Back to top

[312] Bernelini cita et vera divisio monochordi in diatonico genere.

[313] Dimidium proslambanomenos est Mese, huius autem dimidium est nete hyperboleon, cuius tertia pars sibi addita est nete diezeugmenon. Eiusdem nete hyperboleon medietas similiter ei addita, est paranete diezeugmenon; cuius quarta pars est paranete hyperboleon, huius autem medietas sibi addita est trite diezeugmenon, huius autem quarta pars est trite hyperboleon. Nete diezeugmenon autem tertia pars sibi addita est paramese. Ecce habes octo divisiones, quarum unicuique da suam diapason, scilicet usque proslambanomenon, et habebis quindecim sonos, in bis diapason constitutos. Prima species diatessaron constat ex tono, semitonio et tono. Secunda ex duobus tonis et semitonio. Tertia ex semitonio et duobus tonis. Prima species diapente constat ex prima specie diatessaron adiecto tono superius. Secunda ex secunda diatessaron adiecto tono superius. Tertia ex tertia diatessaron adiecto tono inferius. Quarta ex prima specie diatessaron adiecto tono inferius. Protus constat ex prima specie diapente, et prima specie diatessaron superius; subiugalis eius ex eadem specie diapente, et eadem specie diatessaron superius. Deuterus constat ex secunda specie diapente, et secunda specie diatessaron superius; subiugalis eius ex eadem specie diapente, et tertia specie diatessaron inferius. Tritus constat ex tertia specie diapente, et tertia specie diatessaron; subiugalis eius ex eadem specie diapente, et eadem specie diatessaron inferius. Tetrardus constat ex quarta specie diapente, et prima specie diatessaron superius: subiugalis eius ex eadem specie diapente, et eadem specie diatessaron inferius. Omnis tropus subiugalis eandem habet diapente et diatessaron, quam authenticus eius. Differt autem, quod authenticus diatessaron habet supra diapente, subiugalis infra. Protus et tetrardus contrarii sunt, eoquod diapente proti habet prius duos tonos, et postea semitonium, et in fine tonum; Diapente vero tetrardi prius tonus et semitonium, [314] postea duos tonos. Concordant autem prima specie diatessaron, excepto, quod Tetrardi est inferior. Deuterus et tritus omnino contrarii sunt; cum diapente Deuteri prius tres tonos habeat, et postea semitonium; diapente vero triti prius semitonium, postea tres tonos; et diatessaron deuteri sit duorum tonorum et semitonii, diatessaron autem triti semitonii et duorum tonorum. Si converteris diapente proti, efficitur diapente tetrardi. Rursus tetrardi diapente conversa resonat diapente proti. Diatessaron vero ipsorum non convertitur. Si converteris diapente deuteri, efficitur diapente triti. Rursus triti diapente conversa resonat diapente deuteri. Similiter et converti potest diatessaron eorum.

Mensura fistularum et monochordi.

Rogatus a pluribus quam saepe, pro captu ingenii demonstrare, quae ratio sit, ut mensuralitati monochordi nequeat respondere, aut si istud inter secreta adhuc latentis naturae interceptum deficiat, saltem ne alia quaelibet inveniendi earum mensuras regula se offerat, ne iudicio tantum aurium illud committamus, et Aristoxeno proximare videamur, a Boetio autem et Pythagoricis condemnemur. Primum dico, Boetium non culpandum, quasi non experta dixisse, maxime cum Pythagorae inventis videatur institisse, sed et Macrobius, et Censorinus ad Cerellum de natali suo, videantur his consentanea reliquisse, sed forte alio modo foramina fistularum ad inspirandum formata apud eos fuisse, quod et nos utrum curiositate adhibita perscrutati fuerimus, nec ne, supersedemus dicere. Sed quia hoc forte plures lecturi sunt, et aliquibus etiam ipsa monochordi commensuralitas ignota erit, numeros, quibus constat metiendi regula, et quomodo paulatim ad eam pluralitatem perventum sit, compendiose prosequemur, ut et ad eos quibuslibet additis, fistularum etiam numeri et mensurae patescant, et hi refellantur, qui putant, Boetium maiores, quam necesse fuerit, numeros in armonica regula mensuranda commentatum esse. Numeri enim, qui interruptim symphonias ostenderent, pene intra duodenarium, vel maxime intra XXIIII. inveniri poterant, ut subiecta descriptio docet.

[315] Sed continuandis XV. sonitibus, vel etiam trium generum tetrachordis omnibus multo numerosiores extant necessarii. Ad inveniendos enim duos continuos tonos in diatessaron, vel tres in diapente, vel sex contra Aristoxenum, vel quaslibet alias superparticulares proportiones possunt sufficere lectiones Boetii vel in musica, vel in Arithmetica. Ut autem paulatim progressi ad II[macron supra lin.].CCC.IIII., qui primus est trium generum numerus, perventum est, sic ceptum est. Primus, et quo minor, qui epogdoum constituat, non inveniatur, octonarius est, eius octava sibi addita efficit novenarium, qui statim epogdoica ratione destituitur, ac per hoc si duo continui toni hic sibi succedunt; quos si per quoslibet usque ad octonarium multiplices, nihilo plus perficies. Iam vero per octonarium octonarius LXIIII. fiunt, quorum octava, quae est VIII. eisdem addita, LXXII. facit, qui et ipse epogdoi ratione caret; ad diatessaron vero supplendam, quae duobus tonis et semitonio constat, vel quatuor terminis, id est, tribus intervallis, hi numeri, id est, LXIIII. LXXII. LXXXI. sufficerent, nisi quod primus eorum tertia parte caret, quae eidem addita quartum terminum constituere deberet. Quocirca ter eidem numeri ducti efficiunt eos, quos constat Boetium a Timeo Platonis mutuasse, id est, C.XCII., CC.XVI., CC.XLIII., quorum primo si tertiam suam addideris, CC.LVI., id est, quartum terminum supplesti, ut sit integra diatessaron C.XCII., CC XVI., CC.XLIII., CC.LVI., quorum primus vel per bis octo duodecies, vel per ter octo octies, vel per quater octo sexies, qui omnes musicae congruunt, numeris solidatur, vel si qua est alia eius natura docente Calcidio patebit. His vero alii epogdoica ratione usque ad integrum diapason possunt aptari, nisi qui septimus terminus integro non potest numero dividi. Ponantur per ordinem tales numeri in infinitum, ut sub aspectu pateat, quotiens eos necesse fuit tamdiu produci, donec et trite synnemmenon, vel paramese, et tonum non modo diatonicum, sed et chromaticum, et enarmonium genus integris possit numeris designari.

[316] [left column] Numeri quincupliciter bis diapason ostendentes cum differentiis.

[GSI:316,1; text: Nete hyboleon. Tonus. Semitonium. Mese. a. b. c. d. e. f. g. I. II. III. IIII. V. VI. VII. VIII. VIIII. X.[sigma]. XI.[zeta].[sigma]. et cetera, XII. XIII.[stigma]. XV.[sigma].[beta]. XVI. XVIII. XX.[zeta]. XXII.[stigma].[zeta]. et cetera, XXIIII.XXVII. XXX.[zeta].[sigma]. XXXII. XXXVI. XL.[stigma]. XLV.[stigma].[beta]. XLVIII. LIIII. LX.[stigma].[zeta]. LXIIII. LXXII. LXXXI. XCI. XCVI.[sigma]. C.VIII. C.XXI.[stigma]. C.XXVIII.] [BERNDIV 01GF]

[right column] Iidem Numeri cyfris arabicis.

[GSI:316,2; text: Nete hyperboleon. Tonus. Semitonium. Mese. a. b. c. d. e. f. g. 1. 1.1/8. 1.1/8.1/16.1/32. 1.1/4.1/64. 1.1/2.1/4.1/8. 1/2.1/16.3/64. 1.1/2. 1.1/2.1/8. 1.1/2.1/8.1/16. 2.1/2. 1/2.1/4.1/16. 2. 2.1/4. 2.1/4.1/8.1/16. 2.1/2.1/32. 3. 3.1/4. 3.1/2.1/4. 3.1/4.1/8. 4. 4.1/2. 4.1/2.1/4.1/8. 5. 5.1/16. 6. 6.1/2. 6.1/2.1/4. 7.1/2. 8. 9. 10. 10.1/8. 11.1/4.1/8.1/64. 12. 13.1/2. 15. 15.1/8.1/16. 16. 18. 19. 20. 20.1/4. 22.1/2.1/4.1/32. 24. 26. 27. 30.1/4.1/8. 32. 36. 39. 40.1/2. 45.1/2.1/16. 48. 52. 54. 60.1/2.1/4. 64. 72. 78. 80. 81. 91.1/8. 96. 104. 108. 121.1/2. 128.] [BERNDIV 01GF]

[317] [left column] [GSI:317,1; text: Tonus. Semitonium. a. b. c. d. e. f. g. C.XLIIII. C.LXII. C.LXXXII.[zeta]. C.XCII. CC.XVI. CC.LXXXVIII, CCC.XXIIII. CCC.LXIIII.[stigma]. CCC.LXXXIIII. CCCC.LXXXVI. D.XII. D.LXXVI, DC.XLVIII. DCC.XXVIIII. DCC.LXVIII. DCCC.LXIIII. DCCCC.LXXII. I[macron supra lin.].XXIIII. I[macron supra lin.].CC.XCVI. I[macron supra lin.].CCCC.LVIII. I[macron supra lin.].D.XXXVI. I[macron supra lin.].DCC.XXVIII. I[macron supra lin.].DCCCC.XLIIII. II[macron supra lin.].XLVIII. XVIII. XXX. XXIIII. XXVII. XIII. XL. XL.[stigma]. XXXII. XXXVI. XVIIII.[stigma]. XLVIII. LIIII. LXXX. XXVI. LXIIII. LXII. LXXXI. C.XX. XXXVIIII. XCVI. C.VIII. C.LX. LII. C.XXVIII. CC.XL. LXXVIII. CCC.XX. C.IIII. [stigma]. [zeta].] [BERNDIV 02GF]

[right column] [GSI:317,2; text: Tonus. Semitonium. a. b. c. d. e. f. g. 144. 162. 182.1/4. 192. 216. 240. 243. 256. 288. 320. 324. 364.1/2. 384. 432. 486. 512. 576. 648. 729. 768. 864. 972. 1024. 1152. 1296. 1458. 1536. 1728. 1944. 2048. 9.1/2.1/4. 13. 18. 19.1/2. 20.1/4. 24. 26. 27. 30. 32. 36. 39. 40. 40.1/2. 48. 52. 54. 60. 64. 72. 78. 80. 81. 96. 104. 108. 120. 128. 144. 160. 162. 192. 216. 240. 256. 320.] [BERNDIV 02GF]

[318] [left column] [GSI:318,1; text: A. B. C. D. E. F. G. Tonus. Semitonium. II[macron supra lin.].CCC.IIII. II[macron supra lin.].D.XCII. II[macron supra lin.]. II[macron supra lin.].DCCCC.XVI. III[macron supra lin.].LXXII. III[macron supra lin.].CCCC.LVI. III[macron supra lin.].DCCC.LXXXVIII, IIII[macron supra lin.].CCC.LXXIIII. IIII[macron supra lin.].DC.VIII. V[macron supra lin.].C.LXXXIIII. V[macron supra lin.].DCCC.XXXII. VI[macron supra lin.].C.XLIIII. VI[macron supra lin.]. DCCCC.XII. VII[macron supra lin.].DCC.LXXVI. VIII[macron supra lin.].C.XCII. VIIII[macron supra lin.].CC.XVI. CC.LXXXVIII. CCC.XXIIII. CCCC.LXXX. C.LVI. CCC.LXXXIIII. CCCC.XXXII. DC.XL. CC.VIII. CC.LXXVIII. D.XII. CC.XXXIIII. D.LXXVI. DC.XLVIII. DCCCC.LX. CCC.XII. DCC.LXVIII. DCCC.LXIIII. I[macron supra lin.].CC.LXXX. I[macron supra lin.].XXIIII. Trite synnemenon. Tonus divisus per duo Semitonia.] [BERNDIV 03GF]

[right column] [GSI:318,2; text: A. B. C. D. E. F. G. Tonus. Semitonium. 2304. 2592. 2916. 3072. 3456. 3888. 4096. 4374. 4608. 5184. 5832. 6144. 6912. 7776. 8192. 9216. 288. 324. 480. 156. 284. 432. 640. 208. 278. 512. 234. 576. 648. 960. 312. 768. 864. 1280. 416. 1024. Trite synnemenon. Tonus divisus per duo Semitonia.] [BERNDIV 03GF]

Non queraris, aut ignorasse putes nos, quod literas vel notas, quibus Boetius utitur, non posuerimus, quod propter facilitatem, et ut melius agnoscerentur, factum est, ut eis potius literis, quibus organa nostra notata sunt, hos numeros praesignaremus, ut cum propter minutias numerorum, id est bisse, semis, triens, quadrans, et caetera, propter quae fere indivisibilia iam liquet, Boetium, vel potius antiquos, maiores numeros excogitasse, quilibet horum numerorum non facile divisioni patuerit, nisi incipias a maioribus; verbi gratia a VIIII[macron supra lin.]. CC.XVI. cui superponatur F, cuius medietati superponatur aliud F, id est, numero IIII[macron supra lin.]. DC.VIII. Quartae superponatur tertium F, II[macron supra lin.]. CCC.IIII. Octavae f. quartum, I[macron supra lin.]. C. LII. Sextae decimae f. quintum, D.LXXVI. Trigesimae secundae f. sextum, id est, CC.LXXXVIII. Sexagesimae quartae f septimum, id est, C.XLIIII. Centesimae vigesimae octavae f octavum, id est, LXXII. Ducentesimae quinquagesimae sextae f nonum, id est, XXXVI. Quingentesimae duodecimae f decimum, id est, XVIII. Millesimae vigesimae quartae f undecimum, id est, VIIII. Haec quidem exempli gratia de integris numeris posita monent, idem posse fieri etiam de his, qui ultimas habent [319] resolutiones in minutiis; quales sunt, quibus supernotantur a et d, quia hi propter semitonia divisiones habent difficiliores, dum denominationes augentur, quantitas minuitur. Quod in quadraturis trium terminorum duae sunt differentiae inclusae, in maioribus quidem numeris sunt discretae, in minoribus vero, quia propter minutias, quas afferunt semitonia, non facile discernuntur, coniunctae sunt ubique per semitonium et tonum, quia saepe contingit, ut si una habuerit in se, altera habeat trientem, quae redintegrant unum, sicut [stigma] et [stigma], et [stigma, sigma] et [stigma, stigma], et caetera secundum rationem unciarum. Diligens vero computator poterit eas separare adhibita ratione, ut a maioribus, ubi discretae sunt, incipiens, descendensque per medias dividendo, vel quartas, et octavas, et caeteras secundum praenotationem similium a b c darii literarum ad indivisibilia usque diminuat.

Superiorum numerorum notatio.

Quia superiorum numerorum descriptio fere ita decurrit, ut modo quidem duos tonos, modo tres sequatur. Sed placuit et tales hic subscribere, qui continua duorum tonorum superius et semitonii ostendant tetrachorda, ut ad horum similitudinem quilibet quincuplum notatum dis diapason possit continuare, vel intendendo per superius ostensam regulam, hos ad duplos, quadruplos, octavos et reliquos; vel remittendo ad subduplos, subquadruplos, suboctavos et caetera, ut aut denominatio augeatur, et quantitas minuatur, aut dum quantitas augetur, denominatio minuatur.

[left column] [GSI:319,1; text: Tonus. Semitonium. A. B. C. D. E. F. G. C.XC.II. CC.XVI. CC.XLIII. CC.LVI. CC.LXXXVIII. CCC.XXIIII. CCC.XLI.[stigma, sigma]. CCC.LXXXIIII. CCCC.XXXII. CCCC.LXXXVI. D.XII. D.LXXVI. DC.XLVIII. DC.LXXXII.[stigma, stigma]. DCC.LXVIII. XXIIII. XXVII. XIII. XXXII. XXXVI. XVII.[stigma, sigma]. XLII.[stigma, stigma]. XLVIII. LIIII. XXVI. LXIIII. LXXII. XXXIIII.[stigma, stigma]. LXXXV.[stigma, sigma].] [BERNDIV 03GF]

[right column] [GSI:319,2; text: Tonus. Semitonium. A. B. C. D. E. F. G. 192. 216. 243. 256. 288. 324. 341.1/3. 384. 432. 486. 512. 576. 648. 682.2/3. 768. 24. 27. 13. 32. 36. 17.1/3. 42.2/3. 48. 54. 26. 64. 72. 34.2/3. 85.1/3.] [BERNDIV 03GF]

[320] Igitur hi, quorum est initium C.XCII., CC.XVI., CC.XLIII., CC.LVI., implent integrum diatessaron, ut vero deinceps diapente integris perficiatur numeris, quibus duabus symphoniis impleatur diapason, fieri nequit. Sequitur enim numerus CC.LXXXVIII. quem perficit numerus CC.LVI. cum octava sua. Is igitur cum octava sua explet numerum CCC.XXIIII., quorum quia octava non invenitur, superior numerus, id est, CC.LXXXVIII. octies multiplicatur, et in II[macron supra lin.].CCC.IIII. consurgit. Non quia ante hos, scilicet II[macron supra lin.].CCC.IIII. non possint alii inveniri, in quibus apparere possit diapason integris numeris; sed quia necdum chromaticum, et enarmonium, sed nec saltem trite synnemenon vel paramese diatonici ante hos numeros pleniter, id est, II[macron supra lin.].CCC.IIII. possit inveniri. Insuper talis est is numerus, scilicet CC.LXXXVIII., ut divisus per medias, quartas, octavas et deinceps, trigesimam secundam habeat VIIII., qui aeque ad trigesimam secundam superioris, CC.LVI., quae est VIII. epogdoa ratione iungatur, inter quos duos numeros CC.LVI., et CC.LXXXVIII., quos constat esse Platonicos, et finis est diatessaron, et initium diapente, quae duae diapason perficiunt symphoniam. Incipientibus itaque primum diapason a C.XCII. occurrit sextus terminus, id est, CCC.XXIIII. qui non habet octavam; incipientibus aliud diapason a DCC.LXXXIIII., vel incipientibus quartum diapason a I[macron supra lin.]. D.XXXVI. in nullo horum, sicut nec in primo occurrit paramese, id est non possunt continuari duo tetrachorda coniuncta hyperboleon et diezeugmenon. Item incipientibus diapason a CC.LXXXVIII, vel aliud diapason a D.LXXVI. in neutro occurrit trite synnemenon; quod cum eveniat, diligens computator praevidebit in numeris ordinatim dispositis, vel ad efficiendum diatessaron quartum numerum ante parameses locum, id est, nete diezeugmenon, non habere tertiam, vel ad efficiendum diapente, nec proximum ante posse dividi per octavam, id est, trite diezeugmenon, nec quintam, id est trite hyperboleon per medium; ad II[macron supra lin.].CCC.IIII. perventum est, omnes symphoniae, et omnia tetrachorda vel pentachorda omnium generum in infinitum occurrent. Qui vero attentior factus dixerit, a I[macron supra lin.].C.LII. etiam incipientibus omnia tetrachorda omnium generum bene successura? et nos concedimus. Sed forte quia numerus trite synnemenon, id est, II[macron supra lin.].C.LXXXVII. impar erat casurus, auctorem et hos subduplos, sicut et superiores subquadruplos et suboctuplos devitasse, cum incipienti a II[macron supra lin.].CCC.IIII. nullus deinceps, sed nec octavae vel differentiae eorum cadant in imparem, numerus, his breviter adscriptis ostendendum est, iam qui ex supra ordinatis numeris propinquius per quemlibet communem unum efficiant quindecim tonorum in omni genere differentias, et is sit communis duodenarius, quem omnino constat musicum, ut ad eandem similitudinem eodem pro existimatione paulum [321] augmentato, scilicet duodenario, praescripti quilibet ad diapason vel bisdiapason numeri pertinentes, fistularum ostendant figuras.

[GSI:321; text: A. B. C. D. E. F. G. II[macron supra lin.].CCC.IIII. II[macron supra lin.].D.XCII. II[macron supra lin.].DCCCC.XVI. III[macron supra lin.].LXXII. III[macron supra lin.].CCCC.LVI. III[macron supra lin.].DCCC.LXXXVIII. IIII[macron supra lin.].XCVI. IIII[macron supra lin.].DC.VIII. V[macron supra lin.].C.LXXXIIII. V[macron supra lin.].DCCC.XXXII. VI[macron supra lin.].C.XLIIII. VI[macron supra lin.].DCCCC.XII. VII[macron supra lin.].DCC.LXXVI. VIII[macron supra lin.].C.XCII. VIIII[macron supra lin.].CC.XVI. per XII. XXIIII. XXVII. XIII. XXXII. XXXVI. XVII.[stigma, sigma]. XLII.[stigma, stigma]. XLVIII. LIIII. XXVI. LXIIII. LXXII. XXXIIII.[stigma, stigma]. LXXXV.[stigma, sigma]. XCVI. fiunt, CC.LXXXVIII. CCC.XXIIII. C.LVI. CCC.LXXXIIII. CCCC.XXXII. CC.VIII. D.XII. D.LXXVI. DC.XLVIII. CCC.XII. DCC.LXVIII. DCCC.LXIIII. CCCC.XVI. I[macron supra lin.].XXIIII. I[macron supra lin.].C.LII.] [BERNDIV 04GF]

Ab isto, qui subscribitur, numero, ab excellentissimo doctore W. reperto, potest intendi monochordum cum fistulis organorum sine ulla adiectione minutiarum, III[macron supra lin.].LXXII.

Igitur verbi gratia per XII.XXIIII. ducti faciunt differentiam CC.LXXXVIII. qui sunt octava primi numeri II[macron supra lin.].CCC.IIII., quae differentia primo termino iuncta efficit secundum terminum II[macron supra lin.].D.XCII. sic deinceps. Sed hanc octavam primi numeri quasi communem vocemus diametrum fistularum, sicut dictum est de chordis, ut ad taciturnitatem usque gravitas ipsa descendat, atque in acumine nervi nimium tensi vocis tenuitate rumpantur, ita et in fistulis haec rata videtur mensura, ut minor octies, media decies sexies, maxima tricies et bis hanc octavam vel dimidiam habeat. Ita F. octies diametrum habeat; E. novies; D. decies diametrum et septimam diametri; C. decies diametrum et bisse diametri [stigma, stigma]; B. duodecies diametrum; A. decies et ter diametrum et medietatem; G. decies et quater diametrum, et duas nonas diametri; F. decies sexies diametrum; E. decies octies diametrum; D. vigesies diametrum, et quartam diametri; C. vigesies et semel diametrum et tertiam diametri; B. vigesies et quater diametrum; A. vigesies septies diametrum. G. vigesies octies diametrum, et quatuor nonas [322] diametri, id est, [stigma, sigma]. [xi]. et [omega].; F. trigesies et bis diametrum. Liquet igitur, quod numeri praescripti a XXIIII. usque ad duplum XLVIII. efficiant diapason et differunt per duodenarium computati, quae differentiae singulis iam inventis a II[macron supra lin.].CCC.IIII. numeris additae, efficiunt quosque sequentes, quaeque in unum iunctae efficiunt eundem II[macron supra lin.].CCC.IIII. numerum; sicut et illi, a XXIIII. qui per duodenarium ducti eas efficiunt, si iungantur, C.XCII. repraesentant, qui et ipsi duodecies ducti, II[macron supra lin.].CCC.IIII. restituunt. AEque in alio diapason evenit, iidem numeri a XLVIII. usque ad duplum, id est, XCVI. efficiunt secundum diapason et differentias per duodenarium computati, quae differentiae singulis iam inventis a IIII[macron supra lin.].DC.VIII. numerum, sicut et illi a XLVIII. qui per duodenarium ducti eas efficiunt, si iunguntur, repraesentant CCC.LXXXIIII. qui et ipsi duodecies ducti IIII[macron supra lin.].DC.VIII. restituunt. Medius autem in utroque diapason tam in numeris, quam et in mensuris vel monochordi vel fistularum is est, qui ad primum quidem vel octavum est quintus, ad octavum vero vel quintum decimum est subquartus, ita ut ad alterum sit sesquialter vel diapente, ad alterum sesquitertius vel diatessaron, et unus dicatur sescuplaris, alter triplus, utriusque vero diapason sibi comparatus sit duplus. Sicut enim octavus ad primum, sicut quintus decimus ad octavum, ita duodecimus ad quintum duplicitatis obtinet rationem. Medios autem in utroque diapason quintum et duodecimum esse, ostendere possunt vel differentiae, vel numeri, per duodenarium easdem facientes, ut quatuor vel differentiae vel numeri a primo ad quintum, vel ab octavo ad duodecimum simul iuncti, non efficiunt plures quam tres aeque numeri vel differentiae si iungantur vel a quinto ad octavum, vel a duodecimo ad quintum decimum. Hoc ideo dictum sit, quod quantumlibet in mensuris fistularum octava supergreditur primam, vel quinta decima octavam plusquam duplum, differentiam tamen totam quaerit vel a prima ad octavam, vel ab octava ad duodecimam. Quintam in primo diapason, vel duodecimam in secundo divide mediam, et cuique parti aequam ex ea relinque portionem. Data igitur primae vel minori fistulae qualibet longitudine, sed melius videtur, diametro foraminis octies longitudini dato, ubicunque deinceps tonus est faciendus, maior habeat minorem totam, et diametrum, et diametri eius octavam. In diatessaron maior minorem et eius tertiam, et insuper diametri tertiam. In diapente maior minorem, et eius mediam, et insuper diametri mediam. In diapason maior minorem duplo, et totum insuper diametrum. Caeterae vero facile per numeros [323] occurrent. Est autem diametrum vel circuli, qui est in foramine ex ampliori parte, medietas, vel foraminis transversitas ex deductiori parte, qua inspiratur fistula, et cui foramini subiacet uua. Ut autem minoribus id ostendatur numeris, sed tamen interruptis secundum symphonias, ita erit figurandum.

[GSI:323; text: XVI. XXV. XXXIIII. LIII.[sigma]. LXXII.[zeta]. VIIII. VIIII. XVIIII.[sigma]. XVIIII.[sigma].] [BERNDIV 04GF]

Hi numeri interruptim positi sub exemplo consonantias tantum monstrant, XVI. namque ad XXXIIII. primum diapason; XXXIIII. ad LXXII. et quadrans secundum diapason; XXV. in medio primi diapason ad alterum diapente, ad alterum diatessaron est, sicut et LIII. et octavum [sigma]. in medio secundi diapason ad alterum diatessaron, ad alterum diapente est; VIIII. et VIIII., et XVIIII.[sigma]. et XVIIII.[sigma]. sunt differentiae. Sed si positos hos numeros multoties duxeris, qui interponendi sunt, mox integri occurrent, secundum regulam infra demonstratam. Sicut in monochordo monstratum est, ita erit et in fistulis, ut in primo diapason quinta, in secundo duodecima sint mediae et in terminis scilicet a quinta in differentiis, et nihilominus in mensuris, id est, inter primam et octavam sit quinta, inter octavam et quintam decimam sit duodecima, et sicut octava non solum duplicitate, sed et diametro vincit primam, ita et quintadecima non modo duplicitate sed et diametri duplo, et insuper diametri ipsius octava superat octavam, ac per hoc continget, primam a quintadecima non tantum quadruplicitate, sed etiam quadruplicato diametro, insuper et octava diametri superari. Aliter enim non fieret, ut sicut ab octava prima, vel a quinta decima octava plus quam duplicitate vincatur. Habet autem differentiam primi diapason duplo, et insuper diametro et octava diametri. Disponantur et hi numeri fistulis apti cum differentiis, quas quidam communes numeri per alios ex supradictis constituant, sicut et in monochordo.

[324] [GSI:324,1; text: A. B. C. D. E. F. G. II[macron supra lin.].CCC.IIII. II[macron supra lin.].DC.XXVIII. II[macron supra lin.].DCCCC.XCII.[stigma]. III[macron supra lin.].C.LXVII. III[macron supra lin.].DC. IIII[macron supra lin.].LXXXVI. IIII[macron supra lin.].CCC.XX. IIII[macron supra lin.].DCCC.XCVI. V[macron supra lin.].D.LXXXIIII.[stigma]. VI[macron supra lin.].CCC.LVIIII. et cetera, VI[macron supra lin.].DCC.XXXII. VII[macron supra lin.].DC.L. VIII[macron supra lin.].DC.LXXXII.[stigma]. et [zeta]. VIIII[macron supra lin.].C.LXXX. X[macron supra lin.].CCCC.IIII. per XIII. [stigma]. per XIIII. [stigma, sigma]. et [chi]. XXIIII. XXVII. XXXII. XXXVI. XVII. [stigma, sigma]. XLII. [stigma, stigma]. XLVIII. LIIII. XXVI. LXIIII. LXXII. XXXIIII. [stigma, stigma]. LXXXV. [stigma, sigma]. fiunt CCC.XXIIII. CCC.LXIIII.[stigma]. C.LXXV.[stigma]. CCCC.XXXII. CCCC.LXXXVI. CC.XXXIIII. D.LXXVI. DC.LXXXVIII.[stigma]. DCC.LXXIIII.[stigma]. et cetera, CCC.LXXII.[stigma, stigma, stigma]. et cetera, DCCCC.XVIII. I[macron supra lin.].XXXII.[stigma]. et [zeta]. CCCC.XCVII.[zeta]. I[macron supra lin.].CC.XXIIII.] [BERNDIV 05GF]

Iidem numeri et differentiae cyfris arabicis.

[GSI:324,2; text: A. B. C. D. E. F. G. 2304. 2628. 2992.1/2. 3168. 3600. 4086. 4320. 4896. 5584.1/2. 6359.6/96. 6732. 7650. 8682.1/2.1/4. 9180. 10404. per 13.1/2. per 14.1/3. et 1/96. 24. 27. 32. 36. 17.1/3. 42.2/3. 48. 54. 26. 64. 72. 34.2/3. 85.1/3. fiunt 324. 364.1/2. 175.1/2. 432. 486. 234. 576. 688.1/2. 774.1/2. et 6/96. 372.10/12. et 10/96. hoc est 90/96. 918. 1032.1/2. et 1/4. 497.1/4. 1224.] [BERNDIV 05GF]

Et hic sicut in superioribus per XIII [stigma]. multiplicatus est numerus XXIIII. et caeteri, et fecerunt differentias, quae inventis numeris vel terminis additae, fecerunt sequentes terminos in primo duntaxat diapason; in secundo vero per XIIII. et trientem et nonagesimam sextam multiplicati numeri XLVIIII. LIIII., et caeteri itidem fecerunt; sed quia difficile erat divisioni [325] minutias has [chi], id est, nonagesimam tam bisse addere, vel invicem ducere, placuit intermittere, cum per differentias primi diapason iunctas, quae medietatem sui dant a prima ad quintam et a quinta ad octavam, in secundo diapason eodem modo quantulum desit, facile possit agnosci. Si enim differentias, quae sunt ab octava ad quintam decimam collegeris, et medietatem earum octavae ad efficiendam duodecimam addideris, item aliam medietatem inventae duodecimae ad efficiendam quintam decimam adiunxeris, invenies, propter minutias neglectas duodecimam non plus quam unicam duodecimam (1/12.), et decimam quintam non plus quam duas duodecimas (2/12. seu 1/6.) perdidisse. Poteramus et nos eas minutias computare, sed totiens quilibet praescriptum numerum potest ducere, ut omnia integris numeris valeat definire. Igitur ut breviter et interruptim per symphonias perstringamus, habet prima octies diametrum, quarta undecies, quinta duodecies et semissem; vel ita, octava decies septies diametrum, duodecima vigesies sexies diametrum, et semissem, et insuper decimam sextam diametri, quinta decima trigesies sexies diametrum, et eius octavam. Caeterarum, quae interruptae sunt, numerum, et multa necessaria praetermittamus, ut et fastidium devitemus, et ad minutias inveniendas lectoris animum acuamus.

A summa quacunque locata vigesimam septimam (1/27.) subtrahas, ex relicta decimam octavam (1/18.) quaeras, inventam integrae summae adiungas, et semitonium habebis.

Deinde Apotome invenire si vis, semitonii differentiae tertiam, et tertiae centesimam quartam, quae est totius differentiae trecentesima duodecima, cum ipsa tota differentia ultimo termino componas, et tonum ad primum (terminum), Apotome ad secundum habebis.

Ad tonum et semitonium continuandum, cuiuscunque numeri dati sextam sumas, deinde sextae nonam, quae est totius quinquagesima quarta, has simul partes in unum coniungas et tonum cum semitonio habebis.

[326] Ad duos tonos continuandos quocunque numero dato quartam ipsius accipias, deinde quartae decimam sextam, id est, totius sexagesimam quartam, et has simul partes et duos tonos habebis.

Diatonicum genus.

[GSI:326; text: CC.LXXXVIII. CCC.XXXIIII. C.LVI. CCC.LXXXIIII. CCCC.XXXII. DC.XL. CCCC.XXXII. CCCC.LXXXVI. CC.XXXIIII. D.LXXVI. DC.XLVIII. CCC.XII. DCC.LXVIII. DCCC.LXIIII. CCCC.XVI. I[macron supra lin.].XXIIII. II[macron supra lin.].CCC.IIII. II[macron supra lin.].D.XCII. II[macron supra lin.].DCCCC.XVI. III[macron supra lin.].LXXII. III[macron supra lin.].CCCC.LVI. III[macron supra lin.].DCCC.LXXXVIII. IIII[macron supra lin.].XC.VI. III[macron supra lin.].CCCC.LVI. III[macron supra lin.].DCCC.LXXXVIII. IIII[macron supra lin.].CCC.LXXIIII. IIII[macron supra lin.].DC.VIII. V[macron supra lin.].C.LXXXIIII. V[macron supra lin.].DCCC.XXXII. VI[macron supra lin.].C.XLIIII. VI[macron supra lin.].DCCCC.XII. VII[macron supra lin.].DCC.LXXVI. VIII[macron supra lin.].C.XCII. VIIII[macron supra lin.].CC.XVI. II. HH. FF. DD. CC. Y. X. V. T. Q. O. M. I. H. G. E. B. A. Tonus. Semitonium. Nete hyperboleon. Paranete hyperboleon. Trite hyperboleon. Nete diezeugmenon. Paranete diezeugmenon. Trite diezeugmenon. Paramese. Nete synemmenon. Paranete synemmenon. Trite synemmenon. Mese. Lichanos meson. Parhypate meson. Hypate meson. Lichanos hypaton. Parhypate hypaton. Hypate hypaton. Proslambanomenos. IM. N. ME.] [BERNDIV 06GF]

[327] Chromaticum genus subcontinetur.

[GSI:327,1; text: CCCC.XXXII. C.LXXX. C.LVI. D.LXXVI. CC.XL. CC.VIII. DC.XL. DC.XLVIII. CC.LXX. CC.XXXIIII. DCCC.LXIIII. CCCLX. CCC.XII. I[macron supra lin.].C.LII. CCCC.LXXX. CCC.XVI. I[macron supra lin.].XXIIII. II[macron supra lin.].CCC.IIII. II[macron supra lin.].DCC.XXXVI. II[macron supra lin.].DCCCC.XVI. III[macron supra lin.].LXXII. III[macron supra lin.].DC.XLVIII. III[macron supra lin.].DCCC.LXXXVIII. IIII[macron supra lin.].XCVI. III[macron supra lin.].CCCC.LVI. IIII[macron supra lin.].C.IIII. IIII[macron supra lin.].CCC.LXXIIII. IIII[macron supra lin.].DC.VIII. V[macron supra lin.].CCC.LXII. V[macron supra lin.].DCCC XXXII. VI[macron supra lin.].C.XLIIII. VII[macron supra lin.].CC.XCVI. VII[macron supra lin.].DCC.LXXVI. VIII[macron supra lin.].C.XC.II. VIIII[macron supra lin.].CC.XVI. II. GG. FF. DD. BB. AA. X. V. S. Q. O. N. I. H. F. C. B. A. Tonus, Semitonium, Semitonium.Semitonium.Semitonium, Tonus.Semitonium, Nete hyperboleon. Paranete hyperboleon. Trite hyperboleon. Nete diezeugmenon. Paranete diezeugmenon. Paramese. Nete synemmenon. Paranete synemmenon. Trite synemmenon. Mese. Lichanos meson. Parhypate meson. Hypate meson. Lichanos hypaton. Parhypate hypaton. Hypate hypaton. Proslambanomenos. IM. M. N.] [BERNDIV 07GF]

Enarmonium genus subcontinetur.

[GSI:327,2; text: DC.XII. LXXXVIII. LXXVIII. DCCCC.XVI. C.IIII. II[macron supra lin.].CCC. IIII. II[macron supra lin.].DCCCC.XVI. II[macron supra lin.].DCCCC. XCIIII. II[macron supra lin.].LXXII. III[macron supra lin.].DCCC.LXXXVIII. II. FF. EE. DD. Y. Tonus.Tonus, Quarta, Nete hyperboleon. Paranete hyperboleon. Trite hyperboleon. Nete diezeugmenon. Paranete diezeugmenon, M. IM. N.] [BERNDIV 07GF]

[328] [GSI:328; text: C.IIII. DC.XL. DCCCC.XVIII. C.XVII. C.XVII. I[macron supra lin.].CC.XXIIII. C.LVI. I[macron supra lin.].DC.XXXII. CC.VIII. I[macron supra lin.].XXIIII. III[macron supra lin.].DCCCC.XCII. IIII[macron supra lin.].XCVI. III[macron supra lin.].CCC.LVI. IIII[macron supra lin.].CCC.LXXIIII. IIII[macron supra lin.].CCCC.XCI. IIII[macron supra lin.].DC.VIII. V[macron supra lin.].DCCC.XXXII. V[macron supra lin.].DCCCC.LXXXVIII. VI[macron supra lin.].C.XLIIII. VII[macron supra lin.].DCC.LXXVI. VII[macron supra lin.].DCCCC.LXXXIIII. VIII[macron supra lin.].C.XCII. VIIII[macron supra lin.].CC.XVI. Z. X. V. R. P. O. L. K. H. G. D. B. A. Quarta, Tonus.Semitonium. vel Tonus.Quarta.Quarta. Tonus.Tonus. Trite diezeugmenon. Paramese. Nete synemmenon. Paranete synemmenon. Trite synemmenon. Mese. Lichanos meson. Parhypate meson. Hypate meson. Lichanos hypaton. Parhypate hypaton. Hypate hypaton. Proslambanomenos. M. IM. N.] [BERNDIV 08GF]

Si tonum quaeris, maior fistula minorem habeat, et eius octavam. Si diatessaron, maior minorem et eius tertiam, et tertiae decimam, et undecimae sextam. Si diapente, maior minorem, et eius mediam, [329] et medietatis octavam, et octavae octavam. Si diapason maior, minorem duplo, et insuper eius unam octavam, et octavae octavam. Si diapason et diapente, maior minorem triplo, et eius duas octavas, id est, quartam. Si bis diapason, maior minorem quadruplo, et insuper eius tres octavas.

Item idem alio modo.

Si fistulae aequalis grossitudinis erunt, maior minoris longitudinem quater in se habeat, et insuper diametri, quod in concavo est, quater mensuram contineat, bis diapason consonantiam resonabit. Si maior minorem in sua longitudine bis habuerit, et insuper concavitatis eius semel diametrum, diapason ad se invicem resonabunt. Si maior minorem in se totam habuerit, et insuper longitudinis eius medietatem, simul cum medietate diametri, quod in concavo est, diapente resonabit. Item si fistula maior minorem fistulam in se totam habuerit, et insuper longitudinis octavam partem, cum octava diametri, tonum resonabit. Item si fistula maior minorem in se habeat totam, et insuper longitudinis eius sextam decimam partem, cum sexta decima diametri, semitonium fere consonabit. Sed tamen melius sumetur semitonium per diatessaron, quam per sextas decimas.

Mensura monochordi et organorum in genere diatonico, in primo diapason.

E habet F et eius octavam, id est, sesquioctavum. D totum E et eius octavum, id est, epogdoum. C totum F et eius tertium, quod est sesquitertium, vel epitrita, id est diatessaron. B totum C et eius octavum, quod est tonus; vel totum E et eius tertium, quod est diatessaron, vel totum F et eius medium, quod est diapente. A totum B et eius octavum, quod est tonus, vel totum D et eius tertium, quod est diatessaron, vel totum E et eius medium, quod est diapente. G habet totum C et eius tertium, quod est diatessaron. G autem, quod est trite synemmenon, habet totum D primi diapason et eius medium, id est, diapente. G. G. A. B. C. D. E. F.

In secundo diapason mensura.

F habet totum G, et eius octavum, quod est tonus, vel totum B et eius tertium, quod est diatessaron, vel totum C et eius medium, quod est diapente, vel aliud F duplo, quod est diapason. E totum F et eius octavum, quod est tonus, vel totum A et eius tertium, quod est diatessaron, vel totum B et eius medium, quod est diapente, vel aliud E duplo, quod est diapason. D totum E et eius octavum, quod est tonus, vel totum G [330] trite synemmenon, et eius tertium, quod est diatessaron, vel totum A et eius medium, quod est diapente, vel aliud D duplo, quod est diapason. C totum F et eius tertium, quod est diatessaron, vel totum G paramese, et eius medium, quod est diapente, vel aliud C duplo, quod est diapason. B totum C et eius octavum, id est tonus, vel totum E et eius tertium, quod est diatessaron, vel totum F et eius medium, quod est diapente, vel aliud B duplo, quod est diapason, vel aliud F triplo, id est diapason et diapente. A totum B et eius octavum, vel totum D et eius tertium, vel totum E et eius medium, vel aliud A duplo. G totum C et eius tertium, vel totum G paramese duplo. F totum G et eius octavum, vel totum B et eius tertium, vel totum C et eius medium, vel aliud F duplo, vel tertium F quadruplo. F. G. A. B. C. D. E. F. G. G. A. B. C. D. E. F.

Monitum ad Semitonium inveniendum.

A summa quacunque locata vigesimam septimam subtrahas, ex relicta octavam decimam quaeras, inventam integrae summae adiungas, et semitonium habebis.

Ad Apotome inveniendam:

Deinde Apotome invenire si vis, semitonii differentiae tertiam, et tertiae centesimam quartam, vel totius differentiae trecentesimam duodecimam cum ipsa tota differentia ultimo termino adiungas, et tonum ad primum terminum, apotome ad secundum sine ulla ambiguitate invenies.

Ad tonum et semitonium continuandum.

Cuiuscunque termini dati sextam sumas, deinde sextae nonam, has simul partes integrae summae adiungas, et tonum cum semitonio habebis.

Ad secundos tonos continuandos.

Quocunque numero dato quartam ipsius accipias, deinde quartae decimam sextam, vel totius sexagesimam quartam, et has simul partes integrae summae adiicias, et duos tonos invenies.