Back to top

[313] Incipit Liber Secundus.

Capitulum I.

Genus multiplex continere diapason et quicquid ab illo sit compositum.

Hoc expleto primo libro volens implere promissus ac in monocordo quae supradicta sunt approbare, prius optimum estimo de quinque generibus inequalitates aliqua tangere, sine quibus nemo naturam novit numerorum aut inde qualitatis proportionum. Sunt namque genera quinque totius inaequalitatis. Multiplex, superparticulare, superpartiens, multiplex superparticulare, et multiplex superpartiens. Multiplex autem ab eo quod est multiplicare dicitur, eo quod numeros ab unitate variis modis, tam per binarium, quam perternarium, aut quaternarium, sicut de reliquis, multiplicat, auget inquam, ac deducit ad aequalitatem cum majoribus usque in infinitum. Hoc genus primum est omnium ac vetustissimum, suas adeo servans quascunque partes integras, ut nihil sibi desit unquam nihilque superabundunt. Est igitur multiplex quando major numerus in se totum continet minorem bis, ter, aut quater, et sic de singulis, ut si binarius unitati comparetur, et sit proportio dupla. Si vero ternarius, tripla; si quaternarius quincupla, sicque de caeteris. Prout in hac descriptione denaria patebit. In qua quidem et sexcuplam, sepcuplam, octuplam, noncuplam ac decuplam habes proportionem. Si tamen singulos numeros unitati primae compares, a qua videlicet genus tam nobile ducit originem et non aliud.

Radices ac omnium primae multiplicium proportiones:

I II III IIII V VI VII VIII VIIII X

Quod si, relicta prima unitate, volueris hos numeros binario comparare non decedis etiam a multiplici, non numerans ternarium, quinarium, septenarium atque de medio relinquens nonarium. Sed habes iterum duplam, triplam, quadruplam et ad denarium quintuplam. Rursumque si quoscumque volueris in se multiciples numeros, aut in alios magnos sive parvos, nunquam hoc genus deseris integerrimum. Nam si ducas ter duo, tripla facis; et si bis tria duplam; et si quater quatuor, quadruplam; et sic deinceps, comparatisque simul, tot partibus, nil interruptum nil minus habens aut inaequale vides. Sic genus istud excellentissimum, sic est, inquam, ab eo qui cuncta creavit, tam pulchriter depositum, ut ab indivisa quidem unitate totum procedat: nec unquam ejus in integritatem cursu naturali progrediens relinquat. Hinc est quod diapason cum suis compositis, quae sunt dyapason diapente, bis diapason, ac hujuscemodi perfectissimae consonantiae, tam suaviter consonant. Quam a natura hujus aequalissimae multiplicis generis non recedunt. Nam sicut hi numeri tantam invicem pacem habent, ut, simul comparati, minor majorem aequaliter impleat, et major in se minorem absque superfluo recipiat, ita quidem in his consonantiis gravis cum acuto convenit, et acutus cum gravi sono, quod totum evidens est, manuque palpari potest in monocordo.

[314] Capitulum II.

Genus subperparticulare non ut est multiplex integrum ac per hoc non reddere tam suaves diapente consonantiam et diatessaron.

Superparticulare genus ob hoc sic appellatum est, quod semper unam desuper particulam habeat, non enim ut multiplex partes suas servare valet integras, neque velut super partiens, et alia genera multum in diversa distrahit. Hoc genus secundum est, sed ex primo secundoque multiplici procreatum, incohans a binario, sicut ab unitate multiplex, ac deinceps gradatim a majoribus minores numeros una parte sui differre cogens. Et si quidem media parte sexqualtera proportio dicitur a "sex" quodquod est totum, et "altera" sive media. Si vero tertia parte, sexquitertia est, et si quarta sexquiquarta, et si quinta sexquiquinta, sicque de infinitis. Est ergo superparticulare genus quando major numerus in se totum habet minorem, ac, in superalteram, ejusdem minoris seu mediam partem, ut est ternarius binario comparatus. Aut vere tertiam, ut si quatuor ad tria compares, aut quartam si quinque quatuor, aut si sex ad quinque quintam, prout in hac descriptione patebit. Si tamen ordinate progrediens, majorem quemque numerum consideres, qualiter se scilicet ad minorem sibi proximum habeat, nullumque prorsus indiscussum de medio pertranseas. Ibi si quidem non solum sexqualteram habes, aut sexquetertiam sive sexquequartam, vel sexquequintam (quas supra descripsi proportiones superparticulares) sed et sexquesextam, sexqueseptimam, sexqueoctavam et sexquenonam, omnes in denario numero radices. Et primas omnium quantum libet magnarum superparticularium proportiones, non aliter quam superius videre potes de multiplicibus:

[CSIV:314; text: II III IIII V VI VII VIII VIIII X, Radices ac omnium primae se perparticularium proportiones] [GALRIT2 01GF]

Vides hic genus istud, si bene perpendis, quamquam ab unitatis integritate non inchoet, a natura tamen multiplicis quod ab illa nascitur non nimis alienum. Multiplex enim ab unitate prodiens ac naturalem numerorum dispositionem prosequens, numquam ortus sui deserit integritatem, super particulare vero gradatim etiam ex ordinato procedens una tantum particula, semper integrum minuit. Servat quoque multiplex identitatem multiplicatis infinitum suis partibus. Servat et ad ipsum superparticulare, nec suam similiter immutat naturam. Si namque duplam duplices, triplices, quadruplices, aut quantumcunque volueris multiplices, nunquam aliud quam duplam habes sicque de singulis multiplicibus; et si sexqualteram per binarium aut ternarium ducas, aut per quos libet alios numeros, magnos sive parvos, nil aliud quam sexqualteram invenis. Nec aliter fieri potest de caeteris omnibus, superparticularibus. Denique quod majus est ex duabus primis multiplicibus, dupla et tripla gignitur, ut ante monstratum est superparticulare genus, et ex duabus primis subparticularibus, sexqualtera et sexquitertia, proportio dupla resultat quae prima est de multiplicibus. Nunc autem viso quod Deus tantam inter haec duo genera posuit affinitatem, quodque multiplicis aequalitas et integritas diapason consonare cogit tam suaviter, quis dubitare debeat diapente sexqualteram et diatessaron sexquitertiam occupare proportionem? Certe quemadmodum ex sexqualtera proportione et sexquitertia surgere duplam ostensum est, ita diapason ex diapente constat et diatessaron. Nec est alia causa cur non ita dulciter hae duae concordent. Consonantiae nisi [315] quod ab aequalitate diapason tanto remotae sunt, quanto sexqualtera et sexquatertia proportiones superparticulares ab integra dupla districtae. Nam sicuti geminata sexqualtera transcendit duplam, et duplicata sexquitertia non attingit ad illam, ita quidem duo diapente simul diapason superant, et duo diatessaron illud aequare non valent. Et haec de duobus istis optimis in aequalitatis generibus sufficiant, in quibus solis omnes perfectae musicales consonantiae cadunt: ut corda probabit dimensa, nam ad alia tria, quae sequuntur procedendum est, in quibus e contrario cadet omnis dissonantia.

Capitulum III

Genus superpartiens nullam in sonis pro nimia partium abundantia reddere consonantiam.

Genus superpartiens ab eo quod superpartiri dicitur sumpsit vocabulum, nihil enim integrum nihilve servans indivisum, duas etiam tres aut quatuor desuper habens partes, a simplicitate quonammodo recedit, ac in quandam se partium pluralitatem diffundit. Hoc genus tertium est ab aequalitate multiplicium, ac integritate plusquam superparticulare genus remotum, ac idcirco minus ad musica modulamina coaptum. Nam etsi superparticularis inaequalitas nihil servat integrum, non se tamen sicut istud in tam diversa distrabit. Est itaque genus superpartiens quando major numerus in se totum minorem habet ac insuper aliquantas ejus partes, et si duas habuerit, superbipartiens est, ut quinque comparati tribus. Si vero tres, supertripartiens, ut sunt septem ad quatuor et sic de caeteris. Ritus autem procreandi non dico tantum duas, aut tres, ymo plures ac infinitas istius modi superpartiens inaequalitates hic est. Primum genus quod est multiplex, ab integra quidem unitate procedens, ac in totum discretae quantitatis naturam habens naturalem, ut supra monstratum est, nullatenus interrumpit crescendo sui generis successionem. Superparticulare vero jam ab unitate solo gradu remotum, a binario prorsus inchoans, et, e contra, continuae quantitatis proprietatem retinens, naturalem etiam suae successionis numquam disjungit cursum. Porro discreta quantitas numeri sunt, qui sumunt a minimo principium, hoc est ab unitate, finita verum ad majora tendentes, in infinitum concrescunt. Continua vero quantitas est omne corpus solidum, quod certum habet ac definitam omnino mensuram, ut linea pedalis aut aliud quodcunque corpus, definite mensuratum, sed e converso dividi potest in infinitum. Istud autem genus superpartiens, ut ad proposita revertar, jam ab unitatis integritate duplici gradu sejunctum, sicut tertium est in ordine sic a ternario capit exordium; totumque naturalis ordinis numerorum dirumpit successionem. Intactum etenim quaternarium, si relinquas primam, habes illico superbipartientem proportionem, quinque tribus, ut dixi, compartis, et si quinarium atque senarium, pro nilulo ducens septem ad quatuor compares primam aequae supertripartientem, sicque procedendo semper, ac modo tres modo quatuor, modo plures aut pauciores numeros, inter majores ac minores simul comparandos, prout hic patebit relinquendo. Mirum ergo si genus istud ita distractum ab unitatis integro fere totum alienum, generare nihil valeat quod sit in sonis ac vocibus consonum. Pax enim ab unione nascitur, et ab integro concordia procedit.

[CSIV:315, text: III IIII V VI VII VIII VIIII X, Radices ac omnium superpartientium primae proportiones.] [GALRIT2 01GF]

[316] Capitulum IV.

Multiplex superparticulare musico non esse necessarium.

Multiplex superparticulare quod ad nil utile musicae probatur, aut necessarium, si quidem tamen a multicipli quam a superparticulari non abire traxit istud vocabulum. In eo enim quod, ad instar multiplicis, minorem duplicat numerum, triplicat aut quadruplicat et caetera, videtur ejusdem primi generis imitari naturam, et quia major desuper aliquam semper habet particulam, putatur etiam habere superparticularis proprietatem. Hoc genus quartum est, ab integro tam longe positum, ut quanquaminus pluries ac pluries multiplicet, par majori nunquam efficitur, si non una particula suppeditet. Est igitur multiplex superparticulare quando major numerus minorem in se totum continet bis, ter, quater, aut quotiens libet, ac insuper unum ejus aliquam partem. Qui si bis illum habeat et ejus alteram, sive mediam partem, erit duplex sexqualter, et si bis iterum ac ejus desuper tertiam partem, duplex sexquetertius. Sed si ter et ejus mediam ultra partem triplex dicitur sexqualiter, et sic de reliquis. Harum autem proportionum habendi radices hic erit modus. Sicuti superius habere volens primam subbipartientem unum de medio ternarii et quinarii vacare fecisti numerum, ac post quaternarium duos et post quinarium tres, sicque de singulis, ita si duplas habere vis hujuscemodi proportione, multiplices superparticulares, duplos de medio majoris et minoris in prima vacare numeros necesse est. In secunda vero tres, ac in tertiaquatuor, ac deinceps praecedendo per hunc modum. Cum itaque genus istud a binario numero sumat exordium, veluti superparticularitas, a qua partim est denominatum, si relinqueris de medio ternarium ac quaternarium habes illico primam duplicem sexqualteram a quinario scilicet ad binarium. Et si quatuor quinque, sex non numerentur, duplex erit sexquetertia, septem tribus comparatis, sin autem tria vacent, quatuor, quinque, sex, triplex sexqualtera fiet, a septem in duobus; et si quatuor, quinque, sex, septem, et cum octo novem pro nihilo sint, erit triplex sexquetertius a decem in tribus. Ad quem modum utique processus esse potest infinitus, sic frequenter in caeteris vocabula variando tam multiplicitatis quam superparticularitatis, quorum omnium haec erit prima descriptio:

[CSIV:316; text: I II III IIII V VI VII VIII VIIII, Radices ac omnium primae multiplicium superparticularum proportiones.] [GALRIT2 01GF]

Capitulum V.

Multiplex superpartiens nullam in musica procreare concordiam, ac in eo discordem cadere diapason diatessaron.

Multiplex superpartiens a multiplici genere nomen habet, et a superpartienti simul. Ex illis namque duobus compactum est, non aliter quam multiplex superparticulare, tam ex superparticulari quod ex multiplicibus. In hoc siquidem quod minorem numera bis, ter, quater, aut quotiens libet multiplicat, quonammodo multiplex est. Sed in hoc quod plures insuper partes habere solet, superpartiens etiam. Hoc genus quantum est inaequalitatis ac ultimum. Ab unione parilitatis plusquam [317] alia remotum, dum et minus pluries multiplicat, et multas desuper capit partes. Est ergo multiplex superpartiens, quando major numerus in se totum minorem habet plus quam semel, ac insuper plures partes ejus. Et si bis illum utique contineat, ac desuper duas partes illius habeat, duplex superbipartiens erit, et si ter, triplex, ac sic de multis. Incohatur itaque genus istud a ternario sicut superpartiens a quo ex parte nascitur, et si de medio vacent quatuor, quinque, sex, et septem, mox primam duplicem superbipartientem habes, octo tribus comparatis. Quod si rursus octo, novem, atque decem cum quatuor ante scriptis non numeres, ac undecim ternario compares, triplex superbipartiens est, et sic de infinitis. Quarum profecto radicum ac communium, hujusce generis principalium proportionum descriptio haec est:

[CSIV:317,1; text: III IIII V VI VII VIII VIIII X XI, Radices ac omnium primae multiplicium superpartientium proportiones.] [GALRIT2 01GF]

In hac ergo proportione duplici, videlicet superbipartiente, diapason diatessaron resonat, constans ex phthongis undecim, et ex tonis septem, cum tribus semitoniis minoribus, quod hoc ritu probari potest. Sit A B dupla proportio et B C sexquitertia, certe quod A C dupla superbipartiens sit necesse est. Et quis hanc vere consonantiam appellare poterit

[CSIV:317,2; text: III VI VIII, A B C, Duplex superbipartiens, Dupla, Sesquitertia] [GALRIT2 01GF]

unquam, non solum in humanis vocibus sed etiam in cunctis musicis instrumentis discordem. Dicat Phtolomeus quicquid velit, ego contra naturam rationi concordem nulli veram adhibere queo fidem. Nam si nulla prorsus in his quae praecedunt huic duobus in aequalitatis generibus resonat musicalis consonantia ob nimiam ab aequalitate sui distantiam, quanto magis in isto nil consonat quod plus illis est distractum et ab unitate remotum? Natura enim, quam condidit Deus, nil extra duo prima genera illa creavit in musicis consonum. Quod palpare quaerentibus clarum praebet monocordum.

Capitulum VI.

Quid sit monocordum, curve sumpsit tale vocabulum.

Palpare volens itaque quid in musica consonum, quidve sit dissonum, aut perfectum et imperfectum, ut verum fatear, modum magis veracem non habes, quam per cordam divisam in monocordo. Quamobrem in primis non ambiguendum, a "monon" graece, quod est "solum" et "corda" latine, quasi solicordium, dictum esse monocordum. Non quod solam cordam habeat istud instrumentum, sed quia quicquid in multis solet fieri cordis, si se feriendo non impugnent claviculae, totum in una fiet. Habet igitur instrumentum varios cordarum ordines, binas atque binas antecedentes cordas, non tamen ut soni sint numero plures, sed quia corda duplex virilius quam simplex resonat unum et idem, et, si solam omnes cordam ferirent claviculae quod una saepius non impediret, alteram foret impossibile. Verum in [318] aliis fere cunctis instrumentis musicis intensa sola corda vel remissa solum emittit sonum gravem aut acutum, quae si paululum a suo statu moveretur, quavis de causa iam non illud resonat, sed aliud quam resonabat antea. Monocordum autem, sive tetenderit cordam sive laxaverit, unum est et idem. Corda namque divisa sicut in suis partibus sive tensa sive laxa, non variatur: ita neque fallit neque fallitur. Frustra quis ergo nititur putans in curta corda multos posse creare sonos: quoniam etsi graves bene resonent, longum inter se partiendo cordam, quod acutae surdae sit necesse est, ob parvilam quam sortiuntur ejusdem cordae portionem. Discreta namque quantitas, ut supra dictum, recolo crescit in infinitum. Continua vero per contrarium nunquam decrescere cessat. Vis nunc bonum fabricare monocordum? Elege tibi primo lignum durum ac bene siccum, et ad resonandum, super omnia, dote naturale per aptum. Idque sit in radio solis, et non in umbraculo natum; neque per se mortuum, sed cum adhuc viride staret ac sanum, florente luna prorsus e trunco decisum. Cave rursus diligenter ne capsella curta sit aut stricta. Sed alterum concordet alteri justis dimensionibus; ac ob illam quam de brevi corda dedi rationem sit omnino longa. Quae, dum cuncta sic observaveris, nihil profecisti, nihil habes, nisi cordas justissime per partes divisas, arithmetica dictante, indices, earumve claviculas aequissime suis in locis disponendo colloces.

Capitulum VII.

De dimensione monocordi per genus diatonicum.

Age nunc, o lector, fac tibi figuram huic de quo loquor instrumento simillimam, eumque duas per longum obduxeris lineas a capitello sinistro, videlicet ad capitellum, seu, ut quidam aiunt, ad scabellum dextrum, finge quod sit monocordum proprium, in quo saltem quindecim vis creare voces philosophorum. Primam autem juxta sinistrum capitellum ponere debes claviculam, non adeo amen prope ut, si verum esset monocordum, vox illa surda fieret, ut omnino pulsante clavicula corda non resonaret. Et quis, oro, scire non debeat, ab hoc solo sono totam liberam cordam esse possessam, ac per hoc (ideo) illa chorda tremebunda, tantumque gravi, quantum admota sera (erit clavicula illa ad sinistrum capitellum) gravem illam prae ceteris vocem atque grassiorem emittat:

Vox monocordi prima: Erit ergo sonus iste principalis vox illa quam superius proslambanomenos graece nuncupavimus, quae quidem consonantia non est, sed phthongus et unisonus, a quo caeteri soni, sicut ab unitate numeri, nascentur omnes.

Vox secunda: In hac autem voce prima constituta pone sextum sive conpassum, totamque cordam illam in novem passus aequissonos metire, quibus, in dextro scabello completis ubi primus finitus est secunda clavicula tanget. Haec vox ypateypaton erit, et tonus inter has duas voces in vero monocordo, resonat infallanter, quam vox illa prior totam cordam in novem passus metiens. Hanc secundam quae per octo dividit in se totum habet et ejus octavam partem, in quo sicut jam promisi palpatum est, in proportione sexquioctava consistere tonum. Quis, oro, nesciat omne quod continet esse majus eo quod continere videtur. Hic est quod corda longior, hoc est novem passuum, gravior apparet atque graviorem emittit sonum. Sequens vero, quia brevior idest, octo passuum, subtiliorem ac magis acutum. Quanquam enim Aristoxenus philosophus, teste Boetio, gravitatis et acuminis differentiam in qualitate putaret, nihilominus Pytagorici totam hanc esse rationem in quantitate judicarunt, [319] naturae videlicet imitatores ac vero contemplatores. Aiebant enim spissiora ac subtiliora corpora, sicut scribit Boetius, acumen, rariora et vaestiora edere gravitatem. Videmus etiam si quid relaxatur in musicis, quasi fiat rarius atque crassius, gravem emittere sonum, quod si tensum fuerit subtiliorem, velut spissius ac subtilius tenuatum.

Vox monocordi quarta: His itaque duabus monocordi creatis vocibus, non jam erit procedendum per ordinem, quin potius quartam ante tertiam creare nos oportet. Quare? Quam quidem post primum tonum succedit minus illico semitonium, quod quia motus non est integer musicus, nulla cordam certa dimensione metitur. Certus ergo nullum per se creari posse majus aut minus semitonium, totam cordam denuo per quatuor passus aequissimos ab ipso primo creato sono discurrere debes. Ac ubi primus finitur passus, ibi quartam claviculam figere. Haec quarta vox lycanosypaton est, quae perfectam in omni vero monocordo resonat diatessaron ad vocem primam, corda enim quatuor passuum eam quae trium est in se totam continet ac desuper ejus tertiam partem. Quo viso, quisque sexquetertia proportionem diatessaron consonet ambigit. Ad monocordum pergat ac sic esse manu et aure discat.

Vox monocordi tertia: Pone nunc in ea quam nuper creasti voce quarta compassum et si totam in octo passibus diviseris cordam, fixumque rursus in ipsa voce quarta, sextum versus levam retorseris: ubicunque nonus ille passus retortus quieverit, ibi tertia clavicula, quae parypateypaton est, ad sequentem quartam claviculam tonum resonare debet.

Primum monocordi minus semitonium: Illud autem spacium quod cadit inter vocem secundam et hanc nuper creatam tertiam minus atque fixum semitonium est. Ea namque minora semitonia quae post duos tonos, vel ante, vel infra cadunt et permanent, in ordine naturali fixa sunt, ea vero quae diviso tono fieri solent, ad tempus et ad tempus repelli mobilia. Sic omne semitonium minus aut majus, mobile vel fixum, quia nullatenus, ut dixi, cordam aequaepartiri valet. Sic inquam per quosdam circuitus integrorum motuum musicorum generari necesse est.

Vox monocordi quinta: Iterum in prima voce pronens compassum, totamque cordam tribus in passibus partiens, ubicunque primus passus fixerit pedem, ibi quinta et tu fge claviculam. Haec est ypatemeson, quinta monocordi vox, diapente perfectum habens ad primam, eo que illa trium passuum hanc duorum in se totam suscipiat ac ejus insuper mediam partem, in quo clarius apparet id ipsum a natura diapente perfectum in proportione sexquialtera constitutum.

Vox monocordi sexta: Nunc autem pone sextam in tertia voce vel compassum, totamque cordam in quatuor partire passibus, et affige sextam claviculam ubi primus passus se fixerit. Haec erit sexta vox, quae parypatemeson dicitur, ad praedictam vocem tertiam redens diatessaron, et ad quintam sibi proximam minus semitonium, quod haberi non poterat nisi per hunc, aut similem modum.

Vox monocordo septima: Quod si rursus in quarta voce sextum posueris, et quaterno passu totam cordam discurreris, ubi primus passus finem habet, ibi septimam, quae lycanosmeson est, appone claviculam, ut habeas ad eadem quartam vocem in sexquitertia diatessaron, et ad sextam proximam in sexquioctava tonum.

Vox octava: Redi nunc ad principalem omnium, quas procreasti, vocum, in qua quidem, fixo sexto, cordam in aequissimis duobus divide passibus, ac ubi primus terminabitur passus octavam ibi ferire claviculam compelle. Vox ista, vox octava, quae [320] mese dicitur, hoc est media, veram aequisonans cum prima voce, diapason, consonantiam consonantiarum, ac perfectissimam perfectarum.

Capitulum VIII.

Optimam diapason in optimo genere multiplici constitutam et esse aequisonum.

Requisonam ergo diapason quae prout ante parum ostensum est cordam monocordi per medium dividit, quis palpare manu non valent in duplo numero divinitus collocatam, corda namque duorum passuum in se totam habet dupliciter eam quae tantum occupat unum. Hinc est quod Ptolemeus (teste Boetio) vocat illam aequisonam, ac bisdiapason ex ea duplicata compositam, dicens aequisonas esse quae, pulsae simul, unum ex duobus, atque simplicem quodam modo efficiunt sonum, consonas vero, quae compositum permixtumque licet suavem, ut est diatessaron, diapente, et diapason diapente simul. Quis hoc aure queso de facili non percipiat, et in diapason duo simul aequisonare sentiat unum et iddem. Ea, procul dubio, differentia, quam vides in cordae partibus, ea est quam sentis in simul pulsis duobus diapason extremis. Et sicut in monocordo nulla est inter cordam duorum passuum et eamquae solum habet distantia nisi quod illa longior, et ista brevior, quae tamen eadem est duplicata, ita quidem nihil differunt extremae diapason voculae nisi quod gravis graviorem et acuta magis tenuem emittat sonum. AEqualitas etenim hoc habet proprium, ut semper aequalis sit, quamquam divisa mutet locum. Nam etsi duae partes aequales divisi continui loco distent, donec illarum immutetur quantitas semper aequales sunt. Hauc igitur "aequisonam" Ptolemeus, quam pulchriter, appellat, et alias "consonantias", cum ab hac aequalitate multum distare probentur. Neque enim diatessaron ac diapente cordam per medium dividunt, nec in duplo numero cadunt, quamvis junctae simul ad hanc aequalitatis unionem attingant. Haec idcirco de diapason proprietate dixerim et aequitate, quo multis innotescat, hanc esse, quae nimis veraciter atque faciliter voces in monocordo procreat ob sui justiciam, ita tamen, quod prius creata sit, ut in illo monstratum est capitulo, cum omnibus videlicet tonis suis ac semitoniis aliisve totis quibus constare probatur membris. Licet enim id variis fieri soleat modis, haec nihilominus potior est monocordi dimensio (ut primum octo soni formentur, dein fiat per diapason infinita) si necesse sit processio.

Vox monocordi nona: Recordare itaque lector quod divisa totacorda per medium primam tibi dederit diapason in superiori capitulo, nunc autem si vis habere secundam, ac vocem nonam, pone sextum in voce secunda, quem ante creando, primam posueras, siquidem in prima (cumque per medium partitus fueris cordam) ubi primus passus quieverit, ibi nonam applica daviculam, ut habeas paramese, vocem nonam diapason ad secundam, et tonum ad octavam.

Vox monocordi decima: Iterum a tertia voce totam in duos passus metire cordam et, si decimam in primo passu finito posueris claviculam, habes utique trytedyezeumenon, vocem decimam (diapason ad tertiam) et ad nonam minus semitonium.

Vox monocordi undecima: A voce quarta similiter seca cordam per medium, ac undecimam in primo completo passu fige claviculam, et habebis paranetedyezeumenon vocem undecimam, dyapason ad quartam, et ad decimam tonum.

Vox duodecima: Verum a quinta voce corda recte per medium dimensa, sed et clavicula post completum primum passum affixa, netedyezeumenon [321] vocem habent duodecimam, diapason ad quintam, et ad undecimam tonum.

Vox tertiadecima: Pone rursum in sexta voce compassum totamque cordam bino passu discurre, finitoque primo, tertiamdecimam ibi claviculam affige, quae sit triteyperboleon vox tertia decima, diapason aequisonans ad sextam, et ad duodecimam minus habens semitonium.

Vox quartadecima: Post haec si cordam a septima voce totam duobus aequis passibus sulcaveris ac in primo passu quartam decimam claviculum affixeris, paraneteyperboleon creasti, vocem quartam decimam, diapason ad septimam, ac tonum ad tertiam decimam.

Vox quintadecima: Porro si denique cordam ab octava voce duabus in partibus divisam habueris, ac ubi primus terminabitur passus ibi quintamdecimam claviculam collocaveris, neteyperboleon habes, vocem quintamdecimam philosophorum ac ultimam, diapason ad octavam, et (ad) quartamdecimam [sic] tonum redentem. Quid ultra dicendum. Hoc ritu dividere cordam poteris aequissime de sonis in sonis per medium, ac huic numero quotquot volueris addere voces totas similes, replicando diapason quotienslibet, sic in infinitum.

Capitulum IX.

Tonum in duo posse dividi, non aequa tamen.

En habemus voces quindecim in monocordo per tonum ac perfectas consonantias justa dimensione dispositas, sed parum utique vel nihil profecimus, nisi tonos singulos in duo posse dividi non tamen aequa monstremus. Et quidem toni partes principales, majus atque minus semitonium appellavi sepius. Habet namque tonus et alias partes, dyesin videlicet et coma, quae cum humana voce proferri non valeant omittimus. Si quis autem et illa scire quae sint appetit, legat eximii ductoris Boetii musicam, verum prius arithmeticam discat. Et nunc quis nescire debeat non aequari minora majoribus. Novenarius itaque numerus ad octonarium comparatus, prout satis probatum est, omnem habet in se toni rationem. Quae proportio dividi nequet aequaliter, sicut nec omnes aliae superparticularis generis proportiones, ob quod neque tonus in aequa duo secari. Quod profecto Boetius in sua musica probat isto modo. Prima proportio sexqueoctava est, si quis novem ad octo comparet, ac omnium radix sexquioctavarum inter quos numeros nullus de medio cadit alter numerus, per quem eorum differentia deprehendi valeat. Duplicent itaque novem, ex quo decem et octo resultent. Sed et octo per binarium multiplicentur numerum ut mox in sexdecim redundent. Nonne decem et octo proprie sunt ad sexdecim sicut ante novem ad octo fuerant? Sunt plane. Cadit autem inter illos decimus septimus numerus qui praefatam illam interrumpit proportionem. Nec tamen debitam partiendo conservat medietatem. Si namque decem et septem proprium essent inter sexdecim et octodecim medium, ea parte quidem qua minor numerus superatur a medio, medius superaretur etiam a decem et octo. Nunc autem ab ipso septimodecimo numero superantur sexdecim, una sextadecima, decimus septimus autem una decima septima superatur ab octavodecimo. Qua quippe consequentia majus semitonium erit inter decem et septem et sexdecim, minus autem ab eodem decimo septimo in decem et octo. Major pars est etenim una sextadecima quam una decima septima, licet haec sit numerosior quam illa. Constat igitur ex hoc tonum aequaliter non posse dividi quod sic in monocordo poterit optime probari:

Primus tonus monocordi divisus: Pone sextum in tertia voce monocordi quod discribimus sive compassum, et partiretotam cordam in aequissimis octo passibus, quo facto mox ad eandem in qua cepisti revertere vocem. Ibique fixum rursus [322] compassum retorque versus manum sinistram, in quo nono passu si fixeris claviculam habebis tonum inter primam vocem et secundam divisum in duabus partibus, quarum una major erit et altera minor si tamen dimensio justa fuerit. In qua videlicet majori parte resonabit apothome sive majus semitonium, per se discors et ad nihil aptum, in minori vero minus, e contra musicae decus ac suavissimum. Quae tamen ambo semitonia, si simul jugantur, tonum reddunt integrum. Nonne quaeso nonus ille passus retortus ex immobili sive naturali semitonio minori fecit tonum, et ex majori parte quod majus semitonium est de primo monocordi tono diviso. Stultus igitur est quicunque neget illud fixum et immobile semitonium esse minus, cui pars toni major evidenter inseritur et resonat tonus:

[CSIV:322; text: Proportio sexquioctava non in duas partes acquales divisa. Proportio sesquidecima septima superat parte minori. Proportio sexquedecima sexta superat parte majori. XVIII XVII XVI, Minus semitonium. Apothome quodest. Majus semitonium. Tonus hic in duo, sed non adqua monstratur partitus.] [GALRIT2 02GF]

Capitulum X.

Omnes monocordi tonos dividere necessarium per minus scilicet ac majus semitonium.

Duo quippe simul approbata videntur superiori capitulo, tonum, ut puta, dividi per majus atque minus semitonium ad instar divisae sexquioctavae proportionis, quumque minora sint illa prorsus semitonia quibus majora junguntur ut inde tonus redundet. Ob quod et aliae quaedam interpositae sunt in monocordo claviculae, quas alii fictas et alii vulgo b mollia nominant, nonnulli tamen verius ac magis proprie semitonia dicunt. Nil etenim aliud agunt, nisi quam tonos singulos in duas partes impares dividunt, qua si dimensus fueris, et unam altera majorem aut e diverso minorem non inveniris, scito quod illud monocordum juste non sit compartitum. Si quaeras igitur, cur toni non sint omnes in ordine vocum quindecim illarum ita divisi, poterant sane phylosophi per singulos tonos et alias ad dividendum interponere cordas, sic est tibi respondendum. Foret si quidem id nimis intricatum atque superfluum praesertim cum homo vocem vivam habeat liberam et expeditam. Sitque sibi perfacile quemcunque voluerit dividere tonum. Nam et illam vocem de qua tractatum est in tetracordis non sic intricassent, si trium tonorum illorum duriciam aliter effugere potuissent. Verum quaerat ad haec lector providus, quae praeire debeant in hac toni divisione, semitonia quaeve subsequi majora videlicet an minora. Hoc enim in arbitrio dividentis est. Tonus namque sicuti per majus et minus ita per minus et majus dividi potest. At tamen necesse est ut minus praecedat, hoc est [323] versus manum sinistram locum occupet. Majus autem versus dexteram decontra mansionem habeat, et id saltem tribus de causis fiat, atque primum de tritono sumam argumentum. Sic ita a corde mese in trytesynemenon apothome, majusve semitonium. Numquid errore primo pejor erit novissimus? Plus perfecto dissonat apothome cum duobus tonis ultra modum, quam tres integros successive modulari tonos. Praeterea si semitonium minus, ut dictum est, non praecederet certe tetracordum synemenon aut omnino non esset, aut a discordia pessima quod non erat tolerandum inchoaret. Currere si quidem ut alia tetracorda per minus semitonium, tonum, et tonum, illud oportebat. Sicut et currit quam decenter. Postremo quis non videt, si sic fiat, ubicunque minus est semitonium naturaliter, ibi duo succedere sibi minora semitonia? Quae non modo difficillima sunt ad enuntiandum, sed etiam integrum simul juncta, quod pejus est, reddere nequeunt, tonum; verbi gratia. Si sextum in secunda monocordi vocula posueris, aut compassum, totamque cordam aequissimis novem passibus discurreris, primus passus tonum inter tertiam et quartam vocem per majus scindit atque minus semitonium. Et si sic ultra per tonos singulos procedere velis, apothome primo tibi semper occurrit et illud inconveniens de duobus semitoniis minoribus non evadis. Quod licet incommodum certis in locis occurrat, nec sit evadendi modus, ubi tamen crebro tonum redintegrare nos oportet, ob tritoni duritiam aut alia de causa, divisum non est aliquo pacto seu respectu tolerandum. Et quidem apothome duplicatum toni quantitatem excedit, minus vero semitonium si geminetur, ad integrum non pervenit.

Tertius tonus divisus: His ita praemissis volens et caeteros monocordi tonos per minus et majus dividere semitonium prout primum supra divisisti tonum ab ea vocula, quae duas primas illas claviculas segregat totam in quatuor cordas, ut primus passus inter quartam vocem cadens et quintam, procreando diatessaron tonum illum tertium ut optabas dividat.

Quintus tonus divisus: Quo tertio tono sic ut vides per diatessaron diviso. Si compassum in ea vocula, quae scindit illum defixeris, ac iterum totam cordam per quatuor passus diviseris, cadens inter septimam ac octavam claviculam primus compassus et perfectam diatessaron consonantiam generabit, et quintum illum tonum in minus atque majus semitonium (uti decet) secabit.

Secundus tonus divisus: A quo quinto diviso tono si binis iterum passibus tota corda divisa fuerit primoque retorto compasso, tertius retro passus additus tonum secundum, inter claviculam tertiam et quartam, id est tritem per diapente dividis.

Quartus tonus divisus: Iterum ab hoc secundo diviso tono totam in quatuor partire cordam, et habebis diatessaron ubi primus passus primum fecerit signum, ac inter sextam et septimam claviculam quartum tonum non aliter quam caeteri toni divisum.

Sextus tonus divisus: Quibus ita per actis iterum pone sextum in ea clavicula, quae primum dividit tonum, et partire cordam aequissime per medium, ut scilicet primus passus perfectum inter octavam et nonam claviculam diapason generet sextumque tonum illum minus ac majus semitonium dividat. De caetero si vis hoc ritu procedere potes et quotquot tonos inveneris per minus semitonium et majus dividere cordam ut pote duobus aequissimis passibus frequenter partiendo. Veramque diapason de tono bi-partito in tonum bi-partitum procreando. Quae quoniam discerni perfecte nequeunt nisi tantum in monocordo, nec sit possibile quidem, hoc instrumentum brevi figura depingere, formam ejus habes hic longam atque latam, ac in ea cordam suis in partibus optime divisam, in qua, si vis, ingenium pro viribus exerce.

[324] Capitulum XI.

Cur perfectarum consonantiarum aliae perfectissimae sint caeterarum.

Occurrit hic animo, procreatis in monocordo variis consonantiis, velle paululum, cur aliae tam suaviter consonent et aliae minus rationem reddere. Nec me parva movit novitas, dum quidam, Marchettus nomine, libellum de musica ediderit, in quo Guidonem, pium monachum ac in ecclesia Dei famosissimum suo tempore, musicum appellare non erubuit, ignarus ignorantem. Ranae queso taceant suis immersae paludibus! quam plus valuit priscorum facundia musicorum, quam id totum quod excogitare posset, de cantibus omnis turba nostri temporis cantorum! Garire volens ergo, Marchettus, inter musicos velut corvus crocitans inter pavos, movet questionem de consonantiis, cur una sit suavior humanis auribus altera, nullam prorsus aliam in medium afferens hujus rei causam, nisi de numeratis tantum vocibus aut cordae divisae simul aggregatis partibus. Quod, si quis piam ultra dubitet, vult quod auctor rerum inguiratur, Deus. Nos vero Deum in his et omnibus auctorem esse fatemur, et nihilominus in ea quam illo condidit, naturae causa, horum perscrutati sumus. Leva mentem itaque, lector, in altum speculare primo quam sit admirabilis Deus a quo totum istud procedit, non dubium. Summa certe Deus unitas est, summa pax, summa tranquillitas, summa dulcedo, summa suavitas, summa nec non concordia, summa justitia, veritas et aequalitas. Ergo si calor et ignis et omnis splendor ab ipso materiali sole, quem e nihilo fecit Deus, procedere putatur; tantae concordiae suavitas a quo, si non ab illo, procreabitur? Quippe cum nil aliud sit istud quam unitas et aequalitas, aut aequalitatis vere quaedam per plus et minus, ac unitatis propinquitas. Hujusce rei ergo veritas haec est. Tota Deo similis est, absque dubio, diapason consonantia. Dulcis, suavis, concors, hylaris, et joconda, nam in unitate quidem, ut superius probatum est, ac in aequalitate constituta. Mirum ergo si diapente minus perfecte quam diapason consonet, aut si diatessaron sit omnium debilissima consonantiarum, tonusve nullam ex se reddat gravis et acuti consonantiam. Nulli mirum. Est etenim ab ipsa diapason perfectissima consonantiarum, diapente multum remota. Nam si duplicetur non solum ad illius aequitatem non pervenit, quin potius ultra transiliens perpessimam discordiam gignit. Diatessaron tamen diapente remotior ab aequalitate probatur in eo quod duplicata diapason non impleat, ac in perpessimam discordiam cadat. De tono vero quid dicendus? Bis duplicatus quoque veram illam perfectionem non attingit et si ter dupliciter discordando transcendit. Porro diapason motus suos habet in multiciplici genere, secundum arithmeticam, graves et acutos, quod genus utique prae caeteris quatuor inaequalitatis generibus vestustum est, atque prius in ipsa naturali dispositione numerorum unitati comparatum, ac omne servens semper integrum. Dupla namque proportio, per quam primum binarius unitati comparatur, et in qua prout satis ostensum est, haec ipsa resonat consonantia. Quid aliud quam duplicatum unum eidemque rursus unitati comparatur? Nil partitur genus istud, nilque scindit, sibi deest unquam, nihilve superfluit, ac ideo summam armoniam in sonis reddit. Quemadmodum in arithmetica, caeteri numeri quanto magis ab hac multiplicitate fuerint alieni, tanto sunt ab unitate remotiores, ac inter se per consequens plus dissentiunt, simul comparati; sicut et eae consonantiae quae non in multiplici genere cadunt, tam integras tamque suaves emittere nequeunt voces eo quod ut illi sunt ab unitate remoti nec minus hae sunt ab aequalitate distantes. Hinc est quod diapente non sicut diapason aequisonare [325] deprehenditer, ac diatessaron, minus quam diapente consonat, tonus vero nihil per se consonum habet. Cadit sequidem diapente, sicut probatum est, in sexquealtera proportione, quae prima scitur omnium superparticularium, ac unitate proprior, ita quod, si duplicetur, duplam superet. At diatessaron in sexquitertia consonat, quae secundum inter superparticulares proportiones locum habens, quanto sexqualtera uterior tanto sit ab unitate remotis. Nam si duplicata fuerit at duplam proportionem non pervenit. Tonus autem in proportione sexqueoctava resonat quae locum octavum in ordine superparticulari tenet, in tantum ab unitate remota probatur ut nec quincuplata quidem ad duplam attingat. Quid sit vero genus multiplex et quid superparticulare, qui precedentia legerit non debet ignorare. Si qua tamen alia sint musicalis armoniae modulamina nec in multiplici cadunt nec in superparticulari, sed in aliis ultra modum ab unitate remotis generibus concordantia seu discordantia.

Capitulum XII.

Cur omnium dissonantiarum aliae sint auditui compassibiles, aliae vero non.

De dissonantiis autem illis quae, quamvis cordam ut illae perfectae consonantiae metiri nequeant suspensam nihilominus quamdam generare solent humanis auribus consonando satisque compassibilem armoniam, dico faciliter id illis contingere sonis, ob innatam affinitatem, quam cum perfectis, ac sibi propinquioribus habent consonantiis, nec non cum equalitate per consequens et multiplicibus numeris. Qua quidem affinitate veraciter accidit ut, dico, toni copulati, vel tonus cum semitonio minori consonent quamquam non perfecte ita quod dytonus ad perfectam diapente per tonum et minus semitonium pergat consonantiam, semidytonus vero per tonum et tonum, non aliter quam tonus cum diapente, vel semitonium cum diapente pergunt ad optimam diapason, et sic de multis. Nec mirum. Scimus enim duas in arithmetica sexquioctavas proportiones paucis de superadjectis numeris, mox in sexquitertiam concrescere proportionem, unamque rursus additam, sursum aut deorsum, sexquioctavam nec minus gignere sexqualteram, licet ab extremis illarum duarum sexquioctavarum numeris simul comparatis genus superpartiens probetur inductum. Exempli gratia. Numerus C.XCII et numerus CC.XVI et numerus CC.XLIII duas completuntur sexquioctavas proportiones, quibus ducentis quadraginta tribus si parvum numerum adjungas istum hoc est tresdecem XIII habes CC.LVI numerum, qui sexquitertiam proportionem facit ad primam C.XCII propositum. Cui numero CC.LVI si triginta duas addideris unitates, surgit repente CC.LXXXVIII numerus qui comparatus ad numeros CC.LVI et CC.XLIII duas nequaquam implet sexquioctavas, etsi vere sexquialteram ad primum numerum C.XCII expleat proportionem. Attamen si dicto numero CC.LXXXVIII triginta sex dieceris ad numerum CC.XLIII procreasti sexquitertiam, pro quo facilius memorie commendando talem necesse est fieri descriptionem:

[326] [CSIV:326; text: * Hic apparet evidenter cur quaedam dissonantiae consonent et non aliae, curque cordam non dividant certis quibusdam passibus ut verae consonantiae. Proportio super centies trigies et bispartiens, Super quadragies partiens, Super quinquagies et semel partiens, Super sexagies octies partiens, Sesquioctava, Interruptio, CXCII CCXVI CCXLIII CCLVI CCLXXXVIII CCCXXIIII, Differentia XXIV, Differentia XXVII, Differentia XIII, Differentia XXXII, Differentia XXXVI, Tonus, Semitonus, Ditonus, Semiditonus, Tonus cum Diapente] [GALRIT2 02GF]

Patet in istis sex numeris quos dote naturali tales opus instituet, eas dissonantias quae cum tono sursum et tono deorsum, aut ex tono minorique semitonio tam sursum quam deorsum, ad perfectas attingere solent consonantias, patet, in quam, illas in superscriptis numerorum cadere proportionibus, quae cum una sursum sexquioctavam et una deorsum, aut ex una iterum sexquioctavam cum interruptione numerorum parvula tam sursum quam deorsum, ad optima perveniunt in equalitatis duo prima genera, propter quod et quandam auribus nostris ingerunt modulationis suavitatem. Nam si proportionem illam super quadragies partientem, quae cadit a numero CC.XVI in numerum CC.LVI consideres, ipsa transit ad sexqualieram mirabiliter una sibi data sexquioctava superius et una inferius, eo ritu quo semidytonus per tonum ac tonum pergit ad diapente perfectum in musica. Verum quia primus illorum numerus C.XCII, nonam non habet partem, ac consequenter sub se non recepit sexquioctavam, multiplicetur per novenarium tam ipse quam sui sequaces ut numeri fiant majores eademque proportionalitas permaneat. Quo facto nona pars ejus numeri primi procreati M.DCC.XXVIII scilicet auferatur, quae quidem erit C.XCII numerus primo sicuti dictum est multiplicatus, isque numerus qui residuus est M.D.XXXVI videlicet superscripto primo magno numero supponatur. Hic si quidem numerus primus erit ex primo de sex illis per novem multiplicatis, [327] hoc modo genitus, ac illi per sexquioctavam proportionem appositus, quo duplicato surget ex eo duplus alter numerus, qui locum octavum in hac descriptura tenebit III. (tria millia) LXXII factus inter quos duos utique sex illi sic multiplicati cadent, ut hic patet per ordinem:

[CSIV:327; text: Proportio dupla, Sesquioctava, Interruptio, IDXXXVI 1536, IDCCXXVIII 1728, IDCCCCXLIIII 1944, IICLXXXVII 2187, IICCCIIII 2304, IIDXCII 2592, IIDCCCCXVI 2916, IIILXXII 3072, Tonus, Semiton-minus, Diapente, Diapason perfectum] [GALRIT2 03GF]

In sex illis itaque numeris, e quibus hi octo producti sunt patuit evidenter semidytonum eo compassibilem auditui prebere concordiam, quo quadragies partiens proportio, singulas ex utraque parte suscipiens sexqueoctavas, cadit in sexquialtera aequalitati satis vicinam. Hic vero dytonus indaganti subtiliter in tantum apparebit dissonantia semidytono compassibilior in quantum proportio super quinquagies, et semel partiens comprobatur sexquialterae propinquior, et tonus cum diapente tanto suavior semitonio cum diapente credi poterit, quanto supercenties trigies et bis partiens proportio scitur aequissimae duplae vicinior. Patet quoque tam in illis numeris quam in istis, praefatum Marchettum legisse Boetii musicam, non tamen intellexisse. Dicit enim majus semitonium in proportione sexquisextadecima consistere, et minus in sexquisseptemdecima, quod Boetius in primo libro suae musicae capitulo septemdecimo negat aperte. Nam si sic esset ut partes toni determinatas in superparticulari genere sibi vendicarent proportiones, profecto certas etiam in dimensione cordae mensuras haberent, veluti diapente, diatessaron, atque tonus habent. Nunc autem illam habere nequeunt in corda, quae sunt hujusmodi praeter perfectos musicae motus certam habeant in numeris seu determinatam proportionem. Vis videre? Boetius in allegato parum ante libro et capitulo probat in his primis numeris esse minus semitonium, hoc est inter CC.XLIII et CC.LVI simul comparatos. Sed quia primus duorum octavam partem non habet, ambo multiplicentur per octonarium et fiant numeri I.DCCCC.XLIIII et II.XLVIII quae minus inter se tenent ad hunc semitonium, additaque primo numeri parte sui octava CC.XLIII, scilicet ornatur tertius numerus II.C.LXXXVII in proportione sexquioctava. Quid ad haec Marchettista contra dicere valet, si primus horum trium numerorum, et secundus, natura teste, minus habent semitonium, et primus ad tertium in sexquioctava contineat tonus, nonne medius ad ultimum apothomen reddit quod est majus semitonium. Quod sic demonstrandum est. Sit A primus numerus, B secundus et C tertius, cum ergo sit A B minus semitonium, non tam attestante Boetio quam et ipsa natura dictante, sitque rursum A C tonus per sexquioctavam exquisitus, oportet omnino fieri B C semitonium [328] majus. Nunc autem numerus A cum numero B non producit genus superparticulare sed super partiens, iterumque numerus B, cum numero C similiter, ob quod falso liquet Marchettum scripsisse, B namque numerus A numerum excedit centum et quatuor unitatibus, rursusque B numerum C numerus centum ac triginta novem exuberat, quas quippe differentias C.IIII aut C.XXXVIIII si per decem et septem multiplices, vel per decem et octo, nunquam ad summam numeri B vel numeri C pevenire tales.

[CSIV:328; text: Proportio sesquioctava, A B C, IDCCCCXLIIII 1944, IIXLVIII 2048, IICLXXXVII 2187, Differentia CIIII, Differentia CXXXVIIII, Semitonium minus, Semitonium majus, Tonus] [GALRIT2 03GF]

Haec naturae secreta Marchettus si cognovisset, absque dubio tam enormitater a tramite veritatis non deviasset. Legit quidem haec in Boetio, sicut dixi, sed non intellexit: et hoc quia nescivit arithmeticam, id est numerorum scientia. Cui scientiae totam ostendere volens artem sonorum esse subditam, en dispersa superius tetracorda simul hic in unum aggrego, tot quippe numeros ab antiquis philosophis exquisitos illis opponens, quot cordas habere videntur sive voces, qui non aliam invicem comparti sortiuntur concordiam numerando, quam illae copulatae voces in cantando.

Explicit liber secundus.