Back to top

[286] Ioannis de Muris tractatus de proportionibus

Proportionum adipisci musicalium a venerandae memoriae magistro Iohanne de Muris, scientiae musicalis expertissimo traditarum notitiam affectantes sequentia sollerter intendant, tamquam principia praesupposita in arbore proportionum generali secutura per divisiones exemplares magis specifice declarata. Sunt etenim quinque proportionum distincta inter se genera, sub et in quibus omnes proportiones generaliter continentur, et sunt haec: multiplex, superparticulare, superpartiens, multiplex superparticulare, multiplex superpartiens.

Quorum primum genus, scilicet multiplex est, quando maior numerus continet in se minorem multipliciter praecise, sicque nihil desit aut supersit, scilicet bis aut ter, aut quater, et caetera, et sic ulterius usque in infinitum. Unde si maior pars numeri continet in se numerum minorem bis, praecise est proportio dupla, sicut duo ad unum, 4. ad 2. 6. ad 3. 8. ad 4. et sic de aliis. Et sub hac proportione est consonantia diapason; fuit enim ipsa consonantia inventa in numeris ponderorum 12. et 6. scilicet quod 12. ponderans ad 6. ponderantem diapason consonantiam faciebat, sicut inferius clarius patescet.

Circa autem haec et infra scripta sciendum est, quod quodlibet quinque generum proportionum praedictorum maiores numeros ad minores proportionantium, possunt aeque bene minores numeri ad maiores proportionari cum hac praepositione sub. Nam sequitur: maior numerus continet in se minorem bis: ergo minor numerus bis continetur in maiori. Si ergo duo ad unum se habeant in proportione dupla, unum ad duo se habebit in proportione sub dupla, et sic de aliis ipso modo. Sic ergo est sub multiplex genus, quando minor numerus continetur praecise in maiori multipliciter, scilicet bis, vel ter, aut quater et cetera ut supra de maiori ad minorem est narratum.

Si autem maior numerus continet in se minorem numerum praecise ter, vocatur proportio tripla, sicut tria ad unum, sex ad duo, novem ad tria; et sic de aliis. Et sub hac proportione est consonantia diapason cum diapente. Nam 12. ad 6. faciunt proportionem duplam, in qua est diapason: sed 18. ad 12. faciunt proportionem sesquialteram, in qua est diapente, et inferius plenius declarabitur. Sed 18. ad 6. se habent in proportione tripla, ut iam dictum est; ergo diapason [287] cum diapente consonantia est in proportione tripla. Infra de his videbitur magis clare.

Si etiam maior numerus continet in se minorem quater, vocatur proportio quadrupla, sicut quatuor ad unum, octo ad duo, 12. ad 3. 16. ad 4. 20. ad 5. et sicut 24. ad 6. et sic de aliis. Et sub hac proportione est consonantia duplex diapason, habent se enim 12. ad 6. facientes diapason in proportione dupla: similiter 24. ad 12. facientss aliam diapason in proportione dupla; ergo 24. ad 6. facientes bis diapason in quadrupla proportione.

Similiter autem et si minor numerus contineatur in maiore ter, vocatur proportio subtripla, sicut unum ad tria, duo ad sex, tria ad novem, et sic de aliis. Si vero minor numerus in maiore contineatur quater praecise, vocatur proportio subquadrupla, sicut 1. ad 4. | 2. ad 8. | 3. ad 12. | et ita de aliis. Idem et eodem modo debet intelligi de proportionibus quintupla, subquintupla; sextupla, subsextupla et cetera usque in infinitum.

Secundum vero genus vocatur superparticulare, vel subsuperparticulare: et est genus superparticulare, quando maior numerus continet in se minorem tantum semel, et aliquam vel aliquotam partem eius praecise. Genus autem subsuperparticulare est, quando minor numerus totus cum eius aliqua parte aliquota praecise continetur semel in maiori. Circa quod notandum est, quod pars aliquota vocatur illa, quae aliquem numerum multiplicat, vel aliquotiens sumta reddit suum totum praecise: seu cuius resumtio totum, cuius est pars, praecise potest reddere, sicut unitas quemlibet numerum similem, et binarius quemlibet numerum parem. Unde si maior numerus continet in se minorem totum et eius alteram partem, id est, mediam partem, vocatur proportio sesquialtera, sicut 3. ad 2. | 6. ad 4. | 9. ad 6. et ita de aliis. Et sub hac proportione est consonantia diapente; fuit enim ipsa consonantia inventa in numeris ponderum 9. et 6. ut scilicet 9. ponderans ad 6. ponderantem diapente consonantiam resonabat; de quibus inferius plus dicitur. Similiter si minor numerus cum eius altera seu media parte continetur in maiore, vocatur proportio subsesquialtera, sicut 2. ad 3. | 4. ad 6. | 6. ad 9. et sic de aliis.

Si vero maior numerus continet in se minorem semel totum, et eius tertiam partem, vocatur proportio sesquitertia, sicut 4. ad 3. | 8. ad 6. | 12. ad 9. et sic de aliis. Et sub hac proportione est diatessaron: nam ipsa fuit inventa in numeris ponderum 8. et 6. videlicet quod 8. ponderans ad 6. ponderantem diatessaron faciebat; Specialius de hoc infra. Similiter si minor numerus cum eius tertia parte praecise contineatur in maiore, vocatur subsesquitertia proportio, sicut 3. ad 4. | 6. ad 8. | 9. ad 12. et sic de aliis.

Si vero maior numerus continet in se minorem et eius quartam partem, vocatur proportio sesquiquarta, sicut 5. ad 4. | 10. ad 8. et cetera et si e converso, erit proportio subsesquiquarta. Sic eodem modo potes procedere ulterius. Nam si quintam partem, sesquiquinta, [288] et e contrario subsesquiquinta; si sextam, sesquisexta, et e contrario subsesquisexta; si septimam, sesquiseptima, et e contrario subsesquiseptima. Si vero octavam partem, sesquioctava proportio vocabitur, sicut 9. ad 8. | 18. ad 16. | 27. ad 24. et sic de aliis. Et sub hac proportione manet tonus, quia ipse fit inventus in numeris ponderum 9. et 8. ut quod 9. ponderans ad 8. ponderantem faciebat tonum; sicut inferius erit clarum atque manifestum.

Tertium vero genus vocatur superpartiens vel subsuperpartiens; et est genus superpatiens, quando maior numerus continet in se minorem semel, et eius insuper partem non aliquotam, sed aliquantam, vel etiam aliquas aliquotas, quae simul tamen sumtae non faciunt unam aliquotam. Genus autem subsuperpartiens est, quando minor numerus totus semel cum eius aliquanta parte, non aliquota, continetur in maiori. Circa quae notandum est, quod pars aliquanta, sicut hic sumitur, seu non aliquota est opposita parti aliquotae. Nam pars aliquanta est illa, quae per quemcumque numerum multiplicata non reddit suum totum praecisse, sed plus vel minus. Et sunt species superpartientis haec, scilicet superbipartiens, supertripartiens, superquadripartiens usque in infinitum, sicut generis multiplicis species sunt dupla, tripla, quadrupla et cetera generis quoque superparticularis species sunt sesquialtera, sesquitertia, sesquiquarta et cetera. Unde si maior numerus continet in se minorem totum semel, et insuper eius duas partes, quae simul sumtae non faciunt aliquam aliquotam partem, vocatur superbipartiens proportio, sicut 5. ad 3. | 7. ad 5. et si fiat e contrario, erit proportio superbipartiens, sicut 3. ad 5. | 5. ad 7. et cetera.

Et est hic advertendum, quotae sint horum huiusmodi partes, scilicet tertiae, quintae vel septimae, et sic ulterius: et primo modo erit proportio superbipartiens tertias, ut 5. ad 3. Si secundo modo, erit proportio superbipartiens quintas, ut 7. ad 5. quae est minor priore, quia tertia pars alicuius maior est quinta eiusdem: et sic ulterius secundum quantitatem partium, et earum quotitatem est proportio denominanda.

Si vero maior numerus continet in se minorem totum semel, et eius tres partes, vocatur proportio supertripartiens, sicut 7. ad 4. quae est superpartiens, quartas, et sicut 8. ad 5. quae est supertripartiens quintas et cetera et e converso subsupertripartiens, sicut 4. ad 7. et cetera. Si autem maior numerus continet in se minorem totum semel et eius quatuor partes, vocatur proportio superquadripartiens, sicut 9. ad 5. quae est superquadripatiens quintas, et sicut 11. ad 7. quae est superquadripartiens septimas, et sic de aliis. E converso vero erit proportio subsuperquadripartiens, sicut 5. ad 9. et sic modo simili in quolibet genere ulteriori est procedendum.

Quartum vero genus est, quod ex multiplici et superparticulari coniungitur, et vocatur multiplex superparticulare, vel submultiplex superparticulare. Et est genus multiplex superparticulare, [289] quando maior numerus continet in se minorem multipliciter et eius insuper aliquam partem aliquotam, vel aliquas non aliquotas, quae tamen simul sumtae reddunt unam partem aliquotam. Genus vero submultiplex superparticulare est, quando minor numerus multipliciter et eius aliqua pars aliquota continetur in maiori. Species autem multiplicis superparticularis sunt haec: dupla sesquialtera, dupla sesquitertia et cetera similiter tripla sesquialtera, tripla sesquitertia et cetera quadrupla sesquialtera et cetera usque in infinitum sic procedendo. Unde si maior numerus continet minorem bis et eius alteram partem, vocatur proportio dupla sesquialtera, ut 5. ad 2. | 10. ad 4. | 15. ad 6. et cetera si tertiam partem, vocatur duplasesquitertia, sicut 7. ad 3. | 14. ad 6. et cetera. Si fiat e converso, erunt proportiones subduplasesquialtera, ut sunt 2. ad 5. et subdupla sesquitertia, ut 3. ad 7. Si vero maior numerus continet in se minorem ter et eius alteram partem, vocatur triplasesquialtera, ut 7. ad 2. | 14. ad 4. et cetera si tertiam partem, vocatur tripla sesquitertia, sicut 10. ad 3. | 20. ad 6. et cetera. Sic e converso, ad subproportionandum minores ad maiores: et sic de aliis usque in infinitum et cetera.

Quintum autem genus vocatur multiplex superpartiens, vel submultiplex superpartiens; et est genus multiplex superpartiens, quando maior numerus continet in se minorem totum multipliciter et eius insuper aliquam partem non aliquotam sed aliquantam, aut plures aliquotas, quae tamen simul sumtae non faciunt aliquotam unam. Et secundum multiplicitatem et quantitatem et quotitatem partium denominanda est proportio, ut: dupla, tripla, quadrupla et ultra, ut: bipartiens, tripartiens, quadripartiens et ultra, ut: tertias, quartas, quintas et cetera usque in infinitum, quae omnes species sunt istius generis. Unde si maior numerus continet in se minorem bis et eius duas partes, vocatur dupla superbipartiens, sicut 8. ad 3. | 16. ad 6. quae est dupla superbipartiens tertias: si tres partes, vocatur dupla supertripartiens, sicut 11. ad 4. | 22. ad 8. et cetera quae est supertripartiens quartas. Si vero maior numerus continet in se minorem ter et eius duas partes, vocatur tripla superbipartiens, sicut 11. ad 3. | 22. ad 6. et cetera si autem tres partes, vocatur tripla supertripartiens, sicut 15. ad 4. | 30. ad 8. et sic de aliis usque in infinitum. E converso autem iuxta supradicta possunt similiter subproportionari minores numeri ad maiores, quia genus submultiplex superpartiens non est aliud, quam quando minor numerus multipliciter, et eius aliquanta pars non aliquota in maiori numero continetur. Nam 3. ad 8. se habent in proportione subdupla superbipartiente, 4. ad 11. in proportione subdupla supertripartiente, et 3. ad 11. se habent in proportione subtripla superbipartiente; et 4. ad 15. in proportione subtripla supertripartiente. Et haec sufficiant generibus proportionum iu generali, quae omnia, quantum ad numeros maiores proportionatos ad minores, poteris in sequenti figura clarius speculari.

[GSIII:290; text: Genus, Multiplex, Superparticulare. Superpartiens. Dupla, Tripla, Quadrupla, Sesquialtera, Sesquitertia, Sesquiquarta, Superbipartiens, Supertripartiens, Superquadripartiens, Quando maior numerus continet in se minorem totum, Quando maior numerus continet in se minorem, et eius, Quando maior numerum continet in se minorem, et eius partes, bis, ut, ter, ut, quater, ut, secundam partem. tertiam partem. quartam partem. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 12. 14. 15. 16. 18. 20. 21. 27. 28. 36.] [MURDEP 01GF]

[GSIII:291; text: Genus, Multiplex superparticulare, Multiplex superpartiens. Dupla, Tripla, Sesquialtera, Sesquitertia. Sesquiquarta. Superbipartiens, Supertripartiens, Superquadripartiens. Quando maior numerus continet in se minorem bis et eius partem, Quando maior numerus continet in se minorem ter, et eius partem, secundam ut, tertiam ut, quartam ut, 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 18. 19. 20. 21. 22. 24. 26. 27. 28. 30. 32. 33. 36. 38. 39. 40. 42. 44. 45. 52. 56. 57. 60. 76.] [MURDEP 02GF]