Back to top

[1285] Liber quintus.

Post monochordi regularis divisionem adjicienda arbitror esse ea in quibus veteres musicae doctores sententiae diversitate discordant, habendumque de omnibus subtile judicium, atque id quod proposito deest operi, mediocris doctrinae dispositione supplendum est. Potest enim alia quoque esse divisio, in qua non unus tantummodo nervus assumitur, qui positis proportionibus dividat. Verum octo, atque ejusmodi cithara fiat, aut in pluribus, et quanti necessarii sunt nervi, tota proportionum ratio quasi oculis subjecta cernatur.

[PLLXIII:1285; text: A, E, F, D, B, K, C] [BOEDIM5 01GF]

Caput primam.

De vi harmonicae et quae sint ejus instrumenta judicii et quoniam usque sensibus oporteat credi.

Sed de his paulo post loquemur; nunc dicendum est quae sit vis harmonicae, de qua tractare instituentes, quatuor libros implevimus. Naturam vero ejus unoque exprimendam in hujus quinti voluminis seriem distulimus. Harmonica est facultas differentias acutorum et gravium sonorum sensu ac ratione [1286] perpendens. Sensus enim ac ratio, quasi quaedam facultatis harmonicae instrumenta sunt. Sensus namque confusum quiddam ac proxime tale, quale est illud quod sentit, advertit. Ratio autem dijudicat integritatem atque unas persequitur differentias. Itaque sensus invenit quidem confusa ac proxima veritati, accipit vero ratione integritatem. Ratio vero ipsas quidem invenit integritatem, accipit vero sensu confusam ac proximam verisimilitudinem. Namque sensus nihil concipit integritatis, sed usque ad proximum venit. Ratio vero dijudicat, velut si quis manu circulum scribat, fortasse eum circulum vere oculus arbitretur. Ratio vero nullo modo esse id quod simulatur intelligit. Hoc vero idcirco est, quoniam sensus circa materiam vertitur, speciesque in ea comprehenditur, quae ita sunt fluide atque imperfecte. Neque determinate, et usque ad unguem expolite, sicut est ipsa materia. Quare ipsum quoque confusio sequitur, mentem vero atque rationem, quoniam materia non moratur, species quas praevidet, praeter subjecti communionem intuetur, atque ideo eam integritas comitatur ac veritas, potiusque in sensum quod peccatur, aut minus est, aut emendat, aut complet. Fortasse autem id quod sensus non integre, sed confuse, atque veritate minus quasi quidam incallidus aestimator agnoscit, in singulis minus [1287] habeat errati. Collecta vero multiplicantur in summam, atque idcirco magnam faciunt differentiam. Nam si duas voculas tono sensus distare arbitretur, neque distent, rursusque ab una earum tono putet distare tertiam, neque sit integra ac vera toni sit distantia. Item tertiae quartaeque toni sensus differentiam putet, atque in eadem quoque errent, neque sit differentia toni, ab hac etiam quarta, quintam distare semitonium putet, neque vere, neque integre aestimet, in singulis fortasse minus videatur erratum. Quod vero in primo tono sensus reliquit atque id quod in secundo et tertio atque in quarto semitonio peccatum est, in unum congregatum atque collectum efficiet, ut prima vox ad quintam vocem diapente non contineat consonantiam, quod oportebat fieri si tres tonos ac semitonium sensus integre judicasset. Quod igitur in singulis tonis minus pervidebatur, id collectum in consonantiam evidenter apparuit. Atque ut pervideatnr sensum quidem confusa colligere, nullo modo autem ad integritatem rationis ascendere, sic consideremus: Datae enim lineae majorem minorem ne aliam reperire, nihil est difficile sensui. Proposita vero mensura in tanto majorem, tantove minorem reperiat, id non faciet sensus prima conceptio, sed solers rationis inventio. Vel si rursus datam lineam propositum sit vel duplicare, vel dimidiam secare, id fortasse licet paulo difficilius quam confuse majorem minoremve reperire, poterit tamen sensus inventione constitui. Si vero imperetur, ut propositae lineae tripla ponatur, vel ab ea pars tertia recidatur, vel quadrupla constituatur, vel pars quarta resecetur nonne impossibile sit sensui, nisi integritas rationis accedat, hoc ideo, quia per processus quidem rationi locus accrescit, deficit sensui. Si enim octavam partem propositae lineae auferre aliquis imperetur, vel ejusdem octuplam dare cogatur, totius quidem dimidiam sumere compellitur, dimidiaeque dimidiam, ut sit quarta, quartae quae dimidium, ut sit octava. Rursusque totius duplam, duplaeque duplam, ut sit quadrupla, quadruplaeque duplam, ut sit octupla. Itaque in tanta rerum numerositate nihil efficit sensus. Cujus omne judicium subitum, atque in superficie positum integritatem persecutionemque non explicat. Idcirco non est aurium sensui dandum omne judicium, sed exhibenda est etiam ratio quae errantem sensum regat ac temperet, qua labens sensus deficiensque veluti baculo innitatur. Nam ut singulae artes habent instrumenta quaedam quibus partem confuse aliquid informent ut asciculum, partim vero quod est integrum deprehendat, ut circinum. Ita etiam harmonica vis habet duas judicii partes: unum quidem hujusmodi, per quam sensus comprehendit subjectorum differentias vocum, aliam vero per quam ipsarum differentiarum modum mensuramque considerat.

Caput II.

Quid sid harmonica regula, vel quam intentionem [1288] harmonici Pythagorici vel Aristoxenus, vel Ptolemaeus esse dixere.

Hujusmodi igitur instrumentum in quo rationis adhibito modo, sonorum differentiae perquiruntur, vocatur harmonica regula, in qua re multorum doctorum sententiae discordia fuit. Quidam enim qui Pythagoricis disciplinis maxime crediderunt, hanc intentionem harmonicae esse dicebant, ut cuncta rationi consentanea sequerentur. Sensum enim dare quaedam quodam modo semina cognitionis, rationem vero perficere. Aristoxenus vero econtrario rationem quidem comitem ac secundarium esse dicebat, cuncta vero sensus judicio terminari, et ad ejus modulationem consensumque esse tenendum. A Ptolemaeo autem quodam modo harmonicae definitur intentio, ea scilicet ut nihil auribus rationique possit esse contrarium. Id enim secundum Ptolemaeum harmonicus videtur intendere, ut id quod sensus judicat ratio quoque perpendat, et ita ratio proportiones inveniat ut ne sensus reclamet, duorumque horum concordia omnis harmonicae intentio misceatur. Atque in eo maxime Aristoxenum ac Pythagoricos reprehendit, quod Aristoxenus nihil rationi, sed tantum sensibus credit, Pythagoricos autem quod minimum sensibus, plurimum tamen proportionibus rationis invigilent.

Caput III.

In quo Aristoxenus vel Pythagorici vel Ptolemaeus gravitatem atque acumem constare posuerunt.

Quoniam vero sonum esse omnes consentiunt aeris percussionem, gravitatis atque acuminis differentiam diversa ratione ponebant, Aristoxenum secuti et Pythagorici. Aristoxenus quippe sonorum differentias secundum gravitatem, atque acumen arbitratur in qualitate consistere; Pythagorici vero in quantitate ponebant. Ptolemaeus autem Pythagoricis propior videtur. Idcirco quoniam ipse quoque gravitatem atque acumen non in qualitate putat, sed in quantitate constitui. Etenim spissiora ac subtiliora corpora acumen, rariora et vastiora edere gravitatem, ut nihil nunc de intensionis relaxationisque modo dicatur. Quanquam etiam cum relaxatur aliqua quasi sit rarius atque crassius, cum vero intenditur spissius redditur, subtiliusque tenuatur.

Caput IV.

De sonorum differentiis Ptolemaei sententia.

His igitur ita expeditis, differentias sonorum Ptolemaeus dividit hoc modo: Vocum aliae sunt unisonae, aliae minimae. Unisonae sunt, quarum unus sonus est, vel in gravi, vel in acuto. Non unisonae vero; quando alia est gravior, alia acutior. Harum partim ita sunt, ut earum inter se differentia communi fine jungatur. Non enim discreta est, sed a gravi in acutum ita deducitur, ut continua videatur. Aliae vero sunt non unisonae, quarum differentia silentio interveniente distinguitur, ut vero voces communi fine jungantur, fit hoc modo: Sicut enim cum [1289] in nubibus arcus aspicitur, ita colores sibimet sunt proximi: ut non sit certus finis, cum alter ab altero disgregetur. Sed ita verbi gratia a rubro discedit ad pallidum, ut per continuam mutationem in sequentem vertatur colorem, nullo medio certoque interveniente, qui utrosque distinguat; ita etiam fieri solet in vocibus, ut si quis percutiat nervum eumque dum percutit torqueat, evenit ut in principio pulsus gravior sit, dum torquetur vero vox illa tenuetur, continuique fiant gravis vocis sonitus et acutae.

Caput V.

Quae voces enharmoniae sunt aptae.

Cum igitur non unisonarum vocum aliae sint continuae, aliae disgregatae, continuae quidem tales sunt, ut inter se earum differentia communi fine jungatur nec habeat locum designatum vox acuta gravisque quem teneant. Discretae vero habent proprios locos, vel uti colores impermixti, quorum differentia visitur suo quodam loco constituta. Continuae quidem non unisonae voces ab harmonica facultate separantur. Sunt enim sibi ipsis dissimiles, nec unum aliquid personantes. Discretae vero voces harmonicae subjiciuntur arti. Potest enim distantium sibique dissimilium vocum differentia deprehendi, in quibus quae junctae efficere melos possint, [emmeleis] dicuntur, [ekmeleis] autem quibus junctis effici non potest.

Caput VI.

Quem numerum proportionum Pythagorici statuunt.

Consonae autem vocantur quae copulatae mixtos suavesque efficiunt sonos. Dissonae vero quae minime. Et hoc quidem est Ptolemaei de sonorum differentia judicium. Nunc autem quid a caeteris musicis in consonantiarum positione disteterit dicendum videtur: Pythagorici enim consonantias diapente ac diatessaron simplices arbitrantur, atque ex his unam diapason consonantiam jungunt; esse etiam diapente ac diapason, et bis diapason, illam triplicis hanc quadrupli. Diapason vero ac diatessaron consonantiam esse non aestimant, idcirco quoniam non insuper particulari vel multiplici cadit comparatione, sed in multiplici superpartiente. Est enim haec proportio vocum ut octo ad 3; si quis enim horum in medio quatuor ponat, efficit terminos hos 8 4 3. Quorum octo ad 4 diapason efficiunt consonantiam; 4 ad 3, diatessaron; octo vero ad 3, in multiplici superpartiente constituitur. Quae autem sit multiplex superpartiens comparatio ex arithmeticis libris cognoscendum est, et ex his quae secundo hujus institutionis libro digessimus. Pythagorici autem consonantias in multiplicibus ac superparticularibus ponunt, sicut in eodem libro secundo quartoque praedictum est. A superpatientibus vero ac multiplicibus superpartientibus consonantiam separant. Quibus autem [1290] modis diapason quidem duplici, diatessaron vero sesquitertio, ac diapente sesquialtero jungunt Pythagorici, ex secundo hujus institutionis Musicae libro quarto petendum est.

Caput VII.

Quod reprehendat Ptolemaeus Pythagoricos in numero propositionum.

Reprehendit autem Pythagoricos Ptolemaeus, totamque eam quam praedictis libris exposuimus demonstrationem pluribus modis, in quo totum illud etiam quod diatessaron ac diapente sesquialtero et sesquitertio conjungunt, in reliquis vero superparticularibus, cum ejusdem sint generis, nullas omnino applicent consonantias.

Caput VIII.

Demonstratio secundum Ptolemaeum diapason et diatessaron consonantiae.

Probat autem ex diapason et diatessaron quamdam symphoniam fieri hoc modo. Quoniam enim diapason consonantia talem vocis efficit conjunctionem, ut unus atque idem nervus esse videatur, idque Pythagorici quoque consentiunt, quocirca si qua ei consonantia fuerit addita, integra inviolataque servatur. Ita enim diapason consonantiae additur tanquam uni nervo. Sit igitur diapason consonantia quae contineatur inter hypaton meson et neten diezeugmenon. Utraque haec ita sibi consentit, et conjungitur sono, ut una vox quasi unius nervi, non quasi duorum mixta pellat auditum. Quamcumque igttur huic diapason consonantiae consonantiam junxerimus, servatur integra, quia ita jungitur tamquam uni voculae ac nervo. Si igitur hypate meson et neten diezeugmenon duae in acutum deatessaron fuerint junctae, si conjungitur nete quidem diezeugmenon ea quae est nete hyperboleon, hypate autem meson ea quae est mese, utraque ad utramque consonabit, et mese ad neten diezeugmenon, et eadem mese ad hypaten meson. Item nete hyperboleon ad neten diezeugmenon et ad hypaten meson. Item si ad graviorem partem utriusque diatessaron consonantiae relaxentur, erit ad meses quidem hypaton diatessaron retinens consonantiam hypate hypaton, ad neten autem diezeugmenon paramese. Consonabitque et hypate hypaton ad hypaten meson, et ad neten diezeugmenon ad paramesen et nete diezeugmenon, et ad hypate meson. Sed eo modo ut gravior quae est ad sibi quidem proximam diatessaron retineat consonantiam, ad ulteriorem vero diatessaron ac diapason, ut hypate hypaton, ad hypaten meson diatessaron, ad neten diezeugmenon diatessaron ac diapason. Item nete hyperboleon, quae est acutior, ad sibi proximam neten diezeugmenon diatessaron consonantiam, ad hypaten meson diatessaron ac diapason.

[1291] [PLLXIII:1291; text: Disdiapason systema immobile, Diapason et diatessaron, Diapason, Diatessaron, Diapente, Nete hyperboleon, Paranete hyperboleon, Trite hyperboleon, Nete diezeugmenon, Paranete dizeugmenon, Trite diezeugmenon, Paramese, Mese, Lichanos meson, Parhypate meson, Hypate meson, Lychanos hypaton, Parhypate hypaton, Hypate hypaton, Proslambanomenon] [BOEDIM5 02GF]

Caput IX.

Quae sit proprietas diapason consonantiae.

Hoc vero idcirco evenire contendit, quoniam diapason pene una vocula est, talisque consonantia est, ut unum quodammodo effingat sonum, et sicut denario numero, qui fuerit additus intra eum positus integer inviolatus servatur; cum in caeteris ad ita minime eveniat, ita etiam in hac consonantia. Nam si duo tribus adjicias, quinque continuo reddis, et numeri species immutata est. Si vero eosdem denario addas, duodecim feceris, et binarius junctus denario conservatus est. Item ternarius caeterique eodem modo: ita igitur symphonia diapason quamcunque aliam susceperit consonantiam servat, nec immutat, nec ex consona dissonam reddit. Nam sicut diapente symphonia juncta diapason consonantiae in tripla scilicet proportione diapason ac diapente consonantiam servat, ita etiam diatessaron cum sit consonantia juncta cum diapason, aliam consonantiam reddit, et fit secundum Ptolemaeum alterius consonantiae additio ejusque est diapason ac diatessaron [1292] in multiplici superpartiente constituta. Estque ea proportio dupla superbipartiens, ut octo ad tres; habent enim ternarium octo bis, duasque ejus partes, id est duas unitates.

Caput X.

Quibus modis Ptolemaeus consonantias statuat.

Et de Pythagoricorum quidem opinione Ptolemaeus ita dijudicat: quibus vero modis ipse consonantiarum proportiones numerosque vestiget, hinc ordiendum est. Voces, inquit, inter se vel unisonae sunt, vel non unisonae. Non unisonarum autem vocum aliae quidem sunt aequisonae, aliae emmelis, aliae dissonae, aliae ecmelis. Et unisonae quidem sunt quae unum atque eumdem sigillatim pulsae reddunt sonum. AEquisonae vero quae simul pulsae unum ex duobus atque simplicem quodammodo efficiunt sonum, ut est diapason, eaque duplicata quae est bis diapason. Consonae autem sunt quae compositum permixtumque suavem tamen efficiunt sonum, ut diapente ac diatessaron. Emmelis autem sunt quaecunque quidem consonae non sunt, possunt aptari tamen recte ad melos, ut sunt hae quae consonantias jungunt. Dissonae vero sunt quae non permiscent sonos, atque insuaviter feriunt sensum. Ecmelis vero quae non recipiunt in consonantiarum conjunctione, de quibus paulo posterius in divisione tetrachordorum dicemus. Quoniam igitur univocis quidem comparationibus proxime sunt aequivocae, necessarie est ut aequis numeris ea numerorum inaequalitas adjungatur, quae est proxima aequis. Est autem juxta aequalitatem numerorum ea quae est dupla. Nam et prima multiplicitatis species est, et major numerus cum minorem numerum supervenit, aequo cum ipsi minori transcendit, ut duo unum uno transgrediuntur, qui eidem unitati aequalis est; jure igitur duplex proportio aequisonis aptatur, id est diapason. Bis diapason vero bis duplici, id est quadruplo. Quae autem proportiones dividunt duplicem proportionem primae ac maximae, his aptandae sunt consonantiis quae dividunt diapason aequiconsonantiam. Unde fit ut diapente quidem sesquialterae, diatessaron vero sesquitertiae comparationi copulentur. Junctae vero consonantiae cum aequisonis alias efficiunt consonantias, ut diapente ac diapason in triplo, diatessaron ac diapason in ea proportione quae est octo ad tres Emmelis autem sunt quae diapente ac diatessaron dividunt, ut tonus caeteraeque proportiones, de quibus paulo posterius in divisione tetrachordorum loquemur, simplices earum scilicet partes.

Caput XI.

Quae sint aequisonae, vel quae consonae, vel quae hemmelis.

Igitur aequisonae quidem sunt diapason ac bis diapason, quoniam earum temperamento mixturaque unus atque simplex quodammodo efficitur sonus. Consonantiae autem sunt, primae quidem insuper particularibus sesquialtera et sesquitertia, id est diapente ac diatessaron, et diapason ac diapente, et [1293] diapason ac diatessaron, hae sunt compositae atque conjunctae ex aequisonis et consonantibus. Emmelis autem reliqui inter has poni possunt, ut inter diatessaron ac diapente differentia tonus, jungunturque quodammodo aequisonae quidem ex consonantibus, ut diapason ex diatessaron et diapente. Consonantiae autem ex his qui emmelis soni vocantur, ut eadem diapente et diatessaron tonis caeterisque posterius dicendis proportionibus; sed quomodo quidem horum omnium proportio colligi possit, ex eo loco sumendum est quem quarto volumine in fine descripsimus, ubi numerus super semisphaeria, tendebatur. Ibi enim deprehenditur aequisonantia, diapason ac bis diapason, et consonantiae simplices diapente ac diatessaron, et consonantiae compositae, diapason ac diapente, et diapason ac diatessaron et qui sunt emmelis soni, ut in toni differentia consistentes.

Caput XII.

Quemadmodum Aristoxenus intervallum consideret.

Quid vero de his Aristoxenus sentiat breviter aperiendum est. Ille enim quoniam minime tractatum rationi constituit, sed aurium judicio permittit, idcirco voces ipsas nullis numeris notat, ut earum colligat proportiones, sed earum in medio differentiam sumit, ut speculationem non in ipsis vocibus, sed in eo quod inter se differunt, collocet, nimis improvide, qui differentiam se scire arbitretur earum vocum, quarum magnitudinem nullam mensuramve constituat. Hic igitur et diatessaron consonantiam duorum tonorum ac semitonii esse proponit, et diapente trium tonorum ac semi onii, et diapason sex tonorum, quod fieri non posse superioribus voluminibus demonstratum est.

[PLLXIII:1293; text: Sextoni, Diapason] [BOEDIM5 01GF]

Caput XIII.

Descriptio octochordi, qua ostenditur diapason consonantiam minorem esse sex tonis.

Docet autem Ptolemaeus per cujusdam octochordi. [1294] divisionem diapason intra sex tonos cadere hoc modo: intendantur enim octo chordae, id est A B C D E F G H, fiatque sesquioctava A K ejus quae est BL, et B L ejus quae est C M, et C M ejus quae est D N, et D N ejus quae est E X, et E X ejus quae est F O, et FO ejus quae est G P. Erunt igitur sex toni. Rursus inter F G et G P H ducatur medius nervus ad R. Erit igitur A K dupla ab eo quod est H R. Pulsae igitur simul A K H R diapason aequisonantiam consonabunt. Si vero aliquis G P percutiat, semper erit paulo acutior quam est H R. Ac per hoc transcendunt sex toni diapason consonantiam. Si enim A K et G P diapason pulsati resonarent, tonorum sex esset diapason consonantia. Si vero his idem A K et G P non consonantibus A K et H R diapason consonarent, et H R acutior esset quam G P, diapason consonantia sex tonos excederet. Nunc vero quia consonantibus A K et H R eadem M K ab ea quae est G P gravior invenitur, non potest dubitari quin sex toni diapason consonantiam excedant. Atque ita sensu quoque potest colligi diapason consonantiam inter sex tonos cadere. Sic igitur Aristoxeni error sine dubitatione convincitur.

[PLLXIII:1294; text: A, B, C, D, E, F, G, H, K, L, M, N, X, O, R, P] [BOEDIM5 01GF]

Caput XIV.

Diatessaron consonantiam tetrachordo contineri.

Nunc de tetrachordorum divisione dicendum est. Etenim diatessaron consonantia quatuor efficitur nervis; idcirco etiam diatessaron nuncupatur, ut igitur duobus nervis altrinsecus positis ad diatessaron symphoniam consonantibus tetrachordum fiat, duos necesse est statui in medio nervos, qui ad se invicem atque ad extremos tres proportiones efficiant.

Caput XV.

Quomodo Aristoxenus vel tonum dividat, vel genera ejusque divisionis dispositio.

Hoc igitur diatessaron Aristoxenus per genera tali ratione partitur. Dividit enim tonum in duas partes, atque id semitonium vocat. Dividit in tres partes, cujus tertiam diesin vocat chromatis mollis, dividit in 4, cujus quartam cum propria medietate, id est cum octava totius toni, appellat diesin chromatis hemiolii. Rursus solam quartam ejus vocat diesin enharmonios.

[1295] Figura Glareani

[PLLXIII:1295; text: Semitonium, Toni medietas Semitonium. Z, Diesis enharmonios, 4, 3, Diesis chromatis mollis, 4 1/8, Diesis chromatis hemioli, Tonus, Omnium intervallorum quae in tono sunt secundum Aristoxenum divisio.] [BOEDIM5 03GF]

Ad lectorem

Minutas divisiones pingere non potuimus, care lector. nam Aristoxenus tonum in duodecim partes scindit. Diesis ergo enharmonios habebit tres; diesis autem chromatis mollis habebit quatuor, demum hemitonium sex; diesis vero chromatis hemioli quatuor et semis obtinebit. Quod si dupletur spatium, ut paulo post Boetius, erunt quae diximus intervalla omnia duplanda ob numeros commodiores, quod doctus facile videt. Vale.

Cum igitur haec ita sint, cumque generum divisio secundum eum sit duplex, unum quidem genus est mollius; aliud vero incitatius. Et mollius quidem est enharmonium, incitatius vero diatonicum. Inter haec vero consistit chromaticum incitatione mollitieque participans; fiunt igitur secundum hunc ordinem differentiae permixtorum generum sex. Una quidem enharmonii, 3 autem chromatici, id est chromatici mollis, et chromatici hemiolii, et chromatici thoniaei. Duae vero reliquae diatonici, mollis atque incitati. Quorum omnium talis secundum Aristoxenum divisio est. Quoniam enim quarta pars toni diesis enharmonios nuncupari praedicta est, quoniamque Aristoxenus non voces ipsas inter se comparat, sed differentiam vocum intervallumque metitur, et secundum eum tonus est duodecim unitatum, hujus igitur erit pars quarta diesis enharmonios tres. Quoniam vero ex duobus tonis ac semitonio diatessaron consonantia jungitur, erit tota diatessaron ex his duodecim ac sex unitatibus constituta. Sed quoniam saepe fit ut si usque ad octavas velimus deducere partes, non integros numeros, sed in aliquas particulas incurramus, idcirco quidem facienda est tota diatessaron consonantia 60. At vero 24 tonus, semitonium duodecim, pars quarta, quae diesis enharmonios dicitur, sex, octava autem tres; juncta vero octava cum quarta, sex scilicet cum tribus, ut faciat diesin chromatis hemiolii, erunt novem. His igitur ita constitutis, tria genera, enharmonicum, chromaticum, diatonicum, has Aristoxeno videntur habere proprietates, ut alia eorum dicantur spissa, alia minime. Spissa sunt, quorum duae graviores proportiones: unam eam quae ad acutum apposita est magnitudine non [1296] vincunt. Non spissa vero quorum duae proportiones unam reliquam poterunt superare; est autem enharmonium et chromaticum spissum, diatonicum vero non spissum. Itaque enharmonium secundum Aristoxenum dividitur sic 6, 6, 48, ut inter gravem nervum ac prope gravem sit quarta pars toni, quae dicitur diesis enharmonios, cum sit tonus 24 unitatibus constitutus. Item secundum intervallum a gravi nervo ad tertium, sit eadem quarta pars toni. Reliqui vero qui restant ex sexaginta qui totius proportionis sunt inter tertium a gravi nervo atque acutissimum quartum ponuntur 48, et duae proportiones ad gravem positae, id est 6 ac 6, unam reliquam ad acutum locatam, id est 48, non vincunt. Chromatis vero mollis hanc facit divisionem 8, 8, 44, ut octo atque octo sint tertiae partes tonorum; est enim tonus (ut dictum est) 24 unitatum, et dicitur toni pars tertia diesis chromatis mollis. Item chromatis hemiolii diatessaron ita partitur, 9, 9, 42. Est autem diesis chromatis hemiolii pars octava toni cum quarta, id est ex 24 sex cum tribus. Item chromatis thoniaei talis secundum Aristoxenum partitio est, 12, 12, 36. Scilicet in duobus intervallis singula semitonia constituat, et quod reliquum est in ultimo. Atque in his omnibus duae proportiones, quae graviori nervo sunt proximae, reliquam quae ad acutum posita est, magnitudine minime superant, sunt enim (ut dictum est) spissorum generum. Spissa quippe genera sunt enharmonium atque chromaticum. Diatonica vero divisio ipsa quoque est duplex. Et mollis quidem diatonici divisio est hoc modo, 12, 18, 30, ut 12 semitonium sit, decem et octo semitonium, et quarta pars toni, 32 vero quod reliquum est. Quorum decem et octo et 12 efficiunt 30, nec superantur ab ea parte quae reliqua est. Item diatonici incitati talis partitio est, ut semitonium ac duos habeat integros tonos 12, 24, 24, ex quibus 24 et 12, id est 36, non superantur a reliqua parte quae ad acutum est, sed potius vincunt. Est igitur secundum Aristoxenum tetrachordorum praedicta partitio, quae subjecta descriptione monstratur.

[PLLXIII:1296; text: Divisio diatonici incitati, Diatessaron, 60, Tonus, Semitonium, 24, 12, Divisio diatonici mollis, 30, 18, Divisio chromatici thoniaei, 36] [BOEDIM5 03GF]

Glareanus ad lectorem.

Nos totum negotium in tetrachordi hyperboleon ita (ut spero) declaravimus, ut facile lector consideret quid me Deus voluit elaborare. Multa tamen ex superioribus praesupponenda sunt, ut quomodo se divisio generum habeat, alioqui inutilis erit labor. Caetera, mi lector, [1297] tuae attentioni consideranda relinquo. Vale, et me ama. Id tamen volo te admoneri, in applicatione graviores chordas vertisse ad majorem numerum, cum tamen hic numerus non sit chordarum, sed potius intervallorum. Ubi ergo nete diezeugmenon erat, ibi apte potuit poni nete hyperboleon. Attamen crede parum erroris esse. Nomina enim non omnino speculationem impediant.

[PLLXIII:1298; text: Divisio chromatis hemiolii, Diatessaron, 60, Diesis et octa pars toni, 42, 9, Divisio chromatis mollis, 3 pars toni, 44, 8,Divisio enharmonii, 4 pars toni, quarta pars toni, 48, 6] [BOEDIM5 04GF]

[PLLXIII:1297-98; text: Hemitonium, 12, Paranete hyperboleon, Tonus, 24, Trite hyperboleon, Nete diezeugmenon, Paranete hyperboleon, Nete hyperboleon, Hemitonium cum quarta parte, 18, Trite hyperboleon, Tonus cum quarta parte, 30, Nete diezeugmenon, Tonus cum hemitonio, 36, Octava cum quarta, 9, Pars octava cum quarta, Tonus cum 6/8 vel 3/4, 42, Pars tertia, 8, Tonus cum hemitonio et insuper 3/4, 44, Quatra pars, 6, Pars quarta, Duo toni, 48, Tetrachordos hyperboleon in genere enharmonio partitum. Tetrachordos hyperboleon in chromate molli disectum, Tetrachordos hyperboleon in genere chromatici hemioli divisum, Tetrachordos hyperboleon in chromate tonico separatum, Tetrachordos hyperboleon in genere diatonico molli disjunctum, Tetrachordos hyperboleon in diatonico incitato scissum, Chromatici generis tria secundum Aritoxenum, Diatonici generi duo] [BOEDIM5 04GF]

[1297] Caput XVI.

Quomodo Archytas tetrachorda dividat eorumque descriptio.

Archytas vero cuncta in ratione constituens non modo sensum aurium in primis consonantiis observare neglexerit, verum etiam maxime in tetrachordorum divisione rationem secutus est. Sed ita, ut neque ea quam quaerebat efficaciter expediret, neque sensui proposita ab eo ratio consentiret. Ille enim tria esse genera arbitratur, enharmonium, chromaticum, diatonicum. In quibus eosdem gravissimos statuit atque acutissimos sonos, in omnibus quidem generibus gravissimos sonos faciens 2016, acutissimos vero 1512; inter hos in tribus generibus nervum gravissimo proximum collocat, eum scilicet qui sit 1954, ut ad eum 2016, sesquivicesimam septimam obtineant proportionem. Post haec vero infra acutum nervum, tertium vero a gravissimo eum collocat in [1298] enharmonio genere, qui sit 1890, ad quem 1944 sesquitricesima quinta proportione jungantur. Idemque 1890 ad acutissimum 1512 in sesquiquarta proportione sit constitutus. Item in diatonico genere tertium quidem a gravissimo nervo, secundum vero ab acutissimo eum ponit, qui sit 1701, ad quos 1944 sesquiseptima proportione conjuncti sunt. Ipsi autem 1701 ad acutissimum, 1512 sesquioctava. In chromatico vero genere tertium a gravissimo, et secundum ab acutissimo eum ponit, qui ad 1701, qui est tertius a gravissimo in diatonico genere eam obtineat proportionem quam obtinent 256 et 243; hic autem est 1792, qui est secundus ab acutissimo appositus, habetque proportionem secundus ab acutissimo in diatonico genere, id est 1701 ad secundum ab acutissimo in chromatico genere, id est 1762 eam quam habent 243 ad 257, eorumque tetrachordorum, secundum Archytae sententiam, divisorum formam monstrat subjecta descriptio.

[1299] [PLLXIII:1299-1300; text: Enharmonicum, Ratio sesquitertia totum tetrachordum. Diatessaron ex quatuor nervis, Proportio sesquiquarta, divide enim 1512 per 4, et provenient 378, quae si adjeceris 1512, producuntur 1890. Proportio sesquitricesima-quinta, quod patet si dividantur 1890 per 35, et quod venit id quotiente addas ad 1890. Proportio sesquivicesima-septima patet hic dividendo 1944 per 27, et addendo ei 27. 2016, Diatonicum, Diatessaron ex quatuor chordis, Proportio sesquioctava, divide enim 1512 per 8, et provenient tibi 189, quae adde 1512, et erunt 1701. Proportio sesquiprima, divide enim 1701 per 7, et provenient 243, quae dum adjeceris 101, procreantur 1944. Proportio quae in enharmonio sesquivicesima-septima. Chromaticum, Proportio hemitonii minoris superpartiens 180. Proportio superpartiens 152. Proportio quae in enharmonio et diatonico, scilicet sesqui-vicesima-septima. 1792, 1945] [BOEDIM5 05GF]

[1299] Caput XVII.

Quemadmodum Ptolemaeus et Aristoxeni et Architae tetrachordorum divisiones deprehendat.

Sed utrasque tetrachordorum divisiones Ptolemaeus ita reprehendit. Architam quidem primo, quoniam secundus ab acutissimo nervus chromatico genere, id est 1792, ita est collocatus, ut nec ad acutissimum 1512, nec ad proximum graviori 1944, ullam superparticularem efficiat proportionem, cum Architas tantam superparticularibus comparationibus hahuit dignitatem, ut eas etiam in consonantiarum ratione susceperit. Dehinc quod primam a gravissimo nervo proportionem in chromatico quidem majorem sensus deprehendat quam fecit Architas, hic namque in chromatico genere 1944 ad 2016 distare fecit sesquivicesimam septimam proportionem, cum secundum consuetam chromatici generis modulationem sesquivicesima prima esse debuerit. Item enharmonium genus ea proportio, quam primam a gravissimo secundum Architae retinet divisionem, talis est, ut longe minor esse debeat quam in caeteris generibus invenitur; hic autem aequam eam caeteris generibus statuit, dum primas a gravi proportione in tribus generibus sesquivicesimas septimas ponit. Aristoxenum vero culpat, quoniam in chromate molli et in chromate hemiolio tales posuerit primas secundasque a gravi nervo proportiones, quae a se a minimo et quantum sensus non possit internoscere distarent. Est quippe proportio prima in chromatis [1300] mollis, prima divisione secundum Aristoxenum octo, at in chromate hemiolio novem. Sed octo ad novem unitatis differentia distant. Est autem tonus totus 24 unitatibus secundum positionem vel propositionem quorum unitas 24 est. Primae igitur a gravi inter se proportiones chromatis mollis, et chromatis hemiolii 24 parte toni distant, quod propter brevitatem differentiae nullo modo sentit auditus. Idem etiam Aristoxenum reprehendit cur diatonici generis duas tantum fecerit divisiones, ut in molle incitatumque divideret, cum possint aliae quoque diatonici generis species inveniri.

Caput XVIII.

Quemadmodum tetrachordum divisionem fieri dicat oportere.

Ptolemaeus tetrachordo diversa ratione partitur, illud in principio statuens, ut inter duos altrinsecus sonos tales voculae aptentur, quae se superparticularibus proportionibus excedant, inaequalibus tamen, quoniam superparticularis proportio non potest in aequa dividi. Dehinc ut omnis comparatio, quae fit ad eum nervum qui est gravissimus, in tribus minor sit caeteris, quae acutis vocibus conjunguntur. Sed in his ea quae spissa nominamus talia esse debent, ut duae proportiones, quae gravitati sunt proximae, minores sint ea proportione quae relinquuntur ad acutum, in non spissis vero ut in diatonicis generibus nusquam una.