Back to top

[285] Regulae Domni Odonis de Rhythmimachia.

Sesquialtera proportio est, quando numerus maior continet in se totum numerum minorem, et eius alteram partem, ut VI. ad VIIII. Sesquiquarta proportio est, quando maior numerus continet in se totum minorem numerum, et eius quartam partem, ut XX. ad XXV. Sesquisexta proportio est, quando maior numerus continet in se totum minorem numerum, et eius sextam partem, ut triginta ad XXXV. Sesquioctava proportio est, quando maior numerus totum in se continet minorem numerum, et eius octavam partem, ut LXXII. ad LXXXI. Sesquitertia proportio est, quando maior numerus continet in se totum minorem, et eius tertiam partem, ut sedecim ad XII. Sesquiquinta proportio est, quando maior numerus continet in se totum minorem, et eius quintam partem, ut XXXVI. ad XXX. Sesquiseptima proportio est, quando maior numerus continet in se totum minorem, et eius septimam partem, ut LXIIII. ad LVI. Sesquinona proportio est, quando maior numerus continet in se totum minorem, et eius nonam partem, ut C. ad XC.

De Tabula.

Sit tabula ad latitudinem longitudine distincta campis, super qua ex alterutra parte disponantur in ultimis locis omnes species trium generum, multiplicis, superparticularis et superpartientis, usque ad decuplam proportionem, ita ut hinc appareant, quae denominationem habent ex pari, et hinc, quae ex impari: octo enim minores albi ex genere proponantur multiplici, dupli, quadrupli, sescupli, octupli. His opponantur octo minores nigri eiusdem generis, tripli, quincupli, septupli, nonupli. Retro minores albos octo existant rubri ex genere superparticulari, ita ut sesquialteri adhaereant duplis, sesquiquarti quadruplis, sesquisexti sescuplis, sesquioctavi octuplis. Item retro minores nigros octo existant maiores albi ex genere superparticulari, ut sesquitertii iuncti sint triplis, sesquiquinti quincuplis, sesquiseptimi septuplis, sesquinoni nonuplis. Retro rubros octo existant minores nigri ex genere superpartienti, ut superbipartientes iuncti sint sesquialteris, superquadripartientes sesquiquartis, supersesquipartientes sesquisextis, superoctipartientes sesquioctavis. Item retro albi minores octo existant ex genere superpartienti, ut supertripartientes adhaereant sesquitertiis, superquinquepartientes sesquiquintis, superseptipartientes sesquiseptimis, supernonipartientes sesquinonis.

His ita dispositis legitimi fiant tractus ex alterutra parte alternatim, ut multiplices trahantur in secundum ante retro, dextrorsum, sinistrorsum, angulariter: superparticulares in tertium, superpartientes in quartum. Quicumque numerus contrariae partis numerum in suo legitimo [286] cursu offendit, illum, qui sit eiusdem quantitatis aufferat. Si numerus circumponitur contrariae partis, qui multiplicati et compositi efficiant circumpositum, aufferatur. Quicumque contrariae partis numerum sic offendit, ut quantitas interiacentium camporum in se multiplicata contrarii numeri reddat summam, et auferat. Tali praedae subiacent omnes pariter pares, aut pariter impares, vel secundi et compositi; sed primi et compositi vagentur tuti, non ita sint adversariis circumsepti, ut per legitimos cursus non possint evadere. Hanc foveam arithmeticam incidentes auferant.

In illa parte, ubi ex pari habent denominatas proportiones, est XCI. pyramis: quam si sua basis XXXVI. quae militat in adversariis castris, per legitimum tractum aut basis latera cum quantitate camporum interiacentium multiplicata basim efficientia offendant, auferant. Ita fiat de CXC. pyramide ter curta, cuius basis LXIIII. Non solum his basibus XXXVI. et LXIIII. pyramides auferantur, sed quicumque numeri cum quantitate spatiorum multiplicati easdem bases efficiant, auferant pyramides, et simul omnes tetragonos, quibus constant.

Qui tendit ad victoriam, summopere studeat in capite adversarii maximam et perfectam harmoniam constituere, quae quatuor constans terminis caeteras in se continet tres, geometricam, arithmeticam, harmonicam, et insuper proportiones omnium musicarum symphoniarum. Si haec fieri non possit, terminis eius per praedam non adquisitis aut per incuriam perditis, sufficiat ad victoriam arithmetica et harmonica, quarum utraque ex tribus constans terminis, maximo, medio, minimo; sive per angulos fiat in directum. Non prius victoria tituletur, dum alienus aliquis terminos earum possit interrumpere. Qui primus ponitur, indicet adversario, illum nec licere postea ex illo loco trahi, nec ab adversario auferri. In utraque termini abundant arithmetici. Harmonicorum per praedam unus adquirendus est: quem primum pones, ex nomine indices adversario, in tali cautione pones, ut illum adhuc nullus ponendorum possit interrepere.

Nemo existimet, me inconfuse et inordinate hos calculos posuisse: sed memor praeceptorum trium Boetii, quibus hunc conflictum secundum eadem me posuisse, modo neglecto propter evitandam numerositatem monadum, diadum, triadum, et caeterarum geniturarum. Qui quaerit binariam monadem, si ternariam triplicet, si quaternariam quadruplicet, si quinariam quintuplicet, si senariam sescuplicet, ab hostibus undique circumventus captivatur unus, quatuor cum pyramide cadunt: aliter quatuor obsideri possunt. Senarius per ternarium in secundo campo cadit: octonarius per adiunctos, videlicet quinque et tres: sextemdecim per novem et septem: triginta sex per novenarium in quarto, sive eadem quantitate: sexaginta quatuor eadem quantitate, sive per sexdecim in quarto: novenarius per ternarium in tertio, sive eadem quantitate: viginti quinque per quinque in quinto: quindecim per quinarium in tertio: quadraginta duo per septenarium in sexto: quadraginta novem in [287] septimo: septuaginta duo per novenarium in octavo: octoginta et unus per novenarium in nono campo: quindecim per tria in quinto, sive per quinarium in tertio: quadraginta quinque per novenarium in quinto: centum sexaginta novem per tricesimum in quarto, et remanent quadraginta novem: centum quinquaginta tres per viginti quinque in sexto, adiuncto ternario: ducenti octoginta novem per quinquaginta sex in quinto, et remanent novem.

Binarius, quinarius, septenarius ab hostibus circumventi, dum evadere nequeunt, captivantur. Novenarius novenarium in suo legitimo cursu, octoginta unus per novenarium in novenario: sexdecim per quatuor in quarto campo, sive per octonarium: duodecim per binarium in sexto, sive per quaternarium in tertio: triginta sex per senarium in sexto: triginta in quinto: quinquaginta sex per octonarium in septimo: sexaginta quatuor in octavo per octonarium, sive eadem quantitate: nonaginta per novenarium in decimo campo, et per vicenarium in quinto: viginti octo per quaternarium in septimo: quadraginta novem in suo legitimo tractu, sive per adiunctos quadraginta quinque et quatuor: sexaginta sex per adiunctos sexaginta quatuor et duos, sive per sexdecim in quarto, remanente binario: centum viginti unus per sexdecim in septimo, adiuncto novenario: centum viginti per viginti in sexto: ducenti viginti quinque per viginti quinque in nono.

Sunt numeri, qui consonantias creant, vel per quos ipsae discernuntur consonantiae, tantummodo sex, id est, epitritus, hemiolius, duplaris, triplaris, quadruplaris et epogdous. Est autem epitritus, cum de duobus numeris maior habet totum minorem, et insuper eius tertiam partem, ut sunt quatuor ad tres; nam in quatuor sunt tres, et tertia pars trium, id est, unitas. De hoc nascitur symphonia, quae in musica appellatur diatessaron. Hemiolius est, cum de duobus numeris maior habet minorem et insuper eius medietatem, ut sunt tria ad duo; nam in tribus sunt duo, et media pars duorum, unitas. Appellatur hic numerus in arithmetica sesquialtera, sed diapason symphonia vocatur in musica. Duplaris numerus est, cum de duobus numeris minor in maiorem bis numeratur, ut sunt quatuor ad duo. Ex hoc duplari nascitur symphonia, cui nomen est diapason. Triplaris autem, cum de duobus numeris minor ter in maiorem numeratur, ut sunt tria ad unum. Ex hoc triplari nascitur symphonia, quae dicitur diapason et diapente. Quadruplaris vero numerus est, cum de duobus numeris minor in maiorem quater numeratur, ut sunt quatuor ad unum: qui numerus facit symphoniam, quae dicitur bis diapason. Epogdous numerus est, qui intra se habet numerum minorem, et eius octavam partem, ut sunt novem ad octo; quia in novenario sunt octo, et insuper octava pars, id est, unitas.

Sonum vero tonum minorem, quem veteres semitonium vocant. Sed non ita accipiendum est, ut dimidius tonus computetur; [288] quia nec semivocalem in litteris pro medietate vocalis accipimus. Deinde tonus per naturam sui in duo aequaliter dividi non potest: cum enim ex novenario numero constet, novem enim numquam aequaliter dividuntur, tonus dividi in duas medietates non (non omitt.) recusat; sed semitonium vocaverunt sonum a tono minorem, quem tam parvo distare comprehensum est, quantum hi numeri inter se distant, id est, ducenti quinquaginta tres et ducenti quinquaginta sex. Hoc similiter Pythagorici quidem veteres diesim nominabant, subsequens sonum se minorem diesi constituit nominandum. Plato semitonium lima vocitavit.

Hae sunt partes, in quibus omnis musica resolvitur. Sunt igitur quinque symphoniae, diapason, diatessaron, diapente, diatessaron haec et diapente, bis diapason. Constituunt itaque omnes musicae consonantiae aut in duplici aut in tripla aut in quadrupla, aut in sesquialtera, aut in sesquitertia numerorum proportione. Quae autem vocatur in numeris sesquitertia, diatessaron in melodia: quae autem in numeris sesquialtera, diapente vocatur in vocibus: quae dupla in numeris, diapason in consonantiis: tripla vero diapente ac diapason: quadrupla autem bis diapason. Agnoscat autem diligens lector, quod consonantiae consonantiis superpositae alias quidem consonantias effecerunt: nam diapente et diatessaron iunctae diapason creant.

Qui velit difinitivam victoriam adquirere, it ut numeri universitas non possit diutius rebellare, studeant modis omnibus aliquam harmonicam medietatem facere ultra direptoriam lineam, id est, in regno adversarii. Quam in quo loco agere praecogites cautissima loca, in quibus tuos, qui debeant triumphare, ponas, prius ut aliquibus tuis obsideas, aut aliis tibi innoxiis obsessa praevideas, ut nullus ex adversariis possit interrumpere: nam debes contrario indicare, illumque primum ad faciendam victoriam ponas, ut cum sit minimus aut medius aut maximus, et illum ex eo loco nusquam trahendi licentiam habeas, sed alios duos quanto citius possis appone.

Quid sit medietas, initio dicam. Tres numeros debes coadunare tali proportione, ut eadem differentia fit inter medium et maximum, quae est inter minimum et medium, ut exempli causa est inter 4. 6. et 8. Nam inter 8. et 6. interest 2. similiter inter 6. et 4. inter novem autem et duodecim et quindecim est differentia ternarius Ubicumque tuorum propriorum non habeas tantum, ut possis aliquam medietatem facere, prius per rapinam aliquem adquire, quem ponas in locum eius, qui tibi desit, verbi gratia: si velis ex paribus medietatem facere illam, in qua tibi XII sit necessarius, rape eum prius per VI. aut per IV. aut per II. et serva eum, donec indigeas eius, et cum posueris VIIII. et XV. dimitte isti locum medium, et pone XII. illuc tam potestative, ac si [289] fit tuus. XCI. pyramis perfecta. Haec pyramis rapitur per XII. super tres campos, aut per VIIII. super quatuor campos, aut per XXXVI. super tres campos, id est, in suo legitimo tractu, quia comes est, et eius basis est.

[GSI:289,1; text: Latera, Basis. I, II, III, IV, V, VI, VIIII, XVI, XXV, XXXVI.] [ODORHY 01GF]

De perfecta pyramide.

Pyramis ex parte parium, id est XCI. tollenda est per XII. super campos tres, ter enim XII. faciunt XXXVI. qui est basis XCI. Aut rapitur per VIIII. super quatuor campos; quater VIIII. faciunt XXXVI. cum enim traxeris duodecim contra pyramidem XCI. donec in campos ad ipsam habeas, dic, ter duodecim faciunt XXXVI. et aufer imprimis pyramidem XCI. et dein basin eius XXXVI. et latera basis, id est, omnes numeros, qui infra senarium numerum per semetipsos multiplicantur, id est XXV. XVI. VIIII. IIII. II. Victoria pyramidum ex victoria fit. De tercurta Pyramide.

[GSI:289,2; text: Latera. Basis. I, II, III, IIII, V, VI, VII, VIII, VIIII, XVI, XXV, XXXVI, XLIX, LXIIII, XC, C] [ODORHY 01GF]

Hanc pyramidem CXC. rapit VIII. per VIII. campos, aut per XVI. super IV. campos, vel basis eius LXIIII. rapit ipsam pyramidem a proximo campo, quia est pes pyramidis tercurtae CXC.

Pyramis ex impari, id est, CXC. debet [290] auferri cum octo super octo campos; octies enim octo faciunt LXIIII. quod est basis eiusdem pyramidis: aut rapitur cum XVI. super quatuor campos; nam quater XVI. faciunt item LXIIII. si tibi copia fiat, ita XVI. aut VIII. contra pyramidem posse trahere. Ut cum illis possis hanc multiplicationem facere in pyramidem, aufer ipsam pyramidem et basim eius, cuius est ista multiplicatio LXIIII. et simul tolle latera basis, id est, omnes numeros, qui infra octonarium per se multiplicantur, id est, XLVIIII. XXXVI. XXV. XVI. nam septies septem faciunt XLVIIII. sexies sex XXXVI. quinques quinque XXV. quater quatuor faciunt XVI. ideo per se multiplicantur. Pyramis non potest per ullum numerum multiplicari aut circumponi, ideo debet tolli per multiplicationem suae basis. Tres residui numeri I. III. II. ideo non numerantur in pyramide, quia isti quatuor, id est, XLVIIII. XXXVI. XXV. XVI. basi, id est, LXIIII. superpositi faciunt ipsam pyramidem CXC. Et quia istis tribus III. II. et I. non indiget, dicitur ipsa pyramis ter curta. Luvet scire, qualiter cum minoribus noceas maioribus, non parvipendas has regulas.

[GSI:290,1; text: Dupli, Quadrupli, Sescupli, Octupli, II, IIII, XVI, VI, XXXVI, VIII, LXIV] [ODORHY 02GF]

Ex parte parium sunt hi pedites. Superparticulares isti, id est medii, qui et comites.

[GSI:290,2; text: Sesquialteri, Sesquiquarti, Sesquisexti, Sesquioctavi, VIIII, VI, XXV, XX, XLVIIII, XLII, LXXXI, LXXII] [ODORHY 02GF]

Superpartientes dicuntur maximi, qui et duces.

[GSI:290,3; text: Superbipartiens, Superquatuorpartiens, Supersexpartiens, Superoctopartiens, XXV, XV, LXXXI, XLV, CLXVIIII, XCI, CCLXXXIX, CLIII] [ODORHY 02GF]

Superbipartiens est XXV. ad XV. habet enim XXV. XV. in se, et eius partes duas, id est X. Quae X. adde ad XV. et erunt XXV. Superquatuorpartiens est LXXXI. ad XLV. quia LXXXI. habet XLV. in se, et eius quatuor partes; nam si dividas XLV. in quinque partes, unaquaeque pars erit novenarius, quarum unum novenarium abiice, et remanent XXXVI. quae XXXVI. si ad XLV. addideris, LXXXI. faciunt. Supersexpartiens est CLXVIIII. ad XCI. nam si dividas XCI. in septem, unaquaequepars erit XIII. quarum partium XIII. unam abiice, et remanent LXXVIII. quae superpone illis XCI. et faciunt CLXVIIII. Superoctopartiens est CCLXXXIX. ad CLIII. quae CLIII. si in novem dividas, uniuscuiusque partis erit XVII. tunc omitte unum XVII. et remanent CXXXVI. Hos adde ad CLIII. et faciunt CCLXXXIX. Ex parte imparium sunt pedites isti numeri.

[291] [GSI:291,1; text: Tripli, Quincupli, Septupli, Nonupli, VIIII, III, XLIX, XXV, V, VII, LXXXI, IX.] [ODORHY 02GF]

Superparticulares sunt isti numeri, id est, medii et comites.

[GSI:291,2; text: Sesquitertii, Sesquiquinti, Sesquiseptimi, Sesquinoni, XVI, XII, XXX, XXV, LXIIII, LVI, C, XC] [ODORHY 02GF]

Superpartientes sunt isti, id est, medii et maximi, qui et duces.

[GSI:291,3; text: Superbipartiens, Superquadripartiens, Supersextipartiens, Superoctipartiens, XXV, XV, LXXXI, XLV, CLXIX, XCI, CCLXXXIX, CLIII.] [ODORHY 02GF]

Supertripartiens est XLVIIII. ad XXVIII. quater enim VII. faciunt XXVIII. quarum VII. unam dimitte, et remanent XXI. quos superpone illis XXVIII. et faciunt XLVIIII. Superquinque partiens est CXXI. ad LXVI. Nam LXVI. si diviseris in sex aequales partes, unaquaeque pars erit XI. quarum partium unam XI. reiice, et remanent LV. quos si addideris ad LXVI. faciunt CXXI. Superpartiens (lege superseptipartiens) est CCXXV. ad CXX. nam si CXX. in octo partiris, unaquaeque pars erit XV. quarum unam XV. omitte, et remanent CV. quos si ad CXX. adposueris, erunt CCXXV. Supernonipartiens CCCLXI. ad CXC. nam CXC. si dividas in decem partes, cuiusque partis erit XVIIII. si unum XVIIII. abieceris, remanent CLXXI. quos si addas ad CXC. efficiunt CCCLXI.

[GSI:291,4; text: Supertripartiens, Superquinquepartiens, Superseptipartiens, Supernovipartiens, XLVIIII, XXVIII,CXXI, LXVI, CCXXV, CXX, CXC, CCCLXI] [ODORHY 02GF]

Rhythmimachia graece, numerorum pugna exponitur latine. Inde autem rhyhtmimachia dicitur, quod instar geminae aciei invicem bello certantis in tabula ad hoc apta, velut in quadam campi planitie, par imparque numerus, quasi invicem dissentiunt, et singuli cum suis trium generum speciebus, scilicet multiplicis, superparticularis, superpartientis, usque ad decuplae proportionis summam contrariis partibus propriis progressi e sedibus confligunt. Nam quisquis scire velit, quid in se arithmeticalis contineat pagina, inventi huius inspice in tabula:

[292] [GSI:292; text: III, V, VII, VIIII, XVI, XII, VIIII, XXV, XLIX, LXXXI, XC, C, CXVIII, LXVI, XXXVI, XXX, LVI, LXIV, CC, CIX, CXXI, CCXXV, CCCLXI, Linea Victoriae. VIII, VI, IV, II, LXXII, LXIIII, XVI, IIII, VI, CLII, CXI, XLII, XX, CCLXXXIX, CLXIX.] [ODORHY 03GF]

In ea certe invenies argumentum, maximum in se arithmeticae continentem fructum. Recte namque debet dici argumentum, quia et auribus sonat, et ipsa rei veritate probatur argutae mentis inventum: ubi una eademque numerorum, paris videlicet imparisque invicem concorditer discordantis, subtili delectamur certamine. Si enim diligentius inspiciamus intimo mentis intuitu, quod nobis utile lateat numeri vel multiplicatione, clarebit perlucide, in his maximam, ut supra dixi, arithmeticae disciplinam fructificare; in his etenim difficili proportionum ad si invicem habitudine omnem monochordi mensuram, vel etiam omnis cuiuscumque musici instrumenti symphoniam consonare: in his quoque rationes in divinae lectionis expositionem multimodis utiles constare. Nos vero velut rudes intellectu, qui huius novellae plantationis nondum satiamur fructu, ipsius tamen pomi dulce fragrantis per ipsius exteriorem non dulcedinem interiorem palati [293] adhuc esurientis summatim praelibavimus gustu tanti favi mel interius latens, tantae scilicet artis subtilitatem non suppetit facultas singillatim exponere; apum enim repellimur aculeis, ne desiderata valeamus percipere, ipsarum videlicet rhythmimachiae diversarum proportionum gravi reiicimur condilomate, ne ad huius scientiae secretiora possit pertingere.

Tentemus saltem leviora, quibus haud posse subest prius discutere difficiliora, nec nisu temerario ea, quae ipse huius artis panditor studiose investigata, ut omnium liberalium artium imbutus scientia, notitiam futurorum stylo haud parvipendendo patefecit, repetamus. Sed salva ipsius personae auctoritate ex eiusdem et scriptionis prato flosculos mellifluos legentes, nostrae ignorantiae utiles recondamus. Caeteras vero rhythmimachiae normas ibidem pleniter subtitulatas memoriae non subtrahamus. Ibi namque praelibati conflictus certamen, si quod libeat, poteris cognoscere: ibi quot generum speciebus hic par in impar numerus distinguatur, valebit inspicere: quot etiam camporum spatiis, vel etiam quas in partes singulas liceat species producere, qui minoris formae, qui rotundae quive quadratae debeant existere; qualiter etiam singulari numeri dum contrariis insidiantur, seipsos metiantur cum camporum intercapedine: ad ultimum, quomodo quis advincere tendens in ipsa numerorum constitutione debeat constituere, sicque ad perfectam victoriam tendere.

His itaque omnibus in praelata lectione certa sede, certo motu, certa victoria fine legitimo dispositis deterosi quid restare cernitur intractatum vel nobis minus proficuum, in quo noster titubet affectus. In hoc enucleando licet stolide noster iam acuetur effectus, de trium generum speciebus nostra solertia videat, quomodo prima sui multiplicatione crescat; penultima quali ad sese habitudine numero numerum comparet; ultima quomodo sese proportionaliter augeat, et insuper plus reliquis sibi aliquid superaddendo, sui dignitate et numerositate caeteros superexcellat.

Secundum arithmeticam multiplex genus est, cum numerus numero comparatus illum, cui comparatus est, in se habet plusquam semel: huius generis numeri sunt a pari II. IIII. VI. VIII. e totidem nimirum numeris, quos binarius duplo, quaternarius quadruplo, senarius sexcuplo, octonarius octuplo in sese multiplicatos quasi sociali copulatione sibi asciscunt.

Hic notandum, quod unitas totius pluralitatis genitrix naturaliter singularis nullam recipiat paritatis et imparitatis sectionem, quia paritate sibi propria caeteris principaliter extans sui dignitate, minorari vel augeri nesciens unitas perseverat. Et ut ad proposita redeamus, quod superius protulimus exempli causa, ipsius multiplicationis opere apertius expergendo discutiamus sic. Bis duo sunt quatuor; ecce habes duplas, id est, quatuor ad duo; habet enim quaternarius binarium duplo in se. Quater quatuor sunt XVI. ecce quadruplos, id est XVI. ad IIII. continent namque XVI. quater quaternarium in se. Sexies sex sunt XXXVI. ecce sexcuplos, id est, XXXVI. ad VI. habent enim XXXVI. in se sexies sex. Octies octo sunt LXIV. ecce habes [294] octuplos, id est, sexaginta quatuor ad octo; continent namque LXIV. in se octies octo. In constitutione autem tabulae horum semper binos, multiplicatorem et multiplicatum coniunctius campis sibi institue, ut verbi gratia IV. cum II. XVI. cum IV. XXXVI. cum VI. LXIV. cum VIII. concordantes studeas constituere. Haec breviter memorasse sufficiat de genere multiplici: iam aliquid enucleare conemur de superparticulari.

Superparticularis dicitur numerus numero comparatus, quotiens maior in se continet numerum minorem, et insuper eius aliquam partem. Si enim maior numerus minorem totum habeat, et insuper eius medium, hemiolios, id est, sesquialter vocatur; si eius tertiam, sesquitertius. Similiter per omnes numeros, usque dum habeat eius nonam partem, qui vocatur sesquinonus. Ut autem omnium quatuor proportionum a paribus procedentium priores adquiras numeros, per ipsos pares superius multiplices adiacentes eius multiplica numeros, hoc est, per II. III. IV. V. VI. VII. per VIII. VIIII. hoc modo: Bis tres faciunt sex: iste est prior sesquialterae proportionis numerus. Quater V. sunt XX. et hic prior sesquiquartae. Sexies septem XLII. hic est prior sesquisextae. Octies novem sunt LXXII. et hic prior sesquioctavae proportionis numerus.

Si vero facilius et naturalius eosdem numeros velis reperire, omnes pares, quos superius in multiplici genere singulos in sese multiplicasti, multiplicatorem et multiplicatum compone sic: ad sesquialteram II. et IIII. iunge, et fiunt VI. ad sesquiquartam IIII. et XVI. et erunt XX. ad sesquisextam VI. et XXXVI. et fiunt quadraginta duo, ad sesquioctavam VIII. et LXIV. fiunt LXXII. Et qui ipsarum proportionum priores, ut ita dicam, syllabas adeptus es, oportet etiam, ut earum tibi adquiras proportionales. Istis igitur, quos tibi adquisisti, numeris singulis totam partem sui adiungere memento, quota fuerit ipsa, de qua agitur, proportio. Verbi gratia: si agitur de sesquialtera, alteram, id est, mediam partem sui adiunge: si de sesquiquarta, quartam: si de sesquisexta, sextam: si de sesquioctava, octavam. Hoc autem, quod dico, sic fiet: senario, quem sesquialterae proportionis priorem adeptus (es), medietatem suam, id est, tres adiice, et fiunt VIIII. qui est proportionalis ei; novenarius enim habet totum VI. in se, et eius medietatem, id est, ternarium. Ecce habes perfectam sesquialteram proportionem, id est, VIIII. ad VI. Similiter ad XX. quem sesquiquartae priorem adquisisti, adiunge quartam partem sui, id est V. fiunt XXV. qui est ei proportionalis; habet enim XXV. totum XX. in se, et eius quartam partem, id est, V. Ecce est perfecta sesquiquarta proportio, id est XXV. ad XX. Sic de aliis.

Nunc ad superpartientes numeros transeamus. Constat enim, quia maior numerus minorem duabus tertiis supercrescit, cum dicitur superbipartiens, subaudiri tertias necesse est. Quia igitur a binario oritur superbipartiens, et subaudis tertias, II. et III. per eundem subauditum ternarium multiplica, et quae summa inde excrevit, prior numerus erit in [295] proportione ipsa. Quod si experiri libuerit, quomodo geminetur a superparticularibus, nihil refert, quin idem tibi crescat numerus. Sesquialteram proportionem, VI. et VIIII. compone, fiunt XV. qui est prior superpartientis numerus. Huic tertiam partem sui, id est, V. bis augebis, et fiunt XXV. haec superbipartiens proportio, id est, XXV. ad XV. Sesquiquartam XXV. et XX. insimul pone, fiunt XLV. Eidem sui quintam partem adhibe, erunt LXXXI. Sic de aliis facies, iungendo sesquisextam, et octavam invenies. Sunt igitur impares multiplicis generis, ternarius, quinarius, septenarius, novenarius. Hi suos proportionales educent sic: ter ter sunt novem. Isti sunt tripli. Quinquies quinque sunt XXV. isti sunt quincupli, hoc est XXV. ad V. Septies VII. sunt XLVIIII. hi sunt septupli, id est XLVIIII. ad VII. Novies novem LXXXI. hi sunt nonupli, id est, LXXXI. ad VIIII.

De variis tamen figuris, quae ibidem multimode disponuntur, pyramides tantum et bases et basis latera in rhythmimachia, quali numero positione fiant, opportunum videtur depromere. Disponuntur itaque rhythmimachia pyramides duae, una a paribus, altera ab imparibus, quarum prior perfecta, altera vocatur ter curta. Perfecta pyramis est XCI. oritur a XXXVI. qui numerus idcirco eius basis dicitur, eo quod ipsa pyramis quasi columna basi imposita supra basin innitatur. Erigitur autem ipsa pyramis super basi a VI. usque ad unitatem, singulis numeris in se multiplicatis hoc modo: sexies VI. XXXVI. quinques V. XXV. quater quatuor XVI. ter III. sunt VIIII. bis duo sunt quatuor: semel unus est unus. Hi omnes numeri in summam coacti fiunt XCI. Haec perfecta pyramis, et ut Boetius ait, iste numerus, qui horum coniugatorum numerorum est maior et ultimus; necesse est enim, ut huius pyramidis sit basis, id est, XXXVI. et quia eadem basis excrescit a senario, ipse senarius, vel omnes numeri, qui eiusdem basis explent summam, basis latera vocantur.

Ter curta autem pyramis, quae a sua basi, id est LXIV. efficitur, a novenario usque ad quaternarium singulis numeris in se multiplicatis sic erigitur. Octies octo LXIV. septies septem XLVIIII. sexies sex XXXVI. quinques quinque XXV. quater quatuor XVI. sunt. Omnis ergo iste numerus in summam collectus efficit ter curtam pyramidem CXC. et quia a quaternario ulterius non erigitur; desunt enim tres numeri, id est, ter tria, bis duo, semel unus: ideo secundum arithmeticam ter curta vocatur. Sunt autem ipsius basis latera octo, et omnes illi, qui basis illius efficiunt quantitatem; habet enim basis latera tot unitates in se, quot unitates singulae continent pyramides in latere.

Finiuntur.