Back to top

[f.XXVr] De Genere Chromatico Caput Primum.

CHromatici Generis chordae ita per tetrachorda disponuntur: ut tertia tantum chorda uniuscuiusque tetrachordi a diatonica dispositione uariata noscatur interuallis differentibus circumscripta. Reliquae uero propria feruant loca diatonicis numeris annotatae. Verum quae mutatur (et si hoc in genere tetrachorda diatessaron consonantiam impleant) aliam ducit modulaminis formam: iam quasi ab illa naturali extensione decidentem: et in mollius ac suauius conuersam: minore toni parte depressa quae minus tamen semitonium sesquiquingentesimaduodecima proportione superuadit. Inde Chromatica appellatur: quasi in alteram speciem transmutata. Nam quemadmodum quod inter album est et nigrum chroma uocatur: rursusque dum superficies permutantur in alterum transeunt colorem: sic hoc canendi genus a diatonico quod naturalius [f.XXVv] et antiquissimum est: tanquam color permutatus alia uarians diastemata chroma nuncupatur. Hoc enim canendi genus: altetius generis (puta diatoni aut Ennarmonii) adiumento non indiget: quippe quod in tetrachordo neque toniaea neque dieseos distincte: sed semitoniaea uaria participanter percipit interualla. Quocirca. Coloratio dicta est specialis diuisio generis.

Diatonicum enim genus quod chordam tertiam a secunda maiore (toni scilicet) interuallo uehementius intensam tenet decorum quendam ac ualidum et argutum prae se fert morem. Chroma uero luctuosiorem magisque fletui aptum: quoniam a diatoni natura conuersum est et uariatum.

Tribus quoque interuallis unumquodque tetrachordum chromaticum procedit: Ac primum quidem et grauissimum semitonii minoris est: ut etiam in diatonico. Secundum quod medium est: semitonii (non maioris: quod est apotome) sed maiore aliquantulo quam praecedens proportione dispositi ut sequenti capite ac septimo huius secundi concluditur: [Boetius in marg.] quod iccirco Boetius in tetrachordo chromatico semitonium uocat: non autem apotomen neque semitonium maius: [Iacobus Fabri. in marg.] Id tamen non aduertit noster Iacobus Fabri stapulensis uir omni disciplinarum genere peritissimus in secunda et decima quarti Elementorum musices ubi apotomen ac maius semitonium uocat (nec mirum) nam et bonus quandoque dormitat Homerus. Complures pariter in hunc labuntur errorem: [Laurentius Cremonensis. in marg.] quod diligenter percepit sententia nostra Laurentius Gazius Cremonensis monachus sanctae Iustinae Musicus acutissimus in dimensione Systematis per tria genera deducti duodecimo capite huius secundi libri: quod proportionabili ratione monstrauimus. Tertium acutius interuallum est trium incompositorum semitonirum. Atque eodem ordine chromatica tetrachordorum dimensio disponitur.

De dimensione Tetrachordi Hypaton secundum Genus chomaticum Caput Secundum.

PRimum igitur tetrachordum quod hypaton dicitur: ex diatonica dispositione in chromaticam figuram conuertitur: quum habita differentia eorum qui tertiae et quartae chordae in diatono [f.XXVIr] ascripti sunt numerorum: dimidium ipsius differentiae coniungitur numero ipsius tertiae chordae. Est enim in diatonico numerus Lychanos hypaton .6912. et Hypatesmeson .6144. Horum differentiam facit numerus 768. cuius dimidium est .384. Hunc igitur qui dimidium differentiae est: superaddo numero .6912. lychanos hypaton: [Deductio Lychanos hypaton chromaticae. in marg.] et concrescit in summam 7296. quo annotabitur tertia huius chromatici tetrachordi chorda scilicet Lychanos hypaton: ut ab hypate meson tribus distet semitoniis in graue

[Guido. in marg] Hanc in quindecim chordarum perfecto systemate Guido circinni dimensione disponit hoc ordine: Dimidium enim toniaei interualli quod diatonice adiacet inter lychanon hypaton et hypaten meson amplectens: circinnum dimidia huiusmodi quantitate conuertit uaristrorsum ibique deposito puncto. Lychanon hypaton ascribit chromaticam. ut qua ratione dimidium differentiae consideratur: ea et interualli dimidium comprobetur.

Lychanos hypaton igitur chromatica acutior extat quam parhypate hypaton: semitonio: ea uidelicet proportione qua numerus .20 1/4 ad numerum .19. siue etiam qua numerus .81. ad .76. referri noscuntur: quae quidem super quincupartiens septuagesimassextas proportio nominatur. Haec enim sola superseptipartiente septingentesimasuigesimassecundas maior est quam proportio numeri .19. ad .18. quae fit a numero .7296. lychanos hypaton chromaticae ad numerum .6912. lychanos hypaton diatonicae. Id enim facile percipietur: quum dispositis ambarum proportionum terminis ducta fuerit utrinque contradictoria multiplicatio terminorum: secundum scilicet regulam uigesimo primo primi expositam: quod et hac figura facile compobatur. m

[Gafurius, De harmonia musicorum, f.XXVIr; text: m, 81, 76, 19, 18, 1458, 1444] [GAFHAR2 01GF]

Namque ducto maiore maioris proportionis termino per minorem minoris scilicet .81. per .18. concrescit numerus .1458. Inde multiplicato minore maioris per maiorem minoris scilicet 76. per .19. conducitur numerus 1444. sed numerus .1458. ad numerum .1444. subtractione computata ad numerus contra se primos scilicet 729. et .722. dimidias eorum partes proportionem efficit superseptipartientem septingentesimasuigesimassecundas: quae ambarum ipsarum proportionum excessus est et differentia.

Ab Hypate meson autem lychanos hypaton chromatica distat tribus semitoniis in graue: ea scilicet proportione qua numeri .19. et 16. inuicem conferuntur: tono uidelicet et semitonio hanc supertripartientem [f.XXVIv] sextasdecimas uocant proportionem: minorem quidem quam sesquiquinta sesquinonagesimaquinta proportione: quod facile percipitur dispositis ipsarum terminis alternatiue et contradictorie multiplicatis: ut hac monstratur figura. n

[Gafurius, De harmonia musicorum, f.XXVIv,1; text: n, 6, 5, 19, 16, 96, 95] [GAFHAR2 01GF]

[Gafurius, De harmonia musicorum, f.XXVIv,2; text: Sesquiquinta proportioo, 19, 16, 15 5/6, proportio supertripartienssextasdecimas. sesquinonagesimaquinta] [GAFHAR2 01GF]

Inter hypaten hypaton uero et lychanon hypaton chromaticam: et si duo inaequalia semitonia composita intercipiuntur: sesquioctauum tamen interuallum et consequenter tonus nullatenus perficitur: nam si numerum .8192. hypates hypaton ad numerum .7296. lychanos hypaton chromaticae duxeris comparandum: non utique sesquioctauam: sed superseptipartientem quinquagesimasseptimas proportionem comperies: ut sunt .64. ad .57. quam Ipsa sesquioctaua excedit proportione sesquiquingentesima duodecima: quod lucide apparet ex dispositione ipsarum proportionum multiplicatis alternatim terminis hoc modo b

[Gafurius, De harmonia musicorum, f.XXVIv,3; text: b, 9, 64, 8, 57, 513, 512] [GAFHAR2 01GF]

namque ducto maiore maioris proportionis termino per minorem minoris scilicet .9. per .57. resultat numerus .513. Inde minore maioris per maiorem minoris scilicet 8. per .64. efficitur numerus .512. sed numerus .513. ad numerum .512. sesquiquingetesimamduodecimam implet: qua sesquioctaua proportio duo illa semitoniaea interualla distincta inter lychanon hypaton chromaticam et Hypaten hypaton superuadit: quod presens figura demonstrat.

[Gafurius, De harmonia musicorum, f.XXVIv,4; text: Superseptipartiensquinquagesimasseptimas. Sesquiquingentesimaduodecima. 9, 8 1/64, 8, Sesquioctaua proportio] [GAFHAR2 01GF]

[Quanto semitonium quod est inter parhipaten hipaton et lychanon hypaton chromaticam excedit illud quod fit inter hypaten hypaton et parhypaten hypaton in marg.] Rursus semitonium quod inter Parhypaten hypaton et lychanon hypaton chromaticam deductum est illud quod Hypate hypaton et Parhypate hypaton interiacet propottione deuincit.

Namque numerus .7776. parhypates hypaton ad numerum .7296. lychanos hypaton chromaticae: maiorem ducit proportionem quam numerus [f.XXVIIr] .8192. hypates hypaton: ad numerum .7776. parhypates hypaton proportione super .227. partiente .19456. Dispositis igitur numeris contra se primis: in quos scilicet postrema fit earundem subtractio proportionum hi enim sunt .81. ad .76. maioris proportionis: minoris uero. 256. ad 243. multiplicatisque inuicem contradictorie: quod ex ea multiplicatione deducitur: excessum et differentiam ipsarum proportionum lucide declarabit: hoc modo c

[Gafurius, De harmonia musicorum, f.XXVIIr,1; text: c, 81, 256, 76, 243, 19683, 19456] [GAFHAR2 01GF]

Namque maior maioris proportionis terminus per minorem minoris ductus scilicet .81. per .243. concrescit in summam .19683 et minor maioris per maiorem minoris uidelicet .76. per .256. efficit numerum .19456.

Sed numerus .19683. ad numerum .19456. efficit proportionem super .227. partientem .19456. qua semitonium inter lychanon hypaton chromaticam et parhypaten hypaton deductum: excedit semitonium illud minus quod naturaliter intercipitur inter Parhypaten hypaton et Hypaten hypaton: ut haec dispositio monstrat.

[Gafurius, De harmonia musicorum, f.XXVIIr,2; text: semitonium minnus secuti, 256 ad 243, Super.227.partiens 19456, 81, 76 227/256, 76, Superquincupartiens septuagesimassexta] [GAFHAR2 02GF]

Sit igitur chromatici hypaton tetrachordi disposita dimensio hoc modo.

[Gafurius, De harmonia musicorum, f.XXVIIr,3; text: Chromaticum genus, Dimensio epitrita, 6144, 7296, 7776, 8192, semitonium, tria semitonia, Hypate meson, Lychanos hypaton, Parhypate hypaton, Hypate hypaton, Primum tetrachordum chromatici generis, Diatessaron consonantia.] [GAFHAR2 02GF]

[f.XXVIIv] De Dispositione et dimensione Tetrachordi Meson in Systemate perfecto secundum Genus Chromaticum Caput Tertium.

CHordae autem secundi tetrachordi quod in Systemate integro meson uocatum est consimili regula atque ratione coaptantur.

Dispositis namque Meson ipsius tetrachordi diatonici chordis: ptopriisque numerorum annotarionibus: summatur numerorum quartae et tertiae chordae differentia. Est enim in diatonico ascriptus quartae chordae scilicet Mese: numerus 4608. tertiae uero chordae quae lychanos meson est: numerus .5184. Horum differentiam probat numerus .576. cuius dimidium est numerus 288. hunc igitur qui dimidium est differentiae superaddo maiori termino scilicet lychanos meson diatonicae: qui est .5184. et concrescit numerus .5472 ascribendus lychano meson chromaticae. Quam in chordotono dispones: si dimidio interualli toniaei deducti a Mese ad lychanon meson diatonici eam uaristrorsum remiseris: hinc tribus semitoniis erit a mese remissa. Nec secus omnia tetrachordi huius interualla quam et tetrachordi hypaton considerantur. Cuius dimensionem haec probat dispositio.

[Gafurius, De harmonia musicorum, f.XXVIIv; text: Chormaticum genus, Dimensio epitrita, 4608, 5472, 5832, 6144, semitonium, tria semitonia, Mese, Lychanos meson, Parhypate meson, Hypate meson, Secundum tetrachordum chormatici generis, Diatessaron consonantia] [GAFHAR2 02GF]

De dispositione et dimensione Tetrachordi diezeugmenon Chromatici Caput Quartum.

DIezeugmenon tetrachordum tertiam chordam: quam quatro primi: paraneten diezeugmenon diximus nuncupatam: eadem laxatione atque proportione extendit in chromate. Namque sumpto dimidio [f.XXVIIIr] differentiae numerorum quartae et tertiae chordae in diatonico genere deductorum (sunt enim netes diezeugmenon .3072. et Paranetes diezeugmenon .3456) quorum differentiam efficit numerus .384. huius pars dimidia est .192. addatur haec dimidia differentiae pars numero tertiae chordae scilicet .3456 et concrescet numerus .3648. qui ascribitur paranete diezeugmenon chromaticae tribus semitoniis a nete diezeugmenon demissae Hanc enim in Systemate quindecim chordarum chromatico extendes: quum distincto per mediam interuallo toniaeo quod a Nete diezeugmenon et paranete diezeugmenon diatonice dispositis circumscriptum est: dimidio ipso chordam in grauitatem laxaueris interuallo. haec tunc a Trite diezeugmenon semitonio discedet in acutum. ut hac constat depostione.

[Gafurius, De harmonia musicorum, f.XXVIIIr; text: Chromaticum genus, Dimensio epitrita, 3072, 3648, 3888, 4096, semitonium, tria semitonia, Nete diezeugmenon, Paranete diezeugmenon, Trite diezeugmenon, Paramese, Tertium tetrachordum chromatici generis, Diatessaron consonantia] [GAFHAR2 03GF]

De Dispositione et dimensione Tetrachordi hyperboleon Chromatici Caput Quintum.

IN Tetrachordo autem hyperboleon consimilis est consideratio. Sumpta nanque differentia eorum numerorum qui et Nete hyperboleon et Paranete hyperboleon diatonici generis ascripti sunt scilicet .2304. et 2592. est enim numerus .288. Eius medietatem quae est .144 superpono numero tertiae chordae scilicet Paranetes hyperboleon: qui est .2592. et concrescit numerus .2736. quo notatur paranete hyperboleon chromatica. Haec in chordotono contexitur: quum tanto interualli remittitur in grauitatem quanto fuerit dimidium eius quod compraehensum est inter Netenhyperboleon et paraneten hyperboleon diatonici: distabitque a Nete hyperboleon in graue tribus semitoniis: Et triten hyperboleon semitonio superuadet acumine: ut haec monstrat dispositio.

[f.XXVIIIv] [Gafurius, De harmonia musicorum, f.XXVIIIv,1; text: Chromaticum genus, Dimensio epitrita, 2304, 2736, 2916, 3072, semitonium, tria semitonia, Nete hyperboleon, Paranete hyperboleon, Trite hyperboleon, Nete diezeugmenon, Acutissimum tetrachordum, Diatessaron consonantia.] [GAFHAR2 03GF]

De Dispositione et dimensione Tetrachordi Sinemenon Chromatici Caput Sextum.

TEtrachordum Sinemenon quod Mese chordae coniunctum est consimili motu in chromaticam figuram transmutatur. Numerorum enim .3456. et .3888 qui ascripti sunt Nete sinemenon et Paranete sinemenon diatonici generis: differentiam summo scilicet 432. quae est minoris pars octaua: eiusque dimidium scilicet 216. superaddo numero .3888. Paranetes sinemenon diatonicae: et concrescit numerus .4104. quo notatur Paranete sinemenon chromatica: a Nete sinemenon tribus semitoniis depressa. Et a Tritesinemenon semitonio intensa.

Haec in chordotono chromatice disponitur: quum diuiso in duas aequas partes toniaeo interuallo: quod inter Neten sinemenon et Paraneten sinemenon diatonice dispositum est subducta fuerit pars huiusmodi dimidia. cuius dispositio fit hoc modo.

[Gafurius, De harmonia musicorum, f.XXVIIIv,2; text: Chromaticum genus, Dimensio epitrita, 3456, 4104, 4374, 4608, semitonium, tria semitonia, Nete sinemenon, Paranete sinemenon, Trite sinemenon, Mese, Sinemenon tetrachordum, Diatessaron consonantia] [GAFHAR2 03GF]

[f.XXIXr] Sunt igitur semitoniaea interualla in hoc tetrachordo: sicuti et in caeteris pari consideratione disposita. Nanque a Mese ad triten sinemenon est semitonium minus scilicet proportione numerorum .256. ad .243. Et a Trite sinemenon ad Paraneten sinemenon chromaticam: est semitonium aliquanto maius primo uidelicet proportione .81. ad .76. Haec autem duo semitonia quae a Mese ad chromaticam Paraneten sinemenon sunt: non implent tonum: quia iunctae ipsorum proportiones non efficiunt sesquioctauam: Est namque sesquioctaua duabus ipsis semitoniaeis proportionibus maior sesquiquingentesimaduodecima ut in primo tetrachordo probatum est.

Semitonium uero quod relictum est ex proportione .19. ad .18. inter Paraneten sinemenon diatonicam et Paraneten sinemenon chromaticam: minus est eo: quod fit a Trite sinemenon ad Paraneten sinemenon chromaticam: quod scilicet consistit in proportione 81. ad .76.

At tria illa semitonia a Nete sinemenon ad Paraneten sinemenon unico interuallo depraehensa in proportione .19. ad .16. sunt collocata.

Sunt itaque uniuscuiusque tetrachordi chromatici semitonia: inaequalia: quoniam inaequalibus proportionibus construuntur: sed earum excessus lucide consyderatur in dispositione primi tetrachordi chromatici.

Deducta igitur perfecti disdiapason systematis secundum diatonum longitudine: dispositisque tetrachordis secundum sesquitertiam dimensionem supposito prius sesquioctauo interuallo in grauissimum locum inter Hypaten hypaton et proslambanomenen: facile contexetur chromaticum systema pleno Iure: ut hac continetur figura.

[f.XXVIIIIv] [Gafurius, De Harmonica Musicorum, f.XXVIIIIv; text: Integrum systema chromatice condensatum, 2304, 2736, 2916, 3072, 3648, 3888, 4096, 4608, 5472, 5832, 6144, 7296, 7776, 8192, 8748, 9216, Tria semitonia, semitonium, tonus, Netehyperboleon, Paranetehyperboleon, Tritehyperboleon, Netediezeugmenon, Paranetediezeugmenon, Tritediezeugmenon, Paramese, Mese, Lychanosmeson, Parhypatemeson, Hypatemeson, Lychanoshypaton, Parhypatehypaton, Hypateypaton, Proslambanomenos, diatessaron, diatessaron consonantia, Diapason, Diapason consonantia, Diapente consonantia. 3456, 4104, 4374, Netesinemenon, Paranetesinemenon, Tritesinemenon, Bis diapason Sistema perfectum] [GAFHAR2 04GF]

[f.XXXr] Quod Tertia chorda in tetrachordo chromatico semitonia permixto generi diuersa producit Caput Septimum

COnstat igitur per ea quae proposita sunt: solam tertiam chordam in omni tetrachordo chromarici generis: a diatonica extensione esse uariatam: solamque mobilem esse compraehensam: quippe quae et in Diatonico et in chromatico atque in Ennharmonico genere proprium atque immutatum retinet nomen: namque in duobus grauioris diapason tetrachordis: lychanos uocitatur: in reliquis quae acutiora sunt Paranete.

Extensio autem tertiae tetrachordi chromatici chordae tonum grauiorem ea diuisione in duo semitonia partitur quae longe a permixti generis incisione est aliena non duo enim ipsa semitonia quorum alterum minus ex proportione .256. ad .243. alterum maius uidelicet residuum toni: quod apotomen uocant in tono ipso praecise distinguit: ut permixto competit generi: sed duo ipsa semitonia chorda ipsa certa continuatione inuicem participata ita conducit: ut a loco quem in diatonico tetrachordo possidebat: remissa semitonio in graue: neque minus ipsum semitonium neque apotomen precise seruare noscatur: propter aliquantulam eius admixtionem: quam depositum ipsum in graue semitonium inter ipsam tertiam ac secundam chordam conclusum participat.

Quanto igitur acutius semitonium tertiae huiusmodi chordae permutatione demissum: maius erit minore semitonio quod fit in proportione .256. ad .243. tanto. Id quod grauius est: inter scilicet Lychanon uel paraneten chromaticam: et Parhypaten seu Triten cuiusuis tetrachordi: deficiet a proportione ipsius apotomes: nec tanta quidem hoc diminutum. Illud ue adauctum erit quantitate ut ad integrum toni dimidium usque perueniat: aut precise in maius minus ue semitonium conuertatur: sed duas amborum adeo proportiones et interualla continuat: ut utriusque semitonieae proportionis et interualli: tertia ipsa chorda percussa participem ac communicatum sonum uideatur educere. Hinc tertiae huiusmodi chordae et consimilium sonos: musicorum instrumentorum artifices: communicatos seu participatos uocant: quod huiusmodi interualla diatonicae ac naturali dispositioni penitus sint uaria: incertis quodammodo limitibus terminata: ac si coelestis arcus colores inspiceremus: eos nullo certo fine distinctos pervideremus: sed adeo coniunctos: ut alter in alterum percipiatur transitum habere continuum.

[f.XXXv] De Expositione generis Ennharmonici Caput Octauum.

ENnharmonicum genus: quod quasi optime coniunctum dicitnr: minimis abundans interuallis concinnitati congruis ueteres tertium posuere. [Aristoxenus asserit Olympum ennharmonici generis fuisse auctorem. in marg.] eius namque auctorem Aristoxenus Olympum tradit: quod et prisci musici consentiunt: Ante quem omnia erant in musicis dimensionibus diatonica et chromatica: hoc enim praestantissimis tantum musicis celebre fuit: uulgaribus ignotum: quippe qui eius melodiam neglexere minima huiusmodi interualla ob ipsorum imbecillitatem: modulationi incommoda esse existimantes. Longe enim artificiosius est diatonico atque chromatico. namque plurima indigebat assuetudine in usum non facile procedens.

Tetrachordum enim secundum hoc genus ita disponitur: ut Acutissima chorda (puta Nete) grauissimae quae est hypate: diatessaron consonantiam in sesquitertia proportione respondeat: nec secus quam in diatonico et chromatico: Iccirco prima et quarta uniuscuiusque tetrachordi chorda: quod in omni genere unum eundemque locum obseruent: stantes dicuntur atque immobiles quasi proprii systematis conseruatrices.

Verum Tertia chorda quae lychanos est uel Paranete: mota seu mobilis noscitur in chromatico sola: ut praefinitum est: At Secunda quae est Parhypate uel Trite In Ennharmonico: rursusque et tertia scilicet Lychanos uel Paranete: a diatonico: tanquam a naturali extensione: motae sunt et variatae.

[Tertia chorda tetrachordi ennharmonici subtrahitnr in locum secunde diatonici et chromatici. Secunda uero inter primam et tertiam dimidio semitonii interuallo collocatur in Ennharmonico in marg.] Tertia itaque tetrachordi chorda dimidio toniaei interualli remissa: semitonium monstrat: conuersione diatoni in chroma: Rursus altero semitonio chromatico depressa cordula ipsa: quod tunc tono a sua diatonica extensiooe remissa sit lychanos seu paranete Ennharmonici tetrachordi disponitur: semitonio minore distans ab hypate in acutum: quae et a Nete duobus incompositis tonis concinnitati congruis recedit in graue.

Verum Parhypate uel Trite quae secunda est minore semitonio acutior quam prima in diatonico et Chromatico: ad dimidium semitoniaei interualli deponitur in graue: ut primae et grauissimae tetrachordi chordae sola diesi supersit acumine: rursusque [f.XXXIr] sola diesi a lychano uel paranete sit depressa.

[Diesis quo in marg.] Est enim diesis dimidium semitonii minoris interuallum duobus sonis circumscriptum: ac minimum quidem quod concinnitati congruat.

[Generum differentie ab interuallorum uarietatibus deducuntur. in marg.] Generum itaque differentiae ab interuallorum longitudine et propinquitate summuntur. Ac diatonicum quidem quod primum et naturalius est: duriorem et aliquanto asperam disponit melodiam.

[Aristides. in marg.] Chromaticum uero atque Ennharmonicum quoniam condensationes diatonici sunt (ut inquit Aristides) Diatonicae chordarum dispositioni commixta sunt: ut integro ac perfecto instrumento Ars naturae et natura arti in deducenda harmonia suauius conuenirent. Nihil quippe Ars ipsa efficit deficiente natura. [Aristotiles. in marg.] At Naturam nusquam fuisse quicquam frustra operatam Aristoteles docet.

[Lucius uitrunius Diuersae generum proprietates secundum Vitruuium in marg.] Lucius autem uitruuius quinto quinti Architecturae suae Trium huiusmodi generum naturam et proprietatem hoc modo considerat.

Ennharmonici nanque modulationem ab arte et aere conceptam: putat grauem et egregiam habere auctoritatem.

Chromatici uero modulatio subtili solertia et modulorum crebritate suauiorem habet harmoniam.

Diatonica autem quod naturalis est (ut asserit) faciliorem disponit interuallorum distantiam.

De dispositione et dimensione Tetrachordi hypaton et aliorum secundum Genus Ennhamonicum Caput Nonum.

DIspositis secundum diatonum tetrachordi hypaton chordis: mediae ambae ad grauitatem ita relaxantur: ut ex diatono in Ennharmonicum conuertantur. Lychanos enim ennharmonica parhypates hypaton diatonicae locum obtinet eodem numero scilicet .7776. annotata. Hypate hypaton uero in omni genere proprium et immutabilem locum seruans numero 8192. pernotatur: horum differentia est numerus .416. Cuius dimidium est .208. At numero 7776. Parhypates hypaton diatoni et chromatis: qui et lychanos hypaton Ennharmonii est: dimidium ipsius differentiae superpono scilicet .208. et concrescit numerus .7984. quo signatur Parhypate hypaton [f.XXXIv] Ennharmonica: sola diesi hypaten hypaton uincens acumine et diesi item a lychano hypaton superata. Itaque lychanos hypaton Ennharmonica grauior est tono quam Lychanos hypaton diatoni. Et semitonio composito ab hypate hypaton distat in acutum: ditonoque incomposito ab hypate meson remissa est.

Quum igitur in Chordotono Interuallum illud semitoniaeum diatonice ac naturaliter dispositum duas in partes aequas diuiseris: ubi rectum fuerit interualli dimidium: parhypaten hypaton ennharmonicam collocabis. quod hac dispositione lucide peruidetur.

[Gafurius, De harmonia musicorum, f.XXXIv; text: Ennharmonicum genus, Dimensio epitrita, semitonium, Ditonus, Hypatemeson, Lichanoshypaton, Diesis, Parhypatehypaton, Hypatehypaton, Primum et grauius tetracordum enarmonici generis, Diatessaron Consonantia] [GAFHAR2 03GF]

De Proportionalitate Diesium Ennharmonicarum Caput Decimum.

[Proprietas Arythmetycae medietatis. in marg.] SI ad diesium dispositi hypaton tetrachordi considerationem intenderis: ambas ipsas secundum Arythmeticam proportionalitatem mediatas atque productas esse facile comperies. Namque inaequis proportionibus aequis uero differentiis disponuntur et in minoribus numeris maior: et in maioribus minor proportio (quidem proprium noscitur Arythmeticae medietatis) deducta est. Nam quum numeros .8192. et .7984. in numeros contra se primos (eandem scilicet proportionem [f.XXXIIr] efficientes) subduxeris (hi enim sunt .512. et .499) proportionem supertertii decimipartientem quatringentasnonagesimasnonas apertissime conspicies: quoniam amborum differentiam efficit numerus .13.

Verum quum numeros .7984. et .7776. in numeros contra se primos subtraxeris: sunt enim .499. et .486. quoniam eorum differentia est .13. numerus: proportionem supertertiidecimipartientem quatrigentasoctogesimassextas illico pernotabis.

Sunt igitur aequae differentiae: iccirco et internalla aequalia nam Differentiae terminorum interualla sunt dimensionum. At quantae fuerint in numeris differentiae: tanta erunt in dimensionibus interualla.

Proportiones uero ipsarum diesium inaequales: namque maior est proportio diesis acutioris scilicet numeri .499. ad .486. quam grauioris uidelicet numeri .512. ad .499. quoniam minoribus numeris deducta est. [Acutior diesis maior est grauiorum. in marg.] Est quidem ipsarum excessus proportio numeri .249001. ad .248832. quae dicitur super .169 partiens 248832. Numerus autem .7776. lychanos hypaton ennharmonii ad numerum .6144. Hypates meson in eadem proportione constitutus est in qua numerus .81. ad .64. custoditur: sunt enim hi contra se primi: duas sesquioctauas incompositas obtinentes: et uocatur quidem proportio .81. ad 64. super .17. partiens sexagesimasquartas quod maior terminus minorem in se habeat semel et decem insuper ac septem sexagesimasquartas partes. In reliquis item tetrachordis Idem et proportionum et Interuallorum considetationis modus existit.

De dispositione et dimensione omnium tetrachordorum in integro et perfecto systemate secundum genus Ennharmonicum Caput .XI.

DIsposito igitur primo tetrachordo in chordotono: quum a Parhypate hypaton ennharmonica: totam in acutum chordam quattuor aequis partibus diuiseris: ubi prima pars terminauerit Parhypaten meson Ennharmonicam constitues: diatessaron consonantiam ad parhypaten hypaton ennharmonicam consonantem in acutum epitrita dimensione.

Ducto autem circinno a lychano hypaton Ennharmonica quattuor aequis partibus per totam [f.XXXIIv] in acutum chordam: prima pars terminabit Lychanon meson ennharmonicam diatessaron consonantiam epitrita dimensione producens.

Rursus ducto circinno ad finem chordotoni a Parhypate meson ennarmonica in acutum quattuor aequis partibus: prima pars Triten sinemenon ennharmonicam locabit sesquitertia dimensione diatessaron consonantiam seruans.

Quod si a Lychanon meson ennarmonica totam chordam in acutum quattuor aequis partibus distinxeris: prima pars Paraneten sinemenon epitrita dispositione producet: diatessaron consonantiam tenens.

Tetrachordum autem Diezeugmenon hac dimensione disponitur. Vbi enim Trite diezeugmenon diatonica et chromatica residet: ibi Paraneten diezeugmenon ennharmonicam ponas. At distincto in duas aequas partes semitoniaeo interuallo quod inter Paramesen et Paraneten diezeugmenon ennharmonicam deductum est: ubi rectum ipsius interualli semitoniaei dimidium fuerit Tritendiezeugmenon ennharmonicam appones.

A Trite diezeugmenon uero ennharmonica: diuiso chordotono in acutum quattuor aequis partibus: prima pars triten hyperboleon ennharmonicam diatessaron epitrita dimensione sonantem conducet.

Similiter quum a Paranete diezeugmenon ennharmonica chordotonum quattuor aequis partibus partitus fueris in acutum: prima pars Paraneten hyperboleon ennharmonicam collocabis epitrita dimensione diatessaron obseruantem.

Reliqua autem omnia in singulis tetrachordis considerare licet prout in hypaton tetrachordo deductum est. quod presentis systematis dispositione conspicitur.

[f.XXXIIIr] [Gafurius, De harmonia musicorum, f.XXXIIIr; text: Plenum Systema harmonicum Ennharmonice spissum, Diesis, Ditonus, tonus, 2304, 2916, 2034, 3072, 3888, 3992, 4096, 4608, 5832, 5988, 6144, 7776, 7984, 8192, 9216, Netehyperboleon, Paranete hyperboleon, Tritehyperboleon, Nete diezeumenon, Paranete diezeumenon, Trite diezeumenon, Paramese, Mese, Lichanos meson, Parhypate meson, Hypate meson, Lychanos hypaton, Parhypate hypaton, Hypate hypaton, Proslambanomenos, Diatessaron consonantia, Diapente consonantia, Diapason consonantia, DisDiapason Systema Plenum, 3456, 4374, 4491, Netesinemenon, Paranetesinemenon, Tritesinemenon] [GAFHAR2 05GF]

[f.XXXIIIv] Quod in omni tetrachordo diatonico solus grauior tonus diuiditur a chromatico genere: et solum semitonium ab Ennhamonico Caput .XII.

REstat ex chromatica atque Ennharmonica tetrachordorum condensatione querendum: An omnes toni in tetrachordo diatonico depraehensi secundum eam quae in chromatico facta est decisio: in duo inaequalia possint semitonia scindi: rursusque omnia semitonia in Chromatico deducta: secundum Ennharmonicam diuisionem duas in dieses distinctemonstrari. Sit igitur nobis primum ac grauius tetrachordum exemplar.

Quoniam in Eptachordo: tetrachorda Hypaton et Meson coniuncta sunt: acutiori tono primi et grauioris tetrachordi supersedet successiue semitonii interuallum: quod acutioris tetrachordi meson obtinet initium Verum quum dimidiam ipsius semitonii differentiam (numeri uidelicet et dimensionis) in graue deposueris: ad integram usque chromaticae dispositionis deductionem non descendes. quippe quae dimidia solum distantia toniaei interualli: uel dimidia rursus eorum qui sesquioctauam probant numerorum differentia perficitur: trium semitoniorum incompositum deducens interuallum. At ubi diezeucticus ille tonus supra tetrachordum mediarum inter Mesen et Paramesen deductus est: facile potest dimidia ipsius toni distantia subtrahi in grauitatem: et trium semitoniorum unico interuallo monstrari. hoc scilicet modo. Summo numerorum Meses et Parameses uidelicet 4608 et .4096. differentiam scilicet .512. huiusque dimidium quod est .256 superpono numero Meses qui est .4608. et concrescit numerus .4864. quo annotari posset Mese chromatica. Sed quoniam Mese in omni genere immobilis est medio semper stans chordotoni loco: chromaticam huiusmodi decisionem non patitur.

[Boetius in marg.] Boetius igitur priscos musicos immitatus singula tetrachorda singulo genere quattuor tantum chordis pernotauit (quanquam Chroma et Ennharmonion diatono commixta: diatoni ipsius condensationes sunt) quod quidem factum existimo: ne ab uocabuli discederent interpretationne: cum Tetrachordum sit quattuor chordarum dispositio. Quod si chromaticas et Ennharmonicas chordas diatonicis commixtas integra numerositate duxissent.

Tetrachordum omne in hexachordi speciem fuisset transmutatum: quod et permixti generis dimensione : et hoc trium generum diagrammate facile potest quisque contueri.

[f.XXXIIIIr] [Gafurius, De harmonia musicorum, f.XXXIIIIr; text: Tetrachordum hypaton. Tetrachordum meson. Tetrachordum diezengmenon, Tetrachordum hyperboleon, Dimensio quattuor tetrachordorum diatonici generis naturalis. tonus, semitonium, Dimensio quattuor tetrachordotum chromatici generis. tria semitonia, Dimensio quattuor tetrachordorum ennharmonici generis. ditonus, diesis] [GAFHAR2 06GF]

[f.XXXIIIIv] Solum itaque semitonium in diatonico tettachordo deductum duas in dieses ennharmonica atque duorum tonorum grauiorem: in duo semitonia: chromatica partitioue: sacrosanctis admodum quod diuinis numeris Philosophorum schola distinxit: plenitudinem atque perfectionem harmonici systematis saniori contemplatione compraehendens.

Quo circa Chordotonum ipsum tribus generibus coaptatum conteximus In quo diatonicas chordas .D. littera pernotamus: chromaticas .C. Ennharmonicas uero .E. ommissis chordarum ipsarum nominibus propter litterarum conculcationem. sic etiam ueteres (ut tertio quarti Boetius asserit) litteris notulis ue quibusdam chordas ipsas solebant describere et interpretari.

[f.XXXVr] [Gafurius, De harmonia musicorum, f.XXXVr; text: Harmonicum instrumentum tribus generibus constructum. Diatonicum, Chromaticum, ennharmonicum, tonus, semitonium, apotome, Netehyperboleon, Paranetehyperboleon, Tritehyperboleon, Netediezeugmenon, Paranete diezeugmenon, Trite diezeugmenon, Paramese, Mese, Lychanos meson, Parhypate meson, Hypatemeson, Lychanos hypaton, Parhypate hypaton, Hypate hypaton, Proslambanomenos] [GAFHAR2 07GF]

[f.XXXVv] Quod Generibus Chromatico et Ennharmonico Spissum seu Densum competit Caput Tertiumdecimum.

COndensatur itaque diatonicum genus quoties ei chromaticum aut Ennharmonicum adaptatur: ob quam causam Tetrachordum dicitur densum seu spissum. [Densum quid in marg.] [Briennins in marg.] Est enim Densum systema tetrachordum ut Briennius asserit septimo tertii: quod duas grauiores proportiones tertia quae in acutum relinquitur habet minores: seu cuius duo grauiora interualla reliquo uno acutissimo sunt minora. [Ptolomeus. in marg] quod quidem Ptholomeus duodecimo primi:[Boetius. in marg.] et Boetius quintodecimo quinti: consentiunt.

Recte igitur dictum: diatonico tetrachordo densum non conuenire: quippe quod duas grauiores proportiones simul iunctas tertia acutiore longe teneat auctiores: ac duo pariter grauiora interualla reliquum excedant quod acutissimum est: namque Semitonium et Tonus proportione et interuallo tonum excedunt.

At Densi seu spissi Tetrachordi primam et grauissimam chordam: [Baccheus in marg.] puta hypaten hypaton Baccheus musicus uaripycnam idest gruauiter spissam uocat. Secundam ut Parhypaten hypaton: mesopycnam idest mediocriter spissam. Tertiam ut lychanon hypaton Oxipycnam idest acute spissam.

De Diuisione toni et partium eius secundum Philolaum Caput .XIIII.

QVanquam satis abunde superioris uoluminis capite quintodecimo singulos chordotoni tonos distinximus in duas partes primarias quae semitonia inaequalia sunt: Libet strictiores toni partes secundum Philolai Pythagorici considerationem educere: ac primum quidem illud est minime praetermittendum: [Tonus quid in marg.] quod secundo primi practicae nostrae descripsimus Tonum uidelicet qui omnium consonantiarum communis mensura est; legiptimum sesquioctaoae dispositionis interuallum esse: duobus sonis circumscriptum. [Philolaus in marg.] [Semitonium minus. in marg.] Is enim Philolaus (ut octauo tertii musicae Boetius refert) semitonium minus quod diesim nominabat: illud spacium esse asseruit: quo diatessaron consonantia duos tonos: aut proportio sesquitertia duas excedit sesquioctauas. [Comma in marg.] Comma uero illud quo tonus duo minora semitonia superuadit [f.XXXVIr] ut lucide in permixti generis descriptione monstrauimus. [Boetius. in marg] quod quidem decimo tertii Boetius ultimum esse auditui compraehensibile concludit. Verum quod minimum sit commatis interuallum: [Baccheus: Aristides. Briennius. Anselmus Philolaus Schisma Diaschisma. in marg.] Baccheus senex. et Aristides atque Briennius et Georgius Anselmus discretae concinnitati incongruum existimantes penitus ommisserunt At Philolaus (et si minimum est) eius tamen dimidium Schisma nuncupauit.

Semitonii uero minoris (quod diesim uocitabant) dimidium appellauit Diaschisma: quod a posteris dictum est diesis.

[Boetius in marg.] Comma autem maiore deduci proportione quam .75. ad .74. et minore quam .74. ad .73. duodecimo tertii suae musicae Boetius probat. [Semitonium minus tria excedit commata et a quattuor exceditur in marg.] Ac rursus. quartodecimo tertii minus semitonium tria commata excedere et a quattuor commatibus excedi. [Comma maius est dimidio dieseos in marg.] Item et Apotomen quattuor commatibus esse maiorem: quinque uero integra commata non obtinere. Hinc facile colligi potest huiusmodi deductione comma ipsum diaschismatis seu dieseos dimidium aliquantulo pertransire. Atque tonum octo commatibus esse maiorem: a nouem uero commatibus superari.

[Othbi in marg.] Othbi autem anglicus Anselmum secutus: toni spatium nouem aequis commatibus partitus est: singulas dieses duobus commatibus distinguens: ita ut duae dieses quattuor comata continentes: minus semitonium probent. At quintum comma medio toni interuallo perpulchre quadrat: ut et grauiori semitonio minori: rursusque acutiori uicissim adherens: minoris ipsius semitonii atque maioris: differentiam apertissime monstret.

Verum cum toniaeum interuallum reuera sit nouem commatibus minus minima ac diminutissima commatis particula: [Anselmus in marg.] non incongruum Anselmo uisum est: tonum nouem esse commatibus partiendum. [Auditus in marg.] Namque et Auditus: quidem minimum est in sensibilium differentiis (quanquam ratione examussim exquiritur) sentire non potest. Quod et caeteris euenit sensibus. [Visus in marg.] Nam et uisus percipit colores: magnitudines: multitudines et interuallorum longitudines: quorum differentiam (si minima est) non facile discernet.

[Odoratus in marg.] Odoratus aromata in minimo differentia non facile propendet. [Gustus in marg] Gustus cibariorum aut multiformis uini dulcedinem in minimo distantem difficile iudicabit.

[Tactus in marg.] Nec Tactus quidem exacte discernere posset minimam aquae calidae frigidae ue differentiam.

[Pondere numero et mensura differentiae omnium percipiuntur in marg.] Cum igitur sensus ipsi incertum afferant iudicium: Mathematici mensuras et stateras inuenere: ut pondere numero et mensura omnium depraehenderent differentias. Quae uero in nullo eorum compraehenduntur: incognitam habent differentiam.

[f.XXXVIv] Quomodo Aristides diuidit tonum in quattuor Dieses tantum Caput .XV.

QVoniam Ennharmonicum genus prae caeteris longe strictiora obtinet interualla: concinnitati quidem ascripta: quae diaschismata Philolaus: Posteri dieses nominarunt. [Aristides. in marg.] Aristides tertio suae musicae tonum duobus semitoniis ductum quattuor tantum diesibus distinxit: statuens sesquioctauam proportionem in illis extremitatibus: quae tres successiue numeros concludunt Arythmetica consideratione mediatos. hi enim sunt .32. 33. 34. 35. 36. in quibus sane consistit tonus: namque .36. ad .32. sesquioctauam efficiunt. rursus inter eos: quattuor diesium interualla aequis differentiis: inaequisque proportionibus arythmetice compraehenduntur.

Namque numerus .33. ad .32. in sesquitrigesimasecunda proportione (ut asserit) diesim constituit

Numerus item .34. ad .33. in sesquitrigesimatertia diesim.

Rursus 35 ad 34. in sesquitrigesimaquarta diesim.

Postremo .36. ad .35. in sesquitrigesimaquinta diesim. Harum maior est quae minoribus numeris deducitur. Namque sesquitrigesimasecunda maior est quam sesquitrigesimatertia. Haec item sesquitrigesimamquartam uincit. Et Sesquitrigesimaquarta excedit sesquitrigesimamquintam.

[Aristides. in marg.] Inde duae dieses: secundum Aristidem efficiunt semitonium unum: maiores quidem maius: et minus minores. Proportio enim sesquisextadecima ex duabus maioribus disposita (haec enim est a numero .34 ad .32.) maius semitonium tenet. Ac minus ducit semitonium proportio sesquidecimaseptima scilicet .36. ad .34. minoribus diesibus ducta.

[Baccheus in marg.] [Systema quid? in marg.] Baccheus quoque toni huiusmodi diuisionem in musica introductione deducens Inquit Systema est quod ex pluribus quam duobus sonis concinne cantatur. [Diastema in marg.] Diastema est differentia duorum phtongorum dissimilium acumine et grauitate. [Phtongus in marg.] Minimum autem eorum quae concinne cantantur est phtongus: qui et sonus dicitur: non autem comma: quia cum in proportione (quanquam minima) comperiatur: [Boetius. in marg] duabus tamen chordis spatium ultimum complectitur paruissimum ac proportionabile ut tertiodecimo tertii musicae Boetius asserit Hinc quidem discretae concinnitati ob minimam portionem incongruum est: quippe quod duorum tantum inaequalium semitoniorum quibus sesquioctauus tonus perficitur differentiam probat: ut quintodecimo primi Integrum systema permixti generis [f.XXXVIIr] docet: et in continuorum sex tonorum dimensione trigesimotertio huius secundi apertius percipitur. Quo fit ut comma ipsum grauioribus cuiusuis tetrachordi densi spatiis coaptari non possit. Verum diesis ipsa Ennharmonicis ascripta tetrachordis minimum spatium quo Ingenium nostrum possit modulate sonoram chordam remittere atque intendere sibi uendicauit: [Briennius, Arisitides, Baccheus, Diesis, Semitonium in marg.] qua re minimum ex diastematis idest spatiis diesi ipsi Briennius atque Aristides et Baccheus ascribi consentiunt Dieseos autem duplum est hemitonium Semitonii uero duplum est tonus. [Tonus in marg.] Sed Tonus est quo maior est consonantia diapente ea quae est diatessaron.

Tonum itaque Baccheus et Aristides quattuor in partes proportione inaequales distinxere.

[Boetius in marg.] Boetius autem in duo tantum inaequalia semitonia: quorum differentiam comma uocat. Vel in duo minora semitonia proportione aequalia et comma.

De Varia toni et Tetrachordorum diuisione secundum Aristoxenum Caput .XVI.

[Ptolomeus in marg.] ARistoxenus autem ut duodecimo primi harmonicae Ptholomeus scribit: quadrifariam tradidit toni diuisionem: diuidit namque tonum in duas partes aequales quas semitonia uocat. Diuidit quandoque in tres aequas partes et eas uocat dieses chromatis mollis. Aliquando autem in quattuor: quas dieses ennharmonica sdicit. Postremo in octo cuius quartam partem cum octaua totius toni: uocat diesim chromatis sesqualteri. [Boetius, Cleonides in marg.] quod quidem Boetius commemorat quintodecimo quinti musicae et in harmonico introductorio Cleonides Ipsius Aristoxeni imitator. [Distinctio toni in marg.] Distinguitur igitur Tonus in duodecim unitates: ac sex unitatibus semitonium: ut sit tetrachordum triginta unitatibus dispositum: cum tetrachordum duobus tonis et semitonio diatessaron consonantiam obtineat. [Aristoxenus sex genera constituit uidelicet. in marg.] Verum quum saepe euenit octauas toni partes in deductis numeris: integras non haberi: sed in aliquas decidere particulas unitatum: tota diatessaron consonantia sexaginta unitatibus collocetur:

Ac tonus uigintiquattuor.

[Ennharmonicum. in marg.] [Chromaticum molle. in marg] Duodecimque semitonium: pars tertia diesis chomatis mollis octo: pars quarta diesis ennharmonica sex.

Pars octaua tres.

[Chromatsesqualterum in marg.] Quod quum octauam toni partem quartae coniunxeris scilicet ternarium senario. nouem erunt: [Chromaticum toniaeum in marg.] ac diesis chromatis hemiolii.

Rursus ex huiusmodi dispositione: sex simplicium generum differentias Aristoxenus constituit. unam Ennharmonii. [Diatonicum molle in marg.] [Diatonicum incitatum. in marg] Tres chromatici scilicet mollis. sesqualteri: et toniaei: ac duas diatoni scilicet mollis et Incitati.

[f.XXXVIIv] Ennharmonicum genus ita tetrachordi diuidit interualla ut duo grauiora densi duas dieses ennharmonicas teneant: ac reliquum acutissimum duos incompositos tonos: utrunque autem densi interuallum senario numero: maius uero et acutissimum (quod tonum .24. numero notauerit) numero .48. terminauit. ut hac dispositione considerari potest.

[Gafurius, De harmonia musicorum, f.XXXVIIv; text: Tetrachordum Ennharmonicum secundum Aristoxenum. 48, 6, 60, Hypate meson, Ditonus. Lychanos hypaton, Diesis, Parhypate hypaton, Hypate hypaton, Chromaticum molle genus secundum Aristoxenum, 44, 8, Tonus cum dimidio et tertia parte. Chromaticum sesqualterum genus secundum Aristoxenum. 42, 9, 60, Tonus cum dimidio et quarta eius parte.] [GAFHAR2 08GF]

Chromaticum molle genus utrunque interuallum spissi idest singula interualla grauiora in tetrachordo facit tertiam partem toni octonario numero distincta. reliquum uero quod maius est et acutissimum: facit tonum cum dimidio et tertia toni parte .44. numero deductum hoc modo.

Chromaticum sesqualterum genus utrunque interuallorum spissi idest duo grauiora tetrachordi interualla facit quartam partem cum octaua unius toni utrunque nouenario describens. Ac reliquum maius et acutissimum unius toni est cum dimidio et quarta toni parte: quod numero .42. pernotatur: ut hic constat.

[f.XXXVIIIr] Cromaticum toniaeum genus utrunque interuallum densi idest duo grauiora interualla uniuscuiusque tetrachordi efficit semitoniaea numero .12. pernotata. At reliquum maius et acutissimum tonus est et semitonium numero .36. deductum: ut hic patet.

[Gafurius, De harmonia musicorum, f.XXXVIIIr; text: Chromaticum toniaeum genus Secundum Aristoxenum, 36, 12, 60, Hypate meson, Tonus cum semitonio, Lychanos hypaton, Semitonium, Parhypate hypaton, Hypate hypaton, Diatonicum molle genus secundum Aristoxenum, 30, 18, Tonus cum quarta parte toni. Semitonium cum quarta parte toni, Diatonicum incitatum genus secundum Aristoxenum, 24, Tonus] [GAFHAR2 08GF]

Diatonicum molle genus non densum grauissimum interuallum habet semitonii numero .12. notatum sequens uero quidem medium est semitonium et quartum unius toni .18. numero descriptum. At reliquum acutissimum interuallum habet toniaeum cum quarta parte toni numero .30. deductum.

Recte quidem dictum est non densum: quum duo grauiora ipsius tetrachordi interualla non sunt minora eo quod ad acutum reliquum est. Cuius quidem haec est descriptio.

Diatonicum incitatum genus non densum est. Et habet grauissimum interuallum semitoniaeum numero .12. ductum. reliqua duo toniaea numero .24. singulariter pernotata. ut haec descriptio monstrat.

[f.XXXVIIIv] Sunt itaque tetrachorda secundum sex genera a nobis ita disposita ut grauissima chorda integrum totius tetrachordi numerum contineat. Reliquae uero chordae numeris tanquam partibus secundum Aristoxenum consideratis sunt pernotatae: quae in summam ductae totum implent numerum grauissimae chordae appositum.

[Primus error Aristoxeni. in marg.] Errat tamen Aristoxenus quum diuidit tonum in duo aequalia semitonia. Constat enim proportionem sesquioctauam: ac rursus omnem superparticularitatis habitudinem in duas partes proportione aequas diuidi non posse.

[Secundus error. in marg.] Item errat quoniam numeris simplicibus interualla notauit: non autem proportionibus: cum differentias sensibilium examusim compraehendere: non differentiae omnino sed proportionis sit proprium ut secundo secundi musicae suae Briennius asserit. [Briennius. in marg.]

[Tertius error in marg.] Damnatur insuper a Ptholomeo quartodecimo primi harmonicae: quia duo diuersa constituit genera Chromaticum molle: et Chromaticum sesqualterum: et cum dieses chromatici mollis octonario numero notauerit: ac chromatici sesqualteri nouenario. cumque sola unitate innicem distent interualla horum generum densa: sitque unitas uigesimaquarta pars toni: quae minima et sensibus imperceptibilis quodammodo uidetur. Alterum horum reprobari decet: quum Diuersorum generum proprium est in multo distare: eo potissimum quidem auditu facile ac ratione notissime percipi possit.

[Quartus error in marg.] Rursus Aristoxenum ipsum ibidem culpat: quod in singulo tetrachordo chromatico duas grauiores magnitudines: aequales statuat: cum chromatis natura mediam in tetrachordo proportionem disponat grauissima auctiorem: ut secundo praesentis uoluminis explanatum est. [Quintus error. in marg.] Defecit item Aristoxenus ipsae duo tantum diatonicae modulationis genera uidelicet diatonicum Incitatum: et Diatonicum molle disponens. cum plura quoque secundum Ptholomeum modulatibus apta reperiantur.

De Diuisione trium generum secundum Didimum et Architam Caput .XYII.

DIdimus musicus tria pariter instituit genera: Diatonicum: Chromaticum: et Ennharmonicum: ac diatonici et Chromatici: et solius immutabilis constitutionis sectiones fecit: minus recte proportiones accipiens. Nam accutissimam tetrachordi chordam in ennharmonico genere ad eam quae grauissimae uicinior est (puta Hypaten meson ad Parhypaten [f.XXXIXr] hypaton) secundum sesquiquartam proportionem ponit.

Rursus acutissimam chordam propinquiori suae superesse (puta hypaten meson Lychano hypaton) secundum sesquiquintam proportionem in chromatico.

Et in diatonico secundum sesquioctauam. quae inuicem differunt secundum sesquiquintamdecimam.

Mediae uero chordae in tetrachordo secundum sesquiuigesimamquartam in genere chromatico inuicem distant. In Diatonico secundum sequinonam. preter id quod sensibus apparet. [Primus error. Didimi: in marg.] Namque phtolomeus tertiodecimo secundi Didimum ipsum damnat: quoniam In Chromatico genere grauiores proportiones quae spissum continent male disposuit: grauissimam earum: maiorem media proponens. [Secundus error in marg.] Ac item in diatonico quod acutissimam proportionem tetrachordi media maiorem proposuit. Constat enim contrariam esse Diatonici simplicis et naturalis generis dispositionem. [Tertius error. in marg.] Peccauit insuper: grauissimas in tribus generibus proportiones aequaliter disponens: cum in ennharmonico minorem esse opporteat grauissimam tetrachordi proportionem quam in diatonico et chromatico.

[Diuisiones Architae. in marg.] Architas autem Tarantinus inter Pythagoricos musicae disciplinae studiosus: secundum tria genera tetrachordum ita disposuit: ut grauiorem in omni genere proportionem sesquiuigesimamseptimam aequaliter collocaret ut fit Hypate hypaton numero .2016. pernotata. Parhypate hypaton uero in omni genere numero .1944. Mediam autem proportionem. In diatonico tetrachordo secundum sesquiseptimam considerauit: tertiam uidelicet lychanon hypaton numero .1701. describens. sed acutissimam proportionem posuit sesquioctauam: acutissimae chordae hypate meson numerum 1512. apponens. hic enim a grauissimo numero .2016. sesquitertia proportione custoditur.

In chromatico uero genere: tertiam chordam lychanon hypaton numero 1792 descripsit grauiorem lychano hypaton diatonici ea proportione quae est inter .256. et .243. ac mediam ipsam proportionem numeri .1944. ad .1792. super .19. partientem .224. deductam esse constat. Acutissimam autem huius generis proportionem uidelicet numeri .1792. ad 1512. toni cum semitonio esse proponit: ueluti .32. ad .27.

In Ennharmonico genere Tertiam chordam numero .1890. signauit: a secunda secundum sesquitrigesimamquintam distantem in acutum: et ab acutissima secundum sesquiquartam in graue: ut hae probant descriptiones.

[f.XXXIXv] [Gafurius, De harmonia musicorum, f.XXXIXv; text: Diatonica diuisio Architae, 1512, 1701, 1944, 2016, Hypate meson, Sesquioctaua, Lychanos hypaton, 243, Proportio toni ac semitonii uelut .32. ad .27. Sesquiseptima, Parhypate hypaton, Sesquiuigesimaseptima, Hypate hypaton. 256, Chromatica diuisio Architae, 1792, Proporttio super .19. partiens .224. Sesquiuigesimaseprima, Ennharmonica diuisio Architae, Sesquiquarta proportio. 1890. Sesquitrigesimaquinta] [GAFHAR2 09GF]

[Primus error. Architae in marg.] Repraehendit tamen Architam Ptholomeus tertiodecimo primi harmonicae: quoniam In diatonica positione: mediam tetrachordi proportionem posuit maiorem ea quae acutissima est: nam ex natura diatonici generis: acutissima et media aequaliter disponuntur. Iure enim sunt ambae sesquioctauae.

[Secundus error. in marg.] Errauit item: grauissimam proportionem statuens minorem: quam .256. ad .243. qua fit semitonium minus.

[Tertius error in marg.] In Chromatico rursus damnatur: quoniam cum tantam superparricularibus comparationibus Architas ipse tribuerit dignitatem ut eas in consonantiarum ratione suscepisset: tertiam chordam (puta lychanon hypaton) ita collocauit: ut nec ad acutissimam numero .1512. notatam: nec ad secundam scilicet Parhypaten hypaton .1944. descriptam: [Boetius. in marg.] ullam superparticularem considerauerit proportionem. quod et septimo quinti musicae Boetius notat.

[Quartus error. in marg.] Damnatur quoque: quoniam tertiam chromatici tetrachordi chordam (puta lychanon hypaton) ab eo loco quem in diatonico continebat: solo minore semitonio scilicet proportione .256. ad .243. depressit: cum ex natura chromatici maiore debuisset proportione remitti.

[Quintus error. in marg.] Peccauit etiam secundum Ptholomeum Architas ipse grauissimam in chromatico proportionem statuens minorem: quam deceret: eam enim sesquiuigesimamseptimam proposuit proportionem quam secundum consuetam chromatici generis modulationem sesquiuigesimamprimam disponere debuisset.

[Sextus error in marg.] In Ennarmonico autem genere: grauissimam [f.XL] tetrachordi proportionem aequalem grauissimae aliorum generum posuit: [Didimus. Sextus error in marg.] sicut et Didimus quod falso arbitratus est quoniam ex Ennharmonici natura longe minor esse debet quam in caeteris generibus. Rursus grauissimam Ennharmonici tetrachordi proportionem uidelicet sesquiuigesimamseptimam: media quae sesquitrigesimaquinta est longe maiorem constituit quam deceret quod Ennharmonicae dispositioni repugnat. [Causa errorum predictorum in marg.] Causam autem: cur hi uiri clarissimi errauerint Ptolomeus decimotertio secundi fuisse existimat: quum cum probatione ad proportionum suppositionem non accesserunt: sed usu per ipsos inspecto: sensus potetant compraehensionibus conferri. [Ptolomeus in marg.] Inde consonantiarum proportiones quae in sola chorda secundum diuisionem ad duo examinari possunt: excepisse uidentur: [Proportiones consonantiarum in sola chorda facile percipiuntur Concinitatum uero difficile in marg.] concinnitatum proportiones compositione: per totam constitutionem solum consyderantes quod in unica chorda exquisite monstrari non licebat: quippe quae percussa solam uocem mittere compraehenditur: sed dispositis pluribus equisonis chordis potest examusim facile peruideri.

De Tribus generibus spissis seu densis: secundum Ptolomeum Caput .XYIII.

PTolomeus uero diuersa genera auditibus magis consueta deducens: permissis prius quae natura diatonico ac chromatico et Ennharmonico eueniunt: singula tetrachorda tribus superparticularibus proportionibus distinguit: maximam uim harmonicae modulationis in superparticularibus notans.

Sesquitertiam insuper proportionem quandoque in duas tantum superparticulares habitudines partitur (quidem tribus tantum efficit modis) tres consequentes superparticulares assummens: uidelicet sesquiquartam: sesquiquintam: et sexquisextam.

Sesquitertiam complet sesquiquintadecima addita sesquiquartae. Et sesquinona adherens sesquiquintae. Atque sesquiseptima coniuncta sesquisextae. ut his constat suppositionibus.

[Gafurius, De harmonia musicorum, f.XLr; text: Sesquiquarta, sesquiquintadecima, 60, 75, 80, Sesquitertia proportio, Sesquiquinta, Sesquinona, 45, 54, 60, Sesquisexta, Sesquiseptima, 6, 7, 8] [GAFHAR2 09GF]

[f.XLv] Post has autem: solis duabus aliis superparticularibus composita sesquitertia proportio minime reperitur.

Quoniam autem In generibus densitatem seu spissitudinem continentibus: acutissima et maior proportio in tetrachordo (quam antecedentem uocat Ptolomeus) mediam et grauissimam quae subsequentes dicuntur magnitudine uincit: maiores deductarum proportionum scilicet sesquiquartam: et sesquiquintam: atque sesquisextam antecedentibus et acutioribus tetrachordorum proportionibus adaptauit. Reliquas uero uidelicet sesquiquintamdecimam: et sesquinonam atque sesquiseptimam: reliquis duabus spissum concernentibus. Harum unamquanque in duas superparticulares diuidit inaequales: quarum minor grauissimo tetrachordi loco disponitur: ac medio reliqua: ut spissi natura requirit.

Diuidit sesquiquintamdecimam proportionem per excessus aequales: et inaequales proportiones: primos numeros ipsam producentes triplicans. sunt enim hi .16. et .15. qui ter ducti efficiunt .48. et .45. his naturaliter interiecti sunt .46. et 47. sed quoniam .47. at utraque extrema uidelicet ad .45. et ad .48. non efficit superparticulares proportiones: assummitur numerus .46 ad quem numerus .48. scilicet sesquiuigesimamtertiam probat et .46. ad .45. sesquiquadragesimamquintam. haec (quoniam minor est) grauissimo tetrachordi interuallo ascribitur. Sesquiuigesimatertia medio: quae maior est At duae eae semitonium minus excedunt proportione sesquioctogesima ut trigesimoquarto huius secundi apertius demonstratur. Acutissimo uero spatio sesquiquartam apponens: genus Ennharmonicum Ptolomeus instituit: hoc modo.

[Gafurius, De harmonia musicorum, f.XLv; text: Enamonicum genus Ptholomei, 276, 345, 360, 368, Hypatemeson, Sesquiquartum interuallum, Lychanos hypaton, Sesquiuigesima tertia, Parhypate hypaton, Sesquiquadragesima quinta, hypate hypaton, sesquiquintadecima, Sesquitertia proportio] [GAFHAR2 10GF]

[f.XLIr] Diuidit et sesquinonam quae in secunda suppositione deducta est: primos eius terminos uidelicet .10. et .9. triplicans: et fiunt .30. et .27. quorum medii termini sunt .28. et .29. aequalibus excessibus (est enim eorum inuicem excessus ac differentia: unitas) sed inaequalibus proportionibus dispositi: uerum cum numerus .29. ad ambos extremos scilicet ad .30. et ad .27. non efficiat superparticularem proportionem: assummitur numerus .28. cui numerus .30. sesquiquartadecimam affere noscitur: et .28. ad .27. sesquiuigesimamseptimam quae semitonium minus excedit proportione .6912. ad .6804. ut hac probatur deductione b

[Gafurius, De harmonia musicorum, f.XLIr; text: b, 280, 270, 256, 243, 6912, 6804, differentia, 108] [GAFHAR2 10GF]

hanc grauissimo tetrachordi interuallo: illam scilicet sesquiquartamdecimam medio aptans: Chromaticum molle genus disposuit hoc modo.

[Gafurius, De harmonia musicorum, f.XLIr,2; text: chromaticum molle genus Ptholomei, 210, 252, 270, 280, Hypate meson, Sesquiquintum interuallum, Lychanos hypaton, Sesquiquartadecima, Parhypate hypaton, sesquiuigesimaseptima, Hypate hypaton, sesquinona, Sesquitertia Proportio] [GAFHAR2 10GF]

At quanto uocis interuallo unaquaeque chorda in singulo tetrachordo chromatico molli iuxta deductionem ptholomei distet a se ipsa in tetrachordo chromatico pythagorico secundum Boetium extensa. [Tholomeus. in marg.] [Pythagorici in marg.] [Boetius in marg.] Quantoque in Ennharmonico tetrachordo Ptholomei unaquaeque chorda distet a se ipsa in tetrachordo ennharmonico Boetii seuerini dimensione deducta: facile poterit diligens perscrutator et proportionali consyderatione ex se ipso discernere et comperire: atque subiecto diagrammate oculis perlucide contueri.

[f.XLIv] [Gafurius, De harmonia musicorum, f.XLIv; text: tonus, semitonium, Diatonicum naturale genus secundum dum Pythagoram et Boetium. Nete hyperboleon, Paranete hyperboleon, Trite hyperboleon, Nete diezeugmenon, Paranete diezeugmenon, Trite diezeugmenon, Paramese, Mese, Lychanos meson, Parhypate meson, Hypate meson, Lychanos hypaton, Parhypate hypaton, Hypate hypaton, Proslambanomenos, Chromaticum genus pythagorae secundum Boetium, tria semitonia, Chromaticum molle genus secundum Ptholomeum. Sesquiquinta, Sesquiquadragesima, Sesquiuigesimaseptima, Ennharmonicum genus pythagorae secundum Boetium. ditonus, diesis, Ennharmonicum genus secundum Ptholomeum. Sesquiquarta, sesquiuigesimatertia, sesquiquadragesimaquinta] [GAFHAR2 11GF]

[f.XLIIr] Partitur etiam Ptholomeus ipse sesquiseptimam in tertia superpositione dispositam: primos eius terminos scilicet .8. et .7. ter adaugens: qui fiunt .24. et .21. horum medios aequalibus excessibus notat .22. et .23. et quoniam 23. numerus: ad ambos extremos non efficit superparticulares habitudines: assumit numerum .22. ad quem numerus .24. sesquiundecimam probat: et .22. et .21. sesquiuigesimamprimam quae quidem minor est quam proportio minoris semitonii proportione .5376. ad .5346. ut hac probatione deducitur c:

[Gafurius, De harmonia musicorum, f.XLIIr; text: c, 256, 243, 88, 84, 5376, 5346, differentia, 30] [GAFHAR2 10GF]

hanc grauissimo tetrachordi loco: illam uidelicet sesquiundecimam medio disponens: chromaticum incitatum genus statuit: ut hic.

[Gafurius, De harmonia musicorum, f.XLIIr; text: chromaticum incitatum genus Ptholomei, 66, 77, 84, 88, Hypatemeson, Sesquisextum interuallum, Lychanos hypaton, Sesquiundecima, Parhypate hypaton, Sesquiuigesima prima, Hypate hypaton, sesquiseptima, sesquitertia proportio] [GAFHAR2 12GF]

Quoniam autem omnium quidem generum Ennharmonicum nobilissimum ac praestantissimum ponit: uiam quandam ipsum esse asserit ad intentius ab ipso: secundum decrementum proportionis naturaliter succedentis: ac per primum Chromaticum molle: per secundum. Chromaticum incitatum: per tertium ac reliqua: diuersa diatonica: quae intentiora sunt ad sequentia.

Molliora enim uidentur uniuersaliter quae acutissimam tetrachordi proportionem habent maiorem: Quae uero minorem: Intentiora.

[f.XLIIv] Dispositio trium Generum Diatonicorum secundum Ptholomeum Caput Decimumnonum.

PRobat insuper Ptholomeus quintodecimo primi: ex diuisis maioribus duarum suppositionum proportionibus in duas superparticulares (consequentibus simul iunctis in acutissimum locum tetrachordi dispositis) genera tria diatonica posse constitui: excepta ea quae ex sesquiquarta et sesquiquintadecima proportione coniuncta est. Nam si primos numeros sesquiquartam proportionem probantes scilicet .5. et .4. triplicamus: fiunt .15. et .12. quibus intercidunt per aequales excessus .14. et .13. sed quoniam .13. ad ambos extremos non efficit superparticulares seu epimorias proportiones numerus uero 14. ad .12. sesquisextam: et .15. ad .14. sesquiquartamdecimam Cumque et sesquisexta et sesquiquartadecima maiores sint quam sesquiquintadecima quae in prima suppositione fuerat sesquiquartae coniuncta: constat neutram illarum sub: sesquiquintadecima in tetrachordo deduci debere. Nam genus omne grauissimum tetrachordi interuallum natura caeteris strictius habet minore proportione dispositum. quo fit ut sesquiquintadecima antecedentem seu acutissimum tetrachordi interuallum obtinere non possit. Sed sesquiseptima collocata in antecedenti et acutissimo tetrachordi loco primos sesquisextae proportionis numeros scilicet septem et sex similiter triplicat: et fiunt .21. et .18. sumptis uero mediis .20. et .19. numerus .19. ad ambos extremos non efficit epimorias seu superparticulares habitudines sed numerus .20. ad .18. sesquinonam et .21. ad .20. sesquiuigesimam facit quarum maior uidelicet sesquinona cohereat sesquiseptimae medium tenens tetrachordi locum. Minor scilicet sesquiuigesima grauissimo coaptatur loco: quo quidem Iure Molle diatonum genus instituit: ut hic.

[Gafurius, De harmonia musicorum, f.XLIIv; text: Molle Diatonum Genus Ptholomei. 63, 72, 80, 84, Hypate meson, Sesquiseptima, Lychanos hypaton, Sesquinona, Parhypate hypaton, Sesquiuigesima, Hypate hypaton, Sesquisexta, Sesquitertia proportio] [GAFHAR2 12GF]

[f.XLIIIr] Eodem quoque ordine collocata sexquinona in antecedente et acutissimo tetrachordi loco: numeros primos sesquiquintam producentes triplicabimus uidelicet .6. et .5. et exeunt .18. et .15. quibus intercidunt naturaliter 16. et .17. sed quoniam numerus .17. ad utraque extrema non probat superparticulares proportiones Numerus autem .16. ad .15. sesquiquintamdecimam. et .18. ad .16. sesquioctauam noscitur perficere: hanc sesquinone ad iungimus (medio scilicet tetrachordi loco) illam quae minor est grauissimo. Atque iccirco quod media scilicet sesquioctaua antecedentem et acutissimam uidelicet sesquinonam excedat: Intentum diatonum genus: ad Mollis diatoni differentiam nuncupauit. ut hac institutione disponitur.

[Gafurius, De harmonia musicorum, f.XLIIIr; text: Intentum Diatonum Genus Ptholomei. 72, 80, 90, 96, Hypate meson, Sesquinona, Lychanos hypaton, Sesquioctaua, Parhypate hypaton, Sesquiquintadecima, Hypate hypaton, Sesquiquinta, Sesquitertia proportio] [GAFHAR2 12GF]

Verum cum ante has omnes proportiones inuenta sit sesquioctaua per se ipsam continens tonum ex excessu duarum primarum consonantiarum diatessaron et diapentes: quae iure naturalis diatonici: antecedentem et acutissimum debet in tetrachordo locum obtinere sesquioctauam ipsam (quanquam in nulla trium deductarum suppositionum diuisione antecedit) acutissimo interuallo disposuit: sesquiseptimam ei medio loco applicans: Grauissimo uero sesquiuigesimamseptimam ascripsit proportionem quod quidem hac ratione nuncupandum putat Ptholomeus Tonicum Genus: quoniam tantus est antecedens et acutissimus ipsius locus. Medium quoque inter molle diatonum: et intentum diatonum collocauit. Cuius descriptio est huiusmodi.

[f.XLIIIv] [Gafurius, De harmonia musicorum, f.XLIIIv; text: Tonicum Diatonum Genus Ptholomei, 168, 189, 216, 224, Hypate meson, Sesquioctaua, Lychanos hypaton, Sesquiseptima, Parhypate hypaton, Sesquiuigesimaseptima, Hypate hypaton, Sesquitertia proportio.] [GAFHAR2 13GF]

Dispositio generum Diatonici aequalis: et Diatoni diatonici secundum Ptholomeum Caput Vigesimum.

[Ptholomeus in marg.] PRedictae autem generum diuisiones non modo rationi quam in se habent: sed et sensibus consonae sunt: nam (ut Ptholomei sententia fert) Si in chordotono chordulas consentaneis sectionibus appositarum regularum disposuerimus: ita eueniet diapason adaptata: ut nihilo amplius moueri liceat: eos etiam qui in musica excellunt: sed potius naturam admirari: In ordinem circa adaptationem uniuscuiusque generis: secundum quam fixae rationi corporeas modulorum differentias formanti Auditus (quam maxime fieri poterit) obediet: iuxta ordinem ab illa datum.

[Ptholomeus in marg.] Sed expositorum generum Diatonica quidem omnia Ptholomeus consueta auditibus et consona percaepit: secus Ennharmonium et Chromaticum molle: quoniam non admodum gaudent ualde solutis motibus: propter minimarum proportionum strictiora interualla. [Nota in marg.] Sufficiebat autem ipsis in transitu a Chromatico molli usque ad Chromaticum incitatum peruenire: cuius causam sextodecimo primi Ptholomeus Ipse expressit.

Deducitur insuper et aliud genus: quod primorum terminorum sesquitertiam probantium triplicatione procedit: sunt enim primi termini .4. et .3. qui ter ducti fiunt .12. et .9. his intercidunt numeri .10. et .11. Sunt igitur [f.XLIIIIr] horum .9. 10. 11. 12. aequales inuicem excessus: unitatibus depraehensi. Proportiones autem inaequales. Alia enim est sesquinona ut .10. ad .9. Alia sesquidecima ut .11. ad .10. Alia autem sesquiundecima ut .12. ad .11. Quod quidem genus uocat diatonicum aequale ab accidente: nam tres ipse proportiones minimo inuicem distant et tres ipsi excessus aequaliter dispositi sunt: ut hac figura pernoscitur.

[Gafurius, De harmonia musicorum, f.XLIIIIr; text: Diatonicum aequale Genus Ptholomei. 9, 10, 11, 12, Hypate meson, Sesquinona, Lychanos hypaton, Sesquidecima, Parhypate hypaton, Sesquiundecima, Hypate hypaton, Sesquitertia Proportio.] [GAFHAR2 13GF]

Fit itaque praepositis ordine maioribus proportionibus in acutioribus interuallis tetrachordum: secundum Diatonicum intentum: sed aequalius illo: cum illic grauissima proportio a media: notabili differentia distet. hic autem minima: et rursus ad formandum diapenten: aequalius est illo: nam disiunctio adiuncta uoci antecedenti faciens proportionem sesquioctauam: non tantum circa tres solos excessus perficitur (quod proprium est aequalitatis) sed etiam circa quattuor contentos a proportionibus se consequentibus a sesquioctaua usque ad sesquiundecimam.

Duplicat item et hos dispositos numeros uidelicet .9. 10. 11 et .12. et fiunt .18. 20. 22. et .24.

Rursus et triplicat: quo fiant duo tetrachorda diatoni aequalis generis per diezeusim: diapason aequisonantiam secudum duplam proportionem producentia hoc modo .18. 20. 22. 24. atque .27. 30. 33. 36. quod presenti dimensione compraehenditur.

[f.XLIIIIv] [Gafurius, De harmonia musicorum, f.XLIIIIv; text: 18, 20, 22, 24, 27, 30, 33, 36, 2, 3, differentia. excessus, sesquinona, sesquidecima, sesquiundecima, sesquioctaua, diezeusis, tonus, Disiunctio, diatonicum aequale Genus, sesquitertia proportio. diatessaron, sesqualtera proportio. Diapente consonantia, sesquitertia proportio. diatessaron consonantia, diapason consonantia, proportio dupla] [GAFHAR2 14GF]

[f.XLVr] Adaptatur et aliud genus Intento diatonico proximum: a propria proportionum ipsius comparatione modulationi ac dimensioni promptissimum. Fiunt enim duo antecedentia interualla secundum sesquioctauas proportiones toniaea: uidelicet acutissimum et medium in tetrachordo. grauissimum uero semitonii minoris (quod limma uocabant) ratione consideratur: in proportione .256. ad .243.

Hoc uero contingit: quia nulla notabili differentia ab inuicem distant neque in antecedenti et acutissimo tetrachordi loco sesquioctaua proportio a sesquinona: neque in consequenti et grauissimo sesquiquintadecima a minore semitonio.

Nam quum ad numerum .72. comparaueris numerum .80. fit sesquinona: et 81. numerus ad numerum .72. sesquioctauam facit: cumque numerus .81. ad numerum .80. sesquioctogesimam probet proportionem: constat sesquinonam sola sesquioctogesima quae minima est a sesquioctaua deuinci et superari.

Rursus eodem excessu duae sesquioctauae sesquiquartam quae ennharmonii generis acutissimum et antecedens interuallum metitur superare noscuntur: ut haec probat descriptio.

[Gafurius, De harmonia musicorum, f.XLVr; text: Sesquiquarta proportio. Sesquioctaua. Sesquinona. Sesquioctogesima. 64, 72, 80, 81, Due sesquioctauae proportiones.] [GAFHAR2 13GF]

Similiter etiam quia proportio semitonii minoris est 256. ad. 243. Et proportio sesquiquintadecima ad proportionem semitonii minoris est 258. ad .256. quarum excessus est ipsa sesquioctogesima. quare cum nullis sit profectus effatu dignus propter minimam differentiam. Vtebantur quandoque in Ennharmonico tetrachordo: bis sesquioctaua loco sesquiquartae in acutiore interuallo: rursusque minore semitonio loco sesquiquintae decimae in duobus grauissimis tetrachordi interuallis. Est enim quodammodo semitonium per se ipsum acceptum et per consonantiam: [Semitonium est quodammodo per se ipsum et per consonantiam acceptum sicut et tonus in marg.] sicuti et [f.XLVv] tonus: qui excessu duarum primarum consonantiarum producitur. namque et semitonium excessus est diatessaron consonantiae ad ditonum: quos quidem Genus rationabiliter diatonum diatonicum uocat Ptholomeus: quoniam duas antecedentes proportiones habet toniaeas. Fit enim ex primis numeris his .192. 216. 243. 256. ut hac dimensione monstratur.

[Gafurius, De harmonia musicorum, f.XLVv; text: Diatonum diatonicum Genus Ptholomei. 192, 216, 243, 256, Hypate meson, Sesquioctaua proportio, Tonus. Lychanos hypaton, Parhypate hypaton, Semitonium minus, Hypate hypaton, Sesquitertia proportio diatessaron consonantia] [GAFHAR2 15GF]

[Boetius in marg.] Hoc uero genus Boetius noster et Guido: naturalius caeteris existimant atque praestantius. [Guido in marg.] Nos uero quinto capite primi de ipso latiorem descriptionem fecimus.

De Abstratione toni ac semitonii a Diatessaron consnantia diatonica Caput Vigesimumprimum.

QVindecim igitur proportiones superparticulares elegit Ptholomeus ad septem generum situationes: quas Briennius secundo suae musicae connumerat uidelicet Sesquiquartam. Sesquiquintam. Sesquisextam. Sesquiseptimam. Sesquioctauam. Sesquinonam. Sesquidecimam. Sesquiundecimam. Sesquiquartamdecimam. Sesquiquintamdecimam. [f.XLVIr] Sesquiuigesimam. Sesquiuigesimamprimam. Sesquiuigesimamtertiam. Sesquiuigesimamseptimam: et Sesquiquadragesimamquintam. [Epimorion quid? in marg.] Has autem Briennius Epimorias uocat: dicens Epimorion esse id: quod ad aliud relatum continet ipsum in se totum semel et unam eius aliquotam partem.

At Tetrachordum quidem Ennharmonicum constituit ex simul iunctis Sesquiquarta. sesquiuigesimatertia: et sesquiquadragesimaquinta: ut supra deductum est.

Chromaticum molle ex coniunctione sesquiquintae: sesquiquartae decimae et sesquiuigesimaeseptimae.

Chromaticum incitatum ex sexquisexta: sesquiundecima: et sesquiuigesimaprima.

Molle diatonicum ex Sesquiseptima: sesquinona: et sesquiuigesima.

Intentum diatonicum ex sesquinona: sesquioctaua: et sesquiuintadecima.

Tonicum diatonum ex sesquioctaua: sesquiseptima: et sesquiuigesimaseptima.

Equale diatonum ex sesquinona: sesquidecima: et sesquiundecima.

Deduxit et octauum genus diatonum diatonicum: non ex tribus superparticularibus: sed duabus sesquioctauis et supertertiidecimi partiente ducentas quadragesimastertias .256. ad .243. quod natura et arte Pythagoras et ante eum celeberrimi musici atque posteritas ipsa primum ac praestantissimum posuere: [Pythagoras in marg.] diatonum simpliciter nuncupantes.

[Quid reliquum est sesquitertiae proportionis abstracta parte alterutra. in marg.] A diatonico igitur huiusmodi tetrachordo: quod duos tonos atque unum semitonium minus habet: abstracto tono: relinquitur tonus cum semitonio: similiter a sesquitertia proportione quae diatessaron consonantiam tenet: ablata sesquioctaua relinquetur proportio superquincupartiens uigesimasseptimas: quae semiditono ascribitur. Sit igitur sesquitertia proportio his numeris descripta .24. 32. quoniam numerus .27. ad numerum .24. sesquioctauam facit: si aufero minorem scilicet 24. relinquitur .32. ad .27. proportio: quae tonum ac semitonium compraehendit. Quod si a proportione numerorum .32. ad .27. auferas proportionem semitonii minoris scilicet 256. ad .243 relinquetur proportio sesquioctaua his numeris producta .7776. ad .6912.

Quum autem ab ipsa proportione .32. ad .27. sesquioctauam abstuleris: puta multiplicando .32. per .8. et fiet .256. item .27. per .9. et eueniet .243. relinquetur ipsa proportio semitoniaea uidelicet .256. ad .243.

[f.XLVIv] In qua proportione Semitonium maius et comma consistant Caput .XXII.

QVuoniam semitonium minus in primis numeris .256. et .243. consistere comprobatur ad semitonii maioris euidentiam disponamus tres terminos quorum extremi sesquioctauam ac tonum efficiant medius autem ad minimum semitonium minus. ad maximum uero semitonium maius quod apotomen uocant. sint enim hi numeri .1944.2048 2187. Numerus enim 2187. ad numerum .1944. sesquioctauam facit ac tonum. sed ad numerum .2048. super .139. partientem .2048. inde maius semitonium. Numerus autem medius ad minimum scilicet 2048 ad .1944 super.13 partientem .243: ac semitonium minus. Constat igitur in his primis numeris 2187. ad .2048. apotome: quod dimidium toni excedit. Minus uero semitonium in primis numeris .256. ad .243. dispositum: rectum toni dimidium non implet. quod haec descriptio monstrat.

[Gafurius, De harmonia musicorum, f.XLVIv; text: Semitonium minus. Semitonium maius. 1944, 2048, 2187, tonus. Sesquioctaua proportio. 256, 243, 531441, 524288, comma] [GAFHAR2 15GF]

Excessus autem et differentia maioris semitonii ad semitonium minus facile percipietur: quum dispositis ambarum proportionum terminis maior numerus maioris proportionis per minorem minoris ac minor maioris per maiorem minoris adaucti fuerint: quod enim super uenerit ex huiusmodi deductione comma uocatur: et erit proportio ad numeros contra se primos subtracta: numeri .531441. ad .524288. quam super .7153 partientem .524288. uocant. hi enim numeri octies ducti: totam summam ex alterutra huiusmodi proportionum multiplicatione producunt: ut hac potest figura considerari.

[f.XLVIIr] Sesquioctaua igitur proportio in duas aequales partes diuidi non potest: quippe que superparticularis est: nulla namque superparticularis aequalis in duo proportionaliter patitur sectionem. Quocirca quoniam Diatessaron consonantia duos tonos ac minus semitonium in sesquitertia proportione comprehendit: tria rursus minora semitonia ac duo maiora in ipsa sesquitertia proportionabiliter et distincte facile comperiuntur: ut hac deductione percipitur.

[Gafurius, De harmonia musicorum, f.XLVIIr; text: tonus, Sesquioctaua, 24, 25 23/81, 27, 28 4/9, 30 3/8, 32, semitonium minus, semitonium maius, 243 ad 256, 2048 ad 2187, Diatessaron Consonantia, Sesquitertia proportio] [GAFHAR2 16GF]

De tribus speciebus diatessaron secundum diatonicum genus Caput .XXIII.

NVnc ad modorum considerationem animum conuertentes: simplicium consonantiarum figuras seu species: quas sextodecimo primi deduximus conscribere necesse est. Neque incongruum quispiam putet semel deducta luciditatis gratia iterato tractari.

Monstratum quippe est ex sesquitertia [f.XLVIIv] proportione primam ac simplicem consonantiam uidelicet diatessaron: diuersis interuallis generari. fit enim duobus tonis ac minore semitonio: prima quidem in dimensione consonantia.

Quae autem aequis interuallis (puta toniaeis solum) fit commixtio: non integram acquirit in chordotono proportionabili partitione mensuram: quoniam neque multiplicitate neque superparticularitate potitur: ut ditonus: et tritonus: ac huiusmodi: uel duorum aequalium semitoniorum uel trium ac plurium.

[Nota in marg.] Rursus quae aequa tonorum: semitoniorumque commixtione iunguntur (ut semiditonus solo tono unicoque semitonio dispositus: et huiusmodi) neque multiplici neque superparticulari partitioni conueniunt.

[Prima species diatessaron in marg.] Diatessaron itaque tribus noscitur figuris uariari: quarum Prima ab acquisita omnium grauium grauissima scilicet Proslambanomene exordium sumit Intensa tono ac semitonio: et tono: haec enim extremarum chordarum alteram immobilem: quae scilicet grauissima est: alteram mobilem possidet scilicet acutissimam.

[Secunda species. in marg.] Secundae autem figurae totus ordo acutior est tono: ab ordine prima et haec quidem semitonio et tono ac tono ex graui intenditur ad acutum: cuius extremae chordae immobiles conseruantur.

[Tertia species in marg.] Tertia uero diatessaron figura: totum chordarum ordinem semitonio a secunda intendens: duobus tonis ac semitonio procedit ad acutum: cuius extremae chordae mobiles sunt.

Ex hac itaque dispositione regulariter colligitur: quod Secunda species diatessaron tres chordas primae figurae continet: et Tertia duas primae: ac tres secundae. [Nota in marg.] Quod si ad ulteriores in acutum chordas processeris: quartam illico percipies diatessaron formam: quae quoniam unam tantum primae figurae et speciei: chordam communem continet: ab ipsa prima specie non dicitur differre: iccirco et prima nuncupatur: [Boetius in marg.] quod Boetius noster tertio decimo quarti indicat: eas per descensum litteris demonstrans. Quarum quidem figurae et species : his percipiuntur descriptionibus.

[f.XLVIIIr] [Gafurius, De harmonia musicorum, f.XLVIIIr; text: Prima species Diatessaron, 6912, 7776, 8192, 9216, Lychanos hypaton, Tonus, Parhypate hypaton, Semitonium, Hypate hypaton, Proslambanomene, Secunda species Diatessaron, 6144, Hypate meson, Tertia species Diatessaron, 5832, Parhypate meson] [GAFHAR2 17GF]

Nec miretur lectoris diligentia: quod cum in permixti generis descriptione primam descripserim diatessaron speciem: eam quae semitonio et tono ac tono ex graui tendit ad acutum: hic secundam ordine collocatam esse constet: quoniam ibi de Tetrachordis sermonem feceram: a tetrachordorum ordine tanquam a prima antiquissimi eptachordi situatione: trium diatessaron specierum initium duximus ordiendum: quod Cleonides et Baccheus apud graecos obseruatum esse consentiunt.

Posteri autem perfecti et immutabilis systematis ordinem diatonice texentes: assumptae proslambanomenos chordae trium diatessaron formularum exordium ordine contulerunt.

Vna quaeque insuper diatessaron species secundum permixtam considerationem (uariabili scilicet mediarum chordarum uicissitudine) in alteram speciem facile conuertitur. ut his notatur figuris in primae formulae dispositione conceptis. Atque eodem modo consyderatione accepta: tres ipsae diatessaron species: in secunda: et in tertia figura: interuallorum dimensione et proportionabili numerorum annotatione disponentur.

[f.XLVIIIv] [Gafurius, De harmonia musicorum, f.XLVIIIv,1; text: Prima species diatessaron. 6912, 7776, 8192, 9216, Lychanos hypaton, Tonus. Parypate hypaton, Semitonium, Hypate hypaton, Proslambanomene, Secunda species in interuallo primae ducta. 8748, Parhypate hypaton, Tertia species in interuallo primae comprehensa, 7281 7/9] [GAFHAR2 17GF]

De Ennharmonici generis conuersione in Diatonicum naturale Caput Vigesimumquartum.

QVuoniam ditessaron consonantia duobus tonis minoreque semitonio constans a sesquitertia semper proportione generatur necesse est in omni sesquitertia duas semper sesquioctauas ac minoris semitonii proportiones contineri. Quo circa: cum diatonicum genus naturale huiusmodi interuallis et proportionibus constet: relique quae supra rettulimus genera a ptholomeo deducta in diatonicum ipsum facile conuertuntur. Nam si Ennharmonicum: quod ex sesquiquarta: sesquiuigesimatertia atque sesquiquadragesimaquinta deductum est: hoc modo.

[Gafurius, De harmonia musicorum, f.XLVIIIv,2; text: Ennahrmonicum tetrachordum. 277, 345, 360, 368, Hypate meson, Sesquiquarta, Lychanos hypaton, Sesquiuigesimatertia, Parhypate hypaton, Sesquiquadragesimaquinta, Hypate hypaton, Sesquitertia proportio.] [GAFHAR2 18GF]

[f.XLIXr] tetrachordo diatonico coaequare tentaueris: ambas medias: quae mobiles sunt: et numeris et interuallis uariabis: extremae autem immobiles erunt. ac tres ipsas diatessaron species diatonicas: ex Ennharmonico huiusmodi tetrachordo: congruis considerationibus enucleabis: ut hic constat.

[Gafurius, De harmonia musicorum, f.XLIXr; text: Prima species diatessaron. 276, 310 1/2, 327 1/9, 368, Hypate meson, Tonus, Lychanos hypaton, Semitonum, Parhypate hypaton, Tonus, Hypate hypaton, Secunda species diatessaron. 349 5/16, Semitonium, Tertia species diatessaron, 290 62/81] [GAFHAR2 18GF]

Verum proportionum Ennharmonicum genus conducentium excessus ac differentiae sic habentur: Sesquiquarta proportio excedit sesquiuigesimamtertiam proportione super .19. partiente nonagesimas sextas.

Sed Sesquiuigesimatertia maior est quam sesquiquadragesimaquinta proportione superundecimi partiente quingentasuigesimasnonas.

Rursus Coniunctis Sesquiquarta et Sesquiuigesimatertia: nulla alia superparticularium proportionum (praeter sesquiquadragesimamquintam) eisdem apposita: sesquitertiam perficiet proportionem.

De Conuersione Chromatis mollis generis in naturale diatonicum Caput Vigesimumquintum.

DIspositis consequenter Sesquiquinta et Sesquiquartadecima. sola sesquiuigesimaseptima eisdem apposita epitritum perficiet interuallum: cuius quidem dimensionem chromatico molli Ptholomeus aptauit: ut hac figura notatur.

[f.XLIXv] [Gafurius, De harmonia musicorum, f.XLIXv, 1; text: Chromaticum molle tetrachordum. 210, 252, 270, 280, Hypate meson, Sesquiquinta, Lychanos hypaton, Sesquiquartadecima, Parhypate hypaton, Sesquiuigesimaseptima, Hypate hypaton, Sesquitertia Proportio.] [GAFHAR2 19GF]

Excessus autem proportionum chromaticum molle genus componentium consideratur hoc modo. Sesquiquinta proportio sesquiquartamdecimam uincit proportione supertripartiente uigesimasquintas.

Sesquiquartadecima uero excedit sesquiuigesimam septimam proportione supertertiidecimipartiente tricentesimasnonagesimas secundas.

Quum autem tribus diatessaron speciebus diatonice dispositis hoc ipsum systema coaequare uolueris: diligens exquisitio ipsas tibi disponet hoc modo.

[Gafurius, De harmonia musicorum, f.XLIXv,2; text: Prima species diatessaron, 210, 236 1/4, 248 8/9, 280, Hypate meson, Tonus. Lychanos hypaton, Semitonium, Parhypate hypaton, Hahyte hypaton, Secunda species diatesaron. 265 25/32, Hypate hypaton, Tertia species diatessaron, 221 19/81] [GAFHAR2 19GF]

[f.Lr] De Conuersione Chromatici incitati generis in naturale diatonicum Caput Vigesimumsextum.

HAbita coniunctione sesquisextae proportionis et sesquiundecimae: nulla alia superparticularium proportionum ipsis apposita sesquitertiam implebit proportionem: praeterquam sesquiuigesimaprima. quarum quidem in tetrachordo dispositionem chromatico incitato generi Ptholomeus ascribit. ut hic.

[Gafurius, De harmonia musicorum, f.Lr,1; text: Chromaticum inciatum tetrachrodum, 66, 77, 84, 88, Hypate meson, Sesquisexta, Lychanos hypaton, Sesquiundecima, Parhypate hypaton, Sesquiuigesimaprima, Hypate hypaton, Sesquitertia proportio] [GAFHAR2 20GF]

Consideratione enim accepta. Sesquisexta proportio superat sesquiundecimam proportione superquinquipartiente septuagesimassecundas.

Sesquiundecima uero excedit sesquiuigesimamprimam proportionem proportione superquinquipartiente centesimasuigesimas primas.

Quum autem huiusmodi tetrachordum diatonicae diatessaron dimensioni coaequare tentaueris: tres ipsius figuras his descriptionibus pernotabis.

[Gafurius, De harmonia musicorum, f.Lr,2; text: Prima species diatessaron. 66, 74 1/4, 78 2/9, 88, Hypate meson, Tonus, Lychanos hypaton, Semitonum, Parhypate hypaton, Hypate hypaton, Secunda species diatessaron. 83 17/32, Semitonium, Tertia species diatessaron, 69 43/81] [GAFHAR2 20GF]

[f.Lv] De Transmutatione Mollis diatoni in naturale Diatonicum Caput .XXVII.

DEductis sesquiseptima et sesquinona: epitritam implebis proportionem si sesquiuigesimam adhibueris: cuius modulationem molle diatonum genus appellat Ptholomeus. hac dimensione descriptum.

[Gafurius, De harmonia musicorum, f.Lv,1; text: Molle diatonum Genus, 63, 72, 80, 48, Hypate meson, Sesquiseptima. Lychanos hypaton, Sesquinona, Parhypate hypaton, Sesquiuigesima, Hypate hypaton, Sesquitertia Proportio.] [GAFHAR2 21GF]

Harum autem proportionum excessus consideratur hoc modo. Sesquiseptima proportio sesquinonam excedit sesquitrigesimaquinta proportione.

Sesquinona autem maior est quam sesquiuigesima proportione super undecimi partiente centesimas octogesimasnonas.

At tres diatonicas diatessaron species: diligentia speculantis (uariatis mediis chordis: quae propter hoc dictae sunt mobiles) exproposito tetrachordo facile enucleabit hoc modo.

[Gafurius, De harmonia musicorum, f.Lv,2; text: Prima species diatessaron, 63, 70 7/8, 74 2/3, 84, Hypate meson, Tonus. Lychanos hypaton, Semitonium, Parhypate hypaton, Hahyte hypaton, Secunda species diatesaron. 79 47/64, Hypate hypaton, Tertia species diatessaron, 66 10/27] [GAFHAR2 21GF]

[f.LIr] De Conuersione Intenti Diatoni generis in naturale Diatonicum Caput Vigesimumoctauum.

COniunctis Sesquinona et sesquioctaua: sola sesquiquintadecima sesquitertiam perficiet: quod quidem genus: Intentum diatonum Ptholomeus nominat: ut hic

[Gafurius, De harmonia musicorum, f.LIr,1; text: Intentum Diatonum Genus, 72, 80, 90, 96, Hypate meson, Sesquinona, Lychanos hypaton, Sesquioctaua, Parhypate hypaton, Sesquiquintadecima, Hypate hypaton, Sesquitertia Proportio] [GAFHAR2 22GF]

Differenriam autem et excessum sesquinonae sesquioctauae proportionis efficit proportio sesquioctogesima. Rursus sesquioctaua excedit sesquiquintam decimam proportione supersepti partiente centesimas uigesimasoctauas. quod cautus considerator per regulam uigesimo primo primi datam aperte percipiet.

Tres quoque diatessaron species secundum diatonicum naturale: in ipso tetrachordo comperiuntur hoc ordine.

[Gafurius, De harmonia musicorum, f.LIr,2; text: Prima species diatessaron. 72, 81, 85 1/3, 96, Hypate meson, Tonus, Lychanos hypaton, Semitonium, Parhypate hypaton, Hypate hypaton, Secunda species diatessaron. 91 1/8, Tertia species diatessaron, 75 23/27] [GAFHAR2 22GF]

[f.LIv] De conuersione Tonici diatoni generis in naturale diatonicum Caput Vigesimumnonum.

DIspositis sesquioctaua et sesquiseptima: nulla epimoriarum proportionum (praeter sesquiuigesimamseptimam) epitritum implebit interuallum. Huiusmodi autem modulationem Ptholomeus uocat Tonicum diatonum genus, ut hic.

[Gafurius, De harmonia musicorum, f.LIv,1; text: Tonicum diatonum Genus, 168, 189, 216, 224, Hypate meson, Sesquioctaua, Lychanos hypaton, Sesquiseptima. Parhypate hypaton, Sesquiuigesimaseptima, Hypate hypaton, Sesquitertia Proportio.] [GAFHAR2 23GF]

Exceditur autem sesquioctaua proportio a sesquiseptima proportione sesquisexagesimatertia.

Rursus Sesquiseptima sesquiuigesimamseptimam uincit proportione superquinquipartiente quadragesimasnona.

Conuertitur autem hoc tetrachordum in tres diatessaron species (uarietate mediarum considerata) hoc ordine.

[Gafurius, De harmonia musicorum, f.LIv,2; text: Prima species diatessaron, 168, 189, 199 1/9, 224, Hypate meson, Tonus. Lychanos hypaton, Semitonium, Parhypate hypaton, Hahypte hypaton, Secunda species diatessaron. Hypate hypaton, 212 5/8, Tertia species diatessaron, 176 80/81] [GAFHAR2 23GF]

[f.LIIr] De Permutatione aequalis diatoni generis in naturale diatonicum Caput Trigesimum.

COniunctis Sesquinona proportione et sesquidecima: [Ptholomeus in marg.] sola Sesquiundecima eis apposita sesquitertiam implet proportionem Quod quidem modulationis genus a Ptholomeo Equale diatonum nuncupatur: et disponitur hoc ordine.

[Gafurius, De harmonia musicorum, f.LIIr,1; text: Equale Diatonum Genus, 9, 10, 11, 12, Hypate meson, Sesquinona, Lychanos hypaton, Sesquidecima, Parhypate hypaton, Sesquiundecima, Hypate hypaton, Sesquitertia Proportio] [GAFHAR2 24GF]

Sesquinona proportio sesquidecimam uincit proportione sesquinonagesimanona.

Sed Sesquidecima superat sesquiundecimam proportione sesquicentesimauigesima.

Huiusmodi quoque genus tribus diatessaron figuris diatonice dispositis coaptatur: hoc modo.

[Gafurius, De harmonia musicorum, f.LIIr,2; text: Prima species diatessaron. 9, 10 1/8, 10 2/3, 12, Hypate meson, Tonus, Lychanos hypaton, Semitonium, Parhypate hypaton, Tonus, Hypate hypaton, Secunda species diatessaron. 11 25/64, Tertia species diatessaron, 9 13/27] [GAFHAR2 24GF]

[f.LIIv] Constat itaque ex praemissorum generum permutationibus Sesquitertiam proportionem in duas semper sesquioctauas ac supertertii decimipartientem ducentas quadragesimas tertias proportionem posse resolui.

[Ratio harmoniae maioribus numeris sonos grauiores applicat longioribus chordis in marg.] Quo circa diatessaron consonantia ex sesquitertia proportione producta duos semper tonos ac minus semitonium iure continebit.

Longiores enim chordas ac grauiores sonos harmonica ratio maioribus numeris notat: minoribus breuiores et acutiores sonos.

De Quattuor figuris diapentes Caput Trigesimumprimum.

DIapentes consonantia: secundum inter consonas obtinens locum: in omni genere sesqualtera dimensione disponitur. Fit enim ex tribus tonis et semitonio ut duodecimo primi expositum est. Atque iccirco diatessaron consonantiam tono superuadit.

Namque et sesqualtera sesquiertiam et sesquioctauam complectitur.

Quinque enim chordis diatonice disponitur: tris tonos ac minus semitonium monstans. Inde quoniam quadrifariam interuallorum uarietatem acquirit: quattuor figuris annotatur.

[Prima species diapentes in marg.] Prima nanque diapentes figura seu species primae diatessaron intentionem ac toni seruat in acutum ut a lychano hypaton ad mesen quo fit ut tonus semper diatessaron ac diapentes differentiam probet. Haec enim prima diapentes species alteram extremarum chordarum scilicet grauissimam Lychanon hypaton habet mobilem: alteram uidelicet mesen acutissimam immobilem.

[Secunda species diapentes in marg.] Secunda diapentes forma fit ex secunda specie diatessaron et tono superiuncto: ut ab Hypate meson ad paramesen: ambas extremas immobiles complectens. Huius autem dispositionis ordo toni intentione ab ordine primae recedit.

[Tertia species diapentes in marg.] Tertia figura diapentes tribus continuis tonis ac semitonio tendit in acutum: ut a Parhypate meson ad Tritendiezeugmenon extremas chordas seruans mobiles. Cuius totus ordo a secundae figurae dispositione semitonii intenditur interuallo.

[Quarta species diapentes in marg.] Quarta diapentes figura disponitur a tertia diatessaron ac tono in acutum: ut a Lychano meson ad Paraneten diezeugmenon ambas extremas mobiles tenens. Huius autem dispositio ab ordine tertiae diapentes figurae tono intenta est.

Id quoque regulariter est aduertendum [f.LIIIr] quod primae ac secundae diapentes figurae quattuor sunt chordae communes.

Tertiae uero et primae tres. rursus tertiae et secundae quattuor.

Quarta autem cum tertia quattuor habet communes chordas. cum secunda tres. Cum prima autem duas tantum tenet chordas communes.

Quod si adulteriorem huiusmodi dispositionem processeris: unicam reperies communem chordam cum prima. Iccirco a prima non dicitur differre: Quo fit: ut Quattuor tantum sint diapentes species: seu figurae differentes, ut his constat descriptionibus.

[Gafurius, De harmonia musicorum, f.LIIIr; text: Prima species diapentes, 4608, 5184, 5832, 6144, 6912, Mese, tonus, Lychanos meson, Parhypate meson, Semitonium, Hypate meson, Lychanos hypaton, Prima species diatessaron. Secunda species diapentes, 4096, Parammese, Lichanos meson, Secunda species diatessaron. Tertia species diapentes, 3888, Trite diezeugmenon, Paramese, Tritonus, Quarta species diapentes, 3456, Paranete diezeugmenon, Tertia species diatessaron.] [GAFHAR2 25GF]

[f.LIIIv] [Quare species diapentes non procedunt a proslambanomene] Diatonica igitur dispositio chordarum et processus: quattuor figurarum diapentes in Lychanon hypaton posuit exordium. Quod proslombanomenes chordae minime conuerniret. quoniam ad consequentiam. Secunda species ab hypate hypaton ad Parhypaten meson diminuta succederet: quippe quae duobus tantum tonis: totidemque semitoniis in pentachordo procedere noscitur. Tertia perinde figura situm et processum acquireret quartae ac Quartam ipsam a prima nosceres non absimilem. Quocirca: quattuor ipsarum diapentes figurarum situm et ordinem a Lychano hypaton procedere necessum est.

Sane item consyderari atque disponi possunt omnes diapentes formulae in uniuscuiusque figurae dispositione si iuxta permixti generis deductionem medias chordulas uariabis adhibita diligenti numerorum consideratione: ut hic.

[Gafurius, De harmonia musicorum, f.LIIIv; text: 4608, 5184, 5832, 6144, 6912, Mese, tonus, Lychanos meson, Parhypate meson, Semitonium, Hypate meson, Lychanos hypaton, Prima species diapentes, 6561, Secunda species diapentes in interuallo primae disposita, 4854 14/27, 5461 1/3, Semitonium, Tertia species diapentes in interuallo primae conducta, 6184, Quarta species diapentes in interuallo primae disposita] [GAFHAR2 26GF]

[f.LIIIIr] De Septiformi Diapason dispositione Caput Trigesimumsecundum.

[Ptholomeus in marg.] DIapason consonantia quam Ptholomeus unisonam seu aequisonam uocat: octo sonis interualla septem diatonice cludentibus disponitur. eius namque naturam tertiodecimo primi descriptam esse constat. Componitur autem ex diapente et diatessaron: dupla semper dimensione producta: quam duae ptimae ac maiores superparticulares naturaliter dispositae Sesqualtera et Sesquitertia harmonicae medietati subiicunt: [Diapason harmonice mediata est harmonia: in marg.] Hinc mediatam huiusmodi diapason harmoniam dicunt. Verum quum chordae interuallum: quo diapason soluitur per sesquitertiam in graue et sesqualteram in acutum diatessaron ac diapenten producentes: fuerit mediatum: diapason huiusmodi modulata non poterit harmonia uocari: propter dissonam mediae et communis chordae sonoritatem. [Diapason Arythmetice mediata non est harmonia in marg.] Erunt quippe aequae ambae diapasonici interualli partes: quum grauior fuerit diatessaron: acutior diapente: quo fit ut diapason huiusmodi mediata Arythmeticae mediocritati noscatur esse subiecta. Non igitur inconuenienter diapason aequisonantiam ex consonis naturaliter dispositis deductam: quod animi affectus: corporisque demulceat: harmoniam uocamus. Notanter enim dicitur ex consonis naturaliter dispositis: Nam diapente grauiorem diapason partem tenens: naturalem superparticularis generis dispositionem obseruat: quippe quae ex prima superparticulari specie: uidelicet sesqualtera concipitur: diatessaron subsequenter ex secunda. Ordinem namque in hac consyderatione confundit qui secundam speciem primae praeposuerit. Quocirca ad subuertendam modorum modulationem: consonarum huiusmodi conuersionem musici instituere.

[Prima species diapason in marg.] Septem autem diapason figurarum naturaliter diatoniceque procedentium Prima fit a Proslambanomene ad Mesen: ex prima scilicet diatessaron et prima diapentes per lychanos hypaton chordulam mediata.

[Secunda species diapason in marg.] Secunda procedit ab Hypate hypaton ad Paramesen per secundam diatessaron et secundam diapenten per hypatemeson chordulam mediata.

[Tertia species diapason in marg.] Tertia [f.LIIIIv] procedit a Parhypate hypaton ad Tritendiezeugmenon per tertiam diatessaron et tertiam diapenten per Parhypates meson chordulam mediata.

[Quuarta species diapason in marg.] Quartae processus est per primam diapenten et primam diatessaron a lychano hypaton ad Paraneten diezeugmenon per Meses chordulam mediatus.

[Quinta species diapason in marg.] Quinta diapason figura per secundam diapenten et secundam diatessaron deducitur ab hypatemeson ad Netendiezeugmenon per Parameses chordulam mediata.

[Sexta species diapason] Sexta fit inter Parhypaten meson et Triten hyperboleon per tertiam diapenten et tertiam diatessaron per Trites diezeumenon chordam mediata.

[Septima species diapason] Septima fit a Lychanomeson ad Paraneten hyperboleon per quartam diapenten et primam diatessaron per Paranetes diezeugmenon chordulam mediata.

Sunt insuper primae et secundae diapason figurae septem chordae communes. Tertiae uero et primae sex. Rursus tertiae et secundae septem.

Quarta autem et prima quinque communes chordas tenent. sed Quarta et Secunda sex. rursus quarta et tertia septem. Quinta uero diapason species: et Quarta: septem communes habent chordas. sed quinta cum tertia sex. rursus quinta et secunda quinque. sed Quinta ipsa ac prima quattuor.

Sexta autem species et quinta septem communes monstrant chordas. sed Sexta et Quarta sex. Rursus sexta et tertia quinque. Sexta uero et secunda quattuor. Inde Sexta et prima tres.

Postremo Septima diapason species et Sexta septem continent communes chordas. sed Septima et Quinta sex. Septima et Quarta quinque. Septima et Tertia quattuor. septima et secunda tres. Tandem Septima et Prima duas.

[Non differunt inuicem species consonantiae quibus inest sola chorda communis. in marg.] Constat itaque in omni consonantiarum genere Primam atque ultimam eiusdem consonantiae speciem duas tantum communes chordas habere. Verum quum ulterior processus unicam utrisque concesserit chordam communem: nulla eueniet inter ipsas extremas specialis differentia: cum ambarum similis sit semitoniorum diatonica dispositio inter tonos. At diapason specierum formulas subiectae monstrant descriptiones.

[f.LVr] [Gafurius, De harmonia musicorum, f.LVr; text: Prima species diapason. 4608, 5184, 5832, 6144, 6912, 7776, 8192, 9216, Mese, Tonus, Lichanos meson, Parhypate meson, Semitonium, Hypate meson, Lychanos hypaton: Medians, Parhypate hypaton, Hypate hypaton, Proslambanomenos, Secunda species diapasson, 4096, Paramese, Hypate meson: Medians] [GAFHAR2 27GF]

[f.LVv] [Gafurius, De harmonia musicorum, f.LVv; text: Tertia species diapason, 3888, 4096, 4608, 5184, 5832, 6144, 6912, 7776, Trite diezeugmenon, Semitonium, Paramese, tonus, Mese, Lychanos meson, Parhypate meson: Medians, Hypate meson, Lychanos hypaton, Parhypate hypaton, Quarta species diapason, 3456, Paranete diezeugmenon, Mese: Medians, Quinta species diapason, 3072, Nete diezeugmenon, Paramese: Medians, Sexta species diapason, 2916, Trite hyperboleon, Trite diezeugmenon: Medians] [GAFHAR2 28GF]

[f.LVIr] Variantur itaque septem ipsae diapason figurae quas species uocant per interualla consona: ita ut unaquaeque dispositio et aequisonantiam extremorum: et diapenten ac diatessaron altrinsecus per mediantem chordulam propriis proportionibus permutare noscatur.

[Quip fit species secundum Boetium. in marg.] Est enim species secundum Boetium tertiodecimo quarti suae musicae positio quaedam proprii generis formam retinens in uniuscuiusque proportionis consonantiam conducentis terminis constituta.

[Gafurius, De harmonia musicorum, f.LVIr; text: Septima species diapason. 2592, 2916, 3072, 3456, 3888, 4096, 4608, 5184, Paranete hyperboleon, Tonus, Trite hyperboleon, Semitonium, Nete diezeumenon, Paranete diezeugmenon: medians, Ttite diezeumenon, Paramese, Mese, Lichanos meson] [GAFHAR2 29GF]

Neque enim (ut quidem putant) Diapason consonantia ea necessitate quod scilicet ex diatessaron quae tres habet species: et diapente quattuor speciebus uariata composita sit: septem species monstrat: cum neque diapason diapente consonantia: ex diapason quae septem figuris uariatur coniuncta ac diapente quae quattuor: undecim speciebus circumducatur. Namque quattuor tantum figuris uariatur Diapason diapente: quartum et secunda diminuta est: quod specierum consyderatio non patitur: Quod quum ad ulteriorem chordarum dispositionem processeris et si undecim huiusmodi diapason diapentes quesieris: plures earum naturaliter ac diatonice imperfectas et diminutas esse comperies.

[Quot species et quomodo considerantur in unaquaque consonantia in marg.] Hinc potius Diapason consonantia quod octo sonis ac septem constet interuallis: septem noscitur speciebus uariari. Omnis enim consonantia (puta diatessaron aut diapente aut diapason) tot speciebus procedit: quot fuerint eius incomposita interualla Inde unam semper minus speciem quam sint eius uoces contineat necesse est.

Est igitur Diapason genus consonantiae dupla dimensione dispositum: cuius species omnes in propria sui generis forma seruantur. Omnis namque diapason species et in diatonico et chromatico et Ennharmonico atque permixto [f.LVIv] genere dupla semper extremorum perficitur habitudine: quinque tonos ac duo minora complectens semitonia.

Diatessaron autem species omnis epitritum extremorum sonorum interuallum duobus tonis implet ac semitonio.

Tribus uero tonis et semitonio hemiolia consyderatio omnes disponit diapentes figuras.

[Quibus interuallis species diapason semitonia seruent in marg.] At Prima diapason figura ut superioribus constat descriptionibus semitonium in secundo et quinto diatonice retinet interuallo.

Secunda in primo et quarto.

Tertia in tertio et septimo.

Quarta in secundo et sexto.

Quinta in primo et quinto.

Sexta in quarto et septimo.

Septima in tertio et sexto.

Huiusmodi quidem consideratione Ipsas consonantiarum species musici quandoque formas: aliquando figuras. plerumque ydeas seu differentias uocant.

[Quae species diapason extremas schordas habens immobiles et quae mobiles. in marg.] Earum enim tres figuras extremae concludunt immobiles chordae uidelicet Primam: Secundam: et Quintam.

Prima namque diapason figura a Proslambanomeno et Mese: circumscripta est.

Secunda ab Hypate hypaton et Paramese.

Quinta ab Hypate meson et Netediezeugmenon. Has enim chordas tetrachordorum ordo in omni genere sustinet immobiles.

Reliquae autem quattuor diapason species ab extremis mobilibus chordis circumuentae sunt: nam tertia species a Parhypate hypaton et Tritediezeugmenon.

Quarta a Lychano hypaton et Paranetediezeugmenon.

Sexta a Parhypate meson et Trite hyperboleon.

Septima a Lychanomeson et Paranete hyperboleon.

[Boetius in marg.] Boetius autem noster tertiodecimoquarti in huiusmodi consideratione alterum ordinem seruat, namque assumptam reiciens chordam quattuor tantum tetrachordorum dispositiones considerat: atque iccirco primam et quartam ac septimam diapason speciem ab immobilibus: reliquas a mobilibus chordis circumuentas ponit.

Possunt item species omnes diapason in dispositione primae figurae iuxta permixti generis extensionem eisdem extremis stantibus (puta Proslambanemeno et Mese) propriis interuallis et congruis numerorum annotationibus constitui: quod harum dispositionum monstrant deductae dimensiones.

[f.LVIIr] [Gafurius, De harmonia musicorum, f.LVIIr; text: Prima species diapentes, 4608, Mese, Tonus. 5184, Lychanos meson, 5832, Parhypate meson, Semitonium, 6144, Hypate meson, 6912, Lychanos hypaton: Medians, Prima species diatessaron. 7776, Parhypate hypaton, 8192, Hypate hypaton, 9216, Proslambanomenos, 6561, 8748, Secunda species diapentes, Secunda species diatessaron, Prima species diapason in proprio interuallo, Secunda species diapason in interuallo primae] [GAFHAR2 30GF]

[f.LVIIv] [Gafurius, De harmonia musicorum, f.LVIIv; text: Tertia species diapentes, 4608, Mese, Semnitonium, 4854 14/27, Lychanos meson, tonus, 5461 1/3, Parhypate meson, 6144, Hypate meson, 6912, Lychanos hypaton: Medians, Tertia species diatessaron. 7281 7/9, Parhypate hypaton, 8192, Hypate hypaton, 9216, Proslambanomenos, 6184, 7776, Semitonium, Hypate meson: Medians, Prima species diatessaron, Prima species diapentes, Tertia species diapason in interuallo primae, Quarta species diapason in interuallo primae] [GAFHAR2 31GF]

[f.LVIIIr] [Gafurius, De harmonia musicorum, f.LVIIIr; text: Secunda species diatessaron. 4608, Mese, Tonus. 5184, Lychanos meson, 5832, Parhypate meson, Semitonium, 6144, Hypate meson: Medians, Secunda species diapentes, 6912, Lychanos hypaton, 7776, Parhypate hypaton, 8748, Hypate hypaton, 9216, Proslambanomenos, Tertia species diatessaron, 4854 14/27, 5461 1/3, 6472 56/81, 7281 7/9, 8192, Tertia species diapentes, Quinta species diapason in interuallo primae, Sexta species diapason in interuallo primae] [GAFHAR2 32GF]

[f.LVIIIv] [Gafurius, De harmonia musicorum, f.LVIIIv; text: Prima species diatessaron, 4608, Mese, tonus, 5184, Lychanos meson, Semitonium, 6461 1/3, Parhypate meson, 6144, Hypate meson: Medians, Quarta species diapentes, 6912, Lychanos hypaton, 7281 7/9, Parhypate hypaton, 8192, Hypate hypaton, 9216, Proslambanomenos, Septima species diapason in interuallo primae] [GAFHAR2 29GF]

[f.LVIIIIr] Quod sex toni excedunt diapason consonantiam uno commate Caput Trigesimumtertium.

ET si diapason consonantia in dupla proportione consistat sex tamen tonos (quod Aristoxeno dissonat) implere non potest. Nam cum diapason quinque tonis ac duobus minoribus semitoniis constet: duoque semitonia ipsa tono minora sint commate: necesse est diapason ipsam a sex tonis commate superari. hinc sex sesquioctauae proportiones duplam commatis proportione deuincent.

Verum quod commatis interuallum musicorum solertia minimum et inconcine perpendit: ulla ipsum discreta chorda circumcingere non curauit: quippe qui dum subiectarum differentias uocum sensu compraehenderent: ac integrum ipsarum modum atque mensuram consyderarent: commatis ipsius modulationem concinnitati minime conuenire putarunt. hinc nullo generi comma ipsum repperitur accommodatum.

Sex itaque tonos continuos in chordotono sesquioctauis dimensionibus hoc ordine disponemus.

Extensa chorda sonora integrae longitudinis perfectissimi disdiapason systematis quae grauissimum proslambanomenos sonum ducat si eam nouem aequis partibus diuiseris: prima pars tonum conducet inter Proslambanomenen et hypaten hypaton.

Positus inde circinnus in hypaten hypaton totam in acutum nouem aequis partibus chordam discurrens: prima haec pars tertiam disponet chordam a secunda tono distantem in acutum.

Quod quum circinnum in hac totia chorda fixeris: totam in acutum chordam nouem aequis gradibus mensurans: quartum plectrum disponet primus gradus a tertio toni distans interuallo.

Ab hoc autem quarto sono tota chorda in acutum nouem aequis partibus dimensi: primae partis spacium reddet toniaeum.

Si autem a quinto plectro totam in acutum chordam nouem aequis partibus distinxeris sextum in prima parte plectrum appones: tono in acutum a quinto disiunctum.

Postremo ab hac sexta chorda residuo chordotoni in acutum nouem aequis partibus ducto: prima pars sextum tonum creabit septimo plectro: quod quidem mesen chordam quae ad proslambanomenen [f.LVIIIIv] diapason aequisonat: minimo commatis in acutum superuadit interuallo.

[Sex toni continui diapason consonantiam uincunt solo commate in marg.] Constat igitur diapason consonantiam: quae quinque tonis ac duobus minoribus semitoniis perficitur: a sex tonis solo commate ita esse deuictam quemadmodum sex sesquioctauae habitudines duplam ipsam proportionem excedere pernoscuntur. Namque dispositis sex continuis sesquioctauis extremi termini maiore quam dupla sese inuicem custodient proportione. Vt autem pernotescat quod dicimus perquiramus eum numerum cui possint sex continui sesquioctaui superduci. [Nichomacus, Boetius in marg.] Is enim est (ut in Arythmeticis Nichomacus et Boetius octauo secundi musicae docent quod nos quoque sexto tertii theoricae deduximus) qui sextam octuplam implet ab unitate discedens. Sic enim numeri dicuntur octupli: quum maior subsequens minorem praecedentem ac continuum octies compraehendit precise: ut hi numeri probant .1.8.64.512.4096.32768.262144. Quoniam igitur sex continuae octuplae eptem ipsis numeris dispositae sunt: maior eorum numerus uidelicet .262144. sex continuarum sesquioctauarum producit exordium: a quo scilicet sex sesquioctaui termini sucessiue ducuntur. Nam si numero .262144. octauam eius partem quae est. 32768. superduxeris: concrescet numerus .294912. qui ad primum scilicet 262144. sesquioctauam efficit proportionem: cum ipsum totum semel in se contineat et eius octauam partem.

His itaque numeris eas annotabimus chordas quae in chordotono ad dispositionem sex continuorum tonorum confixae sunt: ita scilicet ut minoribus nnmeris acutiores chordas signemus maioribus grauiores: [Boetius. in marg.] quod quarto quarti suae musicae Boetius docet.

Septimam itaque chordam acutiorem: numero .262144. notabimus.

Sextae uero chordae eius sesquioctauum uidelicet .294912. ascribemus.

Huic autem numero superducta pars ipsius octaua scilicet 36864. efficiet numerum 331776. qui ad .294912. sesquioctauam proportionem probat. hinc quintam chordam ipse custodit.

Quod quum numero 331776. octauam sui partem scilicet 41472. superposueris: numerum .373248. perficies: quo notatur quarta chorda a quinta in graue sesquioctaua proportione disiuncta.

Rursus si numero .373248. octauam eius partem uidelicet .46656. adiunxeris concrescet numerus .419904. quo signatur tertia chorda: tono a quarta demissa.

Verum numerus .419904. octaua [f.LXr] sui parte scilicet 52488. concrescens perficit numerum .472392. quo secundam notamus chordam: epogdoo inteuallo a tertia depressam.

Numerus autem .472392. propriam suscipiens partem octauam scilicet 59049. concrescit in summam .531441. qui primae et grauissimae proslambanomenos chordae a secunda tono remissae ascribendus est.

Hic itaque numerus .531441 sextam sesquioctauam concludit: octaua sui ipsius parte integra deficiens: quippe qui a sexto octuplo traxit augumentum et originem.

Constat insuper sex ipsas sesquioctauas dupla proportione esse maiores. Atque iccirco sex tonos diapason consonantiam excedere. Nam numerus 531441. grauissimae chordae ascriptus eum numerum qui septimae et acutissimae chordae scilicet 262144. appositus est: plusquam dupla proportione superuadit. Quoniam numeri ipsius .262144. duplus est .524288. quo diapason consonantia a septima ipsa chorda resultat. Verum numerus .531441. eum qui ad acutissimum duplam habet proportionem scilicet 524288. excedit: numero .7153.

Efficit igitur sex sesquioctauarum et duplae differentiam proportio numeri .531441. ad .524288. quae commati assignatur.

At numerus .7153. minor quidem est quam septuagesimatertia pars numeri .524288. et maior quam eius septuagesimaquarta. nam quum septuagies et ter ipsum multiplicaueris: eueniet numerus .522169. Septuagies uero et quater ductus .529322. numerum implebit.

In chordotono autem commatis interuallum inuenies: quum a septima chorda unico circinni motu quod refiduum est in acutum dimensus fueris: ac eodem motu circinni subuersione in graue chordam deposueris numero .524288. insignitam: quae ad septimam ipsam diapason sonabit in graue: et a grauissima commatis interuallo distabit in acutum.

Quod si quinis tonis continuis eamdem adhibueris consyderationem: disdiatessaron conspicies eodem commatis interuallo deuinci.

Fit igitur sex continuorum tonorum diapason consonantiam solo commate superantium nota dimensio hoc modo.

[f.LXv] [Gafurius, De harmonia musicorum, f.LXv; text: Netehyperboleon, Diapason consonantia. Dimensio dupla, tonus, a laimi re, A re, sesquioctaua, Mese, Hypatehypaton, Proslambanomenos, 262144, 294912, 331776, 373248, 419904, 472392, 524288, 531441, Differentia, Comma, 32768, 36864, 41472, 46656, 52488, 59049, 7153, Proportio dupla sextonis commate minor. Diapason consonantia: Proportio dupla.] [GAFHAR2 33GF]

[f.LXIIr <recte f.LXIr>] Quod proportiones sesquiuigesimatertia et sesquiquadragesimquinta excedunt semitonium minus sesquioctogesima proportione Caput Trigesimumquartum.

VIdetur quoque perutile et necessarium demonstrare duo illa densa interualla quae Ptholomeus tetrachordo Ennharmonico instituit secundum proportiones sesquiuigesimam tertiam: et sesquiquadragesimamquintam ut decimo octauo capite deduximus: non esse aequalia duobus usdem in ipso Ennharmonico a pythagoricis et Boetio descriptis quae inuicem minus semitonium probant secundum eam proportionem quae fit inter .256. et .243. sed quoniam minima differunt proportione Briennius Ptholomeum secutus huiusmodi institutionem ennharmonico item generi ascripsit. Dispositis igitur numeris sesquiuigesimam tertiam proportionem facientibus .24. et .23. suppositisque terminis sesquiquadragesimae quintae proportionis .46. et .45. hoc ordine d

[Gafurius, De harmonia musicorum, f.LXIIr <recte LXIr>; text: d, 24, 46, 23, 45] [GAFHAR2 34GF]

Multiplico maiorem numerum maioris proportionis per maiorem minoris uidelicet .24. per .46. et fit numerus .1104. Minor inde maioris proportionis terminus per minorem minoris adauctus scilicet .23.per .45. efficit numerum .1035. a quibus quidem sic adauctis: quum duas tertias eorum partes abstulero relinquetur pars tertia uniuscuiusque scilicet .368. et .345. hi inuicem contra se primi dicuntur eandem continentes proportionem: quam et numeri ipsi quorum sunt partes tertiae uidelicet super 23 partientem .345. Hanc itaque proportionem sesquiuigesimatertia et sesquiquadragesimaquinta simul iunctae perficiunt. Verum quoniam semitonium minus in proportione numerorum .256. ad 243. collocatur. disponamus terminos ambarum proportionum: ac maiores quidem minoribus superstent hoc modo e

[Gafurius, De harmonia musicorum, f.LXIIr <recte f.LXIr>; text: e, 368, 245, 256, 243] [GAFHAR2 34GF]

Multiplicato autem maiore superioris proportionis termino per minorem inferioris uidelicet .368. per .243. concrescit numerus .89424. ducto uero minore maioris proportionis numero per maiorem minoris scilicet .345. per 256. efficitur numerus .88320. sed ambo hi numeri .89424. et .88320. in minorem summam subtracti ad numeros contra se primos .81. et .80. collabuntur qui maiorum ipsorum millesimam centesimamquartam partem implent. Maiores igitur sunt proportiones sesquiuigesimatertia et sesquiquadragesimaquinta simul iunctae quam semitonii minoris .256. ad .243. proportione numerorum .81. ad .80 quae sesquioctogesima uocatur. [Sesquiquarta proportio minor est duabus sesquioctauis proportione sesquioctogesima. in marg.] Hoc iccirco euenit: quoniam sesquitertia proportio fit ex duabus sesquioctauis et semitonio minore. Cumque sesquiquartam proportionem duabus sequioctauis sesquioctogesima [f.LXIIv <recte f.LXIv>] proportione minorem esse constet: et sesquiquarta ipsa sesquiuigesimaesecundae et sesquiquadragesimaequintae apposita sesquitertiam ipsam impleat necesse est duas ipsas proportiones sesquiuigesimamtertiam et sesquiquadragesimamquintam semitonii minoris proportioni per ipsam sesquioctogesimam superesse.

Quod autem duarum sesquioctauarum et sesquiquartae proportionis excessus sit sesquioctogesima proportio probatur his numeris .64.80.81. nam numerus .81. ad .64. duas efficit sesquioctauas, sed .80. ad .64. sesquiquartam. Duae itaque sesquioctauae sequiquartam excedunt ea proportione quae fit a numero .81. ad .80. quam sesquioctogesimam nominant ut hac figura monstratur.

[Gafurius, De harmonia musicorum, f.LXIIv <recte f.LXIv>,1; text: Sesquiquarta, Sesquioctogesima, 64, 80, 81, Due sesquioctaue.] [GAFHAR2 34GF]

[Bartholomeus Ramis Hyspanus. in marg.] Hinc falso arbitratus est Bartholomeus Ramis Hyspanus tertio tertii tractatus suae practicae circa finem qui integrum ditoni interuallum in chordotono sesquiquartae indifferenter ascribit dimensioni: [Iacobus fabri. in marg.] nam ut Iacobus faber inquit secunda tertii libri musicorum elementorum petitione Ditonus euenit inter serquitertiam et sesquiquartam medius: qui iccirco in duas sesquioctauas aequales diuiditur: ut hac probatione percipitur.

At sesquiquarta proportio (quod superparticularis sit) in duas aequas proportiones nusquam potest diuidi, ut primo tertii musicae Boetius posuit.

[Gafurius, De harmonia musicorum, f.LXIIv <recte LXIv>,2; text: ditonus, tonus, 81, 72, 64, Duae sesquioctauae.] [GAFHAR2 34GF]

[Boetius, Pythagoras in marg.] Pythagoras itaque in exquirendis uocibus consonis et aequisonis interualla concinna minimo excessu detrimento ue deducta ommittens (quod minimus error aurium sensibus non pateret) omnia quae a multiplici uel superparticulari integritate discederent paruifecit. [Ptholomeus in marg.] sed in cunctis Ptholomeus ei non uidetur acquiescere. quippe qui et ditoniaeum interuallum in Ennharmonio incompositum minimo subtractum interuallo concinne constituit superparticularitati ipsum ascribens ut propositum est: quod modulantes tertiam maiorem uocant (licet a ditono diminutam. Nos uero et si sensus minimas differentias non percipit) ratione tamen eas duximus demonstrandas: [Porphyrius in marg.] cum harmonica <sensus> inquit Porphyrius) usque ad differentiarum <cognitionem>.

[f.LXIIr] Sesquiquintum interuallum maius est tono et semitonio proportione sesquioctogesima Caput Trigesimumquintum.

ILlius rursus tetrachordi quod chromaticum molle genus Ptholomeus uocat acutissimum interuallum scilicet sesquiquintum: toni et minoris semitonii proportionem excedit sesquioctogesima proportione. Nam quum a sesquitertia proportione sesquioctauam aufero relinquitur proportio toni ac semitonii: iccirco quod sesquitertia duos semper tonos ac minus semitonium continet. Disponatur itaque sesquitertia his numeris .24.27.32. quoniam .27. ad .24. sesquioctauam facit: ablato numero .24. relinquitur proportio semiditoni scilicet 32. ad .27. Cum autem numero .27. suam quintam partem scilicet 5 2/5 superposuero: excrescet numerus .32 2/5 qui ad .27. sesquiquintam probat. Sesquiquinta igitur excedit proportionem numeri .32. ad .27. semiditoniaeam sesquioctogesima proportione: ducta uidelicet inter numerum .32 2/5 et .32. ut hic.

[Gafurius, De harmonia musicorum, f.LXIIr,1; text: Sesquiquinta proportio. Semiditonus, Sesquioctogesima, 27, 32, 32 2/5, f, 6, 5] [GAFHAR2 34GF]

Quod quidem uerificatur hoc modo dispositis terminis sesquiquintae proportionis .6. et .5. Suppositisque numeris .32. et .27. ut hic f Multiplico maiorem numerum sesquiquintae scilicet 6. per minorem minoris scilicet per .27. et concrescit numerus 162. Ducto insuper minore numero maioris proportionis per maiorem minoris uidelicet .5. per .32. efficitur numerus .160. Modo numerus .162. ad .160. sesquioctogesimam perficit proportionem qua sesquiquinta proportio tonum excedit cum semitonio quod repugnat positioni Ramis Hyspani indifferenter concludentis semiditonum sesquiquinto interuallo proportione conuenire: [Bartholomeus Ramis Hyspanus, Iacobus Fabri. in marg.] nam ut faber ipse prima tertii tradit. Sesquitonus (sic enim scribit) inter sesquiquintam et sesquisextam collocatus est: quod liquido perpendes si huic productioni speculationem adhibeas. g

[Gafurius, De harmonia musicorum, f.LXIIr,2; text: g, 6, 5, 32, 27, 162, 160, Sesquioctogesima] [GAFHAR2 34GF]

Quoniam autem in chromatica diuisione hypaton tetrachordi capite secundo monstratum est sesquiquintam proportionem excedere proportionem trium semitoniorum chromaticorum quae fiunt inter hypaten meson: et lychanon hypaton chromaticas scilicet 19. ad .16. proportione sesquinonagesimaquinta: constat tria ipsa chromatica semitonia maiora [f.LXIIv] esse quam tonum cum semitonio id est proportionem .19. ad .16. maiorem esse quam .32. ad .27. namque earum excessus reperitur in proportione sesquiquingentesima duodecima ut haec descriptio monstrat h

[Gafurius, De harmonia musicorum, f.LXIIv; text: h, 19, 16, 32, 27, 513, 512] [GAFHAR2 35GF]

Cum igitur sesquiquintae proportioni sesquiquartadecima et sesquiuigesimaseptima simul adhaerentes epitritum interuallum perficiant quod molle chromaticum genus Ptholomeus instituit: quoniam sesquiquinta proportio tono ac semitonio maior est: duae ipsae proportiones minora ac densa interualla metientes sesquiquartadecima scilicet et sesquiuigesimaseptima tonum simul iunctae implere non poterunt sed tanto a sesquioctaua deficient quanto sesquiquinta ipsa tonum et minus semitonium superuadit hoc est sesquioctogesima proportione.

Quo circa quia sesquiquartadecima et sesquiuigesimaseptima sesquinonam coniunctae implent necesse est sesquinonam ipsam proportionem a sesquioctaua sola sesquioctogesima superari.

Quod autem sesquiquartadecima et sesquiuigesimaseptima simul iunctae sesquinonam faciant: probatur: nam multiplicato maiore numero sesquiquartaedecimae scilicet .15. per maiorem sesquiuigesimae septimae qui est .28 efficitur numerus. 420. Inde minore maioris per minorem minoris ducto uidelicet .14. per .27. concrescit numerus .378. Sed numerus .420. ad .378. sesquinonam efficit proportionem: cum eorum differentia sit .42. numeri minoris uidelicet .378. pars nona.

Sesquioctauae autem et sesquinonae differentiam in sesquioctogesima contineri: patet per ea quam uigesimo primo capite primi in calce deducta sunt.

Verum a proportione semiditoni quae est .32. ad .27. ablata sesquioctaua relinquetur proportio semitonii minoris. Subtracto uero semitonio minore a semiditono reliquus est tonus: ut notissime percipitur ex distinctione ipsius sesquitertiae proportionis in tonos et semitonia .22. capite deducta.

At sesquiquintam (et si semiditonum excedit) modulantes tertiam minorem uocant eo quod a sesquiquarta sola proportione sesquiuigesimaquarta superatur.

[Sesquiquartum interuallum tertiae maiori ascribit Ptolomeus et sesquiquintum tertiae minori quae in diapente simul adiacent et concinnae in marg.] Coniunctae autem sesquiquarta et sesquiquinta sesqualteram producent ut hic .4.5.6. namque .5. ad .4. sesquiquartam facit: sed .6. ad .5. sesquiquintam. rursus .6. ad .4. sesqualteram. Mediatur itaque diapentes consonantia secundum Ptholomeum a concinna chordula quae et communis terminus est sesquiquartae et sesquiquintae (maioris quidem minor et maior minoris) quarum concinnitatum alteram tertiam maiorem: alteram (ut predictum est) tertiam minorem constat in quinta idest in diapentes consonantia contineri. Ac de his nonnulla secundo tertii praticae nostrae clarius exposita sunt.

[f.LXIIIr] Diapente cum tono maior est proportione superbipartiente tertias sesquioctogesima proportione. Caput Trigesimumsextum.

NVnc illud concinnum interuallum quod sextam maiorem a numero sonorum uocitant modulantes: diapente ac tono duobus sonis circumscriptum a proposito non recedit. Constat enim in proportione sesqualtera diapente: et tonus in sesquioctaua: quo fit ut interuallum diapentes et toni integrum: in proportione superundecimi partiente sextasdecimas consistat: ueluti .27. ad .16. Nam quum sesqualterae superposita fuerit sesquioctaua ut hic .16.24.27. seu sesquioctauae sesqualtera hoc modo .16.18.27. eandem semper super undecimi partientem sextas decimas proportionem inter extremos terminos conspicies.

[Diapente cum tono que sexta maior uocitatur excedit proportionem superbi partientem tertias sesquioctogesima proportione in marg.] Sunt tamen et qui huiusmodi interuallum superbipartienti tertias proportioni ascripserunt: cum sola sesquioctogesima proportio ambarum ipsarum superundecimi partientis sextas decimas et superbipartientis tertias proportionum: differentiam notet. Maior namque est proportio superundecimipartiens sextasdecimas: ac superbipartienstertias minor ad cuius euidentiam: disponamus terminos maioris scilicet .27. et .16. ipsis terminos minoris substituentes scilicet .5. et .3. Multiplicemus insuper maiorem maioris per minorem minoris uidelicet .27. per .3. et concrescet numerus .81. ducatur item minor numerus maioris per maiorem minoris scilicet .16. per.5. et fit numerus .80. sed numerus .81. ad .80. sesquioctogesimam implet proportionem: qua scilicet maior ambarum proportionum minorem excedit: ut hic patet d

[Gafurius, De harmonia musicorum, f.LXIIIr,1; text: d, 27, 16, 5, 3, 81, 80, sesquioctogesima] [GAFHAR2 35GF]

Id quoque apertius peruidetur: quum inter .27. et .16. deductus fuerit numerus comes superbipartientis tertias proportionis scilicet 16 1/5 hoc modo .27. et 16 1/5 16. nam .27. ad .16 1/5 superbipartientem tertias facit. sed numerus .16 1/5 ad .16. sesquioctogesimam: rursus .27. ad .16. superundecimipiartientem sextasdecimas probat. ut praesens indicat figura.

[Gafurius, De harmonia musicorum, f.LXIIIr,2; text: Proportio superundecimipartiens sextasdecimas. superbipartiens tertias. sesquioctogesima. 27, 16 1/5, 16, Diapente cum tono] [GAFHAR2 35GF]

Errant igitur qui diapenten cum tono: quam sextam maiorem uocant superbipartientitertias proportioni indifferenter ascribunt.

[f.LXIIIv] Diapentes et semitonii interuallum minus est proportione supertripartientequintas sola sesquioctogesima Caput Trigesimumseptimum.

DIapenten cum semitonio minore quam modulantes sextam minorem uocant: Mathematici in proportione superquadragesimiseptimi partiente octogesimasprimas constituunt. Nam dispositis terminis sesqualtere proportionis in qua consistit diapente .3. et .2. subductisque terminis proportionis minus semitonium producentis .256. et .243. si multiplicetur maior terminus maioris proportionis per maiorem minoris sciliet .3. per .256. concrescit numerus .768. ducto rursus minore maioris per minorem minoris scilicet .2. per.243. efficitur numerus .486. hos quum in minores summas uidelicet in numeros contra se primos subtraxeris: ad sextas ipsorum partes uidelicet .128. et .81. declinabunt: modo numerus.128. ad .81. eandem ducit proportionem: quam numerus .768. ad .486. uidelicet super 47 partientem octogesimasprimas.

Nonnulli autem diapentes ac semitonii concinnum interuallum consyderant in chordotono secundum supertripartientem quintas proportionem: quae fit inter .8. et .5. Quam (cum sola sesquioctogesima proportione quae paruissima est) integram diapentes et semitonii dispositionem excedat: concinnitati sentiunt non esse alienam. Quocirca: deductis terminis supertripartientis quintas proportionis .8. et .5. Subductis inde numeris ipsis: qui diapenten cum semitonio producunt scilicet .128. et .81. multiplico maiorem maioris per minorem minoris uidelicet .8. per .81. et fit numerus .648. rursus minore maioris proportionis numero per maiorem minoris ducto scilicet 5. per .128. excrescit numerus .640. qui quidem adinuicem relati sesquioctogesimam perficiunt proportionem: Eorum namque differentiam efficit octonarius: qui ipsius minoris .640. octogesimam praecise partem implet. ut hac figura disponitur. b

[Gafurius, De harmonia musicorum, f.LXIIIv; text: b, 8, 5, 128, 81, 648, 640, 8, differentia, sesquioctogesima.] [GAFHAR2 35GF]

Id quoque facile percipitur: quum terminis proportionis supertripartientis quintas (puta .8. et .5.) numerum comitem proportionis superquadragesimiseptimi partientis octogesimas primas interposueris (is enim est quinarius cum sextadecima parte unius unitatis scilicet 5 1/16) hoc ordine .8. 5 1/16 5. [f.LXIIIIr] Erit igitur diapente cum integro semitonio minore inter .8. et .5 1/16 Atque inter .5 1/16 et .5. sesquioctogesima proportio. Rursus extremi inuicem scilicet 8. et .5. supertripartientem quintas ducunt. quo fit ut haec ipsa super .47. partientem octogesimas primas proportionem sola sesquioctogesima proportione superuadat quod presenti figura dilucidatur.

[Gafurius, De harmonia musicorum, f.LXIIIIr; text: Diapente cum semitonio. Sesquioctogesima, 8, 5 1/16, 5, 128, 81, 80, Proportio super47partiens.81mas. Proportio supertripartiens quintas.] [GAFHAR2 35GF]

Vides igitur uim tantam in esse sesquioctogesimae proportioni ad tempora tam huiusmodi concinnitatum participationem ut tertiam ditonalem et sextam maiorem: ipsius sesquioctogesimae proportionis subtractione: rursus tertiam pariter et sextam minores eiusdem sesquioctogesimae augumento in concentu atque dimensione peruagari liceat: ita scilicet ut alteram saltem earum ac plures saepius: bis ducta consonantia puta diapente aut diapason intermediam expostulet (sic enim concinnitatis arte docemur) ut tertio tertii practicae nostrae in tertia regula notatum est. Atque iccirco uocitantur uagantes et instabiles ac uariabiles: quoniam extremae earum chordae grauissima scilicet et acutissima non sunt ambae immobiles et stantes: sed uel ambae uel altera saltem extremarum est de numero mobilium chordularum: hinc suspensum in cantilena concentum reddunt: et ab harmonicae mediocritatis suauitate admodum diuersum et alienum. Earum uero naturam secundo et septimo tertii practicae nostrae satis abunde elucidatam conspicies. Verum ut quisque quae deducta sunt lucidius percipiat: concinnitatum extensiones hoc diagrammate subiicimus.

[f.LXIIIIv] [Gafurius, De harmonia musicorum, f.LXIIIIv; text: Concinnitatum superpartientium ratione ac sensu Superparticularitati accommodata dimensio secundum Ptholomeum. Sexcupla dimensio. Bisdiapason diapente. Decimanona chorda. Quadrupla dimensio. Bisdiapason aequisonantia. Diapason aequisonantia. Diapente consonantia. Sexta maior diminuta proportione sesquioctogesima. Semiditonus adauctus proportione sesquioctogesima, Ditonus diminutio proportione sesquioctogesima. Diatessaron. Sexta minor adaucta. tertia minor adaucta, tertia maior dimunita, sesquiquarta, tonus, semitonium, a, g, f, e, d, c, [sqb], o, c, e, Sesquiquinta. Sesquitertia. Dimensio supertripartiens quintas, Sesqualtera dimensio. Dimensio superbipartiens tertias. Dupla dimensio, Tripla dimensio. Diapason diapente. Quintupla dimensio. Bisdiapason cum ditono diminuto. 17a chorda.] [GAFHAR2 36GF]

[f.LXVr] His igitur ita deductis aperte perpicitur sesquiquintum spatium quod semiditono adaucto ascribitur si in grauiore chordotoni parte fuerit dimensum aequum erit spacio ditoni diminuti uidelicet sesquiquarto ei coniuncto in acutum atque diatessaron pariter spatium continuans coniunctim in acutum: inde diapente: postremo diapason erunt spatiis aequalia: quoniam cum longiores chordae maioribus numeris annotentur minor proportio ascribetur grauioribus sonis ut sit minor sesquiquinta inde sesquiquarta: tertio sesquitertia: quarto sesqualtera postremo dupla his scilicet numeris .6.5.4.3.2.1. atque iccirco id euenit quoniam in ipsis proportionibus differentiae sunt aequales: nam uniuscuiusque proportionis unitas terminorum differentiam facit quo fit ut quum numeri proportionati chordas extendant quae sonos producunt differentiae terminorum interualla metiuntur quasi quadammodo certos taciturnitatis transitus ex graui ad acutum deducentes et ex acuto in graue (et quidem minoribus numeris maiores inhaerent Arythmetica medietate dictante proportiones: ac minores maioribus) Hinc euenit ut quanto unaquaeque concinnitas sibi ipsi coniuncta fuerit acutior: tanto strictiore et contractiore spacio mensuretur: [Iacobus fabri in marg.] quod et noster Iacobus fabri quarta secundi musicorum Elementorum petitione de tono proposuit. Possunt tamen Concinna Spatia (etiam superparticularia) in duas aequas partes diuidi omni prorsus ommissa proportionis consyderatione ut Aristoxenus uariis Tetracordorum dimensionibus deduxit: [Aristoxenus in marg.] ac integro eius diagrammate undecimo quarti huius operis ducto: in quo singulos tonos in duo semitonia non proportione sed spatio aequalia deposuit: [Iacobus fabri. in marg.] quod et faber ipse ultima tertii Musicorum Elementorum Geometrice deduxit.

Quod omnis uis et ratio harmonici modulaminis in quindecim chordis consyderatur Caput Trigesimumoctauum.

IN quindecim diatonice dispositis chordis disdiapason systema perficientibus rationem atque uim omnem harmonici modulaminis comprobauit antiquitas: sonos omnes atque interualla determinans commensurabilibus proportionibus in chordotono: [Rationalis proportio, Geometrae mensuram sonorum inuenerunt in marg.] quarum quantitates (quod certo communi termino commensurabiles sunt) rationales efficiunt proportiones secundum Arythmeticos. Geometrae autem mensuram atque motiuum [f.LXVv] sonorum modum in musico systemate inuenere magisquam musici.

Sunt autem potissime Tonus qui (et si non consonus) notissima pars et mensura est omnium concinnorum interuallorum primarum ducens consonantiarum differentiam. Inde Diatessaron quae minor est consonantia. Post hanc diapente: consequenter diapason. de Hinc Diapason diapente. Postremo disdiapason. Ac Toni spacium secundum sesquioctauam dimensionem deducitur. Diatessaron secundum sesquitertiam. Diapentes secundum sesqualteram. Diapason secundum duplam. Diapason diapentes secundum triplam. Disdiapason secundum quadruplam. [Filippus Bustus. Mediolanensis. in marg.] Attamen Philippus noster Medices Bustus Mathematicus Phylosophusque acutissimus Aristoxeno adhaerens ingenue fatetur Virtualem Consonantiae quantitatem mensurari debere ex quantitate differentiae: quae est inter denominationem proportionis et ipsum unum quod est communis terminus omnium proportionum et non ex quantitate ipsius proportionis siue maioris siue minoris inaequalitatis. Vt exempli gratia Quantitas uirtualis seu perfectio ipsius diapason habet mensurari ex differentia quae est inter duo et unum et non ex ipsa proportione dupla duorum ad unum: neque etiam ex subdupla quae est dimidii ad unum. Tenet enim quod secundum communia omnium mathematicorum principia haec una debeat poni essentialis et uera ipsius proportionis deffinitio accepta ipsa proportione etiam communiter aut etiam communissime Ipsa isto et non ullo alio modo erit deffinienda scilicet Proportio est discreti eam denominantis ad ipsum Vnum habitudo: [Proportio quid? in marg.] ita quod gratia exempli Dupla hoc uno modo deffinietur scilicet Dupla est ipsius duo ad ipsum unum habitudo [Dupla, Subdupla in marg.]. Et Subdupla est ipsius dimidii ad ipsum unum habitudo. Et consimili uia uult quamlibet aliam proportionem deffiniri siue aequalitas sit siue maioritas siue minoritas: ita scilicet ut iam antea dictum est quod Proportio essentialiter nihil aliud est quam ipsius denominationis ad ipsum unum habitudo.

Consonantiae insuper a graui in acutum intensae maioris inaequalitatis proportione ducuntur. At ex acuto remissae in graue minoris inaequalitatis habitudine disponuntur: [Iacobus Faber. in marg.] quod et Faber ipse uigesimasexta secundi suae Musicae propter Sophystas aduertit: quamquam Complures huiusmodi deductionem indifferenter considerant. Ipsarum igitur Consonantiarum dimensiones his depositionibus facile pernotescunt.

[f.LXVIr] [Gafurius, De harmonia musicorum, f.LXVIr; text: Dupla dimensio. Diapason consonantia grauior harmonice mediata. Acutior Diapason harmonice mediata. Sesqualtera dimensio. Diapente consonantia, Sesquitertia, Diatessaron, Sesqualtera. Diapente, tonus, semitonium, Sesquioctaua, Hypate hypaton, Parhypate hypaton, Lychanos hypaton, Hypate meson, Parhypate meson, Lychanos meson, Mese, Paramose, Trite diezeugmenon, Paranete diezeugmenon, Nete diezeugmenon, Trite hyperboleon, Paranete hyperboleon, Nete hyperboleon] [GAFHAR2 37GF]

[f.LXVIv] Reliquorum autem interuallorum puta Semitonii: Apotomes: Diesis: Ditoni: Semiditoni et huiusmodi: proportionabiles dimensiones in chordotono propriis consyderationibus deduci possunt: ut si minus semitonium quaerimus: quod ex comparatione numeri .256. ad .243. producitur: si totam chordam diuisero in .256. partes aequas: eam inde ad longitudinem partium.243 relatione computata: spatium ipsum ex huiusmodi differentia semitonium ipsum producet duobus ipsis sonis circumuentum: a graui in acutum et econuerso ab acuto in graue. spacium autem ditoni pari modo comperies ex dimensione chordae sonorae in partes octogesimas primas aequales: ac sonus huiusmodi ad sonum terminatae sexaginta quattuor partium chordae ditonum inuicem consonabunt productum in acutum et econuerso ex minori in maius id est ex acuto in graue. Semiditoni autem spatium (quod trigesimoquinto huius secundi produximus) hac ratione comperies: Quum totam chordam in triginta ac duas aequas partes distinxeris integritas chordae grauiorem sonum emittet: cum ea autem quae uiginti ac septem huiusmodi partibus aequis mensurabitur: interuallum semiditoni scilicet superquincupartiens uigesimas septimas intercipiet: et semiditonum ipsum inuicem consonabunt. [Baccheus. Irra ionalis proportio in marg.] In reliquis item consimilis dimensionis ratio sumenda est: quae licet certo communi termino (unitate saltem) commensurabiles sint: ob difficultatem tamen ex ipso accidente Baccheus auctor graecus in introductorio musices Irrationales proposuit. Quum autem adulteriores et auctiores chordotoni dimensiones processens ad quandam exuberantem proportionem peruenies: qua successiuus et naturalis ordo multiplicitatis confringitur. [Vltra bisdiapason non seruatur naturalis ordo multiplicitatis iccirco in fructuosum in musicis antiqui posuerunt huiusmodi excessum. in marg.] Nam cum prima multiplicis generis species scilicet dupla proportio cum prima superparticulari quae sesqualtera est triplam perficiat scilicet secundam multiplicem: Rursus secunda multiplex et secunda superparticularis uidecet tripla sesquitertia tertiam pariter multiplicem scilicet quadruplam ducant: quadruplae ipsi qua disdiapason generatur superducta sesqualtera sexcuplam formabit proportionem. ut his constat numeris .3.12.18. duodenarius namque ad ternarium quadruplam facit: et .18. ad .12. sesqualteram. rursus .18. ad .3 sexcuplam probat.

Tertiae insuper multiplici scilicet quadruplae apposita tertia superparticularis uidelicet sesquiquarta: quartam formabit multiplicem uidelicet quintuplam: quo fit ut cum sesqualtera sesquiquartam [f.LXVIIr] excedat maior inde ex sesqualtera et quadrupla quam ex sesquiquartae et quadruplae coniunctione surgat habitudo. [Diapason diatessaron non consistit in proportione multiplici quia inter duplam et triplam non reperitur ulla multiplex proportio. in marg.] Rursus quoniam dupla diapason et sesqualtera diapenten ducunt: ac simul iunctae faciunt triplam diapason scilicet ac diapenten: nulla inter duplam et triplam multiplex proportio collocatur: cui ascribi possit consonantia maior quam diapason: et minor quam diapason diapente: ueluti est diapason diatessaron quae iccirco consistit in dupla superbipartiente tertias ut .8. ad .3. quae maior est quam dupla: et a tripla superatur sesquioctaua proportione.

Quoniam insuper ut assertum est Tertia multiplicis generis species scilicet quadrupla proportio et tertia superparticularis uidelicet sesquiquarta simul iunctae quartam multiplicem uidelicet quintuplam proportionem generant ut hic .3.12.15. nam .12. ad .3. quadruplam: et .15. ad.12. sesquiquartam probant: rursus .15. ad .3. quintuplam implent. Cumque secunda superparticularis maior sit quam tertia uidelicet sesquitertia quam sesquiquarta. si sesquitertiam ipsam quadruplae apposuero: maior inde concrescet proportio quam quintupla: ut his constat numeris .3.12.16. nam .12. ad .3. quadrupla est: et .16. ad .12. sesquitertia: rursus .16. ad .3. quintuplam sesquitertiam in genere composito ex multiplici et superparticulari perficiunt.

[Pythagorici. Aristoteles in marg.] Illud quoque necessario consyderandum uidetur quoniam nulla superparticularis proportio duplicata multiplicem aut superparticularem ex ipsius duplicatione producit proportionem: consonantia pariter ex superparticulari proportione creata si duplicata fuerit consonantiam non admittet: [Consonantia ex superparticulari deducta si duplicata fuerit dissonantiam in extremis sonis producet. in marg.] quod quadragesimo primo problemate partis harmonicae Pythagoricis consentiens proposuit Aristoteles. Nam dispositis duabus sesqualteris ut hic .4.6.9. quoniam extremi ad se inuicem numeri sciliet .9. ad .4. neque multiplicem neque superparticularem faciunt precise proportionem Diapentes consonantia geminata extremos sonos inuicem discordes sustinebit. Item dispositis duabus sesquitertiis hoc modo .9.12.16. Diatessaron duplicata neque in multiplici cadet neque in superparticulari: iccirco est inconsonans. Rursus si duplae proportioni sesquioctauam apposueris: quoniam ex huiusmodi additione: neque multiplex neque superparticularis producitur proportio Diapason cum tono (extremitate deducta) nullatenus concordabunt. Atque in reliquis maioribus idem contingit. In [f.LXVIIv] minoribus autem proportionibus: quae minima differentia a superparticularitate distant (paruissimo detrimento Augumento ue) superparticularitati ipsi: ut ditonus sesquiquartae sibi propinquiori et semiditonus sesquiquintae uiciniori consonanter accedunt et coaptantur: ut trigesimo quarto ac trigesimo quinto deductum est.

De Instrumento harmonico quater diapason compraehendente Caput Trigesimumnonum.

ET si ultra quindecim perfectissimi disdiapason systematis chordas Antiqui concentum (tanquam indifferentem) existimauerint infructuosum: cum potissime Pythagoras ipse harmonicam regulam artificio utrinque constituisset quoadusque cum melodia et cantu quis posset in graue et in acutum naturali uoce procedere: ut quarto primi descriptum est: Neotherici tamen sub grauiore et assumpta chorda grauissimam posuerunt: ac supra quintamdecimam tetrachordum acutissimum ab ipsa tono disiunctum affixerunt ut sexto quinti theoricae nostrae notauimus. [Pythagoras in marg.] Verum cum Pythagoras extremos disdiapason neruos Proslambanomenon et Neten hyperboleon humanae uoci terminos dicasset: quos ultra in acutius tendens uox ipsa garritum quendam et eruptionem: In grauius uero subducta tusim rauchumque ac crepitum efficeret: [Architas, Plato, Aristoteles in marg.] nullus antiquorum neque Architas neque Plato nec Aristoteles disdiapason systemati ausus est ali quid superaddere (tanta apud eos pythagoricae fuit auctoritatis obseruantia)

Musicorum autem instrumentorum Artifices: chordas et fistulas sonantes ab huiusmodi musicalis naturae lege solutas harmonica adeo obseruatione aptitant instrumentis: ut quotcumque maluerint: sub grauissima Proslambanomeno sonos facile collocent: atque rursus supra Neten hyperboleon intendant.

[Georgius Anselmus in marg.] Georgius enim Anselmus grauissimam monochordo chordam posuit ad quam Proslambanomenos chorda in acutum: dupla dimensione aequisonaret diapason consonantiam: hanc numero .18432. pernotauit: qui ad numerum .9216 Proslambanomenos in omni [f.LXVIIIr] genere ascriptum: duplam efficit proportionem. Ac reliquas intermedias chordas singulas singulis grauioris diapason pythagoreae chordis referens: dupla inuicem dimensione et numerorum descriptione locauit.

Rursus Nete hyperboleon chordae diapason consonantiam superduxit: diuidens chordotoni residuum a nete hyperboleon usque ad finem acutissimum instrumenti: in duas aequas partes: ut sit chorda nete hyperboleon duabus aequis partibus ducta: at ubi prima pars terminauerit: chordam superductae diapason acutissimam collocauit: dupla dimensione dispositam. quam numero .1152. signauit: iccirco Nete hyperboleon numero .2304. descripta: diapasonico interuallo ac dupla proportione ab illa noscitur esse grauata.

Intermediae item huius diapasonicae superpositionis ab intermediis acutioris diapasonicae lyrae: et numero et dimensione: dupla uicisim consyderatione uincuntur: quod notissime constat caute perquirenti.

Hoc igitur augumento musicum Instrumentum uiginti ac nouem perficitur chordis diatonice dispositis: quater diapason sexdecupla extremorum numerorum proportione probantibus. namque dupla proportio per duo multiplicata quadruplam facit: ac quadrupla per duo ducta octuplam. rursus octupla per duo ducta sexdecuplam. quo fit: ut quoniam diapason consistit in dupla: et Bis diapason in quadrupla: necesse sit ter diapason in octupla: et quater diapason in sexdecupla collocari. ut in instrumento his numeris pernotantur, 18432.9216.4608.2304.1152.

In hoc igitur uiginti ac nouem chordarum systemate: et si ultra quadruplam consyderationem ordo multiplicium (ut precedenti capite dictum est) dicatur esse confusus: quod ratione notabilis et disproportionatae distantiae euanescant species precedentes in aduentu subsequentium ita ut extremorum ac mediorum sonorum commixtiones eis quae harmonicae medietati conueniunt proprietatibus alienae noscantur: singulis tamen quadruplis grandis disdiapason geometrica harmonia aequis proportionibus consyderatur atque unaquaeque diapason symphonia aequis semper et extremorum terminorum et differentiarum proportionibus secundum harmonicam medietatem pernoscitur esse contexta.

[f.LXVIIIv] De diuisione tonorum in chordotono per semitonia chromatica secundum Anselmum Caput Quadragesimum.

QVum igitur uiginti ac nouem chordas diatonice quater diapason continentes in instrumento disposueris: si tonos omnis per inaequalia semitonia secundum permixti generis positionem distinxeris eorum forte concordiam (quod propria integritate quasi quodammodo diatonica reddatur asperior) illesus non euadet auditus. quo fit ut secundum chromaticam: quam superius descripsimus dispositionem: semitoniorum ipsorum chordulae collocentur: a permixta deductione aliquantulo uariatae. quod saepius non modo in chordis huiusmodi semitoniaeis contingit: uerum etiam in his quae tonos: et emelles seu concinnos faciunt sonos. expetunt enim ad suauiorem concordiam: citra mensurabiles earum proportiones aliquantulo uariari. ut trigesimoquarto capite de tertia ditonali: et de trihemitonio incomposito trigesimoquinto capite deductum est.

[Equisonae uoces non patiuntur diminutionem in participatione. in marg.] Equisonae uero ob earum aequitatem atque iusticiam propriae genitricis proportionis alterationem non patiuntur. At quae in reliquis fit sonis ab eorum proportionabili dimensione uariatio puta intentione uel remissione (quanquam minima) musici artifices participationem uocant: quod chorda parumper remissa: interuallum eius atque grauioris sibi ipsi propinquioris diminuendo communicet. Necesse enim est huiusmodi concordiam aurium accommodari iudicio: ut quas ratio prius disposuit: sensui quoque consonas esse contingat. [Pythagorici concinnitatum iudicium rationi Aristoxenus sensui Ptholomeus uero et rationi et sensui adhibuit. in marg.] Quod quidem placuit Ptholomeo: qui non solum sensu ut Aristoxenus: neque ratione tantum ut Pythagorici: sed utriusque iudicio musicas coaptauit concinnitates.

Deductis igitur diatonice uiginti ac nouem chordis quater diapason in chordotono monstrantibus: [Anselmus. in marg.] Anselmus plectra seu tactulos: quibus semitonia ut chromatico attinet generi distinguntur: hoc ordine inseruit.

Illud enim interuallum quod inter primam atque grauissimam chordam et secundam adiacet: nouem aequis partibus diuidit. Et ubi pars quinta a grauissima chorda in acutum terminatur: plectrum apponit quod spatium illud toni: in duo inaequalia [f.LXIXr] partitur semitonia.

Ab hoc inde plectro totam in acutum chordam quattuor aequis partibus metitur: et ubi prima terminatur pars plectrum apposuit inter quartam et quintam chordam.

A Primo autem plectro totam in acutum nouem aequis partibus diuidens in termino primae partis plectrum semitonii inter secundam et tertiam chordam ponit.

Rursus a primo semitonio diatonice disposito tribus aequisimis partibus totam in acutum partitur chordam et in termino primae partis plectrum locat semitonii inter quintam et sextam chordam.

A chorda autem semitonii secundi inter secundam et tertiam chordam dispositi totam in acutum chordam tribus aequis partibus metitur: in primae partis termino: plectrum semitonii inter sextam et septimam collocans chordam.

A primo item semitonio inter primam et secundam chordam affixo: totam in acutum chordam quattuor aequis partibus discurrit: et ubi secunda pars quiescit: plectrum semitonii inter octauam et nonam chordam apponit: quod a primo ipso semitoniaeo plectro diapason aequisonantiam dupla dimensione sonabit in acutum.

A secundo autem plectro semitoniaeo: quod inter secundam et tertiam chordam deductum est: chordotonum quattuor aequis partibus diuidit in acutum: ac in termino secundae partis: plectrum semitonii terminat inter nonam et decimam chordam: quod ad secundum ipsum dupla deductione diapason perficit aequisonantiam.

Apposito item circinno in primi semitonii tantulo inter primam scilicet et secundam chordam fixo: quattuor aequis partibus chordotonum partiens in acutum: quum tertiam partem duas in partes aequas seccueris: ubi pars prima cessauerit: plectrum locabis semitoniaeum inter undecimam et duodecimam chordam: ab eo quod inter quartam et quintam chordam dispositum fuerat: dupla chordotoni dimensione: ac diapason aequisonantia disiunctum in acutum.

Insuper a primo ipso semitonio chordotonum tris in partes aequas diuidit: ac ubi secunda pars terminatur: plectrum applicat inter duodecimam et tertiamdecimam chordam: diapason aequisonans ad id quod inter quintam et sextam chordam locatum est.

A secundo rursus plectro inter secundam et tertiam chordam ducto: tribus aequis partibus chordotonum partitur: et secunda pars terminat plectrum inter tertiam decimam et quartam [f.LXIXv] decimam chordam: ab eo quod inter sextam ac septimam locatum est diapason aequisonantia: dupla scilicet in acutum comparatione disiunctum.

Quod quum a primo semitoniaeo plectro totam chordam quattuor in partes aequas distinxeris ubi tertia pars finierit plectrum inter quintamdecimam et sextamdecimam chordam collocabis: quod diapason sonabit in acutum: ad id quod inter octauam et nonam chordam confixum est.

A secundo autem semitonio quod inter secundam et tertiam chordam dispositum est: chordotonum diuidit quattuor in partes aequas: et ubi tertia pars quiescit: plectrum apposuit inter sextamdecimam et decimamseptimam chordam: quod ab eo quod nonae et decimae chordae interiacet: dupla dimensione diapason aequisonat in acutum.

Consimili quoque deductione disponuntur reliqua chromatica semitonia secundae medietatis huius monochordi: quum potissime dupla sese inuicem (diapason aequisonando) dimensione custodiant.

[Pythagoras in marg.] Pythagoras itaque regulam exquisiuit (non ligneam aut aenneam per quam sonos et interualla metimur) sed proportionabilem huiusmodi dispositionem: adeo fixam et ueram ut queritantes minime dubios reddat sed efficiat certiores.

[Ratio proportionum fistulis adiacet: et psalterio et fidibus: et canulis organorum. in marg.] Sed haec eadem ipsa ratio procedit in fistulis sufflatiuis: quarum grandiora foramina grauiores educunt sonos: minora secundum rationem proportionis acutiores: quod quidem queritans tibicen: cera plerumque partem foraminis occludit aliud pro parte proportionabili digitis pensitat.

[Elucidator. in marg.] Idem quoque et in triangulari psalterio et in fidibus proportionaliter contingit obseruari: quod uigesimi tertii problematis partis harmonicae interpretatione Petrus Aponensis lucidius exposuit.

Nec secus in organorum canulis conspicies: quum longioribus breuiores: et artiores latioribus fuerint proportionabiliter copulatae.

[Canularum longitudo ad diametralem latitudinem comparatur. in marg.] Expertum enim est de longitudinis ratione ad concauitatem canularum: eam mediocrem et suauem sonitum fistulam educere: cuius longitudo nouem ipsius concauitatis diametris coaequatur.

Asperum uero et altum dat canula sonum: quando septem concauitatis diametris et unius medietati longitudo fuerit aequalis.

Per strepitum insuper garrit canulae sonitus quum septem concauitatis diametris par fuerit longitudo.

Id quoque naturaliter accidit quod propulsus idem atque eadem potentia spiritus per canulam longiorem: tardius ad summum percurret: celerius per breuiorem.

Quod si canula [f.LXXr] amplior latior ue fuerit quietius: per artam uero maiore impetu. Quo fit: ut quum folles aerem sonorum aequo uigore per longiores aut ampliores canulas impellunt: magis quietum et grauem sonum emittant: e contra magis asperum et acutum transiens spiritus per breuiores et artiores. Quod licet ita sit: necessum tamen est canulas ipsas sese inuicem et longitudine et latitudine proportionabiliter custodire.

Fanchini Gafurii Laudensis Harmoniae Instrumentalis Liber Secundus finit.