Back to top

[3] Speculum musicae [P1 et P2, 1r in marg.]

Incipiunt capitula primi libri Speculi musicae.

I. Prooemium in libro Speculi Musicae.

II. Quid sit musica.

III. Quid sit musicus.

IIII. Unde dicatur musica.

V. Musicae commendatio et eius utilitas.

VI. De musicae inventoribus.

VII. De modo inventionis musicae.

VIII. Cui parti philosophiae musica supponatur.

VIIII. Quod mathematicae scientiae differenter tractant de proportionibus et mensuris.

X. Musicae prima divisio.

XI. Quod coelestis vel divina musica rationabiliter inter musicae species numeretur.

XII. De quibus sit musica coelestis vel divina et quare sic nominetur.

XIII. De quibus sit musica mundana.

XIIII. De quibus sit humana musica.

XV. De quibus sit instrumentalis musica et quare sic vocetur.

XVI. Musicae instrumentalis prima divisio.

XVII. Musicae instrumentalis secunda distinctio.

XVIII. Musicae instrumentalis tertia partitio.

XVIIII. Musicae instrumentalis quarta divisio.

XX. Quae musicae species specialius sub theorica et quae sub practica <contineantur>.

XXI. Summa, ordo necnon et ratio dicendorum.

XXII. Quid sit sonus.

[4] XXIII. Quid sit vox.

XXIIII. Quid sit motus.

XXV. Quid sit tempus.

XXVI. Sonorum differentiae.

XXVII. Quod sonorum <vel vocum> infinitatem natura terminet humana.

XXVIII. Quis modus sit audiendi.

XXIX. Collatio iudicii sensus ad iudicium intellectus.

XXX. Quid sit unitas.

XXXI. Unitatis distinctio.

XXXII. Quid sit numerus.

XXXIII. Numeri acceptiones.

XXXIIII. Numeri prima divisio.

XXXV. Numeri secunda divisio.

XXXVI. Numerorum ad aliquid divisio.

XXXVII. Numerorum ad aliquid inaequalium distinctio.

XXXVIII. Quid sit numerus multiplex et quid submultiplex.

XXXIX. Numerorum multiplicium et submultiplicium radix et generatio.

XL. Numerorum multiplicium proprietates.

XLI. Quid sit numerus superparticularis et subsuperparticularis.

XLII. Numerorum superparticularium generatio.

XLIII. Numerorum superparticularium proprietates.

XLIV. Quid sit numerus superpartiens et quid subsuperpartiens. [P2, 1v in marg.]

XLV. Numerorum superpartientium procreatio.

XLVI. Numerorum superpartientium proprietates.

XLVII. Quid sit multiplex superparticularis et submultiplex superparticularis.

XLVIII. Quid sit multiplex superpartiens et submultiplex superpartiens.

XLIX. Expositio positae descriptionis.

L. Unitatis ad binarium collatio et numeri imparis ad parem.

[5] LI. De sufficientia quinque specierum maioris et minoris inaequalitatis.

LII. Comparatio specierum numerorum ad aliquid inter se penes convenientiam et differentiam.

LIII. Quod omnis inaequalitas ab aequalitate immediate vel mediate descendit.

LIV. Superparticularium ex multiplicibus creatio.

LV. Superpartientium ex superparticularibus productio.

LVI. Quod multiplices superparticulares ex superparticularibus <generantur>. [P1, 1v in marg.]

LVII. Quod multiplices superpartientes ex superpartientibus producuntur.

LVIII. Quod omnis inaequalitas in aequalitatem resolvitur.

LVIIII. Quid sit proportio.

LX. Quid sit proportionalitas.

LXI. Proportionalitatis divisio.

LXII. Arithmetica medietas quid sit.

LXIII. Arithmeticae medietatis proprietates.

LXIIII. Arithmetica medietas qualiter ab aequalitate procreetur.

LXV. Quid sit geometrica medietas.

LXVI. Geometricae medietatis proprietates.

LXVII. Quid sit harmonica medietas.

LXVIII. Harmonicae medietatis proprietates.

LXIX. Harmonicae medietatis ab aequalitate productio.

LXX. De septem posterioribus medietatibus.

LXXI. Medietatum ad invicem collatio.

LXXII. Medietatum sufficientia.

LXXIII. De permutata proportionalitate.

LXXIIII. De maxima perfectaque harmonia.

LXXV. Regulae inveniendi quot et quales quis voluerit continuas proportiones superparticulares.

LXXVI. Regula secunda vel ars multiplicandi proportiones superparticulares.

Expliciunt capitula primi libri Speculi musicae.

[7] In nomine Sanctissimae Trinitatis Patris et Filii et Spiritus Sancti,

Incipit Speculum musicae

Capitulum <I>.

Prooemium toti huic operi deserviens.

Libro tertio de Philosophica Consolatione, Boethius, volens [P2, 2r in marg.] reddere causam quamobrem omnium hominum genus suam conatur adipisci beatitudinem: Est, inquit, mentibus hominum veri bonique naturaliter inserta cupiditas. "Veri" dicit, quoad intellectum, cuius perfectio in veritate consistit; "boni", propter appetitum, qui in bonum tendit. Appetit siquidem ens quodcumque naturaliter suam perfectionem, sicut et suum bene esse. Nam, iuxta <Eustratii> sententiam, imperfecta non stant in se, sed appetunt perfici. Qua in re convenienter asserit Philosophus quod naturaliter omnes homines scire desiderant, et quod omnia bonum appetunt. Per scientiam quippe cognitio sumitur veritatis, et, si sit practica et moralis, per eam disponitur quis ad <ademptionem> bonitatis, quae in moralibus consistit virtutibus.

Verum, cum, secundum Philosophum, decimo Ethicorum, delectabilissimum et optimum sit unicuique quod congruit [8] ei secundum propriam naturam,--quale est homini vivere secundum intellectum, scientias et virtutes acquirere--quid est quod nostri temporis homines ita parum de his curant, in bonis corporis et fortunae potius quam animae bonis delectantur, et hos, qui bonis vacant animae, nisi de mundi negotiis exterioribus sciant et velint intromittere se, parum appreciant? Insuper eos habent contemptui, quasi ad nihil utile huic mundo deserviant. Sed degenerant tales, bestialem conditionem imitantes. Nam, ut ait Boethius, humanae naturae ista conditio est, ut ceteras res, cum se cognoscit, excellat, eadem tamen infra bestias redigatur, si se <nosse> desierit. Hoc enim, secundum Senecam, habet generosus animus, ut concitetur ad honesta, idest ad scientias et virtutes. Neminem, inquit, excelsi ingenii virum humilia delectant et sordida. Magnarum rerum species ad se trahit. Et cum hominis proprium sit vivere secundum rationem vel intellectum, nonne illi ut homines mortui sunt, qui secundum hoc non vivunt? Vivere enim viventibus est esse. Ad horum etiam gravamen accedit quod hi magnam iniuriam, testante Boethio, Deo faciunt: Nec advertitis, inquit, quantam Deo facitis iniuriam. Ille genus humanum praestare omnibus voluit; vos autem dignitatem vestram infra infima quaeque detruditis. Hos plangens Propheta ait: Homo cum in honore esset, non intellexit. Est homo in honore per intellectum, quo distinguitur a brutis. Sed hoc non recognoscit, quando per intellectum non vivit et perfectiones illius acquirere negligit. Et tunc comparatur iumentis insipientibus et similis factus est illis.

Sed iam ad animum revertamur qui, secundum Senecam, in tristi et obscuro corporis domicilio clausus, quotiens potest, carcerem apperit et in rerum <naturae> contemplatione [9] requiescit. Tactam abiicientes degenerationem, scientias et virtutes conemur adipisci. Ad haec praecipua nostra sit intentio, ibi amplior nostra sit delectatio. Ibi vacemus, haec amemus, quibus ad beatitudinem consequendam dirigimur. Etiam intellectus delectationes purae sunt, firmae sunt, honestae sunt, tristitiam non habent annexam, | [P1, 2r in marg.] sicut corporales habent delectationes. Quod si sit aliqua scientia non iam tamen theorica, verum etiam quantum ad aliquid moralis et practica, diversis hominum moribus, variis ipsorum statibus se coaptans, quae non solum intellectum simul et affectum, sed etiam hominem totum, animam atque corpus perficiat, merito talis ab hominibus cunctis quaeri debet bene dispositis. Haec autem est Musica, testante Boethio, qui ait: Ceterae scientiae, cum in investigatione laborent veritatis, musica non modo speculationi verum etiam moralitati coniuncta est. Nihil <est> enim tam proprium humanitatis, quam remitti dulcibus modis, adstringi contrariis. Hinc est ut musica multas in se delectationes contineat et varias afferat utilitates. Hoc approbans Philosophus, octavo Politicae: Musicam, inquit, omnes ponunt esse delectabilissimorum et, cum melodia, ait Musaeus, esse hominibus delectabilissimum cantare. Et infra: Habet enim musica delectationem in se naturalem, propter quod omnibus moribus usus ipsius amicus est. Idem, infra, libro eodem: Dicimus, inquit, non unius utilitatis gratia oportere uti musica, sed plurium. Varias enim et mirabiles affert delectationes in tantum ut hominum rapiat animas, dicente Philosopho, octavo Politicae, quod melodiae faciunt animas raptas. Raptus autem eius quasi circa animam moris passio est.

[10] Et quia, secundum Philosophum, septimo Politicae, quod naturae deficit, ars et disciplina supplere vult, inclinatio autem ad musicam etsi naturalis sit, musicae tamen artem naturaliter non habemus. Conati sunt multi libros et tractatus facere, quibus in Musica quae continentur veritates clarius appareant, et errores evitentur circa eam <qui> latent. Intendenda enim, ut ait Boethius, vis mentis est, ut id, quod natura est insitum, scientia quoque possit comprehensum | [P2, 2v in marg.] teneri. Naturale etenim est non solum prosequi bonum, sed fugere malum. Attestatur hoc in aliquibus duplex appetitus: concupiscibilis scilicet, quo in bonum suum tendunt, et irascibilis, quo non solum bonum arduum adipisci satagunt, sed malis et nocivis resistunt ut possunt. Etiam in animalibus imperfectioribus terrae affixis duplicem natura motum indidit: unum dilatationis, cum percipiunt quod sibi delectabile videtur et bonum, alium constrictionis, cum <iniucundum> tristabileque est quod sentiunt. Qui duplex motus in corde est, vel in eo quod locum tenet cordis. Ideo sapiens Salomon, in suis Proverbiis, cum dixisset: Veritatem meditabitur guttur meum, statim intulit: et labia mea detestabuntur impium.

Horum igitur consideratione, ego, etsi minimus inter alios, ut, etiam cum vacat, aliquam operam darem philosophiae,--quia, secundum Senecam, otium sine litteris mors est et vivi hominis sepulcrum, et Boethius summum solamen in philosophiae disciplinis edocendis atque tractandis positum existimabat,--stilo simplici de musica tractare disposui, quae inter ceteras scientias a iuventute mihi grata fuit et in senectute non me deseruit, sed tenuit quasi raptum et possessum. Nec conqueror. Quin potius dignitatem eius ut potero (datumque mihi desuper fuerit a Domino) non abscondam, sed extollam. Hoc autem opus "Musicae Speculum" dixerim, in quo mentis oculis aliqua speculari poterunt, ad musicam tam theoricam quam practicam, generaliter specialiterque sumptam spectantia. Nam [11] hic laudabiles musicae reperientur conditiones. Hic musicalium consonantiarum naturas, hic ipsarum proportiones numerales, hic earundem inter se multas et varias collationes, convenientias, distinctiones proprias speculari quis poterit et communes. Hic tetrachordorum, secundum triplex genus cantilenarum, diatonicum scilicet, chromaticum et <enharmonium>, multiplex ponitur descriptio. Hic tonorum vel modorum veterum modernorumque tangitur conditio. Hic totius monochordi veteris ac moderni scribitur dispositio. Hic venerabilis Boethii Musica, quae nunc magna ex parte derelicta videbatur, ad memoriam revocatur. Nam, etsi aliqui in suis musicae tractatibus de illa sumant aliqua, illa sunt pauca et de assumptis quaedam dicunt quae minime ad intentionem vadunt Boethii, ut patebit infra. Item non hic abiicitur Guidonis Musica expositorumque suorum, qui multa dixerunt bona de tonis vel modis, de diapason, diapente et diatessaron speciebus, in quibus toni fundantur. Adhuc hic ars Franconis Teutonici et alterius cuiusdam valentis musici contra modernos cantores, vel potius notatores et scriptores aliqualiter defenditur, qui causa primaria huius fuerunt operis. Contra quos, quantum ad aliqua, cum loqui coepissem, ex incidenti aliquarum consonantiarum, in quibus defecisse videbantur, se obtulit materia, mutavique propositum et amplius concepi hoc musicum dilatare negotium; sicque factum est ut, quod primum fuerat in intentione, ultimum sit in executione. Item arithmetica non hic negligitur, et quaedam alia tanguntur hic, quia sic congruit. Musica enim, generaliter sumpta, obiective quasi ad omnia se extendit, ad Deum et ad creaturas, incorporeas et corporeas, coelestes et humanas, ad scientias theoricas et practicas.

Ut autem ordo servetur hic, et evitetur confusio, opus hoc per septem libros partiales distinctum est, et [12] liber quisque sua per capitula. Sex primi libri musicam planam respiciunt, septimus autem ad mensurabilem flectitur musicam; adhuc quinque libri primi de natura tractant consonantiarum, sextus vero de natura modorum vel tonorum.

Primus liber est de quibusdam, quae scire expedit ad consonantiarum musicalium (de quibus instrumentalis musica principalius tractat) perfectam habendam notitiam. Secundus de consonantiis, in speciali quae in nostro continentur monochordo, divisim disserit. Tertius demonstrative de illis loquitur | [P1, 2v in marg.] consonantiis, de quibus expressius tractat Boethius. Quartus de consonantiis agit collative sumptis. Quintus de quibusdam, quae diatessaron respiciunt, ut de tribus cantilenarum generibus et de tetrachordorum in monochordo distinctis descriptionibus. Sextus de quibusdam, quae concernunt diapason, ut de speciebus, modis vel tonis. Septimus de aliquibus, quae moderni tangunt cantores, in quibus ab arte discrepant Franconis.

Sed iam ad narrationem descendamus, ubi praemittemus quaedam communia, quae scire convenit, cum, ignoratis communibus, ars ignoretur, licet, illis scitis, ars non sciatur, quae ex propriis procedit principiis. Verum, uti Plato vult in Timaeo, et idem allegatur a Boethio, si in minimis rebus Deus est invocandus, multo amplius in arduis et magnis rebus. Opus autem quod assumpsi, laboriosum et longum mihi est et multis cogitationibus est explendum, tardeque nimis est inceptum. Et cum superet vires meas, dicere compellor: "Domine, ad | [P2, 3r in marg.] adiuvandum me festina. Incipe, media, comple et perfice; sine te enim nullum rite fundatur exordium, nihil deducitur ad perfectum, qui ad omnem creaturae coagis effectum. Tu, benignissimus, sapientissimus, potentissimus et optimus, das velle, das posse, das et perficere: meum velis supplere defectum. Amen".

[13] Suscipiant, si placet, opus hoc deliciosi musicalis amatores scientiae et orare velint Deum pro compilatore.

Fiat, fiat.

Si cui autem huius operis compilatoris nomen scire placet, librorum septem partialium litteras simul iungat capitales.

Explicit prooemium in libro, qui intitulatur speculum musicae

[14] Incipit Tractatus in Speculo Musicae.

Capitulum <II>.

Quid sit musica.

In principio huius operis, quid musica, et quis sit musicus videatur.

Est autem musica, secundum Boethium quinto Musicae suae libro, facultas harmonica acutorum sonorum graviumque concordiam perpendens, idest scientia, qua quis potens est faciliter acutorum sonorum graviumque simul collatorum perpendere concordiam et, de ea, qualis sit, iudicare. Scientia enim, cum sit habitus, facilitatem dat in actu suo. Dicit autem: sonorum acutorum graviumque, et non "soni acuti gravisque", quia non considerat musica sonum per se sumptum, sed sonum numeratum. Consonantia enim, cum sit passio principalior in musica quaesita, non respicit sonum unum, sed plures ad invicem comparatos. Habet igitur musica perpendere, plures soni simul comparati qualem faciant concordiam; habent vel illam bonam, vel malam, bonam, meliorem, vel optimam, et illarum habet considerare proprietates proprias et communes, et proportiones numerales. Adhuc dicit: sonorum acutorum graviumque. Potest autem sonus acutus ad acutum sibi coaequalem comparari, vel gravis ad gravem, et fit tunc consonantia vocum aequalium, quae dicitur unisonus; vel acutus ad gravem, et fit tunc consonantia vocum inaequalium, ut sunt diatessaron, diapente et huiusmodi.

[15] Isidorus autem, tertio Etymologiarum, sic ait: Musica est peritia modulationis sono cantuque consistens, idest scientia, qua quis peritus est modulare, idest dulciter cantare. Dicit sono, quantum ad instrumenta artificialia, cantu, quoad naturalia quibus vox formatur. Duae tactae musicae descriptiones vel definitiones satis inter se conveniunt et quoddam determinatum genus musicae respiciunt, musicam scilicet instrumentalem, quam alii sonoram nuncupant.

Ideo musica, generaliter sumpta, describi vel definiri potest aliter sic, ut vult Robertus in libro De Ortu Scientiarum: Musica est scientialis animae perfectio, quoad cognitionem armonicae modulationis rerum quarumcumque aliqua modulatione invicem coaptarum. Ponitur hoc loco generis, quod musica est animae perfectio, non quaecumque, sed scientialis, ad distinctionem actus secundi et moralis virtutis, et in hoc, quod est scientia, convenit in genere cum ceteris scientiis, quae omnes animam, intellectu mediante, perficiunt. Cum autem scientiarum quaedam theoricae, quaedam vero sint practicae, dicit absolute, quod est scientialis animae perfectio, principalius enim cum sit theorica, quia de obiecto non operabili a nobis et ad cognitionem veritatis ordinata. Finis enim theoricae vel speculativae scientiae <cognitio> est. Potest tamen musica, quantum ad aliquam sui considerationem, practica vocitari, quia praxim ad aliquam potest extendi, id est ad aliquod opus, speculativus siquidem intellectus extensione fieri potest practicus. Nam, de numero, licet sit scientia speculativa, ad praxim tamen extenditur in algorismo, et numerus, in secundo Arithmeticae, ad figuras extenditur geometricas. Item musica, etsi sit animae perfectio ratione speculationis, tamen ratione suae praxis corpus respicere potest et ipsum aliqualiter perficere. Quod autem additur, quoad cognitionem armonicae modulationis, [16] et cetera, loco ponitur differentiae musicam ab aliis distinguentis scientiis.

Item in tacta musicae descriptione eius tangitur finis, tam proprius quam communis, necnon et eius subiectum, in quo est, et obiectum, de quo est sumendum ipsum generaliter. Nam cum dicit musicam esse perfectionem animae scientialem, finis ipsius tangitur communis et remotus: omnis enim scientia ad hoc, ut animam perficiat, ordinatur, et, in hoc, eius subiectum, in quo est, aperitur. Scientia enim quaelibet in anima est, intellectu mediante, non in potentia aliqua sensitiva, licet aliqui dixerint hoc. Sed in hoc quod additur: quoad cognitionem armonicae modulationis, et cetera, tangitur finis eius immediatus et proprius, ut est scientia speculativa praecipue cuius finis est cognitio veritatis eorum, quae in tali scientia speculantur. Et in hoc quod subditur: rerum quarumcumque aliqua armonica modulatione invicem coaptarum, tangitur subiectum, de quo | [P1, 3r in marg.] est musica generalissime sumpta, vel eius obiectum, ut, scilicet, extendit se musica ad mundanam, humanam et sonoram. Non est enim musica generaliter sumpta de numero sonorum vel de sonis numeratis invicem comparatis solum, sed de numero rerum quarumcumque simul collatarum, prout inter illas attendi potest quaedam habitudo cuiusdam proportionis, concordiae, ordinis vel connexionis, ut per harmonicam modulationem generaliter sumptam intelligatur habitudo sumpta, ut dictum est. Nec considerat | [P2, 3v in marg.] numerum rerum absolute, sed prout inter res aliquas plures et distinctas simul comparatas reperitur habitudo cuiusdam connectionis, ordinis, proportionis vel concordiae, qualescumque sint res illae sonorae, humanae vel mundanae, corporales vel spirituales, coelestes vel supercoelestes. Et ideo, si inter res aliquas simul collatas nulla innascitur habitudo, nullus ordo, nulla connectio, nulla concordia, nulla proportio, non pertinent tales res, etiam simul comparatae, ad musicam. Quod si non sit possibile quin ex comparatione debita rerum quarumcumque distinctarum quaedam consurgat habitudo, quaecumque sit illa (habitudinem sumendo generaliter, ut est tactum), videtur quod musica, in sua generalitate sumpta, res quascumque invicem possit comparare, et quam inter se servent habitudinem intueri.

Et secundum hoc, musica ad omnia extendere se videtur.

[17] Capitulum <III>.

Quid sit musicus.

Musicus est qui musicam in se habet, sicut arithmeticus, qui arithmeticam, iustus, qui iustitiam. Et, cum duplex sit musica, theorica scilicet et practica, ille vere et proprie magis musicus est qui theoricam habet, quae practicam dirigit et sibi imperat. Qui autem practicam habet, caret autem speculativa, non sic proprie musicus censeri debet, et huius signum, secundum Boethium, est, quod tales non a musica denominantur, sed aliunde, ab instrumentis scilicet musicalibus, quibus utuntur et musicae subserviunt, ut citharoedus a cithara, tibicen a tibia, lyricen a <lyra>, viellator a viella, organizator ab organo, et sic de aliis variis musicalibus artificialibus instrumentis. Qui autem naturalibus utuntur instrumentis quibus vox formatur, usu quodam consonantias proferre scientes, musicales causas illarum ignorantes, inter illas sufficienter distinguere nescientes, non illarum proprietates, non numerales proportiones cognoscentes, quare hae bonae, meliores illae, et illae optimae, hae consonae, hae dissonae, hae ecmeles, tales cantores dicuntur. Qui autem cantare nesciunt, vel propter defectum vocis, vel quia talem non habent usum, sciunt tamen consonantiarum naturas et alia ad musicam theoricam spectantia, musici non amittunt nomen.

Ideo Boethius musicum sic describit: Musicus est qui ratione perpensa canendi scientiam non servitio operis, sed imperio speculationis assumit, quasi dicat: "Ille musicus est proprie qui musicam habet speculativam", non sic: "qui practicam solam", quae consistit in servitio operis, quia opere suo speculativae deservit, quae sibi imperat et ipsam dirigit. Unde, secundum Boethium, ibidem tria [18] genera circa musicae versantur artem, unum quod agitur in instrumentis musicis, aliud quod fingitur in carminibus metricis et poeticis, tertium, quod diiudicat de illis et rationem reddit de singulis.

Prima duo genera, secundum Boethium, ibidem, a musicae scientiae intellectu seiuncta sunt; famulantur enim, nec quicquam afferunt rationis, sed sunt totius rationis expertes. Nam genus, quod in instrumentis est, in usu et opere totaliter consumitur, quia ad hoc finaliter ordinatur. Finis enim practicae scientiae opus est. Nonne qui citharizant et organizant manibus operantur, similiter et qui cantant naturalibus utuntur instrumentis? Et hoc intendunt hi et illi, ut bene et perfecte ludere sciant in suis artificialibus instrumentis vel cantare instrumentis naturalibus mediantibus.

Secundum etiam genus non consistit in speculatione et ratione; poeta enim, ut ait ibidem Boethius, non speculatione et ratione, sed quodam naturali instinctu fertur ad carmen. Hi igitur non sunt proprie musici sicut speculativi. Musica enim principalius est speculativa quam practica. Potest tamen is dici musicus cum hac additione: "practicus", qui musicam habet practicam.

Qui vero speculativam, absoluto vocabulo, musicus dicitur cui scilicet adest facultas, secundum speculationem et rationem propriam musicae convenientem, diiudicare de modis ac rythmis, de generibus cantilenarum, de permixtionibus, idest consonantiis, quae ex permixtione sonorum generantur, et de proportionibus illarum, et quae consonantiae congruant hominum generibus et moribus.

Lascivus quippe animus lascivioribus delectatur modis, et saepe eosdem audiens, qui sibi placent, quamvis iratus turbatusque fuerit, emollitur et frangitur, sedatur et ad bonum statum reducitur; asperior vero mens asperis et incitatioribus gaudet modis. Amica enim est similitudo, [19] dissimilitudo odiosa. Gaudet igitur gens modis et consonantiis suis respondentibus moribus. Hinc quod quoddam hominum genus in melioribus laetatur consonantiis, in vocibus vel sonis magis consonis, ut in octavis, in quintis decimis, in quintis et quartis; aliud vero, in rudioribus, ut in tertiis et septimis, in decimis et undecimis. Haec et consimilia musicus speculativus habet discernere et de illis rationem reddere.

Si quis autem musicam theoricam simul et practicam possideret, perfectior esset musicus eo qui solum haberet alteram, dum tamen perfecte ambas possideret, ut alteram alter possidet.

Capitulum IIII.

Unde dicatur musica. |

[P1, 3v in marg.] Dicitur autem musica, secundum Isidorum, a "Musis". Musae vero a "muson", id est a "quaerendo", dictae sunt, quia per eas vis carminum et vocis modulatio per veram musicae scientiam ab Antiquis quaereretur. Et cum sonus sensibilis res sit praeterfluatque cum motu per tempus in praeteritum, imprimitur tamen memoriae. Ideo confictum est a poetis Musas esse Iovis | [P2, 4r in marg.] atque Memoriae filias; nisi enim ab homine in memoria soni teneantur, quia de numero successivorum sunt, labuntur et pereunt. Alii Musas dixerunt Memnonis et Tesbiae filias, et in numero novenario posuerunt eas, quia novem, secundum Antiquos, sunt quibus vox formatur humana, scilicet duo labia, quattuor dentes principaliores, plectrum linguae, concavitas gutturis, anhelitus pulmonis. Vel dicitur musica [20] a "mois", quod est "aqua", vel quia iuxta aquam amplius placet, vel quia in hydraulis, id est instrumentis quibusdam musicis aquaticis, primo fuit approbata, vel quia de sonis tractat et vocibus invicem comparatis; absque humoribus autem non causantur soni. Materia enim sonorum aer est vel aqua. Vel dicitur musica a "musa, musae", instrumento quodam musicae. Vel dicitur musica a "muso, sas", quod est "dubitare", vel "cum silentio murmurare", vel potius "cogitando alquid inquirere", quod magis ad musicam pertinet theoricam. Ad inveniendum enim quarumlibet consonantiarum debitas in numeris proportiones, et illarum debitas figurationes, non modicum oportet cogitare, licet minus ad quasdam quam ad alias.

Leve enim magis multum est consonantiarum in numeris multiplicibus superparticularibusque simplicibus fundatarum, cuiusmodi sunt diapason, diapente cum diapason, bis diapason, diapente, diatessaron et <tonus>, proprias in numeris proportiones reperire, quam earum, quae in numeris superpartientibus simplicibus vel mixtis suum habent fundamentum, ut sunt ceterae consonantiae, <aliae> communiter a praedictis, videlicet semitonia, diesis et apotome, semiditonus, ditonus, tritonus et multae tales consonantiae, de quarum proportionibus numeralibus pauca dicuntur ab auctoribus. Nam, etsi Boethius tangat in qua proportione consistant semitonia, minus scilicet, quod diesim vocat, et maius, quod apotome, tangat et in qua proportione consistat comma, quod minima differentia est quam discernat sensus secundum eundem Boethium, tangat necnon in qua proportione fundetur diatessaron super diapason, de ceteris tamen consonantiis aliis a praedictis non vidi locum, in quo illarum proprias et distinctas numerales proportiones assignaret.

Nos autem in hoc opere consonantiarum omnium, de quibus loquuntur auctores, et quarundam aliarum de quibus minime loquuntur, iuxta posse nostrum distinctas inquiremus [21] numerales proportiones, quod sine multis cogitationibus et numerorum multis collationibus explere nequibimus. Adhuc non est multum facile omnium consonantiarum primos vel minimos numeros, vel terminos, in quibus fundantur, reperire. Et, si etiam sit aliqualiter facile quarundam consonantiarum divisim sumptarum proprias proportiones in numeris assignare, difficile tamen multum fuit, omnium consonantiarum, ut ordinate ponuntur in monochordo vetere ac moderno, numeros certos invenire. Et quia in talibus et multis aliis ad musicam spectantibus multum oportet cogitare et varias in numeris proportiones inquirere, non absque ratione dictum est musicam a"muso, sas", quod est "cogitando aliquid inquirere", derivari. Puto Boethium multum cogitasse in his, quae de musica scripsit, et ceteros antecessores suos, de quibus in hoc opere mentionem faciemus. Quod si dicerem me in his, quae hic scripsi, parum cogitasse, quis crederet, qui scientiam per inspirationem non habeo?

Nec est, propter tales frequentes cogitationes et labores, musica spernenda, propter multas delectationes internas annexas sibi; delectabile enim multum est ei, qui peritus est in theorica musica et in arithmetica, varias numerorum naturas et proportiones consonantiis congruentes meditari. Et cum quis invenit ibi quod petit, interius in anima multum gaudet, conquiescit et laetatur, et tanto amplius, quanto plus cogitavit, et quanto subtilius et difficilius est illud ad cuius notitiam pervenit. Hoc enim, secundum Philosophum, distat inter intellectum et sensum, ut cum intellectus intellexit excellens aliquod intelligibile, amplius perficiatur, et ad intelligendum anima reddatur habilior; sensus autem cum excellens sentit sensibile, debilitatur et impotentior redditur ad sentiendum alia, quia virtus est organica. Talem igitur laborem debet quis modicum reputare, ut multam inveniat requiem et dicat: "In labore requies". Nec solum subtiles et magis periti in musica delectationes reperiunt, sed etiam minus [22] periti, rudes et obtusi ingenii in ea delectationes reperire possunt, ut non sit qui a studio musicae excusare se debeat.

Duae extremae musicae tactae derivationes, prima scilicet et ultima, ad musicam pertinere videntur theoricam. Duae vero intermediae musicam instrumentalem et practicam respiciunt.

Capitulum V.

Musicae commendatio et eius utilitas.

Redditur musica commendabilis propter nobiles et multas et utiles speciales et communes quas continet qualitates. Quae, generaliter si sumatur, rerum omnium proportione qualicumque coniunctarum consideratrix existit et, ut sic applicabilis est ad omnia, etiam ad divina. Nonne inter divinas personas proprietatibus distinctas realibus est summa concordia, summa ordo absque priore et posteriore, inseparabilis connexio, in essentia, quae simplicissima est summa unio? Huic musicae cives vacant coelestes; haec intuitive vident; propterea, in Ecclesia illa Triumphante, Deum incessanter laudant per musicam. Instrumentum enim laudandi Deum musica est. Unde Apocalypsis IIII: Requiem non habebant | [P2, 4v in marg.] die ac nocte dicentia: Sanctus, Sanctus, Sanctus, Dominus omnipotens, qui erat, qui est et qui venturus est. Et, Isaiae sexto: Clamabant alter ad alterum et dicebant: Sanctus, Sanctus, Sanctus, Dominus Deus exercituum. Plena est omnis terra gloria eius. Est autem | [P1, 4r in marg.] canticum illud commune omnibus civibus coelestibus, in quo confitentur divinis in personis trinitatem, et in essentia unitatem. Cantat autem continue, quia vix hora vel dimidia fit in coelo silentium. Non lassantur tamen, non fastidiunt: sine interruptione Deum laudare cupiunt, quia ex hoc summas distributiones respiciunt. Habent et cantica propria et distincta pro qualitate meritorum suorum, secundum distinctionem mansionum: aliud [23] martyres, aliud doctores, aliud decantant canticum virgines, secundum illud Apocalypsis <XIV>: Nemo poterat dicere canticum nisi illa CXLIIII milia, qui empti sunt de terra. Hi sunt, qui cum mulieribus non sunt coinquinati: virgines enim sunt. Nec illa canticorum distinctio aliquam patitur discordiam inter se, et ad Deum nullam habent dissonantiam. Omnis enim ibi reperitur melodia, omnis harmonia; in Deum, quo fruuntur, referunt omnia. Et cum habitus nobilitatem ab obiecto sumat de quo est, et a fine ad quem est, est illa civium coelestium musica ceteris nobilior, ceteris perfectior, ceteris commendabilior, ad quam omnis alia musica finaliter ordinatur. Et ideo ab illa in musicae commendatione sumpsimus exordium.

Sed iam musicam, generaliter sumptam, ad res applicemus mundiales et ibi aliquas eius tangamus commendabiles proprietates. Si rerum creatarum connexionem, proportionem et ordinem, quam inter se et ad suum servant principium, studiose voluerimus intueri, mirabimur, quia mirabilia opera Domini, et anima nostra haec cognoscere debet et inde Deum laudare, quem laudat omnis creatura, quanto amplius homo, qui commune aliquid habet cum omni creatura. Consideret igitur homo et inde Deum laudet, quod non absurde mundus hic sub quadam armonia dicatur esse compositus, et coelum sub harmonia revolvi, ut ait Isidorus. Quomodo enim constaret, nisi quadam harmonia necteretur? Itaque, secundum Isidorum, sine musica nulla disciplina potest esse perfecta, nihil enim sine illa, quae ambit et extendit se ad omnia. Qua in re utile valde fuit musicam invenire et ipsam eius theoriam quasi oblitam ad memoriam revocare, quia, secundum eundem Isodorum, eam nescire tam turpe est quam litteras, quae non iam mundi maioris mirabilem cernit nexionem, sed et minoris mundi--puta hominis,--quoad animae eius corporisque et eorum, quae ad haec contingunt, notabilem et stupendam valde rimatur et attendit unionem.

[24] Sed specialiter musicam intueamur instrumentalem vel sonoram. Caretne haec laudibus? Minime. Per eam enim, quoad partem eius theoricam, anima, quam multis et variis fulcitur, repletur et perficitur intrinsecis delectationibus eorum, qui in ea periti sunt et eam, ut exposcit, diligunt.

Insuper et eius practica ad multa se extendit commendanda, per quam nos viatores, in Ecclesia Militante, Deum laudare habemus. Interponebatur enim, ut dicit Isidorus, antiquitus omnibus sacris et divinis solemnitatibus, omnibus laetis et tristioribus rebus, ut enim in veneratione divina hymni, ita in nuptiis hymenaei, et in funeribus threni canebantur. Haec est igitur, quae fores ecclesiae ausa est subintrare principaliter. Nam si intret aliqualiter grammatica, quae legentibus debitum accentuandi pronunciandique docet modum, habet hoc ut ornetur musica. Illa enim grammaticae pars, quae prosodia nuncupatur, musicae subalternatur. Accentus enim quidam cantus est in moderato pronuntiandi modo, gravi, circumflexo acutoque observatus accentibus in ecclesia. Per hunc igitur officia divina, quibus Deum in se et in Sanctis laudamus suis, quibus etiam ad sempiternam provocemur gloriam, ut ad musicam pervenire finaliter mereamur coelestem, quibus etiam populus ad devotionem provocetur, in ecclesia quotidie celebrantur.

Haec inter scientias liberalior, curialior, iucundior, laetior, solatior, socialior, amabilior et diversis hominum statibus coaptior comprobatur. Reddit enim hominem liberalem, curialem, iucundum, laetum, socialem et cunctis bene dispositis amabilem. Aptat se diversis hominum moribus, tristibus et laetis, infirmis et sanis. Nonne Pythagoras, ut ait Boethius, multos male dispositos musicis curabat instrumentis? Haec iracundiam fugat, lassos recreat, desolatos et timidos confortat, iuvenes allicit et senes reficit, vigilantes sopientes reddit, somnolentos excitat, operantes in labore suo continuat, placet intellectui, placet auditui; haec avaros facit largiores et invidos facit [25] laetiores. Quid plura? Secundum Boethium, omnis aetas omnisque sexus, licet suis distributa sint actibus et moribus, una tamen musicae delectatione coniuncta sunt; haec in proeliis, in nuptiis, in conviviis et statibus aptat se singulis. Ex quibus, ut ait Boethius, nec dubitanter appareat ita nobis musicam naturaliter esse coniunctam, ut ea, ne si velimus quidem, carere possimus.

Rapit enim hominem et eum totum possidere contendit, sed non solum: solus enim homo | [P2, 5r in marg.] sibi non sufficit; quin etiam, bestias et serpentes, volucres et delphinos, et qui sunt in achilleo pisces, ad auditum suum iucundum musica provocat et allicit. Et quod admiratione dignum est, animalia quaedam non vociferantia et auditu carentia delectari videntur in musica, ut cicada et quaedam animalia exanguia in sono, quem faciunt, in quiete manentia, quia secus est de apium sono, quem volando causant. Non audiunt autem sonum illum, quia imperfecta sunt animalia talia, quia sunt sensu carentia, generale cum sit animalibus exanguibus nec respirare nec audire, licet pisces audiant qui tamen non respirant, sed pisces sunt sanguinem habentia. Etiam tangit Isidorus de Orpheo, quod omnia traheret ad se per musicam. Et ideo qui per musicam non allicitur, bestialis vel plus quam bestia fore videtur. Et quia de Orpheo mentio facta est, ponatur hic eius descriptio.

Capitulum VI.

De musicae inventoribus. |

[P1, 4v in marg.] Moyses, secundum Isidorum, repertorem musicae artis dicit fuisse Thubal de stirpe Cain ante diluvium. Hic enim Genesis <IV> dicitur fuisse pater canentium in cithara [26] et organo, non quia dicta repererit instrumenta, ut ibidem dicit Magister in Historiis, quae longo post tempore reperta sunt, sed quia aliquas repererit musicales consonantias illis applicatas postmodum instrumentis. Et cum pastor esset, musicam invenit, ut labor pastoralis per musicam in deliciis verteretur, et, quia, ut ibidem magister Petrus Comestor prosequitur, audierat Adam prophetasse duplex futurum esse diluvium vel iudicium, unum per aquam, alterum per ignem, musicam in duabus scripsit columnis, in qualibet totam, ne dicta periret ars inventa. Illarum una marmorea erat, ut non dilueretur aquae diluvio, altera vero latericia, ut non solveretur incendio. Sic autem fuisse Iosephus astruit historiographus.

Graeci autem dicunt Pythagoram huius artis invenisse primordia, id est principaliores primas consonantias, scilicet diapason, diapente, diatessaron et tonum (si tonus consonantia dici debeat, vel potius consonantiarum pars, secundum Antiquos), vel quia Pythagoras repererit in malleorum ponderibus dictarum consonantiarum proportiones, non quod dictas consonantias primo invenerit, quibus longe ante homines utebantur, non etiam, quod primo musicalia repererit instrumenta. Dicit enim Petrus Comestor supra librum Iudicum quod, temporibus Gedeonis, Mercurius syringas invenit, id est musicalia quaedam instrumenta, quae sic vocavit ab uxore <Cadmi, Harmonia>, quae Syringa vocabatur; haec propter <zelum> harmoniae a viro suo recessit. Adhuc hic Mercurius lyram invenit hoc modo: Repperit enim concham testitudinis mortuae, cuius nervi desiccati extensi remanserant in ore conchae, illique, moti per auram vel ventum, tenuem reddebant sibilum; quod advertens, Mercurius lyram adinvenit. Sed forsitan Pythagoras nova quaedam, quae antea non erant, reperit instrumenta.

Alii alios in arte musicae claruisse ferunt, ut Aristoxenum et <Philolaum>, Architan, Nicomachum et Ptolomaeum, [27] quorum meminit Boethius in Musica sua, quam ex illorum dictis composuit cum his, quae ex proprio sensu addidit. Et hi quidem auctores musicae fuerunt theoricae, quorum excellentior fuisse videtur Boethius.

In musica autem practica plana floruit Guido monachus, qui novas adinvenit notas et figuras et de monochordo et tonis multa scripsit. De mensurabili autem musica multi tractaverunt, inter quos amplius florere videntur quidam, qui Aristoteles in titulo libri sui nominatur, et Franco Teutonicus. Hi satis in arte sua sunt concordes, sed ab illis moderni cantores multum sunt discordes in ipsorum tractatibus, in cantuum operibus, in suo modo mensurandi novo, in cantus suos figurando vel notando, sicut ultimus huius operis liber, dante Deo, reserabit, in quo quaedam ad excusationem tangentur Antiquorum.

Capitulum VII.

De modo inventionis musicae.

Cum duo sint sensus praecipue scientiae servientes, visus scilicet et auditus, et omne quod quis novit, secundum cursum convenientem et naturalem, quem videmus, inveniens vel adiscens novit. Servit magis visus scientiae habitae per inventionem: videntes enim homines rerum effectus et admirantes philosophari ceperunt. Idcirco Plato in Timaeo, libro secundo, eos, qui caeci sunt, miseram lugubremque dicit agere vitam, cum coelestes effectus aliosque videre nequeant, qui quoddam, ut ait, ministrant seminarium ad philosophiam, vel pandunt, quantum philosophia, [28] secundum eundem, bonum nunquam maius ad hominum genus commeavit divina munificentia. Sensus autem auditus amplius deservit scientiae per doctrinam ab alio acquisitae; per illum enim minus intelligens, quod per se non capit, audiens, ab alio exponente sibi capit et adiscit.

Verumtamen, etsi visus plus faciat communiter scientiae habitae per inventionem, auditus | [P2, 5v in marg.] tamen in inventione musicae plus videtur profecisse saltem sonorae; sonus enim obiectum auditus est. Ideo Robertus in libro De Ortu Scientiarum dicit quod, licet aliae scientiae per visum repertae sint, musica solum per auditum reperta est. Ideo auditu carentes musica tali carent, sicut visu carentes scientia carent, quae de coloribus est. Nec tamen sufficit solus auditus ad inventionem musicae, etiam ad hoc ut acquiratur per doctrinam, sed valet ad hoc visus. Mathematicae enim scientiae, quarum musica una est, in primo gradu dicuntur esse certitudinis, non modo quia in eis demonstrationes fiunt potissimae, verum quia, quod audit quis per auditum, sibi in debitis figurationibus manifestatur per visum.

Capitulum VIII.

Cui parti philosophiae musica supponatur.

Philosophia vel scientia, cum in theoricam dividatur et practicam, musicalem scientiam, quantum ad utramque dictam partem, sub se comprehendit; principalius tamen et generalius musica sub theorica scientia continetur quam sub practica.

Et cum sint tres partes principaliores scientiae theoricae, ut patet <quinto> Metaphysicae (scilicet naturalis, quae res motui et materiae sensibili coniunctas et secundum esse [29] et secundum intellectum considerat; mathematica, quae res contuetur per intellectum a motu et materia sensibili separatas, non tamen secundum esse; et metaphysica, quae res, non tantum per intellectum, sed etiam quantum ad esse, seiunctas a motu et sensibili materia speculatur), musica in sua sumpta generalitate, quantum ad distinctas suas species, omnibus his partibus tribus supponitur. Nam musica coelestis vel divina sub metaphysica reponitur; mundana | [P1, 5r in marg.] sub naturali, similiter et humana continentur. Instrumentalis vero vel sonora partim sub naturali, partim sub mathematicali scientia collocatur, principalius tamen sub mathematicali. Ideo mathematicalis scientiae subdenda est divisio. Quae, cum sit de quantitate, dividitur secundum divisionem quantitatis; secantur enim scientiae quemadmodum et res de quibus sunt.

Omnis autem quantitas continua est vel discreta; continua, ut magnitudo, discreta, ut multitudo vel numerus. Distinguit igitur Boethius, in secundo prologo Arithmeticae, scientias mathematicales sic: Haec enim aut sunt de multitudine aut de magnitudine. Et, si de multitudine, aut absolute et per se sumpta, ut est ternarius per se sumptus, vel quatrinarius, vel quicumque alius numerus, qui, ut sic nullo alio indiget numero, ad alium nullum refertur numerum; aut est de multitudine, quae per se non constat, sed ad aliud refertur, ut duplum, dimidium, sesqualterum, sesquitertium et quidquid tale est, quod, nisi relatum sit ad aliud, ipsum stare non possit. Magnitudinis autem alia sunt manentia motuque carentia, alia vero, quae mobili semper rotatione vertuntur nec ullis temporibus conquiescunt. Horum vero illam multitudinem, quae per se est, arithmetica speculatur integritas; illam vero, quae ad aliquid musici modulationis temperamenta pernoscunt, immobilis vero magnitudinis geometria notitiam pollicetur; mobilis vero magnitudinis scientiam astronomicae disciplinae peritia vindicabit.

[30] Et sequitur ibidem in Boethii textu: Quibus quattuor partibus si careat inquisitor, verum invenire non poterit, ac sine hac quidem speculatione veritatis nulli recte sapiendum est. Est enim sapientia earum rerum, quae vere sunt, cognitio et integra comprehensio. Qui haec spernit, idest has semitas sapientiae, ei denuntio non recte philosophantem, siquidem philosophia est amor sapientiae. Ex quibus verbis patet qualiter Boethius scientias commendet mathematicas, ut sine illis nullum dicat inventorem esse veritatis, nullum dicat esse recte sapientem, nullum dicat esse recte philosophantem.

Sic igitur, secundum Boethium, mathematicae distinguuntur scientiae, ut duas dicat esse de multitudine vel numero: arithmeticam, quae multitudinem considerat, absolute et per se sumptam, primo et principaliter, non quin tractet etiam de multitudine ad aliquid, sed hoc est secundario; et musicam, quae primo et principaliter de multitudine tractat ad aliquid, licet aliqualiter secundario considerare possit de multitudine vel numero secundum se, quia, qui cognoscit terminos alicuius comparationis ut ad invicem comparantur, aliqualiter illos per se debet cognoscere, sicut ponens differentiam inter aliqua, cognoscere debet illa; duas etiam dicat esse de magnitudine, ut geometriam, quae magnitudinem speculatur immobilem, unde a terra nomen sumpsit, quae immobilis dicitur localiter, et astronomiam, quae magnitudinem mobilem intuetur, cuiusmodi est coelum et corpora coelestia, unde denominatur ab astris.

Robertus autem in libro De Ortu Scientiarum dictas mathematicales scientias sic distinguit: Mathematica, inquit, cum sit de quantitate, aut est de multitudine vel numero, aut de magnitudine. Et si de multitudine vel numero vel simpliciter non concernendo aliquam naturam, et sic est arithmetica, aut de numero armonico, qui est numerus concretus cum rebus, quae cum numerali modulatione concurrunt ad aliquod unum apte componendum, et sic est musica. Quae autem de magnitudine aut <est> de magnitudine vel dimensione simpliciter sumpta non concernendo naturam aliquam, [31] et sic est geometria, aut est de magnitudine vel dimensione concernendo naturam corporalem | [P2, 6r in marg.] potissimam et primariam, corporum scilicet coelestium, et, secundario, aliarum magnitudinum mundi, et huiusmodi scientia est astronomia, quae mensurat principaliter coelum et ea, quae ipsius coeli dimensionibius annexa sunt, considerat, ut motus, situs, ortus, occasus et huiusmodi, secundario autem mensurat terram.

Sic igitur, secundum dictum Robertum, quattuor sunt scientiae mathematicae, duae de multitudine distinctae, penes abstractum et concretum, et duae de magnitudine distinctae, similiter penes abstractum et concretum.

Quod igitur dixit Boethius arithmeticam esse de multitudine absolute et per se sumpta, potest intelligi dupliciter, vel quia non est de multitudine concreta vel contracta ad aliquam materiam specialem, ut expressius dicit Robertus. Considerat enim de numero simpliciter et absolute, non de numero talium vel talium rerum, qui tamen applicabilis est ad has vel illas res suo modo, sicut in libro Priorum <Analyticorum> consideratur de syllogismo simpliciter non contracto ad probabilem vel necessariam materiam. Vel dicitur arithmetica esse de multitudine absolute sumpta, ut distinguitur a multitudine ad aliquid dicta; et hunc sensum magis videntur praetendere Boethii verba, non quin arithmeticus habeat tractare de multitudine ad aliquid dicta. Tractat enim Boethius de illa, Arithmeticae libro primo, ubi comparat numeros ad invicem et penes aequalitatem et penes inaequalitatem, et, in secundo, tractat de numero comparato ad figuras geometricas, quia geometricae figurae a numeris denominatae sunt, ut triangulus a "tris", quod est tres, et angulus, et sic de aliis. In quo datur intelligi geometriam ex arithmetica, sicut et quaelibet alia scientia mathematica, dependere, ut declarat Boethius in secundo prologo Arithmeticae. Sed dicitur arithmetica esse de numero per se sumpto, quia primo et principalius de tali numero tractat eius inquirens descriptiones, divisiones et proprietates. Eodem modo exponatur musicam esse de numero vel multitudine ad aliquid, vel quia est de multitudine concreta vel contracta ad aliquas res speciales, ut ad sonos, quantum ad musicam sonoram, vel ad alias res, quantum ad alias musicae species, vel [32] quia primo et principaliter considerat de numero ad aliquid, ad quem habet recursum ad iudicandum de proportionibus rerum ab ipsa speculandarum vel mensuris, et cum de numero etiam ad aliquid tractet arithmeticus, subalternabitur musica arithmeticae. Sic patet aliqualiter cui parti philosophiae Musica subponatur.

Capitulum VIIII.

Quod mathematicae scientiae differenter tractant de proportionibus et mensuris.

Quoniam de proportionibus et mensuris mentio facta est (de his autem tractat arithmetica, musica, geometria et astronomia), qualiter <differantur> videndum est; et, quamvis aliqualiter haec ex dictis pateat, haec amplius explanare non pigebit.

Arithmetica igitur principaliter proportionem inspicit in numeris abstracte sumptis, id est non contractis ad materiam aliquam specialem; musica vero proportionem intuetur | [P1, 5v in marg.] in rebus numeratis; geometria in rebus continuis, id est in dimensionibus abstractive sumptis; astronomia in magnitudine contracta et determinata.

Dico igitur arithmeticam principaliter intueri proportionem in numeris simpliciter ab his vel rebus illis abstractis. Unde, propositis numeris aliquibus aequalibus vel inaequalibus, quam inter se habeant proportionem diiudicat arithmeticus, puta quod inter quattuor et quattuor est aequalitas, inter quattuor et duo inaequalitas, similiter inter quattuor et tria; et quae inequalitatis proportio sit inter octo et duo et inter quattuor et tria discernit; et similiter iudicat, de aliis terminis numeralibus invicem comparatis, qualis sint proportionis. Similiter quod tractat de medietatibus vel proportionalitatibus et transmutatis proportionalitatibus, facit hic principaliter inspiciendo naturas illarum in numeris, licet sint communes passiones competentes, non solum numeris absolute sumptis, sed etiam numeris ad res speciales aliquas contractis. Competunt enim sonis simul numeratis vel consonantiis, ut infra [33] patebit. Sed arithmetica, cum prima sit inter mathematicales scientias, nulla illarum egens (sed omnes aliae ipsa indigent, ipsam praesupponunt), ideo se intromittit de multis, quarum cognitio ad alias pertinet scientias. Et, ut appareant vera esse privilegia, quae tradidit, nonnunquam exempla ponit de aliis scientiis. Haec de medietate tangit non tantum arithmetica, sed de geometrica et musica, et illas ad invicem comparat et proportiones suas ad musicas consonantias applicat. Eodem modo numeros ad figuras applicat geometricas, quia ortum habuerunt a numeris; quod ipsorum probat denominatio. Ideo, ut haec denominatio rationabilis censeatur, declarat quod eadem nomina numeris competant, et quod proprietates figurarum illarum numeris conveniant, etiam respectu diversarum dimensionum. Ideo de numero determinat lineari, de superficiali, de cubico et solido, et, quantum ad superficiales rectilineares, determinat de triangulari et quadrangulari, et sic de aliis.

Arithmetica igitur primo et principaliter determinat de proportionibus, ut reperiuntur in numeris simpliciter sumptis; si autem descendat ad aliquas res speciales, facit hoc intentione secundaria, propter ea quae tacta sunt.

Musica vero, quasi modo contrario, proportiones inspicit, quia primo et principaliter considerat eas in rebus aliquibus numeratis ad invicem comparatis; secundario vero ad proportiones respicit numerorum simpliciter vel abstracte sumptorum, de quibus tractat arithmeticus, quia proportiones certius et clarius apparent in numeris | [P2, 6v in marg.] comparatis invicem quam in rebus. Si enim clare et certitudinaliter iudicare posset de proportionibus sonorum quorumcumque invicem collatorum, numeris exclusis, musicus non sic recurreret ad numerorum invicem collatorum proportiones, sed sic fieri expedit, quia scientia subalternata ad scientiam debet recurrere subalternantem. Neque asserere volo proportiones rerum nobiliores esse proportionibus numerorum abstractorum invicem comparatorum, licet certiores non sint. Propositis igitur duobus sonis, talibus vel talibus, interest musicae sonorae qualem inter se faciant consonantiam et in qua talis consonantia fundetur proportione. Quod si de qualibet consonantia dicere nesciat certam proportionem, secundaria intentione ad arithmeticae recurrit proportiones non per accidens, sed per se, [34] etsi non primo. Et in multis aliis musica ad arithmeticam revertitur et maxime illa, quae instrumentalis dicitur vel sonora; non sic autem aliae musicae species vel genera. Ideo non miretur quis si, in hoc opere, multa repetantur de arithmetica, sicut et Boethius facit in Musica sua. Et si musicus proportionem inspiciat inter aliquas dimensiones, ut inter duas vel plures chordas cytharae vel psalterii, facit hoc, quia chordae illae sonorae sunt numeratae et ad invicem comparatae, ut sciant quam facere habeant consonantiam.

Geometria autem primo et principaliter proportiones quaerit in quantitate continua abstracte sumpta, ut in longitudine, latitudine et profunditate. Si autem descendat ad mensurandas concretas et determinatas aliquas magnitudines, hoc est secundario. Et quia dimensiones locum habent in figuris planis, solidis, angularibus, circularibus et sphaericis, habet geometria tractare de illis, proprietates et passiones talium inquirere et huiusmodi invicem comparare et mensurare, sicut facit Euclides in Geometria sua, ubi etiam tractat de his, quae ad haec ordinantur, ut de puncto, linea, superficie et huiusmodi, quae sunt termini finitae magnitudinis, quia non de magnitudine se intromittit interminata vel infinita, quia talis non est mensuralis, nec ipsius ad finitam quaerenda est proportio. Finiti enim ad infinitum nulla est proportio, ut dicit Boethius in libro De Consolatione. Dicit autem Isidorus, quod ex terrae dimensione haec disciplina coepit in Aegypto: Geometriae, inquit, disciplina primum ab Aegyptiis reperta dicitur, quod, inundante Nilo et omnium possessionibus limo obductis, initium terrae dividendo per lineas et mensuras nomen arti, id est geometriae, dedit. Terra enim graece "ge" vocatur et "metra" id est mensura. Et cum mensurandi ars primo fuerit applicata terrae (terra autem est immobilis), ideo dicitur geometria de magnitudine immobili esse, non quin ars mensurandi ad magnitudines mobiles applicari possit, quantumcumque maiores sint quam [35] sit terrae magnitudo, cum ars eadem sit mensurandi quantitatem minorem et maiorem. Unde dicitur, in libro De Quadrante, quod, cum theorica geometria solo mentis speculatione quantitatis continuae proportiones et earum intueatur mensuras, practica geometria quantitatis alicuius longitudinem, latitudinem, profunditatemque experimento sensibili conatur mensurare; ideo in tres dividitur species: in altimetriam, planimetriam et stereometriam, de quibus prosequi non habemus.

Sed et quae hic de aliis a musica dicuntur scientiis, propter maiorem musicae notitiam fit, quia, secundum Platonem, | [P1, 6r in marg.] in principiis sermo debet esse longus. Aliter igitur de proportionibus et mensuris tractat musicus, aliter geometricus. Ille inspicit eas quantitate indiscreta ad aliquam materiam specialem contracta, hic in quantitate continua abstracte sumpta, quantum est ex parte suae theoricae speculationis, licet quantum ad suam praxim ad speciales continuas descendat quantitates.

Astronomia autem primo et principaliter proportiones inspicit in magnitudine determinata, scilicet in magnitudine mobili seu in corporibus mobilibus, cuiusmodi sunt corpora coelestia, et illorum mensurat magnitudines et inter se distantias et ad terram. Ideo tractare habet de coelo et mundo. Mundus enim, secundum Isidorum, a motu dicitur, quia, prout eius auctor voluerit, in continuo manet motu. Quod si musica mundana de corporibus tractet coelestibus et de quibusdam aliis, de quibus similiter inquirit astronomia, fit hoc differenter, quia astronomia tractat de illis ratione suae dimensionis, et si comparet illa corpora inter se et ad terram, vel quantum ad motus, situs et huius ad dimensiones inspicit. Musicus autem non ad dimensiones tantum inspicit, sed ad qualitates et ad ea secundum quae, ut inter se comparantur, innascitur | [P2, 7r in marg.] ordo, connexio, proportio. Nec inspicit musicus dimensiones illorum absolute, nec quantitatem continuam, sed dimensiones invicem numeratas, ad aliquam connexionem, ordinem et proportionem applicatas. Quod si ex motibus illis coelestibus harmonica consequatur modulatio, illam musica [36] principaliter intuebitur, et quantum ad hoc musica praecedet astronomiam. Unde dicit Boethius si armonicis modulationibus motus ipse celebratur astrorum, constat musicae vim astrorum cursus antiquitate praecedere. Ceterum cum de ratione musicae sit omnibus se conformare, et in sua generalitate applicare se ad omnia, quid mirum, cum concurrat cum multis scientiis in rebus consideratis, si etiam concurrat materialiter cum illis in comparationibus et proportionibus multis?

Capitulum X.

Musicae prima divisio.

Dividitur musica, secundum Boethium, in mundanam, humanam et instrumentalem vel sonoram, et hae omnes de rebus tractant naturalibus.

Sed mundana de corporibus simplicibus, incorruptibilibus et corruptibilibus ut de corporibus coelestibus et de elementis, et de his, quae annectuntur eis, et sic tractat de maiore mundo.

Humana autem de minore est mundo, id est de homine, qui inter mixta nobilior est et perfectior et formae eius ad materiam unio mirabilior, utpote ex aliquo mixtus incorruptibili et aliquo corruptibili. Anima enim humana incorruptibilis existens, quia fecit Deus animam hominis, scilicet inexterminabilem. Et alibi: Nolite timere eos, qui occidunt corpus; animam autem non possunt occidere. Haec igitur hominis anima incorruptibilis existens, quia non ex materiae producta potentia, et ad imaginem Dei creata, est perfectissima inter formas, quae materiae et corpori uniuntur corruptibili. De tali igitur unione mirabili, in qua mirabilis est connexio, mirabilis concordia, et de partibus sic unitis, ut de corpore et anima, est humana musica.

[37] Instrumentalis vero musica sonos respicit, qui consonantiis musicalibus sensibilibus materiam praestant et instrumentis artificialibus et naturalibus exprimuntur.

Potest autem et alia musicae species, ut videtur, his adiungi, quae coelestis vel divina dici potest. Haec res intuetur a motu et sensibili materia separatas et secundum esse et secundum intellectum, res scilicet transcendentes ad metaphysicam vel divinam scientiam pertinentes, de qua aliquid tactum est in Musicae Commendatione.

Et nunc uberius de hoc loquendum est primo et deinde de aliis musicae speciebus.

Capitulum XI.

Quod coelestis vel divina musica rationabiliter inter musicae species numeretur.

Non irrationabiliter, ut arbitror, inter musicae species coelestis vel divina reponitur musica. Primo, ratione musicae generaliter sumptae descriptionis; secundo, ratione suae denominationis; tertio, ratione divinae laudis.

Dictum est supra, quod musica, generaliter sumpta, extendit se ad cognitionem harmonicae modulationis rerum quarumcumque aliqua modulatione invicem coaptarum.

Per harmonicam autem modulationem generaliter sumptam, rationabiliter loquendo, non potest intelligi sola illa sensibilis modulatio, quae in sonis consistit sensibilibus consonantiam auditu aurium perceptibilem causantibus, quia talis harmonica modulatio ad solam instrumentalem musicam noscitur pertinere. Iam igitur aliae musicae perirent species, et quod harmonica modulatio non sola sonorum dicat modulationem, patet per Boethium. Iam, inquit, quattuor elementorum diversitates contrariasque potentias nisi quaedam armonia coniungeret, <qui> fieri posset, [38] ut in unum corpus ac machinam convenirent? Illa autem harmonia ex commixtione non fit sonorum, sed ex convenienti situ et proportione qualitatum ipsorum, et Isidorus dicit quod mundus hic sub quadam armonia dicitur esse compositus. Item, secundum Isodorum, musica extendit se ad omnia, quia nihil <est> sine illa. Ergo ad res dilatat se transcendentes et divinas, siquidem Deus omnia fecit in numero, pondere et mensura, quia omnia, quae a primaria rerum origine processerunt, ratione numerorum formata sunt.

Adhuc, ut videtur, non debet harmonica modulatio musicam generaliter respiciens ad solas <arctari> res naturales et corporales, quae mundanam et humanam musicam respiciunt, sonos et voces, quae instrumentalem, sed ad intelligentias orbium motrices, etiam ad primum motorem, quia mundana musica de orbibus tractat coelestibus, qui a motoribus moventur separatis, idest ab intelligentiis, quae, secundum Philosophum, motrices dicuntur | [P1, 6v in marg.] orbium. Etiam inter movens et motum seu mobile requiratur quaedam proportio, saltem si movens finitae sit virtutis | [P2, 7v in marg.] et moveat motum naturaliter, quod dico propter primum movens omnino immobile, quod infinitae virtutis existens per liberam suam movet voluntatem. Insuper, si proportio sive coaptatio animae humanae ad corpus suum, quod movet, ut movens coniunctum, quaedam dicitur harmonica modulatio, quare non poterit coaptatio illa vel proportio, quae est inter motores illos separatos ad orbes, quos movent, harmonica vocari modulatio?

Ad aliquam igitur musicae speciem pertinebit inspicere proportionem, ordinem, concordiam, quam habent motores illi separati inter se, et ad motorem omnino primum et ad sua mobilia. Et forsitan, si Boethius de musica mundana prosecutus in speciali fuisset, ipsum ad motorem orbium coelestium extendisset. Haec enim fuit Aristoteli via, per motum in cognitionem devenire substantiarum separatarum. Quid igitur inconveniens, si harmonicam modulationem generaliter sumptam extendamus, [39] non solum ad res corporales, naturales et substantiales numeratas, sed etiam ad metaphysicales, inter quas invicem numeratas et collatas attenditur quaedam habitudo cuiusdam connexionis, ordinis, concordiae vel proportionis, ut contineatur non solum sub duabus partibus philosophiae theoricae, sed sub tribus, ut est prius dictum?

Secundo, declaratur idem ex aliquibus musicae denominationibus. Supra dictum est musicam a "Musis", quibus sapientia quaerebatur, nuncupari. Res autem ad habitum sapientiae pertinentes sunt res metaphysicales, inter quas praecipue sunt divinae res et intelligentiae. Ad has igitur musica se extendit. Adhuc dicta est musica a "muso, sas", quod est "cogitando aliquid inquirere". Quae autem sunt res, ad quarum habendam notitiam tantum oporteat cogitare? Sicut sunt substantiae separatae, et maxime prima, ad quas intellectus noster, infimus existens in genere intelligibilium, suis relictus naturalibus se habet, sicut nicticoratum oculi ad lucem diei, de quibus etiam parum scire multo nobilius est quam multa scire de his inferioribus, secundum Philosophum; et, secundum beatum Augustinum, nihil utilius invenitur.

Tertio confirmatur idem inspiciendo ad divinas referendas laudes. Provisum est viatoribus mundi huius transitorii de quadam musicae specie, qua, in Ecclesia hac Militante, Deus in se et in Sanctis suis collaudetur, et, ut amplius hoc faciant, Ecclesiae ministri distributiones recipiunt temporales. Privabiturne mundi alterius incorruptibilis illa Triumphalis Ecclesia quadam musicae specie competente illius Ecclesiae civibus, qui inappreciabiles adeo recipiunt distributiones? Minime. In Ecclesia igitur illa coelesti, musica locum suum tenet, qua Deus a civibus illis incessanter collaudatur, ut tactum est supra. Et haec musicae species tanto ceteris excellentior est atque perfectior, quanto de obiecto est perfectiore, et quanto cives illi hac vocantes in statu sunt altiore, in statu scilicet beatifico. Est autem beatitudo status omnium bonorum aggregatione perfectus, secundum Boethium.

Et nunc adhuc aliquid dicamus de hac musicae specie.

[40] Capitulum XII.

De quibus sit musica coelestis vel divina et quare sic vocetur.

Ut praetendunt verba prius tacta, musica coelestis vel divina numerum inspicit rerum transcendentium, sicut musica instrumentalis numerum sonorum. Res autem transcendentes res sunt metaphysicales.

Metaphysica enim dicitur a "meta", quod est "trans", et "physis", "natura", quia de rebus est res naturales, id est mobiles, transcendentibus. Natura enim est principium motus et status in eo, in quo est primum per se, et non secundum per accidens, ut patet secundo Physicorum. Et cum metaphysica considerat de ente secundum quod ens, qui vellet hanc musicae speciem generaliter ad res extendere metaphysicales, posset, secundum eam, substantiam comparare ad accidens et novem genera accidentium ad invicem, adhuc generales entis inter se et ad ipsum ens passiones, ut unum ad ens et ad multa, idem ad diversum, potentiam ad actum, simile ad simile et dissimile, aequale ad aequale et inaequale, ubi autem locum habet aequalitas et inaequalitas et proportio suo modo, et sic de aliis ad metaphysicam spectantibus.

Sed quia rerum metaphysicalium nobiliores et perfectiores sunt substantiae separatae, ad quarum cognitionem metaphysica principalius ordinatur (nam in illis maxime ratio servatur entis, cum plus habeant de actu et simpliciores sint, et maxime Deus, qui est purus actus et simplicissimus), ideo ab illis rebus haec musicae species nuncupatur, ut divina dicatur, in quantum Deum respicit. Nam metaphysica scientia dicitur divina, ut a perfectissimo eius denominatur obiecto, cum a digniore fit denominatio, et a fine iustum est omnia appellari. Sed coelestis dicitur, ut alias quis a prima substantias respicit [41] separatas, non a coelis materialibus, de quibus mundana tractat musica, sed a coelis spiritualibus, cuiusmodi sunt angeli boni et homines sancti, de quibus dicit Propheta: Coeli enarrant gloriam Dei. Nam cum sint novem coeli materiales | [P2, 8r in marg.] et mobiles, ut coelum excludatur empyreum, sunt etiam novem coeli spirituales, ut novem angelorum ordines, cum quibus sociabuntur boni homines. Adhuc ab illis coeli civibus haec musicae species coelestis nuncupatur, non tantum quia de illis est obiective, sed quia in eis est subiective; ipsi enim perfectissime hanc habent musicam, qui iam non in speculo et in aenigmate per aliquod extrinsecum repraesentatum Deum contemplantur, sed immediate facie ad faciem Deum intuentur, et cum in Deo inveniant quicquid desiderare queant, et nihil omnino mali sentiant, nihil terrenum penitus cupiunt, a Dei laudibus quomodo cessare possunt, in quo totum et plenum est eorum solatium? Unde dicit Augustinus, libro suo De Musica, de civibus illis, quod non expurgarentur amore rerum temporalium, nisi aliqua suavitate tenerentur aeternorum, ubi ventum fuerit ad illud quod canitur: Filii autem hominum in tegmine alarum tuarum sperabunt, inebriabuntur ab ubertate domus tuae et torrente voluptatis tuae potabis eos. | [P1, 7r in marg.] Et citharoeda David, qui multum ad illorum desiderabat venire consortium, adhuc positus in terris, saepe incitat illos cives ad cantandum: Cantate, inquit, canticum novum, laus eius in Ecclesia illa sanctorum, in qua non sunt nisi sancti, quia nihil inquinatum in illam intrabit; ibi iugis solemnitas, continuae nuptiae, perpetuum convivium. In talibus autem musica tenet locum suum. Placet enim musica in convivio <Ecclesiasticus XL> VIIII, secundum scripturam. Sicut autem domus illius coelestis possessores ab ubertate summae voluptatis potati, quae ibi est, inebriati dicuntur, sic et rapti dici possunt. Unde beatus Paulus ad illorum civium societatem adsumptus ad [42] modicum de se, quasi de alio quodam, ait: Scio hominem in Christo ante annos quatuordecim, sive in corpore, sive extra corpus, nescio, Deus scit, raptum huiusmodi usque ad tertium coelum, et prae illius visionis et gaudii magnitudine raptum illum repetens adiungit: Et scio huiusmodi hominem, sive in corpore, sive extra corpus, nescio, Deus scit, quoniam raptus est in paradisum et audivit archana verba, quae non licet homini loqui. Et quid mirum, si rapti sunt, qui audiunt quae non licet homini loqui, vident quae non possunt ad plenum effari, divinarum scilicet personarum inter se concordiam et societatem inseparabilem et earumdem in essentia una simplicissima, et omnibus perfectionibus absolutis summam unionem, qualiter Filius est in Patre et a Patre per aeternam generationem, Pater in Filio, non a Filio nec ab alio aliquo, Spiritus Sanctus in utroque et ab utroque per vim unam spirativam? Divinas intrinsecas intuentur emanationes, personales proprietates, notiones, attributales perfectiones, et qualiter illae distinguuntur per comparationem ad intra vel ad extra, relationis ad essentiam, qualis sit distinctio ex natura rei vel secundum solam rationem personarum divinarum. Vident ordinem absque priore et posteriore, ipsarum aequalitatem et similitudinem. Formas vident ideales, exemplares, et alia nobis inenarrabilia in speculo illo contemplantur voluntario et aeterno, in vitae illo libro, nec non vident in eodem angelorum ordinem et trium hierarchiarum distinctionem naturales et gratiosas angelorum proprietates, ipsorum inter se connexionem et stabilem concordiam et ad Deum, quod habeant summum amorem, qui ipsorum sint superiores, qui medii, qui inferiores, qui assistentes, qui ministrantes, qui immediatius divinas recipiunt illuminationes et revelationes, et ad nos, prout Deus voluerit, per intermedios notificant eas. Vident nec non ibi quorumcumque aliorum naturam specificam, illorum inter se et ad Deum ordinem, connexionem et concordiam. In quibus omnibus debito modo comparatis, sicut illi comparare sciunt, (maxime quantum ad notitiam meridionalem quam habent rerum in Verbo Divino, quae tamen non excludit notitiam vespertinalem vel naturalem, quam habent de rebus in genere proprio), in illis, inquam, debito modo invicem [43] comparatis, sicut inveniunt excellentissimam modulationem harmonicam, sic et perfectissimam musicam. Unde optimi sunt musici, qui intuitive librum illum aeternum conspiciunt. Nam ibi patet et relucet omnis proportio, omnis concordia, omnis consonantia, omnis melodia, et, quaecumque ad musicam requiruntur, sunt ibi conscripta. Hanc autem, de qua nunc loquimur, musicae speciem, etsi cives illi coelestes perfecte habeant, nos tamen viatores aliqualiter imperfecte habere possumus, quantum nobis viatoribus permissum est de divinis et aliis substantiis separatis cognoscere per Scripturam Sanctam, per fidem catholicam, per doctrinam sanam, per philosophiam.

Nec displiceat lectori, si aliqua tetigi in generali de hac musicae specie, quia non ad dedecus huius venit | [P2, 8v in marg.] scientiae, quod ad substantias extendat se separatas, quae sunt obiecta nobilissima, ad quae se possit convertere nec ex hoc minus potens redditur convertendi se ad alia. Ipsa enim musica, generaliter sumpta, ad omnia illa convertere se potest, in quibus repperit obiecti sui, generaliter sumpti, rationem. Obiectum autem suum, generaliter sumptum, est numerum rerum quarumcumque non absolute, sed ad aliquid, idest ad invicem comparatarum; unde ratio formalis objecti sui, generaliter sumpti, est quod, inter res aliquas invicem numeratas et collatas, reperiatur harmonica modulatio. Per quam harmonicam modulationem, ut est prius tactum, intelligo habitudinem, relationem qualiscumque connexionis, ordinis, proportionis, concordiae, similitudinis vel dissimilitudinis, aequalitatis vel inaequalitatis, coexigentiae vel imitabilitatis, vel qualitercumque aliam habitudinem. Nam cum, secundum Isidorum, sine musica nulla disciplina possit esse perfecta, nihil enim <est> sine illa; cum ratio formalis obiecti sui sit harmonica modulatio, oportet ut talis harmonica modulatio sumatar valde generaliter, ut possit extendere se ad quaecumque entia invicem comparata, et hoc est illa sumere pro quacumque habitudine rerum invicem comparatarum. Et, secundum hoc, sicut metaphysica se extendit ad omne ens, [44] in quantum in illo reperitur generalis entis ratio, sic musica ad omne ens numeratum sub illa ratione, quae dicta est, <consideratur>. Et cum, secundum Philosophum, tres sint scientiae laborantes circa totum ens, dialectica, sophistica et metaphysica, quam vocat philosophiam, poterit cum his coniungi et musica, sed differenter, quia dialectica arguendo applicat se ad omnem materiam probabilem, sophistica ad omnem materiam apparenter probabilem, metaphysica ad omnem rem veram, in qua rationem entis invenit generalem, sed musica ad rem omnem numeratam, ut est dictum. Si quis autem in rebus, quas coelestis musica vel divina comparare habet, vult amplius informari, theologiae sacrae terat scholas, humilis et diligens ibi fiat discipulus, illam acquirat scientiam, qua disponatur ad coelestem obtinendam vitam, per quam perfecte consequatur hanc, de qua nunc locuti sumus, musicae speciem. Quae musicae species non incongrue sub mundana posset collocari, quia creatura quaecumque in mundi totalis clauditur terminis, finita existens atque limitata, in loco est circumscriptive vel definitive. Deus autem, cum infinitus sit et illimitatus simpliciter, etsi in mundo | [P1, 7v in marg.] secundum se non sit, quia vere fuit antequam esset ab ipso productus, et omnino maneret, si non esset mundus, quia ipsum non capit totus mundus, imo nec mille si essent, in mundo tamen esse dicitur secundum ea quae in mundo condidit, ut causa in effectu suo maxime, qui ad conservationem sui esse actualem praesentiam et influentiam requirit suae causae, et, quantum ad hoc, dicitur quod in mundo erat, et statim subditur causa, quia mundus per ipsum factus est. Unde in mundi creatione dicitur quod spiritus Domini ferebatur super aquas. Nam artificis intentio super opus suum fertur et in persona Dei dicit Propheta: Coelum et terram ego impleo, et psalmista David: Si ascendero in coelum, tu illic es, si descendero ad infernum, ades, et cetera. Sicut autem Deus omni coexistit tempori, ut dicatur esse semper sine tempore. Deus enim, ut ait Plato in Timaeo, non est in tempore, sed [45] est, quoniam tempus est; sic coexistit omni loco, et non est secundum se in loco. Dicitur autem Deus esse in mundo et in omni creatura, secundum tres essendi modos generales, scilicet per potentiam, praesentiam et essentiam. Specialius tamen dicitur esse in viris sanctis per gratiam gratum facientem, et specialissime in natura humana a persona Verbi assumpta, scilicet per inexplicabilem unionem.

Sed distinxi hanc musicae speciem a mundana, quia mundanam musicam applicat Boethius ad solas res naturales, mobiles et sensibiles, ut statim dicetur. Res autem, <quas> ad hanc musicae speciem pertinere dixi, sunt res metaphysicales, res transcendentes, a motu et materia sensibili separatae, etiam secundum esse.

Capitulum XIII.

De quibus sit musica mundana.

Mundana musica, secundum Boethium, in proportione quadam consistit orbium et motuum corporum coelestium in ordine, connexione, situ, ortu et occasu et naturali coaptatione ipsorum. Adhuc autem in quadam harmonia proveniente ex veloci motu corporum illorum. Qui enim, ut ait Boethius, fieri potest, ut tam velox coeli machina tacito silentique cursu moveatur? Voluerunt enim quidam Pythagorici et Plato, secundum quorum opinionem loquitur hic Boethius, similiter et Macrobius supra Somnium Scipionis, quod, cum sonus causetur ex motu corporum solidorum se tangentium (orbes autem coelestes summe firmi sunt et compaginati | [P2, 9r in marg.] tanguntque se ad invicem velocissimeque moventur), causabitur ibi sonus quem ad musicam posuerunt pertinere mundanam. Quorum sententia confirmari videtur per id, quod habetur Job. XXXVIII capitulo, [46] ubi dicit sic: Quis enarrabit coeli rationem, et concentum coeli quis dormire faciet? Quare autem sonum illum non percipiamus, dicitur hoc provenire, vel propter nimiam distantiam illius ad nos, vel quia connutritus nobis est, congenitus et conplantatus, cuius numquam audivimus silentium. Nam, ut ait Philosophus, secundo Coeli et Mundi, auditus fit alicuius, cuius quandoque percepimus silentium, soni id est privationem: unde nutritus in molendino illius sonum non discernit nec aeris malleatores sonum agnoscunt. Haec sententia non placet Aristoteli; unde, secundo Coeli et Mundi, dicit sic: Manifestum autem ex his, quoniam dicere fieri latorum coelorum harmoniam tanquam sonantibus factis sonis, leviter quidem hoc dictum est et superflue a discentibus. Non tamen sic habet veritas, et cetera. Reprobando autem dictam opinionem Philosophus duo tangit: Primo, quod si facerent sonus lati coeli, audiretur a nobis et magis quam tonitrus sonus, quia sonus ille multo maior, multo velocior est motu tonitrui propter magnitudinem mobilium et velocitatem motus illorum. Et ille sonus non tantum inferret passionem et laesionem sensibus audientium, quorum excellentiae corrumpunt sensum propter improportionem, sed et inanimata consumeret, sicut facit tonitruum ex magno suo motu lapides, et durabiliora consumens corpora. Secundo, probat Philosophus, quod orbes ex motu suo nullam causant symphoniam sonoram, ut dixerunt Pythagorici; primo, quia partes in aliquo toto fixae, quantumcumque totum illud moveatur velociter, sonum non producunt (patet de navi, si feratur in fluvio, et de clavis affixis circulo moto); quae enim sonum ad invicem faciunt, distincta sunt; secundo, quia ad canendum sonum tria requiruntur: percutiens, percussum et medium, quod est aer, qui materia soni vel vocis est; non est autem ibi aer, ut Philosopho planum est. Voluit igitur Philosophus ex motu corporum coelestium harmoniam non causari sonoram.

Quid igitur ad excusationem dicemus Antiquorum? Videtur quod Boethius, qui secundum Pythagoricorum opinionem loquitur, per harmoniam illam non intelligat sonoram et sensibilem symphoniam, quia illa non pertinet [47] ad musicam mundanam, etiam nec ad humanam, sed tantum ad instrumentalem, quia, si verus causaretur ibi sonus, cum sonus se faciat cum motu, motus autem ille orbium et maxime primi mobilis velocissimus est, ideo sonus inde causatur, cum per alios orbes se diffunderet, eos moveret et turbaret, et eodem modo soni aliorum orbium inferiorum orbes inquietarent, secundum sub et supra; etiam turbarent, moverent et inquietarent valde totas ignis et aeris <sphaeras> et forsitan aquam, et cum medium deferendi sonum aer sit vel aqua, cum inter orbes aer non sit, quidquid sit de aqua, quid <deferret> sonum illum inter orbes, qui non sunt receptivi peregrinae vel extraneae impressionis? De aquis autem, quas Scriptura Sacra super firmamentum et sub firmamento ponit esse, variae doctorum sunt expositiones, sed non habemus in speciali tractare de omnibus. Forsitan igitur Boethius et Pythagorici, per symphoniam illam ex corporum coelestium motibus provenientem, intelligunt connexionem, ordinem, proportionem, concordiam vel quamcumque aliam convenientem habitudinem, quam habent orbes illi inter se in motu, situ, luminibus, virtutibus, in motuum inaequalitate | [P1, 8r in marg.] et aequalitate. Est enim motuum illorum inaequalitas in velocitate et tarditate, quia citius movetur sphaera superior quam inferiores, et motu firmamenti orbes superiores quam inferiores, ut Saturnus quam Jupiter; etiam planetae motibus propriis inaequaliter dicuntur moveri, quantum ad velocitatem et tarditatem, pro quanto planeta unus citius peragrat zodiaci circulum alio, ut luna quam sol, sed dicuntur motus illorum aequales ea qualitate temporis, pro quanto motus, raptus, firmamenti omnes planetae in die naturali suum peragrant circulum. Unde dicit Boethius: Alii <excelsiores>, alii inferiores feruntur atque ita omnes aequali incitatione volvuntur, ut per dispares inaequalitatis ratus cursuum ordo ducatur. Unde non potest ab hac coelesti vertigine ratus ordo modulationis absistere. Nec exprimit Boethius quod illa modulatio fit vocalis vel [48] sonora. Nam statim ad elementa descendens dicit: Quattuor elementorum diversitates contrariasque potentias, nisi quaedam armonia coniungeret, quid fieri posset, ut in unum corpus ac machinam convenirent? Et planum est illam elementorum harmoniam non esse sonoram. Et infra, de duobus tetrachordis disiunctis (quae disiunctio diazeuxis appellatur), chordas ab hypate | [P2, 9v in marg.] meson usque ad netem diezeugmenon planetis ascribit, ut ordo chordarum illarum sumptus sit exemplariter ex ordine planetarum. Nam ut dicit: hypate meson Saturno est attributa, parhypate vero Ioviali circulo, et cetera, planum est autem, quod est ibi metaphorica locutio, et sic potest esse cum ex motibus coelestibus dicit sonos et modulationem provenire. Utrum autem secundum rei veritatem ibi veri sint soni et symphonia sonora, Deus novit, cui nihil occultum est, qui haec et maiora facere potest, licet nobis sint ignota. Et ideo verbum ipsius Job intelligatur sicut debet ad litteram vel aliter.

Non solum autem ad mundanam musicam, secundum Boethium, pertinet astrorum motus, ordo, situs et huiusmodi, sed etiam elementorum nexus et temporis concors varietas; nisi enim elementa inter se, quoad situm et ordinem, quoad suas activas et passivas qualitates, proportionata essent, naturaliter non constarent, et quantum in eis esset mundi machina solveretur. Ideo vult Philosophus, quod in uno pugillo terrae X clauduntur aquae pugilli, et in uno aquae X aeris, et in uno aeris X ignis elementaris, ut sic sint proportionata, ne unum aliud totaliter vincat et in se convertat. Et ista elementorum diversitas et temporum varietas utilis est, et varietatem parit fructuum: unum anni corpus efficit. Unde, si quid de his, quae tantam varietatem in rebus ministrant, subtrahatur, res peribunt naturales, nec ad aliquid consonum permanebit. Ideo, secundum Boethium, sicut in gravibus chordis is vocis modus est, ut nulla, quantumcumque gravis, ad taciturnitatem omnimodam vel silentium perveniat, [49] nulla etiam in acutis, quantumcumque fuerit intensa, sua tenuitate frangatur, sic in mundi musica est, ut nulla res creata tantae debilitatis sit, ut a ceteris creaturis, secundum suam totam speciem, penitus destruatur. Creatura enim, sicut non potest creare, sic nec adnihilare, quamvis possit corrumpere, quantum ad illa entia, quae composita sunt ex materia et forma, quia ea, quae a materia separata sunt, ut substantiae separatae, incorruptibilia dicuntur et perpetua. Unde Commentator ille dixit: Abscissio materiae causa est perpetuitatis et incorruptionis. Sunt tamen talia a materia separata adnihilabilia, non a creaturae potestate aliqua sed Dei, a quo sunt creata, qui, si suam retraheret influentiam, qua res in esse suo detinet et conservat, res redirent in nihilum, iuxta dictum Psalmistae: Avertente autem te faciem, turbabuntur; auferes spiritum eorum, et deficient, et in pulverem suum revertentur. Unde Augustinus: Omnia in nihilum verterentur, nisi manutenentia Dei tenerentur. Sunt igitur elementa et cetera entia sic invicem sociata, ut unum alteri praebeat auxilium, etiam quoad temporum vicissitudinem. Nam quod constringit hiems, ver laxat, torret aestas, maturat autumnus, temporaque suos vicissim afferunt fructus et aliis, ut afferant, subministrant, ut in cunctis creaturis, quantum est ex parte naturae quam a suo conditore receperunt, quaedam innata sit se iuvandi, ut in esse suo conserventur et maneant, amoris et concordiae conditio.

Musica igitur mundana principaliter in tribus consistit; primo, in comparatione corporum coelestium, quoad motum, naturam et situm; secundo, in varia comparatione elementorum, quoad qualitates et situm eorum; tertio, in diversitate temporum, in diebus, in vicissitudinibus noctis et diei, in mensibus, in lunae crementis, in annis et eius partibus sibi succedentibus, ut hieme, vere, aestate et autumno. Et, secundum hoc, haec musicae species multis subalternatur scientiis ut naturali. Nam quantum ad hoc, [50] quod tractat de corporibus coelestibus, continetur sub libro Coeli et Mundi, et quantum ad illud, quod tangit de elementis, sub multis continetur libris naturalibus, sub libris Coeli et Mundi tertio et quarto, sub libris De Generatione et Corruptione et sub libro De Proprietatibus Elementorum. Item continetur haec musicae species sub Astronomia, quantum ad hoc, quod de motibus, situ et natura corporum considerat coelestium, illa comparando ad invicem, et, quantum ad cursum solis et lunae et partes temporis et anni, aliqualiter sub compoti continetur scientia. Sub alia tamen ratione, dictae res in hac considerantur musicae specie et in tactis scientiis, ut ex prius dictis aliqualiter patet.

Et haec de mundana musica in quadam summa dicta sufficiant.

Capitulum XIIII.

De quibus sit humana musica. | [P1, 8v in marg.]

[P2, 10r in marg.] Humana musica, juxta nomen suum, de his est, quae ad hominem spectant, qui, ut est tactum, est quasi minor mundus, in quo omnis aliqualiter, secundum beatum Gregorium, relucet creatura, quia esse habet cum lapidibus, vivere cum plantis et arboribus, sentire cum brutis animalibus, intelligere cum angelis coelestibus, et ipse est, secundum aliquos, omnis creaturae finis. Unde sexto die inter creaturas ad imaginem Dei formatus est. Et cum in homine sint tria: anima, corpus et horum ad invicem unio, de his tribus principaliter est humana musica, quia ad ipsum spectat potentias, quae animae dicuntur partes vel virtutes, inter se ad animam et ad actus suos comparare, proportionem elementorum ad corporis humani consistentiam concurrentium inspicere, unionem corporis ad animam attendere. Et, quia de hoc ultimo primo tangere videtur Boethius, et nos de hoc primo tangamus, licet de aliis mentionem facere oporteat, quia connexa sunt.

[51] Anima, quaecumque sit illa, ad hoc, ut corpori quod informare habet uniatur, requirit illud esse tale, ut in ipso suas operationes valeat exercere. Unde requirit corpus aptum sibi atque dispositum. Actus enim activorum in patiente sunt et disposito. Anima autem est actus primus corporis physici organici potentia vitam habentis et, per consequens, quanto anima aliqua perfectior est et plurium et perfectorum operationum principium, tanto requirit corpus melius dispositum et organizatum. Anima autem humana inter formas corpori unibiles censetur perfectissima. Ideo requirit corpus melius dispositum et organizatum quam cetera viventia; unde embrio prius dicitur vivere vita plantae, deinde vita animalis. Tandem tamen habet debitam dispositionem vita hominis, quia dispositio, quae sufficiebat ad vitam plantae et ad vitam animalis, non sufficit ad vitam hominis, quae est per animam intellectivam, qua sumus, movemur, vivimus, sentimus et intelligimus. Igitur, inter hominis animam et corpus, quod informare habet, mirabilis requiritur proportio, et eius ad corpus mirabilis est unio, quia ipsa incorruptibilis existens non educitur, nec de potentia activa alicuius agentis naturalis, nec de potentia passiva ipsius materiae, sed inducitur ab extrinseco, scilicet a Deo ipsam immediate creante et in corpus infundente corruptibile. Sicque componitur homo ex aliquo incorporeo et incorruptibili et ex aliquo corporeo et corruptibili. De hoc sic dixit Boethius: Quid enim est, quod illam incorpoream rationis vivacitatem corpori misceat, nisi quaedam coaptatio et veluti gravium leviumque vocum quasi unam consonantiam efficiens temperatio, ut corpus typum gerat vocum gravium et anima vocum levium? Et quamvis homo ex partibus sic disparibus misceatur, tanta est tamen animae ad corpus proprium unio, tantus amor, ut nunquam naturaliter, si possibile esset, separari vellet ab eodem, et tamdiu manet in eo, quamdiu suas operationes potest explere per ipsum; cum autem totaliter redditur corpus ineptum, sibi non sine magno separatur ab eo dolore; quae separatio mors dicitur. [52] Excluso enim vel excepto dolore, quem incurrit anima per mortale peccatum, quo a Deo separatur, summus dolor et fit a corpore separari. Unde dixit Philosophus, quod finis terribilium mors est, maxime illa, quae est per mortale peccatum, secundario ea, quae est per animae divisionem a materiali corpore. Cum enim materia nullam recipiat perfectiorem formam anima humana, quid mirum, si tristatur, ut sic loquar, cum perdit eam? Etiam cum anima separata est a corpore, licet vivat et maneat sine eo, ita tamen appetit sibi reuniri, ut, secundum beatum Augustinum, a perfecta sua beatitudine dicatur retardari, donec sibi fuerit reunita, nisi dispensative secus fiat (quod dico propter Christi animam ab eius corpore in triduo illo separatam, a sua perfecta beatitudine non tunc retardatam).

Adhuc humana musica non solum unionem et proportionem inspicit corporis et animae, sed animae et potentiarum suarum; sed prima unio essentialis est, haec vero accidentalis. Fluunt enim potentiae ab anima, ut accidentia a subiecto suo proprio. Quae ideo dicuntur potentiae, quia, illis mediantibus, anima suas exercet operationes, ut, intellectu mediante, in actum exit intelligendi, cum adest praesentia obiecti, et actus voluntatis ad hoc concurrentis (quia intelligere in nobis est, cum volumus). Et, cum anima humana principium sit multarum operationum, ut intelligendi, volendi, sentiendi, vegetandi et movendi, cum illas immediate non exerceat, sed mediantibus potentiis, multas requiret potentias, quasdam rationales per essentiam organis non affixas, alias irrationales organis affixas corporalibus. Habebit huius musicae species has ad invicem comparare potentias seu animae partes, et | [P2, 10v in marg.] connectionem, quam habent inter se, ad animam et ad obiecta sua, conspicere, qualiter in una simplici anima tot sic distinctae connectuntur potentiae. Unde Boethius: Quid est, quod ipsius inter se partes animae iungat, quae, ut Aristoteli placet, ex rationabili irrationabilique coniuncta est? Item potentiarum animae ordine, quas Boethius partes vocat, musicus habet inspicere, quae sint superiores et [53] nobiliores, quia rationales, quae sunt partes imaginis, quibus homo capax est actuum beatitudinis (ut sunt: memoria quae respondet Patri, intelligentia Filio, voluntas Spiritui Sancto), et quod ceteris debent dominari et secundum eas principaliter debet homo regi. Haec et multa alia potest quis circa animam et eius intueri potentias per hanc musicae speciem.

Potest etiam per eandem ad hominis corpus descendere et speculari, qualiter ad receptionem animae, ut est prius dictum, debet esse convenienter corpus dispositum et, ad exercendum operationes potentiarum organicarum, optime complexionatum, et, cum componatur ex quattuor elementis, videre qualiter illa invicem connexa sint, et, sic connexa, qualiter permaneant. Unde Boethius: Quid vero est, quod corporis elementa permisceat aut partes sibimet rata coaptatione contineat? Sunt autem, in humano corpore, inter alia mixta elementa quattuor summe proportionata, summe | [P1, 9r in marg.] ad medium, ad concordiam et temperamentum redacta, et hinc provenit ut homo ceteris animalibus melioris sit tactus et complexionis potioris, et organa virtutum sensitivarum habeat meliora. Sic enim expedit. Est enim homo prudentissimum animalium. Etiam anima, quamdiu corpori coniuncta est, in operibus intellectus ex virtutibus dependet sensitivis, quae sibi ministrant species, quia, quantum ad naturalem animae coniunctae intellectionem, quod est in intellectu, prius fuit in sensu, et intelligentem oportet fantasmata speculari. Quibus turbatis, turbatur intellectio; patet in furiosis, in ebriis, in amentibus et nimis iratis.

Et haec de tactis musicae speciebus summatim dicta sufficiant. Qui de illis in speciali prosequi sciret et vellet, multos quaternos implere posset. Sed et Boethius de mundana et humana musica se posterius disputaturum promisit; quod non fecit. Etiam nec musicam instrumentalem eius completam reperi, forte morte praeventus. Damnum fuit magnum, quod non implevit, quae facere proposuerat, quia postquam perfecte tractasset de his, quae ad musicam pertinent (sed in tres tactas species), forsitan [54] nobis geometriam et astronomiam tradidisset. Tactae musicae species pure respicere videntur musicam theoricam. Instrumentalis enim de qua statim prosequetur, <in> theoricam distinguitur, ut dicetur, et practicam.

Capitulum XV.

De quibus sit instrumentalis musica et quare vocetur sic.

Est igitur alia musicae species, quae instrumentalis dicitur vel sonora. Haec est musica proprie dicta, nobis notior, nobis magis consueta, inspiciens non solum nota per intellectum, sed etiam per sensum. Nam de numero tractat sonorum, de consonantiis tractat sensibilibus, quae bene instrumentalis dicitur vel sonora, quia consonantiae proprie dictae in instrumentis exponuntur tam artificialibus quam naturalibus; artificialibus, quoad sonos flatu, ut in tubis, tybiis, organis, vel pulsu, ut in tympanis, citharis, psalteriis, cycolis, viellis generatos; naturalibus, quoad vocem ab ore animalis prolatam, lingua, dentibus, palato, pulmone, in arteria, aere mediante, formatam.

Non tacui, inter instrumenta musicalia, naturalia numerare instrumenta, non solum quia musica non tantum consonantias sonis expressas inspicit, sed et vocibus, verum quia naturalia instrumenta perfectiora sunt artificialibus. Ars enim naturam imitatur; non modica melodia continetur in vocibus naturalibus formatis instrumentis, quibus nulla attingunt instrumenta artificialia. Nec dicitur haec musica instrumentalis vel sonora, quia tantum vacet consonantiis ut applicantur instrumentis quae illas resonant, sed amplius, quia vacat speculationi circa consonantias, inspiciendo naturas earum communes et proprias, non iam per sensum tantum hoc discernens, sed per rationem, inquirendo etiam consonantiarum proprietates proprias et communes et earum proportiones, et alia multa, de quibus Boethius inquirit, et nos, ut poterimus, inquiremus.

[55] Unde potest esse bonus musicus, qui nescit ludere in instrumentis vel consonantias in eis formare, quia musicus simpliciter ab instrumentis non dicitur, | [P2, 11r in marg.] secundum Boethium, sed a ratione, et qui illis vacant instrumentis, subsunt musicae speculativae et deserviunt, in quibus quaedam practica versatur musica quam dirigit theorica. Tractat autem haec musicae species praecipue de consonantia, quae omnem, secundum Boethium, regit modulationem. Et universaliter omnis musicae species de sonis tractans vel vocibus qualitercumque sub instrumentali musica hac videtur contineri. Et cum de hac musicae specie prosequi decrevimus, quae ad ipsam spectant pro posse nostro conabimur inquirere. Et, primo, aliquas huius musicae tangamus divisiones et subdivisiones, ut amplius ad quae se extendat videatur.

Capitulum XVI.

Musicae instrumentalis prima divisio.

Instrumentalis musica distinguitur in planam et in mensurabilem.

Plana musica sonorum numerum consonantiam facientium sic inspicit, quod ibi valorem temporis sonos mensurantis non attendit, sed, ab ipsius temporis valore se abstrahens, de plano theorice practiceve consonantiarum aspicit naturas atque profert eas. Vacat autem circa consonantiae sonos sive simul proferantur a diversis, ut fit quando simul, cum alius dicit re, alius dicit quintam desuper, scilicet la, sive successive ab eodem, ut cum quis protulit re, idem consequenter profert la. Haec igitur de his est, quae ad veram spectant musicam theoricam. Haec etiam cantare docet, cantandi principia manifestat. [56] Haec nomina vocum quibus cantores utuntur, numerum earum, nec non et figuras, quibus figurantur, vocum mutationes, claves docet atque signa. Insuper totam monochordi gammatis compositionem aperit. Haec est illa, de qua Boethius atque Guido monachus in suis tractant libris. Sed Boethius speculationem magis insequitur, Guido praxim. Haec, quantum ad suam theoriam, musicum efficit, quantum ad suam praxim, cantorem. Qui igitur musici, qui cantores esse desiderant, hanc inquirant. In hac, qui de musica scire volunt, primitus instruendi sunt, et in huius practica informandi sunt primo pueri, ut cantare sciant. Nam qui nimis expectant, inhabiles et nimis rudes redduntur ad cantandum, quantumcumque in aliis subtiles sint et clerici boni.

Musica autem mensurabilis musicam praesupponit planam, sed, circa sonos consonantiam facientes, temporis quemdam attendit valorem. Haec discantare docet, consonantiarum sonis simul prolatis utitur, quibus convenienter temporis mensuram adiunxit, quia sonus non causatur sine motu; motus autem tempore mensuratur. Cum igitur simul proferuntur, et a distinctis, soni consonantiam facientes, puta re et sol, quantum ad diatessaron, si non aequali mensurentur tempore, tollitur talis consonantia et consimili modo de aliis etiam consonantiis. Ideo musicae species haec habet figuras, quae notae dicuntur, quibus voces | [P1, 9v in marg.] designantur; debitas et varias temporis imposuit significationes, ut sciretur notarum valor, quibus et nomina distincta donantur, ut aliam temporis morulam significet longa, aliam brevis, aliam semibrevis. Haec modos aliquos cantandi reperit et pausas. Et alia multa ad hanc artem sunt pertinentia. Haec musicae species requiritur in his, qui cantus faciunt mensuratos in conductis, in cantibus organicis, in motellis et hoketis. Et hi non solum musicam planam practicam, quae cantare plane docet, scire debent, sed consonantiarum non debent ignorare naturam, ut sciant, quae bonae, quae meliores, quae optimae, quae mediocres, quae nullae; sciant quae sint bonae in discantuum principiis, quae possint poni in mediis, quae in terminis. Requiritur enim haec musicae species in his, qui cantare volunt cantus mensuratos. [57] Et de hac quidem Franco Teutonicus apte disseruit; sed modernis non sufficit cantoribus, de quibus in fine tangemus.

Capitulum XVII.

Musicae instrumentalis secunda distinctio.

Isidorus, tertio Etymologiarum, musicam in harmonicam, rythmicam distinguit et metricam. Harmonica in sonis discernit acutum et gravem. Rythmica verborum respicit incursionem, an sonus eorum bene maleve cohaereat, ut sit in eis euphonia bona vel mala, atque quandam verborum respicere videtur consonantiam, <lenitatem> et allusionem et maxime in dictionum fine, haec nonnunquam, et, si, in dictionum syllabis, temporis non attendat valorem, quoad breves et longas, quod ad musicam pertinet metricam, numerum tamen attendit syllabarum. Metrica vero est quae temporis mensuram diversorum metrorum probabili ratione diiudicat, ut est metrum dactylicum, iambicum, | [P2, 11v in marg.] coriambicum, et sic de aliis, prout metra denominantur, vel a pedibus quibus conficiuntur, vel a materia de qua sunt, vel a suis inventoribus.

Hae musicae partes, cum sonum vocemve considerent, sub instrumentali vel sonora musica continentur theorice vel practice sumpta. Qui enim discernere scit, non iam per usum tantum, sed per rationem, inter sonum acutum et gravem, qui consonantiam faciunt musicalem hanc vel illam, et ea quae ad ipsius pertinent naturam, et ipsius proprietates inquirit, ibi finaliter sistit, ibi delectatur, theoricus est musicus harmonicus. Qui autem finaliter ibi quaerit usum, practicus est musicus. Et consimiliter de rythmica sentiendum est et metrica.

Revertens autem Isidorus ad musicam harmonicam, amplius de ea loqui volens, separat eam in harmonicam, [58] specialius sumptam quam sumeret eam prius, in organicam et rythmicam; et hae tres species sub harmonica prius sumpta continentur et amplius praxim intendere videntur quam speculationem.

Distinguuntur autem sic: Sonus gravis et acutus, qui materia est consonantiae, aut naturalibus formantur instrumentis aut artificialibus. Si naturalibus, quibus formatur sonus, qui est vox, sic est harmonica specialiter accepta, quae ex vocum cantibus constat et pertinent ad comoedos, tragoedos et huiusmodi et communiter ad omnes, secundum Isidorum, qui voce propria canunt. Unde fit, ut haec musica sit illa quae in homine vox appellatur. Ideo statim ibidem Isidorus vocem describit atque sonum, et vocum et sonorum quasdam tangit differentias, de quibus infra loquemur. Haec musica cantum videtur respicere quemcumque, sive planum sive mensuratum, licet forsitan antiquitus modicum cantibus uterentur mensuratis. Quod autem haec musicae species ad comoedos et tragoedos et ceteros poetas dicitur pertinere, venire potest ex hoc, quod hi in plateis et theatris opera sua decantabant, forte suo modo quo nunc laici quidam historias in locis publicis decantant, quibus distinctos adhibent cantus secundum historiarum et rythmorum suorum distinctionem. Unde opera poetarum, in libris redacta, carmina dicebantur et poemata, et qui canebant illa personae vocabantur a "personando", sicut qui composuerant illa poetae dicebantur a "fingendo". Differt autem haec musicae species a metrica, de qua prius mentio facta est. Nam ad metricam illam pertinere videtur metrorum et pedum scire naturas, proprietates et distinctiones, scire ea componere et, secundum thesim et positionem, debito modo scire proferre et scandere. Sed ad harmonicam, de qua loquimur, pertinet quidam cantus, secundum quem talia carmina in plateis coram populo canebantor a comoedis et tragoedis et huiusmodi, et forte aliqui sciebant illa componere, qui nesciebant illa in theatris debito modo decantare.

Si autem sonus gravis et acutus in instrumentis exprimatur artificialibus, aut illa reddunt sonos illos ex quodam flatu, ut sunt tubae, tybiae, fistulae, musae, organa et [59] huiusmodi, et hoc ad organicam pertinet musicam. Si vero talia sunt instrumenta, quae tactu sonent vel pulsu, ut citharae, viellae, lyrae, tympana, cymbala, psalteria et <huiusmodi>, sic est rythmica, quae ab illa, de qua prius loquebatur, distinguitur. Illa enim incursionem respicit verborum, an bene vel male secundum debitam euphoniam coniungantur. Haec vero pulsum respicit digitorum in chordis vel aliis instrumentis, quae tactu vel pulsu sonant.

Possunt autem hae musicae species ad illas tres reduci, de quibus facit Boethius mentionem in fine libri primi Musicae suae, de quibus supra, Capitulo tertio, computando "Prooemium", fecimus mentionem.

Capitulum XVIII.

Musicae instrumentalis tertia divisio.

Potest autem, ex Boethii verbis, musicae alia instrumentalis haec adiungi distinctio, ut quandam dicamus modestam et simplicem, aliam vero lascivam, mixtam vel multiplicem. Modesta est | [P1, 10r in marg.] quae paucioribus et simplicioribus utitur modis, consonantiis, instrumentis et cantibus, paucioribus etiam mutationibus et sonorum mixtionibus, lasciva vero quae lascivioribus et pluribus.

De prima loquens Plato dicit, quod respublica magnam custodiam apponere debet circa musicam, ut sit optime morata, pudenter honesteque coniuncta, simplex et mascula, non effeminata, nec fera, nec varia. Et hanc musicae speciem, ut dicit Boethius, Lacedaemonii maxima ope servaverunt, dum Gortinus Cretensis pueros in musicae artis [60] imbueret disciplina. Diuque mansit apud Antiquos haec musicae species. Unde, quia Timotheus Milesius musicus unum nervum superaddidit in cithara his quibus prius utebantur, et, per consequens, musicam fecit multiplicem et lasciviorem, offendit Laconienses in tantum, ut amoverent eum a civitate sua Laconia, et fecerunt edictum, in quo continebatur illius amotionis causa, secundum Boethium, sic: Idcirco <Timotheo> Spartiatas succensuisse, id est offendisse, quod multiplicem reddens musicam puerorum | [P2, 12r in marg.] animis, quos acceperat, officeret, id est noceret, et a virtutis modestia praepediret. Nam armoniam quam modestam acceperat, in genus chromaticum, quod mollius est quam diatonicum, invertisset. Tanta enim apud eos fuit musicae diligentia, ut eam quoque animos obtinere arbitrarentur. Tunc autem, secundum Nicomachum, maxime viguit simplex et modesta musica, cum quattuor uterentur chordis in cithara, quattuor quoque consonantiis, ut diapason, quam ipsius quadrichordi chordae extremae resonabant, diapente, quam altera chordarum extremarum cum tertia sibi proxima sub vel supra resonabat; diatessaron, quam altera chordarum extremarum cum sibi immediate iuncta personabat; et tonum, quem duae intermediae chordae percussae sonabant, ut nihil esset ibi dissonum inter chordas illas.

Istius autem quadrichordi repertor dicitur fuisse Mercurius et duravit usque ad Orpheum, qui in tantum musicam ampliavit instrumentalem et ita fecit eam delectabilem et allectivam ut, per eam, omnia diceretur ad se trahere, sicut in Musicae Commendatione prius est descriptum.

Nunc autem illa simplex modesta musica in paucis regnat locis. Et cum antiquitus musica lasciva in scenicis ac theatralibus uterentur modis, ipsa nunc quasi ad omnia se extendit, ut totus mundus ea repletus sit. Nam etsi, quantum ad consonantiam, specialius locum habeat cantibus in mensuratis et discantibus organicis, in conductis, in motellis, hoketis et cantilenis, nunc, in multis ecclesiis, [61] eadem, etiam in plano cantu ecclesiastico, cantores uti non verentur, cantum planum et simplicem ad mensurabilem trahunt, ut simplices cantores nesciant quid illi dicant, et cantum planum non discernant.

Haec est musica, quae prae ceteris scientiis hominum animos obtinet, cuius causam assignans Boethius dicit: Nulla ad animum in disciplinis via magis patet quam auribus, quo fit, ut, cum rythmi et modi varii et lascivi ad animum <usque descenderint>, dubitari nequeat, quin mentem aequo modo afficiant et sibi conforment. Unde imponitur Boethio dixisse, quod, si musica hominis animum inveniat laetum, facit eum laetiorem, si tristem, facit eum tristiorem, ut sunt homines aliqui male dispositi, solitarii et melancolici, qui simplices, tristabiles vel nullos audire volunt cantus, nec ex hoc musica, quantum in se est, debet increpari, quod diversis hominum conformet se dispositionibus, sed potius commendari et quod quidam sic alii aliter moveantur. Nam equi et cervi in vocibus et sonis delectantur, equi in tympanis, trumpis, cymbalis et nacariis; cervi vero in canum latratibus et venatoriis sonis et cornibus. In illis autem canes tristantur forte propter capitis debilitatem defectumque cerebri. Quod igitur pueris haec interdicatur musica, non venit ex imperfectione, quae in ea sit, sed ex puerorum conditione, qui nimis inclinantur ad talia laeta et iucunda, et refrenare se nesciunt, regnantibus in eis passionibus sensitivis; propterea dicit Aristoteles eos inhabiles esse ad scientiam, quae de virtutibus est. Sed quicquid sit de pueris, secus est de aliquibus provectis viris qui talem musicae speciem invite admodum audiunt et quasi illicitam fugiunt, cum in ea, si serventur scientiae documenta, vitium non sit. Si enim virtus omnis habentem perficit et opus eius bonum reddit, musica autem virtus sit intellectualis; erit opus eius bonum et virtuosum et tanto amplius, quanto habitus, a quo elicitur, perfectior est. Nec solum bonum de genere moris poterit esse, sed et [62] meritorium, si sit, debito modo, circonstantionatum, ut fiat bono fine in honorem et laudem Dei ex caritate.

Puto autem quod instrumenta musicalia moderni temporis multo perfectiora sint illis quibus utebantur Antiqui, cum regnaret illa simplex et modesta musica. Puto etiam, quod cantus moderni et cantores longe perfectiores sunt, quam essent illi antiqui. Sed quicquid sit de sonora practica musica, theorica eius tutior, securior est et perfectior; non ab eius acquisitione videtur quis secludi; non per se, non per accidens per eam videtur quispiam ad illicitum aliquod inclinari.

Capitulum XIX.

Musicae instrumentalis quarta divisio.

Adhuc instrumentalis musica in theoricam distinguitur et practicam, quae etsi aliqualiter versentur circa idem, quia circa sonorum numerum vel sonum numeratum. Si enim alicui scientiae competat in speculativam practicamque separari, oportet illas in subiecto materialiter vel qualitercumque convenire. Unde de theologia tenent magni, quod est simpliciter speculativa et simpliciter practica. Nec solum musicae sic distingui convenit, sed et ceteris mathematicae scientiis, ut arithmeticae, geometriae et astronomiae. Quod si generaliter verum sit practicam scientiam quamlibet de obiecto esse operabili a nobis, sicut theoricam vel speculativam de non operabili a nobis, salvetur hoc hic quantum | [P2, 12v in marg.] potest salvari. Verum est quod, quantum ad practicam musicam, voces et soni, qui materia sunt harmonicae sonorae modulationis in instrumentis naturalibus et artificialibus, aliqualiter a nobis causantur; | [P1, 10v in marg.] ipsa tamen sonorum harmonica modulatio, haec vel illa, formaliter et quidditative, non provenit a nobis; quod bene Pythagoras in malleorum sonis expertus fuit. Reddebant enim harmonias vel consonantias tales vel tales, ut diapason, [63] diapente, diatessaron, tonum, non ex aliqua vi intrinseca percutientium, sed ex debita hac vel illa proportione malleorum ut duplam, sesqualteram, sesquitertiam et sesquioctavam.

Igitur qualitercumque hae duae musicae partes circa numerum insistant sonorum non absolute, sed invicem comparatorum, ut sunt materia harmonicae sonorae modulationis, in multis tamen distinguuntur et principalius in fine vel a fine. Nam theorica consistit in speculatione veritatis eorum quae ad hoc genus pertinent musicae: principia, proprietates, partes, passiones circa suum proprium subiectum inquirens et demonstrans; ibi sistit, ibi finaliter conquiescit. Practica vero in opere suum finem ponit. Ad hoc tendit, ut sonos harmonicos exprimere sciat vel naturalibus vel artificialibus instrumentis. Prima respicit animam et intellectum speculativum, alia intellectum practicum, corpus et auditum.

Sed duplex est practica musica: quaedam mixta, quaedam pura. Mixta est illa, quae non omnino est expers rationis. Omnis enim scientia, cum sit in intellectu, ratione aliqua utitur. Sed theorica, quae intellectum respicit speculativum, quae nihil dicit de agibili vel fugibili, rationem accipit speculativam. Practica vero, cum ad intellectum pertineat practicum, practica utitur ratione, sicut principia sua practica sunt et suum scire practicum. Nec distinguuntur intellectus speculativus et practicus ut duae potentiae, sed ut distincta officia, distinctae operationes et distincti fines circa eandem potentiam. Practica autem pura, secundum Boethium, est illa, quae est omnino expers rationis, in solo usu, exercitio vel opere consistens, ut sunt multi cantores, qui ex solo usu cantare et consonantias exprimere sciunt, similiter et multi in instrumentis lusores. Unde dicit Boethius, quod huiusmodi musica est illa, quae in instrumentis agitur et quae in rythmis et metricis carminibus exercetur.

Comparans autem Boethius musicam theoricam ad talem practicam dicit quod omnis ars atque disciplina honoribiliorem [64] naturaliter habet rationem quam artificium, quod manu atque opere artificis exercetur. Multo enim maius atque auctius est scire, quid quisque faciat, quam ipsum illud efficere quod sciat; etenim artificium corporale quasi serviens famulatur; ratio vero, quasi domina imperat. Et nisi manus, secudum id quod ratio sancit, efficiant, frustratur. Tanto igitur praeclarior est scientia musicae in <cognitione> rationis quam in usu operis, quanto anima corpore praeclarior, sine qua nec corpus se regere nec moveri potest. Et, secundum hoc, prima de secunda iudicat et ipsam regit, quia secunda non rationem, sed nudum opus inspicit. Ad hoc prima est liberior, nobilior, honorabilior, purior, tutior, generalior, verior, specialior et perfectior, et prima musicum facit simpliciter, secunda cantorem vel instrumentorum talium vel talium lusorem, ut <buccinatorem> , organizatorem, citharoedam, et sic de aliis distinctis instrumentis, vel dictatorem quoad rythmicam, <versificatorem> vel poetam, quoad metricam.

Comparatur autem cantor solum usum habens ad verum musicum, secundum aliquos, ut bestia ad hominem; unde illud: bestia non cantor, qui non canit arte sed usu, non vox cantorem facit artis sed documentum. Nec tamen sic theoricam extollere volumus, ut nimis practicam deprimamus, quae non caret laudibus, ut tactum prius est de Commendatione Musicae; sibi enim multae commendabiles competunt conditiones, ut est ibi dictum.

Quod si theorica generalior sit obiective, quia ad coelestem, mundanam, humanam et instrumentalem se extendit, practica tamen generalior est subiective, si de subiecto loquimur, in quo speculativa enim, quaecumque sit illa, in solis entibus intellectum habentibus reperitur. Practica etiam vero bestias, volucres, serpentes respicit et aliquos pisces. Et inter homines multi sunt practici, rari autem theorici.

Sufficiant nunc hae generales theoricae musicae ad practicam collationes, sed quae cui convenient specialius videatur.

[65] Capitulum XX.

Quae musicae species specialius sub theorica, et quae sub practica contineantur.

Quamvis instrumentalem musicam in theoricam et practicam separaverimus, convenit tamen omni musicae speciei harum sub altera contineri. Ideo quae sub hac specialius vel sub reliqua contineatur videamus et, licet hoc ex dictis aliqualiter appareat, amplius tamen hoc aperire non gravabit.

Sub theorica musica, in sua | [P2, 13r in marg.] sumpta generalitate obiectiva, ut est tactum, coelestis, mundana, humana, et sonorae pars aliqua continentur. Illae autem duae primae species pure videntur esse theoricae, non iam divisibiles in theoricam et practicam ut sonora; quae causa extitit quare hanc distinctionem, usque dum de sonora loqueremur, facere distulimus; cuius pars nobilior et perfectior theorica est de qua Boethius principalius tractat, et multi ante ipsum tractaverunt. Sub practica autem mixta vel pura, illa plana musica continetur quae cantare docet et quae notare cantus sit in libris, quae notat, quae cantat, et voces, quae materia sunt consonantiarum, format et exprimit, mediantibus naturalibus formandi voces instrumentis; ad hoc illa quae docet intonare vel intonat cantus secundum tonos diversos vel modos (intonare enim cantare est); item, quae gammatis vel monochordi compositionem docet et ea, quae ad ipsum spectant, investigat: de quibus Guido monachus et alii tractaverunt. Item mensurabilis sub hac musica subponitur per quam aliquis discantare scit vel discantat (discantus enim quidam cantus est). Item illae musicae partes, de quibus, secundum Isodorum, locuti sumus, sub hac musicae specie principalius reponi videntur. Ad hoc sub musica practica, musica | [P1, 11r in marg.] clauditur modesta [66] ac lasciva. Hae enim omnes musicae species praxim principaliter videntur intendere et quaedam aliae.

Musica autem pure theorica ab omnibus illis aliqualiter videtur abstrahere et finem suum in speculatione eorum, quo ad genus suum pertinent, ponere, non iam descendendo, quantum in ea est, ad operationem aliquam vel praxim. Videtur tamen velle Boethius quod theorica musica, iudicando et rationem assignando, se ingerat in omnibus. Et nos qui de theorica sonora musica principaliter loqui decrevimus, in practicis speciebus quae occurrent, pro posse nostro, rationem insectemur. Martha enim a Maria petebat auxilium. Et practica rationis poscat supplementum.

Alias musicae poni poscent divisiones, sed quae positae sunt sufficiant.

Capitulum XXI.

Summa, ordo necnon et ratio dicendorum.

Quia innata nobis via est ut a communioribus ad specialiora procedamus, dicturi, de sonora musica et principalius de theorica, praeter ea quae prius tacta sunt, de quibus sic summatim, amplius explicemus, ut etiam ordo pateat et ratio dicendorum. Interest autem alicuius scientiae circa suum proprium subiectum partes, proprietates et proprias inquirere passiones, illasque de subiecto suo per principia propria, proxima et immediata demonstrare per definitionem subiecti, passionis vel utriusque. Est enim demonstratio syllogismus faciens scire ex primis et veris prioribus notioribus causisque conclusionis procedens.

Subiectum autem huius musicae sonus est numeratus vel sonorum numerus invicem collatorum ut concurrunt [67] scilicet ad aliquam harmonicam modulationem faciendum, quae vel est ratio formalis in obiecto suo, vel ipsius propria passio. Haec autem harmonica modulatio quae ad huius musicae pertinet speciem, principalius consonantia sonora et sensibilis dicitur. Quidnam enim aliud est consonantia nisi sonorum distinctorum invicem collatorum modulatio harmonica in determinata consistens proportione, sic vel sic ad auditum perveniens? Et, secundum hoc, consonantia videtur esse subiectum huius musicae speciei, abstrahens intellectum ab hac singulari sensibili vel illa consonantia. Hanc igitur consonantiam ex numeratis sonis invicem collatis proportionatisque nascentem sonora musica principaliter considerans tractare quaedam habet de sonis, quaedam de numeris, quaedam de proportionibus. Subest enim scientiae naturali, quoad sonum, et arithmeticae, quoad numerum. Sunt enim soni consonantiae materia; quos invicem habet comparare et quam reddant harmoniam, quam faciant consonantiam, discernereque <distincto distinctum> et ipsorum musicus scire debet proportionem. Nam qui ponit differentiam inter res aliquas vel qui res aliquas invicem comparat, ut illas cognoscat, necesse est. Ideo Boethius, cum de mundana loquitur musica, ad res mundi, coelum et elementa, se transfert et, ubi de humana, ad hominis partes, corpus et animam, se convertit. Similiter cum de sonora tractat, ad sonos et numeros, quantum ad notitiam faciunt consonantiae, se dirigit. Scientia enim subalternata a subalternante multa sumit. Et cum musica principalius arithmeticae quam physicae subponatur, plura de arithmetica quam de physica sunt scientia, nec est perfectus musicus theoricus qui in arithmetica non est sufficienter instructus.

Oportet igitur musicum sonum aliqualiter cognoscere. Et cum sonus non sit sine motu, sine quo nec causatur nec diffunditur, non sit etiam sine tempore motum mensurante, illa non penitus | [P2, 13v in marg.] debet ignorare, et cum sonos inspiciat numeratos, ut ad invicem conferuntur, quae collatio ad numerum pertinet ad aliquid, naturam numeri, et specialiter numeri ad aliquid, et eius species debet cognoscere. [68] Item cum consonantia quaelibet in aliqua consistat proportione, quid <sit> proportio, quid proportionalitas scire debet. Nam, sicut ex terminis invicem comparatis nascitur proportio, sic ex proportionibus invicem collatis proportionalitas vel medietas noscitur provenire. Adhuc cum una proportio nascatur ab alia, ut inaequalitas ab aequalitate, qualiter hoc fiat scire expedit. Item cum pervenit musicus ad tractandum de consonantiis (quod est sibi magis proprium et intrinsecum) et ubi amplius est immorandum, naturas illarum definitive divisiveque proprias et communes convenientias distinctiones diligentius debet perscrutari, suas proprietates et proprias passiones de ipsis demonstrare, ut quid tonus in aequas partes non possit partiri, quid diatessaron ex duobus tonis integris cum semitonio constet minore; sic de multis aliis quae, suis in locis, inferius, Deo dante, demonstrabuntur. Item in qua numerorum consonantiae consistant proportione, quae perfectiores et quae minus debet indagare, quae simplices et quae compositae. Item de cantandi modis diatonico, chromatico, enharmonio qui diatessaron resonent se potest intromittere, et, consimili ratione, de tetrachordis, et, ratione consonantiarum aliarum, de pentachordis, exachordis, heptachordis, sic de aliis, theorice rationes illorum reddendo. (Qui autem ludunt in instrumentis illis vel aliis practici musici sunt, ut est prius tactum). Item cum species modi vel toni sint quaedam proprietates diapason consequentes, de illis tangendum est, et de multis aliis quae magis infra patebunt in processu.

Primo igitur expediamus nos de sono et motu; deinde aliis insistemus.

Capitulum XXII.

Quid sit sonus. |

[F, 104r in marg.] Sonus, secundum Boethium, est aeris percussio indissoluta usque ad auditum. Dicitur sonus "aeris percussio" non formaliter et quidditative, sed causaliter et effective, [69] quia ex aeris impulsione causatur. | [P1, 11v in marg.] Percussio vel impulsio actio est. Sonus autem est qualitas, nisi dicatur actio, quia passionem infert sensui cuius est obiectum ipsum, de potentia reducendo ad actum. Sed dicitur "indissoluta percussio aeris usque ad auditum"; nam, cum aer sphaericae fluidaeque sit naturae, pars prima eius quae percutitur partem sibi vicinam et proximam movet et illa aliam usque ad auditum ne etiam sit vacuum, et ibi quaedam est aeris <condensatio> et quaedam rarefactio in diversis aeris partibus. Consimili modo, una pars aquae aliam movet cum in aqua lapis proiicitur, ut dicetur infra.

Alii sonum sic describunt: Sonus est aeris fractio ex impulsu percutientis ad percussum. Nec ista descriptio formalis est, cum fractio sit actio; aeris etiam fractio non solum sonum facit, sed aquae, collisi siquidem lapides infra aquam sonant, licet aer longe magis materia et medium sonandi sit quam sit aqua. Adhuc, in tractatibus logicalibus sic dicitur: Sonus est quicquid auditu auris proprie, et per se percipitur. Haec descriptio potius dicere videtur quid nominis quam quid rei.

Ideo sonus formalius sic describi potest: "Sonus est passibilis qualitas ex impulsu percutientis ad percussum, aere vel aqua mediante, proveniens, ipsius auditus obiectum existens". Hic ipsius soni tangitur genus, quia qualitas est, et sub qua specie qualitatis contineatur, quia sub tertia quae est passio vel "passibilis qualitas", quia passionem infert auditui cuius est "obiectum", ut color visui, et in hoc tangitur aliqua eius differentia, sed non omnino <atoma>. In hoc autem quod dicitur "ex impulsu percutientis" et cetera, tanguntur | [F, 104v in marg.] tria quae ad soni generationem requiruntur, quae sunt percutiens, percussum [70] et medium. Sed, cum manus penna chordam tangit psalterii, quomodo sunt, in illius soni qui inde provenit generatione, illa tria, scilicet percutiens, percussum et medium, cum immediate penna tangat chordam? Dicerent forsitan aliqui quod non tangit ibi penna chordam immediate sed aere mediante. Ponunt hi quod corpus siccum in eius superficie, cum aliquid in aere tangit corpus siccum, non tangit illud omnino immediate, sed interponens se mediat ibi aer, sicut aqua inter corpora infra aquam se tangentia si in extremitatibus suis sint humida, tum, quia de ratione aeris est, ut locus sit saltem materialis eorum corporum quae in aere sunt, sicut aqua eorum quae in aqua. Non autem corpus siccum aliud tangens locus est eius, quia nec ambit locatum, nec virtutem habet conservandi locatum. Est autem locus ultima superficies corporis locantis vel continentis immobile primum talem distantiam habens ab orbe, vim quandam habens conservandi | [P2, 14r in marg.] locatum; quod autem dicitur immobile, pertinet ad locum formaliter sumptum, qui talem determinatam distantiam importat a coeli circonferentia. Locus enim, materialiter sumptus, mobilis est tum etiam quia res se tangentes et contiguae a continuis distinguuntur, quia continuae immediate se tangunt. Nam continua sunt quorum extrema sunt unum; patet in partibus lineae continuatis. Partes autem contiguae, ut fit cum digitus tangit digitum a se distinctum, aliquo mediante, se tangunt; alias viderentur continuae. Nam illa se tangunt quorum extrema sunt simul, secundum Aristotelem. Non dicit quorum extrema sunt unum. Sed quicquid sit de hac opinione in qua latent multae difficultates, non perfecte tamen solvitur tacta quaestio per eam. Chorda enim psalterii, sive mediate, sive immediate tangatur a penna, nisi chorda illa pendula in aere moveatur aerem percutiendo, vel nisi [71] penna super chordam tactam per quandam fricationem et dilatationem moveatur, non fit sonus. Ex hoc igitur quod chorda pulsa tremit et aerem verberat, fit sonus et sic sunt ibi percutiens ut penna, percussum, et medium ut aer. In viella autem secus est in qua per motum, fricationem et dilatationem arcus super chordas sonus producitur, non iam solum per motum tremulum chordarum illarum, ut in psalterio vel cithara. Adhuc, in prius tacta soni descriptione, tangitur soni materia prout accidentia materiam habent et illa est aer vel aqua quae etiam habent | [F, 105r in marg.] rationem medii in soni generatione. Item tangitur ibi cuius potentiae sonus sit obiectum, quia auditus et, in hoc, aliqualiter eius causa tangitur finalis, quia ad hoc sonus ordinatur, ut auditum perficiat, si sit sibi proportionatus. Licet autem ad soni generationem tria dicta sunt requiri, utitur tamen natura quandoque uno illorum pro duobus, ut patet cum aer virga vel chorda aliqua tremula percutitur. Habet ibi aer rationem percussi et rationem medii. Nam, cum aer percutitur, dividitur. In illa autem divisione, ne sit vacuum, quod valde abhorretur a natura, partes vicinae concurrunt aeris ut fiat ibi quaedam <condensatio> in aere percusso et fit ibi quaedam partium aeris collisio unde provenit sonus. Qualia autem debeant esse corpora bene sonantia patet in secundo De Anima.

Capitulum XXIII.

Quid sit vox.

Vox autem est quaedam soni species. Omnis enim vox sonus est, sed non convertitur. Et cum tam aer quam aqua possit esse medium et materia in soni, qui [72] non est vox, generatione, solus aer medium est et materia in vociferatione.

Vociferant autem sola animalia. Inanimatorum enim nullum vocat, secundum Philosophum, nec tibia, nec lyra, nec viella vociferant, licet similitudinem | [P1, 12r in marg.] quandam habeant cum vociferatione, quia extentionem habent et melodiam includunt harmonicam. Nec omnia animalia vociferant. Animalium enim quaedam sanguine carent et dicuntur exsanguia. Et talia, secundum suum genus, sunt non vociferantia, etiam quia nec respirant, nec audiunt, ut apes, vermes, scrabones, cicada. Sanguinem etiam habentium quaedam respirant et illa vociferant, aila non, ut pisces, et talia vocem non emittunt in cuius signum collocarent et gutture. Sola igitur animalia sanguinem habentia et respirantia sunt vociferantia. Est enim vox sonus ab ore animalis prolatus ex percussione aeris respirati detenti in arteria, ab anima, a pulmone, ceterisque naturalibus formatus instrumentis cum imaginatione significandi. Expositionem huius definitionis relinquo Aristoteli qui sufficienter exponit in secundo De Anima.

Vocum autem proprietates et sonorum et ipsorum differentias tangemus infra, cum aliqua tetigerimus de motu et tempore, sine quibus sonus et vox non causantur.

Si enim, ut ait Boethius, cuncta sint immobilia in quieteque (privatio motus est manentia) non poterit alterum alteri concurrere ut alterum impellatur ab altero, cunctisque stantibus, motuque carentibus, nullum fieri necesse est sonum. Idcirco tangamus aliqua de motu et aliqua de tempore, et deinde ad sonum revertemur. | [F, 105v in marg.]

[73] Capitulum XXIIII.

Quid sit motus.

Motus, secundum Philosophum, tertio Physicorum, est <entelechia> , id est actus existentis in potentia. Secundum quod huiusmodi motus autem dicitur "actus", quia per ipsum aliquid de pura potentia procedit ad actum. Patet cum aliquid incipit dealbari; aliquem gradum recipit albedinis, quo recedit a termino a quo contrario ipsi albedini, tendens successive per motum donec perfectum habeat gradum albedinis; quo habito, cessat motus; habitibus enim, id est formis, existentibus in materia perfecte, cessat motus. Ideo motus non est actus perfectus, quia, ipso habito perfecte, motus cessat et fit quies quae est privatio motus. Motus enim est ratione carentiae. Dicitur autem motus actus existentis in potentia, id est ipsius mobilis subiective et passive, licet sit ipsius moventis active, quia actio et passio sunt unus motus et ambo sunt in passo, ut in subiecto sive in mobili. Adhuc | [P2, 14v in marg.] dicitur motus "actus existentis in potentia", id est ipsius mobilis, secundum quod huiusmodi, id est secundum quod est in potentia ad actum vel formam perfectiorem quam acquirit per motum; qua habita, motus cessat, ut est dictum. Est igitur motus actus quidam ipsius mobilis imperfectus secundum quem mobilem est in potentia et tendit ad actum perfectiorem sive in naturalibus, sive in artificialibus. Unde motus aeris ad formam statuae non inest aeri secundum quod est aes, [74] sed secundum quod est in potentia ad perfectam statuae formam.

Ex his possunt aliqua concludi quae de motu dicuntur. Dicitur quod est forma fluens vel fluxus formae, quia per motum, ut est tactum, fit processus ad habendum formam aliquam perfecte, in quo processu continue recessus fit a termino a quo, secundum diversos gradus individuales illius formae, et accessus ad terminum ad quem. Patet hoc in motu aquae a frigiditate ad caliditatem; qui motus calefactio dicitur, quia denominatur motus non a termino a quo, sed a termino ad quem. In illo igitur motu, terminus a quo, id est frigiditas, a calefaciente plus et plus corrumpitur et dispositiones ad calorem introducuntur, ut tepiditas, donec introducatur aliquis gradus, etsi minimus, ipsius caloris; quo introducto continue, forma illa caloris intenditur donec perfecte habeatur. Non enim calefaciens, quod agit per formam caloris in frigidum, statim introducit in passum calorem, sed sufficit ut remittat frigiditatem plus et plus donec totaliter corrupta fuerit et iam passum dispositum ad caloris aliquem gradum recipiendum; agens enim naturale, communicans in materia cum patiente, in agendo repatitur, quia passum, per formam suam, sibi resistit, ut potest, | [F, 106r in marg.] donec illud, quod est fortius, aliud vincit et superat et sui similitudinem in illius inducit materiam.

Ex his patet quod, in forma per quam et ad quam est motus proprie dictus, latitudo requiritur graduum individualium. Ideo in formis indivisibilibus ut in figuris, in formis et in numeris substantialibus, non est proprie motus secundum Philosophum.

Item de motu dicitur quod est via in formam, quia per ipsum forma in esse perfecto acquiritur. Ideo etiam dicitur quod motus non est praeter res ad quas vadit, vel quod est de genere ad quod vadit, quia saltem, quantum ad motum intentionis, non differt a termino ad quem nisi sicut imperfectum a perfecto. Dicitur autem motus, proprie dictus, esse in triplici genere, scilicet in quantitate, [75] in qualitate et in ubi: in quantitate, quantum ad motum augmenti et detrimenti; in qualitate, quantum ad motum alterationis; in ubi, quantum ad motum localem. Adhuc de motu dicitur quod est acquisitio partis post partem, quia forma, per quam est motus, est partibilis et per motum fit processus a minore gradu ipsius formae ad maiorem vel perfectiorem. Item, quod motus omnis fit ratione carentiae, quia, si perfecte forma aliqua haberetur, non esset ad eam motus. Item dicitur quod motus est de contrario in contrarium, quia terminus a quo et ad quem sibi repugnant. Utrum autem in motu intentionis alicuius formae primus gradus corrumpatur, adveniente secundo, non est praesentis speculationis enodare: sufficiat hic tangere quaedam summatim de motus natura.

Adhuc dicitur quod actio et passio sunt unus motus materialiter, licet distinguantur formaliter et quidditative, quia faciunt distincta praedicamenta. Motus enim est actio, ut ab hoc, id est ab agente, sed dicitur passio, ut in hoc, id est in patiente. Verbi gratia, percussio qua magister percutit discipulum est quidam motus et ille motus dicitur actio ut procedit a magistro; dicitur autem idem motus, passio, | [P1, 12v in marg.] ut recipitur in discipulo. Et simile est cum ignis calefacit aquam; illa calefacio est motus: actio, ut ab igne, et passio, ut in aquam recipitur. Concurrunt igitur ad motum multa, ut actio, passio, agens, patiens. Agit autem agens per formam quae est sibi ratio agendi, ut ignis per calorem per quem sibi vult assimilare passum, et consimiliter est aliis in actionibus univocis; patiens autem patitur per materiam. Est autem motus de genere continuorum, ut dicit viam vel fluxum ad formam. Sed prout dicit terminum ad quem et a quo, specificatur et denominatur; sic est de genere ad quod vadit, ut est prius tactum.

Licet autem quattuor sint | [F, 106v in marg.] motus species, si proprie sumantur quae prius dictae sunt, adduntur tamen illis [76] aliae duae, secundum quod dicitur in Praedicamentis quod sex sunt species motus: augmentum, diminutio, alteratio, locis mutatio, generatio et corruptio. Hae duae species ultimae, si stricte sumatur motus, non sunt motus sed potius mutationes, in quantum scilicet generatio dicit ultimam introductionem ipsius formae substantialis quae est instantanea, corruptio autem illius corruptionem. Dicuntur tamen motum includere, ut sumuntur pro alterationibus praecedentibus ultimam | [P2, 15r in marg.] introductionem ipsius formae substantialis. Adhuc motus distinguuntur qui alius est continuus, alius discontinuus (ad hoc autem, ut motus sit continuus, et unus numero, requiritur unitas mobilis formae et <temporis>). Adhuc motuum alius velocior, alius tardior, alius spissus, alius rarus, alius sursum, alius deorsum, alius ante, alius retro, alius dextrorsum, alius sinistrorsum. Item motuum alius est naturalis qui a principio procedit intrinseco, alius violentus qui ab extrinseco. Adhuc quidam est pure naturalis, quidam naturalis, quidam voluntarius.

Multa alia dici possunt de motu, sed quae dicta sunt sufficiant. De tempore nos expediamus.

Capitulum XXV.

Quid sit tempus.

Tempus, ut dicitur quarto Physicorum, est numerus motus secundum prius et posterius. Qui enim in motu (qui de numero successivorum est) numerare potest prius et posterius et distinguere inter illa, tempus apprehendit.

Dicitur autem tempus "numerus", sed non absolute, similiter nec dicitur motus absolute, sed dicitur "prius et [77] posterius numerata in motu". Et sic duo sunt de ratione temporis: numerus scilicet, et illud est formale, et motus et illud est materiale et fundamentale et, quia, quod numeretur prius et posterius in motu, provent ab anima, dicitur tempus suum formale et actuale recipere ab anima. Et, in hoc, tempus aliqualiter assimilatur intentionibus secundis; quarum fundamentum si sit in re extra, esse tamen suum formale sumunt ab anima. Unde fit ut, si non esset anima attendens et numerans prius et posterius in motu, quae habent rationem praeteriti et futuri, et si esset tempus fundamentaliter in re, non esset tamen tempus, quantum ad suum esse, completivum et formale, ut distinguitur a motu.

Verum est quod in motu bene est prius et posterius et successio, etiamsi non sit anima illa numerans et attendens, sed illud ad completam rationem temporis non sufficit nisi adsit anima numerans illa, ut est dictum. Addit igitur tempus, super motum, prius et posterius in ipso motu numerata, et ideo dicitur tempus mensura motus (saltem alterius, a primo mobili, cuius motum non mensurat sed ab illo manat). Est enim de ratione temporis excedere ea quae in ipso sunt et quae mensurat. Omnia enim quae subsunt tempori, variabilia sunt, mutabilia, corruptibilia; senescunt et ad finem tendunt. Ideo dicitur tempus esse mensura rerum mutabilium (quod de tempore continuo debet intelligi).

Incorruptibilia enim et aeterna in tempore non sunt continuo, de quo nunc loquimur. Unde dicit Plato in Timaeo, in libro secundo, quod Deus non est in tempore, sed est, quoniam tempus est, quia coexistit omni tempore.

Sunt autem tres mensurae: aeternitas, aevum seu perpetuum, et tempus.

Aeternitas mensura est illius esse quod nunquam habuit principium suae durationis nec finem nec habere potuit; cuius esse est totum simul sine ulla vicissitudine, variatione vel mutatione. Unde Boethius, quinto De Consolatione: [78] Aeternitas est interminabilis vitae possessio tota simul subsistens, nulla vicissitudine concussa. Hoc autem soli Deo competit qui solus vere est prout ipse dixit Moysi: Ego sum qui sum. Qui est misit me ad vos. Sic enim sibi debetur esse quod suum esse omnino necesse est esse, et nullo modo sibi potest competere non esse; quod de nulla creatura fas est suspicari.

Aevum autem vel perpetuum est mensura incorruptibilium materia carentium, quae tamen principium habuerunt sui esse | [F, 107r in marg.] et suae durationis, ut sunt angeli et anima intellectiva hominis et corpora coelestia.

Ab aevo autem tempus fluit. Unde Boethius, tertio De Consolatione: Qui tempus ab aevo ire iubes. Sed tempus est mensura extrinseca eorum quae initium habent sui esse et suae durationis atque finem; cuiusmodi sunt ea quae sunt variabilia, mutabilia et corruptibilia, quae sunt quasi in continuo fluxu et motu. Ideo dicitur tempus est principium corruptionis, quia omnia, quae in tempore sunt, naturaliter corrumpuntur. Includit enim in natura sua prius et posterius in motu, ut est dictum, et sic praeteritum et futurum, quae partes sunt temporis integrales et invicem copulantur per nunc vel instans, sicut partes lineae per punctum continuativum; nec tamen nunc vel instans est tempus, cum dicat aliquid indivisibile, sicut punctus respectu lineae non est linea, quia nec linea componitur ex punctis nec tempus ex instantibus vel nunc. Tempus autem, cum de numero sit successivorum, cuius partes in re extra non sunt simul, in | [P1, 13r in marg.] anima tamen sunt simul quae illas numerat. Numeri enim partes simul sunt, in hoc differentes a partibus orationis. Dividitur autem tempus, secundum theologos, in continuum et discretum; continuum respicit motum continuum, non interruptum, non discontinuatum; discretum autem respicit aliqua discreta et divisa invicem sibi succedentia, ut distinctas sibi succedentes formae substantialis in materiam introductiones, distinctas angeli et hominis intellectiones quas elicuit, | [P2, 15v in marg.] quantum ad cognitionem naturalem rerum, [79] in proprio genere. Sic dico propter cognitionem quam habent angeli beati et beatae hominum animae in Verbo vel in essentia divina, in qua non sunt volubiles et successivae cogitationes, secundum beatum Augustinum. Tempus autem continuum, licet sit divisibile in infinitum, sicut et ipsum continuum, non <est> tamen tempus discretum, sicut nec numerus. Se extendit autem tempus discretum, ut tactum est, ad aliqua ad quae se non extendit tempus continuum. Etiam et, si, post diem extremi generalis iudicii, cesset tempus continuum, sicut dicitur in Apocalypsi, quod iuravit angelus quod non erit amplius tempus, non motus, non naturalis actio et passio in his inferioribus, manebit tamen tempus discretum. Et cum continuitas temporis sit a continuitate motus, et continuitas et successio in motu et a continuitate et successione ipsius mobilis et magnitudinis super quam est motus, non est taxanda multitudo et magnitudo temporis ex magnitudine super quam est motus, sed potius ex velocitate et tarditate ipsius motus. Ponitur enim quandoque plus de tempore ubi minus pertransitur de spatio. Unde possibile est aliquem de Sancto Dionisio iuxta Parisius sub aequali tempore venire Parisius cum alio qui venit ibidem de Monte Martyrum. Mobile enim velocius in aequali tempore plus pertransit de spatio quam mobile tardius, ut patet sexto Physicorum.

Haec generaliter dicta de tempore sufficiant. Ad sonum revertamur.

Capitulum XXVI.

Sonorum differentiae.

Iam ad sonum redeamus cuius genera de motu et tempore diximus aliqua. Nam cum sonus ex motu causetur, sonorum distinctio ex distinctione pendet motuum.

[80] Sunt autem motuum, ut tactum est prius, alii tardiores vel rariores, alii velociores, | [F, 107v in marg.] spissiores vel citiores.

Tardus vel rarus motus graves facit sonos, velox vero vel spissus acutos vel altos, quia motus gravis proximior est quieti et sonus gravis vicinior est silentio. Est autem silentium privatio soni, ut quies motus. Motus autem velox magis distat a quiete, sicut sonus acutus vel altus a silentio. Adhuc cum per motum aeris sonus causetur, motus autem aeris tardus et rarus minus aerem moveat (quia debiles et paucas facit percussiones), sonum causabit grossiorem vel graviorem; velocior vero vel spissior acutiorem. Patet hoc ad sensum in psalterii chordis percussis; nam quae graviter, lente et debiliter movet aerem, gravem reddit sonum; quae cito et frequenter, acutum. Etiam eadem chorda, cum intenditur, acutius sonat, et cum remittitur, gravius. Et haec est ratio quare chorda longior, ceteris paribus, gravius sonat chorda breviore, et grossior minus grossa.

Nec putandum est ex uno tactu chordae in aere expansae sonum unum generari, sed plures, tot scilicet quot vicibus chorda tremula percutit aerem sufficienter ad causandum sonum. Sed, quia ea quae prope sunt, quasi nihil differre videntur, illi autem soni vicini propinqui sunt et similes. Non discernens inter illos, sensus iudicat ibi sonum esse unum continuatum, velut color rubeus vel viridis in aliqua parte sumitatis trochi positus, cum trochus velociter rotatur, videtur circulariter totam illius trochi sumitatem afficere, et idem patet in aliquibus iridis coloribus. Sonorum igitur alii graves, alii alti vel acuti sunt, et qui graves, cum tardius aerem moveant, tardius veniunt ad auditum. Facit enim se sonus cum motu <visibili> aut, ut lumen et color, in instanti. Acuti autem soni citius veniunt ad auditum, nisi sit obstaculum.

[81] Item sonorum alii sunt recti, alii sunt obliqui et repercussi, ut sonus qui dicitur echo.

Item sonorum alli aequales ex aequalibus causati motibus, ceteris paribus, alii inaequales. Aequales sunt quorum unus non est altior vel gravior alio et pertinent ad unisonum. Inaequales sunt quorum unus alio gravior est.

Adhuc sonorum alii simul proferuntur, alii non, sed successive.

Et simul prolatorum, alii, secundum Ptolomaeum, sunt unisoni qui, licet ab invicem naturaliter sint distincti, unum tamen sonum, secundum sensus iudicium, pro tanto facere videntur, quia unus alio nec gravior est nec altior; alii sunt non unisoni quorum unus gravior est reliquo. Et horum aliqui sunt aequisoni, qui, licet invicem sint inaequales, sic tamen uniuntur in medio, sic concordant secundum auditum, ut quasi aequales videantur, ut diapason et bis diapason; alii sunt consoni, qui permixtum et consonum reddunt sonum, ut diapente et diatessaron; alii emmeles, ut consonantiarum partes, ut tonus; alii dissoni, qui, nimis invicem prolati, duri sunt et discordant, ut tritonus; alii <ecmeles>, qui aliqualiter concordant, etsi non perfecte, non ponuntur in numero consonantiarum secundum Antiquos, ut semiditonus, ditonus et huiusmodi.

Item | [F, 108r in marg.] sonorum successive prolatorum alii continui, | [P2, 16r in marg.] |alii sunt discontinui. Continui sunt qui sub eodem motu continuato et indistincto generantur, sive aequales sint, sive inaequales: aequales, cum pulsus eiusdem chordae aequaliter tensae in psalterio prolongatur; inaequales, ut cum chorda eadem psalterii prius pulsa plectro torquetur et intenditur, et tunc sonus, quasi idem, de graviore gradu tendit ad acutiorem, ut ipsorum differentia communi fine claudatur | [P1, 13v in marg.] nec habeant locum signatum et distinctum gravis sonus et acutus. Talis autem soni gravis et acuti continuatio, confusio, vicinitas et indistinctio impedit ne [82] huiusmodi soni musicalem consonantiam generent. Discontinui autem soni sunt qui ad invicem notabiliter sunt discreti et numerati, quorum differentia est in qua sint proportione, sive aequales sint necne. Nosci potest veluti colores impermixti quorum apparet differentia suo loco constituta et, secundum Boethium, soni continui, aequisoni vel inaequisoni ab harmonica facultate separantur, quia consanantia musicalis respicit sonos numeratos, notabiliter distinctos, inter quos attendi possit certa proportio.

Item, secundum Isidorum, sonorum alii sunt suaves vel perspicui, alii subtiles, alii spissi vel pingues, alii clari vel acuti, alii duri, alii asperi, alii surdi vel caeci. Perspicui vel suaves soni sunt qui longius audiuntur ut omnem repleant continuum locum, sicut clangor tubarum, tympanorum et nakariorum. Subtiles soni sunt in quibus modicus et debilis est spiritus, qualis est infantium, mulierum et infirmorum vel chordarum subtilium psalterii, viellae et consimilium. Pingues vel spissi soni sunt in quibus multus requiritur et grossior spiritus, sicut virorum respectu mulierum. Clari vel acuti soni sunt qui sunt alti, dato quod sunt tenues, ut soni puerorum, mulierum et aliquarum chordarum. Duri soni sunt qui violenter emittuntur et subito, ut tonitrui sonus et incudis cum a malleo vel malleis fortiter percutitur. Soni asperi sunt qui disperguntur per minutos et dissimiles pulsus. Surdi autem vel caeci soni sunt qui sunt rauci, qui, mox ut emittuntur, conticescunt atque suffocantur ut nequaquam longius audiantur, ut in fictilibus, cum se tangunt.

Item dicit Isidorus quod perfecta vox est vox alta, suavis et clara: alta, ut in sublimi sufficiat; clara, ut aures adimpleat; suavis, ut placeat et aures audientium blandiat. Quod si ex his aliquid defuerit, perfecta vox non erit. [83] Item vocum aliae sunt firmae, fortes et suaves, aliae debiles, tremulae et rudes; primae bonam faciunt concordiam, quia observant quae ad integram requiruntur consonantiam; non sic voces debiles, tremulae et rudes quae cum diapason habeant sonare, plus vel minus quam quinque tonos integros cum duobus minoribus semitoniis ibi ponunt, et in diapente minus vel plus quam tres integros tonos, cum minore semitonio. Ideo tales voces consonantias confundunt et concordias dictas vel alias destruunt.

Quamvis autem sonus, ut dictum est supra, sit qualitas sensibilis, ut sensum respicit cuius est obiectum, et aerem qui communius est eius subiectum quod afficit et denominat tamen, ratione suae continuationis, sui motus durationis, prolongationis, distinctionis, indistinctionis, potest dici quantitas | [F, 108v in marg.] vel ad quantitatem reducibilis: ad continuam, cum idem sonus continuatur sine interruptione temporis et motus; ad discretam vero cum interrumpitur, distinguitur et discontinuatur, sed diversimode, quia, vel ad orationem, cum successive, interrupte et distincte soni aliqui proferuntur, ut cum dicitur: "Deus est omnipotens", vel ad numerum cum distincti soni eodem tempore simul proferuntur.

Capitulum XXVII.

Quod sonorum vel vocum infinitatem natura terminet humana.

Cum quantitas tam continua quam discreta quandam includat infinitatem, haec ratione divisionis, illa ratione appositionis (vox autem et sonus, ut est tactum, sub harum utraque reponatur), habebit vox haec vel illa quandam infinitatem quantum est in natura sua, similiter et [84] sonus, nam, ut ait Boethius, consideratione accepta, nullus modus vel terminus est evolvendis sermonibus vel acuminibus attollendis, aut gravitatibus laxandis sed his utrisque, in accensu pariter et descensu, natura humana proprium fecit finem. Continuae discretaeque <voci> spiritus humanus terminum statuit <ultra> quem nulla ratione valet excedere.

Natura enim determinata est ad maximum et minimum, quantum ad actum completum, quicquid sit de actu permixto potentiae, unde omnium natura constantium, quantum ad hoc, dicitur esse positus terminus magnitudinis et augmenti. Omnis enim natura naturata limitata est, et finita, et ad genus determinatum contracta; et, si infinitatem aliquam habeat, illa permixta est potentiae. Solus autem Deus qui est natura naturans infinitus simpliciter est illimitatus et extra omne genus.

Tantum igitur quicumque loquitur vel cantat continue, quantum natura et spiritus eius sinat, ut non sit in potestate vocis humanae posse in infinitum ascendere seu etiam descendere, non solum uno anhelitu vel una respiratione, sed nec pluribus, similiter nec sermonem protrahere. Nam nec aer per respirationem sumptus est infinitus, nec in infinitum detineri | [P2, 16v in marg.] potest. Oportet enim animalia vociferantia saepe respirare et expirare, si debeant vivere. Etiam instrumenta formandi vocem virtutem non habent infinitam.

Est igitur in humanis vocibus triplex appositus terminus: in ascendendo scilicet et descendendo, et in vocem unam uno anhelitu protrahendo. Ad hoc autem denotandum, in monochordo tam antiquo quam moderno, terminus et determinatus numerus positus est vocum clavium et chordarum, et quantum ad partem gravem, et quantum ad acutam; hoc etiam, quoad sonos, in artificialibus instrumentis naturae humanae voluit rationabiliter observare sagacitas.

[85] | [P1, 14r in marg.] Capitulum XXVIII.

Quis modus sit audiendi.

Sonus et vox, cum non sine motu generentur in aere <sphaericam> fluidamque naturam habente, cum motu quodam in aere se diffundunt superius, inferius, ante, retro, sinistrorsum et dextrorsum, ad omnem scilicet positionis differentiam. Tale enim quiddam, ut ait Boethius, fieri consuevit in vocibus quale fit in humidis paludibus vel quietis aquis cum ibi proiectum saxum immergitur. Prius enim in parvissimum orbem vel circulum undam colligit, deinde maioribus orbibus undarum globos spargit atque eo usque sic fit donec fatigatus motus ab eliciendis fluctibus conquiescat, cum scilicet cessat virtus impellentis semperque posterior undula maior pulsu debiliore diffunditur. Quod si cresentes undae inveniant obstaculum, statim motus | [F, 109r in marg.] ille revertitur et quasi ad centrum, unde profectus fuerat, eisdem undulis rotundatur. Consimili autem modo cum aer pulsus fecerit sonum, pellit circumquaque proximum aerem et ille alium ad omnem loci et positionis differentiam. Sicque fit ut omnium circumstantium simul feriat auditum nisi sit obstaculum, sed illi fit vox obscurior, ceteris paribus, qui longius steterit, quoniam ad eum debilior pulsi aeris unda pervenit; illi autem clarior et notior qui propinquior fuerit, supposita debita dispositione medii organi et ceterorum requisitorum ad hoc. Quod si sono generato occurrat obstaculum, retunditur aer et quasi novus consimilis priori generatur sonus qui echo dicitur, ut patet secundo De Anima.

[86] Capitulum XXVIIII.

Collatio iudicii sensus ad iudicium intellectus.

De sonis et consonantiis cum sensus iudicet atque intellectus, istorum ad invicem conferenda sunt iudicia et quod verius inquirendum.

Fuerunt autem de hoc antiquorum musicorum variae sententiae, ut patet quinto Musicae Boethii libro, et illud iudicium vocabant harmonicam intentionem vel regulam. Nam voluit Aristoxenus ut de consonantiis standum esset praecipue iudicio sensus. Pythagorici vero tenuerunt de illis standum esse principalius iudicio rationis, licet sensus praestaret ibi quaedam semina cognitionis. Sed Ptolomaeus hos redarguens tenuit standum esse iudicio utriusque ut nil auribus rationique possit esse contrarium, sed, quod sensus iudicat, perpendat et ratio, et ita ratio proportiones inveniat ut sensus non reclamet horumque concordia iudicium fiat perfectum.

Quid autem de hoc sentiat Boethius videamus, cuius verba libenter hic ponimus et alibi, quae pulchra sunt et notabilia et musico debent esse authentica. Sensus, inquit, confusum quiddam ac proxime tale, quale est illud, quod sentit, advertit. Ratio vero diiudicat integritatem. Nam sensus singularium est quae motui et materiae coniuncta sunt; intellectus autem est universalium a materia et eius conditionibus (quae sunt esse hic et nunc) per agentem intellectum separatorum. Ideo iudicium intellectus purius est, verius et firmius. Ratio igitur invenit integritatem. Accipit autem a sensu confusam ac proximam veri similitudinem quia, quod est in intellectu, prius fuit in sensu. Intelligentem enim oportet fantasmata speculari.

[87] Adhuc sensus non bene percipit minima sensibilia, similiter nec maxima. Sunt enim haec sibi improportionata, cum sit virtus organica. Unde excellentiae sensibilium sensum debilitant et quandoque corrumpunt; patet de tonitruo et coruscatione. Intellectus autem, cum intellexerit minime intelligibilia, ut materiam et sibi proximiora quae minus habent de actu, cum etiam intellexerit difficilius intelligibilia non secundum se, sed propter unionem animae intellectivae ad corpus, ut sunt ea quae a materia sensibili magis sunt remota, sicut sunt substantiae separatae et maxime Deus, non tamen ex hoc redditur minus potens ad intelligendum alia, sed magis ex hoc disponitur et elevatur. Non enim est virtus organica. Fortasse autem id quod sensus non integre sed | [F, 109v in marg.] confuse atque a veritate minus agnoscit quasi quidam aestimator incallidus in singulis per se sumptis, licet minus vel modicum errare videatur, si tamen collecta errata multiplicentur, in summam maior apparebit error. Nam, si, inter duas voces, iudicet sensus tonum esse integrum, | [P2, 17r in marg.] nec sit, tum rursus ab una illarum tertiam distare putet per tonum, neque tamen sit ibi integra ac vera toni distantia, item similiter tertiae ad quartam errando iudicet toni esse distantiam, tunc, adhibita quinta voce quae semitonio distet a quarta, si verum fuisset sensus iudicium, inter extremas illas voces, primam scilicet et quintam, esset diapente; nec tamen est; nam, quod erratum est in primo, similiter et secundo et tertio, prohibet hoc, cum diapente constet ex tribus tonis integris et minore semitonio.

Item quod sensus iudicium non sit semper integrum, in alio patet exemplo. Si enim alicuius lineae datae maiorem minoremve sensui difficile non sit reperire lineam, adhibita tamen mensura, ut tanto sumat maiorem tantove minorem, difficilis sibi erit huius prima conceptio, nisi adsit [88] sollers rationis inventio. Et rursum propositum sit datam lineam duplicare vel eius secare partem mediam, id fortasse, licet sit difficilius, primo tamen poterit id sensus reperire. Sed si sensui imperetur ut ad lineam propositam tripla inveniatur vel ab ea pars tertia recidatur, vel quadrupla ad primam constituatur, vel ab ea pars quarta resecetur, nonne erit hoc impossibile sensui si non integritas rationis accedat? Hoc ideo, quia per processus rationi locus et subtilitas accrescit deficitque sensui. Si enim octavam partem lineae propositae demere quis imperetur vel eiusdem lineae octuplam dare cogatur, tunc illius totius lineae dimidiam partem sumere compellitur | [P1, 14v in marg.] et illius dimidiae dimedietatem, ut sit quarta totalis prius sumptae lineae, et illius quartae medietatem, ut sit octava. Quod si illius octavae sumatur medietas, illa erit decima sexta pars totalis prius propositae lineae. Adhuc multae aliae fieri possunt combinationes ut totius lineae sumatur dupla, et illius duplae dupla, ut sit quadrupla, et quadruplae dupla, ut sit octupla. In hac itaque tanta rerum | [F, 110r in marg.] numerositate parum vel nihil efficit sensus cuius omne iudicium subitum est, quia non deliberat, sed superficialiter de re diiudicat, integritatem perfectionemque non explicat. Concludit igitur Boethius quod non est aurium sensui omne dandum iudicium sed exhibenda est etiam ratio quae errantem sensum regat et temperet ut sensus vacillans et deficiens rationi velut baculo innitatur et, ut ceterae artes quaedam habent instrumenta sua, quaedam confusiora et minus perfecta ut acisculum, idest graphium ab acumine quo fiat circulus, quaedam perfectiora vel circinum, ita vis armonica duas habet [89] iudicii partes, unam quidem, sensum quo comprehendit subiectarum vocum differentias, aliam vero, rationem vel intellectum per quam ipsarum differentiarum integrum modum mensuramque consideret.

Haec est igitur Boethii sententia de comparatione iudicii sensus ad iudicium intellectus. Ex qua sententia patet Aristoxenum multum errasse qui, ad iudicandum de consonantiis, solummodo vel nimis credebat sensui, parum autem intellectui; posuit enim tonum in duo dividi semitonia aequalia (quod falsum esse infra multipliciter probabitur) et, ex illo errore, in multos incidit alios errores ponendo diatessaron ex duobus tonis cum semitonio constare integro, diapente autem ex tribus tonis cum integro semitonio, diapason autem ex tonis sex integris, quae omnia falsa esse probabitur infra. Quod autem dicit Ptolomaeus standum esse iudicio utriusque, verum est ubi concordant illorum iudicia. Ubi autem discrepant, potius standum est intellectus iudicio et maxime in minimis consonantiis et consonantiarum proportionibus. Quod enim tonus in duo semitonia aequalia sit indivisibilis nescit sensus; novit autem hoc intellectus. Et si verum sit sensum non decipi circa proprium obiectum, si adsit ibi debita dispositio organi medii et debita distantia obiecti, decipi tamen potest circa commune obiectum. Numerus autem sonorum obiectum commune est. | [F, 110v in marg.] Ideo circa sonorum differentias et consonantias bene sensus decipitur et tanto magis quanto minores sunt, ut sunt semitonia, comma, diaschismata et huiusmodi de quibus infra dicendum est. Et adhuc amplius sensus circa sonorum decipi potest proportiones. Forsitan autem si qui proferrent sex tonos integros, alii vero quinque tonos cum duobus minoribus [90] semitoniis, discerneret sensus inter illas consonantias et secundam meliorem esse prima iudicaret, si diu et frequenter eas audiret. Prima autem non vere exprimit diapason, sed secunda. Nesciret tamen sensus illius reddere causam nisi a ratione iuvaretur.

Haec nunc de sono dicta sufficiant. De numero | [P2, 17v in marg.] prosequamur et cum unitas numeri sit principium et pars, aliquid de ea primo videamus.

Capitulum XXX.

Quid sit unitas.

Unitatem Boethius, in tractatu De Unitate et Uno, describit dupliciter. Et primam descriptionem ponit in principio illius tractatus; secundam, quantum ex prima et ex dictis circa eam concludit, ponit in fine recte illius tractatus. Prima talis est: Unitas est qua unaquaeque res dicitur una sive sit simplex, sive composita, sive corporalis, sive spiritualis. Secunda descriptio talis est: Unitas est qua unaquaeque res <una> est <et est> id quod est.

Dicitur igitur, quoad primam descriptionem, quod unitas est qua unaquaeque res dicitur una. In tantum enim res dicitur una unitate ut non possit esse una nisi unitate, sicut nec alba nisi albedine, quanta nisi quantitate, bona nisi bonitate.

Haec enim denominatio formalis est et intrinseca, non virtualis et extrinseca. Haec denominatio realis est et entitativa. Unde fit ut tamdiu maneat res in suo reali vel naturali esse, quamdiu manet in sua unitate. Omne enim quod est ideo est quod unum numero est. [91] Quae unitas naturalis est unitas realis distincta contra unitatem rationis quae ab anima provenit. Quod igitur dividit unum esse, dividit esse, quod quidem esse est a forma vel actu. Sed in materialibus non est esse a forma absolute; sed, ut unitur materiae cui dat esse, vel esse totius compositi, in materialibus resultat ex unione formae ad materiam sibi aptam et dispositam. Quod igitur in materialibus dividit formam a materia, tollit esse compositi et sicut tollit unum esse, sic tollit esse. Sicut igitur res quaelibet appetit esse, sic appetit unum esse; in tantum enim res habet esse in quantum habet unum esse. Unitas enim causa est ipsius esse et conservationis et durationis ipsius esse, sicut divisio ipsius non esse, secundum quod scriptum est: Divisum est cor eorum; nunc interibunt. Ex his satis potest concludi secunda unitatis descriptio sic: ab illo unumquodque est id quod est per quod habet esse, sed ab eodem habet unumquodque esse a quo habet unum esse. Unitas igitur est qua unaquaeque res est id quod est. Et prima quidem unitatis descriptio formalis est, secunda fundamentalis. Nam prima est per id quod addit unum super ens cuiusmodi est indivisio in ente. Est enim unum ens indivisum a quocumque alio ente distinctum; secunda autem descriptio fundamentalis et quasi materialis est, quia est per illud in quo convenit unum vel unitas cum ente, quia unum et ens sunt idem realiter, licet distinguantur secundum rationem non | [P1, 15r in marg.] realem sed ad hoc anima sumptam. Quicquid enim realiter ab ente distinguitur est non ens. Convertuntur enim haec et inseparabilia sunt realiter, ut de quocumque unum dicatur et aliud. Est igitur unitas vera rei entitas indivisa.

Capitulum XXXI.

Unitatis distinctio.

Sed est duplex unitas, vel unum, quia quaedam est unitas rationis, ut tactum est, quaedam realis. Illa sunt unum secundum rationemquae conveniunt in aliquo uno [92] communi abstracto ab illis de quibus dicitur per operationem intellectus, prout dicit Porphyrius quod plures homines sunt unus homo, et prout homo et asinus in animali conveniunt.

Unitas autem realis est unitas naturalis, non ab anima fabricata, quae est inter definitionem rei et suum definitum, inter accidens proprium vel commune et suum subiectum.

Unitas autem realis duplex est: quaedam essentialis, et quaedam accidentalis.

Unitas essentialis est illa quae convertitur cum ente, nihil reale addens super ens. Idem enim sunt unus homo homo et ens homo, et non differunt nisi secundum dictionem repetitam, quia eadem generatione generantur, eadem corruptione corrumpuntur et nihil aliud realiter est unum quam ens quod denominat. Haec autem est unitas transcendens de qua vivificatur id quod dictum est, quod quantum habet res de entitate, tantum habet de unitate. Haec unitas circuit omne praedicamentum (omne praedicamenti genus, tam substantiae quam IX accidentium). Etiam se extendit ad ens omnino simplex, illimitatum et infinitum, extra omne genus existens, ut est unitas divini esse. Deus enim verissime unus est, sicut suum esse est verissimum esse simplicissimum, actualissimum, omnino immutabile, omnino aeternum. Unde Boethius: Creatrix, inquit, unitas non habet principium neque finem, neque diversitatem. Sed talia accidunt unitati creatae, cum enim recedens a simplicissimo et invariabilissimo ad aliquam accedat compositionem, vel ex actu et potentia, vel ex accidente et subiecto, vel ex partibus quantitativis, vel ex materia et forma. Recedit autem omnis creatura, | [P2, 18r in marg.] quasi in infinitum, a Dei simplicitate et ab eius immutabilitate. Ideo ad aliquam accedit compositionem et variationem in tantum ut, in omni quod est citra primum, differant et inter se compositionem faciant substantia, virtus et operatio. Et quanto aliquid amplius recedit a prima et simplicissima unitate quae Deus est, tanto ad minorem accedere videtur unitatem et ad materiam quae principium corruptionis est et divisionis.

[93] Unitas accidentalis determinatum respicit praedicamentum quantitatis. Scilicet dicit enim indivisionem in quantitate sive quantitatem indivisam, prout dicitur aliqua linea indivisa <linea una>, vel superficies indivisa superficies una. Nec tamen haec unitas denominat solum res sui generis sed res quasdam alias, ut substantiam materialem in qua quantitas mollis reperitur. Unde et dixerunt quidam quantitatem principium esse indivisionis, individuationis et unitatis naturalis in individua substantia, quia sibi primo competit divisio et indivisio, cum sit per se indivisibilis in ea quae insunt. Non credo quod individuatio in substantia sit per quantitatem, sed per rem sui generis, quicquid sit de individuatione accidentali. Puto enim unumquodque praedicamentum individuari individuatione intrinseca et essentiali per rem sui generis. Sed exquisite loqui de hoc alterius est speculationis. Haec autem unitas accidentalis, etsi non differat realiter a rebus sui generis, differt tamen realiter a rebus alterius generis quas afficit et denominat, sicut et quantitas.

Hae tactae unitatis distinctiones sunt divisiones unitatis in suas partes subiectivas. Sed potest tangi quaedam alia unitatis divisio, quasi divisio totius integralis in suas partes integrales secundum quod unitas accidentalis, quae est indivisa quantitas, actualiter dividitur in partes plures, ex qua divisione numerus causatur qui est determinata species quantitatis. Et talis unitas, antequam sit actu divisa, est principium numeri ex ea venientis, et est totus ille numerus in potentia, differens ab illo, ut continuum a discreto, et totum a partibus. Est enim quaelibet unitatum numeri causati pars totalis primae unitatis et pars numeri causati, licet differenter. Unitas igitur, ex cuius divisione numerus causatur, dicitur principium numeri, sed unitas actu divisa contra aliam dicitur pars numeri. Ex divisione igitur continui numerus causatur, idest ex divisione unius indivisae quantitatis, quia si dividatur partes in duas tantum, causatur binarius, si in tres trinarius, si in quattuor quatrinarius, et sic de aliis numeri speciebus. Nec oportet ad hoc ut ex divisione alicuius unitatis numerus causetur quod illa fiat in partes aequales, sed sufficit quod fiat in partes actualiter ab invicem discretas, [94] sive aequales sint ut inter se comparantur, sive inaequales. Semper autem ad hoc, ut sit numerus in actu, plures requiruntur unitates actu distinctae, quia sola unitas non potest facere numerum in actu. Unitas autem quae est ipsum continuum actu indivisum et ex cuius divisione numerus causatur, licet sit totus ille numerus in potentia, differt tamen realiter ab illo, primo quia sunt distinctae species realis praedicamenti, ut sunt quantitas continua et discreta, secundo quia sunt obiecta distincta potentiae realis de quibus distinctae sunt scientiae reales, ut arithmetica et geometria, tertio quia actio realis terminum habet realem. Divisio autem continui actio realis est ipsius dividentis et illa terminatur ad numeri formam. Unitas autem, licet formaliter dicat indivisionem, non dicit illud respectu numeri vel multitudinis cuius est pars et mensura, sed dicit indivisionem in ente quod denominat, et, ideo quod unitas dividatur in partes integrales, non provenit hoc ex ratione sua formali, quae est indivisio, sed ratione substracti vel sui fundamenti cuiusmodi est tale ens ut quantitas continua quae, etsi sit una et actu indivisa, divisibilis est tamen ratione suae dimensionis.

Sed omnia de numero prosequamur.

Capitulum XXXII.

Quid sit numerus.

Numerus, secundum Philosophum, est multitudo mensurata per unum. "Multitudo" ponitur hic loco generis, quia in plus esse videtur quam numerus proprie dictus. Unde, secundum doctores theologiae, numerus proprie dictus, qui scilicet includit omnes conditiones ad numerum proprie dictum requisitas, excluditur a divinis, | [P1, 15v in marg.] etiam et ab angelis qui sunt immateriales et quantitate molli carentes.

Extendendo autem numerum ad multitudinem sic locum habet in divinis, et, ad hunc sensum, dicit Damascenus [95] quod numero et non natura distinguuntur | [P2, 18v in marg.] hypostases in divinis, hoc est: personae divinae distinguuntur proprietatibus relativis, non proprietatibus absolutis, sicut personae distinguuntur angelicae. Ubi enim est multitudo, sine confusione, ibi est aliqualis numerus. Et ad idem loquitur Boethius libro suo De Trinitate: In divinis, inquit, subintrat numerus quem ex subiectorum, idest hypostasum vel personarum, diversitate, idest distinctione, confici superius explanatum est.

Haec pro tanto dixi, quia multitudo maioris est ambitus quam numerus proprie dictus, licet numerus communiter sumptus ad multitudinem quamcumque se extendat.

Item, per hoc, quod numerus dicitur multitudo, ab unitate distinguitur. Numerus enim plures partes actu distinctas et discretas includit ex quibus componitur et in quas resolvitur. Unitas autem, etsi a numero formaliter distinguatur, ab ipsa tamen unitate, quae numeri pars est actualis, totus ipse numerus mensuratur. Est enim unitas numeri pars simplex quae aliquotiens repetita ipsum totum reddit et mensurat numerum, hunc vei illum, ut quaternarium unitas quater repetita et constituit et mensurat; et similiter est de numeris aliis. Similiter pannus X ulnarum per ulnam decies repetitam mensuratur, et eius cognoscitur longitudo. Habet enim mensura rationem minimi, notioris et simplicioris in aliquo genere.

Boethius autem, primo Arithmeticae, dicit quod numerus est unitatum collectio. Ubi tangitur aliquid quod est materiale in numero cuiusmodi sunt unitates, ex quibus numerus componitur, ut est dictum, tangitur etiam illud quod in numero formale est, scilicet ipsa collectio. Cum enim forma sit quae dat esse, requirit numerus aliquam formam per quam habet esse in se et distingui a quocumque alio, in qua forma oportet ut unitates plures, quas requirit numerus, uniantur et conveniant. Unitas enim, ut prius dictum est, est qua unaquaeque res dicitur una, et qua unaquaeque res est id quod est. In numero igitur et est unitatum distinctio, quia requirit plures unitates quarum una non est alia, et est in numero quaedam unitatum unio in una forma, scilicet qua numerus habet esse.

[96] Magna igitur est ipsius unitatis latitudo ut etiam ad discreta et distincta se extendat. Ad hoc igitur, ut numerus maneat in sua essentia, requirit quamdam unitatem essentialem quae eius forma est essentialis, in qua distinctae unitates, quae materia sunt numeri, formaliter uniantur. Et illa numeri forma non est ultima unitas ipsius numeri talis vel talis, ut aliqui dixerunt, sed est actualis unitatum discretio. Per hoc enim numerus in esse suo reponitur et ab omnibus aliis distinguitur, et, manente tali actuali discretione, manet numerus; non manente, non manet. Nam, si ceterae partes invicem prius actualiter discretae et numeratae uniantur et invicem continuentur, qui prius erat tollitur numerus, quia quod prius erat discretum efficitur continuum. Sicut enim actualis indivisio partium aliquarum et earum ad invicem continuatio forma est ipsius continui actualiter indivisi, sic actualis partium discretio forma est ipsius numeri, ut trinareitas, quae dicit actualem discretionem trium unitatum, forma est ternarii, quaternareitas quaternarii, quinareitas quinarii, senareitas senarii, et sic de aliis. Et ad hanc intentionem dicit Philosophus quod semel sex sunt sex.

Sed quaeretur forsitan, cum ex pluribus existentibus in actu non fiat unum, quomodo ex discretis et distinctis unitatibus fiet aliquid unum, qualiter plures actu distinctae unitates in forma una unientur, et, cum de ratione formae sit inhaerere his quibus est forma, quomodo forma una actu distinctis inhaerebit illa informando. Et quia multum exquisita de hac loqui materia, quae subtilis est et pulchra, non habemus, breviter et grosso modo pertranseundo de unitate distinguimus et forma.

Est quaedam unitas omnimode simplicitatis in qua nulla prorsus est compositio nec esse potest; et ens, cui competit talis simplicitas, purus actus est cuius modi solus Deus est qui in nullo, nec in se, nec cum alio est componibilis; nec aliquid in mundo sibi per inhaerentiam componi potest. Alia est unitas cuiusdam compositionis aliquorum distinctorum inter se inhaerentium non actualiter [97] ad invicem separatorum, quoad actum existentiae. Et ista unitas est multiplex, sicut et compositio, quia quaedam dicitur esse ex actu et potentia vel ex esse et essentia, quam aliqui ponunt in omnibus creaturis. Et tenent aliqui distingui haec ad invicem realiter, vel ex natura rei; secundum illud Boethii dictum, in omni eo quod est citra primum, differt quod est et quomodo est. Alii dicunt quod haec sola ratione distinguuntur.

Alia est compositio ex subiecto et accidente quae non solum reperitur in his inferioribus, sed etiam in angelis. Differt | [P2, 19r in marg.] enim angeli substantia ab actu suo intelligendi. Substantia enim angeli una est; actus ipsius intelligendi naturales sunt plures sibi invicem succedentes. In solo enim Deo sunt omnino idem intelligens quo intelligit actus intelligendi et primarium eius obiectum, cuiusmodi est essentia divina in qua, uno simplicissimo actu omnino invariabili et immutabili, intelligit omnia secundaria simul obiecta alia. Alia est compositio ex materia et forma quae locum habet in his inferioribus generabilibus et corruptibilibus.

Est et alia unitas partium continui ad invicem et ipsius puncti cum continuo, vel instantis cum temporis partibus, et his omnibus praedictis inest quaedam unitas naturalis et realis cuiusdam inhaerentiae partium talis rei ad invicem.

Adhuc etiam est alia unitas aliquarum partium actualiter ad invicem distinctarum. Et illa est triplex, quia partes illae saltem principales, vel dicunt, vel requirunt quemdam ordinem suum vel positionem respectu sui totius, vel non. Primo modo in artificialibus unitas reperitur ut in domo, scamno vel pulpito, in quibus, etsi partes secundum suas speciales et naturales formas ad invicem distinguantur, uniuntur tamen in forma una artificiali, ut in forma domus lapides et ligna, tectum, parietes et fundamentum, et sic de aliis. Si autem partes actualiter | [P1, 16r in marg.] distinctae ordinem, positionem vel situm non requirant respectu sui totius, vel requirunt contactum, et sic est unitas in acervo lapidum in quo lapides distincti, secundum formas suas naturales se tangentes, in una forma [98] ipsius acervi conveniunt, (quodsi dispersi essent et se non tangerent in forma acervi minime convenirent, quia acervum non constituerent). Vel partes actualiter distinctae respectu sui totius, vel in toto suo, nec ordinem important nec situm, nec requirunt contactum, et sic sunt partes vel unitates in numeri forma convenientes, ut duo lapides, tres vel plures se non tangentes; in forma conveniunt huius vel illius numeri. Nec dicere volo quin binarius, trinarius, sic de ceteris numeris, possit convenire rebus distinctis se tangentibus et illas denominare; sed hoc quod accidit numero non est de intrinseca sua ratione, ut res numeratae se tangunt.

Quid igitur quod ex pluribus existentibus in actu non fit unum unitate simplicitatis et indivisibilitatis, vel unitate compositionis quae fiat per inhaerentiam partium inter se, quantum ad suas formas naturales? Possunt tamen, quae actualiter inter se, quantum ad suas formas proprias, distinguuntur, in aliqua forma accidentali convenire et uniri, ut in forma aliqua artificiali, vel in forma cuiusdam agregationis, vel in forma aliqua naturali; nec repugnat formis illis inhaerere partibus sic distinctis. Haec enim est natura talium formarum sic distinctis inhaerere, quia nec maneret talis forma nisi illa sic essent distincta. Actualis igitur unitatum discretio forma numeri est quae dicitur unitatum collectio, quia in forma illa unitates colliguntur et uniuntur, sicut partes aliquae distinctae in forma sui totius. Et illa numeri forma non est artificialis, sed est naturalis et realis, naturaliter et realiter conveniens ad actualem ipsius continui divisionem vel rerum aliarum distinctionem.

Capitulum XXXIII.

Numeri acceptiones.

Sumitur autem numerus tripliciter, quia pro numero numerante, pro rebus numeratis, et pro numero quo numeramus.

[99] Numerus numerans est Deus, angelus et homo. Sola enim entia intellectum habentia res numerant, et numeri et rerum numeratarum proprietates attendunt, et naturas.

Numerus numeratus sunt ipsae res numeratae ut numerus X angelorum, hominum vel lapidum. Unde numerus, ut sic sumitur, distinguitur secundum distinctionem rerum numeratarum quae materia sunt numeri; ideo numerus, ut sic, potius materialiter sumitur quam formaliter.

Sed sumitur numerus, tertio, pro numero quo numeramus et, ut sic videtur sumi numerus formaliter et magis proprie: sic est binarius, trinarius et sic de aliis. Et numerus, ut sic, absolute potest sumi ut abstrahit a rebus numeratis, et, ut sic, numerum considerat arithmeticus, inspiciendo numeri sic sumpti naturam, species et proprietates, non descendendo ad res numeratas speciales has vel illas, sicut facit musica quae ad numerum descendit sonorum vel rerum aliarum, quantum ad distincta musicae genera.

Capitulum XXXIIII.

Numeri prima divisio.

Numerus, cum sit unitatum collectio, distingui potest secundum unitatis distinctionem. Ideo cum duplex sit unitas, ut est dictum, essentialis scilicet et accidentalis, erit duplex numerus, quidam essentialis, alius accidentalis.

Numerus essentialis est qui respicit plures res qualitercumque distinctas re absoluta vel relativa; unde non dicitur essentialis, quia respiciat solas res numeratas essentialiter distinctas, sed quia respicit res plures essentialiter vel non essentialiter invicem distinctas; et hoc dico propter numerum qui est in divinis.

Numerus accidentalis est qui determinatum respicit accidens, quantitatem, scilicet hic est ille numerus qui ex divisione causatur continui.

Numerus essentialis circuit omne praedicamentum, sicut unitas essentialis; accidentalis autem in determinato [100] est praedicamento; sic unitas etiam illius radix est et principium, et numerus essentialis realiter non differt a rebus numeratis | [P2, 19v in marg.] nec facit compositionem realem cum illis, cum ab illis realiter non differat. Numerus autem accidentalis, etsi non differat realiter a rebus sui generis, si pure in illo sunt genere, differt tamen realiter a rebus alterius generis, ut numerus X lapidum a lapidibus illis, cum lapis sit substantia, numerus autem ille sit accidens. Numerus accidentalis in solis illis reperitur rebus in quibus est quantitas mollis. Ideo numerus X angelorum numerus essentialis est et non accidentalis.

Et, si sumatur numerus generaliter, extendit se ad omnia creata, quia omnia quae a prima rerum origine processerunt ratione numerorum formata sunt. Fecit enim Deus omnia in numero, pondere et mensura. In omnibus siquidem creaturis aliqualiter representatur imago increatae Trinitatis, sed in aliquibus expressius, ut in creaturis intellectum habentibus, quae ad Dei sunt imaginem, ut in angelis et hominibus, in aliis autem confusius et imperfectius, ut in his quae ad vestigium Trinitatis increatae sunt productae. Nec reperitur numerus in solis creaturis, sed etiam in divinis, cum generaliter sumitur, ut extendit se ad multitudinem, ut prius tactum est; sed longe aliter ibi reperitur quam in creaturis quibuscumque, etiam quam in angelis qui materia et quantitate carent, quia numerus X angelorum distinctionem importat realem, absolutam rerum numeratarum, quia unitates talis numeri essentialiter et realiter re absoluta distinguuntur. Tres autem personae divinae non sic; conveniunt enim et omnino sunt idem in una simplicissima essentia et in omnibus proprietatibus absolutis, sed, ad invicem comparatae, numerantur et distinguuntur proprietatibus relativis, licet, ad essentiam comparatae, idem sint realiter cum illa, a qua, utrum differant ex natura rei vel formaliter, explicare non habeo.

Ponitur autem in divinis quidam numerus realis, ut numerus trium personarum divinarum, quae, non per absoluta, sed per proprietates distinguuntur relativas, quia personae illae sunt relativae. Proprietates autem personales sunt tres: paternitas, filiatio, passiva spiratio. Et est in divinis numerus notionum quae sunt quinque, et emanationum quae sunt duae. Adhuc est, in divinis, | [P1, 16v in marg.] numerus [101] secundum rationem, ut numerus perfectionum attributalium et idearum. Et, secundum hoc, numerus se extendit ad res sola ratione et non realiter invicem distinctas, qui numerus abstrahit a numero quocumque cuius unitates ad invicem distinguuntur re absoluta, vel relativa, vel etiam quantitativa. Quod si hic numerus contineatur sub numero essentiali, sumitur ibi essentia generaliter pro rebus quibuscumque numeratis realiter vel non realiter, sed secundum rationem distinctis.

Capitulum XXXV.

Numeri secunda distinctio.

Rursum numerus dividitur in numerum per se et absolute sumptum, et in numerum contractum et ad aliquid relatum.

Numerus per se et absolute consideratus dicitur, vel quia abstrahit a rebus numeratis his vel illis, vel quia per se potest esse, non requirens numerum alium cui referatur. Relatio enim necessario duo requirit extrema, quia ad aliquid talia dicuntur quorum esse est ad aliud se habere. Unde simul sunt natura ut, uno posito, ponatur aliud, et, uno destructo, destruatur aliud. Numerus igitur absolute sumptus est sicut binarius, trinarius, quatrinarius, quinarius, sic de aliis; tales enim numeri, ut sic, non important relationem ad alios numeros, unde per se poni possunt.

Numerus autem ad aliquid dicitur sic, vel quia contractus est ad aliquam materiam specialem vel ad aliquas res speciales numeratas, vel dicitur numerus ad aliquid quia importat relationem ad alium numerum, vel ad unitatem, ut per se eius non possit salvari ratio, ut duplum, dimidium, triplum, subtriplum, sesqualterum, subsesqualterum, et sic de aliis talibus numeris.

Numerus absolute sumptus non est specialis et propriae considerationis musicae scientiae. Unde non sistit ibi eius consideratio. Ideo de speciebus talis non prosequimur numeri: qualiter scilicet in numerum dividitur parem et imparem, et impar in primum et incompositum, secundum [102] et compositum, et in numerum qui, per se sumptus, secundus est et compositus (ad alium autem comparatus primus est et incompositus); qualiter etiam numerus par distinguitur in numerum pariter parem, pariter imparem et impariter parem; rursus etiam qualiter dividitur numerus in numerum superfluum, diminutum et perfectum. Ibi pulchra est speculatio, sed haec ad arithmeticam pertinent.

Verum numerus ad aliquid musicae considerationis est sumendo numerum ad aliquid duplici modo qui dictus est, ut est etiam | [P2, 20r in marg.] supra dictum. Considerat enim musica de numero ad res aliquas speciales contracto, ut ad sonos, quoad musicam sonoram, vel ad res alias, quantum ad alias musicae species. Adhuc considerat musica de numero ad aliquid, qui ad sui consistentiam alium requirit numerum ad quem refertur, quia inter numeros sic comparatos quaedam innascitur habitudo, quaedam proportio aequalitatis vel inaequalitatis, et non solum inter res speciales ad invicem comparatas. Nam musicarum consonantiarum proportiones, secundum Boethium, non melius, non certius et verius probari possunt quam prout reducuntur ad proportiones numerorum ad aliquid.

Ideo de numero ad aliquid, de eius speciebus et proprietatibus diligenter prosequamur, quia in illis non modicum musicae iacet fundamentum. Inquiremus autem, primo, de numeri ad aliquid speciebus et divisim et coniunctim, dehinc quid proportio, quid proportionalitas vel medietas, quid transmutata proportio et quaedam alia quae scire expedit ad maiorem musicae theoricae notitiam consequendam.

Capitulum XXXVI.

Numerorum ad aliquid divisio.

Numerus ad aliquid sive ad alium comparatus, aut est illi aequalis cui comparatur, aut inaequalis.

Aequales dicuntur quorum unus alium non excedit, ut duo binarii, duo trinarii, sic de aliis. Si igitur binarius [103] binario comparetur, innascitur ibi relatio vel habitudo cuiusdam aequalitatis, sicut si albedo albedini conferatur, nascitur ex natura rerum talium collatarum relatio similitudinis. Hic numerus alteri aequalis, cum ad figuras comparatur geometricas, linearis dicitur, ad modum lineae quae unam tantum includit dimensionem se habens, ut patet Arithmeticae libro secundo. Consurgit enim ex aequalibus numeris seu consimilibus repetitis. Puta si quis dicat duo, duo, duo, inter quos numeros nullum interest intervallum, nulla differentia, vel etiam ex unitatis repetitione, ut si dicatur unum, unum, unum. Unitas enim, si non sit numerus, est tamen omnis numeri radix et principium, similiter et numerus linearis principium est omnium numerorum plurium dimensionum, ut superficialium et solidorum. Omnis enim inaequalitas ab aequalitate nascitur. Haec species numeri ad aliquid, quae est aequalitas, indivisibilis naturaliter in plures est species. Omnis enim, ut ait Boethius, aequalitas unam servat in propria moderatione mensuram; et haec, quae ad invicem comparantur, consimiliter nuncupantur, sicut cum amicus amico, vel vicinus comparatur vicino.

Numeri inaequales sunt quorum unus alium superat, vel ab alio, cui comparatur, superatur, ut binarius vincitur a trinario et quatrinario. Ideo inter tales numeros, cum ad invicem conferuntur, innascitur relatio inaequalitatis, et numeri, qui superant illos quibus comparantur, dicuntur numeri ad aliquid maioris inaequalitatis; qui autem ab aliis superantur dicuntur numeri minoris inaequalitatis et, secundum hoc, inter illos est quasi relatio subiectionis vel supereminentiae, non aequiparantiae quae magis habet locum inter numeros aequales.

De his igitur numeris et horum speciebus dicendum est. Inaequalitas enim species habet et dividi potest. Maius enim et minus contraria sunt et ad invicem referuntur, quia maius dicitur <minore> maius, et minus <maiore> minus. Aequalitas autem speciebus caret, ut est dictum.

[104] Capitulum XXXVII.

Numerorum ad aliquid inaequalium distinctio.

Numerorum ad aliquid inaequalium alii maioris sunt inaequalitatis, ut illi qui numeros superant quibus conferuntur, ut quatrinarius binarium vel trinarium. Alii <minoris> dicuntur | [P1, 17r in marg.] inaequalitatis, ut binarius vel trinarius respectu quatrinarii vel aliorum quorumcumque numerorum qui praedictos superant numeros.

Sunt autem quinque species numerorum maioris inaequalitatis. Et todidem species sunt numerorum inaequalitatis minoris (relative enim ad invicem se habent).

Quot modis autem dicitur unum oppositorum et reliquum? Numeri maioris inaequalitatis species sunt istae: numerus multiplex, superparticularis, superpartiens, multiplex superparticularis et multiplex superpartiens. Et sic sunt ibi tres species simplices et duae ex prioribus compositae.

Consimili autem modo, numerorum minoris inaequalitatis species sumuntur, nisi quod cuilibet haec propositio "sub" per compositionem iungitur sic: numerus submultiplex, subsuperparticularis, subsuperpartiens, multiplex subsuperparticularis et multiplex subsuperpartiens.

De his igitur speciebus prosequamur.

Capitulum XXXVIII.

Quid sit numerus multiplex et quid submultiplex.

Numerus multiplex prima pars est maioris inaequalitatis, cunctis aliis antiquior naturaque praestantior. Est autem numerus multiplex qui, ad alium comparatus, [105] habet illum totum plus quam semel, ut quatrinarius binarium, et binarius unitatem, ad quam unitatem cuncti numeri comparati sub aliqua specie numeri multiplicis reponuntur. Nam binarius duplus est ad unitatem et, ad eandem, trinarius triplus, quaternarius quadruplus, et sic de aliis. Hoc autem nulli alii | [P2, 20v in marg.] speciei numeri maioris inaequalitatis potest competere. Nullus enim numerus immediate ad unitatem comparatus, respectu ipsius, potest esse superparticularis, superpartiens, et sic de aliis. Ideo, naturali iure, numerus multiplex ceteras maioris inaequalitatis species antecedit; hinc est ut ceterae species ab hac oriantur et in ipsum resolvantur, ut infra patebit. Dicitur autem numerus ille multiplex qui alium continet totum plus quam semel, quod a binario inchoandum est qui unitatem bis continet, trinarius ter, quatrinarius quater, sic in infinitum. Requiritur autem ad hoc, ut aliquis numerus sit multiplex ad alium, quod habeat illum plus quam semel, idest bis, ter, quater, sic de aliis, praecise ita scilicet ut nihil sit residuum. Alias non dicitur multiplex ad illum. Quinarius enim binarium continet plus quam semel sed non praecise; superest enim unitas. Ideo non est quinarius multiplex simplex ad binarium sed multiplex superparticularis; est enim duplex sesqualter.

Habet autem numerus hic species multas, quia infinitas in actu permixto potentiae. Procedunt enim numeri species in infinitum.

Si enim numerus aliquis alium contineat praecise bis, est prima species numeri multiplicis quae duplex dicitur, ut binarius ad unitatem, quatrinarius ad binarium, senarius ad trinarium. Si autem contineat alium ter praecise, semper intelligendo sic, est triplus qui est secunda species numeri multiplicis; secundum hoc igitur trinarius triplus est ad unitatem, et senarius ad binarium, et sic de consimilibus.

Numerus submultiplex qui ad suum multiplicem relativam habet oppositionem est ille qui ab alio, scilicet a suo multiplici, continetur plus quam semel praecise, ut, per sui multiplicationem binam, trinam, sic de aliis, suum [106] praecise, idest nec plus, nec minus, reddat multiplicem; et secundum hoc, binarius ad quaternarium est submultiplex, quia bis duo praecise quattuor sunt, et idem binarius ad senarium submultiplex est, quia ter duo sex sunt, et ad octonarium, quia quater duo octo sunt, et ad quemcumque numerum quem praecise per sui multiplicationem valet efficere. Haec est prima minoris inaequalitatis species, non <atoma>, quia sub ipsa multae continentur, sicut sub prima specie maioris inaequalitatis, ut visum est. Si enim aliquis numerus bis sumptus maiorem cui comparatur praecise constituat, est tunc prima species numeri submultiplicis et subduplus nominatur, ut duo ad quattuor, et tria ad sex. Si vero numerus aliquis ter sumptus alium praecise faciat, erit secunda species subduplicitatis et numerus talis minor, respectu maioris, subtriplus vocatur, ut duo ad sex, tria ad novem, sic de consimilibus. Si quater, est tertia species et vocatur subquadruplus, ut duo ad octo et tria ad duodecim, et sic in infinitum, huius numeri procedunt species. Est igitur numerus submultiplex qui a numero cui comparatur continetur plus quam semel praecise, ut bis, ter, quater, quinquies, sexies, et sic de aliis eius speciebus quae procedunt in infinitum, sicut et multiplicis species.

Capitulum XXXIX.

Numerorum multiplicium et submultiplicium radix et generatio.

Naturaliter autem cum multiplicitas et submultiplicitas connexa sint, secundum conditionem relativorum quae simul natura sunt, illarum species non solum in infinitum sibi correspondent, sed et consimili ex radice generantur.

[107] Nam prima multiplicitatis et submultiplicitatis species, idest duplicitas et subduplicitas, procreantur sic:

Disponantur numeri, dispositione naturali, hoc modo: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 et cetera. Si igitur singulos pares eligas, erit primus par, scilicet binarius, duplus ad terminum sibi immediate suppositum, ut est binarius ad unitatem; si secundum parem sumas, duplus est ad secundum terminum naturalis ordinis, ut 4 ad 2; tertius autem par, idest senarius, ad tertium terminum naturalis ordinis est duplus, ut 6 ad 3; quartus autem par, idest octonarius, ad quartum dispositionis naturalis, idest ad quatrinarium, duplus existit, sicque vadit in infinitum huius speciei generatio, sine ullo impedimento.

Ex eisdem patet productio subduplicitatis.

Numeri autem triplices sic nascuntur:

Disponantur numeri secundum ordinem suum naturalem, ut prius: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12. Si igitur, post primum triplicem, cuiusmodi est trinarius, unitatis, duos intermittas numeros ordinis naturalis, scilicet 4 et 5, erit sequens numerus scilicet senarius, triplus ad secundum terminum ordinis naturalis, id est ad binarium, quem binarium secundum numerum Boethius vocat, extendendo numerum ad unitatum quae, licet non sit numerus formaliter et in actu, est tamen numerus in potentia, principium et radix existens omnis numeri, unde dicitur omnis numerus in potentia. Ad hoc, licet unitas non sit numerus formaliter et in actu, est tamen terminus in actu, respectu verorum numerorum actu et formaliter sumptorum, ut inter ipsam | [P2, 21r in marg.] et numeros quoscumque formaliter sumptos possint salvari vere species multiplicitatis et submultiplicitatis, sicut inter duos terminos vere et in actu naturales. Est enim binarius | [P1, 17v in marg.] vere duplus unitatis, ut quatrinarius dualitatis, et trinarius triplus unitatis, ut senarius dualitatis. Item, si post, secundum triplum, duos dispositionis naturalis numeros intermittas, qui sequitur numerus triplus est tertio termino ordinis naturalis, [108] ut novem ad tria, et, per eandem regulam, duodenarius triplus est quaternario, quindecim quinario, decem et octo senario, et sic in infinitum. Sed, inter primum triplum et suum subtriplum, duo non potuerunt numeri mediare, quia unitas locum subtripli tenet ad quem, ut ad suum terminum, trinarius, ut triplus, relatione refertur triplicitatis; ideo mediat inter terminos illos solus binarius. Quadruplorum vero <nascitur> generatio scilicet: post primum quadruplum, cuiusmodi est quatrinarius unitatis, tres numeri dimittantur, ut quinarius, senarius, septenarius; tunc, numerus qui sequitur, id est octonarius, quadruplus est secundo termino ordinis naturalis, id est binario. Est, secundum eandem artem, duodecim trinario et sedecim quatrinario; et sic in infinitum huius speciei reperientur exempla. Quintupli autem tunc nascuntur cum, post primum quintuplum, quinarium scilicet respectu unitatis, quattuor naturalis ordinis relinquuntur numeri, nam immediate sequens numerus secundus quintuplus est, secundo termino ordinis naturalis prius posito, et, hoc modo, denarius est secundus quintuplus, et suus subquintuplus, ad quem relative se habet, est binarius. Consimili modo XX ad IV se habent, et XXV ad V. Et ex hoc sciri potest quomodo ceterae multiplicitatis species procreentur. Nam duplus intermittit unum <terminum>, triplus duos, quadruplus tres, quintuplus quattuor, sextuplus quinque, et sic de aliis, quod generaliter verum est, primis exceptis sive minimis, in qualibet specierum quae habent pro termino altero unitatem.

Capitulum XL.

Numeri multiplicis proprietates.

Habet numerus multiplex quasdam proprietates communes quae omnibus sub eo contentis competunt speciebus, et quasdam speciales quae aliquibus specialiter competunt speciebus.

[109] Competit omni numero multiplici immediate ad unitatem comparato sub aliqua specie numeri reponi multiplicis; binarius enim multiplex est ad unitatem, similiter et trinarius, similiter et quicumque sequens numerus; et ordinantur et distinguuntur multiplicitatis species secundum ordinem distantiae numerorum ab unitate. Nam, ut est prius dictum, binarius unitatis duplex est, quae prima species est numeri multiplicis, trinarius ad unitatem triplus est, quatrinarius quadruplus, quinarius quintuplus, senarius sextuplus, sic consequenter, ut in sequenti patet figura:

[CSMIII/1:109; text: I, II, III, IIII, V, VI, VII, VIII, IX, X, duplus, triplus, quadruplus, quintuplus, sextuplus, septuplus, octuplus, noncuplus, decuplus] [JACSP1A 01GF]

Ex dicta autem numeri multiplicis proprietate provenit ut numerus multiplex ceteras species maioris et minoris inaequalitatis numerorum naturaliter antecedat, cum immediatius omnium numerorum principium et radicem, idest unitatem, insequatur et ad eam, ut ad terminum, generaliter, quantum ad omnes eius species, terminari possit et referri. Hoc autem nulli alii speciei maioris vel minoris inaequalitatis numerorum potest competere. Ad hoc ex hac proprietate venit ut ceterae inaequalitatis numerorum species ab hac oriantur, sicut haec ab unitate. Omnis enim inaequalitas ab aequalitate nascitur, sicut omnis numerus ab unitate, ut magis infra patebit. Item multiplicitatis proprietas est ut, si alius numerus ad alium sit multiplex, ut 4 ad 2, si inveniatur alius numerus multiplex ad primum maiorem terminum, ille erit multiplex ad primum minorem terminum, licet non in eadem multiplicitatis specie. Et secundum hoc, cum octonarius multiplex sit ad quatrinarium, et quatrinarius ad binarium, erit octonarius multiplex ad binarium, et hoc est quod Boethius declarat, quarto libro Musicae suae, per haec verba: Si intervallum multiplex binario multiplicetur, id quod fit ex hac multiplicatione, intervallum multiplex erit.

[110] Haec autem proprietas infra magis declarabitur. Convenit autem proprietas haec cuilibet speciei numeri multiplicis, si bene intelligatur quod declarare reservamus ad alium locum. Non competit autem haec proprietas numero alicui superparticulari, licet competat aliquibus superpartientibus, etsi non omnibus.

Est autem alia numeri multiplicis proprietas, quia processus specierum ipsius quantitati similatur discretae quae in infinitum dilabitur per appositionem. Duplex enim numerus eum continet bis cui comparatur, triplex ter, quadruplex quater, quintuplex quinquies, sic de aliis; trinarius aut per appositionem se habet ad binarium et quatrinarius per augmentum se habet ad trinarium, sic in ceteris.

Sunt autem aliquae proprietates vel passiones quae specialiter aliquibus insunt numeri multiplicis speciebus. Distinctae enim species distinctas, proprias habent passiones de illis demonstrabiles. Unde duplicitati | [P2, 21v in marg.] proprium est a sua tota specie posse dividi in duas partes aequales, quia numerus omnis duplex par est, continens suum subduplicem praecise bis. Sed haec proprietas numero competit quadruplo et octuplo et quibusdam aliis qui per praecisam multiplicationem proveniunt numeri duplicis; nec tamen ex hoc sequitur duplam proportionem divisibilem esse duas in proportiones aequales; iam enim sequeretur diapason consonantiam in duas partes aequales praecisas partibilem esse; quod est falsum, ut infra probabitur. Ex hoc autem patet quod interest inter numerum duplicem et duplam proportionem, quia aliquid competit uni quod non alteri. Numerus autem quadruplex sicut divisibilis est in duas partes aequales, similiter et quadrupla proportio, quia in duplam et duplam proportionem. Unde provenit ut bis diapason, quae in quadrupla fundatur proportio <ne>, in duas partes dividatur aequales. Triplorum autem numerorum alii divisibiles sunt in duas partes aequales, alii non, quia horum alii sunt pares, alii impares, sed sicut omnis numerus duplex divisibilis est in duas partes aequales, sic omnis numerus triplex divisibilis est in tres partes aequales. [111] In triplis autem, post unum imparem, primus triplus sequens est par, et sic consequenter post parem impar, ut post trinarium senarius, post senarium novenarius, et, sic alternati, in infinitum sic se consequuntur et observantur in hac specie; quod si triplus est impar, et eius subtriplus est impar, excepto primo | [P1, 18r in marg.] subtriplo qui formaliter et actualiter nec est par, nec impar. Et si triplus est par, subtriplus eius est par.

Et tactae proprietates, quae conveniunt triplis, conveniunt et quintuplis. Item inter primum duplicem et unitatem nullus cadit numerus, inter triplicem primum et unitatem unus mediat numerus, inter quadruplicem du inter quintuplicem tres, et sic de aliis secundum distantiam ipsorum ab unitate.

Aliae quaedam tangentur inter proprietates. De numero superparticulari prosequamur.

Capitulum XLI.

Quid sit numerus superparticularis et quid subsuperparticularis.

Numerus superparticularis, qui secunda species est numeri maioris inaequalitatis, est ille qui ad alium comparatus habet eum totum et cum hoc aliquam illius partem aliquotam, ut mediam, tertiam, quartam, vel quintam. Vocatur autem illa pars aliquota quae, aliquotiens sumpta, praecise suum totum reddit. Si autem aliquis numerus alium totum contineat et insuper mediam, vel secundam illius partem aliquotam, fit tunc prima species numeri superparticularis; talis numerus sesqualter dicitur, ut trinarius ad binarium. Si vero illum habeat et eius partem tertiam aliquotam, sesquitertius dicitur, qui secunda species huius numeri est, ut quatrinarius ternario. Si quartam, sesquiquartus, ut quinarius quatrinario. Si [112] quintam, dicitur sesquiquintus, ut senarius respectu quinarii; et sic in infinitum huius procedunt species.

Sicut autem numerus aliquis dicitur multiplex quia multotiens continet eum totum numerum cui comparatur, quia bis, ter vel quater, ut est dictum, sic dicitur aliquis numerus superparticularis qui habet alium totum et, insuper, transgreditur illum in aliqua una parte illius aliquota. Sesqualter autem dicitur a "sesqui", quod est totum, et "alter", quia totum continet illum cui comparatur et tamen ab illo alter est, quia, ultra hoc, alteram illius partem continet, ut mediam, quarum duae simul iunctae totum suum praecise redderent minorem scilicet numerum, sicut tres tales maiorem facerent numerum. Et, hoc modo, senarius sesqualter est quasi totus et alter ad quatrinarium, quia continet eum totum et, cum hoc, binarium quae media pars est quatrinarii et tertia pars praecisa senarii. Sesquitertius autem dicitur a "sesqui", quod est totum, et "tertius", quia continet eum totum cui comparatur et tertiam illius partem aliquotam, ut octo se habent ad sex. Sesquiquartus a "sesqui" et "quartus" dicitur, quia habet alium totum et eius quartam partem, ut X se habent ad octo, et sic de aliis.

Iam patet quis sit numerus superparticularis et quae eius species, ex quibus patere potest, quis sit numerus inaequalitatis minoris sub ipso contentus, et quae eius species.

Qui enim numerus ad alium comparatus continetur ab illo totus insuper et una illius pars aliquota, media, tertia, quarta, quinta, et sic in infinitum procedendo in partibus, dicitur, respectu illius, subsuperparticularis. Quod si contineatur ab illo et, cum hoc, media pars eius, est prima species numeri subsuperparticularis et vocatur subsesqualter, ut binarius respectu trium, et quattuor ad sex. Si autem ab alio totus habeatur et ipsius tertia pars, secunda species est huius numeri et dicitur subsesquitertius, ut tria ad quattuor, | [P2, 22r in marg.] et sex ad octo se habent et, hoc modo, vadunt huius numeri species in infinitum et denominantur denominatione maiorum suorum numerorum, hoc est superparticularium, adiuncta hac proportione [113] "sub", ut sit prima species numerus subsesqualter, secunda subsesquitertius, tertia subsesquiquartus, quarta subsesquiquintus, quinta subsesquisextus, et sic in infinitum. Patet etiam, ex prius dictis de superparticularibus, horum nominum quae subsuperparticularibus ascribitur rationabilis impositio.

Vocantur autem, secundum Boethium, maiores numeri, ut illi qui dicuntur superparticulares, duces. Minores vero, ut subsuperparticulares, dicuntur comites.

Capitulum XLII.

Numerorum superparticularium generatio.

Ad sciendum autem qualiter superparticularium numerorum species procreentur, tres numerorum ordines ponendi sunt secundum quamcumque speciem cuius generationem cupis cognoscere. Sufficiat autem exempla ponere de primis duabus speciebus, ut de sesqualtero et sesquitertio. Ad inveniendum igitur sesqualteros, primo in superiore ordine disponantur numeri secundum ordinem suum naturalem; deinde, sub illo ordine, ponantur omnes triplices secundum ordinem suum sibi immediate succedentes; tertio, sub illo ordine, ponantur omnes duplices sibi succedentes. Describantur igitur tres tacti ordines modo qui sequitur:

I   II   III IIII V   VI    VII   VIII   IX    X   XI
III VI   IX  XII  XV  XVIII XXI   XXIIII XXVII XXX XXXIII
II  IIII VI  VIII X   XII   XIIII XVI    XVIII XX  XXII

Patet, in posita descriptione, quod omnes triplices, qui in secundo ponuntur ordine, sesqualteri sunt ad omnes duplices sibi directe immediate suppositos, qui in tertio inferiore ponuntur ordine. Trinarius enim sesqualter est ad [114] binarium sibi suppositum, quia continet eum totum et mediam eius partem, scilicet unitatem. Ternarius autem est primus triplex et binarius primus duplex. Similiter senarius, qui est secundus triplex, sesqualter est ad quatrinarium, qui est secundus duplex. Habet enim eum totum et binarium qui est media pars quaternarii. Eodem modo, novenarius, qui est tertius triplex, sesqualter est ad senarium, qui est tertius duplex; et duodenarius, qui est quartus triplex, sesqualter est ad octonarium, qui quartus duplex est. Idem autem observatur in ceteris consequentibus triplis et duplicibus. Ex quibus patet unum dictum Boethii verum esse, scilicet quod omnes triplices sunt duces et omnes duplices comites. Cuius ratio dicetur infra.

Consequenter, videamus qualiter procreentur sesquitertii. Disponantur igitur tres numerorum ordines, et primus ordo et superior sit numerorum secundum situm suum naturalem ut prius; secundus ordo, qui sub primo ponendus est, sit ipsorum quadratorum sibi immediate succedentium; tertius vero ordo, qui inferius ponendus est, sit triplorum sibi succedentium, et sit descriptio tectorum trium ordinum talis: | [P1, 18v in marg.]

I    II   III IIII V   VI     VII    VIII   IX    X
IIII VIII XII XVI  XX  XXIIII XXVIII XXXII  XXXVI XL
III  VI   IX  XII  XV  XVIII  XXI    XXIIII XXVII XXX

Ex hac posita descriptione nosci potest sesquitertiorum productio. Nam si primum quadruplum, cuiusmodi est quaternarius, compares triplici, qui est ternarius, nascitur sesquitertia proportio; continent enim quattuor tria et tertiam ipsorum partem, quae est unitas. Quod si secundum quadruplum, qui est octo, secundo compares triplici, idest senario, in tertio ordine directe supposito, similem reperies proportionem, scilicet sesquitertiam; habent enim octo sex et tertiam sui partem, scilicet dualitatem. Et idem reperies in ceteris consequentibus quadruplis et triplis sub ipsis directe positis, in infinitum si describentur. [115] In hac specie, ut Boethius ait, triplices sunt comites, quadruplices vero sunt duces, ut tria sunt comites, quattuor vero respectu trium sunt duces; et consimiliter | [P2, 22v in marg.] est de ceteris.

Per artem autem quae dicta est, ceterae numeri superparticularis species reperiri possunt. Nam, ad inveniendum sesquiquartos, disposito primo numero secundum suum naturalem cursum, disponendi sunt omnes quotquot volueris habere quintuplices, et, sub illis directe omnes quotquot volueris quadruplices; quo facto, compares primum quintuplum primo quadruplici, ut quinarium quaternario, et habes sesquiquartam proportionem. Idem observandum est in ceteris.

Capitulum XLIII.

Numerorum superparticularium proprietates.

Sed hic aliquas numerorum superparticularium proprietates inquiramus. In his enim non solum pulchra speculatio iacet et numerorum superparticularium amplior cognitio. Verum valebunt hae ad ea quae de consonantiis sumus locuturi.

Et primo quasdam tangamus communes numeri superparticularis passiones, quarum tamen aliquae proprie dici possunt, ut haec species ab aliis maioris et minoris inaequalitatis distinguuntur speciebus, communes vero ut distinctas species numeri superparticularis respiciunt.

Deinde tangemus aliquas quae specialiter speciebus insunt aliquibus. Competit enim speciei numeri superparticularis, ut dux et comes, quantum ad primos suos numeros, immediate invicem, nulla numeri facta interpositione, coniungantur; patet hoc de sesqualtero inter tria et duo, de sesquitertio inter quattuor et tria, de sesquiquarto inter quinque et quattuor, et sic de ceteris omnibus speciebus consequenter se habentibus. Ex hac autem [116] huius numeri proprietate iuvabimus nos infra ad sustinendum et declarandum quandam Archytae demonstrationem.

Verum est quod haec proprietas primae speciei numeri multiplicis convenit, ut scilicet eius primi termini immediate se consequentur; patet de binario et unitate inter quos est dupla proportio quae ad primam speciem numeri competit multiplicis; sed haec nulli alii speciei numeri multiplicis potest competere. Sic igitur habemus quod primi, qui et minimi dicuntur termini superparticulares, generaliter, quantum ad omnes ipsius species, sic immediate coniunguuntur ut dux, quasi maior dicitur, in sola unitate comitem et minorem superet, ut non cadat inter illos numerus aliquis, sed unitate sola distinguantur. Non sic autem est in secundariis terminis, tertiis et quartis, nam inter secundarios terminos mediat solus numerus, inter tertios duo numeri, inter quartos tres, inter quintos quattuor, et sic in infinitum addendo unitatem. Hoc autem universaliter verum est in omni specie numeri superparticularis sed, causa brevitatis, sufficiat declarare hoc in prima specie numeri istius, scilicet in numero sesqualtero.

Secundi termini sesqualterae proportionis sunt sex et quattuor inter quos sola mediat unitas et solus numerus unus, scilicet quinarius. Termini tertii tactae proportionis sunt IX et VI, et hic duo sunt intermedii numeri, scilicet VII et VIII. Quarti termini istius proportionis sunt XII et VIII; hic autem tres imponuntur numeri et, secundum hunc modum, in quintis, qui sunt XV et X, quattuor interponuntur termini; in sextis, qui sunt XVIII et XII, quinque, et suo modo fit in sequentibus terminis huius speciei et ceterarum numeri superparticularis, et hic adverti potest quod, quanto numeri sunt maiores, tanto inter eos plures mediant numeri.

Ad hoc est notandum hic quod, licet primi vel minimi numeri cuiuscumque superparticularis proportionis in hoc distinguantur a secundariis terminis quod inter primos terminos nullus est terminus medius, inter secundarios et omnes alios semper mediat vel mediant numeri aliqui. [117] Conveniunt tamen in hoc quod, tam inter primos terminos quam inter quoscumque alios sequentes, quantum ad quamcumque speciem, est eadem proportio.

Potest etiam notari quod, in omnibus aliis terminis a primis, differentia, quae est inter illos terminos, semper media pars est minoris numeri vel termini. Nam differentia inter sex et quattuor, qui sunt secundi termini sesqualterae proportionis, sunt duo; duo autem sunt media pars ipsorum quattuor. Inter IX et VI qui sunt tertii termini huius proportionis, ternarius differentia est; qui trinarius media pars senarii est. Consimili autem modo fit in aliis terminis sesqualterae proportionis. In sesquitertia vero proportione, differentia, quae est inter terminos talis proportionis, semper est tertia pars aliquota minoris termini talis proportionis. Octo enim et sex sunt secundi termini sesquitertiae proportionis; binarius autem in quo maior minorem vincit et ab eo differt, tertia pars est minoris. Idem observatur in ceteris terminis huius proportionis.

In sesquiquartis autem differentia maioris termini a minore quarta pars est minoris termini, ut patet inter X et VIII, et <correspondens> idem reperitur in ceteris.

Est et alia proprietas numeri superparticularis omnibus ipsius competens speciebus, et quantum ad primos vel minimos numeros, et quantum ad secundarios. Haec proprietas est quod differentia inter terminos superparticulares quoscumque mensura communis est terminorum illorum, ut unitas inter duo et tres, binarius inter quattuor et sex, et sic de ceteris. In sesqualteris autem, differentia, bis sumpta, quantum ad quoscumque numeros, minorem reddit terminum, ter sumpta, maiorem; in sesquitertiis, differentia, ter sumpta, minorem reddit terminum, quater sumpta, maiorem; sic deinceps. Ideo | [P1, 19r in marg.] dicuntur numeri superparticulares invicem commensurabiles, quod nec superpartientibus, nec mixtis competit proportionibus.

Alia est huius numeri proprietas ut nulla ipsius species unitatem pro termino minore possit respicere. Repugnat enim unitati, cum sit indivisibilis secundum | [P2, 23r in marg.] suam formalem rationem et partibus careat, ut sit terminus subsuperparticularis. Terminus enim subsuperparticularis continetur a suo superparticulari totus et, cum hoc, [118] ipsius aliqua pars, ut media, tertia, quarta vel quinta, et sic de aliis, licet autem superparticulari proportioni repugnet ad unitatem comparari atque terminari; in quo distinguitur a numero multiplici. Abiecta tamen unitate, potest ad quemcumque numerum terminari sibi immediate subpositum, quantum ad terminos eius primos et minimos. Ternarius enim sesqualter est binario, quatrinarius sesquitertius ternario, quinarius sesquiquartus quaternario; et sic in infinitum huius procedunt species, ut exemplum denotat subpositum:

[CSMIII/1:118; text: II, III, IIII, V, VI, VII, VIII, IX, sesqualter, sesquitertius, sesquiquartus, sesquiquintus, sesquisextus, sesquiseptimus, sesquioctavus] [JACSP1A 01GF]

Est alia numeri superparticularis memoranda proprietas, scilicet ut processus specierum suarum assimiletur quantitati continuae quae, per diminutionem partium, in infinitum dilabitur. Sesqualter enim eum, cui comparatur, habet totum et eius mediam vel secundam partem; sesquitertius suum subsesquitertium continet totum et eius tertiam partem; sesquiquartus minorem numerum, ad quem refertur, continet integre et, cum hoc, quartam illius particulam; sesquiquintus cui refertur numerum habet totum et illius quintam partem. Maior est autem alicuius totius pars media quam illius totius pars tertia; et eiusdem totius maior est pars tertia quam quarta, et pars quarta quam quinta. Et sic vadunt numeri superparticularis species per partium diminutionem, sicut quantitatis continuae divisio ad minores et minores vadit partes. Haec autem proprietas videtur esse proprie propria ipsi numero superparticulari, quantum ad eius maiores numeros vel duces, quia convenit omnibus illis et solis et semper prout illae species naturaliter se consequuntur et ad invicem ordinantur.

Item est alia notabilis numeri superparticularis proprietas ut inter ducem et comitem, idest inter maiorem et minorem, sive inter superparticularem et suum subsuperparticularem, nunquam inveniatur numerus medius [119] eandem proportionem habens ad minorem extremum quam proportionem habet maior terminus ad illum eundem medium terminum. Et hoc generaliter verum est de omni specie numeri superparticularis, tam in primis vel minimis eius terminis quam in quibuscumque secundariis, tertiis, quartis et ceteris aliis. Et hoc exemplariter nunc declarare sufficiat, quia illud infra probabitur. Proprietas haec clare apparet in primis numeris cuiuscumque speciei numeri superparticularis, quia illi immediate se sequuntur ut nullus unquam numerus mediet inter illos, ut est visum prius. Ideo alios sumamus terminos. Inter VI et IV proportio est sesqualtera; mediat autem inter istos terminos quinarius qui aliam habet proportionem ad quatrinarium, quam senarius ad ipsum. Prima enim est sesquiquarta, alia sesquiquinta, quae specie distinguuntur. Consimili modo, fit in ceteris. Hanc proprietatem exquisite demonstrat Boethius, libro quarto, eam proponens sub his verbis: Superparticularis intervalli medius numerus neque unus neque plures proportionaliter intervenient; quod est dictu, quod, inter terminos superparticularis intervalli, idest proportionis, non potest intervenire sive mediare neque numerus unus neque plures dividens vel dividentes proportionem illam in duas partes aequales; qui scilicet medius terminus vel medii termini vel numeri, si sint plures, habeat vel habeant eandem proportionem ad illos extremos terminos vel numeros illius proportionis. Dicit autem unus numerus vel plures, quia, aliquando in non primis terminis superparticularis proportionis medius est unus terminus, aliquando plures, ut prius visum est, sive igitur mediet unus numerus, sive plures. Nullus tamen mediorum terminorum potest habere aequam proportionem ad terminos illius proportionis, quia tunc sequeretur proportionem superparticularem dissimilem esse in duas proportiones aequales, quod non est possibile, ut infra probabitur.

Haec proprietas convenit omni proportioni superparticulari, sed non soli. Convenit enim aliquibus speciebus numeri multiplicis, ut duplae et triplae, non autem omnibus, [120] quia non convenit quadruplae. Convenit etiam aliquibus speciebus numeri superpartientis, et aliquibus non. Valebit nobis haec proprietas ad multa | [P2, 23v in marg.] infra dicenda de consonantiis, ut quod tonus non possit dividi in duo semitonia aequalia, quod generaliter verum est de omni consonantia fundata proportione numeri superparticularis, ut sunt diapente et diatessaron.

Sunt autem multae proprietates quae specialiter aliquibus numeri superparticularis competunt speciebus, nam sesqualtero inest ut omnes duces vel maiores sint in tres partes aequales divisibiles, et omnes comites sive minores in duas partes aequales. Hinc dictum est prius quod inter sesqualteros omnes duces sunt triplices et omnes comites duplices, et illud ex hoc provenit quia de ratione numeri sesqualterae proportionis est ut contineat minorem ad quem refertur totum et eius mediam partem; quod non esset possibile nisi maior esset partibilis in partes tres aequales et minor in duas. Et ex hoc provenit ut maior et minor numerus aliquam mensuram habeant communem, scilicet illam partem in qua maior vincit minorem. Nam illa pars bis sumpta praecise minorem reddit, ter vero sumpta maiorem. Verum est quod istud est commune omni speciei numeri superparticularis ut dux et comes mensuram habeant communem utrosque mensurantem; et, si sint primi termini, illa mensura est unitas, si alii, mensura illa numerus est. Sed in sesqualtero, mensura illa, bis sumpta, minorem reddit numerum, ter vero sumpta, maiorem, ut est dictum; in numero | [P1, 19v in marg.] sesquitertio mensura communis ter sumpta reddit minorem, quater sumpta, maiorem; in sesquiquarto vero, quater sumpta, comitem reddit et quinquies sumpta, ducem, et proportionaliter sic est in ceteris et hoc aliqualiter patere potest ex his quae prius dicta sunt. Si quis igitur vult invenire numeros inter se sesqualteram proportionem habentes, ut observet quae dicta sunt oportet. Si quis enim in sesqualtera proportione pro maiore numero vel duce sumat VIII, XVI vel XX errat, quia tales numeri non sunt divisibiles in tres partes aequales, unde non sunt triplices. [121] Si quis etiam pro <maiore> numero sesquitertiae proportionis senarium, novenarium, vel consimiles sumat, errans est, quia non sunt tales numeri quadruplices et in quattuor partes aequales divisibiles, et consimiliter errare poterit in aliis proportionibus superparticularibus. Unde, si quis in sesquioctava proportione pro <maiore> numero octonarium sumat, vel denarium, fallitur, quia non sunt tales numeri noncupli, quia non sunt in novem partes divisibiles aequales.

Aliae multae numerorum superparticularium tangi possent proprietates. Sed, ad praesens, quae tactae sunt, sufficiant. De tertia specie maioris et minoris inaequalitatis, idest de numero superpartiente et subsuperpartiente prosequamur.

Capitulum XLIIII.

Quid sit numerus superpartiens et quid subsuperpartiens.

Post duas inaequalitatis species, de tertia prosequamur idest de superpartiente.

Est autem numerus ille superpartiens qui numerum cui comparatur habet totum semel, insuper et plures eius partes, ut duas, tres, quattuor vel quinque, sic de aliis, quae plures partes, simul iunctae, partem aliquotam minoris numeri vel maioris non faciant. Et, secundum hoc, quinarius trinario superpartiens est; continet enim eum totum et duas unitates quae, simul sumptae, nec sunt pars aliquota ternarii, nec quinarii. Hoc etiam modo, septennarius ad quinarium et ad quatrinarium superpartiens est, quamvis in alia vel alia specie, ut patebit. Ad denotandum autem quod illae plures partes, in quibus maior numerus minorem vincit, simul sumptae, non faciant partem aliquotam vel praecisam, dicit Boethius, quod si maior minorem habeat totum et eius duas partes, illae duae partes debent esse duae tertiae, duae quintae, <duae> septimae [122] et sic in infinitum; debent reduci ad numerum imparem, non ad numerum parem, quia tunc <semper> facerent partem aliquotam numerorum illorum et esset tunc vel numerus multiplex vel superparticularis. Noscuntur autem huius numeri species et imparum ordo sic: Si maior numerus habeat minorem semel et eius duas partes quae sint duae tertiae (quia tres tales minorem facerent), vel duae quintae (quia quinque tales illum minorem redderent), vel duae septimae (quia tot illum constituerent), est tunc prima numeri superpartientis species et vocatur superbipartiens a duabus vel binis partibus in quibus maior minorem superat, sive illae duae partes sint duae tertiae, ut quinque se habent ad tria, sive duae quintae, ut septem ad quinque, sive duae septimae, ut novem ad septem, sive quaecumque aliae duae partes quae, simul sumptae, partem aliquotam illorum numerorum non faciant; alias, ut est tactum, non esset inter tales numeros superpartiens | [P2, 24r in marg.] habitudo quaecumque.

Quattuor enim continent duo et duas ipsius partes binas quae, simul sumptae, sunt pars aliquota maioris numeri et totus minor numerus; unde est multiplex proportio ibi, quia dupla. Sex autem continent 4 et 2 illius partes, scilicet duas unitates quae, simul sumptae, partem aliquotam numerorum illorum faciunt; unde inter illos <est> sesqualtera proportio. Similiter numerus, alium continens et eius duas sextas, sesquitertius est ad illum, ut octo ad sex, et si duas octavas sesquiquartus, ut decem ad octo, et si duas decimas sesquiquintus, ut 12 ad 10, et sic de consimilibus, ubi comparatur numerus par ad parem vel impar ad parem, quia inter tales non potest esse superbipartiens proportio, sed solum inter numeros impares quorum unus alium superat in duabus partibus, tertiis, quartis vel quintis, et sic, in infinitum. Huius primae speciei poni possunt exempla, quantum ad primos numeros huius speciei in quibus partes, quibus maior minorem vincit, unitates sunt, non sic in secundariis numeris <in> quibus partes, quibus maior minorem superat, sunt numeri, ut patet de denario ad <senarium> comparato, quia continet illum et duas illius partes tertias, scilicet duos binarios quorum tres senarium redderent.

[123] Generaliter igitur loquendo omnis numerus continens alium et duas eius partes quae, simul iunctae, nec sunt totus ille minor numerus, nec pars aliquota maioris, est superbipartiens ad illum. Et, secundum hoc, sexaginta tria ad LXI sunt superbipartiens. Et omnes consimiles numeri ad hanc reducuntur speciem. Sed diligenter est hic advertendum quod illae duae partes, in quibus maior numerus minorem vincit, possunt comparari ad maiorem illum qui dux dicitur et, quantum ad hoc, sumitur nomen generale huius speciei quod scilicet omnis talis numerus vocatur superbipartiens, respectu minoris; vel possunt comparari partes illae duae ad minorem numerum vel comitem et, ut sic dant isti speciei vel addunt specialem denominationem, ut maior respectu minoris, tunc dicatur superbipartiens tertias quando continet minorem et duas eius partes quarum tres illum facerent minorem terminum, ut quinarius ad trinarium se habet, et denarius ad senarium; vel dicatur superbipartiens quintas cum habet illum et eius duas partes tales quarum quinque numerum illum constituunt, ut septem ad quinque, vel superbipartiens septimas, ut IX ad VII, vel superbipartiens nonas, ut undecim ad novem, vel superbipartiens undecimas, ut XIII ad XI, et, secundum hoc, numerus vicesimus tertius ad vicesimum primum est superbipartiens vicesimas primas. Ex his potest sciri qui numeri sub numero superbipartiente contineantur, et qualiter habeant denominari et ad invicem ordinari; et, ut haec amplius appareant, exemplum inspiciatur subpositum:

[CSMIII/1:123; text: 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17 ,19, superbipartiens tertias, superbipartiens quintas, superbipartiens septimas, superbipartiens nonas, superbipartiens undecimas, superbipartiens decimastertias, superbipartiens decimasquintas, superbipartiens decimasseptimas] [JACSP1A 01GF]

| [P1, 20r in marg.] Dictum est de prima specie numeri superpartientis, idest de numero superbipartiente. De aliis videamus.

Numerus qui alium in se claudit totum insuper et tres illius partes quartas, quintas vel septimas supertripartiens nominatur et sub secunda specie numeri superpartientis continetur; hoc modo, septem ad quattuor se habent, octo ad quinque, decem ad septem. Requiritur autem ad hoc ut ille maior numerus, qui vincit alium in tribus partibus, ad illum sit supertripartiens, ut illae tres partes, [124] simul iunctae, non faciant aliquam partem aliquotam maioris numeri, vel non dicant totum minorem terminum. Senarius enim continet trinarium et tres unitates quae, simul iunctae, faciunt trinarium et sunt media pars senarii; ideo non est senarius supertripartiens ad trinarium sed multiplex. Novenarius autem, ad senarium quem superat in tribus partibus, non est ad illum supertripartiens, sed sesqualter, quia tres illae partes, simul iunctae, faciunt partem aliquotam numerorum illorum. Semper igitur, ubi numerus maior numerum minorem vincit in talibus tribus partibus quae, simul iunctae, partem faciunt aliquotam numerorum illorum, deficit | [P2, 24v in marg.] superpartiens proportio. Et sic dictum est de ordine et denominationibus minorum superbipartientium. Similiter intelligendum est suo modo de supertripartientibus. Omnis enim numerus alium superans in tribus partibus quae, simul iunctae, non faciunt partem aliquotam numeri illius, supertripartiens est, sive illae tres partes sint tres quartae, et vocatur supertripartiens quartas, sive tres quintae, et dicitur supertripartiens quintas, sive tres septimae, et dicitur supertripartiens septimas, sive tres undecimae, et dicitur supertripartiens undecimas, et sic de aliis, prout in exemplo patet apposito:

[CSMIII/1:124; text: 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28; supertripartiens quartas, supertripartiens septimas, supertripartiens decimas, supertripartiens decimas tertias, supertripartiens decimas sextas, supertripartiens decimas nonas, supertripartiens vicesimas secundas, supertripartiens vicesimas quintas] [JACSP1A 01GF]

Si autem aliquis numerus habeat alium numerum in se totum et insuper quattuor illius partes quae, simul iunctae, non sint pars aliquota maioris illius numeri, vel totus minor numerus, erit tertia species numeri superpartientis et dicitur superquadripartiens, sive illae quattuor partes sint quattuor quintae, ut novem ad quinque se habent, sive quattuor septimae, ut undecim ad septem; qui numerus vocatur superquadripartiens septimas, sicut novem ad quinque superquadripartiens quintas, et consimiliter est in aliis. Omnis igitur numerus qui alium superat in quattuor [125] partibus superquadripartiens est ad illum, hoc semper salvo quod ille quattuor partes, simul iunctae, non constituant partem aliquotam maioris; alias, species maioris inaequalitatis inter se confusae essent, similiter et minoris inaequalitatis. Idem enim sub distinctis contineretur speciebus; tunc enim octonarius, qui duplex est ad quaternarium, ad eundem esset superquadripartiens, et duodenarius, qui octonario sesqualter est, eidem superquadripartiens esset, et in multis aliis exemplis talia sequerentur inconvenientia. Potest autem, per ea quae de prioribus dicta sunt speciebus, et ordo et denominatio sciri numerorum superquadripartientium.

Numerus autem qui alium continet totum et eius quinque partes, semper intelligendo, ut de aliis speciebus dictum prius est, quinque scilicet partes sextas, ut XI ad sex, sub quarta specie numeri superpartientis continetur et superquinquipartiens nuncupatur sextas. Et sub eadem specie reponitur numerus superans alium in quinque partibus septimis, ut XII ad VII; et dicitur superquinquipartiens septimas; vel in quinque partibus octavis, ut XIII ad VIII, et dicitur superquinquipartiens octavas; vel in quinque partibus nonis, ut XIIII ad IX, et dicitur superquinquipartiens nonas, et sic de aliis.

Quod si numerus aliquis alium in se contineat totum et cum hoc sex illius partes, <talis>, ut est dictum, dicitur supersexipartiens, ut XIII ad VII, et XVII ad XI, et XIX ad XIII, et sic de consimilibus, et reponuntur tales numeri sub quinta specie numeri superpartientis. Eodem modo procedunt ipsius numeri superpartientis species in infinitum semper per unius partis additionem.

Ex his quae dicta sunt satis apparere potest quis sit numerus subsuperpartiens. Quia ille qui ab alio continetur totus et, cum hoc, plures eius partes quae, simul iunctae, nec sint totus ille <minor> numerus, nec pars ipsius vel maioris cui comparatur aliquota, et, hoc modo, trinarius est subsuperpartiens respectu quinarii, et quatrinarius respectu septenarii, et sic de aliis; et procedunt ipsius species in infinitum, sicut et numeri superpartientis [126] et, per ea quae dicta sunt, et ordo et significatio numerorum horum sciri potest; tamen ad maiorem horum et illorum numerorum notitiam exemplum inspici potest suppositum:

5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43
3 4 5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

| [P1, 20v; P2, 25r in marg.] In hac igitur praemissa descriptione, omnes superiores numeri sunt superpartientes, et omnes inferiores, respectu superiorum super ipsos directe positorum, dicuntur subsuperpartientes, et specierum istorum et illorum processus servatur et ordo, nam primus numerus superior versus partem sinistram, respectu inferioris directe sub ipso positi, ut quinarius respectu trinarii, ad primam numeri superpartientis pertinet speciem, idest ad superbipartientem, et inferior ille, respectu tacti superioris numeri, ad primam similiter pertinet speciem numeri subsuperpartientis, idest ad subsuperbipartientem; et secundus numerus, respectu inferioris directe sub ipso contenti, ad secundam speciem numeri pertinet superpartientis, idest ad supertripartientem, et tertius ad tertiam, quartus ad quartam, et sic de aliis secundum suum ordinem, et ibi possunt apparere numerorum superpartientium quaedam proprietates de quibus infra tangam.

Capitulum XLV.

Numerorum superpartientium et subsuperpartientium radix et procreatio.

Radix, ordo et procreatio numerorum superpartientium uno modo potest elici ex exemplo prius disposito.

Describantur enim duo numerorum ordines et unus directe super alium sic ad hoc: In uno illorum, incipiendo a trinario, ponantur omnes numeri tam pares quam impares [127] secundum suum immediatum ordinem naturalem; in alio autem ordine ponantur soli numeri impares consequenter se habentes, a quinario incipiendo, et hi directe supra singulos inferiores <superiore> in ordine disponantur. Vel si esset, e contrario, ut maiores inferius, minores vero superius disponerentur, idem esset. His igitur dispositis, si primus superioris ordinis primo inferioris ordinis comparetur, initium sumendo a latere sinistro, habitudo procreatur numeri superbipartientis, qui est prima species numeri superpartientis. Si vero secundus secundo conferatur, secunda huius numeri species generatur; si tertius tertio, tertia nascitur species; si quartus quarto, quarta; et sic, de aliis, in infinitum, modo illo procedendo; et numeri illi minimi sunt et radices, quilibet in sua specie, respectu omnium aliorum in quibus talis servatur species. Sufficiat autem, de hoc, exemplum prius positum. Satis enim patent ibi quae diximus.

Est autem alius modus procreationis minorum superpartientium quem tangit Boethius libro secundo Musicae suae ubi sic dicit: Superpartientem vero sic reperies. Disponas naturalem numerum a ternario, et deinceps: Si unum igitur numerum intermiseris, superbipartientem efficies; si duos, supertripartientem; si tres, superquadripartientem et sic in ceteris, ut patet hic:

[CSMIII/1:127; text: 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, superbipartiens, supertripartiens, superquadripartiens, superquinquipartiens, supersexipartiens] [JACSP1A 01GF]

Apparet igitur, ex praetacta dispositione, quinarium esse superbipartientem ad trinarium, quia inter illos terminos solus unus intermittitur numerus, scilicet quatrinarius; septenarius vero quatrinario supertripartiens est, quia ibi duo termini sunt intermissi, et idem observatur in aliis. Potest autem, per hunc modum, sciri de quolibet numero superpartiente sub qua contineatur specie; et hi duo modi tacti respiciunt minimos et primos numeros cuiuslibet | [P2, 25v in marg.] speciei numeri superpartientis.

[128] Sed est alius modus procreationis numerorum superpartientium qui, supponens tactos duos modos, ostendit qualiter, in qualibet specie, ex primis vel minimis numeris, tanquam ex radicibus, ceteri secundarii numeri superpartientes generentur. Et illum modum ponit Boethius in Arithmetica sua qui talis est: "Si quilibet terminorum habitudinis superbipartientis duplicetur, qui inde proveniunt termini superbipartientem habebunt ad se invicem habitudinem. Dupletur enim quinarius, fiunt X, dupletur trinarius, fiunt sex. Inter X et VI, superbipartiens est habitudo quia decem continent sex et duos binarios quorum tres senarium constituerent. Et hos eosdem numeros si duplicaveris, eadem nascetur habitudo; patet inter XX et XII. Quodsi istud in infinitum facias, semper eadem consurget habitudo. Si vero secundarios supertripartientis proportionis habere volueris, radices primas ipsorum triplicabis, scilicet VII et IIII. Nascuntur inde XXI et XII inter quos redit supertripartiens proportio et rediret si in infinitum inde provenientes triplicares. Quodsi superquadripartientes, qualiter in infinitum dilabantur, scire cupis, eorum radices primas in quadruplum multiplices, scilicet IX et V, et qui ex hoc surgent numeri eandem inter se proportionem observabunt quam et primi. Modo consimili, ceterae species una semper plus multiplicatione crescentibus radicibus oriuntur.

Est autem hic notandum quod ea, quae sigillatim dicit Boethius de distinctis numeri superpartientis speciebus, qualiter scilicet ex radicibus in infinitum similes vel eaedem habitudines procreentur, habent veritatem de omnibus. Sicut enim per duplicationem terminorum primorum, qui radices dicuntur, superbipartientis proportionis termini proveniunt consimilem vel eandem habentes inter se proportionem quam habebant radicales, similiter, si radices supertripartientis proportionis duplentur, redibit inter summas inde venientes supertripartiens habitudo, et idem fieret si sic in infinitum ambo termini duplarentur. Eodem modo, si <superquadripartientis> | [P1, 21r in marg.] duplarentur radicales, superquadripartiens crearetur habitudo; et superquinquipartiens, si radices talis speciei duplarentur. [129] <Idemque> proveniret in ceteris speciebus. Quodsi radices superbipartientis proportionis vel cuiuscumque alterius speciei triplarentur, eadem rediret habitudo quae inter radices praefuerat. Eodem modo esset si quadruplicarentur vel quintuplicarentur.

Et, ut generalius loquar, quod dictum est veritatem habet, non solum in speciebus numeri superpartientis, verum etiam numeri multiplicis et superparticularis. Nam si numeri inaequales, sive sint minimi vel radices, sive quicumque secundarii cuiuscumque habitudinis, eodem numero multiplicentur ambo, sive binario, et vocatur tunc duplatio, sive ternario, et dicitur triplatio, sive alio quocumque, redibit eadem proportio inter terminos inde provenientes quae fuerat inter priores. Sed, causa brevitatis, dimitto exemplificare de hoc.

Capitulum XLVI.

Numerorum superpartientium proprietates.

Cum proprietates et passiones species aliquas consequantur de illis demonstrabiles per propria principia, non erit numeri superpartientis species a proprietatibus sterilis. Ideo, ad ampliorem huius speciei notitiam, ipsius aliquas hic tangamus proprietates.

Inest superpartienti speciei generaliter nunquam continuis immediate, secundum naturalem ordinem, sibi invicem coniunctis numeris comparari, sed semper disiunctis et intermissis, nec aequali intermissione semper, sed nunc una, nunc duabus, nunc tribus, nunc quattuor, atque in infinitum sic, secundum ordinem specierum suarum. Item cum, in multiplicitate, maior numerus minorem in toto superet, in superparticularitate maior minorem vincat in una illius parte, in <superpartientitate> maior minorem supergreditur in pluribus partibus. Item multiplex habitudo ab unitate incipit, superparticularis a dualitate, superpartiens [130] vero a trinareitate. Hinc est, cum haec species, inter praedictas species, plus ab unitate recedat, ad maiorem accedit varietatem, multitudinem, diversitatem, in tantum ut, in ea, termini suae habitudinis sola unitate distingui non valent, sed numero semper. Item, in qualibet huius numeri specie, multae sunt varietates, et quoad partes in quibus maior minorem superat, et quoad denominationes. Cum enim superbipartiens terminum cui comparatur in duabus superet partibus, illae duae partes vel possunt esse duae tertiae, vel duae quintae, vel duae septimae, et sic de aliis. Et illae duae partes vel possunt esse duae unitates, ut in primis numeris vel radicibus, vel possunt esse duo numeri, vel duo binarii, ut X se habent ad VI, vel duo trinarii, ut XV ad IX, et sic de aliis partibus in numeris secundariis.

Sunt etiam ibi variae denominationes quia quidam | [P2, 26r in marg.] numerus ad alium dicitur superbipartiens tertias, alius superbipartiens quintas, et sic de aliis huius speciei denominationibus, ut est prius dictum. Adhuc tangit Boethius aliam dictorum numerorum denominationem ut qui dicitur superbipartiens idem dicatur superbitertius; qui dicitur supertripartiens, is sit supertriquartus, et qui dicitur superquadripartiens, idem superquadriquintus nominetur, eademque similitudine usque in infinitum producantur.

Propter has igitur varietates et interpretationes multo difficilius est de singulis numeris superpartientis habitudinis dicere et assignare sub qua determinata specie reponantur et qualiter nominentur, quam sit de multiplicibus et superparticularibus, et tanto amplius quanto numeri illi maiores fuerint. Item primi numeri maiores, sive duces, omnium specierum superpartientium, qui scilicet dicuntur radices aliorum, tales, inquam, omnes sunt impares; sed, minorum numerorum et radicalium si unus est impar, alius sequens est par et sic, consequenter, post parem venit impar, et post imparem par, ut patet in figura quadam prius posita. Sed, inter secundarios numeros, vel ambo sunt pares, vel ambo impares, vel unus est par et alter impar. Patent haec per praedicta.

Taceo nunc de aliis proprietatibus quae multae sunt. De reliquis duabus speciebus maioris et minoris inaequalitatis prosequamur.

[131] Capitulum XLVII.

De multiplici superparticulari et de submultiplici superparticulari.

Dictum est de tribus speciebus simplicibus relatae quantitatis maioris minorisque inaequalitatis; de duabus aliis quae ex praedictis noscuntur esse compositae, ut ipsarum sonant nomina, dicendum est.

Hae enim sunt multiplex superparticularis et multiplex superpartiens. Componitur autem multiplex superparticularis ex multiplici et superparticulari, et multiplex superpartiens ex multiplici et superpartiente.

Est autem numerus ille multiplex superparticularis qui alium, cui comparatur, habet totum plus quam semel et, insuper, aliquam illius unam partem; hoc est, habet eum bis, ter, quater, quinquies, sic in infinitum, et unam eius partem mediam, scilicet tertiam, quartam, quintam vel sextam, sine fine sic procedendo. Quod autem maior minorem habeat plus quam semel ex parte multiplicitatis provenit; quod vero ultra hoc contineat unam illius partem, ex natura oritur superparticularitatis. Vocatur autem illa pars una quae, aliquotiens sumpta, suum totum praecise constituit ad differentiam numeri superpartientis qui minorem in pluribus superat partibus quae sic suam retinent pluralitatem ut etiam, simul iunctae, non redeant ad unitatem, idest non faciant partem unam aliquotam. Si igitur numerus aliquis habeat plus quam semel, quia bis, et, cum hoc, partem eius mediam, dicitur duplex sesqualter, ut quinarius ad binarium se habet; continet enim eum bis et unitatem quae media pars est ipsius binarii; et hi sunt minimi et primi termini eius proportionis. In eadem autem proportione se habent X ad IIII, sed pertinent hi numeri ad secundarios terminos huius proportionis, et alii qui in infinitum possent capi. Si vero numerus aliquis alium ter contineat et insuper tertiam illius partem, dicitur, respectu illius, triplex sesquitertius, ut se habent X ad tria, quantum ad minimos numeros huius speciei, vel XX ad sex, quantum ad secundarios huius proportionis [132] terminos. Quodsi maior minorem quater habeat et quartam illius partem, vocatur quadruplex sesquiquartus, ut XVII ad IIII, et 34 ad 8. Si quinquies et eius quintam partem, quintuplex sesquiquintus nuncupatur, ut 26 ad 5; et sic in infinitum huius vadunt species secundum istum modum.

Cum enim numerus hic ex multiplici et superparticulari componitur, sicut tripliciter, haec invicem possunt combinari, ita et huius species tripliciter possunt variari: Uno modo ex parte multiplicitatis, non variata superparticularitate, ut si dicatur multiplex sesqualter, triplex sesqualter, quadruplex sesqualter, sic in infinitum; ibi enim manet eadem species superparticularitatis et variantur species ex parte multiplicitatis. Vel potest esse, e contrario, ut si dicatur duplex sesqualter, duplex sesquitertius, duplex sesquiquartus, duplex sesquiquintus, sic consequenter. Vel possunt hae species variari ex parte utriusque, ut probant exempla prius posita.

Modus igitur denominationis et variationis harum specierum, quantum ad multiplicitatem, respicit quotiens dux, sive maior numerus, comitem, | [P1, 21v in marg.] sive minorem contineat bis, ter, quater vel quinquies, sic ulterius, sed denominatio et variatio ex parte superparticularitatis ad partem illam aspicit in qua minor vincitur a maiore ultra hoc quod ab illo pluries continetur, an sit pars media, tertia, quarta, quinta, vel sexta, et sic deinceps.

Ex his autem quae dicta sunt de numero multiplici et superparticulari, quid sit et quae eius species de numero minore sub ipso contento, | [P2, 26v in marg.] quid sit et quae eius species et qualiter vocari debeant, sciri potest hac propositione "sub" praedictis addita vocabulis. Nam qui numerus ab alio continetur plus quam semel et, ultra hoc, una pars aliqua, quaecumque sit illa, submultiplex superparticularis nuncupatur, et similiter ipsius variantur species, sicut ipsius ducis eius.

Qualiter autem distinctae species numeri huius procreentur qui scire vult, Arithmeticam Boethii respiciat. De hac enim specie et de sequenti brevius volumus pertransire, quia, per ea quae de prioribus speciebus dicta iam sunt, generationes et proprietates multae harum specierum studiosis innotescere possunt lectoribus.

[133] Capitulum XLVIII.

De multiplici superpartiente et de submultiplici superpartiente.

Numerus multiplex superpartiens est ille qui alium cui comparatur habet totum plus quam semel, hoc est bis, ter, quater, vel quotiens volueris, et, cum hoc, plures eius partes, idest duas, tres, quattuor vel quinque, sic deinceps secundum superpartientis numeri naturam.

Noscuntur autem, variantur et formantur huius numeri species ex his ex quibus componuntur. Et ideo, cum numerus hic componatur ex multiplici et superpartiente secundum varias combinationes partium talium invicem componibilium, venit in compositis varietas specierum. Qui igitur numerus eum cui comparatur bis continet et insuper duas illius partes non medias, quartas, sextas vel octavas, sed tertias, quintas, septimas vel nonas, talis, inquam, numerus vocatur duplex superbipartiens. Et, secundum hoc, octonarius ad trinarium est duplex superbipartiens tertias, quia continet illum bis et duas unitates quarum tres trinarium redderent. Hoc etiam modo duodenarius quinario duplex superbipartiens quintas est. Habent enim XII quinarium bis et duas unitates quarum quinque facerent quinarium, et XVI ad VII duplex superbipartiens septimas, XX ad IX duplex superbipartiens nonas, et sic in infinitum. Haec praecedit species in qua minor numerus semper est impar et maior semper est par, et habet ordo tactorum exemplorum et eorum quae ulterius poni possent de hac specie ut, sicut unus impar alium praecedentem imparem superat in duabus unitatibus, sic unus par alium parem in quattuor.

Manente autem eadem specie ex parte superparticularitatis, variatio potest esse ex parte multiplicitatis. Potest enim aliquis numerus ad alium esse triplex superbipartiens tertias, ut XI ad tria, quadruplex superbipartiens [134] tertias, ut XIIII ad tria, sic de aliis. Possunt etiam hae species multiplicari ex parte superpartientis partis, manente eadem specie numeri multiplicis, ut aliquis numerus ad alium dicatur duplex superbipartiens quintas, ut XII ad V, duplex supertripartiens quintas, ut XIII ad V, vel sextas, ut XV ad VI, vel septimas, ut XVII ad VII, vel octavas, ut XIX ad VIII, sic in infinitum; vel duplex superquadripartiens quintas ut XIIII ad V, vel septimas, ut XVIII ad VII, et sic de variis et multis huius numeri speciebus.

Quae variatio venit vel ex parte multiplicitatis, vel <superpartientitatis>, vel utriusque. Inveniuntur autem inter hos numeros aliqui primi vel minimi qui indices dicuntur aliorum in quibus partes super multiplicitatem existentes unitates sunt; alii vero, secundarii, quorum partes super multiplicitatem abundantes numeri sunt. Quae diligens inquisitor quoquo modo poterit, per ea quae dicta sunt, agnoscere, similiter et qui <sint> numeri minoris inaequalitatis sub dictis contenti numeris, et qualiter vocari debeant, quia sicut illi qui dicuntur maioris inaequalitatis, nisi quod adiungi debet eis haec praepositio "sub", vel ex utraque parte, vel saltem ex altera, ut dicatur aliquis numerus subduplex superbipartiens, vel duplex subsuperbipartiens, vel subduplex subsuperbipartiens, et sic de aliis.

Proprietates horum numerorum aliquae tactae sunt et multae aliae tangi possent (qui illas < scirent>, et tantum hic immorari vellent); similiter et hi numeri qualiter procreentur. Ut tamen aliquid de hoc appareat et reducantur ad memoriam omnes tactae quinque species maioris et minoris inaequalitatis, ponenda est hic quaedam valde notabilis numerorum descriptio, quam dat nobis Boethius, Arithmeticae suae libro primo, in qua multa possunt speculari, ut quod multiplicitas ceteras inaequalitatis species naturaliter antecedat, similiter et specierum eius ordo et procreatio necnon et aliarum, ut superparticularium, superpartientium, multiplicium superparticularium, et multiplicium superpartientium. Adhuc potest ibi videri qualitas tetragonorum et longilaterorum numerorum et alia multa. Est autem descriptio illa talis: | [P2, 27r in marg.]

[135] [CSMIII/1:135; text: Prima unitas, Ordo secundum latitudinem primus, Secunda unitas, Ordo secundum longitudinem decimus, Tertia unitas, Ordo secundum latitudinem decimus, Ordo secundum longitudinem primus, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 15, 21, 24, 27, 30, 28, 32, 36, 40, 25, 35, 45, 50, 42, 48, 54, 60, 49, 56, 63, 70, 64, 72, 80, 72, 81, 90, 100] [JACSP1A 02GF]

Capitulum XLIX.

Expositio positae descriptionis.

In tacta descriptione, duo notandi sunt numerorum ordines: unus, secundum longitudinem, qui a sursum in deorsum descendit, aliud, secundum latitudinem, qui lateraliter a sinistris in dextram tendit. Et illorum quilibet X numerorum continet ordines. Primus ordo, sive attendatur secundum longitudinem, sive secundum latitudinem, ab unitate incipit et in denarium numerum terminatur. Sunt enim, in illo primo ordine, numeri secundum dispositionem naturalem, sibi immediate consequentes ab unitate usque ad denarium sic: 1 2 3 4 et cetera. Et, in hoc ordine, primus terminus a secundo in sola superatur unitate; similiter | [P1, 22r in marg.], secundus a tertio, et tertius a quarto, [136] sic de aliis, quia immediate sibi succedunt secundum naturalem dispositionem. Voco autem huius primi ordinis unitatem primum terminum, binarium secundum, trinarium tertium, et sic usque ad denarium qui est ultimus huius ordinis. Secundus ordo a binario inchoatur continens in se omnes numeros pares usque ad 20, sicut 2 4 6 8 et cetera. Superat autem in hoc ordine maior numerus sibi immediate praecedentem in binario, sicut a binario incipit quem binarium dico esse primum terminum huius secundi ordinis, quaternarium secundum, senarium tertium, sic consequenter usque ad ultimum qui est 20. Tertius ordo a trinario inchoatur cui adiunguntur numeri in trinario se superantes usque ad 30. Est igitur primus terminus huius tertii ordinis trinarius, secundus senarius, tertius novenarius, et sic usque ad ultimum qui est 30. Quarti ordinis quaternarius initium est, secum habens numeros in quaternario se superantes usque ad 40; unde secundus terminus huius ordinis sunt 8, tertius 12, quartus, 16, et sic consequenter usque ad ultimum qui est 40. Et per hoc possunt alii sequentes cognosci ordines ut quintus qui a quinario incipiens et, secum habens numeros qui in quinario se superant, in quinquaginta terminantur, ut in ultimo numero huius ordinis. Sextus incipit a senario et, qui in hoc sunt ordine, in senario se vincunt et usque ad sexaginta procedunt sic: 6 12 18 24 et cetera. Septimi | [P2, 27v in marg.] principium est septenarius et ei iunguntur numeri in septenarius se superantes, scilicet 7 14 21 28 et cetera, et sic de aliis usque ad 70. Octavus ab octonario in longitudine latitudineque inchoatur cum quo sunt numeri in octonario distantes ab invicem sicut: 8 16 24 32 40 et cetera, usque ad 80 qui numerus est ultimus huius ordinis. Nonum inchoat novenarius cum quo ponuntur numeri, quorum unus alium in novem superat unitatibus, sic 9 18 27 36 45, et cetera, usque ad nonaginta. Decimus et ultimus ordo, a denario incipiens, habet secum numeros quorum unus alio maior est in decem unitatibus, cuiusmodi sunt: 10 20 30 40 50, et sic consequenter usque ad centenarium.

[137] In primo igitur ordine, numeri ponuntur in sola unitate distantes ab invicem quorum aliqui sunt pares, alii impares, sicut requirit talis distantia. In secundo, soli pares disponuntur numeri quorum unus alium in duabus superat unitatibus. Tertii ordinis numeri tam impares sunt quam pares. In quarto omnes pares et, breviter dicendo, ubi ordo incipit ab imparitate, ponuntur numeri impares et pares, quia post imparem sequitur par, et post parem, impar. Ubi vero ordo inchoatur a numero pari, omnes numeri illius ordinis pares sunt. Quamvis autem ordines aliqui incipiant a termino impari, alii a termino pari, omnes tamen terminantur in numero pari.

Si quis igitur, in tacta numerorum descriptione, numeros multiplices cupit reperire, terminos secundi ordinis, tertii, quarti, quinti, sexti, septimi, octavi, noni vel decimi, comparet terminis primi ordinis, semper primum terminum ordinum illorum primo termino primi ordinis et secundum secundo, tertium tertio, et sic de aliis, quia tunc infallibiliter numeros multiplices reperiet. Duplices enim inveniet, si terminos secundi ordinis terminis primi ordinis conferat, primum primo, secundum secundo, ut est tactum. Binarius enim, qui secundi ordinis primus terminus est, est etiam duplex ad unitatem qui est primus terminus ordinis primi; quaternarius vero, qui est secundus terminus secundi ordinis, est duplus binario qui secundus terminus est primi ordinis, similiter senarius qui est tertius terminus <secundi ordinis est duplus trinario qui tertius terminus est> primi ordinis. Et consimiliter est de aliis. Eodem modo esset, si secundus terminus cuiuscumque ordinis conferetur primo termino illius ordinis, ut patet intuenti positam numerorum formam, nam, qui est primus terminus secundi ordinis, est secundus primi ordinis, et, qui est primus tertii ordinis, tertius est primi ordinis, et sic de aliis. Quodsi triplices quis habere vult, terminos tertii ordinis conferat terminis primi ordinis, primum primo, secundum secundo, tertium tertio, et sic de aliis, vel conferat terminum tertium cuiuscumque ordinis ad terminum primum illius ordinis; inveniet tales numeros triplices. Trinarius enim triplus est unitati, senarius binario, et sic de aliis. Quadrupli autem sunt termini quarti ordinis terminis primi ordinis, si primus primo comparetur, [138] secundus secundo, et sic de aliis, vel si quartus terminus cuiuscumque ordinis primo termino sui ordinis conferatur, ut in tacta patet figura. Consimiliter, termini quinti ordinis terminis primi ordinis, primus primo, secundus secundo, sic deinceps, sunt quintupli. Sextupli vero sunt termini sexti ordinis ad terminos primi, primus primo, et cetera, et sic usque ad decuplos cuius modi sunt termini decimi ordinis terminis primi, vel termini decimi et ultimi cuiuscumque ordinis terminis primis sui ordinis.

Ex his patet multiplicitatis speciem cuncta alia inaequalitatis naturaliter praecedere genera. Ipsius enim species omnes, quantum ad suos minimos numeros, <ad> unitatem respiciunt, et, secundum naturalem ipsius numeri dispositionem, distinguuntur et ordinantur. Ex comparatione enim binarii, qui primus numerus est, ad unitatem, prima multiplicitatis nascitur species, idest duplicitas; ex comparatione secundi numeri, idest ternarii, ad unitatem, oritur secunda multiplicitatis species, idest triplicitas, sic de aliis. Hoc autem aliis inaequalitatis maioris speciebus minime competit, ut ipsarum habitudo sit ad unitatem, sed solum numeri ad numerum.

Superparticulares autem numeri in anteposita descriptione reperientur. Si, dimissis terminis totius primi ordinis qui ab unitate incipiens in denarium terminatur et secundum longitudinem et secundum latitudinem, illis igitur neglectis, tertii ordinis termini secundi ordinis <terminis> si <conferantur>, secundus secundo, tertius tertio, vel, si quarti ordinis termini terminis tertii ordinis comparentur, secundus secundo, et cetera, vel quinti ordinis terminis quarti ordinis, sic de aliis, semper excludendo primorum terminorum illorum ordinum ad invicem comparationem, si igitur fiat, ut dictum est, et huius particulares reperientur proportiones. Et eodem modo fieret (et forsitan modus hic levior est vel clarior) si tertius terminus cuiuscumque ordinis secundo termino eiusdem ordinis, vel quartus tertio, quintus quarto, sextus quinto, et sic deinceps, conferatur; sesqualteri autem numeri habentur ibi, si tertii ordinis termini secundi ordinis terminis comparentur, primus primo, secundus secundo, tertio tertius, quarto quartus | [P2, 28r in marg.], sic de aliis, vel terminus tertius [139] cuiuscumque ordinis termino secundo illius | [P1, 22v in marg.] ordinis; secundum hoc igitur, trinarius sesqualter est binario, senarius quaternario. Cuiuslibet autem ordinis quartus terminus sesquitertius est tertio termino illius ordinis, et quintus terminus sesquiquartus quarto termino illius ordinis; similiter sextus terminus sesquiquintus est termino quinto illius ordinis, et sic de aliis. Quae omnia satis patent in tacta numerorum figura. Et ex his liquet primam speciem numeri superparticularis immediate sequi primam speciem numeri multiplicis nam, post binarium qui duplex est unitati, sequitur, in naturali numerorum dispositione, trinarius qui sesqualter est binario, licet idem trinarius triplex sit ad unitatem.

In saepe tacta descriptione, quintus terminus cuiuscumque ordinis superpartiens est ad tertium terminum illius ordinis, et sic de aliis, quia superbipartiens tertius, vel septimus terminus ad quintum sui ordinis, quia superbipartiens quintas, vel nonus terminus ad septimum illius ordinis, quia superbipartiens septimas. Supertripartientes vero reperies, si septimum terminum cuiuscumque ordinis quarto termino illius ordinis comparaveris, vel octavum terminum termino quinto, sicut patet ibidem.

Ad hoc, multiplex superparticularis invenitur ibidem, si quintus terminus cuiuscumque ordinis termino illius ordinis conferatur secundo, quia ille illi duplex sesqualter est; septimus vero terminus tertio termino sui ordinis duplex sesquitertius est, et ille terminus septimus secundo termino sui ordinis triplex sesqualter est.

Multiplices vero superpartientes reperiuntur ibidem, cum octavi termini singulorum ordinum tertiis terminis ordinum eorundem conferuntur. Tales enim sunt duplices superbipartientes sicut VIII ad III, XVI ad VI, XXIIII ad IX, sic de aliis.

Patet igitur qualiter, in posita numerorum descriptione, quinque species numerorum maioris inaequalitatis sunt reperibiles, similiter et minoris, necnon et ordo ipsarum et quod multiplicitas iure ceteras antecedit. Verum est quod, cum omnis inaequalitas ab aequalitate recedat, aequalitatis radix est unitas, sicut varietatis, disparitatis et inaequalitatis et maioritatis, numerus. Adhuc, quamvis multiplicitatis immediatius unitatem respiciat species [140] quam ceterae, oportet tamen ut alter terminorum suorum numerus sit, scilicet maior, licet, quantum ad radices et minimos terminos, omnium specierum multiplicitatis minimus terminus unitas sit; quod nulli alii speciei maioris inaequalitatis potest competere.

Ad hoc, prima species multiplicitatis, quantum ad eius radicem, primum et minimum numerum habet pro maiore, scilicet binarium, qui immediate sequitur unitatem; secunda secundum numerum, ut trinarium; tertia tertium, sic in infinitum. In superparticularibus vero speciebus, qui fuerant maiores termini in ordine specierum multiplicitatis, quantum ad primos terminos, sunt minores termini, ut binarius in sesqualtero, trinarius in sesquitertio, sic in infinitum. Et simili modo se habet de sesquitertio, respectu sesqualteri, et sesquiquarto, respectu sesquitertii. Sed prima species in superpartientibus, pro minimo termino subsuperpartienti, trinarium aspicit, secunda quatrinarium, tertia quinarium, sic deinceps, quantum ad radices illarum specierum.

Possent et alia multa, de tactis numerorum inaequalium proprietatibus, in tacta notari figura. Adhuc tetragonorum, sive quadratorum aequilaterorum, et longilaterorum numerorum, in ante posita figura, conditiones reperiri possunt.

Dicitur autem ille numerus tetragonus qui ex aequalibus surgit lateribus. Nascitur enim ex ductu alicuius numeri in se ipsum semel; unde quatrinarius, qui surgit ex ductu binarii in se ipsum semel, est primus tetragonus in actu; novenarius secundus, nascens ex ductu ternarii in se ipsum semel; et bene dicuntur tales numeri ex aequalibus lateribus nasci quia omnis numerus sibi ipsi aequalis est, licet prima radix aequalitatis unitas sit, similiter immutabilitatis, inalteritatis, indivisionis et incorruptionis. Oppositarum autem conditionum binarius princeps est. Etiam numerorum tetragonorum haec natura est ut ab imparibus simul iunctis procreentur, ut quatrinarius, qui primus quadratus in actu est, nascitur ex trinario et unitate, novenarius ex unitate, trinario et quinario, sedecim ex praedictis imparibus iungendo illis sequentem imparem, scilicet septennarium, et sic de aliis.

Numerus autem longilaterus est qui surgit ex ductu alicuius numeri, non in se ipsum, sed in proximum sibi [141] iunctum numerum, sola unitate discrepante ab illo, ut bis unum, ter duo | [P2, 28v in marg.], scilicet VI, quater III, scilicet XII. Tales numeri dicuntur longilateri. Habent enim latera inaequalia cum surgant ex ductu numerorum inaequalium, et horum quidem natura est ex paribus nasci numeris sicut tetragoni ex imparibus. Senarius enim ex binario et quatrinario provenit, duodenarius ex binario, quaternario et senario, ut, in sequenti patet figura, tam de tetragonis quam de longilateris, seu altera parte longioribus:

[CSMIII/1:141,1; text: Radices numerorum tetragonorum, I, I.III, I.III.V, I.III.V.VII, I.III.V.VII.IX, I.III.V.VII.IX.XI, Tetragoni idest quadrati aequilateri, IIII, VIIII, XVI, XXV, XXXVI, Radices numerorum altera parte longiorum, II.IIII, II.IIII.VI, II.IIII.VI.VIII, II.IIII.VI.VIII.X, II.IIII.VI.VIII.X.XII, Altera parte longiores, idest longilateri quadrati, VI, XII, XX, XXX, XLII] [JACSP1A 03GF]

Quadrati autem aequilateri sive tetragoni, similiter et quadrati altera parte longiores, quantum ad proprias ipsorum figuras, describuntur modo qui sequitur:

[CSMIII/1:141,2; text: | [P1, 23r in marg.] Exemplum quadratorum aequilaterorum, I, IV, IX, XVI] [JACSP1A 03GF]

[142] [CSMIII/1:142; text: Exemplum altera parte longiorum, II, VI, XII, XX, XXX, I] [JACSP1A 04GF]

Haec incidentaliter de tactis numeris figuralibus dixisse nunc sufficiat, de quibus et aliis numeris figuralibus multa et pulchra speculatio est, quae ad arithmeticam potius pertinet.