Back to top

[119] Alia musica

[I. De harmonica.]

De harmonica consideratione Boetius ita disseruit: quia neque solum in terminis speculationem proportione habet, neque solum in differentiis, sed in utrisque comuniter. Querit enim, sit quemadmodum sunt ad se extremi termini, sic maioris ad medium differentia contra differentiam medietatis ad ultimum.

Ipsarum quoque musicarum consonantiarum, quas simphonias nominant, proportiones in hac poene sola medietate frequenter invenies. Namque simphonia diatesseron, que princeps est, et quodammodo vim obtinet elementi, in eiusmodi armonicis medietatibus invenitur, ut sunt VI. ad VIII. Sint ergo huiusmodi medietatis termini, quorum extremi sint dupli, et alii, quorum extremi sint tripli ita: VI.:VIII.:XII. IIII.:VI.:XII. Duodenarius igitur ad senarium duplus est, et in alia dispositione XII. ad IIII. triplus est. Horum si differentias colligamus, et ad se invicem comparemus, epitrita proportio, id est, diatesseron simphonia colligitur. Inter VI. enim et duodecimus senarius est, et inter IIII. et duodecimus octonarius, ad senarium sesquitertiam efficit proportionem.

[121] In eadem quoque medietate diapente sinphonia componitur. In duplici videlicet XII. ad VIII. et in triplici VI. ad IIII. sesqualtera est. Post hunc autem diapason consonantia est, ut VI. ad XII. In triplici quoque dispositione simul diapente et diapason simphonia componitur, ut sunt VI. VIIII. XVIII. Et quoniam triplus duas continet consonantias, diapente scilicet ac diapason, in differentiis euisdem triplicis eumdem triplum reperiemus, nam inter VI. et VIIII. ternarius differentia est, et inter VIIII. et XVIII. novenarius, qui ad ternarium triplus est. In dupla vero dispositione maior terminus ad medii termini contra se differentiam triplus est. Et rursus minor terminus ad differentiam sui et medii termini triplus est. Nam inter VIII. et XII. quaternarius est, qui ad eundem duodenarium triplus est, et inter VI. atque VIII. binarius, qui rursus ad eundem senarium triplus est.

Illa autem maxima simphonia, que vocatur bisdiapason, velut bis duplum, ex duplici proportione colligitur. Quoniam medius terminus ad minoris suique differentiam quadruplus invenitur, ut inter VI. et VIII. binarius, qui ad eundem octonarium quadruplus invenitur. In triplicibus quoque extremitatibus maior differentia ad minorem differentia quadrupla est, siquidem inter VI. et XVIII. duodenarius est, extremorum scilicet differentia, et inter VIIII. et sex ternarius, qui ad duodenarium est quadruplum. In duplici etiam dispositione, qua medius terminus ad minorem resonat diatesseron, ad maiorem vero diapente, si extremitates in unum redigentur, et a medietate multiplicentur, [123] duplus erit ab es numero, quem sole extremitates multiplicate perfecerit, ut VI. VIII. XII. Hic iuncte extremitates VI. et XII. conficiunt XVIII., qui per octonarium multiplicati in CXLIIII. excrescunt, cuius summe medietas est LXXII. qui conficiuntur ex multiplicatis in se VI. et XII.

Hanc quoque habet naturam talis dispositio, ut medius alia sua parte minorem precedat, et alia sua parte a maiorem preceditur; eadem autem parte minoris minorem superet, qua parte maioris a maiore superatur. Si vero dupli dispositio talis sit, ut medius ad minorem resonet diapente, ad maiorem diatesseron, ut sunt VI. VIIII. XII. quoniam differentie eedem [eadem], proportiones vero non eedem [eadem], arithmetica potius medietas dicenda est, quam armonica. Illa est enim vere armonica medietas, que cubi determinatione colligitur. Omnis enim cybus habet latera XII. angulos VIII. superficies VI. qui disponantur ita VI. VIII. XII.

[125] [II. De modis.]

His premissis ad VIII. troporum, quos Latini modos nuncupant, dispositionem veniamus. Primoque sciendum, quod tropus de Greco in Latinum conversio dicitur idcirco, quod excepta sua proprietate alter in alterum convertitur. Toni vero ideo dicuntur, quod exceptis semitoniis ipsi omnium troporum communis mensura sint. Modi etiam dicti sunt, eoquod unusquisque troporum proprium modum teneat, nec mensuram excedat. Siquidem facta una constitutione, que intexatur duplis, triplis, quadruplis, sesqualteris ac sesquitertiis cum XV. nervorum vocibus interiectis, hos VIII. tropos vel modos designari necesse est.

[127] Erit ergo primus modus omnium gravissimus videlicet hypodorius ex prima specie diapason, et terminatur eo, qui meses dicitur, medio nervo. Secundum modum hypofrigium secunda species diapason efficit, que in parameson finit. Tertium modum hypolydium, tertia species diapason determinat in eum, quem vocant triten diezeugmenon nervum. Quartum modum dorium quarta species diapason reddit, que finitur in paranete diezeugmenon. Quintus modus frigius quinta species diapason finitur, cui nete diezeugmenon nervus [est] ultimus. Sextum nihil ominus modum lidium sexta species diapason exerit, cui trite hyperboleon est finis. Septimum quoque modum mixolidium septima species diapason informat, quam paranete hyperboleon determinat. Verum, quia unus duplus, hoc [est], una diapason octo vocibus pollens, plures species non recipit, quandoquidem omnis symphonia unam vocem pluresque species admittit octavum modum hypermixolidium Ptolomeus adiecit, [129] quem secundi ec tercii modi proprietatibus informavit. Est enim diatesseron IIII. cordarum, et trium specierum; diapente quoque quinque cordarum, et IIII. specierum, quapropter et diapason octo cordarum et VII. specierum. Denique prima species diatesseron tercio loco habet semitonium, secunda species secundo, tercia species primo, semperque sive per disiunctum, sive per coniunctum tetrachordum quartis locis eadem species redit quintis locis. Non tamen semper diapente sibi invicem succedit. Unde constat, quod tres species diatesseron tres primas species diapente uno tono adiecto constituunt. Quarta vero species semitonis terminatur, et prima a nete diezeugmenon sumit initium.

[131] Restat, ut proprietates specierum diapason investigemus. Prima itaque species tertio et sexto loco utitur semitonio, secunda quarto et septimo, tertia primo et quinto, quarta secundo et sexto, quinta tertio et septimo, sexta primo et quarto, septima secundo et quinto, octava sicut et prima tertio et sexto.

Ceterum ut ad ipsas species diapason redeamus, quoniam lichanos hypaton hypodorii est, proslambanomenos dorii, meses dorii, que est paranete diezeugmenon [lichanos hypaton] hypodorii, integra consonantia diatesseron acutior est a mese eiusdem hypodorii. Similis differentia est inter frigium et hypofrigium, lidium quoque et hypolidium. Nam mixolidius ab ypermixolidio tantum distat tono.

[133] [III. De cubicis numeris.]

Nunc de cubicis numeris, qui armonicam considerationem suggerunt, qualiter predictas VIII. modorum species differre faciant, paululum est differendum. Prelibato tamen, quod diatesseron per VII. id est, per III. et IIII. diapente vero per V. id est, per II. et III. in armonica regula mensuratur. Nam et ex minoribus numeris maiores, et ex maioribus minores in eadem proportione numeros cognoscimus. Atque hoc est, quod ait Boetius in libro secundum, caput VIIII. Si duos numeros eorum differentia integre fuerit permensa, in eadem sunt proportione numerus, quos sua differentia mensa est, in qua erunt proportione et hic numeri, secundam quos eos sua mensa est differentia, ut inter VI. et VIII. binarius est, qui senarium ter, octonarium quater metitur. Similiter inter VIII. et XII. est ternarius, qui novenarium ter, duodenarium quater metitur. Sicque sit, ut in quantiscumque numeris, licet magnis, proportio sesquitertia incurrat. [135] Eam ternarius et quaternarius non relinquant, qui primi et quasi radices sunt sesquitertia proportiones. Eodem modo in sesqualtera proportione inter VI. et VIIII. est ternarius, qui senarium bis, novenarium tercio metitur. Que omnia in armonica regula fiunt circino notiora, siquidem eodem instrumento omnis duplus in equa [parte] partitur; et propositis ad duplum faciendum quibuslibet numeris, semper medius invenitur, qui equis differentiis ab utrisque extremis segregetur, ut inter II. et IIII. ternarius, qui ab utroque extremo singulis differt unitatibus. Inter IIII. et VIII. senarius eodem modo est medius, inter VI. et XII. novenarius, et [inter] XII. ac XXIIII. sunt XVIII. et utrisque dupli distant a medio, ille quidem ternario, hic vero senario. Sunt enim predicti numeri aliqualiter sibi incommensurabiles, quia binarium, quo mensurantur VI. VIII. XII. novenarius respuit; et contra ternarium, quo mensurantur VI. VIII. XII. octonarius non recipit. Quaternarius octonarii et duodenarii est mensura communis, et ob id iuxta quosdam triplus ypoderii [ypodorii] a quaternario incipit, et in duodenarium definit.

[137] Itaque melodia primi tropi, que est NONANOEANE [NOANNOEANE] VIII. et XII. videntur claudere. Sed eidem clausule, que constat diapente, quidam addunt tonum, ut prius in eidem melodia resonet prima species diatesseron, deinde secunda, ut postmodum intendatur tercia. Ad extremum ex ordine remittatur ab VIII. ad duodecim prima species diapente.

Hinc incipit melodia secundi tropi, que est NOEAGIS, et non ad VIII. sed ad novem pertingit, sicut omnes cantilene eiusdem tropi, clauduntur enim duobus diatesseron consonantiis.

De reliquo senarius, qui simplicitas est in dorio, triplicatus in ypodorio, et hypofrigio, quadruplicatur in frigio et lidio. In quibus vero senarius ad dorium triplicatus octonarius ad eundem dupliciter habetur. Et rursus in quibus ille quadruplicatur, iste triplicatione repetitur. Tandem novenarius, qui in dorio est simpliciter, in reliquis dupliciter, excepto lidio, [139] qui eius quadruplicatione et duodenarii triplicatione gaudet. Hypofrigius duodenarii repetitione letatur, sicut et hipolidius. Contra quam repetitionem hypolidii senarius sexies, octonarius ter, novenarius quater respondet. Mixolidius duodenarium et novenarium semel uno tenore repetit, senarium et octonarium triplicare contendit. Altero autem tenore duodenarium et octonarium triplicat, senarium et novenarium quadruplicat, sua vero propria consonantia duodenarium quater exibet, senarium octies, octonarium sexies. Ad extremum hipermixolidius una serie duodenarium et novenarium semel repetit, senarium et octonarium triplicatos exponit. Altera vero serie duodenarium et octonarium triplicat; senarium quoque et novenarium quadruplicat. Denique sciendum, quod post simphonias ex arbitrio musici propositas, id est, diapason, diapente ac diatesseron, aliquando unus tonus ad gravem vel acutam partem additur, qui emmelis, id est, aptus melo vocatur; sane in illa constitutione, ubi XV. nervos diximus, una serie proportionaliter dispositos, bisdiapason, id est, bis VI. vel bis VIII. vel bis XII.

[141] [IV. Nova expositio.]

Tandem ad cuiusdam expositionem, de prefatis tropis vel modis veniamus, ut eidem expositioni, Deo iuvante, aliquid lucis infundamus. Omnis, inquid, primus tonus, quem dorium dicimus, aut ter VI. habebit in dupla proportione, id est, diapason, ut Rorate Celi desuper. aut quater V. quod XX. id est, duo de VIII. et III. de XII. in sesqualtera proportione faciens diapente, ut est Et nubes pluant iustum aperiatur. aut ter VII. quod est XXI. id est, III. de VIIII. ad IIII. de XII. qui in sesquitertia faciunt diatesseron, ut est Terra germinet salvatorem. Quam in gradalem antiphoniam per singulas incisiones singulis symphoniis subditam, hoc modo pandimus. Inter VI. et XII. qui faciunt XVIII. senarius est differentia, quia melodia prime incisionis ascendendo totam percurrit, a lichanos hypaton videlicet in paraneten diezeugmenon, premisso ad gravem partem tono, qui emmelis dicitur, id est, melo aptus. Denique eandem differentiam ternarius in equa partitur, et ita a senario in novenarium diapente terminatur. [143] Que simphonia quoniam constat diatesseron et tono, secundam incisionem antiphone excurrit omnino, ita ut ibi sint II. de VIII. et III. de XII. qui octonarius senarius binario excedit, ut sesquitertia proportio esse possit. Novenarius vero senarium ternario preterit, qui medietas est eiusdem senarii, et ob id quarta pars duodenarii. Tres ergo de VIIII. aequales sunt ad IIII. de XII. dum illius pars tertia ut huius quarta. Et sic fiat inter eos diatesseron consonantia, que a novenario in duodenarium concludat tertiam antiphone incisiunculam. Sequitur ille antiphone gradales eodem modo currunt: Gaudete in Domino. et Inclina Domine. et Iustus ei Domine. similiter antiphone nocturnales Posuerunt super capud eius. Iohannes autem. Traditor autem. Et hoc videndum, quod sepe evenit, ut bis aut ter, aut totum etiam in antiphonis, aut in quocumque cantu primi toni sit. Aut per VI. et XII. quod est diapason, aut per V. et X. quod est diapente, aut per VII. totum, quod est diatesseron, decurrit. Quod, ait, bis diapente respicit. Dum enim duorum quorumlibet numerorum ad se invicem sesqualtera ratione comparatorum alter, id minor numquam medietate careat, certum est quod minor in duo equalia dividitur, cuius medietate a maiore superatur. Unde sit, ut sicut ille binario, ita semper iste partiatur ternario. Et hoc est quod ait: [145] diapente fieri per V. et X. quia II. et III. reddunt quinarium, et duplicati denarium, nam IIII. et VI. perficiunt X. Per VII. quoque, qui constat ex III. et IIII. partiri omnem sesquitertiam proportionem iubet, quoniam duorum quorumlibet numerorum eiusdem proportionis alter, id est, minor in III. equis partibus; alter, id est, maior in IIII. distribuitur. Quo sit, ut quia hypofrigius consonantia diatesseron totus explicari perhibetur, per septenarium dimensus esse credatur; in hypodorio vero vel lidio contigit denaria dimensio. Porro dorius decurrit, Alleliua. quod est Fulgebunt iusti. a XII. in VI. per diapason; Alleluia. idem sicut et Fulgebunt iusti. et Tamquam scintille. per diapente a XII. in VIII. In arundineto discurrent in eternam. ab VIII. vel potius a VIIII. in VI. Nec abest ab hoc tropo responsorium gradale, quod est Posiusti Domine.

[V.] Item ciusdam [corr. supra lin., m.alt.] de eadem re nova expositio.

A prima quoque specie diapason, que est mese, id est, o. inchoatur primus tropus, finiturque in diapente remissum, quod est e. et haec est forma NOANNOEANE, [147] habet [enim] haec V. differentias et VIIII. in nocturnis. Est namque prima differentia in o. que habet duo primum in se: Veniet Dominus. secundum in i. enarmonio remisso: Apertis. secunda vero differentia in m. lichanos meson, que habet III. loca in se: Canite tuba. diatesseron remissum in e. Ecce nomen Domini. diapente remissum in c. Intempesta nocte. Tertia differentia est in i. que habet unum locum [in] se, diatesseron remissum in c. O beatum pontificem. Quarta differentia est in h. que habet unum locum in se: Inclinans se Iesus. Quinta differentia est in e. que habet duo loca in se: Euge. sesquioctavum remissum in c: Sint lumbi. Concluditurque huius tropi forma intra integrum diapente, et singule corde singulas retinent differentias, et prima differentia II. habet loca, secunda III. tertia I. quarta I. quinta II. Unde constat, ut hic tropus V. habeat differentias, et VIIII. loca in nocturnis. In diurnis hoc hic tropus III. habet differentias: primam in i. que habet unum locum in c. ut Inclina. secunda in h. que habet locum in e. Statuit. tertia in c. que habet locum in se: Gaudete. [149] Unde apparet, ut singula in diurnis, differentie singula habeant loca. Propter amirabilem igitur huius tropi differentiarum naturam a quibusdam in simphonia eius c. non additur, quia ea nulla differentia insignitur, huius hic in nocturnis sic currit versus: Gloria Patri et Filio et Spiritui Sancto. Sicut erat in principio et nunc et semper et in secula seculorum, Amen. In diurnis hic sic currit versus: Gloria Patri et Filio et Spiritui Sancto. Sicut erat in principio et nunc et semper et in secula seculorum, Amen, Amen.

[VI.] De secundo tono: Sequitur in eadem expositione.

Troporum modus secundum, ter VI. id est, XVIII. ad XII. qui faciunt simul XXX. per sesqualteram proportionem reddunt diapente. Ad VI. autem de primo tono isti ter VI. de secundo tripla proportio est, quia triplicatus eum superat. Item bis VIII. ad XII. sunt XXVIII. id est, quater VII. et faciunt per sesquitertiam proportionem diatesseron. [151] Ipsa ergo proportio numeri, id est, bis VIII. ad VIII. de primo tono, duplum est, et ideo in diapason cadit XXIIII. id est, quater VI. et bis XII. Item bis VIIII. qui sunt XVIII. ad XII. faciunt diapente, ut supra. Omnis hec melodia secundi toni, aut per diapente denarium numerabit totum, ut est antiphona Ecce advenit. in quo sunt V. vel X. aut per diatesseron totum, id est, per VII. ut est antiphona Veniet ostende. item antiphonia diapentica Omnipotens sermo tuus. et diatesseron, ut est Dominus Deus auxiliator meus. Si autem in diapason venerit proportio secundi toni, id est, XII. ad VI. et bis VIIII. ad VIIII. et bis VIII. ad VIII. primum tonum efficit. Quoniam singuli modi suam propriam habent constitutionem, semper se gemini e latere respiciunt, ut aliquando fraterna concordia, alter in alterum segravatus reclinet, alter in alterum ascendendo se exaltet. Nam ipodorius in dorium transit, si suam diapason excesserit. Et hoc est, quod ait, si duodecim ad VI. pervenerint, quandoquidem hypodorius ad illum comparatus triplo gravior existit. Si enim in hac plaga nete hyperboleon ad scribantur VI. meses habebit XII. lichanos hypaton XVIII. proslambanomenon XXIIII. et erit XII. differentia inter XII. et XXIIII. Hanc igitur differentiam vix excedet huius plage melodia ad acutam partem in antiphonis, sed inferius, sive diatesseron per VII. sive diapente per X. numerabit. [153] Est autem integra diatesseron consonantia inter utrumque modum, dum lichanos hypaton hypodorii sit proslambanomenos dorii. Siquidem, ex duplo et triplo hanc consonantiam procreari Boetius ita dicit. Sint huiusmodi [medi] etatis termini, quorum extremi sint dupli, et alii quorum extremi sint tripli, ita VI. VIII. XII. IIII. VI. XII. Duodenarius igitur ad senarium duplus est, et in alia dispositione XII. ad IIII. triplus est. Horum si differentias colligamus ad se invicem comparemus epitrita proportio, id est, diatesseron symphonia colligitur, et reliqua. Cum hec ita sint, certum est quod paranete diezeugmenon [lichanos hypaton] hypodorii, cui adscribuntur VI. [XII.] sit meses dorii. Ad quam mesen dorii si pervenerit cantus secundi tropi, iam potius dicetur dorii, quam hypodorii, ut est in response gradale Universi qui te. Quod responsorium per differentiam que est XII. passim excurrit inter bis XII. et XII. cuius versus habens in primordio intensum diapente, a XVIII. videlicet in XII. percurrit VIIII. qui sunt in differentia a bis VIIII. in VIIII. Responsorium quoque nocturnale, quod est Circumdederunt me. cum suo versu unum tonum ultra differentiam, quam diximus constare inter XXIIII. et XII. acuendo peragit.

[155] [VII.] Item de secundo tono: Nova cuiusdam expositio.

A quarta specie diapason, que est in e. ubi finitur primus tropus, inchoatur et secundus; ibique finitur, ubi et inchoatur. Concluditur autem forma intra diapente, quod est ab m. ad c. huius hic hec est forma NOEAGIS. Habet hic tropus differentiam unam in e. que habet tria loca; diatesseron remissum in antiphona, ut Latentur. sesquioctavum remissum in c. igitur se, ut Iuste et pie. Unde constat ut hic tropus unam habeat differentiam in nocturnis et tria loca. In diurnis hic tropus ipsam habet differentiam et ipsa loca: diatesseron remissum in antiphona, ut Ecce advenit. tonum remissum in c. Sitientes servite in de necessitatibus. Huius tropi in nocturnis sic currit versus: Gloria Patri et Filio et Spiritui Sancto. Sicut erat in principio et nunc et semper et in secula seculorum, Amen. In diurnis autem sic currit versus: Gloria Patri et Filio et Spiritui Sancto. Sicut erat in principio et nunc et semper et in secula seculorum, Amen.

[157] [VIII.] Sequitur tonorum expositor.

Tertius tonus duo a. habet, unum propter mensuram autenti deuteri, et alterum propter plagam eius, in cuius diapason suum semitonium explicat, et alterum semitonium in diapason secundi toni, propter triplam, ut dictum est, et quadruplam propter quater VI. ad unam III. de primo. Quater enim VI. ad quater III. de XII. quater VIIII. [sunt], qui sunt XXXVI. diapason, id est, sexies VI. et ter XII. semiliter ter VIII. ad XII. quia duple proportiones sunt. Bis VIIII. ad XII. sesqualtera proportio est, id est, diapente in XXX. Unde iste tertius tonus aut diapason erit aut diapente, ut sunt gradales antiphone Confessio et pulchritudo. Dispersit dedit. et Cognovi Domine. nocturnales antiphone Qui de terra est. Quando natus est. Malos male perdet.

Tonus inquid tertius duo a. habet, id est, bis XII. a. enim pro duodecim accipitur. Unum inquit propter mensuram autenti deuteri, id est, frigii, et alterum propter plagam eius, id est, propter hypofrigium. [159] Nam meses phrigii, id est, XII. est nete diezeugmenon hypodorii [hypofrigii], ubi quinta species diapason incipit, et idcirco huius hypate meson est illius proslambanomenos. Porro hypate meson frigii est meses hypofrigii, atque ob hoc ait: in cuius diapason suum semitonium explicat; quia meses uniuscuiusque constitutionis diapason perficit, et ab eodem hypate meson hic vel illic semper incipit melodia quarti tropi. Siquidem huius initium est melodie tercii extremum, quandoquidem mollitiem chromatici generis imitatur, in quo frequentius per totam diapason diapente repetitur. Nam a paramese incipiens quarto loco suam diapason, suumque semitonium explicat, sed euphonie causa eidem diapason tonum adicit, sicut in melodia primi tropi ut a mese diatesseron remissa cum tono, quod est diapente, esse possit. Quod vero ait suum semitonium. Certum est quod unaqueque species diapason secundo suis semitoniis insignitur, [161] que si loco mota fuerint, totam qualitatem tropi transmutant, suo loco servata conservant. Ad id quoque multum toni prosunt, quos dicunt prothum, deuterum, et reliqua. Proptum triplum, et quadruplum, quod ait: sciendum est, quod secundus tropus ter VI. in lichanos hypaton consumat. Tertius vero quater VI. in proslambanomenom determinat, qui superiore nervo una sesquioctava brevior constat. Subiungit quod quater VI. ad quater III. de XII. diapason sit, quia primus duodenarius, id est, bis VI. ad suam mese pervenit. Cuius quartam partem, vel III. frequentius percurrunt mela eiusdem tropi descendunt que per quartam partem de bis XII. ut ita diapason compleri possint. Hoc quoque senties canendo AIANEOEANE. Siquidem paramese, peracta quarta specie diapente ad lachanon [lichanos] hipaton descendit, et lichanos mese per singulas cordas ascendendo diapente intendit; rursusque ad trite diezeugmenon gravando remittit. Ad extremum in sua finali, hoc est, hypate meson desinit. [163] Quam finalem primam tangit gradalis antiphona, que est Confessio et pulchritudo. et sic usque ad III. de XII. ascendit ac deinde ad finalem suam redit. Quo etiam incipit semitonio intenso antiphona Cognovi Domine. et Dum clamarem ad Dominum. Nocturnales quoque antiphone vel responsoria eodem modo currunt: Malos male perdet. et Peccavi super numerum. Alleluia. etiam, Spiritus Domini. et offertorium Deus tu convertens. Sic in eodem tropo non tantum per diapason infra XXXVI. vel diapente infra XXX. sed etiam per diatesseron, frequentius intensam vel remissam canitur.

[IX.] De quarto.

Aristoxenus musicus non voces ipsas, ut Pitagoras dimetiens, sed inter voces differentiarum mensuras colligens, singula tetrachorda tribus numeris distincxit, qui nec LX. excederent, nec infra subsisterent. Nam in quator tetrachordis inter primam et secundam cordam, que secundam ac terciam eundem numerum posuit. Inter terciam vero et quartam, quod residuum erat de LX. superadiecit, ita: VI. VI. XLVIII. VIII. VIII. XLIIII. VIIII. VIIII. XLII. XII. XII. XXXVI. Restant duo tetrachorda, quorum alterum habet XII. XVIII. XXX. alterum XII. XXIIII. et XXIIII. Est autem eorundem numerorum hec ratio, quod XXIIII. pro tono posuit, XII. pro semitonio, VIII. pro tertia parte toni, VI. pro quarta, quod est diesis. VIIII. vero ex quarta parte toni, quod est VI. et octava, quod est III. constituit. [165] Et primum quidem tetrachordum dixit enarmonii, secundum chromatici mollis, sextum diatonici incitati. Maior autem in omnibus tetrachordis extremus numerus [est] quam duo reliqui, nisi in duobus ultimus que sunt diatonici generis. Igitur secundum maiorem extremitatem tetrachordorum est commensuratio symphoniarum, quoniam XLVIII. sunt bis XXIIII. hoc est, bis diapason quod est quater XII. et sexies VIII. et octies VI. Similiter bis XII. hoc est bis diapason, sunt XXIIII. quod est quater VI. et ter VIII. Bis autem VIIII. ad quater VI. quod est diatesseron, XLII. sunt, et bis VI. ad bis VIIII. quod diapente, XXX. sunt. Ad ultimum bis VI. ad quater VI. quod est diapason, sunt XXXVI.

[X. De quarto tono.]

Quapropter premissus expositor adiecit: tonus quartus, que hypofrigium dicimus, habet bis XII. ad bis VIIII. et ter VIII. ad ter VI. in una consonantia numerorum, est enim bis diatesseron; in diapason vero VI. ad XII. id est, XVIII. conveniunt. Idcirco ter VI. non ad bis XII. comparatur, quoniam per ter non dividitur, sed ut dictum est, ter VIII. ad ter VI. et bis XII. ad bis VIIII. per sesquitertiam qui sunt XLII. proportionem. Nam totus iste tonus erit per diatesseron semper. Consonantiam autem diapason, id est, [167] VI. ad XII. faciunt ter VI. et bis VIIII. et ter VIII. et bis XII. quorum proportio, id est, comparatio maioris ad minorem et minoris ad maiorem, diatesseron habens, semper septenario mensurabitur, ut in gradalibus antiphonis Resurrexi. Misericordias Domini. In voluntate Domine. In nocturnalibus, quoque Rubumque videratmo. Turba multa. Tria sunt munera.

In hec expositione hoc tantum querendum videtur. Quod ait, ter VI. non ad bis XII. comparari, quoniam per ter non dividitur, ac si bis XII. ad XXIIII. per terciam partem metiri inpossibile sit. Dum autem XXIIII. et per binarium et per ternarium metiri possit, certum est quod binarium binario, et ternarium ternario in eadem consonantia respondere voluit, ubi ternarium binario respondere contradixit. Quod vero adiecit, VI. ad XII. diapason fieri, cum iam posuisset bis XII. recolendum est, quod non solum in vocibus, set etiam inter voces differentiarum mensura colligenda sit. Nam quia bis XII. dixit VI. ad bis XII. quadruplum constituit, atque idcirco, inter VI. et XII. senarius differentiam facit. Rursusque inter XII. ad bis XII. duodenarius differentia existit. Quas tandem differentias ad se invicem comparates, diapason redere nullus ignorat. Et hoc est, quod ait, consonantiam diapason, id est, VI. ad XII. faciunt, ter VI. et reliqua. Differentia itaque que est XII. utramque consonantiam, id est, bis diatesseron retinet nec eam in minoribus antiphonis excedit. [169] Quod si fecerit, iam vim frigii obtinebit. Ceterum eius melodia, que est NOEAGIS, ab ypate meson, hoc est a semitonio intenso incipit, et in eadem finalem transcurso diapente desinit, quomodo autem omnis diatesseron septenario mensuratur per IIII. et III. supra relatum est. Hic vero in bis XII. et ter VIII. sunt quater VI. et in bis VIIII. sunt ter VI. Secuntur gradales antiphone, quarum prima est Resurrexi. cuius est initium lichanos hypaton, medium et finis hypate meson, acuminis sumitas mese; gradale quoque responsorium Hec dies. nocturnale Rex noster ad. quod acuendo paramesen preterit; Alleluia. etiam. Pascha nostrum. in hoc tropo consistit, quod pene ad suum diapason pervenit.

[XI.] Item de tertio et quarto tono: Nova cuiusdam expositio.

A prima specie diapason et primus, propter quandam naturam, inchoatur et tertius tropus finitque in diatesseron, in hoc scilicet concluditur eius forma intra diapente [o.] ad e. diatesseron o. ad cc. huius enim tropi talis est forma NOEOEANE. Habet enim hic tropus in nocturnis differentias tres unam in m. que habet unum locum se: Qui odit. alteram in o. que habet unum locum, diatesseron remissum in hoc: [171] Qui de terra est. tertiam in x. que habet enarmonicum remissum in m. Et respitientes. In diurnis enim hic tropus easdem habet differentias et eadem loca m. ut Ego autem. cum o. differentia et hunc locum: Dum sanctificatus. Huius autem tropi in nocturnis sic currit versus: Gloria Patri et Filio et Spiritui Sancto. Sicut erat in principio et nunc et semper et in secula seculorum, Amen. In diurnis sic currit versus: Gloria Patri et Filio et Spiritui Sancto. Sicut erat in principio et nunc et semper et in secula seculorum, Amen.

[XII.] De quarto.

A quarto specie diapason, ubi finitur tercius tropus, inchoatur et quartus ab h. scilicet, et finitur in eadem h. Concluditur hec eius forma intra diapente, quod est ab o. ad e. addito sesquioctavo remisso e. [c.] ad e. Huius enim tropi hec est forma NOEAGIS; habet enim hic tropus in nocturnis differentias II. prima in h. que habet IIII. loca se: O quam clarus est. Iherusalem. sesquioctavum remissum in c. Rubum quem. Secunda differentia est in e. que habet unum locum in c. Betlem eiu itas. Unde constat ut hic tropus II. habet differentias, et dedicata loca in nocturnis. In diurnis enim hic tropus I. habet differentiam in m. ut Resurrexi. [173] Huius enim in nocturnis sic currit versus: Gloria Patri et Filio et Spiritui Sancto. Sicut erat in principio et nunc et semper et in secula seculorum, Amen. In diurnis hoc sit: Gloria Patri et Filio et Spiritui Sancto. Sicut erat in principio et nunc et semper et in secula seculorum, Amen.

[XIII.] Sequitur expositor.

Tonus quintus, quem nos lidium dicimus, totus per denarium semper est diapenticus, quia ter VIII. ad ter XII. et quater VI. ad quter VIIII. per sesqualteram proportionem in diapente cadunt, quorum consonantia diapason est in XII. Nam quater VIIII. et ter XII. ad quater VI. et ter VIII. faciunt LX. In quibus sunt gradales antiphone Domine refugium. et Circumdederunt me. et Domine in tua misericordia. et nocturnales antiphone Solvite templum hoc. et Salve Crux. et Exultavit Spiritus meus. Hic nihil aliud querendum video, nisi quod ait quia numeri ad bis diapente faciendum propositi faciant consonantiam diapason ad XII. Duo enim tantum, id est, quater VI. et ter VIII. ad eundem numerum diapason faciunt. Nam quis intelligat quod quater VIIII. et ter XII. in predicta proportione sint? [175] Unde intelligendum est quod ex duodenario oriatur diapason ad numerum bis XII. qui ad XLVIII. alteram diapason perficit, in quorum medio hic tropus suam proprietatem requirit, quandoquidem illa consonantia, que ter XII. ad ter VIII. hinc XII. illinc XLVIII. respicit, ad ter VIII. uterque numerus diapason facit. Porro ter XII. ad partem gravem observat metas eiusdem tropi, quoniam at trite diezeugmenon, sub tercia specie diatesseron, inchoans, terciam speciem diapente deorsum in sua melodia, que est NOEOEANE peragit usque ad paripate meson, que est sua finalis. Gradalis enim antiphona Domine refugium. ad eandem cordam bis redit, et sicut Circumdederunt. incipit, ita et offertorium Inmittit angelus. Nocturnale quoque responsorium Obsecro Domine. a mese enarmonico remisso inchoat, ut stati chromaticum intensum se ingerat. Secunda species enim diapason, que a paramese incipit, in eo est singulas quod III. tonos deorsum absque semitonio una serie directim digerit, nec in eadem diapason inter VI. et XII. octonarius incurrit, atque idcirco ibidem adiuvat plurimum sinemmenon tetrachordum. Alleluia. etiam Beatus vir. a finali corda eiusdem tropi, ad octavum sursum versus, totam quintam speciem diapason percurrit. In predictis vero numeris consonantia diapente sub mensura quinaria cadit quoniam ter VIII. et quater VI. ad bis XII. religuntur. [177] Quater vero VIIII. ad ter XII. ut binarius et ternarius qui faciunt V. conservant suum diapente.

[XIV.] Item de quinto tono: Nova cuiusdam expositio.

A tercia specie diapason que est y. inchoatur quintus tropus, finitur que in diapente, quod est i. concluditur enim eius forma diapente, quod est y. ad i. addito enarmonio quod est y. ad dd. Huius enim tropi hec est forma NOEOEANE; habet hoc hic tropus duas differentias in nocturnis, unam in o. que habet duo loca se: Obsecro Domine. enarmonium remissum in i. Vox clamantis. alteram differentias in y. que habet unum locum se, scilicet Hodie nobis. In diurnis hoc hic tropus quator habet differentias ad III. loca se: Exaudi Deus. alteram in m. que habet unum locum in i. Circumdederunt me. tertiam in y. Iustus Dominus. Huius hoc tropi in nocturnis sic currit versus: Gloria Patri et Filio et Spiritui Sancto. Sicut erat in principio et nunc et semper et in secula seculorum, Amen. In diurnis sic currit versus: Gloria Patri et Filio et Spiritui Sancto. Sicut erat in principio et nunc et semper et in secula seculorum, Amen.

[179] [XV.] Sequitur idem expositor de sexto tono: De sexto tono.

Tonus sextus est sexies VI. ad sexies IIII. de bis XII. et quater VIIII. ad quater VI. de bis XII. quia sesqualtera proportio in diapente cadit, et sexies IIII. de ter VIII. et sexies IIII. de bis XII. in consonantia diapason, id est, VI. ad XII. veniunt per bis XII. et ter VIII. qui sunt XLVIII. sicut sexies VI. et quater VIIII. sunt LXXII. Totus iste tonus aut per diapason consonantiam, id est, VI. ad XII. aut per diapente, denario scilicet, mensurabitur, ut in gradalibus antiphone Os iusti. et Omnes gentes et. Quasi modo. in nocturnalibus quoque antiphone O admirabile. Vade satanas. et Virgo hodie. Quia sunt VIII. tropi, quorum dicuntur auttentici vel principales; IIII. reliqui, plage vel subiugales sciendum est, quod a se invicem, hoc est, principalis a suo subiugali non discrepet, aut ratione numerorum aut natura simphoniarum. Quapropter huiusmodi mensure et numeri magis lidio principali competunt, quam subiugali, [181] quoniam ille sextam partem de bis XII. quod est IIII. et quartam, quod est VI. frequentius percurrit. Iste vero in quibusdam antiphonis more subiugalium vix ad bis XII. pertingit.

Denique quod bis XII. id est, XXIIII. sexta parte vel quarta metiri precipit, hoc est, quod postmodum ait eiusdem tropi consonantiam, quod est diapente, denario mensurari, quandoquidem VI. et IIII. denarii mensure competit. Quod vero sexies VI. ad sexies IIII. quod est LX. comparari voluit, idem valet ac si diceret, XXXVI. ad XXIIII. per diapente consonantiam comparari. Deinde ter VIII. et bis XII. in consonantia diapason dixit fieri, per VI. ad XII. quod nihil est aliud, nisi quia ter VIII. et bis XII. idem valent, ad XII. quod predicta diapason in minoribus numeris, hoc est VI. ad XII. Nam a sua finali que est parhypate meson, diapente superius et diatesseron inferius ex currit. Ex quibus utrisque consonantiis semper diapason existit, sicut animadvertere potes in antiphona que est Omnes gentes. Quandoquidem et ad paripate hipaton descendit, et ad trite diezeugmenon [ascendit], ut dictum est diapason existet. Eodem modo ascendit et descendit offertorium Stetit angelus. Nocturnale quoque responsorium cum suo versu quod est Aspiciebam. et Esto nobis Domine. ad nete hyperboleon videntur ascendere. Alleluia. etiam Omnes gentes. eiusdem tropi melodia que est AANNES, [183] iutonando retinet, siquidem ipsa melodia ascendendo mesen tangit, ac postea tertiam speciem diatesseron descendendo remittit.

[XVI.] Item de sexto tono: Nova cuiusdam expositio.

A sexta specie diapason, ubi finitur quintus tropus, inchoatur sextus, ab i. videlicet. Concluditur tamen eius forma diapente, quod est o. ad e. addita sesquioctava proportione ad gravem partem, scilicet e. ad c. Huius enim tropi hec est forma NOEAGIS. Habet enim hic tropus in nocturnis differentiam I. que habet III. loca se: Aspiciebam. enarmonium intensum in o. Modo veniet. diatesseron remissum in c. Per memetipsum. Itaque hic tropus I. differentia cum tres insignitur locis. In diurnis enim ipsa differentia II. habet loca se: Os iusti. diatesseron remissum in c. Qui manducat. Huius tropi in nocturnis sic currit versus: Gloria Patri et Filio et Spiritui Sancto. Sicut erat in principio et nunc et semper et in secula seculorum, Amen. In diurnis sic: Gloria Patri et Filio et Spiritui Sancto. Sicut erat in principio et nunc et semper et in secula seculorum, Amen.

[185] [XVII.] Sequitur expositor: De septimo tono.

Tonus septimus, quem nos mixolidium dicimus, in proportione quarti toni habet totum diatesseron et in proportione quinti toni totum diapente, et in proportione propria habet quater XII. quod est diapason. Quod ait, ex quarti toni et quinti proportionibus mixolidium fieri, qui idcirco dictus est, eo quod ex lidio mixtus sit, scire oportet, quod in quarto tono bis VIIII. ad bis XII. et ter VI. ad ter VIII. per XLII. diatesseron consistit. In quinto vero sexies VI. ad sexies IIII. de bis XII. et quater VIIII. ad quater VI. de bis XII. per LX. diapente producit. In proportione autem propria habet diapason, quod est quater VI. ad quater XII. et sexies IIII. de bis XII. ad sexies VIII. qui numeri simul iuncti faciunt XLVIII. Siquidem a paranete diezeugmenon melodia huius tropi inchoans, in lichanos meson, que est sua finalis, definit per diatesseron et tonum, faciens primitus diapente remissum, tum deinde terciam speciem ipsius diapente, [187] ut infra eam consonantiam videatur consistere. Et quia sursum versus a sua finali hic septimus tropus septimam speciem diapason exequitur, quia quartus diatesseron septenario, et sicut quintus diapente denario mensurabitur. Huius enim speciei paranete hyperboleon est ad acutam partem finis. Ubi autem melodia huius tropi, que est NOEOEANE definit, melodia octavi tropi, que est NOEAGIS, per diatesseron intensum incipit, quod statim remittit, nec a suo principali propter hanc differentiam discrepat, quod suo nomine hypermixolidius designat. Hypermixolidius sane dicitur, quod mixolidium transcendit, qui iuxto Ptolomeum octavum speciem diapason, omnibus reliquis accutiorem, percurrit, constans quarti et quinti toni proprietatibus, sicut mixolidius. Cantatur autem mixolidius in gradalibus antiphonis Puer natus est. et Audivit Dominus. Et nocturnalia responsoria eodem modo incipiunt: responsorium Iste est frater vester. et Dixit Iudes fratribus suis. Ceterum prima antiphona Puer natus est nobis. diapente a paranete diezeugmenon intendit, [189] ubi melodia huius tropi tale habet initium, quale est responsorium Ecce dies veniunt. responsorium Nascetur nobis. De hoc tropo eiusdem modo incipit. Porro cantilene octavi tropi more subiugalium, infra quartam speciem diapason decurrunt.

[XVIII. De maneriis]

Sunt hoc a mese superius IIII. corde, quibus sinemmene sunt proxime, et e. latere vicine, quedant ab excellentiori parte exordium IIII. primis speciebus diapason, atque melodiis IIII. troporum. Quorum videlicet troporum, sive etiam sonorum, primus greca lingua dicitur prothus; secundus deuterus; tertius tritus; quartus tetrardus; qui singuli a suis finalibus deorsum penthachordo, quod est diapente, differunt. Superius vero tetrachordorum, quod est diatesseron requirunt, ut unusquisque suam spetiem diapason teneat, per quam evagando, sursum ac deorsum libere currat. Cui scilicet diapason plerumque tonus exterius additur, qui emmelis, id est, aptus melo vocatur.

Sciendumque quod dorius maxime protho regitur, similiter phrigius deutero, lidius trito, mixolidius tetrardo. Quos sonos in quibusdam cantilenis sue plage quodammodo tangendo libant, [191] ut plaga prothi tangit prothum, deuteri, deuterum, trite, tritum, tetrardi, tetrardum. Et id fas est experiri in gradalibus antiphonis. In responsoriis namque nocturnis vel diurnis, seu quibuslibet ecclesiasticus cantilenis, ipse plage horum sonorum limites ad placitum transcendunt, ac species diapason, quas a graviori parte inchoaverant, prout libuerit, percurrunt, quippe singule chorde finalis, singulas adoriuntur species. Quorum videlicet specierum, metas principalium troporum superius et inferius observatium prima dorii est, secunda frigii, tertia lidii,quarta mixolidii, siquidem omnes speties, diapason et superius et inferius inchoari possunt, ubigram prima ab o. in a. vel ab a. in o. secunda, ab x. in b. vel ab [b.] in x. tertia, [ab] y. in c. vel [ab] c. in y. quarta, ab cc. in e. vel ab e. in cc. quinta, ab dd. in h. vel ab h. in dd. sexta, ab ff. in i. vel ab i. in ff. septima, ab nn. in m. vel ab m. in nn. Sunt igitur IIII. superius, id est, o. x. y. cc. et IIII. inferius, id est, e. h. i. m. Et superiores quidem excellentiori parte finiunt: hypodorium, hypofrigium, hypolidium, hypermixolidium. [193] Inferiores vero finiunt ex graviori parte, dorium, phrygium, lidium, mixolidium, unde et finales dicte sunt. Quapropter modulatio cantilene infra spetiem hypodorii decurrens sua est, superius ascendens, dorii est. Eodem modo infra speciem hypofrigii, sua est, superius ascendens phrigii est. Infra speciem quoque hypolidii, sua est, superius ascendens, lidii est. Et de hypermixolidio similiter intelligendum est. Ergo modulationem cantilene, dorii ad excellentiorem partem finit cc. modulationem phrigii finit dd. modulationem lidii finit ff. modulationem mixolidii finit nn. Unde sit, ut dorius ab o. aut descendat in e. aut ascendat in cc. hosque superius vel inferius habeat limites. Similiter frigius ab x. aut descendat in h. aut ascendat in dd. Eodem modo lidius ab y. aut descendit in i. aut ascendit in ff. Mixolidius nihil ominus ab cc. aut descendit in m. aut ascendit in nn. et semper unusquisque principalis tropus inferius habet diapente a media chorda, [195] superius diatesseron, ac si VIII. sint inter VI. et XII. Subiugalis vero unusquisque tropus a finali chorda superius habet diapente, inferius vero diatesseron, ac si VIIII. sint inter VI. et XII. Quod si superius vel inferius alicui tropo extra speciem dupli tonus accesserit, non erit absurdum EMMELIM, ponere ut sit a predictis medietatibus, ubicumque contetigerit hinc vel inde diapente et tonus, vel diatesseron et tonus.

Restat dicere de tribus diractaneis tonis, quorum tenorem sinemenon tetrachordum recidit, dum inter o. et x. trite sinemenon, id est, q. intervenit; nec tamen unquam ratio post paramesen sonare permittit, sed aut post o. aut post c[y].Invenitur post o. sicut in tercio sono huius antiphone Iustus es Domine.

[XIX. De octavo tono.]

Tandem octavus tropus tenet eandem speciem diapason, quam et primus, tamen eo differt: quod ille habet m. mediam chordam sue qualitatis custodem, [197] hic vero o. sub proti nomine. Quam differentiam qui nescit, nunc in istum, nunc in illum vitiosus incurrit, ut est in antiphona Urbs fortitudinis. que a primo tono incipit, et in octavum definit propter semitonium, quod corde, que est m. imprudens non suo loco subiunxit eo, ubi Aperite portas. intulit. Ceterum in gradalibus antiphonis habet octavus tropus Ad te levavi. et Domine ne longe in nocturnis, antiphona Repleti sunt omnes. et Lux de luce. nocturnalia, responsoria Montes. et Dixit rubem. diurna, Dilexisti. et Qui sedes. offertorium, Si ambula vero.

[XX.] Item de septimo et octavo tono: Nova cuiusdam expositio.

A quarta specie diapason, que est supra mese, inchoatus septimus tropus, id est, cc. et finitur in diapente m. Concluditur eius forma intra diapente, quod est cc. ad m. addita sesquioctava proportione, quod est ab m. ad i. Huius hoc tropi hec est forma NOEOEAGIS, [199] habet hoc in nocturnis differentias III. unam in cc. que habet unum locum, diapente remissum in m. ut Summe trinitati. Alteram [est] in y. que habet duo loca se, ut Dixit Iudas. [et] tonum intensum in cc. ut Aspiciens. Tertia differentia est in o. que habet II. loca se, Adtende Domine. tonum remissum in m. ut Missus est Gabriel. et de hac differentia sunt omnes antiphone, quas vitio finis in quarto ponimus, ut Benedicta tu. In diurnis huic tropo una differentia in m. que habet unum locum se, scilicet ut Puer natus est. Sic enim in nocturnis currit versus: Gloria Patri et Filio et Spiritui Sancto. Sicut erat in principio et nunc et semper et in secula seculorum, Amen. In diurnis: Gloria Patri et Filio et Spiritui Sancto. Sicut erat in principio et nunc et semper et in secula seculorum, Amen.

[XXI.] De octavo.

A septima specie diapason, que est m. ubi finitur septimus, inchoatur octavus. Ibi finitur, ubi inchoatur. Concluditur eius forma intra diapente intensum, m. ad cc. addita sesquioctava proportione, remissa m. ad i. Huius tropi talis est forma NOEAGIS. Habet hic tropus in nocturnis differentiam I. que habet V. loca se: Ecce dies. sesquioctavum remissum in i. ut Doceam iniquos. sesquioctavum intensum in o. ut Quodcunque. [201] diatesseron remissum in y. Ecce ancilla Domine. Unde aparet, quod hic tropus in nocturnis differentia cum quinque locis insignitur. In diurnis hoc hic tropus I. habet differentiam, que habet duo loca se, ut In virtute tua Domine. diatesseron remissum, ut Domine ne longe. Huius tropi in nocturnis sic currit versus: Gloria Patri et Filio et Spiritui Sancto. Sicut erat in principio et nunc et semper et in secula seculorum, Amen. Antiphonis. In diurnis autem taliter currit versus: Gloria Patri et Filio et Spiritui Sancto. Sicut erat in principio et nunc et semper et in secula seculorum, Amen.

[XXII.] Sequitur premissus expositor.

Ut Vitruvius dixit in libro De architectura, secundum phisicos non plus sunt, quam VIII. venti, principales quator, et subiecti IIII. Quator vero, qui adduntur ut sint XII. sic sunt ut IIII. semitonia ad VIII. tonos. Nam in undis maris et fluma ex semper magis sonat prima unda quam VII. sequentes. Nona vero octave similis est. Similiter in tonitruis VIII. sunt discrimina, a quibus Phytagoras phylosophus has VIII. tonorum consonantias prefatas ad armoniam celi in adhlante monte, qui est proximus celo, ad invenit, cuius proportiones instar V. zonarum celi perfecit, [203] quarum temperie mundus iste moderatur. Omnis enim musice consonantia, aut ad unum II. habet in duplici, aut III. in triplici, aut IIII. in quadrupla, aut V. in sesqualtera, aut VII. in sesquitertia. Denique, ut supra dictum est, ex V. tonis et duobus semitoniis octavum perficitur diapason, que est tonus primus, ut VI. [ad] XII. ad quem omnis musice consonantia refertur. Quicumque enim numerus ad XII. partiri potest, ita ut ad ipsum duodenarium sive per ter et quater, seu per quater et ter dividitur musicus [est], constans ut supradictas proportionibus. Nam Phytagoras aptavit duplam in VI. sesqualteram in VIII. sesquiterciam in VIIII. ad XII. unde ex V. speciebus tonorum simplicium, id est, diapente, diatesseron, diapason compositorum, ut diapason simul et diapente, ut tercius tonus et sextus et diapason ac diatesseron in eodem V. et dupla diapason in octavo tono, una eum duplo et triplo. Quod tonos ventis comparavit, congrua ratione factum est quippe ad sonum eliciendum, aut plectrum aut flatum necessarium esse constat. Quod quator semitonia eisdem tonis inesse proposuit, scire convenit, quia excepto illo, quod a mesen coniunctum est, quatuor sunt tantum tetrachorda, directum que singulis semitoniis sinetenus ad graviorem partem sunt insignita. De undis maris et fluminum, quomodo redeant, phisicorum peritia pertractat, [205] siquidem et Iginus de concordia annorum, dierum et mensium, aliquando, post VIII. annos, octavo videlicet recurrentium, aliquando post VII. dies, in Astralogia disputat propter excellentiam octonarii numeri, quo partitur spera celestis, superius et inferius in circulo equinoctiali. De eadem enim spera tunc temporis IIII. partes superius patent, IIII. inferius latent. Porro quod adiecit, nona unda octave similis est, nihil mirum, cum et nona chorda octave adeo similis sit, ut equisona reddatur, si altera pro altera tangitur. Verbi gratia, in singulis speciebus diapason prime et octava chorda eadem sono, non loco, nec longitudinis aut brevitatis spatio; quippe in eptachordo absque ullo confusionis herrore respondet prima pro octava, secunda pro nona, tercia pro decima; atque idcirco in octochordo erit prima pro nona, ut sit octava eidem poene similis, nec non equisona, et ab hoc nisi propter acumen superflua. De tonitruis sicut et de undis humane phylosophie unam disputationem ponere supersedi. [207] De V. simphoniis sicut et de V. tonis non spernenda est comparatio, quoniam illic in relatione est speculatio totius musice; hec vero revolutio celestis spero. Ponamus itaque senarium pro unitate, ad quem duo senarii habebuntur pro dupla infra XVIII. ad eundem tres senarii pro triplo infra XXIIII. ad eundem IIII. senarii faciunt proportionem quadruplam infra XXX. Ad duos senarios tres senarii comparati, erunt infra XXX. sesqualtere proportionis. Similiter III. senarii ad IIII. proportionaliter constituti infra XLII. respondent epitrite rationi. Quapropter primus tropus erit in dupla, secundus in tripla, tercius in quadrupla, quartus in epitrita, quintus in sesqualtera, sextus sicut et tertius in diapason simul ac diapente, diapason quoque ac diatesseron in septimo, dupla diapason in octavo, una cum duplo et triplo. Horum omnium rationem superius per unum quemque tropum singillatim complexus sum. Nunc duodenarii potentiam preterire non debeo, [209] ad quem omnis numerus, qui per ter et quater dividitur, musicis consonantiis aptatur. Nam duodenarii membra sive partes sunt V. quarum prima est unitas, secunda est senarius, tercia quaternarius, quarta ternarius, sexta [[quinta] add. supra lin.] binarius. Habet quoque hoc proprium, ut quia a primo inpari surgit eius, id est, senarius, medietas constat tribus membris, et est primus perfectus in numeris. Sic ergo XII. duplicentur, qui ad VI. pro duplo accipiuntur, id hac duplicatione colligitur, quod qui duplicantur per inpares numerus se sequentes, sua membra, hoc est, suas partes fortiuntur; verbi causa, a ternario duplicantur hii VI. XII. XXIIII. XLVIII. et horum primus tribus membris insignitur, secundus V. tercius VII. quartus VIIII. Si vero a quaternario duodenarius sumat initium, qui duplicantur, quaternario excrescunt. Nam in XXIIII. sunt VIII. qui producti sunt ex duplicato quaternario, et in XLVIII. adduntur IIII. ad eosdem VIII. sic quater sunt XII. in XLVIII. et hoc est quod ait: musicos esse numeros, qui per ter et quater dividuntur, comparati eidem duodenario. Nam VIII. qui per quater, et VIIII. qui per ter dividuntur, ad eundem sub epitrita vel hemiola proportione comparantur. Tandem quia dixit tonorem alios esse compositos, alios simplices, sciendum est, quod eorum compositio talis sit, qualis est apud grammaticos ex duabus partibus integris, ut est magister equitum. Dum enim primus tropus diapason consonantia nobilis sit, quintus autem diapente fiat singulis secundus extra consonantia componitur, [211] cum tripla proportione dilatatur, siquidem, ut dictum est, gradale responsorium Universi qui te. totam speciem diapason hypodorii, et in super diapente percurrit, quatinus per triplum perficere possit, est enim triplus, quando comparatur maior numerus ad minorem; subtriplus vero, quando minor ad maiorem. Quapropter XXIIII. ad VIII. et XVIII. ad VI. triplus esse necesse est, quorum alterum perficit cum suo versu cantilena prefatim responsorii. Simplices vero tropi sunt, qui una simphonia contenti sunt, quales sunt quartus et quintus; quartus quidem cum per VII. hoc est per tres et IIII. quod est diatesseron, decurrit; quintus quoque per X. hoc est per IIII. et VI. quod est diapente, de quo Boetius, hic inquid est simplicior ac princeps, quem lidium nuncupamus. Unde Plato vissit minime oportere, pueros ad omnes modos erudiri, sed potius ad valentes ac simplices.

[213] [XXIII. Tabula.]

Tonus Primus (dorius)
a
XII.    Diapason
c
VI.     Diapente
B
VIII.   Diatesseron
d
VIIII.
Tonus Secundus (ypodorius)
a
XII.      Diapente
c    c    c
VI.  VI.  VI.   Diatesseron
B       B
VIII.   VIII.   Diapente
d        d
VIIII.   VIIII.
Tonus Tertius (frigius)
a
XII.  Diapason
c   c   c   c
VI. VI. VI. VI.  Diapason
B     B     B
VIII. VIII. VIII.  Diapente
d      d
VIIII. VIIII.
[215] Tonus Quartus (ypofrigius)
a    a
XII. XII.  Diatesseron
c   c   c
VI. VI. VI.  Diatesseron
[B]   [B]   [B]
VIII. VIII. VIII.  Diatesseron
[d]    [d]
VIIII. VIIII.
Tonus Quintus (Lidius)
[a]  [a]  [a]
XII. XII. XII.  Dyapente
[c] [c] [c] [c]
VI. VI. VI. VI.  Dyapente
[B]   [B]   [B]
VIII. VIII. VIII.  Diatesseron
[d]    [d]    [d]    [d]
VIIII. VIIII. VIIII. VIIII.
Tonus Sextus (ypolidius)
a    a
XII. XII.  Diapente
c   c   c   c   c   c
VI. VI. VI. VI. VI. VI.  Diapente
B     B     B
VIII. VIII. VIII.  Diapente
d      d      d      d
VIIII. VIIII. VIIII. VIIII.
[217] Tonus Septimus (Mixolidius)
[a]  [a]
XII. XII.  Diatesseron
c   c   c
VI. VI. VI.  Diatesseron
B     B     B
VIII. VIII. VIII.  Diatesseron
d      d
VIIII. VIIII.
Idem de Eodem
a    a    a
XII. XII. XII.
c   c   c   c
VI. VI. VI. VI.
B     B     B
VIII. VIII. VIII.
d      d      d      d
VIIII. VIIII. VIIII. VIIII.
Item Propria et consonantia diapason
a    a    a    a
XII. XII. XII. XII.
c   c   c   c   c   c   c   c
VI. VI. VI. VI. VI. VI. VI. VI.
B     B     B     B     B     B
VIII. VIII. VIII. VIII. VIII. VIII.
[219] Tonus Octavus (ypermixolidius)
a a
XII. XII.  Dyatesseron
c   c   c
VI. VI. VI.  Diatesseron
B     B     B
VIII. VIII. VIII.  Diatesseron
d      d
VIIII. VIIII.
Item Ex Eodem
a    a    a
XII. XII. XII.  Diapente
c   c   c   c
VI. VI. VI. VI.  Diapente
B     B     B
VIII. VIII. VIII.  Dyapente
d      d      d      d
VIIII. VIIII. VIIII. VIIII.

Hic continentur proportiones octo tonorum, qui effitiuntur ex V. tonus et duobus semitoniis, et sex symphonie spetiebus, et quinque proportionibus: XII [a supra lin.]. VI [c supra lin.]. VIII [B supra lin.]. VIIII [d supra lin.]. Primus tonus est in XVIII. dyapason, VI. ad XII. et XX. diapente, VIII. ad XII. et in XX. diatesseron, VIIII. ad XII. Secundus tonus est XII [a supra lin.]. VI [c supra lin.]. VI [c supra lin.]. VI [c supra lin.]. VIII [B supra lin.]. VIII [B supra lin.]. VIII [B supra lin.]. VIIII [d supra lin.]. VIIII [d supra lin.]. et in XXX. per ter VI. ad XII. et per bis VIIII. ad XII. in quibus diapente, et in XXVIII. diatesseron per bis VIII. ad XII. Tertius tonus est XII [a supra lin.]. VI [c supra lin.]. VI [c supra lin.]. VI [c supra lin.]. VI [c supra lin.]. VIII [B supra lin.]. VIII [B supra lin.]. VIII [B supra lin.]. VIIII [d supra lin.]. VIIII [d supra lin.]. in XXXVI. diapason per quater VI. ad XII. aut in XXX. dyapente per bis VIIII. ad XII. Quartus tonus est XII [a supra lin.]. XII [a supra lin.]. VI [c supra lin.]. VI [c supra lin.]. VI [c supra lin.]. VIII [B supra lin.]. VIII [B supra lin.]. VIII [B supra lin.]. VIIII [d supra lin.]. VIIII [d supra lin.]. diatesseron per ter VI. ad ter VIII. et per bis VIIII. ad bis XII. sunt XLII. [221] Quintus tonus est XII [a supra lin.]. XII [a supra lin.]. XII [a supra lin.]. VI [c supra lin.]. VI [c supra lin.]. VI [c supra lin.]. VIII [B supra lin.]. VIII [B supra lin.]. VIII [B supra lin.]. VIIII [d supra lin.]. VIIII [d supra lin.]. et est dyapenticus per ter VIII. ad ter XII. qui sunt XXXVI. [LX.] et quater VI. ad quater VIIII. sunt LX. Sextus tonus est XII [[a] supra lin.]. XII [[a] supra lin.]. VI [[c] supra lin.]. VI [[c] supra lin.]. VI [[c] supra lin.]. VI [[c] supra lin.]. VI [[c] supra lin.]. VI [[c] supra lin.]. VIII [[B] supra lin.]. VIII [[B] supra lin.]. VIII [[B] supra lin.]. VIIII [[d] supra lin.]. VIIII [[d] supra lin.]. VIIII [[d] supra lin.]. VIIII [[d] supra lin.]. et est dyapason [diapente] per sexies VI. ad bis XII. qui sunt LX. et per ter VIII. ad bis XII. qui sunt XLVIII. aut diapente per quater VIIII. ad bis XII. qui sunt LX. Septimus tonus est XII [a supra lin.]. XII [a supra lin.]. VI [c supra lin.]. VI [c supra lin.]. VI [c supra lin.]. VIII [[B] supra lin.]. VIII [[B] supra lin.]. VIII [[B] supra lin.]. VIIII [d supra lin.]. VIIII [d supra lin.]. item XII [a supra lin.]. XII [a supra lin.]. XII [a supra lin.]. VI [[c] supra lin.]. VI [[c] supra lin.]. VI [[c] supra lin.]. VI [[c] supra lin.]. VIII [[B] supra lin.]. VIII [[B] supra lin.]. VIII [[B] supra lin.]. VIIII [[d] supra lin.]. VIIII [[d] supra lin.]. VIIII [[d] supra lin.]. VIIII [[d] supra lin.]. item propria XII [[a] supra lin.]. XII [[a] supra lin.]. XII [[a] supra lin.]. XII [[a] supra lin.]. VI [[c] supra lin.]. VI [[c] supra lin.]. VI [[c] supra lin.]. VI [[c] supra lin.]. VI [[c] supra lin.]. VI [[c] supra lin.]. VI [[c] supra lin.]. VI [[c] supra lin.]. VIII [[B] supra lin.]. VIII [[B] supra lin.]. VIII [[B] supra lin.]. VIII [[B] supra lin.]. VIII [[B] supra lin.]. VIII [[B] supra lin.]. et constet ex quarti toni et quinti, et sua proportione, diatesseron per XLII. sicut quartus, aut diapente per LX. sicut quintus aut in propria diapason, ut duodecies XII. qui sunt CXLIIII. quod est octies VI. et sexies VIII. ad quater XII. Octavus tonus est, qui constat ex supredictis quarti et quinti diatesseron et diapente XII [[a] supra lin.]. XII [[a] supra lin.]. VI [[c] supra lin.]. VI [[c] supra lin.]. VI [[c] supra lin.]. VIII [[B] supra lin.]. VIII [[B] supra lin.]. VIII [[B] supra lin.]. VIIII [[d] supra lin.]. VIIII [[d] supra lin.]. qui faciunt VI. ad VIII. et bis VIIII. ad bis XII. In septenario diatesseron, item XII [[a] supra lin.]. XII [[a] supra lin.]. XII [[a] supra lin.]. VI [[c] supra lin.]. VI [[c] supra lin.]. VI [[c] supra lin.]. VI [[c] supra lin.]. VIII [[B] supra lin.]. VIII [[B] supra lin.]. VIII [[B] supra lin.]. VIIII [[d] supra lin.]. VIIII [[d] supra lin.]. VIIII [[d] supra lin.]. VIIII [[d] supra lin.]. qui faciunt quarter VIIII. ad quater VI. et ter VIII. ad ter XII. In sesquitercia [sesqualtera] proportione diapente denarii numeri. Octavus tonus aut sicut quartus per XLII. diatesseron constat, aut sicut quintus per LX. et LX. habens CXX. in numero. Tonus primus [est] VI. ad XII. id est, XVIII. qui sunt ter VI. que [est] proportio diapason.

[223] [XXIIII.] Item expositio eorundem tonorum.

Item VIII. ad XII. sunt XX. que proportio sesqualtera dicitur ad XII. ideo, quia XII. habet in se VIII. et alteram eius partem, id est, IIII. et facit diapente. Item VIIII. ad XII. XXI. sunt, que proportio sesquitertia dicitur, quia XII. habebit VIIII. et eius tertiam partem, id est, III. et sit diatesseron, id est, ter VII. qui sunt XX. Omnis igitur primus tonus aut ter VI. habebit in dupla proportione, id est, diapason, ut est Rorate Celi desuper. aut quater V. id est, II. de VIII. et III. de XII. In sesqualtera proportione faciunt dyapente, quod est XX. ut est: Et nubes pluant iustum aperiatur. aut ter VII. id est, III. de VIIII. ad IIII. de XII. in sesquitercia, qui faciunt diatesseron, ut est Terra germinet salvatorem. item introitum Gaudete in Domino. et Inclina Domine. [et] Iustus es Domine. similiter antiphone Urbs fortitudinis. Iohannes autem. Traditor. Et hoc videndum, quod sepe evenit, ut bis aut ter, aut totum etiam in antiphonis, aut in quocumque primi toni sit, aut per VI. et XII. quod est in diapason, aut per V. et X. quod est [diapente], aut per VIII. totum, quod est diatesseron, ut Urbs fortitudinis. et Iohannes autem. Tonus secundus ter VI. id est, XVIII. ad XII. per sesqualteram proportionem fiunt XXX. diapente. Ad VI. vero de primo tono isti ter VI. de secundo tripla proportio est, quia triplicatus eum superat. Item bis VIII. ad XII. per sesquitertiam proportionem XXVIII. fiunt, id est, [225] quater VII. quod est diatesseron. Sit ergo ipsa proportio numeri, id est, bis VIII. ad VIII. de primo tono duplum est, et ideo in diapason cadit XXIIII. quod est quater VI. et bis XII. Item bis VIIII. qui sunt ter VI. id est, XVIII. per sesqualteram proportionem fiunt XXX. ut supra diapente. Omnis enim melodia secundi toni aut per diapente denarium numerabit totum, ut antiphona Ecce advenit. in quo sunt LXV. [[LX.] add. supra lin.] aut diatesseron totum, vel ter VII. ut Veni et ostende nobis. item in antiphona diapentica Omnipotens sermo. et diatesseron, ut Dominus Deus auxilia. Si autem in diapason venerit proportio secundi toni, id est, VI. ad XII. ad primum est, ut ter VI. ad VI. primi, et bis VIII. ad VIII. et bis VIIII. ad VIIII. primi toni efficit. Tonus tertius est, qui ideo duo a. habet propter primam mensuram autenti deuteri, et secundum a. propter plagam autenti deuteri, in cuius diapason suum semitonium explicat, et secundi toni, qui ambo sunt semitonia, propter triplam, ut dictum est, et quadruplam, propter quater VI. ad unum VI. de primo. Quater enim VI. ad quater III. de XII. quater VIIII. sunt, qui sunt XXXVI. diapason, id est, sexies sex et ter XII. similiter VIIII. [[VI.] add. supra lin.] ad XII. quia duple proportiones sunt. Bis VIIII. ad XII. quia sesqualtera proportio est, XXX. diapente fiunt. Unde iste tercius tonus aut diapason erit per VI. ad XII. aut diapente, [227] id est, XXX. ut introitibus Confessio. et Dispersit dedit. et Cognovi Domine. et antiphone Qui de terra est. et Quando natus es. Tonus quartus bis XII. ad ter VIII. et ad ter VI. bis VIIII. una consonantia numerorum in diapason VI. ad XII. id est, XXIIII. conveniunt. Idcirco ter VI. non ad bis XII. comparatur, quoniam per ter non dividitur, sed ter VIII. ad ter VI. comparatur, et bis VIIII. ad bis XII. per sesquiterciam proportionem. Totus iste tonus erit diatesseron semper. Consonantiam autem diapason, id est, VI. et XII. ter VI. et bis VIIII. et ter VIII. et bis XII. faciunt. Quorum proportio, id est, comparatio maioris ad minorem, et minoris ad maiorem semper diatesseron [est], id est, septenario mensurabitur, ut introitus Resurrexi. et Misericordia Domini et Involuntate tua Domini. et antiphone Rubum quem viderat. Turba multa. et Tria sunt munera. Tonus quintus totus semper diapenticus per denarium est, quia ter VIII. ad ter XII. et quater VI. ad quater VIII. id est, per sesqualteram proportionem in diapente cadunt, quorum consonantia diapason est, id est, in duodenarium, quater VIIII. et ter XII. et quater VI. et ter VIII. ut introitus Domine refugium. et Circumdederunt me. et Domine in tua misericordia. et antiphone Solvite templum hoc. et Salve Crux. Exultet Spiritus meus. et similia. Tonus sextus est sexies VI. ad sexies IIII. de bis XII. et quater VIIII. ad quater VI. de bis XII. quia sesqualtera proportio in diapente cadit, [229] et sexies IIII. de ter VIII. et sexies IIII. de bis XII. in consonantia dyapason, id est, VI. et XII. veniunt per VIII. qui sunt XLVIII. sicut sexies VI. et quater VIIII. in LXXII. Totus enim iste aut per diapason consonantiam,id est, VI. et XII. aut per diapente, id est, denarium mensurabitur, ut introtus Os iusti. et Omnes gentes. et Quasimodo geniti. et antiphone O admirabile. et Vade satana. et Virgo hodie. Tonus septimus, ut in proportione quarti toni habet totum diatesseron, et in proportione quinti toni habet totum diapente, et in proportione propria habet duodecies XII. diapason, qui sunt CXLIIII. Tonum octavum require ut supra.