Back to top

[1] Speculum musicae

| [P1, 109r; P2, 135v in marg.] Incipiunt capitula in libri tertii Speculi musicae.

I. Prologus parvus in quo aperitur intentio dicendorum.

II. De proportionum maioritate.

III. De proportione numerorum qui ab aliis mensurantur.

IIII. Dupla proportio ex duabus nascitur maximis proportionibus superparticularibus.

V. Quod ex dupla proportione atque sesqualtera tripla nascatur proportio.

VI. A sesqualtera proportione, si dematur sesquitertia, remanet sesquioctava.

VII. Superparticularium proportionum quaedam proprietas.

VIII. Demonstratio per impossibile diapason in multiplici fundari proportione.

VIIII. Demonstratio diapente, diatessaron et tonum in superparticulari esse genere.

X. Demonstrationes diapason in dupla fundari proportione.

XI. Demonstrationes diapente et diatessaron in maximis superparticularibus habitudinibus radicari.

XII. Quod diapente in sesqualtera, diatessaron in sesquitertia, tonus in sesquioctava fundentur proportionibus.

XIII. Quod diapente cum diapason in tripla, et bis diapason in quadrupla fundentur proportionibus.

[2] XIIII. Demonstrationes semitonium illud in quo diatessaron duos vincit tonos non esse toni integram medietatem.

XV. Secunda via ad probandum diesim non esse integrum toni dimidium sed minus integra toni medietate.

XVI. Tertia via ad probandum diesim non esse semitonium integrum.

XVII. Quarta via demonstrandi diesim non esse integram toni medietatem.

XVIII. De tono et partibus eius per consonantias sumendis ad acutam partem atque gravem.

XVIIII. Quod minus semitonium maius sit tribus commatibus, minus tamen quam quattuor.

XX. Quod apotome minor est quinque commatibus, maior tamen quam quattuor.

XXI. Quod tonus minor est novem commatibus, maior tamen quam octo.

XXII. Dictorum confirmatio.

XXIII. Quod semitonium maius superet minus in commate et tonus duo minora semitonia.

XXIIII. Parvus prologus in quo tangitur intentio ordoque dicendorum.

XXV. Quod numerorum quidam sunt primi et incompositi, alii secundarii et compositi.

XXVI. Quod aliqui sunt numeri contra se primi et qui sunt illi.

XXVII. Quod ex numeris contra se primis numeri nascantur contra se primi.

XXVIII. Quod numeri duo contra se primi sunt in sua proportione minimi.

XXVIIII. Quod numeri quilibet in sua proportione minimi numerant quoslibet alios in eadem sumptos proportione.

XXX. Quod ubi sunt plures continuae eaedem proportiones, ipsarum duo et duo numeri proximi sunt commensurabiles.

[3] XXXI. Quodsi numerorum continue proportionalium duo extremi fuerint communicantes, erit unus numerus communiter omnes illos numerans.

XXXII. Quod numerorum continue proportionalium si duo extremi sint contra se primi, illi omnes sunt in sua proportione minimi.

XXXIII. Quod numerorum continue proportionalium si primus non numeret secundum, non numerabit aliquis eorum ultimum; quodsi primus numeret ultimum, numerabit et secundum.

XXXIIII. Si fuerint duo numeri contra se primi, tertium eis in continua proportionalitate coniungi non est possibile.

| [P2, 136r in marg.] XXXV. Quaecumque proportio multiplici coniungatur, tota vel erit multiplex, vel multiplex superparticularis, vel multiplex superpartiens.

XXXVI. Quod ex qualibet multiplice cum una superparticulari provenit uno maioris denominationis multiplex proportio.

XXXVII. Quod sola superparticularium est sesqualtera <proportio> quae cum nulla multiplice multiplicem inducit <superpartientem>.

XXXVIII. <Quod> sola multiplicium dupla proportio cum nulla superpartiente multiplicem procreat proportionem.

XXXVIIII. Quodsi duae diversae proportiones superparticulares coniungantur, composita aut erit dupla, aut superparticularis, aut superpartiens.

XL. Quod omnis superparticularis cum qualibet superpartiente constituit proportionem tripla minorem.

XLI. Quod maxima superpartiens potest inveniri quae ex duabus superparticularibus producitur.

XLII. Quod superparticularium proportionum sola sesqualtera multiplicem superparticularem procreat geminata.

XLIII. Inventio superpartientis proportionis quae duplicata superpartientem constituit.

XLIIII. Inventio <superpartientis> proportionis quae geminata multiplicem <superparticularem> componit proportionem.

[4] XLV. Inquisitio multiplicis superparticularis quae multiplicem superparticularem geminata producat.

XLVI. Inquisitio multiplicis superpartientis quae duplicata multiplicem superparticularem componat.

XLVII. Si duae multiplices proportiones coniungantur, composita ex illis <erit> multiplex.

XLVIII. Si duae aequales multiplices coniungantur, composita ex illis erit multiplex.

XLVIIII. Si ex duabus aequalibus proportionibus multiplex nascatur proportio, illae multiplices extiterunt.

L. Quod multiplex proportio in aequales dividi non potest nisi in multiplices.

LI. Demonstratio Archytae superparticularem proportionem in aequales partes non esse divisibilem.

LII. Demonstratio Boethii superparticularem proportionem in partes aequales esse indivisibilem.

| [P1, 109v in marg.] LIII. Rationes aliae quod superparticularis proportio in partes aequales sit indivisibilis.

LIIII. Quod proportio non multiplex geminata neque multiplicem neque superparticularem procreet proportionem.

LV. Quod tonus non est divisibilis in partes aequales.

LVI. Amplior expositio aliquorum dictorum.

Expliciunt capitula libri tertii Speculi Musicae.

[5] | [P1, 110r; P2, 136v in marg.] Incipit liber tertius Speculi musicae.

Capitulum I.

Prologus parvus in quo aperitur intentio dicendorum.

Cum, in superiore libro, de consonantiis quaedam narrata sint, quaedam probata sint, et quaedam, ut probentur vel amplius et aliter quam prius probentur, reservata sint, promiserimusque, in Prologo, libro tertio de consonantiis demonstrative disserere, quae promisimus impleamus. Absit enim ipsius Boethii demonstrationes quas adducit de consonantiis musicum negligere. Quamobrem illas magna ex parte, prout scivero, repetam in hoc libro. Sed, cum demonstrationes veris, propriis et notis innitantur principiis, more mathematico, quaedam propositiones suis in locis proponentur et exponentur, ut liquebit et valebit ad ea quae probare conabimur. Illa autem eas respiciunt consonantias de quibus agit Boethius, non multas de quibus tractavimus.

Capitulum II.

De proportionum maioritate.

Nulla simplex superparticularis proportio ad integritatem attingit multiplicis proportionis, etiam minimae.

Ad evidentiam positae propositionis, expedit scire maioritas unde veniat in proportionibus. De hoc autem Boethius loquitur sic: Maiores et minores proportiones hoc modo intelliguntur: dimidia pars maior est quam tertia (supple: eiusdem totius), ut ipsius duodenarii senarius quam quaternarius, et tertia maior quam quarta, ut in duodenario quaternarius [6] quam ternarius, et quarta quam quinta (intellige: semper in eodem toto), ut in viginti quinarius quam quaternarius, ac deinceps eodem modo.

Dicendum igitur quod maioritas minoritasque conditiones sunt terminorum inaequalium ad invicem collatorum nam, inter terminos aequales, hae locum non habent. Nascitur autem maioritas, non ex terminorum comparatorum magnitudine, vel minoritas ex parvitate, quia tunc quanto termini maiores essent, maiorem includerent proportionem, quanto minores, minorem; quod obviat proprietati medietatis arithmeticae quae dicitur quod in minoribus terminis maior est proportio, et in maioribus minor. Sed innascitur maioritas ex magnitudine vel maioritate proportionalis excedentiae unius terminorum inaequalium simul collatorum super alium. Ideo cum totum maius sit sua parte vel pluribus eius partibus, maior est proportio ubi terminus collatum sibi terminum superat in toto quam si ipsum vincat in parte una vel in pluribus.

Cum igitur numerus multiplex submultiplicem cui comparatur superet in toto, quia continet eum totum plus quam semel, numerus autem superparticularis subsuperparticularem in parte una superet aliquota, planum esse debet nullam superparticularem simplicem proportionem aequari multiplici proportioni, etiam minimae, sicut nec pars aequatur toti et in tantum multiplex proportio superparticularem vincit proportionem quod duae superparticulares proportiones non quaecumque, sed maximae, requiruntur ad hoc ut adaequentur minimae proportioni multiplici cuiusmodi est dupla proportio.

Assimilatur enim, ut est prius dictum, multiplex numerus quantitati discretae quae per augmentum crescit in infinitum. Ideo, sicut est dare primum et minimum numerum, non autem maximum, sic est dare primam et minimam proportionem multiplicem, scilicet duplam. Minus enim est continere numerum aliquem bis praecise quam ter, et ter quam quater, quater quam quinquies, sic deinceps. Maior igitur est quintupla proportio quam quadrupla, et quadrupla quam tripla, tripla quam dupla, qua minor nulla multiplex. Non dicitur autem dupla proportio ea ratione minima, quia sit imperfectissima. Quin potius! Ipsa est prima, perfectissima et simplicissma [7] inter proportiones terminorum inaequalium et multiplicium et aliorum propter causas primo libro tactas.

Proportiones autem superparticulares cum assimilentur continuae quantitati, sicut ipsarum termini in infinitum, secundum quandam minoritatem et diminutionem, dilabuntur, sic et proportiones. Unde dare est inter eas maximam, non minimam, quicquid sit de illis in quibus consonantiae fundari dicuntur. Maxima autem inter illas est sesqualtera proportio, deinde sesquitertia, hinc sesquiquarta; sic in infinitum decrescunt. Maxima siquidem inter partes aliquotas totius alicuius est pars media, vel secunda, deinde pars tertia, postea quarta, hinc quinta, et sic in infinitum secundum partium diminutionem proportionis superparticularis vadit minoritas. Quod satis in naturalis numeri patet dispositione sic: 1 2 3 4 5 6 7 8, et cetera. Binarius duplus est ad unitatem; | [P2, 137r in marg.] ternarius sesqualter est binario, quaternarius sesquitertius ternario, et sic consequenter proportiones illae secundum quoddam vadunt decrementum, sicut multiplices secundum augmentum. Hoc approbantes, Eubulides et Hippasus agunt multiplicitatis augmenta superparticularitatis diminutioni rato ordine respondere.

Sed de superpartientibus quid dicemus quae nobis tot afferunt difficultates? Et dicendum quod proportiones superpartientes, quantum ad maioritatem, comparari possunt multiplicibus vel superparticularibus, vel inter se. Si primo modo, sic omnes, a tota specie, si sint simplices, ipsis multiplicibus sunt minores propter causam dictam. Si superparticularibus, sic aliquae respectu aliquarum sunt maiores quae respectu aliarum minores sunt. Hoc autem patet per Boethium | [P1, 110v in marg.] qui probat proportionem minoris semitonii, quae superpartiens est, maiorem esse sesquidecima nona proportione quae superparticularis est, minorem tamen sesquidecima octava quae similiter superparticularis existit. Probat etiam commatis proportionem, quae superpartiens est, esse maiorem <sesqui-74a>, minorem vero <sesqui-73a>, quae sunt superparticulares.

[8] Ostensum est etiam, libro praecedenti, consonantiarum praecedentium diapente proportiones superpartientes minores esse sesqualtera proportione, sequentium vero maiores, nec aliquae simplices ad duplam attingunt, sicut nec illarum consonantiae ad diapason, sed illarum mixtae proportiones duplam vincunt; tripla tamen et quadrupla et ceterae sequentes multiplices simplices multas superant superpartientes mixtas proportiones.

Ad videndum autem proportionum superpartientium quae maiores et quae minores, attendendus est duplex ordo qui in eis reperitur. Unus respicit numerum et ordinem partium in quibus maior minorem superat, ut sunt duae partes in superbipartientibus, tres in supertripartientibus, quattuor in superquadripartientibus, sic in infinitum Alius ordo attenditur in qualibet specie vel genere praecedenti, quantum ad processum ad maiores et maiores numeros inter quos tamen semper eadem observatur differentia, secundum quem ordinem aliquis numerus dicitur superbipartiens tertias, alius superbipartiens quintas, alius superbipartiens septimas, sic in infinitum.

Primus horum ordinum videtur imitari discretam quantitatem, secundus continuam, et ideo, quantum ad primum ordinem, ire videntur superpartientes proportiones secundum augmentum, quia maius est continere aliquid totum et eius tres partes quam ipsius duas partes, si partes sint aequales, ut tres unitates quam duas vel tres numerales partes quae plus faciant quam aliae duae, ut tres ternarios quam duos quaternarios eiusdem totius. Et si ita est, maior est proportio inter 21 et 12 quam inter 20 et 12. Et prima est supertripartiens quartas, quia 21 continent 12 et tres eius partes quartas, scilicet tres ternarios quorum quattuor 12 facerent; secunda superbipartiens tertias, quia 20 12 continent et ipsius duas partes tertias, scilicet duos quaternarios quorum tres 12 constituerent, et, per consequens, iuxta istum ordinem, superquadripartiens proportio, ceteris paribus, maior est supertripartiente, et superquinquipartiens superquadripartiente, et sic deinceps. Sed, secundum alium ordinem, superbipartiens tertias maior est quam superbipartiens quintas, et haec maior quam superbipartiens septimas, et haec quam superbipartiens nonas; sic deinceps minuuntur, ut inter terminos patet sequentes: 3 5 7 9 11 13 15, et cetera. Habet enim ibi locum arithmetica medietas, quantum ad hoc quod inter terminos [9] illos aequalitas observatur differentiae, et, ideo, in minoribus terminis, maior erit proportio, et, in maioribus, minor. Consimiliter est in aliis, quantum ad hunc processum, ut maior est supertripartiens quartas quam supertripartiens quintas, ut ea quae est inter 7 et 4 quam inter 8 et 5, et sic de aliis.

Capitulum III.

De proportione numerorum qui ab aliis mensurantur.

Si duos numeros eorum differentia fuerit integre permensa, in eadem existunt proportione in qua sunt numeri secundum quos eos sua mensa est differentia. Hic, per differentiam, intelligimus intervallum quod est inter duos numeros vel terminos inaequales, illud scilicet, in quo <unus> differt ab alio, superat alium vel ab alio superatur. Ideo in aequalitate terminorum nec differentia, nec intervallum locum habent. Per mensuram, intelligimus talem numeri partem quae, aliquotiens sumpta, praecise numerum illum constituat; et talem numeri illius proportionem partem vocamus aliquotam. Dicitur autem talis mensura communis duobus vel pluribus numeris, cum, aliquotiens sumpta, integre, id est praecise, omnes illos reddit. His visis, posita propositio vel regula sic patet.

Sint hi numeri: 55 et 50. Horum differentia quinarius est, ut patet ex dictis. Differentia haec communis est illis duobus, quia, aliquotiens sumpta, integre reddit utrumque. Nam undecies quinque 55 sunt, decies quinque 50. Ergo, secundum regulam positam, in eadem proportione se habent 55 ad 50 in qua se habent ll ad 10 secundum quos, mediante eorum differentia, permensi sunt; et illa proportio, hic et ibi, est sesquidecima.

| [P2, 137v in marg.] Concordat autem regula haec alii prius positae, scilicet: Quodsi duo numeri eodem quocumque multiplicentur numero, qui inde proveniunt, in eadem sunt proportione in qua et priores. Ideo, si 11 et 10 per quinarium multiplicentur, inde nascentes numeri, ut sunt 55 et 5, eandem inter se proportionem habent sicut primi. Si vero numeris illis idem terminus adiungatur, non erunt illi numeri in eadem proportione in qua priores, sed in minore. Patet in terminis his: 58 53, quibus adiunctus est trinarius. In minore sunt proportione [10] quam priores qui sunt 55 et 5, quia, salva eadem differentia, in minoribus numeris maior est proportio, et in maioribus minor. Hinc etiam est quod idem numerus ab aliquibus numeris si tollatur, qui remanent post talem ablationem, in maiore sunt proportione quam priores, sicut 53 et 48 in maiore sunt proportione quam 55 ad 50. Haec sic disponantur:

         LVIII   LIII
XI   X   LV      L
         LIII    XLVIII

| [P2, 111r in marg.] Est autem advertendum quod trium tactarum proportionum, in figura posita, extremae, scilicet superior et inferior, superpartientes sunt, media vero superparticularis, quae maior est quam ea quae superius ponitur, minor ea quae inferius, et sic aliquae superparticulares proportiones aliquibus superpartientibus sunt maiores, et eaedem aliquibus aliis sunt minores. Et bene dictum est quod, in minoribus numeris, maior est proportio, et, in maioribus, minor, si salvetur inter eos eadem differentia, sicut est in tactis exemplis; quod pertinet ad arithmeticam proportionem.

Hoc autem non tenet in geometrica proportione. Sint enim hi termini: 4 6 8. Cum sit hic arithmetica medietas quae requirit aequalitatem differentiarum, non proportionum, maior est proportio inter 6 et 4 quam inter 8 et 6. Sed, sint hi termini: 9 6 4. Maior est proportio inter 9 et 6, quam inter 8 et 6, licet novenarius maior sit quam octonarius. Sed est ibi medietas geometrica, nec observatur ibi idemptitas differentiarum, sed proportionum.

Capitulum IIII.

Dupla proportio ex duabus maximis proportionibus nascitur superparticularibus.

Probandum pono duplex intervallum, id est duplam proportionem, induci et nasci ex duabus superparticularibus habitudinibus, scilicet ex sesqualtera et sesquitertia.

Ad hoc videndum disponantur hi termini: 12 8 6. [11] Primus sesqualter est secundo, secundus sesquitertius tertio. Dico quod ex hoc sequitur primum esse duplum tertio. Quod probatur sic:

Illae proportiones duplam generant proportionem quae, simul sumptae, numeros inducunt, quorum maior bis minorem praecise continet. Duae tactae superparticulares proportiones sunt huiusmodi. Ideo, et cetera.

Maior tactae rationis tenet per locum a definitione duplae proportionis. Minor quasi ad sensum patet in tactis numeris. Duodecim enim sex bis praecise continent. Et hoc in terminis sic probatur:

Sit .a. sesqualter ad .b., et .b. sesquitertius ad .c. Probo quod sequatur .a. esse duplam ad .c.

.a. est sesqualter ad .b. per oppositam suppositionem. Ergo continet .b. totum et mediam eius partem, sic duodecim octo et quaternarium qui est media pars ipsius octonarii. Haec communia fundantur in loco a definitione sesqualterae proportionis.

Item si .a. continet .b. et eius mediam partem, ergo duo .a. aequatur tribus .b. per locum ab aequipolenti, sicut bis duodecim, et ter octo aequantur. Faciunt enim 24. Nam, cum semel .a. continent .b. et eius mediam partem, ergo bis .a. continet .b. bis et duas ipsius .b. medietates quae, simul sumptae, unam .b. faciunt; .a. igitur, bis sumpta vel sumptum (non est vis in quo genere ponantur), continet .b. ter.

Tunc ulterius est procedendum:

Si .b. sesquitertius est ad .c., ergo continet .c. et eius partem tertiam per definitionem sesquitertiae proportionis; ergo tres .b. aequantur quattuor .c. ab aequipolenti, sicut ter octo et quater sex aequantur. Nam, si .b. semel sumptum continet .c. totum et eius tertiam partem, ergo ter sumptum ipsum ter continet et tres eius partes quae, simul sumptae, reddunt .c. Sequitur igitur quod ter .b. aequi sint ad quattuor .c.

Resumantur igitur commune sic:

Duo .a. aequi sunt tribus .b.; tres .b. aequi sunt ad quattuor .c. et si duo .a. aequi sunt ad quattuor .c., ergo semel .a. aequatur duobus .c. et, per consequens, .a. duplex est ad .c., quia ipsum bis continet: quod concludere volebamus.

Ista est Boethii demonstratio qua probat duas primas [12] proportiones superparticulares primam multiplicem procreare, et, per eandem, demonstrari potest duas primas | [P2, 138r in marg.] superparticulares proportiones duplicatas quadruplam generare proportionem.

Sint enim quinque termini: 12 8 6 4 3. Et sit primus .a., secundus .b., tertius .c., quartus .d., quintus .e. Se habeat .c. ad .d. et .d. ad .e., sicut .a. ad .b. et .b. ad .c. Sequitur, per ea quae dicta sunt, quod, si .a. aequus est duobus .c., et .c. aequus duobus .e., ergo .a. aequus est ad quattuor .e., et, per consequens, .a. quadruplex est ad .e. Quae patent in posita figura:

[CSMIII/3:12; text: .e. 3, .d. 4, .c. 6, .b. 8, .a. 12, Sesquitertia proportio, Sesqualtera proportio, Diatessaron, Diapente, Diapason, Dupla proportio, Bis diapason, Quadrupla proportio] [JACSP3A 01GF]

Capitulum V.

Quod ex dupla proportione atque sesqualtera tripla nascatur proportio.

| [P1, 111v in marg.] Dico triplam produci proportionem ex dupla sesqualteraque. Hoc est ex minima multiplici et maxima superparticulari.

Sint hi termini 6 3 2. Primus duplus est secundo; secundus [13] sesqualter est tertio. Sequitur ex hoc primum terminum triplum esse tertio; quod probatur consimiliter sicut prius. Illae proportiones triplam procreant proportionem quae, simul iunctae, numeros inducunt quorum maior ter continet minorem.

Tactae proportiones sunt huius<modi>, ut in exemplo patet posito. Extremi enim termini duarum tactarum proportionum simul iunctarum sunt senarius et binarius. Senarius autem binarium ter continet praecise. Haec autem est tripla proportio in qua terminus aliquis alium ter continet praecise, et idem sequeretur in quibuscumque aliis terminis, sive dupla proportio ad gravem ponetur partem et sesqualtera ad acutam, ut in exemplo posito, sive e converso, et, quod ita fit, probatur in terminis.

Sit .a. duplex ad .b., et .b. sesqualter ad .c. Sequitur ex hoc .a. triplum esse ad .c. Nam, si .a. duplex ad .b. est, aequatur .a. duobus .b. (sequitur hoc per propositionem declaratam in praecedenti capitulo et satis per definitionem duplae proportionis); .a. igitur aequus est duobus .b., sicut senarius duobus ternariis. Item, si .b. sesqualter est ad .c., continet .b. totum .c. et eius dimidium, et, per consequens, duo .b. aequantur tribus .c., sicut duo trinarii tribus binariis. Ex his sic propositum concluditur: .a. continet duo .b; duo .b. continent ter .c.; ergo .a. continet ter .c., vel aequatur tribus .c., et, per consequens, .a. triplex est ad .c. Probatum est igitur ex dupla atque sesqualtera proportionibus triplam nasci proportionem. Quae sic figurentur:

[CSMIII/3:13; text: Tripla proportio, Dupla proportio, Sesqualtera proportio, .a. 6, .b. 3, .c. 2] [JACSP3A 01GF]

[14] Est autem advertendum quod conclusiones hic probatae probari possunt per ea quae tacta sunt libro secundo. Partes enim simul sumptae suum reddunt totum in numeris, sicut in sonis. Ideo, sicut diatessaron et diapente producunt diapason in sonis, sic earum proportiones, quae sunt sesquitertia et sesqualtera, duplam procreant proportionem in numeris, quae est ipsius diapason proportio. Nec solum ipsa dupla proportio per illas duas | [P2, 138v in marg.] partiales quas continet proportiones concluditur et inducitur, sed per multas alias, sicut diapason per multas alias partes quam per diatessaron et diapente. Et consimiliter est de aliis consonantiis, sicut deductum est libro priore, et videntur tam hic positae probationes quam alibi de tactis proportionibus super hoc fundari principio quod partes suum reddunt totum. Per partes enim totum cognoscitur et inducitur, et e converso.

Item notandum est quod, sicut ex duabus primis superparticularibus proportionibus oritur prima multiplicitatis proportio, et ex prima multiplicitatis et prima superparticularitatis secunda multiplicitatis habitudo, similiter ex secunda multiplicitatis et secunda superparticularitatis tertia <gignitur> multiplicitatis proportio. Patet hoc exemplariter in terminis sequentibus: 8 6 2, vel in istis: 12 4 3. Consimiliter, ex tertia multiplicitatis, quae est quadrupla, et tertia superparticularitatis, quae est sesquiquarta, producitur quarta multiplicitatis habitudo, quae est quintupla. Patet hoc in his terminis: 10 8 2. Atque, in hunc modum, secundum Boethium, iunctis proportionibus multiplicium et superparticularium numerorum in infinitum multiplices procreantur proportiones.

Ex quibus patet vicinitas magna superparticularium ad multiplices, et e converso, cum ex superparticularibus multiplices, et e converso, generentur; et causa prius tacta est libro primo. Sed multum differentur, quia nulla multiplex proportio in una superparticulari continetur, sicut e converso, quia maius in minore non habetur, sicut, vice versa, minus in maiore. Nam et ex hoc quod duae maximae superparticulares proportiones adaequantur et inducunt minimam multiplicem proportionem, apparet multiplices proportiones esse multo maiores superparticularibus proportionibus.

[15] Capitulum VI.

A sesqualtera proportione si dematur sesquitertia, remanent sesquioctava.

Quod, ex sesqualtera proportione si tollatur sesquitertia, remaneat sesquioctava, probetur. Valebunt enim quae hic probantur ad alia infra probanda.

Sint hi termini: 9 8 6. Extremi inter se <sesqualteram> iam continent proportionem, medius ad minorem sesquitertiam. Haec ergo si tollatur per ablationem minoris termini, remanet ea proportio quae est inter 9 et 8. Et probatur quod ipsa sit sesquioctava in terminis sic:

Sit .a. sesqualter ad .c. sicut 9 ad 6, et .b. sesquitertius ad .c., sicut 8 ad 6. Sequitur ex hoc .a. esse sesquioctavum ad .b. Nam terminus, qui est aequus alteri et octavae eius parti, est sesquioctavus ad illum, quia continet illum et octavam eius partem. Sed .a. ad .b., secundum positum, est huiusmodi; quod sic probatur:

.a. est sesqualter ad .c.; ergo habet .c. et dimidiam eius partem, | [P1, 112r in marg.] sicut 9 6 et trinarium qui est dimidia pars senarii. Et si sic, octo igitur .a. aequi sunt ad duodecim .c., sicut octies 9 ad duodecies 6. Constituunt enim 72.

Rursus, si .b. sesquitertius est ad .c., habet .b. ipsum .c. et tertiam eius partem, ut octonarius senarium et binarium qui est tertia pars senarii. Novem igitur .b. aequi sunt ad duodecim .c., sicut novies octo ad duodecies sex. Ex hoc patet intentum sic:

<Octo> .a. <sunt aequi> ad duodecim .c., <duodecim> .c. <sunt aequi> ad novem .b.; ergo <octo> .a. <sunt aequi> novem .b. Continet itaque .a. ipsum .b. et eius octavam partem et, per consequens, .a. est sesquioctavus ad .b. Sed .a. et .b. significant illud quod remanet de sesqualtera proportione, dempta ab ea sesquitertia proportione. Nec est vis, si variemus terminos Boethii qui hic ponit .c., ubi pono .b., et .b., ubi .c. Sed volui eos ordinare modo quo in prioribus demonstrationibus ordinati sunt.

[16] Tenet tacta demonstratio in omnibus terminis sesqualterae proportionis in quibus mediat numerus ad alterum numerorum eius sesqualterae proportionis sesquitertiam habens habitudinem, sive illa sesquitertia proportio ad acutam se teneat partem, ut in exemplo praedicto, sive ad gravem, ut hic 12 9 8, quae sic disponantur:

[CSMIII/3:16; text: Sesqualtera proportio in qua diapente, Sesquioctava proportio, Sesquitertia proportio, .a. 9, .b. 8, .c. 6] [JACSP3A 02GF]

Hic tangatur una pulchra regula talis:

Si sint duae subsesquitertiae continuae proportiones, alter terminorum illarum tono distabit a medietate termini duplae proportionis quae ad alterum terminorum illarum est. Patet in terminis his: 9 12 16.

Sunt hic duae sesquitertiae continuae proportiones. Ergo, secundum dictam | [P2, 139r in marg.] regulam, novem distant tono ab octonario qui est medietas ipsorum 16, et, consimiliter, 16 distant tono ab 18 quorum medietas sunt 9.

Ex hac regula concludi potest quod duae sesquitertiae proportiones cum una sesquioctava constituunt vel inducunt duplam proportionem, et bis diatessaron cum tono diapason consonantiam.

Probata est quaedam propositio quae specialiter tres respicit superparticulares proportiones, scilicet sesqualteram, sesquitertiam et sesquioctavam, et prius quaedam aliae probatae sunt quae aliquam multiplicem, et aliquam inspiciunt superparticularem habitudinem. Consequenter ponetur quaedam alia propositio quae priorem confirmat et generaliter ad omnes pertinet superparticulares proportiones modo qui dicetur.

[17] Capitulum VII.

Proportionum superparticularium quaedam proprietas.

Ab omni superparticulari proportione si continua minor tollatur superparticularis proportio, quae remanet habitudo minor medietate detractae proportionis existit.

Sint hi termini: 9 8 6. Horum extremi sesqualteram continent proportionem, duo minores sesquitertiam. Et hae duae proportiones sunt superparticulares et continuae immediate vel consequenter se habentes. Secunda autem, scilicet sesquitertia, minor est priore, scilicet sesqualtera. <Hac> igitur a priore sublata, remanet sesquioctava quae est inter 9 et 8, ut per praecedentem probatum est propositionem. Sesquioctava autem proportio minor est medietate sesquitertiae proportionis quae detracta est. Quod probatur per hoc, quia omne medium, si sit integrum et sit duplicatum, ad illud attingit cuius est medium, ut, cum binarius medietas sit quaternarii, si geminetur, ad quaternarium pervenit. Sed sesquioctava proportio, si geminetur, ad sesquitertiam non attingit, ut in his patet numeris: 81 72 64. Est enim hic sesquioctava proportio geminata, nec tamen, per hoc, ad sesquitertiam pervenit proportionem, quod expressius in horum patet triplicibus qui sunt: 243 216 192. Hic duae, sicut in prioribus terminis, continentur continuae sesquioctavae proportiones, nec attingunt ad sesquitertiam habitudinem. Illa enim est inter sequentes terminos: 256 192. Maior autem terminorum horum maiorem priorum, qui est 243, vincit in 13 unitatibus in qua proportione semitonium minus fundari prius probatum est, et, secundum hoc, sesquioctava proportio geminata a proportione sesquitertia deficit in minoris semitonii proportione, sicut duo toni a diatessaron in diesi; et quod ditoni proportio minor sit sesquitertia proportione, per praecedentem patet librum in quo probatum est ipsam maiorem esse sesquiquarta proportione, minorem vero sesquitertia. Non est igitur sesquioctava proportio medietas sesquitertiae proportionis.

[18] Hoc autem non modo in tactis superparticularibus proportionibus veritatem habet quod, si minor subtrahatur a maiore, ea quae remanet minor sit medietate subtractae proportionis, sed generaliter hoc verum est in ceteris superparticularibus proportionibus. Ideo, proponens dictam regulam, Boethius dicit ab omni superparticulari si continuam ei superparticularem proportionem quis auferat, et cetera, et ideo, secundum eundem, si sesquiquarta proportio tollatur | [P1, 112v in marg.] a sesquitertia (quae est continua minor), ea quae remanet habitudo minor est medietate sesquiquartae detractae proportionis, ut in numeris patet his: 16 15 12.

Inter extremos positos numeros sesquitertia continetur proportio, inter medium et minorem sesquiquarta. Haec tollatur <subtractione> minoris termini, remanet hi duo numeri: 16 et 15, inter quos est sesquiquintadecima proportio, quae minor est medietate sesquiquartae detractae proportionis, quia ipsa geminata non attingit ad illam, ut ex terminis probatur sequentibus: 256 240 225. Sunt hic duae continuae sesquiquintaedecimae proportiones quae non attingunt ad sesquiquartam, quae esset inter sequentes terminos: 256 et 205, si maior in quinque partes praecisas vel aliquotas divisibilis esset. Sed abundat in eo sola unitas, nam quinquies quinquaginta et quinquies unum sunt 255. Quae sic figurentur:

[19] [P2, 139v in marg.] [CSMIII/3:19; text: Sesqualtera proportio, Sesquioctava proportio, Sesquitertia porportio, 9, 8, 6, 81, 72, 64, Duae sesquioctavae proportiones ad unam sesquitertiam non attingentes, Sesquiquinta decima proportio, Sesquiquarta, superparticularis proportio, 16, 15, 12, 256, 240, 225, Duae sesquiquintae decimae proportiones ad unam sesquiquartam non pervenientes] [JACSP3A 03GF]

[20] Notanda sunt quaedam:

Primo, quod, cum maius a minore non tollatur, sed e converso, cum tangitur hic proportio aliqua continua subtrahi ab alia, de minore intelligitur, quod illa a maiore subtrahatur; et illae eiusdem debent esse generis, licet alterius speciei; et illae dicuntur continuae, id est immediate vel consequenter se habentes, quia inter illas non cadit vel mediat eiusdem generis alia.

Secundo, notandum quod per hoc quod dicitur quod, facta subtractione minoris proportionis a maiore, quae remanet non aequatur medietati detractae proportionis, non est intelligendum quod detracta proportio veram omnino integram habeat medietatem. Hic enim generaliter omnibus repugnat superparticularibus proportionibus in duas aequas integras scindi partes, ut infra probabitur.

Tertio, notandum quod, si dicta proprietas applicetur multiplicibus et si competat earum aliquibus proportionibus, non tamen omnibus, nec illo modo quo superparticularibus. Non enim tenet dicta regula si dupla proportio a proxima sibi maiore subtrahatur, quia remanet sesqualtera proportio quae maior est medietate duplae proportionis. Unde fit ut duae sesqualterae continuae proportiones duplam vincant proportionem. Superant enim illam in sesquioctava proportione, ut probatur in arithmetica, et patet in sequentibus numeris: 9 8 6 4. Et hoc amplius declaratum est libro secundo, ubi tractatur de tono cum diapason et de bis diapente.

In aliis autem multiplicibus proportionibus, magis tenet dicta proprietas. Si enim tripla proportio tollatur a quadrupla proxima maiore, manet sesquitertia proportio quae multo minor est medietate proportionis sublatae, scilicet triplae, ut patet in his terminis: 8 6 2. Inter hoc extremos numeros, quadrupla continetur proportio, inter senarium et binarium tripla. Haec tollatur per binarii subtractionem, et remanet termini inter quos est sesquitertia proportio, quarum duae non solum non aequantur triplae proportioni, sed nec tres, ut in numeris patet sequentibus: 81 64 48 36 27. Primi ad minimum terminum tripla proportio est, sed, inter secundum et quintum illum minimum numerum, tres continentur [21] sesquitertiae | [P1, 113r in marg.] proportiones quas tripla in duabus sesquioctavis superat proportionibus. Ex quibus satis patet sesquitertiam proportionem non aequari medietati triplae proportionis.

Dico similiter quod, si quadrupla proportio tollatur a quintupla, remanet sesquiquarta, ut hic patet: 10 8 2. Tollatur binarius ad quem denarius quintuplus est et octonarius quadruplus, remanet sesquiquarta proportio quae est 10 et 8. Dictum enim est prius quod ex tertia superparticularitatis et tertia multiplicitatis proportionibus, quarta multiplicitatis proportio, quae est quintupla, producitur. Sesquiquarta vero proportio longe minor est quadrupla proportione. Idem accidit si quintupla proportio tollatur a sextupla, quia remanet tunc sesquiquinta proportio (patet in numeris his: 12 10 2), vel si sextupla dematur a <septupla>, et remanet sesquisexta (ut hic: 14 12 et 2). Et sic consequenter est in aliis.

Item, quamvis dicta proprietas aliquibus | [P2, 140r in marg.] multiplicibus competat proportionibus, non tamen eodem modo quo superparticularibus, nam in superparticularibus, cum minor a sibi continua maiore subtrahitur, quae remanet proportio, facta illa subtractione, semper est superparticularis. In multiplicibus vero, proportio, quae remanet, non est multiplex, sed superparticularis, ut in exemplis patet positis.

Similiter, si declarata proprietas superpartientibus adaptetur, proportio quae remanet post subtractionem minoris a maiore, non superpartiens est, sed superparticularis, ut in terminis patet sequentibus: 21 20 12. Inter primum et tertium est supertripartiens proportio, inter secundum et tertium superbipartiens quae est continua minor; qua dempta de priore, manet sesquivicesima proportio inter 21 et 20, et illa superparticularis est.

Ex quibus sequitur quod non est sic propria comparatio detractae proportionis ad remanentem in multiplicibus et superpartientibus, sicut in superparticularibus, quia illae non tantum in alia sunt specie, sed in alio sunt inaequalitatis genere, non sic iste. Ideo Boethius proprietatem illam superparticularibus adaptat proportionibus. Et haec sufficiant ad intelligendum quasdam Boethii repetendas demonstrationes de proportione quarundam consonantiarum principalium de quibus ipse tractat et nos primo tractavimus libro secundo.

[22] Capitulum VIII.

Demonstratio per impossibile diapason in multiplici fundari proportione.

Quod diapason in multiplici fundetur proportione, sic probatur:

Quia fundatur aut in multiplici proportione, aut in superparticulari, non in superparticulari, ergo in multiplici.

Prima consequentia per hoc tenet, quia in solis illis inaequitatum generibus Peripatetici consonantias fundari dixerunt; quos, in hoc, Boethius videtur imitari, qui hoc probat libro primo, et, super rationes illas se fundans, libro secundo, ubi de diatessaron, diapente et tono loquens, facit talem consequentiam, si dictae consonantiae in habitudinibus superparticularibus non locantur, ergo in multiplicibus. Illius enim reddens causam dicit: Nam in superpartienti vel mixtis cur poni non possint, superius, ut arbitror, explanatum est.

Tunc probetur quod diapason in superparticulari non fundetur proportione, quia, si sic conveniens esset, ut in maxima superparticulari fundaretur habitudine (et illa est sesqualtera, ut visum prius est), et tunc diapente, quae minor est quam diapason, in minore illa proxima superparticulari poneretur habitudine (ut est sesquitertia). Ergo, per regulam prius declaratam, tollatur diapente a diapason, quae ponitur in superparticulari sesqualtera fundari proportione, et diapente in continua minore, scilicet sesquitertia; remanebit diatessaron quae immediate sequitur diapente. Et si ita est, tunc, secundum dictam regulam, diatessaron non aequabitur medietati ipsius diapente et bis diatessaron non perveniet ad unam diapente. Hoc autem est impossibile (probabitur enim infra bis diatessaron superare diapente in tono et semitonio; hoc etiam patet per ea quae dicta sunt libro secundo). Relinquitur igitur diapason in superparticulari genere non fundari. Ponetur igitur in multiplici. In qua autem specie multiplicitatis [23] probabitur infra, cum de proportionibus diatessaron et diapente, similiter et de tono viderimus.

Notandum quod regula prius declarata de proportionibus superparticularibus veritatem habet de consonantiis et specialiter quae in superparticularibus fundantur proportionibus; unde hic ad consonantias illam applicat. Ad hoc enim musicus proportiones inquirit in numeris ut illas applicet sonis numeratis, hoc est consonantiis.

Capitulum VIIII.

Demonstratio diapente, diatessaron et tonum in superparticulari esse genere.

Probandum proponimus diapente, diatessaron et tonum in superparticularibus fundari proportionibus, quia, si non in superparticularibus, ergo in multiplicibus fundabuntur. Supponitur enim ex dictis eas nec in superpartientibus | [P1, 113v in marg.] fundari nec mixtis.

Ponanatur igitur, dicit Boethius, si possibile est, in multiplici genere. Bene dicit si possibile est, loquens sub conditione. Similiter probabitur hoc non esse possibile, quia, si ita esset, sequeretur duos tonos non solum aequari ipsi diatessaron, sed ipsam superare; et multa alia ad illam positionem sequuntur inconvenientia, sicut declarabitur.

Et primo, videamus inconveniens tactum quod sequitur, si diapente et diatessaron ponantur fundari in multiplici genere (non tonus), sed in superparticulari; secundo, ea quae sequuntur, si tres tactae consonantiae in multiplici ponantur genere.

Si igitur diatessaron et diapente in multiplici ponantur genere, cum diatessaron minor sit quam diapente, fundabitur in minore proportione, et, cum illae consonantiae sint continuae vel immediate se habentes, verisimile est quod et earum proportiones. Si itaque diatessaron in duplici specie statuitur, diapente in triplici, | [P2, 140v in marg.] quae ad illam immediate sequitur, collocabitur. Tonus autem, qui in musicis habitudinibus post diatessaron locatur, in proportione fundabitur quae minor est [24] a duplici. Hoc autem in multiplici genere reperiri nequit, cum dupla in genere illo sit minima. Restat igitur tonum fundari in proportione quae maxime accedit ad duplam, qua tamen minor est. Haec autem inter superparticulares est sesqualtera. Fundabitur igitur tonus in proportione sesqualtera, quae maxima est inter superparticulares. Et hoc oportet secundum posita. Ponimus enim diatessaron in dupla fundari proportione, diapente vero in tripla. Sed dupla proportio cum tollitur a triplici, sesqualtera remanet habitudo et consimiliter, cum diatessaron demitur a diapente, remanet tonus; et hoc prius ostensum est. Consequens igitur est quod si diapente ponatur in triplici, diatessaron in duplici, quod tonus in sesqualtera. Sed hoc stare non potest, quia tunc duo toni superabunt diatessaron, sicut duae sesqualterae proportiones duplam vincunt, ut in arithmetica probatum est, et satis ex dictis patet prius in tractatu De Tono cum Diapason, et Bis Diapente. Sed falsum est duos tonos superare diatessaron, quia etiam nec ad ipsam attingunt; ergo, illud ex quo sequitur, scilicet quod diatessaron fundetur in proportione dupla, et diapente in tripla. Fundabuntur igitur in proportionibus superparticularibus.

Consequenter videamus inconvenientia quae sequuntur, si tonus in duplici ponatur genere fundari. Sed forsitan aliquis instando et cavillando dicit tonum in multiplici locari genere. Et si ita est, cum tonus minor sit quam diatessaron, et diatessaron quam diapente, ponatur diapente in quadrupla, diatessaron in tripla, et tonus in dupla. Sed ad hoc multa sequuntur inconvenientia; et sufficiat videre aliqua, specialiter ea quae veniunt ex parte toni qui ponitur in dupla collocari proportione, licet sequatur etiam ad hoc quod diatessaron in tripla et diapente ponuntur in quadrupla. Dico primo quod, si tonus fundetur in proportione dupla, et diapente in quadrupla, sequitur ad hoc duos tonos aequari ipsi diapente, sicut duae duplae proportiones uni quadruplae; secundo, quod diapente divisibilis sit in partes duas aequales, sicut quadrupla proportio, et duo toni; tertio, quod ditonus in proportione fundetur quadrupla; quarto, quod quadruplum constabit ex duplo et triplo, sicut diapente ex diatessaron et tono; quinto, quod tonus fundabitur et in dupla proportione, [25] ut est positum, et, cum hoc, in sesquitertia, quia demere triplum a quadruplo est cadere in sesquitertium, sicut prius declaratum est. Nam, cum diatessaron tollitur a diapente, remanet tonus. Sed ponitur diatessaron in proportione tripla, diapente in quadrupla; tonus igitur locabitur in sesquitertia; et prius ad illam positionem, scilicet quod, si diatessaron locetur in tripla et diapente in quadrupla, probatum est tonum locari in dupla. Una igitur consonantia in duabus fundabitur proportionibus, non solum specie, sed genere distinctis: quod est impossible. Item, si tonus fundetur in proportione sesquitertia, tres toni non aequabuntur uni diatessaron, si diatessaron in triplici ponatur genere, quia tres sesquitertii uno triplici sunt minores, ut est prius visum.

Ad dictas igitur positiones (quibus ponitur diatessaron et diapente in multiplicibus fundari proportionibus, sive tonus fundetur in multiplici, sive in sesqualtera, sive in sesquitertia), multa sequuntur inconvenientia. Ideo in multiplicibus poni nequeunt proportionibus. Nam, si diatessaron in multiplici nequit collocari, ut est probatum, nec diapente, quia, si diatessaron quae minor est quam diapente ponatur in superparticulari genere et diapente in multiplici, ponetur diapente in duplici, diatessaron in sesqualtera, tonus in sesquitertia. In continua igitur proportione locabitur, sed hoc stare non potest, quia duae sesquitertiae proportiones unam superant sesqualteram, ut in sequentibus patet numeris:

48 36 32 27.

Inter primum et ultimum, duae continentur sesquitertiae proportiones; inter primum et tertium una sesqualtera. Secundum hoc igitur duo toni vincent diatessaron; quod nulla ratione continget. Ex his igitur approbatur diapente ac diatessaron in multiplici genere non posse collocari. Quocirca concludit Boethius has consonantias in superparticulari genere inaequalitatis esse iure ponendas.

Exponenda sunt hic quaedam; | [P1, 114r in marg.] primo, hoc quod dictum est et sumptum a Boethio: quod tonus in musicis habitudinibus post diatessaron locatur, cum inter diatessaron et tonum cadant ditonus et semiditonus. Loquitur Boethius de solis illis consonantiis quae in proportionibus fundantur superparticularibus vel multiplicibus. Ditonus autem et semiditonus in [26] superpartientibus collocantur. Per idem exponatur quod postea dictur: quod proportio, quae magis accedit ad duplam, sesqualtera est. Verum est inter proportiones superparticulares, non inter superpartientes. Probatum enim prius est consonantias mediantes inter diapente et diapason in maiore fundari proportione quam | [P2, 141r in marg.] sit sesqualtera, minore tamen quam dupla; et illae proportiones sunt superpartientes, ut est visum. De talibus autem consonantiis Boethius non loquitur. Per idem exponitur quod postea dicitur: quodsi diapente in dupla ponatur, et diatessaron in sesqualtera, quod tonus in continua proportione post sesqualteram, scilicet in sesquitertia, locabitur. Notandum autem de hoc quod dicit Boethius in habitudinibus musicis tonum post diatessaron collocari; ex quo sequitur, cum, inter sesquitertiam proportionem in qua, secundum veritatem, fundatur diatessaron, et sesquioctavam, in qua tonus, multae medient superparticulares proportiones (ut sesquiquarta, sesquiquinta, sesquisexta et sesquiseptima), in nullam proportionum illarum musicalem fundari consonantiam, et, per consequens, consonantiae, quae mediant inter illas, cum in multiplici non fundentur proportione, et multo minus nec in mixta, fundabuntur in superpartiente.

Capitulum X.

Demonstrationes diapason in dupla fundari proportione.

Sed ad diapason revertamur.

Probatum est ipsam in multiplici locari genere. Videatur in qua multiplicitatis fundetur specie. Et dicendum quod in duplici, quia, si non locabitur, igitur in triplici, quadruplici, vel aliqua alia generis huius. Sed ad haec multa sequuntur inconvenientia, et tanto plura et maiora quanto in maiore multiplicitatis specie fundari ponetur, ut si in quintuplici quam in quadruplici, et in quadruplici quam in triplici. Ideo sufficiat videre aliqua inconvenientia quae sequuntur si in triplici locetur proportione.

Unum est bis diapason non tantum attingere ad ter diapason in sonis, sed superare, quia duae triplae proportiones [27] noncuplam creant, in qua tonus cum ter diapason radicatur quae est maxima consonantia inter eas de quibus, libro secundo, sumus <exsecuti>. Sic autem est in sonis, ut in proportionibus illis respondentibus. Item ad dictam positionem sequitur diapente in dupla locari proportione, quod probatum prius est esse impossible. Item, si in tripla diapason proportione fundetur, proportiones superparticulares duae, in quibus diapente fundatur et diatessaron, ad triplam <non> attingent, sicut in sonis diapente et diatessaron ad diapason. Haec falsa sunt, et alia multa quae induci possent.

Idem ostensive declaretur: In illa multiplici diapason specie locatur quae surgit ex duabus maximis proportionibus superparticularibus per principium, saepe tactum, quia sic in proportionibus est ut in sonis. Sed dupla proportio, et nulla alia, praecise surgit ex duabus maximis proportionibus superparticularibus, quae sunt sesqualtera, in qua diapente, et sesquitertia, in qua diatessaron, ut probatum prius est. Item sermonum verorum experimentum est, si consentiant rebus sensatis. Ad sensum autem satis patet in malleis, chordis et instrumentis sonoris aliis ad duplam proportionem nasci diapason, et haec certitudinaliter Pythagoras in malleis experiens multum est gavisus, certam regulam, certam proportionem huius consonantiae et quarundam aliarum reperiens ibi. Item optima et perfectissima, necnon et simplicissima consonantia vocum inaequalium in optima, perfectissima et simplicissima proportione numerorum inaequalium debet radicari. Diapason inter consonantias inaequalium vocum et dupla proportio inter habitudines numerorum inaequalium sunt huiusmodi ut est prius visum.

Ex multis aliis et ex variis ipsius diapason partibus probari posset ipsam in dupla fundari proportione, sed, quia haec aliqualiter tacta sunt libro secundo, sufficiant inductiones iam positae.

Capitulum XI.

[28] Demonstrationes diapente et diatessaron in maximis superparticularibus habitudinibus radicari.

Declaratum prius est diapente et diatessaron in superparticularibus fundari proportionibus.

Videndum est in quibus et dicendum quod in primis duabus, quae ceteris maiores sunt, cuiusmodi sunt sesqualtera sesquitertiaque. Nam, cum, in sonis, tactae consonantiae simul iunctae diapason reddant praecise, ut est prius visum, fundabuntur dictae consonantiae in proportionibus superparticularibus illis quae, simul iunctae, duplam praecise constituunt in qua locatur diapason.

Sed duae maximae superparticulares proportiones iam dictae duplam constituunt, ut prius est probatum capitulo quarto, et solae illae duae, ut per inductionem experiri potest. Loquor autem de superparticularibus proportionibus, quod solae illae duae, quae tactae sunt, ad duplam attingunt.

Dico "solae illae duae", quia una illarum cum aliis duabus superparticularibus possunt inducere duplam proportionem, ut sesquitertia cum sesquiquarta et sesquiquinta. Patet hoc in numeris sequentibus: 6 5 4 3, ubi apparet sesquiquartam | [P1, 114v in marg.] et sesquiquintam proportiones aequipollere uni sesqualterae. Et posset exemplum poni in quo sesquitertia proportio ad gravem poneretur partem, et aliae duae ad acutam, ut hic: 8 6 5 4, vel cum sesqualtera sesquiseptima et sesquisexta in numeris sequentibus:

12 8 7 6,

ubi patet sesquiseptimam | [P2, 141v in marg.] et sesquisextam proportiones vicem supplere unius sesquitertiae proportionis. Quandoque autem quattuor superparticulares habitudines duplam reddunt, ut hic: 8 7 6 5 4, quandoque quinque, ut hic: 10 9 8 7 6 5. Sic in infinitum possent reperiri proportiones superparticulares plures et plures duplam inducentes proportionem.

[29] Item dixi solas duas primas superparticulares proportiones duplam procreare ad excludendum superpartientes. Una enim alia superparticularis proportio cum aliqua superpartiente potest ad duplam attingere, ut sesquiquinta cum superbipartiente in his terminis: 6 5 3, ubi apparet superbipartientem proportionem maiorem esse una sesqualtera, quia sesquiquinta proportio, iuncta sesqualterae, non valet duplam complere, ut per numeros patet sequentes: 18 12 10. Item supertripartiens proportio cum sesquiseptima duplam procreant, ut hic: 8 7 4. In quo patet supertripartientem proportionem maiorem esse superbipartiente, quia cum minore proportione duplam inducit. Minor enim est sesquiseptima proportione sesquiquinta. Idem induci posset in multis aliis proportionibus et apparet ibi non modica speculatio. Et ex his confirmatur quod prius est dictum de maioritate proportionum.

Videtur igitur quod diapente et diatessaron in maximis proportionibus superparticularibus, quae sunt sesqualtera et sesquitertia, iure collocentur. Hoc etiam confirmari potest, tum quia maximae consonantiae fundatae in proportionibus superparticularibus in maximis talibus proportionibus debent radicari (huiusmodi sunt diapente et diatessaron), tum quia perfectissimis consonantiis, quarum fundamentum in proportionibus est superparticularibus, aptandae sunt perfectissimae superparticulares proportiones. Diapente et diatessaron sunt perfectissimae inter consonantias fundatas in superparticularibus proportionibus et, inter proportiones illius generis, sesqualtera et sesquitertia sunt perfectiores, cum per prius ad aequalitatem reducantur et propter alias multas ipsarum proprietates. Diapente igitur et diatessaron fundantur in sesqualtera sesquitertiaque proportionibus. Quodsi ita non esset, multa sequerentur inconvenientia, ut declarari posset. Et, si sic ponatur ut est declaratum, sequuntur nulla.

[30] Capitulum XII.

Quod diapente in sesqualtera, diatessaron in sesquitertia, tonus in sesquioctava fundentur proportionibus.

Ostensum est diapente et diatessaron in maximis fundari proportionibus superparticularibus quae sunt sesqualtera et sesquitertia.

Videndum est in qua istarum diapente, et in qua diatessaron radicetur. Et dicendum sesqualteram proportionem aptandam esse ipsi diapente, et sesquitertiam ipsi diatessaron, quia maiori consonantiae maior debet adaptari proportio, minori minor. Diapente autem consonantia maior est quam diatessaron, quia continet eam et plus. Superat enim ipsam in tono, et magis voces extremae diapente distant ad invicem quam ipsius diatessaron. Sesqualtera autem proportio maior est sesquitertia, ut est prius visum. Consequens est igitur diapente fundari in sesqualtera proportione, diatessaron in sesquitertia. Item perfectiori consonantiae perfectior debet attribui proportio. Diapente perfectior est quam diatessaron, et proportio sesqualtera quam sesquitertia.

Idem per sensum patet in sonoris instrumentis. Chordae enim psalterii, inter quas est sesqualtera proportio, ita resonant diapente (quod nullam aliam consonantiam), et illae, inter quas est sesquitertia proportio, diatessaron. Et haec amplius deducta sunt libro secundo, ubi multa alia tacta sunt ex quibus probari potest dictas consonantias in dictis fundari proportionibus. Ideo brevius hic de hac expedio me materia.

Dico ulterius tono sesquioctavam aptandam esse proportionem. Nam in illa ponendus est, quae remanet de sesqualtera, ab ea detracta sesquitertia. In sonis enim, si diatessaron tollatur a diapente, tonus remanet. Ideo, cum diapente fundetur in sesqualtera, diatessaron in sesquitertia, fundari debet tonus in proportione remanente de sesqualtera, sublata ab ea sesquitertia; illa est sesquioctava, ut prius probatum est capitulo sexto.

Item in illa proportione superparticulari tonus fundatur, quae, geminata, cum una minoris semitonii proportione sesquitertiam [31] inducit proportionem. Sic autem est de sesquioctava, ut ex secundo patet libro, in numeris sequentibus: 192 216 243 256.

Item, in illa proportione consistit tonus, de quo loquimur, quae surgit ex proportionibus duorum semitoniorum simul iunctorum, <dieseos> et <apotomes>. Partes enim suum reddunt totum. Illae enim sunt partes proportionis toni, sicut in sonis duo tacta semitonia partes integrales | [P1, 115r in marg.] toni sunt. Sed sesquioctava proportio surgit praecise ex proportionibus duorum semitoniorum simul iunctorum, ut in his patet numeris: 2187 2048 1944. Est hic, inter duos primos terminos, <apotomes> proportio; inter secundum, vel medium, et minimum terminum, ipsius <dieseos>. Inter extremos autem positos numeros sesquioctava proportio continetur, ut | [P2, 142r in marg.] amplius ex secundo patet libro. Item, in illa proportione tonus fundatur quam servant chordae tonum resonantes. Illa est sesquioctava, ut ad sensum apparere potest in psalterii chordis.

Tonus igitur in sesquioctava proportione fundatur. Hae probationes libro secundo tactae sunt.

Capitulum XIII.

Quod diapason cum diapente in tripla, et bis diapason in quadrupla fundentur habitudinibus.

Quoniam quae principia sunt essendi, principia etiam sunt cognoscendi, sicut totum ex partibus suis in esse constituitur, sic et cognoscitur (visum autem prius est diapason in dupla fundari proportione, diapente in sesqualtera, diatessaron in sesquitertia, tonum in sesquioctava), potest, ex illis convinci in qua proportione diapente cum diapason, vel e converso, quia in tripla, et bis diapason in quadrupla fundentur proportionibus.

In ea enim diapente cum diapason fundatur proportione quae surgit ex dupla et sesqualtera. Nam, si, in sonis, consonantia, de qua loquimur, componitur ex diapason et diapente, [32] quae partes, simul iunctae, ipsam reddunt, surget etiam in numeris eius proportio ex partialibus proportionibus dictarum partium simul iunctis, quae sunt dupla et sesqualtera. Ex his autem duabus proportionibus, tripla nascitur, ut est probatum prius, capitulo quinto, et patet in terminis sequentibus: 6 4 2, vel in his: 6 3 2. Idem probari potest ex multis aliis partibus huius consonantiae, sicut patet libro secundo. Sed sufficiat hic repetivisse probationem sumptam ex partibus principalibus huius consonantiae ex quibus non immerito denominatur. Nam, secundum illas solas, Boethius consonantiam hanc probat in tripla fundari proportione, etiam quia proportiones tactarum partium notiores sunt et perfectiores. Item, supposito consonantiam hanc in multiplici locari proportione similiter et bis diapason, quia in quadruplici, ut probabitur, potest ex hoc satis concludi diapente cum diapason, de qua loquimur, in triplici fundari proportione, quia de diapason est probatum ipsam in multiplici proportione collocari, scilicet in duplici. Nam, cum haec consonantiam mediet inter diapason et bis diapason, oportet ut fundetur in proportione mediante inter duplam et quadruplam. Illa est tripla inter proportiones multiplices. Nec deficit hic probatio quam approbat sensus, quia chordae psalterii, triplam habentes proportionem, hanc, si pulsentur, resonant consonantiam.

Dico ulterius bis diapason in quadrupla fundari proportione, quia quadrupla proportio surgit ex tripla et sesquitertia, ut est visum prius, et patet hic: 12 4 3. Et sic in sonis est, quia, si iungatur diatessaron ad diapason et diapente, provenit inde consonantia ista quae dicitur bis diapason. Item in illa fundatur bis diapason proportione quae surgit ex proportione dupla geminata, cum, in sonis, hanc consonantiam bis diapason efficiat, sicut ipsius sonat nomen. Sed dupla proportio geminata quadruplam procreat, ut in his patet terminis: 8 4 2. Idem etiam satis patet ad sensum. Nam, in psalterii chordis, quae aliam quater continet, ad illam bis diapason resonat. Idem probari potest ex multis aliis mediis [33] sumptis ex distinctis partibus huius consonantiae, ut est tactum in libro secundo.

Est autem hic notandum Boethium non sic distincte probasse consonantias has duas in multiplici fundari proportione, sicut fecit de diapason et de diapente, de diatessaron et tono, quantum ad superparticulares, quia illae, quantum ad partes suas, compositiores sunt. Ideo suffecit sibi ex illis, ut ex ipsarum partibus, specificas harum duarum proportiones inquireret. Et in hoc Boethius nobis dedit viam inquirendi proportionem specificam alicuius consonantiae ex illis, scilicet partibus, sicut et fecimus libro secundo. Sic igitur sex consonantiarum principalium vocum inaequalium visae confirmataeque sunt specificae proportiones, ut quod diapason in duplici specie locetur, diapente cum diapason in triplici, bis diapason in quadruplici, diapente in sesqualtera, diatessaron in sesquitertia, tonus in sesquioctava.

Ea autem, quae Boethius de quibusdam aliis dicit, ad has ordinari videntur, ut ea quae tangit de semitoniis et commate, de quibus minimos inquirit numeros et inter quas medient superparticulares proportiones; nec vidi quod specificas dictarum partium habitudines, quae essent, nominaret (superparticulares autem illae non sunt, sed superpartientes, ut est visum).

Non inveni etiam aliquarum aliarum ipsum Boethium tetigisse proportiones, nisi ipsius diatessaron cum diapason quae, secundum Nicomachum, inter consonantias computari non debet, quia in mixta superpartiente locatur proportione. Oppositum autem tenuit Ptolomaeus, et de hoc discussum est prius.

Quot autem tonis | [P1, 115v in marg.] diatessaron, diapente ac diapason constent, visum est, quia diatessaron duobus cum semitonio, | [P2, 142v in marg.] diapente tribus cum semitonio, diapason quinque cum duobus semitoniis. Sed quod illud semitonium, inclusum in diatessaron ultra duos tonos, non sit integra toni medietas, monstrandum est.

[34] Capitulum XIIII.

Demonstrationes semitonium illud in quo diatessaron duos vincit tonos non esse toni medietatem integram.

Ad probandum particulam illam, in qua diatessaron duos vincit tonos vel quae remanet de diatessaron, duobus demptis tonis, non esse toni medietatem, sicut credidit Aristoxenus, ad numeros illos oportet recurrere inter quos illius particulae iacet proportio. Ubi enim sensus non sufficit, cui nimis credidit Aristoxenus, ad rationem expedit recurrere.

Supponatur igitur ex praedeterminatis semitonium illud, in quo diatessaron duos vincit tonos vel sesquitertia proportio duas sesquioctavas proportiones, fundari in numeris qui sunt: 256 et 243, et quod hi sunt primi proportionis illius. Ad haec, ut brevius loquamur, supponamus tactum semitonium diesim vocari, quo nomine vocatur a <Philolao> et a Boethio. Probetur igitur diesim non esse toni medietatem integram, sed minus.

Hoc autem pluribus probabitur viis: prima sumetur ex differentia quae est inter terminos proportionis ipsius <dieseos>; secunda, ex proportione inter tactos contenta terminos; tertia, per veram integri semitonii proportionem, si tale semitonium in re esset reperibile; quarta, per geminationem sesquitertiae proportionis et per unionem ipsius ad sesqualteram.

Primam viam Boethius tangit libro primo atque secundo, secundam secundo libro, tertiam et quartam libro tertio.

Quantum ad viam primam arguitur sic: Si diesis integram toni diceret medietatem, differentia numerorum tactorum, inter quos eius iacet proportio quae est 13 octies in se ducta, ad medietatem ducentorum quadraginta trium perveniret. Si enim octava pars alicuius numeri octies in se ducta plenum reddit numerum ad quem numerus alius maior illum [35] vincens in octava illius parte tonum habet integrum, ita ut videtur semitonialis differentia octies in se ducta, si vere fuit ibi semitonium, integram medietatem toni debet implere. Sic enim pars ad partem se habet, ut totum ad totum. Hoc autem falsum est de dicta differentia. Reddit enim numerum qui est 104 qui non est prioris numeri medietas. Duplatus enim numerum facit sequentem 208 qui ad priorem non provenit qui est 243.

Item si tacta semitonii differentia toni medietatem importaret, ipsa duplata ad integrum tonum, ut videtur, attingeret, cum omne dimidium duplatum suum reddat totum. Non attingit autem. Nam 26 numero si iungantur qui est 243, provenit inde numerus sequens 269 qui ad 243 tonum non facit, quia non superat eum in numero qui est 30, qui magis de prope octava pars illius est quam 26.

Videtur igitur quod diesis, cuius proportio inter tactos iacet numeros, non dicat integram toni medietatem, sed minus.

Sed instari potest contra tactas rationes, quia per geminationem differentiae toni non attingitur ad numerum duos tonos habentem ad priorem numerum. Patet hoc, si dupletur binarius qui est inter 16 et 18, et minori iungatur numero. Provenit enim inde numerus qui est 20 qui duobus tonis non distat a 16. Sed hoc expressius potest experiri in numeris sequentibus: 64 72 81, in quibus duae continentur sesquioctavae continuae proportiones. Geminata enim differentia quae est inter medium et minorem numerum iunctaque eidem minori termino, fit numerus qui est 80, qui duobus tonis non distat a sexaginta quattuor. Deficit enim unitas consimiliter etiam differentia semitonialis quantumcumque semitonium denotaret integrum geminata non producit duo semitonia consimilia et aequalia, et per consequens, nec tonum, nec ars geminandi et continuandi proportiones fundatur in geminatione differentiarum, sed proportionum. Aliud autem est geminare differentias et proportiones. Nam differentia et proportio multum differunt, ut alias tactum est. Ideo quaedam antiqua glossa super Boethium, ubi tactam tangit [36] rationem, dicit sic: Hic autem obicitur quia, licet hoc esset, scilicet quod differentia semitonialis posset mediari, non esset tamen semitonium integrum, quod apparet in tono qui est inter 16 et 18. Cuius differentiae medietas, si octuplicetur, aequatur medietati minoris termini, tamen non est semitonium. Si enim dividatur quantum plus poterit iuxta aequalitatem, scilicet interveniendo 17, et superponatur minori, scilicet 16, medietas differentiae, maior erit proportio minoris ad ipsum, idest ipsorum 16 ad 17, quam ipsius ad maiorem, id est ipsorum 17 ad 18. In omni enim arithmetica medietate, minorum terminorum maior est proportio et maiorum minor. Itaque non erit semitonium, cum tonus per aequalia non possit dividi.

Huc usque glossa illa est. Secundum eam, non est taxanda | [P2, 143r in marg.] aequalitas proportionis ex aequalitate differentiae quantum ad proportionem geometricam de qua loquimur, quicquid sit de proportione arithmetica, nec medietas alicuius proportionis ex medietate differentiae quantumcumque differentia illa medietatem haberet, qua caret numerus impar, ut sunt | [P1, 116r in marg.] 13 et 243, nec aliquis numerus potest esse sesquioctavus ad 243, cum sit impar et dividi non possit in octo partes aequales.

Quod autem dictum est omne dimidium duplatum suum reddere totum verum est in suo genere vel specie. Ideo differentia aliqua geminata numerum inducit duplum ad ipsam vel duplam talem proportionem arithmeticam, non geometricam, quae inaequalitatem respicit differentiarum. Sed de hac materia perscrutabimur amplius libro quinto, donante Domino, ubi de tetrachordorum variis descriptionibus tractabimus, in quibus Boethius multum iuvat se de mediandis et duplandis differentiis proportionum aliquarum, et quare haec faciat et facere possit, ut poterimus, exponemus.

[37] Capitulum XV.

Secunda via ad probandum diesim semitonium integrum non esse, sed minus.

Est autem alia fortior via ad probandum inter tactos numeros, inter quos <dieseos> iacet proportio, non esse medietatem toni integram, quia, si ita esset, ipsa geminata sesquioctavam induceret proportionem in qua fundatur tonus, sicut sesquioctava proportio geminata duas generat sesquioctavas proportiones et duos tonos, ut in numeris his patet: 64 72 81, et sesquitertia proportio <geminata> duas sesquitertias proportiones, ut hic: 9 12 16. Et consimiliter in aliis est.

Omne enim dimidium, si dupletur, id efficit cuius est dimidium, et, si illud implere non potest, geminata particula, minus est parte dimidia; si vero superfluat, plus est dimidia parte. Sed <dieseos> proportio inter tactos iacens numeros qui sunt: 243 256, geminata ad sesquioctavam proportionem non pervenit, et per consequens, nec ad tonum. Hoc autem ut appareat, tacta proportio per prius artem tactam de continuandis proportionibus geminetur. Quod fiet, si quilibet terminorum illorum in se ipsum ducatur et, praeter hoc, alter in alterum et summae pervenientes notentur.

Multiplicetur igitur maximus numerorum illorum per se ipsum et summa exit quae sequitur: 65536. Item 243 propria numerositate concrescant, et fit terminus: 59049. Rursus 256 multiplicent 243, vel e converso, qui radices erant, et erit numerus exiens 62208. Qui ponatur in medio duorum aliorum et disponantur sic: 65536 62208 59049. Continentur hic duae proportiones aequales tales qualis erat illa quae inter priores terminos radicales, qui sunt 256 et 243, continetur. Qualis enim est proportio maioris termini ad medium, talis est illius medii ad minorem terminorum illorum. Si igitur maioris ad medium est integri semitonii proportio, et similiter illius medii ad minorem terminum, erit inter terminos [38] illos extremos proportio sesquioctava et integer tonus. Non est autem, quia non vincit maior minorem in octava parte. Nam, si haberet partem octavam et illa sibi iungeretur, inde proveniens numerus vinceret numerum illum qui est 65536. Sed cum numerus ille impar sit, non habet partem octavam praecisam et hoc impedit unitas sola ne divisibilis sit in partes octo praecisas.

Ideo, ut magis intentum appareat, quae sit pars illa, unitate deiecta, videamus et, nisi fallor, ipsa est quae sequitur: 7381. Haec enim, octies in se ducta, numerum facit qui sequitur: 59048, qui vincitur a minore trium positorum numerorum, qui est 59049, in unitate sola. Tacta igitur octava pars numero iungatur cuius est octava pars, et exit sequens numerus: 64429, qui disponantur cum aliis tribus sic:

66429 65536 62208 59049.

Manifeste patet hic duas diesales proportiones ad sesquioctavam non attingere, sed ad minus, cum prior numerus hic positus, qui sesquioctavus ad quartum est (nisi quod abundat sola unitas), superet numerum sequentem, distantem a quarto tacto numero, in duabus continuis proportionibus talibus qualis est illa semitonialis proportio quae est inter 256 et 243, in qua diesis fundari noscitur. Superat, inquam, prior numerorum illorum alium, ille scilicet qui distat tono vel sesquioctava proportione a quarto tacto numero eum qui ab eodem duabus tactis semitonialibus proportionibus in octingentis nonaginta tribus unitatibus. Non importat igitur diesis integram toni medietatem, sed minus.

Sed, ut planius intentum appareat, cum minor tactorum trium numerorum octava praecise careat parte, illi numeri rursus octonario multiplicentur, et provenient inde sequentes numeri: | [P2, 143v in marg.] 524288 497664 472392. Inter hos tres terminos, geminata semitonialis eadem, quae in tribus prioribus claudebatur, continetur proportio, quia eodem numero aucti sunt et minor horum octavam habet partem praecisam hanc, scilicet 59049. Haec igitur iungatur numero illi cuius est octava pars, et <provenit> inde sequens numerus 531441 qui cum praedictis iungatur numeris sic:

531441 524288 497664 472392.

Et vocentur horum maior vel primus .a., secundus .b. tertius [39] .c., quartus .d. Est | [P1, 116v in marg.] autem inter .a. et .d. tonus perfectus et sesquioctava proportio; inter .b. et .d. geminata continetur semitonialis proportio qualis est inter 256 et 243, quia una inter .b. et .c., alia inter .c. et .d. Cum igitur .b.d. non attingant ad .a.d., duae semitoniales tactae proportiones ad sesquioctavam non attingunt. Non est igitur semitonium, inter 256 et 243 iacens, integra toni medietas et, cum omnes numeri illi sint integri, apparet ibi vera differentia in qua sesquioctava proportio geminatam tactam semitonialem superat proportionem, et tonus perfectus tonum minorem, et illa est 7153, quae est distantia numerorum inter quos est commatis proportio.

Capitulum XVI.

Tertia via ad probandum diesim non esse semitonium integrum.

Quantum ad tertiam viam probandi conclusionem hic intentam, sic arguitur:

Illud semitonium non est integra toni medietas cuius proportio inter terminos, qui sunt 18 et 16, non mediat. Sic est de <dieseos> proportione, quare et cetera. Maior probatur, quia inter tactos terminos est sesquioctava proportio, et illi sunt primi termini sesquioctavae proportionis inter quos aliquis mediat terminus, ut est 17.

Oportet autem semitonii integri proportionem mediare inter terminos sesquioctavae proportionis. Duae enim aequales proportiones necessario requirunt ad minus tres terminos, duos extremos et unum intermedium, qui, cum vicem gerat duorum, et in ipso illae duae continentur similes proportiones. Oportet ut talis sit proportio medii termini ad minorem qualis est maioris ad ipsum. Alias male diceretur: "Sicut se habent 6 ad 4, sic 9 ad 6". Nam continua dicuntur quorum extrema sunt unum in eo scilicet in quo uniuntur.

Cum igitur inter 18 et 16 sit sesquioctava proportio, si illa divisibilis est in duas omnino aequales semitoniales proportiones quae, simul iunctae, ipsam reddant praecise, oportet [40] duas illas proportiones uniri et continuari in termino aliquo uno medio ut, quae sit proportio ipsius illius ad 16, talis sit ipsorum 18 ad terminum illum. Sic enim videmus in omnibus proportionibus in duas aequales proportiones partiales divisibilibus quae, simul sumptae, proportionem illam reddunt, mediare scilicet terminum unum proportionem illam in aequales habitudines dividentem. Patet hoc in ditono, semitritono, tetratono, bis diatessaron, bis diapente, et bis diapason, ceterisque omnibus consimilibus.

Utrum autem inter tactos terminos sesquioctavae proportionis, qui sunt 18 et 16, mediet aliquis terminus qui proportionem illam in aequas dividat proportiones, inquiretur infra et probabitur quod non. Sed nunc sufficiat ostensum esse quod integri dimidii semitonii proportio, si esset illa, mediaret inter tactos sesquioctavae proportionis terminos, et possemus dicere generalius hoc oportere verificari de quibuscumque aliis terminis sesquioctavae proportionis. Et hoc magis ex dicendis infra patebit.

Nunc est ita quod proportio <dieseos>, quae inter terminos saepe tactos fundatur qui sunt 256 243, non mediat inter terminos qui sunt 18 et 16, quia tunc vel esset sextadecima, vel septimadecima, vel inter illas media. Sed neutra illarum est, cum minor sit quam aliqua illarum, etiam quam decima octava. Probatum enim prius est ipsam esse minorem supersesquidecima octava, maiorem tamen supersesquidecima nona. Exit igitur terminos sesquioctavae proportionis. Non est igitur diesis semitonium integrum, sed minus, cum in proportione fundetur minore quam sit integri semitonii proportio.

Capitulum XVII.

Quarta via probandi diesim non esse semitonium integrum.

Adhuc probetur aliter diesim non dicere integram toni medietatem, sed minus, quia, si diceret integram toni medietatem, bis diatessaron ad quinque tonos attingeret integros, [41] diatessaron cum diapente ad sex, similiter et diapason, secundum quod voluit Aristoxenus.

Sunt enim, in diatessaron, duo toni cum diesi, et, in diapente, tres cum diesi. Superat enim diapente diatessaron in tono, sicut sesqualtera proportio sesquitertiam in sesquioctava proportione. Cum igitur duo et duo toni quattuor faciant tonos, et duo semitonia integra toni dimidietates dicentia tonum integrum, bis diatessaron aequabitur tonis quinque, et diatessaron cum diapente | [P2, 144r in marg.] sex, similiter et diapason, quia constat ex diatessaron et diapente. Sed quod haec sint falsa probandum est, quia duae sesquitertiae proportiones ad quinque sesquioctavas non attingunt; ergo, nec bis diatessaron ad quinque tonos.

Quod autem duae sesquitertiae proportiones non compleant quinque sesquioctavas in primis sesquioctavis proportionibus continuis alias positis apparere posset si, inter extremos terminos illarum proportionum, duae sesquitertiae reperiri possent proportiones. Hoc autem possible non est in numeris integris, quia maior numerorum illorum indivisibilis est in quattuor partes integras aequales, et minor in tres, nec potest in tam modicis numeris commatis | [P1, 117r in marg.] integra differentia reperiri.

Sumantur igitur alii numeri quorum extremi quinque tonis distent ab invicem ut inter eos sit praecisa pentatoni proportio. Et, praeter hoc, reperiantur ibi duae sesquitertiae proportiones, et tales numeri sunt illi qui sequuntur, et disponantur sic:

(Vide p. 42).

Inter extremos positos terminos quinque continentur toni: inter primum, sive maiorem, et secundum, diatessaron, sive sesquitertia proportio, scilicet inter .a. et .b., et similiter inter tertium et quartum, scilicet inter .c. et .d.; sed, inter secundum et tertium, tangitur differentia in qua quinque toni superant bis diatessaron, quae vocetur .e.

Sint terminus primus .a., secundus .b., tertius .c., quartus .d. Ex his patet igitur bis diatessaron non complere quinque tonos, sed ab illis superari in differentia quae est .e.. Alias illi termini, qui sunt .b. et .c., ab invicem essent indistincti.

[42] [CSMIII/3:42; text: Diatessaron, Sesquitertia proportio, Differentia in qua quinque toni vincunt bis diatessaron, quae est commatis, .a. .b. .c. .d. 708588, 531441, 524288, 393216, Distantia quinque tonorum--pentatonus--super 26281 partiens proportio 32768 .e. 7153] [JACSP3A 04GF]

[ante 43] [CSMIII/3:ante43; text: Pentatonus superat bis diatessaron in commatis differentia inter bis diatessaron posita hic, super 26281 partiens proportio, Diatessaron, sesquitertia proportio, Tonus in diesim, commam et diesim divisus, similiter eius sesquioctava proportio, Apotome, super 39 partiens proportio, Apotome, maius semitonium, Tonus, sesquioctava proportio, Diesis, super 13 partiens proportio, Commatis differentia, super 7153 partiens proportio, .e. 7153, .a. .b. .c. .d. 708588, 629856, 559872, 531441, 524288, 497664, 442368, 393216, Subscripti numeri duodecimae partes tunc suprascriptorum numerorum et sunt minimi numeri pentatonae proportionis. 59049, 52488, 46656, 41472, 36864, 32768, Pentatonus in minimis suis numeris, quinque continuae sesquioctavae proportiones] [JACSP3A 05GF]

[43] Unde quanta est differentia inter illos, in tantum quinque toni bis diatessaron superant, hoc est in commate, quia illa est differentia commatis. Ex quibus firmiter arguitur diatessaron minime duobus tonis ac integro coniungi semitonio.

Verum est Boethium, in tacta deductione, alios posuisse numeros. Sed ego integros volui ponere numeros qui ex primis pentatonae proportionis nascuntur numeris per duodecim multiplicatis. Et ideo, ad confirmandum quae dixi, ut etiam sigillatim appareant quinque toni quos dixi contineri inter positos extremos terminos, qui sunt .a. et .d., sequens inspiciatur descriptio:

| [P2, 144v in marg.]

(Vide descriptionem in tabula seorsum addita).

| [P1, 117v in marg.] Adhuc, cum in tacto exemplo bis diatessaron extremas quinque tonorum teneant partes et differentia in qua quinque toni vincunt bis diatessaron in medio situetur, ponatur exemplum aliud in quo inter extremos numeros quinque tonorum continuorum distantia sit. Et quantum ad alterum extremorum illorum duae continentur sesquitertiae proportiones, sive bis diatessaron, ut ad alteram partem extremam appareat illa differentia quae superest de quinque tonis ultra bis diatessaron. Sumantur igitur numeri sequentes et sic disponantur primo:

| [P2, 145r in marg.]

(Vide p. 44).

Vocetur autem primus, quia maior est terminorum positorum, .a., secundus .b., tertius .c., quartus .d. Differentia vero quae est inter primum et secundum terminum vocetur .e. Patet autem ex tacta descriptione quod, inter tactos extremos terminos qui sunt .a. et .d., quinque continentur toni, inter .b. vero et .d., bis diatessaron. Sicut igitur se habent .a. et .d. ab .b. et .d., ita se habent quinque toni ad bis diatessaron. Sed .a.d. superant .b.d. in differentia quae est .e., quae est differentia commatis. Ergo quinque toni vincunt bis diatessaron. Pars enim ad suum totum non attingit, cum totum maius sit sua parte; .b.d. autem includitur in .a.d. quasi pars

[44] [CSMIII/3:44; text: Intervallum quinque tonorum, bis diatessaron in commate superans, Bis diatessaron, super septipartiens proportio, Commatis differentia in qua quinque toni bis diatessaron vincunt, Diatessaron, sesquitertia proportio, .e. 7153, .a. .b. .c. .d. 531441, 524288, 393216, 294912] [JACSP3A 06GF]

[ante 45] [CSMIII/3:ante45; text: Quinque tonorum, sesquioctave proportiones superantes duas sesquitertias in quibus diatessaron fundatur, Tonus in commam, diesim et diesim partitus, Bis diatessaron, duae continuae sesquitertiae proportiones ad pentatonum non pervenientes, Diatessaron hic partitus in diesim et diesim, tonum et apotome, similiter et sesquitertia proportio, Tonus hic dividitur in apotome et diesim, similiter sesquioctava proportio, Diatessaron, sesquitertia proportio, Commatis differentia super 7153 partiens proportio, quae est .e. Diesis, minus semitonium, super 13 partiens proportio, Diesis, super 13 partiens proportio, Tonus, sesquioctava proportio, Apotome, toni maior pars, super 139 partiens proportio, Diesis, toni minor pars, super 13 partiens proportio, .a. .b. .c. .d. 531441, 524288, 497664, 472392, 419904, 393216, 373248, 331776, 294912, Hi subscripti numeri novies in suprascriptis continentur et sunt primi numeri proportionis pentatonae, 59049, 52488, 46656, 41472, 36864, 32768, Quinque continuae sesquioctavae proportiones in minimis suis, primis vel radicalibus numeris] [JACSP3A 07GF]

[45] in toto. Et est notandum quod numeri pentatonae proportionis quos nunc posuimus novies continent primos vel minimos dictae proportionis numeros. Ideo, ut quae dixi manifestiora sint, consimiliter ut de praecedentibus factum est numeris, etiam hi figurentur:

(Vide descriptionem in tabula seorsum addita).

| [P1, 118r; P2, 145v in marg.] Sic probatum est bis diatessaron quinque tonos non complere, quia duae sesquitertiae proportiones ad quinque sesquioctavas non perveniunt, et quia bis diatessaron a pentatono distinguatur.

Ex multis aliis probari posset, quia eis distincte respondent numerales proportiones: bis diatessaron in duas aequales partes est divisibilis, non pentatonus, et pentatonus in quinque, non bis diatessaron.

Item bis diatessaron, quantum ad extremas suas voces, multo facilioris et melioris pronuntiationis est. Unde in aliquibus etiam planis cantibus reperitur pentatonus nunquam, nec habet locum in monochordo, sicut bis diatessaron, vel semiditonus cum diapente.

Et ex multis aliis proprietatibus patet has consonantias ab invicem esse distinctas. Illud autem, in quo pentatonus bis diatessaron superat, est comma. Est igitur falsum bis diatessaron complere quinque tonos. Dico etiam esse falsum diatessaron cum diapente sex tonos perficere, quia tunc diapason sex tonos in se compleret; quod non facit, ut ex multis demonstrari posset, et est tactum libro secundo, capitulo De Hexatono. Cum igitur haec sint falsa, et illud unde proveniunt, scilicet quod semitonium, quod includit diatessaron ultra duos tonos, sit integra toni medietas, et quinque toni bis diatessaron superent in commate, sequitur ad hoc ut semitonium integrum superet illud semitonium, quod includit diatessaron ultra duos tonos, in medietate commatis. Nec tamen assero comma integram habere medietatem, quia nec tonus, et hoc est illud in quo fundatur (quae tactae sunt hic rationes), quia illud semitonium, quod includit diatessaron [46] ultra duos tonos, vel sesquitertia proportio ultra duas sesquioctavas, si esset integrum semitonium vel integra toni medietas, tunc tonus esset divisibilis in duo semitonia aequalia. Hoc autem falsum esse saepe dictum est et probabitur infra.

Diesis igitur, cuius proportio fundatur inter numeros qui sunt 256 243, minus est semitonio integro, si esset, et multo fortius semitonio maiore, quod <apotomen> vocavimus. Iure igitur diesim minus semitonium vocare possumus, quia minus continet parte media ipsius toni, sicut illud quod consurgit ex duabus diesibus minus est eo quod provenit ex inaequalibus partibus toni, ut sunt diesis et apotome, ex quibus constat tonus quo utimur, cuius proportio sesquioctava est. Et cum nihil aliud sit apotome, nisi diesis et comma, totus tonus nihil est aliud nisi bis diesis et comma. Quod patet sic: Tonus est illud in quo sex toni quinque tonos vincunt. Hoc autem est in duobus minoribus semitoniis et commate, nam sex toni diapason vincunt in commate. Diapason autem quinque tonos superat in duobus minoribus semitoniis, sicut diatessaron cum diapente. Tonus igitur duo minora continet semitonia cum commate.

Qualiter autem tonus haec dicta semitonia in consonantiis sumi possint ad acutam partem atque gravem, tangatur hic, quamvis ex his, quae dicta sunt libro secundo, possit aliqualiter hoc scientibus clarescere.

Capitulum XVIII.

De tono et partibus eius per consonantias sumendis ad acutam partem atque gravem.

Quia Boethius circa materiam prius tactam de toni tractat partibus, qualiter sumi possint in consonantiis, similiter et tonus acutam partem gravem<que>, de hoc hic aliquid inseramus.

Sit igitur propositum tonum ad acutam sumere partem. Sit sonus aliquis et vocetur .a. Ab hoc intendatur alius sonus [47] distans a priore per diatessaron et vocetur .b. Item a priore voce, quae est .a., alia vox intendatur distans ab ea per diapente, et vocetur .c. Dico ex hoc sequi inter .b. et .c. tonum esse ad partem acutam, quia diapente in tono superat diatessaron. Haec autem excrescentia sumitur ex parte acuta ipsius diapente, quia vox illa, in qua diapente superat diatessaron, sumitur hic ad acutam partem.

Sit nunc propositum tonum ad partem sumere gravem. Sit vox aliqua .d. a qua remitto diatessaron ab .b. Item ab eadem voce, quae est .d., remitto diapente ad vocem quae vocetur .c. Dico ex hoc sequi inter .c. et .b. tonum esse ad partem gravem ipsius diapente.

Haec autem in vocibus monochordi nostri clare patent quarum nominibus et figuris si Boethius uteretur in musica sua, liber suus modernis cantoribus in multis clarior haberetur. Sed nondum Guidonis ars venerat notandi.

Sit igitur ascensus per diatessaron a re in sol. Item ab eadem re sit ascensus per diapente in la. Sequitur ex hoc inter sol et la tonum esse ad acutam partem ipsius diapente. E converso autem, ad gravem partem tonus sic invenietur: Sit descensus per diatessaron de sol in re. Item ab eadem | [P2, 146r in marg.] sol descensus sit per diapente in ut. Sequitur ex hoc tonum esse inter re et ut ad partem gravem ipsius diapente.

Haec exemplariter sic patent:

(Vide p. 48).

| [P1, 118v in marg.] Ex exemplis positis patet tonum ad acutam inveniri partem, cum in graviore voce diatessaron et diapente conveniunt vel unisonant; ad gravem vero cum in acutiore. Est autem notandum Boethium consonantias intensas vocare vel acutas in quibus processus fit ascendendo, ut si dicatur: re sol, quoad diatessaron, vel re la quoad diapente, remissas vero vel graves in quibus processus fit descensio, ut si cantetur: la mi, vel la re.

Potest autem declarari qualiter tonus sumi possit ad acutam partem et ad gravem, non tantum ex subtractione

[48] [CSMIII/3:48; text: Diapente in ascendendo, Diatessaron in ascendendo, Tonus acutus, .a. .b. .c. .d. Tonus ad partem gravem, Diatessaron in descendendo, Diapente descendens vel ad partem gravem, Diapente ascendens, Diatessaron ascendens, Tonus remissus, Diapente ad partem gravem descendens, Diatessaron descendens, Tonus acutus] [JACSP3A 08GF]

[49] diatessaron a diapente sed etiam semiditoni a diatessaron, toni a ditono, <dieseos> a semiditono, ditoni a tritono, et ex multis aliis subtractionibus.

Item qualiter tonus sumi possit, et ad partem gravem et <ad> acutam, posset declarari, non tantum in litteris et monochordi vocibus, sed in chordis et numeralibus proportionibus, quantum autem, ad veritatem, chordis maioribus, quae graviores reddunt sonos, maiores respondent numeri, et minores minoribus, ut, si sint duae chordae diapente resonantes, ad graviorem maior sesqualterae proportionis respondet numerus, ad minorem minor, et, hoc modo, chordis numeros assignavimus libro secundo et, secundum hoc, in acutis consonantiis est proportio maioris inaequalitatis, in remissis minoris. Haec autem clarius <patent> ubi cuilibet consonantiae suae proportionales respondent chordae quam cum, super unam chordam, multae signantur consonantiae.

Item propositum sit minus semitonium sive diesim per consonantiam in partem sumere tam acutam quam gravem.

Ad acutam sic: Sit sonus .b. Ab hoc intendo diatessaron ad .d. Item a dicto sono .b. tonos duos intendo ad .c. Relinquitur ex hoc, inter .c. et .d., semitonium esse minus ad acutam partem. Ad gravem vero partem sic: Sit sonus .e. Ab eo remitto diatessaron ad .c. Item a sono qui est .e., duos remitto tonos ad .d. Remanebit igitur diesis inter .d. et .c. ad partem gravem. Horum ratio est, quia diatessaron superat ditonum in minore semitonio.

Haec autem in monochordi sic patent vocibus: Sit ascensus per diatessaron de ut in fa. Item, ab eadem voce quae est ut, ascensus sit per ditonum in mi. Dico ex hoc relinqui diesim ad partem acutam inter mi et fa. Ad gravem vero partem, diesis reperietur sic: Remittatur diatessaron a la in mi. Item, a la, ditonus remittatur in fa. Sequitur ex hoc semitonium minus reperiri inter fa et mi descendendo.

Haec sic describantur:

| [P2, 146v in marg.]

(Vide p. 50).

Posset autem per alias multas subtractiones semitonium minus inveniri ad partem tam acutam quam gravem, ut per subtractionem tritoni a diapente, et toni a semiditono, et diatessaron a semitritono.

[50] [CSMIII/3:50; text: Diatessaron in ascendendo, Ditonus acutus, .b. .c. .d. .e. Diatessaron ad acutam partem ascendens, Ditonus intensus, Diesis ad partem acutam, Diesis descendens, Ditonus remissus, Diatessaron ad gravem partem descendens, Diesis ascendens, Ditonus gravis, Diatessaron descendens] [JACSP3A 09GF]

[51] Adhuc sit propositum <apotomen> per consonantiam reperire. Sit sonus .d. Ab hoc intendo sonum alium per tritonum in .g. Item, a sono qui est .d. per diatessaron intendo sonum ad .e. Relinquitur, ex hoc, inter .e. et .g. esse <apotomen> ad acutam partem. Item sit sonus .k. a quo remitto tritonum in .g. Item a .k. remitto diatessaron in .h. Relinquitur, ex hoc, inter .h. et .g. <apotomen> esse ad partem gravem. Harum consequentiarum ratio est quia tres toni superant diatessaron in semitonio maiore, quod est apotome.

Item in vocibus monochordi reperitur apotome sic: Fiat ascensus per diatessaron de .f. sexta in .b. nonam primam. Item ab .f. tres toni intendantur in .[sqb]. secundam nonam. Relinquitur, ex hoc, inter .b. primam nonam et .[sqb]. secundam nonam ad acutam partem esse <apotomen>. Item ab .c. duodecima remittantur tres toni in .b. primam nonam et ab .e. duodecima remittatur diatessaron in .[sqb]. secundam nonam. Sequitur, ex hoc, <apotomen> esse inter .[sqb]. secundam nonam et .b. primam nonam ad partem gravem. Idem esset si semiditonus | [P1, 119r in marg.] a ditono tolleretur, vel diesis a tono, et per multas alias subtractiones, apotome posset reperiri.

(Vide p. 52).

In tactis notarum exemplis, apotome inter ipsius voces bfa[sqb]mi notata est, quia, sicut dictum fuit, in nostro monochordo regulariter tantummodo inter voces ipsius bfa[sqb]mi ascendendo reperitur.

Sit ulterius propositum comma reperire. Poterit hoc fieri, si ab apotome diesis subtrahatur, vel tonus | [P2, 147r in marg.] minor a perfecto, semitritonus a tritono, bis diatessaron a pentatono, diapason ab hexatono. Sit igitur sonus aliquis .d. a quo sonus alius per <apotomen> intendatur qui sit .g. Item a sono priore, qui est .d., sonus elevetur per diesim in .e. Relinquitur, ex hoc, inter .e. et .g. comma esse ad acutam partem, quia, cum apotome diesim superet in commate, si diesis tollitur ab apotome,

[52] [CSMIII/3:52; text: Tritonus ascendens ad acutam partem, Diatessaron ad acutam partem ascendens, Apotome in ascendendo, .d. .e. .g. .h. .k. Apotome descendens, Diatessaron descendens, Tritonus remissus ad partem gravem, Aptotome ad partem acutam, Diatessaron. Tritonus acutus. <Tritonus>, Semiditonus et apotome in ascendendo. Diesis, et apotome in ascendendo.] [JACSP3A 10GF]

[53] quod remanet comma est. Sit iterum sonus .f. a quo remittatur alius sonus per <apotomen> qui sit .c. Item a priore sono, qui est .f., remittatur sonus per diesim in .d. Sequitur, ex hoc, inter .d. et .c. comma esse ad partem gravem. Idem posset declarari in aliis prius tactis consonantiis.

Qualiter autem comma in dictis reperiatur consonantiis speculative loqui possumus declarando hoc in tactis vel aliis litteris et in proportionibus numeralibus, sed non sic practice ut cantando <possimus> diesim ab apotome tollere, vel tonum minorem a perfecto, sic de aliis. Nec de hoc suppetit in compositione contenta gammatis ars. Insuper, non habemus notas quibus comma notare possimus. Videtur enim suffecisse illi qui voces ordinavit monochordi, ut illas consonantias notare sciremus et illas ibidem distincte reperire quas per se et distincte per vocem possumus exprimere. Ideo, cum intellectus ad multa se extendat ad quae non attingit sensus qui deficit in minimis, potest per intellectum melius ipsius commatis cognosci natura et eius in numeris specifica proportio, et qualiter ab aliis <distinguatur> consonantiis in quibus tamen materialiter includitur. Quid igitur mirum si Aristoxenus in multis erravit, qui nimis per sensum consonantiarum naturas taxare voluit? Vim enim commatis ignorasse videtur qui ad eius proportionem in numeris non descendit.

Et, si in monochordi nostri vocibus de commate non reperiamus distinctum exemplum, saltem ipsius exemplum ponamus in litteris, ut fecimus de aliis:

[54] [CSMIII/3:54; text: Apotome ad partem acutam, Diesis ad partem acutam, Comma ascendens, .d. .e. .g. .c. .f. Comma ad partem remissam, Diesis ad partem remissam; Apotome ad partem remissam] [JACSP3A 11GF]

Et quia, ut dicit hic Boethius, oportet consonantias esse notas, non tantum animo, sed auribus, ut est possibile, quia frustra haec ratione et scientia colliguntur, nisi fuerint usu ac exercitatione notissima (iuxta illud usus et ars docuit quod sapit omnis homo), tangemus hic doctrinam quandam subtilem quam ponit Boethius ad inveniendum partes iam tactas ipsius diatessaron, scilicet tonum, diesim et <apotomen>. Hoc autem fiet ex diversis combinationibus ipsius diatessaron cum diapente, tam ad partem acutam quam remissam, cum litteris in linea quadam appositis, ad denotandum dictas consonantias et ipsarum dictas partes. Oportebit autem hic multum memoriter retinere quae tangentur varias collationes inter diatessaron et diapente, ut appareant illa quae ex illis | [P1, 119v in marg.] <sequantur>. Supponit autem ars tangenda hic quae iam prius [55] tacta sunt, scilicet quod diapente superat diatessaron in tono et quod tonus constat ex diesi et apotome. Ad evidentiam igitur dicendorum, describatur hic quaedam linea cum quibusdam litteris appositis in modum qui sequitur:

| [P2, 147v in marg.]

[CSMIII/3:55; text: .g. .k. .n. .a. .f. .h. .d. .l. .b. .m. .e. .c.] [JACSP3A 11GF]

Intendatur igitur diatessaron ab .a. in .b. Hoc supposito, propositum sit circa dictam consonantiam per .a.b. significatam, minus semitonium tam ad gravem partem quam ad acutam reperire et ex hoc multa alia consequentur et per multas collationes hoc habebitur. Intendatur diatessaron de .b. in .c. remittaturque diapente de .c. in .d. Sequitur, ex hoc, tonum esse inter .b. et .d. Saepe enim dictum est diapente diatessaron superare in tono; .b.d. vero est illud spatium in quo .b.c. superatur a .c.d. Rursus, diatessaron intendatur de .d. in .e. Remittatur diapente de .e. in .f. Sequitur, ex hoc, inter .d. et .f. tonum esse per rationem prius tactam. Iam igitur probatum est inter .b. et .d. tonum esse, similiter inter .d. et .f. Ex quibus ulterius sequitur diesim esse inter .a. et .f., quia ipsum est illud quod remanet de diatessaron, duobus subtractis tonis. Erat autem diatessaron inter .a. et .b., duo vero toni inter .f. et .b. Rursus remittatur diatessaron de .a. in .g. et intendatur diapente de .g. in .h. Erit igitur tonus inter .a. et .h., sed erat .a.f. minus semitonium, ut est prius probatum. Erit igitur inter .f.h. apotome. Rursus remitto diatessaron de .h. in .k. et intendo diapente de .k. in .l. Tonus igitur est inter .h. et .l., quia, in .h.l., spatium quod est .h.k. a spatio quod est .k.l. superatur. Erat autem tonus inter .a.h. Semitonium igitur minus est inter .l.b. Probatum enim est inter .a.h. tonum esse, similiter inter .h.l., et, cum inter .a.b. sit diatessaron, consequens est igitur inter .l.b. diesim esse. Item, cum inter .d.b. sit tonus, erit apotome inter .l.d. Intendo rursus de .f. in .m. diatessaron. Semitonium igitur minus est inter .b.m. Adhuc remitto diatessaron de .l. in .n. Semitonium igitur minus est inter .n.a. Iam igitur, ex tactis comparationibus et consequentiis, si bene memoriae [56] commendentur, patere potest circa diatessaron, quae est inter .a.b., duo semitonia etiam extrinsecus sumpta esse, scilicet .b.m. ad acutam partem et .a.n. ad gravem, et, cum illa duo sint semitonia minora, scilicet duae minores toni partes, sequitur quod intervallum, quod est inter .m.n., minus continet quam diapente, quia duo minora semitonia, iuncta ipsi diatessaron, diapente non perficiunt. Deficit enim comma in quo tonus duo superat minora semitonia. Continentur autem inter .m. et .n. quinque minora semitonia et duo maiora quae faciunt duos tonos cum tribus minoribus semitoniis. In diapente autem quattuor clauduntur minora semitonia cum tribus maioribus. Haec autem, ut amplius appareant, figurentur sic:

| [P2, 148r in marg.] (Vide descriptionem in tabula seorsum addita).

| [P1, 120r in marg.] Capitulum XVIIII.

Quod minus semitonium maius sit tribus commatibus, minus tamen quam quattuor.

Praeter ea quae de tono, partibusque eis, diesi, apotome commateque tractata sunt, videatur ulterius quot commata diesis, apotome, similiter et tonus contineant.

Et prius probandum est semitonium minus maius esse tribus commatibus, minus tamen quam quattuor.

Ad hoc autem probandum, Boethius sic procedit: Sint, inquit, tres numeri sic dispositi, ut inter extremos sex sint toni, inter medium et minorem, diapason. Sit igitur minor numerorum illorum ille qui sequitur: 262144, et vocetur .a. Medius vero terminorum illorum sit hic: 524288, et vocetur .c. Maior vero sex tonos habens ad minorem sit: 531441, et sit .d. Ex quibus manifestum est, inter .c. et .d., comma

[post 56] [CSMIII/3:post56; text: Diapente ad partem intensam, Diapente tendens in acutam, Diatessaron ad acutam tendens partem, Diatessaron ad acutam tendens partem, Semitonium minus ad gravem toni partem, Apotome ad acutam toni partem, Tonus acutus, Semitonium minus ad partem acutam, .g. .k. .n. .a. .f. .h. .d. .l. .b. .m. .e. .c. Minus semitonium ad partem gravem, Tonus descendens vel remissus, Apotome, semitonium maius ad partem gravem, Semitonium minus ad partem gravem, Diatessaron ad gravem tendens partem, Diatessaron ad partem descendens gravem, Diapente descendens sive ad partem tendens gravem, Diapente ad partem tendens gravem, Diatessaron ad partem tendens gravem] [JACSP3A 12GF]

[57] constitui illorumque differentiam esse 7153, et sit .k. Hoc facto, intendantur quinque toni ab .a. ad numerum sequentem: 472392, qui vocetur .b. Item remittantur duo toni ab eo quod est .b., et sit numerus: 373248, et vocetur .e. Rursus, a tacto numero .e., intendatur diatessaron ad numerum sequentem 497664, qui sit .f. Ex quibus sequitur inter .b. atque .f. semitonium minus esse, cum sit illud quod remanet de diatessaron, duobus demptis tonis.

Illi etiam numeri surgunt ex primis numeris minoris semitonii proportionis, qui sunt: 256 243, multiplicatis per eundem numerum qui est 1944. Nam, ut ait Boethius, si tactos numeros millies nongenties quadragies quaterque multiplices, .b. atque .f. | [P2, 148r in marg.] numeros explicabis. Item intendatur ab .f. diatessaron ad numerum <663552>, qui vocetur .g. Rursus, a numero .g., duo remittantur toni ad .p., et sit .p. numerus 524288. Sequitur, ex his, .p. numerum eandem habere proportionem ad .a. numerum quam habet .c., quia idem numerus signatur per .c. et .p. Est autem inter .c. et .a. diapason. Est igitur consimiliter diapason inter .p. et .a. Clauduntur enim inter .p. et .a. quinque toni cum duobus minoribus semitoniis. Et tantum in se diapason continet, nam, ab .a. ad id quod est .b., quinque sunt toni, et, ab .a. ad .f., minus semitonium; similiter, ab .f. ad .p. et .c., minus continetur semitonium. Quare patet, ab .a. ad .p. vel .c., quinque tonos esse cum duobus minoribus semitoniis quae immediate invicem se consequuntur.

Videatur igitur numerorum illorum differentia qui sunt .f. et .c. vel .p., inter quos est minus semitonium. Illa est 26624, et vocetur .m. Haec igitur differentia, quae est .m., commatis differentiae, quae est .k., comparetur. Multiplicetur igitur .k., id est 7153, ternario, et nascitur inde sequens numerus: 21459. Et vocetur .l. Item tactus commatis numerus qui est .k. crescat quaternario, et numerus proveniens est ille qui sequitur: 28612, qui vocetur .n. Iam ex his omnibus intentum sic concludatur: Quod superat aliquid ter in se ductum maius est illo, quia continet illud ter et amplius, sicut septenarius maior est binario ter in se ducto, quia ter duo senarium inducunt numerum qui ad septenarium non provenit. Sed [58] .m. superat .k. ter in se multiplicatum, quia superat numerum qui est .l., qui provenit ex numero qui est .k. ter in se ducto. Ex quibus sequitur semitonium signatum per .m. maius esse tribus commatibus quae in numero qui est .l. includi videntur. Per idem patet quod semitonium minus ad quattuor commata non attingit, sed minus est illis, quia .k., quod est comma, quater auctum superat .m., id est minus semitonium. Nam numerus, qui est .n., proveniens ex commatis differentia quater aucta superat .m. importantem semitonii minoris differentiam, sicut binarius, quater auctus, superat septenarium; qui, si fuerit ter auctus, a septenario superatur.

Iste videtur esse processus Boethii ad probandum minus semitonium maius esse tribus commatibus, minus vero quam quattuor. Et haec in libro suo figurantur sic:

(Vide p. 59).

| [P1, 120v in marg.] Capitulum XX.

Quod apotome minor est quinque commatibus, maior tamen quam quattuor.

| [P2, 149r in marg.] Potest per consimiles tactas rationes probari maius semitonium, quod apotome nuncupatur, minus esse quinque commatibus, maius tamen quam quattuor.

Ad hoc autem, ut brevius fiat, numeri disponantur sequentes: 262144 472392 497664 531441 33777 7153 35765 28612. Vocetur autem primus .a., secundus .b., tertius .c., quartus .d., quintus .e., sextus .f., septimus .g., octavus .k. Est autem inter .a. et .b. intervallum seu proportio quinque tonorum, inter .a. et .d. proportio sex tonorum, et, per consequens, inter .b. et .d., tonus est, sive toni proportio, quae est sesquioctava, in qua sex tonorum proportio quinque tonorum vincit proportionem. Item, inter .b. et .c., minus

[59] [CSMIII/3:59; text: Quinque toni intensi, Diatessaron ad acutam partem, Differentia dieseos inter .f. et .c. quae est .m. et numerus eius, Differentia commatis inter .c. et .d. quae est .k. et numerus eius, Differentia commatis quater aucta et numerus eius 28612 .n. superat numerus qui est .n. numerum qui est .m. Differentia commatis ter aucta et fit numerus eius 21459 .l. qui numerus superatur a numero qui est .m. qui est differentia dieseos, .m. 26624, .k. 7153, .a. .e. .b. .f. .c. .d. .g. 262144, 373248, 472392, 497664, 524288, 531441, <663552>, Duo toni remissi inter .b. et .e. Diesis inter .f. et .b. Semitonium minus inter .c. vel .p. et .f. Comma inter .d. et .c. Diapason consonantia, Intervallum sex tonorum, Duo toni remissi] [JACSP3A 13GF]

[60] continetur semitonium. Ex quo relinquitur inter .c. et .d. apotome esse. Item numerus, qui est .e., differentiam importat terminorum, inter quos est apotome, qui sunt .c. et .d., ut dictum est. Item .f. denotat commatis differentiam. Adhuc numerus qui est .g. surgit ex numero commatis quinquies multiplicato, et numerus qui est .k. provenit ex commatis differentia quater in se ducta. His suppositis, includatur intentum sic: "Sicut se habet numerus qui est .g. ad numerum qui est .e., sic quinque commata ad <apotomen>". Sed numerus qui est .g. superat numerum qui est .e. Ergo quinque commata superant <apotomen>. Item: "Sicut se habet numerus qui est .e. ad numerum qui est .k., ita se habet apotome ad quattuor commata". Sed numerus qui est .e. superat numerum qui est .k. Apotome igitur maior est quattuor commatibus. Vel possent hae rationes formari modo quo prius formabantur in praecedenti capitulo. Iure igitur dictum est apotomen minorem esse quam quinque commata, maiorem vero quam quattuor.

Haec autem in figura describantur sic:

| [P1, 121r in marg.]

(Vide p. 61).

Capitulum XXI.

Quot tonus minor est novem commatibus, maior tamen quam octo.

| [P2, 149v in marg.] Ex dictis satis patet tonum minorem esse novem commatibus, maiorem tamen quam octo. Constat enim tonus ex minore semitonio atque maiore, scilicet ex diesi et apotome. Diesis autem minor est quattuor commatibus, maior vero tribus. Apotome minor est quinque commatibus, maior autem quam quattuor. Illud igitur totum quod ex his duobus provenit minus est novem commatibus, maius tamen quam octo, et, per consequens, tonus, qui ex illis constituitur partibus. Hoc autem confirmari potest secundum modum prius observatum.

[61] [CSMIII/3:61; text: Intervallum quinque tonorum, Diesis sive semitonium, super 13 partiens proportio, Differentia apotomes inter .c. et .d. et fit .e. numerus eius, Differentia commatis et fit numerus eius .f. Comma quinquies multiplicatum et eius numerus 35765 qui est .g. superans numerum qui est .e. Comma quater multiplicatum et fit numerus eius .k. qui est 28612 qui minor est numero qui est .e. .e. 33777, .f. 7153, .a. .b. .c. .d. 262144, 472392, 497664, 531441, Maior pars toni quae est apotome, Tonus sesquioctava proportio, Intervallum sex tonorum] [JACSP3A 14GF]

[62] Disponantur igitur numeri sequentes: 262144 472392 524288 531441 59049 7153 64377 57224. Horum primus vocetur .a., secundus .b., tertius .c., quartus .d., quintus .f., sextus .e., septimus .h., octavus .g. Inter primum et secundum, quinque clauduntur toni, scilicet inter .a. et .b.; inter primum et tertium, sive inter .a. et .c., diapason; inter primum atque quartum, scilicet inter .a. et .d., toni sex; inter secundum et quartum, tonus unus. Item .f. significat toni differentiam qui est inter .b. et .d. Item numerus qui est .h. surgit ex commatis differentia nonies in se ducta, et numerus qui est .g. provenit ex commatis differentia quae est .e. octies in se multiplicata. Ex his patet intentum sic: Differentia commatis quae est .e. nonies in se ducta toni superat differentiam. Probatur hoc, quia numerus qui est .h. maior est numero qui est .f. Eademque differentia commatis, quae est .e., octies in se ducta superatur a toni tacta differentia, quia numerus qui est .g. minor est numero qui est .f. Haec autem Boethius sic deducit: Si, inquit, .e. novies auxero, fiet mihi .h. 64377; sin octies, fient 57224, et id sit .g. Sed .h. quidem superat .f.; .g. vero superatur ab .f. Cum igitur .f. sit toni differentia, .h. autem sit comma novies multiplicatum, monstratum est tonum maiorem esse octo commatibus, minorem vero quam sint novem commata. Et haec sic describantur in figura:

| [P1, 121v in marg.]

(Vide p. 63).

Capitulum XXII.

Dictorum confirmatio.

| [P2, 150r in marg.] Ad maiorem dictorum atque dicendorum evidentiam ut conemur, quantum debilitas patitur ingenii, rationabile fundamentum earum factarum rationum reperire quae, de comparatione commatis ad tonum et semitonia, <sunt> super excessum ipsius commatis ab illis, loquemur hic de maioritate et excessu in maioritate differentiarum aliquorum trium terminorum

[63] [CSMIII/3:63; text: Diapason dupla proportio, Intervallum quinque tonorum, Differentia toni quae est inter .b. et .d. et fit .f. numerus eius, Commatis differentia inter .c. et .d. et fit .e. numerus eius, Comma novies multiplicatum facit hunc numerum 64377 qui est .h. superans numerum qui est .f. Comma octies auctum inducit numerum hunc 57224 qui est .g. hic superatur a numero qui est .f. .f. 59049, .e. 7153, .a. .b. .c. .d. 262144, 472392, 524288, 531441, Tonus sesquioctava proportio, Intervallum sex tonorum] [JACSP3A 15GF]

[64] inter se comparatorum. Hoc enim non modicum valet ad iudicandum de maioritate et excessu maioritatis unius proportionis super aliam. Ex quibus se iuvat Boethius in iam tactis consequentiis quas ab ipso suscepimus.

Sint igitur aliqui tres inaequales termini quicumque, illorum notentur differentiae et ad invicem comparentur. Et dicendum quod ubi sunt tres termini, duo extremi et unus intermedius, tres considerari possunt differentiae, una extremorum terminorum illorum inter se, alia maioris extremi ad terminum medium, et tertia termini medii ad minimum; et illis tres respondent proportiones. Est autem differentia quae est inter aliquos duos extremos terminos maior quam aliquarum intermediarum per se sumpta. Ubi autem respectu alicuius extremi ad aliquem alium terminum maior est differentia, maior similiter est proportio, iuxta illud quod prius dictum est de proportionum maioritate, quod illa taxatur, non ex numerorum invicem comparatorum magnitudine, sed ex proportionali excedentia vel distantia unius terminorum super alium. Verbi gratia ponantur hi tres termini: 9 8 6. Notari possunt tres differentiae: una extremorum terminorum inter se collatorum, ut est trinarius, et duae intermediae, ut ea quae est novenarii ad octonarium (et illa est unitas), reliqua octonarii ad senarium (quae est binarius). Et cum maior sit differentia inter 9 et 6 quam aliqua de illis intermediis, est proportio maior inter extremos illos terminos quam sit aliqua de illis intermediis. Et adhuc maior est proportio inter 9 et 5 quam inter 9 et 6, et inter 9 et 4 quam inter 9 et 5, et sic, semper procedendo ad maiorem differentiam a numero qui est 9 ad maiorem itur proportionem. Et consimiliter est in ascendendo, quia, cum maior sit differentia inter 6 et 10 quam inter 6 et 9, est similiter maior proportio inter 6 et 10 quam inter 6 et 9, et inter 6 et 11 quam inter 6 et 10, et sic, semper ascendendo ad maiorem numerum a senario magis et magis distantem, sicut fit processus ad maiorem et maiorem differentiam, similiter ad maiorem proportionem. Ex his inferri potest superbipartientem proportionem maiorem esse sesqualtera | [P1, 122r in marg.] proportione quae tamen maxima est inter superparticulares proportiones et illa minima inter superpartientes, [65] quantum ad primum ordinem, quem de illis alias tetigi. Maior enim est differentia inter 10 et 6 inter quos numeros est superbipartiens proportio quam inter 9 et 6 inter quos est habitudo sesqualtera. Non solum autem proportio, quae est inter 9 et 6, maior est ea quae est inter 9 et 8, quae est sesquioctava, et ea quae est inter 8 et 6, quae est sesquitertia, sed includit illas duas, sicut differentia, qua differunt 9 et 6, illas duas intermedias includit differentias, et illae, simul iunctae, reddunt illam similiter et illae duae intermediae proportiones proportionem illam. Partes enim sufficientes et adaequatae suum reddunt totum. Hoc autem generaliter verum est de proportionibus alicuius medii termini ad extremos aliquos terminos et de proportione terminorum illorum extremorum inter se in quibuscumque terminis, quod illa, scilicet quae est duorum extremorum terminorum inter se comparatorum, duas illas intermedias in se claudit. Sic iam aliquid dictum est de comparatione differentiae, necnon et proportionis aliquorum duorum extremorum terminorum ad differentias, et proportionis termini medii ad extremos aliquos positos terminos.

Nunc loquamur de differentiis illis intermediis et proportionibus, ut inter se conferuntur differentiae mediantes inter aliquos duos extremos terminos. Aut aequales sunt hic: 6 4 2, vel hic: 4 3 2; aut inaequales ut hic: 9 8 6, vel 6 4 3.

Si primo modo, tunc, generaliter loquendo, semper talium aequalium differentiarum proportiones sunt inaequales, quia maior est ea quae minores habet terminos, et minor quae maiores, secundum illam arithmeticae medietatis proprietatem quod in minoribus terminis maior est proportio, et in maioribus minor.

Si vero differentiae sint inaequales, aut inter terminos, quorum sunt illae differentiae, proportiones sunt aequales, ut hic: 9 6 4, vel hic: 16 12 9. Nam inter tres primos terminos continentur duae sesqualterae proportiones quae in medio termino, scilicet senario, continuantur. Et planum est differentias illas esse inaequales, ut sunt trinarius et binarius. Inter tres autem secundarios positos numeros, duae sesquitertiae continuantur proportiones in medio termino qui est 12. Sunt autem differentiae illae | [P2, 150v in marg.] inaequales, ut quaternarius [66] cum ternario, et hoc oportet quia proportionum duarum aequalitas nunquam stat cum differentiarum aequalitate. Medietas enim geometrica sic requirit proportionum aequalitatem, quod non recipit aequalitatem differentiarum. Nec moveatur aliquis de hoc quod tactum est, quod maior differentia et distantia terminorum aliquorum maiorem arguit vel denotat proportionem. Sed inter 9 et 6 maior est differentia quam inter 6 et 4. Videtur igitur maior esse proportio inter 9 et 6 quam inter 6 et 4. Dicendum ad hoc quod non quaecumque maior distantia et differentia terminorum aliquorum maiorem arguit proportionem, sed maior proportionalis distantia. Sic autem non est in terminis positis, quia, proportionaliter loquendo, quae est distantia inter 9 et 6, consimilis est inter 6 et 4. Sicut enim 9 superant 6 in media senarii parte, sic et senarius quaternarium vincit in illius parte media. Item quod maior differentia maiorem arguat proportionem, non est hoc intelligendum universaliter de omni medio termino ad aliquos extremos terminos comparato, quorum unus maior est eo et alter ipso minor, ut est in terminis de quibus instantiae factae sunt. Sed hoc generaliter sumendum est de aliquo extremo termino comparato ad aliquos alios numeros illo minores et minores in descendendo, vel maiores et maiores in ascendendo. Iam visum est quod differentiarum inaequalium quinque sunt proportiones aequales et de illis dictum est.

Quandoque vero differentiarum inaequalium sunt similiter proportiones inaequales, ut in his patet numeris prius positis: 9 8 6. Alia enim est differentia inter 9 et 8, alia inter 8 et 6. Alia similiter proportio, quia prima est sesquioctava, secunda sesquitertia. Et de talibus proportionibus ex quo inaequales sunt, sicut et differentiae, est tenendum quod illa minor est cuius est differentia minor, et maior si differentia eius est maior, et de talibus differentiis inaequalibus quibus inaequales respondent proportiones, principalius hic loqui intendimus.

Visum est de maioritate differentiarum trium terminorum inter se comparatorum, similiter et proportionum. Ulterius disserendum est de excessu maioris proportionis super minorem cui comparatur, sive fiat comparatio proportionis, quae est inter extremos trium terminorum numeros ad alteram intermediarum proportionum, sive unius intermediarum illarum [67] ad reliquam. Et hoc erit videre an maior proportio minorem cui comparatur bis, ter, vel quater amplius contineat, vel minus. Quod principaliter hic inquirere volebamus.

Circa hoc sic negotiandum occurrit. Comparato secundum modos tactos proportionem aliquam maiorem esse alia cui comparatur minoris proportionis differentia duplanda, triplanda est, vel quadruplanda. Hoc facto, numerus inde proveniens numero differentiali proportionis maioris est conferendus. Aut igitur numerus ex tacta proveniens multiplicatione aequalis est numero differentiali maioris proportionis, aut minor, aut maior.

Si primo modo, non sequitur | [P1, 122v in marg.] ex hoc tot vel tot tales minores proportiones aequari proportioni maioris differentiae cui sit talis comparatio. Sumantur enim hi numeri: 9 8 6. Volo comparare proportionem quae est inter 9 et 8 ad eam quae est inter 8 et 6, quae sunt duae intermediae proportiones inter terminos illos inclusae. Et planum est, ex dictis, secundam maiorem esse priore. Ad sciendum autem excessum in maioritate, utrum scilicet illa maior superet illam minorem bis sumptam, duplo illius proportionis minoris differentiam quae est unitas. Provenit inde binarius qui non excedit differentiam maioris quae est similiter binarius. Ideo per hoc non habeo illam maiorem proportionem duas minores illas superare. Quamvis etiam minoris proportionis illius duplata differentia ad aequalitatem venerit maioris proportionis differentiae, non sequitur ex hoc illas duas minores proportiones aequari maiori illi proportioni. Duae enim sesquioctavae proportiones non aequantur uni sesquitertiae. Est autem inter 9 et 8 sesquioctava proportio, inter 8 et 6 sesquitertia. Provenit etiam quandoque quod aliqua minor differentia triplata provenit ad aequalitatem differentiae maioris proportionis cui fit talis collatio, et tamen tres tales minores proportiones non attingunt ad illam maioris differentiae proportionem. Hoc autem patet in prius positis terminis qui sunt: 9 8 6, si differentia terminorum extremorum, quae est inter 9 et 6, comparetur ad differentiam quae est inter 9 et 8. Nam, tripletur unitas, fit ternarius qui est differentia inter illos extremos numeros inter quos est sesqualtera proportio; et tamen tres | [P2, 151r in marg.] sesquioctavae proportiones sunt minores una sesqualtera, sicut tres toni quam diapente. Est autem sesquioctava [68] proportio inter 9 et 8, ut est prius dictum. In tacto autem exemplo, proportio sesquioctava ponebatur ad partem gravem. Quodsi fiat e converso, differentia sesquioctavae proportionis quadruplicata ad aequalitatem differentiae proportionis sesqualterae proveniet, cum tamen quattuor sesquioctavae proportiones maiores sint una sesqualtera. Hoc autem patet in terminis his: 12 9 8. Unitas enim quadruplicata quaternarium constituit qui facit differentiam inter tactos extremos terminos inter quos est sesqualtera proportio.

Ex his igitur patet quod per duplationem, triplationem vel aliam multiplicationem differentiae alicuius minoris proportionis si numerus inde proveniens aequalis sit numero differentiali maioris proportionis illi comparatae, non potest bene sciri quotiens maior proportio minorem illam proportionem contineat. Ideo dimittamus multiplicationem differentiae minoris proportionis in casu tacto in quo scilicet ex tali multiplicatione provenit numerus qui aequatur numero differentiali maioris proportionis cui talis fit comparatio. Et loquamur de aliis duobus casibus, quia illi magis sunt ad propositum Boethii, scilicet ad sciendum quotiens aliqua maior proportio earum, quae in tribus terminis continentur, minorem sibi comparatam includat.

Sint igitur tres termini inaequales inter quos distinctae tres includantur differentiae, una inter extremos illos terminos et duae intermediae. Et si illae duae intermediae differentiae sic sint inaequales, quod etiam proportiones illae duae intermediae sint inaequales, tunc continentur, inter numeros illos, proportiones tres inaequales quarum maxima est ea quae est inter extremos illos numeros, et duarum intermediarum una maior est alia; ex quo inaequales sunt. Multiplicetur igitur minoris proportionis differentia per binarium, ternarium, vel per quemcumque volueris alium numerum, et numerus inde proveniens sit minor vel maior numero differentiali proportionis cui fit illa comparatio, si illa multiplicatio est facta per binarium, et numerus inde proveniens minor sit numero differentiae proportionis maioris tunc quandoque maior est illa proportio maior duabus illis proportionibus minoribus quae illi comparantur, vel tribus, quattuor vel quinque, vel pluribus, si totiens aucta, vel totiens, ad numerum differentiae maioris proportionis non attingat. Quodsi ex multiplicatione [69] numeri minoris proportionis procreetur numerus maior quam sit differentialis maioris proportionis numerus, si illa multiplicatio facta est per binarium, duae tales minores proportiones superant illam maiorem proportionem, cui fit illa comparatio, in proportionibus multis terminorum trium, vel tres, quattuor, quinque, vel sex, vel plures, si totiens aucta vel totiens maioris proportionis superet differentiam. Haec autem in exemplis primo declarabimus et deinde rationem horum tentabimus assignare.

Disponantur numeri sequentes: 36 32 27. Inter hos terminos, tres continentur inaequales differentiae et proportiones tres inaequales. Inter extremos tactos numeros, novenarius facit differentiam et, inter illos, sesquitertia continetur proportio. Inter maiorem et medium numerum, quaternarius differentia est, et sesquioctava proportio clauditur inter terminos illos. Medius autem terminus minorem extremum quinque superat unitatibus, et inter illos numeros semiditoni | [P1, 123r in marg.] iacet proportio, qui minimi numeri sunt proportionis illius, et, cum differentia tactae semiditonialis proportionis maior sit differentia sesquioctavae proportionis quae est inter duos primos terminos, maior est semiditonialis proportio quam sit sesquioctava, quae est ipsius toni, et sesquitertia quam aliqua illarum per se sumpta. Quin potius, illas duas intermedias in se claudit! Videatur igitur, primo, quotiens illa proportio extremorum illorum terminorum minorem duarum illarum intermediarum contineat. Multiplicetur illa eius differentia, quae est quatrinarius, per binarium, et fit octonarius qui numerus non est aequalis numero differentiali cui comparatur, qui est 9; nec est illo maior, sed minor. Minores igitur sunt duae sesquioctavae proportiones una sesquitertia. Tripletur rursus tacta minor differentia, et provenit inde numerus qui est 12, qui maior est quam novenarius, qui maioris proportionis differentia est. Tres igitur sesquioctavae proportiones maiores sunt una sesquitertia. Item dupletur proportionis differentia quae est inter 32 et 27. Et provenit inde denarius qui superat differentiam extremorum tactorum terminorum quae est 9. Duae igitur semiditoniales proportiones unam sesquitertiam vincunt proportionem. Item resumo numerum provenientem ex duplatione differentiae quae est inter 36 et 32. Ille est octonarius qui superat quinarium, qui est differentia inter 32 et 27. Duae igitur sesquioctave [70] proportiones proportionem | [P2, 151v in marg.] superant semiditonialem. Et hoc verum est. Superant enim eam in proportione maioris semitonii, sicut ditonus semiditonum in apotome. Idem patet in tribus terminis quorum extremi semiditoni continent proportionem. Medius autem terminus ad alterum extremorum, diesim ad reliquum, tonum obtinet. Et sint hi: 256 243 216. Primus ad secundum diesim continet et differentia inter illos terminos sunt 13; secundus ad tertium distat per tonum, et differentia inter illos sunt 27; primus et tertius <numeri> continent semiditonum et differentiam inter illos facit numerus qui sequitur: 40. Potest hic apparere quod differentia dieseos triplata ad differentiam semiditonialem non pervenit. Igitur semiditonus maior est tribus minoribus semitoniis. Sed <dieseos> differentia, quater aucta, superat semiditonialem differentiam. Ergo quattuor <dieseos> proportiones proportionem semiditoni superant, vel semiditonum quattuor dieses. Item duplata <dieseos> differentia non pervenit ad toni differentiam. Maior est igitur proportio toni duabus diesialibus proportionibus, minor tamen tribus, quia tres <dieseos> differentiae superant toni differentiam. Item toni geminata differentia semiditoni superat differentiam. Ergo duo toni superant semiditonum. Idem patet in sequentibus terminis: 288 256 243. Inter hos terminos, eaedem proportiones continentur, sicut inter tres priores, sed hic toni proportio ponitur ad partem gravem et <dieseos> ad acutam. E converso autem erat in prioribus terminis. Inter hos extremos terminos facit differentiam numerus qui sequitur: 45. Inter quos terminos semiditonus est; inter duos primos terminos est tonus, et illorum differentia sunt 32. Inter secundum numerum et ultimum diesis est, sicut dictum est in exemplo praecedenti, et quod differentia terminorum illorum sunt 13. Adhuc potest idem declarari in tribus terminis quorum extremi sesquioctavam continent proportionem. Medius autem ad alterum extremorum minus semitonium, ad reliquum, maius, habet. Et sint hi: 2187 2048 1944. Differentia inter extremos hos numeros sunt 243. Inter duos primos terminos est apotome, et differunt per numerum qui sequitur: 139. Inter duos ultimos terminos est diesis quorum differentiam facit numerus hic, scilicet 104. Dupletur differentia quae est ipsius <apotomes>, et fit numerus qui est 278, qui superat [71] differentiam sesquioctavae proportionis existentis inter tactos extremos terminos. Duae igitur <apotomes> proportiones superant unam sesquioctavam. Sed <dieseos> differentia quae est inter illos duos ultimos terminos, duplata, ad differentiam illam sesquioctavam non pervenit. Sesquioctava igitur proportio duas minoris semitonii superat proportiones, quae tamen maiores sunt quam sit ipsius <apotomes> differentia, et, per consequens, dua minora semitonia maiora sunt quam sit apotome. Patet idem in sequentibus terminis:

2304 2187 2048.

Extremi positi termini sesquioctavam continent proportionem quorum differentiam numerus facit qui sequitur: 256; inter duos priores terminos est diesis quorum differentia sunt 117; inter medium et minimum terminum est apotome inter quos differentiam facit numerus qui sequitur: 139.

Ex his easdem conclusiones possumus inferre cum his quae in priore tactae sunt exemplo. Et vocetur primus tactorum terminorum .a. secundus .b., tertius .c., differentia extremorum terminorum .d., ea quae est inter duos primos numeros .e., et quae inter duos ultimos .f., et sic figurentur:

(Vide p. 72)

| [P1, 123v; P2, 152r in marg.] Consimiles figurae in antepositis exemplis potuissent esse factae, sed hoc sufficiat causa brevitatis.

Perventum iam est ad tales tres terminos inaequales quorum etiam tam differentiae quam proportiones inaequales sunt. De numero autem talium trium terminorum sunt illi quos statuit Boethius ad probandum tonum et semitonia tot vel tot continere commata. Nam in probando minus semitonium maius esse tribus commatibus, minus vero quam quattuor, hi tres principales ponuntur termini: 497664 524288 531441. Hos autem terminos liquet inaequales esse. Includuntur etiam inter terminos illos proportiones tres inaequales, similiter et differentiae, nam inter extremos hos positos terminos est <apotomes> proportio, quorum differentiam facit sequens numerus: 37777. Inter primum et secundum vel medium terminum est <dieseos> habitudo, et illorum differentiam tenet numerus hic:

[72] [CSMIII/3:72; text: Tonus, sesquioctava proportio. Differentia eius in terminis .256. quae sit .d. Diesis differentia 117. Haec differentia duplata facit numerum qui sequitur: 234 qui <ad differentiam> toni non pervenit. Ex hoc <concluditur> duas diesis proportiones <non> esse unam sesquioctavam, maiores tamen quam <est> una apotomes proportio. Apotomes differentia 139 quae sit .f. haec differentia bis aucta facit hunc <numerum> 278. Ex his patet bis apotome superare tonum vel eius proportionem, .a. .b. .c. 2304, 2187, 2048] [JACSP3A 16GF]

[73] 26624. Inter medium et tertium terminum commatis continetur proportio et numerus sequens est illorum differentia: 7153. Planum est autem tactas tres consonantias, earum proportiones et differentias inaequales esse. Ad probandum autem minus semitonium maius esse tribus commatibus, minus tamen quam quattuor, multiplicat Boethius commatis differentiam iam positam per ternarium, per quaternarium, et numeros inde provenientes numero differentiali minoris semitonii prius positi confert et, cum numerus <proveniens> ex multiplicatione differentiae commatis per ternarium minor sit numero differentiali minoris semitonii, qui vero provenit ex illis differentiae multiplicatione per quaternarium maioris, iudicat ex hoc Boethius, arguit vel probat minus semitonium maius esse tribus commatibus, minus tamen quam quattuor.

Eosdem tres tactos terminos supponit Boethius ad probandum maius semitonium quattuor superare commata, sed a quinque superari, et consimiliter hoc probat ut fecerat de minore semitonio. Multiplicat enim commatis differentiam per quaternarium et per quinarium et inde provenientes numeros comparat numero differentiali maioris semitonii. Proveniens autem numerus ex multiplicatione differentiae commatis per quaternarium minor est numero differentiali terminorum minoris semitonii, qui autem provenit ex multiplicatione illius differentiae per quinarium. Maior est numero differentiali tactorum terminorum semitonii minoris. Probatur ex hoc apotome superare quattuor commata, superari tamen a quinque. Et quia fit comparatio commatis differentiae quater et quinquies auctae ad <apotomes> differentiam quae inter terminos extremos positos continetur, non expresse ponit ibi Boethius terminum medium, sed supponit, sed, in probando minus semitonium tria superare commata, superari tamen a quattuor, quia fit ibi collatio commatis differentiae ter et quater auctae ad minoris semitonii differentiam quae est inter medium terminum et alterum extremorum, ideo inibi illos tres terminos expresse ponit. Quod autem alii termini ab illis tribus ibi ponantur, fit hoc ad astruendum inter tales esse tonum, inter hos <apotomen>, inter tales diesim, et inter alios comma.

[74] In probando autem tonum maiorem esse commatibus octo, minorem vero quam 9, hi tres principaliores exquiruntur termini qui sequuntur: 472392 524288 531441. Horum extremi tonum continent, et differentia inter eos est numerus qui sequitur: 59049. Inter primum autem et secundum terminum continentur dua minora semitonia, sive tonus minor, et illorum differentiam facit sequens numerus: 51896. Comma vero continetur inter duos ultimos terminos, et differentia inter illos prius tacta haec est: 7153. Hanc octies et nonies in se auctam differentiae extremorum positorum terminorum comparat inter quos tonus est. Quae, cum, octies aucta, minor sit differentia toni prius tacta, novies vero aucta, sit maior illa, probatur, ex hoc, tonum usualem, de quo loquitur, et qui in sesquioctava proportione fundatur, maiorem esse commatibus octo, minorem quam novem.

Non comparat autem comma ad tonum minorem qui est inter duos priores terminos. Ideo de differentia, quae est inter illos terminos, mentionem non facit, sed nos hic illam posuimus, quia, per consimiles rationes per quas probat Boethius tonum integrum usualem vel perfectum maiorem esse commatibus octo et minorem quam novem, potest probari tonum minorem maiorem esse commatibus septem, sed minorem quam octo. Nam commatis differentia septies aucta facit hunc numerum: 50071, qui minor ut numero differentiali termini toni minoris iam positi. Octies vero multiplicata numerum facit qui sequitur: 57224, qui maior est tacto terminorum minoris toni differentiali numero. Et hoc amplius patet, si sic disponantur: 50071 51896 57224. Ex his patet tonum perfectum superare tonum minorem in commate, sicut ipsius differentia differentiam minoris toni superat in commatis differentia.

Tactae sunt Boethii probationes per quas concludit semitonia tot in se continere commata, et tonum tot, et non plura. Has autem aliquis forsitan sic confirmare vellet sicut est de maioritate et minoritate aliquorum terminorum invicem comparatorum. Sic esse videtur de excessu proportionum [75] illarum in maioritate, sed communiter positis tribus inaequalibus terminis proportionum trium et differentiarum inaequalium, illorum proportio maior est | [P1, 124r in marg.] quorum differentia est maior, et minor cuius est minor differentia. Ergo similiter esse videtur de excessu in maioritate in dictis terminis, scilicet, quodsi differentia proportionis maioris bis, ter, quater, vel amplius minoris | [P2, 152v in marg.] proportionis contineat differentiam, quod maior illa proportio minorem illam proportionem totiens vel totiens contineat.

Sed potest ad hoc dici aliud esse de iudicio alicuius maioris proportionis respectu alterius per differentias illarum proportionum et de iudicio excessus maioris proportionis super minorem tali quod si differentiae minoris proportionis bis, ter, totiens vel totiens auctae numerus inde proveniens minor sit numero maioris proportionis, quod sequatur ex hoc maiorem illam proportionem tali minori proportione bis, ter, totiens vel totiens aucta esse maiorem, quia ad geminationem, triplationem, et sic consequenter, differentiae proportionis alicuius, non sequitur illius proportionis geminatio, triplatio, vel amplior multiplicatio. Hoc enim est contra notam illam medietatis geometricae proprietatem, quod scilicet ipsa requirit proportionum aequalitatem, aequalitate spreta differentiarum. Et inde fit rationabiliter ut multiplicentur proportiones aequales per multiplicationem terminorum illorum, inter quos illae iacent proportiones, qui inaequales sunt, ut patet per artem circa finem libri primi tactam. Et propterea videtur mihi sine praeiudicio cuiuscumque quod, positis tribus inaequalibus terminis etiam talibus quorum tam differentiae quam proportiones sunt inaequales, non sequitur generaliter in omnibus talibus terminis quodsi numerus differentialis maioris proportionis minoris proportionis differentiam bis, ter, totiens vel totiens sumptam superet vel maior sit quod illa maioris illius differentiae proportio maior sit illa minoris differentiae proportione bis, ter, totiens vel totiens sumptae. Reperiuntur enim de hoc instantiae multae.

Statuantur enim tales tres inaequales termini quorum extremi sesquitertiam ipsius diatessaron contineant proportionem. Medius autem terminus ad alterum extremorum, ditonum, ad reliquum, diesim habeat, et sint hi:

256 243 192.

[76] Hos terminos inaequales esse planum est. Adhuc inter eos tres contentae proportiones sunt inaequales et ipsarum differentiae extremi sesquitertiam continent proportionem, duo primi diesialem et medius cum minore extremo ditonialem. Inter extremos positos numeros differentiam facit numerus qui sequitur: 64. Inter primum et medium: 13. Inter tactum medium et minorem extremum: 51. Sit igitur propositum, per doctrinam prius tactam, videre quotiens sesquitertia proportio quae maxima est inter illas tres, minimam de illis tribus, quae est ipsius <dieseos>, contineat. Multiplicetur per quinarium ipsius dieseos differentia, quae est 13; provenit inde numerus qui est 65, qui maior est numero differentiali extremorum tactorum terminorum inter quos est sesquitertia ipsius diatessaron proportio. Ergo, secundum doctrinam prius tactam, si esset generalis, quinque minoris semitonii proportiones maiores essent una sesquitertia proportione, et quinque minora semitonia quam sit diatessaron. Hoc autem verum non est, quia diatessaron superat quinque minora semitonia in duobus commatibus, cum in se contineat tria minore semitonia cum duobus maioribus. Maius autem semitonium minus vincit in commate. Item comparetur ibi <dieseos> proportio ad ditoni proportionem, quae maior est, et videatur quotiens illa contineatur in ditoni proportione. Augeatur per quaternarium tacta dieseos differentia, et provenit inde numerus qui est 52, qui maior est numero differentiali ipsius ditoni prius posito. Ergo, si doctrina prius tacta generalis esset, quattuor <dieseos> proportiones unam ditonialem superarent proportionem et quattuor minora semitonia, ditonum; quod est falsum, cum, secundum veritatem, ditonus superat quattuor minora semitonia in commatibus duobus.

Item, ut magis appareat quod diximus, et in exemplo posito sit minus semitonium ad partem gravem et ditonus ad acutam, ponatur aliud exemplum in quo fiat e converso ad videndum an ibi tactae reperiantur instantiae, et sit tale: 324 256 243. Extremi tacti termini sesquitertiam continent proportionem et illorum differentia est numerus qui est 81. Primus et secundus ditonum continent et horum differentia numerus est qui sequitur: 68, secundus et ultimus terminus diesim, et illorum differentia sunt 13. Tacta <dieseos> [77] differentia ducatur in se sexies. Provenit inde numerus qui est 78, qui minor est numero differentiali sesquitertiae proportionis contentae inter extremos positos terminos.

Si igitur tacta doctrina generalis esset, sesquitertia proportio maior esset quam sint sex minoris semitonii proportiones, et diatessaron quam sex minora semitonia; quod verum non est. Superat enim sex minora semitonia diatessaron in commate et commatis dimidietate (illam dimidietatem sumendo large). Tunc tacta <dieseos> differentia quinquies in se ducta numerum reddit qui est 65, ut prius est dictum. Hic autem minor est differentiali numero ipsius ditoni existentis inter duos primos positos terminos et tamen quinque dieses ipso ditono non sunt minores, sed maiores.

Aliae multae consimiles instantiae possent dari. Ex his igitur patet iudicium factum super excessu alicuius minoris proportionis ab aliqua maiore per multiplicationem minoris proportionis et comparationem numeri inde provenientis ad numerum differentialem maioris proportionis non teneri generaliter in omnibus tribus inaequalibus terminis quorum tam differentiae | [P2, 153r in marg.] quam proportiones sunt inaequales. Tenet tamen in aliquibus talibus terminis, ut est visum, et supponendum est a Boethio quod teneat in illis de quibus se iuvat prius tactis. Videtur tamen quod, si et doctrina illa generaliter | [P1, 124v in marg.] non teneat in omnibus tribus inaequalibus terminis trium inaequalium differentiarum et proportionum, tenet tamen generaliter in omnibus tribus terminis quorum extremi semiditonum continent, et terminus medius ad unum extremorum illorum terminorum semitonium habet minus, ad reliquum, tonum. Et, in quibuscumque terminis tribus inaequalibus inter quos hae tres continentur distinctae consonantiae et earum proportiones, ut tonus inter extremos illos terminos, diesis unius extremi ad medium et apotome illius medii ad alterum extremorum. Adhuc tenet in omnibus tribus inaequalibus terminis continentibus tres sequentes consonantias vel earum proportiones, scilicet ditonum quantum ad extremos illos terminos <apotomen> quantum ad alterum extremorum ad medium, semiditonum quantum ad illud [78] medium cum reliquo extremorum illorum, ut sunt termini sequentes sic figurati:

(Vide p. 79).

Item, cum secundum Boethium saepe tacta doctrina iudicandi de excessu alicuius minoris proportionis ab alia maiore per multiplicationem differentiae proportionis illius et comparationem provenientis inde numeri ad differentiam maioris proportionis teneat in terminis positis, quorum extremi continent <apotomen>, et medians inter illos numerus ad alterum extremorum habet diesim, ad reliquum comma, teneat etiam in illis, quos ponit et nos posuimus, quorum extremi tono distant, medius autem numerus ab altero terminorum extremorum tono distat minore, sive duobus minoribus semitoniis, a reliquo vero commate. Teneret etiam illud in quibuscumque terminis aliis quorum extremi consimiles continerent proportiones et termini medii terminos ad extremos. Sed qui alios quaereret, illi multum essent magni, cum ad secundarios commatis oporteret procedere numeros. Quamvis autem in tactis terminis et multis aliis qui poni possent teneat iudicium prius tactum de excessu aliquo minoris alicuius proportionis ab alia maiore, nunquam tamen habetur praecisa proportionis alicuius duplatio, triplatio, vel alia multiplicatio per differentiae proportionis illius duplationem, triplationem vel aliam multiplicationem, sed haec infallibiliter habetur per artem de multiplicandis eiusdem proportionibus alias traditam. Per illam enim certitudinaliter et generaliter sciri potest quotiens aliqua maior proportio proportionem aliquam minorem contineat bis, ter vel amplius. Illa tamen, in tactis deductionibus, Boethius non est usus propterea forsan | [P2, 153v in marg.] quia, secundum artem illam, oportuisset ad magnos valde per multiplicationem terminorum illorum processum fuisse numeros, et tanto ad maiores quanto commatis plures habere voluissemus

[79] [CSMIII/3:79; text: Apotomes differentia 139. Haec geminata facit numerum hunc 278 qui minor et quam differentia semiditoni. Apotomes differntia triplata reddit numerum hunc 417 qui minor est numero differentiali ditoni. Apotomes differentia quater aucta in hunc crescit numerum 556 qui maior est quam differentia ditoni. Ditoni differentia 459 quae maior est quam apotomes triplata differentia, minor tamen quam quaduplata. Ex his, si placet, infertur ditonum maiorem esse tribus apotome, minorem vero quam quattuor. Semiditoni 320 differentia quae superat apotomen duplatam sed superatur a triplata. Concludetur ex his, si placet, semiditonum superare duo maiora semitonia sed a tribus superari. .a. .b. .c. 2187, 2048, 1728] [JACSP3A 17GF]

[80] continuas proportiones. Nam fuissent multum magni ad habendum duas, et satis maiores ad habendum tres. Quid igitur fuisset ad habendum octo, et, plus, ad habendum novem, quod tamen oportuisset factum esse, si per artem illam probatum esset tonum octo continere commata et ad novem non pervenire? Hoc igitur forsitan advertens Boethius, suffecisse sibi visum est intentum suum probare per differentiae commatis multiplicationem modo qui tactus est, quia cognovit doctrinam illam in illis tenere terminis, sicut tenet in multis aliis.

Capitulum XXIII.

Quod semitonium maius superet minus semitonium in commate et tonus duo minora semitonia.

Licet per praedicta aliquantulum probatum sit <apotomen> diesim in commate superare, hoc adhuc hic confirmetur. Disponantur igitur numeri, sequentes:

531441 524288 497664 7153.

Vocetur primus horum .a., secundus .b., tertius .c., quartus .d. Est autem, inter .a. et .c. apotome, inter .b. et .c. diesis, inter .a. et .b., comma, cuius differentiam denotat numerus qui est .d.

His suppositis, arguitur sic: "Sicut se habet .a.c. ad .b.c., sic apotome ad diesim", quia .a.c. signat <apotomen> et .b.c. diesim. Sed .a.c. superat .b.c. in numero qui est .d. Ergo apotome diesim superat in commate, quod est inter .a.b. cuius differentiam significat .d. Confirmari possunt hae ex dictis in praecedenti capitulo, ubi enim sunt tres inaequales quicumque termini. Proportio terminorum extremorum continet in se duas intermedias proportiones; sic differentia [81] terminorum extremorum duas intermedias differentias. Extremorum enim differentia, ut ait Iordanus, ex differentiis eorundem ad medium est composita. Et infra, libro secundo, idem sic dicit: Cum continuatae fuerint eaedem vel diversae proportiones, dicetur primi ad ultimum proportio ex omnibus composita. Item idem, libro quinto, in principio: Omnis proportio super aliam quamlibet addere dicitur proportionem quae cum illa continuata ipsam componit. Differentia autem proportionis ad alteram vocatur illa proportio qua eadem super reliquam abundare dicitur. Sicut igitur differentia extremorum trium terminorum superat alteram differentiarum illarum intermediarum in altera, sic proportio extremorum illorum terminorum vincit unam intermediarum illarum proportionum in reliqua. Videtur igitur, secundum ea quae tacta sunt, cum differentia <apotomes> tactarum terminorum quae est 33777, superat differentiam terminorum .b.c., quae est <26624> in differentia terminorum .a.b. prius tacta, quae est differentia commatis et vocatur .d., consequens esse proportionem ipsius <apotomes> ipsius <dieseos> superare proportionem in commatis proportione. Et si sic est in proportionibus, sic erit et in consonantiis. Apotome igitur superat diesim in commate. Haec si describantur:

(Vide p. 82).

| [P2, 154r in marg.] Consimili modo probari potest tonum perfectum duo minora semitonia superare in commate. Statuantur autem ad hoc termini sequentes:

531441 524288 472392 7153 59049 51896.

Vocetur primus .a., secundus .b., tertius .c., quartus .d., quintus .e., sextus .f. Est autem inter .a. et .c. tonus, inter .a. et .b. comma. Inter .b. et .c., duo continentur minora semitonia; .d. autem denotat differentiam duorum primorum terminorum inter quos est comma; .e. differentiam toni inter .a.

[82] [CSMIII/3:82; text: Apotome, differentia eius 33777, Commatis differentia inter .a. et .b. quae est .d. Diesis sive semitonium minus, differentia eius <26624>, d, 7153, .a. .b. .c. 531441, 524288, 497664] [JACSP3A 18GF]

[83] et .c.; .f. vero differentiam duorum minorum semitoniorum inter .b. et .c. Tunc arguatur sic: "Sic se habet tonus perfectus ad duo minora semitonia, sicut .a.c. ad .b.c.", quia .a.c. signant tonum tactum; duo vero minora semitonia signantur per .b.c. Sed .a.c. superat .b.c. in numero qui est .d. Ergo tonus superat duo minora semitonia in commate. Describantur haec sic:

(Vide p. 84).

Item, quae inducta sunt, patent ex praedictis. Maior distantia, respectu alicuius termini, in ascendendo et descendendo, modo qui tactus est, maiorem arguit proportionem et maiorem differentiam. Magis autem ad invicem distant extremi tacti termini qui sunt .a. et .c. quam .b. et .c., et, per consequens, inter .a. et .c. maior est proportio quam inter .b. et .c. Illud autem in quo .a. superat .b. est numerus .d. qui commatis denotat proportionem.

Hoc autem universaliter verum est, quod in illo maior aliqua proportio minorem sibi comparatam superat, quod remanet de proportione illa maiore, ab illa minore dempta.

| [P1, 125v in marg.] Statuantur hi termini: 256 243 192, quorum extremi diatessaron, medius ad minorem ditonum, et maior ad medium minus semitonium continent. Subtrahatur hic ditonus a diatessaron; remanet minus semitonium. Dicimus et hoc diatessaron superare ditonum in minore semitonio, et consimiliter est in ceteris et consonantiis et proportionibus illis correspondentibus.

Est autem hic notandum quod in illo eodem numero in quo maior ille terminus qui est .a. superat medium terminum qui est .b., similiter differentia illius maioris termini ad extremum terminum qui est .c. differentiam medii termini ad tactum minorem extremum superat, hoc est in illo .a. superat .b. in quo .e. superat .f., hoc est in .d., et, secundum hoc, in talibus quasi idem videtur posse probari per terminos aliquos et per illorum differentias.

[84] [CSMIII/3:84; text: Tonus et eius differentia quae est 59049 et dicitur .e. Haec superat differentiam quae est .f. in numero qui est .d., sicut numerus, qui est .a., superat numerum qui est .b. Comma. Differentia inter .a. et .b. quae est .d. in qua toni differentia quae est .e. superat differentiam duorum minorum semitoniorum quae est .f. Duo semitonia minora sive tonus minor, eius differentia 51896 quae est .f. .d. 7153, .a. .b. .c. 531441, 524288, 472392] [JACSP3A 19GF]

[85] Sed multo aliud est de differentiarum aliquarum multiplicatione et proportionum, quia aequalitas differentiarum non stat cum aequalitate proportionum et, si enim variatis terminis varientur differentiae, non tamen proportiones. Maiores enim et minores eiusdem proportionis termini maiores et maiores continent differentias, ut maior est differentia inter sex quattuor quam inter tria et duo, et adhuc maior inter novem et sex, et inde inter duodecim et octo, et ulterius inter 18 et 12; et sic deinceps, crescentibus terminis, crescunt differentiae, et tamen inter illos aequales continentur proportiones.

Sed haec hactenus. Ad aliam nunc descendamus materiam.

Capitulum XXIIII.

Parvus prologus in quo tangitur intentio ordoque dicendorum.

Tractandum est consequenter quam ob causam tonus in duas partes aequales sive in duo semitonia aequalia minime sit partibilis. Haec autem materia subtilis est et ardua, quae, bene si pertractetur, tractatum poscit non modicum.

Praeponentur autem hic multae <propositiones> vel regulae in quibus distinctae numerorum et proportionum proprietates apparebunt. Excerptae sunt autem illae maiore ex parte de Iordani Arithmetica et Euclidis Geometria. Iacet autem in illis pulchra speculatio et ad propositum conferent nostrum.

Convertimus enim nos ad inquirendum proportionum distinctarum proprietates, specialiter illarum quae magis valere videbuntur ad propositum propter ipsas consonantias in proportionibus tangendis fundatas. Nam si repugnat alicui proportioni in duas dividi partes aequales, repugnabit hoc consonantiae super illam fundatae. Ideo si probari poterit sesquioctavae repugnare proportioni in duas aequas scindi [86] proportiones, repugnabit hoc tono qui in tali fundatur habitudine. Quodsi probetur generaliter hoc omni repugnare proportioni superparticulari de quarum numero est sesquioctava proportio, probatum erit omni consonantiae fundatae super aliquam superparticularem proportionem repugnare in duas scindi partes aequales. Et, si ita est, nec diatessaron, nec diapente in duas partes aequales sunt divisibiles.

Primo autem aliquantulum altius incipiatur, ut magis intelligantur quae dicentur infra, cum ad principale descendetur propositum.

Capitulum XXV.

Quod numerorum quidam sunt primi et incompositi, alii secundarii et compositi.

Omnis numerus aut est primus, aut a primo numeratur. Ad evidentiam positae propositionis, notandum est quod numerorum alii sunt primi et incompositi, alii secundarii et compositi.

Numerus primus et incompositus est qui non habet aliquam partem ipsum numerantem nisi solam unitatem quae, ut ait Boethius, omnium numerorum mater est. Et dicuntur tales numeri primi, quia per ipsorum multiplicationem producuntur alii. Dicuntur etiam incompositi, quia non generantur per multiplicationem alterius numeri, sed solius unitatis, ut sunt: 3 5 7 11.

Numerus secundus et compositus est qui habet aliquam partem ipsum numerantem aliam ab unitate, ut sunt:

9 15 21,

et huiusmodi. Dicitur autem illa pars numerum aliquem numerare vel mensurare quae aliquotiens sumpta reddit illum praecise, ut ternarius novenarium, quinque quindecim, sic de aliis. Omnis igitur numerus aut est primus, aut a primo numeratur, [87] quia vel est primus, vel compositus. Et si primus, haberetur propositum; si compositus, haberetur etiam propositum, quia propter hoc dicitur compositus, quia ab aliquo priore numeratur. Tenent haec per diffinitiones tactorum numerorum.

Est autem intelligendum Boethium tactorum numerorum species reponere sub numero impari. Dividit enim ipsum in numerum primum et incompositum, secundum et compositum, de quibus dictum est, et in numerum qui, secundum se sumptus, est secundus et compositus; comparatus tamen ad quendam alium, dicitur primus et incompositus, ut sunt 25, si ad 9 comparentur, quia numerus nullus illos numerat vel mensurat communiter, licet quilibet, per se sumptus, habeat aliquem numerum ipsum mensurantem.

Iordanus autem dictas numerorum species generalius accipit, cum dicitur quod omnis numerus aut est primus, aut a primo numeratur, ut dicatur hoc, non solum de imparibus, sed de paribus, inter quos unus solus, absolute loquendo, videtur reperiri primus et incompositus, scilicet binarius. Ceteri vero omnes per se sumpti sunt compositi qui tamen incompositi dici possunt ut ad aliquos impares comparantur, sive ad compositos, ut quaternarius ad 9 et 15, | [P1, 126r in marg.] sive ad primos et incompositos, ut quaternarius ad ternarium vel ad quinarium. Illi enim a nullo numero communiter mensurantur et tales, ut magis patebit ex dicendis, vocantur contra se primi incommensurabiles vel incommunicantes. Item, secundum Iordanum, omnis numerus est primus ad omnem numerum quem non numerat, et, secundum hoc, quaternarius primus est ad senarium, et sic de consimilibus, quamvis sint commensurabiles. Omnis enim numerus compositus ab aliquo primo numeratur, et ideo numerus aliquis primus est respectu illius a quo non numeratur, licet ambo a quodam numero alio numerentur.

Haec autem ad proportiones applicando dicere possumus quod, si numerorum alii sunt incompositi, alii compositi, similiter et proportionum quaedam simplices et incompositae, [88] aliae compositae modo qui alias dictus est. Et, sicut compositi numeri nascuntur ex incompositis, similiter et proportiones compositae ex simplicibus quas includunt. Item, sicut numerorum quidam sunt primi et alii secundarii, sic et proportiones habent terminos suos primos et minimos et terminos suos secundarios qui ex primis terminis | [P2, 155r in marg.] producuntur, numerantur et componuntur.

Capitulum XXVI.

Quod sunt numeri contra se primi et qui sunt illi.

Numerus compositus ex duobus numeris contra se primis ad quemlibet illorum est primus.

Supponit haec propositio quosdam numeros esse contra se primos. Vocantur autem illi numeri contra se primi qui a nullo numero communiter numerantur nisi a sola unitate, ut sunt 3 et 4 invicem comparati, vel quinque et septem. Dicitur autem hic quod numerus compositus ex duobus numeris contra se primis ad quemlibet illorum est primus. Haec sic patent: Sint .a. et .b. termini contra se primi, puta ternarius et quinarius. Hi componunt octonarium qui sit .c. Dico ex hoc sequi .c. esse contra se primum ad .a. et .b., alias termini illi essent communicantes vel commensurabiles, quod est contra positum, quia non stant simul ut aliqui numeri inter se sint contra se primi et commensurabiles. Octonarius igitur est contra se primus ad ternarium et ad quinarium, et idem sequitur in ceteris consimilibus.

Iuxta hoc, nota quod non dicitur quod numerus ex tribus vel pluribus contra se primis compositus sit ad quemlibet illorum primus, sed ex duobus, quia non tenet propositio commmuniter ubi fit compositio numeri alicuius ex pluribus contra se primis quam ex duobus, ut quindecim componitur ex ternario, quinario et septennario. Non est tamen primus ad illorum quemlibet.

[89] Item nota, quodsi fuerint duo numeri contra se primi quicumque, si alius alterum illorum numerat, oportet ut ad reliquum sit primus, alias aliquis numerus illos duos numeraret, ut cum tres et octo sint contra se primi, cum binarius similiter et quaternarius numerent octo, erit binarius ad ternarium primus et similiter quaternarius.

Nota etiam, quodsi aliqui numeri numerant contra se primos, quod illi inter se sunt contra se primi; ut quinque et quattuor numerant quindecim et octo, qui sunt contra se primi, sequitur quinarium et quaternarium esse contra se primos. Quodsi numerus aliquis componatur ex duobus numeris contra se primis, ad utrumque illorum ille est primus, ut quinarius contra se primus est ad ternarium et binarium ex quibus componitur. Item si fuerint duo numeri contra se primi, qui ex altero in se ducto producitur ad reliquum est primus, ut, si disponantur hi numeri: 3 et 4, qui sunt contra se primi, ducatur ternarius in se, et sunt IX, dico novenarium esse primum ad quaternarium, et consimiliter sequitur XVI esse primum ad ternarium.