Back to top

[129] Capitulum LIII.

De commatis simplicitate.

Comma consonantia simplex dici potest, non solum ratione suae proportionis, quia in simplici superpartiente fundatur proportione, sed etiam quia non est distinguibilis in alias priores consonantias, ut ceterae, cum sit minima sensui perceptibilis consonantia minimaque proportio. Distinctio autem ipsius in duobus schismatibus non ex hoc provenit ut in partes tales, quasi in priores, distinguatur consonantias, cum partes illae sensui non sint perceptibiles et illarum partium notae non sint numerales proportiones. Nec est comma divisibilis in partes aliquas illas vel alias omnino aequales, cum inter numeros suae proportionis nullus mediet numerus qui proportionem illam in aequas dividat proportiones. Et quia comma ex prioribus non componitur consonantiis, non investigavimus, non probavimus ipsius proportionem ex partibus prioribus | [P2, 81v in marg.] ex quibus componi dicatur, ut fecimus de aliis, sed ex comparatione ipsius ad alias consonantias.

Haec nunc dicta de commate sufficiant. Alias ostendemus quot commata in semitoniis, quot in tono claudantur.

Capitulum LIIII.

Quod consonantiae quandam includunt infinitatem.

Quoniam consonantiae musicales quantitatem respiciunt, inde quandam infinitatem contrahunt, vel per cuiuslibet in se multiplicationem, vel per unius ad aliam, hanc vel illam, multiplicem combinationem. Proportio enim quaelibet numeralis in infinitum potest in se multiplicari, scilicet duplari,, triplari, et cum aliis modis variis comparari. Sunt enim, libro primo, posita documenta augendi quot quis voluerit continuas proportiones. Posset ergo, secundum illam, commatis proportio geminari, triplari, quadruplari, et [130] sic in infinitum augeri. Et nonne illis proportionibus, quantum in natura sua est, distincte in infinitum responderent consonantiae? Et eodem modo est de singulis aliis numeralibus proportionibus et consonantiis, ut extremi termini comparationum invicem conferentur. Possent enim, secundum dicta, duo, tria, quattuor, sic in infinitum augeri semitonia, toni, semiditoni, ditoni, diatessaron, tritoni, diapente, sic de ceteris consonantiis et earum proportionibus. Adhuc commatis proportio | [P1, 61v in marg.] una, duae, tres, vel quot volueris, cum una, duabus, tribus, quattuor, sic in infinitum, semitonii, toni, semiditoni, diatessaron, sic de ceteris, proportione potest combinari. Quapropter consonantiae, quantum in natura sua est, multipliciter in infinitum possunt dilatari. Verumtamen, sicut natura humana infirmitati vocis, quam in sua claudit natura, prout est libro primo dictum, terminum posuit, sic videtur fecisse et in consonantiis. Elegit enim aliquas determinatas, notiores, perfectiores, ad pronuntiandum faciliores, ad cantum utiliores, de quibus tractat musica.

Haec pro tanto dixi, quia, licet inter comma et semitonium minus mediat proportio mixta ex duabus proportionibus commatis, et illa quae est ex tribus, et consonantiae illis respondentes, non tractabo de illis, quia non utimur illis, nec prosunt nisi ad speculationem, et, si sic facerem, in vanum laborarem, opus hoc confunderem, et ad ipsius optatum finem non venirem. Etiam, secundum Philosophum, infinitam secundum quod infinitum est ignotum. Quapropter, secundum Platonem, infinita relinquenda sunt. Nec enim cadunt sub arte.

Post tractatum igitur de commate, immediate de semitoniis prosequar, primo divisim, postea coniunctim. Et primo de minore, inde de maiore disseram semitonio.

Capitulum LV.

Quid sit semitonium minus.

Philolaus semitonium minus quod diesim vocat sic describit, ut est prius tactum: Diesis est spatium quo [131] maior est sesquitertia proportio duobus tonis. Et, secundum hoc, diatessaron in diesi duos vincit tonos.

Per spatium, differentiam, intervallum, consonantiam, vel consonantiae partem intelligit, ut de commate prius dicebatur. Si igitur diesis praecisa proportio duorum perfectorum tonorum iungatur proportionibus, nascetur, inter extremos terminos, sesquitertia proportio in qua fundatur diatessaron, vel si a diatessaron diesis praecise tollatur, duo relinquentur toni. Et haec veritatem habent in numeralibus proportionibus, in chordis et vocibus, ut ex dicendis magis apparebit.

Potest autem semitonium minus alias consimiles habere descriptiones, ut dicatur illud in quo tonus perfectus maius superat semitonium et in quo tonus minor minus semitonium, et diapente tritonum.

Adhuc semitonium minus sic describi potest: "Semitonium minus est plurium sonorum inaequalium immediatam imperfectam distantiam habentium minima per se dicibilis faciliter consonantia, secundum vocem indivisibilis humanam, in superpartiente fundata numerali proportione minore quam sit ea quae est inter XIX et XVIII, maiore vero ea quae est inter XX et XIX".

Describitur hic "semitonium minus" et sic vocatur ad differentiam maioris semitonii de quo consequenter dicemus.

Hoc semitonium "plures inaequales" requirit "voces", ut sunt mi et fa ascendendo et, e contrario, descendendo, inter quas distantia est immediata quia, inter illas, nulla mediat vox per se et divisim a nobis sonabilis, vel quia claves hic semitonium resonantes immediate se consequuntur.

Sed illa "distantia" dicitur "imperfecta" respectu distantiae quam importat tonus.

Item dicitur "minima per se faciliter dicibilis consonantia" ad differentiam commatis, quod, licet sit | [P2, 82r in marg.] minus, non est tamen per se dicibile, saltem faciliter. Et sic intelligit, puto, Guido qui, de minore semitonio loquens, dicit quod est consonantia omnium contractior. Ubi notandum est quod minus semitonium consonantiam vocat sed minimam, quia, inter consonantias faciliter per se sonabiles, voces huius consonantiae minus ad invicem distant. [132] Sequitur "secundum vocem indivisibilis humanam", quia, licet in cantu enharmonio minus dividatur semitonium, illa divisio secundum vocem non est humanam, quicquid sit de aliquibus instrumentis artificialibus in quibus claves semitonium hic scindentes dicuntur enormae. Divisio igitur illa qua dividitur hoc semitonium in duo diaschismata potius speculativa est quam practica, saltem ut partes illae vocem respiciunt humanam (nescio qui partes illas semitoniales proferre posset vocaliter; nec illarum certe in numeris patent proportiones). Unde Guido cantum enharmoniacum ad angelos dicit pertinere, chromaticum ad planetas, diatonicum vero ad nos, quia ille est quo utimur.

Sequitur "in superpartiente fundata proportione". Dictum enim est semitonium hic esse illud in quo maior est sesquitertia proportio duobus tonis et, per consequens, duabus sesquioctavis proportionibus. Illa autem proportio, quae, iuncta duabus continuis sesquioctavis proportionibus, ad sesquitertiam attingit proportionem, superpartiens proportio est, ut in sequentibus patet numeris:

192 216 243 256.

Inter extremos positos numeros, sesquitertia proportio est inter secundum et primum. Sesquioctava proportio similiter inter tertium et secundum. Relinquitur igitur, inter quartum et tertium semitonii minoris esse proportionem.

Modo proportio illa non est multiplex (maior enim terminorum illorum minorem non continet plus quam semel), non superparticularis (quia maior minorem non superat in aliqua parte aliquota numeri illius), nec est inter numeros illos proportio mixta ex multiplici superparticulari, vel ex multiplici et superpartiente. Sequitur igitur, cum termini illi sint inaequales, quod inter illos sit superpartiens simplex proportio. Superat enim maior minorem in tredecim unitatibus quae, simul sumptae, nullam partem aliquotam illius faciunt numeri.

Sicut igitur semitonium hoc in sonis est illud in quo duos tonos diatessaron superat, vel quod de diatessaron remanet, ab eo duobus demptis tonis, sic etiam vera eius proportio in numeris est illa quae, iuncta duabus sesquioctavis proportionibus, | [P1, 62r in marg.] sesquitertiam proportionem inter numeros extremos inducit, vel quae remanet de sesquitertia proportione, demptis ab ea duabus sesquioctavis proportionibus. [133] Sint igitur quattuor voces: ut re mi fa. Inter secundam et primam sit tonus; similiter inter tertiam et secundam; inter extremas vero diatessaron. Consequens est, inter quartam et tertiam, esse semitonium minus et, simili modo, quantum ad istius proportionem, in numeris est prius positis vel aliis qui poni possent.

Eodem modo in chordis est quattuor quarum, si secunda resonet tonum ad primam, similiter tertia ad secundam, et quarta diatessaron ad primam, resonabit tunc semitonium minus quarta ad tertiam, tam in ascendendo quam in descendendo.

Exempla manifestant haec sequentia:

(Vide Appendix: XXVII)

Est autem notandum quod, in praedictis exemplis, ponitur semitonium minus post tonos duos ad partem acutam. Posset autem, e contrario, fieri in proportionibus naturalibus, in chordis et sonis; et, hic et ibi, semitonium minus extremam aliquam tenet partem in diatessaron. Posset autem et mediam tenere partem; et haec prius | [P2, 82v in marg.] tacta sunt in capitulis de Diapente et Diatessaron, et ibi de his exempla posita sunt.

Eadem autem exempla diversis servire possunt consonantiis, unde, inter terminos sequentes:

256 243 216 192,

ad partem gravem ipsius diatessaron minoris semitonii ponitur proportio, et, inter sequentes numeros:

288 256 243 216,

dicti minoris semitonii in medio duarum sesquioctavarum proportionum tangitur habitudo.

Capitulum LVI.

Instantiae contra dicta et responsio ad illa.

Forsitan instabitur contra dicta et dicetur minus semitonium non fundari in proportione superpartiente, sed superparticulari, in ea scilicet quae est inter XVIII et XVII, [134] quae est sesquiseptimadecima, et maius semitonium in sesquisextadecima, quae est inter XVII et XVI. Hae autem sunt superparticulares proportiones.

Cum enim dicta semitonia partes sint toni, inter ipsum mediantes partiales illorum proportiones, ut videtur, sumentur in habitudine numeri alicuius mediantis inter terminos proportionis tonique; est sesquioctava, sicut in ditono videmus quod tonus, qui pars eius est, quia duobus componitur tonis, in proportione consistit alicuius numeri mediantis ad extremos numeros ditonialis proportionis qui sunt 81 et 64. Medians enim inter eos terminus, qui est 72, ad 64 proportionem habet sesquioctavam in qua tonus fundatur; et 81 ad 72 similiter sesquioctavam servat proportionem. Eodem modo est de quadrupla proportione in qua bis diapason fundatur, ut in his patet numeris: 8 4 2.

Verum est autem quod inter primos numeros sesquioctavae proportionis, qui sunt IX et VIII, nullus mediat numerus, quia immediate naturaliter sese consequuntur. Sed, si eodem augeantur numero, non solum inter inde provenientes terminos sesquioctava redibit proportio, sed invenietur, vel invenientur numerus, vel numeri, <medians vel mediantes> inter terminos illos, unus, per binarium si crescant, duo, si per trinarium, tres, si per quaternarium, sic in infinitum.

Augeantur igitur minimi termini sesquioctavae proportionis praedictae numero quo possunt minore (hoc est binario). Sic bis IX sunt XVIII, bis octo XVI. Est igitur inter tactos numeros, qui sunt XVIII et XVI, sesquioctava proportio et mediat inter eos numerus unus, scilicet XVII, dividens proportionem sesquioctavam in duas proportiones quae, simul iunctae, sesquioctavam reddunt proportionem. Et illae sunt <sesqui>septimadecima quae est inter XVIII et XVII, et <sesqui>sextadecima inter XVII et XVI consistens. Videtur igitur quod in illis consistant proportionibus semitonia maius in <sesqui>sextadecima, quae est maior, et minus in <sesqui>septimadecima, quae est minor, et, si ita est, fundabuntur semitonia in proportionibus superparticularibus, quia sesquisextadecima et sesquiseptimadecima proportiones superparticulares sunt, non igitur in proportionibus superpartientibus.

[135] Hanc opinionem aliqui valentes musicae tractatores tenuerunt et in suis dimiserunt tractatibus, imponentes eam Boethio qui tamen eam non tenuit, ut patebit infra. Si dicta opinio vera esset, facilius, brevius et clarius posset quis loqui de multarum consonantiarum proportionibus, ut de ditono, tritono, et de multis aliis. Tunc enim minimi termini ipsius ditoni essent XXXIIII et XXVII, quia tollere semitonii minoris proportionem a sesquitertia, in qua fundatur diatessaron, est incidere in ditonum et eius proportionem, vel addere semitonii maioris proportionem ad semiditoni proportionem est labi in ditoni proportionem et, secundum hoc, ditonus fundaretur in super septem vel superseptimapartiente proportione. cum, secundum veritatem, fundetur in super decem septem partiente <proportione> et sint | [P1, 62v in marg.] eius minimi et primi numeri LXXXI et LXIV.

Tactam opinionem de proportione semitoniorum quandoque et diu tenui, sumens eam ex aliquibus Musicae tractatibus, et ex imperfecto et etiam malo intellectu ipsius Boethii. Sicque pro tunc sentiens, in aliquibus Musicae tractatibus, de semitoniorum proportionibus, secundum tactam opinionem, locutus sum. Sed, Deo gratias, qui ab errore illo me retraxit ut referam, cum tractatum hunc de Musica facere proponerem, a quodam valente Boethii Musica mihi concessa est in qua, hic et ibi, respiciens, inter alia impegi in tertii libri, c. <XIII>, cui talis proponitur titulus: Quod semitonium minus maius sit quam XX ad XIX, minus vero quam XVIIII<S> ad XVIII<S> (supplevi: probandum est). Vult dicere Boethius quod in capitulo illo probare intendit minus semitonium in maiore consistere proportione quam sit ea quae est inter XX et XIX, quae est sesquidecima nona, et in minore quam sit ea quae est inter XVIIIIS et XVIIIS, quae vocatur sesquioctavadecima; et haec sufficienter Boethius ibi probat. Attendens igitur quod ea, quae probat ibi Boethius, stare non possunt cum opinione priore, quae tenet semitonium minus in <sesqui>septimadecima fundari proportione, quia haec maior est | [P2, 83r in marg.] quam <sesqui>octavadecima, percepi tunc primum opinionem tactam falsam esse et, ex tunc, illam penitus respui, licet, ex aliis Boethii dictis in primo et [136] secundo libro, si perfecte advertissem, illam esse falsam potuissem percepisse, scilicet ex minimis terminis proportionis minoris semitonii quos ponit tam in primo quam in secundo libro et ex minimis terminis maioris partis toni quos ponit libro secundo, c. XXX. Consideransque quod errans in principiis errare potest amplius in aliis ad scientiam aliquam spectantibus, et cum illa sint quasi ianuae fundamentumque scientiae, aedificium vel tractatum facere nequit bonum qui errat in illis, qui igitur aliqualiter in consonantiarum proportionibus numeralibus credebam esse sciolus, coepi rursus musicae scientiae, de qua tractare proponebam, quasi novus et diligens esse discipulus, ardenter in Musica studere Boethii quam ceteris, quantum ad consonantiarum numerales proportiones, reperi meliorem. Quantum autem ex tunc in arte illa profecerim, subticeo. Timens autem ne tacta Boethii Musica mihi concessa tolleretur a me, ut de ea memoriale <aliquid> mihi retinerem, ut amplius in ea proficerem, ut confidentius illa uti possem, qui de duobus primis libris, quos Parisius audieram, aliqua extraxeram, plura coepi et de illis et de aliis excerpere, in aliquibus locis textum Boethii quem habebam nudum, sine scriptis, sine glossis abbreviare, in aliquibus locis qui mihi difficiliores videbantur, ut occurrebat, exponere in textu et figuris. Illud autem opus occasione semitonialium proportionum compilatum me non modicum detinuit et hoc opus retardavit; sed expedit nonnunquam, retrocedere, ut longius saliatur. In hoc autem opere praesenti, de multis me iuvo quae habentur in opere illo. Quodsi quis haberet forsitan Boethii Musicam, et praesens opus non minus caperet.

Sed haec hactenus; ad propositum, unde sermo, revertamur.

Dico igitur semitonia in proportionibus fundari superpartientibus, non in <sesqui>sextadecima maius, non in <sesqui>septimadecima minus, quae superparticulares sunt. Et ubicumque dicta semitonia in tactis superparticularibus proportionibus dixi fundari, quia tunc sic sentiebam, nunc revoco, nunc retracto. Quod autem toni partes, quae semitonia dicuntur, in dictis superparticularibus proportionibus vel quibuscumque superparticularibus aliis habitudinibus [137] non fundentur, ex tribus rationibus, quae ex verbis haberi possint Boethii, potest apparere:

Prima, quae maior et principalior est, sumitur ex minimis terminis illarum proportionum. Et illa tacta est in praecedenti capitulo. Minimi termini, secundum veritatem, quos assignat Boethius minoris semitonii, sunt illi qui sequuntur: CCLVI et CCXLIII. Sed, inter tactos terminos, non est <sesqui>septimadecima proportio. Ergo semitonium minus non fundatur in <sesqui>septimadecima proportione. Secunda ratio sumitur ex hoc quod minus semitonium in minore consistit proportione quam sit ea quae est inter XVIIII<S> et XVIII<S>, maiore tamen ea quae est inter XX et XIX. Maius vero semitonium in minore fundatur proportione quam sit ea quae est inter XV et XIIII, maiore tamen ea quae est inter XVI et XV, ut patebit infra.

Tertia ratio sumi potest ex hoc quod prius est tactum, quia, si minus semitonium in <sesqui>septimadecima fundaretur proportione, sequeretur ditonum fundari in superseptimapartiente proportione et minimos terminos eius esse 34 et 27: quae falsa sunt. Est enim maior illorum terminorum ad minorem superseptipartiens vicesimas septimas. Item sequeretur tritonum fundari in superpartiente, vel superquinquepartiente proportione duodecimas, ut ostendunt numeri sequentes qui, secundum hoc, essent eius primi numeri, scilicet XVII et XII. Auferre enim semitonium minus a diapente est cadere in tritonum, et similiter tollere minoris semitonii proportionem a sesqualtera est incidere in tritoni proportionem. Modo est ita quod, inter XVIII et XII, est sesqualtera proportio in qua fundatur diapente, inter XVIII et XVII, <sesqui>septimadecima proportio, in qua parte fundatur minus semitonium. Sequitur ergo quod, inter XVII et XII, sit tritoni proportio. Hoc autem nullo modo stare potest, quia tunc, inter XVII et XII, tres continuae clauderentur sesquioctavae proportiones, sicut tritonus includit in se tres tonos continuos praecise. Et per idem patet inter XXXIIII et XXVII non posse esse ditoni proportionem, quia tunc, inter numeros illos, duae proportiones haberentur sesquioctavae, quia ditonus duos continet in se tonos. Esset igitur, inter [138] XXXIIII et XXVII, numerus aliquis medius ad quem numerus, qui est XXXIIII, haberet sesquioctavam proportionem. Et ille idem medius numerus consimilem proportionem haberet ad XXVII.

Dictum enim est prius quod, quotienscumque proportio aliqua, vel consonantia fundata in illa, divisibilis est in duas partes aequales, reperibilis est tunc, inter terminos illius proportionis, medius aliquis terminus eandem habens proportionem | [P1, 63r in marg.] ad minorem terminum quam habet maior ad ipsum. Quodsi consonantia aliqua in tres partes | [P2, 83v in marg.] aequales sit partibilis, similiter et eius proportio, et oportet tunc duos mediare numeros inter terminos extremos illius proportionis, ut de tritono dictum est. Si vero consonantia in quattuor partes aequales divisibilis sit, sicut tetratonus, tres oportet mediare terminos inter terminos illius proportionis, ut habeantur quattuor toni continui, et quattuor sesquioctavae continuae proportiones, et sic de aliis consonantiis in pluribus partibus aequalibus divisibilibus. Haec autem non essent vera si minus semitonium in <sesqui>septimadecima fundaretur proportione. Multa autem alia inconvenientia ad illam sequuntur opinionem, quae nimis prolixum esset enarrare.

Ex tactis rationibus et aliis quae ad hoc possent adduci propositum, satis potest apparere semitonium minus, de quo nunc est maior intentio, non fundari in proportione <sesqui>septimadecima quae superparticularis est. Posset ulterius declarari quod nec in aliqua alia fundetur superparticulari proportione tum ex hoc quod inter minimos terminos proportionis iam positos minoris semitonii, non solum non est <sesqui>septimadecima proportio, sed nec aliqua alia superparticularis, quia, inter illos, est superpartiens proportio quae non modo specie, sed genere, distinguitur a superparticulari, tum quia, si fundaretur minus semitonium in aliqua proportione superparticulari, maxime videretur hoc de <sesqui>sextadecima, et maius de <sesqui>septimadecima, quia illae duae dividunt sesquioctavam proportionem in duas partes inaequales quae, simul sumptae, praecise attingunt ad sesquioctavam proportionem, sicut duo semitonia inaequalia tonum constituunt.

Non sic aut est de aliis superparticularibus proportionibus sesquioctavam proportionem dividentibus, quia vel dividunt eam in tres proportiones, ut in <sesqui>vicesimam [139] quartam, <sesqui>vicesimam quintum, <sesqui>vicesimam sextam, ut ostendunt sequentes termini:

27 26 25 24.

Inter extremos enim positos numeros, sesquioctava proportio est, et clauduntur ibi tres praedictae superparticulares proportiones; quodsi in illis fundarentur semitonia, illa non essent duo, sed tria, et inaequalia, quod est inauditum. Ad hoc minus hoc videretur de aliis superparticularibus proportionibus sesquioctavam in quattuor, quinque, sex, septem, sic in infinitum partiales superparticulares proportiones dividentibus; in quattuor, ut in terminis sequentibus: 32 33 34 35 36; in quinque, ut ostendunt hi numeri: 40 41 42 43 44 45. Et sic exemplum posset poni de multis aliis.

Habemus igitur quod semitonium minus non fundatur in <sesqui>septimadecima proportione quae superparticularis est, nec in aliqua alia superparticulari. Verum est quod si tonus divisibilis esset in duo semitonia aequalia, oporteret inter terminos, qui sunt XVIII et XVI, cadere terminum aliquem medium aequalem proportionem habentem ad XVI quam haberet terminus, qui est XVIII, ad terminum illum medium, et ex hoc sequeretur quod illae proportiones, quae sunt <sesqui>sextadecima et <sesqui>septimadecima essent aequales, vel quod esset aliqua media proportio inter illas aequaliter dividens illam sesquioctavam proportionem.

Est enim generaliter verum, ut tactum est, quod, si consonantia aliqua divisibilis est in duas aequales partes, sua proportio divisibilis est in aequales proportiones. Ad hoc autem requiritur, vel consequitur, ut reperibilis sit medius numerus proportionem illam in partiales aequales dividens proportiones. Impossibile autem est, inter XVIII et XVI, medium esse terminum proportionem sesquioctavam in duas aequales proportiones dividentem. Ille enim non est XVII, quia proportionem illam in inaequales dividit proportiones. <Sesqui>sextadecima enim et <sesqui>septimadecima proportiones inaequales sunt, quia una maior est alia et specifice distinguitur, nec potest, inter proportiones tactas, cadere proportio aliqua media, quia, inter septemdecim et sedecim, et inter XVIII et septemdecim, nullus mediat numerus, cum immediate et naturaliter se consequantur.

Ex his et aliis quae alias tangentur, patet quare dicat [140] Boethius, libro secundo, capitulo XXIX, quod si esset aliquod integrum semitonium, illud inter <sesqui>sextamdecimam et <sesqui>septimamdecimam oporteret collocari proportionem. Quamvis autem <sesqui>sextadecima et <sesqui>septimadecima proportiones sesquioctavam habitudinem in duas dividat inaequales proportiones, quia prima maior est alia et quae, simul iunctae, sesquioctavam reddunt proportionem, quamvis similiter tonus in duas partes dividatur inaequales, maius scilicet semitonium et minus, quae simul iuncta vel iunctae tonum faciunt, non sequitur ad hoc semitonia illa in tactis fundari proportionibus, maius scilicet in <sesqui>sextadecima, et minus in <sesqui>septimadecima: primo, quia una consonantia in distinctis non fundatur proportionibus; secundo, quia sequeretur, inter terminos secundarios sesquioctavae proportionis, proportiones illas reperibiles esse praecisas (quod falsum est; quod ostendunt hi termini: XXVII et XXIIII, et multi consimiles, inter quos est sesquioctava proportio); tertio, quia, per eandem rationem, inter omnes terminos | [P2, 84r in marg.] semiditonialis proportionis mediaret aliquis terminus sesquioctavam ad alterum terminorum illorum habens proportionem et semitonii minoris praecisam ad reliquum, quia componitur semiditonus ex tono et minore semitonio. Haec autem falsa sunt et multa alia ad illud dictum sequuntur inconvenientia.

Verum est quod dictum illud in ditono et bis diapason, in quibus exemplificabatur, veritatem habet, quia consonantiae illae divisibilis sunt in duas partes aequales; tenet etiam in omnibus aliis consonantiis divisibilibus in partes aequales. In aliis autem non tenet, de quarum numero tonus est, quia secundum veritatem, non est divisibilis in partes aequales, sicut nec eius proportio, ut infra probabitur.

Nec imponendum est Boethio sensisse semitonia in tactis superparticularibus fundari | [P1, 63v in marg.] proportionibus, maius in <sesqui>sextadecima, et minus in <sesqui>septimadecima. Verum est quod ipse investigat primos secundarios terminos sesquioctavae proportionis, qui sunt XVIII et XVI, ut habeat numerum medium dividentem proportionem sesquioctavam in duas proportiones; et ille est XVII ad quem numerus qui est XVIII sesquiseptimamdecimam habet proportionem, et ille ad XVI sesquisextamdecimam. Hoc autem facit ad hanc finem, ut leviter ostendat tonum non posse dividi realiter in duo semitonia aequalia, sed inaequalia, quia eius proportio, [141] scilicet sesquioctava, in proportiones inaequales dividitur, non quia ipse dicere velit semitonia in illis fundari proportionibus, maius scilicet in <sesqui>sextadecima, et minus in <sesqui>septimadecima. Hoc ipse non posuit, sed oppositum probat, quantum ad minus semitonium, in tribus libris primis, quantum ad maius, in libro secundo. Item quod ipse dicit, in libro secundo, omne semitonium, si tamen integrum toni dimidium tenet, inter septimamdecimam et sextamdecimam partem collocari, non asserit ex hoc esse aliquod semitonium integrum, sed, si esset, oporteret illud fundari in proportione media inter dictas, ut aliqualiter apparere potest ex dictis et hanc consequentiam et falsitatem consequentis ipse subtiliter et sufficienter probat contra Aristoxenum, in libro tertio. Loquitur igitur ibi sub "si" et ex suppositione, sicut si dicatur: "Si asinus est homo, asinus est rationalis et risibilis". Potest enim hypothetice aliquid sequi ex conditionali falsa et impossibili, ut fit in rationibus ducentibus ad impossibile.

Est autem notandum, circa dicta, cum omne verum est et reale semitonium, vel sit maius, quod apotome nominatur, vel sit minus, quod diesis dicitur, et ista non fundentur in dictis superparticularibus proportionibus, scilicet <sesqui>sextadecima et <sesqui>septimadecima de quibus magis videntur, ut est declaratum, si in aliqua fundarentur proportione superparticulari, sequitur ex hoc nulla semitonia in tactis fundari proportionibus, et est inauditum quod aliquae aliae in tactis fundentur habitudinibus superparticularibus.

Dixi aut esse verum et reale semitonium, propter semitonium integrum quod imaginabile est, sed est quasi ficticium cum, in re, non reperiatur, sicut nec eius proportio quae, si esset, nec esset <sesqui>sextadecima nec <sesqui>septimadecima. Et cum vera semitonia praedicta non fundentur in praedictis proportionibus, scilicet <sesqui>sextadecima et <sesqui>septimadecima, oportet ut fundentur in aliis et ideo exeunt illas, et maius semitonium ad maiorem vadit proportionem quam sit aliqua illarum, ut videtur, et minus ad minorem, ut declarabitur. Secure igitur teneatur semitonium minus in proportione non fundari <sesqui>septimadecima, quae superparticularis est, nec in aliqua alia superparticulari, sed in superpartiente.

[142] Capitulum LVII.

In qua specifica et determinata superpartiente proportione fundetur minus semitonium.

Dictum et semitonium minus in superpartiente fundari proportione. Videndum restat in qua specifica et determinata tali fundetur habitudine.

Ad hoc autem facit ut qui sint eius primi et minimi cognoscatur numeri. Declaratum prius est proportionem minoris semitonii numeros continere sequentes hos, scilicet 256 et 243, quia continent praecise proportionem qua maior est proportio sesquitertia duabus sesquioctavis proportionibus. Illa enim iuncta duabus habitudinibus sesquioctavis ad sesquitertiam attingit proportionem in numeris, sicut minus semitonium in sonis, iunctum duobus tonis, diatessaron inducit.

Oportet igitur tactos minoris semitonii numeros esse secundarios vel primos proportionis quam continent.

Non sunt secundarii, quia non possunt resolvi et reduci ad priores et minores numeros inter quos eadem praecise sit proportio quae est inter illos; et hoc apparet per ea quae prius dicta sunt de secundariis terminis superpartientium proportionum. Relinquitur igitur quod praedicti termini sint primi et minimi numeri minoris semitonii proportionis, quia eiusdem alicuius proportionis, si aliqui sunt secundarii termini, illi non sunt primi et minimi termini, et quod termini praedicti sint numeri proportionis quam continent superpartientis.

Patet ex prius dictis, quia, etsi alter illorum par est, alter impar, solis tamen unitatibus distinguuntur quae in partes numerales aliquotas | [P2, 84v in marg.] resolvi non possunt, quae numeros illos et differentiam inter illos praecise reddat. Item quod tacti termini sint minimi et primi termini proportionis minoris semitonii dicit Boethius libro secundo, capitulo XXVIII, quos sic investigat: Dictum est minus semitonium esse illud in quo sesquitertia proportio duas vincit sesquioctavas proportiones, quae haberi possint ex octuplo primo. Et continentur inter sequentes numeros qui sunt: 64 72 81, quorum nec minor in tres partes aequales, nec maior inter quattuor partiri possunt, et ideo [143] nec minor numerorum illorum alicui numero potest esse subsesquitertio, nec maior ad aliquem alium sesquitertius et, per consequens, in terminis illis, non potest habere locum minoris semitonii proportio. Abundat enim in minore illorum unitas quae impedit ne divisibilis sit in tres partes aequales, et in maiore similiter crescit unitas ne partibilis sit in quattuor aequales partes, et multo minus, nec in aliquibus aliis terminis minoribus, quia non inveniuntur ibi aliqui tales quattuor termini quorum extremi inter sesquitertiam contineant proportionem et, praeter hoc, inveniantur ibi duae sesquioctavae praecisae proportiones quia, si ita esset, reperiretur ibi semitonii minoris proportio, sive illae duae sesquioctavae proportiones essent continuae, quod non est possibile, | [P1, 64r in marg.] sive discontinuae; et ideo Boethius terminos tactos, inter quos duae clauduntur continuae sesquioctavae proportiones, ternario multiplicat ut habeat terminos inter quos sesquitertia reperiatur proportio, et, cum hoc, duae claudantur ibi sesquioctavae proportiones. Multiplicetur igitur minor terminorum illorum ternario sic: "ter 64", et sunt 192; similiter medius tactorum numerorum crescat trinario sic: "ter 72", et existit numerus qui est 216; item augeatur maior numerorum illorum ternario sic: "ter 81", et provenit idem numerus qui est 243.

Hi termini sic disponantur: 192 216 243.

Inter hos autem terminos, duae sunt continuae sesquioctavae proportiones, sicut inter priores, quia illi eodem termino multiplicati sunt.

Item, cum minor illorum partem habeat tertiam praecisam, quae est 64, si illa sibi iungatur, <exibit> inde numerus sesquitertiam proportionem habens ad ipsum, et ille est 256; qui iungatur cum praedictis sic:

192 216 243 256.

Cum igitur, inter extremos hos terminos, sesquitertia sit proportio, inter secundum et primum sesquioctava, similiter inter tertium et secundum, relinquitur inter quartum et tertium vera semitonii minoris proportio.

Unde ex his probat Boethius illos terminos, qui sunt 243 et 256, esse minimos terminos inter quos consistit forma vel proportio minoris semitonii, quia non reperiuntur minores numeri quattuor inter quos claudantur duae sesquioctavae continuae vel discontinuae cum sesquitertia proportione existente inter terminos illos extremos. Verum est quod tacti numeri non essent minimi si in <sesqui>septimadecima [144] proportione semitonium minus fundaretur. Sed exclusa est opinio illa. Supposito igitur minimos et primos terminos minoris semitonii esse illos qui positi sunt, et supposito quod inter illos sit superpartiens proportio, potest ex praedictis apparere specifica et determinata superpartiens minoris semitonii proportio. Illa enim ostendit differentiam quae inter numeros illos est, sive unitates in quibus maior minorem superat, quae sunt 13, et numerus unitatum minoris numeri quae sunt ducentae quadraginta tres, et, secundum hoc, maior ad minorem super tredecim partiens ducentesimas quadragesimas tertias. Consistit igitur semitonium minus in numeris in proportione super tredecim partiente ducentesimas quadragesimas tertias.

Est autem notandum quendam doctorem tractatum facere subtilem de semitoniorum proportione, specialiter <minoris>, quae est inter tactos terminos 243 et 256, secundum Boethium et Macrobium, et dicit hic auctor quod illa proportio a veteribus et Boethio tacita est, a modernis vero magistris perspicaciter investigata et uniaciter comprehensa hoc modo: Maior numerus minorem totum continet in se et eius insuper nonam decimam et nonae decimae octogesimam primam et octogesimae primae tertiam. Hoc declarat auctor. Sed non videtur superpartiens proportio, quae est inter tactos terminos, vel alia, per quascumque minutias et fractiones abacistans ex integro ad plenum ad superparticulares vel multiplices proportiones quin semper abundet aliquid vel deficiat, posse reduci, cum non modo specie sed genere distinguantur.

Capitulum LVIII.

Quod minus semitonium in maiore consistat proportione quam sit ea quae est inter XX et XIX.

Declarandum est minoris semitonii tactam proportionem, quae est inter terminos sequentes: 243 et 256 [145] maiorem esse ea proportione quae est inter XX et XIX, minorem vero quam sit ea quae est inter XIX et XVIII. Et primo primum ad cuius intellectum numeri disponantur sequentes: 256 243 260 247 13. | [P2, 85r in marg.] Et vocetur numerus primus .a., secundus .b., tertius .c., quartus .d., quintus .e. Est autem inter .a. et .b. proportio minoris semitonii; inter .c. et .d., eadem est proportio cum illa quae est inter XX et XIX, quae est <sesqui>decima nona, quia eodem multiplicantur termino, scilicet per terminum qui est .e. Si enim .e. multiplicem per XX, vel e contrario, surgit numerus qui est .c., et si idem numerus .e. augeatur per XIX, vel e contrario, provenit inde numerus qui est .d.. Terminus autem, qui est .e., denotat differentiam quae est inter terminos minoris semitonii, qui sunt .a. et .b. His praemissis, arguitur sic: Maior est proportio inter .a. et .b. quam sit ea quae est inter .c. et .d. Patet hoc per ea quae dicta sunt de commate. Se habent enim numeri qui sunt .a. et .d. per additionem ad numeros qui sunt <.c.> et .b.; .c. enim numerus superat numerum qui est .a. in quattuor unitatibus, et, in totidem unitatibus, numerus qui est .b. superatur a numero qui est .d., ut patet comparanti numeros illos ad invicem. Sed, inter .a. et .b., minoris semitonii iacet proportio; inter .c. et .d. eadem est proportio cum illa quae est inter XX et XVIIII, ut ostensum est prius. Cum igitur proportio, quae est inter .a. et .b., maior sit proportione existente inter .c. et .d. (.a. autem et .b. minoris semitonii continent proportionem, .c. vero et .d. eam quae est inter XX et XVIIII), consequens est proportionem minoris semitonii, quae inter .a. et .b. terminos continetur, maiorem esse ea proportione quae est inter XX et XIX, quam termini continent qui sunt .c. et .d.. De his infra ponetur exemplum.

Capitulum LVIIII.

Quod minus semitonium in minore fundetur proportione quam sit ea quae est inter XIX et XVIII.

Consequenter est probandum minoris semitonii proportionem minorem esse ea proportione quae est inter | [P1, 64v in marg.] XVIIII et XVIII. Ad hoc autem videndum, numeri disponantur sequentes: 256 243 247 234 13.

[146] Et vocetur primus .a., secundus .b., ut prius, tertius .c., quartus .d., quintus .e.

Duo primi termini minoris semitonii continent proportionem; tertius et quartus decimam octavam observant habitudinem, qualis est inter XVIIII et XVIII terminos; quintus vero terminus differentiam continet quae est inter duos primos terminos, et eadem est inter tertium terminum et quartum. Tunc arguatur sic enthymematice: "Minor est proportio inter .a. et .b. quam inter .c. et .d.; ergo minor est proportio semitonii minoris proportione <sesqui>decima octava". Antecedens patet per hoc quia termini, qui sunt .a. et .b., maiores sunt et per additionem se habent ad terminos qui sunt .c. et .d.; vincit enim numerus qui est .a. numerum qui est .c. in VIIII unitatibus et, in tot unitatibus, numerus qui est .d. vincitur a numero qui est .b. Consequentia autem tenet per hoc quia eadem est proportio inter .c. et .d. cum illa quae est XVIIII et XVIII. Nam, si per numerum qui est .e. multiplicetur numerus qui est XVIIII, vel e converso, surgit inde numerus qui est .c., et, si per eundem numerum qui est .c. numerus augeatur qui est XVIII, vel e converso, provenit inde numerus qui est .d. Cum igitur .a. et .b. minoris semitonii teneant proportionem, .c. autem et .d., eam quae est inter XVIIII et XVIII (quae <sesqui>octavadecima dicitur), et, cum ea proportio, quae est inter .a. et .b., minor sit illa quae est inter .c. et .d., sequitur proportionem minoris semitonii minorem esse proportione <sesqui>decima octava. Ex quo manifeste patet semitonium minus non fundari in proportione <sesqui>decima septima, quia illa maior est quam <sesqui>decima octava ad quam tamen non attingit minoris semitonii proportio.

Probatum est igitur minoris semitonii proportionem maiorem esse proportione ea quae est inter XX et XVIIII, minorem vero quam sit ea quae est inter XVIIII et XVIII. Et haec, simul, propter brevitatem, figuremus, minus semitonium hic diesim appellantes:

(Vide Appendix: XXVIII).

| [P2, 85v in marg.] Est autem hic advertendum, sicut prius de commate dicebatur, quod per hoc quod proportio minoris semitonii maior est proportione <sesqui>decima nona, minor vero [147] <sesqui>decima octava, satis concludi potest ipsam non esse superparticularem, quia nulla superparticularis habitudo mediat inter duas dictas superparticulares habitudines, cum immediate una sequatur aliam, sicut illarum numeri, et, cum proportio minoris semitonii non sit multiplex, non mixta, sequitur ipsum esse superpartientem simplicem, et idcirco non videtur ibi propria comparatio, sed large sumpta, quia superparticularis proportio a superpartiente plus quam specie distinguitur, nec superpartiens proportio per superparticulares specificatur, vel in specie sua reponitur. Sed, quia notiores et perfectiores sunt proportiones superparticulares, quam sint superpartientes, in aliquam notitiam illarum ducere possunt. Quapropter proportiones consonantiarum in habitudinibus superpartientibus fundatarum per proportiones multiplices et per superparticulares inquirimus, et per consonantias in multiplicibus habitudinibus et superparticularibus radicatas, ut patuit de commate, quia, cum sit illud in quo sex toni superant diapason per proportionem duplam, quae multiplex est, et per sesquioctavam sexies auctam, commatis rimamur proportionem, sic etiam investigamus minoris semitonii proportionem, quia per sesquitertiam et per sesquioctavam geminatam, per hoc igitur quod consonantiae imperfectae, in superpartientibus proportionibus fundatae, partes sunt aliquarum consonantiarum in multiplicibus vel superparticularibus proportionibus fundatarum quae perfectiores, notiores sunt et certiores, per subtractionem aliquam vel additionem illarum proportiones inquirimus ut, per magis notum ad minus notum, attingamus; et faciemus sic de talibus consonantiis quae in superpartientibus fundantur proportionibus.

Capitulum LX.

De nomine huius consonantiae et quotiens in monochordo situetur.

Semitonia, secundum Boethium, nuncupata sunt, non quod sint verae et integrae toni medietates, sed quia non sunt integri toni, et, secundum hoc, semitonium dicitur non a "semi", quod est dimidium, et tonus quasi dimidius tonus, sed a "semus, sema, semum", quod est "imperfectus, ta, [148] tum", et tonus, quasi imperfectus tonus; sic semiditonus, de quo dicemus infra, dicitur imperfectus ditonus, et, cum semitonia, quae partes sunt toni, sint inaequalia, quia unum est minus et aliud est maius, illud quod est minus ab Antiquioribus, ut dicit Boethius, <limma> vel diesis vocabatur. Dicitur autem diesis minus | [P1, 65r in marg.] semitonium, quia non attingit ad integram dimidiam toni partem, sed deficit ab illa in schismate, quod est dimidia pars commatis, ut est tactum prius. Unde probabitur infra quod hoc semitonium duplicatum non attingit ad tonum ad quem tamen attingeret, si esset integra toni pars dimidia, sicut tonus geminatus attingit ad ditonum. Per diesim igitur ulterius minus semitonium, de quo sumus locuti, intelligamus quamvis genus enharmonium cantari dicatur per diesim et diesim et ditonum, ubi sumitur diesis et diesis pro minoris semitonii partibus quas Philolaus vocat diaschismata, et minus semitonium diesim. Et sic et nos faciamus ad nominum aequivocationem evitandam.

Habet autem diesis locum inter mi et fa ascendendo, et inter fa et mi descendendo inter claves palmae et monochordi nostri distinctas immediate se sequentes. Et, secundum Guidonem, in palmae vel monochordi clavibus, septies continetur, ut hic patet:

(Vide Appendix: XXVIIII).

| [P2, 86r in marg.] Apparet autem, in exemplis positis, quod, si una vocum ipsius diesis est in regula vel loco impari, reliqua est in spatio vel loco pari, tam ascendendo quam descendendo, et sic immediate sese consequuntur, ut nulla vox media notari possit notis nostris ac litteris, clavibus et signis designari. Et ideo diesis non claudit in se nisi duas voces quibus utamur extremas, scilicet sibi intrinsecas et essentiales, quia, sine illis, nec esse nec cantari potest.

Capitulum LXI.

De simplicitate ipsius diesis.

Diesis consonantia simplex est ratione suae proportionis quae simplex est, ut dictum est. Item, si inspiciatur [149] ad partes quibus integratur ceteris consonantiis vocum inaequalium faciliter secundum vocem humanam pronuntiabilibus, videtur simplicior, quia partibus quibus integratur, ut sunt diaschisma et comma, in cantando non utimur, quia vox humana illas vel nullo modo per se et distincte valet proferre, vel non faciliter. Et ideo, ut est tactum, non habemus notas quibus illas notare possimus, non litteras, non claves, non signa quibus illas in cantibus nostris describamus vocalibus, quicquid sit de artificialibus instrumentis in cantu enharmoniaco. Ideo diesis dicitur minima inter consonantias vocum inaequalium faciliter a nobis per se pronuntiabilium. Et, propterea, Philosophus, decimo Metaphysicae, rationabiliter posuit diesim in melodiis habere rationem metri et mensurae et, per consequens, minimi.

Quamvis autem diesis partes habeat quae tactae sunt, non est divisibilis tamen in partes aequales, sicut nec eius proportio, cum, inter terminos suae proportionis, nec unus, nec plures medient numeri qui proportionem illam in plures aequales partiales dividant habitudines; nec repugnat generaliter proportioni superpartienti posse partiri aequaliter, similiter nec multiplici; sed hoc generaliter omni repugnat proportioni superparticulari, quorum causas inquiremus infra. Sicut autem diesis constare dicitur ex duobus diaschismatibus, similiter componi dicitur ex tribus commatibus et plus. Ad quattuor tamen non provenit, ut probabitur infra. Et, cum diaschismata notis numeralibus careant proportionibus, similiter et illud quod includit diesis ultra tria commata, non inquisivimus diesis proportionem ex partibus illis intrinsecis ex quibus componitur, sed ex aliis cum quibus coniungitur. In hac consonantia, non solum locum habet proportio, sed medietas, si dicatur sic: "Sicut se habet mi de Bmi ad .C. de Cfaut gravi, sic mi de Elami gravi ad .F. de Ffaut gravi". Et, per transmutatam proportionem, potest inferri: "Ergo, sicut se habet mi de Bmi ad mi de Elami, sic fa de Cfaut, sic fa de Ffaut". Diesis voces simul prolatae et per se multum discordant apud auditum, non sic quando cum tono, cum ditono, cum tritono sociantur; et sic haec consonantia, licet in se et per se sumpta sit mala, iuncta tamen cum aliquibus imperfectis et cum aliquibus malis, illas reddit bonas, ut nulla consonantia bona sit et perfecta sine ista. Et, sicut nulla consonantia [150] vocum inaequalium ex puris tonis sine hoc semitonio illis sociato perfecta est, sic nulla consonantia ex puris diesibus conficitur. Aliquas alias proprietates ipsius diesis postea tangemus.

De maiore semitonio prosequamur.

Capitulum LXII.

Quid sit maius semitonium.

| [P1, 65v in marg.] Semitonium maius, secundum Philolaum et Boethium, est diesis cum commate; nam comma, minori iunctum semitonio, maius constituit semitonium,

Alias consimiles habere potest semitonium maius notificationes, ut quod est illa particula in qua tonus diesim vincit, ditonus semiditonum, tritonus diatessaron, tetratonus diapente, et, secundum Guidonem, quae, iuncta minori semitonio, tonum implet; et multas tales quae verae sunt.

Aliter semitonium maius, iuxta modum in praedictis observatum consonantiis, sic potest describi: "Semitonium maius est dissimilium sonorum immediatam, sed imperfectam, distantiam habentium non faciliter pronuntiabilium consonantia, diesim superans in commate, in superpartiente consistens proportione numerali maiore quam sit ea quae est inter XVI et XV, minore vero ea quae est inter XV et XIV". Describitur hic maius semitonium ad distinctionem minoris de quo dictum est. Requirit autem voces plures inaequales, ut sunt fa et mi ascendendo, vel mi et fa descendendo. In quo a diesi distinguitur cuius voces sunt mi et fa ascendendo, et fa et mi descendendo, in illo etiam ab omnibus aliis separatur consonantiis. Et dicuntur soni huius semitonii "imperfectam et immediatam" importare | [P2, 86v in marg.] distantiam ad distinctionem toni qui primam perfectam dicit vocum distantiam et aliarum consonantiarum tonum sequentium quae perfectam et mediatam includunt distantiam. Inter voces autem maioris semitonii, nulla mediat vox a nobis distincte sonabilis, quia nec voces eius extremae per se facilis sunt pronuntiationis. Unde in usu nostro non sunt (ideo dicit Guido quod minore semitonio utimur). Sequitur diesim superans in commate. Nam si commatis proportio diesis proportioni coniungatur, maius semitonium, et ipsius in [151] numeris habebitur proportio. Sequitur in superpartiente consistens proportione.

Dictum enim est hoc semitonium esse illud in quo tonus diesim vincit in sonis, et sesquioctava proportio diesis proportionem in numeris.

Hoc autem est in superpartiente proportione, ut in terminis patet sequentibus: 2187 2048 1944.

Inter extremos hic positos numeros, sesquioctava proportio est; inter medium terminum et minorem diesis habitudo continetur. Relinquitur inter maiorem terminorum illorum et medium maioris semitonii esse proportionem. Illa autem non est multiplex, non superparticularis, non mixta. Restat igitur ut sit superpartiens simplex. Sed haec magis patebunt per sequentia. Nunc autem de his ad aliquem manifestationem ponamus exemplum in chordis, numeris, et sonis:

(Vide Appendix: XXX).

Est autem advertendum hinc quod, sicut in primo exemplo, in numeris et chordis ponitur apotome ad toni partem graviorem et diesis ad acutam in ascendendo et, e contrario, in exemplo secundo, quia in ascendendo diesis ad partem gravem toni se tenet et maius semitonium ad acutam. Sic, in primo exemplo, in vocibus et notis maius semitonium ad partem gravem ipsius toni ponitur et minus semitonium ad acutam, et, in exemplo secundo, ponitur in descendendo diesis ad acutam toni partem, et maius semitonium ad gravem, et, in exemplo tertio, ponitur in ascendendo diesis ad toni partem gravem et maius semitonium ad acutam. Ulterius est ibi notandum quod inter voces extremas ipsius toni contenti ibi ut sunt .b. nona prima et .c. decima vox medians, quae est .[sqb]. nona secunda, tonum illum dividit in duas partes quarum una ad maius pertinet semitonium, altera ad minus, et, quod illae partes sint inaequales, una maior alia, probabitur infra. Et consimiliter est de voce mediante inter .a. octavam et .[sqb]. nonam secundam inter quas est tonus; .b. prima nona dividit tonum illum partes in duas.

Potuissem autem exemplum posuisse, et poterit infra poni, | [P1, 66r in marg.] in quo, in descendendo, semitonium maius ad acutam [152] toni se teneat partem, et minus semitonium ad gravem. Quod autem maioris semitonii superpartiens proportio maior sit <sesquiquinta decima> proportione, minor vero <sesqui>quarta decima probabitur infra.

Capitulum LXIII.

De nomine huius consonantiae et quotiens et ubi in monochordo contineatur.

Tonus, ut est prius dictum, in duas inaequales dividitur partes quae consequenter semitonia, propter causam prius tactam, nuncupantur, minus scilicet et maius; et minus alio nomine diesis appellatur, maius vero, | [P2, 87r in marg.] ut ait Boethius, a Graecis vocatur apotome, a nobis vero, ut idem dicit Boethius, vocari potest decisio, quia, cum vere accedat ad tonum, cadit tamen ab integritate eius.

Naturale est autem, cum aliquid in duas secatur partes inaequales, quanto minor pars integra dimidietate illius totius minor est, tanto reliqua pars integra parte dimidia illius totius maior sit. Tantum igitur apotome integrum, ut dicit Boethius, toni superat dimidium quantum minus semitonium, scilicet diesis, ab integro toni dimidio superatur. Hoc autem est in schismate, et, ratione illius, apotome rationabiliter maius semitonium appellatur. Unde fit ut ipsum duplicatum plus reddat quam tonum.

Quamvis autem Boethius de semitonio maiore dicat quod vocari potest decisio, illo tamen nomine raro vel nunquam utitur, sed consonantiam hanc, de qua prosequimur, partem maiorem toni vel semitonium maius nominat, vel <apotomen>, et sic communiter ab antiquis Graecis et Latinis, a Guidone et Modernis nominatur. Etiam Hugueio, in Derivationibus suis, <apotomen> hoc nominat semitonium et nos ulterius hoc utemur nomine et prius in aliquibus locis usi sumus.

[153] Sed haec dictis quorundam Modernorum adversari videntur qui semitonium integrum quod scilicet minorem toni partem vel minus semitonium superat in schismate, semitonium vocant maius. Hoc autem potest eis concedi respectu minoris semitonii, non quod sic maius simpliciter omnium semitoniorum; hoc tantum ipsi dicere videntur quod, si esset aliquod maius illo, illud esset apotome quod dicimus superare semitonium integrum in schismate. Negant autem hi <apotomen> vocari vel esse semitonium maius, reprobantes Huguconem qui maius semitonium vocat <apotomen>. Quodsi esset maledictum, Graecos et Latinos antiquos, et Modernos, communiter reprobare deberent qui semitonium maius <apotomen> vocant, ut est dictum. Sed illi sentire videntur tonum realiter divisibilem esse in duo semitonia aequalia et integra. Nam probare nituntur semitonium illud quod includit diatessaron ultra duos tonos esse semitonium integrum.

Ad evidentiam autem probationis illorum et aliorum quae infra dicemus, et ut brevius loquamur per litteras monochordi nostri, seu Gammaut, vel palmae, claves et voces intelligamus quae sunt septem latinae, scilicet A.B.C.D.E.F.G., per .A. igitur primam intelligamus Are, per .[sqb]. secundum Bmi, per .C. tertiam Cfaut sic consequenter, secundum hoc, igitur per .F. sextam intelligamus Ffaut in regula, et voces eius per .G. septimam Gsolreut in spatio, per .a. octavam alamire in regula, per .b. primam nonam bfa, per .[sqb]. secundam nonam [sqb]mi. Vocatur autem .b. de bfa[sqb]mi nona, quia in nono loco ponitur post .a. primam, et quia voces suae inaequales sunt, una, scilicet fa, quae cantatur per .b. molle vel rotundum, illa vocatur .b. nona prima, alia, scilicet mi, quae cantatur per .[sqb]. durum, quadratum vel caudatum, vocatur nona secunda. Per .c. autem decimam intelligimus csolfaut et voces eius, et sic de aliis. Hoc praeviso, procedunt sic: inter .b. primam nonam et .F. sextam est diatessaron. Probant hoc per divisionem chordae ab .F. in quattuor partes aequales et per positionem dictae .b. nonae primae in principio secundae partis illius chordae. Tunc probant quod, inter extremas illas voces ipsius diatessaron, duo includantur toni cum semitonio: unus inter [154] .F. sextam et .G. septimam; patet hoc per divisionem chordae ab .F. sexta in partes VIIII aequales et proportionem ipsius .G. septimae in principio secundae nonae partis. Eodem modo probant inter .G. septimam et .a. octavam esse tonum per divisionem scilicet chordae a .G. septima in partes VIIII aequales et per positionem ipsius .a. in principio partis secundae divisionis illius. Et ex hoc relinquitur inter .a. octavam et .b. nonam primam esse semitonium. Quod autem illud sit integrum vel quod tonus in duo dividatur semitonia aequalia, sic probare videntur. Inter .c. decimam et .G. septimam est diatessaron sicut inter .b. primam nonam et .F. sextam. Hoc probant modo eodem sicut prius, scilicet per chordae divisionem a .g. septima in quattuor aequales partes et per positionem ipsius .c. decimae in principio secundae partis illius divisionis; et quod includantur ibi duo toni cum semitonio probant eodem modo sicut prius unus inter .G. septimam et .a. octavam, alius inter .a. octavam et .[sqb]. secundam nonam. Et, per consequens, inter .[sqb]. nonam secundam et .c. decimam est semitonium quod includit diatessaron ultra duos tonos. Illud autem est aequale illi quod includitur inter .a. octavam et .b. nonam primam; aliter diatessaron hic et ibi non aequarentur. Cum igitur illa semitonia sint aequalia, dividitur tonus in partes aequales. Partes autem aequales alicuius totius, si sint duae in quas illud dividatur, partes integrae debent dici. | [P1, 66v in marg.] Item cum .b. prima nona mediet inter .[sqb]. | [P2, 87v in marg.] secundam nonam et .a. octavam, inter quas tonus est, illum tonum dividere videtur in duas aequales partes.

Responsio: Supponimus ex dictis et dicendis tonum in re extra divisibilem non esse in duo semitonia aequalia integra quae, simul iuncta, integre tonum reddant, quicquid sit de speculativa quadam imaginaria ipsius divisione in integras duas partes de quibus loquitur Philolaus quid continerent si essent, quia quodlibet minus semitonium, si essent, et schisma in se <continerent>. Et Boethius suppositione de tali integro semitonio, si esset, in qua proportione fundari deberet declarat, non quod semitonium integrum esse in re ponat vel eius proportionem, sed ad impossibile reducit haec.

Quamvis igitur tonus in se claudat duo semitonia aequalia, scilicet duo semitonia minora, illa tamen non sunt integra, sed cum eis comma requiritur ad hoc ut geminata [155] ad integrum attingant tonum, ut infra probabitur, et illa sunt illa duo semitonia aequalia quae in bis diatessaron ultra quattuor tonos includuntur, vel in diapason ultra quinque tonos. Quod ergo probant quod inter .b. primam nonam et .F. sextam est diatessaron, similiter inter .c. decimam et .G. septimam est diatessaron, et quod tam hic quam ibi duo toni clauduntur cum semitonio, et quod illa semitonia sunt aequalia, concedenda sunt ista. Sed ex hoc non sequitur illa esse integra. Et, per consequens, etiam non sequitur diatessaron ex duobus componi integris semitoniis. Et verum est quod partes duae aequales alicuius totius tunc debent et possunt dici integrae cum, geminatae, praecise totum illud reddunt. Sic autem non est de duobus semitoniis in bis diatessaron inclusis. Tunc enim bis diatessaron ad quinque tonos attingeret, quod falsum esse probabitur infra. Item, licet, .b. prima nona dividat tonum qui est inter .[sqb]. nonam secundam et .a. octavam, non sequitur quod in partes aequales. Et cum isti dicant illud semitonium esse vocandum maius semitonium, quod minus superat in schismate, verum est respectu minoris semitonii non simpliciter, ut dictum est. Cum autem ipsi, ut videtur, semitonium integrum simpliciter vocent maius semitonium, quaeri potest ab eis quid sit in re minus semitonium, scilicet diesis, et quid maius, scilicet apotome, et in quibus reperiantur consonantiis, hi solum integrum videntur ponere in re extra semitonium. Et alia esse imaginaria, non realia in re extra. Nos autem totum oppositum tenemus et secundum illos, consonantiae, quibus utimur et quae in monochordo et in instrumentis musicalibus continentur, suis non responderent proportionibus, et multa alia inconvenientia sequerentur.

Tenendum est igitur diesim esse semitonium verum in re et convenienter vocari minus simpliciter respectu omnium aliorum semitoniorum, et <apotomen> esse semitonium maius simpliciter. Semitonium vero integrum non est reperibile in re extra, sicut nec eius proportio, licet de eius possimus loqui significato. Nam, de re quae non est, in re extra loqui possumus, ut de vacuo et huiusmodi. Quamobrem etiam tenendum est tonum realiter non esse divisibilem in duo semitonia omnino integra.

Reperitur autem semitonium maius, quod vocamus [156] <apotomen>, in compositione gammatis non nisi in duobus locis tantum, si vera et non falsa utamur musica, scilicet inter voces ipsius bfa[sqb]mi; bfa[sqb]mi autem bis in manu reperitur, scilicet in .b. nona et in .b. sextadecima, ascendendo ibi de fa in mi, vel descendendo de mi in fa, ut hic patet:

(Vide Appendix: XXXI).

Noto hanc consonantiam ut possum. Nam, cum non sit in usu, nec modus tactus notandi in usu est, si tamen apotome notari debeat, puto quod tactus modus observandus est et quod in solis tactis clavibus reperibilis est regulariter. Dico autem "regulariter" propter musicam quae dicitur falsa. Non habet locum apotome nisi inter voces ipsius | [P2, 88r in marg.] bfa[sqb]mi, quia voces contentae in aliis clavibus aequales sunt, inter se unisonum habentes, nec potest habere locum inter voces distinctarum clavium immediatarum quarum scilicet una est in regula vel loco impari, et alia sibi proxima est in spatio vel loco pari, quia tales voces semper distant inter se vel in semitonio minore quo utimur, vel in tono; bfa[sqb]mi autem non est clavis una simplex, licet vocibus suis unum respondeat spatium, ut locus par vel impar, quia voces suae inaequales sunt et eis distincta respondent signa et inibi littera .b. repetitur et variatur.

Capitulum LXIIII.

Quae sit specifica superpartiens <ipsius> <apotomes> proportio et qui sint eius minimi numeri.

Inquiramus nunc proportionem specificam et determinatam <apotomes> et eius primos et minimos numeros.

Hi autem sunt illi qui prius positi sunt, scilicet 2187 2048.

Patet hoc primo auctoritate ipsius Boethii qui haec dicit et illos sic inquirit.

Dictum est <apotomen> esse illud in quo tonus superat | [P1, 67r in marg.] diesim in sonis vel sesquioctava proportio semitonii minoris [157] proportionem in numeris vel chordis. Quaerantur igitur tres termini quorum extremi inter se sesquioctavam includant habitudinem et unus extremorum illorum ad medium proportionem praecisam ipsius diesis habeat. Sequetur ex hoc inter alterum extremorum illorum et medium illud proportionem ipsius <apotomes> contineri. Et si non possint reperiri minores termini qui sic sesquioctavam in duas dictas et praecisas distinguant proportiones, apparebunt ibi minimi termini proportionis <apotomes>, non diesis, quia primi termini diesis minores sunt primis terminis ipsius <apotomes>. Hoc autem non esset verum, si maior terminorum primorum ipsius diesis nonam praecisam haberet partem. Tunc enim sibi responderet numerus cui esset sesquioctavus, et ille esset minor minimo numero ipsius diesis qui est 243. Et maior primorum terminorum suorum est ille qui sequitur 256 qui nona praecisa parte caret, et minor illorum octava. Ideo, inter terminos illos ipsius diesis primos, non potest locum habere proportio ipsius <apotomes>, cum minor illorum non possit esse sesquioctavus, nec illorum maior sesquioctavus, et, cum non habeat ibi locum sesquioctava proportio, nec ipsius in praedictas duas proportiones, diesis scilicet et <apotomes>, partitio, multiplicat igitur Boethius terminos praedictos minimos proportionis ipsius diesis per octonarium, quia, si per minorem, ut per binarium, trinarium vel quaternarium illos multiplicaret, intentum suum non haberet, quia per tales multiplicationes non haberet terminos in octo partes divisibiles aequales. Augeatur igitur minor terminorum praedictorum octonario qui est 243, et provenit inde numerus qui sequitur: 1944. Isti numero propria coniungatur octava, quae est 243, et nascitur numerus qui est 2187. Rursus numerus qui est 256 crescat per octonarium; oritur inde numerus qui est 2048. Hic ponatur in medio duorum praedictorum sic: 1944 2048 2187. Horum terminorum extremi invicem comparati sesquioctavam continent proportionem; inter medium vero et minorem terminorum illorum minoris semitonii proportio est. Relinquitur igitur inter maiorem et medium terminorum illorum esse maioris semitonii, sive <apotomes>, proportionem, et, cum minores termini reperiri nequeant, in quibus sit sesquioctava proportio [158] distinguatur, concludit Boethius praedictos terminos qui sunt 2048 2187 esse primos et minimos terminos proportionis ipsius <apotomes>.

Hoc idem secundo patet ex prius dictis in tractatu De Commate. Nam cum inter praedictos terminos sit superpartiens proportio et non conveniant in aliqua parte aliquota alia ab unitate, non possunt esse termini secundarii proportionis inter illos contentae. Sunt ergo primi et minimi termini proportionis quam continent. Illa autem est ipsius <apotomes>. Termini igitur illi primi et minimi sunt proportionis maioris semitonii. Ex quibus ulterius sciri per praedicta potest specifica superpartiens ipsius <apotomes> proportio per numerum unitatum in quibus maior minorem superat quae sunt 139 et per numerum unitatum minoris numeri ex quibus convincitur, quod maior illorum ad minorem est super centum triginta novem partiens duo milia quadragesimas octavas.

Est autem hic advertendum quod, in tribus praedictis terminis, quorum medius proportionem sesquioctavam, quae est inter extremos illos terminos, in duas inaequales dividit proportiones, maiore ad <apotomen> et minore ad diesim pertinentibus, proportio ipsius diesis acutam partem respicit ipsius toni, habitudo vero ipsius <apotomes> gravem ipsius toni respicit partem. Possunt, e converso, termini reperiri in quibus ipsius diesis proportio toni gravem respiciat partem, et <apotomes> acutam, si quartus illis iungatur | [P2, 88v in marg.] numerus sumptus ex additione propriae partis octavae ad medium terminorum illorum qui est 2048. Octava autem pars numeri illius est terminus qui sequitur: 256, quae iuncta priori numero hunc facit numerum: 2304. Qui praedictis tribus iungatur numerus, sic eos disponendo e converso quam prius:

2304 2187 2948 1944.

In his quattuor terminis multae iacent proportiones, ut semiditoni inter extremos illos terminos, diesis inter duos primos, simliliter et inter duos ultimos, <apotomes> vero inter duos intermedios; et sic sunt ibi tria semitonia, duo minora, et maius, quod in medio ponitur, ad gravem partem habens semitonium minus et ad acutam similiter, estque tonus inter primum numerum et tertium, et inter secundum et quartum. Quae amplius in figura patent subposita:

(Vide Appendix: XXXII).

Capitulum LXV.

Quod <apotomes> proportio maior est ea proportione quae est inter XVI et XV.

Inquisita specifica ipsius <apotomes> proportio et eius | [P1, 67v in marg.] minimis numeris qui sunt: 2187 2048, ostendamus proportionem inter positos terminos contentam maiorem esse ea quam continent sedecim ad quindecim comparati, quae est sesquiquinta decima.

Statuantur hi termini:

2187 2048 2224 2085 139.

Vocetur autem primus terminorum positorum .a., secundus .b., tertius .c., quartus .d, quintus .e. Duo primi termini <apotomes> continent proportionem, tertius et quartus eandem cum ea quae est inter XVI et XV. Si enim per numerum qui est .e. multiplicentur XVI, vel e converso, fit inde numerus qui est .c., et, si per eundem numerum qui est .e. augeantur XV, vel XV multiplicent numerum qui est .e., exit inde numerus qui est .d. Terminus autem quintus qui est .e. denotat differentiam quae est inter duos primos terminos qui, ut est dictum, <apotomes> continent proportionem.

His praemissis, ostenditur propositum sic: "Maior est proportio inter .a. et .b. proportione existente inter .c. et .d., quia termini qui sunt .c. et .d. maiores sunt per additionem se habentes ad terminos qui sunt .a. et .b." Superat enim terminus .c. terminum .a. in 37 unitatibus, et, in totidem unitatibus, terminus qui est .b. superatur a numero qui est .d. Sed inter terminos qui sunt .c. et .d. est eadem proportio cum ea quae est inter XVI et XV, cum hi numeri per eundem terminum, scilicet per .e., multiplicati sint. Cum igitur, inter .a. et .b., maior sit proportio quam inter .c. et .d., et .a. et .b. proportionem includant <apotomes>, .c. et .d. proportionem sesquiquintamdecimam, consequens est proportionem ipsius <apotomes> maiorem esse quam sit proportio quae est inter XVI et XV, quae est sesquiquintadecima: quod concludere volebamus, et, de hoc, simul cum eo quod statim probabitur, exemplificabitur in sequenti capitulo.

[160] Capitulum LXVI.

Quod <apotomes> proportio minor est ea quae continetur inter 15 et 14.

Restat probandum <apotomes> proportionem minorem esse ea quae est inter XV et XIIII, quae vocatur sesquiquarta decima.

Disponantur hi numeri:

2187 2048 2085 1946 139.

Vocetur primus .a., secundus .b., tertius .c. ut prius, quartus .d., quintus .e. Primi duo termini, secundum prius dicta, proportionem continent <apotomes>; tertius et quartus, qui sunt .c. et .d., eandem inter se comparati proportionem includunt cum ea quae est inter XV et XIIII secundum regulas prius tactas, quia surgunt ex multiplicatione dictorum | [P2, 89r in marg.] numerorum qui sunt XV et XIIII, per eundem, scilicet per 139, qui est .e. Si enim .e. numerus XV multiplicet vel, e contrario, XV multiplicent .e. numerum, provenit inde numerus qui est .c. Et si .e. numerus numerum qui est XIIII multiplicet, vel e converso, fit numerus qui est .d. Denotat autem .e. differentiam quae est inter duos primos terminos qui sunt .a. et .b. Tunc arguitur sic: "Minor est proportio inter .a. et .b. quam inter .c. et .d. Ergo minor est proportio ipsius <apotomes> quam sit ea quae est inter XV et XIIII". Antecedens patet, quia .a. et .b. sunt termini maiores quam sint .c. et .d. habentes se per additionem ad illos. Superat enim terminus .a. terminum qui est .c. in centum et duabus unitatibus, similiter et numerus qui est .b. numerum qui est .d. Consequentia tenet per hoc quia primi duo termini continent proportionem <apotomes>, tertius vero et quartus, qui sunt .c. et .d. inter se proportionem talem habent qualis est inter XV et XIIII. Sequitur igitur proportionem ipsius <apotomes> minorem esse proportione sesquiquartadecima quae tamen maior est habitudine sesquiquintadecima, ut prius probatum est.

Antequam haec describantur, notanda sunt hic quaedam primo, quod, licet Boethius minimos terminos assignet <apotomes>, eius tamen proportionem ad determinatas superparticulares habitudines non comparat, sicut facit de commate et diesi. Potest tamen apotome per principia quibus [161] utitur Boethius ad proportiones certas comparari superparticulares et hoc expedit ut certius iudicemus de superpartientibus proportionibus quae maiores et quae minores <sint>. Nam si per numerum unitatum inter minimos terminos proportionum superpartientium quae maiores quaeve minores sint vellemus asserere, saepe falleremur. Puta si diceremus proportionem <apotomes> maiorem esse proportione ipsius diesis, quia numerus unitatum inter minimos terminos ipsius <apotomes> maior est numero unitatum qui est inter minimos terminos ipsius diesis, non est ista causa bona, quia, secundum hoc, proportio ipsius commae maior esset proportione ipsius diesis et <apotomes>, cum primi numeri ipsius commae multo maiores sint et differentia inter illos maior quam ipsius diesis et <apotomes>. Sed maioritas et minoritas proportionum superpartientium per proportiones manifestatur superparticulares ut illae sint maiores quae ad maiores superparticulares proportiones reducuntur, minores quae ad minores. Sed nequeunt omnes superpartientes proportiones ad determinatas superparticulares reduci. Hoc enim dumtaxat verum est de his quae antecedunt diapente, ut sunt comma, diesis, apotome, semiditonus, ditonus, tritonus, non sic autem de eis quae diapente sequuntur, ut sunt semitonium cum diapente, tonus cum diapente. Ratio huius est quia consonantiae quae diapente sequuntur maiores sunt quam sit diapente, quia continent diapente et aliquid ultra: unde, inter voces suas, est maior distantia. Ita oportet ut in maiore fundentur proportione quam sit sesqualtera proportio in qua | [P1, 68r in marg.] fundatur diapente. Non est autem aliqua proportio superparticularis maior sesqualtera proportione. Ipsa enim est maxima inter illas. Dictum enim est, libro primo, species superparticulares assimilari quantitati continuae quae per quandam divisionem et diminutionem in infinitum dilabitur, sed species superpartientes et multiplices quantitati conveniunt discretae quae per appositionem et augmentum crescit in infinitum. Et ideo, sicut proportiones superparticulares, quanto priores sunt, tanto maiores, ut sesqualtera maior quam sesquitertia, et haec maior quam sesquiquarta; et sic in infinitum secundum quandam diminutionem, [162] similiter e converso est in multiplicibus et superpartientibus, quia, quanto sunt priores, tanto sint minores. Minor enim est dupla quam tripla, et tripla minor quam quadrupla, et sic per quoddam augmentum in infinitum tendunt. Et in superpartientibus minor est superbipartiens quam supertripartiens, et haec minor quam superquadripartiens; sic in infinitum crescunt. Sed inter superbipartientes, maior est superbipartiens tertias quam superbipartiens quintas et haec quam superbipartiens septimas, sic de ceteris. Et haec magis apparebunt libro tertio. Tangetur tamen infra quod consonantiae mediantes inter diapente et diapason in maiore fundantur proportione quam sit sesqualtera, minore tamen quam sit dupla. Ulterius notandum est aliter posse probari proportionem ipsius <apotomes> maiorem esse proportione <sesqui>quintadecima, minorem vero proportione <sesqui>quartadecima, ut tangitur supra Boethium in opere prius tacto. Sed probationes hic positae sufficiant quae clariores videntur et conformiores modo quem tenet Boethius. Ex dictis manifeste patet apotome non fundari in proportione sesquisextadecima, quia illa minor est quam sesquiquintadecima. Patet etiam ex dictis <apotomen> non fundari in proportione quacumque superparticulari quia, inter <sesqui>quintamdecimam et <sesqui>quartamdecimam, nulla mediat superparticularis proportio. Patet etiam aliqualiter quare reducat Philolaus, ut tactum est supra, <apotomen> ad decimum quartum numerum. Sed iam haec quae promisimus describamus:

[P2, 89v in marg.] (Vide Appendix: XXXIII).

Capitulum LXVII.

De simplicitate <ipsius> <apotomes>.

Apotome simplex est consonantia sicut eius proportio quae non dictur esse composita ex sesquiquintadecima et sesquiquartadecima quibus comparatur. Superpartiens [163] enim proportio ex superparticularibus non componitur formaliter. Item simplicior multis aliis potest dici, quia pauciores et minores claudit in se partes. Quot autem contineat in se commata, quia quattuor, ad quintum non attingens, libro terio probandum reservamus. Habet autem in hac locum non modo porportio, sed proportionalitas et transmutata medietas. Voces ipsius <apotomes>, ut sunt fa et mi in ascendendo et mi fa in descendendo, non solum difficilis sunt pronuntiationes ab eodem, sed etiam, simul a diversis si cantentur, rudes et discordantes multum sunt; puta si unus in .a. octava dicat la mi fa et alius simul in .a. octava dicat la re mi. Illae duae voces quae sunt fa et mi in .b. nona prima et .[sqb]. nona secunda multum inter se dissonant, dissonantiam sumendo pro discordia. Inter voces autem illas est apotome. Sed iam dicta semitonia ad invicem comparemus.

Capitulum LXVIII.

Comparatio diesis ad <apotomen>.

De semitoniis divisim tractavimus. Ad haec ipsa comparemus ad invicem. Expedit enim ut ipsorum proprietates naturales bene perquirantur quia, qui in his errat, et in multis aliis errare potest, cum sint aliarum consonantiarum partes. Primo igitur comparabimus diesim ad <apotomen> penes convenientiam et penes differentiam; secundo, quaedam dicta probavimus; tertio, ex dictis quasdam proprietates dictorum semitoniorum eliciemus et quaedam exempla ponemus.

Quantum ad primum, dico quod haec semitonia, diesis scilicet et apotome, in generali conveniunt nomine quia quolibet vocatur semitonium propter causam prius dictam, quia imperfecti dicuntur toni, non quia sint integrae dimidiae toni partes, sed inaequales, ipsum dividentes, ipsum constituentes | [P1, 68v in marg.] et, licet aliarum consonantiarum sint partes, a tono tamen potius denominantur, quia tonum immediatius respiciunt et, simul iuncta, haec semitonia praecise tonum reddunt.

[164] Secundo in hoc conveniunt quod ambo in superpartientibus fundantur proportionibus, licet in specifice distinctis.

Tertio, quia cuilibet illorum repugnat dividi in partes reales omnino aequales, sicut et ipsorum proportionibus, licet hoc non percipiat sensus.

Quarto, quia locum habent haec semitonia inter fa et mi, vel mi et fa tantum modo si non fiat falsa musica.

Sed multipliciter haec semitonia ad invicem distinguuntur: primo, in specialibus nominibus, non solum quia unum vocatur minus semitonium et aliud maius, sed quia minus diesis appellatur et aliud apotome. Quodsi essent integra et omnino aequalia, ad quid haberent distincta nomina?

Secundo, differunt quia minus semitonium, | [P2, 90r in marg.] ut est dictum, fit de mi in fa immediate ascendendo et de fa in mi descendendo; maius vero semitonium e contrario de fa in mi ascendendo et e contrario descendendo, quod inusitatum est et difficile, ut quis ascendat de fa in mi, cum usus in contrarium sit.

Tertio, quia minus semitonium in pluribus locis in compositione reperitur gammatis quam maius semitonium, exclusa falsa musica.

Quarto, quia minus semitonium usitatum est, ut dicit Guido, non maius, et illud facilis pronuntiationis est, non maius. Ideo convenientius fuit ut diesis in pluribus reperietur locis in monochordo quam apotome.

Quinto, quia diesis cum tono vel tonis adiungitur, cum tono in semiditono, cum tonis in diatessaron et diapente, et sic divisim sine maiore semitonio potest reperiri et, in consonantia aliqua, in principio ante tonum vel tonos, vel in fine poni. Hoc autem maiori non competit semitonio in usitatis consonantiis, quia enim divisim a minore semitonio maius nunquam separatur. Habet locum in solis consonantiis constitutis ex integris tonis et nunquam non solum a diesi, sed nec a tono disiungitur. Cum enim vocetur aliqua consonantia semitonium cum diapente, de semitonio minore est illud intelligendum, non de maiore.

Sexto, quia semitonium minus in monochordo locum habet inter voces distinctarum perfecte clavium, ut inter mi de .E. quinta et fa de .F. sexta, sic de aliis. Semitonium autem maius solum fit inter voces ipsius bfa[sqb]mi quae, etsi non sit [165] simplex clavis, ut aliae, tamen quia voces suae inaequales sunt, unisonum inter se non habentes, tamen quia littera, quae repetitur ibidem, aliter figuratur, habet tamen quandam convenientiam cum aliis clavibus simplicibus pro quanto voces suae ambae vel in eodem sunt spatio vel linea.

Septimo, quia voces ipsius diesis per unum cantantur modum, <apotomes> vero per distinctos. Hinc etiam est quod, licet ipsius diesis voces in distinctis sint clavibus immediate ad invicem se habentibus, una in spatio, reliqua in linea, eis tamen unum signum, non distincta, respondent, sicut <apotomes>. Cum enim voces ipsius <apotomes> in spatio sunt vel linea, ut apparet ipsarum distinctio, plura requisita sunt signa vel littera alio et alio modo figurata; distinguuntur etiam in quibusdam aliis quae tangentur.

Capitulum LXVIIII.

Quorundam dictorum declaratio.

Saepe prius dictum est inter fa et mi de bfa[sqb]mi ascendendo et, e converso, in descendendo maius esse semitonium. Minus vero semitonium inter mi et fa immediate ascendendo et, e contrario, in descendendo.

Adhuc dictum est <apotomen> reperiri solum inter voces ipsius bfa[sqb]mi nisi fiat falsa musica. Minus autem semitonium in multis reperitur locis. Ibi enim apotome reperitur, ubi toni maior pars, hoc est inter fa et mi de bfa[sqb]mi, sive inter .b. nonam primam et .[sqb]. nonam secundam, et inter .b. sextamdecimam primam et .[sqb]. sextamdecimam secundam, et non alibi. Reperitur enim maior toni pars ubi tonus in duas inaequales partes suas dividitur et solum <sic>. Sic enim est in vocibus, sicut in proportionibus.

Ad habendum autem maioris semitonii proportionem, tales numeros oportuit invenire inter quos esset sesquioctava proportio et mediaret numerus inter illos ad alterum extremorum illorum minoris semitonii proportionem habens et ad reliquum maioris quae, simul iunctae, sesquioctavam redderent proportionem. Ad hoc igitur ut maius semitonium in vocibus distincte reperiatur, talem oportet reperire tonum inter cuius voces mediet quaedam vox illum tonum in duas dividens partes inaequales, unam scilicet minorem et aliam [166] maiorem. Talis autem toni divisio et mediae vocis inter voces suas extremas interpositio circa voces ipsius bfa[sqb]mi reperitur tantum modo. Nam inter re de alamire et mi de bfa[sqb]mi, sibi proxima, tonus est, hoc est inter .a. octavam et .[sqb]. secundam nonam. Patet hoc per divisionem chordae a dicta .a. octava in partes VIIII et per positionem ipsius .[sqb]. nonae secundae in principio partis secundae divisionis illius et ex multis aliis, quia alias non esset diapason inter .B. secundam et .[sqb]. nonam secundam, non esset etiam diapente inter .E. quintam et .[sqb]. nonam secundam, non tritonus inter .F. sextam et dictam .[sqb]. nonam secundam, et multa alia sequerentur inconvenientia contra ordinationem et situm consonantiarum in monochordo quoad cantum diatonicum quo utimur. Sed inter dictas toni partes mediat fa de dicta bfa[sqb]mi quae cantatur per .b. molle et dicitur .b. nona prima. Dividit ergo dicta | [P1, 69r in marg.] vox fa dictum tonum in partes duas inaequales, ut ex dictis suppono et dicendis, nam etsi in duas partes inaequales, quae sint integri toni dimidietates, illum quis dicat dividi, multa | [P2, 90v in marg.] valde sequuntur inconvenientia: destruuntur per hoc in monochordo contentae consonantiae, nec eis suae respondent naturales proportiones. Sed hoc nimis longum esset hic declarare.

Unde, teneri pro vero et certo debet dictam fa dictum tonum in duas inaequales scindere partes, unam scilicet minorem alia. Non potest autem vere dici maiorem illarum partium tenere se ad graviorem partem illius toni, quia iam inter <dictam> fa et sol de csolfaut sive .c. decimam non esset tonus, quod patet esse falsum ad sensum et per divisionem chordae a dicta fa in VIIII partes aequales et per positionem ipsius .c. decimae in principio secundae partis illius divisionis. Item si ita esset inter dictam fa et voces ipsius .F. sextae, non esset diatessaron, sed amplius (probabitur enim infra quod diatessaron duos tonos includit in se cum minore semitonio et non attingit ad duos tonos cum integro semitonio et, per consequens, nullo modo attingit ad duos tonos cum maiore semitonio, quod <apotomen> dicimus). Est igitur inter fa de bfa[sqb]mi et mi de alamire minor toni pars, quam semitonium minus vel diesim vocamus. Et ex hoc consequens est ut maior pars toni illius ad acutam partem se teneat, hoc est inter dictam fa de bfa[sqb]mi quae est .b. nona prima et mi de .[sqb]. nona secunda. Maior autem toni pars est semitonium maius quod iunctum minori attingit ad tonum, et illam partem maiorem <apotomen> nominamus. Probatum est igitur inter [167] fa de bfa[sqb]mi et mi de dicta bfa[sqb]mi esse semitonium maius. Quod aut hoc fiat ascendendo de fa in mi per hoc patet quia dicta fa <bassior> vel gravior est quam illa mi, quia inter dictum fa et mi de .a. octava est minus semitonium, inter mi vero .[sqb]. nonae secundae et re ipsius .a. octavae, id est alamire, cuius voces aequales sunt, est tonus, ut probatum est. Eadem autem probatio, quae tacta est, posset fieri per toni divisionem qui est inter .b. nonam primam sive fa de bfa[sqb]mi et sol de .c. decima quae est csolfaut, quia inter voces illas tonus est et mediat inter illas mi de bfa[sqb]mi sive .[sqb]. nona secunda; sed cum ibi minus semitonium ad acutam illius toni partem se teneat, scilicet inter mi de bfa[sqb]mi et fa de .c. decima, tenebit se apotome ibi ad gravem partem illius toni, scilicet inter fa de bfa[sqb]mi et inter mi de dicta bfa[sqb]mi.

In priore autem modo apotome ad acutam illius toni partem se tenebat, et minus semitonium ad gravem. Qualitercumque autem vadat de maiore semitonio et minore in divisione et compositione toni ut aliquando semitonium minus se teneat ibi ad gravem et maius ad acutam, vel e converso, se teneat partem, maius tamen semitonium, ut per se sumitur, nunquam fit nisi de fa in mi ascendendo, vel de mi in fa descendendo, et solum inter voces ipsius bfa[sqb]mi, exclusa semper falsa musica.

In aliis enim clavibus aut est una vox, aut plures.

Si una, cum a vocibus sibi proximis distet tono vel minore semitonio, nullo modo potest ibi habere locum maius semitonium, quia non est ibi toni divisio in suas duas partes inaequales.

Si sint plures, aut inter se comparantur, aut ad proximas sibi voces. Illae autem inter se comparatae, cum sint aequales et unisonantes, nullo modo tonum dividunt in partes inaequales. Si vero ad proximas et mediatas voces clavium sibi iunctarum, quae sibi inaequales sunt, comparentur, cum ad illas tonum vel minus semitonium habeant, nullo modo inter toni duas extremas mediant voces, qua in re non habet ibi locum apotome, quia non apparent ibi duae toni partes, quamvis una possit ibi esse minor, scilicet quae est diesis.

Maior igitur pars toni locum habet, dumtaxat inter voces ipsius bfa[sqb]mi, et forte ad hoc in bfa[sqb]mi addita fuit fa, ut ibi appareret dicta toni divisio et toni maior pars, et ut plures in monochordo reperirentur consonantiae, quia non [168] fuit illa fa de principali et primaria dispositione ipsius monochordi, sed antea dicebatur [sqb]mi ubi nunc dicimus bfa[sqb]mi. Ad hoc autem videtur antiquitus cum tetrachordis regularibus, etiam in diatonico genere, iunctum esse tetrachordum synemmenon, de quo cum aliis infra dicemus, Deo dante. Est autem aliqualiter simile de divisione ipsius semiditoni et toni quia, sicut in semiditono vox medians in duas inaequales partes ipsum scindit, quia in tonum et diesim, sic vox medians in tono, quia ad unam partem maius semitonium, ad aliam minus relinquit.

| [P2, 91r in marg.] Capitulum LXX.

Quaedam semitoniorum proprietates.

Adhuc ex dictis quasdam semitoniorum proprietates inferentes colligamus.

Et sit prima quare in bfa[sqb]mi non dicitur esse mutatio. Hoc enim est propter inaequalitatem vocum suarum, quia mi altius est quam fa. Est autem mutatio vocum aequalium inter se, scilicet unisonum habentium in eadem simplici clave, existentium sub eodem signo, unius in aliam variatio propter ascensum vel descensum ampliorem regulariter faciendum ("regulariter" dico propter falsas mutationes). Haec autem descriptio vocibus non competit ipsius bfa[sqb]mi. Sed dicitur pueris qui suam adiscunt manum vel suum gamma quod non est in bfa[sqb]mi mutatio, quia non possumus dicere fa mi mi fa sine discordia. Intelligendum aut est illud dictum de fa mi in ascendendo, et de mi fa in descendendo | [P1, 69v in marg.] <quae sunt maiora> semitonia, non de mi fa<per naturam> ascendendo vel de fa mi in descendendo, quod pertinet ad diesim, quia voces ipsius diesis faciliter et sine discordia dicere possumus. Unde usitatae sunt, non aliae, non quod sit unius in aliam mutatio hic vel ibi quia inaequales sunt, sed est ascensio vel descensio, sicut nos diceremus re mi mi re. [169] Nec est intelligendum impossibile esse dicere fa mi in ascendendo vel e contrario sine discordia. Sed dicitur hoc indicibile quia est de difficili dicibile. Inter voces igitur ipsius bfa[sqb]mi non est mutatio sed immediata ascensio vel descensio.

Secunda proprietas est quod maior est distantia inter fa de bfa[sqb]mi et mi de dicta clave quam inter fa de bfa[sqb]mi et mi de alamire, quia prima importat semitonium maius, alia semitonium minus. Maius autem semitonium minus superat in commate. Quando igitur dicitur lami fa, ascendendo de mi in fa, et postea dicitur fa mi in ascendendo, si possibile est, illae ascensiones sunt inaequales, similiter, e converso, illae descensiones quibus quis ascendit vel descendit ab una extrema voce ipsius toni ad aliam per mediam vocem.

Tertia proprietas est quare haec clavis potius vocatur bfa[sqb]mi quam [sqb]mibfa, quia istius clavis fa <bassius> et gravius est quam mi, ut est visum. Modo sic esse debet in vocibus, sicut in clavibus. Clavium autem alia aliam pracedit cuius voces graviores sunt. Convenienter igitur in denominatione istius clavis fa praecedit mi ut dicatur bfa[sqb]mi, et non e contrario.

Quarta, quare non dicitur bfami sed bfa[sqb]mi ad denotandam scilicet inaequalitatem illarum vocum. Littera repetitur et aliter figuratur ad denotandum insuper distinctos modos quibus voces illae decantantur.

Quinta proprietas statim tacta est quare, ad notandum <apotomen>, duo requiruntur signa, non autem ad diesim, quamvis voces et diesis et <apotomes> inaequales sint. Hoc aut fit tum quia voces ipsius <apotomes> per distinctos decantantur modos, una per .b. molle, alia per .[sqb]. durum, quadratum, vel caudatum, tum quia sunt in eodem spatio ambae, scilicet in loco impari vel pari. Voces autem ipsius diesis per eundem decantantur modum quia vel per .[sqb]. durum, vel quadratum, inter .B. secundam et .C. tertiam, per naturam inter .e. quintam et .f. sextam, per .b. molle inter .a. octavam et .b. primam nonam et in distinctis sunt clavibus, et una in linea, alia in spatio est.

Sexta, quod quaelibet vox ipsius bfa[sqb]mi mediat inter voces toni fa (inter tonum qui est inter .[sqb]. secundam nonam et .a. octavam) et mi (inter tonum qui est inter .c. decimam et .b. nonam primam); et in prima mediatione, ut est tactum, diesis se tenet ad toni partem gravem et apotome ad acutam; in secunda, e converso.

[170] Septima iuxta praedictam est, quod maius semitonium mediat inter duo minora semitonia, unum sub se, aliud supra se habens. Nam cum inter fa et mi in bfa[sqb]mi maius sit semitonium, mediat inter duo minora, fa illius ad mi de alamire semitonium continet minus, et mi de dicta bfa[sqb]mi ad fa de csolfaut similiter habet minus semitonium.

Octava, quia in gammate duo minora semitonia sibi immediate subsequentia similiter nec duo maiora unquam reperiuntur. Semper enim, cum minore, maius, tonus vel toni sociantur.

Nona, quod, licet regulariter apotome inter voces ipsius bfa[sqb]mi situm sit, per falsam tamen musicam in multis aliis locis potest reperiri, et tonus in duas inaequales partes separari, et hoc in multis instrumentis, specialiter in organis, observatur, ut tonus fundetur et consonantiae plures habeantur. Etiam claves ibi quaedam reperiuntur semitonium minus dividentes, quae enharmoniacae dicuntur.

Decima, quia diesis et apotome, quamvis inter se multum distinguantur, simul tamen iuncta faciliter decantantur. Ideo mirabilis inter haec semitonia societas est; non sic est de minore semitonio cum minore et de maiore cum maiore.

Sed iam sufficiant positae semitoniorum comparationes, | [P2, 91v in marg.] quae ut magis appareant, quaedam ponamus exempla simul cum semitoniis tonum adiungentes, de quo cum illis mentio facta est:

(Vide Appendix: XXXIIII).

| [P1, 70r in marg.] Apparet in positis exemplis quod, ubi mediat vox inter toni voces extremas, si ad inferiorem habet diesim, et ad superiorem habet <apotomen>, et e converso; et quia difficile est et inconsuetum de una illarum vocum mediantium, inter quas scilicet est apotome, ascendere vel immediate descendere, ad alteram toni vocem revertimur, ut tactum faciamus ascensum ad inferiorem clavem illi proximam, puta, cum procedere volumus de .b. nona prima ad .[sqb]. nonam secundam, revertimur ad .a. octavam dicentes mire mi ascendendo de re ipsius alamire in mi ipsius bfa[sqb]mi, inter quas voces est tonus. Similiter cum descendere volumus de mi ipsius bfa[sqb]mi in fa ipsius bfa[sqb]mi, cum hoc sit difficile et inconsuetum, nec sit ibi mutatio ad voces .c. decimae sive csolfaut, [171] convertimus nos dicentes fasol fa descendendo; sic iuvamus nos ibi de mutationibus quae in clavibus sunt proximioribus, et propterea in cantu usitato duae voces ipsius <apotomes> quae sunt voces ipsius bfa[sqb]mi immediate se consequuntur nunquam.

Capitulum LXXI.

De tono minore, <quid sit, quae eius specifica proportio et qui primi eius numeri>.

Dictum est de tono perfecto et partibus eius integralibus. Dicamus breviter aliquid, horum gratia, de tono minore et de maiore, non quia in usu sint, sed ut habeatur aliqua ipsorum theorica notitia. Dicemus autem divisim de istis, et ipsos ad invicem et ad perfectum tonum comparando.

Tonus minor, ut prius tactum est, ex duobus minoribus constat semitoniis. Ipse est in quo diapason superat quinque tonos, et semitonium cum diapente tres tonos. Superatur autem a tono perfecto in commate et consistit in superpartiente proportione in qua se habent sequentes numeri: 524288 472392. Et quod inter hos terminos a Boethio positos contineatur huius toni proportio, patet primo quia inter illos mediat numerus ad quem maior habet | [P2, 92r in marg.] diesis proportionem, et ille idem medius terminus consimilem habet proportionem ad terminum minorem, et terminus ille medius est ille qui sequitur 497664; secundo quia, si differentia commatis, quae est 7153, iungatur maiori tactorum terminorum, surget numerus sesquioctavam proportionem habens ad minorem positum terminum. Dictum est autem hunc tonum a perfecto tono superari in commate, quod ex ipsorum probatur proportionibus. Sed, secundum artem in Tractatu de commate positam, non sunt tacti numeri primi et minimi huius toni proportionis, cum ambo pares sint, sed illi qui sequuntur: 65536 59049. Mediat enim, inter hos terminos, numerus qui sequitur: 62208, qui eandem habet proportionem ad minorem positum terminum quam habet maior ad ipsum; et illae sunt primae duae continuae ipsius diesis proportiones sumptae ex multiplicatione primorum [172] terminorum minoris semitonii qui sunt: 243 256. Horum enim minor, si se ipsum multiplicet, facit numerum qui est 59049, et si idem minor maiorem multiplicet, vel e converso, provenit numerus qui est 62208. Si vero maior se ipsum crescat, nascitur sequens numerus: 65536. Tactos autem minimos terminos proportionem huius toni Boethius ponit libro secundo Musicae suae ad probandum inter 243 et 256 non esse integram toni dimidietatem, quia proportio quam continent, geminata, ad sesquioctavam non pervenit proportionem, et tum, omnis pars, si sit vere integra, suum reddit totum geminata. Cum autem differentia inter praedictos minimos terminos huius toni sit illa quae sequitur: 6487, erit maior illorum ad minorem super 6487 partiens 59049.

Dico ulterius quod tacta huius toni proportio maior est ea quae est inter XI et X quae dicitur <sesqui>decima, et hoc probari potest consimili modo sicut de praedictis, scilicet commate et semitoniis, probatum est.

Disponantur termini sequentes:

65536 59049 71357 64870 6487.

Inter duos priores positos terminos quorum primus potest vocari .a., secundus .b., est proportio huius toni; alii autem duo sequentes termini, quorum prior .c., posterior .d. possunt appellari, proportionem continent eandem cum ea quae est inter XI et X; quintus autem terminus importat differentiam quae est inter primos duos terminos qui sunt .a. et .b., et vocari potest .e. Ille autem terminus .e. per XI multiplicatus, vel e converso, numerum producit qui est .c., et idem terminus .e., per decem auctus, vel e converso, crescit in numerum qui est .d. Ex his patet intentum sic: Maior est proportio inter .a. et .b. quam inter .c. et .d., quia termini qui sunt .c. et .d. maiores sunt et per additionem se habent ad terminos qui sunt .a. et .b.; superat enim terminus qui est .c. terminum qui est .a. in numero qui est 5821 et in eodem numero superatur terminus qui est .b. a termino qui est .d. Maior est igitur proportio inter .a. et .b. quam inter .c. et .d., sed .a. et .b. proportionem continent toni minoris vel minimi, .c. et .d. continent inter se proportionem sesquidecimam. Maior est igitur proportio huius toni quam sit sesquidecima proportio quae est inter XI et X. Ulterius dico tactam huius toni proportionem minorem esse ea quae est inter X et VIIII quae dicitur sesquinona.

[173] Ad hoc videndum, termini | [P1, 70v in marg.] statuantur sequentes:

65536 59049 64870 58383 6487.

Vocetur primus .a., secundus .b., tertius .c., quartus .d., quintus .e.

Duo primi, scilicet .a. et .b., continent proportionem huius toni. Duo autem sequentes termini qui sunt .c. et .d. eandem inter se servant proportionem cum ea quae est inter X et VIIII. Quintus autem terminus includit in se differentiam duorum primorum terminorum et illa, per decem aucta, numerum constituit qui est .c., qui prius vocabatur .d. Si vero tacta differentia crescat per novem, vel e converso, provenit inde numerus qui est .d. Ex his sic arguitur: Minor est proportio inter .a. et .b. quam inter .c. et .d., quia maiores sunt termini .a. et .b. quam .c. et .d.; .a. enim terminus .c. terminum superat in numero qui est 666 et in eodem numero .b. terminus terminum vincit qui est .c.; sed inter .a. et .b. iacet proportio huius toni, inter .c. et .d. proportio sesquinona. Minor est igitur huius toni proportio sesquinona proportione et, per consequens, sesquioctava, in qua fundatur tonus perfectus; et hoc est rationabile, quia, cum in sonis hic tonus ad tonum non attingat perfectum, nec eius proportio ad toni provenit proportionem, nam in sonis deficit ab illo in commate, similiter eius proportio ab illius proportione in commatis habitudine. Sic igitur tonus hic maiore fundatur proportione quam sit ea quae est inter XI et X, minore tamen ea quae est inter X et <VIIII> et, per consequens, minore quam sit ea quae est inter | [P2, 92v in marg.] VIIII et VIII in qua tonus fundatur perfectus. Quae sic describantur:

(Vide Appendix: XXXV).

Capitulum LXXII.

De tono maiore et comparationes eius ad ceteros.

Tonus maior vel maximus, vel abundans, ex duobus maioribus semitoniis resultat, sicut minor vel minimus [174] tonus ex duobus minoribus, et perfectus vel medius ex duobus inaequalibus, et hic maior tonus consistit in proportione superpartiente maiore quam sit ea quae est inter VIIII et VIII, minore vero ea quae est inter VIII et VII.

Disponantur numeri sequentes:

4782969 4478976 4194304.

Inter hos clauduntur duo maioris semitonii continuae proportiones. Maior ad medium continet ipsius <apotomes> proportionem, et medius ad minorem, et, per consequens, inter extremos positos terminos, est maioris toni proportio. Resultat enim ex duabus continuis ipsius <apotomes> proportionibus, sicut tonus hic ex duobus constat semitoniis maioribus. Cum autem duae tactae maioris semitonii proportiones continuae per multiplicationem primorum terminorum proportionis ipsius <apotomes> repertae sint secundum artem prius tactam de continuandis duabus aequalibus proportionibus, erunt positi termini extremi primi et minimi numeri proportionis huius toni, et, cum maior terminorum illorum minorem non contineat plus quam semel, non superet etiam eum in parte aliquota, sed in pluribus quae, simul sumptae, nullam partem aliquotam terminorum illorum faciant, erit inter eos superpartiens proportio. Item cum differentia inter tactos minimos terminos huius toni sit illa quae sequitur: 588665, est maior ad minorem super 588665 partiens 4194304. Ad probandum autem tactam proportionem maiorem esse quam sit proportio sesquioctava, quae est inter VIIII et VIII, oportet tactam differentiam, quae est 588665 et vocetur .e., multiplicare per VIIII, ex qua multiplicatione provenit sequens numerus: 5297985 qui vocetur .c. Item positam differentiam quae est .e. expedit multiplicare per octo et nascitur ex hoc numerus qui est <4709320>, qui vocetur .d. Inter quos numeros, qui sunt .c. et .d., est eadem proportio cum ea quae est inter VIIII et VIII, quia termino eodem multiplici sunt, et cum hi termini, qui sunt .c. et .d., minores sint terminis prius positis inter quos est maiores toni proportio (et vocetur maior illorum .a., minor .b.), sequitur proportionem maioris toni superare vel maiorem esse ea proportione quae est inter VIIII et VIII, quae vocatur sesquioctava.

Eadem | [P1, 71r in marg.] tamen proportio minor est quam sit ea quae [175] est inter VIII et VII, quae dicitur sesquiseptima, quod manifestant sequentes termini:

4782969 4194304 <4709320> 4120655 588665.

Et vocetur primus .a., secundus .b., tertius .c., quartus .d., quintus .e.

Primi duo termini, sicut dictum est, continent maioris toni proportionem; sequentes duo numeri, qui sunt .c. et .d., eandem inter se proportionem habent cum ea quae est inter octo et septem, quia numero eodem qui est .e. aucti sunt et ille numerus qui est .e. importat differentiam primorum duorum terminorum. Cum igitur duo primi termini qui sunt .a. et .b. continentes huius toni proportionem | [P2, 93r in marg.] maiores sint quam duo secundarii qui sunt .c. et .d., inter quos praecisa sesquiseptima continetur proportio, sequitur proportionem huius toni minorem esse proportione sesquiseptima. Probatum est autem illam esse maiorem quam sit sesquioctava. Et sic est quasi media inter sesquioctavam et sesquiseptimam. Ex quo satis patet illam proportionem non esse superparticularem cum, inter dictas proportiones, nulla superparticularis cadat habitudo.

Haec autem describantur sic:

(Vide Appendix: XXXVI).

Maior igitur tonus perfectum vel medium tonum superat in proportione quam vincit in sono.

Tacti duo toni, minor scilicet vel minimus, maior vel maximus, etsi in natura possibiles sint et eis cunctae prius tactae respondeant proportiones quae intellectui notae sunt, in usu tamen non sunt quia sensus et humana vox vel ea proferre non valet, vel non faciliter; ideo notis nostris notari nequeunt et in monochordo non habent locum. Et cum quilibet horum tonorum ex aequalibus surgat partibus, in partes aequales partibilis est in sonis, sicut ipsorum proportio in numeris, ut probat numerus medians inter terminos extremos proportionis illorum.

Item, sicut maior tonus medium vel perfectum tonum vincit in commate, sic perfectus tonus minorem in commate vincit et, per consequens, maior minorem superat in duobus [176] commatibus. Hi duo toni imperfecti dici possunt propter tactas causas respectu toni medii quo utimur, quia divisibiles in partes aequales, quia ipsorum imperfectiores sunt proportiones, quia voces eorum, si simul proferentur, multum essent dissonantes. Assignavit autem Boethius terminos proportionis minoris toni, non maioris, forsitan quia magis expedit scire illos ad probandum quaedam de consonantiis aliis, ut infra tangetur.

Item sunt aliquae consonantiae usitatae quae ultra tonos perfectos tonum includunt imperfectum, unum vel plures, unum ut semitonium cum diapente, et diapason, plures ut bis diapason. Sed non sunt aliquae consonantiae usitatae quae ultra tonos perfectos tonum vel tonos includant maiorem vel maiores.

Item, sicut nulla utimur consonantia quae ex puris confecta sit semitoniis minoribus vel maioribus, sic nulla utimur consonantia quae ex puris illis resultet tonis. Sunt tamen in re possibiles, sicut et illarum naturales proportiones.

Item, cum in tactis tonis locum habeat proportio, habere potest in eis locum tam medietas quam permutata medietas. Sed de his brevius transeo; non ita exquisite ut de prioribus loquor.

Est autem hic advertendum quod si praeter duo semitonia, (diesim scilicet et <apotomen>), integrum in re semitonium esset reperibile, quod esset integra toni quo utimur medietas, essent tunc in re possibiles quinque vel sex toni.

Tonus enim, ut est dictum, ex duobus | [P2, 93v in marg.] surgit semitoniis sibi iunctis:

Aut igitur duo minora semitonia invicem coniunguntur, et fit tonus minor de quo dictum est.

Et si essent quinque vel sex, ipse esset minimus inter omnes:

Aut minus semitonium cum integro (si ponatur) iungitur semitonio, et vocetur minor tonus priorem superans in dimidio commatis.

Aut minus semitonium copulatur cum maiore, et fit tonus quo utimur qui in sesquioctava fundatur proportione.

Item semitonium integrum iungi potest sibi ipsi et tonum inde resultantem vocare possemus tonum integrum, aequalem vel medium, quia ex integris resultat [177] semitoniis et aequalibus et mediat aequaliter inter extremos tonos | [P1, 71v in marg.] de quibus tangemus.

Adhuc semitonium integrum componi potest cum semitonio maiore, et hunc vocaremus tonum maiorem. Item duo maiora semitonia simul iungi possunt et tonum inde venientem maximum diceremus.

Sic igitur essent sex toni: minimus, minor, perfectus, integer, maior et maximus quorum duo, quantum ad vocum distantiam, essent idem, scilicet perfectus et integer, licet ex distinctis nascerentur partibus (potest enim idem totum ex variis nasci partibus, ut ex inaequalibus et aequalibus, ut senarius ex quaternario et binario, et ex duobus trinariis). Et horum quinque maior minorem sibi proximum superat in dimidio commatis et, per consequens, maximus minimum vincit in duobus commatibus.

De his autem, ut melius a simplicioribus imaginentur, exemplum ponatur in numeris. Senarii tres sumantur partes: binarius, trinarius, quaternarius. Harum binarius minor pars est; trinarius integra quae etiam media dici potest et aequalis, quia integra medietas est senarii; quaternarius autem inter partes illas maior est. Aut igitur binarius iungitur binario, et fit quaternarius; aut trinario, et fit quinarius; aut quatrinario, et provenit senarius. Item trinarius aut componitur trinario, et fit senarius; aut quaternario, et fit septenarius; vel quaternarius quaternario, et fit octonarius. Et sic habemus quinque numeros ex tribus tactis partibus ipsius senarii resultantes quorum quatrinarius minimus est, quinarius post illum minor, senarius integer medius vel aequalis, septenarius qui maior est senario, octonarius qui inter illos maximus est. Suo igitur modo sic esset de tactis tonis, si tonus, praeter duo semitonia inaequalia tonum facientia quo utimur, haberet semitonium integrum quorum duo tactum tonum praecise facerent. Sed tale semitonium deficit in natura, sicut et ipsius proportio in numeris. Ideo in re <toni> deficient, minor et maior, quos nunc inter quinque vel sex tonos numeravimus, et remanebunt in natura tantum tres toni: minimus, quantum antea minorem dicebamus, perfectus, et maximus quem maiorem vel abundantem vocavimus. Horum minor vel minimus ex duobus surgit minoribus semitoniis, perfectus ex minore et maiore, maximus vel maior [178] ex duobus maioribus. Et de his tribus iam diximus. Sic igitur expediti sumus de tonis et semitoniis in quibus non modica iacet difficultas.

De ceteris prosequamur, et primo de semiditono.

Capitulum LXXIII.

Quid sit semiditonus.

| [F, 54r in marg.] Semiditonus est inaequalium vocum consonantia tonum perfectum cum semitonio continens minore in superquinquipartiente consistens proportione, quae maior est quam sesquisexta, minor tamen quam sesquiquinta.

Per hoc quod haec consonantia tonum cum diesi continet praecise, a ceteris omnibus distinguitur consonantiis; et, quod has in se contineat partes, in sonis patere potest, numeris et chordis: in sonis, quia fit haec consonantia de re in fa, vel de mi in sol ascendendo et e converso in descendendo, inter quas voces tonus clauditur cum minore semitonio; item tollens a diatessaron tonum in hanc incidit consonantiam, vel qui a ditono maius aufert semitonium, vel a diapente ditonum; similiter qui a sesquitertia proportione, in qua fundatur diatessaron, sesquioctavam adimit proportionem, huius consonantiae proportionem reperit; et si sint tres chordae quarum extremae sint sesquitertiae et altera extremarum ad mediam sit sesquioctava, sequetur mediam illam chordam ad reliquam extremarum illarum chordarum hanc resonare consonantiam, si pulsentur. Haec autem veritatem habent, sive tonus in hac consonantia ad gravem se teneat partem et diesis ad acutam, sive e converso. Sunt autem de his exempla quaedam posita in Tractatibus de Diapente et Diatessaron.

Quod autem consonantia haec in superpartiente consistat proportione, multipliciter sciri potest, quia per subtractionem et per additionem:

Per subtractionem sesquioctavae proportionis | [P2, 94r in marg.] a sesquitertia, ut in his patet numeris: 36 32 27. Inter [179] extremos, sesquitertia, inter maiorem et medium, sesquioctava continentur proportiones. Relinquitur igitur, secundum dicta, inter terminum medium et minorem, idest inter 32 et 27, esse huius consonantiae proportionem, et cum maior horum terminorum minorem plus quam semel non includat, non superet etiam eum in parte aliqua una, sed in pluribus, non est inter illos multiplex proportio, non superparticularis, et multo minus non aliqua mixta ex illis; relinquitur quod inter illos sit superpartiens proportio. Superat enim maior minorem in quinque unitatibus quae, simul sumptae, nullam partem aliquotam numerorum illorum faciunt. Item idem | [F, 54v in marg.] probari potest per subtractionem proportionis ditonialis a sesquialtera, ut sequentes ostendunt termini: 81 64 54. Hi extremi numeri sesqualteram continent proportionem, maior ad medium ditonialem. Relinquitur igitur inter medium tactum terminum et minorem | [P1, 72r in marg.] positum numerum proportionem esse semiditonialem. Illa autem est superpartiens, eadem quae inter priores erat terminos, nam maior minorem in quinque vincit binariis qui, simul sumpti, nullam praecisam partem numerorum illorum faciunt, et per multas alias subtractiones eadem posset investigari proportio.

Item quod semiditonus in superpartiente fundetur proportione per additionem proportionis semitonii minoris ad sesquioctavam proportionem, vel e converso, nosci potest, ut ostendunt sequentes numeri: 256 243 216. Hic inter primum et secundum terminum a sinistris diesis est proportio, inter sequentem et tertium ipsius toni, inter extremos vero semiditonialis eadem quae in prioribus numeris, et, cum in tactis terminis diesis proportio ad gravem se teneat partem et ipsius toni ad acutam, potest e converso fieri, ut in his patet terminis: 288 256 243. Patet igitur semiditonum in superpartiente fundari proportione. In qua autem determinata et specifica tali proportione fundetur ostendunt primi termini ipsius qui sunt 32 et 27. Partes enim, in quibus maior minorem superat, unitates sunt, non numeri, et cum illae sint quinque, est maior ad minorem superquinquipartiens vicesimas septimas, quia tot unitates [180] minorem redderent numerum. Quod aut dicta huius consonantiae proportio maior sit sesquisexta proportione, minor tamen sesquiquinta, patebit infra. Sed hic ad maiorem dictorum et dicendorum evidentiam quaedam ponantur exempla:

(Vide Appendix: XXXVII).

| [P2, 94v in marg.] Exemplis patet dictis semiditonum in superpartiente, quae dicta est, fundari proportione, non modo per additionem ipsius diesis ad toni proportionem, sed etiam per appositionem maioris semitonii ad duas diesis proportiones numerales, sed, quoad sonos, modus ille cantandi semiditonum in usu non est propter ineptam pronuntiationem ipsius <apotomes>. Dicitur autem semiditonus constare ex tono et minore semitonio. Nulla enim consonantia utimur quam maius semitonium per se, ut a minore semitonio, a tono vel tonis distinguitur, inchoet vel terminet.

| [F, 55r in marg.] Capitulum LXXIIII.

De nomine huius consonantiae et quotiens in monochordo contineatur.

Consonantia haec semiditonus nominatur communiter (idest imperfectus ditonus et non quia sit integra medietas ditoni), quia superat illam in diesi, sicut ditonus semiditonum vincit in semitonio maiore. Item vocatur haec consonantia <trihemitonium>, quia in se continet tria semitonia. Quamvis autem in natura et naturalibus proportionibus multiplex reperibile sit trihemitonium, unum quod ex tribus minoribus conficitur semitoniis continuis, aliud quod ex tribus maioribus, tertium quod ex duobus maioribus et uno minore, quartum quod ex duobus minoribus et uno maiore, de hoc quarto solum hic loqui intendimus, et non ut ambo minora semitonia immediate se sequuntur, sed prout inter illa mediat apotome. Quamvis etiam haec consonantia, ut tres dictas includit partes, quattuor requirat voces, quia tamen communiter et [181] usualiter non includit nisi tres, scilicet duas extremas et unam medium, ideo vulgariter dicitur una tertia. Semiditonus in monochordo nostro XII vicibus numeratur, qui sex vicibus inter re et fa ascendendo, et totidem vicibus ascendendo de mi in sol, et, e converso, in descendendo; haec sic patent:

| [P1, 72v in marg.] (Vide Appendix: XXXVIII).

In tactis apparet exemplis quod, si una vocum ipsius semiditoni in spatio est vel loco pari, reliqua locum similiter tenet parem. Et, si una est in regula vel in impari loco, similiter et reliqua. Ex dictis etiam exemplis, aliqualiter apparere potest duos esse modos cantandi semiditonum, non solum inspiciendo ad extremas suas voces, sed etiam ad intermediam: fit enim haec consonantia inter re et fa, et inter mi et sol ascendendo et, e converso, descendendo, quae sunt distinctae voces eandem consonantiam resonantes. Item cum fit ascensus de re in fa per mi, tonus, qui | [F, 55v in marg.] includitur in semiditono, ad gravem ponitur partem, et minus semitonium ad acutam. Sed cum fit processus de mi in sol, semitonium minus ad gravem partem se tenet et tonus ad acutam. Ideo dicit Guido duas species ad semiditonum pertinere.

Capitulum LXXV.

Quod semiditonus in maiore fundetur proportione quam sit sesquisexta, minore tamen quam sit sesquiquinta.

Ad videndum proportionem ipsius semiditoni prius tactam maiorem esse ea proportione quae est inter septem et sex, quae est sesquisexta, hi disponantur numeri:

32 27 35 30 5.

Et vocetur primus .a., secundus .b., tertius .c., quartus .d., quintus .e.

Duo primi termini semiditoni continent proportionem [182] | [P2, 95r in marg.] et sunt minimi termini proportionis illius. Duo secundari termini qui sunt .c. et .d. sesquisextam habent inter se proportionem, quintus vero terminus importat differentiam duorum primorum terminorum; ille autem auctus per VII, dicendo septies quinque, facit 35. Et si augeatur per sex, vel e converso, fiunt 30. Et ideo inter 35 et 30, qui sunt .c. et .d., proportio est sesquisexta, sicut inter VII et VI. Et cum hi termini maiores sint illis primis terminis qui sunt 32 et 27, inter quos est semiditoni proportio, consequens est semiditoni proportionem maiorem esse proportione sesquisexta.

Dico tamen tactam semiditoni proportionem minorem esse sesquiquinta proportione quae est inter VI et V. Et hoc videre per praedicta facile est si dicta differentia, quae est quinque, per senarium et quinarium augeatur, vel e converso. Proveniunt enim ex hoc numeri qui sunt 30 et 25, inter quos est sesquiquinta proportio sicut inter VI et V, quamvis hi sint primi termini sesquiquintae proportionis, et illi secundarii. Cum igitur termini hi, scilicet 30 et 25, minores sint terminis illis qui sunt 32 et 27, est proportio quam continent maior alia; illa est sesquiquinta, alia ipsius semiditoni. Minor est igitur proportio semiditoni quam sit sesquiquinta proportio, quae tamen maior est quam sesquisexta. Et hoc est rationabile. Nam cum superet tonum maiorem in sonis duobus in commatibus et schismate, superare habet ipsum in numerali proportione. Etiam cum mediet inter tonum et diatessaron, oportet ut eius proportio reducatur ad aliquas proportiones mediantes inter sesquioctavam et sesquitertiam proportiones. Patet etiam ex dictis semiditoni proportionem non esse superparticularem. | [F, 56r in marg.] Sed quae tacta sunt describantur:

(Vide Appendix: XXXVIIII).

[183] Capitulum LXXVI.

De simplicitate partibus et divisione huius consonantiae.

Simplex est haec consonantiae ratione suae proportionis. Et hoc generale est omnibus consonantiis diapason praecedentibus, sive in superparticularibus, sive in superpartientibus fundentur proportionibus. Sequentium tamen diapason quaedam in mixtis, et quaedam in simplicibus | [P1, 73r in marg.] fundatur habitudinibus. Habet tamen haec consonantia partes ex quibus componitur et ex quarum proportionibus simul iunctis ipsius proportio redditur, ut est visum de aliquibus, et per quas et in quas haec consonantia dividitur, ut tonum et minus semitonium quae sunt eius partes principaliores, ut duo minora et maius semitonium, ut tria minora semitonia et comma. Haec enim omnia simul iuncta in sonis hanc praecise reddunt consonantiam et in numeris ipsius proportionem, et cum tot habeat partes in quas et per quas divisibilis est, nullam tamen in duas aequas partes recipit sectionem. Haec enim suis repugnant partibus et earum proportionibus. Non enim duae reperiuntur aequales habitudines quae huius praecise reddant proportionem, nec mediat numerus aliquis inter terminos suos quoscumque primos vel secundarios qui consimilem vel aequalem proportionem habeat | [P2, 95v in marg.] ad maiorem terminorum illorum quam habet maior ad ipsum. Habet in semiditono locum medietas sic: "Sicut se habet re de .D. quarta ad fa de .F. sexta, sic mi de .E. quinta ad sol de .G. septima". Et permutatim potest inferri: "Ergo, sicut se habet re de .D. quarta ad mi de .E. quinta, sic fa de .F. sexta ad sol de .G. septima". Et tales argumentationes in numeralibus distinctis fieri proportionibus possunt sic: "Sicut se habent 64 ad 54, sic 32 ad 27". Et permutatim: "Ergo sicut se habent 64 ad 32, sic 54 ad 27".

Utuntur aliqui libenter hac consonantia in suis discantibus quia, etsi eius voces non perfecte concordant, etiam nec perfecte discordant, unde in cantuum et perfectionum | [F, 56v in marg.] principiis et terminis nonnunquam ponitur in conductis, motetis [184] et carminibus. Hoc tamen saepe et multum morose faciendum non est.

Haec consonantia diapente findit, sed non aequaliter, ut tactum est in Tractatu de Diapente. Altera enim vocum suarum, medians inter voces ipsius diapente, ad unam illarum semiditonum, ad reliquam habet ditonum, ut patet cum dicitur: ut mi sol, vel re fa la. Et cum ditonus maior sit consonantia quam semiditonus, convenientius graviorem tenet ipsius diapente partem et semiditonus acutiorem. Potest tamen fieri e converso, ut patet in moteto illo Eximium decus Virginum.

Ordinant autem aliqui consonantiam hanc post ditonum, forsitan quia ab ipso nomen sumpsit. Sed nos hic de ipsis prosequemur, prout voces earum minorem vel maiorem dicunt distantiam. Minor autem est vocum distantia in semiditono quam in ditono. De quo statim prosequimur.

Capitulum LXXVII.

Quid sit ditonus.

Ditonus est vocum inaequalium consonantia duos in se claudens tonos in superdecem et septem proportione partiente consistens; quae maior est quam sesquiquarta, minor tamen quam sesquitertia.

Distinguitur haec consonantia a ceteris omnibus per dictam proportionem in qua fundatur et est inter 81 et 64, ut patebit, et per hoc quod in se duos claudit tonos praecise. Fit enim duobus modis in vocibus monochordi, scilicet inter ut et mi et inter fa et la in ascendendo et, e converso, in descendendo. Inter ut autem et mi medians re tonum habet ad ut. Similiter tonum habet ad mi. Consimiliter sol medians inter fa et la in descendendo tonum servat ad fa, et in ascendendo ad la. Hinc est quod ditonus a toni germinatione nomen sumpsit a "dia", scilicet quod est duo, et "tonus", quia duos in se continet tonos, sed voces eius extremae formaliter faciunt ditonum.

Est autem advertendum quod ditonus multipliciter potest <sumi>, uno modo pro duobus minoribus tonis simul iunctis, secundo modo pro duobus maioribus, tertio modo pro minore [185] et perfecto tono, quarto pro minore et maiore tono simul iunctis, quinto pro perfecto et maiore tono, | [F, 57r in marg.] sexto pro duobus perfectis tonis iunctis simul immediate secundum sub et supra. Et omnes hi ditoni in natura sunt possibiles et eis propriae suae respondent numerales proportiones. Sed doctores <loquuntur> et nos loqui intendimus de solo ditono qui ex duobus praecise constat tonis integris. Hic solum in usu est et reperitur secundum Guidonem in monochordo nonies vel, ad plus, decies, ut hic patet:

(Vide Appendix: XL).

Capitulum LXXVIII.

Quod ditonus in dicta superpartiente fundetur proportione.

| [P1, 73v; P2, 96r in marg.] Declarandum est ditonum in ea fundari superpartiente proportione quae dicta est ex partibus ex quibus componitur et ex aliquibus consonantiis quorum pars dicitur.

Sunt autem ipsius ditoni partes principales duo toni qui simul iuncti praecise ditonum reddunt. Unde toni hi non discontinui sunt quia nihil inter illos mediat. Probatum est autem, supra, tonum in sesquioctava fundari proportione. Igitur duobus tonis duae continuae respondent sesquioctavae proportiones, et, primae quae inveniri possunt, habentur inter terminos prius positos qui sunt 81 et 64. Mediat autem inter eos numerus qui est 72, qui sesquioctavus est ad 64, et 8l ad ipsum. In qua igitur proportione se habent extremi illi numeri, se habet et ditonus.

Illa autem non est multiplex, cum maior minorem non contineat plus quam semel, nec est superparticularis, quia non superat maior minorem in parte una, sed in pluribus. Et cum maior minorem non habeat plus quam semel, non potest esse multiplex superparticularis, similiter nec multiplex superpartiens. Relinquitur igitur ut sit superpartiens simplex.

Item, cum tacti numeri sint primi et minimi proportionis [186] quam continent, in qua ditonus fundatur, et maior minorem | [F, 57v in marg.] superet in XVII unitatibus, est maior ad minorem super decem et septem partiens sexagesimas quartas.

Idem in tribus chordis potest experiri quarum maior ad mediam sesquioctavam habet proportionem; et eandem habitudinem chorda illa media servat ad minorem. Tunc enim chorda illa media tonum habet ad chordam minorem, et maior ad ipsam. Extremae autem inter se ditonum resonant, ut hic patet:

(Vide Appendix: XLIa).

Item, idem declaretur per alias ipsius ditoni partes quae sunt semiditonus et semitonium maius. Haec enim simul iunctae, secundum sub et supra, ditonum praecise constituunt in sonis et earum proportiones ditoni praedictam proportionem in numeris. Nam qui de .G. septima in .b. primam nonam ascendit, inter quas voces est semiditonus, et postea de .b. prima nona in .[sqb]. secundam nonam procedit, inter quas est maius semitonium, attingit ad ditonum.

Hoc autem, quantum ad proportiones, in numeris patet sequentibus: 19683 18432 17496 15552.

Et primus qui est maior positorum numerorum vocetur .b., secundus .c., tertius .d., quartus .e.

Modo dico quod inter .c. et .e. est semiditonus. Nam inter .c. et .d. est diesis, inter .d. et .e. tonus. Sed inter .b. et .c. est apotome, sive semitonium maius. Relinquitur igitur ut inter extremos illos numeros, scilicet inter .b. et .e., sit ditonus, sive eius proportio in numeris, et ita est. Clauduntur enim ibi duo toni continui et duae sesquioctavae proportiones, una inter .b. et .d. quam terminus, qui est .c., in duas inaequales dividit proportiones, scilicet in proportionem minoris semitonii, quae est inter .c. et .d., et maioris existentis inter .b. et .c. Alius autem tonus est inter .d. et .e. Sunt autem | [F, 58r in marg.] praedicti numeri sumpti ex multiplicatione per novem terminorum quorundam prius positorum in Tractatu de Apotome, qui sunt: 2187 2048 1944. Horum enim primus per VIIII auctus reddit priorem numerum qui est .b., secundus per VIIII auctus secundum numerum qui est .c., et tertius tertium qui est .d. Quartum autem, qui est .e., sumptus est per subtractionem nonae partis a termino qui [187] est .d. Quae nona pars est terminus qui sequitur: 1944. Hoc autem factum est ut in terminis maneret eadem proportio quae in prioribus, cum per eundem numerum aucti sunt, et ut posset inveniri subsesquioctavus ad tertium terminorum praedictorum qui, in prioribus terminis, reperiri non poterat in integris numeris.

O commendabilis arithmetica! O utilis algorismi scientia! Sic iuvantes dirigitis huic vacantes operi ut in vobis et a vobis | [P2, 96v in marg.] quid quis quaesierit, si bene quaerit, proportiones varias continuas et discontinuas reperiat numerales. Et, ut plura notari possint, in figura ponenda praedictis numeris unum adiungamus qui ceteris praeponatur, et est talis: 20736, qui vocetur .a. Hic autem numerus surgit ex multiplicatione per VIIII numeri qui sequitur: 2304, qui cum prioribus radicalibus numeris in Tractatu Maioris Semitonii positus est.

Haec igitur disponantur sic:

| [P1, 74r in marg.] (Vide Appendix: XLIb).

Quia numeri descripti sunt notabiles et non absque inusitatione reperti, multa circa illos consideranda scripto designavi. Sed quod hic diximus de vocibus et clavibus exemplo declaremus brevi:

(Vide Appendix: XLIc).

Item, quod ditonialis proportio sit illa quae dicta est per subtractionem a multis consonantiis quarum pars est probari potest, et sufficiat declarare hoc ut est pars ipsius diatessaron et diapente. Superat diatessaron ditonum in minore semitonio. Ideo tollere diesim a diatessaron in sonis est hanc | [P2, 97r in marg.] reperire consonantiam, similiter auferre minoris semitonii proportionem a sesquitertia proportione in qua fundatur diatessaron est incidere in proportionem ipsius ditoni.

Disponantur igitur numeri sequentes:

256 243 192.

Inter hos | [F, 58v in marg.] extremos terminos est sesquitertia proportio; inter primum et secundum, habitudo est minoris semitonii. Videatur igitur quam proportionem medius terminus <habeat> cum minore. Illa est quam quaerimus, quia superpartiens decima septima, et idem in sequentibus patet terminis: [188] <324> 256 243, nisi quod in praecedentibus minus semitonium ad gravem ponebatur partem, et ditonus ad acutam. Hic autem e converso fit.

Consimiliter investigari potest ditoni proportio si a sesqualtera proportione semiditonalis tollatur habitudo, ut in numeris patet his: 81 64 54.

Inter extremos est sesqualtera proportio, inter medium et minorem semiditonialis, ut ex dictis patet. Est igitur, inter maiorem et medium, proportio ipsius ditoni.

Non exemplifico nunc de his, quia satis exempla de his posita sunt in numeris, chordis et sonis, in Tractatibus de Diapente et Diatessaron.

Capitulum LXXVIIII.

Quod ditoni proportio maior sit quam sesquiquarta, minor tamen quam sesquitertia.

Licet aliqualiter appareat in figura praecedenti proportionem ditonialem maiorem esse sesquiquarta proportione, minorem tamen sesquitertia, hoc tamen hic amplius explicemus quia etiam numeri ibi positi non sunt primi ditoni proportionis.

Sumantur igitur sequentes numeri:

| [P1, 74v in marg.] 81 64 85 68 17.

Primus .a. vocetur, secundus .b., tertius .c., quartus .d. et quintus .e.

.a. et .b. ditoni continent proportionem, ut est visum; .c. et .d. eandem in se servant proportionem cum ea quae est inter quinque et quattuor quae dicitur sesquiquarta; .e. vero continet differentiam quae est inter terminos primos qui sunt .a. et .b. Et haec differentia quinquies aucta facit numerum qui est .c.; quater vero aucta crescit in numerum qui est .d. Ideo, inter .c. et .d., eadem redit proportio quae est inter V et IIII; ex quibus patet, per prius dicta, ditoni proportionem maiorem esse quam sit ea quae est inter V et IIII quae est sesquiquarta, quia maior est proportio inter .a. et .b. quam inter .c. et .d. Cum .a. et .b. termini minores sint quam [189] .c. et .d., .a. autem et .b. ditoni continent proportionem, .c. et .d. sesquiquartam.

Sed quod ditoni proportio minor sit quam sesquitertia quae est inter IIII et III, patere potest, si a praedictis terminis tollatur numerus qui tertio loco ponebatur et dicebatur .c., et loco eius ponatur ille qui vocabatur .d. Et nunc in tertio loco positus, vocetur .c. Adhuc, hic, in quarto loco, ponatur terminus qui sequitur: 51, qui vocetur .d. Et hic terminus surgit ex multiplicatione differentiae quae est inter terminos ditonialis proportionis per ternarium. | [F, 59r in marg.] Ter enim XVII, vel e converso, sunt 51.

Hi ergo termini disponantur sic:

81 64 68 51 17.

Et vocetur primus .a., secundus .b., ut prius, tertius .c., quartus .d., quintus .e.

Cum igitur duo primi termini maiores sint duobus secundariis, inter eos est minor proportio quam inter duos secundarios, qui sunt .c. et .d. Sed inter duos primos terminos est ditoni proportio; inter duos secundarios sesquitertia proportio, sicut inter IIII et III. Quapropter ditoni proportio minor est sesquitertia proportione, et hoc rationi congruit. Superat enim diatessaron in sonis ipsum ditonum in minore semitonio. Ideo oportet ut diatessaron proportio in numeris maior sit ditoni proportione. Sed diatessaron in sesquitertia fundatur proportione. Ad hanc igitur proportionem, ditoni proportio nequit attingere sed bene superat semiditoni proportionem quae prius posita est, sicut in sonis ipsum vincit semiditonum. Superat enim eum in maiore semitonio sicut superatur a diatessaron in minore.

Ex his autem patet ditonum in superparticulari proportione non fundari, cum, inter sesquiquartam et sesquitertiam habitudines, nulla superparticularis mediet proportio. Haec sic describantur:

(Vide Appendix: XLII).

[190] Captulum LXXX.

De simplicitate et divisione ipsius ditoni.

| [P2, 97v in marg.] Quamvis ditonus simplex consonantia ratione suae proportionis existat, quia tamen multas habet partes, secundum illas mixta est et dividi potest, et principaliter in tonum et tonum, quia tonus, geminatus secundum sub et supra, ditonum praecise reddit. Et illa divisio in partes est aequales.

Tonus enim omnis tono aequalis est, non quin unus alio voces habeat altiores. Patet cum ascendendo dicitur: ut re mi. Re et mi altius sonant quam ut et re. Sed aequales sunt illi toni quia, quanta distantia est inter ut et re, tanta proportionaliter est inter re et mi. Et consimiliter est de omnibus aliis tonis. Dico igitur quod cum dicitur ut re mi, distantiam ditoni, quae est inter ut et mi, vox medians, quae est re, in duas partes aequales dividit. Quantum enim ascendit quis de ut in re, tantum ascendit de re in mi. Et consimiliter est in descendendo. Et idem modus est in ascendendo vel descendendo fa sol la. Et propterea, secundum Guidonem, ditonus solum unam speciem importat; semiditonus autem duas, quia alius est modus ascendendi re mi fa et mi fa sol, et alius modus descendendi, hic et ibi.

Item, quod ditonus in partes | [F, 59v in marg.] divisibilis sit aequales, eius probat proportio quae in duas sesquioctavas proportiones dividitur. Semper enim inter terminos ditoniales, sive sint minimi, | [P2, 75r in marg.] sive quicumque secundarii, reperibilis est numerus medius ad quem maior sesquioctavus est et ipse ad minorem. Item ditonus in partes scinderetur aequales si ad unum latus bis diesis cum commate poneretur similiter et ad aliud; sed illi numeri qui hoc denotarent essent valde magni.

Sed ditoni divisio in semiditonum et in maius semitonium in partes inaequales est, vel in tria minora semitonia et in maius et comma, vel in quattuor minora semitonia et in duo commata. Hae omnes partes, si simul secundum sub et supra iungerentur, ditonum redderent, sed sola divisione eius in tonos duos in sonis utimur et, cum, in partitione illa, tres voces includat, duas extremas quae formaliter et essentialiter ipsum faciunt, et unam intermediam quae proferri potest vel [191] taceri, dicitur ditonus una tertia quae, una cum semiditono, secundum sub et supra, diapente constituit. Vox enim aliqua medians inter extremas diapente voces, si ad alteram habet semiditonum, ad reliquam habet ditonum. Patet cum dicitur ut mi sol, vel re fa la, sicut supra de diapente loquentes tetigimus.

Utuntur autem aliqui suis in discantibus consonantia hac, quia voces eius non omnino discordant, nec tamen perfecte concordant, ut de semiditono dictum est, cuius voces, ut videtur aliquibus, plus ad concordiam attingunt quam ditoni, quia, licet minus semitonium per se discordiam magnam includat, tamen sine ipso iuncto tono vel tonis nulla est perfecta concordia, quia ex puris tonis nulla est integra melodia. Et nonne, si duo simul cantent, unus la la la sol, alius la fa fa sol, descendens in fa facit unam falsam? Non ditono, sed potius utitur semiditono, quia voces eius magis placent auditui, et, faciens unam tertiam sub vel supra diapason, quae est una decima, semiditonum accipit. Item si duorum diapente voces tenentium extremas per aliquam secundam unus descendat et alius ascendat, ut in tertia, in unisonum, ad quem tendunt, cadunt. Semper semiditono funguntur, non ditono, puta si quis descendendo dicat la sol, alius ascendendo re mi, ut in fa unisonent et perfecte concordent, quia imperfecta concordia tendit ad perfectam, vel si quis dicat sol fa, et alter ut re, ut in mi cadant in unisonum; illi, hic et ibi, semiditono utuntur qui est inter re et fa et inter mi et sol. Et idem observari videtur cum diapente tritonum includat cum minore semitonio, ut est inter voces .E. quintae et .[sqb]. nonae secundae, quia, ascendens de mi in fa, de minore semitonio tonum facere videtur, una falsa utens, ut, cum alio descendente in .a., septimae clavi, in .G. gravi, vocibus | [F, 60r in marg.] unisonent. Nec obstat quod ditonus in maiore consistit proportione quam semiditonus, ut est probatum, quia, secundum hoc, tritonus meliorem redderet concordiam quam semiditonus, quam ditonus, et quam diatessaron.

In hac consonantia locum habere potest medietas, tam directa quam permutata, in sonis et numeris. Et potest de hoc quis exemplificare per se.

Et haec de ditono dicta sufficiant, post quem sequitur [192] consonantia quae est diatessaron de qua prius dictum est. Post diatessaron secundum ordinem quem nunc tenemus in ascendendo sequitur tritonus. Sed cum inter diatessaron et tritonum mediet quaedam consonantia, licet sit non multum usitata, tamen placeat lectori ut aliquid | [P2, 98r in marg.] loquamur de ea. Etsi enim de ipsa in propria forma non loquantur auctores, tamen nihil nocet ipsius scire naturam quae tenet locum in monochordi vocibus, et ipsam vidi, etsi raro, in aliquibus ecclesiasticis planis cantibus. Haec consonantia vocari potest semitritonus quasi imperfectus tritonus, quia deficit ab eo in commate, ut semiditonus dicitur imperfectus ditonus a quo deficit in apotome.

Capitulum LXXXI.

Quid sit semitritonus.

Semitritonus est inaequalium vocum consonantia duas in se claudens tonos cum duobus minoribus semitoniis in proportione consistens superpartiente maiore quam sit sesquitertia, minore quam sesqualtera.

Intelligo hic duos tonos perfectos et integros quibus scilicet utimur. Hos haec includit consonantia cum duobus minoribus semitoniis. Superat enim diatessaron in minore semitonio et a tritono perfecto superatur in commate. Unde continetur haec consonantia inter .E. quintam et .b. nonam primam inter quas voces duo toni clauduntur qui in medio ponuntur, et duo minora semitonia quae in extremis, ut hic patet:

(Vide Appendix: XLIIIa).

Apparet in exemplo isto semitritonum duos in se continere semiditonos ascendendo vel descendendo. Sol enim .G. septimae medians inter extremas voces illas ad quamlibet semiditonum habet. Idcirco consonantia haec non solum semitritonus, propter dictam causam, potest nominari, sed bis semiditonus, sicut | [P1, 75v in marg.] bis diapason.

Quamvis autem huius consonantiae voces extremae minorem includant distantiam quam tritoni voces, plures tamen includit voces usitatas distinctas quam tritonus, quia quinque [193] et tritonus quattuor, computando voces tam extremas quam intermedias, et ideo si una vocum semitritoni in spatio est, vel loco pari, similiter et reliqua, vel si una est in regula vel loco impari, et alia similiter.

Continetur semitritonus, in | [F, 60v in marg.] monochordo, locis in quattuor tantum nisi fiat falsa musica. Et patet hic:

(Vide Appendix: XLIIIb).

Quod autem consonantia haec in superpartiente fundetur proportione, per aliquas partes, ex quibus componitur, declaretur primo.

Continet semitritonus duos in se semiditonos, ut est dictum, quia hi, simul iuncti secundum sub et supra, reddunt ipsum in sonis praecise. Ergo proportiones duae semiditionales continuae ad semitritoni proportionem attingent in numeris. Illas autem continent termini qui sequuntur: 1024 864 729. Maior enim | [P2, 98v in marg.] ad medium semiditonialem habet proportionem, similiter et ille medius ad minorem. Surgunt enim termini illi ex multiplicatione minimorum terminorum ditonialis proportionis qui sunt 32 et 27. Inter terminos igitur extremos illos, qui sunt 1024 729, immediate ad invicem comparatos, semitritoni iacet proportio. Illa non est multiplex, quia maior minorem non plures continet; non superparticularis, quia non in parte una, sed in pluribus, illum excedit et, per consequens, nec est multiplex superparticularis, nec multiplex superpartiens. Relinquitur igitur ut sit superpartiens simplex. Et cum numeri illi sint minimi proportionis quam continent, quia solis unitatibus distinguuntur, et per geminationem semiditonialis proportionis in suis primis terminis accepti sunt, potest ex dictis apparere in qua specifica superpartiente proportione recludatur. Se habent enim in ducentesima nonagesima quinta superpartiente proportione septingentesimas vicesimas nonas. Nam maior minorem vincit in ducentis nonaginta quinque unitatibus.

Item cum diatessaron cum minore semitonio hanc in sonis reddant consonantiam, similiter et harum proportiones praedictam semitritoni reddent in numeris proportionem; hoc ostendunt sequentes termini: 1024 768 729. Duo primi termini sesquitertiam continent proportionem, medius [194] et minor semitonialem, eam quae est ipsius diesis, quam vocare possumus diesialem. Ponitur autem, in tacto exemplo, diatessaron ad gravem partem et minus semitonium ad acutam. Potest autem e converso fieri, ut in his patet numeris: 1024 972 729. Hic inter secundum et tertium numerum sesquitertia proportio est; inter primum et secundum diesalis. Et idem observari potest in sonis et chordis.

Item quattuor partiales proportiones semitritoni proportionem inducunt in numeris sicut quattuor partiales partes hanc reddunt consonantiam in sonis, scilicet dua minora semitonia distincta et duo toni inconiuncti et distincti quibus scilicet tres respondent voces; et quattuor | [F, 61r in marg.] tactae proportiones in numeris continentur sequentibus:

1024 972 864 768 729.

Inter duos primos numeros est minoris semitonii proportio, similiter inter duos postremos; secundus autem ad tertium et tertius ad quartum duas includunt sesquioctavas proportiones. De quibus omnibus haec ponantur exempla:

(Vide Appendix: XLIIIc).

| [P2, 99r; P1, 76r in marg.] Ex praedictis semitritoni patet proportio per partes ex quibus componitur. Posset etiam tacta semitritoni proportio convinci ex consonantiis in quibus invenitur, ut per subtractionem commae vel commatis a tritono, et maioris semitonii a diapente et illius proportione. Et possent de hoc exempla poni, sed dimitto propter brevitatem et numerorum magnitudinem.

Capitulum LXXXII.

Quod semitritonus in maiore consistat proportione quam sit sesquitertia, minore tamen quam sit sesqualtera.

Ad probandam semitritoni iam inquisitam superpartientem proportionem maiorem esse proportione sesquitertia, hi disponantur numeri:

[195] 1024 729 1180 885 295.

Vocetur primus .a. secundus .b., tertius .c., quartus .d., quintus .e.

.a. et .b. semitritoni continent proportionem; .c. et .d. eandem cum ea quae est inter 4 et 3; .e. vero continet differentiam terminorum quae sunt .a. et .b.; quae differentia .e. quater aucta facit numerum qui est .c.; ter vero multiplicata crescit in numerum qui est .d. | [F, 61v in marg.] Et ideo inter .c. et .d. eadem est proportio cum ea quae est inter quattuor et tria, quae est sesquitertia. Cum igitur termini qui sunt .a. et .b. minores sint terminis qui sunt .c. et .d. (et illi proportionem includant semitritonialem, alii sesquitertiam), consequens est proportionem semitritoni maiorem esse proportione sesquitertia.

Hoc etiam probatur per hoc quia, sicut est in sonis, sic esse debet in proportionibus numeralibus respondentibus illis. Soni autem ipsius semitritoni maiorem inter se dicunt distantiam quam soni ipsius diatessaron qui in sesquitertia fundantur proportione. Fundari igitur debet semitritonus in maiore proportione quam sit sesquitertia proportio.

Dico tamen semitritonum in minore fundari proportione quam sit ea quae est inter 3 et 2, quae est sesqualtera. Superat enim diapente semitritonum in sonis. Ideo ipsius proportio in numeris, quae est sesqualtera, proportionem superabit semitritoni.

Ad hoc amplius videndum, numeri disponantur sequentes:

1024 729 885 590 295.

Primus horum .a. vocetur, secundus .b., ut prius, tertius .c. (qui prius .d. vocabatur), quartus .d., quintus .e.

Continent duo primi termini semitritoni proportionem, duo vero secundarii eam quae est inter 3 et 2, quae est sesqualtera; quintus differentiam terminorum duorum primorum quae, per tria mutiplicata, numerum reddit qui nunc .c. vocatur. Aucta vero per duo, facit numerum qui est .d. Hinc est quod .c. et .d. eandem inter se continent proportionem cum ea quae est inter 3 et 2. Cum igitur numeri qui sunt .a. et .b., qui semitritoni continent proportionem, maiores sint numeris qui sunt .c. et .d., quorum proportio sesqualtera est, et in maioribus terminis minor sit proportio, erit semitritoni proportio minor sesqualtera proportione et sic aliqualiter mediat semitritoni proportio inter sesquitertiam et [196] sesqualteram. Neutram tamen praecise dicit, sed in se superpartientem proportionem includit. Illae vero superparticulares sunt.

Haec sic figurentur:

(Vide Appendix: XLIIII).

Capitulum LXXXIII.

De partibus et divisione huius consonantiae.

Proportio semitritoni simplex est, quamvis ex multis surgat partialibus proportionibus in numeris. Sic in sonis fit. Continet enim in se multas partes. Ideo, secundum illas, divisibilis est.

Et principalior eius divisio videtur esse in duos semiditonos, et illa in partes aequales est, sicut eius proportio in partiales duas aequales proportiones dividitur quae sunt duae semiditoniales | [P2, 99v in marg.] proportiones. Semper enim inter terminos extremos proportionis semitritoni, sive sint minimi vel quicumque alii secundarii, mediat | [F, 62r in marg.] aliquis numerus eandem habens proportionem ad minorem terminum quam habet maior ad ipsum. Hinc est quod, inter extremas voces huius consonantiae, vox una mediat, quae dici potest una tertia aequaliter illas voces extremas | [P1, 67v in marg.] respiciens, aequaliter consonantiam illam dividens, ut sol de .G. septima, mi de .C. quinta, et fa de .b. prima nona consimiliter respicit.

Sed multas divisiones in partes inaequales habere potest semitritonus, ut in diatessaron et diesim, in duos tonos et duo minora semitonia, in quattuor minora semitonia et duo commata, et in alias consimiles inusitatas partitiones.

Quamvis autem in usu, quantum habet semitritonus in monochordo, duo toni in medio se teneant, minora vero semitonia partes sibi vindicent extremas, in aliquibus tamen numeris proportionis semitritoni e converso potest esse, ut patet hic:

(Vide Appendix: XLV).

[197] Patet in hoc exemplo duas minoris semitonii proportiones in medio se tenere et duas sesquioctavas in extremis.

Item possunt se tenere duae minoris semitonii proportiones ad unam partem ita quod immediate se consequantur, et duae sesquioctavae ad aliam, ut ostendunt numeri sequentes: <524288> 497664 472392 419904 373248. Inter tres primos numeros, duae sunt minoris semitonii continuae proportiones et, inter tres ultimos, duae sesquioctavae, et sic computatur hic medius numerus per aequam distantiam ad extremos bis.

Possent et aliter partiales semitritoni combinari proportiones, manente semper eadem semitritoni inter extremos suos numeros proportione.

Extremae ipsius semitritoni simul prolatae voces male concordant. Displicentem auditui dicunt mixtionem difficilisque sunt prolationis cum immediate ab eodem successive proferuntur. Ideo non est mirum si rarus est eius usus qui praxim respicit. Ipsius tamen theorica subtilis est et pulchra.

In semitritono locum habere potest medietas tam directa quam etiam permutata, non tantum in sonis sed etiam in numeris.

Et haec dicta de semitritono sufficiant. Loquamur consequenter de tritono.

Capitulum LXXXIIII.

Quid sit tritonus.

| [F, 62v in marg.] Tritonus est consonantia vocum inaequalium tres tonos in se continens perfectos in proportione consistens superpartiente maiore sesquitertia, minore sesqualtera.

Quod tritonus tres in se claudat tonos, hoc suum dicit nomen. A "tris" enim, quod est "tres", et "tonus" nomen sumpsit. In sonis enim tres tonos continet praecise, et in numeris, toni tres proportiones. Nam in sonis habet esse inter mi [sqb] nonae secundae et fa vel ut .F. sextae, inter quas voces tres toni praecise sunt; tres in numeris, ut hic: 729 648 576 512. Continentur hic tres sesquioctavae continuae proportiones.

[198] Dixi autem tres tonos perfectos, quia non intendimus hic loqui de tritono ex tribus minoribus tonis resultante, qui potest dici tritonus minor vel minimus, vel de resultante tribus ex tonis maioribus, sed solum de eo qui ex tribus perfectis et usitatis conficitur tonis de quo solo musici tractant auctores.

De his exempla possunt poni in numeris, chordis et sonis sic:

| [P2, 100r in marg.] (Vide Appendix: XLVIa).

Tritonus quater in toto monochordo tantum reperitur, nisi falsa utamur musica. Et illa loca patent hic:

(Vide Appendix: XLVIb).

Quod autem tritonus in superpartiente fundetur proportione, partes quas includit | [P1, 77r in marg.] manifestant. Sunt autem partes eius toni tres in sonis quibus respondent tres sesquioctavae proportiones in numeris. Sicut igitur trium tonorum continuorum, secundum sub et supra sibi iunctorum, voces extremae hanc reddunt consonantiam, similiter trium proportionum sesquioctavarum continuarum extremi termini, ad invicem comparati, ipsius tritoni continent proportionem.

Positi sunt autem prius quattuor termini inter quos tres continuae proportiones sesquioctavae continentur. Extremi autem termini comparationum illarum sunt hi: 729 512.

Hi igitur tritoni continent proportionem quae multiplex non est, quia maior minorem non pluries | [F, 63r in marg.] continet; non est superparticularis, quia non in parte una sed in pluribus eum vincit, et cum non possit inter illos esse mixta proportio, sequitur ut sit superpartiens simplex.

Sub qua vero specie superpartientis proportionis contineatur, ostendit numerus unitatum quo vel quibus maior minorem superat. Sunt enim illi numeri primi et minimi proportionis quam continent, secundum dicta, et illi sunt primi numeri in quibus tres sesquioctavae continuae reperiantur proportiones. Cum igitur maior vincat minorem in ducentis decem et septem unitatibus, est maior ad minorem super ducenta decem septem partiens quingentas duodecimas in numeris.

Et cum proportiones consonantiis conformentur, quantum ad hoc ut maiores in maioribus, minores in minoribus radicentur, tritonus autem in sonis superet diatessaron [199] (abundat enim ab eo in semitonio maiore), superabit etiam ipsum in proportione quae est sesquitertia.

Tacta igitur tritoni proportio maior esse debet sesquitertia proportione. Hoc ostendunt numeri sequentes:

729 512 868 651 217.

Vocetur primus .a., secundus .b., tertius .c., quartus .d., quintus .e.

Primi duo numeri ditoni continent proportionem, duo secundi sesquitertiam, quintus duorum primorum differentiam quae, quater aucta, tertium facit numerum; aucta vero ter quartum reddit terminum. Cum igitur duo primi numeri qui sunt .a. et .b. minores sint duobus secundariis qui sunt .c. et .d., maiorem continebunt proportionem quam illi. Prima est ipsius tritoni, secunda est sesquitertia. Proportio igitur tritoniales maior est sesquitertia habitudine.

Ipsa tamen minor est sesqualtera, ut per terminos probari potest sequentes: 729 512 651 434 217.

Primus .a. vocetur, secundus .b., tertius .c., quartus .d., quintus .e.

Quid duo primi et quid quintus significent, | [P2, 100v in marg.] dictum est. Tertius vero et quartus proportionem includunt sesqualteram sicut 3 et 2. Surgit enim tertius ex multiplicatione differentiae quae est .e. per trinarium, vel e converso, et quartus ex augmento tactae differentiae per binarium, vel e converso. Sunt autem duo primi numeri maiores quam duo secundarii. Ergo minorem continent proportionem quam illi. Prima est ipsius tritoni, secunda est sesqualtera. Sequitur igitur tritoni proportionem minorem esse sesqualtera proportione.

Hoc autem oportuit ut, si diapente, quae est in sesqualtera, fundatur habitudine, tritonum superat in sonis. Vincit enim ipsum in minore semitonio: ita superaret eum in proportione quae est in numeris.

Sed modo mathematico describamus haec:

(Vide Appendix: XLVIc).

| [F, 63v in marg.] Est igitur tritoni proportio quasi media inter sesqualteram et sesquitertiam proportionem, quae superparticulares sunt immediate se consequentes. Ideo tritoni proportio superparticulares non est semitritoni igitur et tritoni proportiones mediant inter sesquitertiam et sesqualteram habitudines, quia [200] consonantiae illae in sonis inter diatessaron et diapente sunt mediantes.

Quia tamen inter se distinctae consonantiae sunt, et eorum proportiones specificae sunt distinctae. Et quamvis tam semitritoni quam tritoni proportio maior sit quam sesquitertia, minor vero sesqualtera, non hoc est omnino aequaliter: plus enim accedit semitritoni proportio ad sesquitertiam proportionem quam tritoni, et tritoni proportio magis accedit ad sesqualteram proportionem quam semitritoni. Et hoc apparere potest in numeris prius positis nam, ut est dictum, correspondenter suo modo est in proportionibus numeralibus, sicut in consonantiarum vocibus. Semitritonus autem plus attingit ad | [P1, 77v in marg.] diatessaron quam tritonus, et tritonus magis ad diapente quam semitritonus.

Capitulum LXXXV.

De partibus et divisione tritoni.

Simplex est tritoni proportio et, quantum ad hoc, consonantia haec simplex potest dici, non obstante quod illa surgat ex multis partialibus proportionibus ex quibus quasi integratur, sicut tritonus ex multis partialibus sonis. Extremae tamen eius voces formaliter tritonum faciunt, sicut prius tacti extremi numeri ipsius formalem dicunt proportionem. Sunt autem tritoni tres in sonis partes, scilicet tres toni continui, et, in numeris, tres sesquioctavae continuae proportiones de quibus visum est qualiter in sonis hanc faciant consonantiam, et, in numeris, eius proportionem.

Sed habet tritonus partes alias ex quibus integratur, et investigari potest eius proportio, ut sunt diatessaron et semitonium maius, ditonus coniunctus et tonus, semitritonus et comma, de quibus omnibus posset exemplificari qualiter in numeris ipsius tritoni prius positam reddunt proportionem. Sed, propter brevitatem, hoc dimitto.

Habet etiam alias partes, nam omnes illae, de quibus a diatessaron et deinceps sumus locuti, partes eius sunt. Minores enim consonantiae in maioribus includuntur, etsi non formaliter, materialiter tamen. Quapropter tritonus, secundum varias eius partes, distinctas recipere potest sectiones, nullam tamen in duas partes aequales. Hoc enim sonis [201] eius et eius repugnat proportioni. Tres enim toni in duas | [P2, 101r in marg.] partes medias integras distingui nequeunt nec est inter terminos proportionis eius medius reperibilis numerus qui consimilem proportionem habeat ad minorem terminorum illorum quam habet maior ad ipsum. Sed bene dividitur in tres aequas partes, scilicet in tres tonos, et eius proportio in tres sesquioctavas proportiones. Haec consonantia, | [F, 64r in marg.] nisi tonus dividatur, quattuor voces includit tantum modo, duas extremas et intermedias duas, et, si una extremarum in regula est, reliqua spatium tenet. Rudes et discordantes eius voces sunt, forsitan amplius quam semitritoni, et non facilis pronuntiationis. Ideo harum rarus est usus.

In tritono locum habere potest proportionalitas tam directa quam permutata et in sonis et in numeris.

Et haec de tritono dicta sufficiant. Post quem immediate diapente sequitur de qua prius expeditum est; post diapente sequitur consonantia quae dicitur semitonium cum diapente, de qua prosequamur.

Capitulum LXXXVI.

Quid sit semitonium minus cum diapente.

Semitonium cum diapente est inaequalium vocum consonantia tres in se tonos continens cum duobus minoribus semitoniis in proportione super quadragesima septima partiente consistens, maiore quam sesqualtera, minore vero quam dupla.

Per haec quae hic sunt posita, consonantia ista quid sit in se cognoscitur et ex quibus a ceteris distinguitur. Continet in se tres tonos usuales et perfectos, de quibus semper intelligimus cum absolute de tonis loquimur, et, cum hoc, includit duo minora semitonia. Patet hoc ex nomine eius quia ex diapente in qua sunt tres toni cum minore semitonio et ex adiuncto minore alio semitonio nomen suum conficitur. A parte igitur digniore quam continet et ab eo quod superest trahit nomen, quae consonantia simplex non habet nomen.

Item, quod tot tonos et tot semitonia praecise contineat, ex aliis partibus suis, de quibus infra loquemur, potest esse manifestum. Hoc etiam in chordis patet et monochordi clavibus. Sint enim sex chordae et maior ad proximam minus [202] habeat semitonium, illa ad tertiam, tertia ad quartam, quarta ad quintam, singulos faciant tonos, quinta vero ad sextam diesim, resonabunt tunc extremae chordae illae, si pulsentur, consonantiam hanc. Et similiter est de mi ipsius .E. quintae et vocibus .c. decima, ut patet hic:

(Vide Appendix: XLVIIa).

Quamvis in praedictis exemplis duo minora semitonia extremas huius consonantiae teneant partes et tres toni continui intermedias, possunt | [F, 64v in marg.] tamen partes illae multipliciter aliter combinari et de hoc exempla poni possent in numeris, | [P1, 78r in marg.] chordis et sonis. Sed, propter brevitatem, quia multa alia de consonantiis restant dicenda, dimitto. Distat, ad hoc, nimis huius operis optatus finis.

Est autem advertendum quod in monochordo nostro, si sex positae voces huius consonantiae distinctae proferantur in ascendendo, nunquam ponuntur duo toni in principio, vel in fine, sed semiditoni, similiter nec in descendendo; sed, in numeris, possent duorum tonorum proportiones extremas ambas tenere partes.

Consonantia haec octies in gammate continetur, ut hic patet:

| [P2, 101v in marg.] (Vide Appendix: XLVIIb).

In exemplis positis patet, et ponendis, quod, si una extremarum vocum huius consonantiae in regula est, reliqua est in spatio, et e converso. Voces extremae consonantiae huius non simul iunguntur, secundum Guidonem, nec in depositione, nec in elevatione regulariter. Ponit enim sex regulares coniunctiones, ut dictum est, et ultima illarum ad diapente pertinet. Utimur tamen quandoque consonantia hac, et maxime in cantibus tertii toni vel modi.

Capitulum LXXXVII.

Quod haec consonantia in superpartiente, quae dicta est, fundetur proportione et qui eius sint primi numeri vel minimi.

Consequenter consonantiam hanc in superpartiente fundari proportione ea quae dicta est, declaremus, tam [203] per partes aliquas ex quibus componitur, quam per quandam subtractionem a consonantia aliqua cum qua coniungitur. Et hic minimos ipsius terminos oportebit inquirere ut eius habeatur specifica proportio prius tacta.

Dictum est hanc consonantiam ex diapente minoreque semitonio constitui in sonis. Ergo, similiter in numeris, sesqualtera proportio, quae est ipsius diapente, una cum minoris semitonii proportione proportionem reddent huius consonantiae.

Sumantur igitur hi numeri: 256 243 162.

Inter medium et minorem numerum est sesqualtera proportio; inter maiorem et tactum medium ipsius minoris semitonii iacet habitudo, ut prius visum est.

Subtracto igitur medio tacto termino, termini illi extremi ad invicem conferantur | [F, 65r in marg.] et videatur ipsorum proportio, quia ipsa est illa in qua fundatur haec consonantia. Illa non est multiplex, non superparticularis, non mixta, ut ex dictis prius patet. Relinquitur igitur ut sit superpartiens simplex. Sed cum ambo numeri pares sint, non possunt esse minimi termini proportionis quam continent.

Sumantur illorum medietates, maioris medietas est sequens numerus: 128, et minoris ille qui est 81.

Inter hos autem est omnino eadem proportio sicut inter ipsorum duplices, et, cum hi duo numeri solis unitatibus, quae sunt 47, distinguantur, sunt primi et minimi numeri proportionis quam continent. Et illa est super quadraginta septem partiens octuagesimas primas. Ista ergo est proportio in qua fundatur semitonium minus cum diapente.

Item per alias huius consonantiae partes quae sunt diatessaron et semiditonus, idem probetur sic: Semiditonus in sonis iunctus cum diatessaron praecise hanc facit consonantiam. Ergo semiditoni proportio iuncta proportioni sesquitertiae, qui est ipsius diatessaron, ad istius in numeris attinget proportionem.

Disponantur igitur numeri sequentes: 128 108 81.

Inter duos primos terminos est vera semiditonialis numeralis proportio. Inter medium et minorem numerum sesquitertia proportio est. Igitur, sublato medio termino, numeri illi extremi comparentur ad invicem, et habetur idem quod prius.

[204] Tertio, per subtractionem idem sic probari potest: Bis diatessaron hanc vincit consonantiam in tono. Ergo duplex sesquitertia proportio huius consonantiae proportionem superat in sesquioctava proportione.

Disponantur igitur numeri sequentes: 288 256 162.

| [P2, 102r in marg.] Inter extremos hos terminos duae sunt sesquitertiae proportiones; inter primum et secundum numerum est sesquioctava proportio. Illo igitur primo termino amoto, duorum residuorum terminorum sumatur proportio, et ipsa est illa quam quaerimus.

Haec sic describantur:

| [P1, 78v in marg.] (Vide Appendix: XLVIII).

| [F, 65v in marg.] Sunt autem multi alii modi probandi consonantiam hanc in praemissa superpartienti fundari proportione, et per additionem ad consonantias minores quas excedit, et per subtractionem a maioribus a quibus superatur, et per partium aliarum suarum invicem coniunctionem. Quot enim partialibus sonis simul, secundum sub et supra, redditur aliqua consonantia, tot partialibus proportionibus illis correspondentibus illius redditur proportio. Quod autem in ultimo exemplo numerali tangitur bis diatessaron in super septima partiente proportione consistere, concedimus, quia primi eius numeri sunt 16 et 9. Inter quos terminos primo reperiuntur sesquitertiae duae proportiones continuae, una inter 16 et 12, reliqua inter 12 et 9.

Cum igitur consonantia haec in proportione super <quadragesima septima> partiente in numeris consistat, ut probatum est et amplius probari posset, non approbo quod in quodam reperi tractatu ubi sic dicitur: Semitonium cum diapente in sonis est super ducenta octuaginta duo partiens quadringentas octuagenas sextas in numeris, ut 768 ad 486. Defectus est ibi, quia non sunt illi minimi numeri proportionis huius consonantiae quos assumit. Ambo enim pares sunt.

| [P2, 102v in marg.] Ideo non debet taxari proportio quam continent ex differentia [205] quae est inter illos per unitates sumpta. Hoc enim ad solos minimos et radicales numeros superpartientis pertinet proportionis, sed in secundariis numeris sumi debet differentia ex partibus numeralibus, ut prius visum est. Dico igitur quod inter numeros illos quos assignant, bene est illa proportio in qua semitonium cum diapente fundatur, sed non ea quam dicunt, scilicet super ducentesima octuagesima secunda partiens, sed super quadragesima septima partiens octuagesimas primas. Continet enim maior illorum minorem et quadraginta septem senarios quorum octuaginta sex minorem numerorum illorum redderent praecise, et 128 maiorem, et maior illorum sexties continet maiorem numerorum primorum et radicalium illius proportionis, et totiens minor | [F, 66r in marg.] illorum minorem radicalium continet terminorum.

Ulterius breviter ostendatur proportionem huius consonantiae praedictam maiorem esse sesqualtera proportione, minorem vero dupla.

Ad hoc videndum, numeri disponantur sequentes:

128 81 141 94 47.

Vocetur primus .a., secundus .b., tertius .c., quartus .d., quintus .e.

Inter duos primos terminos iacet huius consonantiae proportio; inter duos secundarios est eadem proportio cum ea quae est inter 3 et 2, quae est sesqualtera, quia maior illorum minorem continet et mediam eius partem; quartus vero duplus est ad quintum, quia ipsum bis praecise habet. Planum est autem maiorem esse proportionem inter duos primos | [P1, 79r in marg.] numeros qui sunt .a. et .b. quam inter duos secundarios qui sunt .c. et .d., quia primi duo termini minores sunt quam illi duo secundarii. Cum igitur duo illi primi numeri proportionem huius consonantiae teneant, illi duo secundarii sesqualteram, est proportio huius consonantiae maior proportione sesqualtera in qua fundatur diapente. Nam diapente superat in sonis. Ideo eius proportio diapente proportionem vincere habet in numeris. Sed dicta proportio minor est dupla proportione; quod apparet ex duobus illis ultimis numeris qui sunt .d. et .e. inter quos est dupla proportio.

Illi enim termini minores sunt quam duo primi qui continent huius consonantiae proportionem. Cum enim consonantia haec non attingat diapason, sed deficit ab illa in [206] ditono, non attingit proportio eius ad proportionem ipsius diapason, quae proportio dupla est.

Hoc autem generale est omnibus consonantiis quae ponuntur inter diapente et diapason ut earum proportio maior sit sesqualtera, minor vero dupla, et distinguuntur secundum quod plus et minus ad alteram illarum accedunt, et, quia leve est videre proportionem huius consonantiae superare sesqualteram proportionem et a dupla superari, non describo hoc in figura, ut de aliis feci superpartientibus proportionibus ad superparticulares illas comparando.

| [F, 66v in marg.] Capitulum LXXXVIII.

De divisione et partibus huius consonantiae.

Quamvis consonantia haec simplex, quantum attinet ad suam proportionem, dici possit, composita tamen est ratione sui nominis et partium multarum quas continet et secundum quas et in quas divisibilis est, et, praeter partes tactas, habet et alias, ut semitritonum et tonum, tritonum et tonum minorem vel duo minora semitonia, bis semiditonum et tonum.

Hae omnes, simul iunctae sub vel supra, hanc in sonis reddunt consonantiam et illarum proportiones ipsius proportionem. Et cum dictae partes inaequales sint, divisibilis est consonantia haec in partes inaequales et nunquam in duas partes aequales medias et integras quae, simul iunctae, ipsam reddant praecise, nec sunt reperibiles proportiones aequales quae, simul iunctae, ad ipsius attingant proportionem.

Consonantia haec inter perfecte discordantes numeratur, quia, in parte discordante, multum a concordante superatur, scilicet in minore semitonio a diapente. Habet autem locum in ea medietas directa et permutata, et in sonis, et in numeris.

Cum autem duplex sit semitonium, minus scilicet et maius, tamen vocatur consonantia haec semitonium cum diapente. Intelligendum est de semitonio minore et hoc modo [207] semitonium illud accepimus. Dictum est enim supra maius semitonium nullam per se terminare consonantiam qua utimur. Ideo ab ipso consonantia nulla nominatur. Nam etsi hic loqueremur de maiore semitonio iuncto cum diapente, non deberet consonantia talis dici semitonium cum diapente, sicut tritonus non dicitur semitonium | [P2, 103r in marg.] cum diatessaron, licet addat maius semitonium cum diatessaron; sed dicitur tritonus.

Eadem ratione maius semitonium cum diapente tetratonus debet dici. Quattuor enim in se claudit tonos, sicut tritonus tres, et ditonus duos, et omnis consonantia puris resultans ex tonis a numero tonorum illorum nominari debet, ut pentatonus, hexatonus, sic de consimilibus.

Et haec de semitonio cum diapente dicta sufficiant, et, quia mentionem prius et hic de tetratono nos fecimus, aliquid de ipso breviter dicamus.

Capitulum LXXXVIIII.

Quid sit tetratonus.

Tetratonus est consonantia vocum inaequalium quattuor in se claudens tonos | [F, 67r in marg.] in proportione consistens super 2465 partiente quae maior est sesqualtera, minor vero quam dupla.

Haec consonantia quattuor in se continet tonos praecise a quibus denominatur. Posset etiam dici bis ditonus, quia duo ditoni in quattuor continentur tonis. Quod autem in dicta consistat proportione, numeri sequentes manifestant: 6561 4096. Horum primus ad alium non est multiplex, non superparticularis, non multiplex superparticularis, non multiplex superpartiens, et, cum inaequales sint, oportet ut maior minori sit superpartiens simplex. Item, cum termini illi sint minimi proportionis quam continent, quia sunt primi numeri inter quos duae ditoniales contineantur proportiones continuae, et quattuor sesquioctavae, et differentia inter illos sunt unitates in numero contentae qui sequitur: 2465. Est maior ad minorem super 2465 partiens 4096, quae proportio superat sesqualteram habitudinem, quia tetratonus diapente vincit in semitonio maiore. Sed minor est dupla, quia tetratonum diapason vincit in tono et minoribus duobus semitoniis. [208] Et quod ita sit, in numeris patet sequentibus:

6561 4096 7395 4930 2465.

Qui vocentur .a. primus, .b. secundus, .c. tertius, .d. quartus, .e. quintus.

Inter duos primos tactos terminos est huius consonantiae proportio. Inter duos secundarios, eadem est proportio sicut inter 3 et 2, quae est sesqualtera. Nam maior illorum surgit ex multiplicatione differentiae duorum primorum terminorum quae est .e. per trinarium, et dicta differentia, bis aucta, crescit in numerum qui est .d. et ideo numerus qui est .d. duplus est ad numerum .e. Cum igitur .a. et .b. minores termini sint quam .c. et .d., et illi proportionem contineant tetratoni, isti sesqualteram, | [P1, 79v in marg.] maior est tetratonialis proportio sesqualtera proportione, quae tamen est minor dupla quae inter .d. continetur et .e. qui minores termini sunt quam .a. et .b..

De hac consonantia non tractant musici doctores quia in usu non est, non quin sit in natura possibilis, sicut eius in numeris proportio; et quia in cantibus non ponitur, in monochordo non continetur nisi falsa musica utamur. Regulariter enim in monochordo, post duos tonos vel, ad plus, tres, semitonium ponitur. Ideo nunquam ibi quattuor toni consequenter et immediate se sequentes reperiuntur. Ad hoc igitur, ut haec notetur consonantia, oportet ut falsa utamur musica; et sequens exemplum ostendit hoc:

(Vide Appendix: XLVIIII).

| [F, 67v in marg.] In exemplis his, inter .E. quintam et .F. sextam ponitur per musicam vel mutationem falsam tonus, ut quattuor habeantur toni continui, cum tamen, secundum dispositionem gammatis, sit ibi semitonium minus.

Patet etiam hic quod ambae voces extremae ipsius tetratoni in spatio sunt; quodsi una esset in regula, similiter et reliqua. Et sic, pauciora spatia sufficiunt ad notandum eam modo quo potest notari quantum ad semitonium cum diapente, quamvis ipsius extremae voces maiorem inter se dicant distantiam quam semitonii cum diapente; sed in semitonio cum diapente sex | [P2, 103v in marg.] clauduntur voces, in tetratono quinque.

Consequenter de tono cum diapente prosequamur.

[209] Capitulum XC.

Quid sit tonus cum diapente.

Tonus cum diapente est consonantia vocum inaequalium quattuor in se tonos claudens cum minore semitonio in super undecima partiente consistens proportione quae maior est sesqualtera, minor vero dupla.

Quod haec consonantia quattuor contineat tonos cum diesi denotat nomen suum. In diapente enim tres sunt toni cum diesi quibus tonus superadditus hanc complet consonantiam. Et quamvis quattuor in se tonos contineat cum diesi, non dicitur tamen tetratonus cum diesi vel semitonio minore, quia non utimur hac consonantia, ut respicit quattuor tonos continuos qui tetratonum faciunt, sed discontinuos inter quos semper semitonium mediat minus, ut nunquam alteram teneat extremarum vocum consonantiae huius, alias haec consonantia locum in monochordo non haberet et tonus cum diapente dici non deberet.

Item quod quattuor tonos cum diesi discontinuante illos contineat, prout in monochordo continetur, patet, quia fit haec consonantia de ut in la, inter quas voces quattuor continentur toni cum semitonio minore, quod nunquam extremam tenet partem, sicut in semitonio cum diapente. Et hoc sequens ostendit exemplum:

(Vide Appendix: La).

Et cum consonantia haec sex voces claudat in se extremas et intermedias quibus utimur computando, ideo vulgariter una sexta nuncupatur similiter et semitonium cum diapente. Sed istius extremae voces minus discordant quam semitonii cum diapente; unde ponitur haec consonantia inter imperfecte concordantes, semitonium cum diapente inter perfecte discordantes. Et tunc extremae voces toni cum diapente magis ad concordiam accedunt quando in unisonum et diapason immediate cadere intendunt ut hic:

(Vide Appendix: Lb).

| [F, 68r in marg.] In horum exemplo primo acutior vox huius consonantiae, [210] simul prolata cum graviore, tendit in alteram vocum ipsius diapason, scilicet in acutam per minus semitonium, gravior vero ad gravem | [P1, 80r in marg.] per tonum. In exemplo secundo fit e converso. Item patet hic tonum cum diapente a diapason superari in semiditono.

Patet etiam, ex tactis exemplis, duos esse modos hanc notandi consonantiam; et in uno nulla vocis in vocem requiritur mutatio, scilicet in eo qui ab ut incipit, quia sex habet voces appendentes sibi quae omnes per eundem cantantur modum. In alio autem requiritur mutatio et, per consequens, non omnes illae sex voces eundem cantandi modum cernunt. Cum autem consonantia haec sex includat voces, | [P2, 104r in marg.] ipsa fit de vocibus unius clavis ad voces sextae clavis sibi proximae supra vel infra, nisi inter illas fit semitonium cum diapente et, secundum hoc, decies in gammate reperitur, ut hic patet:

(Vide Appendix: Lc).

In exemplis positis liquet quod, si una vocum huius consonantiae in regula est, reliqua spatium tenet. Cum autem fit de ut in la, quod est sibi communius et convenientius, semper toni duo partes tenent extremas et, inter illos duos ditonos, minus semitonium mediat.

Capitulum XCI.

Quod haec consonantia in superpartiente prius tacta consistat proportione.

Dictum est prius tonum cum diapente in super undecima partiente fundari proportione.

Patet hic primo ex partibus a quibus nomen trahit. Si enim tonus iunctus ipsi diapente hanc in sonis praecise reddit consonantiam, similiter toni proportio, quae est sesquioctava, iuncta sesqualterae proportioni quae est ipsius diapente, istius consonantiae facient et reddent proportionem.

[211] Sumantur igitur sequentes numeri: 27 18 16.

Inter maiorem et medium sesqualtera proportio est, inter medium et minorem sesquioctava. Ergo inter extremos numeros est huius consonantiae proportio. Illa non est multiplex, non superparticularis, non mixta, ut ex prius dictis patet. Est ergo superpartiens simplex, et, cum numeri illi sint minimi proportionis quam continent et in undecim differant unitatibus, est maior ad minorem super undecim partiens decimas sextas.

Iuxta quod intelligendum quod, si 16 partem haberent tertiam praecisam, vel 8, vel 9 partem mediam, non essent termini praedicti minimi proportionis huius consonantiae, et, per consequens, in dicta non fundaretur proportione, sed in illa quam dicerent | [F, 68v in marg.] minimi illi termini, et, cum non sint haec possibilia, sumpsi terminos minimos inter quos sesquioctava praecisa proportio sesqualterae iungi potest. Unde, quilibet alii numeri, inter quos duae illae proportiones immediate sibi iungi posunt, secundarii termini huius proportionis sunt ex dictis primis surgentes terminis, ut 54 et 32. Sunt primi secundarii termini huius proportionis per duplicationem primorum surgentes. Ideo non est taxanda proportio quae est inter illos ex numero unitatum in quo maior vincit minorem quae sunt 22, sed ex numero binariorum qui sunt undecim.

Errant ergo quidam qui, de proportionibus numeralibus consonantiarum loquentes, dicunt proportionem toni cum diapente esse super 22 partientem tricesimas secundas sicut se habent, ut dicunt, 54 ad 32. Falluntur illi quia secundarios numeros pro primis et minimis acceperunt, nam nec, inter numeros quos assumunt, est vicesima secunda partiens proportio, sed undecima illa quae est inter illorum terminorum medietates quae sunt 27 et 16. Et quae dicimus hic de proportionibus per ea, quae prius dicta sunt, satis patent.

Cum autem inter terminos quos posuimus, qui sunt 27 18 16, ponatur sesqualtera proportio partem ad gravem et sesquioctava ad acutam, erit e converso si alius medius ponatur terminus qui est 24 et disponantur sic: 27 24 16. Nam inter duos primos terminos sesquioctava proportio est, inter medium et minorem sesqualtera.

Et, sicut in numeris duae dictae proportiones huius [212] consonantiae constituunt proportionem, similiter et tres chordae, quarum una sesqualtera est | [P1, 80v in marg.] ad aliam et illa sesquioctava est ad reliquam, hanc reddunt consonantiam.

Quae sic figurentur:

| [P2, 104v in marg.] (Vide Appendix: LI).

Item potest dicta huius consonantiae proportio sic venari:

Iungatur ditonialis proportio sesquitertiae, vel e converso, et, quae nascetur ex hoc inter extremos terminos proportio, ipsa est quam quaerimus. Ditonus enim, in sonis ipsi diatessaron iunctus, hanc reddit consonantiam. Ergo similiter harum proportiones huius consonantiae proportionem inducent (et hoc semper pro principio teneatur: ut, si partes aliquae simul iunctae praecise consonantiam aliquam constituant, et illarum proportiones ad illius proportionem attingent).

Statuantur igitur numeri sequentes: 81 64 48.

Inter maiorem et medium | [F, 69r in marg.] ditoni iacet proportio, inter medium et minorem sesquitertia. Ergo inter extremos illos numeros huius consonantiae continetur habitudo, et ita est. Sunt enim termini illi, scilicet 81 et 48, secundi secundarii termini proportionis huius consonantiae, quia nascuntur per multiplicationem primorum terminorum per trinarium; unde maior minorem vincit in undecim trinariis. Et sicut est in numeris, suo modo, sic est in chordis proportionatis et in sonis.

Possemus autem per alias huius consonantiae partes ipsius praedictam venari proportionem. Omnes enim quae ad illam attingunt in sonis, et illorum proportiones simul iunctae, ad ipsius perveniunt proportionem.

Adhuc posset idem probari per multas subtractiones et sufficiat declarare hoc de una, scilicet de subtractione semiditonialis proportionis a dupla. Superat enim, ut est tactum, diapason consonantiam hanc in semiditono. Unde tollere semiditonum a diapason est in hanc labi consonantiam. Et similiter tollere semiditoni proportionem a dupla est cadere in huius consonantiae proportionem.

Disponantur igitur numeri sequentes: 32 27 16.

Inter extremos hos numeros dupla proportio est, inter [213] maiorem et medium semiditonialis, ut est prius visum. Hac igitur sublata proportione de dupla, remanent termini qui sunt 27 et 16, et isti sunt illi inter quos dicimus huius consonantiae proportionem stabiliri.

Quae proportio maior est sesqualtera, quia maiorem soni sui dicunt distantiam quam ipsius diapente. Minor tamen est dupla quia in sonis consonantia haec, ut est dictum, ad diapason non attingit.

Haec autem sic patent in numeris sequentibus:

27 16 33 22.

Vocetur primus .a., secundus .b., tertius .c., quartus .d., quintus .e.

Primi duo proportionem continent huius consonantiae, tertius quarto sesqualter est, ut trinarius binario ex quibus surgunt, quia ter undecim sunt 33 et bis undecim 22; quintus vero terminus, qui dicit differentiam duorum primorum terminorum, subduplus est quarto. Cum igitur duo primi termini qui consonantiae huius continent proportionem minores sint duobus secundariis qui sesqualteram, consequens est proportionem huius consonantiae proportionem superare sesqualteram, quae tamen vincitur a dupla quae est inter .d. et .e., qui minores sunt numeri quam .c. et .d.

Haec consonantia, ut de praedictis est dictum, quantum | [F, 69v in marg.] pertinet ad suam proportionem, formaliter simplex est quamvis multae partiales proportiones illam inducant in numeris et multae particulares consonantiae ipsam reddant in sonis. Ex quarum aliquibus nomen suum sumit. Ideo secundum illas componi dicitur materialiter et ad modum totius integralis dividi. Nulla tamen divisio in partes duas aequales ei competit, cum supra quattuor tonos diesim includat, et, inter numeros suae proportionis, nullus medius est terminus habens eandem | [P2, 105r in marg.] proportionem ad terminum minorem cum ea quam habet maior ad ipsum. Et, sicut de aliis dictum est consonantiis, cum in eis in hac locum habeat cuncta proportio et cuncta sonorum suorum distinctio, similiter locum habet, in illis et in hac, medietas tam directa quam permutata in sonis et numeris.

De tono cum diapente dicta sufficiant. De semiditono cum diapente prosequamur qui dictam consonantiam superat in minore semitonio in quo tetratonus ab eadem superatur.

[214] Capitulum XCII.

Quid sit semiditonus cum diapente.

| [P1, 81r in marg.] Semiditonus cum diapente, secundum nomen suum, est vocum inaequalium consonantia semiditonum cum diapente continens in superseptipartiente proportione consistens quae maior est sesqualtera, minor vero dupla. Continet haec consonantia dictas partes, quia superat tonum cum diapente in diesi. Hoc etiam patet, quia claudit in se tonos quattuor cum duobus minoribus semitoniis, sed, secundum quod utimur hac consonantia, nec toni illi quattuor sunt continui, similiter nec semitonia illa duo, quamvis in numeris proportiones illae, simul iunctae, ipsius redderent proportionem; sed longe distarent a primis essentque valde magni. Ideo dimittemus eos. Nam, in inquirendo proportiones consonantiarum, in minoribus, ut possumus, secundariis stamus numeris. Dico secundariis quia primi et minimi minime variari possunt, sicut secundarii, qui in infinitum procedunt, et aliquibus alicuius consonantiae partibus maiores, aliquibus minores correspondent.

Item consonantia haec bis diatessaron habet in se (in bis diatessaron continetur praecise semiditonus cum diapente).

Item fit haec consonantia de vocibus .D. quartae ad voces .c. decimae inter quas dictae partes et quattuor toni cum duobus | [F, 70r in marg.] dictis semitoniis includuntur, ut hic patet:

(Vide Appendix: LIIa).

Notandum est quod numeri iuncti praetactis notis illarum designant proportiones consonantiarum quas denotant, et illorum extremi invicem comparati huius consonantiae proportionem includunt, ut amplius apparebit ex dicendis.

Posset autem consonantia haec multis aliis notari modis, quantum ad intermedias partes quas continet secundum sub et supra.

Et, quia septem habet voces extremas et intermedias computando, vulgariter dicitur una septima, quae ponitur inter imperfecte discordantes.

[215] Extremarum vocum huius consonantiae si una tenet regulam, et reliqua; et similiter est de spatio. Hoc autem communiter verum est de consonantiis inaequalium vocum. In his autem quae voces habent pares, si una de extremis in regula est, reliqua in spatio est.

Reperitur consonantia haec duodecies in <gammate>, ut exemplum sequens ostendit:

(Vide Appendix: LIIb).

| [F, 70v in marg.] Capitulum XCIII.

Quod haec consonantia in tacta fundetur proportione.

| [P2, 105v in marg.] Ad videndum consonantiam hanc in superpartiente quae dicta est, fundari proportione numerali, sumantur hi numeri: 16 12 9. Continentur hic duae sesquitertiae continuae proportiones, una inter 16 et 12, alia inter 12 et 9. Hae autem duae consonantiae istius proportionem inducunt in numeris, sicut bis diatessaron in sonis hanc reddit consonantiam.

Comparentur igitur numeri illi extremi ad invicem, quia ipsi continent huius consonantiae proportionem. Et planum est illam non esse multiplicem, non superparticularem, non mixtam. Est igitur superpartiens, quia maior minorem continet et ipsius septem partes. Et, cum termini illi primi et minimi sint proportionis quam continent (inter eos enim primae duae continuae sesquitertiae proportiones quae possint reperiri continentur et illi solis unitatibus distinguuntur) patet per numeros illos determinata et specifica superpartiens huius consonantiae proportio. Illa enim est superseptipartiens nonas.

Idem patet sic: Diapason hanc superat consonantiam in tono. Ergo sicut tollere tonum a diapason est in hanc labi consonantiam, sic demere sesquioctavam proportionem a dupla est in huius consonantiae cadere proportionem.

Sumantur igitur numeri sequentes: 16 9 8.

Inter hos extremos positos numeros dupla continetur proportio; inter medium et terminum minimum, sesquioctava.

[216] | [P1, 81v in marg.] Minor igitur terminus relinquatur, et qui remanent ad invicem comparentur, et habemus idem quod prius.

Item semiditonus et diapente hanc reddunt in sonis consonantiam. Ergo similiter et illarum proportiones, simul iunctae, ipsius proportionem.

Quod et faciunt, ut in numeris patet sequentibus:

32 27 18.

Inter duos primos est semiditoni proportio, inter secundum et tertium, sesqualtera. Dimisso igitur medio termino, | [F, 71r in marg.] qualis sit inter extremos proportio videatur. Illa est quam quaerimus eadem cum priore, nisi quod ibi ponebantur minimi termini proportionis istius, hic autem primi secundarii. Surgunt enim ex duobus primis per illorum duplicationem; unde maior minorem vincit in septem binariis, sicut in primis maior minorem superat in septem unitatibus.

Multis et aliis modis idem posset declarari et exempla multa poni in chordis, numeris et sonis. Sed, propter brevitatem et quia haec facilia videntur quae positae sunt, inductiones sufficiant.

Inquisitam huius consonantiae proportionem maiorem esse dicimus quam sit sesqualtera quia, cum diapente superet in semiditono in sonis, superabit etiam ipsius proportio in numeris ipsius diapente proportionem quae est sesqualtera. Sed tacta proportio minor est quam dupla, sicut haec consonantia minor est quam diapason.

Et haec in terminis patent sequentibus: 16 9 21 14 7.

Maior est proportio inter duos primos terminos quam inter tertium et quartum, sed est minor quam inter quartum et quintum. Sed duo primi termini proportionem continent huius consonantiae, duo secundarii sesqualteram, et quartus cum quinto duplam.

De simplicitate et compositione huius consonantiae, ut de praedictis tenendum est. Et, cum habeat partes quasdam aequales, ut bis diatessaron, et quasdam inaequales, ut semiditonum et diapente, et alias multas, divisibilis est tam in partes aequales praedictas, sicut et eius proportio, quam in partes inaequales. Competit igitur huic consonantiae ut mediet, inter extremas suas voces, vox una findens eam partes <in aequales> secundum sub et supra.

In hac consonantia locum habet medietas et permutata medietas in vocibus, chordis et numeris.

[217] Haec dicta de semiditono cum diapente sufficiant. De ditono cum | [F, 71v in marg.] diapente, qui praedictam in apotome vincit consonantiam, prosequamur. Prius tamen aliquid breviter dicamus de pentatono qui mediat inter dictas consonantias.

| [P2, 106r in marg.] Capitulum XCIIII.

Quid sit pentatonus.

Pentatonus est inaequalium vocum inusitata consonantia quinque tonos in se claudens in super 26281 partiente consistens proportione qualis est inter terminos sequentes: 59049 32768.

Haec consonantia inusitata dicitur, tum quia voces eius extremae difficilis sunt pronuntiationis, tum quia multum sunt rudes et discordantes, tum quia locum in monochordo non habent.

Dicitur in se continere quinque tonos praecise et continuos. Unde dicitur a "penta" quod est "quinque" et "tonus". Vel posset dici ditonus cum tritono.

Quod autem in superpartiente consistat proportione ea quae dicta est, per hoc patet quia, sicut quinque toni continui simul iuncti pentatonum reddunt in sonis, sic quinque sesquioctavae proportiones continuae reddunt ipsius proportionem in numeris. Primae autem quinque sesquioctavae proportiones continuae ex quinto sumuntur octuplo et in numeris continentur sequentibus:

(Vide Appendix: LIIIa).

| [P1, 82r in marg.] Continetur igitur ipsius pentatoni proportio inter extremos positos numeros inter quos, cum non sit multiplex proportio, non superparticularis, non mixta, cum termini illi inaequales sint, est inter illos superpartiens simplex proportio. Sunt autem numeri illi primi proportionis quam continent, quia solis unitatibus distinguuntur quae sunt 26281. | [F, 72r in marg.] Ideo maior ad minorem est super 26281 partiens 32768.

Haec autem proportio maior est sesqualtera proportione, minor vero dupla, quia consonantia haec maior est quam diapente, minor vero quam diapason. Hoc etiam in numeris patet sequentibus:

59049 32768 78843 52562 26281.

[218] Maior est proportio inter primum et secundum terminos quam inter tertium et quartum, et minor est proportio inter tertium et quartum quam inter quartum et quintum. Sed inter duos primos terminos est huius consonantiae proportio, inter tertium et quartum, sesqualtera, et inter quartum et quintum, dupla. Se habent enim illi tres termini inter se sicut 3 2 1. Continet primus illorum medium et eius mediam partem, et ille bis ultimum

Superatur haec consonantia a diapason in duobus minoribus semitoniis, a ditono cum diapente in diesi. Vincit autem semiditonum cum diapente, sive bis diatessaron, in commate.

Hoc autem verum non esset, si diatessaron constaret ex duobus tonis cum semitonio integro, sicut voluit Aristoxenus. Tunc enim bis | [P2, 106v in marg.] diatessaron ad quinque tonos attingeret et duae sesquitertiae proportiones continuae ad praedictam pentatoni proportionem; quod verum non est, ut alias magis apparebit. Et clarius pateret hoc si minor terminus quinque sesquioctavarum proportionem prius positarum divisibilis esset in partes tres aequales ut ad ipsum posset esse numerus aliquis sesquitertius, et ille idem cum hoc, quod esset divisibilis in partes quattuor aequales, in quantum est sesquitertius, ad priorem esset divisibilis in tres aequales partes, ut esset subsesquitertius ad quendam terminum maiorem, et sic essent ibi duae continuae sesquitertiae proportiones. Appareret expresse ibi illas duas sesquitertias proportiones non attingere ad quinque tonorum continuorum proportionem.

Nunc autem minor terminorum illorum tertia caret parte. Ideo, ad probandum hoc quod est dictum in numeris integris, alios numeros oportebit inquirere. Non expedit igitur consonantiam hanc penitus ignorare, quia valet eius cognitio ad obviandum errori ipsius Aristoxeni | [F, 72v in marg.] de quo, libro tertio, plenius inquiretur.

Pentatonus in gammate locum nullum habet nisi per falsas mutationes eumque, si notare velimus, duabus falsis mutationibus ad minus oportet ut utamur, ut quinque tonos ascendendo vel descendendo continuemus, ut patet hic:

(Vide Appendix: LIIIb).

[219] In exemplis positis, ad continuandum quinque tonos, inter voces ipsius .D. quartae et .F. sextae, duos facimus tonos cum, secundum ordinationem gammatis, sit ibi tonus cum minore semitonio; ideo falsis ibi mutationibus utimur. Quamvis autem haec consonantia semiditonum cum diapente superet, habet tamen pauciores voces, quia ibi quattuor ponuntur toni distincti cum duobus minoribus semitonis. Sic sunt ibi septem voces, hic vero sex, propter quinque continuos tonos. Ideo si una vocum pentatoni extremarum in regula est, reliqua spatium tenet modo quo notari potest.

Haec consonantia simplex est ratione suae proportionis, composita vero ratione sui nominis et partium suarum in quas et per quas est divisibilis, et eius divisio potest esse in partes quinque aequales; ceterae eius divisiones in partes sunt inaequales.

In pentatono locum habet medietas directa necnon et transmutata.

Et haec de pentatono dicta sufficiant. De ditono cum diapente prosequamur.

Capitulum XCV.

Quid sit ditonus cum diapente.

| [P1, 82v in marg.] Ditonus cum diapente est vocum inaequalium consonantia quinque tonos in se claudens cum diesi in super centesima quindecima partiente consistens proportione centesimas vicesimas octavas quae maior est sesqualtera, minor vero dupla.

Quod haec consonantia quinque tonos in se contineat cum diesi ex suo patet nomine, nam in diapente tres toni sunt cum diesi, in ditono duo toni.

Item superat consonantia haec | [F, 73r in marg.] pentatonum in semitonio minore in quo vincitur a diapason.

Item consistit ista consonantia inter voces .F. sextae et .e. duodecimae inter quas quinque toni cum minore semitonio continentur, ut hic patet:

| [P2, 107r in marg.] (Vide Appendix: LIIIIa).

[220] In exemplo posito liquet consonantiam hanc in se continere voces septem, extremas duas et intermedias quinque, et idcirco dicitur una septima. Ponitur autem in numero perfecte discordantium consonantiarum si voces eius absolute proferantur, et non petant diapason, vel unisonum. Fit autem consonantia haec de vocibus unius clavis ad voces septimae clavis proximae sub vel supra, sed non semper, sed in quinque tantum locis, ut patet hic:

(Vide Appendix: LIIIIb).

Haec consonantia, ut in exemplis positis apparet, septem suas computando voces, a tono incipit et tono, et in tonum et tonum terminatur (semiditonus autem cum diapente, si a ditono incipit, in semiditonum terminatur, et e converso, et, secundum hoc, semiditonus in hac consonantia inter duos mediat ditonos).

Item quarta vox ipsius, si ad alteram extremarum, supra vel infra, tritonum habeat, ad reliquam diatessaron habet. Tertia vero vox consonantiae huius ad unam de extremis ditonum, ad reliquam vero diapente semper observat, et ambae ipsius extremae voces in spatio sunt, vel regula, quia impares continet voces.

Ex partibus huius consonantiae iam tactis ipsius superpartiens proportio iam praedicta potest apparere.

Investigemus autem eam primo per partes ipsam denominantes. Dictum est consonantiam hanc constitui ex ditono et diapente. Ergo ditonialis proportio, iuncta sesqualterae, | [F, 73v in marg.] ad huius consonantiae proportionem attinget.

Sumantur igitur numeri sequentes: 243 162 128.

Inter primum terminum et medium, sesqualtera proportio est. Inter medium et minorem terminum proportio ditoni est. Sequitur igitur ut inter extremos illos numeros sit huius consonantiae proportio.

Illa non est multiplex, non superparticularis, non mixta. Est ergo superpartiens simplex. Dimitto declarare ista, quia talia satis sunt prius declarata.

Item termini illi minimi sunt proportionis suae, ut ex prius dictis apparere potest. Superat autem maior minorem in centum et quindecim unitatibus. Est itaque maior ad minorem super centum quindecim partiens centesimas vicesimas octavas.

Idem patet per subtractionem minoris | [P2, 107v in marg.] semitonii proportionis a dupla in terminis sequentibus: 256 243 128. [221] Inter extremos terminos dupla proportio est in qua diapason fundatur; inter maiorem et medium diesis iacet proportio. Amoto igitur maiore numero, proportio, quae fit inter duos remanentes terminos, illa est quam quaerimus.

Ex his patet illos errare qui dicunt quod ditonus dum diapente in numeris est super ducenta triginta partiens ducentesimas quinquagesimas sextas, ut se habent 486 256, et provenit error ille quia secundarios terminos pro primis et minimis acceperunt. Cum enim ambo termini quos assumunt pares sint, non possunt esse primi termini proportionis quam continent, quia inter illorum medietates est eadem quae est inter illos proportio, et medietates illorum sunt termini quos sumpsimus. Qui, cum ulterius non possint resolvi in minores numeros in quibus maneat illa proportio, ipsi sunt | [P1, 83r in marg.] primi radicales et minimi termini proportionis quam continent et eis competunt conditiones quae in minimis requiruntur terminis proportionis alicuius superpartientis. Sunt autem termini illi, quos illi assignant, primi secundarii numeri proportionis illius in qua fundatur consonantia haec, non ea quam dicunt, quia nec illam proportionem termini illi continent inter se, sed eam quam diximus, quia maior illorum minorem superat in centum et quindecim binariis, sicut in primis terminis in centum et quindecim unitatibus.

Item bis ditonus cum semiditono mediante hanc in sonis reddunt consonantiam. Ergo proportiones illis respondentes, simul iunctae, huius consonantiae reddent in numeris proportionem, ut in his patet numeris: 243 192 162 128. Inter duos primos terminos ditonus est, similiter inter duos ultimos, et, inter duos intermedios, semiditonus et eius | [F, 74r in marg.] proportio. Ergo inter extremos numeros est quam quaerimus habitudo.

Et quae diximus, non solum in numeris, sed in chordis declarari possent et sonis sic:

(Vide Appendix: LIIIIc).

Item potest idem declarari in numeris pluribus in quibus proportiones pene omnium consonantiarum, quas includit diapason, quibus utimur, similiter et ipsius diapason continentur:

(Vide Appendix: LIIIId).

[222] | [P2, 108r; P1, 83v in marg.] Inquisitam huius consonantiae, proportionem dicimus maiorem esse quam sit sesqualtera, minorem vero quam sit dupla. Et hoc satis patet, cum haec consonantia in sonis diapente vincat quae in sesqualtera fundatur proportione; superatur autem a diapason quae in dupla ponitur habitudine.

Hoc etiam in numeris patet | [F, 74v in marg.] sequentibus:

243 128 335 230 115.

Maior est proportio inter duos primos terminos quam inter tertium et quartum, et minor inter tertium et quartum quam inter quartum et quintum. Prima est huius consonantiae proportio, secunda sesqualtera, sicut inter tria et duo, quia tertius terminus surgit ex multiplicatione quinti termini qui est differentia duorum primorum per trinarium; quartus vero provenit ex multiplicatione illius quinti termini per binarium, et ille quartus terminus duplus est ad quintum.

Apparet etiam in terminis illis quod proportio huius consonantiae multo amplius appropinquatur ad duplam proportionem quam ad sesqualteram, suo modo, sicut in sonis est. Mediat consonantia haec inter pentatonum quem superat in diesi et diapason a qua similiter in diesi superatur. Vincit autem consonantia haec semiditonum cum diapente in semitonio maiore.

Composita dicitur haec consonantia, quantum ad suum nomen et partes suas quas includit; simplex autem, quantum ad eius proportionem. Nec competit sibi divisio in partes aequales integrales quae praecise reddant ipsam, sicut nec proportioni suae in proportiones aequales scindi partiales, sed multas habere potest divisiones in partes inaequales, sicut multas tales includit partes.

Voces extremae consonantiae huius immediate se succedentes rarissime reperiuntur in cantibus planis vel mensuratis.

Habet in hac consonantia locum medietas directa tam continua quam discontinua, necnon et transmutata medietas in numeris et sonis.

[223] Capitulum XCVI.

Quorundam dubiorum circa dicta remotio.

Cum tres consonantiae in superparticularibus fundatae proportionibus diapason antecedant, ut tonus in sesquioctava, diatessaron in sesquitertia, diapente in sesqualtera, quaeri potest quare hae, quae in superpartientibus fundantur proportionibus, nomen suum ab his trahant et quare non <sint> aliquae nominatae a diatessaron, sed vel a tono, vel a diapente.

Dicendum quod ratio primi forte est quia proportiones superparticulares notiores, priores et perfectiores sunt quam superpartientes quae ab illis oriuntur et ad illas reducuntur. Item Antiqui concorditer tenuerunt consonantias aliquas in superparticularibus fundari proportionibus, non in superpartientibus.

Secundi ratio potest esse quia, si diatessaron aliquam denominaret consonantiam usitatam, hoc esset tritonum qui mediat inter ipsam et diapente, sicut diapente denominat eas quae mediant inter ipsam et diapason, ut semitonium cum diapente, tonum cum diapente, et huius modi, et, secundum hoc, tritonus diceretur "semitonium cum diatessaron". Non est autem in usu ut consonantia aliqua nomen sumat a semitonio maiore, quod non est sic notum ut minus, similiter nec in usu. Tritonus autem superat diatessaron in maiore semitonio. Ideo forsitan a tono triplicato nomen sumpsit, sicut omnes consonantiae ex puris confectae tonis nominantur ab illis.

Sic igitur a tono et diapente consonantiae tactae nomen trahunt et plures a tono quam a diapente, non quia perfectior sit, sed prior qui scilicet primam perfectam vocum inaequalium faciliter pronuntiabilium dicit distantiam et cui competit in superparticulari fundari proportione. Denominat autem non modo consonantias aliquas ipsum sequentes, ut semiditonum, ditonum, tritonum, et cetera, sed ipsum praecedentes, ut semitonia; etiam, una cum diapente, eas consonantias quae sequuntur diapente.

| [F, 75r in marg.] Et est advertendum quod, sicut quattuor consonantiae, de quibus loquuntur musici, mediant inter tonum et diapente, ut sunt semiditonus, ditonus, diatessaron et tritonus, similiter totidem mediant inter diapente et diapason, scilicet semitonium [224] cum diapente, tonus cum diapente, semiditonus cum diapente, et ditonus cum diapente.

Item, cum proportiones consonantiarum sonoris partibus respondeant earum (quia, secundum illas, ut est visum, inquiruntur, cum semiditonis a semitonio et tono componatur, ditonus a tonis duobus, semitonium cum diapente a semitonio et diapente, sic de similibus), quare non dicuntur proportiones illarum consonantiarum compositae?

Responsio: Concedendum est quod, sicut extremi soni consonantiarum praedictarum partes illas sonoras includunt unde componi dicuntur, sic et proportiones consonantiarum illarum partiales proportiones partium illarum continent. Nec tamen consonantiae illae formaliter partibus ex illis dicuntur esse compositae, sed materialiter. Similiter nec illarum proportio formaliter mixta est ex proportionibus quas includit et ex quibus | [P1, 84r in marg.] surgit. Superpartiens enim proportio || [P2, 108v in marg.] formaliter simplex est, nec est aliqua mixta proportio formaliter ex duabus superparticularibus, superpartientibus, multiplicibus, vel ex superparticulari et superpartiente, sed solum ex multiplici et superparticulari, vel ex multiplici et superpartiente, ut est libro primo declaratum.

Et haec de consonantiis, quae quodam ordine diapason antecedunt et in ipsam includuntur, dicta sufficiant. De eis quae sequuntur eam, de quibus dictum non est, prosequamur, quae in monochordo a Gammaut in ela continentur, quarum prima est semitonium cum diapason. sed, quia Boethius numeros tangit in quibus fundatur hexatonus, qui mediat inter dictam consonantiam et diapason, aliquid de hexatono dicemus. Valet enim eius cognitio ad probandum diapason ex sex tonis non constare, diatessaron semitonium integrum cum tonis duobus, et diapente cum tribus, non includere.

Capitulum XCVII.

Quid sit hextonus.

Hexatonus est inaequalium vocum consonantia sex tonos in se continens in dupla super 7153 partiente consistens proportione quae maior est quam dupla.

[225] Continet haec consonantia sex tonos, sicut eius sonat nomen. Dicitur enim ab "hexa" quod est "sex", et "tonus", sicut "pentatonus" a "penta" quod est quinque, et "tonus".

Quod autem consonantia haec in dicta superpartiente fundetur proportione patet si sex sesquioctavae continuae disponantur proportiones modo qui sequitur:

(Vide Appendix: LVa).

| [F, 75v in marg.] In extremos numeros prius positos iacet hexatoni proportio, quia continent in se sex sesquioctavas proportiones, et termini illi minimi sunt proportionis quam important, quia sunt primi termini inter quos sex clauduntur sesquioctavae habitudines continuae sumptae ex sexto octuplo, secundum artem primo libro tactam. Maior autem terminorum illorum minorem bis continet et insuper septem <milia> centum et quinquaginta tres unitates quae nullam partem aliquotam numerorum illorum, simul sumptae, dicunt. Ideo maior minore est duplex super 7153 partiens 262144.

Consistit igitur hexatonus in mixta proportione ex duplici et superpartiente quae maior est dupla proportione, quia continet eam et adhuc plus. Omnis enim numerus alium bis continens et aliquid ultra, quantumcumque illud modicum sit, maiorem ad illum habet proportionem quam si praecise bis illum haberet, ut, inter 21 et 10, maior est proportio quam inter 20 et 10, quia prima est dupla sesquidecima, alia est dupla simplex.

Quod autem maior terminorum praedictorum proportionis hexatoni minorem bis contineat et aliquid ultra, patet, si minor terminorum illorum dupletur et notetur numerus ex illa | [P2, 109r in marg.] proveniens duplicatione. Et ille est numerus qui sequitur: 524288. Hic numerus bis praecise continet numerum qui sequitur: 262144. Planum est autem numerum duplicem ad tactum numerum non attingere ad numerum qui est hexatonus ad ipsum. Videatur igitur differentia quae est inter illos. Illa est 7153. In tali igitur differentia proportio hexatoni duplam superat proportionem.

Haec autem disponantur sic:

(Vide Appendix: LVb).

Ex his manifeste patet diapason ex sex integris tonis in sonis non | [P1, 84v in marg.] constare, quia eius proportio, quae est dupla simplex, ad sex tonorum proportionem non attingit in numeris, quia illa mixta est ex dupla et superpartiente. Ex [226] quo sequitur diatessaron in se non includere duos tonos cum integro semitonio vel aequali, et diapente ultra tres tonos aequale semitonium vel integrum non includere. Diatessaron enim et diapente, si simul, secundum sub et supra, iungantur, diapason praecise reddunt, sicut proportio sesqualtera et sesquitertia duplam proportionum.

Illud autem, in quo sex toni diapason vincunt, comma prius vocatum est. Sicut igitur comma, ut est prius dictum, minima est inter consonantias simpliciter, sic, inter consonantias diapason sequentes, hexatonus minima est, quia in parte minima sensu perceptibili diapason superat.

Quamvis autem hexatoni voces plus distent extremae quam ipsius diapason, pauciores tamen sunt in eo voces (eas per tonos numerando) quam in diapason, quia septem, in diapason vero octo.

Non habet hexatonus locum in gammatis clavibus. Unde, ad notandum ipsum, tribus oportet uti irregularibus vel falsis mutationibus, ut sex continuentur toni, quia, sicut tactum est, ad plus regulariter non inveniuntur | [F, 76r in marg.] ibi nisi tres continuitoni; et de modo suo notandi exemplum ponatur tale:

(Vide Appendix: LVc).

| [P2, 109v in marg.] In positis exemplis, ad continuandum sex tonos, inter .b. nonam primam et .F. sextam, tres tonos ponimus. Cum, secundum gammatis ordinationem, sint ibi duo toni cum minore semitonio, sic tritonum ponimus ubi locum habet diatessaron et, secundum hoc, vox extrema in descendendo, vel prima in ascendendo, quae est in .F. sextam, superat eam quae est in .E. quintam in commate, sicut sex toni diapason. Nam inter elami duodecimam et Elami quintam, secundum ordinem gammatis, est diapason. Hic, autem, secundum modum notandi qui tactus est, inter .e. duodecimam et .F. sextam, hexatonus est. In descendendo autem et continuando dictos tonos mutando dicamus: fasol fa, fasol fa, fasol fa, fasol fa. Et sola prima mutatio in descendendo regularis est cum scilicet mutamus fa ipsius .c. decimae quae, per [sqb] durum, quadratum vel caudatum, cantatur in sol eiusdem clavis quae per .b. molle decantatur, ut per tonum descendamus. Sed aliae sequentes consimiles mutationes irregulares sunt. Unde dicuntur falsae (puta quando in bfa [sqb]mi dicitur fasol fa), quia ibi non est sol. Similiter [227] quando in .a. octava fasol fa, quia ibi nec est fa, nec sol; ideo dicitur illa mutatio falsa. Similiter mutationem falsam facimus, cum in .G. septima fasol dicimus, quia non est ibi fa. In .F. sexta autem, licet sit fa, illa tamen, secundum tactas mutationes, gravior est in semitonio maiore quam esset secundum regulares mutationes, ut est tactum.

Hexatoni proportio maior est quam sit dupla, minor quam tripla. Nam in sonis diapente cum diapason, quae triplam respicit vel continet proportionem, hexatonum vincit in tritono, et amplius. Etiam si minor numerus proportionis hexatonae triplaretur, multum superaret maiorem numerum hexatonialis proportionis. Conveniunt in hoc omnes consonantiae mediantes inter diapason et diapente cum diapason, quod fundantur in maiore proportione quam sit dupla, minore tamen quam sit tripla, et quaedam magis appropinquant ad duplam, quaedam ad triplam. Nec oportet huiusmodi consonantias superparticularibus proportionibus comparare quia, cum excedant duplam habitudinem, excedunt omnes superparticulares habitudines.

Sicut patet ex dictis, hexatonus consonantia mixta est et ratione suae proportionis nominis, et ratione suae divisibilitatis. Habet enim partes multas secundum quas divisibilis est. Potest autem dividi in duas partes aequales, ut in duos tritonos, in tres, ut in tres ditonos, et in sex partes aequales, scilicet in sex tonos. Ceterae eius divisiones in partes sunt inaequales.

Hexatoni voces rudes sunt et dissonae, quod verum non esset si diapason sex tonos includeret. Tunc enim hexatonus esset diapason et concordarent eius voces, | [F, 76v in marg.] sicut ipsius diapason, quae summe concordant inter voces inaequales. Unde, secundum Ptolomaeum, hic est unus modus per quem, etiam secundum sensum in chordis sonoris, et non tantum per intellectum in numeris, error convincitur Aristoxeni qui tamen nimis confidebat sensui et parum intellectui.

Sint enim septem chordae sex tonos continuos continentes (est enim bene possibile sex sesquioctavas proportiones in chordis continuare). | [P1, 85r in marg.] Item sit una alia chorda dupla ad minimam chordarum illarum septem, et ponatur inter maiorem chordarum illarum septem et sequentem inter quas est tonus primus et gravissimus. Erit enim chorda illa minor maiore et maior minore duarum illarum. Hoc facto, tangantur chordae ipsius hexatoni et ipsius duplae proportionis in qua est diapason. Apparebit tunc etiam per sensum [228] distinctio inter has et illas, scilicet inter has quae hexatonum et has quae resonant diapason.

Quorum imaginatio in exemplo sumantur sequenti:

(Vide Appendix: LVd).

| [P2, 110r in marg.] Ex dictis multae possunt elici viae ad demonstrandum diapason distingui ab hexatono et, per consequens, non includere in se sex tonos integros.

Potest enim probari hoc ostensive et ducendo ad impossibile:

Ostensive, et quantum ad proportiones, quia hexatoni proportio mixta est, diapason simplex, et prima secundam continet et superat; et, quantum ad sonos, quia hi dissoni, illi aequisoni, illi difficilis prolationis, hi facilis, hi magis distantes, hi minus.

Item ducendo ad hoc impossibile quod tonus in duo dividatur integra semitonia quae sint duae omnino aequales toni dimidietates. Constat enim diapason ex diapente et diatessaron. Diapente tres tonos continet cum semitonio, diatessaron duos cum semitonio. Oportet igitur, si ex illis sex tonis habeantur, quod illa semitonia sint integra tonum integrum facientia et, per consequens, quod divisibilis sit in duas integras dimidietates. In hexatono, cum locum habeat proportio, potest in eo locum habere medietas directa et permutata.

Haec dicta de hexatono sufficiant.

De aliis consonantiis sequentibus ex puris confectis tonis septem, octo, et cetera ulterius non locuturi, quia non est illorum sic utilis cognitio, ut praecedentium.

De semitonio minore cum diapason prosequamur.

Capitulum XCVIII.

Quid sit semitonium minus cum diapason.

Semitonium minus cum diapason est inaequalium sonorum consonantia quinque tonos continens tribus cum semitoniis minoribus, in dupla super viginti sex partiente proportione consistens, maiore quam sit dupla, minore tamen tripla.

Quod haec consonantia tonos quinque cum tribus [229] minoribus semitoniis contineat, ex partibus suis, quae reddunt ipsam, patet cuiusmodi sunt diapason et, cum hoc, minus semitonium, a quibus trahit nomen. Consonantiae enim diapason sequentes a diapason, quae pars earum principalior est, et ab illo, quod ultra continent, nomen habent. Cum igitur in diapason quinque toni sint cum duobus minoribus semitoniis, haec consonantia, ultra diapason, minus requirens semitonium, continebit in se quinque tonos cum tribus minoribus semitoniis. Idem ex aliis suis patet partibus quae sunt bis diatessaron | [F, 77r in marg.] et semiditonus, diapente et semitritonus, et aliae multae quae, simul iunctae, reddunt hanc consonantiam et tot tonos et tot semitonia continent, ut est dictum.

Item continetur haec consonantia inter .A. primam et .b. nonam primam inter quas claves, litteras vel voces quinque continentur toni cum tribus minoribus semitoniis, ut hic patet:

(Vide Appendix: LVIa).

Cum consonantia haec novem contineat voces, si una extremarum in spatio est, et reliqua; vel, si una in regula est, similiter et alia.

In exemplis positis, in ascendendo et descendendo, potest quis advertere partes omnes de quibus mentio facta est quae, simul sumptae, secundum sub et supra, hanc in sonis reddunt consonantiam. Est enim ibi diapason cum semitonio minore, diatessaron bis et semiditonus, diapente et semitritonus, et sunt ibi quinque distincti toni cum tribus minoribus semitoniis (haec littera .t. medians inter voces denotat eas distare tono, .s. minore semitonio). Fit igitur consonantia haec de vocibus unius clavis, secundum sub vel supra, ad voces novae clavis, si, inter voces vel claves illas, quinque contineantur toni cum tribus minoribus semitoniis, | [P1, 85v in marg.] alias non.

In quibus autem et quot monochordi locis haec locum habeant, sequens ostendit descriptio:

| [P2, 110v in marg.] (Vide Appendix: LVIb).

Semitonium minus cum diapason, ut in exemplis patet positis, nunquam ad extremas suas partes ditonum habet sed semper semiditonum. Alteram siquidem extremarum ad sibi proximam semper habet minus semitonium.

Hac consonantia ceterisque diapason superantibus in [230] planis cantibus Mater Nostra Ecclesia non utitur, voces illarum extremas, secundum immediatum ascensum, proferendo, vel descensum. Sunt tamen cantus aliqui plani qui supra suum finem bene ultra diapason ascendunt per medium vel media. Secus est de cantibus mensuratis.

Capitulum XCVIIII.

Quod minus semitonium cum diapason in superpartiente prius facta fundetur proportione.

Minus semitonium cum diapason in eam, quae tacta est, fundari proportionem ostendunt qui sequuntur numeri: 512 256 243.

Inter primum et secundum dupla est proportio quae est ipsius diapason. Inter medium et minorem minoris semitoni iacet habitudo. Cum igitur diapason cum minore semitonio hanc praecise reddant consonantiam in sonis, illarum proportiones huius inducent proportionem in numeris. Quare inter tactos extremos numeros qui sunt 512 243 iacet huius consonantiae proportio. Maior autem minorem bis continet et viginti sex illius unitates quae, simul sumptae nullam partem aliquotam numerorum illorum faciunt et, cum numeri illi sint primi proportionis quam continent, est inter illos duplex super 26 partiens proportio.

Cum autem inter tres positos terminos dupla proportio ponatur ad partem gravem minoris semitonii, ad acutam posset e converso fieri si, inter extremos terminos illos numerus mediaret qui sequitur: 486. Et sic cum aliis disponatur: 512 486 243. | [F, 77v in marg.] Hic, inter maiorem et minorem terminum, est minoris semitonii cum diapason proportio et, inter illum medium et minorem, proportio dupla est.

Item dictum est bis diatessaron cum semiditono hanc in sonis reddere consonantiam. Ergo similiter illarum consonantiarum proportiones, simul iunctae, proportionem reddent huius consonantiae, sicut partes suum totum.

Disponantur igitur numeri sequentes:

512 384 288 243.

[231] Inter primum et secundum terminum est sesquitertia proportio. Superat enim maior minorem in tertia illius minoris parte quae est 128. Item, inter secundum tactum terminum et tertium sequentem, est similiter sesquitertia proportio. Superat enim maior illorum minorem in tertia illius parte quae est 96. Sic sunt ibi duae sesquitertiae proportiones continuae. Inter tertium autem et quartum numerorum illorum est semiditonialis proportio. Continent enim nonies primos et minimos numeros proportionis semiditoni. Relinquitur igitur ut inter extremos illos terminos sit huius consonantiae proportio.

Item posset idem probari per alias huius consonantiae partes quae sunt diatessaron, diapente et semitonium minus in numeris qui sequuntur: 512 384 256 243. Duo primi, ut prius est dictum, sesquitertiam continent proportionem, secundus ad tertium habitudinem sesqualteram, tertius ad quartum semitonialem. Est igitur, inter extremos terminos illos, huius consonantiae proportio.

Idem posset declarari per diapente et semitritonum.

Horum exempla patent subscripta:

| [P1, 86r; P2, 111r in marg.] (Vide Appendix: LVII).

| [F, 78r in marg.] Patet igitur huius consonantiae proportio quae maior est dupla, quia continet illam et ad hoc plus; et consimiliter in sonis est. Non attingit autem in numeris ad proportionem triplam. Deficit enim tritoni proportio sicut tritonus in sonis deficit ab hoc ut perveniat ad diapente cum diapason.

Mediat haec consonantia inter hexatonum, quem in duobus commatis cum dimidio et amplius vincit, et maius semitonium cum diapason a quo superatur in commate.

Haec consonantia mixta est, et ratione suae proportionis, et ratione sui nominis et partium suarum in quas et per quas divisibilis est. Et, cum careat partibus aequalibus quae ipsam praecise reddant, divisione caret in partes aequales sicut et eius proportio.

Habet in ea locum medietas disiuncta necnon et continua similiter et transmutata medietas in numeris, chordis et sonis.