Back to top

[142] Capitulum L.

Unitatis ad binarium collatio et numeri imparis ad parem.

Quia dictum est unitatem radicem primam aequalitatis vel idemptitatis, immutabilitatis, inalteritatis esse et indivisionis, et quod oppositarum conditionum binarius princeps est, haec aequaliter declaremus: Repugnat unitati mutabilitas, alteritas, diversitas et divisio, quia formale sibi est indivisionem, ut supra dictum est, importare. Unde venit ut, si se ipsum multiplicet per se, vel numerum quemcumque, vel secundum latitudinem, vel secundum profunditatem, nihil unquam alterum inde proveniat, | [P2, 29r in marg.] nulla alia quantitas inde excrescat. Semel enim unum, unum est; semel duo, duo sunt; semel tria non sunt nisi tria.

Non sic autem est de binario vel numero alio quocumque, sed binarius, qui primo recedit ab unitatis natura, [143] principium omnis alteritatis et divisionis est; unde si se ipsum multiplicet sive per latitudinem dicendo bis duo, vel per latitudinem et profunditatem dicendo bis duo bis, vel terminum quemcumque alium, etiam unitatem, semper inde veniens terminus alter est a termino multiplicato; bis enim unum non sunt unum, sed duo; bis duo non sunt duo, sed quattuor; bis tria non sunt tria, sed sex; et sic de quibuscumque aliis terminis binario multiplicatis. Merito igitur binarius alteritatis principium est qui immediatius ab unitate recedit; primus omnium unitati est dissimilis, primus omnium ab unitate disiungitur. Sicut igitur recedens a simplicissimo (eiusmodi Deus est) ad aliquam accedit compositionem vel componibilitatem, ut sit, in se, compositum compositione aliqua de prius tactis, vel alteri componibile, sic recedens ab unitate in aliquam cadit multitudinem, divisibilitatem, mutationem et alteritatem; nihil enim sibi ipsi alterum sed idem est; sed prima alteritas in duobus ab invicem distinctis est. Qua in re convenienter aliqui numeri dicuntur altera parte longiores, quia eorum latera ab invicem sunt altera, quia unius esse tantum adiecta numerositate praecedunt. Constituuntur enim ex lateribus inaequalibus quorum unum alterum in sola superat unitate, ut senarius ex trinario constituitur et binario. Superat autem trinarius binarium in sola unitate, et consimiliter est in aliis numeris longilateris. Sicut enim unus a duobus uno tantum alter est, ut ait Boethius, sic horum latera a se uno sunt altera, quia una tantum differunt unitate.

Voluit autem Boethius quod sicut omnium numerorum parium binarius princeps est et radix, sicut et imparium unitas quae, secundum ipsum, effectrix et quodammodo forma quaedam est imparitatis, ideo, secundum eundem, conditiones unitatis magis numeris insunt imparibus quam paribus ut incommutabilitas et perfectio. Posuerunt enim Philosophi ternarium perfectionem importare. Ait enim Philosophus, primo Coeli et Mundi, quod de tribus primo dicitur omne; omne autem totum et perfectum; idem et numero Deus <impari> gaudet, qui omnia in numero, [144] pondere fecit et mensura, ut in omnibus trinitas divina, quae perfectissima est, reluceret, quantum ad partes vestigii vel imaginis; binarius autem infamis dicitur, quia primo recedit ab unitate et paritatis princeps est.

Differt autem numerus impar a pari, non tantum quia dividi nequit in duas partes aequales quae ipsum praecise faciant sicut numerus par, sed quia sic numerus impar in partibus dividitur inaequalibus ut altera illarum imparitatem, reliqua paritatem semper importet, quantum ad partes illas duas quae, simul iunctae, numerum illum praecise redderent, ut quinarius in tria et duo, septenarius in quattuor et tria; et hoc in cunctis imparibus invenitur. Neque unquam in imparis divisione praeter se possunt hae duae partes esse quae naturaliter unum numeri substantiamque componunt. Numerus autem par, etsi divisibilis sit tam in partes aequales quam in partes inaequales quae illum reddant praecise, sic tamen fit ut paritas nunquam imparitati iungatur, sed semper vel paritas paritati, vel imparitas imparitati. Hoc est dictum quod partes illae duae in quas numerus par dividitur, quae, simul iunctae, numerum illum praecise faciant, sive sint aequales, sive inaequales, ambo sunt pares, vel ambo impares. Denarius enim divisibilis est in duos quinarios vel in VII et tria, vel in VIII et II, vel in VI et IIII, neque unquam fieri potest, non solum in tacto pari numero, sed nec in quocumque alio pari termino, ut, cum una pars divisionis par fuerit, alia impar inveniri possit, aut e converso.

In hoc tamen numerus par convenit cum impari ut, sicut numerus impar in unitate numerum parem superat vel superatur ab eodem, similiter et par imparem.

Adhuc in hoc conveniunt quod omnis numerus, par vel impar, circumpositorum suorum numerorum et naturali dispositione sibimet iunctorum medietas est, ita scilicet quod, si duo numeri laterales, inter quos aliquis numerus mediat, simul coniungantur, numeri inde venientis numerus ille medians vera medietas est; patet | [P2, 29v in marg.] hoc numeris in singulis. Mediat | [P1, 23v in marg.] trinarius inter binarium et quaternarium qui dicuntur circumpositi, respectu illius modo numeri provenientis ex compositione partium illarum; cuiusmodi est senarius; trinarius est medietas. Similiter quaternarius [145] medians inter trinarium et quinarium medietas est octonarii qui surgit ex unione quinarii ad ternarium: bis enim quattuor octo sunt praecise. Et idem in omnibus aliis evenit, etiam in binario mediante inter unitatem et trinarium: est enim binarius medietas quatrinarii qui surgit ex coniunctione unitatis ad trinarium. Sola autem unitas est quae circumquaque se terminos non habet inter quos mediare possit. Ideo eius termini qui prope se est, idest binarii, medietas est, quod nulli alii termino competit, ut possit esse medietas termini illum immediate sequentis.

Item in hoc conveniunt quod, sicut si impar imparem multiplicet, qui inde nascitur impar est similiter; si par parem, semper gignitur par; sed differunt quia, si impar parem, vel e converso, nunquam impar, sed semper par procreatur.

Quae proprietates ad arithmeticam pertinent medietatem.

Capitulum LI.

De sufficientia quinque specierum maioris et minoris inaequalitatis.

Dictum est de quinque speciebus numerorum maioris minorisque inaequalitatis per se et divisim. Ad hoc, ad maiorem ipsarum habendam notitiam, de eisdem comparative loquamur. Conferemus autem illas ad invicem quoad sufficientiam, convenientiam, differentiam, ordinem et originem.

Circa primum videretur forsitan aliquibus quod plures debeant esse species illae quam quinque, ut sint tres species compositae, sicut sunt tres simplices. Nam sicut multiplex cum superparticulari et cum superpartiente componitur, et ex hoc duae species oriuntur, sic superparticularis cum superpartiente componibilis est vel e converso, et sic erunt sex species. Item multiplex componi potest cum multiplici, ut duplex cum duplici vel cum triplici, [146] quadruplici et sic de aliis, et superparticularis cum superparticulari et superpartiens cum superpartiente, et, secundum hoc, multo plures essent illae species quam quinque.

Et dicendum quod Boethius rationabiliter tantum posuit in genere quinque species numerorum ad aliquid maioris et minoris inaequalitatis, illas, scilicet, quae dictae sunt, non plures, non pauciores. Omnis enim numerus ad aliquid, alteri inaequalis, sub aliqua illarum reponitur. Numerus enim omnis, alteri inaequalis, vel est illo maior, vel minor. Si maior, aut continet illum plus quam semel, aut non. Si habeat illum plus quam semel, aut praecise, quia continet illum bis, ter, vel quater et nihil ultra, et sic est numerus multiplex, vel continet eum plus quam semel, sed non praecise, quia aliquid ultra continet et illud, ultra contentum, vel est una pars numeri illius contenti, sic est multiplex superparticularis, vel plures, sic est numerus multiplex superpartiens. Si vero numerus alio maior non habet eum totum pluries sed vel excedit eum in una parte, sic est numerus superparticularis, vel in pluribus, sic est superpartiens. Vel sic, ut in idem redit: Omnis numerus maior alio, aut est maior illo in toto, pro quanto continet illum totum pluries, aut igitur continet illum pluries praecise quia continet illum totum bis, ter, quater, vel pluries et nihil ultra, sic est numerus multiplex, vel superat eum in toto et, cum hoc, in aliqua una parte illius, sic est multiplex superparticularis, vel in pluribus partibus, sic est multiplex superpartiens, vel si est maior non tamen in toto sed in parte, sic est superparticularis, vel in partibus, sic est superpartiens. Et cum non possit aliquis numerus alios esse maior quin sub aliqua dictarum specierum quinque collocetur, non erunt nisi quinque species numerorum ad aliquid maioris inaequalitatis iam praedictae. Et ex eisdem patet sufficientia numerorum ad aliquid minoris inaequalitatis.

Cum igitur dicitur quod numerus superparticularis potest componi cum superpartiente, vel e contrario, multiplex cum multiplici, superparticularis cum superparticulari [147] et superpartiens cum superpartiente, dicendum quod, hoc concesso, non habetur ex hoc quod sit aliqua alia species ab illis quinque speciebus prius dictis, quia semper proportio numerorum extremorum compositionum illarum ad aliquam speciem vel proportionem multiplicem, vel superparticularem, vel superpartientem, vel multiplicem superparticularem, vel multiplicem superpartientem reducitur, et non ad aliquam aliam distinctam ab illis.

Et hoc declaremus primo, cum superpartiens numerus cum superparticulari coniungitur, vel e converso; inter senarium et quinarium est superparticularis proportio, quia sesquiquinta, inter quinarium et trinarium superpartiens, et tamen inter senarium et trinarium est multiplex proportio quia dupla. Iuxta quod notandum est quod quandoque ex additione superpartientis proportionis ad superparticularem, vel e converso nascitur inter extremos terminos multiplex proportio, ut iam visum est; quandoque superparticularis, namque inter IX et VII est superbipartiens proportio, inter VII et VI sesquisexta, inter IX et VI sesqualtera; quandoque proportio mixta, vel ex multiplici et superparticulari, nam quinarius ad trinarium superbipartiens est, trinarius binario sesqualter, quinarius | [P2, 30r in marg.] vero binario duplex sesqualter est; vel, ex dictarum proportionum partiali mixtione inter extremos inde venientes terminos, oritur proportio multiplex superpartiens; patet hoc inter terminos sequentes XII IX et V. Multa alia poni possent exempla de additione proportionis superpartientis ad superparticularem, vel e contrario. Nunquam tamen ex quibuscumque talibus exemplis sequitur mixta proportio ex superparticulari et superpartiente, sed si sequatur mixta proportio talis, mixtio fit vel ex multiplici et superparticulari, vel ex multiplici et superpartiente. Ad hoc enim, ut aliqua proportio sit mixta ex superparticulari et superpartiente, oportet ut, inter terminos extremos illius coniunctionis, ut inter se comparantur, maneat illa duplex proportio, sicut fit in proportione mixta, ex multiplici et superparticulari, vel ex multiplici et superpartiente.

Non enim arguitur mixtio alicuius proportionis ex alia et alia proportione alicuius medii termini ad extremos aliquos terminos; alias, proportio dupla, quae prima et [148] simplicissima videtur inter proportiones numerorum inaequalium composita esse, confundetur inter tales terminos, inter quos mediare potest talis medius terminus ad quem maior terminus proportionem habet sesquitertiam, et ille idem medius terminus ad minorem habitudinem habet sesqualteram, ut patet inter hos terminos: IIII III et II.

Dico ulterius quod, licet una species multiplicitatis cum se ipsa vel alia multiplicitatis specie combinari possit, ex hoc tamen nunquam sequitur alia a praedictis inaequalitatis species, sed semper invenitur, inter terminos extremos nascentes ex huiusmodi combinationibus, proportio multiplex simplex, licet sub alia | [P1, 24r in marg.] multiplicitatis specie quam fuerint combinationum illarum particulares proportiones. Patet ubi duplex duplici coniungitur, ut ostendunt termini sequentes: VIII IIII II, vel ubi duplex triplici sociatur si sequentes sumantur termini: XII IIII II, vel in quibuscumque aliis combinationibus, distinctarum specierum multiplicitatis inter se. Haec enim una multiplicitatis proprietas est ut, si intervallum multiplex intervallo multiplici coniungatur, inde intervallum multiplex est.

Ulterius dico quod, ex additione unius superparticularis proportionis ad aliam superparticularem proportionem quamcumque, nunquam nascitur alia proportio vel species ab illis quinque praedictis, sed provenit idem vel multiplex proportio. Patet inter sequentes terminos: IIII III II. Inter quaternarium et trinarium sesquitertia est proportio, inter trinarium et binarium sesqualtera; sed, inter quaternarium et binarium, dupla. Nec est dicendum duplam proportionem, quae simplex est, ut est dictum, ex sesquitertia et sesqualtera componi. Componentia enim suum praecedunt compositum. Duplex autem proportio sesqualteram sesquitertiamque praecedit. Item quaternarius, ut binario comparatur, nec sesqualter est, nec sesquitertius. Eodem modo est de terminis sequentibus: 6 4 3. Senarius enim ad trinarium sic est duplex, quod nec sesqualter est, nec sesquitertius; quod tamen requiretur ad hoc ut illa proportio composita esset ex sesqualtera et sesquitertia. Quare enim dicitur quinarius ad binarium duplex sesqualter, nisi quia manet inter terminos [149] illos duplex et sesqualtera simul proportio, quia maior minorem bis continet et mediam eius partem? Vel quandoque ex duabus superparticularibus proportionibus provenit una alia superparticularis proportio prior illis; patet cum senarius quinario et quinarius quaternario comparantur et ex his senarius quaternario conferatur. Proportio enim sesqualtera, quae est inter VI et IIII, non componitur ex sesquiquinta quae est inter sex et quinque, nec ex sesquiquarta quae est inter quinque et quattuor, quia prior est illis, nisi tu sumas compositionem non formalem et specificam, sed materialem. Vel oritur ex pluribus superparticularibus proportionibus proportio superpartiens; nam quinarius quaternario sesquiquartus est, et quaternarius trinario sesquitertius, quinarius vero ternario superpartiens. Item ex pluribus superparticularibus proportionibus venit quandoque proportio multiplex superparticularis; patet hoc inter sequentes terminos: 9 6 4.

Utrum autem ex duabus distinctis proportionibus superparticularibus possibile sit proportionem nasci multiplicem superpartientem, dicendum est quod non; similiter nec multiplex superparticularis. Probabitur enim infra, libro tertio, quod si duae diversae superparticulares proportiones coniungantur, nascitur ex eis aut dupla simplex, aut superparticularis, aut superpartiens, nunquam vero multiplex superparticularis, nunquam multiplex superpartiens. Probatur etiam, ibidem, superparticularium proportionum solam sesqualteram geminatam multiplicem superparticularem procreare.

Dico ulterius quod ex duabus superpertientibus proportionibus vel nascitur | [P2, 30v in marg.] multiplex proportio duplex, ut ostendunt hi termini: VIII XI XVI vel triplex, ut hi: VI XI XVIII; sic de aliis multiplicitatis speciebus. Vel nascitur ex duabus superpartientibus proportionibus superparticularis proportio; patet hoc in terminis qui sunt: X XIII XV; vel superpartiens, ut ex terminis patet [150] sequentibus: V VII IX; vel duplex superparticularis, ut hoc: IIII VII X. Vel duplex superpartiens, ut manifestant termini sequentes: IIII VII XI.

Multae aliae numerorum fieri possent combinationes. Ex nulla tamen illarum sequitur species nova vel proportio distincta a multiplici, superparticulari, superpartiente, multiplici superparticulari, vel multiplici superpartiente. Dicendum igitur quod si superparticularis cum superpartiente coniungatur, vel e contrario, multiplex cum multiplici, superparticularis cum superparticulari, superpartiens cum superpartiente, nulla ex hoc distincta species provenit a quinque praedictis, et, si proveniat inde proportio formaliter et specifice composita, illa est multiplex superparticularis, vel multiplex superpartiens, quae attenditur in comparatione immediata aliquorum extremorum ad invicem, quia, si inspicitur ad collationem mediorum terminorum qui possunt esse inter extremos aliquos terminos, inter se et ad extremos illos, paucae vel nullae sunt proportiones quin possent dici compositae, etiam multis compositionibus, prout possunt esse multae comparationes terminorum illorum. Sed ex hoc non debet reputari proportio aliqua composita formaliter et specifice, sed materialiter solum, nec ex talibus comparationibus denominatur talis proportio, sed solum ex comparatione immediata terminorum extremorum inter se; alias, habitudo, quae est inter octo et quattuor, tot haberet denominationes quot terminorum inclusorum inter se; et ad extremos illos terminos possunt esse collationes, ut diceretur sesqualtera ratione senarii et quaternarii, sesquitertia ratione octonarii et senarii, sesquiquarta ratione quinarii et quaternarii, sesquiquinta ratione senarii et quinarii, sesquisexta ratione septenarii et senarii, sesquiseptima ratione octonarii et septenarii, supertripartiens ratione septenarii et quatrinarii, superbipartiens ratione septenarii et quinarii, et sic esset magna proportionum confusio. Ideo proportio, quae est inter octo et quattuor, sic vocatur, et est dupla, quod nec est sesqualtera, nec sesquitertia, nec aliqua alia, ab extremis dictis terminis solum vocitata.

[151] Capitulum LII.

Comparatio specierum numerorum ad aliquid penes convenientiam et differentiam.

Conveniunt omnes numeri ad aliquid, sub quacumque specie reponantur, idest relationem importando. Ideo ad sui consistentiam duos requirunt terminos, sicut et omnis relatio, et illi termini vel aequales sunt, et dicitur tunc relatio cuiusdam aequiparantiae vel aequalitatis; vel sunt inaequales, et est inter illos relatio disquiparantiae, vel inaequiparantiae, quae dici potest supereminentiae et superpositionis, vel cuiusdam maioritatis, quoad maiores terminos, vel subiectionis et minoritatis, quoad minores terminos maioribus comparatos. Aequalitas igitur terminos requirit aequales, sicut inaequalitas inaequales. Inde est quod inter numerum quemcumque et unitatem aequalitatis relatio fundari non potest, similiter nec inter numerum parem et imparem, sed inter unitatem et unitatem, binarium et binarium, trinarium et trinarium, sic de aliis terminis aequalibus inter quos est mutua relatio nominum aequalium. Haec igitur relatio nullam inter terminos suos patitur disparitatem, inaequalitatem, et consonantiam super eam fundatam, cuiusmodi est unisonus, nullam discordiam.

Ab aequalitate autem procedit inaequalitas non formaliter et intrinsece, sed secundum quendam recessum. Recedere | [P1, 24v in marg.] enim ab aequalitate, in inaequalitatem incidere, sicut recedere ab unitate, est labi in aliquam multitudinem actualem et formalem. Sed sic numerus ab unitate nascitur, quod ipsa materialiter numerum constituit. Ipsa tamen de se numerus actualiter et formaliter non existit. Aequalitas vero de se quaedam vera relatio est formaliter et in actu, nec est inaequalitatis materia.

[152] Reperitur autem aequalitas in quantitatibus tam continuis quam discretis, similiter et inaequalitas, quae locum habet, prout sonat nomen suum, inter terminos inaequales tantum, quorum scilicet unus maior est alio; et terminorum maiorum ad minores est relatio maioris inaequalitatis, et minorum ad maiores minoris inaequalitatis.

Et sunt, ut est dictum, species quinque maioris inaequalitatis, et distinguuntur in alia et alia maioritate, hoc est indivisimode superando terminos minores quibus conferuntur, ut est prius visum; et totidem species sunt minoris inaequalitatis, et distinguuntur ad invicem in alia et alia minoritate, respectu maiorum suorum terminorum, hoc est indivisimode vinci et superari | [P2, 31r in marg.] ab illis.

Item, inter terminos, inter quos salvantur species maioris minorisve inaequalitatis, reperiuntur aliqui primi vel minimi termini et qui, respectu aliorum, radices vocantur et duces, et aliqui secundarii qui comites appellantur. Item conveniunt maioris inaequalitatis species inter se similiter et minoris inter se, ut una possit iungi alii sibi simili vel dissimili, ut multiplex multiplici, et talis multiplex tali multiplici, similiter multiplex superparticulari et superpartienti, et e converso, ut est visum.

Adhuc conveniunt in hoc ut, ex talibus additionibus, etsi quandoque sequatur consimilis proportio inter extremos quae est inter primos terminos per se et divisim sumptos. Consimilis, inquam, in genere vel subalterna specie. Nunquam tamen sequitur consimilis proportio in atoma specie. Duplex enim, si duplici iungatur, gignit quadruplicem, ut hic: 2 4 8. Triplex si triplici coniungatur, non tripla sed nuncupla nascitur proportio; patet hic 1 3 9. Similiter, si sesqualter societur sesqualtero, non sesqualteram sed duplam sesquiquartam parit proportionem, ut hic patet: 4 6 9. Ex sesqualtero vero et sesquitertio dupla venit proportio, ut hic: 2 3 4 vel hic: 3 4 6. Similiter inducere potest inter numeros superpartientes. [153] Nec ibi, nec alibi reperies eandem atomam esse proportionem inter terminos extremos duarum comparationum quae fuit inter primos terminos illarum comparationum per se sumptarum.

Item, secundum dicta, licet superparticularis proportio similiter et superpartiens cum multiplici formaliter et specifice componibiles sint, generaliter tamen loquendo non ex omni coniunctione superparticularis proportionis ad multiplicem, vel superpartientis ad multiplicem, provenit mixta proportio ex multiplici et superparticulari vel superpartiente, sed quandoque, et quandoque non. Si enim duplae proportioni sesqualtera iungatur proportio, non dupla sesqualtera, sed tripla nascitur habitudo, ut hic: 2 4 6, et, si cum tripla ponatur sesquitertia, provenit inde quadrupla proportio, ut: 3 4 12. Quid, si ex unione proportionis superparticularis ad multiplicem quandoque nascatur mixta formaliter proportio? Illa mixtio non est semper ex multiplici et superparticulari, sed quandoque e multiplici et superpartiente, ut hic patet: 3 4 8. Consimiles conditiones patent cum multiplici superpartiens coniungitur. Infinitae aliae numerorum dictorum fieri possent combinationes, et de illis, in infinitum exempla poni possent.

Item convenit multiplex, quantum ad eius primam speciem, cum superparticularibus proportionibus, quia, quantum ad primos ipsius terminos, numeri naturalis immediatus ordo conservatur, sicut et in superparticularibus (quod aliis tribus speciebus minime convenit). Item ex primis duabus speciebus superparticularibus, prima species nascitur multiplicitatis, ut est visum. Ex prima specie multiplicitatis et prima superparticularitatis, secunda venit multiplicitatis species, ut hic: 2 4 6. Item, ex secunda multiplicitatis specie ad secundam superparticularitatis speciem unione, tertia multiplicitatis sequitur species, ut hic patet: 2 6 9, et sic in infinitum; secundum hunc modum, ex multiplicibus et superparticularibus, multiplices, secundum ordinem suum, procreantur.

[154] Sed differunt multiplices a superparticularibus, quia multiplicitatis species per partium procedunt appositionem, in hoc convenientes cum discreta quantitate, ut prius tactum est; superparticularium vero species quantitati similantur continuae, quia per partium procedunt diminutionem, ut est prius declaratum. Superpartientium autem species videntur procedere per partium augmentum, in hoc convenientes cum multiplicium speciebus, et cum discretis quantitatibus. Ostendit haec ipsarum denominatio, nam numerus ad primam huius pertinens speciem vocatur superbipartiens; ad secundam vero pertinens speciem, supertripartiens dicitur, ad tertiam superquadripartiens, et sic in infinitum istius labuntur species, ut sequens species priorem superet in unius partis appositione.

Item convenit multiplex cum superparticulari, et distinguuntur in hoc ab aliis tribus speciebus, quia quilibet terminus submultiplex pars est aliquota vel praecisa numeri multiplicis cui comparatur, ut per illius multiplicationem ad integritatem et unitatem praecisam redeat illius. Binarius enim, si bis sumatur, ad unitatem redit quaternarii cui subduplus est, et, si ter sumatur, ad integritatem venit senarii cui subtriplus est, et, si quater, ad unitatem octonarii cui quadruplus est, et sic de ceteris. Similiter, superparticularis et subsuperparticularis in aliqua parte conveniunt aliquota quae mensura communis est et praecisa duorum illorum numerorum, nam illa pars, in qua maior minorem superat, aliquotiens sumpta, illorum quemlibet reddere valet praecise. Senarius enim sesqualter est quaternario, vincens eum in binario. Binarius autem bis sumptus quaternarium reddit, ter vero sumptus | [P2, 31v in marg.] senarium constituit, et, per additionem binarii ad quaternarium, quaternarius ad integritatem vadit senarii. Consimili modo est in aliis speciebus numeri superparticularis.

Ex hac proprietate, ut dicetur infra, sumpsit Boethius rationem unam quare consonantias proprie dictas posuit fundari in solis proportionibus multiplicibus et superparticularibus, non autem in proportionibus aliarum trium specierum, quibus | [P1, 25r in marg.] haec non inest proprietas, quamvis communi nomine sumendo consonantias, quaedam in illis [155] tribus fundentur numeris, scilicet superpartientibus, multiplicibus superparticularibus, et multiplicibus superpartientibus. Et quae sint istae et quae illae, dicetur infra.

In multis aliis proprietatibus possunt dictae species maioris minorisque inaequalitatis secundum convenientiam et differentiam comparari. Sed quae tactae sunt in quadam generali summa sufficiant. Nunc specialem quandam illarum tangamus comparationem, qualiter videlicet una oriatur ab altera et omnis inaequalitas mediate vel immediate ab aequalitate nascatur.

Capitulum LIII.

Quod omnis inaequalitas ab aequalitate mediate vel immediate procedit.

Prius quendam generationis modum specierum maioris et minoris inaequalitatis tetigimus, eum videlicet qui inspicit ad numeri naturalem dispositionem. Visum enim est multiplicitatis species, quoad primos numeros, secundum ordinem suum, ad unitatem, qua nullus prior, nullus simplicior est terminus, terminari. Superparticularium vero numerorum prima species ad primum, idest binarium, terminatur numerum, secunda ad secundum, idest trinarium, tertia ad tertium, idest ad quaternarium, et sic in infinitum, quoad primos numeros horum species generantur. Superpartientium vero radix ex naturali numeri dispositione, ipsum a trinario disponendo, declaratur et habetur: prima enim species in illis ad trinarium, secunda ad quaternarium, tertia ad quinarium, quarta ad senarium, sic in infinitum, terminantur.

Nunc autem videbimus qualiter una harum specierum ab alia trahat originem. Et cum multiplicitas prima [156] sit species omnium inaequalitatis numerorum et, per consequens, non habens aliam inaequalitatis speciem priorem, unde nasci possit, et ad illam, ut ad suam radicem comparari, ostendemus qualiter ipsa immediate ab aequalitate, quae omnem antecedit inaequalitatem, oriatur, et ceterae species, secundum suum ordinem, ab illa. Ex quo sequitur secundum locum, a primo ad ultimum, omnem inaequalitatem ab aequalitate procreari. Haec autem disciplina, secundum Boethium, ad omnem naturae vim rerumque integritatem maxima pertinet ratione.

Sicut igitur omnis multitudo ab unitate nascitur, sic et omnis inaequalitas ab aequalitate procreatur, intelligendo sane ut tactum prius est. Nam, sicut omnis numeri absolute considerati unitas radix est et principium, sic omnis inaequalitatis, quae numeros respicit ad aliquid inaequales, aequalitas mater est et initium. Nam, positis tribus terminis aequalibus, sive illi sunt tres unitates, ut hic: 1 1 1, sive tres binarii: 2 2 2, sive quicumque alii aequales numeri, nascuntur ab illis omnes inaequalitatum species, secundum suum ordinem, et praeceptorum trium quae ponentur observationem.

Dico autem "secundum suum ordinem", quia primo immediate prima multiplicitatis species, idest duplicitas, ab aequalitate nascitur. Ex duplicibus autem nascuntur triplices, ex triplicibus quadruplices, sic de aliis. Item, a prima specie multiplicitatis, prima species superparticularitatis procreatur. Et, a secunda specie multiplicitatis, secunda superparticularitatis oritur species, a tertia tertia, a quarta quarta, sic in infinitum. Sed proveniunt triplices ex duplicibus directis, sesqualteri vero ex duplicibus veniunt conversis. Item ex superparticularibus conversis superpartientes descendunt species, prima ex prima, secunda ex secunda, tertia ex tertia, sic in infinitum. Et superparticularibus vero rectis, et non conversis, multiplices superparticulares proveniunt, et, ex superpartientibus, multiplices superpartientes.

Sunt igitur tria praecepta quae in hac doctrina servanda sunt. Positis enim tribus terminis aequalibus lateraliter ordinatis, debet, sub primo termino sinistri lateris, [157] poni terminus illi aequalis: hoc est primum praeceptum. Deinde sub secundo termino, idest medio terminorum aequalium, situari debet terminus aequalis primo et secundo terminorum aequalium: hoc est secundum praeceptum. Tertium praeceptum est quod, sub tertio termino aequalium terminorum, collocetur terminus aequus primo et duobus secundis, sive secundo duplicato, quod idem est, et tertio.

His praemissis, declaremus quae proposuimus: primo, qualiter secundum dicta tria praecepta | [P2, 32r in marg.], a tribus terminis aequalibus prima multiplicitatis species generatur. Ponantur igitur termini aequales et sint tres unitates sic: 1 1 1. Hoc facto, sub primo termino a sinistro latere incipiendo, supponatur directe terminus illi aequus, ille est unitas; secundo, sub secundo aequalitatis termino terminus aequus primo et secundo, hic est binarius, qui duabus aequatur unitatibus. Tertio, ponatur sub tertio aequalitatis termino terminus aequus primo et duobus secundis et tertio, et ille est quaternarius; aequatur enim unitati, duabus unitatibus et unitati, quia claudit in se quattuor unitates. Sit igitur dispositio talis:

1 1 1
1 2 4

Apparet hic qualiter ab aequalitate, secundum dicta tria praecepta, prima multiplicitatis species procreatur. Idem autem esset si alii aequales termini statuerentur. Et sufficiat exemplum de binario.

De binario sic:

2 2 2
2 4 8

Ex duplicibus autem directis, secundum dicta praecepta, triplices oriuntur. Dispositis enim tribus terminis duplicibus ut hic: l, 2, 4, ponatur sub primo terminus illi aequus, ut est unitas; ponatur sub secundo terminus aequus primo et secundo, qui est trinarius; deinde, sub [158] tertio, ponatur terminus aequus primo et secundo duplicato et tertio, et ille est novem, et sit haec dispositio:

1 1 1
1 2 4
1 3 9

Quod si ex triplis sic fiat, nascentur quadrupli, ut sit primus terminus aequalis primo termino, scilicet unitas, secundus aequalis primo et secundo, scilicet quaternarius; tertius vero sit aequalis primo et duobus secundis, sive secundo duplicato, et tertio, scilicet 16. Et sic haec descriptio:

Aequales  1 1  1
Dupli     1 2  4
Tripli    1 3  9
Quadrupli 1 4 16

Consimili modo, quintupli ex quadruplis, sextupli ex quintuplis, et sic de aliis sequentibus multiplicitatis speciebus, producuntur.

Capitulum LIIII.

Superparticularium ex multiplicibus creatio.

Superparticulares vero ex multiplicibus, secundum dicta praecepta, nascuntur cum multiplices, ordine converso ab illo quo ab aequalitate producti sunt, disponuntur, ut terminus qui primus erat ultimus sit, et primus | [P1, 25v in marg.] sit qui fuerat ultimus; medius autem non mutetur, sed in loco maneat medio. Et est hic notandum quod prima species superparticularitatis ex prima specie multiplicitatis exoritur, [159] ut sesqualtera ex dupla, secunda ex secunda, ut sesquitertia ex tripla, tertia ex tertia, et sic de aliis. Positis igitur tribus terminis duplicibus, ordine converso quo ab aequalitate creati sunt, sic: 4 2 1, ponatur sub termino primo terminus aequus qui est 4; deinde, sub secundo termino, ponatur terminus aequalis primo et secundo, et ille est 6; tertio, ponatur, sub tertio termino, terminus primo aequus et duobus secundis et tertio, qui est 9, et disponatur modo qui sequitur:

Duplices    4 2 1
Sesqualtera 4 6 9

Patet hic sesqualteros ex duplicibus esse progenitos. Consimiliter sesquitertii ex triplicibus conversis producuntur. Disponantur igitur tres triplices modo qui sequitur: 9 3 1. Ponatur igitur, iuxta praedictum modum, primus primo par vel aequalis, et est 9, secundus primo et secundo, idest 12, tertius primo, duobus secundis et tertio, scilicet 16, et sic disponantur:

Triplices    9  3  1
Sesquitertii 9 12 16

Et si idem fiat de quadruplis, confestim sesquiquarti creabuntur, et sesquiquinti ex quintuplis; eodem modo, secundum ordinem suum, aliae superparticularitatis species ex multiplicibus proveniunt. Ex dictis patere potest quod, in multiplicibus, modo alio, species una venit ex alia, ut triplus a duplici, quadruplus a triplici, quintuplus a quadruplici, sic de aliis, quam ab aliis eisdem multiplicibus speciebus proveniant superparticulares, quia ibi non conversim, hic conversim multiplices disponuntur. Et quamvis, in illa conversa multiplicium dispositione | [P2, 32v in marg.], maior minorem praecedat numerum in superparticularibus, tamen, sub illis creatis, minor maiorem praecedit. Et, quantum ad hoc, maior est convenientia multiplicium inter se quam superparticularium ad multiplices, nam omnes multiplices inter se unius proximi sunt generis, non superparticulares [160] cum multiplicibus. Sed multiplicium secunda species venit ex prima, tertia ex secunda, quarta ex tertia, sic de aliis. Superparticularium vero prima species ex prima nascitur multiplicium, secunda ex secunda, sic de ceteris, ut est dictum.

Capitulum LV.

Superpartientium ex superparticularibus productio.

Procreantur autem superpartientes ex superparticularibus modo illo quo superparticulares ex multiplicibus, quia prima species superpartientium ex prima superparticularium, sesqualteris, secunda ex secunda, tertia ex tertia, sic in infinitum si dicta serventur praecepta, et ordine converso, quo superparticulares geniti fuerunt, situentur. Dispositis igitur tribus terminis sic: 9 6 4, supponatur terminus primo aequus scilicet 9, deinde terminus aequus primo et secundo, scilicet 15, tertio, aequus primo et duobus secundis et tertio, et ille est 25, et hi sic disponantur:

Sesqualteri         9  6  4
<Superbipartientes> 9 15 25

Patet hic superbipartientes ex sesqualteris conversis progenitos esse. Consimiliter supertripartientes ex sesquitertiis producuntur, ut sequens probat exemplum:

Sesquitertii      16 12  9
Supertripartiente 16 28 49

Rursus, si idem fiat de sesquiquartis, superquadripartientes oriuntur ut sic:

Sesquiquarti          25 20 16
Superquadripartientes 25 45 81

[161] Consimili modo, ceteri superpartientes, secundum ordinem suum, ex superparticularibus generantur. Sed de his exempla sufficiant posita.

Capitulum LVI.

Quod multiplices superparticulares ex superparticularibus generentur.

Multiplices vero superparticulares ex superparticularibus, non conversis, sed directis, ortum habent: duplex sesqualter ex simplici sesqualtero, duplex sesquitertius ex sesquitertio, et sic de aliis. Disponantur igitur tres termini sesqualteri secundum suum directum ordinem quo a multiplicibus producti sunt sic: 4 6 9. Subscribatur tunc terminus par primo, scilicet 4, deinde par primo et secundo, scilicet 10, tertio par primo et secundo duplicato et tertio, scilicet 25, ut hic:

Sesqualteri          4  6  9
Duplices sesqualteri 4 10 25

Si vero sesquitertii disponantur, nascuntur directi inferius duplices sesquitertii, ut hic patet:

Sesquitertii          9 12 16
Duplices sesquitertii 9 21 49

Simili modo, duplices sesquiquarti ex sesquiquartis proveniunt, duplices sesquiquinti ex sesquiquintis, sic de aliis secundum ipsorum communes denominationes. Sed non video ex hoc modo generationis species multiplicium superparticularium variari, nisi ex parte superparticularitatis, cum soli duplices sesqualteri, sesquitertii, sesquiquarti, sic de aliis, non triplices, non quadruplices procreentur.

[162] Capitulum LVII.

Multiplices superpartientes ex superpartientibus producuntur.

Sicut ex superparticularibus duplices superparticulares ortum habent, sic, secundum dicta praecepta, multiplices superpartientes ex superpartientibus directis descendunt, duplices superbipartientes ex superbipartientibus, duplices supertripartientes ex supertripartientibus, sic de aliis. Ordinentur igitur superbipartientes sic: 9 15 25. Subscribatur terminus aequus primo, scilicet 9, secundus aequus primo et secundo, scilicet 24, tertius aequus primo et secundo duplicato et tertio, scilicet 64. Et sit haec descriptio in qua patet duplices superbipartientes ex superbipartientibus procreari:

Superbipartientes          9 15 25
Duplices superbipartientes 9 24 64

Quod si idem fiat de supertripartientibus, duplices supertripartientes provenient, ut sequens ostendit descriptio:

Supertripartientes          16 28  49
Duplices supertripartientes 16 44 121

| [P1, 26r in marg.] Modo consimili, superquadripartientes duplices superquadripartientes constituunt, et sic fit in aliis, nec apparet hic ex superpartientibus nasci nisi duplices superpartientes, non triplices, non quadruplices. Sed de his | [P2, 33r in marg.] hactenus.

Patet igitur omne genus inaequalitatis ab aequalitate derivari, secundum locum, a primo ad ultimum, mediate scilicet vel immediate. Sola enim prima multiplicitatis species, idest duplicitas, ab aequalitate immediate descendit et, ipsa mediante, ceterae aequalitatem aspiciunt. Quare non immerito duplicitas omnem inaequalitatis speciem naturaliter [163] praecedit, non tantum quia immediatius unitatem sequitur, sed propterea quia in aequalitate immediatius radicatur.

Est autem hic notandum quod, in tacto totius inaequalitatis ab aequalitate processu, quasi quidam gradus aequalitatis observatur, quia, licet tres termini a tribus terminis aequalibus venientes, inaequales sint naturaliter, quia unus maior est alio, aequales tamen sunt proportionaliter, quia, qualis est proportio maioris ad medium, talis est proportio illius medii termini ad minimum terminum et illae duae aequales proportiones non sunt discontinuae, cum medio termino utamur pro duobus, ut patet in omnibus prius positis exemplis; et ex his habetur una via inveniendi duas proportiones aequales et continuas.

Tangemus autem postea vias alias reperiendi non solum duas continuas proportiones, sed quotquot quis voluerit.

Capitulum LVIII.

Quod omnis inaequalitas in aequalitatem resolvitur.

Resolubile est unumquodque in eisdem principiis ex quibus suum ortum trahit. Mixta enim, sive elementa, sicut ex elementis proveniunt, sic in elementis relabuntur iuxta illud Scripturae Sacrae dictum: Pulvis es et in pulverem reverteris. Et Salomon: Ad locum unde exeunt flumina revertuntur. Similiter cum articulatae vocis syllabae componantur ex litteris, dictiones ex syllabis, orationes ex dictionibus, finaliter haec ad litteras ordine resolutorio revertuntur sicque fit et in consonantiis ut ad tonum vel diesim, unde via generationis et materialiter procedunt, via redeant resolutoria.

Cum igitur omne genus inaequalitatis ab aequalitate quodam ordine nasci sit ostensum, qualiter in eam revertatur ostendamus. Sed cum ab aequalitate terminorum inaequalitas veniat terminorum inter quos tamen aequalitas servatur proportionum, videndum est qualiter, datis [164] quibuscumque tribus terminis inaequalibus inter quos tamen manet proportionum aequalitas (quia qualem proportionem habet maior terminorum illorum ad medium consimilem proportionem, habet ille medius terminus ad minimum terminorum illorum), videndum est, inquam, qualiter tres tales inaequales termini in terminos aequales finaliter secundum suum ordinem resolvantur. "Secundum ordinem suum" dico, quia illo ordine, quo procedunt ab aequalitate, revertuntur in eandem: quintupli in quadruples primo, quadrupli in triplos, tripli in duplos, dupli inmediate in terminos revertuntur aequales; et, consimili modo, fit in aliis, quia sesqualteri in duplices qui in aequalitatem, sesquitertii in triplos qui in duplices, et illi in aequalitatem; sesquiquarti in quadruplos, et cetera.

In hac autem redactione inaequalitatis ad aequalitatem generaliter servandum est ut, statutis tribus terminis inaequalibus aequalium tamen proportionum, ut est dictum, ponatur primo terminus aequus primo; secundo, tollatur ille primus terminus a secundo, et quod remanet scribatur pro termino medio; tertio, tollatur primus terminus, qui maior inter alios dicitur, a tertio termino, et duo secundi, sive secundus qui remanserat duplicatus, et quod relinquitur pro tertio ponatur termino.

Haec autem specialiter declaremus in aliquibus inaequalitatis numeris et primo in multiplicibus.

Statuantur igitur tres termini quadrupli sic: 4 16 64. Supponatur terminus aequus primo, scilicet 4; secundo, tollatur primus de medio, idest 4 de 16, et remanet 12 qui, cum primo, disponatur sic: 4 12; deinde tollatur primus de tertio, idest 4 de 64, et remanent 60; rursus de 60 tollantur duo medii termini, sive medius terminus duplicatus, idest bis duodecim, et remanent, de 60, 36. Hic tertio loco disponatur una cum aliis prioribus terminis sic:

Quadruplices 4 16 64
Triplices    4 12 36

[165] Patet hic quadruplam proportionem in triplam immediate reverti, quia propinquior est aequalitati quam esset quadrupla. Idem si fiat de triplis, dupla <redit> proportio. Disponantur enim tacti tripli sic: 4 12 36. | [P2, 33v in marg.] Ordinetur terminus aequus primo, sive minori, scilicet 4; secundo, talis minor terminus, scilicet 4, tollatur a secundo, scilicet autem 12, et remanent octo qui sic disponantur: 4 8; tertio, tollatur primus terminus a tertio termino, idest 4 a 36, et remanent 32; rursus, a 32 tollatur medius terminus, qui remanserat, duplicatus, scilicet bis octo, et remanent 16. Et sic cum praecedentibus disponantur:

Quadruplices 4 16 64
Triplices    4 12 36
Duplices     4  8 16

Hic, ut apparet, ex tripla dupla <redit> proportio. Ex qua si idem fiat, ad aequalitatem terminorum et proportionum summa revertitur. Statuantur enim tacti tres duplices termini sic: 4 8 16. Scribatur igitur terminus aequus primo, idest 4; deinde dictus terminus primus dematur a secundo, idest 4 ab 8, et remanent 4 et sic ordinentur 4 4; tertio, tollatur terminus primus a tertio, scilicet 4 a 16, et secundus duplicatus, idest bis 4, et remanent 4. Et sic ordinentur:

Quadruplices 4 16 64
Triplices    4 12 36
Duplices     4  8 16
Aequales     4  4  4

Et sic patet quod prima nobis aequalitas reversa est.

Ad hoc de sesqualteris exemplum ponamus. Diligens enim lector idem experiri poterit in reliquis.

[166] Describantur igitur tres sesqualteri sic: 8 12 18. Subponatur terminus aequus primo, scilicet 8; secundo, tactus terminus primus deleatur a secundo, scilicet 8 a 12, et remanent 4, qui sic disponantur: 8 4; tertio, tollatur primus terminus, scilicet 8, et secundus duplicatus, scilicet bis 4, a tertio, scilicet a 18, et remanent duo qui, una cum praedictis, describantur sic:

| [P1, 26v in marg.] Sesqualteri 8 12 18
                     Duplices    8  4  2

Ecce qualiter sesqualtera proportio ad duplam revertitur; dupla vero quomodo in aequalitatem relabatur iam visum est. Ideo autem, ut hoc fiat, oportet terminos illos duplices convertere, quia maior terminus a minore demi non potest. Consimili modo fit in aliis, sed, causa brevitatis, amplius non induco. Hoc igitur, secundum Boethium, indubitanter pronuntiandum est quemadmodum per se stantis quantitatis unitas principium est et radix, ita ad aliquid relatae quantitatis aequalitas mater existit.

Capitulum LIX.

Quid sit proportio.

Verum, cum proportio quaedam habitudo sit relatae quantitatis, de ipsa quid sit specialiter videamus, quia de ea saepe tetigimus et infra tangere oportebit. Primo autem de proportione simplici, deinde de composita directa et transmutata, idest de proportionalitate directa et permutata, disseremus.

[167] Haec autem, secundum Boethium, non iam ad musicas speculationes, vel ad astronomicas subtilitates, vel ad geometriae usum, sed etiam ad veterum collectionum intelligentiam prodesse possunt.

Est igitur proportio duorum terminorum ad se invicem quaedam habitudo et quasi quodammodo continentia, <quorum> compositio proportionalitatem efficit. Dicitur autem "proportio habitudo duorum terminorum", quia relatio duo requirit extrema et specialiter si sit proportio simplex; "duorum" dicitur "terminorum", quia, si sint tres vel plures, non erit ibi proportio simplex sed mixta, quae proportionalitas vel medietas nuncupatur. Adhuc dicitur "proportio" "habitudo et quodammodo continentia duorum terminorum", quia termini relativi in ipsa, qua ad invicem referuntur, relatione colligantur et uniuntur, ut unum sine alio esse nequeat in tantum ut similes natura dicantur et, posito uno, ponatur aliud, dempto uno et aliud dematur. Inest enim, inter terminos vere relativos ex natura rei, intrinsece quaedam habitudo qua unum ad aliud dependet, vel ipsum necesse coexigit (quod dico propter relationes divinas inter quas, etsi non sit dependentia, est tamen ibi ex natura rei quaedam intrinseca coexigentia). Sic autem non est de respectibus extrinsece advenientibus quos important sex principia: actio, passio, et cetera.

Et cum proportio sit duorum terminorum habitudo ex distinctione terminorum, distinctio provenit proportionum, non solum rerum, sed terminorum numeralium, a rebus numeratis, prout eos arithmeticus, ut dictum est supra, considerat abstractorum. Alia enim est proportio binarii ad binarium, alia binarii ad trinarium, alia ipsius binarii ad quaternarium | [P2, 34r in marg.], et, semper variando terminum ad quem binarius comparatur, variatur binarii ad illum proportio.

Denominatur autem proportio a termino a quo incipit comparatio, sive a termino qui alteri comparatur, non a termino ad quem comparatio terminatur, ut proportio binarii ad quaternarium dicitur subdupla; si, vero, e converso, quaternarius binario conferatur, dicitur illa proportio dupla, nec fit illa denominatio ab illis terminis absolute sumptis, quia non dicitur illa proportio binaria et haec [168] quaternaria, sed ab illis terminis ut includunt relationem et dicuntur termini naturales ad aliquid, scilicet dimidium, sive subduplum et duplum, sic de aliis.

Cum igitur terminorum alii vel sint aequales, alii inaequales, proportionum quaedam est aequalitatis, alia inaequalitatis; et quae est aequalitatis indistincta manet ex quacumque parte terminorum suorum, cum aequales sint et nominum similium; unde relationi similatur aequiparantiae. Proportio autem cuiusdam inaequalitatis, cum versetur inter terminos inaequales quorum unus maior est alio, distinguitur distinctione terminorum ad aliquid maioris et minoris inaequalitatis, ut dicatur quaedam proportio multiplex, alia superparticularis, alia superpartiens, multiplex superparticularis et multiplex superpartiens, ubi maiores termini minoribus quos excedunt comparantur. Sui fiat comparatio e converso, dicitur talis proportio vel submultiplex, vel subsuperparticularis, subsuperpartiens, sic de aliis.

Quae propositiones ulterius specifice distinguuntur distinctione terminorum et specierum ad aliquid maioris minorisque inaequalitatis, ut sit quaedam dupla, quaedam tripla, quaedam quadrupla, sic in infinitum secundum processum specierum multiplicitatis. Similiter dicitur quaedam proportio subdupla, alia subtripla, sic deinceps secundum ordinem submultiplicium numerorum. Consimili modo, quantum ad proportiones superparticulares, fit distinctio secundum distinctionem specierum superparticularium, ut dicatur quaedam sesqualtera, quaedam sesquitertia, sic de ceteris. Et, eodem modo, nosci possunt distingui et nominari quaeque proportiones terminorum ad aliquid maioris et minoris inaequalitatis.

In talibus igitur relationibus est quaedam disparitas, supereminentia et subiectio, unde sunt relationes dissimilium nominum. Ideo, ut dictum est, variatur ibi proportio quando maior terminus minori comparatur; et quando, e converso; quod locum non habet in aequalitatis proportione.

Salvatur autem, in proportione terminorum aequalium, illud geometricum principium: Si ab aequalibus aequalia demas, quae remanent sunt aequalia. Nam, cum quaternario quaternarius sit aequalis, si tollatur unitas ab [169] utroque, qui remanent termini sunt aequales, trinarius scilicet trinario. Dixi "aequales", quia aequalitas in quantitate, idemptitas in subiecta, similitudo in qualitate proprie reperiuntur, licet unum istorum saepe sumatur pro alio. Si vero ab aequalibus inaequalia demantur, quae remanent inaequalia esse necesse est, ut, statutis duobus quaternariis, tollatur unitas ab uno, binarius ab alio, remanent ternarius et binarius quos constat inaequales esse.

In terminis autem inaequalibus consimiliter, si aequale est quod tollitur ab utroque, qui remanent termini, inaequales sunt, sed non habent aequalem proportionem cum terminis prioribus, ut, si, a senario et quaternario simul comparatis, unitas tollatur, remanent quinarius et ternarius qui inaequales sunt, nec habent talem proportionem qualem habebant priores termini; senarius enim sesqualter est quaternario, quinarius vero superbipartiens est trinario. Quodsi ab inaequalibus terminis inaequalia sunt quae tolluntur, ad aequalitatem redire poterunt, ut, si a senario trinarius, a quatrinario unitas demantur, trinarius ex utraque parte relinquitur.

Habet autem proportio locum, non tantum in quantatibus discretis, ut in numeris et orationibus, sed in continuis, | [P1, 27r in marg.] ut in lineis, superficiebus figuris, solidis quantitatibus sive corporibus, similiter, in tempore, in sonis et consonantiis. Et ad multas alias res proportionis nomen extenditur. Generaliter enim ad quae se extendit musica, proportio se videtur extendere.

Differt autem proportio a terminis ex quibus denominatur, ut proportio dupla a termino duplici, tripla a triplici, sicut relatio a suo fundamento, ut paternitas a patre, filiatio a filio, large sumendo fundamentum pro mediato vel immediato fundamento. Hinc | [P2, 34v in marg.] est quod aliquid competit fundamento proportionis quod proportioni non competit, ut termino duplici in duas dividi partes aequales, ut quaternario in duos binarios, et triplici dividi in aequales tres partes praecisas, quae nullo modo competere possunt proportioni duplae et triplae. Non sequitur igitur: "Diapason consistit in dupla proportione, ergo divisibilis est in duas partes aequales". Similiter non sequitur: "Diapente supra diapason consistit in tripla proportione, [170] ergo dividi potest in tres partes aequales". Sed de his magis infra dicemus.

De composita loquamur proportione, idest de proportionalitate, primo definitive, secundo divisive, tertio collative. Possunt tamen quaedam aliae proportiones dici compositae, ut illae quae species ad aliquid respiciunt compositas, scilicet multiplicem superparticularem et multiplicem superpartientem.

Capitulum LX.

Quid sit proportionalitas.

Proportionalitas, quae et medietas dicitur esse, est duarum, trium vel quotlibet proportionum assumptio ad unum atque collectio vel, ut communiter definiatur: proportionalitas est duarum vel plurium proportionum simul habitudo etiamsi non eisdem quantitatibus et differentiis constitutae sint. In posita proportionalitatis definitione, quae Boethii est, ponitur proportio, et differentia. Et quid sit proportio, iam visum est. Quid autem sit differentia, videamus. Differentia, ut hic sumitur, est illa quantitas in qua differunt aliqui termini ad invicem comparati. Ut si comparentur quattuor ad tria, differentia inter illos unitas est; inter tria et quinque, dualitas. Et, generaliter, positis aliquibus terminis inaequalibus, illa quantitas vel quantitatis particula in qua maior terminus minorem superat, vel minor a maiore superatur, differentia nuncupatur.

Ex his patet differentiam locum non habere inter aequales terminos, in quo distinguitur differentia a proportione quae locum habet inter terminos, tam aequales, quam inaequales. Ad hoc differunt, quia, in proportione, termini, ad invicem comparati, colliguntur et uniuntur; in differentia autem, distinguuntur. Item alia est proportio, [171] cum maior terminus minori comparatur, alia cum e converso. Sed eadem est differentia hinc et inde. Haec tamen aliqualiter conveniunt, maxime ut proportionalitatem respiciunt, quia, sicut ex aequalitate proportionum aliquae proportionalitates conficiuntur et denominantur, ut proportionalitates geometricae, similiter ex aequalitate differentiarum, ut arithmeticae, aliae vero ex illis quodammodo sunt confectae.

Ideo, in definitione proportionalitatis dicitur quod est "habitudo duarum proportionum vel plurium", etiamsi non eisdem quantitatibus et differentiis constitutae sint. Est igitur proportionalitas habitudo, proprietas, seu relatio ex natura rei et intrinsece sequens ad comparationem proportionum plurium aequalium, vel differentiarum similium, vel ex his mixtarum, sicut proportio ad collationem duorum terminorum. Inde est quod, sicut proportio et differentia necessario duos requirunt terminos invicem comparatos, ita medietas proportiones duas vel habitudines, ut generalius loquaris.

Duae autem proportiones tres ad minus requirunt terminos. Ideo medietas non in paucioribus quam in tribus salvari potest terminis. Si igitur sic dicatur: "Sicut se habet 8 ad 4, sic 4 ad 2", proportionalitas est. Est enim hic comparatio duarum similium proportionum in tribus terminis fundatarum quorum tamen unus bis sumitur. Idem fieri posset in pluribus sic: "Sicut se habent 64 ad 32, sic se habent 16 ad 8, et 4 ad 2". Habet autem proportionalitas locum non iam in terminis et proportionibus multiplicibus in quibus exemplificatum est, sed in ceteris terminis maioris minorisque inaequalitatis, ut in superparticularibus, sic: "Sicut se habent 9 ad 6, sic 6 ad 4". Consimiliter exemplificari posset in aliis et, generaliter loquendo, locum habet in omnibus in quibus locum habet proportio, magis proprie tamen inter terminos quantitativos. Et cum locum habeat proportio inter aequales terminos, similiter et medietas, cum dicitur sic: "Sicut se habent 4 ad 4, sic 2 ad 2".

Sed dicerent forsitan aliqui quod in solis terminis inaequalibus, ab invicem differentibus, locum habet tam proportio quam proportionalitas, et proportio ab aequalitate, cum ab ea nascatur, distingui videtur. Nihil enim se ipsum generat sed salvat. Extenso tamen nomine, proportio [172] et proportionalitas aequalitati possunt | [P2, 35r in marg.] convenire. Dicit enim Boethius quod proportio est duorum terminorum ad se invicem habitudo, non dicit: duorum terminorum inaequalium sed simpliciter et absolute, <sine restrictione>, dicit: duorum terminorum. Planum est autem quod duo binarii duo termini sunt numeraliter, idest singulariter ab invicem distincti, et quod ad invicem possunt comparari; ergo potest esse inter illos proportio. Illa non est inaequalitatis; ergo aequalitatis. Extendit etiam se medietas, ut est tactum, non tantum ad terminos proportionum aequalium, quin etiam et differentiarum aequalium, si sic dicatur: "Sicut se habent 4 ad 3, sic 3 ad 2". Utrobique est enim eadem differentia, scilicet unitas, alia tamen proportio. Ad hoc extenditur ad terminos inter quos, primo aspectu, nec est aequalitas proportionum, nec differentiarum. Statuantur hi termini: 3 4 6. Alia enim est proportio senarii ad quaternarium et quaternarii ad trinarium. Nam prima sesqualtera est, secunda sesquitertia. Alia similiter differentia est senarii ad quaternarium et quaternarii ad trinarium. Et tamen, si dicatur sic: "Sicut se habent sex ad tria, sic differentia senarii ad quaternarium, quae est dualitas, ad differentiam quaternarii ad trinarium, quae est unitas" (sicut enim senarius duplex est trinario, sic binarius unitati), est ibi quaedam proportionalitas quae musica nuncupatur.

Capitulum LXI.

Proportionalitatis divisio.

Medietatum seu proportionalitatum alia est continua seu indisiuncta, alia vero discontinua vel disiuncta.

Continua in tribus habet fieri terminis quorum tamen medius bis sumitur et, respectu minoris, dux dicitur, secundum [173] Boethium, respectu maioris, comes. Si igitur sic dicatur: "Sicut se habent 2 ad 4, sic 4 ad 8" | [P1, 27v in marg.] est hic medietas continua, quia comparationes duae in termino uno coniunguntur; vel sic: "Sicut se habent 9 ad 12, sic 12 ad 16". Posset autem continua medietas in pluribus esse terminis quam in tribus, dum tamen quilibet mediorum terminorum bis sumeretur, sic: "Sicut se habent unum ad duo et duo ad quattuor, et quattuor ad octo, sic octo ad sedecim". Et ibi notandum est quod unius termini additio unam addit proportionem, et non sunt ibi duae proportiones tantum, sed plures. Infinita alia poni possent exempla.

Disiuncta medietas quattuor distinctos ad minus requirit terminos sic: "Sicut se habent duo ad quattuor, sic octo ad sedecem". Est hic disiuncta medietas. Posset autem salvari in pluribus terminis quam in quattuor, dum tamen neuter illorum bis sumeretur sic: "Sicut se habent 64 ad 32, et 16 ad 8, sic se habent 4 ad 2".

Item medietatum alia arithmetica, alia geometrica, alia harmonica. Arithmetica medietas aequalitatem inter terminos suos requirit differentiarum, ut observant hi termini: 1 2 3 4; geometrica aequalitatem proportionum ut est inter hos terminos: 1 2 4 8; harmonica vero neque eisdem terminorum suorum differentiis, neque eisdem constat proportionibus, sed, quemadmodum maximus terminus se habet ad minimum, ita se habet maior terminorum differentia ad minorum differentiam terminorum, ut in his patet numeris: 3 4 6. Harum trium medietatum simul exempla subiecimus:

[CSMIII/1:173; text: Arithmetica, Geometrica, Harmonica, I, II, III, IIII, VI] [JACSP1B 01GF]

Sunt autem et aliae medietates sed, quia hae tres sunt principaliores, antiquiores, magis authenticae, magis famosae, de his enim Pythagoras, Plato, Aristoteles tractaverunt [174] et eas in libris suis reliquerunt. Ideo et nos de istis specialiter aliquid dicemus. Non enim expedit musico perfecto eas ignorare et praecipue harmonicam quae perfecte nescitur, aliis ignotis. Unde Boethius, secundo Arithmeticae, postquam de his medietatibus sufficienter tractavit, eas applicans ad consonantias musicales, multa pulchra de illis dicit. Et in illis librum suum finit ubi etiam forsitan insinuat post Arithmeticam ad Musicam transferre se velle, quod et fecit, sicut Philosophus in fine libri Ethicorum ad librum se ordinat Politicorum.

| [P2, 35v in marg.] Capitulum LXII.

Arithmetica medietas quid sit.

Arithmetica igitur medietas, ut est tactum, tunc provenit quando, propositis tribus vel pluribus terminis, inter illos differentiarum aequalitas invenitur, non proportionum. Patet hoc in numeris secundum naturalem suum ordinem dispositis sic: I II III IIII V VI VII et cetera. In his enim terminis, medius ad suos immediatos collaterales terminos comparatus aequalem ad quembilet servat differentiam, inaequalem vero proportionem. Si igitur sic dicatur: "Sicut se habet unum ad duo, sic duo se habent ad tria", medietas est arithmetica. Medius enim hic terminus, scilicet binarius, aequali differentia differt, et ab unitate et a trinario, sed aliam ad unitatem, aliam ad trinarium habet proportionem.

Salvatur autem medietas haec tam in continua quam in discontinua medietate. Et de continua iam exemplum positum est in terminis sibi immediate, secundum suum naturalem ordinem, succedentibus, inter quos sola unitas differentiam tenet. Sed posset de hac, in aliis terminis [175] differentia alia invicem distinctis, exemplum statui sic: "Sicut se habent duo ad quattuor, sic quattuor ad sex, et sex ad octo"; et hic quidem dualitas differentia est. Eodem modo poni posset exemplum ubi trinareitas locum teneret differentiae.

Discontinua etiam medietas haec tenet, tam in terminis naturaliter et immediate sibi invicem succedentibus, quam in aliis, dum tamen sint ibi quattuor vel plures termini inter quos aequalitas sit differentiarum cum distinctione et diversitate proportionum. Unde si dicatur sic: "Sicut se habent 3 ad 6, sic 9 ad 12, et 15 ad 18", est hic arithmetica medietas discontinua et tenet hic trinarius differentiae locum. Possunt de his exempla variari, prout placet, dum tamen inter terminos <servetur> differentiae aequalitas cum inaequalitate proportionum, sive illa differentia sit unitas, sive binarius, sive quicumque alius numerus. Unde distingui videtur haec medietas distinctione differentiarum, ut geometrica distinctione proportionum.

Vocatur autem tacta terminorum positorum medietas convenienter Arithmetica, quia sequitur naturalem terminorum ordinem; non sic aliae de quibus infra dicemus. Arithmetica autem cum, primo et principalius, de numero, ut est prius dictum, consideret, principalius passiones, quae, in numeris, secundum <suam> naturalem insunt dispositionem, ceteris paribus, considerare habebit.

Adhuc, ut ait Boethius, huius medietatis proportio in numeri quantitate consistit. Et, quia arithmetica ceteras mathematicales antecedit scientias et naturalis numerorum ordo nobis hanc ostendit, iure prius de hac arithmetica medietate, quae ceteras antiquitate superat, tractandum est.

Per prius enim numeros inaequales sequitur differentia quam proportionis habitudo, quia nec videntur numeri tales dici ad aliquid ratione differentiae, sed ratione proportionis, [176] quia, inter terminos inaequales, esset aequalitatis relatio, cum, positis duobus inaequalibus terminis, uno maiore, altero minore, aequali differentia qua maior differt a minore et e converso, ut est prius dictum, differt minor a maiore. Et est hic advertendum quod, si termini huius medietatis immediate sese consequentur ut in naturali numerorum sit ordine, differentiam tenet unitas; si vero unus praetermittatur numerus, binarius; si duo, trinarius; si tres, quaternarius et sic, de aliis, ut de aliquibus, patet hic:

[CSMIII/1:176,1; text: Hic unitas est differentia, I, II, III, IIII, V, Differentiae, Medietas arithmetica, VI, VIII, X, Hic binarius differentiae locum tenet] [JACSP1B 01GF]

| [P2, 36r in marg.] Capitulum LXIII.

Arithmeticae medietatis proprietates.

| [P1, 28r in marg.] Medietatis arithmeticae proprietas una est, ut, si sit in tribus terminis, quoad continuam, medius terminus medietas est numeri venientis ex coniunctione duorum extremorum terminorum ut, si ponantur hi termini: I II III, dualitas medietas est quaternarii surgentis ex additione unitatis ad trinarium qui extremi erant termini. Huius exemplum patet hic:

[CSMIII/1:176,2; text: continua medietas, I, II, III, (IIII)] [JACSP1B 01GF]

[177] Idem esset si tres alii termini quicumque ponerentur inter quos aequalis esset differentia medii termini ad minimum quae est maioris ad medium. Sin vero disiuncta sit medietas, tunc numerus qui provenit ex duobus mediis terminis simul iunctis aequatur numero veniente ex duobus extremis terminis simul copulatis. Disponantur hi termini 2 4 6 8; iungatur quaternarius senario, et sunt decem; item binarius octonario, similiter proveniunt decem. Et haec sic disponantur:

[CSMIII/1:177; text: disiuncta medietas, II, 2, 4, 6, 8, X] [JACSP1B 01GF]

Tangit autem Boethius, secundo Arithmeticae, aliam huius medietatis proprietatem sub his verbis: Est illi hoc quoque solida proprietate coniunctum, quod quemadmodum sunt omnes termini huiusmodi dispositionis ad se ipsos, ita sunt differentiae ad differentias constitutae. Haec proprietas facilis apprehensionis est, si sic capi possit ut sic se habeant distinctae differentiae ad invicem dispositae, sicut et distincti termini. Sic enim primus terminus, unitas est, secundus dualitas, tertius, in ordine naturali, ternareitas, et sic consequenter: sic prima terminorum differentia unitas, secunda dualitas, tertia ternareitas, sic deinceps. Et sequitur in textu Boethii sic: Namque omnis terminus sibi ipsi aequalis est et differentiae differentiis sunt aequales. Non intelligas quod medietas arithmetica terminos requirat aequales sicut differentias, sed omnis terminus sibi ipsi comparatus aequalis est, et omnis differentia sibi comparata aequalis est, et termini, eo modo qui est tactus, etiam differentiis sunt aequales.

[178] Tertia huius medietatis proprietas quam adinvenit Nicomachus talis est: Dispositis tribus terminis, quantum ad continuam medietatem, et sint isti: II IIII VI, tantum numerus veniens ex ductu termini medii, idest quaternarii, in se ipsum semel dicendo: "Quater quattuor", et sunt XVI, superat numerum venientem ex ductu unius extremi termini in alium dicendo: "Sexies duo", vel: "Bis sex", et sunt XII, quantus est numerus veniens ex ductu ipsius differentiae cuiusmodi est binarius inter tactos terminos in se ipsum dicendo: "Bis duo"; XVI enim superant XII in quaternario qui surgit ex ducti binarii in se ipsum semel et de hoc exemplum ponatur tale:

[CSMIII/1:178; text: II, IIII, VI, XVI, XII] [JACSP1B 02GF]

Posset, de hoc, exemplum poni de aliis quibuscumque tribus terminis huius medietatis, quia tenet in omnibus, dum tamen differentiam differentiae non simul iungas, sed ipsam in se ducas; alias, non teneret, ubi unitas differentia est, quae in se ducta non reddit nisi unitatem, alteri vero iuncta soli facit binarium.

Tenet etiam proprietas haec immediate disiuncta, sed de hoc Boethius non exemplificat et qualiter ibi teneat non declarat. Disponantur quattuor termini sic: 3 5 7 9. | [P2, 36v in marg.] Ad hoc, ut dicta proprietas hic teneat, oportet ut unus extremorum terminorum multiplicetur per alium, sicut ter [179] novem. Ad hoc requiritur ut alter terminorum mediorum ducatur in alium, sic quinquies septem, vel e converso. Item requiritur quod differentia, quae est dualitas, in se ipsum bis ducatur et, si sic fiat, tenet dicta proprietas in quattuor terminis quibuscumque istius disiunctae medietatis. Dicamus igitur sic: "Ter novem", et sunt XXVII. "Quinquies septem", et faciunt 35. Item: "Bis duo bis", et sunt octo. Dico igitur quod summa proveniens ex ductu unius terminorum mediorum in alium vincit summam venientem ex ductu alterius extremorum in reliquum in summa veniente ex ductu ipsius differentiae in se ipsum bis; nam 35 superant XXVII numero octonario. Patent haec in figura subposita:

[CSMIII/1:179; text: II, VIII, 3, 5, 7, 9, 35, XXVII] [JACSP1B 02GF]

Ad hoc est alia arithmeticae medietatis proprietas ceteris antiquior et notior et, ad iudicandum de consonantiis, quae melior, et quae non utilior <est>. Est autem haec proprietas ut, id hac medietate tam continua quam disiuncta, in minoribus terminis est proportio maior et, in maioribus, minor. Patet hoc in hac dispositione: 1 2 3 4 5. Minores termini sunt tria et duo quam quinque et quattuor, et tamen maior est proportio trium ad duo quam ipsorum quinque et quattuor, quia prima est sesqualtera, alia sesquiquarta. Et adhuc maior est proportio [180] binarii ad unitatem, qui minores sunt termini, quia illa est dupla, quam trinarii ad binarium, quae est sesqualtera, et, quanto ad maiores terminos, secundum hanc medietatem, procederes, minores proportiones invenires. Convenit igitur huic medietati ut in minoribus eius terminis maior, in maioribus minor inveniatur proportio. Cuius contrarium medietati inest harmonicae; ibi enim maioribus terminis maior et minoribus minor reperitur | [P1, 28v in marg.] proportio, ut infra patebit. Inter has autem geometrica medietas medium tenet, quia in ea et in maioribus et in minoribus terminis aequalis invenitur habitudo. Inter maius vero et minus, ut ait Boethius, aequalitas loco ponatur medietatis.

Capitulum LXIIII.

Arithmetica mediates qualiter ab aequalitate procreetur.

Sunt autem duo modi quibus medietatem arithmeticam ab aequalitate nasci demonstratur. Primus talis: Disponantur, in loco superiore, lateraliter, tres termini aequi sic: I I I. Tunc supponatur terminus aequus primo, scilicet unitas; secundo, ponatur terminus aequus primo et secundo superioribus, scilicet duo; tertio, ponatur inferius terminus aequus primo, secundo ac tertio, hoc est tribus terminis superioribus, scilicet tres. Et sic describantur:

Aequitas             I  I   I
Arithmetica medietas I II III

Patet hic ab aequalitate terminos, inter quos est arithmetica medietas, progenitos esse. Idem autem esset [181] si binarius aequalitatis locum teneret vel trinarius, vel quicumque numerus alius. Et de binario et ternario exemplum ponatur hic et simile intelligatur de aliis:

Aequitas             II   II II
Arithmetica medietas II IIII VI
Aequitas             III III III
Arithmetica medietas III  VI  IX

Et est notandum quod, dum unitas locum tenet unitatis, tenet et differentiae, ut in primo patet exemplo. Sin vero binarius tenet aequalitatem, tenet similiter numerorum productorum differentiam, ut in secundo patet exemplo. Similiter si trinarius teneat aequalitatem, tenebit et differentiam, ut tertium manifestat exemplum. Et similiter esset in aliis, et ad hanc intentionem forsitan posita est superius | [P2, 37r in marg.] secunda huius medietatis proprietas.

Secundus modus procreandi ab aequalitate arithmeticae medietatis terminos iste est: Ponantur, in superiore loco, tres termini aequi sic: I I I. Subscribatur terminus aequus primo et secundo, scilicet binarius; secundo, inferius scribatur terminus aequus primo et duobus secundis, scilicet tres; tertio, ponatur inferius consequenter terminus aequus primo ac secundo duplicato, et tertio, et ille est quaternarius. Et sic describantur:

Aequalitas            I   I    I
Arithmetica medietas II III IIII

Advertendum est hic quod, sicut hic in prima via ubi unitas tenebat aequalitatem, similiter eadem tenebat terminorum differentia; sic et in hac via secunda. Et, eodem modo, secundum hanc viam, binarius teneret terminorum differentiam, si teneret aequalitatem. Et similiter esset de [182] trinario, de quaternario, sic de aliis. Ad hoc, sicut in prima via, ubi unitas differentiam tenet, nullus inter terminos numerus mediat, ubi vero binarius differentiam tenet, unus mediat numerus, ubi trinarius duo, ubi quaternarius tres, sic deinceps, consimiliter fieret et in hac secunda via; et, cum exemplum positum sit de unitate aequitatem tenente, de binario ad hoc sufficiat exemplum ponere hoc:

Aequalitas             II II   II
Arithmetica medietas IIII VI VIII

Differt autem haec secunda via a prima. In prima enim via, terminus primus inferior semper erat aequalis termino primo superiori, non autem hic, sed conveniunt in conclusione et fine, quia idem habetur per modum utrumque. Et haec de arithmetica medietate nunc dicta sufficiant; de geometrica prosequamur.

Capitulum LXV.

Quid sit geometrica medietas.

Geometrica medietas est cum, propositis tribus terminis vel pluribus, invenitur, inter illos, proportionum aequalitas, non differentiarum, ut si sic dicatur: "Sicut se habent octo ad quattuor, sic quattuor ad duo". Utrobique enim est hic eadem dupla proportio, sed alia, inter tactos terminos, est differentiae quantitas. Eodem modo tenet in disiuncta medietate sic: "Sicut se habent sedecim ad octo, sic quattuor ad duo". Salvatur haec medietas in omni specie maioris et minoris inaequalitatis et, secundum illas, distinctas recipit denominationes. Unde, ubi sunt proportiones duplae inter terminos huius proportionalitatis, ut in exemplis patet praedictis, dupla dicitur proportionalitas; et, ubi sunt proportiones triplae, dicitur tripla medietas, ut inter sequentes: 9 3 1; et [183] quadrupla, ubi quadruplae, ut ostendunt hi termini: 64 16 4 l. Eodem modo dicitur sesqualtera medietas terminorum sesqualteram proportionem inter se habentium, sicut patet dicendo sic: "Sicut se habent 9 ad 6, sic 6 ad 4". Sic de sesquitertia, de superpartiente et ceteris. Ubicumque enim fuerit talium terminorum ad invicem collatio quod, sicut maior se habet ad medium, sic medius ad minorem, salvatur medietas haec. Et, quia, inter terminos suos, sive sint maiores, sive sint minores, semper invenitur proportionum aequalitas, vocatur haec geometrica medietas, secundum Boethium, sola vel maxime proportionalitas, de qua dicit Boethius quod: Hic enim, idest in hac geometrica proportionalitate, aequa semper proportio custoditur; numeri quantitas multitudoque neglegitur, et in hoc contrariatur tam arithmeticae quam harmonicae medietati. Et cum haec medietas sic speculetur et attendat proportiones, etiam aequalitatem custodit in eis. Geometria autem proportiones respicit et mensuras; sicut eius sonat nomine, rationabiliter geometrica nuncupatur. Ideo medietas haec quibusdam comparatur geometricis numeris et figuris, ut tetragonis et altera parte longioribus, ut patet secundo Arithmeticae. Similiter numerus non solum planis, sed solidis vel <cubis>, ut magis infra patebit.

Capitulum LXVI.

Geometricae medietatis proprietates.

| [P1, 29r in marg.] Habet autem medietas haec proprietates multas et pulchras. Una quidem eius proprietas est ut, in omni dispositione terminorum secundum hanc medietatem, differentiae inter se in eadem sint | [P2, 37v in marg.] proportione in qua fuerint ipsi termini quorum illae sunt differentiae. Unde, si dupli fuerint termini, et differentiae illorum duplae [184] erunt; si tripli, triplae; si quadrupli, quadruplae; et eodem modo fit secundum quamlibet multiplicitatis speciem. Et de duplis et triplis sequens ponatur exemplum:

[CSMIII/1:184,1; text: Differentiae duplices, 1, 2, 4, 8, Termini duplices, 16, Differentiae triplices, 2, 6, 18, 54, Termini triplices, 1, 3, 9, 27, 81] [JACSP1B 03GF]

Haec proprietas non solum tenet in terminis duplicibus et triplis, sed in aliis quibuscumque speciebus multiplicibus, similiter et in superparticularibus et ceteris aliis inaequitatum terminis. Et de sesqualteris sesquitertiisque, exempla patent subscripta, et consimiliter intelligatur in ceteris:

[CSMIII/1:184,2; text: Differentiae sesqualterae, 4, 6, 9, Termini sesqualteri, 8, 12, 18, 27, Differentiae sesquitertiae, 9, 12, 16, Termini sesquitertii, 27, 36, 48, 64] [JACSP1B 03GF]

Secunda huius medietatis proprietas est quod semper maior terminus minorem terminum, cui comparatur, in se continet totum et, cum hoc, differentiam qua differt ab illo. Patet hoc in terminis duplis et aliis prius positis et qui poni possent. Binarius enim continet unitatem ad quam duplus est et, cum hoc, adhuc unitatem quae inter illos terminos differentiae locum tenet. Similiter, quaternarius binarium in se claudit et, cum hoc, binarium qui inter illos differentiae locum gerit. Similiter, in triplis, trinarius continet unitatem ad quam triplus est et, cum hoc, binarium qui ipsorum est differentia. Et idem modus servatur in aliis duplicitatis speciebus, similiter et in superparticularitatis et superpartientium terminis. In hac igitur [185] proprietate sic est ut maior terminus terminum, cui comparatur, totum contineat et, cum hoc, differentiam qua differt ab illo; et hoc generale est in speciebus omnibus maioris minorisque inaequalitatis quantum ad medietatem hanc.

Sed habent proprietatem specialiter quantum ad terminos multiplices. Boethius sic dearticulat et dilatat: In duplicibus, maior terminus a minore termino sibi comparato differt illo minore termino per se sumpto. Patet hic inter binarium et unitatem, inter quaternarium et binarium, sic de aliis. In triplicibus autem maior numerus a minore differt termino ipso minore duplicato; patet hoc inter novem et tria, inter tria et unitatem; in quadruplis, ipso termino minore triplicato; in quintuplis, ipso minore termino quadruplicato, et sic de ceteris multiplicatis speciebus. Ratio autem horum est. Nam duplex minorem cui comparatur bis praecise continet, triplex ter, quadruplex quater, sic de aliis, et de his subduntur exempla quantum ad duplos, triplos et quadruplos:

[CSMIII/1:185; text: Differentiae duplices, 32, 64, 128, Termini dupli, 256, Differentiae triplae, 486, 1458,Termini tripli, 243, 729, 2187, Differentiae quadruplae, 3, 12, 48, Termini quadrupli: 1, 4, 16, 64] [JACSP1B 03GF]

Tertia huius medietatis proprietas est ut, positis tribus terminis, quoad medietatem continuam, qualis est summa proveniens ex multiplicatione terminorum extremorum inter se, talis est summa nascens ex multiplicatione medii termini per se ipsum. Sint enim hi termini: 2 4 8. Illud quod fit ex bis octo, scilicet 16, idem fit ex quater quattuor. Vel, quoad triplam proportionem, hi termini: 2 6 18; quod fit ex bis decem et octo, [186] scilicet 36, idem fit ex sexies sex. Vel, in superparticularibus, sint hi termini: 4 6 9; quod fit ex quater novem planum est idem fieri ex sexies sex. Et, in superpartientibus, sint hi termini: 9 15 25; quod fit ex novies 25 idest 225, idem fit ex decies quinquies <quindecim>. Si vero fuerit haec medietas disiuncta in quattuor scilicet terminis, tunc summa proveniens ex ductu extremorum terminorum inter se, | [P2, 38r in marg.] aequatur summae <provenienti> ex multiplicatione mediorum terminorum inter se. Sint enim hi termini: 2 4 8 16. Illud enim quod provenit ex bis sexdecim, scilicet 32, provenit etiam ex quater octo. Horum autem, ut dicit Boethius, exemplar nobis maximum et certissimum fit ubi ex aequalitate diximus inaequalitatis species nasci. Ibi enim, tam in multiplicibus, in superparticularibus et ceteris cunctis speciebus, geometrica proportionalitas custoditur.

Notandum quod haec proprietas non est proprie propria isti medietati, quia non competit omni. Item haec proprietas pluribus speciebus competit continuae medietatis quam disiunctae, licet non competat omnibus. Paterent ista <ei> qui <ipsam> examinaret in omnibus speciebus maioris minorisque inaequalitatis et maxime in superpartientibus et, adhuc amplius, in compositis inaequitatum terminis, ut in multiplicibus superparticularibus et multiplicibus superpartientibus.

Quarta huius medietatis proprietas iam tacta est. Haec enim est quae, in maioribus vel in minoribus terminis, aequales semper requirit proportiones. Haec proprietas multum est notabilis et huic soli et omni atque semper inest medietati propter quam proprietatem, ut est dictum, haec sola vel <maxime> proportionalitas nuncupatur. Quod autem haec proprietas soli isti competat medietati, patet aliarum medietatum cernenti qualitates; quod etiam competat omni per sufficientes liquet inductiones. [187] Apparet autem, secundum Boethium, haec proprietas in ipsis binis aequalibus proportionibus superparticularibus ipsis numeris altera parte longioribus quadratisque alternatim ab unitate dispositis, prout subiecta monstrat descriptio:

| [P1, 29v in marg.] Tetragonus in potentia   I
                     Parte altera longior    II  dupla
                     Tetragonus in actu    IIII  dupla
                     Parte altera longior    VI  sesqualtera
                     Tetragonus              IX  sesqualtera
                     Parte altera longior   XII  sesquitertia
                     Tetragonus             XVI  sesquitertia
                     Parte altera longior    XX  sesquiquarta
                     Tetragonus             XXV  sesquiquarta
                     Parte altera longior   XXX  sesquiquinta
                     Tetragonus           XXXVI  sesquiquinta
                     Parte altera longior  XLII  sesquisexta
                     Tetragonus            XLIX  sesquisexta

Est autem advertendum, secundum Boethium, quod haec medietas multum valet ad intellectum disputationis cuiusdam, quam ponit Plato in Timaeo ubi de planis et cubis numerus facit mentionem, eos ad invicem comparando, quantum ad medietates quae inter illos possunt reperiri. Quare notandum est quod numerus planus est qui ad modum superficiei se habet, duas habens dimensiones sive extremitates; cubus vero vel solidus numerus tres habet dimensiones ad modum corporis. Quantum autem ad numeros planos, sufficiat nunc loqui de tetragonis.

Est autem tetragonus, ut prius tactum est, quadratus aequilaterus surgens ex ductu alicuius numeri in se ipsum semel, unde quaternarius est primus tetragonus in actu; surgit enim ex ductu binarii in se ipsum semel nam, bis duo, quattuor sunt. Novenarius vero est secundus tetragonus in actu surgens ex ductu ternarii in se ipsum, nam, ter tria, IX sunt, nec potest inter illos alius cadere tetragonus; unde consequenter se habent. Tertius vero tetragonus sunt XVI, sic de aliis.

[188] Numerus | [P2, 38v in marg.] autem solidus, sive cubus, est ille qui surgit ex ductu alicuius numeri in se ipsum bis, ut bis duo bis, vel in suum quadratum semel, ut octonarius qui surgit ex ductu binarii in se ipsum bis, ut bis duo bis, vel in suum quadratum semel, ut bis quattuor, octo sunt. Secundus vero numerus cubus sunt XXVII; hic cubus surgit ex ductu trinarii in se ipsum bis vel semel in suum quadratum, nam ter tria ter, vel ter novem, sunt XXVII, et hi duo cubi consequenter ad invicem se habent, ut inter illos nullus alius cadere possit, sicut nec inter radices ipsorum quae sunt duo et tria.

Sed propter quid haec diximus declaremus. Inter duos tetragonos consequenter se habentes, ut sunt IIII et IX, cadit unus solus terminus medius, scilicet senarius. Ratione eius possit, inter illos duos tetragonos, medietas ferri geometrica sic: "Sicut se habent IX ad VI, sic VI ad IIII". Utrobique enim eadem est proportio, idest sesqualtera, nec potest, inter extremos illos terminos, alius medius inveniri terminus, secundum quem, inter illos, haec salvari possit medietas. Ideo, inter illos, disiuncta medietas locum non obtinet propter quod Boethius, de talibus numeris, dicit vocabilior quod una tantum medietate geometrica continuantur, quia alia in qua iungantur nequit reperiri sed, quantum ad medietatem arithmeticam, multa cadunt ibi media, sed, inter duos cubos consequenter se habentes, duo cadunt termini sive duae medietates, secundum quos vel quas medietas geometrica formalis est, ut, inter VIII et XXVIII, mediant hi termini XII et XVIII; ratione quorum sic dicere possumus: "Sic se habent XXVII ad XVIII, sic XVIII ad XII et XII ad VIII". Utrobique enim est aequalis proportio, scilicet sesqualtera, et cum sint ibi IIII termini, habere potest ibi locum medietas disiuncta. Et est ibi advertendum quod medietas, quae est iuxta octonarium, scilicet XII, surgit ex duorum illorum cuborum radicibus, sic bis duo ter, et sic duo latera habet, ex radice octonarii unum, et reliquum ex radice XXVII. Similiter XVIII, medietas [189] secunda, duo latera capit, unum de radice sequentis cubi, scilicet XXVII, et unum mutuat ex priore cubo, nam ter tria bis sunt XVIII. Est autem generaliter verum, quod, ubi cubus cubum multiplicat, cubus inde provenit; nam octies XXVIII sunt CCXVI qui est cubus et eius radix senarius; sexies enim sex sexies sunt CCXVI. Similiter, ubi tetragonus in tetragonum ducitur, nascitur inde tetragonus; quater enim IX faciunt XXXVI qui est tetragonus, nam sexies sex XXXVI sunt. Multa alia de his possent dici quae obdimitto.

Geometrica medietas qualiter ab aequalitate procreetur visum prius est. Ubi enim ostenditur omnem inaequalitatem ab aequalitate generari, termini tres qui producuntur, secundum quamcumque inaequalitatis speciem, hanc servat medietatem, quia, qualis est proportio maioris producti termini ad medium, talis est illius medii ad minorem extremum; non est autem inter terminos illos aequalitas differentiarum.

Sed iam ad harmonicam medietatem descendamus.

Capitulum LXVII.

Quid sit harmonica medietas.

Harmonica seu musica medietas est quae tales tres requirit terminos ut, quemadmodum maior se habet ad minorem, sic differentia maioris ad terminum medium se habet ad differentiam medii termini ad terminum minimum, ut in his patet terminis: 3 4 6, si sic dicatur: "Sicut se habent sex ad tria, sic differentia senarii ad quaternarium, cuius modi est dualitas, se habet ad differentiam quae est inter quaternarium et trinarium, cuius modi est unitas". Utrobique enim proportio dupla est. [190] Similiter exemplum poni posset in quo inter extremos terminos proportio esset tripla, ut sint hi: 2 3 6, si enim sic dicatur: "Sicut se habent sex ad duo, sic differentia qua differt senarius a trinario, scilicet trinarius, se habet ad differentiam qua differt trinarius a binario, quae est unitas". Utrobique enim tripla est proportio. Haec autem amplius in subiectis patent exemplis:

[P2, 39r in marg.] [CSMIII/1:190; text: differentia duplae, I, II, III, IIII, VI, termini dupli, differentia triplae, termini tripli] [JACSP1B 04GF]

| [P1, 30r in marg.] Vocatur autem tacta medietas harmonica, secundum Boethium, primo, quia plures requirit comparationes quam [191] praedictae. Comparat enim terminos terminis et differentias differentiis, ut in exemplis patet praedictis; consonantiae autem harmonicae in proportionibus sunt numerorum ad aliquid. Secundo, quia omnes fere musicarum consonantiarum, quas symphonias nominant, proportiones in hac paene sola medietate frequentius inveniuntur. Hic enim diatessaron quae, secundum Antiquos, est princeps consonantiarum inter eas vim obtinens elementi, reperitur, hic diapente, hic diapason, hic diapente cum diapason, hic bis diapason quae, secundum Veteres, maxima symphonia vocabatur, de quibus infra uberior nobis restat sermo.

Haec tamen, quae de eis hic diximus, breviter declaremus. Disponantur igitur harmonicae medietatis termini quorum extremi sint dupli sic: 3 4 6. Rursus alia huius medietatis ponatur dispositio cuius extremi tripli sint, et sint haec: 2 3 6. In his igitur exemplis, si volumus comparare, non solum terminos terminis, et differentias differentiis, sed etiam differentias terminis, omnium dictarum symphoniarum reperiemus proportiones. Sed oportet hic supponere, quod infra probabitur, in qua scilicet proportione dictae consistant consonantiae, quia diatessaron in sesquitertia, diapente in sesqualtera, diapason in dupla, diapente cum diapason in tripla, bis diapason in quadrupla.

Dicendum igitur quod, in praedicta dispositione in qua extremi termini sunt dupli inter medium terminum, scilicet quaternarium, et minorem, scilicet trinarium, sesquitertia proportio est in qua fundatur diatessaron. In dispositione autem alia in qua extremi termini sunt tripli inter differentiam maioris ad minimum, quae est 4, et differentiam illius maioris ad medium terminum, quae est 3, sesquitertia proportio est, et consimilis proportio est inter differentiam extremorum terminorum triplorum [192] et differentiam extremorum terminorum duplorum. Et haec amplius in subiectis patent figuris:

[CSMIII/1:192,1; text: diatessaron, 2, 3, 4, 6, differentia] [JACSP1B 05GF]

Item, in tactis harmonicae medietatis exemplis, diapente proportio, quae est sesqualtera, reperitur, nam, ubi termini extremi sunt duplices, maioris ad medium est sesqualtera proportio, scilicet senarii ad quaternarium et differentiae terminorum illorum extremorum ad differentiam maioris termini ad medium, idest ternarii ad binarium. Ubi vero termini extremi sunt triplices, medius ad minimum extremum sesqualteram servat proportionem, scilicet trinarius ad binarium, et, consimili modo, | [P2, 39v in marg.] differentia maioris termini ad medium se habet ad parvissimum extremum, et ibi potest attendi etiam unisoni proportio, qui in quadam consistit aequalitate, nam inter differentiam maioris termini ad medium et medium illum terminum aequalitas est. Utrobique enim trinarius est. Sed haec magis patet in exemplis subpositis:

[CSMIII/1:192,2; text: differentia, III, II, diapente, 3, 4, 6, III, unisonus, 2] [JACSP1B 05GF]

[193] Item, in positis exemplis, ipsius diapason symphoniae apparere potest proportio, quae est dupla. Hoc enim est inter extremos terminos exempli primi et inter medium terminum ipsius ad differentiam maioris ad ipsum; in secundo vero exemplo, inter maiorem terminum et medium, et inter differentiam extremorum ad minimum extremum, ut ostendit sequens descriptio:

[CSMIII/1:193,1; text: diapason, differentia, II, III, IIII, VI] [JACSP1B 06GF]

Item, in positis exemplis, triplam, in qua consistit diapente cum diapason, possumus invenire proportionem, quantum ad extremos duplices, inter maiorem terminum et differentiam ipsius ad medium, et inter minorem terminum et differentiam ipsius ad medium terminum, scilicet inter trinarium et unitatem; quantum vero ad secundum exemplum, inter extremos terminos, scilicet senarium et binarium, et inter medium terminum et differentiam ipsius ad minimum extremum, ut hic patet:

[CSMIII/1:193,2; text: differentia, diapente cum diapason, I, II, III, IIII, VI] [JACSP1B 06GF]

[194] Adhuc, in saepe positis musicae medietatis terminis ipsius consonantiae quae bis diapason nuncupatur, reperiri potest proportio quadrupla, scilicet vel bis dupla, nam extremorum terminorum duplicis proportionis medius terminus quadruplus est ad differentiam illius medii termini ad terminum minorem, quia quaternarius quadruplus est ad unitatem; quantum vero ad terminos extremos triplae proportionis, differentia extremorum illorum triplorum, quae est quatrinarius, in bis dupla proportione se habet ad unitatem, qua differt minor terminorum illorum a medio, ut ostendit haec figura:

[CSMIII/1:194; text: II, III, IIII, VI, bis diapason, differentia] [JACSP1B 07GF]

| [P2, 40r in marg.] Iam igitur patet qualiter quinque musicales consonantiae, scilicet diatessaron, diapente, diapason, diapente cum diapason et bis diapason, quantum ad suas proportiones, locum habent in harmonica medietate. Non fit | [P1, 30v in marg.] autem hic mentio de tono, vel quia ipsius proportio quae est sesquioctava non bene poterit in positis terminis reperiri, vel quia non ponebatur antiquitus in numero consonantiarum, sed pars earum dicebatur, cum diatessaron princeps vel prima consonantiarum vocabatur, et bis diapason maxima et ultima. Infra tamen ponentur termini ubi de tono et eius proportione mentio fiet. Si autem, tactis tribus ultimis terminis, quartum terminum iungere vellemus ut essent hi quattuor: 2 3 6 8, omnes quinque dictarum consonantiarum proportiones reperire possemus, etiam non comparando differentias differentiis, vel differentias terminis, sed solum terminos terminis conferendo. [195] Ibi enim, inter duos terminos maiores, scilicet inter 8 et 6, sesquitertia proportio est in qua diatessaron fundatur et, inter duos minores, scilicet inter 3 et 2, diapente; inter duos terminos medios, scilicet inter 6 et 3, dupla est proportio, in qua diapason; inter senarium et binarium tripla patet proportio in qua diapente cum diapason, sed inter duos extremos terminos quadrupla manet proportio, scilicet inter 8 et 2, <in qua bis diapason>, ut apparet hic:

[CSMIII/1:195; text: bis diapason-proportio quadrupla, diapente cum diapason-proportio tripla, diatessaron-proportio sesquitertia, diapason-proportio dupla, diapente-proportio sesqualtera, VIII, VI, III, II,] [JACSP1B 07GF]

Item, tertio, vocant aliqui medietatem, de qua nunc prosequimur, harmonicam quia cognata est geometricae harmoniae. Harmoniam autem geometricam cubum dicunt. Omnis autem cubus habet latera XII, angulos VIII, superficies VI. Haec autem terminorum dispositio harmonicae medietatis est. Etsi non esset alia huius dicti declaratio quam illud quod prius dictum est inter alias numerorum ad aliquid proprietates, scilicet quod "qualis est proportio inter aliquos terminos, talis est proportio inter summas provenientes ex terminorum illorum duplicatione", posset sufficere. Manifestum est autem ex dictis quod, inter sequentes terminos, scilicet 3 4 6, medietas harmonica locum habet. Et ex illis autem terminis, si duplentur, hi proveniunt termini, scilicet 6 8 12. Bis enim III, VI sunt, bis IIII, VIII, bis VI, XII. Sed specialius per haec [196] quae iam de hac dicta sunt medietate et quae dicenda sunt de eadem, quod inter dictos terminos harmonica sit medietas, patet; sicut enim maior terminorum illorum, scilicet XII, se habet ad minimum, scilicet ad sex, sic differentia maioris ad medium, cuius modi est quaternarius, se habet ad differentiam medii termini ad minorem extremum cuius modi differentia est binarius. Utrobique enim dupla proportio est duodenarii, scilicet ad senarium, et quaternarii ad binarium. Adhuc illis terminis competunt proprietates harmonicae medietatis de quibus infra dicemus. Haec igitur medietas, ut ex dictis patet, proportionem quaerit, non in terminis solum, verum etiam in differentiis, et, in hoc etiam, convenit aliqualiter cum aliis medietatibus: cum arithmetica, quia differentias aspicit; cum geometrica, quia proportiones speculatur; et distinguitur ab illis: ab arithmetica quae aequalitatem requirit differentiarum, aequalitate spreta | [P2, 40v in marg.] proportionum; a geometrica quae sic proportionem inspicit in terminis, quod proportionem differentiarum negligit. Ideo dicit Boethius quod arithmetica medietas dividit quantitates per aequas differentias; geometrica vero terminos aequa proportione coniungit, relicta aequali differentia eorundem; harmonica vero, ad aliquid quodammodo relata consideratione, nec solum in terminis, speculationem proportionis habet neque solum in differentiis, sed communiter in utrisque. Item arithmetica medietas in suis differentiis aequalitatem aspicit quantitatis, non proportionis. Harmonica vero in differentiis, spreta aequalitate quantitatis, aequalitatem considerat proportionis. Geometrica autem medietas sic aequalitatem proportionum in terminis suis attendit, quod tamen proportionem extremorum, ut inter se conferuntur, non advertit; comparat enim terminum extremum ad medium et illud medium ad extremum aliud; si aequalitatem inveniat proportionis, hoc acceptat; si non, hoc respuit, quia talis medietas sibi non convenit. Harmonica vero medietas extremos terminos invicem sic comparat, quod non medium ad extrema.

[197] Sed forte quaeretur: "Unde ergo requirit haec medietas terminos tres, ex quo, secundum eam, medius terminus ad extrema minime comparetur?". Dicendum quod, in medietate harmonica, tres termini necesse requiruntur, primo, quia, aliter, esset ibi una sola proportio simplex et non medietas; secundo, quia hac in medietate extrema non solum conferuntur ad invicem, sed similiter et differentiae. Plures autem differentiae necesse plures requirunt terminos quam duos. Item comparat medietas hoc medium cum extremis, intuendo hic et inde differentiam. Notabilis et subtilis est haec medietas quae inaequalitatem differentiarum ad aequalitatem reducit proportionum, et proportionem, quam aspicit in differentiis, ad aequalitatem reducit proportionis quam intuetur in terminis. Et bonus musicus sic facere debet de suis consonantiis, ut sciat reducere eas ad debitas proportiones, non solum inspiciendo ad extrema consonantiarum, sed ad intermedia quorum habitudines aliqualiter differentiis possunt adaptari. Haec medietas in solis tribus terminis locum habet primis. Si vero cum illis termini numerentur differentiarum, sic quattuor vel quinque requiret terminos, nec tenere videtur nisi in solis terminis multiplicibus, non in omnibus, sed in duplicibus et triplicibus in quibus prius exemplificatum est.

Capitulum LXVIII.

Harmonicae medietatis proprietates.

Est autem huic armonicae medietati proprium ut, in minoribus suis terminis, minor sit proportio et, in maioribus, maior. Sunt enim huius medietatis hi termini: 3 4 6. Maior est proportio inter 6 et 4 quam inter 4 et 3 ; prima enim est sesqualtera, secunda sesquitertia. Maius est enim aliquod totum in parte sua media superare quam in tertia. Idem reperitur in aliis terminis quorum extremi sunt triplices et sint hi: 2 3 6. Maior est proportio [198] senarii ad trinarium quam trinarii ad binarium. Prima enim | [P1, 31r in marg.] est dupla, secunda sesqualtera. Pars autem media alicuius totius vel pars quaecumque alia minor est toto illo. Omne enim totum maius est sua parte. Contrariatur in hoc proprietas haec arithmeticae medietati in qua, in minoribus terminis, maior, et, in maioribus, minor invenitur proportio, ut in his patet terminis: 2 3 4. Maior enim est proportio inter 3 et 2, qui minores sunt termini, quam inter 4 et 3 qui maiores. Prima enim est sesqualtera, secunda sesquitertia, et, cum pars alicuius media maior fit parte illius tertia, ut ipsius senarii ternarius quam binarius, erit sesqualtera proportio maior sesquitertia, et patet hoc expressius in proportione duodenarii ad octo, quae est sesqualtera, et duodenarii ad novem, quae est sesquitertia. Item praedictam proprietatem medietas haec distinguit a geometrica medietate in qua, et in maioribus, et in minoribus terminis, aequa proportio custoditur, ut in sequentibus patet terminis: 2 4 8 16. Maiores enim sunt termini 16 et 8 quam 4 et 2, et tamen, inter primos et secundos, eadem est proportio, quia utrobique dupla proportio est. Et nonne convenientius est ut, in maioribus terminis, maior sit proportio et, in minoribus, minor quam quod e converso, vel quod, in his et illis, aequalis sit proportio, cum, ceteris paribus, in maiore quantitate | [P2, 41r in marg.] maior sit virtus et in minore minor? Sic haec medietas omnia videtur reducere ad rationabilem aequitatis libram, in maioribus terminis maiores observans proportiones, et in minoribus minores.

Secunda harmonicae medietatis proprietas haec est quia in ea medius terminus non in eadem parte sui minorem terminum vincit qua parte vincitur a maiore, sed eadem parte minoris minorem superat qua parte maioris a maiore superatur. Haec sic patent: Disponantur huius medietatis termini sic: 2 3 6. In hac dispositione, medius terminus, scilicet trinarius, minorem terminum, scilicet binarium, vincit in unitate quae est tertia pars trinarii. Maior autem terminus, scilicet senarius, non vincit [199] illum medium terminum, scilicet trinarium, in tertia parte ipsius senarii, sed eadem parte ipsius binarii quae est minor terminus, qua scilicet parte ipsum binarium trinarius superat, idest in media parte ipsius binarii quae est unitas. In eadem parte ipsius senarii ipse senarius trinarium superat, scilicet in trinario qui media pars est senarii, sicut unitas media pars est binarii.

Non sic autem est in aliis praedictis medietatibus. In arithmetica enim medietate, medius terminus in eadem parte, absolute loquendo, qua minorem superat, et a maiore superatur; sed non eadem parte ipsius minoris minor a medio superatur qua parte ipsius medii medius a maiore vincitur. Statuantur hi termini medietatis arithmeticae: 2 3 4. Sicut trinarius, qui est medius terminus, in hac parte, quae est unitas, superat binarium, qui est minor terminus, sic in unitate trinarius a quaternario superatur, sed unitas media pars est binarii, ipsa vero tertia pars est trinarii et quarta quaternarii, et, ideo, non eadem parte ipsius minoris, qua ipse minor vincitur a medio, vincitur ipse medius a maiore. In geometrica vero medietate, neque eisdem suis partibus medius terminus vel vincit minorem, vel a <maiore> vincitur, neque eadem parte vel minoris minorem superat, vel maioris a maiore relinquitur, sed qua parte sua medius terminus minorem superat, eadem parte sua maior terminus <medium> vincit, quod est ut medietas atque extremitas aequalibus medietatem et extremitatem reliquam suis partibus supervadant: haec sunt Boethii verba posita in secundo libro Arithmeticae. Ad quorum intellectum medietatis geometricae termini disponantur sic: 4 6 9. Horum igitur medius terminus neque eisdem suis partibus, absolute loquendo, vincit minorem, scilicet quaternarium, et vincitur a maiore, idest a novenario, quia senarius quaternarium in binario vincit; vincitur autem in trinario a maiore termino, scilicet a novenario, et ponit quasi conversam proportionem cum dicit: neque eadem vel minoris minorem superat, et cetera, et quasi in idem redit. [200] Minor enim superatur a medio in binario, medius vero superatur a maiore non in binario sed in trinario; sed, qua parte sua medius terminus, scilicet senarius, minorem idest quaternarium, superat, eadem parte sua maior terminus, idest novenarius, superat medium terminum, idest senarium. Vincit enim senarius quaternarium in tertia sui parte, quia in binario, qui tertia pars est senarii, similiter novenarius superat senarium in tertia parte sui, idest in trinario, quia tertia pars est novenarii. Et, e converso, qua parte minoris minor a medio vincitur, eadem parte medii ipse medius a maiore superatur. Et sic medietas, sive medius terminus, aequa parte sui supervadit, vel superat extremitatem minorem qua parte sui maior extremitas medium superat terminum.

Haec harmonicae medietatis proprietas subtilis est et pulchra.

Restat autem una alia pulchra, non autem ad exponendum eam ita taediosa, quae talis est: si duas extremitates huius medietatis in unum redactas medius terminus multiplicavit, dupla quantitas inde colligitur quam si inter se duae extremitates se multiplicent. Sint enim hi termini: 3 4 6. Iungantur extremitates, idest trinarius cum senario, et sunt 9. Multiplicetur novenarius quaternario qui medius terminus est dicendo: "Quater novem", et sunt 36; deinde una extremitatum aliam multiplicet dicendo: "Ter sex", vel e converso, et sunt 18. Planum est autem numerum, qui est 36, duplum esse ad 18. Eodem | [P2, 41v in marg.] modo esset in quocumque alio huius medietatis exemplo. Unde probemus hoc, ubi termini extremi sunt triplices. Et fiat de hoc talis descriptio:

[CSMIII/1:200; text: XII, XXIIII, VIII, II, III, VI] [JACSP1B 08GF]

[201] Capitulum LXIX.

Harmonicae medietatis ab aequalitate productio.

Medietas harmonica ab aequalitate sic nascitur: Disponantur tres termini aequi sic: I I I. Ponatur inferius, in latere sinistro, terminus aequus primo ac duobus secundis, et ille est trinarius, quia includit in se tres unitates. Deinde inferius | [P1, 31v in marg.] ponitur terminus aequus duobus primis superioribus et duobus secundis, hoc est quaternarius qui claudit in se duas et duas unitates, hoc est quattuor, et sic ordinentur: III IV. Deinde consequeninferius ponatur terminus aequus primo et duobus secundis, sive secundo duplicato, et tribus tertiis, hoc est tertio triplicato, et ille est senarius qui sex in se claudit unitates. Hi igitur erunt termini ab aequalitate procreati : III IV VI. Ubi igitur, in talis medietatis ab aequalitate procreatione, unitas aequalitatem tenet, primus terminus inferior est trinarius per regulam tactam, secundus quaternarius, tertius senarius. Quod si binarius aequalitatem teneat, primus terminus inferior est VI, secundus VIII, tertius XII. Quod si trinarius, primus terminus inferior est IX, secundus XII, tertius XVIII, ut subiecta monstrat descriptio:

I   I    I
III IIII VI
II II   II
VI VIII XII
III III   III
IX  XII   XVIII

Est autem inter extremos terminos positorum exemplorum dupla proportio. Quod si facienda est in extremitatibus, tripla proportio, tribus aequis terminis constitutis, primus quidem faciendus est ex primo ac secundo, secundus [202] vero ex primo ac duobus secundis, tertius autem ex primo duobus secundis ac tribus tertiis, ut hic patet:

I   I    I
II  III  VI
II   II II
IIII VI XII
III III   III
IX  IX    XVIII

Capitulum LXX.

De septem posterioribus medietatibus.

Praeter praedictas tres medietates, sunt septem aliae quas posteriores addiderunt ut in numero essent denario qui placitus fuit Pythagorae, et perfectum eum reputabat, nam, post denarium, terminorum naturalium praecedentium quaedam fit repetitio, et, cum denario, compositio, cum dicitur: "undecim", idest unum et decem; "duodecim", idest duo et decem; sic de aliis. Unde species maioris inaequalitatis una cum speciebus minoris inaequalitatis in denario repositae sunt numero, quia quinque sunt ex una parte et quinque sunt ex alia. In quo etiam numero Aristoteles sumit praedicamenta quae, ut ferunt, antea Archytas Pythagoricus invenerat.

| [P2, 42r in marg.] Adhuc, inter has septem medietates de quibus breviter et quasi exemplariter acturi sumus, tres sunt quae alias quattuor praecesserunt; et sic erant in numero senario qui perfectus est; deinde, illis, quattuor aliae sunt appositae, ut in numero essent denario. Non habent hae septem medietates nomina propria, ut priores, sed prima illarum vocatur quarta medietas, alia quinta, et sic consequenter. Et a tribus principalioribus ortum habent, quamvis in aliquibus illis contrarientur.

Est igitur quarta medietas, quae prima est inter has septem, in qua, tribus positis terminis, quemadmodum maximus terminus se habet ad parvissimum, sic differentia minoris termini ad medium se habet ad differentiam medii termini ad maximum terminum. Sint enim termini: [203] 3 5 6. Sicut enim se habent sex ad tria, sic duo ad unum; utrobique enim est dupla proportio. Est autem binarius differentia minoris termini ad medium; unitas vero differentia est medii termini ad maximum. Contrariatur autem haec medietas harmonicae medietati quoad comparationem differentiarum, nam, in harmonica medietate, sicut se habent extrema ad invicem, sic differentia maioris extremi ad medium se habet ad differentiam medii termini ad minimum extremum; hic autem e converso. Est autem huic medietati proprium ut summa veniens ex ductu medii termini in maximum dupla sit ad summam venientem ex ductu minoris termini in medium; quinquies enim sex sunt 30, sed ter quinque sunt quindecim.

Quinta medietas est quotiens, in tribus terminis, se habet sic differentia minoris extremi ad medium ad differentiam medii termini ad maiorem extremum, quemadmodum se habet medius terminus ad minorem terminum. Nam, in hac dispositione: 2 4 5, quemadmodum se habent quattuor ad duo, sic duo ad unitatem. Binarius autem est differentia minoris termini ad medium; unitas, medii ad maiorem extremum. Haec medietas, quantum ad aliquid, contrariatur geometricae medietati, similiter et musicae. In illis enim, quemadmodum se habent extrema ad invicem, sic differentia maioris termini ad medium habet se ad differentiam medii termini ad minimum terminum; hic vero, e converso, quantum ad comparationem differentiarum, proprium est huic medietati, ut numerus veniens ex ductu medii termini in maximum, vel e converso, dicendo: "Sit quater quinque" et sunt 20. Duplus sit ad numerum nascentem ex ductu extremorum inter se, dicendo: "Bis quinque" et sunt X.

Sexta medietas est, cum, tribus statutis terminis, sicut maior se habet ad medium, sic minoris ad medium differentia se habet ad differentiam medii ad maiorem extremum, ut in his patet terminis: 1 4 6. Nam sicut [204] senarius sesqualter est quaternario, sic trinarius, qui est differentia minoris termini ad medium, sesqualter est binario, qui est differentia inter quaternarium et senarium. Et haec medietas contraria est geometricae medietati propter differentiarum a minoribus ad maiores terminos conversam proportionem.

Septima medietas est, cum, tribus dispositis terminis, quemadmodum se habet maximus ad minimum, sic differentia maximi ad minimum ad differentiam medii ad ipsum minimum terminum, ut hic: 6 8 9. Sicut enim se habent 9 ad 6, sic trinarius, qui est differentia extremorum positorum terminorum, se habet ad binarium, qui est differentia medii positi termini ad minimum.

Octava medietas est, cum, tribus ordinatis terminis, sicut se habent extremi inter se termini, sic differentia extremorum ad differentiam maioris extremi ad medium terminum, sicut | [P1, 32r in marg.] patet hic: 6 7 9. Nam, sicut novenarius sesqualter est senario, qui sunt extremi termini, sic trinarius, qui est differentia inter extremos positos terminos, sesqualter est binario, qui differentia est inter septenarium et novenarium.

Nona medietas est quando, tribus dispositis terminis, qualis est proportio medii termini ad minimum terminum, talis est proportio differentiae extremorum ad differentiam medii ad minimum extremum, ut in sequentibus patet terminis: 4 6 7. Quemadmodum enim se habet senarius qui est medius terminus, ad quatrinarium, qui est minimus, sic se habet trinarius, qui est differentia extremorum terminorum, ad binarium, quo differt medius terminus a termino minimo. | [P2, 42v in marg.] Utrobique enim sesqualtera proportio est.

Decima et ultima medietas tunc cernitur cum, in tribus dispositis terminis, invenitur talis proportio differentiae terminorum extremorum ad differentiam maioris extremi ad medium, qualis est proportio medii termini ad parvissimum terminum, ut hic patet: 3 5 8. Quinarius enim superbipartiens est trinario, similiter differentia [205] extremorum, quia illa est quinarius; superbipartiens est enim ad differentiam maioris extremi ad medium terminum, quia illa est trinarius; et sic utrobique est comparatio quinarii ad trinarium.

Sic igitur decem habemus medietates quarum infra aliqualiter patebit sufficientia; sed hic omnis in ordine suo disponamus:

Prima    Arithmetica            1  2  3
Secunda  Geometrica             1  2  4
Tertia   Harmonica              3  4  6
Quarta   Contraria harmonicae   3  5  6
Quinta   Contraria geometricae  2  4  5
Sexta    Contraria geometricae  1  4  6
Septima  Inter quatuor prima    6  8  9
Octava   Inter quatuor secunda  6  7  9
Nona     Inter quatuor tertia   4  6  7
Decima   Inter quatuor quarta   3  5  8

Capitulum LXXI.

Medietatum ad invicem collatio.

Visum est de medietatibus divisim et absolute. Nunc, ad hoc, aliquid de eisdem videamus collative.

Conveniunt tactae medietates, quia quaelibet aliquam inter comparata requirit aequalitatem: arithmetica in differentiis tantum, geometrica in proportionibus solum, harmonica, similiter et ceterae septem, proportionem aliquorum terminorum ad aequalitatem reducit proportionis aliquorum differentiarum terminorum suorum. Est igitur in arithmetica, inter terminos, differentiarum aequalitas, proportionum vero inaequalitas; in geometrica, e converso, proportionum aequalitas et inaequalitas differentiarum, nec proportionum. Sed, in <harmonica> vero et ceteris sequentibus, [206] primo aspectu, nec est aequalitas differentiarum, nec proportionum, sed subtiliter reducunt proportionem aliquorum terminorum ad aequalem proportionem differentiarum terminorum aliquorum suorum.

Item convenit harmonica medietas et ceterae septem cum arithmetica, quia hae et illa differentias intuentur, sed arithmetica in solis differentiis aequalitatem reperire contenta est, de suoruum terminorum <proportionibus> aequalitatem non curans; et cum geometrica, quia tam geometrica quam harmonica, cum aliis septem, quandam proportionis aequalitatem satagunt invenire, sed illa in terminis tantummodo suis, aliae in terminis et differentiis.

Comparantur autem tres primae et principalissimae medietates diversis rerum publicarum statibus vel regiminibus. Arithmetica enim comparatur regimini rei publicae, quod fit a paucis vel per paucos, eo quod in minoribus eius terminis maior sit proportio. Geometrica vero aptatur regimini populari, quod scilicet fit per communitatem, quia tam in maioribus quam in minoribus aequalitatem requirit proportionis suis in terminis, sicut in regimine plebeio inter omnes paritas quaedam et aequum ius observatur. Harmonica vero medietas adaptatur regimini optimatum vel maiorum, eo quod in maioribus terminis in ea maior observatur proportio.

Adhuc conveniunt tres primae et principales medietates quia in tribus terminis paribus vel imparibus, medio variato, possunt reperiri. Et sufficiat hoc declarare in paribus terminis. Sumantur igitur hi duo extremi termini, scilicet X et XL. Inveniemus, inter positos extremos terminos, medietatem arithmeticam si numerus, qui est XXV, ponatur in medio ut sic disponantur: X XXV XL. Utrobique enim eadem est differentia, scilicet XV, non tamen eadem proportio et omnes proprietates arithmeticae medietatis prius tactae in tribus positis | [P2, 43r in marg.] terminis possunt reperiri, ut experiri potest qui diligenter ad memoriam eas satagit revocare. Item si, inter X et XL, numerus, qui est XX, ponatur in medio, ut sic ordinentur: X XX XL, geometrica medietas formari poterit [207] sic: "Sicut se habent XL ad XX, sic XX ad X". Utrobique enim est eadem proportio, scilicet dupla. Non autem eadem differentia et proprietates geometricae medietatis possunt ibi reperiri. Item si, inter X et XL, numerus, qui est XVI, ordinetur sic X XVI XL, harmonica medietas reperietur, si dicatur sic: "Sicut se habent XL ad X, sic se habet differentia ipsorum XL ad XVI, quae est XXIIII, ad differentiam ipsorum XVI ad X, quae est senarius". Utrobique enim, et quadrupla proportio, scilicet ipsorum XL ad X et | [P1, 32v in marg.] XXIIII ad VI, et ibi omnes proprietates harmonicae medietatis valent reperiri. Et de his tribus simul supponitur descriptio:

[CSMIII/1:207; text: arithmetica, medietas, differentia, 6, 15, geometrica, 24, armonica, 25, 40, 20, 10, 16] [JACSP1B 08GF]

Convenit autem harmonica medietas cum aliis septem medietatibus, quia in omnibus illis est comparatio non solum terminorum aliquorum ad invicem, quin etiam! et differentiarum, licet differentur, ut patebit. Sic igitur medietatum penes ipsarum convenientiam aliqualis patet collatio.

Qualiter autem differant, ex prius dictis satis liquet, et statim apparebit.

[208] Capitulum LXXII.

Medietatum sufficientia.

Quamvis medietates, ut est tactum, in numerum redactae sunt denarium, quia numerus ille, propter suam perfectionem, Pythagorae complacuit, posset tamen aliqualiter ex dictis elici ratio ex ipsarum distinctione, quare in tali sint numero, et ibi ipsarum declarari (prout haec requirit et patitur materia) quidam sufficientiae earum modus, non quin aliae illis possunt addi medietates, sed, quae positae sunt, non coincidunt, sed convenienter ab invicem distinguuntur.

Omnis enim medietas ad minus tres requirit terminos duasque comparationes circa quas quandam attendit aequalitatem.

Aut igitur illam aequalitatem attendit in terminorum suorum differentiis tantum; sic est arithmetica medietas, ut ostendunt hi termini: 2 3 4. Aut illam attendit in terminorum suorum proportionibus solum; sic est medietas geometrica. Patet hoc in his terminis: 2 4 8. Aut in utrisque, in terminis scilicet et differentiis, et hoc multipliciter, quia, aut attendit aequalitatem proportionis inter habitudinem terminorum extremorum suorum ad differentiarum habitudinem; aut inter habitudinem termini medii ad alterum extremorum ad habitudinem differentiarum.

Si primo modo, hoc est quadrupliciter, quia aut requirit et attendit aequalitatem proportionis inter habitudinem terminorum extremorum ad habitudinem differentiae maioris termini ad medium et illius medii ad minimum terminum, et sic est harmonica medietas ut in his patet terminis: 2 3 6. Aut attendit aequalitatem proportionis terminorum extremorum ad habitudinem differentiae parvissimi termini ad medium et illius medii ad maximum terminum, et sic est quarta medietas quae harmonicae dicitur opponi, et patet in his terminis: 3 5 6. [209] Aut attendit aequalitatem proportionis terminorum extremorum ad proportionem quae est inter differentiam terminorum illorum extremorum et differentiam medii termini ad terminum minimum, et sic est septima | [P2, 43v in marg.] medietas, secundum ordinem prius positum, hos habens terminos: 6 8 9. Aut attendit aequalitatem proportionis terminorum extremorum suorum ad proportionem differentiae terminorum extremorum ad differentiam medii termini ad maximum terminum; sic est octava medietas, quantum ad ordinem prius tactum, et habet hos terminos: 6 7 9.

Si vero attendatur proportionis aequalitas termini medii ad alterum extremorum ad proportionem differentiarum, hoc etiam est quadrupliciter. Aut enim attenditur et observatur aequalitatis proportio medii termini ad minimum terminum ad proportionem differentiae minimi termini ad medium terminum et illius termini medii ad maximum terminum, et sic est quinta medietas secundum ordinem prius positum, quae dicitur adversari medietati geometricae, et patet in his terminis: 2 4 5. Aut attenditur proportionis aequalitas habitudinis medii termini ad maiorem terminum, vel e converso, ad habitudinem differentiae minimi termini ad medium, ad differentiam illius medii termini ad terminum maximum, et sic est sexta medietas iuxta prius ordinem habitum. Hanc ostendunt hi termini: 1 4 6. Aut attenditur proportionis aequalitas habitudinis medii termini ad terminum minimum, ad habitudinem differentiae terminorum extremorum ad differentiam medii termini ad terminum minimum, et sic est nona medietas secundum in priorem descriptum ordinem, ut patet in his terminis: 4 6 7. Aut attenditur proportionis aequalitas habitudinis medii termini ad terminum minimum, ad habitudinem, vel proportionem, differentiae extremorum terminorum ad differentiam maioris extremi ad terminum medium, et sic est decima medietas quae patet in his terminis: 3 5 8.

[210] Alia vel aliae harum medietatum sufficientia et distinctio dari possent, sed haec, causa brevitatis, sufficiat. Et multa alia et pulchra de his medietatibus dici possent, quae dimitto.

De permutata proportione vel proportionalitate dicamus aliquid.

Capitulum LXXIII.

De permutata proportionalitate.

Dictum est prius de proportione simplici et de proportione composita, idest de proportionalitate, non quacumque, sed directa. Nunc autem de permutata prosequamur.

Est autem permutata vel transmutata proportionalitas cum, propositis quattuor terminis et comparatis duobus primis inter se, similiter et duobus ultimis, quantum ad directam medietatem, iterum comparatur primus ad tertium et secundus ad quartum, vel e converso, ut, positis his quattuor terminis: 2 4 8 16, dicamus sic: "Sicut se habent duo ad quattuor, sic octo ad sedecim". Ergo permutatim: "Sicut se habent duo ad octo, sic quattuor ad sedecim".

Est hic permutata seu commutata proportio vel proportionalitas. Permutantur enim hic proportiones; similiter, medietas, quae primo erat directa, fit postea permutata. Sicut igitur proportio quaelibet, similiter et differentia, plures requirit terminos et medietas plures proportiones, sic permutata proportio vel proportionalitas plures requirit medietates, unam scilicet directam et aliam permutatam a qua denominatur. Ideo requirit permutata proportio quattuor proportiones, sicut quattuor terminos, quia quilibet terminorum suorum bis sumitur. Ad hoc autem, ut teneat permutata proportio, oportet ut in priore et directa proportionalitate sit uniformis comparatio primi termini ad secundum et tertii ad quartum, alias non teneret, quia primae comparationes falsae essent. Tenet autem permutata proportio, non solum in terminis duplicibus in quibus exemplificatum est, sed in terminis triplicibus, quadruplicibus et quibuscumque aliis terminis multiplicibus. [211] Et in ceteris similiter speciebus maioris minorisque | [P1, 33r in marg.] inaequalitatis. In superparticulari sic: "Sicut se habent IX ad VI, sic III ad II". Ergo permutatim: "Sicut se habent IX ad III, sic VI ad II"; bene sequitur per locum a transmutata proportione. Et in superpartientibus sic: "Sicut se habent X ad VI, sic V ad III". Ergo: "Sicut se habent X ad V, sic VI ad III". In multiplici superparticulari sic: "Sicut se habent II ad V, sic IV ad X". Ergo: "Sicut se habent II ad IV, sic V ad X". Similiter, in multiplici superpartiente, sic: "Sicut se habent 3 ad 8, sic 9 ad 24". Utrobique enim est proportio submultiplicitatis superbipartientis. | [P2, 44r in marg.] Ergo permutatim: "Sicut se habent 3 ad 9, sic 8 ad 24". Utrobique est hic proportio subtripla. In hac igitur permutata proportione, sicut duae primae et directae comparationes debent esse uniformes et aequales, sic et duae secundae, sed secundae proportiones nec sunt uniformes primis, nec aequales, quia variatur terminorum comparatio. Dictum autem est supra quod distinctio terminorum comparatorum distinctionem arguit proportionum.

Tenet etiam permutata proportio non solum in medietate geometrica in qua exemplificatum est, sed in arithmetica si dicatur sic: "Sicut se habent 3 ad 4, sic 5 ad 6". Ergo permutatim: "Sicut se habent 3 ad 5, sic 4 ad 6". Utrobique enim est eadem differentia in hac conversa comparatione, scilicet dualitas, sicut, in priore et directa, unitas. Illud igitur bene sequitur inspiciendo ad medietatem arithmeticam, non autem inspiciendo ad medietatem geometricam quae aequalitatem requirit proportionum; quod igitur sequitur secundum unam illarum, non sequitur secundum aliam.

Potest autem ex dictis apparere permutatam proportionem locum habere tantum in discontinua medietate, cum quattuor requirat terminos et proportiones quattuor comparando, tam directas quam commutatas, et haec est forte ratio una quare non tenet in medietate harmonica. Item tenet permutata medietas non solum in numeris, sed in lineis, in superficiebus, in solidis quantitatibus, sive in corporibus, et in tempore. Est enim communis passio omnium illorum ut dicitur primo posteriorum. Ad hoc tenet in sonis numeratis, in musicalibus scilicet consonantiis, ut magis infra, libro secundo, patebit.

[212] Capitulum LXXIIII.

De maxima perfectaque harmonia.

Sed hic aliquid de maxima perfectaque disseramus <harmonia> de qua tractat Boethius immediate post quam de medietatibus disseruit. Et nos ita faciamus. In his et aliis libenter talem et tantum imitemur doctorem.

Etiam hic, quantum ad aliquid, locum habet transmutata proportio, de qua immediate tractavimus, ut materiae sese consequantur.

Dicit autem Boethius quod haec maxima <harmonia>, quae in tribus intervallis quattuor vero terminis constituta est, magnam vim obtinet in musici modulaminis temperamentis et in speculatione naturalium quaestionum. Cum enim, ut dictum est, in tribus consistat intervallis, perfectissimi corporis naturam substantiamque demonstrat, atque aliqualiter cubum trina dimensione crassatum representat. Haec igitur maxima perfectaque harmonia quattuor tales requirit terminos, quorum quilibet aliqualiter rationem cubi habeat et inter quos, secundum varias combinationes, tres principales medietates, arithmetica scilicet, geometrica, et musica, possint reperiri, necnon et musicales consonantiae. Sumamus igitur, gratia exempli, quattuor hos terminos: 6 8 9 12. Horum quilibet cubo et solidae quantitati potest comparari. Senarius enim nascitur ex uno bis ter, duodenarius ex bis duo ter, et hi sunt extremi termini. Horum vero intermedii, ut octonarius, nascitur ex semel duo quater, novenarius autem ex semel ter tres. Inter hos terminos arithmetica patet medietas si, dimisso octonario, duodenarius novenario comparetur. Et idem novenarius senario, ut sic dicamus: "Sicut se habent XII ad novem, sic novem ad VI". Utrobique enim est eadem differentia, scilicet ipse trinarius et summa, veniens ex unione extremorum, dupla est ipsi termino medio, ut XVIII ad IX. Si vero dicatur sic: "Sicut se habent XII [213] ad novem, sic VIII ad VI", geometrica medietas est. Utrobique enim sesquitertia proportio est. Quod si inferatur ergo: "Sicut se habent XII ad VIII, sic IX ad VI", bene sequitur per transmutatam proportionem. Est enim ibi sesqualtera proportio et ibi summa proveniens ex ductu extremorum inter se, dicendo: "duodecies sex", vel e converso, aequatur summae venienti ex ductu mediorum inter se. Sexies enim duodecim sunt LXXII; similiter octies novem sunt LXXII; quod proprium est geometricae medietati. Nec deest ibi medietas harmonica si, dimisso novenario, dicatur sic: "Sicut se habent XII ad VI, sic differentia duodenarii ad octonarium, quae est quaternarius, se habet ad differentiam ipsius octonarii ad senarium, quae est binarius". Duodenarius enim duplus est senario; similiter quaternarius binario. Qua enim parte senarii octonarius senarium vincit, idest parte tertia, eadem duodenarii parte octonarius a duodenario superatur. Quaternarius enim, quo duodenarius superat octonarium, duodenarii pars tertia est. Item si extremitates simul iungas, idest senarium | [P2, 44v in marg.] cum duodenario, numerumque inde provenientem, scilicet XVIII, per medium, quod est octo, multiplices dicendo: "Octies XVIII", numerus nascens, scilicet CXLIIII, duplus est ad numerum provenientem ex multiplicatione extremitatum inter se, nam sexies duodecim vel, e converso, duodecies sex, sunt LXXII, ad quem numerum numerus, qui est CXLIIII, duplex est. Hae sunt aliquae proprietates harmonicae medietatis.

Adhuc dicit Boethius omnes hic musicas inveniri consontias vel consonantiarum proportiones. Nam, inter XII et IX, et, inter VIII et VI, sesquitertia proportio est in qua fundatur diatessaron. Item, inter XII et VIII, et, inter IX et VI, est sesqualtera proportio quae resonat diapente symphoniam. Item, inter XII et VI, duplex proportio est in qua canitur diapason. Item, inter IX et VIII, est <epogdous>, scilicet sesquioctava proportio, in qua fundatur tonus.

Dicit autem Boethius, ubi de hac loquitur materia (et est prope finem secundi Arithmeticae), quod tonus omnium musicorum sonorum mensura communis est. Omnium enim est sonus iste parvissimus. Mensura enim rationem [214] habet minimi. Hoc autem intelligendum est de sonis qui ex tonis componuntur, ut est diatessaron, diapente et ceterae de quibus locutus est, nam diatessaron et diapente in tono distinguuntur sicut, inter sesquitertiam proportionem et sesqualteram, sola <epogdous> differentia est. Vel intelligendum est tonum omnium sonorum perfectam distantiam | [P1, 33v in marg.] dicentium inter gravem et acutum et leviter dicibilium esse parvissimum, nam minores soni sunt semitonia, in quae tonus dividitur, quam sit tonus; sed non dicunt perfectam distantiam duarum vocum, sicut tonus, nec possunt sic de levi sonari, saltem semitonium maius, et adhuc multo minor sonus est qui est comma et minus per se sonabilis. De quo dicit Boethius in Musica sua quod ipsum est minimum sonorum quod ab auditu percipi possit et distingui et ipsum est octava pars toni, sed non praecisa, ut patebit infra.

Videtur autem Boethius hic ponere tonum inter consonantias. Hoc autem supra non fecerat. Sed forsitan contra Boethium instabitur. Dicit enim, in praedictis quattuor propositis terminis, omnes musicas inveniri consonantias, et ipse non facit mentionem nisi de quattuor, etiam inter eas computando tonum, scilicet diatessaron, diapente, diapason et tonum. Ad hoc potest dici primo quod forsitan intendit ibi loqui de primis consonantiis quas Pythagoras invenit in fabrorum malleis; et illarum proportiones <erant> in quattuor malleorum ponderibus, quae pondera quattuor propositis respondebant terminis vel numeris. Nam maior illorum malleorum duodecim ponderabat uncias vel libras, ut volueris, parvissimus vero sex, unus mediorum novem, et alius octo, et sic quattuor dictas tantummodo resonabant consonantias. Vel potest dici secundo quod si, cum praedictis quattuor terminis, duo termini differentiales harmonicae medietatis iam tacti, scilicet quattuor et duo, socientur sic: XII IX VIII VI IIII II, invenientur ibidem omnes musicales consonantiae, in proportionibus numeri multiplicis vel superparticularis fundatae, de quibus solus loqui videtur Boethius, quia, in [215] proportionibus superpartientibus, vel in mixtis ex multiplici et superparticulari, vel ex multiplici et superpartiente, non videtur posuisse consonantias fundari musicales, ut magis patebit libro sequenti. Nam, praeter quattuor praedictas consonantias, diapente cum diapason reperietur ibi, si XII ad IIII et VI ad II comparentur. Est enim inter illos numeros tripla proportio in qua dicta fundatur consonantia. Nec deficiet ibi bis diapason, si VIII comparentur ad II, inter quos terminos quadrupla noscitur esse proportio, in qua bis diapason radicatur. Haec autem ut appareant magis, describamus in figura vel figuris:

[CSMIII/1:215; text: arithmetica medietas, geometrica medietas, armonica medietas, iuncti extremi dupli sunt medio qui est IX, XVIII, multiplicatio extremorum LXXII aequatur multiplicationi mediorum, multiplicatio mediorum, iunctae extremitates atque octuplatae, medietates per se multiplicatae, CXLIIII, XII, VI, VIII, differentia, III, proportio sesquitertia, diatessaron, proportio sesqualtera, diapente, differentia .IIII. pars tertia maioris, differentia .IIII. pars tertia minoris, consonantiae musicales, tripla proportio in qua diapason cum diapente, sesquitertia proportio: diatessaron, quadrupla proportio bis diapason, II, dupla proportio: diapason, sesquioctava proportio: epogdous vel tonus, sesqualtera proportio: diapente, tripla proportio in qua diapason cum diapente] [JACSP1B 09GF]

[216] | [P2, 45v in marg.] Capitulum LXXV.

Regula prima inveniendi quot et quales quis voluerit continuas proportiones superparticulares.

Iam de numeri ad aliquid speciebus, variis proprietatibus, deque proportionibus, proportionalitatibus transmutatis, medietatibus, prout visum est nobis expedire, tractavimus. Restat adhuc de proportionibus superparticularibus aliquid non inutile perscrutari: qualiter, scilicet artificialiter, sine errore, sine deceptione poterit quis plures superparticulares proportiones continuas, quotquot voluerit, reperire. Verum est quod, ex prius dictis, elici potest quaedam viae inveniendi duas tales proportiones continuas, non plures duabus. Hic autem docebitur modus reperiendi tales proportiones continuas, quotquot quis voluerit. Haec autem speculatio, secundum Boethium et Nicomachum, profunda mirandaque est proficiens, ut dicit Nicomachus, et ad Platonicam in Timaeo animae generationem et ad intervalla armonicae disciplinae. Quae enim est ars alia firmior, certior et levior inveniendi determinatas proportiones consonantiarum in aequales partes divisibilium: in duas, ut ditonus, bis diatessaron, bis diapente; in tres, ut tritonus; in quattuor, ut tetratonus, sic de consimilibus? Ideo de hac arte nos iuvare oportebit, cum proportiones dictarum consonantiarum inquiremus, de quibus Boethius loqui non videtur.

Sunt autem duae artificiales regulae inveniendi proportiones superparticulares continuas, quales et quot quis voluerit. Prima respicit ad numeros multiplices unde superparticulares oriuntur, ut supra visum est, ut sesqualteri a duplicibus, sesquitertii a triplicibus, et sic de ceteris. [217] Secunda magis videtur sumi ab intrinseco; aspicit enim ad numeros primos et radicales cuiuscumque speciei numeri superparticularis ad minimos, scilicet numeros | [P1, 34r in marg.] in quibus primo reperitur talis proportio ut, in sesqualteris, sunt trinarius et binarius, in sesquitertiis, quaternarius et trinarius, et sic de aliis.

Quantum ad primam artem, primo declaremus qualiter sesqualterae continuae proportiones possint multiplicari et quot quis voluerit reperiri. Disponantur igitur numeri duplices secundum ordinem suum immediatum et naturalem sic: 1 2 4 8 16 32, et cetera. Qui igitur hunc vult unam solam sesqualteram proportionem, primum sumat duplicem in actu, ille est binarius ad quem trinarius sesqualter, nec ulterius potest illa sesqualtera continuari proportio quia trinarius medietate caret; indivisibilis est enim in duas partes aequales, ideo subsesqualter esse non potest. Si vero duae quaerantur proportiones sesqualterae continuae, secundus duplex in actu sumatur, scilicet quaternarius; ad ipsum enim senarius sesqualter est, et, ad senarium, novenarius, ad quem nullus numerus sesqualter potest esse, quia caret medietate. Generaliter enim loquendo: nullus numerus impar potest esse subsesqualter, quia in duas partes aequales dividi non potest, et, per consequens, omnis numerus par potest esse subsesqualter. Sesqualterorum vero alii sunt pares, alii impares. Ad ipsos enim requiritur quod divisibiles sint in tres partes aequales, et hoc potest competere tam paribus quam imparibus numeris. Quod si quaerantur tres sesqualterae proportiones continuae, tertius in ordine duplorum sumatur numerus, idest octonarius, ad quem duodenarius sesqualter est, et, ad hunc, XVIII, ad quem XXVII; et ibi cessat huius proportionis continuatio, cum sit numerus impar propter causam dictam. Consimili modo, si quattuor quaerantur tales continuae proportiones, quartus sumatur numerus duplex, scilicet XVI; si quinque, quintus, scilicet XXXII; si sex, sextus, scilicet LXIIII; et sic, in infinitum, possent multiplicari proportiones sesqualterae continuae. Sufficiat autem exemplum de hoc ponere usque ad quintum duplum sic:

[218] [CSMIII/1:218; text: Latitudo, Longitudo, Angularitas, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 3, 6, 12, 24, 48, 9, 18, 36, 72, 27, 54, 108, 81, 162, 243] [JACSP1B 10GF]

Notandum est hic, primo, clarum esse sesqualteros ex duplicibus procreari. Secundo, potest hic notari quod, sicut in ordine latitudinis numerus maior ad terminum sibi proximum duplex est, ut 32 ad 16 et iste ad 8, qui ad 4, qui ad binarium, qui ad unitatem, similiter in ceteris lineis lateralibus. Et, sicut in ordine longitudinis qui directe vadit ab inferiore ad superius, vel e converso, maior minori sibi vicino sesqualter est, ut trinarius binario, et, quantum ad aliam longitudinis | [P2, 45v in marg.] lineam, novenarius senario, qui quaternario, sic de aliis longitudinis lineis. Sic in ordine angularitatis maior ad sibi proximum triplex est, ut trinarius unitati, novenarius trinario, cui 27, cui 81, cui 243; similiter et in aliis lineis angularibus. Adhuc si quis consideret, potest invenire unum alium modum angularitatis secundum quem unus ad alium sesquitertius est, ut 4 ad 3, octonarius ad senarium, 16 ad 12, qui numerus 12 ad novenarium similiter sesquitertius est, et sic de ceteris.

Si quis autem sesquitertias proportiones continuas cupit reperire triplices ex quibus, ut visum est, oriuntur, sic statuat: 1 3 9 27 81 243. Et possent poni plures, prout plures tales proportiones continuas vellet reperire. Qui igitur unam tantum sesquitertiam proportionem habere vult primum sumat triplicem in actu, scilicet trinarium; ad ipsum enim quaternarius sesquitertius est, ad quem nullus alius numerus sesquitertius esse potest, quia in tres partes aequales indivisibilis est. Si vero duas sesquitertias proportiones continuas vis habere, secundum [219] sumas triplicem in actu idest 9; si tres, tertium sumas, scilicet 27; si quattuor, quartum statuas, scilicet 81; si quinque, quintum ordines, scilicet 243; sic de aliis; et si sic facias, indubitanter, quod quaeris, invenies, ut usque ad quinque subscripta monstrat figura:

[CSMIII/1:219,1; text: Latitudo, Longitudo, Angularitas, 1, 3, 9, 27, 81, 243, 4, 12, 36, 108, 324, 16, 48, 144, 432, 64, 192, 476, 256, 768, 1024] [JACSP1B 10GF]

In hac tacta descriptione patet non solum illud ad quod principaliter posita est, sed et multa alia, ut quod ex triplis oriantur sesquitertii, quod in linea latitudinis maior numerus ad minorem sibi proximiorem triplex est, in linea longitudinis sesquitertius, in angularitate quadruplex et, in alio modo angularitatis, duplex sesquiquartus, sicut novenarius ad quaternarium, 27 ad 12, sic de consimilibus.

Quod si quadruplices disponas, sesquiquartos iuxta praedictum modum reperies, ut declarat sequens descriptio:

[CSMIII/1:219,2; text: Latitudo, Longitudo, Angularitas, 1, 4, 16, 64, 246, 1024, 5, 20, 80, 320, 1280, 25, 100, 400, 1600, 125, 500, 2000, 625, 2500, 3125] [JACSP1B 10GF]

In hac descriptione possunt notari consimilia quae in praedictis notata sunt, scilicet quod ex quadruplis generentur sesquiquarti, quod, in linea latitudinis, maior ad sibi proximum minorem est quadruplus, in longitudine vero sesquiquartus, sed in angularitate quintuplus et, in alio modo angularitatis, triplex sesquiquintus (patet inter 16 et 5, inter 64 et 20).

[220] Adhuc apparet ibi quod omnes extremi, in lineis longitudinis, inferius descendendo, terminantur | [P1, 34v in marg.] in quinarium qui fuit sesquiquartus. Similiter in figura sesqualterorum, quia primus sesqualter est numerus impar, scilicet trinarius, omnes ultimi numeri in lineis longitudinis in quibus cessat continuatio sesqualterae proportionis sunt impares et per consequens indivisibiles in duas partes aequales. In figura autem sesquitertiorum, quia primus sesquitertius, scilicet quaternarius est par, similiter et omnes numeri finales in lineis longitudinis pares sunt. Modo consimili qui tactus est, sesquiquintas proportiones continuas multiplicare poteris si ordines quintuplos; et sesquisextas, si sextuplos componas; similiter sesquiseptimas, si <septuplos> statuas; et sesquioctavas, si octuplos anteponas; et consimili modo est in ceteris verum, cum scire multiplicare, quot quis voluerit, continuas sesquioctavas proportiones multum expediat. Per hoc enim, ut tactum est, et infra declarabitur, potest sciri in qua proportione consistat ditonus, tritonus, sic de aliis consonantiis ex puris integris tonis compositis. Per hoc etiam probari potest quod diapason non continet in se sex integros tonos, sed superant sex integri toni diapason in commate, ut infra probabitur.

Ideo de continuis | [P2, 46r in marg.] sesquioctavis proportionibus, usque ad sex, exemplum subiecimus:

[CSMIII/1:220; text: Latitudo, Longitudo, Angularitas, 1, 8, 64, 512, 4096, 32768, 262144, 9, 72, 575, 4608, 36864, 294912, 81, 648, 5184, 41472, 331776, 729, 5832, 46646, 373248, 6561, 52488, 419904, 59049, 472392, 531441] [JACSP1B 11GF]

[221] Patet in hac descriptione primo octuplo unam sesquioctavam proportionem esse annexam; ad novenarium enim, cum indivisibilis sit in octo partes aequales, non potest esse numerus aliquis sesquioctavus. Secundus autem octuplus, scilicet 64, duas sesquioctavas continuas continet proportiones; una est ipsorum 72 ad 64, secunda ipsorum 81 ad 72, et ibi cessat continuatio huius proportionis, quia 81 non possunt dividi in octo partes aequales; hoc autem requiritur ad hoc ut aliquis numerus sit subsequioctavus. Unde numerus, qui est 72, in quantum est sesquioctavus, divisibilis est in 9 partes aequales, quia debet alium continere totum et eius octavam partem; et, in quantum est <sub> sesquioctavus ad alium numerum, divisibilis est in octo partes aequales.

Ubicumque igitur venitur in distinctis octuplis ad numerum indivisibilem in octo partes aequales, cessat continuatio sesquioctavae proportionis; repugnat autem numero impari dividi in octo partes aequales. Ideo, ut apparet in proposita descriptione, omnes enim ultimi, in quibus cessat continuatio sesquioctavae proportionis, impares sunt termini.

Item, per praedictam descriptionem, patet sesquioctavos nasci ex octuplis. Item ibidem sicut, in linea latitudinis, maior ad minorem sibi proximum octuplus est, sic, in linea longitudinis, maior ad minorem sesquioctavus est; in angularitate vero, maior ad minorem nuncuplus est, ut novenarius ad unitatem, 81 ad novenarium; in alio autem modo angularitatis, maior ad minorem est septemcuplus sesquinonus, ut se habent 64 ad 9, 512 ad 72.

Alia possent ibi notari quae dimitto.

Capitulum LXXVI.

Regula secunda vel ars multiplicandi proportiones superparticulares.

Ponit autem Boethius, libro secundo Musicae suae, modum alium augendi continuas superparticulares proportiones qui radices proportionum aspicit superparticularium. [222] Sunt autem radices, ut prius tactum est, numeri primi et minimi in quibus reperitur talis proportio, ut tria et duo, quoad sesqualteram, quattuor et tria, quoad sesquitertiam, sic de aliis; nam quicumque numeri se in sola extendunt unitate alicuius speciei proportionis superparticularis, radices sunt. Disponantur igitur numerus naturalis a binario sic: 2 3 4 5 6 7 8 et cetera. Hoc facto, si propositum sit duas sesqualteras continuas reperire proportiones, radix sesqualtera disponatur sic: 2 3. Multiplicetur igitur binarius se ipso et sunt 4. Deinde trinarius augeatur primo binario, et sunt 6, et sic disponantur 4 6. Rursus trinarius crescat se ipso, idest trinario, et sunt 9. Et hi, cum suis radicibus, ordinentur sic:

[CSMIII/1:222,1; text: 2, 3, 4, 6, 9] [JACSP1B 11GF]

Patet hic duas sesqualteras continuas proportiones esse procreatas. Sit nunc propositum tres tales reperire proportiones continuas ad hoc habendum; praedicta numerorum statuatur descriptio quae, in exquirendis duabus tactis proportionibus, posita est, et sic fiat de tribus terminis | [P2, 46v in marg.] duarum proportionum repertarum, qualiter factum fuit de duobus primis terminis radicalibus. Multiplicetur igitur quaternarius binario, et sunt 8; secundo, senarius crescat binario, et sunt 12; tertio, novenarius crescat binario, et sunt 18; rursus, novenarius multiplicetur trinario, et erunt 27. Hi, cum praescriptis, iungantur sic:

[CSMIII/1:222,2; text: 2, 3, 4, 6, 9, 8, 12, 18, 27] [JACSP1B 11GF]

Consimili modo, ex quattuor terminis trium sesqualterarum proportionum, produci possent quinque alii termini inter quos essent quattuor sesqualterae proportiones | [P1, 35r in marg.] continuae, et ex quinque sex, et ex sex septem, et sic in [223] infinitum, hoc semper observando ut quilibet terminorum, usque ad ultimum, multiplicetur binario solum, et summa proveniens inde subscribatur. Ultimus autem terminus bis est multiplicandus primo binario, et summa proveniens subscribenda est; deinde, trinario, et illius summa convenienter est ponenda; et sic semper ex ultimo termino, duo nascuntur termini. Et de hoc modo multiplicandi sesqualteras proportiones continuas usque ad sex exemplum subiecimus:

[CSMIII/1:223; text: Latitudo, Longitudo, Angularitas, 2, 3, 4, 6, 9, 8, 12, 18, 27, 16, 24, 36, 54, 81, 32, 48, 72, 108, 162, 243, 64, 96, 144, 216, 324, 486, 729] [JACSP1B 11GF]

Hic autem si aliquis advertat, inveniet ut, sicut lateralium maior ad minorem sibi propinquum sesqualter est, sic angularium unus reliquo duplex est, et, secundum alium modum angularitatis, qui magis videtur procedere a dextro latere ad sinistrum, triplex est. Sed antequam artem hanc ad alias superparticulares augendas continuas proportiones applicemus, quoddam dubium, quod ex verbis Boethii nasci posset, excludamus. In secundo enim Musicae, postquam, secundum hanc artem, ostendit qualiter augeri possunt sesqualterae proportiones, illam volens applicare ad ceteras superparticulares proportiones continuas, ut ad sesquitertias, sesquiquartas et sic de aliis, dicit sic: Atque hic modus erit in ceteris, idest in aliis proportionibus superparticularibus qui observatus est in sesqualteris. Unde sequitur ibidem in textu immediate sic: Ut si sesquitertias proportiones velis extendere, ponas sesquitertiorum radices quae sunt quaternarius atque trinarius ad se invicem comparati, atque ad hunc modum multiplices. Quodsi sesquiquartas sesquiquartorum dispones radices, [224] eademque multiplicatione quotlibet extendas, et cetera. Si idem modus, qui observatus est in multiplicandis sesqualteris proportionibus, observandus est in ceteris, statutis igitur radicibus sesquitertiis quae sunt 3 et 4, multiplicetur trinarius binario, et sunt 6; deinde quaternarius binario primo, et sunt 8; rursus quaternarius crescat trinario, et sunt XII. Et sic disponantur:

[CSMIII/1:224; text: 3, 4, 6, 8, 12] [JACSP1B 12GF]

Patet hic quod, ex multiplicatione radicis sesquitertiae, non proveniunt duae sesquitertiae proportiones continuae, licet sit hic observatus ille idem modus quem observavimus in multiplicatione terminorum radicis sesqualterae. Et consimiliter quis deficeret, si tactum teneret modum in sesquiquartis, sesquisextis et ceteris superparticularibus proportionibus multiplicandis. Quare ergo dicit Boethius: Atque hic modus erit in ceteris, qui scilicet observatus est in radicibus sesqualteris. Et dicendum ad hoc quod, sicut, in augendis proportionibus sesqualteris, statutis terminis radicalibus sesqualterae proportionis, minor terminus, scilicet binarius, erat multiplicandus se ipso, scilicet binario, deinde maior, scilicet quaternarius, multiplicandus erat primo binario et deinde se ipso, scilicet trinario. Sic, in augendis quibuscumque aliis proportionibus superparticularibus, statutis terminis radicalibus, debet minor terminus illius radicis multiplicari se ipso, idest trinario si sit trinarius, vel quaternario | [P2, 47r in marg.] si sit quaternarius, et sic de ceteris; deinde debet maior terminus illius radicis multiplicari primo multiplicatione minoris termini illius radicis, deinde multiplicatione sui; inventis autem duabus proportionibus ex duobus terminis radicalibus, ad multiplicandum illas, semper omnes termini multiplicentur multiplicatione minoris termini radicalis illius proportionis et, praeter hoc, ultimus terminus multiplicetur per maiorem terminum radicalem illius proportionis. Et, si fiat sic, tenet haec regula in omni specie superparticularis proportionis [225] generaliter, et est multum pulchra, concordans cum alia, prius tacta, in conclusione, ut quod invenitur per unam illarum uno modo, idem invenitur per alteram alio modo.

Applicemus igitur regulam hanc modo quo exposita est et quomodo eam Boethius intellegit ad proportionem sesquitertiam. Sit propositum, secundum hanc regulam, duas invenire proportiones sesquitertias continuas. Disponatur radix sesquitertia sic: 3 4. Multiplicetur ternarius se ipso et sunt IX; deinde crescat quaternarius trinario, et sunt XII; rursus quaternarius crescat se ipso, idest quaternario, et sunt XVI. Et hi una cum radicibus superibus positis disponantur sic:

[CSMIII/1:225,1; text: 3, 4, 9, 12, 16] [JACSP1B 12GF]

Patet hic ex radicibus sesquitertiis duas esse productas sesquitertias proportiones continuas. Sit nunc propositum invenire tres tales continuas proportiones. Statuatur descriptio iam posita, vel praesupponatur quae, in exquirendis duabus tactis proportionibus, praeordinata est, et fiat sic de tribus illis terminis duarum repertarum proportionum sesquitertiarum, ut factum est de primis duobus radicalibus terminis. Multiplicetur igitur novenarius trinario, et sunt 27; secundo, duodenarius crescat trinario, et sunt 36; tertio, 16 crescant trinario, et sunt 48; rursus sedecim multiplicentur quaternario, et fiunt 64. Et hi termini cum praedictis ordinentur hoc modo, et alii usque ad quinque tales proportiones habendas:

[CSMIII/1:225,2; text: Latitudo, Longitudo, Angularitas, 3, 4, 9, 12, 16, 27, 36, 48, 64, 81, 108, 144, 192, 256, 243, 324, 432, 576, 768, 1024] [JACSP1B 12GF]

[226] | [P1, 35v in marg.] Invenitur hic ut, sicut in linea latitudinis, sive transversali, maior terminus ad terminum sibi proximum minorem sesquitertius est, sic in angularitate quae a sinistris sursum procedit ascendendo, alter ad alterum triplex est; in angularitate autem, quae a dextris sursum procedit, unus ad alium quadruplus est; modo consimili ceteras proportiones superparticulares, secundum tactam artem, augere quis potest si, circa terminos radicales illarum proportionum, sic negocietur ut est tactum, scilicet ut minorem terminum radicalem illius proportionis, quam augere vult, multiplicet se ipso ceterosque omnes terminos illi proportioni servientes et, praeter hoc, ultimos multiplicet per maiorem terminum radicalem illius proportionis, ut quaternarium quaternario si sit quaternarius, vel quinarium quinario si sit quinarius, et sic de ceteris. Et hoc modo sumenda sunt verba Boethii dicentis: Atque hic modus erit in ceteris qui scilicet observatus est in sesqualteris, quia, sicut ibi, ad multiplicandum sesqualteras proportiones, minor terminus radicalis illius proportionis multiplicandus est se ipso, et omnes termini alii per illum minorem terminum sunt multiplicandi et, praeter hoc, ultimi termini multiplicandi sunt per maiorem terminum radicalem illius proportionis. Sic, in exquirendis aliis superparticularibus proportionibus, semper minores termini sunt se ipsis multiplicandi et alii per illos, ut est dictum. Non est igitur intelligendum quod, in augendis aliis proportionibus a sesqualtera, termini radicales illarum proportionum sint multiplicandi per terminos radicales sesqualterae proportionis, sed per terminos suos proprios radicales, ut est dictum.

Iam igitur, ut puto, satis expositus est tactus secundus modus multiplicandi proportiones superparticulares continuas, nisi quod hoc ipsum applicare | [P2, 47v in marg.] volumus ad proportiones sesquioctavas, quia specialis utilitas iacet ibi.

Sit igitur propositum, secundum hunc modum, duas reperire sesquioctavas proportiones. Disponatur radix sesquioctava sic: 8 9. Multiplicetur octonarius se ipso, idest octonario, dicendo. "Octies octo", et sunt 64; deinde crescat novenarius octonario, et sunt 72; ad hoc crescat novenarius novenario, et sunt 81. Et hi cum terminis radicalibus disponantur modo qui sequitur:

[227] [CSMIII/1:227,1; text: 1, 8, 9 , 64, 72, 81] [JACSP1B 13GF]

Quodsi tres quaeras sesquioctavas proportiones, circa tres terminos duarum sesquioctavarum proportionum iam iuventarum, qui sunt: 64 72 81, operare sic: Multiplica primum octonario, et sunt 512; crescat secundus terminus octonario et sunt 576; deinde crescat terminus tertius octonario et sunt 648; rursum crescat ultimus terminus novenario, et fiunt 729. Hi termini trium proportionum sesquioctavarum, cum praedictis, et alii, usque ad sex tales proportiones continuas, descriptionem quae sequitur recipiant:

[CSMIII/1:227,2; text: Latitudo, Longitudo, Angularitas,1, 8, 9, 64, 72, 81, 512, 576, 648, 729, 4096, 4608, 5184, 5832, 6561, 32768, 36864, 41472, 46656, 52488, 59049, 262144, 294912, 331776, 373288, 419904, 472392, 531441] [JACSP1B 13GF]

Apparet in tacta descriptione quod, sicut numerorum, qui in linea sunt latitudinis, maior ad sibi proximum minorem sesquioctavus est, sic, in angularitate, quae a sinistris tendit sursum, maior ad minorem octuplus est; in angularitate vero, quae a dextris sursum tendit, maior ad minorem nuncuplus est, ut 81 ad novem.

Ex his satis patet, ut opinor, studioso lectori duas tactas regulas, vias, modos vel artes esse veras et generales ad inveniendum quales et quot quis voluerit superparticulares [228] proportiones. Sed illas Boethius, sicut nos fecimus, ad solas superparticulares applicat proportiones, quia utile multum est illas scire reperire et, nisi quis de hoc artem haberet, multum posset ibi laborare et de levi in errorem cadere. Scire autem invenire multas proportiones multiplices continuas satis est facile, superpartientes vero multiplicare non sic, sed istae et illae multiplicari possunt per iam tactas artes.

Et est advertendum quod nos sumus locuti de inveniendis pluribus proportionibus superparticularibus continuis, quia secus est de discontinuis; et hoc in sesquioctava declaremus proportione, de qua ultimo tetigimus. Inter primum octuplum et secundum, multae cadunt sesquioctavae proportiones, sed omnes inter se sunt discontinuae, vel quia diversis innituntur radicibus, vel quia non habent aliquos terminos per quos continuentur. Sicut enim, in medietatibus continuis, medius terminus bis sumitur, sic et, in proportionibus tribus vel pluribus continuis, oportet ut omnes termini medii bis sumantur et, quam proportionem habet maior ad medium sibi proximum, eandem necesse est ut habeat ille medius terminus ad proximiorem sibi minorem terminum, si debeat esse proportio continuata eadem. Dixi quod inter primum octuplum qui est octo et secundum 64, multae cadunt sesquioctavae proportiones, quia sex; et prima illarum septem est inter decem et octo et sedecim, cuius radix est binarius, quia octies duo 16 sunt et novies duo 18; secunda est inter 27 et 24, et illius radix est trinarius, quia octies tria 24 sunt, nonies tria 27; tertia est inter 36 et 32 cuius radix est quaternarius, quia octies 4 sunt | [P1, 36r in marg.] 32, et nonies quattuor 36 sunt; quarta, cuius radix est quinarius, est inter 45 et 40; quinta, cuius radix est senarius, est inter 54 et 48; sexta inter 63 et 56 et radix illius est septenarius quia septies octo sunt 56, nonies septem 63. Omnes autem praedictae | [P2, 48r in marg.] sesquioctavae proportiones inter se sunt discontinuae propter causas dictas. Adhuc notandum est quod, sicut positum est exemplum de multiplicatione proportionum sesquioctavarum a primo octuplo venientium, sic de aliis poni posset, ut et his quae veniunt a binario, vel a trinario, sic de aliis. Et ibi numeri essent maiores et tanto amplius quanto maiores essent ipsorum radices.

[229] Sed hic librum primum terminemus; paulisper hic respiremus. Solent enim qui multum vagaverunt repausare, et qui ad multa inspexerunt quiescere. Debilitantur siquidem oculi corporis in multa videndo et maxime ubi difficilia sunt quae aspiciuntur ad videndum. Nos, in hoc libro, prout musica sumpta generaliter requirebat, aspeximus ad multa, ad quaedam difficilia, a nobis multum distantia, ad quae nos habemus, ut oculus noctue ad lucem solis, nam Speculum istud extendimus ad corporales non modo humanas, elementares et coelestes aliqualiter intuendas substantias; insuper, ad intelligentias etiam de suprema aliquid tetigimus intelligentia. In Speculo autem, quanto altius est positum, et si plura reluceant, quae a pluribus et remotius cerni possunt, minus tamen perfecte, quantum ad visionem naturalem, talia cernuntur quam si in debita positum esset distantia. Sed iam <hoc> Musicae Speculum ad res proximiores intuendas retraximus, et, ibi, quaedam, quae necesse videbantur ad perfectius quae restant intuenda, prospeximus, etsi non omnia, quia dici nequeunt omnia vel debent in omnibus.

Explicit liber primus Speculi Musicae.