Back to top

[396] Incipit praefationcula in tam admirabilem quam tacitam et quietissimam novorum concinentiam.

Etsi non parvum auribus humanis afferre soleant modi musici per ruritum, cantus et cantiones, novit Deus quod non mentiar, plus me delectat ad laudem summi conditoris. cur sic soni mixti simul consonent aut dissonent intelligere, quam eorum armoniam solis auribus ex quovis organo naturali vel instrumento quantumlibet excipere. Nec mirum, ea namque velociter abeunt ut aura tenuis ac oblivioni data cito pereunt ipsa vero quae non perit, non moritur non deficit corda laetificat, frequens necnon in animo lumen veritatis fulgere facit ratio rerum. Et licet quandam indagandi veri jugere pati generosus animus soleat inediam, fame tamen non deficit, cum haec illi delicatas intelligere continuo sub ministret escas, ita duntaxat pulsans et scrutans nunquam a vero tramite deviet. Ut ad rem ergo veniam quis tantorum obsecro capax naturae secretorum in eo, qui condidit illam utique non exultet, quae nobis reserat et suavitas ipsa melorum et tacita quonammodo sonoritas numerorum. Sonant etenim non in aure sed in mente, sonant inquam non canendo simul admixti, sed invicem parvos et magnos comparando mirum in modum proportionali.

[397] Hinc est, quod expleto, quem nuper edidi de vetustissimo ritu canendi libro, multos, ut in Boetio sunt, in eo me fateor per alphabeti nostri litteras superfluo descripsisse numeros, nisi per algorisimum etiamhic nostri temporis hominibus eorum fecero clarum esse naturam. Primum ergo numerare docebo per algorismum simpliciter quantum ad rem attinet, aut ut quidam aiunt, duplicare, aggregare, multiplicare, subtrahere et partiri per abacum, dein ab origine rei quidem inchoans de natura praescriptorum satis breviter disputabo numerorum.

Explicet prologus.

De novem primis atque simplicibus algorismi vel abaci figuris.

Ad investigandas per algorismum sive per abacum omnes numerorum differentias, hoc est ad videndum, quot unitatibus excedat omnis major numerus minorem, simplex prius descriptio necessaria est, seu simplex dinumeratio, deinde duplicatio, aggregatio, multiplicatio, subtractio, atque partitio. Est autem algorismus, quem et abacum alii vocant, quaedam arithmeticae practica vel quidam computandi ritus atque calculandi, a quodam ut putatur Algorismo nominato primum inventus. Sunt vero simplices novem ejus figurae tales.

1  2  3  4  5  6  7  8  9

Quae quidem post denarium numerum duplicantur, sicut infra patebit, et triplicantur, quadruplicantur, et quincuplicantur, si sit opus, sicque deinceps usque infinitum quam numeris sunt ad decem usque simplices ultra vero quantum velis multiplices. Prima quarum videlicet figurarum unam representat unitatem, secunda duas, tertia tres, quarta quatuor, quinta quinque, sexta sex, septima septem, octava octo, et nona novem.

De cyfro quod nihil per se significet aliis autem figuris significare donet. Igitur si primae figurae cyfrum postposueris, quod quidam nullum appellant decem statim illa significat, et si secundam sequetur, viginti valebit, et si tertiam triginta, si quartam quadraginta, si quintam quinquaginta, et si sextam sexaginta, si septimam septuaginta, si demum octavam octoginta, et si nona tale signum processerit ut nonaginta valere solet. Cyfrum etenim quod sic discrebitur O per se nihil valet penitus, alias tamen in tot decimas totve centena seu millena, quot per se valent unitates, auget figuras. Sicut ergo solum cyfrum primae figurae donat unum, ut audisti decimam, secundae duas, tertiae tres, quartae quatuor, sicque ac reliquis, ita duo cyfra donant illi decem decimas, quod totum est centum, secundae viginti quae sunt ducenta, tertiae triginta quae sunt tricenta, quartae quadraginta, quae sunt quadringenta, quintae quinquaginta, quae sunt quingenta, sicque de caeteris ad nonam usque figuram, quae sic nonogentas presto crescit unitates. Verum tria cyfra decem eidem donant primae figurae centena, quod totum mille dicitur, secundae viginti, quae sunt duo millia, tertiae triginta, quae sunt tria millia, sicque de caeteris ad nonam usque figuram, quae quidem in hunc modum ad novem millia cito consurgit. Quartum autem cyfrum post primam figuram donat ei decem millia, secundae viginti, tertiae triginta, quartae quadraginta, quintae quinquaginta, sicque de reliquis per ordinem usque dum nona tibi pariat in hunc modum nonaginta millia. Sic et quintum cyfrum auget easdem figuras in centum millia, ducenta, tricenta, sicque de sequentibus et sextum in decies aut vigies aut trigies centum millia et sic de simillibus procedendo videlicet per ordinem usque in infinitum.

Qualiter se similes habent illae novem figurae binae et binae. Quae profecto novem figurae, quamvis primos ab unitate, si solae sint ac simplices, tantum videantur exprimere numeros; copulatae tamen plus valent ac minus juxta loci, quem occupant ordinem atque sui cujuslibet [398] proprium valorem. Nam si prima, quae solam per se valet unitatem, primum locum habeat a manu sinistra scilicet, solam quoque valebit decimam altera succedente figura de novem illis, ita quod si prima sequitur, dicemus undecim, hoc est decem et unum, et si secunda succedat duodecim, et si tertia tresdecim, si quarta quatuordecim atque deinceps usque dum ad nonum veneris figuram, quae creabit decem et novem. Porro si secunda figura prima fuerit et prima sequatur, dicimus viginti unum, quasi bis decem et unum, sic viginti duo sic viginti tria, sic viginti quatuor cum reliquis usque viginti novem, tertia namque figuram primam praecedente dicitur triginta unum, et sic de sequentibus usque nonaginta novem, quod dare sequens descriptio demonstrat.

[CSIV:398,1; text: 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99] [GALTRA 01GF]

Qualiter se simul habent eadem figurae trinae et trinae. Post illam autem figuram et cyfrum, quae decem faciunt, si primam iterum apponas habes centum et unum, et si secundam centum et duo, sicque de sequentibus donec ad centum et unum perveneris. At si duas ante cyfrum habueris primas figuras centum ac decem efficis, sicque de tribus primis centum et undecim, de duabus primis et una secunda centum et duodecim nec aliter de caeteris usque ad centum decem et novem. Cumque de prima figura et secunda et cyfro fiant eodem ritu centum et viginti ac de prima tertia et cyfro centum ac triginta, procedendo similiter usque centum ac nonaginta novem, nullus de ducentis et viginti de tricentis ac triginta cum suis sequacibus ambigere debet usque ad nonagenta nonaginta novem, si tamen hanc quae sequitur inspexerit descriptionem.

[CSIV:398,2; text: 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 220, 221, 222, 223, 224, 225, 226, 227, 228, 229, 330, 331, 332, 333, 334, 335, 336, 337, 338, 339, 440, 441, 442, 443, 444, 445, 446, 447, 448, 449, 550, 551, 552, 553, 554, 555, 556, 557, 558, 559, 660, 661, 662, 663, 664, 665, 666, 667, 668, 669, 770, 771, 772, 773, 774, 775, 776, 777, 778, 779, 880, 881, 882, 883, 884, 885, 886, 887, 888, 889, 990, 991, 992, 993, 994, 995, 996, 997, 998, 999] [GALTRA 01GF]

[399] Qualiter se simul habeant hujusmodi figurae quatuor quinque sex a deinceps. Quid ultra dicendum, sicut a primis illis novem figuris et a primis per consequens numeris copulando figuras et augendo decimas ad decem fere centena paulatim summa concrevit, sic a centenis in millibus praedendum est et a millibus in decem millia similiter, a decem millibus autem in centum millia non aliter, ac deinceps usque in infinitum. Dicendo videlicet mille et unum, mille et duo, mille et decem, mille et undecim, duo millia et viginti, tria millia et tringinta sicque de sequentibus ad novem usque millia et nonaginta novem, quae summa numerorum licet ad id, quod intendimus sufficere valeat, nihilominus quo magis affluant numeri, quam deficiant cum decem millibus etiam centum millia describam in subscriptis summis per ordinem.

[CSIV:399,1; text: 1000, 1001, 1002, 1003, 1004, 1005, 1006, 1007, 1008, 1009, 1010, 1011, 1012, 1013, 1014, 1015, 1016, 1017, 1018, 1019, 1020, 2020, 2021, 2022, 2023, 2024, 2025, 2026, 2027, 2028, 2029, 3030, 3031, 3032, 3033, 3034, 3035, 3036, 3037, 3038, 3039, 4040, 4041, 4042, 4043, 4044, 4045, 4046, 4047, 4048, 4049, 5050, 5051, 5052, 5053, 5054, 5055, 5056, 5057, 5058, 5059, 6060, 6061, 6062, 6063, 6064, 6065, 6066, 6067, 6068, 6069, 7070, 7071, 7072, 7073, 7074, 7075, 7076, 7077, 7078, 7079, 8080, 8081, 8082, 8083, 8084, 8085, 8086, 8087, 8088, 8089, 9090, 9091, 9092, 9093, 9094, 9095, 9096, 9097, 9098, 9099, 10000, 10010, 20020, 30030, 40040, 50050, 60060, 70070, 80080, 90090, 100000, 100010, 200020, 300030, 400040, 500050, 600060, 700070, 800080, 900090] [GALTRA 02GF]

De duplicatione. Haec igitur simplici numerorum descriptione sic per Algorismum disposita, quae sicut dictum est, non solum nobis sufficit ad causas melorum exquirendas, sed et superfluit, ad id quod de calculationibus propositum est, erit festinandum. Et primo inquirere nos oportet de duplicatione diligenter, quae quasque radices proportionum ac minimas proportiones ad quosvis maximos deducit numeros, nec a sua propria natura tamen illas abstrahit. Verbi gratia proportio dupla, duo dicuntur ad unum, et est radix omnium duplarum atque prima. Quae si sic describatur

1  2

et dicas inchoans a manu dextra bis duo sunt quatuor, et bis unum duo, mox eandem habes a quatuor ad duo duplam ut hic proportionem:

2  4

Sic etiam de triplis et quadruplis, sic et de sexqualteris, sexquiterciis et sexquioctavis, ut de his tan tummodo loquar, quae pertinent ad musicam, quae sic duplicatae semper ad majora tendunt, nunquam tamen a sua natura discedunt.

[CSIV:399,2; text: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, Dupla] [GALTRA 02GF]

[400] De aggregatione. Post hos autem numeros ita per duplicationis calculationem ad majores summas deductos, aggregatio quippe nobis necessaria est, per quam duas aut plures summas, si necesse, sit conflemus in unum. Et quidem nihil aliud est hic aggregatio, quam duarum ac aut plurium summarum de numeris in unam redactio. Dispositis namque ter duodecim per ordinem unitatibus, pro multis in exemplum ac in quatuor particulis, ut in subscripta figura patet, divisis si primam particulam inchoans a latere dextro similiter aggregaveris dicasque ter tria sunt novem ter duo sex, ter unum tria, quod totum ita subscribere debes:

3  6  9

absque fallo tricenta cum sexaginta novem habes. Quod si de secunda particula feceris, dices ter sex esse decem et octo subscribes statim octonarium, ac intra te retinens unum. Attamen quia ter quinque sunt quindecim et unum illud, quod habes complere, sexdecim cogitur, pari forma scribe senarium versus levam consequenter, unam sicut prius in te conservans decimam. Cumque quippe decimam, si ter quatuor quae sunt duodecim addideris, efficis tresdecim, nulli dubium, quod in mille tricenta sexaginta octo redundat consequenter, ut infra patet subscriptum. Quid vero de reliquis ex aggregata siquidem hoc modo tertia particula duo millia tricenta sexaginta septem invenies, et ex quarta similiter tricenta tria millia tricenta triginta sex. Quam profecto quartam hanc particulam sic per septenarium numerum esse bene approbabis aggregatam. Omnem enim summam omnemve numerorum calculationem septenarius numerus aut probat aut damnat. Aufer igitur septem ex illo primo denario solum retinens denarium, quem cum uno sequenti numerare debes, ut habeas triginta unum. Ex quidem ablatis quatuor septenariis, qui viginti sunt et octo, ternarium adhuc habes, sed cum ultima vinctus triginta duo generat. Ex quibus iterum ablatis quatuor septenariis, restare quatuor quis nesciat. Triplica nunc illum quaternarium ob triplicem tam denarii quam undenarii et duodenarii, quos ibi vides, ordinem, ut scilicet duodecim habeas e quibus erectis septem solis quinarius restat. Cum autem erectis de triginta septenariis duo retineas et ex viginti tribus duo similiter sed ex viginti sex ultimatim solus necnon quinarius restet. Quis hanc summam totius aggregationis judicare falsam audeat. Fac ergo quod concordet ubique totum et partes erectis septenariis et nunquam dubites.

[CSIV:400; text: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, Aggregata summa, 30, 33, 36] [GALTRA 02GF]

De multiplicatione. Jure nunc multiplicatio sequitur, quae nullatenus utique concludi valet, nisi similes partes aggregentur. Est autem multiplicatio quaedam numerorum varia per numeros deductio. Per simplices utpote numeros in semetipsis deductos, aut per se simplices alios ducentes, ut, si dicas quater quatuor sunt sexdecim, aut quater quinque viginti, sicque de similibus et hic est facilis multiplicandi modus quam eget magis practica, quam calamo vel scriptura. Per simplices iterum numeros fieri multiplicatos solet duplices per se ducentes aut per duplices e converso ductos, [401] ut si dicas bis decem aut decies duo, ter decem aut quater duodecim, et his similia, quae quidem adeo facilis non est, quin egeat quinque calamo cum practica. Nam etsi facile sit scire, quod octies decem octoginta sint, aut per contrarium decies octo. Nosse tamen quod sit octies octoginta vel aliud hujusmodi, non est omnibus possibile, nisi forte multiplicetur atque describatur in hunc modum.

80
 8

Dispositis itaque sic octoginta superius et octo per medium cyfrum sed inferius, dicatur quod octies nihil omnino nihil est, ob quod cyfrum sub octo signari debet, interposita virgula sicut infra videbis. Iterumque dicendum est octies octo sunt sexaginta quatuor, quod si juxta cyfrum versus levam descripseris sexcenta quidem et quadraginta, sicut hic patet habebis.

 80
  8
---
640

Ut autem haec vera comprobetur, paucorum calculatio numerorum necesse est, ut ablatis tam de multiplicato cum multiplicante numero superius, quam de summa multiplicationis inferius totis septenariis, quicquid superest ex uno, super sit etiam ex altero. Nunc vero totis ex octoginta projectis septenariis solus superest ternarius, quo quidem ternario multiplicato per unum, quod superest ex illis octo multiplicantibus septem exceptis, nil habes, quam ternarium, quem pro memoria sic ad partem conservare debes.

3

Cum ergo sublatis identidem ex sexcentis et quadraginta septenariis solus, quod ternarius permaneat, quis hunc bene calculatam esse multiplicationem dubitare debeat. Fit etiam multiplicatio non jam per illas simplices ac primos novem numeros, sed etiam per duplices atque compositos a decem scilicet ad infinitum, ductos in se quidem aut alios quosque ducentes magnos sive parvos. Ut si quis dicat decies decem sunt centum et signet post decem ut hic aliud cyfrum

100

aut dicat decies viginti vel e converso viginti vicibus decem ducenta sunt, quodque fecit post decem, id et post viginti sicut hic faciat.

200

Sic sic de triginta tricenta cito fiunt ac de quadraginta de quinquaginta quoque quinquaginta, sicque de sequentibus usque ad decimum centenarium ex quo mille nobis perveniunt per additum ut hic:

1000

etiam cyfrum et haec multiplicatio facilis est. Verumtamen scire cupienti, quantum levet octoginta quinque per quindecim multiplicatum aut aliud simile, quia duas tantummodo capit figuras numerus multiplicans et duas multiplicandus erit, ita sic prius dispositis ambobus numeris

85
15

procedendum. Dic primo quod quinquies quinque sunt viginti quinque, tractaque sub quindecim per longum linea, signa quinque subter illam per medium quinque, duas autem illas retine, tibi quae viginti valeant decimas. Iterumque dices, quinquies octo quadraginta sunt, et cum illis quadraginta duo, quas habes duabus decimis. Ob quod scribe duo sub illa lineola per medium unum et octo, quatuor autem consequenter locari debet non sub aliquo tamen numero. Duabus nunc illis figuris superioribus ita per quinarium multiplicatis, restat [402] ut etiam multiplicentur per unum, dicendo quod semel quinque quinque sunt, ac semel octo nil aliud quam octo, quae sub duobus et quatuor, ut infra patet, describi debent. His ita gestis solum illud quinque, tracta prius in longum virgula, per se locetur ad manum dextram, dein quinque cum duobus aggregentur, quae septem faciunt, octoque cum quatuor, quae sunt duodecim, et scribantur sub dicta virgula versus levam per ordinem, ut sit mille ducenta septuaginta quinque tota summa multiplicationis, prout sequens descriptio clare demonstrat.

[CSIV:402,1; text: 1, 85, 15, 424, 1275] [GALTRA 03GF]

Vis videre, quod sit verum. Aufer de multiplicato numero septenarios numeros, sicut supra docuimus et habebis unum, idque dum feceris de multiplicanto numero, similiter habes unum, per quod si primum multiplices unum omnino nihil habes, quam unum, aufer etiam e summa totius multiplicationis septenarios omnes et restabit unum, quod totum probat esse bene calculatum. Fit denique multiplicatio de quolibet figuris tam multiplicantibus quam et multiplicandis ita, quod singulae figurae multiplicantes singulas omnino multiplicent figuras multiplicandas earumque multiplicationes scribantur inchoando sub ea semper quae multiplicat, ut ante monstratum est per ordinem. Ut si quis duo millia quingenta et sexaginta octo per mille centum quadraginta quinque multiplicet

2568
1145

necesse est, ut primum dicat, quinquies octo, quinquies sex, quinquies quinque, quinquies duo deinde quater octo, quater sex, quater quinque, quater duo, deinde semel octo, semel sex et sic de reliquis scribatque totum per ordinem, ut infra patebit et si bona calculatio fuerit, tota summa multiplicationis in bis mille millia et nonagenta quadraginta millia cum tricentis et sexaginta restabit.

[CSIV:402,2; text: 6, 4, 33, 568, 1145, 12840, 10272, 2568, 2940360] [GALTRA 03GF]

APPROBATIO

Si de numero multiplicato septenarios omnes abjeceris sex habes, et de multiplicante quatuor si non aliter feceris, quae quidem in illo quadrello resevata vides. Nunc autem multiplica majore per minorem et dic quater sex sunt viginti quatuor, ex quo numero ter septem evulsis, quae sunt viginti et unum, tria superesse probatur, in quo videlicet ternario necesse est ejectis etiam septenariis tota summa multiplicationis, si vera fuerit terminetur. Quod tam hic quam alibi sic investigandum est. Dicatur quod ex viginti novem ejectis quater septem, quae viginti sunt et octo, restat nobis unum, quod unum et figura sequens faciunt quatuordecim, ex quo bis septem ereptis prorsus nihil habemus. Quod si nihil ex quatuordecim ex cyfro sequenti, quod et nullum dicitur, quid habere possumus. Ergo de triginta sex, quae sequuntur projectis quinque septem, unum habemus, et ex decem, quae fiunt ex illo uno juncto cum ultima cyfro tria restant nobis, ecce sic vera demonstratur illa summa multiplicationis.

De subtractione. His itaque descriptis subtractio [403] nobis est necessaria, sine qua siquidem nulla fit unquam partitio vera. Quid enim est aliud subtractio, quam minorum quarumlibet summarum e summis majoribus quaedam evectio, quae tribus utique solet veri modis. Aut enim dicimus quatuor sunt ter in duodecim absque superfluo, sicque de similibus et tria ter in decem habetur, vel quater in tresdecim et superfluit unum, aut dicimus ablatis de tali numero tot numeris illud et illud superest aut nihil. Et hae duae quidem subtractionis species faciles sunt. Tertia vero non est adeo levis ad exercendum, ubi minor omnis numerus majori subscribitur et a manu dextra semper inchoando tali ritu proceditur. Sit major numerus ille, quem ante paululum multiplicavimus, a quo minor isdem subtrahatur, quam multiplicavit illum, et sicut ibi sunt hic etiam disponatur.

2568
1145
----
1423

Ablatis ergo quinque ex octo restant tria, sicut ibi patet, quatuor de sex duo, uno de quinque quatuor, unoque de duobus subtracto restat unum. Ex quo liquet subtracto medio de majori numero mille restant et quadringenta cum viginti tribus sine fallo. Scire cupis si sit verum. Aggrega quod restat cum subtracto et habebis totum. Octo namque reddunt tria cum quinque, numerata duo nec non cum quatuor sex, et quatuor cum uno quinque duoque rursus unum et unum, et sic de similibus. Quod si subtilius per septem approbare velis, ejectis de principali numero septenariis sex habes, cui quatuor de medio concordant numero veraciter aggregata cum duobus, quae projectis septem ex infimo proveniunt numero scilicet. Verum quia facilis est ista subtractio, nullam habens in eo qui subtrahitur numero figuram, quae non possit e majori summa subtrahi naturaliter, iterum ducenta subtrahamus et quinquaginta sex e duobus millibus tricentis et quatuor, ut etiam majores figuras artificiose de minoribus subtrahere discamus. Hic ergo dicendum quod, sex de quatuor subtrahi nequeunt naturaliter, ob quod arte magis unam nos oportet accipere mutuo decimam de gradu videlicet in gradum postea restituendam.

2304
 256
----
2048

Dicatur itaque cum ablatis sex restent octo de quatuordecim, quod quidem octo sub sex et quatuor describitur, ut ibi patet, mutuata vero decima cum sequenti figura quinaria statim aggregatur. Qua propter iterato dicendum est, quod quia de cyfro sex subtrahi nequas, de decem subtrahitur et restant quatuor sub cyfro describenda quidem ac sub quinque, sicut ibi vides, sed quia decima nobis mutus datam hic oportet restituere, dicatur unum et duo tria sunt, quamvis nihil hoc est cyfrum illic sit subscriptis, eo quod tribus de tribus subtractis nil omnino restare probetur. Quid ultra. Figurae desunt, ut cernis ab subtrahendum, et ideo dicatur extracto nullo de duobus, duo restant et non aliud, ob quod ultimo subscribi debet, ut ibi totus integer binarius, quo sit duo millia et quadraginta octo summa tota subtractionis. Quod si sit ita, probare volens, aggrega primum octo cum super scripto senario quod facit quatuordecim, et ecce quatuor habes desuper. Dein quatuor et quinque reddunt novem et cum illa, quam retinuisti decima de quatuordecim, faciunt decem et ecce cyfrum de super. Decima cujus cum inferiori cyfro mediaque binario numerata reddit ternarium et ecce tria desuper eo, quo totum habes et aggregatis partibus. Duo namque superius et inferius aequalia sunt. Et haec quidem approbatio secura, sed per septem erit securior atque magis expedita. Erectis etenim [404] de principali numero septenariis, habes unum et de duobus aliis numeris restant quatuor et quatuor quibus aggregatis octo fiunt, ex quo similiter unum habes septem exclusis.

De partitione. Expletis tandem superscriptis algorismi calculationibus, et ea quae nobis tantummodo sunt necessaria breviter expositis et ad ultimam atque magis necessariam partitionis calculationem mitto manum. Quemadmodum siquidem in corda divisa distantias a sonis gravibus in acutos aut e converso jugiter inquirit musicus, ideo majorum hic atque minorum opus est scire differentias numerorum, quae quibus ilico distent ab invicem numeri proportionibus, per hanc brevius, quae describitur hic, omnium grandium summarum partitionem insinuant atque facilius. Duos namque magnos qualescumque simul comparare volens numeros, si minorem in tres partes ejus aliquotas, hoc est, sine minutiis totum integrum reddentes partibus, majorem quoque numerum in quatuor tribus illis aequales dividi posse conspexeris, scito partem hanc tam minoris tertiam quam et majoris, quartam, esse duorum illorum numerorum differentiam. Et quis, oro, librum illum, quem de vetutissimo ritu canendi conscripsimus legerit, et hanc esse proportionem sexquitertiam non intelligat? Si quidem ibi de quinque generibus in aequalitatis tractatum est, de proportionibus per consequens satis competenter. Notandum ergo diligenter nec oblivioni dandum, nullas omnino musicam in his et similibus recipere minutias, quin potius omnem partem, quae non sit media naturalis et, ut dictum est, aliquota seu tertia quarta vel quinta sicque de caeteris abjicit et reprobat, ut naturalis scientia. Est igitur in hac arithmeticae practica partitio quaedam quarumvis summarum in partes diversas distractio. Fit autem partitio per simplices novem illas figuras, hoc est, primum aut per duo, per tria, per quatuor, et sic de sequentibus, fit et per compositas, ut per decem, per quinquaginta, sive per centum aut per quotquot velis numeros usque ad infinitum. Partimur itaque per unum faciliter omnem magnum summam, ut si dixerimus, unum est decima pars denarii, vigesima de viginti sicque de similibus, centesima quoque de centum atque millesima millium. Partimur et de facili non magnas numerorum summas sed parvas et mediocres tam per binarium, ternarium, quam per caeteros simplices numeros usque novem scilicet, ut si dicam, binarium mediam esse quaternarii partem et aliquotam, senarii vero tertiam, octonaria quartam, et sic de caeteris. Porro scire cupientes an quispiam grandis numerus mediam partem habeat aliquotam atque naturalem, nos illum partiri per binarium oportet, aut si tertiam per ternarium et si quartam per quaternarium, sicque de singulis in hunc modum. Dicat quis partiri volens duo millia tricenta cum quatuor per medium, dicat inquam a manu sinistra inchoans media par duorum unitas est, nihilque restat, et ut hic patebit, unum sub duobus scribat.

2304
----
1152

Hicque bene notandum, quod nunquam in hac partitionis calculatione cyfrum, quod restat ut hic sive nullum subscribi debet, nisi figura sequens nullo pacto recipere queat partem, quae de toto numero subtrahitur, ut plenius infra declaratur. Sed quia ternarius, quae sequitur hic, in se binarium habet, iterato dicemus, media pars duorum est unitas et illam sub eodem ternario scribemus. Cujus denarii subscriptis, siquidem media pars est quinarius, verum nihil, quod restat non subscribitur, quam subscriptus ille binarius, media pars quaternarii superioris habetur. Ergo media pars duorum millium tricentorum et quatuor sunt, ut vides, mille centum cum quinquaginta duobus quod subscripti quidem duplicatio probat numeri, necnon [405] ablatis septem de ambobus ita quod minoris numeri duplicetur residuum. Ablatis etenim e numero majori totis septenariis habes unum, et ex minori quatuor, si sic feceris, quod quatuor duplicatum in octo resultat, ex quo septem erectis unum quoque restat. Volens vero tertiam ex eodem numero desecare partem dic, quod binarius tertiam omnino partem non habeat, pro quo nihil etiam sub se scriptum, cum sit in primo loco, relinquit. Omnis siquidem aliae hujusmodi calculationes, quae decimas frequenter retinent transcribendas, ab ultimis figuris et a manu dextra calculandi semper exordium habent, praeter hanc partitionem, quae per contrarium a primis figuris et a sinistra, sicut ostensum est, inchoans decimas nec transfert nec retinet, sed totum, quod partitur, subscribit simpliciter. Verumtamen binarius ille viginti tria cum sequenti ternario numeratus efficit, cujus utique numeri septem pars tertia non sunt, sed viginti unius, ideoque subscribi ternario debet septenarius. Duo tamen quae supersunt cum sequenti cyfro viginti levant, qui numerus tertiam quoque non habet partem aliquotam, sed dicatur, quod sex de decem et octo tertia pars est, moxque sub illo cyfre notetur. Duo rursus, quae restant, cum ultima figura sunt viginti quatuor, cujus tertia pars est octonarius numerus, qui sub eodem ultimo quaternario, sicut patet hic, est annotandus

2304
----
768

Vides nunc etiam septuagenta, sexaginta octo duorum millium tricentorum et quatuor esse tertiam partem, quod et triplicatis tertiae partis illius approbat in suum totum redundantis et ejectio septenarii de singulis triplicato similiter, quod de parte tertia superest. Abjectis namque de toto septenariis habemus unum, et ex tertia parte totius de septem primo nihil sed de sexaginta octo superest quinarius, quo triplicato surgunt quindecim, quae bis septem a se rejectis identidem proferunt unum. Dic sic et alias partes omnium quantumlibet grandium numerorum quartas vel quintas, sextas aut septimas, octavas sive nonas faciliter inquirimus, etsi sint aliquotae seu naturales, hoc est, totius summae sine minutiis capaces probamus, nam si sola transcursis figuris unitas restaret, pars illa discurrens aliquota sive naturalis non esset. Hic est, quod numerus octo millia centum ac nonaginta duo, quem pro multis similibus hic describam in exemplum, habere probabitur octavam partem aliquontam et naturalem, mille videlicet et viginti quatuor in hunc modum.

8192
----
1024

Unitas igitur octava pars est octonarii, vel si sic dicere velis, octo sunt in octo semel, ob quod unum ibi sub octo describitur et nihil superest. Porro quia figura sequens octo non recipit in se quibusvis artibus, dicere nos oportet octava pars nihili quod remansit nihil est, aut in nullo non habetur octo, propter quod ibi cyfrum annotatur sub uno. Alioquin unitatis illa figura sub se nullam figuram habens, et necesse est, ut ab ea figura, cui primum pars partiens subscribitur, caeteris quoque sequentibus figuris aut aliquid aut nihil, quod est cyfrum, subscribatur. Dicito nunc procedere volens, quum octava pars de sexdecim est binarius, aut quod octo cadunt bis in decem et novem, ex quo tria restant subscriptis duobus. Et quis nesciat oriri triginta duo tribus illis cum ultima figura numeratis, cujus octava naturalis est et aliquota quaternarius sub eadem figura, sicut ibi describendus.

De alia partitione, quam calculatores Ytalici Galeam appellant. Est et alius non jam per solas illas figuras, sed per duas ad minus [406] aut per quotquot nobis placuerit partiendi modus. Qui licet musico videatur non necessarius, cum raro quaerat, nisi medias aut tertias aut octavas partes, hoc est sexqualteras, sexquetertias, et sexqueoctavas proportiones, ad investigandum tamen, quotiens omnis minor numerus a decem et super cadat in quovis majori numero plus quam semel, eis, qui talia quaerunt, nocere non potest. Nam si semel tantum, ut hic infra scriptis minor numerus in majori caderet citius per subtractionem calculatio fieret. Fit autem haec partitio per tot subscriptas figuras, quot et superscriptas, ut si quis videre velit, viginti duo millia tricenta nonaginta sex quotiens sit in viginti quinque millia quadraginta sexaginta octo sicque de caeteris. Et hoc quippe satis est facilis ad capiendum, ita quod minor numerus majori semper subjaceat, quod in omni calculatione quidem est observandum.

[CSIV:406; text: 0, 3172, 25468, 22336, 2, 3, 6, 1] [GALTRA 03GF]

Dispositis itaque, prout ibi vides, ambobus illis numeris tractaque post illos eo ritu virgula, videre primum nos oportet primam figuram minoris numeri quotieus in primam majoris cadat, ut quod ex illis provenerit. nobis insinuet, quotiens minor ille numerus in majori cadere valeat. Hicque diligenter attendendum, quod nunquam in hoc partiendi genere dicitur, illa figura vel illa cadit in illis decies aut undecies et caetera. Sed tantum semel bis, ter aut quater usque nonies, eo quod post illam virgulam describi nequeunt, nisi figurae simplices ac fortasse nunquam plus nonae partes. Nec tamen esset nona figura, si pervenerit ex primis duabus figuris ilico post virgulam illam annotanda, sed prius videndum, si secunda subjecta figura per illud novem multiplicata de superscripta sibi subtrahi posset, alioquin tanquam non vera pars ad indicandum, quod quaeritur, abjicienda foret. Tunc esset versus unitatem de figura in figuram retrocedendum quoadusque vera pars octava sive septima vel una de reliquis appareret, quae tunc audacter post virgulam sicut est unum ibi describi posset. Verbi gratia: Si quis partiri velit ibi viginti quinque per primam subscriptam figuram, non dicat, quod duo sunt in viginti quinque duo decies, quae sunt viginti quatuor et superest unum, sed dicat ad plus novies, quae decem et octo sunt et restant septem, quum luce clarius est, quod si duodecim poneret post virgulam, caetera multiplicando subscriptas figuras in nimiam decideret confusionem. Sed neque novem, non octo, neque septem, non sex, non quinque, non quatuor, non tria, non duo, veram horum numerorum indicare queunt distantiam, cum certum sit in majori semel ratum esse minorem, ac insuper tria millia restare, cum septuaginta duobus. Dicat ergo veram invenire volens amborum illorum numerorum differentiam, quod duo sint semel duntaxat, non viginti quinque, sed in duobus et nihil superest, statimque duas illas primas figuras binarias, velut illic factum est, transfigat tamque expletas, quof acto signet unum post illam virgulam, cyfrum autem prout desuper illis transfixis figuris, si velit, pro nihilo quod restat. Nam si nolit nihil refert, cum sit cyfrum totum superfluum, ubi non aliquante se de novem illis habuerit figuram. His itaque visis et probato veraciter unum esse solum, quod de numeris illis judicare valeat, justum est, ut et de caeteris figuris, quod agendum videamus. Id siquidem ratio tota deposcit, ut per illam partem, quam veram esse demonstrant illae primae figurae post illam virgulam omnes aliae descriptae figurae singulatim multiplicentur singularumque multiplicatio de singulis superscriptis subtrahatur figuris, et quicquid residui fuerit, prout super monstratum, est desuper notetur, ut scilicet nulla sit inter partes et partes discordia, quum verum esse nullatenus potest omne [407] quod a suo principio dissonat. Dicatur nunc consequenter, duo semel duo sunt, quibus de quinario superscripto detractis restat ternarius, desuper quinque videlicet ac duobus jam transfixis et expletis collocandus. Iterumque tria semel tria sunt, quibus de quaternario superscripto detractis restat unum, desuper quatuor et tribus transfixis et expletis transcribendum.

At sequens novenarius per illud unum quoque multiplicatus nihil est, quam novenarius, qui cum de superscripto senario subtrahi nequeat, illo quidem uno necdum transfixo cum sex sociato subtrahetur de sexdecim, et restabit septenarius desuper transfixis ilico sex et novem et expletis transferendus. Illud autem unum praefata senario propositum in nihilo transiit, ideoque transfigi debet ac super ipso depingi cyfrum. Denique semel sex sunt sex et nihil aliud, quibus ex octonario superscripto detractis superest binarius desuper transfixis et expletis duabus illis figuris ultimis describendus, et sic in majori minor ille semel approbatur esse numerus et tantum major habere desuper, quantum ex illis quatuor figuris integris resultare vides. Probare volens autem, si sit vera calculatio, multiplicatas omnes per unum subscriptas figuras aggrega cum quatuor illis integris figuris et habebis totum. De quo toto sive principali numero ejectis septenariis, duo restant probando citius, et de subscriptis figuris tria, sicut super patet, in illis quadrellis integris figuris provenit senarius per medium utique ternarii velut ibi cernitur describendus. Nunc autem deces est, idque ratio deposcit, ut quemadmodum omnes illas subscriptas figuras per illud unum, quod est extra virgulam multiplicavimus, ita per ipsum multiplicetur, quod remansit ex iis, hoc est ternarius, et sicut ante paulisper dictum est, quod aggregetur multiplicatio subscriptarum figurarum quatuor super relictis integris, sic et ternarius ille debet aggregari senario qui relictus est ex illis. Dicendo videlicet tria; autem sunt multiplicata per unum, sed aggregata senario novem efficiunt, e quibus profecto, si septem abstuleris, duo relinquuntur ex omnibus partibus aequalia siquidem illis superius scriptis duobus de toto jam ante relictis.

Fit etiam haec ipsa partitio per duas duntaxat suppositas figuras aut per quotquot volueris, quae non sint figuris superioribus numero pares, ita tamen, quod si prima subjecti numeri figura semel saltem in prima superiori non cadat, sub secunda sequenti locetur, ac, ut infra clare patebit, quotiens in ambobus cadere queat investigetur. Dispositio itaque denuo quinque majoris illius numeri figuris, disponantur duae tantummodo sub primis etiam duabus hoc est viginti quinque sub viginti quinque jam descriptis audacter, quam etsi nihil exuberet, paria tamen:

[CSIV:407; text: 1, 5, 021, 25468, 25, 2, 4 ,3, 1018] [GALTRA 03GF]

saepe cadunt in paribus. Dicatur ergo tracta sicuti prius virgula, duo cadunt semel in duobus nihilque superest, ob quod transfixis ambobus illis binariis signetur post virgulam unum. Dein quinque multiplicatur inferius per illud unum, statimque de superiori quinario subtrahatur dicendo semel quinque quinque sunt, et subtractis quinque de quinque restat nihil, propter quod transfixis ambobus etiam illis quinarius cyfrum desuper, ut est ibi, describitur. Verum quia de duabus tantum viginti quinque constant figuris, necesse est, ut illis expletis iterum atque rursus iterentur, quoadusque per illas in hunc modum aliae tres figurae calculentur. Scribantur itaque viginti sub transfixis [408] illis quinariis et cyfro necdum transfixo, quinque vero sicut illic sub quatuor, et dicatur, sicut ante, duo cadunt in cyfro nullis vicibus, ac ideo cyfrum, quod est nullum, ultra virgulam scribidebet, post illud unum cyfrum autem illud superius cum illa binaria figura inferius transfigi. Quo facto sequens quinarius ab eo cyfro, quod est ultra virgulam multiplicatus in nihilum redigitur, cum dicendo nulla vice quinque nihil est, et nihil subtrahas per consequens de quatuor transfixo mox illo quinario necdum ille quatenarius desuper transfigitur. Sub quo quidem integro quaternario sequentique senario transferri denuo viginti quinque debet, licetque duo bis cadant in quatuor dicendum est semel, et duo quae restant scribantur, sicut ibi, desuper. Unum autem scribatur ultra virgulam post illud cyfrum transfixoque prius tam inferiori binario quam et desuper quaternario multiplicetur sequens quinarius per ipsum unum, qui si nihil de quaternario superfuisset, absque dubio per binarium multiplicatus, nunquam de senario solo subtrahi valuisset nunc vero per unum isdem, ut dixi quinarius multiplicatus, aliud non est quam quinarius, qui de sex supra se concitus evellitur, ipsoque transfixo cum imminenti sibi senario desuper unum depingitur.

Denique tam sub tertio transfixo viginti quinque rursus transferimus dicentes, duo cadunt in viginti uno desuper adhuc integro non decem, neque novem, sed tantum octo vicibus, ut transfixis infra duobus ac super viginti cum uno deletis quinque scribantur, quae restant sicut ibi desuper, octo vero post illud secundum unum ultra virgulam. Ultimus autem quinarius per illud octo quod est ultra virgulam multiplicatus et quadraginta factus, en si de duabus subtrahatur adhuc illesis figuris, dicendo nullis ex octo detractis semper octo sunt, sed quatuor de quinque remanet unum, transfixis siquidem tam super quam infra quinariis desuper uno relicto integro, tandem nobis illaesa restant veraciter decem et octo. Grandis ergo numerus ille capit viginti quinque millies ac decem et octo vicibus, prout ultra virgulam illam apparet, habens iterum decem et octo insuper unitates, quas integras inter tot transfixas illas figuras videre potes. Quod si probare velis an sit verum, multiplica per viginti quinque tolum quod est extra virgulam et aggrega figuras illaesas cum multiplicatis partibus ut habeas totum.

Si vero per septem approbatio fiat, ex toto quidem septenariis habes binarium et ex viginti quinque quaternarium, ex his autem quae sunt extra virgulam ternarium, sed ex decem et octo non transfixis aeque quaternarium colligis. Multiplica nunc primum ex illo ternario quaternarium et habes duodecim, quibus cum alio quaternario statim aggregatis habes et sexdecim, ex quo sane numero sublatis septenariis solus restat binarius, ei, qui de toto jam restabat, per omnia similis, quod totum super liquet in illis quinque quadrellis. Fit demum ista partitio per duas, ut supra vel per plures subscriptas figuras, sed prima quarum ullatenus in prima superioris numeri figura cadere non valet, ut si quis eundem illum magnum numerum, non jam per viginti quinque sed per tricenta et quinquaginta partiri velit, aut per aliquod majus aut minus huic simile. Tunc, ut super tactum est, prima figura sub prima non describitur, sed sub secunda, quatenus et quotiens in ambobus illis superscriptis figuris cadere valeat investigetur, ut supra secundam

[CSIV:408; text: 2, 3, 49, 25468, 350, 0, 2, 72] [GALTRA 03GF]

illam, quicquid exuberet, ut hic annotetur. Dicatur hic ergo primum, quod tria cadere nullo pacto [409] valeant in duobus, quamquam hoc in loco tantum cadant in viginti quinque septies, ut notetur septem, ultra virgulam, quatuor vero, quae restant ultra viginti unum desuper secunda majoris numeri figura locetur. Transfixis autem post haec tribus illis subscriptis ac viginti quinque desuper sequentique figura quinaria multiplicata septies et extractis triginta quinque de quadraginta quatuor adhuc illaesis, transfigatur ilico quinarius cum suppositis duobus quaternariis, novem vero, quod superest, sicut ibi patet, illaesum sit. Cyfrum autem quod sequitur cum nihil sit, nihil erit, etiam septies multiplicatum ac per consequens nihil aufert a senario super se descripto subtractum, ideoque transfigitur, cum sex minime laedantur. Attamen quum restat adhuc ultima figura majoris illius numeri quam necesse est, ut isdem subscriptus partiatur, numerus tricenta denuo subscribantur et quinquaginta per medium adhuc illaesi novenarii senariique cum octonario permanentis integri non aliter, ut puta, quam presens descriptio docet. Dicendum est igitur, quod tria, quae prius in viginti septies, hic cadunt bis duntaxat in illo necdum transfixo novenario, qua propter duo pingi debent post illud septem ultra virgulam, transfixoque tam inferius ternario quam et superius novenario tria pingantur etiam desuper, quae restant ex illo.

Sequens vero quinariae figura per illum binarium extra virgulam multiplicata sed et decem effecta, cum de senario superscripto nullatenus evelli queat, una mutuata decima de tribus nondum transfixus subtrahatur de sexdecim transfixuque caeteris retro necdum percussis figuris sex etiam quae super sunt ex sexdecim. Porro cyfrum, quod nihil est, et per duo multiplicatum nihil erit, qua consequentia suprascripta non minuit ullo modo figuram, sed relinquit sanum, ut alias duas praedictas ac integram. Cernis ergo luci clarius hunc parvum numerum in majori cadere septuaginta duabus vicibus praeter id, quod resultat ex illaesis illis tribus figuris. Quod se probare velis per multiplicationem, fac ut supra docuimus, ut redactis in unum partibus habeas sicut ibi totum. Si vero indagare verum per septem contenderis, secto, quod ex toto sive majori numero binarium habes, quemadmodum in caeteris hujusmodi calculationibus. Sed ex tricentis et quinquaginta nihil quod est cyfrum, ex his, quae sunt ultra virgulam, duo, sicut ex illis tribus illaesis figuris etiam, quae patent siquidem illis in quinque quadrellis.

Explicit tractatus brevissimus de totis algorismi calculationibus.