Back to top

[1] TRACTATUS DE MUSICA FRATRIS IERONIMI DE MORAVIA

INCIPIT TRACTATUS DE MUSICA COMPILATUS A FRATRE IERONIMO MORAVO, ORDINIS FRATRUM PREDICATORUM.

[Prooemium]

Quoniam, ut dicit Boetius in prohemio super musicam: "sicut in visu non sufficit eruditis colores formasque conspicere, nisi etiam que sit horum proprietas investigaverint, sic non sufficit cantilenis musicis delectari, nisi etiam quali inter se conjuncte sint vocum proportione discatur." Unde, in fine primi libri musice proportiones musicas ratione investigantem, idem Boetius musicum signanter nominat, sic deducens et ibidem: "Illud, inquit, intuendum est, quod omnis ars omnisque etiam disciplina honorabiliorem naturaliter habeat rationem, quam artificium, quod manu atque opere artificis exercetur. Multo enim est majus atque acutius scire quod quisque faciat, quam ipsum illud efficere quod sciat; etenim artificium corporale, quasi serviens famulatur. Ratio vero quasi divina imperat, et nisi manus secundum id quod ratio sancit, efficiat, frustra fit. Quanto igitur preclarior est scientia musice in cognitione rationis, quam in opere efficiendi atque actu tantum, scilicet quantum corpus mente superatur. Quod scilicet rationis expers servitio degit, illa vero imperat, atque ad rectum deducit; quod nisi ejus pareat imperio, et expers rationis opus titubabit. Unde fit ut speculatio rationis operandi actu non egeat. Manuum vero opera nulla sint, nisi ratione ducantur. Jam vero quanta sit gloria meritumque rationis hinc intelligi potest, quod ceteri, ut ita dicam, corporales artifices non ex disciplina, sed ex ipsis potius [2] instrumentis cepere vocabula. Nam citaredus ex cithara, auledus vel tibicen ex tibia, ceterique suorum instrumentorum vocabulis nuncupantur. Is vero est musicus qui, ratione perpensa, canendi scientiam non servitio operis, sed imperio speculationis assumit."

Qui autem, ratione non perpensa, canendi scientiam servitio operis et non imperio speculationis assumit, hic non musicus, sed cantor nominari debet. Unde Johannes in musica sua dicit: "musicus et cantor non parum a se discrepant; nam cum musicus semper per artem recte incedat, cantor aliquotiens rectam viam solummodo per usum tenet." Et subdit: "cui ergo cantorem melius comparabo quam ebrio, qui domum quidem repetit, sed quo calle revertatur, penitus ignorat; sed et mollaris rota discretum aliquando reddit stridorem, ipsa quid agat nesciens, quia res est inanimata. Unde etiam Guido in micrologo suo sic ait:

Musicorum et cantorum magna est distancia;

Illi dicunt, isti sciunt, quid componit musica.

Nam qui facit, quod non sapit, diffinitur bestia.

Ceterum tonantis vocis si laudent acumina,

Superabit philomelam vel vocalis asina.

Quare eis esse suum tollit dialectica.

Hac de causa rusticorum multitudo plurima,

Donec frustra vivit, mira laborat insania,

Dum sine magistro nulla dicitur antiphona.

Notis ergo illis spretis, quibus vulgus utitur,

Qui sine ductore nusquam, ut cecus, progreditur."

Igitur scire cantores quid componit musica et eos in melodiis semper per artem recte incidere cupientes, ad honorem Domini nostri Jesu-Christi et gloriosissime Virginis Marie matris ejus et beati Dominici presentem summulam ex diversis majorum nostrorum dictis diligenti studio compilavimus, ut si quando fratres ordinis nostri vel alii, circa qualitatem cantus, an sit urbanus, an vulgaris, verus an falsus, judicare voluerint, et falsum corrigere et novum componere, per ipsius exercitium valeant, quod cupiunt regulariter exercere. Non est ergo parva laus, non modica utilitas, non vilipendendus labor musice scientie, que preter infra dicendos effectus, sui cognitorem, compositi cantus efficit judicem, falsi emendatorem, novi inventorem.

Sed consideravimus hujus scientie novicios, in his que a diversis conscripta sunt plurimum impediri partim propter grecorum vocabulorum inutilium et figurarum multiplicationem, partim etiam quia ea, que sunt necessaria, talibus ad sciendum, non traduntur evidenter, sed potius obscure et difficulter; partim quidem, quia eorum frequens repetitio et fastidium et confusionem generabat in animis auditorum.

Hec igitur et alia hujusmodi evitare studentes temptabimus cum confidentia divini auxilii ea musice artis que precipue ad officium cantantium pertinent breviter ac lucide prosequi. Cuncta brevi volumine complicantes, ut non sit necesse querenti numerositatem librorum evolvere. Cui brevitas collecta offert, quod queritur sine labore, ut autem intentio nostra sub aliquibus certis limitibus comprehendatur.

Dicto primo, quid sit musica.

Secundo, unde dicatur.

Tertio, a quibus sit inventa.

Quarto, quot sint partes ipsius secundum scilicet Ysidorum etymologiarum.

Quinto, de divisione musice secundum Alphorabium.

Sexto, de divisione ejusdem secundum Boetium.

Septimo, de subdivisionibus musice secundum Ricardum.

Octavo, de effectibus sive de excellentia musice.

[3] Nono, de subjecto ejusdem.

Decimo, dicendum erit de armonicis clavibus simul et vocibus.

Undecimo, de locis dictarum clavium et vocum, et de earumdem geminationibus.

Duodecimo, de ipsarum vocum mutationibus.

Tercio decimo, de tribus vocum divisionibus.

Quarto decimo, de sonorum qualitatibus et de eorumdem proportionibus.

Qunito decimo, de ipsis modorum consonantiis, sive consonis modulationibus.

Sexto decimo, de quibusdam arithmeticis musicis necessariis subtilitatibus.

Decimo septimo, de ipsorum sonorum ad arithmeticam reductionibus.

Decimo octavo, de campanarum in orologiis musicum sonum debite exprimentium formationibus.

Decimo nono, de monocordi dimensionibus et ejusdem utilitatibus.

Vigesimo, de sedibus tonorum duplicibus.

Vigesimo primo, de eorumdem tonorum tam parium quam imparium, regularibus intentionibus et remissionibus.

Vigesimo secundo, de tonis ecclesiasticis in speciali et de eorumdem differentiis, antiphonarum inchoationibus et psalmorum intonationibus.

Vigesimo tertio, de dictorum cantuum [sqb] durali scilicet, et b molli mutuis commutationibus.

Vigesimo quarto, de modo cantandi et formandi notas et pausas ecclesiastici cantus.

Vigesimo quinto, de modo faciendi novos eccleciasticos et omnes alios firmos sive planos cantus.

Vigesimo sexto, de modo diverso, secundum diversos faciendi novos regulariter, simul et cantandi omnes species ipsius discantus.

Vigesimo septimo, de quibusdam grecorum vocabulorum litterarumque ad musicam pertinentium interpretationibus; et per tria genera et quinque tetracorda secundum Boetium de regularibus monochordi dimensionibus.

Vigesimo octavo et ultimo, in tetracordis et pentacordis musicis instrumentis, puta in viellis et similibus per consonantias cordis distantibus, mediis vocum inventionibus.

CAPUT I.

Quid sit musica.

Musica est motus vocum congrua proportione inter se consonantium. Secundum autem Boetium in verbo musice: "Musica facultas armonica est differentias acutorum et gravium sonorum sensu ac ratione perpendens." Cujus quidem diffinicionis rationem assignat ibidem dicens: "Sensus enim ac ratio quedam facultatis armonice instrumenta sunt. Sensus namque confusum quiddam ac proxime tale, quale est illud quod sentit advertit. Ratio vero dijudicat integritatem, atque unas, id est simplas, prosequitur differentias. Itaque invenit sensus quidem confusa ac proxima veritati, accipit vero a ratione integritatem. Ratio vero ipsa quidem invenit integritatem, accipit vero sensu confusam ac proximam verisimilitudinem. Namque sensus nihil concipit integritatis; sed usque ad proximum venit. Ratio vero dijudicat,veluti si quis manu circulum scribat; fortasse eum vere oculus circulum esse arbitratur. Ratio vero nullo modo esse id quod simulatur, intelligit."

"Hoc vero idcirco est, quoniam sensus circa materiam vertitur: speciesque in ea comprehendit que ita sunt fluide atque imperfecte, nec determinate, nec ad unguem expolite, sicut est ipsa materia. [4] Quare sensum, confusio sequitur; mentem vero atque rationem, quoniam materia non moratur. Species quas pervidet, preter subjecti communionem intuetur; atque ideo eam integritas comitatur ac veritas potiusque quod in sensum peccatur, aut minus est, aut emendat aut complet. Fortasse autem id quod sensus non integre, sed confuse atque a veritate minus quasi quidam incallidus estimator agnoscit, in singulis minus habet errati. Collecta vero multiplicantur in summam, atque idcirco magnam faciunt differentiam. Nam si duas notulas tono sensus distare arbitretur, neque distent, rursusque ab una earum tono distare putet tertiam; neque sit integra ac vera toni distantia. Item tertie et quarte toni sensus differentiam putet, atque in eadem quoque erret; neque sit differentia toni, ab hac etiam quarta, quintam distare semitonium putet; neque vere atque integre estimet, in singulis fortasse minus videatur erratum. Quod vero in primo tono sensus reliquit, atque id quod in secundo ac tertio atque in quarto semitonio peccatum est; in unum congregatum atque collectum efficiet, ut prima vox ad quintam vocem diapente non contineat consonantiam; quod opportebat fieri, si tres tonos ac semitonium sensus integre judicasset. Quod igitur in singulis tonis minus pervidebatur, id collectum in consonantiam evidenter apparuit; atque ut pervideatur sensum quidem confusa colligere; nullo modo autem ad integritatem rationis ascendere sic consideremus. Date enim linee majorem minoremve aliam reperire, nihil est difficile sensui; proposita vero mensura, ut tanto majorem, tantove minorem reperiat, id non faciet sensus prima conceptio; sed solers rationis inventio."

"Itaque in tanta rerum numerositate nihil efficit sensus. Cujus omne judicium subitum atque in superficie positum integritatem perfectionemque non explicat. Idcirco non est aurium sensui dandum omne judicium; sed exhibenda est etiam ratio, que errantem sensum regat ac temperet, qua labens sensus deficiensque veluti baculo innitatur."

"Nam ut singule artes habent instrumenta quedam, quibus partim confuse aliquid informent, ut asciculum; partim vero quod est integrum deprehendant, ut circinum; ita etiam armonica vis habet duas judicii partes, unam quidem hujusmodi per quam sensus comprehendit subjectarum differentias vocum; aliam vero per quam ipsarum differentiarum integrum modum mensuramque considerat."

"Hujusmodi igitur instrumentum, in quo rationis adhibito modo sonorum differentie perquiruntur, vocatur armonica regula; hec Boecius.

Item, secundum Alphorabium: musica est que comprehendit cognitionem specierum armonie, et illud ex quo componitur et quibus modis.

Secundum vero Ricardum; musica est plurium dissimilium vocum in unum redactorum concordia.

Secundum autem Ysidorum, tertio libro etymologiarum; musica est peritia modulationis, sono cantuque consistens.

Item secundum Hugonem de sancto Victore: musica est sonorum divisio et vocum modulata varietas.

Secundum vero Guidonem: musica est bene modulandi scientia.

Secundum autem Johannem: musica est congrua vocum modulatio.

Est et alius Johannes, dictus de Garlangia, qui musice diffinitionem sic venatur, dicens: "Scientia est cognitio rei sicuti est. Scientia autem dividitur in theoricam et praticam. Theorica dicitur speculativa; practica dicitur operativa. Theorica [5] dividitur in theologicam, id est scientiam divinam; in naturalem, scilicet cognitionem rerum naturalium, et in doctrinalem. Doctrinalis scientia aliquotiens dicitur proprie, aliquotiens communiter. Communis dicitur, quando per aliquas regulas certas et communes procedit scientia. Propria dicitur scientia mathematica, et est scientia quantitativa, ut de numeris, etc. Duplex est autem quantitas: una est continua, alia discreta. Continua est de lineis superficiebus et corporibus; etiam est duplex quoniam alia est mobilis, alia immobilis.

De quantitate continua et immobili, est geometria; sed de ipsa mobili, est astronomia. Quantitas discreta est duplex, alia est absoluta, alia relata.

De quantitate enim discreta et absoluta est arithmetica, in qua determinatur de numeris absolutis.

De quantitate autem discreta et relata est ipsa musica, in qua determinatur de numeris relatis ad sonos. Unde musica sic diffinitur: musica est scientia de numero relato ad sonos. Aliter practice: musica est scientia de multitudine sonorum. Aliter: musica est veraciter canendi scientia et facilis ad canendi perfectionem via. Hoc Johannes Gallicus. Rationem autem diversitatis, etc.

Rationem autem diversitatis omnium diffinitionum que potest colligi ex sequentibus non ponimus, prolixitatem operis evitantes.

CAPUT II.

Unde dicatur musica.

"Dicitur autem musica, ut ait Johannes, a musa, quod est instrumentum musicum quoddam decenter satis et jocunde clangens, omniaque musice superexcellens instrumenta, que omnium vim atque modum in se continet; humano siquidem inflatur spiritu ut tibia, manu temperatur ut viella."

Nam, secundum Ysidorum, libro tertio etymologiaram, "ad omnem sonum, qui materies cantilenarum est, triformem constat esse naturam. Prima est armonica, que ex vocum cantibus constat. Secunda organica, que ex flatu consistit. Tertia rhithmica, que ex pulsu digitorum numeros recipit. Nam aut voce editur sonus, sicut per fauces; aut flatu, sicut per tubam aut tibiam; aut pulsu, sicut per citharam; aut per quodlibet aliud, quod percutiendo canorum est."

Musa igitur omnium vim atque modum in se continet; humano si quidem inflatur spiritu, ut tibia; manu temperatur, ut viella; folle concitatur, ut organa. Unde et a greco nomine quod est sertamesa, id est media musa dicitur, eo quod, sicut in aliquo medio diversa conveniunt extrema, ita et in musa diversa conveniunt instrumenta multimoda. Non ergo incongrue tanquam a principali sua parte musica nomen sortita est.

"Vel secundum Ysidorum, libro tertio ethimologiarum, musica dicitur per derivationem a musis. Muse autem appellate [apo ton muson], id est a querendo, eo quod per eas, sicut antiqui voluerunt, vis carminum et vocis modulatio quereretur. Quarum sonus, quia res est sensibilis, preterfluit in preteritum tempus, imprimiturque memorie. Inde a poetis, Jovis et Memorie filias musas esse confictum est. Nisi enim memoria ab homine teneantur, soni pereunt, quia scribi non possunt."

Alii musicam, quasi moduficam, id est a modulatione. Alii musicam, quasi moysicam, a moys, quod est aqua; quia olim primo inventa fuit in ydraulis, id est in aquaticis instrumentis. Ydraula enim sonus est organi vel quoddam genus musicorum. Dicitur autem ab ydor quod est aqua et aule grece, quod est cammila, vel tibia; unde [6] ydraule dicuntur fistule organorum. Vel idcirco dicitur a moys, quia tractat de vocibus et de proportionibus vocum et sine humoris beneficio; nulla cantilene vel vocis subsistit delectatio. Alii musicam, quasi mundicam a mundi, id est celi cantu dictam putant.

CAPUT III.

A quibus sit inventa musica.

Refert autem Moyses hujus artis Tubal fuisse repertorem ante diluvium, qui fuit de stirpe Cayn; alii Linum fuisse, Thebeum et Zelum; alii Amphionem artem hanc reperisse arbitrantur. Boetius autem dicit philosophum quemdam, Pythagoram nomine, hujus artis inventorem extitisse, et quam rationabiliter ostendit in primo libro musice dicens: "Non omne judicium, inquit, sensibus demus, quamquam a sensu aurium hujus artis sumatur judicium. Nam si nullus esset auditus, nulla omnino disputatio de vocibus extitisset; sed quodam modo principium et quasi admonitioninis vicem tenet auditus."

"Postrema vero perfectio agnitionisque vis in ratione consistit, que certis regulis sese tenens nullo unquam errore prolabitur. Nam quid diutius dicendum est de errore sensuum, quando nec omnibus eadem vis, nec eidem homini semper equalis est. Frustra autem vario judicio quisquam committet, quod veraciter affectat inquirere. Idcirco Pythagorici medio quodam feruntur itinere. Nam nec omne judicium dederunt auribus, et quedam tamen, non nisi auribus, ab eis explorantur; ipsas etenim consonantias aure metiuntur."

"Quibus vero inter se distantiis consonantie differant, id jam non auribus quarum sunt obtusa judicia, sed regulis rationique permittunt; ut quasi obediens quidam, famulusque sit sensus; judex vero atque imperans ratio. Nam licet omnium pene artium atque ipsius vite varietas et momenta sensuum occasione producta sint, nullum tamen in his judicium certum, nulla veri est comprehensio, si arbitrium rationis abscedat. Ipse enim sensus eque maximis minimisque corrumpitur. Nam neque minima sentire propter ipsorum sensibilium parvitatem potest, et a majoribus sepe confunditur ut in vocibus. Que si minime sint, difficilius captat auditus; si vero sint maxime, ipsius sonitus intentione surdescit."

"Hec igitur maxime causa fuit, cur relicto aurium judicio, Pythagoras ad regularum momenta migraverit. Qui nullis humanis auribus credens que partim natura, partim etiam extrinsecus accidentibus permutantur, partim ipsis variantur etatibus. Nullis etiam deditus instrumentis penesque sepe multa varietas atque inconstantia nasceretur. Dum nunc quidem si nervos velis aspicere, vel aer humidior, pulsus obtuderet, vel siccior excitaret, vel magnitudo corde graviorem redderet sonum, vel acumen subtiliorem tenuaret, vel alio quodammodo statum prioris constantie permutaret. Et cum idem esset in ceteris instrumentis, omnia hec inconsulta minimeque estimans fidei diuque estuans inquirebat, quanam ratione firmiter et constanter consonantiarum momenta perdisceret."

"Cum interea divino quodam nutu preteriens fabrorum officinas, pulsos malleos exaudit ex diversis sonis unam quodammodo concinentiam personare. Ita igitur ad id quod diu inquirebat, attonitus accessit ad opus; diuque considerans, arbitratus est diversitatem sonorum ferientium vires efflcere; atque, ut id apertius colliqueret, mutare inter se malleos imperavit. Sed sonorum proprietas non in hominum lacertis herebat; sed mutatos malleos comitabatur. Ubi id igitur animadvertit, malleorum pondus examinat. Et cum quinque [7] essent forte malleoli, duo dupli reperti sunt pondere, qui sibi secundum diapason consonantiam respondebant. Eumdem etiam qui duplus esset alio, sesquitertium alterius comprehendit ad quem scilicet diatessaron sonabat. Ad alium vero quemdam qui eidem diapente consonantia jungebatur, eumdem superioris duplum reperit esse sesquialterum. Duo vero hi ad quos superior duplex sesquitertius et sesquialter esse probatus est, ad se invicem sesquioctavam proportionem propensi sunt custodire. Quintus vero est rejectus, qui cunctis erat inconsonans."

"Cum igitur ante Pythagoram consonantie musice partim diapason, partim diapente, partim diatessaron, que est consonantia minima, vocarentur, primus Pythagoras hoc modo reperit qua proportione sibimet hec sonorum concordia jungeretur. Et ut clarius sit, quod dictum est, sint verbi gratia malleorum quatuor pondera que subter scriptis numeris continent ter XII, IX, VIII, VI. Hi igitur mallei qui XII et VI ponderibus vergebant, diapason in duplo continentiam personabant. Malleus vero XII ponderum ad malleum IX, et malleus VIII ponderum ad malleum VI ponderum, secundum epitritam proportionem, diatessaron consonantiam jungebant. Duodecim vero ponderum ad VIII, et IX ad VI, dyapente consonantiam permiscebant. Novem vero ad VIII in sesquioctava proportione resonabant tonum." Quod etiam patet in figura sequenti:

[CSI:7; text: sesquitertius diatessaron, sesquioctavus tonus, dupla diapason, sesquialter, diapente, VI, VIII, IX, XII] [IERTRA1 01GF]

"Hinc igitur domum reversus, varia examinatione perpendit an in his proportionibus ratio simphonarum tota consisteret. Nunc quidem equa pondera nervus aptans, eorumque consonantias aure dividicans, nunc vero in longitudine calamorum duplicitatem medietatemque restituens, ceterasque proportiones aptans, integerrimam fidem diversa experientia capiebat. Sepe etiam pro mensurarum modo ciathos equorum ponderum acetabulis immittens, sepe ipsa quoque acetabula diversis formata ponderibus virga erea ferreaque percutiens, nihil sese diversum invenisse letatus est. Hinc etiam ductus, longitudinem, grossitudinem, crassitudinemque cordarum ut examinaret aggressus est. Itaque invenit, de qua dictum est, regulam que ex re vocabulum sumpsit. Non quod regula sit lignea, per quam magnitudines cordarum sonumque metimur, sed quod regula sit quedam hujusmodi inspectio fixa firmaque, ut nullum inquirentem dubio fallat judicio." Hec Boetius de musice artis inventione.

CAPUT IV.

De tribus partibus musice secundum Ysidorum Etymologiarum

"Tres autem sunt musice partes, et hoc primo secundum Ysidorum, libro tertio ethimologiarum, id est, armonica, rithmica, metrica. Armonica est que decernit in sonis acutum et gravem. Rithmica est que requirit incurtionem verborum, utrum sonus bene aut male cohereat. Metrica est, que mensuram diversorum metrorum probabili ratione cognoscit, ut verbi gratia: heroicum, iambicum, elegiacum, etc."

"Prima divisio musice, que armonica dicitur, id [8] est, modulatio vocis pertinet ad comedos, tragedos, vel choros, vel ad omnes qui voce propria canunt. Hec ex animo et corpore motum facit et motu sonum. Ex quo colligitur musica, que in homine vox appellatur. Unde vox est aer, spiritu verberatus; unde et verba nuncupata. Proprie autem vox est hominum, seu irrationabilium animalium. Nam in aliis abusive, non proprie, sonitum vocem vocari, ut: vox tube infremuit; fractasque ad littora voces. Nam proprium est ut litorei sonent scopuli, et ad tubam terribilem sonitum procul ere canoro."

"Armonica est modulatio vocis et concordantia plurimorum sonorum vel coaptatio. Simphonia est modulationis temperamentum ex gravi et acuto concordantibus sonis, sive in voce, sive in flatu, sive in pulsu. Per hanc quippe voces acute gravioresque concordant, ita ut quisquis ab ea dissonus erit, sensum auditus offendat. Cujus contraria est diaphonia, id est voces discrepantes vel dissone."

Euphonia autem est suavitas vocis; hec et melos a suavitate et melle dicta. Dyastema est vocis spatium ex duobus vel pluribus sonis aptatum. Diesis est spatia quedam et deductiones modulandi atque vergendi de uno in altero sono. Tonus est acuta enumeratio vocis. Est enim armonie differentia et quantitas, que in vocis accentu vel tenore consistit. Cujus genera in XV partibus musice diviserunt. Ex quibus yperlidius novissimus et acutissimus; hypodorius omnium gravissimus. Cantus est inflexio vocis. Nam sonus directus est; precedit autem sonus cantum. Arsis est vocis elevatio, hoc est, initium; thesis vocis positio, hoc est finis."

"Suaves voces sunt subtiles et spisse, clare atque acute; perspicue voces sunt que longius protrahuntur, ita ut omnem continuo impleant locum, sicut clangor tubarum."

"Subtiles voces sunt quibus non est spiritus, qualis est infantium et egrotantium vel mulierum, sicut in nervis. Que enim subtilissime corde sunt, subtiles ac tenues sonos emittent."

"Pingues sunt voces, quando spiritus multus egreditur sicut virorum. Acuta vox est tenuis alta sicut in chordis videmus."

"Dura vox est, que violenter emittit sonum, sicut tonitruum, sicut incudis sonus, quotiens in duram malleus percutit ferrum."

"Aspera vox est rauca, et que dispergitur per minutos et indissimiles pulsus."

"Ceca vox est, que cum mox emissa fuerit, conticescit, atque suffocata nequaquam longius producitur, sicut in fictilibus."

"Vinolenta vox est, vox levis, vox mollis, atque flexibilis. Et vinolenta dicta a vino, hoc est concinno, molliter flexo."

"Perfecta autem vox est alta, suavis et clara; alta, ut in sublime sufficiat; suavis, ut animos audientium blandiatur; et clara, ut aures adimpleat. Si ex his aliquid defuerit, vox perfecta non erit."

"Secunda divisio est organica, in his, que spiritu reflante completa in sonum vocis animantur; ut sunt tube, calami, fistule, organa, pandoria et his similia instrumenta. Organum vocabulam est generale vasorum omnium musicorum. Hoc autem cui folles adhibentur, alio nomine greci appellant; ut autem organum dicatur, magis ea vulgaris est grecorum consuetudo. Tuba primum a Turenis inventa. De quibus Virgilius:

Turenisque tube mugire per ethera clangor.

Adhibetur autem non solum in preliis, sed in omnibus festis diebus propter laudes vel gaudii claritatem. Unde et in psalterio dicitur: "canite in initio mensis tuba, in die insigni solemnitatis vestre." Preceptum enim fuerat Judeis, ut in initio nove lune tuba clangerent; quod etiam huc usque faciunt. Tibias excogitatas in Phrygia ferunt; has diu quidem funeribus tantum adhibitas mox et sacris gentilium. Tibias autem appellatas putant, quod primum de cervinis, tibiis cruribusque hinnulorum fierent; deinde per abusionem ceptas vocari etiam [9] que non de cruribus ossibusque essent. Hinc et tibicines, qui sunt tibia canentes."

"Calamus nomen est proprium arboris, a calendo, id est, fundendo voces vocatur. Fistulam quidam putant a Mercurio inventam, alii a Fauno, quem Greci vocant Pan. Nonnulli eam ab uno pastore agrigentino ex Sicilia. Fistula autem dicta, quod vocem emittat. Nam grece fos, latine vox, stolia grece, latine missa appellatur. Sambuca in musicis species est symphoniarum; est enim genus ligni fragilis, unde et tibie componuntur. Pandorius ab inventore vocatus, de quo Virgilius:"

"Pan primus calamos cera conjungere plures

Instituit. Pan curat oves oviumque magistros."

"Fuit enim apud gentiles Deus pastoralis, qui primum dispares calamos ad cantum aptavit, et studiosa arte composuit."

"Tertia divisio est rythmica, pertinens ad nervos et pulsus, cui dantur species cithararum diversarum. Tympanum quoque, cymbalum, sistrum, acitabula enea vel argentea, vel alia que metallico rigore repercussa reddunt cum suavitate tinnitum, et alia hujuscemodi."

"Cithare ac psalterii repertor Tubal, ut predictum est, perhibetur. Juxta opinionem autem grecorum cithare usus repertus esse creditur ab Apollone. Forma cithare in initio similis fuisse traditur pectori humano, eo quod uti vox a pectore, ita ex ipsa cantus ederetur, appellataque eadem de causa. Nam pectus dorica lingua citharam vocari dicunt. Paulatim autem plures ejus species extiterunt, ut psalteria, lire, barbite fenices et pectices et que dicuntur Indice, et feriuntur a duobus simul. Item alie atque alie et quadratata forma vel trigonali chordarum, et ita numerus multiplicatus est, et commutatum genus. Veteres autem citharam, fidiculam vel fidicem nominaverunt, quia tam continue inter se corde ejus, quam bene conveniant, inter quos fides sit."

"Antiqua autem cithara VII cordis erat; unde Virgilius: "septem discrimina vocum." Discrimina autem ideo, quia nulla corda vicine corde similem sonum reddat. Sed ideo VII corde, vel quia totam vocem implent, vel quia VII motibus sonat celum. Corda autem dicta a corde, quia uti pulsus est cordis in pectore, ita pulsus corde in cithara. Hanc primus Mercurius excogitavit; idemque prior in nervos sonum strinxit."

"Psalterium, quod vulgo canticum dicitur, a psallendo nominatur, quod ad ejus vocem chorus consonando respondeat. Est autem similitudo cithare barbarice in modum Delte littere. Sed psalterii et cithare hec differencia est, quod psalterium lignum illud concavum, unde sonus redditur, superius habet, et deorsum feriuntur corde, desuper sonant. Cithara vero concavitatem ligni inferius habet. Psalterio autem Hebrei decacordo usi sunt propter numerum decalogum legis."

"Lyra dicta [apo tes luras], id est varietate vocum, quod diversos sonos efficiat. Liram primum a Mercurio inventam fuisse dicunt hoc modo. Cum regrediens Nilus in suos meatus varia in campis reliquisset animalia, relicta est eciam testudo, que cum putrefacta esset, et nervi ejus remansissent extenti intra corium, percussa a Mercurio sonum reddidit. Ad cujus speciem Mercurius lyram fecit, et Orpheo tradidit, qui hujus rei maxime studiosus erat. Unde existimatur eadem arte non feras tantum, sed saxa atque silvas, cantus modulacione applicuisse. Hanc musici propter studii amorem et carminis laudem etiam inter sidera suarum fabularum commentis collocatam esse finxerunt.

"Timpanum est pellis vel corium ligno ex una parte extentum; est enim pars media symphonie, in similitudinem cribri. Timpanum dictum, quod medium est, unde et margaritum medium timpanum dicitur, et ipsum ut symphonia ad virgulam percuttitur.

"Cimbala acitabula quedam sunt, que percussa [10] invicem se tangunt, et faciunt sonum. Dicta autem cimbala, quia cum balematia simul pecutiuntur. Cum enim greci dicunt cimbala balematie."

"Sistrum ab inventrice vocatum. Isis enim regina Egyptiorum, id genus invenisse probatur. Juvenalis:

Isis et irato feriat mea limina sistro.

Unde etiam hoc mulieres percutiunt, quia inventrix hujus generis mulier extitit. Unde et apud Amazonas sistro ad bellum feminarum exercitus vocabatur. Tintinnabulum de sono vocis nomen accepit. Habet sicut plausus manuum, stridor valvarum. Symphonia vulgo appellatur lignum cavum ex utraque parte pelle extensa, quam virgulis hinc et inde musici feriunt; fitque in ea ex concordia gravis et acuti suavissimus sonus." Hec etymologiarum Ysidorus.

CAPUT V.

De divisione musice secundum Alphorabium.

Alphorabius autem dividit musicam in activam primo et speculativam. Activa secundum ipsum, proprietas est invenire armonias sensitivas ex instrumentis que preparata sunt eis, vel natura, vel arte. Instrumenta naturalia sunt ut epiglotes, et uwla, et que in eis sunt. Deinde vero vasa artificialia sunt, ut fistule, corde, verba et alia hujus modi. Opifex itaque hujus artis non format pneumata, et armonias et alia eorum accidentia, nisi secundum quod sunt in instrumentis, quorum acceptio consueta est in eis.

Speculativa vero dat omnium eorum scientiam, et rationes et causas ejus omnes, ex quo componuntur armonie, non secundum quod sunt in materia, sed absolute secundum quod remota sunt ab omni instrumento et materia, et accipit ea, secundum quod audita sunt ex instrumento, vel ex quocunque tempore accidunt.

Hec autem, id est speculativa, dividitur in quinque partes magnas. Prima pars est de principiis, quorum proprietas est ut administrentur in acceptione ejus, quod est in hoc scientia, et qualiter sit mundus in acceptione principiorum illorum, et quare inventa sit hec ars, et ex quibus rebus, et ex quot componatur.

Secunda vero doctrinalis est de dispositionibus hujus artis, scilicet inveniendi neumata, cognoscendi numeros ac species eorum, et declarandi proportiones eorum ad invicem. Docet etiam species ordinum ac sectionum eorum quibus preparantur, ut acceptor accipiat ex eis quod vult, et componat ex eis armonias.

Tertia de convenientia principiorum in sermonibus et demonstrationibus super species instrumentorum artificialium que preparantur eis, et de acceptione omnium eorum, ac situ eorum in ea secundum mensurationem et ordinem, que in principiis assignantur.

Quarta est de speciebus casuum naturalium, que sunt pondera neumatum.

Quinta vero est de compositione armonarium integrarum, scilicet illarum que posite sunt in sermonibus metricis, secundum ordinationem et qualitatem artis eorum compositis, et docet quando penetrabiliores fiunt et magis ultime, scilicet interlimitate intentionis ad quam facte sunt. Hec Alphorabius.

CAPUT VI.

Divisio musice secundum Boetium.

Boetius vero in prohemio sic dividit musicam dicens: "Principio igitur de musica disserenti, illud interim dicendum videtur, quot musice [11] genera ab ejus studiosis comprehensa esse noverimus. Sunt autem tria: et prima quidem mundana est; secunda vero humana; tertiaque in quibusdam instrumentis constituta est, ut in cithara vel tibiis, ceterisque que cantilene famulantur. Et primum ea que est mundana: in his maxime perspicienda est que in ipso celo, vel temporum varietate visitur. Quomodo enim fieri potest, ut tam velox celi machina tacito silentique cursu moveatur; et si ad nostras aures sonus ille non pervenit, quod multis de causis necesse est fieri, non poterit tamen motus tam velocissimus ita magnorum corporum, nullos omnino sonos ciere, cum presertim tanta sint stellarum cursus coaptatione conjuncti, ut vel eque compaginatum, nihil ita commixtum possit intelligi. Namque alii planetarum excelsiores, alii inferiores feruntur; atque ita omnes equali incitatione volvuntur, ut per dispares inequalitates ratus cursuum ordo ducatur. Unde non potest ab hac celesti vertigine ratus ordo modulationis absistere. Jam vero quatuor elementorum diversitates contrariasque potentias, nisi quedam armonia conjungeret, quomodo fieri posset, ut in unum corpus ac machinam convenirent. Sed hec etiam omnis elementorum diversitas ita et temporum varietatem parit et fructuum, ut tamen unum anni corpus efficiat. Unde si quid horumque tantam varietatem rebus ministrant, animo et cogitatione discerpas, cuncta pereant, nec, ut ita dicam, quicquam consonum servent. Et sicut persimile in gravibus cordis is vocis est modus, ut non ad taciturnitatem gravitas usque descendat, atque in acutis ille custoditur acuminis modus, ne nervi nimium tensi vocis tenuitate rumpantur, sed totum sibi sit consentaneum atque conveniens. Ita etiam in mundi musica pervidemus, vel nihil ita posse esse nimium, ut alterum propria nimietate dissolvat. Verum quicquid illud est, aut suos affert fructus, aut aliis auxiliatur, ut afferant. Nam quod constringit hyems, ver laxat, torret estas, maturat autumnus, temperatque vicissim, vel ipsa suos afferunt fructus, vel aliis, ut afferant, subministrant."

"Humanam vero musicam quisquis in se ipsum descenderit, intelligit. Quid est enim quod illam incorpoream rationis vivacitatem, id est animam corpori misceat, nisi quedam coaptatio, et velut gravium leviumque vocum quasi unam consonantium efficiens temperatio? Quid est aliud quod ipsius inter se partes anime conjungat, que, ut Aristoteli placet, ex irrationabili rationabilique conjuncta est? Quid vero quod corporis elementa permisceat, aut partes sibimet rata coaptatione contineat?"

"Tertia est musica, que in quibusdam consistere dicitur instrumentis. Hoc vero ministratur, aut intensione, ut nervis; aut spiritu, ut tibiis; vel his que aqua moventur, aut percussione quadam, ut in his qui in concava quadam erea virga feriuntur, atque inde diversi efficiuntur soni. hec Boetius."

CAPUT VII.

Subdivisiones musice secundum Ricardum.

Subdivisiones musice sunt Ricardi, que sequuntur, Musica, inquit Ricardus, alia mundana, alia humana, alia instrumentalis. Mundana: alia in elementis, alia in pondere, alia in numero, alia in mensura, in planetis, alia in situ, alia in motu, alia in natura. In temporibus: alia in annis, scilicet mutatione veris, estatis, autumni et hyemis; alia in mensibus, scilicet incrementis et decrementis lunaribus; alia in diebus, scilicet vicissitudine lucis et noctis. Musica humana; alia in corpore, alia in anima, alia in connexu utriusque. ln corpore: alia in cogitationibus, [12] alia in humoribus, alia in operationibus. Prima convenit omnibus nascentibus; secunda sensibilibus; tertia rationabilibus. Musica in anima: alia in potentiis, ut ira, ratio; alia in virtutibus, ut justitia, fortitudo. Musica in connexu utriusque est illa naturalis amicitia, qua anima corpori, non corporeis vinculis alligata, tenetur.

Musica instrumentalis: alia in pulsu, ut in timpanis et cordis; alia in voce, ut in carminibus et cantilenis. Hoc Ricardus.

Hoc est igitur quod dicit Ysidorus, libro tertio etymologiarum. "Sine musica, inquit, nulla disciplina potest esse perfecta; nihil enim sine illa. Nam et ipse mundus quadam armonia sonorum fertur esse compositus et celum ipsum sub armonie modulatione revolvitur;" quod philosophus, in secundo libro de celo et mundo, more suo reprobat. Nam postquam determinavit de motu stellarum consequenter, determinat de sono earum qui est effectus motus localis, ut dicitur in secundo de anima. Et cura hoc: duo facit, primo excludit opinionem aliorum; secundo determinat unitatem. Circa primum, tria facit: primo proponit, quod intendit; secundo, inducit rationem aliter sentientium; tertio, ostendit quomodo dubitationi satisfacere utuntur.

Dicit ergo primo, manifestum esse ex his que prius ibidem dixerat, scilicet quod stelle per se non moventur. Quod si quis dicat quod ex motu earum accidit quedam armonia, id est sonus armonicus factus tanquam soni stellarum sibi invicem consonent, leviter loquitur, id est sine ratione sufficienti et superflue. Eciam hoc dicit, quasi nulla utilitate ex hujusmodi sono sequente, sed magis maximo nocimento, ut patebit. Et etiam non ita habet severitas secundum quod ex premissis demonstrationibus apparet.

Deinde inducit rationem Pythagore et sibi consentientium, quorum erat predicta sententia. Et primo ostendit quomodo probabant, quod corpora celestia suo motu faciunt magnum sonum. Tria enim sunt propter que corpora que apud nos moventur magnum sonum facere videntur, scilicet propter magnitudinem corporum que moventur, et propter velocitatem motus ipsorum et propter multitudinem eorum. Corpora autem que apud nos juncta in terra faciunt sonum, nec habent tantam magnitudinis molem, nec tam velocem motum, sicut sol et luna et alie stelle, quod patet partim ex his que sensu apparent. Nam sol et luna quolibet die totum mundum circumeunt, partim ex his que in astrologia monstrantur, de magnitudinibus eorum et de velocitate motus. Adhuc autem ad hoc facit multitudo stellarum. Multo igitur magis videtur, quod sol et luna et alie stelle suis motibus faciant maximos sonos. Secundo ostendit, quando probant quod sonus eorum esset armonicus.

Manifestum est enim ex his que in musica traduntur, quod velocitas motus facit sonum suavem, et acutum; tarditas motus facit sonum gravem. Determinata autem proportio, secundum certos numeros acuti et gravis est causa armonie in sonis, sicut proportio duorum ad unum facit diapason, proportio trium ad duo, que dicitur sesquialtera, facit diapente, et sic de aliis.

Ostensum est autem ex premissis, quod quanto stella movetur in majore circulo, tanto velocius movetur; tanto autem est major circulus in quo movetur stella, quanto in sphera stellarum fixarum, magis distat a polo. In planetis autem quanto magis distant a centro et idcirco secundum proportionem elongationum stellarum ab invicem, sive etiam a centro vel a polis, comprehendebat fieri diversitatem velocitatum in motibus stellarum, et per consequens, et gravitatis in sonis earum. Inveniebant autem elongationem sive distantias esse secundum proportiones numerales, que faciunt musicales consonantias. Et ideo dicebant, quod sonus astrorum, que moventur in circuitum, est armonicus. Quam vocabant vocem, propter hoc quod ponebant corpora celestia esse animata. Deinde [13] ostendit, quomodo obviabant cuidam dubitationi; et primo ponit dubitationem. Cum enim nos habeamus auditum perceptivum vocis, quo parvos sonos percipimus, videtur non esse rationabile, quod non audiremus tam magnam vocem, si ex motu astrorum perveniret.

Secundo ostendit quomodo huic dubitationi obviabant. Dicebant enim hanc esse causam quare hanc vocem non audiremus, quia statim cum nascimur coexistit nobis iste sonus. Et ideo non potest nobis manifestari propter suum oppositum, quod est silentium. Hec enim duo scilicet vox et silencium se invicem dijudicantur et discernuntur. Unde hoc accidit omnibus de sono celestium corporum, sicut accidit de malleatoribus eris, qui propter consuetudinem, quasi non sentiunt differentiam soni et silentii; eo quod aures eorum sunt implete nimis hujusmodi sono. Tertio improbat dictam respontionem dicens: quod sicut etiam prius diximus, hec dicuntur ab eis illicienter, id est secundum quamdam probabilem rationem, que allicit aures hominum, et musice, idest, secundum musicas rationes, sed non seundum veritatem.

Impossibile est enim quod hec hoc modo se habeant, quia si corpora celestia facerent tam magnos sonos, non solum est inconveniens, quia nihil eorum auditur quod ipsi solvere nituntur; sed etiam inconveniens est, quod corpora inferiora nihil patiantur ab illis sonis, etiam si eos non sentiant. Videmus enim quod soni excellentes destruunt non solum auditum animalium, sed etiam quedam corpora inanimata, sicut sonus tonitruus frangit lapides, et etiam alia corpora durabilia, sicut ferrum et edificia, et alia hujusmodi; quod quidem contingit non ita quod corpora inanimata patiantur a sono, in quantum est quoddam sensibile per auditum, sed in quantum simul cum sono fit vehemens percussio aeris et motus ipsius, sicut philosophus determinat in libro de anima.

Cum ergo corpora celestia, que moventur, sint tam maxime quantitatis, et sonus eorum si sit, opertet quod pertranseat secundum excessum sonum tonitrui et quemlibet alium sonum, secundum proportionem magnitudinis corporum celestium, multo magis necessarium est, quod sonus celestium corporum usque nunc pertingeret, quod esset intolerabilis fortitudo violentie illius quam inferret in inferioribus corporibus. Patet etiam alio modo, quod eorum solutio non est sufficiens. Quia consuetudo audiendi magnos sonos non solum aufert discretionem illorum sonorum, sed etiam alienum. Sicut malleatores eris non possunt percipere alios sonos minimos.

Unde si propter consuetudinem non possumus audire sonos celestium corporum, pari ratione nec alios sonos audire possumus. Videtur autem, ut simplicius dicit in commento, intentio sustineri posse Pythagore. Et ideo contra ea que hic ponit Aristoteles, inquit quia potest dici, quod sonus celestium corporum non sunt corruptivi, sed magis conservativi et vivificativi; sicut et motus celi est ut vita quedam omnibus existentibus, ut dicitur in octavo physicorum.

Similiter etiam quod nos non audimus sonos celestium corporum, hoc non convenit propter consuetudinem, sicut hic dicitur, quia Pythagorici dicunt Pythagoram talem armoniam quandoque audisse. Qui tamen consuetus fuit eam audire sicut et alii; sed hoc dicunt accidere, quia non omnia sensibilia sunt proportionata omnibus sensibus, ut ab eis participi possint; sicut multos odores percipiunt canes quos homines percipere non possunt. Et similiter potest dici quod soni illi non sunt perceptibiles humano auditui, nisi aliquis habeat sensum elevatum et depuratum, sicut habuit Pythagoras.

Quamvis dici possit, quia Pythagoras audivit hujusmodi sonum per species auditus, scilicet cognoscendo proportiones ex quibus illa armonia constituitur. Sed hoc vero videtur veritatem habere [14] primo quidem, quia videmus, quod licet corpora celestia sint causa vite, et precipue sol, tamen fulgor ejus corrumpit visum nostrum propter hoc quod ejus proportionem excedit; et eadem ratione sonus, qui ex motu illorum corporum proveniret, propter sui excessum nostrum auditum corrumperet. Secundo quia sicut intellectus noster est perceptivus intelligibilium, ita sensus est perceptivus omnium sensibilium, visus scilicet omnium visibilium et auditus omnium audibilium. Unde dicitur tertio libro de anima; quodammodo sunt omnia secundum sensum et secundum intellectum. Unde si esset aliquis auditus et non esset perceptus cujuslibet soni, aut opporteret illum solum equivoce dici, aut etiam talem auditum. Quod quidem potest contingere, quod aliquod animal delectatur in aliqua specie sensibilis secundum aliquem sensum, secundum quem non delectatur aliud animal, sicut homo delectatur secundum olfactum in odoribus rosarum et liliorum, non autem alia animalia, quia hujusmodi odores sunt convenientes hominibus secundum se ipsos. Aliis autem aliquibus non conveniunt odores, nec ut delectent ea, nisi causa alimenti sicut nec colores.

Potest etiam contingere quod aliquod animal non cognoscat secundum aliquem sensum differentiam alicujus sensibilis propter sensus debilitatem et sensibilis parvitatem; sicut homo cui est debilis olfactus non potest cognoscere differentiam aliquorum odorum, puta animalium transeuntium, quos cognoscunt canes. Si tamen odores fuerint vehementes, et homines eos discernunt.

Similiter etiam quedam animalia secundum visum solis claritatem inspiciunt, quam oculi noctuarum ferre non possunt propter excellentiam ejus, sed vitant eam sicut visus corruptivam. Unde impossibile est ex motibus celestium corporum provenire sonos tam vehementes, nisi percipiantur ab hominibus, vel corrumperent eorum auditum, nisi forte dicatur quod soni illi equivoces dicentur. Quod videtur consonare positioni simplici, id est qui videtur arguere Alexandrum dicentem, quod colores si qui existunt celestibus corporibus, tanquam accidentia et extrinsecus advenientia eis insunt. Contra quod ipse dicit, quod accidentia et extrinsecus assequentia in corporibus celestibus dicere inconvenientissimum existimat, cum habeant substantialem et specificam virtutem. Videbatur enim ei, quod, quia corpora celestia sint causa formarum substantialium in his inferioribus, nullum accidens est eis nec esse possit. Et secundum hoc, cum sensus non sit cognitivus, nisi accidentium sequeretur, quod nihil illorum corporum sentire possumus, unde ipse dicit quod nec astra videmus, nec magnitudines ipsorum aut figuras, nec excellentes pulcritudines. Sed neque motum, propter quem sonus, sed velut illustrationem quandam ipsorum videmus talem, velut etiam solis circa terram lumen non ipse sol videtur; sed hoc est expressive solutum; primo quidem, quia Aristoteles dicit in primo de anima, quod non secundum quod aqua, nec secundum quod aer diaphanum est, sed quoniam omnium est natura eadem, idest his utrisque et in natura superius corpore. Et eadem ratione lumen, quod est actus diaphani, est ejusdem nature in inferioribus corporibus et in celesti corpore.

Si ergo hujus modi in inferioribus corporibus sunt accidentia sensu perceptibilia, adhuc figura et magnitudo sunt mathematica, quorum rationes sunt indifferenter, in quocunque existant. Sicut igitur figura et magnitudo inferiorum corporum sunt accidentia sensibilia, ita etiam in celestibus corporibus. Item si hoc esset, periret omnis certitudo astrologie scientie que procedit ex apparentibus secundum sensum circa corpora celestia. Quomodo etiam esset possibile, quod motus celestium corporum esset eorum substantia cum sit quid imperfectissimum, sequeretur etiam quod idem esset in sole, figura, lumen et motus, cum unius rei [15] non sit una substantia; unde patet omnino impossibile esse quod dicit.

Nihil autem prohibet corpora celestia specificam virtutem habere, et tamen quedam accidentia in eis esse. Nam et in inferioribus corporibus sunt quedam accidentia, licet in eis sit virtus ad generandum sibi simile in specie. Deinde determinat veritatem. Et primo proponit quod intendit; secundo manifestat propositum. Dicit ergo primo, quod rationabile est, quod non audimus sonos celestium corporum, neque ab eis violentiam patimur et testimonium accipimus secundum veritatem primorum sermonum, scilicet quod stelle non moventur per se ipsas. Illud enim quod erat dubium circa sermones Pythagoricorum dicentium fieri armoniam, id est consonantiam musicalem, ex motu celestium corporum, erit nobis argumentum quod stelle non per se moventur.

Deinde manifestat propositum; et primo ex ratione sumpta, ex causa effectiva soni, secundo ex causa finali. Dicit ergo prino quod quecunque corpora in his inferioribus secundum se ipsa localiter moventur, faciunt sonum in quantum faciunt plagam, id est aeris percussuram. Sed quandoque corpora non moventur secundum se ipsa, sed sunt infixa, aut qualitercunque existunt in corpore quod localiter feritur. Talia non est possibile sonare, sicut homines qui sedent in navi non sonant. Navi mota, neque etiam partes navis, que sunt navi fortiter infixe, sonant ad motum navis, nisi forte propter debilitatem conjunctionis, ut cum navis conquassatur. Neque etiam videmus quod navis sonum faciat, si feratur in fluvio currenti, ita tamen motus navis non sit per se ipsum, sed solum per motum aque. Si vero sit velocior motus navis quam motus aque, tunc in quantum dividet aquam sonabit, et tunc secundum easdem rationes, quibus Pythagorici assignabant celestia corpora sonum facere. Poterit aliquis dicere inconveniens esse, si malus, id est arbor navis et puppis ejus, cum habeant tantam magnitudinem, non faciunt sonum vel etiam, ipsa navis cum ducitur in fluvio moto.

Intelligendum tamen est, quod hic excluditur sonus qui convenit ex divisione aque, non autem sonus, si quis sit ex divisione aeris, quantum ad partem navis que aque supereminet. Quod precipue apparet, quando aer contra resistit per impulsum venti; sed illud quod movetur localiter per se ipsum, non in aliquo corpore, quod fertur ita quod non faciat aliquam percussuram, impossibile set sonare.

Dicendum est ergo, quod si corpora stellarum per se moverentur, sive in aeris multitudine, sive intelligamus aerem per totum mundum diffusum, sive etiam in multitudine ignis, sicut omnes dicunt assignantes supremum locum inter corpora igni: necesse est quod faciant stelle suo motu sonum, super omnem magnitudinem naturalis soni. Quod quidem si fieret, sequeretur quod sonus ille usque huc pertingeret. Et non solum audiretur a nobis, sed etiam corrumperet corpora que sunt hic. Sed quia hoc non videmus contingere, consequens est quod nulla stellarum moveatur per se ipsam, neque motu violento, neque motu qui sit ab anima.

Non enim possent moveri stelle per se ipsas, nisi facerent divisionem vel ipsarum spherarum celestium, vel aliquorum corporum intermediorum. Ipse autem sphere moventur per se ipsas; nec tamen aliquod corpus dividunt; unde eciam ex eorum motu nullus pervenit sonus. Patet etiam quod per hoc, quod philosophus dicit, excludit imaginationi quorundam existimantium, quod stelle moventur in spheris; sed in quibusdam corporibus mediis, puta aere vel igne aut aliqua hujusmodi. Deinde ostendit, ex causa finali. Ideo enim natura non dedit stellis motum per se et per consequens sonum ac si providisset; quod nisi ita se haberet motus stellarum, quod non moventur per se, sed solum per motum spherarum, sequeretur hoc inconveniens, quod nihil in his inferioribus esset super se [16] habens, quasi per aliquot tempus a suo esse conservatum. Ultimo epilogando concludit dictum esse, quod stelle sunt spherice figure, et quod non moventur per se ipsas.

Hic est igitur modus et sententia Aristotelis dictam opinionem reprobantis. Sed que tantorum virorum sit verior opinio, id non temerarie diffinimus, sed nostris majoribus determinanda relinquimus.

CAPUT VIII.

De variis effectibus sive de excellentia musice.

Post hec de variis effectibus, sive de excellentia ipsius musice est dicendum. Illud maxime, quod Boetius in prohemio super musicam narrans ait: "Omnium quidem perceptio sensuum ita sponte ac naturailter quibusdam viventibus adest, ut sine his aninmal non possit intelligi. Sed non eque eorumdem cognitio ac firma perceptio animi investigatione colligitur. Illaboratum est enim, quod sensum percipiendis sensibilibus rebus adhibemus. Que vero sit ipsorum sensuum, secundum quos agimus, natura, et que sensibilium rerum proprietas, id non obvium, neque cuilibet explicabile esse potest, nisi quem conveniens investigatio veritatis contemplatione direxerit."

"Adest enim cunctis mortalibus visus, qui utrum venientibus ad visum figuris, an ad sensibilia radiis emissis efficiatur, inter doctos quidem dubitabile est, vulgus vero ipsa dubitatio preterit. Rursus cum quis triangulam respicit vel quadratum, facile id quod oculis intuetur, agnoscit. Sed quenam quadrati vel trianguli sit natura, a mathematico necesse est ut petat. Idem quoque de ceteris sensibilibus vel de sensibus dici potest, maximeque de arbitrio aurium, quarum vis ita sonos captat, ut non modo de his judicium capiat, differenciasque cognoscat, verum etiam delectetur sepius, si dulces coaptatique modi sint; angatur vero, si dissipati atque incoherentes feriant sensum. Unde fit, ut cum sint quatuor matheseos discipline, cetere quidem investigationem veritatis laborent."

"Musica vero non modo speculationi, verum eciam moralitati conjuncta sit. Nihil est enim tam proprium humanitatis, quam remitti dulcibus modis, astringique contrariis. Idque non modo in singulis vel studiis vel etatibus tenet; verum per cuncta diffunditur studia, et infantes ac juvenes, necnon et senes ita naturaliter affectu quodam spontaneo modis musicis adjunguntur, ut nulla omnino sit etas que a cantilene dulcis delectatione sejuncta sit. Hinc etiam internosci potest, quod non frustra a Platone dictum sit, mundi animam, musica convenientia fuisse conjunctam. Cum enim ex eo quod in nobis est junctum convenienterque coaptatum, illud excipimus, quod in sonis musicis apte convenienterque conjunctum est, eoque delectamur, nos quoque ipsos eadem similitudine coaptatos esse cognoscimus. Amica est enim similitudo. Dissimilitudo odiosa, atque contraria. Hinc quod modi etiam morum quoque maxime permutationes fiunt."

"Lascivus quippe animus vel ipse lascivioribus delectatur modis, vel sepe eosdem audiens emolilitur, ac frangitur. Rursus asperior mens vel incitatioribus gaudet, vel incitatioribus asperatur. Hinc est etiam quod modi musici gentium vocabulo designati sunt, ut Lydius modus et Phrygius. Quo enim quia unaqueque gens gaudet, eodem modus ipse vocabulo nuncupatur."

"Gaudet vero gens modis morum similitudine. Neque enim fieri potest, ut mollia duris, dura mollioribus adnectantur aut gaudeant. Sed amorem delectationemque, ut dictum est, similitudo conciliat. Unde Plato etiam maxime cavendum existimat, ne bene morata musica aliquid permutetur. Negat enim esse ullam tantam morum in [17] republica labem, quam paulatim de pudenti ac modesta musica invertere. Statim enim idem quoque audientium animos pati, paulatimque discedere, nullumque honesti ac recti retinere vestigium, si vel per lasciviores modos inverecundum aliquid, vel per asperiores ferox atque immane mentibus illabatur. Nulla enim magis ad animum disciplinis via, quam auribus patet."

"Cum ergo per eas rhytmi modique ad animum usque descenderint, dubitari non potest, quin equo modo mentem ut ipsa sunt afficiant atque conforment. Id vero eciam intelligi in gentibus potest; namque asperiores sunt Getarum, durioribus delectantur modis. Que vero mansuete, mediocribus, quanquam id hoc tempore pene nullum est. Quod vero lascivum ac molle est genus humanum, id totum scenicis ac theatralibus modis tenetur."

"Fuit vero prudens ac modesta musica, dum simplicioribus organis ageretur. Ubi vero varie permixteque tractata est, amisit gravitatis atque virtutis modum, et pene in turpitudinem prolapsa, minimum antiquam speciem servat."

"Unde Plato precipit, minime oportere pueros ad omnes modos erudiri, sed potius ad valentes et simplices. Atque hic maxime retinendum est illud, quod, si quando per parvissimas mutationes hic aliquid pemutaretur, recens quidem minime sentiri posset, post vero magnam facere differentiam, et per aures ad animum usque delabi. Idcirco magnam esse custodiam reipublice Plato arbitratur musicam optime moratam pudenter conjunctam, ita ut sit modesta ac simplex et mascula, nec effeminata, nec fera, nec varia. Quod Lacedemonii vel Spartiate maxima ope servavere, dum apud eos Thaletas Cretensis Gortynus magno pretio accitus pueros disciplina musice artis imbueret."

"Fuit enim id antiquis in morem diuque permansit. Quoniam vero eis Timotheus Milesius super eas X cordas, quas ante repererat, unum addidit nervrum, ac multipliciorem musicam fecit, exegere de laconica. Consultumque de eo factam est."

"Quod consultum id scilicet continet: Idcirco Timotheo Milesio Spartiatas succensuisse, quod multiplicem musicam reddens, puerorum animis, quos acceperat erudiendos, officeret, et a virtutis modestia prepediret; et quod armoniam, quam modestam susceperat, in genus cromaticum, quod mollius est, invertisset."

"Tanta igitur apud eos fuit musice diligencia, ut per eam animos quoque obtinere arbitrarentur. Vulgatum quippe est, quam sepe iracundias cantilena represserit, quam multa vel in corporum vel in animorum affectionibus miranda perfecerit. Cui enim est illud ignotum, quod Pythagoras ebrium adolescentem Taurominitanum sub Phrygii modi sono incitatum, spondeo succinente reddiderit mitiorem et sui compotem. Nam cum scortum in rivalis domo esset clausum, atque ille furens domum vellet amburere, cumque Pythagoras stellarum cursus, ut ei mos nocturnus erat, inspiceret, ubi intellexit sono Phrygii modi incitatum, multis amicorum monitionibus a facinore noluisse desistere, mutari modum precepit, atque ita furentis animum adolescentis ad statum mentis pacatissime temperavit. Quod scilicet Marcus Tullius commemorat in eo libro quem de suis consiliis composuit, aliter quidem, sed hoc modo."

"Sed ut aliqua similitudine adductus, maximis minima conferam, ut cum vinolenti adolescentes tibiarum etiam cantu,ut fit, instincti, mulieris pudice fores frangerent, admonuisse tibicinam ut spondeum caneret, Pithagoras dicitur. Quod eum ille fecisset, tarditate modorum et gravitate canentis illorum furentem petulantiam, Pythagoras dicitur consedasse. Sed ut similia breviter exempla conquiram Terpander atque Arion Methimneus Lesbios atque Iones gravissimis morbis cantus eripuere presidio."

"Ismenias vero Thebanus, Boetiorum pluribus, quos sciatici doloris tormenta vexabant, modis fertur cunctas abstersisse molestias. Sed etiam Empedocles, [18] cum ejus hospitem quidam furibundus gladio invaderet, quod ejus ipse patrem accusatione damnasset, inflexisse modum dicitur canendi, itaque adolescentis iracundiam temperasse. In tantum vero prisce philosophie studiis vis musice artis innotuit, ut Pythagorici, cum diurnas in somno resolverent curas, quibusdam cantilenis uterentur, ut eis lenis et quietus sopor irreperet. Itaque experrecti aliis quibusdam modis, stuporem somni confusionemque purgabant. Id nimirum scientes, quod tota nostre anime corporisque compago musica coaptacione conjuncta sit. Nam ut sese corporis affectus habet, ita etiam pulsus mentis modns cordis motibus incitantur."

"Quod scilicet Democritus Hippocrati medico tradidisse fertur, cum eum quasi insanum cunctis Democriti civibus id opinantibus, in custodia medendi causa viseret. Sed quorsum ista hec? Quia non potest dubitari quin nostre anime et corporis status, eisdem quodammodo proportionibus videatur esse compositus, quibus armonicas modulaciones posterior disputacio conjungi copularique monstrabit. Inde est enim quod infantes quoque cantilena dulcis oblectat. Aliquid vero asperum atque immite ab audiendi voluptate suspendit. Nimirum id etiam omnis etas patitur, omnisque sexus. Que licet suis actibus distributa sint, una tamen musice delectatione conjuncta sunt."

"Quid enim fit, cum in fletibus luctus ipsos modulantur homines dolentes? Quod maxime muliebre est, ut cum cantico quodam lugubri, dulcior fiat causa deflendi. Id etiam antiquis fuit in morem, ut cantus tibie luctibus preiret. Testis est Papinius Statius hoc versu:

Cornu grave mugit adunco,

Tibia cui teneros suetum producere manes.

Et qui suaviter canere non potest, sibi tamen aliquid canit, non quod eum aliqua voluptate afficiat id quod canit, sed quod quamdam insitam dulcedinem ex animo perferentes quoquomodo perferant, delectantur. Nonne illud etiam manifestum est, in bellum pugnantium animos tubarum carmine accendi? Quod si verisimile est, ab animi pacato statu, quemquam ad furorem atque iracundiam posse proferri. Non est a contrario dubium, quod conturbate mentis iracundiam, vel nimiam cupiditatem modestus modus possit astringere."

"Quid dicamus quod cum aliquis cantilenam libentibus auribus atque animo capit, ad illud etiam non sponte, sed ignoranter convertitur, ita ut motum quoque aliquem similem audite cantilene corpus effingat, et quod omino aliquot melos auditum sibi memor animus ipse decerpat? Ut ex his omnibus perspicue nec dubitanter appareat, ita nobis musicam naturaliter esse conjunctam, ut ea, ne si velimus, carere possimus. Quocirca intendenda vis mentis est, ut id, quod natura est insitum, sciencia quoque possit comprehensum teneri. Sicut enim in visu quoque non sufficit eruditis colores formasque conspicere, nisi etiam que sit horum proprietas investigaverint; sic non sufficit cantilenis musicis delectari, nisi etiam quali intra se conjuncte sint vocum proportione discatur." Hec Boetius de effectibus sive de excellentia musice.

Que quidem omnia, velut epilogando, Ysidorus libro tertio etymologiarum enumerat, dicens: "musica, inquit, movet affectus, provocat in diversum habitum sensus. In preliis quoque tube concentus pugnantes accendit; et quanto vehementior fuerit clangor, tanto fit ad certamen anima fortior. Si quidem et remiges cantus hortatur ad tolerandos quoque labores. Musica animum mulcet et singulorum operum fatigationem modulatio vocis solat, excitatosque animos musica sedat; sicut de David legitur, qui a spiritu immundo Saulem arte modulationis eripuit. Ipsas quoque bestias necnon et serpentes, volucres atque delphinos ad auditum sue [19] modulationis musica provocat. Sed quicquid loquimur, vel intrinsecus venarum pulsibus commovemur, per musicos rhythmos armonie virtutibus probatur esse sociatum." Hec Ysidorus.

CAPUT IX.

De subjecto musice.

Subjectum autem musice est ipse sonus, sed discretus. Nam secundunm Johannem: "duo sunt omnium instrumenta sonorum, naturale scilicet et artificiale. Naturale aliud humanum, aliud mundanum; et mundanum quidem est celestis volubilitatis concors dissonantia, que proprie armonia nominatur. Naturale autem instrumentum humanum dicimus illas gutturis cavitates, quas arterias vocamus; ipse enim naturaliter apte sunt recipere aerem et reddere, unde sonus naturaliter procreatur."

"Artificiale vero instrumentum est, quod non per naturam, sed per artificium ad reddendum sonum adaptatur. Naturalis autem sonus, alius discretus, alius indiscretus. Discretus est, qui aliquas in se habet consonantias. Indiscretus est, inquo nulla potest discerni consonantia, ut in risu vel gemitu hominum, latratu canum, aut rugitu leonum. Simili modo discretum et indiscretum sonum in artificiali instrumento propendere possumus. Fistula namque illa, qua decipiuntur avicule, et etiam olla pergameno superducta, unde pueri ludere solent, indiscretum reddunt sonum. At vero in sambuca, in citharis et cymbalis, aut in organis consonantiarum bene et distincte discernitur diversitas. Illum ergo sonum, quem indiscretum esse dicimus, musica nequamquam recipit. Sonus duntaxat discretus, qui etiam proprie phtongus vocatur, ad musicam pertinet. Est enim musica congrua vocum moderatio. Hec Johannes.

Subjectum igitur fore musice sonum discretum signanter dicimus. Cujus quidem ratio est. Sic enim se habet subjectum ad scientiam, sicut objectum ad potentiam vel habitum. Proprie autem assignatur objectum alicujus potentie vel habitus. Illud sub cujus ratione omnia refluunt ad potentiam vel habitum. Sicut, verbi gratia homo, et lapis referuntur ad visum in quantum sunt colorata; unde proprie coloratum est proprie objectum visus. Omnia autem que tractantur in musica,traduntur sub ratione soni, vel quia sunt ipse sonus, vel quia habent ordinem ad sonum ut ad principium et finem. Unde sequitur, quod discretus sonus vere sit subjectum hujus scientie. Quod etiam manifestum fit ex principiis hujus scientie, qui sunt quidam soni. Idem autem est subjectum principiorum et tocius scientie, cum tota scientia virtute contineatur in principiis. Quidam autem attendentes ea quae tradunt in ista scientia, et non ad rationem secundum quam considerantur. Assignaverunt aliter materiam hujus scientie vel pondus vel mensura contracta ad sonum, etc. De omnibus autem istis tractatur in ista scientia secundum ordinem ad sonum, ut patebit inferius.

Deinde cum tria sint genera que versantur circa musicam, scilicet instrumentale, poeticum et musicum, quod istorum musico sit assumendum, docet Boetius in fine primi libri musice, dicens: "tria sunt igitur genera qne circa artem musicam versantur: unum genus est quod instrumentis agitur; aliud quod fingit carmina; tertium quod instrumentorum opus carmenque dijudicat. Sed illud quidem quod in instrumentis positum est, ibique totam operam consumit, ut sunt citharedi, quique [20] organo ceterisque musice iustrumentis artificium probant, a musice scientie intellectu sejunati sunt, quoniam famulantur, ut dictum est, nec quidquam afferunt rationis; sed sunt totius speculationis expertes. Secundum vero musicam agentium genus est poetarum, quod non potius speculatione ac ratione quam naturali quodam instinctu fertur ad carmen, atque idcirco hoc quoque genus a musica segregandum est. Tertium est quod judicandi peritiam sumit, ut rhythmos cantilenasque eorumque carmen possit perpendere. Quod scilicet quando totum in ratione ac speculacione positum est, hoc proprie musice deputabitur." Et subdit: "Isque est musicus cui adest facultas secundum speculationem rationem que propositam ac musice convenientem, de modis ac rhythmis, deque generibus cantilenarum, ac de permixtionibus, ac de omnibus, de quibus postorius explicandum est, ac de poetarum carminibus, judicandi." Hec Boetius.

"His igitur expeditis, dicendum est de generibus melorum. Sunt autem tria, in primo secundum Boetium, genera melorum musice; scilicet, diatonum, chroma, et enarmonicum, et diatonicum quidem, aliquanto durius et naturalius. Chroma vero jam quasi ab illa naturali intensione discendens, et in mollius decidens. Enarmonium vero optime atque apte conjunctum."

"Cum sint igitur quinque tetracorda, ut inferius (Cap. 25) patebit, scilicet ypaton, meson, sinemmenon, diezeugmenon, yperboleon; in his omnibus secundum diatonum cantilene procedit vox per somitonium, tonum et tonum, in uno tetracordo. Rursus in alio per semitonium, tonum ac tonum, ac deinceps. Ideoque vocatur diatonicum quasi quod per tonum ac tonum progrediatur."

"Chroma autem quod dicitur color, quasi jam ab hujusmodi intensione prima mutato cantatur per semitonium, semitonium et tria semitonia. Tota enim diatessaron est consonantia duorum tonorum ac semitonii, sed non pleni. Tractum est autem hoc vocabulum, ut diceretur chroma a superficiebus, que cum permutantur in alium transeunt colorem.

Enarmonium vero, quod est magis coaptatum, est quod cantatar in omnibus tetracordis per diesim et diesim, et ditonum vel diatonum, id est per duos tonos. Diesis autem est semitonii dimidium, ut sit trium generum melorum descriptio per omnia tetracorda discurrens, hoc modo":

[CSI:20; text: Semitonium, tonus, tria, semitonia, Diesis, Ditonus, Diatonicum Diatessaron, Chromaticum, Enarmonicum] [IERTRA1 01GF]

Hec Boecius. Sed quia usus precipue Christianitatis ceteris abjectis genus diatonicum retinuit, ideo de ipso eodemque genere prima et precipua speculatio fiet. Non quidem secundum elementa greca a Boetio tradita, de quibus secundum tria genera infra dicetur, sed pocius secundum elementa sumpta communiter; que quidem elementa nunc voces clavesque vocantur.

[21] CAPUT X.

De armonicis clavibus simul et vocibus.

His itaque prelibatis, nunc de armonicis clavibus simul et vocibus tractare incipiamus. Primum autem hoc illi, qui se ad musice disciplinam aptare desiderat, est necessarium, ut suadet Johannes, ut litteras monocordi cum syllabis infrascriptis formare studeat, nec antequam eas memoriter teneat, ab hoc opere desistat. Sunt autem septem littere quas ad opus musice assumimus, sumte de alphabeto, scilicet: a, b, c, d, e, f, g. Quas quidem litteras geminatas, vetussimi XV in monocordo posuerunt, ab A videlicet inchoantes et in aa desinentes. Nondum enim hec littera [Gamma], quam greci vocant gamma, additum fuit; nec b, quod nos molle vel rotundum dicimus, a quibusdam greco nomine synemmenon, id est, adjunctum appellatur. Moderni autem omnia subtilius atque sagacius intuentes, viderunt notas illas ad melodiam quamlibet exprimendam non sufficere. Ideoque gamma in principio posuerunt; praetera b rotundum, quod aliquando in cantu videbatur necessarium, addidere, eique nomen hoc, ut scilicet b molle vocaretur, propter mollitiem soni et dulcedinem indidere. Sic his duabus litteris adjunctis, XVII sunt numero.

Guido autem, quem post Boetium plurimum in hac arte valuisse fatemur, XXI in musica sua ponit litteras, propter duplex b molle. Moderni vero adhuc unam quam vocant ee la addiderunt clavem, ne videlicet jam ullus in cantu posset subrepere defectus; sicque his omnibus litteris adjuntctis, XXII sunt numero.Sunt et VI syllabe quas ad opus musice assumunt; he videlicet: ut, re, mi, fa, sol et la, quas de illo ymno assumptas dicto Johannes, cujus principium incipit: ut queant laxis. Quod hic facile consideratur, ut queant laxis, ecce ut; resonare fibris, ecce re; mira gestorum, ecce mi; famuli tuorum, ecce fa; solve polluti, ecce sol; labii reatum, ecce la.

Per has itaque syllabas, hi qui de musica scire affectant, cantiones aliquot cantare discant, quousque ascensiones et descensiones multimodas, quoque earum varietates, plene ac lucide pernoscant. In articulis etiam manus, modulos assuescant, ut postmodum quotiens voluerint, pro monocordo utantur, et in eis cantum probent, corrigant atque componant. Hec ubi aliquamdiu frequentaverint, et alte memorie commendaverint, facnius procul dubio ad musicam iter habebunt. Hec Johannes.

Dicte autem syllabe cum litteris suprascriptis certe certis conjunguntur sic, videlicet: [Gamma] ut, A re, B mi, C fa ut, D sel re, E la mi, F fa ut, G sol re ut, a la mi re, b fa, [sqb] mi, c sol fa ut, d la sol re, e la mi, f fa ut, g sol re ut, a la mi re, bb fa, [sqb][sqb] mi, cc sol fa, dd la sol, ee la. Singule vero conjunctiones in singulis et indeterminatis digitorum aritculis in manu diversimode a diversis collocantur. Hic autem modus collocandi ipsas qui descriptus est in sequenti figura, melior esse videtur, ut postea ostendetur:

[CSI:21; text: [Gamma] ut, A re, [sqb] mi, C fa ut, D sol re, E la mi, F fa ut, G sol re ut, a la mi re, b fa, [sqb] mi, c sol fa ut, d la sol re, e la mi, f fa ut, g sol re ut, aa la mi re, bb fa, [sqb][sqb] mi, cc sol fa, dd la sol, ee la] [IERTRA1 01GF]

[22] CAPUT XI.

De locis dictarum clavium et vocum, et de earumdem geminacionibus.

Supradicte autem litterarum combinationes a quibusdam claves dicuntur, ad similitudinem clavium quibus ostia ingressum prohibentia clauduntur et aperiuntur eisdem, ut ingressus pateat ingredientibus. His enim similiter illis via canendi clauditur, qui sine ipsis preparant ad musice disciplinam. Oppositam autem viam tenentibus cantandi armonia cum eisdem aperitur. Propter quod etiam in instrumentis organicis quasdam tabulas principalibus litteris armonicarum clavium descriptas, ex quarum inflexione meatus quidam edentes sonum armonicum aperiuntur.

Non inflexe autem claudunt eosdem dictum sonum edentes claves similiter nominant que clause claudunt, aperte aperiunt dulcedinem organice melodie. Que etiam clavis sic a quibusdam describitur: clavis est unisona congeries primorum elementorum musice viam reserans modulandi. Omnes autem claves armonice solum in linea et in spatio collocantur. Unde et XI claves sunt in linea et similiter XI sunt in spatio. Prima igitur clavis, scilicet [Gamma] ut, est in linea; secunda, scilicet A re, est in spatio; tertia in linea; quarta in spatio. Et sic omnes sunt successive una in linea, et alia in spatio, usque ad ee la inclusive, que secundum successionis ordinem in spacio terminatur.

Excipiuntur quator claves, scilicet b fa et [sqb] mi acute, et bb fa et [sqb][sqb] mi superacute, que licet sint ubique due claves in acutis, videlicet et in superacutis, ut infra patebit, tamen ambe acute in spatio quidem, sed in diversis locis spatii; et ambe superacute in linea, sed in diversis locis linee, a musicis collocantur.

Et geminantur, ut diximus, tam VII littere que tribus vicibus in manu repetuntur, sed vice tertia non complentur, eo scilicet quod f et g tertio non repetitur, quod patuit in precedenti figura. G tamen terin manu reperitur, si hoc nomen littere gamma, scilicet ut quibusdam placet, nostris litteris describatur. Quam etiam VI syllabe, seu voces secundum quosdam, que quidem ut littere, sed species complete in manu repetuntur. Et inde est, quod unaquelibet littera ex predictis ter in manu reperitur, excepta littera b que quinquies propter appositionem b mollis, tam in acutis quam etiam in superacutis; et alia littera f tertio non geminata, que solum bis invenitur in manu, unaquelibet autem syllaba septies reperitur in manu; sed quotiens in linea et quotiens in spatio potest colligi ex jam dictis.

CAPUT XII.

De ipsarum vocum mutationibus.

Postquam autem dictum est de locis clavium et vocum et de earumdem geminationibus, nunc dicendum est de ipsarum vocum mutationibus. Circa quod primo videndum est, quid sit mutatio, prout hic sumitur, et unde dicatur, quisque modus mutationis. Mutatio est sub una clavi et eadem unisona transitio vocis in vocem. Et dicitur mututio a mutando, eo quod una vox unius cantus mutatur, immo commutatur in aliam alterius cantus. Cujus quidem modus talis datur a musicis, ut scilicet per has sex voces ut, re, mi, fa, sol et la diversimode fiant mutationes; per inferiores has scilicet: ut, re et mi ascendendo, et per superiores has videlicet: fa, sol et la descendendo, id est si [23] aliqua de notis inferioribus obtineat vim in mutatione fiet mutatio ascendendo, et e converso.

Dicitur autem vox illa vim suam obtinere in mutatione, que sumit melodiam sue precedentis; ex his igitur patet, quod voces diversarum clavium non transmutantur ad invicem, ut scilicet fa que est in b fa acuto, non potest mutari in mi, quod est in [sqb] mi acuto, nec e converso, tam in acutis quam in superacutis.

Dicendum est igitur quod [Gamma] ut habet unam vocem, ut per [sqb] durum ad usum [Gamma] ut sui et nullam mutationem. A re habet unam vocem, re per [sqb] durum ad usum [Gamma] ut et nullam mutationem. [sqb] mi habet unam vocem, mi per [sqb] duram ad usum [Gamma] ut et nullam mutationem. Ad evidentiam autem hujus quod dicitur ad usum sui, sciendum quod tres sunt cantus in manu [sqb] duralis, scilicet naturalis et b mollis. Qui constant ex sex vocibus scilicet, ex ut, re, mi, fa, sol et la, et habent incipere in ut et terminari in la; ut vero per se scilicet et absque aliis notis, nullius cantus armoniam perfecte constituit, et ideo notarum sequentium usum requirit; propter quod omnes voces ad usum ipsius ut tanquam ad principium a quo habent originem esse, dicuntur.

Item sciendum quod [sqb] duralis cantus habet locum principale incipiendi in gamma, in linea et in G, id est in g sol re ut bis positum in spatio et in linea. Naturalis vero in C bis positum, videlicet in C fa ut gravi in spatio, et in c sol fa ut acuto in linea. Et non in cc sol fa excellenti, quod caret voe principali, scilicet ut et etiam finali la . B mollis autem in F similiter bis posito, idest F fa ut, videlicet gravi in linea, et in f fa ut acuto in spatio. Cur autem unus cantus dicatur beduralis, sive bedurus, alter naturalis, tertius vero bemollis a quibusdam, talis ratio assignatur.

Dicunt enim quod inter sex voces, ex quibus scilicet constat quilibet cantus, due in sono sunt signanter sibi opposite: una videlicet que dura et aspera in sui prononciatione est, scilicet mi. Alia vero que molliter pronunciatur, scilicet fa. Hec ita se habent in manu, quod semper in cantu locum principalem habente incipiendi in G, mi cadit in B, a quo et cantus dicitur beduralis sive, b durus. In cantu vero locum principalem habente etiam incipiendi in F, fa in B incidit, unde et cantus dicitur bemollis. Cantus vero naturalis dicitur, eo quod principales tonorum sedes complectitur; ad quos naturaliter omnis melodia et omnis cantus reducitur.

Item C fa ut habet duos voces fa et ut fa per b durum ad usum gamma ut; ut per naturam, ad usum sui. Et duas mutationes, fa ut, ut fa; fa ut ascendendo per naturam ad usum sui; ut fa descendendo per b durum ad usum gamma ut.

D re sol habet duas voces sol et re: sol per [sqb] durum, ad usum gamma ut; re per naturam, ad usum C fa ut; et duas mutationes sol re, re sol; sol re ascendendo, per naturam ad usum C fa ut; re sol descendendo, per [sqb] durum ad usum gamma ut.

E la mi habet duas voces la et mi; la per [sqb] durum, ad usum gamma ut; mi per naturam ad usum C fa ut; et duas mutaciones la mi, mi la; la mi ascendendo, per naturam ad usum C fa ut; mi la descendendo, per [sqb] durum ad usum gamma ut.

F fa ut habet duas voces fa et ut; fa per naturam, ad usum C fa ut; ut per b molle, ad usum sui. Et duas mutationes fa ut; ut fa; fa ut ascendendo per b molle ad usum sui; ut fa descendendo per naturam ad usum C fa ut.

G sol re ut habet tres voces sol re ut; per naturam, ad usum C fa ut; re per b molle ad usum F fa ut; ut per [sqb] durum ad usum sui. Et sex mutaciones: sol ut, ut sol, sol re, re sol, re ut, ut re; sol ut ascendendo, per [sqb] durum ad usum sui; ut sol descendendo, per naturam ad usum C fa ut; sol re ascendendo, per b molle ad usum F fa ut; re sol descendendo, per naturam ad [24] usum C fa ut; re ut ascendendo per [sqb] durum ad usum sui; ut re similiter ascendendo, per b molle ad usum F fa ut.

Et hic ordo transmutationis vocum in omnibus clavibus tres voces habentibus, quod videlicet prima vox in ultimam et e converso; prima in mediam et e converso; media mutetur in ultimam et e converso, rationabilis esse videtur. Nam sicut in G sol re ut gravi, tres voces continentes, secundum convenentiam trium cantuum; ideo primo ponitur sol et postea re et postmodum ut, quia cantus naturalis qui habet suam vocem, id est sol in G sol re ut, precedit in gravibus cantum b molle ipsum immediate subsequentem, propter quod dictus cantus b mollis habet suam vocem scilicet re, vocem cantus naturalis immediate sequentem cantus quod [sqb] duralis eadem ratione habet suam vocem ut, vocem cantus b mollis sequentem. Ita et ordo servandus est in mutationibus dictarum vocum, secundum ordinem, scilicet consequentie trium cantuum, qui quidem observatur dicto ordine mutationum servato.

Preterea mutatio vocum fit, ut cognoscatur quantitas armonie in vocibus, ex cujus proportione omnis armonia constituitur, ut postea ostendetur. Manifestum est autem quod proportio medie quantitatis que cognoscitur sive consistit in mutatione prime in mediam, et medie in ultimam, cognosci non potest, nisi cognita proportione extremi ad extremum, quod denotat mutatio prime vocis in ultimam, prime in mediam, medie in ultimam et e converso. Item vidimus hoc esse in singulis rerum generibus, quod scilicet magis communia continent in se minus communia naturaliter. Sicut alter continet hominem, et alter continetur in subjecta animata. Et similiter proportiones armonice minus communes, cujusmodi est proportio primi ad medium et medii ad extremum, continent in proportionibus magis communibus, scilicet in proportionibus extremorum ad invicem. Et ideo si primo non traderetur doctrina de magis communibus proportionibus, oporteret postea ad singulas conclusiones repetere ipsa magis communia, in quibus illa virtualiter continentur; ex quo sequeretur error et coufusio in scientia.

Oportet ergo non solum propter cognoscendi modum, sed etiam propter errorem vitandum, primo agere de mutatione prime vocis in ultimam et e converso. Item a la mi re habet tres voces, la mi et re, la per naturam, ad usum C fa ut; mi per b molle ad usum F fa ut; re per [sqb] durum ad usum G sol re ut. Et sex mutationes la re, re la, la mi, mi la, mi re, re mi; la re ascendendo, per [sqb] durum, ad usum G sol re ut; re la descendendo, per naturam ad usum C fa ut; la mi ascendendo, per b molle ad usum F fa ut; mi la descendendo, per naturam ad usum C fa ut; mi re ascendendo, per durum ad usum G sol re ut; re mi similiter ascendendo, per b molle, ad usum F fa ut. Item b fa est una clavis per se, et habet unam vocem fa per b molle ad usum F fa ut, et nullam mutationem.

Que quidem clavis dupliciter nominatur; aliquando enim b rotundum et aliquando dicitur b molle. Cujus ratio est: nam cum dictum sit b fa de nono fuisse appositum, ad temperandum asperitatem toni quam facit sequens immediate clavis, scilicet [sqb] mi noluerunt appositores plures litteras ad opus musice quam septem assumere, sed potius ipsum b quam prius existebat geminum, diversum tamen posuerunt: unum jungentes huic voci fa, et aliud huic voci mi. Ponentes nihilominus differentiam figurarum in litteris, unam scilicet rotundam facientes, sic videlicet b propter quam et b rotundum clavis dicitur; aliam quadratam, sic videlicet [sqb] a qua et b quadratum clavis dicitur, describentes.

Dicitur et b molle ratione armonici effectus hujus vocis fa sibi conjuncte que quidem cum sua antecedenti, scilicet cum mi, quod est in a, acuto [25] mollem in armonia reddit sonum. [sqb] durum vero quod et [sqb] quadrum ratione similiter armonici effectus hujus vocis mi sibi conjuncte, que quidem cum re quod est in a acuto durum sive asperum reddit sonum. Dicta etiam clavis scilicet [sqb] mi est una per se et habet manu vocem mi per [sqb] durum ad usum G sol re ut et nullam mutationem.

Non est igitur una clavis b fa, b mi, sed due. Una scilicet b fa et alia [sqb] mi. Nam diversarum clavium sunt littere diversarum figurarum et dulce dimensiones in monocordo. Sed, ut patuit, littere dictarum clavium sunt diversarum figurarum, dimensiones nihilominus earumdem, ut patebit, sunt omnino differentes in monocordo; ergo claves sunt diverse. Ex quo manifeste ipsas non habere mutationes apparet. Nam contrarium contra diffinitionem mutationis fieret, cum ex eadem scilicet diffinitione posita in principio hujus capituli, duo colligantur, unum scilicet quod voces transmutabiles sint unius et ejusdem clavis, et aliud quod sint unius et ejusdem armonice sonoritatis; sed ostensum est voces esse duarum clavium; probatur etiam in monocordo et in omnibus organicis instrumentis ipsas non esse unius et ejusdem armonice sonoritatis. Nullam igitur habent mutationem nec habere possunt.

Item C sol fa ut habet tres voces sol, fa et ut; sol per b molle ad usum F fa ut; fa per [sqb] durum ad usum G sol re ut; ut per naturam ad usum sui. Et sex mutationes, sol ut, ut sol, sol fa, fa sol, fa ut, ut fa. Sol ut ascendendo per naturam ad usum sui; ut sol descendendo per b molle ad usum F fa ut; sol fa descendendo per [sqb] durum ad usum G sol re ut; fa sol similiter descendendo per b molle ad usum F fa ut; fa ut ascendendo per naturam ad usum sui; ut fa descendendo per [sqb] durum ad usum G sol re ut.

Item D la sol re habet tres voces la sol re; la per b molle ad usum F fa ut; sol per [sqb] durum ad usum G sol re ut; re per naturam ad usum C sol fa ut. Et sex mutationes la re, re la, la sol, sol la, sol re, re sol; la re ascendendo per naturam ad usum C sol fa ut; re la descendendo per b molle ad usum F fa ut; la sol descendendo per [sqb] durum ad usum G sol re ut; sol la similiter descendendo per b molle ad usum F fa ut; sol re ascendendo per naturam ad usum C sol fa ut; re sol descendendo per [sqb] durum ad usum G sol re ut.

Item E la mi habet duas voces la et mi; la per [sqb] durum ad usum G sol re ut; mi per naturam ad usum C sol fa ut; et duas mutationes, la mi, mi la; la mi ascendendo per naturam ad usum C sol fa ut; mi la descendendo per [sqb] durum ad G sol re ut.

Item F fa ut habet duas voces fa et ut; fa per naturam ad usum C sol fa ut; ut per b molle ad usum sui. Et duas mutationes fa ut, ut fa; fa ut ascendendo per b molle ad usum sui; ut fa descendendo per naturam ad usum C sol fa ut.

Item G re sol ut habet tres voces sol, re et ut; sol per naturam ad usum C sol fa ut; re per b molle ad usum F fa ut; ut per [sqb] durum ad usum sui; et sex mutationes sol ut, ut sol, sol re, re sol, re ut, ut re; sol ut ascendendo per [sqb] durum ad usum sui; ut sol descendendo per naturam ad usum C sol fa ut; sol re ascendendo per b molle ad usum F fa ut; re sol descendendo per naturam ad usum C sol fa ut; re ut ascendendo per [sqb] durum ad usum sui; ut re similiter ascendendo per b molle ad usum F fa ut.

A la mi re habet tres voces la, mi et re; la per naturam ad usum C sol fa ut; mi per b molle ad usum F fa ut; re per [sqb] durum ad usum G sol re ut. Et sex mutationes la re, re la, la mi, mi la, mi re, re mi; re la ascendendo per [sqb] durum ad usum G sol re ut; re la descendendo per naturam ad usum C sol fa ut; la mi ascendendo per b molle ad usum F fa ut; mi la descendendo per naturam ad usum C sol fa ut; mi re ascendendo per [26] [sqb] durum ad usum G sol re ut; re mi similiter ascendendo per b molle ad usum F fa ut; b fa est una clavis per se et habet unam vocem; fa per bb molle ad usum F fa ut; et nullam mutationem.

[sqb][sqb] mi similiter est una alia clavis per se et habet unam vocem; mi per [sqb] durum ad usum G sol re ut; et nullam mutationem, ratione qua prius.

cc sol fa habet duas voces sol et fa. Sol per b molle ad usum F fa ut; fa per [sqb] durum ad usum G sol re ut. Et duas mutationes sol fa, fa sol; sol fa descendendo ad usum per [sqb] durum g sol re ut; fa sol similiter descendendo per b molle ad usum f fa ut.

D la sol habet duas voces la et sol; la per b molle, ad usum f fa ut; sol per [sqb] durum ad usum g sol re ut; et duas mutationes la sol, sol la; la sol descendendo per [sqb] durum ad usum g sol re ut; sol la similiter descendendo per b molle ad usum f fa ut.

Item ee la a modernis appositum habet unam vocem la per [sqb] durum ad usum g sol re ut, et nullam mutationem.

CAPUT XIII.

De tribus vocum divisionibus.

Post hec dicendum est de divisione manus secundum diversos. Quidam enim dividunt manum in tres partes: a [Gamma] gravium in G acutarum; a G acutarum in g superacutarum usque in finem. Et ob hoc variant figuras litterarum. Nam omnes litteras monocordi a [Gamma] gravi usque in G acutum inclusive capitales; ab a acuto usque in g superacutum inclusive minutas; ab aa vero superacuto similiter duplicatas, sed minutas describunt easdem; omnes scilicet litteras capitales et voces earumdem graves propter soni gravitatem; minutas autem et voces earum acutas propter acutum quem reddunt sonum. Duplicatas vero cum suis vocibus, eo scilicet quod acutas voces acumine superant, superacutas nominant easdem.

Alii vero secundarii dividunt manum in quiuque partes: scilicet in tetracordum gravium; in tetracordum finalium communium; in tetracordum acutarum, et in tetracordum superacutarum, et inclusa clavi ee la excellentium, vel in tetracordum ipsa exclusa. Proprie autem tetracordum est quoddam musicum instrumentum habens solum quatuor cordas ad quod transsumitur cantus quatuor vocum. Et hoc modo hic accipitur, et diffinitur sic: Tetracordum est armonia sonorum quatuor distinctorum; et dicitur tetracordum a tetra grece, quod est quatuor, et cordum latine. Inde tetracordum, quasi cantus constans ex quatuor cordis vocum. Primum tetracordum constituunt iste quatuor claves, scilicet [Gamma] A B C, que quidem propter soni gravitatem dicuntur graves; a quibus et tetracordum gravium dicitur. Secundum tetracordum iste D E F G, in quibus, eo quod omnium tonorum cantus primo et principaliter et communiter finiuntur, ut infra dicetur, communes finales appellantur; a quibus et tetracordum finalium communium dicitur. Tertium iste constituunt a, b, c, d, exclusa clavi b fa, que propter acutum quem reddunt sonum, acute vocantur; a quibus et tetracordum acutarum dicitur. Alii b fa includentes, pentacordum nominant acutarum. Quartum iste claves constituunt e, f, g, aa; que quidem, quia etiam acutas acumine superant, vocantur superacute; a quibus et tetracordum superacutarum dicitur. Quintum tetracordum, secundum illos qui bb fa excludunt, tres claves constituunt, scilicet [sqb][sqb] mi, cc, dd que dicuntur excellentes, eo quod superacutas soni acuitate excellant; a quibus et tetracordum dicitur excellentium. Alii vero bb fa includentes et ee la addentes, pentacordum nominant excellentium.

Item sunt et alii qui morem sectantes antiquorum, [27] nullam que dictarum clavium excludentes, in sex tetracorda totam manum diviserunt; primum statuentes, a [Gamma] gravium in C gravium; secundum a D finalium communium in G similiter finalium communium, sive acutarum ratione qua prius; tertium ab F gravi in b fa acutum. Quod quidem tetracordum, eo quod sedes tonorum communium similiter et specialium participat tetracordum, participantium dicitur ab eisdem. Tertium ergo tetracordum, quod est ab a acuto in d acuto, similiter finalium specialium nominant. Quartum acutum a c acuto in f similiter acutum; quintum superacutum ab f acuto in bb fa superacutum; sextum vero et ultimum quod est c [sqb][sqb] mi excellenti in ee similiter excellens; tetracordum excellentium dicitur, quod quidem sicut et alia tetracorda, propriis nuncupantur nominibus, ratione qua prius. Est et alia divisio manus in octo scilicet tetracorda, que est perfectissima et realior omnibus aliis, de qua dicetur inferius.

Sed unde dicatur monocordum, et ad quid sit utile, non videtur pretereundum. Monocordum propter unam quam habet cordam nomen accepit; monos quidam grece unus vel solus dicitur. Sicut igitur tricordum a tribus cordis, tetracordum a quatuor, pentacordum a quinque, exacordum a sex, epticordum a septem, octicordum ab octo, nonacordum a novem, decacordum a decem, ita et monocordum ab una sola corda est appellatum.

Ad hoc autem, ut ait Johannes, illud instrumentum perutile est, ut cantus de quo dubitatur, sit verus, sit an falsus, in eo probetur. Pueris quoque et adolescentibus ad musicam aspirantibus adhibetur, ut, ad id quod dicere volunt, ipso dulcisono delectari facilius pertingant. Hoc Johannes.

Item valet tangere musica instrumenta volentibus, ut in monocordo manus ducere assuescant agiliter. Ex cujus insuper dimensione colligitur qualiter proportione desunt campanule, in orologiis ponende, secundum genus diatonicum, sonum exprimentes. He et alie monocordi utilitates post declarantur in speciali.

CAPUT XIV.

De sonorum quantitatibus et de eorumdem proporitionibus.

Inter cetera quoque scire convenit, quot etiam sint modi, ex quibus melodia contexitur, videlicet unisonus, semitonium, tonus, semiditonus, ditonus, diatessaron, diapente, semitonium cum diapente, tonus cum diapente, duplex diatessaron, diapason.

Unisonus est plurium notarum in spatio vel in linea in eodem sono geminatio. Et dicitur unisonus quia unus sonus eo, secundum Johannem, quod, cum sit una vox, continue repercutitur. Qui quidem unisonus non dicitur esse modus, sicut et unitas numerus non censetur.

Semitonium, secundum Guidonem, est non plenum toni intervallum, quod inter lima et deisis dicitur. Et dicitur semitonium a semis, quod est imperfectum, et tonus quasi imperfectus tonus.

Tonus, secundum eumdem, est spatii legitima magnitudo a sono in sonum, et dicitur tonus, secundum Johannem, a tonando. Est autem tonare potenter sonare; tonus enim fortem habet sonum respectu semitonii.

Semiditonus, secundum Guidonem, est cum inter aliquas duas voces est unus tonus et unum semitonium; sicut inter re et la, mi et sol; et dicitur semiditonus a semis, quod est imperfectum, et tonus, quasi tonus perfectus et imperfectus; constat enim ex tono et semitonio.

Ditonus, secundum Guidonem, est cum inter duas voces duo sunt toni, ut inter ut et mi, fa et la; et dicitur ditonus a dia, quod est duo, et tonus, quasi duo toni; inde ditonus, quasi proportio constans ex duobus tonis.

[28] Diatessaron est cum inter aliquam vocem et quartam a se, duo sunt toni et unum semitonium, ut inter ut et fa, re et sol, mi et la. Et dicitur diatessaron a dia, quod est de et tessaron, quod est quatuor, inde diatessaron; quasi cantus de quatuor notis; scilicet ab una enim voce incipiens ad quartam transilit, constans tono et semiditono.

Diapente est cum inter aliquam vocem et quintam a se, tres sunt toni et unum semitonium, ut ab ut in sol et a re in la. Et dicitur diapente a dia, quod est de et pente, quod est quinque. Inde diapente quasi cantus de quinque notis; scilicet ab una enim voce incipiens ad quintam transit, constans ex ditono et semiditono.

Semitonium cum diapente est cum inter aliquam vocem et sextam a se est unum diapente et unum semitonium, ut inter A et F; B et G; D et b rotundam acutum; E gravi et c acuto; a acuto et f similiter acuto; [sqb] quadro similiter acuto et g superacuto; e acuto et cc excellenti.

Tonus cum diapente est cum inter aliquam vocem et sextam a se, est unum diapente et unus tonus, ut inter ut et la. Hi autem duo modi, scilicet semitonium cum diapente et tonus cum diapente, intervalla a Johanne vocantur, eo, ut videtur, quod dictorum modorum extreme voces plus prefatis modis a se invicem et a consonantia recedunt et distant. Intervallum autem, secundum Boetium, est soni acuti gravisque distantia.

Diapason autem est cum inter aliquam vocem et octavam a se, sunt quinque toni et duo semitonia, ut a [Gamma] in G; ab A in a; et sic, usque ad finem successive numerando de simili in similem; ubi, si quis diligenter attendat, videbit quodlibet diapason alios modos comprehendere. Unde et diapason dicitur a dia, quod est de; et pan quod est totum. Inde diapason, quasi cantus de toto; ab una enim voce incipiens, transit ad octavam, constans ex diatessaron et diapente, concludens modos quos diximus.

Hi sunt igitur modi quibus omnis cantilena contexitur. Nam omnis cantus aut variat sonum aut non. Si non, facit quidem unisonum, sed cantus non est, eo quod cantus est inflexio vocis. Oportet igitur quod inflectat vocem, et sonum variet ex quo cantus est. Et tunc necessario aut de secunda in secundam, et hoc dupliciter: vel faciendo semitonium majus, vel minus qui est modus primus, vel tonum qui est modus secundus. Aut de tertia in tertiam; et hoc iterum dupliciter: vel faciendo semiditonum qui est modus tertius, vel etiam ditonum modum quartum. Aut de quarta in quartam; et hoc dupliciter: aut faciendo diatessaron vel tritonum constituendo. Aut de quinta in quintam; et hoc dupliciter: aut faciendo diapente constans ex tribus tonis et semitonio, quod est modus sextus; vel aliud quod minus diapente dicitur, eo quod majoris etymologia sibi competat ex duobus tonis, necnon et duobus semitoniis constans. Aut de sexta in sextam, et hoc iterum dupliciter: vel faciendo semitonium cum diapente, qui est modus septimus, vel tonum cum diapente, qui est modus octavus. Aut de septima in septimam, et hoc dupliciter: aut faciendo duplex diatessaron vel diatessaron cum tritono, qui quidem tritonus, eo quod minoris etymologia sibi competat a quibusdam majus diatessaron vocatur. Aut de octava in octavam, et hoc iterum dupliciter: aut faciendo diapason constans ex diatessaron et ex diapente majori, qui est modus nonus; aut quod dicitur minus diapason, eo quod majoris etymologia sibi competat, constans ex diatessaron minore et ex diapente minore similiter. Ex his autem qui dicti sunt modis, quidam, eo quod inusitati sunt, irregulares a quibusdam dicuntur his verbis. Quatuor sunt, inquiunt, irregulares saltus infra diapason, videlicet de octava in octavam [29] cum minus diapason; de septima in septimam cum duplex diatessaron; de quinta in quintam cum minus diapente; et de quarta in quartam cum tritonus reperitur.

Alii vero hoc negantes, his alios superaddunt modos, ut infra patebit. Finaliter autem est notandum quod modi dicti aliquotiens inveniuntur in manu, unisonus videlicet XX et duabus vicibus; semitonium VII vicibus; tonus XVI vicibus; semiditonus XII; ditonus IX; diatessaron minus XVII; majus sive tritonus quatuor vicibus; diapente majus XIII vicibus; semitonium cum diapente VI; tonus cum diapente IX; duplex diatessaron XIIII et diapason XIIII, similiter vicibus reperiuntur in manu.

Que quidem studiosis invenienda relinquimus in speciali. In figura tamen que sequitur cuncta connectimus. Dicti etiam modi usualiter sciri possunt, scito cantu, qui ipsum antecedit figuram.

[CSI:29: text: Ter terni sunt modi quibus omnis cantilena contexitur, scilicet: unisonus, semitonium, tonus, semiditonus, Ditonus, Diatessaron, Dipaente, Semitonium cum diapente. Tonus cum diapente. Ad hec: sonus diapason si quem delectat, ejus hunc modum esse agnoscat; cum que tam paucis clausulis tota armonia formetur. Utilissimum est eas alte memorie commendare. G, F, D, a, c, d, E. e, [sqb], f] [IERTRA1 02GF]

CAPUT XV.

De ipsis modorum consonantiis, sive consonis modulationibus.

Ex his autem, qui dicti sunt, modis, cum quidem sint consonantie, ideo specialiter de ipsis consonantiis dicere intendentes, primo more Pythagorico sensu ipsas offerimus, post rationi judicium relinquentes. Quid autem sit consonantia et quid dissonantia Boetius primo libro ostendit dicens: "Consonantia, inquit, est acuti soni gravisque mixtura suaviter uniformiterque auribus accidens. Dissonantia vero est duorum sonorum sibimet permixtorom ad aurem veniens aspera atque injucunda percussio." Et subdit: "nam dum sibimet misceri nolunt, et quodammodo integer uterque nititur pervenire, cumque alter alteri officit, ad sensum insuaviter uterque transmittitur."

"Plato autem, ut in eodem refert Boetius, hoc modo fieri in aure consonantiam dicit: "necesse est, inquit, velociorem quidem esse acutiorem sonum. Hic igitur cum gravem precesserit, in aurem celer ingreditur, ostensaque extrema ejusdem corporis parte, quasi pulsus iterato motu revertitur. Sed jam segnior, nec ita celeri, ut primo impetu emissus cucurrit, quocirca gravior quoque. Cum jam igitur gravior rediens, nunc primum gravi sono venienti similis occurrit, et miscetur ei, unamque ut ait, consonantiam miscet."

"Sed id Nicomachus non arbitratur veraciter dictum. Neque enim similium esse consonantiam, sed dissimilium potius in unam eamdemque concordiam venientium. Gravius, vero gravi si misceatur, nullam facere consonantiam, quoniam [30] hanc canendi concordiam similitudo non efficit, sed dissimilitudo."

"Que cum distet in singulis vocibus, copulatur in mixtis; sed hinc potius Nicomachus fieri consonantiam putat. Non, inquit, unus tantum pulsus est, qui simplicem modum vocis emittat, sed semel percussus nervus sepius aerem pellens, multas efficit voces. Sed quia ea velocitas est percussionis, ut sonus sonum quodammodo comprehendat, distantia non sentitur, et quasi una vox auribus venit. Si igitur percussiones gravium sonorum commensurabiles sint percussionibus acutorum sonorum, ut in his proportionibus de quibus dicitur, non est dubium quin ipsa commensuratio sibimet misceatur, unam que vocum efficiat consonantiam."

"Sed inter omnes dicendas consonantias, habendum judicium est, ut in aure, ita quoque in ratione, quam harum meliorem oporteat arbitrari. Eodem namque modo auris afficitur sonis, vel oculus aspectu, quo afficit animi judicium numeris vel continua quantitate. Proportio enim numero vel linea nihil est facilius quam ejus duplum oculo vel animo contueri . Item post dupli judicium sequetur dimidii, post dimidium tripli, post triplum partis tertie. Ideoque quoniam facilior est dupli descriptio, optimam Nicomachus putat diapason consonantiam, post hanc diapente, que medium tenet; hinc diapente ac diapason, que triplum. Ceteraque secundum eumdem modum formamque dijudicat."

Modorum igitur consonantium quidam sunt per se consonantes, que etiam dicuntur primarie consonantie. Quidam vero per accidens que et consonantie dicuntur secundarie. Hos autem per se dicemus consonantes. Qui quidem absque adjunctione alterius modi consonantis consonant. Cum adjunctione autem plus consonant, ut est unisonus adjuncta quacumque consonantia, scilicet aut duplici diapason, diapason cum diapente, diapason simpliciter diapente, aut diatesseron vel etiam duplex diapason cum diapente.

Per accidens vero consonantes dicimus qui absque adjunctione alterius modi sive consonantis, sive etiam non consonantis minus bene consonant; cum adjunctione autem multum bene consonant, ut est semiditonus adjuncto ditono et e converso, tritonus semitonio adjuncto, et minus diapente cum apotome et non e converso. Et hi omnes, adjuncta quacumque consonantia predicta. Tonus autem et semitonium, nec per se, nec per accidens, possunt esse consonantie, nisi valde improprie esse dicantur in quantum videlicet tonus et semitonium sunt partes integrales alicujus consonantie; puta semiditoni, ut, sicut dicimus, domum esse fundamentum, parietem esse tectum; sic etiam abusive dicamus consonantiam, scilicet semiditonum, esse semitonium et tonum. Abusive dico, eo quod usus illicitus abusus vel abusio nominari debet.

Similiter nec tonus cum diapente est consonantia. Semitonium autem cum diapente est per accidens, retorto scilicet immediate semitonio, ut in diapente transeat; vel tono intenso, ut in duplex diatessaron, quod similiter per accidens est consonantia; vel etiam ditono, ut transeat in diapason.

Probat autem Ptolemeus ex diapason et diatesseron quamdam fieri consonantiam hoc modo. Quoniam diapason consonantia talem vocis efficiet conjunctionem, ut unus atque idem nervus esse videatur, idque Pythagorici quoque consentiunt. Quocirca si qua ei consonantia fuerit addita, integra inviolataque servatur.

Ita enim consonantie diapason additur diatesseron tanquam uni nervo. Et eodem modo probatur semitonium cum diapente, ac diapason minus, diapente ac diapason, tritonum ac diapason, semiditonum cum diapason, et ditonum cum diapason, esse per accidens consonantias, eo quod secundum [31] diffinitionem accidentis, quod adest et abest preter subjecti corruptionem; adjuncte consonantie adesse et abesse possunt, preter consonantie cui adjunguntur, vel a qua removentur destructione.

Hoc est igitur quod Ptolemeus voces distinguit dicens: Voces, inquit, inter se vel unisone sunt, vel non-unisone. Non-unisonarum vero vocum alie quidem sunt equisone, alie consone, alie emineles, alie dissone, alie ekimeles.

Et unisone quidem sunt que unum atque eumdem sigillatim pulse reddunt sonum, ut unisonus.

Equisone vero, que simul pulse, unum ex duobus atque simplicem quodam modo efficiunt sonum, ut est diapason, eaque duplicata que est bis diapason.

Consone autem sunt que compositum permixtumque, suavemque tamen efficiunt sonum ut diapente ac diatessaron.

Emineles autem sunt, quecumque quidem non sunt consone, possunt aptari tamen ad melos, ut he que consonantias jungunt.

Dissone vero sunt que non permiscent sonos, atque insuaviter feriunt sensum.

Ekimeles vero que non reperiuntur in consonantiarum conjunctione, de quibus paulo posterius in tetracordarum divisione dicemus. Quoniam igitur univocis comparationibus quidem proxime sunt equivoce, necesse est ut equis numeris ea numerorum inequalitas adjungatur, que proxima est equis. Est autem mixta equalitatem numerorum ea que est dupla. Nam et prima multiplicitatis species est; et major numerus cum minorem supervenit. Equo eum ipsi minori transcendit, ut duo, unum uno transgrediuntur, qui eidem unitati equalis est.

Jure igitur duplex proportio equisonis aptatur, id est diapason; bis diapason vero bis duplici, id est quadruplici. Que autem proportiones dividunt duplicem proportionem prime ac maxime; his aptande sunt consonantiis, que dividunt diapason consonantiam. Unde fit, ut diapente quidem sesquialtere, diatessaron vero sesquitertie proportioni copulentur.

Juncte vero consone cum equisouis alias vel altas efficiunt consonantias, ut diapente ac diapason in triplo diatesseron ac diapason in ea proporcione que est VIII ad III.

Ekimeles autem sunt que diapente ac diatesseron dividunt, ut tonus cetereque proportiones simplices scilicet earum partes. Hoc Ptolemeus. Simplices consonantiarum sive aliarum quarumcumque proportionum partes in diatonico genere sunt. Proportiones quedam minime in quas majores et maxime resolvuntur et ex quarum aggregatione consurgunt species earumdem, sicut et ex collectione unitatum consurgunt species numerorum.

Tales autem proportiones in diatonico genere sunt due, scilicet: tonus et minus semitonium; in cromatico tres, scilicet; triemitonium apotome et minus semitonium; in enarmonico vero sunt due tantum, scilicet: ditonus et diesis, sive dimidium semitonii minoris, que quidem, licet largo modo a Ptolomeo simplices esse dicantur, tamen esse compositas, a Boetio et a Philolao probatur hoc modo.

"Nunquam enim, secundum Boetium, in primo musice, tonus in gemina equa dividitur. Atque, ut id facillime comprobetur, sit sesquioctava proportio VIII et IX . Horum naturaliter nullus medius numerus incidet. Hos igitur si binario multiplicemus, fiunt, que bis octo XVI, bis novem XVIII. Inter XVI autem et XVIII, unus numerus naturaliter incidit, qui est scilicet XVII. Quid disponatur in ordinem XVI, XVII, XVIII. Igitur XVI ad XVIII collati, sesquioctavam retinent proportionem, atque idcirco tonum. Sed hanc proportionem XVII numerus medius non in equalia partitur. Comparatus enim ad XVI, habet in se [32] totum XVI, et ejus sextam decimam partem, scilicet unitatem. Si vero ad eum, id est ad XVII, tertius, id est XVIII, numerus comparetur, habet eum totum et ejus septimam decimam partem."

"Non igitur iisdem partibus et minorem superat, et a majore superatur. Est enim minor pars, que dicitur lima, septima decima; major que dicitur apotome, sexta decima. Sed utraque semitonia nuncupantur; non quod semitonia ex equo sint media, sed quod semum dici solet, quod integritatem usque non pervenit. Sed inter hec unum majus semitonium nuncupatur, et aliud minus." Hoc Boetius.

"Tonus igitur ex semitoniis est compositus; similiter et ipsa semitonia Philolaus Pythagoricus probat esse composita, alio modo tonum dividere tentans; statuens scilicet primordium toni, id est primum tonum, ab eo numero, qui primus cubum a primo impari, quod maxime apud Pythagoricos honorabile fuit, efficit. Nam cum ternarius numerus primus sit impar, tres tertio IX, atque idem ter si duxeris, XXVII necessario exurgent, qui ad XXIV numerum tono distat, eamdem ternarii differentiam servans. Ternarius enim XXIIII summe octava pars est. Que eisdem addita, primum a ternario cubum XX ac VII reddit. Ex hoc igitur scilicet ex XXVII, Philolaus duas efficit partes; unam que dimidio sit major, eamque apotomen vocat; reliquam que dimidio fit minor, eamque diesim dicit, quam posteri semitonum minus recte appellaverunt

"Harum vero differentiam comma, ac primum diesin in XIII unitatibus constare arbitratur, eo quod inter CCLVI et CCXLIII pervisa sit differentia. Quoque idem numerus, idest XIII ex novenario ternario atque unitate consistat, que unitas puncti obtineat locum. Ternarius vero prime imparis linee, id est imparium numerorum. Novenarius autem primi imparis quadrati. Ex his igitur causis, cum XIII diesin ponat, quod semitonium nuncupatur, reliquam XXVII numeri partem que XIIII unitatibus continetur, apotome esse constituit. Sed quoniam inter XIII ac XIIII unitas differentiam facit, unitatem loco commatis censet esse ponendam; totum vero tonum in XXVII unitatibus locat, eo quod inter CCXVI et CCXLIII, qui inter se distant tono, XXVII sit differentia."

"Ex quibus facile apparet tonum duobus semitoniis minoribus et commate constare. Nam si totus tonus ex apotome constat ac semitonio, semitonium vero ab apotome differt commate, nihil aliud est apotome, nisi semitonium minus et comma. Si igitur duo semitonia minora de tono quis auferat, comma sit reliquum."

"Idem vero hoc quoque probabitur modo. Nam si diapason V tonis ac duobus minoribus semitoniis continetur, superantque VI toni in diapanon consonantiam uno commate, non est dubium quin tonis quinis ab utroque spatio sublatis, fiant reliqua ex diapason quidem duo semitonia minora, de VI vero tonis tonus. Atque hic idem tonus hec duo semitonia minora que relinquuntur, vincit commate. Quod si eisdem duobus semitoniis comma reponatur, equabunt tonum. Constat igitur unum tonum duobus semitoniis minoribus et commate, quod in VII C.LIII, primis unitatibus invenitur equari."

"Philolaus igitur hec semitonia atque his minora spatia talibus diffinitionibus includit. Diesis, inquit, spacium est quo major est sesquialtera proportio duobus tonis. Comma vero est spatium quo major est proportio sesquioctava duabus diesibus, id est duobus semitoniis minoribus. Schisma est dimidium commatis; diaschisma vero dimidium dieseos, id est semitonii minoris."

"Ex quibus illud colligitur, quoniam tonus quidem [33] dividitur principaliter in semitonium minus atque apotomen. Dividitur etiam in duo semitonia et comma, quo fit ut dividatur in quatuor diaschismata et comma. Integrum vero dimidium toni, quod est semitonium, constat ex duobus diachismatibus, quod est unum semitonium minus, et schismate, quod est dimidium commatis. Quoniam enim totus tonus ex duobus semitoniis minoribus et commate conjunctus est. Si quis id integre dividere velit, faciet unum commatis quoque dimidium. Sed unum semitonium minus dividitur in duo diachismata, dimidium vero commatis unum schisma est."

"Recte igitur dictum est, integre dimidium tonum in duo diaschismata atque unum schisma posse partiri, quo fit ut integrum semitonium minore semitonio uno schismate differre videatur; apotome autem a minore semitonio duobus schismatibus differt. Differt enim commate; sed duo schismata unum comma perficiunt."

Ex quibus liquet omnibus solum schisma et diaschisma partes esse simplices proportionum; ceteras autem fore compositas. Sed, ut libro tertio musice ait Boetius, oportet has omnes consonantias rite esse animo atque auribus notas: frustra enim ratione et scientia colliguntur, nisi fuerint usu atque exercitatione notissime, etc. Quod igitur duplex diapason cum diatesseron et duplex diapason cum diapente sint consonantie, patet sensui ex notis que sequuntur:

g.         cc         dd
[Gamma].   [Gamma].   [Gamma].

Item quod diapason cum diatesserom et cum diapente sint consonantie, voces que sequuntur ostendunt:

G.         c.         d.
[Gamma].   [Gamma].   [Gamma].

Item quod diapente majus et diatesseron minus consonent, his notis ostenditur:

C.         G.
[Gamma].   C.

Item quod semitonium cum diapente sit consonantia, hic sensus attendat:

c.     c.
F.     E.

Item quod tritonus tesseron sive majus diatesseron sit consonantia, probatur his notis:

c.    [sqb]
C.    F.

Item quod minus diapente sit consonantia, sic ostenditur:

F.   F.
C.   B.

Quod etiam ratione modo declaratur hoc. Dictum est enim diatesseron, quod constat ex duobus tonis et uno semitonio, et etiam diapente, quod constat ex tribus tonis et uno semitonio, esse consonantias. Inter has autem tritonus et minus diapente medie incidunt, cum tritonus superat diatesseron apotome, diesique superatur a diapente; et similiter minus diapente diesi superat diatesseron, et apotome superatur a diapente; medium autem sapit naturam extremorum. Sic igitur et tritonus cum minori diapente; nam sapiunt naturam extremarum jam dictarum consonantiarum inter quas medie incidunt, scilicet cum magis et minus. Nam sicut inter duo extrema, puta inter album et nigrum, medii colores quidam plus albi quam nigri, non tamen omnino albi vel nigri existunt, eo quod plus participant cum albedine quam cum nigredine, et e converso, quidam plus participantes cum nigredine, magis sunt nigri quam albi; sic et tritonus plus accedens ad diapente, que melior est consonantia, meliorem consonantiam facit quam diapente minus, quod ad minorem [34] consonantiam accedit, scilicet ad diatesseron; quod quidem de ceteris consonantiis potest intelligi.

Quare et ipse Ptolemeus Pythagoricos reprehendit, quod in reliquis superparticularibus, de quibus infra dicetur, cum ejusdem sint generis, nullas omnino applicent consonantias.

Item quod ditonus simul et semiditonus sint consonantie sensui patet, ex notis que sequuntur:

F.  G.  a.  |  E.  F.  G.  |  F.  E.  D.  |  E.  D.  C.
F.  E.  D.  |  E.  D.  C.  |  F.  G.  a.  |  E.  F.  G.

Item quod ditonus sit consonantia, note que sequuntur, ostendunt:

G.  a.  [sqb]  c.
G.  F.  G.     F.

Item quod duplex diatessaron sit consonantia his notis ostenditur:

F.        G.
[Gamma].  [Gamma].

Item quod minus diatessaron cum minori diapente sit consonantia, probatur his notis:

b.   [sqb]
B.   B.

Finaliter autem quod quelibet per accidens consonantia cum simplici sive etiam duplici diapason sint consonantie, ex predicta Ptolemei demonstratione colligitur.

Notandum est igitur, quod primarie consonantie sunt septem, scilicet, unisonus, diatesseron, diapente, diapason, diapason cum diapente, duplex diapason, et duplex diapason cum diapente. Secundarie vero consonantie sunt XXX: scilicet semiditonus, ditonus, minus diapente, tritonus, semitonium cum diapente, duplex diatessaron, minus diapente cum diatessaron, diapason cum diatessaron, diapason cum duplici diatessaron, et duplex diapason cum diatessaron.

Item secundum quod potest colligi ex predicta demonstratione Ptolomei, semiditonus cum diapason, ditonus cum diapason, minus diapente cum diapason, tritonus cum diapason, semitonium cum diapente et cum diapason, duplex diatessaron cum diapason, minus diapente cum diatessaron et cum diapason, diapason cum duplici diatessaron et cum diapason, et duplex diapason cum diatessaron et cum diapason.

Item secundum eamdem demonstrationem, semiditonus cum duplici diapason, ditonus cum duplici diapason, minus diapente cum duplici diapason, tritonus cum duplici diapason, semitonium cum diapente, cum duplici diapason, duplex diatessaron cum duplici diapason, minus diapente, et diatessaron, sed cum duplici diapason; diapason cum diatessaron, sed cum duplici diapason, diapason cum duplici diatessaron et cum duplici diapason et duplex diapason cum diatessaron, sed cum duplici diapason. Sic igitur in universo consonantie sunt XXXVII, eo quod primarie consonantie sint VII, secundarie vero XXX.

Ad hec autem aure probanda, ipse modus audiendi necessarius est omnino; de quo Boetius in primo musice ait: "Tale quiddam fieri consuevit in vocibus, quale cum paludibus vel quietis aquis jactum eminus mergitur saxum. Prius enim in parvissimum orbem undam colligit, deinde majoribus orbibus undarum globos spargit, atque eo usque dum fatigatus motus ab eliciendis fluctibus aque conquiescat. Semperque posterior et major undula, pulsu debiliore diffunditur. Quod si quid sit, quod crescentes undas possit offendere statim motus ille revertitur, et quasi ad ceterum, unde profectus fuerat, eisdem undulis rotundatur. Ita igitur cum aer pulsus fecerit sonum, pellit alium proximum, et quodammodo rotundum fluctum aeris ciet, id est, commovet. Itaque diffunditur et omnium circumstantium simul ferit auditum, atque illi est obscurior vox, qui longius steterit, quoniam ad eum debilior pulsi aeris unda pervenit."

[35] Item idem in eodem: "Consonantia, inquit, que omnem musice modulationem vel delectationem regit, preter sonum fieri non potest. Sonus vero preter quemdam pulsum percussionem quoque non redditur. Pulsus vero atque percussio nullo modo esse potest, nisi precesserit motus. Si enim cuncta sint immobilia, non poterit alterum alteri concurrere, ut alterum impellatur ab altero. Sed cunctis stantibus motuque carentibus, nullam fieri necesse est sonum."

"Idcirco musicus sonus sic definitur: sonus est percussio aeris indissoluta, id est audibilis usque ad auditum. Motuum vero alii sunt velociores, alii tardiores, eorumdemque motuum alii sunt rariores, alii spissiores. Nam si quis in continuum motum respiciat, ibi aut velocitatem aut tarditatem necesse est ut comprehendat. Si quis vero moveat manum, aut frequenti eam motu movebit aut raro. Et si tardus quidem fuerit ac rarior motus, graves necesse est sonos effici ipsa tarditate et raritate pellendi. Sin vero sint motus celeres ac spissi, acutos necesse est reddi sonos. Idcirco enim idem nervus si intendatur amplius, acutum sonat; si remittatur, grave. Quando enim tensior est, velociorem pulsum reddit; celeriusque revertitur, et frequentius ac spissius aerem ferit. Qui vero laxior est, solutos ac tardos pulsus effert, rarosque ipsa imbecillitate feriendi, nec diutius vel sepius tremit. Neque enim quotiens corda pellitur, unus edi putandus est tantum sonus, aut unam in his esse percussionem, sed totiens aer feriter, quotiens eum corda tremebunda percusserit. Sed quoniam juncte sunt velocitates sonorum, nulla intercapedo sentitur auribus. Et unus sonus sensum pellit vel gravis vel acutus, quamvis uterque ex pluribus constet, gravis quidem ex tardioribus et rariobus, acutus vero ex celerioribus ac spissis; velut si conum, quem turbonem vocant, quis diligenter exornet, eique unam virgulam coloris rubri vel alterius ducat, et eum, qua potest celeritate, convertat. Tunc totus conus rubro colore videtur infectus, non quod totus ita sit, sed quod partes puras rubre virge velocitas comprendat, et apparere non sinat."

"Igitur quoniam acute voces spissioribus et velocioribus motibus incitantur, graves vero tardioribus et raris, liquet additione quadam motuum ex gravitate acumen intendi, detractione vero motuum laxari ex acumine gravitatem. Ex pluribus enim acumen, quam gravitas constat. In quibus autem pluralitas differentiam facit, eam necesse est in quadam numerositate consistere. Omnis vero paucitas ad pluralitatem ita se habet, ut numerus ad numerum comparetur. Eorum vero, que secundum numerum conferuntur, partim sibi sunt equalia, partim inequalia. Quocirca soni quoque musici partim equales, partim vero sunt inequalitate distantes. Sed in his vocibus que nulla inequalitate discordant, nulla omnino consonantia est; etenim consonantia est dissimilium inter se vocum in unum redacta concordia."

Que vero sunt inequalia, quinque inter se modis inequalitatis momenta custodiunt, ut subsequenter ostenditur.

CAPUT XVI.

De quibusdam arithmeticis necessariis subtilitatibus.

Ad hoc autem notandum, quod dicit Boetius in principio secundi libri musice: " primus omnium Pythagoras sapientie studium philosophiam nuncupavit, quam scilicet ejus rei notitiam ac disciplinam ponebat, que proprie vereque esse diceretur. Esse autem illa putabat que nec intensione crescerent nec diminutione decrescerent, nec ullis accidentibus mutarentur. Hec autem esse formas, magnitudines, [36] qualitates, relationes, habitudines, et cetera que, per se speculata, immutabilia sunt, juncta vero corporibus, permutantur, et multimodis variationibus mutabilis rei cognatione vertuntur."

"Omnis vero quantitas, secundum Pythagoram, vel continua vel discreta est. Sed que continua est mabnitudo appellatur; que discreta est multitudo. Quorum hec est diversa et contraria pene proprietas. Multitudo enim, a finita inchoans quantitate, crescens in infinita progreditur, ut nullus crescendi finis occurrat. Estque ad minimum terminata interminabilis ad majus, ejusque principium unitas est, qua minus nihil est."

"Crescit vero per numeros atque ad infinita protenditur, nec ullus numerus, quo minus crescat, terminum facit. Sed magnitudo finitam rursus sue mensure recipit quantitatem, sed in infinita decrescit. Nam si sit bipedalis linea, vel cujuslibet alterius modi, potest in duo equa dividi, ejusque medietas in medietatem secari, ejusque rursus medietas in aliam medietatem, ut nunquam ullus secandi magnitudinem terminus fiat. Ita magnitudo, quantum ad majorem modum terminata est, fit vero, cum decrescere ceperit infinita. At contra numerus, quantum ad minorem modum, finitus est, infinitus autem incipit esse cum crescit. Cum igitur hec ita sint infinita, tamen quasi de rebus infinitis reperit aliquid terminatum, de quo jure possit acumen proprie speculationis adhibere. Namque magnitudinis alia sunt immobilia, ut terra, ut quadratum, ut triangulum vel circulus; alia vero mobilia, ut sphera mundi, et quidquid in ea rata celeritate convertitur. Discrete non quantitatis alia sunt per se, ut tres vel quatuor, vel ceteri numeri; alia vero ad aliud, ut duplum, triplum, aliaque, que ex comparatione nascuntur. Sed immobilis magnitudinis geometria speculationem tenet. Mobilis vero scientiam astronomiam persequitur. Per se vero discrete quantitatis arithmetica auctor est. Ad aliquid vero relate musica probatur obtinere peritiam."

"Ac de ea quidem quantitate discreta, que per se est, que etiam musicis est plurimum necessaria, in arithmetica sufficienter prolixeque pertractatur."

Nunc de eadem sub quodam compendio dicere intendentibus, quid ipsa sit, unde dicatur, quid subjectum illius, quisque finis ipsius, principaliter est dicendum. Arithmetica est scientia speculativa humani affectus perfectiva. Dicitur autem arithmetica ab aris, quod est virtus, et rithmus, quod est numerus, quasi virtus numeralis; hujus autem subjectem est numerus simplex et in se acceptus et omnino abstractus. Finis autem est numeri sic considerati cognitio in se et in suis partibus ac proprietatibus.

Numerus vero est unitatum collectio, vel numerus est multitudo ex unitatibus aggregata. Numerorum autem alius par, alius impar; par quidem est qui potest dividi in duo aqualia; quorum primus est quaternarius. Dividitur enim in duos equales binarios; binarius autem primus numerus existens non componitur ex numeris. Idem autem par numerus quandoque dividitur in partes aquales et pares, ut octonarius in duos quaternarios; et quilibet numerus pariter par, quandoque in partes pares, sed inequales; et hoc tam quantum ad pariter pares et ad pariter impares, quam etiam ad impariter pares, ut octonarius in senarium et binarium, et duodenarius in octonarium et quaternarium; et senarius in quaternarium et binarium. Quandoque in partes equales, sed impares; et hoc solum, quantum ad pariter impares, ut senarius in duos ternarios; in [37] divisione enim tam pariter paris, quam pariter imparis, quam etiam impariter paris sine proportione sunt equales sive inequales; semper si unus est par et reliquus, et si alter est impar et reliquus, impar numerus est qui in proportiones equales et pares dividi non potest. Quandoque tamen in par et quandoque in impar dividitur, ut quinarius in binarium et ternarium, et e converso.

Omnis etiam impar numerus a pari superatur unitate, et parem superat in eadem. Species numeri paris sunt sex, scilicet: pariter par, pariter impar, impariter par, superfluus, et diminutus, et perfectus. Pariter par numerus est, qui recipit plures sectiones proportionales equales et pares, donec ad indivisibile veniat, scilicet ad unitatem, ut octonarius in duos quaternarios; quaternarius in duos binarios, binarius in duas unitates; unitas autem non recipit sectionem. Idcirco vero iste numerus species paris ponitur, quia omnes ejus partes, pariter pares inveniuntur. Istius etiam numeri generatio sic habet fieri; ab unitate enim quotienscunque numerus in duplici proportione sumitur, pariter pares procreantur, ut si fiat progressio ab unitate ad binarium et a binario ad quaternarium, a quaternario ad octonarium, et sic usque ad infinitum pariter pares procreantur.

Numerus autem pariter impar est, qui solum recipit duas sectiones equales; non autem pares, ut denarius, qui se habet ad quinarium in dupla proportione, si secetur per partes subduplas, erunt equales sed impares. Procreatio autem pariter imparis numeri est, ut posita unitate, numerus qui se habet in dupla proportione ad ipsam addatur et numero resultanti. Idem numerus et sic ex tali ductione pariter impar procreatur. In eo ergo quod ex duplici ductione subduplicis conficitur sapit naturam paris; in eo vero quod per subduplices secatur equales, sed impares, naturam imparitatis sortitur.

Impariter par vero numerus est qui quidem plures recipit sectiones, nunquam tamen pervenit ad unitatem; ut si accipiatur numerus qui nec sit pariter par, nec pariter impar, et subdupletur, et iterum, ille subduplex subdupletur, erit descensio usque ad primum numerum incompositum, qui omnino insecabilis est. Semper tamen secatur per subduplices equales et pares usque ad ultimam sectionem, que quidem habet subduplices equales, sed impares. Puta si duodenarius subdupletur, habet subduplices equales et pares duos senarios. Senarius autem subduplatus partes equales, sed impares, scilicet duos ternarios, qui cum sint primi et incompositi, insecabiles sunt. Quare in sectione pariter paris impossibile est ad unitatem devenire; in eo enim quod ex ductione aliquota primi numeri et incompositi consurgit, naturam sapit imparis; in eo vero quod plures recipit sectiones, paris naturam retinet, quod commune est et aliis speciebus recipere, scilicet sectiones. Differunt autem pariter par et pariter impar in hoc quod pariter par ex duplatione paris efficitur; pariter autem impar ex imparis duplatione.

Item in hoc quod pariter par ex duplatione numeri in dupla proportione se habentis procreatur; pariter vero impar ex ductione binarii super unitatem et ex duplatione numeri resultantis conficitur. Item quod pariter par semper habet subduplas partes et equales usque ad indivisibile, pariter autem impar solum habet equales, sed non pares.

Item differuut in hoc quod subduplices pariter paris sectibiles sunt impares et equales, pariter autem imparis, cum primi sint et incompositi vel secundi et compositi, sunt insecabiles. Commune est autem pariter pari et impariter pari, per plures secari subduplices, et pariter pari et impariter pari ex duplicibus paribus et equalibus procreari.

Et etiam commune est omnibus, scilicet pariter pari et impariter pari dividi in sectiones pares, sed non equales. Differunt autem pariter par et impariter [38] par in hoc, quod pariter par sectionem recipit usque ad minorem terminum, impariter autem par non secatur usque ad indivisibilitatem. In hoc etiam quod pariter par sectiones habeat equales et pares, impariter vero par ultimas habet sectiones equales, sed non pares; insuper quod pariter par procreatur ex additione numeri paris in dupla proportione se habentis. Impariter autem par per aliquotam ductionem primi numeri et incompositi vel secundi compositi per numerum pariter parem.

Item commune est pariter impari et impariter pari, in plures sectiones secari, et etiam commune est pariter impari et impari secari in proportiones pares, sed non equales. Differunt autem in hoc quod pariter impar sectibilis est per duos subduplices; impariter autem par ad minus per quatuor. Item in hoc quod pariter imparis solus major terminus sectionem recipit, impariter autem imparis terminus penultimus. Item quod pariter impar ex ductione pariter paris primi per numerum primum et incompositum, vel secundi et compositum conficitur; impariter autem per ex aliquota ductione primi et incompositi vel secundi et compositi constat.

Item in hoc quod pariter impar subduplas habet impares sed equales, impariter autem per saltem propinquiores habet tres et equales.

Numerus superfluus est ille cujus partes ad invicem aggregate majorem efficiunt quantitatem corporis principalis, ut est duodenarius. Est enim senarius subduplus, quaternarius subtriplus, ternarius subquadruplus binarius subsextuplus; unitas autem pars per duodecim. Si ergo fiat additio subtripli ad subduplum, denarius consurgit. Si denario fiat additio subquadrupli, resultat denarius et ternarius. Si ad denarium et ternarium fiat additio subsextupli, denarius et quinarius procreatur. Si autem ad denarium et quinarium fiat unitatis additio, tunc denarius et senarius procreatur; quod est quantitas major corporis principalis. Et hic est numerus supefluus. Omnis enim numerus qui suis partibus corporis principalis quantitatem excedit, supefluus appellatur. Numerus autem diminutus est ille cujus partes ad invicem aggregate minorem quantitatem efficiunt corporis principalis, ut est octonarius. Est enim quaternarius ejus subduplus, binarius ejus subquadruplus, unitas pars pro octavo. Si igitur subquadruplus addatur ad subduplum, senarius resultabit. Si senario unitas, efficitur septenarius, qui est minor quantitas corporis principalis.

Numerus perfectus est ille cujus partes ad invicem aggregate non majorem nec minorem, sed equalem quantitatem efficiunt corporis principalis, ut est senarius. Habent enim pro subduplo ternarium, pro subtriplo binarium, et pro sexta unitatem. Si igitur fiat additio subtripli ad subduplum, quaternarius efficitur; si autem quinario unitas addatur, tunc idem senarius, qui nec intenditur, nec remittitur, procreatur. Species imparis numeri sunt tres; scilicet primus et incompositus, secundus et compositus; tertius qui quidem per se est secundus et compositus; ad alium vero relatus est primus et incompositus. Primus numerus et incompositus est ille qui non procreatur ex alicujus numeri aliquota ductione, sed et nullam aliam partem habens, preter unitatem, ut est ternarius et quinarius, et quilibet alius numerus ex aliquota numeri ductione confectus. Non enim reperitur aliquis numerus aliquotiens ductus, qui ternarium conficiat vel quinarium, nisi sola unitas, que est principium omnium numerorum.

Dicitur autem primus et incompositus eo quod aliquo numero metiri non possit. Binarius enim ternarium non metitur, eo quod in unitate deficiat; qui si dupletur, semper superat unitate; numerus autem metiens non debet excedere nec deficere a metito. Quare si impariter par, et pariter impar pariter parem metirentur, necessario autem [39] pariter par esset impariter par aut pariter impar, et converso. Secundus autem numerus et compositus est, qui, licet semper sit impar, metitur tamen aliquota alicujus primi numeri et incompositi ductione, ut est novenarius. Conficitur enim ex aliquota alicujus numeri primi ductione, ut cum dicimus, ter tria que faciunt novem. Ratione igitur ductionis triplicate secundus dicitur; in eo autem quod triplicatus per triplicatem resolvitur, compositus appellatur. Nihil enim quod dissolvi potest est incompositum, sed omnium reum necessitate compositum .

Numerus vero qui per se est secundus et compositus, ad alium vero relatus primus et incompositus est ille qui ex aliquota sui ductione alium numerum secundum et compositum non conficit, ut novenarius. Qui cum sit secundus et compositus ad vicenarium et quinarium comparatus, cum ex ductione ipsius non conficiatur, primus et incompositus appellatur. Non enim est aliquis numerus qui utrumque constituat. Sic igitur quia ex ductione numeri constat, secundus et compositus est, in eo vero quod ex aliquota ductione alius non conficitur, primus et incompositus appellatur.

Numeri ad aliquid relati hec est prima divisio. Nam autem refertar ad aliquid secundum equalitatem aut secundum inequalitatem; secundum equalitem refertur numerus ad numerum, ut cum ad alium comparatus non in plus nec in minus transgreditur, et hoc tam quantum ad impares, quam etiam ad pares, ut ternarius ternario et binarius binario.

Item numerus relatus secundum equalitatem, aut est par aut impar; si est par, aut deficit aut excedit pari vel impari. Si ergo numerus par refertur, ad parem, sive ad deficientem sive ad excedentem sunt inequales. Nullus numerus enim deficiens vel excedens est equalis numero relato ad ipsum. Si autem est impar, aut refertur ad parem aut ad imparem, et aut ad efficientem aut ad superaddentem, et semper utrobique inequalitas reperitur. Numeri relati secundum inequalitatem majorem, secundum Boetium in secundo musice, "simplicia quidem genera sunt tria; unum quidem multiplex, aliud vero superparticulare, tertiam superpartiens. Cum vero multiplex superparticulari superpartientique miscetur, fiunt alie due ex his, id est multiplex superparticularis et multiplex superpartiens."

Unde secundam eumdem in primo musice: "que sunt inequalia, V inter se modis inequalitatis momenta custodiunt. Aut enim alterum ab altero multiplicitate transcenditur, aut singulis partibus aut pluribus aut multiplicitate et parte, aut multiplicitate et partibus. Et primum quidem inequalitatis genus multiplex appellatur. Est vero multiplex, ubi major numerus minorem numerum habet in se totum, vel bis, vel ter, vel quatuor, ac deinceps, nihilque deest, nihilque exuberat; appellatur autem vel duplum vel triplum, vel quadruplum, atque in hunc ordinem in infinita progreditur."

"Secundum vero inequalitatis genus est quod appellatur superparticulare, id est cum major numerus minorem numerum habet in se totum et unam ejus aliquam partem, eamque vel dimidiam, ut tres duorum, et vocatur sesquitertia proportio; vel tertiam, ut IIII ad III; et vocatur sesquitertia; atque ad hunc modum etiam in posterioribus numeris pars aliqua a majoribus super minores numeros continetur."

"Tertium vero genus inequalitatis est quotiens major numerus totum intra se minorem continet, et ejus aliquantas insuper partes; et si duas quidem supra continet, vocabitur superbipartiens proportio, ut sunt V ad III; sin vero tres super continet, vocabitur supertripartiens, ut sunt VII ad [40] IIII. Et in ceteris quidem eadem similitudo esse potest."

"Quartum vero est inequalitatis genus, quod ex multiplicici et superparticulari conjungitur, cum scilicet major numerus habet in se minorem numerum vel bis, vel ter, vel quotienslibet, atque ejus unam aliquam partem. Et si eum bis habet, et ejus dimidiam partem, vocabitur duplex sesquialter, ut sunt V ad duo; si vero bis minor continebitur, et ejus tertia pars, vocabitur duplex sesquitertius, ut sunt VII ad III. Sin vero tertio continebitur et ejus dimidia pars, vocabitur triplex sesquialter, ut sunt VII ad II. Atque ad eumdem, modum in ceteris et multiplicitatis et superparticularitatis vocabula variantur."

"Quintum genus est inequalitatis, quod appellatur multiplex superpartiens, quando major numerus minorem numerum habet in se totum, plus quam semel, et ejus plus quam unam aliquam partem. Et si bis major numerus majorem numerum continebit, duasque insuper partes, vocabitur duplex superbipartiens, ut sunt tres ad octo, et rursus triplex superbipartiens, ut sunt III ad XI."

"Horum igitur omnium, secundum Boetium in secundo musice, talis est regula, si unitatem cunctis in naturali numero voluerimus comparare, ratus multiplicis ordo texetur. Duo enim ad unum duplus est, tres ad eumdem triplus, quatuor quadruplus, et in ceteris eodem modo, ut subjecta descriptio docet:

I    I     I      I   I    I
II   III   IIII   V   VI   VII

"Sin vero superparticularem proportionem queras, naturalem sibi compara numerum, detracta scilicet unitate, ut tres duobus sesquialter est, quatuor tribus, qui sesquitertius est, quinarius quaternario sesquiquartus est; et in ceteris eodem modo. Quod monstrat subjecta descriptio:

II    III  IV  V    VI    VII    VIII
III   IV   V   VI   VII   VIII   IX

"Superpartientes autem tali modo reperies. Disponas naturalem numerum a ternario, scilicet inchoantem. Si unum igitur intermiseris, superbipartientem effici pernotabis. Quod si duos, tripartientem; quod si tres, superquadripartientem. Idem que in ceteris III, IIII, V, VI, VII, VIII, IX, X, IX. Ad hunc vero ordinem spectans et compositas ex multiplici et superparticulari vel multiplici et superpartienti proportiones, lector diligens speculabitur: sed de his tamen omnibus in arithmeticis expeditius dictum est."

"Sed in his illud est considerandum quod multiplex inequalitatis genus longe duobus reliquis videtur antiquius. Naturalis enim numeri dispositio in multiplicibus unitati que prima est comparatur. Superparticularis vero non unitatis comparatione perficit; sed ipsorum qui post unitatem sunt dispositi numerorum ut ternarii ad binarium, quaternarii ad binarium et in ceteris ad hunc modum II, III, III, IIII. Superpartientium vero longe retro formatio est, que non continuis numeris comparatur, sed intermissis, nec semper equali intermissione. Sed nunc quidem una, nunc vero duabus, nunc vero tribus, nunc IIII, atque ita in infinita concrescit. Amplius multiplicitas ab unitate incipit, superparticularitas a binario, superpartiens a ternario initium capit. Sed de his hactenus. Nunc quedam que quasi axiomata Greci vocant, [41] premittere oportebit, que tunc demum quo spectare videantur intelligemus, cum de uniuscujusque rei demonstratione tractabimus."

"Quadratus numerus est, qui gemina dimensione in equa concreverit, ut bis duo, ter III, quater IIII, quinquies V, sexies VI, quorum est ista descriptio:

II     III  IIII  V     VI      VII
IIII   IX   XVI   XXV   XXXVI   XLIX

"Superius igitur dispositus numerus naturalis, latus est quadratorum inferius descriptorum. Continuum enim naturaliter sunt quadrati, qui sese in subjecto ordine consequuntur, ut IIII, IX, XVI et ceteri. Si igitur continuum quadratum minorem a continuo quadrato majore sustulero, quod relinquitur tantum erit quantum est quod ab utrorumque quadratorum lateribus jungitur; ut si quatuor auferam novenario, V sunt reliqui, qui ex duobus et tribus, qui sunt utrorumque quadratorum latera, conjunguntur. Item novenarium si aufero de eo qui XVI numeris ascriptus est, VII sunt reliqui, qui scilicet ex ternario quaternarioque conjunctus est, qui predictorum quadratorum latera sunt. Idemque est in ceteris."

"Quod si vero sint continui quadrati, sed unus inter eos transmissus sit, fit ejus quod relinquitur medietas, id quod ex utriusque lateribus efficitur, ut si IIII de XVI quadrato auferam, XII relinquuntur, quorum XII medietas est is numerus qui ex utrorumque lateribus convenit. Sunt autem utrorumque latera, duo et IIII, que senarium juncta perficiunt; atque in ceteris idem modus est. Sin vero duo intermittantur, tertia pars erit ejus quod relinquitur, id quod utrorumque latera cunjungunt, ut si IIII de XXV auferam, intermissis duobus quadratis, reliqui XXI sunt. Quorum vero latera sunt II et V, qui efficiunt VII, qui sunt pars tertia numeri XXI."

"Atque hec est regula, ut si III intermissi sint, pars quarta sit, id quod ex utrorumque lateribus, efficitur ejus quod substracto minore a majore relinquitur. Sin IIII transmittantur, quinta, atque uno plus vocabulo numeri partes venient, quam sit intermissio numerorum."

"Est autem quemadmodum unitas pluralitatis numerique principium, ita equalitas proportionum. Tribus enim preceptis, ut in arithmetica dictum est, multiplices proportiones ex equalitate producimus, ex conversis vero multiplicibus superparticulares habitudines procreamus. Item ex conversis superparticularibus, superpartientes comparationes efficimus. Ponantur enim tres unitates, vel tres binarii, vel tres ternarii, vel quotlibet equi termini, sed tamen non nisi tres, et sit primus primo equus, in sequenti scilicet ordine constitutus. Secundus vero primo ac secundo, tertius primo, duobus secundis ac tertio, ita enim numero progresso, fit duplex multiplicitatis prima proportio, ut hec descriptio monet:

I   I    I
I   II   IIII

"Nam unitas in se secundo ordine constituta, equa est prime unitati in superiore loco disposite. Item binarius equus est prime unitati ac secunde. Item quaternarius equus est prime unitati, ac duabus unitatibus secundis atque unitati tertie, et est I, II, III, dupla proportio."

"Quod si de his idem feceris, tripla comparatio [42] procreabitur, ac de triplo quadrupla, de quadruplo quintupla, ac deinceps talis currit habitudinum procreatio. Rursus hisdem tribus preceptis, superparticulares fiunt, ut uno probamus exemplo. Convertamus nunc, et priorem majorem numerum disponamus IIII, II, I. Ponatur igitur primus primo equus, id est IIII; secundus primo scilicet et secundo, id est VI; tertius primo, duobus secundis, et tertio id est IX; quibus dispositis sesquialtera notatur esse proportio, ut hic:

IIII    II    I
IIII    VI    IX
IIII    VI    IX

"Atque id si de triplis fiat, sesquialtera; si de quadruplis, sesquiquarta, consimilibusque in alterutra parte vocabulis proportionalitas ex multiplicitate nascetur, ex superparticularitate vero conversa, ducitur superpartiens habitudo. Disponatur enim conversim sesquialtera comparatio IX, VI, IIII. Ponatur enim primus primo equus, id est XV, tertius primo duobus secundis, ac tertio, id est XXV; ac disponantur in ordinem hoc modo:

IX   VI   IIII
IX   XV   XXV

"Superpartiens igitur ex conversis sesquialteris habitudo producta est; quod si quis ad hanc speculationem diligens scrutator accedat, ex sesquitertiis conversis supertripartientem producit, ceterisque similibus vocabulis adequatis, cunctas ex superparticularitate superpartientis species procreari mirabitur. Ex non conversis autem superparticularibus, sed ita ut ex multiplici procreati sint, manentibus, necesse est multiplicis superparticulares creari. Ex manentibus vero superpartientibus, ita ut ex superparticularibus prodierunt, non alii nisi multiplices superpartientes procreabuntur. Ac de his quidem hactenus, diligentius enim in arithmeticis libris de hac comparatione est disputatum."

"Sepe autem accidit ut III, vel IIII, vel quotlibet equas superparticularium proportiones de musica disputator inquirat."

"Sed ne id casu atque inscitia facientes, error ullus difficultatis impediat, hac regula quotlibet equas proportiones ex multiplicitate ducemus. Unusquisque multiplex, ab unitate scilicet computatus, tot superparticulares habitudines precedit, sue scilicet in contrariam partem denominationis, quotus ipse ab unitate discesserit. Hoc modo ut duplex sesquialteras antecedat, triplex sesquitertias, quadruplex sesquiquartas, ac deinceps in hunc modum. Sit igitur duplorum terminorum subjecta descriptio:

[CSI:42; text: I, II, III, IIII, VI, IX] [IERTRA1 02GF]

Dupli cum sequialteris:

I   II     IIII    VIII     XVI
    III    VI      XII      XXIIII
           IX      XVIII    XXXVI
                   XXVII    LIIII
                            LXXXI

[43] "In superiore igitur descriptione binarius primus multiplex, unum ante se ternarium habet, qui possit facere sesquialteram proportionem. Ternarius vero non habet qui ei possit esse sesquialter, quoniam medietate deficit. Rursus quaternarius secundus est duplex, hic duos sesquialteros antecedit VI et IX, qui medietate caret. Atque idcirco nullus ei in habitudine sesquialtera comparatur, et in ceteris idem est. Tripli vero eodem modo sesquitertios creant; sit enim similis in triplo descriptio:

[CSI:43,1; text: I, III, IIII, IX, XII, XVI, XXVII, XXXVI, XLVIII, LXIIII, LXXVI, LXXXI, CVIII, CXLIIII, CXCII, CCLVI] [IERTRA1 02GF]

"In superiore igitur descriptione sesquitertias proportiones ita natas videmus, ut primus triplex unum sesquitertium antecedat, secundus duos, tertius tres, semperque pars tertia in ultimo numero naturali quodam fine claudatur. Quod si quadruplum statueris eodem modo, sesquiquartos invenies, si quintuplum sesquiquintos. Ac deinceps singuli denominatione multiplices tot superparticulares precedunt, quoto loco ipsi ab unitate discesserint. Unam vero tantum quadrupli dispositionem ponemus, ut in ea sicut in ceteris lector diligens acumen mentis exerceat:

[CSI:43,2; text: I, IIII, V, XVI, XX, XXV, LXIIII, LXXX, C, CXXV, CCLVI, CCCXX, CCCC, D, DCXXV] [IERTRA1 02GF]

"Hec igitur speculatio ad hanc utilitatem videtur inventa, ut quotiescumque IIII vel V, vel quotlibet sequialteros, vel sesquitertios, vel sesquioctavos, vel quotlibet alias proportiones quis investigare voluerit, nullo errore labatur, utque non ei numero primo tales proportiones querat aptare, qui quanti sint propositi, tot precedere, et post se habere non possit. Sed disponat potius multiplices, videatque quantos superparticulares requirit, eumque multiplicem respiciat, qui eo loco ab unitate recesserit, ut est in superioribus descriptionibus, si tres sesquialteros fortasse quesierit, non a quaternario ingrediatur investigationem."

"Hic enim, quoniam secundus est duplus, duos tantum precedit, tertiumque ei aptare non poterit, sed ut ab octonario medietates tentet apponere. Hic enim, quoniam tertius est, tres quas querit sesquialteras proportiones efficiet, et in ceteris eodem modo. Est etiam alia augendi proportiones via, hoc modo: radices proportionium dicuntur in eisdem comparationibus minime porportionis. Disponatur enim numerus naturalis, unitate multiplicatus:

II   III   VI   V   VI   VII   VIII   IX   X

"Minime igitur proportiones sunt ut in sesquialtera [44] III ad II, in sesquitertia IIII ad III, in sesquiquarta V ad IIII, et deinceps in infinitum, et quecunque se proportiones unitate precesserint. Propositum igtur sit duas sesquialteras proportiones continua comparatione producere. Sumo radicem sesquialteram, eamque dispono, II et III. Multiplico igitur binarium per binarium, fiunt IIII. Item ternarius per binarium crescat, erunt VI; rursus ternarium in semetipsum ducemus, fiunt IX, qui disponantur hoc modo:

II   III   IIII   VI    IX

"Invenimus duas propositas sesquialteras proportiones VI ad IIII, et IX ad VI. Sit nunc propositum III invenire. Dispono eosdem numeros quos supra in exquirendis duabus sesquialteris habitudinibus proposueram, ipsasque sesquialteras proportiones. Multiplico binario IIII, fiunt VIII. Rursus VI binario, fiunt XII. Rursus IX binario, fiunt XVIII. Rursus novenarium III, fiunt XXVII. Disponantur igitur hoc modo:

II     III
IIII   VI     IX
VIII   XII    XVIII   XXVIII

"Atque hic modus erit in ceteris, ut si sesquitertias proportiones velis extendere, ponas sesquitertiorum radices, que fiunt IIII atque III ad se invicem comparati."

III     IIII
IX      XII      XVI
XXVII   XXXVII   XLVIII   LXIIII

"Atque in hunc modum multiplices, quod si sesquiquartas sesquiquartorum dispones radices, eademque multiplicatione sesquiquartas quotlibet extendes. Quantum autem nobis he considerationes prosint, sequens ordo monstrabit."

De proportione numerorum qui ab aliis metiuntur.

"Si duos numeros eorum differentia integre fuerit permensa, in eadem proportione sunt numeri, quos sua differentia mensa est, in qua erunt proportione etiam hi numeri secundum quos eos sua mensa est differentia. Sint duo numeri L, LV; hi igitur ad se invicem sesquidecima habitudine comparantur, et est eorum differentia quinarius, qui scilicet est pars decima numeri L. Hic igtur metietur quidem L numerum decies, LV vero undecics; secundum X igtur atque XI numeros LV et L propria differentia, id est quinarius, permetietur, et sunt XI ad X sesquidecima comparatione compositi. In eadem igitur sunt proportione numeri, quos propria differentia integre permensa est, in qua sunt hi secundum quos eos prima differentia permensa est."

"Quod si qua differentia numerorum ita eos numeros, quorum est differentia, metiatur, ut eamdem mensuram numerorum pluralitas excedat, idemque utrisque sit excessus, et sit diminutior differentie mensura, quam est pluralitas numerorum, majorem obtinebunt proportionem ad se invicem numeri, si eis illud quod relinquitur post mensionem, retractum sit, quam fuerunt integri, cum eos propria differentia metiebatur. Sint enim numeri duo LIII et LVIII; hos igitur quinarius, qui est eorum differentia metiatur. Metitur igitur LIII numerum quinarius decies usque ad L, relinquit vero ternarium. Rursus LVIII numerum metitur idem undecies usque ad LV, atque in eo iterum ternarium derelinquit. Auferatur igitur ex utrisque [45] ternarius, fiunt L et LV, qui disponantur, hoc modo:"

LIII   LVIII   L   LV

"In hoc igitur manifestum est majoris esse proportionis inter L et LV, quam inter LIII et LVIII. In minoribus enim numeris major semper proportio reperitur, quod paulo posterius demonstrabitur. Sin vero illa differentie permensio numerum multitudinem supervadat, et equali eademque utrosque numeri pluralitate pretereat, minores erunt proportiones numeri superius mensi cum additione ejus summe, qua utrosque metiens differentia supervadit, quam fuerunt ante, cum eos propria differentia metiebatur."

"Sint enim numeri XLVIII et LIII, horum quinarius est differentia. Metiatur igitur XLVIII numerum, quinarius decies fiunt L. Supervadit igitur L numerus XLVIII binario, idem LIII quinarius undecies metiatur fiunt LV, qui eisdem rursus duobus LIII numerum supervadit; addatur utrisque binarius et disponantur hoc modo.

XLVIII   LIII   L   LV

"Minores igitur sunt proportiones L ad LV, comparati cum additione scilicet binarii quo dfferentia eos metiens supervadit, quam XLVIII et LIII numeri, quos eadem, que tamen in eis extendit, quinarii differentia mensa est. Majores vero et minores proportiones hoc modo intelliguntur."

"Dimidia pars major est quam tertia; tertia pars major est quam quarta; quarta pars major est quam quinta, ac deinceps eodem modo. Unde fit ut sesquialtera proportio major sit quam sesquitertia, et sesquitertia quam sesquiquarta. Atque idem in ceteris. Hinc evenit ut in numeris majoribus minor, et minoribus semper major videatur proportio superparticularium numerorum. Quod apparet in numero naturali. Disponatur enim numerus naturalis I, II, III, IIII, V. Binarius igitur ad unitatem duplus est; ternarius ab binarium sesquitertius. Quaternarius vero ad ternarium sesquialter est."

"Majores vero sunt numeri, ternarius et quaternarius; minores ternarius et binarius et unitas. In majoribus igitur minor et in minoribus major proportio invenitur. Hinc apparet quod, si aliquibus numeris proportionem continentibus superparticularem, equa pluralitas addatur, majorem esse proportionem ante eque pluralitatis augmentum, quam posteaquam eis pluralitas equa sit addita".

Que ex multiplicibus et superparticularibus multiplicitates fiant.

"Illud etiam non videtur pretereundum, quod paulo post demonstrabitur, si multiplex intervallum binario fuerit multiplicatum, id etiam quod ex illa multiplicatione nascetur multiplex esse. Quod si id, quod ex tali multiplicatione procreatum sit, non fuerit multiplex, tunc illud non esse multiplex constat, quod binario fuerit multiplicatum. Item si superparticularibus proportio binario multiplcetur, id quod fit neque superparticulare esse, neque multiplex. Quod si id, quod ex tali multiplicatione nascetur, neque multiplex est, neque superparticulare, tunc illud quod binario multiplicatum est, vel superparticularis vel alterius generis, non vero multiplicis."

Qui superparticulares quos multiplices efficiant.

"His illud est addendum, duos primos superparticulares primam efficere multiplicem proportionem, ut si sesquialiter et sesquitertius conjungantur, duplicem creent. Sint enim numeri II, III, IV, ternarius [46] ad binarium sesquialter, est IIII ad III sesquitertius quatuor ad II duplus. Rursus primus multiplex primo additus superparticulari, secundum multiplicem creat. Sint enim numeri II, IIII, VI; IIII namque ad duo duplex est, primus scilicet multiplex. At VI ad IIII sesquialter, qui est primus superparticularis; VI ad duo triplus, qui secundus est multiplex. Quod si triplum sesquitertio addas, quadruplus efficitur. Si quadruplum sesquiquarto, quintuplas. Atque in hunc modum junctis proportionibus multiplicium ac superparticularium in infinitum multiplices procreantur." Hec Boetius.

Notandum insupra, quod species numeri in figura geometrica considerate sunt tres. Prima est, que disponit numerum secundum longitudinem, que dicitur linealis; secunda, que disponit numerum secundum latitudinem, et dicitur solidum. Numerus linealis est qui tantum consideratur penes progressum, non habito respectu ad ductionem numeri in numerum; que progressio continua dicitur ut II, III, IIII, et sic ulterius procedendo. Numerus superficialis uno modo constat ex duobus numeris, quod patet ex sua generatione. Generatur enim ex reflexione, id est additione, unius numeri linealis super aliam. Unde si binarii fiat reflexio ad unitatem, proveniet ternarius, qui est primus numerus superficialis; sicut perficiens triangularis est prima superficium geometricarum.

Nam sicut ex ductu linee in latum sit superficies, sic ex reflexione numeri super numerum superficialis sit numerus. Sicut et alio modo numerus superficialis est tetragonus constans scilicet ex reflexione III ad I; fit tetragonus eo quod habet quatuor angulos equales. Unde et omnis numerus pariter par tetragonus est, et converso. Et iterum ex reflexione IIII super I fit pentagonus habens angulos impares, sed equales. Unde ad ipsum reducuntur omnes numeri pariter impares et omnes numeri secundi et compositi ex quinario generati. Item ex reflexione V super I, fit exagonus habens angulos equales et pares, ad quem reducuntur omnes numeri impariter pares. Non tamen est proportio anguli ad angulum, sicut numeri quadrati ad numerum quadratum. Sunt etiam et alie superficialis numeri species, que dicto modo reperiuntur, ultra scilicet procedendo. Semper tamen inveniuntur anguli proportionalis secundum numerum illius speciei. Numerus etiam immediate inferior reflectendus est super unitatem et omnes numeri ab illo generati, ad eumdem reduci possunt.

Numerus solidus est constans ex ductione numerus super duos numeros sibi equales, ut ter tria ter. Sicut enim se habet linea ad superficiem; ita superficies ad profunditatem. Cum enim dico I, I, I, quaternarium facio, quia, si unitas dupletur, facit binarium, cum autem tertio additur, id est designatur, quaternarius quia ter unum tantum valet quantum bis duo. Longitudini igitur impar semper attribuitur par superficiei; solididati vero vel pariter par, vel impariter par. Species numeri solidi sunt VI scilicet piramis, cubus, cuneus, parallellipipedalis, laterculus, aser et sphericus.

Piramis est numerus solidus a trigona, tetragona, pentagona, et sic de aliis, basi ad unius cacuminis verticem sublevatus, ita quod piramis surgens a trigona basi, nascitur ex complexione triangulorum, eo quod primus triangulus potante est unitas, actu autem ternarius. Quod si fiat copulatio ternarii et unitatis, fit piramis quaternaria. Si vero unitas, qui est primus potestate quadratus et quaternarius, qui est primus actu, copuletur, fit piramis surgens a basi pentagona. Et sic de aliis, secundum generationem specierum numeri solidi, ultra procedendo. Item cubus est numerus solidus proveniens ex ductu alicujus numeri [47] in se ipsum, ut bis duo bis; et habet equales dimensiones. Ex ductione enim cubi numeri pariter par generatur, ut, cum dico bis duo bis, vel tantummodo bis duo.

Item cubus est numerus solidus, qui omnibus tribus dimensionibus inequaliter distenditur. Ut bis, tria, quater, que sunt XXIIII, habent in latitudine duas unitates, in longitudine tres, in altitudine quatuor, et debet fieri dispositio per senarium secundum IIII ordines.

Numerus paralellipepedalis est numerus solidus, qui nec omnibus suis partibus est equalis, nec omnibus est inequalis, ita quod, si una dimensio convenit cum altera, differt a reliqua, ut bis duo ter, bis ter bis, bis ter ter. Principium autem hujus numeri est numerus altera parte longior, qui quidem provenit ex duobus numeris, uno se transgredientibus, ut ter, quater. Sin autem fiat replicatio istorum duorum laterum sic, videlicet ter quater ter, vel ter quater quater, resultat paralellipepeda, quia ex primo tricenarius et senarius ex secundo XL et VIII. Qui si per tria fuerit divisus, resultat numerus solidus facta proportionali divisione.

Numerus laterculus est solidus, qui fit ex equalibus equaliter in minus, ut ter tria bis. Fit autem istus numerus dispositus per duo latera in duobus ordinibus, continens in longitudine et in latitudine tria, in altitudine duo; unde cum ter tria bis faciant XVIII, fiet dispositio per IX et IX in duobus ordinibus. Item aser est numerus solidus qui ex equalibus equaliter fit in magis, ut quater IIII novies. In isto enim numero fit dispositio secundum tot ordines, quot sunt unitates in majori, ut ter tria quater, ex quorum aggregatione resultat tricenarius et senarius; fit igitur dispositio per ordines numeri quaternarii .

Numerus sphericus est cujus dimensiones secundum eumdem numerum terminantur, ut quinquies, quinque quinquies; sicut enim in circulari demonstratione finis unitur principio, sic et in numero spherico, dimensiones, secundum quem numerum incipiunt, terminantur.

Dicitur ergo sphericus, eo quod redit in idem. Item numerus proportionalis est numerus duplus vel subduplus ut quaternarius subduplus est ad VIII; duplus vero ad II. Unde proportio solum in duobus terminis consideratur. Numerus autem proportionalitatis est numerus subduplus et subquadruplus; ut II est subduplus ad IIII, subquadruplus vero ad VIII.

Numerus igitur proportionalitatis principaliter in tribus terminis consistit, et tunc appellatur proportionalitas conjuncta. Si vero III, IIII vel in pluribus disjuncta; quia igitur impossibile est proportionalitatem minus quam in tribus terminis contineri, ideo proportionalitas dicitur medietas.

De speciebus autem ipsius medietatis, sic in secundo libro musice dicit Boetius.

De arithmetica, geometrica, et armonica medietate.

"Proportio est duorum terminorum ad se quedam comparatio, terminos autem voco numerorum summas. Proportionalitas est equarum proportionum collectio. Proportionalitas vero in tribus terminis minimus constat. Constat autem plerumque in pluribus, ut in quatuor vel in sex terminis. Cum enim et primus et secundum terminum eamdem retinet proportionem quam secundus ad tertium, dicitur hic proportionalitas. Estque inter tres terminos medius, qui secundus est. Has igitur proportiones medii termini conjungentis, trina partitio est. Aut enim equa est differentia minoris termini ad medium, et medii ad maximum; sed non equa proportio, ut in his numeris I, II, III; inter I quippe ac duo et inter II et tria tantum unitas differentiam tenet. Non est autem equa proportio. Duo quippe ad I dupli sunt; III ad II sesquialter. Aut est equa [48] proportio in utrisque, non vero equalibus differentiis constituta, ut in his numeris I, II, III. Nam duo ad unum ita sunt dupli, quemadmodum quaternarius ad binarium . Sed inter quaternarium binariumque binarius, inter binariam atque unitatem differentiam facit."

"Est vero tertium medietatis genus, quod neque eisdem proportionibus, neque eisdem differentiis constat; sed quemadmodum se habet maximus terminus ad minimum, ita sese habet majorum terminorum differentia ad minorum differentiam terminorum, ut in his numeris III, IIII, VI. Nam VI ad III duplus est; inter VI vero et IIII binarius interest, inter quaternarium vero ac ternarium unitas. Sed binarius comparatus ad unitatem rursus duplus est; ergo ut est maximus terminus ad minimum, ita majorum differentia ad minorum differentiam terminorum."

"Vocatur igitur illa medietas, in qua eque sunt differentie, arithimetica; illa vero in qua eque proportiones, geometrica; illa autem, quam tertiam descripsimus, armonica. Quarum subjiciamus exempla:

Arithmetica   Geometrica    Armonica
I  II  III    I  II  IIII  III IIII VI

"Non vero ignoramus esse alias proportionum medietates, quas quidem in arithmetica diximus; sed ad presentem tractatum he sunt interim necessarie. Sed inter has tres medietates proportionalitas quidem proprie, et maxime geometrica nuncupatur, idcirco quoniam equis proportionibus tota contexitur. Sed tamen eodem utemur promiscue vocabulo, proportionalitates etiam ceteras nuncupantes."

De continuis medietatibus et disjunctis.

"Sed in his alia continua est proportionalitas alia disjuncta. Continua quidem, ut superius disponimus, in tribus constat terminis. Unus enim idemque numerus medius, nunc quidem majori supponitur, nunc vero minori preponitur. Quotiens vero sunt enim medii, tunc disjuncta proportionalitas nuncupatur, ut in geometrica hoc modo, I, II, III, VI. Nam ut est II ad I, ita VI ad III, et vocatur hec disjuncta proportionalitas. Unde intelligi potest, continuam quidem proportionalitatem et tribus in minimis terminis inveniri, disjunctam vero in IIII."

"Potest autem in IIII, et in pluribus continua esse proportionalitas, si quidem hoc modo sit I, II, IIII VIII, XVI. Sed hic non erunt due proportiones, sed plures, semperque una proportio minus quam sint termini constituti."

Cur ita appellate sint digeste superius medietates.

"Idcirco autem una earum medietas arithmetica nuncupatur, quod inter terminos, secundum numerum, equa est differentia. Geometrica vero secunda dicitur, quod similis est qualitas proportionis. Armonica autem vocatur, quoniam ita est coaptata, ut in differentiis et terminis equalitas proportionum inveniatur. Ac de his quidem diligentius arithmeticis disputatum est, nunc vero ut commemoremus, tantum ista percurrimus."

"Sed paulisper quemadmodum iste proportionalitates ab equalitate procreantur dicendum est. Predictum est enim quod in numero valet unitas, idem in proportionibus equalitatem valere, et [49] sicut numeri caput est unitas, ita proportionum equalitatem esse principium. Quocirca hoc modo arithmetica medietas ab equalitate nascetur: positis enim tribus equis terminis, hi duo modo sunt quibus hec proportionalitas producatur."

"Ponatur enim primus primo equus. Secundus primo ac secundo. Tertius primo secundo ac tertio, quod hoc monstratur exemplo: sint III unitates. Ponatur igitur primus primo equus, id est unitati. Secundus primo ac secundo, id est duo. Tertius primo secundo ac tertio, id est tres, eritque dispositio hec:

I    I    I
I    II   III

"Rursus sint tres binarii inequalitate constituti II, II, II; ponatur primus primo equus, id est duo. Secundus primo et secundo, id est IIII. Tertius primo secundo et tertio, id est VI, et erit hec dispositio."

II   II   II
II  IIII  VI

"Sed in his hoc speculandum est, quod si unitas fuerit ad equalitatis principium constituta, unitas etiam erit in differentiis numerorum, ipsi vero numeri inter se nullum intermittent. Sin vero binariuis teneat equalitatem, binarius est differentia, et unus inter terminos semper numerus intermittitur. Sin vero ternarius idem ternarius idem est differentia, inter terminos vero duo naturaliter constituti intermittentur, ac deinceps ad hunc modum:"

III   III   III
III   VI    IX

"Est etiam alia proportionalitatem arithmeticam procreandi via. Ponantur enim tres equi termini, constituaturque primus primo ac secundo equus, secundus primo ac duobus secundis, tertius primo et duobus secundis ac tertio, ut si sint tres unitates. Sit primus primo ac secundo equus, id est secundo. Secundus vero primo, ac duobus secundis, id est tertio. Tertius autem primo, duobus secundis et tertio, id est IIII, eritque dispositio hec:

I    I    I
II  III  IIII

"Hic igitur terminorum differentiam unitas tenet; inter binarium enim et unitatem, atque inter ternarium ac binarium, unitas est. Nullus vero naturalis numerus intermittitur. Post unitatem enim mox binarius est, ac post binarium ternarius naturaliter constitutus. Idem rursus fiat in binario. Sintque III binarii, et sit primus primo ac secundo equus, id est quaternarius. Secundus vero primo ac duobus secundis, id est senarius. Tertius autem primo duobus secundis et tertio, id est VIII, ut hic:

 II    II    II
IIII   VI   VIII

"Hic quoque binarius tenet differentiam terminorum, uno inter eos naturaliter intermisso. Nam inter IIII ac VI, quinarius naturaliter intermittitur, inter VI ac VIII, septenarius collocatur. Quod si ternarius equalitatis principium sit, fiet ternarius differentia; verbi gratia: sint tres numeri ad regulas superiorum subtus:

III   III   III
VI    IX    XII

[50] "In his ergo ternarius est differentia, et duo numeri intermissi, id est uno minus quam sit differentia semper numeris intermissis. Atque idem et in quaternario, quinarioque perspicitur, et que nos propter brevitatem tacemus, iisdem regulis ex semetipso diligens lector inveniet. Geometrica vero proportionalitas tunc quemadmodum inveniri ab equalitate possit, videbimus, quando quemadmodum ab equalitate inequalitas omnis profluat monstribamus; nisi tamen fastidium est, nunc quoque breviter repetendum est."

"Constitutis enim tribus equis terminis, ponatur primo equus; secundus primo ac secundo; tertius primo duobus secundis ac tertio. Idemque fiat continue, atque ita ex equalitate geometrica proportionalitas principium sumat. Sed de harum proportionum proprietatibus quam diligentissime in arithmeticis diximus; quod si ad hec diligens lector, illis instructus accedat, nullo dubitationis errore turbabitur. Armonica vero medietas, de qua nunc paulo latius tractandum est, hac ratione procreatur. Constituatur enim, siquidem duplices curamus effingere, tribus equis terminis positis, primus primo ac duobus secundis equalis. Secundus duobus primis et duobus secundis. Tertius semel primo, bis secundo, et ter tertio. Atque hoc modo sint unitates:

I  I  I

"Constituatur igitur primus primo ac duobus secundis equalis, id est ternarius. Secundus vero duobus primis et duobus secundis, id est IIII . Tertius vero primo ac duobus secundis et tribus tertiis, id est VI. Et si in binariis vel in ternariis equalitas constituatur, vel in ternariis eadem ratio medietatis apparet, duplo a se terminis differentiisque distantibus, ut subjecte descriptiones monent:

I      I     I    II    II    II    III  III   III
III   IIII   VI   VI   VIII   XII   IX   XII   XVIII

Quod si facienda est in extremitatibus tripla proportio, tribus equis terminis constitutis, primus quidem faciendus est ex primo ac secundo; secundus vero ex primo ac duobus secundis, tertius autem ex primo, duobus secundis ac tribus tertiis, ut est subjecta descriptio:

I    I    I     II    II    II    III   III   III
II  III   VI   IIII   VI    XII   VI    IX   XVIII

Hec Boetius.

CAPUT XVII.

De ipsorum sonorum ad arithmeticam reductionibus.

"Sed, secundum eumdem Boetium in eodem secundo libro musice, ingressis armonicam disputationem, que de ea diligentius dici possunt, tacite pretereunda esse non arbitror. Collocetur igitur armonica proportionalitas, inque ea descriptione superiore ordine terminorum inter se differentie disponantur:

    Differentia
 I              II
III     IIII    VI
       Termini

[51] "Vides ne igitur ut IIII ad III diatessaron consonantiam prodant, VI ad IIII diapente concordent; VI vero ad III diapason misceant symphoniam, ipseque earum differentie rursus eamdem statuant consonantiam. Binarius enim ad I duplus est in diapason consonantia constitutus."

"Quod si extremitates se multiplicent, itemque medius sui multiplicitate succrescat, comparati numeri toni habitudinem concordiamque servabunt. Ter enim VI efficiunt XVIII; quater IIII fient XVI. Sed XVIII numerus, XVI minoris parte octava transcendit. Rursus minimus terminus si se ipse multiplicet, efficiet IX."

"Quod si major terminus sui multiplicatione concrescat, efficiet XXXVI, qui sibimet comparati, quadruplam, id est bis diapason, continentiam servant. Quod si hec diligentius inspiciamus, hec erit omnis rei differentiarum vel terminorum in se invicem multiplicatio. Minimus enim terminus, si medio multiplicetur, fient XII. Item minimus terminus, si maximo multiplicetur, fient XVIII. Medius vero terminus, si maximi numerositate augeatur, fiant XXIIII. Rursus minimus terminus, si seipso concrescat, fient IX. Eodem modo si medius, fiant XVI. Senarius vero, qui est maximus, si seipsum multiplicet, XXXVI reddet."

"Hec igitur in ordinem disponantur: XXXVI, XXIIII, XVIII, XVI, XII, IX. Sunt igitur diatessaron resonantes XXIIII ad XVIII et XII ad IX; diapente vero XVIII ad XII, et XXIIII ad XVI, et XXXVI ad XXIIII; dupla vero que est diapason XXIIII ad XII et XXVI ad XVIII; tripla vero que est diapason et diapente XXXVI ad XII; quadrupla vero que est bis diapason XXXVI ad IX. Epogdous vero qui est tonus XVIII ad XVI, comparatione servatur."

Quemadmodum inter duos terminos supradicte mediatates vicissim collocentur.

"Solent autem duo termini dari proponique, ut inter eos nunc quidem arithmeticam, nunc vero geometricam, nunc armonicam medietatem ponamus; de quibus in arithmeticis quoque diximus: id tamen ipsum nunc etiam breviter explicemus. Si arithmetica medietas queritur, datorum terminorum videnda est differentia, eademque dividenda ac minori termino adjicienda. Sint enim X et XL altrinsecus termini constituti, horumque medietas secundum arithmeticam proportionalitatem queratur."

"Differentiam prius utrorumque respicio, que est XXX; hanc divido, fiunt XV; hanc minori termino, id est X appono, fiunt XXV. Si igitur hic inter XL et X medius collecetur, fit arithmetica proportionalitas, hoc modo: X, XXV, XL. Item inter eosdem terminos medietatem geometricam collocemus. Extremos propria numerositate multiplico, ut X in XL, fiunt CCCC. Horum tretragonale latus assumo, fiunt XX. Vicies enim XX faciunt CCCC. Hos igitur XX medios inter X ac XL si collocem, fit geometrica medietas subjecta descriptione formata X, XX, XL."

"Si vero armonicam medietatem queramus, sibimetipsos compulamus extremos, X et XL fient L. Eorum differentiam, que est XXX in minorem terminum multiplicemus, scilicet in X, ut fiant decies XXX, qui sunt CCC. Hos si secundum L partimur, fiunt VI. Quos cum minori termino addiderimus, fiunt XVI. Hunc igitur numerum si inter X ac XL collocemus, armonica propotionalitas expedietur X, XVI, XL."

[52] De consonantiarum modo secundum Nicomachum.

"Sed de his hactenus. Nunc illuc addendum videtur, quemadmodum Pythagorici probant consonantias musicas in predictis proportionibus inveniri, in qua re scilicet eis Ptolomeus non videtur assensus, de quo paulo posterius dicemus. Hec enim ponenda est maxime esse prima, suavisque consonantia, cujus proprietatem sensus apertior comprehendit. Quale est enim unumquedque per semetipsum, tale etiam comprehenditur sensu."

"Si igitur cunctis notior est ea consonantia, que in duplicitate consistit, non est dubium, primam esse omnium diapason consonantiam, meritoque excellere, quoniam cognitione precedat. Relique vero hunc necessario secundum Pythagoricos ordinem tenent, quem dederint multiplicitatis augmenta et superparticularis habitudinis detrimenta. Monstratum quippe est quod multiplex inequalitas superparticulares proportiones meriti antiquitate transcendat."

"Quocirca naturalis numerus ab unitate usque ad quartum disponatur, I, II, III, IIII. Igitur unibinarius comparatus proportionem duplicem facit, et reddit diapason consonantiam eam, que est maxima, ei simplicitate notissima, quod extreme voces eedem dicantur. Si vero unitati ternarius comparetur, diapason ac diapente concordiam personabit. quaternarius vero unitati comparatus quadruplam tenet, bis scilicet bis diapason efficiens simphoniam; quod si ternarius binario comparetur, diapente. Si vrero quaternarius ternario diatessaron consonantiam supplet, isque est eorum ordo cunctis ad se invicem comparatis."

"Nam comparatio que restat, si quaternarium binario comparemus, cadet in duplicem proportionem quam tenebat ad unitatem binarius comparatus. Itaque maxime distant soni in bis diapason, cum a se quadrupla intervalli dimensione discedunt. Minimum vero, cum acutior graviorem tertia gravioris parte transcendit, ac stat deinceps consonantiarum modus, qui neque ultra quadruplam possit extendi, neque ultra partem tertiam coarctari; et secundum Nicomachum quidem hic consonantiarum ordo est, ut sit prima diapason, secunda diapason et diapente, tertia bis diapason, quarta diapante, quinta diatessaron."

"Sed Eubulides et Hippasus alium consonantiarum ordinem ponunt. Aiunt enim multiplicitatis augumenta superparticularitatis diminutioni rato ordine respondere. Itaque non posse esse duplum nisi dimidium, nec triplum preter tertiam partem. Quoniam igitur sit duplum, ex eo diapason consonantiam reddi. Quoniam vero sit dimidium, ex eo quasi contraria divisione sesquialteram, id est diapente, effici proportionem."

"Quibus mixtis scilicet diapason ac diapente triplicem procreari, que utramque continet simphoniam, sed rursus triplicis partem tertiam contraria divisione partiri. Ex qua rursus diatessaron simphonia nascetur. Triplicem vero atque sesquitertium junctos quadruplam comparationem proportionis efficere; unde fit ut ex diapason ac diapente, que est una consonantia, et diatessaron, una consonantia conjungatur, que in quadruplo consistens, bis diapason nomen accepit. Secundum hos quoque hic ordo est: diapason, diapente, diapason ac diapente diatessaron, bis diapason."

"Nicomachus non eamdem esse eis arbitratur contrariam positionem. Sed potius ut unitas in arithmeticis crementi erat diminutionisque principium; ita etiam diapason simphonia reliquarum esse principium, illas vero sibi contraria [53] divisione posse constitui; id vero facilius erit cognitu si prius prevideatur in numeris. Constituatur igitur unitas, dueque ab ea partes fluant, una multiplicis, alia divisionis. Sitque formula:

[CSI:53,1; text: Dimidium, Pars tertia, quarta, quinta, sexta, I, II, III, IV, V, VI] [IERTRA1 03GF]

"Et ad hunc modum ad infinita progressio est. Binarius enim unitatis duplex est; contraria vero ejus pars eisdem, scilicet binarii, dimidium unitatis ostendit. Tres triplus et contraria pars tertia. Quatuor quadruplus, parsque et contraria quarta. Atque ita crescendi et decrescendi in simplici est unitate principium. Idem igitur nunc ad consonantias convertamus. Erit igitur diapason que dupla est supremi loco principii, que vero relique sunt, in contraria divisione hoc modo."

"Sesquialter, scilicet est in contraria divisione, quidem triplo, sesquitertius vero quadruplus, quod tali argumentatione probabitur. Idem enim primum est sesquialter, qui primus est triplus principalis, scilicet unitatis. Nam ternarius idem primus triplus est, scilicet unitati. Idem primus sesquialter, si binario comparetur. Rursus idem ternarius ejusdem differentie quam ad binarium facit, naturaliter positus probatur esse sesquialter, triplus est."

"Cum igitur jure sesquialter triplici opponatur, diapente consonantia, diapente ac diapason consonantie rationabiliter putantur opponi. Rursus quadruplus sesquitertii contrariam divisionem habet. Nam qui est primus quadruplus, idem rursus primus sesquitertius invenitur hoc modo."

"Quaternarius enim primus est quadruplus, si unitati primus sesquitertius, si ternario comparetur. Rursus ejus differentie, quod inter se ac ternarium tenet, ipse fit quadruplus. Unde fit ut sesquitertia proportio, que est diatessaron, quadruple proportioni, que est bis diapason, in contrarium dividatur."

"Dupla vero quoniam nullam habet oppositam proportionem, nec ullius ipsa sesquitertia est, aut exstat numerus, cui possit binarius, qui primus est duplus, superparticulari proportione conjungi, talem formam contrarie proportionis vel positionis excedit. Atque idcirco secumdum Nicomachum, diapason consonantiarum principium teneat hoc modo:

[CSI:53,2; text: Diapason, Diapente, et Bis, Diatessaron] [IERTRA1 03GF]

"Sed quamvis in se habeat, inquit tamen omnes melius multiplices proportiones precedere consonantiarum, superparticulares sequi, sicut paulo ante descripsimus."

"Cum igitur sit consonantia duarum vocum rata permixtio, sonus vero modulate vocis casus, una intentione productus, sitque idem minima particula modulationis, omnis vero sonus constet impulsu. Pulsus vero omnis ex motu fiat, cumque motuum alii qui sint equales, alii inequales, inequalium vero alii multo inequales, alii vero minus, alii vero mediocritur inequales. Ex equalitate quidem nascitur sonorum equalitas. Ex inequalitate vero ea que secundum mediocritatem distantie inequales sunt, manifeste, primeque ac simpliciores eveniunt proportiones, que sunt scilicet multiplices aut superparticulares, dupli, tripli, quadrupli, sesquialteri, atque sesquitertii consonantie. Ex his [54] vero que in reliquis proportionibus, vel multimodis, vel non ita claris, vel longe omnino a se distantibus inequalitates fiunt, dissonantie existunt. Nulla autem sonorum concordia procreatur."

"Hoc igitur distincto, demonstrabitur diapason consonantiam, que cunctarum optima est, in multiplici inequalitatis genere, et in duplicitatis habitudine reperiri. Ac primum quidem illud demonstrandum, quemadmodum multiplicitatis genere diapason consonantia possit agnosci. Precurrendum est igitur ad breve quiddam, quo prius cognito facilior demonstratio fiat, ab omni superparticulari, si continuam, id est immediatam, ei superparticularem, in tribus terminis collocatam, quis auferat proportionem, que est minor, id quod relinquitur minus est ejus medietate, que detracta proportionis, ut in sesquialtera ac sesquitertia. Quoniam sesquialtera major est, sesquitertiam de sesquialtera detrahamus, id est minimum detrahamus de terminis tribus facientibus has proportiones, relinquitur sesquioctava proportio, que duplicata non efficit integram sesquitertiam proportionem; sed ea distantia vel differentia minor est, que in semitonio reperitur; quod si duplicata sesquioctava comparatio non est integra sesquitertie, simplex sesquioctava non est sesquitertie proportionis plena medietas. Quod si sesquiquartum sesquitertio auferas, id quod relinquitur medietatem sesquiquarti non efficit, idem que in ceteris."

"Age nunc ad diapason consonantiam redeamus. Quod si ea non est in multiplici genere inequalitatis, cadet in superparticulare inequalitatis genus. Sit igitur superparticularis proportio diapason consonantia. Auferatur ab ea continua consonantia, id est diapente, relinquitur diatesseron. Bis igitur diatesseron minus est uno diapente, et ipsum diatessaron non implet diapente consonantie medietatem, quod est impossibile. Monstrabitur enim in subsequenti bis diatesseron tono ac semitonio consonantiam diapente transcendere. Quocirca nec diapason quidem in superparticulari inequalitatis genere poni potest."

"Restat igitur ut diapente ac diatessaron et tonum in superparticulari ponenda esse monstremus. Nam etsi in prima quoque probatione ea qua diapason in superparticulari genere non est ponenda monstravimus, id quoque quodam rationis modo perclaruit; sigillatim tamen de eo ac diligentius pertractemus."

"Nam si in superparticulari quis has habitudines ponendas esse non dixerit, in multiplici genere fatebitur collocandas. Nam in superpartienti vel ceteris mixtis cur poni non possint, superius, ut arbitror, explanatum est. Ponantur igitur, si fieri potest, in multiplici duplici genere. Et quoniam diatessaron consonantia minor est, diapente major, diatesseron duplici, diapente vero triplici proportioni multiplicitatis aptetur. Verisimile enim est ut est consonantia diatesseron consonantie, diapente continua, ita si diatesseron in duplici statuitur, diapente incontinua duplicis poni, id est triplici. Tonus autem quoniam in habitudinibus musicis post diatesseron locatur, nimirum in ea proportione ponatur, que minor est duplici.

"Hec autem in multplicitatis genere non potest inveniri. Restat igitur, quia diatesseron non potest constituti in majori quam in duplici, ut in superparticularitatis habitudinem cadat tonus. Sit igitur prima, id est sesquialtera, toni proportio. Nam si duplicem auferamus, triplici, ut si de 3, 6, 9, auferamus 3, id quod reliquitur, sesquialter est."

"Quod si diatesseron quidem duplex est, diapente [55] vero triplum, sublatoque diatessaron a diapente tonus sit reliquus fit, nullo modo dubitari potest quin tonus in sesquialtera debeat proportione constitui. Sed due sesquialtere proportiones duplicem vincunt, quemadmodum ex arithmeticis instructus sibi potest colligere quisque. Duo igitur toni diatesseron superabunt, quod est inconveniens. Diatessaron enim duos tonos semitonii spatio transcendit, ut infra dicetur."

"Non igitur fieri potest, ut non diapente ac diatessaron in superparticulari inequalitatis genere collocetur. Quod si quis tonum quoque in multiplici genere esse prescribat, quoniam quidem tonus minor est quam diatessaron; diatessaron vero minus est quam diapente, diapente quidem ponatur in quadrupla, diatessaron in tripla, tonus in duplici. Sed diapente constat ex diatesseron et tono."

"Quadruplum igitur secundum hanc rationem constabit, ex triplo et duplo, quod fieri nequit. Rursus statuatur diatessaron quidem triplici, et diapente in quadruplo. Si igitur auferamus triplum a quadruplo, sesquitertius relinquetur. Rursus si diatessaron diapente consonantie subtrahas, fit reliquus tonus. Tonus igitur secundum hanc rationem in sesquitertia proportione constabit. Sed tres sesquitertii uno triplici fiunt minores. Tres igitur toni unum diatesseron nulla ratione supplebunt, quod est falsissimum. Duo enim toni ac semitonium minus diatessaron consonantiam supplent."

"Ex his igitur demonstratur diatessaron consonantiam non esse multiplicem. Dico autem quoniam nec diapente consonantia multiplici genere poterit collocari. Nam si in eo genere statuatur, id est multiplici, quoniam est ei id est diapente, minor continua, id est diatessaron, non locabitur diapente in minimo multiplici, id est in duplici, scilicet ut sit locus quo diatessaron consonantia multiplicis generis non est."

"Quocirca nec diapente, in majore habitudine multiplicis quam est dupla, que minima est, aptari potest. Si igitur diapente in minima, scilicet dupla, diatessaron vero, que minor est, in multiplici quidem aptari non potest; non est enim quicquam minus a se duplici. Sit igitur sesquialtera, tonus vero sesquitertia, quia sesquialtera cum sesquitertia duplam reddunt, in continua enim proportione locabitur; sed duo sesquitertii ampliores sunt uno sesquialtero."

"Duo igitur toni unam diatessaron consonantiam vincent, quod nulla ratione continget. Ex his igitur approbatur diapente ac diatesseron in multiplici genere collocari non posse; quocirca in superparticulari inequalitatis genere jure ponentur."

"Illud quoque addendum necessario est, quoniam si diapente ac diatessaron superparticulares proportiones tenent, in maximis superparticularibus proportiouibus collocantur. Sunt autem maxime sesquialtera et sesquitertia. Hoc vero approbabitur hoc modo. Nam si in minoribus proportionibus quam sesquialtera vel sesquitertia diapente ac diatesseron consonantie collocentur, non est dubium quin, sicut alie quelibet proportiones superparticulares preter sesquialteram ac sesquitertiam juncte non efficiunt unum duplum, ita diapente unum diapason ac diatessaron nulla ratione concludunt. Quoniam enim diapason in duplici proportione esse monstratum est, duplex vero proportio ex sesquialtero sesquitertioque componitur; diapason ex diatesseron ac diapente copulatur, non est dubium quin, si totum diapason in duplici statuatur, diapente et diatessaron in sesquialtera sesquitertiaque proportione sint locande."

"Aliter enim juncte non poterunt perficere diapason, que consonantia in duplici proportione consistit, nisi in his duabus proportionibus steterint sesquialtera ae sesquitertia. Alie enim proportiones [56] superparticulares duplicem nulla ratione conjungent."

"Dico autem quoniam proprie diapente in sesquialteria, diatessaron in sesquitertia proportione consistit. Quoniam enim inter utrasque proportiones, sesquialteram scilicet ac sesquitertiam, sesquialtera major est, et sesquitertia minor est, quoniamque in consonantiis diapente major, diatessaron minor, apparet majorem proportionem majori, et minorem minori esse consonantie aptandam. Erit igitur diapente quidem in sesquialtera, diatessaron vero in sesquitertia proportione collocanda. Quod si diatessaron a diapente consonantiam subtrahamus, relinquitur spatium, quod dicitur tonus. Sesquitertium vero si proportioni sesquialtere minuamus, relinquitur sesquioctava proportio. Quo fit ut tonus in sesquioctava debeat in proportione constitui ."

"Sed quoniam demonstratum est diapason quidem duplam, diapente vero sesquialteram, junctas vero duplam ac sesquialteram triplicem proportionem procreare, ex his etiam apparet diapente ae diapason in triplici proportione constitui. Sed si quis triplici proportioni sesquitertiam habitudinem jungat, quadruplam facit. Igitur si diapente ac diapason consonantiis diatessaron simphonia jungatur, fit quadruplum spatium vocum, quod bis diapason supra esse monstravimus."

"Sed in his illud diligens lector agnoscat, quod consonantie consonantiis supposite alias quasdam consonantes efficiunt. Nam diapente ac diatessaron juncte, diapason, ut dictum est, creant; huic vero, id est diapason, rursus si diapente simphonia jungatur, fit consonantia, que ex utrisque vocabulis nuncupatur, diapason scilicet ac diapente. Cui si diatesseron addatur, fit bis diapason, que quadruplam proportionem tenet. Quid igitur si diatessaron ac diapason consonantias jungamus, ullamne secundum Pythagoricos efficient consonantiam? Minime. Mox enim in suprapartiens inequalitatis genus cadit, nec servat multiplicitatis ordinem, vel superparticularitatis simplicitatem."

"Age enim statuantur numeri, quibus id facilius approbemus; sit enim ternarius, cujus senarius sit, duplus in diapason scilicet consistens proportione. Huic aptetur sesquitertia, quam diatessaron esse prediximus, ut VIII. Is enim ad VI diatessaron proportionem tenet, qui octonarius ad tertium comparatus habet eum bis. Sed ne sit multiplex, habet etiam aliquas ejus partes, neque eas simplices. Duabus enim supervenit unitatibus, que sunt due tertie partes ternarii, quem primum termini minimumque locamus. Sint igitur termini hi:"

III   VI   VIII

"Illud quoque que inter duas sibi continuas consonantias cadit, neque duplum est integrum, ut diapason consonantiam prodat, neque triplum, ut diapason ac diapente efficiat simphoniam. Cui si tonus addatur, mox triplum modum proportionis efficiet. Quoniam enim diapason ac diapente sibi juncte efficiunt triplum, diatesseron vero et tonus diapason consonantiam jungunt, si diapason consonantia addatur diatessaron, inconsonum fit, quoniam inter duplicem ac triplicem nulla potest nataraliter proportio multiplicitatis intelligi."

"Quod si ei addidero tonum, fiet diapason, diatessaron et tonus, quod nihil distabit utrum diapason ac diapente sit. Diatessaron enim et tonus diapente constituunt. Sit enim diapason III et VI; diatesseron VI et VIII; tonus VIII et IX; diapente VI et IX; diapason ac diapente III et IX: erit igitur [57] tripla proportio III, VI, VIII, IX. Sed quamquam multa de iis Nicomachus, nos tamen, qua potuimus brevitate, partim, ea ipsa que Pythagorici affirmant promentes, partim ex eisdem quedam consequentia argumentantes, probavimus, si diatessaron consonantie diapason addatur, consonantiam ex his conjungi non posse. Quid vero de his sentiat Ptolemeus, posterius apponam. Sed de his hactenus. Nunc de semitoniis considerandum est ."

"Videntur enim semitonia nuncupata, non quod vere tonorum sint medietates, sed quod sint toni non integri. Hujusque spatii quod nunc semitonium nuncupamus, apud antiquiores autem limma vel diesis vocabatur; hic modus est. Cum enim ex sesquitertia proportione, que diatessaron est, due sesquioctave habitudines, que toni sunt, auferuntur, relinquitur spatium, quod semitonium nuncupatur."

"Queramus igitur duos tonos continua dispositione descriptos. Sed quoniam hi, ut dictum est, in sesquioctava proportione consistunt, duasque sesquioctavas proportiones continuas adhibere non possumus, nisi multiplex ille, a quo he due derivari possint, reperiatur, sit unitas prima, ejusque octonarius octuplus primus. Ab hoc igitur unum sesquioctavum potero derivare."

"Sed quia duos querimus, fiant octies octo atque ex eo LXIIII, explicentur. Erit igitur secundus octuplus, a quo possumus duas sesquioctavas proportiones educere. Namque VIII que est octava pars LXIIII unitatem eisdem additi totam summam, hoc LXXIII perficiunt; his vero si sua octava similiter opponatur, que est IX, LXXXI, reddunt. Eruntque duo hi toni continui principali dispositione descripti:

LXIIII   LXXII   LXXXI

"Nunc igitur LXIV unitatem sesquitertium conquiramus. Sed quoniam LXIV probantur partem non habere, si omnes hi numeri ternario multiplicentur, mox eis pars tertia contingit, et omnes in eadem proportione durabunt, in qua fuerunt antequam his ternarius multiplicator accederet; fiant igitur ter LXIIII, id est CXCII, horum tertia pars, LXIIII eisdem addita CCLVI, reddet. Erit igitur hec sesquitertia proportio diatessaron consonantiam tenens. Nunc igitur duas sesquioctovas proportiones ad CXCII, duobus se numeris continentes rato ordine collocemus; fiant igitur ter LXII id est CCXVI. Rursus ter LXXXXI, qui sunt CCLIII qui inter duos suprascriptos teminos collocentur hoc modo:

CXCII   CCXVI   CCXLIII   CCLVI

"In hac igitur dispositione proportionum, primus numerus ad postremum diatessaron constituit consonantiam. Idem vero primus ad secundum, et secundus ad tertium geminos constituunt tonos."

"Constat igitur spatiam quod relinquitur ex CCXLIII, ad CCLVI, in quibus minimis semitonii forma consistit, non esse toni medietatem."

"Approbo igitur CCXLIII ad CCLVI distantiam non esse integram toni medii dimensionem. Et enim CCXLIII et CCLVI, differentia XIII tantum unitatibus coutinetur. Qui XIII minus quidem quam minoris octavam decimam obtinent partem. Si enim octies decies XIII ducas, efficies CCXXXIIII, qui CCXLIII nullo modo equabit; sed si decies novies multiplices, supervadent, cum opporteat omne semitonium, si tamen integrum toni, dimidium tenet idest recta sit medietas toni, inter sextam decimam partem ac [58] decima septimam collocari; quod posterius demonstrabitur."

"Nunc illud liquebit, talem semitonii scilicet distantiam sibimet geminatam, unum toni spatiam non posse complere. Age enim ut sese CCLVI ad CCXLIII habent, tales duas sibimet continuas proportiones, secundum superius descriptam regulam disponamus; CC enim et L et VI in semetipsos multiplicemus, et sit maximus terminus DCLXV[macron supra lin.], DXXXVI. Item CCXLIII propria numero numerositate concrescant, et sit minimus terminus CLIX[macron supra lin.] et XLIX. Rursus igitur CCLVI ad CCXLIII multitudinem concrescant. Erit igitur numerus LII[macron supra lin.], CCVIII. Hic igitur medius collocetur hoc modo:

[CSI:58; text: LXV[macron supra lin.] DXXXVI, LXII[macron supra lin.] CCVIII, LIX[macron supra lin.] XLIX] [IERTRA1 03GF]

In eadem igitur sunt proportione CCLVI et CCXLIII, in qua LXV[macron supra lin.], DXXXVI, ad LXII[macron supra lin.], CCVIII; et item LXII[macron supra lin.], CCVIII ad LIX[macron supra lin.], XLIX. Sed maximus eorum terminus, qui est LXV[macron supra lin.], DXXXVI, ad minimum qui est LIX[macron supra lin.], XLIX, unum integrum non efficiet tonum."

"Quod si primi ad secundum proportioni que est equa secundi ad tertium proportioni integri esse semitonii probaretur, duo dimidia juncta, scilicet majus et minus, unum necessario efficerent tonum. Nunc autem cum non sit extremorum terminorum sesquioctava proportio, manifestum est hec duo spatia, quia sunt minora semitonia, proprie tonorum dimidia non videri."

"Quidquid enim cujuscunque est dimidium, id si duplicetur, illud efficit, cujus dicitur esse dimidium. Si vero illud implere non possit geminata particula, quod minor pars est, minus est parte dimidia. Si vero superfluat ac supervadat, ut majus semitonium bis multiplicatum, plus est parte dimidia. Preterea probabuntur autem LXV[macron supra lin.], DXXXVI non facere sesquioctavam proportionem. Si LIX[macron supra lin.], XLIX unitatibus comparentur, si octava pars LIX[macron supra lin.], XLIX, eisdemque scilicet secundum eas que in arithmeticis dicte sunt regulas aggeratur."

"Que quoniam in integris numeris non consistit, idcirco eamdem octavam partem relinquimus lectorum diligentie computandam. Liquet igitur eam proportionem, que in CCLVI et CCLXIII est constituta, non esse integrum dimidium toni; quocirca id quod vere semitonium nuncupatur, pars toni minor quam dimidia."

"Reliqua igitur pars, que major est, apotome nuncupatur a Grecis, a nobis vero potest vocari decisio. Id enim natura fert, ut quotiens aliquid secatur, ita ut non equis partibus dividatur, quanto minor pars dimidio minor est, tanto major pars eadem, que auctior est, dimidium vincat. Quantum igitur semitonium minus integro dimidio toni minus est, tanto apotome toni integrum superat dimidium ac vincit."

"Et quoniam docuimus semitonium in CCLVI et CCLIII principaliter stare, nunc ea que apotome dicitur. In quibus possit minimis constare numeris approbemus. Si igitur CCXLIII, partem octavam recipere possent cum ad eum sesquioctavus numerus comparetur, tunc CCLVI habitudo ad sesquioctavam summam minimi numeri comparata, apotomen necessaria ratione monstraret. Nunc vero quoniam ei pars octava deesse monstratur, utrique numeri octaves fiant. Et ex [59] CCXLIII quidem multiplicatis octaves fit numerus MDCCCCXLIIII. Quibus si propria conferatur octava qui sunt CCXLIIII, fient II[macron supra lin.], CLXXXVII. Rursus CCLVI per decima octonarium crescant, fient igitur II[macron supra lin.] XL VIII. Atque hic suprascriptorum terminorum in medio collocetur."

[CSI:59,1; text: M. D. CCCCXLIII, II[macron supra lin.] XLVIII, II[macron supra lin.] CLXXXVII] [IERTRA1 03GF]

"Tertius igitur terminus ad primum toni retinet proportionem. Secundus vero ad primum semitonii minoris. Apotomes vero tertius ad secundum. Atque iisdem primis apotomes videtur constare proportio, cum semitonii minoris in CCLVI et CCXLIII, minimis numeris spatium continetur. Idcirco autem M.DCCCCXLIIII et II[macron supra lin.] XLVIII in eadem proportione sunt qua CCXLIII ad CCLVI, quoniam CCLVI et CCXLIII octonario multiplicati sunt. Si enim unus numerus duos quoslibet numeros multiplicet, qui ex ea multiplicatione nascuntur, in eadem erunt proportione qua fuerunt hi numeri quos prior numerus multiplicavit .

"Sed quoniam de diatessaron consonantia latius diximus, brevius et pene ad intelligendum, puris numeris de diapason ac diapente disseramus. Diapente enim constat ex tribus tonis ac semitonio, id est diatesseron et tono. Disponantur enim numeri quos superior descriptio comprehendit."

CXCII   CCXVI   CCXLV   CCLVI

"In hac igitur dispositione primus terminus ad secundum, secundus ad tertium tonorum retinet proportiones. Sed tertius ad quartum semitonii minoris, ut supra monstratum est. Si igitur CCLVI, octava eisdem quorum octava est apponatur, fient CCLXXXVIII. Quibus CXCII comparati, sesquialterum spatium proportionis efficiunt."

"Quocirca tres quidem toni sunt, si primus ad secundum, secundus ad tertium, quintus conferatur ad quartum. Semitonium vero minus tertii ad quartum terminum comparatio tenet; quod si diatessaron quidem duorum tonorum est ac semitonii minoris, diapente vero trium tonornm ac semitonii minoris, juncte vero diatessaron ac diapente unum diapason videntur efficere, erunt V toni et duo spatia semitoniorum minora, que unum tonum non videantur implere."

"Non est igitur diapason consonantia constans VI tonis, ut Aristoxenus arbitratur, quod in numeris quoque dispositum evidenter apparet. Sex enim toni in ordinem disponantur, scilicet in sesquioctavis proportionibus constituti, sex vero sesquioctave proportiones a sexto octuplo, id est post sextum octuplum, procreantur. Disponantur igitur sex octupli, hoc modo:

[CSI:59,2; text: I, VIII, LXIII, DXII, IIII[macron supra lin.] XCVI, XXXII[macron supra lin.] DCCLXVIII, CCLXII[macron supra lin.] CXLIIII] [IERTRA1 03GF]

"Ab hoc igitur ultimo numero VI toni in sesquioctava proportione constituti locentur, hoc modo dispositis, primum octuplis terminis, ut octave terminorum partes ipsorum terminorum lateribus adjungantur; sit autem descriptio talis:

[CSI:59,3; text: sexoctupli, I VIII, LXIIII, DXII, IIII[macron supra lin.] XCVI, XXXII[macron supra lin.] DCCLXVIII, CCLXIII[macron supra lin.] CXLIIII] [IERTRA1 03GF]

[60] [CSI:60; text: sesqui octave, CCLXII[macron supra lin.] CXLIIII, XXXII[macron supra lin.] DCCLXVIII, CCXCIII[macron supra lin.] DCCCCXII, XXXVI[macron supra lin.] DCCCLXIIII, CCCXXXI[macron supra lin.] DCCLXXVI, CCCCXIV[macron supra lin.] LXXII, CCCLXXIII[macron supra lin.] CCXLVIII, CCCCLXVI[macron supra lin.] LVI, CCCCXIX[macron supra lin.] DCCCCIIII, DXXIIII[macron supra lin.] LXXXVIII, CCCCLXXII[macron supra lin.] CCCXCII, DXC[macron supra lin.] XLIX, DXXXI[macron supra lin.] CCCCXLI] [IERTRA1 03GF]

Hujus igitur dispositionis hec ratio est. Continuus enim versus, qui limes dicitur, octuplos numeros tenet. A sexto enim octuplo sesquioctave proportiones dicuntur. Ubi vero octavas partes scripsimus, octave sunt eorum numerorum partes, quibus adjacent. Que si eisdem quibus adjacent apponantur, posteriores numeros creant, ut in primo, qui est CCLXII[macron supra lin.], CXLIIII. Hujus octava XXXII[macron supra lin.], DCCLXIII; hi sibimet conjungantur, posteriorem efficit numerum qui est CCXCIIII[macron supra lin.], DCCCCXII. Idemque in ceteris invenitur."

"Si igitur ultimus numerus qui est DXXXI[macron supra lin.], CCCCXLI duplus esset prioris numeri qui est CCLXII[macron supra lin.], CXLIIII recte diapason VI tonis constare videretur. Nunc autem si minimi numeri, id est prioris, duplicem conquiramus, minor erit eo numero qui est maximus ac supremus. Nam CCLXII[macron supra lin.], CLXIIII numeri duplus est qui ad eum scilicet diapason consonantiam tenet DXXIIII[macron supra lin.], CCLXXXVIII. Hic igitur minor est eo numero qui sextum retinet tonum, eo numero scilicet qui est DXXXI[macron supra lin.], CCCCXLI. Minor est igitur diapason consonantia sex tonis. Atque id quod sex toni diapason consonantiam supervadunt, voco comma, quod quo constat in minimis numeris DXXIIII[macron supra lin.], CCLXXXVIII et DXXXII[macron supra lin.], CCCCXLI"

"Sed de his quid Aristoxenus sentiat, qui auribus dedit omne judicium, alias commemorabo. Nunc voluminis seriem fastidii vitator astringam."

Hec Boetius, idem in tertio libro musico.

"In superiore volumine demonstratum est diatessaron consonantiam ex duobus tonis ac semitonio constare. Sed ea semitonia dimidium toni integrum non posse perficere, si sigillatim considerata tractentur, atque ideo diapason ad sextonos nullo modo pervenire."

"Sed quoniam Aristoxenus musicus, judicis aurium cuncta permittens, hec semitonia non arbitratur esse secundum Pythagoricos contractiora dimidio, sed sicut semitonia dicuntur, ita esse dimidietates tonorum, de eisdem rursus paulisper est disputandum, demonstrandumque est prius nullam superparticularem habitudinem noto numero posse dividi in integram medietatem. Inter duos enim numeros superparticularem proportionem continentes, sive illi sint principales, quorum est unitas differentia, sive posteriores, nullus ita poterit medius numerus collocari, ut quam minimus proportionem tenet ad medium, eam medius teneat ad extremum, scilicet ut in geometrica proportione, sed aut differentias equas facere potest, ut sit equalitas secundum aritimeticam medietatem, aut armonicam inter eosdem terminos medius numerus collocatus faciet medietatem, aut quamlibet aliam, quarum in arithmeticis mentionem fecimus."

"Quod si id demonstrabitur, nec illud quidem constare poterit, sesquioctavam proportionem, que tonus est in dimidia posse discerni, quando quidem sesquioctava omnis in superparticulari inequalitatis [61] genere consistit. Id vero melius inductione monstrabitur. Nam si per singulas proportiones consideratione deducta, scilicet superparticulares, nulla prorsus occurrit, que, interposito medio termino, equis proportionibus dividatur, non est dubium quod superparticularis comparatio non possit in equa partiri."

"Quod si videtur auribus consonum aliquid canere, cum cuilibet voci duobus tonis ac semitonio integro distans vocabula comparetur, id non esse consonum natura monstratur. Sed quoniam sensus omnis que minima sunt comprehendere nequeat, idcirco hanc differentiam, que ultra consonum procedit, sensum aurium non posse distinguere, fore autem ut deprehendatur, si frequentissime talis particula per eosdem crescat errores. Nam quod in minimo haud sane cernitur, compositum conjunctumque, cum jam magnum esse ceperit, pervidetur. A qua igitur proportione est ordiendum; ac compendium dabimus questioni, si ab eo de quo queritur ordiamur. Id vero est tonus, in duo possit equa partiri necne."

"Nunc igitur de tono est pertractandum, et quemadmodum non possit in duo equa dividi demonstrandum est. Quam demonstrationem si quis ad reliquas superparticulares comparationes transferat, similiter demonstrabitur superparticularem in equa nota atque integro numero separari non posse. Primi igitur tonum continentes numeri sunt VIII atque IX. Sed quoniam se isti ita naturaliter consequuntur, ut medius inter eos numerus non si, eosdem binario, quo scilicet minimo possum, multiplico. Fiunt igitur XVI, ac XVIII inter hos vero naturaliter numerus cadit qui est XVII; igitur XVIII ad XVI tonus est. Sed X et VIII ad X et VII, comparatus habet eum tonum, et ejus decimam sextam partem. Septima decima vero pars minor est decima sexta naturaliter. Major est igitur proportio que sub XVI ac XVII numeris continetur, quam ea que sub XVII ac XVIII."

"Qui disponantur hoc modo, et sit XVI, A. XVII, B. XVIII. Medietas igitur integra toni intra C ac B, nullo modo cadet. Minor est enim C ac B. proportio C A proportione. Ad majorem igitur partem medietas rata ponenda est. Sit vero medietas D. Quoniam igitur D B quidem proportio, quod est integrum dimidium toni, major est C B proportione, que est minor pars toni, A C autem proportio que est major pars toni, A D proportione major est, quod est dimidium toni, est autem A C proportio sesqui decima sexta, C B autem sesqui decima septima, non est dubium quin integra medietas intra sesqui decima sextam ac sesqui decimam septimam cadat. Sed hoc integro numero nullo modo poterit inveniri."

"Quoniam vero ad XVI numerum XVII numerus comparatus, supersesqui decimam sextam obtinet proportionem, si ejusdem XVII numeri decimam sextam partam requiramus, erit unitas, atque unitatis decimam sexta pars; hanc si eidem XVII numero conjungamus, fiunt XVIII et pars decimam sexta. Si igitur XVIII et pars decimam sexta, XVI numero comparetur, recte toni mensuram videtur excedere, cum ad eum, scilicet XVI, solus XVIII numerus sesquioctavam proportionem custodiat. Unde fit ut quoniam sesqui decimam sexta prorportio tonum bis aucta transcendat, non sit integrum, sed majus, toni dimidium."

"Quidquid enim bis ductum transcendit aliquid, id ultra dimidium esse videbitur illius quod transcendit. Quocirca super sesqui decimam sexta, non erit dimidium toni. Ac per hoc, nec ulla alia major sesqui decimam sexta proportione toni poterit esse dimidium, cum ipsa sesqui decimam sexta integro toni dimidio sit major. Sed quoniam, sesqui decima septima proportionem continua sequitur sesqui decimam septimam, videamus an ea tonum bis multiplicata non impleat, XVII igitur numeri sesqui decimam septimam partem tenet terminus XVIII. In eadem igitur proportione, scilicet in sesqui decima septima, si ad XVIII numerum aliam comparemus, erit XIX et decima septima unitatis pars."

[62] "Quod si ad XVII terminum in sesquioctava proportione positum comparemus numerum, fient XIX, et pars VIII. Major igitur est proportio numerorum XVII et XIX et parte octava quam ea que in XVII et XIX et XVII, continetur, que sunt scilicet bis sesqui septime decime proportiones. Due igitur sesqui decima septa unum tonum videntur implere. Non est igitur sesqui decima septa, toni dimidium, quoniam que duplicata non implet integrum, non continet dimidium. Semper enim dimidium duplicatam ei cujus est dimidium coequatur."

"Jam vero si eos numeros disponamus, qui de sesquitercia proportione duobus tonis retractis relinquuntur, in his considerare possumus utrum ea proportio que post duos tonos relinquitur, integri loco semitonii censeatur. Quod si ita repertum sit, illud quoque est comprobatum diatessaron consonantiam duobus tonis atque integro semitonio copulari."

"Erat igitur superius primus terminus CXCII. Ad hunc sesquitertiam proportionem tenebant CCLVI. Sed ad primum terminum CCXVI facuint tonum. Ad CCXVI rursus CCXLIII, toni obtinent locum. Est igitur quod relinquitur ex tota diatessaron proportione, ea scilicet habitudo que in CCXLIII et CCLVI unitatibus constat. Hee igitur si probatur integri toni esse dimidium, dubitari non potest diatessaron ex duobus tonis semitonioque consistere."

"Quoniam igitur demonstratum est toni dimidium inter sesqui decimam sextam et sesqui decimam septam proportionem locari, ab hac comparatione etiam hec proportio, scilicet in qua est lima, metienda est. Ne enim longius progrediamur, sumo ex CCXLIII decimam partem, ea fit XIII et semis. Hanc si eisdem apposuero, fiunt CCLVI et semis. Apparet igitur minorem esse proportionem CCLVI ad CCXLIII sesqui decima octava habitudine. Quod si dimidius tonus major quidem est in sesqui decima octava minor vero in sesqui decima octava proportione. Sesquioctava decima vero minor est sesqui decima octava habitudine, CC. vero LVI ad CCXLIII comparatio, que scilicet relinquitur, ex diatessaron duobus retractis tonis, minor est sesqui decima octava. Non est dubium quin hec duorum tonorum numerorum proportio semitonio longissime diminutior sit.

Post hoc incidenter est notandam quod partes libere, vel ut assis, sunt XII, et prima quidem vocatur uncia; secunda sextans, vel sextas; tertia quadrans vel quadras, quarta triens vel treas, quinta quincuncx vel cingus, sexta semis, septima septuncx vel septus, octava bisse seu bes, nona dodrans vel dorus, decima decuncx vel dexteras, undecimo decuncx vel iabus, duodecima as vel assis.

"Quod si, ut ait Aristoxemus, diatessaron consonantia ex duobus tonis semitonioque integro conjungitur, due diatessaron consonantie necessario V tonos efficiant, et diapente ac diatessaron juncte sicut unam diapason jungunt, ita VI tonis continua proportione coequantur. Et quoniam paulo ante VI disposuimus tonos, quorum erat minimus numerus CCLXII[macron supra lin.]. CXLIIII, ad hunc vero ultimus in sexto collocabatur tono numerus DXXXI[macron supra lin.]. CCCCXLI, quintum vero retinebant tonum CCCCLXXII[macron supra lin.]. CCCXCII, disponantur hoc modo:

Tonus, CCLXII[macron supra lin.]. CLXIII.

Tonus, CCXCIIII[macron supra lin.]. DCCCCXII.

Tonus, CCCXXXI[macron supra lin.]. DCCLXXVI.

Tonus, CCCLXXIII[macron supra lin.]. CCXLVIII.

Tonus, CCCCXIX[macron supra lin.]. DCCCCIIII.

Tonus, CCCCLXXII[macron supra lin.]. CDCXCII.

[63] Tonus, DXXXI[macron supra lin.]. CCCCXLI.

Tonus, CLLXII[macron supra lin.]. CXLIIII.

Tonus, CCXCIIII[macron supra lin.]. DCCCCXII.

Tonus, CCCXXXI[macron supra lin.]. DCCLXXVI.

Tonus, CCCLXXIII[macron supra lin.]. CCXLVIII.

Tonus, CCCCXIX[macron supra lin.]. DCCCCIIII.

Tonus, CCCCLXXII[macron supra lin.]. CCCXCII.

Nunc igitur de minoribus numeris, id est V tonis, loquamur. Si ergo diatesseron duobus tonis ac semitonio integro, bis vero diatessaron V consisteret tonis, cum ex CCLXII[macron supra lin.] CXLIIII diatessaron intenderem, cumque de CCCCLXXII[macron supra lin.] CCCXCII aliud diatessaron remitterem, idem inter utramque intentionem remissionemve numerus inveniretur. Id autem fit hoc modo: a numero qui est CCLXII[macron supra lin.], CXLIIII besse diatessaron intendo, id est sesquitertium, qui fit in CCCXLIX[macron supra lin.], DXXV et triente. Rursus de CCCCLXXII[macron supra lin.], CCCXCII numeris remitto sesquitertiam proportionem, que sit in CCCLIIII[macron supra lin.], CCXCIIII, has igitur proportiones disponamus hoc modo, et sit primus quidem numerus A, secundus vero B, tertius C, quartus D."

[CSI:63; text: Quinque toni integri, Diatessaron intensum, Differentia, remissum, A, B besse, C, D, CCLXII[macron supra lin.] CXLIIII, CCCXLIX[macron supra lin.] DXXV triens, CCCLIIII[macron supra lin.] CCXCIIII, CCCCLXXII[macron supra lin.] CCCCXCII, IIII DCCLXXVII] [IERTRA1 04GF]

"Quoniam igitur A terminus ab D temino quinque remotus est tonis, quoniamque diatessaron in duobus tonis ac semitonio integro jungitur, ut Aristoxenus arbitratur, unumque diatessaron, inter A atque B, aliud vero inter C atque B, positum est, B et C terminos non oportet esse diversos, sed unos atque eosdum, integre V toni ex duaobus diatessaron consonantiis constare videantur. Nunc vero quoniam est differentia IIII[macron supra lin.], DCCLXVIIII et besse, arguitar diatessaron minime tonis duobus ac semitonio integro conjungi."

"Sed hanc si querimus in integris numeris differentiam collocare, quoniam in ea parte que est besse pars tertia, que est triens, si addatur, plenam efficet unitatem, que pars tertia unitatis ejusdem besse dimidium est, si dimidinm totius differentie eidem adjecero, quod est II[macron supra lin.], CCCLXXXIIII, triens sit omnis summa VII[macron supra lin.], CLIII. Que dudum commatis proportionem tenebat. Comma enim est quo VI toni superant diapason consonantiam, quod in primis VII[macron supra lin.], CLIII unitatibus continetur. Ut igitur differentie dimidium propriam adjecimus, ut in VII[macron supra lin.], CLIII cresceret, ita etiam cunctis, A, B, C, D, terminis medietates proprias adjungamus, et eadem erit in omnibus que supra proportio, fietque eadem inter V tonos ac bis diatessaron differentia que est inter VI tonos ac diapason consonantiam differentia, scilicet VII[macron supra lin.], CLIII unitates. [64] Unde colligitur V tonos bis diatessaron, et VI tonos, unum diapason tamen commate superare. Quod in primis VII[macron supra lin.], CLIII, unitatibus invenitur. Id autem patefaciet; hec subjecta descriptio:

[CSI:64; text: Quinque toni, Diatessaron intensa, remissa, Numerus A cum sua medietate, Differentia, B, BC, C, D, CCCXCIII[macron supra lin.] CCXVI, DXXIIII[macron supra lin.] CCLXXXVIIII, VII[macron supra lin.] CLIII, DXXXI[macron supra lin.] CCCCXLI, DCCVIII[macron supra lin.] DLXXXVIII, CCLXII[macron supra lin.] CXLIIII, CCCXLIX[macron supra lin.] DXVV, triens, IIII[macron supra lin.] DCCLXVIII, bisse, CCCCLIIII[macron supra lin.] CCXCIIII, CCCLXXII[macron supra lin.] CCCXCII, CXXXI[macron supra lin.] LXXII, CLXXIIII, DCCLXII, bissemis, II[macron supra lin.] CCCLXXXIIII, CLXXVII[macron supra lin.] CXLVII, CCXXVI[macron supra lin.] CXXVI, Medietas, et sextans complent bessem et besse cum triente conjunctus reintegrat unitatem, differentie] [IERTRA1 05GF]

"Sed quoniam paululum de commatis ratione prediximus, non diffugiendum est et in quali proportione idem ipsum comma contineatur ostendere. Est enim comma quod ultimum comprehendere possit auditus, dicendumque est semitonium majus, quantis singulatim commatibus constare videantur, ipse quoque tonus quantis rursus commatibus conjungatur. Ac primum huic conveniens sumatur initium."

"Superparticularis proportio sciudi iu equa medio proportionaliter interposito numero non potest. Id vero posterius firamiter demonstrabitur. Quam enim demonstrationem ponit Architas, nimium fluxa est. Hec vero est hujus modi: sit, inquit, superparticularis proportio A, B. Sumo in eadem proportione minimos C, E. Quoniam igitur sunt minimi in eadem proportione C, E, et sunt superparticulares, E numerus C numerum parte una, scilicet tertia, sua ejusque una altera transcendit."

"Sit autem hic D. Dico quoniam D non est numerus, sed unitas. Si enim est numerus D, et pars ejus, scilicet ternarii, est qui est E, metietur D numerus E numerum. Quocirca E numerum metietur. Quo fit ut C quoque metiatur, utrumque igitur C, et E numeros metietur D numerus, quod est impossibile. Qui enim sunt minimi in eadem proportione quibuslibet aliis numeris, hi primi ad se invicem proportionaliter sunt, et solam differentiam retinent unitatem; unitas igitur est D: igitur E numerus C numerum unitate transcendit."

"Quocirca nullus medius incidet numerus qui eam proportionem equaliter scindat. Quo fit ut inter eos qui eamdem proportionem tenent, medius possit [65] numerus collocari, qui eamdem proportionem equaliter scindat."

"Et secundum Archite quidem rationem, idcirco in superparticulari nullus medius numerus cadit, qui equaliter dividat proportionem, quoniam minimi in eadem proportione sola differunt unitate. Quasi non etiam in multiplici proportione minimi eamdem unitatis differentiam sortiantur."

"Cum plures videamus esse multiplices, preter eos qui in radicibus collocati sunt, inter quos medius terminus scindens equaliter proportionem eamdem possit aptari. Sed hec, qui arithmeticos nostros diligenter inspexerit, facilius intelliget. Addendum vero est id ita evenire, ut Architas putat, in sola superparticulari proportione. Non autem universaliter est dicendum. Nunc ad sequentia convertamur.

"Primum ergo dico quoniam hi numeri, qui comma continent, majorem inter se retinent proportionem quam LXXV ad LXXIIII, minorem quam LXIIII ad LXXIII. Id vero ita demonstrabitur: ac primum quidem illud reminiscendum est, quod VI toni diapason commate transcendunt. Sit igitur A quidem CCLXII[macron supra lin.], CXLIIII, B autem diapason ad eum contineat consonantiam in duplici scilicet constituta DXXIIII[macron supra lin.] CCLXXXVIII, C vero VI tonis ab A numero discedat et sit DXXXI[macron supra lin.], CCCCXLI. Que omnia ex secundi voluminis tonorum dispositione sunt colligenda. Inter B igitur atque C commatis proportio continetur. Aufero igitur B numerum de numero C, et relinquit D in VII[macron supra lin.], CLIII unitatibus collocatus."

"Quid numerus minor D est quam sit septuagesima tertia pars B numeri, major vero est quam septuagesima quarta sit. Nam si eumdem D numerum, qui est in VII[macron supra lin.], CLIII, septuagies ter multiplicem, fiet mihi E numerus DXXII[macron supra lin.], CLXIX unitatibus constitutus. Si eum, scilicet VII[macron supra lin.], CLIII, septuagenties quater multiplicem, fit F numerus DXXIX[macron supra lin.], CCCXXII. Quorum quidem E, qui per septuaginta tres auctus est, minor est B numero; F autem qui per LXXIIII, major est B numero. Recte igitur dictum est D, ejus quod est B, minorum quidem esse quam septuagesimam tertiam partem, majorem vero quam septuagesimam quartam."

"Quocirca et C numerus B numerum, minore quidem parte ejus quod est B eumdem B superat, quam septuagesima tertia, majore vero quam LXXIIII. Ejus igitur quod est C proportio ad id quod est B major quidem est quam LXXV ad LXXIIII, minor vero quam LXXIIII, ad LXXIII. Nam in priore unitas est septuagesima quarta est minoris, in posteriore vero unitas eadem septuagesima tertia ."

"Idem aliter explicandum, illo prius presumpto, quod cui proportioni propria numerorum differentia equaliter augeatur, minor est inter eos, qui post additionem fiunt, proportio continebitur quam inter priores qui ante additionem illam quedam proportione distabant."

"Ut VI et IIII, si utrisque binarius, que est differentia sua apponatur, fient VIII et VI, sed inter VI et IIII sesquialtera, inter VIII et VI sesquitertia proportio continetur, minor vero est proportio sesquitertia sesquialtera proportione; hoc igitur ita predicto, disponantur superiores numeri qui proportionem commatis continebant, id est DXXXI[macron supra lin.], CCCCXLI, et sit A. Sit etiam B, DXXIIII[macron supra lin.], CCLXXXVIII; horum differentia sit C, id est, VII[macron supra lin.], CLIII: C igitur numerus majorem numerum eo qui est A septuagesies quinquies metiatur. Si igitur C numerum A septuagies quinquies multiplices, fiet mihi D numerus qui est DXXXVI[macron supra lin.], CCCCLXXV. Igitur D numerus eum qui est A, numero eo qui est E antecedit, id est V[macron supra lin.], XXXIIII. Rursus C numerus eum qui est B metiatur septuagies quater, multipliceturque, [66] fiet igitur numerus F DXXIX[macron supra lin.]. CCCXXII. Qui F eo qui est B major est eodem E numero qui est V[macron supra lin.], XXXIIII. Ergo D numerus eum qui est A, transcendit E numero, B autem numerus ab eo qui est F vincitur eodem E numero. Si igitur A numero eumdem E apponamus, fiet F."

"Sed D numerus septuagies quinquies auctus est, per C scilicet multiplicatum. F autem septuagies quater multiplicato C crevit; obtinent igitur inter se proportionem D atque F quam habent LXXV ad LXXIIII. Sed D atque F sunt A atque B uno eis addito E, majorem igitur necessarie est proportionem contineri inter A atque B, quam inter D atque F. Namque A atque B numerus, uno E addito, effecti sunt D atque F. Minor igitur proportio est inter D atque F quam inter A atque B. Sed inter D atque F eadem proportio est que inter LXXV et LXXIV. Inter A igitur atque B, major proportio est quam inter LXXV et LXXIIII. Ac A atque B comma continent. Major igitur est proportio commatis quam LXXV ad LXXIIII."

"Quoniam igitur demonstratum est commatis proportionem majorem esse, quam eam quam LXXV continent ad LXXIIII comparati; nunc ostendendum est quemadmodem minorem inter se proportionem contineant numeri spatium commatis continentes, quam LXXIIII ad LXXIII comparati. Id vero monstrabitur hoc modo: reminiscendum prius est quod in secundo volumine dixerimus, cum de mensura differentie loquebamur. Si enim ex qualibet proportione differentiam eorum numerorum, qui eam continent, auferamus, hi qui relinquuntur majorem obtinebunt proportionem his numeris qui erant ante differentie diminutionem."

"Sint enim VIII atque VI: ab his propriam aufero differentiam, id est II, fiunt VI atque IIII. Sed in superioribus sesquitertia, in hac sesquialtera proportio continetur. Major vero est sesquialtera proportio sesquitertia proportione. Sint igitur iidem A atque B: qui sunt superius descripti, quorum est differentia C. Multiplico differentiam C numeri septuagies quater, sit mihi numerus F, scilicet DXXIX[macron supra lin.], CCCXXII. Qui A numero comparatus vincitur numero G, scilicet II[macron supra lin.] CXIX. Rursus idem C multiplicetur septuagies ter, efficiet numerum K, id est DXXII[macron supra lin.], CLXIX. Qui comparatus B numero vincitur eodem G, id est II[macron supra lin.], CXIX."

"Sublato igitur G de numeris A atque B, effecti sunt F atque K. Minorem igitur proportionem retibunt A atque B quam F atque K. Sed F atque K eam retinent proportionem quam LXXIIII ad LXXIII, hi enim multiplicato C effecti sunt. Minor igitur est proportio A atque B numerorum comma retinentium quam LXXIIII ad LXXIII. Sed paulo ante monstratum est eamdem commatis proportionem majorem esse quam LXXV ad LXXIIII. Monstrati sunt igitur qui comma continent numeri, majorem quidem inter se habere proportionem quam LXXV ad LXXIIII, minorem vero quam LXXIIII ad LXXIII, quod oportebat ostendere."

[CSI:66; text: LXXIIII ad LXXIII, DXXXI[macron supra lin.] CCCCXLI, DXXIV[macron supra lin.] CCLXXXVIII, II[macron supra lin.] CXIX differentia, VII[macron supra lin.] CLIIII, DXXIX[macron supra lin.] CCCXXII, F, DXXII[macron supra lin.] CLXIX] [IERTRA1 06GF]

[67] "Quod si ad semitonium minus talis speculatio convertatur, ejus quoque proportionem facillime reperiemus. Que constat inter CCLVI et CCXLIII. Sit igitur CCLVI A et CCXLIII B, horum differentia XIII sit C. Dico quoniam A ad B minorem retinet proportionem quam XIX et semis ad XVIII et semis; metiatur enim per C decies novies et semis, id quod est A, fiunt CCLIII et semis quod sit D, qui scilicet comparatus ad A, eodem A duobus semisque transcenditur. Sitque hec dfferentia F, scilicet duo et semis, rursus eadem C differentia B numerum metiatur decies octies et semis, fient CCXLIX et semis quod sit, E. Igitur E comparatus ad C eodem F transcenditur, id est duobus et semis. D igitur ab eo quod est A, et rursus E ab eo quod est B, eadem F differentia sunt minores. Subtracto igitur F ab eo quod est A atque B, facti sunt D atque E. Majorem igitur proportionem tenent inter se D atque E, quam A atque B. Sed D atque E eamdem retinent inter se proportionem quam XIX et semis ad XVIII et semis. A igitur ad B minorem retinet proportionem quam XIX et semis ad XVIII et semis, quod oportebat ostendere.

[CSI:67; text: Proportio major quam XIX et semis ad XVIII et semis, A, CCLVI, Differentia, XIII, B, CCXLIII, II, differentia F, Decies, novies, octies, major, CCLIII, CCXL] [IERTRA1 06GF]

"Videtur tamen eadem proportio CCLVI ad CCXLIII major esse ab ea quam continent XX et XIX. Sint enim A B C idem qui superius descripti sunt. Metiatur igitur C differentia, id est multiplicet, A terminum vigies, fient CCLX, qui sint D, qui comparati ad id quod est A, eumdem, quod est A, quaternio transcendunt, hic sit F. Rursus idem C metiatur B decies novies, fient CCXLVII, hic sit E, qui comparati ad B eodem F transcendunt. D igitur numerus, A numerum, et E numerus numerum B, eodem F transendunt. Adjecto igitur F his qui sunt A atque B, facti sunt D atque E. Major igitur est eorum proportio qui sunt A atque B, quam eorum qui sunt D atque E."

"Sed D atque E vigies ac decies novies multiplicatus, C numerum efficit. Major igitur est propotio eorum qui sunt A atque B, qui scilicet semitonium continent, quam ea que est XX ad XIX. Demonstratum igitur est semitonium minus majorem quidem habere proportionem, quam XX ad XIX, minorem vero quam XIX et semis ad XVIII et semis. Nunc idem minus semitonium commati comparemus quod est ultimum, auditui subjacens ultimaque proportio."

"Igitur demonstrandum proponimus semitonium minus, majus quidem esse commatibus tribus, minus vero IIII, quod hinc facillime potest agnosci."

"Sint tres numeri ita dispositi, ut inter se proportionem contineant diapason et eam que dicitur VI tonorum. Sint enim A CCLXII[macron supra lin.], CXLIIII. Intendantur igitur ad B quidem V toni continui, et sit B CCCCLXXII[macron supra lin.], CCCXCII; ad C autem [68] diapason consonantia referatur, et sit C, DXXIIII[macron supra lin.] CCLXXXVIII. Ad D autem intendantur VI toni, sitque D DXXXI[macron supra lin.], CCCCXLI. His ita positis et constitutis, manifestum est inter C atque D comma constitui, eorumque differentiam esse VIII[macron supra lin.], CLIII."

"Id autem sit K, remittantur igitur duo toni ab eo quod est B, ad id quod est E, et sit E CCCLXXIII[macron supra lin.], CCXLVIII. Rursus ab eo quod est E intendo diatessaron ad id quod est F CCCCXCVII[macron supra lin.], DCCLXIIII. Quoniam igitur inter E atque B, duo sunt toni; inter E atque F diatessaron; inter B igitur atque F minus semitonium reperitur. Sublatis autem a diatessaron duobus tonis, sit reliquum semitonium minus, quod in primis numeris constare predixi, CCLVI et CCXLIII."

"Quos eosdem numeros si millies nonagenties quadragies quaterque multiplices B atque F numeros explicabis, continentes scilicet semitonium. Quos necessarium est eamdem proportionem, id est semitonium, superius dictis numeris continere, qui uno atque eodem numero id est, M, DCCCCXLIIII, pariter multiplicati crevere. Item ab eo quod est F intendo diatessaron, scilicet ad G, et sit G DCLXIII, DLII. Rursus ab eodem G remitto ad P duos tonos, et fit P DXXIIII[macron supra lin.], CCLXXXVIII. Quod P necesse est, ut eumdem sonum quem C numerus exhibeat. Ad equalitatem namque ejus tali ratione progressus est. Etenim ea que A C diapason consonantia, que constat V tonis ac duobus semitoniis minoribus, ab VI tonis commate superatur. Ab eodem igitur A termino numerus P, V tonis ac semitoniis duobus recessit hoc modo. Ab eo quod est A, usque ad id quod est B quinque nimirum colliguntur toni; ab eo autem quod est B usque ad id quod est F minus esse semitonium pernotatur, F vero atque P, idem rursus semitonium minus includunt."

"Ab A igitur usque ad P V tonos ac duo semitonia minora produxit. Jure igitur P atque C eisdem numeris conscribuntur. Sed quoniam inter F atque C semitonium minus est, videamus hec que sit eorum differentia, ut eam commati comparemus. Est autem eorum differentia XXVI[macron supra lin.], DCXCIIII, et sit hac M. Igitur K commatis differentia est, M autem semitonii minoris. Si igitur K numerum tertio auxerimus, fiet numerus XXI[macron supra lin.], CCCCLIX. Et sit hic L. Si vero quater eumdem numerum K multiplicare volueris, fient XXVIII[macron supra lin.], DCXII, et sit hoc N. Igitur M major quidem ab L; idem autem M minor est ab, N. Sed N quater aucto commate succrevit; L autem tertio, M vero semitonii minoris obtinet differentiam. Jure igitur dictum est minus quidem esse quam IIII commata, majus vero quam tria."

"Eadem hac ratione et semitonium majus quod apotomen dici super retulimus, quot commatum sit possumus invenire hoc modo: Sit A CCLXII[macron supra lin.], CLXIIII. Quinque vero ab eo distans tonis sit B CCCCLXXII[macron supra lin.], CCCXCII. Sex vero distans tonus ab eo quod est A, sit D, scilicet DXXXI[macron supra lin.], CCCCXLI, inter B igitur atque D tonus est; B vero ab eo quod est C distat semitonium minus, et sit C CCCCXCVII[macron supra lin.], DCLXIIII. Relinquitur ergo inter C atque D apotome proportio. Nam cum sit tonus B D, si ex eo auferas B C, semitonium minus, C D relinquitur majus, quod apotomen esse supra retulimus, inter D igitur atque C, que est apotome, est differentia CCCXXXIII[macron supra lin.], DCCXXVII. Hec autem sit E, sed erat commatis differentia VII, CLIII, hec sit F. Si igitur F, id quod est comma quinquies multiplicem, fient mihi XXXXV[macron supra lin.], DCCCXXV, et sit hoc G. Si vero idem F quater multiplicem, fit K numerus qui est K minus. Sed G quinquies auctum est XXVIII[macron supra lin.], DCXII. G igitur ab eo quod est majus, comma, K vero quater, F autem apotomes differentia est. Jure igitur dictum est apotomen minorem [69] quidem esse quam V commata, majorem vero quam quatuor."

"Ex hoc igitur comprobatur, tonum majorem quidem esse quam sunt VIII commata, minorem vero quam IX. Nam si minus semitonium majus quidem est quam tria commata, minus vero quam IIII, apotome autem major quidem est quam IIII commata, minor vero quam V, junctum semitonium minus semitonio majori quod est aptome, erit omne majus quidem VIII commatibus, minus vero quam IX. Sed apotome atque semitonium minus unum efficiunt tonum. Major igitur tonus quidem est VIII commatibus, minor vero IX."

"Sed quamquam per hanc rationem demonstratum sit, quemadmodum tonus commatibus comparetur, non est tamen quasi segnibus delassandum, quo minus per se hanc contra commata comparationem retinere tonus ipse monstretur."

"Sit igitur A quidem CCLXII[macron supra lin.], CXLIIII, B autem quinque ab eo distans tonus CCCCLXXII[macron supra lin.], CCXXCII. C vero diapason ad id quod est A continens simphoniam, scilicet in numeris DXXIIII[macron supra lin.], CCLXXXVIII; D autem ab eo quod est A, VI totos differens tonos DXXXI[macron supra lin.], CCCCXLI. D igitur ab eo quod est C distat commate, VI toni ab diapason, scilicet consonantia. Id autem sit E VII[macron supra lin.], CLIII. D autem ab eo quod est B tono integerrimo distat, VI toni scilicet V tonis, id autem sit F, DXC[macron supra lin.] XLIX.

Si igitur E novies auxero, fiet mihi H LXIIII[macron supra lin.], CCCLXXVII. Sin vero octies, fient LVII[macron supra lin.], CCXXIIIII, id sit G. Sed H quidem F numero comparatus superat, G vero superatur, et est F toni differentia. H autem novies multiplicatum comma, G vero octies. Demonstratus est igitur tonus minor quidem IX esse commatibus. eisdem vero VIII commatibus major."

"His premissis licet majus semitonium minore semitonio commate distare monstratum sit, tamen idem quoque per se et per subjectos numeros tali ratione monstrabitur. Sit A numerus CCCCXCVII[macron supra lin.], DCLXIIII, ab eo vero semitonium minus distans sit B numerus, qui jam quoque supra descriptus est, DXXIIII[macron supra lin.], CCLXXXVIII. Apotome vero distat ab eo quod est A. Is numerus, qui colligitur unitatibus DXXXI, CCCCXLI, et sit hoc C."

"Quoniam igitur A B minus semitonium, A C majus, id est apotome, differentia ejus quod est B ab eo quod est C perquirenda est. Ea est LXX[macron supra lin.], CLIII, id sit D. Sed hic numerus dudum comma monstrabat. Inter majus igitur semitonium et minus comma differentiam facit."

"Rursus demonstrandum propono tonum duobus semitoniis minoribus solo commate esse majorem. Sit A numerus CCCCLXII[macron supra lin.], CCCXCII. Ab hoc intendatur tonus DXXXI[macron supra lin.], CCCCXLI, et sit hoc D. Ab eo vero quod est A, intendatur semitonium minus, quod est B, ac sit B CCCCXCVII[macron supra lin.], DCLXIIII. Item ab eo quod est B semitonium aliud intendas minus, quod est C, et sit C, DXXIIII[macron supra lin.], CCLXXXVIII."

"Quoniam igiturA D tonus est, A C vero duo continent numera semitonia; videamus hic que sit differentia inter C atque D numeros constituta. Est autem E, scilicet unitatem VII[macron supra lin.], CLIII. Demonstratum est igitur tonum duobus minoribus semitoniis commate esse majorem."

"Sed quoniam jam omnia que probanda promisimus propria ratione monstrata sunt, nunc quod superest musice institutioni, regularis monocordi facienda est partitio. Quam rem quoniam longior tractatus extendit, in posterioris commentarii disputationem censuimus transferendam."

Hoc Boetius.

"Sed etsi omnia que demonstranda erunt superioris libri tractatione digessimus, ut libro quarto [70] musice dicit Boetius, non penitet tamen rursus eadem breviter memorie recolligenda prestare, cum quadam diversitate tractatus, ut his rursus ad memoriam redeuntibus ad regule divisionem, quo tota tendit intentio, veniamus."

"Si foret rerum omnium quies, nullum auditum sonus feriret. Id autem fieret, quoniam cessantibus cuncti motibus, nulle inter se res pulsum cierent: ut igitur sit vox, pulsu est opus. Sed ut sit pulsus, motus necesse est. Sed omnis motus habet in se tum velocitatem, tum et tarditatem. Si igitur sit tardus in pellendo motus, gravior reddit sonus."

"Nam ut tarditas proxima stationi est, ita gravitas contigua taciturnitati. Velox vero motus acutam voculam prestat. Preterea, que gravis est, intensione decrescit ad medium; que vero acuta, remissione decrescit ad medium. Unde fit ut omnis sonus quasi ex quibusdam partibus videatur compositus. Omnis autem partium conjunctio quadam proportione committitur vel conjungitur."

"Sonorum igitur conjunctio proportionibus conjuncta est. Proportiones autem principaliter in numeris considerantur, proportio vero simplex numerorum vel in multiplicibus, vel in superparticularibus invenitur. Secundum vero multiptices proportiones, vel superparticulares, consone vel dissone voces exaudiuntur. Consone quidem sunt que simul pulse suavem permixtumque inter se conjungunt sonum. Dissone vero que simul pulse non reddunt suavem nec permixtum sonum. His igitur predictis de proportionibus pauca dicamus."

"Si intervallum multiplex binario multiplicetur, id quod sit ex hac multiplitione intervallum multiplex est. Sit multiplex intervallum B C, et B, multiplex ejus quod est C, et fiat ut C est ad B, ita B ad D. Quoniam igitur B multiplex est, ejus quod est C metitur C terminus, id quod est B vel bis, vel tertio, vel deinceps, et est ut C ad B, ita B ad D. Metitur igitur B terminus id quod est D. Quocirca quia C terminus id quod est B metitur, metietur etiam D, id est quaternarium semel quatuor. Multiplex igitur est D ejus quod est C et est D C, intervallum, effectum ex composito bis copulatoque sibimet et per binarium multiplicato B C intervallo. In numeris quoque idem probatur."

"Sit enim B ad C duplum, ut binarius ad unitatem, et fiat ut C ad B; ita B ad D. Erit igitur D, quaternarius. Multiplex est autem B ad C, id est binarius ad unitatem. Multiplex est autem D ad C, id est quaternarius ad binarium. Multiplex igitur D quaternarius ad C unitatem. Est enim quadruplus quaternarius unitatis, et binario multiplicata medietas, quod est intervallum B C."

"Si intervallum binario multiplicatum, multiplex effecerit, intervallum ipsum quoque multiplex erit. Sit intervallum B C, et fiat ut C ad B; ita B ad D et D sit ad C multiplex; dico quia B ejus quod est C multiplex est. Quoniam est D ejus quod est C multiplex est, metietur C id quod est D, metietur C et B. Ostensum est enim quoniam si sint termini proportionaliter constituti, cum primus fuerit ultimo comparatus, primus ultimum fuerit mensus, metietur et medium."

"C igitur metietur id quod est B. Multiplex est igitur B ejus quod est C. Id rursus ex numeris, sit C unitas, D vero ex dupla proportione, B C sit quaternarius, et est multiplex ejus quod est C. Est enim quadruplus. Quoniam igitur quadruplus hoc ex duplicata B C, proportione generatur, B C proportio dimidium ejus erit, igitur B C proportio dupla est. Sed duplum multiplex est. Erit igitur B C proportio multiplex."

"Superparticularis intervalli medius numerus nec unus, nec plures proportionaliter, id est eadem proportione, intervenient. Sit enim [71] B C proportio superparticularis, et in eadem proportione minimi sint D F et G. Quoniam D F et G minimi sint in eadem proportione, sunt ejusdem proportionis primi. Quo sola circa eos unitas metietur. Auferatur igitur G ab D F, et relinquatur D, hic est igitur utrorumque mensura communis; hec igitur erit unitas. Quocirca nullus inter F et D, atque G incidet numerus, qui fit ab F D quidem minor, major vero ab C. Sola enim interest unitas; quanti vero in superparticularibus proportionibus proportionaliter inter ejusdem proportionis minimos intercident, tot etiam inter ceteros ejusdem proportionis incident. Sed nullus inter F D atque G minimos ejusdem proportionis intervenire potest. Nullus igitur inter B atque C proportionaliter cadet, sed et in numeris sit quelibet proportio superparticularis ut sesquitertia; hi vero sint X et XV, in eadem vero proportione numeri II et III aufero de tribus binarium; fit reliqua unitas, eademque utrosque metitur. Nullus erit igitur inter binarium ternariumque numerus, qui fit binario major, minor vero ternario. Alioquin unitas dividetur, quod est inconveniens. Quare ne inter X quidem atque XV quisquam invenietur numerus qui talem ad X obtineat proportionem qualem ad eum, id est ad tonum positum, tenent XV."

"Si intervallum non multiplex binario multiplicetur, id quod fit ex hac multiplicatione nec multiplex est nec superparticulare. Sit enim intervallum non multiplex B C, et fiat ut C ad B, ita B ad D."

"Dico quoniam D ejus quod est C, nec multiplex erit, nec superparticularis. Sit enim, si fieri potest, primum D ejus quod est C multiplex, et quoniam cognitum est. Si intervallum binario multiplicatum sit, et multiplex intervallum creatum, id quod multiplicatum est bis intervallum esse multiplex. Erit igitur B C multiplex, sed non est positum. Non erit igitur D ejus quod est C multiplex, nec vero superparticulare. Nam superparticularis proportionis medius proportionaliter terminus nullus intervenit. Inter D vero et C est proportionaliter terminus constitutus, id est, B."

"Nam ut C est ad B, ita B ad D; impossibile igitur erit D ejus quod C, vel multiplicem esse, vel superparticularem, quod oportebat ostendere. Et in numeris sit non multiplex intervallum VI ad VI, fiatque ut sunt IIII ad VI, ita VI ad alium quemlibet numerum. Erit igitur novenarius, qui quaternarii nec multiplex est, nec superparticularis."

"Si intervallum binario multiplicatur, atque id quod est ex ea multiplicatione creabitur, multiplex non fit, ipsum quoque multiplex non erit. Sit enim intervallum B C, fiatque ut C ad B, ita B ad D, et non fit D ejus quod est C multiplex."

"Dico quoniam nec B ejus quod est C, erit multiplex. Si enim est et D ejus qnod C, multiplex est. Attamen non est, non erit igitur B ejus quod est C multiplex."

"Diapason consonantia ex diapente et diatessaron nascitur; XII cum fit sesquialter ad VIII et VIII, sesquitertium ad VI, XII, cum sit duplus ad VI, facit ad ipsum diapason."

"Duplex igitur intervallum ex duobus maximis superparticularibus conjungitur sesquialtero et sesquitertio. Sit enim A quidem ejus quod est B sesquialter B vero ejus quod est C sesquitertius. Dico quoniam A ejus quod est C est duplex. Quoniam igitur A sesquialter est ejus quod est B, igitur A habet in se totum B ejusque dimidium."

"Duo igitur A equi sunt tribus B. Rursus quoniam B ejus quod est C sesquitertius, est B igitur habet in se totum C, et ejus tertiam partem. Tres igitur B equi sunt ad IIII C. Tres autem B equi erunt duobus A. Duo igitur A equi sunt [72] ad IIII C; unus igitur A, equus duobus C C. Duplex erit igitur A ejus qui est C, et in numeris. Sit enim sesquialter XII ad V III sesquiatertius vero VIII ad VI: ergo XII ad VI duplices sunt."

"Ex duplici intervallo atque sesquialtero triplex intervallum nascitur. Sit enim A ejus quod est B duplex, B autem ejus quod est C sesquialter. Dico autem quoniam A ejus quod est C triplex est. Nam quoniam A ejus quod est B duplex est, A igitur duobus B equus est. Rursus quoniam B ejus quod est C sesquialter est, B igitur habet in se totum C et ejus dimidiam partem. Duo igitur B equi sunt tribus C. Sed duo B equi erant uni A, et unus igitur A equus est tribus C; igitur H uno C triplex est. Et in numeris sit duplex quidem VI ternario, sesquialter vero ternarius, binario. Senarius igitur triplex est binario."

"Si sesquialtero intervallo sesquitertium demptum fuerit intervallum, erit quod relinquitur sesquioctavum. Sit enim A quidem ejus quod est B sesquialter, at vero C ejus quod est B sesquitertius."

"Dico quoniam A ejus quod est C sesquioctavus est. Quoniam enim A ejus quod est B sesquialter est, igitur A habet B et ejus dimidiam partem. Octo igitur A equi sunt ad XII B. Rursus quoniam C ejus quod est B sesquitertius est, C igitur habet in se B et ejus tertiam partem. Novem igitur C equi sunt ad XII B. Duodecim autem B equi erant ad VIII A; et VIII A equi sunt ad IX C. Igitur A est ei quod est C, et ejus octave parti A igitur ejus quod est C sesquioctavus est. Et in numeris sesquialterum quidem intervallum sit novenarius ad senarium, sesquitertium vero VIII ad senarium. Novem igitur ad VIII, sesquioctava proportio est."

"Sex proportiones sesquioctave majores sunt uno duplici intervallo. Sit enim quidem numerus A hujus sesquioctavus C, et hujus sesquioctavus D et hujus sesquioctavus F, ejusque sesquioctavus G, atque hujus sit sesquioctavus K. Id autem fiat secundum descriptum in arithmetica modum, et sint numeri A B C D E F G K, et sit A CCLXII[macron supra lin.],CXLIIII hujus autem sesquioctavus qui est B CCXCIIII[macron supra lin.] DCCCCXII, hujus sesquioctavus qui est C CCCXXXI[macron supra lin.], DCCLXXVI, hujus autem sesquioctavus qui est D CCCLXXII[macron supra lin.], CCXLVIII, hujus sesquioctavus qui est F CCCCXIX[macron supra lin.], DCCCCIIII, hujus sesquioctavus qui est G CCCCLXXII[macron supra lin.], CCCXCII, hujus autem sesquioctavus qui est K DXXXI, CCCCXLI. Et sunt DXXXI[macron supra lin.], CCCCXLI quod est K, plus quam duplices ad CCLXII[macron supra lin.], CXLIIII, quod est A. Sex igitur sesquioctave proportiones ampliores sunt, uno duplici intervallo." Hoc Boetius, libro IIII.

Post hoc signanter de XIII speciebus diatonicis est dicendum, qui scilicet sunt unisonus, diapason, diapente, diatessaron, tonus, semitonium, ditonus, semiditonus, tonus cum diapente, semitonium cum diapente, ditonus cum diapente, semiditonus cum diapente, tritonus. Unisonus in sonis est equalitas in numeris, ut unitas ad unitatem, et binarius ad binarium. Diapason in sonis est dupla in numeris ut II ad I, et IIII ad II. Diapente in sonis est sesquialtera in numeris ut ad IIII ad II et VI ad IIII. Diatessaron in sonis est sesquitertia in numeris ut IIII ad III. Tonus in sonis est sesquioctavus in numeris ut IX ad VIII. Ditonus in sonis est super decem et VII partiens sexagenas quartas in numeris ut LXXXI ad LXIIII. Semiditonus in sonis est superquinque partiens vicesimas septimas in numeris, ut XXXII ad XXVII. Semitonium in sonis est super XIIII partiens ducentesimas quadragesimas tertias in numeris ut CCLVI ad CCXLIII.

Semitonium cum diapente in sonis est super ducenta octoginta duo partiens quadringintas [73] octuagenas sextas in numeris, ut LXVIII ad CCCCLXXXVI. Tonus cum diapente in sonis est super XXII partiens tricesimas secundas in numeris ut LIIII ad XXXII. Ditonus cum diapente in sonis est super CCXX partiens ducentessimas quinquagesimas sextas in numeris ut CCCCLXXXVI ad CCLVI. Semiditonus cum diapente in sonis est super VII partiens nonas in numeris ut XVI ad IX. Tritonus in sonis est super CCXVII partiens quinquagintenas duodecimas in numeris ut septinginta XXIX ad quinginta XII.

CAPUT XVIII.

De campanarum in horologiis musicum sonum debite exprimentium formationibus.

Ex hac autem reductione qua scilicet reduximus proportiones armonicas ad numerorum proportiones, nec vero et ex prius habita simul et sequenti dimensione monocordi, potest haberi modus et ars formandi campanulas sonos musicos exprimentes in horologiis ponendas in hunc modum. Nam si quis voluerit duas campanas fundere, sonum toni facientes, quemadmodum iste due faciunt claves [Gamma] scilicet A re et in gravibus voluntati fundentis relinquitur, ut quantumcunque sibi placet de metallo recipiat, sive scilicet multum sive etiam parvum, dictumque metallum in VIII partes dividatur equales, sumptoque alio metallo divisoque in IX partes, dictis VIII partibus equipollentes, factisque campanis, campana partium IX, puta IX librarum, faciet sonum clavis [Gamma] ut; campana vero VIII partium, puta VIII librarum, sonum faciet clavis A re.

Item ad faciendam campanam, que faciat sonum clavis B mi, in gravibus, dividatur metallum campane A re in IX partes equales, sumptoque alio metallo divisoque in octo partes dictis IX partibus equipollentes, campana VIII partium faciet sonum clavis B mi in gravibus. Ad faciendam vero campanam que faciat clavis C fa ut, que quidem cum jam dicta campana scilicet B mi facit semitonium, dividatur metallum campane B mi in XVIII partes equales; sumptoque alio metallo divisoque in XVII partes dictis XVIII partibus equipollentes; campana XVII partium faciet sonum quem faciet C fa ut in gravibus.

Si quis autem facere vellet aliud semitonium inter B et C in gravibus, et ubicunque incidit semitonium per sexquisextam decimam proportionem, facere debet precedentem scilicet campanam puta B mi in gravibus in XVII partes equales dividendo, sequentem vero campanam C fa ut, in partes XVI prioribus equipollentes, vel secundum formam dicte dimensionis monocordi, A [Gamma] ut in C fa ut, fiat proportio sesquitertia, ita scilicet ut [Gamma] ut in equales partes quatuor dividatur, sumptoque alio intervallo, divisoque in tres partes equales, dictis scilicet partibus quatuor equipollentes, campana trium partium sonum faciet clavis C fa ut.

Eodem modo fiat in omnibus VIII tetracordis; et ultra usque in infinitum, arte musica non artante. Sed restrinxit super fluum vindicans residuum suo proposito fore necessarium, ars finitum infinitatis compendium. Eodem autem modo debent fieri proportiones campanarum sive fistularum plumbearum et argentearum in organis, sicut diximus de proportionibus in campanis, modo scilicet primo vel etiam modo secundo, qui quidem modi in subsequenti figura patebit.

[74] CAPUT XIX.

De monocordi dimensionibus et ejusdem utilitatibus.

Quia autem ratio discretionis omnium armonicarum clavium patere potest similiter ex dimensione monocordi, idcirco consequenter est dicendum qualiter mensurandum sit monocordum. Sunt autem divisiones monocordi diverse quas omnes enarrare tedium potius quam profectum generaret. Quapropter compendiositatem sectantes, ex multis faciliorem ac leviorem regulis nostris duximus inserendam. Primo igitur [Gamma] in sinistra parte monococordi est ponendum, a qua usque ad finem IX passus mensurantur equales. Et tunc primus passus terminatur in A. Secundus vacat, eo quod in nulla clavi dictarum clavium terminaretur. Tertius in D. Quartus vacat. Quintus in a acuto. Sextus in d acuto. Septimus in aa superacuto. Reliqui vacant.

Item ab A gravi novenis passibus equaliter dimensis ut prius. Primus passus terminatur in B gravi; secundus vacat; tertius in C gravi; quartus vacat; quintus in [sqb] quadro, sed acuto; sextus in e acuto; septimus in [sqb][sqb] quadro duplicato. Reliqui vacant. Item a [Gamma] quatuor passibus equaliter divisis, primus terminatur in C gravi; secundus in G similiter gravi; tertius in g superacuto; quartus finem facit. Et secundum hanc quidem dimensionem quatuor scilicet passuum, totum monocordum rectissime mensurare poterit, qui diligentiam voluerit adhibere. A quacunque enim clavi usque ad finem quatuor passus fiunt. Diatessaron, diapente et diapason continent, ut patuit, tres passus ex illis.

CAPUT XX.

De sedibus tonorum duplicibus.

Deinde quidquid de armonia diximus ad tonorum metas volentes reducere, "sciendum est quod octo sunt modi quos Guido abusive tonos dicit appellari. Ad formam scilicet octo partium orationis; ut sicut ex octo partibus orationis continetur omne quod dicitur, sic octo modis moderatur omne quod canitur. Apud antiquos autem solum quatuor tonos, sive modos, vel etiam tropos fuisse narrat Johannes. Qui quidem toni dicuntur modi a moderando sive a modulando, quod videlicet per eos cantus moderatur, sive regulatur, vel modulatur, sive componitur. Quicunque enim musice artis habens notitiam tantum regularem componere curat, prius in corde suo destinat ad quem tonum ipsum reducat. Nam quantumcunque variatur in medio, semper tamen ad finalem per tropos, id est tonos, decenter convertitur. Quos autem nos tropos vel modos nominamus, Greci pthongos vocant, moderni tonos appellant. Antiqui non quamdam in musica consonantiam tonum appellabant; quidam autem grammatici distinctiones et accentus orationis usurpato nomine. Rursus latini cantores non parvam esse similitudinem inter cantus et accentus prosaice locutionis ad modum psallendi considerantes, nomen ad hoc sanxerunt utrisque fore commune. Sicut enim toni grammatice sumpti in tres dividuntur species, gravem scilicet, circumflexum et acutum, ita et in cantu tres distinguuntur varietates. Nam cantus nunc in gravibus vagatur, nunc circa finales, quia quadam circumflexione versatur; nunc etiam in acutis movetur. Vel certe toni dicuntur ad similitudinem tonorum, quos Donatus distinctiones vocat; sicut enim in ipsa tres considerantur distinctiones, que et pausationes appellari possunt, scilicet colon, id est membrum, comma [75] idest incisio, periodus, id est clausura sive circuitus, eo quod, quando in prosa suspensive legitur, sicut verbi gratia: Anno quintodecimo imperii Tiberii Cesaris, in omnibus talibus punctis colon est. Quando autem punctus elevator sicut cum subjungit: Sub principibus sacerdotum Anna et Caipha, comma est. Quando vero versus finitur sicut post concluditur: Zacharie filium in deserto, periodus est, ita etiam in cantu. Cantus enim in quarta vel in quinta a sua finali pausat, aliquando tunc colon est; cum autem in medio ad finalem reducitur, comma est; cum vero pervenit ad finalem, periodus est. Satis ergo congrue toni distinctionum seu accentuum nomen sortiuntur. Quod autem grammatici colon, comma et periodum dicunt, hoc in cantu quidam diastema, sistema et teleusim nominant; per diastema distinctum ornatum cantus significantes, qui fit quando cantus vel in finali, sed in alia decenter pausat; per sistema vero conjunctum ornatum indicantes, quoties scilicet in finali decens fit pausatio; per teleusim autem finem cantus denotantes."

Diastema autem proprie est vocis spatium vel duobus vel tribus sonis; mutuatum intervallum vel diastema certi tractatus pronuntiationis; sistemata vero proprie sunt principales partes musicorum. Celeusma est clamor nautarum sive carmen super mortuos, ita dicit Papias. Ne autem laboremus in equivoco, sciendum quod triplex est tonus: scilicet tonus artificialis, id est sesquioctava, tonus vulgaris, et tonus differentialis. De tono igitur vulgari simul et differentiali hic intendimus.

Est autem vulgaris tonus totum modulationis corpus uniuscujusque cantus, unde et vulgariter cum novus versus cantus, cujus toni sit, queritur.

Quid etiam tropus dicitur? tropus autem, secundum Johannem de Garlandia, est regula que de omni cantu in fine dividicat. Aliter tropus est species uniuscujusque diapason. Aliter adhuc, tropus est per quem cognoscimus principium, medium ac finem cujuslibet meli. Tonus vero differentialis est in fine Gloria primi finalis inflexio vocis secundum quam psalmodia antiphone decenter conjungitur.

Quid autem Boetius, quatro libro musice, de tonis senserit obmissis vocabulis grecis simul et litteris, principaliter est dicendum: " ex diapason, inquit, consonantie speciebus existunt qui appellantur modi, quos eosdem tropos vel tonos nominant. Species autem est quedam positio propria habens formulam secundum unumquodque genus, in uniuscujusque proportionis consonantiam facientis terminis constituta. Sunt autem tropi constitutiones in totis vocum ordinibus, vel gravitate, vel acumine differentcs, constitutio vero est plenum veluti corpus modulationis ex consonantiarum conjunctione consistens, quale est vel diapason, vel diapason et diapente et diatessaron, vel bis diapason. Has igitur constitutiones si quis totas faciat acutiores, vel in gravius totas remittat, secundum supradictas diapason consonantie species efficiet modos VII, quorum nomina sunt hec: Hypodorius; Hypophrygius; Hypolydius; Dorius; Phrygius; Lydius; Mixolidius; horum vero sic ordo procedit."

Cur autem octavus modus qui est hypomixolydius adjectus est hic patet. Sit autem bis diapason consonantia, hic: a, b, c, d, e, f, g, h, i, k, l, m, n, o, p. Diapason igitur consonantiam facit, a ad id quod est h, octo enim vocibus continetur. Primam igitur diximus esse speciem diapasoicam que est a, h, atque hic Hypodorius modus; secunda vero b, i, et hic Hypophrygius; tertiam c, k, et hic Hypolydius; quartam d, l, id est Dorius; quintam e, m, scilicet Phrygius; sextam f, n, atque [76] hic Lydius; septimam g, o, et hic Mixolydius. Relinquitur extra h, p, que, ut totus ordo impleatur, adjecta est, atque hic octavus modus quem Ptolemeus sic annexuit. Boetius huic inde collectus, item. Quidam autem modernorum hic in nota ponentes aliter ordinare videntur.

Notandum quod, secundum antiquos Grecos philosophos, dicti toni VIII grecis dictionibus nominantur, quia primus autentus dicitur Dorius, secundus Phrygius, tertius Lydius, quartus Mixolydius. Plaga primi autenti dicitur Hypodorius ab ypo, quod est sub, et Dorius, quia sub dorio. Plaga vero secundi autenti Hyprophrygius dicitur ab ypo et Phrygius, quia sub Phrygio. Item plaga tertii autenti Hypolydius dicitur ab ypo et Lydius, quia sub Lydio. Plaga quarti autenti Hypomixolydius dicitur ab ypo, que est sub, et Mixolydius, quia sub Mixolydio. Cui modernorum positio concordare videtur prima scilicet de tonis communibus, sed non secunda de tonis videlicet mixtis, dicentium hoc modo: tonus, inquiunt, prout hic sumitur, est regula que de omni cantu dijudicat secundum principium, medium et finem. Tonorum autem alii principales sive autenti, scilicet impares, protus, deuterus, tritus, tetardus, id est primus, tertius, quintus et septimus; alii secundarii sive plagales scilicet pares, plaga proti, plaga deuteri, plaga triti, plaga tetardi, id est secundus, quartus, sextus et octavus. Protos autem grece idem est quod primus; deuteros idem est quod secundus; tritos quod tertius; tetardos quod quartus. Autentus vero auctorabilis grece sonat; plagalis autem quasi partialis vel collateralis, ut exponit Johannes.

Modorum autem expositio est ista: impares, inquiunt, dicuntur autenti eo quod sint sicut auctorabiles super pares. Nam autenticum grece, auctoritas dicitur latine; pares vero dicuntur plagales a plaga quod est regio. Nam pares de regione sunt de qua sunt impares, id est eumdem finem participant qui quidem finis regio appellatur; vel possunt dici plagales, quia subjugales a plaga quod est infirmitas. Unde plagales dicuntur, quia infirmi respectu autentorum. Nam autenti ad octavam vel nonam leviter saliunt, plagales vero velut infirmi vix quintam notam vel sextam ascendere possunt, etc. Item toni impares sunt illi quos impar numerus tangit; toni vero pares quos numerus par tangit. Tonorum autem tam parium quam imparium, hec est in sedibus convenientia scilicet in utrisque. Nam primus et secundus tonus terminatur in D. gravem; tertius et quartus in E; quintus et sextus in F; septimus quoque et octavus in G gravem terminatur.

Et hec prima tonorum sedes scilicet tetracordum finalium communium, in quo toni pares et impares finiuntur communiter. Secunda sedes est tetracordum scilicet acutarum in quo sicut et in predicti toni terminantur. Nam primus et secundus tonus terminatur in a cum re;. tertius autem et quartus ibidem scilicet in mi; item tertius et quartus in [sqb] quadro et acuto; quintus et sextus in c acuto; septimus et octavus in d acuto similiter.

CAPUT XXI.

De eorumdem tonorum tam parium quam imparium regularibus intentionibus et remissionibus.

Licet tamen toni conveniant in finalitalibus, differunt tamen in intentionibus et remissionibus. Nam omnes toni impares super suam finalem octo notis et licencialiter novem possunt ascendere, sub sua vero finali non plus quam unam descendere possunt; pares autem toni super suam finalem quinque notis et licencialiter sex possunt ascendere; sub sua vero finali quatuor descendere possunt, quod patet in ducendo per singula.

Primus enim tonus qui est impar, in D gravem terminatus, habet ascendere de D in d, et habet [77] super se unam licencialiter e et sub se unam c, et in D finalium communium finire. Secundus autem tonus, qui est par, terminatur ibidem, habet ascendere de D in a et descendere de a in A, et habet super se unam licentialiter b fa et in D finalium communium finire. Item tertius tonus habet super se unam licencialiter f, et sub se unam D, et E finalium communium finire. Quartus autem tonus habet ascendere de E in [sqb] quadrum et acutum, et descendere de [sqb] in B et habet super se unam licencialiter c, et in E finalium communium finire. Similiter et quintus tonus habet ascendere de F in f, et habet super se unam licencialiter g et sub se unam E, et in F finalium communium finire. Sextus vero tonus habet ascendere de F in c, et descendere de c in C, et habet super se unam licencialiter d, et in F finalium communium finire. Item septimus tonus habet ascendere de G in g, et habet super se unam licencialiter aa et sub se unam F et in G finalium communium finire. Octavus autem tonus habet ascendere de G in d, et habet super se unam licencialiter e, et in G finalium communium finire.

Eodem autem modo omnes toni scilicet tam pares quam impares intenduntur et remittuntur, cum in secunda sua sede scilicet in tetracordo acutarum finiuntur. Nam primus tonus habet ascendere de a in aa, et habet super se unam licencialiter bb fa, et sub se unam G, et in a acuto finire cum re. Similiter et tertius; sed cum mi terminatur ibidem. Secundus autem tonus habet ascendere de a in e et descendere de e in E, et habet super se unam licentialiter f et in a acuto finire cum re. Similiter et quartus; sed cum mi terminatur ibidem. Item tertius tonus in [sqb] quadro, sed acuto terminatus, habet ascendere de [sqb] in [sqb][sqb] et habet super unam licencialiter [cc] et sub se unam a et in [sqb] acuto finire. Quartus vero tonus habet ascendere de [sqb] in f et descendere de f in F, et habet super se unam licencialiter g, et in [sqb] acuto finire. Item quintus tonus habet ascendere de c in cc et habet super se unam licencialiter dd et sub se unam [sqb] et in c acuto finire. Sextus vero tonus habet ascendere de c in g et descendere de g in G, et habet super se licencialiter aa, et in c acuto finire. Item septimus tonus habet ascendere de d in dd et habet super se unam licencialiter ee et sub se unam c, et in d acuto finire. Octavus vero tonus habet ascendere de d in aa et descendere de aa in a, et habet super se unam licencialiter bb et in b acuto finire.

Hic notandum quod dicte positionis sectatores in b acuto, ne parum utile videatur, tonum quintum et sextum finiuntur, et iterum ut gamma ut talibus regulis astringatur ad tonos. Primum tonum et secundum terminant in C gravi pares et impares intendentes et remittentes suo modo, quod quidem inconveniens non videtur. Cum enim, secundum Boetium, species diapasonice tonos constituant, tot toni fieri possunt quod diapason inveniuntur in manu.

Pulcriores autem et meliores tam ecclesiasticos quam alios cantus, his vidimus regulis regulatos. Quidam tamen cantum ecclesiasticum a communi separantes de ipsis tonis ecclesiastici cantus dederunt regulas speciales tonorum scilicet permixtorum. Qui toni dicuntur mixti eo quod tam pares quam impares ex autenta intentione remissioneque plagali miscentur. Idcirco de ipsis secundum ipsos dicemus in speciali.

Omnis igitur cantus ecclesiasticus in mediis clavibus terminatur, hoc est in D, E, F, G, gravibus et in a, [sqb] et c acutis; et hoc est quia nullus cantus ecclesiasticus supra suam finalem plus quam octo notis potest ascendere, vel sub sua finali descendere plus quam quatuor notis. Preter predictas vero claves nullam supra vel subtus invenies cui non desit plenitudo depositionis, quatuor scilicet notarum, vel elevationis perfectio, hoc est quatuor notarum. Igitur primus et secundus tonus [78] terminatur in D gravi vel in a acuto, cum re. Tertius et quartus tonus terminatur in E gravi vel in a acuto cum mi, vel in [sqb] quadro, de quibus talis datur regula. Quando cantus in predictis clavibus terminatur, ascendit ad sextam notam supra finalem vel ultra, tunc est autenti toni imparis, hoc est primi vel tertiii, et hoc sive sub sua finali descendat tribus vel quator notis, sive non.

Si vero sub sua finali tribus vel quatuor notis descendat, et nusquam ad sextam notam vel ultra ascendat, tunc est toni paris seu plagalis, id est secundi vel quarti. Quod si nec ad sextam notam supra suam finalem ascendat, nec ad quartam vel ad tertiam sub sua finali descendat, tunc si melodia et versus cantus in superioribus notis plus se tenuerit quam in inferioribus, erit toni plagalis sive paris. Quintus et sextus tonus terminatur in F gravi vel in c acuto. Septimus et octavus solum in G gravi terminatur. Et de his talis datur regula: Quando cantus in predictis clavibus terminatus ad diapason seu duplam sue finalis ascendit, semper est autenti toni sive imparis, id est quinti vel septimi, sive sub sua finali descendit, et nusquam duplam sue finalis apprehendit, tunc est toni plagalis seu paris, id est sexti vel octavi. Quod si nec predicto modo ascendit vel descendit, tunc si melodia vel versus cantus plus in superioribus tenuerit quam in inferioribus, erit cantus ille toni imparis. Si vero plus in inferioribus, erit cantus ille toni paris.

CAPUT XXII.

De tonis ecclesiasticis in speciali et de eorumdem differentiis, antiphonarum inchoationibus et psalmorum intonationibus.

Sequitur de intonationibus Psalmorum et canticorum, nec non versuum et introituum sive de tono differentiali, quod idem est. Et primo de primo tono

[CSI:78,1; text: Primus tonus sic incipit, et flectitutr, mediatur, finitur. F, G, a, b, E, D] [IERTRA1 07GF]

Solum tres differentias finalitatum primi toni ponimus, quia ad ipsas omnes alie reducuntur.

Sciendum autem quod quandocumque primi toni antiphona incipit in C gravi, sicut illa:

[CSI:78,2; text: Hec est regina virginum. C, D, E, F, G] [IERTRA1 07GF]

Vel:

[CSI:78,3; text: In plateis. C, D, a, b] [IERTRA1 07GF]

Et consimiles, semper primam differentiam habent.

Quando autem incipit in D gravi sicut illa:

[CSI:78,4; text: Amorem caritatem. D, C, F, E] [IERTRA1 07GF]

Vel:

[CSI:78,5; text: Vos amici. D, a, b, G] [IERTRA1 07GF]

Et consimiles, secundam habent differentiam.

Quando vero incipit in a acuto, sicut hec:

[CSI:78,6; text: Salve regina, a, G, D, F, E] [IERTRA1 07GF]

Vel

[CSI:78,7; text: Erunt primi novissimi. a, G, F] [IERTRA1 07GF]

[79] Et consimiles, tertiam habent differentiam.

Item quando incipit in F gravem si mi, re sequantur post fa, sicut hec:

[CSI:79,1; text: Volo pater estote, F, E, D, a, G] [IERTRA1 08GF]

Vel:

[CSI:79,2; text: Apertis. F, a, G] [IERTRA1 08GF]

Vel de fa per sol ascendat in la, sicut hec:

[CSI:79,3; text: Dominus. F, G, a] [IERTRA1 08GF]

Et consimiles, tertiam habent differentiam.

Quando autem incipit quidem in F gravi, sed descendit in ut, et inde per re ascendit in la, sicut illa:

[CSI:79,4; text: Ave Maria. F, C, D, a, b] [IERTRA1 08GF]

Vel:

[CSI:79,5; text: Isti sunt sancti qui. F, C, D, a, b] [IERTRA1 08GF]

Et consimiles, secundam habent differentiam.

Quando vero antiphona incipit quidem in F gravi, sed in notis inferioribus facit melodiam non statim ascendendo ad la, sicut ista:

[CSI:79,6; text: Pater. F, D, E, C] [IERTRA1 08GF]

Et ista:

[CSI, 79,7; text: Ipsi soli. F, G, D, E] [IERTRA1 08GF]

Et consimiles, primam habent differentiam.

Ad Magnificat autem et ad Benedictus sic solum maximum principium et in medio variatur:

[CSI, 79,8; text: Gloria patri et filio et spiritui sancto. evovae. F, G, a, b, E, D] [IERTRA1 08GF]

Ad introitum vero primi toni communiter sic:

[CSI, 79,9; text: Gloria patri et filio et spiritui sancto; sicut erat in principio et nunc et semper; et in secula seculorum. Amen. F, G, a, b, E, D, c] [IERTRA1 08GF]

In invitatoria tale habent:

[CSI, 79,10; text: Venite exultemus domino. C, D, a, b, G] [IERTRA1 08GF]

Responsoria talem solent habere cantum in versu:

[CSI, 79,11; text: Gloria patri et filio et spiritui sancto. a, G, F, b, E] [IERTRA1 08GF]

Hic notandum quod communes versus omnium tororum tam parium quam imparium videntur esse alterius toni quam eorum responsum, quod esset inconveniens, si sic esset. Sed dicendum quod debent indicari cum resumptionibus suorum responsorium, ut scilicet ibi terminetur cantus. Et unus sit cantus versus cum sua resumptione. Simile habetur frequentur in graduali ubi resumptio responsorii terminatur, et unus est cantus versus cum sua resumptione. Simile habetur in graduali, quod responsorium est toni paris, et versus est toni imparis Sed unus est cantus responsorii cum suo versu, et alleluia cum suo versu.

Secundo tono damus unam differentiam ad quam alie reducuntur. Igitur:

[80] [CSI:80,1; text: Secundus tonus sic incipit, et flectitur, mediatur, flnitur. C, D, F, G] [IERTRA1 09GF]

Ad Magnificat autem et ad Benedictus, sic variatur:

[CSI:80,2; text: Gloria patri et filio et spiritui sancto. C, D, F, G, E] [IERTRA1 09GF]

Ad introitum vero secundi toni, sic communiter:

[CSI:80,3; text: Gloria patri et filio et spiritui sancto; sicut erat in principio et nunc et semper; in secula seculorum Amen. C, D, E, F, G] [IERTRA1 09GF]

In invitatoria tale habent venite:

[CSI:80,4; text: Venite exultemus domino. D, C, F, G] [IERTRA1 09GF]

Responsoria talem solent habere cantum communiter in versu:

[CSI:80,5; text: Gloria patri et filio et spiritui sancto. C, D, F, G, E] [IERTRA1 09GF]

Tertio tono damus duas differentias ad quos alie redunctur; igitur dicendum quod:

[CSI:80,6; text: Tertius tonus sic incipit, et flectitur, mediatur, finitur., G, a, c, d, [sqb]] [IERTRA1 09GF]

Quando antiphona tertii toni incipit in E gravi sicut hec: dum complerentur et consimiliter, primam habet differentiam; ad omnes alias datur sequens differentia, ad Magnificat autem et ad Benedicuts sic communiter:

[CSI:80,7; text: Gloria patri et filio et spiritui sancto. G, a, c, d, [sqb]] [IERTRA1 09GF]

Ad introitum vero sic variatur:

[CSI:80, 8; text: Gloria patri et filio et spiritui sancto; sicut erat in principio et nunc et semper; in secula seculorum. Amen. G, a, c, d, [sqb]] [IERTRA1 09GF]

In invitatoria tale habent venite:

[CSI:80,9; text: Venite exultemus domino. c, [sqb], a, G] [IERTRA1 09GF]

Responsoria talem solent cantum communiter in versu:

[CSI:80,10; text: Gloria patri et filio et spiritui sancto. [sqb], d, c, a, G] [IERTRA1 09GF]

[81] Quarto tono damus duas differentias ad quas alie reducuntur; igitur:

[CSI:81,1; text: Quartus tonus sic incipit, et flectitur, mediatur, finitur. a, G, [sqb], F, E, d, e, c,] [IERTRA1 10GF]

Quando quarti toni antiphona finitur in E gravi, primam habet differentiam; secundam vero habet, cum in a acuto finitur. Ad Magnificat et ad Benedictus, sic variatur:

[CSI:81,2; text: Gloria patri et filio et spiritui sancto. a, G, [sqb], F, E] [IERTRA1 10GF]

Ad introitum vero sic:

[CSI:81,3; text: Gloria patri et filio et spiritui sancto; sicut erat in principio et nunc et semper; in secula seculorum. Amen. a, G, [sqb], E] [IERTRA1 10GF]

In Invitatoria tale habent venite:

[CSI:81,4; text: Venite exaltemus domino. E, G, a, [sqb], c] [IERTRA1 10GF]

Responsoria talem solent habere cantum communiter in versu:

[CSI:81,5; text: Gloria patri et filio et spiritui sancto. a, G, F, E, D] [IERTRA1 10GF]

Quintus tono damus unam differentiam, ad quam alie reducuntur; igitur:

[CSI:81,6; text: Quintus tonus sic incipit, et flectitur, mediatur, finitur. F, a, c, d, [sqb]] [IERTRA1 10GF]

Ad Magnificat quoque et ad Benedictus similiter. Ad Introitum autem sic in fine variatur:

[CSI:81,7; text: Gloria patri et filio et spiritui sancto; sicut erat in principio et nunc et semper; in secula seculorum. Amen. F, a, c, d, [sqb], G] [IERTRA1 10GF]

In Invitatoria tale habent venite:

[CSI:81,8; text: Venite exultemus domino. c, d, a, [sqb]] [IERTRA1 10GF]

Responsoria talem solent habere cantum communiter in versu:

[CSI:81,9; text: Gloria patri et filio et spiritui sancto. c, d, [sqb], a, b] [IERTRA1 10GF]

Sexto tono unam similiter damus differentiam ad quam alie reducuntur:

[CSI:81,10; text: Sextus igitur tonus sic incipit, F, G, a] [IERTRA1 10GF]

[82] [CSI:82,1; text: et sic flectitur, mediatur, finitur. a, G, b, F] [IERTRA1 11GF]

Ad Magnificat quoque et ad Benedictus, sic variatur:

[CSI:82,2; text: Gloria patri et filio et spiritui sancto. F, G, a, b] [IERTRA1 11GF]

Ad Introitum vero sic variantur:

[CSI:82,3; text: Gloria patri et filio et spiritui sancto; sicut erat in principio et nunc et semper et in secula seculorum. Amen. F, G, a, b, D] [IERTRA1 11GF]

In Invitatoria tale habent venite:

[CSI:82,4; text: Venite exultemus domino.F, G, b, a, c] [IERTRA1 11GF]

Responsoria talem solent habere cantum communiter in versu:

[CSI:82,5; text: Gloria patri et filio et spiritui sancto. F, G, b, a, E] [IERTRA1 11GF]

Septimo tono damus duas differentias ad quas alie reducuntur; igitur:

[CSI:82,6; text: Septimus tonus sic incipit, et flectitur, mediatur, finitur. c, d, f, e, [sqb]] [IERTRA1 11GF]

Ad antiphonas septimi toni que incipiunt in G gravi, sicut hec:

[CSI:82,7; text: Transit pater. G, c, [sqb], d, e] [IERTRA1 11GF]

et consimiles, prima; ad omnes autem alias sequens datur differentia.

Ad Magnificat autem et ad Benedictus, sic variatur:

[CSI:82,8; text: Gloria patri et filio et spiritui sancto. c, d, e, [sqb], a] [IERTRA1 11GF]

Ad Introitum vero variatur sic:

[CSI:82,9; text: Gloria patri et filio et spiritui sancto; sicut erat in principio et nunc et semper; et secula seculorum Amen. G, c, [sqb], d, f, e, a] [IERTRA1 11GF]

In Invitatoria tale habent venite:

[CSI:82,10; text: Venite exultamus domino. d, e, g, c, [sqb]] [IERTRA1 11GF]

Responsoria talem solent habere cantum communiter in versu:

[CSI:82,11; text: Gloria patri et filio et spiritui. d, e, f, c, [sqb]] [IERTRA1 11GF]

[83] [CSI:83,1; text: spiritui sancto. c, d, e, f, [sqb]] [IERTRA1 12GF]

Octavo tono damus duas differentias ad quas alie reducuntur; igitur:

[CSI:83,2; text: Octavus tonus sic incipit, et flectitur, mediatur, finitur. G, a, c, [sqb], d] [IERTRA1 12GF]

Primam differentiam ad omnes octavi toni antiphonas preterquam ad antiphonam: nos qui vivimus, communiter assignatur. Excipiuntur antiphone que incipiuntur in c acuto, sicut iste: lumen ad revelationem; et ecce ancilla, et consimiles, ad quas sequens differentia assignatur.

Ad antiphonam vero nos qui vivimus, communiter talis differentia datur:

[CSI:83,3; text: In exitu Israel de Egypto, domus Jacob de populo barbaro. Manus habent et non palpabunt; pedes habent et non ambulabunt; non clamabunt in gutture suo. a, b, G, F, E, D] [IERTRA1 12GF]

Ad Magnificat autem et ad Benedictus flexe et mediationes octavi toni, sicut de tono secundo.

Ad Introitum autem sic variatur:

[CSI:83,4; text: Gloria patri et filio et spiritui sancto, sicut erat in principio et nunc et semper et in secula seculorum. Amen. G, a, c, [sqb], d] [IERTRA1 12GF]

In Invitatoria tale habent venite: Venite, exultemus domino (sic).

Responsoria talem solent habere cantum communiter in versu:

[CSI:83,5; text: Gloria patri et filio et spiritui sancto. G, c, [sqb], d, a] [IERTRA1 12GF]

CAPUT XXIII.

De dictorum cantuum, [sqb] duralis scilicet et b molli mutuis commutationibus.

Quando autem assignari debeat in cantu cujuslibet toni tam paris quam etiam imparis b rotundum et [sqb] quadrum, et quando non, et hoc tam in acutis quam etiam in gravibus, non videtur pretereundum. Ad cujus quidem evidentiam primo et principaliter est notandum quod nullus sepe dictorum trium cantuum est sufficiens ad complendam melodiam totius corporis uniuscujusque toni. Cujus ratio est quia quilibet cantus dictorum trium cantuum naturaliter, scilicet [sqb] duralis et etiam b mollis, ut sepe diximus, solum constat ex VI notis. Armonia vero tonorum imparium, secundum communes regulas, de ipsis tonis prius datas, extendit se ad X notas secundum autem regulas mixtas ad XII notas, ut plurimum se extendit.

Similiter et armonia tonorum parium secundum [84] regulas quidem communes extendit se ad IX notas; secundum autem mixtas regulas similiter ad notas IX ut plurimum se extendit. Non igitur solum unus cantus sed duo, ut demonstrabitur, totam melodiam uniuscujusque toni naturaliter constituunt.

De tertio ergo cantu sic in tonis rejiciendo sive vacante, talis potest ratio assignari, quod per pauciora fieri potest, per plura fieri non debet. Sed, ut jam diximus, vulgaris toni proportio per duos cantus perficitur, ergo tertius superflue assumitur. Quod minus studiosis in speciali declarandum esse videtur, et primo de singulis tonis in sedibus gravibus terminatis.

Primi igitur toni in D gravi terminati melodiam que inclusis licentialibus extendit se a C in e acutum. Duo cantus naturaliter perficiunt scilicet naturalis primus et [sqb] duralis secundus; b mollis autem quando in hoc tono et in aliis assumitur, sequens ratio declarabit.

Item secundi toni ibidem terminati melodiam que inclusa licentiali extendit se ab A in b rotundum, sed acutum, duo cantus naturaliter efficiunt; cantus videlicet [sqb] duralis primus, et cantus naturalis similiter primus. Cantus vero b mollis per accidens sumitur, scilicet solum propter notam licentialem.

Item tertii toni in E gravi terminati melodiam que inclusis licentialibus extendit se a D gravi in f acutum, duo cantus naturaliter efficiunt, scilicet cantus naturalis primus, et cantus [sqb] duralis secundus.

Item quarti toni ibidem terminati melodiam que inclusa licentiali extendit se a B gravi in c acutum, duos cantus naturaliter efficiunt, videlicet cantus [sqb] duralis primus, et secundus cantus naturalis.

Item quinti toni in F gravi terminati melodiam que inclusis licentialibus extendit se ab E gravi in g superacutum, duo cantus naturaliter efficiunt cantus, scilicet naturalis primus, et secundus, et cantus b mollis primus.

Sexti vero toni ibidem terminati melodiam que inclusa licentiali extendit se a C gravi in d acutum, duos cantus naturaliter efficiunt, scilicet cantus naturalis primus, et b mollis similiter primus.

Item septimi toni in G gravi terminati melodiam que inclusis licentialibus extendit se ab F gravi in aa duplicatum, duo cantus naturaliter efficiunt, scilicet cantus naturalis primus, et secundus, et cantus [sqb] duralis secundus.

Octavi toni melodiam vero ibidem terminati que inclusa licentiali extendit se a D gravi in e acutum, duo cantus naturaliter efficiunt, scilicet cantus naturalis primus, et cantus [sqb] duralis secundus.

Hoc idem potest ostendi de singulis tonis in tetracorda acutarum finitis, ut dicatur; primi toni in a acuto terminati melodiam efficiunt [sqb] duralis, secundus naturalis, et secundus b mollis licentialem. Idemque cantus et tertii toni ibidem terminati, melodiam efficiunt; secundi autem toni primus et secundus naturalis, et secundus [sqb] duralis. Quarti vero toni primus b mollis et ceteri qui et tonum secundum. Item tertii toni in [sqb] quadro terminati melodiam efficiunt, secundus et tertius [sqb] duralis, et secundus naturalis. Quarti vero primus et secundus naturalis; et secundus [sqb] duralis. Item quinti toni in acuto terminati melodiam efficiunt cantus [sqb] duralis, secundus et tertius; et cantus naturalis secundus. Sexti vero secundus [sqb] duralis, et secundus naturalis. Item septimi toni in d acuto terminati melodiam efficiunt cantus [sqb] duralis secundus et tertius; et cantus naturalis secundus. Octavi vero [sqb] duralis secundus licentialem quoque b mollis secundus. Hi igitur cantus qui melodias tonornm [85] naturaliter efficiunt, sumendi sunt in cantibus, rejectis ceteris ratione qua diximus.

Preterea tria melorum genera, scilicet diatonicum, chromaticum et enarmonicum superius (cap. IX) esse diximus; horum autem primum scilicet genus diatonicum, quod procedit in quolibet sui generis tetracordo ex duobus tonis et minore semitonio, a quo et diatonicum dicitur, usus retinuit.

Quare modernorum quidam, virtute dicti generis, in octo tetracorda totam manum diviserunt, sub his autem quatuor terminis sumptis virtualiter, ut prius, scilicet: ut, re, mi, fa, cujuslibet tetracordi tria intervalla constituuntur; horum autem primum tetracordum est a [Gamma] ut in C fa ut. Secundum a C fa ut, in F fa ut, que etiam gravia dicuntur. Tertium ab F fa ut, in b fa acutum. Quartum a G sol re ut, in c sol fa ut, que dicuntur acuta. Quintum a c sol fa ut, in f fa ut, superacutum. Sextum ab f fa ut, in bb fa duplicatum que superacuta dicuntur. Septimum acutum a g sol re ut, minutum in cc sol fa duplicatum. Octavum vero a [sqb][sqb] mi in ee que dicuntur excellentia. Hic igitur notandum quod si dicta tetracorda precipue immediate sibi contigua, puta duo acuta et etiam sextum et septimum indistincte, sed confuse in cantibus sumerentur, ordo utique diatonici generis tolleretur quo utimur, ex quo cantus maximis dissonantiis subjaceret a sua natura descendens, et in aliud genus incidens, quod quidem reprebensibile est et vitandum omnibus sensum habentibus.

Valde igitur error illorum reprehensibilis est qui primi toni communem versum sepe dicti generis sic lacerant abusive. Cum enim ditonum facere debeant ab a in F, ab a in G minus semitonium faciunt ut eis triemitonium, id est tres semitonia chromatici generis dicendum remaneat; corrumpentes alios quamplures errores illorum, causa brevitatis relinquimus.

Ad propositum autem redeuntes, dicimus quod quicunque cantus cujuscunque sit toni sive in ipsa inchoatione, sive in medio cantus post quamcunque pausam ultra terminos cujuscunque tetracordi sumitur, ipsum usque ad finem totaliter est prosequendum, ratione que potest colligi ex habitis, signaque ejusdem tetracordi magis propter cantores quam propter musicos in libris musicis sunt signanda, secundum regulas que sequuntur speciales. Igitur quando cantus in tetracordo finalium communium terminatus cujuscunque sit toni, e acutum ascendit signum quarti tetracordi, per quod distinguitur a tertio, scilicet [sqb] quadrum ad differentiam b rotundi signari debet, eo quod in tali cantu viget [sqb] duralis. Et eodem modo, quando cantus in tetracordo acutarum finitur, in ee la excellentissimum ascendit, quod virtute prime rationis ostenditur.

Item, quando cantus in tetracordo finalium communium terminatur, cujuscunque sit toni, post pausam quamcunque, in F gravi resumitur sive in principio cantus, sive in medio, sive etiam in fine, et ultra quam ad VI notas ante quam pauset, progreditur. Signum tertii tetracordi per quod distinguitur a quarto, scilicet b rotundum ad differentiam [sqb] quadrati figurari debet, eo quod in tali cantu viget b mollis primus. Et e converso, si in G gravi resumitur, et ultra quam ad VI notas progreditur. Et eodem modo, quando cantus in f vel in g acuto resumitur quod virtute secunde rationis ostenditur. Nam tetracorda sineninia genus diatonicum observant, de quibus nunc dicimus incidenter.

[86] Synemenon est additio abundantie sive diminutio proportionum diatonici per modum armonice sumptum. Ipsius quatuor sunt species secundam antiquos, scilicet protosynemenon deuterosynemenon, tritosynemenon, tetrasynemenon, tunc secundum optimos practicos plura alia inveniuntur in sectione corde monocordi cujus extrahendi modus talis est processus. Sumantur voces sive elementa musice quatuor virtute qua prius; hec scilicet mi fa sol la, et ponatur primum tetracordum synemenon, a [Gamma] in C ita tamen quod in primo tetracordo et in aliis omnibus semitonium duos tonos antecedat. Secundum tetracordum est ab A in D; tertium a C in F; quartum a D in G que dicuntur gravia; quintum ab F in b fa; sextum a G in c;. septimum a c in f; octavum a d in g, quod nominatur acutam; nonum f in bb fa; decimum et ultimum a g in cc, que superacuta dicuntur. Dicitur autem synemenon, a syn, quod est con, et mene, defectus, quasi cum defectu. Deficiunt enim ab ordine prime positionis primorum tetracordorum.

Licet autem in discantibus synemenia sunt utilia, tamen cantus ecclesiasticus ipsam non recipit ullo modo. Qualiter autem ex dimensione procreentur ipsius monocordi ex predictis manifestum.

CAPUT XXIV.

De modo cantandi et formandi notas et pausas ecclesiastici cantus.

Jam vero per multa exempla, quomodo scilicet tropi varientur, demonstravimus. Nunc quoque de ipsorum qualitate subvertendum videntur, quia divrersi diversis delectantur modis. Sicut enim non omnium ora eosdem cibos, sed ille quidem acrioribus, iste vero lenioribus escis juvatur, ita profecto non omnium aures unius et ejusdem modi sono delectantur; sed alios morosa et curialis soni vagatio delectat; alios rauca gravitas captat; alios severa et quasi indignans armonie prosultatio juvat; alios adulatorius sonus attrahit; alii etiam modesta vel molesta hac subitanea notarum ad finalem regressione moventur; alii lacrymosa voce mulcentur; alii inimicos saltus in cantu libenter audiunt; alii vero decentem et quasi matronalem canorem diligunt. Quapropter componendis cantibus hic primum musicus facere debet, ut talem cantum faciat in quo quidem convincit delectari hos quibus cantum suum placere desiderat. Quoniam autem musicus cantus, ut diximus, commovet alios auditorum, eo quod aures mulcet, mentem erigit, preliatores ad bellum concitat, latrones exarmat, iracundos mitigat, tristes letificat, discordes pacificat, varias cogitationes eliminat, freneticorum rabiem temperat, horum autem quedam efficit ordo prosaicus; idcirco secundario, necessarium est cantum componenti, quod scilicet ita proprie cantum componat, ut quod verba sonant, cantus videatur exprimere, et ibi cantus pausationem recipiat, ubi finalis sensus verborum facit pausationem.

Tertio necessarium est musico ut ipsum quem facit cantum ad aliquem dictorum tonorum reducat; maturum tamen et tristem ad aliquem tonorum parium; lascivum vero et letum ad aliquem tonorum imparium, sive principalium. Quarto necessarium est ut unicuique syllabe dictionis naturaliter et primo et principaliter et per se una tantum nota respondeat; per accidens vero fiat earumdem notarum additio, scilicet secundum differentias litterarum. Nam littere alphabeti primo differunt per has V vocales, scilicet A, E, I, O, U et alias omnes consonantes; ipse vero consonantes similiter differunt. Sunt enim alie semivocales, alie mute. Inter semivocales vero quedam liquide dicuntur; vocales [87] autem sunt que directo hiatu faucium, sine ulla collisione, varie emittuntur. Sic dicte, eo quod per se vocem impleant, et per se syllabam faciant nulla consonante adherente. Consonantes sunt que diverso motu lingue vel impressione labiorum sonum efficiunt; sic vocate, quia per se non sonant, sed juncte vocalibus consonant. Semivocales autem dicuntur, eo quod aliquid de vocalibus habeant. Ab E quippe vocali incipiunt et in vocalem sonum desinunt; sicut iste VI: f, l, m, n, r, f; mute vero sic dicte, quia subjectis sibi vocalibus nunquam erumpunt. Si enim eis extremum extraxeris sonum inclusum mutum sonabit, et sunt iste VI b, c, d, g, p, t.

Quando igitur syllaba terminatur in aliquam vocalium et precipue dictio monosyllaba, plures note sibi naturaliter debent addi, quam cum terminatur in has duas vocales idest s et v, cum in metro vim obtinent consonantiam. Et minus his in semivocales terminatis, et adhuc his pauciores, id est sola plica longa vel brevis, terminatis in liquidas, et iterum pauciores terminatas in mutas; et non plus quam notam unam in h, que non dicitur littera, sed aspirationis nota. Similiter in y et x syllabis terminatis, que quidem littere superflue a grammaticis judicantur, x tamen propter vim duple consonantis, secundum aliquos, notarum recipit additionem. Finaliter igitur est notandum quod omnes syllabe, precipue dictiones monosyllabe, sive sunt longe sive breves, sive etiam indifferentes, ut diximus, terminate additiones notarum recipiunt, secundum differentias litterarum, et hoc in unoquoque modo et numero ad placitum componentis, secundum videlicet quod exigit armonica pulcritudo. Ad hos autem tonorum gradus maxime valent.

Nam duo sunt principales tonorum gradus sibi invicem contrarie oppositi, pulcher scilicet et turpis, qui etiam sicut et pulchrum et turpe gradus comparationis recipiunt, intensive scilicet et remissive. Nam pulcriorum graduum, alius pulcher, alius pulcrior, alius pulcherrimus; turpium autem alius turpis, alius turpior, alius turpissimus. Licet autem talibus differentiis a se invicem distinguantur, tunc nullus eorum rejici debet, cum secundum materie exigentiam unusquisque competens esse monstretur. Nam poetarum mos est ut aliquem de turpi, tristiori vel horribili, aliquem vero de turpiori, tristiori et horribilissima materia decantent carmina; quibus autem turpis, turpior et turpissimus tonorum gradus competant, nulli est ambiguum.

Nunc de eorumdem graduum proprietatibus est dicendum. Est igitur pulcher tonorum gradus uniuscujusque toni sive mixti sive communis, qui solum ex his contexitur modis, scilicet ex unisono non plus quam ad notas quatuor vel ex semitonio, tono, semiditono et ditono indifferenter contexitur; ex diatesseron scilicet contexitur raro remissive, rarius intensive. Sed indifferenter post unamquamque pausam resumitur; similiter et ex diapente raro intensive, rarius remissive; sed aliquando precipue in tonis tonorum imparium unamquamque pausam sumitur; sed indifferenter ut in sequentiis, versus post versum resumitur. Hic tamen gradus assequenti deficit, non enim in sua finali incipit; vel si in finali incipit, clamose, ut in diapente, vel in diatessaron salit, et iterum si uno et eodem cantu dictos modos frequenter ingeminat, sicut verbi gratia quantum ad inceptionem in Evangelio libro generationis; quantum vero ad alia in alleluia: Virga jesse floruit. Item si in principio sui cantus mediocriter ascendit et descendit, reliquum vero totum clamose determinat, sicut in alleluia: In die resurrectionis mee. Et [88] quod deterius est, et magis defectuosum, si terminos tonorum suorum non implet.

Hoc gradu alius pulcrior est; qui quidem ex eisdem modis sicut et primus complectitur, sed vero eodom modo utitur eisdem. Nam unisonum non plus quam ad tres notas recipit; ex semitonio vero, tono, semiditono et ditono indifferenter sicut et primus contexitur; ex diatesseron indifferenter post unamquamque pausam resumitur; et ex diapente, modo quo de gradu primo jam diximus. Hic iterum gradus a tertio deficit, si quidem gradus imitatur defectus. Si enim in sua finali incipit, cujuscunque sit toni, tamen imparis, si in principio, non procedit a tertia, puta a semiditono vel ditono, quod imparibus est proprium. Tamen imparium metas complectitur, unde etiam tales note dicuntur autentice. Et similiter, si in sua finali incipit, cujuscunque sit toni, tamen paris. Si in principio non procedit a secunda puta a semitonio et tono, quod paribus proprium est; unde etiam tales note plagales dicuntur.

Hoc est dictum quod sint plagales note in paribus, verbi gratia, sicut alleluia: pie pater, et antiphona: o lumen ecclesie, que etiam tonorum parium propter notas plagales a cantatoribus intitulantur erronee, et e converso. Si scilicet autentice note tonis jungantur plagalibus, et iterum si terminos tonorum suorum, etiam quantum ad ipsas notas licentiales non implent, secundus gradus deficit a tertio. Quapropter tertius gradus qui nulli jam dictorum defectuum subjacent, est pulcherrimus. Hic enim gradus sicut et duo primi ex prefatis quidem modis utitur eisdem. Nam unisonum raro et non plus quam ad duas notas recipit; ex semitonio vero, tono, semiditono et ditono, toni impares in medio et in fine; toni vero pares in toto conficiuntur ex diatessaron, qui non alias quam indifferenter post unamquamque pausam resumitur. Ex diapente vero in quo rarissime non in imparibus solum tonis post pausam resumitur, et in eisdem semel tantum remittitur, infra et omnium tonorum suorum terminorum et quantum ad notas licentiales complectitur; sicut: Lemberti Petri matiris; illud: dum Samsonis et hoc exemplum quantum ad pares, et alleluia ejusdem scilicet: Felix ex fluctu" tripliciter, et hoc quantum ad impares. Ex his tribus autem gradibus duo alii sunt: unus qui ex aliquibus, alter qui conficitur ex omnibus, qui etiam mixti dicuntur.

Hic igitur est quinto notandum, quod si musicus pulcherrimam historiam de sancto vel de sanctis facere cupit, etc., hunc in faciendo ordinem debet habere, ut scilicet antiphonam vel antiphonas in primis vesperis super psalmos statuat in duabus mixtis gradibus; et similiter omnes antiphonas in laudibus, in matutinis. Antiphonas vero scilicet ad Magnificat in primis vesperis et in secundis et etiam ad Benedictus, in missa sequentiam faciat de gradu pulcherrimo sive de tertio; primum autem nocturnum cum antiphonis, responsoriis et versibus de primo gradu; secundum de secundo; tertium vero de tertio gradu constituat. Item turpis gradus est cum cantus tonorum excedens lumina, ex omnibus modis, ex quibus et omnis cantilena indifferenter contexitur; velut hic cantus: ter terni sunt modi, etc. Secundus gradus turpior est, cum cantus tonorum non implens vel transgrediens lumina ex asperioribus modis, puta ex unisono usque etiam ad XX notas pluries in geminato. Simiter et ex ditono ex diatessaron, et ex diapente ex semitonio cum diapente, et ex tono cum diapente ex duplici diatessaron, et ex diapason conficitur. Sed turpissimus et tertius gradus est qui predictorum graduum defectibus omnibus [89] nititur constans ex tritono etiam tetracordis synemenis sumpto; similiter et ex minori diapente, semitonio cum diapente, tono cum diapente et ex duplici diatessaron. Ex his autem et alii duo gradus consurgunt qui et mixti dicuntur: unus scilicet qui ex aliquibus, alter vero qui conficitur ex omnibus, ad quos etiam cantus poetarum reducitur, ut diximus. In cantu vero ecclesiastico sunt vitandi, nisi quandoque in cantu feriali vel etiam flebili, puta passionis dominice cum prefatis tamen gradibus temperati sumantur. Plures his regulas, cum ad istas reduci possint, causa brevitatis dimittimus.