Back to top

[232] | [P2, 111v in marg.] Capitulum C.

Instantiae contra dicta et ad illas responsio.

Forsitan instabitur contra dicta: "Compositum naturam sapit componibilium et simplicium; norma formantur compositiva. Consonantia autem haec ex diapason et diesi componitur. Videtur igitur quod ipsius proportio mixta sit ex dupla proportione et ipsius minoris semitonii quae est super 13 partiens, non super 26 partiens. Item videtur quod non debeat dici mixta ex dupla et prius dicta proportione, quia bis diatessaron cum semiditono et diapente cum semitritono hanc reddunt consonantiam, ut visum est, et ibi nec apparet dupla proportio, sicut nec diapason, nec diesis."

Ad has et consimiles instantias, per ea quae dicta sunt patet aliqualiter responsio. Quamvis enim per partes alicuius consonantiae inquirantur numeri inter quos illius iacet proportio, non oportet ut illa proportio formaliter ex partialibus illis componatur proportionibus per quas inquiritur, licet illas aliqualiter in se contineat. Sumitur enim formaliter et intrinsece proportio consonantiae cuiuscumque ex immediata habitudine terminorum suorum extremorum, sicut consonantia dicit formaliter vocum suarum extremarum mixtionem, alias, ut est prius dictum, eadem consonantia tot esset et diceretur consonantiae quot diversas partes haberet ipsam constituentes et reddentes, similiter et tot proportiones, et esset | [P1, 86v in marg.] in consonantiis et earum proportionibus non modica confusio, et tanto maior quanto consonantiae illae plures partes includerent. Saepe enim dictum est quod, per additionem unius proportionis ad aliam, non oportet ut sequatur mixta ex illis proportio, sed aliquando simplex haec vel illa, scilicet multiplex, superparticularis vel superpartiens, et aliquando mixta, sed alia a partibus illis.

Sicut igitur, per additionem minoris semitonii ad diapason, attingimus ad numeros illos extremos inter quos iacet haec consonantia, quae formaliter | [F, 78v in marg.] a partibus illis est distincta, sic, ex additione minoris semitonii proportionis ad duplam, ad numeros pervenimus inter quos iacet huius consonantiae vera proportio quae formaliter ab illis est alia.

[233] In inquisitione siquidem proportionis alicuius consonantiae negotiandum sic est: Partium, quae ad ipsam attingunt in sonis, iungendae sunt ad invicem in numeris proportiones, ex quibus provenietur ad terminos, inter quos iacet, illius consonantiae proportio. Illis igitur habitis, terminus vel termini mediantes, si sint plures, et illorum proportiones, relinquendi sunt, et comparandi sunt numeri illi extremi habiti inter se immediate et, secundum artem libro primo tactam, apparebit illorum proportio, quia vel sunt aequales, vel inaequales; et, si inaequales, maior vel continet minorem plus quam semel, vel non, si superat illum in aliqua una parte, vel in pluribus, et, si contineat illum plus quam semel, vel praecise, vel aliquid ultra, et cetera, sicut in libro primo deductum est.

Dico igitur quod, inter numeros huius consonantiae qui sunt 512 243, est dupla vicesima sexta partiens proportio, non dupla tertia decima, quia maior minorem bis continet et 26 ipsius unitates quae, licet 13 binarios contineant, illi tamen praecise numerum illum minorem, qui est 243, reddere nequeunt. Numeri enim imparis partes pares esse nequeunt. Duplantur autem ibi tredecim unitates ut sint 26, quia maior tactorum numerorum duplex est ad numerum (qui est 256) qui praecisam minoris semitonii proportionem ad minorem illum terminum (qui est 243) continet, in 13 unitatibus illum superans. His autem non obstantibus, nomen huius consonantiae salvatur in numeris suo modo, sicut et in sonis inspiciendo ad partes illas quas includit et non solum ad extremas suas voces, et, quantum ad hoc aliqualiter compositum, naturam sapit componibilium, quia partes illae simul iunctae reddunt totum suum. Non oportet tamen quod partes illae formaliter et actualiter in illo maneant toto sed virtualiter et potentialiter. In heterogeneis enim alia est forma totius, alia partis, quicquid sit in homogeneis.

Item, quod bis diatessaron cum semiditono et diapente cum semitritono et multae aliae partes hanc reddant consonantiam a quibus denominari posset, hoc non tollit proportionem eius esse mixtam ex dupla et ea quae dicta est [234] superpartiente proportione, quia extremi termini consonantiae huius per quascumque partes eius venentur et habeantur. Eandem tamen semper inter se servant proportionem et, si aliqui sint primi, alii secundarii, quia | [F, 79r in marg.] per omnes eius partes non concluduntur numeri eius primi et minimi, et ideo inter extremos quoscumque numeros proportionis huius consonantiae minimos vel secundarios per quascumque partes proveniant, dupla continetur proportio cum illa quae dicta est superpartiente.

Non enim dicitur aliquis numerus duplus ad illum quem bis continet praecise solum, sed etiam ad illum quem habet bis et, cum hoc, aliquam illius partem vel aliquas, sed si praecise, tunc duplex est simplex. Si aliquid ultra et non perveniat ad hoc ut illum ter contineat, dicitur duplex mixtus, alias duae perirent numeri maioris inaequalitatis species quae mixtae dicuntur. Secus est de numero superparticulari et superpartiente. Septem enim continent quattuor et eius partem aliquam aliquotam, scilicet ternarium; | [P2, 112r in marg.] nec tamen septenarius superparticularis est quatrinario, quia trinarius non est praecisa utriusque mensura, et, cum septenarius quaternario nec sit superparticularis, nec multiplex simplex vel mixtus, oportet ut sit superpartiens simplex, quia particularis cum particulari non miscetur, nec cum superpartiente, nec duplex, cum duplici et generalius multiplici, superpartiens cum superpartiente, ut est alibi declaratum.

Quod si numerus aliquis alium contineat bis et aliquid ultra, de proportione illius specifica iudicandum est, non per intermedium numerum vel intermedios, sed per immediatam illorum collationem. Sumantur hi numeri: 18 9 8. Videtur quod inter extremos illos numeros sit dupla sesquioctava proportio quia, inter maiorem et medium, dupla proportio est, et, inter medium et minorem, sesquioctava. Et consimiliter, si hi sumantur numeri: 18 16 8, videtur inter extremos illos numeros dupla sesquioctava proportio quia, inter 16 et 8, dupla proportio est, inter 18 et 16, sesquioctava. Non est autem, inter tactos extremos numeros, dupla sesquioctava proportio, sed dupla sesquiquarta, quia maior minorem bis continet et binarium qui quarta pars est minoris, scilicet octonarii. Et quod | [P1, 87r in marg.] inter terminos illos non sit dupla sesquioctava proportio, sed dupla sesquiquarta, manifeste patet si illorum terminorum [235] sumantur medietates quia, cum ambo pares sint, non sunt primi numeri proportionis quam continent. Medietates autem numerorum illorum sunt 9 et 4 inter quas est eadem proportio quae inter priores. Illa autem nullo modo potest esse dupla sesquioctava, sed est dupla sesquiquarta | [F, 79v in marg.] quia novem continent octo bis et insuper unitatem quae quarta pars est quaternarii. Ex dupla igitur et sesquioctava proportione non resultat dupla sesquioctava proportio inter extremos terminos illarum comparationum, sed dupla sesquiquarta. Et consimiliter intelligatur in ceteris. Ex dupla enim et minoris semitonii proportione inter extremos numeros illarum habitudinum non provenit mixta proportio ex dupla et super 13 partiente, sed ea quae dicta est, scilicet dupla super 26 partiens.

Ex his patet ad obiecta responsio. Haec dicta de semitonio minore cum diapason sufficiant. De semitonio maiore cum diapason consequenter dicamus aliquid, quia in Gammaut reperitur.

Nos autem loqui volumus de omnibus consonantiis quae in Gammaut ordinatione locum habent. Quamvis enim omnibus illis non utamur, earum tamen naturas ignorare non debemus. Iudicio autem meo, pulchrior, difficilior et amplior speculatio versatur circa proportiones illarum numerales determinatas et specificas quae sint et qui minimi ipsarum numeri quam circa magis usitatas. Et si haec ab aliis inquisita essent, non tantum in eis laborarem.

Capitulum CI.

Quid sit semitonium maius cum diapason.

Maius semitonium cum diapason est sonorum inaequalium consonantia sex continens tonos cum minore semitonio in dupla super centum triginta novem partiente proportione consistens numerali.

Quod haec consonantia sex tonos cum diesi contineat, ex partibus patet ex quibus nomen trahit, similiter et ex aliis [236] multis. Denominatur consonantia haec a diapason quae etiam nobilissima pars eius est et ab eo quod ultra continet, quod est apotome, maius scilicet semitonium. In diapason autem quinque toni sunt et duo minora semitonia, quorum uni si iungatur apotome, tonus proveniet, et sic erunt toni sex et remanebit diesis. Idem per alias eius partes patet quae sunt hexatonus et semitonium minus, tritonus et diapente, tetratonus et diatessaron, pentatonus et semiditonus. Haec enim partes hanc reddunt consonantiam et, in omnibus illis, sex toni clauduntur cum diesi. Item continetur haec consonantia inter .b. primam nonam et .[sqb]. sextam decimam secundam, hoc est inter fa de bfa[sqb]mi in spatio et mi de bfa[sqb]mi in regula. Inter voces autem illas sex toni | [F, 80r in marg.] clauduntur cum minore semitonio, sicut sequens monstrat descriptio:

(Vide Appendix: LVIIIa).

| [P2, 112v in marg.] Patet in exemplo posito consonantiam hanc sex tonos includere cum minore semitonio quod mediat ibi inter duos tritonos, quia tres toni praecedunt ipsum ad gravem partem se tenens et tres ipsum sequuntur ad partem acutam pertinentes, et hoc sic fieri oportet quia, in gammate, sicut prius dictum est, nisi falsa utamur musica, tetratonus, pentatonus, hexatonus perfecto carent loco.

In exemplo etiam posito non apparet diapason explicite. Oportet enim, ad hoc ut appareat, in bfa[sqb]mi sub vel supra duas ipsius describere voces inter quas est apotome. Hoc autem faciendo relinquitur diesis quae, ad extremam vocem huius consonantiae, diapason habet, ut hic patet:

(Vide Appendix: LVIIIb).

Haec consonantia, nisi falsa musica iuvemus nos, solum unum locum habet in gammate, scilicet eum qui in exemplo priore continetur. Et cum maius semitonium cum diapason superet minus | [P1, 87v in marg.] semitonium cum diapason, pauciores tamen continet voces nisi fundamus tonum in bfa[sqb]mi ad habendum explicite diapason. Et si una vocum huius consonantiae in spatio est, reliqua regulam tenet.

[237] Capitulum CII.

Inquisitio proportionis huius consonantiae iam positae.

Confirmemus iam consonantiam hanc in ea, quae posita est, dupla superpartiente fundari proportione, modum tenentes quem in praedictis tenuimus consonantiis, per coniunctionem scilicet partialium proportionum, quas continet in numeris, quae respondent partibus quas includit in sonis.

Et primo declaremus hoc ex partibus quae sibi nomen tradunt, licet proportiones | [F, 80v in marg.] illarum, simul iunctae, minimos numeros proportionibus huius consonantiae non producant.

Disponantur itaque numeri sequentes:

4374 2187 2048.

Inter primum numerorum horum et medium, dupla proportio est in qua fundatur diapason, inter medium et minorem est super 139 partiens proportio in qua fundatur apotome. Relinquitur igitur ut inter extremos illos terminos sit huius consonantiae proportio. Cum autem ambo termini illi sint pares, ipsi non possunt esse minimi termini proportionis quam continent. Sumantur igitur illorum medietates quae sunt hae: 2187 1024. Continent hi proportionem eandem sicut et priores qui sunt ipsorum duplices, et hi sunt primi et minimi numeri inter quos inveniatur talis quam continent proportio. Continet autem maior minorem bis et, insuper, 139 unitates. Est igitur maior ad minorem duplex super 139 partiens. Et est hic notandum quod inter priores terminos, qui duplices sunt ad hos minimos numeros, mediabat maior terminorum horum minimorum ad quem alius terminus duplus erat et ipse ad alium habebat <apotomes> proportionem, sed inter hos minimos numeros non potest mediare terminus aliquis ad quem maior duplus sit, quia ille impar est et, per consequens, numeri illi minimi immediate haberi non possunt per partes huius consonantiae quae sunt diapason et apotome.

Potest igitur quaeri per quas partes huius consonantiae illi habeantur. Et dicendum quod per tritonum et diapente, sicut enim diapason, cum maiore semitonio hanc reddunt consonantiam, similiter tritonus cum diapente.

[238] Modo est ita quod inter terminos illos minimos mediat terminus quidam sesqualter ad minorem terminorum illorum et maior ad ipsum trium tonorum continet proportionem. Haec autem patent in numeris sequentibus: 2187 1944 <1728> 1536 1024.

Inter maiorem horum numerorum et quartum continentur tres sesquioctavae proportiones. Et inter illum quartum et ultimum numerum est sesqualtera | [P2, 113r in marg.] proportio.

Sed, ut plura speculentur hic quae per inusitativam repperi musicam, plures inter tactos extremos minimos terminos consonantiae huius ponantur numeri qui respondent sex tonis in hac inclusis consonantia cum diesi. Et sunt hi: 2187 1944 <1728> 1536 1458 1296 1152 1024. Hic primo ponuntur | [F, 81r in marg.] tres continuae sesquioctavae proportiones quas tritonus continet. Deinde sequitur diesis super 13 partiens proportio. Postea sequuntur tres sesquioctavae continuae proportiones, et sic mediat ibi diesis inter duos tritonos, et diapente potest tenere se, vel eius proportio, tam ad partem gravem quam acutam, et sic numeri isti omnino respondent illi modo quo notari potest consonantia haec in monochordo et de quo prius exemplum posuimus.

Item consonantiam hanc reddunt tetratonus et diatessaron, ut in numeris patet sequentibus: 6561 4096 3072. Inter duos primos numeros tetratonus est, inter medium et minorem numerum diatessaron sesquitertia proportio. Inter extremos autem numeros illos habitudo iacet huius consonantiae.

Item hexatonus cum minore semitonio hanc reddit consonantiam in numeris, sicut in sonis. Patet hoc in terminis: 531441 262144 248832. Primi ad secundum hexatoni proportio est et secundi ad ultimum ipsius diesis. Extremi vero termini inter se proportionem continent huius consonantiae.

Ut autem melius capiantur quae diximus, de his exempla subiecimus. Et primo, de his quae ad secundam pertinent inductionem, quae notabilior est; secundo de eis [239] numeris qui primum respiciunt processum; tertio, de his qui tertium; quarto, de illis qui quartum:

| [P1, 88r in marg.] (Vide Appendix: LVIIII).

| [P1, 88v; P2, 113v; F, 81v in marg.] Patet satis intelligenti per praedictas inductiones huius consonantiae proportio. Ideo ceteros, qui ad idem fieri possent, dimitto processus.

Potest autem ex aliis prius dictis esse manifestum dictam proportionem maiorem esse dupla simplici proportione, minorem vero quam sit tripla. Haec consonantia mixta est, et ratione suae proportionis, et ratione partium suarum et nominis sui, et divisibilis est in partes inaequales, non autem in partes aequales quae ipsum praecise reddant in sonis vel eius proportionem in numeris.

Superat haec consonantia hexatonum in diesi, diapason in semitonio maiore, et haec stant simul, quia hexatonus diapason vincit in commate. Habet in hac locum medietas directa, similiter et permutata, et de hoc exempla multa poni possunt in numeris, non sic in sonis, cum haec consonantia locum solum unum teneat in gammate.

Haec de semitonio maiore cum diapason dicta sint. De tono cum diapason prosequamur.

Capitulum CIII.

Quid sit tonus cum diapason.

| [P2, 114r in marg.] Tonus cum diapason est inaequalium consonantia sonorum sex tonos continens cum duobus minoribus semitoniis, in proportione dupla sesquiquarta consistens numerali.

Per partes huius consonantiae probatur ipsam tot tonos et semitonia continere, ut est dictum. Primo, per eas a quibus trahit nomen: diapason enim quinque tonos continet et minora semitonia duo; quibus si iungatur tonus, sex toni sunt cum duobus minoribus semitoniis. Item, habet haec consonantia diapente bis praecise et tetratonum cum semitritono, et ditonum cum bis diatessaron. Habet et alias partes [240] multas in hoc convenientes, quod ipsae, simul iunctae, hanc praecise reddant consonantiam et sex tonos continent cum duobus minoribus semitoniis.

Item clauditur haec consonantia inter ut ipsius Gammaut et voces ipsius .a. octavae. Inter quas voces sex habentur toni et diesis bis, ut hic patet:

(Vide Appendix: LXa).

In exemplo posito patent omnes partes huius consonantiae prius tactae, scilicet sex toni cum duobus minoribus semitoniis, tonus cum diapason, bis diapente (quinta enim vox in ascendendo vel in descendendo ad extremam superius habet diapente, similiter ad extremam inferius), quattuor toni cum semitritono (sed non sunt illi quattuor toni continui, sed mediat ibidem semitritonus inter duos ditonos); item continetur ibi ditonus cum bis diatessaron.

Cum haec consonantia impares contineat voces, si una extremarum in regula est, similiter et reliqua, vel si una in spatio est, et alia similiter, et propter nonas suas voces vulgariter una nona nuncupatur.

Cuius voces extremae simul prolatae penitus non discordant specialiter, si inter eas mediet diapente vel diapason.

Fit autem haec consonantia in monochordo de voce vel vocibus unius clavis ad vocem vel voces nonae clavis inferius vel supra, nisi inferior vox ad sibi sequentem semitonium habeat minus vel ad supremam penultima. In extremitatibus enim suis tonum requirit vel, si aliqua extremarum vocum ad sibi proximam diesim habeat, oportet ut sequatur vel praecedat tritonus, et, in hoc, a minore | [F, 82r in marg.] semitonio cum diapason distinguitur. Ibi enim, quantum ad alteram vocum suarum extremarum, diesis semper reperitur. Et ideo, si inter aliquas nonas monochordi voces locum habet diesis cum diapason, non habet inter illas locum consonantia ista et, e contrario, ubi ista, et illa minime. Potest autem tonus cum diapason in decem locis ipsius monochordi reperiri, ut suppositum denotat exemplum:

(Vide Appendix: LXb).

[241] | [P1, 89r; P2, 114v in marg.] Capitulum CIIII.

Quod haec consonantia fundetur in proportione dupla sesquiquarta.

Declaremus consequenter consonantiam hanc in ea quae dicta est fundari proportione, primo, per partes eius a quibus nominatur.

Disponantur autem ad hoc sequentes numeri: 9 8 4 Primus, ad secundum, sesquioctavus est, et ille, ad tertium vel minimum terminum, duplus. Videatur igitur terminorum extremorum immediate invicem comparatorum proportio, quia illa est in qua fundatur haec consonantia. Et sunt illi minimi numeri proportionis quam continent, quae est dupla sesquiquarta, quia maior minorem bis continet et eius quartam partem aliquotam, scilicet unitatem, et sic apparet, ut est prius dictum, quod ex dupla et sesquioctava proportione simul iunctis non nascitur, inter extremos terminos, proportio mixta ex dupla et sesquioctava, sed ea quae dicta est.

Idem patet per alias huius consonantiae partes nobiles quae sunt bis diapente in numeris sequentibus: 9 6 4. Primus sesqualter est ad medium terminum et ille similiter ad minorem extremum, et apparet hic, inter extremos, eadem proportio quae est prius, quia termini eidem sunt.

Item, quod inter tactos extremos numeros sit huius consonantiae proportio, per alias eius partes probari potest quae sunt diapente, diatessaron et tonus in numeris qui sequuntur: 9 8 6 4. Primus ad secundum sesquioctavus est, ille ad tertium sesquitertius qui, ad quartum, sesqualter est. Et ex his idem concluditur quod prius.

Item per bis diatessaron et ditonum possunt induci numeri extremi inter quos est huius consonantiae proportio, et sint isti: 81 72 64 48 36. Primus ad secundum sesquioctavus est, et secundus ad tertium; tertius ad quartum, sesquitertius, similiter quartus ad quintum. Primus vero ad ultimum duplex sesquiquartus est, quia continet illum bis et novenarium qui quarta pars est illius minoris numeri.

Item quattuor toni cum semitritono ad extremas huius consonantiae voces attingunt et similiter illorum proportiones [242] ad numeros extremos inter quos iacet huius consonantiae proportio, ut in sequentibus patet numeris:

6561 4096 2916.

Primus ad secundum tetratonialem | [F, 82v in marg.] continet proportionem, secundus ad tertium, semitritonialem; sed primus ad tertium, duplam sesquiquartam. Et, in hoc exemplo, quattuor toni ad gravem se tenent partem, semitritonus autem ad acutam.

Sed exemplum ad hoc ponamus in numeris quod respondeat exemplo posito prius in sonis in quo semitritonus in medio ponebatur, nam ibidem ditonus ad gravem partem ipsum antecedit et ad acutam ipsum subsequitur. Et in exemplo illo ponentur novem numeri novem vocibus huius consonantiae prius positis <correspondentes>, in quibus omnium consonantiarum ibi nominatarum continentur proportiones, et illi figurentur sic:

(Vide Appendix: LXI).

| [P1, 89v; P2, 115r in marg.] Ad declarandum consonantiam hanc in dupla sesquiquarta fundari proportione, deductiones sufficiant quae tactae sunt et exemplum positum pro omnibus. Levius enim est loqui de eius proportione quam de mixtis ex multiplici et superpartiente. Ipsa vero mixta est ex dupla et superparticulari, quod paucis competit consonantiis quae transcendant diapason. Mediat autem eius proportio inter duplam et triplam, magis vicina duplae quam triplae.

Consonantia haec mixta est ratione sui nominis, proportionis et partium multarum inclusionis.

Est autem divisibilis in duas partes aequales, scilicet in bis diapente a quibus nomen potuisset sumpsisse, si non perfectio diapason obstitisset, et semper inter terminos suae proportionis mediat numerus ad quem maior sesqualter est et ipse similiter ad minorem, quod est proportionem illam in duas aequales findere proportiones.

In partes inaequales consonantia haec multas recipere potest divisiones, quia multas tales habet. Includit enim omnes consonantias quae minores ea sunt, de quibus iam diximus.

Et, quia voces includit novem, vulgariter dicitur una nona qua aliqui in cantibus utuntur mensuratis.

[243] In tono cum diapason locum habere potest medietas simplex et permutata in sonis, numeris et chordis mensuratis.

Superat haec consonantia semitonium maius cum diapason in diesi et similiter in diesi superatur a semiditono cum diapason. De quo prosequamur.

Capitulum CV.

Quid sit semiditonus cum diapason.

Semiditonus cum diapason est consonantia sonorum inaequalium sex tonos in se continens tribus | [F, 83r in marg.] cum minoribus semitoniis in dupla super decem partiente proportione consistens.

Quod haec consonantia tot tonos et tot semitonia contineat, ut est dictum, ex suis probatur partibus. Primo patet hoc per partes a quibus nomen trahit, quia in diapason quinque toni sunt cum duobus minoribus semitoniis et, in semiditono, tonus cum diesi. Item superat haec consonantia praecedentem in semitonio minore. Illa autem sex in se continet tonos cum minoribus duobus semitoniis. Item constat consonantia haec ex ter diatessaron in quibus sex toni cum tribus minoribus semitoniis continentur; et ex multis aliis eius partibus posset idem probari.

Item fit haec consonantia inter re ipsius Are et voces ipsius .c. decimae, id est csolfaut, inter quas sex toni cum tribus minoribus semitoniis continentur, ut in exemplo patet sequenti, et cetera:

(Vide Appendix: LXIIa).

Exemplum positum partes huius consonantiae prius tactas continet et quasdam alias et, ne tantum in figuris laborare me oporteat, vocibus huius consonantiae decem adiunxi numeros proportiones continentes inclusas inter voces illas; et, inter extremos illos numeros, iacet huius consonantiae dicta proportio; quae qualiter ex partibus surgat quas continet, ostendunt numeri partibus illis appositi.

Verum est quod numeri illi extremi non sunt primi et minimi proportionis quam continent, quia inter illos qui infra [244] ponentur, tot signatae proportiones, sicut inter hic positos, non clauduntur.

Haec consonantia, propter decem | [P2, 115v in marg.] voces quas includit, una decima vocatur et hac aliqui in suis discantibus libenter utuntur. Tunc autem extremae voces ipsius dulcius sonant quando mediat inter illas diapason ut tertia per semiditonum habeat ibi locum.

Et cum voces eius pares sint, si una in spatio est, alia regulam tenet.

Incepi autem notare consonantiam haec ab .A. prima, scilicet ab Are, et non a Gammaut, ut priore, quia numeri quos applicui notis positis | [P1, 90r in marg.] non fuissent ita convenientes notis illis. Requirunt enim numeros maiores si integre proportiones omnes inclusas ibi debeant continere.

Semiditonum cum diapason in octo locis monochordi contineri sequens ostendit exemplum:

(Vide Appendix: LXIIb).

| [F, 83v in marg.] Capitulum CVI.

Quod semiditonus cum diapason in dupla super decem partiente fundetur proportione.

Positi sunt quidam secundarii huius consonantiae proportionem continentes. Nunc minimos ipsius numeros inquiramus et amplius ipsam in prius tacta fundari proportione per prius eius tactas partes declaremus.

Sumantur igitur numeri sequentes: 64 54 27. Inter primum et secundum est semiditoni proportio, inter secundum et tertium dupla.

Videatur igitur quae sit proportio inter illos extremos numeros, quia in tali fundatur haec consonantia. Illa autem est mixta ex dupla et super decem partiente. Sunt enim hi termini minimi et primi inter quos inveniatur quam continent habitudo. Maior autem minorem bis continet insuper et decem unitates quarum 27 minorem facerent. Est igitur maior minori duplex super decem partiens vicesimas septimas. Cum autem in terminis illis dupla proportio ad acutam se teneat partem quia minorem respicit numerum et semiditonialis [245] ad gravem quae minorem aspicit terminum, e converso potest esse in numeris sequentibus: 64 32 27. Item concluditur tacta huius consonantiae proportio ex aliis eius partibus in eisdem extremis terminis in sequentibus numeris: 64 54 48 36 32 27. Hic tres continentur sesquitertiae proportiones, una inter primum numerum et tertium, alia inter illum tertium terminum et quartum, tertia inter quartum illum et sextum vel ultimum. Tres autem sesquitertiae proportiones ad numeros attingunt inter quos est huius consonantiae proportio, sicut ter diatessaron ad extremos huius consonantiae sonos.

Item clauduntur hic sesquitertia proportio inter primum et tertium terminum, sesqualtera inter illum et quintum, inter quem et quintum semiditonialis. Hae autem proportiones, simul iunctae, huius consonantiae proportionem reddunt in numeris, sicut consonantiae respondentes eis ad hanc attingunt consonantiam in sonis.

Item habentur ibi duae semiditoniales proportiones, una inter duos maiores qui sunt primi secundarii numeri illius proportionis, altera inter duos terminos minores qui radices sunt illius proportionis et duae sesquioctavae proportiones, una inter secundum et tertium terminum, reliqua inter quartum et quintum, et praeter hoc continetur ibi sesquitertia proportio. Hae autem proportiones numeros inducunt extremos proportionem huius consonantiae continentes. Ad hoc continentur inter numeros illos distincte dupla proportio et semiditonialis et quaedam aliae quae omnes numeros illos inducunt inter quos huius consonantiae iacet proportio, ut in exemplo | [P2, 116r in marg.] signatur sequenti:

(Vide Appendix: LXIII).

| [P2, 90v; F, 84r in marg.] Multae aliae poni possent inductiones ad inquirendum terminos proportionem huius consonantiae continentes. Sed sufficiant qui positi sunt.

Est haec consonantia mixta, sicut et praecedens, ratione sui nominis, suae proportionis et partium quas continet et in quas est divisibilis. Est autem huius consonantiae proportio maior quam sit dupla, minor vero tripla. Potest autem dividi partes in tres aequales, sicut praecedens in duas, quia continet haec ter diatessaron, sicut illa bis diapente. Et sicut est in sonis, ita suo modo est in proportionibus. [246] Alias multas habet divisiones in partes inaequales, nullam autem in partes duas aequales.

Locum habet hic medietas directa et permutata in numeris, sonis et chordis. Et haec dicta de semiditono cum diapason sufficiant. De ditono cum diapason prosequamur.

Capitulum CVII.

Quid sit ditonus cum diapason.

Ditonus cum diapason est inaequalium sonorum consonantia septem continens tonos cum duobus semitoniis minoribus in dupla super decem septem partiente proportione consistens.

Includit haec consonantia septem tonos cum duobus minoribus semitoniis, quia superat in ditono diapason, et praecedentem consonantiam in maiore semitonio, bis diapente in tono; et per multas alias eius partes hoc probari potest.

Item fit haec consonantia inclusive inter ut ipsius Gammaut et mi [sqb] nonae secundae inter quas voces septem continentur toni cum duobus minoribus semitoniis, ut hic patet:

(Vide Appendix: LXIIIIa).

| [P2, 116v in marg.] Positum exemplum continet non tantum huius consonantiae notabiliores partes, verum etiam numeros qui denotant illarum proportiones et, propter denarium vocum quem includit, una decima vocatur, sicut et praecedens, quam haec vincit in apotome, sicut ditonus semiditonum. Etsi una vocum huius extremarum in regula est, reliqua in spatio, in hoc cum praecedenti consonantia conveniens, sed illa in altera parte extremarum vocum vel in duabus semiditonum habet, haec vero ditonum, et ideo in solis locis monochordi continetur in quibus in principio, vel in fine, vel in utroque ditonus invenitur. Et hoc est in sex locis qui notantur hic, quoad extremas eius partes:

(Vide Appendix: LXIIIIb).

[247] | [F, 84v in marg.] Restat declarandum consonantiam hanc in prius tacta fundari proportione. Ad hoc autem videndum numeri sumantur sequentes: 81 64 32. Inter primum et secundum est ditoni proportio, et inter secundum et tertium dupla proportio est. Inde sequitur ex partibus, ex quibus haec consonantia denominatur, ut inter extremos illos numeros qui sunt 81 et 32 sit huius consonantiae proportio. Illa autem est dupla super decem et septem partiens. Sunt enim tacti numeri primi et minimi proportionis quam continent. Maior autem minorem habet bis et 17 ipsius unitates. Est igitur maior ad minorem duplex super 17 partiens triginta duas secundas et, | [P1, 91r in marg.] cum in exemplo tacto dupla proportio partem respiciat acutam, et ditonialis gravem, fit e converso in numeris sequentibus:

162 81 64.

Item huius consonantiae partes sunt bis diapente et tonus. Sumantur igitur sequentes numeri: 81 54 36 32. Primus ad secundum sesqualter est, similiter secundus ad tertium; tertius vero quarto sesquioctavus est. Ergo, secundum praedicta, numeri illi extremi continent huius consonantiae proportionem. Idem apparet in his numeris: 81 72 48 32, in quibus ad gravem partem sesquioctava ponitur proportio, et postea duae continuae sequuntur sesqualterae proportiones.

Item potest exemplum poni in quo discontinuantur duae sesqualterae proportiones, et mediat inter illas toni proportio, ut hic: 81 54 48 32.

Possunt per multas alias partes venari numeri inter quos est huius consonantiae dicta proportio. Si enim sint partes quae, simul sumptae, hanc consonantiam praecise reddant in sonis, illarum proportiones tactam proportionem, et non aliam, inducent in numeris. Et tacti sunt prius numeri qualiter duae sesquitertiae proportiones cum tritoni proportione ad numeros attingunt inter quos est huius consonantiae proportio. Similiter ditoni proportio, semitritoni et tritoni et multae aliae partes tanguntur ibidem.

Maior est huius consonantiae proportio quam sit dupla, minor vero quam tripla. Superat enim diapente cum diapason hanc in semiditono consonantiam, et ideo proportio huius consonantiae venari posset per subtractionem semiditonialis [248] proportionis a proportione tripla, ut in numeris patet sequentibus: 96 81 32. Inter extremos hic positos terminos, tripla proportio est in qua fundatur diapente cum diapason. Inter primum et secundum terminum iacet semiditoni proportio. Amoto igitur maiore, medius ad minorem comparetur, et habebitur huius consonantiae proportio quae mixta est.

Et ideo consonantia haec mixta dicitur, similiter et ratione sui nominis et suarum partium per quas divisibilis est, non in partes aequales praecisas quibus caret, sed in partes multas inaequales.

Habet autem locum in ea medietas, tam non permutata quam permutata in sonis, numeris et chordis.

| [P2, 117r in marg.] Et haec dicta de hac consonantia sufficiant. Prosequamur de diatessaron cum diapason.

Capitulum CVIII.

Quid sit diatessaron cum diapason.

Diatessaron cum diapason est consonantia vocum in aequalium septem tonos continens cum tribus minoribus semitoniis, in proportione dupla superbipartiente fundata numerali.

Quod haec consonantia septem tonos et tria minora semitonia contineat ex partibus non tantum patet ex quibus nominatur, verum etiam et ex aliis. In diapason enim et diatessaron septem toni et tria clauduntur semitonia minora. Item superat haec consonantia praecedentem in minore semitonio. Idem patet per hoc quod haec consonantia continet in se bis diapente et semiditonum, bis diatessaron et diapente, et per multas alias eius partes quae, simul sumptae, reddunt eam et tot tonos et semitonia | [F, 85r in marg.] continent, ut est dictum.

Item fit haec consonantia ab ut ipsius Gammaut ad voces .c. decimae inter quas septem continentur toni et tria minora semitonia, sicut patet in exemplo sequenti:

(Vide Appendix: LXVa).

[249] | [P1, 91v in marg.] Appositi sunt hic numeri qui notis praecedentis consonantiae iungebantur, sed unus superadditur numerus quia haec consonantia superat illam in nota una quae diesim ad sibi proximam habet, et numeri illi continent proportiones partialium consonantiarum inclusarum in hac consonantia, quae, simul iunctae, huius inducunt proportionem. Unde fit ut illa contineatur inter extremos ibi positos numeros.

Haec consonantia ab undecim suis vocibus una undecima nuncupatur, qua aliqui in suis utuntur discantibus, quamvis sit rudis, ut meliores consonantiae iunctae peioribus amplius placeant. Sed, quamvis opposita iuxta se posita minora et maiora esse videantur et magis elucescant, malum tamen eligendum non est, malo utendum non est, maxime ubi haberi potest bonum, nec possunt naturae consonantiarum mutari. Sed de hoc amplius dicam infra.

Cum huius consonantiae voces impares sint, si una extremarum in regula est vel linea, similiter et altera; vel si una in spatio est, similiter et reliqua. Et continetur consonantia haec in monochordo de voce vel vocibus unius clavis ad vocem vel voces undecimae clavis sub vel supra, et decies reperitur ibidem, ut hic:

(Vide Appendix: LXVb).

| [P2, 117v in marg.] Ad videndum autem consonantiam hanc in prius tacta fundari proportione, numeri sumantur sequentes:

8 6 3.

Primus sesquitertius est ad secundum, et secundus duplus ad tertium. Restat igitur ut primus ad tertium huius consonantiae proportionem contineat, sicut in sonis extremae voces ipsius diatessaron cum diapason hanc continent consonantiam in sonis, ut in multis prius positis liquet exemplis.

Est autem, inter tactos numeros qui sunt 8 et 3, dupla superbipartiens proportio. Sunt enim hi | [F, 85v in marg.] primi numeri proportionis quam continent et maior minorem habet bis et duas eius partes tertias. Vel potest inter positos numeros mediare numerus quaternarius, sicut 8 4 3, et tunc dupla proportio ad partem gravem se tenet, et sesquitertia ad acutam.

[250] Item cum hanc consonantiam reddant bis diatessaron et diapente, similiter ad ipsius proportionem attingent duae sesquitertiae proportiones cum una sesqualtera, ut sequentes ostendunt numeri: 16 12 9 6. Primus ad secundum sesquitertius est, similiter secundus ad tertium. Tertius vero sesqualter est quarto. Illis igitur duobus intermediis numeris dimissis, videatur qualis inter extremos sit proportio. Illa est eadem cum prius inquisita, scilicet dupla superbipartiens, vel in his numeris: 24 16 12 9, in quibus sesqualtera proportio ad gravem partem se tenet, et duae sesquitertiae ad acutam.

Idem patet per alias eius partes quae sunt bis diapente et semiditonus in numeris qui sequuntur:

32 27 18 12.

Primus superquinquipartiens est secundo; secundus vero tertio et tertius quarto duas sesqualteras continuas continent proportiones. Extremi autem numeri duplam superbipartientem includunt proportionem.

Haec in exemplis patent sequentibus in numeris et chordis. In sonis autem exempla prius posita sunt:

(Vide Appendix: LXVc).

| [P1, 92r in marg.] Item posset huius consonantiae venari proportio per multas alias ipsius partes, per numeros quos prius in partibus eius apposui.

Posset etiam dicta huius consonantiae proportio concludi per subtractionem sesquioctavae proportionis a tripla quia diapente cum diapason, quae in tripla fundatur proportione, consonantiam hanc superat in tono. Sumantur igitur hi numeri: 24 9 8. Inter extremos hos terminos, tripla proportio est, inter medium et minorem sesquioctava. Dimittatur igitur minor numerus et, inter terminos remanentes qui sunt 24 et 9, continebitur huius consonantiae proportio ea quae prius dicta est.

Et est hic advertendum quod, in inquirendo terminos proportionis alicuius consonantiae per partes quas includit et ex quibus componitur, extremi termini semper manent, medio vel mediis abiectis. Ubi autem venantur termini proportionis alicuius consonantiae per quandam subtractionem a consonantia maiore cum qua illa componitur, tunc unus de extremis terminis removetur, manentibus duobus aliis.

[251] Hae inductiones sufficiant, quia huius | [F, 86r in marg.] consonantiae proportio clarior videtur inter proportiones consonantiarum mixtas ex multiplici et superpartienti, et forte haec una de causis est quare Boethius de hac specialiter tractat, vel quia vult reddere causam quare consonantia haec | [P2, 118r in marg.] Nicomacho et suis sequentibus in numero consonantiarum non ponitur sicut diapente cum diapason, quia proportio sesqualtera cum dupla ad simplicem, triplam scilicet, pertinet proportionem, non sesquitertia cum dupla, sed ad mixtam quae dicta est. Illi autem in solis simplicibus proportionibus multiplicibus vel superparticularibus posuerunt fundari consonantias musicales, ut est prius dictum, vel hoc ipse fecit propter Ptolomaeum qui consonantiam hanc in numero symphoniarum posuit, non obstante quod in mixta prius dicta fundetur proportione. Et de eius opinione, et rationibus suis statim disseretur.

Capitulum CVIIII.

Quod Ptolomaeus diatessaron cum diapason posuit inter consonantias consonans.

Ptolomaeus, ut tangit Boethius quinto Musicae, Pythagoricos reprehendit quia musicales consonantias fundari posuerunt in solis simplicibus proportionibus multiplicibus vel superparticularibus, et non in aliquibus mixtis. Posuit autem Ptolomaeus diatessaron cum diapason esse consonantiam, sicut diapente cum diapason, et hoc ipse probat sic: Nervi diapason resonantes ita iuncti sunt ac si unus sit nervus. Ergo si qua consonantia ipsi diapason sit coniuncta, integra inviolataque servatur. Diatessaron igitur, si ipsi diapason iungatur, suam non amittit naturam et, per consequens, bonam facit symphoniam et a numero consonantiarum subtrahi non debet, et confirmatur hoc quia diatessaron super unisonum veram et proprie dictam, etiam [252] secundum Pythagoricos, facit consonantiam. Ergo similiter super diapason, propter unitatem et aequisonantiam vocum ipsius diapason.

Item confirmat hoc per quandam ipsius diapason proprietatem, quia ipsa est quasi una vocula ut unum quodam modo efficiat sonum, et sicut denario numero qui fuerit superadditus numerus, ipsum non tollit sed integer manet cum addito numero. Patet de unitate, binario et trinario dicendo undecim, duodecim, et cetera. Ita est in hac consonantia quae est diapason. Sic autem non est de numeris denarium praecedentibus, similiter nec de consonantiis quae antecedunt diapason. Si enim duos tribus addicias, surgit quinarius, et numeri species mutatur sed, si binarium ipsi denario iungas, et binarius et denarius manent et conservantur.

Etiam, ut ex dictis patere potest, nulla proportio quae praecedat duplam mixta est, nec aliqua consonantia diapason antecedens mixtam habet proportionem. Ita igitur diapason quamcumque suscipit consonantiam et illam conservat nec immutat, nec ex consona dissonam reddit.

Concludit igitur Ptolomaeus quod, sicut diapente symphonia iuncta diapason consonantiae, in tripla scilicet proportione, diapente ac diapason servat, ita diatessaron, cum sit consonantia vera et consona, iuncta cum diapason, veram et consonam constituet consonantiam, quamvis in mixta, quae dicta est, fundetur proportione.

Hae igitur sunt rationes Ptolomaei bonae et pulchrae quare diatessaron cum diapason inter consonas numeret consonantias, et quidam alii ipsum in hoc imitantur, nec respondet Boethius ad eius positas rationes. In pace dimittit ibi eas. Sed, quia Pythagorici tenent oppositum, videbimus quod rationes illae contra illos possint concludere.

| [F, 86v in marg.] Capitulum CX.

Ad rationes Ptolomaei responsio.

| [P1, 92v in marg.] Videtur autem, sicut prius tactum est, quod consonantia sumi potest large et communiter, vel stricte et specialiter, secundum duplicem sui nominis expositionem ut dicatur a consonando, idest simul sonando, vel a consonando, idest concordando. Et, si primo modo sumatur [253] consonantia, sic concedendum est diatessaron cum diapason esse consonantiam sicut et multae aliae de quibus iam diximus et dicturi sumus. Si vero sumatur secundo modo, sicut eam sumunt Pythagorici, sic inter consonantiarum numerum, secundum Pythagoricos, poni non debet, quia non habet omnia quae ad tales requiruntur consonantias, quia nec voces eius bene concordant et mixtionem talem non faciunt quae ad bonam sufficiat symphoniam, nec fundatur in proportione quam requirunt tales consonantiae, multiplici scilicet simplici vel superparticulari.

Rationes autem, quas adducit Ptolomaeus, concludere non videtur consonantiam, de qua loquimur, esse consonam quantumcumque misceatur ex consonis, primo quia, cum oppositae causae oppositos inducant effectus, si ex consonis consonantiis, ut sunt diapason et diatessaron, proveniat consonantia consona, ex dissonis veniet dissona. Hoc autem falsum est. Patet de tritono et diesi quae sunt consonantiae multum dissonae, et tamen ex unione illarum ad invicem consona provenit consonantia, scilicet diapente. Item non est aliqua consonantia quantumcumque consona vel etiam aequisona quin habeat partes aliquas dissonas quae, simul sumptae, illam redderent, et sic eadem consonantia et esset consona et dissona.

Item si ex consonis consonantiis consonantia nasceretur consona, ex magis consonis magis consona, et ex minus minus, quia si simpliciter ad simpliciter, et magis ad magis, et maxime ad maxime. Hoc autem falsum est, quia ex diatessaron, cum unitur ipsi diapente, multo perfectior provenit consonantia quam cum unitur ipsi | [P2, 118v in marg.] diapason; similiter ex diatessaron cum unitur cum diapente et diapason.

Item sic est in consonantiis sicut in proportionibus. Videmus autem perfectam aliquam proportionem provenire non tantum ex perfectis, sed ex imperfectis, ut dupla (quae perfectissima est inter proportiones numerorum inaequalium et immediatius ad aequalitatem reducitur) non solum ex sesqualtera provenit et sesquitertia, sed ex aliqua superparticulari et superpartiente, ut patet hic: 8 7 4, vel ex duabus superpartientibus, ut hic: 10 7 5.

Item ab his quae non manent actu et formaliter in aliqua consonantia non debet asseri illius bonitas, perfectio, melodia [254] vel concordia: sic est de partibus alicuius consonantiae ut respicit voces suas extremas immediate prolatas et earum commixtionem ut quod aliquis immediate dicat: ut sol re la, vel duo simul. Secus est si illius signentur aliquae partes, et simili modo est de partialibus proportionibus partium alicuius consonantiae, respectu proportionis existentis inter numeros extremos illius consonantiae, ut immediate conferuntur ad invicem, alias, ut prius est dictum, una consonantia multae essent consonantiae, una proportio, multae proportiones, eadem consonantia bona esset et melior, mala et peior.

De bonitate igitur alicuius consonantiae, certum sumitur iudicium non per partes eius et voces mediantes, sed per extremas et earum ad invicem mixtionem, quia si illa dulcis est et auditui placeat bene disposito, bona est illa consonantia et consona, aequisona vel unisona debet dici, quicquid sit de partibus eius consonis vel dissonis. Si vero sit dura, | [F, 87r in marg.] rudis, sensum offendens, dissona dicitur, ut discordiam nominat, quamvis partes habeat aliquas consonas.

Quando ergo dicit Ptolomaeus quod nervi resonantes diapason sic iuncti sunt quasi unus sit nervus, hoc propter bonam concordiam quam faciunt dictum est, non quod, secundum veritatem, unus sit nervus, cum unus in duplo sit longior alio, vel duplam ad illum habeat proportionem. Ideo unum sonum non modo faciunt, sed nec aequalem.

Ideo non oportet ut consonantia ei iuncta suam omnino retineat naturam, sed potius perdit eam formaliter quia, ex partibus illis, alia consurgit consonantia, alias extremas habens voces quae aliam important mixtionem et aliam in numeris habent proportionem. Nam ad aliquam consonantiam additio, quantumcumque minima, aliam gravat consonantiam, ut in hexatono patet respectu diapason, et dic est in numeris quod unitatis additio numeri mutat speciam. Verum est si, inter extremas voces diatessaron cum diapason, mediet aliqua vox quae, ad alteram extremarum, habeat diapason; tunc manet diatessaron ab illa voce ad alteram extremarum, et sunt ibi duae actuales mixtiones quae formaliter hanc non faciunt consonantiam. Formaliter enim et essentialiter una consonantia unam respicit mixtionem, vocum scilicet extremarum suarum immediate prolatarum.

[255] Secus autem est quando diatessaron iungitur solis vocibus unisonantibus. Tunc enim omnino suam retinet naturam, quia ex hoc nulla | [P1, 93r in marg.] alia provenit mixtio, non alia consonantia, quia nulla alia ex hoc gignitur vocum distantia, quia altera vocum suarum cum unisono se tenet qui in se nullam patitur vocum inaequalitatem. Non sic autem est de diapason quia voces habet inaequales.

Hoc etiam verum est de quacumque consonantia vocibus unisonantibus iuncta quia, si bona est, manet bona, si mala, mala, et sic omnino suam retinet naturam nec efficitur bona ex hoc quod unitur vocibus unisoni quae multo amplius uniuntur quam voces ipsius diapason, vel etiam mala. Sed hoc habet consonantia a mixtione vocum suarum extremarum, ut est dictum.

Item non sequitur quod, ex mixtione consonantiae consonae cum alia quantumcumque consona, si illa voces habeat inaequales, consonantia nascatur consona, ut illa, quae inde nascitur, suas voces respicit extremas, quia pari ratione ex dissonis veniret dissona, et multa alia, quae tacta sunt, sequerentur inconvenientia.

Cum igitur, inter consonantias vocum inaequalium, diapason, diapente cum diapason, bis diapason, diapente et diatessaron sint illae quarum voces, simul prolatae, magis concordant et dulciorem et magis auditui placentem faciant mixtionem, subtiliantes se Pythagorici quae horum possit esse ratio ut illae magis concordent quam aliae, ut potuerunt inquisierunt. Nam, cum ita sit de facto et istarum et illarum talis sit natura, oportet ut istius diversitatis sit aliqua causa. Ait enim Plato, in primo Timaei libro, quod nihil est cuius ortum legitima causa non praecesserit.

Inspicientes igitur ad illarum naturales proportiones, repererunt illas solas in primis proportionibus multiplicibus (dupla, tripla, quadrupla) et in primis superparticularibus (sesqualtera et sesquitertia) radicari. Attendentes insuper proportiones multiplices et superparticulares, et maxime praedictas quae priores et perfectiores sunt inter illas, ad quandam gravitatis et acuminis unitatem et aequalitatem amplius accedere, crediderunt nonnullam causam invenisse [256] quare solae praedictae quinque symphoniae | [F, 87v in marg.] proprie consonantiae, consonae et concordantes debeant | [P2, 119r in marg.] nuncupari, non aliae quarum mixtio rudis est, displicens et dura respectu praedictarum, licet secundum magis et minus, quia illae vel in mixtis vel in superpartientibus fundantur proportionibus quae non sic accedunt ad unitatem et a longe magis aspiciunt aequalitatem, excepto tono qui, etsi fundetur in proportione superparticulari, illa tamen discontinuatur a primis, sesqualtera scilicet et sesquitertia, nec voces eius ita concordant, quia proportio eius magis ab aequalitate recedit. Et propter has causas tonum forsitan inter consonantias proprie dictas non posuerunt, sed eum partem consonantiarum, vel differentiam autem consonantias <iungentem>, vocaverunt.

Item quod ex parte proportionum de bonitate et perfectione iudicare possimus consonantiarum attestatur gradus bonitatis earum. Quae enim in perfectioribus fundantur proportionibus, multiplicibus vel superparticularibus, ceteris partibus perfectiores sunt et meliorem concordiam continentes, ut diapason inter eas quae in multiplicibus fundantur proportionibus, diapente inter has quae in superparticularibus. Quia igitur diatessaron supra diapason non in multiplici proportione, non in superparticulari, sed in mixta radicatur, et rudem eius voces faciunt mixtionem respectu praedictarum, eam a numero consonantiarum iam dictarum, quae aequisonae sunt vel consonae, seiunxerunt. Nec est simile de diapente cum diapason, quia illa in simplici proportione fundatur multiplici, scilicet in tripla. Nam, ut dictum est, libro primo, sicut ex duabus primis proportionibus superparticularibus dupla provenit proportio, sic ex prima multiplici et prima superparticulari habitudo nascitur tripla. Non igitur diapente supra diapason ea ratione inter consonantias numeratur consonas quia supra diapason fundatur, sed ratione suae proportionis et melioris mixtionis. Nam, quin diatessaron supra diapente melior sit consonantia quam supra diapason, non tollit hoc minoritas fundamenti, sed hoc facit melioritas proportionis.

Quod autem dicitur simile esse de consonantiis partialibus additis ipsi diapason, ut de numeris partialibus additis ipsi denario, verum est quantum ad hoc quia, sicut denarius virtualiter manet et continetur in numeris ipsum sequentibus et ab illo et <cum> eo, quod ultra iungitur, denominantur [257] usque ad viginti, sic virtualiter diapason includitur in consonantiis ipsam sequentibus et ab ea cum eo quod additur denominatur, et, quantum ad hoc, diapason suam servat naturam nec immutat virtualiter scilicet vel actualiter; actualiter, vox si mediet inter extremas voces ipsius diatessaron cum diapason quae ad alteram extremarum diapason habet. Sed tunc sunt ibi duae consonantiae et mixtiones duae. Ubi autem simul et immediate voces extremae ipsius diatessaron cum diapason proferuntur, nec diatessaron, nec diapason actu manent sed longe est ibi consonantia alia, sicut alia vocum distantia, alia mixtio, et similiter est de denario in numeris ipsum sequentibus. Manet in illis potentialiter, materialiter et virtualiter, non formaliter, sed semper, ex alia additione, | [P1, 93v in marg.] species alia provenit numeralis.

Videtur autem mihi sine praeiudicio quod species numerales, quae dicuntur mixtae, similiter et earum proportiones, non includunt formaliter duas illas partes ex quibus componi dicuntur, sed virtualiter, potentialiter et materialiter. Sed nascitur species ab illis distincta formaliter. Quod enim inter 8 et 3 proportio mixta sit ex dupla et superpartiente pro | [F, 88r in marg.] tanto verum est quia maior minorem continet bis et eius duas partes tertias, non quod illa proportio formaliter sit illae duae, sicut numeri denarium sequentes non duo numeri sunt formaliter, et, secundum hoc, nulla proportio composita est formaliter et, per consequens, nec consonantia, et in hoc omnes conveniunt consonantiae quod essentialiter consistunt in mixtione duarum suarum vocum extremarum, sive plus, sive minus distent, sive minus, sive amplius includant. Similiter et proportio formaliter consistit in comparatione duorum terminorum, quicumque sint illi.

Et haec dicta sufficiant de Ptolomaei sententia circa consonantiam hanc quae dicitur mixta ratione suae proportionis intelligendo ut est dictum, similiter ratione sui nominis et partium suarum per quas est divisibilis, non in partes aequales, sed inaequales.

Proportio huius consonantiae minor est quam tripla, maior vero quam dupla.

Habet in ea locum medietas haec et illa in sonis, numeris et chordis.

[258] Haec consonantia ditonum cum diapason superat in minor semitonio, in quo superatur a semitritono cum diapason. De quo prosequamur quia in gammate reperitur.

Capitulum CXI.

Quid sit semitritonus cum diapason.

Semitritonus cum diapason est vocum inaequalium consonantia septem tonos continens cum quattuor minoribus semitoniis in dupla super quingentesima nonagesima partiente proportione consistens.

Cum haec consonantia praecedentem superet in diesi, patet eam tot tonos, ut est dictum, et tot semitonia continere, et idem patet ex partibus a quibus nominatur. Semitritonus quippe duos tonos cum duobus minoribus includit semitoniis. Diapason | [P2, 119v in marg.] quinque tonos habet et diesim bis. Patet item per alias multas eius partes, ut per ter diatessaron et semiditonum, per diapente, diatessaron et semitritonum.

Item fit haec consonantia a vocibus ipsius .E. quintae, scilicet ipsius Elami in spatio ad fa ipsius bfa[sqb]mi in regula inter quas voces septem continentur toni cum quattuor minoribus semitoniis, ut hic patet:

(Vide Appendix: LXVIa).

In praedicto exemplo, non solum describuntur duodecim voces quas includit haec consonantia et in quibus septem toni cum quattuor minoribus semitoniis includuntur, sed signantur ibi partes multae consonantiae istius quibus additi numeri proportiones illarum denotant et, sicut inter extremas illas voces haec iacet consonantia, sic numeri illis appositi huius consonantiae proportionem continent, sed non sunt minimi. Dabimus enim illos infra.

Haec consonantia | [F, 88v in marg.] tritonum cum diapason, de quo postea tractabitur, superat in numero vocum, licet ab illo superetur in commate. Nam haec duodecim voces, illa undecim continet, et hae faciunt quattuor minora semitonia hic inclusa.

[259] Patet autem quod si una | [P1, 94r in marg.] vocum extremarum huius consonantiae in spatio est, reliqua regulam tenet.

Quodsi volumus partes principales ipsius diapason ab invicem dividere ut semitritonum inter diapente et diatessaron ordinemus, et tritonum inter duos semitritonos, consonantiam hanc in monochordi locis quattuor reperiemus, ut sequens ostendit descriptio:

(Vide Appendix: LXVIb).

Quamvis dixerim hanc consonantiam in quattuor locis monochordi reperiri, non est hic intelligendum quoad extremas eius voces, sed quoad quattuor distinctas ipsius semitritoni locationes et ipsius diapason partes quae sunt diapente et diatessaron, tritonus et semitritonus. Unde, in exemplo primo, in ascendendo tritonus mediat inter duos semitritonos, postea notamur descensus per diapason et semitritonum. In secundo exemplo, quod convenit cum primo quoad extremas | [P2, 120r in marg.] voces, non quoad intermedias partes, nam mediat ibi semitritonus inter diatessaron et diapente et ponitur diatessaron ad gravem partem, diapente vero ad acutam. In tertio vero exemplo, quod a prioribus in extremis vocibus distinguitur et in aliis clavibus notatur, mediat etiam semitritonus inter diapente et diatessaron, sed ibi diapente gravem tenet partem, diatessaron acutam. In quarto vero exemplo, diatessaron gravem tenet partem, semitritonus acutam.

Ex quibus exemplis et ex aliis positis et ponendis patet quam artificialiter, quam rationabiliter claves et voces in monochordo positae sunt ut, si eadem consonantia ibidem, quoad extremas suas voces, in diversis locis reperiatur, in illis tamen diversae illius partes exprimuntur. Apposui autem illis partibus omnibus numeros, ut illarum appareat proportio, ut, sicut partes illae distinctae hanc reddunt consonantiam in sonis, sic termini illi huius reddunt proportionem in numeris.

Ad videndum igitur consonantiam hanc in ea quae prius dicta est fundari proportione, numeri extremi, qui in praedictis positi sunt exemplis, inspiciantur et ad invicem comparentur, quia ipsi continent huius consonantiae prius dictam proportionem, scilicet duplam super 590 partientem. Quod evidentius patet per numeros in exemplo positos ultimo qui sunt: 2048 1024 729. Primus ad medium duplam habet proportionem, et ille ad minimum terminum semitritonialem.

[260] Istae sunt duae principaliores huius consonantiae partes a quibus nomen trahit quae, simul iunctae, sicut ad extremas voces attingunt huius consonantiae, sic illarum proportiones ad numeros proveniunt inter quos est huius consonantiae proportio. Sunt autem termini illi primi et minimi proportionis quam continent. Habet autem maior minorem bis et quingentas et nonaginta ipsius unitates. Idem posset declarari per multas alias huius consonantiae prius tactas partes et per numeros illis appositos, si diligenter aliquis eos examinaverit.

Idem etiam apparet inter terminos sequentes:

2187 2048 729.

Inter extremos terminos tripla proportio est. Inter maiorem et medium est habitudo semitonii maioris in quo diapente cum diapason | [F, 89r in marg.] hanc superat consonantiam. Maiore igitur dimisso termino, videatur quae sit duorum terminorum remanentium proportio. Illa est eadem cum priore quia eidem sunt numeri et, cum termini proportionis huius consonantiae ad numeros triplae proportionis non attingant, minorem quam sit tripla continent proportionem.

Consonantia haec mixta est ratione suae proportionis modo qui dictus est, ratione etiam sui nominis et partium quas continet, secundum quas divisibilis est non in partes aequales, sed in partes inaequales prius tactas.

Habet in ea locum medietas, tam directa quam permutata, in numeris, sonis et mensuratis chordis. Superat haec consonantia praecedentem, scilicet diatessaron cum diapason, in minore semitonio. Superatur vero a tritono cum diapason in commate.

Et de semitritono cum diapason dicta sufficiant. De tritono cum diapason prosequamur.

| [P1, 94v in marg.] Capitulum CXII.

Quid sit tritonus cum diapason.

Tritonus cum diapason est inaequalium vocum consonantia octo tonos cum duobus minoribus continens semitoniis in dupla super ducentesima decima septima partiente consistens proportione.

Cum haec consonantia in se diapason contineat cum tritono a quibus nomen sumit, diapason autem, ut est saepe dictum quinque tonos cum duobus minoribus semitoniis [261] contineat, tritonus vero tonos tres, patet hanc in se continere tonos octo cum minoribus duobus semitoniis. Et idem ex multis aliis partibus potest apparere, ut per tonum cum diapente geminatum, per bis tritonum et semitritonum, per bis diatessaron et tetratonum, et per hoc quod superat praecedentem in commate, et per multas alias eius partes quae, simul sumptae, tot tonos et tot semitonia continent.

Item fit haec consonantia a fa ipsius bfa[sqb]mi in spatio ad vocem ultimae clavis in ascendendo, quae est ela, inter quas voces octo continentur toni cum duobus minoribus semitoniis, ut in exemplo patet sequenti:

| [P2, 120v in marg.] (Vide Appendix: LXVIIa).

In exemplo posito patet hanc consonantiam continere tonos octo cum duobus minoribus semitoniis. Signatae sunt et ibi et aliae huius consonantiae principaliores partes quibus iuncti numeri illarum denotant proportiones, et, secundum ea quae tanguntur ibi, consonantia haec duos includit tritonos cum semitritono mediante, ut praecedens duos semitritonos cum tritono illos separante. Ex quibus sequitur hanc consonantiam superare illam in commate in quo tritonus vincit semitritonus. Inde etiam sequitur consonantiam hanc in illis solis locis ipsius gammatis contineri in quibus, quoad extremas ipsius partes, tritonus potest reperiri et inter illos semitritonus | [F, 89v in marg.] mediare.

Haec consonantia, etsi praecedentem superet, minores tamen, idest pauciores, habet voces propter causas prius tactas et, cum suae voces impares sint, ambae extremae in spatio sunt vel regula. Et, quantum ad extremas suas voces, in duobus gammatis locis reperitur. Quia tamen tritonus quattuor ibi continetur, quattuor exempla ponantur in ascendendo et totidem in descendendo, et sic sunt octo:

(Vide Appendix: LXVIIb).

[262] Positi sunt numeri multi per quos, secundum distinctas huius consonantiae partes, ipsius prius dicta potest apparere proportio et specialiter per numeros exempli secundi qui sunt: 729 512 256. Primus ad secundum tritoni proportionem continet quae est super 217 partiens, secundus ad tertium ipsius diapason quae est dupla. Hae autem sunt partes illae a quibus haec denominatur consonantia quae, sicut in sonis hanc praecise reddunt consonantiam, sic ipsarum proportiones ad huius attingunt proportionem. Ideo in illa consistit haec consonantia proportione quam includunt numeri illi extremi ad invicem comparati. Illa autem est dupla super | [P1, 95r in marg.] ducentesima decima septima partiens ducentesimas quinquagesimas sextas. Sunt enim illi numeri primi et minimi proportionis quam continent.

Cum autem in tactis numeris tritoni proportio ad gravem se teneat partem, ipsius vero diapason ad acutam, potest esse e converso in numeris positis in exemplo primo qui sunt: 1458 729 512.

Idem ostendi potest per tritonum, semitritonum et tritonum in numeris in exemplo positis tertio qui sunt:

1458 1024 729 512.

Et per numeros exempli quarti quorum maior ad medium toni cum diapente continet proportionem, et similem proportionem continet ille medius | [P2, 121r in marg.] numerus ad numerum minorem, et illae sunt duae partes aequales quae praecise hanc reddunt consonantiam.

Exemplum quintum, quod est tertium in ascendendo, et sextum, quod tertium in descendendo, assimilantur exemplo primo in ascendendo et primo in descendendo et ideo hic et ibi eidem ponuntur numeri sed exempla illa, quoad voces extremas et medias, alias et alias respiciunt claves, unde primorum duorum voces extremae sunt in linea, duorum aliorum in spatio.

Item possunt haberi numeri huius consonantiae proportionem continentes per alias eius partes, qui sunt diapente, diatessaron et tritonus quibus deserviunt termini in exemplo quarto positi in ascendendo, et per ditonum et bis diapente, ut numeri denotant ultimi qui sunt:

1458 972 648 512.

[263] Ultimo sufficiat dictam proportionem confirmare per subtractionem proportionis minoris semitonii a tripla proportione in numeris sequentibus: 729 256 243. Inter extremos tactos numeros, tripla proportio est. Inter medium vero et minorem, minoris semitonii proportio est. Tollatur igitur minor ille numerus, et inter numeros remanentes, huius consonantiae proportio continebitur. Nam, sicut diapente cum diapason hanc consonantiam superat in diesi, sic tripla proportio, in qua fundatur consonantia | [F, 90r in marg.] illa, huius consonantiae vincit proportionem in proportione minoris semitonii.

Haec consonantia mixta est ratione suae proportionis modo qui tactus est, ratione etiam sui nominis et partium suarum in quas est divisibilis, et, cum habeat aliquas partes aequales, divisibilis est in eas, ut in tono cum diapente bis sumpto. Nam numerus medians, quoad partes illas, proportionem huius consonantiae in aequales dividit proportiones. Et hic notari potest qualiter additio vel subtractio minimae consonantiae, quae est comma, consonantiam mutat et variat, non solum quia aliquando malam mutat in bonam, sed ex ea quae indivisibilis est in partes aequales provenit ea quae divisibilis est in partes aequas. Nam praecedens consonantia indivisibilis est in aequales partes in quas haec est partibilis, et tamen superat haec illam in solo commate. Et eodem modo est de hexatono et diapason.

Potest etiam haec consonantia partiri per multas inaequales partes quas continet.

Locum habet in hac consonantia medietas, haec et illa, in sonis, in numeris et in chordis.

Post hanc consonantiam sequitur diapente cum diapason, sicut post tritonum diapente. Et de diapente cum diapason prius dictum est, quae in simplici multiplici, scilicet in tripla, fundatur proportione, nam, inter consonantias quae diapason sequuntur, ipsa est quae prior ad simplicem reddit proportionem. Ceterae enim, quae mediant inter diapason et ipsam, in mixtis fundantur, ut est visum, proportionibus. Et sic iam expediti sumus de consonantiis quarum proportiones duplam antecedunt proportionem atque triplam, quae scilicet procedunt diapason ordine cuiusdam imperfectionis et minoris distantiae vocum extremarum, et de eis quae praeeunt diapente cum diapason. Tractavimus autem de duodeviginti consonantiis vocum inaequalium diapason praecedentibus et de novem mediantibus inter diapason et [264] diapente cum diapason, et sic, includendo cum illis diapason, diapente cum diapason et bis diapason, praeter unisonum, de triginta consonantiis iam egimus quarum sex non solum in usu non sunt, sed nec in gammate locum habent, ut sunt comma, minor tonus, et maior, tetratonus, pentatonus et hexatonus.

Aliarum vero, etsi quaedam in usu non sunt, in monochordo tamen continentur, et istarum et illarum contemnenda non est cognitio. Restat igitur prosequendum de illis quae sequuntur diapente cum diapason, specialius de his quas nostrum continet monochordum, inter quas occurrit primo semitonium minus cum diapente et diapason. Ideo de hac primo prosequamur.

Capitulum CXIII.

Quid sit semitonium minus cum diapente et diapason.

Semitonium minus cum diapente et diapason est vocum inaequalium consonantia tonos octo continens cum quattuor minoribus semitoniis in tripla super tertia decima partiente consistens proportione quam numeri continent sequentes: 256 81.

Superat haec consonantia diapente cum diapason in minore semitonio. Illa autem octo continet tonos cum tribus minoribus semitoniis, ut in tractatu consonantiae illius ostensum est. Continet igitur consonantia haec tot tonos et tot semitonia, sicut eius dicit descriptio. Hoc etiam per alias eius patet partes, ut sunt quater diatessaron, bis diapente et semitritonus, et multae aliae.

Item fit haec consonantia a vocibus .E. quintae, scilicet Elami in spatio ad voces .c. decimae septimae, id est csolfa inter quas octo continentur toni cum quattuor | [P1, 95v in marg.] minoribus semitoniis, ut exemplum sequens ostendit:

| [P2, 121v in marg.] (Vide Appendix: LXVIIIa).

[265] | [F, 90v in marg.] Numeri notis praedictis appositi proportiones continent partialium consonantiarum inclusarum in hac consonantia. Extremi vero termini huius consonantiae iam dictam includunt proportionem quae ex tactis ibi partibus venatur et concluditur, sed non sunt illi numeri minimi proportionis quam continent, sed illi qui prius positi sunt.

Quos repetentes declaremus consonantiam hanc in ea quae dicta est proportione iudicari. Disponantur igitur numeri sequentes: 256 243 162 81. Inter primum et secundum est minoris semitonii proportio. Inter secundum et tertium, sesqualtera proportio est, qui tertius numerus ad ultimum duplam habet proportionem. Hae sunt proportiones partium a quibus haec denominatur consonantia, quae, sicut in sonis ad extremas voces attingunt huius consonantiae, sic et proportiones illae, simul iunctae, perveniunt ad numeros inter quos est huius consonantiae proportio. Illa autem est tripla super 13 partiens. Continetur enim minor in maiore ter et tredecim ipsius unitates, et illi sunt minimi numeri in quibus haec contineatur proportio.

Idem patet per alias eius partes quae sunt quater diatessaron in numeris sequentibus:

256 192 144 108 81.

Primus horum numerorum sesquitertius est ad secundum, et ille ad tertium, tertius ad quartum, et quartus ad quintum. Inducunt igitur hae partes eosdem extremos numeros, ut priores, ideo et eandem proportionem.

Idem ex multis aliis partibus huius consonantiae declarari posset, si ad secundarios numeros tactae proportionis aspiciatur, et, de hoc, iam aliqui positi sunt numeri et ponentur. Etiam exempla alia multa possent poni et diversimode figurari quae, propter brevitatem, dimitto.

Haec consonantia, sicut in exemplo liquet prius posito, tredecim continet voces, unde, si una extremarum vocum suarum in spatio est, et reliqua, et, si in linea, similiter et alia.

Loca quattuor sunt in palma in quibus haec continetur consonantia, ut hic patet. Et iunguntur ibi numeri partibus distinctis consonantiae huius signatis ibidem:

(Vide Appendix: LXVIIIb).

[266] | [P1, 96r; P2, 122r in marg.] Mixta dicitur haec consonantia ratione suae proportionis, sui nominis et partium suarum ex quibus componitur et in quas resolvitur. Potest autem dividi in partes inaequales multas quas continet, similiter et in duas aequas partes, vel quattuor, ut in bis et bis et in quater diatessaron, sicut et eius proportio. Patet hoc in exemplo posito in quo quater diatessaron describitur. Numerus enim qui est 144 eandem habet proportionem ad minorem numerum ibi positum, qui est 81, quam habet maior ad ipsum, qui est 256. Utrobique enim sunt duae proportiones sesquitertiae continuae.

Habet locum in hac consonantia medietas directa similiter et permutata in sonis, chordis et numeris.

Dicamus consequenter aliquid de semitonio maiore cum diapente et diapason.

Capitulum CXIIII.

Quid sit maius semitonium cum diapente et diapason.

Semitonium maius cum diapente et diapason est inaequalium sonorum consonantia tonos novem continens cum duobus minoribus semitoniis in tripla super quadringentesima decima septima partiente consistens proportione in qua numeri se habent sequentes: 6561 2048. Cum haec consonantia praecedentem superat in commate, sicut maius semitonium minus, et illa tonos octo cum quattuor minoribus semitoniis in se claudat, satis consequens est hanc tonos novem cum duobus minoribus semitoniis includere, quod etiam ex aliis huius consonantiae partibus convincitur et non tantum ex eis a quibus denominatur.

Habet enim alias multas, ut bis diapente et tritonum, sicut prior habebat bis diapente et semitritonum. Item continet diapason et tetratonum, item diapente, <apotomen>, semitritonum et tritonum, ad hoc tetratonum, semitritonum et tritonum, et alias multas quae, simul sumptae, ad extremas huius consonantiae voces attingunt et illarum proportiones [267] ad numeros huius consonantiae proportionem continentes. Et in illis novem toni continentur cum duobus semitoniis minoribus.

Hoc etiam patet in monochordo si, per falsam musicam, inter .F. sextam et .E. quintam tonum ponamus sic:

(Vide Appendix: LXVIIII).

| [F, 91r in marg.] Signantur in exemplo posito non solum novem toni cum duobus minoribus semitoniis in hac contenti consonantia, verum etiam aliae notabiliores eius partes quibus iuncti numeri illarum designant proportiones, ad numeros illos attingentes in quibus huius consonantiae iam dicta iacet proportio, quod per quasdam partes eius non solum ibi tactas sed alias declaremus eas, scilicet a quibus nomen trahit quae sunt maius semitonium, diapente, diapason. In exemplo enim tacto maius semitonium, sive apotome, explicite non habetur.

Sumantur igitur numeri sequentes:

6561 6144 4096 2948.

Inter primum et secundum apotome continetur, inter secundum et tertium diapente, inter quem et quartum diapason. Et cum hae sint verae partes huius consonantiae, oportet, secundum artem quam tenemus, inter extremos positos numeros huius consonantiae contineri proportionem. Maior autem terminorum illorum extremorum minorem ter continet et quadringentas decem et septem ipsius unitates. Illi autem sunt minimi numeri proportionis quam continent. Consistit igitur haec consonantia in tripla super 417 partiente proportione 2048vas, et, cum apotome ponatur in exemplo praedicto in principio ad partem gravem, et postea diapente, et tertio diapason, potest aliter | [P2, 122v in marg.] fieri sicut sequens continet exemplum, eisdem extremis remanentibus numeris:

6561 4374 2187 2048.

Inter primum et secundum horum numerorum diapente iacet proportio, inter secundum et tertium ipsius diapason, | [P1, 96v in marg.] inter tertium et quartum ipsius semitonii maioris.

[268] Idem patet per alias huius consonantiae partes quae sunt bis diapente et tritonus in exemplo sequenti:

6561 4374 2916 2048.

Inter primum et secundum diapente continetur, similiter inter secundum et tertium, inter quem et quartum tritonus est. Hae autem partes, simul iunctae, hanc reddunt consonantiam.

Item patet idem per partes pauciores quae sunt tetratonus et diapason in numeris qui sunt: 6561 4096 2048. Medius ad minorem diapason continet; a quo medio maior tetratono distat.

Adhuc possunt termini huius consonantiae proportionem continentes per alias ipsius haberi partes quae sunt diapente, apotome, semitritonus et tritonus in numeris qui sequuntur: 6561 4374 4096 2916 2048. Inter duos primos terminos continetur diapente, inter secundum et tertium apotome, inter tertium et quartum semitritonus, inter quartum et quintum tritonus.

Haec diversimode possent figurari. Qui ad aliud non tenderet, hae sufficiant inductiones.

Continet haec consonantia duodecim voces. Qui tamen tonum divideret in maius et minus, sicut advertenti numeros patet quos in duobus posui locis, tunc esse possent tredecim voces.

Non assigno loca monochordi in quibus haec consonantia contineatur, quia in ibi, nisi musica falsa nos iuvemus, minime reperitur.

Mixta dici potest haec consonantia ratione suae proportionis, ut de praecedenti dictum est, ratione etiam sui nominis et partium suarum per quas est divisibilis non in partes aequales, sed in partes inaequales.

Habet in ea locum medietas.

Post hanc consonantiam de tono cum diapente et diapason prosequamur.

[269] Capitulum CXV.

Quid sit tonus cum diapente et diapason.

Tonus cum diapente et diapason est vocum inaequalium consonantia novem tonos in se claudens cum tribus minoribus semitoniis in tripla supertripartiente consistens proportione quam includant numeri sequentes: 27 8.

Superans consonantia haec praecedentem in minore semitonio continere habet novem tonos cum tribus minoribus semitoniis, quia illa novem continebat tonos cum duobus semitoniis minoribus.

Hoc etiam ex aliis ipsius patet partibus, quia ab illis a quibus nominatur. Tonus enim cum diapente quattuor includit tonos cum diesi, diapason quinque tonos cum duobus minoribus semitoniis. Item continet haec consonantia ter diapente et ab hoc convenienter posset nominari. In ter diapente novem toni cum tribus minoribus semitoniis continentur. Idem ex aliis multis ipsius partibus experiri potest.

Adhuc fit haec consonantia vocibus ipsius .G. septimae sive Gsolreut in spatio ad la ipsius ela quae clavis est ultima inter quas voces tot toni et tot minora semitonia continentur, ut dictum est, sicut in exemplo patet sequenti:

(Vide Appendix: LXX).

| [P2, 123r; F, 91v in marg.] Exemplum positum continet non solum numerum vocum, tonorum et semitoniorum huius consonantiae, sed et ipsius principaliores partes et illarum in numeris iunctis notis illis proportiones et, sicut extremarum vocum positarum ibi commixtio hanc essentialiter constituit consonantiam, sic illis iuncti numeri ipsius continent proportionem.

Sed, cum numeri illi sint secundarii, ut amplius appareat consonantiae, de qua nunc tractamus, proportio prius tacta, minimos eius numeros iam positos resumamus:

27 24 16 8.

Primi ad secundum tonus est, secundi ad tertium diapente, et illius ad quartum diapason. Hae sunt partes, a quibus haec consonantia in sua descriptione vocata est, quae ad extremas huius consonantiae pertingunt voces, et, per [270] consequens, earum proportiones ad numeros perveniunt huius consonantiae proportionem continentes. Illa autem est | [P1, 97r in marg.] ea quae prius dicta est. Maior enim minorem ter continet et, insuper, tres ipsius partes octavas, scilicet tres unitates quarum octo minorem illum redderent. Est igitur inter illos tripla superpartiens proportio octavas.

Et, cum in exemplo posito tonus ad gravem partem se teneat, secundo sequatur diapente, tertio diapason, aliter potest fieri, ut in numeris patet his: 27 18 9 8. Hic ad gravem partem diapente ponitur et ad acutam tonus; in medio vero tenet se diapason.

Vel poni posset diapason ad gravem partem, diapente ad acutam, et tonus in medio, non in terminis tactis qui sunt minimi tactae proportionis. Minor enim illorum, cum sit impar, medietate caret. Ideo non potest esse duplex, sed, si sumantur primi secundarii termini tactae proportionis, reperiemus quod tactum est. Et sint hi: 54 27 24 16.

Item, sicut tonus iunctus cum diapente et diapason hanc constituit consonantiam, sic sesquioctava proportio proportioni iuncta triplae ipsius inducit proportionem, ut in numeris iam tactis apparere potest qui sunt: 27 9 8, vel 27 24 8, et in tactis secundariis terminis: 54 18 16 vel 54 48 16.

Item ter diapente hanc praecise continet consonantiam et, per consequens, tres sesqualterae proportiones continuae numeros inducunt ipsius continentes proportionem, ut ostendunt sequentes numeri: 27 18 12 8.

Idem per multas alias huius consonantiae partes posset declarari, sed quia hoc satis laeve est, sufficiant tactae deductiones, nisi quod idem manifeste potest apparere per subtractionem semiditonialis proportionis a quadrupla proportione. Sicut enim bis diapason superat hanc consonantiam in semiditono, sic quadrupla proportio vincit huius consonantiae proportionem in semiditoni proportione quae est superquinquipartiens. Sumantur ad hoc numeri sequentes: 32 27 8. Inter extremos est quadrupla proportio; inter primum et secundum semiditonialis. Dimisso igitur maiore numero, si duo remanentes ad invicem comparentur, habebitur proportio quae quaeritur.

[271] Haec consonantia per numerum vocum quem includit una tertia decima potest nuncupari. Cuius extremae voces in spatio sunt vel linea et quinquies in monochordo continentur, ut hic describitur:

(Vide Appendix: LXXb).

| [P2, 123v; F, 92r in marg.] Haec consonantia reponitur inter mixtas ratione suae proportionis quae mixta est ex multiplici et superpartiente, maior existens quam tripla, minor quam quadrupla. Item ratione sui nominis vel nominum suorum. Tot enim nominibus potest nominari quot partibus distinctis praecise potest constitui; convenientius tamen a principalioribus denominatur partibus et, cum habeat partes aliquas aequales, divisibilis est per illas, ut sunt ter diapente, sicut semitonium minus cum diapente et diapason, in bis et bis vel in quater diatessaron. Sed non est hic divisibilis in partes duas aequales. Hoc enim sonis repugnat suis suaeque proportioni et est divisibilis in partes multas inaequales.

Locum habet in hac consonantia medietas simplex et mixta sive directa et permutata.

Et haec dicta de ea sufficiant. De semiditono cum diapente et diapason prosequamur.

Capitulum CXVI.

Quid sit semiditonus cum diapente et diapason.

Semiditonus cum diapente et diapason est inaequalium vocum consonantia novem tonos in se habens cum quattuor minoribus semitoniis in tripla superquinquipartiente consistens proportione, ut se habent 32 ad 9.

Superans consonantia haec praecedentem in diesi novem tonos cum quattuor diesibus habet continere, quod ex aliis eius patet partibus, ut sunt semiditonus, diapente, diapason. Tot enim tonos et tot semitonia continent, ut est dictum, a quibus partibus haec nominatur consonantia, nominatione carens | [P1, 97v in marg.] simplici et propria.

[272] Patet idem ex multis aliis ipsius partibus, ut sunt diapason et bis diatessaron, ter diapente et semitonium minus, quater diatessaron et tonus, diapente, semitritonus, tritonus et semiditonus, et aliae multae.

Item fit haec consonantia ab. .E. quinta, quae est Elami in spatio, ad .d. decimam octavam, quae est dlasol, inter quas litteras, claves vel voces novem continentur toni cum quattuor minoribus semitoniis, ut patet hic:

(Vide Appendix: LXXIa).

Signantur in exemplo posito non modo novem toni cum quattuor semitoniis minoribus, sed quaedam huius consonantiae notabiles partes cum numeris per quos illarum habentur proportiones et qui attingunt ad numeros illos inter quos huius consonantiae continetur proportio. Sed non sunt illi minimi numeri proportionis quam includunt, quia inter illos tot, ut ibi, partium huius consonantiae proportiones nequeunt reperiri.

Sed minimos numeros huius consonantiae prius tactos, ut magis appareat inter illos huius consonantiae iacere proportionem, repetamus, et, per aliquas partes huius consonantiae iam tactas, ipsam in ea quae dicta est fundari proportione declaremus. Et primo, per partes ex quibus nominatur in numeris his: 32 27 18 9. Inter primum et secundum semiditoni continetur proportio, inter secundum et tertium ipsius diapente, inter tertium et quartum ipsius | [F, 92v in marg.] diapason. Hae sunt tres partes quae in nomine positae sunt huius consonantiae in sua descriptione, quae, simul iunctae, voces extremas inducunt huius consonantiae in sonis et, per consequens, ipsarum proportiones ad numeros pervenient huius consonantiae proportionis. Maior autem tactorum terminorum minorem ter continet et ipsius unitates quinque | [P2, 124r in marg.] quarum 9 illum redderent numerum. Est igitur maior ad minorem triplex superquinquipartiens nonas et ista est specifica huius consonantiae proportio quae nulli alii competit consonantiae. Sunt autem termini tacti primi et minimi proportionis quam includunt.

[273] Item, quod in tacta consistat proportione, per alias eius partes potest concludi, ut per diapason et bis diatessaron, in numeris sequentibus: 32 16 12 9. Primus duplus est ad secundum, secundus sesquitertius ad tertium, et tertius ad quartum. Comparentur igitur numeri extremi harum partium ad invicem et habebitur eadem proportio quae habebatur per priores qui termini sunt eidem.

Potest autem dupla proportio poni partem ad acutam et duae sesquitertiae ad gravem in terminis sequentibus: 32 24 18 9. Idem pateret in quattuor chordis quarum maior ad secundam dupla, secunda ad tertiam sesquitertia, et tertia similiter ad quartam. Ubi sic esset, ceteris paribus, extremae pulsae hanc sonarent consonantiam, et de hoc exemplum tale ponatur:

(Vide Appendix: LXXIb).

| [P1, 98r in marg.] Per multas prius tactas huius consonantiae partes, ipsius inquiri potest dicta proportio et de hoc sufficiant exempla prius tacta. Inter minimos enim suos numeros, nec locum habet proportio minoris semitonii, nec ditoni, nec semitritoni. Sed de his omnibus patent proportiones in secundariis numeris prius positis.

Consonantia haec propter numerum vocum quem includit una quattuor decima potest nominari. Reperitur autem sexies in monochordo, ut praesens denotat exemplum:

(Vide Appendix: LXXIc).

Mixta dicitur haec consonantia ratione suae proportionis, sui nominis et partium suarum per quas est divisibilis, non in partes aequales, quia caret illis quae ipsam praecise constituant, sed in multas partes inaequales prius tactas.

Habet in ea locum medietas tam directa quam permutata in sonis, chordis, et numeris.

De qua hactenus dixisse sufficiat. | [F, 93r in marg.] De ditono cum diapente et diapason disseramus.

[274] Capitulum CXVII.

Quid sit ditonus cum diapente et diapason.

| [P2, 124v in marg.] Ditonus cum diapente et diapason est consonantia vocum inaequalium decem tonos habens cum tribus minoribus semitoniis in proportione tripla super quinquagesima prima partiente consistens quam numeri continent sequentes: 243 64.

Addit haec consonantia, super praecedentem, semitonium maius. Unde fit ut decem contineat tonos cum tribus diesibus et tot toni totque semitonia, in partibus a quibus denominatur iam dictis et in aliis multis quas habet, continentur, ut sunt ter diapente cum tono, diapente, bis diatessaron et tritonus, et aliae multae quarum aliquae in exemplis ponendis signabuntur.

Item fit haec consonantia ab .F. sexta ad vocem ipsius ela quae clavis est ultima. Continentur autem inter claves vel litteras illas decem toni cum tribus dictis semitoniis, ut patet hic:

(Vide Appendix: LXXIIa).

In exemplo posito signantur non tantum decem toni cum tribus minoribus semitoniis, sed quaedam aliae consonantiae. Huius principaliores partes, cum numeris, illarum includentes proportiones et numeri, notis extremis iuncti, continent proportionem huius consonantiae. Maior enim illorum minorem habet ter et, insuper, ipsius quinquaginta <unam> partes. Sed, quia illi non sunt minimi termini proportionis quam continent, ad minimos et primos huius consonantiae proportionis prius tactos numeros revertamur et, per partes ipsius aliquas, ipsam | [P1, 98v in marg.] fundari in proportione, quam illi continent numeri, declaremus.

Dictum est consonantiam hanc constare ex ditono, diapente et diapason. Hae enim sunt illae partes a quibus nominatur.

Disponantur igitur numeri sequentes:

243 192 128 64.

Inter primum et secundum est ditoni super decem et septem [275] partiens proportio. Inter secundum et tertium iacet sesqualtera ipsius diapente proportio. Tertius autem proportionem habet ad quartum duplam, in qua diapason. Cum itaque partes illae proveniant ad sonos quorum mixtio facit hanc consonantiam, proveniat proportiones illarum ad numeros ipsius continentes proportionem. In ea propterea proportione fundatur haec consonantia quam continent numeri illi qui sunt: 243 et 64; illa est triplex super quinquaginta <unam> partiens sexagesimas quartas. Sunt enim numeri illi primi inter quos illa reperiatur proportio et maior minorem ter continet et quinquaginta <unam> unitates quarum sexaginta quattuor minorem facerent. Illae autem 51 unitates, etsi contineantur in decem et septem ternariis, ab illis tamen non debet illorum numerorum taxari proportio ut dicatur triplex super decem et septem partiens sed super 51 partiens propter causam prius dictam in Tractatu de Minore Semitonio cum Diapason et alibi, quia superpartiens proportio | [F, 93v in marg.] simplex vel mixta in primis et minimis suis numeris per plures partes quae numeri sint non habetur, quia nunquam numerum minorem praecise redderent quotienscumque velles eas assumere. Ternarium enim sumas quotienscumque volueris, nunquam ad 64 attinges praecise, sed semper plus vel minus habebis. Triplicantur autem 17 unitates, quia maior tactorum numerorum, scilicet 243, triplex est ad eum | [P2, 125r in marg.] qui sequitur, scilicet 81 qui in 17 unitatibus minorem illum numerum superat qui est 64, ad quem est super 17 partiens, et quia in terminis prius positis ditonialis proportio ad gravem se tenet partem.

Posset e converso fieri in numeris sequentibus:

243 162 81 64.

Hic primo ponitur sesqualtera proportio, secundo dupla, tertio ditonialis. Non posset autem in terminis illis dupla proportio primo poni quia maior terminus impar est medietate carens, sed, si ambo termini illi duplarentur, hoc fieri posset in terminis sequentibus: 486 243 162 128. Hic primo ponitur dupla proportio, secundo sesqualtera, tertio ditonialis, sicut patet qualiter tres tactae partes ad huius consonantiae proportionem proveniunt.

In quibus etiam potest apparere quod triplae proportioni ditonialis iuncta proportio iam dictam inducit proportionem, si hi sumantur numeri: 243 81 64. Primus numerus ad secundum triplam habet proportionem et secundus [276] ad tertium ditonialem, extremi autem triplam super <quinquagesimam primam partientem>.

Item, sicut in sonis hanc consonantiam constituunt ter diapente cum tono, sic tres sesqualterae continuae proportiones cum una sesquioctava huius consonantiae proportionem inducunt in numeris. Patet hoc in terminis his: 243 162 108 72 64. Primo ponuntur hic tres sesqualterae proportiones; deinde inter duos penultimos terminos sesquioctava proportio continetur. Vel potest primo poni sesquioctava proportio et, postea, tres sesqualterae proportiones, ut est in numeris sequentibus:

243 216 144 96 64.

Item dictum est quod diapente et bis diatessaron et tritonus partes sunt huius consonantiae. Ergo tritoni proportio cum duabus sesquitertiis et una sesqualtera ad proportionem attingent huius consonantiae. Hoc in numeris continetur sequentibus: 1944 1296 972 729 512. Primo ponitur hic sesquialtera proportio; secundo sequuntur duae continuae sesquitertiae proportiones, et tertio tritoni proportio; et illi sunt minimi numeri tritonialis proportionis. Conferantur igitur illi minimi extremi ad invicem. Continet enim maior minorem ter et quinquaginta<unam> partes eius quae sunt 51 octonarii, quorum sexaginta quattuor minorem numerum illum qui est 512 perficerent, et sic numeri illi secundarii octies continent numeros primos et minimos consonantiae huius proportionis prius positos.

Quod autem consonantia haec in prius saepe dicta fundetur naturali proportione, per alias multas eius partes posset confirmari, et de aliquibus illarum in exemplis prioribus ponuntur numeri.

Item cum haec consonantia superetur a bis diapason in diesi, apparere potest ipsius proportio per subtractionem proportionis super tertiae decimae partientis, quae est ipsius diesis a quadrupla proportione quae est ipsius diapason in numeris sequentibus: 256 243 64. Primus terminus ad tertium quadruplam habet proportionem, ad secundum vero super tertiam decimam partientem. Tollatur igitur maior terminus et notetur proportio duorum remanentium terminorum, [277] quia illa est in qua consonantia fundatur de qua loquimur.

Multis modis aliis possemus idem probare non tantum in numeris, sed in chordis proportionatis. Duobus in locis monochordi consonantiam hanc reperio qui patent hic:

| [P1, 99r in marg.] (Vide Appendix: LXXIIb).

| [P2, 125v; F, 94r in marg.] Distantia vocum extremarum huius consonantiae, et quia etiam in suis terminis ditonos requirit, faciunt ut in paucis monochordi reperiatur locis, et, cum quattuordecim voces includant, una quarta decima nuncupari potest.

Mixta est, ut praecedens, ratione suae proportionis nominis et partium multarum quas includit et secundum quas est partibilis, sicut eius proportio, non in partes aequales, sed inaequales.

Competit sibi medietas directa similiter et transmutata in sonis, numeris chordisque mensuratis.

Haec consonantia mediat inter praecedentem, quam superat in semitonio maiore, et bis diapason, a qua vincitur in semitonio minore. Et sic iam egimus de consonantiis mediantibus inter triplam et quadruplam proportionem, quae sunt quinque in hoc convenientes, quod ipsarum proportio maior est tripla proportione (maiorem illam enim includunt et aliquid ultra), minor vero quam quadrupla. Unde provenit ut illarum proportiones sint mixtae, quia, sicut inter duplam et triplam nulla mediat simplex proportio, similiter nec inter triplam et quadruplam. Et, sicut post ditonum diatessaron sequitur, sic post ditonum cum diapente et diapason sequitur diatessaron cum diapente et diapason. Diatessaron autem cum diapente faciunt diapason. Sic, post praecedentem consonantiam, bis diapason, secundum ordinem quem nunc tenemus, sequitur; quod etiam ex proportionibus probatur.

Dictum enim est libro primo quod, sicut duabus primis proportionibus superparticularibus prima provenit multiplex proportio, scilicet dupla, sic ex prima multiplici et prima [278] superparticulari secunda, scilicet tripla, et ex secunda multiplici et secunda superparticulari tertia multiplex nascitur proportio, scilicet quadrupla ex tripla et sesquitertia, licet ex multis aliis nasci posset, sicut bis diapason, quae in quadrupla fundatur proportione, ex multis inducitur partibus, ut prius in Tractatu eius ostensum est.

Restat igitur tractandum de consonantiis in monochordo nostro contentis quae superant bis diapason. Dico "nostro", quia Antiqui ultra bis diapason non processerunt, cuius voces extremas ad invicem summam habere dixerunt distantiam. In compositione vero gammatis nostri, ultra bis diapason, tonus cum diapente ac voces intermediae continentur, ut semitonium cum bis diapason, tonus cum bis diapason, semiditonus cum bis diapason et huiusmodi.

De quarum proportionibus et proprietatibus aliquid dicamus, et primo de semitonio minore cum bis diapason.

Capitulum CXVIII.

Quid sit semitonium minus cum bis diapason.

Minus semitonium cum bis diapason est inaequalium vocum consonantia decem continens tonos cum quinque minoribus semitoniis in quadrupla super quinquaginta <duabus> vel quinquagesima secunda partiente fundata proportione quam includunt numeri sequentes: 1024 243.

Cum in bis diapason decem contineantur toni cum quattuor minoribus semitoniis et haec consonantia, ultra hoc, minus addat semitonium, continebit igitur quinque semitonia minora cum decem tonis. Idem ex aliis eius patet partibus, ut sunt quinquies diatessaron, bis diapente, diatessaron et semitritonus, et aliae multae quae tot tonos et tot semitonia continent.

Item fit haec consonantia a .B. secunda, hoc est Bmi, ad .c. sextam decimam quae est csolfa. Inter has autem litteras, claves vel voces, decem continentur toni cum quinque [279] semitoniis minoribus, ut sequens manifestat descriptio:

| [P2, 126r in marg.] (Vide Appendix: LXXIIIa).

| [P1, 99v; F, 94v in marg.] In exemplo tanguntur posito partes aliquae principaliores huius consonantiae cum numeris qui illarum proportiones continent. Verum est quod non omnes sunt integri propter imparitatem illius numeri, qui est 729, qui integra medietate caret. Ideo in numero qui subduplus ad ipsum ponitur, qui est 364, deficit medietas unitatis et talibus numeris aliquando Boethius utitur. Possunt autem numeri sumi integri consonantiarum in exemplo posito contentarum ex prius positis exemplis, et infra ponentur. Sed quicquid sit de aliquibus intermediis numeris ibi positis, extremi numeri sunt omnino integri, etiam et minimi ad denotandam huius consonantiae proportionem specificam, quia idem numerus, scilicet 243, est minor in proportione minoris semitonii et consonantiae huius. Quod autem consonantia haec in ea fundetur proportione quam continent termini illi extremi prius positi qui sunt: 1024 243, per partes huius consonantiae prius tactas patet. Sicut enim in sonis minus semitonium iunctum ipsi bis diapason attingit ad voces extremas huius consonantiae, sic diesis proportio quadruplae iuncta proportioni ad numeros provenit proportionem huius consonantiae continentes.

Disponantur igitur numeri prius tacti:

1024 256 243.

Inter duos primos terminos quadrupla proportio est; inter medium et minorem terminum est proportio minoris semitonii. Oportet igitur ut inter extremos illos numeros sit huius consonantiae proportio. Maior autem terminorum illorum minorem continet quater insuper quinquaginta duas unitates. Est ergo maior minori quadruplex super 52 partiens ducentesimas quadragesimas tertias, quia illi termini minimi sunt proportionis dictae.

Poni potest autem alius medius numerus ut, e converso, duae tactae proportiones se teneant sic: 1024 972 243. His diesis proportio ad gravem se tenet partem, quadrupla vero ad acutam.

[280] Item quinque sesquitertiae proportiones iam tactam inducunt proportionem in numeris qui sequuntur:

1024 768 576 432 324 243.

Adhuc eandem reddunt proportionem semitritoni proportio cum duabus sesqualteris et una sesquitertia in numeris sequentibus: 1024 729 486 324 243. Hic primo ponuntur numeri semitritoni continentes proportionem, deinde hi qui duas sesqualteras includunt proportiones, tertio hi qui sesquitertiam habitudinem continent. Et possunt termini variari, quia ad gravem partem potest primo poni sesquitertia proportio, secundo sesqualtera, tertio semitritoni, quarto sesqualtera, et haec patent in exemplo prius posito.

Multas alias haec consonantia habet partes quae omnes in hoc conveniunt ut, simul sumptae, hanc inducunt consonantiam in sonis et ipsarum proportiones huius proportionem in numeris.

Haec consonantia a numero vocum suarum una sexta decima posset vocitari quae bis in monochordo continetur, ut hic patet:

| [P2, 126v in marg.] (Vide Appendix: LXXIIIb).

Huius consonantiae proportio mixta est ex multiplici et superpartiente. Nomen etiam suum mixtum est et multas partes continet et ratione eorum mixta dici potest. Est autem divisibilis tam in partes aequales, non duas, non tres, non quattuor, sed quinque, quantum etiam in multas partes inaequales tactas et tangibiles.

Locum habet in ea medietas directa similiter et permutata in sonis, numeris, et chordis mensuratis.

Et hac dicta de ea sufficiant. De semitonio maiore cum bis diapason aliquid breviter dicamus quamvis in monochordo, nisi falsa iuvenus nos musica, minime reperiatur. Secus est in aliquibus organis.

| [F, 95r in marg.] Capitulum CXVIIII.

Quid sit semitonium maius cum bis diapason.

Maius semitonium cum bis diapason est vocum inaequalium consonantia undecim continens tonos cum tribus minoribus semitoniis in quadrupla super 139 partiente [281] proportione consistens, qualis est inter numeros sequentes: 2187 512.

Superat consonantia haec praecedentem in commate. Ideo continet tot tonos et tot semitonia, sicut dictum est. Nam comma, iunctum duobus minoribus semitoniis, tonum integrum perficit et sic, de quinque minoribus semitoniis in priore inclusis | [P1, 100r in marg.] consonantia, tria remanebunt et unus addetur tonus ut sint undecim. Hoc etiam ex suis patet partibus nam, in bis diapason cum semitonio maiore, undecim continentur toni cum tribus diesibus.

Idem patet per alias eius partes, ut sunt ter diapente et ditonus, vel bis diapente, diatessaron et tritonus, et aliae multae.

Item si in Bmi per falsam musicam ponere velimus fa, ut bfa[sqb]mi ter in gammate sit, reperietur tunc haec consonantia inter dictam fa et mi ipsius .[sqb]. quindecimae secundae. Inter quas voces undecim continebuntur toni cum tribus minoribus semitoniis, ut aperit sequens descriptio:

(Vide Appendix: LXXIIIIa).

| [P2, 127r in marg.] Positi sunt hic numeri huius consonantiae iam dictam continentes proportionem. Positae sunt partes quibus ita esse convincitur. Sed cum numeri hi non sint minimi proportionis quam continent, illos prius positos resumamus et sic disponamus: 2187 2048 1024 512. Inter primum numerorum horum et secundum est maioris semitonii proportio, inter secundum et tertium dupla, similiter inter tertium et quartum, et, per consequens, inter secundum et quartum est quadrupla proportio. Cum igitur hae sint partes continentes et denominantes consonantiam hanc, extremi hic positi numeri ipsius continebunt proportionem. Maior autem quater continet minorem et insuper centum et triginta novem unitates. Est igitur maior ad minorem quadruplex super 139 partiens quingentesimas duodecimas.

Sunt enim numeri illi minimi dictae proportionis, et, cum in exemplo posito maius semitonium ad gravem se teneat partem, potest e converso fieri in numeris sequentibus: 8748 4374 2187 2048, vel potest semitonium maius [282] mediare inter duas duplas proportiones in terminis qui sunt: 4374 2187 2048 1024. Et hic extremis utimur numeris quos supra notas extremas huius consonantiae prius posuimus qui sunt primi secundarii termini proportionis quam continent, sed additus est hic numerus secundus ut inter primum et ipsum esset diapason et inter illum eundem secundum terminum et tertium esset apotome.

Item tres sesqualterae continuae proportiones cum una ditoni proportione proportionem inducunt huius consonantiae, prout prius signatum est, et numeri partibus his congruentes positi sunt.

Et possent poni minores imo minimi qui de his partibus possunt poni, et sunt hi: 2187 1458 972 648 512. Primo ponuntur hic tres sesqualterae proportiones continuae, deinde una semiditonialis.

Adhuc duae continuae sesqualterae proportiones cum una sesquitertia et una tritoniali ad numeros proveniunt inter quos huius consonantiae iacet proportio, et numeri ad hoc apti sunt prius positi.

Et possunt minores poni qui sequuntur:

2187 1458 972 729 512.

Ex aliis multis partibus confirmari posset consonantiam hanc in prius dicta fundari proportione. Sed sufficiant tactae inductiones.

Quamvis huius consonantiae quindecim voces signatae sint, possent plures poni, si voces ambae ipsius bfa[sqb]mi quibus tonus distinguitur et in quibus solum apotome, sicut supra dictum est, reperitur, distincte signarentur.

Nec valet in gammatis | [P1, 100v in marg.] compositione reperiri, nisi per falsam | [F, 95v in marg.] musicam in .B. secunda, quae est Bmi, fa ponatur vel alibi quam in bfa[sqb]mi tonus dividatur. Cum autem, in Bmi, fa ponitur, in ipsa tunc tonus dividatur ut in aliis locis ipsius bfa[sqb]mi et non debet vocari tunc Bmi, sed bfa[sqb]mi. Et secundum hoc ter bfa[sqb]mi in gammate continebitur et a fa primae ad mi tertiae haec consonantia situatur, alias ipsi fa de secunda bfa[sqb]mi nulla responderet inferior vox gravis ad ipsum diapason habens et deficeret, quantum ad eam, bis diapason quae immediate semitonium praecedat maius, et non posset ibi consonantia haec reperiri licet, quantum ad mi de bfa[sqb]mi et Bmi, bene bis diapason in manu contineatur absque falsa musica, quia ter ibidem [283] reperitur. Haec, ut magis appareant, exempla subiecimus qualia possumus, quia materia haec valde insolita est:

(Vide Appendix: LXXIIIIb).

| [P2, 127v in marg.] Haec consonantia mixta est, sicut et praecedens quam vincit in commate. Repugnat sibi in partes aequales in sonis partiri, sicut et proportioni suae in numeris, sed in multas partes inaequales potest dividi.

Habet in ea locum medietas directa et permutata.

Haec hactenus de ea. De tono cum bis diapason prosequamur.

Capitulum CXX.

Quid sit tonus cum bis diapason.

Tonus cum bis diapason est consonantia vocum inaequalium undecim tonos continens cum quattuor minoribus semitoniis in quadrupla et sesqualtera proportione consistens, in qua numeri se habent sequentes: 9 2.

Cum haec consonantia praecedentem in minore superet semitonio, consequens est eam tot tonos et semitonia tot continere, sicut dictum est. Hoc etiam ex aliis suis convincitur partibus, ut sunt bis diapason et tonus a quibus nominatur, ter diapente et diatessaron, quater diatessaron et tritonus, et aliae multae quae, sicut hanc constituunt consonantiam, sic tot tonorum et semitoniorum, ut est dictum, important distantiam.

Item fit haec consonantia a .D. quarta sive Dsolre in .e. decimam nonam quae est ela, inter quas litteras, claves vel voces undecim continentur toni cum quattuor semitoniis minoribus, ut in exemplo patet sequenti:

(Vide Appendix: LXXVa).

[284] | [P1, 101r in marg.] Tactae sunt huius consonantiae principaliores partes quae hanc consonantiam reddunt in sonis. Tactae sunt etiam earum in numeris proportiones quae ad numeros proveniunt, in quibus huius consonantiae prius dicta iacet proportio. Sed, quia numeri illi non sunt minimi, sed illi quos in descriptione eius posuimus, resumamus illos et declaremus | [F, 96r in marg.] per aliquas eius partes consonantiam hanc fundari in quadrupla et sesqualtera proportione.

Disponantur igitur numeri sequentes: 9 8 4 2. Inter primum et secundum est sesquioctava proportio in qua fundatur tonus, inter secundum et tertium dupla in qua diapason, inter tertium et quartum dupla; et sic inter secundum et quartum est quadrupla proportio. Hae autem sunt partes a quibus haec denominatur consonantia et quae, simul sumptae, praecise attingunt ad sonos illos quorum mixtio hanc essentialiter facit consonantiam. Ergo numeri illi extremi qui sunt 9 et 2 ipsius continent proportionem. Maior autem quater habet minorem et unitatem quae media pars est minoris. Ergo maior minori quadruplex sesqualter est et hi sunt minimi numeri in quibus contineatur dicta proportio.

Vel possunt poni numeri in quibus quadrupla proportio partem gravem teneat et sesquioctava acutam, et semper inter extremos terminos erit ea quae dicta est proportio. Hoc in numeris patet his: 36 18 9 8. Primus ad tertium quadruplus est et ille ad quartum sesquioctavus. Primus vero quarto quadruplus sesqualter est quia continet eum quater et, ultra hoc, quaternarium qui est media pars ipsius octonarii, et hi numeri sunt tertii secundarii proportionis quam continent. Nam primi secundarii sunt hi qui sequuntur, scilicet: 18 16 8 4. Secundos secundarios consequenter ponam.

Item ter diapente cum diatessaron attingit praecise ad sonos huius consonantiae. Ergo tres sesqualterae proportiones | [P2, 128r in marg.] cum una sesquitertia proveniunt ad numeros inter quos huius consonantiae continetur proportio. Disponantur igitur numeri sequentes: 27 18 12 8 6. Hic primo ponuntur tres sesqualterae continuae proportiones et postea una sesquitertia. Inspiciatur igitur extremorum numerorum proportio, et illa est eadem cum praetactis numeris. Continet enim maior minorem quater et ternarium qui media [285] pars est senarii, et hi sunt secundi secundarii termini proportionis quam includunt et surgunt ex triplicatione primorum et minimorum terminorum.

Item quattuor sesquitertiae proportiones cum una tritoni proportione proportionem inducunt huius consonantiae, ut in numeris continetur prius positis his, scilicet:

1728 1296 972 729 512 384.

Hic primo ponuntur tres sesquitertiae continuae proportiones, postea tritoni proportio et ulterius una sesquitertia. Est, inter extremos positos numeros, quadrupla sesqualtera proportio, quia maior minorem quater habet et medium eius partem quae in 192 unitatibus continetur. Nec possunt minores poni numeri praedictis ad has signandum partes propter proportionem tritoni quorum minimi numeri sunt illi qui in hoc exemplo positi sunt.

Per multas alias partes posset confirmari consonantiam hanc in iam dicta fundari proportione, sed sufficiant quae positae sunt inductiones, et idem quod declaratum est in numeris et in sonis posset declarari in chordis mensuratis. Sint enim quattuor chordae, et prima sit sesquioctava ad secundam, illa dupla ad tertiam, et tertia dupla ad quartam. Erit tunc, inter extremas, quadrupla sesqualtera proportio, et si tangantur, ceteris paribus, hanc sonabunt consonantiam, ut exemplum signat subpositum:

(Vide Appendix: LXXVb).

Est autem advertendum quod tonus cum diapason et tonus cum bis diapason conveniunt in hoc quod fundantur in proportionibus mixtis ex multiplici et superparticulari. Ceterarum vero consonantiarum mixtio communiter ipsa est ex multiplici et superpartiente.

Consonantia haec a numero vocum suarum una sextadecima posset nominari et, si una vocum suarum extremarum in linea est, reliqua spatium obtinet. Reperitur autem quattuor in locis monochordi, prout patet in descriptione sequenti:

(Vide Appendix: LXXVc).

| [F, 96v; P1, 101v; P2, 128v in marg.] Mixta est haec consonantia ratione suae proportionis, nominis et partium, et est divisibilis in partes multas inaequales quas habet, non in partes aequales, quae ipsum praecise constituant, quia talibus caret.

[286] Habet in ea locum medietas haec et illa.

Et haec dicta sufficiant de ea. De semiditono cum bis diapason nos expediamus.

Capitulum CXXI.

Quid sit semiditonus cum bis diapason.

Semiditonus cum bis diapason est vocum inaequalium consonantia undecim continens tonos et minora semitonia quinque in quadrupla super viginti partiente consistens proportione quam numeri sequentes includunt ad invicem comparati: 128 27.

Superans consonantia haec praecedentem in diesi, continere habet tonos undecim et minora semitonia quinque. Et quod ita sit, ex aliis eius potest apparere partibus, ut sunt semiditonus et bis diapason quae ipsam denominant, ut sunt etiam semitritonus et ter diapente, quinquies diatessaron et tonus, et multae aliae.

Item fit haec consonantia a .B. secunda, quae est Bmi, ad .d. septimam decimam, quae est dlasol, inter quas litteras, claves vel voces, tot toni et tot semitonia continentur, ut est dictum, sicut patet hic:

(Vide Appendix: LXXVIa).

Quamvis per partes huius consonantiae iam signatas et per numeros eis appositos apparere possit, ex modo procedendi quem in aliis tenuimus consonantiis, hanc consonantiam in ea quae prius est dicta fundari proportione, hoc tamen, ut de aliis factum est, amplius declaretur.

Disponantur igitur numeri sequentes:

128 108 54 27.

Inter primum horum terminorum et secundum est semiditoni proportio; inter secundum et tertium dupla proportio est, similiter inter tertium et quartum, et sic, inter secundum et ultimum sive quartum numerum, quadrupla proportio fundatur. [287] Consideretur itaque extremorum illorum numerorum habitudo, quia ipsa est ea in qua fundatur haec consonantia prius dicta. Sunt enim termini illi minimi proportionis quam includunt, et maior minorem quater habet et ipsius viginti unitates. Est igitur maior ad minorem quadruplex super viginti partiens vicesimas septimas.

Vel potest semiditonialis proportio ad partem acutam se tenere, et quadrupla ad gravem, ut hic patet:

128 64 32 27.

Hae sunt partes per quas haec nuncupatur consonantia.

Item semitritoni | [P2, 129r in marg.] proportio cum tribus sesqualteris proportionibus huius consonantiae iam dictam inducunt proportionem, et de hoc prius positi sunt numeri his: 2048 1458 972 648 432. Hic primo ponitur una semitritoni proportio; deinde sequuntur tres sesqualterae continuae proportiones.

Adhuc quinque sesquitertiae proportiones cum una sesquioctava proportione numeros inducunt inter quos continetur huius consonantiae praedicta proportio, ut hic patet: 1024 768 576 432 324 243 216. Proponuntur hic quinque sesquitertiae proportiones et postea sequitur una sesquioctava proportio.

Item cum haec consonantia praecedentem superet in diesi, si numeris, qui quadruplam cum sesquioctava proportione dicunt habitudinem, minoris semitonii iungatur proportio, ad numeros provenietur huius consonantiae tactam continentes proportionem, et sunt hi:

256 243 216 108 54.

Hic primo ponitur diesis proportio, secundo ipsius toni, et tertio ipsius bis diapason. Maior autem horum numerorum minorem quater continet et viginti binarios; | [P1, 102r in marg.] unde, sunt primi secundarii termini proportionis quam continent.

Per multas alias partes venari possent | [F, 97r in marg.] numeri huius consonantiae praedictam continentes proportionem. Est autem advertendum quod quattuor consonantiae, de quibus tractavimus, quarum proportiones quadruplam superant proportionem, ut sunt minus semitonium cum bis diapason, maius semitonium cum bis diapason, tonus cum bis diapason, semiditonus cum bis diapason, hae, inquam, fundantur in maiore proportione quam sit quadrupla, minore tamen quam sit quintupla et sic aliqualiter earum proportiones mediant inter quadruplam et quintuplam ad quam magis de prope [288] semiditonus cum bis diapason attingit, sed ad ipsam non pervenit. Deficiunt enim unitates septem.

Sumantur enim hi numeri: 135 27. Inter hos est quintupla proportio. Continet enim maior minorem quinquies praecise. Hic autem numerus, qui est 135, numerum qui est 128 superat in septem unitatibus. Proportio autem consonantiae, de qua consequenter dicemus, quintuplam superat proportionem, licet in modico, quia in sola unitate, sicut infra patebit.

Haec consonantia a numero vocum quas includit una decima septima dici potest. Cuius ambae voces extremae in regula sunt, vel spatio, et continetur ter in monochordo, sicut signatur hic:

(Vide Appendix: LXXVIb).

Est haec consonantia composita, sicut et praecedens, et divisibilis in partes multas inaequales quales habet, non in partes aequas ipsam praecise constituentes, quia tales non habet.

Habet in ea locum medietas directa et permutata.

Haec dicta de semiditono cum bis diapason sufficiant. Consequenter, de ditono cum bis diapason prosequamur.

Capitulum CXXII.

Quid sit ditonus cum bis diapason.

| [P2, 129v in marg.] Ditonus cum bis diapason est consonantia vocum inaequalium duodecim tonos continens et quattuor minora semitonia, in proportione quintupla et sesquisextadecima consistens, in qua numeri se habent sequentes:

81 16.

Sicut visum est, praecedens consonantia undecim continet tonos et quinque minora semitonia. Haec autem illam superat in maiore semitonio, sicut ditonus semiditonum. Ideo continet tot tonos, ut est dictum, et tot semitonia. Hoc etiam ex aliis eius patet partibus, nam in bis diapason decem toni continentur et quattuor minora semitonia, et in ditono duo toni, et hae sunt partes ex quibus haec nuncupatur consonantia. Idem apparere potest per inductionem in aliis eius partibus, ut sunt quater diapente, quater diatessaron inter [289] duos ditonos, et aliae multae. Dimitto in hac consonantia et in multis aliis tangere partes illas quae non absque musica falsa notari queunt.

Item fit haec consonantia in Gammaut a .C. tertia in .e. undevicesimam et ultimam qua utamur, quae est ela, inter quas litteras, claves vel voces duodecim continentur toni et semitonia minora quattuor, ut sequens aperit descriptio:

| [P1, 102v in marg.] (Vide Appendix: LXXVIIa).

| [F, 97v in marg.] Praeter ea quae in praecedenti descriptione de partibus, quae hanc reddunt consonantiam, signata sunt et de numeris qui illarum continent proportiones et qui attingunt ad numeros inter quos continetur huius consonantiae iam dicta proportio, quae valent ad intelligendum quae praemisi de proportione eius et partibus specialibus, tamen declarentur quae ibidem continentur involuta primo per partes a quibus haec consonantia nuncupatur et per ipsius minimos numeros.

Disponantur igitur termini sequentes:

81 64 32 16.

Inter duos primos numeros est ditoni super 17 partiens proportio, inter secundum et tertium dupla, similiter inter tertium et quartum, et, per consequens, inter secundum et quartum iacet quadrupla proportio.

Comparentur igitur extremi termini illi ad invicem et notetur eorum proportio, quia ipsa est illa prius dicta in qua fundatur haec consonantia. Maior enim illorum minorem quinquies continet et, insuper, unam unitatem quae sextadecima pars est minoris numeri. Est igitur maior ad minorem quintuplex sesquisextus decimus. Quinquies enim 16 sunt 80, et illi sunt minimi termini dictae proportionis. Si quis autem ditonialem proportionem ad partem acutam habere velit et quadruplam ad gravem, numerum quadruplicet primum et remaneant duo priores numeri sic:

324 81 64.

Hic primus ad secundum quadruplex est, secundus ad tertium ditonialis.

Item quattuor sesqualterae continuae proportiones ad numeros attingunt tactam continentes proportionem. Primae autem quattuor continuae sesqualterae proportiones in [290] numeris includuntur sequentibus: 81 54 36 24 16. Item quattuor sesquitertiae | [P2, 130r in marg.] proportiones cum duabus ditonialibus huius consonantiae praedictam inducunt proportionem in numeris sequentibus:

324 256 192 144 108 81 64.

Item duae sesquitertiae proportiones cum duabus tritoni proportionibus et una semitritoniali mediante inter illas ad numeros perveniunt inter quos est huius consonantiae dicta proportio et sunt numeri illi prius positi supra notas descendentes hi, scilicet: 1944 1458 1024 729 512 384. Hic primo ponitur ipsius diatessaron proportio, secundo tritoni, tertio semitritoni, quarto rursus tritoni, et quinto ipsius diatessaron.

Per multas alias partes posset confirmari consonantiam hanc in ea quae dicta est fundari proportione quae, sicut patet ex dictis, maior est quintupla. Cum praecedens minor sit illa et cum inter has consonantias nulla alia mediet notabilis nisi ad commata veniamus, videtur nullam consonantiam praecise fundari in quintupla proportione. Non sic est de sextupla, ut patebit infra.

Et est notandum quod, in praecedenti consonantia, semiditonus alteram extremam partem vel ambas tenet. In hac vero ditonus tenet ambas.

Et propter numerum vocum quas includit, vocari potest una septima decima, sicut et praecedens, et si una vocum suarum extremarum in spatio est, et similiter et alia; et consimiliter dicendum est de regula.

Sunt autem in gammatis compositione loca duo in quibus haec consonantia reperitur, haec scilicet:

(Vide Appendix: LXXVIIb).

| [P1, 103r in marg.] Haec consonantia inter mixtas computetur consonantias. Est enim eius proportio mixta ex multiplici et superparticulari. Habet multas partes ex quarum aliquibus nomen suum conficitur. Divisibilis est in partes aequales duas vel quattuor et in multas inaequales.

Locum habet in ea non modo proportio sed proportionalitas directa et permutata.

Haec sufficiant de ditono cum bis diapason. Prosequamur de diatessaron cum bis diapason.

[291] | [F, 98r in marg.] Capitulum CXXIII.

Quid sit diatessaron cum bis diapason.

Diatessaron cum bis diapason est inaequalium vocum consonantia tonos duodecim continens cum quinque minoribus semitoniis in proportione consistens quintupla sesquitertia quam includunt sequentes numeri: 16 3.

Consonantia haec supra praecedentem minus addit semitonium. Ideo tot tonos continet, ut est dictum, totque semitonia. Hoc etiam ex aliis eius probari potest partibus, ut sunt diatessaron et bis diapason ex quibus nominatur, quater diapente et semitonium minus, quinquies diatessaron et ditonus, et aliae multae.

Adhuc fit haec consonantia ab .B. secunda ad .e. ultimam, scilicet ela. Inter has autem litteras, claves vel voces, duodecim includuntur toni cum quinque minoribus semitoniis, ut hic patet:

| [P2, 130v in marg.] (Vide Appendix: LXXVIIIa).

Ad intelligendum quae praemisi de consonantiae huius proportione partibusque eius, sufficiat tacta descriptio his qui de paucis multa sciunt cogitare et de paucis principiis conclusiones multas elicere, non sic aliis. Ideo, quantum ad simpliciores, quae tacta sunt amplius exponantur.

Disponantur igitur numeri sequentes: 16 8 4 3. Primus horum terminorum quadruplus ad tertium est. Est enim duplus ad secundum, et ille duplus ad tertium qui sesquitertius est ad quartum. Videatur igitur extremorum tactorum proportio, quia ipsa est illa prius dicta in qua fundatur haec consonantia. Est enim maior ad minorem quintuplex sesquitertius, quia sedecim continent tria quinquies et unitatem quae est tertia pars ternarii. Hi autem numeri minimi sunt proportionis quam continent et sumpti [292] sunt a partibus ex quibus haec consonantia denominatur. Vel posset sesquitertia proportio ad partem poni gravem in numeris his: 16 12 6 3.

Item, sicut tactum est, quinquies diatessaron cum ditono hanc in sonis reddunt consonantiam. Ergo dictarum partium proportiones ad proportionem huius consonantiae provenient in numeris. Ordinentur igitur termini numerales qui sequuntur: | [F, 98v in marg.] 1024 768 576 432 324 243 192. Hic proponuntur quinque continuae sesquitertiae proportiones et, postea, ad acutam partem, una ditoni proportio. Si quis autem examinet extremos illos numeros, reperiet inter illos proportionem prius dictam. Continet enim maior minorem quinquies et tertiam ipsius partem quae in 64 unitatibus continetur.

Item quattuor sesqualterae proportiones cum semitonii minoris proportione proportionem inducunt huius consonantiae, ut in numeris continetur sequentibus:

1296 864 576 284 256 243.

Hae, propter brevitatem, sufficiant inductiones. Consonantia haec a numero vocum suarum una decima octava dici posset et ipsa ter in monochordo continetur, ut hic patet:

| [P1, 103v in marg.] (Vide Appendix: LXXVIIIb).

| [P2, 132r in marg.] Sicut ex dictis patet, huius consonantiae proportio mixta est ex multiplici et superparticulari. Ideo ratione suae proportionis inter mixtas consonantias numeretur, et non tantum ratione sui nominis, et partium. Est autem divisibilis in partes multas inaequales, non in partes aequales.

Habet in ea locum medietas.

Haec et illa sufficiant, haec dicta de diatessaron cum bis diapason. De diapente cum bis diapason prosequamur.

Verum est quod duae sunt consonantiae in re possibiles quae mediant inter duas praedictas, scilicet semitritonus cum bis diapason, et tritonus cum bis diapason, sed, quia reperibiles in nostro monochordo non sunt, nisi falsa utamur musica, vel diapason per partes dividamus, | [F, 99r in marg.] vel sub vel supra monochordi nostri voces aliquid addamus, non tractabimus [293] in speciali de illis sicut de aliis. Si quis tamen illarum cupit numerales scire proportiones, tango eas.

Semitritonus cum bis diapason fundatur in proportione quintupla super quadringentesima quinquagesima prima partiente septingentesimas vicesimas nonas quam numeri continent sequentes: 4096 729. Hi sunt minimi numeri tactae proportionis et maior minorem habet quinquies et insuper 451 unitates. Semitritonus cum bis diapason continet in se duodecim tonos cum sex minoribus semitoniis. Sic divisibilis est in duas partes aequales, in tres et in sex.

Tritonus cum bis diapason consistit in proportione quintupla super octuagesima nona partiente centesimas vicesimas octavas quam includunt numeri sequentes: 729 128, qui sunt minimi numeri dictae proportionis, et maior minorem quinquies continet et, ultra, 89 unitates. Tritonus cum bis diapason continet tredecim tonos cum quattuor minoribus semitoniis. Indivisibilis est in partes aequales.

Capitulum CXXIIII.

Quid sit diapente cum bis diapason.

Diapente cum bis diapason est consonantia vocum inaequalium tredecim tonos in se continens cum quinque semitoniis minoribus in sextupla proportione consistens quam termini continent qui sequuntur: 6 1.

Superat haec consonantia diatessaron cum bis diapason in tono. Ideo, secundum dicta, continet tredecim tonos cum quinque minoribus semitoniis, et idem ex aliis eius partibus convincitur quae sunt bis diapason et diapente, vel e converso, ex quibus denominatur, quater diapente et semiditonus, quinquies diatessaron et tritonus, et aliae multae.

Item clauditur haec consonantia inter .A. primam litteram [294] latinam et .e. ultimam inter quas inclusive tredecim continentur toni et quinque minora semitonia, sicut manifestat sequens descriptio:

(Vide Appendix: LXXVIIIIa).

| [F, 99v; P1, 104r in marg.] Ad videndum specialius consonantiam hanc in sextupla fundari proportione, numeri considerentur sequentes: 6 4 2 1. Primus horum terminorum sesqualter est secundo, et secundus duplus tertio, et tertius duplus quarto; quare secundus quadruplus est quarto, et sic iungitur hic sesqualtera proportio quadruplae proportioni. Videatur igitur quae proportio ex his duabus | [P2, 132v in marg.] nascatur habitudinibus, quia in ea fundatur haec consonantia. Illa autem est sextupla simplex; maior enim extremorum illorum terminorum minorem sexies praecise continet et hi, scilicet 6 et l, sunt minimi termini sextuplae proportionis. Vel potest poni sesqualtera proportio inter duas duplas proportiones sic:

6 3 2 1.

Adhuc potest poni quadrupla proportio ad partem gravem et sesqualtera ad acutam sic: 12 6 3 2. Hae deductiones sumptae sunt per partes a quibus haec nuncupatur consonantia.

Possunt etiam per alias partes prius tactas haberi numeri continentes sextuplam proportionem et primo declaretur hoc per quater diapente cum semiditono in numeris sequentibus: 72 48 32 27 18 12. Hic primo ponuntur duae sesqualterae proportiones. Deinde sequitur una semiditonialis proportio. Postea ponuntur duae sesqualterae proportiones continuae. Comparentur igitur extremi tacti numeri ad invicem et reperietur inter eos sextupla proportio praecise (vocant quidam tactam proportionem sescuplam, sicut decuplam, alii sestuplam; similiter quidam dicunt quinquiplam, alii quincuplam). Nam septuaginta duo continent duodecim sexies, nec plus, nec minus, et in numeris tactis semiditonialis proportio mediat inter duas sesqualteras proportiones continuas ad gravem partem positas et alias duas positas ad acutam, et possent poni numeri multi inter quos [295] semiditonialis proportio praecederet quattuor sesqualteras proportiones continuas, vel sequeretur eas.

Item quinque sesquitertiae proportiones cum una tritoniali numeros inducunt sextuplam continentes proportionem. Et illi prius positi sunt, ubi quattuor sesquitertiae proportiones praecedunt tritoni proportionem. Postea ad acutam partem ponitur una sesquitertia proportio. Nec possunt haberi minores numeri ad signandum partes illas propter tritonum cuius minimi numeri ponuntur ibi.

Adhuc induci potest sextupla proportio per additionem sesquioctavae proportionis ad proportionem quintuplam sesquitertiam in qua fundatur diatessaron cum bis diapason, ut patet in sequentibus terminis: 48 12 9 8. Inter primum terminorum horum et tertium est quintupla sesquitertia proportio, inter tertium et quartum sesquioctava. Inter extremos vero numeros illos sextupla proportio est.

Per alias multas consonantiae partes huius probari potest ipsam fundari in proportione sextupla. Unde, si essent duae chordae quarum una contineret aliam sexies, consonantiam hanc resonarent, sicut denotat sequens descriptio:

(Vide Appendix: LXXVIIIIb).

Iam ex dictis patet consonantiam aliquam, hanc scilicet, in sextupla fundari proportione, nullam autem in quintupla, et, secundum hoc, habemus quattuor consonantias in multiplicibus fundatas proportionibus, ut diapason in dupla, diapente cum diapason in tripla, bis diapason in quadrupla, diapente cum bis diapason in sextupla. Non habemus autem nisi tres in superparticularibus fundatas proportionibus, ut diapente in sesqualtera, diatessaron in sesquitertia, tonum in sesquioctava. Ceterae consonantiae vocum inaequalium in proportionibus fundantur superpartientibus simplicibus vel in mixtis ex multiplici et superpartiente, vel mixtis ex multiplici et superparticulari. Et quae <sint> istae, et quae illae, visum est. Mediant autem, inter bis diapason quae in quadrupla fundatur proportione et hanc quae in sextupla, sex consonantiae quarum quattuor quintuplam praecedunt proportionem et duae mediant inter quintuplam et sextuplam. Si tamen computare velimus illas duas quarum proportiones breviter tetigimus, erunt quattuor mediantes inter quintuplam et sextuplam proportiones.

[296] Diapente cum bis diapason a numero vocum unadecima nona posset nuncupari. Haec | [F, 100r in marg.] in gammatis compositione non amplius quam bis potest reperiri nisi | [P2, 131r in marg.] sub Gammaut gravior clavis situetur vel, super ela, acutior. Et hi sunt passus duo in | [P1, 104v in marg.] quibus invenitur; quorum primus a gravissima ipsius monochordi voce tendit in penultimam acutissimam, secundus a penultima gravissima in ultimam acutissimam sic:

(Vide Appendix: LXXVIIIIc).

Diapente cum bis diapason, quantum ad suam proportionem attinet, inter simplices consonantias computetur. Nam sesqualtera proportio cum quadrupla ad simplicem multiplicem pervenit proportionem, scilicet ad <sextuplam>. In quo patet specialis vicinitas sesqualterae proportionis quae maxima est inter superparticulares ad proportiones multiplices ut, cum immediatius ab eis nascatur, citius ad eas revertitur quam ceterae superparticulares proportiones. Unde si sextuplae proportioni sesqualtera societur, provenit multiplex habitudo, quia nuncupla proportio. Patet hic in numeris sequentibus: 18 3 2. Verum est quod, si sextuplae iungatur sesquitertia, nascitur inde proportio multiplex, quia octupla, sicut ostendunt termini sequentes: 24 4 3. Hoc autem inde provenit, inter alias rationes, quia sesquitertia proportio cum sesqualtera ad duplam attingunt proportionem. In octupla autem proportione tres duplices includuntur proportiones. Patet hoc in terminis his: 8 4 2 1, qui sunt minimi termini illius proportionis. Et hic notanda est quaedam proprietas consonantiarum in multiplicibus proportionibus fundatarum quod, quantumcumque minimi termini earum ad invicem parum distent, voces tamen earum ad invicem multum distant et tanto magis quanto in maioribus proportionibus multiplicibus radicantur. Inde provenit ut multas partes in se contineant, secundum quas divisibiles sunt et componibiles. Et ideo, quantum ad hoc, consonantia haec dici potest composita et divisibilis in partes multas inaequales, non in partes aequales, quae ipsam praecise constituant.

[297] Habet in hac consonantia locum medietas tam directa quam etiam permutata.

Et haec de ipsa dicta sufficiant. De tono cum diapente et bis diapason prosequamur.

Licet autem inter dictas consonantias in re mediet semitonium tam minus quam maius cum diapente et bis diapason, non tractamus tamen de illis ita exquisite ut de ceteris, quia in nostro monochordo minime reperiuntur nisi musica falsa nos iuvemus, tonum vel diapason dividamus, per quos modos in gammatis compositione possent adaptari si expediret. | [P2, 131v in marg.] Saltem illarum tangamus numerales proportiones.

Semitonium minus cum diapente et bis diapason consistit in proportione sextupla super septuagesima octava partiente ducentesimas quadragesimas tertias quam continent extremi numeri sequentes: 1536 384 256 243. Inter primum et secundum est quadrupla | [F, 100v in marg.] proportio, inter primum et tertium sextupla et, per consequens, inter secundum et tertium sesqualtera, inter tertium et quartum minoris semitonii. Hae sunt partes hanc consonantiam denominantes, ad numeros attingentes inter quos iacet huius consonantiae proportio, sicut sunt extremi numeri iam positi quorum maior minorem sexies continet et, insuper, 78 unitates. Et termini illi minimi sunt proportionis dictae.

Indivisibilis est haec consonantia in partes aequales.

Semitonium maius cum diapente et bis diapason fundatur in proportione sextupla super quadringentesima decima septima partiente millesimas vicesimas quartas quam continent extremi numeri sequentes: 6561 6144 1024. Inter primum et secundum est <apotomes> proportio, inter secundum et tertium sextupla, inter extremos ea quae dicta est, et illi sunt minimi numeri proportionis praedictae quam continent.

Divisibilis est in partes aequales cum contineat quattuordecim tonos cum quattuor minoribus semitoniis.

[298] Capitulum CXXV.

Quid sit tonus cum diapente et bis diapason.

Tonus cum diapente et bis diapason est inaequalium vocum consonantia quattuordecim tonos in se claudens cum quinque minoribus semitoniis in proportione sextupla supertripartiente consistens quae in numeris continetur sequentibus: 27 4.

Superat haec consonantia diapente cum bis diapason in tono. Ideo tot continet tonos et tot semitonia, sicut dictum est.

Hoc etiam per alias eius patet partes, tam per illas a quibus nominatur prius tactas quam per alias, ut sunt quater diapente et diatessaron, quinque diatessaron | [P1, 105r in marg.] mediantes inter duos ditonos et aliae multae.

Item fit haec consonantia a prima et gravissima voce ipsius monochordi ad ultimam et acutissimam, idest a Gammaut in ela, inter quas litteras, claves vel voces, quattuordecim toni continentur cum quinque minoribus semitoniis, ut ostendit sequens descriptio:

(Vide Appendix: LXXX).

Praemissa descriptione iuvamur ad intelligendum huius consonantiae partes aliquas et earum proportiones per numeros appositos, necnon et huius consonantiae per terminos extremos distantiam, quoque vocum eius, et numerum tonorum semitoniorumque continentiam.

Sed amplius declaremus eius proportionem esse eam quae dicta est.

Cum ipsa conficiatur ex tono cum diapente et bis diapason ex quibus denominatur partibus, ipsarum proportiones, simul iunctae, ad numeros attingunt inter quos iacet huius consonantiae proportio. Partes enim suum reddunt totum. Statuantur igitur | [P2, 133r in marg.] numeri sequentes: 27 24 16 8 4. Primi ad secundum toni proportio est, secundi ad tertium [299] ipsius diapente, tertii ad quartum diapason, similiter quarti ad quintum. Ex quibus sequitur inter extremos tactos numeros proportionem huius consonantiae contineri. Maior autem illorum minorem habet sexies et, insuper, tres ipsius unitates quarum quattuor minorem facerent numerum. Est itaque maior minori sextuplex supertripartiens quartas, et sunt hi minimi termini dictae proportionis.

Item quattuor sesqualterae proportiones cum una sesquitertia iam positam inducunt proportionem in numeris sequentibus: 81 54 36 24 16 12. Praeponuntur hic quattuor sesqualterae continuae proportiones et deinde ponitur una sesquitertia, et, absque | [F, 101r in marg.] dubio, maior numerorum illorum ad minimum est sextuplex supertripartiens et sunt numeri illi secundi secundarii dictae proportionis, et apparet per hoc quod a Gammaut in ela quater diapente cum diatessaron continentur praecise.

Item dictum est quinquies diatessaron cum duobus ditonis hanc in sonis reddere consonantiam. Ex quo sequitur illarum proportiones huius consonantiae reddere proportionem, et, de hoc, numeri prius positi sunt, non minimi qui de his partibus possint poni, sed hi qui sequuntur:

1294 1024 768 576 432 243 192.

Hic, ad partem gravem, ponitur ditoni proportio. Deinde sequuntur quinque continuae sesquitertiae proportiones et, postea, ad partem extremam acutam, una ditonialis proportio. Numeri autem extremi sextuplam supertripartientem continent proportionem.

Item superat consonantia haec maius semitonium cum diapente et bis diapason in semitonio minore. Ideo iungere diesim cum semitonio maiore et diapente et bis diapason est facere consonantiam hanc. Statuantur igitur numeri sequentes: 6912 6561 6144 1024. Inter primum et secundum terminorum horum est diesis proportio, inter secundum et tertium <apotomes>, inter quem et quartum sextupla, ideo et cetera.

Per multas alias partes inducere possemus numeros huius consonantiae iam dictam continentes proportionem, quia per omnes alias consonantias vocum inaequalium de [300] quibus iam diximus. Haec enim omnes illas includit, et superat; haec est altissima omnium earum quae in nostro monochordo continentur, quae a numero vocum suarum una vicesima dici posset, et, cum extremarum vocum totius monochordi dicat mixtionem, semel tantum in ipso reperitur. Quod autem consonantia haec viginti voces includat, intelligendum est hoc nisi ambae voces ipsius bfa[sqb]mi numerentur.

Reponatur inter mixtas consonantias ratione suae proportionis, sui nominis partiumque suarum quibus est divisibilis non in partes aequales, sed inaequales.

Habet in ea locum medietas directa et permutata.

Capitulum CXXVI.

Utrum, praeter dictas consonantias, monochordum ad alias sit extendendum.

| [P1, 105v in marg.] Expediti sumus de 48, puto, consonantiis, unisonum computando cum aliis quarum decem, etsi qualitercumque in nostro monochordo contineantur, earum tamen tres notis nostris notari non valent, ut comma, minor et maximus tonus; septem vero, etsi aliqualiter possint notis nostris ibi signari, non tamen sine falsa musica, una vel pluribus, ut tetratonus, pentatonus, hexatonus, semitritonus cum bis diapason, tritonus cum bis diapason semitonium minus cum diapente et bis diapason, semitonium maius cum diapente et bis diapason.

Adhuc, inter ceteras, ipsius <apotomes> modus notandi inusitatus est. Quid mirum? Quia nec ipso utimur per se. Tetigimus autem in singulis praedictis consonantiis quae sint ipsarum specifice proportiones, qui minimi numeri, quae partes ex quibus denominantur, quae aliae principaliores, notiores, vel perfectiores per quas ipsarum inquisivimus proportiones, nunc per plures, nunc per pauciores, per quas fieri possunt demonstrationes. Quotquot enim partes habet aliqua consonantia quarum proportiones ceterae sunt, tot fieri possunt demonstrationes consonantiam illam fundari in tali vel tali proportione. Et omnes ad unam eandem tendunt [301] conclusionem, etsi in distinctis numeris. Augentur enim demonstrationes per distincta media.

Alia quaedam tetigimus de consonantiis prout potuimus, et occurrebat in generali et in speciali ipsarum exponendo naturas.

Utrum autem ultra dictas consonantias sint aliquae maioresque | [F, 101v in marg.] (satis per auctoritatem Boethii determinati sumus ad minimam, ut est comma)? Tenent aliqui Moderni quod sic. Ponunt enim supra ela tres litteras, scilicet .f.g.a., ut supra ela | [P2, 133v in marg.] tres habeant voces duos tonos facientes. Addunt enim, in csolfa, ut, et, per consequens, voces alias sibi annexas, scilicet re mi fa sol la. Et, secundum illam monochordi ordinationem, altissima consonantia in se contineret ter diapason cum tono.

Item, in descriptione octo modorum vel tonorum, prout tangit Boethius et infra magis tangetur, a prima voce gravissima modi primi, quem vocant hypodorium, usque in altissimam vocem modi octavi et ultimi, quem hypermixolydium appellant, est distantia trium diapason. Superat autem ter diapason tonum cum diapente et bis diapason in semiditono.

Est autem dicendum ad hoc possibile esse consonantias altiores his de quibus tractavimus. Procedunt enim, quantum est in natura sua, in infinitum ascendendo sicut et proportiones quae quantitatem respiciunt discretam. Sed, cum de infinitis ars non sit, ad determinatas et finitas musicus debet se determinare consonantias, sicut facit in monochordo a Gammaut in ela, non ultra procedendo et quod musico sufficere debeant inibi contentae consonantiae et de quibus iam diximus videtur. Consideravit enim forsitan bonus ille musicus, qui illam monochordi fecit ordinationem a Gammaut procedendo usque in ela, ipsius vocis humanae possibilitatem quae non multum ultra voces illas extremas se videtur extendere. Et multi ambas illas sonare non possent.

Item, sicut prima et gravissima clavis quae est Gammaut unam tantum continet vocem primam, scilicet ut, sub qua non est descensus, nisi mutetur in aliam, sic altissima clavium quam ela vocavit tantum unam habere debet vocem, [302] non quamcumque, sed ultimam, scilicet la, a qua non est ascensus nisi in aliam mutetur. Si enim, in extremis clavibus, plures essent voces, aut illae essent similes, quod esset inconveniens (ad hoc enim plures voces in aliqua ponuntur clave ut de una in aliam ibi possit esse mutatio ad ascendendum vel descendendum; idem autem in se ipsum non mutatur, nec vox in sibi similem convertitur, quia non re in re, sed in sibi dissimilem, siquidem mutatio fit ad hoc ut de uno modo cantandi procedatur ad alium), aut essent dissimiles et tunc vel essent inaequales, ut in bfa[sqb]mi, vel aequales, non inaequales modo dicto, quia convenientius fuit ut monochordum inciperet et terminaretur in tono qui primam perfectam dicit vocum distantiam, quam in semitonio qui imperfectam; non dissimiles, quia iam claves illae non essent extremae. Nam sub prima gravissima possent fieri descensus, si tum ut de Gammaut esset re, mi, fa, vel sol. Similiter supra ela posset esse ascensus si contineret plures voces dissimiles quarum una mutari posset in aliam, et esset processus in infinitum in clavibus.

Item qui consonantias et voces disposuit in monochordo quo utimur, forsitan procedere voluit usque | [F, 102r in marg.] ad consonantiam in sextupla proportione fundatam quae est diapente cum bis diapason, ut est dictum. Senarius autem perfectionem importat, sed, cum in clave illa, quae a Gammaut facit dictam | [P1, 106r in marg.] consonantiam, duae sint voces, scilicet la et sol, scilicet in dlasol, ultra posuit clavem unam, scilicet ela, quae tonum habet ad priorem propter causas dictas, sicque factum est ut, sicut monochordum incipit a tono et tono, sic terminatur in tono et tono. Quod igitur supra ela aliqui tres ponunt litteras, dicendum quod hoc possunt facere, etiam plures possent apponere, sed non est necessarium, nec multum rationabile. Sufficit enim quod in monochordo septies ut repetatur cum vocibus suis appendentibus, ut patebit libro VI. Nam, etsi in .c. de csolfa ponant ut, quare etiam litteris, quae sunt .f. et .g., non ponent ut, et procedant in infinitum ascendendo?

Quod etiam Antiqui, in descriptione modorum octo vel [303] tonorum, secundum species ipsius diapason, a gravissima voce primi toni vel modi procedendo in acutissimam octavi et ultimi, ter diapason includant, ratio dicetur infra, non quod velint in suo monochordo ter diapason includere et aliquem cantum tantum ascendere posse. Suum enim monochordum ad bis diapason ad plus extendebant et bis diapason altissimam consonantiam dicebant. Consonantiae igitur quae continentur a Gammaut usque in ela, de quibus diximus, sufficere possunt musico non nimis curioso. Verumtamen amore eorum qui monochordum, ut est dictum, extendere volunt per diatessaron supra vel ultra ela, ut sit ibi elami pro ela et postea sequantur ffa, gsol, ala, et sic mi, fa, sol, la, tangam breviter proportiones numerales consonantiarum additarum in extensione tacti monochordi. Et sunt istae semiditonus cum diapente et bis diapason, diatessaron cum diapente et bis diapason, bis diapente et bis diapason.

Semiditonus cum diapente | [P2, 134r in marg.] et bis diapason fundatur in proportione septupla sesquinona. Quod per numeros probatur sequentes: 192 48 32 27. Inter primum et secundum quadrupla proportio est, inter secundum et tertium sesqualtera et, per consequens, secundum prius dicta, inter primum et tertium proportio iacet sextupla; inter tertium autem et quartum semiditoni continetur habitudo. Cum igitur hae sint proportiones partium denominantium hanc consonantiam et ipsam in sonis reddentium, ipsae, simul iunctae, ipsius in extremis tactis numeris inducent proportionem. Illorum autem maior minorem septies continet et nonam eius partem, scilicet ternarium. Est igitur maior ad minorem septuplus sesquinonus et non sunt illi minimi numeri tactae proportionis, sed qui sequuntur: 64 9 qui sunt subtriplices ad priores, Itaque componitur huius consonantiae proportio ex multiplici et superparticulari, et, secundum hoc, inter sextuplam proportionem et septuplam dictam, tres mediant consonantiae. Nec habemus consonantiam quae praecise in septupla fundetur habitudine.

De ditono cum diapente et bis diapason transeo, quia locum expressum non habet in tacto monochordo.

| [F. 102v in marg.] Diatessaron cum diapente et bis diapason est eadem consonantia realiter cum ter diapason. Semper enim diatessaron cum diapente diapason constituit. Dico igitur quod ter [304] diapason consistit in proportione octupla quam includunt sequentes termini: 8 4 2 1. Partes enim principaliores huius consonantiae sunt ter diapason quae ipsam praecise reddunt in sonis. Ergo tres duplae proportiones ipsius proportionem reddent in numeris. Illae autem continentur in terminis positis. Primus enim numerorum positorum duplus est secundo, et secundus tertio, et tertius similiter quarto. Videatur igitur quae fuerit proportio numerorum illorum extremorum. Illa est octupla. Octo enim unitatem octies continent, et hi sunt minimi numeri proportionis illius. Item possunt haberi numeri continentes huius consonantiae iam dictam proportionem per alias eius tactas partes quae sunt diatessaron, diapente, et bis diapason, in terminis sequentibus: 8 6 4 2 1. Hic proponitur sesquitertia proportio, deinde sesqualtera, et postea duae duplae quae quadruplam faciunt proportionem in qua fundatur bis diapason. Haec consonantia divisibilis est in tres partes aequales, scilicet in ter diapason, sicut eius proportio in tres duplas proportiones.

Tonus cum ter diapason consistit in proportione noncupla, sicut ex numeris patet sequentibus: 9 8 1. Cum enim haec consonantia super ter diapason addat tonum, iungere toni proportionem octuplae proportioni est pervenire ad numeros qui talis consonantiae proportionem contineant, et sic est hic. Medius enim numerus octuplus est minori, et maior medio sesquioctavus, et planum est maiorem minori noncuplum esse, quia novem unitatem nonies continent praecise, et hi sunt minimi numeri dictae proportionis. Item huius consonantiae partes sunt bis diapente et bis diapason. Ideo duae sesqualterae proportiones et duae duplae numeros inducunt ipsius proportionem continentes, ut hic patet: 9 6 4 2 1. Ponuntur hic primo duae sesqualterae proportiones, postea | [P1, 106v in marg.] duae duplae. Numeri autem extremi eidem sunt ut prius, et eandem continent proportionem, et possunt hae partes multipliciter variari, ut primo ponatur una dupla, deinde sesqualtera una, tertio iterum dupla, quarto sesqualtera, ut est in numeris sequentibus:

36 18 12 6 4.

Item possunt duae duplae proportiones ad gravem partem poni, deinde duae sesqualterae ad acutam, ut hic:

36 18 9 6 4.

[305] Haec consonantia, sicut in sonis, in duas dividitur partes aequales, ut in diapason et diapente ex una parte, et in diapason et diapente | [F, 103r in marg.] ex alia, sic in numeris ipsius proportio in duas aequales proportiones quae sunt duae triplae. Nuncupla enim proportio duas triplas includit. Unde semper inter terminos nuncuplae proportionis mediat terminus ad quem maior est triplus et ipse ad minorem, ut novenarius ad ternarium triplus est, et ternarius similiter ad unitatem. In hac consonantia cum praecedenti duae continuantur immediate multiplices proportiones sic ut inter illas nulla mediet non multiplex proportio, nulla etiam consonantia. Hoc autem in praecedentibus non reperitur, sed semper, inter duas consonantias multiplicium proportionum, aliquae mediant consonantiae in non multiplicibus fundatae proportionibus. Patet hoc inter diapason et diapente cum diapason, inter quam et bis diapason, inter quam et diapente cum bis diapason, inter quam et ter diapason.

Iam habemus sex consonantias in multiplicibus fundatas proportionibus, has duas ultimas numerando cum aliis, ut in dupla, tripla, quadrupla, sextupla, octupla et noncupla. Hae consonantiae | [P2, 134v in marg.] superare videntur vocis humanae possibilitatem propter nimiam vocum suarum distantiam, saltem unius hominis, quicquid sit de vocibus puerorum et mulierum contra voces viriles.

Multa alia de his possent dici consonantiis quae dimitto, et, processum in infinitum evitans, hic cesso. Maiores consonantias a praedictis ulterius non inquiro. Satis numerus earum ampliatus est respectu illius quem primitus habuerunt. Sed hic, circa finem huius secundi libri, ob maiorem memoriam dictorum, consonantiae de quibus tractavimus resumantur nominatim, primo generaliter omnes quarum tactae sunt numerales proportiones, secundo hae specialiter quae in monochordo a Gammaut in ela continentur:

I. Unisonus cuiusdam aequalitatis proportio.

II. Comma, super 7153 partiens proportio.

III. Diesis vel semitonium minus, super 13 partiens proportio.

IIII. Apotome vel semitonium maius, super 139 partiens proportio.

[306] V. Tonus minor vel minimus, super 6487 partiens proportio.

VI. Tonus perfectus, quo utimur, sesquioctava proportio.

VII. Tonus maior vel maximus, super 588665 partiens proportio.

VIII. Semiditonus, superquinquipartiens proportio.

VIIII. Ditonus, super 17 partiens proportio.

X. Diatessaron, sesquitertia proportio.

XI. Semitritonus, super 295 partiens proportio.

XII. Tritonus super 217 partiens proportio.

| [F, 103v in marg.] XIII. Diapente, sesqualtera proportio.

XIIII. Semitonium minus cum diapente super quadragesima septima partiens proportio.

XV. Semitonium maius cum diapente, vel tetratonus, super 2465 partiens proportio.

XVI. Tonus cum diapente, super undecima partiens proportio.

XVII. Semiditonus cum diapente, super 7 partiens proportio.

XVIII. Pentatonus, super 26281 partiens proportio.

XVIIII. Ditonus cum diapente, super centesima quindecima partiens proportio.

XX. Diapason, dupla proportio.

XXI. Hexatonus, dupla super 7153 partiens proportio.

XXII. Diesis cum diapason, dupla super 26 partiens proportio.

XXIII. Apotome cum diapason, dupla super centum et 39 partiens proportio.

XXIIII. Tonus cum diapason, dupla sesquiquarta proportio.

XXV. Semiditonus cum diapason, dupla super 10 partiens proportio.

| [P1, 107r in marg.] XXVI. Ditonus cum diapason, dupla super 17 partiens proportio.

XXVII. Diatessaron cum diapason, dupla superbipartiens proportio.

XXVIII. Semitritonus cum diapason, dupla super quingentesima nonagesima partiens proportio.

XXVIIII. Tritonus cum diapason, dupla super ducentesima decima septima partiens proportio.

[307] XXX. Diapente cum diapason, tripla proportio.

XXXI. Diesis cum diapente et diapason, tripla super 13 partiens proportio.

XXXII. Apotome cum diapente et diapason, tripla super 417 partiens proportio.

XXXIII. Tonus cum diapente et diapason, tripla supertripartiens proportio.

XXXIIII. Semiditonus cum diapente et diapason, tripla superquinquipartiens proportio.

XXXV. Ditonus cum diapente et diapason, tripla super quinquagesima prima partiens proportio.

XXXVI. Bis diapason, quadrupla proportio.

XXXVII. Diesis cum bis diapason, quadrupla super 52 partiens proportio.

XXXVIII. Maius semitonium cum bis diapason, quadrupla super centesima tricesima nona partiens proportio.

XXXVIIII. Tonus cum bis diapason, quadrupla sesqualtera proportio.

XL. Semiditonus cum bis diapason, quadrupla super 20 partiens proportio.

XLI. Ditonus cum bis diapason, quintupla sesquisextadecima proportio.

XLII. Diatessaron cum bis diapason, quintupla sesquitertia proportio.

XLIII. Semitritonus cum bis diapason, quintupla super 451 partiens proportio.

XLIIII. Tritonus cum bis diapason, quintupla super octuagesima nona partiens proportio.

XLV. Diapente cum bis diapason, sextupla proportio.

XLVI. Diesis cum diapente et bis diapason, sextupla super septuagesima octava partiens proportio.

| [F, 104r in marg.] XLVII. Apotome cum diapente et bis diapason, sextupla super quadringetesima 17 partiens proportio.

XLVIII. Tonus cum diapente et bis diapason, sextupla supertripartiens proportio.

XLVIIII. Semiditonus cum diapente et bis diapason, septupla sesquinona proportio.

L. Ter diapason, octupla proportio.

LI. Tonus cum ter diapason, noncupla proportio.

(Vide Appendix: LXXXI).

[308] | [P1, 107v in marg.] Advertendum quod, in praedicta ipsius Gammaut descriptione, passus lineae monochordum repraesentantis non sunt ad plenum mensurati. Oportuisset enim ipsam fuisse multo longiorem. Signantur autem ibidem consonantiae illae tantummodo quae sine falsa musica continentur ibi et cuilibet tangitur proportio specifica minimi ipsius numeri et quotiens inibi reperiatur.

Sed hic, circa finem huius libri secundi, lectorem rogo: Parcat mihi si longus nimis fui. Excuset me amor huius scientiae desideriumque assumptae explanationis eius theoriae, insuper insufficientia mea, operis difficultas et abundantia materiae. Siquidem consona non videntur ut ibi dicantur pauca ubi dicendorum offert se copia, sitque sermo rarus atque parcus ubi potest esse largus. Sane musicae doctores de consonantiis aliquibus bona multa nobis reliquerunt. De transcendentibus autem diapason, tribus exceptis, id est diatessaron cum diapason, diapente cum diapason et bis diapason, pauca tetigerunt, similiter et de aliquibus quae diapason antecedunt. Nonne valens Boethius, in toto suo Musicae libro, septem consonantiarum proportiones specificas tantum assignavit, id est diapason, diatessaron cum diapason, diapente cum diapason, bis diapason, toni, diatessaron, et diapente? Nam, etsi de quibusdam inquirat aliis illarumque minimos det numeros, ut de commate, de diesi et apotome et aliis aliquibus, specificas tamen illarum nusquam nominavit proportiones. Hoc enim inter consonantias in proportionibus superpartientibus simplicibus vel mixtis fundatas facit solum de diatessaron cum diapason. Hic autem de quinquaginta et amplius consonantiis distincte tractatum est quid sint, qualiter inter se distinguantur, quae et quot loca habeant in ipso monochordo, quae partes eius, quae sint ipsarum specificae proportiones, qui minimi <ipsarum> numeri, an simplices sint vel compositae et qualiter sint divisibiles. Quodsi idem Boethius tantum loquatur de tetrachordorum regularibus divisionibus, secundum illa tria melorum genera: diatonicum, chromaticum et enharmonium, de quibus loquemur libro quinto, quid prohibet [309] ut loquamur de consonantiis quae, quantum ad genus diatonicum quo solo utimur, in nostro continentur monochordo? Repugnatne musico illarum ignorare naturas? Non enim hoc minus videtur quam de generibus illis ad musicam pertinere. Non minus hoc quam illud est speculabile. In quo enim magis viget musicae theoria, in quo magis matri suae arithmeticae conformis est musica quam in consonantiarum inquirendis naturis, partibus earum notabilioribus, ipsarumque per partes proportionibus specificis in primis vel minimis numeris? Ubi amplius quam inibi locum habent musicae mathematicae demonstrationes? Et, si de tactis consonantiis musica non tractaverit, quaenam alia scientia | [P2, 135v in marg.] disseret de illis? Prorsus nulla. Nec moveatur quis si, in processu consonantiarum a semiditono cum diapason et ulterius, multi proportionales, quantum ad voces extremas consonantiarum de quibus agitur, ac partium earundem, numeri repetantur, quia talem modum in descriptione distinctorum tetrachordorum tenet Boethius. Haec autem et consimilia amatori musicae theoricae fastidium non generent. In ceteris scientiis libri multi sunt et inter illos aliqui magni. In musica, etsi multi tractatus sunt, illi tamen sunt modici et specialiter de ipsius theoria breviter se expediunt tractatores, cum tamen magnitudini scientiae magni possint vel debeant respondere libri. Igitur benivolus lector, amator musicae, mihi condescendat, excusatum me habeat. Sumat opus gratis in quo non modicum laboravi.

Sed haec hactenus: operis huius liber secundus hic finitur. Procedatur ulterius in huius operis materia, quia, terminum ut attingamus peroptatum, longa restat via.

Explicit liber secundus Speculi musicae.