes; nam si dividas XLV in quinque partes, unaquaeque pars erit novenarius, quarum unum novenarium abjice, et remanent XXXVI, quae XXXVI si ad XLV addideris, LXXXI faciunt. Supersexpartiens est CLXIX ad XCI: nam [802] si dividas XCI in septem, unaquaeque pars erit XIII; quarum partium XIII unam abjice, et remanent LXXVIII: quae superpone illis XCI, et faciuut CLXIX. Superoctopartiens est CCLXXXIX ad CLIII; quae CLIII si in novem dividas, uniuscujusque partis erit XVII: tunc omitte unum XVII, et remanent CXXXVI. Hos adde ad CLIII, et faciunt CCLXXXIX. Ex parte imparium sunt pedites isti numeri.

[PLCXXXIII:801-2,2; text: Tripli, Quincupli, Sextupli, Nonupli, VIII, III, XXV, V, XLIX, VII, LXXXI, IX, Superparticulares sunt isti numeri, id est medii et comites. Sesquitertii, Sesquiquinti, Sesquiseptimi, Sesquinoni, XVI, XII, XXX, LXIIII, LVI, C, XC, Supertientes sunt isti, id est, medii et maximi, qui et duces. Superbipartiens, Superquadripartiens, Supersextipartiens, Superoctipartiens, XV, XLV, CLXIX, XCI, CCLXXXIX, CLIII] [ODORH 02GF]

[801] Supertripartiens est XLIX ad XXVIII; quater enim VII faciunt XXVIII: quarum VII unam dimitte, et remanent XXI, quos superpone illis XXVIII, et faciunt XLIX. Superquinque partiens est CXXI ad LXVI Nam LXVI si diviseris in sex aequales partes, unaquaeque pars erit XI; quarum partium unam XI rejice, et remanent LV: quos si addideris ad LXVI, faciunt CXXI. Superpartiens [802] (lege superseptipartiens) est CCXXV ad CXX; nam si CXX in octo partiris, unaquaeque pars erit XV; quarum unam XV omitte, et remanent CV: quos si ad CXX apposueris, erunt CXXV. Supernonipartiens CCCLXI ad CXC; nam CXC si dividas in decem partes, cujusque partis erit XIX: si unum XIX abjeceris, remanent CLXXI; quos si addas ad CXC efficiunt CCCLXI.

[PLCXXXIII:801-2,3; text: Supertripartiens, Superquinquepartiens, Superseptipartiens, Supernovipartiens, XLVIIII, XXVIII, CXXI, LXVI, CCXXV, CXX, CXC, CCLXI] [ODORH 02GF]

[801] Rhythmimachia Graece, numerorum pugna exponitur Latine. Inde autem rhythmimachia dicitur, quod instar geminae aciei invicem bello certantis in tabula ad hoc apta, velut in quadam campi planitie, par imparque numerus, quasi invicem dissentiunt, et singuli cum suis trium generum speciebus, [802] scilicet multiplicis, superparticularis, superpartientis, usque ad decuplae proportionis summam contrariis partibus propriis progressi e sedibus confligunt. Nam quisquis scire velit, quid in se arithmeticalis contineat pagina, inventi hujus inspice in tabula:

[803] [PLCXXXIII:803-4; text: III, V, VII, VIIII, XVI, XII, XX, XLIX, LXXXI, XC, C, CXVIII, LXVI, XXXVI, XXX, LVI, LXIV. CC, CIX, CXXI, CCXXV, CCCLXI, Linea Victoriae. VI, IV, II, LXXII, LXIIII, IIII, CLIII, CXI, XLII, CCLXXXIX, CLXIX, XXV.] [ODORH 03GF]

[803] In ea certe invenies argumentum, maximum in se arithmeticae continentem fructum. Recte namque debet dici argumentum, quia et auribus sonat, et ipsa rei veritate probatur argutae mentis inventum: ubi una eademque numerorum, paris videlicet imparisque invicem concorditer discordantis, subtili delectamur certamine. Si enim diligentius inspiciamus intimo mentis intuitu, quod nobis utile lateat numeri vel multiplicatione, clarebit perlucide, in his maximam, ut supra dixi, arithmeticae disciplinam fructificare; in his etenim difficili proportionum ad se invicem habitudine omnem monochordi mensuram, vel etiam omnis cujuscunque musici instrumenti symphoniam consonare: in his quoque rationes in divinae lectionis expositionem multimodis utiles constare. Nos vero velut rudes intellectu, qui hujus novellae plantationis nondum satiamur fructu, ipsius tamen pomi dulce fragrantis per ipsius exteriorem non dulcedinem interiorem palati adhuc esurientis summatim praelibavimus gustu tanti favi mel interius latens, tantae scilicet artis subtilitatem non suppetit facultas singillatim exponere; apum enim repellimur aculeis, ne desiderata valeamus percipere, ipsarum videlicet rhythmimachiae diversarum proportionum gravi rejicimur condilomate, ne ad hujus scientiae secretiora possit pertingere.

Tentemus saltem leviora; quibus haud posse subest prius discutere difficiliora, nec nisu temerario ea, quae ipse hujus artis panditor studiose investigata, ut omnium liberalium artium imbutus scientia, notitiam futurorum stylo haud parvipendendo patefecit, repetamus. Sed salva ipsius personae auctoritate ex ejusdem et scriptionis prato flosculos mellifluos legentes, nostrae ignorantiae utiles recondamus. Caeteras vero rhytmimachiae normas ibidem pleniter subtitulatas memoriae non subtrahamus. Ibi namque praelibati conflictus certamen, si quod libeat, poterit cognoscere: ibi quot generum speciebus hic par in impar numerus [804] distinguatur, valebit inspicere: quot etiam camporum spatiis, vel etiam quas in partes singulas liceat species producere, qui minoris formae, qui rotundae quive quadratae debeant existere; qualiter etiam singuli numeri dum contrariis insidiantur, seipsos metiantur cum camporum intercapedine: ad ultimum, quomodo quis advincere tendens in ipsa numerorum constitutione debeat constituere, sicque ad perfectam victoriam tendere.

His itaque omnibus in praelata lectione certa sede, certo motu, certa victoria fine legitimo dispositis, deterosi [de caetero si] quid restare cernitur intractatum vel nobis minus proficuum, in quo noster titubet aflectus, in hoc enucleando, licet stolide, noster jam acuetur effectus. De trium generum speciebus nostra solertia videat, quomodo prima sui multiplicatione crescat; penultima quali ad sese habitudine numero numerum comparet; ultima quomodo sese proportionaliter augeat, et insuper plus reliquis sibi aliquid superaddendo, sui dignitate et numerositate caeteros superexcellat.

Secundum arithmeticam multiplex genus est, cum numerus numero comparatus illum, cui comparatus est, in se habet plusquam semel: hujus generis numeri sunt a pari II, IV, VI, VIII, e totidem nimirum numeris, quos binarius duplo, quaternarius quadruplo, senarius sexcuplo, octonarius octuplo in sese multiplicatos quasi sociali copulatione sibi asciscunt.

Hic notandum quod unitas totius pluralitatis genitrix naturaliter singularis nullam recipiat paritatis et imparitatis sectionem, quia paritate sibi propria caeteris principaliter exstans sui dignitate, minorari vel augeri nesciens unitas perseverat. Et ut ad proposita redeamus, quod superius protulimus exempli causa, ipsius multiplicationis opere apertius expergendo discutiamus sic. Bis duo sunt quatuor ecce habes duplas, id est, quatuor ad duo; habe enim quaternarius binarium duplo in se. Quate [805] quatuor sunt XVI, ecce quadruplos, id est XVI ad IV; continent namque XVI quater quaternarium in se. Sexies sex sunt XXXVI, ecce sexcuplos, id est, XXXVI ad VI: habent enim XXXVI in se sexies sex. Octies octo sunt LXIV, ecce habes octuplus, id est sexaginta quatuor ad octo; continent namque LXIV in se octies octo. In constitutione autem tabulae horum semper binos, multiplicatorem et multiplicatum conjunctius campis sibi institue, ut verbi gratia IV cum II, XVI cum IV, XXXVI cum VI, LXIV cum VIII, concordantes studeas constituere, Haec breviter memorasse sufficiat de genere multiplici: jam aliquid enucleare conemur de superparticulari.

Superparticularis dicitur numerus numero comparatus, quoties major in se continent numerum minorem, et insuper ejus aliquam partem. Si enim major numerus minorem totum habeat, et insuper ejus medium, hemiolios, id est, sesquialter vocatur; si ejus tertiam, sesquitertius. Similiter per omnes numeros, usque dum habeat ejus nonam partem, qui vocatur sesquinonus. Ut autem omnium quatuor proportionum a paribus procedentium priores acquiras numeros, per ipsos pares superius multiplices adjacentes ejus multiplica numeros, hoc est, per II, III, IV, V, VI, VII, per VIII, IX, hoc modo: Bis tres faciunt sex: iste est prior sesquialterae proportionis numerus. Quater V sunt XX, et hic prior sesquiquartae. Sexies septem XLII, hic est prior sesquisextae Octies novem sunt LXXII, et hic prior sesquioctavae proportionis numerus.

Si vero facilius et naturalius eosdem numeros velis reperire, omnes pares, quos superius in multiplici genere singulos in sese multiplicasti, multiplicatorem et multiplicatum compone sic: ad sesquialteram II et IV junge, et fiunt VI; ad sesquiquartam IV et XVI, et erunt XX; ad sesquisextam VI et XXXVI, et fiunt quadraginta duo; ad sesquioctavam VIII et LXIV, fiunt LXXII. Et quia ipsarum proportionum priores, ut ita dicam, syllabas adeptus es, oportet etiam ut earum tibi acquiras proportionales. Istis igitur, quos tibi acquisisti, numeris singulis totam partem sui adjungere memento, quota fuerit ipsa, de qua agitur, proportio. Verbi gratia: si agitur de sesquialtera, alteram, id est, mediam partem sui adjunge; si de sesquiquarta, quartam: si de sesquisexta, sextam; si de sesquioctava, octavam. Hoc autem, quod dico, sic fiet: senario, quem sesquialterae proportionis priorem adeptus (es), medietatem suam, id est, tres adjice, et fiunt IX, qui est proportionalis ei; novenarius enim habet totum VI in se, et ejus medietatem, id est ternarium. Ecce habes perfectam sesquialteram proportionem, id est IX ad VI. Similiter ad XX, quem sesquiquartae priorem acquisisti, adjunge quartam partem sui, id est V, fiunt XXV, qui est ei proportionalis; habet enim XXV totum XX in se et ejus quartam partem, [806] id est V. Ecce est perfecta sesquiquarta proportio id est XXV ad XX. Sic de aliis.

Nunc ad superpartientes numeros transeamus. Constat enim quia major numerus minorem duabus tertiis supercrescit, cum dicitur superbipartiens, subaudiri tertias necesse est. Quia igitur a binario oritur superbipartiens, et subaudis tertias, II et III, per eumdem subauditium ternarium multiplica, et quae summa inde excrevit, prior numerus erit in proportione ipsa. Quod si experiri libuerit quomodo geminetur a superparticularibus, nihil refert quin idem tibi crescat numerus. Sesquialteram proportionem VI et IX compone, fiunt XV, qui est prior superpartientis numerus. Huic tertiam partem sui, id est V, bis augebis, et fiunt XXV; haec superbipartiens proportio, id est XXV ad XV. Sesquiquartam XXV et XX insimul pone, fiunt XLV. Eidem sui quintam partem adhibe, erunt LXXXI. Sic de aliis facies, jungendo sesquisextam et octavam invenies. Sunt igitur impares multiplicis generis, ternarius, quinarius, septenarius, novenarius. Hi suos proportionales educent sic: ter ter sunt novem. Isti sunt tripli. Quinquies quinque sunt XXV; isti sunt quincupli, hoc est XXV ad V. Septies VII sunt XLIV, hi sunt septupli, id est XLIX ad VII. Novies novem LXXXI, hi sunt nonupli, id est, LXXXI ad IX.

De variis tamen figuris, quae ibidem multimode disponuntur, pyramides tantum et bases et basis latera in rhythmimachia, quali numero positione fiant, opportunum videtur depromere. Disponuntur itaque rhythmimachia pyramides duae, una a paribus, altera ab imparibus, quarum prior perfecta, altera vocatur ter curta. Perfecta pyramis est XCI; oritur a XXXVI, qui numerus idcirco ejus basis dicitur, eo quod ipsa pyramis quasi columna basi imposita supra basin innitatur. Erigitur autem ipsa pyramis super basi a VI usque ad unitatem, singulis numeris in se multiplicatis hoc modo: sexies VI, XXXVI; quinquies V, XXV; quater quatuor, XVI; ter III, sunt IX; bis duo sunt quatuor; semel unus est unus. Hi omnes numeri in summam coacti fiunt XCI. Haec perfecta pyramis, et, ut Boetius ait iste numerus, hui horum conjugatorum numerorum est major et ultimus; necesse est enim, ut hujus pyramidis sit basis, id est XXXVI; etquia eadem basis excrescit a senario, ipse senarius, vel omnes numeri, qui ejusdem basis explent summam, basis latera vocantur.

Ter curta autem pyramis, quae a sua basi, id est LXIV, efficitur, a novenario usque ad quaternarium singulis numeris in se multiplicatis sic erigitur. Octies octo, LXIV; septies septem XLIX; sexies sex, XXXVI; quinquies quinque, XXV; quater quatuor, XVI sunt. Omnis ergo iste numerus in summam collectus efficit ter curtam pyramidem CXC, et quia a quaternario ulterius non erigitur; desunt enim tres numeri, id est ter tria, bis duo, semel unus: ideo secundum arithmeticam ter curta vocatur. [807] Sunt autem ipsius basis latera octo, et omnes illi, qui basis illius efficiunt quantitatem; [808] habet enim basis latera tot unitates in se, quot unitates singulae continent pyramides in latere.

Finiuntur.