Back to top

[32] <Prohemium>

(P f.6, V f.44') Musicalis scientia, que sonorum respicit intervalla et de proportionibus gravis loquitur ad acutum, adeo mee rudi prelusit ymaginationi, quod sua captus immensa dulcedine stipites hos grossos legere compulsus sum pro scala, qua in posterum profundiori studio fortasse deditus ad altitudinem melius ascendere valeam, subtilius construenda.

In primis quidem docebo quoslibet reperire gradus si<n>gillatim inter G-ut et g-sol-re-ut, id est inter G primum et G secundum, que in dupla sese respiciunt proportione, et de hinc usque ad E-la, que clavis vicesima in manu ac ultima dicitur; ac nomina proportionum cuiuslibet clavis ad G primum, que G-ut dicitur, in numeris demonstrabo.

Secundo qualiter tonus dividitur in duo semitonia, scilicet maius et minus, et sic inequaliter, quis insuper sit excessus, quo minus a maiore vincitur, et quotiens excessus huiusmodi, qui comma dicitur, in tono contentus est, breviter pertractabo.

Tertio ad naturam decime clavis que b-fa-[sqb]-mi dicitur, in qua semitonium maius vel semitonium minus et comma reperta sunt, et ad effectus litterarum eiusdem clavis, puta b et [sqb], mirabilisimos in cottidiana praxi contingere possibiles leviter emigrabo.

Quarto et ultimo de proportionibus sonorum adinvicem, qui mixturam non respuunt, ex quibus quasi unus sonus mixtus exsurgit et placidus aures mulcens et alliciens, non quilibet ut integer aurem exacerbans, modicum enarrabo, ut hec pervilia, licet incompta sint et rudia, materiam saltem dent altius speculandi.

[33] <Prima pars>

(V f.45) G-ut prima clavis in manu, simplex atque gravissima nominatur. Quam clavem per lineam et non per spatium veteres signare decreverunt, ut potius ab habitu quam a privatione manum in cantu exordirentur.

Primam quidem ipsam locaverunt processum vitantes infinitum in descendendo; sic, ut et status fieret in ascensu, E-la clavem ultimam atque acutissimam statuerunt. Extra quas quidem claves fatuum esset ponere alias, cum omnem cantum congrue inter ipsas possibile sit disponi.

Simplicem eam dixi propter carentiam plurium sillabarum notas plures representantium. Sunt enim sex nomina notarum: ut, re, mi, fa, sol, la, et non plura; que, ut recitat Johannes ad Fulgentium in principio sue Musice, reperta fuerunt in primo versu ymni sancti Johannis Ut queant laxis resonare. Et sic se habent, quod nomen unius note mutari potest in nomen alterius, maxime dum distantia sex clavium prescise non sufficit cantus ordinationi, ut in antiphona Alma redemptoris mater et similibus. Sed cum huiusmodi mutatio ipsius note ut in quamvis aliam in dicta clave g-ut non sit necessaria, ideo simplicem obtinuit compositionem.

Gravissima eo dicitur, quia in gravitate locum primum meruit optinere. Et nota ut inter sex notas predictas in supradicto ymno inferior reperta exstitit, licet -- forte propter illos, qui adeo subtiliter cantare nequeunt (non dico Alemanos, ne faciem propriam rubore perfundam verecundie) -- cantus eiusdem (V f.45') ymni hodiernis temporibus exstat immutatus. Sed cum septem sint littere clavium [34] representative: a, b, c, d, e, f, g (quarum una cognita consequenter cetere cognoscuntur, nec plus est necesse unam signare quam aliam, sed ad voluntatem cantum conscribentis), quero, quare potius veteres inceperunt manum a g littera quam ab a. Ad cuius dissolutionem taliter divino: ut nota ut, a (P f.6') qua manus inchoari debuit, per se sillabam faceret sicut in aliis quinque notarum nominobus. Si autem nota ut sequeretur litteram a, necessario in dyptongon aut coinciderent. Et ad consimilem preservandum, ne littera g cum nota ut unam sillabam generaret, fictum est, ut littera g sonet ut sillaba gam, sonum suum grecum observando. Cuiusmodi fictio aptius satisfiebat cum littera g quam quacumque alia clavis representativa, vel quia g littera prima fuit nominis ipsius auctoris, a qua littera sui nominis Guido Micrologum suum incepit, quem de musica edidit, quo litteram hanc dicit aliis adiuncatam per modernos.

(L f.21, Vm f.89') Et quia g-ut est omnium clavium prima, cordam intendam in instrumento, que pulsata sonum reddat et primam notam, puta ut, cuius corde primum punctum ad modum monocordi Boetii signabo G simplici, que littera primam clavem manualem indicat; et gradatim per omnes claves cordam illam dividam, donec ad g secundum, puta g-sol-re-ut pervenero, ibidem usurus GG duplici, eo quod g-sol-re-ut ad g-ut dicitur clavis dupla. Contentabor [35] insuper in divisione huiusmodi corde decem punctis (V f.46) dumtaxat tedium punctorum abhorrendo, cum cognitis illis decem de facili proportio cuiuslibet ceterarum clavium, ex quibus tota manus confecta est, ad aliam poterit indagari.

Sit gratia exempli tota corda GK. Prescriptam cordam dividam in plures partes, sic tamen, quod partes eque intense se habeant ut prius: et visu percipiemus et auditu, quod ceteris paribus sicut se habebit tota corda ad eius partem seu partes, sic sonus totius corde ad sonum partis vel partium earundem.

[36] Huius autem experientie primus repertor fuit Pitagoras in ponderibus quatuor malleorum, (V f.47) quos, ut certior esset, permisceri precepit, ne lacerti fabrorum quid adderent ad sonorum proportiones eorundem. Ratio vero, quare brevior corda sonum reddit acutiorem, secundum Boetium et alios est, quia aerem celerius percutit. Et ideo pro experientia presupponamus: sicut una corda est altera in quavis proportione longior, sic sonus eius est sono alterius in eadem proportione gravior; et sicut una brevior, sic sonus eius acutior.

A-re secunda clavis est, re notam in se continens. Inter quam et g-ut tonus dicitur, et est clavis hec acutior quam illa in proportione sesquioctava, quod sic ostendo: Dividam GK cordam in novem partes equales, quarum partium sit GA prima; et sonabit AK tonum super GK, id est re super ut, quod ad experientiam relinquo auditus. Et quod proportio huiusmodi sonorum adinvicem comparatorum sit sesquioctava, probo per intellectum: quia tota corda GK continet semel AK et octavam partem ipsius AK, igitur per significationem vocabuli corda GK est in proportione sesquioctava longior parte sua, que est AK, ergo sonus eius in eadem proportione gravior et sonus ipsius AK in eadem proportione acutior per ea, que supposita sunt, et hoc est, quod volebam.

[37] Et est proportio sesquioctava in genere superparticulari, sicut sunt omnes proportiones, quibus totum comparatur ad suam partem aliquotam, ut sunt sesquialtera, sesquitertia, sesquiquarta et sic (V f.47') in infinitum, ascendendo in denominatione, sed descendendo in significatione, nam quanto denominatio est maior in talibus, tanto proportio minor; est enim maior proportio sesquialtera quam sesquitertia. In numeris autem consistit sesquioctava proportio, in qua tonus quiescit, inter 9 et 8, eo quod numerus novenarius continet super numerum octonarium semel unitatem, que unitas est octava pars ipsorum octo; et vocatur pars aliquota, quia aliquotiens, puta octies, sumpta prescise reddit octo.

(P f.7) B-mi tertia clavis est, et est eius nota mi. Cuius si vis invenire sonum in respectu ad ut, divide predictam cordam AK in novem partes equales, et sit nona pars eius AB; pulsata vero BK dabit sonum mi super sonum corde AK. Nam equebene debet esse tonus inter re et mi, sicut fuit inter ut et re, ut voluerunt antiqui et repertum exstitit in dicto ymno Ut queant laxis et cetera; et omnes toni debent esse equales; necessarium igitur est, quod mi sonet duos tonos super ut, quod non solus auditus vel oculus, verum ratio demonstrabit.

Est namque proportio ipsius mi super ut, que dytonus dicitur, composita ex duabus sesquioctavis, quarum quelibet alteri est equalis, ex quo unum et idem nomen sortite sunt; ergo mi super ut faciet duos tonos, id est integrum dytonum, et latino nomine tertiam perfectam, sicut proportio GK ad BK componitur (V f.48) ex proportione, que est inter GK et AK, et ex proportione, que est inter AK et BK, quarum utraque sesquioctava vocata est.

Quod si vis scire nomen totius proportionis, que est inter mi et ut, oportebit querere tres numeros inequales, quorum maximus ad medium contineat proportionem [38] sesquioctavam, et eandem medius ad minimum. Quod si ceperis 8 et 9, deficies in tertio, ex quo novenarius numerus non potest in octo partes dividi equales et per consequens non habet octavam partem. Multiplica igitur primo 8 per 8, id est 8 in se quadrato, et exibunt 64 (qui numerus ideo quadratus dicitur, quia in quadrato subtiliter positus facit relucere singula eius quadrati latera numero octonario); multiplica ultra numerum novenarium per 8, et exurgent 72; cui numero adde suam octavam partem, puta 9, et exibit numerus 81, qui comparatus ad numerum minimum, puta 64, dytonum sine dubio protexabit. Sunt enim ex huiusmodi multiplicatione et additione reperti tres numeri inequales, videlicet 64 et 72 et 81, quorum sicut maximus ad medium constituit proportionem sesquioctavam, sic medius ad minimum; ergo proportio maximi ad minimum duas facit sesquioctavas et dytonum seu tertiam perfectam.

Vocaturque proportio huiusmodi dytoni superpartiens decem et septem sexagesimasquartas. Que proportio est in genere superpartienti, eo quod pars illa, quam maximus numerus continet supra minimum, non est pars aliquota ipsius minimi numeri, (V f.48') quoniam 81 continet ultra 64 17 unitates: que 17 unitates simul sumpte non faciunt partem aliquotam de 64, nam si quater capiantur, reddent 68 et sic plus, si vero ter capiantur, reddunt 51 et sic minus. Et faciunt superpartientes proportiones 5 (P f.7') ad 3, 7 ad 5, 9 ad 7, et sic ultra; vocantur autem speciali nomine superpartiens duas tertias ut 5 ad 3, alio nomine superbipartiens tertias, item proportio 7 ad 5 superpartiens duas quintas vel superbipartiens quintas, item proportio 9 ad 4 superpartiens quatuor quintas vel superquadripartiens quintas; et hec de hec.

Invenitur etiam tertia imperfecta ex tono et semitonio minore, de qua in fine huius opusculi plene dicam.

C-fa-ut quarta clavis manualis est, sed prima mixta, quia duas habet sillabas: fa et ut, que notas representant. Iuxta quod advertendum, quod hec clavis et quelibet alia mixta sub decima clave et eius dupla, que b-fa-[sqb]-mi dicitur, de qua posterius tractabo, includit in se sillabas notarum, que seinvicem respiciunt in proportione sesquitertia; et si alias includit sillabas, hoc est propter b-fa-[sqb]-mi, [39] quia usque ad b-fa-[sqb]-mi procedit tota manus per dyatessaron et exinde per tritonum et <ulterius> per dyatessaron, ut clare patet intuenti, sic quod dudum servatur dyatessaron propter eius dulcedinem et non totiens tritonus propter eius duriciem; propter dyatessaron igitur plus quam aliam quamvis proportionem predicte claves mixte talem retinent compositionem.

(V f.49) Si itaque vis sonare fa super ut: divisa tota GK corda in quatuor partes equales, cuius quarta pars sit GC, sonabit autem CK fa super GK. Et habebunt se hii duo soni in proportione sesquitertia, quam dyatessaron constituit, qualis proportio sedet inter 4 et 3; nam tota corda GK continet semel CK et tertiam partem ipsius CK, quoniam pars illa, que est inter G et C, tanta est quanta una de tribus partibus ipsius CK. Et dicitur dyatessaron a 'dya', quod est 'de', et 'tessaron', quod est 'quatuor', quia ex quatuor constat clavibus et impossibile est illam ex pluribus paucioribusve disponi clavibus quam quatuor, ut posterius denarrabo.

Ex predicta divisione se pandit semitonium minus inter fa et mi dominium suum tenens, de quo postea tractabo.

D-sol-re quinta clavis est, continens notam sol respectu re in a-re et re respectu sol in g-sol-re-ut. Et sic patet, quod ista sex notarum nomina sunt nomina relativa. Unde si non esset nisi unus sonus equalis et non diversificatus in cantu, non esset cura, quo nomine censeretur, ymo nullo nomine alicuius note potiretur, ut sonus campane vel alterius corporis non comparatus ad alium sonum.

Ad investigandum sonum sol super ut dividenda est tota corda GK in tres partes equales, quarum GD sit prima; resonabit utique GK notam (V f.49') ut et DK notam sol, videlicet dyapente, a 'dya', quod est 'de', et 'penta', 'quinque', [40] quia de quinque clavibus constituta (alii tamen dicunt, quod ideo sic dicitur, quia ex quinque sectionibus habet fieri; nam corda, que graviorem eius sonum generat, dividitur in tres partes, corda, que acutiorem, in duas). Et est dyapente in proportione sesquialtera, ut inter 3 et 2, et vocatur latino nomine quinta.

E-la-mi sexta clavis est, duas habens notas, quarum quelibet cantatur secundum diversos respectus; continet enim la respectu mi in [sqb]-mi et mi respectu la in a-la-mi-re. Et est nota la acutissima omnium ipsarum sex, nec ultra ipsam quoquomodo possumus sine mutatione.

Et quia (P f.8) continet tonum super d-sol-re, divide DK cordam in novem partes equales, quarum sit DE prima. Habebit autem DK corda sesquioctavam proportionem ad EK, ergo tonum, sonabitque EK la super GK, puta e-la-mi super g-ut, et vocatur latino nomine sexta perfecta; perfectam dico, quia est dare sextam imperfectam constitutam ex dyapente et semitonio minore, ut postea videbis.

Proportio vero ipsius la ad ut vocatur superpartiens undecim sextas decimas. Componitur namque ex proportione, que est inter sol et ut, que sesquialtera vocatur, ut 24 ad 16, et ex proportione, que est inter sol et la, que sesquioctava nuncupatur, qualis est inter 27 et 24; igitur (V f.50) proportio ipsius la ad ut est sicut 27 ad 16. Et quia 27 continet semel 16 et cum hoc 11 unitates de 16, patet nomen dicte proportionis.

F-fa-ut septima dicitur; ad quam ultra e-la-mi ascendimus mutando la in mi. Ad quam clavem inveniendam super clavem precedentem dividenda est tota [41] corda GK in sedecim partes equales, et contineat GF illarum partium 7 necesseque erit cordam FK continere residuas 9; et sonabit FK fa secundum supra GK, puta f-fa-ut supra g-ut, quorum sonorum proportio superpartiens septem nonas debeat vocari, qualem reperies inter 16 et 9, quoniam proportio, que est inter ut et secundum fa, componitur ex proportione, que est inter ut et primum fa, que sesquitertia dicitur, et ex alia, que est inter primum fa et secundum fa, que etiam sesquitertia est vocata, que, ex quo equales sunt, eodem nomine debent potiri, et per consequens componitur ex duabus sesquitertiis, velut proportio, que est inter 16 et 9, composita est ex proportione, que est 16 ad 12, et ex illa, que est 12 ad 9, quarum utraque sesquitertia nuncupatur.

Et hec proportio minor est quam dupla in uno tono; nam si a dupla proportione resecetur sesquioctava, id est tonus, remanet proportio prius nominata superpartiens septem nonas; nam proportio 18 ad 9 componitur ex proportione 18 ad 16 et ex proportione ipsorum 16 ad 9; reseca ergo partem illam, que est 18 ad 16, in qua tonus consistit, remanebit pars maior, que superpartiens septem nonas est vocata, (V f.50') in qua se habet f-fa-ut ad g-ut.

Et dicitur hic fa respectu ut in c-fa-ut et ut respectu fa in b-fa-[sqb]-mi.

G-sol-re-ut octava clavis est, et est mixta ex tribus sillabis notarum representanti<bu>s, et hoc propter respectum multiplicem. Continet namque sol respectu re in d-sol-re et re respectu sol in c-sol-fa-ut respiciendo bis ipsum c-sol-fa-ut; et sic duplicem habet respectum ad cantum superiorem, secundum quod ille cantus duriter cantari poterit vel molliter, id es per b-fa vel per [sqb]-mi, sed inferior solum uno modo. Et hec fuit ratio, quare alique claves duas habent notas et alique tres. Possunt autem fieri in hac clave quatuor mutationes, ut leviter patet intuenti.

Quod si vis audire hanc clavem super g-ut, adde supra f-fa-ut tonum, quem superius resecasti. Vel sic: divide totam GK cordam in duas partes equales, et sit medius punctus, puta punctus sectionis, GG, patebitque, quod medietas totius GK sonabit duplam supra totam cordam GK, et ita g-sol-re-ut super g-ut; propter quam rationem signam medium punctum sectionis duplici GG, quia duplam resonat proportionem ad primum g.

[42] Et vocatur proportio huiusmodi greco nomine dyapason, a 'dya', quod est 'de', et 'pan', quod est 'totum', et 'sonus', 'soni', quia includit in se totum sonum, id est omnes gradus sonorum, per quos cantus habet ordinari, quod evidenter (P f.8') patet ex hoc: nam si (V f.51) volumus ascendere ultra G-sol-re-ut ad altiores claves, operemur eodem modo circa secundum medietatem totius GK corde, quo facimus circa ipsam totam, videlicet dividendo secundam medietatem in novem partes equales, et facient octo illarum partium tonum supra totam medietatem et per consequens tonum cum dyapason ad totam cordam GK, et hoc modo procede gradatim usque ad quadruplam dividendo totam cordam in quatuor partes, quarum ultima quarta sit HK, quam invenies sonare quadruplam super totam GK, puta secundum g-sol-re-ut super g-ut, id est g tertium super g primum. Et quia cantus supra dyapason non est nisi iteratio cantus infra dyapason cum additione nominis duple vel alterius ad duplam multiplices, ideo in clave g-sol-re-ut littere clavium precedentium reiterantur.

Si etiam vis audire triplam proportionem, id es d-la-sol-re super g-ut, divide totam GK in tres partes equales; sonabit autem quelibet eius tertia super totam GK d-la-sol-re super g-ut. Vel sic: divide secundam medietatem totius GK corde in tres partes, et sonabunt due eius partes simul sumpte super totam medietatem d-la-sol-re super g-sol-re-ut, id est sesquialteram proportionem; facit autem g-sol-re-ut duplam super g-ut, igitur d-la-sol-re super g-ut triplam, que ex dupla et sesquialtera (V f.51') censetur constituta. Redeunt autem hee due practice operationes in unam, quoniam due tertie alicuius medietatis valent unam tertiam totius.

-- Ex quo concluditur, quod duodecima clavis non debet vocari sexta duplata vel quinta duplata, prout multi credunt, sed vocabitur quinta supra duplam, et magis proprie vocatur tripla. Nec debet triplum cuiuscumque moteti vocari hoc nomine, nisi in ipso sit aliqua nota triplam habens proportionem ad notam aliquam, puta moteti vel tenoris. Sic suo modo dicendum est de decima clave ac aliis. --

[43] Quod si delectat scire, qualis proportio sit inter primam et ultimam claves ipsius manus, puta inter g-ut et e-la, divide ultimam quartam totius GK corde in 27 partes equales, quarum contineat corda HI 16; resonabit HI perfectam sextam supra HK, id est proportionem superpartientem undecim sextasdecimas, qualis est inter e-la et secundum g-sol-re-ut; sed HK sonat quadruplam super totam GK, videlicet secundum gg super g-ut; igitur HI se habet ad totam GK sicut e-la ad g-ut in proportione sextupla superpartiente tres quartas, qualiter in numeris reperitur inter 27 et 4; que minor est quam septupla, que inter 28 et 4 existet et a musica refutatur.

<Secunda pars>

Tonus, qui grece epogdus dicitur, secundum Boetium (V f.52) et omnes non potest dividi in partes equales.

Videtur tamen, quod ymno, quia omnis proportio secundum Euclydium se habet ut linea; nam sicut una linea longior est alia, sic una proportio est alia maior: modo quelibet linea potest (P f.9) dividi per medium. Item si due corde se habeant in proportione equalitatis et intendatur altera continue usque ad proportionem sesquioctavam, non est dubium, quin fiet transitus per medium.

In materia ista, quamvis in consimili argumento circa quadraturam circuli probandam Brysso seu Ypocias seu quicumque alius fuerit per Aristotelem primo Elencorum per quatuor folia ante finem reprobatu<s>, credo igitur quod supradicta argumenta concludunt, sed dico dictum Boetii intelligendum fore, videlicet quod tonus non dividitur in partes equales stante armonia; et hoc idem addit Boetius, quando de divisione toni locutus est, nam dicit expresse, quod dyesis et scisma veram medietatem toni constituunt (dyesis, id est semitonium minus, quod apud antiquos lyma vocabatur; scisma est medietas commatis).

[44] Sed ad experientiam probatur, si aliqua esset corda media, que se haberet ad cordam AK sicut GK ad illam, quod sonus illius non faceret gradum aliquem comparatus ad sonum aliarum cordarum, quia usque ad hec tempora non placuit talis cantus saltem a nobis prolatus, qui dyatonico generi insistimus (de cantu seu armonia corporum celestium et angelorum seu volucrum nescire, divinare). Sic nec duo soni, qui se in medietate habent duple proportionis, accepti sunt nec simul, nec separatim, qualem facerent (V f.52') due corde, quarum una se haberet ut dyameter, alia ut costa sui quadrati, et sic de aliis, que omnia experientie relinquo auditus.

Rationem tamen istorum aliqui nituntur signare, quod hoc eo fit, quia musica applaudit arithmetice, que inter numeros versatur, in qua omnes proportiones rationales, id est aliquo modo commensurabiles, existunt, et non geometrice, in qua irrationales inveniuntur proportiones, ut est dyametri ad costam. Modo proportio sesquioctava non habet mediam proportionem in numeris, nam inter 9 et 8, qui primi numeri sunt proportionis sesquioctave, non cadit medius numerus equali [45] proportione distans ab extremis, igitur nec inter ipsos, qualitercumque multiplicentur: unde inter bis octo et bis novem cadit numerus 17, qui non equali proportione respicit utrumque, nam maior est proportio 17 ad 16 quam 18 ad 17. Eodem modo inter 2 et 1 non cadit numerus medius; igitur in numeris non inveniuntur aliqui duo numeri, qui seinvicem aspiciant in medietate duple proportionis. Item quod tonus et quelibet alia superparticularis proportio caret medio proportionali, patet ex hoc, quia talis medius numerus esset radix, id est latus tetragonale numeri producti ex numerositate extremorum in se, sicut numerus senarius est medius inter 4 et 9: multiplicatur igitur 9 per 4, exeunt 36, numerus quadratus, cuius senarius est latus, ut patet satis in figuris Arithmetice. Modo extrema proportionis superparticularis in se ducta non procreant numerum quadratum, quod satis alibi est demonstratum.

Sed quamvis hec certissima sint, non tamen (V f.53) credo, quod hec est ratio sufficiens in proposito nisi quodammodo a posteriore. Nam presupponitur, quod nulla proportio duorum sonorum possit facere gradum congruum in ascensu vel descensu, nisi illa proportio in numeris signari possit (de quo satis dubito, utrum saltem possibile sit huiusmodi proportionem invenire vel gradum). Nam secundum diversitatem temporis et regionum multa nova et inaudita poterunt suboriri, sicut forte pronuntiatio commatis et trium semitoniorum minorum ac multorum similium, que, licet hactenus (P f.9') non audita sunt, forte tractu temporis per nova instrumenta et vocum habilitates posterius audientur, sicut nec ante Pitagoram fuit tanta subtilitas in cantu, quanta hodiernis temporibus est in usu, nec talem nos, qualem Anglici, G<alli>ci vel Lumbardi in cantu facimus fracturam. Item licet ponat Boetius minoris semitonii medietatem arismetricam, que neglecta proportione equalitatem differentiarum considerat, eius tamen non ponit medietatem geometricam, de qua querimus, que inter numeros non reperitur; et nichilominus eius semitonii proportionalis medietas, id est geometrica, saltem in cantu enarmonico [46] apud antiquos gradum fecit (cuius quidem cantus tetracordum per dyesim et dyesim processit et dytonum; et existit dyesis apud ipsos vera lymmatis medietas); bene tamen assentio, quod quidem gradus, quo nos maxime dyatonici hactenus usi fuimus in musica, possit proportione arismetrica mensurari.

Lima apud antiquos est minus semitonium apud nos, intervallum scilicet de fa ad mi. Quod ideo minus dicitur, quia medietatem toni, prout patet ex predictis, non attingit, quoniam inter (V f.53') primos numeros sesquioctave proportionis non est numerus medius, qui equaliter participet extremos.

Item ex quo dyapason, ut in suprascripta corda GK leviter descerni potest, constituitur ex quinque tonis cum duobus semitoniis minoribus, que duo semitonia minora si complerent tonum prescise, sequeretur, quod tres toni facerent medietatem duple proportionis, et sic tritonus mediaret dyapason, quod est impossibile. Captis enim tribus numeris, illis videlicet, quos supra in clave [sqb]-mi cepimus, puta 64 et 72 et 81, quorum quilibet multiplicetur per 8, addaturque tertio producto ex huiusmodi multiplicatione sua octava et fiat quartus: faciet infallibiliter quartus ad primum proportionem tritoni. Verbi gratia: multiplicatur 64 per 8, provenient 512, qui numerus sit primus; multiplicatur vero 72 per 8, resultant 576, qui sit secundus; sic et octies 81 reddunt 648, qui sit tertius; cui tertio adde suam octavam partem, et pariet 729, qui sit quartus: inter hos quatuor proportionales numeros sunt tres sesquioctave, ergo et tres toni, et ergo maximus, puta 729, comparatus ad minimum, puta ad 512, facit revera tritonum (quorum maior continet ultra minorem 217 unitates; vocatur ideo proportio tritoni superpartiens ducentas et decem et septem quingentesimas duodecimas). Si ergo tritonus esset medietas ipsius dyapason, id est proportionis duple, sequeretur, quod numerus minimus duplatus, puta 1024 se haberent ad 729 sicut 729 ad 512 et quod equalis esset proportio utrobique, quod non est verum, quia est minor maximi ad medium quam medii ad minimum in quantitate commatis, ut infra proximo capitulo ostendetur.

[47] Relinque (V f.54) igitur, quod distantia inter fa et mi minor est quam medietas toni.

Ex quo possunt extrahi conclusiones tales: quod dyapason non continet sex integros tonos; item quod duo semitonia minora simul sumpta non mediant tonum, quia tunc, cum quatuor talia integrarent tonum, sequeretur, quod sesquioctava proportio haberet numerum medium; ex quod proportio semitonii minoris tamen in numeris reperitur, ut subsequenter ostendam; item quod duo (P f.10) semitonia minora plus faciunt quam medietatem toni, nam medietatem non faciunt per ea, que dicta sunt, si igitur minus facerent, tonc quatuor subintegrarent tonum, quod esse non potest. Consimiles conclusiones potest, quis subtilis, per se ex hiis, que dicta sunt, facilius extorquere.

Numeri autem primi, inter quos minus semitonium inventum est, sunt 243 et 256, qui adinvicem se respiciunt in proportione superpartienti tredecim ducentesimas quadragesimas tertias. Possumus dictos numeros semitonii taliter venari: Certum est enim, ut supra patuit in clave c-fa-ut, dyatesseron constare ex dytono et semitonio minore. Numeri primi ipsius dytoni, ut patuit in [sqb]-mi, sunt 81 et 64. Modo non est dare numerum, qui possit se habere ad 64 in proportione sesquitertia, in qua dyatesseron quiescit, ex quo 64 non possunt dividi in partes tres equales: multiplicabo igitur ipsum per numerum ternarium, et exibit numerus 192, qui numerus, eo quod per ternarium multiplicatus est, optime divisibilis est in tres partes. Multiplicatis eodem modo 81 patebit numerus 243, manebitque proportio dytoni inter 243 ex una parte et 192 ex alia. Addatur minori numero sua (V f.54') tertia pars, et veniet numerus 256, qui comparatus ad numerum 243 facit proportionem semitonii minoris, quam querebamus.

Resecato vero dytono a dyatesseron remanet lima, minus semitonium, quod greco nomine dyesis secundum Phylolaum dicitur, licet Boetius vocet dyesim minoris semitonii medietatem, que medietas alio vocabulo dyascisma nuncupatur.

Comma secundum Boetium et alios est excessus ille, in quo sex toni excedunt dyapason, et per consequens est excessus ille, in quo tonus excedit duo semitonia minora et maius semitonium minus.

[48] Proportio autem commatis consistit inter hos numeros: 524288 ex una parte et 531441 et altera, et iste excedit illum in 7153 unitatibus, unde posset cito colligi nomen proportionis, si grammatice non obstarent.

Quos numeros visa practica circa inventionem numerorum semitonii minoris poteris leviter per multiplicationes investigare: dispositis tribus numeris taliter, quod maximus ad minimum contineat spatium sex tonorum prescise, erit necessario inter eos numerus, qui ad minimum comparatus faciet dyapason; cuius, inquam, dyapason proportione subtracta a proportione sex tonorum remanebit nudum et solum comma.

Quia dum verbi gratia tritonus, ut dixi supra capitulo proximo, clauditur inter 729 ex una parte et 512 ex alia, que proportio tritoni si dupletur, resultabit proportio sex tonorum. Ad quam ergo duplandam queram tertium numerum, ad quem maior numerus ipsius tritoni se habebit sicut minimus ad ipsum. Cum autem hoc non potest fieri in numeris primis ipsius tritoni, multiplicabo ipsos sic, quod ille (V f.55) maior, qui medius erit, divisibilis sit in quingentas et duodecim partes equales, nam opportet, quod inter ipsum et tertium numerum remaneat denominatio proportionis ipsius tritoni.

Ut a simili: si vis habere numerum, qui eandem habeat proportionem ad 5, quam habent 5 ad 3, non illum numerum reperies, nisi multiplices 5 per numerum ternarium, et exibunt 15, et eodem modo (P f.10') 3, et producetur numerus novenarius; quo facto adde numero 15 duas tertias suiipsius, puta 10, et exibunt 25; erit autem proportio 25 ad 15 sicut 15 ad 9. Et hanc practicam docet denominatio proportionis, quia proportio inter 5 et 3 vocatur superpartiens duas tertias; et sicut nomen trahit a duabus tertiis, sic in proposito proportio tritoni nomen trahit a ducentis et decem et septem quingentesimis duodecimis.

Ergo per illum numerum 512 multiplicandus est uterque numerus ipsius tritoni, ut quilibet divisibilis sit in totidem, puta 512, partes equales multiplicato ergo dicto numero, scilicet 512, in se, veniet numerus 262144. Multiplicatis vero 729 per 512 procedet numerus 373248. Inter quos est tritonus. Cuius, inquam, numero maiori adde ducenties decies et septies suam quingentesimam duodecimam, puta 158193 unitates, et orietur numerus tertius, videlicet 531441. Qui tres numeri adinvicem sunt continue proportionales, nam inter maximum et medium est tritonus [49] sicut inter medium et minimum; et ergo maximus ad minimum facit proportionem sex tonorum.

Quo minimo numero duplicato lucebit numerus 524288, qui comparatus ad minimum faciet dyapason.

Cuius (V f.55') dyapason proportione reiecta manet inter 531441 ex una parte et 524288 ex altera ipsius nudi et solius commatis proportio, quam querebamus. Et est comma minima distantia duorum sonorum in cantu possibilis, ut innuit Boetius, cum sic ait: "Comma est ultimum auditui subiacens ultimaque proportio". Et quamvis dicat Boetius, quod comma dividitur in duo scismata, ubi de divisione toni loquitur, non tamen vult, quod scisma faciet aliquem gradum in musica, nam auris adeo modicam distantiam sonorum forte non potest percipere; licet etiam perciperet, non tamen sequitur, quod scisma gradum faceret, sicut nec medietas duple proportionis, que bene perceptibilis est, nec medietas ipsius dyesios, id est semitonii minoris, quam medietatem dyascisma Boetius appellat.

Sed queres forte, quare potius in musica fiat mentio de commate quam de dyascismate? Respondetur per ea, que dixi supra, quod hoc ideo est, quia diascisma, prout est vera medietas minoratis, non in numeris invenitur, sicut bene comma, et musica subordinatur arismetrice. Sed hec responsio non sufficit, nam in numeris infinite sunt proportiones, quas musica non advertit. Ideo aliter potest dici, quod hoc est per accidens, quod musica loquatur de comate, nam ex quo dyapason minus continet quam sex tonos, et non plus quam quinque cum duobus semitoniis minoribus. Ergo per consequens et accidentaliter, non autem primo et per se discutit musica differentiam sex (V f.56) tonorum supra dyapason, non autem quod comma faciet gradum musicalem, qui hactenus inter nos fuerit usitatus, nam cantus comatis neque dyatonicus neque cromaticus nec enarmonicus ex [50] sufficienti divisione tetracordorum Boetii fore comprobatur, quamvis bene inter claves manuales re<p>peri coma possibiliter disponendum, quod dicam infra in clave b-fa-[sqb]-mi.

Apothome grece latine maius semitonium est; quod et ideo maius dicitur, quia plus continet quam veram medietatem toni: quoniam constat ex semitonio minore et comate, igitur plus continet quam semitonium minus; sed semitonium maius et semitonium minus constituunt prescise tonum; si igitur semitonium maius esset vera toni medietas, -- cum unumquodque totum constuitur ex duabus suis medietatibus -- sequeretur, quod semitonium minus esset alia toni medietas, quod falsum est, ut iam est ostensum.

Ante quos autem numeros semitonium maius est applexum, visis hiis, que dicta sunt de semitonio (P f.11) minore et commate, per te satis indagabis.

Qualiter vero maius semitonium inter claves manuales disponitur, in b-fa-[sqb]-mi pertractabo.

Octo commata et amplius, minus tamen quam novem continet ipse tonus, quod per Boetium leviter demonstratur. Et sit A numerus 262144, et sit B numerus distans ab A spatio quinque tonorum, puta 472392; sit autem C numerus duplus ad A, id est dyapason, (V f.56') scilicet 524288, D vero numerus, distans ab A spatio sex tonorum, 531441. Distat ergo D a numero C solo commate, quanto spatio sex toni distant a dyapason: que quidem differentia, id est excessus ipsius D [51] ad C, sit E, puta 7153. Distat autem D a numero B prescise spatio toni, quanto distant sex toni a quinque: que differentia, id est excessus ipsius D ad B, sit F, utputa 59049.

His itaque taliter dispositis arguitur in hunc modum: Si numerum E novies auxero, procreabo numerum 64377, qui sit G. Si vero octies multiplicem, eveniet numerus 57224, qui sit H. Sed constat, quod G numerus maior est quam F. Constat etiam F numerum maiorem esse quam H. Et est F numerus toni differentia, G vero est comma novies multiplicatum, H vero octies. Demonstratum est igitur, quod tonus maior est octo comatibus, sed novem comatibus minor.

Attenta predicta demonstratione potes per te reperire, quod semitonium minus plus continet quam tria comata, minus vero quam quatuor, et quot scismata in tono contenta sunt, et multa huiusmodi, que industrie committo tue studiositatis.

<Tertia pars>

Bfa-[sqb]-mi decima clavis est in manu; cui clavi pretextu subtilis eiusdem inventionis potius quam ceteris insistere propono.

Componitur autem ex notis duabus fa et mi, et ex totidem litteris clavem ipsam representantibus eodem nomine vocatis propter eius clavis ydemptitatem, diversimode tamen figuratis naturam diversam ipsius clavis denotantibus; continet namque b litteram, (V f.57) quam b-fa communiter vocamus, que notam sequentem ipsam in hac clave denotat nomine fa appellari ac per semitonium minus super a-la-mi-re decantari, ut hic

[Boen, 51,1] [BOENMUS 01GF]

et [sqb] litteram aliam, quam [sqb]-mi dicimus, ad denotandum consimilem notam mi nomine appellari et per tonum integrum super a-la-mi-re decantari, ut hic

[Boen, 51,2] [BOENMUS 01GF]

In predictarum litterarum nominibus superstitiosum est morari. Vocant tamen alii b-fa litteram 'b rotundum' et [sqb]-mi, [sqb]quadratum', dantes eis nomina secundum formas figurarum ruditer speculantes in hac arte. Alii subtilius b-fa litteram 'b molle' vocant et [sqb]-mi, [sqb] durum', [52] eo quod cantus, qui sit per fa in hac clave, dum ab f-fa-ut ad ipsam ascendimus, mollius suaviusque se prebet auribus quam ille, qui per mi cantatur. Non enim tantum dulcedinis inest tritono quantum proportioni sesquitertie, que dyatesseron nuncupatur.

Sed quia tritonus, quamvis durior sit, non debeat omnino reici ut contemptus, inventa fuit hec clavis, in quam clavem tam dyatesseron quam tritonus, diversis tamen vicibus, possint ter<m>i<n>ari. Quod potius antiqui voluerunt in hac clave quam in alia, quia mediat quodammodo manum, cum usque ipsam inclusive manus procedit per tria tetracorda coniuncta, id est per ter dyatesseron semitonio super dytonum collocato, quibus totidem tetracorda alia adiunguntur cum tono, disiuncta tamen a primis spatio semitonii maioris, dytono super semitonium minus collocato; que quidem disiunctio fieri habet in hac clave. Idem est in decima septima clavis (V f.57') que ad hanc dyapason resonat et idem nomen est sortita.

Advertendum tamen est, quod hec clavis indifferens est ad utrumlibet, puta ad fa et ad mi, si in ea neutra litterarum scribetur, dumtamen vicine claves cognoscantur, licet secundum usum in hoc casu prestantior sit ad mi, ut hic [Boen, 52,1] [BOENMUS 01GF]

habet enim usus, quod in ea non cantetur fa nisi preposita littera b-fa; et est forte ratio, quare prestantior sit ad mi, (P f.11') ut ipsa decima clavis dyapason consonet super secundam clavem manualem, puta [sqb]-mi, nec est necesse secundum usum, ut umquam in ea scribatur littera [sqb]-mi, dumtamen clavis cognita sit, nisi dum a cantu b mollis transire volumus ad cantum [sqb] duri, ut hic

[Boen, 52,2] [BOENMUS 01GF]

quo casu secunda littera non extorquet sed retorquet extinguendo effectum [53] littere prime. Cognitam ipsam clavem b-fa-[sqb]-mi dico, dum clavis alia in eadem dispositione sit nota, ut in predicto exemplo clavis c-sol-fa-ut est nota per litteram c positam in linea, ergo et b-fa-[sqb]-mi et relique sunt cognite per ordinem clavium manualium, et equebene sicut dicta littera c dat cognoscere c-sol-fa-ut, daret a littera in linea cognoscere a-la-mi-re et reliqua; nec est necesse unam ponere plus quam aliam, ut dixi in principio huius libelli.

In hac clave, licet mixta sit, non fiunt mutationes ut in aliis. nam per ea, que dicta sunt, in hac clave non dicitur fa nisi preposita littera b-fa et non mi nisi preposita [sqb]-mi, quando semel littera b-fa precesserit: si ergo in hac clave fa mutaretur in mi, sequeretur contradictio, quod littera b-fa preponeretur et non postponeretur vel quod utraque, (V f.58) tam b-fa quam [sqb]-mi, littera preponeretur et sic una et eadem nota graviter et acute pronuntiaretur respectu suiipsius, quod absurdum est, quamvis hoc alias in quodam contratenore ponere fuerim conatus, ut hic

[Boen, 53,1] [BOENMUS 01GF]

cuius note primam medietatem per b-fa et secundam medietatem per [sqb]-mi nitebar ululare.

Discrepat iterum hec clavis ab aliis, nam cum inter mi at fa regulariter est semitonium minus, ut hic

[Boen, 53,2] [BOENMUS 01GF]

inter tamen mi et fa in hac clave est semitonium maius, ut hic

[Boen, 53,3] [BOENMUS 01GF]

Quare autem ibi fit semitonium maius, ratio demonstrat, quoniam prima illarum non distat a clave c-sol-fa-ut nisi spatio semitonii minoris, secunda vero spatio integri toni; sed constat tonum componi ex semitoniis maiore et minore prescise, igitur secunda gravior est prima in quantitate predicta, puta semitonii maioris.

[54] Ex quo infero duo correlaria: Primum quod due note diversarum clavium minus a se distant, id est minorem proportionem faciunt, quam due predicte in eadem clave situate. Secundum correlarium est hoc, quod cantus cromaticus inter claves nostras leviter figuratur, ut ecce

[Boen, 54,1] [BOENMUS 01GF]

ubi tetracordum, id est dyatesseron, que est inter primam et ultimam, dividitur in lymma, apothomem et triemitonium; aliter tamen disponitur cantus huiusmodi inter cordas et aliter inter claves; et dicitur a 'croma', quod est 'color', quia in auditu colorem sapit, non tamen tantum quantum dyatonicus, ut hic

[Boen, 54,2] [BOENMUS 01GF]

Enarmonicus vero cantus ita disponi non potest, quia constat ex dyesi et dyesi et (V f.58') dytono; dyesis enim, quam dyascisma, id est medietatem minoris semitonii, Boetius appellat, nullatenus inter claves nostras, ut hic ex sequentibus patebit, potest consignari nec dytonus inter duas, et quamvis enarmonicum cantum Boetius aptissime dicat coaptatum, forsitan yronice locutus est, ut dicit commentator eius Linconensis.

Ex predictis aliqualiter incipit elucescere natura litterarum clavis presentis, videlicet quod b-fa littera signum est depressionis note sequentis in eadem clave et [sqb]-mi nota elevationis. Patet etiam directa contrarietas in dictis litteris, quoniam quantum b-fa deprimit, tantum [sqb]-mi acuit, quia utraque per semitonium maius precise.

[55] Potest ergo pro principio supponi in hac arte regula sequens, quod b-fa littera gravat, #-mi littera acuit quelibet notam sue clavis extra naturam in quantitate semitonii maioris, quod intelligendum est, dum nulla littera precesserit, nam tunc non faceret quam extinguere naturam littere precedentis; fuit ergo, ut apparet, semitonium maius principalius repertum in hac clave.

Secundo suppono, quamvis hec due littere magis proprie locum optinent in hac clave, quod nichilominus licitum est ipsas statui in aliis, ymo in G-ut et alibi secundum exigentiam ipsius cantus, prout in pluribus vidi motetis autenticis; sed tunc non erunt representative clavium, sed signum gravitatis et acutiei notarum sequentium in illa clave, in qua huiusmodi littere b-fa et [sqb]-mi posite sunt, quas quidem notas tunc proprie extorquent (P f.12) extra (V f.59) naturas suas proprias in quantitate sepe dicta. Et quantum una littera notam extorquet et distemperat, tantum sequens littera temperat et retorquet et per consequens reducit ad suam propriam mansionem, ut hic

[Boen, 55] [BOENMUS 01GF]

in quo exemplo secunda equebene velut prima superaret veram suam clavem, puta c-sol-fa-ut, nisi per b-fa litteram ad propriam naturam reverteretur; et est inter ipsas semitonium maius. Ratio quare in aliis clavibus equebene licet uti talibus litteris est, quia propter cantum figure invente sunt et ergo cantui subordinate et non econtra.

Tertio suppono, quod quelibet due claves proxime regulariter, prout manus confecta est, statuent tonum vel semitonium minus, ut patet discurrendo per omnes viginti claves a G-ut usque ad e-la, et loquor quando stant in suis propriis naturis.

Hiis suppositis sequuntur multe conclusiones pulchre, quarum aliquas, que viam dabunt ad nondum inventas, quantum est de presenti explanabo.

Prima conclusio: Duo vel tria minora semitonia possibile est disponi, ut hic

[56] [Boen, 56,1] [BOENMUS 02GF]

inter quas sine littera [sqb]-mi esset tonus cum semitonio minore, et cum tonus componitur ex maiore et minore, essent ibi duo minora et unum maius; sed per secundam suppositionem licitum est undique poni litteram [sqb]-mi, igitur per primam suppositionem acuitur secunda extra naturam suam per semitonium maius, igitur per tantumdem distantia (V f.59') illa est restricta: remanebunt ergo prescise duo minora. Exemplum de tribus ut hic

[Boen, 56,2] [BOENMUS 02GF]

Inter clavem c-sol-fa-ut et ultimam notam sunt duo minora, ut iam probatum est; sed nota prima excedit clavem c-sol-fa-ut solum in minore semitonio per litteram b-fa, que a tono, qui est inter d-la-sol-re et c-sol-fa-ut, resecat semitonium maius per primam suppositionem; manent igitur ibi tria semitonia tunc minora. Potest ergo tradi practica huius conclusionis sub hiis regulis: Si distantia semiditonalis restringitur per alteram litterarum ipsius b-fa-[sqb]-mi, exibunt duo minora; si dyatesseron restringitur per ambas, tria minora semitonia resultabunt. Hanc conclusionem ponere me monent aliqui, qui dicunt duo vel tria semitonia minora non posse decantari.

Secunda conclusio: Ipsum comma per se est in clavibus possibile designari, ut ecce

[Boen, 56,3] [BOENMUS 02GF]

distat namque prima a c-sol-fa-ut per duo minora, ut in proxima conclusione fuit demonstratum, secunda vero per tonum; sed tonus excedit duo minora per solum comma, ut ex dictis in secunda parte huius opusculi clare patuit, manet igitur inter ipsas solum comma. Potest ergo hec operatio commatis sub hac regula signari: quotiens tonus restrictus est per utramque de b-fa-[sqb]-mi, vel minus semitonium per unam, nascitur ipsum comma. De tono patuit in exemplo predicto, quoniam inter a-la-mi-re et b-fa-[sqb]-mi sine litteris est tonus, qui ex utraque parte diminutus est, puta per duo maiora. De semitonio minore ut hic

[Boen, 56,4] [BOENMUS 02GF]

inter quas est solum comma, eo quod [57] prima distat ab a-la-mi-re tono integro, alia duobus minoribus. Eodem modo hic

[Boen, 57,1] [BOENMUS 02GF]

quarum prima distat a d-la-sol-re (V f.60) integro tono, secunda vero commate minus. Ex quibus manifestum est, quod ipsum comma in diversis clavibus potest optime signari. Neutrum tamen tetracordum Boetii recipit ipsum comma, de quo satis miror.

Tertia conclusio: In omni commate altioris clavis gravius et bassioris acutius sunt note pronuntiande, ut in omnibus patuit exemplis predictis, in quibus omnibus nota altioris clavis gravius est proferenda quam nota clavis bassioris. Sed quia conclusio supponit, quod impossibile est sic comma disponi, ut nota altioris clavis acutius proferenda sit, idcirco hoc probatur per inductionem:

Cum enim per tertiam suppositionem quelibet due claves proxime secundum regularem dispositionem distant tono vel semitonio minore, opportebit necessario, quod in designatione commatis (P f.12') note extra naturas clavium suarum restringantur. Sed si minus semitonium restringitur per unam de b-fa-[sqb]-mi, sequitur per secundam conclusionem, quod nota bassioris clavis acutius et altioris gravius per unum comma decantentur. Si per utramque, tunc per duo commata et unum semitonium minus, ut hic

[Boen, 57,2] [BOENMUS 02GF]

ubi prima distat ab a-la-mi-re per duo minora per conclusionem primam, secunda vero per tonum cum semitonio maiore, nam nisi [sqb]-mi littera secundam acueret per maius semitonium supra tonum, quem cum a-la-mi-re sine ipsa littera faceret, frustra [sqb]-mi littera ibidem poneretur, ut in prohemio huius tertie partis declaravi; sed tonus cum semitonio maiore excedunt duo semitonia minora in duobus (V f.60') commatibus et uno minore. Sequitur igitur necessario, qualitercumque semitonium minus restringitur, quod nota clavis altioris bassius et bassioris altius debeant proferri. [58] Si autem tonus restringitur per unam, veniet minus semitonium, ut hic

[Boen, 58,1] [BOENMUS 02GF]

Si per duas, sequetur propositum, quod altioris clavis nota gravius et bassioris acutius necessario proferetur per regulam prime conclusionis.

Si autem distantia semiditonalis, qualis est inter c-sol-fa-ut et a-la-mi-re, restringitur per unam, fient per primam conclusionem duo semitonia minora. Si per duas, deficiet comma a semitonio minore, ut hic

[Boen, 58,2] [BOENMUS 02GF]

nam sine littera b-fa essent inter eas duo minora, ut iam est dictum, a qua distantia resecat littera b-fa semitonium maius per primam suppositionem; igitur pro semitonio minore complendo deficit unum comma. Sed quia semitonium minus plus continet quam tria commata, ut supra in secunda parte huius opusculi est ostensum, manifeste concluditur, quod plus quam comma remanserit inter ipsas. Multo fortius concluderetur, quod plus quam comma debeat remanere, qualitercumque maior distantia quam semiditonalis ut dytonus vel dyatesseron restringetur.

Patet igitur demonstrata possibilitas signationis ipsius commatis et impossibilitas eiusdem aliter designandi. Utinam ipsum ita infallibiliter perciperem in cantando!

Quarta conclusio: Impossibile est disponi maius semitonium inter claves diversas. Hec conclusio distinguit figurationem cantus cromatici nostram ab antiquis, cum enim nos apothomen, quam ipsi sub duabus cordis statuerunt, in una (V.f.61) eademque clave cogimur figurare. Probatur:

Clarum est, si semitonium minus dilatemus per unam de b-fa-[sqb]-mi, quod usque ad tonum ascendemus, ut hic

[Boen, 58,3] [BOENMUS 02GF]

ubi plus quam semitonium maius existit; multo fortius plus fieret, si maiorem distantiam dilatemus.

Quod autem restringendo quascumque notas diversarum clavium nequimus ad semitonium maius prescise pervenire, <patet> per exempla tertie conclusionis usque ad distantiam semiditonalem; sed per tertiam suppositionem nulle claves reperiuntur distantes prescise tono et duobus semitoniis minoribus. Si ergo distantia ditonalis restringatur per unam litteram, manet tonus cum semitonio [59] minore, ut hic

[Boen, 59,1] [BOENMUS 03GF]

si vero per utramque, remanent duo minora et sic plus quam semitonium maius, ut hic

[Boen, 59,2] [BOENMUS 03GF]

Multo fortius probatur conclusio predicta, si maior distantia quam ditonalis, puta dyatesseron, restringenda capiatur.

Corolarium, quod ex hac conclusione potest elici, est tale: Impossibile est duo maiora semitonia supra seinvicem collocare. Nam cum semitonium maius signabile est, ut in principio huius tertie partis est ostensum, sequitur a contrario sensu eorum, que dicta sunt supra proximo, quod necessario habet fieri inter notas unius et eiusdem clavis; et cum necessario habet fieri cum altera litterarum de b-fa-[sqb]-mi per primam suppositionem, sequitur, quod in signatione ipsius altera notarum extorquebitur extra naturam suam per maius semitonium prescise, ut ex prima suppositione cum illis, que primam suppositionem precedunt, sufficienter innotescit. Sed cum semitonia talia, puta duo (V.f.61') maiora, de quibus corolarium loquitur, deberent inter tres notas signari sicut inter tres numeros due proportiones et duo gradus inter tres personas, quere de illa tertia nota, utrum stet in sua propria natura vel non. Et qualitercumque dicatur ipsa, proportionabitur alteri precedentium in equalitate, ut hic

[Boen, 59,3] [BOENMUS 03GF]

ubi media et finalis sunt totaliter (P.f.13) equales, cum illa secunda littera b-fa non potest plus notam sequentem extra naturam suam extorquere quam per semitonium maius per primam suppositionem; et propria natura eius, quam antiqui sibi attribuerunt, est, quod faciat tonum ultra a-la-mi-re; frustra igitur ponitur secunda littera b-fa. Sed quid in hoc exemplo:

[Boen, 59,4]? [BOENMUS 03GF]

Dico, quod prime due sunt equales et tertia ipsas superat in semitonio maiore. Sed quid hic:

[Boen, 59,5]? [BOENMUS 03GF]

Dico, quod prima et ultima sunt equales, distantes scilicet minore semitonio a clave c-sol-fa-ut, et vincunt mediam semitonio maiore, quia distat ab eadem clave tono integro. Relinquo ergo sufficienti dictione corolarium demonstratum.

Quinta conclusio: Impossibile est minus semitonium in una clave situari. Nam cum inter quascumque duas notas eiusdem clavis est proportio equalitatis, que equalitas ad inequalitatem torqueri non potest nisi virtute litterarum b-fa vel [60] [sqb]-mi et ille demonstrantur in maioribus semitoniis prescise per primam suppositionem, sequitur ergo propositum.

Sexta conclusio: Impossibile est unum tonum per se inter plures claves quam duas residere. Probatur: (V f.62) nam si semiditonalis distantia restringitur per unam, fient duo minora per primam conclusionem et sic plus; si per duas, deficiet comma a semitonio minore per probationem tertie conclusionis, et sic minus. Sed ditonalis distantia semel restricta causabit tonum cum semitonio minore, quod non est opus declarare; si autem bis restringitur, deficiet a tono unum comma, et sic minus, ut hic

[Boen, 60] [BOENMUS 03GF]

ubi duo semitonia maiora auferuntur a duobus tonis; et cum duo toni continent duo minora et duo maiora, resecatis duobus maioribus remenent duo minora; sed duo minora solo commate deficiunt a tono, ut in secunda parte huius ostensum est. Relinquitur ergo conclusio demonstrata.

Septima conclusio et ultima quoad hanc materiam sit ista: Impossibile est dyapason inter plures paucioresve claves statuere quam octo. Probatur: Quelibet enim octava clavis regulariter ad aliam se habet in proportione dupla, ut patet discurrendo per omnes viginti, et ob hoc una eademque littera communiter designantur ut G-ut et g-sol-re-ut, A-re et a-la-mi-re et sic de singulis.

Sint ergo I et L due note disposite inter octo claves, que faciant dyapason prescise, et sit K nota distans ab I in minori distantia, id est inter pauciores claves, puta in clave septima, tunc per tertiam suppositionem opportebit, quod inter K et L sit tonus vel semitonium minus, et ergo per tantumdem minor est distantia inter K et I quam sit inter I et L.

Si vero inter K et L sit minus (V f.62') semitonium, necessarium erit distantiam inter K et I dilatari, ut veniat ad equalitatem cum distantia, que est inter L et I. Sed si semel dilatetur, id est per unam litteram de b-fa-[sqb]-mi, que per primam suppositionem addit semitonium maius prescise, sequitur, quod distantia inter K et I vincet dyapason consonantiam in uno commate per ultimum exemplum conclusionis secunde; multo fortius, si predicta distantia per utramque dilataretur. Sed pone, quod inter K et L sit tonus. Non poterit distantia inter K et I per [61] unam dilatari, quoniam deficiet semitonium minus a proportione dupla, ut hic

[Boen, 61,1] [BOENMUS 03GF]

ubi media distat ab ultima in semitonio minore, ut vidimus in ultimo exemplo conclusionis quarte; deficit igitur tantumdem a proportione dupla, que est inter primam et ultimam. Si vero per duas dilatetur, excedet ipsam dyapason in solo commate, ut hic

[Boen, 61,2] [BOENMUS 03GF]

nam si littera b-fa non esset apposita, ipsi prime non deficeret nisi minus semitonium, ut constitueret dyapason cum secunda nota, ut modo dicebam; sed b-fa littera nimis large addit, quia semitonium maius, quod excedit ipsum minus semitonium in commate supradicto.

Pone tamen, quod K et I distent a seinvicem in sexta clave, tunc per tertiam suppositionem inter K et L duo erunt toni vel tonus cum semitonio minore. Si duo toni, illi addi non possunt etiam per utramque litteram de b-fa-[sqb]-mi, quoniam deficient duo minora, ut vidimus in exemplo conclusionis sexte.

Si tonus cum semitonio minore, deficient duo commata et amplius, non tamen tria, etiam si per utramque litteram distantia (P f.13', V f.63) inter I et K dilataretur, ut hic

[Boen, 61,3] [BOENMUS 03GF]

est enim semiditonalis distantia maior duobus semitoniis maioribus in duobus commatibus et amplius, non tamen in tribus, ex quo semitonium minus continet plus quam tria commata, non tamen quatuor perfecte, ut ex secunda parte huius opusculi clare patet intuenti; que duo commata, etiam si quatuor essent, non maiori semitonio possunt adequari.

Relinquitur igitur altera pars conclusionis probata, videlicet quod dyapason sub paucioribus clavibus quam octo nullo modo possibile sit disponi. E converso totaliter demonstrabile est ad oculum, quod nec inter plures claves quam octo dyapason poterit ordinari: a cuius probatione propter prolixitatem vitandam ad presens supersedeo, cum probatio huiusmodi satis liqueat ex predictis.

Patet ergo, quod propriissime et non sine ratione vocamus nos Teutonici dyapason octavam. Pari ratione dyapenthe quintam et dyatesseron vocamus quartam a numero clavium, inter quas prescise necessarium est ipsas poni. Sic et tertiam tertiam et sextam non alio nomine vocamus quam sextam, de quibus omnibus nove possunt fieri conclusiones, que de se, visis hiis, que facte sunt, satis liquide [62] relucescunt. Apud tamen chromaticos, qui tonum inter tres cordas et triemitonium inter duas statuunt, item Enarmonicos, qui lymmati tres cordas et ditono duas tribuunt, non est dictis nominibus taliter utendum: vocant ergo triemitonium et ditonum utrumque incompositum propter carentiam tertie corde. Possunt etiam inferri ex hac conclusione corolaria: (V f.63') quod aliquotiens maior est distantia sex clavium quam octo et aliquotiens maior octo quam decem, et multa similia, que studiosis duxi totaliter relinquenda.

Antequam tamen finem presenti materie imponam, ut remorsus me stimulans circa suppositionem secundam apud omnes sciatur, adicere volo pauca.

Habet enim secunda suppositio, quod littere ipsius b-fa-[sqb]-mi undique situari possunt ad placitum cantum conficientis, quo supposito sunt conclusiones supradicte cum earum probationibus omnes clare.

Sed pone, quod non undique hoc liceat, sicut bene capit ymaginatio et persuadet ratio, quod non ante notam, que cum proxima facit semitonium minus, utputa quod non liceat poni [sqb]-mi litteram in clave [sqb]-mi nec in e-la-mi aut in octavis, id est duplis, ad istas, nisi in casu, quo b-fa littera in eisdem clavibus precessisset, quod tunc liceret, ut effectus littere b-fa precedentis per litteram -- mi extingueretur. Ratione suadente, quia c-fa-ut et f-fa-ut cum duplis suis faciunt cum dictis clavibus semitonium minus; quareque non liceat poni b-fa litteram in c-fa-ut vel in f-fa-ut nec in duplis ad istas propter causam iam dictam. Pari ratione nec liceat in a-la-mi-re poni litteram [sqb]-mi, dum b-fa littera in clave b-fa-[sqb]-mi situatur, et sic de similibus.

Concludetur evidenter, quod minor distantia inter notas dari non poterit quam semitonii minoris. Et hec forte conclusio antiquis magis est accepta, qui, dum alte lateque consideraverant gradus strictos et amplos, quibus, et non aliis, natura genus humanum a gravi ascendere precipit in acutum et econtra, experti sunt semitonium minus strictiores comprehendere terminos et idcirco ipsi commati nullas [63] claves decernentes -- quamvis de ipso (V f.64) per accidens, ut dictum est, mentionem faciunt -- in semitonio minori tamquam minimo intervallo -- sicut in vocibus, ita et in clavibus, ut signum signato respondeat -- finaliter quieverunt. Que, inquam, conclusio, si vera sit, destruet nondum suppositionem predictam, verum secundam et tertiam conclusiones cum suis probationibus, ceteris omnibus conclusionibus, quamvis earum probationes, que de commate faciunt mentionem, lese sunt, remanentibus inconcussis.

Sed ne dicta conclusio lateat indiscussa, est subtilius advertendum, quod modernus usus dictas litteras in clavibus extra naturam monocordi manualis admittit solum propter consonantias vel lasciviam ipsius cantus -- non enim tantis olim quantis nunc in prolatione practica alicuius cantilene lasciviis hominis inhyarunt -- ; et ut hec lasciva iocunditas absque omnimoda novi monocordi compositione signari possit in scriptis, sicut habet fieri in sonis, ut signum signato respondeat, (P f.14) rationabiliter eas litteras et earum effectus in diversis clavibus usus admisit. Nusquam tamen regulariter admittit, quod aliquod de tetracordis ipsam in manu circueuntibus plus quam per apothomen extendatur vel reiiciatur, et hoc, ne nimia mollicies per remissionem vel nimia duricies per extensionem oriatur -- remissio autem tetracordi ad tonum cum duobus limatibus apud antiquos nusquam reperta est; sed extensionem eius usque ad tritonum, quam antiqui solum voluerunt in clave b-fa-[sqb]-mi, nos in aliis clavibus propter dictam causam et per consequens remissionem tetracordi, quod in eadem clave, qua fit extensio, extenso coniungitur, ministerio dictarum litterarum duximus (V f.64') admittendam -- . Et sicut ipsum tetracordum, quodcumque, quo dyatesseron residet, nonnisi ea parte, qua mollius est, extendimus ob duriciem vitandam, sic ipsum, ubi durius est, remittimus propter molliciem nimiam fugiendam. Durior pars tetracordi est illa, que ditonum perficit; mollior, que semitonium minus. Ubi ergo indifferens est, id est equedurum propter semitonium medio loco situatum, per predictam rationem indifferenter, ut apparet, extendi poterit et remitti.

[64] Hec igitur ratio debet sufficere, quare in clave G-ut, que tetracordum, quod cum clave c-fa-ut constituit, ad partem duriorem terminat, non admittit usus poni litteram b-fa sed [sqb]-mi, in a-re et d-sol-re nunc unam nunc aliam quamlibet indifferenter, in [sqb]-mi et E-la-mi b-fa et non [sqb]-mi.

Sed quid in illis tetracordis, que clavem b-fa-[sqb]-mi obumbrant? Respondeo pro presenti, quod, quantum tangit hanc materiam, debemus considerare dictam clavem b-fa-[sqb]-mi, ut resonet dyapason ad tertiam clavem ipsius manus et per consequens tritonum ad f-fa-ut grave et dyatesseron cum e-la-mi clave acuta. Et ob hoc in g-sol-re-ut et c-sol-fa-ut ponimus solum [sqb]-mi sicut in g-ut et c-fa-ut. Et quamvis d-la-sol-re ut d-sol-re utramque indifferenter recipit, tamen a-la-mi-re sola b-fa littera est contenta, ne tetracordum inter a-la-mi-re et e-la-mi extendatur per [sqb] durum a parte duriori. Sic ergo non est semper simile in hac materia de clavibus dyatesseron constituentibus vel dyapason, sed solum attenditur mollicies vel duricies tetracordi. Et si queras, quomodo ergo signabitur dupla supra clavem a-re per [sqb]-mi elevatum, respondeo consulendo: scimus, quod huiusmodi cantus sub aliis clavibus, quibus hoc licitum est, ordinetur.

Concludo ergo ipsum comma inter aliquas (V f.65) claves, utputa inter G et a, c et d, d et e -- licet non in illis omnibus, quas supra gratia exempli solum posui -- possibiliter disponendum.

<Quarta pars>

Consonantia est dissimilium inter se vocum in unum redacta concordia. Vel sic: Consonantia est acuti gravisque soni mixtura suaviter uniformiterque auribus accidens. Utramque descriptionem predictam ponit ipse Boetius et Johannes de Muris post ipsum. Ex quibus faciliter elicitur unisonum, in quo nulla vocum dissimilitudo aut gravitas vel acumen existit, non consonantiam posse dici. [65] Plato per Nychomacum reprehensus opinabatur tamen unisonum fore causam consonantie, dum dicebat acutum sonum ab hoc cum gravi consonantiam facere, quia non tam celeri impetu in fine sicut in principio brevior corda aerem percutit, sed iam segnior reversa graviori sono similem emittit. Nychomacus vero similes sonus nullam consonantiam ait facere, sed eam inter sonos dissimiles existere, dumtamen velocitas corde brevioris ceteris paribus se habeat ad velocitatem seu tarditatem corde longioris in proportione convenienti; que autem sit illa proportio, posterius declarabo.

Consonantie ergo apud nos septem sunt genera, scilicet quatuor per se, tria vero per accidens.

Genera per se sunt tertia, quinta, sexta et octava, quolibet nomine ad suum fundamentum, puta gravissimam notam, relato, quam primam iuxta modum loquendi nostrum ut Teutonicus appello.

Genera per accidens (V f.65') inferius subsequentur.

Et quamvis super octavam consonantes voces ut decimam, duodecimam, tertiamdecimam et bisoctavam seu quadruplam et sic ulterius, que equebene predictas sapiunt descriptiones iudicio aurium, reperimus, non tamen de eis de consonantiarum (P f.14') tractans generibus specialiter faciam mentionem, eo quod sic in consonantiis non esset finis, si ad infinitas vox vel instrumenta possent coaptari. Cui infinitati non est opus insistere, cum inter duos quoslibet sonos in dupla constitutos proportione natura tantam commixtionis aptitudinem disposuit, quod in hac arte presenti unus alter naturali quodam instructu esse supponitur, et nichil ultra octavam, id est duplam proportionem, existit, quin ad aliquid infra eius limites relatum cum eo ydemptitatem quodammodo procreet, ut quidquid de [66] decima, quantum presentem tangit materiam, possumus dicere, hoc idem de tertia, ad quam decima est dupla, quod de duodecima, hoc de quinta, quod de tertiadecima, hoc de sexta, et quod de quadrupla, hoc idem de dupla, et sic sine fine natura dicere nos compellit.

Harum autem quatuor consonantiarum genus dulcius et optimum est octava, quam duplam Gallici, dyapason Greci nomine tracto a proportione denominant propter nimiam similitudinem, ymo quasi ydemptitatem inter suos terminos. Sed unde tanta similitudo provenit, natura novit, et ita possumus persuadere: Ex quo enim corda dupla brevior, celerius ceteris paribus percutit aerem; quantum amittit in longitudine, recuperat in velocitate, et (V f.66) sic facta recompensatione inter sonos ipsarum cordarum maxima similitudo et quasi ydemptitas videtur nasci. Item in divisione alicuius continui facienda pronior est oculus ad eius medietates quam ad tertias; sic est auris pronior ad duplam quam ad sesquialteram. Sic ergo natura voluit, quod ipsa octava, qualitercumque multiplicetur, eadem consonantia meneat et omnes octave unum sonum et eundem quasi creare videantur.

Quinta vero post hec perfectius sonat, prout de hoc testimonium fert auditus. Ab istis duabus consonantiis et in ipsis quilibet cantus regulariter solet incipi atque terminari, quia iste due cantum perficiunt, quapropter eas melicas Boetius vocat; et alie due, puta tertia et sexta, que et portimelice possunt appellari, ipsis quodammodo famulantur.

Tertia et sexta imperfectiores quam que predicte sunt consonantias faciunt. Et quia sexta tantum distat ab acuto sono proportionis duple, quantum tertia ab eius sono graviori, equebonas consonantias tertias et sextas ratio satis dictat. Sed quanto minus tertia et sexta in se claudunt dulcedinis, tanto uberius ipsis prospectum est in hoc, quod utraque, tam tertia quam sexta, duplici gaudere possit sonorum ordinatione. potest enim tertia esse dytonalis vel semiditonalis, sic et sexta potest facere tonum vel semitonium minus supra quintam, secundum quod ille [67] proportiones, quibus serviunt, sibi exigunt famulari; nam sicut regularius, dum ad graviorem partem ipsius proportionis duple tendimus, utimur tertia, que minus ab huiusmodi parte distat, puta semiditonali, sic, dum (V f.66') in acutam partem finire volumus, utimur sexta, que in distantia equali ab ea parte acuta residet, puta semiditonali, que tonum integrum facit supra quintam; econtra autem sicut dum ad quintam tendimus, distantiam ipsius tertie a graviore dilatamus utendo tertia ditonali, sic distantiam consimilem, dum ad quintam tendimus, inter octavam et sextam penitus mensuramus, ut de hoc possunt subici exempla sub hac forma

[Boen, 67,1] [BOENMUS 03GF]

Fratrisaverunt ergo tertia et sexta in hiis, que dicta sunt, et in hoc, quod quelibet voluit manere sub genere proportionis superpartientis. De dytonali distantia, quam perfectam esse dicimus, supra in [sqb]-mi demonstravi. Semiditonalis vero vulgariter eo dicitur, quod constat ex tono et semitonio minore. Vocat tamen Boetius etiam magis proprie eam triemitonalem, quia ex tribus semitoniis consistit, duobus scilicet minoribus et uno maiore, quale intervallum seu distantia est inter a et c, id est a-re et c-fa-ut. Et hoc taliter invenitur, si a sesquitertia proportione sesquioctavem resecamus; verbi gratia: proportio 36 ad 27 est sesquitertia. inter quos numeros capiam 32, ad quem numerum se habent 36 (P f.15) in proportione toni, que sesquioctava dicitur; qua proportione reiecta de sesquitertia, que dyatesseron constituit, remanebit proportio, quam queris, puta tertie semiditonalis, inter 32 et 27, que vocatur superpartiens quinque vicesimas septimas.

-- Et non sunt plures tertie quam hee due, que dicte sunt, sicut nec alie sexte quam supradicte, quod experientie relinquo auditus. Ex quo concludo mothetum Cum venerint in principio secundi modi sui sub correctione tanti sui artificis esse defectuosum, ubi tertiam (V f.67) inter duas claves taliter disposuit:

[Boen, 67,2] [BOENMUS 03GF]

Inter quas notas tonus est una cum semitonio maiore et sic minus quam tertia dytonalis, que perfecta dicitur, plus vero quam semiditonalis, que imperfecta dicitur; [68] nam si littera [sqb]-mi primam non precederet, esset inter eas prescise tonus, ad quam distantiam littera [sqb]-mi apposita addit semitonium maius per primam suppositionem partis precedentis. Pro excusatione tamen tanti artificis potest dici, quod debeat admitti, quia asperitas eius dulcibus circumstantiis et suffulta. Sic et secunda admittitur in motheto Florens vigor super verbo Mardocheo et secunda et quarta in tenore motheti Rex quem metrorum. Et septima admittitur, dum ad quintam cantus descensum petierit et ei circumstiterit spatio duorum semitoniorum minorum, ut hic

[Boen, 68] [BOENMUS 04GF]

In hoc exemplo distat utrumque extremum ipsius septime equaliter ab utroque extremo ipsius quinte, ad quam cantus declinat, spatio semitonii minoris. Hinc est, quod credo huiusmodi septimem minorem claudere duriciem, quam si inequaliter extreme distarent, utputa littera [sqb]-mi deleta; vix enim ad consonantiarum collegium sexta, que imperfecta est, supradicte septime meruit anteferri. Qualitercumque tamen septima disponatur, nullomodo eam inter consonantiarum genera computabo; et quod admittibur, facit dulcedo circumdans eam, que amaritudinem eius, ut in aliis dixi, removet et expellit. Septimam ergo veluti secundam et alias proportiones a quatuor supradictis cum Boetio ekmelicas, id est non (V f.67') melicas, merito appellamus.

In sincopationibus insuper videmus sepissime mediam vel partem maiorem ipsius note in discordantiis disponi, dumtamen prima pars note in concordantia situetur. Impetuosior namque sonus est in principio quam in fine, et principium maxime intenditur in talibus; et hinc est, quod in tempore imperfecto secundam [69] semibrevem in dissonantiam ponimus frequentius quam primam, et in tempore perfecto nunc mediam, nunc ultimam, raro tamen utramque, ut maior pars in consonantia disponatur; sic suo modo de perfecto modo et imperfecto, dumtamen mora in dissonantia facta non cum amaritudine sua inficiat auris auditum. Permittit autem auris in modicis se decipere, sed non in immensis, pulsata namque corda tot sonos distinctos reddit, quotiens aer pellitur ex diversis lateribus ipsius corde; inter quorum quoslibet dictat ratio quietam mediam, quam propter eius parvitatem auris nequiens percipere omnes sonos iudicat esse unum, sicut oculus puras partes aeris in ludo, qui turbo vel turbus dicitur, propter velocitatem virge rubre extornate non potens comprehendere occasione spatii brevis temporis totum conum iudicat esse rubrum.

Ex predictis patet plura esse consonantiarum genera quam dissonantiarum; sed quia proportiones consonantiarum in puncto consistunt indivisibili, a quo puncto dum deficimus, in dissonantiam deliramus; hinc est, quod cum maiori difficultate sine magno exercitio consonantias modulamur. --

Sexta, que tonum supra dyapenthe amplectitur, perfecta dicitur; cuius proportio in numeris supra in E-la-mi satis est ostensa. (V f.68) Proportio autem sexte alterius, que imperfecta dicitur, potest inter numeros sic investigari: umeri primi semitonii minoris, ut dixi supra, sunt 243 et 256, quorum minimo diviso in tres partes facient eius due tertie numerum 162. Erit autem proportio maximi ad [70] minimum, puta 256 ad 162, in qua imperfecta sexta quiescit, vocaturque superpartiens nonagintaquatuor centesimas sexagesimas secundas.

Inter tertiam (P f.15') et sextam propter vicissitudinem, quam habent adinvicem, moderni similitudinem adauxerunt, quod sicut tres tertias se invicem sequi licet, ita et tres sextas, hoc ideo statuentes, ut cantus ille, qui per tertias et sextas imperfectus censetur, non tamen discors aures trahat et alliciat, ut perfectionem cantus, qui per quintam sequetur vel octavam, quarum tertie et sexte sunt nuntie et ancille, exspectatam diutius indicent dulciorem, ut hic

[Boen, 70] [BOENMUS 04GF]

non autem hoc statuentes in quintis vel octavis, ne auris cesset ab advertentia, putans, quod habito fine cesset motus.

Inspecta ergo tanta fraternitate inter tertiam et sextam quero, numquid due tertie constituant unam sextam. Dic quod non; nam due tertie imperfecte deficiunt a quinta in semitonio maiore; perfecta vero et imperfecta quintam prescise constituunt; due vero perfecte quintam superant in semitonio maiore, et sic uno commate excedunt sextam imperfectam, a sexta autem perfecta (V f.68') deficiunt semitonio minore, ut hec omnia ex hiis, que dicta sunt, clare possunt demonstrari.

Hiis visis luculenter arguitur nullas duas proportiones equales, quarum quelibet per se consonantiam redolet, consonantiam posse parere, ut sic ex consonantiis equalibus una consonantia oriatur, nisi sint ad duplam multiplices, ut sunt quadrupla, octupla, sedecupla et sic in infinitum. Quoniam si quinta quinte coniungitur, oritur una nova proportio: dupla sesquiquarta ut 9 ad 4; si tertia tertie eiusdem quantitatis superponitur, oritur plus vel minus quam quinta vel sexta, ut iam dictum est, cum nulla tertia per medium quintam vel sextam scindat. Ratio autem, quare multiplices ad duplam semper consonant, est propter apparentem terminorum suorum ydemptitatem; quamcumque enim proportionem secum compatitur gravior simplicis duple terminus, eandem patitur et acutus, ut quodammodo duo soni quasi unus individuus totaliter videantur; quo fit, ut [71] dupla cuilibet principali consonantie ad alterum eius extremorum continue possit copulari, ut sub tertia vel supra eam, supra quintam vel sub ea, et eodem modo coniungitur dupla ipsi sexte.

Compatientissima est ergo ipsa dupla, que nulli consonantie dulcedinem minuit, sed potius sui benignitate se prebet gratissimam nec alicui ut sancta mater ecclesia ad se claudit gremium revertenti. Longe minus compatiens dicitur ipsa quinta, nam seipsam non patitur, quoniam ymo sibimet coniuncta discordiam parturit et nascitur armaritudo ex duorum dulcium iuxtapositione; sic nec tertiam dignatur (V f.69) super se aut ea pedibus calcata superbit, sed eam patitur infra se, quasi eam ventre deglutisset; patitur et sextam sub et supra se, non sui compatientia, sed alterius extremorum duple, ad quod extremum sexta coniuncta quinte tertiam sapere iudicatur, ut si gravior sonus sit in clave c-fa-ut, secundus in g-sol-re-ut, tertius in E-la-mi clave acuta, constat c-sol-fa-ut duplam ad c-fa-ut et sic acutam clavem E-la-mi tertiam super duplam. Et hec eadem causa est, quare seipsam non patitur sub se vel supra se, quia tonus, qui tunc fieret extra limites ipsius duple, sicut tonus, qui fit infra duplam, non pro consonantia computatur.

Est ergo solutio in promptu, quando latitudo seu intervallum duarum vel plurium proportionum sibi invicem coniunctarum duplam excedit proportionem vel duple multiplicem, utrum et quare huiusmodi coniunctio consonet aut dissonare debeat, quia semper habebimus oculum ad proportionem excessus, quo talis coniunctio excedit duplam aut duple multiplicitatem.

Gratia huius quero, numquid due triple consonantiam faciant. Videtur, quod sic. Nam prima facie due triple videntur facere unam sextuplam et una sextupla tres duplas, sed quotiens dupla duple coniungitur, consonantia generatur, ergo et cetera. Dic, quod non. Quoniam nulla (P f.16) noncupla consonat, ut sunt 9 ad 1; constat enim noncupla ex octupla et ex una sesquioctava, quia proportio 9 ad 1 componitur ex intermediis, puta ex illa, que est 9 ad 8, et ex illa, que est 8 ad 1; sed extremitates proportionis octuple (V f.69') in sonis censentur eedem, ut dictum est supra, eo quod octupla est multiplex ad duplam; et sesquioctava proportio, in qua tonus quiescit, non causat consonantiam sub vel supra duplam, cum non sint nisi quatuor consonantie principales, ergo nec supra octuplam. Sed due triple consituunt noncuplam, nam proportio 9 ad 1 componitur ex duabus proportionibus inter hos tres numerus 9. 3. 1., inter quos due sunt triple, et est maximi ad minimum noncupla, ergo et cetera, nec valet argumentum [72] in oppositum nisi contra huius scientie penitus ignaros, quoniam due triple constituunt ultra sextuplam unam integram sesquialteram, ut est inter hos tres numeros 9. 6. 1. leviter manifestum; est enim medii ad minimum sextupla, et maximi ad medium sesquialtera, sed proportio maximi ad minimum continet duas triplas, ergo et cetera. Item inter hos quatuor numeros 8. 4. 2. 1. sunt tres duple, et est maximi ad minimum octupla, que in sesquitertia proportione vincit sextuplam, ut hic 8. 6. 1.; sic ergo non faciunt duas triplas tres duple, sed sesquioctavam minus.

Sed an sextupla consonet? Dic, quod sic, quia facit sesquialteram, id est quintam vel dyapenthe, supra quadruplam, que quadrupla multiplicat ipsam duplam et per consequens censebitur eadem.

Sed quid de quintupla? Dic, quod dissonat, quia sesquiquartam saporit ut 5 ad 4, quam inter manuales claves impossibile est disponi; est enim maior quam dytonus supra quadruplam ut hic 338. 324. 256., minor vero quam (V f.70) dyatesseron ut hic 15. 16. 12.

Unde ad hoc, quod aliqua proportio sonorum sit inter claves signabiles, requiritur, quod uterque numerus primus eius sit armonicus, id est divisibilis continue ad unitatem per numerum ternarium, ut 1. 3. 9. 27. et cetera, et talis est masculinus; vel per binarium, ut 1. 2. 4. 8. et cetera, et talis est feminimus; vel viceversa, ut 6. 12. 18. 24., et talis est promiscuus, quia generatur ex ductu masculini et feminini. Hec descriptio numeri armonici trahitur ex libro Navarrine universe et potest in tabula pulchra depingi, ut hic:

[73] 1.    3.    9.    27.    81.    243.
       2.    6.   18.    54.   162.    486.
       4.   12.   36.   108.   324.    972.
       8.   24.   72.   216.   648.   1944.
      16.   48.  144.   432.  1296.   3888.
      32.   96.  288.   864.  2592.   7776.

et sic in infinitum procedendo. In cuius figure lateribus invenies cuiuslibet proportionis musicalis numeros primos. Unde tertius masculinus et quartus feminimus faciunt tonum, sic et sextus masculinus et octavus femininus faciunt semitonium, item octavus masculinus et duodecimus feminimus faciunt apothomen, et cetera; sic suo modo de promiscuis. Ex quibus patet quod 5, 7, 11 et cetera non sunt numeri armonici, ergo hec proportiones, quas ipsi cum aliis quibuscumque constituunt, sunt signabiles inter claves.

Habito autem oculo ad proportiones quatuor consonantiarum principalium et ad proportionem duplam et que duplam multiplicant, nullo modo in proportionibus, que latitudinem duple proportionis superant, an consonantiam pariant nec ne, quis decipietur. Iusta ergo (V f.70') de causa veteres moti fuerunt claves duple proportionis eadem littera consignare. Huius etiam duple intuitu tanta inter sextam et tertiam nata est amicitia, quod quasi dilectione sororia altera alterius gaudet lavare pedes. Et forte si natura sextam peperisset flexibilem, recompensaret tertie brachiorum mutuos et vicissitudinarios amplexus.

Sed est fortior ratio signanda in coniunctionibus earum, que simul capte ad latitudinem nequaquam perveniunt ipsius dyapason, ut est duarum tertiarum equalium et ipsisus tertie sub vel supra quintam. Cuiusmodi rationem natura [74] nobis occultans sicut infinita alia sibi specialiter reservavit. Et si dicas, quod ratio sufficiens capitur ex habitudine sonorum adinvicem in debita constantium proportione, quero, quare hec proportio concordat et non illa; et sic finaliter fiet recursus ad ipsam naturam, que a priori cuncta noverat. Nos autem ea modica, que scimus, a posteriore divinamus.

Tria sunt genera consonantiarum per accidens: Tonus cum duobus semitoniis minoribus, id est dytonus solo commate imperfectus, tritonus et dyatesseron. Que merito consonantie per accidens vocantur, nam per se sine adiunctione supradictarum consonantiarum aures stupefacerent potius quam mulcerent. Sonant autem supradicte, que principales sunt, absque aut una cum istis; istas vero sine illis impossibile est esse. Possibile est enim corpus (P f.16') luminosum esse sine umbra, hanc tamen impossible est esse sine illo. Has itaque consonantias umbre ut umbrosas, illas vero lucido corpori ut luminosas merito comparamus.

Numquam enim tonus cum duobus semitoniis minoribus, (V f.71) id est dytonus cui comma deficit, consonantiam faceret, nisi super tertiam perfectam poneretur ut hic

[Boen, 74,1] [BOENMUS 04GF]

Inter quarum duas extremas sexta est, que, licet debilis sit, admittitur et, ut dixi supra, pro una de principalibus consonantiis computatur; est et tertia inter mediam et graviorem propter appositionem littere [sqb]-mi ipsam mediam precedentis; inter quam mediam et acutam a dytonali latitudine deficit solum comma, eo quod reiectis litteris [sqb]-mi et b-fa tritonus integer subsisteret, qui occasione dictarum litterarum nunc eclipsim patitur per duo semitonia maiora; perdit ergo tritonus integrum tonum et comma; remanet ergo tonus cum duobus semitoniis minoribus, id est dytonus perfectus solo commate mutilatus.

Tritonus, si per se proferatur, aures sua duricie terribiliter effugabit; quapropter veteres ipsum tritonum odientes tetracordum coniunctum in nostro dyatonico cantu -- ideo sic dicto dyatonico, quia per duos tonos addito minori semitonio progreditur -- per dyatesseron ordina<ve>runt. Eius tamen duricie non obstante admittitur per accidens super tertiam imperfectam, ut hic

[Boen, 74,2] [BOENMUS 04GF]

In predictis duobus exemplis sunt omnes tres soni adinvicem compassibiles, quorum si gravior sonus desit, residuorum sonorum consonitus peribit tanquam diruto fundamento.

Secundam non experior consonare, nec per se, nec cum aliis, quod tamen multis visum est de tono vel minore semitonio addito dyapenthe, ex quo quelibet singulariter per se tam dyapenthe quam sexta consonat; et ea propter ipsam [75] secundam non (V f.71') audeo, quamvis alias oppositum cogitaverim, inter septem consonantias aliqualiter numerare, ut hic

[Boen, 75,1] [BOENMUS 04GF]

Mirabiles ergo sunt effectus nature etiam in sonis, quod magis dulce dulcedinem amaricat ac minus dulce hoc, quod insipidum et amarum est, sapidum reddit et dulcorat, ut hec in dictis speculari potes exemplis. Sexta namque per se dulcis est, quam maior dulcedo, ut est ipsius dyapenthe, velut maius lumen ipsum minus suffocat, si eidem non per appositionem, puta ad ipsius quinte pedes aut humeros. sed per uterinam conceptionem quodammodo misceatur, ut in ultimo exemplo supradicto. Minus tamen dulcis est tertia quam quinta, et in infinitum durior tritonus quam sexta, hanc nichilominus tritoni duriciem ipsa modica tertie mollicies, dum tamen per pedem stringit, ut David Goliam superat, sed reminiscens sororie dilectionis hunc moribundum tritonum oleo dulcedinis sue misericorditer inungit.

Cuius effectus si omnimodam rationem conaris ostendere per hoc, quod acutior pars tritoni cum graviori parte huius tertie residet in proportione congrua, que sexta dicitur, cur non eandem ostendis in sexta, que quintam concipit, ut in exemplo predicto. Cur etiam ratio tua claudicat in duabus sextis inequalibus et in tertiis, que adinvicem colluctantes, imperfectioribus forte prostratis et occu<m>bentibus, stallos in choro et voces in capitulo insimul perdiderunt, ut hic

[Boen, 75,2] [BOENMUS 04GF]

ubi due sexte seinvicem, si simul proferantur, sicut et due inequales tertie mirabiliter perturbant. Et tamen (V f.72) utrarumque termini acuti sua fundamenta respiciunt in debita proportionum habitudine, prout superius est ostensum. Causam ergo ignorantes effectum sensibiliter percipimus, quod dum acutiores termini quarumcumque duarum consonantiarum in (P f.17) debita proportione super unum et idem fundamentum fundati seinvicem solo tono vel minori spatio excedunt, tales due consonantie ut duo vicini proximi, inter quos lis finium regendorum, -- meta est spreta -- compositione quacumque sese litigando depauperant et metu sinistre contrarie tandem seinvicem miserabiliter occidunt.

Dyatesseron, quam quartam dicimus, ex qua secundum Boetium consonat, inter has per accidens, secundarias et proprie accessorias consonantias merito collocatur; per se namque nulla est. Sed ut dyapason inter principales, ita hec inter secundarias dulcissime vociferat, dum pro reciprocis basiis ora dulciter coniungentes dyapason et dyatesseron invicem se salutant, ut hic:

[Boen, 75,3] [BOENMUS 04GF]

Tantum namque vite spiraculum dupla per huiusmodi osculum ipsi dyatesseron inspirare videtur, quod ab ipsa et in ipsam natura cantum incipi precipit et finiri, [76] quale privilegium natura aliis consonantiis omnibus, etiam si mille existerent, dupla tamen et quinta exceptis, concedere dedignatur. Nec mirum, si in hoc casu ipsam dyatesseron fides sua salvam facit, quia fundata est supra firmam petram, dum ad ipsius procidere dyapenthe dignata est devota pedum oscula beatorum. Dyatesseron supra quamvis tertiam consonantiam redolet, ut hic

[Boen, 76] [BOENMUS 04GF]

ubi tertia caritativo sororis intuitu colla iugo subdere ipsius (V f.72') dyatesseron exultat, ac eidem suas mellifluas sicut tritono solet condividere facultates.

Dyatesseron supra seipsam nequaquam duplam procreat, sed ab ea deficit in sesquioctava proportione, ut supra in f-fa-ut demonstravi, et sextam exsuperat: ergo duplata non consonat; sed supra tertiam aut quintam principatum suum retinet; que due ipsi serviunt propter causam supradictam.

De dyatesseron autem, et non de aliis, tamquam meliori consonantia post duplam et quintam veteres tractaverunt duplici fortassis de causa: prima causa dicta est, nam in cantu trium sonorum adinvicem, quo consonantie per accidens discernuntur, longe lascivior magisque iocunda est dyatesseron supra quintam, quam sint alique alie consonantie ubicumque situate post dyapenthe tamen vel duplam. Non etiam dyatesseron alicui sicut tertia famulatur vel sexta; consonantibus namque quinta et dupla, necessario consonabit et dyatesseron; et ideo de hiis, que servilis conditionis sunt non curantes, dumtaxat dominantibus intendetur.

Secunda forte ratio stat in regione vel tempore. Diverse namque regiones diversos cantus exigunt, ut in hoc experimento -- dum scolas Oxonienses in Anglia colui, quam regionem a Comitatu Hollandie, loco mee nativitatis, solum mare discriminat -- audito, quod layci ibidem et clerici, senes, iuvenes et indifferenter omnes tertiis et sextis tantam atribuebant affectionem quodque, duplis et quintis postpositis, ipsas solas invocantes quasi adorare videbam; (V f.73) vehementer attonitus de tam vicine regionis diversa natura continue ammirabar.

[77] Tempus huius dubii nexum potest dissolvere; verisimile enim non est, si tempore Pytagore vel Boetii consonuisse<n>t tertia et sexta, quoniam de eis ut de dyatesseron fecissent utique mentionem; nec estimandum est tantos viros speculativam numerorum sensuali experientie pretulisse.

Item in questione illa g<eneral>i, utrum dyatesseron supra dyapason consonaret, respondent Pytagorici, quod non, eo quod sesquitertia ut 8 (P f.17') ad 6 supra duplam ut 6 ad 3 superpartiens genus constiuunt ut inter 8 et 3, abhorrentes ullam consonantiam fore in illo genere; ergo nec tertia nec sexta consonant secundum ipsos, ex quo quelibet, ut dictum est, sit in genere superpartienti. Et cum idem sonus gravis ipsius dyapason et acutus censentur, sequitur ex Pithagoricorum opinione, quod nec valebit dyatesseron supra graviorem sonum ipsius duple et per consequens nec sub quinta. Vocabant tamen Pythagorici eam consonantiam, quia, ut dictum est, solum per accidens resonabat.

Pthtolomeus tamen eam consonare dicit supra dyapason et excipit dumtaxat primam speciem generis superpartientis, quam dyatesseron cum dupla constituit, et ergo per eum consonat sub dyapenthe per rationem predictam. Sic ergo dyatesseron tempore Ptholomei consonantiam per se fecit.

Tertia vero aut sexta per se nec Pytagore nec Ptolomei temporibus umquam consonuit, saltem in regione ipsorum, nostre autem regioni, qua tertiis et sextis, et nullomodo sesquitertie proportioni per se, insistimus. Quam etiam (V f.73') in extraneis vocum varietatibus iuvenes potius quam antiqui lascivire videntur nunc saturati tertia sextam sitiendo, nunc relicta decima in quintam se precipitando, nunc longarum spreta protractione fracturis minutissimis minutiores applicando, perfectum in imperfectum convertendo, nunc sincopis fastiditi ad singultus [78] properando, quos oketus dicimus, ymmo pluries super dyatonico nauseantes non solum chromatico cantui applaudendo ut hic:

[Boen, 78,1] [BOENMUS 04GF]

sed et novo generi cantus, quod "commaticum" dici potest, inherendo ut hic:

[Boen, 78,2] [BOENMUS 04GF]

ne dum breviter, ut apparet in sonis, verum in aliis infinitis rebus videtur utique tempus diversitatem maximam influxisse. Absit tamen, quod opinio pravitatis heretice, per quam dyatesseron sicut et cuncta preterita in illa magna celi revolutione reditura sint, obtineat veritatem.

Quatuor atque decem cubis / ter C deme septem.

Dena dies operis.