Use the “Quick search” if you want to search for all documents within the whole archive where words matching or containing the searched string are found.

For more specific queries (phrase searching, operators, and filters), visit the full Search page.


The aforementioned individual(s) Entered, Checked, or Approved the electronic transcription of the source document.


C: Indicates the aforemententioned person(s) checked the transcription.

A: Indicates the aforementioned person(s) approved the transcription for publication.


Historically, in the TML long texts were split into multiple files. These are now linked to each other for easier browsing. In a future version, they will be consolidated into a single view.

 

This is a multipart text     Previous part   

Actions

Back to top

[85] Declaratio musicae disciplinae

Liber quintus

[Proemium]

Etsi in huius operis nostri primordio de excellentia atque intellectus nobilitate cuius operatione intus et extra praticae et theoricae quaeque bona et laudabilia agit homo quaedam succincte dixerimus, quoniam in hac parte eorum quae superius pratice dicta sunt, intendimus demonstrationem ostendere quod ad speculationem pertinet, deficit quaedam tamen insuper ad eam intellectus nobilitatem spectantia pro operis necessitudine cogimur declarare.

Intellectus namque est quaedam potentia intelligentis animae, id est, animae rationalis, in homine cui agere et pati conceditur; patitur enim hominis intellectus, non ea qua aliquid passione deperditur, sicut ab aqua ex calliditate frigiditas, quae propriissima passio nuncupatur, neque ea cum quid a sanato vel aegrotante abiicitur, quae minus propria dicitur. Sed ea sola patitur intellectus qua cum quid hoc recipit, ad quod recipiendum in potentia erat, ex hac enim nihil de recipiente abiicitur nihilque deperditur. Haec quidem communis appellata est passio, hoc enim quodcumque de potentia exit in actum in acceptione pati conceditur.

Et sic intelligere nostrum est quoddam pati, quia intellectus noster prius est in potentia ad intelligendum intelligibilia quam sit in actu intelligendi, qui actus fit per specierum a fantasmate abstractionem, et propter hoc dicit Aristoteles tertio de anima quod anima nostra in principio est sicut tabula rasa in qua nihil est scriptum, quod manifeste apparet quoniam in principio sumus intelligentes in potentia, postea efficimur intelligentes [86] in actu, et sic intellectui inest potentia patiendi et patitur intellectus, qui intellectus passibilis nuncupatur et est potentia passiva.

Agit etiam intellectus quo actu dicitur agens, cuius necessitas et actus sic potest haberi, posuit enim Aristoteles rerum naturalium formas sine materia non posse subsistere, quod philosophi videntur concedere. Cum autem intellectus in potentia existens nihil intelligat in materia corporali nisi conditiones materiales in potentia intelligibiles existentes, mediante fantasmate actu a materia abstrahantur, cumque nihil possit de potentia in actum reduci nisi per aliquod ens actu, sicut sensus fit in actu per sensibile in actu, fuit necesse ponere aliquam virtutem in actu ex parte intellectus quae faceret intelligibilia in actu per specierum a conditionibus materialibus abstractionem. Haec autem virtus est ipsius intellectus quae vocatur intellectus agens, et sic intellectui nostro inest agendi potentia et agit intellectus et nuncupatur activa. Ex his igitur duplex colligitur intellectus, scilicet, agens et passibilis, et ideo Aristoteles secundo de anima dicit quod sicut in omni natura, ita etiam in anima est aliquid quo est omnia fieri, et aliquid quo est omnia facere.

Plato autem posuit rerum formas sine materia subsistere, et per consequens eas actu intelligibiles esse quia ex hoc est aliquid intelligibile actu quia est immateriale, et huiusmodi vocabat species sive ideas, ex quarum participatione dicebat et materiam corporalem formari, ad hoc quod individua in propriis generibus et speciebus naturaliter constituerentur, et intellectus nostri de generibus et speciebus scientiam haberent, et secundum hanc rationem non fuit necesse ponere intellectum agentem ad faciendum intelligibilia in actu, nisi forte ad praebendum lumen intelligibile intelligenti. Haec autem Platonis opinio communiter a philosophis non tenetur.

Sed alias intellectus habet operationes, puta speculativam et praticam, ex quibus speculativus et praticus appellatur.

Speculativa namque intellectus operatio in vero et falso simpliciter videtur consistere, quia ipsa mens speculativa sicut dicit Aristoteles in sexto ethicorum bene vel male speculatur in eis et ideo verum absolute speculativi intellectus est bonum, et falsum absolute est eius malum.

Pratica autem intellectus operatio non est ipsius veri simpliciter absoluta contemplatio, sed ipsum verum confesse se habens ad appetitum rectum, id est, verum vel veritas concorditer se habens ad appetitum rectum, et sic patet quod verum absolute est obiectum intellectus speculativi, sed [87] verum concorditer se habens ad appetitum rectum est obiectum intellectus pratici. Ex quibus eorum differentia nempe colligitur quae est ex fine, nam quod speculativus intellectus apprehendit non ad opus, sed ad solam veritatis ordinat considerationem. Praticus autem ad opus ordinat quod apprehendit. Hoc est enim quod tertio de anima philosophus dicit quod speculativus differt a pratico fine. Intellectus igitur speculativi est veritatem cognoscere quam cognitam pratici est ad opus ordinare, et sic finis speculativi est veri contemplatio, sed pratici ipsa operatio. Secundum igitur rationem hanc speculativa operatio tamquam excellentior praticam antecedit operationem et theorica praticam disciplinam.

Sed secundum quod dicit Aristoteles primo physicorum innata est nobis via ex notioribus et certioribus nobis in innotiora et in incertiora et ab universalibus in singularia. Docemur quod in cognoscendo et discendo debemus procedere ab his quae sunt nobis magis nota ad ea quae sunt nobis minus nota, hic enim discendi naturalis est ordo, ut per notorum cognitionem in ignotorum deveniatur notitiam, et sic a nobis notis venitur in nota naturae. Nota autem secundum naturam sunt confusa magis, confusa autem magis sunt universalia quae indistincta sunt quae in se continent sua inferiora in potentia. Qui autem scit aliquid in universali scit illud indistincte, tunc autem distinguitur eius cognitio quando unumquodque eorum quae continentur potentialiter in universali actu cognoscitur. Qui enim scit animal non scit rationale nisi in potentia, prius enim est scire aliquid in potentia quam in actu, et ideo hunc Aristotelis ordinem sequentes a magis notis cepimus hoc opus, scilicet, a pratica musicae planae, musicae melodiatae, et musicae mensuratae, sicut in primis tribus libris plenissime constat, cuius praticae notitia magis est nobis speculatione nota, ex cuius cognitione in eius speculative ducimur perfectam notitiam.

Capitulum I

De subiecto musicae et an sonus sit subiectum eius

Quoniam ex subiecti cognitione in illius scientiae cognitionem venimus, cuius est subiectum, cum quidam consonantiam, quidam sonum, quidam aliud dicant musicae esse subiectum, ut ipsius subiecti notitiam capiamus. Quaeritur an sonus sit subiectum musicae, et arguitur quod non quia unius scientiae unum debet esse subiectum, sed consonantia est subiectum [88] musicae, igitur sonus non est subiectum musicae. Assumptum est manifestum et minor est omnium musicorum et maxime Ptholomei dicentis et demonstrantis proprietates et passione de ipsa musica, et confirmatur auctoritate Philolai dicentis quod omnia considerata in musica reducuntur ad consonantiam. Concordat etiam cum istis Pythagoras secundus, similiter et Architas in tractatibus quos composuerunt de musica. Sed est notandum quod circa subiectum musicae fuerunt multae opiniones, quarum prima fuit opinio Pythagorae primi et Hipasi, qui fuerunt viri magnae auctoritatis in philosophia naturali et in musica, et volentes hanc materiam discutere posuerunt quod canones et regulae musicales sunt subiectum in musica. Sed breviter ista opinio est falsa et nullo modo toleranda quae facile improbatur, nam si canones et regulae musicales essent subiectum in tota musica tunc idem esset subiectum sui ipsius, consequens est falsum et impossibile, quia tunc idem respectu eiusdem esset prius et posterius, notius et ignotius, ut notum est, et consequentia tenet quia musica nil aliud est quam canones et regulae musicae, quae sunt partes eius, modo totum nil aliud est quam suae partes, ideo haec opinio ridiculosa.

Secunda opinio fuit Aristoxeni et Empedoclis praemittentium unam distinctionem quae est: Subiectum est triplex, quoddam est subiectum per viam radicationis, ut subiecta in metaphysica, quoddam est subiectum per viam praedicationis, ut ens in metaphysica et quoddam est subiectum per viam finis, et sic deus est subiectum in metaphysica, ea qua distinctione isti philosophi inferebant unius scientiae plura fore subiecta secundum diversum modum considerandi et secundum diversos respectus. Item inferebant isti quod duo et plura duobus sunt vel possunt esse subiecta unius scientiae. Consequenter dicebant isti magni philosophi triplex esse subiectum in musica, scilicet, subiectum per viam praedicationis, et est illud quod praedicatur de omnibus consideratis in musica, ut puta sonus, aliud est subiectum ipsius musicae per viam radicationis, quia omnia sunt radicaliter attributa illi, et sic homo est subiectum in musica, nam omnia radicatus musicalia radicantur in ipso et propter ipsum. Aliud est subiectum finale sive propter finem, et sic consonantia est subiectum finale ipsius musicae, unde finis musicae est consonantia.

Ista opinio tantorum virorum reverentia eorum semper salva est subtilior prima et propinquior veritati et continet subtilem modum dicendi, nec tamen est tolerabilis, sicut nec praecedens, quia sic dicam quod ens est subiectum in musica quod tamen est falsum quia diversae scientiae debent versari circa diversa subiecta, cum scientiae satis distinguantur secundum diversitatem subiectorum et consimiliter dicimus de primo. Similiter nec [89] tertium dictum eorum valet quia possibile est quod aliquis sciat musicam solum propter scire, et non propter aliud opus ad exemplar, ut puta propter causare sonorum aut vocum delectabiles melodias. Hoc notum est.

Tertia opinio fuit Platonis et multorum insequentium doctrinam suam in musica, ut puta Nichomaci, Embulidis, et multorum aliorum antiquorum philosophantium et ponentium istam conclusionem. Sonus intensibilis et remissibilis in acuitate et gravitate proportionabiliter est subiectum musicae, probat Plato eiusque secta istam conclusionem sic: Sonus intensibilis et remissibilis in acuitate et gravitate proportionabiliter habet omnia requisita ad hoc quod aliquid sit subiectum alicuius scientiae, igitur ipsum complexum est subiectum illius scientiae, consequentia est nota et assumptum probatur, quia ipsum est intelligibile, ut notum est, cum primo occurrat intellectui, secundo est notius, tertio per ipsum devenitur in cognitionem aliorum, quia membrorum soni et vocum, cum omnis vox sit sonus, ut puta vocum unisonarum et non unisonarum, consonarum, aequisonarum, dissonarum, emmeles, et ecmeles, quarto de ipso demonstrantur passiones multae in scientia musicali, quinto quia omnia considerata in musica reducuntur ad sonum intensibilem et remissibilem in acuitate et gravitate proportionabiliter, vel ad eius consequens, ista sunt quae requiruntur ad hoc quod aliquid sit subiectum et non plura, igitur, et cetera.

Ista opinio quamvis sit tantorum virorum philosophantium, nihilominus eorum semper reverentia custodica faciliter improbatur, quia in nulla scientia passiones includuntur in subiecto, quae debent demonstrari de ipsa vel de ipso. Sed in isto complexo sonus intensibilis et remissibilis in acuitate et gravitate proportionabiliter includuntur et supponuntur, igitur, et cetera. Consequentia est nota per doctrinam Aristotelis in libro posteriorum, et assumptum pro prima parte probatur, quia passiones debent demonstrari et non supponi primo posteriorum, et pro secunda parte patet de se, quia intensibile et remissibile in acuitate et gravitate proportionabiliter sunt passiones quae debent demonstrari de sono. Igitur, et cetera.

Sed his positis opinionibus putamus ad quaesitum aliter fore dicendum, secundum quod nobis videtur salva determinatione uniuscuiusque melius dicentis, et primo cum quaeritur de subiecto dicimus quod quadrupliter potest quaeri secundum Aristoteles secundo posteriorum, ideo hanc viam sequendo cum quaeritur, quid est subiectum in musica, quadrupliciter potest quaeri, scilicet, de subiecto in quo, secundo de subiecto in quod, tertio de subiecto de quo, quarto de subiecto ad quod. Sed quia non [90] omnibus ista sunt nota ideo aliter declaro in terminis. Solet quaeri de subiecto primo quid sit subiectum demonstrationis sive de quo, quia idem, secundo quid sit subiectum operationis, scilicet, circa quod, tertio quid sit subiectum attributionis, scilicet, ad quod, quarto quid sit subiectum informationis, scilicet, in quo.

Subiectum demonstrationis est subiectum conclusionis demonstratae demonstratione potissima seu propter quid, in qua demonstratur passio de subiecto. Subiectum operationis est illud circa quod operatur scientia musicae sive musicus. Subiectum attributionis est illud ad quod tendunt quae dicta sunt in musica et propter quod facta sunt quae considerantur in ipsa musica. Subiectum informationis est illud in quo habet esse ipsa scientia musicae ut anima.

Circa hanc materiam est notandum quod musica est triplex, sicut in primo dictum est, scilicet, mundana, humana et instrumentalis. Musica mundana est caeli et planetarum, temporum et elementorum. Musica vero humana est partium animae, corporis et animae, et partium corporis elementorum. Sed musica instrumentalis est intensionis spiritus et percussionis. Ista satis diffuse declaravit Boetius primo suae musicae capitulo secundo et etiam per nos in primo libro sunt explicata, et ideo cum quaeritur utrum sonus sit subiectum in musica potest intelligi quadrupliciter. Primo utrum sonus sit subiectum in musica sumendo musicam in communi prout se extendit ad musicam mundanam, humanam et instrumentalem. Secundo potest intelligi utrum sonus sit subiectum in musica mundana. Tertio potest intelligi utrum sonus sit subiectum in musica humana. Quarto potest intelligi utrum sonus sit subiectum in musica instrumentali, et secundum quadruplicem modum accipiendi quaestionem potest quadrupliciter dearticulari et declarari quaestio, quamvis hodierna die magis utamur isto termino musica pro musica instrumentali quam pro aliis.

Item est notandum quod subiectum quantum ad propositum spectat potest accipi tripliciter, uno modo pro altero extremorum propositionis distincto contra praedicatum, et isto modo accipitur subiectum in alia facultate, ut puta in logica cum dicitur a magistro Petro Hispano auctore summularum, cum dixit ipsum diffiniendo: Subiectum est illud de quo alterum dicitur, scilicet, praedicatum; secundo modo accipitur subiectum [91] pro eo cui aliquid adhaeret, et sic dicimus quod subiecta est subiectum accidentis, cum accidentis non sit esse sed inesse, et his modis duobus non capitur subiectum, cum dicitur quod homo seu corpus humanum est subiectum medicinae, et quod ens rationis est subiectum logicae. Tertio modo capitur subiectum pro eo circa quod versatur intentio totalis alicuius scientiae, habens omnes conditiones requisitas ad hoc quod aliquid sit subiectum scientiae, et isto modo capitur subiectum in propositio cum quaeritur utrum sonus sit subiectum in musica.

Item est notandum quod ad hoc quod aliquid sit subiectum alicuius scientiae debet habere sex conditiones. Prima quod sit notius quod obiiciatur de consideratis in ista scientia experto in ea. Secunda conditio quod propter ipsum deveniatur in cognitionem aliorum. Tertia quod de ipso demonstrentur passiones multae. Quarta conditio quod omnia considerata in ista scientia reducantur ad idem. Quinta quod ipsum sit intelligibile. Sexta et ultima conditio quod omnia considerata in illa scientia ordinentur propter ipsum.

Item notandum est pro declaratione quaestionis quod sonus potest considerari multipliciter, primo pro omni eo quod est obiectum auditus, et isto modo consideravit Petrus Hispanus auctor summularum logicalium cum dixit: Sonus igitur est quidquid proprie auditu percipitur. Licet ista littera sit falsa ut iacet de virtute sermonis, sed non defectu auctoris, ut putamus, sed potius scriptoris nam debet stare isto modo: Quidquid proprie auditu percipitur est sonus, et isto modo considerando sonum est communis iste terminus sonus, et etiam superior ad sonum vocem et ad sonum non vocem.

Alio modo capitur sonus magis stricte pro sono ab animali producto, qui quidem est duplex, quia quidam causatur vel producitur ab intra cum imaginatione ad repraesentandum, et sic est sonus qui est sonus vox causatus ab homine naturalibus instrumentis, quorum aliqua concurrunt essentialiter, aliqua ad bene esse et accidentaliter. Quidam producitur ab intra, non cum imaginatione ad representandum quamvis interdum contingat quod repraesentet, ut est sonus causatus ab animali irrationali, ut a pica vel pappagallo, et ex hoc apparet differentia quae est inter unum sonum et alium. Apparet etiam quod sonus productus a pica quamvis aliquid ab extra nobis repraesentet metaphysicae quemadmodum facit vox producta ab homine, non tamen est vox significativa quia non fit cum [92] imaginatione ad repraesentandum. Alius est sonus ab animali productus ab extra tantum, ut est sonus instrumentorum. Insuper capitur sonus quandoque pro sono producto a re inanimata, ut sonus causatus in nemore, et sonus causatus a duobus corporibus duris tersis et politis fortiter ad invicem applicatis aere intermedio vel uno duro cum aere solo, prima requiruntur ad sonum notabilem causandum.

His dictis de sono necessariis ad materiam dimisso subiecto pro musica mundana et humana solum determinando de subiecto pro musica instrumentali, dicimus quod cordarum aut nervorum intensio loquendo de cordis aut nervis instrumentorum non est subiectum adaequatum in musica instrumentali, quia multa considerantur in musica instrumentali ultra intensionem cordarum; patet hoc per Boetium primi suae musicae capitulo secundo.

Item nec sonus tibiarum spiritu causatus aut aliorum consimilium instrumentorum quibus utimur spiritu non est subiectum adaequatum in musica modo praedicto sumpta ratione praedicta, nec etiam concavorum sonus percussione causatus non est subiectum adaequatum in musica modo praedicto sumpta ratione iam dicta. Item nec tibiarum sonus spiritu causatus aut aliorum consimilium instrumentorum cordarum aut nervorum intensio, et concavorum sonus percussione causatus simul non sunt subiectum in musica modo praedicto sumpta ratione iam dicta. Item sonus non est subiectum demonstrationis in tota musica modo praedicto sumpta nec aliquod unum; patet hoc quia multa sunt subiecta demonstrationis in tota musica instrumentali, tot enim sunt subiecta in tota musica instrumentali quot sunt demonstrationes, demonstrationes autem sunt multae sicut patet discurrenti musicam Boetii, Augustini, Architae et Ptholomei. Subiecta ergo in tota musica instrumentali sunt multa et non unum, et ex his infertur quod nullius scientiae secundum se totam consideratae est aliquod unum subiectum demonstrationis. Si autem sumatur scientia pro scientia unius conclusionis demonstratae sive sit demonstrata demonstratione potissima et propter quid, sive demonstratione quia potest esse aliquod unum demonstrationis subiectum. Instrumenta musicalia sunt subiectum operationis in tota musica modo praedicto sumpta, quia ipsa [93] musica circa ipsa instrumenta operatur causando sonum et delectabiles melodias. In musica modo praedicto sumpta homo est subiectum attributionis, quia omnia considerata in musica attribuuntur servitio hominis.

Musicae instrumentalis subiectum informationis est anima, quia subiectum omnium habituum et omnium scientarum est anima, patet hoc quia scientia est habitus intellectivus conclusionis acquisitae et demonstratae per praemissas necessarias. Item scientia est de universalibus quae sunt in anima, et ex his infertur quod unius scientiae plura possunt esse subiecta.

Nunc autem ad determinationem quaesiti pro musica in communi sumpta prout est superior ad alias musicas dicimus notando quod cum omnis ars in ratione contineatur sumendo artem prout non distinguitur contra scientiam immo prout coincidunt ars et scientia, musica in ratione numerorum consistit. Patet hoc quia considerat coaptationem et debitam consonantiam proportionalem, quae in ratione numerorum consistit, ut clare patet bene consideranti musicam beati Augustini et Boetii.

Item notandum quod scientia est unius subiecti proprietates et passiones eius considerans, circa quod ipsius tota versatur intentio et cui omnia considerata in ista scientia attribuuntur et per id ordinantur, patent haec subtiliter consideranti multiplicem modum dicendi subiecti superius declaratum.

Item notando et replicando dicimus quod subiectum est quadruplex, quoddam demonstrationis, quoddam operationis, quoddam attributionis, quoddam informationis, quae quoniam superius declarata fuerunt amplius non declaramus.

Dicimus ergo quod consonantia entium musicae instrumentalis in ratione numerorum proportionabiliter consistens non est subiectum adaequatum musicae sumendo musicam in communi, quia ultra considerationem musicae instrumentalis musica in communi considerat musicam mundanam et humanam et considerata in eis.

Item consonantia entium in ratione numerorum proportionabiliter consistens nec aliquod unum est subiectum demonstrationis in tota musica in communi, quia multa alia sunt subiecta demonstrationis in tota musica. Patet hoc quia tot sunt subiecta demonstrationis quot sunt demonstrationes, sed demonstrationes sunt multae, ergo et subiecta erunt multa.

Item ens est subiectum operationis in tota musica in communi, sumendo ens in communi non contractum pro consideratis in musica mundana, humana et instrumentali, quia musica non considerat nisi consonantiam et debitam coaptationem entium in ratione numerorum proportionabiliter [94] consistentium. Hoc enim notum est sumendo consonantiam pro partibus ad invicem coaptatis, et convenienter dispositis secundum proportiones et isto modo debet consonantia sumi in omnibus conclusionibus praesentis quaesiti. Sed quia praesens conclusio posset cavillari, cum ens sit subiectum operationis in alia scientia, ideo notandum quod non est inconveniens idem esse subiectum diversarum scientiarum diversimode consideratum.

Item ens coaptatum secundum consonantiam proportionatam in ratione numerorum consistens est subiectum attributionis in tota musica. Patet hoc quia omnia considerata in musica attribuuntur enti modo praedicto contracto et disposito, et patet etiam discurrenti proemium musicae Boetii.

Item anima est subiectum informationis musicae quia anima est subiectum omnium habituum et scientiarum quia, ut dictum est, scientia est habitus intellectivus conclusiones acquisitae per demonstrationem ex praemissis necessariis, similiter ipsa est universalium quae sunt in anima, ergo, et cetera.

Capitulum II

De subiecto musicae humanae

De subiecto autem musicae humanae sic possumus notare quod musica humana est triplex, scilicet, partium animae, corporis et animae, et partium corporis elementorum. Item notandum est quod sicut consonantia est acuti soni gravisque mixtura suaviter uniformiterque auribus accidens secundum Boetium primo suae musicae capitulo octavo, ita debita coaptatio partium seu convenientia uniuscuiusque compositi dicitur consonantia, et hoc est verum tam in rebus permanentibus quam in successivis, sive ex illis partibus fiat vera unio sive non vera.

His itaque positis dicimus quod convenientia partium animae non est subiectum adaequatum in musica humana; probatur hoc quia multa alia considerantur in musica humana ultra convenientiam partium animae, igitur, et cetera. Consequentia tenet et assumptum probatur, quia musica humana considerat convenientiam seu debitam coaptationem partium corporis [95] et animae, similiter partium consonantiam corporis elementorum.

Item partium corporis et animae convenientia seu debita unio non est subiectum adaequatum in musica humana; patet hoc sicut praecedens, quia consimilis est modus probationis.

Item consonantia partium corporis elementorum non est subiectum adaequatum in musica modo praedicto sumpta; patet hoc sicut proximum.

Item convenientia partium animae, corporis et animae, et partium corporis elementorum similiter non est subiectum in musica modo praedicto sumpta, patet hoc ex primo cum auxilio tertii.

Item consonantia seu partium convenientia animae, corporis et animae, et partium corporis elementorum, nec aliquod unum est subiectum demonstrationis in tota musica modo praedicto sumpta, probatur hoc quia multa sunt subiecta demonstrationis in tota musica, igitur conclusio vera, consequentia bona et assumptum probatur, quia tot sunt subiecta in tota musica humana quot sunt demonstrationes, sed demonstrationes sunt multae, igitur multa sunt subiecta demonstrationis in tota musica humana, consequentia est nota, et antecedens pro prima parte est manifestum, et pro secunda parte discurrenti demonstrationes possibiles et quae de facto sunt de huiusmodi materia in libro musicae Boetii et in libro de anima.

Item materia et forma sunt subiecta operationis in tota musica humana, probatur conclusio loquendo de materia et forma quae concurrunt ad generationem hominis; illud est subiectum operationis in musica humana circa quod ipsa operatur, sed ipsa operatur circa materiam et formam, earum partes ad debitam coaptationem disponendo, igitur, et cetera; consequentia est bona et assumptum patet consideranti dispositiones requisitas pro generatione hominis secundum Aristotelis doctrinam in libro de generatione et corruptione, caeli et mundi, et de anima.

Item homo seu corpus animatum anima rationali, et cetera, est subiectum attributionis in tota musica humana, probatur conclusio. Omnia considerata in musica humana attribuuntur homini, ergo conclusio vera, consequentia tenet quia ad hunc finem talia disponuntur et propter hominem etiam ordinantur.

Item anima est subiectum informationis musicae humanae, quod sic probatur. Anima est subiectum omnium habituum et scientiarum, igitur conclusio vera, consequentia est bona et antecedens probatur, quia scientia [96] est habitus intellectivus conclusionis acquisitae et demonstratae per praemissas necessarias. Item scientia est de universalibus primo posteriorum quae sunt in anima, ut notum est, igitur, et cetera.

Capitulum III

De subiecto musicae mundanae

Sed de subiecto musicae mundanae primo taliter est notandum quod musica mundana est triplex, scilicet, caeli et planetarum, temporum et elementorum, in quibus continetur duplex mundi machina, scilicet, maior et minor, quam divisionem tangit auctor spherae in tractatu de sphera. Item in his continetur quod tripliciter accipitur mundus, uno modo pro sphera elementorum, et secundum hoc degentia super terram dicuntur esse in mundo isto. Secundo modo accipitur pro aggregato omnium spherarum superiorum a concavo orbis lunae usque ad caelum ultimum. Tertio modo accipitur pro aggregato ex utroque. Sed mundus ad propositum non accipitur primo modo nec secundo modo, sed tertio modo.

Item in his continetur quod spherarum superiorum septem ordo situationis est iste, nam prima sphera est sphera Lunae, secunda Mercurii, tertia Veneris, quarta Solis, quinta Martis, sexta Iovis, septima Saturni, octava est sphera primi mobilis, ad motum cuius omnes inferiores moventur, quamvis motu contrario, praeter motum proprium unicuique spherae attributum, et etiam praeter motum deferentis motibus inferiorum spherarum conferentis. Hoc patet per theoricam planetarum et per tractatum secundum Thebit de motu octavae spherae in astrologia.

Item in his multa continentur quae non sunt praesentis speculationis, scilicet, de motu spherarum caelestium difformi, quarum quaedam velocius quaedam tardius moventur, sed ad aliam spectant facultatem, ideo ea suae facultati dimittimus.

Sed hoc omittendum non vidimus, scilicet, quod non est possibile superiora corpora spherarum sub silentio moveri et absque sono, nec etiam aliquis crederet tantam molem tam magnae machinae silenti cursu moveri quamvis ille sonus ad aures nostras numquam pervenerit, unusquisque tamen in se ipso poterit causas speculari, quia multae sunt, ut distantia disproportionata, soni remissio, privata durities corporum spherarum, et [97] multa alia quae brevitatis causa omittimus. De hac enim caelorum consonantia in primo satis diximus, de qua Boetius primo suae musicae capitulo secundo et Macrobius de saturnalibus multa dicunt. Hoc etiam voluit Plinius primus de naturali historia, libro secundo, inquit enim an sit immensus mundus et ideo sensum aurium excedens tantae molis rotatae vertigine assidua, si motu non quidem facile dixerim non hercle magis quam circum actorum simul tinnitus siderum suosque voluentium orbes an dulcis quidam ex incredibili suavitate concentus nobis qui intus agimur vix diebus noctibusque labitur, dum musica caelestis ex subtilioribus conficitur sine convenientita sonorissima comprehenditur.

Nam latenter ex superioribus ad inferiora usque ad auditum nostrum effunditur, quamvis eam propter consuetudinem non sentimus, sicut sunt illi qui circa catabathmon, id est, descensum Nili habitant, si autem aliquis in alio mundo nasceretur si possibile esset, ut sanctus Augustinus affirmat, et in hunc mundum postea venisset eam sine ullo * . . . * impediret eique ultra vires placuisset, musica autem quamvis terrestris nobis placuerit tantum quia ex corpulentioribus elementis efficitur, vix sine aliqua incongruentia invenitur.

Et hic notandum est quod sicut multa anima agit illa ipsa nesciente, ut capilli, ungulae quae crescunt, sic etiam multa inaudita ipsius aguntur quae eam propter consuetudinem latent, ut sonitus planetarum. Haec enim sunt verba Plinii ad litteram. Haec enim peripathetici confirmant et volunt, licet Aristoteles in libro de proprietatibus elementorum oppositum asserat sic inquiens ad litteram: Corpora caelestia non sunt apta nata facere sonum, ut peripathetici dicunt.

His sic expositis dicimus quod consonantia caeli et planetarum non est adaequatum subiectum in musica mundana vel musicae mundanae. Probatur conclusio quia multa alia considerantur in musica mundana ultra consonantiam et considerationem caeli et planetarum, igitur conclusio vera, consequentia est nota et antecedens probatur, quia ipsa considerat consonantiam temporis similiter elementorum secundum Boetium primo suae musicae capitulo proemiali.

Item consonantia temporis non est adaequatum subiectum musicae modo praedicto sumptae, patet hoc ex primo et eius probatione postquam [98] musica mundana considerat consonantiam caeli, planetarum nec non elementorum. Item consonantia elementorum non est subiectum adaequatum musicae mundanae, patet hoc sicut secundum immedietate praecedens.

Item consonantia caeli et planetarum, temporis et elementorum simul non est subiectum adaequatum musicae mundanae; patet hoc ex tribus praecedentibus. Item consonantia caeli et planetarum, temporis et elementorum similiter non est subiectum demonstrationis in tota musica mundana, nec aliquod unum. Probatur hoc quia multa sunt subiecta demonstrationis in tota musica, igitur conclusio vera, consequentia tenet, et assumptum probatur, quia tot sunt subiecta demonstrationis ipsius quot sunt demonstrationes, sed et demonstrationes sunt multae, igitur et subiecta sunt multa, igitur, et cetera.

Item caelum et planetae, tempus et elementa sunt subiectum operationis in tota musica mundana. Probatur hoc, musica mundana operatur circa caelum et planetas, tempus et elementa, suas consonantias et coaptationes consentaneas coaptando secundum Boetium primo suae musicae capitulo secundo, igitur, et cetera.

Item debita coaptatio atque conveniens compago caeli et planetarum, temporis et elementorum est subiectum attributionis in tota musica mundana. Probatur hoc quia omnia considerata in musica mundana attribuuntur debitae coaptationi caeli et planetarum, temporis et elementorum. Igitur conclusio vera, consequentia tenet, et assumptum est Boetii primo suae musicae capitulo proemiali.

Item anima est subiectum informationis musicae mundanae. Ista conclusio probatur, anima est subiectum omnium habituum et scientiarum. Igitur conclusio vera, consequentia tenet et antecedens probatur, quia scientia est habitus intellectus conclusionis acquisitae et demonstratae in demonstratione per praemissas necessarias, et etiam est universalium quae sunt in anima, igitur, et cetera.

[99] Capitulum IV

Alia quaestio brevis

Potest haec quaestio de sono aliter formari per argumenta, videlicet utrum sonus sit subiectum in musica. Arguitur quod non, primum argumentum: Illud quod est generabile et corruptibile non est subiectum musicae, sed sonus est generabilis et corruptibilis, igitur sonus non est subiectum musicae. Argumentum est bonum et assumptum pro prima parte est notum, quia quaelibet scientia est incorruptibilium cum ipsa sit necessariorum et impossibilium aliter se habere, sed musica cum sit scientia habet esse ex subiecto, quia quaelibet scientia versatur circa subiectum, sequitur quod subiectum ipsius musicae et cuiuslibet alterus scientiae erit incorruptibile, et per consequens nullum corruptibile poterit esse subiectum alicuius scientiae, et quod sonus sit generabilis et corruptibilis patet quia est quoddam accidens successivum et per consequens corruptibile.

Secundum argumentum, sonus est quoddam particulare vel singulare, igitur non est subiectum alicuius scientiae, consequentia est nota per Aristotelem primo posteriorum, et antecedens probatur quia omne quod est ideo est quia unum numero est, secundum Boetium. Sonus est igitur unum numero et per consequens particulare vel singulare, quod fuit deducendum.

Tertium argumentum, multa alia a sono sunt subiecta musicae, igitur sonus non est subiectum musicae, consequentia est nota quia unius scientiae unum debet esse subiectum, primo posteriorum et assumptum probatur quia tonus est subiectum musicae, similiter consonantia.

Quartum argumentum, illud est subiectum musicae de quo demonstrantur proprietates et passiones ipsius, sed de multis aliis a sono demonstrantur proprietates et passiones eius, igitur multa alia a sono sunt subiectum musicae, consequentia est nota, et antecedens pro prima parte est Aristoteles primo posteriorum et pro secunda probatur quia de semitonio minori, similiter de semitonio maiori demonstrantur passiones. Similiter de consonantiis diapente, diapason, diatesseron, bisdiapason, et cetera.

[100] Quintum argumentum, consonantia est subiectum musicae, igitur non est sonus; tenet consequentia, quia unius scientiae unum debet esse subiectum, primo posteriorum et assumptum probatur quia omnia considerata in musica ratione consonantiae considerantur et ei attribuuntur.

Sextum argumentum, infinita sunt subiecta musicae, igitur, et cetera, consequentia nota est et antecedens probatur, quia infinitae sunt propositiones ipsius scientiae, cum sint aliquae et non tot quin plures, igitur, et cetera. Similiter duae sunt propositiones ipsius musicae et tres et quatuor et sic in infinitum, igitur, et cetera.

Septimum argumentum, anima est subiectum musicae, igitur, et cetera, consequentia tenet quia scientia est habitus intellectus conclusionis acquisitae in demonstratione per praemissas necessarias, modo habitus est in anima quare sequitur quod anima est subiectum, et cetera.

Octavum argumentum, multa sunt subiecta musicae, igitur, et cetera, consequentia est bona et antecedens probatur quia tot sunt subiecta musicae quot sunt demonstrationes in quibus demonstrantur passiones de subiectis conclusionum, igitur, et cetera.

Nonum argumentum, homo est subiectum musicae, igitur, et cetera, consequentia patet et antecedens probatur quia per hominem operatur musica.

Decimum argumentum, musica est ars, igitur ipsa non habet subiectum, consequentia est bona et antecedens probatur per Boetium primi libri suae musicae capitulo quadrigesimo secundo et ultimo sic inquientem: Tria igitur genera sunt quae circa artem musicam versantur, et in proemio primi suae musicae in diversis locis consimiliter musicam nominavit artem, igitur, et cetera.

In oppositum arguitur ad praedicta, consonantia est subiectum musicae, igitur sonus non est subiectum musicae. Sed quia in quaestione praecedenti declarata sunt omnia ad hanc materiam pertinentia, impraesentiarum ea non replicabimus quia inanis esset replicatio. Videnda igitur sunt ea et consideranda ut praesens quaestio quoad subiectorum declarationem intelligatur.

[101] Respondendo igitur ad argumenta dicimus et primo ad primum, cum dicitur illud quod est generabile et corruptibile, et cetera, conceditur argumentum et assumptum pro prima parte et negatur pro secunda parte, quia licet sonus in particulari sit corruptibilis non tamen in specie cum species sint aeternae, unde sicut concedimus logicae quod semper erit homo, et nullus homo erit semper, propter aeternitatem specierum, ita pariter est concedendum quod semper erit sonus, et nullus sonus erit semper. Aliter possumus dicere quod subiectum musicae per attributionem non est corruptibile; patet etiam hoc per rationem primam postquam semper erit aliquis sonus.

Ad secundum cum dicitur sonus est quoddam particulare, igitur, et cetera, respondetur negando assumptum et negando consequentiam, et ratio est quia iste terminus sonus in communi sumptus est quaedam species vel est specificus terminus et universale, et cetera.

Ad tertium cum dicitur multa alia a sono sunt subiectum musicae vel subiecta musicae, igitur, et cetera, respondetur negando totum quia quoddam est subiectum musicae operationis, quoddam demonstrationis, quoddam attributionis et quoddam informationis sicut dictum est in superiori quaestione, ita quod non est inconveniens multa fore subiecta alicuius scientiae secundum multiplicitates acceptionis istius termini subiectum.

Ad quartum cum dicitur illud est subiectum musicae, de quo demonstrantur proprietates et passiones, et cetera, respondetur concedendo totum immo infinita possunt esse subiecta musicae sumendo subiectum pro subiecto demonstrationis, quia tot possunt esse subiecta musicae quot possunt esse demonstrationes in eadem quae infinitae possunt esse, sicut in alia quaestione dictum est in demonstratione subiecti.

Ad quintum cum dicitur consonantia est subiectum musicae, igitur, et cetera, respondetur concedendo consequentiam et negando antecedens, quia consonantia absolute non est subiectum musicae, sicut nec sonus et hoc loquendo de subiecto adaequato ipsi musicae sumendo musicam in communi, quia sumendo musicam in particulari pro musica mundana vel humana vel instrumentali aliter est dicendum, secundum quod superius in praecedenti quaestione declaratum est.

Ad sextum cum dicitur, infinita sunt subiecta musicae, igitur, et cetera, conceditur sumendo subiectum pro altero extremorum proportionis, et hoc non est inconveniens, quia ad hunc sensum tendit argumentum, sed [102] quaestio non quaerit de subiecto hoc modo, sed de subiecto adaequato attributionis et ad hunc intellectum loquimur cum dicimus aliquid esse subiectum alicuius scientiae.

Ad septimum cum dicitur anima est subiectum musicae respondetur concedendo sumendo subiectum pro subiecto informationis.

Ad octavum cum dicitur multa sunt subiecta musicae, et cetera, respondetur concedendo totum, ut dictum fuit in responsione ad quartum argumentum.

Ad nonum argumentum cum dicitur homo est subiectum musicae, respondetur concedendo sumendo subiectum pro subiecto operationis, sicut in superiori quaestione declaratum fuit.

Ad decimum cum arguitur musica est ars, igitur non est scientia, negatur argumentum, ut dictum est superius, et ad probationem dicendum quod Boetius consideravit musicam improprie quae non distinguitur contra scientiam, et sic terminatur praesens quaestio de sono utrum sit sonus subiectum in musica, et quamvis de subiecto mundanae musicae, atque humanae superfluum videatur tractasse, id tamen fecimus ut subiectorum musicae triplicis differentia cognoscatur.

Capitulum V

De generatione consonantiae

Plura in primo libro ubi de diapason et diapente tractavimus de ipsa consonantia exposuimus, quae ad eius diffinitionem conveniunt quam Boetius duplici diffinitione describit, prima enim consonantiae diffinitio seu descriptio secundum Boetium est haec: Consonantia est dissimilium inter se vocum in unum redacta concordia. Secunda est haec: Consonantia est acuti soni gravisque mixtura suaviter uniformiterque auribus accidens, ex quibus diffinitionibus multas elicimus conclusiones seu notabilia circa ipsius consonantiae generationem.

Prima conclusio est quod sonus est causa consonantiae. Patet hoc quia sine sono consonantia fieri non potest. Patet haec conclusio per primam diffinitionem consonantiae in qua dicit Boetius consonantia est dissimilium inter se vocum, omnis enim vox est sonus, igitur, et cetera. Similiter etiam patet hoc per secundam diffinitionem in qua dicitur consonantia [103] est acuti soni. Sonus igitur ipsius consonantiae causa est quia absque sono non fit consonantia, ut dictum est. Ipsius autem soni causa est ipse pulsus sine quo sonus minime fieri potest, antecedit ergo sonum pulsus et ipsius causa est sicut consonantiam sonus et ipsius causa est. Ipsum autem pulsum praecedit motus et ipsius causa est sine quo pulsus non habetur, quoniam corpora aliqua ad invicem concurrere sine motu simpliciter est impossibile, et ideo Boetius quarto suae musicae capitulo primo inquit enim: Si foret omnium rerum quies nullus auditum feriret sonus. Hoc ergo ordine motus pulsum, pulsus sonum et sonus consonantiam antecedit, et ipsius causa sunt, his igitur primo consonantia generatur.

Secunda conclusio sive secundum notabile est: Quod ad generationem consonantiae vocum seu sonorum dissimilitudo requiritur, ratio est quia potest sic esse sicut primarie et adaequate significatur vel est significabile per antecedens non existente sic sicut primarie et adaequate significatur vel est significabile per consequens, igitur, et cetera. Nam ubi plures soni essent consimiles ibi nulla consonantia fieret, similiter plures soni seu voces eiusdem acuminis et intensionis non causant consonantiam, nec plures soni seu voces eiusdem gravitatis vel remissionis eam efficiunt. Patent haec ex diffinitionibus supradictis, scilicet, consonantia est dissimilium vocum et consonantia est acuti soni gravisque mixtura. Vocum ergo dissimilitudo et non similitudo generat consonantiam, dicimus ergo quod vocum seu sonorum consimilium aequalis intensio non est consonantia, nec vocum seu sonorum consimilium aequalis remissio est consonantia.

Tertia conclusio seu notabile est, sonorum seu vocum dissimilium intensio insuaviter movens sensum auditus quantum ad acuitatem non est consonantia, nec sonorum seu vocum dissimilium remissio insuaviter movens sensum auditus quantum ad gravitatem est consonantia. Patent haec ex diffinitione praedicta, scilicet, consonantia est acuti soni gravisque mixtura suaviter auribus accidens. Tales autem voces sunt asperae et dissonae, quae non permiscent sonos cum iniucunde moveant sensum. In consonantia autem fit permixtio vocum, atque eius iucundus est motus.

Quarta conclusio est, vocum seu sonorum dissimilium intensio quantum ad acumen difformis non est consonantia. Nec sonorum seu vocum dissimilium remissio quantum ad gravitatem difformis non est consonantia. Patet hoc quia consonantiae motus debet esse uniformis postquam reducuntur in unam concordiam, ut dicit consonantiae diffinitio.

[104] Quinta conclusio, sonorum seu vocum dissimilium eiusdem intensionis vel remissionis quoad acuitatem vel gravitatem mixtura in unum redacta difformis non est consonantia. Patet haec conclusio ut praecedens.

Sexta conclusio seu notabile, sonorum seu vocum dissimilium eiusdem remissionis vel intensionis quoad acuitatem vel gravitatem mixtura in unum redacta difformiter difformis non est consonantia. Patet haec conclusio ut praecedentes ex eadem radice.

Septima conclusio, sonorum seu vocum dissimilium eiusdem tamen intensionis vel remissionis in acuitate vel gravitate redacta uniformiter difformis non est consonantia. Patet haec conclusio ex praedictis.

Octava conclusio, sonorum seu vocum dissimilium in acuitate vel gravitate eiusdem intensionis vel remissionis mixtura in unam redacta concordiam uniformiter auribus occurrens non est consonantia. Patet conclusio quia tales voces possunt esse disproportionatae et per consequens non suaviter movebunt organa sensus auditus.

Nona conclusio, sonorum seu vocum dissimilium eiusdem intensionis vel remissionis quoad acuitatem vel gravitatem mixtura in unam redacta concordiam et uniformiter auribus occurrens in quacumque quantitate non est consonantia. Patet conclusio quia possent esse minimae voces seu soni, quos non de facili comprehendit sensus. Similiter possunt esse voces seu soni maximi et disproportionati, et per consequens corrumperent sensum. Patet hoc de mente Boetii primo suae musicae capitulo nono sic inquientis: Ipse enim sensus maximis minimisque aeque corrumpitur, nam neque minima sentire propter sensibilium ipsorum parvitatem potest, et maioribus saepe confunditur ut in vocibus quas si minimae sint difficilius captat eas auditus, si sint maximae ipsius sonitus intensione surdescit.

Decima conclusio, sonorum seu vocum proportionatorum in quantitate eiusdem tamen intensionis vel remissionis quoad gravitatem vel acuitatem et dissimilium mixtura in unam redacta concordiam uniformiter auribus occurrens non est consonantia quia poterit forte organum esse male dispositum pro receptione specierum ab obiecto emanantium.

Undecima conclusio, sonorum seu vocum dissimilium inter se proportionatorum tamen in quantitate eiusdem intensionis vel remissionis quoad acuitatem vel gravitatem mixtura in unam redacta concordiam uniformiter auribus occurrens proportionatis non est consonantia. Patet hoc quia potest intellectus non advertere ex forte imaginatione circa aliquod [105] imaginabile et tunc non causabunt species ille sensationem in sensu auditus.

Duodecima conclusio, sonorum seu vocum dissimilium inter se in acuitate vel gravitate proportionatorum in quantitate eiusdem tamen intensionis vel remissionis mixtura in unam redacta concordiam uniformiter auribus occurrens proportionatis cum advertentia intellectus non est consonantia. Patet conclusio quia possunt talia in distantia disproportionata causari, sic quod vel non immutabunt sensum vel multum debiliter immutabunt, et per consequens remisse, unde non poterit iudicari quod sit consonantia, et cetera.

Tertiadecima conclusio, sonorum seu vocum dissimilium inter se in acuitate vel gravitate proportionatorum in quantitate eiusdem tamen intensionis vel remissionis mixtura in unam redacta concordiam uniformiter auribus occurrens proportionatis et debite dispositis cum advertentia intellectus et in distantia proportionata non est consonantia. Patet ista conclusio quia possunt tales voces seu soni aspere et iniucunde auribus occurrere et per consequens nullam causabunt consonantiam.

Quartadecima conclusio, sonorum seu vocum dissimilium inter se in acuitate vel gravitate proportionatorum in quantitate tamen eiusdem intensionis vel remissionis mixtura in unam redacta concordiam suaviter uniformiterque auribus occurrens proportionatis et debite dispositis advertentia intellectus praesupposita et in distantia proportionata est consonantia. Patet ista conclusio quoad omnes eius particulas considerando conclusiones praemissas de huiusmodi materia quae conclusio est diffinitio consonantiae, et ex hac consonantiae diffinitione comprehendere possumus si diffinitiones praedictae datae a Boetio de consonantia sint bonae vel bene datae.

Capitulum VI

De duplici distantia vocum

Voces ad invicem esse distantes dupliciter intelligere possumus, uno modo distantia situali vel locali, alio modo distantia graduali vel intensionali quoad acuitatem vel gravitatem.

[106] Primo modo distant voces locatae in diversis locis diversimode situatis distanter se habentibus distantia contiguitatis vel continuationis mediante medio diversae rationis vel eiusdem rationis.

Secundo modo distant gradus diversae intensionis et similiter voces diversae intensionis quoad acumen vel gravitatem. Ex his autem ulterius intelligere possumus quod voces ad invicem distare distantia intensionali vel graduali potest intelligi tripliciter, uno modo quod distantia sit valde modica, secundo modo quod distantia sit multa et valde notabilis, tertio modo quod distantia sit mediocris. Voces distantes distantia primo sumpta non causant consonantiam cum ratione valde modicae distantiae comprehenduntur quodammodo indistanter se habere et sub ratione unius intensionis, et per consequens videntur esse similes. Modo consonantia non est similium inter se vocum in unum redacta concordia, sed dissimilium, ut dictum est supra in consonantiae diffinitione. Voces vero distantes ad invicem distantia multa et notabili non causant consonantiam cum ratione distantiae disproportionate evanescant species praecedentes in adventu posteriorum, et per consequens quamvis dissimiles sint, nullam causant consonantiam. Sed voces distantes distantia mediocri causant consonantiam dummodo non sint dissonae nec ecmeles ratione proportionatae distantiae, eo quod tales non possunt comprehendi ut similes postquam distantia non est ita propinqua, nec etiam species possunt evanescere in adventu posteriorum, postquam distantia non est multa et valde notabilis cum sit mediocris et proportionata, et quod dictum est de triplici distantia vocum circa consonantias debet intelligi circa alia vocum musicales coniunctiones.

Capitulum VII

De vocum divisionibus

Quia voces ad invicem differentiam habent, ut de ipsis clara habeatur cognitio eas tali duximus divisione monstrare. Vocum quaedam sunt unisonae, quaedam non unisonae. Voces quidem unisonae sunt quae unum atque eundem sigillatim pulsae reddunt sonum. Non unisonarum autem vocum quaedam ingrediuntur coniunctionem consonantiarum, quaedam [107] non ingrediuntur. Si non ingrediuntur sic sunt voces ecmeles, unde voces ecmeles sunt quae non recipiuntur in consonantiarum coniunctione. Si ingrediuntur aut suaviter movent sensum causando sensationem aut insuaviter. Si insuaviter sic sunt dissonae, unde voces dissonae sunt quae non permiscent sonos, atque insuaviter movent sensum causando sensationem. Si suaviter movent sensum aut habent actu melodiam aut non habent actu sed in potentia, quia possunt aptari ad melos. Si non habent actu sed in potentia, sic sunt eumeles unde voces eumeles sunt quae consonae non sunt, possunt tamen aptari ad melos, ut sunt eae quae consonantias iungunt, unde eumeles sunt quae inter has poni possunt, ut inter diatesseron ac diapente tonus. Si autem habent actu aut compositum permixtumque efficiunt sonum, aut quodammodo simplicem. Si compositum permixtumque sic sunt consonae, unde voces consonae sunt quae compositum permixtumque suavem tantum causant vel efficiunt sonum, ut consonantia diapente ac diateseron, diapason ac diapente, et cetera: si quodammodo simplicem sic sunt aequisonae, unde voces aequisonae sunt quae simul pulsae unum ex duobus atque simplicem quodammodo faciunt sonum, ut diapason ac disdiapason sive bisdiapason. Alia de vocibus potest fieri distinctio hoc modo. Vocum quaedam sunt aequales, quaedam inaequales, quaedam sunt quae nec sunt aequales nec inaequales. Unde voces aequales sunt quae sic se habent quod inter eas non est aliquis excessus quoad acuitatem vel gravitatem, dum tamen sint eiusdem speciei, et hoc respectu comparationis proprie dictae, sed respectu comparationis improprie dictae sufficit quod tales sint eiusdem generis. Et consimiliter dicendum puto de proportione, ut dictum est in proportionibus quod illa sunt proportionabilia proportione proprie dicta quae sunt eiusdem speciei, quae autem proportionanter proportione communiter dicta sufficit quod sit eiusdem generis.

Voces vero inaequales sunt illae inter quas est aliquis excessus et cum hoc sunt eiusdem speciei respectu comparationis proprie dictae, vel eiusdem generis respectu comparationis communiter dictae. Voces vero quae nec sunt aequales sibi invicem nec inaequales sunt illae quae non sunt comparabiles sibi invicem, et hoc respectu earum et non alicuius tertii, [108] quia non est dubium quod illa quae sunt diversarum specierum sunt comparabilia comparatione proprie dicta respectu alicuius tertii. Exemplum primi de vocibus unisonis aequalibus similiter de aequisonis et de vocibus quae dicuntur eumeles; Exemplum secundi de eisdem vocibus aequisonis unisonis inaequalibus quantum ad acuitatem et gravitatem. Exemplum tertii de vocibus dissonis quae non ingrediuntur consonantiam, et de aequisonis comparatis ad invicem. Similiter de vocibus quae dicuntur ecmeles, et de unisonis comparatis ad invicem, unde ecmeles non recipiuntur in consonantiarum coniunctione, cuiusmodi est secunda vox et nona, et consimiles quae non ingrediuntur positive musicae consonantiam quamvis privative bene ingrediantur, postquam musicus quantum ad theoricam describit easdem.

Capitulum VIII

De soni diffinitione

Quia sonus in musica valde necessarius esse conspicitur, quoniam sine sono musica actu esse non posset. Ideo Boetius primo suae musicae capitulo tertio eum diffinit hoc modo: Sonus est percussio aeris indissoluta usque ad auditum, quae diffinitio est bona, convertitur enim cum diffinito et datur per genus et differentias exprimentes essentiam diffiniti, ut patet intelligenti. Sed quia sonus fieri non potest nisi mediante pulsu, nec pulsus nisi mediante motu, ut superius dictum est, ideo de motu et pulsu aliqua quantum ad praesentem spectat materiam notanda sunt, ut musicalis soni natura melius cognoscatur.

Dicimus ergo primo quod omnis motus est velox vel tardus, ut dicit Aristoteles quinto physicorum, ex quo omne motum sequitur esse spissum vel rarum, velocitate enim efficitur motus spissus et tarditate rarus. Haec enim etiam per Boetium patent primo suae musicae capitulo tertio.

Secundo loquendo de sono instrumentali mediantibus cordis seu nervis causato motis tamen ad motum manus plectro adhibito, dicimus manum interdum cordas seu nervos frequenti pulsu movere interdum vero [109] raro. Si frequenti pulsu cordas seu nervos moveat manus, celeres et spissi erunt motus eius, si vero raro pulsu moveat easdem tardus et rarus eius motus necessario erit, patent enim haec per Boetium, ubi supra.

Tertio nervus instrumentalis seu corda aliquando est intensus, aliquando lassus voluntate ponentis, qui quanto tensior fuerit celerius tremit, et in unoquoque motu aerem ferit semper, et quanto motus eius velocior, tanto tremor eius celerior. Si vero nervus vel corda lassus fuerit raro movetur et per consequens raro tremit. Unde motus eius fit tardus, quo fit ut motus cordae seu nervi instrumentalis interdum sit velox, ut cum eum manus plectro adhibito frequenti aut celeri pulsu pellit, quo sequitur motus velox. Confirmatur enim hoc quia corda vel nervus motus velocius plus pertransit de spatio, quam corda seu nervus tardius motus, patet hoc per diffinitionem mobilis velocis, Aristoteles sexto physicorum, quae est: Mobile velox est quod in aequali tempore plus pertransit de spatio tardiori praesupposita medii resistentia uniformi, et ex hac cordae seu nervi velocitate contingit alicuius cordae seu nervi instrumentalis interdum motum esse spissum, quoniam ad motus velocitatem eius sequitur spissitudo, omnis enim motus velox spissus est.

Quarto alicuius cordae vel nervi instrumentalis interdum contingit esse tardum, quia manus plectro adhibito raro pulsu eum movet, et sic talis motus rarus est, ad motus enim tarditatem eius sequitur necessario raritas, et omnis motus tardus rarus est.

Quinto alicuius instrumenti contingit sonum esse acutum. Probatur hoc quia contingit motum cordae seu nervi instrumentalis interdum esse velocem, igitur contingit motum cordae seu nervi instrumentalis interdum esse acutum. Ratio enim huius est evidens quia causa acuti soni est motus velox, et confirmatur hoc quia contingit motum alicuius cordae seu nervi instrumentalis esse celerem et spissum, igitur necessario sonus erit acutus. Probatur hoc quia motus celer et spissus est causa acuti soni. Probantur haec etiam auctoritate Boetii primo suae musicae capitulo tertio, inquit enim: Idcirco idem nervus si intendatur amplius acutum sonat.

Sexto intensio cordae seu nervi instrumentalis est causa acuti soni, probatur hoc. Motus velox, celer vel spissus est causa acuti soni, ut dictum est, sed intensio cordae seu nervi instrumentalis est causa talis velocitatis, igitur, et cetera. Patet hoc quia quidquid est causa causae est causa causati, et patet per Boetium sua auctoritate praedicta.

[110] Septimo alicuius instrumenti contingit sonum esse gravem. Patet hoc quia contingit motum cordae seu nervi instrumentalis esse tardum interdum, igitur talis motus causabit sonum gravem. Tenet hoc quia tarditas motus cordae seu nervi est causa gravis soni, et confirmatur quia raritas motus cordae seu nervi est etiam causa gravitatis soni. Hoc etiam patet auctoritate Boetii loco et capitulo ubi supra ubi dicit: Si remittatur grave.

Octavo remissio cordae seu nervi instrumentalis est causa gravis soni. Probatur hoc quia motus tardus seu rarus est causa soni gravis, sed remissio seu lassatio cordae seu nervi instrumentalis est causa tarditatis et raritatis ipsius motus, igitur, et cetera. Hoc enim evidens est, quia quidquid est causa causae est causa causati, et ideo Boetius ubi supra inquit enim: Qui vero lassior est solutos ac tardos pulsus offert, rariusque ipsa imbecillitate feriendi nec diutius tremit.

Nono sonus cordae seu nervi instrumentalis acutus vel remissus habet duas causas prout ad propositum spectat. Patet hoc quia, ut dictum est, velocitas, celeritas et spissitudo motus sunt causa acuitatis soni, tarditas et raritas motuum sunt causa gravitatis soni, modo istorum omnium motuum causa est motus manus plectro adhibito velox vel tardus, ut dictum est.

Decimo quamvis duae sint causae acuitatis vel gravitatis sonorum instrumentalium mediantibus cordis seu nervis eorum, non tamen istae causae aeque primo concurrunt. Patet hoc quia velocitas, celeritas et spissitudo et raritas concurrunt ut causae immediatae motus autem manus concurrit ut causa mediata. Non tamen putamus ex hoc non fore alias sonorum instrumentalium causas, cum causae secundae agere non possint non concurrentibus causis primis per unam proportionem libri de causis. Omnis causa primaria plus influit in causatum quam causa secundaria, et dicitur notanter instrumentalium, quia non est sermo praesens de omni sono instrumentali universaliter, sed solum de sono instrumentorum mediantibus cordis seu nervis.

Undecimo corda seu nervus instrumentalis tensus vel lassus movetur motu pulsus plectro adhibito. Talis autem corda vel nervus non movetur unico motu sed pluribus quia corda seu nervus instrumentalis movetur et non movetur unico motu sed pluribus motibus. Probatur hoc quia in tali motu celeri tremit, et per consequens non unico motu movetur sed pluribus, ut dictum est superius.

[111] Duodecimo percussio aeris circumdantis cordam seu nervum pulsos causata ab his non est una. Patet hoc quia motus ipsorum non est unus, postquam quando movetur motu pulsus tremit. Talis autem percussio aeris sic circumdantis cordam seu nervum pulsos est per plures percussiones. Patet hoc quia, scilicet, quando corda seu nervus movetur tremit celerius, et in unoquoque motu earem ferit semper, et per consequens percussiones erunt multae.

Tertiodecimo quotiens cordae seu nervi instrumentales pulsi tremebundi percusserint aerem, totiens aer percutitur. Hoc enim probatione non indiget quia est Boetii primo suae musicae capitulo tertio ad litteram inquit enim: Totiens aer feritur quotiens eum corda tremebunda percusserit. Hi autem nervus et corda sonum causant a causatis percussionibus procedentem.

Quartodecimo cordae seu nervi instrumentales tensi vel lassi pulsi non causant unum sonum simplicem. Patet hoc quia motus eius est tremebundus ratione cuius causantur multae percussiones, et cum quaelibet ipsius percussio saltem notabilis causet sonum, sequitur quod non causabunt unum sonum simplicem, igitur, et cetera. Causant igitur talis cordae et nervi instrumentales pulsi sonum compositum. Patet hoc quia velocitates sonorum sunt multae et iunctae ad invicem quamvis intercapedo earum auribus non occurrat.

Sed forte quis instabit petendo quare non percipimus aurium sensibus partes simplices soni compositi, saltem quod virtus discretiva discretionem ponat ipsorum tempora discernendo, postquam sonus est quoddam successivum cuius esse mensuratur tempore, cum tempus sit mensura motus eorum quae fiunt secundum prius et posterius.

Ad hoc breviter respondetur quod velocitates sunt ita iunctae quod non potest fieri discretio, cum videantur quasi continue.

Quintodecimo sonus instrumentalis causatus mediante corda seu nervo instrumentalibus potest immutare sensum. Patet hoc quia sonus est obiectum auditus. Sonus autem simplex instrumentalis mediantibus corda seu nervo instrumentalibus causatus non potest immutare organum [112] sensus auditus. Patet hoc quia nullus talis potest esse postquam corda tremebunda non causat unicam percussionem sed multas, nec unum sonum simplicem sed compositum, dico sonum simplicem per se perceptibilem quia non est dubium quod in quolibet puncto motus tremebundi causatur una percussio quae causat unum sonum, sed subito succedit altera sibi iuncta causata coniunctione, ut videatur et percipiatur ex his duobus velut una percussio continua ratione iunctae velocitatis et per consequens percipitur sub ratione unius soni compositi. Sed sonus instrumentalis compositus causatus mediante corda instrumentali vel nervo potest immutare sensum auditus, quia sonus est obiectum auditus, non autem simplex sonus cum nullus talis sit saltem per se. Sonus acutus compositus componitur ex sonis celeribus et spissis. Sonus gravis compositus componitur ex tardioribus et rarioribus. Patent ista duo de mente Boetii primo suae musicae capitulo tertio, sic inquientis: Quamvis uterque sonus ex pluribus constet, gravis quidem ex tardioribus et rarioribus, acutus vero ex celeribus et spissis.

Capitulum IX

De cordarum seu nervorum instrumentalium subtilitate et grossitie

Corda seu nervus instrumentalis aliquando est grossus, aliquando est subtilis, aliquando medius inter grossitiem et subtilitatem, aliquando est rotundus uniformiter difformiter, aliquando difformiter difformiter, aliquando uniformiter; uniformiter difformiter apparet in nervis contortis uniformiter difformiter. Secundum patet in nervis contortis difformiter difformiter, tertium patet in cordis aeneis contractis per idem foramen instrumenti, semper supposita aequali mollitie metalli merito mixtionis naturali et non artificiali, et in nervis supposita aequali temperie; et dico naturali et non artificiali quia metalla possunt mollificari et indurari artificialiter ultra eorum durities et mollities naturales. Item medium per quod moventur cordae seu nervi instrumentales aliquando resistit uniformiter, aliquando uniformiter difformiter, aliquando difformiter difformiter. Haec [113] enim duo posita sunt quia penes ista potest sonus instrumentalis fieri acutus et gravis magis et minus secundum diversitatem et varietatem modorum praedictorum, nam aer subtilis minus resistit cordae motui, grossus vero magis, nam subtilitas aeris multum confert ad sonum acutum et grossities eius ad sonum gravem, et quia facta est mentio de resistentia uniformi, uniformiter difformi, et difformiter difformi, ne ex incognitis fiat processus, et tandem ad ignorantiae terminos perducamur, aliqua de formarum latitudine declaranda sunt, quae si forte alterius videantur speculationis existere, tamen pro dicendorum cognitione necessaria sunt.

Dicimus ergo quod quaedam est latitudo uniformis, quaedam uniformiter difformis, quaedam difformiter difformis; latitudo uniformis est latitudo cuius quaelibet pars quantitativa intensive est aequalis toti, et cuilibet parti totius. Et hoc est verum tam quoad subiectum quam quoad partes eius, et sic dicimus quod ignis est summe calidus et quaelibet eius pars, nam latitudo caliditatis ignis est uniformis. Et similiter dicimus quod latitudo gravitatis terrae est uniformis quia tota terra est summe gravis et quaelibet eius pars; et hoc de terra in sua convenienti dispositione existenti, postquam in homogeniis eadem est determinatio totius et partis.

Latitudo uniformis quoad tempus est latitudo temporaliter et successive acquisita, cuius quaelibet pars in eodem tempore vel aequali acquiritur cum parte subiecti tempore aequali, et potest aliter diffiniri: Latitudo uniformis quoad tempus est latitudo cuius omnes partes aequales sibi invicem intensivae, adaequatae et praecisae aequalibus temporibus acquiruntur.

Latitudo difformis quoad subiectum est latitudo cuius nullae partes quantitative sibi invicem sunt aequales intensive, vel latitudo difformis quoad subiectum est latitudo cuius quibuscumque partibus quantitativis datis una alia est intensior.

Latitudo difformis quoad tempus est latitudo cuius aliquae partes aequales sibi invicem temporibus inaequalibus acquiruntur vel cuius partes inaequales sibi invicem temporibus aequalibus acquiruntur.

Latitudo difformis quoad subiectum et quoad tempus est latitudo cuius partes inaequales sibi invicem intensive et extensive, praecise et adaequate temporibus aequalibus acquiruntur, vel cuius partes aequales sibi invicem intensive et extensive, praecise et adaequate temporibus inaequalibus acquiruntur.

Latitudo uniformis quoad subiectum est latitudo cuius aequales partes quantitativae, praecise et adaequate aequalibus temporibus acquiruntur.

[114] Latitudo uniformis quoad tempus est latitudo cuius aequales partes intensive aequalibus temporibus acquiruntur.

Latitudo uniformis quoad subiectum et quoad tempus est latitudo cuius aequales partes quantitativae, intensive et extensive, praecise et adaequate aequalibus temporibus acquiruntur.

Latitudo uniformiter difformis est latitudo cuius est aequalis excessus graduum inter se aequedistantium. Haec diffinitio debilis est sed haec est melior, videlicet: Latitudo uniformiter difformis est latitudo difformis cuius quibuscumque tribus partibus datis aequaliter ad invicem distantibus proportio excessus intensioris ad medium, ad excessum medii, ad extremum est aequalis proportio indistantiae intensioris ad medium, sicut medii ad extremum. Haec est bona et optima huiusmodi latitudinis diffinitio, si subtiliter considerentur omnes eius particulae.

Nunc sequuntur conclusiones penes diversitatem nervorum aut cordarum necnon et resistentiam medii uniformem, aut uniformiter difformem, vel difformiter difformem.

Prima conclusio, nervus instrumentalis subtilis et uniformis motus velociter per medium resistentiae uniformis causat sonum acutum. Patet haec conclusio ex sensatis nam videmus per experientiam quod virgula mota velociter per medium uniforme, scilicet, per aerem, causat sibilationes, et quod quanto virgula fuerit subtilior, tanto sibilationes magis acutae. Ex quo sequitur quod quanto nervus fuerit subtilior tanto sonus magis acutus quia quanto subtilior fuerit nervus tanto motus eius magis tremebundus, et quanto motus eius magis tremebundus tanto plures percussiones, cum minor fiat sibi resistentia ex parte medii ratione subtilitatis eius fortius medium dividentis atque frequentius.

Secunda conclusio, nervus instrumentalis subtilis et difformis motus velociter per medium resistentiae uniformiter difformis causat sonum minus acutum quam si duceretur per medium resistentiae uniformis. Patet conclusio quia fiunt pauciores percussiones cum maiori resistentia ex parte medii et pauciores motus tremebundi, igitur conclusio proposita.

Tertia conclusio, nervus instrumentalis subtilis et difformis motus velociter per medium resistentiae difformiter difformis causat sonum minus acutum quam si duceretur per medium resistentiae uniformis vel per medium resistentiae uniformiter difformis. Patet conclusio quia tale medium minus movetur cum sit maioris resistentiae quam sit medium resistens uniformiter [115] aut uniformiter difformiter, postquam ipsum resistit difformiter difformiter, nam suo motu veloci et tremebundo nervus non potest ita velociter causare percussiones, sicut in medio resistentiae uniformis aut uniformiter difformis et per consequens conclusio vera.

Quarta conclusio, corda aenea instrumentalis subtilis et uniformis mota velociter per aerem tamquam per medium resistentiae uniformis causat sonum acutum. Supposito in istis quinque conclusionibus quod talis nervus seu corda aenea sint tensi, probatur conclusio quia ex tali motu veloci et tremebundo fiunt multae percussiones, et cum ista corda sit corpus durum et maioris duritiei quam nervus, sequitur quod causabit sonum maioris acuminis intensive quam nervus tensus subtilis et uniformis motus velociter per medium uniformis resistentiae. Patet etiam conclusio ista ex sensatis in monocordo cuius cordae sunt aeneae.

Quinta conclusio, corda aenea instrumentalis subtilis et tensa difformis mota velociter per medium resistentiae uniformiter difformis causat sonum remissioris acuminis quam subtilis mota per medium resistentiae uniformiter difformis. Patet conclusio quia istud medium est maioris resistentiae, postquam resistit difformiter et per consequens minus velociter movebitur ab eadem potentia, quare non ita tremebunde et per consequens non tot percussiones et sic stabit conclusio proposita.

Sexta conclusio, corda aenea instrumentalis subtilis uniformis et tensa mota velociter per medium resistentiae difformiter difformis causat sonum remissioris acuminis intensive quam ipsa vel sibi consimilis mota per medium resistentiae uniformis aut uniformiter difformis. Probatur conclusio quia in tali medio fiunt pauciores percussiones, eo quod talis corda aenea ex resistentia medii difformiter difformiter resistentis minus velociter et tremebunde movetur quam si ipsa vel sibi consimilis moveretur per medium resistentiae uniformis aut uniformiter difformis. Notate quod propter hoc non concedimus quod resistentia sit causa successionis in motu, sed dicimus quod diversitas resistentiae medii variat intensionem vel remissionem acuminis vel gravitatis soni, ita quod alia et alia resistentia medii facit aliam et aliam intensionem vel remissionem sonorum, ut quilibet poterit faciliter speculari.

Septima conclusio, nervus instrumentalis uniformiter difformis subtilis et motus velociter per medium resistentiae uniformis causat sonum [116] remissioris acuminis quam uniformis nervus subtilis et motus velociter per medium resistentiae uniformis. Patet conclusio quia ratione difformitatis movetur remissiori gradu motus per illud medium quam si esset medium uniformis, igitur motus eius non erit ita tremebundus, et per consequens pauciores percussiones aeris, unde sonus remissioris acuminis.

Octava conclusio, nervus instrumentalis uniformiter difformis et subtilis motus velociter per medium resistentiae uniformiter difformis causat sonum remissioris acuminis quam si moveretur aeque velociter per medium resistentiae uniformis, ita quod quodammodo incipit sapere naturam soni gravis in respectu soni acuti. Patet conclusio quia ratione difformitatis utriusque, scilicet, nervi et medii, erit remissior motus tremebundus et percussiones pauciores aeris medii, igitur, et cetera.

Nona conclusio, nervus instrumentalis uniformiter difformis et subtilis motus velociter per medium resistentiae difformiter difformis causat sonum remissioris acuminis quam si idem moveretur aeque velociter per medium resistentiae uniformiter difformis, sic quod iam percipitur habere sensibiliter aliquid gravitatis. Ista conclusio faciliter potest deduci sicut vel ut praecedens, unde in his omnibus conclusionibus pariter et dicendis semper praesupponitur aequalitas tensionis, nam canon comparationis est quod cetera eorum quae comparantur debet esse paria, praeter quam illud in quo fit comparatio. Istud est satis notum in scolis philosophorum; istud est de mente Gallieni, secundo de complexionibus.

Decima conclusio, nervus instrumentalis difformiter difformis subtilis et motus velociter par medium resistentiae uniformis causat sonum certae et remissae gravitatis. Patet conclusio quia ratione difformitatis difformis fit maior resistentia, et motus ipsius minoris intensionis et minus tremebundus et pauciores medii percussiones aliqualiter obtuse. Igitur conclusio vera, consequentia est nota et assumptum patet ex sensatis.

Undecima conclusio, nervus subtilis instrumentalis difformiter difformis motus velociter per medium resistentiae uniformiter difformis causat sonum remissioris gravitatis quam si idem moveretur ceteris paribus per medium resistentiae uniformis. Patet conclusio propter resistentiam utriusque, scilicet, propter difformitatem difformem nervi et difformitatem medii, deducendo ut praecedens.

Duodecima conclusio, nervus instrumentalis difformiter difformis motus velociter per medium resistentiae difformiter difformis praesupposita semper nervi subtilitate et tensione aequalibus causat sonum remissioris gravitatis quam si idem moveretur ceteris paribus per medium resistentiae [117] uniformis et uniformiter difformis. Patet conclusio propter difformem difformitatem nervi et medii, procedendo ut in praecedentibus.

Nunc loquendum est de cordis grossis pro quibus sit prima conclusio. Corda vel nervus instrumentalis grossus et uniformis motus tarde per medium resistentiae uniformis et lassus causat sonum acutum. Patet conclusio quia manifestam est ex praehabitis, quod corda lassa et mota motu tardo minus tremit et pauciores percussiones fiunt, nec fortiter et intense ferit aerem dividendo, unde causatur sonus acutus. Patet etiam ex alio conclusio, scilicet, ex sensatis cum continue possumus experiri in monocordo.

Secunda conclusio, nervus instrumentalis grossus et lassus et uniformis motus tarde per medium resistentiae uniformiter difformis causat sonum minus gravem seu minoris gravitatis intensivae. Patet conclusio quia ex resistentia difformi motus est tardus minusque tremit et pauciores percussiones medii, scilicet, aeris fiunt quia sonus erit minoris gravitatis intensive quam si idem moveretur ceteris paribus per medium resistentiae uniformis; hoc etiam docet experientia.

Tertia conclusio, nervus instrumentalis grossus et lassus et uniformis motus tarde per medium resistentiae difformiter difformis causat sonum gravem. Patet conclusio ex praemissis et maxime ex sensatis, nam ex resistentia medii difformiter difformiter resistentis et ex grossitie nervi fit motus tardus et remissus et minus tremit, quare paucae percussiones fiunt, et per consequens sonus gravis, ut patet ex praemissis subtiliter advertenti.

Quarta conclusio, nervus instrumentalis lassus et uniformiter difformis in grossitie motus tarde per medium resistentiae uniformis causat sonum gravem. Patet conclusio ex praemissis quia idem est modus procedendi in probationibus.

Quinta conclusio, nervus instrumentalis lassus et uniformiter difformis in grossitie motus tarde per medium resistentiae uniformiter difformis causat sonum gravem, supposita aequali intensione vel remissione motus ipsius. Patet conclusio propter difformitatem nervi et etiam resistentiae deducendo secundum modum procedendi in probationibus antescriptis.

Sexta conclusio, nervus instrumentalis lassus et uniformiter difformis in grossitie motus tarde per medium resistentiae difformiter difformis causat sonum graviorem et maioris gravitatis quam si idem moveretur per medium resistentiae uniformiter difformis. Et nervus motus ceteris paribus [118] per medium resistentiae uniformiter difformis, ut dicit praecedens conclusio, causat sonum graviorem quam si idem moveretur per medium resistentiae uniformis. Ista conclusio patet quia propter resistentiam medii difformiter difformem, et difformitatem nervi fit motus magis tardus minusque tremebundus, quare pauciores percussiones aeris, cum maior fit resistentia in divisione medii et per consequens sonus gravior praedictis.

Septima conclusio, nervus instrumentalis lassus et difformiter difformis in grossitie motus tarde per medium resistentiae uniformis causat sonum gravem ceteris paribus. Patet conclusio ut praecedens.

Octava conclusio, nervus instrumentalis lassus et difformiter difformis in grossitie motus tarde per medium resistentiae uniformiter difformis causat sonum graviorem ceteris paribus quam si idem moveretur per medium resistentiae uniformis, ut dicit praecedens conclusio, propter resistentiam ex parte medii uniformiter difformem necnon cordae seu nervi difformiter difformem.

Nona conclusio, nervus instrumentalis lassus et difformiter difformis in grossitie motus tarde per medium resistentiae difformiter difformis causat sonum gravissimum ad bonum intellectum et respectu praedictorum. Patet conclusio propter resistentiam difformiter difformem ex parte medii etiam quia grossitiem nervi difformiter difformem, qua propter motus magis tardus in comparatione respectu praedictorum et minus tremembundus et multo pauciores percussiones medii, igitur sonus magis gravis ceteris in respectu praedictorum omnium. De cordis autem aeneis et instrumentalibus possunt comparative poni conclusiones hinc inde proportionando ut actum est de cordis nervorum instrumentalium. De cordis autem mediis inter grossitiem et subtilitatem respectu resistentiae medii proportionabiliter possunt poni conclusiones proportionando consimiliter respectu comparatorum secundum modum praemissum procedendi in praemissis conclusionibus, quas nunc ne tedium studentibus inferamus decrevimus omnino dimittere.

Capitulum X

Declaratio diffinitionis soni

Sicut superius dictum est Boetius primo suae musicae sonum diffinit hoc modo: Sonus est percussio aeris indissoluta usque ad auditum, super qua diffinitione ad ipsius declarationem quaedam notanda sunt.

[119] Primo quod percussio seu reverberatio aeris potest dicere actum, et sic omne illud quod actu percipitur sensu auditus est sonus. Alio modo potest dicere aptitudinem, et sic omne quod actu percipitur vel percipi potest sensu auditus est sonus. Dicimus ergo ad propositum primo modo debet sumi percussio pro quanto dicit actum et non aptitudinem, ut illud dicatur sonus quod actu immutat organum sensus auditus, et illud dicatur reverberatio quoad actu reverberat, et similiter dicendum de percussione. Ex quo sequitur quod si sonus vel reverberatio sumatur pro aptitudine quod male exponitur et contra mentem omnium philosophorum et maxime Boetii primi suae musicae capitulo nono, sic inquientis: Nam neque minima sentire propter sensibilium ipsorum parvitatem potest sensus, et maioribus saepe confunditur, ut in vocibus, quae si minimae sint, difficilius captat eas auditus. Similiter idem tertio suae musicae capitulo primo inquit: Sensus omnis quae minima sunt comprehendere nequit, et probatur consequentia quia cum sonus sit intensibilis et remissibilis quilibet quantumcumque remissus potest immutare organum sensus auditus per eius intensionem, et ex his sequitur secundum notabile, quod nullus sonus in loco remoto factus quem actualiter non percipit auditus est sonus. Patet hoc ex dictis superius. Similiter sonus factus in loco non remoto advertentia intellectus circumscripta non est sonus. Patet quia ex forti et fixa imaginatione circa aliquod imaginabile intellectus non advertit. Similiter organum sensus auditus non denudatur alterius soni speciebus non percipiet sonum proportionatum in distantia proportionata. Patet quia recipiens debet esse denudatum a natura recepti tertio de anima, et dicitur notanter proportionatum quia sonus disproportionatus corrumpit sensum auditus, nam dictum est superius de mente Boetii capitulo nono primi suae musicae et maioribus saepe confunditur. Similiter excellens sensibile corrumpit sensum. Dicitur etiam notanter in distantia proportionata quia non ad quantamcumque distantiam agens naturale citra primum potest agere, nam omne agens naturale citra primum est limitatum in agere et pati, ut voluit philosophorum princeps Aristoteles primo caeli, primo physicorum, in de somno et vigilia, similiter secundo de anima. Omnium natura constantium certus est terminus, post haec dicendum est quod sicut superius dictum est in diffinitione soni, omnis sonus est compositus, et ideo omnis sonus est quoddam successivum, et proprie nulllus est unus sonus, ex quo omnis sonus est compositus. Et quamvis nullus sit sonus unus proprie, aliquis [120] est tamen unus sonus unitate continuationis, et propterea Boetius dixit: Sonus est vox indissoluta usque ad auditum, nam consideravit continuitatem successionis eius, merito cuius secundum communem modum loquendi dicitur unus. Nam propter iunctas velocitates virtus discretiva non potest comprehendere partes simplices componentes sonum, igitur, et cetera.

Capitulum XI

De theorica coniunctionum demonstratione

Priori volumine de vocum coniunctionibus pratice plene tractavimus, quas impraesentiarum theorice intendimus demonstrare. Prima namque coniunctionum omnium dicitur esse tonus ipsius diapason consonantiarum dominae pars remotissima, quem musici esse in sexquioctava proportione consentiunt, sicut in quarto volumine ubi de proportionibus agitur monstratum est. Sed id etiam sic potest aliter demonstrari. Si tonus est in sexquioctava proportione, igitur ubi unus tonus est, ibi una sexquioctava proportio erit, ubi duo toni, ibi duae sexquioctavae proportiones, et ubi tres sunt toni ibi et tres erunt sexquioctavae proportiones, et cetera. Sumantur igitur duo toni continui, scilicet, ut re mi, hi et enim duas probantur sexquioctavas continere proportiones quod sic theoricae demonstratur. Dictum est enim supra in quarto capitulo de primo fundamento inveniendae proportionis quod si duas volumus sexquioctavas invenire proportiones, secundum in numeris octuplum debemus accipere, primus namque octuplus 8 est, secundus vero 64, a quo prima sexquioctava proportio est inchoanda, quae fit si eius pars octava, quae est 8, ipsi 64 fuerit adiuncta et fiet 72. Igitur inter 64 et 72 est una proportio sexquioctava, et per consequens unus tonus, scilicet, ut re. Igitur tonus est in sexquioctava proportione, quod erat demonstrandum.

Praeterea si eidem 72 sua pars octava quae est 9 addatur fiet 81, qui cum 72 aliam sexquioctavam proportionem efficiunt. Continet enim maior minorem totum et eius octavam partem, et per consequens 72 et 81 tonum unum constituunt, qui erit re mi. Hi igitur numeri 64-72-81 duas faciunt sexquioctavas proportiones, et per consequens duos tonos, scilicet, ut re mi. Igitur tonus est in sexquioctava proportione, quod erat demonstrandum.

[121] Praeterea si tres tonos continuos facere volumus, qui tritonum faciunt, ab F primo ad [sqb] secundum tres sexquioctavas oportet habere proportiones, et quia praedictorum numerorum ultimus, scilicet, 81, octavam partem non habet, si octies multiplicati fuerint, 64 reddet 512, 72 576, et 81 648. Sunt ergo numeri producti 512-576-648, qui in ea sunt proportione in qua primi inveniuntur existere, scilicet, in sexquioctava, nam a numero primo ad secundum est proportio sexquioctava, et per consequens unus tonus, et a secundo ad tertium alia sexquioctava, et per consequens alius tonus. Sunt ergo in his numeris duo toni sicut in numeris primis. Si vero ultimo numero, scilicet, 648, sua octava pars adiungatur, quae est 81, fiet numerus 729 qui ad 648 sexquioctavam habet proportionem et per consequens tonum. Hi igitur numeri 512-576-648-729 tres habent sexquioctavas proportiones et per consequens tres tonos. Est igitur tonus in sexquioctava proportione, quod erat demonstrandum.

Praeterea diatesseron pratice duos habet tonos et unum semitonium minus, scilicet, ut re mi fa. Speculative autem duas habet proportiones sexquioctavas et semitonii minoris proportionem. Tunc sic si a diatesseron pratice subtrahatur unus tonus, scilicet, ut re, remanet semidiphtonus scilicet, re fa. Similiter si a proportione diatesseron subtrahatur una sexquioctava debet remanere proportio semidiphtoni, et si sic, tunc tonus erit in proportione sexquioctava. Sed quod subtrahendo unam sexquioctavam remaneat proportio semidiphtoni probatur. Scribatur proportio diatesseron sexquitertia 4-3, cui subordinetur proportio sexquioctava subtrahenda 9-8, et stent sic: 4-3 9-8, et multiplicetur 4 per 8 et productum erit 32, postea multiplicetur 9 per 3 et erit 27, sed inter 32 et 27 est proportio semidiphtoni, sicut patet in libro quarto capitulo de proportione semidiphtoni, igitur, et cetera. Tonus ergo est in proportione sexquioctava, quod erat demonstrandum; posset etiam hoc demonstrari per diapente et diapason, sicut ingeniosus lector per se vel ex se poterit speculari.

   Demonstratio duorum tonorum
64             72              81
     Tonus            Tonus
    Demonstratio trium tonorum
512       576       648       729
    Tonus     Tonus      Tonus

[122] Capitulum XII

Quod tonus non est aequaliter divisibilis

Postquam tonum demonstravimus in sexquioctava proportione consistere pro ipsius plena cognitione, quod non sit aequaliter divisibilis utile est ostendere. Diximus in primo libro capitulo de semitonii minoris descriptione, quod nulla superparticularis proportio est in partes aequales divisibilis. Ratio huius est carentia medii inter terminos et proportiones. Nam ut dicit Euclides quinto elementorum decima et undecima propositionibus quod proportio non dividitur nisi in proportiones, et si dividitur in partes aequales in proportiones aequales. Item ex octava octavi elementorum dicit quod cum proportio non dividatur nisi in proportiones dividitur per medium vel per media continue proportionabilia, et cum inter quoscumque duos terminos certam proportionem producentes unum vel plura media continue proportionabilia reperiantur, inter quoscumque duos alios terminos similis proportionis, tot etiam media continue proportionabilia debent reperiri.

Proportio autem superparticularis omnis cum medio vel mediis continue proportionabilibus careat in partes aequales divisibilis nullatenus esse potest, et quod medio vel mediis continue proportionabilibus careat patet discurrendo per omnes species superparticulares proportionis ut inter 3 et 2 inter quos est proportio sexquialtera, inter 4 et 3 ubi est proportio sexquitertia, inter 5 et 4 ubi est proportio sexquiquarta, inter 6 et 5 ubi est proportio sexquiquinta, inter 7 et 6 ubi est proportio sexquisexta, inter 8 et 7 ubi est proportio sexquiseptima, inter 9 et 8 ubi est proportio sexquioctava, quae est proportio toni, et sic de ceteris.

Inter istos autem terminos aliquam praedictarum proportionum producentes nullum reperitur medium vel media continue proportionabilia cum sint immediati et careant medio. Nulla igitur superparticularis proportio noto atque integro numero in partes aequales est divisibilis, et per consequens nec tonus qui in superparticulari proportione consistit, quod erat demonstrandum.

Item hoc aliter probari potest. Tonus est in proportione sexquioctava cuius primi et minimi numeri sunt 8 et 9, inter quos, ut dictum est, naturaliter non cadit numerus medius, si ambo binario multiplicentur, fient 16 et 18 inter quos naturaliter cadit numerus medius, scilicet, 17; [123] et quia secundum regulam arithmeticae generalem est, si duo numeri in aliqua proportione se habentes eodem numero aucti fuerint, ex eisdem producti in eadem proportione manebunt, erit inter 16 et 18 sexquioctava proportio, et per consequens tonus sicut in primis numeris minimis 8 et 9.

Sed disponantur hi numeri hoc modo 16-17-18 inter primum autem et secundum est proportio sexquidecimasexta, 17 enim 16 continent totum et eius sextamdecimam partem, sed inter secundum et tertium est proportio sexquidecimaseptima, 18 enim 17 habent totum et eius septimamdecimam partem, modo autem decimasexta proportio maior est quam decimaseptima. Igitur proportiones inaequales, et per consequens tonus in partes aequales non est divisibilis, et quod decimasexta proportio sit maior quam decimaseptima patet quia pars sexta maior est parte septima et per consequens maior proportio.

Praeterea in superparticularibus quanto maior in numeris est denominatio tanto minor est proportio; minor est enim proportio 4 ad 3 proportione 3 ad 2, quia minor est una sexquitertia una sexquialtera, maior igitur pars toni est decimasexta minor vero decimaseptima, quod erat probandum.

Praeterea proportio sexquidecimasexta ut 16 ad 17 non est integra medietas toni, quod sic probatur. Illud quod duplicatum excedit aliquid, id ultra dimidium videtur illius esse quod excedit, proportio autem sexquidecimasexta toni integram medietatem excedit, igitur, et cetera. Maior est nota, sed minor probatur, proportio decimasexta est quando maior numerus minorem totum continet et insuper eius sextamdecimam partem, ut 17 ad 16, decimasexta autem pars ipsorum 17 est una unitas et pars decimasexta unius unitatis, quae unitas et pars decimasexta. Si eidem 17 fuerit adiuncta, erit proportio decimasexta duplicata et fiet 18, et pars decimasexta unitatis, quae proportio duplicata non reddit praecise proportionem sexquioctavam, nec per consequens tonum. Sed ipsam excedit per partem decimamsextam, ut plene constat, igitur proportio decimasexta non est toni integra medietas, quod erat probandum.

Similiter proportio decimaseptima integrum toni dimidium non est probatur. Illud quod duplicatum ab integro deficit dimidii quantitatem non tenet, sed proportio decimaseptima duplicata ab integra toni proportione deficit, igitur ipsa toni dimidiam quantitatem non tenet. Maior est manifesta, sed minor probatur. Proportio decimaseptima est quando [124] maior numerus minorem totum continet et eius decimaseptimam partem, ut 18 ad 17. Decimaseptima autem pars ipsorum 18 est una unitas et pars decimaseptima unius unitatis, quae unitas et pars decimaseptima unitatis, si eidem 18 fuerit addita erit proportio decimaseptima duplicata et fiet 19 et pars decimaseptima unitatis, quae proportio duplicata non reddit praecise integram sexquioctavam, sed deficit, cum proportio sexquioctava ad decimamseptimam non sit decimanona et pars decimaseptima unitatis. Sed decimanona et pars octava unius unitatis, igitur, et cetera, et quod proportio decimanona et pars octava unitatis sit sexquioctava ad decimamseptimam probatur. Nam ista octava pars unitatis quam iungimus cum 19 inde venit quia dividimus 17 in octo binarios et in octo octavas partes unitatis, et quia in 19 est binarius ultra 17, si octava pars unitatis ei addatur, necessario erit ibi sexquioctava proportio. Non est igitur proportio decimaseptima duplicata sexquioctava proportio, quia si 18 dividatur in 18 partes aequales, et duplicetur una pars, tantum deest de tono, quantum decimaseptima pars unitatis est minor octava parte unitatis. Non igitur sexquidecimasexta proportio neque sexquidecimaseptima est integra toni medietas, esset enim si qua duplicata integrum tonum efficeret, sed una transcendit, altera vero deficit.

Integra autem toni medietas licet in integris numeris inveniri non possit, hoc tamen potest modo ostendi: Sit enim 16 E-17 G-18 F, medietas igitur toni inter G et F cadere nullatenus potest, cum duplicata ipsa proportio tonum non impleat, ut superius dictum est vel probatum est, et minor est proportio G-F proportione G-E. Integra igitur toni medietas ad maiorem partem rata ponenda est, et sit ipsa medietas H et quia H-F proportio est integrum toni dimidium, est maior G-F proportione, quae pars toni minor est. Sed E-G proportio quae est maior pars toni E-H proportione maior est, quae est dimidium toni, et quia E-G proportio est sexquidecimasexta G-F. Autem sexquidecimaseptima procul dubio integra toni medietas inter sexquidecimamsextam et sexquidecimamseptimam proportionem, licet non integro numero penitus reperitur. Sunt igitur partes toni necessario inaequales et per consequens in partes aequales tonus dividi non potest, sicut in infrascriptis patet demonstrationibus.

[125] [CSM7/3:125; text: Sexquioctava proportio, Sexquisextadecima proportio, Sexquiseptadecima proportio, 16, 17, 18, Maior pars toni, Minor pars toni, Tonus, Sexquisextadecima, Medietas toni integra, Sexquiseptimadecima, E, H, G, F, 18 1/16, 19 1/17, 19 1/8, Sexquioctava, Sexquisextadecima duplicata tonum excedens, Sexquiseptimadecima duplicata a tono deficiens] [UGODEC5 01GF]

Si forte aliquis instando diceret quod auctis binario proportionis sexquioctavae numeris primis minimis, scilicet, 8 et 9, 16 et 18 proveniunt qui medium habent proportionabilem numerum, scilicet, 17, ut dictum est, igitur proportio sexquioctava divisibilis est in pares partes, et per consequens tonus.

Similiter si praedicti numeri 8 et 9 ternario augeantur fiet 24 et 27 in eadem proportione qui habent media proportionabilia, scilicet, 25 et 26, ergo talis proportio potest dividi in pares partes, et per consequens tonus.

Similiter si praedicti numeri 8 et 9 augeantur quaternario fiet 32 et 36 in eadem proportione, qui habent media proportionabilia, scilicet, 33-34-35, igitur talis proportio est divisibilis in partes pares, et per consequens tonus in ea proportione consistens, et cetera.

Ad haec respondetur quod licet numerus 17 sit unicum medium illorum extremorum, scilicet, 16 et 18, quae sunt in sexquioctava proportione, tamen illud medium non est continue proportionabile. Patet hoc quia illae duae proportiones non sunt aequales, sicut superius probatum est, igitur, et cetera.

[126] Similiter ad secundum et tertium respondendum est quod illa media licet sint proportionabilia, non sunt tamen continue proportionabilia. Ratio est quia media inter se et media cum extremis non aequales habent proportiones, quia alia est proportio extremorum et alia mediorum cum extremis, et alia mediorum inter se et per consequens non sunt continue proportionabilia, quod tamen requireretur, si extremorum proportio aequaliter esset divisibilis. Medium igitur vel media non dividunt proportionem sexquioctavam in partes aequales. Igitur dicendum est quod nullo modo proportio sexquioctava sit divisibilis in partes pares, quia cum proportio non dividatur nisi in proportiones, tunc proportio superparticularis esset divisibilis in proportiones aequales, quae ipsam sic divisam superparticularem proportionem simul iunctae viderentur efficere, quod est falsum, sicut patet in proportione sexquioctava superius hic posita, quorum numeri sunt binario, ternario et quaternario aucti, quorum medium vel media non sunt continue proportionabilia, nec proportionem divisam constituentia, igitur, et cetera.

Capitulum XIII

De semitonio minore quod non sit integrum dimidium toni

Semitonium minus quod in primo volumine suo capitulo diffinivimus cuius proportio in quarto est demonstrata eam proportionem habet, quae ad dimidii toni integritatem non pervenit, quod sic demonstrare oportet. In quarto volumine in capitulo de diatesseron inventione ostendimus diatesseron in his quatuor numeris plene consistere, scilicet, 192-216-243-256, in quibus duo toni et semitonium minus sive duae sexquioctavae et minoris semitonii proportio continentur. A primo enim numero ad secundum sexquioctava est proportio, a secundo ad tertium est eadem, sed tertii ad quartum semitonii minoris quod dicimus ad integrum toni dimidium non attingere est proportio. Et quod ad integrum toni dimidium tale semitonium non attingat sic probatur. Hi etenim sunt minoris semitonii numeri, scilicet, 243-256, quorum differentia est 13. Qui numerus 13 si octies multiplicatus ad primi numeri, scilicet, 243, qui minor est integram, [127] medietatem attingeret, non minus sed integrum semitonium merito vocaretur. Sed cum ad eandem octies multiplicatus non perveniat, minus semitonium meruit nuncupari, et quod 13 octies ductus ad integram medietatem 243 non attingat, pluribus rationibus demonstratur. Primo namque 13 octies ductus producit numerum 104, sed integra medietas ipsorum 243 est 121 et semis, ad quam non attingit numerus 104, deficit enim numerus 17 et semis. Igitur ipsum semitonium minus est et integram toni medietatem non habet, quod enim a medio distat medii ratione caret.

Praeterea a primo numero 192 ad secundum 216 est proportio sexquioctava, quorum differentia est 24, octies enim 24 efficiunt 216. A secundo numero 216 ad tertium 243 est proportio sexquioctava quorum differentia est 27, octies enim 27 producunt 216, sed a tertio numero 243 ad quartum 256 non est sexquioctava. Probatur quia octava pars numeri 243 est numerus 30 et 3/8, quae iuncta cum 243, cuius est octava, efficit numerum 273 et 3/8, qui numerus transcendit numerum 256. Non est igitur inter 243 et 256 sexquioctava proportio, sed proportio minoris semitonii, quae ad integram toni medietatem non pervenit, quod erat probandum.

Praeterea illud dicitur medium integrum obtinere quod duplicatum totum efficit, cuius est medium, sed 13 duplicatus octies factus totum numerum 243 non implet. Probatur quia 26 octies vel 13 decies sexies ductus, quod idem est, efficit 208 qui ad numerum 243 non videntur ascendere. Deficit enim numerus 35, igitur, et cetera.

Praeterea si semitonium minus sive eius proportio 256 et 243 esset integrum dimidium toni, tunc iunctae ad invicem duae praedictae proportiones tonum seu sexquioctavam proportionem efficerent, sed ipsae ad invicem iunctae eam proportionem non faciunt, igitur ipsa proportio 256 et 243 integrum dimidium toni non tenet. Maior est nota, sed minor probatur. Iungantur ad invicem et uni altera addatur duae semitonii minoris proportiones, secundum regulam secundi fundamenti in libro quarto datam, et stent sic: 256-243 256-243, et primi termini se ad invicem respicientes propria numerositae multiplicentur, et ex eis productum erit 65536, deinde secundi numeri qui sibi in minimo correspondent in se ipsis deducantur, [128] et ex eis productum erit 59049. Modo dicti numeri sic producti ad invicem sexquioctavam proportionem non habent, sed ab ea sexquioctava proportione deficiunt, et per consequens tonum non complent, igitur dicti numeri non plenum toni dimidium habent, sed ab eius integra medietate deficiunt. Et quod dicti numeri a primis producti, scilicet, 65536 et 59049, ad invicem sexquioctavam non habeant proportionem probatur, nam pars octava numeri minoris 59049 est numerus 7381 et 1/8, quem non continet ultra totum minorem numerus maior, scilicet, 65536, sed continet ultra minorem numerum 6487, qui a numero 7381 et 1/8 deficit in 894 et 1/8. Igitur praedicti numeri 65536 et 59049 sexquioctavam non faciunt proportionem, quod erat demonstrandum.

Praeterea si dicta octava pars, scilicet, 7381 et 1/8, suo numero cuius est octava pars addatur, tunc numerus qui prius erat continens continebitur, et excedetur, quia adiuncti numeri 59049 et 7381 et 1/8 efficiunt 66430 et 1/8, qui 65536 omnino transcendunt. Non est igitur inter praedictos numeros duplatos sexquioctava proportio, quod erat probandum.

Confirmatur enim hoc secundum quosdam in praedictis numeris sic. Si praedicti numeri duorum semitoniorum producti ex additione proportionis semitonii minoris, scilicet, 65536 et 59049, coniungantur cum primis numeris sexquioctavae proportionis, scilicet, 9 et 8, et stent sic: 65536-59049 8-9, et maior numerus istorum per minorem numerum sexquioctavae proportionis, scilicet, per 8, multiplicetur productum erit [52288]. Deinde minor numerus istorum per maiorem sexquioctavae proportionis multiplicetur, scilicet, per 9, et productum erit [531441]. Productum igitur ex minori numero multiplicato per maiorem numerum sexquioctavae proportionis, scilicet, per 9, est maius quam productum ex maiori numero multiplicato per minorem numerum sexquioctavae proportionis, scilicet, per 8, ex quo sequitur quod proportio semitonii minoris duplicata vel alteri proportioni semitonii minoris adiuncta minor est quam una sexquioctava proportio, et per consequens duo semitonia minora ad magnitudinem toni non videntur attingere. Semitonium igitur quod minus appellamus integram toni meditatem non tenet, quod erat declarandum.

Boetius autem volens probare proportionem semitonii quae est inter [129] 256 et 243 non esse integrum dimidium toni has rationes adducit libro secundo suae musicae capitulo secundo. Medietas integra toni cadit inter decimamsextam et decimamseptimam partem eiusdem toni, sed proportio semitonii praedicta non cadit inter has partes, scilicet, decimamsextam et decimamseptimam, proportio igitur ipsa semitonii non est integra medietas toni. Maior est nota et probata in capitulo praecedenti, ubi ostenditur quod tonus non est aequaliter divisibilis, in quo demonstratur quod medietas integra toni est minor decimasexta parte et maior decimaseptima, vide ipsum, igitur, et cetera. Minor probatur quia numerus 13, qui est differentia 256 et 243, non cadit inter decimamsextam et decimamseptimam partem minoris, id est, 243, et quod non cadat probatur, quoniam 13 decies sexies ducti efficiunt [208], si vero decies septies ducantur producunt 221 inter quos numeros 243 non cadit. Sed 13 si decies octies ducti fuerint erunt 234, qui 243 non videntur aequare, si vero decies novies multiplices efficient 247 qui 243 omnino transcendunt; est igitur proportio semitonii praedicti inter decimamoctavam partem et decimamnonam, non autem inter decimamsextam et decimamseptimam partem, quod erat demonstrandum. Est igitur verum semitonium minus minus decimaoctava parte et maius decimanona parte. Cadit enim numerus 243 inter 13 decies octies ductum, et decies novies, ut dictum est, qui numeri sunt 234-243-247. Est igitur semitonium minus minus decimaoctava parte, quae est a numero medio ad primum, et maius decimanona parte, quae est a numero medio ad ultimum. Non est igitur semitonium minus integrum dimidium toni.

Alia Boetii ratio est haec, quod numeri proportionis semitonii minoris, scilicet, 256 et 243, ad invicem adiungatur sive duplentur et in semetipsis, et alter cum altero multiplicentur et primo primus, scilicet, 256, in se ductus efficit 65536, sicut superius ostensum est, secundo secundus in se multiplicatus, scilicet, 243, producit 59049, tertio alter cum altero ductus, scilicet, 256 cum 243, efficit 62208, qui medius duorum erit, ut hic 65536-62208-59049. Nunc hi numeri secundum quandam regulam arithmeticae in ea sunt proportione in qua ante duplicatam ac multiplicatam proportionem erant. Regula enim haec est: In omni proportione si uterque terminus sua quantitate multiplicetur alterque per alterum multiplicatus [130] concrescat in tribus terminis, qui ex hoc augmento nascentur, eadem erit proportio quae et in duobus primis. Primus igitur horum numerus et secundus in eadem sunt proportione in qua erant 256 et 243, ex quibus multiplicata et duplata proportione nascuntur, et similiter secundus et tertius ab eis eodem modo producti in eadem erunt proportione qua prius, sed ea ut praefertur ex quo alteri altera est coniuncta duplicata est. His itaque sic dispositis probat Boetius in his numeris non esse integrum toni dimidium hoc modo: Quidquid enim cuiuscumque est dimidium id si dupletur id efficit cuius dicitur esse dimidium. Si vero id implere non possit geminata particula minus est parte dimidia, et secundum hoc potest sic argui: omne dimidium geminatum efficit illud cuius est dimidium, et omne geminatum non complens totum cuius ipsum est pars est minus parte dimidia. Sed numeri praedicti sive eorum proportiones scilicet, 65536-62208-59049, sunt geminatae et duplatae quia sunt productae a geminatis et duplatis numeris sive ex eorum proportionibus 256 et 243, et non reddunt totum tonum sive eius proportionem, cuius sunt partes. Igitur praedicti numeri sive eorum proportiones sunt minus parte dimidia. Maior pro utraque parte est notissima et minor pro prima parte etiam nota est, quia primorum numerorum proportio est geminata, ut patet, et quod hi tres numeri praedicti non reddant totum tonum sive eius proportionem probatur, nam a primo et maiori numero ad secundum est proportio semitonii minoris, a secundo ad tertium est alia semitonii minoris proportio, sicut dictum est. Sed a primo et maiori ad ultimum et minorem non est sexquioctava proportio quae est toni, igitur praedictorum numerorum proportiones non faciunt totum tonum. Et quod a primo numero ad ultimum non sit sexquioctava proportio probatur eo modo quo superius in hoc capitulo in alia probatione dictum est, scilicet, quia octava pars minoris numeri, scilicet, 59049, quem continet maior numerus, est numerus 7381 et 1/8 unitatis, quem ultra ipsum totum minorem contendum non continet ipse maior et primus numerus, scilicet, 65536, sed qui continetur numerus a maiore ultra minorem est numerus 6487, qui a numero 7381 et 1/8, qui est pars octava 59049, distat per numerum 894 et 1/8, qui ad complendam sexquioctavam proportionem videtur deficere, sicut superius dictum est. Non ergo inter dictos numeros, scilicet, inter primum et tertium, sexquioctava proportio nec per consequens inter 256 et 243, qui sunt illorum radices, est proportio integri dimidii toni, sed hoc semitonium minus est et pars toni minor quam dimidia, quod erat demonstrandum.

[131] Item alio modo probatur semitonium minus non esse integrum toni dimidium sic: Integrum dimidium toni, ut superius probatum est, est inter decimamsextam et decimamseptimam proportionem, quia minus est decimasexta et maius decimaseptima proportione. Igitur ubi sit proportio minor sexquidecimaseptima proportione qua semitonium integrum maius est, ibi toni dimidium integrum non est sed semitonium minus est in proportione minori quam sexquidecimaseptima, igitur semitonium minus integrum toni dimidium non est. Maior nota est ex praecedentibus et minor probatur per Boetium tertio suae musicae capitulo, ubi ad hoc probandum sumit ipsorum 243 partem decimamoctavam, quae est 13 et semis, quia 13 et semis decies octies ducti faciunt 243, et decies novies faciunt 256 et semis, decies octies enim 13 faciunt 234, et decies octies semis faciunt 9, quae coniuncta constituunt 243. Similiter decies novies 13 faciunt 247 et decies novies semis faciunt 9 et semis, quae coniuncta efficiunt 256 et semis. Modo haec proportio minor est quam sexquioctava propter semis quod ultra 256 superest. Et decimaoctava proportio minor est quam decimaseptima, sed nulla proportio minor decimaseptima potest esse proportio semitonii minoris nec per consequens proportio integri dimidii toni, quia quod est minus minore est etiam maiore minus. Igitur semitonium minus non est integrum dimidium toni, sed est secundum hoc notandum quod 256 et semis se habent ad 243 et semis in sexquioctavadecima proportione.

Item notandum quod isti duo numeri qui creverunt per semis habent maiorem proportionem cum augmento semis quam sine semis, quod videtur opponi quod in maiori numero sit maior proportio superparticularis, quod idcirco videtur evenire quod haec augmentatio non fit per integros numeros, et quia superius dictum est et probatum semitonium minus consistere in proportione sexquidecimaseptima et hic probatur semitonium ipsum esse in proportione minori quam sexquidecimaseptima. Videtur haec contradictionem implicare, idcirco notandum quod si tonus dividatur in semitonium maius et minus quod semitonium minus tunc invenitur a 17 usque ad 18. Si autem semitonium minus consideretur in sexquitertia aut in sexquialtera proportione, id est, in diatesseron vel diapente, tunc cadit inter 18 et 19. Superiorum demonstrationes eae sunt.

[CSM7/3:131; text: Proportio minoris semitonii, 256, 243, Non est integrum dimidium toni] [UGODEC5 01GF]

[132] [CSM7/3:132; text: Octies ducti non implent semitonii dimidium, 13, [104], 243, 121 1/2, Integra 243 medietas, Ex convenientis duabus semitonii proportionibus multiplicatis ii duo numeri producuntur, Productorum differentia minoris non sexquioctava, 6487, 256-243, 65536, 59049, 7381, Minoris sexquioctava, Ex productis numeris non provenit sexquioctava proportio, Maior numerus per minorem sexquioctavae proportionis ductus producit numerum. Productum ex maiori numero multiplicato per minorem sexquioctavae proportionis, [524288], 8, [531441], 9, Est minus quod productum ex minori multiplicato per maiorem sexquioctavae proportionis. Minor numerus per maiorem sexquioctavae proportionis ductus producit numerum] [UGODEC5 02GF]

[133] [CSM7/3:133; text: Decies sexties ductus producit numerum, Inter hos numeros non cadit semitonium minus, 13, [208], 221, quia numerus 243 inter eos non cadit, Decies septies multiplicatus producit numerum, Decies octies multiplicitur producit numerum. Proportio semitonii minoris cadit inter hos numeros, 234, 247, quia inter primum et secundum cadit ipse numerus 243. Decies novies ductus producit numerum, Semitonium minus inter decimamoctavam et decimamnonam proportionem, 18a, 19a, 243, Et minus decimaoctava parte et maius decimanona parte, Sexquidecimaoctava proportio in numeris productis. Decies octies ductus facit numerum, 13 et semis, 256 et semis, Decies novies ductus facit numerus. Semitonium minus in numeris his productis] [UGODEC5 03GF]

[134] Capitulum XIV

De semitonio maiore

Postquam de minore semitonio quod toni partem minorem tenet declarando plene tractavimus, de reliquo quod a graecis apotome a nobis autem decisio nuncupatur dicendum est, ut eorum cognita differentia ipsius toni perfecta habeatur cognitio. Hoc enim semitonium maius dicitur eo quod toni pars maior est et eius spatii partem maiorem occupat, quia quanto minus semitonium a toni integra medietate deficit, tanto maius semitonium eam medietatem transcendit, sicut superius demonstratum est. Sed qualiter in numeris primis eorum speculatio comprehendatur declarandum est. Numeri namque primi in quibus proportio semitonii minoris consistit sunt 243 et 256, sicut pluries superius dictum est, et quia in huiusmodi semitoniorum demonstratione, ut fiat plena comprehensio, est necessaria toni sive sexquioctava proportio in qua utriusque semitonii habitudo continetur, qua sexquioctava in integris numeris ipse numerus 243 ex imparitate caret, si ambo hi numeri numero octonario crescant sive octies augeantur in eis proportio, sexquioctava fiet et ipsorum differentia comprehendetur. Augeantur igitur octies 243 et productum erit 1944, cui si propria adiungatur octava, scilicet, 243, fiet numerus 2187 habens sexquioctavam proportionem ad prium; et similiter 256 octies crescant quorum productum erit 2048, qui in numerorum medio collocetur hoc modo, scilicet, 1944-2048-2187. Primus enim numerus et secundus in ea semitoniali sunt proportione in qua ipsorum radices sunt, scilicet, 243 et 256, a quibus octonaria sunt multiplicatione producti, et sic inter eos est semitonium minus, sic enim vult arithmeticae regula: Quod si eodem numero quilibet numeri multiplicentur, qui ex ea multiplicatione proveniunt eam habent proportionem quam prius numeri multiplicati tenebant. Item primus ad tertium, sicut dictum est, sexquioctavam habet proportionem et per consequens tonum efficiunt, habet enim numerus maior minorem totum et eius octavam partem. Sed secundi numeri ad tertium est apotome sive semitonii maioris proportio. Constat ergo sexquioctavam proportionem maius et minus semitonium continere seu erorum proportiones complecti. Numeri ergo apotome seu maius semitonium efficientes sunt 2048 et 2187, inter quos est ipsius semitonii maioris proportio, sicut in quarto libro capitulo de proportione maioris semitonii continetur, vide ipsum, in quo demonstratur quod si a tono sive a sexquioctava proportione abstrahatur [135] semitonium minus sive eius proportio quod remanet proportio semitonii maioris. Item ibidem demonstratur quod si a tritono abstrahatur diatesseron quod etiam remanet semitonii maioris eadem proportio, huius demonstratio est haec:

[CSM7/3:135; text: Tonus, Semitonium minus, 243, 256, Octies ductus producit, 1944, 2048, 2187, Semitonium maius, Sexquioctava proportio] [UGODEC5 04GF]

Capitulum XV

De diphtono

Diphtonus pratice duos amplectitur tonos, theorice autem duas sexquioctavas proportiones cuius proportio est inter 81 et 64, cuius differentia est 17, sicut in quarto libro in suo capitulo demonstratum est, et quod diphtonus duas sexquioctavas proportiones contineat sic potest demonstrari. Illud duas partes dicitur aequales habere quarum si una removeatur remanet altera, sed si a diphtono una removeatur sexquioctava remanet altera, igitur duas diphtonus continet sexquioctavas. Maior est manifesta et minor probatur, quia a proportione diphtoni 81 et 64 abstrahatur secundum regulam abstractionis datam in quarto in capitulo de secundo fundamento una sexquioctava 9 et 8, et stent sic: 9-8 81-64, et multiplicetur 81 per 8 et productum erit 648. Item multiplicetur 64 per 9 et producetur numerus 576, qui numeri 648 et 576 unam faciunt sexquioctavam proportionem. Est enim eorum differentia 72, qui ipsorum 576 pars est octava, octies enim 72 producunt 576. Subtracta igitur a diphtono una [136] sexquioctava remanet alia. Igitur diphtonus duas in se continet sexquioctavas proportiones, quod erat demonstrandum. Et quod ista sexquioctava 648 et 576 sit una ex sexquioctavis quae remansit diphtono probatur, quia alia sexquioctava addita huic sexquioctavae 648 et 576 provenit diphtonus, qui non proveniret nisi haec esset sexquioctava quae remansit. Et quod proveniat diphtonus probatur: Scribatur haec sexquioctava 648 et 576 cui subordinetur alia sexquioctava, 9 et 8, et stent sic: 648-576 9-8, et multiplicetur adiungendo 648 per 9 et productum erit 5832. Deinde multiplicetur 576 per 8 et productum erit 4608, quorum differentia est 1224. Qui numeri ad invicem diphtoni proportionem habent. Igitur, et cetera, et quod isti numeri 5832 et 4608 habeant diphtoni proportionem probatur, quia si ab eis abstrahatur una sexquioctava proportio et alia sibi sexquioctava remaneat habetur propositum. Scribantur igitur praedicti numeri cum subscripta proportione sexquioctava, et stent sic: 5832-4608 9-8, et multiplicetur 5832 per 8 et productum erit 46656. Postea multiplicetur 4608 per 9 et productum erit 41472, quorum differentia est 5184, qui ipsius numeri 41472 pars est octava. Igitur praedicti numeri, scilicet, 46656 et 41472, in sexquioctava proportione se habent. Igitur numeri praedicti 5832 et 4604 diphtoni proportionem tenent, quod erat probandum.

Diphtonus superat semidiphtonum per semitonium maius probatur, quia si a diphtoni proportione semidiphtoni proportio abstrahatur remanet semitonii maioris proportio. Scribatur ergo proportio diphtoni 81-64 cui subscribatur semidiphtoni proportio 32-27, et stent sic: 81-64 32-27, et multiplicetur 81 per 27 et productum erit 2187. Deinde multiplicetur 64 per 32 et producetur numerus 2048, qui numeri sunt proportionis semitonii maioris quae remanet abstracto semidiphtono a diphtono. Igitur diphtonus superat semidiphtonum per semitonium maius, quod erat probandum.

Item hoc etiam aliter probatur, scilicet, quod si a diphtono semitonium maius abstrahitur sive eius proportio, remanet proportio semidiphtoni. Scribatur igitur proportio diphtoni cum subscripta proportione semitonii maioris abstrahenda, et stent sic: 81-64 2187-2048, et multiplicetur 81 per 2048 et productum erit 165888. Item multiplicetur 64 per 2187 et productum erit 139968, quorum differentia est 2592. Sed inter eos [137] numeros, scilicet, 165888 et 139968, est proportio semidiphtoni. Igitur diphtonus supervadit semidiphtonum per maius semitonium, quod erat demonstrandum.

[CSM7/3:137; text: Octies 81 multiplicati faciunt, Diphtonus, differentia 72, Sexquioctava, 81-64, 648, 9-8, [576], Sexquioctava abstracta, Novies 64 producti, Novies 648 multiplicati efficiunt, Proportio diphtoni differentia 1224, 648-576, 5832, [4608], Sexquioctava adiuncta, Octies 576 producti, Octies 5832 producti, Proportio diphtoni, Sexquioctava differentia 5184, 5832-[4608], 46656, 41472, Novies [4608] producti, Ducti 81 per 27 efficiunt, Semitonium maius differentia 139, 2187, 32-27, 2048, Semidiphtonus abstractus, Ducti 64 per 32 efficiunt] [UGODEC5 05GF]

[138] [CSM7/3:138; text: Ducti 81 per 2048 efficiunt, Diphtonus, Semidiphtonus differentia 2592, 81-64, 165888, 2187-2048, 139968, Semitonium maius abstractum, Ducti 64 per 2187 faciunt] [UGODEC5 04GF]

Capitulum XVI

De semidiphtono

Semidiphtonus, cuius descriptio posita est in primo libro et proportio in quarto, unum habet tonum pratice et unum semitonium minus, sed speculative proportionem sexquioctavam et semitonii minoris habitudinem tenet, cuius ratio sic potest demonstrari. Tonus est in proportione sexquioctava 9 et 8, semitonium minus est inter 256 et 243, et semidiphtonus est in proportione quae est inter 32 et 27, sicut de omnibus dictum est superius. Si igitur a proportione semidiphtoni abstrahatur sexquioctava et remaneat proportio semitonii minoris, clara est demonstratio. Scribatur igitur proportio semidiphtoni supradicta cui subscribatur proportio sexquioctava, et stent sic: 32-27 9-8, et multiplicetur abstrahendo 32 per 8, et productum erit 256. Deinde multiplicetur 27 per 9 et producetur numerus 243, qui numeri 256 et 243 sunt numeri proportionis semitonii minoris, quae remanet subtracta sexquioctava proportione a diphtono, igitur, et cetera.

Item semidiphtonus a diatesseron tono dicitur superari. Si igitur proportio toni a diatesseron abstrahatur, et remaneat proportio semidiphtoni, clara erit eius demonstratio. Scribatur ergo una sexquitertia cui subordinetur una sexquioctava subtrahenda et stent sic: 4-3 9-8, et multiplicetur subtrahendo 4 per 8, et productum erit 32. Postea multiplicetur 9 per 3 et producetur numerus 27, qui numeri 32 et 27 sunt proportionis semidiphtoni qui solam sexquioctavam proportionem cum proportione minoris semitonii videtur habere, igitur, et cetera.

Item si proportio semitonii minoris addatur secundum regulam additionis uni sexquioctavae proportioni, sequetur proportio semidiphtoni, et si sic habetur propositum. Ordinentur ergo sic: 9-8 256-243, et multiplicetur [139] adiungendo 9 per 256, et productum erit 2304. Postea multiplicetur 8 per 243 et producetur numerus 1944, quorum differentia est 360. Inter hos enim numeros 2304 et 1944 est semidiphtoni proportio, quod erat demonstrandum.

Et quod inter ipsos numeros 2304 et 1944 sit proportio semidiphtoni sic potest demonstrari. Nam si a dictis numeris proportionem semidiphtoni constituentibus, scilicet, 2304 et 1944, una sexquioctava removeatur remanet ipsa proportio semitonii minoris, et quod ipsa proportio semitonii minoris remaneat probatur. Ordinentur enim sic ipsae proportiones: 2304-1944 9-8, et multiplicetur subtrahendo 2304 per 8, et productum erit 18432. Item multiplicetur 1944 per 9 et productum erit 17496, qui numeri 18432 et 17496 in proportione minoris semitonii se habent. Quod sic demonstratur, nam eorum differentia est numerus 936, quem maior numerus continet ultra minorem. Qui 936 octies ducti ad medietatem minoris, scilicet, 17496, non ascendit, probatur quia medietas 17496 est numerus 8748, et numerus 936 qui est illorum differentia octies ductus facit [7488], qui ei numero 8748 non videtur aequare, deficit enim a numero 8748, qui est integra medietas minoris numeri, in numero [1260]. Abstracta igitur a proportione semidiphtoni quae est inter 2304 et 1944 una sexquioctava remanet proportio semitonii minoris, quod erat demonstrandum. Continet ergo semidiphtonus sexquioctavam proportionem cum semitonii minoris proportione, quod fuit primo propositum. Horum demonstrationes sunt istae:

[CSM7/3:139; text: Ducti 32 per 8 producunt, Semidiphtonus, Semitonium minus, 32-27, [256], 243, Sexquioctava abstracta, Ducti 27 per 9 efficiunt, Ducti 4 per 8 producunt, Diatesseron, Semidiphtonus differentia 5, 4-3, 32, 9-8, 27, Ducti 3 per 9 producunt] [UGODEC5 04GF]

[140] [CSM7/3:140; text: Ducti 9 per 256 producunt, Tonus, Semidiphtonus differentia 360, 9-8, 2304, 256-243, 1944, Semitonium minus adiunctum, Ducti 8 per 243 faciunt, Ducti 2304 per 8 producunt, Semidiphtonus, Semitonium minus differentia 936, 2304-1933, 18432, 17496, Tonus abstractus, Ducti 1944 per 9 producunt] [UGODEC5 06GF]

Capitulum XVII

De diatesseron

Diatesseron quae omnium est consonantia prima, ut dictum est in primo et in quarto, pratice duos habet tonos et semitonium unum minus. Theorice autem duas continet sexquioctavas proportiones et minoris semitonii proportionem. Quomodo autem huiusmodi demonstratio fiat in quarto libro in capitulo de primo fundamento plenius declaratur, et quia pluries repetita placebunt, dicimus quod huiusmodi ratio taliter est assumenda. Nam omnis sexquioctava proportio ortum habet ex octuplo, quia prima sexquioctava ex primo octuplo oritur, secunda sexquioctava ex secundo octuplo, tertia ex tertio, et sic ultra; octupli autem sunt 8-64-512-4096, et sic ultra. Quo fit ut si unius toni sive unius sexquioctavae rationem quaerimus primus octuplus est habendus qui est 8 cum eius parte octava quae est unitas. Modo ipsa unitas cum 8 9 efficiunt, et sic inter 9 et 8 est prima sexquioctava proportio sive primus tonus a primo octuplo derivata. Si vero duos tonos sive duas sexquioctavas proportiones volumus invenire, a secundo octuplo qui est 64 debemus incipere, cui si pars sua octava adiungitur quae est 8 eius sexquioctava proveniet, quae est 72, est enim inter 64 et 72 sexquioctava proportio, quae duorum tonorum est prima. Secundum autem proportionem sexquioctavam habebimus si [141] ipsi numero 72 eius octavam partem adiungimus, quae est 9, ex qua fit numerus 81, et sic hi numeri 64-72-81 duos tonos sive duas sexquioctavas proportiones efficiunt, a secundo octuplo inchoatas. Similiter si tres volumus continuos invenire tonos seu sexquioctavas proportiones a tertio octuplo debemus incipere, si quatuor a quarto, et sic ultra, sicut plenissime in quarto est declaratum. Nunc autem diatesseron demonstrationem quaerimus declarare. Quae quoniam in sexquitertia dicitur esse proportione, et ipse numerus 64 a quo eius inchoatio fit partem tertiam non habet, qua proportio sexquitertia conficitur, hos numeros duos tonos sive duas sexquioctavas proportiones efficientes numero oportet ternario crescere, ut 64 ter ducti faciunt 192, 72 ter multiplicati 216 producunt, et 81 ter aucti 243 efficiunt. Sunt ergo numeri praedicti vel producti 192-216-243, qui in ea sunt proportione in qua eorum radices dicuntur esse. Sunt ergo in eis duae sexquioctavae proportiones et per consequens duo toni, ex quibus completam diatesseron duos tonos et semitonium minus continentem habere poterimus, si eam in sua sexquitertia proportione ponemus. Sexquitertiam autem proportionem in his numeris faciemus, si primo numero, scilicet, 192, suam tertiam partem quae est 64 addemus, additus enim numerus 64 ipsi 192 constituunt 256, qui horum numerorum ultimus inveniatur. Sint ergo numeri diatesseron efficientes 192-216-243-256. Inter primum autem numerum et ultimum est proportio sexquitertia, quae est ipsius diatesseron, includunt enim hi numeri diatesseron duos tonos et minus semitonium continentem. Ergo inter primum et secundum est proportio sexquioctava et per consequens tonus, ut dictum est. Inter secundum et tertium est alia sexquioctava et alius tonus, sed inter tertium et quartum est necessario semitonii minoris proportio. Duos ergo tonos et semitonium minus faciunt praedicti numeri in diatesseron contenti quod pratice dicitur, speculative autem duas sexquioctavas proportiones et semitonii minoris proportionem efficiunt, quae fuerunt primum proposita, haec enim in subscripta demonstratione patent. Quod autem praedictum semitonium sit minus et integram toni medietatem non teneat. Hic superius in suo capitulo demonstratum est et luculenter.

[142] [CSM7/3:142; text: Proportio sexquitertia, Sexquioctava, Semitonii minoris proportio, 192, 216, 243, 256, Tonus, Semitonium minus, Diatesseron] [UGODEC5 06GF]

Diatesseron superat semitonium minus per diphtonum, quoniam si a diatesseron proportio diphtoni abstrahatur ipsius semitonii minoris proportio dicitur remanere. Ordinetur igitur diatesseron proportio 4 et 3, cui subordinetur diphtoni proportio abstrahenda 81 et 64, et stent sic: 4-3 81-64, et multiplicetur 4 per 64 vel e contra, et fiet numerus 256. Postea multiplicetur 3 per 81 vel e contra, et fiet numerus 243, inter quos numeros 256 et 243 est proportio semitonii minoris quae remanet diphtono abstracto a diatesseron. Superat igitur diatesseron semitonium minus per diphtonum, quod erat demonstrandum.

Item diatesseron maior est semidiphtono uno tono; probatur quia si a diatesseron proportio toni subtrahitur proportio semidiphtoni dicitur remanere. Scribatur igitur proportio diatesseron 4 et 3, cui subscribatur proportio toni, id est, sexquioctava, subtrahenda 9 et 8, et stent sic: 4-3 9-8, et multiplicetur 4 per 8, et erit numerus 32. Deinde multiplicetur 3 per 9 et productum erit 27. Modo inter 32 et 27 est proportio semidiphtoni quae remanet abstracto tono a diatesseron. Maior est igitur diatesseron semidiphtono uno tono, quod erat demonstrandum.

Item diatesseron maior est diphtono uno minore semitonio; probatur quoniam si proportio semitonii minoris removeatur a diatesseron, remanet proportio diphtoni. Et quod remaneat patet, nam scribatur diatesseron proportio 4 et 3, cui subscribatur proportio semitonii minoris subtrahenda 256 et 243, et stent sic: 4-3 256-243, et multiplicetur subtrahendo 4 per 243, et producetur numerus 972. Item multiplicetur 3 per 256 et erit numerus 768, quorum differentia est 204. Inter hos autem numeros 972 et 768 est proportio diphtoni, quod erat declarandum. Et quod inter eos numeros sit proportio diphtoni probatur, quia si a dictis numeris [143] abstrahatur una sexquioctava remanet alia sexquioctava. Et quod remaneat probatur, scribatur dicti numeri proportionis diphtoni, quibus numeri sexquioctavae proportionis abstrahendae subscribantur, et stent sic: 972-768 9-8, et multiplicetur subtrahendo 972 per 8 et producetur numerus 7776. Item multiplicetur 768 per 9, et productum erit 6912. Quorum differentia est 864, qui numerus 864 est pars octava numeri 6912, quia 864 octies ducti efficiunt 6912. Sunt ergo dicti numeri praedicti vel producti, scilicet, 7776 et 6912, in sexquioctava proportione quae remanet eis subtracta alia ab eis sexquioctava erant, igitur dicti numeri ante sexquioctavae abstractionem in proportione diphtoni, quod erat demonstrandum. Maior est ergo diatesseron diphtono uno semitonio minore, quod fuit primo propositum.

[CSM7/3:143; text: Ducti 4 per 64 producunt, Diatesseron, Semitonium minus differentia 13, 4-3, 256, 81-64, 243, Diphtonus abstractus, Ducti 3 per 81 producunt, Ducti 4 per 8 producunt, Diatesseron, Semidiphonus differentia 5, 32, 9-8, 27, Tonus abstractus, Ducti 3 per 9 producunt, Ducti 4 per 243 efficiunt, Diphtonus productus differentia 204, 972, 256-243, 768, Semitonium abstractum, Ducti 3 per 256 efficiunt] [UGODEC5 07GF]

[144] [CSM7/3:144; text: Ducti 972 per 8 producunt, Diphtonus, Sexquioctava producta differentia 864, 972-768, 7776, 9-8, 6912, Sexquioctava abstracta, Ducti 768 per 9 faciunt] [UGODEC5 07GF]

Sed ea quae nunc probata sunt de diatesseron mediante proportionum subtractione possunt etiam probari earum proportionum mediante additione. Et primo quod diatesseron superet semitonium minus per diphtonum potest sic demonstrari, nam proportio semitonii minoris adiuncta diphtono vel eius proportioni producit diatesseron probatur. Adiungantur ad invicem dictae proportiones et stent sic: 81-64 256-243, et multiplicetur adiungendo 81 per 256, et producetur numerus [20736]. Deinde multiplicetur 64 per 243, et productum erit 15552, quorum differentia est 5184, qui numerus 5184 est pars tertia numeri 15552. Sunt igitur numeri producti ex additione proportionis semitonii minoris proportionis diphtoni, scilicet, [20736] et 15552, in sexquitertia proportione, et per consequens diatesseron videntur efficere. Et quod sint in proportione sexquitertia dicti numeri probatur, nam maior numerus continet minorem totum et eius tertiam partem quae est 5184, qui numerus ter ductus producit numerum minorem, scilicet, 15552. Ex additione igitur semitonii minoris cum diphtono vel eius proportione producitur diatesseron, ex quo patet diatesseron superare semitonium minus per diphtonum, quod erat probandum.

Item proportionum additione probatur diatesseron excedere semidiphtonum per tonum. Adiungantur ad invicem proportio semidiphtoni 32 et 27 et proportio toni 9 et 8, et producetur proportio sexquitertia, quae est ipsius diatesseron, et stent sic: 32-27 9-8, et multiplicetur adiungendo 32 per 9, et producetur numerus 288. Postea multiplicetur 27 per 8, et productum erit 216, quorum differentia est 72, qui numerus 72 est pars tertia numeri 216, ductus enim ter 72 efficit 216. Sunt ergo numeri producti, scilicet, 288 et 216, in sexquitertia proportione et per consequens faciunt diatesseron, maior enim numerus minorem continet et eius tertiam partem, quae est 72. Supervadit igitur diatesseron semidiphtonum per tonum, quod erat demonstrandum, quorum demonstrationes sunt istae:

[145] [CSM7/3:145; text: Ducti 81 per 256 producunt, Diphtonus, Sexquitertia producta differentia 5184, 81-64, [20736], 256-243, 15552, Semitonium adiunctum, Ducti 64 per 243 faciunt, Ducti 32 per 9 efficiunt, Semidiphtonus, Sexquitertia producta differentia 72, 32-27, 288, 9-8, 216, Tonus adiunctus, Ducti 27 per 8 producunt] [UGODEC5 08GF]

Capitulum XVIII

De diapente

Diapente consonantia in primo libro descripta cuius proportio sexquialtera est in quarto determinata, pratice tres continet tonos et semitonium unum minus, theorice autem tres sexquioctavas proportiones et semitonii minoris proportionem dicitur continere, cuius ratio sic potest demonstrari, nam diapente tono superat diatesseron et eum sexquioctava proportione transcendit. Haec enim clara sunt, si quae in quarto capitulo de primo fundamento sunt dicta conspicimus, ibi enim determinati sunt numeri qui diatesseron habent efficere, scilicet, 192-216-243-256, quorum extremi sexquitertiam efficiunt proportionem quae ipsius est diatesseron. Horum autem ultimo numerorum ut diapente constituant sua pars octava quae est 32 est adiuncta qui numerum 288 videtur producere, sexquioctavum ad praecedentem. Et sic erunt numeri quinque proportionem sexquialteram facientes quae ipsius diapente dicitur esse proportio, qui numeri sunt isti 192-216-243-256-288. In his tres sexquioctavae proportiones habentur ac altera quae minoris semitonii dicitur esse proportio, prima namque sexquioctava proportio est a primo numero ad secundum, secunda a secundo ad tertium, tertia a quarto ad quintum. Utrobique [146] enim maior minorem numerus continet et eius octavam partem. Semitonii autem minoris proportio inter tertium et quartum numerum penitus continetur, sicut superius plenissime est demonstratum. Diapente igitur pratice tres tonos et semitonium unum minus amplectitur. Theorice vero tres sexquioctavas continet proportiones et minoris semitonii proportionem, ut in principio dicebatur; differentias autem quinque numerorum diapente sic comprehendere possumus. Nam a primo ad ultimum est ipsius diapente sexquialtera proportio quod sic demonstratur: Numerus enim 288 continet numerum 192 totum et insuper eius medietatem, quae est 96, bis enim ductus 96 producit 192. Est ergo inter eos proportio sexquialtera, sicut dicebatur. A primo iterum ad secundum est proportio sexquioctava, continet enim maior minorem totum et eius octavam partem, quae est 24, octies enim 24 producunt 192. A secundo ad tertium est alia sexquioctava, quia maior minorem continet et eius minoris octavam partem, quae est 27, octies enim 27 efficiunt 216. A tertio autem numero ad quartum est proportio semitonii minoris, quam paulo ante in suo capitulo probavimus integram toni medietatem non esse, quorum differentia est 13. Sed a quarto ad quintum sexquioctava est proportio, continet enim numerus maior minorem totum et insuper eius octavam partem quae est 32, qui octies ductus 256 videtur producere. Ex his autem clare comprehendimus diapente infra suam sexquialteram proportionem tres sexquioctavas alteramque semitonii minoris proportiones tenere, et ipsam sexquialteram his omnibus coaequari.

[CSM7/3:146; text: Proportio sexquialtera, Proportio sexquitertia, Sexquioctava, Proportio minoris semitonii, 192, 216, 243, 256, 288, Tonus, Semitonium minus, Diatesseron, Diapente] [UGODEC5 08GF]

[147] Diapente pratice tono superat diatesseron, et sexquialtera theorice sexquioctava superat sexquitertiam, hoc enim sic demonstratur, nam si a sexquialtera abstrahitur sexquioctava, sexquitertia remanebit proportio. Scribatur ergo proportio sexquialtera 3 et 2, et proportio sexquioctava subtrahenda, et stent sic: 3-2 9-8, et multiplicetur subtrahendo 3 per 8, et productum erit 24. Postea multiplicetur 2 per 9 et fiet 18, sed inter 24 et 18 est proportio sexquitertia quae remanet a sexquialtera abstracta una sexquioctava. Igitur theorice sexquialtera superat sexquioctava sexquitertiam et pratice diapente tono transcendit diatesseron, quod erat demonstrandum. Et quod inter 24 et 18 sit sexquitertia proportio patet quia maior numerus minorem semel continet et eius tertiam partem, igitur, et cetera.

Diapente pratice tritonum per minus semitonium supervadit, nam a diapente, si minus semitonium removetur, remanet coniunctio tritoni. Theorice autem proportio sexquialtera per minus semitonium tritoni proportionem excedit. Hoc autem sic probatur nam si a proportione diapente 3-2 semitonii proportio 256 et 243 abstrahatur, remanet proportio tritoni. Ordinetur ergo sexquialtera proportio, cui semitonii minoris proportio subordinetur, et stent sic: 3-2 256-243, et multiplicetur 3 per 243 et producetur numerus 729. Postea multiplicetur 2 per 256 et fiet numerus 512, qui numeri 729 et 512 sunt numeri proportionis tritoni, quae remanet subtracto semitonio minore vel eius proportione ab ipso diapente vel ab eius proportione, quod erat declarandum.

Diapente excedit diphtonum pratice per semidiphtonum, quoniam si a diapente semidiphtonus removeatur diphtonus dicitur remanere. Theorice vero proportio sexquialtera proportionem diphtoni excedit per semidiphtoni proportionem probatur, quia si a proportione sexquialtera abstrahatur proportio semidiphtoni, remanet proportio diphtoni. Scribatur ergo proportio sexquialtera 3-2, cui subscribatur proportio semidiphtoni subtrahenda 32-27, et stent sic: 3-2 32-27, et multiplicetur subtrahendo 3 per 27 et producetur numerus 81. Postea multiplicetur 2 per 32 et productum erit 64, modo inter 81 et 64 est proportio diphtoni remanens a sexquialtera proportione sive diapente, subtracta semidiphtoni proportione. Excedit igitur diapente sive eius proportio diphtonum sive eius proportionem [148] per semidiphtonum sive per eius proportionem, quod erat demonstrandum.

Diapente enim superat semidiphtonum per diphtonum pratice, quoniam si a diapente abstrahatur diphtonus remanet semidiphtonus. Theorice autem sexquialtera proportio excedit proportionem semidiphtoni per proportionem diphtoni, quoniam si a sexquialtera proportione abstrahatur proportio diphtoni remanet proportio semidiphtoni. Probatur sic; abstrahatur a proportione sexquialtera 3-2 proportio diphtoni 81-64, et scribantur sic 3-2 81-64, et abstrahendo multiplicetur 3 per 64 et producetur numerus 192. Postea multiplicetur 2 per 81 et erit numerus 162, quorum differentia est [30], sed inter hos numeros 192 et 162 est proportio semidiphtoni quae remanet abstracta proportione diphtoni a sexquialtera, igitur, et cetera. Et quod inter dictos numeros 192 et 162 sit proportio semidiphtoni sic potest probari: Nam si pratice semidiphtono addatur diphtonus conficitur diapente, et similiter theorice, si proportioni semidiphtoni addatur proportio diphtoni, resultat proportio sexquialtera, et quod talis ex earum coniunctione proportionum sexquialtera proportio fiat, sic demonstratur. Addatur enim dictis numeris semidiphtoni proportionis 192 et 162 proportio diphtoni 81 et 64, et stent sic: 192-162 81-64, et multiplicetur addendo 192 per 81, et producitur numerus 15552. Postea multiplicetur 162 per 64 et productum erit 10368, qui numeri producti, scilicet, 15552 et 10368, sexquialteram inter se habent proportionem. Probatur quia maior numerus minorem semel totum continet et insuper eius medietatem, nam numerus maior minorem excedit per numerum 5184, qui numerus 5184 numeri 10368 medietas est, nam 5184 bis sumptus numerum 10368 videtur efficere. Ergo ex additione proportionis diphtoni ad proportionem semidiphtoni resultat sive provenit proportio sexquialtera, quod erat demonstrandum. Superat igitur diapente semidiphtonum per diphtonum, quod erat primo propositum. Horum demonstrationes sunt istae:

[CSM7/3:148; text: Ducti 3 per 8 producunt, Sexquialtera, Sexquitertia producta differentia 6, 3-2, 24, 9-8, 18, Tonus subtractus, Ducti 2 per 9 producunt] [UGODEC5 09GF]

[149] [CSM7/3:149; text: Ducti 3 per 243 producunt numerum, Sexquialtera, Tritonus productus differentia 217, 3-2, 729, 256-243, 512, Semitonium minus subtractum, Ducti 2 per 256 faciunt, Ducti 3 per 27 producunt numerum, Diphtonus productus differentia 17, 81, 32-27, 64, Semidiphtonus subtractus, Ducti 2 per 32 producunt, Ducti 3 per 64 producunt, Semidiphtonus productus differentia [30], 192, 81-64, 162, Diphtonus abstractus, Ducti 2 per 81 producunt, Ducti 192 per 81 producunt, Semidiphtonus, Sexquialtera producta differentia 5184, 192-162, 15552, 10368, Diphtonus adiunctus, Ducti 162 per 64 producunt] [UGODEC5 09GF]

Sed ea quae demonstrata sunt de diapente excedente diatesseron aliasque vocum coniunctiones subtractione proportionum mediante possunt etiam mediante earum additione demonstrari. Dicitur enim quod diapente tono superat diatesseron quod sic proportionum additamento probatur. Nam si diatesseron pratice tonus adiungitur diapente conficitur. Similiter theorice si proportioni diatesseron, quae sexquitertia est, proportio [150] toni, quae est sexquioctava, adiungatur diapente proportio, quae sexquialtera est, dicitur resultare. Ordinetur igitur proportio sexquitertia 4-3 et sub ea sexquioctava adiungenda 9-8, et stent sic: 4-3 9-8, et multiplicetur addendo 4 per 9 et productum erit 36. Item multiplicetur 3 per 8 et producetur numerus 24, modo inter 36 et 24 est proportio sexquialtera, continet enim numerus maior minorem semel et eius medietatem, et haec est proportio sexquialtera quae provenit ex adiunctis ad invicem proportionibus sexquitertia et sexquioctava, quod erat demonstrandum. Supervadit igitur diapente tono diatesseron vel eius proportio sexquialtera sexquitertiam proportionem sexquioctava proportione transgreditur.

Diapente excedit tritonum per minus semitonium pratice. Theorice autem sexquialtera proportio tritoni proportionem per semitonium minus excedit. Probatur hoc nam si proportio semitonii minoris cum proportione tritoni adiungatur, provenit proportio sexquialtera. Scribatur ergo proportio tritoni 729-512, cui subordinetur proportio semitonii minoris adiungenda 256-243, et stent sic: 729-512 256-243, et multiplicetur adiungendo 729 per 256 et productum erit 186624. Postea multiplicetur 512 per 243 et producetur numerus 124416. Hi enim numeri 186624 et 124416 in proportione sexquialtera sunt, nam eorum differentia est numerus 62208, qui numerus est medietas numeri 124416, et sic numerus maior continet semel minorem et eius medietatem, quod facit proportio sexquialtera. Proportio igitur minoris semitonii tritoni proportioni adiuncta sexquialteram proportionem producit, quod erat demonstrandum.

Diapente superat diphtonum per semidiphtonum et e contra semidiphtonum per diphtonum. Probatur quia si proportio diphtoni cum proportione semidiphtoni adiungatur, producitur sexquialtera proportio. Scribatur ergo proportio diphtoni 81-64, cui supponatur proportio semidiphtoni 32-27, et stent sic: 81-64 32-27, et multiplicetur adiungendo 81 per 32 et producetur numerus 2592. Deinde multiplicetur 64 per 27 et productum erit 1728, quorum differentia est numerus 864, qui numeri 1728 medietatem tenet. Est ergo inter dictos numeros 2592 et 1728 proportio sexquialtera ex additione diphtoni et semidiphtoni proportionum producta, quod erat demonstrandum. Superat ergo diapente diphtonum per semidiphtonum vel e contra, sicut primo proponebatur.

[151] [CSM7/3:151; text: Ducti 4 per 9 producunt, Sexquitertia, Sexquialtera producta differentia 12, 4-3, 36, 9-8, 24, Sexquioctava adiuncta, Ducti 3 per 8 producunt, Ducti 729 per 256 producunt numerum, Proportio tritoni, Sexquialtera producta differentia 62208, 729-512, 186624, 256-243, 124416, Minoris semitonii proportio, Ducti 512 per 243 producunt, Ducti 81 per 32 producunt numerum, Proportio diphtoni, Sexquialtera producta differentia 864, 81-64, 2592, 32-27, 1728, Proportio semitoni adiuncta, Ducti 64 per 27 producunt] [UGODEC5 10GF]

Capitulum XIX

De tritono

Tritonus cuius descriptio in primo et proportio est in quarto determinata pratice tres habet tonos. Theorice vero tres continet sexquioctavas proportiones sine semitonii minoris mixtura, huius autem tritoni ratio ex quarto libro capitulo de primo fundamento inveniendae proportionis accipitur, ubi ostenditur quod trium tonorum coniunctio a tertio octuplo est habenda. Tertius autem octuplus est numerus 512, a quo trium tonorum [152] ratio incipit et in numero 729 desinit. Medii autem numeri sunt 576-648, sicut in praeallegato capitulo continetur. Continet igitur tritonus tres sexquioctavas proportiones a tribus tonis exortas, omnis namque tonus sua sexquioctava proportione potitur. Tritonus igitur tres habens tonos tres habet sexquioctavas proportiones, quod sic potest demonstrari. Tres sexquioctavae proportiones quae tritonum faciunt superant sexquitertiam quae efficit diatesseron per semitonium maius. Si igitur a proportione tritoni abstrahatur proportio semitoniii maioris et remaneat proportio sexquitertia habetur propositum. Scribatur igitur proportio tritoni 729-512, cui subordinetur proportio semitonii maioris abstrahenda 2187-2048, et stent sic: 729-512 2187-2048, et multiplicetur abstrahendo 729 per 2048, et productum erit 1492992. Postea multiplicetur 512 per 2187 et producetur numerus 1119744, quorum differentia est 373248, qui numerus est pars tertia minoris numeri productorum, ter enim ipse numerus 373248 ductus facit ipsum minorem numerum 1119744. Et sic apparet quod inter productos numeros est sexquitertia proportio quae remanet abstracto a tritono semitonio maiore, maior enim numerus semel minorem continet et eius tertiam partem, ut patet. Continet igitur tritonus tres sexquioctavas proportiones, quod erat demonstrandum.

Item tritonus est maior diphtono uno tono pratice. Igitur si a tritono abstrahatur unus tonus, quod remanet est diphtonus. Theorice autem proportio tritoni est maior proportione diphtoni una sexquioctava. Probatur quia si a proportione tritoni abstrahatur una sexquioctava remanet proportio diphtoni, quod sic demonstratur. Ordinetur proportio tritoni 729-512, cui subordinetur sexquioctava proportio quae est toni 9-8, et stent sic: 729-512 9-8, et multiplicetur abstrahendo 729 per 8, et productum erit 5832. Postea multiplicetur 512 per 9 et producetur numerus 4608, quorum differentia est 1224. Sed inter numeros productos, scilicet, 5832 et 4608, est proportio diphtoni quae remanet abstracta sexquioctava a proportione tritoni, igitur tritonus superat diphtonum per tonum, et per consequens tritonus tres habet tonos, seu tres sexquioctavas proportiones, quod erat demonstrandum.

Et quod inter praedictos numeros 5832 et 4608 sit proportio diphtoni sic demonstratur. Pratice diphtonus est minor diatesseron uno semitonio minore, si igitur unum semitonium minus addatur diphtono sequitur diatesseron. Theorice vero proportio diphtoni est minor sexquitertia [153] proportione quae est diatesseron una proportione semitonii minoris. Si igitur dictae proportioni diphtoni addatur proportio semitonii minoris et ex his sequatur proportio sexquitertia, erunt numeri primi in proportione diphtoni, et quod sequatur sexquitertia probatur. Scribantur numeri praedicti proportionis diphtoni quibus subscribantur numeri semitonii minoris, et stent sic: 5832-4608 256-243, et multiplicetur addendo numerus 5832 per numerum 256, et productum erit 1492992. Postea multiplicetur 4608 per 243 et producetur numerus 1119744, quorum differentia est 373248, qui numerus minoris numeri productorum pars tertia est. Sunt ergo numeri praedicti producti in sexquitertia proportione et faciunt diatesseron, quod erat demonstrandum, et inter numeros 5832 et 4608 est proportio diphtoni, quod fuit primo propositum.

Item quod inter dictos numeros 5832-4608 sit proportio diphtoni sic aliter demonstratur. Nam pratice si diphtono additur semidiphtonus conficitur diapente. Similiter si dictae proportioni diphtoni additur proportio semidiphtoni 32-27 efficitur sexquialtera quae est diapente, et quod conficiatur probatur. Scribatur proportio diphtoni praedicta, cui subscribatur proportio semidiphtoni, et stent sic: 5832-4608 32-27, et multiplicetur adiungendo numerus 5832 per 32, et productum erit 186624. Et postea multiplicetur numerus 4608 per 27 et producetur numerus 124416, quorum differentia est 62208, qui numerus minoris numeri productorum pars media est, ex quo sequitur numeros productos esse in sexquialtera proportione, quae ipsius diapente est, quod erat demonstrandum. Et quod sint in sexquialtera proportione patet quia maior numerus minorem continet semel, et insuper eius medietatem, ut dictum est. Nam differentia, scilicet, 62208 duplicata numerum minorem facit productorum, igitur, et cetera.

Horum demonstrationes sunt istae:

[CSM7/3:153; text: Ducti 729 per 2048 producunt, Proportio tritoni, Sexquitertia producta differentia 373248, 729-512, 1492992, 2187-2048, [1119744], Proportio semitonii maioris abstracta, Ducti 512 per 2187 productum] [UGODEC5 10GF]

[154] [CSM7/3:154; text: Ducti 729 per 8 producunt, Proportio tritoni, Proportio diphtoni producta differentia 1224, [729]-512, 5832, 9-8, 4608, Sexquioctava abstracta, Ducti 512 per 9 producunt, Ducti 5832 per 256 producunt, Proportio diphtoni, Sexquitertia producta differentia 373248, 5832-4608, 1492992, 256-243, [1119744], Proportio minoris semitonii adiuncta, Ducti 4608 per 243 producunt, Ducti 5832 per 32 producunt, Sexquialtera producta differentia 62208, 5832-4608, 186624, 32-27, 124416, Proportio semidiphtoni adiuncta, Ducti 4608 per 27 producunt] [UGODEC5 11GF]

Item tritonus excedit tonum per diphtonum pratice. Theorice autem proportio tritoni excedit sexquioctavam proportionem per proportionem diphtoni, quod sic potest demonstrari. Demonstratum est enim in secunda demonstratione quod si a proportione tritoni abstrahatur una sexquioctava proportio quod remanet proportio diphtoni. Modo autem si a dicta proportione diphtoni quae remansit alia sexquioctava removeatur, remanet tantum alia sexquioctava sola, et sic abstractis a proportione tritoni duabus sexquioctavis quae diphtonum faciunt, sola remanet sexquioctava proportio, et quod remaneat probatur. Scribatur proportio diphtoni supradicta 5832 et 4608 sub qua scribatur proportio toni sexquioctava subtrahenda 9 et 8, et stent sic: 9-8 5832-4608, et multiplicetur subtrahendo numerus 5832 per 8 et productum erit 46656. Postea multiplicetur [155] 4608 per 9 et productum erit 41472, quorum differentia est 5184, qui numerus est pars octava minoris numeri productorum. Est ergo inter productos numeros, scilicet, 46656 et [41472], sexquioctava proportio, quia maior numerus minorem semel continet et insuper eius octavam partem, sicut patet in ipsorum differentia, quae minoris est pars octava, sicut dictum est, quod erat demonstrandum. Remota igitur a diphtoni proportione una sexquioctava remanet alia, sicut primo dicebatur et sic ex demonstratis comprehendimus tritonum tres tonos seu tres sexquioctavas continere proportiones, huius demonstratio est haec:

[CSM7/3:155; text: Ducti 5832 per 8 producunt numerum, Proportio diphtoni, [Sexquioctava producta] differentia [5184], 5832-4608, 46656, 9-8, 41472, Sexquioctava abstracta, Ducti 4608 per 9 producunt] [UGODEC5 11GF]

Capitulum XX

De diapente imperfecto sive diatesseron cum semitonio

Diapente imperfectum sive diatesseron cum semitonio, cuius diffinitio est in primo et proportio in quarto, pratice duos tonos habet et duo minora semitonia. Theorice vero duas sexquioctavas habet et duorum minorum semitoniorum proportiones tenet. Hoc autem sic demonstrari potest nam diapente imperfectum sive diatesseron cum semitonio excedit diatesseron per semitonium minus. Probatur quia si ab eo abstrahatur semitonium minus remanet diatesseron, et quod remaneat probatur. Scribatur proportio diapente imperfecti sive diatesseron cum semitonio 1024-729, cui subscribatur proportio semitonii minoris abstrahenda 256-243, et stent sic: 1024-729 256-243, et multiplicetur 1024 per 243 abstrahendo et productum erit 248832. Postea multiplicetur 729 per 256 et producetur numerus 186624, quorum differentia est 62208, qui numerus est pars tertia minoris numeri productorum, ter enim 62208 ductus facit 186624. Sunt igitur dicti producti numeri in sexquitertia proportione, quae est ipsius [156] diatesseron. Abstracta igitur a diapente imperfecto sive a diatesseron cum semitonio sive ab eorum proportione semitonii proportione minoris, remanet sexquitertia proportio quae est ipsius diatesseron, et sic diapente imperfectum sive diatesseron cum semitonio excedit diatesseron per semitonium minus, quod erat demonstrandum.

Item diapente imperfectum sive diatesseron cum semitonio excedit semidiphtonum per semidiphtonum pratice, quia unus semidiphtonus alteri semidiphtono additus efficit diapente imperfectum sive diatesseron cum semitonio. Theorice autem proportio diapente imperfecti sive proportio diatesseron cum semitonio excedit proportionem semidiphtoni per unam proportionem semidiphtoni. Probatur quia si una proportio semidiphtoni alteri adiungatur efficit diapente imperfecti proportionem, quod sic demonstratur. Scribatur proportio semidiphtoni cui altera subordinetur, et stent sic: 32-27 32-27, et multiplicetur adiungendo 32 per 32 et productum erit 1024. Postea multiplicetur 27 per 27 et producetur 729, qui numeri 1024 et 729 sunt numeri proportionis diapente imperfecti vel diatesseron cum semitonio, producti ex coniunctione duarum proportionum semidiphtoni ad invicem, excedit igitur diapente imperfectum sive diatesseron cum semitonio semidiphtonum per semidiphtonum, quod erat demonstrandum.

[CSM7/3:156; text: Ducti 1024 per 243 producunt, Proportio diapente imperfecti, Sexquitertia producta differentia 62208, 1024-729, 248832, 256-243, 186624, Proportio minoris semitonii abstracta, Ducti 729 per 256 producunt, Ducti 32 per 32 producunt numerum, Proportio semidiphtoni, Proportio diapente imperfecti differentia 395, 32-27, 1024, 729, Proportio semidiphtoni adiuncta, Ducti 27 per 27 producunt] [UGODEC5 12GF]

[157] Capitulum XXI

De diapente cum tono

Diapente cum tono, cuius diffinitio est in primo cuiusque proportio in quarto, dicitur esse illa quae est inter 27 et 16, quorum differentia est 11, tonos quattuor et semitonium unum minus pratice tenet. Theorice autem quatuor sexquioctavas et semitonii minoris unam tantum habet proportionem. Haec namque coniunctio una sexquioctava diapente transgreditur; patet hoc, quia si ab ea sexquioctava subtrahitur remanet diapente. Scribatur ergo proportio ipsius diapente cum tono 27-16, cui subordinetur sexquioctava proportio subtrahenda 9-8, et stent sic: 27-16 9-8, et multiplicetur subtrahendo 27 per 8 et producetur numerus 216. Postea multiplicetur 16 per 9 et productum erit 144, quorum differentia productorum est numerus 72, qui numerus minoris producti, id est, 144, pars media est. Est ergo inter productos numeros 216 et 144 proportio sexquialtera, quae est diapente, continet enim maior minorem numerus totum semel et eius medietatem, bis enim 72 144 efficiunt, quod erat demonstrandum.

Item diapente cum tono superat tritonum per semidiphtonum, probatur quia si a sua proportione abstrahatur proportio semidiphtoni remanet proportio tritoni. Scribatur ergo proportio diapente cum tono, cui subscribatur proportio semidiphtoni abstrahenda, et stent sic: 27-16 32-27, et multiplicetur abstrahendo 27 per 27, et productum erit 729. Postea multiplicetur 16 per 32 et producetur numerus 512. Inter quos numeros 729 et 512 est proportio tritoni, sicut patet in quarto in suo capitulo, quae proportio remanet abstracta a proportione diapente cum tono semidiphtoni proportione. Superat igitur diapente cum tono tritonum per semidiphtonum, quod erat demonstrandum.

Item haec coniunctio excedit diphtonum per diatesseron. Probatur quia si ab ipsa praedicta proportione abstrahatur proportio diphtoni remanet proportio diatesseron, et quod remaneat probatur, nam scribatur praedicta huius coniunctionis proportio, cui proportio diphtoni subtrahenda subordinetur, et stent sic: 27-16 81-64, et multiplicetur subtrahendo 27 per 64, et productum erit 1728. Postea multiplicetur 16 per 81 et producetur [158] numerus 1296, quorum differentia est 432, qui numerus pars tertia minoris productorum est, ter enim ductus numerus 432 efficit 1296. Ex quo sequitur quod dicti numeri praedicti vel producti, scilicet, 1728 et [1296], in sexquitertia proportione se habent, et per consequens diatesseron servant coniunctionem. Abstracto igitur a diapente cum tono seu ab eius proportione diphtono vel eius proportione remanet diatesseron vel eius proportio, et sic diapente cum tono excedit diphtonum per diatesseron, quod erat demonstrandum.

Item haec coniunctio e contra excedit diatesseron per diphtonum quia si ab ipsa proportione coniunctionis proportio diatesseron abstrahatur, tritoni proportio dicitur remanere, et quod remaneat probatur. Scribatur dicta coniunctionis proportio, cui subscribatur proportio diatesseron, et stent sic: 4-3 27-16, et multiplicetur abstrahendo 27 per 3, et producetur numerus 81. Postea multiplicetur 16 per 4 et fiet 64. Inter quos productos numeros 81 et 64 est proportio diphtoni pluries replicata quae remanet abstracta sexquitertia a coniunctionis praedictae proportione. Excedit igitur haec coniunctio diatesseron per diphtonum, quod erat demonstrandum. Harum demonstrationes sunt istae:

[CSM7/3:158; text: Ducti 27 per 8 producunt numerum, Diapente cum tono, Sexquialtera producta differentia 72, 27-16, 216, 9-8, 144, Sexquioctava abstracta, Ducti 16 per 9 producunt, Ducti 27 per 27 producunt, Proportio diapente cum tono, Tritonus productus differentia 217, 729, 32-27, 512, Semidiphtonus abstractus, Ducti 16 per 32 producunt] [UGODEC5 12GF]

[159] [CSM7/3:159; text: Ducti 27 per 64 producunt numerum, Diapente cum tono, Diatessaron producta differentia 432, 27-16, 1728, 81-64, 1296, Diphtonus abstractus, Ducti 16 per 81 producunt, Ducti 27 per 3 producunt numerum, Diphtonus productus differentia 17, 81, 4-3, 64, Diatesseron abstractus, Ducti 16 per 4 producunt] [UGODEC5 13GF]

Capitulum XXII

De diapente cum semitonio

Diapente cum semitonio, cuius diffinitio est in primo et proportio in quarto, pratice tres habet tonos et duo minora semitonia. Theorice autem tres sexquioctavas et duorum semitoniorum minorum tenet proportiones, et ut diximus suam habet proportionem in quarto, sed ut clarius eius ratio demonstretur aliam sibi tradimus proportionem. Quoniam sicut diapente cum semitonio iungitur ut una fiat coniunctio vel connexio, ita ipsorum proportiones invicem connectuntur ut eorum una reddatur ratio. Iungatur igitur diapente proportio 3-2 cum minoris semitonii proportione 256-243, et stent sic: 3-2 256-243, et multiplicetur adiungendo 3 per 256 et productum erit 768. Postea multiplicetur 2 per 243 et producetur numerus 486, quorum differentia est 282, et haec est proportio diapente cum semitonio, scilicet, inter 768 et 486 super 282 partiente 486.

Qua quidem proportione colligimus hanc coniunctione diapente per minus semitonium superare, quod sic probatur. Nam si a dicta proportione [160] minoris semitonii abstrahatur proportio remanet diapente proportio. Scribatur ergo dictae coniunctionis proportio cum subscripta semitonii proportione, et stent sic: 768-486 256-243, et multiplicetur abstrahendo 768 per 243 et productum erit 186624. Postea multiplicetur 486 per 256 et producetur numerus [124416], quorum differentia est 62208, qui numerus medietas est minoris numeri productorum, et per consequens ipsi producti numeri in sexquialtera proportione se habent, quae ipsius est diapente, maior enim numerus minorem continet et insuper eius medietatem, bis enim ductus numerus 62208 producit [124416]. Superat igitur haec coniunctio diapente per semitonium minus, quod erat demonstrandum.

Item haec coniunctio superat diatesseron per semidiphtonum; hoc enim taliter demonstratur. Nam si ab huius coniunctionis proportione semidiphtoni proportio abstrahatur remanet ipsius diatesseron proportio. Probatur quia scribatur dictae coniunctionis proportio cui subscribatur semidiphtoni proportio abstrahenda, et stent sic: 768-486 32-27, et multiplicetur abstrahendo 768 per 27, et productum erit 20736. Postea multiplicetur 486 per 32 et producetur numerus 15552, quorum differentia est 5184, qui numerus tertia pars est minoris numeri productorum, ter enim productus numerus 5184 numerum 15552 videtur producere. Unde constat productos numeros 20736 et 15552 in sexquitertia esse proportione, quae remanet abstracta a diapente cum semitonio vel eius proportione semidiphtoni proportione, habet enim in se maior numerus minorem semel et eius tertiam partem. Quo fit ut haec coniunctio diatesseron superet per semidiphtonum, quod erat demonstrandum.

Quod autem dicta proportio 768 et 486 sit proportio diapente cum semitonio sic potest demonstrari. Diapente cum semitonio tres habet tonos atque duo minora semitonia. Distat ergo haec coniunctio a diapason, quod quinque tonos et duo minora semitonia continet, per duos tonos sive per diphtonum. Adiunctis igitur ad invicem dicta proportione diapente cum semitonio et proportione diphtoni duplam debent proportionem producere, quae est ipsius diapason, et si sic vera erit diapente cum semitonio supradicta proportio. Et quod ex his dupla producatur proportio sic demonstrari potest. Scribatur dictae coniunctionis proportio 768 et 486 cui proportio diphtoni subscribatur addenda, et stent sic: 768-486 81-64, et multiplicetur addendo 768 per 81 et productum erit 62208. Deinde multiplicetur 486 per 64 et producetur 31104, quorum differentia est idem minor numerus 31104, ex quo clare patet maiorem numerum [161] productorum bis continere minorem. Est ergo in eis proportio dupla quia maior minorem bis habet in se, ut dictum est. Vera est ergo diapente cum semitonio proportio supradicta, quod erat demonstrandum. Horum omnium demonstrationes sunt istae:

[CSM7/3:161; text: Ducti 3 per 256 producunt, Sexquialtera, Diapente cum semitonio productum differentia 282, 3-2, 768, 256-243, 486, Semitonium minus adiunctum, Ducti 2 per 243 producunt, Ducti 768 per 243 producunt, Diapente cum semitonio, Sexquialtera producta differentia 62208, 768-486, 186624, 124416, Semitonium minus abstractum, Ducti 486 per 256 producunt, Ducti 768 per 27 producunt, Sexquitertia producta differentia 5184, 20736, 32-27, 15552, Semidiphtonus abstractus, Ducti 486 per 32 producunt, Ducti 768 per 81 producunt numerum, Dupla producta differentia 31104, 62208, 81-64, 31104, Diphtonus adiunctus, Ducti 468 per 64 producunt] [UGODEC5 14GF]

[162] Capitulum XXIII

De diapente cum diphtono

Diapente cum diphtono, cuius diffinitio data est in libro primo sed eius proportio in quarto, est ea quae est inter 243 et 128, quorum differentia est 115, sicut ibidem clare demonstratur. Pratice haec coniunctio quinque tonos et unum minus semitonium tenet. Theorice vero quinque sexquioctavas ac unam minoris semitonii proportionem habet.

Haec namque coniunctio superat diapente per diphtonum. Probatur quia ab hac coniunctione remoto diphtono remanet diapente, et similiter ab istius coniunctionis proportione remota diphtoni proportione remanet sexquialtera, et quod remaneat sexquialtera probatur. Adiungantur ad invicem haec coniunctionis proportio ac ipsa quae diphtoni est abstrahenda, et stent sic: 243-128 81-64, et multiplicetur abstrahendo 243 per 64, et productum erit 15552. Postea multiplicetur 126 per 81 et producetur numerus 10368, quorum differentia est 5184, qui numerus minoris numeri mediam partem tenet productorum, bis enim numerus 5184 multiplicatus totum minorem reddit. Quo sequitur ut inter hos productos numeros 15552 et 10368 sit sexquialtera proportio, continet enim maior minorem totum et insuper eius alteram partem. Remoto igitur pratice ab hac coniunctione diphtono remanet diapente, et remota ab huius coniunctionis proportione diphtoni proportione remanet sexquialtera proportio, quod erat demonstrandum.

Item haec coniunctio diatesseron excedit per tritonum, patet hoc pratice quia ab hac coniunctione semoto tritono remanet diatesseron. Theorice autem huius coniunctionis proportio per tritoni proportionem diatesseron proportionem excedit, et quod sic excedat probatur. Adiungantur ad invicem huius coniunctionis et ipsius tritoni proportio abstrahenda, et stent sic: 243-128 729-512, et multiplicetur 243 per 512, et productum erit 124416. Postea multiplicetur 128 per 729 et erit numerus productus 93312, quorum differentia est 31104, qui numerus minoris numeri productorum est pars tertia, ter enim ductus numerus 31104 producit 93312. Quo fit ut inter productos numeros 124416 et 93312 sit sexquialtera proportio quae remanet abstracta a proportione diapente cum diphtono [163] tritono proportione. Excedit igitur haec coniunctio per tritonum diatesseron, quod erat demonstrandum.

[CSM7/3:163; text: Ducti 243 per 64 producunt, Diapente cum diphtono, Sexquialtera producta differentia 5184, 243-128, 15552, 81-64, 10368, Diphtonus abstractus, Ducti 128 per 81 producunt, Ducti 243 per 512 producunt, Sexquitertia producta differentia 31104, 124416, 729-512, 93312, Tritonus abstractus, Ducti 128 per 729 producunt] [UGODEC5 13GF]

Capitulum XXIV

De diapente cum semidiphtono

Diapente cum semidiphtono, quod est diffinitum in primo, cuius proportio sicut habetur in quarto est ea quae est inter 96 et 54, quorum differentia est 42, et quia haec coniunctio in tonis et semitoniis convenit cum bisdiatesseron potest concedi quod eius proportio sit ea quae est inter 16 et 9, sicut in quarto in suo capitulo clarius demonstratur. Haec enim coniunctio excedit diapente per semidiphtonum, quod ex duplici eius proportione dupliciter potest demonstrari, et primo per primam eius proportionem quae est inter 96 et [54]. Nam sicut pratice si a diapente cum semidiphtono removeatur semidiphtonus remanet diapente; similiter theorice si a dicta proportione abstrahatur proportio semidiphtoni remanet proportio diapente, scilicet, sexquialtera, et quod remaneat probatur. [164] Scribatur huius coniunctionis proportio 96-54, cui subscribatur proportio semidiphtoni abstrahenda 32 et 27, et stent sic: 96-54 32-27, et multiplicetur 96 per 27, et productum erit 2592. Postea multiplicetur 54 per 32 et productum erit 1728, quorum differentia est 864, qui numerus minoris numeri productorum pars media est, quo fit ut numeri producti 2592 et 1728 in sexquialtera proportione se habeant, continet enim maior minorem semel totum et insuper eius mediam partem. Supervadit igitur haec coniunctio diapente per semidiphtonum, quod erat demonstrandum.

Secundo probatur hoc per aliam eius proportionem. Nam scribatur alia eius proportio 16 et 9, cui subordinetur semidiphtoni proportio abstrahenda 32 et 27, et stent sic: 16-9 32-27, et multiplicetur abstrahendo 16 per 27, et producetur numerus 432. Postea multiplicetur 9 per 32 et productum erit 288, quorum differentia est 144. Qui numerus minoris numeri productorum medietatem tenet, quo patet quod producti numeri 432 et 288 in sexquialtera se habent proportione, maior enim minorem habet et insuper eius medietatem. Excedit igitur haec coniunctio vel eius proportio diapente vel eius proportionem per semidiphtonum vel per eius proportionem, quod erat demonstrandum.

Item haec coniunctio pratice quatuor tonos et duo continet minora semitonia. Theorice vero quatuor sexquioctavas et duas minoris semitonii tenet proportiones. Superat igitur haec coniunctio diatesseron vel eius proportionem per diatesseron vel per eius proportionem, quod duplici supradicta proportione potest demonstrari, et primo sic. Nam si ab hac coniunctione vel eius proportione abstrahatur diatesseron vel eius proportio remanet diatesseron vel eius proportio, et quod remaneat probatur. Scribatur prima eius proportio cui subscribatur sexquitertia proportio abstrahenda, et stent sic: 96-54 4-3, et multiplicetur abstrahendo 96 per 3 et producetur numerus 288. Postea multiplicetur 54 per 4 et productum erit 216, quorum differentia est 72, qui numerus minoris numeri productorum pars tertia est, ter enim 72 efficiunt 216. Sunt ergo numeri producti 288 et 216 in sexquitertia proportione, maior enim minorem continet et insuper eius tertiam partem. Superat igitur haec coniunctio diatesseron vel eius proportionem per diatesseron vel per eius proportionem, quod erat demonstrandum.

Secundo hoc idem probatur sic, nam scribatur alia huius coniunctionis [165] proportio 16 et 9, cui subordinetur proportio diatesseron subtrahenda 4 et 3, et stent sic: 16-9 4-3, et multiplicetur abstrahendo 16 per 3 et fiet 48. Postea multiplicetur 9 per 4 et producetur 36, quorum differentia est 12, qui numerus minoris numeri productorum pars tertia est, ex quo patet numeros productos, scilicet, 48 et 36, in sexquitertia esse proportione, maior enim minorem habet et insuper eius tertiam partem. Abstracto igitur ab hac coniunctione diatesseron vel eius proportione remanet diatesseron vel eius proportio, et sic haec coniunctio excedit diatesseron per diatesseron, quod erat probandum. Praedictorum demonstrationes sunt istae:

[CSM7/3:165; text: Ducti 96 per 27 producunt, Diapente cum semidiphtono, Sexquialtera producta differentia 864, 96-54, 2592, 32-27, 1728, Diphtonus abstractus, Ducti 54 per 32 producunt, Ducti 16 per 27 producunt, Diapente cum semidiphtono vel bisdiatesseron, Sexquialtera producta differentia 144, 16-9, 432, 288, Semidiphtonus abstractus, Ducti 9 per 32 producunt, Ducti 96 per 3 producunt, Sexquitertia producta differentia 72, 4-3, 216, Diatesseron abstractum, Ducti 54 per 4 producunt, Ducti 16 per 3 producunt, Sexquitertia producta differentia 12, 48, 36, Ducti 9 per 4 producunt] [UGODEC5 15GF]

[166] Capitulum XXV

De bisdiatesseron

In praecedenti capitulo de bisdiatesseron aliquid diximus quod ad eius plenam declarationem non sufficit. Quoniam sicut dicit Boetius in tertio suae musicae in capitulo adversum Aristoxenum, iste Aristoxenus asserebat bisdiatesseron ex quinque tonis constare. Hoc autem erat suae rationis exordium quia diatesseron ex duobus tonis integroque semitonio consistebat, et quia duo integra semitonia unum tonum efficiunt, bisdiatesseron quinque integros tonos secundum eum habebat. Cuius errore multa inconvenientia deducuntur. Nam, ut ait Boetius, si semitonium quo diatesseron conficitur integrum sit cum ab eo quod efficit diapente non differat, diapente semitonium integrum erit, et si id integrum sit, cum ex diapente ac diatesseron diapason componatur ex sex tonis diapason necessario componetur, ea enim semitonia integra tonum efficiunt, ut dictum est. Sed horum error inconvenientium facile confunditur, si eius semitonii ratio comprehendatur, plurimis namque rationibus in capitulo de minore semitonio probatum est. Semitonium quo diatesseron ac diapente conficitur ab integra toni medietate deficere, huiusmodi autem rationes in dicto patent capitulo. Sed ultra haec, si huiusmodi semitonium integram toni medietatem teneret, in diatesseron eius sexquitertia proportio non esset. Similiter in diapente proportio sexquialtera penitus nulla esset. Sexquitertia proportio, ut efficiat diatesseron, inter 192 et 256 habet reperiri, et sexquialtera, ut diapente constituat, inter eundem numerum 192 et 288 habet numerari. Hoc autem fieri permittitur minoris proportione semitonii mediante. Si vero id medietatem toni semitonium metiretur, suo transgressu proportiones suas dictae consonantiae pertransirent, quo fieret ut vim consonantiarum amitterent, et aliarum se coniunctionum dissonantium formam induerent.

Aliter huiusmodi error convinci potest, quo quam plura inconvenientia subsequuntur, et ut clarius pateant demonstranda, quae pro inveniendis tonis superius diximus, replicare non taedet. Tonorum namque numerus ex ipsa octuplorum numerositate colligitur, ut si unius ratio toni quaeritur a primo octuplo inchoatur, et si duorum a secundo, et sic ultra, ut superius dictum est, octupli namque hi sunt 8 - 64 - 512 - 4096 - 32768 - 262144, unde si quinque tonorum rationem inquirimus ut bisdiatesseron [167] ratio demonstretur, a quinto octuplo sumemus initium. Si autem pro diapason utrum completos sex vel incompletos contineat tonos, a sexto octuplo incipiemus. Volentes igitur primo ostendere quod bisdiatesseron minime quinque tonis conficitur, a quinto octuplo sumemus exordium, a quo quinque toni rato ordine disponantur. Et sit primus numerus quintus octuplus, scilicet, 32768, cui si sua pars octava iungatur, quae est 4096, efficit numerum 36864, qui ad quintum octuplum in sexquioctava proportione se habet, et ambo primum tonum efficiunt. Huic etiam 36864 si sua octava pars addatur, quae est 4608, numerum sibi sexquioctavum efficiet, scilicet, 41472, qui alium secundum tonum producunt, et hic quidem numerus 41472 cum sua octava parte, quae est 5184, aliam facit sexquioctavam proportionem, et tertium tonum, qui est 46656, qui cum sua octava, quae est 5832, producit numerum 52488 ad praecedentem sexquioctavam et tonum quartum. Et hic 52488 cum sua octava, quae est 6561, alium sibi facit sexquioctavam et tonum quintum, qui est 59049. Sunt ergo sex numeri quinque tonos efficientes, scilicet, 32768 - 36864 - 41472 - 46656 - 52488 - 59049.

Nunc autem his ostensis, ut ipsius bisdiatesseron veritas habeatur, si quinque tonos contineat vel non, sumantur primus et ultimus numerus quinque tonos concludentes. Et a primo numero, qui est 32768, intendatur diatesseron sive eius proportio sexquitertia, quae est 43690, et ab ultimo quinque tonorum numero, qui est 59049, remittatur etiam diatesseron sive eius proportio, quae est 44286 3/4, numerus ergo faciens intensam diatesseron est 43690, et numerus faciens remissam diatesseron est 44286 3/4. Qui numeri, si quantitate essent aequales et nulla esset in eis differentia, bisdiatesseron quinque integros tonos omnino comprehenderet. Cum autem unus altero maior sit, excedit enim secundus primum per numerus 596 3/4, qui est eorum differentia, sequitur quod bisdiatesseron ad integram quinque tonorum quantitatem non possit attingere. Non habet igitur bisdiatesseron quinque integros tonos, sed quatuor tonos et duo minora semitonia, quae tonum non complent. Nec semitonium diatesseron est integrum dimidium toni, sicut dicebat Aristoxenus, igitur, et cetera. Sed circa intensionem et remissionem diatesseron est notandum quod quando diatesseron intenditur incipit a minori numero et in maiorem desinit, et tunc primus numerus est subsexquitertius quando vero remittitur, reducitur a maiori numero ad minorem et ipse minor est subsexquitertius.

[168] Item nota quod si ab ultimo numero pars quarta auferatur redditur diatesseron remissa.

[CSM7/3:168; text: Sex octupli, Primus octuplus, Secundus octuplus, Tertius octuplus, Quartus octuplus, Quintus octuplus, Sextus octuplus, 8, 64, 512, [4096], 32768, 262144, Quinque toni continui, Primus tonus pars octava, Secundus tonus pars octava, Tertius tonus pars octava, Quartus tonus pars octava, Quintus tonus pars octava, 4098, 4608, 5184, 5832, 6561, 36864, 41472, 46656, 52488, 59049, Sexquioctava, Termini quinque tonorum, Diatesseron intensa, horum differentia 596 3/4, Diatesseron remissa, 43690, 44286 3/4] [UGODEC5 16GF]

Boetius autem volens Aristoxeni rationem tam circa diatesseron quam circa diapason improbare sex tonos continuos a sexto octuplo inchoantes tali modo disponit; primus namque numerus qui est sextus octuplus est 262144 cui si sua pars octava coniungitur, quae est 32768, producitur numerus 294912 ad praecedentem sexquioctavus, inter quos primus dicitur esse tonus. Hic autem numerus 294912 cum sua octava, quae est 36864, efficit numerum 331776 ad praecedentem sexquioctavum et secundum tonum, et huic si sua pars iungatur octava, quae est 41472, producitur numerus 373248 tertius sexquioctavus, et tertius tonus, qui 373248 cum sua octava, quae est 46656, quartum sexquioctavum efficiunt et [169] quartum tonum, scilicet, 419904, cui numero si sua additur octava, quae est 52488, producitur numerus 472392 quintus sexquioctavus et quintus tonus, et hic cum sua octava, quae est 59049, producunt numerum 531441 sextum sexquioctavum et sextum tonum.

Sunt ergo numeri sexquioctavi septem a sexto octuplo inchoantes sex tonos continuos constituentes, scilicet, 262144 - 294912 - 331776 - 373248 - 419904 - 472392 - 531441.

Boetius igitur volens probare bisdiatesseron ex quinque tonis nullatenus posse consistere, ex his numeris primum et sextum quinque tonos constituentes accipit, scilicet, 262144 et 472392, et dicit quod si a primo numero intendatur diatesseron et a sexto alia diatesseron remittatur et numeri ex intensione et remissione producti sint in quantitate aequales quod tunc bisdiatesseron quinque completos tonos habebit, et si non sint aequales quod non. Sed quod numeri ex intensione et remissione producti non sint aequales ipse probat sic. Intendatur diatesseron a numero 262144 et fiet numerus 349525 1/3 sexquitertius ad praecedentem, et a numero 472392 alia diatesseron remittatur, et erit numerus ab eo subsexquitertius, scilicet, 354294, qui numeri producti, scilicet, 349525 1/3 et 354294, non sunt aequales. Sed secundus maior est primo, eorum namque differentia est 4768 2/3, ut patet calculatori; ex terminorum igitur productorum inaequalitate sequitur bisdiatesseron quinque plenos tonos penitus non tenere. Minor est igitur bisdiatesseron quinque tonis secundum Boetium quod Aristoxenus negabat. Praedictorum demonstrationes sunt istae:

[CSM7/3:169; text: Sex toni continui, Tonus primus pars octava, Tonus secundus pars octava, Tonus tertius pars octava, Tonus quartus pars octava, Tonus quintus pars octava, Tonus sextus pars octava, 32768, 36864, 41472, 46656, 52488, 59049, 262144, 294912, 331776, 373248, 419904, 472392, 531441, Sexquioctava] [UGODEC5 16GF]

[170] [CSM7/3:170,1; text: Termini quinque tonorum, Diatesseron intensa, horum differentia 4768 2/3, Diatesseron remissa, 262144, 349525 1/3, 354294, 472392] [UGODEC5 17GF]

Et ut superiorum numerorum differentia in integris numeris absque ruptis plenius cognoscatur, Boetius dictis quatuor numeris ac etiam ipsi differentiae numerorum addit medietatem ita quod primo numero, scilicet, 262144, sua medietas additur, quae est 131072, et efficitur numerus 393216. Secundo numero, scilicet, 349525 1/3, additur sua medietas quae est 174762 2/3, et efficitur numerus 524288. Tertio numero, scilicet, 354294, si sua medietas addatur, quae est 177147, fit numerus 531441. Quarto numero, scilicet, 472392, si sua medietas adiungatur, quae est 236196, efficitur numerus 708588. Similiter et numero qui diatesseron intense et diatesseron remisse differentiam facit quae est 4768 2/3, si sua medietas addatur, quae est 2384 1/3, efficitur numerus 7153 qui mediorum numerorum differentiam facit, in quo numero 7153 maior mediorum, scilicet, 531441, minorem, scilicet, 52488, videtur excedere, qui excessus est ille quo quinque toni bisdiatesseron supervadunt, quo etiam excessu seu numero sex toni diapason excedunt, prout inferius demonstrabitur, et dicitur coma. Demonstratio dictorum est haec:

[CSM7/3:170,2; text: Termini quinque tonorum, Horum differentia 4768 2/3, Numeri primi, 262144, 349525 1/3, 354294, 472392, Numerorum primorum medietas, 131072, 174762 2/3, 177147, 236196, Numerorum medietas cum integris, 393216, 524288, 531441, 708588, Horum differentia 7153, Termini quinque tonorum medietatibus aucti] [UGODEC5 17GF]

Bisdiatesseron excedit diatesseron per diatesseron, quia sicut si [171] pratice a bisdiatesseron abstrahatur diatesseron remanet diatesseron, sic si theorice a proportione bisdiatesseron abstrahatur una sexquitertia remanet alia sexquitertia, et quod remaneat probatur. Scribatur proportio bisdiatesseron 16-9, cui subscribatur proportio sexquitertia abstrahenda 4-3, et stent sic: 16-9 4-3, et multiplicetur abstrahendo 16 per 3, et productum erit 48. Postea multiplicetur 9 per 4 et producetur 36, modo inter 48 et 36 est proportio sexquitertia quae remanet a proportione bisdiatesseron abstracta proportione diatesseron, quod erat demonstrandum.

Item bisdiatesseron excedit diapente per semidiphtonum. Probatur quia si pratice a bisdiatesseron quod habet quattuor tonos et duo minora semitonia auferatur diapente quod habet tres tonos et unum minus semitonium remanet tonus cum semitonio componentes semidiphtonum. Sic theorice si a proportione bisdiatesseron abstrahatur proportio sexquialtera remanet proportio semidiphtoni, et quod talis proportio semidiphtoni remaneat probatur. Scribatur proportio bisdiatesseron praedicta, cui subordinetur proportio sexquialtera subtrahenda, et stent sic: 16-9 3-2, et multiplicetur 16 per 2 et producetur 32. Postea multiplicetur 9 per 3 et productum erit 27. Sed inter 32 et 27 est proportio semidiphtoni quae remanet, igitur, et cetera. Habet igitur bisdiatesseron tonos quatuor et semitonia duo minora quod Aristoxenus negabat. Praedictorum demonstrationes sunt istae:

[CSM7/3:171; text: Ducti 16 per 3 producunt, Bisdiatessaron, Sexquitertia producta differentia 12, 16-9, 48, 4-3, 36, Sexquitertia abstracta, Ducti 9 per 4 producunt, Ducti 16 per 2 producunt, Proportio semidiphtoni differentia 9, 32, 3-2, 27, Sexquialtera abstracta, Ducti 9 per 3 producunt] [UGODEC5 17GF]

[172] Capitulum XXVI

De diapason

Diapason consonantiarum mater, cuius diffinitio in primo tradita est et proportio in quarto, quinque tonos habet et duo minora semitonia pratice, theorice vero sexquioctavas proportiones quinque et minoris semitonii duas. Componitur autem diapason pratice ex diapente et diatesseron, sicut in primo dictum est, theorice vero ex eorum proportionibus. Hoc enim sic demonstrari potest, nam si proportio diapente sexquialtera et proportio diatesseron sexquitertia ad invicem uniantur producunt diapason proportionem duplam probatur. Scribatur proportio diapente sexquialtera 3 et 2, cui subordinetur proportio diatesseron adiungenda, et stent sic: 3-2 4-3, et multiplicetur adiungendo 3 per 4 et productum erit 12. Postea multiplicetur 2 per 3 et producetur 6, sed inter 12 et 6 est proportio dupla, continet enim maior numerus bis minorem. Igitur sicut diapason pratice ex diatesseron et diapente componitur, sic eius proportio ex eorum proportionibus connectitur, quod erat demonstrandum.

Potest etiam hoc ex ipsius diapason divisione monstrari. Nam pratice si a diapason diapente auferatur remanet diatesseron, et similiter si ab eius proportione proportio diapente removeatur, remanet proportio diatesseron, et quod remaneat probatur. Scribatur proportio diapason dupla 8-4, cui subscribatur proportio diapente sexquialtera abstrahenda 6-4, et stent sic: 8-4 6-4, et multiplicetur abstrahendo 8 per 4, et productum erit 32. Deinde multiplicetur 6 per 4 et erit 24, sed inter 32 et 24 est proportio sexquitertia remanens ex abstractione proportionis diapente sexquialterae a proportione diapason dupla, quod erat demonstrandum. Et ex hoc infertur diapason transcendere diatesseron per diapente, quia ablato diapente remanet diatesseron, sicut demonstratum est.

Item diapason transcendit diapente per diatesseron. Probatur quia pratice si a diapason diatesseron auferatur remanet diapente. Similiter si a diapason proportione dupla auferatur proportio diatesseron sexquitertia remanet sexquialtera, et quod remaneat probatur. Scribatur proportio diapason dupla 8-4, cui subordinetur proportio diatesseron sexquitertia abstrahenda 4-3, et stent sic: 4-3 8-4, et multiplicetur abstrahendo [173] 8 per 3, et productum erit numerus 24. Deinde multiplicetur 4 per 4 et producetur 16, sed inter 24 et 16 est proportio sexquialtera, continet enim maior numerus minorem semel et eius medietatem quae sexquialtera remanet abstracta a proportione dupla proportione sexquitertia. Igitur diapason excedit diapente per diatesseron, quod erat demonstrandum.

Item diapason pratice superat diapente cum diphtono per semitonium minus, quia si a diapason removeatur diapente cum diphtono remanet semitonium minus. Et similiter theorice si a proportione dupla removeatur sive abstrahatur proportio diapente cum diphtono remanet proportio semitonii minoris, et quod remaneat talis proportio probatur. Scribatur proportio diapason dupla 2-1, cui subscribatur proportio diapente cum diphtono 243-128, et stent sic: 2-1 243-128, et multiplicetur abstrahendo 2 per 128 et productum erit 256. Inde multiplicetur 1 per 243 et erit ipse numerus 243, sed inter 256 et 243 est proportio semitonii minoris quae remanet abstracta a proportione dupla proportione diapente cum diphtono. Superat igitur diapason diapente cum diphtono per semitonium minus, quod erat demonstrandum.

Item diapason pratice excedit diapente cum semidiphtono per tonum quia a diapason semoto diapente cum semidiphtono remanet tonus. Et sic similiter a proportione diapason si abstrahatur proportio diapente cum proportione semidiphtoni remanet proportio sexquioctava, et quod talis proportio remaneat probatur. Scribatur proportio diapason dupla 2-1, cui subscribatur proportio diapente cum semidiphtono 96-54, et stent sic: 2-1 96-54, et multiplicetur abstrahendo 2 per 54 et producetur numerus 108. Deinde multiplicetur 1 per 96 et redditur 96, sed inter 108 et 96 est proportio sexquioctava, continet enim maior numerus minorem semel et eius octavam partem; est enim eorum differentia 12 qui octies factus reddit numerum 96. Et sic a proportione dupla abstracta proportione diapente cum semidiphtono remanet proportio toni sexquioctava. Excedit igitur diapason diapente cum semidiphtono per tonum, quod erat demonstrandum.

Item diapason superat diapente cum semitonio per diphtonum, quia si pratice a diapason auferatur diapente cum semitonio quod remanet est diphtonus. Similiter si a proportione dupla auferatur proportio diapente cum semitonio remanet proportio diphtoni, et quod talis proportio remaneat probatur. Scribatur proportio dupla 2-1, cui subscribatur proportio diapente cum semitonio subtrahenda 128-81, et stent sic: 2-1 128-81, et multiplicetur abstrahendo 2 per 81, et productum erit 162. [174] Postea multiplicetur 1 per 128 et erit idem 128, quorum differentia est 34, sed inter 162 et 128 est proportio diphtoni quae remanet abstracta a proportione dupla proportione diapente cum semitonio. Igitur diapason excedit diapente cum semitonio per diphtonum, quod erat demonstrandum.

Et quod inter 162 et 128 sit proportio diphtoni probatur, quia si dictae proportioni addatur proportio semitonii minoris producit proportio diatesseron sexquitertia, quia ex diphtono et semitonio minore pratice componitur diatesseron et quod producatur proportio sexquitertia probatur. Scribatur proportio diphtoni supradicta cui subscribatur proportio semitonii minoris adiungenda, et stent sic 162-128 256-243, et multiplicetur adiungendo 162 per 256 et productum erit 41472. Deinde multiplicetur 128 per 243 et producetur 31104, quorum differentia 10368, qui numerus minoris numeri productorum pars tertia est, ter enim ducti 10368 producunt 31104. Est ergo inter productos numeros 41472 et 31104 proportio sexquitertia producta ex coniunctione proportionum ad invicem diphtoni et semitonii minoris. Erat igitur inter dictos primos numeros 162 et 128 diphtoni proportio, quod erat demonstrandum.

Item diapason excedit diapente cum tono per semidiphtonum, quia pratice si a diapason abstrahatur diapente cum tono, quod remanet est semidiphtonus. Similiter theorice si a proportione diapason dupla abstrahatur proportio diapente cum tono remanet proportio semidiphtoni. Et quod ista proportio remaneat probatur. Scribatur proportio dupla 2-1, cui subscribatur proportio diapente cum tono subtrahenda 27-16, et stent sic: 2-1 27-16, et multiplicetur abstrahendo 2 per 16, et productum erit 32. Postea multiplicetur 1 per 27 et producetur 27. Sed inter 32 et 27 est proportio semidiphtoni quae remanet ex abstractione proportionis diapente cum tono a proportione dupla. Excedit igitur diapason diapente cum tono per semidiphtonum, quod erat demonstrandum.

[CSM7/3:174; text: Ducti 3 per 4 producunt, Sexquialtera, Dupla producta differentia 6, 3-2, 12, 4-3, 6, Sexquitertia adiuncta, Ducti 2 per 3 producunt] [UGODEC5 18GF]

[175] [CSM7/3:175; text: Ducti 8 per 4 producunt, Dupla proportio, Sexquitertia producta differentia 8, 8-4, 32, 6-4, 24, Sexquialtera abstracta, Ducti 4 per 6 producunt, Ducti 8 per 3 producunt, Sexquialtera producta differentia 8, 4-3, 16, Sexquitertia abstracta, Ducti 4 per 4 producunt, Ducti 2 per 128 producunt, Semitonii minoris producta proportio differentia 13, 2-1, 256, 243-128, 243, Abstracta proportio diapente cum diphtono, Ducta unitas per 243 producit, Ducti 2 per 54 producunt, Sexquioctava producta differentia 12, 108, 96-54, 96, Abstracta proportio diapente cum semidiphtono, Ducta unitas per 96 producit, Ducti 2 per 81 producunt, Proportio diphtoni producta differentia 34, 162, 128-81, 128, Abstracta proportio diapente cum diphtono, Ducta unitas per 128 producit] [UGODEC5 19GF]

[176] [CSM7/3:176; text: Ducti 162 per 256 producunt, Proportio diphtoni, Sexquitertia producta differentia 10368, 162-128, 41472, 256-243, 31104, Adiuncta proportio minoris semitonii, Ducti 128 per 243 producunt, Ducti 2 per 16 producunt, Dupla proportio, Proportio semidiphtoni producta differentia 5, 2-1, 32, 27-16, 27, Abstracta proportio diapente cum tono, Ducta unitas per 27 producit] [UGODEC5 18GF]

Aristoxenus autem, sicut paulo ante in capitulo de bisdiatesseron dictum est, dicebat semitonium quod in consonantiarum compositione cadit esse integrum toni dimidium, quo fiebat ut bisdiatesseron quinque tonos haberet, quod reprobatum est, et diapason sex, quod Boetius improbat hoc modo. Diapason est in proportione dupla. Si diapason habet sex tonos primus numerus et ultimus, qui sunt extremi sex tonorum, scilicet, 262144 et 531441, in dupla se debent habere proportione, maior enim numerus bis praecise debet continere minorem et nil ultra. Sed maior bis minorem habet et aliquid ultra, igitur dicti numeri sex tonorum extremi se in dupla proportione non habent, et quod maior numerus bis minorem contineat et aliquid ultra probatur, quia primus numerus bis auctus facit numerum 524288, qui ad aequalitatem 531441 numeri non attingit. Supervadit enim maior minorem in numero 7153, qui est eorum differentia. Non habet igitur diapason sex tonos, sed sex toni diapason in eo 7153 numero supervadunt. Numeri continui sex tonos continuos vel continue producentes in capitulo de bisdiatesseron in sua descriptione monstrantur. Ex hoc nempe excessu quo sex tonos intelligimus superare diapason comprehendimus nec diatesseron quinque tonis aequivalere nec diapason sex, quem excessum sive differentiam coma apud Boetium nuncupatur, quod in numeris primis in 7153 unitatibus continetur, sicut hic calculo in numeris compertum est, et quod in 7153 comatis ratio plene consistat ex semitoniorum ratione monstratur.

[177] Semitonium maius minus semitonium excedit per coma, ut infra patebit. A semitonio igitur maiore si minus abstrahitur, debet comatis proportio remanere, et si sic habetur propositum, et quod comatis proportio remaneat probatur. Nam scribatur semitonii maioris proportio 2187 et 2048, cui subordinetur semitonii minoris proportio abstrahenda 256 et 243, et stent sic: 2187-2048 256-243, et multiplicetur abstrahendo 2187 per 243 et producetur numerus 531441. Deinde multiplicetur 2048 per 256 et productum erit 524288, quorum differentia est 7153. Sed in his est comatis proportio antedicta, igitur, et cetera. Dicimus ergo diapason quinque tonos duoque minora semitonia continere et bisdiatesseron tonos quatuor et duo semitonia minora habere, quae Aristoxenus suo errore negabat.

Capitulum XXVII

De diapasondiatesseron

De diapasondiatesseron licet quoad eius descriptionem in primo pratice quaedam dixerimus et in quarto eius proportionem dederimus, nunc autem theorice eius volumus tradere demonstrationem. Pratice haec coniunctio septem habet tonos et tria minora semitonia. Theorice vero septem habet sexquioctavas tresque minoris semitonii proportiones. Composita est pratice haec coniunctio ex diapason et diatesseron, theorice vero ex dupla et sexquitertia proportione. Nam si dupla proportio cum sexquitertia proportione iungatur producitur dupla superbipartiens, quae ipsius diapasondiatesseron dicitur esse proportio, et quod talis proportio producatur probatur. Scribatur proportio dupla 2-1, cui subscribatur abstrahenda 2-1, et stent sic: 8-3 2-1, et multiplicetur abstrahendo 8 per 1 et adiungendo 2 per 4 et erit numerus 8. Postea multiplicetur 1 per 3 et erit 3. Sed inter 8 et 3 est proportio dupla superbipartiens, maior enim numerus minorem semel habet et insuper eius duas partes, igitur huius coniunctionis proportio ex coniunctis diapason et diatesseron proportionibus dicitur provenire.

Haec coniunctio superat diatesseron per diapason, quia pratice si ab ea auferatur diapason remanet diatesseron, et similiter si ab huiusmodi dupla superbipartienti proportione auferatur dupla proportio remanet sexquitertia [178] proportio, et quod talis proportio remaneat probatur. Scribatur proportio dupla superbipartiens 8-3, cui subordinetur dupla proportio adiungenda proportio sexquitertia 4-3, et stent sic: 4-3 2-1, et multiplicetur erit 8. Deinde multiplicetur 3 per 2 et faciet 6. Sed inter 8 et 6 est sexquitertia relicta ex abstractione duplae proportionis a dupla superbipartienti. Igitur haec coniunctio superat diatesseron per diapason, quod erat demonstrandum.

Item haec coniunctio superat diapason per diatesseron, quia pratice si ab hac coniunctione auferatur diatesseron remanet diapason, eo namque modo si ab eius proportione abstrahatur proportio sexquitertia remanet proportio dupla, et quod remaneat probatur. Scribatur huius coniunctionis proportio cui subscribatur proportio sexquitertia abstrahenda, et stent sic: 8-3 4-3, et multiplicetur 8 per 3 et productum erit 24. Postea multiplicetur 3 per 4 et producetur 12. Sed inter 24 et 12 est proportio dupla quia maior minorem bis continet quae dupla remanet abstracta vel extracta a dupla superbipartienti sexquitertia proportione. Igitur haec coniunctio superat diapason per diatesseron, quod erat demonstrandum.

Item haec coniunctio excedit bisdiatesseron per diapente, quia si ab hac coniunctione auferatur pratice bisdiatesseron remanet diapente. Similiter si ab huius proportione proportio bisdiatesseron abstrahatur remanet proportio sexquialtera, et quod talis proportio remaneat probatur. Scribatur huiusmodi proportio diapasondiatesseron 8-3, cui subordinetur proportio bisdiatesseron 16-9, et stent sic: 8-3 16-9, et multiplicetur abstrahendo 8 per 9 et productum erit 72. Deinde multiplicetur 3 per 16 et fiet 48. Sed inter 72 et 48 est proportio sexquialtera remanens ex abstractione proportionis bisdiatesseron a proportione diapasondiatesseron. Excedit igitur diapasondiatesseron bisdiatesseron per diapente, quod erat probandum.

Utrum autem diapasondiatesseron sit consonantia satis in primo in suo capitulo dictum est: vide illud. Sed est etiam notandum quod ideo diapason et diatesseron non faciunt consonantiam, quia omnis consonantia est in multiplici vel superparticulari genere. Quod autem producitur ex diapason et diatesseron non est in multiplici vel superparticulari genere, sed est in multiplici superpartienti. Est enim eius proportio dupla superbipartiens, [179] sicut hic dictum est, ut 3 ad 8, quae componitur ex dupla 3 ad 6 et ex sexquitertia 6 ad 8. Quod autem omnis consonantia sit in multiplici vel superparticulari genere in primo ubi supra probatum est. Sed etiam ex hoc patet, nam sexquialter et sexquitertius qui faciunt duplam proportionem quae est in multiplici, ideo diapente et diatesseron iungunt diapason. Item quia sexquitertius et sexquioctavus faciunt sexquialterum, quae est in superparticulari, idcirco diatesseron et tonus iungunt diapente. Item quia duplus et sexquialter faciunt triplam proportionem quae est in multiplici, idcirco diapason et diapente iungunt diapasondiapente. Item quia bis duplus facit quadruplam proportionem quae est in multiplici, ideo diapason cum diapason iungunt bisdiapason. Omnis ergo consonantia vel ex superparticularibus vel ex multiplicibus procreatur, vel ex superparticulari et multiplici nascitur, et omnis consonantia in superparticulari vel multiplici genere constituitur. Haec autem coniunctio diapasondiatesseron, quoniam neque ex his conficitur neque in his constituitur, consonantia esse non dicitur. Supradictorum demonstrationes sunt istae:

[CSM7/3:179; text: Producti 2 per 4 efficiunt, Dupla proportio, Dupla superbipartiens differentia 5, 2-1, 8, 4-3, 3, Sexquitertia adiuncta, Ducta unitas per 3 producit, Ducti 8 per unitatem producunt, Dupla superbipartiens, Sexquitertia producta differentia 2, 8-3, 8, 2-1, 6, Subtracta dupla proportio, Ducta 3 per 2 producunt] [UGODEC5 20GF]

[180] [CSM7/3:180; text: Ducti 8 per 3 producunt, Dupla superbipartiens, Dupla producta differentia 12, 8-3, 24, 4-3, 12, Sexquitertia subtracta, Ducti 3 per 4 producunt, Ducti 8 per 9 producunt, Sexquialtera producta differentia 24, 72, 16-9, 48, Proportio bisdiatesseron, Ducti 3 per 16 producunt] [UGODEC5 20GF]

Capitulum XXVIII

De diapasondiapente

Diapasondiapente consonantia, cuius descriptio est in primo et proportio eius tripla in quarto, pratice octo tonos habet atque minora semitonia tria. Theorice vero sexquioctavas octo et minoris semitonii tres tenet proportiones. Composita est namque haec coniunctio ex diapason et diapente, quo fit ut unum excedat per aliud, excedit enim diapason per diapente quod potest taliter demonstrari. Nam sicut pratice si a diapasondiapente removeatur diapente, remanet diapason, sic theorice si a tripla proportione removeatur sexquialtera, remanet dupla, et quod remaneat probatur. Nam scribatur proportio diapasondiapente tripla 6-2, cui subscribatur proportio sexquialtera subtrahenda 6-4, et stent sic: 6-2 6-4, et multiplicetur abstrahendo 6 per 4, et productum erit 24. Deinde multiplicetur 2 per 6 et erit numerus 12. Sed inter 24 et 12 est proportio dupla quae remanet ex abstractione sexquialterae a tripla proportione. Igitur tripla superat duplam per sexquialteram, et per consequens haec coniunctio excedit diapason per diapente, quod erat demonstrandum.

Item haec coniunctio excedit diapente per diapason probatur quia ab hac coniunctione si pratice diapason auferatur, remanet diapente. Similiter si ab eius proportione tripla abstrahatur dupla remanet sexquialtera [181] et quod remaneat probatur. Scribatur tripla proportio 6-2, cui subscribatur dupla proportio removenda 4-2, et stent sic: 6-2 4-2, et multiplicetur abstrahendo 6 per 2 et productum erit 12. Postea multiplicetur 2 per 4 et erit 8, sed inter 12 et 8 est proportio sexquialtera quae remanet ex abstractione proportionis duplae a proportione tripla. Igitur tripla superat sexquialteram per duplam et per consequens diapasondiapente diapason per diapente, quod erat demonstrandum. Contingunt enim haec, quia dupla adiuncta sexquialterae facit triplam proportionem, probatur hoc. Scribatur dupla proportio cum subscripta sexquialtera adiungenda, et stent sic: 4-2 3-2, et multiplicetur 4 per 3 et productum erit 12. Postea multiplicetur 2 per 2 et erit 4. Sed inter 12 et 4 est proportio tripla producta ex coniunctione proportionis duplae et sexquialterae, quod erat demonstrandum.

Haec namque coniunctio alias inferiores coniunctiones excedit, quas diligenti calculatori demonstrandas brevitatis causa dimitto, ex superiorum enim demonstrationibus eas poterit facile demonstrare.

[CSM7/3:181; text: Ducti 6 per 4 producunt, Tripla proportio, Dupla producta differentia 12, 6-2, 24, 6-4, 12, Sexquialtera abstracta, Ducti 2 per 6 producunt, Ducti 6 per 2 producunt, Sexquialtera producta differentia 4, 4-2, 8, Dupla abstracta, Ducti 2 per 4 producunt, Ducti 4 per 3 producunt, Dupla proportio, Tripla producta differentia 8, 3-2, 4, Sexquialtera adiuncta, Ducti 2 per 2 producunt] [UGODEC5 21GF]

[182] Capitulum XXIX

De bisdiapason

Bisdiapason, cuius diffinitio est in primo et proportio est in quarto plenius demonstrata, scilicet, quadrupla, pratice decem habet tonos et semitonia quatuor minora, theorice vero sexquioctavas decem et minoris semitonii proportiones quatuor, quoniam quae in diapason continentur bis in bisdiapason includuntur. Nam diapason alteri adiunctum diapason efficit bisdiapason, et proportio dupla addita alteri duplae efficit proportionem quadruplam, et quod efficiat probatur. Scribatur proportio dupla 4-2, cui alia subscribatur dupla adiungenda 4-2, et stent sic: 4-2 4-2, et multiplicetur adiungendo 4 per 4, et productum erit 16. Deinde multiplicetur 2 per 2 et producetur 4. Sed inter 16 et 4 est proportio quadrupla proveniens ex coniunctione duplicis duplae, quod erat demonstrandum, igitur, et cetera.

Haec coniunctio superat diapasondiapente per diatesseron. Probatur quia pratice si a bisdiapason abstrahatur diatesseron remanet diapasondiapente. Similiter theorice si a quadrupla proportione removeatur sexquitertia remanet tripla proportio et quod remaneat probatur. Scribatur proportio quadrupla 8-2, cui subordinetur proportio sexquitertia extrahenda 4-3, et stent sic: 8-2 4-3, et multiplicetur abstrahendo 8 per 3 et producetur 24. Deinde multiplicetur 2 per 4 et erit 8, sed inter 24 et 8 est proportio tripla producta ex abstractione sexquitertiae a quadrupla proportione. Igitur haec coniunctio superat diapasondiapente per diatesseron, quod erat demonstrandum.

Item pratice ex diapasondiapente et diatesseron componitur bisdiapason. Similiter theorice ex proportione tripla et sexquitertia producitur quadrupla et quod producatur probatur. Scribatur proportio tripla, cui subordinetur sexquitertia adiungenda, et stent sic: 3-1 4-3, et multiplicetur adiungendo 3 per 4 et producetur 12. Postea multiplicetur 1 per 3 et erit 3, sed inter 12 et 3 est proportio quadrupla proveniens ex coniunctione triplae et sexquitertiae, igitur, et cetera.

Item haec coniunctio excedit diapasondiatesseron per diapente, quia pratice si a bisdiapason auferatur diapente remanet diapasondiatesseron. [183] Similiter theorice si a quadrupla proportione abstrahatur sexquialtera remanet dupla superbipartiens, et quod remaneat probatur. Scribatur proportio quadrupla cum subscriptione sexquialterae abstrahendae, ut hic: 4-1 3-2, et multiplicetur abstrahendo 4 per 2 et erit 8. Postea multiplicetur 1 per 3 et erit 3, sed inter 8 et 3 est proportio dupla superbipartiens producta ex remotione sexquialterae proportionis a quadrupla. Igitur haec coniunctio bisdiapason superat diapasondiatesseron per diapente, quod erat demonstrandum.

Item si pratice diapente addatur diapasondiatesseron producitur bisdiapason. Similiter theorice si proportio sexquialtera addatur duplae superbipartienti producitur quadrupla, et quod producatur probatur. Scribatur proportio dupla superbipartiens cum subscriptione sexquialterae adiungendae, ut hic: 8-3 3-2, et multiplicetur addendo 8 per 3 et producetur 24. Deinde multiplicetur 3 per 2 et productum erit 6, sed inter 24 et 6 est proportio quadrupla proveniens ex additione sexquialterae proportionis duplae superbipartienti, igitur, et cetera.

Haec coniunctio alias minores coniunctiones excedit, et ex eis componitur prout diligens calculator invenit. Horum demonstrationes sunt istae:

[CSM7/3:183; text: Ducti 4 per 4 producunt, Dupla proportio, Quadrupla producta differentia 12, 4-2, 16, 4, Dupla coniuncta duplae, Ducti 2 per 2 producunt, Ducti 8 per 3 producunt, Quadrupla proportio, Tripla producta differentia 16, 8-2, 24, 4-3, 8, Sexquitertia abstracta, Ducti 2 per 4 producunt] [UGODEC5 22GF]

[184] [CSM7/3:184; text: Ducti 3 per 4 producunt, Tripla proportio, Quadrupla producta differentia 9, 3-1, 12, 4-3, 3, Sexquiteria adiuncta, Unitas ducta per 3 producit, Ducti 8 per 3 producunt, Quadrupla proportio, Dupla superbipartiens differentia 5, 4-1, 8, 3-2, Sexquialtera abstracta, Dupla superbipartiens, Quadrupla producta differentia 18, 8-3, 24, 6, Sexquialtera coniuncta, Ducti 3 per 2 producunt] [UGODEC5 22GF]

Capitulum XXX

Quod omnes toni, omnia semitonia omnesque coniunctiones penitus sunt aequales

Intellectis toni et partium eius diffinitionibus ac eorum proportionibus, scilicet, quod omnis tonus est in proportione sexquioctava, sequitur quod omnes toni inter se sunt aequales. Similiter omnia minora semitonia cum in eadem proportione existant, sequitur omnia ipsa esse aequalia. Item omnis tonus excedit semitonium maius per semitonium minus, igitur omnia maiora semitonia sunt aequalia. Similiter omnis tonus excedit semitonium minus per semitonium maius, igitur omnia minora semitonia sunt aequalia. Omnia comata inter se sunt aequalia, patet hoc nam ex [185] quo omnia minora semitonia inter se sunt aequalia, et similiter maiora et semitonium minus vincitur a maiori per coma. Sequitur quod omnia comata inter se sunt aequalia. Si vero daretur oppositum tunc sequeretur quod musicales coniunctiones eiusdem denominationis inter se non essent aequales quod est contra superius demonstrata. Et hac ratione dicimus quod omnes diphtoni, semidiphtoni, tritoni, diatesseron, diapente, diapason, ceteraeque sonorum musicales coniunctiones inter se sunt aequales, sunt enim eadem tonorum et semitoniorum quantitate coniunctae et per consequens ex eisdem proportionibus connexae, et ideo praedictae sonorum coniunctiones identitatem servant in quantitate.

Capitulum XXXI

Qualiter Pythagoras musicam adinvenit

Legimus, ut refert Moyses, Iubal de stirpe Chaim ante diluvium musicam invenisse. Graeci autem, ut patet per Macrobium et Boetium, dicunt musicam Pythagoram antiquum sonitu malleorum accepisse. Sed eius quae per Iubal comperta est, hi absque proportionum intelligentia et ratione solum pratico exercitio utebantur. Pythagoras autem, qui aurium sensu quo rerum non sumitur ratio, dulces melodiarum sonos acceperat, tanto in his ardentiori desiderio augebatur quanto ictibus sonorum dulcioribus trahebatur, multo namque tempore ut consonantium rationes harmoniarum investigaret exestuans et quid illud efficeret elaborans, aurium iudicio quo veritatis agnitio non comprehenditur sententiam non commisit. Veritatis enim perfectionem quae in intellectu consistit materialis sensus non apprehendit, et quia intellectus verorum est in sui obiecti cognitione errore non labitur nec vario iudicio verus decipitur. Sensuum autem varietas multa est et unusquisque obiectum proprium varia acceptione comprehendit, tanta est enim in sensibilium perceptione varietas, quod nec hic, sicut ille, nec alter, sicut iste, ex vario sensus iudicio idem potest obiectum excipere, nec idem homo cui aetas variata succedit aequaliter sensuum obiecta comprehendit. Quis ergo, ut dicit Boetius, vario committet iudicio quod veraciter affectet inquirere. Sensibus apprehendimus sensibilia, sed ea intellectu atque ratione quoad accidens vel substantiam [186] quoad verum vel falsum penitus iudicamus. Natura primum sensibilia nota sunt et sensuum occasione vitae momenta producta, sed eorum varietate, si rationis absistat, cognitio nullum in his certum potest esse iudicium, nulla veritatis apprehensio, et sicut in primi proemio diximus, sunt haec sensuum organa ordinata ut animae operationibus famulentur, est igitur famulus sensus et ratio iudex, ut dicit Boetius.

Instrumentorum autem nervis quorum inconstantia atque varietas, tum aeris humiditate qua pulsus obtunditur, tum siccitate qua excitatur, tum cordarum magnitudine qua sonus gravior redditur, tum subtiliori qua acuitur, vel alio quodam modo saepe exoritur et prioris consonantiae modum permutat, quoniam inconsulta haec et modicae sunt fidei pro discendis consonantiarum momentis ac firma constantique ratione, certam fidem etiam ipse Pythagoras noluit adhibere et horum penitus non ignarus consonantiarum fundamenta peroptans diu ut caperet laboravit. Cum autem die quadam hoc exestuans in labore nutu quodam divino, ut dicit Boetius, in fabrorum officinis quas iuxta pergebat pulsos malleos audiret, ex his sonorum consonantias percepit vel percipit personare, ad quos accedens attonitus quod quaerebat inveniens quas diversas audit melodias non malleorum opere, sed hominum virtute extimat resultare et, eius imperio malleis permutatis, non lacertorum vires consonantiae sed malleorum pondera comitantur. Mallei quinque erant, quorum unus quia his discordiam inferebat eiectus est, reliquis vero talis erat ponderis attributa mensura, nam primus pondera 12 obtinebat, secundus 9, tertius 8, et quartus 6. Malleorum igitur pondera haec erant 12, 9, 8, 6, primus autem ad secundum, qui numerum 12 ad 9 habebat, sexquitertiam faciebat proportionem quae diatesseron dicitur esse propria consonantiae. Idem primus ad tertium, id est, 12 ad 8, sexquialteram habebat proportionem quae diapente convenit consonantiae. Item primus ad quartum, id est, 12 ad 6 duplam, efficiebat proportionem quae ipsius diapason dicitur convenire. Secundus autem malleus ad tertium, id est, 9 ad 8, sexquioctavam constituebat proportionem quae toni proportio est, sed tertius ad quartum, id est, 8 ad 6, aliam sexquitertiam proportionem producit. In his ergo ponderibus semel dupla proportio reperitur ut 12 ad 6 et semel diapason, bis sexquialtera ut 12 ad 8 et 9 ad 6 et bis diapente, bis sexquitertia ut 12 ad 9 et 8 ad 6 et bis diatesseron, et semel sexquioctava ut 9 ad 8 et semel tonus. Haec namque consonantiarum vocabula ante [187] Pythagoram reperta sunt, scilicet, diapason, diapente et diatesseron. Sed qua proportione haec sonorum concordia iungeretur hic Pythagoras adinvenit; praedictorum pondera malleorum in hac patent demonstratione:

[CSM7/3:187; text: Dupla proportio, Sexquialtera, Sexquitertia, Sexquioctava, 12, 9, 8, 6, Diatesseron, Tonus, Diapente, Diapason] [UGODEC5 23GF]

Consonantiarum proportionibus sic per Pythagoram adinventis rediens ipse domum, ut si tam mirabilis harmonia quam tam numero quam mensura quam etiam ponderis ratione collegerat, ex aliis consurgeret in strumentis voluit experiri. Nam aequis ponderibus nervis aptatis eorum consonantias auribus vel aure iudicabat, nunc vero pondera dupla, sexquialtera, sexquitertia, ceterisque proportionibus mensurabat. Et ex his integerrimam fidem habens diversorum instrumentorum experientia voluit edoceri, tum enim aequa pondera ciatis addebat, tum a citabulis diversa quae virga aerea vel ferrea percutiebat. Et cum nil diversum penitus invenisset summe laetitia repletus est. Et hinc in quam plurimis expertus instrumentis ut ventorum, nervorum, foraminum, aquarum, vasorum atque similium in quibus eae consonantiae possunt coaptari, quacumque semota discordia similes consonantias similesque proportiones reperit generari.

Haec enim fuerunt prima fundamenta prima proportionum initia, quae nec demonstrative nec persuasive sed solo casu et experientia per Pythagoram italicum fuerunt inventa, quae quatuor sunt species proportionum, quatuor sonorum, scilicet, proportio toni sexquioctava, proportio diatesseron sexquitertia, proportio diapente sexquialtera, et proportio diapason dupla, ex his enim omnis musicalis coniunctio suscipit fundamentum. His itaque sic consideratis, sensus atque rationis differentiam recte comprehendimus. A sensu namque, ut dicit Boetius, huiusce musicae disciplinae sumitur omne principium, quoniam si nullus esset auditus nulla [188] omnino de vocibus disputatio extitisset. Auribus enim consonantias dissonantiasque metimur earumque dulcibus sonis remittimur et contrariis astringimur. Quibus autem proportionum differentiis consonantiae sint distantes, id non auribus quarum est obtusum iudicium, sed rationi omnino committimus, ut superius dictum est, quoniam, sicut dicit Boetius, ipse enim sensus aeque maximis minimisque corrumpitur, nam neque sentire minima propter ipsorum sensibilium parvitatem potest et maioribus saepe confunditur, ut in vocibus quas si minimae sunt difficilius captat auditus, si sint maximae ipsius sonitus intensione surdescit. Ratio autem cuius est maxima minimaque comprehendere non ab eis confunditur, sed unum quodque recte diiudicat. Consonantiarum igitur sonus aure percipitur sed earum proportio ratione comprehenditur.

Capitulum XXXII

De toni partiumque eius divisionibus secundum Philolaum

Tonus autem dividitur in duas inaequales partes secundum Philolaum, quae sunt duo semitonia, scilicet, maius quod vocatur apotome et minus quod dicitur diesis, vel dividitur tonus in duo semitonia minora sive in duas dieses et coma. Maius semitonium sive apotome dividitur in semitonium minus sive diesim et coma. Superat enim apotome diesim comate quia diesis et coma constituunt apotome.

Minus semitonium sive diesis dividitur in duo diaschismata, diaschisma enim medium est dieseos sive semitonii minoris. Tonus igitur hac consideratione in quatuor diaschismata et coma dividitur, et apotome in duo diaschismata et coma. Coma vero in duo schismata divisibile est, quia schisma medium est comatis. Medium igitur toni integrum diaschismata duo cum schismate faciunt, sive schisma cum diesi, quia tonus in quatuor diaschismata et duo schismata est divisibilis.

Ex his inferre possumus quod diesis est spatium quo maior est sexquitertia proportio duobus tonis. Coma vero est spatium quo maior est sexquioctava proportio duabus diesibus, id est, duobus semitoniis minoribus. Diaschisma medium est dieseos, scilicet, schisma medium comatis, duae dieses et coma tonum efficiunt, coma et diaschisma semitonium maius, duo diaschismata semitonium minus, sed unum schisma et diaschisma integram toni medietatem tenet.

[189] Tonus duas dieses comate supervadit, et apotome diesim comate sive duobus schismatibus excedit, et diesis ab apotome comate sive duobus schismatibus superatur. In sex igitur minimas partes totus tonus dividitur, scilicet, in quatuor diaschismata et duo schismata.

Capitulum XXXIII

Quod tonus maior est duabus diesibus sive duobus semitoniis minoribus uno comate

Tonus ex apotome componitur et diesi sive minore semitonio apotome autem a diesi differt comate, quia apotome nihil est aliud quam diesis sive semitonium minus et coma. Si igitur a tono duae dieses sive duo minora semitonia auferantur, remanet coma, et quod coma remaneat probatur. Et primo a proportione toni sexquioctava 9-8 abstrahatur proportio semitonii minoris 256-243, et stent sic: 9-8 256-243, et multiplicetur abstrahendo 9 per 243 et productum erit 2187. Postea multiplicetur 8 per 256 et producetur 2048, sed inter 2187 et 2048 est proportio semitonii maioris, quae remanet abstracta a tono minoris semitonii proportione. Et quod illa sit proportio semitonii maioris patet in quarto in suo capitulo. Secundo ab ista proportione semitonii maioris abstrahatur alia proportio semitonii minoris et remanebit proportio comatis, et quod remaneat probatur. Scribantur dictae proportiones maioris et minoris semitonii, et stent sic: 2187-2048 256-243, et multiplicetur abstrahendo primo 2187 per 243, et productum erit 531441. Postea multiplicetur 2048 per 256 et productum erit 524288, sed inter 531441 et 524288, quorum differentia est 7153, est proportio comatis quae remanet abstractis a sexquioctava proportione duabus minoris semitonii proportionibus. Si igitur a tono duae dieses sive duo minora semitonia auferantur remanet coma, quod erat demonstrandum, unde fit quod tonus maior est duobus semitoniis minoribus uno comate. Quod autem dicti numeri producti sint numeri proportionis comatis patet in quarto in capitulo de comate.

[190] [CSM7/3:190; text: Ducti 9 per 243 producunt, Sexquioctava, Semitonii maioris proportio producta differentia 139, 9-8, 2187, 256-243, 2048, Minus semitonium abstractum, Ducti 8 per 256 producunt, Ducti 2187 per 243 producunt, Proportio maioris semitonii, Proportio comatis differentia 7153, 2187-2048, 531441, 524288, Minus semitonium abstractum, Ducti 2048 per 256 producunt] [UGODEC5 23GF]

Capitulum XXXIV

De alia proportione comatis quae maior est quam 75 ad 74 et minor quam 74 ad 73

Comatis proportio alio modo haberi potest, si eorum quae dicta sunt in capitulo de bisdiatesseron, ubi ostendimus sex tonos superare diapason, reminisci contingat. Primus namque terminus sex tonorum, qui est sextus octuplus, est numerus 262144 eius quidem duplus qui diapason ei constituit est numerus 524288, sed qui cum eo primo in distantia sex tonorum habetur est numerus 531441, qui immediatum numerum praecedentem in 7153 unitatibus videtur excedere, qui excessus seu differentia comatis proportionem facit, ut in praedicto capitulo plenius demonstratur.

Hac equidem differentia seu excessu, scilicet, 7153, probatur comatis proportionem maiorem esse quam 75 ad 74, et minorem quam 74 ad 73, id enim tali demonstratione comprehenditur. Nam si is numerus qui differentiam facit, scilicet, 7153, septuagies ter multiplicetur, fit numerus 522169 qui ad numerum 524288 non ascendit. Minor est ergo is numerus 7153 quam septuagesima tertia pars dicti numeri 524288, quia maior minorem excedit numero 2119. Minor est ergo proportio comatis quam 74 ad 73, unitas enim maioris qua minor exceditur septuagesima pars tertia [191] est minoris. Et ex his etiam comprehenditur quod numerus 531441 eum numerum 524288 minore parte excedit quam septuagesima tertia.

Item eadem etiam ratione probatur, quod dicta comatis proportio maior est quam 75 ad 74. Nam si comatis terminorum differentia, scilicet, numerus is 7153, septuagies quater multiplicetur producitur numerus 529322, qui numero 524288 penitus maior est, et sic dicta terminorum differentia, scilicet, 7153, maior est quam minoris numeri pars septuagesima quarta. Superat enim maior minorem parte quidem maiore septuagesima quarta, hinc ergo colligitur proportionem comatis esse maiorem quam 75 ad 74, nam unitas maioris qua minor exceditur pars septuagesima quarta est minoris. Terminorum autem differentia, scilicet, 529322 et 524288, est numerus 5034, quo maior minorem superat. Proportio igitur comatis minor est quam 74 ad 73 et maior quam 75 ad 74, quod erat demonstrandum. Supradictorum demonstratio haec est:

[CSM7/3:191; text: Termini extremi sex tonorum, Differentia septuagies quater ducta, Proportio dupla, Proportio comatis, Differentia septuagies ter ducta, 7153, 262144, 524288, differentia, 531441, 522169, 529322, Diapason, Coma, Minor quam 74 ad 73, Proportio sex tonorum, Maior quam 75 ad 74] [UGODEC5 23GF]

Aliter quae dicta sunt de comatis proportione probari possunt, ut dicit Boetius, et primo quod comatis proportio minor est quam 74 ad 73, quod sic probat. Accipiantur numeri inter se comatis proportionem habentes, scilicet, 531441 et 524288, quorum differentia est 7153, quae differentia multiplicetur per 73 et productum erit 522169, qui numerus comparatus ad 524288 superatur ab eo in numero 2119. Item ipsa differentia multiplicetur per 74 et producetur numerus 529322, qui comparatus ad 531441 etiam eodem numero 2119 ab eo dicitur superari. Si igitur a numero 531441 auferatur numerus 2119 efficitur numerus 529322, et si a numero 524288 auferatur idem numerus 2119 efficitur numerus 522169. Ex hac igitur abstractione minor est proportio inter 531441 et [192] 524288 quam inter numeros post differentiae abstractionem relictos, qui sunt 529322 et 522169, vel quam inter numeros qui erant ante differentiae diminutionem, quod idem est quia proportio numerorum 529322 et 522169 est 7153, qui est ipsorum differentia quae est maior quam 2119 qui aliorum numerorum est differentia. Sed isti numeri 529322 et 522169 in ea sunt proportione quae est inter 74 ad 73 quoniam ex differentiae multiplicatione tales ipsi numeri effecti sunt; ergo minor est proportio comatis quae est inter 531441 et 524288 quam proportio 74 ad 73.

Huius autem rationis fundamentum, ut dicit Boetius, sumitur ex hac regula. Si enim ex qualibet proportione differentiam eorum numerorum qui eam continent auferamus, hi qui relinquuntur maiorem obtinent proportionem his numeris qui erant ante differentiae diminutionem. Sint enim 8 et 6 ab his propriam aufero differentiam, id est, 2, et fiunt 6 et 4, sed in superioribus sexquitertia in hac sexquialtera proportio continetur, quae ipsa sexquitertia maior est. Quoniam igitur a numeris primis proportionem comatis continentibus abstracta est differentia qua reliquos superabant redditur eorum proportio minor, ut dictum est.

Secundo, probat Boetius proportionem comatis maiorem esse quam 75 ad 74 hoc modo; praefata differentia, scilicet, 7153, augeatur septuagies quinquies, et producetur numerus 536475, qui numerus numerum 531441 primum comatis numero 5034 excedit. Item ipsa differentia 7153 multiplicetur septuagies quater et fiet numerus 529322, qui numerus numerum 524288 comatis ultimum eodem numero 5034 supervadit. Ergo numerus 536475 excedit numerum 531441 primum comatis numero 5034, et numerus 524288 secundus comatis a numero 529322 eodem numero 5034 exceditur. Quo fit ut si numerum 5034 numero 531441 apponamus, fiet numerus 536475 productus ex differentia septuagies quinquies primo multiplicata. Si autem eundem numerum 5034 numero 524288 adiungamus erit numerus 529322 productus ex differentia septuagies quater multiplicata, cum autem ipse numerus ut praedicitur, scilicet, 536475, sit ex differentia septuagies quinques multiplicatus et numerus 529322 septuagies quater, sequitur ipsos numeros eam proportionem habere, quae inter 75 ad 74 dicitur reperiri. Sed numerus 536475 et numerus 529322 sunt numeri 531441 et 524288 utrique addito numero 5034. Maiorem igitur ex hac additione necesse est proportionem contineri inter 531441 et 524288 numeros proportionis comatis quam inter 536475 et 529322, numeros productos ex differentia septuagies quinques et septuagies quater multiplicata. [193] Nam ex additione numeri 5034 facta numeris 531441 et 524288 ipsi numeri facti sunt numeri 536475 et 529322. Minor est igitur proportio quae est inter 536475 et 529322 quam inter 531441 et 524288. Sed inter 536475 et 529322 eadem est proportio quae est inter 75 et 74, sicut dictum est. Igitur inter 531441 et 524288 qui sunt numeri coma continentes est maior proportio quam inter 75 et 74, quod erat demonstrandum.

Et quod inter numeros comatis sit maior proportio quam inter numeros productos probatur, quia eorum differentia numerorum ante additionem est numerus 5034, sed post additionem est ipse numerus 7153, qui alia differentia maior est et per consequens maior proportio, igitur, et cetera. Sed huius rationis suscipit fundamentum Boetius ex hac regula secunda quam ipse ponit in tertio suae musicae, scilicet, quod si cui proportioni propria numerorum differentia aequaliter augeatur, minor inter eos qui post additionem fiunt proportio continebitur quam inter priores qui ante additionem illam quadam proportione distabant, ut 6 et 4, si utrisque differentia sua, id est, binarius, apponatur fient 8 et 6, sed inter 6 et 4 sexquialtera, inter 8 et 6 sexquitertia proportio continetur. Minor autem est sexquitertia proportio sexquialtera proportione. Quoniam igitur differentia qua maiores numeri superant minores, addita est minoribus, minor est proportio inter primos quam inter eos quibus ipsa differentia est adiuncta. Sunt ergo istae duae regulae Boetii valde notandae, quarum prima est quod duorum numerorum differentia eisdem addita minorem inter eos facit proportionem quam ante additionem habebant, ut 2, qui 6 et 4 est differentia, quorum proportio est sexquialtera, si utrique addatur fiet 8 et 6 quorum proportio est sexquitertia, quae minor est sexquialtera. Secunda regula est quod subtracta differentia numeri maiorem obtinent proportionem inter se quam ante differentiae ablationem habebant, ut 2, qui 8 et 6 est differentia, quorum proportio est sexquitertia, si differentia auferatur, remanent 6 et 4, quorum proportio est sexquialtera quae maior est quam sexquitertia. Haec enim sunt de mente Boetii suo tertio libro musicae, ubi his regulis et rationibus praedictas probat conclusiones.

Sed horum ratio praedictorum aliter potest declarari. In omni proportione superparticulari quanto maior est numerus tanto minor est proportio et e contra, ut patet in sexquialtera 3 ad 2, in sexquitertia 4 ad 3, in sexquiquarta 5 ad 4, et sic ultra, maior enim est sexquialtera cuius numeri sunt minores quam sexquitertia cuius numeri sunt maiores, et sic de ceteris. In his autem praedictis conclusionibus eodem modo se habet. [194] Nam primo ubi probatur quod proportio comatis est minor quam 74 ad 73, ibi numeri proportionis comatis, scilicet, 531441 et 524288, sunt maiores numeris ex differentia septuagies quater et septuagies ter multiplicatis, scilicet, 529322 et 522169, et sic in numeris proportionis comatis maioribus est proportio minor quam 74 ad 73. Secundo autem ubi probatur quod proportio comatis est maior quam 75 ad 74, ibi numeri comatis, scilicet, 531441 et 524288, sunt minores numeris ex differentia septuagies quinquies et septuagies quater productis, scilicet, 536475 et 529322, et per consequens in numeris comatis qui sunt minores est proportio maior quam 75 ad 74. Erit ergo comatis proportio inter proportionem 74 ad 73, et 75 ad 74. Horum demonstrationes sunt istae:

[CSM7/3:194; text: Differentia septuagies quater producta, Proportio comatis, Differentia septuagies ter producta, Differentia 7153, Differentia 2119, 531441, 524288, 522169, 529322, Proportio minor quam 74 ad 73, Proportio 74 ad 73, Differentia septuagies quater ducta, Differentia septuagies quinquies ducta, 536475, Proportio maior quam 75 ad 74, Proportio 75 ad 74, Differentia 5034] [UGODEC5 24GF]

Alia etiam quadam ratione seu regula quae dicta sunt de comatis proportione an sit maior vel minor quam 74 ad 73, vel quam 75 ad 74, quae regula in quarto posita est quam impraesentiarum reiterare non pudet possunt demonstrari. Regula talis est si duarum proportionum specie distinctarum, quae sit maior vel minor, volumus intelligere eas, in suis [195] numeris minimis capiamus et maior unius per minorem alterius deducatur, et illa proportio dicitur esse maior, ex cuius termini multiplicatione maioris cum alterius minore maior producitur numerus. Verba gratia, si volumus scire quae proportio sit maior sexquialtera an sexquitertia, capiantur istae proportiones in suis minimis terminis seu numeris, et stent sic: 3-2 4-3, et multiplicetur abstrahendo maior numerus sexquialterae, scilicet, 3, per minorem sexquitertiae, scilicet, per 3, et productum erit 9. Postea multiplicetur maior sexquitertiae per minorem sexquialterae, scilicet, 4 per 2, et productum erit 8, sed quia numerus primus, scilicet, 9, productus ex maiori numero proportionis sexquialterae et ex minori sexquitertiae est maior numero secundo, scilicet, 8, producto ex maiori sexquitertiae et ex minori sexquialterae. Ideo proportio sexquialtera comprehenditur esse maior quam proportio sexquitertia, id etiam in ceteris proportionibus circa maioritatem vel minoritatem sine deceptione cognoscitur, et ut apparet proportionem comatis secundum hanc regulam esse minorem quam 73 ad 74. Scribantur numeri proportionis comatis et dictae proportionis 74 ad 73, et stent sic: 531441-524288 74-73, et multiplicetur primus numerus proportionis comatis qui maior est, scilicet, 531441, per minorem alterius proportionis, scilicet, per 73, et producetur numerus 38795193. Postea multiplicetur secundus numerus comatis, scilicet, 524288, qui minor est per maiorem alterius proportionis, scilicet, per 74, et productum erit 38797312. Cum autem numerus productus ex numero maiori comatis et ex minori alterius proportionis, scilicet, 73, sit minor quam numerus productus ex minori comatis et ex maiori alterius proportionis, scilicet, 74, sequitur quod proportio comatis sit minor proportione 74 ad 73, et eadem ratione monstratur dictam comatis proportionem maiorem esse proportione 75 ad 74. Scribantur numeri dictarum proportionum, et stent sic: 531441-524288 75-74, et multiplicetur primus numerus comatis et maior per 74 qui est altero minor, et producetur numerus 39326634. Postea multiplicetur secundus comatis et minor per 75 qui est altero maior, et productum erit 39321600, qui numerus quia minor est primo numero producto; hinc est quod proportio comatis est maior proportione 75 ad 74, et sic per hanc regulam scire possumus omnium duarum proportionum specie distinctarum quae sit maior vel minor. Demonstratio praedictorum est immediate sequens:

[196] [CSM7/3:196; text: Ducti 531441 per 73 producunt, Proportio comatis, 531441-524288, 38795193, 74-73, 38797312, Proportio comatis minor quam 74 ad 73, Ducti 524288 per 74 producunt, Ducti 531441 per 74 producunt, 39326634, 75-74, 39321600, Proportio comatis maior quam 75 ad 74, Ducti 524288 per 75 producunt] [UGODEC5 24GF]

Boetius, ex ratione qua ostendit comatis proportionem minorem esse quam 74 ad 73 et maiorem quam 75 ad 74, semitonii minoris proportionem minorem esse quam 19 et semis ad 18 et semis hoc modo ostendit. Dicit enim proportio semitonii minoris est inter 256 et 243 quorum differentia est 13, sed multiplicetur primo 19 per differentiam 13 et semis, et productum erit 253 et semis, qui numerus ab eo qui est 256 duabus unitatibus et semis supervaditur. Postea 18 multiplicetur per eandem differentiam 13 et semis et producetur numerus 240 et semis, qui numerus comparatus ei qui est 243 eisdem duabus unitatibus et semis ab eodem dicitur superari. Igitur 253 et semis a 256 et 240 et semis a 243 eadem differentia superantur. Si igitur ipsa differentia quae in duabus unitatibus et semis consistit ab ipsis 256 et 243 removeatur, hi numeri 253 et semis et 240 et semis penitus efficiuntur. Maior est ergo proportio 253 et semis ad 240 et semis quam 256 ad 243, sed 253 et semis et 240 et semis eam continent proportionem quae est inter 19 et semis et 18 et semis, igitur 256 et 243 minorem in se habent proportionem quam 19 et semis et 18 et semis, quod fuit propositum. Haec Boetius.

Sed haec ratio aliter secundum regulam hic positam potest demonstrari. Nam ordinentur numeri semitonii minoris et alii numeri praedicti producti, et stent sic: 256 -243 253 1/2-240 1/2, et multiplicentur 256 per 240 1/2, et [197] productum erit [61568]. Postea multiplicetur 243 per 253 1/2 et productum erit [61600 1/2]. Sed hic numerus ultimo productus, scilicet, [61600 1/2], primum, scilicet, [61568], supervadit. Igitur proportio numerorum productorum proportionem semitonii minoris excedit et est maior, et sic proportio semitonii minoris est minor quam 19 et semis ad 18 et semis, quod erat demonstrandum.

[CSM7/3:197; text: Differentia decies octies et semis ducta, Semitonium minus, Differentia decies novies et semis ducta, Proportio 19 1/2 ad 18 1/2, differentia 13, 256, 243, 253 1/2, 240 1/2, Proportio minor quam 19 1/2 ad 18 1/2, Maior proportio semitonii minoris proportione, Differentia 2 1/2, Ducti 256 per 240 1/2 producunt, 256-243, [61568], 253 1/2-240 1/2, [61600 1/2], Proportio 19 1/2 ad 18 1/2 maior semitonii proportione, Ducti 243 per 253 1/2 producunt] [UGODEC5 25GF]

Capitulum XXXV

Quod proportio semitonii minoris maior est proportione 20 ad 19

Et idem Boetius proportionem semitonii minoris quae inter 256 et 243 habetur maiorem esse ea proportione quam continent 20 ad 19 hoc modo demonstrat. Nam sint praedicti numeri superius descripti, scilicet, 256-243, et eorum differentia 13 et haec differentia 13 vicies multiplicetur [198] et fiet numerus 260, qui numerus comparatus ad 256 eundem numero excedit quaternario. Item ipsa differentia 13 decies novies multiplicetur, et erit numerus 247, qui comparatus ad 243 eodem transcendit ipsum numero quaternario. Numerus igitur 260 numerum 256 et numerus 247 numerum 243 eodem quaternario numero supervadunt. Si igitur ipse quaternarius numerus eis numeris 256 et 243 adiectus fuerit ii numeri iure producti numeri, scilicet, 260 et 247, penitus efficiuntur. Maior est igitur proportio 256 et 243 quam proportio 260 et 247. Sed differentia 13 vicies ac decies novies multiplicata efficit dictos numeros, scilicet, 260 et 247. Igitur proportio semitonii minoris quae est in numeris 256 et 243 est maior ea proportione quae in numeris 20 et 19. Haec Boetius.

Nos autem hanc rationem per regulam superius positam aliter demonstramus, et probatur hoc verum esse quod dicit Boetius. Ordinentur enim numeri semitonii minoris cum subscriptis multiplicatoribus, scilicet, 256 et 243, 20 et 19, et stent sic: 256-243 20-19, et multiplicetur 256 per 19 et productum erit 4864. Item multiplicetur 243 per 20 et producetur numerus 4860. Cum autem primus productus numerus sit maior secundo sequitur secundum regulam praedictam maiorem esse proportionem semitonii minoris proportione 20 ad 19, quod erat demonstrandum.

[CSM7/3:198; text: Differentia decies novies multiplicata efficit, Proportio semitonii minoris, Differentia vigies ducta, Proportio 20 ad 19, Differentia 13, 256, 243, 260, 247, Maior quam 20 ad 19, Minor semitonii proportione, Differentia 4, text: Ducti 256 per 19 producunt numerum, Proportio semitonii minoris maior quam 20 ad 19, 256-243, 4864, 20-19, 4860, Proportio 20 ad 19 minor semitonii proportione, Ducti 243 per 20 producunt] [UGODEC5 25GF]

[199] Capitulum XXXVI

Quod semitonium minus maius est tribus comatibus, minus vero quatuor secundum Boetium

Post haec quae dicta sunt de comate ac semitonio minore Boetius semitonium minus esse maius tribus comatibus, minus vero quatuor hac ratione demonstrat. Quoniam comatis ratio inter terminum ultimum diapason constituentem et terminum sex tonos comprehendentem attenditur, et semitonii minoris ratio primo in diatesseron compositae reperitur. Hinc est quod Boetius pro huiusmodi demonstratione sextum numerum sextuplum accipit, scilicet, 262144, qui numerus sex tonorum dicitur esse primus, et sit A, a quo intendantur quinque toni continui quorum numerus est 472392, et sit B. Ab ipso autem A intendatur diapason et sit C numerus 524288, et ab A sex toni continui disponantur, id est, ipsorum termini ultimi, scilicet, 262144, qui est A, et 531441, qui sit D. His itaque sic ordinatis certum est quod inter C atque D coma consistit, quorum differentia est 7153, quae sit K, et ab eo quod est B remittantur duo toni ad E, et sit E numerus 373248. Item ab eo quod est E intendatur diatesseron ad F et sit numerus 497664. Quoniam igitur inter E atque B duo sunt toni, inter E autem et F diatesseron, inter B igitur atque F minus semitonium reperitur. Sublatis enim de diatesseron consonantia duobus tonis fit reliquum semitonium minus, quod in primis numeris constare praedicitur 256 et 243, quos eosdem numeros si milies nongenties quadragies quaterque multiplices B atque F numeros explicabis, quos necesse est eandem proportionem superius numeris continere, qui uno atque eodem numero, id est, 1944, pariter multiplicati creverunt. Item ab eo quod est F intenditur diatesseron ad G et sit numerus 663552. Rursus ab eodem G remittuntur duo toni ad P, et sit P 524288, quo P necesse est ut eundem sonum quem C numerus exhibeat. Ad aequalitatem namque eius tali ratione progressus est, et enim ea quae est A-C diapason consonantia, quae constat quinque tonis ac duobus semitoniis minoribus ab sex tonis comate superatur. Ab eodem igitur A termino numerus P quinque tonis ac semitoniis duobus recessit hoc modo, ab eo quod est A usque ad id quod est B quinque nimirum intelliguntur toni, ab eo autem quod est B usque ad id quod est F minus esse semitonium perontatur. F vero atque P idem rursus semitonium minus includunt. A igitur usque ad P quinque tonos ac duo semitonia minora produxit. Iure igitur P atque C eisdem numeris conscribuntur. Sed quoniam inter F atque C semitonium minus [200] est, videamus quae sit eorum differentia ut eam comati comparemus, est autem eorum differentia 26624 et sit hoc M. Igitur K comatis differentia est, M autem semitonii minoris. Si igitur K numerum tertio auxerimus, fiet numerus 21459 et sit hoc L. Si vero quater eundem numerum K multiplicare volueris, fiet 28522, et sit hoc N, igitur M maior quidem est quam L, idem autem M minor est quam N, sed N quater aucto comate crevit L, autem tertio M vero semitonii minoris obtinet differentiam. Iure igitur dictum est minus semitonium minus quidem esse quam quatuor comata, maius vero quam tria. Sequitur praedictorum demonstratio:

[CSM7/3:200; text: Sex toni, Diapason intensa, Diatesseron intensa, Quinque toni, Diatesseron, Semitonium minus, Coma, Differentia, 7153, K, A, E, B, F, C, D, G, 262144, 363244, 472392, 497664, 524288, 531441, 663992, [524288], Duo toni remissi, P, L, N, 21459, 28612, Quinque toni et duo semitonia, Differentia comatis aucta, Differentia comatis quater aucta, Duo toni remissi] [UGODEC5 26GF]

Capitulum XXXVII

Quod tonus est maior octo comatibus et minor novem secundum Boetium

Ex hac equidem semitonii minoris ac comatis demonstratione, Boetius ut tonus maior sit quidem octo comatibus, minor vero novem argumentum assumit hoc modo. Assumatur enim A numerus 262144 a quo sit distans B quinque tonis, qui sit numerus 472392, et ab eodem A sex [201] distet tonis D 531441. Igitur inter B et D est tonus. Sed B ab eo quod est C distet per semitonium minus et sit C numerus 497664. Est igitur inter C atque D apotome sive semitonii maioris proportio. Nam si a B-D, qui tonus est, B-C semitonium minus auferatur, relinquitur C-D, quod apotome sive semitonium maius appellatur, D autem atque C differentia est numerus 33777, et ea differentia est E, sed comatis differentia, ut pluries in superioribus monstratum est, est numerus 7153, qui sit F. Si igitur F quod coma est quinario multiplicetur numero fiet numerus 35765, qui sit G. Si autem idem F quaternario augeatur fit numerus 28612, qui sit K, igitur G maius est numero E, minus vero numero K. G autem quinquies auctum est coma, sed quater K-E vero apotome est differentia. Iure igitur dictum est apotome quidem minus esse quam quinque comata, maius vero quam quatuor.

Ex hac igitur ratione probatur tonum quidem maiorem esse quam octo comata minorem vero quam novem. Nam si minus semitonium maius est quam tria comata, minus vero quam quatuor, apotome vero autem maius est quam quattuor, comata minus quam quinque, si maius semitonium minori iungatur erit totum coniunctum maius octo comatibus, minus vero novem, sed apotome sive semitonium maius et minus unum efficiunt tonum. Igitur tonus maior est octo comatibus, minus vero novem, quod erat demonstrandum.

[CSM7/3:201; text: Sex tonorum distantia, Tonus, Quinque toni, Semitonium minus, Apotome Differentia, E, 33777, A, B, C, D, 262144, 472392, 497664, 531441, Differentia comatis quinquies aucta, Differentia comatis quater aucta, F, K, G, 7153, 28612, 35765, Minor quam apotome differentia, Maior quam apotome differentia] [UGODEC5 26GF]

[202] Capitulum XXXVIII

Alia demonstratio quod tonus est maior octo comatibus, minor vero novem

Alia etiam demonstratione Boetius ostendit tonum esse maiorem octo comatibus minorem vero novem hoc modo. Sit A numerus 262144 et B quinque tonis distans ab A sit 472392, C vero ab eo quod est A faciens diapason consonantiam sit 524288, D autem ab A sex continens tonos sit numerus 531441. Igitur inter C et D comatis differentia est, quae sit E 7153. Sed inter D et B integri toni distantia est, quorum differentia est 59049, quae sit F. Si igitur E comatis differentia sit novies aucta, erit numerus 64377, qui sit H. Si vero E octies fuerit multiplicata fiet 57224, et erit G. Nunc autem si H F numero comparetur superat G vero superatur et est F toni differentia, H autem coma auctum novies, sed G octies, igitur tonus minor est novem comatibus, maior vero octo. Haec autem demonstratio non semitoniorum ratione facta est, sed per se toni computatione monstrata.

[CSM7/3:202; text: Sex tonorum termini, Diapason, Coma, E, Quinque toni, Differentia 7153, A, B, C, D, 262144, 472392, 524288, 531441, F, Differentia 59049, Tonus, Coma novies multiplicatum, Coma octies multiplicatum, Quinti et sexti toni differentia, G, F, H, 7153, 57224, 59049, 64377, Minor quam differentia, Maior quam differentia] [UGODEC5 27GF]

[203] Capitulum XXXIX

Quomodo maius semitonium sit maius minore uno comate secundum Boetium

Licet demonstratum sit superius semitonium maius esse maius minore uno comate, Boetius tamen alia ratione demonstrat, scilicet: Sit enim A numerus 497664 a quo semitonium minus distet et sit B numerus 524288 iam supra descriptus apotome autem ab ipso A distet numero 531441 et sit C. In his ergo ab A ad B est semitonium minus, ab A ad C semitonium maius. Sed a B ad C est coma, quorum differentia est 7153, et illud est coma sicut superius pluries monstratum est. Igitur inter maius semitonium et minus coma differentiam facit quo maius semitonium dicitur superare minus. Horum autem semitoniorum rationem Boetius non declarat, quam nos taliter declaramus, et primo quare inter A et B sit semitonium minus sic. Illi numeri dicuntur semitonii minoris proportionem habere quorum differentia octies facta ad medietatem minoris numeri non attingit, sicut in primis numeris semitonii minoris, scilicet, 256 et 243, quorum dfferentia, quae est 13, octies facta ad medietatem minoris numeri, scilicet, 243, penitus non attingit, sicut iam superius probatum est. Sed differentia numerorum A et B, quae est 26624, ad medietatem numeri minoris, id est, A 497664, non attingit. Igitur praedicti numeri A et B semitonii minoris proportionem dicuntur habere, quod erat probandum. Est ergo inter A et B semitonium minus, et quod dicta differentia octies ducta ad medietatem minoris non attingat probatur, nam differentia, quae est 26624, octies ducta facit numerum 212992, sed medietas numeri B, id est, 524288, est numerus 262144, ad quem ipsa differentia octies multiplicata non ascendit. Igitur, et cetera.

Secundo quod inter A et C sit semitonium maius sic declaratur. Illi numeri maioris semitonii inter se proportionem habent quorum differentia octies multiplicata minoris numeri medietatem transcendit. Sed differentia numerorum A et C, scilicet, 33777, quae octies ducta efficit numerum 270216, minoris numeri, id est, A 497664, medietatem transcendit, quae est 248832. Igitur inter A et C est semitonium maius sive eius proportio et quod differentia sic octies multiplicata minoris transcendat medietatem patet. Nam eorum differentia est 21384, quo horum [204] maior minorem excedit, igitur, et cetera. Vera est igitur demonstratio Boetii qua probat semitonium maius minore esse maius uno comate. Inter B autem et C est coma quorum differentia est 7153, sicut superius saepius probatum est. Sequitur demonstratio:

[CSM7/3:204; text: Semitonium maius, Semitonium minus, Coma, Medietas A numeri, Medietas B numeri, Differentia, D, 7153, 248832, 262144, A, B, C, 497664, 524288, 531441, Differentia 26624 octies ducta 212992, Differentia 33777 octies ducta 270216, Differentia 26624, Differentia 33777] [UGODEC5 27GF]

Capitulum XL

Quod tonus maior est duobus semitoniis minoribus uno comate

Simili etiam ratione Boetius probat tonum esse maiorem duobus semitoniis uno comate sic. Sit A numerus 472392 a quo intendatur tonus ad D et sit numerum 531441. Item ab A intendatur semitonium minus ad B et sit numerus 497664. Item ab ipso B aliud minus semitonium intendatur ad C et sit numerus 524288. A igitur et D tonus est. A-C vero duo minora continent semitonia, sed C-D coma ex 7153 unitatibus constitutum, ut dictum est.

Tonus igitur duobus semitoniis minoribus uno comate maior est. Huiusmodi autem conclusionis ratio similis est praecedenti et eo modo probatur. Nam illi numeri semitonii minoris proportionem habent, quorum differentia octies ducta medietati minoris numeri non aequatur. Sed differentia numerorum A et B quae est 25272 octies ducta non aequatur medietati minoris. Igitur numeri A et B semitonii minoris proportionem habent, maior nota est et minor probatur, quia medietas minoris, id est, [205] 472392, est 236196, cui non aequatur differentia octies ducta quae est 202176, hic enim in 34020 a medietate vincitur unitatibus. Est ergo inter A et B semitonium minus, quod erat declarandum.

Similiter inter B et C est semitonium minus, sicut hic immediate superius declaratum est. Nam B et C numerorum differentia est 26624, quae octies facta efficit numerum 212992, qui medietati minoris quae est 248832 minime videtur aequare. Vincitur enim differentia multiplicata a medietate in numero 35840. Est ergo inter B et C semitonium minus, quod erat declarandum. Inter C autem et D comatis dicitur esse proportio sicut saepe superius monstratum est. Maior est igitur tonus duobus semitoniis minoribus uno comate sicut dicit Boetius.

[CSM7/3:205; text: Tonus, Semitonium minus, Coma differentia, Medietas minoris, 236196, 248832, 7153, A, B, C, D, 472392, 497664, 524288, 531441, Differentia 25272 octies ducta 202176, Differentia 26624 octies ducta 212992, Sexquioctava] [UGODEC5 28GF]

Capitulum XLI

De generibus cantilenarum quibus utebantur antiqui

Quamquam cantuum nostrorum forma ex antiquorum regulis habuerit exordium, in neumarum tamen serie genereque cantandi una distat ab alia generalis forma. Latinorum forma melorum sive in diurnis sive in nocturnis cantibus octo contexitur generalibus tropis. Antiquorum autem tribus melorum tantum generibus continetur; ea autem sunt diatonum, chroma, enarmonium. Diatonum et diatonicum idem sunt, chroma et chromaticum idem, similiter enarmonium atque enarmonicum sive harmonia et harmonicum idem sunt, nec ista essentialiter differunt nisi quantum ad quid nominis positionem, et est idem harmonia quod coadunatio sonorum seu vocum.

[206] His igitur tribus melorum generibus utebantur antiqui, quoniam ex sonorum seu vocum intensione vel remissione proportionabiliter causantur consonantiae et delectabiles melodiae quae aliquando sunt durae sive durissimae, aliquando dulces et suaves, aliquando dulcissimae et egregiae. Hoc enim secundum earum acuitatem atque gravitatem fit. Diatonicum quidem primum melorum genus durius aliquanto et naturalius est, cuius cantilena duras asperasque tenet melodias, de quo Boetius: Diatonum quidem aliquanto durius et naturalius. Chromaticum vero genus secundum quod medium tenet utroque participans, et ab illa quasi dura et naturali intentione discendens in mollius et delectabilius decidit, ut dicit Boetius, cuius cantilena dulcis atque suavis est. Sed enarmonium quod tertium genus est praeomnibus aptioribus, optimis atque convenientioribus melorum harmoniis est coaptatum, cuius cantilena dulcissimas atque egregias continet melodias, de quo Boetius; Enarmonium vero optime atque apte coniunctum est.

Forma autem primi generis, quod diatonum sive diatonicum appellatum est, haec erat apud antiquos quod in omni tetracordo cordarum processus erat per semitonium, tonum et tonum. Haec enim diatesseron videntur efficere, de quo dicit Boetius, in his omnibus supple tetracordis secundum diatonum cantilenae procedit vox per semitonium, tonum et tonum in uno tetracordo. Rursus in alio tetracordo per semitonium, tonum et tonum ac deinceps ideoque vocatur diatonum, quasi quod per tonum ac tonum progrediatur. Tetracorda autem cantilenarum, sicut in primo dictum est, quinque sunt, scilicet, hypaton, meson, sinemenon, diezeumenon, hyperboleon. Unius autem tetracordi quatuor erant cordae quarum prima proslambanosmenos sive prosmelodos appellata est. Secunda corda hypatehypaton nuncupata est. Tertia corda parhypatehypaton dicta est. Quarta vero corda lycanos vocata est, ut hic:

        T  Proslambanosmenos vel
        e  Prosmelodos               prima
        t
        r
        a  Hypatehypaton             secunda
        c
        o
[207] r   Parypatehypaton          tertia
        d
        u
        m  Lycanos                   quarta
        Forma diatonici generis
        Semitonium Tonus Tonus
        Diatonicum genus primum

Sed haec ultima corda quae lycanos appellatur universalis est, quoniam in omni genere invenitur, scilicet, in diatonico genere, in chromatico et in enarmonico. Denominationem autem accipit a genere tetracordi, nam si ipsa corda quae dicta est lycanos coaptetur cum aliis tribus cordis in parte infima tetracordi ordinati in diatonico vel diatono genere vocabitur lycanoshypaton diatonos. Si vero corda illa coaptetur cum aliis tribus cordis in tetracordo chromatici generis ipsaque eiusdem instrumenti locum obtineat infimum aliis tribus cordis non variatis secundum situm, ut puta quod proslambanosmenos vel prosmelodos sit prima, secunda hypatehypaton, tertia parhypatehypaton, quarta vero lycanos, ut ostensum est superius, vocabitur lycanoshypaton chromatice. Si vero illa coaptetur cum aliis tribus cordis non variatis secundum situm in tetracordo enarmonici generis ita quod ipsa in infimo sit situata loco, ita tamen quod cordae seu nervi sint tensi vel laxi secundum genus melorum proportionaliter in unoquoque genere vocabitur lycanoshypaton enarmonios vel diatonoshypaton enarmonios, et est notandum quod corda infima tetracordi ordinati in diatono genere appellatur lycanos. Sed appellationem suae denominationis capit a suo proprio genere, quia a diatonico quod est primum genus musicae. In aliis vero generibus melorum, scilicet, enarmonico vel chromatico, fit denominatio ab isto primo genere a quo, scilicet, deducitur, scilicet, diatonico, et propterea denominatur diatonos chromatice vel diatonos enarmonios. Item est notandum quod nullum genus musicae respectu instrumentorum musicalium mediantibus cordis aut nervis praeponitur tetracordo. Patet enim hoc quia quanto musica simplicior est tanto maioris perfectionis. Sed inter omnia genera instrumentorum musicalium sonantium mediantibus cordis aut nervis tetracordum dicitur magis simplex, igitur omnibus instrumentis musicalibus merito praeponendum. Patet hoc quia ens quanto magis simplex tanto propinquus summae [208] simplicitati et per consequens summae perfectioni, et ideo dicit Boetius primo suae musicae capitulo proemiali inquiens ad litteram: Fuit vero prudens ac modesta musica dum simplicioribus organis ageretur; ubi vero varie permixteque tractata est amisit gravitatis, id est, simplicitatis exponitur, atque virtutis modum, et paene in turpitudinem prolapsa minimum antiquam speciem servat, et subdit. Unde Plato praecipit minime oportere pueros ad omnes modos erudiri, sed potius ad valentes ac simplices.

Item Nicomachus secundum Boetium qui dicit quod Mercurius fuit inventor tetracordi primo suae musicae et a tempore Mercurii usque ad tempus Orphei duravit musica in sui simplicitate in quatuor cordarum aut nervorum constructione.

Item notandum est quod sicut consonantia attenditur in vocibus dissimilibus in unum reductis ad concordiam auribus uniformiter et suaviter consonantibus, ita sonus instrumentalis cordarum aut nervorum et maxime in tetracordo ex dissimilibus in unum reductis ad concordiam uniformiter et suaviter auribus consonans est consonantia.

Capitulum XLII

De secundo melorum seu cantilenae genere

Secundum melorum seu cantilenae genus dicitur esse chromaticum, quod inter diatonicum et enarmonium dicitur esse medium, eius namque forma ex antiquis composita erat ex semitonio et semitonio et tribus semitoniis. Totus namque chromaticus cantus ex semitoniis texebatur, est enim chroma idem quod color unde chromaticum quasi colorabile quoniam nec est gravis vel grave nec gracile. Est tamen compositum ex diatono et enarmonio tamquam medium ex duabus extremitatibus ad similitudinem colorum, qui sunt medii inter colores extremales. Nam sicut dicimus quod albedo et nigredo sunt extrema colorum, et omnes alii colores mediant inter istos participando cum his, ita dicimus diatonum et enarmonium esse extrema melorum, chromaticum vero medium inter ista participans his, et sicut dicit Boetius: Tractum est autem hoc vocabulum [209] chroma a superficiebus quae cum permutantur in alium transeunt colorem. Cum enim diatonicum vel enarmonicum genus cum chromatico permutantur in alium videntur cantilenae transire colorem, qui nec duritiem diatoni tenet, nec enarmonii aptam coniunctionem amplectitur. Ex eo namque semitoniorum virtute harmoniarum dulcis resonabat melodia, hoc quidem genere in quolibet tetracordo per semitonium et semitonium et tria semitonia utebantur antiqui. Hic enim semitoniorum processus taliter potest efficere diatesseron, nam prima duo semitonia tonum efficiunt, si unum minus alterum, sit maius, similiter duo cetera alium conficiunt tonum. Reliquo vero remanente minore ex his dicitur constare diatesseron, formae chromatici demonstratio generis:

       Forma chromatici generis
Semitonium  Semitonium  Triasemitonia
      Chromaticum genus secundum

Capitulum XLIII

De tertio melorum seu cantilenae genere

Tertium vero genus melorum seu cantilenae genus est enarmonium, cuius forma ex diesi et diesi enarmonios atque diphtono apud veteres componebatur. Diesis autem secundum illos dimidium semitonii minoris erat quam in tetracordorum nervis per hunc modum habebant. Ipsi etenim veteres ut hoc enarmonium genus quo dulcissimae et egregiae resonant harmoniae ab aliis distinctum efficerent, semitonium minus in duas partes diviserunt, quarum quamlibet diesim vocaverunt. Haec igitur enarmonii forma diatesseron dicitur efficere consonantiam. Diphtonus enim et duae dieses quae unum valent semitonium minus diatesseron aequivalent consonantiae quam enarmonii formam dum eo genere uti volebant omni in tetracordo tenebant. Forma enarmonici generis est haec:

Forma enarmonici generis
Diesis  Diesis  Diphtonus
Enarmonicum genus tertium

[210] Capitulum XLIV

De vocum ordinibus in tetracordis

In tetracordorum ordinibus talis apud veteres erat dispositio vocum, nam post quatuor primas quae superius sunt positae, scilicet, proslambanosmenos seu prosmelodos, hypatehypaton, parypatehypaton, lycanoshypaton, ponitur hypatemeson, deinde parhypatemeson et ex hinc lycanosmeson, simpliciter in diatono genere diatonosmeson. In chromate lycanosmeson chromatice vel diatonosmeson chromatice. In enarmonio diatonosmeson enarmonios vel lycanosmeson enarmonios. Post has tres voces sequitur mese, post hanc mese duo tetracorda ponuntur partim sinemenon, partim diezeumenon, et sinemenon quod post mesen ponitur, id est, tritesinemenon, paratesinemenon diatonos. In chromate vero paranetesinemenon chromatice. In enarmonio vero paranetesinemenon enarmonios, post has ponitur netesinemenon, paramese, postea tritediezeumenon, paranetediezeumenon diatonos. In chromate paranetediezeumenon chromatice. In enarmonio vero paranetediezeumenon enarmonios. Super has netediezeumenon, tritehyperboleon, paranetehyperboleon diatonos. In chromate vero paranetehyperboleon chromatice. Sed in enarmonio paranetehyperboleon enarmonios harum autem ultima est netehyperboleon, quarum omnium descriptio sequitur ordinata.

         Proslambanosmenos
         Hypatehypaton
         Parhypatehypaton
         Lycanoshypaton        diatonos
         Hypatemeson
         Parhypatemeson
         Lycanosmeson          diatonos
         Mese
         Tritesinemenon
         Paranetesinemenon
         Netesinemenon         diatonos
         Paramese
         Tritediezeumenon
[211]  Paranete diezeumenon
         Netediezeumenon       diatonos
         Tritehyperboleon
         Paranetehyperboleon
         Netehyperboleon       diatonos
         Proslambanosmenos
         Hypatehypaton
         Parhypatehypaton
         Lycanoshypaton        chromatice
         Hypatemeson
         Parhypatemeson
         Lycanosmeson          chromatice
         Mese
         Tritesinemenon
         Paranetesinemenon
         Netesinemenon        chromatice
         Paramese
         Tritediezeumenon
         Paranete diezeumenon
         Netediezeumenon      chromatice
         Tritehyperboleon
         Paranetehyperboleon
         Netehyperboleon      chromatice
         Proslambanosmenos
         Hypatehypaton
         Parhypatehypaton
         Lycanoshypaton       enarmonice
         Hypatemeson
         Parhypatemeson
         Lycanosmeson         enarmonice
         Mese
         Tritesinemenon
         Paranetesinemenon
         Netesinemenon        enarmonice
[212]  Paramese
         Tritediezeumenon
         Paranete diezeumenon
         Netediezeumenon      enarmonice
         Tritehyperboleon
         Paranetehyperboleon
         Netehyperboleon      enarmonice

His igitur modis per singula tetracorda vocum facta est partitio, ut in diatonico genere quinque tetracorda per duos tonos ac semitonium essent divisa, et in hoc diatonico genere tonus dicitur incompositus eo quod integri toni et sine intervallo ad invicem iungebantur. In chromate vero triemitonium incompositum dicitur eo quod cum semitoniis in uno intervallo dicitur collocari, potest tamen triemitonium appellari in diatono genere tonus ac semitonium, sed tunc non dicitur incompositum eo quod duobus perficitur intervallis, et in enarmonico genere quod fit ex diesi et diesi ac diphtono, is diphtonus etiam ex quo uno conficitur intervallo incompositus est.

Tetracorda autem praedicta ad invicem aliquando sunt coniuncta, aliquando vero disiuncta. Coniunguntur autem ad invicem duo tetracorda per synaphe. Synaphe enim est quam latina significatione coniunctionem vocamus. Quotiens enim duo tetracorda uno medio termino copulantur ex synaphe dicuntur coniungi, ut in hoc patet tetracordo:

Hypatehypaton              Parhypatemeson
Parhypatehypaton             Lycanosmeson
   Lycanoshypaton   Hypatemeson   Mese
      Tetracordum       Tetracordum
         Duo tetracorda coniuncta

Istorum quidem duorum tetracordorum primum est hypatehypaton, parhypatehypaton, lycanoshypaton, hypatemeson; aliud vero hypatemeson, parhypatemeson, lycanosmeson, mese. In utrisque tetracordis hypatemeson medium locum tenet superioris tetracordi acutissima, posterioris vero gravissima, et sic una eademque corda, scilicet, hypatemeson, duo tetracorda hypaton atque meson coniungit. Sinaphe igitur duorum tetracordorum coniunctio dicitur voxque eorum media superioris acutissima [213] posterioris vero gravissima, sicut dictum est. Diezeusis autem dicitur quae disiunctionem seu separationem tetracordorum significat, quo fit quotiens duo tetracorda toni medietate separantur, sicut dicit Boetius, quae hic demonstrative patent.

[CSM7/3:213; text: Duo tetracorda distiuncta, Tetracordum, Hypatemeson, Parhypatemeson, Lycanosmeson, Mese, Paramese, Tritediezeumenon, Paranetediezeumenon, Netediezeumenon] [UGODEC5 28GF]

Haec enim duo tetracorda sunt quoniam octo sunt cordae, disiuncta quidem per diezeusim quae disiunctio dicitur, unumquodque enim quatuor cordas habet nec inter ea est mediam cordam dare quae utrumque coniungat. Nam mese finis est prioris tetracordi, paramese vero alterius principium quae inter se differunt pleno tono, post haec vero intuendum est quinque esse et non plura tetracorda, scilicet, hypaton, meson, sinemenon, diezeumenon, hyperboleon. Quorum tetracordorum nomina Albinus Latina ratione taliter interpretatus est, nam hypatas principales, mesas medias, sinemenas coniunctas, diezeumenas disiunctas, hyperboleas excellentes appellavit. Ab hypatemeson autem usque ad netem musicae caelestis exemplar est. Hypatemeson Saturno est addita, parhypate vero Ioviali circulo, lycanosmeson Marti, Sol mesen obtinuit, tritediezeumenon Venus habet, paraneten Mercurius regit, nete Luna sortita est; taliter enim haec antiqui planetis attribuerunt. Sed tamen Tullius contrarium ordinem facit, ut dicit Boetius. Nam in sexto libro de re publica sic ait, et natura fert ut extrema ex altera parte graviter, ex altera autem acute [214] sonent. Quam ob causam summus ille caeli stellifer cursus, cuius conversio est concitatior, acuto et excitato movetur sono, gravissimo autem hic lunaris atque infimus. Nam terra nona immobilis manens una sede semper haeret. Hic igitur Tullius terram quasi silentium ponit, scilicet, immobilem. Post haec qui proximus a silentio est, dat Lunae gravissimum sonum, ut sit Luna proslambanosmenos, Mercurius hypatehypaton, Venus parhypatehypaton, Sol lycanoshypaton, Mars hypatemeson, Iupiter parhypatemeson, Saturnus lycanosmeson, Caelum ultimum mese.

Capitulum XLV

Quod omne tetracordum ex duobus tonis et uno minore semitonio dicitur esse coniunctum

Tribus generibus melorum ostensis quibus suis temporibus utebantur antiqui ac eorum tetracordis, pro ipsorum declaratione notandum est quod secundum modernos omne tetracordum ex duobus tonis ac uno minore semitonio dicitur esse compositum, quod ipsa diatesseron consonantia dicitur appellari. Sumit ergo tetracordum ex diatesseron fundamentum tamquam ex prima omnium consonantia ad quam omnes aliae reducuntur. Bis enim diapason ad semel diapason, semel diapason ad diapente reducitur et diatesseron. Diapente autem diatesseron praesupponit. Diatesseron vero et si tonum vel semitonium anteponit, nullam tamen aliam consonantiam praesupponit. Conveniunt ergo moderni musici cum antiquis tetracordum nil aliud esse quam diatesseron, et ex hinc tetracordum quatuor dicitur habere cordas. Nam sicut vox una non facit tonum neque semitonium, sed duae, sic nec una corda sed duae dicuntur semitonium vel tonum efficere. Cum autem tetracordi vel diatesseron duo sint toni cum semitonio, quatuor erunt cordae, quarum prima initium est toni vel semitonii, secunda finis primi et initium secundi, tertia corda secundae similis et initium tertii, quarto vero tertii toni vel semitonii erit tantum finis. Sunt igitur tetracordi seu diatesseron quatuor cordae, sicut dictum est.

Item notandum quod sicut moderni musici, ut prolixiores ac diversas faciant melodias, iterant diatesseron et diapente, sic eo modo antiqui [215] sua iterabant tetracorda. Hoc autem dupliciter contingebat vel cum seiuncta erant tetracorda et absque media communi corda, vel cum media quadam connectebantur corda, tunc enim ultima primi erat prima tetracordi secundi, quo fiebat ut duo tetracorda septem tantum cordas haberent, ea vero octo quae sine media iungebantur corda. Coniuncta ergo tetracorda septem cordas habent, octo vero disiuncta, sed in utrisque quatuor toni duoque minora semitonia comprehenduntur. In diapente vero tetracordum est unum et tonus. In diapason autem duo sunt tetracorda disiuncta, sed coniuncta duo cum tono ex tetracordorum enim coniunctione deperditur tonus.

Item notandum quod antiqui de generibus melorum, ut ostensum est, tripliciter locuti sunt. Quidam enim suum tetracordum extruxerant per tonum et tonum et semitonium, et huic quatuor cordas apponebant, quarum prima ad ultimam diatesseron resonabat et hoc genus cantandi diatonicum appellabant. Quidam vero per semitonium minus et semitonium minus et tria semitonia quatuor cordas similiter apponentes, quarum prima ad ultimam diatesseron dabat, suum tetracordum penitus ordinaverunt, quod cantandi genus chromaticum appellaverunt.

Sed alii suum tetracordum per medietatem semitonii et medietatem semitonii atque diphtonum composuerunt, medietatem semitonii diesim appellantes, et hoc cantandi genus enarmonicum vocaverunt, sicut de his superius dictum est. Sed ex his tetracordorum tribus generibus Ecclesia Romana uno duntaxat genere, scilicet, diatonico, videtur uti cum omnibus qui ea utuntur musica Christianis, alia autem duo genera quasi prolationi humanae impossibilia, et si forte instrumentorum artificiis possibilia, quod etiam vix fieri contingeret non habemus. Quis nam semitonii minoris partes, scilicet, diesim et diesim pronuntiatione cum diphtono valeat nuntiare, quo namque organo humano vel instrumentali quove ingenio quinque semitonia immediata quis proferatur. Haec enim apud nos invisa fuere, et si apud illos quid erant divino quodam nutu aut illorum voluntate spontanea proferebant. Nam in consonantiarum compositione qua dulcissima harmonia consurgit haec semitonia divisa non cadunt. Vox enim humana ea duo genera non concordat, cum per se certa non sint, tametsi ii instrumentorum exercitio utebantur, id est, dura, aspera et iniucunda erant.

Posset tamen ratione diatesseron in maiora atque minora semitonia [216] resolvi atque comata quorum divisio etsi ratione comprehenditur actu tamen nec voce humana nec instrumentorum sono unumquodque excepto minore semitonio proferretur, apotome non per se seorsum, sed in toni ratione percipitur. Coma autem, quod ultimum est audibile quo maius semitonium minus excedit, non actu sed sola ratione comprehenditur.

Capitulum XLVI

De toni primaria divisione secundum Philolaum

Philolaus autem qui fuit de Pythagoricorum secta, volens toni, semitonia, scilicet, maius et minus, atque coma ac ipsorum partes, ut magis esset possibile demonstrare, cum secundum superius demonstrata comprehendere non sit facile, hunc suae demonstrationis modum invenit et fundamentum. Nam, sicut superius est ostensum, tonus in numeris 216 ac 243 videtur consistere. Sunt enim hi numeri in sexquioctava proportione quorum differentia est 27 numerus est quo maior minorem excedit quem numerum, scilicet, 27, pro toni integra suscepit quantitate, et quia tonus in partes dividitur inaequales ipsum numerum, scilicet, 27, in duas partes dividit inaequales, scilicet, 14 et 13, maiorem partem maiori tribuit semitonio, minorem vero minori. Unitatem autem quae horum differentiam facit asserit esse coma, maius igitur semitonium sive apotome ex septem unitatibus constat, minus vero ex sex. Coma autem facit unitas.

Tonus igitur secundum hanc considerationem sua principali divisione dividitur in semitonium minus et semitonium maius vel in diesim et apotome, in numeris autem in sex et septem.

Item tonus sua secundaria divisione dividitur in duo semitonia minora et coma, in numeris autem in bis sex et unitatem. Item tonus tertia sui divisione dividitur vel est divisibilis in quatuor diaschismata et coma. Patet hoc quia tonus est divisibilis in duo semitonia minora et coma. Sed quodlibet semitonium minus dividitur vel est divisibile in duo diaschismata. Semitonium vero maius in duo diaschismata et duo schismata, igitur tonus sui tertia divisione dividitur vel est divisibilis in quatuor [217] diaschismata et coma. In numeris autem dividitur tonus in quater tria et unitatem sive duas unitatis medietates. Patet hoc quia quod quodlibet diaschisma cum sit medium dieseos sive semitonii minoris valet tres unitates. Coma vero duo valet schismata, quorum quodlibet unitatis medietatem tenet. Hac igitur tertia divisione divisibilis est tonus in quatuor diaschismata valentia 12 unitates et duo schismata valentia unam unitatem sive unius unitatis duas medietates. Semitonium minus vel diesis dividitur vel est divisibile in duo diaschismata. In numeris autem semitonium minus in bis tres dividitur unitates. Semitonium maius sive apotome dividitur vel est divisibile in duo diaschismata et duo schismata. In numeris autem est divisibile semitonium maius in bis tres unitates quoad duo diaschismata et duas unius unitatis medietates quoad duo schismata, quorum quodlibet unitatis dimidium valet. Integrum dimidium toni proprie dividitur vel est divisibile in duo diaschismata et unum schisma. In numeris autem in bis tres unitates et unitatis dimidium quod tenet schisma.

Differentia semitonii maioris et minoris seu dieseos et apotome qua unum eorum excedit alterum, scilicet, unitas, dividitur vel est divisibilis in duo schismata tamquam in duas medietates omnino aequales.

Semitonium minus et semitonium maius inaequalia sunt, quia non dividunt totum in duas partes omnino aequales. Patet hoc quia minus semitonium sive diesis est ut sex, maius vero vel apotome est ut septem; differt ergo unum ab altero quorum differentia unitas est.

Diaschisma differt a schismate. Patet hoc quia schisma est medietas comatis, diaschisma vero est medietas dieseos sive semitonii minoris. Modo coma est quo maius semitonium seu apotome excedit diesim seu minus semitonium et est sicut unitas. Semitonium minus est gratia exempli ut 13, sequitur quod diaschisma est ut 6 cum medietate unitatis, quae est medietas comatis, et quia coma dividitur in duo schismata, sequitur quod diaschisma est ut sex cum uno schismate, igitur, et cetera.

Semitonium minus non est praecise medietas toni, quia semitonium minus, quod est diesis, minus est medietate integri toni uno schismate.

Semitonium vero maius quod est apotome maius est integra medietate toni uno schismate.

[218] Semitonium maius vel apotome quod idem est dividitur vel est divisibile in duo diaschismata, quorum quodlibet est ut septem tamquam in duas medietates omnino aequales. Patet hoc quia sicut dictum fuit in principio capituli semitonio maiori correspondet numerus 14, cuius medietas est ut septem, ex quo sequitur quod diaschismata dieseos et diaschismata apotome sunt inaequalia. Hoc enim satis clarum est, quoniam apotome maius est diesi uno comate, igitur diaschismata apotome maiora sunt diaschismatibus dieseos. Medietates igitur unius medietatibus alterius maiores erunt, nam medietas vel diaschisma dieseos est ut 6 et unum schisma medietas vero vel diaschisma, apotome praecise est ut 7, modo 7 excedunt 6 cum uno schismate per unum schisma.

Duo semitonia non faciunt unum tonum, quia duae dieses non faciunt unum tonum. Similiter duo apotome non faciunt unum tonum, ergo duo semitonia non faciunt unum tonum. Probatur hoc quoad primam partem quia duae dieses unum tonum minus uno comate faciunt. Nam 13 duplicati faciunt 26, modo tonus est ut 27, et cum 27 excedant 26 per unitatem quae est unum coma, igitur 26 minores sunt 27 uno comate, et pro dupla parte probatur, nam apotome est ut 14, qui duplicati constituunt 28, modo 28 excedunt 27 per unitatem et per consequens per unum coma, igitur duae dieses non constituunt unum tonum nec duo apotome. Clare ergo patet quod duo semitonia minora non constituunt unum tonum, quia minus uno comate nec duo semitonia maiora constituunt unum tonum, quia maius uno comate, ut patet in his numeris 26-27-28.

Duo semitonia proprie sumendo semitonium, scilicet, prout semitonium constat ex duobus diaschismatibus et uno schismate vel duabus quartis comatis constituunt unum tonum. Patet hoc quia quatuor diaschismata dieseos et coma faciunt tonum, igitur, et cetera.

Ex his autem quae in hoc capitulo sunt declarata de tono et partibus eius diligens proportionista faciliter proportiones partium toni quarumcumque cognoscet, et quoniam quam plures speculationes proportionum ignorant, ut toni et partium eius sic figuraliter proportiones intelligant, has toni divisiones secundum Philolaum tradidimus, quibus de his quandam sument cognitionem.

[219] Capitulum XLVII

Quemadmodum consonantiae earumque partes ex intensione et remissione sive intense et remisse per spatia cognoscantur

Quoniam tonus apotome maior est una diesi et e contra diesi maior apotome, et maius est apotome diesi comate, et quoniam diatesseron duobus tonis maior est diesi sive semitonio minore et minor diapente tono sintque aliae aliis maiores consonantiae coniunctionesque vel minores, sicut superius pratice ac theorice ostensum est, et quoniam prasim ea ostendere per lineas intensionis et remissionis ad sensus informationem erit perutile, ideo haec praedicta et alia huiusmodi pratica quodammodo demonstratione decrevimus scribere, ut quae ratione sunt intellectui nota ea excipiantur sensu.

Capitulum XLVIII

Quod diapente intensa vel remissa superat diatesseron intensam vel remissam uno tono

Diapente intensa vel remissa superat diatesseron intensam vel remissam uno tono. Primo enim hoc in intensa diapente probatur ut Boetius demonstrat per lineam enim consonantia diapente in acuto intendatur cuius termini sint B-C, diapente facientes intensam, et a D remittatur diatesseron ad B et quoniam inter diapente ac diatesseron tonus differentiam facit, erit inter D-C spatium toni intensi, ut hic:

[CSM7/3:219; text: Diapente intensa, Tonus intensus, B, D, C, Diatesseron remissa] [UGODEC5 29GF]

Similiter ad partem graviorem toni spatium inter diapente et diatesseron potest reperiri, ut si a B diatesseron intendatur ad F, et ab F diapente remittatur ad K, tunc enim toni spatium remissi erit B-K. Est igitur in parte acuta D-C tonus intensus, in gravi vero B-K tonus remissus.

[220] [CSM7/3:220,1; text: Tonus remissus, Diatessaron intensa, K, B, F, Diapente remissa] [UGODEC5 29GF]

Semtonium minus et in parte acuta et gravi reperitur, si inter duos tonos ac diatesseron comparatio fiat, superat enim diatesseron duos tonos per semitonium minus. In acuta parte sit sonus A, a quo diatesseron intendatur ad K, a G vero duo toni remittantur ad A, erit igitur G-K semitonium minus.

[CSM7/3:220,2; text: Diatessaron intensa, Semitonium intensum, A, G, K, Duo toni remissi] [UGODEC5 29GF]

In gravi vero parte hoc modo reperitur semitonium. Sit sonus A a quo intendantur duo toni ad G et a G diatesseron remittatur ad K. Erit igitur K-A semitonium minus.

[CSM7/3:220,3; text: Semitonium remissum, Duo toni intensi, K, A, G, Diatesseron remissa] [UGODEC5 29GF]

Apotome sive semitonium maius est spatium quo tres toni excedunt diatesseron. Si ergo a tribus tonis diatesseron auferatur, quod relinquitur est apotome. Sint ergo tres toni A-B-C-D, a quibus si aufertur A-E diatesseron, erit C-E semitonium minus. Apotome vero erit E-D.

[CSM7/3:220,4; text: Diatesseron, Semitonium, Apotome, A, B, C, E, D, Tonus] [UGODEC5 29GF]

Coma vero quod est spatium quo apotome minus semitonium supervadit, et in parte acuta et in parte gravi sic poterit inveniri. In parte [221] acuta ab A intendatur apotome ad B, et a C remittatur semitonium minus ad A, et quoniam semitonium minus uno comate est minus apotome, erit C-B intensum coma.

[CSM7/3:221,1; text: Apotome intensum, A, C, B, Semitonium remissa, Coma intensum] [UGODEC5 30GF]

Possumus apotome et in acuta parte hoc modo reperire. Intendantur tres toni ab A ad id quod est B. Item a C ad A diatesseron remittatur. Erit igitur C-B apotome intensum.

[CSM7/3:221,2; text: Tres toni intensi, A, C, B, Diatesseron remissa, Apotome intensum] [UGODEC5 30GF]

Et in gravi parte coma habet reperiri, intendatur ab A semitonium ad D et a D remittatur apotome ad E, et erit coma remissum necessario A-E.

[CSM7/3:221,3; text: Coma remissum, Semitonium minus intensum, E, A, D, Apotome remissum] [UGODEC5 30GF]

Et potest hoc apotome spatium in parte gravi inveniri, ut si ab A intendatur semitonium ad D, et a D remittatur tonus ad E, tunc enim A-E erit remissum apotome.

[CSM7/3:221,4; text: Apotome remissum, Semitonium intensum, E, A, D, Tonus remissus] [UGODEC5 30GF]

Capitulum XLIX

De harmonica facultate ac eius instrumentis

Harmonica facultas, ut ait Boetius in quinto suae musicae, est differentias acutorum et gravium sonorum sensu ac ratione perpendens. [222] Sunt ergo instrumenta harmonicae facultatis sensus et ratio. Sensus namque confusum quoddam ac proxime tale quale est illud quod sentit percipit. Ratio vero integritatem diiudicat et rei prosequitur differentias. Itaque sensus invenit quidem confusa ac proxima veritati, accipit vero a ratione integritatem. Ratio vero ipsa quidem invenit integritatem, accipit vero a sensu confusam ac proximam veri similitudinem. Hoc autem ideo est quoniam sensus materialis est et circa materiam et materialiter noscit, et species immateria comprehendit quae fluidae materiales et imperfectae sunt ac indeterminatae, sicut ipsa materia est, quare omnis sensus cognitio confusa est, et omnem sensum confusio sequitur. Ratio autem quoniam immaterialis est immaterialiter percipit, et species quas apprehendit absque materie vel subiecti participatione comprehendit, et ideo rem integre et vere cognoscit, et si in integra peccat sensus cognitione vel minor sit eius cognitio, id vel emendat vel complet ratio; non ergo ex se confusa colligit sensus aut ex se ad rationis integritatem ascendit. Subitum est igitur iudicium sensus et in superficie positum intima rerum non apprehendens, nec earum integritatem et perfectionem explicans, et ideo in rerum multiplicitate parum efficit sensus, et hinc est quod non est aurium sensui dandum omne iudicium, sed adhibenda est iam ratio quae errantem sensum regat ac temperet. Sunt igitur harmonicae facultatis instrumenta sensus et ratio, altero enim comprehendit subiectarum differentias vocum, altero vero ipsarum differentiarum integrum modum mensuramque considerat.

Capitulum L

De harmonica regula

Ex his quae dicta sunt harmonicae regulae elicitur diffinitio quae talis est. Harmonica regula est instrumentum in quo modo adhibito rationis sonorum differentiae perquiruntur.

Sed circa hanc harmonicae regulae diffinitionem inter musicae doctores non parva est exorta discordia. Nam qui Pythagoricis adhaerebant hanc harmonicam regulam asserebant, ut cuncta rationi consentanea [223] sequerentur. Sensum enim dare quaedam quodammodo semina cognitionis, rationem vero perficere.

Aristoxenus vero e contrario dicebat. Rationem quidem comitem ac secundariam esse dicebat, cuncta vero sensus iudicio terminari et ad eius modulationem consensumque esse tendendum. A Phtolomeo autem alio quoadammodo harmonicae diffinitur intentio, eo, scilicet, quod nihil auribus rationique possit esse contrarium, id enim secundum Phtolomeum harmonicus videtur intendere ut id quod sensus iudicat ratio quoque perpendat, et ita ratio proportiones inveniat, ut ne sensus reclamet, duorumque horum concordia omnis harmonici intentio misceat. Atque in eo maxime Aristoxenum ac Pythagoricos reprehendit quod Aristoxenus nihil rationi sed tantum sensibus credit, Pythagoricos autem quia minimum sensibus plurimum tamen proportionibus rationis invigilent.

Capitulum LI

Divisio toni secundum Aristoxenum

Aristoxenus tonum in duodecim partes dicitur divisisse, quae duodecim erant unitates. Diatesseron autem secundum hanc toni divisionem ex bis duodecim ac sex unitatibus connexa erat, quae ex duobus tonis atque semitonio iungebatur. Semitonium vero ex sex dicebatur unitatibus coaptari. Sed quoniam huiusmodi toni divisio si tonum in octavas velimus deducere partes, in numeris non manet integra. Idcirco is numerus duplo augmento multiplicetur, et erit toni numerus 24. Semitonium 12 pars quarta, quae diesis enarmonios dicitur 6, octava autem pars tertia, si vero pars octava cum quarta iungatur, scilicet, 6 cum 3 erunt 9, quae facit diesim chromatis hemiolii.

Secundum vero primam toni divisionem Aristoxenus diatesseron sive tetracordum per genera tali divisione partitur. Nam dividit tonum in duas partes utramque semitonium vocans; dividit in tres cuius partem tertiam diesim chromatis mollis appellat; dividit in quatuor cuius quartam cum propria medietate, id est, cum octava, totius toni vocat diesim chromatis hemiolii.

[224] Duplex quidem secundum eum est cantilenae genus, unum quod mollius est et id enarmonium est, aliud quod incitatius est et id diatonicum est. Inter haec autem consistit chromaticum incitatione, id est, mollitie duritieque participans, et secundum hunc modum et ordinem permixtorum generum sex sunt differentiae, una quidem enarmonii, tres autem chromatici, id est, chromatici mollis, chromatici hemiolii et chromatici tonici, reliquae autem duae diatonici mollis atque incitati. Quorum generum talis secundum Aristoxenum est facta divisio, pars enim quarta toni diesis enarmonios nuncupari praedicta est, et enim ipse Aristoxenus non voces ipsas inter se comparat, sed differentiam vocum intervallumque metitur.

Secundum autem aliam divisionem in qua toni in duplo auctus est numerus secundum Aristoxenum tria melorum genera, enarmonium, chromaticum, diatonicum, has videntur habere proprietates, ut alia eorum dicantur spissa, alia minime. Spissa sunt quarum duae graviores proportiones unam eam quae ad acutum posita est magnitudine non vincunt. Non spissa vero genera sunt quarum duae proportiones reliquam videntur excedere. Enarmonicum autem et chromaticum spissa sunt. Diatonicum vero non. Enarmonicum ergo Aristoxenus tali divisione partitur 6-6-48, ut inter gravem nervum et prope gravem sit quarta pars toni, quae dicitur diesis enarmonios, cum sit tonus ex unitatibus constitutus. Item secundum intervallum. Inter secundum intervallum a gravi nervo ad tertium intervallum sit eadem quarta pars toni 6. Reliqui vero qui restant numeri ex sexaginta qui totius proportionis sunt inter tertium intervallum a gravi nervo atque acutissimum quartum ponuntur 48, quos duae proportiones ad gravem nervum positae, id est, 6 et 6, reliquam proportionem, id est, tertiam ad acutum locatam non vincunt. Chromatis vero mollis Aristoxenus hanc facit divisionem 8 et 8-[44], qui tonum efficiunt, et 8 atque partes tertiae sint tonorum, tonus enim, ut dictum est, ex 24 unitatibus constat, et dicitur toni pars tertia diesis chromatis mollis.

Item intervallum chromatis hemiolii diatesseron ita partitur 9-9-42. Est enim diesis chromatis hemiolii pars octava cum quarta, id est, ex 24 6 cum tribus qui 9 constituunt. Item chromatis toniaci vel tonici talis secundum Aristoxenum fiebat partitio 12-12-36, scilicet, ut in duobus intervallis [225] singula semitonia constituat, et quod reliquum, id est, 36, in ultimo intervallo locaretur, atque in his omnibus intervallis seu divisionibus duae proportiones quae graviori nervo sunt positae, reliquam, quae ad acutum posita est, minime magnitudine superant, sunt enim, ut dictum est, spissorum generum. Spissa genera quippe sunt enarmonium atque chromaticum.

Diatonica vero divisio ipsa quoque est duplex, et mollis quidem diatonici. Divisio est hoc modo 12-18-30, ut 12 semitonium sit, 18 semitonium et quarta pars toni, 30 vero quod reliquum est quorum 18 atque 12 efficiunt 30 nec superantur ab ea parte quae reliqua est.

Item diatonici incitati talis partitio est, ut semitonium ac duos integros tonos, id est, 12-24-24, ex quibus 24 et 12, id es, 36, non superantur a reliqua parte, quae est ad acutum, sed potius vincunt. Est igitur secundum Aristoxenum tetracordorum praedicta partitio, quae subiecta descriptione monstratur.

[CSM7/3:225; text: Enarmonium, Chromatis mollis, Chromatis hemiolii, Chromatis toniaci, Diatonici mollis, Diatonici incitati, 48, 44, 42, 36, 30, 24, 6, [8], 9, 12, 18, 8, 60] [UGODEC5 30GF]

Capitulum LII

Descriptio Architae

Architas vero rationem sequens sensum negligens in omnibus quidem generibus gravissimos sonos facit 2016, acutissimos 1512. Item hos sonos in tribus generibus et acutissimos nervum gravissimo proximum collocat 1944, qui ad gravissimum sexquivigesimam septimam habet proportionem. In enarmonico genere tertio loco ponit 1890, qui ad secundum sexquitrigesimam quintam proportionem habet. Ad acutissimum in sexquiquarta proportione constituit. In diatonico est tertius 1701, qui ad secundum sexquiseptimam proportionem habet, ad acutissimum sexquioctavam. In enarmonico tertius est 1792 qui ad tertium in diatonico [226] habet eam proportionem quae est inter 256 et 243. Haec enim in his figuris patent:

Enharmonici  Diatonici  Chromatici
    1512        1512       1512
    1890        1701       1792
    1940        1944       1944
    2016        2016       2016

Capitulum LIII

Reprehensio Ptholomei

Architas in chromatico genere ponit 1792 qui ad neutrum circumpositorum superparticularem proportionem habet, cum inde Architas in consonantiis superparticulares recipiat. Item in chromatico genere ubi sexquivigesimam septimam proportionem ponit sexquivigesima prima esse debet, et etiam sensus maiorem ibi proportionem ponit quam ipse posuerit. Item in enarmonico secundi ad gravissimam minorem debet habere proportionem quam in ceteris generibus, sed ipse aequalem ponit in omnibus.

Capitulum LIV

Culpa Aristoxeni

Aristoxenus in chromatico molli et chromate hemiolio inter primas et secundas a gravi nervo ita parvas proportiones ponit quod differentias sensus non percipit. Sola enim unitas differentia est, unitas autem vigesima quarta pars toni est quod propter brevitatem audiri non potest. Item reprehendit quod non posuerit plures species diatonici.

Previous part