Back to top

[258] Prosdocimi de Beldemandis

Brevis summula proportionum

Tibi, dilecte frater, tuus Prosdocimus de Beldemandis Patavus de nocte laboravit, ob tui intentum plenissime adimplere, brevem summulam proportionum musice applicabilium ex dictis antiquorum doctorum extrahendo; pridem itaque distinctionem de proportione premittit quam et alii premittere consueverunt que talis est.

In duplici manerie proportio reperitur; quedam autem est proportio communiter dicta que sic describi potest: proportio communiter dicta est aliquorum comparatorum in aliquo univoco ad invicem habitudo. Et dicitur in aliquo univoco propter majorem expressionem, quoniam in equivocis nulla reperitur comparatio, ut asserit Aristoteles, primo Thopicorum capitulo de inventione secundi instrumenti quo in sillogismis abundamus dyalenas; ex qua descriptione habere possumus proportionem communiter dictam in omnibusque equalitatem et inequalitatem, similitudinem et dissimilitudinem magis et minus suscipiunt reperiri.

Quedam vero est proportio proprie dicta que [259] etiam sic describi potest: proportio proprie dicta est plurium quantitatum ejusdem generis propinqui ad invicem habitudo, et dicitur ejusdem generis propinqui, quoniam una quantitas contigua cum una quantitate discreta proprie proportionari non potest, cum non sint ejusdem generis propinqui, sed bene remoti, ut notum est; ex qua descriptione comprehendere possumus proportionem proprie dictam solum in his que equalitatem et inequalitatem suscipiunt, hoc est in quantitatibus reperiri.

Ista distinctione sic posita, ejusque membris declaratis, primum dimittendo quia nihil ad propositum, secundum agredior quod proposito nostro pertinet, et ipsum taliter subdivido, et dico quod duplex est proportio proprie dicta, scilicet rationabilis et irrationabilis. Que ambe sic describi possunt: proportio rationabilis est plurium quantitatum commensurabilium ad invicem habitudo; proportio vero irrationabilis est plurium quantitatum et commensurabilium ad invicem habitudo. Pro quarum duarum descriptionum declaratione est sciendum, quod ille quantitates commensurabiles dicuntur, quibus reperitur una communis mensura, quamlibet illarum quantitatum commensurare potens. Ille vero dicuntur quantitates incommensurabiles, quibus nulla talis communis mensura reperitur.

Ulterius vero subdivido primum membrum istius subdivisionis quia secundum nihil facit ad propositum; unde dico quod duplex est proportio rationabilis, quedam namque est proportio equalitatis et est illa que est plurium quantitatum equalium ad invicem habitudo; quedam vero proportio inequalitatis, et est illa que est plurium quantitatum inequalium ad invicem habitudo. Que etiam in duo membra subdividitur, quia quedam est proportio majoris inequalitatis, et est majoris quantitatis ad minorem habitudo; quedam vero est minoris inequalitatis, et est minoris quantitatis ad majorem habitudo. Et quia in talibus proportionibus inequalitatis reperitur excessus et differentia, est sciendum quod excessus et differentia hic sunt termini synonomi; et est excessus sive differentia illud quod major quantitas minorem excedit.

Proportio vero majoris inequalitatis in quinque subdividitur species quarum tres prime sunt simplices, scilicet proportio multiplex, proportio superparticularis et proportio superpartiens; relique vero due sunt composite, scilicet proportio multiplex superparticularis et proportio mutilplex superpartiens. Proportio multiplex dicitur quando major quantitas continet minorem pluries et nihil ultra. Proportio vera superparticularis dicitur quando major quantitas continet minorem semel et non pluries et cum hoc aliquid ultra quod est pars aliquota quantitatis minoris; pro cujus descriptionis atque aliarum sequentium declaratione est sciendum quod partium alicujus totius; quedam dicitur pars aliquota et est illa que aliquotiens sumpta reddit precipue suum totum; quedum vero dicitur pars non aliquota et est illa que, quotienscumque summatur, nunquam reddit precipue suum totum, sed aut plus, aut minus. Proportio vero superpartiens est quando major quantitas continet minorem semel et non pluries, et cum hoc aliquid ultra quod non est pars aliquota quantitatis minoris. Proportio vero multiptex superparticularis est quando major quantitas continet minorem pluries, et cum hoc aliquid ultra quod est pars aliquota quantitatis minoris. Proportio autem multiplex superpartiens est quando major quantitas continet minorem pluries, et cum hoc aliquid ultra quod non est pars aliquota quantitatis minoris.

Et habet quelibet istarum quinque specierum infinitas species sub se; prima namque species proportionis multiplicis est proportio dupla, et est quando major quantitas continet minorem precipue [260] bis; secunda vero species est proportia tripla, et est quando major quantitas continet minorem precipue ter; tertia vero species est proportio quadrupla, et est quando major quantitas continet minorem precipue quater; quarta vero species est proportio quinqupla et est quando major quantitas continet precipue minorem quinquies, et sic in infinitum augmentando secundum quod numerus in infinitum est augmentabilis.

Prima vero species proportionis superparticularis est proportio sexquialtera, et est quando pars aliquota quantitatis minoris que est excessus sive differentia majoris quantitatis ad minorem est ipsius quantitatis minoris medietas. Secunda vero species est sexquitertia, et est quando pars aliquota quantitatis minoris est ipsius quantitatis minoris tertia pars. Tertia vero species est proportio sexquiquarta, et est quando pars aliquota quantitatis minoris et cetera est ipsius quantitatis minoris quarta pars. Quarta vero species est sexquiquinta, et est quando pars aliquota quantitatis minoris et cetera est ipsius quantitatis minoris quinta pars; et sic in infinitum augmentando secundum augmentationem indeterminatem numerorum.

Prima vero species proportionis superpartientis est proportio superbipartiens, et est quando pars non aliquota quantitatis minoris que est excessus sive differentia majoris quantitatis ad minorem continet in se duas partes aliquotas majores quantitatis minoris, et partem non aliquotam. Secunda vero species est proportio supertripartiens, et est quando pars non aliquotas quantitatis minoris et cetera, continet in se tres partes aliquotas majores quantitatis minoris et partem non aliquotam. Tertia vero species est proportio superquadripartiens, et est quando pars non aliquota quantitatis minoris et cetera continet in se quatuor partes aliquotas majores quantitatis minoris et partem aliquotam. Quarta vero species est proportio superquiuquepartiens, et est quando pars non aliquota quantitatis minoris et cetera continet in se quinque partes aliquotas majores quantitatis minoris et partem non aliquotam et sic in infinitum secundum quod sine statu procedimus in augmentando numeros.

Et iterum circa istam tertiam speciem considerare debemus, quomodo se habeat quelibet partium aliquotarum illius partis non aliquote, que est excessus sive differentia majoris quantitatis ad minorem, respectu quantitatis minoris, scilicet an sit tertia, vel quarta, vel sexta pars, et sic ultra, respectu illius quantitatis minoris, quoniam secundum talem variationem dividetur adhuc ista tertia species in species infinitas, et similiter ipsius speciei species enumerate, et hoc secundum invariabilem processum numerorum; nam si sit tertia pars, habebimus unam speciem, et prima que superpartiens tertias nuncupatur. Si vero sit quarta pars, secundam speciem habebimus que superpartiens quartas dicitur. Si vero sit quinta pars, tertiam speciem habebimus que superpartiens quintas nominatur, et sic ultra sine fine, et si istas species cum aliis speciebus istius speciei adjungamus, nomina magis specifica componemus, ut superbipartiens tertias, superbipartiens quintas, superbipartiens septimas, et sic ultra. Item supertripartiens quartas, supertripartiens quintas, supertripartiens septimas, et sic sine statu procedendo, et sic de aliis speciebus.

Species vero quarte et quinte speciei principalis composite, scilicet multiplicis superparticularis et multiplicis superpartientis variantur et multiplicantur secundum multitudinem et variationem specierum, trium specierum simplicium superius nominatarum, si ad invicem duo species principales simplices in compositione istarum duarum compositarum, scilicet multiplicis superparticularis et multiplicis superpartientis, ita conjungi debent ipsarum species ad invicem, [261] scilicet species istarum compositarum invenire volumus, ut dupla sexquialtera que est quando major quantitas continet minorem bis et cum hoc aliquid ultra, quod est medietas quantitatis minoris et dupla sexquitertia, que est quando major quantitas continet minorem bis et cum hoc aliquid ultra quod est tertia pars quantitatis minoris et sic ultra.

Item tripla sexquialtera que est quando major quantitas continet minorem ter, et cum hoc aliquid ultra quod est medietas quantitatis minoris, et tripla sexquitertia que est quando major quantitas continet minorem ter et cum hoc aliquid ultra quod est tertia pars quantitatis minoris et sic ultra. Item dupla superbipartiens que est quando major quantitas continet minorem bis et cum hoc aliquid ultra quod continet in se duas partes aliquotas majores quantitatis minoris et partis non aliquote, et dupla supertripartiens que est quando major quantitas continet minorem bis et cum hoc aliquid ultra quod continet in se tres partes aliquotas majores quantitatis minoris et partis non aliquote et sic ultra. Item tripla superbipartiens que est quando major quantitas continet minorem ter et cum hoc aliquid ultra quod continet in se duas partes aliquotas majores quantitatis minoris et partis non aliquote, et tertia supertripartiens, que est major quantitas, continet minorem ter et cum hoc aliquid ultra quod continet in se tres partes aliquotas majores quantitatis minoris, et partis non aliquote et sic ultra. Unde quantum ad multiplicitatem respicere debemus quotiens major quantitas minorem continet, quantum vero ad superparticularitatem vel superpartialitatem debemus respicere ad partem aliquotam vel non aliquotam remanentem, et ad partes aliquotas majores ipsarum partium non aliquotarum, si species compositas bene habere volumus, et taliter alias species habere poterimus ut est dupla superbipartiens tertias, que est quando major quantitas continet minorem bis et cum hoc aliquid ultra quod continet in se duas partes aliquotas majores quantitatis minoris et partis non aliquote quarum quelibet est tertia pars ipsius quantitatis minoris, et tripla supertripartiens quartas, que est quando major quantitas continet minorem ter et cum hoc aliquid ultra quod continet in se tres partes aliquotas majores quantitatis minoris et partis non aliquote quarum quelibet est quarta pars ipsius quantitatio minoris, et sic sine fine.

Proportio vero minoris inequalitatis quinque etiam habet species: tres scilicet simplices que sunt submultiplex, subsuperparticularis, et subsuperpartiens et duas compositas scilicet submultiplex superparticularis, et submultiplex superpartiens, et habet unaqueque istarum quinque specierum ita infinitas species secundum infinitam multitudinem numerorum, sicut habet unaqueque quinque specierum proportionis majoris inequalitatis, et sumuntur et variantur eodem modo sicut ille, nec differunt ab illis nisi per additionem istius termini. Sub ante quamlibet speciem istius proportionis minoris inequalitatis, qui terminus sive propositio sub denotat comparationem minoris quantitatis ad majorem. Hec ergo sunt que breviloquus summavi tibi de proportionibus musice applicabilibus, anno Domini 1409, multaque istis synonoma sunt propter brevitatem dimittendo; sume ergo ea et ipsa corrige pro ut tibi opportunum videtur. Amen.

Explicit brevis summula proportionum, quantum ad musicam pertinet per Magistrum Prosdocimum de Beldemandis patavum, taliter ordinata. Amen.