Back to top

[1] Speculum musicae

Incipiunt capitula in libro secundo Speculi musicae [P1, 36r in marg.]

I. Prooemium in libro secundo Speculi musicae. [P2, 48r in marg.] In quo ratio tangitur dicendorum.

II. Quae sint causae ipsius consonantiae.

III. De harmonica modulatione amplior expositio.

IIII. Consonantiae communes acceptiones.

V. Consonantiae communiter sumptae descriptio.

VI. Quid sit consonantia secundum Antiquos.

VII. Quid sit dissonantia.

VIII. Consonantiarum distinctio.

VIIII. Consonantiarum ordo.

X. Utrum unisonus sit consonantia.

XI. Quid sit unisonus.

XII. Quare consonantiae vocum inaequalium fundari dicantur, secundum Peripateticos, in proportionibus multiplicibus et superparticularibus.

XIII. Quid sit diapason.

XIIII. Unde dicitur diapason.

XV. Quod diapason omnium consonantiarum sonorum inaequalium in ordine perfectionis prima sit et optima.

XVI. An diapason simplex sit consonantia vel composita.

XVII. Quod diapason constet ex quinque tonis et duobus minoribus semitoniis.

XVIII. De divisione ipsius diapason.

[2] XVIIII. Quid sit diapente cum diapason, vel e converso.

XX. De nomine dictae consonantiae.

XXI. Haec consonantia an sit simplex.

XXII. Consonantia ista si sit in partes aequales partibilis.

XXIII. Quid sit bis diapason.

XXIIII. De nomine huius consonantiae.

XXV. Consonantia ista an simplex vel composita sit.

XXVI. De divisione huius consonantiae.

XXVII. Quid sit diapente.

XXVIII. De ordine et bonitate huius consonantiae.

XXVIIII. De nomine huius consonantiae.

XXX. Consonantia haec si sit simplex vel composita.

XXXI. De divisione huius consonantiae.

XXXII. Quid sit diatessaron.

XXXIII. Unde dicitur diatessaron.

XXXIIII. De modis antiquis cantandi diatessaron.

XXV. De modis cantandi diatessaron secundum eius species.

XXXVI. De simplicitate huius consonantiae.

XXXVII. De divisione ipsius diatessaron.

XXXVIII. Quid sit tonus.

XXXVIIII. Unde dicitur tonus et quotiens in monochordo continetur. [P1, 36v in marg.]

XL. In quibus constent numeris tonus et eius partes, secundum Philolaum.

XLI. Tonus an simplex sit consonantia.

XLII. Toni divisio in partes suas integrales.

XLIII. Toni divisio in partes subiectivas.

XLIIII. Quid sit comma.

XLV. Generalia documenta de primis et secundariis terminis proportionum numerorum inaequalium.

XLVI. Qui sint minimi termini proportionum multiplicium.

XLVII. Qui sint minimi termini proportionum superparticularium.

XLVIII. Qui sint numeri minimi proportionum superpartientium.

[3] XLVIIII. Qui sint minimi termini proportionis commatis. [P2, 48v in marg.]

L. Quod comma in minore constet proportione quam sit ea quae est <inter> 74 et 73.

LI. Quod comma in maiore fundetur proportione quam sit ea quae est <inter> 75 et 74.

LII. Amplior aliquorum dictorum expositio.

LIII. De commatis simplicitate.

LIIII. Quod consonantiae quandam includunt infinitatem.

LV. Quid sit semitonium minus.

LVI. Instantiae contra dicta et responsio ad illa.

LVII. In qua specifica <et determinata superpartiente> proportione fundetur minus <semitonium>.

LVIII. Quod semitonium minus in maiore consistat proportione quam sit ea quae est inter 20 et 19.

LVIIII. Quod semitonium minus in minore fundetur proportione quam sit ea quae est inter 19 et 18.

LX. De nomine huius consonantiae et quotiens in monochordo situetur.

LXI. De simplicitate ipsius diesis.

LXII. Quid sit maius semitonium.

LXIII. De nomine huius consonantiae et quotiens et ubi in monochordo contineatur.

LXIIII. Quae sit specifica <superpartiens> ipsius <apotomes> proportio et quae sint <eius> minimi numeri.

LXV. Quod <apotomes> proportio maior est ea proportione quae est inter 16 et 15.

LXVI. Quod <apotomes> proportio minor est ea quae continetur inter 15 et 14.

LXVII. De simplicitate ipsius apotomes.

LXVIII. Comparatio diesis ad apotomen.

LXVIIII. Quorundam dictorum declaratio.

LXX. Quaedam semitoniorum proprietates.

LXXI. De tono minore quid sit, quae eius specifica proportio et qui primi eius numeri.

LXXII. De tono maiore et comparatione eius ad ceteros.

LXXIII. Quid sit semiditonus.

LXXIIII. De nomine huius consonantiae et quotiens in monochordo contineatur.

[4] LXXV. Quod semiditonus in maiore fundetur proportione quam sit sesquisexta, minore tamen quam sit sesquiquinta.

LXXVI. De simplicitate, partibus et divisione semiditoni.

LXXVII. Quid sit ditonus.

LXXVIII. Declaratio ditonum in ea fundari proportione quae dicta est.

LXXIX. Quod ditoni proportio maior est quam sesquiquarta, minor tamen quam sesquitertia.

LXXX. De simplicitate et divisione <ipsius> ditoni.

LXXXI. Quid sit semitritonus.

LXXXII. Quod semitritonus in maiore consistat proportione quam sit sesquitertia, minore tamen quam sesqualtera.

LXXXIII. De partibus et divisione semitritoni.

LXXXIIII. Quid sit tritonus.

LXXXV. De partibus et divisione tritoni.

LXXXVI. Quid sit semitonium minus cum diapente.

LXXXVII. Declaratio consonantiam hanc in ea fundari proportione et qui sint illius proportionis minimi numeri.

LXXXVIII. De divisione et partibus huius consonantiae.

LXXXIX. Quid sit tetratonus.

XC. Quid sit tonus cum diapente.

XCI. Declaratio consonantiam hanc in dicta fundari proportione.

XCII. Quid sit semiditonus cum diapente.

XCIII. Manifestatio consonantiam hanc in prius tacta fundari proportione.

XCIIII. Quid sit pentatonus.

XCV. Quid sit ditonus cum diapente.

XCVI. Quorundam dubiorum contra dicta remotio.

XCVII. Quid sit hexatonus. [P1, 37r in marg.]

XCVIII. Quid sit semitonium minus cum diapason.

XCVIIII. Declaratio consonantiam hanc in dupla super 26 superpartiente proportione. consistere.

C. Instantiae contra dicta et ad illas responsio.

[5] CI. Quid sit semitonium maius cum diapason.

CII. Inquisitio proportionis huius consonantiae.

CIII. Quid sit tonus cum diapason, ubi et quotiens in monochordo contineatur.

CIIII. Quod haec consonantia fundetur in dupla sesquiquarta proportione.

CV. Quid sit semiditonus cum diapason.

CVI. Quod haec consonantia consistit in dupla super decem partiente proportione.

CVII. Quid sit ditonus cum diapason.

CVIII. Quid sit diatessaron cum diapason.

CVIIII. Quod Ptolomaeus hanc consonantiam posuit inter consonas.

CX. Ad rationes Ptolomaei responsi.

CXI. Quid sit semitritonus cum diapason.

CXII. Quid sit tritonus cum diapason.

CXIII. Quid sit semitonium minus cum diapente et <diapason>.

CXIIII. Quid sit apotome cum diapente et diapason.

CXV. Quid sit tonus cum diapente et diapason.

<CXVI. Quid sit semiditonus cum diapente et diapason>.

<CXVII. Quid sit ditonus cum diapente et diapason>.

<CXVIII.> Quid sit semitonium minus cum bis diapason.

<CXVIIII.> Quid sit semitonium maius cum bis diapason.

<CXX.> Quid sit tonus cum bis diapason.

<CXXI.> Quid sit semiditonus cum bis diapason. [P2, 49r in marg.]

<CXXII.> Quid sit ditonus cum bis diapason.

<CXXIII.> Quid sit diatessaron cum bis diapason.

<CXXIIII.> Quid sit diapente cum bis diapason.

<CXXV.> Quid sit tonus cum diapente et bis diapason.

<CXXVI.> Utrum, praeter dictas consonantias, monochordum ad alias <sit> extendendum.

Expliciunt capitula libri secundi Speculi musicae.

[7] Incipit secundus liber Speculi musicae

Capitulum <I>.

Prooemium in quo tangitur ratio dicendorum.

Actus activorum in patiente sunt et disposito si quidem dispositio ad aliquam formam ad introductionem illius ordinatur formae, ideoque non sufficit naturae, non arti, stare in sola dispositione. Quin potius! Ipsa dispositione praehabita, ad ipsius formae intentae in materiam introductionem ulterius satagunt. Si igitur intellectus noster, per ea quae praemisimus, aliqualiter dispositus est ad melius capiendum quae specialiter ad musicam pertinent sonoram, quam exponendam eligimus, prosequamur de illis.

Quamvis autem de hac musicae specie multa speculanda occurant, eminet tamen inter illa musicalis consonantia, quae vel est propria passio in hac quaesita musica, vel subiectum seu obiectum eius.

Quidnam enim aliud est consonantia, communiter et absolute sumpta, nisi quidam sonorum numerus aliqua modulatione harmonica coniunctorum? Ad hanc enim sonorum harmonicam modulationem, attributionem aliquam habere videntur cetera quae ad hanc pertinent musicam vel tanquam principia, vel tanquam partes integrales, vel tanquam partes subiectivae, vel tanquam proprietates et passiones. Habet enim musicus dicere de quibuscumque sonis distinctis simul collatis consonantiam facientibus, quam inter se faciant harmonicam modulationem vel consonantiam, qualiter distincti distinctam, quae bonae et quae meliores, quae optimae, quae minus et quae magis rudes proportiones, et ipsarum proprietates communes et proprias inquirere in generali, in speciali, [8] divisim, coniunctim, narrative, demonstrative, probative, improbative, definitive, divisive. Nec illum modum debet omittere qui est exemplorum positivus ut melius sentiat qui adiscit. Ideo nos, de consonantia principaliter exsequi volentes et de his quae ad ipsam spectant, tactos sciendi modos circa eam observare conabimur.

Capitulum II

Quae sint causae ipsius consonantiae.

De musicalibus tractaturi consonantiis, videbimus primo causas ad eius integritatis naturam | [P1, 37v in marg.] requisitas, deinde quae sint eius communes acceptiones, dehinc quae eius descriptiones, postea quae eius distinctiones, etc., prout ostendent capitula. Nam, in titulis et ordine capitulorum, patebit intentio et ordo dicendorum.

Consonantia, cum sit res quaedam naturalis, quattuor ad sui naturae integritatem requirit causas: duas extrinsecas et duas intrinsecas, vel duas in fieri et duas in esse.

Ad consonantiam enim in actu et effectu producendam, quaedam requiruntur instrumenta sonora, vel artificialia quoad sonos, vel naturalia quoad voces; unde multa est distinctio in sonis ex distinctione quae est in instrumentis sonantibus. Etiam quantum ad qualitatem sonorum. Quaedam enim instrumenta tam naturalia quam artificialia sonos faciunt grossiores, graviores, rudiores et duriores, quaedam subtiliores, altiores, dulciores et molliores. Nec producunt instrumenta sonos sine motu et tactu.

Omnis namque naturalis actio fit per contactum secundum illud principium quod non tangit, non agit. Ideo dicit Boethius, circa principium quarti libri Musicae suae, si foret omnium quies rerum, nullus auditum sonus feriret, quia, cessantibus <motibus> cunctis, <nullum> inter se res pulsum <darent>. Ut igitur sit vox, pulsu est opus. Pulsus autem non est sine motu. Ideo nec consonantia, quae non est sine voce vel sono, ut dicetur. Unde ex distinctione motuum distinctio est sonorum, ut tactum est in libro primo. Ex motu enim in sonis venit unitas, continuitas, brevis vel longior [9] interruptio, numerositas et distinctio. Non causatur igitur consonantia sine motu nec ad aures in medio defertur sine motu ad omnem positionis differentiam, non etiam sine tempore motum mensurante. Lumen enim et color, licet sine motu in instanti, | [P2, 49v in marg.] a quacumque distantia in medio se faciant visui, non sic soni auditui. Et generaliter de hoc nos expediendo, dicimus quod omnia, quae requiruntur ad causandum sonos, requiruntur medietate vel immedietate ad consonantiam in effectu producendam, quia ipsa non est sine sono vel sonis, voce vel vocibus.

Dico ulterius quod ad consonantiam requiritur vox vel sonus. Natura harmonica modulatio quae hic inquiritur non est rerum quarumcumque sed sonorum vel vocum, et, in hoc, a ceteris musicae distinguitur generibus et, cum sonus in plus sit quam vox, potius denominatur consonantia a sonis quam a vocibus. Dico "a sonis", quia sonus unus <est> continuus, quantumcumque sit prolongatus, si nullo modo sit interruptus. Discontinuatus, distinctus et numeratus consonantiam facere non potest. Patet hoc ex consonantiae nomine. Consonantia enim est simul vel cum alio sonantia, quando scilicet unus sonus cum alio sonat. Haec autem praepositio "cum" quandam distinctionem importat vel distinctionis circumstantiam. Nihil enim sonat cum se ipso, nec idem cum se ipso numeratur et distinguitur. Idem enim, manens idem, non est notum facere nisi idem, secundum Philosophum, quod de agente univoco et limitatae virtutis sumendum est (et hoc tactum est De Natura Unitatis libro primo).

Idem autem importat symphonia apud Graecos, ut consonantia apud nos. Item consonantia musicalis ad aliquam proportionem reducitur in qua fundari dicitur. Proportio autem necessario duos requirit terminos. Ergo, consonantia ad minus duos requirit sonos. Item omnis musicae species numerum considerat aliquarum rerum. Ad hanc autem pertinet considerare numerum non quarumcumque rerum, sed sonorum, ut est dictum, et propter hoc dicitur musica sonora, nec considerat numerum sonorum absolute, sed ad invicem comparatorum, prout concurrunt ad aliquam harmonicam modulationem faciendam.

[10] Neque sufficit quaecumque sonorum distinctio ad consonantiam sed dicitur esse certa et sensui nota, recta, non confusa, instabilis et fluida.

Percussa enim semel psalterii chorda plures, antequam quiescat, facit sonos, sicut pluries ipsa tremula aerem verberat. Illi tamen consonantiam non faciunt quia incerta est, instabilis et confusa et non bene sensui nota illorum distinctio. Iudicat enim ibi sonum esse sensus unum et continuum propter aequalitatem et vicinitatem. Unus enim, quasi subito et imperceptibiliter, in gravitate vel in velocitate rapit alium, quia, quae propre sunt, quasi nihil differre videntur.

Etiamsi chorda eadem plectro torqueatur, remittatur nunc et subito intendatur, sonat nunc gravius et mox altius, ut sit ibi processus de gravi sono ad acutiorem. Non faciunt tamen tales soni consonantiam, quia incerta est eorum differentia et communi fine clauditur, et quam determinatam faciant consonantiam ignoratur, et videntur soni illi sonus unus continuatus, sicut in motu intentionis alicuius qualitatis, puta albedinis, cum est processus de gradu uno ad gradum alium.

Ideo dicit Ptolomaeus quod voces discretae, proprios habentes locos, veluti colores impermixti, quorum differentia potest inspici, harmonicae subiciuntur arti. Continuae vero et indiscretae, non sufficienter distinctae, sive aequales sint, sive non, ab harmonica facultate separantur pro quanto consonantiam facere nequeunt.

Soni igitur plures sufficienter distincti ad consonantiam requiruntur; sed non sufficiunt ad consonantiam, nisi ad invicem comparentur et in aliqua harmonica modulatione misceantur. Nam nec numerus sonorum, nec sonus numeratus est formaliter ipsa consonantia. Non enim ponuntur soni in definitione consonantiae in recto, sed in obliquo.

Quin potius harmonica modulatio quam Boethius dat intelligere per sonorum concordiam vel mixturam in definitionibus consonantiae quae postea ponentur. Ipsa igitur modulatio harmonica quae innascitur inter sonos causa formalis est intrinseca ipsius consonantiae.

Adhuc ad consonantiam inter sonos prolatos requiritur quaedam | [P1, 38r in marg.] proportio sive ipsa sit harmonica modulatio, sive [11] quid aliud, et illa debet esse certa et ad certos numeros reducibilis. Non enim certius, non clarius, non verius apparent proportiones quam in numeris ad aliquid, nec requiritur solum proportio inter consonantiae sonos quae reducibilis sit ad certos numeros, sed etiam inter instrumenta sonantia. Patet hoc in psalterii chordis et organorum fistulis. Inter chordas enim psalterii diapason resonantes dupla est proportio, et inter eas quae diapente, sesqualtera, sic de aliis.

Item consonantia causam vel causas habet finales, proximas et remotas. Ad ea enim ordinatur consonantia ad quae ordinatur musica sonora; quae sunt multa, ut tactum est, primo libro, in Commendatione huius musicae quae ratione suae cognitionis recreat intellectum, ratione suae modulationis ipsum sensum. Unde finis immediatior eius, quoad practicam eius partem, videtur esse perfectio ipsius auditus, cuius est obiectum, quam habet reducere ad actum qui consonantiae iudex est.

Propterea, in definitione consonantiae, convenienter ponitur sensus, quia nec videntur distincti soni in medio mixti habere perfectam rationem consonantiae nisi se alicui faciant auditui. Ad quid igitur luderent aliqui in instrumentis artis, in cithara, psalterio, viella, organo, sic de aliis; ad quid cantaret aliquis naturalibus instrumentis, si non esset vel essent qui audirent? Nec tamen dico ipsum auditum | [P2, 50r in marg.] esse de intrinseca ratione consonantiae, et quod causet eas effective quidquid sit in ratione finis.

Sic patent in quodam generali consonantiae causae duae extrinsecae, ut efficiens et finis. Finis enim, cum sit prior in intentione et sit illud gratia cuius aliquid fit, movet causam agentem effectivam quae executive et realiter agit per potentiam suam activam. Movet autem finis metaphysice, agens vero realiter. Causae autem intrinsecae ipsius consonantiae sunt ipsi soni distincti et quae inter ipsos innascitur harmonica modulatio. Sine illis enim ullo modo potest esse nec manere consonantia. Illis enim durantibus, durat consonantia, et, ipsis cessantibus, cessat. Sed soni gerunt quasi vicem materiae; sunt partes ipsius, sunt termini ex quibus conficitur et resulcat in medio et apud auditum modulatio harmonica quae formam ipsius respicit.

[12] Capitulum III.

De harmonica modulatione amplior expositio.

Cum, secundum Boethium, nihil sit quod non pulchrius elucescat si plurimorum notitia comprobetur et in ore duorum vel trium testium stet omne verbum, audacius, confidentius et securius dicere debemus quae ab auctoribus dicta reperimus, cetera timidius et cautius.

Videtur autem mihi a tempore Boethii musicam theoricam parum esse certam, non ad plenum esse expositam, quamvis de ipsa, quos videre potui, viderim tractatus.

Satis autem puto Guidonem monachum in musica theorica simul et practica peritum fuisse. Ipse vero ad practicam ampliandam se contulit. Hoc enim utile pro tunc fuit cum, tempore suo, pauci, in Ecclesia Dei, canere scirent concorditer et secure. Ideo modum notandi novis notis tradidit et cantandi. Et de monochordo et modis cantuum, quos aliqui tonos vocant, multa bona scripsit. Dicit autem idem Guido: In omni arte plura valde sunt quae, nostro sensu, cognoscimus, quam ea quae a magistro didicimus, cum dicatur ab aliis quibusdam, quod plura sunt quae quis novit addiscens quam inveniens.

Verum est quod visus, qui scientiae servit habitae per inventionem, plures nobis rerum differentias ostendit quam auditus qui scientiae deservit acquisitae per doctrinam. Difficilius tamen est et ingenium requirit perspicatius invenire multa de novo quam illa scire ab alio.

Guido igitur, ex quo tanti fuit ingenii ut multo plura sciret sensu suo quam essent ea quae didicerat a magistro, si ad musicam traxisset se theoricam, multa pulchra et bona, puto, dixisset de illa. Sed ipse practicam elegit. Dicit enim: Parvulis condescendi, Boethium, in hoc, non sequens, cuius liber, ut ait, non cantoribus, sed solum philosophis est utilis.

Sed temporibus nostris, multi et optimi sunt cantores in cantu tam plano quam mensurato valde certi, valde periti. Ipsa vero theorica iam videtur quasi sepulta et tradita oblivioni, [13] quae longe perfectior exstat quam practica. Etiam, teste Guidone quae, inter alia, circa finem libri sui sic dicit: Quidam dicunt, qui ignorant, levem esse musicam, quia cito percipiunt canendi scientiam. Sed hoc dicunt sapientes, quia nulli plenarie haec ars patet; imo, latet, nisi philosopho.

Haec, ex incidenti, dixerim ad aliquam excusationem mei qui, in hoc opere longo, laborioso, nimis intensive, extensive, tarde nimium incepto (quia, etsi spiritus promptus sit, caro tamen infirma), dico aliqua quorum in auctoribus non apparent expressa testimonia. Sed, secundum Boethium, miseri ingenii est semper inventis uti et nunquam inveniendis. Sequor autem in hoc opere, quoad theoricam, Boethium, prout possum, ex cuius dictis elici possunt multa de quibus expressam non facit mentionem. Cum autem ad practicam planam musicam venero, de tacto Guidone me iuvabo et, ubi non invenero, auctoritatem sequar prout summus omnium magister dabit rationem.

Ad propositum autem revertentes, sic dicimus: Harmonica modulatio, cum sit ratio formalis in obiecto musicae, debet illi confirmari ut, si sumatur illud obiectum generaliter, et illa ratio debet sumi generaliter, si specialiter, et specialiter, unde distinguitur distinctione rerum invicem comparatarum, sicut proportio distinctione terminorum. Ideo, cum musica coelestis, mundana, humana et sonora genere vel specie distinguantur, sic et res de quibus sunt. Similiter et harmonica modulatio in illis formaliter specie vel genere distinguitur. Quamvis enim distinctae scientiae idem materiale habere possint obiectum, oportet tamen ut illud in illis distinctis scientiis formaliter sit distinctum. Formalis enim ratio obiectum materiale actuat, specificat et determinat.

Harmonica igitur modulatio musicae sonorae de qua | [P1, 38v in marg.] prosequimur, ab his quae ceteris competunt musicae speciebus formaliter distinguitur, non solum distinctione rerum comparatarum (quia illae visibiles et aliquae illarum sunt solum intelligibiles, hae autem audibiles), sed etiam quia harmonica sonorum modulatio reduci habet ad certam aliquam proportionem in numeris et, quantum ad aliquas, in sonantibus instrumentis.

Quid igitur sit harmonica sonorum modulatio | [P2, 50v in marg.] quam formaliter importat ipsa consonantia, prout possumus et intelligimus, exprimamus. Videtur mihi, sine praeiudicio cuiuscumque, [14] quod ipsa harmonica modulatio sonora generaliter et absolute sumpta, id est non restricta ad hanc specialem talium vel talium sonorum modulationem, intrinsece et quidditative est quaedam mixtio, unio, proportio, proprietas, vel connectio proveniens, nascens et resultans ad productionem distinctorum sonorum quae competit in medio et apud auditum se diffundens, ad certam in numeris reducibilis proportionem. Vel brevius sic: Harmonica modulatio est distinctorum sonorum unio, mixtio, proportio vel proprietas in medio ad auditum se diffundens, ad certam reducibilis in numeris proportionem.

Non dicitur quod "harmonica modulatio sint ipsi soni absolute et formaliter", sed "mixtio ipsorum vel resultans ex eis". Mixtio enim ex litteris non est ipsae litterae nisi materialiter; sicut nec mixtum ex elementis ipsa elementa.

Dicitur autem "mixtio vel unio" quia illa sonorum mixtio est quaedam ipsorum ad invicem unio. Sicut igitur ex unione elementorum ad invicem resultat quoddam mixtum vel compositum, quod ab illis divisim sumptis est distinctum et quasi quoddam tertium in quo colliguntur et uniuntur, quia mixtio est miscibilium alteratorum unio, sic ex unione sonorum ad invicem in eodem medio resultat quasi quoddam mixtum quod dicitur consonantia, cuius formale est ipsa unio, mixtio, proprietas vel proportio talium scilicet sonorum sic mixtorum, quae materia illius sunt.

Item, quod illud formale, quod dicit consonantia, sit ipsa sonorum mixtio, proportio vel unio per quae vocabula idem intelligo, vult Boethius. Dicit enim quod consonantia est acuti soni gravisque mixtura, per mixturam intelligens ipsam harmonicam sonorum modulationem. In hoc autem quod dicitur "sonorum" distinguitur ab omni proportione et harmonica modulatione rerum quarumcumque aliarum. Debent autem soni ad harmonicam modulationem et consonantiam requisiti esse distinctione quae tacta est prius.

Dicitur autem "in medio ad auditum se diffundens", id est in aere vel aqua. Ibi enim se diffundit harmonica sonorum modulatio ubi soni se diffundunt. Si igitur soni aliqui in locis nimis distantibus sint producti ut simul non possint misceri nec audiri, non faciunt harmonicam modulationem et, [15] per consequens, nec consonantiam, quia nec elementa miscerentur nisi essent approximata et se tangerent, et ex hac proprietate apparet una differentia inter harmonicam sonorum modulationem et rerum aliarum quae talem non requirunt contactum sed debitam quandam comparationem inter se.

Adhuc, per hoc quod dicitur "ad certam in numeris reducibilis proportionem", distinguitur harmonica sonorum modulatio a modulatione rerum aliarum. Omnis enim harmonica sonorum modulatio ad aliquam in terminis numeralibus reducibilis est certam proportionem, ut, si est sonorum aequalium, ad proportionem terminorum aequalium, et, si est sonorum inaequalium, ad proportionem terminorum numeralium maioris vel minoris inaequalitatis; aliquae etiam sonorum mixtiones ad certas proportiones rerum sonabilium tales mixtiones resonantium reducuntur. Et ex his patet quod proportio, quae est ipsa sonorum mixtio, non est illa proportio ad quam reducitur et in qua fundari debet quae est in numeris et rebus sonoris. Idem enim ad se ipsum non reducitur, idem in se ipso non fundatur. Distinguitur enim proportio distinctione rerum invicem collatarum et una ab auditu percipitur, non alia. Cum enim tanguntur duae sonabiles chordae quarum una bis aliam continet praecise, ceteris paribus, ab auditu sonorum illorum mixtio vel proportio percipitur quae per diapason signatur; sed proportionem illam duplam, quae est inter chordas illas, auditus non cognoscit sed visus; illam autem, quae est in numeris, solus intellectus, nisi ad res aliquas numeratas reducatur.

Dicitur autem una illarum proportionum fundare aliam quia, ubicumque in rebus sonoris dupla reperitur proportio, ceteris paribus, semper ex illis eadem resonat sonorum mixtio et proportio quae est diapason, et, suo modo, sic est de ceteris proportionibus. Unde Pythagoras fundamentales consonantiarum proportiones in ponderibus repperit malleorum sonantium. Nam, antequam malleos sonantes ponderasset, audiebat sonorum mixtiones et consonantias, sed in qua fundarentur proportione (et quod hic determinatae <sunt>, ista, scilicet diapason, in dupla, illa in alia, ut diapente in sesqualtera, sic de aliis) nescivit donec illos ponderasset malleos et ipsos ad invicem, ut expediebat, combinasset.

Patet igitur quod intelligimus per harmonicam sonorum [16] modulationem generaliter sumptam. Ipsa autem specificatur in distinctis sonis et consonantiis et, cum ipsa dicat quandam sonorum unionem, tanto videtur perfectior quanto inter sonos aliquos perfectior et maior est unio. Percipitur autem ab auditu perceptione sonorum quorum dicit unionem.

| [P2, 51r in marg.] Capitulum IIII.

Consonantiae communes acceptiones.

Quamvis distincti soni simul vel successive possint et causari et proferri, consonantia tamen formaliter videtur respicere sonos simul, non successive, productos. Hoc enim dicit nomen suum. Qui enim successive proferuntur, non simul sonant. Item sonis successive, et non simul prolatis, non competit simul misceri nec illis numerus competit formalis vel actualis. Miscibilia enim manent actu immixto, licet non sub propriis formis, et numerus suas partes requirit in actu in quo ab oratione distinguitur.

Extendi tamen videtur nomen consonantiae ad voces successive prolatas, aliter, vocibus quibuscumque ab eodem prolatis, nomen non deberetur consonantiae quia idem simul diversas non profert voces. Si igitur idem homo modo diceret | [P1, 39r in marg.] re et consequenter sol vel la, tales voces, scilicet re et sol, vel re et la, sic prolatae, consonantiam non facerent, similiter nec quaecumque aliae successive prolatae et, per consequens, solus homo per se <consonantiam> cantare non posset. Omnis enim cantus, sicut ex vocibus constituitur distinctis, sic ex consonantia vel consonantiis. Ideo nomen consonantiae ad sonos extenditur successive prolatos quia, qui successive proferuntur ab eodem, a distinctis simul possunt proferri, et tunc simul possunt misceri et audiri. Haec dico sine praeiudicio quia, licet ex auctoribus possit haberi quod ad consonantiam distincti requirantur soni, quod tamen salvetur consonantia, tam in simul prolatis quam in successive, non repperi discussum ab eis nisi quod Ptolomaeus de vocibus unisonis dicit, quod unisonae quidem sunt quae unum atque eundem simul ac sigillatim pulsae reddunt sonum.

Consonantia, sumpta pro vocibus successive prolatis, [17] locum habet in cantibus planis. Si vero sumatur pro vocibus vel sonis simul prolatis, sic locum habet in discantibus et cantibus mensuratis.

Item consonantia, sumpta pro sonis simul prolatis, dupliciter accipitur quia vel communiter et absolute, vel specialiter et appropriate secundum duplicem nominis consonantiae expositionem, ut consonantia dicatur uno modo a "consono, nas," sumendo consonare pro simul vel cum alio sonare, alio modo ut dicatur a "consonare" pro "concordare".

Consonantia, primo modo sumpta, dicitur de mixtione sonorum omnium distinctorum aequalium vel inaequalium, sive illorum mixtio dulciter et concorditer auditui se faciat, sive non, dum tamen ad certam reducibilis sit proportionem in numeris, sive illa sit simplex, sive mixta. Consonantia autem specialiter et appropriate dicta est illa quae dicitur de distinctis sonis concorditer et conformiter auditui se facientibus et quorum mixtio in proportione simplici, multiplici, vel superparticulari fundatur, et, hoc modo solum, videntur antiqui musici consonantiam accepisse qui non posuerunt nisi quinque consonantias, scilicet diapason, diapente cum diapason, bis diapason, diapente, et diatessaron. Ceteras autem omnes voces simul prolatas non consonantias vocaverunt, sed vel consonantiarum partes, vel differentias, vel dissonantias, excepto Ptolomaeo qui, contra alios, diatessaron supra diapason consonantiam reputavit.

Hoc igitur modo sumpta consonantia appropriate solum pro quarundam distinctarum vocum concordia non dicitur de aliis quae non concordant et non placent auditui.

Sed non sequitur de vocibus non concordantibus simul mixtis: "Non sunt tales speciales consonantiae, ergo non sunt consonantiae", sumendo communiter consonantiam et large, ut est dictum. Non enim sequitur: "Leo non est homo, ergo non est animal".

Mixtio sonorum potest uno modo considerari ut est in medio in quo soni simul sunt producti, non habito respectu ad auditum, et, quantum ad hoc, non videntur distingui soni non concordantes a concordantibus nec ipsorum in medio mixtiones. Alio modo possunt considerari, ut se faciunt auditui qui nec sonos illos nec illorum facit mixtiones, sed percipit illas. Et tunc inter sonos non concordantes, id est [18] non dulciter auditui se facientes, et alios, magna apparet distinctio quae tamen non venit solum ex natura ipsius auditus, sed sonorum illorum quorum quidam nati sunt se facere auditui dulciter et concorditer et alii aliter. Tamen, et inter istos et inter illos, et in medio, et apud auditum est aliqua mixtio, licet una illorum sit dura et displicens auditui, alia dulcis et placens. Videmus enim quod saporum mixtio vel confectio quaedam est gustui dulcis et sapida, quaedam displicens insapida et amara, et tamen mixtio, confectio et sapor dicuntur et de ista, et de illa. Similiter et si sonorum mixtio quaedam placeat auditui et sit sibi dulcis et bona, quaedam displiceat et sit ibi rudis et mala, dicetur tamen mixtio sonorum et de ista, et de illa. In collegio chordarum in psalterio, sunt aliquae, si tangantur, discordantes et aliquae concordantes, et tamen, et istae et illae de illo sunt collegio, et similiter est in collegio aliquorum hominum. Item si musicae generalissime sumptae, ut se extendit ad res quascumque invicem comparabiles, sufficit quaedam harmonica modulatio communissime sumpta quae omnibus illis insit rebus et de illis verificetur, quare in hac speciali musica, quae de numero dicitur sonorum simul collatorum, non sufficiat quaedam harmonica modulatio quae communiter de omnibus distinctis sonis simul productis mixtis et comparatis verificari possit?

Item quidquid sit de consonantia ut respicit sonos simul prolatos | [P2, 51v in marg.] et simul auditui se facientes, ipsa tamen, sumpta pro sonis distinctis successive productis, videtur communiter posse dici de omnibus sonis distinctis ad aliquam certam proportionem in numeris reducibilibus, quia tunc, ut sit inter concordantes et non concordantes, non apparet illa distinctio quae apparet cum simul se faciunt auditui. Si enim voces, inter quas est semitonium, ut sunt mi et fa, ascendendo vel, e converso, descendendo, simul a diversis proferantur, multum inter se discordant et displicent auditui, non sic si ab eodem successive proferantur.

Nec videtur sufficiens ratio quosdam sonos excludendi a numero consonantiarum quia sunt vel partes, vel differentiae consonantiarum, ut est tonus quo differt diapente a diatessaron, et semitonia ex quibus consonantiae componuntur, quia, secundum hoc, paucae vel nullae essent consonantiae, etiam nec illae quinque quas solas consonantias [19] vocant Antiqui. Componitur enim diapason ex diapente et diatessaron, et diapente cum diapason ex consonantiis illis ex quibus suum nomen sumpsit, et bis diapason ex diapason et diapason, diapente ex diatessaron et tono, diatessaron ex duobus tonis et semitonio. Et si aliqua superet bis diapason, ex bis diapason et illa portione, in qua vincit bis diapason, componetur.

Haec dicta sint ad excusationem modernorum musicorum qui, generalius consonantiam sumentes quam facerent Antiqui, multos sonos consonantias nominant, quos Antiqui a numero consonantiarum excludebant, ad exponendum etiam antiquos musicos quare ita paucos sonos in numero posuerunt consonantiarum, et ne videar ire contra illos si communi nomine sonos distinctos ad certam reducibiles proportionem, quicumque sint illi, consonantias vocem in huius operis processu, ut comma, diesim, <apotomen>, tonum, semiditonum, ditonum, tritonum, et huius alios sonos de quibus infra prosequemur.

| [P1, 39v in marg.] Capitulum V.

Consonantiae communiter sumptae descriptio.

Consonantia, communiter sumpta, secundum ea quae tacta sunt, describi sic potest: "Consonantia est plurium sonorum in medio et apud auditum mixtio vel unio ad certam in numeris reducibilis proportionem".

Hanc descriptionem tangit Boethius libro secundo Musicae suae, capitulo XX, ubi dicit: Consonantia est duarum vocum rata permixtio.

Per "ratam permixtionem", possumus intelligere certam permixtionem ad determinatam in numeris proportionem reducibilem, ut excludatur confusa et incerta vocum et sonorum permixtio, quae ad consonantiam non sufficit secundum Ptolomaeum, ut prius dictum est. In tacta descriptione vel definitione videntur poni ea quae sunt de essentia consonantiae communiter et absolute sumptae. Soni enim gerunt vicem materiae, permixtio ipsorum vicem formae, et bene dicitur sonorum plurium quia sonus unus, ut prius probatum [20] est, ad consonantiam non sufficit; etiam mixtio plura requirit miscibilia quia idem sibi ipsi non miscetur.

Per "mixtionem autem vel unionem sonorum" intelligimus ipsam harmonicam modulationem quae forma est consonantiae sensibilis et distinguitur ab omnibus aliis harmonicis modulationibus rerum aliarum.

Dicitur autem quod illarum sonorum mixtio est "in medio", scilicet in aere vel aqua, quae materia sunt sonorum sine quibus nec soni causantur, nec miscentur, nec ad auditum deferuntur cuius sunt obiectum.

Additur autem ibi "ad certam in numeris reducibilis proportionem", ut tangatur consonantiae radicale fundamentum. Nulla enim est sonorum mixtio, quae consonantiam faciat, quae non sit reducibilis ad aliquam in numeris proportionem et distincte ad distinctas. Dixi autem "in numeris" quia non certius, non generalius, non prius apparent proportiones quam in numeris. Hoc autem erit unum quod postea diligenter conabimur inquirere: in qua scilicet determinata proportione in numeris quaelibet consistat consonantia quoad consonantiae voces extremas et, si possumus, qui <sint> primi numeri proportionum illarum.

Dictum est autem tactam descriptionem vel definitionem esse positam de consonantia communiter et absolute sumpta. Ipsa enim competit omnibus tam illis stricte et specialiter sumptis de quibus antiqui musici locuti sunt, quam quibuscumque aliis quas Moderni consonantias vocant, tam consonantiis vocum inaequalium quam etiam consonantiae vocum aequalium, ut est unisonus qui requirit plures sonos, ut infra dicetur. Igitur, si cui competit definitio (et definitum consonantiae nomen competit omnibus sonis quibus competit illa definitio, ut commae quae minima est consonantia, quia est illud minimum quod discernit sensus) competit etiam diesi, apotome, tono, semiditono, ditono, diatessaron, tritono, et multis aliis de quibus et Antiqui et Moderni pauca aut nulla dixerunt.

Est autem notandum quod generalis vel communis consonantiae descriptio consimilis est descriptioni harmonicae modulationis communiter sumptae, quia neutrum illorum a sonis et ipsorum mixtione separatur et in definitione formae eius subiectum ponitur.

[21] | [P2, 52r in marg.] Capitulum VI.

Quid sit consonantia secundum antiquos.

Boethius, primo Musicae, de consonantia duas ponit definitiones. Prima talis est: Consonantia est dissimilium inter se vocum in unum redacta concordia. Alia talis: Consonantia est acuti soni gravisque mixtura suaviter uniformiterque auribus accidens.

Harum autem secunda circa priorem aliquid exponit et ad illam aliquid addit. Quod enim in secunda dicitur acuti soni gravisque, exponit quod in prima dixerat. Dissimilium tunc in prima posuit voces, in secunda sonos, ne intelligatur forsitan consonantiam locum habere in solis vocibus, non autem in sonis qui voces non sunt. Quod autem in secunda dicitur suaviter uniformiterque auribus accidens additum est ad primam. Tactae descriptiones non respiciunt consonantiam generaliter sumptam (de qua prius locutum est), sed consonantiam specialiter et appropriate sumptam, pro concordantia, prout consonantia a "consonare", idest "concordare" dicitur, quo modo Antiqui consonantiam acceperunt, non a "consonare" quod est "simul vel cum alio sonare". Ideo definitiones illae illis competunt specialibus consonantiis quarum soni concordant et suaviter et dulciter auditui se faciunt secundum plus et minus. Dicitur igitur quod consonantia est vocum vel sonorum dissimilium, idest inaequalium, quorum scilicet unus sonus gravior est alio. Et sic ad consonantiam quam definit ibi Boethius non sufficit sonorum distinctio, sed cum hoc inaequalitas.

Ponuntur autem soni vel voces in definitione consonantiae in aliquo obliquo et non in recto quia non dicunt formalem quidditatem ipsius, sed habent se ad eam in ratione materiae, vel partium, vel subiecti. Quodsi consonantia quidditative solum importat ipsam sonorum permixtionem ut sit quaedam proprietas vel propria passio sonorum invicem comparatorum et mixtorum, ad hoc soni in obliquo convenienter in eius definitione ponentur. Sic in definitione proprii accidentis in abstracto ponitur eius proprium subiectum [22] in obliquo, ut summitas est vasi curvitas. Et cum accidentia propria non solum se ipsis sed ex suis propriis distinguantur subiectis, distinguetur sonorum mixtura ab aliarum rerum mixtionibus.

Per "mixturam" autem "sonorum" et "concordiam vocum redactam in unum" intelligimus harmonicam modulationem consonantiarum ibi descriptarum, quae in hoc distinguuntur formaliter et specifice ab illis quarum voces simul sumptae non concordant nec natae sunt suaviter, uniformiter, et concorditer auditui se facere.

Suaviter, inquit, uniformiterque auribus accidens, id est adveniens, sicut dulcis saporum mixtio gustui. Sunt enim quaedam sensibilia quae delectationem inferunt sensibus et ipsos perficiunt, et alia quae offendunt. Solus autem auditus inter sensus exteriores sonos et ipsorum mixtiones habet cognoscere et inter ipsas discernere una cum intellectu, licet enim ad inveniendum consonantiarum certas et debitas proportiones in numeris quasi nihil faciat sensus, saltem quantum ad aliquas nisi ministrando fantasmata intellectui.

Ad iudicandum tamen et discernendum inter | [P1, 40r in marg.] concordantias quae bona et quae melior, multum facit auditus, et maxime si est bene dispositus et in musicae scientia sufficienter instructus. Febricitans non bene iudicat de saporibus et canis, neque in consonantiis quantumcumque bonis, neque in cantibus delectatur propter cerebri paucitatem et capitis debilitatem qui ad discernendum odores melius est dispositus. Vidi hominem qui illum discordare censebat qui discantando bonis utebatur consonantiis; et, in Ecclesia Dei, aliqui ad bene cantandum non multum videntur affici qui parum videntur in musica delectari. Non videtur musica tales consonantiarum suarum quaerere iudices.

Advertendum est autem quod, sicut a praedictis consonantiarum definitionibus excluduntur soni qui suaviter et concorditer non se faciunt auditui quantumcumque inter se sint dissimiles vel inaequales, sic ab illis excluduntur soni similes et aequales, licet concorditer auditui se faciant.

Cuiusmodi soni pertinent ad unisonum. Utrum autem unisonus sit consonantia, inquiretur postea. Posset autem unisonus sub praetactis reponi definitionibus si, loco illius [23] vocabuli, "dissimilium" poneretur "plurium" vel "distinctarum", ut diceretur: "Consonantia est distinctarum inter se vocum in unum redacta concordia suaviter uniformiterque auribus accidens". Tota enim haec definitio unisono competit, ut magis patebit per sequentia.

Non facit autem Boethius, in definitionibus consonantiae, mentionem de proportione fundamentali in numeris ad quam quaelibet consonantia reducitur, sed postea diligenter consonantiarum illarum, de quibus loquitur, inquirit in numeris et probat proportiones, forte ex hoc dans intelligere quod illae non sunt de intrinseca ratione consonantiarum sed, quia multum ducunt in notitiam consonantiarum et distinguunt eas et fundant eas, per eas sciuntur illarum qualitates quae meliores, et quae minus, et, propter illas agnoscendas, tanta prius dicta sunt de numeris ad aliquid et de ipsorum proportionibus. Ideo, in descriptionibus consonantiarum | [P2, 52v in marg.] postea ponendis, de illis mentionem faciemus.

Capitulum VII.

Quid sit dissonantia.

Quia apposita iuxta se posita magis elucescunt, Boethius definitioni consonantiae statim adiungit definitionem dissonantiae quae opponitur consonantiae ab ipso definitae. Dissonantia, inquit, est duorum sonorum sibimet permixtorum ad aurem veniens aspera atque iniucunda percussio. Nam, dum sibimet misceri nolunt et quodammodo integer uterque nititur pervenire, cumque alter alteri officit, ad sensum uterque insuaviter transmittitur.

Ex hac dissonantiae definitione, patet Boethium sonorum distinctorum posuisse duplicem mixtionem, unam suavem, aliam insuavem. Prima est sonorum inter se concordantium apud auditum; alia displicens, iniucunda et mala est sonorum dissonantium, idest discordantium. Et hanc tangit cum dicit: Dissonantia est duorum sonorum sibimet permixtorum.

[24] Ergo sonis quantumcumque dissonis et discordantibus convenit ad invicem in medio et apud auditum misceri, nam, qui simul producti sunt, ex motione medii simul sibi occurunt, et miscentur, et diffunduntur ad omnem medii positionem, nisi sit obstaculum, etiam usque ad auditum; alias, auditus de illa qualis sit non iudicaret, nec illam ab aliis discerneret. Quod autem sensus illam percipiat, tangit, cum sequitur: "ad aurem veniens aspera atque iniucunda percussio."

Aliam autem mixtionem, quae est in concordia et suavitate, respectu auditus, et priori apponitur mixtioni. Tangit per oppositum ad priorem, cum dicit: Nam, dum sibimet misceri <nolunt>. Prius dixerat sonos dissonantes sibimet esse permixtos. Hic negat, hic dicens quod sibi invicem <nolunt> misceri.

Ergo oportet quod, hic et ibi, equivocet de mixtione quia intelligebat primo de mixtione aspera et iniucunda auditui; hic autem intelligit de suavi et iucunda quae apud auditum non stat cum priore. Ideo, quantum ad hanc bonam et suavem mixtionem faciendam, non miscentur ad invicem soni dissoni, id est discordantes, sed quodam modo integer uterque ad auditum nititur pervenire, cumque alter alteri officit, quia sibi ad melodiam faciendam non correspondet, ad sensum uterque insuaviter transmittitur.

Potest ex dictis apparere quod dissonantia, quam hic describit, non apponitur consonantiae communiter et absolute sumptae, quae generaliter se habet ad mixtionem sonorum quamcumque bonam vel malam, suavem auditui vel asperam, prout consonantia dicitur a "consonare" quod est simul et mixtim sonare qualitercumque, dum tamen adsint ceterae conditiones ad consonantiam requisitae; sed apponitur consonantiae specialiter et appropriate sumptae prout dicitur a "consonare" quod est "concordare" quomodo Antiqui consonantiam acceperunt.

Stant igitur simul quod aliqui soni sint dissoni et consoni secundum diversas ipsius consonantiae acceptiones et distinctas sonorum mixtiones. Posset etiam hic notari quod sonorum mixtio potest accipi generaliter, ut <se> abstrahit ab omni speciali mixtione, bona scilicet vel mala, dulci auditui vel aspera, et hoc modo competit omni consonantiae. Vel [25] potest accipi pro hac speciali mixtione vel illa, et sic non competit omni consonantiae, sicut nec rationale omni animali similiter nec irrationale; sed, per illas differentias, descendit genus animalis in distinctas species. Similiter si dicatur: "Sonorum invicem permixtorum alii miscentur mixtione dulci et bona auditui, alii insuavi et mala", tanguntur ibi species ipsius consonantiae generaliter sumptae inter se per oppositas distincte differentias.

Capitulum VIII.

Consonantiarum distinctio.

Consonantiarum distinctio sumi potest vel ex sonorum distinctione invicem collatorum, vel ex distinctione mixtionum, vel ex distinctione proportionum, et ex multis aliis ut, Deo dante, apparebit libro quarto. Nunc autem tangamus aliquas paucas.

Consonantias ex distinctione sonorum sic dividit Ptolomaeus: Sonorum alii sunt unisoni, alii non. Unisoni sunt quorum unus alio gravior non est, nec acutior. Et hi ad consonantiam pertinent quae vocatur unisonus. Soni non unisoni | [P1, 40v in marg.] sunt quorum unus gravior est alio, vel acutior. Et hi sic distinguuntur: Sonorum non unisonorum alii sunt aequisoni, alii consoni, alii emmeles, alii dissoni, alii ekmeles. Aequisoni sunt, secundum Ptolomaeum, qui simplicem et quasi unum quodammodo efficiunt sonum, ut diapason et bis diapason, propter bonam ipsorum concordiam. Consoni sunt qui compositum permixtumque suavem tamen efficiunt sonum ut | [P2, 53r in marg.] diapente ac diatessaron. Emmeles sunt qui consoni non sunt perfecte; possunt tamen aptari ad melos, ut est tonus et forsitan semiditonus et ditonus et huiusmodi consonantiae quae aliquam important concordantiam. Dissoni sunt qui discordant, ut tritonus et huiusmodi. Ekmeles sunt qui non recipiuntur, secundum ipsum Ptolomaeum, in consonantiarum coniunctione.

Adhuc hic aliam tangamus consonantiarum distinctionem. Et sumitur per comparationem ad proportiones ipsarum fundamentales consonantiarum: aliae sunt simplices, aliae compositae. [26] Voco autem, quoad nunc, illas consonantias simplices quae in simplicibus fundantur proportionibus, et compositas quae in compositis. Infra tamen tangam multos alios modos compositionis.

Simplices consonantiae, aut fundantur in proportione cuiusdam aequalitatis, sic est unisonus qui non distinguitur sicut nec eius proportio, aut in proportione cuiusdam in aequalitatis, et hoc est tripliciter quia vel in proportionibus multiplicibus, vel superparticularibus, vel superpartientibus.

Si in multiplicibus, vel in prima proportione numeri multiplicitatis, scilicet in dupla, sic est diapason, vel in secunda, scilicet in tripla, sic diapente cum diapason, vel in tertia, scilicet in quadrupla, sic est bis diapason. Utrum autem supra bis diapason sit vel sint aliae consonantiae, tangetur infra.

Si autem fundentur in proportionibus superparticularibus, aut in prima, scilicet in sesqualtera, sic est diapente, aut in secunda, scilicet in sesquitertia, sic est diatessaron, aut in septima quae est sesquioctava proportio, et sic est tonus. Nam in proportionibus intermediis superparticularibus inter sesquitertiam et sesquioctavam, ut sunt sesquiquarta, sesquiquinta, sesquisexta et sesquiseptima, nullae, secundum Nicomachum, fundantur consonantiae.

Sic haberemus sex consonantias vocum inaequalium, tres fundatas in proportionibus multiplicibus, et tres in superparticularibus. Illae sunt quibus perfectissime nomen inest consonantiae, excepto tono, secundum Antiquos.

Si vero fundentur in proportionibus superpartientibus, sic, exceptis diapente, diatessaron et tono, sunt omnes consonantiae quae via imperfectionis praecedunt diapason, ut comma, diesis, apotome, semiditonus, ditonus, tritonus, semitonium cum diapente, tonus cum diapente, semiditonus cum diapente, ditonus cum diapente. Illae omnes, ut patebit infra, in proportionibus fundantur superpartientibus distinctis.

Si vero in proportionibus fundentur compositis, vel in composita ex multiplici et superparticulari, sic est tonus cum diapason, vel in mixta ex multiplici et superpartiente, sic est semitonium tam maius quam minus cum diapason, semiditonus cum diapason, ditonus cum diapason, diatessaron cum diapason.

[27] Iam tetigimus multas consonantias et sufficiant, quoad nunc, quia in prosequendo tangemus quasdam alias.

Aliae poni possent consonantiarum divisiones, sed hae nunc sufficiant.

Capitulum VIIII.

Consonantiarum ordo.

Attenditur inter consonantias duplex ordo: unus via perfectionis et formae, alius via imperfectionis et materiae.

Secundum viam perfectionis, illae sunt priores quarum mixtiones et proportiones sunt perfectiores, ut sunt illae quarum soni magis concordant, magis uniuntur et se compatiuntur apud auditum. Et illae sunt sex, secundum Ptolomaeum, quas secundum viam perfectionis sic disponit: diapason, bis diapason, diapente, diatessaron, diapente cum diapason, diatessaron cum diapason. Alii autem non ponunt nisi quinque, quas Eubulides et Hippasus sic ordinant: diapason, diapente, diapason cum diapente, diatessaron, bis diapason. Nicomachus vero praedictas quinque sic ordinat: diapason, diapente cum diapason, bis diapason, diapente et diatessaron. Et nos, in sexto ordine, tonum ponamus qui in simplici proportione superparticulari fundatur, et cuius voces non omnino discordant, et perfectam inter se dicunt distantiam primam facilisque sunt prolationis.

Hi valentes musici concordant quantum ad diapason quam in primo loco ponunt, non sic de aliis. Quare hoc dicetur alibi.

Et illi de unisono non loquuntur, sed tantum de consonantiis sonorum inaequalium. Nos autem unisonum omnibus consonantiis praeponemus propter rationes quas tangemus infra. Post praedictas consonantias, via perfectionis, essent illae ponendae voces quarum minus discordant, quas Ptolomaeus emmeles vocat; posset etiam in illis attendi ordo perfectionis, prout in perfectioribus et simplicioribus fundantur proportionibus, et secundum quod sunt facilioris pronuntiationis.

[28] Alius est ordo consonantiarum qui attenditur secundum viam generationis et imperfectionis. Et iste uno modo potest | [P2, 53v in marg.] sumi, prout consonantiae pauciores vel plures in se claudunt voces, computando tam extremas quam intermedias in quantum una aliquid addit super aliam; et, secundum hunc ordinem, prima omnium est comma, secunda diesis, tertia apotome, quarta tonus, quinta semiditonus, sexta ditonus, septima diatessaron, octava tritonus, nona diapente, et sic semper procedendo, prout una aliquid addit ad aliam.

In persequendo autem de consonantiis, primo de perfectioribus tractabimus, quia notiores sunt et ipsarum cognitio magis est utilis, et de illis Antiqui principalius tractaverunt. Tenebimus autem ibi ordinem Nicomachi qui videtur eas ordinasse principaliter inspiciendo ad illarum fundamentales proportiones, unde imponit illas quae in proportionibus fundantur multiplicibus, deinde illas quae in superparticularibus; proportiones autem multiplices perfectiores sunt proportionibus superparticularibus, quia immediatius ab aequalitate nascuntur et in ipsam resolvuntur, ut visum est supra, libro primo. Ad hoc illas, quae fundantur in proportionibus multiplicibus, ordinat secundum proportionum multiplicium ordinem, similiter et illas quae in superparticularibus.

Cum autem ad alias consonantias veniemus, prosequemur de eis secundum ordinem quem tenent via imperfectionis, quia ille certior est et notior. Disseremus autem et de illis, et de istis, in hoc secundo libro, narrative magis. In tertio vero libro, aliqua, quae minus perfecte probata sunt in hoc libro, amplius | [P1, 41r in marg.] probabimus. Unde hunc modum tenuit Philosophus in libris De Animalibus, quia in decem primis libris narrative processit, in sequentibus libris dictorum causas assignavit. Hunc etiam modum Pythagoras dicitur tenuisse. Sed cum intentionis nostrae sit primo tractare de unisono, qui voces respicit aequales, videbimus primo an voces aequales consonantiam facere possint, hoc est, an unisonus sit consonantia, vel non.

[29] Capitulum X.

Utrum unisonus sit consonantia.

Videtur aliquibus unisonum non esse consonantiam. Dicit enim quaedam unisoni definitio sic: Unisonus est <sonus> unius vocis a qua non fit progressio. Una autem vox consonantiam facere non potest, ut probatum est, item quod nec plures voces aequales. Dicit enim Boethius quod in his vocibus, quae nulla inaequalitate discordant, nulla ominino est consonantia et sequitur ibi immediate: Est enim consonantia dissimilium inter se vocum in unum redacta concordia. Idem vult Nicomachus: neque, inquit similium (supple "vocum dicimus") esse consonantiam sed dissimilium potius in unam eandemque concordiam venientium. Gravem vero si gravi misceantur nullam facere consonantiam, quoniam hanc canendi concordiam similitudo non efficit sed dissimilitudo. Item si voces aequales facerent consonantiam, illa esset aequisonantia. Hoc autem, secundum Ptolomaeum, competit vocibus ipsius diapason et bis diapason quas vocat aequisonas, et tamen sunt inaequales. Item, si unisonus esset consonantia, videretur esse omnium prima et summa, cum fundetur in aequalitate, quae ceteras omnes antecedit proportiones. Dicit autem Nicomachus diapason esse primam omnium consonantiarum meritoque omnes excellere, quia cognitione praecedit. Oppositum tenent multi.

Responsio:

Unisonus potest sumi pro sono uno continuo et indistincto, et, hoc modo, non est consonantia, ut patet ex dictis. Alio modo sumi potest pro pluribus sonis numeratis et distinctis, aequalibus tamen, quorum unus non est alius, et, hoc modo, ipsum sumendo, tenetur a multis unisonum esse consonantiam veram et omnium primam. Competunt enim sibi ea quae sunt de intrinseca ratione consonantiae simpliciter, generaliter et absolute sumptae. Haec enim ad consonantiae naturam sufficere videntur, ut sit quaedam harmonica modulatio, id est permixtio sonorum distinctorum in medio et apud auditum ad certam reducibilis proportionem. Unisonus autem distinctos requirit sonos, licet sint aequales. Aequalitas autem [30] stat cum distinctione nec excludit eam, et non est dubium quin distincti soni aequales simul producti (puta si duo vel plures in eadem cantent gravitate) invicem misceantur. Imo summae miscentur in tantum ut quasi unus sonus appareat, licet in veritate sint plures, propter quam causam talium sonorum mixtio talis simul sonantia vocatur unisonus. Item talis mixtio in certa fundatur proportione, scilicet in aequalitate quae est vera et prima omnium proportionum aliarum. Omnis enim inaequalitas, ut ostensum est, ab aequalitate nascitur et in ipsam resolvitur, et tanto perfectior et maior dicitur proportio, quanto in immediatius nascitur ab aequalitate.

Quod autem aequalitas vera sit proportio patet. Est enim proportio duorum terminorum ad invicem quaedam habitudo. Termini autem aequales sunt veri termini, ut duo binarii, vel duo trinarii, sicut termini inaequales, et possunt ad invicem comparari. | [P2, 54r in marg.] Quid enim impedit quin binarius binario et trinarius trinario, sicut binarius trinario et ternarius binario possint comparari? Et hic quidem proportio nascitur cuiusdam aequalitatis, ibi autem cuiusdam inaequalitatis. Est autem aequalitas vera et realis proportio quae est quaedam relatio, quia terminos habet realiter distinctos. Aequalitas enim et similitudo relationes dicuntur reales ut habetur <quarto> Metaphysicae.

Secus est de idemptitate qua idem est sibi idem, unde non habet terminos realiter distinctos, sed secundum rationem. Ideo dicitur relatio rationis. Item consonantia vel dicitur a "consonare" quod est "simul sonare", vel a "consonare" quod est "concordare", et quocumque horum modorum sumatur, competit unisono qui requirit sonos plures et qui ad invicem summe et optime uniuntur et concordant. Potest enim esse concordia inter duos fratres summe aequales, et in moribus, et in aliis, licet individualiter et numero sint distincti.

Quod autem soni ipsius unisoni sint aequales, non tollit ab unisono consonantiae nomen. In nullo enim importat consonantia quod soni sui sint inaequales. Non facto sed absolute et simpliciter quandam sonorum simultatem et mixtionem dicit cui accidit, ut sic, ut illi sint aequales vel inaequales, sicut inferius dicitur accidere suo superiori. [31] Item ad hoc facit quod dicit Boethius quod consonantia est duarum vocum rata permixtio; duae autem voces aequales sunt vere duae voces naturaliter distinctae et habent inter se ratam distinctionem simpliciter, et distincte, et absolute. Dicit quod consonantia est permixtio rata duorum vocum; non dicit inaequalium vel aequalium, sed abstrahit ab illis nomen consonantiae absolute sumptae. Item voces aequales unisonantes Ptolomaeus non videtur excludere a numero consonantiarum cum dicat quod discretae voces, id est non continuae sed distinctae, armonicae subiiciuntur arti. Item Ptolomaeus in distinctione vocum consonantiam facientium praeponit voces unisonantes. Vocum, inquit, aliae sunt unisonae, aliae minime. Unisonae <sunt>, quarum sonus unus est, non intelligens quod sit unus simpliciter, sed, se exponens, dicit statim: vel in gravi vel in acuto, quod est dictum quod sunt aequales. Item unisonare est aliqualiter cantare; cantus autem omnis ex consonantia vel consonantiis conficitur. Vox enim una indistincta cantum non facit; ratione accentus est quidam cantus, et tamen, in moderato accentu, locum habet solus unisonus, non sic in gravi et acuto, in quibus proceditur secundum arsim vel thesim, id est secundum elevationem vel depositionem. Item aves cantare dicuntur et tamen in ipsarum cantibus male potest discerni qua utantur consonantia, nisi unisono.

Nec solum videtur unisonus consonantia, sed prima omnium simpliciter et summa, ut, sicut aequalitas omnem inaequalitatem antecedit, sic consonantia, super aequalitate fundata cuiusmodi est solus unisonus, praecedit omnem consonantiam super inaequalitate fundatam. Etsi propter quod unumquodque tale et illud magis diapason dicatur prima inter omnes consonantias vocum inaequalium, quia dupla proportio immediatius sequitur et resolvitur in ipsam aequalitatem, ipse unisonus super vera aequalitate fundatus erit simpliciter prima omnium consonantiarum, quia et voces suae summe uniuntur. Et sicut aequalitas fundamentum est omnium proportionum, sic et unisonus omnium consonantiarum. Unde, supra tenorem, in qua sunt voces solum unisonum inter se habentes omnis cantus et discantus, et consonantia fundari potest.

[32] Advertendum tamen quod, licet unisonus sit vera et prima omnium et summa consonantia, non est tamen forsitan ipsa proprie dicta consonantia, sicut aliquae vocum inaequalium, quia licet aequalitas sit vera proportio | [P1, 41v in marg.] omnem proportionem terminorum inaequalium praecedens, nomen tamen proportionis forte, non ita proprie, dicitur de aequalitate, sicut de inaequalitate. Dicitur enim quod nulla propositio verior est illa in qua idem praedicatur de se, dicendo "homo est homo". Non est tamen talis praedicatio ita propria sicut illa in qua superius praedicatur de suo inferiore, dicendo "homo est animal". Et prima praedicatio est inter terminos aequales, secunda inter terminos inaequales. Est autem notandum quod, cum consonantia duo principaliter et intrinsece magis requirat, scilicet sonorum numerum vel distinctionem et illorum ad invicem mixtionem, restrinxerunt Antiqui consonantiae nomen, quoad illa duo, quoad primum, quia sonos quos requirit consonantia posuerunt esse inaequales vel dissimiles, ut ostendunt inductae ipsorum auctoritates, cum tamen nomen consonantiae non importet quod sint aequales, vel quod sint inaequales, sed, per indifferentiam, nomen consonantiae ad hos vel illos se habet sonos. Ad hoc consonantiam restrinxerunt, quoad sonorum mixtionem, quia posuerunt illam, respectu auditus, esse dulcem et suavem, cum sonorum mixtio communiter se habeat, similiter et harmonica modulatio ad suavem vel duram. Propter primum non videntur expresse posuisse unisonum esse consonantiam; propter secundum, quinque vel sex prius tactas tantum posuerunt consonantias.

Moderni autem cantores nomen consonantiae non sic <arctant>, non sic restringunt. | [P2, 54v in marg.] De pluribus sonis tam aequalibus quam inaequalibus, de ipsorum mixtionibus tam suavibus auditui quam non, ipsum verificant, et non omnino sine ratione, si vera sunt quae diximus. Cum enim musica paulative sit augmentata, quid mirum si consonantiae nomen sit dilatatum? In principio enim, cum sola musica simplici et modesta uterentur homines, consonantiis quattuor et quattuor chordis utebantur. Nunc autem, ampliata multum musica in chordis, in instrumentis, in modis, in consonantiis et cantibus, quid mirum si consonantiae nomen ad plures sonos et mixtiones quam tunc sit extensum? Solent enim nominum [33] aliquorum significata secundum diversitatem temporum ampliari et immutari.

Ex his patet responsio ad auctoritates Antiquorum qui stricte et appropriate nomen consonantiae ad solas inaequales voces extendebant, licet, secundum aliqua dicta illorum, nomen consonantiae ad omnes sonos tam aequales quam non aequales possit extendi, ad illam autem unisoni definitionem qua dicitur quod est unius vocis a qua non fit progressio.

Dicendum quod, si intelligatur quod sit unius vocis simpliciter et non plurium, verum est quod talis unisonus non est consonantia; sed potest illa definitio sic exponi: "Unisonus est unius vocis, idest similis vocis, iteratio a qua non fit progressio ad inaequalem vocem, manente unisono". Et hoc intellexisse videtur qui illam posuit definitionem. Dicit enim quod, statim quod fit processus ad aliam vocem inaequalem, scilicet ascendendo quantumcumque modicum vel descendendo, fit vel tonus, vel semitonium, et desinit esse <unisonum>, sicut, cum procedit quis de termino aliquo ad terminum illi inaequalem, tollitur aequalitas et nascitur inaequalitas.

Quod autem de Ptolomaeo additur quod aliquas consonantias vocum inaequalium vocat aequisonas, scilicet diapason et bis diapason, non intelligit quod sint aequisonae, id est vocum aequalium super aequalitate fundatarum, quia multum, quantum ad hoc, sunt inaequisonae, multum inaequales, et a se invicem distantes, cum inter extremas voces ipsius diapason sit distantia quinque tonorum cum duobus minoribus semitoniis, etiam secundum Ptolomaeum, ut patet quinto Musicae, capitulo XIIII. Et per consequens, inter extremas voces ipsius bis diapason, sunt decem toni cum quattuor minoribus semitoniis. De solo enim unisono verum est, etiam secundum Ptolomaeum, quia voces eius sunt vere aequales in gravitate vel acumine, quia una non est gravior, altera vel altior. Sed intelligit quod dicuntur aequisonae quia, inter voces inaequales, magis ad aequisonantiam accedunt, magis uniuntur et concordant respectu auditus. Ideo tales voces Ptolomaeus immediate potius unisonas ordinat.

Item quod Nicomachus dicit diapason esse omnium consonantiam primam, intelligendum est hoc in genere consonantiarum [34] sonorum inaequalium, et non simpliciter ipsam omnium esse primam. Si enim omnem inaequalitatem praecedit aequalitas, unisonus, qui solus inter consonantias super vera aequalitate fundatur, diapason et omnem aliam consonantiam simpliciter iure meritoque praecedet. Unde quod diapason ceteras ab unisono praecedat consonantias, ab unisono venit quem immediatius et perfectius imitatur.

Unisonus igitur, in talibus auctoribus, semper intelligatur excipi, ut sit quasi exceptae actionis respectu omnium consonantiarum, inter quas et si <ponatur>, in numerum prima tamen omnium existens, quasi absoluta ab aliis extra numerum illarum existat, quia non ponitur in numero consonantiarum vocum inaequalium. Ideo, quod inter consonantias vocum inaequalium diapason dicatur prior, non vadit in praeiudicium unisoni.

Capitulum XI.

Quid sit unisonus.

Voces unisonas Ptolomaeus dupliciter describit, primo sic: Voces unisonae sunt, quarum sonus unus est in gravi vel in acuto. Secundo sic: Unisonae quidem voces sunt, quae unum atque eundem simul ac sigillatim pulsae reddunt sonum.

Hae descriptiones, quamvis ad idem tendant, prima tamen immediate respicere videtur voces unisonas, et secunda mediate, quia, mediantibus rebus sonoris unisonantibus, cum tanguntur. Quod autem in utraque descriptione tangitur, quod voces unisonum inter se habentes faciunt unum sonum, non est intelligendum quod faciant unum sonum simpliciter, sed quod faciant unum sonum illo modo quo ipse se ipsum exponit in prima descriptione, scilicet quod faciant unum sonum in gravitate vel <in> acumine pro quanto scilicet sunt omnino aequales, ut in nullo una sit altior altera, vel gravior. Vel dicuntur facere unum atque eundem sonum quia summe inter se uniuntur ut videatur quasi unus sonus, non sic aliquae voces | [P2, 55r in marg.] inaequales.

Potest autem unisonus, ut est consonantia, sic describi: "Unisonus est sonorum vere aequalium permixtio, uniformissime [35] simplicissimeque veniens ad auditum, in proportione verae aequalitatis consistens".

Dicitur hic quod unisonus est "sonorum", quia sonus unus, ut pluries dictum est, consonantiam non facit. Et in hoc quod dicitur | [P1, 42r in marg.] "sonorum", convenit cum omnibus aliis consonantiis. Sed in hoc quod dicitur "vere aequalium", distinguitur a ceteris omnibus. Dicitur autem "vere aequalium" specialiter propter diapason et bis diapason quarum soni, secundum Ptolomaeum, dicuntur aequisonantes, cum in veritate non sint aequales. Ad hoc dicitur "sonorum vere aequalium", hoc est omnino convenientium in gravitate vel acumine, quia, quantumcumque modicum voces aliquae sunt inaequales, modo qui dictus est, tollitur unisonus et fit processus ad aliquam consonantiam vocum inaequalium, sicut, cum receditur ab aequalitate, inciditur in aliquam inaequalitatem et ab unitate in aliquam numerositatem.

Item dicitur "permixtio", quia soni aliqui, quantumcumque sint aequales, simul se faciant in aere et apud auditum. Non sunt tamen unus sonus omnino, nisi per quandam commixtionem, sed summe ad invicem miscentur soni ipsius unisoni, quia plus ad invicem conveniunt.

Ideo dicitur quod "uniformissime simplicissimeque" talis permixtio pervenit ad auditum, ut quasi ipsum rapiat, ne discernat ibi plures esse sonos sed unum; propter quam summam unionem, haec consonantia unisonus appellatur.

Item dicitur "in proportione verae aequalitatis consistens", propter diapason et bis diapason, quae dicuntur consonantiae aequisonae, et tamen in vera aequalitate non fundantur, sicut nec earum soni sunt vere aequales, nec chordae consonantias illas, cum tanguntur, resonantes; sed oportet quod illae, quae unisonum resonant, sint vere aequales.

Ideo notandum est quod, cum soni ipsius unisoni sint aequales, possunt dici soni sine intervallo ad invicem distantes. Vocatur autem intervallum, differentia, distantia, vel spatium existens inter sonum gravem et acutum, uti sic se habet intervallum ad distinctos inaequales sonos, ut differentia ad distinctos inaequales numeros. Sicut igitur inter aequales numeros, ut sunt duo et duo, quattuor et quattuor, locum non habet differentia, sic inter sonos omnino aequales intervallum nullum est. Item soni aequales aliquo modo comparantur numero lineari qui, ad modum lineae, una [36] dimensione contentus surgit ex repetitione eiusdem numeri, ut si quis dicat: duo duo duo, vel ex repetitione unitatis sic: I I I I I I I I I I. Hic est quod, sicut a numero lineari ceteri procedunt numeri figurales, ut superficiales solidi et cubici et ab aequalitate inaequalitatis proportiones, sic ab unisono ceterae procedunt consonantiae, quae fundantur super inaequalitate.

Habet unisonus locum in omnibus gammatis clavibus, voces plures habentibus, praeter quam in bfa[sqb]mi. Sunt enim voces illae inaequales, quia, inter mi de bfa[sqb]mi et fa de bfa[sqb]mi, est semitonium maius, ut patebit infra. Sed inter voces aliarum clavium, cum sint aequales, locum habet unisonus, ut inter voces ipsius .G. gravis, id est ipsius Gsolreut in spatio, quae sunt: sol re ut. Similiter, inter voces ipsius .a. acutae, id est alamire in regula quae sunt: la mi re. Similiter in aliis.

In hac consonantia, locum habet proportio, proportionalitas et transmutata proportio. "Proportio", si comparentur voces alicuius clavis simplicis inter se, ut sol de Gsolreut ad re de clave eadem. Si vero voces unius clavis vocibus conferantur alterius clavis, ut voces ipsius Gsolreut ad voces ipsius alamire, "proportionalitas" est dicendo sic: "Sicut se habent sol et re de Gsolreut inter se, sic se habent la et mi de alamire. Quodsi transmutentur termini sic: "ergo, sicut se habet sol de Gsolreut ad la de alamire, sic re de Gsolreut se habet ad mi de alamire", "transmutata" est "proportio".

Haec consonantia simplicissima est sicut est proportio in qua fundatur, nec distinguibilis est in aliquas species, sicut nec eius proportio. Haec consonantia, propter summam unionem quam eius important voces, alias de se malas, pro quanto cadunt in eam, reddit meliores. Haec est quae nullam novit dissonantiam, nullam superioritatem, nullam inferioritatem, nullam inaequalitatem. Haec est quae cantus tenet, cantus fundat; qui in eam peccat, discordat, cantum confundit, cantum destruit. Haec est illa qua magis in cantibus planis utitur Sancta Mater Ecclesia, prout suas voces simul prolatas respicit. Nam, cum duo vel tres simul cantant, vel plures, ut dicitur vulgariter, in eodem puncto ipsi unisonum observant, quia voces illorum omnino aequales [37] esse debent; et in gravitate, et in acumine, similiter et in ascendendo et in descendendo, debent illorum aequari voces quod, si non fiat, tollitur unisonus et saepe fit magna | [P2, 55v in marg.] discordia. Hac consonantia possunt omnes uti, quantumcumque simplicissime cantent, ut Cartrusienses vel quicumque alii religiosi inclusi, non sic aliis consonantiis, ut illarum voces simul proferuntur. Secus est cum voces illarum proferuntur successive.

De unisono, quantum ad notas modernas, patet hic exemplum: (Vide

(Vide Appendix: I).

Haec dicta de unisono sufficiant. De aliis consonantiis, secundum tactum prius ordinem, prosequamur.

Capitulum XII.

Quod consonantiae sonorum inaequalium <fundentur> in proportionibus multiplicibus et superparticularibus secundum Nicomachum.

Consonantiae musicales, aliae ab unisono, inter alia conveniunt in hoc quod in proportionibus numerorum fundantur inaequalium. Cum enim voces requirant inaequales, unam scilicet gravem et aliam acutam, satis conveniens est ut eis numerorum inaequalium respondeant proportiones. Posuit autem Nicomachus et quidam alii consonantias musicales fundari in solis proportionibus multiplicibus et superparticularibus.

Ad hoc adducit Boethius, primo Musicae suae, duas rationes. Prima est, quia, cum istae consonantiae voces requirant inaequales, unam scilicet gravem, aliam acutam (gravitas autem et acumen quantitatem respiciunt), debent fundari in proportionibus quae magis conveniunt quantitati. Hae autem sunt proportiones multiplices et superparticulares. Assimilantur enim multiplices quantitati discretae quae procedit in infinitum per appositionem; superparticulares vero cum | [P1, 42v in marg.] quantitate continua quae in infinitum dilabitur [38] per divisionem. Et haec declarata sunt supra, libro primo, ubi de proprietatibus numerorum illorum est tractatum.

Et quia forsitan diceretur quod per tactam rationem videretur quod musicales consonantiae fundari possint in proportionibus superpartientibus, quia, cum procedant in infinitum per appositionem, assimilantur quantitati discretae, ideo ponitur alia ratio quae talis est: Musicales consonantiae fundari debent in proportionibus quae magis accedunt ad integritatem, unitatem et concordiam. Hae autem sunt proportiones multiplices et superparticulares. Numerus enim submultiplex semper est pars aliquota numeri multiplicis ad quem comparatur, ut pars media si sit subduplex, pars tertia si sit subtriplex, pars quadrupla si sit subquadruplex, et sic de aliis. Et sic numeri submultiplices de levi redire possunt ad unitatem et integritatem sui totius.

Numeri etiam superparticulares cum numeris superparticularibus, quibus comparantur, conveniunt in aliqua parte aliquota quae, aliquotiens sumpta, utrumque numerum reddere potest. Senarius enim et quaternarius, quorum unus ad alterum est sesqualter, partem communem aliquotam habent quae utrumque mensurat numerum, scilicet dualitatem quae, bis sumpta, praecise quaternarium constituit, et, ter sumpta, senarium; et illa pars addita quaternario ipsum reducit ad unitatem et integritatem ipsius senarii; et suo modo est in ceteris speciebus superparticularibus.

Haec autem proprietas non competit ceteris speciebus numerorum maioris et minoris inaequalitatis. Non enim habent aliquam partem aliquotam communem, aliam ab unitate quae, aliquotiens sumpta, praecise quemlibet numerorum illorum invicem comparatorum constituat. Propter has igitur rationes, Nicomachus Peripateticus posuit consonantias musicales fundari in solis proportionibus multiplicibus et superparticularibus, non in omnibus, sed in aliquibus determinatis, ut in dupla, tripla, quadrupla, in sesqualtera et sesquitertia. Posset, tamen, si placeret, apponere sesquioctavum, si tonum voluisset vocasse consonantiam. Dicit autem quod soni inaequales qui in reliquis proportionibus, aliis scilicet a praedictis, vel multimodis, vel non ita claris, vel longe omnino a se distantibus fiunt, dissonantiae existunt; nulla autem sonorum concordia procreatur. Sed isti opinioni non concordat Ptolomaeus qui, inter consonantias etiam consonas, ponit diatessaron cum [39] diapason; et tamen fundatur in proportione dupla superbipartiente, ut se habent octo ad tria.

Et quid mirum si Nicomachus paucas posuit consonantiarum proportiones quia paucas posuit consonantias? Nunc autem nomen consonantiae ad plures satis extenditur sonos. Ideo oportet, secundum hoc, ut proportiones musicales extendantur, quia cuilibet consonantiae sua respondet fundamentalis proportio. Rationes praedictae ipsius Nicomachi, | [P2, 56r in marg.] etsi videantur probare quod consonantiae musicales convenientius habeant fundari in proportionibus multiplicibus et superparticularibus quam aliis, quod tamen impossibile sit consonantias aliquas generaliter et absolute sumendo, nomen consonantiae, ut est prius visum, in aliis fundari proportionibus probare non videntur. Non enim videtur esse de intrinseca ratione consonantiae absolute sumptae fundari in solis proportionibus multiplicibus vel superparticularibus, quia etsi hoc requiratur ad aliquas iam tactas, non tamen ad omnes.

His visis, de consonantiis sonorum inaequalium prosequamur. Et primo, de diapason; deinde, de aliis, secundum prius tactum ordinem.

Capitulum XIII.

Quid sit diapason.

Diapason est consonantia sonorum inaequalium aequisonantium in dupla proportione consistens.

In hac descriptione, "consonantia" locum tenet generis in quo, cum ceteris omnibus sonis simul mixtis qui consonantiam facere dicuntur, diapason convenit. Per cetera vero, quae sequuntur, circumloquimur specificam ipsius diapason differentiam, licet in quibusdam illorum cum quibusdam aliis conveniat consonantiis et a quibusdam distinguatur; ab illo tamen, quod ultimo ponitur, distinguitur ab omnibus.

Nam, in hoc quod dicitur esse "sonorum inaequalium", ab unisono separatur et cum ceteris convenit consonantiis. Dicuntur autem soni ipsius diapason inaequales, quia gravior est unus alio, vel acutior unus reliquo.

In hoc autem quod dicitur "aequisonantium," ab omnibus ceteris consonantiis distinguitur, praeterquam a bis diapason. Dicuntur autem enim soni aequisonantes, ut tactum est prius, [40] non quia sint aequales et in aequalitate fundati, sed propter summam sonorum inaequalium huius consonantiae unionem et concordiam. In tantum enim uniuntur ut diapason, secundum Ptolomaeum, paene sit una vocula, ut talis consonantia unum quodam modo <effingat> sonum, propter quam causam hanc consonantiam aliqui vocaverunt unisonum, licet, secundum veritatem, unisonus non sit.

In hoc autem quod dicitur "in dupla proportione consistens", a ceteris omnibus distinguitur consonantiis, quia hoc sibi soli et nulli alii convenit. Quod autem consonantia haec, quae est diapason, in dupla consistat proportione, quae est prima proportio numerorum multiplicium, libro tertio, demonstrabitur. Nunc autem sufficiat hoc leviter et exemplariter declarare.

Clarum esse debet in illa proportione fundamentali consistere diapason quantum habent inter se res sonorae diapason, cum tanguntur, resonantes. Illa autem est dupla proportio, et non alia, et hoc expertus fuit Pythagoras in malleis, qui enim inter se duplam habebant in pondere proportionem, ita diapason resonabant, quod nullam aliam consonantiam et soli illi illam. Et consimiliter citharae, vel psalterii chordae duplae longior gravem et brevior <acutum> ipsius diapason sonum faciunt. Voluerunt enim Pythagorici proportiones consonantiarum in quantitate fundari et non in qualitate.

Diapason igitur in dupla consistit proportione, ut se habent duo ad unum qui sunt minimi termini naturales huius proportionis. Haec enim sola pro maiore termino primum potest respicere numerum, id est binarium. Primi autem secundarii termini duplae proportionis sunt IIII et II, secundi, VI et III.

Adhuc, quod diapason in dupla consistat proportione, per consonantias, ex quibus componi dicitur, et illarum proportiones posset declarari. Omnes enim illae simul sumptae, secundum sub et supra, diapason et duplam reddunt proportionem. Hoc autem magis apparebit, cum de illis loquemur partibus vel consonantiis partialibus ex quibus integratur diapason.

[41] Capitulum XIIII.

Unde dicitur diapason.

Dicitur autem diapason a "dia" quod est "de" et "pan" "totum" et "sonus", quasi de totis vel omnibus sonis, quia continet in se VII vocum discrimina, ut patebit libro sexto, vel quia omnium consonantiarum sonos in se claudit, quibus amplius Sancta Mater Ecclesia in planis utitur cantibus, voces illarum extremas immediate vel successive iungendo. Et sunt XIII, unisonum et diapason computando cum illis, post unisonum illas ordinando, secundum viam generationis, sic: unisonus, semitonium, tonus, semiditonus, ditonus, diatessaron, tritonus, diapente, semitonium cum diapente, tonus cum diapente, semiditonus cum diapente, ditonus cum diapente; sequitur diapason quae continet in se ceteras ipsam praecedentes. Et hoc exemplariter patet | [P2, 56v in marg.] in quodam cantu, posito in principio cuiusdam alterius brevis operis et consonantiis et tonis et tonorum vel modorum intonatione super psalmos. Ibi enim tactae consonantiae, cum dicuntur, et cantantur. Quem cantum, ut magis appareant quae dixi, hic repetere non pigebit:

| [P1, 43r; P2, 56v-57r in marg.] (Vide Appendix: II).

| [P1, 43v in marg.] Est autem advertendum quod diapason claudit in se quasdam alias consonantias de quibus non sit mentio in praetacto cantu, ut sunt comma, semitonium maius, tonus imperfectus, tonus abundans, semitritonus, tetratonus et huiusmodi, de quibus infra tangemus.

Tales enim consonantiae, licet sint possibiles et earum pulchra sit speculatio, non sunt tamen in usu, nec ex illis conficiuntur cantus, non solum ecclesiatici, sed nec alii, excepto semitritono quem in aliquo cantu vidi ecclesiastico; sed rarissime talis in cantibus reperitur consonantia. Nec mirum quod tactae consonantiae non sunt in usu, quia non sunt facilis pronuntiationis, vel non bene possibiles, quantum ad illarum aliquas, humanae voci, quicquid sit de instrumentis artificialibus.

[42] Item illarum voces nec concordant nec possunt notari secundum compositionem gammatis, saltem omnes.

Item, quod, in praedicto cantu, dicitur quod omnis cantus ecclesiasticus contexitur XIII consonantiis, quarum prima est unisonus, ultima diapason, non est per hoc intelligendum quin cantus aliquis ecclesiasticus supra diapason a suo fine possit ascendere, sed non immediate, similiter nec descendere, nam cantuum ecclesiasticorum diapason, quantum ad voces suas extremas, terminat immediatos ascensus vocum vel descensus. Ideo qui aliquantum cantum planum ecclesiasticum immediate supra diapason, utendo consonantiis quae sequuntur diapason, prout suas voces extremas immediate respiciunt, ascendere facit vel descendere, peccat, nec debet talis cantus in Ecclesia recipi.

Secus est de cantibus mensuratis. Patet in motetto illo: Non pepercit Deus nato proprio, et de quibusdam etiam planis cantibus in quibus, gratia exempli, ponuntur consonantiae altiores quam sit diapason. Iuxta quod notandum quod immediati ascensus vel descensus vocum nunc plures sunt quam essent tempore Guidonis Monachi. Pro tempore enim suo non erant nisi sex quos vocat vocum depositiones, vel elevationes, vel coniunctiones. Dicit enim quod prima vocum coniunctio est earum inter quas est semitonium, non quodcumque, sed minus, ascendendo inter mi fa vel, e converso, descendendo; secunda est earum inter quas est unus sonus, sicut inter ut re ascendendo, vel re ut descendendo; tertia est earum vocum inter quas est semiditonus, ut inter re fa ascendendo, vel mi sol, et, e converso, descendendo; quarta est earum vocum inter quas est ditonus, sicut inter ut mi, vel fa la ascendendo, vel, e converso, descendendo; quinta est earum vocum inter quas est diatessaron, ut inter ut fa, re sol, mi la ascendendo, vel, e converso, descendendo; sexta est earum inter quas est diapente, ut inter ut sol, vel re la ascendendo, vel, e converso, descendendo.

Nunc autem in cantibus ecclesiasticis plures, ut dictum est, fiunt coniunctionum voces. Sed forsitan Guido intelligit, quoad cantuum principia in quibus exemplificare videtur vel [43] intelligit, de vocum coniunctionibus in quibus non oportet uti aliqua falsa mutatione. Nunc igitur Ecclesia, in cantibus suis planis, XIII utitur consonantiis, voces illarum extremas immediate simul coniungendo in aequalitate, in elevatione vel depositione, licet rarissime vel nunquam recolam me invenisse, in cantu plano ecclesiastico, extremas voces ipsius ditoni cum diapente immediate, secundum sub et supra, coniunctas.

Adhuc patet, in praedicto cantu, inter extremas voces ipsius diapason sex includi intermedias voces. Et ideo diapason vulgariter vocatur una octava, quia claudit in se voces octo, extremas et intermedias computando. Quapropter, quoad extremas suas voces, quae solae simul vel successive immediate prolatae ipsam resonant, locum habet haec consonantia inter claves monochordi nostri litterarum et nominum consimilium, quia una illarum ad aliam est octava, si sint simplices claves Voco autem illas simplices quarum voces inter se habent unisonum, nec illis distincta respondent signa. Haec dico propter bfa[sqb]mi cuius voces sunt inaequales, et illis distincta | [P2, 57v in marg.] respondent signa. Sed de illis alias amplius tractabimus.

Tenet igitur se diapason inter duos unisonos vocum clavium consimilium litterarum, ut inter voces ipsius .D. gravis, id est Dsolre, quae sunt sol et re, et voces ipsius .d. acutae, id est dlasolre quae sunt la sol re. Et consimiliter est de aliis clavibus similium litterarum, si quis igitur compararet voces ipsius .C. gravis, id est Cfaut quae sunt fa et ut, ad voces ipsius .c. acutae, id est csolfaut quae sunt sol fa ut. Dicendo sic: "Sicut se habet fa de Cfaut ad sol de csolfaut, ita se habet ut de Cfaut ad fa de csolfaut", bona est comparatio et vera proportionalitas; utrobique enim inter voces illas comparatas est diapason. Quodsi inferatur: "Ergo, sicut se habet fa de Cfaut ad ut de cfaut, ita se habet sol de csolfaut ad fa de csolfaut", bene sequitur per transmutatam proportionem. Est enim unisonus inter voces illas invicem comparatas. Sic igitur, in hac consonantia, locum habet proportionalitas tam directa quam transmutata, et non est dubium in ea locum habere proportionem simplicem.

Iuxta quod notandum quod convenienter in tactis [44] comparationibus de diapason et unisono mentio fit, quia illae duae meliores sunt inter consonantias et ideo ceteras convenienter, de quibus in tacto cantu mentio fit, claudunt et involvunt consonantias suo modo, sicut Beatus Mattheus et Beatus Iohannes ceteros Evangelistas; nec tamen est omnino simile hic et ibi.

Hinc etiam est quod hae duae consonantiae principaliter cantus terminant vel finiunt mensuratos similiter et initiant.

Adhuc notandum est quod cum prius musici cantores VII uterentur latinis litteris, scilicet A.B.C.D.E.F.G., quibus septem respondebant claves quae, in compositione gammatis vel monochordi nostri, vocantur: Are, Bmi, Cfaut, Dsolre, Elami, Ffaut, Gsolreut, fuit superaddita clavis una, ad partem gravem, quam Gammaut vocamus. Et dicunt quidam quod Guido monachus illam addidit ut prima clavis a prima littera sui nominis inciperet. Hoc autem non videtur quia iam illa littera non esset .G. graeca, sed latina, quia non scribitur Guidonis nomen per [Gamma] graecam, nec ipse testatur illam adiunxisse ceteris. Dicit enim sic: Notae autem in monochordo hae sunt. In primis ponitur [Gamma] graecum a Modernis adiunctum; tamen non dicit a se. Item alibi sic dicit: Moderni harmoniarum varietatem considerantes apposuerunt [Gamma] scilicet graecam, ante litteras latinas septem prius positas propter multas causas, ut dicit: una, ut inter .G. graecam et A. primam litteram latinam esset tonus; secunda, ut inter [Gamma] graecam et .G. latinam | [P1, 44r in marg.] esset diapason; tertia, ut secundus tonus vel modus qui, secundum nos, regulariter finitur in D. gravi, quae quarta est littera inter latinas, per diapente descendere posset; quarta, ut haberemus diatonicum genus.

Alia potest poni ratio: ut prima clavis primam designaret vocem quae est ut secundum nos, ut, sicut, in ultima clave et altissima secundum compositionem gammatis, quae clavis est ela, ponitur una sola vox, scilicet la, quae ultima est, ultra quam non est ascensus nisi mutetur in aliam, sic, in prima et gravissima clave, quae est Gammaut, ponatur prima vox et gravissima, quae est ut, sub qua non est descensus nisi in aliam mutetur.

Sed de his amplius alias loquemur.

[45] Haec enim hic ex incidenti propterea dixi, quia, cum prioribus clavibus, cum non essent nisi septem, nec sufficerent ad resonandum diapason, rationaliter apposita est una clavis, ut essent octo, quia non decebat musicam, quoad claves, tam perfecta privari consonantia cuiusmodi est diapason.

Continetur autem diapason in compositione gammatis, quantum ad distinctis claves litterarum et vocum consimilium, quattuordecim vicibus, ut a Gammaut in Gsolreut, ab Are in alamire, etc. usque ad elami in regula in ela. Inter bfa[sqb]mi autem in spatio et bfa[sqb]mi in regula reperiuntur duae, una inter fa et fa, alia inter mi et mi.

| [P2, 58r in marg.] Capitulum XV.

Quod diapason omnium consonantiarum sonorum inaequalium in ordine perfectionis prima sit et optima.

Concordi satis sententia tenuerunt Antiqui diapason inter consonantias sonorum inaequalium, de quibus loquuntur, esse primam et optimam. Et quod sit prima via perfectionis, probatur per hoc, quia fundatur in prima proportione numerorum inaequalium cuiusmodi est dupla proportio, quia etiam in mediatione suae simplicitatis et perfectionis sequitur unisonum qui in vera fundatur aequalitate. Dupla enim proportio immediatius aequalitatem respicit et unitatem, et, per easdem rationes, probari potest diapason esse optimam et perfectissimam consonantiam.

Competit enim hic sibi, ratione suae proportionis quae perfectissima est inter proportiones terminorum inaequalium et ratione suae perfectissimae et concordissimae mixtionis et unionis. In tantum enim eius uniuntur soni, ut dicat Ptolomaeus eos aequisonare, ut est dictum, et paene unam esse voculam. Etiam propter eius bonitatem consonantias de se imperfectas, ut unam sextam vel septimam, ut immediate nituntur cadere in eam, meliores reddit, in hoc cum unisono conveniens. In signum horum, diapason, ut est tactum prius, in monochordo rationabiliter in extremis suis vocibus litteras habet consimiles, quod aliis non competit consonantiis.

[46] Ideo, secundum Guidonem, sicut septem finitis diebus eosdem repetimus, ut semper primum et octavum eundem dicamus, ita semper octavas voces easdem figuramus et dicimus, quia naturali concordia eas consonare sentimus. Propterea Nicomachus hanc consonantiam posuit esse fundamentum principium et radicem aliorum sonorum inaequalium. Dicit enim quod, sicut unitas est principium crementi et diminutionis in numeris, sic diapason in consonantiis, quia non habet aliquam proportionem sibi oppositam, ut aliae. Repugnat enim primo termino duplici, cuiusmodi est binarius, quaecumque alia proportio multiplex, quia non potest esse triplex, non quadruplex, sic de ceteris multiplicibus proportionibus. Repugnat etiam sibi omnis superparticularis proportio, quia nec sesqualter potest esse, nec sesquitertius, sic de aliis. Adhuc aliae species maioris inaequalitatis repugnant eidem binario. Hoc autem nulli alii competit termino naturali, nulli alii proportioni. Ternarius enim, qui triplex est unitatis, sesqualter est binario. Quaternarius, qui quadruplus est ad unitatem, sesquitertius est ad trinarium; sic de aliis naturalibus sequentibus terminis. Cuilibet enim plures maioris inaequalitatis competere possunt proportiones prout ad diversos conferuntur minoris inaequalitatis terminos. Ad hoc autem melius capiendum, duae ponantur figurae: prima terminos respicit naturales, qualiter scilicet fluunt ab unitate quae principium crementi consistit et diminutionis; secunda figura consonantiis deservit, qualiter scilicet a diapason oriuntur. Prima figura talis est:

(Vide Appendix: III).

Sicut igitur, in prima figura, unitas omnem antecedit numerum, et, per se sumpta, cui apponatur, non habet, sic, in secunda figura, diapason ceteras praecedit consonantias, quia eius fundamentalis, ut est dictum, proportio immediatius et prius simplicem sequitur unitatem et per prius reducitur ad aequalitatem, nec habet aliquam sibi oppositam proportionem.

[47] | [P2, 58v in marg.] Capitulum XVI.

An diapason simplex sit consonantia vel composita.

Ad videndum an diapason simplex consonantia sit, vel non, ut hoc magis appareat, alias expedit tangere consonantias, et, per ea quae dicentur, sciri poterit quae simplices et quae compositae censeri debeant.

Dico igitur quod aliquam consonantiam esse simplicem vel compositam potest intelligi multipliciter.

Uno modo inspiciendo ad sonos quorum mixtio consonantiam facit. Et, quantum ad hoc, nulla | [P1, 44v in marg.] consonantia simplex est, quia, sicut saepe dictum est, sonus unus consonantiam non facit sed sonorum rata permixtio. Omnis enim consonantia, quantumcumque minima, duos ad minus sonos invicem mixtos requirit. Et, quantum ad hoc, inspiciendo ad sonos quos in se continent consonantiae, tam extremos quam intermedios, quaedam minus, quaedam magis mixtae sunt. Hoc enim modo, comma videtur simplicissima consonantia, cum solas contineat extremas voces, deinde semitonium minus, postea semitonium maius: sic consequenter secundum ordinem quem tenent via generationis.

Alio modo potest dici consonantia aliqua composita ratione suae denominationis, et hoc dupliciter: uno modo, quod denominatio illa fiat a sonis extremis et mediis in consonantia aliqua inclusis, et, hoc modo, multae consonantiae possunt dici compositae, ut diatessaron de quattuor, diapente de quinque, diapason de omnibus; alio modo, quod denominatio illa fiat a consonantiis partialibus inclusis in aliqua consonantia, aequalibus vel inaequalibus; et, hoc modo, ditonus est consonantia composita a partibus duabus aequalibus, scilicet a duobus tonis, tritonus a tribus; et, hoc modo, multae aliae dici possunt compositae, ut bis diatessaron, bis diapente, bis diapason; quantum etiam ad partes inaequales, multae dici possunt compositae, ut semitonium cum diapente, tonus cum diapente, semiditonus cum diapente, ditonus cum diapente, semitonium cum diapason, tonus cum diapason, semiditonus cum diapason, ditonus cum diapason, diatessaron cum diapason, diapente cum diapason, sic de consimilibus. Adhuc potest dici consonantia aliqua composita ratione partialium consonantiarum inclusionis, quamvis [48] non denominetur ab illis, et, hoc modo, omnis consonantia vocum inaequalium dici potest composita praeter comma, quod est consonantia minima de qua iudicet sensus. Hoc enim modo etiam semitonium minus compositum est; continet enim tria commata et amplius quam dimidium commatis, ut infra probabitur, et ceterae omnes sequentes consonantiae ex commatibus componuntur praeter compositiones partialium consonantiarum maiorum, ut tonus ex commatibus et semitoniis, et, quantum ad hoc, quanto voces extremae alicuius consonantiae ad invicem sunt magis distantes, tanto reperiuntur ibi plures compositiones. Secundum hoc, igitur, diapason dicitur componi ex quinque tonis et duobus minoribus semitoniis, ut patebit magis infra, ex diatessaron et diapente, quae sunt principaliores eius partes, ex bis diatessaron et tono; et multas alias recipit compositiones partialium consonantiarum inclusarum quae, simul sumptae, ipsam diapason reddunt et constituunt.

Est et alius modus simplicitatis et compositionis consonantiarum a proportionibus, in quibus fundatur, acceptus. Secundum quem modum, debet illa simplex dici, quae in proportione fundatur simplici, quicquid sit de modis prioribus compositionis, et illa composita, quae in proportione fundatur composita. Voco autem proportiones simplices eas quae tres primas species numerorum maioris et minoris inaequalitatis respiciunt, ut sunt proportiones multiplices, superparticulares et superpartientes; illas vero mixtas vel compositas quae duas alias sequuntur species.

Quodsi proportio formam respiciat consonantiae, videtur quod formaliter et simpliciter debet iudicari consonantia simplex vel composita a proportione in qua fundatur, quantumcumque sit composita praedictis compositionibus, quia illae consonantias videntur respicere via imperfectionis et generationis. Consonantia igitur simpliciter et absolute debet dici simplex quae in simplici fundatur proportione, composita vero quae in composita, et tanto simplicior vel compositior, quanto in simpliciore vel compositiore habitudine radicatur. Diapason itaque, secundum hoc, est simplex consonantia, imo simplicissima, inter consonantias sonorum inaequalium, quia dupla proportio, cum sit prima omnium [49] proportionum terminorum inaequalium, et immediatius in aequalitatem reducitur, sicut ab ipsa nascitur.

Simplicissima videtur inter terminorum inaequalium proportiones, licet materialiter diapason dici possit composita, secundum praedictas compositiones, inspiciendo ad voces eius, non tantum extremas, sed intermedias | [P2, 59r in marg.] et ad partiales consonantias quas includit. Quod enim dicatur componi ex diapente et diatessaron, non est intelligendum illam compositionem esse formalem. Partes enim compositi composito sunt priores. Diapason autem formaliter diapente praecedit et diatessaron. Etiam quod proportio sesquitertia iuncta sesqualterae duplum constituat proportionem, ut patet in his terminis: IIII VI VIII, non est intelligendum formaliter duplam proportionem ex illis componi, cum illas praecedat et non solum specie, sed genere distinguantur. Iuxta quod notandum est quod, cum uni consonantiae principaliter et formaliter una respondeat proportio, illa sumenda est secundum comparationem et mixtionem sonorum extremorum illius consonantiae, non intermediorum, non quarumcumque partialium consonantiarum inclusarum. Alioquin, in tot proportionibus fundaretur aliqua consonantia <quot> possunt esse combinationes et habitudines sonorum illius consonantiae tam mediorum inter se et ad extremos quam etiam extremorum inter se! Et tunc una consonantia simpliciter et formaliter tot essent consonantiae <quot> partiales consonantias et proportiones in se claudit!

Sed bene partiales consonantiae et illarum proportiones, simul iunctae, exemplariter et argumentative in notitiam ducunt consonantiae cuius sunt et ipsius proportionis. Supposito enim quod diapason in se contineat diapente et diatessaron, quae, secundum sub et supra, praecise reddant diapason; supposito etiam quod diapente consistat in proportione sesqualtera et diatessaron in sesquitertia, potest in numeris argui diapason fundari in proportione dupla, et quae chordae sonent diapason, similiter et quae voces. Quod autem sesquitertia proportio iuncta sesqualterae, vel e converso, duplam constituat, patet in his terminis: II III IIII. Binario sesqualter est trinarius, et trinario sesquitertius est quaternarius. Ex his autem planum est inter terminos extremos proportionem nasci duplam. Quaternarius enim duplus est ad binarium. Eodem modo esset si, e converso, ad acutiorem poneretur diatessaron vel eius proportio, ut in his patet terminis: <III IIII VI>. Similiter supposito diapason [50] constitui ex bis diatessaron et tono, et supposito tonum in sesquioctava fundari proportione, probari potest, ex hoc, diapason in dupla proportione fundari. Nam duae proportiones sesquitertiae continuae cum una sesquioctava duplam reddunt proportionem. Patet hoc in terminis sequentibus: IX XII XVI XVIII. Inter XII et IX est proportio sesquitertia; | [P1, 45r in marg.] similiter, inter XVI et XII; et inter XVIII et XVI, est proportio sesquioctava; et planum est, inter extremos terminos illarum habitudinum, duplam esse proportionem. Dictum est enim supra, quod proportiones, invicem iunctae, alias efficiunt proportiones. Duae enim primae superparticulares proportiones primam multiplicem, scilicet duplam faciunt proportionem. Ex prima vero proportione multiplici et prima superparticulari, secunda consurgit multiplex proportio, scilicet tripla. Et ex secunda multiplicitatis proportione et secunda superparticulari nascitur tertia multiplicitatis species, scilicet quadrupla. Sed, quae diximus exemplariter in lineis vel chordis, declaremus et gammatis vocibus:

| [P2, 59v in marg.] (Vide Appendix: IIII).

Ponitur autem convenientius diatessaron supra diapente quam e converso, quia melior consonantia debet fundare minus bonam.

Est autem advertendum quod cum diapason ex multis aliis partibus integretur, posset ex illis, simul iunctis, secundum sub et supra, et, ex earum proportionibus, haberi diapason in sonis et ipsius dupla proportio in numeris.

Sed sufficiant inductiones quae factae sunt, quia illae partes eius respiciunt principaliores et notiores.

Capitulum XVII.

Quod diapason constet ex quinque tonis cum duobus minoribus semitoniis.

Cum tactum sit diapason ex diapente diatessaronque constare, diapente autem, ut nunc supponimus, ex tribus constat tonis cum minore semitonio, et diatessaron ex duobus cum semitonio minore. Sequitur ex hoc diapason [51] constare ex quinque tonis cum duobus minoribus semitoniis. Idem itiam patet per hoc, quod dictum est supra, diapason habere locum inter duos unisonos vocum clavium consimilium litterarum ipsius gammatis, ut inter voce ipsius Cfaut et csolfaut, vel Dsolre et dlasolre, sic de similibus. Clauduntur autem quinque toni cum duobus minoribus semitoniis inter dictas voces. Et hoc in exemplo patet sequenti:

(Vide Appendix: V).

Primo enim hic in ascendendo ponitur tonus, qui est inter ut re; secundo, tonus re mi; tertio, semitonium minus, inter mi fa, ascendendo; quarto, tonus fa sol; quinto, tonus sol la, sexto, tonus, inter la de alamire, quae mutatur in re, et mi de bfa[sqb]mi; septimo semitonium minus, inter mi fa.

Haec autem ad denotandum, duas adiunxi litteras, scilicet .t. ad significandum tonum, et .s. ad significandum semitonium. Et sic est in vocibus ipsius diapason intensae cuius voces procedunt ascendendo. Ita est, e converso, in vocibus ipsius diapason praemissae, cuius voces se sequuntur descendendo. Sed, tam hic quam ibi, inter extremas voces ipisius diapason, quinque clauduntur toni cum duobus minoribus semitoniis. Et in hoc distinguitur diapason ab omnibus consonantiis. Ipsa enim sola praecise continet in se quinque tonos cum duobus minoribus semitoniis.

Hoc nunc sufficiat sic leviter et exemplariter declarasse qui istud infra efficacius probabitur contra Aristoxenum qui posuit diapason ex sex | [P1, 45v in marg.] tonis constare, quod verum non est. Superant enim sex toni integri diapason in commate. Et cum diapason voces octo contineat, ut in exemplo patet posito, convenienter octochordum ab octo chordis diapason resonantibus denominatum existit, ut tetrachordum a quattuor diatessaron resonantibus, et pentachordum a quinque quae diapente resonant. De quibus infra dicemus.

[52] Capitulum XVIII.

De divisione ipsius diapason.

Diapason, cum multas includat partiales consonantias, potest dividi, secundum illas, non tanquam in partes subiectivas, sed integrales et quasi materiales, ut in diapente et diatessaron, in bis diatessaron | [P2, 60r in marg.] et tonum, quae principaliores eius partes sunt, ut est dictum, maxime diapente et diatessaron quae sunt harmonice consonae, ut, quantum ad <hanc> consonantiam, aequisona ex consonis componatur.

Recipit autem et multas alias divisiones, ut in tonum cum diapente et semiditonum, in semitonium cum diapente et ditonum, in tritonum et semitritonum. Omnes enim dictae partes, simul iunctae, secundum sub et supra, diapason constituunt in vocibus et illarum proportiones, simul sumptae, duplam in numeris proportionem reddunt; et de aliquibus, quod ita sit, prius est ostensum.

Idem de aliis declarari posset, sed haberet longum <tractatum>, quia oporteret loqui de proportionibus omnium consonantiarum partialium in diapason inclusarum.

Quamvis autem diapason multas, ut dictum est, partialium consonantiarum et vocum recipiat sectiones, nullam tamen recipit in partes aequales, quae simul sumptae, secundum sub et supra, diapason praecise reddant. Si enim dividatur in bis diatessaron, remanet integer tonus qui indivisibilis est in aequales partes, ut infra probabitur.

Item dupla proportio indivisibilis est in duas aequales proportiones, quia inter terminos duplae proportionis quoscumque, irreperibilis est terminus medius habens talem proportionem ad minorem terminum qualem habet maior terminus ad illum medium terminum. Nam inter VIII et IIII non mediat aliquis terminus qui aequalem proportionem habeat ad quattuor, quam habent octo ad terminum illum medium. Eodem modo est de quibuscumque aliis terminis duplae proportionis. Hoc tamen generaliter requiritur ad hoc ut aliqua consonantia et eius fundamentalis proportio divisibilia sint in partes aequales.

Item proportio illa indivisibilis est in partes aequales, [53] cuius minimi termini sola unitate distinguuntur, ut infra patebit. Minimi autem termini duplae proportionis sunt huiusmodi ut binarius et unitas.

Item, cum sex voces medient inter extremas voces ipsius diapason, nulla illarum habet aequalem distantiam ad extremas ipsius diapason voces, ut patere potest per inductionem in exemplo prius posito.

Sed forsitan instabitur contra dicta sic: Terminus duplex quicumque divisibilis est in duas partes aequales, quia in duas medietates; ergo, similiter proportio dupla divisibilis est in proportiones duas aequales et, per consequens, diapason. Item, inter extremos terminos duplae proportionis secundarios bene cadit terminus medius, aequaliter illam dividens proportionem. Senarius enim aequaliter respicit octonarium et quaternarium, quia aequali differentia distinguitur ab utroque, scilicet dualitate. Responsio: Dupla proportio distinguitur a termino duplo, ut est prius tactum, sicut proprietas relativa a suo fundamento, aequalitas a quantitate, similitudo a qualitate. Ideo non sequitur quod illud, quod convenit uni illorum, conveniat alteri, ut quod proportio dupla divisibilis sit in duas aequales proportiones, licet terminus duplex in duas partes aequales partibilis sit. Nec dicitur dupla proportio, quia claudat in se duas aequales proportiones, sed quia fundatur super terminum qui alium dupliciter continet, vel quia habet submultiplicem ad quem refertur terminum. Adhuc non competere videtur termino duplici formaliter, ut duplex est, in duas dividi partes aequales, sed materialiter et absolute ratione sui generis, quia est numerus par. Omnis enim numerus duplex est numerus par. Alias numerus submultiplex non posset in duas dividi partes aequales, nec esse par, cum ex opposito et formaliter distinguantur.

Item, si ex hoc deberet censeri proportio aliqua divisibilis in partes aequales, quia fundatur super terminum divisibilem in partes aequales, sequeretur multas proportiones superparticulares divisibiles in aequales partes, quod falsum est, ut probabitur infra; et alia multa inconvenientia sequuntur ad illud dictum.

Item, dupla proportio, quam requirit diapason, ipsam [54] diapason non dividit, sed fundat et causat. Hoc autem patet in psalterii chordis quarum una in duplo longior est alia, ceteris paribus; hae si tangantur, diapason resonant; longior gravem, brevior acutum ipsius diapason reddunt sonum. Brevior igitur chorda, quae media pars maioris est, non mediat inter sonos extremos ipsius diapason, sed extremam illius, id est acutam, tenet vocem; nec duae tales aequales partes diapason mediarent, sed inter se unisonum haberent. Dividere igitur longiorem chordam illarum duarum quae sonant diapason in duas partes aequales, scilicet in duas medietates, non est mediare diapason, sive causare voces quae aequaliter medient inter extremas voces ipsius diapason. Etiam illae voces nec inaequaliter mediant sed ex parte alterius extremi vocum diapason, ut dictum est, se tenent, inter se unisonantes et, ad totalem chordam in duplo illis longiorem, ceteris paribus, habentes diapason. Sic igitur patet, tam in numeris quam etiam in sonantibus chordis, quod non sequitur, si fundamentum duplae proportionis divisibile sit in duas medietates, quod proportio dupla in duas medietates vel aequales partes sit partibilis. Quod autem inter terminos secundarios duplae proportionis reperiatur medius terminus aequaliter compartibilis extremis terminis illius habitudinis, ut senarius quaternario | [P2, 60v in marg.] et octonario, verum est quantum ad medietatem arithmeticam. Sed nunquam est hoc verum in dupla proportione in quibuscumque terminis, quoad proportionalitatem geometricam quae aequalitatem requirit proportionum, non aequalitatem differentiarum.

Consonantiae autem musicales proportiones respiciunt geometricas, non arithmeticas; unde consonantia divisibilis in duas partes aequales fundatur in proportione divisibili in duas proportiones aequales geometricas. Patet de bis diapason, de ditono, et consimilibus. Quadrupla enim proportio, in qua fundatur bis diapason, in duas duplas proportiones divisibilis est. Similiter proportio, in qua ditonus fundatur, quae est super decem et septem partiens, quemadmodum se habent 81 ad 64, | [P1, 46r in marg.] divisibilis est in duas aequales proportiones, scilicet duas sesquioctavas. Nunquam autem proportio aliqua partibilis est in aequas proportiones, quin inter terminos illius proportionis mediet aliquis terminus eandem proportionem geometricam habens ad minorem terminum [55] illius proportionis, quam habet maior terminus ad ipsum. Patet in quadrupla proportione quae est inter octo et duo. Quaternarius enim medians inter positos terminos duplex est binario, similiter octonarius duplus est quatrinario. Similiter inter extremos terminos ditonalis proportionis qui sunt 81 and 64, terminus medians, qui est 72, sesquioctavam proportionen habet ad 64, et 81, sesquioctavam proportionem ad dictum medium terminum. Inter terminos autem quoscumque duplam habentes proportionem reperiri nequit medius terminus qui eandem proportionem geometricam habeat ad minorem quam habet maior ad ipsum.

Etsi, quandoque, inter extremos terminos duplae proportionis reperiantur duae aequales proportiones geometricae mediantes, illae tamen, simul sumptae, nunquam attingunt ad duplam proportionem. Patet hoc de duabus sesquitertiis continuis proportionibus repertis inter aliquos terminos duplices, ut inter XVIII et IX. Est una sesquitertia proportio inter XVI et XII, et alia inter XII et IX. Sed illae non attingunt ad proportionem duplam quae est inter XVIII et IX. Deficit enim sesquioctava proportio, quae est inter XVIII et XVI; sic bis diatessaron non attingunt ad diapason, quia deficit tonus.

Haec nunc dicta de diapason sufficiant. Infra, de speciebus eius, et modis, et tonis, qui descendunt ab illis, disseremus.

De ceteris consonantiis prosequamur. Et primo, secundum tactum prius ordinem, de diapente cum diapason, quae ratione suae proportionis immediate sequitur diapason. Ideo Nicomachus ipsam post diapason, quia tripla proportio immediate duplam consequitur quantum ad multiplices proportiones, ordinavit.

Capitulum XVIIII.

Quid sit diapente cum diapason, vel e converso.

Diapente cum diapason, vel e converso, est consonantia vocum inaequalium concorditer sonantium in tripla [56] consistens proportione, ut VI ad II se habent, et IX ad III.

Consonantia ponitur hic loco generis in quo cum ceteris omnibus convenit. In hoc vero, quod dicitur "vocum inaequalium", distinguitur ab unisono et cum aliis convenit consonantiis; per hoc autem, quod additur "concorditer sonantium", convenit cum consonantiis quarum voces simul prolatae apud auditum concorditer se faciunt et distinguitur ab illis quarum voces apud auditum simul discordant. Sed, per hoc, quod additur "in tripla proportione consistens", ab omnibus distinguitur consonantiis, quia sola et omnis talis consonantia in tripla fundatur proportione in quali, ut dictum est, se habent sex ad duo, et novem ad tria, et tria ad unum qui sunt minimi termini triplae proportionis. Quod etiam in tali fundetur proportione, patet in psalterii vel citharae chordis; nam illae, quarum in triplo una longior est alia, ceteris paribus, si tangantur, hanc sonant consonantiam, quia triplam inter se servant proportionem, ut in exemplo patet sequenti. Item quod haec consonantia in tripla constet proportione, cum de partibus eius tangetur integralibus, quae, simul sumptae, secundum sub et supra, hanc praecise reddunt consonantiam, multipliciter ostendetur:

(Vide Appendix: VI).

Capitulum XX.

| [P2, 61r in marg.] De nomine huius consonantiae.

Haec consonantia cum nomine careat proprio et simplici, eius nomine dupliciter circumloquimur, uno modo ex aliquibus partialibus consonantiis quas continet, alio modo a numero vocum quas in se agregat.

Quantum ad primum modum suae nominationis, vocatur haec consonantia diapente cum diapason, vel e converso. Continet enim dictas consonantias quae, simul iunctae, secundum sub et supra, consonantiam hanc praecise reddunt, et illarum proportiones triplam faciunt proportionem, ut patebit inferius. Licet autem haec consonantia multas alias in se claudat partiales consonantias, a praedictis tamen denominatur, quia sunt digniores, perfectiores, principaliores et notiores. A digniore autem denominatio solet fieri. Hoc [57] etiam generale est ut consonantiae sequentes diapason, a diapason et partiali consonantia quam continent ultra nomen suum sumant, ut tonus cum diapason, semiditonus cum diapason, sic de aliis; et sic haec consonantia ab una aequisona, scilicet diapason, et alia consona, scilicet diapente, traxit nomen.

Item dicitur haec consonantia vulgariter una duodecima, quia continet in se XII voces, duas extremas et decem intermedias. Diapente enim cum diapason, cum simul iunguntur, tot continent voces. Etiam inter claves gammatis quae hanc resonant consonantiam, ut inter tertiam litteram latinam .C., quae dicitur .C. gravis, scilicet Cfaut, et tertiam decimam, scilicet .g. acutam quae est gsolreut in regula, XII continentur voces; quod in exemplo patet sequenti:

(Vide Appendix: VII).

| [P1, 46v in marg.] Habet haec consonantia locum inter multas claves ipsius gammatis, quia nonies potest ibi reperiri, ut inter Gammaut et dlasolre, inter Are et elami in regula, etc., usque ab alamire in spatio ad ela, quae ultima clavis est; unde claves, quarum una ad aliam est duodecima, hanc resonant consonantiam, quantum ad voces suas.

Et, ne capitulum oporteat facere speciale, potest ex dictis apparere hanc consonantiam continere in se octo tonos cum tribus minoribus semitoniis. Diapason enim claudit in se tonos quinque cum duobus minoribus semitoniis, et diapente tres tonos cum uno minore semitonio. Hoc etiam patet ex descriptione prius posita XII vocum quas haec continet consonantia. Item cum haec consonantia XII voces in se claudat, duodecachordum ab ea vocatum est instrumentum chordarum XII.

Quamvis autem haec consonantia ex diapason et diapente componatur, et una illarum partium supra, et alia inferius, ad gravem partem poni possit, convenientius tamen diapente supra diapason ponitur quam e converso, propter causam prius dictam, quia melior consonantia in fundamento praecedere debet minus bonam. Per hoc autem quod haec consonantia praecise claudit in se tonos octo, cum tribus minoribus semitoniis, ab omni alia distinguitur consonantia. Hoc enim sibi soli competit.

[58] Capitulum XXI.

Haec consonantia an sit simplex.

Consonantia haec, si ad voces eius extremas et intermedias attendatur et ad partiales eius in ea contentas consonantias, ex quarum aliquibus, ut est dictum, nomen suum sumpsit, secundum ea quae | [P2, 61v in marg.] prius dicta sunt, multipliciter dici potest composita. Habet enim multas, ut sic, in se partes. Quanto enim extremae voces alicuius consonantiae magis a se distant, tanto talis consonantia, et plures voces, et plures partiales consonantias, in se claudit.

Constat haec consonantia ex diapason et diapente a quibus partibus nominatur, ut est dictum. Item ex diapason, diatessaron et tono. Item ex bis diapente et diatessaron. Item ex bis diatessaron, diapente et tono. Item ex ter diatessaron et ditono, et ex multis aliis partialibus consonantiis quae, simul iunctae, secundum sub et supra, hanc reddunt consonantiam. Et proportiones illarum contentarum consonantiarum huius consonantiae proportionem, scilicet triplam, reddunt.

Sed cum tripla proportio, in qua fundatur haec consonantia, sit simplex, inspiciendo ad eam, debet haec consonantia simplex dici. Hoc autem est illud a quo magis debet iudicari consonantia aliqua simplex vel composita, quia extremae eius voces et proportio, quae est inter eas, sunt ea quae hanc faciunt consonantiam, circumscriptis aliis inclusis partialibus consonantiis et illarum proportionibus. Non enim componitur tripla proportio formaliter ex quibuscumque aliis proportionibus, sed formaliter et specifice distinguitur ab illis.

Sed bene aliqua proportio, quantumcumque simplex sit, consurgere et manifestari potest ex multis aliis proportionibus, etiam ex composita et simplici, et tanto ex pluribus, quanto termini illius proportionis maiores sunt et amplius a se distantes. Nam tripla proportio, quae est inter XII et IIII, provenire potest ex additione simplicis superparticularis proportionis ad proportionem compositam ex multiplici et superparticulari sic: IIII X XII. Denarius quaternario duplex sesqualter est, duodenarius denario sesquiquintus. [59] Duodenarius vero quaternario triplex est, vel superparticularis proportionis simplicis ad proportionem duplam supertripartientem, ut in his terminis: IIII, XI, XII, vel ex pluribus superpartientibus proportionibus simplicibus, ut ostendunt hi termini: IIII, VII, XII.

Quod igitur tripla proportio consurgat ex multis aliis proportionibus, simul iunctis, non arguit ipsam esse compositam formaliter et specifice, similiter nec consonantia quam fundat; et, per consequens, ex partialibus consonantiis, quarum proportiones, simul iunctae, aliquam simplicem reddunt proportionem, non debet consonantia in illa simplici fundata proportione censeri composita formaliter et specifice.

Et ideo, salva simplicitate huius consonantiae formali, declaremus qualiter eius partes prius tactae, simul iunctae, hanc reddant consonantiam et illarum proportiones triplam proportionem, quia in illis pulchra iacet speculatio. Hoc autem est unum circa quod amplius volam insistere, scilicet circa proportiones consonantiarum.

Primo igitur hanc consonantiam constare ex diapason et diapente, si ad partes aspiciatur quas includit, ostendamus, tam in numeris, quam in chordis, quam in sonis.

Patet hoc in numeris, quia sesqualtera proportio, in qua fundatur diapente, ut supponimus, iuncta duplae, triplam reddit proportionem. Dictum enim prius est ex prima proportione multiplicitatis, quae est dupla habitudo, et prima superparticularitatis, quae est sesqualtera, nasci secundam multiplicitatis speciem; et illa est proportio tripla, ut sequentes ostendunt termini: 2 4 6. Inter quattuor et duo, dupla proportio est; inter sex et quattuor, sesqualtera; inter sex et duo, tripla. Vel potest poni dupla proportio ad gravem partem et sesqualtera ad acutam, mutato termino medio, ut ponatur trinarius pro eo et maneant primi extremi termini; et disponantur sic: 2 3 6.

Idem declaretur in chordis: Sint tres chordae et prima et maior ad mediam sit dupla, et illa media ad tertiam sit sesqualtera. Sequitur ex hoc ut prima ad tertiam sit tripla, et eadem inter extremas nascetur chordas proportio, si media, respectu maioris, fit subsesqualtera, et, ad minorem, dupla. Similiter si sint tres voces, secundum sub et supra, et media ad graviorem habeat diapason, et eadem media ad aliam habeat diapente, extremae inter se habebunt diapason cum [60] diapente. De his patent exempla:

| [P2, 62r in marg.] (Vide Appendix: VIIIa).

| [P1, 47r; F, 110v in marg.] Item dictum est hanc consonantiam constare ex diapason, diatessaron et tono. Harum enim proportiones, simul iunctae, triplam reddunt proportionem, et partes illae, simul iunctae, hanc faciunt consonantiam. Patet hoc in numeris primo.

Sumantur numeri sequentes: 24 12 9 8.

Inter 24 et 12, dupla iacet proportio in qua diapason fundatur: inter 12 et 9, sesquitertia, in qua diatessaron, ut nunc supponimus; inter 9 et 8, sesquioctava, in qua tonus. Comparentur iam inter se extremi termini illarum habitudinum, et apparebit, inter illos, tripla proportio; et illa est quam quaerimus. Et hic quidem duplam proportionem ad numeros maiores, qui gravitatem denotant, posuimus, et sesquitertiam proportionem, et sesquioctavam ad minores numeros.

Posset autem e converso fieri, ut in his patet terminis: 36 32 24 12. Item posset poni sesquioctava proportio inter duplam et sesquitertiam, sicut tonus potest mediare inter diapason et diatessaron, vel e converso, ut termini denotant sequentes: 36 18 16 12, vel e converso, quoad duplam et sesquitertiam proportionem, ut hic: 48 36 32 16. Qualitercumque autem tres illae proportiones, scilicet dupla, sesquitertia et sesquioctava, invicem combinantur, in extremis terminis illarum comparationum tripla proportio semper invenitur.

Consimiliter, si dictae tres proportiones in chordis observentur, tripla proportio | [F, 111r in marg.] inter extremas nascetur et resonabunt illae consonantiam hanc. Sint enim quattuor chordae, prima et longior ad secundam dupla, et illa secunda ad tertiam sesquitertia, quae ad quartam sit sesquioctava. Sequitur ex hoc, inter extremas illas chordas, triplam esse proportionem, et possunt dictae tres proportiones in chordis diversimode combinari, ut ostensum est in numeris. Sint etiam quattuor soni et inter primum, scilicet graviorem, ad secundum sit diapason, ad quem tertius sonet diatessaron, et quartus ad illum distet tono; distabit ille quartus a primo [61] per diapente et diapason. Tonus enim cum diatessaron facit diapente. Et possunt esse ibi varietates illae quae tactae sunt in numeris. Haec ut magis appareant, quae sequuntur descriptiones videantur:

| [P2, 62v in marg.] (Vide Appendix: VIIIb).

Item dictum est consonantiam istam constare ex bis diapente et diatessaron. Hoc patet in numeris, si duae continuae proportiones sesqualterae cum una sesquitertia triplam faciant proportionem.

Sumantur igitur, ad experiendum hoc, hi termini: 18 12 8 6.

Sunt hic duae continuae proportiones sesqualterae, una inter primum terminum et secundum, alia inter illum secundum et tertium, et una sesquitertia inter tertium terminum et quartum, qui est minimus terminus. Modo planum est, inter extremos terminos illos, triplam esse proportionem.

Possent autem poni dictae proportiones e converso in terminis qui sequuntur: 24 18 12 8. Sed primus modus convenientior est.

Idem patet in quattuor chordis, quarum maior ad secundam sesqualteram habeat proportionem, et consimilem proportionem habeat illa media ad tertiam, et illa tertia sesquitertiam ad quartam. Si sic fiat, habebit prima ad quartam triplam proportionem, et in sonis, si hoc fiat, haec consonantia proveniet. Bis enim diapente et diatessaron octo faciunt tonos cum tribus minoribus semitoniis. Sequuntur exempla de his:

(Vide Appendix: VIIIc).

| [P1, 47v in marg.] Item, sicut hanc reddunt consonantiam bis diapente et diatessaron (et posset mediare diatessaron inter duas diapente, licet de hoc non exemplificaverimus), sic eandem reddunt consonantiam bis diatessaron, diapente et tonus. Harum enim partialium consonantiarum proportiones, simul iunctae, triplam faciunt proportionem et illarum, simul iunctae, voces VIII tonos cum tribus minoribus semitoniis constituunt.

Sumantur hi termini: 48 36 27 18 16.

Primus terminus, qui maximus illorum est, sesquitertius est ad secundum, et secundus ad tertium; tertius autem ad [62] quartum sesqualter est, et quartus ad quintum sesquioctavus; primus autem ad quintum triplex; et possunt esse diversae situationes dictarum proportionum inter se, ut de prioribus partibus est. Si quis autem dictas proportiones in chordis observaverit, nascetur inter extremas chordas tripla proportio, et illae, simul pulsae, hanc resonabunt | [P2, 63r in marg.] consonantiam. Et consimiliter est in sonis, ut in exemplis patet:

(Vide Appendix: VIIId).

Rursus ter diatessaron cum duobus tonis, quoad voces et proportiones suas, simul iunctas, hanc in sonis reddunt consonantiam, et, in numeris, ipsius fundamentalem proportionem. Sed oportet | [F, 111v in marg.] hic numeros sumere maiores; et sint hi: 192 144 108 81 72 64.

Non possent sumi minores ad hoc declarandum propositum. Primus, qui est maximus tactorum numerorum, est sesquitertius ad secundum, et ille secundus similiter est sesquitertius ad tertium, et tertius ad quartum; nam, quilibet illorum minorem, cui comparatur, habet totum et illius tertiam partem praecise; sic sunt ibi tres continuae proportiones sesquitertiae. Item quartus ad quintum est sesquioctavus, et similiter quintus ad sextum, et sic sunt ibi duae sesquioctavae proportiones continuae inunctae tribus sesquitertiis. Videatur igitur extremorum terminorum proportio. Illa est quam quaerimus, scilicet tripla, in qua fundatur consonantia de qua nunc tractamus. Hae proportiones si serventur in chordis, exhibit inter extremas chordas tripla proportio. Disponantur enim sex chordae, et sit prima ad secundam sesquitertia, similiter illa ad tertiam, et tertia ad quartam; quarta vero ad quintam sesquioctava, et similiter illa ad sextam. Si sic fiat, erit prima ad sextam tripla. Similiter et in sonis, dictae partes hanc reddunt consonantiam, ut probat exemplorum sequens positio:

(Vide Appendix: VIIIe).

Quamvis haec consonantia contineat in se partes alias, sufficiant tamen priores inductiones, quia illae respiciunt partes ipsius principaliores quarum proportiones sunt multiplices vel superparticulares.

Constat enim haec consonantia ex diapason cum maiore [63] semitonio et semitritono. Item, ex diapason cum minore semitonio et tritono. Item, ex diapente, tritono et semitritono. Item, ex diapason, ditono et semiditono. Item, ex hexatono, semitonio minore et semitritono, et ex multis aliis partibus non multum notis, non facilis prolationis, et quarum proportiones taediosiores sunt, quia superpartientes.

Iam | [P2, 63v in marg.] multipliciter patet, quod proportio et quae locum habeat in hac consonantia, in qua locum habere potest tam medietas directa quam permutata | [P1, 48r in marg.] in numeris, chordis et sonis.

In numeris, si sic dicatur: "Sicut se habent IX ad III, sic VI ad II", est hic medietas geometrica secundum triplam proportionem. Et si inferatur: "Ergo, sicut habent se IX ad VI, sic III ad II", est transmutata medietas.

Quantum ad chordas, imaginentur quattuor chordae quarum prima ad secundam sit tripla, et similiter tertia ad quartam. Adhuc sit prima ad tertiam sesquioctava, similiter et secunda ad quartam. Hoc supposito, quantum ad dictas chordas, sic dicatur: "Sicut se habet prima ad secundam, sic tertia ad quartam". Et inferatur in ulterius: "Ergo sicut se habet prima ad tertiam, sic secunda ad quartam". In primo processu est directa medietas, in secundo transmutata.

In vocibus autem sic: "Sicut se habent voces ipsius .C. gravis, idest Cfaut, ad voces .g. acutae, idest gsolreut in regula, ita se habent voces .D. gravis, id est Dsolre, ad voces .a. superacutae, idest alamire in spatio". Et, permutatim: "Ergo sicut se habent voces ipsius Cfaut ad voces ipsius Dsolre, ita se habent voces ipsius gsolreut in regula ad voces ipsius alamire in spatio". Et in multis aliis locis compositionis gammatis possent tales fieri comparationes.

Quae autem hic gratia exempli tangimus de clavibus et vocibus compositionis monochordi, quod in gammate continetur, inferius magis apparebunt.

Est autem notandum quod, quamvis consonantia ista sit alta, quia multum distant ab invicem eius extremae voces, potest tamen habere locum in motettis, cantilenis, conductis et organis, ubi non sunt nisi duo cantus; magis tamen habet locum, ubi sunt tres mensurati cantus vel plures, ut in triplis et quadruplis. Qui enim plures mensuratos cantus facit, pluribus uti potest consonantiis.

[64] Capitulum XXII.

Consonantia ista an sit in partes aequales divisibilis.

Resolubilis est haec consonantia in partes multas, cum multas partes, ut est visum, in se contineat quae ipsam, simul sumptae, reddunt; et principalior eius divisio est in diapason et diapente, a quibus denominatur; et conveniens est, cum huius extremae voces multum sint distantes, ut aliqua vox vel aliquae, quae eius denotant partes, medient inter illas.

Cum autem dividitur in diapason et diapente, vox medians, si ad gravem vocem extremam habet diapason, ad acutam habet diapente, vel e converso.

Recipit autem haec consonantia multas alias divisiones in partes integrales, quia multas tales partes habet, ut est visum. Nullam tamen recipit in duas partes aequales vel tres.

Hoc enim eius repugnat proportioni, hoc repugnat eius vocibus.

Tripla enim proportio indivisibilis est in duas proportiones aequales, similiter et in tres, non obstante quod numerus triplex in tres partes aequales divisibilis sit, ut supra visum est de numero duplo, quia rationes ibi positae et hic locum habent.

Hoc etiam patet in sonis, quia octo toni cum tribus minoribus semitoniis nec possunt in duas partes aequales dividi, nec in tres. Et inter XII voces quas continet haec consonantia, nulla media aequalem distantiam ab extremis habere potest, similiter nec duae illas partes inaequas dividere possunt.

Haec de diapente cum diapason nunc dicta sufficiant. De bis diapason prosequamur.

Capitulum XXIII.

Quid sit bis diapason.

Bis diapason est consonantia inaequalium vocum aequisonantium in quadrupla fundata proportione.

Voces huius consonantiae, quamvis sint multum inaequales, [65] quia multum a se distantes, dicuntur tamen, secundum Ptolomaeum, aequisonantes propter magnam unionem et concordiam quam in se continent, et, in hoc, cum diapason convenit haec consonantia. Has enim solas Ptolomaeus vocat aequisonantes, et omnibus ceteris consonantiis vocum inaequalium praeponit eas, ut ceteris perfectiores. Videtur enim Ptolomaeus ordinasse consonantias inspiciendo ad ipsarum concordiam maiorem et minorem, Nicomachus vero, ad ipsarum proportionem. Nec videtur inconveniens ut, secundum diversas considerationes, una consonantia aliam praecedat et sequatur. Haec enim priorem praecedit ratione concordiae et bonae mixtionis vocum suarum extremarum, sed sequitur eam ratione proportionis, | [P2, 64r in marg.] quia tripla proportio quadruplam antecedit. In hoc autem quod haec consonantia fundari dicitur in quadrupla proportione, ceteris ab omnibus distinguitur consonantiis. Haec enim sibi soli competit et omni.

Quod autem haec consonantia melioris sit concordiae quam praecedens veniatque communiter bonitas consonantiae, ex ipsa proportione forte provenit, quia partes principaliores ipsius perfectiores meliorisque sunt mixtionis quam praecedentis, ut bis diapason quam diapente cum diapason. Compositum autem naturam sapit componentium. Haec enim ex duabus partibus aequisonantibus componitur, alia vero ex aequisonante et consona. Etiam quadrupla proportio ex duabus perfectissimis surgit proportionibus, scilicet ex duabus duplis, tripla autem ex dupla et sesqualtera. Plus autem inter se conveniunt et uniuntur duae duplae proportiones quam sesqualtera cum dupla. Quid igitur mirum, si soni, in quadrupla fundati proportione, magis ad invicem uniantur et melioris sint mixtionis quam qui in tripla?

Potest tamen quadrupla proportio ex multis aliis surgere proportionibus, quia consonantia haec multas alias habet partes quae ipsam reddunt in sonis, et illarum proportiones quadruplam proportionem in qua dicitur haec consonantia fundari, ut se habent VIII ad II et IIII ad unitatem, qui sunt minimi termini quadruplae proportionis. Et quod haec consonantia in quadrupla fundetur proportione, patet in sonoris instrumentis.

[66] Sufficiat autem, de hac consonantia et aliis, proportiones declarare in chordarum mensuris. In paucioribus enim via, magis experimento, addiscere possumus psalterii chordas quadruplam inter se proportionem habentes hanc resonare consonantiam, ut sequens aperit descriptio:

(Vide Appendix: VIIII).

| [P1, 48v in marg.] Capitulum XXIIII.

De nomine huius consonantiae.

Consonantia ista nomine caret proprio, sicut et praecedens. Ideo, propter nominum penuriam, ex aliquibus suis partibus nominatur, similiter et a vocum numero quem continet. Dicitur enim bis diapason, quia diapason duplicata et bis dupla proportio hanc praecise faciunt consonantiam et ipsius quadruplam constituunt proportionem. Licet autem consonantia haec multas alias contineat partes, illae tamen perfectiores sunt et digniores quae tactae sunt. Ideo convenientius ab illis nuncupatur.

Et bene dicitur aequisona, non modo propter bonam concordiam et mixtionem vocum suarum extremarum, sed propter aequisonantiam dictarum suarum partium a quibus nomen trahit et mensuram.

Adhuc, cum habeat haec consonantia, praeter voces extremas, XIII intermedias, dicitur una quintadecima. Tot enim voces in bis diapason continentur, et, inter voces clavium hanc resonantes consonantiam, quindecim soni sunt, ut exemplum notat suppositum:

(Vide Appendix: X).

| [P2, 64v in marg.] Continetur haec consonantia sexies in compositione gammatis, ut a .[Gamma]. graeca, idest Gammaut, in ipsam .g. latinam, scilicet in gsolreut, non in spatio, sed in regula. Et de hoc est exemplum praepositum. Item de prima littera latina .A., scilicet de Are in .a. consimilem litteram, id est alamire in spatio, et sic usque ad quintam litteram latinam, scilicet ab .E. Elami in .e. ultimam litteram et clavem quae est ela.

Et hic potest adverti quod consonantia haec, pro extremis [67] vocibus suis, <clavem> consimilium litterarum respicit, ad denotandum forsitan summam unionem et concordiam extremarum vocum huius symphoniae, in hoc cum diapason conveniens. Sed hic inter extremas voces una mediat consimilis littera, non in diapason.

Item continet haec consonantia X tonos cum quattuor minoribus semitoniis, ut ex descriptione prius facta patet, et ex partibus suis quascumque quae, simul sumptae, secundum sub et supra, ipsam reddunt praecise. Per hoc autem ab omni alia separatur consonantia.

Item, a quindecim vocibus quas continet consonantia, pentadecachordum vocatum est, in quo quindecim chordae sunt principaliores et stabiliores. Nam, etsi superaddantur quaedam ad resonandum quinque tetrachorda secundum tria genera, de quibus infra dicemus, extremarum tamen chordarum soni ultra bis diapason non procedunt. Haec enim est consonantia quarum soni extremi, secundum Antiquos, maxime a se distant; unde, supra bis diapason non ascendebant.

Capitulum XXV.

Consonantia ista simplex sit an composita.

Simplex est haec consonantia ratione suae proportionis. Quadrupla enim proportio speciem respicit simplicem, quia tertiam numeri multiplicis, nec obstat quod ex duabus duplis et ex multis aliis surgit proportionibus. Declaratum enim est supra quod duplex formaliter cum duplici non componitur, non superparticularis cum superparticulari, non etiam superpartiens cum superpartiente; etiam, ex mixta et simplici proportione, quandoque, simplex provenit proportio.

Inspiciendo autem ad nomen huius consonantiae, dicitur haec consonantia composita, qualiscumque sit illa compositio, quia illa non a nomine sed significata re debet de quidditate et natura alicuius iudicari. Secundum enim Simplicium [68] super Aristotelis praedicamenta, nomen ipsum non facit aliquid privativum sed res ipsa et similiter est de simplicitate vel compositione alicuius rei. Adhuc inspiciendo ad partes quas haec continet consonantia, ipsa dicitur multipliciter composita et magis quam aliqua praecedens, quia continet in se partes omnes quas illae continent et plus. Quod enim continet ad totum, et partes continet illius.

Constat haec consonantia ex bis diapason, ut est dictum. Illarum enim partium proportiones simul iunctae, hoc est proportiones duae duplae, quadruplam reddunt proportionem, ut in his patet terminis: 8 4 2. Similiter si tres sint psalterii chordae et maior dupla sit ad mediam et illa media dupla sit ad tertiam, erit inter extremas proportionum quadrupla, et, si tangantur, hanc consonabunt consonantiam. Consimiliter est de tribus sonis quorum medius ad graviorem habet diapason. | [P1, 49r in marg.] Similiter et tertius ad medium diapason erit, inter extremos sonos bis diapason. Et hoc, licet sit multum clarum, tamen, quia istae sunt principaliores partes istius consonantiae, exemplificemus de illis:

(Vide Appendix: XIa).

| [P2, 65r; F, 111v in marg.] Item continet in se haec consonantia bis diapente et bis diatessaron. Patet hoc per praedictas partes. Diapason enim constat ex diapente et diatessaron. Haec autem continet in se bis diapason.

Possunt autem dictae partes ad invicem multipliciter ordinari, ut primo ad gravem partem ponatur diapente, secundo diatessaron, tertio diapente, quarto diatessaron; quem ordinem in proportionibus numeralibus servant termini sequentes: 12 8 6 4 3.

Vel, primo, possent poni duae diapente continuae et, secundo, duae diatessaron continuae iuxta terminos hos: 36 24 16 12 9, vel e converso, ut in his patet terminis: 32 24 18 12 8. Primus modus in sonis est convenientior, ultimus ineptior.

Qualitercumque autem dictae partes combinentur, semper in extremis terminis apparet quadrupla proportio, et similiter esset in chordis, si tactas haberent proportiones. Similiter extremae voces dictarum partium bis diapason resonant. Potest autem hoc satis ex dictis concipi sine speciali exemplorum positione, quia longum esset de singulis exempla ponere.

[69] Item constat haec consonantia ex priore, scilicet ex diapason et diapente et ex diatessaron. Addit enim, supra priorem, diatessaron, sicut praecedens, supra diapason, diapente. Nam, sicut sesqualtera proportio, iuncta duplae, triplam parit proportionem, sic sesquitertia, iuncta triplae, procreat quadruplam, ut in his patet terminis: XII IIII III. Et consimiliter est in chordis et sonis.

Item componitur haec consonantia ex quater diatessaron et tono et tono, ut in numerorum proportionibus ostendunt termini sequentes: 256 192 144 108 81 72 64. Maximus horum terminorum ad secundum sesquitertius est, et ille sesquitertius ad tertium, et tertius sesquitertius ad quartum, et quartus sesquitertius ad quintum. Sic sunt ibi quattuor sesquitertiae proportiones continuae, sic quater | [F, 112r in marg.] diatessaron. Quintus autem sesquioctavus est sexto termino, et ille sesquioctavus septimo et minimo termino. Inter extremos autem terminos proportio quadrupla est. Idem esset in septem chordis, si tactae proportiones servarentur in eis, similiter et in septem sonis. Et haec possunt apparere ex exemplis ultimo positis de diapason et diapente, quia sufficit illis exemplis addere semel diatessaron, vel unam sesquitertiam proportionem cum tribus quae sunt ibi.

Adhuc constat haec consonantia ex ter diapente et semiditono, quia harum proportiones partium quadruplam reddunt proportionem, ut in terminis continetur sequentibus: 108 72 48 32 27. Maior enim horum terminorum sesqualter est secundo termino, et ille secundus sesqualter tertio termino, qui tertius sesqualter est quarto, et quartus est quinto superquinquipartiens vicesimas septimas in qua proportione fundatur semiditonus, ut nunc supponimus et infra declarabitur. Extremi autem numeri quadruplam inter se proportionem habent. Idem esset in quinque chordis sic proportionatis ut termini numerales iam positi. Similiter dictae partes, in sonis sic ordinatae, secundum sub et supra, ut est tactum, bis diapason constituerent, ut ostendunt sequentes descriptiones:

(Vide Appendix: XIb).

[70] Praeter dictas huius consonantiae partes, habet ipsa multas alias quae, simul sumptae, constituant ipsam modis dictis. Sed sufficiant inductiones de praedictis factae quae perfectiores sunt et notiores. Quotquot enim fiunt tales inductiones, ad idem redit. Possunt namque distinctae viae ad eundem tendere terminum, nec est inutile, quod scitur uno modo, illud scire et alio modo.

Iam patet proportionem et quam in hac | [P2, 65v in marg.] consonantia locum tenere, in qua medietas locum habet in numeris sic: "Sicut se habent VIII ad II, sic IIII ad unum"; et, permutatim: "Sicut se habent VIII ad IIII, sic duo ad unitatem".

Et in chordis, si sint quattuor chordae quarum prima ad secundam quadrupla sit, similiter tertia ad quartam; | [P1, 49v in marg.] adhuc prima ad tertiam sit dupla, similiter secunda ad quartam; harum prima vocetur .a., secunda .b., tertia .c., quarta .d. Tunc sic: "Sicut se habet .a. ad .b., sic .c. ad .d."; et, permutatim: "Sicut se habet .a. ad .c., sic .b. ad .d.".

In sonis, vero, sic: "Sicut se habet ut de Gammaut ad voces gsolreut in regula, sic re de Are ad voces alamire superacutae, sive in spatio"; et permutatim: "Sicut se habet ut <de> Gammaut ad re de Are, sic voces gsolreut in regula ad voces alamire in spatio". Et in aliis clavium vocibus tales fieri possunt comparationes.

Huius consonantiae et praecedentis in cantibus voces extremae, propter nimiam distantiam, immediate simul non iunguntur. Raro etiam aliqui cantus tantum ascendunt vel descendunt et, in cantibus planis qui alicuius toni vel modi sunt, qui supra suum finem tantum ascenderet, irregularis esset. Hinc est quod, cum mulieres et pueri graciles et altas voces habeant, extremas acutas harum consonantiarum voces, contra viros qui graves, levius proferre possunt, si tamen puerorum voces mulierumque, quas quassas et falsas quidam vocant, ad virorum voces consonantias perfecte resonent.

Capitulum XXVI.

De divisione huius consonantiae.

Manifestum ex dictis potest esse bis diapason in partes multas integrales partibilem esse, quia multas tales [71] continet partes, sed principalior eius divisio est in diapason et diapason, quae partes eius perfectiores, notiores sunt et aequales.

Quadrupla enim proportio in duas aequales proportiones, scilicet in duplam et duplam, distinguibilis est. Duae enim duplae proportiones continuae, sicut tactum est, quadruplam proportionem praecise reddunt et, inter terminos quadruplae proportionis, semper mediat terminus qui talem proportionem habet ad minorem terminum qualem habet maior terminus ad ipsum, sive sint primi termini quadruplae proportionis, ut quattuor et unitas inter quos binarius medians duplex est unitatis et subduplus quaternarii, sive sint quicumque alii secundarii termini.

Item si sint tres chordae et maior ad tertiam, quae minor est inter illas, sit quadrupla, quae mediat inter illas ipsas aequaliter potest respicere, quia potest esse dupla minori et subdupla maiori, et aequaliter dividere potest sonos chordarum extremarum illarum, diapason ad unam et diapason habendo ad aliam. Etiam, inter extremos sonos huius consonantiae, prout in compositione continentur gammatis, ut est prius tactum, mediat semper unus sonus qui aequaliter sonos illos respicit extremos, ut exempla demonstrant praeposita, et hoc generale est omni consonantiae, quae surgit per geminationem praecisam alicuius consonantiae, divisibilem esse in partes aequales duas, ut est ditonus, bis diatessaron, bis diapente, et sic de consimilibus.

In hoc autem quod haec consonantia divisibilis est in partes duas aequas a diapason, et diapason, et diapente, et ab omnibus consonantiis in proportionibus fundatis superparticularibus distinguitur. Est autem notandum quod vox aequaliter medians inter voces extremas huius consonantiae vicem gerit duarum vocum quia ad <utramque> comparatur illarum duas continuans diapason, sicut terminus medians in quadrupla proportione duas continuat duplas proportiones, et sic assimulatur medietati continuae. | [F, 112r in marg.] Adhuc divisibilis est haec consonantia in multas partes inaequales quas continet, quae, simul sumptae, ipsam possunt reddere, ut de aliquibus tactum est.

Iam igitur habemus tres consonantias in proportionibus fundatas multiplicibus: prima<m>, scilicet diapason, in prima, scilicet in dupla; secundam, scilicet diapason cum diapente, in secunda, scilicet in tripla; tertiam, idest bis diapason, [72] in tertia, scilicet in quadrupla. Qua in re, nulla inter illas mediare potest consonantia in multiplici fundata proportione, nec illas praecedere.

Sed, an possit sequi, videtur quod sic, si ex ter diapason consonantia possit fieri, quia fundatur in octupla proportione quae est simplex proportio multiplex. Consurgit enim octupla proportio ex additione duplae proportionis | [P2, 66r in marg.] ad quadruplam, ut in his patet terminis: XVI IIII II. Inter XVI et IIII est quadrupla proportio; inter quattuor et duo, dupla, sed, inter XVI et duo, octupla. Et talis consonantia non est divisibilis in duas partes aequales, sed in tres, quia consurgit ex triplatione ipsius diapason, sicut tritonus ipsius toni. Etiam octupla proportio tres duplices in se | [F, 112v in marg.] continet proportiones praecise, ut sequentes ostendunt termini: 16 8 4 2. Adhuc est reperibilis consonantia quaedam media inter bis diapason et ter diapason, in multiplici fundata proportione, scilicet diapente cum bis diapason. Haec enim in sextupla fundatur proportione nam sesqualtera proportio, quadruplae iuncta proportioni, sextuplam inducit, ut patet in his terminis: XII III II. Primus ad secundum quadruplex est, et ille ad ultimum sesqualter, ad quem primus sextuplus est, eum sexies continens. Sed haec de his nunc ex incidenti dicta sunt, de quibus infra forsitan amplius loquemur

De tribus dictis consonantiis, scilicet diapason, diapason cum diapente et bis diapason, quoad immediatas ipsarum extremas voces, exempla subiecimus:

(Vide Appendix: XII).

| [P1, 50r in marg.] Haec de consonantiis supra proportiones fundatis multiplices nunc dicta sufficiant. De fundatis supra proportiones superparticulares prosequamur, et postea veniemus ad eas quae supra proportiones fundantur superpartientes et supermixtas. Inter fundatas autem supra proportiones superparticulares primo de diapente tractabimus.

[73] Capitulum XXVII.

Quid sit diapente.

Diapente est consonantia vocum inaequalium concorditer sonantium in sesqualtera consistens proportione. Per hoc, quod dicitur "concorditer sonantium", convenit diapente cum consonantiis quarum voces, simul prolatae, concordant et auditui placent. Est enim diapente, secundum Ptolomaeum, de numero consonantiarum quarum voces sunt consonae, a consonando, idest a concordando, dictae, et non a simul sonando solum. Sed, per hoc, quod additur, "in sesqualtera consistens proportione", ab omnibus distinguitur consonantiis. Est autem sesqualtera proportio nascens habitudo inter terminos inaequales, quorum maior minorem habet totum et eius mediam partem praecise, ut sunt tria et duo, qui sunt minimi et primi termini huius proportionis, vel VI et IIII, qui sunt primi secundarii termini dictae proportionis.

Quod autem diapente in sesqualtera fundatur proportione, nunc leviter exemplariterque et per quasdam deductiones partium eius declaretur. In tertio vero libro, rationes aliae ponentur ad idem. Consonantiam hanc in sesqualtera fundari proportione Pythagoras expertus est in malleorum ponderibus. Nam qui IX ponderabat uncias, ad illum, qui sex, diapente resonabat; inter IX autem et VI, sesqualtera iacet proportio.

Nec solum in malleis, sed in aliis rebus sonoris, infallibiliter dictam proportionem dictae consonantiae fundamentum esse sensibiliter experiri potest. Nam, si supra | [P2, 66v in marg.] tertiam chordae partem digitum posueris ad totalem chordam, hanc tibi reddet consonantiam. Et similiter, propter causam eandem, duae chordae cytharae vel psalterii, quarum una continet aliam insuper et illius mediam partem, diapente, si tangantur, sonant, ut sequens denotat descriptio:

(Vide Appendix: XIII).

Item, sicut tactum est, diapente in sesqualtera fundari proportione per partes suas integrales declarare paulo posterius reservamus.

[74] Capitulum XXVIII.

De ordine et bonitate huius consonantiae.

Praecedit haec consonantia ordine perfectionis et bonitatis ceteras consonantias in superparticularibus fundatas proportionibus, scilicet diatessaron et tonum (sicut diapason fundatas in proportionibus multiplicibus de quibus iam dictum est), quia fundatur in prima proportione superparticularitatis quae perfectior est ceteris, sicut diapason in prima multiplicitatis ad quam immediatius sesqualtera reducitur proportio.

Etiam, secundum aliquos antiquos musicos, Eubulidem scilicet et Hippasum, prout tangit Boethius libro secundo, consonantia haec immediate sequitur diapason, antecedens non solum diatessaron et tonum, sed diapente cum diapason et bis diapason. Aiunt enim multiplicitatis augmenta superparticularitatis deminutione rato ordine respondere, et non posse esse duplum praeter dimidium. Et sic, secundum illos, proportiones multiplices multum connexae sunt superparticularibus, et, quod aliquae superparticulares praecedunt aliquas multiplices, ut sesqualtera triplam et quadruplam et alias sequentes et, per consequens, diapente, quae in sesqualtera fundatur proportione, praecedit diapente cum diapason et bis diapason. Duplum enim, ut est dictum, non est sine dimidio; sesqualterum etiam dimidium respicit, quia sesqualter est qui alium continet terminum et illius mediam partem. Dabit igitur dupla proportio sesqualteram intelligere ad quam, ut est dictum, immediatius reducitur. Ex dupla autem sesqualteraque proportione, tripla nascitur proportio, in qua diapente cum diapason consistit. Et, sicut si trinario pars tertia iungatur, sesquitertia proportio procreatur. Quatrinarius enim trinario sesquitertius est in qua proportione consistit diatessaron. Similiter si sesquitertia proportio iungatur triplae, quadrupla nascitur proportio, in qua fundatur bis diapason.

Ideo, propter dictas causas, tacti musici sic ordinaverunt consonantias: primo posuerunt diapason, secundo diapente, tertio diatessaron, quarto diapason ac diapente, quinto bis diapason.

[75] Hinc est quod haec consonantia, propter suam bonitatem, discantus inchoare potest et finire, et ab ea discantores nuncupantur, nam, de illo qui scit discantare, dicitur, quod ipse scit quinthiare, gallice "quintyer".

Capitulum XXVIIII.

De nomine huius consonantiae.

Diapente a numero vocum quas continet nomen traxit. Dictur enim a "dia", quod est "de", et "penta", "quinque", quia claudit in se quinque voces, duas extremas et tres medias (extramae tamen hanc faciunt consonantiam), vel quia, in compositione gammatis, requiritur quinque claves et, in psalterio, quinque chordas. Et propter ea etiam vulgariter dicitur una quinta. Haec siquidem consonantia fit de ut in sol et de re in la ascendendo et, e converso, descendendo, sine mutatione; clauduntur autem, inter ut et sol, voces tres, scilicet re mi fa, et tres similiter inter re et la, scilicet mi fa sol. | [P1, 50v in marg.] Potest autem fieri diapente inter voces alias extremas, sed cum mutatione, ut inter mi vel la de Elami in spatio, et mi de bfa[sqb]mi in spatio. Et quod diapente quinque voces in se claudat in exemplo patet sequenti:

| [P2, 67r in marg.] (Vide Appendix: XIIII).

In praedicta quinque vocum ipsius diapente descriptione, signari possunt quattuor modi quibus haec consonantia decantatur; et in duobus primis modis, non est mutatio vocis in vocem; in aliis autem duobus est tam ascendendo quam descendendo. Ad cuius evidentiam notandum est quod haec consonantia tres continet in se tonos cum minore semitonio et, in hoc, ab omni alia consonantia, si haec praecise sumantur, distinguitur.

Hi autem tres toni cum minore semitonio quattuor modis ad invicem possunt combinari:

Uno modo quod tonus se teneat in duabus extremitatibus, scilicet ad partem gravem et acutam huius consonantiae, [76] non semitonium, et semitonium aliqualiter ponatur in medio etsi non per aequalem distantiam ab extremis. Et hoc fieri potest dupliciter:

uno modo quod ad partem gravem duo praecedant toni continui et postea semitonium sequatur minus et ultimo ad partem acutam ponatur tonus, et sic est in exemplo primo posito;

alio modo, quasi e converso, ut, ad gravem partem, unus ponatur tonus et statim semitonium sequatur minus; deinde ad acutam partem duo ponantur toni continui, et hoc denotat exemplum secundum.

Vel potest semitonium minus alterum tenere extremum et tres toni continui reliquum, et tunc ascendendo minus semitonium;

vel se tenet ad partem gravem, sic est exemplum tertium in ascendendo quod est procedere ad acutam;

vel se tenet minus semitonium ad partem extremam acutam et tres toni ad gravem, et sic est quartum exemplum in ascendendo.

E converso autem fit in descendendo.

In his autem quattuor modis decantandi consonantiam hanc tanguntur quattuor eius species de quibus infra dicemus.

Reperitur autem haec consonantia in aliis multis locis inter clavium voces gammatis. Nam, secundum Guidonem, quattuordecim in vicibus reperitur, sed videtur mihi quod quindecim vicibus inter claves computando ela ut ab ut de Gammaut ad voces ipsius. .D. gravis sive Dsolre et a re ipsius Are ad voces ipsius Elami in spatio.

Et sic consequenter de vocibus unius clavis ad voces quintae clavis postea sequentis, praeter quam a Bmi in Ffaut in regula, vel ab Elami in spatio ad fa ipsius bfa[sqb]mi in spatio, vel a mi ipsius bfa[sqb]mi in spatio ad voces ipsius ffaut in spatio et ab elami in regula ad fa ipsius bfa[sqb]mi in regula.

Potest tamen fieri diapente inter praedictas claves per musicam quae falsa dicitur, de qua infra loquemur.

Et est notandum quod in compositione gammatis, quod si una vocum extremarum ipsius diapente sit in regula, reliqua in regula sive loco impari erit, et, si una in spatio sive pari loco, alia similiter erit in spatio.

Ab hac consonantia pentachordum vocatum est.

[77] Capitulum XXX.

Diapente si sit simplex consonantia vel composita.

| [F, 112v in marg.] Quantum ad huius consonantiae proportionem quae simplex est, ipsa simplex debet reputari sicut et praecedentes, nec impedit hoc si eius proportio, scilicet sesqualtera, ex multis aliis surgat proportionibus. Declaratum enim est supra, libro primo, quod superparticularis cum superparticulari formaliter non componitur, nec multiplex cum multiplici, nec superpartiens cum superpartiente; sed superparticularis et superpartiens cum multiplici tantum compositas facere possunt species.

Sed inspiciendo ad huius consonantiae partes ipsa dici potest composita, ut de praedictis dictum est. Habet enim multas partes quae, simul sumptae, reddunt eam ut diatessaron et tonus, tres toni et minus semitonium, ditonus et semiditonus.

Dico quod huius consonantiae partes sunt diatessaron | [P2, 67v in marg.] et tonus. Patet hoc in numeris, quia sesquioctava proportio, in qua fundatur tonus, iuncta sesquitertiae, in qua diatessaron, sesqualteram inducit proportionem, ut in his patet terminis: 24 18 16. Vel posset sesquioctava proportio ad partem poni gravem in his terminis: IX VIII VI. Sed primus modus in sonis convenientior est.

Si sint etiam tres chordae, et prima mediam contineat et eius tertiam partem, et illa aliam extremam et illius octavam partem prima tertiam continebit et illius partem mediam; sic habebit ad illam sesqualteram proportionem. Quodsi tres sint soni et medius ad primum habeat diatessaron et tertius ab illo distet tono, distabit tertius a primo per diapente, sicut ostendunt subscriptae figurae:

(Vide Appendix: XVa).

| [P1, 51r; F, 113r in marg.] Item tres toni continui cum minori semitonio diapente constituunt. Tres enim continuae sesquioctavae proportiones cum proportione minoris semitonii sesqualteram inducunt proportionem, ut numeri ostendunt qui sequuntur: 729 648 576 512 486.

Sunt hic tres sesquioctavae proportiones continuae [78] sumptae secundum artem libro primo traditam de continuandis superparticularibus proportionibus, nam primus vel maximus terminorum illorum est sesquioctavus secundo, et secundus tertio, et tertius quarto qui ad quintum habet proportionem minoris semitonii, ut nunc supponimus; sed maximus terminorum illorum minimo sesqualter est, habens illum totum et ipsius partem mediam quae est 243. Haec enim pars, bis sumpta, praecise numerum illum reddit qui est 486, et, ter sumpta, maximum qui est 729.

Vel posset poni semitonii minoris proportio ad partem gravem, quae maiores respicit terminos, ut hic: 768 729 648 576 512.

Hic inter primum vel maximum terminum et secundum est proportio semitonii minoris, et postea sequuntur tres continuae proportiones sesquioctavae; inter extremos autem terminos illos est sesqualtera proportio, et sic, ex pluribus superparticularibus proportionibus cum una superpartiente quae est semitonii minoris, sesqualtera simplex nascitur proportio quae, cum sit prima inter proportiones superparticulares, ex aliis non componitur formaliter.

Tactae proportiones, si in quinque serventur chordis, apparebit inter extremas chordas sesqualtera proportio, et si tangantur, diapente resonabunt. Idem etiam erit in sonis et hi modi tacti sunt prius in tertio et quarto modo cantandi diapente. Sed adhuc de his iuxta modum alium exempla ponamus:

(Vide Appendix: XVb).

| [P2, 68r in marg.] Adhuc consonantiam hanc reddunt ditonus et semimditonus, et hoc quidem in numeris et exemplis iam positis apparere potest. Nam, ubi sunt tres toni cum minore semitonio, quod diesis vocatur, si ex una parte duo sumuntur toni, quod remanet semiditonus est. Consistit enim semiditonus ex tono et minore semitonio, sicut ditonus ex duobus tonis. Sed, quia in praedictis exemplis nec ditonus, nec semiditonus formaliter ponebantur, quia et distincti ad invicem erant toni et minus semitonium a tonis, et illorum | [F, 113v in marg.] proportiones, hic exemplum ponetur, in quo duo toni ex una parte simul commixti sunt ut formaliter ditonum faciant et una proportio ditonialis illis respondeat, et, ex alia parte, [79] tonus cum diesi misceatur ut fit semiditonus. Et, per consequens, in hoc modo non erunt nisi duae partes iam dictae quae, simul iunctae, diapente reddant.

Et ponentur hic termini pauciores et minores. Ubi enim sunt duae partiales consonantiae, tres sufficiunt termini, quia non ibi sunt nisi duae distinctae proportiones. Similiter tres sufficiunt chordae et tres soni.

Dico igitur quod ditonus et semiditonus partes sunt ipsius diapente quae, simul sumptae, ipsam praecise reddunt et in numeris, et in chordis, et sonis.

In numeris enim ditonialis proportio, iuncta semiditonali, sesqualteram inducit proportionem, ut in numeris patet sequentibus: 81 64 54. Nam inter primum et secundum est ditoni proportio, et inter secundum et tertium semiditoni; inter extremos autem terminos, sesqualtera proportio est. Et hic quidem ditonus ad gravem se tenet partem, semiditonus ad acutam. E converso vero est in terminis qui sequuntur: 96 81 64. In his exemplis, duae superpartientes proportiones sesqualteram reddunt, quia proportio ditoni superpartiens est similiter, et semiditoni; sed specie distinguuntur, ut infra patebit.

Dictae proportiones si in tribus chordis observentur, proveniet, inter extremas chordas, sesqualtera proportio. Et consimiliter erit de sonis tribus quorum altior habeat semiditonum ad medium, et medius ditonum ad graviorem, vel e converso, ut hic patet:

(Vide Appendix: XVc).

Item consonantiam hanc reddunt tritonus et semitonium minus. Et sumitur hic tritonus compositus, cui respondet unum intervallum, una proportio, duae voces, et duae chordae sicut in eius proportione duo termini, et sic sumitur tritonus ut dicit consonantiam |

[F, 114r in marg.] unam ab omnibus aliis distinctam.

Prius autem sumebantur tres toni incompositi, idest ad invicem distincti, quibus tres sesquioctavae respondebant proportiones, quattuor termini numerales, quattuor chordae et quattuor voces.

Quod autem tritonus hoc modo sumptus cum minore semitonio hanc faciat consonantiam, quoad ipsius | [P1, 51v in marg.] proportiones, patet in numeris qui sequuntur: 729 512 486, vel in his: 768 729 512.

[80] In prioribus terminis, tritoni proportio ponitur ad maiores numeros qui partem denotant gravem et diesis ad minores qui acutam signant; e converso est in secundis terminis.

Hae proportiones in tribus chordis observare sesqualteram inducunt proportionem, et in sonis hanc consonantiam, ut ostendit sequens descriptio:

(Vide Appendix: XVd).

| [P2, 68v in marg.] Est autem hic diligenter notandum quod, quamvis tritonus compositus secundum se magnam importet discordiam, similiter et semitonium minus, ex his tamen, ut invicem, secundum sub et supra, miscentur, bona consurgit consonantia, scilicet diapente. Ex partibus igitur alicuius consonantiae formaliter et per se loquendo non arguitur bonitas vel malitia alicuius consonantiae. Iam enim una et eadem consonantia ratione distinctarum partium dici posset bona et mala, vel mala et peior, bona et melior, ut de diapason patet; sed ex bona vel mala et in suavi mixtione vocum extremarum alicuius consonantiae, prout magis vel minus, se compatiuntur apud auditum et ex perfectiori et notiori vel imperfectiori et minus nota proportione de bonitate vel malitia iudicandum est alicuius consonantiae. Ptolomaeus tamen, ut postea dicetur, diatessaron cum diapason ponit inter consonantias consonas propter bonitatem partium suarum ex quibus nomen sumpsit.

Satis patet iam proportionem et quem locum habere in hac consonantia in qua locum habet medietas in numeris si dicatur sic: "Sicut se habent IX ad VI, sic III ad II". Et potest per commutatam proportionem inferri: "Ergo, sicut se habent IX ad tria, sic sex ad duo".

Consimiles comparationes fieri possent, et in chordis, et in sonis, ut ex aliis dictis apparere potest.

Capitulum XXXI.

De divisione huius consonantiae.

Consonantia haec sicut multas includit partes, sic multas in illis vel per illas recipit divisiones. Nulla est tamen [81] illarum in partes aequales, quia partibus aequalibus ipsam praecise reddentibus caret. Tres enim toni cum diesi in aequas partes scindi non possunt; aliae etiam eius prius tactae partes, ut diatessaron et tonus, tritonus et diesis, non sunt partes aequales. Hoc etiam repugnat proportioni sesqualterae, tum quia minimi vel primi ipsius termini sola distinguuntur unitate, tum quia, inter terminos dictae proportionis, quicumque sint illi secundarii vel primi, terminus nunquam mediat illam proportionem in aequas distinguens partes quantum ad geometricas proportiones. Et hoc generale est omni proportioni superparticulari, ut magis infra patebit. Sed distinguitur in diatessaron et tonum, in tritonum et diesim, in ditonum et semiditonum; et hoc ultimo modo diapente dividere est unam tertiam inter eius partes extremas facere quae ad unam illarum ditonum, ad aliam semiditonum habeat ut in aliquibus praedictis patet exemplis. Et convenientius est ut ditonus ad gravem, semiditonus ad partem ponatur acutam.

Haec de diapente nunc dicta sufficiant. De diatessaron prosequamur.

Capitulum XXXII.

Quid sit diatessaron.

Diatessaron est consonantia vocum inaequalium concorditer sonantium in sesquitertia consistens proportione.

Per hoc quod dicitur "concorditer sonantium", convenit haec consonantia cum his quarum voces dulciter se faciunt apud auditum, quae appropriato nomine non modo consonantiae sed concordantiae dici possunt. Haec enim, secundum Ptolomaeum, est una de consonantiis consonis prout consonare concordare est, et distinguitur ab illis quarum voces duram et asperam apud auditum faciunt mixtionem quae discordantiae dicuntur.

Sed, in hoc quod additur "in sesquitertia proportione consistens", ab omnibus distinguitur consonantiis. Est autem sesquitertia proportio habitudo superparticularis terminorum inaequalium quorum maior minorem habet totum et eius [82] tertiam partem aliquotam, ut sunt IIII et III qui sunt minimi et primi naturales termini huius proportionis, sicut octo et sex primi secundarii. Haec proportio respicit secundam speciem numeri superparticularis, sicut sesqualtera primam.

Quod autem diatessaron in sesquitertia fundetur proportione, libro tertio, rationibus ducentibus ad impossible probabitur. Nunc autem sufficiat idem declarare modis illis quibus iam visi sumus. Expertus fuit Pythagoras in malleis illos hanc facere consonantiam qui inter se sesquitertiam habebant proportionem. Nam qui octo ponderabat uncias ad illam qui sex, diatessaron resonabat.

Et eadem proportio in quibuscumque sonoris instrumentis | [P1, 52r in marg.] fundat hanc et reddit consonantiam. Nam si supra principium quartae partis chordae digitum posueris, ad totalem chordam diatessaron resonabit. Idem patet in citharae vel psalterii chordis quia, quae inter se dictam habent proportionem, hanc reddunt | [P2, 69r in marg.] consonantiam, ut sequens denotat figura:

(Vide Appendix: XVI).

Item quod diatessaron in sesquitertia fundetur proportione, infra per aliquas partes suas integrales probabitur.

Capitulum XXXIII.

Unde dicitur diatessaron.

Nomen sumpsit haec consonantia suarum a numero vocum.

Dictur enim a "dia", quod est "de", et "tetras", "quattuor", et "saron", "vox", quia continet in se voces quattuor: duas extremas et medias duas, et quattuor in gammate requirit claves, et quattuor in psalterio chordas.

Si quattuor suae voces distinctae et incompositae sonare debeant et propterea tetrachordum a quattuor chordis quae diatessaron resonant, vocatum est vel dicitur a "dia", quod est "de", et "tesseron" quod idem est quod "tetras" vel quattuor propter causas dictas. Et forsitan propter has derivationes, [83] alii "diatesseron" scribunt, alii "diatessaron", idem intelligentes, sive sic, sive sic scribatur.

Item dictur diatessaron una quarta, vel quia quattuor voces in se claudit, vel quia fit de aliqua voce ad quartam vocem sibi proximam ascendendo vel descendendo, ut de ut in fa, de re in sol, de mi in la ascendendo et, e converso, descendendo.

Inter dictas autem ex resonantes, sempter duae mediant, si quis eas proferre velit ut inter ut et fa, re et mi, inter re et sol, mi et fa, inter mi et la, fa et sol, ut hic patet:

(Vide Appendix: XVII).

Continet autem diatessaron duos tonos cum minori semitonio, et hoc inferius probabitur. Nunc autem exemplariter hic declarare sufficiat et per ea quae de partibus huius consonantiae dicentur integralibus.

Patet quod dixi in exemplis antepositis. Nam, in exemplo primo, inter ut et re, est tonus; inter re et mi, similiter tonus; sed inter mi et fa est semitonium minus quo utimur. Et, in ceteris exemplis, semper duo continentur toni cum semitonio minore.

Dicitur autem minus semitonium quod non attingit ad integram toni medietatem; nec tonus divisibilis est in duo semitonia aequalia, ut infra probabitur.

Haec consonantia, secundum Guidonem, in monochordo sedecim vicibus continetur, sed videtur mihi quod, in gammate, decem et septem vicibus contineatur; fit enim ab ut ipsius Gammaut ad voces .C. gravis, scilicet Cfaut, et a re ipsius Are et voces .D. gravis, id est Dsolre, et sic consequenter de voce vel vocibus unius clavis ad vocem vel voces quartae clavis sequentis vel praecedentis.

Dixi a "voce vel vocibus" propter claves in quibus sola vox est, vel propter voces ipsius bfa[sqb]mi ad quarum unam quarta vox, vel voces, praecedens vel sequens, praecedentes vel subsequentes, diatessaron habet vel habent, et non ad ambas.

Guido forte incipit computare illas ab Are, prima littera latina, vel non terminat illas in ela.

Et est ibi notandum quod in nostro modo notandi [84] secundum artem contentam in gammate, si una vocum extremarum ipsius diatessaron est in regula vel loco impari, reliqua situabitur in spatio sive loco pari, et e converso, ut exemplis patet praescriptis in quibus multa possunt notari alia quorum aliqua post tangentur.

| [P2, 69v in marg.] Capitulum XXXIIII.

De modis antiquis cantandi diatessaron.

Multi sunt modi cantandi diatessaron, et secundum Antiquos, et secundum Modernos.

Sunt autem secundum Antiquos, tres famosi modi decantandi diatessaron, scilicet secundum tria melorum genera secundum quae diatessaron in suis tetrachordis describebant, et illa sunt genus diatonicum, chromaticum et enharmonium de quibus nunc aliqua, sed inferius plura, dicemus.

Genus diatonicum, ut ex dictis patet Boethii, est cum quis ascendendo, sive ad partem acutam procedendo, cantat diatessaron per minus semitonium, per tonum et tonum; et est ibi semitonium incompositum et toni duo incompositi, quia ad invicem distincti. Cui tres respondent voces vel soni: et hic est tertius prius tactus modus in ascendendo, scilicet mi fa sol la, vel primus in descendendo qui procedit e converso, scilicet la sol fa mi.

Genus | [P1, 52v in marg.] chromaticum est cum cantatur diatessaron ascendendo per semitonium minus et semitonium maius et per trihemitonium sive <semiditonum>, et sunt illa semitonia maius et minus ad invicem distincta in hoc cantandi genere, sed tria semitonia sunt ad invicem coniuncta, quia eis non respondent nisi duae voces, una consonantia, una in numeris proportio, et, in hoc modo cantandi, tangitur quod in diatessaron sunt quinque semitonia, et tria illorum sunt minora, et duo maiora, et valent tonos duos cum minore semitonio. Et e converso autem fit in descendendo.

Enharmonium genus est cum fit ascensus per diesim et diesim et ditonum, et sumitur ibi diesis pro medietate minoris [85] semitonii, quae medietas, secundum Philolaum, vocatur diaschisma et sumitur ditonus pro duobus ad invicem compositis tonis, ut faciunt unam consonantiam et respondent eis duae voces, duae chordae, duo termini numerales, et una proportio. Duae autem dieses, ut hic sumuntur, ad invicem distinguuntur, et eis tres respondent voces. Et de his tale ponatur exemplum:

(Vide Appendix: XVIIIa).

Haec tria genera cantandi diatessaron, quoad ad extremas voces, chordas et numeros, et illorum conveniunt proportiones, quia unam et eandem resonant symphoniam, scilicet diatessaron. Adhuc in numero conveniunt vocum, chordarum, numerorum et proportionum. Nam in quolibet genere quattuor sunt voces, quattuor chordae, quattuor numeri, et tres proportiones, sic tres consonantiae partiales, sed sunt ibi distinctae ipsius diatessaron partes quae, simul sumptae, secundum sub et supra, reddunt ipsam. Item in illis ascendendo processus fit a minoribus partialibus consonantiis in diatessaron inclusis ad maiores. Nam, in genere diatonico, fit ascensus a minore semitonio ad tonum et tonum; in chromatico, a minore semitonio ad maius et, tertio, ad semiditonum; in enharmonio, a medietate minoris semitonii ad aliam illius medietatem et inde ad ditonum; et, e converso, fit in descendendo. Modos tactos ascendendi tangit Boethius libro primo Musicae suae, et modos descendendi libro quarto.

Sed multipliciter tacti modi distinguuntur quoad combinationem chordarum mediarum inter se et ad extremas similiter et vocum. Duae enim mediae | [P2, 70r in marg.] chordae inter se in genere diatonico tonum habent, in chromatico semitonium maius quod apotome dicitur, in enharmonio minoris semitonii medietatem. Item duae extremae graviores voces et chordae eaedem sunt vel aequales in diatonico et chromatico genere, in utroque semitonium minus resonantes; in enharmonio vero semitonii minoris medietatem. Item extremae duae minores chordae inter se in diatonico tonum, in chromatico semiditonum, in enharmonio ditonum habent.

Solo genere diatonico principaliter nunc utimur in gammate. Ibi enim in multis continetur locis et convenienter notari potest notis nostris. Genus autem chromaticum, etsi aliqualiter possit ibi reperiri et iam sine falsa musica similiter [86] notari, modus tamen ille non est consuetus sed, ad hoc, minus ibi genus enharmonium potest inveniri, cum nec claves, nec voces, nec signa sint ibi distinguendi minus semitonium in duas medietates, quamvis in instrumentis artificialibus, ut in organis, claves ad hoc habeantur quas enormas vocant. Et ut magis horum habeatur imaginatio, noto eos, ut possum, sic:

(Vide Appendix: XVIIIb).

Haec et alia de tactis tribus generibus cantandi diatessaron infra magis apparebunt cum de tetrachordis, pentachordis, hexachordis | [P1, 53r in marg.] et huius modi prosequemur; et ibi tangentur alii modi quibus utimur et in nostro monochordo continentur et species eius.

Capitulum XXXV.

De modis cantandi diatessaron secundum eius species.

Sunt autem alii modi cantandi diatessaron, qui ipsius respondent speciebus et quibus utimur, et sunt tres tacti prius in exemplo de quattuor huius consonantiae vocibus.

Sumuntur autem sic: Dictum est diatessaron in se continere duos tonos cum minore semitonio. Illud semitonium aut tenet extremam partem quattuor vocum ipsius diatessaron, aut non.

Si primo modo, aut tenet partem acutam, et sic est primus modus tactus quo sic dicitur: ut re mi fa. Hic enim ad gravem partem praecedunt duo toni et postea sequitur minus semitonium.

Aut tenet partem gravem; sic est tertius modus tendens sursum, prius tactus, cum dicitur: mi fa sol la. Et ille idem est cum genere diatonico de quo prius exemplum positum est.

Si vero minus semitonium non partem extremam sed mediam teneat quia mediat inter duos tonos, sic est medius vel secundus modus, prius tactus, cum dicitur | [P2, 70v in marg.]: re mi fa sol. Nam hic ad gravem partem primo ponitur tonus, quia re et mi tono distant; secundo sequitur semitonium minus quod [87] est inter mi et fa ascendendo et, tertio, ad acutam partem sequitur tonus qui est inter fa et sol. Et sic toni tenent hic partes extremas nec valet hic modus distingui, quia quicumque tonorum gravem vel acutam teneat partem, idem cantandi modus est. E converso modo est de tactis modis in descendendo, ut patet in exemplis prius positis.

Primus tactorum modorum primam ipsius diatessaron respicit speciem, secundus secundam, tertius tertiam, nec possunt esse plures modi cantandi diatessaron secundum tres eius dictas partes, scilicet tonum et tonum et minus semitonium, si sumantur modo qui tactus est, et non fiat toni cum minore semitonio composito ut in diatonico genere, vel fiat toni divisio in maius et minus semitonium ut in chromatico modo, vel fiat toni cum tono compositio vel minoris semitonii divisio ut in genere <enharmonio>.

Item tres sunt modi cantandi in gamma vel palma contenti, scilicet per .[sqb]. quadratum vel durum, per naturam, et per .b. molle. Nec sunt hi tres modi iidem cum tribus tactis modis cantandi diatessaron, scilicet diatonico, chromatico, enharmonio, licet hoc dixerint aliqui, quia tria illa genera concurrunt in suis principiis et terminis, ut infra patebit, non ista. Item tria illa genera quinquies reperiuntur et describuntur in monochordo antiquo, sed hi modi cantandi, in nostro monochordo, id est gammate, septies species, quia modus per .[sqb]. durum vel quadratum ter, alii duo quilibet bis. Habet autem quilibet dictorum cantuum VI voces quas sic vocamus: ut re mi fa sol la, modo omne ut, quod incipit in .G., per .[sqb]. quadratum vel durum decantatur cum vocibus annexis sibi, et, quod incipit in .C., per naturam; quod vero incipit in .F., per .b. molle. Haec pro tanto nunc dixi, quia non possunt esse plures cantandi modi ipsius diatessaron ab illis tribus qui tacti sunt, nisi cantandi varietur modus, ut fiat processus de modo cantandi per .[sqb]. durum ad modum cantandi per naturam, vel de modo cantandi per naturam ad modum cantandi per .b. molle. Nam si tribus modis quorum exemplum positum est in modo cantandi per naturam quartum quis addere satagit, incipit illud ascendendo in fa, dicendo: fa sol la. Deficiet autem vox una ad habendum diatessaron, et oportet quod illa sumatur de alio cantandi modo, quia de illo qui est per .b. molle et ideo modus qui [88] incipit ab Ffaut ascendendo non pertinet ad priores tres modos qui per naturam cantantur. Ad hoc facit quod dicit Boethius, libro quarto, loquens de speciebus ipsius diatessaron, diapente et diapason, quod semper una minus erit species quam fuerint voces, et ideo, cum diatessaron non habeat nisi quattuor voces, non habebit nisi tres species quae habentur in tribus tactis modis. Debet enim, secundum Boethium, quaelibet species habere duas notas ad minus de priore radicali et principali specie alicuius consonantiae. Et ideo cum prima et principalis species ipsius diatessaron, quantum ad cantum qui est per naturam, incipiat ab ut de Cfaut, et terminetur in fa de Ffaut, si ab illa fa taxare quis vellet, aliam speciem illa non haberet nisi solam vocem de tacta prima specie.

Sed de his alias magis inquiretur.

Capitulum XXXVI.

De simplicitate huius consonantiae.

| [F, 114r in marg.] Est haec consonantia simplex ratione suae proportionis, quia sesquitertia proportio speciem numerorum ad aliquid respicit simplicem, quia secundum numeri superparticularis. Composita tamen dici potest inspiciendo partes ad eius integrales quae multae sunt, ut tactum est, sicut tonus et tonus et semitonium minus, ut sumantur hic toni distincti, non ad invicem compositi; similiter minus semitonium incompositum. Item partes eius sunt ditonus compositus et semitonium minus incompositum; item semiditonus et tonus.

Hae enim partes, simul sumptae, diatessaron reddunt, et illarum proportiones sesquitertiam proportionem inducunt. Duae enim sesquioctavae proportiones cum proportione minoris semitonii proportionem inducunt sesquitertiam, ut ostendunt hi termini: 324 288 256 243.

[89] <Inter> | [P2, 71r in marg.] primum tactorum numerorum, incipiendo a maioribus, et secundum est sesquioctava proportio; similiter inter secundum et tertium; et inter illum tertium et quartum est proportio minoris semitonii; | [F, 114v in marg.] inter extremos autem terminos proportio sesquitertia est.

Vel possent duae continuae sesquioctavae proportiones poni ad acutam partem et minoris semitonii proportio ad partem gravem in his numeris: 256 243 216 192.

| [P1, 53v in marg.] Vel potest semitonii minoris proportio poni in medio duarum sesquioctavarum proportionum, ut hic patet: 288 256 243 216. Et his tres modi, quoad proportiones numerales, respondent tribus modis cantandi diatessaron prius tactis.

Hae proportiones in quattuor servatae chordis sesquitertiam in extremis inducunt proportionem, et illae partiales consonantiae, simul iunctae, hanc reddunt consonantiam in sonis, ut in exemplo patet prius posito.

Quantum autem ad chordas, propter brevitatem, sufficiant exempla posita prius de diapente.

Item proportio ditonialis una cum proportione minoris semitonii sesquitertiam producunt proportionem, ut hic patet: 324 256 243, vel e converso sic: 256 243 192. Et si proportiones hae serventur in tribus chordis, proveniet sesquitertia proportio inter extremas illarum trium chordas quae diatessaron resonant. Unde, in sonis, simul iunctae dictae duae partes hanc reddunt consonantiam.

Adhuc, ex semiditoniali et sesquioctava simul iunctis proportionibus, habitudo nascitur sesquitertia, ut hi ostendunt numeri: 32 27 24. Inter primum et secundum est semiditoni proportio, ut nunc supponimus, et sunt illi termini minimi semiditonialis proportionis; inter secundum terminum et tertium est sesquioctava proportio; primus autem ipsi tertio sesquitertius est. Vel e converso sic: 36 32 27. Hae, si serventur in chordis et sonis, sesquitertiam proportionem et hanc reddunt consonantiam. Quae, ut amplius pateant, figurentur sic:

(Vide Appendix: XVIIII).

Habet consonantia haec partes alias quae, simul iunctae, reddunt ipsam, si ad genus aspiciatur chromaticum et enharmonium. Sed sufficiat quod tactum est de hoc.

[90] Ex dictis iam patet proportionem sesquitertiam locum habere in hac consonantia in qua locum habet medietas in numeris sic: "Sicut se habent VIII ad VI, sic IIII ad III". Et permutatim: "Sicut se habent VIII ad IIII, sic VI ad III". Et possunt similes relationes in chordis fieri et in sonis, ut ex dictis potest apparere.

Est autem notandum quod haec consonantia, secundum Antiquos, est minima inter consonantias, sicut bis diapason maxima, quia soni extremi in ea minime a se distant, quantum ad illos qui nec ditonum, nec semiditonum, nec tonum in numero posuerunt consonantiarum.

Sed, quantum ad ordinem perfectionis, posuerunt Eubulides et Hippasus ipsam locum tenere tertium: primo diapason, secundo diapente, tertio diatessaron ordinantes. Hae enim tres dicuntur primae consonantiae quae solae, secundum Antiquos, species habere dicuntur.

Hac consonantia quidam libenter utuntur, ut Galenses. Sui enim discantus saepe diatessaron resonant, licet simpliciter loquendo rudior et imperfectior sit quam diapente: quod probat auditus, quod iudicat intellectus, quia proportio sesqualtera perfectior est quam sesquitertia, et per prius ad aequalitatem reducitur. Etiam pars | [P2, 71v in marg.] media alicuius totius maior est parte tertia, ut ipsius senarii trinareitas quam dualitas; sed distincta hominum genera in distinctis consonantiis et cantibus delectantur.

Est autem haec consonantia melior cum ponitur supra diapente quam sit cum per se cantatur, quamvis melius fundamentum sit unisonus quam diapente. Sed illud provenit quia ex diapente et diatessaron fit diapason. Et ideo occurrit tunc altera extremarum ipsius diatessaron cum altera vocum ipsius diapason. Hinc est quod tunc optime cantus mensuratos potest terminare.

Capitulum XXXVII.

De divisione ipsius diatessaron.

Diatessaron, cum multas habeat partes integrales, in illas divisibilis est. Nunquam tamen dividitur in partes omnino aequales quae precise simul sumptae reddant ipsam. Caret enim talibus partibus; hoc etiam eius repugnat [91] proportioni quae est superparticularis. Infra enim demonstrabitur superparticularem proportionem in aequa scindi non posse.

Sed forsitan instabitur: "Quia partes ipsius diatessaron sunt tonus et tonus et semitonium minus, duo toni in partes aequales scindi possunt, similiter et semitonium minus; nam, quantum ad genus enharmonium, semitonium minus in duas medietates est distinguibile; distinguitur autem in medietates duas, et distinguitur in partes aequales. Tonus igitur cum medietate semitonii minoris bis sumptus praecise diatessaron reddit".

Et dicendum quod minus semitonium non est divisibile in partes duas omnino aequales quia, etsi sensus de hoc iudicare nesciat, hoc tamen ratio percipit, quia eius proportio non est in partes aequas partibus. Nam, inter | [P1, 54r in marg.] terminos proportionis minoris semitonii qui sunt 256 243, non cadit aliquis terminus qui eandem proportionem geometricam habeat ad minorem terminum quam habet maior ad illum. Non est ergo tenendum quod illae partes, in quas minus semitonium distinguitur secundum genus enharmonium, sint omnino aequales secundum veritatem, et quod sint praecise ipsius medietates, quicquid de hoc dicat sensus qui minima non valet bene cognoscere. Unde sunt partes inaequales secundum veritatem, licet vocentur dimidia spatia minoris semitonii.

Haec dicta de diatessaron sufficiant. De tono prosequamur, exemplo prius posito de diapente et diatessaron, quoad extremas ipsarum voces absque intermediis; et ibi prima nota superior primae inferiori, secunda secundae, sic de aliis, comparentur:

(Vide Appendix: XX).

Capitulum XXXVIII.

Quid sit tonus.

Tonum aliqui sic describunt: Tonus est legitimum acuminis et gravitatis spatium inter sonum et sonum [92] continens in se duo semitonia. Cum ea quae in hac toni ponuntur descriptione ceteris competant consonantiis, dumtaxat exceptis semitoniis, insufficiens ipsa videtur. Debet enim conveniens descriptio non modo convenire descripto, sed ipsum distinguere a quocumque | [P2, 72r in marg.] alio sicut et definitio. Verum est quod, per aliquas particulas definitionis, definitum cum aliis, quae sunt eiusdem generis, convenire habet et distingui ab his quae alterius generis sunt. Sed per alias quae locum tenent differentiae specificae distingui habet ab his quae sui sunt generis. Item in tacta dicitur descriptione: "continens in se duo semitonia"; non dicitur: "inaequalia", sed absolute: "duo semitonia", ac si illa sint aequalia; et hoc tenere videtur qui illam posuit descriptionem. Probare enim nititur tonum divisibilem esse in duo semitonia aequalia, cuius contrarium infra probabitur et rationi illius respondebitur.

Alii dicunt quod tonus est perfectum spatium duarum vocum duo semitonia in se continens non aequalia. Est enim tonus quaedam percussio aeris indissoluta usque ad auditum. Nec hae descriptiones vel definitiones sufficientes videntur. Tonus enim formaliter non est spatium inter sonum et sonum, nisi per spatium sonorum illorum mixtio designetur. Tonus etiam formaliter non est ipsa percussio similiter nec sonus, sed virtualiter et effective. Nec una percussio tonum causat sed plures.

Adhuc alii tonum sic definiunt: Tonus in sonis est sesquioctavum in numeris. Hi bene dicunt et de consonantiarum definitionibus breviter se expediunt. Tangunt enim quod ad genus consonantiarum pertinet, cum sonos nominant, et quod ad differentiam, cum ipsarum tangunt proportionem. Unde convertuntur definitiones illae cum definitis, cum veras consonantiarium tangunt proportiones; sed in aliquibus, prout illas vidi, deficiunt, ut tangam, cum ad illas venero consonantias.

Et cum, in tam paucis verbis, consonantiarum natura explicite non noscatur, puto, expedit plura in earum definitionibus apponere vocabula, dum tamen sint propria et talia [93] quae definito competant et simul sumpta ab omni alio distinguant. Definitio enim, secundum aliquos philosophos, debet esse sermo longus, licet nihil debeat continere superfluum, sed pro quanto totam naturam, quoad ipsius essentialia, debet exprimere definiti. Unde dicitur definitio, quia totam naturam debet definiti terminare ut, extra eam, nihil de ipsius reperiatur essentia, quia fieri debet ex genere proximo et proxima immediata vel specifica differentia. Nec tamen in specialium consonantiarum definitionibus omnia repeto quae ad ipsarum requiruntur naturam. Nam quae generalia sunt ex prius dictis suppono, sed, cum differentiae essentiales et maxime specificae rerum innotae nobis sint, circumloquimur, ut possumus, illas per quasdam rerum definitarum proprietates; secundum illud, philosophi accidentia magnam partem conferunt ad cognoscendum quod quid est.

Iam igitur tonum, ut est consonantia secundum ea quae prius tetigimus et quae sibi competunt, specialiter notificemus sic: "Tonus est duorum sonorum inaequalium in medio et apud auditum primam perfectam immediatamque distantiam habentium, faciliter pronuntiabilium, nec omnino discordantium permixtio, duo semitonia inaequalia praecise continens in sesquioctava proportione consistens".

Dixi: "Tonus", ut est consonantia, ad distinctionem toni, ut est proprietas, qualitas, vel passio totum processum alicuius cantus respiciens, principium scilicet, medium atque finem: qui, secundum aliquos, modus magis proprie vocandus est; de quo loquemur infra. Et tonus quidem, ut est consonantia, duos respicit sonos tales, ut est tactum; tonus autem, secundo modo sumptus, non est ad | [P1, 54v in marg.] certum sonorum vel vocum numerum limitatus, sed nunc plures, nunc pauciores respicit voces prout cantus alicuius toni longior et brevior esse potest.

In descriptionibus vel definitionibus praedictarum consonantiarum vocum inaequalium, paucioribus usus sum vocabulis quam in toni definitione, quia illae notiores sunt et ab omnibus concessae veteribus et modernis auctoribus. Pauci enim Antiquorum tonum in numero ponunt consonantiarum, sed ipsam consonantiarum differentiam, partem vel "emmelen" vocant; differentiam, quia per ipsum una consonantia differt ab alia, ut diapente a diatessaron; partem, quia ex ipsis tonis componuntur consonantiae; emmeles, quia tonus aptus est melo, quia voces eius, simul prolatae, non [94] omnino discordant, et, iunctae ipsi diatessaron, bonam faciunt concordiam. Boethius autem, circa finem secundi Arithmeticae, tonum in numero ponit consonantiarum et ipsum dicit esse musicorum sonorum mensuram communem et quod est sonus omnium parvissimus, sonum sumens pro sonorum mixtione | [P2, 72v in marg.] vel distantia seu intervallo. Et Guido inter consonantias tonum primo ponit, et ipsum esse consonantiam omnes nunc tenent Moderni, et non sine ratione, prout tangit eius posita definitio. Sibi enim conveniunt ea, quae prius dicta sunt, requiri ad consonantiae naturam. Et multum accedit ad consonantiarum illarum, de quibus veteres loquuntur, rationem. Est enim tonus vocum dissimilium rata permixtio aliqualiter concorditer auditui se faciens in proportione simplici fundata superparticulari. Et ideo non sibi deficit quod Nicomachus et multi alii ad consonantiam posuerunt requiri, ut quod fundetur in proportione simplici multiplici vel superparticulari; quod ceteris consonantiis, de quibus locuturi sumus, minime competit. Nec obstat, ut est prius tactum, quod dicatur pars vel differentia consonantiarum, nam diapente et diatessaron partes sunt ipsius diapason. Et tamen per se, si haec sumantur vere et proprie, consonantiae sunt.

Sed iam ad expositionem positae toni definitionis veniamus.

Per hoc quod "tonus est duorum sonorum inaequalium in medio et apud auditum permixtio" tangitur eius genus, scilicet quod sit consonantia vocum dissimilium. Alia autem, quae ibi ponuntur, ad ipsius pertinent differentiam vel differentias, per quae ostendatur qualis sit consonantia et per quae a ceteris omnibus distinguant.

In hoc quod dicitur quod est "sonorum inaequalium primam perfectam et immediatam distantiam habentium", distinguitur a ceteris omnibus consonantiis vocum inaequalium. Nam consonantiae ipsum tonum sequentes secundum ordinem generationis qui tactus est prius, ut semiditonus, ditonus, diatessaron, etc., etsi dicant perfectam distantiam duarum vocum extremarum suarum, non tamen primam nec immediatam.

Non "primam", quia tonus illas praecedit cuius voces perfecte distant. Unde dicitur a "tono, tonas", quia perfecte [95] tonat, id est perfecte duarum vocum distantiam importat. Ad quod facere videtur quod tonus est prima et minima consonantia cui respondet superparticularis simplex proportio quae perfectior est quam superpartientes et mixtae proportiones quibus non sic perfecte competit fundare consonantias.

Non dicunt etiam "immediatam", quia inter extremas voces consonantiarum illarum mediant aliquae voces quae dicunt partiales consonantias usitatas et faciliter dicibiles. Nam inter extremas ipsius semiditoni voces, ut sunt re fa, vel mi sol, mediat vox quae ad alteram extremarum habet tonum, ad alteram minus semitonium, et, inter voces extremas ditoni, vox cadit media ad quamlibet extremarum tonum habens; sic de aliis sequentibus in quibus tanto sunt plures voces mediantes quanto voces illarum extremae magis sunt distantes. In tono autem, etsi mediet semitonium, non est tamen consuetum nec facile procedere de una extremarum vocum ipsius toni ad aliam per tale medium, nec habet hic locum, nisi in genere chromatico, et, in bfa[sqb]mi, nisi falsa fiat musica. Oportet enim tunc aliquam ascendere de fa in mi, et esset mutatio talis qualis in bfa[sqb]mi. Ideo posuerunt auctores voces ipsius toni immediatam importare distantiam.

Item dicitur "primam perfectam distantiam habentium" ad differentiam commatis et semitoniorum quae partes toni sunt. Harum enim voces, etsi habeant aliquam distantiam, non tamen perfectam propter nimiam illarum vicinitatem.

Item dicitur "faciliter pronuntiabilium" propter tonum imperfectum qui consurgit ex duobus minoribus semitoniis vel tonum abundantem qui ex duobus maioribus semitoniis provenit, quia, etsi illae voces perfectam dicant distantiam, non tamen faciliter resonabilem. Pauci, puto, vel nulli possent tales tonos per se resonare.

Item additur "non penitus discordantium" ad differentiam consonantiarum illarum quarum voces, simul prolatae, penitus discordant apud auditum, ut sunt semitonia minus et maius, tritonus, semitonium cum diapente. Tonus autem nec perfectam concordiam, nec perfectam dicit discordiam, sed, quasi medio modo, se habet inter haec.

Cum enim in proportione fundetur superparticulari, non debuit omni concordia privari, licet illa sit modica respectu illius quam dicit diapente, quia proportio eius est septima [96] inter superparticulares proportiones, et non sic de prope reducitur ad unitatem. Item quod non perfectam dicat tonus discordiam sed aliquam includat concordiam iudicio patet sensus. Si quis enim unisonando | [P2, 73r in marg.] dicat: fa fa fa, alius simul dicat: fa sol la, concordat aliqualiter sol cum fa. Est autem inter fa et sol ascendendo tonus intensus et, e converso, descendendo, tonus remissus. Sed, cum tonus imperfectam dicat concordantiam, non est in discantibus utendum ipso in principiis et terminis perfectionum, sed in mediis et quasi currendo.

Sequitur "dua semitonia inaequalia praecise continens". Hoc ad differentiam ponitur omnium consonantiarum. Hoc enim sibi soli et nulli competit alii, quia vel non continent in se duo semitonia, ut comma et semitonia per se sumpta, vel continent duo semitonia aequalia ut tonus imperfectus, vel tonus abundans, de quibus infra loquemur, vel continent semitonia inaequalia, sed non praecise, | [P1, 55r in marg.] ut ceterae omnes consonantiae tonum abundantem sequentes.

Ultimo, in praedicta toni notificatione, ponitur "in sesquioctava proportione consistens", et in hac particula distinguitur tonus ab omnibus ceteris consonantiis. Semper enim consonantia a proportione, in qua fundatur, ab omni alia distinguitur, quia duae distinctae vel plures consonantiae nunquam in eadem fundatur proportione. Est autem sesquioctava proportio superparticularis habitudo terminorum inaequalium quorum maior minorem habet totum et eius octavam partem, ut IX ad VIII se habent, qui sunt minimi et primi termini proportionis huius, sicut primi secundarii XVIII et XVI, secundi secundarii XXVII et XXVIIII. Quod autem tonus in dicta fundatur proportione, infra magis probabitur, sed hoc hic leviter declaretur. Pythagoras per sensum in malleis haec repperit. Qui enim IX uncias ad illum qui VIII ponderabat, tonum resonabat. Et, quod dicta proportio dictam fundet consonantiam, in instrumentis musicalibus certissime potest percipi. Unde, divisa monochordi chorda partes in IX aequales, si in fine primae partis, seu in principio secundae, digitus ponatur, haec consonantia causabitur. Et consimiliter fiet in duabus psalterii chordis sesquioctavam inter se proportionem habentibus, ut hic patet:

(Vide Appendix: XXI).

[97] Et est hic notandum quod, licet multae superparticulares habitudines medient inter sesquitertiam, in qua fundatur diatessaron, et sesquioctavam, in qua tonus, ut sesquiquarta, sesquiquinta, sesquisexta et sesquiseptima, tamen in nulla illarum musicalis fundatur consonantia. Iam enim semiditonus et ditonus mediantes inter diatessaron et tonum in aliqua illarum fundari viderentur, quod verum non est. Fundantur enim in proportionibus superpartientibus, ut patebit inferius.

Capitulum XXXVIIII.

Unde dicitur tonus et quotiens in monochordo continetur.

Tonus, secundum Guidonem, ab intonando dicitur, quia perfecte intonat, vel a "tono, tonas", quia perfecte duarum vocum immediate sibi succedentium distantiam manifestat. Ubicumque enim duae voces inaequales immediate, secundum sub et supra, se sequuntur a clave ad clavem, vel a littera ad litteram sibi proximam, vel a linea ad spatium, a chorda ad chordam, tonus est, praeterquam inter mi et fa ascendendo, vel e converso descendendo, quantum ad minus semitonium, vel inter fa et mi ascendendo, et, e converso descendendo, quoad semitonium maius. Et, quantum ad sex voces quibus utimur quattuor modis, fit ascendendo, et totidem modis descendendo, scilicet inter ut et re, inter re et mi, inter fa et sol, inter sol et la, ascendendo et, e converso, descendendo, ut patet hic:

| [P2, 73v in marg.] (Vide Appendix: XXII).

Numeratur tonus in monochordo, secundum Guidonem, quindecim vicibus si .b. molle vel rotundum bis ibi computetur. Quid! Si in gammate nostro semitonia contenta per se numerentur, quae sunt quinque, sine illis, XIIII vicibus tonus ibi continetur; nam a Gammaut in ela, bis diapason et tonus cum diapente reperiuntur; modo in bis diapason, ut est dictum, X toni sunt cum IIII minoribus semitoniis; in tono vero cum diapente clauduntur quattuor toni cum semitonio [98] minore; et, cum quinque minora semitonia valeant duos tonos et plus, continebitur tonus, quoad valorem, XVI vicibus in compositione gammatis, et, adhuc, abundat comma et plus. Guido autem forte dimisit trium minorum semitoniorum valorem computare.

Adhuc cum tonus dicat primam perfectam distantiam duarum vocum, dicitur vulgariter una secunda. Dicitur etiam haec consonantia vel eius proportio epogdous a Boethio circa finem secundi Arithmeticae et ibidem dicit tonum mensurum esse communem omnium musicorum sonorum, et quod est sonus omnium parvissimus; quod exponatur modo qui tactus est libro primo. Unde, cum tonus mensura communis sit sonorum ex ipso compositorum, taxatur distantia sonorum illorum extremorum maior vel minor ex hoc quod plures vel pauciores tonos includunt, ut magis distant soni extremi in diapente quam in diatessaron, quia ibi tres toni cum minore semitonio, hic duo continentur, et sic de aliis. Inde et venire videtur ut a tono multae denominentur consonantiae velut illae quae mediant inter ipsum et diatessaron; puta semiditonus, ditonus et omnes quae ex puris et continuis componuntur tonis, ut tritonus, tetratonus, pentatonus, et huius modi.

Capitulum XL.

In quibus constent numeris tonus et eius partes secundum Philolaum.

Philolaus Peripateticus, secundum quod ait Boethius libro tertio Musicae suae, tonum in primo cubo impari in actu, scilicet in XXVII, qui numerus surgit ex ductu primi numeri imparis, scilicet trinarii in se ipsum bis ter fundare temptavit, nam ter tria ter XXVII sunt. Hic autem numerus a XXIIII tono distat, et trinarius non modo numerorum illorum differentia est, sed communis illorum mensura unumquemque illorum aliquotiens sumptus praecise reddens. Nam octies tria XXIIII sunt, sicut nonies tria XXVII. Ex quo [99] numero Philolaus duas | [P1, 55v in marg.] sumpsit partes: unam minorem, scilicet XIII, aliam maiorem, scilicet XIIII, quae, simul iunctae, XXVII faciunt. In minore autem partium dictarum, scilicet in XIII, semitonium minus, quod diesim vocat, fundat, tum quia est differentia inter CCLVI et CCXLIII, inter quos numeros est diesis, tum quia numerus qui est XIII surgit ex unitate, <ex> trinario (qui primus numerus impar in actu est et principium primae linearis figurae, scilicet triangularis) et ex novenario (qui est primus numerus quadratus impar in actu). In maiore autem parte ipsorum XXVII, scilicet in XIIII, maiorem toni partem, quam <apotomen> vocant, fundari existimat. Et, quoniam, inter XIII et XIIII, unitas differentiam facit, unitatem loco commatis posuit, quod differentia est inter diesim et <apotomen>. Totum vero tonum in XXVII unitatibus locavit, non tantum quia primus cubus impar est, sed quia inter CCXLIII et CCXVI, qui inter se distant tono, XXVII differentia consistit.

Sed, quamvis Philolaus dictos numeros tono et ipsius partibus adaptaverit, | [P2, 74r in marg.] non est intelligendum absolute et simpliciter tonum et dictas partes in numeris illis fundari. Non enim tonus in <sesqui>vicesima septima fundatur proportione, apotome in <sesqui>quarta decima, diesis in <sesqui>tertia decima. Iam enim diesis in maiore fundaretur proportione quam apotome, et hae duo in maiore quam tonus. Maior enim est <sesqui>tertia decima proportio quam <sesqui>quarta decima, quae multo maior est quam <sesqui>vicesima septima. Item fundarentur tunc diesis et apotome in proportionibus superparticularibus; quae falsa sunt, ut infra patebit. Sed forsitan Philolaus tonum non in <sesqui>vicesima septima posuit fundari proportione sed in proportione <quae> est inter XXVII et XXIIII quae est sesquioctava, diesim etiam non <in> sesquitertia decima, sed in superpartiente tertia decima, <apotomen> vero in minore quam sit <sesqui>quarta decima, in maiore vero quam sit <sesqui>quinta decima; comma vero, quia minima sonantia est, unitati adaptavit.

[100] Capitulum XLI.

Tonus an simplex sit consonantia.

Tonus, si ad ipsius proportionem inspiciatur, simplex est consonantia; sesquioctava namque proportio simplex est. Quodsi ad partes eius comparetur integrales, ad hoc praedictis, unisono excepto, minus est composita, quia pauciores et minores habet partes. Et quae ipsius partes sunt, similiter et praedictarum consonantiarum, inaequalium vocum partes existunt. Tangit autem Philolaus toni partes has: diesim et <apotomen>, diesim et diesim et comma, quattuor diaschismata et duo schismata, quae partes, simul iunctae, tonum reddunt, licet illas sensus iungere nequeat.

Quid autem Philolaus praedictas toni partes intelligat, videamus. Diesis, inquit, est spatium quo maior est sesquitertia proportio duobus tonis. Comma est spatium quo maior est sesquioctava proportio duabus diesibus. Schisma est dimidium commatis, diaschisma est dimidium dieseos, id est semitonii minoris. Ex quibus patet quod partes toni principaliores sunt duo semitonia inaequalia, maius atque minus, minores vero diaschisma, comma et schisma.

Sed est advertendum quod diaschisma non est omnino integrum dimidium ipsius diesis, id est minoris semitonii secundum rem, quicquid sit secundum imaginem. Continet enim diesis tria commata circiter cum dimidio, quibus repugnat dividi in duas partes aequales. Etiam proportioni, in qua fundatur minus semitonium, repugnat divisio <in> partes aequales, nam inter terminos illius proportionis, qui sunt CCLVI et CCXLIII, non cadit aliquis numerus qui talem proportionem habeat ad minorem terminorum illorum qualem habet maior ad ipsum. Similiter nec schisma, secundum veritatem, est integra et praecisa media pars ipsius commae vel commatis, quia hic eius repugnat proportioni propter tactam causam.

Item, si tactae fractiones essent vere omnino integrae partes minoris semitonii et commatis, iam, praeter maius et [101] minus semitonium, esset dare aliud semitonium quod mediaret inter illa, et illud esset integrum dimidium toni et posset tunc tonus dividi in talia duo semitonia aequalia. Hoc autem est impossibile nam, secundum Boethium, omne semitonium, si sit integrum dimidium toni, inter sextam decimam partem et septimam decimam oportet collocari. Inter proportiones autem illas, nulla videtur posse mediare proportio cum immediate se consequantur. Vel oportet ut illae duae proportiones aequarentur. Hoc autem est impossibile, secundum quod Boethius probat subtiliter valde circa principium tertii libri Musicae suae.

Iam patet quae sint toni partes integrales inter quasque levius sonari potest distincte; semitonium minus est, vel diesis, non sic apotome et, ad hoc, multo minus diesis partes, ut et comma, quibus practice in cantando non utimur, quicquid sit de artificialibus instrumentis.

Quodsi principaliores eius partes simul iungerentur in numeris, proportionem redderent sesquioctavam, ut proportio minoris semitonii cum proportione maioris, vel proportio commatis cum duabus proportionibus semitonii minoris, de quibus alias exemplificabimus.

Habet igitur sesquioctava proportio locum in hac consonantia in qua locum habet medietas in numeris, si sic dicatur: "Sicut se habent XVIII ad XVI, sic VIIII ad VIII". Et permutatim potest inferri: "Ergo, sicut se habent XVIII ad VIIII, sic XVI ad VIII". Et tales comparationes, in quattuor chordis debito modo proportionatis, fieri possent. Similiter et in sonis, sic: "Sicut se habet ut ad re, sic fa ad sol". Et permutatim: "Sicut se habet ut ad fa, sic re ad sol", si voces illae sibi dimittantur, et non fiat falsa musica. Obtinet enim usus ut, ascendens de re in sol, per fa cantando: re fa sol, plus elevet se fa quam debeat. Nam, cum, inter re et fa, non sit nisi tonus cum minore semitonio, facit ibi quasi duos tonos et, per consequens, inter fa et sol, non remanet tonus. Similiter, cum descendit quis de sol in fa, statim reascendendo in sol, discendo: sol fa sol, ut communiter, non facit perfectum tonum inter sol | [P2, 74v in marg.] et fa, sed quasi minus semitonium, ac si diceret: fa mi fa.

[102] Capitulum XLII.

Toni divisio in partes integrales.

| [P1, 56r in marg.] Divisibilis est tonus in partes suas integrales iam praedictas, ut in duo semitonia inaequalia, in duo semitonia minora et comma, in quattuor diaschismata et duo schismata vel comma. Nunquam tamen divisibilis est in duas partes omnino aequales, quia talibus caret, licet Aristoxenus, qui nimis sensui credidit, hoc senserit.

Aliqui etiam moderni musicae tractatores hoc sentire videntur propterea quia inter voces ipsius alamire et mi ipsius bfa[sqb]mi est integer tonus et, inter voces illas, mediat fa de bfa[sqb]mi dividens tonum illum in duas partes. Et dicendum quod, licet dicta fa dictum tonum dividat in duas partes, non sequitur quod ipsum dividat in partes aequales, nec hoc ille probat; sed, secundum veritatem, tonum illum in duas scindit partes inaequales, in semitonium scilicet minus, quod ad graviorem partem se tenet, et maius, quod acutiorem. Nam inter fa ipsius bfa[sqb]mi et voces ipsius .F. gravis, sive Ffaut in regula est diatessaron; quod constat ex duobus tonis integris cum minore semitonio, ut prius suppositum est et libro tertio probabitur. Sed inter mi de [sqb] acuta, sive bfa[sqb]mi in spatio, et voces dictae .F. gravis, sive Ffaut in regula, tritonus est. Tritonis autem diatessaron superat in semitonio maiore, quia deficit a diapente in semitonio minore.

Sunt autem aliqui moderni tractatores de musica tenentes tonum indivisibilem esse in partes duas aequales; sed probant haec probationibus aliquibus quibus Boethius utitur tam libro primo Musicae suae, quam secundo, ad astruendum semitonium quod includit diatessaron ultra duos tonos non esse integrum dimidium toni, sed minus, sed ex demonstratione illa non habetur tonum non esse divisibilem in partes aequales. Idem enim totum aliquod, quod est divisibile in aliquas partes inaequales, potest esse divisible in partes aequales, ut octo in quinque et tria, et in quattuor et quattuor.

[103] Teneo igitur tonum indivisibilem esse in partes duas omnino aequales propter rationes quae explicabuntur infra.

Nunc autem sufficiant causae prius tactae de consonantiis in duas partes aequas divisibilibus. Et fundantur in hoc, quia proportio toni, scilicet sesquioctava, indivisibilis est in duas aequales proportiones, ergo similiter et tonus. Convenentia patet per inductionem et per oppositum. Antecedens vero probatur per hoc quod minimi vel primi numeri sesquioctavae proportionis differunt sola unitate. Patet hoc inter IX et VIII. Quod autem illi proportioni, cuius termini primi sola unitate distinguuntur, repugnet in duas partes aequales distingui, probabitur inferius. Item, inter extremos terminos quoscumque sesquioctavae proportionis, irreperibilis est medius terminus qui proportionem illam in duas scindat partes aequales; et de primis huius proportionis liquet, cum immediate se sequatur et, per consequens, inter illos nullus mediat numerus. In primis autem secundariis numeris, qui sunt XVIII et XVI, qui surgunt ex duplatione primorum terminorum, ut ex bis IX et bis VIII (ideo inter eos eadem proportio est quae inter primos), mediat numerus unus, scilicet XVII. Sed ille non dividit sesquioctavam proportionem in partes aequales. Alia enim est proportio <sesqui>decima septima, alia <sesqui>sexta decima, quia specie distinguuntur, et secunda maior est prima (scilicet <sesqui>sexta decima, quae est inter XVII et XVI, quam <sesqui>decima septima, quae est inter XVIII et XVII), cum quia in minoribus numeris maior est proportio, <tum> quia, si res eadem divisibilis sit in XVI partes et in XVII, maiores partes sunt <sesqui> sextae decimae quam <sesqui> septimae decimae. In numero enim aliquo tanto pars maior est quanto oportet eam minus multiplicari ad hoc ut suum totum reddat, ut ipsius senarii ternarius qui bis sumptus senarium reddit quam binarius qui ter sumptus senarium producit. Idem in quibuscumque secundariis terminis sesquioctavae proportionis reperitur qui, quanto maiores sunt, tanto plures habent terminos mediantes; nullus tamen eorum unquam proportionem sesquioctavam in duas dividit habitudines aequales geometricas quae, simul sumptae, praecise sesquioctavam faciant proportionem.

[104] Capitulum XLIII.

Toni divisio in partes subiectivas.

Posita est toni distinctio in eius partes integrales. Nunc toni generalius sumpti quaedam tangatur divisio in quasdam, etsi non usitatas, partes subiectivas, ut dicatur tonorum alius minor, | [P2, 75r in marg.] alius medius perfectus vel integer, alius maior vel abundans. His consonantiis talibus qualibus nomen extendo toni quia ex semitoniis integrantur. Non enim continentur hae tres toni species sub tono prius sumpto, sed locum tenens medium ab illis extremis, minore scilicet et maiore vel abundante, sic condistinguitur duorum semitoniorum praedictorum inaequalium; aut minoris cum minore fit unio, sic est tonus minor, aut minoris cum maiore, sic est tonus medius perfectus vel integer (et ille est de quo prius locuti sumus), vel maioris cum maiore, sic est tonus quem maiorem vel abundantem vocamus.

Quamvis autem duo sint semitonia inaequalia, diesis scilicet et apotome, ex tacta tamen illorum combinatione tres tacti sumuntur toni. Illorum autem tonorum, tam minor quam maior vel abundans imperfecti possunt dici, quia surgunt ex partibus aequalibus non faciliter invicem immediate iungibilibus. Qui, etsi inusitati sunt et musicae inutiles sint practicae, ipsorum tamen non est spernenda theoria. Ideo de illis aliquid infra loquemur.

Solus autem tonus medius, de quo prius tractavimus, p rfectus est et integer, tum quia in perfecta consistit proportione respectu aliorum, tum quia faciliter potest pronuntiari, non alii (non audivi qui praesumeret se posse immediate sonando iungere duo minora semitonia vel duo maiora), tamen etiam quia saepe in compositione gammatis reperitur et consequenter potest nostris notari notis, alii non. Cum autem absolute de tono loquimur, semper ad tonum perfectum et integrum nos referimus qui magis proprie tonus nuncupatur.

Iam de sex consonantiis vocum inaequalium tractatum est, quarum tres, scilicet diapason, diatessaron et diapente, et bis diapason, in proportionibus fundantur multiplicibus | [P1, 56v in marg.] simplicibus, ut in dupla, tripla, quadrupla; et tres in [105] superparticularibus, scilicet diapente in sesqualtera, diatessaron in sesquitertia, et tonus in sesquioctava. Quae convenienter numerum implent senarium qui perfectus est ex omnibus suis surgens partibus aliquotis et, in omnibus illis, pars aliquota locum tenet, utrumque numerorum proportionum illarum commensurans. Ideo non immerito perfectiores et famosiores sunt ceteris de quibus locuturi sumus quae in minus perfectis fundantur habitudinibus, ut in superpartientibus vel mixtis.

Et primo prosequemur de his quae in simplicibus superpartientibus fundantur proportionibus, ut sunt illae quae antecedunt diapason via generationis et minoris distantiae vocum extremarum suarum; secundo, de eis quae in mixtis, ut sunt illae quae diapason sequuntur quam in se claudunt cum aliquo addito. Et hic musica, prout a "muso, musas", quod est "cogitando aliquid inquirere", non deerit. Proportiones enim superpartientes et mixtae sunt magis taediosae quam multiplices et superparticulares simplices, et tanto magis quanto ad maiores ire convenit numeros.

Ego tamen fideliter, ut potero, proportiones consonantiarum, de quibus locuturus sum, inquiram. Incipiam autem a minoribus semper ascendendo gradatim ad illas quae aliquid addunt super priores. Et quia comma est ultimum quod comprehendere potest auditus, secundum Boethium, ultimaque proportio, de commate primo tractabimus.

Capitulum XLIIII.

Quid sit comma.

Comma, secundum Philolaum, ut est prius tactum, est spatium quo maior est sesquioctava proportio duobus minoribus semitoniis.

Per spatium intelligit differentiam, intervallum, consonantiam vel consonantiae partem, vel proportionem. Si enim proportio commatis praecisa proportionibus continuis duorum minorum semitoniorum copuletur, inter extremos terminos proportio proveniet sesquioctava in qua tonus consistit, ut infra patebit.

Potest autem comma multas alias consimiles habere [106] descriptiones, ut quod est illud in quo semitonium maius superat minus semitonium, et illud in quo maior tonus perfectum vincit tonum, et quinque toni bis diatessaron, et sex toni diapason, et tritonus semitritonum; quae magis patebunt ex dicendis infra.

Aliter comma describi sic potest: "Comma est inaequalium sonorum minima sensu perceptibilis consonantia", vel "consonantiae particula, spatium, vel differentia in superpartiente consistens proportione, minore quam sit <sesqui>septuagesima tertia, maiore vero quam sit <sesqui>septuagesima quarta". Haec descriptio ex verbis sumpta est Boethii. Dicitur comma "inaequalium" esse "sonorum", quia, cum per se sumitur, et distincte duos requirit sonos, quorum unus alio gravior est (licet modicum distent), et difficilis vel non bene possibilis sint prolationis ab humana voce ut per se sumuntur et distincte. Unde dicitur, secundum Boethium, "minima sensu perceptibilis consonantia" quod forsitan | [P2, 75v in marg.] nonnulla causa fuit quare Philolaus unitatem commati attribuit, quia est illud ultimum quod comprehendere potest auditus et quod potest ad certam in numeris reduci proportionem. Nam, secundum Boethium, ad comma pertinet ultima vel minima proportio. Unde, licet schisma minus sit commate et minorem dicat distantiam illa, tamen non est sensu perceptibilis nec ad certam et notam in numeris proportionem reducibilis, quamvis sit intelligibilis.

Nec dicitur comma consistere in minima et ultima proportione simpliciter, quia multo minores proportiones superpartientes reperibiles sunt quam sit ea in qua comma fundatur, quae in infinitum procedere videntur. Sed in illis musicales consonantiae non fundantur quae sensu sint perceptibiles. Hoc autem ad consonantiam sonoram requiritur ut sensu percipiatur, ut est prius dictum. Unde comma est minima consonantia vel consonantiae particula cuius proportionem Boethius investigat. Dicitur autem comma sensu perceptibilis prout inter consonantias distinguit. De una, per sui additionem vel subtractionem, aliam facit bonam vel malam vel, e converso, facilis vel non facilis prolationis. Patet si a diatessaron comma tollatur vel iungatur, et similiter est in diapente et ceteris consonantiis. Subtractio enim commatis vel additio consonantiam mutat et variat.

[107] Sequitur, in praedicta commae descriptione, in proportione superpartiente consistens in quo a ceteris, de quibus <exsecuti> sumus, distinguitur consonantiis, quia illae in multiplicibus vel superparticularibus fundantur proportionibus vel in aequalitate. Et quod in superpartiente fundetur comma proportione sic probatur. Comma, ut est dictum, est illa particula vel spatium qua vel quo superat tonus perfectus tonum minorem sive sesquioctava proportio proportiones duorum minimorum semitoniorum, vel hexatonus diapason. Hoc autem est in superpartiente proportione, sicut ex terminis ostenditur sequentibus:

531441 524288 497664 472392.

Inter primum horum terminorum et quartum est sesquioctava proportio in qua fundatur tonus perfectus; inter secundum et <quartum> est proportio duorum minimorum semitoniorum in qua tonus fundatur minor, ut magis infra patebit. Sequitur igitur ut, inter primum et secundum, sit commatis proportio.

Nunc est ita quod primus terminorum illorum non est aequalis secundo, quia maior est eo in septem millibus centum et quinquaginta tribus unitatibus. Ergo, inter terminos illos, est proportio cuiusdam inaequalitatis non multiplicitatis, quia maior non continet minorem plus quam semel; non superparticularitatis, quia illud, in quo maior minorem superat, neutrius est pars praecisa vel aliquota; nec est ibi mixta proportio ex multiplici et superparticulari vel superpartiente, quia illa necessario multiplicem in se claudit proportionem. Ergo relinquitur quod inter terminos illos sit superpartiens simplex | [P1, 57r in marg.] proportio. Partes enim illae in qua maior minorem vincit, simul sumptae, nullam, ut est dictum, partem aliquotam minorum illorum constituunt. Fundatur igitur in proportione superpartiente.

Ut ante ea quae tetigi melius capiantur, ponitur sequens descriptio:

(Vide Appendix: XXIII).

| [P2, 76r in marg.] In pradicta descriptione multa tanguntur. Tangitur enim illud in quo sex toni superant diapason, et illud comma vocamus. Tangitur etiam illud in quo tonus et sesquioctava proportio vincunt proportiones duorum minorum semitoniorum, [108] vel tonus medius, qui est tonus perfectus, tonum minorem, et illud etiam est comma. Item tangitur ibi minoris toni proportio; sed non sunt ibi termini minimi illius proportionis, sed infra ponentur. Item tangitur ibi pentatoni proportio, non tamen in primis ipsius terminis, et est hexatoni proportio in eius minimis terminis. Adhuc reperibilis est ibi maioris semitonii proportio, et illa est inter primum terminum et tertium a sinistris incipiendo.

Capitulum XLV.

Generalia documenta de primis et secundariis terminis proportionum numerorum inaequalium.

Quamvis visum sit commatis proportionem esse superpartientem, non est tamen declaratum quae sit eius specifica et determinata superpartiens proportio.

Ad hoc autem videndum, scire expedit qui sunt eius primi et minimi termini. Falluntur enim aliqui de proportionibus superpartientibus aliquarum consonantiarum loquentes, quia minimos terminos illarum non assumunt, ut patebit infra. Si quis enim dicat inter X et VI proportionem esse superquadripartientem, quia maior continet minorem et partes eius quattuor, fallitur, quia illi non sunt nec primi, nec secundarii termini superquadripartientis proportionis, sed sunt primi secundarii numeri superbipartientis proportionis. Est igitur advertendum quod ad hoc, ut aliqui sint primi et minimi termini alicuius proportionis, duo inter alia requiruntur. Primum est quod alter terminorum illorum, vel ambo, sint impares; secundum, si impares, quod non conveniant in aliquibus partibus aliquotis aliis ab unitate quae, scilicet partes, utrisque communes numeri sint. Propter primum, IIII et II non possent esse primi termini duplae vel cuiuscumque alterius proportionis; VI et IIII sesqualterae, decem et sex superbipartientis. Propter secundum, XV et IX nequeunt esse primi termini superbipartientis proportionis vel cuiuscumque alterius. Ratio horum per regulas sequentes aperitur: "Qualis est proportio inter aliquos terminos, talis [109] est proportio inter illorum medietates", ut, cum inter IIII et II sit dupla proportio, similiter II et I, qui termini primorum sunt medietates, duplam inter se proportionem habebunt. Consimiliter, cum inter VI et IIII sesqualtera sit proportio, eadem erit proportio inter III et II. Et sic de consimilibus. Ex hac regula concluditur quod si ambo termini alicuius proportionis pares existant, non sunt illi primi vel minimi termini illius proportionis, quia veras medietates habent.

Alia regula est quod, si ambo termini proportionis alicuius impares fuerint, et illorum quilibet divisibilis fit in tres partes aequales alias ab unitate, vel in quinque,vel in septem, in novem, vel in undecim, et sic in infinitum, quantum ad numeros impares, eadem erit proportio inter partes illorum terminorum quae fuit proportio inter totales priores terminos, ut, cum XV et IX duas habeant partes numeros illos reddentes, quae sunt III et V, quia ter tria IX sunt, ter quinque XV, erit inter V et III talis proportio quae est inter XV et IX. Et planum est quod V et III minores et priores sunt numeri quam XV et IX. Similiter, cum XXV et XV aliquas partes habeant illos reddentes numeros, quia quinquies quinque XXV sunt, et quinquies tria XV, erit eadem proportio inter V et III, quae est inter XXV et XV. Eodem modo erit de duobus numeris imparibus quorum quilibet divisibilis est in septem partes aequales, ut sunt XXXV et XXI, XXXV in septem quinarios, XXI in septem trinarios.

Dixi autem quod si aliqui numeri impares, ad invicem comparati, partes habeant aequales alias ab unitate, tres, quinque, septem, novem, undecim, etc. (non duas partes, non quattuor, non sex, quia partes aliquotae numeri imparis), impares sunt et non possunt esse pares, quamvis partes aliquae numeri paris possint esse pares et aliquae impares, ut ipsius duodenarii partes pares sunt, binarius, quaternarius, senarius, impares vero, trinarius et unitas.

| [P1, 57v in marg.] Concluditur, ex hac regula, quod, si termini propositi proportionis alicuius impares fuerint, et illi resolubiles sint in partes aliquotas, alias ab unitate, quae numeros illos, aliquotiens sumptae, praecise mensurent, non sunt illi minimi vel primi termini numeri | [P2, 76v in marg.] cuiuscumque proportionis.

Est autem, circa dicta, notandum primo de hoc quod dictum est, quod si aliqui termini sunt impares, ad hoc, ut sint primi et minimi termini alicuius proportionis, requiritur, ut non conveniant in aliquibus partibus aliquotis numeralibus [110] quae scilicet sint numeri et non unitates. Hoc dictum est propter proportiones superpartientes. Unde, quantum ad illas, per terminos impares intelligimus duos terminos quorum quilibet est numerus. Nam, si unitas vocetur terminus impar, multi termini impares in proportionibus multiplicibus primi et minimi sunt, ut proportionis triplae trinarius et unitas, quintuplae V et I, septemtuplae VII et I, sic de consimilibus omnibus in quibus maiores termini, sive duces, impares sunt. Verum est quod termini illi primi non possunt habere partes aliquas communes alias ab unitate, cum alter terminorum illorum unitas sit.

Secundo, notandum quod omni proportioni repugnat ut primi eius termini ambo pares sint, non autem quod sint impares, vel unus par et alter impar. Hoc autem generale est primis terminis et secundis cuiuscumque proportionis superparticularis, ut ambo termini impares sint, sed necessario, quoad minimos terminos, si unus est par, alter est impar, quia sola unitate distinguuntur. In secundariis vero terminis, possunt ambo pares esse; patet inter VI et IIII; vel unus impar et alter par, ut IX et VI.

Ulterius notandum est quod regula illa qua dicitur: "Qualis est proportio inter aliquos terminos, talis est proportio inter illorum medietates", intelligenda est de numeris paribus solum qui soli veras et praecisas habent medietates.

Potest autem extendi regula illa ad quosdam numeros, tam impares quam pares, sic: "Si sint aliqui numeri inaequales et illorum quilibet divisibilis sit in tres partes aequales praecisas, qualis est proportio primorum terminorum ad invicem, talis est proportio tertiae partis maioris termini ad tertiam partem minoris termini", ut, cum inter IX et III tripla sit proportio, similiter tripla proportio est inter tria et unum. Et, in dupla proportione sic: "Qualis est habitudo XII ad VI, talis est proportio quaternarii (qui tertia pars est maioris termini) ad binarium (qui est minoris numeri tertia pars)". Et in quadrupla proportione, sic: "Quae est proportio XXIIII ad VI, eadem est ipsorum VIIII ad II". Eodem modo, in quintupla proportione: "Sicut se habent XXX ad VI, sic decem ad duo". Et in ceteris multiplicibus proportionis sic est si quilibet terminorum ad invicem comparatorum in tres aequales partes sit partibilis.

Convenit autem dicta proprietas proportionibus superparticularibus [111] sesqualterae, quia: "Sicut se habent IX ad VI, sic III ad II"; sesquitertiae, quia: "Ut se habent XII ad IX, sic IIII ad III"; similiter et ceteris. Competit etiam dicta proprietas proportionibus superpartientibus, ut superbipartienti: "Sicut se habent XV ad IX, sic V ad III"; supertripartienti sic: "Sicut se habent XXI ad XII, ita VII ad IV". Consimiliter fit in ceteris proportionibus superpartientibus.

Ad hoc convenit dicta proprietas mixtis proportionibus et potest quis probare hoc generaliter de omnibus per regulas conversas sic: "Qualis est proportio inter aliquos terminos, talis est proportio inter illorum triplices". Et, ut generalius loquamur: "Qualis est proportio inter aliquos terminos, talis proportio est inter illorum duplices, quadruplices, quintuplices, sextuplices", et sic in infinitum, quia eodem augentur numero.

Ex his generaliter ad propositum concludatur quod, si ambo termini aliqui ad invicem comparati, cuiuscumque fuerint proportionis, simplicis vel mixtae, sint divisibiles in duas partes aequales, in tres, in quattuor, in quinque, in sex, vel quot volueris, illi sunt nullius proportionis primi et minimi termini, quia resolubiles sunt in priores et minores terminos consimilis proportionis, ut visum est.

Capitulum XLVI.

Qui sint minimi termini proportionum multiplicium.

Tactae sunt quaedam conditiones generales ad proportionum minimos terminos requisitae. Nunc specialius qui sint minimi termini videamus; et intendamus loqui de proportionibus terminorum inaequalium, licet autem principalior intentio circa minimos terminos proportionum superpartientium versaretur. Extendimus tamen hanc doctrinam et ad alias proportiones terminorum inaequalium, et primo multiplicium.

Dicimus igitur quod multiplicium terminorum, id est illorum quorum maior minorem continet plus quam semel | [P2, 77r in marg.] praecise, minor aut est unitas, aut numerus in actu. Primo modo, termini illi quicumque sint, minimi et primi termini [112] sunt et radices alicuius multiplicis proportionis. Si vero multiplicis proportionis termini, tam maior quam minor, numeri sint in actu, illi nullius proportionis multiplicis primi termini sunt, sed secundarii. Quodsi terminorum multiplicium maior unitatem bis praecise contineat, duplae proportionis primi et minimi termini sunt, ut binarius et unitas. Si ter, triplae proportionis sunt termini, ut trinarius et unitas. Si quater, quadruplae proportionis, ut IIII et I. Si quinquies, quintuplae, ut V et I, sic in infinitum. Ceteri vero termini multiplices quorum scilicet quilibet numerus in actu est, secundarii termini sunt alicuius multiplicis proportionis quia vel duplae, ut IV se habent ad II, VI ad III, sic de aliis, ubi notandum est quod in secundariis quibuscumque terminis duplae proportionis, sicut nec in primis maior terminus potest esse impar (cum minorem bis habeat continere praecise), sic nec in secundis. Triplae vero proportionis termini secundarii sunt VI et II, IX et III, XII et IIII, sic de aliis. Quadruplae proportionis termini secundarii sunt VIII et II, XII et III, XVI et IIII, sic de ceteris. Omnes autem secundarii termini cuiuscumque multiplicis proportionis ad radicales et minimos terminos illius proportionis reducibiles sunt. Dare autem speciales regulas de singulis, qualiter sint resolubiles in terminos | [P1, 58r in marg.] primos suae proportionis, quia nimis esset longum, me non intromitto.

De superparticularibus breviter prosequamur.

Capitulum XLVII.

Qui sint minimi numeri superparticularium proportionum.

Termini superparticulares, quorum scilicet maior minorem continet et eius partem aliquam aliquotam praecisam, aut immediate se consequuntur ita, scilicet, quod inter illos sola unitas differentiam faciat, aut non.

Si primo modo sic sunt primi et minimi termini alicuius superparticularis proportionis, et illi sunt radices illius proportionis, respectu omnium terminorum aliorum inter quos [113] illa salvatur proportio, et maior dux vocatur, minor comes, nec possunt esse minimi termini cuiuscumque proportionis superparticularis nisi sola unitate distinguantur. Et si illa unitas sola, in qua maior minorem vincit, media pars sit minoris, sic sunt primi termini primae superparticularis proportionis, scilicet sesqualterae, ut sunt III et II. Si sit minoris tertia pars, sic sunt minimi termini secundae speciei superparticularis proportionis, id est sesquitertiae, ut sunt IIII et III. Si quarta pars, tertiae speciei superparticularis proportionis minimi termini sunt ut V et IIII. Si quinta pars, sunt tunc minimi termini quartae speciei superparticularis proportionis ut VI et V. Et sic in infinitum, ut libro primo tactum est. Ceteri autem omnes superparticularis proportionis termini qui scilicet immediate se non sequuntur, secundarii termini sunt et, si unus alium vincat in ipsius media parte praecise, sesqualteri sunt, ut VI et IV, IX et VI, XII et VIII, sic de similibus; et illi omnes ad radices sesqualteras reducibiles sunt. Si autem maior minorem superet in tertia illius parte, sesquitertii sunt, ut VIII et VI, XII et IX, XVI et XII, sic de consimilibus. Si in quarta parte, sesquiquarti, ut X ad VIII, XV ad XII, XX ad XVI, et sic de ceteris.

Qualiter vero secundarii termini proportionum superparticularium ad primos et radicales reducibiles sint terminos, prius aliqualiter tactum est.

Prosequamur de superpartientibus de quibus principalior fuit intentio.

Capitulum XLVIII.

Qui sint minimi numeri proportionum superpartientium.

Superpartientium proportionum primi termini sic noscuntur. Praesupponamus, ex priore libro, quod proportio superpartiens est habitudo terminorum inaequalium, quorum maior minorem continet et illius plures partes quae, simul sumptae, partem aliquotam terminorum illorum non faciunt.

[114] Aut igitur partes illae, in quibus maior minorem superat, unitates sunt, aut numeri. Si unitates, tunc termini illi, quicumque sint, radices sunt et primi termini proportionis alicuius superpartientis. Si vero sunt numeri secundarii, tunc sunt termini proportionis alicuius superpartientis.

Quod si unitates, in quibus maior minorem | [P2, 77v in marg.] vincit, sint duae, sunt tunc illi termini minimi et radicales numeri primae proportionis superpartientis quae vocatur superbipartiens; et si illae duae unitates sint duae tertiae, quia tres tales minorem facerent numerum, tunc termini illi radices sunt superbipartientis proportionis tertias, ut se habent V ad III. Si vero sunt duae unitates quintae, sunt tunc termini primi radices proportionis superbipartientis quintas, ut VII ad V se habent. Et si sint duae unitates septimae, tunc sunt radices proportionis superbipartientis septimas, ut IX ad VII se habent. Et hoc modo procedunt in infinitum termini illi primi et minimi, sicut illae proportiones.

Si autem unitates, in quibus maior superat terminum minorem sibi comparatum, sint tres, sunt tunc numeri primi et radicales proportionis supertripartientis, et, si sunt tres quartae, sunt minimi numeri superpartientis quartas, ut se habent VII ad IIII. Si tres quintae, tunc minimi termini sunt supertripartientis proportionis quintas, ut VIII se habent ad V. Si vero sint tres septimae, tunc sunt minimi termini supertripartientis proportionis septimas, ut X ad VII se habent (non feci mentionem de tribus unitatibus sextis, ut IX ad VI se habent, quia non est ibi superpartiens proportio, ut dictum est libro primo). Modo consimili vadunt in infinitum minimi illi termini, sicut et illae distinctae proportiones supertripartientes.

Et eodem modo est in minimis terminis superquadripartientis proportionis in quibus maior minorem vincit in quattuor unitatibus quintis, ut IX ad V se habent, vel septimis, ut XI ad VII, vel nonis, ut XIII ad IX, et sic in infinitum, et in minimis terminis proportionis superquinquipartientis in quibus maior minorem superat in quinque unitatibus vel sextis, ut se habent XI ad VI, vel septimis, ut XII ad VII, vel undecimis ut XVII ad XI, sic de aliis.

Tactus est modus unus cognoscendi minimos terminos proportionum superpartientium. Tangatur alius.

[115] Termini proportionis superpartientis aut non conveniunt in aliqua parte aliquota alia ab unitate quae, aliquotiens sumpta, praecise quemlibet terminorum illorum reddat aut conveniunt. Primo modo, termini illi semper sunt minimi proportionis alicuius superpartientis; hoc autem cum priore convenit documento, quia partes illae, in quibus maior terminus minorem superat, unitates sunt, et non numeri. Si enim essent numeri, convenirent termini illi in parte aliqua aliquota alia ab unitate. Unde ergo fit ut IX et V sint minimi termini alicuius proportionis superpartientis, scilicet superquadripartientis quintas, non autem X et VI, licet eadem differentia sit hic et ibi, scilicet quaternarius, quia primi termini, scilicet IX et V, non conveniunt in aliqua parte aliquota alia ab unitate quae utrumque mensuret numerum et illum, et, propter hoc, partes illae, in quibus maior vincit minorem, unitates dicuntur, non numeri. Sed X et VI partem numeralem habent communem ipsos mensurantem, scilicet binarium. Quinquis enim duo X sunt praecise, sicut ter duo sex. Et ideo, partes, in quibus denarius senarium superat, numeri dicuntur et non unitates solum. Propterea, X et VI sunt secundarii termini alicuius proportionis superpartientis, scilicet superbipartientis tertias, et non est, inter terminos illos, proportio superquadripartiens. Si igitur termini aliqui superpartientes in nulla parte conveniat alia ab unitate, primi et minimi vel radicales termini sunt alicuius superpartientis proportionis. Cuius autem specifice et determinate proportionis superpartientis sint termini, patet per praedicta, quia si maior minorem superet in duabus unitatibus superbipartientis proportionis, termini radicales sunt et minimi. Maior enim ad minorem dicitur vel superbipartiens tertias, ut V ad III, vel superbipartiens quintas, ut VII ad V. Et si maior in tribus unitatibus minorem superet, dicuntur minimi termini supertripartientis | [P1, 58v in marg.] proportionis; si in quattuor, superquadripartientis, sic in infinitum. Procedunt termini illi minimi, sicut et proportiones specifice superpartientes. A differentia igitur unitatum, quae est inter aliquos minimos terminos superpartientes, specificatur, denominatur et determinatur illa proportio, hoc est a numero unitatum in quo maior minorem superat, quicumque sit ille, et ab unitatibus minoris numeri. Et, secundum hoc, numerus qui est XXXVIIII est super decem et novem partiens vicesimas ad viginti, quia superat illum in XIX unitatibus quarum XX [116] minorem numerum facerent | [P2, 78r in marg.] et XXXVIII ad XXI super decem et septem partiens vicesimas primas, sic de aliis.

Est autem notandum quod superpartientis proportionis ambo termini vel sunt impares, vel unus est impar et alter par, vel ambo sunt pares. Si primo et secundo modo, vel non non conveniunt in aliqua parte aliquota alia ab unitate sive numerali, vel conveniunt. Primo modo, sunt termini illi primi et radicales proportionis superpartientis quam continent; secundo autem modo, sunt termini illi secundarii alicuius superpartientis proportionis et reducibiles ad priores et minores numeros in quibus est eadem proportio, sive illa pars sit dualitas, sive ternareitas, vel quaevis alia. Haec autem sunt possibilia, et in istis, et in illis numeris. Et primo declaretur hoc exemplariter: Inter V et III superbipartiens est proportio, et sunt hi numeri primi et radicales illius proportionis; inter XV et IX, est superbipartiens proportio, et sunt illi termini secundarii illius proportionis. XV enim continent IX et duos ternarios quorum tres novem praecise facerent. Idem apparet in terminis quorum unus est par et alter impar, ut inter VII et IIII est supertripartiens proportio, et sunt hi termini primi et minimi huius proportionis. Inter XXI et XII est eadem supertripartiens proportio, et sunt hi secundarii numeri tactae proportionis. XXI enim continet XII et tres eius partes, id est tres ternarios, quorum quattuor XII facerent. Et eodem modo se habent XXXV ad XX et XLIX ad XXVIII, et consimiles. Potest ergo competere tam primis terminis superpartientis proportionis quam secundariis ut ambo sint impares, vel unus par et alter impar; non autem quod ambo sint pares, quia hoc solum inest secundariis terminis.

Haec dixisse sufficiat de cognoscendis primis et minimis terminis superpartientium proportionum. Qui autem sint secundarii termini superpartientes, elici potest ex dictis. Omnes enim sunt secundarii qui minimi vel primi non sunt.

Potest etiam aliqualiter sciri ex dictis sub qua determinata et specifica proportione superpartiente contineantur, si aspiciatur ad partes illas numerales in quibus maior minorem superat. Illae enim, aut sunt duae, aut tres, aut quattuor, aut quinque, aut sex, sic in infinitum. Si duae, tunc maior ad minorem est superbipartiens, sive illae duae partes sint duo binarii, ut X ad VI se habent, sive duo [117] ternarii, ut XV ad IX, sive duo quaternarii, ut XX ad XII, sive duo quinarii, ut XXV ad XV, sic de aliis. Si vero sunt tres partes, tunc est supertripartiens proportio, sive illae tres partes sint tres binarii, ut XIIII se habent ad VIII, sive tres trinarii, ut XXI ad XII, sive tres quaternarii, ut XXVIII ad XVI, sic de aliis. Si autem partes illae, in quibus minor vincitur a maiore, sint quattuor, dicitur tunc ibi superquadripartiens habitudo, sive sint quattuor binarii, ut XVIII ad X, sive quattuor trinarii, ut XXVII ad XV, sic de ceteris. Sicut igitur in primis terminis specificatur et denominatur proportio superpartiens a numero unitatum in quo maior vincit minorem, sic, in terminis secundariis, a numero partium, quae per se numeri sunt, in quibus minor superatur a maiore.

Est autem notandum quod, sicut in primis et minimis terminis proportio superbipartiens multas recipit denominationes quae, ut dictum est libro primo, minorem respiciunt numerum, quia quaedam dicitur superbipartiens tertias, quaedam superbipartiens quintas, septimas, nonas, undecimas, etc., sic et in secundis terminis, ut inter X et VI est superbipartiens tertias proportio; inter XIIII et X, superbipartiens quintas; inter XVIII et XIIII, superbipartiens septimas, sic de aliis. Consimili modo est de supertripartientibus, superquadripartientibus, et de ceteris.

Item notandum est quod, licet aliqua proportio in sua radice non respiciat nisi duos determinatos terminos, qui soli primi et minimi termini sunt illius proportionis, in secundariis tamen terminis respicere potest multos in quibus omnino eadem servatur proportio. Eadem enim est proportio inter XX et XII, inter XV et IX, inter X et VI, inter V et III, sic de ceteris.

Diximus de primis terminis et de secundariis simplicium proportionum numerorum inaequalium. Possemus ulterius de mixtis prosequi, sed, causa brevitatis, dimittimus, quia qui sint primi termini et qui secundarii in mixtis proportionibus aliqualiter sciri potest per ea quae sunt dicta prius de simplicibus proportionibus. Ut tamen breviter appareat qui sint minimi termini, tam in proportione mixta quam in simplici, generaliter loquendo, dicimus illos esse minimos et primos terminos, in quacumque proportione, qui non communicant in aliqua parte aliquota alia ab unitate ambos [118] numeros mensurante. Nam, ut dicetur infra, libro tertio, illi sunt minimi in sua proportione qui numerant quoslibet alios in eadem proportione, minor minorem, et maior maiorem. Ergo, qui ab aliis terminis eiusdem proportionis numerantur, illius proportionis secundarii termini sunt. Illi igitur, qui sunt contra se primi et incommensurabiles, in proportione quacumque sunt primi et minimi, composita vel simplici.

Capitulum XLVIIII.

Qui sint minimi numeri proportionis commatis.

Visum est de primis et secundariis terminis proportionis numerorum inaequalium. Iam, specialiter ad propositum revertentes, inquiramus qui sint minimi termini proportionis commatis.

Et circa hoc, quaedam tangemus dubia ut, per responsiones ad illa, propositum magis appareat. Videretur forsitan aliquibus terminos illos proportionis commatis prius assignatos, qui sunt 531441 524288, non esse minimos, quia minores possunt reperiri. Non est autem dare minus minimo. Dictum est enim supra comma esse | [P2, 78v in marg.] illud in quo non solum sex toni superant diapason (et de hoc positum est exemplum praedictum), sed illud in quo quinque toni superant bis diatessaron. Si vero sumantur primi termini pentatonae proportionis, illi sunt multo minores quam hexatonae habitudinis.

Item dictum est comma esse id in quo tonus perfectus et sesquioctava proportio vincunt proportiones duarum semitoniorum continuas, sive tonum minorem, et id, in quo apotome, | [P1, 59r in marg.] quod est semitonium maius, superat minus semitonium. Haec autem videntur posse reperiri in numeris multo minoribus primo assignatis.

Disponantur enim numeri sequentes:

66429 65536 62208 59048 893.

Et, causa brevitatis, primus terminus vocetur .f., secundus .g., tertius .h., quartus .i., quintus .k.

[119] Dico quod, inter .f. et .i., tonus est perfectus et integra sesquioctava proportio, quia .f. superat .i. in octavam illius partem praecisam quae est 7381; .g. autem ad .i., id est secundus terminus ad quartum, proportionem continet duorum minorum semitoniorum, nisi quod deficit sola unitas in termino .g. Ea autem, quae sunt prope, sunt quasi idem et illi termini sunt minimi numeri proportionis toni minoris, ut patebit infra. Adhuc, inter .f. et .h., est apotome; inter .g. et .h., minus semitonium. Ex quibus omnibus sequi videtur, inter .f. et .g., commatis esse proportionem; et terminorum illorum differentia est .k. Planum est autem terminos illos multo minores esse terminis commatis prius assignatis; et differentia, inter terminos illos, minor est et alia a differentia terminorum commatis prius positorum. Item probabitur infra commatis proportionem minorem esse ea quae est inter 74 et 73, maiorem vero ea quae est inter 75 et 74. Sic autem est de praetactis terminis qui sunt .f. et .g. Inter illos enim minor est proportio quam sit <sesqui>septuagesima tertia, maior tamen quam <sesqui>septuagesima quarta. Differentia enim terminorum illorum, quae est .k., septuagies quinquies aucta, reddit numerum sequentem: 66975. Aucta vero eadem differentia per 74, crescit in numerum qui est 66086. Adhuc, dicta differentia .k., multiplicata per 73, numerum facit qui sequitur: 65189.

Et disponantur sic: 66975 66086 65189.

Et primus vocetur .l., secundus .m., tertius .n.

Dico quod eadem est proportio inter terminos illos tres qui sunt .l. .m. .n. cum ea quae est inter sequentes tres terminos qui sunt 75 74 73. Et huius causa videbitur infra. Nunc arguitur sic: "Maior est proportio inter prius positos terminos qui sunt .f. et .g., quam inter terminos qui sunt .l. et .m." Nam .l. et .m. termini superant et per additionem se habent ad terminos qui sunt .f. et .g. Vincunt enim eos in numero qui est 546. Inter .l. autem et .m. est eadem proportio quae est inter 75 et 74. Item, inter praedictos terminos qui sunt .f. et .g., minor est proportio quam ea quae est inter .m. et .n., inter quos est eadem proportio cum ea quae est inter 74 et 73, quia termini qui sunt .f. et .g. superant terminos qui sunt .m. et .n. in numero qui est 347. Hae consequentiae magis infra patebunt. Proportio igitur, quae est inter .f. et .g. terminos, maior est proportione existente inter 75 et 74, minor vero proportione quae est [120] inter 74 et 73. Videtur igitur ex his, inter praedictos terminos qui sunt .f. et .g., commatis esse proportionem. Et si ita est, termini prius assignati non sunt minimi termini commatis.

Haec sic describantur:

(Vide Appendix: XXIIII).

| [P2, 79r in marg.] Quid igitur dicemus ad haec quae inducta sunt?

Responsio: Tenemus cum Boethio numeros illos, qui sunt 531441 et 524288, esse primos et minimos integros praecisos et veros proportionis commatis, nam, ut est dictum, comma est particula illa in qua VI toni continui superant diapason. Hoc autem primo invenitur et probatur in terminis illis. Declaratum est autem prius quod inter terminos illos est superpartiens proportio, et, cum fundetur comma inter numeros illos, fundari dicitur comma in superpartiente proportione. Non habent autem termini illi partes numerales aliquotas, ambos praecise mensurantes. Ideo, secundum praedicta, numeri illi sunt primi et minimi proportionis superpartientis quam important. Impossibile est autem unius proportionis plures et distinctos esse terminos primos et minimos, licet possint multi termini secundarii | [P1, 59r in marg.] eiusdem proportionis esse. Nulli igitur alii termini priores illis proportionis integre, praecise et vere ipsius commatis reperiri possunt. Si igitur sint aliqui termini minores quam sint illi, et dicatur inter illos esse commatis proportionem, illi non sunt integri, sed semper in aliquo illlorum, vel in ambobus, aliquid abundat vel deficit. Dicendum igitur quod verum est comma esse illud in quo quinque toni continui superant bis diatessaron sicut et illud in quo sex toni diapason vincunt, sed, inter primos terminos pentatonae proportionis, nullo modo in integris numeris possunt inveniri duae continuae sesquitertiae proportiones, ut patebit infra, cum probabitur quinque tonos superare bis diatessaron. Possunt autem alii numeri maiores proportionis pentatonae reperiri inter quos duae sesquitertiae continuae proportionis in numeris integris reperiri possunt. Et ibi apparent veri numeri integri proportionis commatis, et illi sunt iidem cum praetactis, et apparet ibi, in numeris integris, qualiter quinque toni vincunt bis diatessaron in commate, sicut VI toni diapason. Et, de hoc, infra ponetur figura.

Item verum est comma esse illud in quo sesquioctava proportio proportionem vincit duorum minorum semitoniorum, et in quo apotome, sive semitonium maius, superat semitonium [121] minus. Sed illud, nec in primis terminis commatis, nec in primis terminis duorum minorum semitoniorum, in numeris integris patet experiri. Semper enim terminis in illis deficit aliquid, vel abundat. Et hoc in figura praecedenti notatum est. Quamvis enim, inter extremos numeros illos, scilicet inter .f. et .i., sit sesquioctava proportio praecisa, similiter, inter numerum secundum et tertium, scilicet inter .g. et .h., sit minoris semitonii proportio in numeris integris, licet termini illi sint secundarii proportionis illius, tamen, nec inter tertium numerum et quartum, id est inter .h. et .i., est minoris semitonii proportio in numeris integris, quia deficit unitas in numero qui est .i. Quae, si adderetur, haberet numerus ille integram semitonii minoris proportionem ad numerum qui est .g., sed non haberet sesquioctavan integram proportionem ad primum numerum qui est .h., quia abundaret unitas. Nec est etiam integra semitonii maioris proportio primi ad tertium, id est ipsius .f. ad .h., sicut nec ipsius .h. ad .i. est integra semitonii minoris proportio, quia, sicut dictum est, deficit unitas in numero qui est .i.; et, quae ibi deficit, abundat in numero primo est .f.

Ex quibus omnibus sequitur quod illi termini, qui sunt .f. et .g., non sunt integri termini proportionis commatis, sed bene inveniuntur quattuor tales termini ut, inter extremos, sit integra sesquioctava proportio; inter tertium et quartum, integra semitonii minoris habitudo, similiter inter secundum et tertium; et inter primum et tertium, integra ipsius <apotomes> proportio. Et, quando sic est, non potest calumniari quin, inter primum terminum illorum et secundum, sit integra, praecisa et vera commatis proportio. Et tales quattuor termini prius positi sunt, ubi ostensum est comma in superpartiente fundari proportione. Sola igitur unitatis ad aliquos numeros subtractio, vel additio, proportionem tollit et mutat, sicut sola unitas, iuncta numero, cuiuscumque numeri speciem variat. Et hoc potest quis probare per se, et in parvis numeris, et in magnis. Nec ea, quae sunt prope, sunt idem, sed quasi. Non sequitur: "Iste est prope villam, ergo est in villa, vel ad villam". Haec enim dictio "prope" quamdam vim exceptivam vel exclusivam importare videtur. Quamvis autem numeri illi prius positi, qui sunt .f. et .g., [122] in minore consistant proportione quam sit ea quae est inter 74 et 73, maiore tamen ea quae est inter 75 et 74, non sequitur tamen ex hoc quod, inter terminos illos, sit praecisa commatis proportio. Iam enim comma in multis fundaretur proportionibus, cum uni consonantiae respondeat una proportio. Sunt enim multi termini, inter quos est maior proportio proportione <sesqui>septuagesima quarta, minor vero <sesqui>septuagesima tertia. Teneo igitur | [P2, 79v in marg.] minimos numeros proportionis commatis esse istos: 531441 524288.

Viso in qua proportione comma fundetur, quia in superpartiente, et qui sint primi vel minimi numeri illius proportionis, potest, per prius dicta, sciri in qua determinata et specifica superpartiente comma fundetur proportione. Hoc enim ostendit differentia quae est inter numeros minimos suae proportionis, sive unitates in quibus maior illorum minorem superat (illae autem sunt 7153) et numerus unitatum numeri minoris quae sunt 524288. Consistit igitur comma in proportione super 7153 partiente quingenta XXIIII milia ducentas octuagenas octavas in numeris.

Capitulum L.

Quod comma in minore constet proportione quam sit ea quae est inter 74 et 73.

Restat, declarandum comma in minore consistere proportione quam sit ea quae est inter 74 et 73, maiore tamen ea quae est inter 75 et 74.

Ad cuius evidentiam, est notandum Boethium comparare proportiones quarundam minimarum consonantiarum, ut commatis et minoris semitonii quae sunt superpartientes, ad proportiones quasdam superparticulares, forte quia superparticulares proportiones notiores et perfectiores sunt quam superpartientes, et est ibi pulchra speculatio.

Est autem proportio, quae est inter 74 et 73, superparticularis, scilicet sesquiseptuagesima tertia et ea, quae est inter 75 et 74, sesquiseptuagesima quarta. Est igitur ostendendum primo proportionem, in qua comma fundatur, [123] prius tactam, minorem esse <sesqui>septuagesima tertia quae est inter 74 et 73.

Disponantur numeri sequentes:

531441 524288 529322 522169 7153 2219.

Et vocetur numerus primus, scilicet 531441, .a., secundus consequenter se habens .b., tertius .c., quartus .d., quintus .e., sextus .f.

Inter .a. autem et .b., qui sunt duo primi termini, est commatis proportio, ut est prius dictum. Inter .b. et .c., est eadem proportio | [P1, 60r in marg.] cum ea quae est inter 74 et 73, sicut probabitur. <Quintus> autem numerus, scilicet .e., continet differentiam duorum primorum terminorum inter quos fundatur comma. Sed .f., ultimus numerus, importat differentiam qua terminus, qui est .c., differt et minor est termino primo qui est .a., et quartus numerus, qui est .d. termino secundo, qui est .b. His praemissis, arguitur sic: "Minor est proportio inter .a. et .b. proportione existente inter .c. et .d. Sed proportio existens inter .c. et .d. est eadem proportio cum ea quae est inter 74 et 73. Ergo, inter numeros continentes commatis proportionem, qui sunt .a. et .b., minor est proportio proportione quae est inter 74 et 73".

Probentur praemissae et, primo, maior sic: Numeri, qui sunt .a. et .b., maiores sunt numeris qui sunt .c. et .d., quia, per additionem, se habent ad illos, superantes illos, in numero qui est .f. Si enim numerus qui est .f., scilicet 2119, iungatur numero qui est .c., fit numerus qui est .a., vel si tactus numerus .f. tollatur a numero qui est .a., fiet numerus qui est .c. Similiter si numerus qui est .f. iungatur numero qui est .d., fit numerus qui est .b., vel si tactus numerus .f. tollatur a numero qui est .b., fit numerus qui est .d. Maiores igitur sunt numeri, qui sunt .a. et .b., numeris qui sunt .c. et .b.

Est autem regula quod, si ex qualibet proportione differentiam eorum numerorum, qui continent eam, auferamus, hi qui relinquuntur numeri maiorem inter se continent proportionem his numeris qui erant ante differentiae illius substractionem. Sint enim numeri VIII et VI. Tollatur a quolibet differentia qua differt unus ab altero (illa est binarius). Remanent VI et IIII inter quos maior est proportio, [124] quia sesqualtera, quam sit ea quae est inter VIII et VI, quae est sesquitertia. Sic patet maior, etiam per aliud principium, quia, in minoribus terminis, maior est proportio sane intelligendo.

Minor sic probatur. Quando inter duos terminos est aliqua proportio, si quilibet illorum eodem multiplicetur termino, redibit eadem proportio inter provenientes terminos quae erat inter primos ut, cum inter VI et IV sesqualtera sit proportio, si quilibet terminorum illorum binario crescat, proveniunt inde XII et VIII, inter quos sesqualtera proportio est. Eodem modo esset, si per trinarium augerentur. Provenirent enim inde XVIII et XII, vel, si per quaternarium, hi XXIIII et XVI, vel per quemcumque alium terminum eundem. Et tenet ars ista in ceteris proportionibus superparticularibus, in multiplicibus, et in superpartientibus, similiter et in mixtis habitudinibus. Ergo, si isti duo numeri, qui sunt 74 et 73, per eundem quemcumque numerum multiplicentur, numeri inde provenientes eandem inter se proportionem retinebunt | [P2, 80r in marg.] cum illa quae est inter priores terminos qui sunt 74 et 73. Sic autem est de numeris qui sunt .c. et .d. Surgit enim numerus qui est .c. ex multiplicatione numeri, qui est 74, per numerum qui est .f. (septuagies enim quater .f. dant numerum qui est .c.). Similiter, numerus, qui est .d., provenit ex multiplicatione numeri qui est 73 per numerum qui est .f. (septuagies enim ter .f. producunt numerum qui est .d.). Recte igitur dictum est proportionem, in qua consistit comma, minorem esse proportione <sesqui>septuagesima tertia, quia minor est proportio inter .a. et .b. quam inter .c. et .d.; .a. autem et .b. continent proportionem commatis; .c. vero et .d. proportionem sesquiseptuagesimam tertiam. Quae sic describantur:

(Vide Appendix: XXV).

Capitulum LI.

Quod comma in maiore fundetur proportione quam sit ea quae est inter 75 et 74.

Uterius probare conabimur commatis proportionem maiorem esse ea proportione quae est inter 75 et 74. [125] Describantur igitur termini sequentes:

531441 524288 536475 529322 7153 5034,

et si placet, septimus addatur terminus qui est 262144.

Horum terminus primus vocetur .a., ut prius, secundus .b., tertius .c., quartus .d., quintus .e., sextus .f., septimus .g.

| [P1, 60v in marg.] Inter .a. et .b., qui primi sunt termini, commatis est proportio; inter .c. et .d. est eadem proportio cum ea quae est inter 75 et 74; .e. autem denotat proportionem commatis; .f. vero notat differentiam quae est inter .e. et .a. et inter .d. et .b. Inter primum autem terminum, qui est .a., et septimum, qui est .g., intervallum est sex tonorum; inter .b. vero et .g. est diapason. Tunc arguitur sic: "Maior est proportio inter .a. et .b. quam inter .c. et .d., sed, inter .c. et .d., est eadem proportio cum illa quae inter 75 et 74. Ergo maior est proportio inter terminos commatis qui sunt .a. et .b. quam inter 75 et 74". Maior, per iam dicta, patet, quia termini, qui sunt .c. et .d., maiores sunt terminis qui sunt .a. et .b. Se habent enim per additionem ad illos. Superat enim terminus, qui est .c., terminum qui est .a., in termino qui est .f. Nam terminus, qui est .f., iunctus termino qui est .a., aequatur termino qui est .c. et idem est de termino qui est .d., respectu termini qui est .b. Dictum est autem quod, quando duobus terminis sua iungitur propria differentia, minor est proportio inter terminos inde provenientes quam esset proportio inter terminos priores. Minor sic patet. Declaratum enim est prius quod, quando duo termini per eundem multiplicantur numerum, eadem redit proportio inter provenientes terminos quae erat inter primos; sed terminus, qui est 75, multiplicatus per terminum qui est .f., facit numerum qui est .c., et terminus, qui est 74, auctus per eundem terminum qui est .f., crescit in numerum qui est .d. Et, per consequens, eadem est proportio inter .c. et .d. terminos cum illa quae est inter 75 et 74. Est igitur maior proportio inter .a. et .b. quam inter .c. et .d. Sed .a. et .b. proportionem continent commatis, .c. et .d. proportionem <sesqui>septuagesima quartam. Maior est igitur proportio inter commatis terminos quam sit ea quae est inter | [P2, 80v in marg.] 75 et 74.

Haec sic disponantur:

(Vide Appendix: XXVI).

[126] Capitulum LII.

Amplior aliquorum dictorum expositio.

Ad maiorem dictorum et dicendorum notitiam, quaedam notanda sunt. Primo de regula vel regulis qua vel quibus hic usi sumus, dictum est quod, cum inter aliquos terminos est aliqua proportio, si differentia, qua differunt, iungatur illorum cuilibet, minor erit proportio inter terminos inde provenientes ea proportione quae inter priores erat terminos. Haec autem regula, suo modo, tenet in subtractione differentiae quae est inter aliquos numeros. Sed, in additione, processus fit ad minorem proportionem in subtractione ad maiorem. Primo modo, accepimus regulam illam, improbando commatis proportionem minorem esse ea proportione quae est inter 74 et 73. Secundo modo, sumpsimus tactam regulam, ostendendo commatis proportionem maiorem esse quam sit ea proportio quae est inter 75 et 74. Videtur autem dicta regula locum habere, non solum ubi, post differentiae additionem vel subtractionem, manet eadem proportio in genere proximo (puta, cum manet hic et ibi proportio superparticularis vel superpartiens, licet in alia specie superparticularitatis), sed ubi non manet, scilicet quando proportio una superparticularis est, reliqua vero multiplex, ut inter VI et IIII, superparticularis est proportio, quia sesqualtera; inter IIII et duo, multiplex, quia dupla. Est autem dupla proportio prior et maior sesqualtera proportione.

Item pro regula dictum est: "Si, inter aliquos numeros, est aliqua proportio, et illi numero eodem multiplicentur, (sive ille sit maior quam sint illi multiplicandi, sive minor), redibit proportio eadem inter numeros inde provenientes cum ea quae erat inter numeros priores". Sed, si priores termini erant minimi, et primi alicuius proportionis, alii semper sunt secundarii illius eiusdem proportionis.

Iuxta hoc notandum quod termini secundarii alicuius proportionis semper proveniunt ex multiplicatione primorum terminorum illius proportionis per eundem terminum minorem vel maiorem, ut dixi, vel aequalem cum illorum altero. Minor [127] autem terminus, per quem potest fieri multiplicatio, binarius est, quia per unitatem fieri non potest, ut visum est libro primo. Si igitur multiplicentur primi termini alicuius proportionis binario, termini inde provenientes sunt primi secundarii termini illius proportionis, ut VI et IIII, sesqualterae. Si per trinarium, tunc sunt secundi secundarii, ut IX et VI, proportionis sesqualterae. Si per quaternarium, tunc sunt tertii secundarii, ut XII et VIII, quoad sesqualteram proportionem, et sic in infinitum procedunt numeri secundarii sesqualterae proportionis. Et eodem modo est de aliis proportionibus generaliter.

Si vero termini alicuius | [P1, 61r in marg.] proportionis non eodem termino, sed diversis augeantur, inter provenientes terminos, ut ad invicem | [P2, 81r in marg.] comparantur, non eadem, quae inter priores erat, redibit proportio (sive se ipsis augeantur, sive quibuscumque aliis distinctis terminis), quia de terminis loquor inaequalibus.

Si tamen aliqui termini inaequales primo se ipsis crescant, deinde unus augeatur per alium, provenient inde duae continuae proportiones tales qualis fuit proportio inter priores terminos, si summa veniens ex ductu unius termini in alium in medio aliarum duarum ponatur summarum. Sint enim hi termini: tres et duo. Ducatur trinarius in se ipsum "ter tria", et sunt VIIII; ducatur binarius in se ipsum, dicendo: "bis II", et sunt IIII. Planum est inter VIIII et IIII non esse sesqualteram proportionem, sed duplam sesquiquartam. Sed ducatur trinarius in binarium, dicendo: "ter duo" vel, e converso: "bis tria". Provenit inde senarius. Et ponatur in medio aliorum duorum terminorum sic: VIIII VI IIII. Sunt hic productae duae continuae proportiones sesqualterae. Consimili modo est de ceteris proportionibus.

Hae regulae fundantur super his quae dicta sunt libro primo de multiplicatione consimilium proportionum superparticularium, quae veritatem habent in aliis proportionibus terminorum inaequalium.

Sed specialiter descendamus ad quaedam dicta de commatis proportione. Dictum est ipsam esse minorem proportione <sesqui>septuagesima tertia quae est inter 74 et 73, maiorem vero 74, quae est inter 75 et 74. Ex hoc dicto sequitur proportionem commatis non esse superparticularem, quia, inter proportionem <sesqui>septuagesimam tertiam et [128] <sesqui>septuagesimam quartam, quae superparticulares sunt, nulla mediat superparticularis proportio suo modo, sicut nec inter sesqualteram et sesquitertiam, quia immediate se consequuntur.

Item, cum maius et minus, si proprie sumantur, speciem non varient, ut maior et minor linea, sicut nec magis et minus in qualitatibus (proportio autem superpartiens a superparticulari, non tantum specie, sed genere, distinguatur), non videtur propria comparatio commatis proportionis, quae superpartiens est, ad proportionem <sesqui>septuagesimam tertiam et <sesqui>septuagesimam quartam, quae sunt superparticulares, ut dicatur minor altera illarum, maior vero reliqua. Ideo sumi videtur ibi minoritas et maioritas large et extenso nomine. Et propterea non tenet ibi principium, ubi: "Est reperire maius, et minus, et aequale", quia illa non sunt eiusdem rationis, sicut non sequitur: "Est reperire circulum maiorem quadrato, et minorem quadrato; ergo est reperire circulum aequalem quadrato".

Item, circa dicta, notandum quod, licet, inter numeros praedictos qui sunt .c. et .d., sit eadem differentia quae est .e., quae est inter numeros qui sunt .a. et .b., non est tamen hic et ibi eadem proportio, quia prima est superparticularis, alia vero superpartiens. Aequalitas enim differentiae aequalitatem non arguit proportionis geometricae quam musicales consonantiae respiciunt.

Item notandum quod, per hoc quod haec consonantia in minore dicitur fundari proportione quam sit <sesqui>septuagesima tertia, minore vero quam <sesqui>septuagesima quarta, non habetur specifica ipsius proportio.

Item, quia comma, ut per se sumitur et ab aliis distinguitur consonantiis, locum signatum et determinatum non habet in compositione gammatis, nec nostris valet notari notis, ideo in numeris solum exemplum de ipso posuimus. Habet autem in commate locum non solum proportio, sed medietas et permutata medietas, ut patere potest, si sic dicatur: "Sicut se habet semitonium maius ad minus semitonium, sic tonus perfectus, vel medius, ad minorem tonum, et quinque toni ad bis diatessaron, et VI toni ad diapason". Et, in numeris, posset exemplificari, si numeri illi, inter quos fundatur comma, duplarentur, triplarentur, et ad invicem conferrentur.