Back to top

[2] De proportionum diffinitione et distinctione: Caput XX.

Mihi per proportionum campum qui patentissimus est, eius amaenitate capto, latius quam mea fert cupido, amissis habenis lustrandum foret. Verum ne quis rugata fronte torvisque oculis haec nostra inspiciat ratus fortasse, me illud Horatianum non lectitasse: "Quidquid praecipies esto brevis, ut cito dicta percipiant animi dociles teneantque fideles," omissa nugarum voragine, per huius patentissimi compendia campi (pro viribus namque meis scitu cognituque tantum apprime necessaria paucis complecti statui) ad optatam me tam citato gressu tendere nitar.

Sciendum est igitur proportionem quandam esse duorum quantitatem terminorum, vel Boetii auctoritate, duorum quandam terminorum invicem comparationem. Termini enim et numeri in hac consideratione idem sunt.

Duplex est autem proportio, aequalitatis, scilicet, et inaequalitatis. Aequalitatis proportio est duarum aequalium quantitatum vel numerorum mutua comparatio, ut si fieret duorum ad duos relatio, et trium ad totidem tria, et unitatis ad unitatem. Et aequalitatis dicitur proportio quod numeri in sua comparatione invicem non discrepent, ut patuit.

Sicut e converso inaequalitatis proportio dicitur cum disparium fit numerorum comparatio, ut est duorum ad unum vel e contra, trium ad duo et converso. Et hoc quidem proportionis genus apud musicos est in frequenti usu nec ab re. Nam clarius luce patet consonantias ex dissimilibus ac imparibus sonis constare, et proportiones a quibus ortum habuere consonantiae impares atque dissimiles esse oportere, et has secuti sunt musici, reiectis aequalitatis proportionibus. De quibus nullus a nobis fiet sermo, sed tantum de inaequalitatis proportione.

[4] Quae duplex reperitur, maioris, scilicet, inaequalitatis et minoris. Maioris quidem inaequalitatis proportio indicatur comparatione quae fieri solet ex maiori minorique numero, aut cum minor numerus maiori supponitur eumque subsequitur, qualis esset duorum ad unum, quattuor item ad duo, et quinque ad tria, et reliqua id genus qui quidem maiores numeri aequivalent minoribus.

Minoris autem inaequalitatis proportio est comparatio a superiore contraria cum minor, scilicet, maiori comparatur numerus. Vel etiam [in]aequalitatis proportio est cum minor maiorem antecedit numerus vel superponitur, ut est unius ad duo, et duorum ad quattuor, et trium ad quinque, ita quod minores semper aequivalent maioribus. Cum igitur maior numerus minorem praecedit, dicas enim proportionem esse maioris inaequalitatis; sin inverso ordine numerus statuatur, minoris dicenda erit inaequalitatis proportio, cum minor numerus praecedit maiorem.

Nota enim quod in maioris et minoris inaequalitatis proportione quandam saepe differentiam videre contingit. Quae differentia illa est quantitas qua maior numerus minorem supereminet; facta comparatione a 4 ad 6, qui quidem numeri differunt binario tantum, quoniam senarius binario quaternarium superat et e converso. Quod utique discrimen et varietas aequalitatis proportioni minime contingit, cum illius uterque numerus idem sit. Et de his hactenus, nunc ad reliqua.

De quinque generibus proportionum maioris et minoris inaequalitates: Caput XXI.

Harum quidem, maioris, scilicet, et minoris inaequalitatis, unaquaeque proportio quinque potitur generibus, tribus ex his simplicibus duabusque compositis. Simplicia quidem proportionum genera sunt multiplex, superparticulare et superpartiens. Composita vero multiplex superparticulare et multiplex superpartiens. Ex his omnibus maioris inaequalitatis proportio oritur.

[6] Quarum prima seu primum genus fit cum ex duobus numeris minor in maiore bis, ter vel quater aut pluries praecise numeratur, ut sunt duo ad unum, sic 2:1, et tres ad unum, 3:1, et quattuor item ad unum, 4:1, et sic ad infinitum, adeo quod nil eminet nec superat, de quibus latius sequenti capite. Quod autem proportionum genus multiplex a multiplicando dicitur, nam diversimode multiplicat numeros, ab unitate per binarium, ternarium vel quaternarium inchoando, et sic de caeteris.

Superparticulare autem efficitur genus cum ex duobus numeris maior semel habet totum minorem ac insuper unitas ipsius minoris superest, ut sunt tres ad duo, 3:2, et quattuor ad tres, 4:3, et demum quinque ad quattuor, 5:4. Ternarius namque numerus in se binarium, et quaternarius ternarium, et quinarius quaternarium semel continet ac unitatem ut liquet. Diciturque superparticulare genus, quia supra contentum numerum unam eiusdem numeri minoris particulam continet.

Superpartiens genus tunc extabit, cum ex duobus numeris maior amplectitur semel tantum minorem et minoris insuper duas, tres pluresve portiunculas, quod videri licet exemplo quinque ad tria, 5:3, nam in quinario numero tres insunt et ipsorum trium duae etiam partes, videlicet, duo. Similiter si fiat septem ad quattuor comparatio, 7:4, maior enim numerus minorem in se claudit et tres [orig.: tertiam] minoris numeri partes [orig.: partem], videlicet, tres. Quoniam maior numerus minorem semel continet et partes ultra eiusdem, propterea dicitur genus superpartiens.

At multiplex superparticulare genus offertur cum ex duobus numeris maior minorem bis pluriesve intercipit numerum cum unica minoris numeri parte, ut facile hoc manifestatur exemplo, 5:2, ex quibus numerus maior bis continet minorem et dimidiam partem minoris, videlicet, unum. Item ut sunt 10 ad 3, luce enim clarius est minorem numerum ter in maiore connumerari et unitatem superesse. Quod quidem proportionum genus sub multiplici genere complectitur, quia sicut et multiplex numeros multiplicat, et quia supereminentem continet particulam velut particulare, eiusdem naturam attingere videtur.

Multiplex superpartiens compositum genus iure fieri dicitur cum minor numerus in maiore non semel sed pluries inseritur, et insuper ipsius minoris numeri plures partes, ut sunt 8 ad 3; his liquido apparet minorem numerum [8] in maiori non semel tantum, sed bis includi, et duas etiam ternarii numeri portiunculas. Idem sortiuntur 12 ad 5; item eundem pariunt effectum 11 ad 4, minor enim numerus in maiori bis numeratur et eiusdem minoris numeri tribus superabundantibus partibus. His non differunt re ipsa 15 ad 4 diciturque hoc genus multiplex superpartiens, quia multiplicis naturam ac superpartientis generis complectitur, sicut enim multiplex pluries iterat minorem, idemque hoc genus operatur sicut etiam maior superpartientis numerus minorem semel continet ultraque partes eiusdem, hoc idem non aliter facit. Et haec de maioris inaequalitatis proportione dicta sufficiant.

Totidem minoris inaequalitatis proportionis genera esse non ignoras, superioribus quinque contraria, quibus eadem superiorum nomina indita sunt, hac tamen adiecta praepositione sub, hoc modo, genus submultiplex, subsuperparticulare, subsuperpartiens, submultiplex superparticulare et submultiplex superpartiens. Quae quidem quinque genera, etsi a superioribus nomine non differant, operatione tamen dissident. Minoris namque inaequalitatis proportio ex duobus numeris minorem praecedere iubet, et eundem a maiori contineri. Qua dispositione in floridis cantilenis notularum pausarumque vis augetur, hoc enim quia minor notularum numerus aequalis maiori efficitur. At in maioris inaequalitatis proportione haec omnia invertuntur, primo namque maior numerus minorem et praecedit et continet; notularum pausarumque vis diminuitur, quoniam maior notularum numerus aequali minori adaequatur. Denique ne in his allucineris, exempla omnem mentis calliginem amoventia substatuenda curavi.

[10] [CCMP/TT2:10; text: Quinque proportionum genera, Genera tria simplicis, Genera duo composita, Multiplex, Superparticulare, Superpartiens, Multiplex Superparticulare, Multiplex Superpartiens, Dupla, Sesquialtera, Superbipartiens tertias, Dupla sesquialtera, Dupla superbipartiens tertias, Tripla, Sesquitertia, Superbipartiens quintas, Dupla sesquitertia, Dupla superbipartiens quintas, Quadrupla, Sesquiquarta, Superbipartiens septimas, Dupla sesquiquarta, Dupla superbipartiens septimas, Quintupla, Sesquiquinta, Supertripartiens quartas, Tripla sesquialtera, Tripla superbipartiens tertias, Sextupla, Sesquisexta, Supertripartiens quintas, Tripla sesquitertia, Tripla superbipartiens quintas, Septupla, Sesquiseptima, Supertripartiens septimas, Tripla sesquiquarta, Tripla superbipartiens septimas, Octupla, Sesquioctava, Superquatripartiens quintas, Quadrupla sesquialtera, Quadrupla superbipartiens tertias, Nonupla, Sesquinona, Superquatripartiens septimas, Quadrupla sesquitertia, Quadrupla superbipartiens quintas, Decupla, Sesquidecima, Superquatripartiens nonas, Quadrupla sesquiquarta, Quadrupla superbipartiens septimas, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 16, 17, 22, 23, 30] [VANREC 01GF]

[12] Quomodo quantave quantitate diminutionem et incrementum recipiant notulae, sub maioris et minoris inaequalitatis proportione suppositae: Caput XXII.

Peracto fine praecedentis capituli in quo notularum maioris inaequalitatis proportionis diminutio et minoris incrementum habetur, forsan nonnulli moverentur dubio, quantum augmenti ac diminutionis notulae praedictae suscipiant. Quoniam aliqua proportione per dimidium, aliqua per duas tertias, aliqua tres quartas, aliqua per tertiam, ac etiam aliqua per quartam partem diminuuntur notulae, et sic de caeteris, iuxta numeri comparati proportionem et e converso, de eorum incremento dicatur.

Quocirca, nec te praetereat haec pulchra, docta, utilis ac optima regula, scilicet, habita numerorum proportionis scientia, qualis sit inter eos differentiam opus est dinosci, videlicet, in his 3 et 2, quorum differentia unius esse constat. Et quia unus praecedentis numeri, hoc est trium, pars tertia est, ideo quaelibet notula diminuetur in tertia, itaque tres notulae aequi valebunt metro et quantitate duarum, ut in sesquialtera elibatum videbis. Ac etiam assume sesquitertiam 4 et 3, cuius differentia unus est, cumque unus eiusdem quattuor pars quarta notetur, quaelibet notula in quarta parte diminuta fiet. Qua quidem diminutione quattuor notulae tribus efficientur aequales.

Idemque videbis in minoris inaequalitatis proportione. Quoniam apponantur hi numeri, scilicet, 4 et 5, quae subsesquiquarta dicetur, quo nam discrimine constent facile dinoscitur, uno duntaxat numero, qui quarta pars quattuor habetur, itaque quaelibet notula per quartam suscipit augmentum, quattuor ergo notulae quinque aequivalent.

Sic etiam a 5 ad 6, si bene consideres, eadem tibi regula fiet. Nam unus duntaxat est differentia, quintaque ipsius quinque pars est, idcirco notula quaelibet per quinque augetur. Quinque igitur notulae senario numero fiet aequiportio, idemque de caeteris videre datur. Cuius quidem regulae, ut supradictum est, nulla te obiivio tangat, nam eadem per cognita omnium proportionum scientiam habere poteris.

De multiplici genere eiusque speciebus: Caput XXIII.

Dicturus singulatim capitulatimque de praelibatis proportionum generibus ac speciebus, a multiplici caeteris veluti excellentiorem praestantioremve exordium duxi sumendum.

[14] Multiplicem igitur, ut dictum est, proportionem fieri non te fugiat, cum maior numerus bis pluriesve est minoris numeri capax, nihil superabundante, ut sunt duo ad unum, tresve ad unum, vel quattuor ad unum, sicque de reliquis. Huius generis species hae sunt, dupla, scilicet, tripla, quadrupla, quintupla, multaeque aliae, quarum processus tendere posset in immensum. Earumque denominatio a numero maiori dependet, praecognito quotiens maior continet minorem, vel etiam a parte minoris quotiens sit a maiori contentus, ut exempli gratia: Si maior minorem bis continet, vel bis minor a maiori contentus erit, dupla proportio. Si ter vel quater, tripla vel quadrupla fiet, ac ulterius procedendo. Et quamvis superius fuerit praenarratum, infinitos proportionum reperiri processus, nimia tamen difficultate canendi maiorisque numeri multiplicatione in partes aequales, quod factu difficillimum experienti videbitur, eas cum singularum exemplis, ut inanes ac nullius ponderis praetermittam.

Illis igitur tamen quae frequentiori sunt in usu stylum iniiciam. Quales sunt dupla, tripla et quadrupla multiplici contentae genere. Duae vero in genere superparticulari, sesquialtera et sesquitertia, de quibus alibi, ubi patebit sesquitertiam perdifficilem esse, figuris praesertim semibrevibus, minimis, ac semiminimis circumscriptam ac figuratam. At brevibus longisque notulis designata, cantoribus comis mitisque continet, ut exemplo nacti locum opportunum comprobabimus. Denique cum has (ut diximus) species capitulatim litterarum monumentis tradere constituerimus, seriei caput duplam constituemus proportionem.

De dupla proportione: Caput XXIIII.

A dupla ut proposui proportione auspicando, eam esse dicimus cum maiori numero minorem bis contineri, nil superabundante, perspicimus, ut est duorum ad unum, et quattuor ad duos, et sex ad tria, et octo ad quattuor, et his plura in infinitum procedendo superiori modo. Quae quidem proportio a musicis duplaris numerus vocatur, nam unitas in binario, ut binarius in quaternario, similiter de reliquis dupliciter reperitur. Eadem proportio Atriae quidem asserente Duce, a duabus emanat proportionibus, a sesquialtera, scilicet, a qua diapente, et etiam a sesquitertia, [16] a qua diatessaron efficitur. Maiori enim sesquialterae numero per maiorem sesquitertiae iterato, scilicet, tres per quattuor, numerus duodecim fiet, ac etiam minori sesquialterae per maiorem sesquitertiae duplicato, videlicet, duo per tres, tunc enim sex afforet numerus. Duodecim ad sex igitur comparato, veniet proportio dupla, cum maior numerus minorem bis [orig.: semel] continet.

Haec autem dupla proportio duplici solet indicari signo, depositione in primis, ut ostensum est, arithmetici numeri. Et descriptione canonica dispositis igitur in cantilena arithmeticis numeris, hac sequenti serie: 2/1 4/2 6/3 8/4, indicatur semibrevem vel minimam, et quamlibet aliam ex figuris seu pausis, dimidia sui virtute diminui atque privati, ut cum duas semibreves unius vice semibrevis cantando proferrimus, et quattuor, quod idem est, sub duarum tempore voce depromimus.

Canonica deinde descriptio fieri potest, cum in quamvis ex quattuor cantilenae partibus huiusmodi describuntur verba, "Diminuitur in duplo." Tunc enim innuitur quamlibet figuram dimidiam sui facultatem amittere, ut capite de diminutione ac notularum variatione latius complexi sumus.

Alius etiam solet huius proportionis inveniri modus, qui apud musicos aetatis nostrae penitus prope abolevit, ut tamen cum inveneris, cognoscas in una scias cantantium parte sectum inveniri semicirculum, et in alterius parte inversum semicirculum atque insectum, ut hic: [Cdim,CLdim] [orig.: [CL]]. Sed omnis notula inverso semicirculo subiecta dimidio privatur. Ex his igitur omnibus modis, frequentior est arithmetico numero designatus, cuius solius exemplum legentibus offeremus; qorum solerti ingenio reliqua tradimus indaganda.

Sed priusquam ipsum statuatur exemplum, sciendum est praelibatam, et ut largius dicam, quamlibet aliam proportionem cuiuscumque generis maioris seu minoris inaequalitatis duobus modis terminari mutari. Primo, cum post ipsam subsequatur contraria proportio, et ne res ipsa exemplo careat, non ignoras quoniam modo dupla figuretur proportio arithmetico praesertim numero, haec delebitur tandem disposito ac sequente arithmetico numero a praecedente contrario, sic: 2/1, contrarius: 1/2. Unde reliquum quod sequitur [18] cantilenae post contrariam proportionem, cantandum erit ut antequam prior poneretur proportio, scilicet, per signum temporis perfecti vel imperfecti, seu prolationis ante proportionem existens.

Quae etiam pro secundo alio solet terminari modo, videlicet, cum sequatur perfecti vel imperfecti temporis signum, cuius virtuti sequentes notulae parent. Tandem (ut instar dicam epilogi) non ignoras non solum hanc quam in manibus habemus proportionem, sed quamcumque aliam illic terminari, ubi ei contraria videbitur sita proportio, vel, ut dictum est, perfecti aut imperfecti temporis signum subsequi videbitur, ut hac liquido constat compositione.

[CCMP/TT2:18; text: Cantus, Tenor] [VANREC 02GF]

De tripla proportione: Caput XXV.

Triplam proportionem, quam multiplicis generis secundam aiunt speciem, effici non te fugiat cum duobus ex numeris minor ter a maiore nec plus nec minus complectitur; exemplo sunt tria ad unum, sex ad duo, novem ad tria, duodecim ad quattuor, et his reliqua similia. Et hanc triplam proportionem plerique omnes triplarem numerum vocitant, nam maior numerus, id est, tria, minorem numerum, id est, unitatem, ter complectitur. Sic sex binarium, novemque ternarium, ac etiam duodecim quaternarium aperte continet.

Haec autem tripla [orig.: dupla] proportio Ducis Atriae auctoritate a duabus extrahitur proportionibus, scilicet, a dupla octavam generante, et a sesquialtera a qua quinta procedit, maioribus namque numeris per maiores alterius numeratis, ac minoribus per eiusdem minores, videlicet, duo per tria, efficiunt sex, ac etiam unum per duo, duo, sex igitur duobus comparatis tripla proportio constat, a qua diapason cum diapente consonantia [20] vel ut aliter duodecima venit.

Quae utique tripla proportio duobus describitur modis, arithmeticis, scilicet, numeris et canonica intitulatione. Arithmetici autem numeri positio talis exprimitur: 3/1 6/2 9/3 12/4, his enim indicatur tres [orig.: treis] notulas seu pausas vim unius eiusdem generis possidere, et eas cantando sub unius momento proferri, ut cum tres semibreves unius semibrevis momento intercantandum percurruntur. Cuilibet igitur notulae seu pausae huius proportionis imperio subiectae, duae tertiae partes subtrahuntur; qua quidem subtractione, maior notularum numerus aequalis minori in pronunciatione et metro efficitur.

Canonicus autem modus idem efficiens, quod modo dictum constat, his solet indicari verbis, "Diminuitur in triplo." Cui quidem proportionis finis illius modi statui solet, cuiusmodi fieri diximus superius de dupla proportione, ut hoc pandimus concentu.

[CCMP/TT2:20; text: Cantus, Tenor] [VANREC 02GF]

De quadrupla seu bisdupla proportione: Caput XXVI.

Quadruplae proportioni tertia a suo multiplici genere cessit sedes; ea fit cum ex duobus numeris minor in maiori quater ad summum continetur, ut sunt quattuor ad unum, unitas enim in quaternario quoties insita sit, luce clarius est. Idem efficiunt octo ad duo et duodecim ad tria, et reliqua id genus.

[22] Unde scrutanti constabit minorem in maiore numero quater tamen reperiri hacque ratione: Quadruplaris fertur numerus seu, quod idem est, quadrupla proportio quae a duabus duplis oritur proportionibus, videlicet, 2/1 2/1. Duplicato igitur maiori per maiorem, quattuor fiet, et minori per minorem, id est, unum per unum, idem unus erit. Quattuor ergo ad unum quadrupla constabit proportio, cuius virtute quattuor notulae seu pausae ad unam tantum eiusdem generis cantando rediguntur, maior numerus continue minori aequivalendo. Ut ne desideretur exemplum, cum quattuor semibreves unius vim semibrevis tribus quattuor partibus amissis obtinent.

Ad hanc duplex patet aditus, arithmetico in primis numero, huiusmodi dispositio serie: 4/1 8/2 12/3, et canonico deinde praecepto, ut cum dicitur, "Diminuitur in quadruplo." His igitur duobus modis quadrupla constat proportio, quibus ethnicorum neotericorumque volumina referta testantur.

Terminari denique solet quadrupla proportio, quando subquadrupla in eius meta est constituta, sic: 1/4, vel perfecti insuper ac imperfecti temporis signo, ut de reliquis dictum est proportionibus, sequentique harmonia annuente.

Caeterasque huiusmodi generis proportiones, videlicet, quintuplam, sextuplam, septuplam, octuplam, nonuplam, ob nimiam eorum difficultatem silentio involuam, ac peritorum scrutationi relinquam eorumque contrarias ut subdupla, subtripla, subquadrupla et hiuismodi, quoniam a contrariorum peritia facile dinosci possunt. Cum illae maiores numeros minoribus, hae vero minores maioribus aequivalent permittant, etiam brevitatis causa tacendum arbitror. Genus autem superparticulare eiusque species diligenter explanem.

[24] [CCMP/TT2:24; text: Cantus, Tenor] [VANREC 03GF]

De superparticulare genere: Caput XXVII.

Multiplici genere eiusque speciebus absolutis, in secundum maioris inaequalitatis genus cognomine superparticulare stylum convertam meum. Id igitur fieri aiunt cum ex duobus numeris maior semel minorem proximum tantum comprehendit, unitate minoris numeri exuberante; hoc quidem probatur trium exemplo ad duo, in maiori namque numero (si recte inspexeris) duo inseruntur ac insuper unius superest. Patebit igitur perito calculatori maiorem numerum minorem excedere duntaxat unitate, quae profecto unitas est ipsius minoris numeri modo dimidium, modo tertia pars, modo quarta, et aliquando quinta, et sic de reliquis ulterius procedendo.

Sciendum tamen quod, si unitas illa erit minoris numeri dimidium, proportio cognominabitur sesquialtera, ut sunt tria ad duo, et sex ad quattuor et novem ad sex, sicque de reliquis huiusmodi. Et si forte unitas illa tertia minoris numeri pars foret, sesquitertiam appellari dicimus, quod comparatione quattuor ad tria satis constat. Similiter 8 ad 6, et 12 ad 9, et his similia.

Posset aliquando unitas praelibata minoris eiusdem numeri quarta videri portiuncula, unde merito sesquiquarta fertur proportio; exemplo sunt quinque ad quattuor, et decem ad octo, tantumdem efficiunt quindecim ad duodecim. Cuius numeri progressus in infinitum tendere posset, dummodo (ut saepe [26] dictum est) maior numerus minorem semel tantum contineat ac insuper dimidiam partem minoris numeri, vel tertiam, vel quartam, vel quintam, et plus iuxta utriusque numeri simul comparati dispositionem, et ab illa superabundante parte, qualiscumque et quantacumque fuerit ipsa proportio nomen sortietur. Nam si pars illa qua minor numerus exceditur a maiori erit minoris numeri dimidia, proportio dicetur sesquialtera. Si forte erit tertia, sesquitertia nuncupabitur proportio. Si quarta proportio sesquiquarta, et sic de reliquis quam plurimis quae lectoris relinquimus iudicio. Huius autem generis species infinitae habentur, quorum nonnullas commemorem.

Prima igitur sesquialtera, secunda sesquitertia, tertia sesquiquarta, et quarta sesquiquinta vocatur, et sic in infinitum. Nihilominus duas tamen proportiones maxime necessarias, quotidianoque usu frequentissimas ac omnium celeberrimas memoriae prodam, sesquialteram, scilicet, et sesquitertiam, quae in sequentibus ad amussim et pergraphice describentur, neglectis resectisque superfluitatibus et ambagibus. Caeteras autem sesquiquartam, scilicet, sesquiquintam, sesquisextam et huiusmodi nimia difficultate canendi, quia in paucissimis privantur notulae, silentio pertransibimus.

De proportione sesquialtera seu hemiolia: Caput XXVIII.

Nunc promissa paucis aggredior, ex duabus, scilicet, priorem speciem, sesquialteram vel mavis hemioliam proportionem dictam, quam superius fieri diximus cum tantumdem et dimidium habet, vel et clarius cum maior numerus minorem numerum semel tamen intercipit et minoris insuper medietatem; id pandunt tria ad duo relata, sex ad quattuor, et novem ad sex, et plura his. In tribus, enim sunt duo et duorum media pars, id est, unum. Similiter in sex quattuor insunt cum dimidia parte, id est, duobus et idem de reliquis computare poteris.

Hanc autem proportionem multifariam musici appellant, numerus enim hemiolus, seu hemiolus, sive sesquialter, vel proportio hemiola, et sesquialtera proportio, quae omnia in idem redeunt; diversa quidem sunt nomina, sed idem est effectus.

Nam hemiolia ab hemis graece, latine semis, et olon, id est, totum, quod totum minorem numerum cum dimidio contineat, ut patuit. Sesquialtera [28] vero a sesqui, id est, totum, et altera quasi dimidium totius, quia media pars minoris numeri copulatur maiori.

Ab effectu igitur patet sesquialteram et hemioliam proportionem idem esse, non nomine sed re ipsa, licet non pauci sint qui secus contendant, quorum sententiam ut futilem et ridiculam fugiendam censemus atque monemus; nec in hos testes citabimus, cum id luce clarius sit.

Haec etenim sesquialtera proportio a duabus proportionibus extrahi potest, a sesquitertia, scilicet, diatessaron generante, videlicet, quattuor ad tria, ac etiam a sesquioctava, videlicet, novem ad octo, a qua subsequitur tonus; de modo autem assume exemplum. Duplicato enim maiori sesquitertiae per maiorem sesquioctavae, videlicet, quattuor per novem, sex et triginta fiet. Ac etiam minori eiusdem per eiusdem minorem, scilicet, tria per octo, quattuor et viginti notabis; quibus una comparatis, scilicet, triginta sex et viginti quattuor, sesquialtera fiet; ac si tribus et duobus appositis, quoniam maior numerus minorem semel continet eiusque dimidium.

Duobus igitur modis hanc notari nolim te ignorare, arithmeticis primo figuris, ut hic: 3/2 6/4 9/6 12/9, furvis seu nigris notulis, absque ullo arithmetico signo. Hinc multi decipiuntur laqueoque ignorantiae capiuntur, arbitrantes tum dici sesquialteram proportionem cum numeris arithmeticis cantilena insignitur, at hemioliam notulis nigris appositis, quod utique falso falsius est, cum ut dictum est, eadem sit vis. Et in ea proportione tres notulae seu pausae mensura ad duas rediguuntur notulas vel pausas sibi similes, cum ex illis tribus singulae tertiam amittant partem.

Nonnulli etiam prisci cantores, sesquialteram reperientes, eam quidem falso opinantes triplam appellant, quam procul absit a vero rectoque iudicio, peritorum est iudicare. Tribus enim duobus oppositis sesquialtera generatur, non autem tripla proportio, et equidem opinor esse positum iudicium ternaria duntaxat in cifra.

Solet denique haec terminari proportio arithmeticis decorata numeris subsequente ei contraria, videlicet, subsequialtera sic: 2/3, vel alterutrius [30] temporis signo. Sed cum nigras adesse notulas conspexeris quas utique notas absque numeris diximus, illis notis nigris deficientibus, deficit et ipsa proportio; ad hoc adest exemplum.

[CCMP/TT2:30; text: Cantus, Tenor] [VANREC 03GF]

De numerorum sesquialterae proportionis descriptione: Caput XXIX.

Animo conceperam ab hac sesquialtera proportione stylum revocare metamque constituere, verum cum in hac in cantilenis describenda non paucos in mirum modum aberrare cognoverim. Quod et veterum et recentium musicorum opera testantur. Opere pretium fore duxi, hac si in re musicali pubi consulerem, quo penitus ignorantiae sordibus abstersis veritatis lautitiam atque splendorem attingere valeat. Rectamque gressus revocet in semitam, ubi manifestarius verusque error emergetur, qui uno tamen arithmetico numero hanc sesquialteram proportionem describunt sic: 3, quod ab ipsa prorsus alienum est Boetii diffinitione, quam capite de proportionum diffinitione et distinctione constare patuit duobus numeris.

De hinc deprehendi non potest quae et qualis fit ipsa proportio solo solo ternario constituto, ut ostensum est numero, nam sub eo unitatem imaginari possumus: 3/1, sicque tripla dicetur. Aliquando praesupponere [32] possumus sub ternario quaternarium numerum hoc modo: 3/4, et subsequitertia fertur. Patet igitur sub solo ternario numero, ut dictum est, in cantilena disposito, subintelligi ac subimaginari posse promiscuos numeros. Quocirca, ut cantoris animus a tanta immunis perplexitate existat, praecipimus atque monemus hanc sesquialteram proportionem, iuxta eius diffinitionem, non solo tamen ternario numero signandi esse, sed binario etiam inferius addito numero: 3/2.

Quod idem intelligendum reliquo de reliquis proportionibus, eas videlicet iure ipso signandas esse duobus semper numeris, non tamen eisdem, ut in superioribus patuit, nam sesquitertia proportio has amat figuras: 4/3, sesquiquarta his gaudet numeris: 5/4, dupla his: 2/1, tripla his: 3/1, quadrupla has exigit figuras: 4/1, sicque de reliquis maioris inaequalitatis, quae maiori superius, minori inferius disposito numero copulari signarique debent. Minoris vero inaequalitatis proportiones inverso contrarioque a superioribus disponuntur ordine, quod verbosius in praecedentibus prosecuti sumus.

De signorum ac notularum sesquialterae proportionis compositione: Caput XXX.

Aliud insuper non mediocre vitium universam fere musicorum manum temere sequi animadverti, cum ante sesquialteram ex his duobus alterum praeponant signum: [O,C], idem namque sunt in mensura, sub his enim notulae signis militantes eandem imitantur mensuram, et singulae semibreves uno mensurantur ictu. Deinde ipsi sesquialterae proportionis breves ac semibreves dedicant notulas, inventes treis [sic] semibreves unico ictu contineri ac mensurari, quo nil ineptius est in sesquialtera proportione, id enim potius triplae congruit proportioni, ut solerti exploratori facile constabit.

Primum igitur intuendum erit quod cantilenae signum dominetur. Si alterum ex supradictis dominabitur, certo certius est singulas semibreves vel binas minimas, quod idem est, unico ictu cantando mensurari. Post vero sesquialteram tenetur peritus musicus suam conficere cantilenam ex semibrevibus et minimis, ut recta fiat sesquialtera proportio, cuius figura talis est: 3/2, quae utique misterio non vacat. Inferior namque dualis numerus innuere videtur duas minimas contentas in semibrevi ante [34] signum posita, ut diximus, cantando unico ictu, vulgo batuta dicitur, mensurari. Ternarius autem superior numerus docere videtur post ipsam sesquialteram totidem minimas, quod arithmeticus significat numerus, videlicet, tres, sub una ictus mensura compraehendi debere.

Sicque in una et eadem temporis mensura, tres erunt minimae contra duas minimas ex illis quae ante signum positae videbuntur. Quod si feceris, non delirabis ac aequam conficies sesquialteram proportionem. Sin secus a caecutientibus musicis minime degenerabis, qui arbitrantes sesquialteram efficere proportionem, incident praeter speciem in triplam, quae ex tribus notulis contra unam in eodem tempore et mensura constat. Eaque fieri solet, positis in cantilena post alterum ex supradictis signis semibrevibus notulis, quarum singulae, virtute illius signi, singulis mensurantur ictibus.

At post proportionem, brevibus et semibrevibus appositis, ubi nemo ignorare debet brevem cum semibrevi tres valere semibreves ac unico ictui perfecto obnoxias esse, at ante proportionem patet unicam semibrevem virtute signi, ut dixi, solo ictu mensurari, ergo in mensura et quantitate tres erunt semibreves contra unam, tunc signanda est hoc modo proportio: 3/1, illi vero, ut rudes ac imperiti et huius artis penitus expertes, putant sesquialteram esse proportionem, in qua licet paulo superius utendum dixerim semibrevibus et minimis, et aliae tamen inseri poterunt. Lex modo mensurae servetur, quae per singulos ictus, ut saepe dictum est treis [sic] post proportionem minimas cantando mensurari iubet, ante vero duas vel unicam semibrevem quae in quantitate idem sunt.

Deinde cum in aliquo concentu alterum ex his duobus signis: [Odim,Cdim], appositum videre contingerit, ars ipsa musicalis iubet unamquamque brevem vel duas semibreves, quod idem est, sub una ictus mensura ante proportionem cantari, quod vulgo dicitur per medium, post vero ipsam proportionem treis semibreves seu brevem cum semibrevi eadem complecti mensura, sicque tres erunt in tempore et mensura sicut et illae duae ante proportionem, ex quibus recta veraque nascitur sesquialtera proportio.

[36] Et licet iure ipso utendum esset post proportionem brevibus ac semibrevibus notulis praecedentis signi virtute, ad quod semper respiciendum est, minimis tamen et semiminimis ad votum conceditur uti, dummodo ut de minimis paulo ante dixi, mensurae lex observetur, ut, scilicet, ante proportionem duae semibreves vel brevis una illis aequiparata sub uno tempore et post proportionem tres semibreves vel brevis una cum semibrevi cantando sub uno similiter ictu proferantur. Hoc se nostrum imitatus fueris institutum, multorum mihi crede subsanationem evades.

De sesquitertia seu epitrita proportione: Caput XXXI.

Sede congrua secunda superparticularis generis species cognomine sesquitertia seu epitrita sese nobis offert. Eam fieri dicimus cum de duobus numeris superior inferiorem contineat et eius tertiam partem, ut sunt quattuor ad tria; liquido liquidius est, in quattuor tria complecti, et trium tertiam partem, id est, unum. Idem nascitur ab his duobus numeris octo, scilicet, ad sex, in octo insunt sex et istorum tertia pars, id est, duo, quae comparatio in immensum trahi potest. Maior modo numerus minorem amplectatur et ipsius minoris tertiam partem, ut dictum est.

Et haec proportio non uno appellationis nomine contenta est, sed multiplici. Nam a musicis numerus aliquando epitritus, modo epitrita proportio, et saepe numerus sesquitertius, et saepius sesquitertia proportio dici comperies. Epitritus autem ab epi graece, latine supra et tritos tertia, quod minor numerus sui tertia parte a maiori superetur excedaturque, vel etiam quod tertia minoris numeri maiori addatur. Sesquitertius autem a sesqui de quo supra et tertia, eadem qua supra ratione.

[38] Haec autem proportio a duabus conflatur proportionibus, iuxta Ducis Atriae sententiam, a tripla, scilicet, a qua diapason cum diapente exit, videlicet, 3/1, et a quadrupla a qua bisdiapason efficitur, ut hic: 4/1, multiplicato enim maiori quadruplae per minorem triplae ut quattuor semel, quaternarium efficiet numerum. Alterius maiori per minorem alterius iterato, videlicet, tria per unum, ternarius fiet.

Quibus comparatis, sesquitertiam ut superius videbis, quia maior semel habet in se minorem partemque eiusdem minoris tertiam, scilicet, unum, sic: 4/3. Quaequidem proportio hac et eiusmodi arithmetica serie figuratur: 4/3 8/6 12/9 16/12; quaequidem serie nobis et eiusmodi arithmetica serie nobis intelligi datur singulis sub his numeris militantibus notulis vel pausis, quartam sibi detrahi partem, et propterea quattuor notulae tribus eiusdem figurae aequipollent in quantitate et mensura. In cantilenis denique haec deficit proportio ei sua contraria subsequente 3/4, vel perfecti imperfective temporis signo, [O] vel [C], quod hoc facile exemplo duce cognosces.

[CCMP/TT2:38; text: Cantus, Tenor] [VANREC 03GF]

Contrarias autem proportiones, scilicet, subsesquialteram et subsesquitertiam, facile contrariarum regula noscuntur, ideo diligentibus iudicare permitto.

[40] De superpartienti genere: Caput XXXII.

Tertium a superioribus maioris inaequalitatis superpartiens genus, servator ordine interpretandum nobis obviam venit. Quod fit cum ex duobus invicem numeris comparatis, maior minorem semel continet, et ipsum minorem excedit duobus, aut tribus, aut quattuor, et his pluribus; exemplo sunt 5 ad 3, et 7 ad 5, et 9 ad 7. Ubi manifesta fides est numerum maiorem minorem semel continere ac insuper duobus excedere, et ab illa excessive quantitate proportio ipsa sortitur nomen suum. Unde in exemplo praedicto, quia illa duo in quibus minor numerus exceditur a maiori sunt duae, idcirco superbipartiens dicitur proportio, et quia illa duae sunt duae tertiae partes minoris numeri, id est, trium, proportio appellatur superbipartiens tertias. Similiter in secundo superius ostenso exemplo, quod tale est 7 et 5, quia in septem semel insunt quinque ac insuper duae, propterea huiusmodi proportio superbipartiens quintas vocitabitur. Itidem in relatione 9 ad 7, solertissimus quisque proportionem superbipartientem septimam fieri deprehendet, quoniam septem superantur a novem duobus, quae sunt duae septenae partes ipsius minoris numeri.

Positis deinde his tribus arithmeticis exemplis, 7 ad 4, 8 ad 5, 10 ad 7, facile superiorem excedere minorem tribus cognosces. A primi igitur exempli figuris, scilicet, 7 ad 4, proportio nomine supertripartiens quartas gignitur, quoniam illa tria in quibus quattuor exceduntur a septem, sunt tres quaternae partes. A secundo exemplo, scilicet, 8 ad 5, fit supertripartiens quintas proportio, dicta a tribus quivis partibus quibus exceditur minor numerus a maiori. Tertium denique exemplum, scilicet, 10 ad 7, proportionem affert, quae supertripartiens septimas nuncupabitur, ab illis tribus septenis partibus ipsius minoris numeri, in qua quantitate a maiori superatur. Possem et alia prope infinita afferre exempla, quae curiosis indaganda reliquo. Hoc unum alta mente recondito, maiorem debere numerum minorem semel duntaxat continere, et ab eo qui superest numero, proportionem nancisci, ut dictum superius est nomen.

De superpartientis generis speciebus: Caput XXXIII.

Ab hoc deinde genere multae quidem pullulant species, quarum prima superbipartiens appellatur. Secunda supertripartiens, tertia superquatripartiens, quarta superquincupartiens, et huiusmodi plures, quarum progressus in infinitum tendere posset. Quaequidem species in genera saepe convertuntur, quoniam ab his aliae emanant species. Quarum una a superbipartiente [42] descendens superbipartiens tertias dicetur, cuius exemplum superius in praecedentis capitis fronte, videlicet, quinque ad tria ostensum est. Et quaedam alia dicitur superbipartiens quintas, ut 7 ad 5. Alia vero superbipartiens septimas, ut 9 ad 7, et his plures, de quibus iam in praecedenti abunde dictum est, ex quibus constat minorem numerum a maiori excedi duobus tamen.

A proportione supertripartiente, quae fit cum tribus solum maior minorem excedit numerum, oritur quaedam species nomine supertripartiens quartas, ut sunt 7 ad 4. Quaedam alia supertripartiens quintas, ut 8 ad 5. Ex proportionibus superquatripartientibus quaedam dicitur superquatripartiens quintas, ut sunt 9 ad 5. Alia superquatripartiens septimas, ut sunt 11 ad 7. Et quaedam alia fertur superquatripartiens nonas, exemplo sunt 13 ad 9. Quibus quidem speciebus comperies maiorem numerum superare minorem in quattuor tamen, teste perito calculatore. Possem et alias afferre species, quas cum ab hominum usu evanuisse perspexeri, missas cum eorum exemplis faciam.

Sed pro cognitione specierum quaenam sit prima, secunda atque tertia, regulam notatu dignissimam apponam, videlicet, duobus numeris maiori, scilicet, et minori cuiuscumque proportionis invicem comparatis, videndum erit quibus intervallis seu numeris eorum excessus inter utrumque differat. Quoniam si uno tamen, prima, si duobus, secunda, si vero tribus, tertia constabit species. Ut te reddam capciorem, exemplum apponam, videlicet, 5 cum 3, medium infra numerum unum esse quis dubitat? Haec igitur species superbipartiens tertias nuncupata merito in prima quidem specie. Idemque videbis infra 7 et 5, unus tamen interiacet numerus 6, scilicet, in specie eadem prima superbipartiens quintas appellata. Ulterius 7 cum 4, quia duo intersecant numeri, scilicet 5 et 6, proportio ergo supertripartiens quintas appellata secunda fiet species. Similiter ab 8 ad 5 quando dicitur supertripartiens quintas sub eadem secunda specie notetur. Itaque huiusmodi generis species facile cognosces, quas brevitatis causa tacendas arbitror.

De multiplici superparticulari genere: Caput XXXIIII.

Ex quinque generibus maioris inaequalitatis, quae nuperrime dicturum pollicitus fueram, tria satis cumulate dixisse videor, et ea quidem simplicia; duo quae sequuntur ab his quidem tribus iam peractis composita sunt. Quorum alterum praesenti capite succinte a nobis agetur, quod compositum esse dicimus ex multiplici ac superparticulari generibus superius ostensis.

[44] Hoc igitur quartum maioris, scilicet, inaequalitatis quod in manibus est genus, fieri docemus cum minor in maiore numero bis terve, et pluries contineri videtur, uno insuper exuberante, quod unum minoris numeri aliquando dimidium, modo tertia, et quarta et quinta parts, et ultra esse contingat pro numerorum dispositione. Nam cum maior numerus bis minorem et minoris dimidium complexus fuerit, proportio dicetur dupla sesquialtera, quorum periculum seu experientiam facere potes his numeris, 5 ad 2, 10 ad 4, 15 ad 6. Quibus exemplis late patet minorem numerum bis et eius dimidiam partem in maiore contineri numero.

At cum maior minorem bis et eius tertiam partem continuerit, dupla sesquitertia vocitabitur, quam sequentes numeri pandunt, videlicet, 7 ad 3, 14 ad 6, 20 ad 9. At si forte a maiore minor bis et eius insuper quarta pars contineri videbitur, duplam sesquiquartam dicemus, indicantibus his numeris, 9 ad 4, 18 ad 8, 27 ad 12. Evenit aliquando ut maior minorem ter et minoris dimidium amplectatur, quod his patet exemplis, 7 ad 2, 14 ad 4, 21 ad 6. In septernario enim numero, ter duo continentur et duorum dimidium, id est, unum; tuncque tripla sesquialtera proportio fertur. Et cum excessus numerus erit tertia pars minoris numeri, ter in maiori contenti tripla sesquitertia nuncupabitur, testibus his numeris, 10 ad 3, 20 ad 6, 30 ad 9.

De multiplicis superparticularis generis speciebus: Caput XXXV.

Ex hoc denique genere, quam plurimae emanant species. Quarum prima componitur ex specie prima multiplicis generis, videlicet, dupla, cum quaelibet superparticularis generis specie, eritque nomen dupla sesquialtera, ut his fit notius numeris 5 et 2. Alia dupla sesquitertia dicitur, ut sunt 7 et 3. Tertia est dupla sesquiquarta, cuius hi sunt numeri, 9 et 4. Denique dupla sesquiquinta, his inventis dispositisque numeris 11 et 5, et his plures prope innumerabiles, quae vim generis saepe suscipiunt.

Secunda huius generis species fit ex secunda multiplicis generis specie, cuilibet superparticularis generis speciei copulata, hac nominum serie: Primo tripla sesquialtera, his numeris designata 7 et 2; tripla sesquitertia sic 10 et 3; tripla sesquiquarta, his indicata numeris 13 et 4; tripla sesquiquinta, cuius arithmetica figura talis habetur, 16 et 5. De secunda specie hactenus.

[46] Tertiae denique speciei compositio fit ex tertia multiplicis generis specie, cum singulis superparticularis generis speciebus, vocitabiturque quadrupla sesquialtera, his manifestantibus numeris 9 et 2. Alia quadrupla sesquitertia sic 13 et 3.

At quadrupla sesquiquarta his patet, 17 et 4. Denique quadrupla sesquiquinta ab his panditur figuris arithmeticis 21 et 5. Copulando igitur singulas multiplicis generis species cum omnibus superparticularis generis speciebus, scias innumerabiles prope huius multiplicis superparticularis generis compositi species formari componique posse. Cum tamen ab hominum usu evanuerit, prae memoratis contentus, calami mei aciem in quintum et idem ultimum compositum genus sequenti capite distringam.

De multiplici superpartienti genere: Caput XXXVI.

Iam quintum postremumque maioris minorisque inaequalitatis compositum genus, nomine multiplex superpartiens superest exponendum, quod a primo multiplici genere, ac tertio superpartiente plasmari nemini dubium videri volo. Idque satis superque cognoscitur, cum maior numerus pluries minorem continet, exuberantibus ipsius minoris numeri modo duabus, modo tribus, modo quattuor partibus, et his pluribus, pro dispositione maioris minorisque invicem comparati numeri. Pro cuius rei intelligentia sciendum est, quod quando maior numerus bis minorem continet, ac insuper duas tertias minoris numeri partes, dupla superbipartiens tertias fertur proportio, et ne quid dicimus vacet exemplo, rei veritatem his docemur numeris 8 et 3, 16 et 6. In octo enim bis sunt tria, ac duae tertiae partes illorum trium, id est, duo, supersunt ut liquido calculanti patet.

Idem reperitur in secundo exemplo, nam sex in sexdecim bis continentur, duabus tertiis superabundantibus. Si forte vero minor a maiori excederetur tribus quaternis partibus (habito respectu semper ad minorem), dupla supertripartiens quartas proportio dicetur, quod his facile discernitur numeris 11 et 4. Nam quattuor bis subtractis ab undecim, tres quaternae partes supersunt, id est, tres. Idem sortitur [orig: sortiuntur] horum comparatione [orig: comparatio] numerorum 22 et 8.

Accidit saepenumero minorem numerum in maiore non bis (ut de reliquis dictum est) sed ter insitum videri, tribus quoque quaternis partibus excedentibus, ut his possumus speculari numeris 15 et 4, 30 et 8, quae proportio tripla supertripartiens quartas nuncupabitur.

[48] Bona autem diligentia habita cunctarum facillime proportionum regulam cognosces, videlicet, prius bene ponderato quotiens minor fit a maiori contentus, quotque supersint partes.

De multiplicis superpartientis generis speciebus: Caput XXXVII et ultimum.

Huius generis species non paucas recensere posset, paucis tamen eris contentus. Quarum compositio a prima multiplicis generis specie, videlicet, dupla, et a singulis superpartientis generis speciebus oritur, ut hac patet serie dupla superbipartiens, dupla supertripartiens, dupla superquatripartiens. Quarum singulae in generis vim transeunt, nam proportio dupla superbipartiens non numque dupla superbipartiens tertias nuncupatur, ut sunt 8 et 3. Aliquando dupla superbipartiens quintas dicitur, ut his panditur numeris, 12 et 5. Saepe etiam fertur dupla superbipartiens septimas sic, 16 et 7, et his plure prope innumerabiles.

Sed his constituta meta, secundam aggredior speciem, quam dubio procul confici atque componi tradimus ex secunda multiplicis generis specie cum qualibet superpartientis generis specie, cuius nomina hoc progressu indicantur, videlicet, tripla superbipartiens tertias, quae fruitur numeris 11 et 3, tripla superbipartiens quintas, indicio sunt hi numeri 17 et 5, denique tripla superbipartiens septimas, quae his terminatur figuris 23 et 7.

Et his plures esse possunt in promptu, servato ordine, singulas, scilicet, comparando species multiplicis generis cum omnibus et singulis superpartientis generis speciebus, quo tenore atque progressu in immensum cresceret opus. Cum igitur ea nobis tantum cupido incessit, ut studiosam ingenuamque pubem utilia doceremus, nugis reiectis, satis superque haec quinque genera suis comitata speciebus esse putavimus, curiosis reliquae parvi se potius nullius momenti, sagaci pervigilique ingenio indaganda dimittentes.

Figurati Cantus Liber Secundus foeliciter explicit.