Back to top

[319] Praefatio in introductorium musicae fratris Ioannis Keck magistri in theologia incipit.

Exultabunt labia mea, cum cantavero tibi, inquit egregius ille musicus regius, scilicet propheta David in suorum psalmorum libro (Psalmus 70.) Ambigere [320] neminem arbitror, musicae modulatione diversos affici diversimode, nisi forte eum, qui experientiae rerum magistrae discipulum quasi surdus se numquam agnovit. Quis enim nesciat, buccinae sonitu nedum militares, sed et eorum, quibus insident, equos mira in bellicis audacia firmari, atque ad aggrediendum, conflictumque faciendum animari, ut eos ad terribilia illa musica allectos dulcedine non tam arbitrii libertate, quam naturali quadam necessitate tractos mireris. Hac denique musicali modulatione convivae mira reficiuntur suavitate, ut nonnumquam eorum nonnulli etiam obliviscantur esum, et tamquam filo (fortasse philtro) capti, quandoque seipsos nescientes, velut catelli ludere assurgant. Bene igitur de ea Aristoteles (Politica, liber 8, capitulum 4) enuntiavit in politicis, quod ipsa naturaliter delectabilis sit omni aetati, et omnibus moribus.

Sunt etiam, qui modulationis melodia timore concutiantur; sic enim in Exodo legimus (Exodus, capitulum 19.) filios Israel, cum lex daretur, clangore buccinae non modico perfusos terrore. Ipse quoque Gedeon huius clangore adversarios suos in libro Iudicum (Iudices, capitulum 17.) affecisse timore permaximo commemoratur. Sunt etiam nonnulli, qui exequiarum tempore tibiarum officio lugubres generent sonitus, quibus circumstantium multitudo pias ad lacrymas visa est saepius provocari. Bene igitur sancivit, qui tot homines harmonia musicali totidem modis affici spectabat, Philosophus scilicet, qui dixit (Politica, liber 8, capitulum 6) quod melodia secundum diversos musicae tonos inducit ad diversos mores.

Quis igitur musicae utilitates ad plenum valeat depromere, quae tantorum effectuum magnitudine magnifica praedicatur: quae etiam bestiis ipsis naturaliter indita cognoscitur? Hinc philomela sitientes hominum aures mellito vocis suae poculo potare contendit. Hinc cygnus aures suas famentes saturare cupiens, gutturis sui olla sonorum cibos decoquere non cessat, nisi prius extremum videatur spiritum exhalasse.

Cernis igitur, o Abba pater! in eius laudibus me defecisse, quae naturarum tam humanae, quam bestialis praedicatione minime contenta, coelos ascendens, eos sibi censuales efficit, uti ab eisdem tributa quaedam divinae Maiestatis auctoritate exigendo postulare praesumat, cum eorum motus musicalis disciplinae rigore, testante apud Ciceronem Scipione, (De beatorum musica) mira dulcedine coerceat. Taceo unum eius privilegium excellentissimum, quo scilicet ipsa omni corporali creaturae miro supervehitur modo, usque adeo videlicet, ut in coelesti patria supernorum civium guttura eius credantur nectare inebriari, regio teste propheta, qui dicit (Psalmus 149.) exultationes Dei in gutture eorum.

Qua in re pensandum est, quanta nobis sollicitudine sit amplectenda, quae tot privilegiorum donis scientiis humanis aliis cernitur antelata. Haec enim ex labore tristitiam tollit, ut Philosophus inquit, (Politica, liber 8, capitulum 15.) malignos fugat spiritus, quoniam Regnorum historia testante (Regum primus, capitulum 16.) David in cithara canente malus a Saule spiritus recedebat. Haec est, quae secundum animam raptum facit hominem, [321] ut iterum Philosophus testatur (Politica, liber 8, capitulum 6.) quatenus cum Paulo tertii arcana coeli queat audire, arcana inquam illa, quae non licet homini loqui. Magis etiam ipsa eius delectat operatorem, quam solum auditorem, et ad morales ei virtutes non modicum confert auxilium, ut Aristoteles cecinit (Politica, liber 8, capitulum 5.) Hinc est, quod Iacobus in canonica sua dixit: tristatur quis in vobis, oret, aut aequo animo est, psallat; ubi glossa: crebra psalmodiae dulcedine nocivam pestem tristitiae depellit, et per consequens laetitiam et gaudium adducit. Recte ergo dixit Psalmista: exultabunt labia mea, cum cantavero tibi.

Non autem cantus ille hominem mente laetificans acutus esse debet, sed plurimum gravis, ut videlicet a loquentis voce vix discerni queat. Prohibuit enim Aristoteles in Politica (Politica, liber 8, capitulum 9.) ne harmoniam rigide cantarent senes: acuta enim harmonia plerumque animos distrahit humanos, et corpora gravat in tantum, ut eius pondere premantur animae, ne contemplationis volatu in exultationem valeant elevari; quae tamen mentis exultatio finis est psalmodiae, propter quam est instituta, ut dicit Augustinus (Confessiones, liber 10, capitulum 2.) Debet igitur Religiosorum cantus, qui senum nomine possunt intelligi, cum et ipsi seniorum canos habere debeant, de quibus dicitur, "cani sunt sensus hominis", nequaquam rigidus existere, sed modesta gravitate loquentium more suaviter sine discantu lugubriter perstrepere, ut ipsis Domino cantantibus eorum labia sine fine exultare mereantur, praestante Domino nostro Iesu Christo in secula benedicto.

Explicit prologus.

Incipit argumentum.

Introductorius in musicam liber appellatur, quoniam omnium sonorum proportiones mira brevitate complectitur, et nonnulla simplicioribus ignota fratribus, quae proponit, demonstrat, ut non solum credere oporteat addiscentes, sed ut etiam acribologia mathematica instructos musicali proportione sciolos efficiat, quatenus non solum cantus Gregoriani gnari fiant, quinimo potius omnem musicam considerationem intellectu illuminato valeant perspicacius penetrare.

Explicit argumentum.

Sequuntur Capitula.

Capitulum I. De musicae inventione.

Capitulum II. De varia sonorum seu vocum proportione.

Capitulum III. De sonorum seu vocum repraesentatione.

Capitulum IV. De sonorum seu vocum consonantia et dissonantia.

Capitulum V. aliqua in superioribus narrata demonstrat, et libro finem imponit.

Expliciunt Capitula.

Incipit liber introductorius in musicam Fratris Ioannis Keck monachi in Tegernsee, et in theologia Magistri.

Capitulum I.

De Musicae inventione.

Musicam triplicem esse ferunt sapientes, metricam unam, rhythmicam alteram, [322] tertiam vero harmonicam ponentes. Sed ne vocabuli aequivocatione paralogizemus, a nostra consideratione primas duas, quas trivialis esse considerationis constat, musicas amputamus, et de tertia tantum, quae vere quadrivialis est, amplius prosequemur. Hanc nempe nonnulli a Moys, quod est aqua, dictam autumant: nos vero a Musis traxisse nomen Musicam verius arbitramur, cuius diversi diversos inventores posuere. Nam Geneseos historia Tubal primum Musicae commemorat inventorem: alii Amphionem, alii vero, ut philosophorum maior pars, Pythagoram, qui, ut ferunt, casu fabricam transiens, quatuor audivit malleorum ictus, tonum, diapente, diatessaron, ac diapason sonorum suorum proportione facientes. At ipse suspicatus, si forte in lacertorum sic fabricantium fortitudine haec sonorum consisteret proportio, permutatis malleis, rursum ut iacerent, fabris praecepit: ubi non obstante malleorum permutatione, apud singulos eorum suae permansere priscae sonorum proportiones. Unde experientia doctrice didicit, in malleorum pondere hanc sonorum consistere proportionem. Quorum dum pondus diligentius exploraret, eorum pondera reperit esse iuxta hos quatuor numeros 6. 8. 9. 12. et inter 6. et 8. diatessaron, inter 6. et 9. diapente, inter 8. et 9. tonum, et inter 6. et 12. diapason consistere proportiones. In his itaque numeris quatuor totius musicae principium tamquam experientia notum constituit, ut scilicet diatessaron in sesquitertia, diapente in sesquialtera, tonus in sesquioctava, diapason vero in dupla proportionibus consistere dicatur. Haec autem in sequentibus tamquam princicium duximus supponendum.

Capilutum II.

De varia sonorum seu vocum proportione.

Omnes voces, quarum est aequalitatis proportio, unisonum efficiunt. Sed quoniam ab aequalite tamquam a virtutis medio multipliciter, imo infinities contigit deviare, hinc est, quod diversi soni secundum infinitas proportionis inaequalitatis variationes infinitae possent species assignari; quarum tamen admodum paucae aurium iudicio sunt adprobatae, sed earum magna, imo maior pars, detestabilem auribus efficit dissonantiam: ideo a musicalis scientiae agro quasi tribuli veniunt eradicandae.

Venimus igitur ad eas diversi soni species, quas musici vel concordantes, vel ad minus non tam absone dissonantes reperiunt: et dicamus primo, quod tonus, qui, ut in superioribus diximus, in sesquioctava consistit proportione, reperitur et est inter quaslibet duas sibi proximas voces de illis sex, videlicet ut, re, mi, fa, sol, la, demtis mi, et fa, inter quas voces sibi proximas accipe semitonium minus, quod diesim vocavere sapientes. Minus dixi, ad differentiam semitonii maioris, quod apotome vel decisio dicitur. Tonus nempe non per medium in aequalia sectus intelligitur, ut semitonia aequalia quasi medios efficiant tonos, sed, ut in posterioribus demonstrabimus, in inaequalia, ut maius minusve semitonia inaequalia [323] parere queat. Qua ex re elici potest, non a semis dimidio, sed a semis imperfecto dictum esse semitonium. Concluditur ergo, toni minorisque semitonii differentiam maius efficere semitonium, quorum differentiam semitoniorum commatis nomine musici baptizarunt.

Porro subtilius rimantes his non contenti satis parvis sectionibus secuere diesim, id est, minus semitonium in duo aequalia, quibus diaschismatis nomen imposuere: quod quidem diaschisma diesim appellarunt antiqui, commatis vero medietatem schisma dixerunt. Semiditonus quasi imperfectus ditonus dicitur, eoquod semitonio minori tonoque perficiatur, sicut inter re. et fa. vel sol. et mi. voces sibi proximas est reperire. Ditonus dicitur, qui duorum coniunctione tonorum aggregatur, sicut inter ut. et mi. seu fa. et la. sibi proxima cernere potes. Diatessaron autem ditono et diesi, id est, semitonio minore perficies, velut inter ut. et fa. seu re. et sol. aut mi. et la. sibi proxima fieri videmus. Cui si tonum addideris, diapente resultare videbis, sicut inter ut. et sol. seu re. et la. practicare solemus. Dysemiditonus quoque ditono et duabus constat diesibus, id est, minoribus semitoniis; tritonus vero tonis tribus.

Ad finem itaque capituli properantes, recolligamus sonorum proportiones, de quibus musici tractavere, et reperiemus unisonum; schisma, id est, dimidium commatis; comma; diaschisma, id est, dimidium minoris semitonii; diesim, id est semitonium minus; apotome seu decisionem, id est, semitonium maius; tonum; semiditonum; ditonum; diatessaron; dysemiditonum; tritonum; et diapente. Quibus adde semitonium cum diapente, tonum cum diapente, semiditonum cum diapente, et ditonum cum diapente: cui si semitonium coniunxerimus, diapason resultabit consonantia omnium perfectissima, atque unisono simillima. Omnes autem illae sonorum proportiones diapason priores ipsi, scilicet diapason, sicut (volueris) addere poteris; et erit quasi earum replicatio, cum diapason quasi unisonum alterum esse constet.

Capitulum III.

De sonorum seu vocum repraesentatione.

Enumeratis sonorum seu vocum proportionibus, restat, eas artificialiter repraesentare: et quoniam semitonio minores inaequalitatum proportiones non repraesentare consueverunt musici, eo quod earum differentia vix auribus diiudicari valeat, et ideo hac ratione in usum assumere eas sunt dedignati.

Postpositis itaque proportionibus schismatis, commatis et diaschismatis, ad aliarum repraesentationem festinantes dicimus, semitonium minus repraesentari B. quadro; et C. gravibus; aut E. et F. gravibus, seu a. et b. rotundo acutis; vel [sqb]. quadro et c. acutis, etiam e. et f. acutis: iterum aa. et bb. rotundo superacutis; et demum [sqb][sqb]. quadro et cc. superacutis. Colliges ergo semitonia minora septem usualiter repraesentata.

Artificialiter quoque repraesentare posse, minus semitonium inter quoslibet duos sonos tonum facientes, quemadmodum [324] in instrumentis est reperire, ut verbi gratia inter [Gamma]. et A. grave in divisione monochordi inferius in capitulo finali reperies. A. fictum grave, quod cum [Gamma]. facit semitonium minus, quod repraesentatur [Gamma]. et A. ficto gravi per B. rotundum repraesentato, ut in praesentis capituli figura cernere potes de repraesentatione artificiali semitoniorum minorum non communiter usitatorum, ubi vides exempla duodecim talium semitoniorum repraesentata.

Semitonium maius repraesentatur b. rotundo, et [sqb]. quadro acutis, vel etiam bb. rotundo et [sqb][sqb]. quadro superacutis. Potest etiam idem semitonium maius artificialiter repraesentari, sed adhuc minus usitato B. quadro et B. rotundo gravibus; sed illud sonorum intervallum secundum totam speciem suam est inusitatum.

Tonum apte repraesentabis [Gamma] et A. gravi, item A. et B. quadro; etiam C. et D. aut D. et E. vel F. et G. gravibus; etiam ipso G. gravi et a. acuto: item a. et [sqb]. quadro, vel b. rotundo et c. aut c. et d. seu d. et e. vel etiam f. et g. omnibus acutis; vel si placeat, g. et aa. acuto et superacuto; item aa. et [sqb][sqb]. quadro, seu bb. rotundo et cc., vel cc. et dd. et demum dd. et ee omnibus superacutis. Collige itaque sedecim tonos communiter usitatos. Potes etiam inusitatos repraesentare, ut inter G. fictum et G. usitatum gravia potes accipere fleutam, in divisione monochordi signatum inferius capitulo finali, quae cum E gravi facit tonum, qui repraesentari potest E. gravi et [sqb]. quadro in loco ipsius F. gravis posito, ut in praesenti figura de tonis non communiter usitatis est repraesentatum. E. enim et G. fictum gravia non faciunt tonum, sed solum duo semitonia minora, quae in commate deficiunt a tono; quod quidem comma habetur inter G. fictum grave et fleutam.

Semiditonus repraesentatur A. et C. gravibus, aut [sqb]. quadro et D. vel D. et F. seu E. et G. omnibus gravibus, vel etiam G. gravi et b. rotundo acuto; item a. et c. seu [sqb]. quadro et d. aut d. et f. vel e. et g. omnibus acutis; etiam g. et bb. rotundo acuto et superacuto; item aa. et cc. seu [sqb][sqb]. quadro et dd. omnibus superacutis. Habes ergo, si recte numeraverim, semiditonos bis sonos.

Ditonum vero [Gamma] et [sqb]. quadro gravi depinges, aut C. et E. gravibus, seu F. gravi et a. acuto, aut G. gravi et [sqb]. quadro acuto, vel b. rotundo et d. acutis, seu c. et e. etiam acutis, item f. acuto et aa. superacuto. aut g. acuto et [sqb][sqb]. quadro superacuto, seu bb. rotundo et dd. et cc. et ee. omnibus superacutis. Ecce decem numero ditonos depinximus.

Diatessaron [Gamma] et C. gravi figuramus, item A. et D. seu [sqb]. quadro et E. aut C. et F. vel D. et G. omnibus gravibus, etiam E. et a. gravi et acuto, vel F. gravi et b. acuto rotundo, seu G. et c. [325] primo gravi et secundo acuto; item a. et d. vel [sqb]. quadro et e. seu c. et f. aut d. et g. omnibus acutis, seu etiam e. et aa. acuto et superacuto, f. et bb. rotundo etiam acuto et superacuto, seu g. acuto et cc. superacuto; item aa. et dd. aut [sqb][sqb]. quadro ee. omnibus superacutis. Ad ultimum diatessaron decem et septem vicibus figuramus.

Porro dysemiditonum repraesentare poterimus primo [sqb]. quadro et F. gravibus, vel secundo E. gravi et b. rotundo acuto, vel tertio [sqb]. quadro et f. acutis, et demum quarto e. acuto et bb. rotundo superacuto.

Tritonum vero primo F. gravi et [sqb]. quadro acuto, secundo b. rotundo et e. acutis, tertio f. acuto et [sqb][sqb]. quadro superacuto, et quarto bb. et ee. superacutis repraesentamus.

Diapente [Gamma] et D. gravi, A. et E. C. et G. omnibus gravibus; vel D. gravi et a. acuto, seu E. et [sqb]. quadro, F. et c. vel G. et d. semper primo gravi et secundo acuto; item a. et e. b.rotundo et f. c. et g. omnibus acutis, seu d. acuto et aa. superacuto, e. et [sqb][sqb]. quadro acuto et superacuto, f. acuto et cc. superacuto, seu g. acuto et dd. superacuto, vel demum aa. et ee. superacutis repraesentamus. Ecce quindecim vicibus diapente usualiter, et quatuor vicibus praeter usum in figura praesenti exstat artificialiter figuratum.

Semitonium cum diapente A. et F. [sqb]. quadro et G. gravibus, D. et b. rotundo, E. et c. semper uno gravi et altero acuto: item a. et f. [sqb]. quadro et g. acutis omnibus, seu d. et bb. rotundo, vel e. et cc. acutis et superacutis bis quater vicibus figuramus.

Tonus cum diapente [Gamma] et E. gravi, C. gravi et a. acuto, D. gravi et [sqb]. quadro acuto, F. gravi et d. acuto, G. gravi et e. acuto, b. rotundo et g. acutis, c. acuto et aa. superacuto, d. acuto et [sqb][sqb]. quadro superacuto, f. acuto et dd. superacuto, et demum g. acuto et ee. superacuto est bis quinis vicibus visus describi.

Ast [Gamma] et F. gravi, A. et G. gravibus, [sqb]. quadro gravi et a. acuto, C. gravi et b. rotundo acuto, D. gravi et c. acuto, E. gravi et d. acuto, G. gravi et f. acuto, a. et g. acutis, [sqb]. quadro acuto et aa. superacuto, c. acuto et bb. rotundo superacuto, d. acuto et cc. superacuto, et e. acuto et dd. superacuto bissenos cum diapente semiditonos figurabis.

Caeterum C. gravi et [sqb]. quadro acuto, F. gravi et e. acuto, c. acuto et [sqb][sqb]. quadro superacuto, et f. acuto et ee. superacuto bis bini cum diapente ditoni procreantur.

Et demum quibuslibet duabus litteris similibus, una gravi et altera acuta, vel una acuta et superacuta altera, diapason perficere poterimus, ut [Gamma]. et G. gravi; A. et a. gravi acutoque; [sqb]. et [sqb]. quadris gravi et acuto; C. et c. gravi atque acuto; D. gravi et d. acuto; E. gravi et e. acuto; F. gravi et f. acuto; G. et g. gravi uno, et altero acuto; a. et aa. uno acuto, superacuto altero; b. et bb. rotundis, acuto uno, superacuto altero; [sqb]. et [sqb][sqb]. [326] quadris, acuto et superacuto; c. et cc. aut d. et dd. vel e. et ee. semper acuto uno et superacuto altero, diapason usitate figuramus; vel etiam minus usitate B. rotundo gravi, et b. rotundo acuto idipsum fieri potest.

Habes ecce aliqua Musicae nesciis, non tamen sciolis, admiratione digna: primum, quod maior est differentia b. rotundi et [sqb]. quadri acutorum, quam a. et b. rotundi acutorum, vel etiam quam [sqb]. quadri et c. acutorum. Patet hoc: nam inter a. et [sqb]. quadrum est tonus, cum sint re. et mi. sibi proxima: qui quidem tonus per inaequalia sectus est in b. rotundo, quod est fa. forte, et inter a. et [sqb]. et inter a. et a. et summum mi; et per consequens inter a. et b. rotundum est semitonium minus. Necesse est ergo, quod residuum de illo tono, quod est inter b. rotundum et [sqb]. quadrum, sit semitonium maius. Item inter b. rotundum et c. cum sit fa. et sol. est etiam tonus, qui et ipse per [sqb]. quadrum sectus est in partes inaequales, quarum una est semitonium minus, scilicet inter [sqb]. quadrum et c. medians, cum et ipsa sit mi. et fa: relinquitur ergo residuum eiusdem toni, quod inter b. rotundum et [sqb]. quadrum mediat, esse semitonium maius.

Secundum; quod minor est differentia terminorum dysemiditoni, quam tritoni, non obstante, quod termini dysemiditoni quinto loco distent, et termini tritoni solum quarto. Patet hoc: nam termini dysemiditoni distant tonis duobus et duobus semitoniis minoribus, quae pariter accepta tonum efficere nequibunt, unde et dysemiditonum tritono minorem esse necesse est. Vides ergo sonorum proportiones secundum locorum distantiam per marginum linearumque interpositionem, quemadmodum autumant multi, minime accipi posse. Haec tamen capitulo finali, auxiliante Deo, latius deducemus.

Capitulum IV.

De sonorum seu vocum consonantia et dissonantia.

Horum autem proportiones sonorum aliquae perfecte vocantur consonantes, eo quod perfectam harmoniae concordiam efficiant, scilicet diatessaron, diapente et diapason; aliae vero consonant imperfecte, sicut semiditonus, ditonus, semitonium cum diapente, et tonus cum diapente: reliquas vero omnes dissonantes vocamus. Hinc est, quod contrapunctus in his, scilicet consonantibus tam perfectis quam imperfectis, consistere perhibetur. Est enim ipsa aequalitatis proportio simplicissima, ideo unisoni simplicissimam facit vocum proportionem. Sed post aequalitatis proportionem multiplex est simplicior, et inter multiplices dupla simplicitatis superlativum gradum attingit. Sed post proportiones multiplices simplicior est superparticularis, quam superpartiens; et inter superparticulares simplicitatis primatum obtinet sesquialtera, deinde sesquitertia, postea sesquiquarta, et sic deinceps.

Ideo dupla proportione nascitur diapason simplicissima diversi soni consonantia, et unisono simillima. Deinde sesquialtera proportione surgit diapente, [327] dulcissimam habens resonantiam, eoquod nec nimium ad unisonum appropinquans, sicut diapason, nec nimium ab eodem recedens, velut diatessaron, inter unisonum et dissonantiam quasi sedem in regni musicalis medio collocarit. Quomodo autem his consonantiis tam perfectis quam imperfectis contrapunctus fieri habeat, seu discantus, non est praesentis speculationis, quoniam Religiosos docere conamur, quorum, ut senum, non est discantare, nec rigide sonare, ut vult Aristoteles in Politica, sed lugubri voce Deo laudes persolvere, ut non tam musicare quam gemitum facere videantur.

Capitulum V.

Aliqua in superioribus narrata demonstrat, et libro finem imponit.

Superest nobis, aliqua, quae in superioribus narrando commemoravimus, demonstrare, ut omnis circa ea ambiguitas fratribus tollatur, quatenus ignorantiae nocte relegata, musicalis quoque sereno notitiae die illucescente ex nesciis scioli fieri mereantur. Pro quo perficiendo in memoriam revocare oportet, quod in huius operis initio supponendo praemisimus pro principio, scilicet, quod diapason dupla, diapente sesquialtera, diatessaron sesquitertia, et tonus sesquioctava surgit proportione. Et quoniam in radice sesquioctavae proportionis, quae in 8. et 9. terminis consistit, ditonum intendere nequimus, ideo terminum primum huius radicis primo ducimus in seipsum, et provenient eiusdem proportionis tres termini, scilicet 64. 72. et 81. in quibus quidem terminis duo toni cernuntur, unus scilicet inter primos duos terminos, alius inter ultimos duos, ditonus vero inter extremos; qui a diatessaron deficit, quoniam illorum duorum extremorum terminorum differentia minor est, quam tertia pars minoris eorum.

Cum autem minor terminus, scilicet 64. tertiam partem non habeat, ideo multiplicandi erunt dicti tres termini per tria, et provenient alii tres eiusdem proportionis termini; scilicet 192. 216. et et 243. de quibus quidem terminis est omnino idem iudicium, sicut de tribus immediate praecedentibus terminis est dictum: ut videlicet inter quoslibet eorum sibi proximos sesquioctavam scias esse proportionem, et per consequens tonum constare minime dubites; et ideo inter eorum extremos terminos ditonus necessario resonabit. Si quoque primo illius proportionis termino suam tertiam, scilicet 64. addideris, 256. ad dictum primum terminum proportionem sesquitertiam habentia resultabunt, et per consequens cum eodem primo termino diatessaron ea resonare necesse est.

Habes ergo quatuor terminos, scilicet 192. 216. 243. et 256. quorum extremi diatessaron, primus atque secundus tonum, secundus et tertius similiter tonum, primus et tertius ditonum resonabunt. Sed quoniam tertii et quarti terminorum differentia, scilicet 13. minor est quam decima octava pars tertii termini, et maior quam decima nona eiusdem termini; ut ergo semitonium [328] minus eisdem surgat terminis est necesse. Ipse etiam tertius terminus non habet octavam; ideo ipsum et quartum multiplica per 8. provenientque 1944. et 2048. duo termini, inter quos similiter erit semitonium minus. Quodsi primo termino 243. suam scilicet octavam praeterea addiderimus, provenient 2187. tonum cum termino primo resonantia. Habes ergo terminos tres, videlicet 1944. 2048. et 2187. quorum extremi resonant tonum, primus et secundus semitonium minus, secundus vero et tertius semitonium maius.

Multiplicemus etiam per 8. secundum et tertium terminos, et producto ex multiplicatione tertii termini addamus suam octavam, et provenient tres alii termini, scilicet 16384. 17496. et 19683. quorum primus et secundus semitonium maius, secundus vero et tertius tonum resonabunt. Hos etiam terminos tres per 8. multiplica, et producto ex multiplicatione tertii termini suam octavam superadde, et provenient quatuor alii termini, scilicet 131072. 139968. 157464. 177147. quorum primus et secundus semitonium maius, secundus et tertius tonum, et tertius et quartus similiter tonum (reddent.) Quos terminos si per 4. multiplicaveris, et a producto ex multiplicatione quarti termini suam quartam demiseris, et residuum pro termino secundo posueris, habebis quinque terminos illos, videlicet 524288. 531441. 559872. 629856. 708588. quorum primi duo comma, secundus et tertius semitonium minus, primus et tertius semitonium maius, secundus et quintus diatessaron, tertius et quartus tonnm, tertius et quintus ditonum, et quartus et quintus tonum certissime resonabunt.

Porro si a secundo termino remittas successive tres tonos, et ab ultimo termino huius remissionis rursum diatessaron intendas, habebis infra illum secundum iam dictum terminum eo incluso sex terminos illos, scilicet 373248. 419904. 472392. 497664. 524288. et 531441. quorum extremi tritonum, primus et secundus tonum, secundus et tertius similiter tonum, primus et tertius ditonum, tertius et sextus similiter tonum, secundus et sextus ditonum, tertius et quartus semitonium minus, primus et quartus diatessaron, quartus et quintus semitonium minus, quartus et sextus semitonium maius, et quintus et sextus comma resonabunt. Est itaque commatis, scilicet ultimorum duorum terminorum differentia 7153. differentia vero toni, scilicet tertii et sexti terminorum, est 59049. differentia autem semitonii maioris, scilicet quarti et sexti terminorum, 33777. sed minoris semitonii differentia, scilicet quarti et quinti terminorum, est 26624.

Liquet ergo, quod semitonium minus, est maius tribus commatibus, et minus quatuor, et semitonium maius est quatuor maius, et minus quinque: tonus vero octo commata excedit, et exceditur a novem commatibus. Patent haec omnia; nam commatis differentia ter accepta exceditur a semitonii minoris differentia, et quater accepta excedit eamdem: suo modo de aliis est dicendum.

[329] Vides ergo, quod semitonium in diatessaron est minor pars, quam medietas toni, et cum diatessaron in sesquitertia proportione consistens, utputa inter 8. et 6. a diapente solum in tono differat, eo quod sesquialtera proportio sesquitertiam in sesquioctava excedit, sicut in his tribus terminis 6. 8. 9. claret, manifestum erit, quod etiam diapente habet minus semitonium. Cum autem manifestum sit, proportionem duplam sesquialtera, sesquitertiaque proportionibus constare, ut in his tribus terminis liquet 6. 9. 12. necesse erit, diapason, diapente et diatessaron pariter acceptis aggregari, et per consequens commate minus sex tonis continere.

Ecce, quod a superius promissi obligatione Deo sumus propitio absoluti. Habes autem inferius in alia parte folii singulas in monochordi chorda sonorum proportiones tibi quasi pro speculo propositas, ut in eis contemplando mirari valeas, quae diximus: ex quibus etiam altiora his, quae posuimus, elicere valebis, si diligentiam adhibere minime pigriteris.

Fratris Ioannis Keck in Musicam introductorius liber explicit.