Back to top

[f.eevir] LIBER QVARTVS.

De Diffinitione: et Distinctione proportionis. Caput primum.

Proportio apud Euclidem est duarum quantaecumque sint eiusdem generis quantitatum certa alterius ad alteram habitudo. Verum Alia rationalis: Alia irrationalis. Proportio rationalis est duarum comensurabilium quantitatum in discreto vel in continuo ad se inuicem comparatio. In discreto quidem vt sex ad quattuor ac teliquae numerorum relationes quorum aliqua datur comunis mensura vtrumque eorum precise conducens: namque binarius ter ductus senarium numerat: bis vero quaternarium: hinc ipsorum dicitur communis mensura. In continuo vero vt linea tripedalis ad lineam bipedalem quarum semipedalis aliquotiens sumpta ambas mensurans dicitur mensura comunis. Atque in ponderibus quantitas nouem vnctiarum ad sex vnctiarum quantitatem quarum pondus trinm vnctiarum noscitur mensura comunis. Huiusmodi quantitates in principio decimi Euclides ipse comunicantes vocat. Irrationalis proportio est duarum quantitatum incommensurabilium inuicem relatio: vt diameter quadrati ad costam eiusdem quorum nulla reperitur mensura comunis ambas ipsas quantitates precise mensurans: quod in septimae propositionis decimi Euclidis expositione Campanus et Albertus in suis proportionibus notissime comprobant. has autem incommensurabiles quantitates Euclides surdas vocat. Verum Irrationails huiusmodi proportio ab Arythmetica consyderatione disiungitur cum omnium numerorum (quod mathematici consentiunt) vnitas saltem sit mensura comunis. Nos tamen Irrationalitatem quandam harmonice consyderantes: et eas quae consona interualla in chordotono illaesa non metiuntur in secundo tertij theoricae Irrationales proposuimus (non incongrue quidem) namque ipsarum dimensionum nulla dignoscitur mensurae comunis integritas. vt in harmonici instrumenti descriptione probabimus. Cum igitur Arythmetica proportio in numeris constet: Geometrica in continuis: [fig. LYRA CONSTRVXIT AMPHION MVROS THEBANOS, ARION INTER DELPHINAS, ORPHEVS IN SILVIS, in marg.] [f.eeviv] Sterometrica in libratione ponderum: quae et a nonnullis geometricae ascribitur: Musica proportio (earum particeps) mutua consyderatione procedit. Ducibus namque numeris in chorda sonora quae continua est sonos disponit vt in quinto theoricae proposuimus: latiusque in eo opere dicemus quod de harmonico Instrumento secundum diuersa genera descripturi sumus. Rursus numerorum opera (quod presentis loci est) sonos complectitur secundum temporis successionem. Inde duplicem proponimus musicae proportionis effectum: primum in sonorum dispositione per consona interualla (quod theorici est) alterum in ipsorum temporali quantitate sonorum per notularum numeros: qui actiuae seu practicae ascribitur consyderationi. in quocunque igitur genere sermo noster rationali immorabitur proportione quoniam in vniuscuiusque proportionis terminis aliqua (saltem vnitas) consistit mensura comunis. Consyderatur plerumque proportio et in potentijs vt Albertus et Ioannes Marlianus in suis proportionibus comprobant: [Albertus. Io. Marlianus. Plato, Philosophi, Aristoteles in marg.] plerumque etiam in locis et temporibus vt Plato in Thimeo et omnis Philosophorum scola consentiunt inquantum scilicet aliquid maius est altero vel ei aequale: quod proprium quantitatis est vt testatur Aristoteles in predicamentis. Qua re primo proportionem quantitati discretae et continuae: inde sonis: locis: temporibus: ponderibus ac potentijs inesse necessum est. Est et proportio aequalitatis duarum quantitatum aequalium inuicem respectus vt duorum ad duo: et Lineae bipedalis ad lineam bipedalem. Inaequalitatis autem proportio est duarum inaequalium quantitatum ad inuicem relatio vt quattuor ad tria: et lineae tripedalis ad bipedalem. Harum autem inaequalium proportionum alia maioris inaequalitatis dicitur quum scilicet maior quantitas minori coaequatur per relationem. Vt quattuor ad tria. Alia minoris inaequaliatis: quum minor quantitas maiori coaequatur in relatione vt tria ad quattuor. [Quid sit proportio in notulis in marg.] Erit igitur in cantilenis inaequalitatis proportio aequiualens maioris consimilium notularum numeri cum minore: vel minoris cum maiore in diuisione et pronuntiatione mensuratio vt hic patet.

[Gafurius, Practica musice, f.eeviv; text: CANTVS] [GAFPM4 01GF]

[f.eevijr] [Gafurius, Practica musice, f.eevijr,1; text: TENOR] [GAFPM4 01GF]

Constat enim ex superiore proportionis diffinitione (vt et in disposito concentu percipitur) figuras seu notulas omnes sibi consimilibus nomine et quantitate in quacunque proportione comparari: puta semibreues minoris prolationis semibreuibus minoris prolationis: ac breues temporis perfecti breuibus temporis perfecti. Quod si secus disposita fuerit proportio vt (exempli gratia) sesqualtera in acutiore concentus parte tres breues temporis perfecti connumerans duabus breuibus temporis imperfecti in tenore dispositis absurdam senties sesqualteram huiusmodi consyderationem cum tres ipse breues temporis perfecti duabus breuibus temporis imperfecti in quantitate disentiant: nanque si earum partes quae inuicem in quantitate conueniunt proportionabiliter conspexeris videlicet nouem semibreues minoris prolationis quattuor semibreuibus eiusdem minoris prolationis: non vtique sesqualtera quae proprijs numeris signata est sed duplam sesquiquartam propottionem inuenies: atque id Idem proueniet quum tres maioris prolationis semibreues duabus minoris prolationis semibreuibus secundum sesqualteram ipsam duxeris coaequandas: quod presens probat concentus.

[Gafurius, Practica musice, f.eevijr,2; text: CANTVS, TENOR] [GAFPM4 01GF]

[f.eevijv] Debet autem omnis proportio in numerabili notularum dispositione proprijs numerourm characteribus describi: quo dubium ac dilatio discretionis absistat. namque si vnico numeri charactere proportionem signaueris: puta ternario sesqualteram (quod aliorum pace dixerim) ternarius ipse non modo ad binarium ad quem sesqualteram monstrat: sed et ad vnitatem in tripla: et ad quaternarium in subsesquitertia: atque ad reliquos singulos pro instituentis arbitrio eodem modo posset comparari. Sic igitur describendi sunt proportionum termini inter notulas vt numerus alteratus superponatur recto ac precedenti termino hoc modo 3/2 sive clarius dixero numerus reducibilium notularum superscribatur numero proxime praecedentis numerositatis ad quem reductiur. atque ita clara et notissima erit disposita in cantilenis proportio: quae veluti quum praecedentem temporis vel prolationis numerositatem respexerit: naturalem consequetur numerorum proportionabilium consyderationem: ita quoque si (verbi gratia) inter notulas concentus acutioris ascripta sit ad alteriusque partis (puta tenoris) notularum numerositatem deducta: eandem pariter naturalem numerorum dispositionem imitatione conspiciet. Secus autem quum tenor et concentus dispari fuerint quantitate dispositi. In reliquis quoque cantilenae partibus ad se inuicem conducendis: idem consyderandae proportionis modus eueniat necesse est.

De Quinque generibus proportionum maioris et minoris inaequalitatis. Caput secundum.

Maioris inaequalitatis proportio quinque modis procedit: aut enim maior numerus minorem pluries compraehendit precise et tunc multiplex dicitur vt .6. ad .2. et .4. ad .1. et .5. ad .1. Aut maior compraehendit minorem semel et insuper ipsius minoris vnam aliquotam partem et dicitur Epimoria seu Superparticularis vt .3. ad .2. et .4. ad .3. et .5. ad .4. Aut maior continet minorem semel et insuper vnam ipsius minoris partem aliquantam ex pluribus aliquotis ductam et dicitur superpartiens vt .5. ad .3. et .7. ad .4. et .9. ad .5. et .11. ad .6. Aut maior numerus continet pluries minorem cum aliquota ipsius parte et dicitur multiplexsuperparticularis vt .5. ad .2. et .7. ad .3. et .9. ad .4: Aut maior habet in se minorem pluries et vnam partem non aliquotam pluribus tamen aliquotis factam et dicetur multiplexsuperpartiens vt .8. ad .3. et 11. ad .4. et .14. ad .5. et .11. ad .3. Sunt enim quinque huiusmodi consyderationes generalia proportionum nomina quibus infinitae species conueniunt vt ex tertio Theoricae constat et in sequentibus singilatim apperiemus. Harum autem maioris inaequalitatis proportionum effectus notulas quibus preponuntur [f.eeviijr] in cantilenis minuunt secundum ipsius proportionis naturam idcirco quod maior notularum numerus coaequatur minori. Sunt et minoris inaequalitatis proportionum quinque genera predictis opposita ijsdem quoque vocabulis cum praepositione sub nuncupata: vt Submultiplex. Subsuperparticulare. Subsuperpartiens. Submultiplexsuperparticulare. Submultiplexsuperpartiens. Horum autem et species sunt infinitae: quarum denominationibus non incongruit praepositio sub. vt in sequentibus declarabitur. earum enim proprietates notulas quibus praeponuntur adaugent secundum vniuscuiusque naturam et effectum. quoniam igitur minoris huiusmodi inaequalitatis genera maioris inaequalitatis generibus opponuntnr eandem sapiunt naturam incontrariam scilicet consyderationem: namque contrariorum eadem est disciplina. Submultiplex enim opponitur Multiplici. Subsuperparticulare Superparticulari et reliqua eodemmodo. Notanter dicimus submultiplex opponi multiplici: quia quod vnum efficit opposito succedente destrutitur vt his dispositionibus comprobatur. 121. 232. 353. 252. 383. sunt enim extremi termini inuicem aequales.

De Genere multiplici et eius speciebus. Caput tertium.

Multiplex genus est quum maior numerus comparatus et superpositus minori compraehendit ipsum intra se pluries precise: vt bis vel ter vel quater et deinceps. quod si bis maior continet minorem dicitur proportio dupla vt 2 ad 1 et 4 ad 2 et 6 ad 3 haec enim prima species est multiplicis generis: in qua maior notularum numerus aequiualet minori: ita vt vnaquaeque notula maioris dimidia sui quantitate minuatur: figuratur enim in cantibus hoc modo 2/1 4/2 6/3 quod presentis concentus descriptione notatur.

[Gafurius, Practica musice, f.eeviijr; text: CANTVS, TENOR] [GAFPM4 01GF]

[f.eeviijv] Quod si subdupla proportio duplae ipsi contraria eam fuerit inter notulas immediate subsecuta nullo temporis signo interposito quod naturalem eius potentiam impediat ipsa statim dupla destruetur et sequentes notulae secundum priorem (ante scilicet duplae descriptionem) computabuntur numerositatem: propter extremorum in ipsis proportionibus oppositis dispositam aequalitatem vt hoc probatur exemplo.

[Gafurius, Practica musice, f.eeviijv; text: CANTVS, TENOR] [GAFPM4 02GF]

Destruitur item omnis proportio quum post proportionatas notulas fuerit signum temporis perfecti vel imperfecti dispositum. Solent et nonnulli duplam ipsam proportionem sola binarij numeri ziphra describere: quod ratione de sesqualtera in primo capite dicta erroneum videtur: cum proportio fit duorum numerourm ad se inuicem consyderatio. Plerumque autem per canonem et sine numeris denotatur in cantibus proportio dupla puta hac descriptione diminuitur in duplo. ac reliquae pariter multiplices congrua canonis annotatione. Quandoque autem per aequalia signa in singulis partibus cantilenae disposita inaequalis describitur proportio: vt exempli gratia si notauero omnes cantilenae partes videlicet concentum: tenorem et contratenorem vno eodemque proportionis signo puta sub semicirculo qui imperfecti temporis ac binariae semibreuium connumerationis signum [f.ffir] est. solo binarij numeri charactere pro dupla proportione disposito: vt hoc concentu percipitur.

[Gafurius, Practica musice, f.ffir,1; text: CANTVS, TENOR, CONTRATENOR] [GAFPM4 02GF]

Sic enim sumenda est huiusmodi concentus consyderatio: vt notulae acutioris ad tenoris vel contratenoris notulas vel econuerso secundum aequalitatis proportionem consimili signo hinc inde descriptam minime conducantur. verum potius cuiuscunque partis notulas in duplo velociores consimilibus imperfecti temporis signo praesuppositis: tanquam praecedentibus in proportione censeo computandas. quod et Olreghem in cantilena Lautredantan disposuit hoc modo. [Olreghem in marg.]

[Gafurius, Practica musice, f.ffir,2; text: CANTVS, TENOR, CONTRATENOR] [GAFPM4 02GF]

Nec tamen solius numeri dispositionem in proportionis demonstratione non egre fero: namque praetractum est proportionem minus quam in duobus terminis non posse constitui.

De proportione tripla.

Tripla proportio secunda multiplicis generis species fit quum maior sequentium notularum numerus comparatus et superpositus minori praecedentium refertur et coaequatur ipsi minori compraehendens ipsum ter in se precise vt .3. ad .1. [f.ffiv] et .6. ad .2. et .9. ad .3. et deinceps. In hac proportione tres notulae aequiualent vni sibi ipsis nomine et quantitate consimili: ita vt vnaquaeque ipsarum trium diminuatur de duabus tertijs partibus propriae quantitatis. Figuratur autem in cantilenis hoc modo 3/1 vel sic 6/2 vel 9/3 quod praesens declarat concentus.

[Gafurius, Practica musice, f.ffiv,1; text: CANTVS, TENOR] [GAFPM4 03GF]

Quod si in figuris seu notulis post triplam proportionem disposita fuerit subtripla quae ei contraria est: tripla ipsa mox destruetur: et notulae sequentes ipsam subtriplam ad priorem notularum quae scilicet ante triplam fuerat reducentur consyderationem. Id quoque ex singulis oppositis producitur quum sese inuicem immediateae subsequuntur: namque extremorum semper aequalitas pernotatur: vt hoc disponitur concentu.

[Gafurius, Practica musice, f.ffiv,2; text: CANTVS, TENOR] [GAFPM4 03GF]

[f.ffijr] De Proportione quadrupla.

Quadrupla proportio tertia multiplicis generis species fit quum maior sequentium notularum numerus ad minorem praecedentium numerum relatus coaequatur ipsi minori: continens ipsum quater precise vt .4. ad .1. et .8. ad .2. et .12. ad .3. In hac enim proportione quattuor notulae vni et nomine et quantitate sibi ipsis consimili computantur et aequiualent: ita vt singulaquaequae ipsarum quattuor minuatur de tribus quartis partibus sui quantitatiui valoris. Et describitur inter notulas hoc modo 4/1 8/2 12/3 vt hac concentus dispositione notatur.

[Gafurius, Practica musice, f.ffijr,1; text: CANTVS, TENOR] [GAFPM4 03GF]

Disposita autem immediate in notulis subquadrupla quod quadruplae contrarium operetur effectum mox quadrupla ipsa obruet: vt hoc constat exemplo.

[Gafurius, Practica musice, f.ffijr,2; text: CANTVS, TENOR] [GAFPM4 03GF]

[f.ffijv] De Proportione quintupla.

Quintupla proportio quae quarta multiplicis generis est species fit quum maior sequentium notularum numerus minorem praecedentium in se compraehendit quinquies precise: ipsi minori aequiualens in potentia: vt .5. ad .1. et .10. ad .2. et .15. ad .3. In hac proportione quinque notulae aequiualent in pronunciatione ac temporis mensura vni sibi ipsis et nomine et quantitate consimili: ita vt vnaquaeque ipsarum quinque minuatur de quattuor quintis partibus propriae potentiae. atque describitur in notulis hoc modo 5/1 10/2 15/3 ut hic patet.

[Gafurius, Practica musice, f.ffijv,1; text: CANTVS, TENOR] [GAFPM4 04GF]

[Nota in marg] Erit quoque et in caeteris proportionibus maioris inaequalitatis cuiuscumque generis generaliter admittendum vnamquamque notulam maioris numeri de tot propriae numerositatis particulis esse minuendam quot fuerint vnitates in amborum terminorum differentia dispositae: vt exempli gratia: quoniam quinarius numerus ad vnitatem proportionem quintuplam perficit: propria vniuscuiusque vnitatis in quinario compraehensae numerositas erit ipsa quinaria ita vt vnaquaequae earum in quinque diminutas partiunculas distinguatur: At cum quinarij ad vnitatem differentiam efficiat quaternarius singulaequaeque vnitates quinarij de quattuor quintis partibus propriae quantitatis aequaliter minuuntur. Estque consimilis in caeteris adhibenda consyderatio. Disposita autem in notulis per immediatam consequentiam subquintupla subsequentes notulae ad priorem remeabunt dispositionem vt hic patet.

[Gafurius, Practica musice, f.ffijv, 2; text: CANTVS] [GAFPM4 04GF]

[f.ffiijr] [Gafurius, Practica musice, f.ffiijr,1; text: TENOR] [GAFPM4 04GF]

De proportione sextupla.

Sextupla proportio quinta multiplicis generis species fit quum maior sequentium notularum numerus ad minorem praecedentium relatus: eum in se compraehendit sexies precise: et aequiualet ei in quantitate et temporis mensura vt .6. ad .1. et .12. ad .2. et .18. ad .3. Sex enim notulae secundum hanc dispositionem vni sibi consimili aequiualent et coaequantur ita vt singulaequaequae ipsarum sex diminuantur de quinque sextis partibus sui quantitatiui valoris. Describitur enim in notulis hoc modo 6/1 12/2 18/3 quod hoc monstratur exemplo.

[Gafurius, Practica musice, f.ffiijr,2; text: CANTVS, TENOR] [GAFPM4 04GF]

Si autem subsextupla proportio post sextuplam fuerit immediate disposita tunc sextupla dirimetur vt hoc constat concentu.

[f.ffiijv] [Gafurius, Practica musice, f.ffiijv,1; text: CANTVS, TENOR] [GAFPM4 05GF]

De Proportione septupla.

Septupla proportio sexta multiplicis generis species fit quum maior sequentium notularum numerus ad minorem praecedentium relatus continet eum septies precise: aequiualens ipsi in quantitate et mensura vt .7. ad .1. et .14. ad .2. et .21. ad .3. Septem enim notulae hoc modo commensurantur vni sibi consimili ita vt vnaquaeque ipsarum septem diminuatur de sex septenis partibus sui valrois. Et figuratur in cantibus hoc modo 7/1 14/2 21/3 quod praesens concentus elucidat.

[Gafurius, Practica musice, f.ffiijv,2; text: CANTVS] [GAFPM4 05GF]

[f.ffiiijr] [Gafurius, Practica musice, f.ffiiijr,1; text: TENOR] [GAFPM4 05GF]

Quod si post septuplam fuerit immediate apposita subseptupla quae ipsi opposita est: tunc septupla ipsa destruetur vt hoc percipitur concentu.

[Gafurius, Practica musice, f.ffiiijr,2; text: CANTVS, TENOR] [GAFPM4 05GF]

De Proportione octupla.

Octupla proportio quae multiplicis generis septima sepecies est in ordine: fit quum maior subsequentium notularum numerus ad minorem praecedentium notularum numerum relatus compraehendit ipsum octies in se precise aequiualens ei in potentia: vt .8. ad .1. et .16. ad .2. et .24. ad .3. Haec enim proportio octo notulas vni sibi ipsis consimili aequifacit ita vt vnaquaequae ipsarum octo minuatur de septem octauis partibus propriae quantitatis. et figuratur in cantilenis hoc modo 8/1 16/2 24/3 vt hoc constat exemplo.

[f.ffiiijv] [Gafurius, Practica musice, f.ffiiijv,1; text: CANTVS, TENOR] [GAFPM4 06GF]

Disposita autem immediate post octuplam suboctupla: quoniam ipsi octuplae opposita est: octupla ipsa mox euanescet: ut hic patet.

[Gafurius, Practica musice, f.ffiiijv,2; text: CANTVS, TENOR] [GAFPM4 06GF]

De Proportione nonupla.

Nonupla proportio octaua multiplicis generis species: fit quum maior sequentium notularum numerus ad minorem praecedentium ductus compraehendit eum nonies in se precise et coaequatur ei in quantitate et mensura: vt .9. ad .1. et .18. ad .2. et .27. ad .3. Nouem enim notulae in hac proportione vni sibi ipsis consimili aequiualent: ita vt signulaquaequae ipsarum nouem de octo nonis partibus propriae quantitatis diminuatur. Et in notulis describitur hoc modo 9/1 18/2 27/3 vt hic patet.

[f.ffvr] [Gafurius, Practica musice, f.ffvr,1; text: CANTVS, TENOR] [GAFPM4 06GF]

Quod si subnonupla fuerit immediate nonuplam subsequta: tunc nonupla ipsa obmutescet vt hoc percipitur concentu.

[Gafurius, Practica musice, f.ffvr,2; text: CANTVS, TENOR] [GAFPM4 06GF]

De Proportione decupla.

Decupla proportio nona multiplicis generis species fit quum maior sequentium notularum numerus ad minorem praecedentium relatus continet ipsum decies precise et aequiualet ei in potentia et mensura. vt .10. ad .1. et .20. ad .2. et .30. ad .3. In hac enim proportione decem notulae commensurantur vni nomine et quantitate sibi consimili: ita vt vnaquaequae ipsarum decem diminuatur de nouem denis partibus sui quantitatiui valoris: Figuratur quidem in cantilenis hoc modo 10/1 20/2 30/3 quod hoc concentu notissime disponitur.

[f.ffvv] [Gafurius, Practica musice, f.ffvv,1; text: CANTVS, TENOR] [GAFPM4 07GF]

Subdecupla autem proportio post decuplam immediate disposita: ipsam corrumpit et destruit vt hac descriptione percipitur.

[Gafurius, Practica musice, f.ffvv,2; text: CANTVS, TENOR] [GAFPM4 07GF]

Sunt enim huius multiplicis generis species infinitae: quas musicorum diligentiae relinquimus exquirendas.

De Genere submultiplici quod primum est minor inaequalitatis, et eius speciebus. Caput quartum.

Submultiplex genus quod primum est minoris inaequalitatis fit quum minor notularum numerus comparatus et superpositus maiori refertur ad ipsum maiorem: pluries in eo precise compraehensus vt .1. ad .2. et .1. ad .3. et .1. ad .4. et .2. ad .4. et .2. ad .6. et .2. ad .8. et deinceps. Coaequatur enim [f.ffvir] minor numerus maiori: ita vt singulae minoris vnitates augumentum suscipiant de tot propriae numerositatis particulis quot fuerint vnitates terminorum differentiam constituentes: vt verbi causa: si subtriplam his numeris deduxero .3. ad .9. quoniam senarius differentiam implet: vnaquaequae vnitas ternarij augetur de sex tertijs partibus propriae quantitatis. Id quoque euenit in cuntis minoris inaequalitatis generibus. Huius enim submultiplicis generis infinitae sunt species: Prima est subdupla. secunda subtripla: tertia subquadrupla: quarta subquintupla et deinceps.

De Proportione subdupla.

Subdupla proportio fit quum minor sequentium notularum numerus ad maiorem praecedentium relatus continetur in eo bis precise: aequiualens ei in quantitate et mensura vt .1. ad .2. et .2. ad .4. et .3. ad .6. In hac enim prortione vnaquaequae notula minoris numeri aequiualet et commensuratur duabus sibi nomine et quantitate consimilibus ita vt duplum propriae quantitatis acquirat: et describitur in cantilenis hoc modo 1/2 2/4/ 3/6 quod hoc patet concentu.

[Gafurius, Practica musice, f.ffvir; text: CANTVS, TENOR] [GAFPM4 07GF]

[f.ffviv] Solet plerumque haec subdupla proportio a cantoribus canonis descriptione probari: quum ascribitur Crescit in duplo: neque aliter quam vel proprijs characteribus: vel ipso canone (quod nonnullorum pace dixerim) subduplam ipsam in cantilenis sentio disponendam. Verum cum dupla proportio subduplae contraria fit et opposita: si subduplam ipsam immediate fuerit subsecuta: mox subdupla ipsa euanescet et destruetur: quod praesens concentus demonstrat.

[Gafurius, Practica musice, f.ffviv; text: CANTVS, TENOR] [GAFPM4 08GF]

De Proportione subtripla.

Subtripla proportio fit quum minor sequentium notularum numerus ad maiorem praecedentium relatus compraehenditur in ipso ter precise aequipotens ei in quantitate vt .1. ad .3. et .2. ad .6. et .3. ad .9. Haec quidem proportio vnamquamquae minoris numeri notulam tribus sibi consimilibus commensurat: ita vt singulae minoris numeri notulae triplo propriae quantitatis succrescant. Rursus huius canonis descriptione Crescit in triplo potest in cantilenis consyderari. Figuratur autem inter notulas proprijs numerourm characteribus hoc modo 1/3 2/6 3/9 et destruitur a tripla sibi opposita immediate subsequente: vt hoc constat exemplo.

[f.ffvijr] [Gafurius, Practica musice, f.ffvijr; text: CANTVS, TENOR] [GAFPM4 08GF]

De Proportione subquadrupla.

Subquadrupla proportio fit quum minor sequentium notularum numerus ad maiorem praecedentium relatus compraehenditur in ipso quater precise aequiualens ei in potentia. vt .1. ad .4. et .2. ad .8. et .3. ad .12. In hac proportione vnaquaequae notula minoris numeri aequiualet quattuor sibi consimilibus: ita vt quadruplum propriae quantitatis suscipiat. describitur enim in notulis hoc modo 1/4 2/8 3/12 Rursus huius canonis descriptione: Crescit in quadruplo poterit interpretari. Destruitur item a quadrupla sibi opposita: vt huius concentus constat processu.

[f.ffvijv] [Gafurius, Practica musice, f.ffvijv; text: CANTVS, TENOR] [GAFPM4 09GF]

De Proportione subquintupla.

Subquintupla proportio fit quum minor sequentium notularum numerus ad maiorem praecedentium relatus continetur in ipso quinquies precise aequiualens ei in quantitate et mensura. vt .1. ad .5. et .2. ad .10. et .3. ad .15. et .4. ad .20. In hac proportione minor numerus coaequatur maiori: ita vt singulae minoris numeri notulae quintuplo propriae quantitatis concrescant. Consyderatur plerumque hac canonis descriptione Crescit in quintuplo. In cantilenis autem describitur hoc modo 1/5 2/10 3/15 atque destruitur a quintupla sibi opposita: quod praesens comprobat concentus.

[f.ffviijr] [Gafurius, Practica musice, f.ffviijr; text: CANTVS, TENOR] [GAFPM4 10GF]

Reliquas vero submultiplicis generis species consimili consydetatione musicorum solertiae perquirendas relinquimus.

[f.ffviijv] De Genere superparticulari et eius spcciebus. Caput quintum.

Svperparticulare genus quod secundum est maioris inaequalitatis dicitur quum maior sequentium notularum numerus ad minorem praecedentium quem semel tantum cum aliquota ipsius parte compraehendit: noscitur esse comparatus: aequiualens ei in potentia et temporis mensura. Pars aliquota est quae aliquotiens sumpta reddit suum totum precise: vt media quae bis sumpta suum integre numerum implet. et tertia ter sumpta. et quarta quater et deinceps. quod quidem latius constat ex his quae tertio theoricae deducta sunt. Sunt enim huius generis species infinitae. prima est sesqualtera: secunda sesquitertia: tertia sesquiquarta: quarta sesquiquinta et deinceps: quarum ordinem ac processum concipies: quum vnumquemque numerum minori sibi contiguo et proximiori duxeris comparandum: vt ternarium binario et erit sesqualtera. quaternarium ternario eritque sesquitertia: quinarium quaternario sesquiquarta. senarium quinario sesquiquinta: et reliquae eodem modo. In hoc enim genere euenit proportionem minoribus numeris ductam esse maiorem: minorem vero quae maioribus numeris continetur vt sesqualtera .3. ad .2. maior est quam sesquitertia .4. ad .3. haec quoque quam sesquiquarta .5. ad .4. atque in reliquis eadem consyderatio reperitur: nanque dimidia pars maior est quam tertia. et tertia pars quartam vincit: atque quarta quintam excedit: quanto autem sesqualtera superat sesquitertiam: ac sesquitertia sesquiquartam ac reliquae reliquas: In harmoniae instrumentalis descriptione per regulam generalem notissime describemus. Verum huiusmodi epimorias species singillatim naturali ordine prosequamur.

De Proportione sesqualtera.

Sesqualtera proportio fit quum maior sequentium notularum numerus ad minorem praecedentium relatus continet ipsum semel tantum et insuper dimidiam ipsius partem aequiualens ei in quantitate et mensura vt .3. ad .2. et .6. ad .4. et .9. ad .6. et .12. ad .8. In hac proportione tres notulae commensurantur duabus sibi et nomine et quantitate consimilibus ita vt singulaquaequae ipsarum trium diminuatur de tertia propriae quantitatis parte: et figuratur in cantibus hoc modo 3/2 6/4 9/6 quod presens declarat concentus.

[Gafurius, Practica musice, f.ffviijv; text: CANTVS] [GAFPM4 10GF]

[f.ggir] [Gafurius, Practica musice, f.ggir,1; text: TENOR] [GAFPM4 11GF]

Est enim consyderandum: quod si illa pars qua notula in proportione minuitur: fuerit ipsius notulae pars figurabilis: puta tertia pars semibreuis in prolatione perfecta (minima enim est) vel tertia pars breuis in tempore perfecto (est quidem semibreuis) vel quarta pars semibreuis in minori prolatione (est enim seminima) vel alio quouis modo: facile discernentur et pronuntiabuntur notulae huiusmodi diminutae: vt hoc disponitur exemplo.

[Gafurius, Practica musice, f.ggir,2; text: CANTVS, TENOR] [GAFPM4 11GF]

[f.ggiv] Quod si quantitas ipsa qua vnaquaequae notula maioris numeri diminuitur non fuerit pars aliquota figurabilis sui totius: puta si fuerit quinta pars vnius semibreuis quae simplici non ascribitur figurarum consyderationi: tunc diminutiuae ipsarum notularum quantitates quasi quodammodo certa continuatione iunguntur: vt propria vniuscuiusque notulae quantitas certo medio distinguente ab alterius quantitate haud facile possit disiungi: sed ita (verbi gratia) continuatur alterutra quantitas et mensura: quemadmodum accidit in chorda quae in instrumento percutitur dum torquetur: primus namque chordae pulsus sonum emittit grauiorem: dum autem torquetur: sonum ispum continuat in acutum: hoc quoque sane oculis contuemur: quum caelestis arcus colores inspicimus: sunt enim ita sibi ipsis proximi vt per continuam mutationem alterius color in sequentem nullo medio vtrosque distinguente vertatur colorem. Solet plerumque sesqualtera proportio in cantilenis absque numerorum characteribus denotari: quum scilicet notulis nigro vel alio colore plenis sub imperfectis notularum quantitatibus pernotatur hoc modo.

[Gafurius, Practica musice, f.ggiv; text: CANTVS, TENOR] [GAFPM4 11GF]

Verum solam semibreuem minoris prolationis plenam: vel brevem solam temporis imperfecti: vel duas tantum plenas: quod ternariam non sortiantur diuisionem: non haemiolia sed dupla dimensione disposuit Bonadies Musicus praeceptor meus. [Bonadies, in marg.] Quod quum [f.ggijr] solas minimas nigro colore plenas sesqualteraueris: quoniam tunc nulla cadit descriptionis seu figurationis differentia inter sesqualteratas huiusmodi minimas et seminimas simpliciter dispositas: si omnes secundum ternariam diuisionem processerint: dicentur minimae sesqualteratae. Si autem fuerint sex tantum minimae plenae: quae et sesqualterari possunt et simpliciter seminimari: tunc si sola eas recta seu vacua minima immediate praecesserit cui duae primae minimae plenae possint connumerari: omnes sex ipsae erunt seminimae: similiter quum sola minima vacua eas fuerit statim subsecuta. quod si sola minima vacua eas immediate non precesserit vel sequatur: omnes tunc erunt minimae sesqualteratae. Verum quum quinquae tantum fuerint minimae plenae: ac sola minima vacua eas immediate praecedat: duae tunc primae plenae erunt seminimae: tres vero vltimae dicentur minimae sesqualteratae: quod si eas quinque sola minima vacua fuerit statim consecuta: tunc tres primae plenae sesqualterabuntur: et duae vltimae erunt seminimae: quae connumerantur ipsi vacuae minimae subsequenti. Quod si septem fuerint minimae plenae: tunc quattuor primae seminimantur: tres vero vltimae sesqualterantur ac de his presens subijcitur demonstratio.

[Gafurius, Practica musice, f.ggijr; text: CANTVS, TENOR] [GAFPM4 12GF]

[f.ggijv] Poterit tamen sincopam quandoque aliqua minima plena vel altera notula transferri: quae et sesqualterationem suscipiet: et quandoque a sesqualteratione discedet: quod compositoris arbitrio duximus concedendum. Illud interim est generaliter aduertendum quod disposita in notulis plenis sesqualtera non debet proprijs suorum numerorum characteribus describi: ne forte in illud inconueniens duarum scilicet sesqualterarum incideremus: ex quibus inuicem superductis non sesqualtera sed dupla sesquiquarta proportio procreatur: [Busnoys in marg.] vt his constat numeris .9.6.4: hoc autem inconsiderate posuit Busnoys in contratenore acuto de Sanctus in missa Lomearme: quem Tinctoris acriter repraehendit: quod notulis plenitudine sesqualteratis ternarij numeri characterem praeposuerit quo sesqualteram ipsam consyderare solebat hoc modo.

[Gafurius, Practica musice, f.ggijv,1] [GAFPM4 12GF]

Ego autem in dubijs id factum non damnarem: cum compositae cantilenae dum in medium afferuntur illico sine dubitatione a cantoribus cognosci debent atque cantari. quod plerique fecerunt: non ipso charactere proportionem ducentes sed notulas ipsas plenitudine sesqualteratas ad aliarum quae dubiae sunt differentiam demonstrantes. nam dispositis sex minimis plenis inter vel ante vel post plures minimas rectas et vacuas: quoniam et sesqualterari possunt et seminimari character ipse ternarij: quum sesqualterate sunt: ad huiusmodi cognitionem congrue praeponetur: vel vt nonnulli consueuerunt subponetur: quod praesenti concentu lucide comprobatur.

[Gafurius, Practica musice, f.ggijv,2; text: CANTVS, TENOR] [GAFPM4 12GF]

[f.ggiijr] [Gafurius, Practica musice, f.ggiijr,1] [GAFPM4 13GF]

Minimae autem huiusmodi ipsa plenitudine sesqualteratae de vsu sincopari non solent. semibreues vero atque breves huiusmodi plenae solent sincopari frequentius. Est insuper aduertendum: vt quum tres minimas plenas conspexeris si ante eas vel post quarta fuerit minima huiusmodi plena: quae per sincopam ipsis tribus connumeranda sit: tunc tres ipsae erunt seminimae et quarta ipsa seminima plena ipsis applicabitur in diuisione. quod praesens demonstrat concentus.

[Gafurius, Practica musice, f.ggiijr,2; text: CANTVS, TENOR] [GAFPM4 13GF]

[f.ggiijv] Sunt et qui sesqualteram proportionem in notulis disponunt exprimendam signo pefectae prolationis scilicet puncto interposito signo temporis hoc modo [Cd, Od] nullam inter prolationem et proportionem differentiam sentientes: quod potissime consyderatio rationis confutare non distulit. namque tres minimas duabus aequifacit proportio sesqualtera: perfecta autem prolatio tres ipsas minimas rectas vnicuique confert semibreui duabus non comensurandas: hoc quidem non secus contingit quam in breui notula temporis perfecti quae tris in semibreues resoluitur non tamen coaequandas duabus semibreuibus in breui notula temporis imperfecti compraehensis. [Dufay in marg.] quod quidem sane aduertens disposuit Gulielmus Dufay In Et in terra pax et In Patrem Et vnam sanctam catholicam missae sancti Antonij: vbi perfectam seu maiorem prolationem et tempus imperfectum signauit: tres enim rectas minimas vnicuique contulit semibreui duabus nequequam aequeductas. Idemquoque rationabiliter posuit Philippon de Bourges in quodam Et in terra pax: [Philippon in marg.] disponens signo perfectae prolationis tres rectas et integras minimas vnicuique semibreui: duabus minimis imperfectae seu minoris prolationis inaequales. [Tinctoris in marg.] Tinctoris item: Alijque complures Id proprijs cantilenis recte declarant. Neque assentio complurimorum coruptellae: qui quum solo ternarij numeri charactere sesqualteram describunt in notulis tempus imperfectum (quod absurdum est) pro perfecto: atque pro maiore prolatione minorem posuere: alterationem et perfectionem in notulis consyderantes quo facile conspicitur ex diminutione proportionis deductum esse in notulis augumentum vt hoc notatur exemplo.

[Gafurius, Practica musice, f.ggiijv; text: CANTVS, TENOR] [GAFPM4 13GF]

[f.ggiiijr] [Gafurius, Practica musice, f.ggiiijr] [GAFPM4 14GF]

Breuis enim perfecta et semibreuis alterata in solo tempore perfecto disponitur: cuius proprium signum est circulus. Semibreuem vero perfectam ac minimam alterabilem sola maior siue perfecta prolatio confert: huius proprium signum est punctus in signo temporis affixus. In tempore autem imperfecto quod semicirculus declarat: breuis notula duas tantum semibreues semper possidet siue recta: siue quauis Proportione diminuta: nisi punctum augumentationis susceperit: sed neque in eo semibreuis vnquam alterationis suscipit incrementum. Atque idcirco eodem sensu neque semibreuis in minori prolatione perfectionem acquiret: neque minima poterit alterari. Sunt et qui pausas in sesqualtera proportione non minuunt vt ipsa expostulat proportio: existimantes imperfectionem quandam ex ipsa proportione deduci. quorum pace dixerim. aliter consyderandum esse proportionum diminutiones: quibus et notulae subiacent et pausae: aliter notularum imperfectiones quae connumeratione vt plurimum tertiae partis abstractae noscuntur: vt in figurarum tractatu latius diximus: tunc enim pausae non solent imperfici. Hoc quoque de sesqualtera proportione ac caeteris notandum videtur quod quum notulae proportionatae perfectae quantitati insistunt puta breues et semibreues proportionatae in tempore perfecto atque semibreues et minimae in prolatione perfecta: possunt notulae ipsae secundum perfectae suae quantitatis accidentia variari: nam et breuis vacua ante breuem erit perfecta tris in semibreues resolubilis: duabus tamen iuxta proportionis dispositionem coaequatas: et secunda semibreuis inter duas breues alterabitur: rursus semibreuis vacua in prolatione perfecta ante sibi similem tres minimas duabus conductas continebit: et secunda duarum minimarum inter duas semibreues dispositarum alterabitur. Atque pausas breuium et semibreuium secundum hanc consyderationem constat esse perfectas. quod praesens declarat concentus.

[f.ggiiijv] [Gafurius, Practica musice, f.ggiiijv; text: CANTVS, TENOR] [GAFPM4 14GF]

Si autem proportio sesqualtera disposita fuerit in notulis imperfectae quantitati subiectis omnes tunc notulae et pausae semper erunt imperfectae. vt si in tempore imperfecto ascribatur Ipsa sesqualtera tres breues duabus aequifaciens: tunc vnaquaeque illarum trium semper de tertia propriae quantitatis adimitur parte: atque similiter trium breuium pausae pro duabus proportionabiliter in aequiualentia computantur: ita vt singulaquaeque pausa breuis diminuatur de tertia propriae quantitatis parte. Eritque idem sentiendum de tribus semibreuibus minoris prolationis: et earum pausis: semper enim in sesqualtera proportione eas de tertia sui parte constat esse adimendas: vt praesenti exponitur concentu.

[f.ggvr] [Gafurius, Practica musice, f.ggvr; text: CANTVS, TENOR] [GAFPM4 15GF]

Inanis enim esset sesqualterae proportionis in notulis dispositio: si pausae et notulae ipsae consimili diminutione non consyderarentur. Omnis namque maioris inaequalitatis proportio in cantilenis descripta singulas notulas et pausas secundum propriam atque naturalem eius potentiam pari ac competente aequaliter adimit parte. Minoris vero inaequalitatis proportio notulas pariter et pausas adauget. [f.ggvv] Multi item signant sesqualteram ipsam notulis plenis dispositam quam haemioliam vocant et ipso imperfecti temporis et maioris prolationis signo sic vero [CLd] quod mea sententia erroneum existimo. Constat igitur ex his quae deducta sunt sesqualteram in notulis proportionem: ipsarum notularum plenitudine consyderari: quam potius dixero diminutionem sesqualterae proportioni aequipolentem: ea enim destruitur quum notulae illico vacuae subsequntur. Rursus propriis numerorum characteribus: quam subsesqualtera sibi opposita immediate succedens destruere pernoscitur: vt hoc probatur harmento.

[Gafurius, Practica musice, f.ggvv; text: CANTVS, TENOR] [GAFPM4 16GF]

[f.ggvir] [Gafurius, Practica musice, f.ggvir] [GAFPM4 16GF]

De Proportione sesquitertia.

Sesquitertia proportio fit quum maior sequentium notularum numerus ad minorem praecedentium relatus continet ipsum semel et insuper tertiam ipsius minoris partem aequiualens ei in potentia et mensura vt .4. ad .3. et .8. ad .6. et .12. ad .9. Haec enim proportio quattuor notulas aequifacit tribus sibi consimilibus nomine et quantitate: ita vt singulaequaequae ipsarum quattuor diminuantur de quarta propriae quantitatis parte: Figuratur autem in cantibus hoc modo: 4/3 8/6 12/9 et destruitur a subsesquitertia sibi opposita ipsam statim subsequente: quod hoc concentu percipitur.

[f.ggviv] [Gafurius, Practica musice, f.ggviv, text: CANTVS, TENOR] [GAFPM4 17GF]

Nonnulli sesquitertiam ipsam in notulis signo temporis imperfecti sinistrorsum sic verso [CL] intelligi voluerunt quos acerrime impugnat Prosdocimus patauinus in expositione breuis extractus Ioannis de Muris Quilibet in arte practica: [Prosdocimus, Tinctoris in marg.] et Tinctoris in suo proportionum tractatu.

De Proportione sesquiquarta.

Sesquiquarta proportio dicitur quum maior sequentium notularum numerus ad minorem praecedentium relatus compraehendit ipsum in se semel et insuper ipsius minoris quartam partem: aequiualens ei in quantitate et temporis mensura: vt .5. ad .4. et .10. ad .8. et .15. ad .12. In hac enim proportione quinque notulae aequiualent quattuor sibi consimilibus ita vt vnaquaequae ipsarum quinque diminuatur de [f.ggvijr] quinta parte suae quantitatis: describitur autem in cantilenis hoc modo 5/4 10/8 15/12 Atque destruitur a subsesquiquarta ipsi statim succedente vt hoc probatur concentu.

[Gafurius, Practica musice, f.ggvijr; text: CANTVS, TENOR] [GAFPM4 17GF]

De Proportione sesquiquinta.

Sesquiquinta proportio fit quum maior sequentium notularum numerus ad minorem praecedentium ductus continet ipsum semel et insuper ipsius minoris quintam partem aequiualens ei in potentia et mensura: vt .6. ad .5. et .12. ad .10. et .18. ad .15. Haec enim proportio sex notulas quinque sibi consimilibus coaequat: ita vt singulaequaequae ipsarum sex diminuantur de sexta parte sui quantitatiui valoris. Figuratur enim in cantibus hoc modo 6/5 12/10 18/15 Et succedente illico subsesquiquinta sibi opposita euanescit quod praesens declarat concentus.

[f.ggvijv] [Gafurius, Practica musice, f.ggvijv; text: CANTVS, TENOR] [GAFPM4 18GF]

De Proprtione sesquisexta.

Sesquisexta proportio fit quum maior sequentium notualrum numerus minori praecedentium comparatus compraehendit ipsum semel et insuper sextam eius partem atque aequatur ipsi in temporis mensura. vt .7. ad .6. et .14. ad .12. et .21. ad .18. Septem enim notulae aequiualent sex sibi consimilibus in hac proportione: ita quod vnaquaequae ipsarum semptem minuitur de septima propriae quantitatis parte. In cantilenis quidem describitur hoc modo 7/6 14/12 21/18 et destruitur a subsesquisexta sibi opposita: vt hic constat.

[f.ggviijr] [Gafurius, Practica musice, f.ggviijr; text: CANTVS, TENOR] [GAFPM4 18GF]

De proportione sesquiseptima.

Sesquiseptima proportio fit quum maior sequentium notularum numerus minori praecedentium comparatus continet eum, semel et insuper eius septimam partem aequiualens ipsi in potentia vt .8. ad .7. et .16. ad .14. et .24. ad .21. In hac proportione octo notulae aequiualent et comensurantur septem sibi consimilibus ita vt vnaquaequae ipsarum octo minuatur de octaua sui valoris parte. Figuratur autem in cantibus hoc modo 8/7 16/14 24/21 Quod si subsesquiseptima fuerit eam illico subsecuta euanescet et destruetur quoniam eius opposita est: vt hoc notatur exemplo.

[f.ggviijv] [Gafurius, Practica musice, f.ggviijv; text: CANTVS, TENOR] [GAFPM4 19GF]

De Proportione sesquioctaua.

Sesquioctaua proportio fit quum maior sequentium notularum numerus ad minorem praecedentium ductus aequiualet ipsi: compraehendens eum semel et insuper octauam eius partem vt .9. ad .8. et .18. ad .16. et .27. ad .24. Haec enim proportio nouem notulas octo sibi consimilibus aequifacit ita vt singulaequaequae ipsarum nouem diminuantur de nona parte propriae quantitatis. Describitur in cantilenis hoc modo 9/8 18/16 27/24 Et destruitur a subsesquioctaua sibi opposita vt hoc monstratur concentu.

[f.hhir] [Gafurius, Practica musice, f.hhir; text: CANTVS, TENOR] [GAFPM4 19GF]

De Proportione sesquinona.

Sesquinona proportio fit quum maior sequentium notularum numerus ad minorem praecedentium relatus aeque ducitur ipsi: quem semel et insuper nonam ipsius partem continet vt .10. ad .9. et .20. ad .18. et .30 ad .27. In hac proportione decem notulae aequiualent nouem sibi consimilibus ita vt vnaquaequae ipsarum decem diminuatur de vna sui ipsius decima parte. Et figuratur in cantibus hoc modo 10/9 20/18 Destruitur insuper a subsesquinona sibi opposita: vt prasens probat concentus.

[f.hhiv] [Gafurius, Practica musice, f.hhiv; text: CANTVS, TENOR] [GAFPM4 20GF]

Reliquas autem huius superparticularis generis species facile diligens cantor consimili processu poterit consyderare.

De Genere subsuperparticulari et eius speciebus. Caput sextum.

Subsuperparticulare genus est quum minor sequentium notularum numerus ad maiorem praecedentium relatus aequiualet ipsi in quantitate et potentia: compraehensus in eo semel cum vna eius aliquota parte: vt .2. ad .3. et .3. ad .4. et .4. ad .5. et deinceps. Sunt enim eius species infinitae: prima est Subsesqualtera. secunda Subsesquitertia: tertia Subsesquiquarta: quarta subsesquiquinta et deinceps: de quibus singillatim est dicendum.

De Proportione subsesqualtera.

Subsesqualtera proportio fit quum minor sequentium notularum numerus ad maiorem praecedentium relatus compraehenditur in eo semel tantum et insuper ipsius minoris pars dimidia: et aequiualet ipsi maiori in potentia et temporis mensura vt .2. ad .3. et .4. ad .6. et .6. ad .9. et deinceps. In hac proportione duae notulae aequiualent et commensurantur tribus sibi consimilibus ita vt vnaquaequae ipsarum duarum augeatur de dimidia propriae quantitatis parte. Figuratur [f.hhijr] enim in cantilenis hoc modo 2/3 4/6 6/9 et destruitur a sesqualtera sibi opposita eam illico subsequente: vt hoc concentu percipitur.

[Gafurius, Practica musice, f.hhijr; text: CANTVS, TENOR] [GAFPM4 20GF]

De Proportione subsesquitertia.

Subsesquitertia proportio fit quum minor sequentium notularum numerus ad maiorem praecedentium relatus seruatur in eo semel cum tertia ipsius minoris parte et aequiualet ipsi maiori in temporis mensura vt .3. ad .4. et .6. ad .8. et .9. ad .12. et deinceps. In hac proportione tres notulae aequiualent et commensurantur quattuor sibi et nomine et quantitate consimilibus ita vt singulaquaequae ipsarum trium tertiae partis propriae quantitatis suscipiat augumentum: Figuratur vero in cantilenis hoc modo 3/4 6/8 9/12 Et destruitur a subsequente sesquitertia sibi opposita: quod praesenti concipitur exemplo.

[f.hhijv] [Gafurius, Practica musice, f.hhijv,1; text: CANTVS, TENOR] [GAFPM4 21GF]

De Proportione subsesquiquarta.

Subsesquiquarta proportio fit quum minor sequentium notularum numerus ad maiorem praecedentium ductus compraehenditur in ipso semel et insuper quarta ipsius minoris pars: et aequiualet ipsi maiori in quantitate et mensura: vt .4. ad .5. et .8. ad .10. et .12. ad .15. Haec enim proportio quattuor notulas quinque sibi consimilibus aequat ita vt vnaquaequae ipsarum quattuor augeatur de quarta proprij valoris parte. Et describitur in notulis hoc modo 4/5 8/10 12/15 Destruitur autem et euanescit quum ipsam immediate fuerit subsequta sesquiquarta: quod praesens exprimit concentus.

[Gafurius, Practica musice, f.hhijv,2; text: CANTVS]

[f.hhiijr] [Gafurius, Practica musice, f.hhiijr; text: TENOR] [GAFPM4 21GF]

De Proportione subsesquiquinta.

Subsesquiquinta proportio fit quum minor sequentium notularum numerus ad maiorem praecedentium relatus continetur in ipso semel et insuper ipsius minoris quinta pars: et aequiualet ipsi maiori vt .5. ad .6. et .10. ad .12. et .15. ad .18. et deinceps. Haec enim proportio quinque notulas sex sibi et nomine et quantitate consimilibus coaequat: ita vt vnaquaequae ipsarum quinque quintae sui valoris partis suscipiat incrementum. Figuratur autem in notulis hoc modo 5/6 10/12 15/18 atque destruitur a sesquiquinta sibi opposita: quod praesens exponit concentus.

[f.hhiijv] [Gafurius, Practica musice, f.hhiijv; text: CANTVS, TENOR] [GAFPM4 22GF]

Reliquas huius subsuperparticularis generis species diligentiae musicorum relinquimus perquirendas. Quiescas interim iocundissime cantor si in alicuius proportionis dispositione imperfectum reperieris notularum numerum. plerumque enim quem non disponimus in semibreuibus consyderabis in minimis. Rursus proportionum quae sola praecedentium destructione signantur in notulis numerositatem quandoque causa breuitatis imperfectam conspicies ac temporalem notularum in tenoribus computationem vel superfluam eiusdem rei gratia vel diminutam.

De Genere superpartienti et eius speciebus. Caput septimum.

Svperpartiens genus quod tertium est maioris inaequalitatis fit quum maior sequentium notularum numerus ad minorem praecedentium relatus continet ipsum in se semel tantum et insuper vnam ipsius minoris aliquantam partem ductam ex pluribus aliquotis: et ipse maior minori coaequatur in potentia et temporis mensura. Quod quum illa pars minoris aliquanta quae et amborum terminorum excessus et differentia est: duas dicti minoris monstrauerit partes: erit proportio superbipartiens. fortitur et aliud magis specificum nomen vt si ipsae duae minoris partes aliquotae fuerint partes tertiae dicetur [f.hhiiijr] proportio superbipartiens tertias vt .5. ad .3. Si autem fuerint quintae partesdicetur proportio superbipartiens quintas. vt .7. ad .5. Quod si septimae partes fuerint dicetur superbipartiens septimas vt .9. ad .7. Quum autem pars illa aliquanta minoris qua maior ipsum vincit minorem tres eius minoris aliquotas monstrauerit: erit proportio supertripartiens: magis autem specifice nominatur: vt si Illae tres aliquotae minoris partes fuerint ipsius partes quartae dicetur proportio supertripartiensquartas vt .7. ad .4. Si vero fuerint partes quintae dicetur supertripartiensquintas vt .8. ad .5. Si septimae partes fuerint erit supertripartiensseptimas vt .10. ad .7. Quod quum illa terminorum differentia quae minoris pars dicitur aliquanta quattuor aliquotas ipsius minoris partes continuerit: dicetur proportio superquatripartiens. Est tamen ei aliud magis specificum nomen: vt quum scilicet vnaquaequae illarum quattuor aliquotarum partium fuerit ipsius minoris pars quinta: dicetur proportio superquatripartiensquintas vt .9. ad .5. Si autem illae quattuor partes fuerint ipsius minoris partes septenae dicetur proportio superquatripartiensseptimas vt .11. ad .7. ad .22. ad .14. Atque in reliquis consimilis est consyderationis modus. In hoc insuper superparienti genere hoc naturaliter euenit quod proportio a pari numero partientem acquirens denominationem: partitas imparis numeri scilicet minoris partes conueniet: vt si fuerit superbipartienstertias hoc modo .5. ad .3. nanque partiens numerus scilicet amborum excessus: binarius est par: hinc superbipartiens: partitus vero sunt duae ipsae tertiae ternarij imparis partes: inde superbipartienstertias nominatur. Partiens vero numerus impar: partitas numeri paris partes consequitur vt .7. ad .4. supertripartiensquartas: nam partiens est ternarius impar: idcirco supertripartiens dicitur: partitae vero partes quaternarij paris: ex quo supertripartiensquartas vocatur. Plerumque item et partiens numerus impar partitas imparis numeri partes insequitur vt .10. ad .7. supertriparriensseptimas. Quod si partiens numerus et partitae partes secundum paris numeri denominationem consyderentur: non in superpartientem sed in epimoriam conuenient habitudinem vt .6. ad .4. non enim dicitur superbipartiensquartas sed sesqualtera: et .8. ad .6. non superbipartiensextas sed sesquitertia. Quum igitur excessus seu differentia terminorum cuiusuis proportionis fuerit minoris termini pars aliquota (ac si plures quoque ipsius minoris aliquotas contineat partes) proportio ipsa non in superpartienti: sed in superparticulari genere consyderanda est: vt .9. ad .6. non enim dicitur supertripartiensextas: sed sesqualtera: cum maior minorem semel insuperque ipsius minoris dimidiam quae et tribus sextis eius partibus ducta est: contineat partem. Huius autem superpartientis generis infinitae sunt species. Prima enim est superbipartiens. Secunda supertripartiens. Tertia superquatripartiens. Quarta superquincupartiens. Quinta supersexcupartiens [f.hhiiijv] sicque est ad infinita processus. In naturalibus autem numeris primae ipsae tanquam radices hoc ordine consyderantur Prima enim ex terminis producitur quibus solus terminus interiacet vt .5. ad .3. est enim horum medius quaternarius et .7. ad .5. quorum medius est senarius. Terminos enim in hac consyderatione numeros vocamus. Secunda duos intermittit numeros vt .7. ad .4. sunt enim intermissi numeri quinarius et senarius. Quod si ex .8. ad .5. consurgat intermittuntur senarius et septenarius. Tertia sepcies tres numeros proprijs terminis intermittit vt .9. ad .5. quorum medij sunt senarius septenarius et octanarius: Et .11. ad .7. horum medij sunt octonarius nouenarius et denarius. Quarta inter extremos eius terminos quattuor claudit numeros vt .11. ad .6. quorum medij sunt septenarius octonarius nouenarius et denarius. et .12. ad .7. horum enim medij sunt octonarius nouenarius denarius et vndenarius: atque ita quota fuerit huiusmodi species in ordine tot erunt inter eius terminos interiecti numeri: vt si prima fuerit species: vnus erit inter eius terminos numerus. si secunda duo numeri ipsis terminis intercludentur. si tertia tres. si quarta quattuor. si quinta quinque ac deinceps: Vt prima superbipartiens vnum cludat inter terminos numerum: Secunda supertripartiens duos monstrat numeros inter terminos contineri. Tertia superquatripartiens tres numeros proprijs intercipit terminis. Quarta superquincupartiens: cuius termini quattuor intercipiunt numeros: huiusmodi et reliquae in simpliciori et naturali numerorum dispositione procedunt. Dicuntur autem hae species subalternae: namque in vim generum transeunt: hinc et a nonnullis ponuntur vt genera: cum superbipartientium alia fit superbipartienstertias vt .5. ad .3. alia superbipartiensquintas vt .7. ad .5. alia superbipartiensseptimas: vt .9. ad .7. et deinceps: quas quidem specialissimas species dyalectici vocant. Supertripartientium similiter Alia supertripartiens quartas: vt .7. ad .4. Alia supertripartiensquintas vt .8. ad .5. Alia supertripartiens septimas vt .10. ad .7. Item superquatripartientium alia superquatripartiensquintas vt .9. ad .5. Alia superquatripartiensseptimas vt .11. ad .7. Alia superquatripartiensnonas vt .13. ad .9. Superquincupartientium item alia superquincupartienssextas vt .11. ad .6. Alia superquincupartiensseptimas vt .12. ad .7. Alia superquincupartiensoctauas vt .13. ad .8. atque eodem modo species huiusmodi superpartientes in genera conuertuntur alias atque quodammodo infinitas species producendo. Est enim genus multarum aggregatio specierum vnam eandemque naturam diuersimodi participantium. Species vero dicitur quantitas specialis et qualitas generis. sed de his feries sic describatur.

De Proportione superbipartientetertias.

Superbipartienstertias proportio fit quum maior sequentium notularum numerus [f.hhvr] ad minorem praecedentium relatus continet eum semel et insuper vnam aliquantam ipsius minoris partem ex duabus tertijs partibus factam et aequiualet ipsi minori vt .5. ad .3. et .10 ad .6. et .15. ad .9. In hac enim proportione quinque notulae aequiualent et commensurantur tribus sibi consimilibus: ita vt vnaquaequae ipsarum quinque de duabus quintis partibus propriae quantitatis diminuatur. Figuratur autem in cantilenis hoc modo 5/3 10/6 15/9 et destruitur a subsuperbipartientetertias sibi opposita quod praesente probatur concentu.

[Gafurius, Practica musice, f.hhvr; text: CANTVS, TENOR] [GAFPM4 22GF]

De Proportione superbipartientequintas.

Superbipartiensquintas proportio fit quum maior sequentium notularum numerus ad minorem praecedentium ductus aequiualet ei compraehendens ipsum semel et insuper duas ipsius minoris quintas partes vt .7. ad .5. et .14. ad .10. et 21. ad .15. In hac proportione septem notulae aequantur quinque sibi et nomine et quantitate consimilibus ita vt singulaquaequae ipsarum septem diminuatur de duabus septenis partibus propriae potentiae. Describitur enim in notulis hoc modo 7/5 14/10 21/15 atque destruitur a subsuperbipartientequintas proportione quae eius opposita est: vt hoc concentu facile consyderatur.

[f.hhvv] [Gafurius, Practica musice, f.hhvv,1; text: CANTVS, TENOR] [GAFPM4 23GF]

De Proportione superbipartienteseptimas.

Superbipartiensseptimas proportio fit quum maior sequentium notularum numerus ad minorem praecedentium ductus aequiualet ipsi continens eum semel et insuper duas eius septimas partes vt .9. ad .7. et .18. ad .14. et .27. ad 21. Haec enim proportio aequat nouem notulas septem sibi consimilibus ita vt sinqulaequaequae ipsarum nouem diminuantur de duabus nonis partibus proprij valoris. Figuratur quidem in cantibus hoc modo 9/7 18/14 27/21 Atque destruitur a subsuperbipartienteseptimas sibi opposita: vt hoc percipitur concentu.

[Gafurius, Practica musice, f.hhvv,2; text: CANTVS] [GAFPM4 23GF]

[f.hhvir] [Gafurius, Practica musice, f.hhvir,1; text: TENOR] [GAFPM4 23GF]

De Proportione supertripartientequartas.

Supertripartiensquartas proportio fit quum maior sequentium notularum numerus ad minorem praecedentium relatus compraehendit eum in se semel et insuper tres quartas ipsius minoris partes et aequiualet ipsi in potentia: vt .7. ad .4 et .14. ad .8. et .21. ad .12. In hac proportione septem notulae aequiualent et commensurantur quattuor sibi consimilibus ita vt vnaquaequae ipsarum septem diminuatur de tribus septenis partibus suae quantitatis. Et figuratur in cantilenis hoc modo 7/4 14/8 21/12 Destruitur autem a subsupertripartientequartas sibi opposita vt hic patet.

[Gafurius, Practica musice, f.hhvir,2; text: CANTVS, TENOR] [GAFPM4 23GF]

De Proportione supertripartientequintas.

Supertripartiensquintas proportio fit quum maior sequentium notularum numerus comparatus minori praecedentium continet eum semel et insuper tres quintas ipsius minoris partes aequiualens ei in potentia. vt .8. ad .5. et .16. ad .10 et .24. ad .15. In hac proportione octo notulae commensurantur quinque sibi consimilibus ita vt singulaquaequae ipsarum octo diminuatur de tribus octauis partibus propriae quantitatis. Figuratur enim in cantibus boc modo 8/5 16/10 24/15 Atque destruitur a subsupertripartientequintas sibi opposita: vt hic constat.

[f.hhviv] [Gafurius, Practica musice, f.hhviv,1; text: CANTVS, TENOR] [GAFPM4 24GF]

De Proportione supertriparienteseptimas.

Supertripartiensseptimas proportio fit quum maior sequentium notularum numerus ad minorem praecedentium relatus continet eum semel et insuper tres ipsius minoris septimas partes et aequiualet ipsi minori vt .10. ad .7 et .20. ad .14. et .30. ad .21. Haec namque proportio decem notulas aequat septem sibi consimilibus in temporis mensura: ita vt vnaquaequae ipsarum decem minuatur de tribus denis partibus sui valoris. Describitur autem in notulis hoc modo 10/7 20/14 30/21 Insuper destruitur a subsupertripartienteseptimas sibi opposita: vt hic.

[Gafurius, Practica musice, f.hhviv,2; text: CANTVS] [GAFPM4 24GF]

[f.hhvijr] [Gafurius, Practica musice, f.hhvijr,1; text: TENOR] [GAFPM4 24GF]

De Proportione superquatripartientequintas.

Superquatripartiensquintas propotio fit quum maior sequentium notularum numerus ad minorem praecedentium ductus compraehendit eum semel et insuper quattuor quintas ipsius minoris partes: et aequiualet ipsi minori: vt .9. ad .5. et .18. ad .10. et .27. ad .15. Haec enim proportio nouem notulas quinque sibi consimilibus commensurat ita vt vnaquaequae ipsarum nouem diminuatur de quattuor nonis partibus propriae quantitatis. Figuratur autem in cantibus hoc modo 9/5 18/10 27/15 Et destruitur a subsuperquatripartientequintas sibi opposita: vt hoc monstratur concentu.

[Gafurius, Practica musice, f.hhvijr,2; text: CANTVS, TENOR] [GAFPM4 24GF]

[f.hhvijv] De Proportione superquatripartienteseptimas.

Superquatripartiensseptimas proportio fit quum maior sequentium notularum numerus ad minorem praecedentium relatus compraehendit eum semel et insuper quattuor septimas ipsius minoris partes vt .11. ad .7. et .22. ad .14. et .33. ad .21. In hac proportione vndecim notulae aequiualent septem sibi consimilibus ita vt vnaquaequae ipsarum vndecim diminuatur de quattuor vndenis partibus proprij valoris. Figuratur enim in cantibus hoc modo 11/7 22/14 33/21 Destruitur item a subsuperquatripartienteseptimas sibi opposita vt praesens probat concentus.

[Gafurius, Practica musice, f.hhvijv,1; text: CANTVS, TENOR] [GAFPM4 25GF]

De Proportione superquatripartientenonas.

Superquatripartiensnonas proportio fit quum maior sequentium notularum numerus comparatus minori praecedentium continet eum semel et insuper quattuor eius nonas partes et coaequatur ei vt .13. ad .9. et .26. ad .18. et .39. ad .27. Haec enim proportio tredecim notulas commensurat nouem sibi consimilibus ita vt vnaquaequae ipsarum tredecim diminuatur de quattuor tertijsdecimis partibus proprij quantitatiui valoris. Figuratur enim in notulis hoc modo 13/9 26/18 39/27 Destruitur vero a subsuperquatripartientenonas sibi opposita vt hic.

[Gafurius, Practica musice, f.hhvijv,2; text: CANTVS] [GAFPM4 25GF]

[f.hhviijr] [Gafurius, Practica musice, f.hhviijr,1; text: TENOR] [GAFPM4 25GF]

De Proportione superquincupartientesextas.

Superquincupartienssextas proportio fit quum maior sequentium notularum numerus ad minorem praecedentium ductus continet eum semel et insuper vnam eius aliquantam partem factam ex quinque sextis partibus ipsius minoris vt .11. ad 6: et .22. ad .12. et .33. ad .18. In hac proportione vndecim notulae aequiualent et commensurantur sex sibi et nomine et quantitate consimilibus: ita vt singulaquaequae ipsarum undecim diminuatur de quinque vndenis partibus propriae quantitatis. Describitur enim in cantibus hoc modo 11/9 22/18 33/27 Item destruitur a subsuperquincupartientesextas proportione sibi opposita. quod praesens declarat concentus.

[Gafurius, Practica musice, f.hhviijr,2; text: CANTVS, TENOR] [GAFPM4 25GF]

De Proportione superquincupartienteseptimas.

Superquincupartiensseptimas proportio fit quum maior sequentium notularum numerus ad minorem praecedentium relatus continet eum semel et insuper quinque septimas ipsius minoris partes vt .12. ad .7. et .24. ad .14. et .36. ad .21. Haec proportio duodecim notulas aequifacit septem sibi consimilibus: ita vt vnaquaequae ipsarum duodecim diminuatur de quinque duodenis partibus propriae quantitatis. et describitur in cantibus hoc modo 12/7 24/14 36/21 Destruitur autem a subsuperquincupartienteseptimas sibi opposita: vt hic constat.

[f.hhviijv] [Gafurius, Practica musice, f.hhviijv,1; text: CANTVS, TENOR] [GAFPM4 26GF]

De Proportione supersexcupartienteseptimas.

Supersexcupartiensseptimas proportio fit quum maior sequentium notularum numerus ad minorem praecedentium relatus: compraehendit eum semel et insuper sex eius septenas partes vt .13. ad .7. et .26. ad .14. et .39. ad .21. In hac proportione tredecim notulae aequiualent et commensurantur septem sibi consimilibus: ita vt vnaquaequae ipsarum tredecim diminuatur de sex tertijdecimis partibus suae potentiae et quantitatis. Figuratur in cantibus hoc modo 13/7 26/14 39/21 Atque destruitur a subsupersexcupartienteseptimas: vt hoc percipitur concentu.

[Gafurius, Practica musice, f.hhviijv,2; text: CANTVS] [GAFPM4 26GF]

[f.ijir] [Gafurius, Practica musice, f.ijir] [GAFPM4 26GF]

Caeteras quoque huius superpartientis generis subalternas et specialissimas species diligentiae cantorum linquimus conquirendas.

De Genere subsuperpartienti et eius speciebus. Caput octauum.

Svbsuperpartiens genus quod tertium est minoris inaequalitatis oppositum quidem superpartienti fit quum minor sequentium notularum numerus ad maiorem praecedentium relatus compraehenditur in eo semel et insuper vna eius aliquanta pars facta ex pluribus aliquotis et minor ipse maiori aequiualet in potentia. Sunt enim huius generis species subalternae Subsuperbipartiens: Subsupertripartiens: Subsuperquatripartiens: Subsuperquincupartiens: et deinceps. Specialissimae autem eius species sunt Subsuperbipartienstertias. Subsuperbipartiensquintas. Subsuperbipartiensseptimas. Item Subsupertripartiensquartas. Subsupertripartiensquintas. Subsupertripartiensseptimas. Atque reliquae secundum eandem considerationem procedunt. de quibus singillatim est dicendum.

De Proportione subsuperbipartiente tertias.

Subsuperbipartienstertias proportio fit quum minor sequentium notularum numerus ad maiorem praecedentium relatus continetur in eo semel et insuper vna eius pars aliquanta: facta ex duabus tertijs partibus ipsius minoris et aequiualet ipsi maiori vt .3. ad .5. et .6. ad .10. et .9. ad .15. et deinceps. In hac proportione tres notulae aequiualent et commensurantur quinque sibi et nomine et quantitate consimilibus ita vt vnaquaequae ipsarum trium augumentum suscipiat de duabus tertiis partibus propriae quantitatis. et Figuratur in cantibus hoc modo 3/5 6/10 9/15 Destruitur enim a superbipartientetertias eam illico subsequente: quae sibi opposita est vt hoc concentu aperte percipitur.

[f.ijiv] [Gafurius, Practica musice, f.ijiv,1; text: CANTVS, TENOR] [GAFPM4 27GF]

De Proportione subsuperbipartientequintas.

Subsuperbipartiensquintas proportio fit quum minor sequentium notularum numerus ad maiorem praecedentium relatus continetur in ipso semel et insuper duae ipsius minoris quintae partes vt .5. ad .7. et .10 ad .14. et .15. ad .21. et deinceps. In hac proportione quinque notulae aequiualent et commensurantur septem sibi consimilibus ita vt singulaquaequae ipsarum quinque duarum quinarum partium propriae quantitatis suscipiat incrementum. Figuratur autem in cantibus hoc modo 5/7 10/14 15/21 Et destruitur a superbipartientequintas sibi opposita: vt hic probat concentus.

[Gafurius, Practica musice, f.ijiv,2; text: CANTVS] [GAFPM4 27GF]

[f.ijijr] [Gafurius, Practica musice, f.ijijr,1; text: TENOR] [GAFPM4 28GF]

De Proportione subsupertripartiente quartas.

Subsupertripartiensquartas proportio fit quum minor sequentium notularum numerus ad maiorem praecedentium relatus compraehenditur in ipso semel et insuper tres quartae ipsius minoris partes vt .4. ad .7. et .8. ad .14. et .12. ad .21. Haec proportio quattuor notulas septem sibi consimilibus aequat ita vt vnaquaequae ipsarum quattuor augeatur de tribus quartis partibus sui valoris. Figuratur enim in notulis hoc modo 4/7 8/14 12/21 Et destruitur a supertripartientequartas sibi opposita vt hoc monstratur concentu.

[Gafurius, Practica musice, f.ijijr,2; text: CANTVS, TENOR] [GAFPM4 28GF]

[f.ijijv] De Proportione subsupertripartientequintas.

Subsupertripartiensquintas proportio fit quum minor sequentium notularum numerus ad maiorem praecedentium ductus continetur in eo semel et insuper tres eius quintae partes: vt .5. ad .8. et .10 ad .16. et .15. ad .24. In hac proportione quinque notulae aequiualent et commensurantur octo sibi consimilibus ita vt singulaquaequae ipsarum quinque de rribus quintis partibus propriae quantitatis suscipiat incrementum. Describitur enim in notulis hoc modo 5/8 10/16 15/24 Et destruitur a supertripartientequintas sibi opposita: vt hic patet.

[Gafurius, Practica musice, f.ijijv,1; text: CANTVS, TENOR] [GAFPM4 29GF]

De Proportione subsuperquatripartientequintas.

Subsuperquatripartiensquintas proprotio fit quum minor sequentium notularum numerus ad maiorem praecedentium relatus residet in ipso cum quattuor quintis partibus suis: vt .5. ad .9. et .10. ad .18. et .15. ad .27. et deinceps. Haec proportio quinque notulas aequat nouem sibi consimilibus ita vt vnaquaequae ipsarum quinque augeatur de quattuor quintis partibus propriae quantitatis. Figuratur autem in cantibus hoc modo 5/9 10/18 15/27 Atque destruitur a superquatripartientequintas sibi opposita: vt hoc patet exemplo.

[Gafurius, Practica musice, f.ijijv,2; text: CANTVS] [GAFPM4 29GF]

[f.ijiijr] [Gafurius, Practica musice, f.ijiijr,1; text: TENOR] [GAFPM4 29GF]

De Proportione subsuperquatripartienteseptimas.

Subsuperquatripartiensseptimas proportio fit quum minor sequintium notularum numerus ad maiorem praecedentium ductus continetur in ipso semel et insuper quattuor ipsius septenae partes: vt .7. ad .11. et .14. ad .22. et .21. ad .33. In hac proportione septem notulae aequiualent et connumerantur vndecim sibi consimilibus ita vt vnaquaequae ipsarum septem crescat de quattuor septenis partibus propriae quantitatis. Figuratur enim in cantibus hoc modo 7/11 14/22 21/33 Et destruitur a superquatripartienteseptimas sibi opposita: vt hoc probatur concentu.

[Gafurius, Practica musice, f.ijiijr,2; text: CANTVS, TENOR] [GAFPM4 29GF]

Reliquas autem huius generis et subalternas et specialissimas species diligentiae musicorum consyderandas relinquimus.

De Genere multiplici superparticulari et eius speciebus. Caput nonum.

Multiplexsuperparticulare genus quod quartum est maioris inaequalitatis compositum ex duobus primis fit quum maior sequentium notularum numerus ad minorem praecedentium relatus compraehendit eum pluries et insuper vnam eius aliquotam partem. Huius enim infinitae sunt species [f.ijiijv] diuersis gradibus consyderandae. Primus gradus procedit ex prima multiplici singulis superparticularibus secundum naturalem earum dispositionem praemixta vt Duplasesqualtera .5. ad .2. Duplasesquitertia .7. ad .3. Duplasesquiquarta .9. ad .4. Duplasesquiquinta .11. ad .5. et deinceps. Secundus gradus concipitur ex secunda multiplici omnium superparticularium naturaliter dispositarum susceptibili. vt Triplasesqualtera .7. ad .2. Triplasesquitertia .10. ad .3. Triplasesquiquarta .13. ad .4. Tripliasesquiquinta .16. ad .5. et deinceps. Tertius gradus omnes superparticularis generis habitudines tertiae multiplici coniungit: vt Quadruplasesqualtera .9. ad .2. Quadruplasesquitertia .13. ad .3. Quadruplasesquiquarta .17. ad .4. Quadruplasesquiquinta .21. ad .5. et deinceps. In Quarto gradu singulaesuperparticulares quartae multiplici adhaerent vt Quintuplasesqualtera .11. ad .2. Quintuplasesquitertia .16. ad .3. Quintuplasesquiquarta .21. ad .4. Quintuplasesquiquinta .26. ad .5. et deinceps. Atque ita infiniti sunt huius generis gradus: Graduumque species infinitae.

De Proportione duplasesqualtera.

Duplasesqualtera proportio fit quum maior sequentium notularum numerus ad minorem praedentium ductus continet eum bis et insuper dimidiam ipsius partem: aequiualens ei in potentia et temporis mensura: vt .5. ad .2. et .10. ad .4. et .15. ad .6. et deinceps. In hac proportione quinque notulae aequiualent et commensurantur duabus sibi consimilibus nomine et quantitate: ita vt vnaquaequae notula ipsarum quinque diminuatur de tribus quintis partibus propriae quantitatis. Describitur enim in cantibus hoc modo 5/2 10/4 15/6 Et destruitur a subduplasesqualtera sibi opposita: vt hoc concentu percipitur.

[Gafurius, Practica musice, f.ijiijv; text: CANTVS, TENOR] [GAFPM4 30GF]

[f.ijiiijr] [Gafurius, Practica musice, f.ijiiijr,1] [GAFPM4 30GF]

De Proportione duplasesquitertia.

Duplasesquitertia proportio fit quum maior sequentium notularum numerus minori praecedentium comparatus continet eum bis et insuper tertiam ipsius partem aequiualens ei in potentia. vt .7. ad .3. et .14. ad .6. et .21. ad .9. et deinceps. Haec enim proportio septem notulas tribus sibi consimilibus coaequat: ita vt singulaquaequae ipsarum septem diminuatur de quattuor septenis partibus sui valoris. Figuratur enim in cantibus hoc modo 7/3 14/6 21/9 Et destruitur a subduplasesquitertia sibi opposita: vt hoc percipitur concentu.

[Gafurius, Practica musice, f.ijiiijr,2; text: CANTVS, TENOR] [GAFPM4 30GF]

De Proportione duplasesquiquarta.

Duplasesquiquarta proportio fit quum maior sequentium notularum numerus ad minorem praecedentium relatus continet eum bis et insuper quartam eius partem vt .9. ad .4. et .18. ad .8. et .27. ad .12. et deinceps. In hac proportione nouem notulae aequiualent et commensurantur quattuor sibi consimilibus [f.ijiiijv] in quantitate et temporis mensura: ita vt vnaquaequae ipsarum nouem diminuatur de quinque nonis partibus propriae quantitatis. Figuratur enim in cantibus hoc modo 9/4 18/8 27/12 Et destruitur a subduplasesquiquarta sibi opposita: vt hoc constat concentu.

[Gafurius, Practica musice, f.ijiiijv; text: CANTVS, TENOR] [GAFPM4 31GF]

De Proportione duplasesquiquinta.

Duplasesquiquinta proportio fit quum maior sequentium notularum numerus ad minorem praecedentium ductus compraehendit eum bis et eius insuper quintam partem: vt .11. ad .5. et .22. ad .10. et .33. ad .15. Haec enim proportio vndecim notulas quinque sibi consimilibus coaequat in potentia et temporis mensura: ita vt vnaquaequae ipsarum vndecim minuatur de sex vndenis partibus propriae quantitatis. Describitur in cantilenis hoc modo 11/5 22/10 33/15 Et destritur a subduplasesquiquinta sibi opposita: vt hic patet.

[f.ijvr] [Gafurius, Practica musice, f.ijvr,1; text: CANTVS, TENOR] [GAFPM4 31GF]

De Proportione triplasesqualtera.

Triplasesqualtera proportio fit quum maior sequentium notularum numerus ad minorem praecedentium relatus continet eum ter et insuper dimidiam eius partem: vt .7. ad .2. et .14. ad .4. et .21. ad .6. et deinceps. In hac proportione septem notulae aequiualent et commensurantur duabus sibi consimilibus ita vt vnaquaequae ipsarum septem diminuatur de quinque septenis partibus suae quantitatis. Figuratur autem in notulis hoc modo 7/2 14/4 21/6 Destruitur insuper a subtriplasesqualtera sibi opposita vt hic patet.

[Gafurius, Practica musice, f.ijvr,2; text: CANTVS, TENOR] [GAFPM4 31GF]

De Proportione triplasesquitertia.

Triplasesquitertia proportio fit quum maior sequentium notularum numerus [f.ijvv] ad minorem praecedentium ductus continet ipsum ter et eius insuper tertiam partem: vt .10. ad .3. et .20. ad .6. et .30. ad .9. Haec enim proportio decem notulas tribus sibi consimilibus aequat et commensurat ita vt singulaequaequae ipsarum decem de septem decenis partibus sui valoris detrimentum patiantur. Describitur in cantilenis hoc modo 10/3 20/6 30/9 Atque destruitur a subtriplasesquitertia sibi opposita eam illico succedente: vt praesens monstrat concentus.

[Gafurius, Practica musice, f.ijvv; text: CANTVS, TENOR] [GAFPM4 32GF]

De Proportione triplasesquiquarta.

Triplasesquiquarta proportio fit quum maior sequentium notularum numerus ad minorem praecedentium relatus compraehendit eum ter et eius insuper quartam partem: vt .13. ad .4. et .26. ad .8. et .39. ad .12. et deinceps. In hac proportione tredecim notulae aequiualent et commensurantur quattuor sibi consimilibus ita vt vnaquaequae ipsarum tredecim diminuatur de nouem terdenis partibus propriae quantitatis. Figuratur enim in cantibus hoc modo 13/4 26/8 39/12 Et destruitur a subtriplasesquiquarta sibi opposita vt hoc constat concentu.

[f.ijvir] [Gafurius, Practica musice, f.ijvir; text: CANTVS, TENOR] [GAFPM4 32GF]

De Proportione quadruplasesqualtera.

Quadruplasesqualtera proportio fit quum maior sequentium notularum numerus ad minorem praecedentium ductus continet eum quater et insuper dimidiam eius partem. vt .9. ad .2. et .18. ad .4. et .27. ad .6. Haec enim proportio nouem notulas coaequat duabus sibi consimilibus ita vt vnaquaequae ipsarum nouem diminuatur de septem nonis partibus sui valoris. Describitur autem in cantilenis hoc modo 9/2 18/4 27/6 Atque destruitur a subquadrupla sibi opposita vt hic.

[f.ijviv] [Gafurius, Practica musice, f.ijviv,1; text: CANTVS, TENOR] [GAFPM4 33GF]

De Proportioue quadruplasesquitertia.

Quadruplasesquitertia proportio fit quum maior sequentium notularum numerus ad minorem praecedentium relatus continet ipsum quater et eius insuper tertiam partem vt .13. ad .3. ad .26. ad .6. et .39. ad .9. et deinceps. In hac proportione tredecim notulae aequiualent et connumerantur tribus sibi consimilibus: ita vt vnaquaequae ipsarum tredecim diminuatur de decem tertijsdecimis partibus sui valoris. Describitur enim in cantibus hoc modo 13/ 3 26/6 39/9 Et destruitur a subquadruplasesquitertia sibi opposita: ut praesente concentu monstratur.

[Gafurius, Practica musice, f.ijviv,2; text: CANTVS] [GAFPM4 33GF]

[f.ijvijr] [Gafurius, Practica musice, f.ijvijr,1; text: TENOR] [GAFPM4 33GF]

De Proportione quadruplasesquiquarta.

Quadruplasesquiquarta proportio fit quum maior sequentium notularum numerus ad minorem praecedentium ductus compraehendit ipsum quater et insuper quartam ipsius partem vt .17. ad .4. et .34. ad .8. et .51. ad .12. et deinceps. Haec enim proportio decem ac septem notulas aequifacit quattuor sibi consimilibus: ita vt singulaequaequae ipsarum decem et septem diminuantur de tredecim decimisseptenis partibus propriae quantitatis. Figuratur in cantilenis hoc modo 17/4 34/8 51/12 Destruitur item a subquadruplasesquiquarta sibi opposita: vt hic constat.

[Gafurius, Practica musice, f.ijvijr,2; text: CANTVS, TENOR] [GAFPM4 33GF]

[f.ijvijv] De Proportione quintuplasesqualtera.

Quintuplasesqualtera proportio fit quum maior sequentium notularum numerus ad minorem praecedentium relatus continet eum quinquies et eius insuper dimidiam partem vt .11. ad .2. et .22. ad .4. et .33. ad .6. et deinceps. In hac proportione vndecim notulae aequiualent et commensurantur duabus sibi consimilibus: ita vt vnaquaequae ipsarum vndecim diminuatur de nouem vndenis partibus propriae quantitatis. Figuratur enim in notulis hoc modo 11/2 22/4 33/6 Et destruitur a subquinqtuplasesqualtera sibi opposita vt hoc percipitur concentu.

[Gafurius, Practica musice, f.ijvijv; text: CANTVS, TENOR] [GAFPM4 34GF]

De Proportione quintuplasesquitertia.

Quintuplasesquitertia proportio fit quum maior sequentium notularum numerus ad minorem praecedentium ductus compraehendit eum quinquies et insuper tertiam ipsius minoris partem vt .16. ad .3. et .32. ad .6. et .48. ad .9. et deinceps. Haec proportio sexdecim notulas aequat tribus sibi consimilibus ita vt vnaquaequae ipsarum sexdecim diminuatur de tredecim sexdenis partibus sui valoris. Describitur autem in cantilenis hoc modo 16/3 32/6 48/9 Et destruitur a subquintuplasesquitertia quod praesens probat conccentus.

[f.ijviijr] [Gafurius, Practica musice, f.ijviijr,1; text: CANTVS, TENOR] [GAFPM4 34GF]

De Proportione quintuplasesquiquarta.

Quintuplasesquiquarta proportio fit quum maior sequentium notularum numerus ad minorem praecedentium ductus continet eum quinquies et eius insuper quartam partem vt .21. ad .4. et .42. ad .8. et .63. ad .12. et deinceps. In hac proportione viginti et vna notulae aequiualent et commensurantur quattuor sibi consimilibus ita vt vnaquaequae ipsarum vnius et viginti diminuatur de decemseptem vigessimis primis partibus propriae quantitatis. Describitur enim in notulis hoc modo 21/4 42/8 63/12 Et destruitur a subquintuplasesquiquarta sibi opposita. vt hic patet.

[Gafurius, Practica musice, f.ijviijr,2; text: CANTVS, TENOR] [GAFPM4 34GF]

[f.ijviijv] Reliquos autem huius generis gradus cum speciebus suis consimili processu diligentiae musicorum consyderandos relinquimus.

De Genere submultiplicisuperparticulari et eius speciebus. Caput decimum.

Svbmultiplexsuperparticulare genus quod quartum est minoris inaequalitatis oppositum multiplicisuperparticulari fit quum minor sequentium notularum numerus ad maiorem praecedentium relatus compraehenditur in ipso pluries cum vna eius aliquota parte: aequiualens ipsi maiori. Huius enim infinitae sunt species diuersis pariter gradibus consistentes. Primus gradus per subduplam singulis superparticularibus commixtam consyderatur. Cuius prima species est Subduplasesqualtera: secunda Subduplasesquitertia: tertia Subduplasesquiquarta: quarta Subduplasesquiquinta et deinceps. Secundus gradus singulas superparticulares subtriplae copulat hoc ordine. Subtriplasesqualtera: Subtriplasesquitertia: Subtriplasesquiquarta: Subtriplasesquiquinta: et deinceps. Tertius gradus singulas superparticulares tertiae commiscet submultiplici scilicet Subquadruplae: vt Subquadruplasesqualtera: Subquadruplasesquitertia: Subquadruplasesquiquarta: Subquadruplasesquiquinta et deinceps. Ac reliquos quidem gradus consequenti processu facile quisque consyderare potest.

De Proportione subduplasesqualtera.

Subduplasesqualtera proportio fit quum minor sequentium notularum numerus ad maiorem praecedentium relatus continetur in eo bis et insuper pars eius dimidia vt .2. ad .5. et .4. ad .10. et .6. ad .15. In hac proportione duae notulae aequiualent et commensurantur quinque sibi consimilibus ita vt vnaquaequae ipsarum duarum de tribus dimidijs partibus propriae quantitatis suscipiat augumentum. Figuratur enim in cantibus hoc modo 2/5 4/10 6/15 Atque destruitur a duplasesqualtera sibi opposita eam illico succedente. vt hoc percipitur concentu.

[Gafurius, Practica musice, f.ijviijv; text: CANTVS] [GAFPM4 35GF]

[f.kkir] [Gafurius, Practica musice, f.kkir,1; text: TENOR] [GAFPM4 35GF]

De Proportione subduplasesquitertia.

Subduplasesquitertia proportio fit quum minor sequentium notularum numerus ad maiorem praecedentium ductus compraehenditur in ipso bis et eius insuper pars tertia: aequiualens ei in potentia et temporis mensura: vt .3. ad .7. et .6. ad .14. et .9. ad .21. et deinceps. Haec enim proportio tres notulas septem sibi consimilibus coaequat ita vt vnaquaequae ipsarum trium augeatur de quattuor tertijs partibus propriae quantitatis. Figuratur enim in cantibus hoc modo 3/7 6/14/ 9/21 Et destruiutr a duplasesquitertia sibi opposita vt hic patet.

[Gafurius, Practica musice, f.kkir,2; text: CANTVS, TENOR] [GAFPM4 35GF]

De Proportione subduplasesquiquarta.

Subduplasesquiquarta proportio fit quum minor sequentium notularum numerus ad maiorem praecedentium relatus conspicitur in eo bis et insuper eius quarta pars: vt .4. ad .9. et .8. ad .18. et .12. ad .27. In hac proportione [f.kkiv] quattuor notulae aequiualent et commensurantur nouem sibi consimilibus: ita vt singulaquaequae ipsarum quattuor de quinque quartis partibus proprij valoris crescat. Figuratur in cantilenis hoc modo 4/9 8/18 12/27 Destruitur autem a duplasesquiquarta sibi opposita. ut hic.

[Gafurius, Practica musice, f.kkiv,1; text: CANTVS, TENOR] [GAFPM4 36GF]

De Proportione subtriplasesqualtera.

Subtriplasesqualtera proportio fit quum minor sequentium notularum numerus ad maiorem praecedentium ductus: continetur in ipso ter et eius insuper pars dimidia: vt .2. ad .7. et .4. ad .14: et .6. ad .21. et deinceps. Haec enim proportio duas notulas septem sibi consimilibus in potentia coaequat ita vt vnaquaequae ipsarum duarum augeatur de quinque dimidijs partibus propriae quantitatis. Describitur autem in cantilenis hoc modo 2/7 4/14 6/21 Atque destruitur a triplasesqualtera sibi opposita vt presens probat concentus.

[Gafurius, Practica musice, f.kkiv,2; text: CANTVS, TENOR] [GAFPM4 36GF]

[f.kkijr] De Proportione subtriplasesquitertia.

Subtriplasesquitertia proportio fit quum minor sequentium notularum numerus ad maiorem praecedentium relatus continetur in ipso ter cum tertia insuper eius parte: vt .3. ad .10. et .6. ad .20. et .9. ad .30. et deinceps. In hac proportione tres notulae aequiualent et commensurantur decem sibi consimilibus: ita vt vnaquaequae ipsarum trium augeatur de septem tertijs partibus proprie quantitatis. Describitur enim in cantibus hoc modo 3/10 6/20 9/30 Et destruitur a triplasesquitertia sibi opposita vt subiecto percipitur concentu.

[Gafurius, Practica musice, f.kkijr; text: CANTVS, TENOR] [GAFPM4 36GF]

De Proportione subtriplasesquiquarta.

Subtriplasesquiquarta proportio fit quum minor sequentium notularum numerus ad maiorem praecedentium ductus continetur in ipso ter et insuper eius quarta pars: vt .4. ad .13. et .8. ad .26. et .12. ad .39. et deinceps. Haec enim proportio quattuor notulas tredecim sibi consimilibus coaequat in potentia et temporis mensura ita vt vnaquaequae ipsarum quattuor de nouem quartis partibus propriae potentiae acquirat augumentum. Figuratur in notulis hoc modo 4/13 8/26 12/39 Et destruitur a triplasesquiquarta sibi opposita vt presens declarat concentus.

[f.kkijv] [Gafurius, Practica musice, f.kkijv,1; text: CANTVS, TENOR] [GAFPM4 37GF]

De Proportione subquadruplasesqualtera

Subquadruplasesqualtera proportio fit quum minor sequentium notularum numerus ad maiorem praecedentium ductus compraehenditur in ipso quater cum dimidia eius insuper parte: vt .2. ad .9. et .4. ad .18. et .6. ad .27. et deinceps. In hac proportione duae notulae aequiualent et commensurantur nouem sibi consimilibus ita vt vnaquaequae ipsarum duarum augeatur de septem dimidijs partibus propriae quantitatis. Figuratur in notulis hoc modo 2/9 4/18 6/27 Atque destruitur a quadruplasesqualtera sibi opposita vt hic patet.

[Gafurius, Practica musice, f.kkijv,2; text: CANTVS, TENOR] [GAFPM4 37GF]

[f.kkiijr] [Gafurius, Practica musice, f.kkiijr,1] [GAFPM4 38GF]

De Proportione subquadruplasesquitertia.

Subquadruplasesquitertia proportio fit quum minor sequentium notularum numerus ad maiorem praecedentium relatus compraehenditur in ipso quater cum tertia eius parte vt .3. ad .13. et .6. ad .26. et .9. ad .39. et deinceps. Haec enim proportio tres notulas tredecim sibi consimilibus aequifacit in potentia et temporis mensura: ita vt vnaquaequae ipsarum trium de decem terdenis partibus propriae quantitatis suscipiat augumentum. Figuratur enim in cantilenis hoc modo 3/13 6/26 9/39 Et destruitur a quadruplasesquitertia sibi opposita: vt praesens probat concentus.

[Gafurius, Practica musice, f.kkiijr,2; text: CANTVS, TENOR]

De Proportione subquadruplasesquiquarta.

Subquadruplasesquiquarta proporti fit quum minor sequentium notularum numerus ad maiorem praecedentium relatus compraehenditur in ipso quater cum quarta insuper eius parte: ut .4. ad .17. et .8. ad .34. et .12. ad .51. et deinceps. In hac proportione quattuor notulae aequiualent et commensurantur decem ac septem sibi consimilibus: ita vt singulaquaequae [f.kkiijv] ipsarum quattuor augeatur de quattuordecim quartis partibus propriae quantitatis. Figuratur autem in cantibus hoc modo 4/17 8/34 12/51 Et destruitur a quadruplasesquiquarta sibi opposita vt praesens probat concentus.

[Gafurius, Practica musice, f.kkiijv; text: CANTVS, TENOR] [GAFPM4 38GF]

De Genere multiplicisuperpartiente et eius speciebus. Caput vndecimum.

Mvltiplexsuperpartiens genus quintum maioris inaequalitatis est quum maior sequentium notularum numerus ad minorem praecedentium relatus continet ipsum pluries: cum vna eius aliquanta parte plures aliquotas conducente. Infiniti enim sunt huius generis gradus singulis multiplicibus quascumque superpartientes complectentibus procedentes. Primus enim gradus fit ex prima multiplici singulis superpartientibus connexa: vt Duplasuperbipartiens. Duplasupertripartiens: Duplasuperquatripartiens. et deinceps. Hae enim subalternae species dicuntur: namque in vim generis vnaquaequae conuertitur. cum duplarum superbipartientium Alia duplasuperbipartienstertias: vt .8. ad .3. Alia duplasuperbipartiensquintas: vt .12. ad .5. Alia duplasuperbipartiensseptimas: vt .16. ad .7. Alia duplasuperbipartiensnonas: vt .20. ad .9. et deinceps. Verum huiusmodi specialissimas species vocant. Caeteris vero gradibus consimilis consyderationis adhibetur modus. Secundus gradus singulas superpartientes secundae multiplici coniungit. Cuius subalternus et specialissimus ordo est Triplasuperbipartienstertias: vt .11. ad .3. Triplasuperbipartiensquintas vt .17. ad .5. Triplasuperbipartiensseptimas [f.kkiiijr] vt .23. ad .7. et deinceps. Tertius gradus tertiam multiplicem singulis superpartientibus apponit: cuius ordo est Quadruplasuperbipartienstertias vt .14. ad .3. Quarudplasuperbipartiensquintas .22. ad .5. Quadruplasuperbipartiensseptimas: vt .30. ad .7. In quatro gradu singulae superpartientes quartae applaudunt multiplici hoc ordine. Quintuplasuperbipartienstertias: vt .17. ad .3. Quintuplasuperbipartiensquintas: vt .27. ad .5. Quintuplasuperbipartiensseptimas: vt .37. ad .7. Consyderatur plerumque huiusmodi processus per subalternarum superpartientium singulis multiplicibus applicationem: vt Duplasuperbipartiens. Duplasupertripartiens. Duplasuperquatripartiens. atque in reliquis diuersimoda congruit consyderatio. De quibus singillatim est dicendum.

De Proportione duplasuperbipartientetertias.

Duplasuperbipartienstertias proportio fit quum maior sequentium notularum numerus ad minorem praecedentium ductus compraehendit eum bis et insuper vnam eius aliquantam partem factam ex duabus tertijs partibus ipsius minoris: vt .8. ad .3. et .16. ad .6. et .24. ad .9. et deinceps. In hac proportione octo notulae aequiualent et commensurantur tribus sibi consimilibus: ita vt vnaquaequae ipsarum octo diminuatur de quinque octauis partibus propriae quantitatis. Figuratur enim in cantibus hoc modo 8/3 16/6 24/9 Et destruitur a subduplasuperbipartientetertias sibi opposita vt hic monstrat concentus.

[Gafurius, Practica musice, f.kkiiijr; text: CANTVS, TENOR] [GAFPM4 39GF]

[f.kkiiijv] De Proportione duplasuperbipartientequintas.

Duplasuperbipartiensquintas proportio fit quum maior sequentium notularum numerus ad minorem praecedentium ductus continet ipsum bis et insuper duas eius quintas partes: vt .12. ad .5. et .24. ad .10. et .36. ad .15. et deinceps. Haec proportio duodecim notulas aequifacit in potentia et temporis mensura quinque sibi consimilibus: ita vt singulaquaequae ipsarum duodecim de septem duodenis partibus propriae quantitatis detrimentum patiatur. Figuratur in cantilenis hoc modo 12/5 24/10 36/15 Et destruitur a subduplasuperbipartientequintas sibi opposita: vt hoc constat concentu.

[Gafurius, Practica musice, f.kkiiijv,1; text: CANTVS, TENOR] [GAFPM4 39GF]

De Proportione duplasupertripartientequartas.

Duplasupertripartiensquartas proportio fit quum maior sequentium notularum numerus ad minorem praecedentium relatus compraehendit eum bis et tres insuper eius quartas partes: vt .11. ad .4. et .22. ad .8. et .33. ad .12. In hac proportione vndecim notulae aequiualent et commensurantur quattuor sibi consimilibus ita vt vnaquaequae ipsarum vndecim diminuatur de septem vndenis partibus proprij valoris. Describitur enim in cantibus hoc modo 11/4 22/8 33/12 Destruitur insuper a subduplasupertripartientequartas sibi opposita vt praesens declarat concentus.

[Gafurius, Practica musice, f.kkiiijv,2; text: CANTVS] [GAFPM4 39GF]

[f.kkvr] [Gafurius, Practica musice, f.kkvr,1; text: TENOR] [GAFPM4 40GF]

De Proportione duplasupertripartientequintas.

Duplasupertripartiensquintas proportio fit quum maior sequentium notularum numerus ad minorem praecedentium relatus continet eum bis et tris eius quintas partes: vt .13. ad .5. et .26. ad .10. et .39. ad .15. et deinceps. Haec enim proportio tredecim notulas coaequat quinque sibi consimilibus ita vt vnaquaequae ipsarum tredecim diminuatur de octo terdenis partibus propriae quantitatis. Describitur in cantibus hoc modo 13/5 26/10 39/15 Et destruitur a subduplasupertriprartientequintas sibi opposita: vt hic constat.

[Gafurius, Practica musice, f.kkvr,2; text: CANTVS, TENOR] [GAFPM4 40GF]

De Proportione triplasuperbipartientetertias.

Triplasuperbipartienstertias proportio fit quum maior sequentium notularum numerus ad minorem praecedentium ductus compraehendit eum ter et insuper duas eius tertias partes: vt .11. ad .3. et .22. ad .6. et .33. ad .9. et deinceps. In hac proportione vndecim notulae aequiualent et commensurantur tribus sibi consimilibus: ita vt singulaquaequae ipsarum vndecim diminuatur de octo vndenis partibus propriae quantitatis. Describitur enim in notulis hoc modo 11/3 22/6 33/9 Et destruitur a subtriplasuperbipartientetertias sibi opposita: vt hoc concentu disponitur.

[f.kkvv] [Gafurius, Practica musice, f.kkvv,1; text: CANTVS, TENOR] [GAFPM4 40GF]

De Proportione triplasuperbipartientequintas.

Triplasuperbipartiensquintas proportio fit quum maior sequentium notularum numerus ad minorem praecedentium relatus continet eum ter: et insuper duas ipsius quintas partes vt .17. ad .5. et .34. ad .10. et .51. ad .15. et deinceps. In hac proportione decem ac septem notulae aequiualent et commensurantur quinque sibi consimilibus ita vt singulaquaequae ipsarum decemseptem diminuatur de duodecim septendenis partibus sui valoris. Describitur in notulis hoc modo 17/5 34/10 51/15 Et destruitur a subtriplasuperbipartientequintas sibi opposita: vt praesens probat concentus.

[Gafurius, Practica musice, f.kkvv,2; text: CANTVS, TENOR] [GAFPM4 40GF]

De Proportione triplasupertripartientequartas.

Triplasupertripartiensquartas proportio fit quum maior sequentium notularum numerus ad minorem praecedentium ductus compraehendit eum ter: et tris eius quartas partes .vt .15. ad .4. et .30. ad .8. et .45. ad .12. Haec proportio [f.kkvir] quindecim notulas aequat quattuor sibi consimilibus: ita vt vnaquaequae ipsarum quindecim diminuatur de vndecim quindenis partibus propriae quantitatis. Figuratur in cantilenis hoc modo 15/4 30/8 45/12 Atque destruitur a subtiplasupertripartientequartas sibi opposita vt hic constat.

[Gafurius, Practica musice, f.kkvir; text: CANTVS, TENOR] [GAFPM4 41GF]

De Proportione triplasupertripartientequintas.

Triplasupertripartiensquintas proportio fit quum maior sequentium notularum numerus ad minorem praecedentium ductus continet ipsum ter et insuper tres eius quintas partes vt .18. ad .5. et .36. ad .10. et .54. ad .15. et deinceps. In hac proportione decem et octo notulae aequiualent et commensurantur quinque sibi consimilibus ita vt vnaquaequae ipsarum decem et octo diminuatur de tredecim octodenis partibus propriae quantitatis. Describitur enim in cantibus hoc modo 18/5 36/10 54/15 Atque destruitur a subtriplasupertripartientequintas sibi opposita. vt hoc precipitur concentu.

[f.kkviv] [Gafurius, Practica musice, f.kkviv,1; text: CANTVS, TENOR] [GAFPM4 41GF]

De Proportione quadruplasuperbipartientetertias.

Quadruplasuperbipartienstertias proportio fit quum maior sequentium notularum numerus ad minorem praecedentium ductus compraehendit eum quater et duas insuper ipsius tertias partes: vt .14. ad .3. et .28. ad .6. et .42. ad .9. et deinceps. Haec enim proportio quattuordecim notulas coaequat tribus sibi consimilibus in potentia et temporis mensura: ita vt singulaquaequae ipsarum quattuordecim diminuatur de vndecim quartisdecimis partibus sui valoris. Figuratur autem in cantilenis hoc modo 14/3 28/6 42/9 Et destruitur a subquadruplasuperbipartientetertias sibi opposita vt praesens declarat concentus.

[Gafurius, Practica musice, f.kkviv,2; text: CANTVS, TENOR] [GAFPM4 41GF]

De Proportione quadruplasuperbipartientequintas.

Quadruplasuperbipartiensquintas proportio fit quum maior sequentium notularum numerus ad minorem praecedentium ductus continet ipsum quater cum duabus eius quintis partibus: vt .22. ad .5. et .44. ad .10. et .66. ad .15. In hac proportione viginti et duae notulae aequiualent et commmensurantur quinque [f.kkvijr] sibi consimilibus in potentia et temporis mensura: vt vnaquaequae ipsarum vigintiduarum diminuatur de decemseptem vigessimis secundis partibus proprij valoris. Figuratur in notulis hoc modo 22/5 44/10 66/15 Et destruitur a subquadruplasuperbipartientequintas sibi opposita: vt hoc probatur concentu.

[Gafurius, Practica musice, f.kkvijr; text: CANTVS, TENOR] [GAFPM4 42GF]

De Proportione quadruplasupertripartientequartas.

Quadruplasupertripartiensquartas proportio fit quum maior sequentium notularum numerus ad minorem praecedentium ductus compraehendit eum quater et insuper tres ipsius quartas partes: vt .19. ad .4. et .38. ad .8. et .57. ad .12. et deinceps. Haec enim proportio decem ac nouem notulas connumerat et commensurat quattuor sibi consimilibus ita vt vnaquaequae ipsarum decemnouem diminuatur de quindecim decimisnonis partibus propriae quantitatis. Describitur enim in cantilenis hoc modo 19/4 38/8 57/12 Et destruitur a subquadruplasupertripartientequartas sibi opposita: quod praesens monstrat concentus.

[f.kkvijv] [Gafurius, Practica musice, f.kkvijv; text: CANTVS, TENOR] [GAFPM4 42GF]

Reliquas autem subalternas et specialissimas huius generis species diligens ex se ipso perscrutator pari consyderatione perquiret.

De Genere submultiplicisuperpartiente eiusque speciebus. Caput duodecimum.

Svbmultiplexsuperpartiens genus quod quintum est minoris inaequalitatis oppositum multiplicisuperpartienti est quum minor sequentium notularum numerus ad maiorem praecedentium relatus compraehenditur in ipso semel cum aliquanta ipsius parte plures aliquotas complectente. aequiualetque minor ipse maiori in potentia et temporis mensura: ita vt singulaequaequae notulae minoris de tot propriae numerositatis particulis suscipiant augumentum quot fuerint notulae ipsorum numerorum differentiam disponentes. vt et in caeteris minoris inaequalitatis generibus euenire contingit. Infinitos item gradus huius generis distribuit singularis submultiplicitas superpartientes complectens habitudines. Primus gradus fit ex subdupla: vt Subduplasuperbipartiens. Subduplasupertripartiens. Subduplasuperquatripartiens. huiusmodi autem species subalternae sunt quod vnaquaequae in vim genris transeat. vt Subduplasuperbipartienstertias. Subduplasuperbipartiensquintas. Subduplasuperbipartiensseptimas. hae autem species specialissime vocantur. Idemquoque in caeteris consyderationis processus apparet. Secundus gradus fit ex subtripla vt Subtriplasuperbipartiens. Subtriplasupertripartiens. Subtriplasuperquatripartiens. et deinceps.

Tertius gradus a subquadrupla concipitur vt Subquadruplasuperbipartiens. Subdquadruplasupertripartiens. Subquadruplasuperquatripartiens. Huiusmodi autem subalternis specialissimae species supponuntur. Quarum processum disponamus hoc ordine.

[f.kkviijr] De Proportione subduplasuperbipartientetertias.

Subduplasuperbipartienstertias proportio fit quum minor sequentium notularum numerus ad maiorem praecedentium relatus compraehenditur in eo bis cum duabus insuper tertijs partibus suis vt .3. ad .8. et .6. ad .16. et .9. ad .24. et deinceps. In hac proportione tres notulae aequiualent et commensurantur octo sibi consimilibus: ita vt vnaquaequae ipsarum trium augeatur de quinque tertijs partibus propriae quantitatis. Describitur enim in cantibus hoc modo 3/8 6/16/ 9/24 Et destruitur a duplasuperbipartientetertias sibi opposita vt hic monstrat concentus.

[Gafurius, Practica musice, f.kkviijr,1; text: CANTVS, TENOR] [GAFPM4 43GF]

De Proportione subduplasuperbipattientequintas.

Subduplasuperbipartiensquintas proportio fit quum minor sequentium notularum numerus ad maiorem praecedentium ductus continetur bis in ipso et duae eius quintae partes: vt .5. ad .12. et .10. ad .24. et .15. ad .36. Haec enim proportio quinque notulas coaequat in potentia et temporis mensura duodecim sibi consimilibus ita vt singulaquaequae ipsarum quinque de septem quintis partibus propriae quantitatis acquirat augumentum. Figuratur autem in notulis hoc modo 5/12 10/24 15/36 Atque destruitur a duplasuperbipartientequintas sibi opposita vt hic patet.

[Gafurius, Practica musice, f.kkviijr,2; text: CANTVS] [GAFPM4 43GF]

[f.kkviijv] [Gafurius, Practica musice, f.kkviijv,1; text: CANTVS, TENOR] [GAFPM4 44GF]

De Proportione subduplasupertripartientequartas.

Subduplasupertripartiensquartas proportio fit quum minor sequentium notularum numerus ad maiorem praecedentium ductus continetur in ipso bis et tres insuper eius quartae partes: vt .4. ad .11. et .8. ad .22. et .12. ad .33. et deinceps. In hac proportione quattuor notulae aequiualent et commensurantur vndecim sibi consimilibus: ita vt vnaquaequae ipsarum quattuor augeatur de septem quartis partibus propriae quantitatis. Describitur in catnilenis hoc modo 4/11 8/22 12/33 Et destruitur a duplasupertripartientequartas sibi opposita: vt hoc concentu percipitur.

[Gafurius, Practica musice, f.kkviijv,2; text: CANTVS, TENOR] [GAFPM4 44GF]

[f.llir] De Proportione subtriplasuperbipartientetertias.

Subtriplasuperbipartienstertias proportio fit quum minor sequentium notularum numerus ad maiorem praecedentium relatus compraehenditur ter in ipso cum duabus tertijs partibus suis: vt .3. ad .11. et .6. ad .22. et .9. ad .33. et deinceps. Haec proportio tres notulas aequifacit vndecim sibi consimilibus ita vt singulaquaequae ipsarum trium de octo tertijs partibus sui valoris suscipiat augumentum. Describitur enim in notulis hoc modo 3/11 6/22 9/33 Atque destruitur a triplasupertripartientetertias sibi opposita: vt hic constat.

[Gafurius, Practica musice, f.llir; text: CANTVS, TENOR] [GAFPM4 45GF]

De Proportione subquadruplasupertripartientequartas.

Subquadruplasupertripartiensquartas proportio fit quum minor sequentium notularum numerus ad maiorem praecedentium ductus continetur in ipso quater cum tribus quartis partibus suius vt .4. ad .19. et .8. ad .38. et .12. ad .57. et deinceps. In hac proportione quattuor notulae aequiualent et commensurantur decem ac nouem sibi consimilibus: ita vt vnaquaequae ipsarum quattuor augeatur de quindecim quartis partibus propriae quantitatis. Describitur in cantilenis hoc modo 4/19 8/38 12/57 Et destruitur a quadruplasupertripartientequartas sibi opposita. vt hoc percipitur concentu.

[f.lliv] [Gafurius, Practica musice, f.lliv; text: CANTVS, TENOR] [GAFPM4 45GF]

Reliquas autem huius generis habitudines musicorum diligentiae committimus perscrutandas.

De Coniunctione plurium dissimilium proportionum. Caput tertiumdecimum.

Diuerse proportiones sese inuicem consequentes varias subsequentium notularum ad praecedentes sana consyderatione ducunt habitudines. Namque si (exempli causa) tripla proportio in notulis immediate duplam fuerit [f.llijr] subsequuta: sexcupla illico proportio ex numerositate notularum ipsius triplae descriptae ad priorem notularum numerum qui scilicet ante duplam ipsam dispositus fuerat: resultabit: quod his numeris sane percipitur .1.2.6. Binarius enim ad vnitatem duplus est. Senarius ad binarium triplus. Rursus Senarius ad vnitatem sexcuplam facit proportionem. quam subsexcupla sibi opposita statim subsequens destruere comprobatur eius rei causa est deducta extremorum aequalitas his terminis circumscripta .1.2.6.1. Id quoque in connumeratione et pronunciatione notularum presentis concentus notissime percipitur.

[Gafurius, Practica musice, f.llijr; text: CANTVS, TENOR] [GAFPM4 46GF]

Vnaquaequae igitur proportio ad praecedentem proportionem consyderata: notulas semper confert praecedentium notularum numerositati: ita vt primae proportionis consyderationi tanquam fundamento relationis correspondere noscantur: quod vltimo tertij theoricae Arythmetica disponente monstrauimus. Verum duae primae superparticularis generis species sesqualtera et sesquitertia sese inuicem in cantilena consequentes: notulas posteriores in dupla ad priores conferunt consyderatione: quod horum percipitur dispositione numerorum .2.3.4. his superducta sesquiquarta sequentes notulas anterioribus commensurat secundum duplamsesqualteram vt his constat numeris 2.3.4.5. Superaddita insuper sesquiquinta triplam ad primum notularum numerum perficiet proportionem vt hac dispositione monstratur .2.3.4.5.6. Senarius namque ad binarium triplam implet habitudinem. Subsequente autem subtripla proportione omnes [f.llijv] destruentur dispositae proportiones: namque extremorum succedit aequalitas vt probat haec dispositio .2.3.4.5.6.2. Atque in notulis eadem fit consyderatione processus: vt hoc patet concentu.

[Gafurius, Practica musice, f.llijv; text: CANTVS, TENOR] [GAFPM4 46GF]

Constat insuper duas contiguas atque immediatas superparticularis generis species praeter sesqualteram et sesquitertiam quae primae sunt et maiores caeteris epimorijs: duplam proportionem implere non posse. Nam cum maioribus disponantur numeris quam duae ipsae primae minorem ducant proportionem necessum est: vt si sesquitertiam et sesquiquartam disposuero his numeris .3.4.5. extremi inuicem [f.lliijr] termini duplam proportionem perficere non possunt: verum superducta sesquiquinta: extremitates inuicem Dupla sese habitudine custodient hoc modo .3.4.5.6. Senarius enim ad quinarium sesquiquintam: ad ternarium vero duplam ducit colationem: quam illico succedens subdupla sibi opposita destruit: deducta extremorum aequalitate: vt his constat numeris .3.4.5.6.3. ternarius enim ad senarium subduplam perficit proportionem: priorem vero ternarium ipsa conspicit aequalitate posteriores notulas priorum conferens numerositati. vt hoc percipitur concentu.

[Gafurius, Practica musice, f.lliijr; text: CANTVS, TENOR] [GAFPM4 47GF]

Id quoque in huiusmodi consyderatione contingit: quod extincta quauis proportione a sua opposita eam illico subsequente extinguntur et reliquae praecedentes quae eius membra sunt. quod ex praecedentibus dispositionibus deductum est. namque subdupla ipsa non modo duplam extremorum destruxit proportionem: sed et sesquitertiam: sesquiquartam atque sesquiquintam (duplae ipsius membra) fecit obmutescete. Varijs quoque motibus sese inuicem subsequuntur continuae cuiuscunque generis habitudines: quod cautus ex se ipso musicus facile consyderare potest.

De Proportionibus musicas consonantias nutrientibus. Caput .14.

Earum vero proportionum quae propria dimensione musicas probant consonantias processum atque naturam duximus exponendam. Sunt enim [f.lliijv] in multiplici genere: Dupla: Tripla: Quadrupla: quibus Diapason: Diapasondiapente atque Disdiapason conducuntur: In superparticulari: Sesqualtera: Sesquitertia et Sesquioctaua: Diapenten: Diatessaron: ac tonum demonstrantes: quas quidem et si in theoricis de eis verba latius feci: hic tamen libet in ordine notularum strictius explicare. Quocirca quum dispositae sesquitertiae sesquioctauam superduxeris: extremi inuicem termini sesqualtera sese habitudine conseruabunt vt his constat numeris .6.8.9. Octonarius namque ad senarium sesquitertiam facit: nouenarius vero ad octonarium sesquioctauam: rursus nouenarius ad senarium sesqualteram ducit proportionem: cui superposita sesquitertia extremos terminos dupla obseruatione locabit vt his monstratur numeris .6.8.9.12. Duodenarius enim ad nouenarium sesquitertiam probat: ad senarium vero duplam. Superducta insuper sesqualtera: tripla illico resultabit extremorum consyderatio: quod hac dispositione probatur .6.8.9.12.18. Numerus namque .18. ad .12. sesqualteram efficit ad .6. vero triplam. Quod quum triplae huiusmodi sesquitertiam apposueris quadruplam perficies extremorum vt hic .6.8.9.12.18.24. nam numerus .24. ad numerum .18. susquitertiam monstrat. ad senarium vero quadruplam. Verum quum huiusmodi quadruplae subiuncta fuerit subquadrupla sibi opposita: mox quadrupla ipsa eiusque membra euanescent: cum ad priorem numerositatem subsequentes notulae conducantur: quod extremorum terminorum probat aequalitas: vt his patet numeris .6.8.9.12.18.24.6. numerus enim .6. ad .24. subquadruplam efficit: ad priorem vero senarium: ipsa aequalitate refertur: quod et presens concentus disponit in notulis hoc modo.

[Gafurius, Practica musice, f.lliijv; text: CANTVS] [GAFPM4 47GF]

[f.lliiijr] [Gafurius, Practica musice, f.lliiijr; text: TENOR] [GAFPM4 48GF]

De Productione multiplcium proportionum ex multiplicibus et superparticularibus. Caput quintumdecimum.

Postremo multiplicium specierum ordinem ex multiplicitate et superparticularitate produci consyderandum est. Prima enim multiplicis generis species scilicet dupla: et prima superparticularis scilicet sesqualtera simul iunctae: secundam multiplicem ducunt in extremis scilicet triplam vt his constat numeris .1.2.3. superducta autem subtripla: destruitur propter aequalem extremorum consyderationem: vt hic .1.2.3.1. Atque in notularum quantitatibus secundum temporis mensuram idem consistit: quod praesens declarat concentus.

[f.lliiijv] [Gafurius, Practica musice, f.lliiijv,1; text: CANTVS, TENOR] [GAFPM4 49GF]

Secunda vero multiplicis generis species videlicet tripla. et secunda superparticularis scilicet sesquitertia per cosequentiam: tertiam multiplicis speciem ducunt: scilicet quadruplam: vt his constat numeris .1.3.4. Atque in notulis dispositae: subsequentes notulas anterioribus quadrupla consyderatione conducunt: quam subquadrupla illico sibi opposita extinguit: vt praesens probat concentus.

[Gafurius, Practica musice, f.lliiijv,2; text: CANTVS, TENOR] [GAFPM4 49GF]

[f.llvr] [Gafurius, Practica musice, f.llvr,1] [GAFPM4 50GF]

Tertia autem multiplicis generis species scilicet quadrupla: et tertia superparticularis scilicet sesquiquarta coniunctae: quartam concreant multiplicem videlicet quintuplam: quod horum probat terminorum dispositio .1.4.5. Idem quoque in cantilenis perficiunt: nam notulae subsequentes quintupla habitudine anterioribus referunt: cuius dispositio per subquintuplae sibi oppositae subsequentiam extinguitur: vt hoc constat concentu.

[Gafurius, Practica musice, f.llvr,2; text: CANTVS, TENOR] [GAFPM4 50GF]

Consimilis quoque deducendarum multiplicium proportionum ex multiplicibus et superparticularibus procedit consyderatio. Namque quarta multiplicis species et quarta superparticularis quinta multiplicem ducunt: vt his probatur numeris .1.5.6. Quinta vero multiplicis generis species et quinta superparticularis sextam conficiunt multiplicem: quod his constat numeris .1.6.7. Sexta autem multiplicis generis species et sextasuperparticularis septimam probant multiplicem: his numeris .1.7.8. Atque reliquae eodem modo secundum naturalem numerorum progressionem consyderatur. Habes nunc candidissime lector nostras musicae exercitationis [f.llvv] commentationes non minore forsan a me Ingenio et industria ellaboratas quam tacito abste exoptatas desiderio quippe quae quum in legendis nostris theoricae libris eris defatigatus: quasi quaedam aepulae acidulae stomachum tuum recreent et refoueant: nec carere culpa posse opinabar: si cum musicam artem edocuerim: et eius veluti penetralia secretiora aperuerim: hanc quoque partem quae practica vocatur et in ipso musicae actu consistit et perficitur: tacete sustinuissem. Quod si in tanto opere quis depraehensus fuerit error: non indignentur propterea docti homines: cum mea scripta mathematicorum atque musicorum cuique peritissimo perpendenda relinquam et castiganda. Verum quum verbis aut parum latinis aut nimis recentibus quispiam offendetur: velim materiae in qua versamur id tribuat: nec Ignoret complures scriptores si exacte res curare voluerint saepenumero antiquo verborum vsui et Grammaticorum consuetudini indicere bellum oportuisse: Ista praefarri non institueram: quia haec doctis et prudentibus a me scribuntur: qui (nec deprecanti) veniam darent: sed imperitorum vulgus animaduerti qui scientiae vmbram induti: nostras meditationes prioribus labris degustantes ea statim maledictis petunt et proscindunt: quae persiculate inde et sine liuore lectitata condignis ac fructiferis fore laudibus prosequentur.

Practica Musicae Franchini Gafori laudensis quattuor libris compraehensa Finit.

Impressa Mediolani opera et Impensa Ioannis petri de Lomatio per Guillermum Signerre Rothomagensem anno salutis Milessimo quadrigentessimo nonagessimo sexto die vltimo Septembris. Alexandro sexto Pontifice maximo: et Maximiliano Romanorum rege semper augusto ac Lodouico maria Sfortia Anglo inuictissimo Mediolanensium Duce: foelici auspicio regnantibus.