Back to top

[9] Commentariorum musices liber octavus atque ultimus, in quo de proportionibus cantandi agitur.

De recta proportionum cantandi consideratione. Capitulum I.

De proportionibus cantandi hoc in ultimo volumi dicturi; animadvertendum in primis quod longe alia consideratione in praesentiarum quae in praecedentibus dictum fuit etsi non alia lege accipiuntur. Illic enim earum termini disiunctim sive seorsum positi ad se invicem, istic vero prima atque propria contemplatione nullatenus sic comparantur. Rursus, ibi quacumque duo ad quodlibet unum in dupla se habent proportione, hic autem neque ita considerantur, quamvis enim duae maximae ad unam longam, brevem, semibrevem vel minimam aut e contra minores, scilicet, praecedendo et maiores subsequendo eam quam praediximus, simpliciter efficiant proportionem, non tamen secundum praesentem speculationem.

In hac enim si recte comparatio fiat, dispositis primo omnium sub binario aut ternario numero figuris prout praecedenti libro factum extitit, secundo loco unamquamque illarum ad eius quaslibet partes, scilicet, propinquas, remotas, remotiores vel remotissimas, si tot habere valeat, sub altero dictorum numerorum comparamus. Comparamus, inquam, non tamen ad extra, sed tamquam intra illas existentes vel subintellectas, quoniam in eas resolvuntur.

Inde enim maxima valore binaria, duarum, scilicet, longarum ad unam illarum, et longa duarum brevium ad alteram earundem, et reliquae eiusdem valoris figurae ad immediatas comparatae eadem duple relatione iunguntur quod omnium modulatorum scientia atque practica comprobatur eorum qui circa huiusmodi speculationem recte contemplati sunt.

Quamobrem qui omnem proportionum habitudinem dupliciter fieri dicunt, id est, vel per respectum ad numerum figurarum praecedentium vel earum [10] quae in tenore, ut duodecim semibreves ad sex, in hac de qua agimus proportione comparate, iam ab hac veritate declinasse inventi sunt. Quamquam enim praedicti numeri figurarum ad se invicem relati duplam efficiant proportionem, numquam tamen sub illius virtute decantabuntur, nisi prius quae in maiori sunt numero dimidio secundum valorem singillatim intersectae fuerint; qua de re omnis figurarum comparatio ad extra interiorem de necessitate quantum ad hanc disputationem attinet supponit comparationem. Inde enim medicus in examinatione duorum pulsuum, in quibus teste Galieno, libro de illorum convenientia, natura musices reperitur in qua se habuerint proportione, ut de statu alicuius morbi augmento vel declinatione recte iudicare possit. Primo omnium quantum alter illorum per subtractionem unitatis seu unitatum in motu adauctus vel imminutus fuerit, unde talis proportio sumit originem solerte scrutatur, ut enim sit pulsus, necesse est motum antecedere primo musices dicitur, quorum ille in impetu, iste vero in numero consideretur.

Quibus de rebus iterum reliquitur, omnem proportionem recte distributam non modo per valoris figurarum subtractionem de qua intendimus, sed etiam per additionem cantabilem fieri. Inde enim de quacumque figura valore binaria aut ternaria, ab antiquis atque sapientibus modulatioribus dictum est, "Crescit in duplo," "Crescit in triplo," quapropter, si figurae ipsae de quibus agimus, altera proportionum supradictarum augmenti secundum valorem susceptibiles existunt, ita et decrementi passibiles erunt. Quod enim de altero istorum dicitur, de altero etiam per oppositum necessario conceditur. Contrariorum enim eadem est disciplina.

Itaque ad huius proportionis institutionem de qua agimus, etiam si alter terminorum ad extra numquam praecedat, quemadmodum isti contendunt, nihil refert. Sufficit enim ut per figuras secundum valorem binarias constituatur, quae ad unitatem eiusdem proportionis virtute convertantur vel resolvantur. Hinc enim ut quanta fuerit ostendatur, ita ab omnibus de necessitate consignatur 2/1, et ut qualis existat, altero istorum signorum [Odim,Cdim] eius effectum, de quo dictum est, insinuantibus demonstratur.

[11] Cum igitur hic sit verus modus procedendi in dupla proportione et illa prima omnium atque huius speculationis tamquam thema quoddam fuerit, necesse est quod caeterae pariforma instituantur ad hoc ut cantabiles fiant, quod de quintupla minime affirmari potest. Nulla enim figura in quinque dividitur partes, prout ad hoc attinet oportebat, ut quattuor relictis quinta decantanda remaneat, et ita in septupla atque pluribus aliis, quod si nulla in his atque aliis quibuscumque fieri poterit maiorum terminorum in minores reductio, nullo modo sunt dabiles. Si vero respective de quibus isti praecise intendunt, incantabiles sunt quia incommensurabiles. Cum enim similiu[m] figuraru[m] similis sit pronunciatio, impossibile est ut unus cantatium eodem temporis spacio minorem numerum semibrevium, alius vero maiorem proferat non variata pronunciatione; idemque de maioribus atque minoribus sive minimis figuris dicendum, etsi de his propter earum imperfectarum commensurationem vel non integrum compassum quibusdam alia mens fuerit.

Numquam enim ita aeque bene modulari possunt quin semper aliqua fuerit in tempore pronunciandi disparitas, unde praestantium quorundam modulatorum nostrorum temporum valde miramur, qui de omnibus proportionibus conati sunt per notulas tradere exempla, quae tamen alios docere nequaquam potuerunt. Alii autem post optime descriptam duplam, si sesquialteram consequenter distribuere voluerint, illam ita instituunt ut neque maioris termini in minorem conversione quod oportebat, sicut in praecedenti dupla factum fuerat, neque determinato maiore eius termino, id est, ternario numero, ut secundum illius summam multotiens sumpto ad binas atque binas praecedentium correspondeat, quod saltem necessarium erat, sed tantum ut figurae ipsae ternae pro singulis compassibus accipi valeant quod neque ad intra neque ad extra vera sesquialtera fuerit.

Caeterum, quadruplam immediate subiungentes et ita illam recte decantantes, sesquitertiam ad praecedentem sesquialteram velut quaternarium ternario comparantes propria dimissa quadruple relatione esse dicunt atque praeter rationem ita illam consignant.

[12] Deinde autem ut dato uno inconvenienti plura contingant, remanentibus figuris sub valore ultimo dicto, consequenter in sextuplam pertransire dicunt nulla tamen relatione vel ad se vel ad praecedentem contemplata, sed tantum ratione mensurae ut inquiunt, tamquam sex semibreves pro uno compassu accipientes. Deinceps autem ad simplicem atque primam figurarum positionem redire volentes sub sextuplam instituere dicunt et illius signis ridiculose tamen demonstrant. Si enim quamlibet figurarum pro sex nunc stare dicamus, necesse erat ut in eius opposita sextupla etiam quaecumque figura in sex partes divisibilis existeret. Sunt autem et alii qui confectum ab eius melum certis in principio numerorum signis praenotantes quasdam figuras, nunc per medium secundum valorem et quasdam ultro etiam diminuendas esse volunt, tum vero easdem minimae et quasdam e contra indocte augmentandas. Cum enim praedicta signa diverarum fuerint quantitatum demonstrativa, impossibile est quod simul agant secundum virtutem. Si autem singillatim accipiantur, necesse est ut illorum quodlibet aequaliter se habeat ad omnes sub illo descriptas figuras.

Haec autem quantum praeter omnem rationem extiterint ex dictis manifestum est. Unde ex his atque similibus positionibus plurimum evenit, ut quod ab uno modulatore conflatum fuerit ab alio quantumcumque perito, nisi tantum per quandem contrapuncti examinationem quomodo decantandum existat, inveniri minime possit, quo nihil ridiculosius nihilque verecundius maxime conficientibus. Nulla enim scientia ducuntur.

Cum igitur omnem supradictorum modulatorum traditionem circa huiusmodi speculationem alienam esse a veritate praeclarum fuerit, hinc merito illam missam facientes dicimus. Ad veritatem huiusce disputationis pertinet imo necesse est ut omnes cantandi proportiones intra quamlibet figuram per illius ad eius partes comparationem inveniantur, quemadmodum ex duple institutione ab omnibus concessa manifestum extitit. In his enim nulla hoc modo difficultas quia nulla ambiguitas, sed quoniam huiusque ista in universali dicta sunt, nunc autem de singulis seorsum tractaturi quae ad nostram pertinent disputationem atque explanationem. Primo omnium de figurarum consideratione cum fuerit per necessarium dicantur.

[13] De triplici consideratione. Capitulum II.

Figurarum cantus mensurabilis triplex duntaxat est contemplatio, aut enim secundum proprium valorem, aut secundum valoris diminutionem, aut secundum augmentum de quibus intendimus considerantur. Sed quoniam de prima atque principali proximo antecedenti volumine abunde meminimus, age nunc de reliquis in ordine pertractemus.

De secunda figurarum consideratione. Capitulum III.

Secunda figurarum cantus mensurabilis consideratio est per valoris diminutionem. Sed quoniam illae aut binariae ad intra aut ternariae sunt, hinc igitur earum diminutio vel fit dupla proportione, tripla, quadrupla, et ex earum compositis de quibus decemus vel sesquialtera vel sesquitertia praecipue. Si enim omnis consonantia alia supranominatarum proportionum ut omnes necessario concedunt de non esse ad esse, quemadmodum libro tertio probatum est, deducitur, ipsae quoque proportiones vel alterius supradictorum numerorum comparatione ad unitatem vel utrorumque ad invicem conficiuntur, atque huiusmodi causa iam dictae figurae iisdem subordinatae numeri ita semper proferuntur vel decantantur, necesse est iterum ut omnis earum diminutio altera supradictarum relationum per maioris termini conversionem in minorem fiat. Quae cum ita se habeant relinquitur de necessitate ut omnes proportiones quae ab huiusmodi contemplatione seiunctae fuerint impropriae vel ficticiae existant, ut sunt quae respectivae tantum sumuntur, de quibus summatim meminimus et consulte nullum verbum faciemus.

[14] De dupla proportione. Capitulum IIII.

Prima igitur figurarum diminutio secundum valorem est quae per primam omnium fit proportionem, id est, duplam, quae omnis inaequalitatis principium est, in qua figurae sub binario numero distribuuntur et ad unitatem per dimidii valoris cuiuscumque subtractionem reducuntur. Est enim duorum ad unum comparatio. Quamobrem oportet ut maxima supradicti valoris ad illius dimidium, id est, longam, longa ad brevem, brevis ad semibrevem, semibrevis ad minimam, minimaque ad minimam plenam vel tractum in summitate curvatum habentem, et haec ad aliam utraque accidentia praedicta patientem reducantur et in huiusmodi decantentur de necessitate proportione quae hoc tempore nimium vulgata habetur sive per medium, quod idem est.

Duplum enim ut alibi meminimus dupli dimidium est et e converso, unde utraque contemplatione seorsum consignari sive altero istorum modorum demonstrari potest: 2/1 [Cdim].

Exemplum duplae proportionis

[CCMP/CT8:14; text: Tenor] [GUIARS8 01GF]

[15] [CCMP/CT8:15] [GUIARS8 01GF]

De tripla proportione. Capitulum V.

Secunda figurarum diminutio est quae per secundam agitur proportionem, id est, triplam, in qua figurae ipsae ternariae secundum valorem ponuntur, et ad unitatem per duarum partium amissionem reducuntur. Est enim trium ad unum comparatio, unde maxima eiusdem valoris ad unam longam intra illam existentem vel sub intellectam convertitur, longa ad brevem, brevis ad semibrevem, semibrevis ad minimam, minima vero ad praecedentem [16] reducitur proportionem, verum enim semibreves semper ternae ponuntur et ita pro singulis compassibus accipiuntur; signatur autem utoque eius termino, ut hic: 3/1.

Possunt autem quaecumque figurae sub hac proportione existentes etiam sub proportione dupla quantum ad seipsas optime distribui.

Exemplum triplae proportionis

[CCMP/CT8:16] [GUIARS8 02GF]

[17] [CCMP/CT8:17,1] [GUIARS8 02GF]

De quadrupla proportione. Capitulum VI.

Tertia figurarum diminutio per tertiam, id est, quadrupla, efficitur proportionem in qua figurae ipsae binarii valoris in seipsum multiplicati quoniam bis dupla existit describuntur, et ad unitatem per trium partium depositionem convertuntur. Est enim quattuor ad unum comparatio, unde quemadmodum dupla proportio per figurarum immediatarum comparationem, ut maximae ad longam, longae ad brevem, et sic in amplius ita et haec per mediatas una, scilicet, tamen intermissa conficitur.

Quamobrem si maximae ad brevem, longae ad semibrevem, brevis ad minimam, semibrevis ad minimam plenam sive tractum curvatum habentem, minimaeque simplicis ad minimam utroque supradictorum accidentium affectam reductio fiat, et altera per altera in eodem ordine proferatur, in praedicta semper erunt quadrupla proportione. Signatur autem utroque eius termino hoc modo: 4/1 vel utriusque simil duplae proportionis signis, ut hic: [2Cdim], autem e contra: [Cdim2].

Exemplum quadruplae proportionis

[CCMP/CT8:17,2] [GUIARS8 03GF]

[18] [CCMP/CT8:18; text: Tenor, Diapason, Diapente, Diatesseron, Exachordon, Eptachordon] [GUIARS8 03GF]

[19] De sextupla proportione. Capitulum VII.

Sed quoniam quintupla proportio causa iam dicta nullo modo secundum hanc speculationem dabilis est, hinc quarta figurarum diminutio sextupla fit proportione, quae caeteris in sui distributione valde dissimilis est. Neque enim per figuras omnino secundum valorem ternarias neque binarias, quod tamen reliquae faciunt, assignari potest.

Maxima enim secundum totum et secundum partes ternaria trium est longarum novemque brevium. Maxima vero binaria duarum longarum, quattuor brevium et octo semibrevium, senarium numquam producentes numerum in quem resolverentur quod oportebat.

Quod quamquam ita fuerit, tamen per figuras partim ternarias, partim vero binarias, nulli dubium tripliciter atque optime valet exemplificari. Primo enim per figuras natura aut positione binarias, per accidens vero ternarias, id est, puncto perfectionis adauctas. Maxima enim binaria duarum, scilicet, longarum ac quattuor brevium trium erit hoc modo longarum atque sex brevium e quibus quinque reiectis, sexta reiectis, sexta superit decantanda, et ita in caeteris figuris, est enim sex ad unum comparatio.

Secundo autem per figuras quantum ad totum ternarias quantum vero ad earum partes, binarias ut maxima trium longarum, sex brevium, et longa trium brevium, sex semibrevium, et in amplius.

Tertio et ultimo, per figuras utriusque modi ac etiam temporis imperfecti prolationis vero perfectae, sed quoniam omnium supradictarum positionum ultima non solum sextuplam ad intra, id est, secundum interioris valoris reductionem, sed etiam ad extra saltem in prolatione in qua sex semibreves per uno compassu, ut vulgato utamur verbo cantorum recte accipimus, praecise efficere potest. Missis igitur duabus prioribus hanc tamen sequimur, ita ut ad ipsam prolationem semper fiat respectus, semibrevis enim trium simplicium minimarum existens, sex etiam minimarum aut tractum curvatum habentium aut plene stantium erit, quae huius proportionis virtute ad unam illarum reducetur. Pari etiam ratione brevis [20] duarum semibrevium atque sex minimarum etiam ad unam. Longa vero secundum hac rationem ad duas, maxima autem ad quattuor; signatur autem utroque eius numerorum termino ut hic: 6/1.

Exemplum sextuplae proportionis.

[CCMP/CT8:20] [GUIARS8 04GF]

De octupla proportione. Capitulum VIII.

Quinta figurarum diminutio, quoniam septula etiam ratione iam assignata dari non valet, octupla accidit proportione, in qua figurae ipsae binarii valoris pro quaternarium multiplicati describuntur, et ad unitatem reducuntur.

Est enim octo ad unum comparatio. Hac igitur proportione maxima secundum valorem binaria in semibrevem reducitur, longa in minimam, brevis autem in minimam plenam vel curvatam, semibrevis vero in minimam utrumque [21] supradictorum accidentium patientem, duabus semper intermissis figuris, signatur autem utroque eius termino ut hic: 8/1.

Exemplum octuplae proportionis.

[CCMP/CT8:21; text: Tenor] [GUIARS8 05GF]

De sedecupla proportione. Capitulum IX.

Sexta figurarum diminutio sedecupla proportione optime efficitur in qua ipsae figurae a binario numero ducentes originem per octonarium in se multiplicatum illam conficientes ad unitatem reducuntur. Est enim sedecim [22] ad illam comparatio. Hac igitur proportione maximam binariam in minimam convertimus, longam in minimam plenam, brevem autem in qua de necessitate finem facimus, in minimam plenam atque tractum curvatum sinul habentem; signatur autem utrisque eius terminis: 16/1.

Exemplum sedecuplae proportionis

[CCMP/CT8:22; text: Tenor] [GUIARS8 06GF]

De sesquialtera proportione. Capitulum X.

Septima figurarum diminutio prima superparticularis generis fit proportione, id est, hemiolia sive sequialtera, in qua figurae ipsae ternariae secundum valorem ponuntur, et in binarias per tertiae partis amissionem reducuntur. Est enim sesquialtera ipsa trium ad duo comparatio.

In hac autem ita agendum est sicut quando ternarias vacuas existentes, plenas efficmus ubi tertia perfectarum pars omnino deletur atque tollitur. Hac igitur proportione maxima ternaria ad seipsam binariam, longa ad longam, brevis ad brevem, semibrevis ad semibrevem, si recte sumatur [23] convertuntur. Qua in re notandum quod huiusmodi figurarum relationes nequaquam secundum totum fiant, sed tamen secundum partes in quas ratione interioris numeri dissolui possunt. Nulla enim figura ad seipsam secundum seipsam est relativa. Verum enim ut sesquialteram sicut ad intra figurae ipsae custodiunt, sic ad extra in pronunciatione illam efficerent, musicorum institutione a temporis proprietate sumendo initium. Factum est ut semibreves ternae ac ternae in ipso actu cantandi ita suam haberent commensurationem, ut duas tamen percussiones quarum altera in dimidio secundae figurae, altera vero in fine tertiae terminatur, recte accipiant.

Sed nunc quoniam caeteras figuras his tantum manifeste metimur, ut praecedenti libro ostensum est, ab ipsa igitur temporis proprietate incipientes, primum reponamus exemplum. Erit enim etsi a pluribus facile sit intelligere tamquam vehiculum quoddam novis scholaribus quibus prodesse duntaxat intendimus; signatur autem utroque eius termino ut hic: 3/2.

Si autem huiusmodi figurarum ad earum partes remotas comparatio fiat, ut maximae novem brevium ad maximam quattuor, erit dupla sesquiquarta quam consulte praeterire volumus.

Exemplum sesquialterae proportionis.

[CCMP/CT8:23; text: Tenor] [GUIARS8 07GF]

[24] De sesquialtera sub proportione dupla. Capitulum XI.

Potest etiam sesquialtera proportio in utroque modo maiori, scilicet, atque minori ac tempore perfectis, prolatione vero imperfecta ut elegantior fiat per medium vel sub proportione dupla assignari, sed, ut sit clarius quod dicitur, ab ipsius temporis proprietate etiam principium describendi sumamus.

Brevis igitur trium semibrevium sex erit minimarum, a quibus duplae proportionis virtute tribus abiectis remanent tres. Ab his autem, si sesquialtera potante tertia deleatur, superiunt duae, semibrevem binariam reddentes in quam singulae breves supradicti valoris convertentur quae etiam post praedictam reductionem ternae acceptae, quoniam binas tamen recipiunt percussiones et ad seipsas et ad binas semibreves earum quae in tenore descriptae fuerint, tum secundum numerum, tum secundum commensurationem quoniam eodem temporis spacio per superiorem regulam optime proferuntur eandem efficient proportionem; itaque hac ratione brevis perfecta ad semibrevem binariam prout meminimus reducitur, longa perfecta ad tres, maxima vero ad novem. Si autem praedictae figurae prius per tertiae partis subtractionem imperfectae fuerint, tunc maxima sex erit semibrevium, longa duarum, brevis autem in minimam puncto augmentationis affectam semibrevisque in minimam plenam convertuntur. Signatur autem utriusque proportionis terminis: [Odim3/2]; si autem per figuras plenas tamen instituatur, tunc sesquialterae signa praetermittuntur.

Exemplum sesquialterae sub proportione dupla instituae

[CCMP/CT8:24; text: Tenor] [GUIARS8 08GF]

[25] [CCMP/CT8:25] [GUIARS8 08GF]

De sesquitertia proportione. Capitulum XII.

Octava et ultima figurarum secundum valorem diminutio epitrica sive sesquitertia fit proportione, quae etiam ultimae consonantiae ab diapason remittendo, id est, diatesseron, causa dicitur. Huius enim virtute quaecumque figurae secundum totum et secundum partes binariae in immediatas secundum totum ternarias, secundum partes vero binarias convertuntur. Maxima enim quattuor brevium, octo semibrevium in longam trium brevium, sex semibrevium reducitur.

[26] Est enim sesquitertia proportio quotienscumque maior numerus minorem semel continet et eius tertiam partem. Item longa quattuor semibrevium, octo minimarum, in brevem trium semibrevium, sex minimarum. Brevis quattuor minimarum in semibrevem trium. Semibrevis autem in qua finem facimus quattuor minimarum plene vel nigre existentium aut tractum plicatum habentium in minima puncto augmentationis affectam. Si autem supradictae figurae iam conversae plenae vel coloratae efficiantur, in binarias tertia amissa parte transeunt. Minima autem etsi huius proportionis virtute in minimam plenam simulque tractum curvatum habentem convertibilis existat propter impossibilitatem vel saltem, nimiam proferendi difficultatem diminutione per grandi provenientem nequaquam dividenda admittitur. Signatur autem haec proportio utroque eius termino ut hic: 4/3.

Exemplum sesquitertiae proportionis

[CCMP/CT8:26; text: 6, 3] [GUIARS8 09GF]

[27] De secunda sesquitertiae proportionis descriptione. Capitulum XIII.

Si autem sesquitertia proportio quibusdam interpositis minimis figuris quae nullo modo quantum ad actum cantandi secundum hanc proportionem dividi possunt instituatur, tunc breves figurae, quae in semibreves ternarias convertuntur, unicam tamen suscipiunt percussionem, ut in prolatione maiori vel perfecta, semibrevis vero quae in minimas puncto augmentationis affectas reducuntur binae eodem puncto suppresso non tamen sublato etiam unicam. Quae cum ita fuerint, hinc minimae figurae vel quaternae sumptae vel binae cum semibrevi eodem temporis spacio eleganter venusteque commensurantur ac pronunciantur. Atque hoc modo signantur: [C4/3].

Exemplum secundum sesquitertiae

[CCMP/CT8:27; text: Tenor] [GUIARS8 10GF]

[28] De tertia et ultima sesquitertiae proportionis descriptione. Capitulum XIIII.

Sesquitertia etiam sub proportione dupla optime institui potest. Tunc enim maxima binaria quattuor brevium in longam binariam quattuor semibrevium virtute duple primo omnium convertitur, natura enim caeteras antecedit. Ab his autem sesquitertiae potante si quarta pars auferatur, remanent tres semibreves in quas maxima ipsa ultimo quantum ad hoc propositum attinet dissolvetur; similiter autem longa in semibrevem puncto augmentationis affectam, brevis quidem in minimam eodem puncto adauctam. Si autem supradictae figurae coloratae vel plenae efficiantur, tunc maxima sicut iam meminimus virtute coloris tria parte sublata vel amissa duarum tamen erit semibrevium. Longa vero unius atque eodem modo, brevis unius minimae ut in subiecto exemplo, earundem proportionum signis praemunito. Est autem in his animadvertendum quod sublato per primam supradictarum proportionum dimidio cuiuscumque figurae binariae secundum valorem quod est ei proprium, illa deinceps in residuo eiusdem figurae nihil agat vel operetur, quamquam enim breves duarum semibrevium ad unam illarum virtute eiusdem proportionis reducantur. Ipsa tamen semibrevis sic considerata integram receipit percussionem, qui per se existens in minimam necessario conversa dimidiam tamen haberet. Signatur autem hoc modo: [Cdim4/3].

Exemplum sesquitertiae sub proportione dupla constitutae

[CCMP/CT8:28; text: Tenor] [GUIARS8 11GF]

[29] [CCMP/CT8:29] [GUIARS8 11GF]

De signis proportionum et earum demonstrationibus. Capitulum XV.

Quamquam autem de proportionum superius descriptarum signis figurarum diminutionem secundum valorem demonstrantibus singulatim dictum fuerit, nunc etiam illa repetere non erit inutile.

Dupla igitur, quae prima omnium est quoniam duorum ad unum est comparatio, per numeri binarii et unitatis figuras ostenditur, ut hic: 2/1, aut saltem per maiorem illarum, prout usus obtinuit. Et quoniam non est duplum praeter dimidium, potest etiam per circulum aut semicirculum linea intersectum, quod nimium vulgatum est, alio istorum modorum demonstrari, scilicet: [Odim,Cddim,Cdim].

Tripla autem per ternarii numeri et unitatis figuras: 3/1.

Si autem quadrupla fuerit per quaternarii et unitatis signa: 4/1. Aut etiam per dupli et dimidii caracteres simul, ut hic: [2Cdim] vel e [30] contra [Cdim2].

Quadrupla enim nihil aliud est quam bis dupla. Si autem post haec duo signa quomodocumque distributa etiam alterum illorum describatur, statim in octuplae transit demonstrationem, quemadmodum enim secundum supradictorum signorum duplam per medium dividit ut dimidii dimidium, id est, quadruplam, efficiat, ita et tertium ipsam quadruplam in duo aequa eadem ratione patietur.

Qua in re quosdam vidimus errasse, existimant enim licet in cassum per tertium signum ad simplicem duplam redire, verum enim si inter secundum atque tertium signum quaedam notulae ut in prima illarum consideratione inserte inveniantur, tunc recte fieri potest.

Similiter autem modo in octupla atque sedecupla vertendum est. Si autem sesquialtera fuerit, per ternarii et binarii numeri figuras 3/2 demonstratur, aut ut in consuetudinem ventum est, saltem per maiorem illarum quamquam improprie. Eadem enin figura etiam triplam intelligere possumus. Quidam autem quot tempora sesquialtera habuerit, tantarum unitatum figuris superflue tamen illam demonstrant. Non enim numerum notularum illius sed eius tamen relationem quaerimus quam per simplices ipsius terminos qui et radices appellantur promptius quia prius natura demonstratur.

Quidam autem quando sesquialtera ipsa respective tamen sumitur, de qua nullum consulte dedimus exemplum, per semicirculum punctum in medio habentem ad circulum absque puncto antecedentem conversim positum, ut hic: [O,CLd]. Illam demonstrant ut tamquam temporis imperfecti ad perfectum et prolationis perfectae ad imperfectam comparatione, eadem proportione sibi opponantur. Et quidam per semicirculum iterum cum puncto ad simplicem semicirculum: [C,CLd], tamquam in prolatione tamen sesquialteram custodientes.

In sesquitertia vero per quaternarii numeri et ternarii figuras quando sui ipsius gratis ponitur recte demonstratio fit 4/3. Quando autem e contra, id est, respective describitur, de qua nullam fecimus mentionem, tunc [31] solet per semicirculum absque puncto conversim ad circulum etiam sine puncto vel semicirculum cum puncto positum ostendi, ut hic: [O,CL],[Cd,CL].

Demonstrant enim maiorem illius terminum a binario numero in seipsum multiplicato originem habere et ad ternarium vel in tempore vel prolatione antecedente existentem relationem facere.

Similter autem quando post sesquialteram respective sumptam ad binarias per medium secundum valorem intersectas redeunt figuras, quidam eodem semicirculo converso [CL] duplam demonstrare nec tamen improprie contendunt et quidam quadrumplam, quod nulla ratione defendi posse videtur.

De tertia et ultima figurarum consideratione, quae est secundum valoris augmentum. Capitulum XVI.

Tertia et ultima figurarum consideratio est secundum valoris augmentum quae per oppositum praecedentis efficitur. In illa enim per duplum, triplum aut alium superius dictorum modorum maiorem numerum minori comparando ac maiorem pro minori figuram describendo praecedimus in ista; autem e contra. Vero enimvero quamvis in huiusmodi figurarum contemplatione in proportiones minoris inaequalitatis incidere videamur, maiores tamen nostri etsi modernorum quibusdam alia mens atque operatio quamquam non recta fuerit, numquam illarum nominibus in hac facultate utendum esse, ita ut subduplam, subtriplam et ita in caeteris dicamus, sed neque earum signis optime statuerunt.

Nullam enim ut in descriptione consonantiarum et earum elementorum patuit, habent in illa potestate, unde loco dictarum proportionum et earum nominum, his superscriptionibus duntaxat uti dictissime decreverunt, "Crescit in duplo," "Crescit in triplo," atque ita in amplius secundum augmentationis modum quod a sapientibus modulatorum ad hanc usque diem recte observatum est. Quare relinquitur necessario ut genera ipsa minoris inaequalitatis, id est, submultiplex, subsuperparticulare et reliqua, de consideratione arithmetici tamen existant. Has autem figurarum augmentationes quidam etiam nostrorum temporum modulatores per circulum aut [32] punctum in medio habentes intelligi voluere, quod hoc tempore nimium vulgatum est.

De canone. Capitulum XVII.

Canones autem multos imo etiam quam plurimos in cantu mensurabili a quibusdam ita scienter conflatos esse novimus, ut nec laudem eorum positionem reperienti nec e contra inferant vituperationem non invenienti. Constat enim ex verbis divinativis ad quorum intelligentiam scientia nemo potest pervenire, unde siquis unum, siquis vero duos vel tres aut quantoslibet illius modi confectos, id est, eorum sensum experiendo inveniat, numquam tamen ad universale quiescens in anima ut inde artem efficiat poterit devenire. Errant igitur huiusmodi conflatores atque quid per nomen importatur ignorantes graviter peccant. Canon enim graece, latine regula dicitur. Regula enim in quacumque facultate est norma, per quam in aptam deducimur eorum de quibus in illo tractatur cognitionem.

Inde enim Boethius, libro primo, Pithagoram regulam musices "...quam nullum inquirentem dubio fallat iudicio..." adinvenisse inquit. Canones igitur in melorum cantus mensurabilis confectione, siquis ad novitiorum exercitationem vel instructionem recte edere voluerit, verbis claris et aptis atque ab arte praecedentibus illos instituat.

Quod genus est.

Si per medium decantandum melum constituerit volens signis duplae proportionis illum demonstrare, tunc his verbis aut similibus ad pedem meli descriptis uti poterit, cantetur in proportione dupla vel etiam effectum pro causa accipiendo, cantetur sub diapason consonantia, vel cantetur in prima multiplicis generis specie, si tripla fuerit, cantetur in proportione tripla, vel sub diapason diapente, vel in secunda multiplicis generis specie. Et ita in reliquis cantetur in proportione quadrupla, vel cantetur sub bisdiapason, vel cantetur in tertia eiusdem [33] generis specie, cantetur in proportione sesquialtera, vel cantetur sub diapente consonantia, vel cantetur in prima superparticularis generis proportione. Proinde cantetur in proportione sesquitertia, vel cantetur sub diatesseron consonantia, vel cantetur in secunda superparticularis generis specie.

Ut enim a Boethio, libro primo, optime dicitur: "Dupla in numeris diapason est in sonis, tripla diapason diapente, quadrupla bisdiapason, sesquialtera diapente, sesquitertia diatesseron." Deinde autem poterit nominibus chordarum citherae, de quibus libro secundo dictum est, uti, aliam, scilicet, pro alia in confectione atque principio meli adaptando et reliquas sequentes eodem ordine. Si enim melum primi modi conflare ac omnem contrapunctum pariforma illi eiusdem toni melo semper permanente describere poterit. Verum enimvero quoniam hoc modo illum cantando ipse per omnia dissonare inveniretur, tunc his verbis aut similibus in fine tenoris descriptis utatur, "Praetermissa proslambanosmenon sume tibi lycanos ypaton," ab hac enim incipiendum erat. Et ita in amplius semper per diatesseron intensam caeteras transferendo chordas. Sed inter haec cavendus est error illorum summopere qui proslambanomenos ita per eius syllabas quemadmodum per consueta nomina vocum decantant, similiter autem hypate ypaton, et ita consequenter quorum tam crassam supinamque ruditatem non possum non satis mirari, singularium enim chordarum nomina tantum sunt, ut ostensum est.

Praeterea si tenorem cuiuscumque meli modi perfecti instituat, in quo longae ternarii valoris, id est, trium brevium, existunt, poterit modulator in terminis trium vocum illas statuere, in quibus prima immobili permanente, reliquas in locum quem unamquamque illarum secundum ordinem horum nominum, ut, re, mi, fa, sol, la viderit possidere mente transferre, et ita contrapunctum illi adaptare. At si duae tantum quocumque in loco fuerint voces, tunc loco tertiae pausa unius temporis describatur. Quare [34] si in a la mi re, g sol re ut atque f fa ut, tunc secunda vox primi termini erit in e remissa, tertia vero in d. Consequenter autem secunda secundi termini erit in d tertia, quidem in c ubi etiam secunda tertii decantabitur. Et quoniam breves ipsae partes sunt longarum, simili canone modulator ipse poterit uti, "Ab alto descendentes longae fecerunt proles suas in locum quem fundarunt illis."

Hic est igitur modus recte instituendi canones qui secundum hanc formas terminis artis semper observatis in infinitum variari potest. Atque hic est.